Uvod u numericku matematiku

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Uvod u numericku matematiku"

Transcription

1 Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009.

2 Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju istraivat ćemo metode za rješavane kvadratnih sustava linearnih jednadbi, tj. sustava s n jednadbi i n nepoznanica, a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j + + a 2n x n = b 2. a i1 x 1 + a i2 x a ij x j + + a in x n = b i. a n1 x 1 + a n2 x a nj x j + + a nn x n = b n :

3 Uvod u numericku matematiku 3 Matrica A = [a ij ] n i;j=1 2 Rnn je matrica sustava, a njeni elementi su koecijenti sustava. Vektor b = [b i ] n i=1 2 Rn je vektor desne strane sustava ili vektor slobodnih koecijenata. Treba odrediti vektor nepoznanica x = [x] n i=1 2 Rn tako da vrijedi Ax = b:

4 Uvod u numericku matematiku 4 Naravno, što se teorije tice, rješavanje ovakvog sustava je gotovo trivijalan problem, posebno ako je matrica sustava A regularna, u kojem slucaju je x = A 1 b: Pri tom postoje eksplicitne formule za elemente matrice A 1 ; kao i za samo rješenje x: Osim toga, svima poznata Gaussova metoda eliminacije daje rješenje u O n 3 elementranih operacija, pa imamo i algoritam koji racuna rješenje koristeći samo jednostavne aritmeticke operacije. U primijenjenoj matematici, posebno u numerickoj linearnoj algebri, situacija je puno sloenija. U numerickoj matematici riješiti neki problem danas znaci biti u stanju u konkretnoj situaciji s konkretnim podacima (koristeći racunalo) brzo doći do dovoljno tocne numericke aproksimacije rješenja. Npr., ako su matrica A i vektor b zapisani u nekim datotekama na disku, ili su dane neke procedure koje ih generiraju, onda je zadatak izracunati numericke vrijednosti komponenata vektora x: Današnja racunala su vrlo brza, no osnovna znacajka moderne numericke matematike su problemi sve većih dimenzija.

5 Uvod u numericku matematiku 5 Npr. ako je sustav velicine n = 10 5 ; onda Gaussova metoda trai broj operacija velicine ; pa brzinom rada od oko 10 9 operacija u sekundi (što je standard za jednoprocesorsko racunalo) do demo do vremena izvršavanja od 10 6 sekunda, što je više od 10 dana. Iz ovoga vidimo da problem koji je u matematickoj praksi posve jednostavan moe u stvarnoj praksi biti iznimno izazovan. Posebno treba uzeti u obzir i razne greške koje se generiraju prikazom realnih brojeva i izvo denjem racunskih operacija u racunalu.

6 Uvod u numericku matematiku 6 2 Kako u praksi nastaje sustav linearnih jednadbi U praksi se rješavanje raznih problema svodi na rješavanje sustava linearnih jednadbi. Pogledajmo ovaj primjer s kojim se cesto susrećemo. PRIMJER. Zadani su parovi tocaka (x i ; y i ) ; i = 0; 1; : : : ; n; gdje su y i = f (x i ) izmjerene vrijednosti funkcije f koju elimo aproksimirati polinomom p stupnja n: Pretpostavimo da su svi dani cvorovi x i razliciti. Kriterij za odabir polinoma je da u cvorovima ima iste vrijednosti kao funkcija f (tj. da vrijedi p (x i ) = f (x i ) = y i ), a upravo zato i govorimo o interpolacijskom polinomu. Ako p prikaemo u kanonskom obliku p (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = nx a j x j ; onda za naći polimom p treba odrediti koecijente a 0 ; a 1 ; : : : ; a n : j=0

7 Uvod u numericku matematiku 7 Dakle, treba riješiti sustav a 0 + a 1 x a j x j a nx n 0 = y 0 a 0 + a 1 x a j x j a nx 1 = y 1. a 0 + a 1 x i + + a j x j i + + a nx n i = y i. koji se matricno moe zapisati kao a 0 + a 1 x n + + a j x j n + + a n x n n = y n V a = y;

8 Uvod u numericku matematiku 8 pri cemu je V = 2 1 x 0 x 2 0 x n 1 1 x 1 x 2 1 x n x i x 2 i x n i x n x 2 n x n n 1 0 x n 0 1 x n 1. x n i. x n n 3 ; a = a 0 a 1. a i. a n 3 ; y = y 0 y 1. y i. y n 3 : 7 5 Matrica V zove se Vandermondeova matrica. Zahvaljujući njenom posebnom obliku moguće je odrediti a = V 1 y:

9 Uvod u numericku matematiku 9 3 Gaussove eliminacije i trokutaste faktorizacije Metoda Gaussovih eliminacija je svakako najstariji, najjednostavniji i najpoznatiji algoritam za rješavanje sustava linearnih jednadbi. Ideja je jednostavna: da bismo riješili npr. sustav 2x 1 x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 1 dovoljno je primijetiti da zbog prve jednadbe vrijedi x 1 = (1 + x 2 ) =2; pa je drugu jednadbu moguće pisati kao 1 2 (1 + x 2) + 2x 2 = 1; iz cega lako slijedi x 2 = 1 i x 1 = 1: Kaemo da smo nepoznanicu x 1 eliminirali iz druge jednadbe. Ovu ideju lako moemo proširiti i na opće n-dimenzionalne sustave, n > 1; tako da sustavno eliminiramo neke nepoznanice iz nekih jednadbi. Pokazuje se da takav algoritam ima zanimljivu strukturu i da ga se moe lako zapisati u terminima matrica. Kvalitativno novi moment nastaje kada kada se sam proces eliminacija interpretira kao faktorizacija matrice sustava A na umnoak trokutastih matrica.

10 Uvod u numericku matematiku Matri cni zapis metode eliminacija Pogledajmo jedan primjer. Pretpostavimo da elimo riješiti sustav jednadbi 5x 1 + x 2 + 4x 3 = 19 10x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 39 15x 1 + 5x 2 9x 3 = 32: Ocito je da ako elimo eliminirati npr. x 1 iz druge jednadbe, onda moramo prvu pomnoiti s 2 (uocimo da je 2 = 10=5 = a 21 =a 11 ) i pribrojiti drugoj. Ovo moemo matricno zapisati kao = ; odnosno L (2;1) A = A (1) :

11 Uvod u numericku matematiku 11 Analogno, nepoznanicu x 1 moemo eliminirati iz treće jednadbe ako prvu pomnoimo s 3 (uocimo da je 3 = 15=5 = a 21 =a 11 ) i pribrojimo trećoj. U matricnom zapisu je to dano s odnosno = L (3;1) A (1) = A (2) : Pri tom se mijenja i vektor s desne strane sustava = = b (1) = = b (2) : ;

12 Uvod u numericku matematiku 12 Uocimo da su matrice L (2;1) i L (3;1) donjetrokutaste. Nakon provedenih transformacija polazni sustav se svodi na ekvivalentni sustav (sustav s istim rješenjem) 5x 1 + x 2 + 4x 3 = 19 2x 2 x 3 = 1 8x 2 3x 3 = 25: Analogno, elimo li eliminirati x 2 iz treće jednadbe sustava, moramo drugu pomnoiti s 4 i pribrojiti trećoj. Matricno to zapisujemo kao = ; odnosno L (3;2) A (2) = A (3) :

13 Uvod u numericku matematiku 13 Napravimo li i zadnji korak mnoenja vektora desne strane sustava dobijemo = = b (3) ; pa nam ekvivalentni sustav u matricnom zapisu glasi x x 2 5 = : x 3 21 Odavde lako slijedi rješenje sustava x 3 = 21=7 = 3 x 2 = (1 + x 3 ) =2 = 2 x 1 = (19 x 2 4x 3 ) =5 = 1:

14 Uvod u numericku matematiku 14 No lako se provjerava da vrijedi pa je stoga zbog L (2;1) 1 L (3;1) 1 L (3;2) 1 = = L (3;2) L (3;1) L (2;1) A = A (3) = L; ispunjeno A = L (2;1) 1 L (3;1) 1 L (3;2) 1 A (3) = LA (3) :

15 Uvod u numericku matematiku 15 Dakle, matricu A smo prikazali kao umnoak jedne donjetrokutaste (L) i jedne gornjetrokutaste (A (3) ) matrice. U ovakvom kontekstu gornjetrokutastu matricu A (3) oznacavamo s U; pa pišemo A = LU: Upravo stoga govorimo o LU faktorizaciji. Uocimo da je racunaje inverza matrica L (i;j) jednostavno (samo promjenimo predznak netrivijalnim elementima u donjem trokutu), a cijeli umnoak se dobije stavljanjem tih elemenata na odgovarajuće pozicije u donjem trokutu matrice L: Vratimo li se na pocetni sustav imamo x = A 1 b = (LU) 1 b = U 1 L 1 b:

16 Uvod u numericku matematiku 16 U terminima matrica A i b sustav iz ovog primjera riješen je metodom koja se sastoji od tri glavna koraka: 1. Matricu A faktoriziramo u oblik A = LU: 2. Rješavanjem donjetrokutastog sustava Ly = b treba odrediti vektor y = L 1 b: 3. Rješavanjem gornjetrokutastog sustava Ux = y treba odrediti vektor x = U 1 y = U 1 L 1 b :

17 Uvod u numericku matematiku Rješavanje trokutastih sustava eliminacijama unaprijed i unazad Trokutasti sustavi jednadbi su najlakši za rješavanje. Pogledajmo jedan primjer dimenzije n = 4: Neka je Lx = 2 3 l l 21 l l 31 l 32 l l 41 l 42 l 43 l x 1 x 2 x 3 x = 6 4 b 1 b 2 b 3 b = b; te pretpostavimo da je matrica L regularna. Lako se provjeri da to znaci l ii 6= 0; i = 1; 2; 3; 4: U tom slucaju je x 1 = b 1 =l 11 x 2 = (b 2 l 21 x 1 ) =l 22 x 3 = (b 3 l 31 x 1 l 32 x 2 ) =l 33 x 4 = (b 4 l 41 x 1 l 42 x 2 l 43 x 3 ) =l 44 :

18 Uvod u numericku matematiku 18 ALGORITAM za rješavanje linearnog sustava jednadbi Lx = b s regularnom donjetrokutastom matricom L 2 R nn : x 1 = b 1 l 11 ; for i = 2; : : : ; n 8 < : x i = 1 l ii i i 1 19 X = l ij x j A ; : Prebrojimo li operacije u gornjem algoritmu vidimo da imamo n dijeljenja, n = n (n + 1) =2 mnoenja i isto toliko zbrajanja (i oduzimanja). Dakle, ukupna sloenost je O n 2 ; što je bolje od predvi dene za n-dimenzionalni sustav linearnih jednadbi. j=1

19 Uvod u numericku matematiku 19 ALGORITAM za rješavanje linearnog sustava jednadbi U x = b s regularnom gornjetrokutastom matricom U 2 R nn : x n = b n u nn ; for i = n 1; : : : ; 1 8 < : x i = 1 u ii i nx j=i+1 19 = u ij x j A ; : I u ovom slucaju je ukupna sloenost O n 2 ; što je bolje od predvi dene za n-dimenzionalni sustav linearnih jednadbi.

20 Uvod u numericku matematiku LU (LR) faktorizacija Sada nam ostaje prouciti kako izvesti na najbolji mogući nacin faktorizaciju matrice A 2 R nn na umnoak donjetrokutaste i gornjetrokutaste matrice. Problem elimo riješiti za proizvoljan n; no radi jednostavnosti ćemo razmotriti slucaj n = 5: Neka je 2 3 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 A = 6a 31 a 32 a 33 a 34 a a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 5 : a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 Sjetimo se da se eliminacija prve nepoznanice iz svih jednadbi osim prve manifestira poništavanjem svih elemenata matrice A u prvom stupcu osim onog na dijagonali. To moemo napraviti u jednom potezu deniranjem matrice L (1) na nacin kao u prethodnom primjeru, dakle

21 Uvod u numericku matematiku 21 Nakon mnoenja s A dobijemo L (1) = A (1) = L (1) A = a 21 =a a 31 =a a 41 =a : a 51 =a a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) 25 0 a (1) 32 a (1) 33 a (1) 34 a (1) 35 : a (1) 42 a (1) 43 a (1) 44 a (1) a (1) 52 a (1) 53 a (1) 54 a (1) 55 Primijetimo da je transformaciju A 7! A (1) moguće izvesti samo ako je a 11 6= 0:

22 Uvod u numericku matematiku 22 Lako se provjeri da je L (1) 1 = a 21 =a a 31 =a a 41 =a ; a 51 =a te da iz A = L (1) 1 A (1) slijedi a11 a a11 a 12 = a 21 a 22 a 21 =a a (1) : 22 Drugim rijecima, u prvom koraku dobili smo faktorizaciju vodeće 2 2 podmatrice od A: Uvjet za izvod ove faktorizacije bio je a 11 6= 0:

23 Uvod u numericku matematiku 23 Uocimo i da je a11 a det 12 a 21 a 22 Oznacimo sada 1 0 = det det a 21 =a 11 1 a11 a 2 = det 12 a 21 a 22 a11 a 12 0 a (1) 22 = a 11 a (1) 22 : = 1 a 11 a (1) 22 : Pretpostavimo li da je 2 6= 0; onda je i a (1) 22 6= 0; pa su dobro denirane matrice L (2) = 0 a (1) 32 6 =a(1) ; L (2) = 0 a (1) 40 a (1) =a(1) : 42 =a(1) a (1) 7 0 a (1) 42 =a(1) =a(1) a (1) 52 =a(1)

24 Uvod u numericku matematiku 24 Vrijedi i tako der A (2) = L (2) A (1) = L (2) L (1) A = A = = 2 3 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) a (2) 33 a (2) 34 a (2) 35 ; a (2) 43 a (2) 44 a (2) a (2) 53 a (2) 54 a (2) L (1) L (2) A (2) a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 =a a (1) a 31 =a 11 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) =a(1) a (2) 4a 41 =a 11 a (1) 33 a (2) 34 a (2) 35 : =a(1) a (2) a 51 =a 11 a (1) 43 a (2) 44 a (2) =a(1) a (2) 53 a (2) 54 a (2) 55

25 Uvod u numericku matematiku 25 Iz ovoga se vidi da vrijedi a 11 a 12 a a 11 a 12 a 13 4a 21 a 22 a 23 5 = 4a 21 =a a (1) a 31 a 32 a 33 a 31 =a 11 a (1) 22 a (1) ; 32 =a(1) a (2) 33 pa ako vrijedi a 11 6= 0 i 2 6= 0 dobijamo trokutastu faktorizaciju vodeće 33 podmatrice od A: Sada stavimo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 3 = det 4a 21 a 22 a = 1 det 4 0 a (1) 22 a (1) = a 11 a (1) a 31 a 32 a a (2) a(2) 33 : Ocito postupak sada moemo nastaviti ako je ispunjen uvjet 3 6= 0 (odnosno a (2) 33 6= 0).

26 Uvod u numericku matematiku 26 Nakon racunanja L (3) i L (4) dobijemo odnosno A (4) = L (4) A (3) = L (4) L (3) L (2) L (1) A = 2 3 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) a (2) 33 a (2) 34 a (2) 35 ; a (3) 44 a (3) a (4) 55 A = LU a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 =a a (1) = a 31 =a 11 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) =a(1) a (2) 4a 41 =a 11 a (1) 42 =a(1) 22 a (2) 33 a (2) 34 a (2) 35 : =a(2) a (3) a 51 =a 11 a (1) 52 =a(1) 22 a (2) 53 =a(2) 33 a (3) 44 a (3) =a(3) a (4) 55

27 Uvod u numericku matematiku 27 Pri tom je L = L (1) 1 L (2) 1 L (3) 1 L (4) 1 ; a izvedivost postupka koji je doveo do faktorizacije A = LU ovisila je o uvjetima a 11 6= 0; a (1) 22 6= 0; a(2) 33 6= 0; a(3) 44 6= 0: Tako der, uocili smo da su ti uvjeti osigurani ako su determinante glavnih podmatrica matrice A razlicite od nule. Kod nas je to znacilo uvjete 1 = a 11 6= 0; 2 6= 0; 3 6= 0; 4 6= 0: Brojeve a 11 ; a (1) 22 ; a(2) 33 ; a(3) 44 nazivamo pivotnim elementima ili pivotima, a brojeve 1; 2 ; 3 ; 4 nazivamo glavnim minorama matrice A:

28 Uvod u numericku matematiku Zaklju cak i algoritam Ako je prvih n 1 minora matrice A razlicito od nule, onda su i svi pivotni elementi razli citi od nule i Gaussove eliminacije daju LU faktorizaciju matrice A: h i ALGORITAM U = A (n 1) (n 1) = a ij : L = I; for k := 1 to n 1 begin for j := k + 1 to n begin (k 1) (k 1) l jk = a jk =a kk ; a (k) jk = 0; end

29 Uvod u numericku matematiku 29 for j := k + 1 to n begin for i := k + 1 to n begin a (k) (k 1) ij = a ij l ik a end end end (k 1) kj ;

30 Uvod u numericku matematiku 30 Na osnovu prethodnog lako se vidi da vrijedi sljedeći teorem. TEOREM. Neka je A 2 R nn i neka su determinante glavnih podmatrica A (1 : k; 1 : k) razlicite od nule za k = 1; 2; : : : ; n 1: Tada postoji donjetrokutasta matrica L s jedinicama na dijagonali i gornjetrokutasta matrica U tako da vrijedi A = LU: Ako faktorizacija A = LU postoji i ako je matrica A regularna, onda je ova faktorizacija jedinstvena. Tada je i det A = ny u ii : i=1

31 Uvod u numericku matematiku 31 DOKAZ. Dokaz egzistencije preskacemo jer je iz primjera jasno da se induktivno moe dokazati za svaki n 2: Dokaimo jedinstvenost pod navedenim uvjetima. Pretpostavimo da postoje dvije takve faktorizacije A = LU = L 0 U 0 : Ako je A regularna, onda su regularne i matrice L; U; L 0 ; U 0 ; pa vrijedi L 1 L 0 = U (U 0 ) 1 : U gornjoj jednakosti imamo jednakost donjetrokutaste i gornjetrokutaste matrice što znaci da su obje dijagonalne. Kako i L i L 0 na dijagonali imaju jedinice, to isto ima i L 1 L 0 ; pa je ocigledno to jest L = L 0 : Tada je i U = U 0 L 1 L 0 = I;

32 Uvod u numericku matematiku 32 NAPOMENA. Primijetimo sljedeće: ako je A regularna i ako ima LU faktorizaciju, onda su nuno regularne i sve glavne podmatrice A (1 : k; 1 : k) za k = 1; 2; : : : ; n 1: To, naime, slijedi iz cinjenice det A (1 : k; 1 : k) = ky u ii ; k = 1; 2; : : : ; n: i=1

33 Uvod u numericku matematiku LU faktorizacija s pivotiranjem U prethodnom smo vidjeli da mogućnost provo denja LU faktorizacije direktno ovisi o tome da li su determinante glavnih podmatrica razlicite od nule. Problem koji se inace javlja ilustriran je u narednom primjeru. PRIMJER. Neka je matrica A sustava Ax = b dana s 0 1 A = : 1 1 1; pa dani sustav ima rješenje, no ne i LU faktor- Ova matrica je regularna i det A = izaciju jer pretpostavka u11 u = 12 l u 22

34 Uvod u numericku matematiku 34 povlaći 1 u 11 = 0 1 u 12 = 1 l 21 u 11 = 1 l 21 u 12 + u 22 = 1: Ocito iz ovoga slijedi l 21 0 = 1; što je nemoguće.

35 Uvod u numericku matematiku 35 Lako se vidi da bi ovaj problem zamjenom prve i druge jednadbe sustava bio uklonjen, jer matrica A 0 = = ima jednostavnu LU faktorizaciju L = I; U = A 0 : Veza izme du A i A 0 dana je matricno s A 0 = = = P A: Matricu P nazivamo matricom permutacije ili jednostavno permutacijom. Njeno djelovanje na matricu A je permutiranje redaka.

36 Uvod u numericku matematiku 36 PRIMJER. Neka je matrica A sustava Ax = b dana s A = : Najveći element u prvom stupcu je na mjestu (3; 1) ; što znaci da prvi pivot maksimiziramo ako zamijenimo prvi i treći redak matrice A. Tu zamjenu realizira permutacija P (1) ; gdje je P (1) = ; P (1) A = :

37 Uvod u numericku matematiku 37 Sada deniramo pa je L (1) = A (1) = L (1) P (1) A = = = ; 1= =5 3= =5 19=5 15 : 0 19=5 4=5 3

38 Uvod u numericku matematiku 38 Naredni pivot je maksimiziran permutacijom P (2) gdje je P (2) = ; P (2) A (1) = 60 19=5 4= =5 19=5 15 : =5 3=5 6 Sljedeći korak eliminacije glasi L (2) = = ; A(2) = L (2) P (2) A (1) = 0 3= =5 4= =19 7= =19 105=

39 Uvod u numericku matematiku 39 Nastavimo li dalje s permutiranjem redaka dobijemo da je P (3) = I; pa je L (3) = ; A(3) = L (3) IA (2) = 60 19=5 4= =19 7=19 5 : 0 0 9= =1311 Sada primijetimo da je A (3) = L (3) IL (2) P (2) L (1) P (1) A; gdje je P (2) L (1) = = = = 6 4 2= = = P (2) = L e(1) P (2) : 2=

40 Uvod u numericku matematiku 40 Dakle, Ako stavimo P = P (2) P (1) ; onda vrijedi P A = = = U = A (3) = L (3) L (2) e L (1) P (2) P (1) A: = el (1) L (2) L (3) U = = = U: 1= = =69 1

41 Uvod u numericku matematiku 41 Dakle imamo, P A = = =5 4= =5 4= =19 7=19 5 : 1=5 3=19 9= =1311 Moemo zakljuciti sljedeće: Za proizvoljnu n n matricu A postoji permutacija P takva da Gaussove eliminacije daju LU faktorizaciju matrice P A: Pri tome je L donjetrokutasta matrica s jedinicama na dijagonali, a U je gornjetrokutasta matrica. Permutaciju P moemo odabrati tako da su svi elementi matrice L po apsolutnoj vrijednosti najviše jednaki jedinici.

42 Uvod u numericku matematiku 42 TEOREM. Neka je A 2 R nn proizvoljna matrica. Tada postoj permutacija P takva da Gaussove eliminacije daju LU faktorizaciju P A = LU matrice P A: Matrica L = [l ij ] je donjetrokutasta s jedinicama na dijagonali, a U = [u ij ] je gornjetrokutasta matrica. Pri tome, ako je P umnoak od p inverzija, vrijedi ny det A = ( 1) p u ii : Ako su matrice P (k) odabrane tako da vrijedi P (k) A (k 1) = max 1jn P (k) A (k 1) onda je max max 1kn 1i;jn kk L (k) ij i=1 jk = max jl ijj = 1: 1i;jn U tom slucaju faktorizaciju P A = LU nazivamo LU faktorizacijom s pivotiranjem redaka.

43 Uvod u numericku matematiku 43 4 Numeri cka svojstva Gaussovih eliminacija Do sada nismo razmatrali prakticne detalje realizacije izvedenih algoritama u racunalu uz što su vezani mnogi problemi, kao npr.: racunalo je ogranicen stroj s konacnim memorijskim prostorom, ne raspolaemo s cijelim skupom R već s konacno mnogo brojeva, realne brojeve u stvarnosti aproksimiramo racionalnim brojevima. U razmatranju doga danja u racunalu prakticno je razdvojiti LU faktorizaciju od rješavanja trokutastog sustava, pa ćemo tako i napraviti.

44 Uvod u numericku matematiku Vanost pivotiranja Prije nego što nastavimo naglasimo da je za spremanje elemenata matrice A u memoriji racunala potrebno izdvojiti n 2 memorijskih lokacija. No zbog posebnog oblika matrica L i U za njih obje zajedno je tako der potrebno n 2 memorijskih lokacija, dakle onoliko koliko i za samu matricu A: Ako paljivo promatramo proces racunanja LU faktorizacije uocavamo da ga moemo izvesti tako da matrica U ostane zapisana u gornjem trokutu matrice A; a strogo donji trokut matrice L u strogo donjem trokutu matrice A (jedinice na dijagonali nije potrebno pamtiti!). Sve matrice A (k) ; K = 1; : : : ; n 1 pohranjujemo na istom n n polju koje u pocetku sadri matricu A (0) = A: Zapis algoritma za faktorizaciju time postaje još jednostavniji.

45 Uvod u numericku matematiku 45 ALGORITAM for k = 1 to n 1 begin for j = k + 1 to n begin a jk = a jk =a kk ; end for j = k + 1 to n begin for i = k + 1 to n begin a ij = a ij a ik a kj ; end end end

46 Uvod u numericku matematiku 46 PRIMJER. Neka je mali parametar i neka je matrica A denirana s 1 A = : 1 1 U egzaktnom racunanju imamo 1 A = = = = = LU: Pretpostavimo da ovaj racun provodimo na racunalu u aritmetici s 8 decimalnih znamenki, tj. da je strojna preciznost " 10 8 : Neka je jj < "; recimo = : Vrijedi e l21 = = 1 = l 21 (1 + 1 ) ; j 1 j " eu 11 = u 11 eu 12 = u 12 eu 22 = 1 1 zaok: = 1 : Cini se da su sve nastale greške male, no pokušamo li egzaktno riješiti problem vidjet ćemo da nije sve kako treba.

47 Uvod u numericku matematiku 47 Imamo el e U = = = = A + A: Primijetimo da A ne moemo smatrati malom perturbacijom matrice A! Naime, jedan od najvećih elemenata matrice A; a 22 = 1; je promijenjen u nulu. Ako bismo koristeći ovakvu faktorizaciju nastavili traiti rješenje dobili bismo dok je egzaktno rješenje ex1 = ex 2 x1 x 2 = ; 1 : 1

48 Uvod u numericku matematiku 48 Vidimo da do potpuno krivog rješenja nije došlo zbog akumuliranja velikog broja grešaka zaokruivanja. Problem je u samo jednoj aritmetickoj operaciji (racunaje eu 22 ) koja je u stvari izvršena jako tocno i s vrlo malom greškom zaokruivanja. Odgovor lei u cinjenici da je pivot vrlo malen! Pogledajmo što bi se dogodilo da smo proveli pivotiranje. el = A 0 = P A = A 0 = = = LU = L; U e 1 1 = ; jj > ": 0 1

49 Uvod u numericku matematiku 49 Dakle, imamo el e U = = = A 0 + A 0 ; ja 0 j " ja 0 j i umnoak L e U e = 1 1 jj 1 + je po elementima istog reda velicine kao i ja 0 j (jmj poznacava matricu kojoj su elementi aposlutne vrijednosti elemenata matrice M). Dakle, pivotiranje redaka, koje osigurava da u matrici L svi elementi po apsolutnoj vrijednosti budu najviše jednaki jedinici, pridonosi numerickoj stabilnosti. Naime, tada su i svi elementi matrice L e manji ili jednaki jedan, pa velicina elemenata umnoška L e U e bitno ovisi o elementima matrice U e ; a ovi su, pak, dobiveni iz matrica A e(k) :

50 Uvod u numericku matematiku 50 TEOREM. Neka je LU faktorizacija n n matrice A izracunata s pivotiranjem redaka u aritmetici s preciznošću " i neka su matrice e L i e U dobivene aproksimacije matrica L i U: Ako je pri tome korištena permutacija P; onda je el e U = P (A + A) ; jaj 2n" 1 2n" P T e L e U : PROPOZICIJA. Ako LU faktorizaciju racunamo s pivotiranjem redaka u aritmetici s maksimalnom greškom zaokruivanja "; onda je gdje je A (k) = h a (k) ij i, a A e h (k) = = max i;j;k ea (k) ij max i;j;k a (k) ea (k) ij i ij 2 n 1 (1 + ") 2(n 1) ; strojno izracunata A (k) :

51 Uvod u numericku matematiku Analiza numeri ckog rješenja trokutastog sustava PROPOZICIJA. Neka je T donjetrokutasta (gornjetrokutasta) matrica reda n i neka je sustav T v = d riješen supstitucijama unaprijed (unazad). Ako je ev rješenje dobiveno primjenom aritmetike racunala s preciznošću "; onda postoji donjetrokutasta (gornjetrokutasta) matrica T takva da vrijedi (T + T ) ev = d; gdje je jt j jt j ; 0 n" 1 n" : Zakljucak ove propozicije je vrlo vaan: izracunato rješenje zadovoljava trokutasti sustav s matricom koecijenata koja se po elementima malo razlikuje od zadane. Npr. radimo li s preciznošću " = 10 8 i ako je n = 1000; onda izracunato rješenje ev zadovoljava jednadbu e T ev = d; gdje se elementi matrice e T i T poklapaju na barem 5 decimala (od osam mogućih).

52 Uvod u numericku matematiku To cnost izra cunatog rješenja sustava Sada ćemo ocijeniti koliko tocno moemo na racunalu riješiti linearni sustav Ax = b u kojem smo izracunali LU faktorizaciju P A = LU i supstitucijama naprijed i nazad izracunali rješenje x = U 1 L 1 (P b) : Kao što smo vidjeli u prethodnom, numericku analizu moemo provesti bez pivotiranja jer moemo pretpostaviti da smo permutaciju odmah primijenili na polazne podatke. Dakle, radi jednostavnosti formula pretpostavimo da su na matrice A i b već primijenjene zamjene redaka, tako da su formule jednostavno i A = LU x = U 1 L 1 b :

53 Uvod u numericku matematiku 53 Neka su e L i e U strojno izracunate matrice, pri cemu je el e U = A + A: Prema prethodnoj propoziciji za izracunato rješenje ey sustava Ly e = b vrijedi el + L e ey = b; L e n" L 1 n" e ; a na isti nacin za rješenje sustava Ux e = ey vrijedi eu + U e ex = ey; U e n" 1 n" U e : Dakle, to jest el + e L eu + e U ex = b; (A + A + E) ex = b; E = e L e U + e L e U + e L e U:

54 Uvod u numericku matematiku 54 Time smo dokazali sljedeći teorem. TEOREM. Neka je ex rješenje regularnog n n sustava Ax = b dobiveno Gaussovim eliminacijama s pivotiranjem redaka u aritmetici s preciznošću " takvom da je 2n" < 1: Tada postoji perturbacija A matrice A za koju vrijedi pri cemu je (A + A) ex = b; jaj 5n" 1 2n" P T e L e U :

55 Uvod u numericku matematiku 55 DOKAZ. Znamo da vrijedi A = A + P T E = A + P T e L e U + P T e L e U + P T e L e U; pa je jaj jaj + P T L e U e + P T L e U e + P T L e U e ; gdje je Dakle, imamo jaj jaj 2n" 1 2n" P T L e U e ; L e n" L 1 n" e ; U e n" U 1 n" e : " 2n" 1 2n" + 2n" 1 n" + # 2 n" P T L e e U : 1 n"

56 Uvod u numericku matematiku 56 Kako je 0 2n" 1 n" 2n" 1 2n" ; a zbog 0 < 2n" < 1 (iz cega je posebno 0 < n" < 1) je tako der 2 n" (n") 2 0 = 1 n" 1 2n" + n 2 " (n") n" n" 1 2n" : Odmah slijedi 2n" jaj 1 2n" + 2n" 1 2n" + n" P T L e e U 1 2n" = 5n" 1 2n" P T L e U e

57 Uvod u numericku matematiku 57 5 Faktorizacija Choleskog Kaemo da je simetricna n n matrica pozitivno denitna ako za sve x 2 R n razlicite od 0 vrijedi x T Ax > 0: Uzmemo li npr. da je x = e i (i-ti stupac jedinicne matrice reda n), onda je e T i Ae i = a ii > 0; što znaci da su dijagonalni elementi pozitivno denitne matrice nuno pozitivni. Nadalje, ako je S bilo koja regularna matrica i x 6= 0; onda je i y = Sx 6= 0 i vrijedi x T S T AS x = (Sx) T A (Sx) = y T Ay > 0; iz cega slijedi da je i S T AS pozitivno denitna matrica. No zašto je nama vaan pojam pozitivne denitnosti matrice? Pokazuje se da pozitivna denitnost matrice sustava osigurava egzistenciju LU faktorizacije bez pivotiranja. Pogledajmo kako.

58 Uvod u numericku matematiku 58 Ako pozitivno denitnu matricu A razdijelimo u blokmatrice tako da je a11 a T A = a ^A ; ^A 2 R (n 1)(n 1) ; a 2 R n 1 ; onda je a 11 > 0 i prvi korak eliminacija je 1 0 T a11 a T 1 a 11 a I n 1 a ^A = a11 a T 0 ^A 1 a 11 aa T Sada primijetimo da vrijedi i 1 0 T a11 a T a 11 a I n 1 a ^A a 11 a T 0 I n T a11 a T 1 0 T = = 1 a 11 a I n 1 a 0 T 0 ^A 1 a 11 aa T : a11 ^A 1 a 11 a I n 1 T :

59 Uvod u numericku matematiku 59 Vidimo da je novodobivena matrica oblika S T AS, pa je sigurno pozitivno denitna. Iz ovog se lako dobije i da je matrica ^A 1 a 11 aa T pozitivno denitna, dakle je i njen prvi element na glavnoj dijagonali pozitivan, što znaci da se potupak eliminacija moe nastaviti na isti nacin. Time je dokazana egzistencija faktorizacije matrice A u oblik R T R; gdje je matrica R gornjetrokutasta. Ovakvu faktorizaciju A = R T R nazivamo faktorizacijom Choleskog ili trokutastom faktorizacijom pozitivno denitne matrice. Elemente matrice R moemo izracunati jednostavnim nizom formula. Raspisivanjem faktorizacije po komponentama r r 11 r 12 r 1n r 12 r r 22 0 r 2n A = R T R = r n 1;n 1 r n 1;n 5 r 1n r 2n r n 1;n r nn r nn lako dobijemo a ij = ix r ki r kj ; i j: k=1

60 Uvod u numericku matematiku 60 Iz prethodnog direktno slijedi algoritam za racunanje faktorizacije Choleskog pozitivno denitne matrice A 2 R nn : ALGORITAM r 11 = p a 11 ; r 21 = a 12 =r 11 ; for i = 2 to n beginq P r ii = a i 1 ii k=1 r2 ki ; for j = i + 1 to n begin P r ij = a i 1 ij k=1 r kir kj =r ii end end

61 Uvod u numericku matematiku 61 Promotrimo li kvadratni sustav linearnih jednadbi u kojem je matrica sustava Ax = b pozitivno denitna i A = R T R njena trokutasta faktorizacija, onda rješenje sustava x = A 1 b = R T R 1 b = R 1 R T 1 b moemo dobiti y tako da prvo na demo rješenje y sustava R T y = b, a zatim još riješimo sustav Rx = y. Kako je R gornjetrokutasta matrica, cijeli postupak je vrlo jednostavan (pogledati u prethodnom kako se rješavaju trokutasti sustavi!). Naš sljedeći cilj je ispitati numericka svojstva takvog postupka ako se njegove operacije izvode na racunalu u aritmetici s preciznošću ": Podsjetimo se da treba izvesti sljedeće postupke: trokutastu faktorizaciju A = R T R; supstitucije unaprijed za rješavanje sustava R T y = b; supstitucije unazad za rješavanje sustava Rx = y.

62 Uvod u numericku matematiku 62 Ako je ex izracunata aproksimacija tocnog rješenja sustava Ax = b, što moemo reći o ex? Znamo da provodeći racun u racunalu u aritmetici s preciznošću " dobivamo priblini rastav perturbirane matrice A; tj. znamo da vrijedi er T e R = A + A: Dalje rješavamo dva trokutasta sustava e R T y = b i e Rx = y za koja ponovno dobivamo tek priblina rješenja ex i ey: Prema jednoj od prethodnih propozicija postoje gornjetrokutaste matrice 1 e R i 2 e R takve da vrijedi er + 1 e R T ey = b; er + 2 e R ex = ey; pri cemu je 1 e R R e ; 2 e R R e ; gdje je n" 1 n" :

63 Uvod u numericku matematiku 63 Iz ovoga dobijemo sljedeće er + 1 e R T ey = er + 1 e R T er + 2 e R ex = b; to jest e R T e R + e R T 2 e R + 1 e R T er + 1 e R T 2 e R ex = b: Oznacimo li E = e R T 2 e R + 1 e R T er + 1 e R T 2 e R; imamo pri cemu je er T e R + E ex = b; jej e R T e R :

64 Uvod u numericku matematiku 64 Dakle, moemo zakljuciti da dobiveno rješenje ex zadovoljava sustav er T e R + E ex = b; u kojem je E po elementima mala perturbacija pribline matrice sustava e A = e R T e R: Pri tom vrijedi sljedeća veza izme du izracunatog rješenja i polaznog sustava: (A + F ) ex = b; F = A + E: Matrice pogreške A i E ocijenjene su po elementima dovoljno malim ogradama, pa je dobivena matrica A + F "blizu" matrice A (da smo npr. nakon faktorizacije sustave rješavali egzaktno, imali bismo F = A). No ovi zakljucci nisu zadovoljavajući! Naime, tijekom ovog postupka izgubili smo simetricnost matrice sustava A jer matrica E; a time ni matrica F; općenito ne mora biti simetricna. Simetrija matrice A je najcešće posljedica strukture problema kojeg opisujemo linearnim sustavom Rx = b, pa nam je vano da je izracunato rješenje ex rješenje bliskog problema s istom strukturom.

65 Uvod u numericku matematiku 65 To nas vodi do sljedećeg problema: ako je (A + F ) ex = b, postoji li simetricna perturbacija A za koju postoje dovoljno dobre ocjene, a takva da je (A + A) ex = b? Naredni teorem daje potvrdan odgovor na to pitanje. TEOREM. Neka je (A + F ) ex = b, gdje je A pozitivno denitna matrica, te neka vrijedi max i;j jf ij j p aii a jj : Tada postoji simetricna perturbacija A takva da je (A + A) ex = b. Pri tome je max i6=j ja ij j p aii a jj ; max i ja ij j a ii (2n 1) : ZAKLJU CAK. Pozitivno denitne sustave moemo na racunalu riješiti s pogreškom koja je ekvivalentna malim promjenama koecijenata u matrici sustava, a da se pri tom ocuva struktura polaznog problema (simetrija).

66 Uvod u numericku matematiku 66 DOKAZ. (Skica) Primijetimo da perturbacija A mora zadovoljavati jednadbu Aex = F ex koja daje n uvjeta za n (n + 1) =2 stupnjeva slobode u A (zbog uvjeta simetricnosti). Stavimo i promotrimo skalirani sustav koji ćemo zapisati u obliku D = diag ( p a ii ) n i=1 D 1 (A + F ) D 1 Dex = D 1 b (A s + F s ) z = D 1 b; A s = D 1 AD 1 ; F s = D 1 F D 1 ; z = Dex: Neka je permutacija P takva da vektor ez = P T z zadovoljava jez 1 j jez 2 j jez n j (tj. permutacija P je takva da komponente vektora posloi u rastućem poretku). Uocimo i da vrijedi P P T = I: Gornji sustav zapišemo u ekvivalentnom obliku P T (A s + F s ) P P T z = P T (A s + F s ) P ez = P T D 1 b:

67 Uvod u numericku matematiku 67 Ponovno uvedemo kraće oznake pa sustav moemo zapisati u obliku A s;p = P T A s P; F s;p = P T F P; (A s;p + F s;p ) ez = P T D 1 b: Konstruirat ćemo simetricnu matricu M za koju vrijedi Deniramo m ij = M ez = F s;p ez: (Fs;p ) ij ; i < j (F s;p ) ji ; j < i ; dok dijagonalne elemente m ii ; i = 1; : : : ; n; odredimo tako da vrijedi m ii ez i + X i6=j m ij ez j = (F s;p ) ii ez i + X i6=j (F s;p ) ij ez j :

68 Uvod u numericku matematiku 68 Za ovako deniranu simetricnu matricu M pokazuje se da vrijedi ili ekvivalentno Pri tome je i max i (A s;p + M) ez = P T D 1 b; A s;p + P MP T z = D 1 b: max i6=j P MP T ij ; P MP T ii (2n 1) : Skaliranjem sustava (unatrag) dobijemo da za simetricnu perturbaciju A = D P MP T D vrijedi (A + A) ex = b

69 Uvod u numericku matematiku 69 6 Iterativne metode U prethodnom smo vidjeli da se rješenje linearnog sustava Ax = b općenito ne moe izracunati potpuno tocno: najcešće dobivamo rješenje ex koje zadovoljava sustav (A + A) ex = b blizak polaznom sustavu. Dakle, Gaussove eliminacije ne garantiraju idealnu tocnost. Osim toga, u praksi moramo biti svjesni da je racunalo ograniceno ne samo po pitanju numericke tocnosti, već i raspoloivim vremenom i memorijom. U primijenjenoj matematici najcešće se javljaju sustavi velikih dimenzija n > 10 5 kod kojih je proces Gaussovih eliminacija iz više razloga prakticki neprovediv. Npr. spremanje matrice sustava s n = 10 5 nepoznanica zahtijeva memorijskih lokacija, pa već i to moe predstavljati poteškoću. No vano je istaknuti da su matrice takvih sustava cesto rijetko popunjene (tj. velika većina elemenata im je jednaka nuli, a elementi koji nisu nula su obicno pravilno raspore deni).

70 Uvod u numericku matematiku 70 Rijetko popunjena matrica po blokovima moe izgledati npr. ovako (praznine su blokovi nula): : 7 5 Kada je matrica velika i gusto popunjena ono što preostaje jest ucitavanje djelova matrice iz vanjske u radnu memoriju.

71 Uvod u numericku matematiku 71 No ponekad je poznat nacin na koji se generiraju elementi matrice A; pa nas zanima kako postupiti u takvom slucaju pod uvjetom da ne traimo egzaktno rješenje x, već dovoljno dobru aproksimaciju ex. Stoga ima smisla konstruirati niz x (0) ; x (1) ; : : : ; x (k) ; : : : vektora iz R n sa sljedećim svojstvima: za svaki k 2 N 0 formula za racunanje x (k) je jednostavna; x (k) tei prema x = A 1 b za neki k (obicno je takav k << n). Kako tocno konstruirati takav niz ovisit će o konkretnom problemu kojeg rješavamo.

72 Uvod u numericku matematiku Jacobijeva metoda Jacobijeva metoda je jedna od najjednostavnijih klasicnih iterativnih metoda za rješavanje linearnih sustava. Ideju same metode ilustrirat ćemo na jednostavnom primjeru 2 2 sustava. Neka je dan sustav a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ; pri cemu je a 11 6= 0 i a 22 6= 0: Uocimo da rješenje x zadovoljava uvjete x 1 = 1 (b 1 a 11 a 12 x 2 ) x 2 = 1 (b 2 a 22 a 21 x 1 ) : Te nas relacije motiviraju da neku priblinu vrijednost rješenja x (0) = h i T x (0) 1 x (0) 2 korigiramo pomoću formula

73 Uvod u numericku matematiku 73 x (1) 1 = 1 a 11 b 1 a 12 x (0) x (1) 2 = 1 b 2 a 21 x (0) 1 a 22 Naravno, nadamo se da je x (1) bolja aproksimacija egzaktnog rješenja x nego x (0) : Postupak moemo nastaviti tako da pomoću x (1) izracunamo na isti nacin x (2) itd. Pitanje je pod kojim uvjetima tako dobivene iteracije tee prema rješenju x? 2 : Uocimo da vrijedi " # x (k+1) 1 x (k+1) 2 = 1=a11 0 b1 0 1=a 22 b a12 a 21 0 " x (k) 1 x (k) 2 #! :

74 Uvod u numericku matematiku 74 Dakle, ako stavimo A = D N; D = a11 0 ; N = 0 a 22 0 a12 ; a 21 0 moemo jednostavno pisati x (k+1) = D 1 b + Nx (k) = D 1 Nx (k) + D 1 b: Upravo ovom relacijom denirana je Jacobijeva iterativna metoda.

75 Uvod u numericku matematiku 75 PRIMJER. Neka je Lako se provjeri da je A = 2 0:1 ; b = 0:1 2 x = A 1 b = 10 : 1 19:9 : 3 Za pocetnu iteraciju uzmimo vektor 1=2 0 19:9 9: x (0) = D 1 b = = : 0 1=2 3 1:5 Naš izbor je rezultat jednostavne ideje da matricu A aproksimiramo matricom D jer su joj elementi na dijagonali veći od izvandijagonalnih. Ovo je gruba aproksimacija, no ima smisla.

76 Uvod u numericku matematiku 76 Iteriranjem dobijemo dok je relativna greška x (5) = 1: e ; 1: e e k = x x (k) 1 = kxk 1 jednaka e 5 = 1: e 007: Lako se vidi da je e (k+1) = x (k+1) x = D 1 N x (k) x = D 1 Ne (k) ; k 2 N 0 : Naravno, isto sey moe napraviti i za veće sustave pod analognim uvjetima na koecijente matrice A a ii 6= 0 : n i=1

77 Uvod u numericku matematiku 77 Iz relacije e (k+1) = D 1 Ne (k) ; k 2 N 0 ; lako se dobije e (k) = D 1 N k e (0) ; k 2 N; gdje je e (0) = x (0) dobivamo x. Uzimanjem proizvoljne vektorske i odgovarajuće matricne norme e (k) D 1 N k e (0) D 1 N k e (0) : Iz ove relacije zakljucujemo da će e (k) teiti k nuli kada k! 1 za svaki pocetni x (0) ako D 1 N k tei k nuli kada k! 1. Npr., ako je D 1 N < 1; onda D 1 N k tei k nuli kada k! 1. No ako D 1 N k ne tei k nuli kada k! 1 ne moemo izvesti zakljucak o konvergenciji. Iz ovih argumenata lako slijede dvije naredne propozicije.

78 Uvod u numericku matematiku 78 PROPOZICIJA. Ako je u rastavu A = D N u nekoj matricnoj normi ispunjeno D 1 N < 1; onda za svaku pocetnu iteraciju x (0) niz x (k+1) = D 1 b + Nx (k) ; k 2 N 0 ; konvergira rješenju x sustava Ax = b. PROPOZICIJA. Ako je matrica A dijagonalno dominantna u smislu da je nx ja ii j > ja ij j ; i = 1; : : : ; n; j=1; j6=i onda za svaku pocetnu iteraciju x (0) niz x (k+1) = D 1 b + Nx (k) ; k 2 N 0 ; konvergira rješenju x sustava Ax = b.

79 Uvod u numericku matematiku Gauss-Seidelova metoda Vidjeli smo da se u primjeru danom za Jacobijevu metodu x (1) 1 i x (1) 2 racunaju neovisno pomoću x (0) 1 i x (0) 2 : No imalo bi smisla u formuli za x(1) 2 koristiti upravo izracunatu vrijednost x (1) 1 jer je ona vjerojatno bolja od x (0) 1 : Općenito, Jacobijevu formulu za iteraciju modiciramo tako da prilikom racunanja svake komponente vektora x (k+1) koristimo najsvjeije izracunate vrijednosti. Npr. u slucaju n = 4 imali bismo x (k+1) 1 = 1 a 11 b 1 x (k+1) 2 = 1 a 22 b 2 x (k+1) 3 = 1 a 33 x (k+1) 4 = 1 44 b 3 b 4 a 12 x (k) 2 a 13 x (k) 3 a 14 x (k) 4 a 21 x (k+1) 1 a 23 x (k) 3 a 24 x (k) 4 a 31 x (k+1) 1 a 32 x (k+1) 2 a 34 x (k) 4 a 41 x (k+1) 1 a 42 x (k+1) 2 a 43 x (k+1) 3 :

80 Uvod u numericku matematiku 80 U općenitom slucaju imali bismo 0 x (k+1) i = 1 a ii i i 1 j=1 a ij x (k+1) j nx j=i+1 a ij x (k) A : j 1 No vratimo se primjeru n = 4: Stavimo li 2 3 a L = 6a 21 a a 31 a 32 a ; U = a 41 a 42 a 43 a 44 vrijedi A = L zapisati kao a 12 a 13 a a 23 a a U; pa uz uvjet regularnosti matrice L Gauss-Seidelovu metodu moemo a kao i u analizi Jacobijeve metode imamo x (k+1) = L 1 b + Ux (k) ; k 2 N 0 ; e (k) = L 1 U k e (0) ; k 2 N:

81 Uvod u numericku matematiku 81 PROPOZICIJA. Ako je matrica A pozitivno denitna, onda za svaku pocetnu iteraciju x (0) niz x (k+1) = L 1 b + Ux (k) ; k 2 N 0 ; konvergira rješenju x sustava Ax = b. Uocimo da su Jacobijeva i Gauss-Seidelova metoda vrlo slicne: matrica sustava A se zapiše u obliku A = M S; gdje je M regularna matrica, a iteracije su dane formulom x (k+1) = M 1 b + Sx (k) ; k 2 N 0 : Pri tom je matrica M odabrana tako da ju je lako invertirati (u slucaju M = D je dijagonalna, a u slucaju M = L je donjetrokutasta). Konvergencija prema rješenju je za proizvoljan odabir pocetne iteracije x (0) osigurana ako je M 1 S < 1 za neku matricnu normu kk : Vidjeli smo da će u slucaju Jacobijeve metode to sigurno biti ispunjeno ako je A dijagonalno dominantna, a u slucaju Gauss-Seidelove metode ako je A pozitivno denitna.

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Numeričke metode u ekonomiji Dr. sc. Josip Matejaš, EFZG

Numeričke metode u ekonomiji Dr. sc. Josip Matejaš, EFZG Numeričke metode u ekonomiji Dr. sc. Josip Matejaš, EFZG http://web.math.hr/~rogina/001096/num_anal.pdf Numerička analiza G R E Š K E Prvi uvodni primjer 50 50 1/ 5 33554 43 1.414 1356... 50 1.414 1356

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018.

Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica Marko Pejovi Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih brojeva SPECIJALISTIƒKI RAD Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Mario Berljafa, Sara Muhvić, Melkior Ornik Računanje Gaussovih integracijskih formula za sažimajuću bazu Zagreb, 2011. Ovaj rad izraden je na Zavodu

More information

Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi

Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi Sustavi nelinearnih jednadžbi 1 1 Newtonova metoda Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi Promatramo sustava nelinearnih jednadžbi f i x 1,x 2,...,x n )=0, i =1,...,n, 1) odnosno fx) =0, gdjejef : R

More information

Procjena funkcije gustoće

Procjena funkcije gustoće Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Jelena Milanović Procjena funkcije gustoće Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Jelena Milanović

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA

ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

Sveu ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati ki fakultet

Sveu ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati ki fakultet Sveu ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati ki fakultet Melkior Ornik, Ana u²njara Neki prilozi teoriji egzaktne rekonstrukcije poligona Zagreb, 2012 Ovaj rad izražen je na Zavodu za numeri ku matematiku

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.

More information

Pogled u povijest razvoja algoritama

Pogled u povijest razvoja algoritama Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Tea Fijačko Pogled u povijest razvoja algoritama Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Tea

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele. Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

SHEME DIGITALNOG POTPISA

SHEME DIGITALNOG POTPISA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jelena Hunjadi SHEME DIGITALNOG POTPISA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, 2016. Ovaj diplomski

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK BINARNI POLINOMI. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo. Zagreb, 2017.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK BINARNI POLINOMI. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo. Zagreb, 2017. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jure Šiljeg BINARNI POLINOMI Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb, 2017. Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information