Uvod u numericku matematiku

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Uvod u numericku matematiku"

Transcription

1 Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009.

2 Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju istraivat ćemo metode za rješavane kvadratnih sustava linearnih jednadbi, tj. sustava s n jednadbi i n nepoznanica, a 11 x 1 + a 12 x a 1j x j + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2j x j + + a 2n x n = b 2. a i1 x 1 + a i2 x a ij x j + + a in x n = b i. a n1 x 1 + a n2 x a nj x j + + a nn x n = b n :

3 Uvod u numericku matematiku 3 Matrica A = [a ij ] n i;j=1 2 Rnn je matrica sustava, a njeni elementi su koecijenti sustava. Vektor b = [b i ] n i=1 2 Rn je vektor desne strane sustava ili vektor slobodnih koecijenata. Treba odrediti vektor nepoznanica x = [x] n i=1 2 Rn tako da vrijedi Ax = b:

4 Uvod u numericku matematiku 4 Naravno, što se teorije tice, rješavanje ovakvog sustava je gotovo trivijalan problem, posebno ako je matrica sustava A regularna, u kojem slucaju je x = A 1 b: Pri tom postoje eksplicitne formule za elemente matrice A 1 ; kao i za samo rješenje x: Osim toga, svima poznata Gaussova metoda eliminacije daje rješenje u O n 3 elementranih operacija, pa imamo i algoritam koji racuna rješenje koristeći samo jednostavne aritmeticke operacije. U primijenjenoj matematici, posebno u numerickoj linearnoj algebri, situacija je puno sloenija. U numerickoj matematici riješiti neki problem danas znaci biti u stanju u konkretnoj situaciji s konkretnim podacima (koristeći racunalo) brzo doći do dovoljno tocne numericke aproksimacije rješenja. Npr., ako su matrica A i vektor b zapisani u nekim datotekama na disku, ili su dane neke procedure koje ih generiraju, onda je zadatak izracunati numericke vrijednosti komponenata vektora x: Današnja racunala su vrlo brza, no osnovna znacajka moderne numericke matematike su problemi sve većih dimenzija.

5 Uvod u numericku matematiku 5 Npr. ako je sustav velicine n = 10 5 ; onda Gaussova metoda trai broj operacija velicine ; pa brzinom rada od oko 10 9 operacija u sekundi (što je standard za jednoprocesorsko racunalo) do demo do vremena izvršavanja od 10 6 sekunda, što je više od 10 dana. Iz ovoga vidimo da problem koji je u matematickoj praksi posve jednostavan moe u stvarnoj praksi biti iznimno izazovan. Posebno treba uzeti u obzir i razne greške koje se generiraju prikazom realnih brojeva i izvo denjem racunskih operacija u racunalu.

6 Uvod u numericku matematiku 6 2 Kako u praksi nastaje sustav linearnih jednadbi U praksi se rješavanje raznih problema svodi na rješavanje sustava linearnih jednadbi. Pogledajmo ovaj primjer s kojim se cesto susrećemo. PRIMJER. Zadani su parovi tocaka (x i ; y i ) ; i = 0; 1; : : : ; n; gdje su y i = f (x i ) izmjerene vrijednosti funkcije f koju elimo aproksimirati polinomom p stupnja n: Pretpostavimo da su svi dani cvorovi x i razliciti. Kriterij za odabir polinoma je da u cvorovima ima iste vrijednosti kao funkcija f (tj. da vrijedi p (x i ) = f (x i ) = y i ), a upravo zato i govorimo o interpolacijskom polinomu. Ako p prikaemo u kanonskom obliku p (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = nx a j x j ; onda za naći polimom p treba odrediti koecijente a 0 ; a 1 ; : : : ; a n : j=0

7 Uvod u numericku matematiku 7 Dakle, treba riješiti sustav a 0 + a 1 x a j x j a nx n 0 = y 0 a 0 + a 1 x a j x j a nx 1 = y 1. a 0 + a 1 x i + + a j x j i + + a nx n i = y i. koji se matricno moe zapisati kao a 0 + a 1 x n + + a j x j n + + a n x n n = y n V a = y;

8 Uvod u numericku matematiku 8 pri cemu je V = 2 1 x 0 x 2 0 x n 1 1 x 1 x 2 1 x n x i x 2 i x n i x n x 2 n x n n 1 0 x n 0 1 x n 1. x n i. x n n 3 ; a = a 0 a 1. a i. a n 3 ; y = y 0 y 1. y i. y n 3 : 7 5 Matrica V zove se Vandermondeova matrica. Zahvaljujući njenom posebnom obliku moguće je odrediti a = V 1 y:

9 Uvod u numericku matematiku 9 3 Gaussove eliminacije i trokutaste faktorizacije Metoda Gaussovih eliminacija je svakako najstariji, najjednostavniji i najpoznatiji algoritam za rješavanje sustava linearnih jednadbi. Ideja je jednostavna: da bismo riješili npr. sustav 2x 1 x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 1 dovoljno je primijetiti da zbog prve jednadbe vrijedi x 1 = (1 + x 2 ) =2; pa je drugu jednadbu moguće pisati kao 1 2 (1 + x 2) + 2x 2 = 1; iz cega lako slijedi x 2 = 1 i x 1 = 1: Kaemo da smo nepoznanicu x 1 eliminirali iz druge jednadbe. Ovu ideju lako moemo proširiti i na opće n-dimenzionalne sustave, n > 1; tako da sustavno eliminiramo neke nepoznanice iz nekih jednadbi. Pokazuje se da takav algoritam ima zanimljivu strukturu i da ga se moe lako zapisati u terminima matrica. Kvalitativno novi moment nastaje kada kada se sam proces eliminacija interpretira kao faktorizacija matrice sustava A na umnoak trokutastih matrica.

10 Uvod u numericku matematiku Matri cni zapis metode eliminacija Pogledajmo jedan primjer. Pretpostavimo da elimo riješiti sustav jednadbi 5x 1 + x 2 + 4x 3 = 19 10x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 39 15x 1 + 5x 2 9x 3 = 32: Ocito je da ako elimo eliminirati npr. x 1 iz druge jednadbe, onda moramo prvu pomnoiti s 2 (uocimo da je 2 = 10=5 = a 21 =a 11 ) i pribrojiti drugoj. Ovo moemo matricno zapisati kao = ; odnosno L (2;1) A = A (1) :

11 Uvod u numericku matematiku 11 Analogno, nepoznanicu x 1 moemo eliminirati iz treće jednadbe ako prvu pomnoimo s 3 (uocimo da je 3 = 15=5 = a 21 =a 11 ) i pribrojimo trećoj. U matricnom zapisu je to dano s odnosno = L (3;1) A (1) = A (2) : Pri tom se mijenja i vektor s desne strane sustava = = b (1) = = b (2) : ;

12 Uvod u numericku matematiku 12 Uocimo da su matrice L (2;1) i L (3;1) donjetrokutaste. Nakon provedenih transformacija polazni sustav se svodi na ekvivalentni sustav (sustav s istim rješenjem) 5x 1 + x 2 + 4x 3 = 19 2x 2 x 3 = 1 8x 2 3x 3 = 25: Analogno, elimo li eliminirati x 2 iz treće jednadbe sustava, moramo drugu pomnoiti s 4 i pribrojiti trećoj. Matricno to zapisujemo kao = ; odnosno L (3;2) A (2) = A (3) :

13 Uvod u numericku matematiku 13 Napravimo li i zadnji korak mnoenja vektora desne strane sustava dobijemo = = b (3) ; pa nam ekvivalentni sustav u matricnom zapisu glasi x x 2 5 = : x 3 21 Odavde lako slijedi rješenje sustava x 3 = 21=7 = 3 x 2 = (1 + x 3 ) =2 = 2 x 1 = (19 x 2 4x 3 ) =5 = 1:

14 Uvod u numericku matematiku 14 No lako se provjerava da vrijedi pa je stoga zbog L (2;1) 1 L (3;1) 1 L (3;2) 1 = = L (3;2) L (3;1) L (2;1) A = A (3) = L; ispunjeno A = L (2;1) 1 L (3;1) 1 L (3;2) 1 A (3) = LA (3) :

15 Uvod u numericku matematiku 15 Dakle, matricu A smo prikazali kao umnoak jedne donjetrokutaste (L) i jedne gornjetrokutaste (A (3) ) matrice. U ovakvom kontekstu gornjetrokutastu matricu A (3) oznacavamo s U; pa pišemo A = LU: Upravo stoga govorimo o LU faktorizaciji. Uocimo da je racunaje inverza matrica L (i;j) jednostavno (samo promjenimo predznak netrivijalnim elementima u donjem trokutu), a cijeli umnoak se dobije stavljanjem tih elemenata na odgovarajuće pozicije u donjem trokutu matrice L: Vratimo li se na pocetni sustav imamo x = A 1 b = (LU) 1 b = U 1 L 1 b:

16 Uvod u numericku matematiku 16 U terminima matrica A i b sustav iz ovog primjera riješen je metodom koja se sastoji od tri glavna koraka: 1. Matricu A faktoriziramo u oblik A = LU: 2. Rješavanjem donjetrokutastog sustava Ly = b treba odrediti vektor y = L 1 b: 3. Rješavanjem gornjetrokutastog sustava Ux = y treba odrediti vektor x = U 1 y = U 1 L 1 b :

17 Uvod u numericku matematiku Rješavanje trokutastih sustava eliminacijama unaprijed i unazad Trokutasti sustavi jednadbi su najlakši za rješavanje. Pogledajmo jedan primjer dimenzije n = 4: Neka je Lx = 2 3 l l 21 l l 31 l 32 l l 41 l 42 l 43 l x 1 x 2 x 3 x = 6 4 b 1 b 2 b 3 b = b; te pretpostavimo da je matrica L regularna. Lako se provjeri da to znaci l ii 6= 0; i = 1; 2; 3; 4: U tom slucaju je x 1 = b 1 =l 11 x 2 = (b 2 l 21 x 1 ) =l 22 x 3 = (b 3 l 31 x 1 l 32 x 2 ) =l 33 x 4 = (b 4 l 41 x 1 l 42 x 2 l 43 x 3 ) =l 44 :

18 Uvod u numericku matematiku 18 ALGORITAM za rješavanje linearnog sustava jednadbi Lx = b s regularnom donjetrokutastom matricom L 2 R nn : x 1 = b 1 l 11 ; for i = 2; : : : ; n 8 < : x i = 1 l ii i i 1 19 X = l ij x j A ; : Prebrojimo li operacije u gornjem algoritmu vidimo da imamo n dijeljenja, n = n (n + 1) =2 mnoenja i isto toliko zbrajanja (i oduzimanja). Dakle, ukupna sloenost je O n 2 ; što je bolje od predvi dene za n-dimenzionalni sustav linearnih jednadbi. j=1

19 Uvod u numericku matematiku 19 ALGORITAM za rješavanje linearnog sustava jednadbi U x = b s regularnom gornjetrokutastom matricom U 2 R nn : x n = b n u nn ; for i = n 1; : : : ; 1 8 < : x i = 1 u ii i nx j=i+1 19 = u ij x j A ; : I u ovom slucaju je ukupna sloenost O n 2 ; što je bolje od predvi dene za n-dimenzionalni sustav linearnih jednadbi.

20 Uvod u numericku matematiku LU (LR) faktorizacija Sada nam ostaje prouciti kako izvesti na najbolji mogući nacin faktorizaciju matrice A 2 R nn na umnoak donjetrokutaste i gornjetrokutaste matrice. Problem elimo riješiti za proizvoljan n; no radi jednostavnosti ćemo razmotriti slucaj n = 5: Neka je 2 3 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 A = 6a 31 a 32 a 33 a 34 a a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 5 : a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 Sjetimo se da se eliminacija prve nepoznanice iz svih jednadbi osim prve manifestira poništavanjem svih elemenata matrice A u prvom stupcu osim onog na dijagonali. To moemo napraviti u jednom potezu deniranjem matrice L (1) na nacin kao u prethodnom primjeru, dakle

21 Uvod u numericku matematiku 21 Nakon mnoenja s A dobijemo L (1) = A (1) = L (1) A = a 21 =a a 31 =a a 41 =a : a 51 =a a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) 25 0 a (1) 32 a (1) 33 a (1) 34 a (1) 35 : a (1) 42 a (1) 43 a (1) 44 a (1) a (1) 52 a (1) 53 a (1) 54 a (1) 55 Primijetimo da je transformaciju A 7! A (1) moguće izvesti samo ako je a 11 6= 0:

22 Uvod u numericku matematiku 22 Lako se provjeri da je L (1) 1 = a 21 =a a 31 =a a 41 =a ; a 51 =a te da iz A = L (1) 1 A (1) slijedi a11 a a11 a 12 = a 21 a 22 a 21 =a a (1) : 22 Drugim rijecima, u prvom koraku dobili smo faktorizaciju vodeće 2 2 podmatrice od A: Uvjet za izvod ove faktorizacije bio je a 11 6= 0:

23 Uvod u numericku matematiku 23 Uocimo i da je a11 a det 12 a 21 a 22 Oznacimo sada 1 0 = det det a 21 =a 11 1 a11 a 2 = det 12 a 21 a 22 a11 a 12 0 a (1) 22 = a 11 a (1) 22 : = 1 a 11 a (1) 22 : Pretpostavimo li da je 2 6= 0; onda je i a (1) 22 6= 0; pa su dobro denirane matrice L (2) = 0 a (1) 32 6 =a(1) ; L (2) = 0 a (1) 40 a (1) =a(1) : 42 =a(1) a (1) 7 0 a (1) 42 =a(1) =a(1) a (1) 52 =a(1)

24 Uvod u numericku matematiku 24 Vrijedi i tako der A (2) = L (2) A (1) = L (2) L (1) A = A = = 2 3 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) a (2) 33 a (2) 34 a (2) 35 ; a (2) 43 a (2) 44 a (2) a (2) 53 a (2) 54 a (2) L (1) L (2) A (2) a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 =a a (1) a 31 =a 11 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) =a(1) a (2) 4a 41 =a 11 a (1) 33 a (2) 34 a (2) 35 : =a(1) a (2) a 51 =a 11 a (1) 43 a (2) 44 a (2) =a(1) a (2) 53 a (2) 54 a (2) 55

25 Uvod u numericku matematiku 25 Iz ovoga se vidi da vrijedi a 11 a 12 a a 11 a 12 a 13 4a 21 a 22 a 23 5 = 4a 21 =a a (1) a 31 a 32 a 33 a 31 =a 11 a (1) 22 a (1) ; 32 =a(1) a (2) 33 pa ako vrijedi a 11 6= 0 i 2 6= 0 dobijamo trokutastu faktorizaciju vodeće 33 podmatrice od A: Sada stavimo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 3 = det 4a 21 a 22 a = 1 det 4 0 a (1) 22 a (1) = a 11 a (1) a 31 a 32 a a (2) a(2) 33 : Ocito postupak sada moemo nastaviti ako je ispunjen uvjet 3 6= 0 (odnosno a (2) 33 6= 0).

26 Uvod u numericku matematiku 26 Nakon racunanja L (3) i L (4) dobijemo odnosno A (4) = L (4) A (3) = L (4) L (3) L (2) L (1) A = 2 3 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) a (2) 33 a (2) 34 a (2) 35 ; a (3) 44 a (3) a (4) 55 A = LU a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 =a a (1) = a 31 =a 11 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) =a(1) a (2) 4a 41 =a 11 a (1) 42 =a(1) 22 a (2) 33 a (2) 34 a (2) 35 : =a(2) a (3) a 51 =a 11 a (1) 52 =a(1) 22 a (2) 53 =a(2) 33 a (3) 44 a (3) =a(3) a (4) 55

27 Uvod u numericku matematiku 27 Pri tom je L = L (1) 1 L (2) 1 L (3) 1 L (4) 1 ; a izvedivost postupka koji je doveo do faktorizacije A = LU ovisila je o uvjetima a 11 6= 0; a (1) 22 6= 0; a(2) 33 6= 0; a(3) 44 6= 0: Tako der, uocili smo da su ti uvjeti osigurani ako su determinante glavnih podmatrica matrice A razlicite od nule. Kod nas je to znacilo uvjete 1 = a 11 6= 0; 2 6= 0; 3 6= 0; 4 6= 0: Brojeve a 11 ; a (1) 22 ; a(2) 33 ; a(3) 44 nazivamo pivotnim elementima ili pivotima, a brojeve 1; 2 ; 3 ; 4 nazivamo glavnim minorama matrice A:

28 Uvod u numericku matematiku Zaklju cak i algoritam Ako je prvih n 1 minora matrice A razlicito od nule, onda su i svi pivotni elementi razli citi od nule i Gaussove eliminacije daju LU faktorizaciju matrice A: h i ALGORITAM U = A (n 1) (n 1) = a ij : L = I; for k := 1 to n 1 begin for j := k + 1 to n begin (k 1) (k 1) l jk = a jk =a kk ; a (k) jk = 0; end

29 Uvod u numericku matematiku 29 for j := k + 1 to n begin for i := k + 1 to n begin a (k) (k 1) ij = a ij l ik a end end end (k 1) kj ;

30 Uvod u numericku matematiku 30 Na osnovu prethodnog lako se vidi da vrijedi sljedeći teorem. TEOREM. Neka je A 2 R nn i neka su determinante glavnih podmatrica A (1 : k; 1 : k) razlicite od nule za k = 1; 2; : : : ; n 1: Tada postoji donjetrokutasta matrica L s jedinicama na dijagonali i gornjetrokutasta matrica U tako da vrijedi A = LU: Ako faktorizacija A = LU postoji i ako je matrica A regularna, onda je ova faktorizacija jedinstvena. Tada je i det A = ny u ii : i=1

31 Uvod u numericku matematiku 31 DOKAZ. Dokaz egzistencije preskacemo jer je iz primjera jasno da se induktivno moe dokazati za svaki n 2: Dokaimo jedinstvenost pod navedenim uvjetima. Pretpostavimo da postoje dvije takve faktorizacije A = LU = L 0 U 0 : Ako je A regularna, onda su regularne i matrice L; U; L 0 ; U 0 ; pa vrijedi L 1 L 0 = U (U 0 ) 1 : U gornjoj jednakosti imamo jednakost donjetrokutaste i gornjetrokutaste matrice što znaci da su obje dijagonalne. Kako i L i L 0 na dijagonali imaju jedinice, to isto ima i L 1 L 0 ; pa je ocigledno to jest L = L 0 : Tada je i U = U 0 L 1 L 0 = I;

32 Uvod u numericku matematiku 32 NAPOMENA. Primijetimo sljedeće: ako je A regularna i ako ima LU faktorizaciju, onda su nuno regularne i sve glavne podmatrice A (1 : k; 1 : k) za k = 1; 2; : : : ; n 1: To, naime, slijedi iz cinjenice det A (1 : k; 1 : k) = ky u ii ; k = 1; 2; : : : ; n: i=1

33 Uvod u numericku matematiku LU faktorizacija s pivotiranjem U prethodnom smo vidjeli da mogućnost provo denja LU faktorizacije direktno ovisi o tome da li su determinante glavnih podmatrica razlicite od nule. Problem koji se inace javlja ilustriran je u narednom primjeru. PRIMJER. Neka je matrica A sustava Ax = b dana s 0 1 A = : 1 1 1; pa dani sustav ima rješenje, no ne i LU faktor- Ova matrica je regularna i det A = izaciju jer pretpostavka u11 u = 12 l u 22

34 Uvod u numericku matematiku 34 povlaći 1 u 11 = 0 1 u 12 = 1 l 21 u 11 = 1 l 21 u 12 + u 22 = 1: Ocito iz ovoga slijedi l 21 0 = 1; što je nemoguće.

35 Uvod u numericku matematiku 35 Lako se vidi da bi ovaj problem zamjenom prve i druge jednadbe sustava bio uklonjen, jer matrica A 0 = = ima jednostavnu LU faktorizaciju L = I; U = A 0 : Veza izme du A i A 0 dana je matricno s A 0 = = = P A: Matricu P nazivamo matricom permutacije ili jednostavno permutacijom. Njeno djelovanje na matricu A je permutiranje redaka.

36 Uvod u numericku matematiku 36 PRIMJER. Neka je matrica A sustava Ax = b dana s A = : Najveći element u prvom stupcu je na mjestu (3; 1) ; što znaci da prvi pivot maksimiziramo ako zamijenimo prvi i treći redak matrice A. Tu zamjenu realizira permutacija P (1) ; gdje je P (1) = ; P (1) A = :

37 Uvod u numericku matematiku 37 Sada deniramo pa je L (1) = A (1) = L (1) P (1) A = = = ; 1= =5 3= =5 19=5 15 : 0 19=5 4=5 3

38 Uvod u numericku matematiku 38 Naredni pivot je maksimiziran permutacijom P (2) gdje je P (2) = ; P (2) A (1) = 60 19=5 4= =5 19=5 15 : =5 3=5 6 Sljedeći korak eliminacije glasi L (2) = = ; A(2) = L (2) P (2) A (1) = 0 3= =5 4= =19 7= =19 105=

39 Uvod u numericku matematiku 39 Nastavimo li dalje s permutiranjem redaka dobijemo da je P (3) = I; pa je L (3) = ; A(3) = L (3) IA (2) = 60 19=5 4= =19 7=19 5 : 0 0 9= =1311 Sada primijetimo da je A (3) = L (3) IL (2) P (2) L (1) P (1) A; gdje je P (2) L (1) = = = = 6 4 2= = = P (2) = L e(1) P (2) : 2=

40 Uvod u numericku matematiku 40 Dakle, Ako stavimo P = P (2) P (1) ; onda vrijedi P A = = = U = A (3) = L (3) L (2) e L (1) P (2) P (1) A: = el (1) L (2) L (3) U = = = U: 1= = =69 1

41 Uvod u numericku matematiku 41 Dakle imamo, P A = = =5 4= =5 4= =19 7=19 5 : 1=5 3=19 9= =1311 Moemo zakljuciti sljedeće: Za proizvoljnu n n matricu A postoji permutacija P takva da Gaussove eliminacije daju LU faktorizaciju matrice P A: Pri tome je L donjetrokutasta matrica s jedinicama na dijagonali, a U je gornjetrokutasta matrica. Permutaciju P moemo odabrati tako da su svi elementi matrice L po apsolutnoj vrijednosti najviše jednaki jedinici.

42 Uvod u numericku matematiku 42 TEOREM. Neka je A 2 R nn proizvoljna matrica. Tada postoj permutacija P takva da Gaussove eliminacije daju LU faktorizaciju P A = LU matrice P A: Matrica L = [l ij ] je donjetrokutasta s jedinicama na dijagonali, a U = [u ij ] je gornjetrokutasta matrica. Pri tome, ako je P umnoak od p inverzija, vrijedi ny det A = ( 1) p u ii : Ako su matrice P (k) odabrane tako da vrijedi P (k) A (k 1) = max 1jn P (k) A (k 1) onda je max max 1kn 1i;jn kk L (k) ij i=1 jk = max jl ijj = 1: 1i;jn U tom slucaju faktorizaciju P A = LU nazivamo LU faktorizacijom s pivotiranjem redaka.

43 Uvod u numericku matematiku 43 4 Numeri cka svojstva Gaussovih eliminacija Do sada nismo razmatrali prakticne detalje realizacije izvedenih algoritama u racunalu uz što su vezani mnogi problemi, kao npr.: racunalo je ogranicen stroj s konacnim memorijskim prostorom, ne raspolaemo s cijelim skupom R već s konacno mnogo brojeva, realne brojeve u stvarnosti aproksimiramo racionalnim brojevima. U razmatranju doga danja u racunalu prakticno je razdvojiti LU faktorizaciju od rješavanja trokutastog sustava, pa ćemo tako i napraviti.

44 Uvod u numericku matematiku Vanost pivotiranja Prije nego što nastavimo naglasimo da je za spremanje elemenata matrice A u memoriji racunala potrebno izdvojiti n 2 memorijskih lokacija. No zbog posebnog oblika matrica L i U za njih obje zajedno je tako der potrebno n 2 memorijskih lokacija, dakle onoliko koliko i za samu matricu A: Ako paljivo promatramo proces racunanja LU faktorizacije uocavamo da ga moemo izvesti tako da matrica U ostane zapisana u gornjem trokutu matrice A; a strogo donji trokut matrice L u strogo donjem trokutu matrice A (jedinice na dijagonali nije potrebno pamtiti!). Sve matrice A (k) ; K = 1; : : : ; n 1 pohranjujemo na istom n n polju koje u pocetku sadri matricu A (0) = A: Zapis algoritma za faktorizaciju time postaje još jednostavniji.

45 Uvod u numericku matematiku 45 ALGORITAM for k = 1 to n 1 begin for j = k + 1 to n begin a jk = a jk =a kk ; end for j = k + 1 to n begin for i = k + 1 to n begin a ij = a ij a ik a kj ; end end end

46 Uvod u numericku matematiku 46 PRIMJER. Neka je mali parametar i neka je matrica A denirana s 1 A = : 1 1 U egzaktnom racunanju imamo 1 A = = = = = LU: Pretpostavimo da ovaj racun provodimo na racunalu u aritmetici s 8 decimalnih znamenki, tj. da je strojna preciznost " 10 8 : Neka je jj < "; recimo = : Vrijedi e l21 = = 1 = l 21 (1 + 1 ) ; j 1 j " eu 11 = u 11 eu 12 = u 12 eu 22 = 1 1 zaok: = 1 : Cini se da su sve nastale greške male, no pokušamo li egzaktno riješiti problem vidjet ćemo da nije sve kako treba.

47 Uvod u numericku matematiku 47 Imamo el e U = = = = A + A: Primijetimo da A ne moemo smatrati malom perturbacijom matrice A! Naime, jedan od najvećih elemenata matrice A; a 22 = 1; je promijenjen u nulu. Ako bismo koristeći ovakvu faktorizaciju nastavili traiti rješenje dobili bismo dok je egzaktno rješenje ex1 = ex 2 x1 x 2 = ; 1 : 1

48 Uvod u numericku matematiku 48 Vidimo da do potpuno krivog rješenja nije došlo zbog akumuliranja velikog broja grešaka zaokruivanja. Problem je u samo jednoj aritmetickoj operaciji (racunaje eu 22 ) koja je u stvari izvršena jako tocno i s vrlo malom greškom zaokruivanja. Odgovor lei u cinjenici da je pivot vrlo malen! Pogledajmo što bi se dogodilo da smo proveli pivotiranje. el = A 0 = P A = A 0 = = = LU = L; U e 1 1 = ; jj > ": 0 1

49 Uvod u numericku matematiku 49 Dakle, imamo el e U = = = A 0 + A 0 ; ja 0 j " ja 0 j i umnoak L e U e = 1 1 jj 1 + je po elementima istog reda velicine kao i ja 0 j (jmj poznacava matricu kojoj su elementi aposlutne vrijednosti elemenata matrice M). Dakle, pivotiranje redaka, koje osigurava da u matrici L svi elementi po apsolutnoj vrijednosti budu najviše jednaki jedinici, pridonosi numerickoj stabilnosti. Naime, tada su i svi elementi matrice L e manji ili jednaki jedan, pa velicina elemenata umnoška L e U e bitno ovisi o elementima matrice U e ; a ovi su, pak, dobiveni iz matrica A e(k) :

50 Uvod u numericku matematiku 50 TEOREM. Neka je LU faktorizacija n n matrice A izracunata s pivotiranjem redaka u aritmetici s preciznošću " i neka su matrice e L i e U dobivene aproksimacije matrica L i U: Ako je pri tome korištena permutacija P; onda je el e U = P (A + A) ; jaj 2n" 1 2n" P T e L e U : PROPOZICIJA. Ako LU faktorizaciju racunamo s pivotiranjem redaka u aritmetici s maksimalnom greškom zaokruivanja "; onda je gdje je A (k) = h a (k) ij i, a A e h (k) = = max i;j;k ea (k) ij max i;j;k a (k) ea (k) ij i ij 2 n 1 (1 + ") 2(n 1) ; strojno izracunata A (k) :

51 Uvod u numericku matematiku Analiza numeri ckog rješenja trokutastog sustava PROPOZICIJA. Neka je T donjetrokutasta (gornjetrokutasta) matrica reda n i neka je sustav T v = d riješen supstitucijama unaprijed (unazad). Ako je ev rješenje dobiveno primjenom aritmetike racunala s preciznošću "; onda postoji donjetrokutasta (gornjetrokutasta) matrica T takva da vrijedi (T + T ) ev = d; gdje je jt j jt j ; 0 n" 1 n" : Zakljucak ove propozicije je vrlo vaan: izracunato rješenje zadovoljava trokutasti sustav s matricom koecijenata koja se po elementima malo razlikuje od zadane. Npr. radimo li s preciznošću " = 10 8 i ako je n = 1000; onda izracunato rješenje ev zadovoljava jednadbu e T ev = d; gdje se elementi matrice e T i T poklapaju na barem 5 decimala (od osam mogućih).

52 Uvod u numericku matematiku To cnost izra cunatog rješenja sustava Sada ćemo ocijeniti koliko tocno moemo na racunalu riješiti linearni sustav Ax = b u kojem smo izracunali LU faktorizaciju P A = LU i supstitucijama naprijed i nazad izracunali rješenje x = U 1 L 1 (P b) : Kao što smo vidjeli u prethodnom, numericku analizu moemo provesti bez pivotiranja jer moemo pretpostaviti da smo permutaciju odmah primijenili na polazne podatke. Dakle, radi jednostavnosti formula pretpostavimo da su na matrice A i b već primijenjene zamjene redaka, tako da su formule jednostavno i A = LU x = U 1 L 1 b :

53 Uvod u numericku matematiku 53 Neka su e L i e U strojno izracunate matrice, pri cemu je el e U = A + A: Prema prethodnoj propoziciji za izracunato rješenje ey sustava Ly e = b vrijedi el + L e ey = b; L e n" L 1 n" e ; a na isti nacin za rješenje sustava Ux e = ey vrijedi eu + U e ex = ey; U e n" 1 n" U e : Dakle, to jest el + e L eu + e U ex = b; (A + A + E) ex = b; E = e L e U + e L e U + e L e U:

54 Uvod u numericku matematiku 54 Time smo dokazali sljedeći teorem. TEOREM. Neka je ex rješenje regularnog n n sustava Ax = b dobiveno Gaussovim eliminacijama s pivotiranjem redaka u aritmetici s preciznošću " takvom da je 2n" < 1: Tada postoji perturbacija A matrice A za koju vrijedi pri cemu je (A + A) ex = b; jaj 5n" 1 2n" P T e L e U :

55 Uvod u numericku matematiku 55 DOKAZ. Znamo da vrijedi A = A + P T E = A + P T e L e U + P T e L e U + P T e L e U; pa je jaj jaj + P T L e U e + P T L e U e + P T L e U e ; gdje je Dakle, imamo jaj jaj 2n" 1 2n" P T L e U e ; L e n" L 1 n" e ; U e n" U 1 n" e : " 2n" 1 2n" + 2n" 1 n" + # 2 n" P T L e e U : 1 n"

56 Uvod u numericku matematiku 56 Kako je 0 2n" 1 n" 2n" 1 2n" ; a zbog 0 < 2n" < 1 (iz cega je posebno 0 < n" < 1) je tako der 2 n" (n") 2 0 = 1 n" 1 2n" + n 2 " (n") n" n" 1 2n" : Odmah slijedi 2n" jaj 1 2n" + 2n" 1 2n" + n" P T L e e U 1 2n" = 5n" 1 2n" P T L e U e

57 Uvod u numericku matematiku 57 5 Faktorizacija Choleskog Kaemo da je simetricna n n matrica pozitivno denitna ako za sve x 2 R n razlicite od 0 vrijedi x T Ax > 0: Uzmemo li npr. da je x = e i (i-ti stupac jedinicne matrice reda n), onda je e T i Ae i = a ii > 0; što znaci da su dijagonalni elementi pozitivno denitne matrice nuno pozitivni. Nadalje, ako je S bilo koja regularna matrica i x 6= 0; onda je i y = Sx 6= 0 i vrijedi x T S T AS x = (Sx) T A (Sx) = y T Ay > 0; iz cega slijedi da je i S T AS pozitivno denitna matrica. No zašto je nama vaan pojam pozitivne denitnosti matrice? Pokazuje se da pozitivna denitnost matrice sustava osigurava egzistenciju LU faktorizacije bez pivotiranja. Pogledajmo kako.

58 Uvod u numericku matematiku 58 Ako pozitivno denitnu matricu A razdijelimo u blokmatrice tako da je a11 a T A = a ^A ; ^A 2 R (n 1)(n 1) ; a 2 R n 1 ; onda je a 11 > 0 i prvi korak eliminacija je 1 0 T a11 a T 1 a 11 a I n 1 a ^A = a11 a T 0 ^A 1 a 11 aa T Sada primijetimo da vrijedi i 1 0 T a11 a T a 11 a I n 1 a ^A a 11 a T 0 I n T a11 a T 1 0 T = = 1 a 11 a I n 1 a 0 T 0 ^A 1 a 11 aa T : a11 ^A 1 a 11 a I n 1 T :

59 Uvod u numericku matematiku 59 Vidimo da je novodobivena matrica oblika S T AS, pa je sigurno pozitivno denitna. Iz ovog se lako dobije i da je matrica ^A 1 a 11 aa T pozitivno denitna, dakle je i njen prvi element na glavnoj dijagonali pozitivan, što znaci da se potupak eliminacija moe nastaviti na isti nacin. Time je dokazana egzistencija faktorizacije matrice A u oblik R T R; gdje je matrica R gornjetrokutasta. Ovakvu faktorizaciju A = R T R nazivamo faktorizacijom Choleskog ili trokutastom faktorizacijom pozitivno denitne matrice. Elemente matrice R moemo izracunati jednostavnim nizom formula. Raspisivanjem faktorizacije po komponentama r r 11 r 12 r 1n r 12 r r 22 0 r 2n A = R T R = r n 1;n 1 r n 1;n 5 r 1n r 2n r n 1;n r nn r nn lako dobijemo a ij = ix r ki r kj ; i j: k=1

60 Uvod u numericku matematiku 60 Iz prethodnog direktno slijedi algoritam za racunanje faktorizacije Choleskog pozitivno denitne matrice A 2 R nn : ALGORITAM r 11 = p a 11 ; r 21 = a 12 =r 11 ; for i = 2 to n beginq P r ii = a i 1 ii k=1 r2 ki ; for j = i + 1 to n begin P r ij = a i 1 ij k=1 r kir kj =r ii end end

61 Uvod u numericku matematiku 61 Promotrimo li kvadratni sustav linearnih jednadbi u kojem je matrica sustava Ax = b pozitivno denitna i A = R T R njena trokutasta faktorizacija, onda rješenje sustava x = A 1 b = R T R 1 b = R 1 R T 1 b moemo dobiti y tako da prvo na demo rješenje y sustava R T y = b, a zatim još riješimo sustav Rx = y. Kako je R gornjetrokutasta matrica, cijeli postupak je vrlo jednostavan (pogledati u prethodnom kako se rješavaju trokutasti sustavi!). Naš sljedeći cilj je ispitati numericka svojstva takvog postupka ako se njegove operacije izvode na racunalu u aritmetici s preciznošću ": Podsjetimo se da treba izvesti sljedeće postupke: trokutastu faktorizaciju A = R T R; supstitucije unaprijed za rješavanje sustava R T y = b; supstitucije unazad za rješavanje sustava Rx = y.

62 Uvod u numericku matematiku 62 Ako je ex izracunata aproksimacija tocnog rješenja sustava Ax = b, što moemo reći o ex? Znamo da provodeći racun u racunalu u aritmetici s preciznošću " dobivamo priblini rastav perturbirane matrice A; tj. znamo da vrijedi er T e R = A + A: Dalje rješavamo dva trokutasta sustava e R T y = b i e Rx = y za koja ponovno dobivamo tek priblina rješenja ex i ey: Prema jednoj od prethodnih propozicija postoje gornjetrokutaste matrice 1 e R i 2 e R takve da vrijedi er + 1 e R T ey = b; er + 2 e R ex = ey; pri cemu je 1 e R R e ; 2 e R R e ; gdje je n" 1 n" :

63 Uvod u numericku matematiku 63 Iz ovoga dobijemo sljedeće er + 1 e R T ey = er + 1 e R T er + 2 e R ex = b; to jest e R T e R + e R T 2 e R + 1 e R T er + 1 e R T 2 e R ex = b: Oznacimo li E = e R T 2 e R + 1 e R T er + 1 e R T 2 e R; imamo pri cemu je er T e R + E ex = b; jej e R T e R :

64 Uvod u numericku matematiku 64 Dakle, moemo zakljuciti da dobiveno rješenje ex zadovoljava sustav er T e R + E ex = b; u kojem je E po elementima mala perturbacija pribline matrice sustava e A = e R T e R: Pri tom vrijedi sljedeća veza izme du izracunatog rješenja i polaznog sustava: (A + F ) ex = b; F = A + E: Matrice pogreške A i E ocijenjene su po elementima dovoljno malim ogradama, pa je dobivena matrica A + F "blizu" matrice A (da smo npr. nakon faktorizacije sustave rješavali egzaktno, imali bismo F = A). No ovi zakljucci nisu zadovoljavajući! Naime, tijekom ovog postupka izgubili smo simetricnost matrice sustava A jer matrica E; a time ni matrica F; općenito ne mora biti simetricna. Simetrija matrice A je najcešće posljedica strukture problema kojeg opisujemo linearnim sustavom Rx = b, pa nam je vano da je izracunato rješenje ex rješenje bliskog problema s istom strukturom.

65 Uvod u numericku matematiku 65 To nas vodi do sljedećeg problema: ako je (A + F ) ex = b, postoji li simetricna perturbacija A za koju postoje dovoljno dobre ocjene, a takva da je (A + A) ex = b? Naredni teorem daje potvrdan odgovor na to pitanje. TEOREM. Neka je (A + F ) ex = b, gdje je A pozitivno denitna matrica, te neka vrijedi max i;j jf ij j p aii a jj : Tada postoji simetricna perturbacija A takva da je (A + A) ex = b. Pri tome je max i6=j ja ij j p aii a jj ; max i ja ij j a ii (2n 1) : ZAKLJU CAK. Pozitivno denitne sustave moemo na racunalu riješiti s pogreškom koja je ekvivalentna malim promjenama koecijenata u matrici sustava, a da se pri tom ocuva struktura polaznog problema (simetrija).

66 Uvod u numericku matematiku 66 DOKAZ. (Skica) Primijetimo da perturbacija A mora zadovoljavati jednadbu Aex = F ex koja daje n uvjeta za n (n + 1) =2 stupnjeva slobode u A (zbog uvjeta simetricnosti). Stavimo i promotrimo skalirani sustav koji ćemo zapisati u obliku D = diag ( p a ii ) n i=1 D 1 (A + F ) D 1 Dex = D 1 b (A s + F s ) z = D 1 b; A s = D 1 AD 1 ; F s = D 1 F D 1 ; z = Dex: Neka je permutacija P takva da vektor ez = P T z zadovoljava jez 1 j jez 2 j jez n j (tj. permutacija P je takva da komponente vektora posloi u rastućem poretku). Uocimo i da vrijedi P P T = I: Gornji sustav zapišemo u ekvivalentnom obliku P T (A s + F s ) P P T z = P T (A s + F s ) P ez = P T D 1 b:

67 Uvod u numericku matematiku 67 Ponovno uvedemo kraće oznake pa sustav moemo zapisati u obliku A s;p = P T A s P; F s;p = P T F P; (A s;p + F s;p ) ez = P T D 1 b: Konstruirat ćemo simetricnu matricu M za koju vrijedi Deniramo m ij = M ez = F s;p ez: (Fs;p ) ij ; i < j (F s;p ) ji ; j < i ; dok dijagonalne elemente m ii ; i = 1; : : : ; n; odredimo tako da vrijedi m ii ez i + X i6=j m ij ez j = (F s;p ) ii ez i + X i6=j (F s;p ) ij ez j :

68 Uvod u numericku matematiku 68 Za ovako deniranu simetricnu matricu M pokazuje se da vrijedi ili ekvivalentno Pri tome je i max i (A s;p + M) ez = P T D 1 b; A s;p + P MP T z = D 1 b: max i6=j P MP T ij ; P MP T ii (2n 1) : Skaliranjem sustava (unatrag) dobijemo da za simetricnu perturbaciju A = D P MP T D vrijedi (A + A) ex = b

69 Uvod u numericku matematiku 69 6 Iterativne metode U prethodnom smo vidjeli da se rješenje linearnog sustava Ax = b općenito ne moe izracunati potpuno tocno: najcešće dobivamo rješenje ex koje zadovoljava sustav (A + A) ex = b blizak polaznom sustavu. Dakle, Gaussove eliminacije ne garantiraju idealnu tocnost. Osim toga, u praksi moramo biti svjesni da je racunalo ograniceno ne samo po pitanju numericke tocnosti, već i raspoloivim vremenom i memorijom. U primijenjenoj matematici najcešće se javljaju sustavi velikih dimenzija n > 10 5 kod kojih je proces Gaussovih eliminacija iz više razloga prakticki neprovediv. Npr. spremanje matrice sustava s n = 10 5 nepoznanica zahtijeva memorijskih lokacija, pa već i to moe predstavljati poteškoću. No vano je istaknuti da su matrice takvih sustava cesto rijetko popunjene (tj. velika većina elemenata im je jednaka nuli, a elementi koji nisu nula su obicno pravilno raspore deni).

70 Uvod u numericku matematiku 70 Rijetko popunjena matrica po blokovima moe izgledati npr. ovako (praznine su blokovi nula): : 7 5 Kada je matrica velika i gusto popunjena ono što preostaje jest ucitavanje djelova matrice iz vanjske u radnu memoriju.

71 Uvod u numericku matematiku 71 No ponekad je poznat nacin na koji se generiraju elementi matrice A; pa nas zanima kako postupiti u takvom slucaju pod uvjetom da ne traimo egzaktno rješenje x, već dovoljno dobru aproksimaciju ex. Stoga ima smisla konstruirati niz x (0) ; x (1) ; : : : ; x (k) ; : : : vektora iz R n sa sljedećim svojstvima: za svaki k 2 N 0 formula za racunanje x (k) je jednostavna; x (k) tei prema x = A 1 b za neki k (obicno je takav k << n). Kako tocno konstruirati takav niz ovisit će o konkretnom problemu kojeg rješavamo.

72 Uvod u numericku matematiku Jacobijeva metoda Jacobijeva metoda je jedna od najjednostavnijih klasicnih iterativnih metoda za rješavanje linearnih sustava. Ideju same metode ilustrirat ćemo na jednostavnom primjeru 2 2 sustava. Neka je dan sustav a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 ; pri cemu je a 11 6= 0 i a 22 6= 0: Uocimo da rješenje x zadovoljava uvjete x 1 = 1 (b 1 a 11 a 12 x 2 ) x 2 = 1 (b 2 a 22 a 21 x 1 ) : Te nas relacije motiviraju da neku priblinu vrijednost rješenja x (0) = h i T x (0) 1 x (0) 2 korigiramo pomoću formula

73 Uvod u numericku matematiku 73 x (1) 1 = 1 a 11 b 1 a 12 x (0) x (1) 2 = 1 b 2 a 21 x (0) 1 a 22 Naravno, nadamo se da je x (1) bolja aproksimacija egzaktnog rješenja x nego x (0) : Postupak moemo nastaviti tako da pomoću x (1) izracunamo na isti nacin x (2) itd. Pitanje je pod kojim uvjetima tako dobivene iteracije tee prema rješenju x? 2 : Uocimo da vrijedi " # x (k+1) 1 x (k+1) 2 = 1=a11 0 b1 0 1=a 22 b a12 a 21 0 " x (k) 1 x (k) 2 #! :

74 Uvod u numericku matematiku 74 Dakle, ako stavimo A = D N; D = a11 0 ; N = 0 a 22 0 a12 ; a 21 0 moemo jednostavno pisati x (k+1) = D 1 b + Nx (k) = D 1 Nx (k) + D 1 b: Upravo ovom relacijom denirana je Jacobijeva iterativna metoda.

75 Uvod u numericku matematiku 75 PRIMJER. Neka je Lako se provjeri da je A = 2 0:1 ; b = 0:1 2 x = A 1 b = 10 : 1 19:9 : 3 Za pocetnu iteraciju uzmimo vektor 1=2 0 19:9 9: x (0) = D 1 b = = : 0 1=2 3 1:5 Naš izbor je rezultat jednostavne ideje da matricu A aproksimiramo matricom D jer su joj elementi na dijagonali veći od izvandijagonalnih. Ovo je gruba aproksimacija, no ima smisla.

76 Uvod u numericku matematiku 76 Iteriranjem dobijemo dok je relativna greška x (5) = 1: e ; 1: e e k = x x (k) 1 = kxk 1 jednaka e 5 = 1: e 007: Lako se vidi da je e (k+1) = x (k+1) x = D 1 N x (k) x = D 1 Ne (k) ; k 2 N 0 : Naravno, isto sey moe napraviti i za veće sustave pod analognim uvjetima na koecijente matrice A a ii 6= 0 : n i=1

77 Uvod u numericku matematiku 77 Iz relacije e (k+1) = D 1 Ne (k) ; k 2 N 0 ; lako se dobije e (k) = D 1 N k e (0) ; k 2 N; gdje je e (0) = x (0) dobivamo x. Uzimanjem proizvoljne vektorske i odgovarajuće matricne norme e (k) D 1 N k e (0) D 1 N k e (0) : Iz ove relacije zakljucujemo da će e (k) teiti k nuli kada k! 1 za svaki pocetni x (0) ako D 1 N k tei k nuli kada k! 1. Npr., ako je D 1 N < 1; onda D 1 N k tei k nuli kada k! 1. No ako D 1 N k ne tei k nuli kada k! 1 ne moemo izvesti zakljucak o konvergenciji. Iz ovih argumenata lako slijede dvije naredne propozicije.

78 Uvod u numericku matematiku 78 PROPOZICIJA. Ako je u rastavu A = D N u nekoj matricnoj normi ispunjeno D 1 N < 1; onda za svaku pocetnu iteraciju x (0) niz x (k+1) = D 1 b + Nx (k) ; k 2 N 0 ; konvergira rješenju x sustava Ax = b. PROPOZICIJA. Ako je matrica A dijagonalno dominantna u smislu da je nx ja ii j > ja ij j ; i = 1; : : : ; n; j=1; j6=i onda za svaku pocetnu iteraciju x (0) niz x (k+1) = D 1 b + Nx (k) ; k 2 N 0 ; konvergira rješenju x sustava Ax = b.

79 Uvod u numericku matematiku Gauss-Seidelova metoda Vidjeli smo da se u primjeru danom za Jacobijevu metodu x (1) 1 i x (1) 2 racunaju neovisno pomoću x (0) 1 i x (0) 2 : No imalo bi smisla u formuli za x(1) 2 koristiti upravo izracunatu vrijednost x (1) 1 jer je ona vjerojatno bolja od x (0) 1 : Općenito, Jacobijevu formulu za iteraciju modiciramo tako da prilikom racunanja svake komponente vektora x (k+1) koristimo najsvjeije izracunate vrijednosti. Npr. u slucaju n = 4 imali bismo x (k+1) 1 = 1 a 11 b 1 x (k+1) 2 = 1 a 22 b 2 x (k+1) 3 = 1 a 33 x (k+1) 4 = 1 44 b 3 b 4 a 12 x (k) 2 a 13 x (k) 3 a 14 x (k) 4 a 21 x (k+1) 1 a 23 x (k) 3 a 24 x (k) 4 a 31 x (k+1) 1 a 32 x (k+1) 2 a 34 x (k) 4 a 41 x (k+1) 1 a 42 x (k+1) 2 a 43 x (k+1) 3 :

80 Uvod u numericku matematiku 80 U općenitom slucaju imali bismo 0 x (k+1) i = 1 a ii i i 1 j=1 a ij x (k+1) j nx j=i+1 a ij x (k) A : j 1 No vratimo se primjeru n = 4: Stavimo li 2 3 a L = 6a 21 a a 31 a 32 a ; U = a 41 a 42 a 43 a 44 vrijedi A = L zapisati kao a 12 a 13 a a 23 a a U; pa uz uvjet regularnosti matrice L Gauss-Seidelovu metodu moemo a kao i u analizi Jacobijeve metode imamo x (k+1) = L 1 b + Ux (k) ; k 2 N 0 ; e (k) = L 1 U k e (0) ; k 2 N:

81 Uvod u numericku matematiku 81 PROPOZICIJA. Ako je matrica A pozitivno denitna, onda za svaku pocetnu iteraciju x (0) niz x (k+1) = L 1 b + Ux (k) ; k 2 N 0 ; konvergira rješenju x sustava Ax = b. Uocimo da su Jacobijeva i Gauss-Seidelova metoda vrlo slicne: matrica sustava A se zapiše u obliku A = M S; gdje je M regularna matrica, a iteracije su dane formulom x (k+1) = M 1 b + Sx (k) ; k 2 N 0 : Pri tom je matrica M odabrana tako da ju je lako invertirati (u slucaju M = D je dijagonalna, a u slucaju M = L je donjetrokutasta). Konvergencija prema rješenju je za proizvoljan odabir pocetne iteracije x (0) osigurana ako je M 1 S < 1 za neku matricnu normu kk : Vidjeli smo da će u slucaju Jacobijeve metode to sigurno biti ispunjeno ako je A dijagonalno dominantna, a u slucaju Gauss-Seidelove metode ako je A pozitivno denitna.

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Numeričke metode u ekonomiji Dr. sc. Josip Matejaš, EFZG

Numeričke metode u ekonomiji Dr. sc. Josip Matejaš, EFZG Numeričke metode u ekonomiji Dr. sc. Josip Matejaš, EFZG http://web.math.hr/~rogina/001096/num_anal.pdf Numerička analiza G R E Š K E Prvi uvodni primjer 50 50 1/ 5 33554 43 1.414 1356... 50 1.414 1356

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA 0-1 PROGRAMIRANJE

PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA 0-1 PROGRAMIRANJE Tihomir^Hunjak U D K : $, Fakultet organizacije i informatike Stručni rad V a r a ž d i n PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA - 1 PROGRAMIRANE U uvodnom dijelu rada govori e o cjelobrojnom i nula-jedan pro gramiranju.

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Pojam funkcije u nastavi matematike... Uvod Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Mirjana Marjanović Matić 1 Matematika se u školi predaje od davnina pa vjerujemo kako bi se svi složili da

More information

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1 Sveučilišni studijski centar za stručne studije Zavod za matematiku i fiziku Uvod u Matlab Verzija 1.1 Karmen Rivier, Arijana Burazin Mišura 1.11.2008 Uvod Matlab je interaktivni sistem namijenjen izvođenju

More information

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja optimizacija Tihana Strmečki, Ivana Božić i Bojan Kovačić Tehničko veleučilište u Zagrebu,

More information

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Problem četiri boje. Four colors problem

Problem četiri boje. Four colors problem Osječki matematički list 10(2010), 21 29 21 Problem četiri boje Iva Gregurić, Antoaneta Klobučar Sažetak. U ovom članku pokušat ćemo približiti učenicima srednjih škola jedan od zanimljivijih problema

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 61 (4) 815-819 (1988) CCA-1828 YU ISSN 0011-1643 UDC 541.571.9 Original Scientific Paper The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems Slawomir J. Grabowski Institute

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

CHAPTER 6. Direct Methods for Solving Linear Systems

CHAPTER 6. Direct Methods for Solving Linear Systems CHAPTER 6 Direct Methods for Solving Linear Systems. Introduction A direct method for approximating the solution of a system of n linear equations in n unknowns is one that gives the exact solution to

More information

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

PROŠIRENA METODA GUSTOĆA SILA

PROŠIRENA METODA GUSTOĆA SILA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Građevinski fakultet Završni rad PROŠIRENA METODA GUSTOĆA SILA Romana Vrančić Mentor: prof. dr. sc. Krešimir Fresl, dipl. ing. građ. Zagreb, 2013. Sadržaj SADRŽAJ 1. UVOD... 1 2.

More information

Computational Linear Algebra

Computational Linear Algebra Computational Linear Algebra PD Dr. rer. nat. habil. Ralf Peter Mundani Computation in Engineering / BGU Scientific Computing in Computer Science / INF Winter Term 2017/18 Part 2: Direct Methods PD Dr.

More information

Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python

Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Vladimir Milić Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb, 19. siječnja 2017. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb,

More information

1 Multiply Eq. E i by λ 0: (λe i ) (E i ) 2 Multiply Eq. E j by λ and add to Eq. E i : (E i + λe j ) (E i )

1 Multiply Eq. E i by λ 0: (λe i ) (E i ) 2 Multiply Eq. E j by λ and add to Eq. E i : (E i + λe j ) (E i ) Direct Methods for Linear Systems Chapter Direct Methods for Solving Linear Systems Per-Olof Persson persson@berkeleyedu Department of Mathematics University of California, Berkeley Math 18A Numerical

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

1.1 Algoritmi. 2 Uvod

1.1 Algoritmi. 2 Uvod GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.

More information

VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE

VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Almeida Hasić VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE Diplomski rad Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI

More information

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/141872

More information

Diskretna Fourierova transformacija

Diskretna Fourierova transformacija Elektrotehnički fakultet Sveučilište u Osijeku Kneza Trpimira 2b Osijek, 14 siječnja 2008 Seminarski rad iz predmeta Matematičko programiranje Diskretna Fourierova transformacija Željko Mihaljčić 1, Držislav

More information

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created

More information

Numeričke, simboličke i heurističke metode

Numeričke, simboličke i heurističke metode UDK 624.041:518.5 Primljeno 16. 6. 2003. Numeričke, simboličke i heurističke metode Josip Dvornik Ključne riječi računalo, numeričke metode, simboličke metode, heurističke metode, metode "umjetne inteligencije"

More information

SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Ivana Horvat. Zagreb, 2013.

SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Ivana Horvat. Zagreb, 2013. SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Ivana Horvat Zagreb, 2013. SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentor: Prof. dr. sc. Bojan Jerbić,

More information

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.

More information

BERNSTEINOV ALGORITAM ZA VERTIKALNU 3NF NORMALIZACIJU SINTEZOM

BERNSTEINOV ALGORITAM ZA VERTIKALNU 3NF NORMALIZACIJU SINTEZOM Matija Varga, mag. inf. univ. spec. oec. Srednja škola Sesvete Učiteljski fakultet Zagreb (vanjski suradnik) maavarga@gmail.com UDK 004.65 Pregledni članak BERNSTEINOV ALGORITAM ZA VERTIKALNU 3NF NORMALIZACIJU

More information

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević FACTA UNIVERSITATIS Series: Economics and Organization Vol. 2, N o 1, 2003, pp. 59-64 HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC 519.233.4 Vera Djordjević, Vinko Lepojević

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATItICI FAKULTET Radoi V. Bakit PRIMENA ARITMETI(KE FUNKCIJE W U TEORIJI GRUPA Magistarski rad Mentor: Prof. Dr. iarko Mijajlovie Matematidki fakultet Beograd elanovi komisije:

More information

Diferencijska evolucija

Diferencijska evolucija SVEUČILIŠTE U ZAREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA PROJEKT Diferencijska evolucija Zoran Dodlek, 0036429614 Voditelj: doc. dr. sc. Marin olub Zagreb, prosinac, 2008. Sadržaj 1. Uvod...1 1.1 Primjene

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

Linear Equations and Matrix

Linear Equations and Matrix 1/60 Chia-Ping Chen Professor Department of Computer Science and Engineering National Sun Yat-sen University Linear Algebra Gaussian Elimination 2/60 Alpha Go Linear algebra begins with a system of linear

More information

NON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION

NON-SPECIFIC METHODS FOR DETECTING RESIDUES OF CLEANING AGENTS DURING CLEANING VALIDATION Available on line at Association of the Chemical Engineers AChE www.ache.org.rs/ciceq Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly 17 (1) 39 44 (2011) CI&CEQ DRAGAN M. MILENOVIĆ 1 DRAGAN S. PEŠIĆ

More information

THEORIA 3 UDK 1 TRI PARADOKSA

THEORIA 3 UDK 1 TRI PARADOKSA THEORIA 3 UDK 1 BIBLID 0351 2274 : (2009) : 52 : p. 5-16 Originalni naučni rad Original Scientific Paper Vladan Đorđević TRI PARADOKSA APSTRAKT: Mada na prvi pogled izgleda da tri paradoksa kojima ću se

More information

L A T E X 1. predavanje

L A T E X 1. predavanje L A T E X 1. predavanje Ivica Nakić PMF-MO Računarski praktikum 3 nakic@math.hr LAT E X- predavanje 1 - p. 1 Što je LAT E X? Mali primjer PDF dokument Zašto LAT E X? LAT E X- predavanje 1 - p. 2 Što je

More information

ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI

ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 569 ANALIZA I IMPLEMENTACIJA ALGORITMA ZA SMANJENJE DIMENZIONALNOSTI DEKOMPOZICIJOM NA SINGULARNE VRIJEDNOSTI Zagreb, studeni

More information

DETEKCIJA SUDARA ČVRSTIH TIJELA

DETEKCIJA SUDARA ČVRSTIH TIJELA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD 1853. DETEKCIJA SUDARA ČVRSTIH TIJELA Tomislav Ostroški Zagreb, srpanj 2010. Sadržaj Uvod 4 1 Dinamika čvrstog tijela 5 1.1 Linearno

More information

DODACI 1 i 2 OPISNOM IZVJEŠTAJU ZA PRVU GODINU PROJEKTA 9.01/232 "ANALIZA NELINEARNIH KOMPONENATA S PRIMJENAMA U KEMOMETRIJI I PATOLOGIJI"

DODACI 1 i 2 OPISNOM IZVJEŠTAJU ZA PRVU GODINU PROJEKTA 9.01/232 ANALIZA NELINEARNIH KOMPONENATA S PRIMJENAMA U KEMOMETRIJI I PATOLOGIJI DODACI 1 i 2 OPISNOM IZVJEŠTAJU ZA PRVU GODINU PROJEKTA 9.01/232 "ANALIZA NELINEARNIH KOMPONENATA S PRIMJENAMA U KEMOMETRIJI I PATOLOGIJI" Dr. sc. Ivica Kopriva Dr. sc. Marko Filipović 20. 11. 2013. SADRŽAJ

More information

ITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC (045)=20

ITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC (045)=20 FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 7, 005, pp. 79-85 ITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC 57.58.8+57.58(045)=0 I. V. Andrianov, J. Awrejcewicz, G.

More information

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-1 Prilog B SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-2 B.1 Sintaksna notacija sa zagradama U osnovi svake sintaksne notacije nalaze se slede}i elementi: sintaksni pojam: leksi~ka konstrukcija koja se defini{e;

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

MATRIČNI PRISTUP METODI SILA

MATRIČNI PRISTUP METODI SILA SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.09.2014 Anita Mutabdžić ZNANSTVENO PODRUČJE : ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: TEHNIČKE ZNANOSTI DRUGE TEMELJNE

More information

Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal

Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal ISSN 0005 1144 ATKAAF 48(3 4), 129 135 (2007) Martin Jadrić, Marin Despalatović, Božo Terzić, Josip Macan Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density

More information

Rayleigh-Bénard convection with magnetic field

Rayleigh-Bénard convection with magnetic field Theoret. Appl. Mech., Vol. 30, No. 1, pp. 29-40, Belgrade 2003 Rayleigh-Bénard convection with magnetic field Jürgen Zierep Abstract We discuss the solution of the small perturbation equations for a horizontal

More information

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nikola Dukanović Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine -master rad- Novi Sad, 2014. Sadržaj

More information

A new optimization formulation for determining the optimum reach setting of distance relay zones by probabilistic modeling of uncertainties

A new optimization formulation for determining the optimum reach setting of distance relay zones by probabilistic modeling of uncertainties Online ISSN 1848-3380, Print ISSN 0005-1144 ATKAFF 57(4), 871 880(2016) Mohammad Shabani, Abbas Saberi Noghabi, Mohsen Farshad A new optimization formulation for determining the optimum reach setting of

More information

Veleučilište u Rijeci. Dodjela procesora (eng. CPU scheduling)

Veleučilište u Rijeci. Dodjela procesora (eng. CPU scheduling) Veleučilište u Rijeci Dodjela procesora (eng. CPU scheduling) Pojmovi Program Statični niz instrukcija Proces Program u izvođenju Dretva (thread) Niz instrukcija koje se izvode Po potrebi dretve dijelimo

More information

PREDAVANJA. Igor Vujović. Split, 2016.

PREDAVANJA. Igor Vujović. Split, 2016. SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU TEHNIČKI PROGRAMSKI PAKETI PREDAVANJA Igor Vujović Split, 2016. PREDGOVOR Danas se smatra da tehnički obrazovana osoba mora imati određena znanja iz programiranja

More information

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS

RESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS Nenad, VARDA, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, I. Lučića 5, 10000 Zagreb Nastia, DEGIULI, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval

More information

PORAVNANJE VIŠE NIZOVA. Neven Grubelić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

PORAVNANJE VIŠE NIZOVA. Neven Grubelić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Grubelić PORAVNANJE VIŠE NIZOVA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Saša Singer Zagreb, studeni, 2015. Ovaj

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

The Prediction of. Key words: LD converter, slopping, acoustic pressure, Fourier transformation, prediction, evaluation

The Prediction of. Key words: LD converter, slopping, acoustic pressure, Fourier transformation, prediction, evaluation K. Kostúr, J. et Futó al.: The Prediction of Metal Slopping in LD Coerter on Base an Acoustic ISSN 0543-5846... METABK 45 (2) 97-101 (2006) UDC - UDK 669.184.224.66:534.6=111 The Prediction of Metal Slopping

More information

Uvod u algoritamske tehnike

Uvod u algoritamske tehnike Uvod u algoritamske tehnike Tema i nacrt predavanja: Razmatraćemo različite pristupe u rešavanju programerskih problema. Fokusiraćemo se na tehnike za konstrukciju algoritama, na osobine, primenljivost

More information

GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING.

GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING. GENERALIZIRANI LINEARNI MODELI. PROPENSITY SCORE MATCHING. STATISTIƒKI PRAKTIKUM 2 11. VJEšBE GLM ine ²iroku klasu linearnih modela koja obuhva a modele s specijalnim strukturama gre²aka kategorijskim

More information

Strojno učenje 3 (I dio) Evaluacija modela. Tomislav Šmuc

Strojno učenje 3 (I dio) Evaluacija modela. Tomislav Šmuc Strojno učenje 3 (I dio) Evaluacija modela Tomislav Šmuc Pregled i. Greške (stvarna; T - na osnovu uzorka primjera) ii. Resampling metode procjene greške iii. Usporedba modela ili algoritama (na istim

More information

Nova robusna metoda za QSAR analizu temeljena na multivarijatnoj regresiji i normi L 1

Nova robusna metoda za QSAR analizu temeljena na multivarijatnoj regresiji i normi L 1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet Elektrotehnike i Računarstva Ivan Sović, Matija Piškorec, Igor Čanadi Nova robusna metoda za QSAR analizu temeljena na multivarijatnoj regresiji i normi L 1 3. svibnja 2010.

More information

RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE

RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING Mario Jeleč Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, mag.ing.aedif. Corresponding author: mjelec@gfos.hr Damir

More information

Temeljni koncepti u mehanici

Temeljni koncepti u mehanici Temeljni koncepti u mehanici Prof. dr. sc. Mile Dželalija Sveučilište u Splitu, Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i kineziologije Teslina 1, HR-1000 Split, e-mail: mile@pmfst.hr Uvodno Riječ

More information

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition of Linear Transformations Jiwen He Department of Mathematics, University of Houston jiwenhe@math.uh.edu math.uh.edu/ jiwenhe/math4377

More information