TEORIJA SKUPOVA Zadaci

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "TEORIJA SKUPOVA Zadaci"

Transcription

1 TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b = 3. Slijedi li iz toga da je b= S? 3. Neka je S { r, s, t} zašto: r S b) r S ) { r} S S d) { r} =. Odredite jesu li sljedeće tvdnje istinite i objasnite 4. Koji su od sljedećih skupova jednaki? { rts,,},{ strs,,,},{ tstr,,,},{ srst,,,}

2 2 LOGIKA 1 5. Koji su od sljedećih skupova različiti? { } { }, 0, 6. Ako je skup S podskup praznog skupa, dokažite da je onda skup S jednak praznom skupu. 7. Je li skup S = { 2,3, 4,5} podskup skupa P { x; x je paranbroj} 8. Odredite kardinalnost skupa {{ 2,3 }}. 9. Neka je skup S = { 2, { 4,5 },4} istinite i zašto: ( { 4,5} S (b) { 5} S () { } { } (d) 5 S 4,5 S (e) { 5} S (f) { 5} S =? Zašto?. Odredite koje su od sljedećih tvrdnji 10. Neka je S = { 0,1,2}. Odredite podskupove skupa S. { } 11. Neka je 0, { 1,2} S =. Odredite podskupove skupa S. 12. Odredite uniju i presjek skupova S i P ako je S = 1,2,3,4, P= 2,4,6,8. { } { } 13. Neka su zadani skupovi A= { } = { } C = { } Odredite: ( A (b) A C 1,2,3,4, 2,4,6,8, 3,4,5,6.

3 TEORIJA SKUPOVA 3 ( ) C (d) (e) ( A ) C (f) A ( C) 14. Za skupove iz prethodnog zadatke odredite: ( A (b) C A ( ) C (d) 15. Pokažite da je ( A ) =. 16. Ako je univerzalni skup U = { 1,2,3,...,8,9 }, a zadani su skupovi A= { 1,2,3,4 }, = { 2,4,6,8 }, C = { 3,4,5,6 }, odredite: A ( A C) ( A ) ( A ) ( C) 17. Pokažite da je skup A podskup skupa A. 18. Pokažite da vrijedi: A = A. 19. Neka je univerzalni skup U { abde,,,,, f, g} skupovi: A { abde} { aeg} C { be f g} ( C = i neka su zadani =,,,,, =,,,, =,,,. Odredite:

4 4 LOGIKA 1 (b) A ( ) ( A C) (d) ( A ) (e) (f) C C A (g) ( A A ) 20.Neka je {{ 1, 0,1 },{{} 1,1,2 { }} } (1) {} { } A =, {{ 2,1,2 }, {{ 0,2} }} (2) A = {}{ } i neka je = x A X, C = x AX. Za slučajeve (1) i (2) odredite: ( (b) C () x X (d) x C X (e) x X (f) x CX 21. Za skupove iz prethodnog zadatka (posebno za (1) i (2)) odredite: ( A (b) C A ( ) C (d)

5 TEORIJA SKUPOVA Skupovi A i zadovoljavaju uvjete: A = { 1, 2,3,...,8,9 } A = { 4,6,9} A { 3,4,5} = { 1,3,4,5,6,8,9} { 2, 4,8} = { 2, 4,5, 6, 7,8,9} Odredite skupove A i. 23. Skupovi A i zadovoljavaju ove uvjete: A = { 1,2,3,4,5} A = { 3, 4,5} 1 A\ 2 \ A. Odredite skupove A i. 24. Odredite skupove A i ako oni zadovoljavaju sljedeće uvjete: A = { 1,2,3,4,5,6} A = { 1, 2,3, 4} { 4,6} A { 5,6 } \ A. 25. Dokažite da vrijede jednakosti: b) ( A\ )\ C = ( A\ C)\ A = A ( A ) ) ( A\ ) ( \ A) = ( A ) \ ( A )

6 6 LOGIKA Uvjerite se da vrijede ekvivalenije: A akoi samo ako ( A \ = ) b) ( A = A) akoisamoako( A = ) ) ( A = ) akoi samo ako ( A = ) 27. Zadani su skupovi A = { 1,3,5, 7} i{ 1,7,8 }. Ispišite sve elemente od ( A) b) ( ) ) ( A ) d) ( A ) 28. Dokažite da vrijedi: ( A\ ) ( A ) 29. Dokažite da vrijedi: ako je A, onda je ( A) A =. b) ako je A, onda A = A ) ako A, onda A = A ( A ) 30. Odredite: b) U A ) ' A A d) A e) U 31. Odredite jesu li sljedeće izjave istinite i pojasnite zašto: (b) x {{x}, }

7 TEORIJA SKUPOVA 7 () {x} {{x}, } (d) {x} {{x}, } (e) {{x}, } = {{x}} (f) {x} {{x}, x } (g) {{x}, } {x} 32. Što možemo reći o skupovima A i, ako za njih vrijedi: ( A A (b) A C () A C (d) A (e) A = A 33. Neka vrijedi sljedeće: A C, D, C D = i A = U. Pokažite da u tom slučaju vrijedi da je A = C i = D. 34. U kakvom su odnosu skupovi A,, C, ako vrijedi sljedeće: A C i A C i C A? 35. Odredite skupove. ( { a, {a}, {a, {a}} } (b) 36. Dokažite: A (A) () 37. Dokažite: ( (A) () (A ) (b) A () = (A )

8 8 LOGIKA Ima li među skupovima jednakih:, { }, {0}? Vrijedi li relaija «biti podskup» ili «biti element» među nekima od tih skupova? 39. Neka su zadani skupovi: A = {1, 2}, = { {1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}. Jesu li sljedeće izjave istinite: A, A? Odredite A, A, A, A. 40. Simetrična razlika (ili diferenij između skupova A i (oznaka: A ) definira se na sljedeći način: A = (A\) (\A). Dokažite da vrijedi: A A =. 41. Dokažite da za proizvoljne skupove A i vrijedi: A = akoi samo ako A =. 42. Neka su A,, i C proizvoljni skupovi. Dokažite sljedeće tvrdnje: (1) A = A \ (A\) (2) Ako je A = C i C =, onda je A\ = C. (3) A\ ( C) = (A\) (A\C) (4) A\(A\) = A (5) ( C)\A = (\A) (C\A) (6) A\ = A (7) A\ = A (A ) (8) (A\) = (9) A A = (10) A A = A (11) (A )\C = A (\C) (12) A (\C) = (A )\(A C) (13) A (\C) = (A )\C

9 TEORIJA SKUPOVA 9 (14) (A )\C = (A\C) (A\) (15) A\ ( C) = (A\)\C 43. Ako je A = {1, 2, 3} i = {2, 3, 7}, odredite A. 44. Odredite (A), ako je A = {3, {1, 4}}. 45. Neka su A,, i C proizvoljni skupovi. Dokažite sljedeće tvrdnje: A ( A ) = A ( A ) b) A = ( A Β) (Α Β) 46. Neka su A,, i C proizvoljni skupovi. Dokažite da vrijedi: b) A\( \ C) = ( A\ ) ( A C) A\( \ C) = ( A\ C)\( \ C) ) A ( C) = ( A ) (Α C) d) Akovrijedi da je A \ = C, onda je A = C e) A = A ako i samo ako A = 47. Odredite čemu su jednaki sljedeći skupovi: { } b) { } { } ),{ } \ { } {, } \{ } {, } \{{ }} d) { } e) { } 48. Neka su A i proizvoljni skupovi. Pokažite u (, (b) i () primjeru sljedeće: ukoliko jedna od relaija vrijedi, onda vrijede i sve ostale.

10 10 LOGIKA 1 ( A, A, A =, A = A (b) A =, A, A () A = U, A, A 49. Navedite primjer skupova A,, C, D, i E tako da istovremeno vrijede sljedeći uvjeti: A, C, C D, i D E. 50. Neka su A,, C, D proizvoljni skupovi. Pojednostavite sljedeće izraze: ( A ) b) ( A ) ) A ( A ) d) ( A ( A )) e) ( A ) ( A ) f) ( A ) ( A) ( A ) g) ( A) ( A ) h) ( A C) ( A C D) ( A A ) i) ( A C) ( A ) \ ( A ( \ C)) A j) ( A C) ( A C) C k) ( A C X ) ( A C) ( C) ( C X) l) ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) 51. Dokažite da vrijedi: ( A\ )\ C A\( \ C) ( ( A \ )\ C = A \( \ C) ako i samo ako A C =

11 TEORIJA SKUPOVA 11 (b) A\( C) ( A\ ) ( A C) A \( C) = ( A\ ) ( A C) akoi samo ako A C = 52. Skup A je tranzitivan ako za svaki element a skupa A vrijedi da je svaki element od a ujedno element skupa A, tj. ako iz x aia Aslijedix A Po drugoj, ekvivalentnoj, definiiji skup A je tranzitivan ako vrijedi za svaki njegov element a da iz a A slijedi a A. Pokažite da su definiije ekvivalentne. 53.Odredite koji su skupovi tranzitivni: {,{ },{,{ }}},{ }, { }. A = { { }} = 54. Dokažite da je skup tranzitivan ako i samo ako je A ( A). 55. Na Odsjeku za filozofiju neki se profesori bave etikom, neki estetikom, neki ontologijom a neki logikom. Tko se bavi estetikom, bavi se i logikom. Tko se bavi etikom ili estetikom, bavi se i ontologijom. Tko se bavi logikom, bavi se etikom ili ontologijom. Tko se bavi logikom i estetikom, bavi se i etikom. Odredite u kojemu su odnosu skupovi: A={x, x je profesor sa Odsjeka koji se bavi etikom}, ={x, x je profesor sa Odsjeka koji se bavi estetikom}, C={x, x je profesor sa Odsjeka koji se bavi ontologijom} i D={x, x je profesor sa Odsjeka koji se bavi logikom}. 56. Neka su A,, i C proizvoljni skupovi. Dokažite da vrijedi: ( A ) C = A ( C) akoisamoako C A. 57.Odredite vrijedi li jednakost ( A ( C)) ( C) = ( A (( C ) ( C ))) ( C)

12 12 LOGIKA 1 LITERATURA Dell Aqua, A. R., i Speranza, F., 1971, Matematia 1, Zanihelli. Lipshutz, S., 1964, Set Theory and Related Topis (Shaum), MGraw- Hill, In. Maher, L. P., 1968, Finite Sets: Theory, Counting, and Appliations, Charles E. Merrill Publishing Company. Papić, P., 2000, Uvod u teoriju skupova, HMD. Pavković,., i Horvatić, N., 1983, Matematika 1, Školska knjiga Zagreb. Radić, M., 1982, Algebra I. dio: Logika, skupovi, brojevi, Školska knjiga Zagreb. Rakove, J., 1983, Matematične strukture, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Stoll, R. R., 1979, Set Theory and Logi, Dover Publiations, In. Yakovlev, G. N., 1984, High-Shool Mathematis Part 1, Mir Publishers.