Neprekidan slučajan vektor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Neprekidan slučajan vektor"

Transcription

1 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3

2 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Mentor: doc.dr.sc. Nenad Šuvak Osijek, 3

3 Sažetak Kako su matematičke jednadžbe i problemi izraženi u terminima nekih numeričkih vrijednosti, potrebno je definirati funkciju, koju nazivamo slučajna varijabla, a koja povezuje svaki ishod pokusa s nekim realnim brojem. Od tipova slučajnih varijabli najčešće se usmjeravamo na proučavanje diskretnih i neprekidnih slučajnih varijabli, te takoder u n-dimenzionalnom slučaju na diskretne i neprekidne slučajne vektore. Neprekidne slučajne varijable i neprekidni slučajni vektori primjenjuju se u složenim problemima u vjerojatnosti i statistici, te ekonomiji i financijama. Normalna ili Gaussova distribucija neprekidnog slučajnog vektora pronalazi velike primjenjuje u statistici, te prirodnim i društvenim znanostima. Ključne riječi Slučajna varijabla, slučajan vektor, funkcija gustoće, funkcija distribucije, normalna distribucija Abstract Because mathematical equations and problems are expressed in some terms of numerical values,we must define a function, known as a random variable, that associates each outcome in the experiment with a real number. When considering types od random variables, we most often study the discrete and continuous ones, and also in n-dimensional case we are based on discrete and continuous random vectors. Continuous random variables and continuous random vectors are applied to complex probability and statistics problems, and economics or finances. Normal or Gaussian distribution of continuous random vector are often applied in statistics, and also in the natural and social sciences. Key words Random variable, random vector, probability distribution function, cumulative distribution function, normal distribution

4 Sadržaj Uvod 5 Slučajna varijabla 6. Uvod pojma slučajna varijabla Diskretna slučajna varijabla Elementarni pojmovi Klasičan pristup u odredivanju vjerojatnosti Vjerojatnost na diskretnom Ω i diskretna slučajna varijabla Funkcija distribucije i numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable Neprekidna slučajna varijabla Neprekidna slučajna varijabla i funkcija gustoće Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable Očekivanje i varijanca neprekidne slučajne varijable Nezavisnost slučajnih varijabli Diskretan slučajan vektor 3. Definicija dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora. Tablica distribucije Uvjetne distribucije i nezavisnost komponenti dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora Kovarijanca i koeficijent korelacije Neprekidan slučajan vektor 7 4. Funkcija gustoće i funkcija distribucije neprekidnog slučajnog vektora Marginalne funkcije distribucija i gustoća Uvjetne funkcije gustoća Numeričke karakteristike neprekidnog slučajnog vektora Očekivanje i varijanca neprekidnog slučajnog vektora Kovarijanca i matrica kovarijanci Koeficijent korelacije i korelacijska matrica Nezavisnost komponenti neprekidnog slučajnog vektora Funkcije slučajnog vektora Normalan slučajan vektor Dvodimenzionalan normalan slučajan vektor n-dimenzionalan normalan slučajan vektor

5 Uvod Primarni cilj ovog završnog rada je upoznavanje čitatelja s osnovnim pojmovima i rezultatima teorije vjerojatnosti na primjerima iz svakodnevnog života, baziranje na matematičku podlogu istih, te rezultate koji se iz njih vežu. Rad je podijeljen u tri osnovne cjeline: slučajna varijabla, diskretan slučajan vektor i n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor. U prvoj cjelini definiramo čitatelju osnovne pojmove koji se koriste u teoriji vjerojatnosti. Upoznajemo čitatelja kroz primjere sa svojstvima slučajnih varijabli, te razvijamo osjećaj za razlikovanje diskretnih i neprekidnih slučajnih varijabli. Takoder, teoremima i njihovim dokazima potkrepljujemo slutnje koje se prirodno nameću promatranjem tih slučajnih varijabli. Prva cjelina podijeljena je na dva dijela: diskretne slučajne varijable i neprekidne slučajne varijable. Veća pozornost posvećena je neprekidnim slučajnim varijablama, te sve navedene definicije, primjeri i teoremi služe kao podloga za zadnje poglavlje kojim se najviše bavimo. U drugoj cjelini proširujemo pojmove definirane u prvoj cjelini na dvije dimenzije, te upoznajemo čitatelja s pojmom dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora. Kroz teoreme i propozicije potkrepljene primjerima stvaramo čitatelju predodžbu slučajnog vektora, te medusobni utjecaj njegovih komponenti. U zadnjoj cjelini bazirani smo na n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor. Kako smo čitatelja već upoznali s neprekidnom slučajnom varijablom, sve definicije i svojstva proširujemo na R n. Posebno se bavimo i rezultatima koji povezuju nezavisnost komponenti slučajnog vektora i njegove numeričke karakteristike. Osim teorijske podloge, priložen je i primjer normalne ili Gaussove distribucije slučajnog vektora, kao najznačajnije distribucije u statističkoj teoriji i primjeni. 5

6 Slučajna varijabla. Uvod pojma slučajna varijabla Za početak navedimo jedan primjer koji smo sigurno barem jednom svi napravili, bilo da nam je to bila pomoć pri odlučivanju tko će započeti kartašku igru ili tko će povući prvi potez pri nekoj drugoj društvenoj igri, a da nismo ni bili svjesni da se iza toga krije matematička interpretacija i sam uvod u definiranje važnih matematičkih pojmova vezanih za vjerojatnost. Primjer.. Dvojica prijatelja igraju kartašku igru, ali se ne mogu odlučiti tko će prvi baciti kartu. Dolaze na ideju da svaki od njih baci pravilno izradenu igraću kockicu, te da onaj od njih kojem se pri bacanju okrene veći broj prvi baca kartu na stol, a ukoliko se obojici okrene isti broj, onda će smisliti neki drugi način odluke o prvom bacanju karte. Analizom ovog primjera utvrdujemo da je sve moguće ishode ovog pokusa moguće zapisati u obliku uredenih parova (x,x ) gdje je x broj koji se okrenuo na igraćoj kockici prilikom prvog bacanja, tj. prvom igraču, a x broj koji se okrenuo prilikom drugog bacanja, odnosno drugom igraču. No, nas zanima samo veći od rezultata koji se okrenuo prilikom oba bacanja, točnije, je li se veći broj okrenuo prilikom prvog bacanja kojeg je izveo prvi igrač - označimo taj ishod s, ili prilikom drugog bacanja kojeg je izveo drugi igrač - taj ishod označimo s, ili se obojici igrača okrenuo isti broj - označimo taj ishod s. Primijetimo da ovaj primjer možemo opisati funkcijom koja prima dva prirodna broja, u ovom našem konkretnom primjeru iz skupa {,,3,4,5,6}, a kao rezultat vraća jedan od brojeva iz skupa {,,}, ovisno o tome koja od gore odredenih situacija se dogodila. Dakle, navedeni primjer možemo opisati funkcijom:, ako je x > x f(x, x ) =, ako je x = x x, x {,, 3, 4, 5, 6}, ako je x < x Vidimo da je funkcija f definirana na skupu {,, 3, 4, 5, 6} {,, 3, 4, 5, 6}, a vrijednosti poprima u ovisnosti o ishodu koji se realizirao. Upravo to dovodi nas do slutnje o definiciji slučajne varijable kao funkcije kojoj je domena skup elemenarnih dogadaja izvodenja slučajnog pokusa, a kodomena neki podskup skupa realnih brojeva. 6

7 . Diskretna slučajna varijabla.. Elementarni pojmovi Prije same definicije diskretne slučajne varijable, precizirajmo pojmove iz prethodnog primjera. U Primjeru. proučavali smo bacanje pravilno izradene igraće kockice dva puta za redom. Uočimo da ishod ovog pokusa nije jednoznačno odreden uvjetima u kojima se pokus odvija, odnosno da ne možemo sa sigurnošću tvrditi koji će biti rezultat bacanja, no imamo konačno mnogo mogućih situacija koje se mogu dogoditi. Takav pokus gdje ishod nije jedinstven, tj. imamo barem dvije moguće realizacije, naziva se slučajan pokus. Izvodenjem ovog slučajnog pokusa, kao rezultat dobivamo ureden par kojem su oba elementa iz skupa {,,3,4,5,6} i nazivamo ga elementarni dogadaj te označavamo s ω, a skup svih mogućih uredenih parova naziva se skup svih mogućih ishoda ili prostor elementarnih dogadaja slučajnog pokusa i označavamo ga sa Ω. U našem primjeru lako se vidi da je Ω = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Neka se nakon odredenog vremena igri pridružuje i treći igrač kojeg zanima tko je od dvojice igrača prvi započeo igru, te mu je u žaru igre samo kratko odgovoreno da je igru odmah nakon prvog bacanja igraće kockice započeo drugi igrač. Koje su sve moguće ralizacije tako da bude ispoštovan navedeni ishod? Zaključujemo da je broj koji se okrenuo drugom igraču prilikom bacanja igraće kockice bio veći od broja koji se okrenuo prvom igraču, tj. realizirao se jedan od elementanih dogadaja iz skupa kojeg ćemo označiti sa A = {(, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)} Vidimo da je A jedan od podskupova skupa Ω. Svaki podskup skupa Ω naziva se dogadaj na Ω. Prisjetimo se funkcije kojom smo opisali izvodenje pokusa iz primjera.. Vidimo da u našem primjeru dani dogadaj A govori o tome da funkcija f za svaki element skupa A poprima vrijednost jedan. 7

8 .. Klasičan pristup u odredivanju vjerojatnosti Neka je trećem igraču poznata informacija da je drugi igrač započeo bacanje. Prirodno je pitati se i kolika je bila vjerojatnost da je igru započeo baš drugi igrač uz zadane uvjete odlučivanja o bacanju prve karte. Definicija.. Ako su svi ishodi u konačnom nepraznom skupu elementarnih dogadaja Ω jednako mogući ishodi, vjerojatnost da se realizira dogadaj A Ω jednaka je kvocijentu kardinalnog broja skupa A i kardinalnog broja skupa Ω, tj. broj P (A) = k(a) k(ω) naziva se vjerojatnost dogadaja A...3 Vjerojatnost na diskretnom Ω i diskretna slučajna varijabla Navedeni klasični pristup u odredivanju vjerojatnosti ima veliku ulogu u primjeni rezultata teorije vjerojatnosti u praksi, no on ne daje općenitu definiciju vjerojatnosti. U tu svrhu trebamo definirati dovoljno bogatu familiju podskupova od Ω koja će činiti temelj za definiciju vjerojatnosti. Definicija.3. Neka je dan neprazan skup Ω. Familija F podskupova od Ω je σ-algebra skupova na Ω ako za nju vrijedi:. F. ako je A F, onda je i komplement tog skupa A C F tj. σ-algebra je zatvorena s obzirom na komplementiranje 3. ako je dana prebrojiva familija skupova (A n, n N) F, onda F sadrži i njihovu uniju A n F, tj. zatvorenost σ-algebre u odnosu na prebrojivu uniju. n= Uočimo da je partitivni skup zapravo najbogatija σ- algebra danog skupa Ω. Sada kada raspolažemo sa skupom elementarnih dogadaja Ω i σ-algebrom na njemu, uvedimo i definiciju vjerojatnosti na njemu: Definicija.4. Neka je Ω neprazan skup elementarnih dogadaja i F σ algebra dogadaja na njemu. Funkciju P : F R zovemo vjerojatnost na Ω ako zadovoljava sljedeće zahtjeve: 8

9 . nenegativnost vjerojatnosti: P(A), A F. normiranost vjerojatnosti: P (Ω) = 3. σ - aditivnost vjerojatnosti: ako je dana prebrojiva familija medusobno disjunktnih skupova (A i, i I) F, I N, tj. A i A j = čim je i j, tada vrijedi ( ) P A i = P (A i ) i I i I Zahtijeve nenegativnosti, normiranosti i σ- aditivnosti nazivamo aksiomima vjerojatnosti. Uredenu trojku (Ω, F, P) zovemo vjerojatnosni prostor. Neka je Ω konačan ili prebrojiv prostor elementarnih dogadaja. U tom slučaju pretpostavit ćemo da je pridružena σ algebra točno jednaka partitvnom skupu od Ω, tj. F = P(Ω). Vjerojatnosni prostor kod kojeg je Ω konačan ili prebrojiv skup, a pridružena σ algebra je P(Ω), zvat ćemo diskretan vjerojatnosni prostor. Definicija.5. Vjerojatnost na diskretnom Ω zadaje se pomoću niza brojeva (p i, i I Ω N) za koje vrijedi p i i p i =. i I Ω Definirajmo sada diskretnu slučajnu varijablu i pojmove vezane za nju. Definicija.6. X je diskretna slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) ako postoji diskretan skup D R takav da je P ({ω Ω : X(ω) D}) = P (X D) =, odnosno da je skup svih vrijednosti koje slučajna varijabla X može primiti (označavamo ga sa R(X) i nazivamo ga slika slučajne varijable X) diskretan skup. Neka je R(X)={x i : i I N}. Kao što je već rečeno, na diskretnom skupu R(X) vjerojatnost definiramo nizom brojeva (p i : i I N) takvih da je p i i p i =. To zapisujemo u obliku tablice i I ( ) x x X = x n p p p n 9

10 i tu tablicu zovemo tablica distribucije diskretne slučajne varijable X. Općenito, uredenu trojku (R(X), P(R(X)), P x ) gdje je R(X) slika slučajne varijable X, P(R(X)) skup svih podskupova skupa R(X), odnosno partitivni skup skupa R(X) i P X : R(X) [, ] vjerojatnost definirana formulom P X (x i ) = p i, i I, naziva se diskretan vjerojatnosni prostor induciran slučajnom varijablom X...4 Funkcija distribucije i numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable Primjer.7. Bacamo pravilno izradenu igraću kockicu i bilježimo broj koji se okrenuo pri bacanju. U ovom primjeru skup elementarnih dogadaja je Ω={,,3,4,5,6}. Kako je kockica pravilno izradena, svi ishodi su jednako mogući pa je vjerojatnost realizacije svakog od tih elementarnih dogadaja jednaka / 6. Označimo sa A = {} {} {3} = {,, 3}. To će nam olakšati shvaćanje sljedeće definicije: Definicija.8. Neka je X diskretna slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ). Funkciju F : R [, ] koja realnom broju x pridružuje vjerojatnost da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka tom broju tj. F (x) = P (X x) = P ({ω Ω : X(ω) x}) zovemo funkcija distribucije slučajne varijable X i za dani realni broj x računamo ju prema formuli: F (x) = P ({x i }) x i R(X) x Vratimo se sada na naš dogadaj A={,,3} iz Primjera.7. Vidimo da je vjerojatnost dogadaja A upravo jednaka vrijednosti funkcije f u točki tri. Dogadaj smo namjerno tako konstruirali kako bismo pokazali da je vjerojatnost da se pri bacanju igraće kockice okrenuo broj koji je manji ili jednak od 3 jednak upravo vrijednosti funkcije distribucije za tako modeliranu slučajnu varijablu X. Osim što se funkcija distribucije po definiciji koristi za izračunavanje vjerojatnosti da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka nekom broju, vidimo da se ona može primjenjivati i u rješavanju zadataka

11 ovakvoga tipa. Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable su njeno matematičko očekivanje i varijanca. Definicija.9. Neka je (Ω, F, P) diskretan vjerojatnosni prostor i X slučajna varijabla na njemu. Ako red ω Ω X(ω)P (ω) apsolutno konvergira, onda kažemo da slučajna varijabla X ima matematičko očekivanje i broj EX = ω Ω X(ω)P (ω) zovemo matematičko očekivanje slučajne varijable X. Lako se pokaže primjenom teorije ponovljenih redova da se matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable računa kao EX = ω Ω X(ω)P (ω) = EX = i I x i p i. Mi se detaljnim dokazom nećemo baviti (pogledati u M.Benšić, N.Šuvak: Uvod u vjerojatnost i statistiku, str.5.-6., Teorem..), nego ćemo uvesti sljedeću definiciju: Definicija.. Neka je X slučajna varijabla na diskretnom vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ). Ako postoji očekivanje E(X EX), onda taj nenegativni broj nazivamo varijanca slučajne varijable X i označavamo ga sa VarX. Varijancu interpretiramo kao očekivano kvadratno odstupanje slučajne varijable X od njenog očekivanja..3 Neprekidna slučajna varijabla.3. Neprekidna slučajna varijabla i funkcija gustoće Do sada smo promatrali samo slučajeve kada imamo diskretan vjerojatnosni prostor, no što ako slika slučajne varijable nije diskretan skup? Primjer.. Na slučajan način odabiremo broj iz segmenta [, ]. Možemo li ispisati sve članove tog segmenta odnosno sve brojeve koji mogu biti odabrani?

12 Sada se pojavio problem jer više ne možemo u cijelosti primijeniti svojstva i pojmove koje smo definirali kod diskretne slučajne varijable, jer više nemamo diskretan prostor elementarnih dogadaja. Stoga uvodimo sljedeću definiciju: Definicija.. Neka je zadan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P) i funkcija X : Ω R za koju vrijedi:. {ω Ω : X(ω) x} = {X x}, x R. postoji nenegativna realna funkcija f realne varijable takva da vrijedi P ({ω Ω : X(ω) x}) = P ({X x}) = x f(t)dt, x R. Funkciju X zovemo neprekidna slučajna varijabla na Ω, a funkciju f funkcija gustoće slučajne varijable X. Navedimo i dokažimo osnovna svojstva funkcije gustoće neprekidne slučajne varijable:. Nenegativnost: f(x), x R Slijedi iz same definicije funkcije gustoće kao nenegativne realne funkcije realne varijable.. Normiranost: f(x)dx = Svojstvo se pokaže primjenom svojstva neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na monotono rastuću familiju skupova:. n f(x)dx = lim f(x)dx = lim P {X, n]} = P {Ω} = n n 3. Vjerojatnost da slučajna varijabla X, čija je funkcija gustoće f(x), primi vrijednost iz intervala a,b] može se izračunati korištenjem funkcije gustoće na slijedeći način: P {a < X b} = P {X a, b]} = b a f(x)dx. Korištenjem svojstava vjerojatnosti i integrala lako se pokaže da je: P {a < X b} = P {X b} P {X < a} = = b b a f(x)dx f(x)dx. a f(x)dx

13 Ako je zadana funkcija f koja zadovoljava svojstvo normiranosti i nenegativnosti, može se pokazati da postoji vjerojatnosni prostor (Ω, F, P) i slučajna varijabla X na njemu tako da f bude funkcija gustoće. Primjer.3. Pokažimo da je sa f(x) = σ (x µ) π e σ, x R, gdje su σ i µ realni brojevi, σ >, definirana funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable X Provjerimo zadovoljava li ovako definirana funkcija svojstva koja su potrebna da bi ona bila funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable X:. Nenegativnost: kako su σ i µ realni brojevi i σ >, izraz σ je uvijek π pozitivan, a po definiciji eksponencijalne funkcije ona je nenegativna funkcija pa je stoga i umnožak dva nenegativna broja opet nenegativan broj, te je time osigurano svojstvo nenegativnosti.. Normiranost: izračunajmo σ (x µ) π e σ dx = σ π = t= x µ σ dt= σ dx = σ π = σ σ π = π e (x µ) σ dx σe t dt e t dt e t dt. Integral e t dt 3

14 naziva se Gaussov integral i pokazat ćemo jedan od načina njegovog rješavanja. Uzimajući u obzir da funkciju e t koju integriramo po skupu R možemo supstituirati funkcijom e (x +y ) koju ćemo onda integrirati po R, rješavanju integrala pristupamo na sljedeći način, gdje s jedne strane imamo R e (x+y) dxdy = = = e (x +y ) dxdy e x dx e x dx, e y dy dok s druge strane koristeći zapis u polarnim koordinatama imamo: R e (x+y) dxdy = π = π = π e r drdθ re r dr = es ds = π(e e ) = π. Izjednačavajući dobivene izraze vidimo da je stoga σ (x µ) π e σ dx = π s= r ds= rdr e t dt = π, pa je e t dt = π π =, čime smo pokazali da ova funkcija zadovoljava svojstvo normiranosti, pa je ona funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable X. Stoga uvedimo sljedeću definiciju: 4

15 Definicija.4. Za neprekidnu slučajnu varijablu kažemo da ima Gaussovu ili normalnu distribuciju s parametrima µ i σ ako je njena funkcija gustoće dana izrazom f(x) = σ (x µ) π e σ, x R, gdje su µ i σ realni brojevi i σ >. Ako slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrim µ i σ koristimo oznaku X N (µ, σ )..3. Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable Definicija.5. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Funkciju F : R [, ] koja realnom broju x pridružuje vjerojatnost da dana slučajna varijabla bude manja ili jednaka tom broju tj. F (x) = P (X x) = P ({ω Ω : X(Ω) x}) zovemo funkcija distribucije slučajne varijable X. Tada vrijednost funkcije distribucije slučajne varijable X za proizvoljan realan broj x računamo na sljedeći način F (x ) = P {X x } = x f(x)dx. Kako je funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable neprekidna funkcija, iz svojstava integrala lako se zaključi da je i funkcija distribucije slučajne neprekidne varijable neprekidna funkcija. Promotrimo poseban slučaj, ukoliko imamo neprekidnu slučajnu varijablu X s pripadnim funkcijama gustoće i distribucije, zanima nas kolika je vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost x : ( ) P {X = x } = P {x n < X < x } = lim n =. n= ( F (x ) F ( x )) n 5

16 Primjer.6. Odredimo funkciju distribucije neprekidne slučajne varijable s funkcijom gustoće zadanom sa: { sin x, x, π f(x) = ], x /, π]. Ako je x, ] tada je F (x) = P {X x} = x f(x)dx =, za x, π ] je F (x) = P {X x} = x x f(t)dt + f(t)dt = sin tdt = cos t, a za x > π je očigledno ( π ) F (x) = F =. Slijedi da je funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable X definirana formulom, x, ] F (x) = cos x, x, π ]., x > π Teorem.7. Neka je F funkcija distribucije slučajne varijable X. Tada ona posjeduje sljedeća svojstva:. P (x X x ) = F (x ) F (x ). F je rastuća funkcija: x < x F (x ) < F (x ) 3. lim F (x) =, lim x F (x) = x 4. F je neprekidna slijeva: F (x ) := lim ε F (x ε) = F (x), x R. Dokaz: 6

17 . Neka je x x.onda vrijedi: F (x ) = P ({X < x }) = P ({X < x } {x X < x }) = P ({X < x }) + P ({x X < x }) = F (x ) + P ({x X < x }). Neka je x < x.tada vrijedi: F (x ) = F (x ) + P ({x X < x }) > F (x ) 3. Neka je (x n ) po volji odabran padajući niz realnih brojeva, odnosno lim x n =. Označimo s A n = {X < x n, n N}. Onda je A n n padajuća familija skupova A A... i vrijedi A n =. Zato je zbog svojstva neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajuću familiju dogadaja n= lim F (x) = lim F (x n) = lim P (A n ) =. x n n Druga tvrdnja se dokazuje na sličan način. 4. Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajuću familiju dogadaja. Naime, ako je (ε n ) niz pozitivnih brojeva koji opada prema nuli, onda je s A n = {X < x ε} definiran rastući niz skupova za koje vrijedi A n = pa tvrdnja slijedi zbog neprekidnosti vjerojatnosti: čime je teorem dokazan. n= F (x ) = lim ε F (x ε) = lim n F (x ε n ) = lim n P (A n ) = P (A) = F (x), x R 7

18 .3.3 Očekivanje i varijanca neprekidne slučajne varijable Za neprekidnu slučajnu varijablu X očekivanje se definira uz pomoć pripadne funkcije gustoće slučajne varijable X. Definicija.8. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Ako je integral x f(x)dx konačan, onda kažemo da neprekidna slučajna varijabla X ima očekivanje i broj µ = EX = xf(x)dx zovemo matematičko očekivanje neprekidne slučajne varijable X. Bitna osvojstva matematičkog očekivanja su:. Neka su a i b realni brojevi, a X slučajna varijabla koja ima očekivanje. Tada i slučajna varijabla ax+b ima očekivanje i vrijedi: E(aX + b) = aex + b.. Ako su X i Y dvije slučajne varijable koje imaju očekivanje i ako vrijedi X(ω) Y (ω) za sve ω Ω onda je i EX EY. 3. Ako je X slučajna varijabla koja ima svojstvo da je X(ω), ω Ω i ako je red ω Ω X(ω)P (ω) konvergentan, tada je i EX. 4. Ako su X i Y dvije slučajne varijable koje imaju očekivanja EX, odnosno EY, tada za proizvoljne realne brojeve a i b slučajna varijabla ax+by takoder ima očekivanje i vrijedi E(aX + by ) = aex + bey. 5. Ako je dana realna funkcija realne varijable g, onda očekivanje slučajne varijable g(x) računamo na sljedeći način Eg(x) = g(x)f(x)dx. 8

19 Definicija.9. Neka je X neprekidna slučajna varijabla s očekivanjem EX. Tada broj V arx = (x EX) f(x)dx zovemo varijanca neprekidne slučajne varijable X. Navedimo i najbitnija svojstva varijance slučajne varijable X:. Neka je X slučajna varijabla koja ima varijancu, te a i b proizvoljni realni brojevi. Tada vrijedi: V ar(ax + b) = a V arx. Ako za slučajnu varijablu X vrijedi V arx=, onda ona zapravo nema karakter slučajnosti, tj. P{X=konst.}=. Vrijedi i obrat ove tvrdnje, tj. ako za slučajnu varijablu X vrijedi P {X = konst.}=, onda je V arx=. 3. Varijancu možemo računati pomoću formule V arx = EX (EX). Primjer.. Neka je X N (µ, σ ) tj. f(x) = σ (x µ) π e σ, x R. Izračunajmo varijancu i očekivanje slučajne varijable X. Uočimo prvo da je funkcija g(x) = x e x π neparna, na R integrabilna funkcija, pa je g(x)dx = Osim toga, zbog normiranosti funkcije gustoće neprekidne slučajne varijable znamo da je π e x dx = 9

20 Primjenom supstitucije t = x µ σ EX = πσ = πσ = π slijedi: xe (x µ) σ dx (σt + µ)e t dt σte t dt + µ π e t dt = µ EX = πσ = σ π = σ π x e (x µ) σ dx = π t e t dt + σµ π t e t dt + µ = σ π (σt + µ) e t dt te t dt + µ π t e t dt + µ e t dt Gornji integral rješavamo parcijalnom integracijom, te se pokaže da je σ π t e t dt = σ π e t dt = σ. Dakle, V arx = σ. Pokazalo se da je parametar µ normalne distribucije upravo njezino matematičko očekivanje i parametar σ njezina varijanca..3.4 Nezavisnost slučajnih varijabli Općenito, za proizvoljnu familiju dogadaja (A x, x I R) vrijedi sljedeća definicija:

21 Definicija.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Kažemo da je proizvoljna familija dogadaja (A x, x I) F nezavisna ako za svaki skup različitih indeksa {i,..., i n } I vrijedi ( n ) n P A ij = P (A ij ). j= j= Stoga, uvedimo i definiciju nezavisnosti za neprekidne slučajne varijable: Definicija.. Kažemo da su slučajne varijable X i Y nezavisne, ukoliko za sve intervale A, B iz skupa R vrijedi P (X A, Y B) = P (X A)P (Y B). O ostalim definicijama i kriterijima nezavisnosti ćemo više reći u poglavlju o slučajnim vektorima.

22 3 Diskretan slučajan vektor U ovom poglavlju navest ćemo osnovne definicije i svojstva vezana za dvodimenzionalan diskretan slučajni vektor. Lako se pokaže da sve što vrijedi za n-dimenzionalan, vrijedi i za dvodimenzionalan diskretan slučajan vektor, pa se mi n-dimenzionalnim diskretnim slučajnim vektorom nećemo baviti nego ćemo navesti samo neke osnove na primjeru dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora, kako bismo uveli pojmove koji će nam trebati u sljedećem poglavlju. 3. Definicija dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora. Tablica distribucije. Definicija 3.. Neka je (Ω, F, P ) diskretan vjerojatnosni prostor. Funkcija (X, Y ) : Ω R, pri čemu su X i Y diskretne slučajne varijable, naziva se dvodimenzionalan diskretan slučajan vektor. Skup R(X, Y ) = {(x i, y j ) : x i R(X), y j R(Y ), i, j N} zove se slika slučajnog vektora (X, Y ). Distribuciju dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora zadajemo tablicom brojeva p ij = P (X = x i, Y = y j ) koji imaju sljedeća svojstva:. p ij [, ], i, j N. p ij =. i,j N Neka je R(X, Y ) = {(x i, y i ) : i {,..., m}, j {,..., n}}. Distribucija slučajnog vektora (X,Y) je tada zadana tablicom X\Y y y y n x p p p n p x x p p p n p x. x m p m p m p mn p xm p y p y p yn gdje su p = P (X = x, Y = y ),..., p mn = P (X = x m, Y = y n ), te p xi = P (X = x i ) = P {(X = x i, Y = y ) (X = x i, Y = y n )} = n p yj p ij j= = P (Y = y j ) = P {(X = x, Y = y j ) (X = x m, Y = y j )} = m p ij. i=

23 Tada su distribucije slučajnih varijabli X i Y zadane tablicama ( ) ( ) x x X = x m y y Y = y n p x p x p xm p y p y p yn i nazivaju se marginalnim distribucijama diskretnog slučajnog vektora (X,Y). Definicija 3.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor pridružen slučajnom pokusu i (X, Y ) slučajan vektor. Funkciju F : R [, ] definiranu sa F (X, Y ) = P {X x, Y y} zovemo funkcija distribucije slučajnog vektora (X, Y ). 3. Uvjetne distribucije i nezavisnost komponenti dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora Definicija 3.3. Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) i dogadaj B F za kojeg vrijedi P (B) >. Funkcija P ( B ) definirana na F izrazom P (A B) = P (A B), A F, P (B) je uvjetna vjerojatnost uz uvjet da se dogodio dogadaj B. Budući da raspolažemo dvodimenzionalnim diskretnim slučajnim vektorom (X, Y ) koji je zadan tablicom distribucije uz oznake X\Y y y y n x p p p n p x x p p p n p x. x m p m p m p mn p xm p y p y p yn A = {ω Ω : X(ω) = x i } B = {ω Ω : Y (ω) = y j } 3

24 vidimo da je prema definiciji P (A B) = P (A B) P (B) = P ({X = x i} {Y = y j }) P ({Y = y j }) = p ij p yj. Sada možemo općenito zadati uvjetnu distribuciju komponente X uz zadani uvjet Y = y j, j {,..., n}, tablicom distribucije: ( ) x x x m p(x y j ) p(x y j ) p(x m y j ) pri čemu je p(x i y j ) = P (X = x i, Y = y j ) P (Y = y j ) = p ij p yj, te isto tako uvjetnu distribuciju komponente Y uz zadani uvjet X = x i, i {,..., m} sljedećom tablicom distribucije: ( ) y y y n p(y x i ) p(y x i ) p(y n x i ) pri čemu je p(y j x i ) = P (Y = y j, X = x i ) P (X = x i ) = p ij p xi. Teorem 3.4. Neka je (X,Y) diskretan slučajan vektor na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ) čija je distribucija zadana tablicom X\Y y y y n x p p p n p x x p p p n p x. x m p m p m p mn p xm p y p y p yn Slučajne varijable X i Y su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi P (x i, y j ) = p xi p yj, x i R(X), y j R(Y ). Takoder, vrijedi i sljedeća korisna činjenica vezana za matematičko očekivanje: 4

25 Teorem 3.5. Neka su X i Y nezavisne diskretne slučajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ) takve da postoje EX i EY. Tada postoji i matematičko očekivanje slučajne varijable XY i vrijedi da je E(XY ) = EXEY. 3.3 Kovarijanca i koeficijent korelacije Definicija 3.6. Očekivanje E ( (X EX) k (Y EY ) l) zove se centralni moment reda (k,l) slučajnog vektora (X,Y). Pišemo m kl = E ( (X EX) k (Y EY ) l). Centralni moment reda (,) tj. m = E ((X EX)(Y EY )) zove se kovarijanca ili korelacijski moment slučajnog vektora (X,Y) i označava se oznakom Cov(X, Y ). Vidimo da kovarijancu možemo računati kao: Cov(X, Y ) = E((X EX)(Y EY )) = E(XY XEY Y EX + EXEY ) = E(XY ) EY EX EXEY + EXEY = E(XY ) EXEY. Teorem 3.7. Neka je (X,Y) dvodimenzionalan slučajan vektor takav da EX i EY postoje. Ako su varijable X i Y nezavisne slučajne varijable, onda je Cov(X,Y)=. Dokaz: što je i trebalo pokazati. Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY = EXEY EXEY =. Definicija 3.8. Neka je (X,Y) slučajan vektor za koji je Cov(X,Y)=. Tada kažemo da su njegove komponente X i Y nekorelirane. 5

26 Za računanje koeficijenta korelacije radimo sljedeći postupak standardizacije uz pretpostavke da su X i Y slučajne varijable koje imaju varijancu, (X,Y) slučajni vektor te σ x i σ y : X s = X µ x σ x Y s = Y µ y σ y. Kako su sada X s i Y s standardizirane, znamo da vrijedi EX s = EY s = i σ x = σ y =. Definiramo koeficijent korelacije kao broj: ρ xy := Cov(X s, Y s ) = E(X s Y s ) EX s EY s = E(X s Y s ) ( (X µx ) = E (Y µ ) y) σ x σ y = E((X µ x )(Y µ y )) σ x σ y = Cov(X, Y ) V arx V ary. 6

27 4 Neprekidan slučajan vektor Budući da smo se u prethodnom poglavlju bavili pretežito dvodimenzionalnim diskretnim slučajnim vektorom, uvedimo sada definiciju slučajnog vektora koji nije ograničen samo na dvije dimenzije, tj. n-dimenzionalnog slučajnog vektora. Neka je R skup realnih brojeva. Sa B označimo σ-algebru generiranu familijom svih otvorenih skupova na R. B zovemo Borelova σ-algebra na skupu R, a elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi. Jasno je da je svaki otvoreni interval iz R Borelov skup. Zbog svojstava σ-algebre u Borelove skupove ubrajamo i zatvorene intervale, poluotvorene (odnosno poluzatvorene intervale), neograničene intervale, jednočlane skupove i prebrojive podskupove skupa R. Sa B n označimo σ-algebru na R n generiranu familijom svih otvorenih podskupova od R n. B n zovemo σ-algebra Borelovih skupova na R n, a elemente od B n zovemo Borelovi skupovi iz R n. Definicija 4.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i B n σ-algebra Borelovih skupova na R n. Funkcija X : Ω R n za koju vrijedi X (B) F, B B n je n-dimenzionalan slučajan vektor na (Ω, F, P ) 4. Funkcija gustoće i funkcija distribucije neprekidnog slučajnog vektora Definicija 4.. Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i X : Ω R n slučajan vektor na njemu. Funkciju F : R n [, ] definiranu izrazom ( n ) F X (x) = F X (x,..., x n ) = P (X (x,..., x n )) = P {X i x i } zovemo funkcija distribucije slučajnog vektora X. i= Definicija 4.3. Slučajan vektor X = (X, X,..., X n ) je neprekidan ako postoji funkcija f : R n R sa svojstvima: 7

28 . f(x, x,..., x n ), (x, x,..., x n ) R n (nenegativnost). f(x, x,..., x n )dx dx... dx n = (normiranost) R n takva da je F X (x, x,..., x n ) = x n x n x... f(t, t,..., t n )dt dt... dt n. Funkciju f zovemo funkcija gustoće neprekidnog slučajnog vektora X. Primjer 4.4. Neka je X = (X, Y, Z) neprekidan slučajan vektor s funkcijom gustuće zadanom izrazom { c, < x < y < z < f X (x, y, z) =., inače Odredimo vrijednost konstante c. Budući da mora vrijediti svojstvo normiranosti provodimo sljedeći račun: = z y f X (x, y, z)dxdydz = cdxdydz = c = c = c R R R z = c 6, ( z 3 ( x ( y 3 iz čega je očigledno c = 6. y z ) ) dydz = c z ) dz = c z dz = c ( ) 6 ydydz 8

29 U slučaju da promatramo n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor, funkciju gustoće možemo dobiti parcijalnim deriviranjem funkcije distribucije, tj. f(x, x,..., x k ) = ukoliko sve parcijalne derivacije postoje. k x x... x k F (x, x,..., x k ), Takoder, za k-dimenzionalan slučajan vektor X = (x,..., x k ) i k-dimenzionalan dogadaj A vjerojatnost računamo na sljedeći način: P (X A) = f(x,..., x k )dx... dx k. A 4. Marginalne funkcije distribucija i gustoća Ukoliko imamo dvodimenzionalan neprekidan slučajan vektor X = (X, X ) s definiranom funkcijom distribucije F X (x, x ), pogledajmo kako onda možemo izraziti funkciju distribucije slučajne varijable X F X (x ) = P (X x ) = P (X x, X < ) = F X (X, ) = = Takoder, lako pokažemo da je f X (x ) = x x f X (t )dt. d F X (x ) dx = d dx = x f X (t, t )dt dt f X (x, x )dx f X (t, x )dt dx 9

30 Analogno se pokaže da isti račun možemo provesti i za slučajnu varijablu X, pa isti postupak možemo provesti i općenito: Definicija 4.5. Neka je X = (X,..., X n ) slučajan vektor s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ). Marginalne funkcije gustoća, odnosno funkcije gustoća slučajnih varijabli X,..., X n definiramo na sljedeći način: f Xi (x) = R n f X (x,..., x n )dx... dx i dx i+... dx n, i {,..., n}. Primjer 4.6. Odredimo sada jednodimenzionalne i dvodimenzionalne marfinalne funkcije gustoća slučajnog vektora X iz prethodnog primjera čija je funkcija gustoće bila zadana sa { 6, < x < y < z < f X (x, y, z) =, inače. Za x, je: f X (x) = pa je f X (x) = R R f X (x, y, z)dydz = z x x 6dydz = 6 x ( y ( ) z = 6 (z x)dz = 6 xz x x ( x = 6 x + ) = 3(x x + ) = 3(x ), { 3(x ), < x <, inače. z x ) dz ( = 6 x x + x ) 3

31 Za y, je: f X (y) = pa je f X (y) = = 6 R R y f X (x, y, z)dxdz = y ydz = 6yz = 6y( y), y { 6y( y), < y <, inače. y 6dxdz = 6 y ( x y ) dz Za z, je: f X3 (z) = pa je f X3 (z) = = 6 Za < x < y < je: R R z f X (x, y, z)dxdy = ydy = 6 y { 3z, < z <, inače. z y z = 3z, z 6dxdy = 6 ( x y ) dy f (X,X )(x, y) = R f X (x, y, z)dz = y 6dz = 6z = 6( y), y pa je f X,X (x, y) = { 6( y), < x < y <, inače. 3

32 Za < x < z < je: f (X,X 3 )(x, z) = R f X (x, y, z)dy = z x 6dy = 6y z = 6(z x), x pa je f X,X 3 (x, z) = Za < y < z < je: { 6(z x), < x < z <, inače. f (X,X 3 )(y, z) = { pa je f X,X 3 (y, z) = R f X (x, y, z)dx = y 6y, < y < z <, inače. 6dx = 6x y = 6y, Definicija 4.7. Marginalne funkcije distribucija n-dimenzionalnog slučajnog vektora X = (X,..., X n ) s funkcijom distribucije F X definirane su na sljedeći način: F Xj (x) = lim x i i j F X (x,..., x j,..., x n ) Navedimo neka od svojstava funkcije distribucije neprekidnog slučajnog vektora (radi jednostavnosti) na primjeru dvodimenzionalnog neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ):. F X (x, y). ako je x x i y y tada je F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) 3. lim x y F X (x, y) = F X (, ) = 3

33 4. lim F X(x, y) = F X (, y) = x lim F X(x, y) = F X (x, ) = y 5. lim F X(x, y) = F X (a, y) = x a + lim F X(x, y) = F X (x, b) = y b + 6. P (x X x, Y y) = F X (x, y) F X (x, y) P (X x, y Y y ) = F X (x, y ) F X (x, y ) 7. ako je x x i y y tada je F X (x, y ) F X (x, y ) F X (x, y ) + F X (x, y ). 4.3 Uvjetne funkcije gustoća Definicija 4.8. Neka je X = (X, X ) neprekidan slučajan vektor zadan funkcijom gustoće f X (x, x ). Uvjetna funkcija gustoće slučajne varijable X za zadanu vjerojatnost Y=y definirana je izrazom f (x y) (x y) = f X(x, y) f Y (y) za vrijednosti y za koje je f Y (y) >, gdje je f Y (y) funkcija gustoće slučajne varijable Y. Analogno, uvjetna funkcija gustoće slučajne varijable Y za zadanu vrijednost X=x definirana je izrazom f (y x) (y x) = f X(x, y) f X (x) za vrijednosti x za koje je f X (x) >, gdje je f X (x) funkcija gustoće slučajne varijable X. Funkcije f (x y) i f (y x) zadovoljavaju sljedeća svojstva: 33

34 . f (x y) (x y). f (y x) (y x) f (x y) (x y)dx = f (y x) (y x)dy =. Sada uvjetnu funkciju gustoće možemo definirati i za n-dimenzionalni neprekidan slučajan vektor: Definicija 4.9. Neka je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan slučajan vektor s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ) i neka je m < n. Zajednička uvjetna funkcija gustoće slučajnih varijabli X,..., X m za zadane vrijednosti X m+ = x m+,..., X n = x n definirana je izrazom f(x,..., x m x m+,..., x n ) = f X (x,..., x n ) f xm+,...,x n (x m+,..., x n ) za one x m+,..., x n za koje je f xm+,...,x n (x m+,..., x n ) >. Primjer 4.. Odredimo uvjetnu funkciju gustoće f(z x, y) iz Primjera 4.6. U primjeru smo izračunali da je f X (x, y, z) = 6 te f (X,X )(x, y) = 6( y), za < x < y < z <. Prema definiciji, za dani (X, X ) = (x, y), takav da je < x < y < je pa je prema tome f(z x, y) = f X(x, y, z) f (X,X )(x, y) = 6 6( y) = y f(z x, y) = { y < x < y < z <, inače. 34

35 4.4 Numeričke karakteristike neprekidnog slučajnog vektora 4.4. Očekivanje i varijanca neprekidnog slučajnog vektora Definicija 4.. Neka je X = (X,..., X n ) neprekidan slučajan vektor na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ). Ukoliko postoji matematičko očekivanje slučajne varijable X i, i {,..., n}, tada je matematičko očekivanje slučajnog vektora X definirano na sljedeći način: E[X ] x f X (x)dx E[X] =. =.. E[X n ] x n f Xn (x)dx Teorem 4.. Neka je zadan slučajan vektor X = (X,..., X n ) s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ), te neka je Y = u(x,..., X n ) dana funkcija od X, tada je E(Y ) = E[u(X,..., X n )] =... u(x,..., x n )f X (x,..., x n )dx... dx n. Napomena 4.3. Lako se može provjeriti da vrijede sva do sada navedena svojstva za matematičko očekivanje. Teorem 4.4. Za slučajne varijable X,..., X n : Ω R vrijedi E(X + + X n ) = EX + + EX n. Dokaz: Neka je f X (x,..., x n ) funkcija gustoće slučajnog vektora X = (X,..., X n ). 35

36 Tada vrijedi: E(X + + X n ) = (x + + x n )f X (x,..., x n )dx... dx n = x dx f X (x,..., y)dx... dx n + + x n dx n f X (x,..., x n )dx... dx n = x f X (x )dx + + x n f Xn (x n )dx n = EX + + EX n. Napomena 4.5. Svojstvo očekivanja iz prethodnog teorema vrijedi i za bilo koje funkcije slučajnih varijabli, a dokazuje se na isti način. Primjer 4.6. Funkcija gustoće slučajnog vektora X = (X, Y ) zadana je izrazom { 4xy, (x, y),, f X (x, y) =, inače, gdje su { x, x, f X (x) =, inače { y, y, f Y (y) =, inače. Odredite matematičko očekivanje slučajnog vektora X. EX = R EY = R xf X (x)dx = yf Y (y)dy = EX = x xdx = y ydy = [ ] EX = EY [ ] / 3 / 3 x dx = x3 3 y dy = y3 3 = 3 = 3 36

37 Definicija 4.7. Neka je X = (X, Y ) neprekidan slučajan vektor. Uvjetno očekivanje slučajne varijable Y, ako postoji, uz zadan X=x definiramo kao broj E(Y x) = yf(y x)dy. Neka je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor. Očekivanje svake komponente, odnosno slučajne varijable X i računamo kao EX i = x i f Xi (x)dx, pa je stoga varijanca i-te komponente vektora X jednaka: V arx i = (x i EX i ) f Xi (x)dx. Definicija 4.8. Neka je X = (X, Y ) neprekidan dvodimenzionalan slučajan vektor. Uvjetna varijanca varijable Y za zadani X=x definirana je izrazom V ar(y x) = E{[Y E(Y x)] x} 4.4. Kovarijanca i matrica kovarijanci Definicija 4.9. Neka su X i i X j komponente slučajnog vektora (X,..., X n ) takve da postoji E[X i ], E[X j ] i E[X i X j ], i, j {,,..., n}. Tada kovarijancu slučajnih varijabli X i i X j definiramo na sljedeći način: σ ij = Cov(X i, X j ) = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ]. Ako su X i Y dvije slučajne varijable, a c konstanta, tada općenito vrijedi:. Cov(X, X) = V ar(x). Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 3. Cov(cX, Y ) = ccov(x, Y ) 4. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) 37

38 Prva tri svojstva slijede direktno, a zadnje svojstvo se dokaže na slijedeći način: Cov(X, Y + Z) = E[X(Y + Z)] E[X]E[Y + Z] = E[XY ] E[X]E[Y ] + E[XZ] E[X]E[Z] = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z). Teorem 4.. Ako su X i Y slučajne varijable, te a i b konstante, tada vrijedi. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). Cov(X+a,Y+b)=Cov(X,Y) 3. Cov(X,aX+b)=aVar(X). Dokaz:.. 3. Cov(aX, by ) = E[(aX E(aX))(bY E(bY ))] = E[(aX aex)(by bey )] = E[abXY abxey aby EX + abexey ] = abe(xy ) abexey abexey + abexey = abe(xy ) abexey = ab[e(xy ) EXEY ] = abcov(x, Y ) Cov(X + a, Y + b) = E[(X + a E(X + a))(y + b E(Y + b))] = E[(X + a EX a)(y + b EY b)] = E[XY XEY Y EX + EXEY ] = E(XY ) EXEY EXEY + EXEY = Cov(X, Y ) Cov(X, ax + b) = E[(X EX)(aX + b E(aX + b))] = E[(X EX)(aX + b aex b)] = E[aX axex axex + a(ex) ] = aex a(ex) a(ex) + a(ex) = av arx. 38

39 Primijetimo kako smo kod dvodimenzionalnog diskretnog slučajnog vektora kovarijancu definirali kao centralni moment reda (, ) odnosno korelacijski moment. Analogno, kovarijanca dvije neprekidne varijable je takoder centralni moment, tj. korelacijski moment dvije varijable slučajnog vektora. Kako kod slučajnog vektora općenito imamo n varijabli, i znamo da ukoliko postoje tražena očekivanja, kovarijancu možemo definirati i izračunati za svake dvije komponente tj. slučajne varijable iz tog slučajnog vektora. Dakle, ukoliko vektor ima n komponenti, tada imamo n korelacijskih momenata što zapisujemo u obliku matrice. Uvedimo sada preciznu definiciju: Definicija 4.. Realnu simetričnu matricu V = [Cov(X i, X j )], i, j {,..., n} zovemo matricom kovarijanci slučajnog vektora X = (X,..., X n ). Ako je X = (X,..., X n ) n-dimenzionalan neprekidan slučajan vektor, primjenjujući svojstva kovarijance, pokaže se da je: Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X, X ) Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) V = Cov(X n, X ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X n ) Cov(X n, X n ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X ) Cov(X n, X n ) Cov(X n, X n ) V arx Cov(X, X ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X, X ) V arx Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) = Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) V arx n Cov(X n, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X, X n ) Cov(X n, X n ) V arx n V arx σ σ (n ) σ n σ V arx σ (n ) σ n = σ (n ) σ (n ) V arx n σ (n )n σ n σ n σ (n )n V arx n Koeficijent korelacije i korelacijska matrica Definicija 4.. Neka je X = (X,..., X n ) neprekidan slučajan vektor. Komponente X i i X j su nekorelirane ako je Cov(X i, X j ) =. U suprot- 39

40 nom kažemo da su slučajne varijable X i i X j korelirane. Broj ρ i,j = Cov(X i, X j ) V arxi V arx j nazivamo koeficijent korelacije slučajnih varijabli X i i X j, i, j {,..., n} te vrijedi da je ρ [, ] Pokažimo da zaista vijedi da je ρ [, ]. Neka je µ i = EX i, µ j = EX j, σ i = V arx i, σ j = V arx j, te σ ij = Cov(X i, X j ). Neka je tada je jer je V ar(w ). ( V ar(w ) = W = X j σ ρ X i σ, σ j ) ( ) ρ σj + σi ρ σ ij σ i σ i σ j = + ρ ρ = ρ Takoder, kao što smo kod n-dimenzionalnog neprekidnog slučajnog vektora imali n kovarijanci, očigledno je da ćemo imati i n koeficijenata korelacije, koje opet zapisujemo matrično. Definicija 4.3. Realnu simetričnu matricu R = [ρ i,j ], i, j {,,..., n} zovemo korelacijska matrica slučajnog vektora X = (X,..., X n ). Analogno kao kod matrice kovarijanci, primjenjujući svojstva kovarijance i komutativnost množenja na skupu R, dobijemo sljedeći rezultat čime potkrepljujemo svojstva matrice R: ρ, ρ, ρ,n ρ,n ρ, ρ, ρ,n ρ,n R = ρ,n ρ,n ρ n,n ρ n,n ρ,n ρ,n ρ n,n ρ n,n 4

41 4.5 Nezavisnost komponenti neprekidnog slučajnog vektora Komponente X,..., X n slučajnog vektora X = (X,..., X n ) su slučajne varijable koje mogu, ali i ne moraju biti medusobno nezavisne. Prisjetimo se, slučajne vrijable X,..., X n su nezavisne ako vrijedi P (X A,..., X n A n ) = P (X A )... P (X n A n ) za izmjerive skupove A,..., A n. Izaberimo skupove A i =, x i. Onda je P (X i A i ) = P (X i < x i ) = F Xi (x i ). Ako su X,..., X n nezavisne, zaključujemo da vrijedi F X (x,..., x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), (x,..., x n ) R n. Preko funkcija gustoća kriterij za nezavisnost možemo iskazati ovako: Teorem 4.4. Komponente X,..., X n slučajnog vektora X = (X,..., X n ) su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi f X (x,..., x n ) = f X (x ) f Xn (x n ), (x,..., x n ) R n. Dokaz: Jedan smjer slijedi iz F X (x,..., x n ) = F X (x ) F Xn (x n ), deriviranjem te jednakosti po varijablama x,..., x n. Obrat ćemo, zbog jednostavnosti zapisivanja, dokazati za dvodimenzionalan vektor. Neka su A i B intervali u R, te G=A B pravokutnik. Onda vrijedi P (X A, Y B) = P ((X, Y ) G) = f X (x, y)dxdy. Prema pretpostavci teorema vrijedi f X (x, y) = f X (x)f Y (y), pa je ovaj integral jednak f X (x)f Y (y)dxdy = f X (x)dx f Y (y)dy = P (X A)P (Y B). G A B Dakle, X i Y su nezavisne. Propozicija 4.5. Ukoliko su komponente X i Y neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ) nezavisne, tada za svake dvije funkcije g i h, ukoliko postoje očekivanja E[g(X)], E[h(Y )], E[g(X)]E[h(Y )], vrijedi E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )]. G 4

42 Dokaz: E[g(X)h(Y )] = g(x)h(x)f X (x, y)dxdy = g(x)h(x)f X (x)f Y (y)dxdy = h(y)f Y (y)dy g(x)f X (x)dx = E[h(Y )]E[g(X)] = E[g(X)]E[h(Y )]. Napomena 4.6. Kako prethodna propozicija vrijedi za svake dvije funkcije g i h, specijalno vrijedi i ako su funkcije identitete pa u tom slučaju imamo: E[XY ] = E[X]E[Y ]. Teorem 4.7. Ukoliko su komponente X i Y neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ) nezavisne, tada je E[Y X = x] = EY, x R(X), te E[X Y = y] = EX, y R(Y ). Dokaz: Kako su X i Y nezavisne, tako je f X (x, y) = f X (x)f Y (y), pa je f X (y x) = f Y (y) i f X (x y) = f X (x), te vrijedi: E[Y X = x] = yf X (y x)dy = yf Y (y)dy = E(Y ). 4

43 Teorem 4.8. Ukoliko su komponente X i Y neprekidnog slučajnog vektora X = (X, Y ) nezavisne, tada je Cov(X,Y)=. Dokaz: Prema definiciji je Cov(X,Y)=E[XY] EXEY, a kako su slučajne varijable X i Y nezavisne tada je prema prethodnom teoremu: Cov(X, Y ) = E[XY ] EXEY = EXEY EXEY =. Teorem 4.9. Ukoliko su komponente X,..., X n neprekidnog slučajnog vetora X = (X,..., X n ) nezavisne, EX = µ,..., EX n = µ n tada je V ar(x + + X n ) = V arx + + V arx n. Dokaz: V ar(x + + X n ) = E[(X + + X n ) (µ + + µ n )] = E[(X µ ) + + (x n µ n )] = E[(X µ ) ] + + E[(X n µ n ) ] n n + E[(X i µ i )(X j µ j )] i= j= j i = V arx + + V arx n + = V arx + + V arx n. n i= n Cov(X i, X j ) j= j i 4.6 Funkcije slučajnog vektora Teorem 4.3. Neka je X = (X,..., X n ) neprekidan slučajan vektor s funkcijom gustoće f X (x,..., x n ) > na A, i f X (x,..., x n ) = na A C. Nadalje, neka je Y = (Y,..., Y n ) slučajan vekor takav da je svaka njegova komponenta injektivna transformacija slučajnog vektora X, tj. Y i = u i (X,..., X n ) = u i (X), u i injekcija i {,..., n}. 43

44 Ako je Jacobijan J = x x y x x y. x n y x y... y n x y... y n..... x n x y... n neprekidan i različit od nule na slici funkcije u, tada je funkcija gustoće slučajnog vektora Y dana izrazom y n f Y (y,..., y n ) = f X (x,..., x n ) J gdje je (x,..., x n ) = x rješenje sustava jednadžbi y=g(x). Dokaz: Neka je skup B slika transformacije y=u(x) s inverznom transformacijom x=w(y). Pretpostavimo da je D B, te C skup svih točaka x = (x,..., x n ) koje se preslikaju u skup D pri transformaciji. Tada je prema osnovnom teoremu o zamjenama varijabli: P (Y D) = f Y (y,..., y n )dy... dy n = = D C D f X (x,..., x n )dx... dx n f Y (w (y,..., y n ),..., w k (y,..., y n )) J dy... dy n Kako tvrdnja vrijedi za proizvoljni D B, time je tvrdnja teorema dokazana. Primjer 4.3. Neka je X = (X, X ) neprekidan slučajan vektor. Odredite funkcije gustoće slučajnih varijabli:. X X. X X pri čemu je X. Rješenje: 44

45 . Promatramo slučajan vektor Y = (Y, Y ) = (X, X X ) = u(x) gdje je u(x, x ) = (x, x x ). Riješimo sustav jednadžbi Y = u(x) i odredimo Jacobijan funkcije v(y, y ). y = x x = y x = y y = x x x = x y x = y y v(y, y ) = (y, y y ) = (v (y, y ), v (y, y )) J = v v y y v v y y = = =, pa slijedi da je f Y (y, y ) = f X (y, y y ) = f X (y, y y ), a odavde je funkcija gustoće slučajne varijable Y = X X : f Y (y ) = f X (y, y y )dy.. Trebamo odrediti funkciju gustoće slučajne varijable Y = X X je X. ( ) Y = (Y, Y ) = X, X X = u(x), X = (X, X ), X ( ) u(x, X ) = X, X X, u : R \ {} R je injekcija. pri čemu Riješimo sustav jednadžbi Y = u(x) y = x x = y x = y y = x x x = y x x = y y. Odredimo Jacobijan funkcije v(y, y ) = (y, y y ) J = y y = y, 45

46 pa odatle slijedi da je f Y (y, y ) = f X (y, y y ) J = y f X (y, y y ), tj. funkcija gustoće slučajne varijable X X je prema tome: f Y (y ) = f X (y, y y ) y dy. 4.7 Normalan slučajan vektor U radu smo se već upoznali sa normalnom distribucijom. U ovom poglavlju ćemo pokazati kako ona izgleda ukoliko imamo dvije ili n N slučajnih neprekidnih varijabli sa zajedničkom funkcijom gustoće, odnosno slučajan vektor Dvodimenzionalan normalan slučajan vektor Definicija 4.3. Slučajan vektor X = (X, Y ) ima dvodimenzionalnu normalnu distribuciju ako je njegova gustoća dana sa f X (x, y) = ( [ πσ σ e ( r ) r (x µ ) Tada pišemo (X,Y) N (µ, µ, σ, σ, r). σ ]) r (x µ )(y µ ) + (y µ ) σ σ σ, (x, y) R Neka vektor X = (X, Y ) ima normalnu distribuciju N (µ, µ, σ, σ, r). Tada je µ =EX, µ =EY, σ = V arx, σ = V ary, te parametar r je koeficijent korelacije slučajnih varijbli X i Y, što ćemo detaljno pokazati. Provjerimo najprije da li funkcija f ima svojstva funkcije gustoće slučajne varijable. Ona je svakako pozitivna pa je to svojstvo zadovoljeno, potrebno je provjeriti još da je njezin integral jednak. Uvedimo supstituciju u = x µ σ, v = y µ σ 46

47 pri čemu je dxdy = σ σ dudv. Dobivamo: I = f X (x, y)dxdy = = π ρ ( ) π ρ e ( ρ ) (u ρuv+v ) dudv Uvodimo još jednu supstituciju, w = ( ) e ( ρ ) [(u ρv) +( ρ )v ] dudv. u ρv ρ, z = v s Jacobijanom tako dobivamo J = (u, v) (w, z) = I = π ρ ρ = ρ, e w dw e z dz =. Neka vektor X = (X, Y ) ima normalnu distribuciju N (µ, µ, σ, σ, r). Pokažimo da tada varijable X i Y imaju normalnu distribuciju N (µ, σ ), odnosno N (µ, σ ). Funkcija gustoće vektora X može se napisati na sljedeći način: f X (x, y) = = ( [ πσ σ e ( r ) r (x µ ) ( [ e y µ ( r r x µ ) σ πσ r = f X (x, y) e πσ ( (x µ ) σ ), σ ]) r (x µ )(y µ ) + (y µ ) σ σ σ σ ] ) e πσ ( [ ( r ) (x µ ) σ ] ) r (x µ ) σ 47

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Continuous Random Variables

Continuous Random Variables 1 / 24 Continuous Random Variables Saravanan Vijayakumaran sarva@ee.iitb.ac.in Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay February 27, 2013 2 / 24 Continuous Random Variables

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

ITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA

ITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Cigula ITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA Diplomski rad Zagreb, veljača, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

More information

3. Probability and Statistics

3. Probability and Statistics FE661 - Statistical Methods for Financial Engineering 3. Probability and Statistics Jitkomut Songsiri definitions, probability measures conditional expectations correlation and covariance some important

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Chp 4. Expectation and Variance

Chp 4. Expectation and Variance Chp 4. Expectation and Variance 1 Expectation In this chapter, we will introduce two objectives to directly reflect the properties of a random variable or vector, which are the Expectation and Variance.

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

BASICS OF PROBABILITY

BASICS OF PROBABILITY October 10, 2018 BASICS OF PROBABILITY Randomness, sample space and probability Probability is concerned with random experiments. That is, an experiment, the outcome of which cannot be predicted with certainty,

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

Random Variables. Cumulative Distribution Function (CDF) Amappingthattransformstheeventstotherealline.

Random Variables. Cumulative Distribution Function (CDF) Amappingthattransformstheeventstotherealline. Random Variables Amappingthattransformstheeventstotherealline. Example 1. Toss a fair coin. Define a random variable X where X is 1 if head appears and X is if tail appears. P (X =)=1/2 P (X =1)=1/2 Example

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Exam P Review Sheet. for a > 0. ln(a) i=0 ari = a. (1 r) 2. (Note that the A i s form a partition)

Exam P Review Sheet. for a > 0. ln(a) i=0 ari = a. (1 r) 2. (Note that the A i s form a partition) Exam P Review Sheet log b (b x ) = x log b (y k ) = k log b (y) log b (y) = ln(y) ln(b) log b (yz) = log b (y) + log b (z) log b (y/z) = log b (y) log b (z) ln(e x ) = x e ln(y) = y for y > 0. d dx ax

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Perhaps the simplest way of modeling two (discrete) random variables is by means of a joint PMF, defined as follows.

Perhaps the simplest way of modeling two (discrete) random variables is by means of a joint PMF, defined as follows. Chapter 5 Two Random Variables In a practical engineering problem, there is almost always causal relationship between different events. Some relationships are determined by physical laws, e.g., voltage

More information

Procjena funkcije gustoće

Procjena funkcije gustoće Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Jelena Milanović Procjena funkcije gustoće Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Jelena Milanović

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

1 Random Variable: Topics

1 Random Variable: Topics Note: Handouts DO NOT replace the book. In most cases, they only provide a guideline on topics and an intuitive feel. 1 Random Variable: Topics Chap 2, 2.1-2.4 and Chap 3, 3.1-3.3 What is a random variable?

More information

P (x). all other X j =x j. If X is a continuous random vector (see p.172), then the marginal distributions of X i are: f(x)dx 1 dx n

P (x). all other X j =x j. If X is a continuous random vector (see p.172), then the marginal distributions of X i are: f(x)dx 1 dx n JOINT DENSITIES - RANDOM VECTORS - REVIEW Joint densities describe probability distributions of a random vector X: an n-dimensional vector of random variables, ie, X = (X 1,, X n ), where all X is are

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

SUMMARY OF PROBABILITY CONCEPTS SO FAR (SUPPLEMENT FOR MA416)

SUMMARY OF PROBABILITY CONCEPTS SO FAR (SUPPLEMENT FOR MA416) SUMMARY OF PROBABILITY CONCEPTS SO FAR (SUPPLEMENT FOR MA416) D. ARAPURA This is a summary of the essential material covered so far. The final will be cumulative. I ve also included some review problems

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................

More information

Lecture 5: Expectation

Lecture 5: Expectation Lecture 5: Expectation 1. Expectations for random variables 1.1 Expectations for simple random variables 1.2 Expectations for bounded random variables 1.3 Expectations for general random variables 1.4

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE

STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Daniel Stojanović STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc.siniša Slijepčević Zagreb, lipanj,

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište

More information

Random Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R

Random Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R In probabilistic models, a random variable is a variable whose possible values are numerical outcomes of a random phenomenon. As a function or a map, it maps from an element (or an outcome) of a sample

More information

Lecture 19: Properties of Expectation

Lecture 19: Properties of Expectation Lecture 19: Properties of Expectation Dan Sloughter Furman University Mathematics 37 February 11, 4 19.1 The unconscious statistician, revisited The following is a generalization of the law of the unconscious

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Introduction to Computational Finance and Financial Econometrics Probability Review - Part 2

Introduction to Computational Finance and Financial Econometrics Probability Review - Part 2 You can t see this text! Introduction to Computational Finance and Financial Econometrics Probability Review - Part 2 Eric Zivot Spring 2015 Eric Zivot (Copyright 2015) Probability Review - Part 2 1 /

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

ECE Lecture #9 Part 2 Overview

ECE Lecture #9 Part 2 Overview ECE 450 - Lecture #9 Part Overview Bivariate Moments Mean or Expected Value of Z = g(x, Y) Correlation and Covariance of RV s Functions of RV s: Z = g(x, Y); finding f Z (z) Method : First find F(z), by

More information

Review of Probability Theory

Review of Probability Theory Review of Probability Theory Arian Maleki and Tom Do Stanford University Probability theory is the study of uncertainty Through this class, we will be relying on concepts from probability theory for deriving

More information