Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Save this PDF as:

Size: px
Start display at page:

Download "Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike"

Transcription

1 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014.

2 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Voditelj: doc.dr.sc. Ivan Matić

3 Sažetak. Cilj ovog rada je pokazati važnost Fermatove metode beskonačnog spusta i prikazati važnije teoreme koji se mogu dokazati tom metodom. Fermat je baveći se matematikom samo u slobodno vrijeme došao do nekih zaključaka koji su temelj mnogih grana matematike već dugi niz godina. U radu ćemo pokazati kako na mnogo načina metodom spusta možemo dokazati da je neki broj iracionalan. Isto tako navest ćemo 3 važna teorema, poseban slučaj Fermatova posljednjeg teorema koji govori o rješenjima jednadžbe x n + y n = z n, rješenjima Markovljeve jednadžbe x + y + z = 3xyz te Lagrangeova terema o četiri kvadrata koji kaže da se svaki prirodan broj n može zapisati kao suma 4 kvadrata. Fermatova metoda beskonačnog spusta ima veliku ulogu i u geometriji pa u završnom dijelu ovog rada promatramo poznati Sylvestrov problem i njegovo rješenje te odgovore na Fermatova pitanja o površini pravokutnog trokuta. Ključne riječi: metoda spusta, kontradikcija, potpun kvadrat, cijeli broj, rješenje jednadžbe, minimalni element. Abstract. The goal of this paper is to showcase the importance of Fermat s method of infinite descent and to present some of the more important theorems which were proven through the aforementioned method. Fermet has managed to, while only dwelling into mathematics in his spare time, reach some conclusions which have been the basis of a couple of mathematical branches for quite some years now. In this paper we ll be demonstrating multiple ways of proving that a number is irrational and each will be proven through the method of descent. Similary, we will also mention three important theorem special case of Fermat s last theorem, which focuses on the solutions to the equation x n + y n = z, the solutions to Markov s equation x + y + z = 3xyz together with Lagrange s four-square theorem, which states that every natural number n can be written as the sum of four squares. Fermat s method of infinite descent had a major role in geometry as well; therefore we will use the closing part of this paper to observe the famous Sylvester s Problem and its solution alongside the answers to Fermat s questions about the surface of a right triangle. Keywords: method of descent, contradiction, perfect square, integer, solution to the equation, minimal element

4 Sadržaj 1 Uvod 1 Pierre de Fermat 3 Iracionalnost brojeva 3 4 Metoda spusta kao važan čimbenik pronalaska tvrdnji u teoriji brojeva Fermatov posljedni teorem Markovljeva jednadžba Lagrangeov teorem o četiri kvadrata Korištenje metode spusta u geometriji Sylvestrov problem Površine pravokutnih trokuta

5 Fermatova metoda beskonačnog spusta 1 1 Uvod Metodu beskonačnog spusta osmislio je Fermat. Ona služi pri dokazivanju tvrdnje da neka jednadžba nema ili ima nekoliko rješenja u skupu cijelih brojeva. Može se reći da je Fermatova metoda beskonačnog spusta jedan oblik indukcije. Prisjetimo se, u indukciji imamo 3 koraka. U prvom dokazujemo da tvrdnja vrijedi za najmanji element a iz skupa prirodnih brojeva. Zatim nastavljamo za sve ostale a + 1, a +,... Ideja spusta se može opisati na sljedeći način: Očito je da svaki konačan podskup skupa prirodnih brojeva mora imati najmanji element. Ako moramo pokazati da tvrdnja P (a) vrijedi za svaki a A, gdje je A konačan podskup skupa prirodnih brojeva, pretpostavit ćemo suprotno. Dakle, postoji barem jedan a A za koji izjava P (a) ne vrijedi. Označimo sa B skup svih elemenata x A za koje tvrdnja P (x) ne vrijedi. Očito je B neprazan podskup skupa A pa postoji minimalan element skupa B. Označimo ga s b. Kako je b B, znači da tvrdnja P (b) ne vrijedi. Sada nastojimo pronaći još manji broj c A (c < b) takav da P (c) ne vrijedi. To bi značilo da je c element skupa B koji je manji od b, a to je kontradikcija sa minimalnošću od b. Ovaj rad je osmišljen kao prikaz važnih teorema u odredenim granama matematike pri čijem je dokazivanju korištena metoda spusta. Počevši s poglavljem u kojem ćemo dokazivati naizgled trivijalnu tvrdnju, da je neki broj iracionalan pa sve do dokazivanja važnih geometrijskih tvrdnji.

6 Fermatova metoda beskonačnog spusta Pierre de Fermat Tajanstven i šutljiv, nije volio pričati o sebi ta nije bio sklon otkrivati drugima previše o svojim razmišljanjima... Njegove ideje, orginalne i neobične, nastale su u skladu s mogućnostima koje su bile usko ograničene prostorom i vremenom. Pierre Fermat je roden godine u gradu Beaumont-de-Lamagne u Francuskoj. Odrastao je u bogatoj obitelji, zajedno s bratom i dvije sestre u rodnom gradu. Pohadao je studij u Toulouseu te nakon završetka studija započeo je svoja prva važna matematička istraživanja o ekstremima. Nešto kasnije, Fermat je započeo u Orléansu studij prava te dobio diplomu iz gradanskog prava. Već je postao pravnik i vladin službenik u Toulouseu zbog čega mijenja ime u Pierre de Fermat. Kako su godine prolazile, Fermat je postajao sve uspješniji pa je 165. godine promaknut u suca kaznenog suda, što je bio najviši položaj tada. Uz sav posao, Fermat je uvijek pronalazio vremena za matematiku. Budući da su radili sličan posao te dijelili ljubav prema matematici, Fermat uskoro upoznaje Carcavija s kojim počinje diskutirati o svojim matematičim idejama. Carcavi, zainteresiran za njegov rad, spaja ga s Merssenom s kojim Fermat raspravljao o svojim otkrićima, ne govoreći mu tehnike kojima je došao do tih rezultata. To je upravo postao njegov princip: Izazvati druge da nadu rezultate za ono što je on već otkrio. Fermat je ubrzo postao jedan od najcjenjenjih matematematičara u svijetu iako većinu njegova rada nije dotad bila prikazana jer Fermat svoja otkrića nije sažeo u djelo. Onaj dio koji je objavljen, nalazio se kao dodatak u nekim važnim djelima. Na primjer, Fermatova metoda minimuma i maksimuma je bila dodatak djelu Cursus mathematicus. Pročitavši Descartesovo djelo La Dioptrique Fermat je pronašao svoju sljedeću zanimaciju. Naime, smatrao je da Descartes nije dobro opisao zakon refleksije svijetla. Naravno, Descartes to nije dobro primio, a još ga je dodatno razljutilo kada je vidio Fermatov rad o minimumima, maksimumima i tangentama koji je svojom pojavom smanjio važnost njegovog djela La Géometrie na koje je Descartes bio najviše ponosan. Tako ljut Descartes je pokušavao uništiti Fermatovu reputaciju blateći njegov rad i samog Fermata govoreći da nije pravi matematičar. Budući da je Descartes bio poštovan, to je uništilo Fermatovu reputaciju. Nakon 0 godina, Fermat se vratio tom problemu, dokazao svoju tvrdnju te pokazao da je Descartes pogriješio. Postavio je jedan od danas najvažnijih zakona optike, prema kojem svjetlost ide od jedne točke do druge putem za koji je potrebno najkraće vrijeme. U periodu od do godine Fermat nije bio u kontaktu sa svojim kolegama zbog gradanskog rata godine Fonde i kuge godine koja je i njega samoga zahvatila, no nasreću uspio se izliječiti. U to vrijeme Fermat je bio zaokupljen teorijom brojeva te došao do zaključka kojeg danas nazivamo Fermatov posljednji teorem. On kaže da jednadžba x n + y n = z n nema nenegativnih cjelobrojnih rješenja u slučaju kada je n >. Istinitost te tvrdnje tek je dokazao engleski matematičar Andrew Wiles. Tristo godina raznih pokušaji dokazivanja doveli su do mnogih otkrića u teoriji prstenova i ostalim granama matematike.

7 Fermatova metoda beskonačnog spusta 3 Isto tako, Fermat je postavio niz tvrdnji da suma dva kuba ne može biti kub (poseban slučaj Fermatovog posljednjeg teorema), da postoje točno cjelobrojna rješenja jednadžbe x + 4 = y 3 te da jednadžba x + = y 3 ima samo jedno cjelobrojno rješenje. Nažalost, ostali matematičari tog vremena nisu bili baš zainteresirani za takve probleme jer teoriju brojeva nisu smatrali toliko važnom. Tek nakon nekog vremena Fermatu se javio Huygens te izrazio zanimanje za njegove radove u teoriji brojeva. Fermat mu je opisio svoju metodu beskonačnog spusta i dao primjer da ona može biti korištena u dokazu da svaki prosti broj oblika 4k + 1 može biti zapisan kao suma dvaju kvadrata. Sa sigurnošću možemo reći da je Fermat bio jedan od najvećih matematičara u povijesti i da su njegovi radovi u velikoj mjeri pridonijeli razvoju brojnih matematičkih otkrića. Fermat je umro godine u gradu Castresu u Francuskoj. 3 Iracionalnost brojeva U ovom poglavlju vidjet ćemo na koji način se dokazuje iracionalnost brojeva. Takve tvrdnje se mogu dokazati na više načina, a sve su bazirane na metodi spusta. No, prvo ćemo definirati pojam iracionalnog broja. Definicija 1. Broj koji se ne može zapisati u obliku m, m Z, n N naziva se iracionalan n broj. U nastavku slijedi teorem koji ćemo dokazati na dva načina i u oba slučaja koristeći metodu spusta. Teorem 1. Ako je d prirodan broj i d nije potpun kvadrat, tada je d iracionalan broj. Dokaz. 1.način: Pretpostavimo da je d racionalan. Kako d nije potpun kvadrat, njegov korijen se nalazi izmedu dva uzastopna pozitivna cijela broja. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je l takav da l < d < l +1. Sada d možemo zapisati u obliku d = l + m gdje su m n i n pozitivni cijeli brojevi za koje vrijedi 0 < m < 1, 0 < m < n. Kvadrirajući jednakosti n d = l + m te množenjem s nazivnika dobivamo n m = n (d l ) mnl što možemo zapisati u obliku m = nq gdje je q = n(d l ) ml. Kako su m i q pozitivni, slijedi da je m = q pa je d = l + m = l + q. Iz m = q i 0 < m < 1 slijedi da je 0 < q < m. n m n m n m n Razlomak q ima manji (pozitivni) nazivnik nego m pa smo od zapisa d = l + m dobili m n n

8 Fermatova metoda beskonačnog spusta 4 zapis d = l + q s manjim pozitivnim nazivnikom. Ponavljajući postupak dovoljno puta, m dolazimo do kontradikcije..način: ( ) 0 d Stavimo A =. Karakteristični polinom ove matrice je det(λi 1 0 A) = λ d, kojemu pripada svojstvena vrijednost ( ) d d te pripadni svojstveni vektor. Pretpostavimo da je d racionalan i zapišimo ga u obliku d = a gdje su a i b nenegativni cijeli 1 b brojevi. Znamo da je svaki svojstveni vektor pomnožen ( ) bilo ( kojim skalarom različitim od nule, d a ) opet svojstveni vektor te matrice. Stoga = b možemo zamijeniti vektorom 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 0 d db. Vrijedi da je A = = = ( ) a d. b b 1 0 a b Neka je l prirodan broj, takav da je l < ( ) a d < l + 1. Tada je (A li ) = ( ) ( ) b a a d l = ( ( ) a d l) ) gdje je d l izmedu 0 i 1. b b b ( ) a Iz gornje jednakosti vidimo da je svojstveni vektor matrice A li b sa svojstvenom ( ) a vrijednosti izmedu 0 i 1. Kako je svojstveni vektor matrice A li b, on je svojstveni vektor i od ((A) li ) r za svaki ( ) r 1, s pripadnom svojstvenom vrijednosti (d l) r, tj. a a (A li ) r = (d l) b r. b S lijeve strane, za sve r 1, imamo vektor iz Z jer je A matrica sa cjelobrojnim vrijednostima te l Z. Na desnoj strani imamo netrivijalan vektor jer su a, b i d l različiti od nule. Budući da je d l < 1, kako r raste desna strana teži u nulu pa tako dobivamo niz netrivijalnih vektora u Z čija duljina konvergira prema nuli. To je nemoguće pa dobivamo kontradikciju. Pogledajmo ovaj dokaz i na konkretnom primjeru. Primjer 1. Dokažimo da je iracionalan broj. Sukladno dokazu prethodnog teorema, pretpostavit ćemo da je racionalan. Kako je 1 < <, možemo pisati = 1 + m, n gdje su m i n pozitivni cijeli brojevi takvi da je 0 < m < 1, tj. 0 < m < n. n Kvadrirajući i rješavajući se nazivnika dobivamo da je n = n + mn + m pa je m = n mn = n(n m). Kako su m i n pozitivni, slijedi da je i n m pozitivan te vrijedi m = n m. Budući da je 0 < m < 1 slijedi da je 0 < n m < m. Dakle, n m n od zapisa broja kao m n m došli smo do drugog zapisa koji ima manji nazivnik. n m Nastavimo ovaj proces i nakon konačno mnogo puta doći ćemo do kontradikcije.

9 Fermatova metoda beskonačnog spusta 5 Napomena: Tvrdnja Teorema 1. vrijedi i općenito. Ako je d Z i k (d > 0 ako je k paran) i d nije k-ta potencija, tada je k d iracionalan broj. Dokaz je analogan dokazu Teorema 1. uz pretpostavku da je k ( ) 0 d d = a, koristeći matricu A = te vektor b I k 1 0 a k 1 a k b v =.. b k 1 4 Metoda spusta kao važan čimbenik pronalaska tvrdnji u teoriji brojeva U ovom poglavlju ćemo pogledati neke važne teoreme koji su dobiveni koristeći se metodom spusta, odnosno njihove dokaze koji se svode na metodu spusta. Neki najbitniji od njih su Fermatov posljednji teorem, rješenje Markovljeve jednadžbe te Lagrangeov teorem o četiri kvadrata. 4.1 Fermatov posljedni teorem Fermatov posljednji teorem glasi: Ne postoje 3 pozitivna cijela broja x, y i z koji zadovoljavaju jednadžbu x n + y n = z n, gdje n. U ovom radu mi ćemo se bazirati na slučaj kada je n = 4. Radi pregleda iskazat ćemo teorem za taj slučaj, a potom ga dokazati. Teorem. Ne postoji pozitivno cjelobrojno rješenje jednadžbe x 4 + y 4 = z. Posebno, a 4 + b 4 = c 4 nema pozitivnih cjelobrojnih rješenja. Dokaz. Koristit ćemo parametrizaciju primitivnih Pitagorinih trojki. Prisjetimo se: rješenje jednadžbe a + b = c, gdje su a, b i c pozitivni cijeli brojevi te b paran dano je s a = k l, b = kl, c = k + l, gdje je k > l te m i n relativno prosti brojevi različite parnosti. Pretpostavimo sad da postoji rješenje (x, y, z) jednadžbe x 4 + y 4 = z gdje su x, y i z pozitivni cijeli brojevi. Ako je p zajednički prosti faktor od x i y tada p 4 z iz čega slijedi da p z te možemo pokratiti s p 4 i dobiti sličnu jednadžbu sa manjim pozitivnim vrijednostima x, y i z. Nastavljajući tako dovoljno puta možemo pretpostaviti da je (x, y) = 1 iz čega slijedi (x, z) = 1 i (y, z) = 1. Pronaći ćemo drugo, manje cjelobrojno pozitivno rješenje (x, y, z ) takvo da vrijedi

10 Fermatova metoda beskonačnog spusta 6 (x, y ) = 1. Kako je x 4 + y 4 = z i (x, y) = 1, barem jedan od x ili y je neparan (primijetimo da ne mogu oboje jer bi tada značilo da je z (mod 4)) što nije moguće). Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je x neparan i y paran, iz čega slijedi da je z neparan. Kako (x ) + (y ) = z, (x, y, z) je jedna primitivna Pitagorina trojka sa y parnim pa prema formuli za Pitagorine trojke možemo pisati x = k l, (1) y = kl, () z = k + l, (3) gdje k > l > 0 te su k i l relativno prosti. Sada imamo x + l = k, a kako su k i l relativno prosti (x, k, l) nam tvori još jednu primitivnu Pitagorinu trojku pa imamo x = a b, l = ab, k = a + b, gdje je b > a > 0 te (a, b) = 1. Iz (1),() i (3) slijedi da y = kl = (a + b )ab = 4(a + b )ab. Kako je y paran, ( y ) = (a + b )ab. Budući da (a, b) = 1, tri faktora sa desne strane jednakosti su u parovima relativno prosti. Svi su pozitivni, produkt im je potpun kvadrat pa je svaki od njih potpun kvadrat te ih možemo zapisati u obliku a = (x ), b = (y ), a + b = (z ), gdje su x,y i z pozitivni cijeli brojevi. Iz (a, b) = 1 i (x, y ) = 1, jednadžba za (z ) može biti napisana kao (z ) = (x ) 4 + (y ) 4 pa smo dobili drugo rješenje za našu polaznu jednadžbu. Usporedimo sada z i z. z (z ) = a + b = k k < z. Usporedujući pozitivna cjelobrojna rješenja (x, y, z) po z, metodom beskonačnog spusta dobivamo kontradikciju. Sljedeći korolar je direktna posljedica prethodnog teorema. Korolar 1. Jedino racionalno rješenje jednadžbe y = x je (0, ±1). Dokaz. Napišimo x i y sa zajedničkim nazivnikom x = a c jednadžba iz iskaza korolara ima oblik i y = b, gdje je c 0. Sada c b c = a4 c

11 Fermatova metoda beskonačnog spusta 7 Množeći sa c 4 dobivamo da je (bc) = a 4 + c 4. Po prethodnom teoremu, ili a ili b ili bc je nula (pri čemu iz definicije c ne može biti nula). Stoga imamo slučaja: Ako je a = 0 tada je x = 0 i y = 1 te imamo rješenje jednadžbe (0, ±1). Ako je b = 0 onda je a 4 + c 4 = 0, a to je nemoguće jer bi tada bilo da je c = 0 to je kontradikcija pa je (0, ±1) jedino rješenje. 4. Markovljeva jednadžba Markovljeva jednadžba glasi x + y + z = 3xyz. Jedno rješenje ove jednadžbe je očito (1, 1, 1). Pitanje je: kako glase ostala? Stavimo li 3xyz na lijevu stranu, x možemo zapisati kao nultočka polinoma T (3yz)T + (y + z ) = 0. Da bi pronašli drugu nultočku pogledat ćemo relaciju izmedu korijena i koeficijenata. Ako označimo drugi korijen sa r, naš polinom poprima oblik (T x)(t r) = T (x+r)t +xr iz čega možemo zaključiti da je 3yz = x + r. Dakle, drugi korijen r je r = 3yz x. Od jednog rješenja (x, y, z) smo dobili drugo (3yz x, y, z). Kada bi zamijenili uloge od x, y i z analogno bi iz toga dobili još dva dodatna rješenja koja glase (x, 3xz y, z) i (x, y, 3xy z). Markov je dokazao da se sva rješenja u pozitivnim cijelim brojevima mogu dobiti na ovaj način, polazeći od očitog rješenja (1, 1, 1). Mi ćemo metodu spusta koristiti za dokaz teorema koji govori o specijalnoj ulozi broja 3 na desnoj strani Markovljeve jednadžbe. Taj teorem se pripisuje dvojici matematičara, Frobeniusu i Hurwitzu. Teorem 3. Za svaki pozitivan cijeli broj k, različit od 1 ili 3, jednadžba x + y + z = kxyz nema cjelobrojnog rješenja različitog od (0, 0, 0). Dokaz. Posebno ćemo pogledati slučajeve kada je k > 3 i kada je k =. Neka je k > 3. Pretpostavimo da brojevi a, b i c zadovoljavaju jednadžbu a + b + c = kabc. Ako je bilo koji od brojeva a, b ili c jednak nuli, u tom slučaju jednadžba govori da je suma dva ostala kvadrata jednaka nuli što nužno znači da su i oni 0. Dakle, pretpostavimo li da je (a, b, c) netrivijalna trojka to će značiti da su a, b i c svi različiti od nule. Takoder, barem jedan od njih je pozitivan jer bi u suprotnom desna strana jednadžbe bila negativna.

12 Fermatova metoda beskonačnog spusta 8 Druga dva moraju ili oba biti pozitivna ili oba negativna. U slučaju negativnosti možemo promijeniti njihove predznake da bi dobili slučaj u kojem su svi pozitivni pa bez smanjenja općenitosti možemo odmah pretpostaviti da su svi pozitivni. Nadalje, brojevi a, b i c su medusobno različiti. Kako bi to dokazali, pretpostavit ćemo suprotno te bez smanjenja općenitosti stavimo da je a = b. Tada je a + c = ka pa c = a (kc ) iz čega slijedi da je kc kvadrat pa ga možemo zapisati kao kc = d, gdje je d 1. Sada je kc = + d pa je a + c = a ( + d ) te c = a (kc ) = a d iz čega slijedi da je c = da. Iz toga da je d = kc = k(da) te = kda d = d(ka d) slijedi da d pa je d ili 1 ili. U oba ta slučaja je ka = 3 što je kontradikcija s pretpostavkom da je k > 3. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je a > b > c 1. Trojka (kbc a, b, c) je takoder rješenje jednadžbe x + y + z = kxyz. Kako je a(kbc a) = b + c i a > 0 znamo da je kbc a pozitivan. Pogledajmo sada koja je od koordinata trojke (kbc a, b, c) najveća. Iz pretpostavke znamo da je b > c pa pogledajmo kakav je odnos izmedu b i kbc a. Definirajmo polinom f(x) = x (kbc)x + b + c. Korijeni ovog polinoma su a i kbc a te vrijedi f(b) = b + c kb b + c kb < 3b kb = (3 k)b < 0. Dakle, interval na kojem funkcija f poprima negativne vrijednosti se nalazi izmedu dvaju korijena pa b leži izmedu njih, odnosno b < a pa mora bti kbc a < b te vrijedi max(kbc a, b, c) = b < a = max(a, b, c). Ponavljajući ovaj postupak, metodom beskonačnog spusta dobivamo kontradikciju pa jednadžba a + b + c = kabc ima jedino rješenje (0, 0, 0) u cijelim brojevima kada je k > 3. Drugi slučaj je za k =. Pretpostavimo da je a + b + c = abc, gdje su a, b, c Z. Kako je izraz a + b + c paran, a, b i c nisu svi neparni. Ako je točno jedan paran tada, djelujući na obje strane jednadžbe s modulo 4, dobivamo 0 (mod 4) što je kontradikcija. Ako su točno parna tada, djelovanjem sa modulo, dobivamo 1 0 (mod ) što je opet kontradikcija pa su a, b i c svi parni te ih možemo zapisati kao a = a, b = b i c = c pri čemu početna jednadžba ima oblik a + b + c = 4a b c. To je slučaj kada je k = 4 za kojeg smo već pokazali da nema rješenja u cijelim brojevima različitog od (0, 0, 0). 4.3 Lagrangeov teorem o četiri kvadrata U ovom potpoglavlju razmatramo Lagrangeov teorem o četiri kvadrata. Iskaz i dokaz teorema slijede u nastavku. Teorem 4. Svaki prirodan broj n može se prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja, tj. u obliku n = x + y + z + w, gdje x, y, z,w Z.

13 Fermatova metoda beskonačnog spusta 9 Dokaz. Uočimo da je (x + y + z + w )(a + b + c + d ) = (ax + by + cz + dw) + (ay bx + dz bw) + (az cx + bw dy) + (aw dx + cy bz), pa tvrdnju trebamo pokazati samo za proste brojeve. Za p = je očito jer = pa pretpostavimo da je p neparan prost broj. Pogledajmo sada brojeve 0, 1,,..., ( p 1 ) te 1 0, 1 1, 1,..., 1 ( p 1 ). Za oba niza vrijedi da nikoja dva elementa u njima medusobno nisu kongruentna modulo p (reducirani sustav ostataka modulo p sastoji se od p 1 kvadratnih ostataka i p 1 kvadratnih neostataka). U ta dva niza ima ukupno p + 1 brojeva, a potpun sustav ostataka modulo p sadrži p brojeva, pa po Dirichletovom principu vrijedi da barem dva broja iz ova dva niza daju isti ostatak pri djeljenju sa p. To znači da postoje cijeli brojevi x i y takvi da je x 1 y (mod p) te vrijedi da je x + y + 1 < 1 + ( p ) < p. Iz toga slijedi da je mp = x + y + 1 za neki cijeli broj m, za koji vrijedi 0 < m < p. Neka je sada l najmanji prirodan broj takav da je lp = x + y + z + w, za neke x, y, z, w Z. Tada je l m < p. Uočimo da je l neparan jer u suprotnom bi medu brojevima x, y,z,w imali parno mnogo neparnih brojeva pa bi brojevi x + y, x y, z + w, z w mogli biti parni, no to nije moguće jer bi iz 1 lp = ( ) ( ) ( ) ( x + y x y z + w z w dobili kontradikciju s pretpostavkom da je l minimalan. Dakle, trebamo dokazati da je l = 1. U tu svrhu pretpostavimo suprotno, tj da je l > 1. Neka su x, y, z, w najmanji ostaci po apsolutnoj vrijednosti pri dijeljenju brojeva x,y,z,w s l te neka je n = x + y + z + w. Tada je n 0 (mod l) i n > 0 jer bi inače l dijelio p. Kako je n neparan slijedi da je n < 4( l ) = l pa je n = kl za neki cijeli broj k za koji vrijedi da je 0 < k < l. Iz jednakosti sa početka dokaza ovog teorema dobivamo da se broj (kl)(lp) može zapisati kao suma kvadrata četiri cijela broja, od kojih je svaki djeljiv sa l. Pa iz toga zaključujemo da se i broj kp može prikazati kao suma četiri kvadrata što je u kontradikciji sa pretpostavkom da je l minimalan. )

14 Fermatova metoda beskonačnog spusta 10 5 Korištenje metode spusta u geometriji Osim u teoriji brojeva, Fermatova metoda beskonačnog spusta ima veliku ulogu i u geometriji. 5.1 Sylvestrov problem Ovaj problem je postavio Sylvester godine, ali ga nije nikada riješio. Napomenimo da postoje još mnogi poznatiji dokazi ovog problem, no mi ćemo proučiti samo onaj u kojem je korištena metoda spusta. Problem 1 (Sylvestrov problem) Neka n, (n 3) danih točaka u ravnini imaju svojstvo da pravac koji prolazi kroz bilo koje dvije točke prolazi i trećom točkom tog skupa od n točaka. Mora li svih n točaka ležati na istom pravcu? Rješenje: Dokazat ćemo ekvivalentnu tvrdnju. Ako je dano n, (n 3) točaka u ravnini takve da nisu sve na istom pravcu, tada postoji pravaca koji prolazi kroz točno dvije točke. Takvih pravaca postoji konačno mnogo. Pogledamo li jedan od tih pravaca, pravac l, zaključujemo da postoji barem jedna točka iz danog skupa točaka koje ne leži na njemu. Označimo udaljenosti točaka do pravca s d i. Dobivamo niz d 1 d... d m pri čemu nam d 1 označava najmanju udaljenost izmedu svih mogućih točaka i svih mogućih pravaca. Trebamo pokazati kako pravac l sadrži točno dvije točke iz danog skupa točaka. Stoga pretpostavimo suprotno. Neka točke B, C i D leže na pravcu l. Neka točka A ne leži na pravcu l. Povucimo točkom A pravac okomit na l. Sjecište tog pravca i pravca l označimo sa E. Pretpostavimo da je E = B. Slika 1 Označimo udaljenost točaka A i B sa d 1. Povucimo točkom B pravac okomit na AC, dobit ćemo udaljenost (označimo ju s d 0 ) koja je manja od d 1. To je kontradikcija sa minimalnošću od d 1.

15 Fermatova metoda beskonačnog spusta 11 Analogno je za slučajeve kada točka E pada u C ili D. Kako se točka E ne podudara ni s jednom od 3 točke na pravcu, po principu golubinjaka vrijedi da dvije točke leže s lijeve, a dvije sa desne strane točke E. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da su točke C i D sa lijeve, a točka B sa desne strane. Pogledajmo sliku. Povucimo dva pravca Slika okomita na pravac odreden točkama A i D, jedan točkom E, drugi točkom C. Označimo sa d 0 udaljenost točke C do pravca AD te s d udaljenost točke E do pravca AD. Odnos izmedu udaljenosti u ovom slučaju je d 0 < d < d 1 pa smo ponovno dobili kontradikciju sa minimalnošću d 1. Dakle, l sadrži točno dvije točke. Napomena: Korištenjem Sylvestrovog problema riješen je sljedeći: Neka je dano n, (n 3) točaka u ravnini koje ne leže na istom pravcu. Pretpostavimo da smo nacrtali pravce kroz svake dvije točke danog skupa od n točaka. Treba pokazati da je broj takvih medusobno različitih pravaca veći ili jednak n. Problem je riješen matematičkom indukcijom i direktnom primjenom Sylvestrovog problema. To uvelike ukazuje na značajnost metode spusta. 5. Površine pravokutnih trokuta Fermat je razmatrao problema vezana uz površine pravokutnih trokuta: 1. Može li pravokutan trokut, kojemu su duljine stranica cijeli brojevi, imati istu površinu kao kvadrat kojemu su duljine stranica takoder cijeli brojevi?. Može li pravokutan trokut, kojemu su duljine stranica cijeli brojevi, imati dvostruku površinu kvadrata kojemu su duljine stranica takoder cijeli brojevi?

16 Fermatova metoda beskonačnog spusta 1 Algebarski gledano, ako je (a, b, c) Pitagorina trojka pitamo se može li ab kvadrat ili dvostruki potpun kvadrat. Prvo pitanje je povezano sa jednadžbom biti potpun Drugo pitanje je povezano sa jednadžbom Tu ćemo vezu pojasniti u sljedeće dvije tablice: x 4 y 4 = z. (4) x 4 + y 4 = z. (5) Tablica 1 a + b = c x 4 y 4 = z ab = d 1 x = c a = z y = d b = x y z = a b c = x 4 + y 4 d = xyz Tablica a + b = c x 4 + y 4 = z ab = d 1 x = b a = x y = d b = y z = bc c = z d = xy Prvi stupac Tablice 1 prikazuje kako pretvoriti Pitagorinu trojku (a, b, c), za koju je ab potpun kvadrat, u cjelobrojno rješenje jednadžbe x 4 y 4 = z. U drugom stupcu je prikazano kako pretvoriti rješenje (x, y, z) te jednadžbe u Pitagorinu trojku (a, b, c) za koju je ab potpun kvadrat. Prvi stupac Tablice prikazuje kako pretvorit Pitagorinu trojku (a, b, c), za koju je ab dvostruki potpun kvadrat, u pozitivno cjelobrojno rješenje jednadžbe x 4 + y 4 = z. U drugom stupcu prikazano je kako pretvoriti rješenje (x, y, z) te jednadžbe u Pitagorinu trojku (a, b, c) za koju je ab dvostruki potpuni kvadrat. U ovom stupcu je još važno uočiti da d nužno mora biti paran. Napomenimo da pretvaranje (a, b, c) u (x, y, z) i obratno nije inverz jedno drugome. Vratimo se sada na postavljena problema.

17 Fermatova metoda beskonačnog spusta 13 Odgovor na drugo pitanje možemo pronaći u Teoremu ovoga rada. Naime, on kaže kako jednadžba x 4 + y 4 = z nema rješenja u cjelim brojevima pa zbog prethodnog objašnjenja veze izmedu te jednadžbe i drugog pitanja, slijedi da ne postoji trokut čije su duljine stranica cijeli brojevi takav da mu je površina dvostruki potpun kvadrat. Odgovor na drugo pitanje dat će nam sljedeći teorem. Teorem 5. (Fermat) Ne postoji rješenje jednadžbe x 4 y 4 = z u skupu prirodnih brojeva. Dokaz. Pretpostavimo da je x 4 y 4 = z, gdje su x, y i z N. Tada mora postojati takvo rješenje da su x, y i z u parovima relativno prosti (vrijedi isti argument kao i u Teoremu). Kako je x 4 y 4 = z > 0, slijedi da je x > y. Imamo slučaja, kada je z paran i z neparan. Pogledajmo prvo kada je z neparan. Kako je z + y 4 = x 4 i z je neparan znači da y mora biti paran jer bi u suprotnom x + x (mod 4) ali to je nemoguće jer ne postoji ostatak pri dijeljenju četvrte potencije sa 4. Kako su x i y relativno prosti, (z, y, x ) je primitivna Pitagorina trojka sa y parnim pa prema formuli za primitivne Pitagorine trojke imamo a = k l, (6) b = kl, (7) c = k + l, (8) gdje je k > l > 0, (k, l) = 1 te su k i l različite parnosti. Iz (8) i toga da je (k, l) = 1 doznajemo kako je (k, l, x) primitivna Pitagorina trojka. Jedan od brojeva k i l je paran, a drugi neparan. U slučaju da je k neparan, po formuli za primitivne Pitagorine trojke imamo x = a b, (9) l = ab, (10) k = a + b, (11) gdje je a > b > 0 te (a, b) = 1. Ako je l neparan tada po istoj formuli imamo gdje je a > b > 0 te (a, b) = 1. l = a b, (1) k = ab, (13) x = a + b, (14) Koristeći bilo koji od prethodna dva sustava, (7) postaje y = 4(a b )ab. Kako je y paran, ( y ) = (a b )ab. Kako je (a, b) = 1, faktori na desnoj strani ove jednadžbe su u parovima relativno prosti. Svi su pozitivni pa kako je njihov produkt

18 Fermatova metoda beskonačnog spusta 14 kvadrat povlači da je svaki od njih kvadrat. Možemo ih zapisati kao a = x, b = y, a b = z gdje su x, y i z svi pozitivni. Iz (a, b) = 1 slijedi da je (x, y ) = 1. Jednadžbu za z možemo pisati kao z = x 4 y 4 pa smo pronašli drugo rješenje naše početne jednadžbe. Usporedimo sada z i z. Iz (9), (10), (11) imamo z z = a b = k k < z. Iz (1), (13), (14) imamo z z = a b = l 4a b = k < z. Kako je z < z 4, metodom spusta dolazimo do kontradikcije.. Pogledajmo još slučaj kada je z paran. Kako je y 4 +z = x 4, imamo primitivnu Pitagorinu trojku (y, z, x ) sa parnim z. Pa je y = m n, z = mn, x = m + n gdje su m i n pozitivni te (m, n) = 1. Množeći prvu i treću jednadžbu dobivamo (xy) = m 4 n 4 sa parnim xy što po prošlom slučaju daje kontradikciju. Kao posljedica ovog teorema dobivamo dva iduća korolora: Korolar. Ne postoji Pitagorina trojka u kojoj su dva člana potpuni kvadrati. Dokaz. Kada bi postojala, takva trojka davala bi rješenje jednadžbe x 4 + y 4 = z ili jednadžbe x 4 = y 4 + z u cijelim brojevima, što smo ranije pokazali da je nemoguće. Korolar 3. Jedina racionalna rješenja jednadžbi y = x 4 1 i u + v + u v = 1 su (x, y) = (±1, 0) i (u, v) = (±1, 0), (0, ±1).

19 Fermatova metoda beskonačnog spusta 15 Dokaz. Pretpostavimo da je y = x 4 1, gdje su x i y racionalni brojevi. Napišimo ih u obliku x = a i y = b, gdje je c 0. Rješavajući se nazivnika, dobivamo c c (bc) = a 4 c 4. Budući da je kvadrat razlika četvrtih potencija u Z, po teoremu iz ovog poglavlja slijedi da jedan član mora biti 0. Kako je c 0 znači da su ili a ili b nula. U slučaju da je b = 0, tada je y = 0 i x = ±1. U slučaju da je a = 0, imamo da je y = 1 što je kontradikcija. Pretpostavimo sada da je u + v + u v = 1, gdje su u i v racionalni brojevi. Zapišimo jednadžbu u obliku u (1 + v ) = 1 v. Množeći obje strane s 1 + v dobivamo (u(1 + v )) = 1 v 4 što nam govori da je kvadrat racionalnog broja razlika dvije četvrte potencije cijelih brojeva. Stoga, jedan od članova u ili v mora biti nula. Kada je u = 0, vrijedi da je (u, v) = (0, ±1). Kada je v = 0, dobivamo rješenje (±1, 0) što smo trebali i pokazati.

20 Fermatova metoda beskonačnog spusta 16 Literatura [1] K. Conrad, Proofs by descent, dostupno na: [] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, skripta, Matematički odsjek, Sveučiliste u Zagrebu, 007. [3] L. Tat-Wing, The method of infinite descent, Mathematical Excalibur, Vol. 10, 4(005) [4] Fermat s biography, University of St Andrews, Scotland, December dostupno na:

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Neeuklidska geometrija

Neeuklidska geometrija Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ivana Lukanović Neeuklidska geometrija Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Konstrukcije ravnalom i šestarom

Konstrukcije ravnalom i šestarom Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Emanuela Vrban Konstrukcije ravnalom i šestarom Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

The problem of Diophantus and Davenport

The problem of Diophantus and Davenport Mathematical Communications 2(1997), 153 160 153 The problem of Diophantus and Davenport Andrej Dujella Abstract. In this paper we describe the author s results concerning the problem of the existence

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Egipatska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Egipatska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Ana Čalošević Egipatska matematika Završni rad Osijek, 03. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Afine transformacije ravnine

Afine transformacije ravnine 1/ 7 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 12 http://emathhr/ Afine transformacije ravnine Harun Šiljak Sadržaj: 1 Uvod 2 Primjeri riješenih zadataka 3 Zadaci za samostalan rad Literatura

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information