AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE"

Transcription

1 Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Mentor: prof. dr. sc. Šime Ungar Osijek, 2013.

3 Sažetak. Ovaj rad se bavi razmatranjem Aksioma izbora i tvrdnji koje su ekvivalentne sa Aksiomom izbora. One su važne za pravilnu izgradnju samih temelja matematike, ali su bile i može se reći da su još uvijek, no u znatno manjoj mjeri, predmet rasprave i neslaganja među matematičarima. Najvažniji momenti vezani za Aksiom izbora i njegove ekvivalente, prikazani su kroz kratki povijesni pregled. U radu se pokušava što objektivnije, no priklanjajući se glavnim strujama u modernoj matematici (odnosno, ZF teoriji, koja je najviše upotrebljivana od svih aksiomatskih teorija skupova), dati sud o ispravnosti i valjanosti Aksioma izbora i nekih njegovih posljedica. Njihov značaj za matematiku u cjelini samo je ukratko naveden, no dokaz međusobne ekvivalentnosti detaljno je učinjen kroz nekoliko poglavlja, što ujedno i predstavlja glavni cilj ovoga rada. Ključne riječi: Aksiom izbora, Zornova lema, Hausdorffov princip maksimalnosti, Zermelov teorem o dobrom uređenju, Hartogsov teorem, Teorem Tarskog, funkcija izbora, izborni skup, linearno uređen skup, lanac, parcijalno uređen skup, ordinalni broj, kardinalni broj Abstract. This paper is considering the Axiom of choice and statements which are equivalent to it. They are important for the proper construction of the very foundations of mathematics, but they were, and it might be said that they still are, but to a much lesser extent, the subject of discussion and disagreements between mathematicians. The most important moments related to the Axiom of choice and it s equivalents are presented through a brief historical review. This paper attempts objectively, but adhering to the main trends in modern mathematics (i.e., ZF theory, which is the most-used of all the axiomatic set theories), to give an appraisal of the correctness and validity of Axiom of choice and some of it s consequences. Their significance for mathematics in general is only briefly mentioned, but the proof of mutual equivalence is thoroughly done through several chapters, which indeed represents the main purpose of this paper. Key words: Axiom of choice, Zorn s lemma, Hausdorff s maximal principle, Zermelo s wellordering theorem, Hartogs theorem, Tarski s theorem, choice function, choice set, linearly ordered set, chain, partially ordered set, ordinal number, cardinal number i

4 Sadržaj Uvod 1 1 Aksiom izbora 2 2 Ekvivalenti Aksioma izbora Zornova lema Hausdorffov princip maksimalnosti Zermelov teorem o dobrom uređenju Hartogsov teorem Tarskijev teorem Zaključak 24 Literatura 25 ii

5 Aksiom izbora je očita istina, princip dobre uređenosti skupova očita neistina, a tko može išta reći o Zornovoj lemi? Jerry Bona Uvod Aksiom izbora zasigurno je jedan od najintrigantnijih i najdiskutabilnijih aksioma u povijesti matematike, odmah uz bok Euklidovom Aksiomu o paralelama. U svoj svojoj ljepoti, on izgleda naivno, intuitivno, pa čak jednolično i dosadno, no u njemu čuči pravi monstrum koji je uzrok mnogim prijeporima između matematičara. Taj naizgled bezopasan teorem ima dalekosežne posljedice od kojih su mnoge danas neophodne u brojnim granama matematike, kao što su prvenstveno Teorija skupova, ali i Algebra, Matematička analiza, Topologija, Teorija mjere, Matematička logika i mnoge druge. S druge strane, neke su posljedice ovog aksioma toliko zbunjujuće da su uzdrmale i dovele u pitanje same temelje matematike, te osvježile filozofski pristup matematici. Ovaj rad se bavi upravo tom tematikom kroz dva glavna poglavlja. Tako je u prvom poglavlju uveden Aksiom izbora kroz kronološki slijed zbivanja, od njegove prvotne verzije, zatim postupnog razvoja i na kraju utjecaja na čitavu matematiku. Neke od značajnijih verzija samog aksioma su izložene i dokazane, te su navedeni matematičari čiji je doprinos u razvoju aksioma i njegovih posljedica bio ključan. Drugi dio je po svome opsegu najveći, ali i najznačajniji, jer sadrži glavnu problematiku rada. Tu je navedeno pet tvrdnji, ekvivalentnih Aksiomu izbora, čija se ekvivalencija dokazivala kroz jednako mnogo potpoglavlja. Za svaku je tvrdnju ukratko rastumačen njezin značaj i smisao, te put kojim se razvijala. Dokazi su detaljno objašnjeni i prirodno slijede jedan iz drugoga. Tijekom rada, kada se za to javljala potreba, navedene su određene definicije i pomoćni teoremi, koji su zbog svoje referentnosti na samo specifični dio rada numerirani malim rimskim brojevima. Također, pokušao sam što efikasnije, ali bez smanjenja smisla i točnosti, uvesti čitatelja u dodatnu tematiku koja je neophodna za razumijevanje samih ekvivalenata i njihovih dokaza. 1

6 1 Aksiom izbora Navedimo prvo dvije pomoćne definicije, koje su nužne za razumijevanje daljnjeg teksta: Definicija 1. Neka je A neka neprazna familija skupova i neka je J neki neprazni skup. Svaka surjekcija f : J A naziva se indeksna funkcija. J se naziva indeksni skup ili skup indeksa, a familija A zajedno sa indeksnom funkcijom f, tj. uređeni par (A, f), naziva se indeksirana familija skupova. Napomenimo kako je za α J vrijednost f(α) =: A α A. Definicija 2. Neka je {A α : α J} neprazna indeksirana familija nepraznih skupova i neka je A = {A α : α J}. Funkcija i : J A takva da je i(α) A α za svaki α, naziva se funkcija izbora ili izborna funkcija. Primijetimo kako ovime nismo izrekli postojanje izborne funkcije za neki skup, već smo ju samo definirali. Postavlja se pitanje, ako je {A j : j J} neprazna indeksirana familija nepraznih skupova, je li tada i Kartezijev produkt A = A j također neprazan? Odgovor je intuitivan u slučaju kada je J konačan, tj. kada se radi o konačnoj familiji {A 1,..., A n }, odnosno {A j : j [1.. n]}. Tada produkt A možemo zapisati kao A = n A j = A 1 A n, a prema teoremu o uzastopnom prebrojavanju (konačni Kartezijev produkt konačnih skupova je konačan) taj je skup također konačan, odnosno postoji samo konačno mnogo izbora (a 1,..., a n ) takvih da je a j A j. Drugim riječima iz svakog nepraznog skupa A j možemo birati po jedan element a j, a to je skup svih izbornih funkcija f : [1.. n] f(j) =: a j A j za sve j = 1,..., n, pa je A = n j J j=1 j=1 n A j i=j takvih da je A j = {(a 1,..., a n ) : a j A j, j = 1,..., n}. Dakle A je skup uređenih n-torki, odnosno ovime smo intuitivno definirali Kartezijev produkt za konačne skupove, te je (a 1,..., a n ) A što znači da je produkt A također neprazan. 2

7 Vidljivo je da nam za konačne familije konačnih skupova aksiom izbora nije potreban. No, što ako imamo beskonačno mnogo nepraznih skupova A j, j J? Je li tada moguće, kao kod konačnog skupa, odabrati po jedan element iz svakog A j? Specijalno, ako je A beskonačan skup međusobno disjunktnih nepraznih skupova, postoji li tada izborni skup C koji sadrži točno po jedan element svakog tog nepraznog skupa? Tvrdnja koja kaže da takav izborni skup uvijek postoji danas je poznata kao Aksiom izbora. Njegova je posebnost u tome što on omogućuje izvršavanje beskonačno mnogo izbora, jer skup A može sadržavati kao svoje elemente beskonačno mnogo skupova A α i iz svakog A α prema tom aksiomu možemo izabrati jedan element, čak i u slučaju kada nemamo mogućnosti izvršiti konkretan izbor. Također, Aksiom izbora osigurava postojanje skupa C, ali ne daje mogućnost njegove konstrukcije. Zaista, mogućnost da se izvršiti jedan izbor, ili postupno, konačno mnogo izbora, nam je prihvatljiva i intuitivna, no teško je prihvatiti mogućnost beskonačnog broja takvih izbora. Pogotovo, jer se uporabom ovog rezultata dobivaju dosta neočekivani rezultati. Aksiom izbora (AC) Za svaku nepraznu familiju A međusobno disjunktnih nepraznih skupova A α, postoji barem jedan skup C koji se sastoji od po točno jednog elementa iz svakog skupa A α iz familije A. Povijesno gledano, Aksiom izbora u matematiku je ušao implicitno, tako da su mnogi matematičari, pa čak i sam otac teorije skupova, Cantor, koristili neki njegov oblik nevidjevši nužnost da ga se posebno izdvoji. Prvi koji je uočio da je taj aksiom upotrijebljen kao argument za dokaz, bio je G. Peano, godine, dok je radio na svom teoremu o postojanju rješenja sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Vjerojatno ključni trenutak dogodio se godine, kada je Beppo Levi izložio Aksiom izbora u dokazu da je unija disjunktnih nepraznih skupova koji čine skup A veće ili jednake kardinalnosti nego skup A, tj. da je kardinalnost skupa koji je unija n nepraznih, međusobno disjunktnih skupova veća ili jednaka od n. Ustvrdio je da je to nemoguće dokazati ako ne istaknemo po jedan element iz svakog od n skupova, no nije bio u stanju iskazati aksiom u općoj formi. Bertrand Russel je godine Aksiom izbora iskazao u formi koja je danas poznata kao Russelov multiplikativni aksiom, prema kojem ako je A skup disjunktnih nepraznih skupova, onda je A, te na kraju E. Zermelo formalno uvodi i formulira Aksiom izbora (kao eksplicitnu pretpostavku), a sve u cilju da formalizira svoj dokaz da se svaki skup može dobro urediti. Prema tome, prihvativši da izborni skup postoji, formalnom sustavu Zermelo-Fraenkelove (kraće ZF) teorije skupova treba dodati i Aksiom izbora (kraće AC, prema eng. axiom of choice) i tada takvu teoriju, obilježavamo sa ZFC. Pri pokušajima dokazivanja Aksioma izbora matematičari su pronašli brojne ekvivalente tog aksioma, tako se smatra da danas postoji otprilike 200 ekvivalenata Aksioma izbora 1. 1 Prema: H. Rubin, J.E. Rubin, Equivalents of the axiom of choice. 2nd ed.,north-holland, Amsterdam- New York-Oxford,

8 Prava bura oko Aksioma izbora nastala je tek nakon pronalaska nekih od njih, tako da su mnogi matematičari počeli sumnjati u njegovu jednostavnost i očiglednost, te su ga nakon dokaza da je AC ekvivalentan sa Aksiomom o dobrom uređenju, prema kojem se svaki skup, pa tako i skup realnih brojeva, može dobro urediti, počeli odbacivati. Jedno od temeljnih pitanja, pitanje proturječnosti Aksioma izbora u odnosu na ZF teoriju, razriješio je K.Gödel godine dokazavši da je Aksiom izbora suglasan sa ZF teorijom, tj. ako je ZF neproturječna teorija, onda je neproturječna i ZFC. Konkretno, to znači da se AC ne može opovrgnuti unutar ZF sustava, jer ako je tako, onda se AC i njegova negacija u isto vrijeme mogu prikazati kao istine, što je naravno kontradikcija. Teže pitanje je bilo može li se Aksiom izbora izvesti iz aksioma ZF teorije. Zbog jednostavnosti i očiglednosti samog aksioma većina matematičara je smatrala da se to može učiniti, međutim, godine P.J. Cohen je dokazao da se Aksiom izbora prema ZF teoriji ponaša kao Aksiom o paralelama u geometriji: Aksiom izbora je nezavisan od ZF teorije, tj. ako je ZF neproturječna, onda je neproturječna i ZF teorija kojoj je dodana negacija Aksioma izbora. Time je riješena i prijašnja nedoumica oko proturječnosti sa ZF teorijom, jer je Cohen dokazao da je i negacija Aksioma izbora konzistentna sa ZF aksiomima, pa se stoga AC ne može dokazati. Time je status Aksioma izbora sveden na tvrdnju koja niti može biti dokazana, niti može biti opovrgnuta, unutar sustava ZF aksioma. Sada, kada smo pokazali valjanost, logičku ispravnost i istinitos Aksioma izbora, možemo navesti jedan od važnijih oblika, odnosno formulacija, Aksioma izbora: Teorem 1. izbora. Za svaku nepraznu indeksiranu familiju nepraznih skupova postoji funkcija Dokaz: Neka je {A α : α J} neprazna indeksirana familija nepraznih skupova. Za svaki α J definiramo B α = A α {α} = {(x, α) : x A α }. Indeksirana familija {B α : α J} sastoji se od međusobno disjunktnih nepraznih skupova, tj. za sve α J je skup B α, te ako je α β onda je B α B β =, jer su (x, α) B α i (x, β) B β međusobno različiti. Primjenom Aksioma izbora na familiju {B α : α J} slijedi da postoji skup C koji sadrži jedan i samo jedan element iz skupa B α za svaki α J, tj. C B α = {(a α, α)}, odnosno presjek je jednočlan skup. Očito je a α A α, a funkcija i : J {A α : α J} definirana s i(α) = a α A α, je funkcija izbora za početnu familiju. Zanimljiva je i preformulacija prethodnog teorema koja ne koristi indekse: Teorem 1. Neka je A neprazna familija nepraznih skupova. Tada postoji funkcija i : A A takva da je i(a) A za sve A A. A A Dokaz: Slično kao u dokazu teorema 1, za svaki A A definirajmo skup 4

9 a A := {(x, A) : x A}. Kako je A onda je i a A, te je za A B, a A a B =, jer elementi skupova a A i a B imaju različitu drugu koordinatu. Stoga, prema Aksiomu izbora postoji skup C (izborni skup) koji ima samo jedan zajednički element sa svakim a A i to je (x A, A), za svaki A A, te je očito x A A. Sada definiramo funkciju i : A A s i(a) = x A A, i to je funkcija izbora za polaznu familiju A. A A Razlika između Aksioma izbora i teorema 1 je u tome što se u teoremu nije zahtijevalo da članovi familije moraju biti međusobno disjunktni, no to smo kompezirali tako što nismo izabirali točno jedan element iz svakog A α. Teorem 1 je zapravo ekvivalentan s Aksiomom izbora, jer kao što smo pokazali da iz AC slijedi teorem 1, isto tako možemo pokazati i obrnutu implikaciju. Naime, ako su skupovi familije {A α : α J} međusobno disjunktni, tada je i(α) A α, i(β) A β, pa za α β, a α a β jer je A α A β =. Stoga je C = {a α : α J} upravo onakav skup kakav se traži u Aksiomu izbora. Mnoge tvrdnje i dokazi u matemtici su nemogući bez Aksioma izbora, tako za dokazati da svaki vektorski prostor ima algebarsku (Hamelovu) bazu; da su Heineova i Cauchyeva definicija neprekidnosti funkcije ekvivalentne; da postoji algebarski zatvoreno proširenje svakog polja; da su svake dvije baze vektorskog prostora ekvipotentne, i još mnogo toga, neophodan je upravo ovaj aksiom. 5

10 2 Ekvivalenti Aksioma izbora Kao što je ranije navedeno, danas su poznate mnoge tvrdnje koje su ekvivalentne Aksiomu izbora i ti specifični oblici se koriste u dokazima brojnih teorema. Cilj ovog rada je iskazati i dokazati neke od najznačajnijih i najkorisnijih ekvivalenata. Njih ćemo istaknuti u obliku teorema, a onda ćemo svakom ekvivalentu posebno, posvetiti razmatranje u zasebnom odlomku. Teorem 2. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne sa Aksiomom izbora [AC]: [1] Zornova lema: Neka je (X, <) parcijalno uređen skup sa svojstvom da svaki lanac iz X ima gornju među u X. Tada (X, <) ima barem jedan maksimalni element. [2] Hausdorffov princip maksimalnosti: Neka je (X, <) parcijalno uređen skup. Tada za svaki lanac L od X postoji maksimalni lanac koji ga sadrži. [3] Zermelov teorem o dobrom uređenju: Svaki skup se može dobro urediti, tj. za svaki skup A postoji relacija R X X takva da je (X, R) dobro uređen skup. [4] Hartogsov teorem: Ako su A i B proizvoljni skupovi tada vrijedi kard A kard B ili kard B kard A. [5] Tarskijev teorem: Ako je λ beskonačan kardinalni broj tada je λ 2 = λ. Iako različito nazvani: aksiom, lema, princip, teorem ; svaki od ovih iskaza se može, umjesto Aksioma izbora, uzeti kao aksiom, nezavisan i u skladu sa svim prihvaćenim aksiomima matematike. Dokaz ekvivalencije provodit ćemo tako da dokazujemo međusobne implikacije i to u smislu da koristimo jednu da bi dokazali drugu. Zatvaranjem kruga dokaz ekvivalencija bit će učinjen. Skica implikacija koje ćemo redom provoditi u pojedinim potpoglavljima je sljedeća: [1] [2] [5] [AC] [3] [4] 6

11 Prije samih dokaza, navedimo nekoliko fundamentalnih definicija, koje ćemo koristiti u daljnjem tekstu: Definicija 3. Parcijalni uređaj na skupu X je svaka antirefleksivna i tranzitivna relacija na X, oznaka <. Par (X, <) naziva se parcijalno uređen skup. Definicija 4. Neka je (X, <) parcijalno uređen skup i A X. Najmanji element (minimum) skupa A je element a 0 A takav da je a 0 a za sve a A. Minimalni element skupa A je element a A takav da ne postoji a A za koji vrijedi a < a. Analogno se definiraju najveći element i maksimalni element. Važno je uočiti da najmanji element, ako postoji, onda je jedinstevn i on je ujedno jedini minimalni element. Nadalje, minimalnih elemenata može biti više i u tom slučaju najmanji element ne postoji. Ali niti najmanji, niti minimalni element ne moraju postojati. Analogne činjenice vrijede i za maksimalni element. Definicija 5. Neka je (X, <) parcijalno uređen skup i A X. Element x 0 X je donja međa skupa A, ako je x 0 a za sve a A. Skup A je odozdo omeđen ako postoji donja međa skupa A. Najveće donja međa skupa A, ako postoji, naziva se infimum. Analogno se definiraju gornja međa, odozgo omeđen i supremum. Skup A je omeđen ako je omeđen odozdo i odozgo. Definicija 6. Za parcijalno uređen skup (X, <) kažemo da je linearno uređen ili totalno uređen ili potpuno uređen ili da je lanac, ako su svaka dva različita elementa usporediva. Odnosno, parcijalno uređen skup (X, <) je linearno uređen skup ako je relacija < na X anisimetrična, tranzitivna i povezana. Definicija 7. Za parcijalno uređene skupove (X, <) i (Y, ) kažemo da su slični ako postoje uzlazne funkcije f : X Y i g : Y X takve da je g f = 1 X i f g = 1 Y. Njihovu sličnost obilježavamo sa (X, <) (Y, ) ili kraće X Y ako je jasno, ili nevažno, o kojem se uređaju radi. Svaka takva funkcija naziva se sličnost ili preslikavanje sličnosti. Definicija 8. Dobro uređen skup, DUS, je linearno uređen skup (lanac) sa svojstvom da svaki njegov neprazni podskup ima minimum. Očito je svaki podskup dobro uređenog skupa, s nasljeđenim uređajem, i sam dobro uređen skup. 7

12 2.1 Zornova lema Ovaj teorem 2 se vrlo često rabi u teoriji skupova, ali i općenito, u cijeloj matematici, te je svojevrsno predstavljao noviju verziju Hausdorffovog principa maksimalnosti. Varijantu teorema u kojoj je promatran dobro uređen skup, dokazao je K. Kuratowski godine, a zatim M. Zorn, godine, daje dokaz oslabljene verzije, sa parcijalno uređenim skupom, kakvu koristimo i danas. Max Zorn također predlaže da to postane novi aksiom teorije skupova, koji će zamijeniti Zermelov teorem o dobrom uređenju, te pokazuje njegovu ulogu u mnogim dokazima, kao npr. da svaki vektorski prostor ima bazu, te da ako je R prsten sa jedinicom, onda je svaki ideal J u R sadržan u maksimalnom idealu, itd. Dokažimo sada Zornovu lemu koristeći Aksiom izbora, na taj način će implikacija [AC] [1], tj. da Aksiom izbora povlači Zornovu lemu, biti pokazana: Dokaz: Za dokaz će nam, uz Aksiom izbora, trebati nekoliko pomoćnih tvrdnji, lema i teorema koje ćemo, kako se tokom dokaza bude javljala potreba za njima, iskazati i dokazati: Teorem (i). Neka je (X, <) parcijalno uređen skup. Tada postoji podskup X P(X) takav da su (X, <) i (X, ) slični. (Drugim riječima, ovaj teorem kaže da se svaki parcijalno uređen skup X može reprezentirati kao neki podskup partitivnog skupa P(X) uređenog inkluzijom, tj. relacijom sadržavanja.) Dokaz : Za a X neka je X a = {x X : x a} X, tj. X a je skup svih prethodnika od a zajedno sa a, i neka je X = {X a : a X}. Da bismo dokazali da su (X, <) i (X, ) slični, tj. da su X i X slični (kraće kažemo X X jer nam je jasno iz iskaza teorema o kojim se uređajima radi), trebamo pokazati da postoji uzlazna bijekcija f sa (X, <), odnosno X, na (X, ), odnosno X, čiji je inverz f 1 također uzlazan. Definiramo f : X X s f(a) := X a, a X. Vidimo da je f očito surjekcija. f je također i injekcija jer za X a = X b (a b b a) a = b. Također, f je uzlazna funkcija, odnosno ako je a b c X a je c a c b c X b, pa je X a X b. Na kraju pokažimo da je i f 1 također uzlazna: X a X b c X a, tj. c a, je c X b, tj. c b. Specijalno za a X a je a b. Sada, prema gornjem teoremu slijedi da je (X, <) parcijalno uređen skup, sličan podskupu (X, ) (P(X), ), koji je parcijalno uređen relacijom sadržavanja (inkluzijom), pa je postojanje gornje međe 3 nekog linearno uređenog skupa, odnosno kraće, lanca, u X ekvivalentno postojanju gornje međe odgovarajućeg lanca u X, a maksimalan element u X 2 Za Zornovu lemu se često kaže da je teorem, iako joj je u samom nazivu riječ lema jer tako zvuči više tehnički, a i koristi se u drugim dokazima, no ona je po svom opsegu primjene zapravo teorem. 3 To da svaki lanac iz X ima gornju među u X znači da za svaki lanac L X postoji neki y X takav da je y x za sve x L 8

13 odgovara maksimalnom elementu u X. Također, iz dokaza teorema je vidljivo da su elementi od X skupovi X a = {x X : x a} i da je sličnost (X, <) (X, ) dana s a X a. Kako je X uređen inkluzijom, gornja međa lanca L X je svaki element od X koji sadrži uniju svih članova od L. Dakle, treba dokazati da ako svaki lanac u parcijalno uređenom skupu (X, ) ima svojstvo da je unija njegovih elemenata sadržana u nekom elementu od X, onda X ima barem jedan maksimalana element (ne maksimum, nego maksimalni element, dakle barem jedan element od kojeg nema većeg). Primijetimo kako elementi od X nisu samo lanci u X, jer X nije linearno uređen skup. Iz tog razloga ćemo umjesto X promatrati jedan drugi skup. Nazovimo sa X skup svih lanaca u X i uredimo ga inkluzijom. Primijetimo kako su elementi od X lanci u X, dakle elementi su mu podskupovi od X, odnosno X je podskup partitivnog skupa od X. (X, ) je parcijalno uređen skup i ima sljedeća svojstva: (a) Ako je A X, tj. ako je A lanac u X, onda je i svaki podskup od A, uključujući i, lanac, odnosno element od X. (b) Ako je L = {A λ : λ Λ} lanac u X, onda je i unija L = {A λ : λ Λ} element od X, tj. lanac u X. (c) Svaki lanac u X ima supremum (najmanju gornju među) u X. Tvrdnja pod (a) je očita jer je svaki podskup lanca u X opet lanac u X. Tvrdnju pod (b) možemo raspisati ovako: neka su a, b L, gdje je L = {A λ : λ Λ}, a b i λ, µ Λ takvi da je a A λ i b A µ. Kako je L lanac, te A λ, A µ L, slijedi da je A λ A µ ili je A µ A λ. Neka je npr. A λ A µ. Tada su a, b A µ, a kako je A µ X, dakle lanac u X, tada je ili a < b ili b < a, tj. L je lanac u X, dakle, element od X. Lanac L iz (b) je očito najmanji element u X koji sadrži sve članove L, pa je L = sup L, te vrijedi tvrdnja pod (c), tj. dok smo na početku pretpostavljali da svaki lanac u (X, <) ima samo gornju među, sada smo se uvjerili da svaki lanac u X ima čak supremum. Tvrdnja 1: Svaki element iz X sadržan je u nekom elementu iz X. Zaista, ako je L X bilo koji lanac u X, onda je L lanac i u X i prema pretpostavci da svaki lanac u X ima gornju među, L u X ima gornju među, nazovimo ju l. Tada je L {x X : x l} = X l X. Dakle, svaki element iz (X, ) je sadržan u nekom elementu iz (X, ). Tvrdnja 2: Ako je L maksimalan elment u X i l je gornja međa od L, onda je X l maksimalan element u X. 9

14 Naime, kada bi postojao C X koji striktno sadrži X l, taj skup C bi bio oblika C = X c za neki c X, pa bi redna unija 4 L {c} (dakle, svi iz lanca L i još na kraju dodan c, jer su svi iz lanca L ispred c) bio lanac u X, tj. element u X, koji striktno sadrži L. Prethodne dvije tvrdnje pokazuju da razmatranjem skupa X umjesto skupa X nećemo dobiti nove maksimalne elemente, drugim riječima, za svaki maksimalni element u X postoji odgovarajući maksimalni element u X. Prema tome, da bi dokazali Zornovu lemu treba dokazati da skup (X, ) ima barem jedan maksimalni element. U tu svrhu, iskoristit ćemo svojstva (a), (b), (c) skupa X, te Aksiom izbora, točnije teorem 1 prema kojem postoji funkcija izbora f koja svakom nepraznom podskupu S X pridružuje element f(s) S, dakle f svakom podskupu skupa X pridružuje element iz tog istog skupa. Za svaki element A X, dakle lanac u X, označimo sa Ā skup svih x X takvih da je A {x} opet lanac u X, odnosno Ā X, tj. Ā = {x X : A {x} X}. A {f(ā Definirajmo funkciju g : X X s g(a) = \ A)}, za Ā \ A A, za Ā \ A =. Drugim riječima, funkcija g dodaje lancu A u X jedan, funkcijom f izabaran x, takav da je A {x} opet lanac u X i g(a) = A onda i samo onda ako je A makisamalan lanac 5 u X, odnosno, maksimalan element u X. Istaknimo da je bitna prednost prelaska na skup X, što je uvijek A g(a), jer ili je A = g(a) ili smo mu dodali još jedan element pa je A g(a), a ako je g(a) A, onda je skup g(a) \ A jednočlan, tj. sadrži samo jedan element iz skupa X. Dakle, Zornova lema će biti dokazana ako dokažemo da u X postoji element A takav da je g(a) = A, odnosno lanac A kojem se ne može ništa dodati da on opet bude lanac. Iskažimo to u obliku nove tvrdnje: Tvrdnja 3: Postoji lanac A X takav da je g(a) = A. Neka je J X bilo koji podskup od X takav da je: (i) J (ii) Ako je A J onda je g(a) J. (iii) Ako je L J lanac u J, onda je unija svih elemenata iz L, L, element u J (odnosno, unija lanca koji se sastoji od lanaca u X koji su elementi od J, je lanac u X koji je opet element od J). 4 Neka su A i B disjunktni linearno uređeni skupovi. Njihova redna unija, A B, je unija A B s uređajem, takva da A i B zadržavaju svaki svoj uređaj, te je svaki a A ispred svakog b B. Uočimo da vrijedi: A B B A 5 To da je A maksimalan lanac u X znači da mu se ne može dodati niti jedan element da on opet bude u X, tj. g(a) = A, odnosno A = Ā 10

15 Za početak uočimo kako neprazni podskupovi J X s ova tri svojstva postoje, tj. skup J nije prazan, jer na primjer, čitav skup X zadovoljava gornje uvjete. Neka je J 0 presjek svih podskupova J X koji zadovoljavaju gornja tri svojstva. Očito je J 0 najmanji podskup od X koji zadovoljava uvjete (i), (ii), (iii). Dokažimo sada da je J 0 lanac u X 6 Za C J 0 kažemo da je usporediv u J 0 ako je usporediv sa svakim elementom iz J 0, tj. ako za svaki A J 0 vrijedi da je A C ili C A. Jasno je da će skup J 0 biti lanac ako i samo ako je svaki element u J 0 usporediv u J 0. Usporedivi elementi u J 0 postoje, na primjer je usporediv u J 0, A, A J 0. Pretpostavimo da je C J 0 usporediv u J 0 i neka je A J 0 pravi podskup od C, A C. Tvrdimo da je g(a) C. Zaista, zbog svojstva (ii) je g(a) J 0, pa kako je C usporediv u J 0, mora biti ili g(a) C (uključeno je i g(a) = C) ili je C g(a). Međutim, slučaj kada je C g(a) nije moguć, jer bi tada bilo A C g(a), pa bi g(a) imao barem dva elementa više nego A, što prema definiciji funkcije g, nije moguće. Preostaje prva mogućnost, dakle, za svaki A C je g(a) C. Za C J 0 neka je I(C) = {A J 0 : A C ili g(c) A}. Zbog (ii) je za svaki C J 0 i g(c) J 0, pa su skupovi, C i g(c) elementi skupa I(C). Dodatno, ta tri skupa su i usporediva u I(C), jer za svaki A I(C) vrijedi A i A C g(c) ili C g(c) A. Kako bismo završili dokaz Zornove leme, neophodne su nam sljedeće dvije leme: Lema (ii). Za svaki C J 0 je I(C) = J 0. Dokaz : Iz same definicije skupa I(C) slijedi da je I(C) J 0, što znači da treba dokazati samo obratnu inkluziju, J 0 I(C). Za to je dovoljno pokazati da I(C) zadovoljava uvjete (i), (ii), (iii), jer je J 0 najmanji podskup od X koji ih zadovoljava. Kako je I(C), uvjet (i) je ispunjen. Dokažimo uvjet pod (ii), tj. ako je A I(C) onda je g(a) I(C). Kako J 0 zadovoljava uvjet (ii), za A I(C) je A J 0, pa ako je A C onda je g(a) C, te još g(a) I(C). Ako je A = C, onda je g(a) = g(c), tj. g(a) = g(c) I(C). Konačno, ako je g(c) A onda je g(c) g(a), te je g(a) I(C), a time je (ii) ispunjeno. Preostaje još pokazati da I(C) zadovoljava i (iii), tj. da ako je L I(C) lanac u I(C), onda je unija svih elemenata iz L element u I(C), odnosno L I(C). Mogu nastupiti dva slučaja: 1 Za svaki A L je A C. Tada je i unija svih elemenata iz L sadržana u J 0, te je ta unija element u I(C), tj. L I(C). 6 Uočimo da se do sada nigdje nije tražilo da J-ovi moraju biti lanci; oni su samo sadržavali lance. 11

16 2 Postoji A 0 L takav da A 0 C, pa je onda g(c) A 0. Tada je pogotovo g(c) L, pa je opet, kao u 1, L I(C). Time smo pokazali da I(C) zadovoljava i uvjet (iii), pa je zaista I(C) = J 0, a time je lema (ii) dokazana. Lema (iii). Svaki element iz J 0 je usporediv u J 0, tj. J 0 je lanac u (X, ). Dokaz : Neka je C J 0 proizvoljan. Tada je, prema lemi (ii), I(C) = J 0, pa iz definicije skupa I(C) slijedi da za svaki A J 0 vrijedi ili A C ili C g(c) A. Prema tome, C je usporediv sa svakim A J 0, tj. zbog proizvoljnosti od C, svaka dva elementa iz J 0 su usporediva, pa je J 0 lanac. Sada smo konačno u mogućnosti završiti dokaz Zornove leme. Neka je J 0 := J 0, tj. J 0 je unija svih elemenata lanca J 0. Prema lemi (ii), je J 0 J 0. Kako J 0 zadovoljava (iii), zaključujemo da je i g(j 0 ) J 0. No, kako je J 0 unija svih skupova iz lanca J 0, on i sadrži sve skupove iz J 0. Posebno je i g(j 0 ) J 0, a kako je J 0 g(j 0 ), iz ove dvije inkluzije slijedi da je g(j 0 ) = J 0. Dakle, J 0 je maksimalan element u J 0, odnosno vrijedi J 0 J 0 X, što je dokaz da vrijedi tvrdnja 3. Time je Zornova lema dokazana. Važno je napomenuti, kako je ovo egzistencijalni dokaz i on bez obzira na svoju robusnost ne pokazuje kako se maksimalan element u X zaista može pronaći, već samo tvrdi da on postoji. No, i sama egzistencija maksimalnog elementa je dovoljno važna i zanimljiva da bi ovaj dokaz imao svoju vrijednost. Dakle, korištenjem Aksioma izbora uspješno smo napravili dokaz Zornove leme i time pokazali da implikacija [AC] [1] zaista vrijedi. 2.2 Hausdorffov princip maksimalnosti Može se reći da je povijest Principa maksimalnosti prilično zapetljana. Prvi osvrt na Princip maksimalnosti dao je, godine, Felix Hausdorff, izvevši jedan specijalni oblik toga principa, koji je kasnije, točnije godine, i dokazao. Nakon toga, godine u svojoj knjizi, Hausdorff, iz Teorema o dobrom uređenju, izvodi novu modifikaciju, te još kasnije, godine, isto radi uz pomoć Aksioma izbora. Usporedno sa Hausdorffom, C. Kuratowski i M. Zorn, i godine, nezavisno jedan o drugom, shvaćaju da se Teorem o dobrom uređenju skupova može zamijeniti sa Principom maksimalnosti. Kako je Hausdorffov prvi koji je u svom radu naveo Princip maksimalnosti, danas on nosi njegovo ime i predstavlja stariju i alternativnu formu Zornove leme. Sada nam je cilj pokazati da iz Zornove leme slijedi Hausdorffov princip maksimalnosti, 12

17 odnosno [1] [2]. Time će, po zatvaranju kruga implikacija na kraju rada, biti pokazana ekvivalencija Hausdorffovog principa maksimalnosti sa Aksiomom izbora, ali i sa Zornovom lemom. Dokaz: Neka je < parcijalni uređaj na skupu X i neka je L neki lanac u parcijalno uređenom skupu (X, <), odnosno L X. Maksimalni lanac u X koji sadrži L je, po definiciji, neki lanac X X takav da je L X i ne postoji lanac Y u X takav da je L Y i X Y. Drugim riječima, ne postoji niti jedan lanac u (X, <), takav da sadrži L i da mu je X pravi podskup. Definirajmo L := {L : L je lanac u X takav da L L }, tj. L je skup svih lanaca L iz X za koje vrijedi L L, gdje je L odabrani lanac iz X. Tada je maksimalni lanac u X koji sadrži L i maksimalni element u L s inkluzijom kao parcijalnim uređajem, tj. u (L, ), ustvari jedno te isto. To znači da je dovoljno pokazati da parcijalno uređen skup (L, ) sadrži maksimalni element. Očito je da (L, ) zadovoljava uvjete Zornove leme, jer ako je W neki lanac iz L, onda je W lanac koji je jedna gornja međa za W. Očito je da će sada, kako parcijalno uređeni skup (L, ) zadovoljava uvjete Zornove leme, slijediti da taj skup sadrži maksimalan element, a prema tome i (X, <) sadrži maksimalni lanac. Što smo i trebali pokazati. Radi veće dosljednosti, raspišimo zadnji dio dokaza: Neka je W lanac iz L i neka je Z = W. Pretpostavimo da su a, b Z i neka su A, B W takvi da je a A i b B. Kako je W lanac u L, A i B su usporedivi. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostavit da je A B, a tada su i a, b B. Kako je B lanac u L, tada je ili a < b ili b < a. Stoga je i Z lanac u (L, ). Kako smo Z definirali kao uniju lanca W, sigurno A W vrijedi da je A Z. Stoga je jasno, da je Z gornja međa lanca W. Konačno, imamo da A W takav da je L A vrijedi da L Z. Prema tome je Z L. Ovime je dokaz Hausdorffovog principa maksimalnosti napravljen uz pomoć Zornove leme i pokazana je implikacija [1] [2]. Ovo je također egzistencijalni dokaze, kao uostalom i svi koje ćemo do kraja pokazati. 13

18 2.3 Zermelov teorem o dobrom uređenju Povijesno najvažnija primjena Aksioma izbora, svakako je, Teorem o dobrom uređenju, koji kaže da se svaki skup može dobro urediti. Još je Cantor smatrao da bi Teorem o dobrom uređenju trebao biti temeljno načelo misli. No, mnogi matematičari su naišli na poteškoće sa vizualizacijom dobrog uređenja, npr. već za skup realnih brojeva godine Gyula König je tvrdio kako je dokazao da takvo dobro uređenje ne postoji. No, samo par tjedana poslije F. Hausdorff pronalazi grešku u dokazu, i gura stvar u drugom smjeru, tvrdeći da je Teorem o dobrom uređenju ekvivalentan Aksiomu izbora. Nakon što ga je E. Zermelo, godine uspješno dokazao iz Aksioma izbora, u svijetu matematike nastala je prava pomutnja, jer je dokazano nešto za što je bilo očito da ne vrijedi. Tako, možemo uzeti linearno uređen skup realnih brojeva sa relacijom manje ili jednako i to neće definirati dobar uređaj čak ni na intervalu 0, 1, jer u njemu nema najmanjeg člana. Zermelov dokaz je čisto egzistencijalan i ne daje nikakvu informaciju kako konstruirati dobro uređenje na nekom skupu. Ipak, još uvijek nije poznato niti jedno dobro uređenje na skupu realnih brojeva, iako ako prihvatimo Aksiom izbora, ono postoji. Ta kontroverza oko Teorema o dobrom uređenju živi još i danas, i pravo je pitanje hoće li ikada biti definitivno razriješena. Možda najbliže odgovoru došao je američki matematičar i filozof Raymond Smullyan, istaknuvši da zbunjenost oko valjanosti Aksioma izbora i nekonstruktivnost Teorema o dobrom uređenu, ne znači da su ta pitanja nedokučiva. To samo znači, da je naša ZF aksiomatska teorija skupova, nedovoljna da odluči o tom pitanju. Dokažimo sada Zermelov teorem o dobrom uređenju uz pomoć Hausdorffovog principa maksimalnosti, odnosno implikaciju [2] [3]: Dokaz: Neka je X neki skup i neka je W = {(A, ) : A X i je dobar uređaj za A}. Dakle W je familija parova (A, ) svih podskupova A X i dobrih uređenja na A. Važno je primijetiti da smo pretpostavili da su A takvi podskupovi na kojima se može definirati dobar uređaj i, ako A ima više dobrih uređenja, uzima se sa svim svojim dobrim uređenjima. Familija W sigurno nije prazna, jer na primjer, svaki jednočlan podskup od X s trivijalnim (dobrim) uređajem pripada familiji W, kao i prazan skup. Navedimo sada tri definicije potrebne za razumijevanje ovog dokaza: Definicija (i). Neka je (X, <) dobro uređen skup i a X. Početni komad ili segment definiran elementom a je skup X[a] := {x X : x < a} svih prethodnika od a. Za a = min X je X[a] := Definicija (ii). Za dobro uređen skup Y kažemo da je produljenje dobro uređenog skupa X ako je X neki početni komad skupa Y. 14

19 Relacija produljenja je očito tranzitivna, a kako dobro uređen skup nije sličan niti jednom svom početnom komadu, je i antirefleksivna, pa je ona relacija (strogog) uređaja. Definicija (iii). Neka su A i B disjunktni linearno uređeni skupovi. Njihova redna unija, A B, je unija A B s uređajem, tako da A i B zadržavaju svaki svoj uređaj i svaki a A je ispred svakog b B. Definirajmo u W parcijalni uređaj relacijom produljenja: za (A, ), (A, ) W je (A, ) (A, ), ako je A produljenje od A, tj. A je (segment) početni komad od A. Znači, sada imamo parcijalni uređaj u (W, ) i želimo pokazati da je to dobar uređaj. Kako je (W, ) parcijalno uređen skup, prema Hausdorffovom principu maksimalnosti, on sadrži maksimalni lanac L, tj. ne postoji lanac u (W, ) kojem je L pravi podskup. Uzmimo da je maksimalni lanac L u (W, ) oblika L = {A λ : λ Λ}, tj. za λ 1 λ 2 je ili A λ1 produljenje od A λ2 ili je A λ2 produljenje od A λ1. Neka je C := L = {A λ : λ Λ} X, skup koji sadrži sve A λ i produljenje je svakog od njih. Sigurno je (C, ) linearno uređen skup. No, (C, ) će biti, još više, dobro uređen skup. Uvjerimo se u to: neka je Z neprazan podskup od C. Tada sigurno postoji neki A λ, takav da Z A λ, dakle u presjeku sigurno postoji neki element z, takav da je z A λ C. Neka je m = min(z A λ ) = min(z C) = min Z, znači svaki neprazan podskup od C ima minimum, a to znači da je C dobro uređen. Dakle (C, ) je dobro uređen skup, a kako je još C X onda je i C W. Da bi dokazali teorem trebamo se još uvjeriti da C = X, tj. da je dobro uređenje cijelog skupa X. Pretpostavimo da postoji x X \ C. Onda je redna unija C = C {x} dobro uređen podskup od X koji sadrži C, pa je onda L {C } također lanac iz W. Zbog maksimalnosti od L je C L, pa je C C. Specijalno je onda x C, a to je kontradikcija s pretpostavkom da je x X \ C. Time je dokazana implikacija [2] [3] da se svaki skup može dobro urediti, ali nije pokazano kako na nekom skupu konstruirati dobar uređaj. 15

20 2.4 Hartogsov teorem Iako postoje desetci teorema ekvivalentnih sa Aksiomom izbora koji govore o odnosima kardinalnih brojeva, posebno mjesto među njima zauzima Teorem o trihotomiji kardinalnih brojeva. Još godine, Cantor, iako nije dao dokaz, potvrđuje postojanje trihotomije za kardinalne brojeve i u svome pismu Dedekindu, godine, navodi kako trihotomija slijedi iz Principa o dobrom uređenju skupova. No, njihova ekvivalencija ostaje nedokazana sve do godine, kada Hartogsu to polazi za rukom. Navedimo neke definicije važne za ovo potpoglavlje: Definicija (i). Dobro uređen skup (X, <) naziva se segmentni skup ako za svaki a X vrijedi a = X[a]. Definicija (ii). Neka je (X, <) dobro uređen skup. Jedinstven segementni skup sličan skupu X, točnije skupu (X, <), naziva se ordinalni ili redni broj skupa X. (Iz definicije je vidljivo da ako je (X, <) segmentni skup, onda je X ujedno i ordinalni broj toga skupa, pa se ordinalni brojevi ne razlikuju od segmentnih skupova.) Definicija (iii). Kardinalni broj skupa X, kard A, je najmanji ordinalni broj (ordinalni broj= segmentni skup) koji je ekvipotentan skupu X. Dokažimo sada implikaciju [3] [4]: Dokaz: Neka su A i B dva proizvoljna skupa, i neka su < i njihova dobra uređenja, koja postoje prema Zermelovom teoremu o dobrom uređenju. Pokažimo sada jedan teorem koji nam je neophodan za dokaz ovog teorema: Teorem (o usporedivosti dobro uređenih skupova) Neka su (A, <) i (B, ) dobro uređeni skupovi. Tada vrijedi točno jedna od sljedećih tvrdnji: a) A B b) Postoji jedinstveni a A takav da vrijedi A[a] B, gdje je A[a] početni komad definiran elementom a, tj. A[a] = {x A : x < a}. c) Postoji jedinstveni b B takav da vrijedi A B[b]. Dokaz : U slučaju kada je A = ili B =, tvrdnja teorema očito vrijedi. Razmatrat ćemo slučaj kada je A i B. Neka je A = {a A : postoji (jedinstveni) b B takav da A[a] B[b]} 16

21 B = {b B : postoji (jedinstveni) a A takav da A[a] B[b] } Kao prvo, to su neprazni skupovi, jer ako označimo sa a 0 najmanji element skupa A, odnosno sa b 0 najmanji element skupa B, tada imamo A[a 0 ] = = B[b 0 ]. Očito su A i B dobro uređeni skupovi, te vrijedi A B. Neka je a A proizvoljan element. Tada iz definicije skupa A slijedi da postoji b B i sličnost f : A[a ] B[b]. Ako je a A takav da je a < a tada je očito A[a] B[f(a)], pa je onda a A. Iz toga vidimo da je A = A ili postoji a A takav da je A = A[a]. U slučaju da je A A, uzmemo a najmanji element skupa A \ A. Analogno napravimo za skup B. Moguća su sljedeća četiri slučaja: (i) A = A i B = B (ii) B = B i postoji a A takav da je A = A[a]. (iii) A = A i postoji b B takav da je B = B[b] (iv) Postoji a A takav da je A = A[a] i postoji b B takav da je B = B[b] Primijetimo kako je slučaj pod (iv) nemoguć, jer tada, kako smo ranije i naveli, uzmemo da je a najmanji element skupa A \ A, tj. a = min(a \ A ) i b = min(b \ B ). Međutim, odavde slijedi da je A = A[a] i B = B[b], što je nemoguće jer bi tada f bila sličnost između A[a] i B[b], pa bismo imali da je a A i b B. Slučaj (i) dokazuje tvrdnju teorema pod a), slučaj (ii) dokazuje tvrdnju pod b), a slučaj (iii) tvrdnju pod c), što smo i trebali dokazati. Kažemo da je kardinalnost, odnosno kardinalni broj (to su ekvivalentni pojmovi, vidi [1]) nekog skupa X manja od kardinalnosti nekog skupa Y ako postoji injekcija X Y, i pišemo kard X kard Y, te kažemo da imaju istu kardinalnost, i pišemo kard X = kard Y, ako postoji bijekcija sa X na Y. Iz Teorema o usporedivosti dobro uređenih skupova slijedi kako je ili A sličan s B, i tada postoji bijekcija s A na B, tj. vrijedi da je kard A = kard B, ili je A sličan nekom početnom komadu od B, i tada postoji injekcija sa A u B, tj. vrijedi da je kard A kard B, ili je B sličan nekom početnom komadu od A, što znači da postoji injekcija sa B u A, tj. vrijedi da je kard B kard A, a time je trihotomija za kardinalne brojeve dokazana. Time je dokazan Hartogsov teorem tj. pokazana je implikacija [3] [4]. 17

22 2.5 Tarskijev teorem Dokaz koji pokazuje da u ZF teoriji, tvrdnja da za svaki beskonačni skup A postoji bijekcija između A i A A implicira Aksiom izbora, dao je godine Alfred Tarski. Obrnuta implikacija je bila već otprije poznata, no važnost Tarksijevog dokaza je u tome što je pokazano da su to ekvivalenti. Danas je taj teorem u ZF teoriji, poznat pod nazivom Tarskijev teorem. Zanimljivo je, da je Tarski, u svojim nastojanjima da objavi svoj teorem u dva pariška časopisa, u oba naišao na odbijanje. Iz prvog je dobio objašnjenje kako implikacija između dvije dobro poznate propozicije nije novi rezultat, a iz druge da implikacija između dvije netočne propozicije nije zanimljiva. Prije samog dokaza teorema, nužno je dati objašnjenja vezana za beskonačne kardinalne brojeve, kako bi dokaz bio u cijelosti razumljiv. Još prije smo kardinalni broj skupa A, kard A, definirali kao najmanji ordinalni broj, odnosno segmentni skup, koji je ekvipotentan skupu A. Skupovi A i B su ekvipotentni ako i samo ako je kard A = kard B. Svakom konačnom skupu A pripada jedinstveni ordinalni broj koji je ujedno i kardinalni broj skupa A. Čak je uobičajena praksa u konačnosti ne praviti razliku između tih dvaju vrsta brojeva. Do razlike dolazi kada krenemo raditi sa beskonačnim skupovima. Ako je (A, <) dobro uređen skup i ord(a, <) = α njegov ordinalni broj, onda prema teoremu koji kaže da je svaki dobro uređen skup sličan jedinstvenom segementnom skupu, slijedi da postoji jedinstveni segementni skup sličan skupu (A, <). Ako je W prava klasa svih ordinalnih brojeva, onda je to upravo W [α] = {ξ W : ξ < α}, dakle skup svih ordinalnih brojeva manjih od α, uključujući i 0. Taj skup ima ordinalni broj α, tj. ord W [α] = α i dobro je uređen inkluzijom, odnosno relacijom produljenja. No, kard W [α] je prema definiciji najmanji ordinalni broj koji pripada skupu W [α], tj. koji je ekvipotentan sa W [α]. Kako dobro uređeni skup ne može biti sličan svom segmentu tako α nije ekvipotentan nekom ordinalnom broju manjem od njega, tj. nekom svom segmentu, pa je on ujedno i kardinalni broj skupa W [α], tj. kard W [α] = α. Ako je A ekvipotentan sa W [α] onda kažemo da A ima α elemenata. Ako je A pravi podskup od W [α], onda je A sličan segmentu od W [α], pa je kard A < α. Definicija (i). Skup A je konačan ako je ekvipotenatn nekom segmentu skupa W [ω]. Skup A je beskonačan ako nije konačan, to jest ako je kard A ω, tj. kard A ℵ 0. Svaki se beskonačan skup može dobro urediti tako da različiti uređaji imaju različite ordinalne brojeve. Stoga je prirodno da se ordinalni brojevi svrstavaju u razrede ili klase, tako da se u istom razredu nalaze svi ordinalni brojevi, odnosno segmentni skupovi, istog kardinalnog broja. Ako je a beskonačan kardinalni broj, onda se brojevni razred Z(a) sastoji od svih ordinalnih brojeva čiji je kardinalni broj jednak a. Skup Z(a) je dobro uređen prema veličini relacijom produljenja, dakle ima minimum, ali nema maksimuma. Naime, za 18

23 ξ Z(a) je kard(ξ + 1) = kard(ξ), tj. ξ + 1 Z(a), i ξ + 1 > ξ. Tako kažemo da je brojevni razred Z(ℵ 0 ) skup svih prebrojivo beskonačnih ordinalnih brojeva, tj. skup svih ordinalnih brojeva kojima je kardinalni broj ℵ 0. Uočimo da je Z(ℵ 0 ) zaista skup, jer ako je α ordinalni broj koji pripada bilo kojem neprebrojivom skupu (tj. takvom koji je beskonačan i nije ekvipotentan sa N, npr. takav je R) onda je svaki element skupa Z(ℵ 0 ) segment skupa W [α], a to znači da je Z(ℵ 0 ) sadržan u skupu svih segmenata W [α]. Prema shemi aksioma separacije, Z(ℵ 0 ) je skup. Važna tvrdnja, odnosno teorem, je onaj koji kaže da je kardinalni broj skupa Z(ℵ 0 ) veći od kardinalnog broja skupa ℵ 0. Jasno je da kada bi skup Z(ℵ 0 ) bio prebrojiv, prebrojiv bi bio i prvi ordinalni broj koji je veći od svih ordinalnih brojeva iz Z(ℵ 0 ), dakle element od Z(ℵ 0 ), (to pak vrijedi prema teoremu koji kaže da za svaki prebrojiv podskup S Z(ℵ 0 ), prvi ordinalni broj koji dolazi iza svih ordinalnih brojeva iz S također pripada skupu Z(ℵ 0 )) pa bi on bio veći od sebe samog, što ne može biti. Označimo sa ω 1 ordinalni broj dobro uređenog skupa Z(ℵ 0 ), tj. ω 1 = ord(z(ℵ 0 )). Isto tako, preko redne unije i funkcije sličnosti, moguće je pokazati kako je ω 1 ordinalni broj dobro uređenog skupa svih ordinalnih brojeva manjih od ω 1, tj. ω 1 = W [ω 1 ]. Bitno je uočiti, da zbog toga što je svaki ordinalni broj α < ω 1 konačan ili prebrojiv, slijedi da je ω 1, kao najmanji neprebrojiv ordinalni broj, ujedno i kardinalni broj i tada se ω 1 označava sa ℵ 1. Dakle vrijedi, ℵ 1 = kard Z(ℵ 0 ) = kard W [ω 1 ]. Kardinalni broj ℵ 1 dolazi neposredno iza ℵ 0, tj. ne postoji niti jedan kardinalni broj koji je između ℵ 0 i ℵ 1. Zaista, ako je α < ℵ 1 i A skup takav da je kard A = α, onda svako dobro uređenje skupa A ima ordinalni broj manji od ω 1, pa je A sličan nekom segementu skupa W [α], te je α = kard A ℵ 0. Svi ordinalni brojevi kojima je kardinalni broj jednak ℵ 1 čine brojevni razred Z(ℵ 1 ) i kardinalni broj skupa Z(ℵ 1 ) veći je od ℵ 1. Ordinalni broj dobro uređenog skupa Z(ℵ 1 ) označava se s ω 2, a kako je to i najmanji ordinalni broj koji je veći od svih elemenata skupa Z(ℵ 1 ), on je ujedno i kardinalni broj, i u tom slučaju, slično kao za ranije za ω 1, on se označava sa ℵ 2. Svaki skup ordinalnih brojeva je dobro uređen, a iz toga slijedi i dobro uređenje svakog skupa kardinalnih brojeva. veličini (uključit ćemo i konačne kardinalne brojeve): Tako dobivamo sustav kardinalnih brojeva poredanih prema 0 < 1 < < n < < ℵ 0 < ℵ 1 < ℵ 2 < < ℵ ξ < ℵ ξ+1 <... Razlog zašto ordinalnie brojeve ω 0 = ω, ω 1,..., ω ξ,... kada na njih gledamo kao na kardinalne brojeve označavamo sa ℵ 0, ℵ 1,..., ℵ ξ,... je zbog praktičnosti, jer znamo kako za ordinalne i kardinalne brojeve vrijede različita svojstva računskih operacija. Na primjer, ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0, dok je ω + ω = ω 2 ω. Iako su ω i ℵ 0 dvije oznake za isti pojam, u prvom slučaju se znak + odnosi na zbrajanje kardinalnih brojeva, dok se u drugom slučaju odnosi na zbrajanje ordinalnih brojeva što ima veze sa rednom unijom, a samim time i sa uređajem. Za kraj ovog uvoda u dokaz, važno je pitati se što je sa brojem c = kard R, kardinalnim 19

24 brojem skupa R, za koji znamo da vrijedi c = 2 ℵ 0 > ℵ 0. Kako je ℵ 0 najmanji beskonačni kardinalni broj, a ℵ 1 drugi najmanji, prema hipotezi kontinuuma 7, koja kaže da ne postoji niti jedna kardinalnost između ℵ 0 i c slijedi da je onda c = ℵ 1 (prema generaliziranoj hipotezi kontinuuma vrijedi 2 ℵα = ℵ α+1, za svaki ordinalni broj α). To znači da su svi beskonačni kardinalni brojevi ℵ 0, ℵ 1,..., a iz toga slijedi da Tarskijev teorem smijemo iskazati kao: Za svaki kardinalni broj ℵ α vrijedi ℵ α ℵ α = ℵ 2 α = ℵ α Iskažimo i dokažimo princip koji ćemo koristi u dokazu, te jednu definiciju: Teorem (princip transfinitne indukcije). Neka je (X, <) dobro uređen skup i A X podskup za koji vrijedi: ( x X) X[x] A x A. Tada je A = X. (Ovo je poopćenje principa matematičke indukcije, koji vrijedi za skup N tj. skup ω, na bilo koji dobro uređen skup.) Dokaz : Pretpostavimo suprotno, tj. A X, odnosno X \ A i neka je m = min(x \ A). Uvjerimo se da je X[m] A: za svaki x X[m] je x < m = min(x \ A), pa je x X \ A, tj. x X \ (X \ A) = A. Dakle, zaista je X[m] A. Prema pretpostavci o skupu A, slijedi da je m A, što je u kontradikciji sa m X \ A. Defincija (ii). Svaki se dobro uređen skup (A, <) može zapisati kao A = {a ξ : ξ < α}, gdje je α = ord(a, <), ili još bolje kao transfinitni niz (a ξ ) ξ<α, odnosno a 0, a 1,..., a ξ,..., ξ < α. Dokažimo sada Tarskijev teorem koristeći Hartogsov teorem, tj. dokažimo da ako su svaka dva kardinalna broja usporediva, onda za svaki beskonačan kardinalni broj ℵ α vrijedi ℵ α ℵ α = ℵ 2 α = ℵ α : Dokaz: Znamo da je ω α = W [α], pa je ℵ α = kard W [ω α ] = kard ω α, tj. ℵ α ℵ α jednak je Kartezijevom produktu W [ω α ] W [ω α ]. Dakle, treba dokazati da je kard ( W [ω α ] W [ω α ] ) = kard W [ω α ]. Kardinalni broj Kartezijeva produkta W [ω α ] W [ω α ] je kardinalni broj skupa svih uređenih parova (u, v), gdje je u < ω α i v < ω α. Uz Hartogsov teorem, koristi ćemo još i princip transfinitne indukcije. Uzmimo da je α najmanji ordinalni broj za koji tvrdnja nije istinita. Tada je α sigurno veći od nule, jer je za α = 0 tvrdnja sigurno istinita (jer je Kartezijev produkt dvaju prebrojivih skupova prebrojiv skup), tj. ℵ 2 0 = ℵ 0. Označimo sa K = W [ω α ] W [ω α ] i za svaki ξ < ω α neka je K ξ skup svih uređenih parova (u, v) iz K za koje je u + v = ξ. Tvrdimo da je K ξ = K. Neka je u + v = ξ < ω α. ξ<ω α Tada je sigurno u < ω α i v < ω α, pa je (u, v) K. Kako to vrijedi za svaki ξ < ω α, slijedi 7 vidi [2] i [3] 20

25 da je K ξ K. Nadalje, iz u < ω α i v < ω α, odnosno iz (u, v) K, slijedi 8 da je ξ<ω α kard u kard ω α = ℵ α i kard v kard ω α = ℵ α, pa prema pretpostavci o α, postoji neki γ < α takav da je kard u ℵ γ i kard v ℵ γ, te kard(u + v) = kard u + kard v ℵ γ + ℵ γ = 2ℵ γ ℵ γ ℵ γ = ℵ 2 γ = ℵ γ < ℵ α = kard ω α. Sada, kako vrijedi kard(u + v) < kard ω α i kako je svaki kardinalni broj ujedno i ordinalni broj, slijedi da je u + v < ω α, pa postoji neki ξ < ω α takav da je u + v = ξ, te onda vrijedi i u + v K ξ. Ovime je pokazana i implikacija K K ξ, dakle vrijedi K = K ξ. ξ<α ξ<α Za svaki ξ < ω α, dobro ćemo urediti skup K ξ tako da usporedimo prve koordinate, tj. (u 1, v 1 ) prethodi elementu (u 2, v 2 ) ako je u 1 < u 2. Ovakav uređaj je moguće konstruirati jer za svaki u ξ postoji jedinstveni v za koji je u + v = ξ. Zaista, ako je u = ξ, tada je v = 0. Ako je pak u < ξ, označimo ξ = ord Q, te je u ordinalni broj nekog segmenta iz Q. Neka je u = ord Q[x], gdje je Q[x] segment skupa Q, tada imamo da je Q = Q[x] ( Q \ Q[x] ). Uzmimo da je v = ord ( Q \ Q[x] ), tada je u + v = ξ. Pokažimo još da je takav v jedinstven. Kada bi postojao v 1 v, na primjer v 1 < v, takav da je ξ = u + v 1, postojao bi ordinalni broj γ > 0 takav da je v = v 1 + γ, te ξ = u + v = u + (v 1 + γ) = (u + v 1 ) + γ = ξ + γ, što nije moguće, jer ako bilo kojem ordinalnom broju pribrojimo ordinalni broj veći od nula, dobijemo veći ordinalni broj. Stoga se u K ξ ne mogu pojaviti dva elementa koja imaju jednake prve a različite druge koordinate. Iz toga zaključujemo da je skup K, kao dobro uređena redna unija K = K ξ, i sam dobro uređen skup. ξ<α Pokažimo da je ordinalni broj skupa K jednak ω α, tj. ord K = ω α. Kako je K dobro uređen skup, sigurno sadrži transfinitni niz: (0, 0), (1, 0),..., (ξ, 0),..., za ξ < ω α, pa njegov ordinalni broj ne može biti manji od ω α. Pretpostavimo da je ord K > ω α, tj. da K sadrži segment čiji je redni broj ω α. Neka je to neki segment P definiran elementom (u 0, v 0 ). Onda je (u 0, v 0 ) K ξ, za ξ < ω α i u 0 + v 0 = ξ. Ako uzmemo bilo koji element (u, v) K koji dolazi prije elementa (u 0, v 0 ), onda je u ξ i v ξ. Skup svih rednih brojeva u, takvih da je u ξ, ima redni broj ξ + 1, a zbog toga što je ξ < ω α i jer je ω α granični ordinalni broj, onda je i ξ + 1 < ω α, odnosno kard(ξ + 1) = ℵ γ, za neki γ < α. Iz toga slijedi da skup svih uređenih parova (u, v) K takvih da je u ξ i v ξ ima kardinalni broj ℵ γ ℵ γ = ℵ γ (prema pretpostavci indukcije), pa je kard P ℵ γ. No, kako je ord P = ω α, slijedi da je kard P = ℵ α, što je kontradikcija. Prema tome, ordinalni broj skupa K mora biti jednak ω α, pa je stoga kard K = ℵ α, tj. ℵ α ℵ α = ℵ 2 α = ℵ α. Ovime je dokazan Tarskijev teorem, a time i implikacija [4] [5]. Matematičkom indukcijom se može pokazati da vrijedi i ℵ n α = ℵ α, n ω. Kako bismo zatvorili krug implikacija iz teorema 2, potrebno je još pokazati da iz Tarski- 8 Za kardinalni broj α kažemo da je manji od kardinalnog broja β, i pišemo α < β, ako za α i β shvaćene kao ordinalne brojeve vrijedi α < β. 21

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Pojam funkcije u nastavi matematike... Uvod Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Mirjana Marjanović Matić 1 Matematika se u školi predaje od davnina pa vjerujemo kako bi se svi složili da

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović

TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović 2 Sadržaj 1 Uvod 7 I Uvod u teoriju skupova 21 2 Logičke osnove 23 2.1 O formalnoj metodi....................

More information

University of East Sarajevo Mathematical Society of the Republic of Srpska. PROCEEDINGS Trebinje, June 2014

University of East Sarajevo Mathematical Society of the Republic of Srpska. PROCEEDINGS Trebinje, June 2014 Redakcija Prof. dr Milenko Pikula, Univerzitet u Istočnom Sarajevu, BiH Prof. dr Žarko Mijajlović, Matematički fakultet Beograd, Republika Srbija Akademik prof. dr Svjetlana Terzić, Univerzitet Crne Gore,

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele. Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.

FEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information