Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Transcription

1 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010

2 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad Mentor: docdrsc D Marković U Osijeku, 19 listopada 2010

3 Sadržaj 1 UVOD 4 2 MATRICE I DETERMINANTA 5 21 Vrste matrica 5 22 Determinanta 6 3 CRAMEROVO PRAVILO Iskaz i dokaz teorema Geometrijska interpretacija Rješavanje sustava n linearnih jednadžbi s n nepoznanica Cramerovim pravilom 17 4 ZAKLJUČAK 19 5 LITERATURA 20 1

4 Sažetak Rješavanje sustava linearnih jednadžbi jedan je od bitnijih problema linearne algebre Pojam linearnih znači da se u jednadžbama nepoznanice pojavljuju samo na prvu potenciju i da se ne pojavljuju umnošci nepoznanica Za razliku od sustava nelinearnih jednadžbi, za takve je sustave lako ustanoviti da li su rješivi te ako jesu, riješiti ih Postoje različite metode kojima se rješavaju takvi sustavi Metode za rješavanje sustava linearnih jednadžbi: Cramerovo pravilo - direktna metoda, ne zasniva se na eliminaciji Metode eliminacije - Gaussova metoda, Gauss-Jordanova metoda Iterativne metode - asimptotski dovode do rješenja pomoću neke iterativne procedure Jacobijeva metoda Gauss - Seidelova metoda Predmet ovog završnog rada je problem rješavanja linearnih sustava n jednadžbi s n nepoznanica pomoću metode Cramerovog pravila Postupak se temelji na primjenama matričnog računa, tako da ćemo dati i osnovne pojmove o matricama i erminanti Ključne riječi: sustav linearnih jednadžbi, vrste matrica, regularna matrica, erminanta, Cramerovo pravilo 2

5 Abstract Solving systems of linear equations is one of the most important problems of linear algebra The term linear means that the unknowns in equations appear only on the first power and do not appear to multiply unknowns Unlike the system of nonlinear equations, for such systems is easy to ermine whether they are solvable, and if so, to solve them There are various methods to solve such systems Methods for solving systems of linear equations: Cramer s rule - direct method, not based on elimination Elimination method - Gaussian, Gauss-Jordan method Iterative methods - asymptotically lead to a solution using an iterative procedure Jacobi method Gauss-Seidel method The subject of this final work is the problem of solving systems of linear n equations with n unknowns using method Cramer s rule The procedure is based on application of matrix calculus, so we ll give the basic concepts of matrices and erminant Key words: system of linear equations, erminant, regular matrix, Cramer s rule 3

6 1 UVOD Prvo pokažimo opći oblik linearnih sustava m jednadžbi s n nepoznanica koji glasi: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Rješenje ovog sustava je svaka n -torka (x 1, x 2 x n ) koja uvrštena u (1) identički zadovoljava sve jednadžbe (1) Sustav (1) može se zapisati u obliku matrične jednadžbe: Ax = b Gdje smo označili: A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, x = x 1 x 2 x n, b = b 1 b 2 b n Matrica A naziva se matrica koeficijenata sustava, x je vektor nepoznanica, b desna strana sustava Posebno ćemo proučiti metodu Cramerovo pravilo za rješavanje linearnih sustava n jednadžbi s n nepoznanica U drugom poglavlju ćemo se prisjetiti vrsta matrica, erminante, načina računanja erminante te njezinih svojstva Treće poglavlje je posvećeno samom Cramerovom pravilu Iskazat ćemo i dokazati Cramerov teorem i pokazati njegovu geometrijsku interpretaciju Primjerom ćemo prikazati primjenu Cramerovog pravila na rješavanje linearnih sustava n jednadžbi s n nepoznanica 4

7 2 MATRICE I DETERMINANTA 21 Vrste matrica 1 Kvadratna matrica broj redaka jednak je broju stupaca m = n; pravokutna matrica m n 2 Dijagonalna matrica kvadratna matrica kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nula (a ij = 0, i j) 3 Skalarna matrica dijagonalna matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki (a 11 = a 22 = = a nn = s) 4 Jedinična matrica skalarna matrica koja na glavnoj dijagonali ima jedinice a 11 = a 22 = = a nn = 1 5 Nul-matrica matrica kojoj su svi elementi jednaki nula 6 Gornje trokutasta matrica kvadratna matrica za koju vrijedi a ij = 0, i > j, tj: 0 a 22 a 2n A = 0 0 a nn 7 Donje trokutasta matrica kvadratna matrica za koju vrijedi a ij = 0, i < j, tj: a a 21 a 22 0 A = a n1 a n2 a nn 8 Transponirana matrica : A T, matrice A formata m n je matrica A T = a T ij formata n m, tako da bude a T ij = a ji Retci (stupci) matrice A T su stupci (retci) matrice A pa vrijedi (A T ) T = A 9 Simetrična matrica kvadratna matrica kod koje su elementi, simetrično rasporedeni s obzirom na glavnu dijagonalu, jednaki tj a ij = a ji za sve uredene parove (i, j) ili A T = A 10 Antisimetrična matrica kvadratna matrica za koju vrijedi a ij = a ji, za sve (i, j) ili A T = A 11 Vektor redak matrica koja ima samo jedan redak, a vektor-stupac matrica koja ima samo jedan stupac 5

8 12 Ortogonalna matrica je kvadratna matrica U n -tog reda za koju vrijedi: UU T = U T U = I 13 Inverzna matrica A 1 - vrijedi : AA 1 = I 14 Regularna (invertibilna) matrica kvadratna matrica za koju postoji matrica A 1 te za koju vrijedi AA 1 = A 1 A = I U suprotnom, matrica je singularna Za svaku regularnu maricu vrijede svojstva: (a) (A 1 ) 1 = A (b) (AB) 1 = B 1 A 1 Možemo definirati i trag kvadratne matrice A zbroj elemenata na glavnoj dijagonali n (tra = a ij ) 22 Determinanta Determinanta 1 je funkcija koja kvadratnoj matrici nad poljem F pridružuje realan broj: : M n n (F ) F - kvadratne matrice nad poljem F, M n n, se kraće označavaju s M n (F ) 1 Za n = 1 imamo matricu A M 1 (F ), A = [a 11 ], pa je njena erminanta jednaka broju a 11 : i=1 (A) = a 11 = a 11 [ ] a11 a 2 Za matricu A M 2 (F ), A = 12, njena erminanta je: a 21 a 22 3 Za matricu A M 3 (F ), A = izračunati na dva načina: (a) Sarrusovim pravilom: (A) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 njenu erminanta možemo i pravilo dijagonala (treba napisati erminantu i još prva dva stupca matrice uz nju) 6

9 Slika 1: Shematski prikaz izračunavanja erminante metodom dijagonala A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) Sada po shemi tvorimo produkte po tri člana i to prvo u smjeru glavne dijagonale, a zatim produkte od, takoder, po tri člana, no u smjeru sporedne dijagonale Produkte uzete u smjeru glavne dijagonale zbrojimo i od toga oduzmemo zbroj produkata uzetih u smjeru sporedne dijagonale (b) Metoda kofaktora - razvoj po elementima nekog retka ili stupca svodenjem na erminante drugog reda A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Predznak + ili zavisi o parnosti/neparnosti zbroja indeksa elemenata a ij Ako je zbroj paran pišemo +, ako je neparan pišemo Ako želimo razviti erminantu po npr elementima prvog retka, tada prepišemo prvi element toga retka i precrtamo prvi redak i prvi stupac erminante te prepisani prvi element množimo s preostalim dijelom erminante Tako dobivena erminanta drugog reda se zove suberminanta ili minor dotičnog elementa Zatim prepišemo s protivnim predznakom (po shemi predznaka - Slika 1 Od latinskog ermino, erminare - odrediti Determinante je prvi otkrio i proučavao G W Leibniz 1693 godine ispitujući rješenja sustava linearnih jednadžbi No kasnije se za otkrivača erminanti smatra G Cramer koji je 1750 godine dao pravila rješavanja jednadžbi pomoću erminanata, a u meduvremenu je Leibnizovo otkriće palo u zaborav Determinante se široko primjenjuju u matematici tek nakon K J Jacobija Naziv erminante uveo je u matematiku K F Gauss 7

10 Slika 2: Shematski prikaz predznaka 2) drugi element prvog retka pa kao i prije množimo taj element s njegovom erminantom (koju dobijemo kad precrtamo prvi redak i drugi stupac zadane erminante) Naposlijetku prepišemo treći element prvog retka i pomnožimo ga s njegovom suberminantom (koja se dobiva kad se precrta prvi redak i treći stupac u zadanoj erminanti) Sada možemo razviti suberminante na već prije objašnjeni način (erminante drugog reda) Medutim, erminanta se može računati razvojem po proizvoljnom retku matrice, ali i po proizvoljnom stupcu matrice A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 [ a22 a = a a 32 a 33 = (A) = ] a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 [ a21 a a a 31 a 33 ] = a 11M 11 a 12 M 12 +a 13 M 13 = [ a21 a + a a 31 a 32 ] Definicija 221 : Matricu n n, čiji su elementi definirani s A ij = ( 1) i+j M ij, gdje je M ij erminanta (n 1) -vog reda koja nastaje iz zadane erminante A izbacivanjem i-tog retka i j-tog stupca, zovemo kofaktor matrice A Oznaka: kofa Elemente A ij zovemo algebarskim kofaktorima Laplaceov razvoj erminante po i-tom retku je: (A) = n a ij A ij = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in j=1 kofa = A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A n1 A n2 A nn 8

11 4 Općenito, erminantu matrice A M n (F ), a 21 a 22 a 2n kofa = a n1 a n2 a nn rješavamo razvojem po elementima nekog retka ili stupca svodenjem na erminante (n 1) -vog reda Postupak se ponavlja sve dok ne dobijemo razvoj po erminantama drugog reda Računanje erminante prikazali smo razvojem po prvom retku matrice A Označimo sa M ij matricu dobivenu od matrice A n brisanjem i-tog retka i j-tog stupca: M ij = Matricu M ij zovemo minor elemenata a ij a 11 a 1,j 1 a 1,j+1 a 1n a i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j+1 a i 1,n a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j+1 a i+1,n a n1 a nj 1 a nj+1 a nn Teorem 21 Matrica A je regularna ako i samo ako je (A) 0 U tom slučaju je A 1 = 1 (A) (kofa)t Dokaz Stavimo B = kofat (A) Tada je (AB) ij = Σ k a ik b kj = 1 (A) Σ ka ik A jk Za i = j suma na desnoj strani predstavlja Laplaceov razvoj erminante matrice A po i-tom retku pa je (AB) ii = 1 Za i j suma na desnoj strani predstavlja Laplaceov razvoj erminante s dva jednaka retka pa je jednaka nuli Dakle, AB = I Slično se pokaže da je BA = I 9

12 Svojstva erminante: Determinanta matrice mijenja samo predznak ako dva različita retka (stupca) zamijene mjesta Determinanta je jednaka nuli ako su joj svi elementi nekog retka (stupca) jednaki nuli Determinanta je jednaka nuli ako su joj odgovarajući elementi dva retka (stupca) proporcionalni Determinantu je moguće rastaviti na slijedeći način: a 11 + b 11 a 12 a 13 a 21 + b 12 a 22 a 23 a 31 + b 13 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + b 11 a 12 a 13 b 21 a 22 a 23 b 31 a 32 a 33 Determinanta se množi skalarom tako da njime pomnožimo sve elemente bilo kojeg retka (stupca) - pomnožimo jedan i samo jedan redak (stupac)! Općenito, erminanta je linearna funkcija bilo kojeg stupca ili retka Ako je matrica A gornje ili donje trokutasta, onda je (A) = a 11 a 22 a nn Ako je neki stupac matrice A linearna kombinacija ostalih stupaca, tada je (A) = 0 10

13 3 CRAMEROVO PRAVILO 31 Iskaz i dokaz teorema Sljedeći teorem daje formulu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi kada je matrica sustava regularna Teorem 31 (Cramer 2 ) Neka je A regularna matrica i neka je D i erminanta matrice koja se dobije kada se i ti stupac matrice A zamijeni s vektorom b Tada su komponente rješenja sustava Ax = b dane s: Dokaz Matrica A je regularna pa je : x i = x = A 1 b = D i (A) 1 (A) kofat b Dana jednakost napisana po komponentama glasi: pa je teorem dokazan x i = 1 (A) A ki b k = k 1 (A) D i Cramerovo pravilo možemo dokazati koristeći samo dva svojstva erminanti 1 svojstvo: dodavanjem jednog stupca (retka) drugom ne mijenja se vrijednost erminante 2 svojstvo: erminantu množimo skalarom, različitim od nule, tako da elemente bilo kojeg stupca (retka) pomnožimo tim brojem, tj zajednički faktor svih elemenata nekog stupca (retka) može se izlučiti ispred erminante 2 Gabriel Cramer (31 srpnja siječnja 1752), švicarski matematičar, roden u Ženevi ; objavio pravilo

14 Dan je linearni sustav od n jednadžbi s n nepoznanica x 1 x 2 x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Prema teoremu 31: x i = D i (A) Dakle, Cramerovim pravilom dobivamo izraz za x 1 tako da prvi stupac erminante sustava zamjenimo sa stupcem slobodnih koeficijenata te podijelimo sa erminantom samog sustava: b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Zapravo, iz sustava jednadžbi dani kvocjent je jednak: (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n ) a 12 a 1n (a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n ) a 22 a 2n (a n1 x 1 + a n2 x a nn x n ) a n2 a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 12

15 Oduzimanjem od prvog stupca drugi pomnožen sa x 2, zatim treći stupac pomnožen sa x 3 i tako dok ne pomnožimo zadnji stupac sa x n dobijemo: a 11 x 1 a 12 a 1n a 21 x 1 a 22 a 2n a n1 x 1 a n2 a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Po drugom svojstvu erminanti dani kvocjent je jednak: x 1 a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = x 1 Kao rezultat dobijemo: b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = x 1 a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = x 2 13

16 Na isti način, ako stupac b zamjenimo i-tim stupcem matrice sustava jednadžbi rezultat će biti jednak x i : a 11 a 12 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1n a 21 a 22 a 2,i 1 b 2 a 2,i+1 a 2n a n1 a n2 a n,i 1 b n a n,i+1 a nn a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = x i a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a n1 a n2 b n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = x n 14

17 32 Geometrijska interpretacija Geometrijsku interpretaciju Cramerovog pravila možemo smatrati i samim dokazom istoga Dani geometrijski argumenti vrijede općenito, ne samo u slučaju dvije jednadžbe s dvije nepoznanice kao ovdje Dan je sustav jednadžbi: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Možemo ga smatrati kao vektorsku jednadžbu: x 1 ( a11 a 21 ) + x2 ( a12 a 22 ) = ( b1 b 2 ) Površina paralelograma odredenog sa ( a 11 ) a 21 i ( a 12 ) a 22 je dana erminantom sustava jednadžbi a 11 a 12 a 21 a 22 Slika 3: Stoga ( površina paralelograma odredenog sa x a11 ) ( 1 a 21 i a12 ) a 22 mora biti x1 puta površina prvog paralelograma (dok je jedna stranica pomnožena tim faktorom) Slika 4: 15

18 Slika 5: Sada ovaj treći paralelogram, Cavalieriovim principom 3, ima istu površinu kao paralelogram odreden sa ( ) ( ) ( ) ( ) a11 a12 b1 a12 x 1 + x 2 = i a 21 a 22 b 2 a 22 Površine drugog i trećeg paralelograma daju jednadžbu: b 1 a 12 b 2 a 22 = a 11 x 1 a 12 a 21 x 1 a 22 = x 1 a 11 a 12 a 21 a 22 iz čega slijedi Cramerovo pravilo Geometrijska interpretacija Cramerovog pravila: površine drugog i trećeg osjenčanog paralelograma su iste, i površina drugog paralelograma je x 1 puta površina prvog paralelograma Općenito, kada imamo više jednadžbi i više varijabli, erminanta od n vektora duljine n, dati će volumen paralelopipeda odredenog tim vektorima u n-dimenzionalnom Euklidskom prostoru 3 Ako pri presijecanju dvaju likova u ravnini skupom paralelnih pravaca u svakom pojedinom slučaju dobijemo dvije dužine čije su duljine u istom omjeru, onda su u istom omjeru i površine tih dvaju likova 16

19 33 Rješavanje sustava n linearnih jednadžbi s n nepoznanica Cramerovim pravilom Ako je matrica regularna tj erminanta sustava različita od nula, D 0, onda kažemo da je sustav odreden i ima jedinstveno rješenje (x 1, x 2,, x n ) Pokazat ćemo primjerom kako se rješavaju linearni sustavi Cramerovim pravilom: Primjer 1: Dan je sustav x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 2x 1 x 2 x 3 = 1 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 6 Determinanta danog sustava je: D = = 1[( 1) 4 ( 1) 3] 2[2 4 ( 1) 1] + 3[2 3 ( 1) 1] = 2; Vidimo da je erminanta različita od nula, D 0, pa postoji jedinstveno rješenje sustava U erminanti D x1 prvi stupac erminante D zamjenjenimo stupcem slobodnih članova: D x1 = = 5[( 1) 4 ( 1) 3] 2[1 4 ( 1) 6]+3[1 3 ( 1) 6] = 2; U erminanti D x2 drugi stupac erminante D zamjenjen je stupcem slobodnih članova: D x2 = = 1[1 4 ( 1) 6] 5[2 4 ( 1) 1] + 3[ ] = 2; Takoder, u D x3 erminanti treći stupac erminante D je zamjenjen stupcem slobodnih članova: D x3 = = 1[( 1) 6 1 3] 2[ ] + 5[2 3 ( 1) 1] = 4; 17

20 Rješenje sustava je: x 1 = D x 1 D = 1, x 2 = D x 2 D = 1, x 3 = D x 3 D = 2 18

21 4 ZAKLJUČAK Kada imamo mali sustav jednadžbi (kao u primjeru 1) erminante se lako izračunaju (pravilom dijagonala tj Sarrusovim pravilom) Medutim, za sustave od više jednadžbi neophodno je koristiti metodu razvoja po elementima nekog retka ili stupca svodenjem na erminante drugog reda tj metodu kofaktora za izračunavanje erminanti Broj monoženja i dijeljenja pri korištenju metode kofaktora jednak je (n 1)(n+1)! pri čemu je n dimenzija kvadratne matrice Za slučaj od samo 10 jednadžbi, što je mali sustav jednadžbi, broj operacija je , a za samo 100 jednadžbi taj broj je reda Očigledno je da Cramerovo pravilo nije efikasno u rješavanju velikih sustava jednadžbi pa je neophodno koristiti druge metode za rješavanje većih sustava linearnih jednadžbi 19

22 5 LITERATURA Literatura [1] N Elezović: Linearna algebra, Element, Zagreb, 2003 [2] K Horvatić: Linearna algebra, 9 izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb, 2003 [3] S Kurepa: Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1987 [4] http : //enwikipediaorg/wiki/cramer s rule [5] http : //lavicaf esbhr 20