Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle)."

Transcription

1 Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se, med utim da postoje različite vrste beskonačnih skupova. Osnovna alatka koja se u ovom proučavanju koristi su svojstva injektivnih i sirjektivnih preslikavanja... Pojam kardinalnog broja. Pitanje veličine konačnih skupova se obično vezuje za broj elemenata tog skupa. Pa je, u tom smislu, skup B koji ima m elemenata veći od skupa A koji ima n elemenata ako je m n. U skučaju da je m = n skupovi A i B su jednaki po broju svojih elemenata, pa ako sa A označimo broj elemenata skupa A, a sa B broj elemenata skupa B, onda je A = B. Dakle, ako je A = {a, a,..., a n } i B = {b, b,..., b m } i n = m, onda je preslikavanje f : A B dato sa f(a j ) = b j, j =,,..., n, bijekcija izmed u skupova A i B, a njemu inverzno preslikavanje f : B A (f (b j ) = a j, j =,,..., n) je bijekcija izmed u skupa B i skupa A. U slučaju da je m > n, može se dokazati da ne postoji injektivno preslikavanje skupa B u skup A. Ova primedba motiv je za sledeću definiciju. Definicija.. Dati su skupovi A, B R. Oni su iste moći (ekvipotentni) ako i samo ako postoji bijekcija f : A B. U tom slučaju pišemo A B. Lako se pokazuje da je relacija ekvivalencije izmed u podskupova skupa R. Klasa ekvivalencije kojoj pripada neki skup A R naziva se kardinalni broj tog skupa i označava se sa carda. Prema tome, A i B su iste moći ako je carda = cardb, odnosno ako imaju jednake kardinalne brojeve. Za konačne skupove A = {a, a,..., a n }, n N, važi carda = card{,,..., n}, pa se kardinalni broj skupa A može identifikovati sa prirodnim brojem n koji predstavlja broj elemenata tog skupa. Premda je, u suštini, carda klasa ekvivalencije kojoj pripada skup A s obzirom na bijekciju izmed u A i {,,..., n}. Dakle, moć nekog konačnog podskupa skupa R identifikujemo sa brojem njegovih elemenata. Pri tome se kardinalni broj praznog skupa identifikuje sa nulom. Dokazali smo da N, skup prirodnih brojeva, nije ograničen, odakle sledi da on nije konačan. (Primetimo da obratno ne mora da važi, to jest da ograničeni podskup skupa R ne mora mužno da bude konačan.) Kardinalni broj skupa N se označava sa ℵ 0 (alef nula), a za svaki skup kardinalnosti Jedna verzija ove činjenice je poznata kao princip kaveza za golubove (engl. pigeonhole principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

2 ℵ 0 se kaže da je prebrojiv. Očigledno, neki skup A R ako i samo ako se njegovi elementi mogu pored ati u niz: carda = cardn A = {a, a,..., a n, a n, a n+,... }. Za razliku od konačnih skupova koji se ne mogu injektivno preslikati na svoje podksupove, skup prirodnih brojeva se preslikavanjem f definisanim sa f(n) = n, n N, bijektivno preslikava na svoj pravi podskup, skup parnih brojeva. Ovo svojstvo definiše beskonačne skupove: Definicija.. Podskup skupa R je beskonačan (ili beskonačne kardinalnosti) ako i samo ako se on može bijektivno preslikati na neki svoj pravi podskup. Dakle, A R je beskonačan skup ako postoji bijekcija f : A B, gde je B A. Dakle, može se reći i da je skup beskonačan ako i samo ako nije konačan... Kardinalnost skupova Z i Q. Jasno, skup celih brojeva je beskonačan. Kardinalni broj skupa Z je alef nula, odnosno Z je prebrojiv skup. Naime, funkcija f : N Z data sa f(n) = ( ) + ( ) n (n ), n N, je bijekcija izmed u N i Z (čitaocu se ostavlja za vežbu da proveri ovu činjenicu). S obzirom da je u izvesnim situacijama veoma teško (možda i nemoguće) navesti eksplicitno bijekciju izmed u dva prebrojiva skupa, a da smo razumeli da je dati skup A prebrojiv ako i samo ako se njegovi elementi mogu pored ati u niz, često je, za utvrd ivanje prebrojive kardinalnosti dovoljno uočiti ili navesti pravilo kojim se elementi skupa A mogu pored ati u niz. Sa jedne strane, elementi skupa Z se mogu pored ati u niz: {0,,,,,,,... } što je, dakle dovoljno da zaključimo da je taj skup prebrojiv. Sa druge strane, za proizvoljne prebrojive skupove A = {a, a,... } i B = {b, b,... } važi A B = {a, b, a, b,... } = card(a B) = ℵ 0, sledi da je cardz = ℵ 0 jer je Z unija dva prebrojiva skupa, N i skupa nepozitivnih celih brojeva. Razumljivo, ako je A = {a, a,..., a n }, dakle konačan skup i ako je B = {b, b,... } prebrojiv skup, onda je card(a B) = card({a, a,..., a n b, b,... }) = ℵ 0. Unija konačno mnogo prebrojivih skupova je takod e prebrojiv skup (čitaocu se ostavlja za vežbu da proveri ovu činjenicu). Sledeći ovaj tok misli, postavlja se pitanje kardinalnosti prebrojive unije prebrojivih skupova: ako je carda j = ℵ 0, j N, da li je j N A j prebrojiv skup?

3 Ovo pitanje se u nastavku dovodi u vezu sa pitanjem kardinalnosti skupa racionalnih brojeva. Razlomci iz intervala (0, ] mogu se pored ati u niz na sledeći način. Posmatrajmo šemu brojeva oblika p/q u kojoj se dati broj nalazi u p-toj vrsti i q toj koloni, p, q N, p q:... Jedan način da se svi ovi racionalni brojevi pored aju u niz je zapisivanje svih elemenata iz gornje šeme vrstu po vrstu: Q (0, ] = {/, /, /, /, /, /, /, /, /, /, /, /, /,... } pa zaključujemo da razlomaka u intervalu (0, ] ima prebrojivo mnogo. S obzirom da je unija konačno mnogo prebrojivih skupova prebrojiv skup, zaključujemo da prebrojivih brojeva u intervalu ( M, M] (kao i u [ M, M]) za proizvoljan broj M N ima prebrojivo mnogo, jer je ( M, M] = ( M, M + ] ( M +, M + ] (0, ] (, ] (M, M ] (M, M] = M j= M (j, j + ]. Ipak, za odred ivanje kardinalnosti čitavog skupa Q neophodno je odrediti kardinalnost prebrojive unije prebrojivih skupova: Q = j Z (j, j + ]. Neka je dat niz prebrojivih skupova A j, j N. Za označavanje elemenata ovih skupova koristićemo dva indeksa, gornji indeks kojim se označava kojem od datih skupova pripada uočeni element i donji indeks kojim se označava koji je po redu taj element u nizu elemenata tog skupa. Tako je, dakle, A j = {a j, aj, aj,... }, j N, pa, na primer, a 0 označava element koji je petnaesti po redu u nizu elemenata tridesetog skupa. Opštije, a j k označava element koji je k ti po redu u nizu elemenata j tog po redu skupa u posmatranom nizu skupova. U nastavku se komentarišu dva načina pokazivanja prebrojivosti prebrojive unije prebrojivih skupova, to jest card j N A j = ℵ 0, ako su A j, j N, prebrojivi. Prvi način je da elemente unije datih skupova pored amo u niz je da ih najpre napišemo u šemi tako da se u vrsti j red aju elementi skupa A j u niz, a elemente unije zapisujemo redom koji označava strelica:

4 A : a a a a a... A : a a a a a... A : a a a a a... A : a a a a a... A : a a a a a Dakle, j N A j = {a, a, a, a, a, a, a, a, a,... }, pa je card j N A j = ℵ 0. Drugi način je da se definše injektivno preslikavanje skupa j N A j u skup prirodnih brojeva, odnosno bijekcija izmed u tog skupa i nekog podskupa skupa N. Naknadno će se dokazati da je beksonačni podskup prebrojivog skupa prebrojiv skup, odakle sledi da je card j N A j = ℵ 0. Traženo injektivno preslikavanje f : j N A j B N je, na primer: f(a j k ) = j k, a j k A j, j, k N. Ovo je očito injektivno preslikavanje, odnosno bijekcija izmed u j N A j i skupa B = {n N n = j k, j, k N}. Preostaje da se dokaže da je B prebrojiv skup. To sledi iz naredne teoreme. Teorema.. Svaki podskup beskonačnog skupa je konačan ili prebrojiv. Svaki beskonačan skup sadrži prebrojiv podskup. Iz ove teoreme sledi da je prebrojivost u izvesnom smislu najmanja moguća beskonačnost. U literaturi se za skupove koji su konačni ili prebrojivi kaže da su najviše prebrojivi. Dokaz. Neka je A = {a, a, a,... } i neka je B = {a m, za neke indeksem N}. Posmatra se skup M = {m N a m B} skup indeksa elemenata skupa B. Sa g(m) = a m, m M je definisana bijekcija izmed u skupova M i B. Ako postoji max M onda je B konačan skup. Ako ne postoji max M onda skup M nije ograničen podskup skupa N, pa za svako n N postoji m n M tako da je n m n i, pri čemu je m < m < m <.... Preslikavanje f : N M definisano sa f(n) = m n, n N je bijekcija, pa je g f : N B takod e bijekcija, odakle sledi da je B prebrojiv skup, čime je dokazan prvi deo teoreme. Neka je C 0 R beskonačan skup. Elementi prebrojivog skupa A = {a, a, a,... } biraju se na sledeći način. Element a je proizvoljan element skupa C 0. Skup C = C 0 \ {a } je beskonačan, jer bi u suprotnom skup C 0 bio konačan skup. Element a je proizvoljan element skupa C. Skup

5 C = C \{a } je beskonačan, jer bi u suprotnom skup C bio konačan skup. Ovim postupkom se za svako n N bira element a n+ koji je proizvoljan element skupa C n = C 0 \ {a, a,..., a n }. Skup C n je beskonačan, jer bi u suprotnom skup C 0 = C 0 \ {a, a,..., a n } {a, a,..., a n } bio konačan skup. Dakle, na navedeni način se dobija skup A, prebrojiv podskup proizvoljnog beskonačnog skupa C 0. Prema tome, skup racionalnih brojeva je prebrojiv. Napomenimo da postoje algoritmi za ekplicitnu konstrukciju niza racionalnih brojeva, videti, na primer: Herbert S. Wilf and Neil Calkin, Recounting the Rationals, American Mathematical Monthly, April 000, str. 60 6, i Roland Backhouse and Joao F. Ferreira, Recounting the Rationals: Twice!, Mathematics of Program Construction, Springer-Verlag, LNCS, str. 79-9, 008. Svi do sada posmatrani skupovi su, dakle, najviše prebrojivi. Preostaje da se ispita kardinalnost skupa realnih brojeva... Kardinalnost skupa R. Georg Kantor je 87. godine dokazao da je skup realnih algebarskih brojeva prebrojiv skup. Dakle, kardinalnost skupa realnih brojeva je u uskoj vezi sa kardinalnošću skupa transcendentnih brojeva. Razmotrimo najpre pitanje upored ivanja beskonačnih skupova po veličini, to jest po kardinalnom broju. Relacija poretka koja omogućava navedeno upored ivanje se definiše na sledeći način: carda cardb postoji bijekcija f : A B B. Ova relacija je očigledno refleksivna i tranzitivna. Antisimetričnost je posledica Šreder-Bernštajnove teoreme koja tvrdi da, ako postoji injektivno preslikavanje iz skupa X u skup Y i injektivno preslikavanje iz skupa Y u skup X, onda postoji bijekcija izmed u X i Y. Ako je carda cardb kaže se da je kardinalni broj skupa A manji od kardinalnog broja skupa B. Ako, pri tome, carda cardb onda je kardinalni broj skupa A strogo manji od kardinalnog broja skupa B, to jest kardinalnost skupa B je strogo veća od kardinalnosti skupa A, u oznaci A B. U slučaju da su A i B konačni skupovi, carda cardb ako i samo ako je n m, a A B ako i samo ako je n < m, gde su n i m brojevi elemenata skupa A i skupa B respektivno. Za ma koji konačan skup A važi carda ℵ 0. Takod e, ako je A B, identičko preslikavanje je bijekcija izmed u A i A B, pa je carda cardb. Da je kardinalnost skupa R strogo veća od cardn dokazuje se, dakle, u dva koraka. Najpre, cardn cardr, jer je N R. Preostaje da se dokaže da ne postoji bijekcija izmed u skupa N i R. Mi ćemo najpre komentarisati kardinalnost intervala u R. Posmatrajmo intervale (0, ) i (0, ]. Važi card(0, ) = card(0, ]. Jedna bijekcija izmed u ovih skupova je, na primer, f : (0, ) (0, ] definisana sa

6 Out[6]= Out[8]= f(/) = 0, f(/(n + )) = /(n + ), n N i f(x) = x za sve x (0, ), x /(n + ), n N. Na sličan način se dokazuje: card(0, ) = card(0, ] = card[0, ) = card[0, ]. Posmatrajmo sada intervale (a, b) i (c, d), a < b, c < d. Jedna bijekcija izmed u njih je data linearnom funkcijom koja je odred ena sa f(a) = c i f(b) = d: f(x) = d c bc ad x + b a b a, x (a, b). Prema tome, svi intervali (otvoreni, zatvoreni, poluotvoreni) su iste kardinalnosti; za proizvoljan mali broj ε > 0 (na primer ε = 0 0 ) i veliki broj M > 0 (na primer M = 0 0 ), intervali ( ε, ε) i ( M, M) su iste kardinalnosti. Funkcija f (x) = tan x, x ( π/, π/) je bijekcija izmed u otvorenog intervala ( π/, π/) i R, a funkcija f (x) = (x )/(x x ), x (0, ) je bijekcija izmed u otvorenog intervala (0, ) i R: Slika. f (x) Slika. f (x) Odavde sledi da je cardr = card( π/, π/) = card(0, ) = card(a, b) za proizvoljne brojeve a < b. Dakle, u smislu kardinalnosti, realnih brojeva ima onoliko koliko ih ima u proizvoljno malom intervalu. Teorema.. Važi: cardn cardr. Dokaz. Već smo utvrdili da je cardn cardr. Kako je cardr = card(0, ), dovoljno je da se dokaže da se realni brojevi iz intervala (0, ) ne mogu pored ati u niz. Pretpostavimo suprotno: Neka je (0, ) = {x, x, x,... }. Neka je I (0, ) zatvoren interval koji ne sadrži tačku x (na primer, I = [(x +)/6, (x +)/6], čitaocu se ostavlja da proveri da je x < (x +)/6). Zatim se bira zatvoreni interval I I koji ne sadrži x. Ovaj postupak se nastavlja za svaki prirodan broj n, čime se dobija niz umetnutih intervala {I n } n N. Na osnovu Kantorovog principa postoji x R takav da x I n, Neka je I = [a, b ]. Ako x I onda biramo I = I. Ako x [a, b ] onda, slično prethodnom slučaju posmatramo d = b x i biramo I = [(x +b)/ d/, (x +b)/+d/].

7 za svako n N. Kako je I n (0, ), n N, sledi da x (0, ), pa postoji n 0 N takav da je x = x n0. Na osnovu izbora zatvorenih intervala, x n I n za svako n N, pa x = x n0 I n0, odakle sledi da x n N I n, što je kontradikcija. Prema tome, ne postoji bijekcija izmed u N i (0, ), to jest cardn card(0, ) = cardr, što je i trebalo dokazati. Drugi način da se dokaže da realnih brojeva u intervalu (0, ) nema prebrojivo mnogo, to jest da se ne mogu pored ati u niz je Kantorov postupak dijagonalizacije koji koristi decimalnu reprezentaciju realnih brojeva. 7 c. Kardinalnost skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i označava se sa.. Komentari o kardinalnosti partitivnih skupova i c = ℵ 0. Neka je A R, A. Skup čiji su elementi svi podskupovi skupa A, partitivni skup skupa A, će se označavati sa P(A). Ako je carda = n, onda je cardp(a) = n. Ova činjenica se dokazuje na sledeći način. Na osnovu osnovnih kombinatornih principa lako se dokazuje da postoji n ured enih n torki koje se sastoje od cifara 0 i. Neka je U skup svih ured enih n torki koje se sastoje od cifara 0 i i neka je funkcija f : P(A) U definisana na sledeći način. Ako je B A = {a, a,..., a n }, onda je f(b) U ured ena n torka kod koje je na mestu j {,,,..., n} jedinica ako a j B, a nula ako a j B. Ovako definisana funkcija f : P(A) U je bijekcija, pa je cardp(a) = n. Prema tome, ako je carda = card{,,..., n}, onda je carda cardp(a) jer je n < n, za svako n N. U stvari, za proizvoljan skup A važi carda cardp(a). Dokažimo to. Neka je f : A P(A). Dakle, f(a) P(A) za sve a A. Posmatrajmo podskup skupa A definisan na sledeći način: X = {x A x f(x)}. Ako je f sirjekcija onda postoji x A takav da je f( x) = X. Moguće je da x X ili da x X. U prvom slučaju, po definiciji skupa X ako x X onda x f( x) = X, što je kontradikcija. Slično, ako x X = f( x) onda, po definiciji skupa X važi x X, što je takod e kontradikcija. Dakle, nijedno preslikavanje iz A u P(A) nije sirjektivno. S obzirom da je f : A P(A) definisano sa f(a) = {a} injektovno preslikavanje, sledi da važi carda cardp(a). Dakle, cardn cardp(n), ali i cardr cardp(r), pa postoji skup veće kardinalnosti od kardinalnosti skupa R i za skup proizvoljne kardinalnosti, na ovaj način se mogu definisati skupovi veće kardinalnosti. Videti, na primer, D. Adnad ević, Z. Kadelburg - Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 989.

8 8 Koristeći binarnu i decimalnu reprezentaciju skupa R i teoremu Šreder- Bernštajn može se dokazati da je card(p(n) = c, što se ponekad označava sa ℵ 0 = c. Dokaz se može naći u M. Kurilić, Osnovi opšte topologije, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 998. Sada znamo da je prebrojiva beskonačnost najmanja, a beskonačnost kontinuuma veća od nje, to jest ℵ 0 c. Prirodno je postaviti pitanje da li postoji skup A za koji važi ℵ 0 carda c. Hipoteza kontinuuma je iskaz: Ne postoji skup A takav da je ℵ 0 carda c. Ovaj iskaz nije moguće dokazati niti opovrgnuti u okviru teorije skupova zasnovane na aksiomama ZFC sistema, videti, na primer S. Milić, Elementi matematičke logike i teorije skupova, Beograd, 00. Na kraju navodimo komentar o kardinalnosti skupa iracionalnih brojeva I. Kako je R = Q I, onda I ne može biti prebrojiv skup, jer bi u tom slučaju skup R bio prebrojiv skup, kao unija dva prebrojiva skupa. Prema tome ℵ 0 cardi cardr, pa, ako važi hipoteza kontinuuma, onda je cardi = c. Da je cardi = c može se dokazati i na sledeći način. Pre svega, identičko preslikavanje je injektivno preslikavanje iz I u R, to jest cardi cardr, pa ako postoji injektivno preslikavanje iz R u I, onda na osnovu teoreme Šreder-Bernštajn postoji bijekcija izmed u tih skupova. Ovde se koristi decimalna reprezentacija brojeva i činjenica da iracionalni brojevi imaju decimalni zapis sa beskonačno mnogo različitih cifara iza decimalnog zareza, bez periodičnog ponavljanja neke grupe cifara. Dakle, ako je decimalni zapis realnog broja dat sa M, b b b b b... onda definišemo f(m, b b b b b... ) na sledeći način: iza prve cifre iza decimalnog zareza (b ) napiše se cifra 0, iza druge cifre (b ) napiše se, iza treće 000, iza četvrte i tako dalje, iza cifre b n napiše se n jedinica, a iza cifre b n+ napiše se n + nula. Pri tome, ako je decimalan zapis datog realnog broja konačan, onda se koristi zapis istog broja koji se završava beskonačnim ponavljanjem cifre 9. Na primer,, =, Slika ovog broja bi bila, Ovim se dobija injektivno preslikavanje iz R u I, odakle sledi cardr cardi. Prema tome, cardi = c.

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović

TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović 2 Sadržaj 1 Uvod 7 I Uvod u teoriju skupova 21 2 Logičke osnove 23 2.1 O formalnoj metodi....................

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

Velimir Abramovic: KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu )

Velimir Abramovic:   KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Velimir Abramovic: www.n01a.org KOLIKO IMA BESKONACNOSTI U MATEMATICI? (Iz Osnovi Nauke o Vremenu ) Citajuci Kantorov Argument dijagonalizacijom shvatio sam da se u njemu nista ne sme podrazumevati, vec

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Dekartov proizvod grafova

Dekartov proizvod grafova UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marijana Petričević Jović Dekartov proizvod grafova Master rad Mentor: Prof. dr Ivica Bošnjak Novi Sad, 2017

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008. Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika

Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Neke primene teorije fazi skupova i fazi logike u procesiranju slika - Master rad - Nebojša Perić 1024/2013 Beograd, 2014. 2 Mentor: Članovi komisije: Datum

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.

Mehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele. Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),

More information

University of East Sarajevo Mathematical Society of the Republic of Srpska. PROCEEDINGS Trebinje, June 2014

University of East Sarajevo Mathematical Society of the Republic of Srpska. PROCEEDINGS Trebinje, June 2014 Redakcija Prof. dr Milenko Pikula, Univerzitet u Istočnom Sarajevu, BiH Prof. dr Žarko Mijajlović, Matematički fakultet Beograd, Republika Srbija Akademik prof. dr Svjetlana Terzić, Univerzitet Crne Gore,

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.

More information

Fraktali - konačno u beskonačnom

Fraktali - konačno u beskonačnom Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011 Sadržaj predavanja 1 Sadržaj predavanja 1 2 Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku

Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Petar Maksimović Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Master teza mentor: dr Predrag Janičić Beograd 2008 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Kratak istorijat

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

Hamiltonovi grafovi i digrafovi

Hamiltonovi grafovi i digrafovi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Slobodan Nogavica Hamiltonovi grafovi i digrafovi Master rad Novi Sad, 2016 Sadržaj Predgovor...2 Glava 1. Uvod...3

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade

Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade PP PRIRODNO-MATEMATI C K I FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU ti2eru I4F-'0,L1Ho-%1A fipoj rthsehri::pa hoorpar EifY 140TEKA e 117.7..x.;iF?IligE playre (DARYJITETA FUNKCIONALNI PROSTORI Doktorska disertacija

More information

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa:

4-POLITOPA. Prema Štajnicovom radu iz godine skup f vektora 3 politopa dat je sa: NEKE NUMERIČKE KARAKTERISTIKE 4-POLITOPA VLADIMIR TELEBAK Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Banjoj Luci Ul. Mladena Stojanovića 2 Banja Luka, Republika Srpska e-pošta: vladotelebak@yahoo.com

More information

O NEKIM KOMBINATORNIM I ALGEBARSKIM METODAMA U ENUMERACIJI POLITOPA I POSETA

O NEKIM KOMBINATORNIM I ALGEBARSKIM METODAMA U ENUMERACIJI POLITOPA I POSETA UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Duško Jojić O NEKIM KOMBINATORNIM I ALGEBARSKIM METODAMA U ENUMERACIJI POLITOPA I POSETA -DOKTORSKA DISERTACIJA- Beograd, 2005. i ii Sadržaj Predgovor v 1 Uvod

More information

POSLOVNA MATEMATIKA. (smerovi: Agroekonomski i Agroturizam i ruralni razvoj ) 2015., Novi Sad

POSLOVNA MATEMATIKA. (smerovi: Agroekonomski i Agroturizam i ruralni razvoj ) 2015., Novi Sad dr Snežana Matić-Kekić POSLOVNA MATEMATIKA (smerovi: Agroekonomski i Agroturizam i ruralni razvoj ) 2015., Novi Sad EDICIJA OSNOVNI UDŽBENIK Osnivač i izdavač edicije Poljoprivredni fakultet, Novi Sad,

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

1 Partitions and Equivalence Relations

1 Partitions and Equivalence Relations Today we re going to talk about partitions of sets, equivalence relations and how they are equivalent. Then we are going to talk about the size of a set and will see our first example of a diagonalisation

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

PRIMJENA USMJERENIH HIPERGRAFOVA ZA PREDSTAVLJANJE FUNKCIONALNIH ZAVISNOSTI U RELACIONIM MODELIMA

PRIMJENA USMJERENIH HIPERGRAFOVA ZA PREDSTAVLJANJE FUNKCIONALNIH ZAVISNOSTI U RELACIONIM MODELIMA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 61-69 www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIMJENA USMJERENIH HIPERGRAFOVA ZA PREDSTAVLJANJE FUNKCIONALNIH ZAVISNOSTI U RELACIONIM

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

PRIMENA UOPŠTENIH INVERZA U REŠAVANJU FAZI LINEARNIH SISTEMA

PRIMENA UOPŠTENIH INVERZA U REŠAVANJU FAZI LINEARNIH SISTEMA UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA U NOVOM SADU Vera Miler Jerković PRIMENA UOPŠTENIH INVERZA U REŠAVANJU FAZI LINEARNIH SISTEMA DOKTORSKA DISERTACIJA Novi Sad, 08. УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Permutacije sa ograniqeƭima

Permutacije sa ograniqeƭima Univerzitet u Nixu Prirodno matematiqki fakultet Departman za matematiku Vladimir M. Balti Permutacije sa ograniqeƭima Doktorska disertacija Nix, 2014. University of Niš Faculty of Science and Mathematics

More information

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan

Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Programiranje u realnom vremenu Bojan Furlan Tri procesa sa D = T imaju sledeće karakteristike: Proces T C a 3 1 b 6 2 c 18 5 (a) Pokazati kako se može konstruisati ciklično izvršavanje ovih procesa. (b)

More information

Andrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008.

Andrea Rožnjik. VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA. - magistarska teza - Novi Sad, 2008. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Andrea Rožnjik VaR KAO MERA RIZIKA U OPTIMIZACIJI PORTFOLIA - magistarska teza - Novi Sad, 2008. Predgovor

More information

O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2

O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009 Predgovor Za strukturu

More information

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b

More information

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD SUFIKSNI NIZ Mentor: Student: Prof. dr Miodrag Živković Slaviša Božović 1014/2011. Beograd, 2015. UVOD... 1 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.1.

More information

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog

More information

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of

More information

Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces

Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces Mirna Džamonja School of Mathematics University of East Anglia Norwich, NR4 7TJ UK February 22, 2008 Abstract We present two theorems which

More information

Branislav Boričić ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D70, D71, I31

Branislav Boričić ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D70, D71, I31 ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS Branislav Boričić DOI:10.2298/EKA0772007B Logičko i istorijsko određenje teorema nemogućnosti Eroua i Sena Logical And Historical Determination Of The Arrow

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information