Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Turingovi strojevi Opis Turingovog stroja Odluµcivost logike prvog reda. Lipanj Odluµcivost i izraµcunljivost"

Transcription

1 Odluµcivost logike prvog reda B. µ Zarnić Lipanj 2008.

2 Uvod Turingovi strojevi Logika prvoga reda je pouzdana. Logika prvog reda je potpuna. Γ `LPR K ) Γ j= SPR K Γ j= SPR K ) Γ `LPR K Prema tome, ako je rijeµc o logici prvoga reda, onda se semantiµcki izraz ima za posljedicu moµze zamijeniti sa sintaktiµckim dokazuje i obratno.

3 Postupak ispitivanja javljanja implikacije U konkretnom sluµcaju kada se u okviru logike prvoga reda pitamo ima li Γ za posljedicu K ili, što je isto, je li sluµcaj da Γ dokazuje K, onda potvrdan odgovor opravdavamo izradom dokaza, a nijeµcan gradnjom protuprimjera. Pitanje koje se otvara jest postoji li postupak ispitivanja koji će nam za svaki skup Γ i svaku reµcenicu K dati odgovor na pitanje Je li sluµcaj da Γ ima za posljedicu (dokazuje) K? Ako takav postupak postoji, onda se logika prvoga reda "moµze mehanizirati", "svesti na µcinovniµcku proceduru", "moµze algoritmizirati", "moµze svesti na proceduru", "onda se moµze izraµcunati odgovor", onda je ona odluµciva ("decidable").

4 Izraµcunljivost Turingovi strojevi Churchova teza Predteorijsko odre enje. Postoji postupak traµzenja odgovora na pitanje P? ako (i) svaki korak tog postupka je krajnje jednostavan, (ii) na kraju svakog koraka jasno je koji je korak sljedeći, (iii) koraka ima konaµcno mnogo, i (iv) oni na kraju daju toµcan odgovor. "Da/Ne" pitanje P? moµzemo poistovjetiti s karakteristiµcnom funkcijom?: DA ako P,? (P) = NE ako :P.

5 Churchova teza Kako povezati predteorijski i teorijski pojam? U teoriji izraµcunljivosti daje se formalna de nicija za pojam postupka ili algoritma. Pojam izraµcunljivosti moµze se uµciniti preciznim na razliµcite naµcine, ovisno o odgovoru koji ćemo dati na pitanja poput ovih: "Hoće li se raµcun izraditi na pravocrtnoj vrpci ili na pravokutnoj mreµzi polja? Ako koristimo pravocrtnu vrpcu, hoće li ona imati poµcetak ali ne i kraj ili će biti beskonaµcna u oba smjera? Hoće li polja na koja je vrpca razdijeljena imati adrese ili ćemo pratiti raµcun pišući posebne simbole kao podsjetnike na odgovarajućim mjestima?" I tako dalje.razliµciti će odgovori za posljedicu imati razliµciti izgled raµcuna, ali naš cilj nisu pojedinosti raµcuna već karakterizacija skupa izraµcunljivih funkcija. Zapravo, pokazalo se da skup izraµcunljivih funkcija ostaje isti neovisno o pojedinstima izvedbe raµcuna.

6 Kako opisati postupak? Churchova teza Nema kraja mogućim varijacijama u detaljnom opisu pojmova izraµcunljivosti i efektivnosti, zato na kraju moramo ili prihvatiti ili odbaciti tezu (koju nije moguće deduktivno dokazati) po kojoj je skup funkcija koje su izraµcunljive u smislu nekog odre enog pojma izraµcunljivosti identiµcan skupu funkcija koje bi ljudi ili strojevi ikada mogli izraµcunati putem bilo koje efektivne metode ako ne bilo ograniµcenja u pogledu vremena, brzine i materijala. Drugim rijeµcima, otvara se pitanje u kakvom su odnosu formalizirani teorijski pojam izraµcunljivosti i neformalizirani izvanteorijski intuitivni pojam izraµcunljivosti.

7 Churchova [hipo]teza Churchova teza Izvorno i u uµzem smislu, teza po kojoj su sve intuitivno efektivne metode općenito rekurzivne (u smislu u kojem se ovaj termin koristi u teoriji rekurzivnih funkcija). Pripisujemo je Alonzu Churchu, Trenutaµcno i u širem smislu, teza po kojoj se sve intuitivno efektivne metode mogu zahvatiti jednom od nekoliko formalizacija, koje ukljuµcuju teoriju rekurzivnih funkcija, Turingove strojeve, Markovljeve algoritme, lambda kalkulus, itd.

8 Predteorijsko i teorijsko Churchova teza Churchovu hipotezu moµzemo shvatiti kao tvrdnju o istovrijednosti predteorijskog pojma o postupku (algoritma) i teorijskog pojma (gdje ima više kandidata). Teorijski pojam kojega ćemo koristiti je pojam o Turingovom stroju. Naša varijanta Churchove hipoteze glasi: Za neku vrstu pitanja postoji postupak pronalaµzenja odgovora akko postoji Turingov stroj koji izraµcunava vrijednost karakteristiµcne funkcije za tu vrstu pitanja. Churchova teza nije dokaziva ali jest osporiva. Prvo bismo trebali pokazati da je neka funkcija izraµcunljiva u intuitivnom smislu, što znaµci izloµziti niz uputa za izraµcunavanje njezine vrijednosti za bilo koji argument i pokazati da su te upute efektivne. Zatim bismo trebali pokazati da ta funkcija nije izraµcunljiva u formalnom smislu, pokazujući da niti jedan Turingov stroj ne moµze izraµcunati tu funkciju.

9 Tko (što) je onaj (ono) koji (koje) raµcuna? Turingov stroj je imaginaran stroj koji moµze uzvesti bilo koju kompjutaciju izvedivu na bilo kojem raµcunalu. Stroj se sastoji od beskonaµcne vrpce, radnog dijela i popisa pravila. Ulazno/izlazna vrpca je podijeljena u polja na kojima se mogu naći simboli koje radni dio stroja bilo µcita, briše ili upisuje. Stroj se uvijek nalazi u nekom unutarnjem stanju, te ovisno o tom stanju i zapisima na vrpci izvodi radnje pomicanja, brisanja ili pisanja. Popis pravila je program koji odre uje ponašanje stroja u zadanim okolnostima. Turingov stroj µcita simbole na vrpci i gleda popis pravila, u skladu s time mijenja svoje unutarnje stanje te ili piše ili briše simbole ili pomiµce svoj radni dio na lijevo ili na desno.

10 Izvorni opis Turingovi strojevi Citat We may compare a man in the process of computing a real number to a machine which is only capable of a nite number of conditions q 1, q 2,..., q r which will be called m-con gurations. The machine is supplied with a tape, (the analogue of paper) running through it, and divided into sections (called squares ) each capable of bearing a symbol. At any moment there is just one square, say the r-th, bearing the symbol S(r) which is in the machine. We may call this square the scanned square. The symbol on the scanned square may be called the scanned symbol. The scanned symbol is the only one of which the machine is, so to speak, directly aware. A.M. Turing. On Computable Numbers, with an Application to the Entsheidungdproblem. Proceedings of the London Mathematical Society 43: , 1937.

11 Izvorni opis (drugi dio) Citat However, by altering its m-con guration the machine can e ectively remember some of the symbols which it has seen (scanned) previously. The possible behaviour of the machine at any moment is determined by the m-con guration q n and the scanned symbol S(r). This pair q n, S(r) will be called the con guration : thus the con guration determines the possible behaviour of the machine. In some of the con gurations in which the scanned square is blank (i.e. bears no symbol) the machine writes down a new symbol on the scanned square: in other con gurations it erases the scanned symbol. The machine may also change the square which is being scanned, but only by shifting it one place to right or left. In addition to any of these operations the m-con guration may be changed. A.M. Turing. On Computable Numbers, with an Application to the Entsheidungdproblem. Proceedings of the Odluµcivost London i izraµcunljivost Mathematical Society

12 Razliµciti naµcini ospisivanja Turingovih strojeva Program uputa moµze se iskazati na razliµcite naµcine. U strojnoj tablici. Pomoću dijagrama toka. Pomoću skupa ure enih µcetvorki....

13 Strojna tablica Turingovi strojevi Primjer Program koji u sluµcaju da 0 dijeli dva niza 1-ica upisuje 1 na mjestu 0, zatim briše posljednju 1-icu u drugom nizu, vraća se na poµcetak prvog niza i tada staje. U tabliµcnom prikazu retci (od drugoga na dalje) pokazuju za stroj koji je u odre enom stanju s i u koje stanje s j prelazi i što µcini ovisno o tome koji je simbol na polju koje se µcita. Radnje su: pomak udesno >, pomak u lijevo <, pisanje nekog simbola, 1, 0 ili brisanje (koje bismo mogli shvatiti kao pisanje "praznog" simbola).

14 Strojna tablica Turingovi strojevi 1 0 s 0 s 0 > s 1 1 s 1 s 1 > s 2 < s 2 s 3 s 3 s 4 < s 4 s 4 < s 5 > s 5

15 Dijagram toka Turingovi strojevi Dijagram toka u prikazu koristi sljeći redoslijed: [sadašnje stanje] simbol na traci: radnja [sljedeće stanje].

16 Ure ene µcetvorke Turingovi strojevi Zapis ure enih µcetvorki moµze imati razliµciti redosljed. U sljedećem prikazu to će biti niz sadašnje stanje - proµcitani simbol - sljedeće stanje - radnja: s 0 1s 0 >, s 0 0s 1 1, s 1 1s 1 >, s 1 s 2 <, s 2 1s 3, s 3 s 4 <, s 4 1s 4 <, s 4 s 5 >.

17 Vjeµzba Turingovi strojevi st.hr/~logika/pilot/applet/turing/turing.htm Dizajnirajmo Turingov stroj koji µcita niz 1-ica i ako je broj 1-ica paran, piše P, a ako nije piše N.

18 Odgovor Turingovi strojevi Odgovor Neka se program "vrti" za svake dvije 1-ice. Ako se takva "petlja" ne moµze zatvoriti jer se naišlo na 1-icu iza koje nema druge, završimo sa simbolom N. Ako se "petlja" zatvorila i više nema 1-ica, završimo sa simbolom P.

19 Tvrdnja Skup svih Turingovih strojeva je prebrojiv.

20 Dokaz prebrojivosti Turingovi strojevi Svaki Turingov stroj je iskaziv kao konaµcan niz simbola u jednom beskonaµcnom alfabetu (ovdje ograniµcavamo popis simbola na vrpci na "prazni simbol" i brojke) >, <, s 0,, 0, s 1, 1, s 2, 2,... Neki je niz simbola Turingov stroj akko zadovoljava sljedeće uvjete: (i) duljina niza djeljiva je s 4, (ii) na mjestima 1, 3, 5, 7,..., 4n + 1, 4n + 3,... javljaju se jedino simboli s 0, s 1,..., (iii) na mjestima 2, 6, 10,..., 4n + 2,... javljaju se jedino simboli, 0, 1,..., (iv) na mjestima 4, 8, 12,..., 4n,... javljaju se simboli >, <,, 0, 1,..., (iv) nijedna kon guracija 1 µciji je oblik s i n j s k ne javlja se više od jednog puta u nizu simbola, gdje n j 2 f, 0, 1,...g. 1 Posljednji uvjet iskljuµcit će strojeve µcije su upute ili kontradiktorne ili ponovoljene.

21 Dokaz prebrojivosti Turingovih strojeva Ako usvojimo konvenciju o oznaµcavanju poµcetnog stanja (na primjer, tako da mu dodijelimo najmanji s-broj), moći ćemo napraviti prebrojivi beskonaµcni popis svih Turingovih strojeva. µcim odredimo nabrajanje nizova simbola iz alfabeta, odredit ćemo i nabrajanje Turing-izraµcunljivih funkcija. Jedan naµcin kako to moµzemo izvesti jest da svakom stroju pridruµzimo koda. Na primjer ovako: > < s s n-ti simbol ica praćena s n 2-ki

22 Primjer Turingov stroj s 0 s 0 1 imao bi kod Budući da prirodnih brojeva ima prebrojivo mnogo i da smo svakom Turingovom broju pridruµzili jedan prirodnih broj, Turingovih strojeva ima prebrojivo mnogo. Nizove simbola moµzemo poredati u jedan beskonaµcni popis koji je prebrojiv. Ako izbacimo one nizove koji ne imenuju neki Turingov stroj, dobit ćemo popis T 1, T 2, T 3,... u kojemu je svaki Turingov stroj imenovan barem jednom i ništa drugo nije imenovano na tom popisu.

23 Uvo enje ograniµcenja U daljnjem razmatranju usvajamo neka ograniµcenja. 1 Promatramo samo funkcije s pozitivnih cijelih u pozitivne cijele brojeve. 2 Zapise na traci suµzavamo na monadiµcki zapis brojki, eventualno razdvojenih s praznim poljem ("praznim simbolom"). Na primjer: 5 će biti zapisano kao Pretpostavljamo da na poµcetku stroj µcita krajnju lijevu 1-icu. 4 Ako funkcija dodjeljuje vrijednost za argumente (nizove 1-ica razdvojene praznim poljem) koji su se u poµcetnom stanju nalazili na traci, onda će se stroj zaustaviti u standardnoj završnoj kon guraciji, a to znaµci da će µcitati krajnji lijevi simbol iz bloka 1-ica koji se nalazi na vrpci koja je drugdje prazna. 5 Ako funkcija ne dodjeljuje vrijednost za zadane argumente, ona se neće zaustaviti u standardnoj završnoj kon guraciji veće će, prvo, ili raditi bez prestanka ili će se, drugo, zaustaviti bilo na 1-ici koja nije krajnja lijeva ili će se pri zaustavljanju na vrpci nalazaiti više od jednog blok jedinica.

24 Standardizacija prethodnog primjera Primjer Turingove strojeve koji zadovoljavaju navedena ograniµcenja nazovimo "standardnim"! Usvajajući gornja ograniµcenja 1 5 modi cirajmo Turingov stroj iz prethodnog zadatka tako da umjesto P upisuje 11, a umjesto N - 1. Zapis jednog takvog Turingovog stroja je: s 0 1s 1 s 0 s 4 1s 1 s 2 > s 2 s 6 1 s 2 1s 3 s 3 s 0 > s 4 1s 4 > s 4 s 5 1s 5 1s 6 < Funkcija koju on izraµcunava je karakteristiµcna funkcija p: 11 ako je n paran broj, p(n) = 1 ako je n neparan broj.

25 Turingovi strojevi i funkcije Pod gornjim ograniµcenjima svaki Turingov stroj odre uje jednu funkciju s pozitivnih cijelih brojeva u pozitivne cijele brojeve. Paµznju moµzemo usmjeriti na sluµcajeve kada u poµcetnom stanju nalazimo samo jedan neprekinuti niz 1-ica. Koristeći popis Turingovih strojeva moµzemo saµciniti popis funkcija f 1, f 2, f 3,... svih Turing-izraµcunljivih funkcija s jednim argumentom, gdje je za svako n, f n funkcija s jednim argumentom koju raµcuna stroj T n.

26 µcega ima više? Strojevi i funkcije Turingovi strojevi Tvrdnja Nabrajajući Turingove strojeve, nabrojili smo i funkcije koje oni izraµcunavaju. Mogućnost nabrajanja pokazuje da moraju postojati (Turing) neizraµcunljive funkcije s jednim argumentom. Ima više naµcina za pokazati postojanje takvih funkcija. Postoje funkcije koje ne izraµcunava niti jedan Turingov stroj.

27 Nekonstruktivni dokaz Prebrojivo mnogo strojeva i neprebrojivo mnogo podskupova Dokaz. Totalne karakteristiµcne funkcije za svaki ulaz daju ili potvrdan ili nijeµcan odgovor (tako da upiše 1 odnosno 11). Promotrimo bilo koji skup pozitivnih cijelih brojeva. Za svaki takav skup moµzemo zapitati postoji li karakteristiµcna funkcija koja prepoznaje µclanove tog skupa. Po Cantorovom dokazu, podskupova prebrojivo beskonaµcnog skupa ima više nego njegovih elemenata. Budući da je skup Turingovih strojeva prebrojiv, neka karakteristiµcna funkcija neće biti Turing-izraµcunljiva.

28 Konstruktivan dokaz Konstrukcija funkcije koju ne izraµcunava niti jedan stroj Konstruktivan naµcin za pokazati postojanje Turing-neizraµcunljivih funkcija sastoji se u tome da konstruiramo funkciju u koja nije na popisu, a to moµzemo uµciniti ako funkciju u tako de niramo da bude razliµcita od bilo koje funkcije na popisu. 1 u(n) = f n (n) + 1 ako je fn (n) nede nirano, u protivnom.

29 Neizraµcunljiva funkcija De nicija Neka je T 1, T 2, T 3,... popis svih standardnih Turingovih strojeva. Neka je f 1, f 2, f 3,... popis svih Turing-izraµcunljivih funkcija s jednim argumentom, gdje je za svaki podznak i > 0, f i funkcija s jednim argumentom koju raµcuna stroj T i. 1 u(n) = f n (n) + 1 ako je fn (n) nede nirano, u protivnom. Lema Funkcija u nije Turing-izraµcunljiva.

30 Reductio Turingovi strojevi Dokaz. Pretpostavimo suprotno: neka je u jedna od Turing-izraµcunljivih funkcija, recimo m-ta. Tada za svaki pozitivni cijeli broj n, vrijednosti za u(n) i f m (n) su ili (i) obje nede nirane ili (ii) obje de nirane i jednake [jer su, po pretpostavci, u i f m jedna te ista funkcija]. Promotrimo sluµcaj kada m = n. 1 u(m) = f m (m) = f m (m) + 1 ako je fm (m) nede nirano, u protivnom. Ispitajmo sluµcajeve (i) i (ii)! Ako f m (m) nije de nirano, onda f m (m) = 1. Kontradikcija. Ako je f m (m) de nirano, onda f m (m) = f m (m) + 1. Kontradikcija.

31 Dijagonalna funkcija Vrijednost funkcije u razlikovat će se od vrijednosti svake Turing izraµcunljive funkcije barem za uokvireni argument Turingov stroj: Funkcija koju on raµcuna: Argumenti funkcije: T 1 f n... T 2 f n... T 3 f n... T 4 f n..... T n f n n.....

32 Primjedba Turingovi strojevi Niti jedan Turingov stroj ne moµze izraµcunati vrijednosti funkcije u za sve argumente, ali u pojedinim sluµcajevima to je moguće uµciniti. De nirajmo najjednostavniji stroj T 1 : s 0 s 0 >. On izraµcunava identitetnu funkciju za svaki pozitivni cijeli broj. Oznaµcimo je s f 1.Kako je f 1 (1) = 1, u(1) = 2. Za T 2 dobivamo sljedeći stroj s 0 s 0 <, on tako er izraµcunava identitenu funkciju, a tu funkciju nabrajamo kao f 2. Po de niciji, u(2) = f 2 (2) + 1 = = 3. Kod T 3 : s 0 s 0 ; f 3 nije de nirano ni za jedan pozitivni cijeli broj, zato u(3) = 1. No, kako dokaz pokazuje, odredba vrijednosti funkcije u ne moµze biti "rutinski posao". To što u nije "mehaniµcki" izraµcunljiva ne znaµci da se ona ne moµze izraµcunati zahvaljujući "uvidu".

33 Pitanje zaustavljanja "Problem zaustavljanja" sastoji se u odredbi općenitog efektivnog postupka koji otkriva hoće li se neki Turingov stroj zaustaviti ili ne kada se pokrene u svom poµcetnom stanju µcitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu 1-ica na drugdje praznoj vrpci. Oznaµcimo slovom h funkciju koja je izraµcunljiva (u intuitivnom smislu) ako i samo ako je problem zaustavljanja rješiv. Neka je x broj Turingovog stroja, neka je on pokrenut u svom poµcetnom stanju dok µcita krajnju lijevu 1-icu iz neprekinutog niza od y 1-ica na inaµce praznoj vrpci.

34 De nicija funkcije zaustavljanja De nicija Neka x oznaµcava Turingov stroj koji se javlja na mjestu x u popisu svih standardnih Turingovih strojeva, te neka je y bilo koji pozitivni cijeli broj. 2 ako se stroj x zaustavlja za argument y, h(x, y) = 1 u protivnom. Tvrdnja Ako je Churchova teza toµcna, problem zaustavljanja je nerješiv.

35 Reductio ad absurdum Dokaz. Pokazat ćemo da ako funkciju h izraµcunava neki Turingov stroj H, onda mora postojati neki Turingov stroj T m takav da se za svaki pozitivni cijeli broj n, T m zaustavlja ako i samo ako se T n ne zaustavlja, kada se pokrene u svom poµcetnom stanju µcitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu od n 1-ica na drugdje praznoj vrpci. No, to nije moguće jer bi se za niz od m 1-ica T m morao zaustaviti ako i samo ako se nikad ne zaustavlja kada se pokrene u svom poµcetnom stanju µcitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu od m 1-ica na drugdje praznoj vrpci. Ovaj će stroj, kada se primijeni na svoj broj m, ući u beskonaµcnu petlju ako i samo ako se bude zaustavio; a to je oµcigledno nemoguće. Ako bi bila zadovoljena pretpostavka po kojoj funkciju h izraµcunava stroj H, onda bi se mogao konstruirati stroj T m poput ovoga na slici dolje. H oznaµcava mjesto gdje bi se trebao naći dijagram toka za H. Cijeli stroj T m sadrµzi H kao svojodluµcivost dio. Ti izraµcunljivost m se zaustavlja samo

36

37 Problem odluµcivanja Dokaz neodluµcivosti Problem odluµcivanja je rješiv za neko svojstvo ako postoji mehaniµcki postupak ispitivanja koji kada se primjeni na bilo koji predmet odgovarajuće vrste, nakon konaµcnog broja koraka ispravno klasi cira taj predmet bilo kao pozitvnu instancu (primjer) bilo kao negativnu instancu (ne-primjer) svojstva o kojemu je rijeµc. U postupku ispitivanja moµzemo razlikovati pozitivni i negativni dio. Pozitivni dio postupka ispitivanja je mehaniµcki postupak koji klasi cira kao pozitivne sve pozitivne instance i samo njih. Sliµcno, negativni dio postupka ispitivanja je mehaniµcki postupak koji klasi cira kao negativne sve negativne instance i samo njih. Ako za neko svojstvo postoji i pozitivni i negativni dio postupka ispitivanja, onda i samo onda problem odluµcivanja za to svojstvo jest rješiv.

38 Odluµcivost u logici prvog reda Dokaz neodluµcivosti U logici nas zanimaju svojstva zadovoljivosti, valjanost i posljedice, a "predmeti" koje trebamo klasi cirati su skupovi reµcenica, reµcenice i skupovi parova saµcinjenih od skupova reµcenica i reµcenica. Vrijedno je podsjetiti se sljedećeg teorema: S je posljedica prvog reda skupa reµcenica T ako i samo ako T [ f:sg nije zadovoljivo. Ako je problem odluµcivosti za zadovoljivost rješiv onda je on rješiv i za posljedicu prvoga reda. Da bismo raspravu ograniµcili na reµcenice, preoblikovat ćemo prethodni teorem u istovrijednu tvrdnju: ^ P! S je valjana P 2T reµcenica prvoga reda akko ^ P ^ :S nije zadovoljiva reµcenica. P 2T

39 µcinjenice Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Za logiku prvoga reda postoji pozitivan mehaniµcki postupak provjere valjanosti ili, što je isto, negativan test zadovoljivosti. No ne postoji negativan test valjanosti ili, što je isto, ne postoji pozitivan test zadovoljivosti. Pozitivan test Negativan test Valjanost DA NE Zadovoljivost NE DA

40 Primjer Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Jedan mehaniµcki postupak ispitivanja valjanosti i zadovoljivosti dan je u metodi gradnje istinitosnog stabla. Ako promatramo zadovoljivost reµcenice i zadovoljivost njezine negacije, onda postoje tri vrste reµcenica: (i) valjane reµcenice prvoga reda, koje su zadovoljive i µcija negacija nije zadovoljiva, (ii) kontingentne reµcenice, koje su zadovoljive i µcija negacija jest zadovoljiva, (iii) nezadovoljiva reµcenice, koje su nezadovoljive i µcija negacija jest zadovoljiva (tj. njihova negacija je valjana reµcenica prvoga reda). Poteškoća nastaje kada se susretnemo s reµcenicama kod kojih test ne završava. Što tada moµzemo zakljuµciti? Iskušajmo??

41 Vjeµzba Sposobnost uvida Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Primjer Ako ispitujemo zadovoljivost isf-e 8x9yR(x, y)! R(a, a) metodom gradnje istinitosnog stabla, postupak gradnje stabla ići će u beskonaµcnost. S druge strane, negacija te reµcenice, : (8x9yR(x, y)! R(a, a)) je zadovoljiva. Što znamo na osnovi testa koji ne završava? (i) 8x9yR(x, y)! R(a, a) bi mogla biti zadovoljiva, pa niti jedna iz ovog para kontradiktornih reµcenica ne bi bila valjana. (ii) No, 8x9yR(x, y)! R(a, a) bi mogla biti nezadovoljiva, pa bi njezina negacija mogla biti valjana reµcenica prvoga reda. Lako je uvidjeti da je (i) sluµcaj.

42 Um nije mehanizam Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti pokazuje da se ona ne moµze svesti na "mehaniµcko" raµcunanje već da se neka pitanja daju razriješiti samo na osnovi uvida.

43 Skica dokaza Turingovi strojevi Dokaz neodluµcivosti Dokaz neodluµcivosti logike prvoga reda obiµcno se provodi svo enjem na "halting problem". U takvom se dokazu pokazuje da kad bi logika prvoga reda bila odluµciva, onda bi problem zaustavljanja bio rješiv. No, kako drugo nije sluµcaj, onda ni prvo nije sluµcaj.

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Podatak objekt u obradi. Algoritam uputstvo ( recept ) koje opisuje transformaciju ulaznih podataka u traženi razultat. Izvršitelj?

Podatak objekt u obradi. Algoritam uputstvo ( recept ) koje opisuje transformaciju ulaznih podataka u traženi razultat. Izvršitelj? Turingov stroj Obrada podataka: svrsishodna djelatnost koja ima za cilj da se iz raspoloživih podataka dobije tražena informacija Komponente: podatak algoritam izvršitelj Podatak objekt u obradi Algoritam

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Sortiranje podataka. Ključne riječi: algoritmi za sortiranje, merge-sort, rekurzivni algoritmi. Data sorting

Sortiranje podataka. Ključne riječi: algoritmi za sortiranje, merge-sort, rekurzivni algoritmi. Data sorting Osječki matematički list 5(2005), 21 28 21 STUDENTSKA RUBRIKA Sortiranje podataka Alfonzo Baumgartner Stjepan Poljak Sažetak. Ovaj rad prikazuje jedno od rješenja problema sortiranja podataka u jednodimenzionalnom

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

ALGORITMI. Pojam algoritma Blok dijagram

ALGORITMI. Pojam algoritma Blok dijagram ALGORITMI Pojam algoritma Blok dijagram UVOD U ALGORITME Sadržaj Pojam algoritma Primjeri algoritama Osnovna svojstva algoritama Pojam algoritma Što je algoritam? Grubo rečeno: Algoritam = metoda, postupak,

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Termodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.

More information

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA

SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-1 Prilog B SINTAKSNA I ALGORITAMSKA NOTACIJA B-2 B.1 Sintaksna notacija sa zagradama U osnovi svake sintaksne notacije nalaze se slede}i elementi: sintaksni pojam: leksi~ka konstrukcija koja se defini{e;

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI

DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/

Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij. Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/ Sveučilište u Zagrebu Fakultet prometnih znanosti Diplomski studij Umjetna inteligencija - Genetski algoritmi 47895/47816 UMINTELI HG/2008-2009 Genetski algoritam Postupak stohastičkog pretraživanja prostora

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA

FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA PROFESOR FIZIKE FP3 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora bakrene šipke odredite otpornost bakra. Napomena: Izmjerite V

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Konstekstno slobodne gramatike

Konstekstno slobodne gramatike Konstekstno slobodne gramatike Vežbe 07 - PPJ Nemanja Mićović nemanja_micovic@matfbgacrs Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu 4 decembar 2017 Sadržaj Konstekstno slobodne gramatike Rečenična forma

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

SIMBOLIČKA LOGIKA -priručnikdoc.dr.sc. Berislav Žarnić http://www.vusst.hr/~logika/pilot http://www.vusst.hr/~logika/pilot Pregled sadržaja Predgovor vii 1 Atomarnerečenice 1 1.1 Predikati i individualne

More information

TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović

TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti. Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović TEORIJA SKUPOVA matematička teorija sti Boban Veličković, Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović 2 Sadržaj 1 Uvod 7 I Uvod u teoriju skupova 21 2 Logičke osnove 23 2.1 O formalnoj metodi....................

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku

Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Petar Maksimović Jednočlani potpuni skupovi veznika za iskaznu logiku Master teza mentor: dr Predrag Janičić Beograd 2008 2 Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Kratak istorijat

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information