O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2"

Transcription

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009

2 Predgovor Za strukturu kažemo da je homogena ako se svak zomomorfzam zmeđu dve konačno genersane podstrukture može prošrt do automorfzma strukture Teorja prerojvh homogenh struktura je počela ntenzvno da se razvja nakon 1953 godne kada je R Fraïssé u svom radu [5] dokazao da je slučajn graf homogen dao opštu strategju konstrukje drugh prerojvh homogenh struktura Danas je teorja homogenh struktura čvrsto ukorenjena matematčka teorja sa duokm posledama ne samo unutar matematke, već, remo, u razumevanju soo-tehnološkh fenomena kao što je world-wde we Homogen ojekt su opsan u mnogm značajnm klasama struktura Na prmer, prerojva homogena parjalna uređenja opsana su u [12], prerojv homogen grafov su opsan u [8], dok su konačn homogen grafov opsan u [6] Prerojv homogen dgrafov su opsan u [2], a konačn prerojv homogen turnr u [7] Za predmet zučavanja ovog rada od posenog nteresa su konačne geometrje: homogen lnearn prostor su opsan u [4], a homogen semlnearn prostor u [3] U svom radu [1] z 2006 godne P Cameron J Nešetřl su uopštl konept homogenost tako što su razmatral razne tpove morfzma među strukturama Iz te grupe pojmova poseno zdvajamo pojam homomorfzamhomogenost: Defnja (Cameron, Nešetřl [1]) Za strukturu kažemo da je homomorfzamhomogena ako se svak homomorfzam zmeđu dve konačno genersane podstrukture može prošrt do endomorfzma strukture O homomorfzam-homogenm ojektma se veoma malo zna Osm rada [1] do sada su ojavljena samo dva rada: u [9] su opsan homomorfzam-homogen parjalno uređen skupov, a u [10] konačn homomorfzam-homogen turnr Geomertju ranga 2 čne konačna kolekja tačaka konačna kolekja pravh koje zadovoljavaju sledeće dve aksome: svaka prava ma ar dve tačke; svake dve razlčte tačke leže na najvše jednoj pravoj Geometrju ranga 2 ćemo u daljem tekstu nazvat komnatorna ravan Za pravu sa ar tr tačke kažemo da je regularna, dok za prave sa tačno dve tačke kažemo da su sngularne U radu [11] opsan su konačne homomorfzam- 1

3 homogene komnatorne ravn koje sadrže dve regularne prave koje se seku, a u radu [13] opsane su konačne homomorfzam-homogene komnatorne ravn koje sadrže tačno dve regularne prave koje se ne seku svaka tačka prpada nekoj od th regularnh pravh Da se kompletrala karakterzaja homomorfzam-homogenh komnatornh ravn potreno je još opsat homomorfzam-homogene komnatorne ravn kod koje ne postoje regularne prave koje se seku Ovaj rad predstavlja jedan orgnalan doprnos u tom smeru U ovom radu se avmo komnatornm ravnma koje maju sledeću osonu: ne postoje dve regularne prave, a, koje se seku Glavn rezultat rada je Teorema 41 koja trvd da prostor koj ma tr regularne prave a,, takvh da je prava je povezana sa pravom a sa pravom, je homomorfzam-homogen ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa prostora: 1 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak N N za sve A, B a N N za sve A, B 2 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N za sve A, B a \ X, X ~ C za sve C \ Y N N za sve A, B 3 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X Z A, B a \, C A, B \ C homomorfzam-homogen X a Z, N N za sve C \ Y, N N za sve C \ Y Takav prostor je X ~ za sve Z ~ za sve 4 Prostor ndukovan sa a je 1-tanak N N za sve A, B a N N za sve A, B 2

4 U Glav 1 ćemo defnsat komnatorne ravn, homomorfzam, homomorfzam-homogenost dat pregled poznath rezultata 3

5 U Glav 2 ćemo se avt komnatornm ravnma gde ne postoje dve regularne prave koje se seku gde postoje tačke koje ne prpadaju n jednoj regularnoj pravoj U Glav 3 ćemo se avt komnatornm ravnma gde ne postoje dve regularne prave koje se seku gde svaka tačka prpadaju jednoj regularnoj pravoj U Glav 4 ćemo navest opštu teoremu koja daje karakterzaju za podklasu kojom se avmo u ovom radu Ovm putem h želela da se zahvalm profesoru dr Draganu Mašulovću - zvanrednom mentoru u sručnom u ljudskom smslu - za velku pomoć koju m je pružo prlkom zrade mog rada Za pet godna mog studranja sv profesor asstent su ostavl velk utsak na mene, al h pak zdvojla dva profesora, dr Ivu Bošnjaka dr Snšu Crvenkovća, koj su prhvatl da udu članov komsje 4

6 Sadržaj 1 Osnovn pojmov 6 12 Pregled poznath rezultata 13 2 Komnatorne ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku16 3 Podklasa komnatornh ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku23 31 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 0-tanak potprostor Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 1-tanak potprostor 44 4 Karakterzaja 49 Lteratura 51 5

7 1 Osnovn pojmov Komnatorna ravan je uređen par X, L gde je X konačan skup čje elemente zovemo tačke, a L P(X ) je skup čje elemente zovemo prave važ da: 1 svaka prava sadrž ar dve tačke, 2 svake dve razlčte tačke prpadaju najvše jednoj pravoj Lnearan prostor je komnatorna ravan gde svake dve razlčte tačke prpadaju tačno jednoj pravoj Za pravu ćemo reć da je regularna ako ma ar tr tačke Za ostale prave kažemo da su sngularne Za tačke A, B X sa A ~ B ćemo označt čnjenu da su tačke A B kolnearne Izolovana tačka komnatorne ravn je tačka koja ne prpada njednoj pravoj komnatorne ravn Ako drugačje nje naglašeno, regularne prave u prostoru ćemo označt malm slovma sa a,, Za tačku A a, sa N A ćemo označt skup svh tačaka prave koje su kolnearne sa A (Slka 11) N B B ~ A Slka 11 Trakast prostor je komnatorna ravan koja ma tačno dve dsjunktne regularne prave pr tome svaka tačka lež na jednoj od ove dve prave Za trakast prostor L A N A 1 za sve A a X, ćemo reć da je tanak ako je A 1 N a za sve 6

8 Za trakast prostor kažemo da je pun ako važ sledeće: N a (B) N (A) za sve A a, B Ako je 1 N, remo A) B N (, onda je N a 2 Za trakast prostor X, L kažemo da je mešovtog tpa ako nje n tanak n pun To znač da postoj A a sa osonom N 2 uz to postoj B takvo da je: (B) N a, l N a pr tome ako je C, onda je C) B 1 N a N a ( Sngulartet prve vrste trakastog prostora X, L je tačka B sa osonom (B) X, L je par tačaka C C ( C) B N a Sngulartet druge vrste trakastog prostora B, sa osonom N N a Pramen pravh je komnatorna ravan gde svaka prava prelaz kroz jednu zajednčku tačku (Slka 12) Tačku koja prpada svakoj pravoj zovemo entar od pramena Slka 12 Komnatorna ravan je regularna ako sadrž dve regularne prave koje se seku, nače je sngularna Komnatorna ravan je projektvna ako svake dve razlčte prave u geometrj maju zajednčku tačku Prmer 11 Svak graf je komnatorna ravan 7

9 Prmer 12 Fano ravan je komnatorna ravan (Slka 13): Prmer 13 Prostor I, L n, L n Slka 13 K n su lnearn prostor (Slka 14) Slka 14 Komnatorna ravan 1 Y 2 Y X Y, je potprostor komnatorne ravn L Y X 2 3 L l Y l L, l Y Y X, ako važ L X Prmer 14 Evo prmera jedne komnatorne ravn njenog potprostora (Slka 15): 8

10 Slka 15 A A l Šetnja u komnatornoj ravn je nz tačaka pravh 1 za sve A l A l A l A k k gde Put u komnatornoj ravn je šetnja u kojoj su sve tačke razlčte sve prave razlčte Dužna puta je roj pravh na tom putu Komnatorna ravan je povezana ako za svake dve tačke u toj ravn postoj šetnja koja h spaja Komponenta povezanost komnatorne ravn je maksmalna povezana podstruktura te strukture Za dve regularne prave a, komnatorne ravn X, L kažemo da su povezane ako postoje tačke A a B takve da je A ~ B komnatorna ravan X, L sa 2 tačaka x, y, a1,, a, 1,,, 1,, 2 pravh k, l, m1,, m (Slka 16) gde Za poztvne ele rojeve,,, neka je,, k x y, a,,, 1 a l x,,, 1,,, 1 y, 1,, m, 9

11 Slka 16 Trougaon prostor, u ozna T q, jeste konačna projektvna komnatorna ravan gde svaka tačka lež na tačno dve prave U ovom prostoru svaka prava ma st roj tačaka Sa q ćemo označt red trougaonog prostora, tj q l 1 Trougaon prostor su parametrom q jednoznačno određen do na zomorfzam (Slka 17) Slka 17 ako je Komnatorna ravan L Y X Y postoj funkja f : Y \ X LX tako da važ (Slka 18) L Y, je potpodela komnatorne ravn X, l l Y L X f 1 l L X 10

12 Slka 18 Neka su X, L Y, M dve komnatorne ravn Funkja f : X Y je homomorfzam ako važ l Lm M f l m, tj kolnearne tačke se preslkavaju na kolnearne tačke Za homomorfzam zmeđu dve konačno genersane podstrukture prostora X, L X, L reć ćemo da je lokaln homomorfzam prostora Defnja 11 Komnatorna ravan X, L je homomorfzam-homogena ako za svake dve konačne podstrukture Y, L 1 1 Y, L 2 2, svak homomorfzam f : Y Y može da se prošr do endomorfzma f : X X strukture X, L 1 2 Prmer 15 Sledeća komnatorna ravan je očgledno homomorfzam-homogena (Slka 19): Slka 19 11

13 U ovom radu opsujemo homomorfzam-homogene komnatorne ravn u kojma ne postoje dve regularne prave, a, koje se seku Dokazaćemo da opsvanje homomorfzam-homogenh ravne gde postoje tačke koje ne leže n na jednoj regularnoj pravoj, jeste onp-kompletan prolem To, dalje, znač da ne postoj prhvatljv katalog ovakvh struktura (za nek katalog struktura kažemo da je prhvatljv ako je to konačan spsak polnomno odlučvh klasa struktura) Zato se u radu ne razmatra klasa komnatornh ravn u kojma postoje tačke koje ne leže na regularnm pravm Sledeća lema daje veoma korsnu karakterzaju homomorfzamhomogenh komnatornh ravn Za lokaln homomorfzam f : S T prostora X, L kažemo da može da se prošr za jednu tačku ako postoj A X \ S lokaln homomorfzam f ': S A T ' koj prošruje f, tj za koga važ f ' P f ( P za sve P S ) Lema 11 Komnatorna ravan X, L je homomorfzam-homogena ako samo ako svak lokaln homomorfzam f : S T tog prostora može da se prošr za jednu tačku Dokaz Uzmmo prozvoljan lokaln homomorfzam f : S T Prema pretpostav, postoj tačka A 1 X \ S lokaln homomorfzam f 1 : S A1 T1 koj prošruje f Na st načn, postoj A2 X \ S1, gde je S1 SA1, lokaln homomorfzam f 2 : S1 A2 T2 koj prošruje f 1 Itd Nakon konačno mnogo koraka (preznje, nakon X \ S koraka) na ovaj načn dojamo lokaln homomorfzam f k : S k 1 Ak Tk za koga je S k 1 Ak endomomorfzam prostora koj prošruje f Neka je X, L homomorfzam-homogen, neka je f S T lokaln homomorfzam tog prostora Tada postoj Uzmmo prozvoljno A X \ S za f ' stavmo f f : X X S A X Dakle, to je : prozvoljan koj prošruje f 12

14 12 Pregled poznath rezultata U ovom poglavlju navodmo osnovne rezultate vezane za dve klase komnatornh ravn: konačne homomorfzam-homogene komnatorne ravn koje sadrže dve regularne prave koje se seku, konačne homomorfzam-homogene komnatorne ravn koje sadrže tačno dve regularne prave koje se ne seku svaka tačka prpada nekoj od th regularnh prava, Karakterzaja komnatornh ravne gde postoje dve regularne prave koje se seku, data u radu [11], jeste sledeća: Teorema 11 Konačan lnearan prostor je homomorfzam-homogen ako samo ako je sngularan lnearan prostor (uključujuć trvjalne lnearne prostore kao I, L l K n ) l Fano ravan Teorema 12 Neka je X, L konačna komnatorna ravan sa arem dve komponente povezanost Tada je X, L homomorfzam-homogena ako samo ako prpada jednoj od ovh klasa: 1 L, tj svaka tačka je zolovana tačka, l 2 svaka komponenta povezanost od L lnearan prostor sa najvše dve tačke, l 3 svaka komponenta povezanost od L prostorma: X, generše jedan sngularan X, je zomorfna sa sledećm n Fano ravan, L za neko n 2, l n L n za neko n 2 (znajuć da je L2 K 3 ) 13

15 Teorema 13 Neka je X, L konačna povezana regularna komnatorna ravan Tada je X, L homomorfzam-homogena ako samo ako prpada jednoj od ovh klasa komnatorne ravn: 1 pramen pravh, 2 Fano ravan, 3 podpodela od q 4,, T za neko q 1,, za neke,, 1 Karakterzaja komnatornh ravne gde postoje tačno dve regularne prave koje su dsjunktne svaka tačka prpada nekoj od th regularnh prava, data u radu [13], jeste sledeća: Teorema 14 Prostor je homomorfzam-homogen ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa trakasth prostora (Slka 110): I N 0 za sve A X, (prostore zovemo 0-tank prostor) II N 1 za sve A X, (prostore zovemo 1-tank prostor) III X, L je pun prostor N A a, je totalno uređen skup, IV X, L je prostor mešavtog tpa sa tačno jednm sngulartetom sa osonom N N( B) za sve A, B a \, gde je skup sngularnh tačaka I II 14

16 III IV V Slka

17 2 Komnatorne ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku Takve prostore takođe možemo da podelmo na dve klase: 1 Postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj, 2 Svaka tačka lež na nekoj regularnoj pravoj U prvom slučaju kada postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj, prolem je onp-kompletan, što je prkazano u sledećoj teorem: Teorema 21 Prolem određvanja homomorfzam-homogenost konačne komnatorne ravn X, L gde ne postoje dve regularne prave koje se seku postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj, jeste onp-kompletan Dokaz Da je ovaj prolem onp-kompletan, dokazaćemo tako što ćemo prolem k-indipendent SET, k 2, da svedemo na prolem provere homomorfzamhomogenost komnatornh ravn Neka je G V, L I q q,,, S s s,, 0, 1 prozvoljan graf Neka je data regularna prava l skupov tako da su V, l, I S po parovma dsjunktn, q k 0, 1 formramo komnatornu ravan s k G k na sledeć načn (Slka 21): Tačke su: tačke grafa G, k 1 nezavsan čvorov q, q1,, qk k 1 čvorov s 0, s1,, sk tačke prave l 0, 16

18 Prave su: sve grane grafa G, sve grane s ~ s j, prava l, v ~ za sve 0 sve v V, q v ~ za sve 0 sve v V, s s ~ q za sve j, j sve tačke sa prave l su kolnearne sa svm tačkama skupa V, sve tačke sa prave l su kolnearne sa svm tačkama skupa S, sve tačke sa prave l su kolnearne sa tačkama q, gde 0 Ravan G k je konačna komnatorna ravan gde ne postoje dve regularne prave koje se seku postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj (Slka 21) Slka 21 U nastavku ćemo dokazat da graf G ma k-nezavsan skup čvorova ako samo ako ravan G nje homomorfzam-homogena k 17

19 Neka graf G ma k-nezavsan skup čvorova x 0, x 1,, x k 1 Pretpostavmo suprotno, tj da je ravan Gk homomorfzam-homogena Preslkavanje f x : q 0 0 x q k 1 k1 q q 0 k je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke s 1 Zog s ~ x,, 1 0 s ~ 1 x k 1, s ~ q mora t 1 0 f ( s1 ) ~ q0, f ( s1 ) ~ q1,, f ( s1 ) ~ q k 1, f ( s 1 ) ~ qk, što je nemoguće Znač, ravan Gk nje homomorfzam-homogena Pretpostavmo da graf G nema k-nezavsan skup tačaka Dokazaćemo da je ravan G homomorfzam-homogena k Neka je f : Gk[ U ] Gk [ W ] lokaln homomorfzam, gde je W f (U ) I I W Tada za tačku q W tačka s je kolnearna sa svm tačkama u prostoru x G \ k U k q G \ Funkju f prošrmo na sledeć načn: f ( x) s, za II I W Postoje tačke x, x,, x, 0 1 k 1 xk U tako da važ f ( x ) q, za 0 k Skup X x x,,, 0, 1 x k 1 x k je nezavsan skup tačaka X S Pretpostavmo suprotno, tj X S Sgurno važ X S 1, jer je X nezavsan skup tačaka, a u skupu S nema dve nezavsne tačke Neka je s X S Tada je X V, jer je svaka tačka z skupa V kolnearna sa svakom tačkom z skupa S, a X je nezavsan 18

20 skup tačaka Isto važ za pravu l, tj X l, jer je svaka tačka z skupa l kolnearna sa svakom tačkom z skupa S, a X je nezavsan skup tačaka Tada je X I 2 postoj tačka q j, j, q j X I U tom slučaju važ da je q kolnearna sa tačkom s, što je nemoguće, jer je X nezavsan skup tačaka X V j Pretpostavmo suprotno, tj X V Neka je v XV Pošto G X nema k-nezavsan skup tačaka sled da je V k 1 Dalje sled da je X l, jer je tačka v kolnearna sa svakom tačkom prave l, a X je nezavsan skup tačaka Sled da je X I 2 postoj tačka q, 0 U tom slučaju važ da je q kolnearna sa tačkom v, što je nemoguće, jer je X nezavsan skup tačaka X l Pretpostavmo suprotno, tj X l Neka je A Xl Pošto prava l nema k-nezavsan skup tačaka sled da je l k 1 Dalje sled da je X I 2 postoj tačka q, 0 U tom slučaju važ da je q kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće, jer je X nezavsan skup tačaka X Dol smo da je I važ da je f ( q ) q ( ), 0 k X, tj postoj permutaja od,1,,k 0 takva da 1 V U Neka je v V \ U Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f ( v) s 0 2 V U S U Neka je s S \ U Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f ( s ) s ( ), tj 19

21 f U l I U S V q0 qk v vn s j s A j m Am s 1 1 t 1 p : q q 0 k x x z z n y y t p s Ukolko važ da je da je j s ~ q za neko j, po konstrukj je j važ s ~ q j Pošto je tačka j q jedna tačka koja nje kolnearna sa tačkom q x1,, x n, y1,, y t, z1,, z p s trea pokazat da Pretpostavmo suprotno, tj da važ da je q x 1,, x n, y1,, y t, z1,, z p Neka je q x j, za neko j Neka je q l I \ q 0, q Pošto važ da je v j ~ ql sled da je q ~ q l što je nemoguće Analogno za tačke y, z j j S U Tada je l U Neka je A l \ U a l U Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f ( A ) s 0 f I V S q 0 qk v1 v 0 A n s sk : q 0 q k x1 x y0 y s n k 0 Ukolko važ da je A ~ q j, po konstrukj je s 0 ~ q j Pošto je tačka tačkom 0 q 0 jedna tačka koja nje kolnearna sa s trea da važ q x x, y,, 1,, 1 0 n y t Pretpostavmo suprotno, tj da važ da je q 0 x1,, x n, y1,, y t, z1,, z p Neka je q 0 x j, za 20

22 neko j Neka je I q l \ q 0 Pošto važ da je v j ~ ql sled da je q 0 ~ q l što je nemoguće Analogno za tačku U y j l, al lu 1 f z 1 Neka je f l U U l I V S q0 qk v1 v 0 A n s sk Am A 1 m p f : q 0 q k x1 x y0 y z1 z s n k 1 0 Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f A ) s ( 0 Analogno kao u prethodnom slučaju još trea dokazat da z1 q 0, al to važ jer u suprotnom za neko j 0 m ~ q j pa sledlo da je q j ~ q 0 A r l lu 2 U f Prava l U je preslkana na neku pravu f lu prava m tako da je f l U m z 1, z2,, z p tako da važ z 1, z 2,, z p m, postoj, tj postoje tačke U l I V S q0 qk v vn s s A k m A 1 0 m A 1 p f : q 0 q k x x z z n y y 1 0 k 1 p z Tačku A preslkamo na neku tačku z z 1, z2,, z p Ukolko važ da je pošto je tačka m A ~ q j, po konstrukj je z q j A kolnearna sa tačkom q j ~, 21

23 Pošto je tačka tačkom q 0 jedna tačka koja nje kolnearna sa z trea da važ da q x x, y,, 0 je posleda konstrukje funkje f 1,, 1 n y t, al to Dalje se avmo prostorma gde svaka tačka lež na nekoj regularnoj pravoj 22

24 3 Podklasa komnatornh ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku U ovom poglavlju zučavaju se komnatorne ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku svaka tačka lež na nekoj regularnoj pravoj Teorema 31 Ako je ravan homomorfzam-homogena onda su tanke pune trakaste podstrukture homomorfzam-homogene Dokaz Pretpostavćemo suprotno, tj da je ela struktura homomorfzam-homogena al da postoj tanka l puna trakasta podstruktura koja nje homomorfzamhomogena Neka je ona ndukovana sa a gde su a regularne prave Slučajev: I Struktura je tanka Na osnovu teoreme 14 znamo koje strukture su homomorfzam-homogene Pretpostavmo da tanak prostor nje homomorfzam-homogen Tada ez umanjenja opštost možemo pretpostavt da postoje tačke A, B a takve da je N 0 1 Ako je B jedna tačka na pravoj a sa osonom B 1 N N, tj ako se rad o postoru (Slka 31) posmatrajmo preslkavanje A B D E f :, A C D E Slka 31 gde je C tačka na a, F je tačka na kolnearna sa B, a D E su još dve tačke na 23

25 Ovo je lokaln homomorfzam koj se, prema pretpostav, prošruje do endomorfzma f Potražmo slku tačke F Zog F ED je f ( F) ED S druge strane, B ~ F pa je C f ~ f ( F) Dakle, tačka C je kolnearna sa tačkom f ( F ) na pravoj, što nje tačno ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor la homomorfzam-homogen Dakle, osm tačke B, na pravoj a postoj ar još jedna tačka C takva da je N C 1 Neka je E tačka na kolnearna sa B, a F tačka na, kolnearna sa C (Slka 32): Preslkavanje A f : E B F F A Slka 32 je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB je f ( C) EF Dalje, C ~ F pa zato mora t f ( C) ~ A Dakle, f ( C ) je tačka na pravoj EF koja je kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen II Struktura je puna Na osnovu teoreme 14 znamo koje strukture su homomorfzam-homogene X, L trakast prostor neka postoje dve razlčte tačke 1 Neka je A, B a takve da je N 2, N 2, N N, postoj C a \ A, B tako da važ N ( C) N l N ( C) N (Slka 33) 24

26 Slka 33 Pretpostavmo remo N N ( C) Uočmo D, E N A F G N B Posmatrajmo preslkavanje: B C D E f : F G A B, (Slka 33) To je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzamhomogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke A Zog f ~ A A BC je f FG Dalje, A ~ D pa zato mora t A ~ E pa zato mora t f ~ B Dakle, f je tačka na pravoj FG koja je kolnearna sa tačkama A B, što je nemoguće, jer po pretpostav N N( B) ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen 2 Neka je X, L trakast prostor neka postoje dve razlčte tačke A, B a takve da je N 2, N 2 N N za svako C a \ A, B važ da N ( C) N N ( C) N Odaermo C a \ A, B D, E N A prozvoljno uočmo F, G N B tako da je C ~ E C ~ F, tj E F N C (Slka 34), 25

27 Slka 34 Preslkavanje C f : A B B D D E E je lokaln homomorfzam u lo kom slučaju Kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke F Zog f ( F) ~ A F DE je f ( F) DE Dalje, F ~ C pa zato mora t F ~ B pa zato mora t f ( F) ~ B Dakle, f ( F) je tačka na pravoj DE koja je kolnearna sa tačkama A B, što je nemoguće, jer po pretpostav N N( B) ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen X, L trakast prostor neka postoje dve razlčte tačke 3 Neka je A, B a takve da je N 2, N 2 N N al ne važ N N l N N Uočmo tačke D F tako da važ D N (A), D N (B), F N (B) F N (A) Neka je E N N (Slka 35) 26

28 Slka 35 Preslkavanje A f : A B D D B F F je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzamhomogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke E Zog f ( E) ~ A E DF je f ( E) BF Dalje, E ~ A pa zato mora t E ~ B pa zato mora t f ( E) ~ D Dakle, f ( E) je tačka na pravoj BF koja je kolnearna sa tačkama A D, što je nemoguće da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen, jer u suprotnom mal dve prave sa vše od tr tačaka koje se seku X, L trakast prostor neka su A, B a C takve da 4 Neka je je N 2, B) C N (, N a ( C) 2 tačka A nje kolnearna sa tačkom C Zog N a ( C) 2 postoj D N (C) takva da je D B Neka je E, F N Slučaj: N ( D) 1 (Slka 36) Preslkavanje B D F E f : B C F A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke A 27

29 Zog mora t A BD je f BC f ~ A Dalje, A ~ E pa zato A ~ F pa zato mora t f ~ F Dakle, f ( ) je tačka na pravoj BC koja je kolnearna sa tačkama A F, što je nemoguće da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen, jer u suprotnom mal dve prave sa vše od tr tačaka koje se seku Slka 36 Slučaj: ( D) 2 Prema predhodnm razmatranjma N znamo da dojemo negatvan odgovor osm ako su N (A) N (D) uporedv Neka to važ Kako C N (A) mora t N N ( D) (Slka 37) Preslkavanje Slka 37 A f : A B B D A E E F F je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C 28

30 Zog mora t C EF je f ( C) EF f ( C) ~ B Dalje, C ~ B pa zato C ~ D pa zato mora t f ~ A Dakle, f ( C ) je tačka na pravoj EF koja je kolnearna sa tačkama A B, što je nemoguće da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen Zog Teoreme 31 uvodmo sledeću pretpostavku: Dodatna pretpostavka: u svakom potprostoru genersanom sa regularne prave, ne postoj sngularna tačka prve druge vrste a gde su a Lema 31 Neka su X, L X Y, L Y dve komnatorne ravn sa osonom da su svake dve tačke u X kolnearne svake dve tačke u Y kolnearne Neka je S X, T Y funkja f : S T lokaln homomorfzam Tada se funkja f može prošrt do homomorfzma f : X Y Dokaz Neka su X, L X Y, L Y dve komnatorne ravn sa osonom da su svake dve tačke u X kolnearne svake dve tačke u Y kolnearne Neka je S X, T Y, funkja f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S Neka prostor ma k regularnh pravh Tačka A prpada nekoj regularnoj pravoj a Neka su U1 a1 S, U 2 a2 S,, U k ak S Postoje prave m j Y, j k f U j m, j 0 tako da važ j 1 Neka je U Tačka A je kolnearna sa svm tačkama z skupa U j Tada tačku A preslkamo na neku tačku neke prave, j 2 Neka je 1 f P U, neka U P m j Tada tačku A preslkamo na tačku 3 Neka je U 2 Tada tačku A preslkamo na neku tačku prave m 29

31 Posleda 31 Neka je X, L komnatorna ravan u kojoj važ da je svaka tačka kolnearna sa svakom tačkom Tada je taj prostor homomorfzam-homogen Lema 32 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Tada zmeđu svake dve tačke postoj put dužne najvše dva Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj postoj struktura (Slka 38) Slka 38 gde ne postoj tačka Q takvo da je A ~ Q ~ D Preslkavanje B f : A D D je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C ~ B mora t f ( C) ~ A Dalje, C ~ D pa zato mora t f ( C) ~ D Dakle, f ( C ) je kolnearna sa tačkama A D, što je nemoguće Teorema 32 Neka je X, L komnatorna ravan kod koje postoje arem dve komponente povezanost Tada je X, L homomorfzam-homogena ako samo ako je u svakoj komponent svaka tačka kolnearna sa svakom drugom tačkom Dokaz X, je homomorfzam-homogen prostor pretpostavmo suprotno, tj da postoj komponenta gde postoje dve tačke koje nsu kolnearne Označmo h sa B C One su na dve razlčte regularne prave Pošto su u stoj komponent, postoj put zmeđu njh U drugoj komponent uočmo neku tačku A ( Neka je L 30

32 Preslkavanje: B C f : B A Je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Pošto postoj put zmeđu tačaka B C, to značlo da postoj put zmeđu tačaka B A, što je nemoguće Posleda Leme 31 Dalje posmatramo samo strukture gde postoj samo jedna komponenta povezanost 31

33 31 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 0-tanak potprostor Pretpostavmo da u prostoru X, L postoje regularne prave a koje nsu povezane Teorema 33 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Tada za svake dve regularne prave a koje nsu povezane važ da postoj treća regularna prava koja je povezana sa jednom sa drugom (Slka 39) Dokaz Posleda Leme 32 Slka 39 Lema 33 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Tada ne postoje četr razlčte tačke A, B a E, F za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, a tačka B sa tačkom F Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj tačke postoje četr razlčte tačke A, B a E, F za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, a tačka B sa tačkom F 1 A ~ F B ~ E Prostor ne može t pun samo tanak a Potprostor ndukovan sa a je 1-tanak na osnovu Teoreme 31, neka je Preslkavanje D, G, H E f : G D H A A 32

34 je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzamhomogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke F Zog F ED pa zato mora t f ( F) GH Dalje, F ~ A pa zato mora t f ( F) ~ A Dakle, f ( F ) je na pravoj GH koja koja je kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće 2 A nje kolnearna sa tačkom F l B nje kolnearna sa tačkom E l oa Neka A nje kolnearna sa tačkom F A nje sngulartet prve vrste, zato postoj D tako da važ A ~ D Pošto tačka F nje sngulartet prve vrste, postoj tačka I tako da važ F ~ I (Slka 310) Preslkavanje E f : F F I A A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke D Zog D EF pa zato mora t f ( D) FI Dalje, D ~ A pa zato mora t f ( D) ~ A Dakle, f ( D ) je na pravoj FI kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće Slka 310 Posleda 32 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Ako postoje dve tačke A a E za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, tada svaka druga tačka B prave a je nekolnearna najvše sa tačkom E (Slka 311) 33

35 Slka 311 Lema 34 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Tada ne postoje tr razlčte tačke A, B a F za koje važ da A B nsu kolnearne sa tačkom F Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj postoje tr razlčte tačke A, B a F za koje važ da A B nsu kolnearne sa tačkom F Pošto tačka F nje sngulartet prve vrste, postoj tačka C a da je C ~ F, postoj tačka I tako da je F ~ I Preslkavanje A f : F B I F A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB pa zato mora t f ( C) FI Dalje, C ~ F pa zato mora t f ( C) ~ A Dakle, f ( C ) je na pravoj FI koja koja je kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće Posleda 33 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Ako postoje dve tačke A a E za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, tada svaka druga tačka B prave a je kolnearna sa svakom tačkom prave (Slka 312) 34

36 Slka 312 Lema 35 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Tada ne postoje tr razlčte tačke A a E, F tako da tačka A nje kolnearna n sa tačkom E n sa tačkom F Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj za tačke E, F važ da tačka A nje kolnearna n sa tačkom E n sa tačkom F Pošto tačka A nje sngulartet prve vrste, sled da postoj tačka D tako da važ A ~ D Pošto tačke E F nsu sngulartet prve vrste, neka za tačku F postoj tačka I tako da važ F ~ I (Slka 313) Preslkavanje E f : F F I A A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke D Zog f ( D) ~ A nemoguće D EF pa zato mora t f ( D) FI Dalje, D ~ A pa zato mora t Dakle, f ( D ) je na pravoj FI kolnearna sa tačkom A, što je Slka

37 Posleda 34 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Ako postoje dve tačke A a E za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, tada je tačka A kolnearna sa svakom drugom tačkom prave (Slka 314) Slka 314 Lema 36 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom postoje četr razlčte tačke A a, E, F G tako da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, a tačka G nje kolnearna sa tačkom F Tada E F (Slka 315) Slka 315 Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj E F Na osnovu Poslede 32, 33, 34 sled da svake tačke z prostora ndukovan sa a su kolnearne, osm tačke A E, svake tačke z prostora ndukovan sa su kolnearne, osm tačke G F, zato sgurno postoj tačka X tako da važ da je X ~ A X ~ G Preslkavanje 36

38 F f : F E B A A G G je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke X Zog X FE pa zato mora t f ( X ) FB Dalje, X ~ A pa zato mora t f ( X ) ~ A I još važ da je X ~ G pa zato mora t f ( X ) ~ G Dakle, f ( X ) je na pravoj FB kolnearna sa tačkama A G, što je nemoguće Lema 37 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a, sa osonom da prave a nsu povezane međusono, prava je povezana sa pravom a sa pravom, N N za sve tačke A, B a N N za sve tačke A, B Takav prostor je homomorfzam-homogen (Slka 316) Slka 316 Dokaz Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I Neka je A a (analogno za tačku A ) Neka je U S N (A) 1 Slučaj: U Slučaj: a S Prošrmo f tako što stavmo f '( A) A 37

39 Slučaj: f a S 1, remo f a S P Neka je A ' prozvoljna tačka kolnearna sa P, pa prošrujemo f tako što stavmo f '( A) A' Slučaj: f a S 2 Tada je a S f sadržano u nekoj pravoj l Uzmmo prozvoljno A' l prošrmo f tako da je f '( A) A' 2 Slučaj: U Zog f U skup kolnearnh tačaka, pa neka je U je m prava takva da je f U m Slučaj: a S Uočmo prozvoljno A' m prošrmo f tako da je f '( A) A' Slučaj: a S 1 II Neka je f Pošto su tačke sa prave a S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave a S z skupa U preslka na potprostor ndukovan sa a l na potprostor ndukovan sa Tada za svaku pravu l L svak skup kolnearnh tačaka U X postoj A l takva da je A ~ B za sve B U Neka je l f U postoj A' l prava koja sadrž a S f Za pravu l skup koja je kolnearna sa svakom tačkom z skupa f U tako da je f '( A) A' A Neka je U S N (A) V S N (A) 1 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 1 2 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 3 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 4 Slučaj: U V Slučaj: S Tačku A preslkamo u see Slučaj: S 1 a Sada prošrmo f f Pošto su tačke sa prave S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave S z skupa U preslka na potprostor ndukovan sa a l na potprostor ndukovan sa Isto to važ za tačke sa prave S za skup V Tada sve tačke su preslkane l na potprostor ndukovan sa a l na potprostor 38

40 ndukovan sa l je skup S preslkana na pravu U prvm dva slučaja korstmo dokaz pod I 2 U trećem slučaju tačku A preslkamo na neku tačku prave Lema 38 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a, sa osonom da prave a nsu povezane međusono, prava je povezana sa pravom a sa pravom, postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N A, B a \ X, X ~ C za sve Y za sve C \ N N za sve A, B Takav prostor je homomorfzamhomogen (Slka 317) Slka 317 Dokaz Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I Neka je A a Neka je U S N (A) 1 Slučaj: U Slučaj: a S Prošrmo f tako što stavmo f '( A) A Slučaj: f a S 1, remo f a S P Neka je A ' prozvoljna tačka kolnearna sa P, pa prošrujemo f tako što stavmo f '( A) A' Slučaj: f a S 2 Tada je a S Uzmmo prozvoljno f sadržano u nekoj pravoj l A' l prošrmo f tako da je f '( A) A' 39

41 2 Slučaj: U Zog U je U m prava takva da je f U m f skup kolnearnh tačaka, pa neka je Slučaj: a S Uočmo prozvoljno A' m prošrmo f tako da je f '( A) A' Slučaj: a S 1 A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Slučaj: a S 2 Pošto postoje tačke sa prave a S z skupa U koje su kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave a S z skupa U preslka na potprostor a l na potprostor tako da je funkja f lokaln homomorfzam Tada za svaku pravu l L svak skup kolnearnh tačaka U X postoj A l takva da je A ~ B za sve B U Neka f U postoj A' l II Neka je je l prava koja sadrž a S f Za pravu l skup koja je kolnearna sa svakom tačkom z skupa f U tako da je f '( A) A' A Neka je U S N (A) V S N (A) 1 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 1 2 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 3 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 4 Slučaj: U V a Sada prošrmo f Slučaj: S Tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto razlčto od Y Slučaj: S 1 A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Slučaj: S 2 Pošto su tačke sa prave S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave S z skupa U preslka na potprostor a l na potprostor Isto to važ za tačke sa prave S za skup V Tada sve tačke su preslkane l na potprostor a l na l je skup S preslkana na pravu U prvm dva slučaja korstmo dokaz pod I 2 U trećem slučaju tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y III Neka je A Korstmo dokaz I kod Leme 37 40

42 Lema 39 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a, sa osonom da prave a nsu povezane međusono, prava je povezana sa pravom a sa pravom, postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X a Z, N N A, B a \ X, X ~ C za sve Y za sve C \, N N A, B \ Z C Takav prostor je homomorfzam-homogen (Slka 318) za sve Z ~ za sve C \ Y Slka 318 Dokaz Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I Neka je A a (analogno za tačku A ) Neka je U S N (A) 1 Slučaj: U Korstmo prethodn dokaz pod I 1 pod Leme 38 2 Slučaj: U Korstmo prethodn dokaz pod I 2 pod Leme 38 II Neka je A Neka je U S N (A) V S N (A) 1 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 1 2 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 3 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 4 Slučaj: U V a Slučaj: S Tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Slučaj: S 1 A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y 41

43 Slučaj: S 2 Pošto su tačke sa prave S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave S z skupa U preslka na potprostor a l na potprostor Isto to važ za tačke sa prave S za skup V Tada sve tačke su preslkane l na potprostor a l na l skup S je preslkana na pravu U prvm dva slučaja korstmo dokaz pod I 2 U trećem slučaju tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Teorema 34 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a,, gde prave a nsu povezane Ravan je homomorfzam-homogena ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa prostora: 1 N N za sve tačke A, B a N N za sve tačke A, B (Slka 319) 2 postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N A, B a \ X, C C \ Y za sve N N za sve A, B (Slka 320) X ~ za sve 3 postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X a Z, N N A, B a \ X, X ~ C za sve 1 Y Y za sve za sve A B \ Z C \, N N C \ (Slka 321), Z ~ C za sve Slka

44 2 Slka Slka

45 32 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 1-tanak potprostor Pretpostavmo da u prostoru X, L postoje regularne prave a koje ndukuju 1-tanak potprostor Lema 310 Prostor X, L je homomorfzam-homogen prostor Tada za svaku treću regularnu pravu koja je povezana sa jednom od prave a l, povezana je sa drugom Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj ne postoj treća prava koja je povezana sa oe stovremeno Neka je prava povezana sa pravom a Neka je A ~ G, gde je G Tada sa svm ostalm tačkama prave tačka A nje kolnearna Zog jednostavnost, neka B, C a, H, I tako da važ B ~ H I ~ C (Slka 322) Pošto su prave a povezane, sled da postoj tačka F kolnearna sa nekom tačkom prave a Neka je to tačka B Preslkavanje A f : F B B I I je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB pa zato mora t f ( C) FB Dalje, C ~ I pa zato mora t f ( C) ~ I Dakle, f ( C ) je na pravoj FB kolnearna sa tačkom I, što je nemoguće Slka

46 Lema 311 Prostor X, L je homomorfzam-homogen prostor Tada za svaku treću regularnu pravu koja je povezana sa pravom a sa pravom važ da je N N za sve A, B a N N za sve A, B Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj postoj tačka F tako da tačka A koja nje kolnearna sa tačkom F Neka je A ~ G, gde je G Tada sa svm ostalm tačkama prave tačka A nje kolnearna Zog jednostavnost, neka B, C a, H, I tako da važ B ~ H I ~ C 1 Postoj prava FX, gde je X \ G Preslkavanje H f : F X X A A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke G Zog G HX pa zato mora t f ( G) FX Dalje, G ~ A pa zato mora t f ( G) ~ A Dakle, f ( G ) je na pravoj FX kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće (Slka 323) 2 Za sve tačke X \ G Postoj tačka Preslkavanje Slka 323 ne postoj prava FX B a za koju važ B ~ F A f : F B B I I 45

47 je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB pa zato mora t f ( C) FB Dalje, C ~ I pa zato mora t f ( C) ~ I Dakle, f ( C ) je na pravoj FB kolnearna sa tačkom I, što je nemoguće (Slka 324) Slka 324 Teorema 35 Neka prostor X, L ma tr regularne prave a,, neka je potrpostor ndukovan sa a 1-tanak Tada X, L je homomorfzam-homogen ako samo ako N N za sve A, B a N N za sve A, B (Slka 325) Slka 325 Dokaz Na osnovu Leme Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku 46

48 Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I A a (analogno za tačku A ) Neka je U S N (A) tačka B za koju važ 1 U S v B ~ A B f a S 2 Tada je a S f sadržan u nekoj pravoj a ' Neka je B' f, a A' pr ' ( B' ) Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na B S f 2 Neka je ' a S a A ' a prava koja sadrž a S f Odaermo prozvoljno A' a' lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' B S f a S 1 Uzmmo da je f a S P Neka je a ' regularna prava kroz P, B' f A' pr ' ( B' ) Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' B S f 1 Uzmemo A' a' prozvoljno lokaln a S homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' v B S a S Neka je A' f Lokaln homomorfzam f v 2 U prošrmo tako što tačku A preslkamo na B S a S Tada f ' A A A ' B S a S Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U a v B S a S Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U a S B S f 1 Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U a S B S f 1 Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U 47

49 B f a S 2 Neka je a ' prava koja sadrž a S Odaermo prozvoljno A f a S v S v prošrmo tako što tačku A preslkamo na B S 2 f ' lokaln homomorfzam f A ' f a S Tada je a S f sadržan u nekoj pravoj a ' Neka je B' f, a A' pr ' ( B' ) Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' II Neka je A Korstmo dokaz II kod Leme 37 a 48

50 4 Karakterzaja U ovom poglavlju ćemo samo sakupt rezultate prethodnh poglavlja Teorema 41 Neka prostor X, L ma tr regularne prave a,, takve da je prava povezana sa pravom a sa pravom Tada prostor X, L je homomorfzamhomogen ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa (Slka 41): 1 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak N N za sve A, B a N N za sve A, B 2 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N za sve A, B a \ X, X ~ C za sve C \ Y N N za sve A, B 3 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X Z A, B a \, C A, B \ C homomorfzam-homogen X a Z, N N za sve C \ Y, N N za sve C \ Y Takav prostor je X ~ za sve Z ~ za sve 4 Prostor ndukovan sa a je 1-tanak N N za sve A, B a 1 N N za sve A, B 49

51 2 3 4 Slka 41 50

52 Lteratura [1] Cameron, P J, Nešetřl, J: Homomorphsm-homogeneous relatonal strutures Comnators, Proalty and Computng 15 (2006), [2] Cherln G L: The lassfaton of ountale homogenous dreted graphs and ountale homogenous n-tournaments Memors of the Ameran Mathematal Soety Vol 621 (1998) [3] Devllers A: Ultrahomogenous semlnear spaes Pro London Math So (3) 84 (2002), [4] Devllers A, Doyen J: Homogenous and Ultrahomogenous Lnear Spaes Journal of Comnatoral Theory, seres A 84 (1998), [5] Fraïssé, R: Sur ertans relatons qu généralsant l ordre des nomres ratonnels C R Aad S Pars 237 (1953), [6] Gardner, A D: Homogenous graphs Journal of Comnatoral Theory (B) 20 (1976), [7] Lahlan, A H: Countale Homogenous Tournaments Transatons of the Ameran Mathematal Soety, Vol 284, No 2 (1984), [8] Lahlan, A H, Woodrow, R E: Countale Ultrahomogenous undreted graphs Transaton of the Ameran Mathematal Soety, Vol 262 (1980), [9] Mašulovć D: Homomorphsm-homogenous partally ordered sets Order Vol 24, No 4, 2007, [10] Ilć A, Mašulovć D, Rajkovć U: Fnte homomorphsm-homogenous tournaments wth loops Journal of Graph Theory, Vol 59, No 1, 2008, [11] Mašulovć D: On a lass of homomorphsm-homogenous pont-lne geometres (rukops) [12] Shmerl, J H: Countale homogenous partally ordered sets Algera Unversals ( (19979), [13] Jungael, E: Jedna klasa homomorfzam-homogenh semlnearnh prostora (dplomsk rad) 51

53 Bografja Eva Jungael je rođena godne u Suot Pohađala je osnovnu školu Ivan Goran Kovačć u Suot, koju je završla 2000 godne sa odlčnm uspehom dodeljena joj je Vukova dploma Orazovanje je nastavla u gmnazj Svetozar Markovć u Suot, na prrodno matematčkom smeru Gmnazju završava 2004 godne sa odlčnm uspehom Jesen ste godne upsuje Prrodnomatematčk fakultet u Novom Sadu, smer Dplomran Matematčar - Prmenjena Matematka Fakultet završava u oktoru 2008 godne sa prosečnom oenom 994 Iste godne nastavja studje na Prrodno-matematčkom fakultetu u Novom Sadu, smer Prmenjena Matematka - Tehnomatematka Master studje završava u oktoru 2009 godne sa prosečnom oenom 987 U novemru godne učestvovala je na Vojvođanskoj mađarskoj naučnoj konferenj studenata Nov Sad, Oktoar 2009 (Eva Jungael) 52

54 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA Redn roj: RBR Identfkaon roj: IBR Tp dokumentaje: TD Tp zapsa: TZ Vrsta rada: VR Autor: AU Mentor: MN Naslov rada: Monografska dokumentaja Tekstualn štampan materjal Završn rad Eva Jungael dr Dragan Mašulovć O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 NR Jezk pulkaje: srpsk (latna) JP Jezk zvoda: s/en JI Zemlja pulkovanja: R Srja ZP Uže geografsko područje: Vojvodna UGP Godna: 2009 GO Izdavač: autorsk reprnt IZ Mesto adresa: Nov Sad, Trg D Oradovća 4 MA Fzčk ops rada: (4/56/0/0/39/0/0) (roj poglavlja/strana/lttata/taela/slka/grafka/prloga) FO 53

55 Naučna olast: Matematčke nauke NO Naučna dsplna: Dskretna matematka ND Predmetne odredna, Ključne reč: Komnatorna ravan, homomorfzam-homogenost PO UDK Čuva se: ČU Važna napomena: nema VN Izvod: Danas je teorja homogenh struktura čvrsto ukorenjena matematčka teorja sa duokm posledama ne samo unutar matematke, već, remo, u razumevanju soo-tehnološkh fenomena kao što je world-wde we O homomorfzamhomogenm ojektma se veoma malo zna Ranje su opsane konačn homomorfzam-homogene komnatorn ravn koje sadrže dve regularne prave koje se seku Da se kompletrala karakterzaja homomorfzam-homogenh ravn potreno je još opsat homomorfzam-homogene ravne kod koje ne postoje regularne prave koje se seku Ovaj rad predstavlja jedan orgnalan doprnos u tom smeru IZ Datum prhvatanja teme od strane NN veća:??? 2009 DP Datum odrane: oktoar 2009 DO Članov komsje: (Naučn/stepen/me prezme/zvanje/fakultet) KO Predsednk: dr Snša Crvenkovć, redovn profesor Prrodnomatematčkog fakulteta u Novom Sadu Mentor: dr Dragan Mašulovć, vanredn profesor Prrodnomatematčkog fakulteta u Novom Sadu Član: dr Iva Bošnjak, doent Prrodno-matematčkog fakulteta u Novom Sadu 54

56 UNIVERSITY OF NOVI SAD FACULTY OF NATURAL SCIENCES & MATHEMATICS KEY WORDS DOCUMENTATION Aesson numer: ANO Identfaton numer: INO Doument type: DT Type of reord: TR Contents ode: CC Author: AU Mentor: MN Monograph doumentaton Textual prnted materal Master thess Eva Jungael Dr Dragan Mašulovć Ttle: On homomorphsm-homogeneous rank 2 geometres TI Language of text: Seran (Latn) LT Language of astrat: en/s LT Country of pulaton: R Srja CP Loalty of pulaton: Vojvodna LP Pulaton year: 2009 PY Pulsher: Author s reprnt PU Pul plae: Nov Sad, Trd D Oradovća 4 PP Physal desrpton: (4/56/0/0/39/0/0) PD Sentf feld: Mathemats 55

57 SF Sentf dsplne: SD Sujet Key words: SKW UC Holdng data: HD Note: N Astrat: AB Dsrete Mathemats Pont-lne geometry, homomorphsm-homogenety Nowadays the theory of homogenous strutures s a very deep mathematal theory wth onsequenes n oth mathemats and other dsplnes suh as word-wde we Not muh s know aout homomorphsm-homogenous ojets The homomorphsm-homogenous pont-lne geometry ontanng two regular lne ntersetng have een desred In order to omplete to haraterzaton t s neessary to desre homomorphsm-homogenous pont-lne geometres where regular lnes are dsjont Ths thess presents one step n ths dreton Aepted on Sentf oard on:???, 2009 AS Defended: Otoer 2009 DE Thess Defend oard: DB Presdent: Mentor: Memer: Dr Snša Crvenkovć, full profesor, Faulty of Senes, Nov Sad Dr Dragan Mašulovć, assoate professor, Faulty of Senes, Nov Sad Dr Iva Bošnjak, assstant professor, Faulty of Senes, Nov Sad 56

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Ash Wednesday. First Introit thing. * Dómi- nos. di- di- nos, tú- ré- spi- Ps. ne. Dó- mi- Sál- vum. intra-vé-runt. Gló- ri-

Ash Wednesday. First Introit thing. * Dómi- nos. di- di- nos, tú- ré- spi- Ps. ne. Dó- mi- Sál- vum. intra-vé-runt. Gló- ri- sh Wdsdy 7 gn mult- tú- st Frst Intrt thng X-áud m. ns ní- m-sr-cór- Ps. -qu Ptr - m- Sál- vum m * usqu 1 d fc á-rum sp- m-sr-t- ó- num Gló- r- Fí- l- Sp-rí- : quó-n- m ntr-vé-runt á- n-mm c * m- quó-n-

More information

Linearno uređena topologija

Linearno uređena topologija Univerzitet u Novom Sadu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku i informatiku Aleksandar Janjoš Linearno uređena topologija Master rad Mentor: Dr Aleksandar Pavlović 2017, Novi Sad Sadržaj

More information

Heuristika i generalizacija Heronove formule u dva smjera

Heuristika i generalizacija Heronove formule u dva smjera MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(07), 49-60 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК70049S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) Heurstka generalzacja Heronove formule u dva smjera Petar Svrčevć Zagreb,

More information

Hamiltonovi grafovi i digrafovi

Hamiltonovi grafovi i digrafovi UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Slobodan Nogavica Hamiltonovi grafovi i digrafovi Master rad Novi Sad, 2016 Sadržaj Predgovor...2 Glava 1. Uvod...3

More information

T h e C S E T I P r o j e c t

T h e C S E T I P r o j e c t T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T

More information

Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces

Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces Representation theorems for connected compact Hausdorff spaces Mirna Džamonja School of Mathematics University of East Anglia Norwich, NR4 7TJ UK February 22, 2008 Abstract We present two theorems which

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof.

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU. Poljski prostori. Mentor: prof. UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU -Dord e Vučković Poljski prostori -završni rad- Mentor: prof. dr Miloš Kurilić Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor.................................

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

OH BOY! Story. N a r r a t iv e a n d o bj e c t s th ea t e r Fo r a l l a g e s, fr o m th e a ge of 9

OH BOY! Story. N a r r a t iv e a n d o bj e c t s th ea t e r Fo r a l l a g e s, fr o m th e a ge of 9 OH BOY! O h Boy!, was or igin a lly cr eat ed in F r en ch an d was a m a jor s u cc ess on t h e Fr en ch st a ge f or young au di enc es. It h a s b een s een by ap pr ox i ma t ely 175,000 sp ect at

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9

P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e

More information

Zoran Popović ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D50, D52, C60, E25

Zoran Popović ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS. Klasifikacija prema JEL: D50, D52, C60, E25 ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS Zoran Popovć DOI:0.98/EKA0773036P Isptvanje Paretoove optmalnost u modelu opšte ekonomske ravnoteže sa tržštem sredstava PARETO S OPTIMUM IN MODELS OF GENERAL

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

THIS PAGE DECLASSIFIED IAW E

THIS PAGE DECLASSIFIED IAW E THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 BL K THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 B L K THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 THS PAGE DECLASSFED AW EO 2958 THS PAGE DECLASSFED AW EO 2958 THS

More information

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA

O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vlado Uljarević O GLATKIM GRAFOVIMA KOMPATIBILNIM SA TEJLOROVIM OPERACIJAMA -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Dekartov proizvod grafova

Dekartov proizvod grafova UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marijana Petričević Jović Dekartov proizvod grafova Master rad Mentor: Prof. dr Ivica Bošnjak Novi Sad, 2017

More information

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nikola Dukanović Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine -master rad- Novi Sad, 2014. Sadržaj

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Executive Committee and Officers ( )

Executive Committee and Officers ( ) Gifted and Talented International V o l u m e 2 4, N u m b e r 2, D e c e m b e r, 2 0 0 9. G i f t e d a n d T a l e n t e d I n t e r n a t i o n a2 l 4 ( 2), D e c e m b e r, 2 0 0 9. 1 T h e W o r

More information

Klase neograničenih operatora

Klase neograničenih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2

More information

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem 61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the

More information

Software Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode

Software Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode Unit 2 : Software Process O b j ec t i ve This unit introduces software systems engineering through a discussion of software processes and their principal characteristics. In order to achieve the desireable

More information

K E L LY T H O M P S O N

K E L LY T H O M P S O N K E L LY T H O M P S O N S E A O LO G Y C R E ATO R, F O U N D E R, A N D PA R T N E R K e l l y T h o m p s o n i s t h e c r e a t o r, f o u n d e r, a n d p a r t n e r o f S e a o l o g y, a n e x

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o

I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o I M P O R T A N T S A F E T Y I N S T R U C T I O N S W h e n u s i n g t h i s e l e c t r o n i c d e v i c e, b a s i c p r e c a u t i o n s s h o u l d a l w a y s b e t a k e n, i n c l u d f o l

More information

Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-US region

Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-US region Trade Patterns, Production networks, and Trade and employment in the Asia-U region atoshi Inomata Institute of Developing Economies ETRO Development of cross-national production linkages, 1985-2005 1985

More information

Parts Manual. EPIC II Critical Care Bed REF 2031

Parts Manual. EPIC II Critical Care Bed REF 2031 EPIC II Critical Care Bed REF 2031 Parts Manual For parts or technical assistance call: USA: 1-800-327-0770 2013/05 B.0 2031-109-006 REV B www.stryker.com Table of Contents English Product Labels... 4

More information

176 5 t h Fl oo r. 337 P o ly me r Ma te ri al s

176 5 t h Fl oo r. 337 P o ly me r Ma te ri al s A g la di ou s F. L. 462 E l ec tr on ic D ev el op me nt A i ng er A.W.S. 371 C. A. M. A l ex an de r 236 A d mi ni st ra ti on R. H. (M rs ) A n dr ew s P. V. 326 O p ti ca l Tr an sm is si on A p ps

More information

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE

Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp , August, 2013 RESEARCH ARTICLE Available Online at http://www.journalajst.com ASIAN JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSN: 0976-3376 Asian Journal of Science and Technology Vol. 4, Issue 08, pp.037-041, August, 2013 RESEARCH ARTICLE

More information

EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF EXTRUSION SPEED AND TEMPERATURE EFFECTS ON ARITHMETIC MEAN SURFACE ROUGHNESS IN FDM- BUILT SPECIMENS

EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF EXTRUSION SPEED AND TEMPERATURE EFFECTS ON ARITHMETIC MEAN SURFACE ROUGHNESS IN FDM- BUILT SPECIMENS EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF EXTRUSION SPEED AND TEMPERATURE EFFECTS ON ARITHMETIC MEAN SURFACE ROUGHNESS IN FDM- BUILT SPECIMENS Ognjan Lužanin *, Dejan Movrin, Miroslav Plančak University of Novi Sad,

More information

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM

UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET. mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET mr Dragan Stevanović NEKE KOMPOZICIJE GRAFOVA I GRAFOVI SA CELOBROJNIM SPEKTROM doktorska disertacija Niš, 1999. Za Sanju Sadržaj Predgovor vii I NEPS

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI studij Geofizika NFP II 1 ZADACI 1. Izmjerite ovisnost intenziteta linearno polarizirane svjetlosti o kutu jednog analizatora. Na

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA

FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA FIZIČKI PRAKTIKUM 3 SMJER: PROFESOR FIZIKE MJERENJE MALIH OTPORA PROFESOR FIZIKE FP3 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora bakrene šipke odredite otpornost bakra. Napomena: Izmjerite V

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Discovery Guide. Beautiful, mysterious woman pursued by gunmen. Sounds like a spy story...

Discovery Guide. Beautiful, mysterious woman pursued by gunmen. Sounds like a spy story... Dv G W C T Gp, A T Af Hk T 39 Sp. M Mx Hk p j p v, f M P v...(!) Af Hk T 39 Sp, B,,, UNMISSABLE! T - f 4 p v 150 f-p f x v. Bf, k 4 p v 150. H k f f x? D,,,, v? W k, pf p f p? W f f f? W k k p? T p xp

More information

Jedan metod za automatsko dokazivanje teorema geometrije

Jedan metod za automatsko dokazivanje teorema geometrije Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Predrag Janičić Jedan metod za automatsko dokazivanje teorema geometrije magistarska teza Mentor: dr Zoran Lučić Beograd 1996 i U ovom radu izložen je sistem

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

Neke osobine popločavanja ravni

Neke osobine popločavanja ravni 15 Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Matematika i informatika 2 (4) (2015), 15-47 Neke osobine popločavanja ravni Jelena R. Radonjić STŠ Vožd Karađorđe

More information

Geometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni

Geometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni Geometrija (I smer) deo 3: Linije u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 30. oktobar 2012. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n p = (a, b). Odatle

More information

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards.

NIPP. Implementing rules for metadata. Ivica Skender NSDI Working group for technical standards. Implementing rules for metadata Ivica Skender NSDI Working group for technical standards ivica.skender@gisdata.com Content Working group for technical standards INSPIRE Metadata implementing rule Review

More information

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i

CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

THIS PAGE DECLASSIFIED IAW EO IRIS u blic Record. Key I fo mation. Ma n: AIR MATERIEL COMM ND. Adm ni trative Mar ings.

THIS PAGE DECLASSIFIED IAW EO IRIS u blic Record. Key I fo mation. Ma n: AIR MATERIEL COMM ND. Adm ni trative Mar ings. T H S PA G E D E CLA SSFED AW E O 2958 RS u blc Recod Key fo maon Ma n AR MATEREL COMM ND D cumen Type Call N u b e 03 V 7 Rcvd Rel 98 / 0 ndexe D 38 Eneed Dae RS l umbe 0 0 4 2 3 5 6 C D QC d Dac A cesson

More information

DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL

DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL DETERMINATION OF THE EFFECTIVE STRAIN FLOW IN COLD FORMED MATERIAL Leo Gusel University of Maribor, Faculty of Mechanical Engineering Smetanova 17, SI 000 Maribor, Slovenia ABSTRACT In the article the

More information

Individual Events 1 I2 x 0 I3 a. Group Events. G8 V 1 G9 A 9 G10 a 4 4 B

Individual Events 1 I2 x 0 I3 a. Group Events. G8 V 1 G9 A 9 G10 a 4 4 B Answers: (99-95 HKMO Final Events) Created by: Mr. Francis Hung Last updated: July 08 I a Individual Events I x 0 I3 a I r 3 I5 a b 3 y 3 b 8 s b c 3 z c t 5 c d w d 0 u d 6 3 6 G6 a 5 G7 a Group Events

More information

ZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron...

ZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... KoG 19 015 Z. Can Ö. Gelişgen R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... Original scientific paper Accepted 11. 5. 015. ZEYNEP CAN ÖZCAN GELIŞGEN RÜSTEM KAYA On the Metrics Induced by Icosidodecahedron

More information

'5E _ -- -=:... --!... L og...

'5E _ -- -=:... --!... L og... F U T U R E O F E M B E D D I N G A N D F A N - O U T T E C H N O L O G I E S R a o T u m m a l a, P h. D ; V e n k y S u n d a r a m, P h. D ; P u l u g u r t h a M. R a j, P h. D ; V a n e s s a S m

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović

DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC : Jovan Nešović FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol.1, N o 9, 2002, pp. 1127-1133 DESIGN AND CALCULATION OF RING SPRINGS AS SPRING ELEMENTS OF THE WAGON BUFFER UDC 62-272.43:623.435 Jovan Nešović Faculty

More information

On the state of pure shear

On the state of pure shear Theoret. Appl. Mech., Vol.37, No.3, pp. 229 250, Belgrade 2010 On the state of pure shear Jovo P. Jarić Dragoslav S. Kuzmanović Zoran -D. Golubović Abstract The algebraic proof of the fundamental theorem

More information

PROGRAM FOR CALCULATION OF A DEFLECTION OF A UNIFORM LOADED SQUARE PLATE USING GAUSS-SEIDEL METHOD FOR SOLUTION OF POISSON DIFFERENTIAL EQUATION

PROGRAM FOR CALCULATION OF A DEFLECTION OF A UNIFORM LOADED SQUARE PLATE USING GAUSS-SEIDEL METHOD FOR SOLUTION OF POISSON DIFFERENTIAL EQUATION FACTA NIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering Vol. 6, N o, 008, pp. 199-05 OI:10.98/FACE080199L PROGRAM FOR CALCLATION OF A EFLECTION OF A NIFORM LOAE SQARE PLATE SING GASS-SEIEL METHO

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

GEOUETRIJA LOBACEVSKOG

GEOUETRIJA LOBACEVSKOG Matematiaa gimnazija Beograd Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE GEOUETRIJA LOBACEVSKOG mentor : ue'enik : Mirjana Perovanovie Bojan 2ivkovid Beograd

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

On the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes

On the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes J.Serb.Chem.Soc. 69(4)265 271(2004) UDC 547.21:54 12+539.6 JSCS 3152 Original scientific paper On the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes IVAN GUTMAN a*, BORIS FURTULA a, BILJANA ARSI]

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information