Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Transcription

1 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja) Funkcijske relacije su još jedna važna podvrsta binarnih relacija. To su relacije kod kojih svaki element izvornog skupa može biti u relaciji najviše sa jednim elementom odredišnog skupa. Njihov značaj je u tome što su one osnovni gradivni mehanizam za formalno definiranje funkcija odnosno preslikavanja koje predstavljaju jedan od temeljnih matematskih pojmova. Neformalno funkcija iz nekog skupa A u neki skup B predstavlja pravilo pridruživanja koje nekim ili svim elementima A pridružuje neki jedinstven element ( ) B. Pri tome element a nazivamo original ili argument a njegova slika dobijena pomoću funkcije. Skup A naziva se izvorni skup funkcije dok se skup B naziva odredišni skup ili kodomen funkcije. Ukoliko neki element A ima svoj pridruženi element ( ) kaže se da je funkcija definirana za argument u suprotnom se kaže da je nedefinirana za argument. Skup svih vrijednosti A za koje je funkcija definirana naziva se domen funkcije dok se skup svih vrijednosti B koji su slika nekog elementa iz A (tj. za koje postoji A takav da je = ( )) naziva rang funkcije. Jasno je da je domen funkcije podskup njenog izvornog skupa a rang podskup njenog odredišnog skupa (kodomena). U slučaju da je funkcija definirana za sve elemente skupa A (tj. ukoliko je njen domen jednak izvornom skupu) govorimo o potpunoj funkciji i kažemo da je funkcija sa (a ne iz ) skupa A u skup B što obilježavamo kao : A B. Ukoliko to nije ispunjeno govorimo o parcijalnoj (nepotpunoj) funkciji. U matematici se prećutno podrazumijeva da kada se kaže samo funkcija tada se misli na potpunu funkciju dok se u slučajevima kada se radi sa parcijalnim funkcijama ta činjenica posebno naglašava. Formalno se funkcija (ne nužno potpuna) definira kao uređena trojka = (ℱ A B) gdje su A i B neka dva skupa koji respektivno predstavljaju izvorni i odredišni skup funkcije dok je ℱ A B neka funkcijska relacija između A i B. Činjenicu da je ( ) ℱ zapisujemo kao = ( ) i kažemo da funkcija elementu pridružuje element = ( ). Činjenica da je relacija ℱ funkcijska garantira da je za svako A vrijednost ( ) ukoliko uopće postoji jedinstveno određena. Sama relacija ℱ naziva se graf funkcije. Odnosno graf funkcije je skup definiran kao ℱ = {( (a)) A} Ukoliko je skup ℱ takav da se može interpretirati kao skup tačaka u ravni (npr. tačaka izraženih preko Descartesovih koordinata) tada takvu interpretaciju nazivamo grafik (ili grafikon) funkcije f. Definira se i slika skupa X A pomoću funkcije kao (X) = { ( ) X} tako da je rang funkcije zapravo slika njenog domena. U nekim definicijama pojam funkcije se u potpunosti poistovjećuje sa skupom ℱ odnosno ne pravi se razlika između same funkcije i njenog grafa. Međutim takva definicija ima svojih nedostataka i treba je izbjegavati. Recimo iz samog grafa funkcije nije moguće odrediti šta je njen kodomen (mada je moguće odrediti njen domen i rang) a ukoliko se radi o parcijalnoj funkciji nije moguće ni odrediti šta je njen izvorni skup (kod potpunih funkcija on je svakako jednak domenu). Interesantno je da se u nekim verzijama teorije skupova pojam funkcije također uzima kao elementaran pojam koji se ne definira (slično pojmu skupa). U takvim teorijama uređene -torke se definiraju posredno preko funkcija pa se uređena -torka (... ) definira se kao funkcija sa skupa { } u skup {... } za koju vrijedi (1) = (2) =... ( ) = odnosno uređena n-torka se poistovjećuje sa onim što ćemo kasnije definirati kao konačni niz. Bez obzira što takve definicije imaju izvjesnog opravdanja (inače ne bi ni bile uvedene) mi ćemo se ipak držati definicije u kojoj se funkcije definiraju posredno pomoću skupova. Primijetimo i da definicija uređene n-torke kao funkcije implicitno podrazumijeva da je pojam skupa prirodnih brojeva od ranije poznat dok definicija prema Kuratowskom to ne zahtijeva što je njena bitna prednost. Ukoliko je domen funkcije konačan skup A = { često obilježavamo i kao f= ( ) ( ) (... ) } tada (potpunu) funkciju : A (A) ( ) Skup svih funkcija sa skupa B u skup A obilježavamo sa A odnosno A = { primjer ukoliko je A = {0 1} i B = { } imamo 1 : B A}. Na

2 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu A ={ (akademska godina 2015/16) } Motivacija za ovu pomalo neočekivanu definiciju može se naći u činjenici da u slučaju kada su A i B konačni skupovi vrijedi #(A ) = #A#. Ukoliko je domen neke funkcije neki skup uređenih n-torki npr. Descartesov proizvod više skupova A A... A tada su originali uređene n-torke oblika (... ) A A... A. Da bismo pojednostavili pisanje po dogovoru umjesto ((... )) pišemo prosto (... ) i kažemo da je funkcija funkcija sa argumenata pri čemu pod argumentima ovdje podrazumijevamo koordinate uređene -torke koja predstavlja original. Za funkciju kažemo da je injektivna ili da je injekcija ( n i j se čita odvojeno) ukoliko se različiti elementi iz A preslikavaju u različite elemente iz B odnosno ukoliko za svaka dva elementa i iz A vrijedi ( ) ( ). Tako na primjer funkcija sa ℝ u ℝ koja svakom elementu ℝ pridružuje vrijednost ( ) = x nije injektivna jer je 1 1 a ipak je (1) = ( 1). Injektivne funkcije se još nazivaju i funkcije jedan-na-jedan (engl. one-to-one). Za funkciju kažemo da je sirjektivna odnosno da je sirjekcija ukoliko je svaki element iz B slika nekog elementa iz A odnosno ukoliko vrijedi (A) = B. Drugim riječima funkcija je sirjektivna ukoliko je njen rang jednak njenom kodomenu. Ukoliko je funkcija sa kodomenom B sirjektivna kažemo da je to funkcija na (engl. onto) skup B (a ne u skup B). Funkcija je obostrano jednoznačna ili bijektivna ili prosto bijekcija ukoliko je istovremeno injektivna i sirjektivna. Bitno je napomenuti da iz samog grafa funkcije (odnosno iz poznatog pravila pridruživanja što se svodi na isto) nije moguće zaključiti da li je funkcija sirjekcija ili ne dok se eksplicitno ne specificira šta je njen kodomen s obzirom da se kodomen nikako ne može saznati iz grafa funkcije. Drugim riječima pojam sirjekcije je relativan u odnosu na zadani kodomen. Na primjer funkcija sa skupa ℝ zadana pravilom pridruživanja ( ) = nije sirjekcija ukoliko se zada da je njen kodomen također ℝ (s obzirom da recimo nije slika niti jednog elementa ℝ) ali jeste sirjekcija ukoliko se zada da je njen kodomen skup nenegativnih realnih brojeva ℝ. Dakle uz isto pravilo pridruživanja ova funkcija nije sirjekcija ako je posmatramo kao funkciju : ℝ ℝ ali jeste sirjekcija ako je posmatramo kao funkciju : ℝ ℝ (odnosno ova funkcija nije funkcija na ℝ nego samo u ℝ ali jeste funkcija na ℝ ). Iz istog razloga ni o bijektivnosti funkcije ne možemo govoriti ukoliko se eksplicitno ne specificira šta je njen kodomen. Uređena trojka (ℱ B A) gdje je ℱ inverzna relacija relacije ℱ naziva se inverzija funkcije. Ukoliko je ℱ također funkcijska relacija tako da ova trojka ispunjava uvjete da može biti funkcija tada se ona naziva inverzna funkcija funkcije i obilježava sa. Dakle = (ℱ B A). Ukoliko inverzna funkcija postoji tada iz ( ) = slijedi ( ) =. Ukoliko se insistira da inverzna funkcija mora biti potpuna funkcija tada inverzna funkcija funkcije postoji ako i samo ako je bijekcija. Ukoliko se ne insistira na potpunosti inverzne funkcije tada je potreban i dovoljan uvjet za egzistenciju injektivnost funkcije. U slučajevima kada inverzna funkcija ne postoji (ni kao nepotpuna funkcija) uobičajeno je da se sa (b) označava skup svih elemenata A za koje je ( ) = odnosno (b) = { A ( ) = }. Na primjer za funkciju : ℝ ℝ zadanu pravilom ( ) = inverzna funkcija ne postoji (s obzirom da ova funkcija nije bijekcija jer niti je injekcija niti je sirjekcija) ali ipak pišemo (4) = { 2 2} (0) = {0} i ( 1) =. Tako možemo posmatrati kao funkciju sa skupa B u partitivni skup skupa A odnosno : B (A). Takvu funkciju nazivamo generalizirana inverzna funkcija funkcije. Restrikcija (ili suženje) funkcije = (ℱ A B) na domen A A je funkcija = (ℱ A B) za koju vrijedi ℱ ℱ odnosno koja je takva da za svaki element a A vrijedi ( ) = ( ). Ako je restrikcija funkcije tada isto kažemo da je ekstenzija (ili proširenje) funkcije na domen A. U slučajevima kada ne postoji inverzna funkcija funkcije uvijek je moguće naći inverznu funkciju neke restrikcije funkcije na neki domen A A. Pri tome se za različite restrikcije mogu dobiti različite inverzne funkcije. Na primjer iako funkcija : ℝ ℝ zadana pravilom ( ) = nema inverznu funkciju njene restrikcije : ℝ ℝ i : ℝ ℝ gdje su ℝ i ℝ skupovi nenegativnih i nepozitivnih realnih brojeva respektivno a koje su zadane istim pravilima ( ) = i ( ) = imaju respektivno inverzne funkcije date pravilima ( )= i ( ) =. U malo slobodnijem izražavanju ovako definirane funkcije i također nazivamo inverzne funkcije funkcije f iako je jasno da to nije u 2

3 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) potpunosti korektno. Ovaj primjer jasno ilustrira da je za potpunu specifikaciju funkcije potrebno specificirati ne samo pravilo po kojem se vrši pridruživanje nego i domen i kodomen. Za element A kažemo da je fiksna tačka funkcije f ukoliko vrijedi ( ) =. Na primjer funkcija : ℝ ℝ zadana pravilom ( ) = ima tri fiksne tačke = 1 = 2 i = 3. Skup X A za koji vrijedi (X) = X naziva se invarijanta funkcije. Svi elementi invarijante mogu ali ne moraju biti fiksne tačke. Na primjer skup X = {2 6} je invarijanta funkcije : ℝ ℝ zadane pravilom ( ) = 8 (jer je (2) = 6 i (6) = 2 pa je (X) = X) iako niti = 2 niti = 6 nisu fiksne tačke ove funkcije (jedina njena fiksna tačka je x = 4). Za bijektivnu funkciju sa skupa A u skup A čitav domen A je invarijanta. Pod proizvodom (produktom) ili kompozicijom funkcija = (ℱ A B) i = (ℱ B C) u oznaci smatramo funkciju = (ℱ ℱ A C). Dakle ako je : A B i : B C tada je : A C pri čemu je ( )( ) = ( ( )). Produkt funkcija u općem slučaju nije komutativan ali je uvijek asocijativan. Treba paziti da ove oznake nisu konzistentne u svoj literaturi jer neki autori definiraju produkt onako kako je ovdje definiran produkt odnosno ( )( ) = ( ( )). Funkciju ( ) definiranu rekurzivnim pravilom ( ) = ( ) uz početni uvjet ( ) = nazivamo -ti stepen odnosno -ta iteracija funkcije. Tako vrijedi ( ) ( ) = ( ( )) ( ) ( ) = ( ( ( ))) i općenito ( ) ( ) = ( ( ) ( )). Funkcija ( ) za koju vrijedi ( ) = nazivamo identička funkcija (za njeno potpuno određenje neophodno je specificirati i odgovarajući domen). Korisno je usvojiti da je ( ) ( ) = ( ). Lako je provjeriti da vrijedi = =. Nekim vrstama funkcijama daju se i posebna imena. Tako se na primjer funkcija : { } A naziva konačni niz (konačna sekvenca) u skupu A dok se funkcija : ℕ A naziva beskonačni niz (beskonačna sekvenca) ili samo niz (sekvenca). U oba slučaja umjesto ( ) tipično pišemo. Funkcije čiji su domen i kodomen neki skupovi brojeva obično se zadaju nekim izrazom koji definira kako se za zadanu vrijednost x računa vrijednost funkcije ( ) recimo izrazom poput ( ) = + 5. Međutim izuzetno je značajno razlikovati funkciju i vrijednost funkcije za neku zadanu vrijednost koju obilježavamo sa f (x). Recimo u navedenom primjeru nipošto ne treba shvatiti da je sama funkcija jednaka izrazu + 5 nego je vrijednost funkcije f za zadanu vrijednost argumenta x jednaka vrijednosti izraza + 5. To jasno govori i oznaka ( ) koju jasno čitamo kao vrijednost funkcije za vrijednost argumenta. Dakle ( ) je broj (uz pretpostavku da je kodomen funkcije neki skup brojeva) dok nije broj nego funkcija. Međutim kako ćemo zapisati čemu je jednaka sama funkcija ukoliko znamo izraz koji definira vrijednost ( )? Dugo vremena matematika nije imala neku konkretnu simboliku pomoću koje bi se to moglo zapisati. Rješenje ovog problema prvi je predložio logičar A. Church u formi tzv. λ-operatora koji se naziva i operator apstrakcije. Ovaj neobični operator od izraza pravi funkciju. Koristi se u obliku λ promjenljiva. izraz koji predstavlja funkciju koja navedenu promjenljivu preslikava u vrijednost određenu navedenim izrazom. Recimo ukoliko je ( ) = + 5 možemo pisati =λ. +5 Dakle izraz λ. + 5 predstavlja funkciju koja primijenjena na neki argument daje vrijednost tog argumenta dignutog na kvadrat i uvećanog za 5. Napomenimo da je ime promjenljive navedeno iza λ-operatora formalne prirode odnosno stvarno ime promjenljive je potpuno nebitno tako da izrazi λ. + 5 i λ. + 5 predstavljaju posve istu funkciju. Za razliku od toga primijetimo da ( ) i ( ) nisu jedno te isto: ( ) je vrijednost funkcije za vrijednost argumenta dok je ( ) vrijednost funkcije za vrijednost argumenta a vrijednosti argumenata i ne moraju biti iste. Izrazi sa λ-operatorom mogu se koristiti u bilo kojem kontekstu gdje se može koristiti ime ma kakve funkcije tako da je recimo izraz poput (λ. + 5)(3) posve legalan. U osnovi on je identičan izrazu (3) u kojem je funkcija definirana izrazom ( ) = + 5 (dakle njegova je vrijednost 4) samo što u njemu nismo posebno imenovali funkciju koja se primjenjuje na argument 3. Stoga se funkcije definirane λ-operatorom nazivaju i anonimne funkcije (a često i λ-funkcije po λ-operatoru). Očigledno iz prikazane neformalne definicije λ-operatora slijedi λ. f ( ) = f tako da je u izvjesnom smislu λ-operator inverzan operatoru primjene funkcije na svoj argument. U mnogim slučajevima iz konteksta je jasno da li se misli na izraz ili funkciju definiranu tim izrazom tako da i bez upotrebe λ-operatora ne dolazi do zabune. Međutim do zabune može doći kada 3

4 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) budemo razmatrali neke operacije koje se primjenjuju na funkcije kao cjeline (a ne samo na njihove individualne vrijednosti) kao i operacije koje različito djeluju na brojeve i na funkcije te će nam tada λ-operator dobro poslužiti. Potreba za λ-operatorom javlja se u mnogim programskim jezicima pogotovo u programskim jezicima koji spadaju u skupinu tzv. funkcionalnih programskih jezika (kao što su recimo ML LISP i Haskell). Potreba za razlikovanjem funkcija i izraza kojim se opisuje preslikavanje koje funkcija vrši javlja se i u nekim posve klasičnim programskim jezicima (kao što je recimo C++) tako da danas većina modernih programskih jezika poznaje neku formu λ-operatora. U jezik C++ podrška za anonimne funkcije uvedena dosta kasno (tek u reviziji C++11) što je u mnogim primjenama ranije jako nedostajalo. Recimo sve do uvođenja anonimnih funkcija svaka funkcija koju želimo proslijediti nekoj drugoj funkciji na obradu morala prethodno imenovati što je dobro poznato svima koji su u programskom jeziku C++ koristili funkcije iz biblioteke algorithm. Interesantnu situaciju dobijamo ukoliko kaskadno primijenimo λ-operator. Razmotrimo na primjer izraz = λ. λ. + i ispitajmo šta je recimo (3). Prema definiciji λ-operatora direktno slijedi f (3) = λ Dakle primjena funkcije na vrijednost argumenta 3 daje kao rezultat izraz λ. 3 + koji je i sam funkcija. Imamo interesantnu situaciju: je funkcija koja kao svoj rezultat daje drugu funkciju (što naravno matematika ne zabranjuje jer nema nikakvog razloga zašto kodomen neke funkcije ne bi mogao biti neki skup funkcija). Stoga ima smisla pitati šta je rezultat izraza (3)(2) i odgovor je naravno 3 + odnosno 5. Općenito je ( )( ) = +. Jasno je da možemo pisati i nešto poput = (3) tako da je ( ) = 3 + ili jednakost poput (λ. λ. + )(3)(2) = 5. Drugim riječima se u neku ruku može posmatrati kao funkcija od dva argumenta ali koji se ne primjenjuju simultano (jednovremeno) nego sukcesivno (uzastopno). U nekim granama matematičke logike kao što je recimo tzv. λ-račun (engl. λ-calculus) s kojim ćemo se ukratko upoznati kasnije smatra se da je prirodna interpretacija izraza poput ( ) upravo ( )( ). Inače interpretaciju po kojoj se funkcije koje zavise od više argumenata poput (... ) interpretiraju kao kaskada ( )( )... ( ) (za razliku od uobičajene interpretacije prema kojoj se radi o funkciji čiji je argument uređena -torka (... )) popularizirao je logičar H. Curry tako da se opisana interpretacija često prema njegovom imenu naziva currying (mada je ona zapravo prvi put predložena od strane M. Schönfinkela). Značajna prednost ovakve interpretacije leži u činjenici da se pomoću nje lako tretiraju funkcije kod kojih broj argumenata nije unaprijed određen što je teško izvesti u klasičnoj interprretaciji. Pomoću λ-operatora lako je kreirati ne samo funkcije koje kao rezultat daju druge funkcije nego i funkcije koje kao svoje argumente primaju druge funkcije (tj. čiji je domen neki skup funkcija). Takve funkcije se nazivaju funkcije višeg reda a u nekim oblastima matematike (npr. u funkcionalnoj analizi) i operatori (specijalno ako je kodomen takve funkcije neki skup brojeva ona se naziva funkcional). Kao primjer uzmimo recimo izraz poput = λ. λ. ( ( ( ))). Da bismo vidjeli šta predstavlja ovaj izraz pretpostavimo da je ℎ neka funkcija. Tada je (ℎ) = λ. ℎ(ℎ(ℎ( ))). Očigledno (ℎ) je ponovo funkcija i to takva da vrijedi (ℎ)( ) = ℎ(ℎ(ℎ( ))). Dakle (ℎ) je funkcija koja primijenjena na argument daje isti rezultat kao funkcija ℎ primijenjena tri puta uzastopno (funkciju mogli bismo čitati kao triput ). Primijetimo da funkcija kao svoj argument zahtijeva ponovo neku funkciju (lako se vidi da bi izraz poput (2) bio besmislen) tako da je funkcija višeg reda. Razni programski jezici koji posjeduju λ-operator obično koriste drugačiju (i često jasniju) sintaksu od sintakse koju je predvidio Church. Na primjer matematički orjentirani programski jezik Maple umjesto neintuitivne sintakse λ promjenljiva. izraz koristi logičniju sintaksu promjenljiva izraz (gotovo istu sintaksu \ promjenljiva izraz koristi i programski jezik Haskell). Tako prema sintaksi jezika Maple možemo pisati = +5 Stoga je u Maple-sintaksi izraz poput ( + 5)(3) legalan (i vrijednost mu je jednaka 14). Jezik JavaScript za definiranje anonimnih funkcija koristi sintaksu function(promjenljiva) { return izraz; } koja je isto jasna i intuitivna (mada ne tako kompaktna) dok jezik C++ zbog potrebe za tipizacijom za istu svrhu koristi sintaksu [](tip_promjenljive promjenljiva) { return izraz; }. Uglavnom ubuduće ćemo λ-operator ćemo koristiti u slučajevima kada je izrazito bitno praviti razliku između funkcije i izraza kojim se opisuje preslikavanje koje funkcija vrši (i to samo onda kada iz konteksta nije posve jasno da se zaista misli na funkciju) ili kada nije jasno šta je argument te funkcije. Pri tome ćemo koristiti kako izvornu Churchovu λ -sintaksu tako i pojednostavljenu Maple-sintaksu. 4

5 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Relacije poretka i uređeni skupovi Kao što smo vidjeli relacije ekvivalencije na izvjestan način uopćavaju odnos jednakosti. S druge strane relacije poretka uopćavaju odnose poput odnosa biti manji biti veći biti djeljiv sa biti podskup od itd. Formalno iskazano za neku relaciju kažemo da je relacija poretka ukoliko je ona antisimetrična i tranzitivna (u ponekim definicijama se od relacije poretka zahtijeva još i refleksivnost). Ukoliko je ona pored toga i jako antisimetrična tada kažemo da se radi o relaciji strogog poretka (stoga relacija strogog poretka ne može biti refleksivna). Relacije poretka odnosno strogog poretka obično označavamo specijalnim simbolima poput odnosno tako da umjesto ℛ tipično pišemo odnosno. Svakoj relaciji poretka koja nije stroga možemo pridružiti neku relaciju strogog poretka tako što ćemo definirati da je ako i samo ako je i. Za takvu relaciju strogog poretka kažemo da je pridružena relaciji poretka. Slično svakoj relaciji strogog poretka možemo pridružiti relaciju nestrogog poretka tako što ćemo definirati da je ako i samo ako je ili =. Neka je neka relacija poretka i njoj pridružena relacija strogog poretka. Ukoliko je kažemo da se element nalazi ispred elementa (u odnosu na posmatranu relaciju poretka) odnosno da se element nalazi iza elementa. Za element c kažemo da se nalazi između elemenata i (u odnosu na posmatranu relaciju poretka) ukoliko vrijedi i dok za elemente i kažemo da su susjedni ukoliko ne postoji element različit i od i od koji bi se nalazio između elemenata i. Najzad kažemo da je element neposredni prethodnik elementu ukoliko je i ukoliko su pored toga elementi i susjedni. Analogno se definira i neposredni sljedbenik. Ukoliko je relacija poretka ili strogog poretka još i linearna tada govorimo da se radi o relaciji potpunog poretka dok u suprotnom govorimo o relaciji parcijalnog (djelimičnog) poretka. Drugim riječima kod relacije potpunog poretka svaka dva različita elementa su uporediva tj. za svaka dva različita elementa i vrijedi ili ili dok kod relacije parcijalnog poretka to ne mora vrijediti. Kod relacija parcijalnog poretka ukoliko za par različitih elemenata i ne vrijedi niti niti tada kažemo da su i neuporedivi u odnosu na razmatranu relaciju poretka. Ukoliko je za neku relaciju parcijalnog poretka pripadna relacija biti neuporediv tranzitivna (tj. ukoliko kad god su i kao i i neuporedivi u odnosu na tu relaciju slijedi da su i a i c također neuporedivi u odnosu na tu relaciju) tada govorimo o relaciji slabog poretka. Treba napomenuti da većina programskih jezika koji podržavaju funkcije za sortiranje kolekcija objekata po proizvoljnom kriteriju ne insistira da relacija kojom se zadaje kriterij sortiranja mora biti relacija potpunog poretka ali svi zahtijevaju da to bude barem relacija slabog poretka (i to obično strogog slabog poretka) jer je vrlo upitno šta uopće znači sortirati kolekciju u odnosu na djelimični poredak koji nije čak ni slabi poredak. Navedimo nekoliko karakterističnih relacija poretka. Odnosi biti manji od ili jednak ( ) biti veći od ili jednak ( ) biti manji od ( < ) i biti veći od ( > ) u nekom skupu brojeva predstavljaju relacije poretka (i to potpunog poretka) pri čemu odnosi < i > pored toga predstavljaju i relacije strogog poretka. Odnosi biti podskup od ( ) i biti pravi podskup od ( ) u nekom skupu skupova (ne smijemo reći u skupu svih skupova jer ćemo vidjeti kasnije da takav pojam nije logički održiv) predstavljaju također relacije poretka ali samo parcijalnog poretka s obzirom da za proizvoljan par skupova A i B ne mora vrijediti niti A B niti B A (odnosno dva skupa ne moraju biti uporediva u odnosu na ove relacije npr. skupovi A = {1 3} i B = {3 4}). Ove dvije relacije nisu čak ni relacije slabog poretka. Zaista uzmimo na primjer skupove A = {1 3} B = {3 4} i C = {1 2 3}. U ovom slučaju A i B nisu međusobno uporedivi u odnosu na ove relacije kao ni skupovi B i C a ipak je A B. Inače odnos biti podskup od naziva se i relacija inkluzije. Odnos biti djelilac od ( ) u skupu prirodnih brojeva također predstavlja relaciju (nestrogog) parcijalnog poretka koja također nije relacija slabog poretka. Primjer relacije (strogog) slabog poretka a koja nije relacija potpunog poretka je relacija u skupu kompleksnih brojeva prema kojoj je ako i samo ako je <. Ovo nije potpuni poredak jer postoje neuporedivi parovi elemenata (to su oni što imaju isti modul (npr. + 3i i 3+2i). Međutim ako je neuporediv sa (u odnosu na ovu relaciju) i neuporediv sa tada je jasno da je tada i neuporediv sa jer sva tri imaju isti modul. Skup X zajedno sa relacijom poretka u skupu X ili formalno uređeni par (X ) nazivamo uređeni skup. U ovisnosti da li je relacija parcijalnog ili potpunog poretka govorimo o parcijalno (djelimično) uređenom skupu ili potpuno uređenom skupu. Parcijalno uređeni skup se još naziva i poset (od engl. Partially Ordered Set) dok se potpuno uređen skup naziva i lanac. Lancem se također zasniva i svaki podskup nekog uređenog skupa koji je u odnosu na razmatranu relaciju poretka potpuno uređen. 5

6 Poredak u konačnim parcijalno uređenim skupovima pregledno se prikazuje uz pomoć Hasseovih dijagrama. Hasseovi dijagrami su zapravo reducirani streličasti dijagrami koji odgovaraju pripadnoj relaciji poretka u kojima su izostavljene sve petlje koje su posljedica refleksivnosti kao i sve strelice koje su posljedica tranzitivnosti relacije. Drugim riječima strelicama se spajaju samo elementi koji su susjedni u odnosu na razmatranu relaciju. Na primjer slika sa lijeve strane ispod prikazuje Hasseov dijagram partitivnog skupa (A) skupa A = { } uređenog relacijom inkluzije (tj. odnosom biti podskup od ). S obzirom da su elementi skupa (A) i sami skupovi radi usporedbe je sa desne strane nacrtan Eulerov dijagram koji ilustrira istu situaciju. Sa aspekta preglednosti prednost je očigledno na strani Hasseovog dijagrama. Ukoliko usvojimo konvenciju da se oznaka elementa na dijagramu koji se nalazi ispred nekog drugog elementa na dijagramu uvijek crta iznad tog drugog elementa (tj. ukoliko su sve strelice na Hasseovom dijagramu usmjerene nagore) tada se strelice u dijagramu mogu potpuno izostaviti. U slučaju potpuno uređenog skupa Hasseov dijagram dobija oblik vertikalnog pravca usmjerenog nagore. {a b c} {a} {a b} {a c} {b c} {a b} a {a c} {a b c} {a} {b} {c} {b} b c {c} {b c} Kao još jedan primjer uzmimo relaciju poretka na skupu A = { } neformalno opisanu odnosom biti djelilac od a formalno skupom uređenih parova {(1 1) (1 2) (1 3) (1 5) (1 6) (1 10) (1 15) (1 30) (2 2) (2 6) (2 10) (2 30) (3 3) (3 6) (315)(3 30) (5 5) (5 10) (5 15) (5 30) (6 6) (6 30) (10 10) (10 30) (15 15) (15 30) (30 30)} Za potrebe crtanja Hasseovog dijagrama posmatraju se samo parovi susjednih elemenata (u odnosu na ovu relaciju) odnosno parovi (1 2) (1 3) (1 5) (2 6) (2 10) (3 6) (3 15) (5 10) (5 15) (6 30) (10 30) i (15 3 ). Tako dobijamo Hasseov dijagram koji je vizuelno identičan dijagramu iz prethodnog primjera u kojem je izvršena zamjena 1 { } 2 { } 3 { } 5 { } 6 { } 10 { } 15 i { } 30. Prethodni primjer ukazuje na potrebu sljedeće definicije. Za dva uređena skupa (X ) i (Y ) kažemo da su izomorfni ukoliko je moguće izvršiti takvo preimenovanje elemenata skupa X u elemente skupa Y da se nakon obavljenog preimenovanja i zamjene relacije relacijom očuva poredak odnosno formalno rečeno ukoliko postoji neko obostrano jednoznačno (bijektivno) preslikavanje : X Y (koje obavlja traženo preimenovanje) takvo da iz slijedi ( ) ( ). Samo preslikavanje naziva se izomorfizam sa uređenog skupa (X ) na (Y ). U prethodnom primjeru smo vidjeli da je skup A sa relacijom poretka izomorfan nekom skupu skupova sa relacijom poretka. Ovo nije slučajnost već pravilo. Naime nije teško dokazati da je svaki uređeni skup uvijek izomorfan sa nekim skupom skupova uređenim relacijom inkluzije. Jedan takav izomorfizam moguće je lako formirati eksplicitno. Konkretno uređeni skup (X ) gdje je ma kakva relacija poretka izomorfan je sa uređenim skupom (S ) gdje je skup S skup skupova dat kao Pri tome je traženi izomorfizam dat kao S = {S S = { X } X} ( ) = { X }. 6

7 što je vrlo jednostavno pokazati. Intuitivno iskazano svakom elementu skupa X pridružuje se skup svih elemenata koji su ispred njega u odnosu na razmatranu relaciju poretka (uključujući i njega samog). Na primjer skup A = { } uređen relacijom izomorfan je sa skupom skupova S = {{1} {1 2} {1 3} {1 5} { } { } { } { }} uređenim relacijom inkluzije. Očigledno elementi skupa S su skupovi svih djelilaca odgovarajućih elemenata iz skupa A. Međutim iz prethodnih primjera je jasno da ovo nije najjednostavniji skup skupova uređen relacijom inkluzije koji je izomorfan sa uređenim skupom (A ). Recimo sljedeći skup S = { {2} {3} {5} {2 3} {2 5} {3 5} {2 3 5}} uređen relacijom inkluzije također je izomorfan sa uređenim skupom (A ) a mnogo je jednostavniji od skupa S. Ovdje su elementi skupa S skupovi svih prostih djelilaca (a ne svih djelilaca) odgovarajućih elemenata iz skupa A (sami utvrdite kako izgleda izomorfizam u ovom slučaju). Neka je dat uređeni skup (X ) i neka je relacija strogog poretka koja odgovara relaciji poretka (tj. prema kojoj je ako i samo ako je i ). Skup svih elemenata X za koje vrijedi naziva se segment sa krajevima i (u odnosu na razmatrani uređeni skup) dok se skup svih elemenata x za koje vrijedi naziva interval sa krajevima a i b. Segment odnosno interval sa krajevima a i b obilježavaju se respektivno sa [.. ] i (.. ). Formalno zapisano imamo [.. ] = { X } (.. ) = { X } Umjesto oznaka [.. ] i (.. ) mogu se koristiti i oznake [ ] odnosno ( ) ali samo ako ne postoji opasnost brkanja sa obilježavanjem uređenih parova s obzirom da se oznaka ( ) koristi i za tu svrhu. Važno je uočiti da su pojmovi segmenta i intervala relativni u odnosu na zadani uređeni skup (klasične definicije segmenta i intervala iz matematičke analize odnose se na uređeni skup (R )). Recimo primjeri nekih segmenata i intervala u uređenom skupu (N ) gdje je relacija biti djelilac od glase [5.. 50] = { N : 5 50} = { } [ ] = { N : 10 30} = {10 30} [ ] = { N : 15 25} = [ ] = { N : 15 60} = { } (5.. 50) = { N : } = {10 25} ( ) = { N : } = ( ) = { N : } = ( ) = { N : } = {30} Ovdje je za specifikaciju elemenata skupa umjesto znaka upotrijebljen znak : (što se inače ponekad radi) da se izbjegne brkanje sa istom oznakom koja se koristi za relaciju biti djelilac od. Iz ovog primjera možemo vidjeti neke osobine koje mogu iznenaditi nekoga ko je navikao da posmatra segmente i intervale samo u uređenom skupu (R ). Recimo mnoge će iznenaditi da je segment [ ] prazan jer bi očekivali da on sadrži barem svoje granice 5 i 5. Istina je da u općem slučaju segment ne mora sadržavati svoje granice (interval ih nikada ne sadrži što nije neočekivano). Za uređen skup u kojem je svaki segment konačan skup kažemo da je lokalno konačan. Drugim riječima skup je lokalno konačan ukoliko između svaka dva elementa imamo samo konačno mnogo elemenata. Jasno je da je svaki konačan skup uvijek i lokalno konačan neovisno od uvedenog poretka. Međutim čak i beskonačni skupovi mogu biti lokalno konačni. Na primjer uređeni skup (N ) gdje je klasična relacija poretka biti manji ili jednak predstavlja primjer lokalno konačnog skupa. Ipak osobina lokalne konačnosti u beskonačnim skupovima bitno zavisi od pripadne relacije poretka. Na primjer skup N neće biti lokalno konačan ukoliko ga uredimo takvom relacijom poretka prema kojoj su svi neparni brojevi ispred svih parnih brojeva. 7

8 Neka je (X ) neki uređen skup. Za element kažemo da je najmanji ili prvi element (ili samo minimum) uređenog skupa (X ) ukoliko se on nalazi ispred svih ostalih elemenata odnosno ukoliko vrijedi za svako X. Slično za element kažemo da je najveći ili posljednji element (ili samo maksimum) uređenog skupa (X ) ukoliko se on nalazi iza svih ostalih elemenata odnosno ukoliko vrijedi za svako X. Dalje za element x kažemo da je minimalni element uređenog skupa (X ) ukoliko ne postoji element koji se nalazi ispred njega odnosno ukoliko ne postoji X ( ) takav da je. Slično element je maksimalni element uređenog skupa (X ) ukoliko ne postoji element koji se nalazi iza njega odnosno ukoliko ne postoji X ( ) takav da je. Razumije se da su svi ovi pojmovi relativni odnosno da zavise od uvedenog poretka. Treba praviti razliku između najmanjeg i minimalnog elementa (tj. između minimuma i minimalnog elementa) kao i između najvećeg i maksimalnog elementa (tj. između maksimuma i maksimalnog elementa). U slučaju relacija potpunog poretka ovi pojmovi se poklapaju međutim kod relacija parcijalnog poretka postoje razlike. Svaki najmanji element je uvijek minimalan i svaki najveći element je uvijek maksimalan ali obrnuto ne mora vrijediti. Također najmanji i najveći elementi su ukoliko postoje jedinstveni međutim minimalni i maksimalni elementi ne moraju biti. Na primjer za uređeni skup (A ) gdje je A = { } element 1 je i najmanji i minimalni element dok je 30 i najveći i maksimalni element. S druge strane za uređeni skup (B ) gdje je B = { } elementi 3 i 5 su minimalni a elementi 6 i 5 maksimalni dok najveći i najmanji elementi ne postoje. Ovo postaje jasnije ukoliko prikažemo Hasseov dijagram za ovaj uređeni skup: Može se dokazati da najmanji element (minimum) može postojati samo ako je minimalni element jedinstven (pri čemu ako postoji on je jednak tom minimalnom elementu). Međutim čak i ako je minimalni element jedinstven to još uvijek nije garancija da najmanji element postoji. Slično vrijedi za odnos između najvećeg elementa (maksimuma) i maksimalnog elementa. Recimo da bismo pokazali da može postojati jedinstveni minimalni element a da najmanji element ne postoji možemo napraviti takvu relaciju čiji Hesseov dijagram ima više lanaca u pravcu u kojem se elementi smanjuju ali takvih da je od svih tih lanaca samo jedan konačne dužine (i on se završava minimalnim elementom) dok su svi ostali beskonačne duzine tako da na njihovom kraju nema minimalnog elementa. Na taj način će biti samo jedan minimalni element ali koji nije najmanji jer nije manji od onih elemenata u ostalim lancima. Kao konkretan primjer uzmimo skup negativnih cijelih brojeva klasično uređen relacijom < tj.... < 3 < 2 < i dodajmo u njega neki dodatni element recimo za koji ćemo definirati da je < i da pored toga nije uporediv niti sa jednim drugim elementom. Tada je jedinstveni minimalni element koji nije ujedno i najmanji element. Neka je (X ) uređeni skup. U skup X možemo uvesti relaciju poretka tako što ćemo definirati da je (... ) (... ) ako i samo ako za neki indeks = 1.. vrijedi da je i = za sve vrijednosti <. Takav poredak nazivamo leksikografski poredak (s obzirom da tako definiramo abecedni poredak riječi u rječnicima posmatrano u odnosu na osnovni abecedni poredak slova). Na primjer u skupu X imamo ( ) ( ) ako je ili ako je = i ili ako je = i = i. Za relaciju potpunog poretka kažemo da je diskretna (odnosno relacija diskretnog poretka) ukoliko svaki element koji nije prvi ima neposrednog prethodnika i ukoliko svaki element koji nije posljednji ima neposrednog sljedbenika. Uređeni skup u kojem je relacija poretka diskretna nazivamo diskretno uređen skup. Na primjer skupovi N i Z su diskretno uređeni u odnosu na relaciju poretka < koja je u njima relacija diskretnog poretka. Skup Q nije diskretno uređen u odnosu na relaciju poretka < mada ćemo uskoro pokazati da je i u ovom skupu također moguće uvesti diskretnu relaciju poretka uz pomoć koje i on može postati diskretno uređen iako je takva relacija poretka daleko od prirodne (moguće je uvesti diskretan poredak čak i u skup R isto pomoću neke neprirodne relacije). Lako je uočiti da je u konačnim skupovima svaka relacija poretka uvijek relacija diskretnog poretka. Također u lokalno konačnim skupovima pripadna relacija poretka je uvijek relacija diskretnog poretka. Međutim svaki diskretno uređeni skup nije uvijek i lokalno konačan. Recimo nije teško pokazati da skup Z Z uređen leksikografskim poretkom predstavlja diskretno uređeni skup ali koji nije lokalno konačan. 8

9 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Za uređeni skup (X ) kažemo da je dobro uređen ukoliko svaki njegov neprazan podskup ima najmanji element. Na primjer uređeni skup (ℕ ) je dobro uređen dok uređeni skup (ℤ ) nije dobro uređen s obzirom da njegov podskup { ℤ < } nema najmanji element. S druge strane uređeni skup (ℤ ) gdje je nešto drugačija (nestandardna) relacija poretka prema kojoj se alternativno izmjenjuju pozitivni i negativni brojevi tj. za koju vrijedi jeste dobro uređen. Na osnovu aksioma izbora kojeg smo već pominjali i koji se javlja već i u naivnoj teoriji skupova može se dokazati da se u svaki skup može uvesti relacija poretka takva da on postane dobro uređen skup (odnosno da se svaki skup može dobro urediti). Međutim taj dokaz je egzistencijalan a ne konstruktivan odnosno dokaz ne nudi nikakav efektivan postupak kako bi se takva relacija poretka zaista mogla konstruisati za proizvoljno zadani skup. S obzirom da do danas nije pronađen nikakav efektivan postupak kako bi se mogao dobro urediti recimo skup realnih brojeva ℝ (niti iko ima i najmanju ideju kako bi se to zaista moglo učiniti) to je jedan od razloga (pored još nekih drugih) zbog kojeg su danas mnogi spremni da posumnjaju u osnovanost aksioma izbora koji se doima gotovo očiglednim. Izvjesni matematičari vjeruju da aksiom izbora vrijedi samo za ne previše velike skupove (tačnije za sve konačne skupove i tzv. prebrojivo beskonačne skupove o kojima ćemo kasnije govoriti). Neka je (X ) uređen skup i neka je A X neki njegov podskup. Za element X kažemo da je gornja granica (majoranta) skupa A ukoliko je za svako A (tj. ukoliko su svi elementi skupa A ispred njega). Slično element X je donja granica (minoranta) skupa A ukoliko je za svako A. Najmanji element skupa svih gornjih granica (u odnosu na posmatranu relaciju poretka) naziva se supremum skupa A (u oznaci sup A) dok se najveći element skupa svih donjih granica naziva infimum skupa A (u oznaci inf A). Jasno je da je najveći element skupa A ukoliko postoji ujedno i njegov supremum dok je njegov najmanji element ukoliko postoji ujedno i njegov infimum. Također ukoliko je sup A A tada je sup A ujedno i najveći element skupa A a ukoliko je inf A A tada je inf A ujedno i najmanji element skupa A. Međutim supremum i infimum skupa mogu postojati i u slučaju kada skup nema najveći odnosno najmanji element. Također u općem slučaju vrijedi sup A A i inf A A. Na primjer za uređeni skup (ℝ ) i skup A = { ℝ 1 < < } najmanji i najveći element skupa A ne postoji dok vrijedi inf A = 1 i sup A =. Također imamo 1 A i 1 A. Razumije se da su svi uvedeni pojmovi relativni u odnosu na izabrani poredak. Recimo neka je dat uređeni skup (ℕ ) i njegov podskup A = { }. Donje granice skupa A su svi elementi iz ℕ koji su ispred elemenata skupa A (u odnosu na usvojeni poredak) tj. elementi za koje je i 5. Drugim riječima to su zajednički djelioci od i 25 a to su samo 1 i 5. Gornje granice skupa A su svi elementi ℕ koji su iza od elemenata skupa A (ponovo u odnosu na usvojeni poredak) tj. elementi x za koje je i 25 a to su broj 100 i svi njegovi umnošci. Stoga je: inf A = max {1 5} = 5 sup A = min { } = 100 Generaliziranjem ovog primjera možemo zaključiti da su za ovakav poredak inf A i sup A ono što se obično naziva najveći zajednički djelilac i najmanji zajednički sadržilac elemenata iz skupa A. Treba obratiti pažnju da se max i min također računaju u odnosu na usvojeni poredak. Maksimum skupa {1 5} je 5 ne zato što je < 5 nego što je 5. Isto tako minimum skupa { } je 100 zbog toga što je itd. Ovdje se slučajno dogodilo da se isti rezultat dobija i kada se maksimum i minimum računaju u klasičnom smislu tj. u odnosu na relaciju <. U nekim primjenama je korisno razmatrati i generalizacije relacija poretka koje se nazivaju relacije kvaziporetka poznate još i kao relacije pretporetka odnosno praporetka (engl. preorder). Od ovih relacija zahtijeva se samo da budu refleksivne i tranzitivne ali ne moraju nužno biti niti simetrične niti antisimetrične. Tako relacije kvaziporetka uopćavaju kako relacije parcijalnog poretka tako i relacije ekvivalencije. Zbog toga se za njih obično koristi oznaka. Relacije kvaziporetka razlikuju se od relacija poretka što je moguće da bude i čak i kad je. Na primjer ukoliko u skup ℝ uvedemo relaciju takvu da vrijedi ( ) ( ) ako i samo ako je tada nije relacija poretka ali jeste relacija kvaziporetka. Slično uvedemo li u skup kompleksnih brojeva relaciju prema kojoj je ako i samo ako je takva relacija nije relacija poretka ali jeste kvaziporetka (za dva različita kompleksna broja i koji imaju isti modul istovremeno vrijedi i i ) Još jedan primjer relacije kvaziporetka koja nije relacija poretka je relacija u nekom grafu (streličastom dijagramu) po kojoj za čvorove P i Q vrijedi P Q ako i samo ako postoji put od čvora P do čvora Q (u toj relaciji istovremeno vrijedi P Q i Q P kad god između čvorova P i Q postoji put u oba smjera). 9

10 Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Relacije kvaziporetka također mogu biti djelimične ili potpune ovisno da li postoje ili ne postoje parovi neuporedivih elemenata (tj. takvih da ne vrijedi niti niti ). Svakoj relaciji kvaziporetka u nekom skupu X može se pridružiti jedna relacija ekvivalencije po kojoj je ~ ako i samo ako je y i (tada kažemo da su i kvaziekvivalentni u odnosu na relaciju ). Sada ako ukoliko posmatramo faktor-skup X /~ u odnosu na tako definiranu relaciju ekvivalencije i definiramo relaciju uzimajući da je [ ] [ ] ako i samo ako je tako definirana relacija postaje relacija poretka u skupu X /~ (nije teško vidjeti da ova definicija ne ovisi o izboru konkretnih predstavnika i klasa [ ] i [ ]). Na taj način se svakoj relaciji kvaziporetka uvijek može pridružiti odgovarajuća relacija poretka. Intuitivno rečeno za tako pridruženu relaciju poretka ne postoji razlika između onih elemenata i za koje istovremeno vrijedi i i. Recimo za ranije navedeni primjer relacije kvaziporetka u skupu kompleksnih brojeva klase kvaziekvivalentnih brojeva čine svi brojevi čiji su moduli jednaki. Između takvih klasa lako se uspostavlja klasični poredak tako što se definira da je jedna klasa manja ili jednaka od druge ako i samo ako je modul ma kojeg elementa prve klase manji ili jedna od modula ma kojeg elementa druge klase. n-arne relacije i relacione baze podataka Recimo sada nešto i o operacijama sa -arnim relacijama. Klasične operacije sa skupovima poput unije presjeka itd. primjenljive su i na -arne relacije ali postoje i posebne operacije namijenjene isključivo za rad sa -arnim relacijama. Najvažnije takve operacije su Descartesov (Kartezijev) proizvod količnik projekcija selekcija α-spajanje i prirodno spajanje. Ove operacije iskoristio je E. F. Codd za razvoj modela relacionih baza podataka koji spada u najviše korištene modele za opisivanje baza podataka u savremenim računarskim naukama. Kao posljedica toga izvjesni programski jezici (poput jezika SQL koji je najpoznatiji jezik za rad sa relacionim bazama podataka) direktno su zasnovani na konceptu -arnih relacija i operacijama sa njima. Napomenimo da se u terminologiji relacionih baza podataka individualne koordinate pojedinih elemenata relacija nazivaju atributi a skupovi iz kojih atributi uzimaju vrijednosti nazivaju se domeni atributa. Također specifične operacije nad relacijama obično se nazivaju upiti (engl. queries) s obzirom da se pomoću njih izdvajaju informacije pohranjene u bazi podataka. Definirajmo prvo Descartesov proizvod relacija. Neka su date dvije relacije ℛ A A... A i ℛ B B... B. Njihov Descartesov proizvod ℛ ℛ dat je pomoću izraza ℛ ℛ = {( ) (... ) ℛ (... ) ℛ } Na primjer neka su zadane (ternarne) relacije ℛ = {(1 2 3) (4 1 6) (3 2 4)} i ℛ = {(2 7 1) (4 1 6)}. Tada je ℛ ℛ = {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Ova definicija Descartesovog proizvoda relacija nije u potpunosti ekvivalentna definiciji Descartesovog proizvoda skupova s obzirom da je ( ) ((... ) (... )). S druge strane ovakva modificirana definicija je znatno pogodnija za praktične primjene. Količnik relacija ℛ i ℛ u oznaci ℛ ℛ je relacija ℛ takva da vrijedi ℛ ℛ = ℛ ukoliko takva relacija postoji. Projekcija (ℛ)relacije ℛ na skup koordinata koji je određen indeksima i j k... predstavlja m-arnu relaciju definiranu izrazom (ℛ) = {(... ) (... ) ℛ} Na primjer za relaciju ℛ iz prethodnog primjera imamo: (ℛ ) = {(1 3) (4 6) (3 4)} (ℛ ) = {1 4 3} (ℛ ) = {2 1} Neka je P(... ) neko svojstvo (predikat) koje koordinate relacije ℛ mogu ali ne moraju da posjeduju. Selekcija (ℛ) relacije ℛ u odnosu na svojstvo P data je kao 10

11 (R) = {(... ) (... ) R P(... )} Drugim riječima (R) predstavlja podskup skupa R sastavljen od onih elemenata relacije R koji ispunjavaju svojstvo P. Na primjer za relaciju R 1 iz prethodnog primjera imamo: # (R )= {(1 2 3) (3 2 4)} # # (R ) = {(4 1 6)} Ovdje je iskorištena često korištena konvencija da se argumenti predikata koji je opisan nekim izrazom nazivaju prosto # # # itd. da se izbjegnu pretpostavke o tome kako se ti argumenti zaista zovu Tako je # prva koordinata relacije # druga koordinata itd. α-spajanje relacija R i R u odnosu na koordinate u oznaci R R R # # = # # (R R ) R # # definira se izrazom pri čemu je broj koordinata relacije R dok je α neka binarna relacija između -te koordinate relacije R i -te koordinate relacije R. Na primjer za relacije R i R iz prethodnog primjera imamo: R # # R = {( ) ( ) ( ) ( )} Intuitivno rečeno ovako formirana relacija sadrži samo one kombinacije uređenih trojki iz relacija R i R kod kojih je treća koordinata uređene trojke iz relacije R veća od prve koordinate uređene trojke iz relacije R što i izražava uvjet # > #. Konačno definiraćemo još i prirodno spajanje relacija R i R u oznaci R R. Prirodno spajanje je definirano samo za relacije R i R kod kojih se neke koordinate iz R i neke koordinate iz R popunjavaju iz istih skupova kao na primjer za relacije R A A A i R A A A date kao R = {( ) ( ) ( ) ( )} i R = {( ) ( ) ( )}. Da bi se dobila relacija R R prvo se formira Descartesov proizvod R R. Od dobijenih -torki uzimaju se samo one koje se poklapaju u koordinatama iz R i R koje uzimaju vrijednosti iz istih skupova. Na ovaj način su neke koordinate postale identične u svim -torkama pa se one izbacuju da ne bi bilo nepotrebnih ponavljanja. Za dati primjer relacija R R je podskup od A A A A a data je kao R R = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Za potrebe razumijevanja relacionih modela baza podataka potrebno je još uvesti i još i pojmove funkcionalnih zavisnosti i ključeva kod -arnih relacija. Neka su X i Y neki skupovi koordinata relacije R. Kažemo da skup X funkcijski određuje skup Y u oznaci X Y ukoliko ne postoje dvije -torke iz R koje se poklapaju u koordinatama skupa X a razlikuju u bar jednoj koordinati skupa Y. Na primjer neka je data relacija R = {( ) ( ) ( ) ( )} pri čemu je R A A A A. Kod ove relacije važe funkcionalne zavisnosti {A A } {A } {A A } {A } itd. Ključ relacije R je svaki skup X njenih koordinata za koji važi X {A A... A }. Značaj ključa sastoji se u tome što se sve -torke u relaciji mogu jednoznačno identificirati samo na osnovu ključa. Na primjer skup {A A } čini ključ prethodne relacije. Operacije sa -arnim relacijama i njihovu primjenu demonstriraćemo na nekoliko praktičnih primjera. Neka je data sljedeća tablica koja sadrži podatke o studentima nekog fakulteta: Indeks Prezime Ime Grad Kanton Godina Prosjek Mehić Meho Zenica ZDK Perić Pero Mostar HNK Jović Jovo Doboj RS Selmić Selma Konjic HNK Perić Jozo Žepče ZDK Bajrić Bajro Prijedor RS Anić Ana Travnik SBK Vasić Vaso Zenica ZDK Husić Meho Travnik SBK

12 Ova tabela može se modelirati kao 7-arna relacija (nazovimo je recimo konkretnijim imenom Studenti umjesto bezličnog imena poput R): Studenti = {(13288 Mehić Meho Zenica ZDK ) (14121 Perić Pero Mostar HNK ) (12988 Jović Jovo Doboj RS ) (14642 Selmić Selma Konjic HNK ) (13189 Perić Jozo Žepče ZDK ) (13578 Bajrić Bajro Prijedor RS ) (14005 Anić Ana Travnik SBK ) (12844 Vasić Vaso Zenica ZDK ) (13691 Husić Meho Travnik SBK )} Pretpostavimo sada da nas ne zanimaju svi podaci u tabeli nego samo informacije o imenu i prezimenu godini studiranja i prosjeku za svakog studenta. Ove informacije možemo dobiti primjenom operacije projekcije na ovu relaciju u odnosu na tražene koordinate (atribute) kao u sljedećem upitu u kojem smo umjesto bezličnih rednih brojeva atributa upotrijebili njihova simbolička imena (npr. Prezime umjesto ): Prezime me odina Prosjek (Studenti) = {(Mehić Meho ) (Perić Pero ) (Jović Jovo ) (Selmić Selma ) (Perić Jozo ) (Bajrić Bajro ) (Anić Ana ) (Vasić Vaso ) (Husić Meho )} Ilustracije radi ukoliko zanemarimo detalje o tome kako bismo unijeli relaciju Studenti u bazu podataka u programskom jeziku SQL prikazani efekat projekcije postigli bismo pomoću naredbe SELECT Prezime Ime Godina Prosjek FROM Studenti Pretpostavimo sada da smo operaciju projekcije primijenili da izdvojimo informacije o gradovima i pripadnim kantonima prisutne u relaciji Studenti. Kao rezultat dobićemo sljedeće informacije: rad anton(studenti) = {(Zenica ZDK) (Mostar HNK) (Doboj RS) (Konjic HNK) (Žepče ZDK) (Prijedor RS) (Travnik SBK)} Interesantno je da smo dobili rezultat koji sadrži 7 a ne 9 parova. Međutim dvije informacije se ponavljaju (parovi (Zenica ZDK) i (Travnik SBK)) a kako su relacije skupovi suvišna pojavljivanja elemenata se ignoriraju. Isti efekat dobili bismo u jeziku SQL primjenim naredbe SELECT DISTINCT Grad Kanton FROM Studenti Riječ DISTINCT naglašava da ne želimo dupliranja elemenata što je bitno jer se to u jeziku SQL inače ne podrazumijeva. Neka nas sad zanimaju informacije o svim studentima koji su na trećoj ili višoj godini studija. Te informacije možemo dobiti koristeći operaciju selekcije: odina (Studenti) = {(13288 Mehić Meho Zenica ZDK ) (14642 Selmić Selma Konjic HNK ) (13578 Bajrić Bajro Prijedor RS ) (12844 Vasić Vaso Zenica ZDK ) (13691 Husić Meho Travnik SBK )} Ponovo smo umjesto bezlične oznake poput # 6 upotrijebili simboličko ime atributa Godina. U jeziku SQL istu informaciju dobijamo pomoću naredbe SELECT * FROM Studenti WHERE Godina >= 3 Ukoliko nas zanimaju ne sve informacije o studentima treće ili viših godina studija nego recimo samo njihova imena i prezimena na rezultat prethodne selekcije možemo primijeniti operaciju projekcije sa ciljem da izdvojimo samo željene informacije kao u sljedećoj konstrukciji: 12