Pellova jednadžba. Pell s equation
|
|
- Aileen O’Brien’
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Osječki matematički list 8(2008), STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove jednadžbe x 2 dy 2 =1te njenu usku povezanost sa diofantskim aproksimacijama i verižnim razlomcima. Ključne riječi: Pellova jednadžba, verižni razlomak Pell s equation Abstract. This article contains solved examples and problems which are reduced to the study of the set of solutions of Pell s equation x 2 dy 2 =1and their tight connection to diophantine approximation and continued fractions. 1. Uvod Key words: Pell s equation, continued fraction Algebarska jednadžba dvijuili više varijabli s cjelobrojnim koeficijentima kod koje se traže cjelobrojna ili racionalna rješenja naziva se diofantska jednadžba. Diofantska jednadžba x 2 dy 2 =1 (1) gdje je d prirodan broj koji nije potpun kvadrat, naziva se Pellova jednadžba. Ako je d potpun kvadrat, tj. d = c 2, c Z onda iz slijedi x 2 dy 2 =(x cy)(x + cy) =1 (x cy) =(x + cy) =±1. Utomslučaju imamo trivijalna rješenja x = ±1, y =0. Jednadžba je dobila ime po engleskom matematičaru Johnu Pellu ( ) studentica Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, HR Osijek, imandic@mathos.hr Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, HR Osijek, isoldo@mathos.hr
2 30 Pellova jednadžba kojemu je Leonhard Euler ( ), po svemu sudeći, pogrešno pripisao zasluge za njezino rješavanje. Neke pojedinačne jednadžbe ovog tipa nalaze se u tekstovima starogrčkih matematičara Arhimeda (287. pr. Kr pr. Kr.) i Diofanta (200. po. Kr po. Kr.). Ipak, prvi su ih sustavno proučavali srednjovjekovni indijski matematičari. Europski matematičari koji su dali metode za rješavanje Pellovih jednadžbi su Pierre de Fermat ( ), Leonhard Euler ( ) i Joseph Louis Lagrange ( ) koji je prvi dao i strogi dokaz korektnosti predložene metode. U članku ćemo pokazati neke primjere i probleme koji se svode na rješavanje Pellove jednadžbe. 2. Pellova jednadžba x 2 dy 2 =1 Pri rješavanju Pellove jednadžbe prirodno je pitati se koliko ona ima rješenja. Neka je S = {(x n,y n ):n, x n,y n N} skup rješenja Pellove jednadžbe. Ured eni par (x 1,y 1 ), x 1 = min {x n : x n N}, y 1 = min {y n : y n N} koji zadovoljava jednadžbu (1) zove se njeno fundamentalno rješenje. Tojenajmanjerješenje te iste jednadžbe u prirodnim brojevima. Ponekad ga označavamo i x 1 + y 1 d. Sljedeći teorem daje nam broj rješenja i odnos fundamentalnog i svih drugih rješenja Pellove jednadžbe (1). Teorem 1. Pellova jednadžba x 2 dy 2 =1ima beskonačno mnogo rješenja. Ako je (x 1,y 1 ) njeno fundamentalno rješenje, onda su sva rješenja ove jednadžbe u prirodnim brojevima dana sa x n + y n d =(x1 + y 1 d) n, n N. (2) Dokaz teorema može se pronaći u [1]. Primjer 1. Nad ite sva rješenja Pellove jednadžbe x 2 3y 2 =1. Fundamentalno rješenje Pellove jednadžbe x 2 3y 2 =1je(x 1,y 1 ) = (2, 1). Prema Teoremu 2.1 sva rješenja dana su sa x n + y n 3=(2+ 3) n, n N pa jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja u N. Iz (2) lako dobivamo (x n+1 + y n+1 d)(x1 + y 1 d) = xn+2 + y n+2 d, (x n+1 + y n+1 d)(x1 y 1 d) = xn + y n d. Sada izjednačavanjem slobodnih članova imamo x n+2 = x 1 x n+1 + dy 1 y n+1, x n = x 1 x n+1 dy 1 y n+1, odakle zbrajanjem dobivamo rekurziju x n+2 =2x 1 x n+1 x n. Analognim računom, tj. izjednačavanjem članova uz d i zbrajanjem dobivamo rekurziju y n+2 =2x 1 y n+1 y n.započetnu iteraciju uzima se trivijalno rješenje jednadžbe (1), (x 0,y 0 )=(1, 0).
3 Ivona Mandić, Ivan Soldo 31 Zadatak 1. Neka je (x n,y n ) rastući niz rješenja Pellove jednadžbe (1) u prirodnim brojevima. Pokažite da za sve prirodne brojeve m, n vrijedi x n+m = x m x n + dy m y n, y n+m = x m y n + y m x n, x 2m = 1 ( xm + dy ) m. y 2m 2 y m x m Dokaz provedimo indukcijom po m. Uvrštavanjem m = 1 u prve dvije jednakosti dobivamo x n+1 = x 1 x n + dy 1 y n, y n+1 = x 1 y n + y 1 x n. Prema prethodnom računu, izjednačavanjem slobodnih članova i članova uz d, gornje jednakosti vrijede za svaki prirodni broj n. Pretpostavimo da jednakosti vrijede za m = k, tj. x n+k = x k x n + dy k y n, y n+k = x k y n + y k x n. Pokažimo istinitost za m = k + 1. Koristeći rezultate baze i pretpostavke indukcije slijedi x n+k+1 = x 1 x n+k + dy 1 y n+k = x 1 (x k x n + dy k y n )+dy 1 (x k y n + y k x n ). Množenjem i grupiranjem članova dobivamo x n+k+1 = x n (x 1 x k + dy 1 y k )+dy n (x 1 y k + y 1 x k )=x k+1 x n + dy k+1 y n. Time je dokazana prva jednakost. Analognim računom lako se pokaže i istinitost druge jednakosti, tj. y n+k+1 = x k+1 y n + y k+1 x n. Posljednju jednakost dobivamo dijeljenjem prve jednakosti drugom, uz uvjet m = n. x 2m = x mx m + dy m y m = 1 ( xm + dy ) m. y 2m 2x m y m 2 y m x m Zadatak 2. Neka su m i d proizvoljni prirodni brojevi i d nije potpun kvadrat. Pokažite da postoji beskonačno mnogo rješenja Pellove jednadžbe x 2 dy 2 =1pri čemu je y djeljiv s m. Neka je y djeljiv s m. To znači da postoji k Z takav da je y = mk, m N. Trebamo pokazati da Pellova jednadžba x 2 dy 2 = 1 uz taj uvjet ima beskonačno mnogo rješenja. Uvrštavanjem dobivamo jednadžbu x 2 d(mk) 2 = 1.
4 32 Pellova jednadžba Sada, kvadriranjem i grupiranjem imamo x 2 (dk 2 )m 2 = 1. Označimo d := dk 2. Dobivamo jednadžbu x 2 d m 2 =1, (3) d nije potpun kvadrat ( jer d nije potpun kvadrat ). Primjenom Teorema 2.1 jednadžba (3) ima beskonačno mnogo rješenja u N. Time je tvrdnja zadatka u potpunosti pokazana. Zadatak 3. Pokažite da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n sa svojstvom da je suma prvih n prirodnih brojeva jednaka kvadratu nekog prirodnog broja. Nad ite barem 2 prirodna broja s tim svojstvom. Vrijedi n i = m 2, tj. i=1 n(n +1) 2 Sada, množenjem s 8 dobivamo = m 2. Svod enjem na potpuni kvadrat imamo odnosno 4n 2 +4n = 8m 2. (2n +1) 2 1 = 8m 2, (2n +1) 2 8m 2 = 1. Uvedimo supstituciju x = 2n + 1, y = m. Sada se problem svodi na odred ivanje broja rješenja Pellove jednadžbe x 2 8y 2 =1. Prema Teoremu 2.1 gornja jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja u N. Fundamentalno rješenje je očito (x 1,y 1 )=(3, 1). Stoga iz 2n 1 +1 =x 1 slijedi n 1 =1, m 1 = 1. Zaista, vrijedi 1 = 1 2. Sva rješenja jednadžbe x 2 8y 2 = 1 dana su sa x k + y k 8=(3+ 8) k, k N.
5 Ivona Mandić, Ivan Soldo 33 Nekajenpr.k=2.Sadaje x 2 + y 2 8=(3+ 8) 2 = Stoga je 2n 2 +1 = x 2 =17pajen 2 =8,m 2 = 6. Zaista, vrijedi 8 i=1 i =62. Analogno, možemo pronaći beskonačno mnogo parova (n, m) takodaje n i=1 i = m 2. Teorem 2.1 nam pokazuje kako možemo generirati sva rješenja Pellove jednadžbe x 2 dy 2 = 1 ukoliko znamo njeno fundamentalno rješenje. Med utim, pitanje je kako naći to fundamentalno rješenje? Jedna mogućnost je uvrštavajući redom y = 1, 2, 3,... iprovjeravajući je li dy potpun kvadrat. No, već izarelativno male d - ove fundamentalno rješenje može biti vrlo veliko. Primjerice, za d =94 fundamentalno rješenje je Stoga je potrebno naći efikasniji način za nalaženje fundamentalnog rješenja. Jedan način nalaženja fundamentalnog rješenja je korištenje verižnih razlomaka. Naime, svako netrivijalno rješenje jednadžbe x 2 dy 2 = 1 inducira jako dobru aproksimaciju iracionalnog broja d. Zaista, x d y = x y d y = x y d y x + y d x + y d = x 2 dy 2 xy + y 2 d = 1 y x + y d < 1 2 dy. 2 Poznato je da se sve jako dobre racionalne aproksimacije realnog broja mogu dobiti iz njegovog razvoja u verižni razlomak. Neka je α R. Izraz oblika α = a a a 2 + gdje su a 0 Z, a 1,a 2, N, zoveserazvojbrojaα u jednostavni verižni razlomak. Verižni razlomak kraće zapisujemo u obliku [a 0 ; a 1,a 2,...]. Brojevi a 0,a 1,... zovu se parcijalni kvocijenti i definiraju se s: a 0 = α,α= a α 1,a 1 = α 1,α 1 = a α 2,... Postupak se nastavlja sve dok je a k α k. Razvoj u jednostavni verižni razlomak broja α je konačan ako i samo ako je α racionalan broj. Racionalne brojeve p k 1 = a 0 + q k a 1 + a =[a 0 ; a 1,...,a k ] a k...
6 34 Pellova jednadžba Brojnici i nazivnici konvergenti zadovol- zovemo konvergente verižnog razlomka. javaju sljedeće rekurzije: p n+2 = a n+2 p n+1 + p n, p 0 = a 0,p 1 = a 0 a 1 +1, (p 1 =1,p 2 =0), (4) q n+2 = a n+2 q n+1 + q n,q 0 =1,q 1 = a 1, (q 1 =0,p 2 =1). (5) Za svako rješenje Pellove jednadžbe x 2 dy 2 =1, x y je neka konvergenta u razvoju od d uverižni razlomak. Broj d je kvadratna iracionalnost pa mu je razvoj periodičan. On ima razvoj oblika d =[a0 ; a 1,a 2,...,a l 1, 2a 0 ] gdje je a 0 = d. Precizni rezultati i veze verižnih razlomaka s diofantskim aproksimacijama i jednadžbama mogu se naćiu[1]i[2]. Sada navedimo algoritam za razvoj kvadratnih iracionalnosti u verižni razlomak: Neka je α kvadratna iracionalnost. Prikažimo je u obliku α = s0+ d t 0 gdje su d, s 0,t 0 Z, t 0 0,d nije potpun kvadrat i t 0 (d s 2 0). Ako je α = d, onda je s 0 =0,t 0 =1. Brojevea i računamo rekurzivno na sljedeći način: a i = s i + a 0, s i+1 = a i t i s i, t i+1 = d s2 i+1. t i t i Može se pokazati da je razvoj u verižni razlomak periodičan i da je duljina perioda l(d) < 2d [vidi [1]]. Koristeći razvoj u verižni razlomak pokazuje se da Pellova jednadžba uvijek ima beskonačno rješenja. Bez dokaza navedimo sljedeći teorem: Teorem 2. Neka je l duljina perioda u razvoju d. Ako je l paran, sva rješenja od x 2 dy 2 =1dana su sa (x, y) =(p nl 1,q nl 1 ), n N. Posebno, fundamentalno rješenje je (p l 1,q l 1 ). Ako je l neparan, sva rješenja od x 2 dy 2 =1dana su sa (x, y) =(p 2nl 1,q 2nl 1 ), n N. Posebno, fundamentalno rješenje je (p 2l 1,q 2l 1 ). Primjer 2. Razvijte 15 u verižni razlomak. s 0 =0,t 0 =1,a 0 =3, s 1 = a 0 t 0 s 0 =3,t 1 = 15 s2 1 t 0 =6,a 1 = s1+a0 t 1 = =1, s 2 =3,t 2 =1,a 2 = =6, s 3 =3,t 3 =6. Vidimo da je (s 1,t 1 )=(s 3,t 3 )paje 15 = [3, 1, 6]. Primjer 3. Razvijte 29 u verižni razlomak. s 0 =0,t 0 =1,a 0 =5, s 1 = a 0 t 0 s 0 =5,t 1 = 29 s2 1 t 0 s 2 =3,t 2 =5,a 2 = =1, =4,a 1 = s1+a0 t 1 = =2,
7 Ivona Mandić, Ivan Soldo 35 s 3 =2,t 3 =5,a 3 = =1, s 4 =3,t 4 =4,a 4 = =2, s 5 =5,t 5 =1,a 5 = = 10, s 6 =5,t 6 =4. Jer je (s 1,t 1 )=(s 6,t 6 ), vrijedi 29 = [5, 2, 1, 1, 2, 10]. Zadatak 4. Nad ite sva rješenja jednadžbe x 2 15y 2 =1za koja je 1 <x< Prema prethodnom primjeru je 15 = [3, 1, 6]. Dakle, period l = 2 je paran. Najmanje rješenje jednadžbe x 2 15y 2 =1je(x 1,y 1 )=(4, 1). Nadalje je x 2 = 8 4 1=31,y 2 =8, x 3 = = 244, y 3 =63, x 4 je već veći od Prema tome, sva rješenja koja zadovoljavaju traženi uvjet su (x, y) =(4, 1), (31, 8), (244, 63). Zadatak 5. Nad ite najmanje rješenje jednadžbe x 2 29y 2 =1uprirodnim brojevima. Iz razvoja 29 u verižni razlomak očito je period l = 5 neparan. Prema tome fundamentalno rješenje jednadžbe je (x 1,y 1 )=(p 2l 1,q 2l 1 )=(p 9,q 9 ). Računamo: p 0 = a 0 =5,q 0 =1, p 1 = a 0 a = 11, q 1 = a 1 =2, p 2 = a 2 p 1 + p 0 = 16, q 2 = a 2 q 1 + q 0 =3, p 3 = a 3 p 2 + p 1 = 27, q 3 = a 3 q 2 + q 1 =5, p 4 = 70, q 4 = 13, p 5 = 727, q 5 = 135, p 6 = 1524, q 6 = 283, p 7 = 2251, q 7 = 418, p 8 = 3775, q 8 = 701, p 9 = 9801, q 9 = Stoga je najmanje rješenje (x 1,y 1 ) = (9801, 1820).
8 36 Pellova jednadžba Literatura [1] A. Dujella, Diofantske jednadžbe, Skripta, PMF - matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, [2] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, Skripta, PMF - matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, [3] N. P. Smart, The Algorithmic Resolution to Diophantine Equations, Cambridge University Press, 1998.
TEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationThe problem of Diophantus and Davenport
Mathematical Communications 2(1997), 153 160 153 The problem of Diophantus and Davenport Andrej Dujella Abstract. In this paper we describe the author s results concerning the problem of the existence
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationTHE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo
RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 8 = 59 (04): 5-5 THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( ) Zrinka Franušić and Ivan Soldo Abstract. We solve the problem of Diophantus for integers of the quadratic
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More information1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationPOLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationRacionalne Diofantove šestorke
Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationA B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationHarmonijski brojevi. Uvod
MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationRekurzivni algoritmi POGLAVLJE Algoritmi s rekurzijama
POGLAVLJE 8 Rekurzivni algoritmi U prošlom dijelu upoznali smo kako rekurzije možemo implementirati preko stogova, u ovom dijelu promotriti ćemo probleme koje se mogu izraziti na rekurzivan način Vremenska
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationMostovi Kaliningrada nekad i sada
Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationErdös-Mordellova nejednakost
Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman
More informationTHE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF. Zrinka Franušić and Ivan Soldo
THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( ) Zrinka Franušić and Ivan Soldo Abstract. We solve the problem of Diophantus for integers of the quadratic field Q( ) by finding a D()-quadruple in Z[( + )/]
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationCauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationIterativne metode za rješavanje linearnih sustava
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationHamiltonov ciklus i Eulerova tura
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationThe existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem
61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the
More informationLogika višeg reda i sustav Isabelle
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationA multidimensional generalization of the Steinhaus theorem
Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Egipatska matematika
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Ana Čalošević Egipatska matematika Završni rad Osijek, 03. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationBanach Tarskijev paradoks
Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationSHEME DIGITALNOG POTPISA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jelena Hunjadi SHEME DIGITALNOG POTPISA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, 2016. Ovaj diplomski
More information