Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
|
|
- Samson Gregory
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012.
2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Mentor: prof.dr.sc. Rudolf Scitovski Osijek, 2012.
3 Sadržaj Uvod 1 1 Povijesni pregled 2 2 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost CSB nejednakost za realne brojeve CSB nejednakost za kompleksne brojeve Primjena CSB nejednakosti Primjena CSB nejednakosti u geometriji Primjena CSB nejednakosti u vjerojatnosti CSB nejednakost i Heisenbergova relacija neodredenosti Biografije 19 Literatura 22 Sažetak 24 Summary 25 Životopis 26 i
4 Uvod Tema ovog diplomskog rada je Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost koja je u matematici poznata još kao Cauchyjeva nejednakost ili Schwarzova nejednakost ili Cauchy-Schwarzova nejednakost, skraćeno CSB nejednakost. Ime je dobila po matematičarima: Augustinu Louisu Cauchyju ( ), Viktoru Yakovlevichu Buniakowskom ( ) i Hermannu Amandusu Schwarzu ( ). Glavni cilj rada je pokazati povijesni put razvoja ove nejednakosti, njene dosege i primjene od jednostavnijih do složenijih primjera. U prvom dijelu prikazan je kratak povijesni pregled nastanka CSB nejednakosti. U drugom dijelu se uz uvodne definicije skalarnog produkta, norme i unitarnog prostora, nalaze odgovarajući teoremi o CSB nejednakosti u realnom i kompleksnom prostoru. U trećem dijelu su primjeri iz nekih područja u kojima se koristi CSB nejednakost, a to su geometrija, vjerojatnost i kvantna mehanika. Na kraju su biografije triju matematičara zahvaljujući kojima imamo ovu vrlo važnu i primjenjivu nejednakost. 1
5 Poglavlje 1 Povijesni pregled Francuski matematičar Augustin Louis Cauchy ( ) objavio je svoju nejednakost u knjizi Cours Analyse Algébrique koja je ujedno prvi svjetski strogo matematički tekst. [13] Cauchy svoju nejednakost nije često rabio osim u nekim ilustrativnim vježbama. Tek ozbiljno ju je uporabio u istraživanju Newtonove metode za izračunavanje korijena algebarskih i transcendentalnih jednadžbi. Cauchyjeva nejednakost bila je u obliku konačne sume ( ) 2 x k y k yk. 2 x 2 k Ruski matematičar V. J. Buniakowsky ( ) napisao je tu nejednakost u integralnom obliku b a ( b f(x)g(x)dx a ) 1 ( f 2 2 b ) 1 (x)dx g 2 2 (x)dx. a Buniakowsky je studirao u Parizu kod Cauchyja i dobro je poznavao njegov rad o nejednakostima. Ovaj oblik nejednakosti prvi puta se pojavio u njegovom djelu Mémoires koje je objavila Carska akademija znanosti u St. Petersburgu Iako su Mémoires štampani u Francuskoj, nisu bili rasprostranjeni širom zapadne Europe pa su bili nepoznati i njemačkom matematičaru H. A. Schwarzu ( ) koji je radio na svom fundamentalnom djelu o teoriji minimalne površine. Schwarz je imao potrebu za dvodimenzionalnim integralima analognim Cauchyjevoj nejednakosti. Trebao je pokazati da ako je S R 2 i f : S R i g : S R, tada dvostruki integrali A = f 2 dxdy, B = fgdxdy, C = g 2 dxdy, S S moraju zadovoljavati nejednakost B A C, pri čemu vrijedi stroga nejednakost osim ako su funkcije f i g proporcionalne. 2 S
6 Pristup ovom rezultatu preko Cauchyjeve nejednakosti bio je problematičan jer se strogost diskretne nejednakosti može izgubiti u ograničavajućem prijelazu prema integralima. Schwarz je tražio alternativni put i otkrio dokaz koji se i danas koristi. Istaknuo je da je realni polinom p(t) = (t f(x, y) + g(x, y)) 2 dxdy = At 2 + 2Bt + C, S uvijek nenegativan, tj. p(t) je strogo pozitivan osim ako su f i g proporcionalne. Tada koeficijenti moraju zadovoljavati B 2 AC, a osim ako su f i g proporcionalne, vrijedi stoga nejednakost B 2 < AC. Schwarz je ponovno otkrio Buniakowskyjev oblik nejednakosti, a dao je i opći oblik nejednakosti koristeći skalarni produkt vektora koji se i danas naziva Schwarzov oblik: (v, w) (v, v) 1 2 (w, w)
7 Poglavlje 2 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost 2.1. CSB nejednakost za realne brojeve Promatramo realni vektorski prostor R n. Definicija Skalarni produkt vektora x = (x 1,..., x n ) R n i y = (y 1,..., y n ) R n je realan broj koji označavamo s (x y) i definiramo kao konačnu sumu (x y) = x i y i. Funkciju (x y): R n R n R zovemo skalarni produkt u R n. Svojstva skalarnog produkta: (S1) (x x) 0 } (S2) (x x) = 0 x = 0 (pozitivna definitnost), (S3) (x y) = (y x) (simetričnost), (S4) (x + y z) = (x z) + (y z) (aditivnost u prvom argumentu), (S5) (λx y) = λ(x y) (homogenost u prvom argumentu). Zahvaljujući svojstvu (S1) pomoću skalarnog produkta možemo definirati normu vektora. Definicija Norma ili duljina vektora x = (x 1,..., x n ) R n je realan broj x = (x x) = n x 2 i. 4
8 Tako definirana funkcija : R n R zove se norma i ima sljedeća svojstva: } (N1) x 0, x R n (pozitivna definitnost), (N2) x = 0 x = 0 (N3) λx = λ x, λ R i x R n (homogenost), (N4) x + y x + y, x, y R n (nejednakost trokuta). Definicija Realni vektorski prostor R n na kome je definiran skalarni produkt sa svojstvima (S1) (S5) zove se realan unitaran prostor. U svakom unitarnom prostoru vrijedi CSB nejednakost. Prvo iskažimo jednu lemu. Lema Neka je f : R R kvadratna funkcija f(x) = ax 2 + 2bx + c, a, b, c R, a > 0. Tada vrijedi: f(x) 0 b 2 ac 0 i f(x) = 0 b 2 ac = 0, pri čemu se jednakost postiže za x 0 = b a. Dokaz: Nultočke kvadratne funkcije f dobiju se iz formule x 1,2 = b ± D, D = b 2 ac. 2a Budući da je a > 0 graf kvadratne funkcije (parabola) okrenut je prema gore i vrijedi f(x) 0 D 0 b 2 ac 0, pri čemu se jednakost postiže u slučaju D = 0, a tada je x 0 = b a. Vrijedi sljedeći teorem kojim iskazujemo Cauchyjev oblik CSB nejednakosti [8, str. 16]. Teorem (Cauchyjeva nejednakost) Za realne brojeve a 1,..., a n i b 1,..., b n vrijedi Cauchyjeva nejednakost ( ) 2 a k b k b 2 k. (2.1) a 2 k Ako je a i 0 bar za jedno i, onda u (2.1) stoji znak jednakosti ako i samo ako postoji realni broj λ takav da je b k = λa k (k = 1,..., n). 5
9 Dokaz I: Ako je a 1 =... = a n = 0 (odnosno b 1 =... = b n = 0), teorem očigledno vrijedi. Pretpostavimo zato da je barem jedan a i 0 i definirajmo pomoćnu funkciju f(x) = (a k x + b k ) 2, koju možemo zapisati u obliku f(x) = ax 2 + 2bx + c, a = a 2 k, b = a k b k, c = b 2 k. Kako je a > 0 i f(x) 0 x R, onda prema prethodnoj lemi mora biti što je zapravo nejednakost (2.1). b 2 ac 0, (2.2) Još preostaje dokazati da u (2.1) stoji jednakost onda i samo onda ako postoji λ R, takav da je b k = λa k k = 1,..., n. ( ) Pretpostavimo da u (2.1), odnosno (2.2) stoji jednakost. Prema prethodnoj lemi slijedi da je f(x) = 0 za x = x 0 = b, tj. vrijedi a f( b a ) = ( b a a k + b k ) 2 = 0, iz toga slijedi b a a k + b k = 0 b k = b a a k k = 1,..., n. ( ) Pretpostavimo da postoji λ R, takav da je b k = λa k k = 1,..., n. Tada je a = a 2 k, b = a k b k = a k λa k = λa, c = b 2 k = (λa k ) 2 = λ 2 a, pa imamo D = b 2 ac = (λa) 2 aλ 2 a = 0, što daje jednakost u (2.2), odnosno (2.1). 6
10 Dokaz navedene nejednakosti može se napraviti i na druge načine. Jedan od načina je pomoću Lagrangeova identiteta. Vidi [3, str.34] i [4, str.2]. Dokaz II: Lagrangeov identitet glasi: ( ) ( a 2 k b 2 k ) ( ) 2 a k b k = 1 i<k n (a i b k a k b i ) 2. Budući da je desna strana u Lagrangeovu identitetu pozitivna, to je i lijeva strana pozitivna pa (2.1) očito vrijedi. Jednakost u (2.1) vrijedi ako i samo ako je (a i b k a k b i ) 2 = 0, za svaki i, k {1,..., n}, a to je ekvivalentno činjenici da su nizovi brojeva (a 1,..., a n ) i (b 1,..., b n ) proporcionalni. Treći dokaz je geometrijske naravi. Vidi [10, str.174]. Dokaz III: Skalarni produkt vektora a = (a 1,..., a n ) i b = (b 1,..., b n ) u n-dimenzionalnom realnom vektorskom prostoru R n definirali smo kao a b = a i b i, a normu vektora kao a = n a 2 i. S druge strane, skalarni produkt vektora a b jednak je umnošku duljine jednog vektora i projekcije drugog vektora na prvi vektor, tj. jednak je umnošku normi vektora a i b i kosinusa kuta ϕ izmedu njih: a b = a b cos ϕ. Zbog cos ϕ 1 slijedi da je a b a b, a odavde odmah slijedi Cauchy- Schwarzova nejednakost. Teorem (Schwarzova nejednakost) U svakom realnom unitarnom prostoru R n vrijedi nejednakost (x y) x y, x, y R n. (2.3) Jednakost vrijedi onda i samo onda ako su vektori x, y linearno zavisni. Dokaz pogledati u [9, str.72]. 7
11 Analogija Cauchyjevoj nejednakosti je Buniakowsky-Schwarzova nejednakost za odredene integrale. Ako su f, g C([a, b]) realne neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu [a, b], skalarni produkt definiramo: te vrijedi nejednakost ( b a (f g) = b 2 ( b f(x)g(x)dx) a a f(x)g(x)dx, ) ( b ) f 2 (x)dx g 2 (x)dx. a Primjer Dokazati nejednakost trokuta za dane vektore x i y pomoću CSB nejednakosti. Rješenje: x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) = x 2 + 2(x y) + y 2 x (x y) + y 2. Primijenimo li sada Schwarzovu nejednakost dobijemo x + y 2 x x y + y 2 = = ( x + y ) 2. Iz prethodne nejednakosti slijedi tražena nejednakost trokuta x + y x + y. Za x 0, y 0 vrijedi znak jednakosti ako i samo ako postoji λ > 0 t.d. je y = λx. Zadatak Neka su x 1, x 2,..., x n nenegativni realni brojevi takvi da je x 1 + x x n = 1. Dokažimo nejednakost: x1 + x x n n. Rješenje: Primjenom CSB nejednakosti dobivamo ( x 1 + x x n ) 2 = (1 x x x n ) 2 ( )(( x 1 ) 2 + ( x 2 ) ( x n ) 2 ) = ( )(x 1 + x x n ) = n 1 odakle korjenovanjem slijedi tražena nejednakost. 8
12 2.2. CSB nejednakost za kompleksne brojeve Skup C n svih uredenih n-torki (a 1,..., a n ) kompleksnih brojeva ima strukturu vektorskog prostora nad poljem C. U tom prostoru definiramo skalarni produkt vektora a, b C n formulom (a b) = a i b i. (2.4) Ovaj produkt zadovoljava svojstva (S1), (S2), (S4) i (S5), a umjesto svojstva (S3) (simetričnost) zadovoljava uvjet (S3) (a b) = (b a). Vektorski prostor C n nad poljem C na kojem je definiran skalarni produkt (2.4) sa svojstvima (S1), (S2), (S3), (S4) i (S5) zove se kompleksan unitaran prostor. Sada sasvim analogno kao i u realnom slučaju, možemo dokazati da i u kompleksnom unitarnom prostoru vrijedi CSB nejednakost u svim oblicima. Teorem Za kompleksne brojeve a 1,..., a n i b 1,..., b n vrijedi Cauchyjeva nejednakost a i b i 2 a i 2 b i 2. (2.5) Jednakost vrijedi ako i samo ako je b 1 =... = b n = 0 ili je b k 0 bar za jedno k, ali postoji λ C takav da je a i = λb i (i = 1,..., n). Dokaz: Stavimo: A = a i 2, B = b i 2, C = a i b i. Ako je B = 0 tvrdnja je očigledna. Neka je dakle B > 0. Tada je: Ba i Cb i 2 = (Ba i Cb i )(Ba i Cb i ) = B 2 a i 2 BC a i b i BC = B 2 A B C 2 = B(AB C 2 ); a i b i + C 2 b i 2 dakle B(AB C 2 ) 0. Odavde i iz B > 0 slijedi AB C 2, tj. slijedi (2.5). Jednakost vrijedi ako i samo ako je Ba i Cb i = 0 za svaki i, dakle a i = C b B i (i = 1,..., n). 9
13 Teorem Neka su f i g kompleksne funkcije koje su definirane i neprekidne na segmentu [a, b], onda vrijedi Buniakowsky-Schwarzova nejednakost: b a f(t)g(t)dt 2 b a f(t) 2 dt b a g(t) 2 dt. (2.6) Jednakost vrijedi ako i samo ako je g(t) = 0 za svaki t [a, b] ili postoji t 0 [a, b] takav da je g(t 0 ) 0, ali je f(t) = λg(t), t [a, b] za neki broj λ. Dokaz: Dokaz nejednakosti (2.6) analogan je dokazu nejednakosti (2.5), s tim da umjesto sumiranja treba integrirati. Dokaz pogledati u [7, str.27]. 10
14 Poglavlje 3 Primjena CSB nejednakosti Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost je nejednakost prisutna u mnogim područjima matematike, ali i u drugim granama znanosti. Ovdje će se pokazati neke od primjena, a to je primjene u geometriji, teoriji vjerojatnosti i kvantnoj mehanici Primjena CSB nejednakosti u geometriji Zadatak Neka su a, b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta. Dokažite da vrijedi nejednakost ab + bc + ca < 2c 2. Rješenje: Primijenimo CSB nejednakost: (ab + bc + ca) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) ( b 2 + c 2 + a 2) = ( a 2 + b 2 + c 2) 2 = (c 2 + c 2 ) 2 = (2c 2 ) 2, odakle nakon korjenovanja slijedi ab + bc + ca 2c 2. Primijetimo da u prethodnoj nejednakosti ne može stajati znak jednakosti jer nizovi (a, b, c) i (b, c, a) nisu proporcionalni. Kada bi bili proporcionalni, postojao bi neki realni broj m takav da je Tada bismo imali a = mb, b = mc, c = ma. c 2 = m 2 a 2 = m 2 ( m 2 b 2) = m 4 b 2 = m 4 ( m 2 c 2) = m 6 c 2, odatle bi slijedilo m = 1, a onda c = a, što je u suprotnosti s Pitagorinim poučkom. Dakle, vrijedi stoga nejednakost. 11
15 Zadatak Neka je dan trokut ABC i točka P unutar njega. Neka su D, E i F redom nožišta okomica iz točke P na pravce BC, CA i AB. Dokažite da vrijedi nejednakost AB 2 + BC 2 + CA 2 4 ( AF 2 + BD 2 + CE 2). Rješenje: Slika 3.1: Trokut ABC Uvedimo oznake AB = c, BC = a, CA = b, AF = z, BD = x i CE = y. Tada je F B = c z, DC = a x, EA = b y. Primijenimo Pitagorin poučak na trokute PBD i BPF: P B 2 = x 2 + P D 2, P B 2 = (c z) 2 + P F 2, odakle je x 2 + P D 2 = (c z) 2 + P F 2. (3.1) Analogno iz trokuta CPD i PCE, odnosno APE i PAF dobivamo y 2 + P E 2 = (a x) 2 + P D 2, (3.2) z 2 + P F 2 = (b y) 2 + P E 2. (3.3) Zbrajanjem (3.1), (3.2) i (3.3) dobivamo x 2 + y 2 + z 2 = (a x) 2 + (b y) 2 + (c z) 2, 12
16 odakle je ax + by + cz = 1 2 ( a 2 + b 2 + c 2). Primijenimo CSB nejednakost: (ax + by + cz) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) ( x 2 + y 2 + z 2), slijedi 1( a 2 + b 2 + c 2) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) ( x 2 + y 2 + z 2), 4 tj. a 2 + b 2 + c 2 4 ( x 2 + y 2 + z 2), a to je i trebalo dokazati. Jednakost vrijedi ako i samo ako je a = b = c = 2, a to x y z je ako i samo ako su D, E i F polovišta stranica trokuta. Tada je P središte trokutu ABC opisane kružnice Primjena CSB nejednakosti u vjerojatnosti U teoriji vjerojatnosti i statistici najvažnija su u primjenama dva tipa slučajnih varijabli: diskretne i neprekidne. [12, str.307] Najvažnije numeričke značajke slučajnih varijabli su matematičko očekivanje i varijanca. Neka je X diskretna slučajna varijabla sa zakonom razdiobe ( ) x1 x 2... X =. p 1 p 1... Tada je matematičko očekivanje slučajne varijable X dano formulom EX= k x k p k. (3.4) Neka je sada X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f X. Tada je njeno očekivanje: EX= xf (x) d(x). (3.5) Da bismo izrekli Cauchy-Schwarzovu nejednakost, moramo pokazati da je prostor L 2 (Ω) unitaran prostor, a to ćemo učiniti postupno [12, str.310]. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) i r > 0. Definicija E(X r ) zovemo r-ti moment od X,a E( X r ) zovemo r-ti apsolutni moment od X. 13
17 Za slučajne varijable X i Y i r > 0 iz očigledne nejednakosti X + Y r [2 max( X, Y )] r 2 r [ X r + Y r ], slijedi E [ X + Y r ] 2 r [E ( X r ) + E( Y r )]. (3.6) Prema tome, ako X i Y imaju (konačne) r-te apsolutne momente, tada X+Y takoder ima r-ti apsolutni moment. Sa L 2 (Ω, F, P ) = L 2 (Ω) označimo skup svih slučajnih varijabli definiranih na Ω koje imaju konačan drugi moment. Iz (3.6) slijedi da je L 2 (Ω) vektorski prostor. Za X, Y L 2 (Ω) stavimo < X, Y> = E(XY). (3.7) Time je definiran skalarni produkt u L 2 (Ω), dakle je L 2 (Ω) unitaran prostor. Budući da je L 2 (Ω) unitaran prostor, u njemu vrijedi Cauchy- Schwarzova nejednakost. Vidi [12, str. 314]. Propozicija 3.1 (Cauchy- Scharzova nejednakost) Neka su X i Y slučajne varijable takve da je E(X 2 ) < i E(Y 2 ) <. Tada je E( XY ) < i vrijedi [E( XY )] 2 E ( X 2) E(Y 2 ). (3.8) Dokaz: Prema Propoziciji 10.3 (i) [12, str.293] relacija (3.8) slijedi trivijalno ako je barem jedna od X ili Y jednaka nula. Pretpostavimo zato da je E(X 2 ) > 0 i E(Y 2 ) > 0. U elementarnoj nejednakosti 2 ab a 2 + b 2 stavimo a = X, b = [E(X 2 )] 1 2 Y. [E(Y 2 )] 1 2 Tada dobijemo XY 1 ( E X 2 2[ ) E(Y 2 ) ] [ ] 1 2 X 2 E(X 2 ) + Y2, E(Y 2 ) Dakle XY ima konačno očekivanje, a (3.8) slijedi uzimanjem matematičkog očekivanja. Iz (3.8) i Teorema 10.1(iii) (vidi [12, str.291]) slijedi drugačiji zapis nejednakosti: E(XY) [ E(X 2 ) ] 1 2 [ E(Y 2 ) ] 1 2. (3.9) Time smo dobili Cauchy-Schwarzovu nejednakost za unitarni prostor L 2 (Ω). U (3.9) vrijedi jednakost ako i samo ako je X=λY za neki λ R. 14
18 Varijanca slučajne varijable je druga važna numerička značajka slučajne varijable. Definicija Neka EX postoji (tj. konačno je). Tada E [(X EX) r ] zovemo r-ti centralni moment od X, a E [ X EX r ] zovemo r-ti apsolutni centralni moment od X. Definicija Varijanca od X koju označujemo sa Var X jest drugi centralni moment od X, dakle je V arx=e [ (X EX) 2]. (3.10) Nadalje, definirat ćemo pojam kovarijance [12, str.317]. Neka je X = (X 1,..., X n ) n- dimenzionalni slučajni vektor na (Ω, F, P ). Tada je matematičko očekivanje od X definirano kao EX = (EX 1,..., EX n ) R n uz pretpostavku da je EX i konačno za sve i = 1,..., n. Neka je E(X i 2 ) < za i = 1,..., n. Tada iz propozicije 3.1 slijedi da za i, j = 1,..., n postoje realni brojevi µ ij = cov (X i, X j ) =E [(X i EX i ) (X j EX j )]. (3.11) Za i j cov(x i, X j ) zovemo kovarijanca slučajnih varijabli X i, X j, a µ ii = V ar X i. Očigledno je cov (X i, X j ) = E (X i X j ) EX i EX j. Iz Cauchy- Schwarzove nejednakosti i definicije skalarnog produkta (3.7) slijedi nejednakost: cov (X i, X j ) 2 = E [(X i EX i ) (X j EX j )] 2 = X i EX i, X j EX j 2 X i EX i, X i EX i X j EX j, X j EX j = E [ (X i EX i ) 2] E [ (X j EX j ) 2] = V ar (X i ) V ar (X j ) CSB nejednakost i Heisenbergova relacija neodredenosti Prije nego pokažemo samu primjenu CSB nejednakosti u izvodu Heisenbergove relacije neodredenosti, navodimo nekoliko osnovnih ideja kvantne mehanike i nekoliko pojmova o operatorima koje ćemo koristiti u izvodu. Za razliku od makrosvijeta gdje eksperimentom ne utječemo na svijet, u mikrosvijetu narušavamo narav mikrosvijeta. Ako mjerimo položaj mikročestice, tim mjerenjem 15
19 joj dajemo impuls i ne možemo znati koliku brzinu potom ima. U klasičnoj mehanici možemo mjeriti položaj x i impuls p x istovremeno s proizvoljnom točnošću. Heisenberg je zaključio da u mikrosvijetu to nije istina. U mikrosvijetu ne postoji pojam staze jer ne možemo izmjeriti kanonske parove x(t), p x (t); y(t), p y (t); z(t), p z (t). Ali, možemo odrediti intervale u kojima se s najvećom vjerojatnošću nalaze pojedine opservable. Heisenberg je dao svoju opće poznatu relaciju neodredenosti u kojoj odreduje donju granicu neodredenosti i ona iznosi h 2 : x p x h 2 (analogno vrijedi u smjeru y-osi i z-osi), h je reducirana Planckova konstanta; h= h (h = 6, 2π Js), x je neodredenost položaja pri mjerenju u smjeru x-osi, a p x je neodredenost pripadnog impulsa u smjeru x-osi. Nadalje, Heisenberg je zaključio da ne možemo mikroobjekte opisati običnim brojevima već operatorima (princip korespodencije). Svakoj dinamičkoj opservabli pripada odgovarajući linerni operator. Neki primjeri fizikalnih operatora su: ˆ r - operator položaja, ˆ p - operator impulsa itd. Svi fizikalni operatori moraju biti hermitski ( =  ). Za bilo koji hermitski operator  možemo definirati standardnu devijaciju: σ A = Â2  2, gdje je  srednja vrijednost operatora Â; u kvantnomehaničkoj interpretaciji  predstavlja rezultat mjerenja opservable A, kada se mjerni sustav nalazi u stanju opisanom valnom funkcijom ψ. Za bilo koja dva hermitska operatora  i ˆB definiramo komutator: [Â, ˆB] =  ˆB ˆBÂ. Koristeći navedeno i Cauchy-Schwarzovu nejednakost izvest ćemo Robertsonovu relaciju neodredenosti, a iz nje Heisenbergovu relaciju neodredenosti. Izvod Robertsonove relacije neodredenosti [19] Neka su A : H H i B : H H dva proizvoljna hermitska operatora. Na osnovu definicije standardne devijacije imamo:  σa 2 = ( )  ) ψ ( ψ. Zamjenom  f = ( ) ψ dobivamo σ 2 A = f f. 16
20 Analogno za drugi hermitski operator ˆB u istom stanju: ( ) σb 2 = ˆB ˆB ψ ( ) ˆB ˆB ψ = g g, za ( ) g = ˆB ˆB ψ. Produkt ove dvije standardne devijacije može se izraziti kao: σ 2 Aσ 2 B = f f g g. (3.12) Kako bi se povezala dva vektora f i g, koristimo Cauchy-Schwarzovu nejednakost: f f g g f g 2. (3.12) možemo napisati u obliku σ 2 Aσ 2 B f g 2. (3.13) Kako je f g uglavnom kompleksan broj, koristimo činjenicu da je kvadrat apsolutne vrijednosti bilo kojeg kompleksnog broja z definiran kao z 2 = z z, gdje je z kompleksno konjugiran od z. Kvadrat apsolutne vrijednosti može se izraziti kao: ( ) z z z 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 (Im(z)) 2 2 =. (3.14) 2i Zamijenimo z = f g i z = g f, slijedi: f g 2 Skalarni produkt f g napišimo u obliku ( ) 2 f g g f. (3.15)  ) ( ) f g = ψ(â ˆB ˆB ψ i koristeći činjenicu da su  i ˆB hermitski operatori nalazimo:  )( f g = ψ ( ˆB ) ˆB ψ = ψ ( ˆB   ˆB ˆB  ) + ˆB ψ = ψ  ˆBψ ψ  ˆB ψ ψ ˆB  ψ + ψ  ˆB ψ =  ˆB  ˆB  ˆB +  ˆB =  ˆB  ˆB. 2i 17
21 Slično se može dokazati da je g f = ˆB  ˆB. Razliku uvrstimo u (3.15). Slijedi   f g g f = ˆB ˆB ˆB +  ˆB = [Â, ˆB], f g ( 2 1 2i ) 2 [Â, ˆB]. (3.16) (3.16) uvrstimo u (3.13) i dobivamo Robertsonovu relaciju neodredenosti: σ A σ B 1 [Â, ˆB]. (3.17) 2i Robertsonova relacija neodredenosti uključuje Heisenbergovu relaciju neodredenosti kao specijalni slučaj. To se može pokazati na primjeru relacije za položaj-impuls. Uzmimo da je  operator položaja, a ˆB operator impulsa. Komutator [ˆx, ˆp x ] iznosi i h. Tada iz (3.17) slijedi: σ x σ p h 2. Analiza izvoda relacije neodredenosti pokazuje da neodredenost ulazi u izvod upravo sa Cauchy-Schwarzovom nejednakošću. U kontekstu relacije neodredenosti, Cauchy- Schwarzovu nejednakost prvi je u svom izvodu upotrijebio Weyl (1928), zatim Robertson (1929) i Schrödinger (1930). 18
22 Poglavlje 4 Biografije Augustin Louis Cauchy (21.kolovoza 1789., Pariz- 23.svibnja 1857., Sceaux) Slika 4.1: Augustin Louis Cauchy A.L. Cauchy veliki je francuski znanstvenik i jedan od najvećih matematičara u povijesti. [2, 16] Njegov izniman talent u ranom djetinjstvu uočili su veliki matematičari Lagrange i Laplace koji su ga i potaknuli učenju matematike. Završio je (1807) uglednu visoku školu École Polytechnique gdje je dobio položaj docenta za matematičku analizu. Postao je slavan radom o valovima i radom o poligonalnim brojevima što mu je omogućilo da postane član Francuske akademije znanosti. Cauchy je u svom vremenu bio prvi koji je, pored Gaussa, uvodio strogost u matematičku analizu. Prvi je precizno proučio pojam konvergencije odnosno limesa, a prvi je i definirao kompleksnu funkciju kompleksne varijable i time utemeljio kompleksnu analizu. U području algebre doprinio je u razvoju teorije grupa i dao ime determinanti. Zbog značajnog doprinosa u otkrivanju mnogih matematičkih istina njegovim imenom označeno je mnogo matematičkih pojmova i teorema. Neki od njih su: Cauchyjev niz, Cauchyjeva nejednakost, Cauchyjev integral, Cauchyjeva distribucija itd. Da zaključimo: ovom velikom matematičaru zahvaljujemo za suvremeni oblik matematičke analize, koju je sintetizirao i precizirao. Objavio je ogroman broj od 789 radova. Najpoznatiji su: Leçons sur les 19
23 applications du calcul infinitesimal a la geometrie (1816), Analyse algebrique (1821), Cours d analyse (1821), Memoire sur les integrales definies, pises entre des limites imaginaires (1825). Karl Hermann Schwarz Amandus (25. siječnja 1843., Hermsdorf, Prusija- 30. studenoga 1921., Berlin, Njemačka) Slika 4.2: Karl Hermann Schwarz Amandus H. Schwarz studirao je kod velikih matematičara Kummera i Weierstrassa. [18] Predavao je na Sveučilištu u Halleu, Zürichu i Göttingenu. Bavio se temama iz teorije funkcija, diferencijalne geometrije i varijacionog računa godine postao je član Berlinske akademije znanosti i profesor na Sveučilištu u Berlinu. Najpoznatija djela su mu: Bestimmung einer speziellen Minimalfläche (1867) i Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890). Viktor Yakovlevich Buniakowsky (16.prosinca 1804., Bar, Ukrajina- 30.studenog 1889., Sankt Peterburg, Rusija) Slika 4.3: Viktor Yakovlevich Buniakowsky 20
24 Buniakowsky je doktorirao 1825.godine u Parizu kod Cauchyja. [17, 21] Vratio se u St. Peterburg noseći znanja koja do tada nisu postojala u Rusiji. Odigrao je važnu ulogu u razvoju teorije ostataka i ideje o vjerojatnosti. Bavio se i geometrijom, mehanikom i hidrostatikom. Najpoznatiji je po otkriću Cauchy-Schwarzove nejednakosti objavljene u studiji o nejednakosti izmedu integrala. To je bilo 25 godina prije Schwarzovog rada. Napisao je preko 150 radova, predavao je na Sveučilištu, bio je član, a kasnije i potpredsjednik Petersburške akademije znanosti. Najpoznatiji radovi su mu: Foundations of the mathematical theory of probability (1846), Mémoires de l Academie des sciences de St-Péterbourg (1859). 21
25 Literatura [1] N.S. Barnett, S.S. Dragomir, An additive reverse of the Cauchy- Bunyakowsky-Schwarz integral inequality, Applied Mathematics Letters, Volume 21, Issue 4, April 2008, [2] F.M. Brückler, Povijesna rubrika, Osječki matematički list, 9 (2009), [3] L. Čaklović, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Školska knjiga, Zagreb, [4] S.S. Dragomir, A Survey on Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Type Discrete Inequalities, Victoria Univerity, Melbourne, [5] I. Ilišević, Primjena Cauchy-Schwarz-Buniakowsky-jeve nejednakosti u geometriji, Osječki matematički list, 5 (2005), [6] D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Sveučilište J.J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, [7] S. Kurepa, Matematička analiza 3, Tehnička knjiga, Zagreb, [8] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, [9] S. Mardešić, Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, Školska knjiga, Zagreb, [10] B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehnička knjiga, Zagreb, [11] J. Pečarić, Nejednakosti, HMD i Element, Zagreb, [12] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, [13] J.M. Steel, The Cauchy-Schwarz-Master Class, An introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, [14] E.H. Wichmann, Kvantna fizika, Tehnička knjiga, Zagreb, [15] 22
26 [16] [17] [18] [19] Robertson_Uncertainty_Relation [20] Heisenberg-Uncertainty-Principle [21] 23
27 Sažetak U ovom diplomskom radu razmatra se CSB nejednakost, jedna od najvažnijih nejednakosti u matematici. Nejednakost je stavljena u povijesni okvir, te se kroz povijesni pregled uvodi problematika koja je zaokupljala tadašnje matematičare. U radu je prikazana CSB nejednakost u integralnom obliku, vektorskom obliku i u obliku sume za realne i kompleksne brojeve, te razni primjeri. CSB nejednakost ima svekoliku primjenu u analizi, algebri, statistici, vjerojatnosti, kvantnoj mehanici i dr. Neke od primjena su obradene u radu, a to su primjene u geometriji, vjerojatnosti i kvantnoj mehanici. Kroz teoreme i primjene naglašena je važnost CSB nejednakosti u matematici, te njena važnost za dalji razvoj matematike i područja u kojima se koristi matematika. O važnosti CSB nejednakosti govori i podatak da se svaki mjesec objavljuju stotine novih znanstvenih radova gdje se ona primjenjuje. 24
28 Summary This thesis examines the CSB inequality, one of the most important inequalities in mathematics. Inequality is placed in a historical framework, and through the historical review introduces the problem that has occupied the former mathematicians. This paper presents the CSB inequality in integral form, in the form of vector sum of real and complex numbers, and various examples. CSB inequality has applications in analysis, algebra, statistics, probability, quantum mechanics, etc. Some of the applications are processed in the work, such as applications in geometry, probability and quantum mechanics. Through the application of theorems we emphasized the importance of CSB inequality in mathematics and its importance for the further development of mathematics and areas in which mathematics is used. The importance of the CSB inequality is the fact that every month hundreds of new applicable research papers, where published. 25
29 Životopis Rodena sam 25.srpnja u Nizi. Od do pohadala sam osnovnu školu Ivana Brlić-Mažuranić u Koški. Maturirala sam u CUO Braća Ribar u Osijeku, smjer matematičar-informatičar. Godine upisala sam smjer matematika- fizika na Pedagoškom fakultetu u Osijeku, gdje sam apsolvirala. Nekoliko godina sam radila u srednjoj školi Josip Kozarac u Durdenovcu. Kada je osnovan Odjel za matematiku Sveučilišta u Osijeku, prešla sam s Pedagoškog fakulteta na novoosnovani Odjel. 26
ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationErdös-Mordellova nejednakost
Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationFraktalno Brownovo gibanje
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More information1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Natalija Tvrdy. Vektori u nastavi. Diplomski rad. Osijek, 2012.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Natalija Tvrdy Vektori u nastavi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationNTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski
More informationA B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica
More informationFEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More informationSLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationUvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).
Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationAfine transformacije ravnine
1/ 7 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 12 http://emathhr/ Afine transformacije ravnine Harun Šiljak Sadržaj: 1 Uvod 2 Primjeri riješenih zadataka 3 Zadaci za samostalan rad Literatura
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationUOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Cigula ITERATIVNA OPTIMIZACIJA MODELA I PRETRAŽIVANJE PROTEOMA Diplomski rad Zagreb, veljača, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationON POTENTIAL INEQUALITY FOR THE ABSOLUTE VALUE OF FUNCTIONS. Neven Elezović, Josip Pečarić and Marjan Praljak
RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 18 = 519 014: 107-13 ON POTENTIAL INEQUALITY FOR THE ASOLUTE VALUE OF FUNCTIONS Neven Eleović, Josip Pečarić and Marjan Praljak Abstract. Potential inequality was introduced
More informationO dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationThe existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem
61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the
More informationUNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSTACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Daniel Stojanović STACIONARNOST GARCH PROCESA I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc.siniša Slijepčević Zagreb, lipanj,
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationMotivacija za poslijediplomski iz matematike 2006.
Motivacija za poslijediplomski iz matematike 2006. U ovoj skici je uvod u pojam veli ine (norme) vektora (sloºenih podataka, rezultata mjerenja), u pojam udaljenosti medju sloºenim podatcima i koecijenta
More informationRazni načini zadavanja vjerojatnosti
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationHarmoniteti. Matija Bucić, Domagoj Ćevid. 20. lipnja 2016.
Harmoniteti Matija Bucić, Domagoj Ćevid 20. lipnja 2016. 1 Uvod Harmoniteti su jedan od veoma korisnih alata koje jedan olimpijac treba znati. To je posebna konfiguracija točaka ili pravaca koja se pojavljuje
More information