Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost"

Transcription

1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Mentor: prof.dr.sc. Rudolf Scitovski Osijek, 2012.

3 Sadržaj Uvod 1 1 Povijesni pregled 2 2 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost CSB nejednakost za realne brojeve CSB nejednakost za kompleksne brojeve Primjena CSB nejednakosti Primjena CSB nejednakosti u geometriji Primjena CSB nejednakosti u vjerojatnosti CSB nejednakost i Heisenbergova relacija neodredenosti Biografije 19 Literatura 22 Sažetak 24 Summary 25 Životopis 26 i

4 Uvod Tema ovog diplomskog rada je Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost koja je u matematici poznata još kao Cauchyjeva nejednakost ili Schwarzova nejednakost ili Cauchy-Schwarzova nejednakost, skraćeno CSB nejednakost. Ime je dobila po matematičarima: Augustinu Louisu Cauchyju ( ), Viktoru Yakovlevichu Buniakowskom ( ) i Hermannu Amandusu Schwarzu ( ). Glavni cilj rada je pokazati povijesni put razvoja ove nejednakosti, njene dosege i primjene od jednostavnijih do složenijih primjera. U prvom dijelu prikazan je kratak povijesni pregled nastanka CSB nejednakosti. U drugom dijelu se uz uvodne definicije skalarnog produkta, norme i unitarnog prostora, nalaze odgovarajući teoremi o CSB nejednakosti u realnom i kompleksnom prostoru. U trećem dijelu su primjeri iz nekih područja u kojima se koristi CSB nejednakost, a to su geometrija, vjerojatnost i kvantna mehanika. Na kraju su biografije triju matematičara zahvaljujući kojima imamo ovu vrlo važnu i primjenjivu nejednakost. 1

5 Poglavlje 1 Povijesni pregled Francuski matematičar Augustin Louis Cauchy ( ) objavio je svoju nejednakost u knjizi Cours Analyse Algébrique koja je ujedno prvi svjetski strogo matematički tekst. [13] Cauchy svoju nejednakost nije često rabio osim u nekim ilustrativnim vježbama. Tek ozbiljno ju je uporabio u istraživanju Newtonove metode za izračunavanje korijena algebarskih i transcendentalnih jednadžbi. Cauchyjeva nejednakost bila je u obliku konačne sume ( ) 2 x k y k yk. 2 x 2 k Ruski matematičar V. J. Buniakowsky ( ) napisao je tu nejednakost u integralnom obliku b a ( b f(x)g(x)dx a ) 1 ( f 2 2 b ) 1 (x)dx g 2 2 (x)dx. a Buniakowsky je studirao u Parizu kod Cauchyja i dobro je poznavao njegov rad o nejednakostima. Ovaj oblik nejednakosti prvi puta se pojavio u njegovom djelu Mémoires koje je objavila Carska akademija znanosti u St. Petersburgu Iako su Mémoires štampani u Francuskoj, nisu bili rasprostranjeni širom zapadne Europe pa su bili nepoznati i njemačkom matematičaru H. A. Schwarzu ( ) koji je radio na svom fundamentalnom djelu o teoriji minimalne površine. Schwarz je imao potrebu za dvodimenzionalnim integralima analognim Cauchyjevoj nejednakosti. Trebao je pokazati da ako je S R 2 i f : S R i g : S R, tada dvostruki integrali A = f 2 dxdy, B = fgdxdy, C = g 2 dxdy, S S moraju zadovoljavati nejednakost B A C, pri čemu vrijedi stroga nejednakost osim ako su funkcije f i g proporcionalne. 2 S

6 Pristup ovom rezultatu preko Cauchyjeve nejednakosti bio je problematičan jer se strogost diskretne nejednakosti može izgubiti u ograničavajućem prijelazu prema integralima. Schwarz je tražio alternativni put i otkrio dokaz koji se i danas koristi. Istaknuo je da je realni polinom p(t) = (t f(x, y) + g(x, y)) 2 dxdy = At 2 + 2Bt + C, S uvijek nenegativan, tj. p(t) je strogo pozitivan osim ako su f i g proporcionalne. Tada koeficijenti moraju zadovoljavati B 2 AC, a osim ako su f i g proporcionalne, vrijedi stoga nejednakost B 2 < AC. Schwarz je ponovno otkrio Buniakowskyjev oblik nejednakosti, a dao je i opći oblik nejednakosti koristeći skalarni produkt vektora koji se i danas naziva Schwarzov oblik: (v, w) (v, v) 1 2 (w, w)

7 Poglavlje 2 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost 2.1. CSB nejednakost za realne brojeve Promatramo realni vektorski prostor R n. Definicija Skalarni produkt vektora x = (x 1,..., x n ) R n i y = (y 1,..., y n ) R n je realan broj koji označavamo s (x y) i definiramo kao konačnu sumu (x y) = x i y i. Funkciju (x y): R n R n R zovemo skalarni produkt u R n. Svojstva skalarnog produkta: (S1) (x x) 0 } (S2) (x x) = 0 x = 0 (pozitivna definitnost), (S3) (x y) = (y x) (simetričnost), (S4) (x + y z) = (x z) + (y z) (aditivnost u prvom argumentu), (S5) (λx y) = λ(x y) (homogenost u prvom argumentu). Zahvaljujući svojstvu (S1) pomoću skalarnog produkta možemo definirati normu vektora. Definicija Norma ili duljina vektora x = (x 1,..., x n ) R n je realan broj x = (x x) = n x 2 i. 4

8 Tako definirana funkcija : R n R zove se norma i ima sljedeća svojstva: } (N1) x 0, x R n (pozitivna definitnost), (N2) x = 0 x = 0 (N3) λx = λ x, λ R i x R n (homogenost), (N4) x + y x + y, x, y R n (nejednakost trokuta). Definicija Realni vektorski prostor R n na kome je definiran skalarni produkt sa svojstvima (S1) (S5) zove se realan unitaran prostor. U svakom unitarnom prostoru vrijedi CSB nejednakost. Prvo iskažimo jednu lemu. Lema Neka je f : R R kvadratna funkcija f(x) = ax 2 + 2bx + c, a, b, c R, a > 0. Tada vrijedi: f(x) 0 b 2 ac 0 i f(x) = 0 b 2 ac = 0, pri čemu se jednakost postiže za x 0 = b a. Dokaz: Nultočke kvadratne funkcije f dobiju se iz formule x 1,2 = b ± D, D = b 2 ac. 2a Budući da je a > 0 graf kvadratne funkcije (parabola) okrenut je prema gore i vrijedi f(x) 0 D 0 b 2 ac 0, pri čemu se jednakost postiže u slučaju D = 0, a tada je x 0 = b a. Vrijedi sljedeći teorem kojim iskazujemo Cauchyjev oblik CSB nejednakosti [8, str. 16]. Teorem (Cauchyjeva nejednakost) Za realne brojeve a 1,..., a n i b 1,..., b n vrijedi Cauchyjeva nejednakost ( ) 2 a k b k b 2 k. (2.1) a 2 k Ako je a i 0 bar za jedno i, onda u (2.1) stoji znak jednakosti ako i samo ako postoji realni broj λ takav da je b k = λa k (k = 1,..., n). 5

9 Dokaz I: Ako je a 1 =... = a n = 0 (odnosno b 1 =... = b n = 0), teorem očigledno vrijedi. Pretpostavimo zato da je barem jedan a i 0 i definirajmo pomoćnu funkciju f(x) = (a k x + b k ) 2, koju možemo zapisati u obliku f(x) = ax 2 + 2bx + c, a = a 2 k, b = a k b k, c = b 2 k. Kako je a > 0 i f(x) 0 x R, onda prema prethodnoj lemi mora biti što je zapravo nejednakost (2.1). b 2 ac 0, (2.2) Još preostaje dokazati da u (2.1) stoji jednakost onda i samo onda ako postoji λ R, takav da je b k = λa k k = 1,..., n. ( ) Pretpostavimo da u (2.1), odnosno (2.2) stoji jednakost. Prema prethodnoj lemi slijedi da je f(x) = 0 za x = x 0 = b, tj. vrijedi a f( b a ) = ( b a a k + b k ) 2 = 0, iz toga slijedi b a a k + b k = 0 b k = b a a k k = 1,..., n. ( ) Pretpostavimo da postoji λ R, takav da je b k = λa k k = 1,..., n. Tada je a = a 2 k, b = a k b k = a k λa k = λa, c = b 2 k = (λa k ) 2 = λ 2 a, pa imamo D = b 2 ac = (λa) 2 aλ 2 a = 0, što daje jednakost u (2.2), odnosno (2.1). 6

10 Dokaz navedene nejednakosti može se napraviti i na druge načine. Jedan od načina je pomoću Lagrangeova identiteta. Vidi [3, str.34] i [4, str.2]. Dokaz II: Lagrangeov identitet glasi: ( ) ( a 2 k b 2 k ) ( ) 2 a k b k = 1 i<k n (a i b k a k b i ) 2. Budući da je desna strana u Lagrangeovu identitetu pozitivna, to je i lijeva strana pozitivna pa (2.1) očito vrijedi. Jednakost u (2.1) vrijedi ako i samo ako je (a i b k a k b i ) 2 = 0, za svaki i, k {1,..., n}, a to je ekvivalentno činjenici da su nizovi brojeva (a 1,..., a n ) i (b 1,..., b n ) proporcionalni. Treći dokaz je geometrijske naravi. Vidi [10, str.174]. Dokaz III: Skalarni produkt vektora a = (a 1,..., a n ) i b = (b 1,..., b n ) u n-dimenzionalnom realnom vektorskom prostoru R n definirali smo kao a b = a i b i, a normu vektora kao a = n a 2 i. S druge strane, skalarni produkt vektora a b jednak je umnošku duljine jednog vektora i projekcije drugog vektora na prvi vektor, tj. jednak je umnošku normi vektora a i b i kosinusa kuta ϕ izmedu njih: a b = a b cos ϕ. Zbog cos ϕ 1 slijedi da je a b a b, a odavde odmah slijedi Cauchy- Schwarzova nejednakost. Teorem (Schwarzova nejednakost) U svakom realnom unitarnom prostoru R n vrijedi nejednakost (x y) x y, x, y R n. (2.3) Jednakost vrijedi onda i samo onda ako su vektori x, y linearno zavisni. Dokaz pogledati u [9, str.72]. 7

11 Analogija Cauchyjevoj nejednakosti je Buniakowsky-Schwarzova nejednakost za odredene integrale. Ako su f, g C([a, b]) realne neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu [a, b], skalarni produkt definiramo: te vrijedi nejednakost ( b a (f g) = b 2 ( b f(x)g(x)dx) a a f(x)g(x)dx, ) ( b ) f 2 (x)dx g 2 (x)dx. a Primjer Dokazati nejednakost trokuta za dane vektore x i y pomoću CSB nejednakosti. Rješenje: x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) = x 2 + 2(x y) + y 2 x (x y) + y 2. Primijenimo li sada Schwarzovu nejednakost dobijemo x + y 2 x x y + y 2 = = ( x + y ) 2. Iz prethodne nejednakosti slijedi tražena nejednakost trokuta x + y x + y. Za x 0, y 0 vrijedi znak jednakosti ako i samo ako postoji λ > 0 t.d. je y = λx. Zadatak Neka su x 1, x 2,..., x n nenegativni realni brojevi takvi da je x 1 + x x n = 1. Dokažimo nejednakost: x1 + x x n n. Rješenje: Primjenom CSB nejednakosti dobivamo ( x 1 + x x n ) 2 = (1 x x x n ) 2 ( )(( x 1 ) 2 + ( x 2 ) ( x n ) 2 ) = ( )(x 1 + x x n ) = n 1 odakle korjenovanjem slijedi tražena nejednakost. 8

12 2.2. CSB nejednakost za kompleksne brojeve Skup C n svih uredenih n-torki (a 1,..., a n ) kompleksnih brojeva ima strukturu vektorskog prostora nad poljem C. U tom prostoru definiramo skalarni produkt vektora a, b C n formulom (a b) = a i b i. (2.4) Ovaj produkt zadovoljava svojstva (S1), (S2), (S4) i (S5), a umjesto svojstva (S3) (simetričnost) zadovoljava uvjet (S3) (a b) = (b a). Vektorski prostor C n nad poljem C na kojem je definiran skalarni produkt (2.4) sa svojstvima (S1), (S2), (S3), (S4) i (S5) zove se kompleksan unitaran prostor. Sada sasvim analogno kao i u realnom slučaju, možemo dokazati da i u kompleksnom unitarnom prostoru vrijedi CSB nejednakost u svim oblicima. Teorem Za kompleksne brojeve a 1,..., a n i b 1,..., b n vrijedi Cauchyjeva nejednakost a i b i 2 a i 2 b i 2. (2.5) Jednakost vrijedi ako i samo ako je b 1 =... = b n = 0 ili je b k 0 bar za jedno k, ali postoji λ C takav da je a i = λb i (i = 1,..., n). Dokaz: Stavimo: A = a i 2, B = b i 2, C = a i b i. Ako je B = 0 tvrdnja je očigledna. Neka je dakle B > 0. Tada je: Ba i Cb i 2 = (Ba i Cb i )(Ba i Cb i ) = B 2 a i 2 BC a i b i BC = B 2 A B C 2 = B(AB C 2 ); a i b i + C 2 b i 2 dakle B(AB C 2 ) 0. Odavde i iz B > 0 slijedi AB C 2, tj. slijedi (2.5). Jednakost vrijedi ako i samo ako je Ba i Cb i = 0 za svaki i, dakle a i = C b B i (i = 1,..., n). 9

13 Teorem Neka su f i g kompleksne funkcije koje su definirane i neprekidne na segmentu [a, b], onda vrijedi Buniakowsky-Schwarzova nejednakost: b a f(t)g(t)dt 2 b a f(t) 2 dt b a g(t) 2 dt. (2.6) Jednakost vrijedi ako i samo ako je g(t) = 0 za svaki t [a, b] ili postoji t 0 [a, b] takav da je g(t 0 ) 0, ali je f(t) = λg(t), t [a, b] za neki broj λ. Dokaz: Dokaz nejednakosti (2.6) analogan je dokazu nejednakosti (2.5), s tim da umjesto sumiranja treba integrirati. Dokaz pogledati u [7, str.27]. 10

14 Poglavlje 3 Primjena CSB nejednakosti Cauchy-Schwarz-Buniakowsky nejednakost je nejednakost prisutna u mnogim područjima matematike, ali i u drugim granama znanosti. Ovdje će se pokazati neke od primjena, a to je primjene u geometriji, teoriji vjerojatnosti i kvantnoj mehanici Primjena CSB nejednakosti u geometriji Zadatak Neka su a, b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta. Dokažite da vrijedi nejednakost ab + bc + ca < 2c 2. Rješenje: Primijenimo CSB nejednakost: (ab + bc + ca) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) ( b 2 + c 2 + a 2) = ( a 2 + b 2 + c 2) 2 = (c 2 + c 2 ) 2 = (2c 2 ) 2, odakle nakon korjenovanja slijedi ab + bc + ca 2c 2. Primijetimo da u prethodnoj nejednakosti ne može stajati znak jednakosti jer nizovi (a, b, c) i (b, c, a) nisu proporcionalni. Kada bi bili proporcionalni, postojao bi neki realni broj m takav da je Tada bismo imali a = mb, b = mc, c = ma. c 2 = m 2 a 2 = m 2 ( m 2 b 2) = m 4 b 2 = m 4 ( m 2 c 2) = m 6 c 2, odatle bi slijedilo m = 1, a onda c = a, što je u suprotnosti s Pitagorinim poučkom. Dakle, vrijedi stoga nejednakost. 11

15 Zadatak Neka je dan trokut ABC i točka P unutar njega. Neka su D, E i F redom nožišta okomica iz točke P na pravce BC, CA i AB. Dokažite da vrijedi nejednakost AB 2 + BC 2 + CA 2 4 ( AF 2 + BD 2 + CE 2). Rješenje: Slika 3.1: Trokut ABC Uvedimo oznake AB = c, BC = a, CA = b, AF = z, BD = x i CE = y. Tada je F B = c z, DC = a x, EA = b y. Primijenimo Pitagorin poučak na trokute PBD i BPF: P B 2 = x 2 + P D 2, P B 2 = (c z) 2 + P F 2, odakle je x 2 + P D 2 = (c z) 2 + P F 2. (3.1) Analogno iz trokuta CPD i PCE, odnosno APE i PAF dobivamo y 2 + P E 2 = (a x) 2 + P D 2, (3.2) z 2 + P F 2 = (b y) 2 + P E 2. (3.3) Zbrajanjem (3.1), (3.2) i (3.3) dobivamo x 2 + y 2 + z 2 = (a x) 2 + (b y) 2 + (c z) 2, 12

16 odakle je ax + by + cz = 1 2 ( a 2 + b 2 + c 2). Primijenimo CSB nejednakost: (ax + by + cz) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) ( x 2 + y 2 + z 2), slijedi 1( a 2 + b 2 + c 2) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) ( x 2 + y 2 + z 2), 4 tj. a 2 + b 2 + c 2 4 ( x 2 + y 2 + z 2), a to je i trebalo dokazati. Jednakost vrijedi ako i samo ako je a = b = c = 2, a to x y z je ako i samo ako su D, E i F polovišta stranica trokuta. Tada je P središte trokutu ABC opisane kružnice Primjena CSB nejednakosti u vjerojatnosti U teoriji vjerojatnosti i statistici najvažnija su u primjenama dva tipa slučajnih varijabli: diskretne i neprekidne. [12, str.307] Najvažnije numeričke značajke slučajnih varijabli su matematičko očekivanje i varijanca. Neka je X diskretna slučajna varijabla sa zakonom razdiobe ( ) x1 x 2... X =. p 1 p 1... Tada je matematičko očekivanje slučajne varijable X dano formulom EX= k x k p k. (3.4) Neka je sada X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f X. Tada je njeno očekivanje: EX= xf (x) d(x). (3.5) Da bismo izrekli Cauchy-Schwarzovu nejednakost, moramo pokazati da je prostor L 2 (Ω) unitaran prostor, a to ćemo učiniti postupno [12, str.310]. Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) i r > 0. Definicija E(X r ) zovemo r-ti moment od X,a E( X r ) zovemo r-ti apsolutni moment od X. 13

17 Za slučajne varijable X i Y i r > 0 iz očigledne nejednakosti X + Y r [2 max( X, Y )] r 2 r [ X r + Y r ], slijedi E [ X + Y r ] 2 r [E ( X r ) + E( Y r )]. (3.6) Prema tome, ako X i Y imaju (konačne) r-te apsolutne momente, tada X+Y takoder ima r-ti apsolutni moment. Sa L 2 (Ω, F, P ) = L 2 (Ω) označimo skup svih slučajnih varijabli definiranih na Ω koje imaju konačan drugi moment. Iz (3.6) slijedi da je L 2 (Ω) vektorski prostor. Za X, Y L 2 (Ω) stavimo < X, Y> = E(XY). (3.7) Time je definiran skalarni produkt u L 2 (Ω), dakle je L 2 (Ω) unitaran prostor. Budući da je L 2 (Ω) unitaran prostor, u njemu vrijedi Cauchy- Schwarzova nejednakost. Vidi [12, str. 314]. Propozicija 3.1 (Cauchy- Scharzova nejednakost) Neka su X i Y slučajne varijable takve da je E(X 2 ) < i E(Y 2 ) <. Tada je E( XY ) < i vrijedi [E( XY )] 2 E ( X 2) E(Y 2 ). (3.8) Dokaz: Prema Propoziciji 10.3 (i) [12, str.293] relacija (3.8) slijedi trivijalno ako je barem jedna od X ili Y jednaka nula. Pretpostavimo zato da je E(X 2 ) > 0 i E(Y 2 ) > 0. U elementarnoj nejednakosti 2 ab a 2 + b 2 stavimo a = X, b = [E(X 2 )] 1 2 Y. [E(Y 2 )] 1 2 Tada dobijemo XY 1 ( E X 2 2[ ) E(Y 2 ) ] [ ] 1 2 X 2 E(X 2 ) + Y2, E(Y 2 ) Dakle XY ima konačno očekivanje, a (3.8) slijedi uzimanjem matematičkog očekivanja. Iz (3.8) i Teorema 10.1(iii) (vidi [12, str.291]) slijedi drugačiji zapis nejednakosti: E(XY) [ E(X 2 ) ] 1 2 [ E(Y 2 ) ] 1 2. (3.9) Time smo dobili Cauchy-Schwarzovu nejednakost za unitarni prostor L 2 (Ω). U (3.9) vrijedi jednakost ako i samo ako je X=λY za neki λ R. 14

18 Varijanca slučajne varijable je druga važna numerička značajka slučajne varijable. Definicija Neka EX postoji (tj. konačno je). Tada E [(X EX) r ] zovemo r-ti centralni moment od X, a E [ X EX r ] zovemo r-ti apsolutni centralni moment od X. Definicija Varijanca od X koju označujemo sa Var X jest drugi centralni moment od X, dakle je V arx=e [ (X EX) 2]. (3.10) Nadalje, definirat ćemo pojam kovarijance [12, str.317]. Neka je X = (X 1,..., X n ) n- dimenzionalni slučajni vektor na (Ω, F, P ). Tada je matematičko očekivanje od X definirano kao EX = (EX 1,..., EX n ) R n uz pretpostavku da je EX i konačno za sve i = 1,..., n. Neka je E(X i 2 ) < za i = 1,..., n. Tada iz propozicije 3.1 slijedi da za i, j = 1,..., n postoje realni brojevi µ ij = cov (X i, X j ) =E [(X i EX i ) (X j EX j )]. (3.11) Za i j cov(x i, X j ) zovemo kovarijanca slučajnih varijabli X i, X j, a µ ii = V ar X i. Očigledno je cov (X i, X j ) = E (X i X j ) EX i EX j. Iz Cauchy- Schwarzove nejednakosti i definicije skalarnog produkta (3.7) slijedi nejednakost: cov (X i, X j ) 2 = E [(X i EX i ) (X j EX j )] 2 = X i EX i, X j EX j 2 X i EX i, X i EX i X j EX j, X j EX j = E [ (X i EX i ) 2] E [ (X j EX j ) 2] = V ar (X i ) V ar (X j ) CSB nejednakost i Heisenbergova relacija neodredenosti Prije nego pokažemo samu primjenu CSB nejednakosti u izvodu Heisenbergove relacije neodredenosti, navodimo nekoliko osnovnih ideja kvantne mehanike i nekoliko pojmova o operatorima koje ćemo koristiti u izvodu. Za razliku od makrosvijeta gdje eksperimentom ne utječemo na svijet, u mikrosvijetu narušavamo narav mikrosvijeta. Ako mjerimo položaj mikročestice, tim mjerenjem 15

19 joj dajemo impuls i ne možemo znati koliku brzinu potom ima. U klasičnoj mehanici možemo mjeriti položaj x i impuls p x istovremeno s proizvoljnom točnošću. Heisenberg je zaključio da u mikrosvijetu to nije istina. U mikrosvijetu ne postoji pojam staze jer ne možemo izmjeriti kanonske parove x(t), p x (t); y(t), p y (t); z(t), p z (t). Ali, možemo odrediti intervale u kojima se s najvećom vjerojatnošću nalaze pojedine opservable. Heisenberg je dao svoju opće poznatu relaciju neodredenosti u kojoj odreduje donju granicu neodredenosti i ona iznosi h 2 : x p x h 2 (analogno vrijedi u smjeru y-osi i z-osi), h je reducirana Planckova konstanta; h= h (h = 6, 2π Js), x je neodredenost položaja pri mjerenju u smjeru x-osi, a p x je neodredenost pripadnog impulsa u smjeru x-osi. Nadalje, Heisenberg je zaključio da ne možemo mikroobjekte opisati običnim brojevima već operatorima (princip korespodencije). Svakoj dinamičkoj opservabli pripada odgovarajući linerni operator. Neki primjeri fizikalnih operatora su: ˆ r - operator položaja, ˆ p - operator impulsa itd. Svi fizikalni operatori moraju biti hermitski ( =  ). Za bilo koji hermitski operator  možemo definirati standardnu devijaciju: σ A = Â2  2, gdje je  srednja vrijednost operatora Â; u kvantnomehaničkoj interpretaciji  predstavlja rezultat mjerenja opservable A, kada se mjerni sustav nalazi u stanju opisanom valnom funkcijom ψ. Za bilo koja dva hermitska operatora  i ˆB definiramo komutator: [Â, ˆB] =  ˆB ˆBÂ. Koristeći navedeno i Cauchy-Schwarzovu nejednakost izvest ćemo Robertsonovu relaciju neodredenosti, a iz nje Heisenbergovu relaciju neodredenosti. Izvod Robertsonove relacije neodredenosti [19] Neka su A : H H i B : H H dva proizvoljna hermitska operatora. Na osnovu definicije standardne devijacije imamo:  σa 2 = ( )  ) ψ ( ψ. Zamjenom  f = ( ) ψ dobivamo σ 2 A = f f. 16

20 Analogno za drugi hermitski operator ˆB u istom stanju: ( ) σb 2 = ˆB ˆB ψ ( ) ˆB ˆB ψ = g g, za ( ) g = ˆB ˆB ψ. Produkt ove dvije standardne devijacije može se izraziti kao: σ 2 Aσ 2 B = f f g g. (3.12) Kako bi se povezala dva vektora f i g, koristimo Cauchy-Schwarzovu nejednakost: f f g g f g 2. (3.12) možemo napisati u obliku σ 2 Aσ 2 B f g 2. (3.13) Kako je f g uglavnom kompleksan broj, koristimo činjenicu da je kvadrat apsolutne vrijednosti bilo kojeg kompleksnog broja z definiran kao z 2 = z z, gdje je z kompleksno konjugiran od z. Kvadrat apsolutne vrijednosti može se izraziti kao: ( ) z z z 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 (Im(z)) 2 2 =. (3.14) 2i Zamijenimo z = f g i z = g f, slijedi: f g 2 Skalarni produkt f g napišimo u obliku ( ) 2 f g g f. (3.15)  ) ( ) f g = ψ(â ˆB ˆB ψ i koristeći činjenicu da su  i ˆB hermitski operatori nalazimo:  )( f g = ψ ( ˆB ) ˆB ψ = ψ ( ˆB   ˆB ˆB  ) + ˆB ψ = ψ  ˆBψ ψ  ˆB ψ ψ ˆB  ψ + ψ  ˆB ψ =  ˆB  ˆB  ˆB +  ˆB =  ˆB  ˆB. 2i 17

21 Slično se može dokazati da je g f = ˆB  ˆB. Razliku uvrstimo u (3.15). Slijedi   f g g f = ˆB ˆB ˆB +  ˆB = [Â, ˆB], f g ( 2 1 2i ) 2 [Â, ˆB]. (3.16) (3.16) uvrstimo u (3.13) i dobivamo Robertsonovu relaciju neodredenosti: σ A σ B 1 [Â, ˆB]. (3.17) 2i Robertsonova relacija neodredenosti uključuje Heisenbergovu relaciju neodredenosti kao specijalni slučaj. To se može pokazati na primjeru relacije za položaj-impuls. Uzmimo da je  operator položaja, a ˆB operator impulsa. Komutator [ˆx, ˆp x ] iznosi i h. Tada iz (3.17) slijedi: σ x σ p h 2. Analiza izvoda relacije neodredenosti pokazuje da neodredenost ulazi u izvod upravo sa Cauchy-Schwarzovom nejednakošću. U kontekstu relacije neodredenosti, Cauchy- Schwarzovu nejednakost prvi je u svom izvodu upotrijebio Weyl (1928), zatim Robertson (1929) i Schrödinger (1930). 18

22 Poglavlje 4 Biografije Augustin Louis Cauchy (21.kolovoza 1789., Pariz- 23.svibnja 1857., Sceaux) Slika 4.1: Augustin Louis Cauchy A.L. Cauchy veliki je francuski znanstvenik i jedan od najvećih matematičara u povijesti. [2, 16] Njegov izniman talent u ranom djetinjstvu uočili su veliki matematičari Lagrange i Laplace koji su ga i potaknuli učenju matematike. Završio je (1807) uglednu visoku školu École Polytechnique gdje je dobio položaj docenta za matematičku analizu. Postao je slavan radom o valovima i radom o poligonalnim brojevima što mu je omogućilo da postane član Francuske akademije znanosti. Cauchy je u svom vremenu bio prvi koji je, pored Gaussa, uvodio strogost u matematičku analizu. Prvi je precizno proučio pojam konvergencije odnosno limesa, a prvi je i definirao kompleksnu funkciju kompleksne varijable i time utemeljio kompleksnu analizu. U području algebre doprinio je u razvoju teorije grupa i dao ime determinanti. Zbog značajnog doprinosa u otkrivanju mnogih matematičkih istina njegovim imenom označeno je mnogo matematičkih pojmova i teorema. Neki od njih su: Cauchyjev niz, Cauchyjeva nejednakost, Cauchyjev integral, Cauchyjeva distribucija itd. Da zaključimo: ovom velikom matematičaru zahvaljujemo za suvremeni oblik matematičke analize, koju je sintetizirao i precizirao. Objavio je ogroman broj od 789 radova. Najpoznatiji su: Leçons sur les 19

23 applications du calcul infinitesimal a la geometrie (1816), Analyse algebrique (1821), Cours d analyse (1821), Memoire sur les integrales definies, pises entre des limites imaginaires (1825). Karl Hermann Schwarz Amandus (25. siječnja 1843., Hermsdorf, Prusija- 30. studenoga 1921., Berlin, Njemačka) Slika 4.2: Karl Hermann Schwarz Amandus H. Schwarz studirao je kod velikih matematičara Kummera i Weierstrassa. [18] Predavao je na Sveučilištu u Halleu, Zürichu i Göttingenu. Bavio se temama iz teorije funkcija, diferencijalne geometrije i varijacionog računa godine postao je član Berlinske akademije znanosti i profesor na Sveučilištu u Berlinu. Najpoznatija djela su mu: Bestimmung einer speziellen Minimalfläche (1867) i Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890). Viktor Yakovlevich Buniakowsky (16.prosinca 1804., Bar, Ukrajina- 30.studenog 1889., Sankt Peterburg, Rusija) Slika 4.3: Viktor Yakovlevich Buniakowsky 20

24 Buniakowsky je doktorirao 1825.godine u Parizu kod Cauchyja. [17, 21] Vratio se u St. Peterburg noseći znanja koja do tada nisu postojala u Rusiji. Odigrao je važnu ulogu u razvoju teorije ostataka i ideje o vjerojatnosti. Bavio se i geometrijom, mehanikom i hidrostatikom. Najpoznatiji je po otkriću Cauchy-Schwarzove nejednakosti objavljene u studiji o nejednakosti izmedu integrala. To je bilo 25 godina prije Schwarzovog rada. Napisao je preko 150 radova, predavao je na Sveučilištu, bio je član, a kasnije i potpredsjednik Petersburške akademije znanosti. Najpoznatiji radovi su mu: Foundations of the mathematical theory of probability (1846), Mémoires de l Academie des sciences de St-Péterbourg (1859). 21

25 Literatura [1] N.S. Barnett, S.S. Dragomir, An additive reverse of the Cauchy- Bunyakowsky-Schwarz integral inequality, Applied Mathematics Letters, Volume 21, Issue 4, April 2008, [2] F.M. Brückler, Povijesna rubrika, Osječki matematički list, 9 (2009), [3] L. Čaklović, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Školska knjiga, Zagreb, [4] S.S. Dragomir, A Survey on Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Type Discrete Inequalities, Victoria Univerity, Melbourne, [5] I. Ilišević, Primjena Cauchy-Schwarz-Buniakowsky-jeve nejednakosti u geometriji, Osječki matematički list, 5 (2005), [6] D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Sveučilište J.J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, [7] S. Kurepa, Matematička analiza 3, Tehnička knjiga, Zagreb, [8] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, [9] S. Mardešić, Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, Školska knjiga, Zagreb, [10] B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehnička knjiga, Zagreb, [11] J. Pečarić, Nejednakosti, HMD i Element, Zagreb, [12] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, [13] J.M. Steel, The Cauchy-Schwarz-Master Class, An introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, [14] E.H. Wichmann, Kvantna fizika, Tehnička knjiga, Zagreb, [15] 22

26 [16] [17] [18] [19] Robertson_Uncertainty_Relation [20] Heisenberg-Uncertainty-Principle [21] 23

27 Sažetak U ovom diplomskom radu razmatra se CSB nejednakost, jedna od najvažnijih nejednakosti u matematici. Nejednakost je stavljena u povijesni okvir, te se kroz povijesni pregled uvodi problematika koja je zaokupljala tadašnje matematičare. U radu je prikazana CSB nejednakost u integralnom obliku, vektorskom obliku i u obliku sume za realne i kompleksne brojeve, te razni primjeri. CSB nejednakost ima svekoliku primjenu u analizi, algebri, statistici, vjerojatnosti, kvantnoj mehanici i dr. Neke od primjena su obradene u radu, a to su primjene u geometriji, vjerojatnosti i kvantnoj mehanici. Kroz teoreme i primjene naglašena je važnost CSB nejednakosti u matematici, te njena važnost za dalji razvoj matematike i područja u kojima se koristi matematika. O važnosti CSB nejednakosti govori i podatak da se svaki mjesec objavljuju stotine novih znanstvenih radova gdje se ona primjenjuje. 24

28 Summary This thesis examines the CSB inequality, one of the most important inequalities in mathematics. Inequality is placed in a historical framework, and through the historical review introduces the problem that has occupied the former mathematicians. This paper presents the CSB inequality in integral form, in the form of vector sum of real and complex numbers, and various examples. CSB inequality has applications in analysis, algebra, statistics, probability, quantum mechanics, etc. Some of the applications are processed in the work, such as applications in geometry, probability and quantum mechanics. Through the application of theorems we emphasized the importance of CSB inequality in mathematics and its importance for the further development of mathematics and areas in which mathematics is used. The importance of the CSB inequality is the fact that every month hundreds of new applicable research papers, where published. 25

29 Životopis Rodena sam 25.srpnja u Nizi. Od do pohadala sam osnovnu školu Ivana Brlić-Mažuranić u Koški. Maturirala sam u CUO Braća Ribar u Osijeku, smjer matematičar-informatičar. Godine upisala sam smjer matematika- fizika na Pedagoškom fakultetu u Osijeku, gdje sam apsolvirala. Nekoliko godina sam radila u srednjoj školi Josip Kozarac u Durdenovcu. Kada je osnovan Odjel za matematiku Sveučilišta u Osijeku, prešla sam s Pedagoškog fakulteta na novoosnovani Odjel. 26

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski

More information

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Marinković Klasifikacija H-matrica metodom skaliranja i njena primena u odred ivanju oblasti konvergencije

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.

Zadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola

More information

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas

Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Pojam funkcije u nastavi matematike... Uvod Pojam funkcije u nastavi matematike nekad i danas Mirjana Marjanović Matić 1 Matematika se u školi predaje od davnina pa vjerujemo kako bi se svi složili da

More information

Krive u prostoru Minkovskog

Krive u prostoru Minkovskog UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Maja Jolić Krive u prostoru Minkovskog - master rad - Mentor: dr Sanja Konjik Novi Sad, 2016 Predgovor Na vratima

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

GENERALIZATIONS AND IMPROVEMENTS OF AN INEQUALITY OF HARDY-LITTLEWOOD-PÓLYA. Sadia Khalid and Josip Pečarić

GENERALIZATIONS AND IMPROVEMENTS OF AN INEQUALITY OF HARDY-LITTLEWOOD-PÓLYA. Sadia Khalid and Josip Pečarić RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 18 = 519 014: 73-89 GENERALIZATIONS AND IMPROVEMENTS OF AN INEQUALITY OF HARDY-LITTLEWOOD-PÓLYA Sadia Khalid and Josip Pečarić Abstract. Some generalizations of an inequality

More information

A choice of norm in discrete approximation

A choice of norm in discrete approximation 147 A choice of norm in discrete approximation Tomislav Marošević Abstract. We consider the problem of choice of norms in discrete approximation. First, we describe properties of the standard l 1, l 2

More information

Problem četiri boje. Four colors problem

Problem četiri boje. Four colors problem Osječki matematički list 10(2010), 21 29 21 Problem četiri boje Iva Gregurić, Antoaneta Klobučar Sažetak. U ovom članku pokušat ćemo približiti učenicima srednjih škola jedan od zanimljivijih problema

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT

MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

Povijest matematike. Matematička analiza. Franka Miriam Brückler. ak. g /14.

Povijest matematike. Matematička analiza. Franka Miriam Brückler. ak. g /14. Matematička analiza ak. g. 2013./14. Fluksije Isaac Newton (1642. 1727.) je 1671. napisao De Methodis Serierum et Fluxionum o fluksijama. Iako objavljeno više od 60 godina kasnije, mnogi su ga matematičari

More information

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Mario Berljafa, Sara Muhvić, Melkior Ornik Računanje Gaussovih integracijskih formula za sažimajuću bazu Zagreb, 2011. Ovaj rad izraden je na Zavodu

More information

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine

Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nikola Dukanović Hamiltonov princip i parcijalne diferencijalne jednačine -master rad- Novi Sad, 2014. Sadržaj

More information

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index

An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research

More information

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA

PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,

More information

OSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014.

OSNOVE GEOMETRIJE. Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. OSNOVE GEOMETRIJE Branko µcervar, Goran Erceg, Ivan LekiĆ 2013./2014. i ii Sadrµzaj PREDGOVOR OZNAKE v vii 1 POVIJESNI PREGLED 1 1.1 EUKLID I NJEGOVI ELEMENTI................ 1 1.2 SADRµZAJ PRVE KNJIGE

More information

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE

OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Continuous Random Variables

Continuous Random Variables 1 / 24 Continuous Random Variables Saravanan Vijayakumaran sarva@ee.iitb.ac.in Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay February 27, 2013 2 / 24 Continuous Random Variables

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1

Sveučilišni studijski centar za stručne studije. Zavod za matematiku i fiziku. Uvod u Matlab. Verzija 1.1 Sveučilišni studijski centar za stručne studije Zavod za matematiku i fiziku Uvod u Matlab Verzija 1.1 Karmen Rivier, Arijana Burazin Mišura 1.11.2008 Uvod Matlab je interaktivni sistem namijenjen izvođenju

More information

MA 575 Linear Models: Cedric E. Ginestet, Boston University Revision: Probability and Linear Algebra Week 1, Lecture 2

MA 575 Linear Models: Cedric E. Ginestet, Boston University Revision: Probability and Linear Algebra Week 1, Lecture 2 MA 575 Linear Models: Cedric E Ginestet, Boston University Revision: Probability and Linear Algebra Week 1, Lecture 2 1 Revision: Probability Theory 11 Random Variables A real-valued random variable is

More information

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina

Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ester Jambor Jedna familija trokoračnih postupaka šestog reda za rešavanje nelinearnih jednačina master rad

More information

Diskretna Fourierova transformacija

Diskretna Fourierova transformacija Elektrotehnički fakultet Sveučilište u Osijeku Kneza Trpimira 2b Osijek, 14 siječnja 2008 Seminarski rad iz predmeta Matematičko programiranje Diskretna Fourierova transformacija Željko Mihaljčić 1, Držislav

More information

CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath

CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 18 = 519 (2014): 125-143 CLASSIFICATION OF CONIC SECTIONS IN P E 2 (R) Jelena Beban-Brkić and Marija Šimić Horvath Abstract. This paper gives a complete classification

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS

DYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,

More information

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja

Hrvatski matematički elektronički časopis. Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Kvantitativne metode odlučivanja - problem složene razdiobe ulaganja optimizacija Tihana Strmečki, Ivana Božić i Bojan Kovačić Tehničko veleučilište u Zagrebu,

More information

VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE

VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Almeida Hasić VIŠESTRUKO USPOREĐIVANJE Diplomski rad Zagreb, 2014. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI

More information

Temeljni koncepti u mehanici

Temeljni koncepti u mehanici Temeljni koncepti u mehanici Prof. dr. sc. Mile Dželalija Sveučilište u Splitu, Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i kineziologije Teslina 1, HR-1000 Split, e-mail: mile@pmfst.hr Uvodno Riječ

More information

RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE

RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING Mario Jeleč Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, mag.ing.aedif. Corresponding author: mjelec@gfos.hr Damir

More information

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005

Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Prvo predavanje iz Teorije skupova 08/10/2005 Sadržaj današnjeg predavanja 1. Kratki sadržaj kolegija. 2. Literatura. 3. Kratka povijest nastanka teorije skupova. 4. Osnovne napomene na početku kolegija.

More information

NEKI STATISTIČKI ASPEKTI PREPOZNAVANJA MOTIVA

NEKI STATISTIČKI ASPEKTI PREPOZNAVANJA MOTIVA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ajka Relja NEKI STATISTIČKI ASPEKTI PREPOZNAVANJA MOTIVA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Pavle Goldstein Zagreb, srpanj

More information

ANALIZA VARIJANCE PONOVLJENIH MJERENJA

ANALIZA VARIJANCE PONOVLJENIH MJERENJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Pažin ANALIZA VARIJANCE PONOVLJENIH MJERENJA Diplomski rad Zagreb, srpanj, 2014 Voditelj rada: prof. dr. sc. Anamarija Jazbec

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Anita Ivanović Plic. Žene u matematici. Diplomski rad. Osijek, 2011.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Anita Ivanović Plic. Žene u matematici. Diplomski rad. Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Anita Ivanović Plic Žene u matematici Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Anita Ivanović

More information

DETEKCIJA SUDARA ČVRSTIH TIJELA

DETEKCIJA SUDARA ČVRSTIH TIJELA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD 1853. DETEKCIJA SUDARA ČVRSTIH TIJELA Tomislav Ostroški Zagreb, srpanj 2010. Sadržaj Uvod 4 1 Dinamika čvrstog tijela 5 1.1 Linearno

More information

Lecture 22: Variance and Covariance

Lecture 22: Variance and Covariance EE5110 : Probability Foundations for Electrical Engineers July-November 2015 Lecture 22: Variance and Covariance Lecturer: Dr. Krishna Jagannathan Scribes: R.Ravi Kiran In this lecture we will introduce

More information

Random Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R

Random Variables. Random variables. A numerically valued map X of an outcome ω from a sample space Ω to the real line R In probabilistic models, a random variable is a variable whose possible values are numerical outcomes of a random phenomenon. As a function or a map, it maps from an element (or an outcome) of a sample

More information

24. Balkanska matematiqka olimpijada

24. Balkanska matematiqka olimpijada 4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako

More information

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH

VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Zoranka Desnica VREMENSKE SERIJE U FINANSIJAMA: ARCH I GARCH -završni rad - Novi Sad, oktobar 009. PREDGOVOR

More information

LIST OF FORMULAS FOR STK1100 AND STK1110

LIST OF FORMULAS FOR STK1100 AND STK1110 LIST OF FORMULAS FOR STK1100 AND STK1110 (Version of 11. November 2015) 1. Probability Let A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... be events, that is, subsets of a sample space Ω. a) Axioms: A probability function

More information

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems

The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 61 (4) 815-819 (1988) CCA-1828 YU ISSN 0011-1643 UDC 541.571.9 Original Scientific Paper The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems Slawomir J. Grabowski Institute

More information

Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja. Tomislav Šmuc

Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja. Tomislav Šmuc Strojno učenje 3 (II dio) Struktura metoda/algoritama strojnog učenja Tomislav Šmuc PMF, Zagreb, 2013 Sastavnice (nadziranog) problema učenja Osnovni pojmovi Ulazni vektor varijabli (engl. attributes,

More information

Chapter 2. Some Basic Probability Concepts. 2.1 Experiments, Outcomes and Random Variables

Chapter 2. Some Basic Probability Concepts. 2.1 Experiments, Outcomes and Random Variables Chapter 2 Some Basic Probability Concepts 2.1 Experiments, Outcomes and Random Variables A random variable is a variable whose value is unknown until it is observed. The value of a random variable results

More information

A L A BA M A L A W R E V IE W

A L A BA M A L A W R E V IE W A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N

More information

PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA 0-1 PROGRAMIRANJE

PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA 0-1 PROGRAMIRANJE Tihomir^Hunjak U D K : $, Fakultet organizacije i informatike Stručni rad V a r a ž d i n PRIKAZ BALASOVOG ALGORITMA ZA - 1 PROGRAMIRANE U uvodnom dijelu rada govori e o cjelobrojnom i nula-jedan pro gramiranju.

More information

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52

DISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog

More information

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević

HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC Vera Djordjević, Vinko Lepojević FACTA UNIVERSITATIS Series: Economics and Organization Vol. 2, N o 1, 2003, pp. 59-64 HENDERSON'S APPROACH TO VARIANCE COMPONENTS ESTIMATION FOR UNBALANCED DATA UDC 519.233.4 Vera Djordjević, Vinko Lepojević

More information

Univerzitet u Beogradu. Matematički fakultet. Master rad. Principi matematičke indukcije i rekurzije u nastavi. Matematike i računarstva

Univerzitet u Beogradu. Matematički fakultet. Master rad. Principi matematičke indukcije i rekurzije u nastavi. Matematike i računarstva Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Principi matematičke indukcije i rekurzije u nastavi Matematike i računarstva Mentor: dr. Nebojša Ikodinović Kandidat: Ivanka Jovanović Beograd, 2013.

More information

Obavezan predmet za sve studijske programe

Obavezan predmet za sve studijske programe Katedra za matematičke nauke Predmet: Matematika I Fonda časova: 3+2 Semestar III Literatura N. Miličić, M. Obradović, Elementi više matematike (teorija sa primerima i zadacima ), Akademska misao, Beograd,

More information

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA

AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA AUTOMATSKE GRUPE I STRUKTURE PREDSTAVLJIVE KONAČNIM AUTOMATIMA master teza Autor: Atila Fešiš Mentor: dr Igor Dolinka Novi Sad, 2013. Sadržaj Predgovor iii 1 Osnovni pojmovi 1 1.1 Konačni automati i regularni

More information

Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal

Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal ISSN 0005 1144 ATKAAF 48(3 4), 129 135 (2007) Martin Jadrić, Marin Despalatović, Božo Terzić, Josip Macan Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density

More information

Na elo histori nosti- Cardano, Viète, Tartaglia, Abel

Na elo histori nosti- Cardano, Viète, Tartaglia, Abel Na elo histori nosti- Cardano, Viète, Tartaglia, Abel seminar iz Metodike nastave matematike 2 Matea Vidov, Marija šuºul Zagreb, svibanj 2017. 1 Sadrºaj 1 Uvod 3 2 Niccolò Fontana (Tartaglia) 4 2.1 Tartaglijev

More information

Formulas for probability theory and linear models SF2941

Formulas for probability theory and linear models SF2941 Formulas for probability theory and linear models SF2941 These pages + Appendix 2 of Gut) are permitted as assistance at the exam. 11 maj 2008 Selected formulae of probability Bivariate probability Transforms

More information

The Cauchy-Schwarz inequality

The Cauchy-Schwarz inequality The Cauchy-Schwarz inequality Finbarr Holland, f.holland@ucc.ie April, 008 1 Introduction The inequality known as the Cauchy-Schwarz inequality, CS for short, is probably the most useful of all inequalities,

More information

ALGEBRAIC MODELLING OF QUANTUM MECHANICAL EQUATIONS IN THE FINITE- AND INFINITE-DIMENSIONAL HILBERT SPACES

ALGEBRAIC MODELLING OF QUANTUM MECHANICAL EQUATIONS IN THE FINITE- AND INFINITE-DIMENSIONAL HILBERT SPACES PHYSICS DEPARTMENT OF THE FACULTY OF SCIENCE Norman Dwight Megill ALGEBRAIC MODELLING OF QUANTUM MECHANICAL EQUATIONS IN THE FINITE- AND INFINITE-DIMENSIONAL HILBERT SPACES DOCTORAL THESIS Zagreb, 2011

More information

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra

Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition Math 4377/6308 Advanced Linear Algebra 2.3 Composition of Linear Transformations Jiwen He Department of Mathematics, University of Houston jiwenhe@math.uh.edu math.uh.edu/ jiwenhe/math4377

More information

1+t 2 (l) y = 2xy 3 (m) x = 2tx + 1 (n) x = 2tx + t (o) y = 1 + y (p) y = ty (q) y =

1+t 2 (l) y = 2xy 3 (m) x = 2tx + 1 (n) x = 2tx + t (o) y = 1 + y (p) y = ty (q) y = DIFFERENTIAL EQUATIONS. Solved exercises.. Find the set of all solutions of the following first order differential equations: (a) x = t (b) y = xy (c) x = x (d) x = (e) x = t (f) x = x t (g) x = x log

More information

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3

PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 FACTA UNIVERSITATIS Series: Working and Living Environmental Protection Vol. 10, N o 1, 2013, pp. 79-91 PRECIPITATION FORECAST USING STATISTICAL APPROACHES UDC 55:311.3 Mladjen Ćurić 1, Stanimir Ţivanović

More information

Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python

Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Vladimir Milić Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb, 19. siječnja 2017. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb,

More information

ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE

ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU DUNJA STRAKA ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE Završni rad Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja

More information