POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA"

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

2

3 Mojoj dječici - trogodišnjoj Petri i petogodišnjem Mateju

4

5 Iskreno se zahvaljujem voditelju disertacije prof. dr. sc. Andreju Dujelli, koji mi je pružio mogućnost baviti se ovim zanimljivim problemima, naučio me osnovama znanstvenog rada te me je svojim korisnim stručnim savjetima na jednostavan, ali vrlo efikasan način vodio kroz izradu disertacije. Zahvaljujem se svojim dragim roditeljima, koji su proživjeli samnom svaki trenutak izrade ove disertacije te svojoj obitelji na velikom strpljenju i podršci.

6 Sadržaj Predgovor 11 1 Diofantov problem i njegove varijante Diofantove m-torke Neke generalizacije Diofantova problema Skupovi sa svojstvom D(n) Diofantove m-torke k-tih potencija Polinomne generalizacije Diofantova problema Elementi teorije funkcijskih polja 18.1 Masonov teorem Fundamentalna nejednakost za funkcijska polja Polinomna varijanta Diofantova problema za čiste potencije Diofantov problem Nejednakosti za stupnjeve polinoma u polinomnim Diofantovim m-torkama Smanjenje gornje ograde na broj elemenata polinomne Diofantove m-torke Smanjenje gornje ograde na broj elemenata Diofantove m- torke čistih potencija Diofantove m-torke za kvadratne polinome Skupovi sa svojstvom D(n) Skupovi polinoma jednakih stupnjeva Skupovi konstanti Skupovi linearnih polinoma Skupovi polinoma stupnja k, gdje je k Gornja ograda i princip rupe za stupnjeve elemenata u polinomnoj D(n)-četvorci

7 4.4 Gornja ograda na m u polinomnoj D(n)-m-torci, za kvadratni polinom n Bibliografija 118 Sažetak 1 Polynomial variants of a problem of Diophantus - Summary 13 Životopis 14 7

8 Predgovor Cilj istraživanja opisanih u ovoj disertaciji je rješavanje dvaju diofantskih problema nad zadanim prstenima polinoma. Diofant iz Aleksandrije bavio se traženjem skupova brojeva koje karakterizira svojstvo da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat. Takav skup sastavljen od m elemenata zovemo Diofantovom m-torkom. Tijekom godina proučavane su brojne generalizacije Diofantova problema, a razmatran je i nad drugim domenama osim prvobitno proučavanih domena Z i Q. U disertaciji se bavimo dvjema polinomnim generalizacijama Diofantova problema. Tražimo gornje ograde na broj elemenata u Diofantovoj m-torci za zadani prsten polinoma. U trećem poglavlju dokazujemo da ne postoji skup od 8 polinoma, koji nisu svi konstantni, s koeficijentima u algebarski zatvorenom polju karakteristike 0, takav da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat. U četvrtom poglavlju disertacije određujemo gornju ogradu na broj elemenata skupa polinoma nad Z, takvog da je umnožak bilo koja dva njegova elementa plus kvadratni polinom n Z[X] kvadrat polinoma nad Z (isključujemo mogućnost da su svi elementi takvog skupa konstantni višekratnici linearnog polinoma p Z[X], takvog da p n). Dokazujemo da je najveći mogući broj elemenata takvog skupa 98. Navedena dva istraživanja povezuje i teorija funkcijskih polja koja leži u pozadini rješavanja problema. Elementi te teorije dani su u drugom poglavlju disertacije. Fundamentalna (Masonova) nejednakost za funkcijska polja osnova je efektivne analize familija diofantskih jednadžbi nad prstenom Z[X]. Masonov teorem, koji je polinomna generalizacija abc hipoteze za cijele brojeve, jedne od najpoznatijih nedokazanih slutnji u matematici, ima široku primjenu na različite diofantske probleme. U rješavanju problema opisanog u trećem poglavlju koristimo neke rezultate dobivene primjenom Masonova teorema, dok kod problema danog u četvrtom poglavlju važnu ulogu ima korištenje fundamentalne nejednakosti za određivanje ograde na visine rješenja 8

9 hipereliptičke jednadžbe nad funkcijskim poljem. Definicija Diofantove m-torke kao skupa sa svojstvom da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat ima smisla za skupove u proizvoljnom komutativnom prstenu s jedinicom. U trećem dijelu disertacije opisana su istraživanja takvih skupova polinoma nad proizvoljnim algebarski zatvorenim poljem K karakteristike 0 pa se zahtijeva još i da nisu svi elemnti takvoga skupa konstante, a za navedene skupove koristi se naziv polinomne Diofantove m-torke. Osnovni rezultat ovog dijela je dokaz tvrdnje da ne postoji polinomna Diofantova 8-orka. U istraživanju je najprije postavljena hipoteza da je moguće smanjiti ranije poznatu gornju ogradu od 11, dokazanu u [4]. Hipoteza se temelji na mogućnosti poboljšanja principa rupe koji je korišten kod dobivanja spomenutog rezultata. Problem proširenja polinomne Diofantove trojke do polinomne Diofantove četvorke najprije se transformira na rješavanje sustava simultanih pellovskih jednadžbi. To nas vodi do traženja presjeka binarnih linearnih rekurzivnih nizova. Poboljšani princip rupe slijedi iz detaljne analize elemenata malih indeksa tih nizova. Promatraju se binarni linearni rekurzivni nizovi (V m ) m 0 i (W n ) n 0 te se analiziraju jednakosti V m = W n za male vrijednosti m i n. Analiza je provedena slijedeći analognu analizu za cjelobrojni slučaj, iznesenu u [18]. Za razliku od prstena Z, u prstenu K[X] nije definiran uređaj. Zbog toga se u provedenim razmatranjima koriste stupnjevi polinoma, što ih čini bitno složenijima nego u cjelobrojnom slučaju. Tijekom dokazivanja poboljšanog principa rupe dokazano je i da u K[X] ne vrijedi standardna hipoteza koja vrijedi u Z[X], a kaže da je svaka Diofantova četvorka {a, b, c, d} regularna, odnosno da je (a + b c d) = 4(ab + 1)(cd + 1). Nađen je kontraprimjer u Q( 3)[X], odnosno nađena je familija skupova za koju ne vrijedi navedeno svojstvo. Naime, za svaki izbor korijena 3 jednadžbe X + 3 = 0 u K, skup { 3, 3 3 (p 1), p + 3 3, p + } 3, 3 3 gdje je p K[X] nekonstantan polinom, je iregularna polinomna Diofantova četvorka. U dokazu osnovnog rezultata kombinira se dobiveni princip rupe i gornja ograda na stupanj elementa u polinomnoj Diofantovoj četvorci, korištena i kod dokazivanja prethodno poznate ograde od 11 polinoma. Posljedica dokazanog rezultata je poboljšanje gornje ograde na broj elemenata skupa u K[X], takvog da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 k-ta potencija nekog elementa iz K[X]. Pri dokazivanju te gornje ograde slijedi se pristup analogan onome koji su koristili autori Dujella, Fuchs i Luca 9

10 [4], dakle kombiniraju se poznate gornje ograde na broj elemenata Diofantovih m-torki k-tog stupnja za fiksni k i Ramseyeva teorija. U pozadini nekih korištenih rezultata stoji primjena Masonova teorema. Istraživanja opisana u četvrtom poglavlju odnose se na skupove koje zovemo D(n)-m-torkama. Radi se o skupovima od m elemenata, takvih da je umnožak bilo koja dva od njih uvećan za n potpun kvadrat. Promatrani su skupovi {a 1, a,..., a m } nad Z[X], gdje je n kvadratni polinom nad Z. Cilj istraživanja bio je odrediti gornju ogradu na broj elemenata takvog skupa. Pritom je postavljena hipoteza da se poznati rezultati za linearne polinome n, izneseni u [5, 6], mogu poopćiti za kvadratne polinome n. Postavljena pretpostavka da ne postoji polinom p takav da su a 1 p,..., am n i p p cijeli brojevi znači da, za konstantni n, ne mogu svi elementi polinomne D(n )-m-torke {a 1, a,..., a m} biti konstante. U ovakvom slučaju nije poznata gornja ograda na m. Kao poveznica razmatranja problema iz trećeg i četvrtog poglavlja najprije je, korištenjem gornje ograde na broj elemenata u polinomnoj Diofantovoj m-torci, dokazano da ne postoji polinomna D(n)-8-orka, ako je n nenul cijeli broj. Nakon toga pristupa se osnovnom problemu te se promatraju polinomne D(n)-m-torke, za kvadratni n, koje se sastoje samo od polinoma jednakog stupnja. Dokazuje se da u polinomnoj D(n)-m-torci postoje najviše dvije nenul konstante te najviše četiri linearna polinoma. Ove su ograde najbolje moguće. Na primjer, skup {X, 10X + 0, 4X + 14, X + 8} čini polinomnu D( 4X 16X + 9)-četvorku. Promatraju se zatim skupovi polinoma stupnja k, većeg od 1. U tim razmatranjima ključna je konstrukcija s elementima polinomne D(n)-trojke, dana u [5], te polinom e definiran u toj konsrtukciji. Dok je kod promatranja skupova linearnih polinoma postupak dokazivanja donekle analogan odgovarajućem slučaju kada je n linearni polinom, preostali skupovi polinoma jednakih stupnjeva razmatraju se složenijim metodama. Jedan od razloga veće složenosti dokaza je taj što se sada za polinom n zasebno promatra slučaj kada je on ireducibilan nad Q, a zasebno slučaj kada je n umnožak dva linearna polinoma s racionalnim koeficijentima. Prvi korak u traženju najvećeg mogućeg broja polinoma jednakog stupnja u polinomnoj D(n)-m-torci je određivanje broja mogućih c-ova za fiksne polinome a i b, gdje je {a, b, c} polinomna D(n)-trojka. Do tog se broja dolazi detaljnom analizom mogućih e-ova iz navedene konstrukcije. Korištene su od ranije poznate jednakosti koje povezuju spomenute elemente, a izvedene su i neke nove jednakosti koje čine osnovu pojedinih dokaza. Detaljnom analizom mogućih odnosa između polinoma n i e, dokazano je da 10

11 postoji najviše 81 kvadratni, najviše 5 kubnih te najviše 6 polinoma četvrtog stupnja u polinomnoj D(n)-m-torci. Također, dokazano je da postoje najviše po 3 polinoma stupnja k, za k 5, u takvom skupu, što je najbolja moguća gornja ograda. Navedeni dokazi potkrijepljeni su brojnim konkretnim primjerima mogućih e-ova te su nađene brojne konkretne trojke i nekoliko četvorki. Sljedeći korak u istraživanju je dokazivanje principa rupe za stupnjeve elemenata u polinomnoj D(n)-m-torci, provedeno analogno odgovarajućem dokazu za slučaj linearnog n-a. Svi opisani rezultati kombinirani su s od ranije poznatom gornjom ogradom na stupanj elementa u polinomnoj D(n)-četvorci, kako bi se dokazao osnovni teorem ovog dijela disertacije, onaj u kojem se tvrdi da je gornja ograda na broj m jednaka 98. Dokazujući ovaj rezultat, dokazuje se i da ako se polinomna D(n)-m-torka, za kvadratni n, sastoji samo od polinoma neparnih stupnjeva, tada je m 18. Problem opisan u trećem poglavlju disertacije pretočen je u znanstveni članak, koji je prihvaćen za objavljivanje u International Journal of Number Theory. Rješavanje problema danog u četvrtom poglavlju predstavlja nastavak dosadašnjih proučavanja polinomnih generalizacija Diofantova problema. U Rijeci, svibanj 010. Ana Jurasić 11

12 Poglavlje 1 Diofantov problem i njegove varijante Problem konstrukcije Diofantovih m-torki, skupova sa svojstvom da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat, ima korijene u vrlo dalekoj povijesti. Svakim je danom poznato sve više novih rezultata iz ovog područja, ali i dalje postoje mnogi otvoreni problemi i nedokazane slutnje. Cilj ovog poglavlja je iznijeti osnovne probleme i neke poznate rezultate vezane za Diofantove m-torke Diofantove m-torke Grčki matematičar Diofant iz Aleksandrije [6] prvi se bavio traženjem skupova četiriju brojeva takvih da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat. Našao je skup od četiri pozitivna racionalna broja s takvim svojstvom { 1 16, 33 16, 17 4, 105 }. 16 Prvi skup od četiri prirodna broja s takvim svojstvom {1, 3, 8, 10}, pronašao je Fermat. Euler je pronašao beskonačnu familiju takvih skupova {a, b, a + b + r, 4r(r + a)(r + b)}, 1 Za više detalja i popis literature iz ovog područja, vidjeti [1]. 1

13 gdje je ab + 1 = r. Također, dodao je spomenutom Fermatovom skupu i peti pozitivni racionalni broj godine Gibbs [35, 34] je pronašao prvi primjer takve šestorke pozitivnih racionalnih brojeva { 11 19, 35 19, 155 7, 51 7, , }. 16 Uvedimo definicije ovakvih skupova. Definicija Skup od m prirodnih brojeva {a 1, a,..., a m } nazivamo Diofantovom m-torkom ako je a i a j +1 potpun kvadrat za svaki 1 i < j m. Definicija 1.1. Skup od m nenul racionalnih brojeva {a 1, a,..., a m } nazivamo racionalnom Diofantovom m-torkom ako je a i a j + 1 potpun kvadrat za svaki 1 i < j m. Prirodno se nameće pitanje koliko mogu biti veliki ovakvi skupovi. Do sada nije poznata apsolutna gornja ograda na broj elemenata racionalne Diofantove m-torke. Ne postoji čak niti široko prihvaćena hipoteza o tome. Iako je već Euleru bilo poznato da postoji beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih petorki, nije poznato postoji li beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih šestorki te nije poznato postoji li racionalna Diofantova 7-orka. Gibbs [35, 34] je pronašao 45 primjera racionalnih Diofantovih šestorki, a još nekoliko ih je 009. godine pronašao Dujella [0]. Međutim, za cjelobrojni slučaj ovo je pitanje nedavno gotovo potpuno riješeno. Naime, koristeći se teorijom diofantskih aproksimacija, Dujella [18] je dokazao sljedeća dva teorema. Teorem Ne postoji Diofantova šestorka. Teorem 1.1. Postoji samo konačno mnogo Diofantovih petorki. Osim toga, Dujella [18] je dokazao da za sve Diofantove petorke Q vrijedi max Q < Iz toga slijedi, (vidi [19]), da postoji najviše Diofantovih petorki. Nedavno je ovu ogradu znatno poboljšao Fujita [33], dokazavši da postoji najviše Diofantovih petorki. Uvriježena je i sljedeća slutnja. Slutnja Ne postoji Diofantova petorka. Prvi važan rezultat koji je prethodio ovoj pretpostavci je onaj Bakera i Davenporta [3]. Oni su dokazali da ako je d prirodan broj takav da je {1, 3, 8, d} Diofantova četvorka, tada je d = 10. Iz toga slijedi da se Fermatov skup {1, 3, 8, 10} ne može proširiti do Diofantove petorke. Navedimo i da je Dujella [9] dokazao da se svaka Diofantova četvorka može proširiti do racionalne Diofantove petorke. 13

14 1. Neke generalizacije Diofantova problema 1..1 Skupovi sa svojstvom D(n) Postoji nekoliko prirodnih generalizacija originalnog Diofantova i Fermatova problema. Prvu od njih čini zamjena broja 1, u definiciji Diofantove m-torke, proizvoljnim cijelim brojem n. Definicija 1..1 Neka je n nenul cijeli broj. Skup od m različitih prirodnih brojeva {a 1, a,..., a m } naziva se Diofantovom m-torkom sa svojstvom D(n) ili samo D(n)-m-torkom ako je a i a j + n potpun kvadrat, za svaki 1 i < j m. Nekoliko se autora bavilo problemom postojanja Diofantovih četvorki sa svojstvom D(n) i taj je problem gotovo potpuno riješen godine, Brown [4], Gupta i Singh [38] te Mohanty i Ramasamy [48] neovisno su dokazali sljedeći rezultat, koji daje prvi dio odgovora. Teorem 1..1 Ako je n cijeli broj oblika n = 4k +, k Z, tada ne postoji Diofantova četvorka sa svojstvom D(n). Drugi dio odgovora, dan u sljedećem teoremu, dokazao je Dujella [1] godine. Isti je autor nešto kasnije dokazao i neka poboljšanja tog rezultata. Teorem 1.. Ako cijeli broj n nije oblika 4k +, k Z, i ako n / S = { 4, 3, 1, 3, 5, 8, 1, 0}, tada postoji barem jedna Diofantova četvorka sa svojstvom D(n). Za n S pitanje postojanja Diofantovih četvorki sa svojstvom D(n) i dalje je otvoreno. Pretpostavlja se da za takve vrijednosti n ne postoje Diofantove četvorke. Poznato je da D(n)-petorke postoje za n = 55 i n = 56 te su to najmanji n-ovi po apsolutnoj vrijednosti za koje su poznate D(n)-petorke. Na primjer, skupovi {1, 33, 105, 30, 1840} i {5, 1, 64, 85, 670} imaju svojstvo D(56), dok skup {8, 3, 77, 03, 58} ima svojstvo D( 55) ([9], [1]). Neke odgovore na pitanje koliko mogu biti veliki skupovi sa svojstvom D(n), gdje je n nenul cijeli broj, navest ćemo u četvrtom poglavlju. Definicija 1.. Neka je q nenul raionalan broj. Skup od m nenul racionalnih brojeva {a 1, a,..., a m } zove se racionalna D(q)-m-torka ako je a i a j +q kvadrat racionalnog broja za svaki 1 i < j m. Iz Teorema 1.. jednostavno slijedi da za svaki racionalan broj q postoji beskonačno mnogo racionalnih D(q)-četvorki. Poznato je da za racionalne brojeve q oblika q = r, q = r ([15]) te q = 3r ([14]), gdje je r Q, postoji beskonačno mnogo racionalnih D(q)-petorki. 14

15 1.. Diofantove m-torke k-tih potencija Definicija 1..3 Skup prirodnih brojeva takvih da je umnožak bilo koja dva od njih uvećan za 1 k-ta potencija nekog cijelog broja, za neki cijeli broj k 3, zovemo Diofantovom m-torkom k-tog stupnja. Primjeri takvih trojki za k = 3 i k = 4 su {, 171, 536} i {135, , }, respektivno. Poznate su i sljedeće apsolutne gornje ograde na veličinu takvih skupova. Već smo spomenuli da za k = vrijedi m 5. Bugeaud i Dujella [5] dokazali su da za k = 3 vrijedi m 7, za k = 4 vrijedi m 5, za 5 k 176 vrijedi m 4 te da je m 3 za k 177. Gyarmati [39] se bavila nešto općenitijim problemom. Neka su N, k 3 prirodni brojevi. Neka su A i B podskupovi skupa {1,,..., N}, tako da je ab + 1 k-ta potencija za svaki a A i b B. Gyarmati je dokazala da je min{ A, B } 1 + (log log N)/ log(k 1), gdje A, B označavaju brojeve elemenata skupa A, B, respektivno. U [5], Bugeaud i Dujella su dokazali da je min{ A, B } za k 177. Nekoliko se autora bavilo i traženjem gornje ograde na veličinu skupa prirodnih brojeva sljedećeg oblika. Definicija 1..4 Skup prirodnih brojeva takav da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 k-ta potencija nekog prirodnog broja za k zovemo Diofantovom m-torkom čistih potencija. Luca [45] je poboljšao nekoliko ranijih rezultata i dokazao da ako je {a 1,..., a m } {1,..., N} Diofantova m-torka čistih potencija u Z, tada je m c ( log N log log N za sve dovoljno velike vrijednosti od N i za efektivno izračunljivu konstantu c. Također, dokazao je da, ako vrijedi abc hipoteza, veličina Diofantove m- torke čistih potencija u Z ograničena je apsolutnom konstantom O(1). Lucin rezultat dodatno je poboljšao Stewart [55] dokazavši da je m (log N) 3 (log log N) 1 3. A. Kihel i O. Kihel [43] bavili su se još jednom generalizacijom Diofantova i Fermatova problema na veće potencije. Promatrali su skup {a 1, a,..., a m } različitih prirodnih brojeva sa svojstvom da je j J a j + n k-ta potencija nekog cijelog broja, za svaki J {1,,..., m}, gdje je J = k. Dokazali su da je takav skup konačan. Vidjeti na primjer [49]. ) 3 15

16 1..3 Polinomne generalizacije Diofantova problema U ovoj ćemo se disertaciji baviti dvjema različitim varijantama Diofantova problema za polinome. U četvrtom poglavlju bavit ćemo se takvim skupovima nad Z[X]. Uzet ćemo da je n Z[X] i promatrati skupove {a 1, a,..., a m } od m nenul polinoma s cjelobrojnim koeficijentima, koji zadovoljavaju uvjet da ne postoji polinom p Z[X] takav da su a 1 p, a p,..., a m n p i cijeli brojevi. p Takav skup zovemo polinomskom D(n)-m-torkom ako je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za n kvadrat polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Iz Teorema 1.1. slijedi da za n = 1 vrijedi m 4. U četvrtom poglavlju spomenut ćemo još neke važnije rezultate, za slučajeve kada je n nenul konstanta, odnono linearan polinom, a čitavo to poglavlje bavit ćemo se ovakvim problemom za kvadratni polinom n. Spomenimo da se polinomskom varijantom Diofantova i Fermatova problema prvi bavio Jones [4, 41] i to za klasični slučaj n = 1. Različite polinomne Diofantove četvorke pronašli su Dujella [7, 8] te Ramasamy [51]. Evo nekih primjera. Skup je polinomna D(16X + 1)-četvorka, {4X, 5X + 1, 49X + 3, 144X + 8} {4, 9X 5X, 9X + 7X +, 36X + 4X} je polinomna D(8X + 1)-četvorka te skup {X + 3, 3X + 4X +, 9X + 10X + 3, 4X + 6X + 7} čini polinomnu D(9X 4 + 6X 3 19X 0X 5)-četvorku. Dujella i Luca [8] bavili su se polinomskom varijantom Diofantova i Fermatova problema za veće potencije. Neka je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0. Spomenuti autori dokazali su da za svaki k 3 postoji konstanta P (k), koja ovisi samo o k, takva da ako je {a 1, a,..., a m } skup polinoma, koji nisu svi konstante, s koeficijentima u K i sa svojstvom da je a i a j + 1 k-ta potencija nekog elementa iz K[X] za 1 i < j m, tada je m P (k). Zatim, u [4], Dujella, Fuchs i Luca dokazali su da je m 10 ako je k =. Osim toga, odredili su i apsolutne gornje ograde za broj elemenata skupa polinoma sa svojstvom da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 čista potencija. Ovom varijantom Diofantova problema bavit ćemo se u trećem poglavlju, kada ćemo detaljnije opisati spomenute rezultate te dokazati poboljšanje navedenog rezultata za k =. 16

17 Spomenimo na kraju ovog pregleda poznatih rezultata vezanih za Diofantove m-torke Gibbsovo [36] razmišljanje. On smatra da budući napredak u razmatranju ovog problema leži u boljem razumijevanju algebarskih svojstava Diofantovih m-torki i njihovih generalizacija. Koristeći algebarske metode i neke rezultate iz teorije eliptičkih krivulja, dokazano je [1] da se svaka Diofantova trojka može proširiti do četvorke. Osim toga, svaka Diofantova četvorka može se proširiti do racionalne Diofantove petorke [9]. Ovi rezultati pokazuju da je struktura četvorki i petorki vođena postojanjem određenih polinoma nad Diofantovim m-torkama, koji imaju korisne faktorizacije, a nisu još potpuno istraženi. Moguće je da će razumijevanje upravo tih algebarskih struktura dovesti do daljnjih zanimljivih rezultata. 17

18 Poglavlje Elementi teorije funkcijskih polja Cilj ovog poglavlja je iznijeti neke elemente teorije funkcijskih polja, koji se koriste kod rješavanja problema vezanih za polinomne generalizacije Diofantova problema, u naredna dva poglavlja. Izložit ćemo teoretsku osnovu potrebnu za primjenu fundamentalne (Masonove) nejednakosti na rješavanje diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljima, koje su analogoni klasičnih diofantskih jednadžbi nad brojevnim poljima. Snaga fundamentalne nejednakosti biti će vidljiva u oštrini dobivenih ograda na stupnjeve rješenja, u četvrtom poglavlju ove disertacije. Također, izreći ćemo Masonov teorem, koji se može smatrati polinomskom generalizacijom abc hipoteze za cijele brojeve, jedne od najpoznatijih nedokazanih slutnji u matematici. Masonov teorem ima široku primjenu te omogućuje dobivanje ograda na rješenja diofantskih problema. U to ćemo su uvjeriti već u sljedećem poglavlju disertacije. Dakle, teoretska osnova koju ćemo ukratko izložiti, temelj je na koji su nadograđeni dobiveni rezultati koje ćemo opisati u nastavku disertacije, a ujedno i poveznica problema kojima se bavimo..1 Masonov teorem godine Stothers [56] je formulirao abc teorem za polinome i dokazao ga koristeći algebarsku geometriju. Teorem je ponovno aktualizirao Mason [46] godine i dokazao ga koristeći svojstva logaritamskog deriviranja. Osnovni diofantski problemi (naći sva rješenja algebarskih jednadžbi među cijelim, odnosno racionalnim, brojevima ili dati ograde za ta rješenja) mogu se proširiti tako da domena koeficijenata i rješenja obuhvaća algebarske cijele brojeve, algebarske brojeve, polinome, racionalne funkcije ili algebarske funkcije. Različite formulacije abc problema omogućuju dobivanje odgovara- 18

19 jućih diofantskih nejednakosti. Ovdje ćemo promotriti abc problem za polinome. Definicija.1.1 Neka je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0 i f K[X]. Radikal polinoma f, n 0 (f), označava broj različitih korijena od f. Dakle, n 0 (f) može biti mali broj i ako je stupanj od f (kojeg ćemo označavati sa st (f)) velik. Teorem.1.1 (Masonov teorem) Neka su a, b, c K[X] nekonstantni, relativno prosti 1 polinomi, čiji koeficijenti pripadaju algebarski zatvorenom polju K karakteristike 0, i vrijedi a + b = c. Tada je max st {a, b, c} n 0 (abc) 1. Dokaz: Vidjeti [44, Theorem 7.1.]. Napomenimo da Masonov teorem ne vrijedi za polje K karakteristike p 0. Naime, tada ne vrijede potrebne tvrdnje za stupanj polinoma jer, ako je α korijen polinoma f, to je i α p.. Fundamentalna nejednakost za funkcijska polja Problem efektivne analize familija diofantskih jednadžbi nad prstenom Z riješen je godine, kada je Baker [] dobio fundamentalnu nejednakost za linearne forme logaritama algebarskih brojeva. U Lemi..1 iznijet ćemo analogon za funkcijska polja spomenute Bakerove nejednakosti. Uzet ćemo da je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0, jer ukidanje tih ograničenja mijenja pojam rješivosti diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljem definiranim nad K. Slijedit ćemo klasičnu teoriju funkcija, čija je ključna metoda razvoj funkcija u redove potencija. Definicija..1 Neka je K proizvoljno polje. Polje algebarskih funkcija (kraće funkcijsko polje) K/K jedne varijable nad K je polje K koje sadrži 1 Za polinome a, b K[X], K je polje, kažemo da su relativno prosti (i pišemo (a, b) = 1), ako iz a = a 1 q i b = b 1 q, gdje su a 1, b 1, q K[X], slijedi da je q polinom nultog stupnja. Analogno vrijedi i za više od dva polinoma. Za više detalja vezanih za teoriju izloženu u ovom potpoglavlju, vidjeti na primjer [9, 46]. 19

20 K i barem jedan element X, transcendentan nad K, tako da je K/K(X) konačno algebarsko proširenje polja racionalnih funkcija K(X). Kaže se da je takvo polje konačno generirano nad K, stupnja transcendentnosti jedan nad K. Algebarsko zatvorenje polja K u polju K zove se polje konstanti od K/K(X). Polja K koja su algebarski zatvorena i karakteristike 0 podudaraju se s poljem konstanti proširenja K/K(X). Najjednostavnije polje algebarskih funkcija je polje racionalnih funkcija. Proširenje K/K(X) zove se racionalno ako je K = K(X), za neki X K. Za rješavanje diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljima osnovno je pitanje postojanja i brojnosti funkcija s određenim višestrukostima nula i polova u zadanim točkama. Za to će nam trebati pojmovi valuacije, derivacije i genusa polja funkcija jedne varijable. Definirat ćemo najprije kanonske valuacije polja K(X). Definicija.. Za svaki a K, svaka nenul funkcija f(x) K(X) može se razviti u Laurentov red c n (X a) n ; c n K; c m 0. (.1) n=m Valuacija ord a na K(X) definira se kao red od f(x) u a, odnosno ord a (f(x)) = m. Slično, svaka nenul funkcija f(x) K(X) može se razviti u Laurentov red potencija od 1 X ( 1 ) n; c n cn K; c p 0. (.) X n=p Beskonačna valuacija ord na K(X) definira se kao red od f(x) u, odnosno ord(f(x)) = p. Za f(x) = 0 i a K, definiramo ord(f(x)) = ord a (f(x)) =. Za P (X) K[X] vrijedi ord(p (X)) = st(p (X)). Time smo definirali sve diskretne valuacije na K(X). Iz (.1) slijedi da ako je m > 0, f(x) ima u a nultočku reda m, a ako je m < 0, f(x) ima u a pol reda m, pa zbrojivši ord a (f(x)) po svim a K za koje je ord a (f(x)) 0 (ima ih konačno mnogo), dobivamo eksponent r 1 najveće potencije od X tako da je f(x) = X r 1 f 1 (X), st (f 1 (X)) = 0. Slično, iz (.) slijedi da je ord(f(x)) eksponent r najveće potencije od X, tako da 0

21 je f(x) = ( 1 X )r f (X), st (f (X)) = 0. Budući da je f 1 (X) = f (X), vrijedi formula zbroja ord(f(x)) + ord a (f(x)) = 0, a za svaki f(x) K(X), f(x) 0. Pojam valuacije može se proširiti i na proizvoljno konačno proširenje K/K(X). Svaka od valuacija ord a, za a K, i ord može se proširiti na najviše [K : K(X)] := d načina do diskretne valuacije na K te na taj način dobivamo sve diskretne valuacije na K. Valuacije v na K, koje su proširenja valuacije ord a, za bilo koji a K, nazivaju se konačne valuacije i karakterizira ih svojstvo v(x) 0. Svaka od tih valuacija definirana je kao red isčezavanja Laurentovog razvoja funkcije f, gdje je 0 f K, u potencijama lokalnog parametra X v = (X a) 1 ev, gdje e v označava indeks razgranatosti valuacije v. Valuacije v na K, koje su proširenja valuacije ord, zovu se beskonačne valuacije i karakterizira ih svojstvo v(x) < 0. Svaka od tih valuacija v definirana je kao red isčezavanja Laurentovog razvoja u potencijama lokalnog parametra X v = X 1 ev. Iz takve definicije valuacija, koja se temelji na razvoju funkcija u redove potencija, proizlazi da su sve opisane valuacije aditivne, nearhimedske valuacije s valuacijskom grupom Z. Dakle, vrijedi v(fh) = v(f) + v(h), v(f + h) min(v(f), v(h)), za f, h K, gdje je K = {k K postoji l K takav da je kl = 1}. Također, ove valuacije ne ovise o početnom izboru elementa X K\K. Nenul elemente f K možemo okarakterizirati svojstvom v(f) = 0, za svaku valuaciju v na K. Prsten elemenata od K cijelih nad K[X], koji označavamo s O K, karakterizira svojstvo v(f) 0, za svaku konačnu valuaciju v na K. Za određivanje ograda na rješenja diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljima potrebno je definirati mjeru na K. Na K[X] mjera je dana pomoću stupnja polinoma pa ćemo generalizirati tu mjeru. 1

22 Definicija..3 Visina funkcije f K je broj polova od f (uzet sa višestrukostima) H(f) = min(0, v(f)). v Zbraja se po svim ranije definiranim valuacijama na K. Posebno, H(0) := 0. Za f K[X], slijedi H(f) = d st(f). Dakle, H(X) = d pa, kako je skup valuacija neovisan o izboru X K\K, slijedi H(f) = [K : K(f)], f K\K. Iz definicije funkcije H(f) i nearhimedskih obilježja valuacija v slijedi max {H(f + h), H(fh)} H(f) + H(h), f, h K. Za svaku valuaciju v na K uvodimo pojam lokalne derivacije d na polju dv formalnih Laurentovih redova u potencijama od X v, koju nazivamo deriviranje u odnosu na X v. Pojam genusa definirat ćemo koristeći pojam lokalne derivacije. Definicija..4 Genus funkcijskog polja K/K je cijeli broj g K za koji vrijedi jednakost g K = ( df ) v, f K\K. dv v ( df ) Kako je valuacija v neovisna o izboru lokalnog parametra X v, slijedi da dv je genus neovisan o izboru X K\K. Naredna lema odnosi se na tip jednakosti koji se često javlja kod različitih oblika diofantskih jednadžbi. Fundamentalnu nejednakost koristit ćemo za određivanje ograda na visine rješenja hipereliptičke jednadžbe u četvrtom poglavlju. Lema..1 (Fundamentalna nejednakost) Neka su γ 1, γ i γ 3 nenul elementi polja K takvi da je γ 1 + γ + γ 3 = 0 i v(γ 1 ) = v(γ ) = v(γ 3 ), za svaku valuaciju v koja nije u konačnom skupu V. Tada, ili γ 1 leži u K ili je γ ( γ1 ) H V + g K, γ gdje V označava broj elemenata skupa V. Dokaz: Vidjeti [46, Lemma ].

23 Poglavlje 3 Polinomna varijanta Diofantova problema za čiste potencije 3.1 Diofantov problem Diofant iz Aleksandrije [6] bavio se traženjem skupova koje karakterizira svojstvo da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za jedan potpun kvadrat. Ovakve skupove prirodnih i racionalnih brojeva opisali smo u Definicijama i 1.1., respektivno. Prvu racionalnu Diofantovu četvorku { 1, 33, 17, } pronašao je upravo Diofant. Prvu racionalnu Diofantovu petorku pronašao je Euler, a više racionalnih Diofantovih šestorki nedavno je pronašao Gibbs [35]. Međutim, do danas nije poznata gornja ograda na veličinu takvih skupova racionalnih brojeva. Prvu Diofantovu četvorku sastavljenu od prirodnih brojeva, koju čini skup {1, 3, 8, 10}, pronašao je Fermat. Poznatu hipotezu da ne postoji Diofantova petorka sastavljena od prirodnih brojeva izrekli smo u Pretpostavci godine Baker i Davenport [3] dokazali su da se Fermatov skup ne može proširiti do Diofantove petorke u Z. Nedavno je, koristeći teoriju diofantskih aproksimacija, Dujella [18] dokazao da ne postoji Diofantova šestorka i da postoji samo konačno mnogo Diofantovih petorki nad skupom prirodnih brojeva. Već je Euleru bilo poznato da se svaki Diofantov par {a, b} za koji vrijedi ab + 1 = r može proširiti do Diofantove četvorke {a, b, a + b + r, 4r(a + r)(b + r)}. Diofantova trojka {a, b, a+b+r} zove se regularna Diofantova trojka godine, koristeći algebarske metode i teoriju eliptičkih krivulja, Arkin, Hoggatt i Strauss [1] dokazali su da se svaka Diofantova trojka {a, b, c} može 3

24 proširiti do Diofantove četvorke. Preciznije, neka je ab + 1 = r, ac + 1 = s i bc + 1 = t, gdje su r, s, t N. Neka je d ± = a + b + c + abc ± rst. Tada je Diofantova četvorka i vrijedi {a, b, c, d ± } ad ± + 1 = (at ± rs), bd ± + 1 = (bs ± rt), cd ± + 1 = (cr ± st). Diofantova četvorka ovog oblika zove se regularna Diofantova četvorka. Ekvivalentno 1, Diofantova četvorka {a, b, c, d} je regularna ako i samo ako vrijedi Naime, korijeni ove jednadžbe su d ±. (a + b c d) = 4(ab + 1)(cd + 1). Sada je moguće iskazati strožu verziju Pretpostavke Slutnja Ako je {a, b, c, d} Diofantova četvorka i d > max{a, b, c}, tada je d = d +. Jasno je da iz ove pretpostavke slijedi Slutnja Već smo spomenuli da su Baker i Davenport [3] pokazali da Slutnja vrijedi za Diofantovu trojku {1, 3, 8}. Među ostalim sličnim rezultatima, od kojih smo neke naveli u odjeljku 1.1, spomenimo još da je Dujella, u [11] i [13], potvrdio Pretpostavku za sve trojke oblika {k 1, k + 1, 4k} i {F k, F k+, F k+4 }, respektivno. Štoviše, klasa Diofantovih trojki za koje se može dokazati da vrijedi Slutnja je sada tako široka da u proizvoljnoj Diofantovoj četvorci (sa dovoljno velikim elementima), možemo naći podtrojku koja pripada toj klasi. U [18], dokazujući Pretpostavku za trojku {a, b, c}, problem se najprije transformira na rješavanje sustava simultanih pellovskih jednadžbi. Traže se presjeci binarnih rekurzivnih nizova, a zatim se određuju početni uvjeti tih nizova, pod pretpostavkom da čine neprazan presjek koji inducira rješenje polaznog problema. Iz toga se dobivaju novi, poboljšani principi rupe. Ovaj ćemo pristup slijediti i kod rješavanja analognog problema za polinomski slučaj u ovom poglavlju. Spomenimo također, da je nedavno Fujita [3] dokazao da svaka Diofantova petorka sadrži regularnu Diofantovu četvorku, odnosno da ako je {a, b, c, d, e} Diofantova petorka i a < b < c < d < e, tada je d = d +. 1 Vidjeti [34]. 4

25 Kao što smo spomenuli u prvom poglavlju, tijekom godina proučavane su brojne generalizacije Diofantova problema. Brown [4] je, na primjer, umjesto broja 1 umnošcima dvaju elemenata u Diofantovoj m-torci dodavao fiksni cijeli broj n. Takvu je generalizaciju Diofantova problema proučavao i Dujella [16, 17] za općeniti n te Dujella i Luca [7] za prost broj n. Također, Bugeaud i Dujella [5] umjesto kvadrata proučavali su k-te potencije, a Diofantov problem obrađen je i nad drugim domenama osim Z i Q. U ovoj ćemo se disertaciji baviti različitim generalizacijama Diofantova problema pa najprije uvodimo opću definiciju Diofantove m-torke. Definicija Neka su m i k cijeli brojevi i R komutativni prsten s jedinicom. Diofantova m-torka k-tog stupnja u R je skup {a 1,..., a m } koji se sastoji od m različitih nenul elemenata od R takvih da je a i a j +1 k-ta potencija nekog elementa od R za 1 i < j m. Također, skup {a 1,..., a m } koji se sastoji od m različitih nenul elemenata od R zove se Diofantova m-torka čistih potencija ako je a i a j + 1 k-ta potencija nekog elementa od R za neki k i za svaki 1 i < j m. U ovom i idućem poglavlju disertacije bavit ćemo se određivanjem gornje ograde na broj elemenata u Diofantovoj m-torci za zadani R i k pa ćemo ovdje spomenuti neke poznate rezultate. Krenimo od slučaja R = Z. Poznate rezultate za Diofantove m-torke k-tog stupnja, za k, te za Diofantove m-torke čistih potencija naveli smo u prvom poglavlju. Osim slučajeva R = Q i R = Z, proučavana je i polinomna varijanta Diofantova problema. Tom se varijantom najprije bavio Jones [4, 41] za slučaj R = Z[X] i k =. Neke varijante ovog slučaja proučavali su Dujella i Fuchs []. Također, Dujella i Fuchs [3] su dokazali da se svaka Diofantova trojka u R = Z[X] može proširiti do Diofantove četvorke na jedinstven način. Dujella i Fuchs, zajedno sa Tichyem [5] te Walshom [6] dodatno su generalizirali Diofantov problem za slučaj R = Z[X] i k =, uzevši n = ax + b. Odredili su najbolje moguće gornje ograde na takve skupove polinoma jednakih stupnjeva. Također, dokazali su da ne postoji skup s više od 1 polinoma u Z[X] i svojstvom da je umnožak bilo koja dva od njih plus linearni polinom n potpun kvadrat. Na ovaj slučaj nadovezat ćemo se u četvrtom poglavlju disertacije, gdje ćemo uzeti da je k = i da je n kvadratni polinom nad skupom cijelih brojeva. Tražit ćemo gornju ogradu na veličinu takve Diofantove m-torke. Dokazat ćemo da ne postoji skup s više od 98 polinoma u Z[X] i svojstvom da je umnožak bilo koja dva od njih plus kvadratni polinom n potpun kvadrat. 5

26 Dujella i Luca promatrali su slučaj k 3 i R = K[X], prsten polinoma s koeficijentima u algebarski zatvorenom polju K karakteristike 0. Dokazali su [8] da je m 5 za k = 3, m 4 za k = 4, m 3 za k 5 te m za paran broj k 5. Koristeći mnoge rezultate iz [8], Dujella, Fuchs i Luca [4] dokazali su da ne postoji Diofantova 11-torka drugog stupnja u K[X], odnosno da je m 10 za k =. Cilj ovog poglavlja je smanjiti tu ogradu, koristeći brojne rezultate spomenutih autora. Za slučaj R = Z[X] i k =, Dujella i Fuchs [3] su dokazali da ne postoji Diofantova petorka, a za R = K[X], gdje je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0 i k =, dokazat ćemo da ne postoji Diofantova osmorka. Posljedica toga biti će smanjenje ograde na broj elemenata Diofantove m-torke čistih potencija u K[X], također dokazane u [4]. 3. Nejednakosti za stupnjeve polinoma u polinomnim Diofantovim m-torkama Naziv polinomna Diofantova m-torka koristit ćemo umjesto naziva Diofantova m-torka drugog stupnja u K[X], radi jednostavnosti. Prije nego što iznesemo neke rezultate koje ćemo koristiti u ovom poglavlju, navest ćemo nekoliko važnih napomena. Neka je k i {a 1,..., a m } Diofantova m-torka k-tog stupnja. Za slučaj R = Z jasno je da je a i a j za svaki i j jer jednadžba a + 1 = r k nema cjelobrojnih rješenja (a, r, k) za k i a 0. Međutim, to nije nužno tako nad drugim prstenima R. Na primjer, ako je {a 1,..., a m } Diofantova m-torka k-tog stupnja nad R i ako je a m + 1 k-ta potencija u R, tada navedenoj m-torci možemo pridružiti element a m još t puta, za neki prirodan broj t, dobivši tako Diofantovu (m + t)-torku k-tog stupnja. Kako nad algebarski zatvorenim poljem K jednadžba a + 1 = r k ima rješenje r u K za svaki zadani a iz K i za svaki cijeli broj k, slijedi da moramo pretpostaviti da je Diofantova m-torka k-tog stupnja {a 1,..., a m } koja se sastoji od nenul polinoma u K[X] takva da je a i a j za i j kadgod je a i konstanta. Također, kako je K algebarski zatvoreno polje, slijedi da je svaka m-torka konstantnih polinoma Diofantova m-torka k-tog stupnja za svaki k. Dakle, moramo pretpostaviti da je barem jedan polinom nekonstantan. Iz te pretpostavke, primjenom Masonova teorema, dobivaju se važni zaključci da je najviše jedan od polinoma a i za i = 1,..., m konstantan te da su Istaknimo ovdje važnost pretpostavke da je karakteristika polja K jednaka 0. Naime, Masonov teroem, dan u Teoremu.1.1, ne vrijedi za polje K karakteristike p 0. 6

27 svi a i međusobno različiti, što je dano u sljedećoj lemi. Isto vrijedi, s malim izmjenama dokaza, za Diofantove m-torke čistih potencija u K[X]. Lema 3..1 Neka je K algebarski zatvoreno polje i {a 1,..., a m } Diofantova m-torka k-tog stupnja koja se sastoji od polinoma s koeficijentima u K. Pretpostavimo također da nisu svi polinomi konstantni i da ako su a i i a j konstantni polinomi za i j, tada je a i a j. Tada je a i a j za i j i najviše jedan od polinoma a i za i = 1,..., m je konstanta. Dokaz: Vidjeti [8, Lemma 1]. Sljedeći princip rupe, poznat i u klasičnom slučaju, korišten je i u dokazima rezultata za R = Z[X]. Lema 3.. Neka je {a, b, c} polinomna Diofantova trojka i ab + 1 = r. Neka su α, β, γ stupnjevi od a, b, c, respektivno i pretpostavimo da je α β γ. Tada je c = a + b ± r ili je γ α + β. Dokaz: Vidjeti [4, Lemma 1]. Posljedica ove leme je sljedeći princip rupe za Diofantove četvorke. Lema 3..3 Neka je {a, b, c, d} polinomna Diofantova četvorka takva da je 0 < α β γ δ, gdje su α, β, γ, δ stupnjevi od a, b, c, d, respektivno. Tada je δ β + γ. Dokaz: Vidjeti [4, Lemma ]. Dujella, Fuchs i Luca dokazali su [4, Theorem 1] da ne postoji polinomna Diofantova 11-torka, kombinirajući princip rupe (Lema 3..3) s gornjom ogradom na stupnjeve elemenata polinomne Diofantove četvorke, koju ćemo u nastavku iznijeti (Propozicija 3..1). Dobivena je reduciranjem problema proširenja polinomne Diofantove trojke do četvorke na rješavanje sustava pellovskih jednadžbi. Rješenja tih jednadžbi leže u konačno mnogo binarnih linearnih rekurzivnih nizova pa se problem reducira na nalaženje presjeka tih nizova. Mnoge elemente tog pristupa preuzet ćemo u dokazivanju poboljšane ograde na broj elemenata polinomne Diofantove m-torke, u sljedećem odjeljku. Stoga ćemo ovdje najprije iznijeti potrebne elemente teorije pellovskih jednadžbi u K[X]. 7

28 Neka je {a, b, c} polinomna Diofantova trojka i vrijedi ab + 1 = r, ac + 1 = s, bc + 1 = t, (3.1) gdje su r, s, t iz K[X]. Jasno je da je st(r) = α + β, st(s) = α + γ i st(t) = β + γ pa vrijedi st(t) st(s) st(r) > 0. Ovu polinomnu Diofantovu trojku proširujemo do polinomne Diofantove četvorke dodajući joj element d za koji vrijedi ad + 1 = x, bd + 1 = y, cd + 1 = z, gdje su x, y, z iz K[X]. Eliminirajući d iz gornjih jednakosti, dobivamo poopćene pellovske jednadžbe Iz (3.) i (3.3) slijedi da jednadžbe az cx = a c, (3.) bz cy = b c. (3.3) az cx = a c i (3.4) bz cy = b c, (3.5) gdje je ac + 1 = s i bc + 1 = t, imaju netrivijalna rješenja (z, x) i (z, y), respektivno, odnosno x, y i z su nekonstantni polinomi. Sljedeća lema detaljnije opisuje rješenja jednadžbi (3.4) i (3.5). Lema 3..4 Neka su a i b nenul polinomi i barem jedan od njih nekonstantan te vrijedi ab + 1 = r, za neki polinom r. Neka je st(a) = α, st(b) = β i pretpostavimo da je α β. Pretpostavimo također da su (U, V ) polinomi za koje vrijedi au bv = a b. (3.6) Tada vrijedi sljedeće: 1.) ab nije kvadrat polinoma..) U 0. 3.) Ako je U konstanta, tada je (U, V ) = (±1, ±1). 4.) Postoji (U 0, V 0 ) rješenje jednadžbe (3.6) takvo da vrijedi st(u 0 ) 3β α 4 i st(v 0 ) α + β 4 8

29 te postoji nenegativan cijeli broj m, takav da do na zamjenu od (U, V ) s (±U, ±V ) vrijedi U a + V b = (U 0 a + V0 b)(r + ab) m. (3.7) 5.) Neka je (U, V ) rješenje jednadžbe (3.6) i vrijedi jednakost (3.7). Ako je U 1 (mod b), tada je V 1 (mod a) te navedene relacije kongruencije vrijede i ako (U,V) zamijenimo s (U 0, V 0 ). Posebno, ako je (U 0, V 0 ) (±1, ±1), tada vrijedi st(u 0 ) β i st(v 0) α. Dokaz: Vidjeti [8, Lemma 4]. Iz Leme 3..4 slijedi da postoji nenegativan cijeli broj m i rješenje (Z 0, X 0 ) jednadžbe (3.4) takvo da je st(z 0 ) 3γ α, st(x 4 0 ) α+γ i 4 z a + x c = (Z 0 a + X0 c)(s + ac) m. Također, slijedi da postoji nenegativan cijeli broj n i rješenje (Z 1, Y 1 ) jednadžbe (3.5) takvo da je st(z 1 ) 3γ β, st(y 4 1 ) β+γ i 4 z b + y c = (Z 1 b + Y1 c)(t + bc) n. Promotrimo jednakost (3.7) i uzmimo da su (U n ) n 0 i (V n ) n 0 nizovi polinoma dani sa U n a + Vn b = (U0 a + V0 b)(r + ab) n. Takvi (U n ) n 0 i (V n ) n 0 su binarni rekurzivni nizovi za koje usporedbom koeficijenata uz a i b, za n = 1 dobivamo da je a lako se vidi da rekurzivne relacije U 1 = ru 0 + bv 0, (3.8) V 1 = rv 0 + au 0, U n+ = ru n+1 U n, (3.9) V n+ = rv n+1 V n vrijede za svaki n 0. Dakle, za z iz jednakosti (3.) i (3.3) vrijedi z = V m = W n, gdje su nizovi (V m ) m 0 i (W n ) n 0 definirani sa V 0 = Z 0, V 1 = sz 0 + cx 0, V m+ = sv m+1 V m, (3.10) W 0 = Z 1, W 1 = tz 1 + cy 1, W n+ = tw n+1 W n. (3.11) To znači da se problem proširenja polinomne Diofantove trojke do četvorke reducira na rješavanje jednadžbe oblika V m = W n. Navedeni nizovi zadovoljavaju relacije kongruencije dane u sljedećoj lemi. 9

30 Lema 3..5 Vrijedi V m Z 0 (mod c), W n Z 1 (mod c), V m+1 sz 0 (mod c), W n+1 tz 1 (mod c), a vrijedi i V m Z 0 + c(az 0 m + sx 0 m) (mod c ), V m+1 sz 0 + c(asz 0 m(m + 1) + X 0 (m + 1)) (mod c ), W n Z 1 + c(bz 1 n + ty 1 n) (mod c ), W n+1 tz 1 + c(btz 1 n(n + 1) + Y 1 (n + 1)) (mod c ). Dokaz: Slijedi indukcijom iz (3.10) i (3.11). Također, vrijede odnosi između početnih uvjeta Z 0, Z 1, X 0, Y 1 koje ćemo iznijeti u Lemi Lemu 3..5 i Lemu koristit ćemo u narednom odjeljku, a koriste se i u dokazu sljedeće propozicije koja govori o spomenutoj gornjoj ogradi na stupnjeve elemenata u polinomnoj Diofantovoj četvorci. Ova će propozicija također biti važna u dokazivanju poboljšane ograde na broj elemenata u polinomnoj Diofantovoj m-torci. Propozicija 3..1 Neka je {a, b, c, d} polinomna Diofantova četvorka. Označimo s α, β, γ, δ stupnjeve od a, b, c, d, respektivno. Pretpostavimo da je β > α i γ > 4β α. Tada je δ < 3γ. Dokaz: Vidjeti [4, Proposition 1]. 3.3 Smanjenje gornje ograde na broj elemenata polinomne Diofantove m-torke Cilj ovog odjeljka je poboljšati rezultat Dujelle, Fuchsa i Luce [4] da ne postoji polinomna Diofantova 11-orka i dokazati sljedeći teorem. Teorem Neka je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0. Tada ne postoji Diofantova 8-orka drugog stupnja u K[X], odnosno m 7 za k =. 30

31 Teorem dokazat ćemo pod pretpostavkom da je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0. No, kako je svako polje K sadržano u svom algebarskom zatvorenju K, tvrdnja Teorema vrijedi za svako polje K karakteristike 0. Prvi korak u dokazu Teorema biti će sljedeće poboljšanje rezultata iz Leme Lema Neka je {a, b, c, d} polinomna Diofantova četvorka takva da je α β γ δ, gdje su α, β, γ, δ stupnjevi od a,b,c,d, respektivno. Neka je d + polinom većeg stupnja među polinomima a+b+c+abc±rst, gdje su r, s i t 3β + 5γ polinomi za koje vrijede jednakosti (3.1). Tada je ili δ ili je d = d + ili je {a, b, c, d} = { 3, } 3 (p 1), 3+ 3 p + 3, 3+ 3 p , gdje je p K[X] neki nekonstantan polinom. U dokazu Leme najprije ćemo transformirati problem proširenja polinomne Diofantove trojke {a, b, c} do polinomne Diofantove četvorke na rješavanje sustava simultanih pellovskih jednadžbi. To nas vodi do traženja presjeka binarnih rekurzivnih nizova. Princip rupe dan u Lemi slijedit će iz detaljne analize elemenata "malih" indeksa binarnih rekurzivnih nizova (V m ) m 0 i (W n ) n 0, danih s (3.10) i (3.11). Proučit ćemo, dakle, jednadžbu V m = W n za male vrijednosti m i n, a nakon toga pristupiti dokazu Leme Najprije moramo vidjeti kakav je odnos između m i n kada je V m = W n. Pritom ćemo koristiti sljedeću lemu, koja opisuje još neka svojstva nizova (V m ) m 0 i (W n ) n 0. Lema 3.3. Neka su nizovi (U n ) i (V n ) definirani s (3.8) i (3.9) te neka je m 0 cijeli broj takav da je (t, s) = (U m, V m ), za t i s definirane jednakostima (3.1). Tada vrijedi: 1.) Un 1 (mod b) i Vn 1 (mod a), za svaki n 0. Posebno, ako je (U 0, V 0 ) (±1, ±1), tada je st(u 0 ) β i st(v 0) α..) m 1. 3.) st(u 1 ) max(st(u 0 ), β ), st(v 1) max(st(v 0 ), α ). 4.) Jednakosti st(u n ) = (n 1) α + β + st(u 1 ), (3.1) st(v n ) = (n 1) α + β + st(v 1 ), (3.13) vrijede za svaki n 1 i vrijedi st(u n ) + α = st(v n ) + β, za svaki n 1 kao i za n = 0, osim ako je (U 0, V 0 ) = (±1, ±1). 31

32 Dokaz: Vidjeti [8, Lemma 5]. Lema Ako je V m = W n, tada je n 1 m n + 1. Dokaz: Kako je V 1 = sz 0 + cx 0, slijedi da je st(v 1 ) max(st(sz 0 ), st(cx 0 )). Uzevši u obzir da je st(z 0 ) 3γ α, st(x 4 0 ) α+γ i st(s) = α+γ, dobivamo da 4 je st(v 1 ) α + 5γ. Također, iz Leme ) slijedi da je st(v 1 ) 4 max(st(v 0 ), γ ) pa, kako je st(v 0) = st(z 0 ) 0, dobivamo da je st(v 1 ) γ. Iz (3.1) slijedi da je za svaki m 1 pa vrijedi st(v m ) = (m 1) α + γ + st(v 1 ), (m 1) α + γ + γ st(v m) (m 1) α + γ + α + 5γ, (3.14) 4 za svaki m 1. Slično razmišljamo i za W n. Kako je W 1 = tz 1 +cy 1, slijedi da je st(w 1 ) max(st(tz 1 ), st(cy 1 )). Uzevši u obzir da je st(z 1 ) 3γ β, st(y 4 1 ) β+γ i 4 st(t) = β+γ, dobivamo da je st(w 1) β + 5γ. Također, iz Leme ) 4 slijedi da je st(w 1 ) max(st(w 0 ), γ ) pa, kako je st(w 0) = st(z 1 ) 0, dobivamo da je st(w 1 ) γ. Iz (3.1) slijedi da je za svaki n 1 pa vrijedi st(w n ) = (n 1) β + γ + st(w 1 ), (n 1) β + γ + γ st(w n) (n 1) β + γ + β + 5γ, (3.15) 4 za svaki n 1. Kako je V m = W n, mora biti st(v m ) = st(w n ) pa iz (3.14) i (3.15) dobivamo da je (m 1) α + γ + γ (n 1)β + γ + β + 5γ. (3.16) 4 3

33 Uzevši u obzir da je α 0 i β γ, iz prethodne nejednakosti dobivamo (m 1) γ nγ pa dijeljenjem s γ 0 slijedi Slično, iz (3.14) i (3.15) dobivamo da je (n 1) β + γ + γ m n + 1. (3.17) (m 1)α + γ + α + 5γ. (3.18) 4 Uzevši u obzir da je α β < 3β, iz prethodne nejednakosti dobivamo (n 1) β+γ < (m 1) β+γ + 3 (β + γ) pa dijeljenjem s β + γ 0 slijedi 4 m n 1. (3.19) Nejednakosti (3.17) i (3.19) daju ogradu na m iz tvrdnje leme. U nastavku ćemo ispitati jednakost V m = W n za male vrijednosti m i n, što će nam pomoći u dokazivanju jačeg i preciznijeg principa rupe (Lema 3.3.1), od onog iz Leme Za razmatranje spomenute jednakosti biti će nam potrebna i sljedeća lema. Lema Neka je {a, b, c} polinomna Diofantova trojka. Označimo s d + polinom većeg, a s d polinom manjeg stupnja među polinomima a + b + c + abc ± rst, gdje su r, s i t polinomi za koje vrijede jednakosti (3.1). Tada je st(d ) < st(c). Dokaz: Označimo s α, β, γ, stupnjeve od a, b, c, respektivno i neka je α β γ. Slijedit ćemo razmišljanje iz [4, Lemma 1] i uzeti da je Vrijedi d 1 = a + b + c + abc + rst, d = a + b + c + abc rst. d 1 d = a + b + c ab ac bc 4 pa je st(d 1 ) + st(d ) γ. Ako pogledamo jednakosti (3.1), možemo primijetiti da polinomi abc i rst imaju jednake stupnjeve te da su im vodeći koeficijenti jednaki do na množenje s ±1. Kako najviše jedan element polinomne Diofantove m-torke može biti konstanta, zaključujemo da mora biti st(d 1 ) st(d ) te da jedan od polinoma d 1, ima maksimalan stupanj, jednak 33

34 α + β + γ. Označimo s d polinom manjeg, a s d + polinom većeg stupnja među d 1 i d. Tada je st(d + ) = α + β + γ, a st(d ) < γ. Polinomi d ± imaju važnu ulogu u definiciji regularne polinomne Diofantove četvorke. Svaki polinomski Diofantov par može se proširiti do polinomne Diofantove trojke, a svaka polinomna Diofantova trojka može se proširiti do polinomne Diofantove četvorke. Štoviše, relacije koje smo naveli na početku odjeljka 3.1 dobivene su korištenjem algebarskih operacija pa vrijede i u K[X]. Definicija Polinomna Diofantova četvorka {a, b, c, d} zove se regularna ako je d = d + ili d = d. Ekvivalentno, {a, b, c, d} je regularna polinomna Diofantova četvorka ako i samo ako vrijedi (a + b c d) = 4(ab + 1)(cd + 1). Ova jednakost ([34]) je kvadratna jednadžba u d s korijenima d ±. Primijetimo da je ovdje st(d ) < γ, dok u N vrijedi d < c. Spomenimo još rezultat Dujelle i Fuchsa [3] da su sve polinomne Diofantove četvorke u Z[X] regularne. Međutim, u nastavku ćemo vidjeti da to ne vrijedi u K[X]. Postojanje polinoma d ± povlači da jednadžba V m = W n ima netrivijalna rješenja, jer imamo cd ± + 1 = z i z = V m = W n. Kako je st(d ) < γ, to je st(z) = γ+st(d ) < γ. Iz (3.14) slijedi da je st(v m ) γ za m. Iz (3.15) pak slijedi da je st(w n ) > γ za n. Dakle, postojanje polinoma d može proizaći iz V m = W n jedino ako su m, n {0, 1}. Prilikom razmatranja konkretnih jednakosti V m = W n, višestruko ćemo koristiti sljedeću lemu 3. Tada ćemo detaljnije opisati pojedine tvrdnje iz njenog dokaza, kojeg ovdje navodimo kako bi spomenuta razmatranja učinili jasnijima. Lema Vrijedi: 1.) Ako je V m = W n, tada je Z 0 = Z 1..) Ako je V m+1 = W n, tada je ili (Z 0, Z 1 ) = (±1, ±s) ili je (Z 0, Z 1 ) = (±s, ±1) ili je Z 1 = sz 0 + cx 0 ili je Z 1 = sz 0 cx 0. 3.) Ako je V m = W n+1, tada je ili (Z 0, Z 1 ) = (±t, ±1) ili je Z 0 = tz 1 + cy 1 ili je Z 0 = tz 1 cy 1. 4.) Ako je V m+1 = W n+1, tada je ili (Z 0, Z 1 ) = (±1, ±cr ± st) ili je (Z 0, Z 1 ) = (±cr ± st, ±1) ili je sz 0 + cx 0 = tz 1 ± cy 1 ili je sz 0 cx 0 = 3 Lema je preciznija verzija leme [4, Lemma 4]. 34

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

The problem of Diophantus and Davenport

The problem of Diophantus and Davenport Mathematical Communications 2(1997), 153 160 153 The problem of Diophantus and Davenport Andrej Dujella Abstract. In this paper we describe the author s results concerning the problem of the existence

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 8 = 59 (04): 5-5 THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( ) Zrinka Franušić and Ivan Soldo Abstract. We solve the problem of Diophantus for integers of the quadratic

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički

More information

Neke klase maksimalnih hiperklonova

Neke klase maksimalnih hiperklonova UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.

More information

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5

A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5 Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Nekoliko kombinatornih dokaza

Nekoliko kombinatornih dokaza MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

NTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski

More information

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University

1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup

More information

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE

UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET ODSEK ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Dijana Mosić UOPŠTENI INVERZI, FAKTORI USLOVLJENOSTI I PERTURBACIJE Doktorska disertacija Mentor Prof. dr Dragan Djordjević

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija

O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica O dvjema metodama integriranja nekih iracionalnih funkcija Denis Benčec, Bojan Kovačić Sažetak U nastavi matematičkih predmeta na veleučilištima, samostalnim

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems

Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}

More information

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1

Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Aleksandar Prokić Karakterizacija problema zadovoljenja uslova širine 1 -master rad- Mentor: dr Petar Marković

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

COMPARISON OF LINEAR SEAKEEPING TOOLS FOR CONTAINERSHIPS USPOREDBA PROGRAMSKIH ALATA ZA LINEARNU ANALIZU POMORSTVENOSTI KONTEJNERSKIH BRODOVA

COMPARISON OF LINEAR SEAKEEPING TOOLS FOR CONTAINERSHIPS USPOREDBA PROGRAMSKIH ALATA ZA LINEARNU ANALIZU POMORSTVENOSTI KONTEJNERSKIH BRODOVA Ana Đigaš, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Maro Ćorak, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Joško Parunov, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

DES I AES. Ivan Nad PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc.dr.sc.

DES I AES. Ivan Nad PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc.dr.sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Nad DES I AES Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zrinka Franušić Zagreb, srpanj, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen

More information

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA

POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

Fraktalno Brownovo gibanje

Fraktalno Brownovo gibanje Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Razni načini zadavanja vjerojatnosti

Razni načini zadavanja vjerojatnosti Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information