Rješavanje simultanih jednadžbi kao ekonometrijskog modela pomoću programskog paketa EViews

Transcription

1 Rješavanje smultanh jednadžb kao ekonometrjskog modela pomoću programskog paketa EVews Sažetak - U ovom radu se analzra rješavanje sustava smultanh jednadžb kao ekonometrjskog modela. Između razlčh mogućnost ocjene parametara naglasak je stavljen na one koje su najprmjerenje pr rješavanju ekonometrjskh sadržaja. Kao prmjer zabran je problem utjecaja fnancjskh varjabl uz ostale predetermnrane varjable na stopu rasta bruto domaćeg prozvoda. Na kraju se prezentraju, nterpretraju komparatvno analzraju dobven rezultat. Na taj načn pokazuje se studentma kako mogu jednostavnje rješavat probleme pr ekonometrjskom modelranju pomoću programskog paketa EVews. β j - parametar -te jednadžbe uz j-tu endogenu varjablu (za j = β je slobodan član u -toj jednadžb), α j - parametar -te jednadžbe uz j-tu egzogenu varjablu. I. UVOD Ekonomska teorja vrlo često zahtjeva formranje prmjenu ekonometrjskh modela koj se sastoje od dvje l vše međusobno povezanh jednadžb. U ekonometrjskoj leratur, takv su model poznat pod menom model smultanh jednadžb. Varjable u ovm modelma pojavljuju se u vše od jedne jednadžbe. S obzrom na vrste varjabl u smultanm jednadžbama, stoga, nje dovoljno razlkovat ovsne neovsne varjable. Name, u modelma smultanh jednadžb varjable se djele na dva razlča tpa: endogene predetermnrane varjable. Endogene varjable su takve varjable čje su vrjednost smultano determnrane samm modelom. Predetermnrane varjable su takve varjable čje su vrjednost unaprjed poznate mogu se podjel na: egzogene varjable čje su vrjednost određene zvan modela vrjednost endogenh varjabl s vremenskm pomakom (tme lag). Ako model smultanh jednadžb ma n endogenh varjabl, da b bo konzstentan, mora se sastojat od n smultanh jednadžb. Na prmjer, za n = model smultanh jednadžb sastoj se od jednadžbe: Y t Y t = β = β gdje je općeno: Y + Y t + X t t t - endogena varjabla z -te jednadžbe, X jt - j-ta egzogena varjabla u modelu, e - slučajna greška -te jednadžbe, () Slka. Baza podataka u programskom paketu EVews U ovom radu prezentra se ocjena ekonometrjskog modela programskm paketom EVews. Na slc. prkazan su podac u radnom polju (workfle) u EVews-u. Što se tče ovog programa važno je napomenut to da prhvaća sve baze podataka z programskog paketa Ecel. S obzrom na to da je Ecel jako rasprostranjen program za obradu podataka, stražvač, a sam student pr ekonomskm analzama često maju dostupne takve nzove. Stoga je te kako olakšavajuća okolnost da se t podac ne moraju ponovno unos u EVews, već se mogu samo koprat. II. SRUKURNI, REDUCIRANI I KONAČNI OBLIK MODELA Strukturn oblk ekonometrjskog modela je čav sustav jednadžb koj predstavlja strukturu povezanost ekonomskh varjabl. U strukturnm jednadžbama endogene varjable zražavaju se kao funkcje drugh endogenh varjabl predetermnranh (tj. egzogenh

2 endogenh s vremenskm pomakom) varjabl. Pr tom strukturn parametr predstavljaju drektne učnke svake objašnjavajuće varjable na odgovarajuću ovsnu varjablu. Indrektn učnc objašnjavajuće varjable na odgovarajuću ovsnu varjablu zračunavaju se rješavanjem cjelog sustava strukturnh jednadžb, jer mjere utjecaj čmbenka koj se javljaju eksplcno u strukturnoj jednadžb. U ekonomskoj teorj parametr strukturnh jednadžb najčešće se nterpretraju kao elastčnost, odnosno grančne sklonost npr. štednj, potrošnj, nvestcjama slčno. Osm drektnh utjecaja objašnjavajućh varjabl na endogene varjable modela u sustavu jednadžb postoje ndrektn utjecaj, koj se ne mogu mjer n jednm strukturnm parametrom, već treba uvaž sve smultane utjecaje čavog sustava jednadžb. Potrebno je sustav rješ po endogenm varjablama, odnosno potrebno je sve endogene varjable zraz kao funkcje predetermnranh varjabl, strukturnh parametara slučajnh grešaka. akav model nazva se reducran l zveden oblk modela smultanh jednadžb. Općeno, sustav od L međusobno ovsnh endogenh varjabl ( Y lt, l =,,..., L ) K predetermnranh varjabl ( X jt, j =,,..., K ) može se predstav -tom jednadžbom sustava: α t t +... K Kt +, () +... = e t t α j - parametar uz j-tu predetermnranu varjablu u - toj jednadžb sustava, β l - parametar uz l-tu endogenu varjablu u -toj jednadžb sustava, e - slučajna greška z -te jednadžbe. Ako je ukupan broj podataka n, tj. t =,,..., n, ako vrjed pretpostavka da je sustav kompletan, zraz () se može napsat u skraćenom oblku: K L j jt l j = l = lt L α + β = e. () III. REKURZIVNI MODELI U nekm suacjama strukturne jednadžbe sustava smultanh jednadžb mogu se formrat tako da prva jednadžba s desne strane sadrž samo predetermnrane varjable, dok svaka sljedeća jednadžba sustava sadrž opet predetermnrane varjable uz postupno dodavanje endogenh ovsnh varjabl z prethodnh jednadžb. Model formran po takvom načelu nazvaju se rekurzvn model. Na prmjer, u slučaju kada postoje endogene predetermnrane varjable, rekurzvn model b bo: Lt = α = α = α Model (4) može se zraz na načn da se sve varjable prebace na ljevu stranu: = e = e = e Prema sustavu (5) jasno je da je matrca endogenh varjabl Β trangularna. Glavna djagonala ove matrce Β sadrž jednce, a sv element znad glavne djagonale su jednak nul. Njezna determnanta je: (4) det Β =. (6) = Prema tome, može se zaključ da je rekurzvan model takav model (jer je matrca koefcjenata endogenh varjabl trangularna) čj se parametr mogu se ocjen metodom najmanjh kvadrata, bez prstranost usljed smultanh utjecaja. Ako vrjed početna pretpostavka da su slučajne greške modela e, e e međusobno neovsne, endogene varjable modela koje se u rekurzvnom modelu pojavljuju kao objašnjavajuće (na desnoj stran sustava (5)) su nezavsne sa slučajnom greškom promatrane jednadžbe. IV. PROBLEMI I MEODE IDENIFIKACIJE Da b se parametr pojedne jednadžbe sustava smultanh jednadžb mogl na zadovoljavajuć načn ocjen potrebno je da promatrana jednadžba bude dentfcrana (dentfed). Identfkacja jednadžbe sustava koj ma L smultanh jednadžb L endogenh varjabl može se utvrd na jednostavan načn. Ako je k broj predetermnranh varjabl u promatranoj jednadžb uključujuć naravno slobodan član, onda je ( K k) ukupan broj predetermnranh varjabl bez onh u promatranoj jednadžb. Neka je e broj endogenh varjabl koje se pojavljuju u promatranoj jednadžb. Promatrana jednadžba je dentfcrana (justdentfed) ako je: ( K k) = e. (7) Promatrana jednadžba je vše nego dentfcrana (over- dentfed) ako je: ( K k) > e. (8) Promatrana jednadžba nje dovoljno dentfcrana (under- dentfed) ako je: (5) ( K k) < e. (9)

3 Može se zaključ da u jednom modelu neke jednadžbe mogu b dentfcrane, a neke ne moraju. Identfkacja jednadžbe strukturnog modela smultanh jednadžb može se utvrd na drugačj načn. Da b jedna jednadžba strukturnog modela od L smultanh jednadžb bla dentfcrana z nje mora b spušteno ( L ) varjabl koje se pojavljuju u modelu. Ako je spušteno vše od ( L ) varjabl jednadžba je tada vše nego dentfcrana. Ovaj uvjet je nužan, al često nje dovoljan za dentfkacju promatrane jednadžbe. Nužan dovoljan uvjet dentfkacje jednadžbe je uvjet ranga. U modelu koj se sastoj od L smultanh jednadžb, jedna jednadžba je dentfcrana ako je rang matrce π jednak ( L ), tj.: r( π ) = ( L ), =,,..., L. () U tablc. defnran su uvjet dentfkacje pojedne jednadžbe modela smultanh jednadžb: ABLICA. Broj zostavljenh Rang matrce varjabl z r( π ) jednadžbe = ( L ) r( ) = ( L ) ( L ) r( π ) < ( L ) > > ( L ) r( π ) = ( L ) Identfkacja promatrane jednadžbe π IDENIFICIRANA NIJE IDENIFICIRANA VIŠE NEGO IDENIFICIRANA Ako se u praks kod formranja ocjenjvanja modela smultanh jednadžb pojav problem jednadžb koje nsu dentfcrane potrebno je: postav dodatna ogrančenja na strukturne parametre modela l korst dodatne nformacje zvan postavljenh granca modela da b se postgla dentfkacja svh uključenh jednadžb. Prje samog ocjenjvanja modela smultanh jednadžb u praks potrebno je spat jesu l sve njegove jednadžbe dentfcrane, jer se parametr jednadžb koje nsu dentfcrane ne mogu ocjen. V. PROBLEMI I MEODE OCJENJIVANJA Metode ocjenjvanja smultanh jednadžb mogu se podjel u dvje skupne: a) metode ocjenjvanja pojednačnh jednadžb sustava, b) metode ocjenjvanja čavog sustava smultano. Kod metoda ocjenjvanja pojednačnh jednadžb sustava vod se računa samo o ogrančenjma svake jednadžbe pojednačno, pa se stoga ove metode nazvaju metode s ogrančenm nformacjama. Ogrančenja na parametre ostalh jednadžb sustava uvažavaju se samo pr spvanju dentfkacje pojedne jednadžbe. Metode ocjenjvanja čavog sustava smultano uvažavaju postavljena ogrančenja na parametre rezduale svh jednadžb, pa se stoga nazvaju metode s potpunom nformacjom. Kod metoda ocjenjvanja pojednačnh jednadžb sustava kod metode ocjenjvanja čavog sustava smultano mogu se prmjen: ) metode najmanjh kvadrata, ) metode maksmalne vjerodostojnost. Ocjenjvanje sustava smultanh jednadžb metodom najmanjh kvadrata podrazumjeva spunjenje uvjeta normalnost. Najčešće se zahtjeva da -ta jednadžba zadovoljava uvjet normalnost s obzrom na endogenu varjablu Y. Ocjenjvanje sustava smultanh jednadžb metodom maksmalne vjerodostojnost ne podrazumjeva spunjenje uvjeta normalnost. VI. DVOEAPNA MEODA NAJMANJIH KVADRAA (SLS) U leratur se smatra da je dvoetapna metoda najmanjh kvadrata (SLS) najvažnja metoda ocjenjvanja pojednačnh jednadžb sustava. Sama metoda se temelj na zamjen objašnjavajućh endogenh varjabl u strukturnm jednadžbama s lnearnm funkcjama svh predetermnranh varjabl, odnosno s ocjenjenm vrjednostma endogenh varjabl z reducranog oblka modela. Name, objašnjavajuće endogene varjable u strukturnm jednadžbama su korelrane sa slučajnm greškama jednadžb, dok su predetrmnrane varjable nekorelrane s greškama, pa se može zaključ da metoda SLS daje konzstentne ocjene. Neka je strukturna jednadžba sustava koja se ocjenjuje: = Y β + Xα, () - vektor stupac s n podataka "ovsne" varjable, Y - matrca s ( n l) podataka tekućh vrjednost endogenh varjabl uključenh u jednadžbu, X - matrca s ( n k) podataka predetermnranh varjabl uključenh u jednadžbu, e - vektor stupac s n grešaka, β - vektor s ( l ) parametrom za ocjenjvanje, α Neka je: - vektor s k parametara za ocjenjvanje.

4 X = [ X X ] () matrca reda ( n K) sastoj se od opažanja svh predetermnranh varjabl, gdje je X matrca s ( K k) zostavljenh varjabl z jednadžbe (). Pretpostavlja se da je: ) E( ee ) = σ I, ) spunjen uvjet ranga: ( K k) ( l ) (jednadžba može b vše nego dentfcrana). Prv korak ocjenjvanja podrazumjeva ocjenu matrce Y ˆ, koja se zamjenjuje u jednadžb () zbog postojanja korelacje varjabl Y s greškom e. Ocjena matrce Y ˆ se računa tako da se ekonometrjsk defnraju regresjske veze za sve varjable Y sa svm predetermnranm varjablama u modelu: = X ( X X ) X Y. () U drugom koraku ocjenjvanja se specfcra regresjska veza ovsne varjable sa X nstrumentalnm varjablama Y ˆ : X X X βˆ =. (4) X αˆ X Dvoetapna metoda najmanjh kvadrata (SLS) može se nterpretrat kao metoda nstrumentalnh varjabl, gdje se ocjene Y ˆ korste kao nstrument. Između nstrumentalnh varjabl, koje su lnearne funkcje egzogenh varjabl, može se reć da su ocjene Y ˆ najbolj nstrument, jer daju najmanje varjance. S obzrom da su ocjene dobvene metodom SLS konzstentne vrjed da su ocjene parametara smultanog modela dobvene metodom nstrumentalnh varjabl također konzstentne. Dvoetapna metoda najmanjh kvadrata (SLS) svod se na prmjenu metode najmanjh kvadrata u dvje faze: ) prmjena metode najmanjh kvadrata na jednadžbe reducranog oblka modela sustava smultanh jednadžb, ) prmjena metode najmanjh kvadrata na transformrane strukturne jednadžbe gdje su objašnjavajuće endogene varjable zamjenjene svojm ocjenjenm vrjednostma z reducranog oblka. VII. OCJENA MODELA SIMULANIH JEDNADŽBI MEĐUSOBNOG UJECAJA BDP-a I FINANCIJSKIH POKAZAELJA Utjecaj stope rasta bruto domaćeg prozvoda u stočnoevropskh zemalja na kretanje fnancjskh varjabl, span je pomoću ekonometrjskog modela smultanh jednadžb. Precznje, u ovom radu se stražuje međusoban utjecaj bruto domaćeg prozvoda na krede, te žvotno nežvotno osguranje. Izabrano je zemalja koje su prključene l su pred prključenjem Evropskoj unj: Bugarska, Hrvatska, Češka, Mađarska, Letonja, Poljska, Rumunjska, Rusja, Slovačka, Slovenja, Ukrajna Jugoslavja. Početn model všestruke regresje je: 8 + β j F + δ j X ε, (5) j= j= 4 = α + - stopa rasta BDP (GDP) za zemlju, F - fnancjske varjable (žvotno osguranje - lfe; nežvotno osguranje - non-lfe; kred - cred) za zemlju, X - skup predetermnranh objašnjavajućh varjabl (ncjalna razna BDP - lnnal GDP; obrazovanje - educaton; zvoz - eport; budžetska potrošnja - government; nflacja - nflaton) za zemlju. Korelacjska analza je pokazala da postoj vsok stupanj međuovsnost zmeđu ncjalne razne bruto društvenog prozvoda za svaku zemlju s ostalm objašnjavajućm varjablama. Zbog zbjegavanja problema multkolnearnost u modelu všestruke regresje u daljnjoj analz je korštena samo ta varjabla kao objašnjavajuća. Ekonomska teorja u fnancjskoj sfer podrazumjeva utjecaje ncjalnh razna kreda osguranja u ovakvom modelranju, al se pokazala vrlo vsoka razna ovsnost ovh varjabl s ncjalnom vrjednost BDP. Stoga početna razna bruto domaćeg prozvoda objašnjava utjecaje ncjalne razne kreda osguranja u smultanm jednadžbama. U prvom modelu od dvje smultane jednadžbe stražuje se međusobn utjecaj kreda bruto domaćeg prozvoda: CR = ω + ω = α CR + ω In + δ In (6) CR - kred zemlje, - stopa rasta BDP (GDP) za zemlju, In - ncjalna razna BDP (GDP) za zemlju. U sustavu (6) varjable CR - kreda - stope rasta BDP su endogene, dok je egzogena predetermnrana varjabla ncjalna razna BDP za pojednu zemlju. Ispujuć nužan uvjet dentfkacje sustava (6), može se utvrd da je: K =, (broj predetermnranh varjabl u modelu); k =, (broj predetermnranh varjabl u svakoj jednadžb); e =, (broj endogenh varjabl u svakoj jednadžb). Za obje jednadžbe vrjed da je: K k = e, tj. ( ) = ( ), pa se može donjet zaključak da su

5 jednadžbe modela dentfcrane. Model (6) u konačnom oblku u programskom paketu EVews prkazan je na slc. U modelu su C() - C(6) parametr koje treba ocjen. Nakon oznake "@" naznačene su nstrumentalne varjable za svaku jednadžbu posebno. Uz navedeno, programsk paket sam podrazumjeva da su konstante u svakoj jednadžb sustava nstrumentalne varjable. krede. Parametar C ( 5) =, 47 pokazuje da porast kreda utječe na pozvno kretanje BDP. Negatvan predznak parametra C ( 6) =, 64 upućuje na zaključak da zemlja s nžm ncjalnm BDP ma veću stopu rasta BDP. Slka. Model smultanh jednadžb: "kred - BDP" Postavljen model ocjenjuje se tako da se zborom kone Estmate u prozoru Sstem estmaton zabere željena metoda, što je u ovom slučaju wo-stages Least Squares. Izbor metode prkazan je na slc. Slka 4. Ocjenjen model smultanh jednadžb: "kred - BDP" Slka. Ocjena modela metodom SLS Nakon zbora metode ocjene sustava, kako je prkazano na slc., odabrom kone "OK" Evews za rezultat daje ocjenjene modele sa svom ekonometrjskom djagnostkom. Na slc 4. prkazan je ocjenjen model (6). Najprje su dan parametr modela sa svojm standardnm greškama t - vrjednostma z Studentove dstrbucje, kao emprjskm vrjednostma njhovh sgnfkantnost. Može se zaključ da su sv ocjenjen parametr statstčk značajn, osm C() C(5) koj pokazuju značajnost na razn sgnfkantnost od %. S obzrom da se u leratur tolerra značajnost od %, utjecaj varjabl uz ove parametre se također može uvaž. Koefcjent determnacje za obje ocjenjene jednadžbe su zadovoljavajuć, a Durbn-Watsonov test pokazuje da u modelu nema problema autokorelacje rezduala uz sgnfkantnost od 5%. Parametr C ( ) =, 959 C ( ) =,67 pokazuju pozvan učnak stope rasta BDP ncjalne razne BDP u promatranm zemljama na U drugom modelu (7) od tr smultane jednadžbe stražuje se međusobn utjecaj žvotnog nežvotnog osguranja bruto domaćeg prozvoda: LI NLI = ρ + ρ = λ + λ = α LI + ρ In + λ In NLI + δ In LI - žvotno osguranje za zemlju, NLI - nežvotno osguranje za zemlju, - stopa rasta BDP (GDP) za zemlju, (7) In - ncjalna razna BDP (GDP) za zemlju. U sustavu (7) varjable LI -žvotnog osguranja, NLI - nežvotnog osguranja - stope rasta BDP su endogene, dok je egzogena predetermnrana varjabla ncjalna razna BDP za pojednu zemlju.

6 Ispujuć nužan uvjet dentfkacje sustava (7), može se utvrd da je: K = 4, (broj predetermnranh varjabl u modelu); k,, =, (broj predetermnranh varjabl u svakoj jednadžb u modelu); e, =, (broj endogenh varjabl u prve jednadžbe modela), e =, (broj endogenh varjabl u. jednadžb modela). Prema tome za prve jednadžbe vrjed da je: K k > e, tj. ( 4 ) > ( ), pa se može donjet zaključak da su te jednadžbe modela vše nego dentfcrane. Za. jednadžbu vrjed da je: K k = e, tj. ( 4 ) = ( ), pa se može donjet zaključak o dentfcranost te jednadžbe. Model (7) u konačnom oblku u programskom paketu EVews prkazan je na slc 5. U modelu su od C() do C() označen parametr koje treba ocjen, a nakon oznake "@" naznačene su nstrumentalne varjable za svaku jednadžbu posebno. Slka 6. Ocjenjen model smultanh jednadžb: "osgur. - BDP" Slka 5. Model smultanh jednadžb: "osguranje - BDP" Na slc 6. prkazan je ocjenjen sustav smultanh jednadžb modela (7). Može se zaključ da su sv ocjenjen parametr statstčk značajn, osm C(4), C(5) C(9), čj se utjecaj, stoga, ne b trebao uvažavat. Koefcjent determnacje za sve ocjenjene jednadžbe su zadovoljavajuć, a Durbn-Watsonov test pokazuje da u modelu nema roblema autokorelacje rezduala uz sgnfkantnost od 5%. Pozvn statstčk značajn parametr C ( ) =, 4 C ( ) =, 8 pokazuju utjecaj stope rasta BDP ncjalne razne BDP za svaku promatranu zemlju na kretanja žvotnog osguranja. Parametar C( 6) =, 65 pokazuje utjecaj ncjalne razne BDP na nežvotno osguranje. Parametar C( 8) = 7,466 pokazuje jak pozvn utjecaj žvotnog osguranja na kretanje stope rasta BDP. Negatvan predznak parametra C ( ) =, 58 upućuje ponovno na zaključak da zemlja s nžm ncjalnm BDP ma veću stopu rasta BDP, što je već potvrđeno smultanm modelom (6). VIII. ZAKLJUČAK U ovom radu se na prmjerma dva konkretna modela sustava smultanh jednadžb pomoću dvoetapne metode najmanjh kvadrata ocjenjuju njhov parametr. Nakon teorjske elaboracje navedene metode na odabranom uzorku zemalja ocjena parametara se zvod u programskom paketu EVews. Za svh zabranh stočnoevropskh zemalja ekonometrjska analza upućuje na zaključak da stopa rasta BDP ncjalne razne BDP ma pozvan učnak na krede, žvotno nežvotno osguranje. Istodobno je potvrđeno da zemlje s nžm ncjalnm BDP maju veću njegovu stopu rasta. Između ostalog, svrha rada je pokazat mogućnost korštenja programskog paketa EVews pr rješavanju sustava smultanh jednadžb na razlčm raznama obrazovanja u statstčkm ekonometrjskm analzama. REFERENCES [] D. N. Gujarat, Basc Econometrcs, McGraw-Hll/Irwn, New York,. [] C. Hej, et. alt., Econometrsc Methods wh Applcatons n Busness and Economcs, Oford Unvers Press, New York, 4. [] A. H. Studenmund, Usng Econometrcs, Pearson Addson Wesle, London, 6.