Aleksandra Nojković SAOPŠTENJA / COMMUNICATIONS. Klasifikacija prema JEL: C4, C5, D0

Transcription

1 SAOPŠTENJA / COMMUNICATIONS Aleksandra Nojkovć DOI: /EKA N Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja QUALITATIVE RESPONSE MODELS: A SURVEY OF METHODOLOGY AND ILLUSTRATIVE APPLICATIONS APSTRAKT: Predmet razmatranja ovog rada je ekonometrjsko modelranje prmenom modela dskretne (prekdne) zavsne promneljve. Ov model se često nazvaju modelma kvaltatvnog odgovora predstavljaju standardan metodološk okvr mkroekonometrjske analze. Reč je o oblast ekonometrje koja analzra podatke o ekonomskom ponašanju pojednaca, domaćnstava l preduzeća (mkropodac). U praks su ov model najveću prmenu našl u stražvanjma o tržštu rada, ponašanju potrošača u ekonomj saobraćaja. U novjm stažvanjma pokazano je da se ova metodologja može uspešno prenet u makroekonomsk kontekst opsežnje prmenjvat u analz vremenskh serja panela. KLJUČNE REČI: mkropodac, bnarn všestruk zbor, nelnearn model, metod maksmalne verodostojnost, model brojvh podataka ABSTRACT: Ths paper ntroduces econometrc modellng wth dscrete (categorcal) dependent varables. Such models, commonly referred to as qualtatve response (QR) models, have become a standard tool of mcroeconometrc analyss. Mcroeconometrc research represents emprcal analyss of mcrodata,.e. economc nformaton about ndvduals, households and frms. Mcroeconometrcs has been most wdely adopted n varous felds, such as labour economcs, consumer behavour, or economy of transport. The latest research shows that ths methodology can also be successfully transferred to macroeconomc context and appled to tme seres and panel data analyss n a wder scope. KEY WORDS: mcrodata, bnary and multnomal response, nonlnear models, maxmum lkelhood estmaton, models for count data Klasfkacja prema JEL: C4, C5, D0 55

2 Aleksandra Nojkovć 1. Uvod Na razvoj modela dskretne zavsne promenljve prevashodno je utcao sstem obrazovanja mkropodataka. Name, sve do kraja šezdeseth godna prošlog veka emprjska analza u kojoj su jednce posmatranja pojednc, domaćnstva l preduzeća, bla je vrlo ogrančena. Od tog peroda počnje prvo organzovano prkupljanje mkropodataka u SAD, a najpoznatje najstarje studje su: Panel Study of Income Dynamcs Natonal Longtudnal Surveys of Labor Market Experences, koje su koršćene u analz tražnje, kao za sptvanje efekata ekonomskh socjalnh programa. Nešto kasnje u evropskm zemljama započnje prkupljanje podataka o ekonomskom ponašanju pojednaca domaćnstava, koje je tek nešto kasnje dopunjeno odgovarajućm prkupljanjem podataka u preduzećma. Mkropodac mogu bt uporedn (podac strukture) l podac panela (podac koj predstavljaju kombnacju uporednh podataka vremenskh serja). Kao rezultat potrebe za analzom podataka ovog tpa došlo je do ntenzvnog nteresovanja za unapređenje postojeće ekonometrjske metodologje u pravcu razvoja odgovarajućh metoda. Velk broj novh modela, metoda ocenjvanja testranja, kao emprjska stražvanja zasnovana na mkropodacma pokazatelj su rastuće popularnost mkroekonometrjskh stražvanja u svetu. Fundamentalan doprnos razvoju metodološkog okvra analze mkropodataka emprjskoj prmen modela specfčne zavsne promenljve dal su J. Heckman D. McFadden, koj su za svoje rezultate dobl Nobelovu nagradu za ekonomju godne. U najnovjm ekonometrjskm stražvanjma otvorlo se ptanje da l je ekonometrjske metode modela specfčne zavsne promenjve moguće prment u kvanttatvnoj analz strukturnh odnosa makroekonomskh vremenskh serja, odnosno podataka panela. Pokazano je da se tradconalna metodologja razvjena za uporedne podatke, pod određenm pretpostavkama može prenet na makroekonomsk okvr. Struktura rada je sledeća. Nakon uvodnog dela, sled pregled metodologje koja se korst u ekonometrjskoj analz modela bnarne zavsne promenljve. U okvru drugog dela bće dat pregled najznačajnjh specfkacja, metoda ocenjvanja statstčkog zaključvanja u modelma bnarnog zbora. U trećem 56

3 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja delu bće predstavljen model u kojma kvaltatvna zavsna promenljva ma vše od dva modalteta, a ovo prošrenje modela bnarnog zbora vrš se dodavanjem novh jednačna u model. U četvrtom delu osvrnućemo se na modele brojvh podataka na neke od najznačajnjh specfkacja modela ove grupe. U okvru svakog dela bće razmatran ekonomsk problem čja analza podrazumeva prmenu predloženh specfkacja modela. 2. Model bnarnog zbora Model bnarnog zbora se prmenjuju za stražvanje ponašanja prlkom zbora koj jednca posmatranja čn zmeđu dve alternatve. Donošenje odluke o kupovn automobla, traženju posla, zlasku na zbore l rađanju dece, samo su neke od stuacja sa kojma se često susrećemo u praks. Za proučavanje utcaja faktora koj opredeljuju donošenje ovakvh odluka korstmo modele prlagođene kvaltatvnm bnarnm zavsnm promenljvma. Name, opsana stuacja zbora zmeđu dve alternatve formalno se predstavlja modelom u kome je zavsna promenljva y bnarna uzma vrednost 1 kada je učnjen jedan zbor, a 0 kada je učnjen drug zbor. Ako verovatnoću prvog zbora označmo sa P (pr čemu je verovatnoća drugog zbora 1-P), od značaja je da se odred ova verovatnoća opše utcaj razlčth faktora na tu verovatnoću. Takvo ponašanje u praks najčesšće sptujemo prmenom lnearnog modela verovatnoće probt logt modelma. Lnearn model verovatnoće 1 je specjaln slučaj lnearnog regresonog modela u kome je zavsna promenljva y bnarna uzma vrednost 1 l 0. Model možemo predstavt u sledećem oblku: y = β x + ε (2.1) gde je x vektor K egzogenh promenljv, β vektor nepoznath regresonh parametara dmenzja K x 1, a ε je slučajna greška. Ovako defnsan model predstavlja klasčan lnearn regreson model, pr čemu su slučajne greške heteroskedastčne (jednostavno se pokazuje da važ sledeće: var (ε ) = β x (1- β x ) ). Prsustvo heteroskedastčnost u modelu (2.1) ma za posledcu da metod občnh najmanjh kvadrata daje neefkasne ocene netačne prognoze. Model je 1 Lnear probablty model( LPM) 57

4 Aleksandra Nojkovć moguće ocent metodom pondersanh najmanjh kvadrata 2 (weghted least sqears), al navedena specfkacja pretpostavlja da x dovod do lnearnog rasta y ne obezbeđuje da se zračunate verovatnoće nađu u grancama ntervala (0, 1). Ogrančenost lnearnog modela verovatnoće u analz bnarnog zbora utcala je na razvoj nelnearne specfkacje modela. Blo je neophodno da alternatvna transformacja modela obezbed da vrednost zavsne promenljve leže unutar ntervala (0, 1), odnosno da za dat vektor egzogenh promenljvh bude spunjen uslov: lm Prob (Y = 1) = 1 lm Prob (Y = 1) = 0 (2.2) β x + β x - Ispunjenje navedenog uslova sugerše upotrebu funkcje raspodele verovatnoće poput one predstavljene na slc 2.1, koja uz to obezbeđuje da porast x dovod do promene y za sve vrednost x. Slka 1. Model funkcje raspodele verovatnoće F( βx) β x Ovaj alternatvn prstup zasnva se na uopštavanju polaznog regresonog modela (2.1) uvođenjem latentne promenljve (latent varable) y *, koja se ne opaža: 2 Weghted least sqears, WLS 58

5 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja y * = β x + ε (2.3) Ono što se u praks opaža jeste veštačka promenljva y, koja se još nazva ndkator. Defnsana je na sledeć načn: y = 1 ako y * > 0 = 0 ako y * 0 (2.4) gde je zbor nule arbtraran. Ovo odgovara pretpostavc da se opaža samo znak, a ne numerčka vrednost y *. U ovakvoj formulacj modela β x je E (y * / x ), a ne E (y / x ) kao u slučaju lnearnog modela verovatnoće. Dakle, z jednakost (2.3) (2.4) sled: Prob (Y = 1) = Prob (ε > - β x ) = 1 F (-β x ) (2.5) gde je F funkcja raspodele greške ε. U praks se najčešće pretpostavlja da slučajna greška ε ma normalnu raspodelu sa srednom μ varjansom σ 2 (ε ~ N (μ, σ 2 )). Razlog da se usvoj navedena funkcja raspodele lež u čnjenc da je zbor zmeđu dve alternatve rezultat delovanja velkog broja faktora. Tako centralna grančna teorema opravdava pretpostavku da je β x normalno raspodeljena slučajna promenljva (najčešće se pretpostavlja da je u ptanju normalna standardzovana raspodela, odnosno ε ~ N (0, 1)). Model koj odgovara ovoj pretpostavc nazva se probt 3 model defnše se kao: Pr ob β ' x β ' x 1 2 ( Y = 1) = exp[ ( t 2) ] dt = φ( t) dt = Φ( β ' x) 2π, (2.6) 3 Nazv je prv upotrebo Goldberger (1964), prema engleskom nazvu za normalnu funkcju raspodele (cumulatve probablty functon). 59

6 Aleksandra Nojkovć gde je Φ (.) oznaka za normalnu standardzovanu raspodelu, a φ (.) za odgovarajuću funkcju gustne. Pored probt modela, velku prmenu u praks ma logt model: Prob (Y = 1) = e β x / (1+ e β'x ) = Λ (β x), (2.7) koj pretpostavlja logstčku funkcju raspodele slučajne greške u (oznaka Λ (.)). 4 Na slc 2.2. uočavamo da je reč o funkcj raspodele koja je veoma blska normalnoj, osm na krajevma, gde logstčka funkcja raspodele ma teže repove. Slka 2. Funkcje raspodele probt logt modela 1 p Probt Logt 0 Osm što je matematčk jednostavnj za prmenu, logt model rešavanjem po β x daje sledeću relacju: P ( 1 P) = e β ' x, (2.8) koja omogućava da se zavsna promenljva predstav kao prrodn logartam kolčnka verovatnoće prvog drugog zbora: 4 Slučajna promenljva u ma logstčku raspodelu, ako je njena funkcja raspodele F (u) =Λ (u)=1/(1+e -u ), odnosno gustna: f ( u) Λ( u) [ 1 Λ( u) ]. raspodele su nula π 2 / = Sredna varjansa logstčke

7 ln [ P / (1-P)] = β x. (2.9) Iz jednakost (2.9) se uočava da će zavsna promenljva uzet poztvnu vrednost u slučaju kada je verovatnj prv zbor, odnosno negatvnu vrednost ako je verovatnj drug zbor. Na taj načn se zavsna promenljva može predstavt kao lnearna funkcja nezavsnh faktora ocenjvat bez kakvh ogrančenja na vrednost parametara. Ocene parametara logt probt modela nsu drektno uporedve (varjansa logstčke raspodele je π 2 /3, a normalne standardzovane raspodele je 1), al se u najvećem broju slučajeva mogu veoma dobro aproksmrat sledećom relacjom koju je predložo Amemya: 5 β probt =0.625 β logt (2.10) Važno je napomenut da za razlku od lnearnh modela, ocenjen koefcjent probt logt modela ne predstavljaju margnalne efekte. Efekat jednčne promene x na verovatnoću poztvnog shoda (y =1) defnsan je kao: E [ y x] df( β ' x) x = d ( β ' x) β = f ( β ' x)β, (2.11) gde je f (.) funkcja gustne koja odgovara funkcj raspodele F (.). Izraz (2.11) za slučaj normalne funkcje raspodele postaje: E [ y x] x Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja = φ ( β ' x)β, (2.12) dok je odgovarajuć zraz za logstčku funkcju raspodele: E [ y x] x [ Λ( β ' x) ]. = Λ( β ' x) 1 β (2.13) 5 Amemya (1981) je pokazao da deljenje dobjenh ocena logt modela sa 1,6 daje bolj rezultat od deljenja sa π / 3 1/2 1,8, kako se očekvalo. 61

8 Aleksandra Nojkovć Zapaža se da utcaj na verovatnoću događaja P zavs od vrednost objašnjavajuće promenljve x odnosno od stepena strmost funkcje raspodele za date vrednost x 6, dok znak koefcjenta zasta odgovara smeru promene verovatnoće. Za nterpretacju ocenjenh modela korsno je zračunat efekat utcaja na verovatnoću za vrednost artmetčkh sredna vektora x l pak za neku drugu vrednost x od nteresa. Ovakvo zračunavanje margnalnh efekata se prmenjuje kada nas nteresuje efekat neprekdnh objašnjavajućh promenljvh na verovatnoću ostvarenja posmatranog događaja. Kako se u vektoru egzogenh promenljvh najčešće nalaz bar jedna veštačka promenljva, njen efekat se računa, za date vrednost x, kao razlka verovatnoća poztvnog odgovora (Prob(Y =1)) za vrednost veštačke promenljve jedan, odnosno nula. Sa zuzetkom lnearnog modela verovatnoće, model bnarnog zbora se najčešće ocenjuju metodom maksmalne verodostojnost. Ocena maksmalne verodostojnost β dobja se maksmzranjem logartma funkcje verodostojnost oblka: log L n = log L n ( x; n β ) = { y log F ( β ' x ) + ( 1 y ) log [ 1 F ( β ' x )]}, (2.14) = 1 odnosno rešavanjem sledeće jednačne: log L β n = n = 1 y F fx = F(1 F) n = 1 y f F + (1 y) (1 f x F) = 0, (2.15) gde je f funkcja gustne ( F / (β x )) koja odgovara odabranoj funkcj raspodele F. Izraz (2.15) se nazva jednačna verodostojnost l funkcja S β ). ostvarenh pogodaka 7 (označava se kao ( ) 6 Verovatnoća se prblžava nul po sve sporjoj stop (kada vrednost objašnjavajuće promenljve opada), a takođe jednc po sve sporjoj stop (kada vrednost objašnjavajuće promenljva raste). 7 Score functon 62

9 Osm za lnearn model verovatnoće, uslov (2.15) predstavlja sstem od K nelnearnh jednačna zahteva teratvn postupak rešavanja, koj je u slučaju oba razmatrana modela relatvno jednostavan za operaconalzacju. U praks se najčešće prmenjuje Newton-ov metod optmzacje, pr čemu mora bt spunjen sledeć uslov globalne konkavnost odgovarajuće funkcje verodostojnost: H = 2 log L n (β) / β β < 0. (2.16) Relatvno jednostavno se pokazuje da je Hesjan 8 (matrca drugh zvoda, označava se kao J (β)) predstavljen zrazom (2.16) negatvno defntna matrca za svako β Є B (B parametarsk prostor) u probt u logt specfkacj modela. Pogodnost Newtonovog metoda je u tome što maksmzra vrednost logartma funkcje verodostojnost bez obzra na ncjalne vrednost, to občno u svega nekolko koraka. Ocene koefcjenata modela dobjene ovom metodom poseduju poželjne asmptotske osobne (asmptotsku normalnost konzstentnost) 9, a matrca asmptotskh ocena varjans kovarjans može se zračunat kao negatvna vrednost nverznog Hesjana zračunata za vrednost ocene maksmalne verodostojnost β ): MV Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja β (ove ocene se često označavaju kao A var 1 2 ln L ( β ) ( β ) = = V. (2.17) β β ' U najvećem broju slučajeva nverzna matrca postoj. Ukolko matrca nje nvertblna, to najčešće ukazuje na perfektnu multkolnearnost među regresorma. Asmptotska standardna greška ocene β j predstavlja kvadratn koren j-tog djagonalnog elementa matrce (2.17). Pored navedene, veoma često 8 Hessan matrx 9 Vdet dokaz: Amemya (1985), str

10 Aleksandra Nojkovć korste se sledeće dve ocene asmptotske kovarjantne matrce ocena β. Prva ocena, koju su predložl Berndt, Hall, Hall Hausman (BHHH ocena), zasnva se na rezultatu da očekvana vrednost matrce drugh zvoda predstavlja kovarjantnu matrcu vektora prvh zvoda. Druga asmptotska ocena kovarjantne matrce dobja se metodom pogađanja 10, a zasnva se na očekvanoj vrednost Hesjana. Osnovn nedostatak Newtonog metoda optmzacje je to što matrca drugh zvoda zračunata za vrednost parametra β (občno udaljenog od optmalnog rešenja) ne mora bt negatvno defntna, a to celu proceduru optmzacje odvod u pogrešnom smeru. Drug nedostatak je čnjenca da metod u svakoj teracj zahteva zračunavanje drugog zvoda odnosne funkcje, što može bt veoma zahtevno. Alternatvn metod optmzacje nastal su kao pokušaj unapređenja Newtonovog metoda. Jednostavno rešenje prvog problema predložl su Goldfeld, Quandt Trotter (1966), a poznato je kao kvadratn metod penjanja ka vrhu 11. Drug nedostatak se uspešno otklanja metodama z grupe tzv. pseudonjutonovog metoda, čj algortm ne podrazumevaju zračunavanje drugh zvoda brže konvergraju ka optmalnom rešenju. 12 Za potrebe testranja hpoteza o vrednost parametara ocenjenh metodom maksmalne verodostojnost, na raspolaganju je velk broj testova. Kako ocene maksmalne verodostojnost β maju asmptotsk normalnu raspodelu (sa srednom nula), korsteć neku od predloženh asmptotskh ocena kovarjantne matrce, može se sprovest testranje značajnost mogu se formrat aproksmatvn nterval poverenja za nepoznate parametre. Hpoteze o značajnost pojednačnh parametara testraju se poređenjem sa krtčnm vrednostma z tablca normalne standardzovane raspodele (umesto tablca t- rspodela, koje se korste u klasčnm lnearnm modelma). Testranje složenjh hpoteza, kojma se pretpostavlja da koefcjent u ocenjenom modelu zadovoljavaju zvesna lnearna l nelnearna ogrančenja, sprovod se prmenom sledećh, asmptotsk međusobno ekvvalentnh testova: Waldovog, testa MV 10 Method of scorng 11 Quadratc hll-clmbng method 12 Npr. Davdson Fletcher Powell (DFP) Broyden Fletcher Golgfarb Shanno (BFGS) metod. Navedeno prema: Greeen (1997), str

11 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja kolčnka verodostojnost testa Lagrange-ovog multplkatora. Pod pretpostavkom da je tačna nulta hpoteza, sve tr test-statstke su asmptotsk ekvvalentne maju χ 2 raspodelu, sa brojem stepen slobode koj je jednak broju ogrančenja. Neophodno je naglast da u malm uzorcma naveden testov mogu dat razlčte rezultate (nepoznate osobne u malm uzorcma), dok se u velkm uzorcma bra onaj test koj je jednostavnj za prmenu. Analza stablnost parametara odnosno hpoteza o njhovoj nepromenljvost za sve opservacje u uzorku, sprovod se prmenom testa koj odgovara Chowom testu u klasčnom lnearnom regresonom modelu. Postoj velk broj razlčth testova specfkacje modela kvaltatvne zavsne promenljve. U praks se stražvač najčešće susreću sa problemom zostavljanja relevantne objašnjavajuće promenljve prsustvom heteroskedastčnost u modelu, za čje otkrvanje su razvjen odgovarajuć testov. Pored ovh testova u analz modela kvaltatvne zavsne promenljve moguće je testrat sledeće greške specfkacje: nespunjenost pretpostavke o normalnom rasporedu slučajne greške, prsustvo autokorelacje, prstrasnost u zboru uzorka, egzogenost promenljvh, kao opravdanost pretpostavke o nezavsnost relevantnh alternatva, koj ćemo razmatrat u okvru analze logt modela všestrukog zbora. Kvaltet modela bnarnog zbora može se procent prmenom većeg broja pokazatelja. Pored obaveznog navođenja maksmalne vrednost logartma funkcje verodostojnost (lnl), navod se vrednost logartma funkcja verodostojnost zračunata pod ogrančenjem nulte hpoteze da su sv parametr probt l logt modela jednak nul (ln L 0 ). Najćešće koršćen skalarn pokazatelj kvalteta modela, jeste McFaddenov ndeks kolčnka verodostojnost (LRI), koj se još nazva pseudo R 2 : pseudo R 2 = LRI = 1 (lnl / lnl 0 ), (2.18) predložen po ugledu na koefcjent determnacje R 2 u klasčnom regresonom modelu. Intutvno zaključujemo da se ovaj pokazatelj u nelnearnm modelma takođe kreće u ntervalu (0, 1), al da pr tome nema drektnu nterpretacju da ne predstavlja udeo objašnjenh u ukupnm varjacjama zavsne promenljve. Dakle, predloženo je da se vrednost LRI jednaka jednc tumač kao pokazatelj 65

12 Aleksandra Nojkovć perfektne prognoze modela 13, a u potpunost je prhvaćeno tumačenje da se kvaltet modela povećava sa rastom vrednost LRI. Takođe, predložen su drug pokazatelj kvalteta za ovu grupu modela. Ben Akva Lerman (1985) predložl su meru koja se zasnva na sposobnost predvđanja modela: R 2 BL = 1 n n = 1 y F + (1 y )(1 F ), (2.19) koja predstavlja prosečnu verovatnoću tačnh predvđanja modela, odnosno predvđanja koja su u skladu sa usvojenm pravlom predvđanja. Nedostak ovog pokazatelja je veoma loša moć predvđanja manje zastupljenog odgovora u nebalansranm uzorcma (kada odgovor 1 0 nsu ravnopravno zastupljen). Naveden nedostatak otklonla je mera koju je predložo Cramer (1998): λ = (prosek F y = 1) (prosek F y = 0) = (prosek (1- F ) y = 0) (prosek (1-F ) y = 1). (2.20) U lteratur se još navode pokazatelj kvalteta koje su predložl: Efron (1978), Veall Zmmermann (1992) Zavona McKelvey (1975) 14. Pored vrednost za pseudo R 2 u stražvanjma se najčešće navod procenat tačnh predvđanja modela, koj se predstavlja tabelama tpa 2x2. Pr tome se pod tačnom prognozom podrazumeva: y = 1 ako je F > F* y = 0 ako je F F*, (2.21) gde je F* verovatnoća koja se tretra kao prag tačnh predvđanja. Najčešće se korst vrednost F* = 0.5, pr čemu je važno naglast da se naveden krterjum 13 Ovo je samo donekle tačno, jer čak u slučaju kada smo odabral odgovarajuću funkcju raspodele kada model sadrž velk broj regresora, nećemo dobt perfektnu prognozu osm kad se β x kreće do + l Navedeno prema: Green (1997), str

13 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja pokazao kao neadekvatan u nebalansranm uzorcma. Iz tog razloga ne postoj jednstvena krtčna vrednost za F*, već se određuje u zavsnost od konkretnog problema. Potrebno je naglast da se ocene maksmalne verodostojnost na kojma se zasnvaju sv predložen pokazatelj kvalteta modela bnarnog zbora ne braju na osnovu krterjuma dobjanja što većeg procenta tačnh predvđanja, već bramo onu vrednost β za koju se postže maksmum združene funkcje verodostojnost posmatranh zavsnh promenljvh. Dakle, pr ocenjvanju metodom maksmalne verodostojnost, prortet je na dobjanju ocena sa poželjnm asmptotskm osobnama, a krterjum maksmzranja tačnh predvđanja modela sadržan je u nekm od poluparametarskh metoda ocenjvanja, koje ćemo razmatrat u nastavku rada. Podsetmo se da se metod parametarskog ocenjvanja probt logt modela bnarnog zbora zasnvaju na pretpostavc o poznatoj funkcj raspodele slučajne greške ε (normalna l logstčka). Ukolko ova pretpostavka nje spravna, onda su dobjene ocene nekonsstentne. Iz tog razloga predložen su brojn metod neparametarskog poluparametarskog ocenjvanja, koj polaze od manje restrktvnh pretpostavk o osobnama slučajne greške. U prvoj grup najveću prmenu ma postupak za ocenjvanje neparametarske regresone funkcje E β x metodom jezgra 15, koj podrazumeva ocenjvanje veze zmeđu [ ] putem sekundarne analze već dobjenh rezultata ocenjvanja. Važno je naglast da ovaj metod ne obezbeđuje asmptotsku ocenu kovarjantne matrce, kao da neparametarska analza još predstavlja predmet gotovo sključvo teorjskh razmatranja. U grup poluparametrskh metoda ocenjvanja najveću prmenu ma metod maksmalnog broja pogodaka 16, koj obezbeđuje maksmzranje tačnh predvđanja zavsne promenljve y pomoću znaka latentne promenljve y* (2.3). Osnovn nedostatak metode maksmalnog broja pogodaka jeste odsustvo nformacje o standardnm greškama dobjenh ocena. Neku pretpostavku o varjabltetu unutar uzorka moguće je obezbedt prmenom metoda replkacje 17. Pr tome, ocene dobjene metodom maksmzranja rezultata pored osobne konsstentnost, znatno sporje konvergraju ka pravoj vrednost y 15 Kernel method 16 Maxmum score estmator; MSCORE l MS estmator 17 Bootstrapng method 67

14 Aleksandra Nojkovć parametara (stopa konvergencje je n 1/ 3, dok je stopa konvergencje parametarskh ocena n 1/2 ). Pr tome, njhova asmptotska raspodela nje normalna. Rešenje ovog problema ponudo je Horowtz (1992) predložvš postupak zravnanja ocena dobjenh metodom maksmalnog rezultata 18. Ovm postupkom obezbeđuje se dobjanje ocena koje poseduju asmptotsk normalnu raspodelu stopu konvergencje koja je najmanje n 2/ 5 (pod određenm polaznm pretpostavkama arbtrarno se može tretrat kao n 1/2 ). 19 Iz grupe poluparametarskh metoda navodmo metod pseudomaksmalne verodostojnost 20, koj su predložl Klen Spady (1993), postupak uopštene maksmalne verodostojnost 21, koj je za ocenjvanje modela bnarnog zbora predložo Cosslett (1983). Prednost navedenh poluparametarskh metoda ocenjvanja je to što su njhovom prmenom zbegnute greške specfkacje koje nastaju usled pogrešne polazne pretpostavke o funkcj raspodele slučajne greške. Najznačajnj nedostac su složenost postupka ocenjvanja (moguće je ocent model sa najvše 15 koefcjenata to na baz ne vše od 1500 do 2000 opservacja) nemogućnost stražvanja margnalnh efekata pojednh promenljvh, što često predstavlja osnovnu svrhu stražvanja modela bnarnog zbora. Model bnarnog zbora maju veoma velku prmenu osm u ekonomj u drugm društvenm naukama, kao što su stražvanja odluke o rađanju dece (demografja), zlasku na zbore (socologja), vrednovanju efekata novh metoda učenja (pedagogja), te modelranje verovatnoće da će pojednac učnt neko krmnalno delo (krmnologja). U ovom delu rada navešćemo neke od najznačajnjh prmena modela bnarnog zbora u emprjskom stražvanju ekonomskh problema. Domencch McFadden (1975) modelral su zbor pojednaca da na posao putuju sopstvenm automoblom l korste javn prevoz. Ocenjena je logt specfkacja modela, na baz ankete sprovedene na uzorku od 115 pojednaca koj su svakodnevno putoval do posla. Izbor zmeđu dve alternatve modelran je na osnovu nformacja o vremenu troškovma načna putovanja za koje se pojednac opredelo, vremenu troškovma alternatvnog 18 Smoothed MSCORE 19 Vdet dokaz: Horowtz (1998). 20 Quas Maxmum Lkelhood Estmator; QMLE 21 Generalzed Maxmum Lkelhood Method, GML method 68

15 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja načna putovanja, kao pomoću socoekonomskh karakterstka pojednaca u uzorku. Drug zanmljv prmer predstavlja rad Lee (1978) 22 u kome je ocenjvana verovatnoća da će zaposlen radnk bt član sndkata. Objašnjavajuće promenljve u modelu su pored razlke u zarad radnka koj je član sndkata, u odnosu na radnka koj to nje, još ndvdualne karakterstke anketranh radnka, kao karakterstke grane ndustrje u kojoj je zaposlen. Veoma često se navedena metodologja korst za proučavnje mgracja. Jedan od prmera nalazmo u radu Nakosteen Zmmer (1980). 23 Odluka pojednca o preseljenju zavs od razlke u nvou zarade u sadašnjem novom mestu stanovanja, stanju na tržštu rada dve lokacje, troškova preseljenja, kao od ndvdualnh karakterstka pojednca. Kao lustracja često se navod rad Spector Mazzeo (1980) u kome je analzran efekat prmene nove metode učenja na uspeh grupe od 32 studenata. Zavsna promenljva uzma vrednost 1 ako je rezultat studenta na sptu z ekonomje poboljšan nakon prmene nove metode učenja, dok u suprotnom uzma vrednost 0. Objašnjavajuće promenljve su pored postgnute prosečne ocene, rezultat ranjeg testranja (kao mera predznanja studenta) bnarna promenljva koja tretra učešće studenata u novom načnu učenja. Ne postoj velk broj stražvanja domaćh autora u kojma je prmenjvana metodologja prlagođena bnarnom zboru. Izdvajamo stražvanje Jovčć (1995) u kome je modelom bnarnog zbora testran utcaj ekonomskh faktora na verovatnoću rađanja dece u Srbj. Na uzorku od 1500 porodca ocenjena je logt specfkacja modela ustanovljen je značajan utcaj nekolko ekonomskh faktora, od kojh su redovn mesečn prhod porodce najznačajnj za donošenje odluke o rađanju. Veoma važna je prmena modela bnarnog zbora za opsvanje prstrasnost nastale prlkom zbora podataka u uzorak 24, a koja je prsutna u velkom broju ekonometrjskh modela. 25 Prlkom ocenjvanja ove grupe modela, javlja se 22 Navedeno prema: Amemya (1981). 23 Navedeno prema: Greene (1997): Sample selecton bas 25 Ov model prpadaju šroj grup modela u kojma je zavsna promenljva sa ogrančenjem (funkcja raspodele zavsne promenljve je odsečena l cenzursana). Detaljan pregled ovh modela: Maddala (1983), Amemya (1985) Greene (1997). 69

16 Aleksandra Nojkovć problem prstrasnost ocenjenh parametara, koj se tretra kao problem zostavljanja relevantne objašnjavajuće promenljve rešava postupkom ocenjvanja u dva stepena. Jedna od najčešće ctranh prmena opsanog postupka zvesno jeste Heckmanovo stražvanje ponude ženske radne snage u SAD. 26 Prv stepen ovog postupka, podrazumeva ocenjvanje modela bnarnog zbora o učešću u radnoj snaz. Ovo stražvanje je pokazalo da uzorak velčne 1735 sptanka, na osnovu koga se ocenjuju zarade žena starh od 30 do 44 godne, nje slučajan da je značajno određen prethodnom odlukom žene (selfselecton) o učešću u radnoj snaz. U ekonometrjskm stražvanjma poslednjh godna sve ntenzvnje se razmatra mogućnost prmene ekonometrjskh metoda modela dskretne zavsne promenljve u analz makroekonomskh vremenskh serja, odnosno podataka panela. Kako je poznato da je u najvećem broju makroekonomskh vremenskh serja prsutan jednčn koren, otvorlo se ptanje pogodnost prmene modela dskretne zavsne promenljve u slučaju nestaconarne prrode objašnjavajuće promenljve. U radu Park Phllps (2000) zvedena je asmptotska teorja defnsana za potrebe analze bnarnog zbora u slučaju nestaconarnh regresora. Najvažnj rezultat zvedene teorje jeste otkrće fenomena dvostruke brzne konvergencje ocena nepoznath parametara (stope 3 / 4 1 / 4 konvergencje su n n ), kao dokaz o mešovtoj normalnoj grančnoj raspodel dobjenh ocena. Poput razvoja modela bnarnog zbora u mkroekonometrjskom kontekstu, prva prošrenja teorje nestaconarnh modela bnarnog zbora podrazumevala su, sa jedne strane, uključvanje većeg broja mogućh shoda u model, sa druge strane, mogućnost prmene u analz podataka panela. Identfkovanje faktora koj dovode do pokretanja nflatornh epzoda, predvđanje recesje, valutnh l fnansjskh krza, te proučavanje pojave da se de facto de jure režm devznog kursa u pojednm zemljama razlkuju, samo su nek od makroekonomskh fenomena koje je pogodno analzrat prmenom metodologje modela dskretne zavsne promenljve. Kao zanmljvu lustracju navodmo stražvanje Valckx, de Ceuster Annaert (2002) u kome je sptvan značaj promenljvog varjablteta (volatlnost) fnansjskog tržšta za 26 Heckman (1979). Po ugledu na Heckmanov model, ocenjena je ponuda ženske radne snage u 70 Srbj Crnoj Gor u radu Nojkovć (2004).

17 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja predvđanje prvredne recesje u posmatranoj zemlj. Na mesečnm podacma vremenskh serja SAD, Nemačke Japana ocenjvana je probt specfkacja modela. Rezultat ocenjvanja pokazao je da povećana volatlnost u kretanju kamatne stope, kao rast volatlnost na trštu hartja od vrednost doprnose predvđanju pojave recesje u Nemačkoj Japanu. Od emprjskh stražvanja sprovedenh na makroekonomskm podacma panela zdvajmo rad Boschen Wese (2003). U radu su ocenjvane determnante pojave nflacje u razvjenm zemljama, člancama OECD. Analza je pokazala da postoje četr ključna faktora pomoću kojh se može objasnt pokretanje nflacje u ovoj grup zemalja: vsoka stopa rasta realnog BDP, rast nflacje u SAD, održavanje opšth zbora manja otvorenost prvrede ka međunardnoj trgovn. Nasuprot ovm faktorma, stražvanje je pokazalo da cena nafte na svetskom tržštu, fksna poltka devznog kursa, promenljve koje mere fskalnu poltku poltčka orjentacja vlade nsu statstčk značajn. Slčno stražvanje sprovel su Domac Yucel (2005) na uzorku zemalja u razvoju. 3. Model všestrukog model poređanog zbora Model všestrukog zbora su model u kojma kvaltatvna zavsna promenljva ma vše od dva modalteta. Izbor zanmanja, mesta stanovanja l prevoznog sredstva, samo su nek od prmera stražvanja u kojma se prmenjuju ov model. Ponašanje (donošenje odluke) prlkom zbora kada postoje vše od dve alternatve formalno se predstavlja slučajnom promenljvom y koja uzma vrednost {0, 1,, J}, gde je J poztvan, ceo broj. Pr tome su vrednost koje uzma slučajna promenljva y arbtrarno određene odnosno alternatve nsu poređane. Ako verovatnoću j tog zbora (j = 0, 1,, J) označmo sa Prob (Y = j), od značaja je da se odred ova verovatnoća, al, kao u slučaju modela bnarnog zbora, btno je da se odgovor na ptanje kako razlčt posmatran faktor utču na tu verovatnoću. Takvo se ponašanje u praks sptuje modelma všestrukog zbora nepoređanh alternatva koj se objašnjavaju pomoću modela slučajne korsnost 27. Pretpostavmo da se korsnost j-te alternatve, zabrane zmeđu (J+1) mogućnost, za -tog pojednca (potrošača, domaćnstvo l preduzeće) može predstavt kao: 27 Random utlty model 71

18 Aleksandra Nojkovć U j = β z j + ε j (2.22) Ukolko se pojednac opredelo za j-tu alternatvu, pretpostavljamo da U j predstavlja maksmalnu korsnost u skupu od (J+1) mogućh alternatva odnosno formulšemo statstčk model zasnovan na verovatnoć ostvarenja j- tog zbora: Prob (U j > U k ) za svako k j. (2.23) U zavsnost od pretpostavke o funkcj raspodele slučajne greške (ε j ) u praks sptujemo logt probt modele všestrukog zbora. Kako ocenjvanje probt modela všestrukog zbora 28 podrazumeva zračunavanje ntegrala (J+1) reda, u praks je mnogo češće u upotreb logt model všestrukog zbora 29, koj je znatno jednostavnj za operaconalzacju. U zavsnost od razlčth polaznh pretpostavk, razmatraju se razlčte specfkacje logt modela všestrukog zbora (najčešće uslovn logt model, obuhvatn logt model model uopštenh ekstremnh vrednost), kao logt probt model poređanog všestrukog zbora. Ukolko pođemo od modela (2.22), najjednostavnje je da pretpostavmo logstčku funkcju raspodele slučajne greške (ε j ). Dakle, ako ostvaren zbor zmeđu alternatva predstavmo slučajnom promenljvom Y, onda se verovatnoće (J+1) zbora koje čn -t donoslac odluke sa vektorom karakterstka x predstavljaju sledećm jednačnama: Prob (Y = j) = 1 + e J β k = 1 ' j x e β k ' x, j = 1, 2,, J. Prob (Y = 0) = 1 + J 1 k = 1 e β k ' x, (2.24) gde je uslov da se navedene verovatnoće sabraju do jedan. 28 Multnomal probt model, MNP 29 Multnomal logt model, MNL 72

19 Naveden model predstavlja logt model všestrukog zbora. Takođe, uočavamo da logt model bnarnog zbora (2.7) predstavlja specjalan slučaj navedenog modela (J =1). Logt model všestrukog zbora se ocenjuje metodom maksmalne verodostojnost, a teratvnm postupkom se maksmzra sledeća funkcja verodostojnost: n J log L = d logpr ob( Y j), (2.25) = 1 j = 1 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja j = gde je: d j = 1 za Y = j, odnosno d j = 0, u ostalm slučajevma. Uočavamo da za svakog -tog pojednca postoj samo jedna vrednost d j koja je jednaka 1 (stuacja da je -t pojednac zabrao j-tu alternatvu), a ocena parametra β dobja se rešavanjem sledeće jednačne: ln L β j = [ dj Pj ] x, za j = 0,1,..., J. (2.26) Kako je jednakost (2.26) nelnearna funkcja parametara β k (P j je nelnearana funkcja vektora nepoznath parametara β) funkcja se maksmzra poznatm teratvnm postupcma. Osm Newtonovog metoda optmzacje preporučuje se prmena BHHH algortma. Matrca drugh zvoda funkcje verodostojnost (2.25) ma (J 2 K x K) blokova defnsana je kao: 2 ln L = β ' = β j l n P j [ ( j = l) P ] x x ' l, (2.27) gde je 1 (j = l) jednako 1 za j = l, a 0 u suprotnom slučaju. Hesjan ne sadrž d j, odnosno za logt model všestrukog zbora Newtonov metod je ekvvalentan metodu pogađanja. Jednostavno se pokazuje da je matrca drugh zvoda negatvno defntna odnosno funkcja verodostojnost je globalno konkavna (McFadden (1974)), a pogodno je to što Newtonov postupak konvergra maksmumu u svega nekolko koraka. Pr tome, važno je uočt da se broj parametara logt modela všestrukog zbora značajno uvećava sa povećanjem broja alternatva. 73

20 Aleksandra Nojkovć Ocenjen parametr nemaju drektnu nterpretacju, a tek se postupkom dferencranja zraza (2.24) dolaz do odgovarajućeg zraza za margnaln efekat promene karakterstka posmatranog -tog pojednca na verovatnoću j-tog shoda: J _ P j δ j = = P j( β j P kβ k ) = P j( β β ). (2.28) j x k = 0 Pr tome, svak podvektor vektora β utče na velčnu margnalnog efekta svake od egzogenh promenljvh to kako kroz vrednost verovatnoće P j, tako kroz vrednost pondersanog proseka koj fgurše u navedenom zrazu. Dodatn problem u nterpretacj rezultata posledca je čnjence da se računanjem margnalnog efekta za određeno x k ( P j / x k ) ne mora dobt znak koj odgovara znaku koefcjenta β jk. Znatno jednostavnja nterpretacja za β j, dobja se rešavanjem modela (2.24) po β j x : ln P P j 0 = β ' x j, (2.29) gde je zavsna promenljva predstavljena kao logartam kolčnka verovatnoće j- tog zbora. Normalzacjom po verovatnoć k-tog zbora dolazmo do uopštenog zraza za logartam kolčnka verovatnoća blo koja dva zbora j k: Pj ln Pk = x '( β β ). j k (2.30) Naročto je važno napomenut da odnos verovatnoća P j / P k ne zavs od preostalh zbora (shoda, alternatva), što je posledca pretpostavke o nezavsnost slučajnh grešaka polaznog modela, o čemu će bt vše reć u nastavku ovog poglavlja. Slčno modelma bnarnog zbora, ne postoj saglasnost oko jednstvenog pokazatelja kvalteta logt modela všestrukog zbora. Najčešće se navod 74

21 logartam funkcje verodostojnost modela, ndeks kolčnka verodostojnost (LRI), kao procenat tačnh predvđanja modela (gde se pod tačnm predvđanjem podrazumevaju slučajev za koje je Y = j, ako je ocenjena verovatnoća P najveća). j Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja Logt model všestrukog zbora je odgovarajuć u slučaju da specfčnost razlčth alternatva ne predstavljaju predmet nteresovanja, l da podac o tome nsu raspoložv. Na prmer, ovm modelom se predstavlja zbor zanmanja kada ne znamo rezultate koje b -t pojednac ostvaro pr zboru svakog od (J+1) potencjalnh zanmanja. Za razlku od logt modela všestrukog zbora, koj pretpostavlja da verovatnoća zbora zavs samo od karakterstka pojednaca koj donose odluku, McFadden (1974) predlaže model u kome na verovatnoću zbora delmčno utču opažen atrbut razlčth alternatva. Model koj je u lteratur poznat kao McFaddenov logt model l uslovn logt model (condtonal logt model) zvod se z modela slučajne korsnost (2.22), uz pretpostavku o nezavsnost (J+1) slučajnh grešaka, koje maju Webullovu funkcju raspodele: F (ε j ) = exp (-e - εj ), (2.31) pa se verovatnoća j-tog zbora može predstavt kao: Prob (Y = j) = J e j = 1 β ' z j e β ' z j. (2.32) Korsnost je funkcja vektora egzogenh promenljvh (z j ) zavs kako od karakterstka pojednaca, tako od karakterstka samog zbora. Ukolko ove razlčte komponente razdvojmo, odnosno pretpostavmo da je z j = (x j, w ), gde se w odnos na karakterstke pojednca, koje ne varraju za razlčte alternatve (na prmer, godne starost, pol l mesto stanovanja), dok x j varra u zavsnost od opaženh karakterstka razlčth alternatva, koje su delmčno razlčte za svakog pojednca (komponente vektora x j se nazvaju atrbut alternatve, odnosno atrbut razlčth zbora), zamenom u model (2.32) dobjamo sledeću funkcju verovatnoće j-tog zbora: 75

22 Aleksandra Nojkovć Prob (Y = j) = J e j = 1 β ' xj + α ' w e β ' xj + α ' w = J e j = 1 β ' xj e e β ' x j α ' w e α ' w. (2.33) Članov koj ne varraju za razlčte alternatve, dakle on koj se odnose na karakterstke specfčne za pojednce, ne utču na verovatnoću zbora. Uslovn logt model se najjednostavnje ocenjuje prmenom Newtonovog teratvnog postupka, a funkcja verodostojnost je sta kao u slučaju logt modela všestrukog zbora (2.25). Pr tome, prv drug zvod logartma funkcje verodostojnost su: log L = log β n J = 1 j = 1 d ( x j j _ x ), 2 log L β β ' = n J = 1 j = 1 P ( x j j _ x )( x j _ x )', (2.34) _ gde je : x = P x. J j = 1 j j Slčno logt modelu všestrukog zbora, Newtonov metod je ekvvalentan metodu pogađanja, a postupak optmzacje občno konvergra u svega nekolko koraka. Za uslovn logt model navode se uobčajen pokazatelj kvalteta: procenat tačnh predvđanja ndeks kolčnka verodostojnost. Važno je napomenut, da pored čnjence da su logt model všestrukog zbora bl već neko vreme prmenjvan u ekonometrjskm stražvanjma, pojava McFaddenovog modela predstavljala je značajan napredak. Velku prmenu ovaj model duguje kako zasnovanost na ekonomskoj teorj, tako jednostavnost zračunavanja. Pr tome, za McFaddenov uslovn logt model važ da odnos verovatnoća ma koje dve alternatve j k (P j / P k ) zavs samo od atrbuta th 76

23 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja alternatva odnosno ne zavs od uvođenja novh alternatva u model, kao n od promena karakterstka neke od postojećh alternatva. Ova osobna logt modela posledca je restrktvne pretpostavke o slučajnom članu funkcje korsnost (pretpostavlja se da su greške modela nezavsne homoskedastčne) nazva se nezavsnost od relevantnh alternatva). 30 Navedeno ogrančenje modela defnše se sledećom jednakošću: Pj ( x ln Pk ( x j k ) β ' x j = ) β ' xk = β '( x j x k ). (2.35) Kako je sam McFadden pokazao, ova pretpostavka ne važ u slučaju slčnh alternatva. Kako je uslov nezavsnost od relevantnh alternatva posledca polazne pretpostavke o nezavsnost homoskedastčnost slučajnh grešaka, sam McFadden je defnsao neke od testova za sptvanje valdnost navedene pretpostavke. Najznačajnja je procedura koju je razvo sa Hausmanom 31, a koja se zasnva na poređenju ocena dobjenh na osnovu podskupa posmatranh alternatva ocena dobjenh na celom skupu alternatva. Dalje unapređenje uslovnog logt modela kretalo se u pravcu uvođenja manje restrktvnh polaznh pretpostavk o slučajnoj grešk modela. Jedan od načna jeste ocenjvanje probt modela všestrukog zbora, 32 koje se zvod polazeć od modela slučajne korsnost (2.22): U j = β x j + ε j (j =0, 1,, J), gde se pretpostavlja da slučajne greške (ε j ) maju všedmenzonu normalnu funkcju raspodele. Probt model všestrukog zbora je teorjsk vrlo nspratvan, al kako smo već napomenul, postupak ocenjvanja podrazumeva zračunavanje ntegrala reda (J+1), dakle metod maksmalne verodostojnost je praktčno nemoguće prment u modelma sa vše od pet mogućh alternatva. Drug načn da pretpostavka o homoskedastčnost slučajne greške uslovnog logt modela postane manje restrktvna jeste da se u model uvede hjerarhjska struktura, odnosno podela alternatva u podskupove (grupe). Model koj dozvoljava prsustvo heteroskedastčnost (nejednake varjanse) među razlčtm 30 Independence from rrelevant alternatves, IIA 31 Hausman McFadden (1984) 32 U skladu sa prethodnm, spravnje b blo ovaj model nazvat uslovn probt model (condtonal probt model), kao što su to učnl Hausman Wse (1978). 77

24 Aleksandra Nojkovć grupama, dok se zadržava pretpostavka o nezavsnost od relevantnh alternatva u okvru svake grupe, nazva se obuhvatn logt model 33. Osnovn problem obuhvatnog logt modela jeste sama specfkacja hjerarhjske strukture modela odnosno svrstavanje postojećh alternatva u odgovarajuće grane (l grupe). Ukolko ova podela ne prostče z same prrode problema, za to ne postoje preczn testov, a razlčta specfkacja modela dovod do razlčth rezultata ocenjvanja. Iz tog razloga, McFadden (1978, 1981) 34 formulše model uopštenh ekstremnh vrednost 35, koj predstavlja uopštenje polaznog uslovnog logt modela, tako da se može prment u slučaju postojanja slčnh alternatva. Neke od najčešćh prmena logt modela všestrukog zbora jesu analza zbora prevoznog sredstva ljud koj u gradskm srednama putuju na posao. Hensher (1986) 36 je sproveo stražvanje na uzorku od 1455 stanovnka Sdneja koj svakodnevno putuju na posao. Modelom je obuhvaćen zbor zmeđu četr alternatve (putovanje na posao automoblom kao vozač l putnk, putovanje vozom l autobusom). Objašnjavajuće promenljve su, zmeđu ostalog, vreme koje sptank provede u putu, troškov putovanja, vreme čekanja gradskog prevoza, vreme potrebno za pešačenje do stance autobusa l voza, te troškov parknga. Iz ove grupe stražvanja često se navod rad McFadden-a (1974) u kome je prvo ocenjen model bnarnog zbora (putovanje autobusom l automoblom), zatm je u model uvedena treća alternatva (naknadno je u rad pušten javn železnčk saobraćaj u zalvu San Francska, gde je obavljeno stražvanje). Na osnovu oba ocenjena modela predvđena je tražnja za prevoznm sredstvma po zboru anketranh pojednaca poređen su rezultat dobjen pre posle uvođenja nove alternatve u model. Logt model všestrukog zbora nalaz velku prmenu u analz zbora zanmanja. Iz ove grupe stražvanja zdvajamo radove Schmdta Straussa (1975a, 1975b). 37 Analza je sprovedena na baz 1000 opservacja prkupljenh u tr referentne godne (1960, 1967, 1970). Svak od anketranh pojednaca odgovarao je na ptanja o zboru zanmanja (ponuđeno je pet mogućh grupa 33 Nested multnomnal logt; NMNL 34 Navedeno prema: Maddala (1983), st Generalzed extreme value model-gev 36 Navedeno prema: Greene (1997), st Navedeno prema: Greene (1997), st

25 zanmanja, u rasponu od nekvalfkovanog radnka do profesonalca), a objašnjavajuće promenljve u modelu su nvo obrazovanja, godne radnog skustva, pol prpadnost određenoj ras. Interesantna je prmena logt modela všestrukog zbora u stražvanju zbora načna plaćanja (u ctranom stražvanju to su gotovna l tr razlčte vrste čekova) sprovedena na uzorku od 1000 holandskh domaćnstava ukupno 2161 zvršenh plaćanja, čj su autor Mot and Cramer (1992). Za modelranje ponašanja prlkom zbora zmeđu vše poređanh alternatva prmenjuju se logt probt model poređanog zbora 38. Ocena kredtne sposobnost, zbor razlčth nvoa osguranja l stražvanje zaposlenost (pojednac može bt nezaposlen, zaposlen sa nepunm, l sa punm radnm vremenom) predstavlju samo neke od stražvanja u kojma se prmenjuju ov model. Izbor zmeđu većeg broja poređanh alternatva predstavljmo na poznat načn, dakle slučajnom promenljvom y koja uzma vrednost {0, 1,, J}, gde je J poztvan, ceo broj. Pr tome, vrednost koje uzma slučajna promenljva y nsu arbtrarno određene odnosno alternatve su poređane prema redosledu. Važno je napomenut da ukolko rangramo, na prmer, kredtnu sposobnost na skal od 0 do 6, dodeljen rang ma ordnaln karakter, odnosno razlka zmeđu ranga 2 3 ne mora bt stog značaja kao razlka zmeđu ranga 4 3. U specfkacj modela poređanog všestrukog zbora polazmo od regresonog modela latentne zavsne promenljve y *: y * = β x + ε. (2.36) Pr tome, latentna promenljva y * se ne opaža, al ono što se u praks opaža jeste promenljva y koja se defnše na sledeć načn: ( 1 y = 0 ako y,µ ] = 1 ako y ( µ 1, µ 2] Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja 38 Ordered logt ordered probt models 79

26 Aleksandra Nojkovć ( J 1 J = J-1 ako y µ, µ ] = J ako [, + ) y µ (2.37) J gde su μ 1, μ 2, μ J nepoznat parametr, koj se nazvaju tačke odsecanja, l parametr praga. 39 Nepoznat parametr μ j (j = 1, 2,, J) se ocenjuju zajedno sa vektorom β. Pr tome, jednostavno se pokazuje da se verovatnoće mogućh shoda sabraju do jednce, a uslov da je μ 1 < < μ J-1 < μ J obezbeđuje da je Prob (y = j ) > 0, za j =0, 1,, J. Postupak ocenjvanja podrazumeva prmenu poznath metoda optmzacje, a u zavsnost od pretpostavke o raspodel slučajne greške ε, razlkujemo probt logt model poređanh shoda. Rad lustracje do sada navedenog, na sledećoj slc predstavljamo zgled funkcje gustne probt modela poređanh alternatva za slučaj J = 4. Slka 3. Funkcja gustne probt modela poređanh alternatva Za ove modele takođe važ da koefcjent β nemaju drektnu nterpretacju. Specfčnost zračunath margnalnh efekata ovh modela jeste poznat utcaj promene x k na verovatnoće krajnjh shoda odnosno na Prob (y = 0) Prob (y = J), al da to ne važ za verovatnoće shoda j = 1, 2,, J-1 (shod rangran 39 Cut ponts; threshold parametars. 80

27 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja zmeđu dva krajnja shoda). Pr tome, verovarnoća Prob(y=0) se menja u smeru suprotnom znaku koefcjenta β, dok se verovatnoća Prob(y=J) menja u smeru koj odgovara znaku koefcjenta k β. U modelma poređanh zbora, kao k pokazatelj kvalteta modela najčešće se navod ukupan procenat tačnh prognoza, al procenat tačnh prognoza za svak od shoda posebno. Slčno logt modelu všestrukog zbora, predvđanje za y u ovm modelma je shod sa najvećom ocenjenom verovatnoćom. Pored pomenuth prmena koje se odnose na ekonomsko ponašanje pojednaca l preduzeća, model poređanog zbora nalaze prmenu u makroekonometrjskm stražvanjma novjeg datuma. U radovma Hua Phllpsa (2004a, 2004b) modelrane su odluke centralnh banaka SAD Kanade o promen nstrumenata monetarne poltke donete na osnovu analze kretanja nekh od osnovnh makroekonomskh pokazatelja. Odluka o smanjenju, zadržavanju na stom nvou, l povećanju posmatranog nstrumenta monetarne poltke (npr. kamatne stope l uskh monetarnh agregata, kao što je M0), uvedena je u model kao zavsna promenljva sa tr moguća shoda (uzma vrednost -1, 0 l +1). Pr tome, postoje bar dva razloga koj modele nestaconarnog dskretnog zbora čne pogodnm za opsvanje ovako vođene monetarne poltke. Prvo, nstrument monetarne poltke prlagođavju se na dskretan načn, občno za celobrojn umnožak četvrtne procentnog poena (najčešće su promene za 0,25; 0,5; 0,75 l 1 procentn poen), a odluka o eventualnoj promen nvoa donos se na unapred zakazanm sastancma odbora centralne banke. Pr tome, ne očekuje se da će centralna banka ntervensat uvek kada stvarn nvo targeta (za velk broj centralnh banaka to je cljana nflacja, al to mogu bt razvojn cljev l devzn kurs) odstup od optmalnog nvoa. Umesto toga, centralna banka ntervenše samo kad odstupanje odnosno razlka zmeđu dve vrednost premaš određen prag. Model poređanog zbora omogućava da se stovremeno sa pronalaženjem osnovnh faktora koj determnšu odluku centralne banke, emprjsk utvrde parametr praga odnosno odstupanje preko koga centralna banka ntervenše. Drug razlog jeste čnjenca da su mnog od relevantnh makroekonomskh pokazatelja koj utču na odluke monetarnh vlast, poput stope nflacj l nezaposlenost, nestaconarne vremenske serje. 81

28 Aleksandra Nojkovć Pored navedenog, model poređanog zbora prmenjvan su u analz zbora poltke devznog kursa. Zavsna promenljva u ovakvoj specfkacj uzma vše poređanh vrednost. U zavsnost od klasfkacje režma devznh kurseva, broj kategorja je občno 3 l 4, al u detaljnjm podelama može bt do 13, pr čemu su kategorje raspoređene u rasponu od poltke zvančnog prhvatanje valute druge zemlje do poltke slobodno plvajućeg režma devznog kursa. Iz ove grupe stražvanja navodmo analzu poltke devznh kurseva sprovedenu na kvartalnm podacma panela za 50 zemalja u razvoju u perodu od do godne, koja je sprovedena u radu Jna (2004). Slčno stražvanje o zboru režma devznog kursa sprovedeno na uzorku od 25 zemalja u tranzcj nalazmo u radu Markewcza (2006). Navodmo veoma nteresantan prmer stražvanja uspešnost reform za okončanje hpernflatornh epzoda u dosadašnjoj ekonomskoj storj. Autor Bernholz Kugler (2006) su metodologju probt modela poređanog zbora prmenl u analz uspešnost mera preduzeth sa cljem zaustavljanja vše od 30 hpernflacja u svetu. U ovoj analz uspeh reform nje meren stopom nflacje u posthpernflatornom perodu, jer b se u tom slučaju vrednost zavsne promenljve zadržale na veoma vsokom nvou u onm zemljama gde reforme nsu male uspeha, te nestandardne opservacje b značajno utcale na rezultat ocenjvanja. Iz tog razloga zavsna promenljva nje neprekdna (numerčka) promenljva, već se u model uvod kao kvaltatvna promenljva koja uzma tr modalteta (reforma je u posmatranoj zemlj bla uspešna, delmčno uspešna l nje dala rezultate). Rezultat analze potvrdo je da na uspešnost sprovedenh reform značajno utče samo veštačka promenljva koja mer efekat uvođenje nezavsnost centralne banke. 4. Model brojvh podataka Model brojvh podataka su model u kojma zavsna promenljva l promenljva odgovora (y) uzma cele, nenegatvne vrednost. Ov model se često korste u praktčnm stražvanjma, a prmer brojvh podataka zavsne promenljve su: broj dece rođene u određenom ntervalu godna starost majke (promenljva relevantna za studje fertlteta), broj poseta lekaru, l prjavljen patent od strane preduzeća u određenom ntervalu vremena, slčno. Pr tome, slučajna promenljva y najčešće uzma svega nekolko vrednost (na prmer, 0, 1 2), ma raspodelu asmetrčnu u levo, a u modelu je prsutna 82

29 Model dskretne zavsne promenljve: pregled metodologje prmenjenh stražvanja heteroskedastčnost (varjansa slučajne greške raste uporedo sa rastom artmetčke sredne promenljve y). Modelranje brojvh podataka se zasnva na specfčnoj metodologj, koja se u osnov svod na dva osnovna prstupa. Prv predstavlja parametarsko ocenjvanje, kada se pretpostavlja određena funkcja raspodele zavsne promenljve, uz ogrančenje da y uzma cele, nenegatvne vrednost. U navedenom prstupu najveću praktčnu prmenu ma Possonov regreson model, kao altenatve ovog modela koje dozvoljavaju manje restrktvne polazne pretpostavke. Drug prstup je poluparametarsko ocenjvanje, gde se pretpostavlja nenegatvnost uslovne očekvane vrednost, kao da je uslovna varjansa funkcja uslovne očekvane vrednost. U proučavanju brojvh podataka najčešće se korst Possonov regreson model, koj pretpostavlja da svako y predstavlja jedno zvlačenje z Possonove raspodele sa parametrom λ : λ e λ Prob (Y = y ) =, y! y y = 0, 1, 2, (2.38) pr čemu su prva dva momenta ove raspodele: E (y ) = λ var (y ) = λ (2.39) Najčećešće se korst logartamsko-lnearn (log-ln) model za λ : ln λ = β x, (2.40) gde je x vektor egzogenh promenljvh. Očekvan broj poztvnh odgovora (realzacja događaja) može se predstavt kao: E [y x ] = var [y x ]= λ = e β x, (2.41) 83