HOLOMORFNO PROJEKTIVNA PRESLIKAVANJA GENERALISANIH HIPERBOLIČKIH KELEROVIH PROSTORA I UOPŠTENJA

Transcription

1 UNIVEZITET U NIŠU PIODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Mloš Z. Petrovć HOLOMOFNO POJEKTIVNA PESLIKAVANJA GENEALISANIH HIPEBOLIČKIH KELEOVIH POSTOA I UOPŠTENJA DOKTOSKA DISETACIJA Nš, 07.

2 UNIVESITY OF NIŠ FACULTY OF SCIENCES AND MATHEMATICS Mloš Z. Petrovć HOLOMOPHICALLY POJECTIVE MAPPINGS OF GENEALIZED HYPEBOLIC KAHLE SPACES AND GENEALIZATIONS DOCTOAL DISSETATION Nš, 07

3 Подаци о докторској дисертацији Ментор: др Мића Станковић, редовни професор Природно-математичког факултета Универзитета у Нишу Наслов: Холоморфно пројективна пресликавања генералисаних хиперболичких Келерових простора и уопштења Резиме: Теза се бави многострукостима са несиметричном линеарном конексијом, испитује особине таквих многострукости при разним пресликавањима, али и открива нове многострукости снабдевене додатним структурама и испитује њихове особине. На тај начин теза представља наставак истраживања o многострукостима са несиметричном линеарном конексијом. Такође, теза је наставак истраживања из области пресликавања многострукости са несиметричном линеарном конексијом, као и инфинитезималних деформација таквих многострукости. Специјално, дефинисани су генералисани хиперболички Келерови простори као специјални генералисани Риманови простори и посматрана су холоморфно пројективна пресликавања међу таквим просторима. Многострукости са несиметричном линеарном конексијом допуштају пет линеарно независних тензора кривине. Користећи поменуте тензоре кривине могуће је посматрати геометријске објекте многострукости са несиметричном линеарном конексијом који су инваријантни при разним пресликавањима. Научна област: Научна дисциплина: Кључне речи: Математичке науке Диференцијална геометрија генералисани хиперболички Келеров простор, генералисани Риманов простор, холоморфно пројективно пресликавање, скоро геодезијско пресликавање, несиметрична линеарна конексија, тензор кривине, инваријантни геометријски објект. УДК: CEIF класификација: Тип лиценце Креативне заједнице: P50 Геометрија, алгебарска топологија CC BY-NC-ND

4 Data on Doctoral Dssertaton Doctoral Suervsor: Ttle: Mća Stankovć, P.D., full rofessor at Faculty of Scences and Matematcs, Unversty of Nš Holomorcally rojectve mangs of generalzed yerbolc Kaler saces and generalzatons Abstract: Te tess deals wt manfolds wt non-symmetrc lnear connecton, analyzes te roertes of suc manfolds wt resect to varous mangs, but also dscovers new manfolds endowed wt addtonal structures and examnes ter roertes. In suc manner te tess reresents a contnuaton of nvestgaton on manfolds wt non-symmetrc lnear connecton. Also, te tess s a contnuaton of nvestgaton n te feld of te mangs of manfolds wt non-symmetrc lnear connecton, as well as nfntesmal deformatons of suc manfolds. Partcularly, generalzed yerbolc Kaler saces are defned as secal generalzed emannan saces and olomorcally rojectve mangs between suc saces are consdered. Manfolds wt non-symmetrc lnear connecton admts fve lnearly ndeendent curvature tensors. By usng tese curvature tensors t s ossble to consder geometrc objects of manfolds wt non-symmetrc lnear connecton wc are nvarant wt resect to varous mangs. Scentfc Feld: Scentfc Dsclne: Key Words: Matematcs Dfferental geometry generalzed yerbolc Kaler sace, generalzed emannan sace, olomorcally rojectve mang, almost geodesc mang, non-symmetrc lnear connecton, curvature tensor, nvarant geometrc object. UDC: CEIF Classfcaton: Creatve Commons Lcense Tye: P50 Geometry, algebrac toology CC BY-NC-ND

5 Прилог / ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР: Тип документације, ТД: Тип записа, ТЗ: Врста рада, ВР: Аутор, АУ: Ментор, МН: Наслов рада, НР: монографска текстуални докторска дисертација Милош З. Петровић Мића С. Станковић Холоморфно пројективна пресликавања генералисаних хиперболичких Келерових простора и уопштења Језик публикације, ЈП: Језик извода, ЈИ: Земља публиковања, ЗП: Уже географско подручје, УГП: српски енглески Србија Србија Година, ГО: 07. Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска. Физички опис рада, ФО: поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога Научна област, НО: Научна дисциплина, НД: Предметна одредница/кључне речи, ПО: 7/v+06/9/0/7/0/ математичке науке диференцијална геометрија Риманова геометрија / генералисани хиперболички Келеров простор, генералисани Риманов простор, холоморфно пројективно пресликавање, скоро геодезијско пресликавање, несиметрична линеарна конексија, тензор кривине, инваријантни геометријски објект. УДК Чува се, ЧУ: библиотека Важна напомена, ВН:

6 lseo.q, H: Tesa ce 6aeu rrauorocrykocruma ca HeclMeruuHoM JrHHeaHoM xouercujou, ucnuryje oco6uhe rakbhx MHOTOCTyKOCTT nh ahum necfhkabalbhma, afu f orklba HoBe MHorocryKocrr cua6gebehe,qoearhlm cryrtyama k ucnuryje rumxoee oco6uhe. Ha raj uauuh Tea negcrabjba HacTaBaK,rcraxHBaFba o MHOTOCTyKOCTI Ma Ca HSCMeTHr{HOM nhheahom xonercrjona. Taxofe, reaa je HacraBaK HcraxlrBaba H o6nacru necnuka*afba MHorocryxocTt ca HecuMeruqHoM rihheahom xouercujena, Kao u nh$muuresumaflhnx ge$orr,taquja TAKBUX MHorocryKocrH. Cneqnjanuo, ge$uuucauu cy reheanucah!,r xune6onuqru Keneoeu nocrou Kao cnequjannlr reheajrncahh PHnaaHoeu nocror,t ta nocmaraha cy xonouo$uo nojexrusha necnukababa Mey rakbllm nocromma. Muorocryxocrrl ca HecHMerHr{HoM nhheahom xonercujora gonyurajy ner nhheaho HesaBucHtlx TeHoa KLrBuHe. KoNcreu nomehyre reffoe KrrBuHe rr,toqre je nocnaararu reouerujcxe o6jexre MHOTOCTyKOCTI Ca HeCHMeTUT{HOM nhheahom rouercnjorra xoju cy uheaujahrnr nu ahuu necflhkabafblrma. laryrrr nuxaararua reue,,qfl: j flaryl,r og6ane, SO Hnasoeurorraucuje,KO: fle.qce,qnrax: ulnas; u]nah: LlnaH: Llnan, ueurc: O6asaq Q lsaalbe I Q.6.0 -Izdawe I

7 ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ Прилог / KEY WODS DOCUMENTATION Accesson number, ANO: Identfcaton number, INO: Document tye, DT: Tye of record, T: Contents code, CC: Autor, AU: Mentor, MN: Ttle, TI: monogra textual doctoral dssertaton Mloš Z. Petrovć Mća S. Stankovć Holomorycally rojectve mangs of generalzed yerbolc Kaler saces and generalzatons Language of text, LT: Language of abstract, LA: Country of ublcaton, CP: Localty of ublcaton, LP: Serban Engls Serba Serba Publcaton year, PY: 07 Publser, PB: autor s rernt Publcaton lace, PP: Nš, Všegradska Pyscal descrton, PD: caters/ages/ref./tables/ctures/gras/aendxes Scentfc feld, SF: Scentfc dsclne, SD: Subject/Key words, S/KW: 7/v+06/9/0/7/0/ matematcs dfferental geometry emannan geometry / generalzed yerbolc Kaler sace, generalzed emannan sace, olomorcally rojectve mang, almost geodesc mang, non-symmetrc lnear connecton, curvature tensor, nvarant geometrc object. UC Holdng data, HD: lbrary Note, N:

8 Abstract, AB: Te tess deals wt manfolds wt non-symmetrc lnear connecton, analyzes te roertes of suc manfolds wt resect to varous mangs, but also dscovers new manfolds endowed wt addtonal structures and examnes ter roertes. ln suc manner te teme reresents a contnuaton of nvestgaton on manfolds wt nen-symmetrc Inear connecton. Also, te tess s a contnuaton of nvestgaton n te feld of te mangs of manfolds wt nonsymmetrc lnear connecton, as well as nfntesmal deformatons of suc manfolds. Partcularly, generalzed yerbolc Kaler saces are defned as secal generalzed emannan sares and olomorcally rojectve mangs between suc saces are consdered. Manfolds wt non* symmetrc lnear connecton admts fve lnearly ndeendent curvature tensors. By usng tese curvature tensors t s ossble to consder geometrc objects of manfolds wt nonsymmetrc lnear connecton wc are nvarant wt resect to varous mangs. Acceted byte Scentfc Board on, ASB: Defended on, DE: a.07. Defended Board, DB: Presdent: Member; Member: Member, Mentor: O6asaq Q Plqgarue Q Izdawe I

9 Sadržaj Uvod v Pregled osnovn ojmova teorje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom Pojam mnogostrukost Tangetn rostor Vektorska tenzorska olja Lnearna koneksja tenzor krvne manova mnogostrukost Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Tenzor krvne mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Osobne tenzora krvne mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Ajzenartov generalsan manov rostor Kovarjantn tenzor krvne generalsanog manovog rostora Preslkavanja transformacje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom Mešovt sstem PDJ u tenzorskom oblku Geodezjske lnje geodezjska reslkavanja Secjalna skoro geodezjska reslkavanja rvog ta mnogostrukost sa lnearnom koneksjom. Skoro geodezjska reslkavanja mnogostrukost Skoro geodezjske lnje mnogostrukost sa smetrčnom lnearnom koneksjom.. Potrebn dovoljn uslov za skoro geodezjska reslkavanja mnogostrukost sa smetrčnom lnearnom koneksjom Slučaj mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Skoro geodezjske lnje mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Secjalna klasa skoro geodezjsk reslkavanja rvog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom elacje med u tenzorma krvne mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom r skoro geodezjskm reslkavanjma ta π Generalsan eltčk Kelerov rostor. HP reslkavanja generalsan eltčk Kelerov rostora Ekvtorzona HP reslkavanja generalsan Kelerov rostora

10 . Generalsan eltčk Kelerov rostor u Ajzenartovom smslu HP reslkavanja generalsan eltčk Kelerov rostora u Ajzenartovom smslu.. Ekvtorzona HP reslkavanja generalsan eltčk Kelerov rostora u Ajzenartovom smslu Generalsan erbolčk Kelerov rostor 8. Generalsan erbolčk Kelerov rostor HP reslkavanja generalsan erbolčk Kelerov rostora Ekvtorzona HP reslkavanja generalsan erbolčk Kelerov rostora 55. Otvoren roblem Generalsan erbolčk Kelerov rostor u Ajzenartovom smslu HP reslkavanja generalsan erbolčk Kelerov rostora u Ajzenartovom smslu Ekvtorzona HP reslkavanja generalsan erbolčk Kelerov rostora u Ajzenartovom smslu Generalsane arabolčke Kelerove mnogostrukost Generalsane m-arabolčke Kelerove mnogostrukost HP reslkavanja generalsan m-arabolčk Kelerov mnogostrukost elacje med u tenzorma krvne generalsan m-arabolčk Kelerov mnogostrukost r olomorfno rojektvnm reslkavanjma Secjalna kanončka skoro geodezjska reslkavanja generalsan manov rostora Invarjantn geometrjsk objekt Secjalna kanončka skoro geodezjska reslkavanja drugog ta generalsan arabolčk Kelerov mnogostrukost Secjalna skoro geodezjska reslkavanja drugog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Skoro geodezjska reslkavanja drugog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Secjalna skoro geodezjska reslkavanja drugog ta Invarjantn geometrjsk objekt Secjalna skoro geodezjska reslkavanja generalsan Kelerov rostora F-lanarna reslkavanja transformacje mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom F-lanarna reslkavanja mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Potrebn dovoljn uslov za nfntezmalne F-lanarne transformacje Potrebn dovoljn uslov za egzstencju nfntezmalne geodezjske transformacje Infntezmalne HP transformacje generalsan Kelerov rostora Sstem arcjaln dferencjaln jednačna za egzstencju nfntezmalne HP transformacje generalsan Kelerov rostora Infntezmalne HP transformacje generalsan erbolčk Kelerov rostora Sstem arcjaln dferencjaln jednačna za egzstencju nfntezmalne HP transformacje generalsan erbolčk Kelerov rostora

11 Sadržaj Lteratura 00 Lsta mena 06 Bografja autora 07 Ssak naučn radova autora 08

12 Uvod Ajnštajnova teorja relatvnost se smatra jednom od najleš o form najfundamentalnj teorja u storj nauke. Iako je čtav jedan vek otrošen u nastojanjma da se ona oboljša, još uvek nje dobla oblk koj b omro svetsku naučnu javnost. N sam A. Ajnštajn nje bo zadovoljan svojom oštom teorjom relatvnost, a je do kraja svog žvota rado na stvaranju teorje koja b ujednla teorju gravtacje teorju elektromagnetzma. Godne 95. u radu [9] 96. godne u radu [] sa svojm saradnkom E.G. Štrausom korsto je komleksan osnovn tenzor g j, koj nje bo smetrčan, već je njegov realn deo bo smetrčan, a magnarn deo antsmetrčan. Počev od 950. godne A. Ajnštajn je u radovma osvećenm stvaranju jednstvene teorje olja korsto realan smetrčan osnovn tenzor. L.P. Ajzenart [] je 95. godne defnsao rostor sa nesmetrčnm osnovnm tenzorom koj je nazvao generalsan manov rostor. Incjaln radov A. Ajnštajna u kojma je očeo sa koršćenjem nesmetrčnog osnovnog tenzora utcal su na razvoj tzv. nesmetrčne teorje gravtacje NGT koja je bla tema Dž. Mofatove doktorske dsertacj odbranjene na Unverztetu Kembrdž. Godne 995. Dž. Mofat [55] je formulsao novu verzju nesmetrčne teorje gravtacje u kojoj su generalsan manovu rostor zadržal fundamentalnu ulogu koju su mal ranje. Od nedavn rezultata omenmo rezultate T. Jansena T. Prokoeca [9, 0] u kojma redlažu eventualna oboljšanja robleme u NGT. Iako NGT možda još uvek nje ostgla use koj su njen tvorc očekval, razvl su se rostor koj su jako nteresantn sa geometrjske tačke gledšta. Na svakoj dferencjablnoj mnogostrukost ostoj beskonačno mnogo koneksja. Od osebnog nteresa u ovoj tez bće nesmetrčne lnearne koneksje. Geometrjom takv koneksja su se bavl na rmer E. Brns, F. Graf, M. Pastor, M. Prvanovć, S.M. Mnčć mnog drug. Hajzenberg je 97. godne rv uveo ojam lnearne koneksje koja nje neoodno smetrčna. U slučaju nesmetrčne lnearne koneksje ostoj čak 5 lnearno nezavsn tenzora krvne [7]. Jedan od najveć matematčara današnjce M. Gromov je o manovom tenzoru krvne rekao sledeće: Tenzor krvne manove mnogostrukost je maleno čudovšte ollnearne algebre čja otuna geometrjska nterretacja ostaje nejasna. Kao secjalan slučaj generalsan manov rostora defnšu se generalsan eltčk, erbolčk arabolčk Kelerov rostor, ogledat [5, 58, 6]. U ovoj tez se razmatraju olomorfno rojektvna reslkavanjma generalsan erbolčk Kelerov rostora, kao uoštenjma kako omenut rostora tako reslkavanjma med u njma. Takod e, razmatraju se olomorfno rojektvna reslkavanja generalsan eltčk arabolčk Kelerov rostora, kao sstem arcjaln dferencjaln jednačna za egzstencju nek secjaln nfntezmaln transformacja mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom. Teza se sastoj z sedam oglavlja, to: Pregled osnovn ojmova teorje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom Secjalna skoro geodezjska reslkavanja rvog ta mnogostrukost sa lnearnom koneksjom Generalsan eltčk Kelerov rostor Generalsan erbolčk Kelerov rostor v

13 5 Generalsane arabolčke Kelerove mnogostrukost 6 Secjalna skoro geodezjska reslkavanja drugog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom 7 F-lanarna reslkavanja transformacje mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom. Prvo oglavlje se sastoj od et odeljaka. Prv odeljak je osvećen mnogostrukostma sa smetrčnom lnearnom koneksjom. Defnše se najre ojam mnogostrukost, a zatm tangetn rostor, vektorska tenzorska olja, lnearna koneksja tenzor krvne. Drug odeljak se koncentrše na manove mnogostrukost, r čemu je osebna ažnja osvećena manovoj metrc. U trećem odeljku je dat regled rezultata koj se tču mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom, a koje ćemo kasnje tokom čtave dsertacje korstt. Četvrt odeljak je osvećen Ajzenartovm generalsanm manovm rostorma. Podsetl smo se kako je L.P. Ajzenart ekslctno defnsao koneksju omoću generalsane manove metrke. Takod e, navedene su osobne manov tenzora krvne ta 0, zveden od strane S.M. Mnčća. Konačno, u etom odeljku su dat osnovn ojmov koj se tču reslkavanja mnogostrukost sa lnearnm koneksjama, a koj će nam bt neoodn za dalje zlaganje. Drugo oglavlje se sastoj od dva odeljka. Prv odeljak je osvećen skoro geodezjskm reslkavanjma mnogostrukost sa smetrňom lnearnom koneksjom. U ovom odeljku je dat regled defncja skoro geodezjsk lnja skoro geodezjsk reslkavanja mnogostrukost sa smetrčnom lnearnom koneksjom, koje je dao N.S. Snjukov [7, 7]. Zatm su dat otrebn dovoljn uslov za skoro geodezjska reslkavanja sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom koje su dal V.E. Berezovsk, J. Mkeš A. Vanžurová [5]. Drug odeljak je osvećem skoro geodezjskm lnjama skoro geodezjskm reslkavanjma mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom [66, 75]. Takod e, u ovom odeljku su rezentovan rezultat koj se tču secjaln skoro geodezjsk reslkavanja rvog ta mnogostrukost sa nesmetčnom lnearnom koneksjom [6]. Treće oglavlje se sastoj od četr odeljka. U rvom odeljku su osmatrana olomorfno rojektvna reslkavanja generalsan eltčk Kelerov rostora ronad ena su dva nova nelnearna sstema arcjaln dferencjaln jednačna za egzstencju takv reslkavanja. Drug odeljak je osvećen ekvtorzonm olomorfno rojektvna reslkavanja generalsan eltčk Kelerov rostora, omenut nelnearn sstem z rvog odeljka su transformsan su u lnearne ssteme sledeć deju V.V. Domaševa J. Mkeša [7]. U trećem odeljku su defnsan nov generalsan eltčk Kelerov rostor, dok su u četvrtom odeljku osmatrana olomorfno rojektvna, kao ekvtorzona olomorfno rojektvna reslkavanja med u takvm rostorma. Četvrto oglavlje je centralno oglavlje ove doktorske dsertacje većm delom je bazrano na rezulatatma rada [58]. U rvom odeljku su defnsan generalsan erbolčk Kelerov rostor okazane odred ene osobne koje oseduju tenzor krvne takv rostora. U drugom odeljku se osmatraju olomorfno rojektvna ekvtorzona olomorfno rojektvna reslkavanja generalsan erbolčk Kelerov rostora dokazana je nvarjatnost odred en geometrjsk objekata jednog tenzora r takvm reslkavanjma. Treć odeljak sadrž otvoren roblem, a to je ronalaženje sv moguć tenzora nvarjantn r ekvtorzonm olomorfno rojektvnm reslkavanjma generalsan erbolčk Kelerov rostora. U četvrtom odeljku su defnsan nov generalsan erbolčk Kelerov rostor u etom odeljku su osmatrana ekvtorzona olomorfno rojektvna reslkavanja med u takvm rostorma. Peto oglavlje se sastoj od tr odeljka. U rvom odeljku su defnsane generalsane m-arabolčke Kelerove mnogostrukost osmatrana su olomorfno rojektvna reslkavanja med u takvm mnogostrukostma [, 6]. U drugom odeljku su uvedena secjalna kanončka secjalna kanončka skoro geodezjska reslkavanja generalsan manov rostora ronalaze se nek nvarjantn geomev

14 trjsk objekt r takvm reslkavanjma [9, 60]. Treć odeljak je osvećen secjalnm kanončkm reslkavanjma med u generalsanm arabolčkm Kelerove mnogostrukostma [9, 60]. Šesto oglavlje se sastoj od tr odeljka. U rvom odeljku su osnovne jednačne skoro geodezjsk reslkavanja drugog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom transformsane u mešovt sstem Košjevog ta. U drugom trećem odeljku su uvedena secjalna skoro geodezjska reslkavanja drugog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom, generalsan manov generalsan eltčk erbolčk Kelerov rostora [59]. Sedmo oglavlje je osvećeno F-lanarnm reslkavanjma transformacjama mnogostrukost sa lnearnom koneksjom koje su uvel J. Mkeš N.S. Snjukov [0]. U rvom odeljku je dat regled F-lanarn reslkavanja mnogostrukost sa smetrčnom nesmetrčnom lnearnom koneksjom. U drugom odeljku su dat nov sstem arcjaln dferencjaln jednačna za egzstencju nfntezmaln F-lanarn transformacja mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom [65]. Kao secjalan slučaj, u trećem četvrtom odeljku, dobjaju se sstem arcjaln dferencjaln jednačna za egzstencju nfntezmaln geodezjsk olomorfno rojektvn transfromacja generalsan manov, eltčk erbolčk Kelerov rostora. Iskorsto b rlku da se zavalm mentoru rof. dr Mć Stankovću, jer je rvato obavezu mentora, ročtao čtav tekst dsertacje dao nz sugestja za njegovo oboljšanje. Prof. dr Mlanu Zlatanovću sam zavalan na omoć koju m je ružo ne samo tokom doktorsk studja, već u toku čtavog mog školovanja na Prrodno-matematčkom fakultetu Unverzteta u Nšu. Prof. dr Ljubc Velmrovć sam zavalan na omoć odršc koju m je ružla tokom doktorsk studja. Prof. dr Predragu Stanmrovću, sam zavalan jer m je ružo mogućnost za saradnju koja je bla osvrt u druge oblast matematke računarsk nauka. Prof. dr Zoranu akću dugujem velku zavalnost jer me je rmo u naučn tm rojekta Geometrja, obrazovanje vzuelzacja sa rmenama, čj je evdencon broj 70, u okvru kog je ova dsertacja nasana. Zavalnost dugujem rofesoru Leooldu Verstraelenu koj m je na samom očetku doktorsk studja reoručo odred enu lteraturu koja m je veoma omogla da razumem temu kojom se bavm. Mojm rjateljma Stanslavu Nkolaenku dr Ivanu Lmončenku, sam zavalan na bezbrojnm dskusjama, kako rvatnm tako naučnm, koje su m u ojednm trenucma zrade dsertacje ble značajna moralna odrška. Iak, najveću zavalnost dugujem svojoj orodc na beskrajnoj odršc razumevanju. Kruševac, godne Mloš Z. Petrovć v

15 Poglavlje Pregled osnovn ojmova teorje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom U ovom oglavlju ćemo dat najre kratak regled osnovn ojmova koj se tču mnogostrukost sa smetrčnom lnearnom koneksjom manov mnogostrukost. Izlaganje ćemo nastavt o mnogostrukostma sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Ajzenartovm generalsanm manovm rostorma. Konačno, zlaganje ćemo završt ojmovma koj su nam neoodn za osmatranje reslkavanja transformacja mnogostrukost sa lnearnom koneksjom. Sv delov ovog oglavlja su oznat ojedn delov se mogu nać u monografjama knjgama [8,,,, 7,, 5, 56].. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom Osnovna deja dferencjalne geometrje aroksmacja geometrjsk objekata lnearnm objektma. Stoga ćemo se u ovoj sekcj odsett kako ojma dferencjablne mnogostrukost tako osnovn ojmova multlnearne algebre, tangetnog vektora tangetnog rostora, vektorsk tenzorsk olja, a zatm lnearne koneksje tenzora krvne mnogostrukost sa lnearnom koneksjom... Pojam mnogostrukost Zbog rrodnog ostojanja rostora koj n na koj načn ne mogu bt smešten kao erovrš u ambjentn rostor, kao na rmer Poenkareova gornja oluravan kao model Neeukldske geometrje, kao rostor-vreme koj se razmatra u teorj relatvnost, jako je važna mogućnost defnsanja unutrašnje geometrje bez ozvanja na soljašnj ambjentn rostor n+. Da b se u tome uselo blo je neoodno saznanje, sa jedne strane da je rva fundamentalna forma nezavsna od soljašnjeg ambjentnog rostora n+, kao Gaus-Boneova teorema, dok je sa druge strane, sa globalnog asekta, blo važno uvest ojam mnogostrukost. Pojam dferencjablne mnogostrukost gra esencjalnu ulogu u rodužavanju dferencjalnog računa sa realnog n-dmenzonog rostora n na oštje rostore. Defncja.. Dferencjablna mnogostrukost. Dferencjablna mnogostrukost dmenzje n je sku M zajedno sa famljom njektvn reslkavanja φ : U n, I, otvoren skuova U, I u n, takv da su sunjen sledeć uslov: a M = I φ U,

16 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom U U j M φ j φ j U j φ φ U φ φ j - Slka.: Karte na dferencjablnoj mnogostrukost b za svak ar ndekasa, j I takv da je φ U φ j U j = W /0 skuov φ W φ j W su otvoren u n reslkavanje φ φ j je dferencjablno. Ured en ar U,φ takav da φ U nazva se arametrzacja l sstem koordnata mnogostrukost M u tačk. Sku φ U nazva se koordnatna okolna tačke. Famlja {U,φ } I koja sunjava uslove a b nazva se dferencjablna struktura na mnogostrukost M. Karta na dferencjablnoj mnogostrukost M je ured en ar U,φ, gde je U M otvoren sku, dok je φ : U φu omeomorfzam.dve karte U,φ U j,φ j na dferencjablnoj mnogostrukost M ndukuju reslkavanje φ φ j : φ j U U j φ U U j, vdet Slku.. Ukolko je funkcja φ φ j z Defncje.. r uta nerekdno dferencjablna, t.j. klase C r mnogostrukost M nazva se C r -mnogostrukost. U nastavku ćemo od termnom dferencjablna mnogostrukost uvek smatrat da se rad o C r -mnogostrukost, gde je r dovoljno velk rrodan broj. Takod e, uvek ćemo retostavljat da mnogostrukost zadovoljavaju T -aksomu, t.j. da se rad o Hausdorfovom toološkom rostoru... Tangetn rostor Neka je M n-dmenzona dferencjablna mnogostrukost M fksrana tačka. Tangetnm rostorom na mnogostrukost M u tačk smatraćemo n-dmenzon sku vektora ravaca, sa očetkom u tačk ka svm ravcma na mnogostrukost M. Pošto nema ambjentnog rostora, ovaj ojam je unutrašnjeg karaktera. Postoj vše načna da se uvede ojam tangetnog vektora na mnogostrukost. Defncja.. Geometrjska defncja. Tangetn vektor na mnogostrukost M u tačk M je klasa ekvvalencje dferencjabln krv c : ε, ε M koje sunjavaju uslov c0 =, gde je relacja ekvvalencje defnsana sa c c φ c0 = φ c 0, za svaku kartu U,φ koja sadrž tačku. Ukratko: tangetn vektor su tangente krv koje leže na mnogostrukost. Defncja.. Algebarska defncja. Tangetn vektor X u tačk M je dferencranje oerator dferencranja defnsan na skuu F M := { f : M f je dferencjablna}/,

17 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom gde je relacja ekvvalencje defnsana deklaršuć da je f f ako samo ako se funkcje f f oklaaju u okoln tačke. Za vrednost X f kažemo da je zvod funkcje f u ravcu vektora X. Ova defncja se može recznje formulsat na sledeć načn: X je reslkavanje X : F M sa osobnama Xα f + βg = αx f + βxg, α,β, f,g F M, -lnearnost X f g = X f g + f Xg za f,g F M. zakon rozvoda Da b ova ravla mala smsla funkcje f g moraju bt defnsane u okoln tačke. Ukratko: tangetn vektor su dferencranja na skalarnm funkcjama. Defncja.. Fzčka defncja. Tangetn vektor u tačk M je defnsan kao n-torka realn brojeva a =,...,n u koordnatnom sstemu x,...,x n t.j. u kart, na takav načn da u blo kom drugom koordnatnom sstemu x,..., x n t.j. u blo kojoj drugoj kart st vektor je dat odgovarajućom n-torkom ã =,...,n, gde je ã = j x x j a j. Ukratko: tangetn vektor su element rostora n čje se koordnate r romen koordnatnog sstema transformšu na oseban načn. Defncja..5 Tangetn rostor. Tangetn rostor T M na mnogostrukost M u tačk M je sku sv tangetn vektora u tačk. Po defncj T M T q M su dsjuntn za razlčte tačke q. Za otvoren sku U n, tangetn rostor se dentfkuje rostorom T U := {} n koj je snabdeven standardnom bazom,e,...,,e n. Vektor e odgovara krvoj c t := + t e geometrjska defncja dferencranje je dato arcjalnm zvodom f f u algebarska defncja. Secjaln tangetn vektor u algebarskoj defncj su arcjaln zvod x defnsan sa x f := x = f φ φ u, u kart U,φ koja sadrž tačku. Korst se još oznaka umesto x. Teorema... Tangetn rostor u tačk na n-dmenzonoj dferencjablnoj mnogostrukost M je n-dmenzon realan vektorsk rostor koj je u blo kom koordnatnom sstemu x,...,x n, u datoj kart, razaet vektorma Za blo koj tangetn vektor X u tačk mamo x,..., X = n = x n. Xx x.

18 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom.. Vektorska tenzorska olja Iz Teoreme.. vdmo da su komonente tangetnog vektora Xx zvod koordnatn funkcja x u ravcu X. Defncja..6 Vektorsko olje. Dferencjablno vektorsko olje na dferencjablnoj mnogostrukost M je rdružvanje tačk M vektora X T M takvo da u svakoj kart U,φ, φ : U V sa koordnatama x,...,x n, koofcjent X : U u rerezentacj jesu dferencjablne funkcje. X = n = X x Za skalarnu funkcju f : M smbol f X označava vektorsko olje f X := f X može se reć da je sku vektorsk olja modul nad rstenom funkcja f defnsan na M, dok smbol X f = X f označava funkcju X f := X f drugm rečma, X f je zvod funkcje f u ravcu vektorskog olja X. Neka su V,...,V s W realn vektorsk rostor. Preslkavanje F : V... V s W je - multlnearno ako je -lnearno u svakom slotu, što znač da je za svak s v j V j j, reslkavanje v Av,...,v,v,v +,...,v s, -lnearno. Defncja..7. Neka je V realan vektorsk rostor V njemu dualan vektorsk rostor. Neka su r 0 s 0 cel brojev takv da je r,s 0,0. Multlnearna funkcja F : V r V s nazva se tenzor ta r, s nad vektorskm rostorom V kontravarjantnog steena r kovarjantnog steena s. Sku sv tenzora ta r,s nad vektorskm rostorom V označava se Ts r V. Tenzor z skua T0 r V nazvaju se kontravarjantn tenzor, secjalno element skua T 0 V = V nazvaju se kontravarjantn vektor l -forme. Element rostora Ts 0 V nazvaju se kovarjantn tenzor, secjalno, element skua Ts 0 V = V nazvaju se kovarjantn vektor l lnearne forme. Sku Ts r V je vektorsk rostor sa oeracjama sabranja odnosno oduzmanja množenja realnm brojevma A±Bω,...,ω r,v,...,v s = Aω,...,ω r,v,...,v s ± Bω,...,ω r,v,...,v s, raω,...,ω r,v,...,v s = raω,...,ω r,v,...,v s. Pored oeracja sabranja odnosno oduzmanja koje su defnsane za tenzore stog ta, blo koja dva tenzora rozvoljnog ta možemo množt. Neka su A Ts r V B Tq V, tada je tenzor A B Ts+q r+ V tenzorsk rozvod tenzora A B defnsan sa A Bω,...,ω r+,v,...,v s+q = Aω,...,ω r,v,...,v s Bω r+,...,ω r+,v,...,v s+q. Tenzorsko olje ta r,s na mnogostrukost M može bt defnsano kao tenzor ta r,s nad F M-modulom X M, t.j. kao F M-lnearno reslkavanje A : X M r X M s F M,

19 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom gde X M označava sku sv dferencjabln vektorsk olja na mnogostrukost M, X M označava sku sv -form na mnogostrukost M, X M r = X M X M X M s = X M X M. Takod e, tenzorsko olje ta r,s na mnogostrukost M se može defnsat kao reslkavanje koje svakoj tačk M rdružuje tenzor A ta r,s na tangetnom rostoru T M u tačk, t.j. A : T M... T M T M... T M, }{{}}{{} r uta s uta r čemu je rdružvanje A dferencjablno l glatko. Neka je U,φ, φ = x, karta na mnogostrukost M. Baza rostora sv tenzora ta r,s data je sa x x dx j r dx j s,..., r, j,..., j s =,...,n gde je x dx j s dx k,...,dx k r, x l,..., x l s := δ k δ k r r δ j l δ j s l s. Pored enjem odgovarajuć koefcjenata dobjamo koefcjente tenzora A = A... r j... j s x x dx j dx j s, r a kada rmenmo retodn zraz na elemente baze dobjamo A... r j... j s = A dx,...,dx r, x j,...,. x j s Posmatrajmo sada još jednu kartu U,φ, φ = x na mnogostrukost M, takvu da je U U, r čemu je romena koordnata data sa S obzrom da je x = x x,...,x n x = x x,...,x n. dx j m = xj m x dx x = x q x q x, lako možemo ronać da se u reseku koordnatn okolna U U, tenzorske komonente transformšu rema dobro oznatoj formul A... r j... j s x = x xr x q x qs x x r x j x j A... r s q...q s x.. Date funkcje A... r j... j s x u koordnatnm okolnama odred uju tenzor ukolko u reseku dveju koordnatn okolna zadovoljavaju zakon transformacje.. Pretostavljaćemo da su tenzor sv ostal geometrjsk objekt koje ćemo korstt dovoljan broj uta nerekdno dferencjabln, t.j. da radaju klas C r za dovoljno velk rrodan broj r. Za blo koj tenzor A ta r,s, gde je r s, defnšemo tenzor koj je smetrčan u odnosu na ar gornj odnosno donj ndekasa, resektvno, u smslu oeracje koja se zove smetrzacja bez deljenja označava se,. Takod e, 5

20 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom defnšemo tenzor antsmetrčan o aru ndekasa stog ta, u smslu oeracje koja se zove antsmetrzacja bez deljenja označava [, ]. Na rmer, A... r j j... j s = A... r j j j... j s + A... r j j j... j s, A... r [ j j ]... j s = A... r j j j... j s A... r j j j... j s. Prmedba... U multlnearnoj algebr tenzor se defnšu kao element rostora koj se nazva tenzorsk rozvod, u smslu sledeć kanonsk zomorfzama, t.j. lnearn reslkavanja: r s Mult T M r,t M s ; = Hom T M T M; = j= r s r s = T M T M = T M T M, = j= = j= gde Mult označava sku multlnearn reslkavanja, a Hom označava sku omomorfzama. Defncja..8 Trag tenzora. Neka je A tenzor ta,, A : T M T M. Defnšmo kontrakcju l trag CA sa CA = TrA = A E,E, gde je E,...,E n ortonormrana baza za T M. U rozvoljnoj baz b,...,b n takvoj da je Ab j = A j b, trag se može zrazt formulom A, kao što je uobčajeno. Neka je A tenzor ta,s. Tada za svak {,...,s} fksrane vektore X j, j, AX,...,X,,X +,...,X s je tenzor ta,, čja se kontrakcja l trag označava C A: C AX,...,X,X +,...,X s = n j= Trag tenzora A ta,s je tenzor C A ta 0,s. AX,...,X,E j,x +,...,X s,e j. Prmedba... Uobčajeno koršćenje traga matrce nema smsla u slučaju tenzora ta 0,. Umesto toga moramo osmatrat trag rdruženog tenzora ta,: neka je A tenzor ta 0, neka je A rdružen tenzor ta,, defnsan relacjom sada defnšemo Tr g A := TrA. AX,Y = A X,Y = ga X,Y, U čjevoj notacj, TrA j se jednostavno označava A. U slučaju manove metrke maćemo Tr g g = n. U slučaju ndefntne metrke, treba mat u vdu čnjencu da u ortonormranoj baz E,...,E n, za koju važ E,E j = δ j ε, vektor X ma rerezentacju X = ε X,E E. Sodno tome, formula za trag glas TrA = A = ε AE,E. 6

21 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom.. Lnearna koneksja tenzor krvne Da bsmo mogl da oredmo vrednost vektorsk olja u razlčtm tačkama dferencjablne mnogostrukost, odnosno da bsmo mogl da ovezujemo dovoljno blske tangetne rostore na mnogostrukost, neoodan nam je ojam lnearne koneksje ovezanost. Kao snonm ojma lnearna koneksja vrlo često se korst termn afna koneksja, što će bt slučaj u ovoj dsertacj. Naomenmo da se u nekm knjgama rav razlka zmed u ojmova afne lnearne koneksje, kao na rmer u [56]. Defncja..9 Lnearna koneksja. Lnearna koneksja na dferencjablnoj mnogostrukost M je reslkavanje X,Y X Y, koje aru dferencjabln vektorsk olja X Y rdružuje treće dferencjablno vektorsko olje X Y tako da su sunjen sledeć uslov: f X +gx Y = f X Y + g X Y, X ay + by = a X Y + b X Y, X fy = f X Y + X f Y, za funkcje f,g C M a,b. Teorema... Svaka mnogostrukost doušta lnearnu koneksju. Provermo sada kako se lnearna koneksja zražava u svojm komonentama u kart U,φ mnogostrukost M. Označmo -to koordnatno vektorsko olje E karte U,φ, koje je u tačk U rerezentovano krvom t φ φ + te. Drugm rečma za datu realno-vrednosnu funkcju f defnsanu na U, E f = f φ. Prozvoljna vektorska olja X Y su zražena sa X = X E Y = Y j E j, gde su X Y j realno-vrednosne funkcje defnsane na U. Korsteć osobne lnearne koneksje mamo X Y = X Y j E j = XY j E j +Y j X E E j = XY j E j + X Y j E E j = XY k E k + X Y j L k je k = XY k + X Y j L k je k. Lema... Pretostavmo da je M mnogostrukost rekrvena samo jednom kartom. Tada ostoj koresondencja zmed u lnearn koneksja na M zbora n glatk funkcja {L j } na M odred en ravlom X Y = X Y k + X Y j Γ k j k. Defncja..0 Lova zagrada. Neka su X Y dva dferencjablna vektorska olja na mnogostrukost M neka je f : M dferencjablna funkcja. elacjom [X,Y ] f := XY f Y X f se defnše vektorsko olje [X,Y ], koje se nazva Lova zagrada vektorsk olja X Y označava se L X Y. U tačk M mamo [X,Y ] f = X Y f Y X f. 7

22 .. Mnogostrukost sa lnearnom koneksjom Tenzor krvne lnearne koneksje je tenzorsko olje ta, defnsano sa X,Y Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. Tenzor krvne može se redstavt omoću lokaln komonent jk sa gde je = jk dx dx j dx k, jk = L j x k L k x j + L r jl rk Lr k L r j. Prmedba... U lteratur se vrlo često za tenzor krvne uzma surotn znak, t.j. tenzor krvne se defnše na sledeć načn X,Y Z = Y X Z X Y Z [Y,X] Z. Isto važ za komonente tenzora krvne jk koje su vrlo često odred ene sa jk = L k x j L j x k + Lr jl rk Lr k L r j. Defncja.. Dferencranje tenzorsk olja. Neka je A tenzor ta r, s neka je Z rozvoljno fksrano vektorsko olje. Kovarjantn zvod tenzorskog olja A u ravcu vektorskog olja Z je dat sa Z AX,...,X r,y,...,y s := Z AX,...,X r,y,...,y s + r = AX,...,X, Z X,X +,...,X r,y,...,y s r AX,...,X r,y,...,y j, Z Y j,y j+,...,y s. j= Takod e, Z A je tenzorsko olje ta r,s, dok je A tenzorsko olje ta r,s+ odred eno formulom AZ,X,...,X r,y,...,y s := Z AX,...,X r,y,...,y s. U čjevom računu notacja je sledeća k A... r j... j s = x k A... r j... j s + L k A... r j... j s + L k A... r j... j s + + L r k A... r j... j s L k j A... r j... j s L k j A... r j j... j s L k j s A... r j j... j s. Teorema... Tenzor krvne smetrčne lnearne koneksje oseduje sledeće osobne:. X,Y Z = Y,XZ,. X,Y Z + Y,ZX + Z,XY = 0,. X Y,ZV + Y Z,XV + Z X,Y V = 0. 8

23 .. manova mnogostrukost U čjevom računu retodne jednačne glase:. jk = k j,. jk + jk + k j = 0,. l jk + j lk + k l j = 0. Identtet. u Teorem.. nazva se rv Bjankjev denttet l samo Bjankjev denttet, dok se za denttet. u Teorem.. korst tradconalan nazv drug Bjankjev denttet l sve češće lustratvnj termn dferencjaln denttet. Defncja.. čjev tenzor. Prva kontrakcja tenzora krvne X,Y Z lnearne koneksje data sa C Y,Z = TrX X,Y Z nazva se čjev tenzor označava se cy,z, l kratko c = C. U čjevoj notacj čjev tenzor je defnsan sa j = j.. manova mnogostrukost Prva fundamentalna forma elementarne ovrš je skalarn rozvod koj je defnsan kao restrkcja uobčajenog Eukldskog skalarnog rozvoda na svak tangetn rostor. Med utm, u slučaju kada ambjentn rostor ne ostoj otrebno je ronać načn na koj b se defnsao skalarn rozvod na svakom tangetnom rostoru. Prostor L T M; = {α : T M T M α je blnearno} ma bazu gde dx čne dualnu bazu u dualnom rostoru defnsanu sa {dx dx j, j =,...,n}, T M = LT M;, { dx x j = δ j, ako je = j, = 0, ako je j. Blnearne forme dx dx j su defnsane svojm vrednostma na baznm elementma vrednost na ostalm elementma će se lako dobt korsteć osobnu lnearnost dx dx j { x k, x l := δk δ j, ako je = k j = l, l = 0, nače. Uzmajuć bazne elemente za argumente, z rerezentacje dobjamo sledeć zraz α = α j dx dx j, j α j = α x, x j. U čjevom računu, forma α se rerezentuje tenzorom α j. 9

24 .. manova mnogostrukost Defncja.. manova metrka, manova mnogostrukost. manova metrka g na mnogostrukost M je rdružvanje g L T M; koje sunjava sledeće uslove:. g X,Y = g Y,X za sve X,Y, smetrčnost. g X,X > 0 za X 0, oztvna defntnost. Koefcjent g j u svakoj lokalnoj rerezentacj, t.j. u svakoj kart g = g j dx dx j, j jesu dferencjablne funkcje. dferencjablnost Ured en ar M,g nazva se manova mnogostrukost. Kada se govor o manova metrc često se uotrebljava termn metrčk tenzor. U lokalnm koordnatama metrčk tenzor je dat matrcom funkcja g j. U čjevom računu se jednostavno korst notacja g j. manova metrka g defnše u svakoj tačk unutrašnj rozvod g na tangetnom rostoru T M, stoga se često korst notacja X,Y umesto g X,Y. Pojmov uglova dužna su odred en ovm unutrašnjm rozvodom, kao što su st ov ojmov odred en rvom fundamentalnom formom na elementarnm ovršma. Dužna, odnosno norma vektora X je data sa X := gx,x, dok je ugao β zmed u dva tangetna vektora X Y odred en relacjom cos β X Y = gx,y. Ukolko se uslov oztvne defntnost zamen slabjm uslovom nedegenersanost što znač da gx,y = 0 za sve Y mlcra X = 0, onda se dolaz do ojma seudo-manove mnogostrukost. Kao secjalan slučaj mamo Lorencovu metrku, koja je metrka sgnature, +, +, +, takve metrke maju važnu ulogu u oštoj teorj relatvnost. U ovom slučaju tangetn rostor se modeluju rostorom Mkovskog umesto Eukldskm rostorom sa metrkom g j = Tenzor g j u oštoj teorj relatvnost gra ulogu gravtaconog otencjala l gravtaconog olja. On daje metrčku formu na mnogostrukost majuć u vdu gravtacju koja dolaz od materje koja je sadržana u rostoru. Generalsan nverz u rostorma sa ndefntnom metrkom jesu aktuelna tema lnearne algebre. Neke vrste generalsan nverza u rostorma sa ndefntnm unutrašnjm rozvodom osmatrane su u radovma [, 6]. Teorema... Na svakoj manovoj mnogostrukost M, g ostoj jednstvena lnearna koneksja koja sunjava uslove. XgY,Z = g X Y,Z + gy, X Z, komatblnost sa metrkom X Y Y X [X,Y ] = 0, smetrčnost r čemu je [, ] Lova zagrada. 0

25 .. manova mnogostrukost Jednstvena koneksja z Teoreme.. nazva se manova koneksja l koneksja Lev-Čvta odred ena je formulom X Y,Z =X Y,Z +Y X,Z Z X,Y Y,[X,Z] X,[Y,Z] Z,[Y,X]. Tenzor krvne manove mnogostrukost M je tenzorsko olje ta, defnsano sa X,Y Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, gde je manova koneksja na M. U čjevom računu komonente tenzora krvne manove mnogostrukost su odred ene na sledeć načn x k, x j x = s jk s x s, gde je jk = Γ j x k Γ k x j + Γ r jγ rk Γr k Γ r j. Funkcje Γ j se nazvaju Krstofelov smbol ekslctno su odred en omoću metrčkog tenzora g j =, j njemu nverznog tenzora g j := g j na sledeć načn Γ j = g g j + j g g j. Pretodna formula odred uje manovu koneksju u svakoj kart. manov tenzor krvne ta 0, defnsan je sa X,Y,Z,V := X,Y Z,V = gx,y Z,V, l u komonentama jkl = g s s jkl. Lema.. Osobne manovog tenzora krvne. manov tenzor krvne ta 0, oseduje sledeće osobne. X,Y Z,V = X,Y V,Z,. X,Y Z,V = Z,V X,Y. U čjevom računu retodne jednačne glase. jkl = jkl,. jkl = kl j. Korsteć algebarske smetrje Teoreme.. Leme.. osobne manovog tenzora krvne ta 0, možemo zasat na sledeć načn. jkl = jkl = jlk = kl j,. [ jk]l = jkl + jkl + k jl = 0,. [ jk]lm = jklm + j klm + k jklm.

26 .. Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Slka.: Tenzor torzje. Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Prmetmo da za odred vanje jednstvene koneksje na manovoj mnogostrukost nje bo dovoljan uslov komatblnost sa manovom metrkom uslov u Teorem.., već je bo neoodan uslov smetrčnost uslov u Teorem.. X Y Y X [X,Y ] = 0. U slučaju kada lnearna koneksja nje smetrčna možemo osmatrat tenzorsko olje T ta, defnsano sa T X,Y := X Y Y X [X,Y ], koje se nazva tenzor torzje lnearne koneksje, vdet Slku. []. Na mnogostrukost M sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom druga nesmetrčna lnearna koneksja je odred ena na sledeć načn [68] XY = Y X + [X,Y ], X,Y T M, gde [, ] označava Lovu zagradu. Komonente nesmetrčn lnearn koneksja jesu funkcje L j L j, resektvno, odred ene sa j = L j j = L j. Komonente smetrčnog dela nesmetrčn lnearn koneksja jesu funkcje j odred ene sa j = L j, r čemu je L j = L j + L j. U slučaju smetrčne lnearne koneksje ostoj samo jedna vrsta kovarjantnog dferencranja tenzorsk olja. Imajuć u vdu nesmetrčnost koefcjenata L j nesmetrčne lnearne koneksje moguće je osma-

27 .. Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom trat četr vrste kovarjantnog dferencranja tenzora a j : ma j a j m = ma j + L ma j L jm a, ma j a j m = ma j + Lma j L m j a, ma j a j m = ma j + L ma j L m j a, ma j a j m = ma j + Lma j L jm a. Naomenmo da je A. Ajnštajn [0] korsto rvu drugu vrstu kovarjantnog dferencranja tenzora. Kovarjantno dferecranje u odnosu na lnearnu koneksju koja je smetrčan deo nesmetrčn lnearn koneksja je odred eno sa m a j a j;m = m a j + L ma j L jm a... Tenzor krvne mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Korsteć četr vrste kovarjatnog dferencranja S.M. Mnčć je osmatrao razne denttete čjevog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom [,, 6, 5, 5] okazao da je med u dvanaest tenzora krvne koj se javljaju u denttetma čjevog ta mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom et lnearno nezavsn [7]. U nastavku ćemo korstt sledeć et lnearno nezavsn tenzora krvne mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom: X,Y Z = X Y Z Y XZ [X,Y ]Z, =,; X,Y Z = X Y Z Y XZ + Y XZ XY Z; X,Y Z = X Y Z Y XZ + Y XZ XY Z;. X,Y Z = X Y Z Y XZ + X Y Z Y XZ 5 + [Y,X]Z + [Y,X]Z. Na dalje ćemo korstt bazna vektorska olja X =, Y = j, Z = k, u tom slučaju relacje z. ostaju X,Y Z = X Y Z Y XZ, =,; X,Y Z = X Y Z Y XZ + Y XZ XY Z; X,Y Z = X Y Z Y XZ + Y XZ XY Z; X,Y Z = X Y Z Y XZ + X Y Z Y XZ 5.

28 .. Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom elacje med u tenzorma krvne =,...,5 tenzora krvne su zvedene u radu [7]: X,Y Z =X,Y Z + XT Z,Y Y T Z,X + T T Z,Y,X T T Z,X,Y, X,Y Z =X,Y Z XT Z,Y + Y T Z,X + T T Z,Y,X T T Z,X,Y, X,Y Z =X,Y Z + XT Z,Y + Y T Z,X T T Z,Y,X + T T Z,X,Y + T T Y,X,Z, X,Y Z =X,Y Z + ZT Z,Y + Y T Z,X T T Z,Y,X + T T Z,X,Y + T T Y,X,Z, X,Y Z =X,Y Z + 5 T T Z,Y,X + T T Z,X,Y. M. Prvanovć je u radu [68] osmatrala četr tenzora krvne nesmetrčne lnearne koneksje dala njovu geometrjsku nterretacju korsteć ojam aralelnog omeranja u odnosu na nesmetrčne lnearne koneksje. Najre ćemo redstavt geometrjske nterretacje dveju vrste aralel- nog omeranja torzje koje je dala F. Graf u radu [8], a zatm ćemo se osvrnut na geometrjske nterretacje tenzora krvne koje je dala M. Prvanovć [68]. Geometrjska nterretacja dveju vrsta aralelnog omeranja torzje. F. Graf [8] je dala geometrjsku nterretacju dveju vrsta aralelnog omeranja torzje, kao što sled. Posmatrajmo u tangetnom rostoru ovršnsk element odred en omoću dva nfntezmalna vektora sa očetkom u tačk Px, neka su krajev ov vektora tačke Qx + dx x + δx. Korsteć stu vrstu aralelnog omeranja, na rmer rvu vrstu, vektora dx duž δx δx duž dx, dobćemo dve razlčte tačke S T za krajeve. Zasta, x T x S = d δx δ dx = L m L mdx δx m = L mdx δx m = Tmdx δx m.. Med utm, zračunavajuć δdx u odnosu na rvu vrstu aralelnog omeranja dδx u odnosu na drugu vrstu aralelnog omeranja dobćemo dδx =d δx = L mδx dx m, δdx =δ dx = L mδx m dx, sada na osnovu. dobjamo x T x S = d δx δ dx = 0, t.j. tačke S T se oklaaju dobjamo nfntezmaln aralelogram PQS [].

29 .. Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Geometrjske nterretacje tenzora krvne. Da b dobla geometrjsku nterretacju rvog tenzora krvne F. Graf [8] je korstla rvu vrstu aralelnog omeranja vektora v duž cele zatvorene konture PQS vdet Slku. za rraštaj dobla [] v = jmn v j dx m δx n. Slka.: Geometrjska nterretacja rvog tenzora krvne Slka.: Geometrjska nterretacja drugog tenzora krvne Analogno, korsteć drugu vrstu aralelnog omeranja vektora v duž cele zatvorene konture PQS vdet Slku. F. Graf [8] je dobla geometrjsku nterretacju drugog tenzora krvne [] v = jmn v j dx m δx n. M. Prvanovć [68] je korstla rvu vrstu aralelnog omeranja za dve surotne strane aralelograma PQS, dok je za druge dve surotne strane omenutog aralelograma korstla drugu vrstu aralelnog omeranja vdet Slku.5 na taj načn dobla [] v = jnm v j dx m δx n. Promenom vrste aralelnog omeranja duž surotn stranca aralelograma vdet Slku.6 dobla je [] v = jmn v j dx m δx n. 5

30 .. Mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom Slka.5: Geometrjska nterretacja trećeg tenzora krvne Slka.6: Geometrjska nterretacja četvrtog tenzora krvne S.M. Mnčć je u radu [8] stao sve mogućnost koje se javljaju r romen vrste aralelnog omeranja vektora duž aralelograma PQS, ukuno ma = 6 strane vrste aralelnog omeranja. Na taj načn S.M. Mnčć [8] je dobo geometrjske nterretacje tenzora seudotenzora krvne nesmetrčne lnearne koneksje... Osobne tenzora krvne mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom U ovoj odsekcj ćemo rkazat osnovne osobne et lnearno nezavsn tenzora krvne, =,..., 5 mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom. Uotrebmo oznaku da označmo X,Y Z, CSX,Y,Z X,Y Z = X,Y Z + Y,ZX + Z,XY, =,...,5. CSX,Y,Z 6

31 .. Ajzenartov generalsan manov rostor Teorema... [50] Tenzor krvne, =,...,5 mnogostrukost sa nesmetrčnom lnearnom koneksjom oseduju sledeće osobne X,Y Z = Y,XZ, X,Y Z = Y,XZ, X,Y Z CSX,Y,Z 0, X,Y Z CSX,Y,Z 0, X,Y Z Y,XZ, X,Y Z Y,XZ, 5 X,Y Z 5 Y,XZ, X,Y Z 0, CSX,Y,Z X,Y Z = 0, CSX,Y,Z X,Y Z = 0. 5 CSX,Y,Z. Ajzenartov generalsan manov rostor Generalsan manov rostor u Ajzenartovom smslu vdet [, 5, 6, 7] je dferencjablna mnogostrukost M snabdevena metrkom g koja je u oštem slučaju nesmetrčna. Prema tome, metrka g se može redstavt na sledeć načn gx,y = gx,y + gx,y. Ovde g označava smetrčan deo metrke g, a g označava antsmetrčan deo od g, t.j. gx,y = gx,y + gy,x g = X,Y gx,y gy,x. Nesmetrčna lnearna koneksja generalsanog manovog rostora M,g je ekslctno odred ena jednačnom gde je X =, Y = j Z = k. g XY,Z = XgY,Z +Y gz,x ZgY,X,.. Kovarjantn tenzor krvne generalsanog manovog rostora U ovoj odsekcj ćemo redstavt osnovne osobne kovarjantn tenzora krvne generalsanog manovog rostora. Uotrebćemo oznaku CS,, da označmo BX,Y,Z,W =BX,Y,Z,W + BY,Z,X,W CSX,Y,Z + BZ,X,Y,W, gde je B rozvoljno tenzorsko olje ta 0,. Tenzor krvne ta 0, uobčajenog manovog rostora defnsan sa X,Y,Z,W := gx,y Z,W, 7

32 .5. Preslkavanja transformacje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom oseduje sledeće osobne X,Y,Z,W = X,Y,W,Z = Y,X,Z,W, CSX,Y,Z X,Y,Z,W = Z,W,X,Y, X,Y,Z,W = CSX,Y,W X,Y,Z,W = X,Y,Z,W = 0. CSY,Z,W Označmo tenzore krvne ta 0, generalsanog manovog rostora sa X,Y,Z,W := g X,Y Z,W, =,...,5. Teorema... [50] Tenzor krvne, =,...,5, generalsanog manovog rostora oseduju sledeće osobne: X,Y,Z,W = X,Y,W,Z = Y,X,Z,W, X,Y,Z,W = X,Y,W,Z = Y,X,Z,W, X,Y,Z,W = X,Y,W,Z, X,Y,Z,W = X,Y,W,Z, CSW,Y,X X,Y,Z,W = 0, X,Y,Z,W Z,W,X,Y = Z,W,X,Y X,Y,Z,W, 5 X,Y,Z,W = 5 Z,W,X,Y, CSW,Y,X 5 X,Y,Z,W = 0..5 Preslkavanja transformacje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom U ovoj sekcj ćemo omenut ojmove koj su važn za roučavanje reslkavanja mnogostrukost sa lnearnom koneksjom, a koj se mogu nać u monografjama [,, 7]. Zajednčk koordnatn sstem r reslkavanju. Neka je f : M M dfeomorfzam mnogostrukost M M. Ako je U,φ karta na mnogostrukost M takva da U, tada je f U,φ f karta takva da f f U. U tom slučaju tačke f maju ste lokalne koordnate. Kada ovakav ostuak rmenmo na blo koje dve tačke f, onda je na mnogostrukostma M M uveden zajednčk koordnatn sstem r reslkavanju f, vdet Slku.7. Zajednčka mnogostrukost r reslkavanju. Neka je f : M M dfeomorfzam mnogostrukost M M. Ako je {U,φ I} atlas na mnogostrukost M, tada je { f U,φ f I} atlas na mnogostrukost M. U tom slučaju možemo retostavt da se mnogostrukost M M oklaaju, jer su toologja dferencjablna struktura ov dveju mnogostrukost ste. 8

33 .5. Preslkavanja transformacje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom M U V M f f φ φ f - φ= φf n Slka.7: Zajednčk koordnatn sstem r reslkavanju Tenzor deformacje koneksje r reslkavanju. Neka su M M mnogostrukost sa lnearnm koneksjama neka je f : M M dfeomorfzam. U tom slučaju možemo retostavt da su koneksje defnsane na stoj mnogostrukost M M. Tenzor razlke koneksja P =, je tenzorsko olje ta, nazva se tenzor deformacje koneksja r reslkavanju f. Analogno, možemo osmatrat tenzor deformacje nesmetrčn lnearn koneksja r reslkavanju f P =, {,}. Tenzor deformacje P smetrčn delova nesmetrčn lnearn koneksja, resektvno, r reslkavanju f zadovoljava PX,Y = P X,Y + P Y,X, {,}. Tenzor krvne smetrčn lnearn koneksja, resektvno, zadovoljavaju relacju [7], str. 70 X,Y Z =X,Y Z + X PZ,Y Y PZ,X + PPZ,Y,X PPZ,X,Y. Tenzor krvne, =,...,5 zadovoljavaju sledeće relacje [5] X,Y Z = X,Y Z + XP Z,Y Y P Z,X + P P Z,Y,X P P Z,X,Y + P Z,T Y,X, X,Y Z = X,Y Z + XP Y,Z Y P X,Z + P X,P Y,Z P Y,P X,Z + P T X,Y,Z, X,Y Z = X,Y Z + XP Z,Y Y P X,Z + P X,P Z,Y P P X,Z,Y + T P X,Y,Z, 9

34 .5. Preslkavanja transformacje mnogostrukost sa lnearnom koneksjom X,Y Z = X,Y Z + XP Z,Y Y P X,Z + P X,P Z,Y P P X,Z,Y + T P X,Y,Z, 5 X,Y Z = 5 X,Y Z + XP Z,Y Y P Z,X + XP Y,Z Y P X,Z + PPZ,Y,X PY,PZ,X + PX,PY,Z PPX,Z,Y..5. Mešovt sstem PDJ u tenzorskom oblku Ova odsekcja je osvećena osnovnm ojmovma lokalne teorje arcjaln dferencjaln jednačna u tenzorskom oblku, koj su od suštnske važnost r roučavanju reslkavanja, transformacja deformacja uošten geometrjsk rostora. Neka je D n koordnatn domen mnogostrukost M sa lnearnom koneksjom. Sstem arcjaln dferencjaln jednačna Košjevog ta u odnosu na kovarjatn zvod ; koj odgovara smetrčnoj lnearnoj koneksj m neoznat tenzorsk olja Y... σ j j... j qσ x, σ =,...,m, ta σ,q σ ma sledeć oblk [7, 7] Y σ... σ... σ j j... j qσ ;k x = F σ j j... j qσ k x,y,...,y,. m gde ndeks... σ, j j... j qσ,k uzmaju vrednost od do n. Na desnoj stran sstema. nalaze se tenzorske funkcje ta σ,q σ konstrusane na osnovu konačnog broja tenzorsk oeracja sa neoznatm tenzorskm oljma Y σ, σ =,...,m omoću komonent nek oznat objekata uključujuć komonente lnearne koneksje. Uslov ntegrablnost u tenzorskom oblku sstema. su dat sa [7, 7] Y σ... σ α... σ j j... j qσ ;[lm] Y σ j j... j qσ αlm + +Y... σ α σ j j... j qσ Y σ... σ =F σ... σ α j... j qσ α j lm Y σ j j... j qσ l;m F σ... σ j j... j qσ m;l, σ αlm... σ j j... j qσ α α σ j qσ lm gde smo skorstl denttet čjevog ta koj odgovara smetrčnoj lnearnoj koneksj. Na st načn korsteć rv l drug denttet čjevog ta koj odgovaraju nesmetrčnm lnearnm koneksjama l, odnosno odgovarajućm kovarjantnm zvodma l, resektvno, dobjamo uslove ntegrablnost u sledećm oblcma Y... σ σ j j... j qσ α... σ [lm] Y σ j j... j qσ αlm + +Y... σ α σ j j... j qσ Y σ... σ α j... j qσ α j lm Y σ =F... σ σ j j... j qσ l m F σ... σ j j... j qσ m l, σ αlm... σ j j... j qσ α α σ j qσ lm +Y σ... σ j j... j qσ T lm 0