Miroslav Josipović. Množenje vektora i struktura 3D euklidskog prostora

Transcription

1 Mroslav Jospovć Množenje vektora struktura D eukldskog prostora

2 I naljut se Bog na ljudsk rod dade m da govore razlčtm jezcma da jedn druge ne razumju Vrus Svjetska zdravstvena organzacja je objavla postojanje pandemje Koordnatnog Vrusa u matematc fzc Student zaražen vrusom pokazuju kompulzvno zbjegavanje pojma vektora osm kao nza brojeva te korste svaku prlku da vektore mančno zamjenjuju lstama koordnata Najmanje dvje trećne dplomranh fzčara je zaraženo ovm vrusom a polovca zaraženh su vjerojatno trajno oštećen bez mogućnost oporavka Preporuča se ozbljna doza geometrjske algebre (Hestenes) Mačka Kada b duhovn učtelj njegov učenc započel sa svojom večernjom medtacjom manastrska mačka b se razgrala stvarala buku koja je ometala medtante Zbog toga učtelj nared da se mačku veže za vrjeme večernje medtacje Kada je učtelj umro nastavše vezat mačku Kada je mačka ugnula nađoše drugu nastavše je vezat za vrjeme medtacje Nekolko stoljeća kasnje mlad učenk nekog duhovnog učtelja napsa rad o relgoznom značenju vezvanja mačke u vrjeme medtacje (Mroslav Jospovć: Isprazn svoju šalcu zbrka zen prča) Isprazn svoju šalcu Nan-na japanskog učtelja u razdoblju Međ posjeto je jednoga dana nek profesor koj se želo rasptat o zenu Dok je Nan-n šutke prpremao čaj profesor je neumorno prčao Čulo se: Znam da Mslm da Očgledno je td Nan-n je poslužo čaj Napunvš šalcu svome gostu nastavo je doljevat Profesor je promatrao kako se čaj preljeva a kada se vše nje mogao suzdržat reče: "Puna je Vše ne može stat!" "Kao ova šalca" reče Nan-n "pun s predrasuda pretpostavk Kako t mogu objasnt zen ako prethodno ns sprazno svoju šalcu? (Mroslav Jospovć: Isprazn svoju šalcu zbrka zen prča) Djelteljska algebra Geometrjska algebra je u stvar najveća moguća asocjatvna djelteljska algebra koja ntegrra sve algebarske ssteme (algebra kompleksnh brojeva vektorska algebra matrčna algebra algebra kvaternona td) u jedan koherentan matematčk jezk koj uvećava snažnu geometrjsku ntucju ljudskog uma uz precznost algebarskog sustava (de Sabbata: Geometrc algebra and applcatons n physcs [8])

3 Predgovor Clj ovog teksta je uvest zanteresranog čtatelja u svjet geometrjske algebre Al zašto? U redu zamslmo razgovor Vulkanca Neelxa Clj je prodat Vulkancu nov prozvod To se može postć tako da Neelx brzo zanteresra Vulkanca dajuć mu što manje nformacja a krajnj clj je da Vulkanac nakon korštenja bude znenađen kvaltetom prozvoda preporuč ga drugma Počnmo: Neelx: Drag Vulkanac želte l rotrat objekte bez matrca u blo kojoj dmenzj? Vulkanac: Gospodne Neelx nudte m kvaternone? Neelx: Ne on rade samo u D mam nešto puno bolje Uz to ćete moć sredt spnore Vulkanac: I spnore? Ma dajte nećete m valjda reć da mogu tme radt kompleksne brojeve? Neelx: Da cjelu kompleksnu analzu poopćenu na vše dmenzje A moć ćete se rješt tenzora Vulkanac: Molm? Ja sam fzčar to pak neće ć Neelx: Hoće ne trebaju vam koordnate A moć ćete radt specjalnu teorju relatvnost kvantnu mehanku stm alatom A sve ntegralne teoreme koje znate uključujuć kompleksno područje moć ćete objednt u jedan Vulkanac: Ma dajte zgodna deja ja nače puno radm s Le algebrama grupama Neelx: I to je u paketu Vulkanac: Šalte se? U redu recmo da vam vjerujem kolko b me koštao taj vaš prozvod? Neelx: Morate drugačje množt vektore g Vulkanac Vulkanac: To je sve? Sve to m nudte za tako malu cjenu? U čemu je zamka? Neelx: Nema je Al stna morat ćete potrošt nešto vremena da naučte korstt nov alat Vulkanac: Vremena? Toga baš nemam A zašto bh se uopće odrcao koordnata? Znate ja sam prlčno vješt u žonglranju ndeksma a mam karjeru Neelx: Ovse l fzkaln proces koje proučavate o zboru koordnatnh sustava? Vulkanac: Nadam se da ne Neelx: Eto Kad napšete matrcu rotacje daje l vam ona jasnu geometrjsku slku? Vulkanac: Ne Moram se pomučt da je otkrjem Neelx: Sad nećete morat bt će vam dostupna na svakom koraku Vulkanac: G Neelx znatželjan sam otkud vam taj nov alat? Neelx: O g Vulkanac to je star alat sa Zemlje z 9 stoljeća zmsll su ga Zemljan Grassmann Clfford Vulkanac: Kako to da m nje poznat? Nje l to čudno?

4 Neelx: Hm mslm da je čovjek Gbbs mao prste u tome Navodno je čovjek Hestenes pokušavao obavjestt ostale ljude al ga nsu baš slušal Al g Vulkanac složt ćete se sa mnom da su Zemljan ponekad zasta čudn Vulkanac: G Neelx ovo je rjetka prlka kad se moram složt s vama Vulkanac prstaje žv dugo uspješno I naravno preporučuje nov alat kapetanc Nastojalo se bazrat zloženo na što jednostavnjm prmjerma a čtatelja se upućuje na samostalno rješavanje problema Tekst treba čtat aktvno s paprom olovkom u ruc Postoj dosta bogata lteratura občno dostupna na web-u pa se čtatelja upućuje na samostalno stražvanje Djelove koje eventualno ne uspjete razumjet l za probleme koje ne uspjete rješt ostavte za kasnje proučavanje lterature Sgurno mate dobre zglede za uspjeh Preporuča se također korštenje dostupnh računalnh programa Tekst nje zamšljen kao udžbenk vše je motvacjsk usmjeren da se vd što tu ma Namjenjen je uglavnom mladma općento onma otvorenog uma Autor čvrsto vjeruje nakon temeljtog proučavanja da je geometrjska algebra matematka budućnost Paradoksalno je da je poznata još od sredne 9 stoljeća al je nzom (nesretnh) okolnost zanemarena Nje za očekvat da će on koj su već zgradl karjere lako prhvatt nešto novo otud vjerovanje da je ovakav tekst uglavnom za mlade Za neke djelove teksta je potrebno predznanje fzke matematke na nvou dodplomskog studja fzke l tehnke al je moguće pratt zloženo nformrajuć se na web-u o čtatelju manje poznatm pojmovma Korstan zvor je knjga [5] koja svakako može pomoć onma koj tek započnju s algebrom geometrjom Knjga [0] je teška preporuča se onma koj zasta msle ozbljno Važno je da čtatelj usvoj deju da je ovdje zloženo množenje vektora prrodno opravdano Ostatak su posljedce takvog množenja Čtatelj može sam smslt argumente za opravdanje uvođenja geometrjskog produkta Clj je razumjet da geometrjsk produkt nje samo zgodan trk već da prrodno prozlaz z koncepta vektora A to mjenja mnogo toga Jednostavna postavka da paraleln vektor komutraju dok okomt antkomutraju prozvod nevjerojatnu kolčnu matematke povezuje mnogo razlčth matematčkh dscplna u jedan jezk: jezk geometrjske algebre Komentare l ptanja možete poslat na adresu: mroslavjospovc@gmalcom Mroslav Jospovć Zagreb 07 4

5 Geometrjsk produkt (vektora) Vektore ćemo uglavnom označavat malm slovma u talc formatu gdje god neće bt mogućnost zabune Korstt ćemo ponekad bold format ako bude potrebno Za realne brojeve ćemo korstt grčk alfabet Multvektore označavamo velkm slovma u talc formatu Ako defnramo ortonormranu bazu vektorskog prostora broj jednčnh baznh vektora čj su kvadrat označavamo s broj onh s kvadratom - sa a broj onh s kvadratom 0 sa Uobčajena oznaka za takav p vektorsk prostor je ( pqr ) l q p q pqr dok uređenu trojka r ( pqr ) nazvamo sgnaturom (u lterature je to ponekad suma ) Za geometrjsku algebru D eukldskog vektorskog prostora korstmo kratcu Cl što je motvrano prezmenom Clfford Kada korstmo pojam vektor ovdje ne mslmo na element apstraktnog vektorskog prostora oslont ćemo se na ntutvn koncept orjentrane dužne Vektore zbrajamo po pravlu paralelograma Vektor a b koj zadovoljavaju relacju ba 0 su paraleln Za paralelne vektore kažemo da maju st smjer al mogu mat stu l suprotnu orjentacju Možemo rastavt blo koj vektor b na komponentu u smjeru vektora a (projecton) komponentu bez jednog djela paralelnog s a (rejecton) b b b 0 b a Ovdje možemo odmah preduhtrt prmjedbe kao: Da al ako govormo o okomtm vektorma trebamo skalar produkt Iako ovdje korstmo znak ne govormo o ortogonalnost vektora za sada Jednostavno z čnjence da vektore možemo zbrajat zaključujemo da blo koj vektor može bt zapsan kao suma dva vektora na beskonačno mnogo načna Jedna od ovh mogućnost je upravo zražena prethodnom relacjom pa je možemo promatrat kao ptanje postojanja a ne kako je praktčno ostvart Name za b b b b a ako pretpostavmo da vektor sadrž komponentu paralelnu sa a možemo psat b a b a al onda je takav b b b naš tražen vektor Ako ne postoj onda je b paralelan s a Nakon što eventualno uspjemo defnrat produkt vektora možemo se vratt ptanju kako nać produkt vektora trebao omogućt b praktčno a to je svakako nešto što b nam nov Postavmo ptanje: kako množt vektore? Trebalo b " zaboravt" sve što smo naučl o množenju vektora (tj skalarn vektorsk produkt) Dobro prje nego h "zaboravmo" pogledajmo neka njhova svojstva Možemo l jednstveno rješt jednadžbu ax (ovdje je a x skalarn produkt)? Odgovor je jasno ne jer svakom rješenju možemo dodat vektor okomt na a (sada smo u svjetu starh produkata znamo što je okomtost) Što je s jednadžbom ax b (vektorsk produkt)? Također nema jednstvenog rješenja jer svakom rješenju možemo dodat vektor paralelan s Al zanmljvo ako uzmemo u obzr obje jednadžbe (sustav) možemo nać jednstveno rješenje Prmjetmo da je skalarn produkt komutatvan dok je vektorsk produkt ant-komutatvan Za dva jednčna vektora m n u D vrjed mncos mn sn što sugerra da su ov produkt nekako povezan zbog sn cos a 5

6 Ova povezanost može bt naslućena ako pogledamo tablce množenja u D ( vektor): e e e e e e e e e e e e 0 e e e 0 e e e 0 e su ortonormran bazn Vdmo da skalarn produkt ma vrjednost razlčte od nule na djagonal dok vektorsk produkt na djagonal ma nule (zbog ant-komutatvnost) Tablce množenja jednostavno zazvaju da h objednmo Forma oba produkta sugerra slčnost s kompleksnm brojevma zraženm u trgonometrjskom oblku al za ovo trebamo velčnu čj kvadrat je - kao za magnarnu jedncu Al nje jasno kako prrodno povezat vektorsk produkt s nekom velčnom slčnom magnarnoj jednc S druge strane vektorsk produkt je ant-komutatvan što sugerra da b "trebao" mat svojstvo da kvadrran da - Name ako zamslmo blo kakve objekte koj kvadrran daju poztvan realan broj čj produkt je ant-komutatvan asocjatvan mal bsmo AB ABAB ABBA A B 0 Vektorsk produkt nje nt asocjatvan Pogledajmo ortonormranu bazu u D možemo reć da je polarn vektor dok je e e e aksjaln vektor Dakle kakav vektor je e e? Naravno mogl bsmo se okrenut općentjm defncjama uvodeć tenzore al je čudno da već na ovako jednostavnom prmjeru mamo problem Vektorsk produkt žv u D ma puno problema Bvektor je orjentran do plohe žv u svm dmenzjama većm od gotovo je magčan Pogledajmo D svjet u kojemu plošn fzčar žele defnrat moment sle Ako ne žele tražt nove dmenzje zvan " njhovog svjeta" neće nt pokušat defnrat vektorsk produkt ne postoj vektor okomt na njhov svjet Al možemo lako vdjet da moment sle ma smsla u njhovom D svjetu: proporconalan je sl kraku sle te ma dvje moguće orjentacje stoga kako pomnožt vektor sle s vektorom kraka sle da se dobje željen moment sle? Odgovor na to ptanje pronašao je već polovcom 9 stoljeća velk matematčar Grassmann podcjenjen zanemarvan u svoje vrjeme On je defnrao ant-komutatvan vanjsk produkt vektora tako dobo bvektor objekt sadržan u ravnn s orjentacjom znosom dakle dealan za naš D problem Kao dodatak može bt lako poopćen za vše dmenzje Grassmann osobno a Clfford nešto kasnje su uspjel ujednt skalarn vanjsk produkt u jedan: geometrjsk produkt točno ono o čemu govormo ovdje Skalarn produkt vektora nje promjenjen al vektorsk produkt je zamjenjen vanjskm produktom umjetna razlka zmeđu 6

7 aksjalnh polarnh vektora je nestala Sv aksjaln vektor su bvektor (vektor magnetskog polja prmjerce vdjet dalje u tekstu) U redu sada "zaboravmo" skalarn vektorsk produkt te pogledajmo kako možemo defnrat nov Razumno je očekvat da novo množenje ma svojstva asocjatvnost dstrbutvnost (kao realn brojev) tj a bc ab c b c a ba ca ab c ab ac Naravno ne očekujemo komutatvnost množenja vektora osm za skalare (realn brojev) Sjetmo se da je upravo vektorsk produkt nastao kao potreba za opsvanjem nekomutatvnh objekata (kao moment sle l Lorentzova sla ) a a ) Pogledajmo prvo zraz ( a je vektor) Pretpostavt ćemo da vrjed Razjasnmo odmah da se ne pretpostavlja da je kao občno gdje smo skalarn produkt označl točkom Ovo je važno mat na umu nače može doć do konfuzje Očekujemo da kvadrat vektora ne ovs o njegovom smjeru al da ovs o njegovoj duljn (za sada nećemo razmatrat vektore koj nsu nula al maju duljnu nula nul-vektor) ab ab ) Očekujemo da je množenje vektora realnm brojem komutatvno što odmah znač da je množenje paralelnh vektora ( a b ) komutatvno: a a ab aa aa ba Zapravo ovdje smo se mogl pozvat na smetrju odmah je jasno da množenje paralelnh vektora mora bt komutatvno jer nemamo krterj po kojemu bsmo mogl odlučt koj vektor je "prv" a koj "drug" Ovo je očgledno ako vektor maju stu orjentacju a ako su m orjentacje suprotne možemo se pozvat na prncp da su sv smjerov u prostoru ravnopravn (zotropnost) S druge strane za okomte vektore upravo očekujemo antkomutatvnost jer uvjek znamo koj vektor u produktu dolaz prv a vektor defnraju st do plohe (paralelogram) bez obzra kojm redom h množl Stoga ostaje mogućnost da se produkt s razlčtm redosljedom vektora razlkuju u predznaku Naš nov produkt b trebao uključt množenje realnh brojeva ) Zbog neovsnost kvadrata vektora o smjeru (podsjetmo vektora a ) što znač da vektor b a 0 b a b a b a ab b nema komponentu u smjeru ant-komutraju Možete sam osmslt nove "argumente" al treba stalno mat na umu da ovdje ne podrazumjevamo skalarn l vektorsk produkt jednostavno pokušavamo pronać svojstva novog množenja vektora "od početka" Tako ovaj prmjer nje dokaz već vše deja kako možemo mslt o ovoj tem Na slc p možemo lako vdjet što smo zahtjeval : da kvadrat vektora (zapravo njegova duljna) ne ovs o smjeru Možemo naravno nakon pretpostavke o ne-komutatvnom množenju jednostavno napsat a b a b ab b a 7

8 odmah zaključt da mora bt ab b a 0 jer očekujemo da vrjed Ptagorn poučak Al slka p pokazuje kako ovdje mamo smetrju name vektor a a defnraju pravac ovdje desno ljevo nje važno te kako smjer vektora sugerra smetrju u skladu s našm ntutvnm pomanjem ortogonalnost Bez te smetrje ulazmo u nakošen svjet al pustmo matematčare neka du tamo 4) Pokažmo da prema ) a komutra s b (bez pretpostavke o tome što je a b a b b b a ab a b a b a ba 8 b a a ): što samo potvrđuje našu (ranju) pretpostavku da je Ponovo važno je razumjet da ovdje ne dajemo dokaze samo pokušavamo opravdat uvođenje novog produkta vektora Odmah sljed da ab komutra s b jer je b a Vrjed ab ba ab ba ab b a ab ab pa komutra s b Jasno je da komutra s a što znač da komutra s blo kojm vektorom z ravnne defnra s a b Al očgledno komutra sa svakm vektorom okomtm na tu ravnnu gdje vrjed Svak nekomutatvn produkt možemo rastavt na smetrčn ant-smetrčn do: ab b a ab ab ba S A S ab A ab Posljednje dvje relacje su jako korsne prmjerce odmah vdmo da vrjed A ab ab a b Komutatvnost smetrčnog djela produkta se vd z ab ba a b a b jer je kvadrat vektora komutatvan Neovsno o tome kako ćemo defnrat vrjed b a b a b ab b a a b ab ab a b a za vektore a tj mamo Ptagorn poučak ovdje zražen pomoću novog množenja vektora Ako defnramo pojam "okomtost" kao relacju zmeđu vektora u kojoj je projekcja jednog na drug jednaka nul ( b a b ) odmah mamo Ptagorn poučak bez obzra na vrjednost od a Znač da ovo vrjed u slučaju kada mamo negatvne vrjednost kvadrata vektora kao u specjalnoj teorj relatvnost Relacja je zapravo kosnusn poučak Već smo pretpostavl da je a b a b ab ba a realan broj jednak a gdje je a apsolutna duljna vektora a (kažemo da uvodmo metrku) Smetrčn do pšemo kao ab ab ba /ab

9 nazvamo ga unutarnj produkt (kontrakcja) Za vektore je on dentčan skalarnom produktu al ovdje treba malo opreza: u geometrjskoj algebr općento razlkujemo nekolko tpova "skalarnog" množenja koj se za vektore ne razlkuju Ovdje ćemo korstt već spomenut unutarnj produkt ljevu kontrakcju (vdjet u tekstu) Za jednčne vektore ortonormrane baze mamo (nul-vektore ovdje ne razmatramo) što znač Oprez: nemojmo zamjent ee j s ee j eje j e e tp objekta što će bt opsano u tekstu Pogledajmo prmjere u D : j! Ako se ptate što je e ee e e e e ee ee e e : e e e e ee ee e e : 0 j odgovor je: potpuno nov pa vdmo da u oba slučaja vrjed Ptagorn poučak al zražen preko novog množenja vektora Za mamo: e e e ee j eje j al ovdje mamo nešto magčno postoje poznat matematčk objekt koj preczno zadovoljavaju ove relacje: Pauljeve matrce otkrvene u slavnm danma razvoja kvantne mehanke Kažemo da su Pauljeve matrce D matrčna reprezentacja jednčnh vektora ortonormrane baze u al za to moramo vektore množt na nov načn upravo opsan Drugačje rečeno Pauljeve matrce maju stu tablcu množenja kao ortonormran vektor baze Uvjermo se u to Pauljeve matrce defnramo kao pa vrjed prmjerce ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Oznaka ˆ se često korst za Pauljeve matrce pa ovdje korstmo oznake za jednčne vektore u Pauljeve matrce su važne za ops spna u kvantnoj mehanc pa vdmo da vektore također mogu poslužt u tu svrhu al s novm množenjem Zasta kvantna mehanka može bt ljepo formulrana ovom matematkom bez matrca magnarne jednce (vdjet dalje u tekstu) Prmjetmo da transponranjem Pauljevh matrca uz kompleksnu konjugacju dobjemo polaznu matrcu (hermtske matrce) prmjerce 0 T 0 * 0 ˆ

10 l jednostavno ˆ ˆ ˆ ˆ Također vrjed prmjerce ˆ ˆ (antautomorfzam pokažte to) Ovo odgovara operacj reverz (vdjet u tekstu) na produktma vektora prmjerce e e e e e e Stoga znak ovdje korstmo za operacju reverz Ovdje možemo odmah staknut važno svojstvo novog množenja vektora Vektor je geometrjsk ntutvno jasan koncept a takav je nov produkt vektora (vdjet u tekstu) Prmjerce produkt nje teško nterpretrat kao orjentranu površnu ma sposobnost da ee rotra objekte nedvosmsleno defnra ravnnu razapetu vektorma e e td Sve to možemo zaključt već na prv pogled Za usporedbu pogledajmo matrčnu reprezentacju vektora te njhov produkt: ˆ ˆ Možemo l zaključt o geometrjskoj nterpretacj samo gledajuć u rezultantnu matrcu? Samo gledajuć svakako ne treba nešto napora al ćemo često jednostavno prevdjet moguću geometrjsku nterpretacju ako uopće postoj Koju ravnnu defnra rezultantna matrca (ako takva postoj)? Pauljeve matrce ne mogu uradt sve što vektor mogu U ovom tekstu ćemo nadat se rasvjetlt ovakve stvar kako bsmo došl do svjest o važnost uvođenja novog množenja vektora Vrjeme je da novom množenju vektora "službeno" damo me (Clfford Hestenes ): geometrjsk produkt Smetrčn ant-smetrčn do geometrjskog produkta vektora ma posebne oznake: ab ( je unutarnj a ab vanjsk produkt) pa za vektore možemo psat ab ab ab ab a b Važan pojam koj ćemo često korstt je stupanj (grade) Realn brojev ma ju stupanj 0 vektor sv element koj su lnearna kombnacja umnožaka e e j maju stupanj td Prmjetmo da je geometrjsk produkt dva vektora kombnacja stupnjeva 0 kažemo da je paran jer su mu stupnjev parn Koje stupnjeve općento ma geometrjsk produkt od tr vektora? Vektorsk prostor nad poljem realnh brojeva uz geometrjsk produkt (GP u tekstu) postaje algebra (geometrjska algebra GA u tekstu) Element geometrjske algebre očgledno nsu samo vektor Za jednčne vektore jednčne baze vrjed prmjerce e e e e e e e e e e e e 0 j e e e e e e e e pa je za okomte vektore vanjsk produkt jednak geometrjskom Za ant-smetrčn do vrjed ee ee ee ee ee ee e e ee e e = 0 Očgledno ee nje skalar ne komutra sa svm vektorma prmjerce e e e e e e e e e e e e al nje n vektor u ma kvadrat -: e e e e e e e e e e pa mamo novu vrstu matematčkog objekta ponaša se kao magnarna jednca al ne-komutatvna Ovakve objekte nazvamo bvektorma Općento defnramo bvektor kao element algebre oblka ab Pogledajmo neka svojstva bvektora ee Vrjed 0

11 znač množenjem s ljeva rotra vektore za e e e e e e e e e e e / Kako će rotrat vektore množenjem s desna? Podsjetmo da je operacja reverz na geometrjskom produktu vektora defnrana kao: x abc d d cba x pa mamo e e e e e e e e e e što znač da mamo jednčn bvektor Općento moguće je defnrat modul bvektora stoga bvektor maju znos orjentacju Dalje jednčn bvektor kao osm znosa orjentacje ( e e e e e e ) te sposobnost rotacje vektora maju još jedno važno svojstvo koje magnarna jednca nema name defnraju ravnnu razapetu vektorma (ovdje se sve ovo mplementra u praks ee e e ) Kasnje ćemo vdjet kako Kako predstavt (jednčn) bvektor grafčk? Očgledan načn je pokušat s usmjerenm paralelogramom (kvadrat za ) Međutm oblk plohe koja predstavlja bvektor je nevažan treba ee samo zadržat znos površne orjentacju stoga je često praktčan zbor krug površne ee / / Za potvrdu zrečenog pogledajmo ovo može lustrrat čnjencu da oblk nje važan e e e e e e e e e Prmjetmo kako dva vektora osm što defnraju ravnnu defnraju paralelogram Vanjsk produkt takvh vektora (bvektor) ma znos točno jednak površn paralelograma (vdjet dalje u tekstu) dok orjentacju defnramo kao na p Nađte površnu paralelograma na p krajnje ljevo Prmjette da je bvektor upravo ee al pokažte da formula daje površnu paralelograma e e e e e sn Za antsmetrčn do geometrjskog produkta možemo psat ab ba ab b a ab pa vdmo odmah da ant-komutra s a b b prema tome s b kao sa svm vektorma z ravnne defnrane vektorma a b Očgledno komutra s vektorma okomtm na tu ravnnu Također vrjed

12 ab ab ab aab b a b što znač da je ova velčna negatvna u eukldskom vektorskom prostoru Tako ant-smetrčn do geometrjskog produkta nje vektor njegov kvadrat može bt negatvan realan broj a nje nt skalar jer ant-komutra s vektorma z svoje ravnne Prmjette da z ab ba ab ab ba ab možemo zvest mnogo zanmljvh svojstava djelova geometrjskog produkta uključujuć njhove znose jednostavno korsteć b b cos b b sn Pogledajmo tr vektora u čja suma je nula (trokut) z a bc 0 sljed a b bc c a Da to provjermo dovoljno je pogledat zraze a b c a a b c b (provjerte) al to možemo pokazat jednostavno bez računanja dovoljno je pogledat slku ljevo: svak par vektora defnra paralelogram površne dvostruko veće od površne trokuta sv parov daju stu orjentacju bvektora Ovo je važno često možemo zvodt važne zaključke z jednostavnh geometrjskh razmatranja bez računanja U formul za površnu paralelograma pojavljuje se funkcja snus pa vdmo da su prethodne jednakost upravo snusn teorem Ako se prsjetmo da bvektor ne ovs o oblku zaključujemo da sve tr para vektora daju bvektor s faktorom (jednčn bvektor) Sada vrjed I Iabsn Ibcsn Iacsn Bvektor defnraju ravnnu Promotrmo vanjsk produkt u Cl e e a e a e a e a e e e pa vdmo da vanjsk produkt vektora bvektora daje mogućnost da se zdvoje komponente vektora koje ne prpadaju ravnn defnranoj bvektorom Stoga je ravnna bvektora B (D potprostor) defnrana relacjom Bx 0 Rješenje u našem prmjeru su vektor oblka x a e a e Zamslmo bvektor u Cl On defnra ravnnu ma svojstva (ne-komutatvne) magnarne jednce (u svojoj ravnn) Ovo je moćno: možemo korstt formalzam teorje kompleksnh brojeva u blo kojoj ravnn u prostoru blo koje dmenzje Kako? Vratmo se našem bvektoru ee vektoru xe ye Pomnožmo l vektor s e s ljeva dobjemo e xe ye x ye e x yi I e e pa mamo kompleksn broj Što dobjemo množenjem s desna? Vše detalja kasnje u tekstu Čtatelj može pokazat da blo koja lnearna kombnacja jednčnh bvektora u Cl može bt zražena kao vanjsk produkt dvaju vektora Ovo nje nužno stna u 4D uzmmo kao prmjer e e e e 4

13 Pokažte da ne postoje dva vektora u 4D sa svojstvom a b e e e e U D za svaku ravnnu mamo 4 točno jedan (do na predznak) jednčn vektor okomt na ravnnu što nje stna za vše dmenzje Prmjerce u 4D ravnna defnrana bvektorom ma okomte jednčne vektore ( njhove lnearne kombnacje) Uzmmo bvektor ee u dobl točno vektorsk produkt vektora ee pomnožmo ga s e e e j: e e j e pa vdmo da smo e e l za prozvoljne vektore a b j a b Ovo vrjed u D al zraz je defnran u blo kojoj dmenzj gdje je općento pseudoskalar U D je realan broj dok u 4D l všm dmenzjama mamo potprostor dualan našem bvektoru Vektorsk produkt (Gbbs) zahtjeva pravlo desne ruke korštenje okomca na plohe S bvektorma je to nepotrebno ( nepoželjno) pa prmjerce možemo potpuno zaobć pojmove kao što su "os Ia b Ia b rotacje" td Nađte geometrjsk produkt vektora napsan kao Algebra a ae b be e e e ab a b ab a b ab j u I e e 4 pokažte da može bt Pogledajmo ponovo D prmjer Sv moguć vanjsk produkt vektora zražen u ortonormalnoj baz mogu dat lnearne kombnacje "brojeva" e e e e e e (svaku takva lnearnu kombnacju nazvamo multvektor) Vanjsk produkt je ant-komutatvan stoga sv članov koj maju dva sta jednčna vektora nestaju Brojev e e ee čne bazu dmenzonalnog lnearnog prostora Zapravo mamo bazu algebre (Clffordova algebra) Kada je geometrjsko značenje u prvom planu govormo o geometrjskoj algebr (prema Clffordu) Element je realn skalar Imamo dva vektora jedan bvektor (u termnologj geometrjske algebre bsmo rekl da je pseudoskalar u algebr precznje element algebre s maksmalnm stupnjem) Prmjetmo da skalar čne potprostor (realn brojev stupanj nula vdjet dalje u tekstu) vektor defnraju D potprostor (stupanj ) dok pseudoskalar defnra D potprostor (cjel vektorsk prostor stupanj ) U mamo bazu algebre (Cl): e e e ee ee ee ee e gdje je j e e e e e e jednčn pseudoskalar Pokažte da j komutra sa svm elementma Clffordove baze u Cl te da vrjed j Pseudoskalar u blo kojoj dmenzj su sv proporconaln jednčnom pseudoskalaru Pokažte to barem za j Tako pseudoskalar j je savršena (komutatvna) magnarna jednca u Cl Takav pseudoskalar će se pojavt ponovo u Cl7 Cl Ovo ma dalekosežne posljedce Al ovdje trebamo malo opreza svojstvo komutatvnost pseudoskalara podrazumjeva geometrjsk produkt dok u zrazma s drugm produktma treba bt oprezan Realn skalar nemaju ovaj "problem" on mogu "šetat" kroz sve produkte Za pseudoskalar u Cl vrjed prmjerce je e e je e e j e j e e je tj geometrjsk produkt dozvoljava "šetnju" al ovo općento ne vrjed recmo za unutarnj produkt 0 e e j e je e e e e

14 gdje mamo prmjer mješovtog množenja (vdjet dalje u tekstu) U D za prozvoljna četr vektora vrjed a b c d 0 Vanjsk produkt ma svojstva dstrbutvnost asocjatvnost (pogledat lteraturu l dokazat) Ako su blo koja dva vektora u produktu paraleln relacja je točna zbog ant-komutatvnost vanjskog produkta Inače mamo prmjerce d a b c pa je naša tvrdnja točna zbog dstrbutvnost antkomutatvnost Maksmaln stupanj multvektora ne može bt već od dmenzje vektorskog prostora (pokažte to) pokažte da je broj elemenata Clffordove baze stupnja k jednak bnomnom koefcjentu n gdje je dmenzja vektorskog prostora Za realne skalare mamo pa mamo samo jedan realn skalar u baz () Slčno je za k n mamo samo jedan element baze sa stupnjem n čme je motvran nazv pseudoskalar Pokažte da je broj elemenata Clffordove baze n -dmenzonalnog vektorskog prostora jednak n n k k 0 Važan pojam je parnost multvektora odnos se na parnost stupnjeva Sv element s parnm stupnjevma defnraju podalgebru (geometrjsk produkt blo koja parna elementa je također paran pokažte to!) što ne vrjed za neparn do algebre Stupnjeve multvektora M pšemo jednostavno množenja pa vrjed M prmjerce a b občno zapsujemo kao M r gdje je r stupanj Za stupanj 0 ab Stupanj 0 je realan broj ne ovs o redosljedu AB BA što vod na mogućnost cklčkh zamjena kao ABC ab CAB Ovo je korsna relacja prmjerce razmotrmo unutarnj produkt zaptajmo se što b se dogodlo ako prmjenmo transformacje a nan b nbn ( n je jednčn vektor) Prmjetmo da je rezultat ovakve transformacje vektor (rastavte vektor a na komponente paralelne okomte na n ) Unutarnj produkt dva vektora je upravo stupanj 0 od njhovog geometrjskog produkta pa mamo korsteć cklčke zamjene nan nbn nannbn nabn abnn ab ab Ovakva transformacja ne mjenja unutarnj produkt pa mamo prmjer ortogonalne transformacje (u našem prmjeru mamo refleksju) Transformacja X nxn ( n je jednčn vektor) općento ne mjenja stupanj Prmjerce za X ab vrjed nabn nannbn nannbn pa opet mamo geometrjsk produkt dvaju vektora Ovo je veoma važan zaključak Da vdmo kako vrjed općento trebamo se sjett da je svak multvektor lnearna kombnacja elemenata z Clffordove e e e e e e e e pa je stupanj opet Ako se stupanj nekog baze Tako mamo prmjerce elementa promjen transformacjom dobjemo nov tp elementa što občno ne želmo Radje občno želmo transformrat vektore u vektore bvektore u bvektore td Pogledajmo sada neke važne prmjere formula u kojma se pojavljuju mješan produkt Prmjerce pogledajmo produkt a b c a bc cb / abc acb / Možemo skorstt očglednu ( korsnu) relacju ab ab ba pokazat da (ostavljamo čtatelju) a b c b c a a b c a c b 4

15 Ovdje mamo stuacju u kojoj je stupanj (bvektora) smanjen pa je uobčajeno psat takve relacje kao unutarnj produkt odnosno vrstu kontrakcje ( B je bvektor) l a B ab Ba / ab c abc acb abc acb gdje se podrazumjeva da se unutarnj produkt zvršava prv Ovo je važna korsna formula Nje teško pokazat da vrjed Nađte e e e e e e a B ab Ba / ab ab a B Dajemo još jednu korsnu formulu (bez dokaza) gdje a k znač da faktor a k n k a a a a a a e e n k k n k nedostaje u vanjskom produktu Nađte 5 e ab Sada je jednostavno nać zraze za komponente vektora u zadanom smjeru okomto na njega (ovo smo najavl ranje) prmjerce za vektor a korsteć smjer jednčnog vektora n mamo a n a n n a n a nn a nn a a a gdje geometrjsk produkt zvodmo posljednj Za općente formule (za blo kakve elemente algebre) pogledajte lteraturu l zvedte sam korsteć pojam nverza vektora Važn pojmov Prje nego zaronmo u Cl pogledajmo nekolko općenth pojmova a) verzor (versor) geometrjsk produkt blo kojeg broja vektora b) lst (blade) vanjsk produkt blo kojeg broja vektora ( lst je samo prjedlog autora) c) nvolucja svaka funkcja sa svojstvom f (f(x)) = f(x) d) nverz za element x je to element y takav da xy e) nlpotent x = 0 f) dempotent x = x g) djeltelj nule (zero dvsors) xy 0 xy 0 Pogledajmo ove pojmove malo detaljnje y x a) Prmjer verzora je abc ako su faktor vektor Geometrjsk produkt dva vektora općento daje stupnjeve 0 Za tehnke provjere da je nek multvektor verzor pogledajte Bouma [9] Pokažte da je geometrjsk produkt verzora njegovog reverza (za abc je to cba ) realan broj b) Prmjer lsta je abc ako su faktor vektor Za tehnku provjere da je nek multvektor lst pogledajte Bouma [9] Lst je elementaran ako se može reducrat na vanjsk produkt vektora baze (do na realn faktor) Dok verzor ab općento ma stupnjeve 0 lst ab ma stupanj defnra D potprostor Pokažte da je svak homogen verzor (koj ma samo jedan stupanj) lst Pokažte da svak lst može bt transformran u verzor s ortogonalnm vektorma kao

16 faktorma Svak lst u Cl koj je vanjsk produkt od tr lnearno neovsna vektora je proporconalan jednčnom pseudoskalaru (pokažte to ako već nste) Promotrmo prozvoljn skup ndeksa jednčnh vektora neke ortonormalne baze od kojh se nek mogu ponovt Nađte algortam za sortranje ndeksa tako da se uvaž ant-smetrja za razlčte ndekse Clj je pronać ukupan predznak Nakon sortranja jednčn vektor stog ndeksa se reducraju na jedan jednčn vektor (do na predznak) l na realn broj ( ) Prmjer: e e e e e e e e e e e e e e Element Clffordove baze su elementarn lstov Vdjel smo da u Cl svaka lnearna kombnacja jednčnh bvektora defnra ravnnu (tj može bt napsana kao vanjsk produkt od dva vektora) Pomnožte svak element Clffordove baze pseudoskalarom Što dobjete? Slka p može pomoć u razmšljanju Možete korstt GAVewer vdjet kako vaš produkt zgledaju j c) U geometrjskoj algebr se najčešće korste tr nvolucje pr čemu se sve svode na promjenu predznaka elemenata z Clffordove baze Involucja stupnjeva (grade nvoluton) nastaje promjenom predznaka svh vektora baze vektorskog prostora (nverson) Na ovaj načn sv parn element ostaju nepromjenjen dok neparn mjenjaju predznak Promotrmo općent multvektor M u Cl: M t xe xe xe Be Be Be bj gdje je e e e td Involucja stupnjeva daje M ˆ t x e x e x e B e B e B e bj Involucja stupnjeva je automorfzam (pokažte to) što znač ˆˆ MN MN Element M M ˆ / M M M ˆ / M daju parn neparn do multvektora M (nađte h za općent M u Cl) MN Reverz je ant-automorfzam ( N M pokažte): Element M t x e x e x e X e X e X e bj M M ˆ / M R M Mˆ / M daju realn magnarn do I multvektora M (vdjet dalje u tekstu nađte h za općent M u Cl) Clffordova konjugacja (nvolucja) je ant-automorfzam ( MN NM pokažte): M t xe xe xe Xe Xe Xe bj 6

17 Element M Mˆ / M S (kompleksan) vektor kao djelove multvektora M općent M u Cl) M Mˆ / M daju (kompleksan) skalar V (vdjet dalje u tekstu nađte h za Što dobjemo prmjenom sve tr nvolucje na multvektor te što dobjemo prmjenom blo koje dvje od njh? Svaka nvolucja mjenja predznake nekh stupnjeva Ako je ukupn predznak nekog stupnja zadan formulom (-) f(r) r je stupanj nađte funkcju f za svaku nvolucju Često moramo provjert svojstva nekog produkta sume td Kakav je multvektor u Cl ako vrjed M nvm gdje nvolucje? Pokažte da za verzore Vˆ v v v k Pokažte da je multvektor V nv predstavlja blo koju od tr defnrane V v v v k vrjed relacja VxV ˆ vektor ako je x vektor d) Važna posljedca geometrjskog produkta vektora je postojanje nverza vektora ( mnogh drugh elemenata algebre) tj možemo djelt vektorom Za vektore (nul-vektor nemaju nverz) vrjed a a / a što znač da je jednčn vektor nverz sam seb Postojanje nverza ma dalekosežne posljedce fundamentalno razlkuje geometrjsk produkt od občnog skalarnog vektorskog produkta Sada možemo rješt jednadžbu: td Možemo defnrat nverze verzora: ab c a bc drugh multvektora prmjerce lako je nać nverz e e e e / ( e e e e ) e e e e Ovdje smo skorstl čnjencu da je geometrjsk produkt verzora njegovog reverza realan broj Postoje multvektor bez nverza vdjet ćemo to malo kasnje Defncja nverza nje uvjek jednostavna nt jednstvena al u Cl je taj zadatak relatvno jednostavan Prmjetmo da je postojanje nverza povezano s mogućnošću da defnramo znos (norma modul) multvektora a to nje uvjek jednstveno Za općent prstup pogledajte lteraturu e) Geometrjsk produkt omogućuje postojanje multvektora razlčth od nule čj kvadrat je nula To su nlpotent u algebr maju važnu ulogu prmjerce formulran u Cl elektromagnetsk val u vakuumu je upravo nlpotent u algebr Kao jednostavan prmjer mamo e e e e e e e e e e e 0 Nlpotent nemaju nverz Ako je N 0 nlpotent M je njegov nverz tada z NM dobjemo N M N tj 0 N p p Pokažte da je multvektor e / f) Idempotent maju jednostavno svojstvo dempotent Zapravo svak multvektor oblka f / f je dempotent Kasnje u tekstu ćemo nać opć oblk dempotenta u Cl Trvjaln dempotent je Pokažte da je trvjaln dempotent jedn dempotent koj ma nverz 7

18 g) Pomnožte ( + e )( e ) Postoje multvektor razlčt od nule koj pomnožen daju nulu (djeltelj nule) Iako se to razlkuje od svojstava realnh brojeva pokazuje se kao vrlo korsno u mnogm prmjenama Treba spomenutu da zbrajanje velčna kao x jn (l drugh zraza razlčth stupnjeva) ne predstavlja problem kako nek prgovaraju zbrajamo objekte razlčth stupnjeva stoga kao s kompleksnm brojevma takve sume čuvaju stupnjeve Ovdje suma treba bt shvaćena kao relacja zmeđu razlčth potprostora Razjasnmo to malo korsteć Cl Realn brojev maju stupanj nula defnraju potprostor "točaka" Vektor defnraju orjentrane lnje bvektor defnraju orjentrane ravnne a pseudoskalar defnraju orjentran volumen Prmjerce bvektor B defnra orjentranu Bx 0 ravnnu relacjom U toj ravnn možemo defnrat jednčn bvektor ˆB koj ma cjel nz zanmljvh svojstava: kvadrran daje - orjentran je rotra vektore u ravnn td Uzmmo kao prmjer B e e e e e e e pa vektor vektore x e kao lnearnu kombnacju vektora e e e e e razapnju ravnnu Relacja Nađte BB Bx 0 daje Uočte jednčn bvektor Bˆ B / ma jasnu geometrjsku nterpretacju al je također operator koj rotra vektore u ravnn koju defnra Može također bt magnarna jednca za kompleksne brojeve defnrane u ravnn koju defnra Multvektor oblka je suma razlčth stupnjeva al ne postoj načn da se pomješaju realn skalar bvektor u sum: uvjek su razdvojen Al zajedno kao suma veoma su moćn kao prmjerce rotor l spnor (vdjet dalje u tekstu) B Konačno svak multvektor može bt zražen kao lsta koefcjenata u Clffordovoj baz Kao prmjer pogledajmo multvektor e e e u D lsta koefcjenata je 0 Jasno je da možemo zbrajat oduzmat ovakve lste nać pravlo za njhovo množenje td Zbrajanje elemenata razlčth stupnjeva ekvvalentno je kreranju ovakvh lsta kako smo već navkl za kompleksne brojeve Kompleksn broj pšemo kao uređen par brojeva Prmjer rješavanja jednadžb Nađmo realne brojeve takve da x a b u x a a a b a b a x b a b b b a b Vrjed Prmjette da bvektor x a b a defnraju stu ravnnu oba su proporconaln jednčnom bvektoru u toj ravnn tj njhov omjer je realan broj (jednčn bvektor podjeljen sam sa sobom daje ) Stoga vrjed x b x a x a b a b b a Možemo skorstt GAVewer da to pokažemo grafčk: 8

19 Pokažte da je Pogledajmo sada kvadratnu jednadžbu: x / e e e x x 0 rješenje Možete l nać rješenje za prozvoljnu kvadratnu jednadžbu? Obratte pažnju na čnjencu da možemo nterpretrat zraz uz prethodno rješenje kao operator koj djelujuć na nek vektor v daje nulu Ovo znač da mamo sumu vektora ( v ) rotranog vektora ( xv ) dvaput rotranog vektora ( ) tr vektora koja možemo aranžrat u trokut O rotacjama u eksponencjalnoj form vdjet dalje u tekstu ovdje možete slobodno tretrat zraze kao xv x x kompleksne brojeve s magnarnom jedncom e e (tj možete korstt trgonometrjsk oblk kompleksnog broja) U sljedećem poglavlju ćete nać objašnjenje za ovakav prstup Geometrjsk produkt vektora u trgonometrjskom oblku ste) Pogledajmo kvadrat bvektora u n (za druge sgnature pogledajte lteraturu glavne deje su a ba b ab a ba b ba ab a a b a bab ba a b a b a b sn gdje smo skorstl a b a b cos Drug načn da se ovo vd je da pođemo od oblka ab ab ab ab a b Vdmo da je u n kvadrat bvektora negatvan realan broj Sada možemo defnrat znos bvektora kao a b a b sn Geometrjsk produkt dva vektora možemo sada napsat kao ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a b ab a b ab ˆ a b aˆ b aˆ b a b cos B sn B Bˆ aˆ bˆ 9

20 l Bˆ ab a b e Prmjette da mamo slčnu formulu za kompleksne brojeve al ovdje je stuacja btno drugačja: ˆB jednčn bvektor nje samo občna magnarna jednca on defnra ravnnu razapetu vektorma Ovo je velka prednost u usporedb s občnm kompleksnm brojevma daje nam jasnu geometrjsku nterpretacju zraza Prmjerce formulacja kvantne mehanke u geometrjskoj algebr a b korst realne brojeve nema potrebe za a usput u svakom zrazu možemo vdjet geometrjsko značenje drektno Ovo čn novu formulacju moćnjom ona omogućuje nove uvde koj b nače ostal skrven l teško dostupn Ovdje mamo prlku nać odgovor o tablcama množenja Vdjel smo kako su tablce množenja za skalarn vektorsk produkt gotovo komplementarne Sada znamo geometrjsk produkt dva vektora može bt rastavljen na smetrčn ant-smetrčn do znamo njhove znose maju funkcje snus kosnus kao faktore to nam daje ujednjenu tablcu množenja Napšmo je (prmjette da prmjerce ) e e e e e je e e e e e e e e e 0 e e e 0 e e e 0 GP e e e e e e e e e e e e e e pa možemo vdjet da nova tablca množenja ma bvektore kao nedjagonalne elemente ( je samo za zabavu) Zapravo gledajuć ove tablce možemo dosta naučt o našem D prostoru geometrjskoj algebr općento e e e e Refleksje rotacje spnor kvaternon Čtatelj je sada moguće uvjeren da je geometrjsk produkt zasta prrodan zapravo nezbježan načn množenja vektora U svakom slučaju magja tek sljed Razmotrmo sada moćan formalzam geometrjske algebre prmjenjen na refleksje rotacje ( dalje smo u n detalj za druge sgnature mogu bt pronađen u lteratur) Za vektor a jednčn vektor u (samo zbog lakšeg razumjevanja generalzacja sljed drektno) možemo nać komponente vektora paralelno s n okomto na n znač a a a Sada vrjed n a a nan n a a n na na n a a nn a a što znač da je vektor a reflektran na ravnn okomtoj na n (općento hper-ravnna slka p 4) Možemo spustt predznak mnus tada mamo refleksju na vektoru Podsjetmo refleksje ne mjenjaju stupanj reflektranog objekta n 0

21 Spomenmo da u fzc često promatramo refleksje na plohama u D pa možemo malo prlagodt slke (p 6 p 7) Korstmo čnjencu da je j odakle mamo a nan j nan jnaj n NaN gdje jednčn bvektor N defnra ravnnu refleksje Što ako prmjenmo dvje uzastopne refleksje korsteć dva jednčna vektora m n? Postoj dobro poznat teorem prema kojemu dvje uzastopne refleksje daju rotacju Na slc p 5 vdmo da nakon refleksje na n mamo aa a onda refleksjom na m dobjemo a a Ako je kut zmeđu jednčnh vektora m n jednak tada je kut rotacje vektora a jednak Stoga ako želmo rotrat vektor za kut trebaju nam jednčn vektor s kutom zmeđu njh Uočte kako se javlja polovčn kut tako karakterstčan u opsu spna u kvantnoj mehanc Ovdje vdmo da nema nčeg "kvantnog" u polovčnom kutu on se jednostavno pojavljuje kao do geometrje našeg D prostora (s geometrjskm produktom) O ovome će još bt rječ u tekstu Sada zraz za rotacju možemo napsat kao / a m nan m mnanm Drug načn da se rotra vektor je da se konstrura operator koj rotra djelujuć s ljeva Zahvaljujuć postojanju nverza vektora ovo je lako postć: a a a a Oa O a a Al metoda koj korst refleksje je vrlo općent elegantan (rotra blo koj element algebre) ma "sendvč" formu koja je uobčajena poželjna u geometrjskoj algebr posebno za generalzacju na vše dmenzje Pogledajmo član mnanm poblže Geometrjsk produkt dva jednčna vektora općento sadrž stupnjeve 0 prema tome prpada parnom djelu algebre koj je podalgebra što znač da produkt blo koja dva ovakva elementa daje element z parnog djela algebre Označmo ga kao R mn (rotor u tekstu) Sada mamo a RaR RR mnnm R R

22 gdje kut R / R znač reverz ( Vrjed gdje je sn / mamo mn nm ) Za kut rotacje trebamo jednčne vektore koj zatvaraju m n m n m n m n Korsteć jednčn bvektor Bˆ n m / n m (uočte poredak vektora) ˆ ˆ mn mn m n cos / Bsn / exp B gdje je predznak mnus uzet zbog konvencje (poztvna rotacja je suprotna gbanju kazaljke sata) U Cl možemo psat jednčn bvektor ˆB kao j w gdje je w jednčn vektor koj defnra os rotacje Inverz rotora je R nm exp ˆ B pa je rotacja konačno dana s ˆ ˆ B B a RaR e ae Ovo je sasvm općenta formula Ako a s mamo operator formu ˆB komutra s ˆB rotacja nema efekta na a Ako a ant-komutra Bˆ a e a Prmjerce za B ˆ e e vektor e komutra s ˆB dok vektor e ant-komutra ˆB Bvektor defnra ravnnu rotacje jasno je da vektor okomt na tu ravnnu neće bt promjenjen rotorom Prmjette ne trebamo matrce rotacje Eulerove kutove l blo koj drug poznat mehanzam Jednom kada defnramo jednčn bvektor on će odradt sav potreban posao Možemo ga zamslt kao mal zvrk koj rad točno ono što trebamo Prmjette da dvje uzastopne rotacje opet daju rotacju (pokažte to) Ovo daje strukturu grupe al ovdje nećemo govort o tome Prmjer Rotrajte vektor e e e u ravnn ee e e e e e e e e e za kut Imamo pa skorstmo čnjencu da vektor e komutra s bvektorom ee dok e e ant-komutraju: ee ee ee ee ee ee e e e e e e e e e e e e cos sn cos sn sn cos e e e e e e e e e e pa za vektore u ravnn ee prepoznajemo matrcu rotacje cos sn sn cos gdje stupc predstavljaju slke jednčnh vektora Rotacja za kut se dobje korsteć bvektor e e ee Promotrmo rotacju odgovarajuću matrcu rotacje e e e e e ae

23 Što možete reć o geometrjskoj nterpretacj odnosno što možete zaključt samo gledajuć matrcu rotacje? Pokušajte napravt matrcu rotacje za prozvoljnu ravnnu Pokušajte sve ponovt u 4D Lakoća kojom se zvode rotacje u geometrjskoj algebr je dosad nevđena Nema specjalnh slučajeva nejasnh matrca samo sljedmo jednostavnu prmjenu rotora na blo kakav multvektor Mnog preferraju kvaternone al on nemaju geometrjsku jasnoću I lmtran su na D! Ako b samo elegancja snaga rotacja bla rezultat korštenja geometrjske algebre blo b vrjedno truda Al dobje se mnogo mnogo vše Prmjette da svak rotor može bt faktorzran na male rotacje R e e e I / I / n I / n koje možemo skorstt u praks prmjerce kod nterpolacja Pogledajmo rotacju vektora konstrurajmo operator ee odnosno mamo malu rotacju vektora e za mal kut u ravnn e x n x lm n n n ee (p 8 p9) Podsjetmo se defncje je mal realan broj Djelovanjem s ljeva dobjemo e e e e e e Prmjette predznak od za 0 bsmo mal poztvnu rotacju Operator ee rotra sve vektore u ravnn za st kut pa tako uzastopnm djelovanjem na e prvo dobjemo rotran e zatm rotran novonastal vektor td (možemo zanemart male promjene duljne vektora) Ovo opravdava defncju eksponencjalne forme rotora: svaka rotacja je kompozcja velkog broja malh uzastopnh rotacja Naravno sve ovo je dobro defnrano za beskonačno male rotacje pa za bvektor B mamo e B B lm n n n Prmjette (l pokažte) da ovaj rotor neće promjent prmjerce jednčn bvektor ˆB pa je on nvarjanta rotacje Čnjenca da bvektor može bt nvarjanta drektno vod na koncept vlasttog lsta s realnm vlasttm vrjednostma što je poopćavanje uobčajenog koncepta vlastth vektora vlastth vrjednost (pogledajte pod lnearne transformacje) Rotrajte bvektor ee u ravnn razapetoj vektorma e e Što prmjećujete?

24 Rotacje su lnearne ortogonalne transformacje občno opsane matrcama u lnearnoj algebr Da nađemo nvarjante ovh transformacja proučavamo djelovanje matrca samo na vektore Za matrcu A (koja predstavlja lnearnu transformacju) tražmo vektore x takve da vrjed što daje rješenja za svojstvene vrjednost Vdmo da u geometrjskoj algebr možemo nać nvarjante kao bvektore (l blo koj lst)umjesto koncepta vlasttog vektora možemo uvest koncept vlasttog lsta (koj uključuje vlastte vektore) Ovo omogućuje reducranje skupa vlastth vrjednost transformacje na skup realnh brojeva dajuć geometrjsko značenje konceptu vlastth vrjednost Lnearne transformacje će bt dskutrane kasnje u tekstu Ax x Rotor R ma st efekt kao rotor R al smjer rotacje nje st prmjerce vektor e može bt rotran u e u smjeru kazaljke sata za u suprotnom smjeru za / pa vdmo da rotor jasno pokazuje smjer rotacje (pokušajte to s matrcama!) Prmjerce / I/ I I/ / e e e e I predznak mnus nestaje zbog "sendvč" forme Za svaku rotacju mamo dva moguća rotora (nađte što je dvostruk pokrvač grupe) Prmjette da zbog polovčnog kuta rotor e Bˆ ˆ B cos / sn / ma perodčnost 4 umjesto Često za ovakve objekte korstmo nazv jednčn spnor Geometrjska algebra je dealan okvr za proučavanje svh neobčnh svojstava rotacja al to b ovdje uzelo prevše prostora Prmjer: Rotrajmo (pogledajte [8]) nek objekt u D oko e za / zatm oko e za / što dobjemo? Uradte to također korsteć matrce 4

25 je/4 je/4 e e e e e e e e je je j e v jv / pa mamo rotacju za / oko vektora v Ptanje: Kakvo je značenje relacje možete uzet v e ako želte) pa skorstvš ant-komutatvnost e e? U D za ve / / e e v / / e ve e v v mamo ( v je vektor u ravnn ee v zatm množeć s s desna dobjemo jasno značenje Rotor prevod vektor v u vektor v tj rotra ga za (predznak ovdje nje važan) Naravno prepoznajemo rotacjska svojstva magnarne jednce u kompleksnoj ravnn (unaprjed zabranoj) al bvektor defnra rotacjsku ravnnu pa bsmo mogl napsat dentčnu relacju bez promjena u blo kojoj dmenzj u blo kojoj ravnn Zapravo bvektor u eksponentu rotora b mogao ovst o vremenu formule dalje vrjede ako se rotacjska ravnna mjenja s bvektorom Pokušajte to s korjenom z - / e Recmo da želmo nać rotor u D koj će transformrat ortonormalnu koordnatnu bazu ortonormalnu koordnatnu bazu Defnrajmo R Bˆ gdje je korsne relacje u D (dokažte h) Sada sljed stoga je ˆB f (pogledajte [8]) trebamo rotor sa svojstvom jednčn bvektor tada je e e Be ˆ B ˆ R e R e Bˆ 4 R ˆ f e Re R e R 4 R 4 R fe A R A f e fe AA e u f Re R B Uočmo dvje jednostavne Rotacja za može bt razmatrana kao specjalan slučaj Pokažte da rotor može bt zražen korsteć Eulerove kutove kao e / e / e / e e e Komentrajmo povjesnu ulogu Hamltona koj je u 9 stoljeću našao slčan mehanzam za rotacje: kvaternone Postoj veza zmeđu kvaternona formalzma opsanog ovdje name kvaternon mogu lako bt povezan s jednčnm bvektorma u Cl Međutm kvaternon su kao prošren kompleksn brojev nemaju jasnu geometrjsku nterpretacju Štovše postoje samo u D (Hamlton je želo dat jednčnm kvaternonma geometrjsko značenje pa h je pokušavao tretrat kao jednčne vektore što nje dalo očekvan rezultat al jednčn vektor j k nasljeđuju svoje oznake z th pokušaja) Formalzam geometrjske algebre vrjed u blo kojoj dmenzj Svak račun koj zvodmo korsteć kvaternone može lako bt preveden na jezk geometrjske algebre dok obrnuto ne vrjed 5

26 Međutm kvaternon se još uvjek uspješno korste za zračun rotacja prmjerce u računalma vojnh svemrskh letjelca kao u robotc Ako mplementrate geometrjsku algebru na računalu kvaternon nsu potrebn jk Jednčn kvaternon maju svojstvo dok njhov kvadrat daju - Blo je dovoljno uvest objekte koj maju kvadrate - ant-komutraju da se uspješno opšu rotacje u D Čtatelj može provjert da zamjene e j e k e generraju tablcu množenja za kvaternone Svakako je dobro razumjet da bvektor e 6 e e ma jasnu geometrjsku nterpretacju dok jednčn kvaternon (slčno kao magnarna jednca l matrca) nema Nažalost koncept geometrjskh objekata kao što su bvektor je često neprhvaćen od tradconalno orjentranh ljud k Jednom kada znamo kako rotrat vektore možemo rotrat blo koj element geometrjske algebre Prmjette posebno ljepo svojstvo geometrjske algebre: objekt koj zvode transformacje ( operator ) su također element algebre Pogledajmo rotacju verzora RabcR RaR RbR RcR RaR RbR RcR koja jasno pokazuje kako rotacja verzora može bt reducrana na rotacje ndvdualnh vektora obrnuto Svak multvektor je lnearna kombnacja elemenata Clffordove baze čj element su jednostavn lstov prema tome on su verzor Vdmo da je naša posljednja tvrdnja uvjek stnta zbog lnearnost transformacja Čtatelju se preporuča da zvede rotacje razlčth objekata u Cl Nađte na Internetu pojam gmbal lock (zabavan je zasta) Zanmljvo je promotrt jednčnu sferu u D jednčne vektore s početkom u sredštu sfere Svaka rotacja jednčnog vektora defnra luk nekoj glavnoj kružnc Ovakv lukov ako uzmemo u obzr njhovu orjentacju mogu postat vrsta vektora na sfer a kompozcja dvje rotacje može bt svedena na zbrajanje (nekomutatvno) ovakvh vektora Pogledajte [4] Uzmemo l prozvoljn element parnog djela algebre (prmjerce u D) ne samo rotore uz rotacje dobjemo dodatn efekt: dlatacju što je točno svojstvo spnora Spnor su usko povezan s parnm djelom algebre Geometrjska algebra krje u seb neobčnu kolčnu matematke koja je razgranata u razlčte dscplne Čudesno je kako redefncja množenja vektora ntegrra mnoge razlčte grane matematke u jednstven formalzam Spnor tenzor Le grupe algebre razlčt teorem ntegralnog dferencjalnog računa su ujednjen teorja relatvnost (specjalna opća) kvantna mehanka teorja kvantne nformacje gotovo je teško za povjerovat Mnog kompleksn rezultat fzkalnh teorja ovdje postaju jednostavnj dobvaju novo značenje Maxwellove jednadžbe su svedene na tr slova s mogućnošću nvertranja operatora dervranja preko Greenovh funkcja tešk problem u elektromagnetzmu postaju rješv (pogledajte []) Keplerov problem se elegantno svede na problem harmonjskog osclatora Dracova teorja u Cl l mnmaln standardn model u Cl7

27 su ljepo formulran ([4]) da ne nabrajamo dalje Geometrjska algebra ma dobre šanse postat matematka budućnost Nažalost teško se probja u tradconalne sveučlšne ( posebno u srednjoškolske) programe Možete proučt sljedeće slke kako b bolje razumjel rotacje kružnca paralelna ravnn bazna ravnna - - m n defnra ravnnu smjer rotacje kut rotacje a je nvarjantan na rotacju samo je a rotran za - Ista slka vrjed u blo kojoj dmenzj (u dmenzjama većm od postoj potprostor nvarjantan na rotacju) - Nje teško dobt blo kakvu kompozcju rotacja na st načn - Geometrjsk produkt vektora nam daje mogućnost da zvodmo rotacje s lakoćom kružnca paralelna ravnn bazna ravnna Kontrakcje Defnral smo unutarnj produkt koj je za vektore jednak skalarnom množenju vektora općento u geometrjskoj algebr defnramo razlčte pomoćne produkte koj snžavaju stupnjeve elemenata (vanjsk produkt h povećava) Pokazuje se da je najbolj zbor ljeva kontrakcja Za vektore je to upravo unutarnj produkt al općento omogućuje zbjegavanje razlčth specjalnh slučajeva kao prmjerce unutarnj produkt vektora s realnm brojem Ovdje ćemo spomenut samo nekolko svojstava ljeve kontrakcje pogledajte [9] za vše detalja Ideja je da za blo koja dva lsta (uključujuć 7

28 realne brojeve) defnramo skalarno množenje koje će općento reducrat stupanj lsta koj je s desne strane u produktu: grade AB grade B grade A odakle odmah prozlaz da je ljeva kontrakcja nula za grade B a općento za lstove vrjed Korsna relacja za vektore je ab ab A BC A BC x a b x ab x ba dok općento možemo psat za blo koj multvektor A B A B k l lk kl grade A Za vektore mamo The left contracton s zero for gdje mamo geometrjske produkte zmeđu homogenh (stog stupnja) djelova multvektora Ljeva kontrakcja lstova ( potprostor u B ortogonalan na A Ako je vektor ortogonalan svm vektorma z potprostora A B AB ) je defnranog lstom A tada je Ljeva kontrakcja nam može pomoć da defnramo kut zmeđu potprostora Zbog općentost jasne geometrjske nterpretacje prlagođenost za rad na računalma (nema zuzetaka pa f nsu potrebne) ljeva kontrakcja b trebala korštena umjesto "občnog" unutarnjeg produkta Možemo također defnrat desnu kontrakcju međutm zbog svojstava dualnost to nje neophodno potrebno xa0 x Komutator ortogonalne transformacje Defnrajmo komutator kao novu vrstu produkta multvektora (ovdje korstmo znak bsmo zbjegl moguću zamjenu s vektorskm produktom) A B AB BA / Ovaj produkt nje asocjatvan tj A B C A B C al vrjed Jacobjev denttet kako A B C C A B B C A 0 Imamo (dokažte) općente formule ( A je vektor) x je bvektor ne nužno lst X je multvektor je realn skalar X X xx xx x X 8

29 AX A X A X A X Ovdje smo posebno zanteresran za komutatore s bvektorom kao jednm od faktora Name komutator s bvektorom čuvaju stupanj multvektora (ako ne komutraju s njm): grade B grade X B grade X X B 0 Umjesto dokaza pogledajmo prmjere Za bvektor (stupanj ) mamo opet stupanj Pogledajmo razvoj u red B e e vektor B e e e e e e e /e e komutra s B al za vektor B/ B/ e Xe X X B X B B X B B B / /! e ˆ ˆ pa ako uzmemo mal bvektor oblka B B vdmo da je dovoljno zadržat samo dva člana Bˆ/ Bˆ/ ˆ e Xe X X B Očuvanje stupnjeva je ovdje važno zato što želmo nakon transformacje mat geometrjsk objekt stog tpa Posljednju transformacju vdmo kao ortogonalnu transformacju koja jedva mjenja početn multvektor Ovdje treba spomenut da tražmo ortogonalnu transformacju povezanu s jednčnom transformacjom što znač da h možemo mplementrat u malm koracma Refleksje ne zadovoljavaju ovaj uvjet ne možemo zvest "malo refleksje Ovakve male transformacje nazvamo perturbacjama Stoga možemo zaključt da male perturbacje elemenata geometrjske algebre trebamo zvodt rotorma Prmjette da ortogonalne transformacje ne dozvoljavaju da jednostavno dodamo mal vektor na vektor x ortogonalne transformacje moraju čuvat duljnu vektora Stoga moramo mat uvjet x x0 Općento takav element ( x ) geometrjske algebre ma oblk x x B gdje je mal bvektor Možemo to pokazat x Sada sljed da je 0 x x B x x B x x B / x x B x B Bx x B pa mamo željen oblk forme komutatora Može zgledat da je ogrančenje na rotacje prevše strogo zgleda kao da ne možemo uradt jednostavnu translacju vektora Međutm ovdje to samo znač da moramo nać načn da opšemo translacje pomoću rotacja To je moguće u geometrjskoj algebr al ovdje to nećemo pokazvat (pogledajte [9]) Ovdje ćemo se zaustavt al napomenmo da mal do formalzma opsanog ovdje vod na Leve grupe algebre Može se pokazat da svaka konačna Leva grupa l algebra može drektno bt opsana u kontekstu geometrjske algebre Beskonačan slučaj nje još apsolutno jasan al b blo neobčno da rezultat bude drugačj Kako blo još jedan do matematke se ljepo uklapa u geometrjsku algebru Svatko tko ozbljno proučava geometrjsku algebru je na početku vjerojatno znenađen čnjencom da se razlčte grane matematke pokazuju u drugačjem svjetlu na jezku geometrjskog množenja vektora al s vremenom se navkne ne očekuje zuzetke Teško se otet ptanju kako b naša znanost zgledala da je snaga ovog magčnog jezka matematke prepoznata prhvaćena prje jednog stoljeća A sve nam je blo pod prstma B 9

30 Kompleksn brojev Pogledajmo vektor r xe ye u D Zbog postojanja nverza vrjed pa vdmo da smo dobl kompleksan broj y r e x ye e e x e e x y al s ne-komutatvnom "magnarnom jedncom" Prva stvar koju b netko mogao prgovort je: Da al vaša magnarna jednca nje komutatvna a kvantna mehanka ne može bt formulrana bez magnarne jednce Odmah se vd da "krtčar" komentra nešto o čemu malo zna jer prvo kvantna mehanka rad ljepo (čak bolje) s realnm brojevma bez magnarne jednce al treba naučt geometrjsku algebru zatm formulacju kvantne mehanke na jezku geometrjske algebre Ne samo da možemo bez magnarne jednce već mnoge relacje poprmaju jasno geometrjsko značenje tako omogućuju nove uvde u teorju na jezku geometrjske algebre I drugo ne-komutatvnost našeg bvektora 0 e e zapravo postaje prednost obogaćuje teorju kompleksnh brojeva kao što ponavljamo dok ne postane dosadno daje teorj jasno geometrjsko značenje Za naš kompleksn broj z e r mamo (zbog ant-komutatvnost) z re pa vrjed zz e rre r e e r x y l z z e r re e r x z z e r re e r y td Vdmo da se operacje na kompleksnm brojevma prenose na operacje u geometrjskoj algebr Defnrajmo operator dervranja u D f f f e e x y ee Jednostavan račun daje (uradte te uvedmo kompleksno polje x y u x y vx y to) dervacju polja u v u v u v v u e e x y x y Stoga ako želmo da dervacja bude dentčk jednaka nul (analtčnost) odmah sljede Cauchy- Remannove jednadžbe (uvjet) Prmjette kako ant-komutatvnost jednčnh vektora daje točne predznake Uvjet analtčnost u geometrjskoj algebr ma jednostavan oblk 0 odmah ga možemo poopćt na vše dmenzje I da ovo je baš prav trenutak za zastat razmslt Neka zagovornc tradconalnog urade sve ovo korsteć samo komutatvnu magnarnu jedncu Zapravo je čudesno kako je ova stara dobra magnarna jednca uradla tolko posla obzrom na skromne mogućnost! Al vrjeme joj je da malo odmor neka bvektor pseudoskalar odrade posao Treba spomenut da ne bude zabune zbor ravnne ee je ovdje nevažan Možemo uzet bvektor kao e e e e normalzrat ga dobt novu magnarnu jedncu samo u novoj ravnn Možemo to također uradt u 4D uzet prmjerce 4 e e sve formule će vrjedt Ravnna ee je samo jedna od beskonačno njh al geometrjsk odnos u svakoj od njh su st Možemo rješt problem u ravnn

31 ee a onda ga rotrat u ravnnu koju želmo mamo moćne rotore u geometrjskoj algebr A kad kažemo moćne tada to doslovce znač da ne moramo bt ekspert u matrčnom računu ovdje malo naprednj učenk srednje škole može obavt posao Možemo rotrat blo koj objekt ne samo vektore Lnearna algebra je matematka vektora operatora geometrjska algebra je matematka potprostora operacja na njma Svatko tko se bav matematkom b trebao razumjet kolko je ovo važno Pokazat ćemo kako možemo nać rješenja jednadžbe Prmjetmo prvo jednostavnu relacju 0 abc bac ab bac abc korsteć razvoj u red po z gdje unutarnj produkt ma prvenstvo Operator se ponaša kao vektor (zraz kao r su moguć al onda občno pšemo r što ne označava vremensku dervacju već pokazuje element na koj se dervacja odnos daje željen poredak u umnošcma jednčnh vektora) pa korsteć gornju relacju dobjemo (veoma korstan račun) Sada vrjed z e r e r e r e e 0 n n r z z n e z z z što znač da Taylorov razvoj oko z 0 automatsk daje analtčku funkcju Još jednom u blo kojoj ravnn u blo kojoj dmenzj Ne samo da geometrjska algebra sadrž cjelu teorju funkcja kompleksne varjable (uključujuć ntegralne teoreme kao specjalan slučaj fundamentalnog teorema ntegralnog računa u GA) već je prošruje poopćava na sve dmenzje Nje l ovo čudo? A samo smo se ptal kako pomnožt vektore Ako još postoj potreba za rečencom Da al molm možda se treba vratt na početak teksta vdjet kako je sve počelo Vrjeme geometrjske algebre će tek doć nadat se Era matrca koordnata će završt bt zamjenjena erom snergje algebre ntutvno jasne geometrje Student će učt pno brže bt superorn današnjm "ekspertma" A kad naučmo računala da "msle" na ovom magčnom jezku (zamslte računalo koje zna kako zvodt operacje nad potprostorma) djeca će se moć grat geometrjskm oblcma kao što sada graju automoblske utrke l druge računalne gre Svojstva trokuta kružnca sfera drugh oblke će se moću učt kroz nteraktvnu gru na računalma l u vrtualnoj stvarnost Jezk geometrjske algebre je dovoljno moćan da može "automatzrat" sam proces dokazvanja teorema (tu ma još puno posla al mogućnost su tu) Imamo razloga mslt da geometrjska algebra nje samo "još jedan formalzam" već da nud mogućnost dubokog presptvanja samog pojma broja Spnor Pogledajmo elemente algebre koj u "sendvč" form ne mjenjaju stupanj vektora (tj vektor transformraju u vektor) Među njma su transformacje koje rotraju skalraju vektore občno h nazvamo spnor Istražmo multvektore sa svojstvom ( v je vektor) v RvR RR što je upravo rotacja vektora s dlatacjom Ako defnramo U UU v v R prethodna relacja postaje pa treba nać element U Pokažte da pseudoskalar z neparne dmenzje komutraju a on z parne dmenzje ant-komutraju s vektorma Ostal stupnjev ne posjeduju takvo opće svojstvo (realn brojev

32 uvjek komutraju) Vdmo da element U nducra čstu dlatacju vektora što je moguće ako komutra l ant-komutra s v pa prozlaz da je element U općento realn broj l pseudoskalar l njhov zbroj: U I Sad korsteć defncju za U dobjemo U v Iv vi IvI v U Cl ( p q 0 ) pseudoskalar I j komutra sa svm elementma algebre reverz mu je I j srednj član nestaje mamo pa je lako provjert R j v R j v j R j j RvR RvR RvR Općento prmjette da vrjed / n n n q vi I v vi Iv II (dokažte to barem za sgnature ( 0) ( )) pa možemo nać rješenja (nađte h) ovsna o parnost broja n n / Spnor u geometrjskoj algebr kao drugdje mogu bt defnran kao (ljev) deal algebre al ovdje to nećemo pokazvat ([7]) Malo "občne" fzke v Pogledajmo kako možemo rješt knematčk problem sasvm općento korsteć jednostavan račun ntutvno jasno Razmotrmo problem jednolko ubrzanog gbanja Problem se lako svod na relacje v v0 at v v0 r / t gdje druga relacja defnra vektor prosječne brzne v r/ t pa vrjed v v v v ra 0 0 v v v v vv v v v v r a r a gdje usporedbom skalarnog bvektorskog djela dobjemo v v ra 0 v v r a 0

33 tj zakon očuvanja energje teorem o površn paralelograma Za problem gbanja projektla ( vrjed (slka desno) r g 0 v v v v v sn r g rg v0 r sn g a g što je poznata formula za domet Prmjette kako svojstva geometrjskog produkta vode na jednostavne manpulacje Kao drug prmjer možemo uzet Keplerov problem (vdjet kasnje u tekstu) Odmah nakon postavljanja problema nakon nekolko lnja dobjemo netrvjalne zaključke koje u udžbencma občno ostavljaju za kraj kao tež do Ideja je da probleme rješavamo bez koordnata Nažalost stražvanja pokazuju ([]) da mnog student fzke vde vektore uglavnom kao nzove brojeva (koordnata) što je pomalo tužna slka obrazovnh sustava bez obzra na mjesto na planetu Veza lnearne algebre geometrje je občno sasvm zanemarena S geometrjskm produktom algebra geometrja du ruku pod ruku Umjesto tretranja samo vektora kao ključnh elemenata algebre mamo cjelu paletu objekata koj nsu vektor al maju jasnu ulogu geometrjsko značenje ovdje računamo s potprostorma! U blo kojoj dmenzj To je nemoguće postć samo manpulranjem koordnatama Naglasmo nemoguće! Rusk fzčar Landau slavan po matematčkm vještnama nekako završ u Staljnovom zatvoru a nakon putanja na slobodu reče da mu je zatvor bo dobrodošao naučo je zvodt tenzorsk račun napamet Fzčar budućnost će bt vještj nego Landau korstt će lnearne transformacje u geometrjskoj algebr umjesto tenzorskog računa Računat će brže neovsno o dmenzj prostora bez koordnata s jasnom geometrjskom slkom na svakom koraku Landau je također bo poznat po načnu kako je prmao studente Rekao b mladom kanddatu: "Evo rješ ntegral" Mnog nsu uspjel U geometrjskoj algebr postoj teorem (fundamentaln teorem ntegralnog računa) o ntegrranju koj objednjuje sve poznate ntegralne teoreme korštene u fzc uključujuću kompleksno područje Zamslmo Landau b bo jako znenađen! On je bo tpčn predstavnk matematke 0 stoljeća ako je u njegovo vrjeme već postojala nova matematka Postojala je al gotovo potpuno zanemarena zaboravljena Do cjene koju smo zbog toga plaćal ( još plaćamo) je ponovno otkrvanje onog što je zanemareno zaboravljeno Paul je otkro svoje matrce nastavl smo korstt matrce Često se kaže da je geometrjska algebra ne-komutatvna da to obeshrabruje ljude A što je s matrcama? ne samo da se ne-komutatvne potpuno su nentutvne Onda je Drac otkro svoje matrce dealne za geometrjsku algebru Naravno nastavlo se s matrcama A mnog autor su u razlčtm prlkama ponovo otkrval spnore čak m dajuć razlčta mena Cjela zbrka Izradom brzh letjelca opremljenh računalma otkrl smo kako postoje problem u radu s matrcama Počel smo korstt kvaternone što je donekle popravlo stvar Možemo nać mnogo drugh ndkacja a na kraju postaje očgledno da mnog problem jednostavno nestaju kada uvedemo geometrjsko množenje vektora umjesto Gbbsovog Unatoč svemu jedan od značajnh autora u području geometrjske algebre Garret Sobczyk je napsao u e-mal poruc: Iznenađen sam da nakon 45 godna rada u ovom području ono još uvjek nje šre poznato prhvaćeno u znanstvenoj zajednc A ja mslm da zaslužuje opće prepoznavanje Zasta je šteta da je Clfford umro tako mlad možda b stvar danas zgledale drugačje Rječ rečence ) Pogledajmo samo kao lustracju kako rječ u geometrjskoj algebr mogu mat geometrjsk sadržaj Prmjerce rječ abba (uz ab S A smetrčn ant-smetrčn do produkta): abba ab ab S A S A S A S A cos sn

34 mamo dobro poznat trgonometrjsk denttet Ovo je naravno samo gra al u geometrjskoj algebr je važno razvt ntucju o geometrjskom sadržaju zraza Zbog svojstava geometrjskog produkta se struktura zraza brzo pronalaz kao za veze među potprostorma prpadnost potprostoru ortogonalnost paralelnost td Usporedmo zloženo s matrčnm prstupom Vdjel smo da u D možemo vektore predstavt Pauljevm matrcama Pokušajte zamslt da toga nsmo svjesn al da poznajemo Pauljeve matrce (z kvantne mehanke) Mogl bsmo napsat rječ abba na jezku matrca mogl bsmo rastavt matrce na smetrčn ant-smetrčn do (to je uobčajen) al pokušajte zvuć snus kosnus njhovu povezanost Ako uspjete (moguće je) kako ćete nterpretrat kut? I još važnje kako uopće doć na deju da se traž kut samo gledajuć u matrce? To je općento teško al s vektorma postaje prrodno drektno To je glavna deja: jezk matrca skrva važan geometrjsk sadržaj Istna fzčar znaju da Pauljeve matrce maju veze s orjentacjom spna al općento problem geometrjske nterpretacje m e e / dalje ostaje Uzmmo još jedan prmjer Uzmmo jednčne vektore n e e / u D Nje teško zamslt h l nacrtat postoj ravnna koju razapnju bvektor u njoj (bvektor defnra tu ravnnu) Zamslmo sada da korstmo Pauljeve matrce al kao ranje bez svjest da one predstavljaju vektore u D (to zapravo ne možemo n znat ako ne prhvatmo geometrjsko množenje vektora) Netko b mogao proučavat lnearne kombnacje Pauljevh matrca čak doć na deju da pogleda ant-smetrčn do produkta matrca kao ˆ ˆ ˆ ˆ / gdje je m n ˆ ˆ ˆ / m m n n m ˆ ˆ ˆ / Možemo ovo zračunat pa onda usporedt račun s n matrcama jednostavan račun vanjskog produkta (u stvar nema potrebe računat vanjsk produkt mamo geometrjsku slku bez napora) Svejedno bvektor je proporconalan sa m n e e e e e e e e e e Na sreću računalo može pomoć s matrcama (vdte problem?) ant-smetrčn do matrčnog produkta je proporconalan sa Kako sada bez povezanost s vektorma u D nterpretrat ovu matrcu kao ravnnu? Il nać kut zmeđu - čega? Lako je prevest formule z Cl na jezk Pauljevh matrca al z matrca u vektore to može bt zahtjevno naročto za elemente všh stupnjeva l općenth multvektora Jezk matrca zamagljuje geometrjsk sadržaj! U kvantnoj mehanc s Pauljevm matrcama trebamo magnarnu jedncu pa ljud govore kako je magnarna jednca neophodna za formulacju teorja subatomskog svjeta Ovo često vod na flozofske rasprave ptanja o stvarnoj prrod svjeta u kojem žvmo Na jezku geometrjske algebre magnarna jednca apsolutno nje nužna kvantna mehanka može bt ljepo elegantno formulrana korsteć samo realne brojeve uz pomoć geometrjske ntucje koja nam je svojstvena Osm realnh brojeva kompleksn brojev kvaternon su od nteresa u QM al sada je jasno sv on su prrodno sadržan u Cl što je objašnjeno u ovom tekstu U članku [] autor komentra: umjesto da budu razlčte alternatve realna kompleksna kvaternonska kvantna mehanka su tr aspekta jednstvene objednjene strukture U članku su korsne napomene o Frobenus Schur ndkatoru Istna nema geometrjske algebre u ctranom članku ako stoj pojam dvson algebra u naslovu Umjesto komentara navedmo rječ z [8] Geometrjska algebra je zapravo najveća moguća asocjatvna djelteljska (dvson) algebra koja objednjuje sve algebarske sustave (algebru kompleksnh brojeva vektorsku algebru matrčnu algebru kvaternonsku algebru td) u koherentan matematčk jezk koj uvećava moćnu geometrjsku ntucju ljudskog uma uz precznost algebarskog sustava Iskreno djelteljska algebra l ne gotovo je nevažno Geometrjska algebra objednjuje efektna je! 4

35 Lnearne transformacje Često nas zanmaju transformacje elemenata algebre (prmjerce vektora bvektora ) u druge elemente u stom prostoru Među njma su sgurna najvažnje lnearne transformacje Pogledajmo lnearnu transformacju F koja prevod vektore u vektore sa svojstvom a b a b F F F Možemo zamslt da je rezultat takve transformacje prmjerce rotacja vektora s dlatacjom Za tako jednostavnu slku ne trebamo komponente vektora Drug prmjer mogu bt čste rotacje: F R a a RaR Vdjel smo da je efekt rotacje lsta st kao rotacja svakog vektora u lstu pa zahtjevamo da sve naše lnearne transformacje maju takvo svojstvo što znač F a b F a F b Lnearna transformacja djelujuć na vektor daje vektor pa vdmo da je forma vanjskog produkta sačuvana Takve transformacje maju specjalno me: outermorfzm Djelovanje dvje uzastopne transformacje može bt napsano kao F G a FGa što je zgodno za manpulacju zrazma Ako za lnearnu transformacju F: V W postoj odgovarajuća lnearna transformacja nazvat ćemo je transponranom transformacjom (adjont) Ovdje ćemo se ogrančt na transformacje F: V V Kažemo da su transformacje transponrane jer uvjek možemo nać matrčnu reprezentacju transformacja u nekoj zgodnoj baz vdjet da je matrca za upravo transponrana matrca za F (pogledajte []) Implctna defncja transponrane transformacje može bt (ma drugh) a F b F a b F: W V za blo koja dva vektora a b Ilustrrat ćemo ovo jednostavnm prmjerom Neka je a e b e e zamslmo da rotra vektore za / F u ravnn F a ee Tada vrjed prmjerce e e e e daje F aee F e Ovo F e e e e e e Prema slc vdmo da naša lnearna transformacja prevod vektor a e u Fe e unutarnj produkt daje cos Al jasno je da možemo uzet vektor b rotrat ga pa će unutarnj produkt s vektorom 5

36 a e / dat st rezultat Prema tome transponrana lnearna transformacja je jednostavno rotacja za u ravnn ee (za općentj rezultat o rotacjama vdjet spod) Sada mamo Defnrajmo sada recpročne bazne vektore Fb ee b F b ee e e e e e sa svojstvom e e Ovdje korstmo ortonormalne baze poztvne sgnature pa vrjed j e e e e e e j j j j a defncja je motvrana dvjema čnjencama: prvo želmo korstt Enstenovo pravlo sumranja j n e e e e a drugo želmo mogućnost jednostavnog poopćavanja Eksplctnu formu transformacje možemo nać korsteć ortonormalnu bazu pa mamo F e F a e a a e a e F F gdje se sumranje podrazumjeva unutarnj produkt ma prortet Oznaka F se T F l F al ponekad korstmo oznaku smetrje u zrazma ako korstmo oznaku F F nje uobčajena korst za lnearnu transformacju pa se pojavljuju ljepe Nadalje Fa nje matrca l tenzor pa ova oznaka naglašava razlku ne može bt zabune s Clffordovom konjugacjom u tekstu m dosljedno korstmo format talc za multvektore Za transponranu transformacju od "produkta" transformacja vrjed FG a GF a (vdjet lteraturu) Transformacje sa svojstvom F F su smetrčne Važne smetrčne transformacje su FF FF (pokažte to) Neka je I jednčn pseudoskalar Determnanta lnearne transformacje je defnrana kao F I Idet F det F Ova defncja potpuno u skladu s uobčajenom defncjom Prmjette da ova relacja zgleda kao relacja za svojstvenu vrjednost operatora To je u stvar točno pseudoskalar je nvarjantn svojstven lst (egenblade) a determnanta je realna svojstvena vrjednost (egenvalue) Prmjer je D rotacja j j j RR R R R RR det R j e što smo očekval za rotore (kao za matrce rotacje ortogonalna transformacja) Još jednom prmjette snagu formalzma: bez komponenata bez matrca jednostavnm manpulacjama dobl smo važan rezultat Pseudoskalar predstavlja orjentran volumen pa je lnearna transformacja pseudoskalara jednostavno svedena na množenje realnm brojem Determnanta transponrane transformacje je 6

37 F I Idet F I I I I I I det F F F F det F gdje smo skorstl čnjencu da je determnanta realan broj pa ma stupanj nula Za kompozcju transformacja vrjed FG I FG I F I det G det G F I I det Fdet G što je poznato pravlo za determnante al sjetmo se kolko napora treba da se to dokaže u teorj matrca Ovdje je dokaz gotovo trvjalan Početnku treba dosta vremena da postane vješt s matrcama a na kraju dobje alat s kojm ne može efektno zać na kraj čak n s rotacjama To vrjeme je bolje upotrjebt da se nauče osnove geometrjske algebre tako dobje moćan alat za mnoge grane matematke A geometrjska algebra je danas zahvaljujuć Grassmannu Clffordu Artnu Hestenesu Sobczyku Baylsu mnogm drugm pametnm vrjednm ljudma (pogledajte detaljnju lstu na kraju teksta) postala dobro razvjena teorja s prmjenama u mnogm područjma matematke fzke tehnke bologje proučavanja moždanh funkcja računalne grafke robotke td vrjed Pokazat ćemo bez dokaza (čtatelj se može potrudt) nekolko korsnh relacja Za bvektore F B F B B B Ovo može bt prošreno na prozvoljne multvektore kao F AF B A B Defnrajmo nverz lnearne transformacje Za multvektor M I IMdet F=F M F IF M vrjed gdje smo skorstl čnjencu da unutarnj produkt sa pseudoskalarom možemo zamjent geometrjskm produktom name nema dodatnh stupnjeva u geometrjskom produktu (pokažte to) Uzmemo l multvektor A IM dobt ćemo a slčna relacja može bt napsana za F Sljed R Adet F=F IF I A A I I A F = F det F A I I A F = F det F Za rotore u Cl vrjed a RaR pa prmjenjeno na prozvoljn multvektor daje R M R MR te korsteć det R= R R M jr j MR R MR M R M RMR tj nverz rotacje je jednak transponranoj rotacj Ovo je u bt defncja svake ortogonalne transformacje (transformacje s determnantom ) Za ljepe prmjere pogledajte [8] 7

38 Svojstven vektor svojstven lstov Koncept svojstvenh vrjednost b trebao bt poznat čtatelju Ukratko za operator (matrcu) m defnramo svojstvene vrjednost svojstvene vektore v kao mv v U geometrjskoj algebr kažemo da lnearna transformacja (funkcja) ma svojstven vektor svojstvenu vrjednost ako vrjed što povlač F e e det F I 0 pa mamo polnomsku jednadžbu (sekularna jednadžba) Općento sekularna jednadžba ma korjene u kompleksnom polju al m mamo algebru nad poljem realnh brojeva nje poželjno šrt se u kompleksno područje Prmjerce kako nterpretrat produkt 8 e koj nje element algebre Srećom to nje potrebno u geometrjskoj algebr jer možemo prdat potpuno novo značenje kompleksnm rješenjma U tu svrhu uvodmo pojam svojstvenog lsta (egenblade) Name vektor su element algebre stupnja al mamo stupnjeve u geometrjskoj algebr koj nsu defnran u občnoj teorj vektorskh prostora Zato je prrodno prošrt defncju svojstvenh vrjednost druge elemente algebre Za lst sa stupnjem r defnramo B r F B B Zapravo već smo vdjel takve relacje prmjerce za F r r Br I mamo svojstvenu vrjednost det F zbog I I det F Prema tome pseudoskalar su svojstven lstov lnearnh transformacja Kako bsmo bolje razumjel pojam svojstvenog lsta pogledajmo sljedeć prmjer (pogledajte [8]) Defnrajmo lnearnu funkcju sa svojstvma F e e F e e (prepoznajete rotacju?) pa nje teško nać rješenje korsteć matrce Matrca transformacje je 0 0 sa svojstvenm vrjednostma svojstvenm vektorma e e (skorstte sekularnu jednadžbu pokažte ovo) U geometrjskoj algebr za lst e e mamo (prmjette elegancju) F e e F e F e e e e e pa je lst e e svojstven lst s (realnom) svojstvenom vrjednošću Naš lst je nvarjanta transformacje al to već znamo z formalzma rotora! Nema potrebe za magnarnom jedncom mamo naš lst Prmjette da se vektor u ravnn defnranoj s e emjenjaju transformacjom jednčn bvektor se ne mjenja Vdmo jednostavnu matematku važan rezultat Standardnom metodom korsteć matrce uopće nema lstova Zašto? Jednostavno ne postoj geometrjsk produkt Stoga pokušajte nać ovakve rezultate korsteć matrce Sv on koj vole komentrat geometrjsku algebru rečencama kao Da al magnarna jednca u kvantnoj mehanc b trebal razmslt dvaput o ovom jednostavnom prmjeru pa ako dođu opet do zaključka kako to nema smsla dakle što reć? Razmslte opet Ovo je ptanje našeg razumjevanja samog pojma broja Vjerojatno su nas e

39 Grassmann Clfford usmjerl dobro njhovo vrjeme tek dolaz Ako su vektor ortonormrane baze e j svojstven vektor lnearne transformacje F e e e e e e vrjed F j j j j j Prmjente prethodne relacje na smetrčne lnearne transformacje pokažte da njhov svojstven vektor s razlčtm svojstvenm vrjednostma moraju bt ortogonaln e 9

40 Eukldska D geometrjska algebra (Cl) suma dva bvektora Općento multvektor u Cl može bt zapsan kao M t x jn bj t b j e e e gdje za trodmenzonalne vektore ovdje korstmo bold format Već smo vdjel da jednčn pseudoskalar komutra sa svm elementma algebre ma kvadrat -to ga čn dealnom zamjenom za magnarnu jedncu (postoj beskonačno magnarnh jednca u GA) Pseudoskalar s takvm svojstvma se ponovo pojavljuje u Cl7 Cl Ovdje ćemo često korstt veoma korstan oblk multvektora: M Z F Z t bj F x j n j Element Z očgledno komutra sa svm elementma algebre (kažemo da prpada centru algebre) Ovo svojstvo ga čn kompleksnm skalarom Kompleksn skalar se zasta ponaša kao kompleksn broj što ćemo vdjet dalje u tekstu To je razlog da pšemo Z premda očgledno moramo promjent značenje smbola tj zamjenjujemo občnu magnarnu jedncu pseudoskalarom Element F je kompleksn vektor s realnm vektorma kao komponentama Izbor oznake ( F ) kao za kompleksne skalare nje slučajan name zabran je zbog kompleksne prrode spoja elektrčnog magnetskog polja u Cl Ovdje kada kažemo realan mslmo na realn skalar l D vektor l njhovu lnearnu kombnacju Kada realn element pomnožmo pseudoskalarom j dobjemo magnarn element stoga suma realnog magnarnog elementa daje kompleksn element Prmjerce x (vektor) je realan t x (paravektor) je realan t j n (spnor) je kompleksan (bvektor) je magnaran F x jn (kompleksn vektor) je kompleksan td Prmjette da multvektor može bt zapsan kao jn M t x jn bj t x j b n stoga je kompleksan broj s realnm komponentama (paravektor) Iskorstte nvolucju (koju?) da zdvojte realn (magnarn) do multvektora Što je sa Z F? Il t j n? Čtatelju preporučamo da napše sve tr opsane nvolucje u ovom novom oblku Možete korstt kompleksnu konjugacju Kao prmjer pogledajmo Clffordovu nvolucju (tj Clffordovu konjugacju glavnu nvolucju) M Z F M M / Z M (skalarn do) S / M M F M (vektorsk do) Zbog komutatvnost kompleksnog skalara Z vrjed V 40

41 gdje je F F F F F MM Z Z Z Z Z MM Z t b tbj F x n j xn nx x n j x n Ovdje mamo rezultat za zapamtt: kvadrat kompleksnog vektora je kompleksn skalar Ovo znač da je element MM kompleksn skalar Može se pokazat da je MM jedn element oblka MM (ovdje M predstavlja blo koju nvolucju od M MM občno navodmo kao kvadrat ampltude) koj zadovoljava relacju MM MM Imamo Z F Z F ZZ ZF Z F FF pa sljede dvje mogućnost Z Z F F l Z Z F F koje se razlkuju samo u ukupnom predznaku Svaka nvolucja koja mjenja kompleksn vektor na drug načn mjenja (do na ukupan predznak) bvektorsk l vektorsk do stoga vrjed FF x n x n nx xn x n j j x n j x n j gdje smo dobl vanjsk produkt realnh vektora koj ne može bt ponšten nema ga u zrazu ZZ ZF Z F Stoga mora bt Već smo pokazal da vrjed MM MM al možemo pokazat da z zahtjeva da ampltuda (blo koja) prpada centru algebre sljed komutatvnost vrjed M M MM M MM MM M M MM M MM MM 0 zbog asocjatvnost dstrbutvnost U nekom specjalnom slučaju zraz u zagrad ne mora bt nula jer postoje djeltelj nule u algebr al m tražmo općentu komutatvnost prema tome mora bt nula Skalar MM često nazvamo ampltudom multvektora ako je to zapravo kvadrat ampltude al to ne b trebalo stvarat konfuzju) Korsteć MA možemo defnrat nverz multvektora ako je MM 0 : M M / MM Kako b našl / MM korstmo tehnke kompleksnh brojeva MM MM MM MM gdje * znač kompleksnu konjugacju odnosno jj Tehnka je sta al je nterpretacja drugačja name pseudoskalar j je orjentran jednčn volumen ma ntutvnu geometrjsku nterpretacju Prmjer: / j? Vrjed Naravno ovaj trk je opravdan / / j j j j j * * / j j / Vdjet ćemo da ovaj postupak nje dovoljan da nađemo sva moguća rješenja u geometrjskoj algebr prmjerce rješenja za korjen od kompleksnog broja mogu bt prošrena na kompleksne vektore Jednostavan prmjer je e Važan pojam je dual od multvektora M defnran kao M jm 4

42 (nemojmo pomješat s kompleksnom konjugacjom *) Prmjette da operacja dual prevod realn skalar u pseudoskalar vektor u bvector ( obrnuto) Već smo spomenul da je element bvektor Sugerramo čtatelju da raspše u ortonormranoj baz nterpretra dobveno Također uzmte dva vektora u ortonormranoj baz napravte njhov vanjsk produkt Zatm nađte dual od rezultantnog bvektora da ste dobl vektorsk produkt vašh vektora Prozlaz za vektorsk produkt jn x y j x y jn multvektor u D: - dsk predstavlja orjentran bvektor - transparentna sfera predstavlja pseudoskalar orjentacja je dana bojom al ovu relacju možemo korstt samo u D ako je element na desnoj stran defnran u svakoj dmenzj Iz općentog oblka multvektora u Cl M t x jn bj Z F x n ) Bvektor su občno predstavljen da je u btnom određen s dva realna broja (t b ) dva vektora ( orjentranm dskovma dok pseudoskalar može bt predstavljen sferom s dvje moguće boje koje daju orjentacju pa možemo zamslt jednostavnu slku koja predstavlja multvektor (p 0) To može puno pomoć Slka p 0 je napravljena u programu Mathematca Čtatelju osm mašte svakako preporučamo program GAVewer Pogledajmo svojstva kompleksnog skalara vektore ( xn 0 ) mamo F x n j x n Posebce za okomte F a vrjednost - 0 su od posebnog nteresa Prsjetmo se da je j n bvektor koj defnra ravnnu okomtu na vektor n stoga za xn 0 vektor prpada toj ravnn Ovo je često korštena stuacja (prmjerce kompleksn vektor elektromagnetskog polja u vakuumu) pa je važno moć zamslt jasnu slku Prmjette da je u ovom slučaju realna vrjednost F x n određena duljnama vektora x n Na sljedećoj slc možete vdjet opsanu stuacju Ne postoj poseban nazv za ovu vrstu kompleksnog vektora u lteratur (vjerojatno?) pa predlažemo nazv zvrk (whrl skraćeno od whrlgg) x 4

43 zvrk Nlpotent dualn brojev ) F 0 Ovo znač da je takav kompleksn vektor nlpotent Nađmo opć oblk nlpotenta u Cl (podsjetmo F Z F Z ZF F 0 Z x n 0 F 0 x n 0 (sključl smo trvjaln slučaj F0) Prmjette da često korstmo oblk za zvlačenje zaključaka što nje slučajno Dobra je praksa zbjegavat navke nekh autora da učestalo zražavaju multvektore pomoću komponenata što čn formule nepreglednm Ovdje je fokus na struktur multvektora a ta struktura reflektra geometrjska svojstva ): Z F Jednostavan prmjer nlpotenta je e je (provjerte) Funkcje s nlpotentom kao argumentom je lako nać korsteć razvoj u red gotovo sv članov jednostavno nestaju Prmjerce z N sljed e N (vdjet dalje u tekstu) N 0 Nlpotent su dobrodošl u fzc prmjerce elektromagnetsk val u vakuumu je nlpotent u Cl formulacj polje je kompleksn vektor F E jb E B c gdje su vektor elektrčnog magnetskog polja Možemo defnrat smjer nlpotenta N x j n kao ˆ k j xˆ nˆ xˆ nˆ xˆ nˆ pa mamo kn ˆ Nkˆ N k ˆ N N Sve ovo nje teško dokazat ukolko se prsjetmo da vrjed x n x n xn xˆ x / x x n Postoje mnoge druge zanmljve relacje (pogledajte lteraturu) Ove relacje maju drektne prmjene prmjerce u elektromagnetzmu Komentrajmo sada mogućnost defnranja dualnh brojeva Za nlpotent N x j n mamo x n xn 0 pa defnrajmo jednčn nlpotent (nlpotent maju MA nula) ε N / x xˆ j nˆ ε 0 Sada defnrajmo dualne brojeve kao ε Zbrajanje ovh je slčno onom za kompleksne brojeve dok za množenje vrjed ε ε ε pa za 0 dobjemo realan broj Za 0 0 je produkt nula što razlkuje dualne kompleksne brojeve Za dualn broj z ε defnramo konjugacju z ε (prmjette ovo je opet Clffordova nvolucja) sljed pa je modul dualnog broja mamo polarnu formu ε ε zz z (može bt negatvan) Prmjette da nema ovsnost o Za 0 z ε ε / gdje je argument dualnog broja Provjerte relacje E B 4

44 za polnome vrjed (provjerte) n ε ε ε n ε n ε 0 ε ε P ε P p p p n P P prva dervacja polnoma Ovo može bt prošreno na analtčke funkcje (vdjet dalje u gdje je tekstu) l za zvođenje automatskog dervranja Djeljenje dualnm brojem je defnrano kao Posebce pa vdmo da vrjed Movreova formula 44 ε ε ε ε ε 0 ε ε ε ε ε ε ε ε n n ε nε ε n ε ε n n n z n n Dualn brojev mogu bt koršten u fzc prmjerce defnrajmo specjaln dualn broj ( događaj ) t xε gdje su uvedene koordnate vremena položaja te vlasttu brznu ( boost ) kao je argument dualnog broja / Sljed uvε uu Iznos brzne v n v x t t xε u t xε vε t x vt ε t xε što znač t t x x vt pa smo dobl Gallejeve transformacje Pravlo zbrajanja brzna sljed odmah u vε u u v ε v ε v v ε v v v Ovdje mamo problem name vektor brzne nje dobro defnran nemamo orjentacju al uz smjer nlpotenta možemo defnrat vektor brzne kao v jv ε Sada vlastta brzna postaje u jv ε uu Za događaj sada korstmo t jx ε Iz ovog sljed pa smo opet dobl Gallejeve transformacje t jxε jvε t j x vt ε t jx ε Tako uz Lorentzove transformacje (hperboln brojev vektor kompleksn vektor vdjet dalje u tekstu) rotore (kompleksn brojev bvektor) Gallejeve transformacje (dualn brojev nlpotent) također maju mjesto u geometrj prostora Buduć da je sve ovo do veće strukture (Cl) može se doć na deju da Gallejeve transformacje nsu samo aproksmacja Lorentzovh transformacja za male brzne već da maju nek dublj fzkaln smsao neovsan o brzn Al takva deja je potaknuta specjalnm zborom komponenata dualnog broja (x t) Dualn brojev kao t x ε b mogl bt korsn ne-relatvstčkoj fzc al svakako nsu u suglasnost sa specjalnom teorjom relatvnost U poglavlju o specjalnoj relatvnost je pokazano da Gallejeve transformacje (uz rotacje Lorentzove transformacje) prozlaze z jednostavne pretpostavke o smetrj našeg svjeta (homogenost zotropnost) Ako postoj dublja fzka za ovog formalzma onda to sgurno ne uključuje eksplctno

45 prostorno-vremenske događaje Al što ako zaberemo drugačje? Prmjerce tpčan nlpotent je elektromagnetsk val u vakuumu Ako defnramo ε E jb / mogl bsmo proučavat E B dualne brojeve kao ε al se pojavljuje ptanje: kako nterpretrat? Prema struktur zraza to b mogla bt neka vrsta skalarnog polja al onda dolaz drugo ptanje: što je argument ovakvog dualnog broja omjer vektora polja (kompleksn vektor) skalarnog polja b trebala bt "brzna"? U redu ovdje se zaustavljamo Idempotent hperbolna struktura ) F Za F x n možemo nać opć oblk korsteć relacju općento mamo F f ncosh jm snh n m n m gdje je cosh snh f pa jednčn kompleksn vektor Prmjer: f e cosh je snh Takav kompleksn vektor možemo dobt korsteć provjerte da multvektor p p pa mamo dempotent Teorem Sv dempotent u Cl maju oblk p f Dokaz: f F / F ma tražena svojstva Provjerte da f / Z F Z ZF F Z F Z / F / 4 F f / Prmjette opet " Z F " formu Opć oblk dempotenta je sada j p ncosh msnh / n m n m F p / n / n ( n Idempotente kao je jednčn vektor) nazvamo prostm Teorem : Svak dempotent u Cl može bt zražen kao suma prostog dempotenta nlpotenta Dokaz: Za prost dempotent n p / nlpotent N vrjed N N N N nn Nn p p p p p / pa vdmo da je tvrdnja točna za nn Nn 0 što znač da vektor mora ant-komutrat s vektorma koj defnraju N tj mora bt okomt na njh odnosno paralelan vektoru smjera nlpotenta: nˆ ˆ k Teorem je dokazan mamo uvjete za nlpotent p e / e je / Prmjer: N k ˆ e e e n 45

46 Spektralna dekompozcja funkcje multvektora Defnrajmo u f / f sa svojstvma u u u u f u u u u 0 u u u u Prmjette da dempotent trebal psat svojstvom F f f M 0 zrazt kao u ne čne bazu u Cl (o spektralnm bazama pogledajte []) te da bsmo u u M al nećemo to radt Možemo općento multvektor sa M Z Z Z Z F F f f f f pa ako defnramo kompleksne skalare M Z Z dobjemo oblk f M M u M u Kažemo da mamo spektralnu dekompozcju multvektora Spektralna dekompozcja nam daje magčnu mogućnost M M u M u M u M u što odmah možemo poopćt na sve prrodne brojeve u eksponentu al na negatvne cjele brojeve ako postoj nverz multvektora Dokažte da u spektralnoj baz vrjed MM M M Za analtčke funkcje možemo skorstt razvoj u red da dobjemo Podsjetmo da nađemo f M f M u f M u f M korstmo teorju kompleksnh brojeva zamjenmo j nađemo željenu funkcju vratmo j Za multvektore M F F f vrjed M F f M f F u f F u Za parne funkcje vrjed a za neparne F F F f f u u f f F f F u u f F f Multvektor oblka M z F F N nemaju spektralnu dekompozcju al korsteć 0 n N n n n M z z nz N dobjemo df f z N f z dz Pogledajmo neke specjalne slučajeve f u f u 46 z N f f f u u f u f u f f j f ju ju f j u f j u

47 Za nverznu funkcju vrjed Za MM 0 f y x f x y f x y x f y ( lght-lke multvektor) vrjed pa mamo dvje mogućnost: M z F f f F =z+z F z - 0 z-z F z+zf ) z zf M zf M 0 f M f zf u ) 0 z z M M z f M f z u F F F Pogledajmo neke prmjere elementarnh funkcja M Inverz multvektora ( MM 0 ) nje teško nać M u M u M u M u u u M u M u M u M u M u M u M M M M odnosno M u u n n n n n M u M u M M l Prmjer: Za kvadratn korjen dobjemo (pogledajte [] za drugačj oblk) M S S u S u M M u M u S u S u S M Eksponencjalna funkcja ma oblk pa logartamsku funkcju dobjemo kao / / n n M S S M n e e / j j M M M e e u e u X log M X e M M u M u exp X u exp X u X log M Uz defncju I F / F j f I logartamska funkcja ma oblk (Chappell) log M log M I arctan F / Z al možemo pokazat da su ova dva oblka ekvvalentna: M M M M log log log log log M u log M u f 47

48 Prmjer: log M ji log j F / z / j F / z log M I arctan F / z log M I e e u u e e X e log e log X ( u e / ) u u log e u log u log j u e log e ju X exp ju exp j u u Ostavljamo čtatelju da stražuje mogućnost te da nađe zraze za trgonometrjske funkcje Pogledajmo prmjer polnomske jednadžbe M 0 gdje su rješenja sv multvektor čj kvadrat je - Možemo pokušat F F F F Z 0 Z Z 0 Z 0 pa znamo opće rješenje (pogledajte sljedeće poglavlje) Korsteć spektralnu dekompozcju mamo M M u M u u u M u M u 0 M 0 M 0 pa smo dobl dvje jednadžbe s kompleksnm brojevma Ovo je bla samo mala demonstracja mogućnost al čtatelj može provest kompletan račun Već smo naglasl da Cl ma kompleksnu hperbolnu strukturu kompleksnu zbog drugh elemenata koj kvadrran daju - a hperbolnu zbog elemenata koj kvadrran daju prmjerce jednčn vektor su hperboln Imamo također dualne brojeve (korsteć nlpotente) Moguće je efkasno formulrat specjalnu teorju relatvnost korsteć hperbolne (double splt-complex) brojeve pa ne b trebalo bt znenađenje ako se pokaže da je specjalnu teorju relatvnost moguće formulrat u Cl (vdjet dalje u tekstu) Jednčn kompleksn vektor najopćentj element algebre sa svojstvma hperbolne jednce Za dva multvektora koj maju st jednčn kompleksn vektor (st smjer ) M z z F f M z z F f defnramo kvadratčnu udaljenost multvektora kao M M z z f z z f z z z z z z z z f h h f F F F F F F o gdje su h ho hperboln unutarnj hperboln vanjsk produkt Za M M M mamo kvadratčnu ampltudu multvektora Za h 0 kažemo da su multvektor h-paraleln dok su za h 0 h-okomt o Lema: Neka je MM 0 za M 0 M 0 Tada je MM 0 obrnuto M M M u M u M u M u M M u M M u M M M u M u M u M u M M u M M u pa je M M 0 l M M 0 što znač da je M 0 && M 0 l M 0 && M 0 al oba slučaja daju MM 0 Obrnuta tvrdnja se slčno dokazuje f f j 48

49 Što je? ) F mamo Općento ovu vrstu kompleksnog vektora možemo dobt pomoću I F F f I Opć oblk je / j I nsnh jm cosh n m n m F FF F gdje Prmjette da mamo netrvjalno rješenje za Potražmo sva moguća rješenja za z c jd pa moramo rješt jednadžbu ) al općentje pa je M z Jedno rješenje je občn korjen kompleksnog broja (za Z F z Z ZF F z Z 0 F z v j w c jd v jw c jd v w j v w F 0 c v w d v w Zanmljvo kvadratn korjen kompleksnog broja je kompleksn vektor (a to smo očekval jer je kvadrat kompleksnog vektora kompleksn skalar) Čtatelju preporučamo da straž razlčte mogućnost Trgonometrjsk oblk multvektora z Podsjetmo da smo za F 0 defnral dualne brojeve ε da smo za 0 našl polarnu formu z ε ε / gdje je argument dualnog broja f I ε 0 te Elemente možemo skorstt da defnramo trgonometrjske oblke općenth multvektora Kako bsmo skorstl prednost teorje kompleksnh brojeva poslužt ćemo se elementom Defnrajmo argument multvektora kao F arg M arctan Z I Sada vrjed (uz uvjete postojanja) M MM cos Z sn F M M što daje M Z F M cos Isn Zbog I vrjed poopćena Movreova formula n sn n M M cos n I n 49

50 Prmjette da mamo oblk kao za kompleksne brojeve al postoj btna razlka: element ma jasno geometrjsko značenje sadrž svojstva koja su određena vektorma koj defnraju vektorsk do multvektora Korsteć te razvoj u red dobjemo F I F M Z F Z F Z e e e e e cos F I sn F što je moguće zbog komutatvnost kompleksnog skalara Z Slučaj smo dskutral ranje Postoj zanmljv članak gdje su funkcje multvektora defnrane polazeć od svojstva kompleksnog vektora I ([]) Kako b skorstl prednost teorje hperbolnh brojeva skorstt ćemo Z Z M Z F Z Z f f f f f MM Z Z Za 0 F 0 cosh snh MM ne postoj polarna forma (lght-lke multvektor) al onda vrjed f Defnrajmo brznu tanh odmah sljed cosh f snh f M Defnramo l vlasttu brznu u f uu sljed pravlo zbrajanja brzna kao f / / f f f f : I M Z što su formule specjalne teorje relatvnost Vlastta brzna u sustavu mrovanja 0 je u0 pa možemo transformrat u nov sustav referencje u0u u l kao u ranjem prmjeru u u u u u Ove formule predstavljaju geometrjske odnose općentje su od onh u specjalnoj 0 teorj relatvnost name za STR občno trebamo samo realn do multvektora (paravektor pogledajte sljedeće poglavlje) ovdje mamo bvektore Korsteć spektralnu dekompozcju dobjemo gdje je (ovdje korstmo ln x log e x) f M k u k u k K poopćen Bondjev faktor Odavde sljed K / lnk / / / K u u K K u u K K K u u K K K K K točno kao u specjalnoj teorj relatvnost analog pravlu zbrajanja brzna Jasno je vdljvo kako nam je geometrjsk produkt dao mogućnost da "relatvstčke" formule dobjemo bez korštenja prostora Mnkowskog Da je Ensten samo znao f 50

51 Specjalna teorja relatvnost Čtatelj b mogao skorstt prethodno poglavlje multvektore oblka tako odmah dobt sve potrebne formule Ipak mamo ponešto za komentrat 5 t x (paravektor) te Specjalna teorja relatvnost (STR) u svojoj klasčnoj form je teorja transformacja koordnata a posebno važan je pojam brzne Geometrjska algebra ne ovs btno o koordnatama što daje mogućnost razmatranja općh geometrjskh odnosa a ne prvenstveno odnosa među koordnatama što je svakako poželjno jer fzkaln proces ne ovse o zabranm koordnatnm sustavma u kojma mogu bt formulran Nažalost mnog autor koj korste geometrjsku algebru ne mogu odoljet korštenju koordnata a to čn formule netransparentnm zamagljuje geometrjsk sadržaj Teško se rješt starh navka Postoje mnog tekstov komentar o STR-u postoje mnog oponent koj često samo pokazuju nedostatak razumjevanja teorje Tako prmjerce često govore da je Ensten "psao besmslce" jer je u formulama korsto brznu fotona kao kao ne razumjevajuć jednostavnu čnjencu da je znos brzne fotona jednak u svakom nercjalnom sustavu al ako želmo nać vrjeme potrebno fotonu da dostgne zd vagona koj bjež od njega (gledano z sustava tračnca collson tme ) moramo korstt Zašto? Jer je to relatvna brzna fotona zda vagona u sustavu tračnca Brzna fotona brzna zda su obje mjerene u stom referentnom sustavu pa se zbrajaju jednostavno bez relatvstčkog pravla zbrajanja brzna Brzna fotona je u ovom sustavu c dok nje nt brzna fotona nt brzna zda Sasvm je drugačje ako se u vagonu gba čovjek brznom u relatvno u odnosu na vlak Brzna čovjeka mjerena u sustavu tračnca je tada v u / uv / c gdje je brzna vlaka u odnosu na tračnce Prema tome relatvstčko pravlo c v v c v c c c v zbrajanja brzna korstmo kada su brzne mjerene u razlčtm nercjalnm sustavma Velčne mjerene u jednom te stom sustavu ne možemo transformrat pa nema nt formula koje prozlaze z takvh transformacja (ovdje su to Lorentzove transformacje) Prje nego nastavmo moglo b bt korsno raščstt nekolko pojmova Kada kažemo da zakon fzke moraju bt kovarjantn mslmo da u razlčtm referentnm sustavma maju stu formu prmjerce formula A B prelaz transformacjom u A B (sv nercjaln sustav su ravnopravn) Fzčka velčna je konstanta ako uopće ne ovs o koordnatama prmjerce broj l naboj elektrona Iznos brzne svjetlost nje konstanta u tom smslu ona je nvarjanta što znač da općento ovs o koordnatama ( c dr / dt ) al ma stu vrjednost u svakom nercjalnom referentnom sustavu Iznos brzne svjetlost je konstanta prrode u smslu da je grančna brzna al u odnosu na Lorentzove transformacje je nvarjanta Postoj još jedna rašrena predrasuda o postulatma specjalne teorje relatvnost Neka je postulat o kovarjantnost prv a postulat o nvarjantnost znosa brzne svjetlost drug Iz prvog postulata mamo prmjerce v dx / dt v dx / dt Drug postulat je uglavnom motvran Maxwellovom elektromagnetskom teorjom koja predvđa nvarjantnost znosa brzne svjetlost u nercjalnm referentnm sustavma Međutm trebamo samo prv postulat da zvedemo Lorentzove transformacje (LT) (nje teško pronać reference pa preporučamo da se to učn pogledajte [6]) Jednom kada dobjemo LT odmah sljed postojanje maksmalne brzne ( v g ) koja je nvarjantna Ovo znač da ne trebamo drug postulat kako bsmo mal maksmalnu brznu u teorj Prema tome u relatvstčkm formulama bsmo mogl korstt vg umjesto c Ensten je jednostavno pretpostavo da vrjed v g c oslanjajuć se uglavnom na Maxwellovu teorju Štovše postojanje grančne ne znač da mora postojat objekt koj se gba tom brznom M mslmo da je svjetlost takav objekt Al bsmo mogl zamslt da je grančna brzna za mm/s veća od c Koj eksperment b mogao pokazat razlku? Međutm ako b blo tako foton b mao masu ako nezamslvo malu Mogl bsmo tada zamslt nercjaln sustav koj se gba zajedno s fotonom pa b foton u tom sustavu mrovao Kako je svjetlost

52 također val vdjel bsmo val koj se ne gba Faza vala b bla konstantna za nas (prmjerce maksmum vala) pa ne bsmo vdjel nt osclacje a bez promjena elektrčnog polja u vremenu nema nt magnetskog polja Preostalo b samo elektrostatsko polje al ne postoj raspodjela naboja koja b ga stvorla (Ensten) I tako umjesto mogućeg korstmo c al to dalje ne znač da je postulat o brzn v g svjetlost neophodan Već smo vdjel da formule specjalne teorje relatvnost prozlaze z geometrje D eukldskog prostora Prv postulat je svakako prrodan tpčan za Enstena koj je među prvma naglašavao važnost smetrja u fzc a ovo je svakako ptanje smetrje Istna nešto je lakše napravt uvod u STR korsteć drug postulat kako je urađeno u većn udžbenka al student onda dobju osjećaj da je teorju nemoguće formulrat bez drugog postulata Spomenmo da postoje zasta brojn testov koj potvrđuju STR a nt jedan (kolko je autoru poznato) koj b je opovrgao ako se mnog trude prkazat stvar drugačje čak smšljaju prče o "relatvstčkoj urot" Naglasmo dvje važne čnjence Prvo kvantna elektrodnamka (QED) je duboko bazrana na STR a poznato je da se predvđanja QED neobčno dobro slažu s pokusma Drugo mamo mogućnost gotovo svak promatrat što se događa na brznama usporedvm s brznom svjetlost name mamo ubrzavače čestca On su građen pomoću formula STR-a pa je zasta teško zamslt da b bl upotrebljv ako STR ne b bla valjana Prodskutrajmo ptanje zvođenja Lorentzovh transformacja Občno je u tekstovma nercjaln sustav defnran kao ne-ubrzan sustav al ovo podrazumjeva samo homogenost u skladu s prvm Newtonovm zakonom ne svm Newtonovm zakonma kako to autor tvrde Kako bsmo uključl treć Newtonov zakon moramo uvest pojam zotropnost (nercje) Zato? Promotrmo dva protona u mrovanju dozvolmo m da se slobodno gbaju Očekujemo da će se proton gbat u suprotnm smjerovma zbog odbojne sle al očekujemo da će oba protona mat točno sta knematčka svojstva Sv smjerov u prostoru su jednak Bez toga ne bsmo mal treć Newtonov zakon Izotropnost je drektno povezana s mogućnošću da snkronzramo satove Također je prrodno očekvat da svjetlost ma stu brznu u svm smjerovma (ako to ovdje nje važno za zvod satove možemo snkronzrat pomoću našh protona) Sada mamo nercjaln koordnatn sustav (IKS) s uključenom homogenošću zotropnošću (nercje) Klasu svh nercjalnh koordnatnh sustava (rotranh translatranh) koj se ne gbaju u odnosu na nek IKS nazvamo nercjsk sustav referencje (ISR) Sad uz uključenu homogenost zotropnost ne trebamo postulat o brzn svjetlost smetrje su dovoljne da dobjemo Lorentzove transformacje Tme svjetlost gub centralnu ulogu u teorj Pokažmo kako to možemo zvest Zbog lnearnost transformacja očekujemo h u oblku ( v je relatvna brzna zmeđu sustava mjerena u jednom od sustava) Za pa z x Ax Bt t Cx Dt x const mamo dx 0 što znač B va Inverzne transformacje su x Dx Bt t Cx At AD BC AD BC x const dobjemo B vd odnosno D A Uvedemo l velčne AD BC A/ 5 v sljede transformacje u oblku x x vt t t vx x x vt t t vx Zamjenom v s v transformacje b trebale bt zamjenjene (zbog zotropnost) otkud sljed (prmjette da to znač da su transformacje ortogonalne) Sada mamo

53 Iz x x vt t t vx x x vt t t vx / v dobjemo općente transformacje u oblku x vt t vx x t v v Čtatelja upućujemo da pokaže (korsteć tr IKS) da je v 5 jednce dobjemo tr mogućnost za : - 0 Izgleda poznato? Za xt mamo čste rotacje u ravnn za kut const Korsteć odgovarajuće fzčke arctg v Za 0 mamo Gallejeve transformacje Za mamo Lorentzove transformacje Pokus u fzc nas uče da trebamo odabrat al uočte da je Gallejeva relatvnost sasvm valjana teorja relatvnost sve ovo je posljedca naše defncje za ICS Drektna posljedca Lorentzovh transformacja je postojanje maksmalne brzne al o tome smo već govorl Podsjetmo da smo već vdjel brojeve - 0 ovdje u tekstu dskutral smo kompleksne brojeve (rotacje) dualne brojeve hperbolne brojeve dobvene z multvektora u Cl Paravektor u Cl kao t x (multvektor sa stupnjevma 0 ) nakon kvadrranja opet daju paravektor (provjerte) stoga modul paravektora treba defnrat drugačje Za kompleksne hperbolne brojeve (kao kvaternone) smo mal slčnu poteškoću pa korstmo konjugacje Za paravektore ne trebamo nkakvu ad hoc konjugacju jer već mamo Clffordovu konjugacju pa tako defnramo pp t x t x t x što je točno forma nvarjantnog ntervala potrebnog u specjalnoj teorj relatvnost Podsjetmo da je Clffordova konjugacja kombnacje nvolucje stupnjeva reverz nvolucje pa to možemo pokušat nterpretrat geometrjsk u name nvolucja stupnjeva podrazumjeva nverzju prostora dok smo za reverz nvolucju vdjel da je povezana s čnjencom da su Pauljeve matrce hermtske matrce Da bude potpuno jasno za paravektor p e s jedncu Sljed e mamo prrodnu hperbolnu p e e pa smo dobl opet paravektor s stm smjerom vektorskog djela al pp e e Prmjette da uz Clffordovu nvolucju nema potrebe za negatvnom sgnaturom (Mnkowsk) Prema formulacj STR-a koju je dao Mnkowsk možemo defnrat jednčn vektor u smjeru vremena e e tr prostorna vektora e e što znač da mamo negatvnu sgnaturu ( ) Takav prstup je moguć u geometrjskoj algebr mamo STA (space-tme algebra Hestenes) Al sve što možemo napravt u STA možemo također u Cl bez negatvne sgnature (Sobczyk Bayls) On koj tvrde da je negatvna sgnatura nužna u STR su možda u krvu Nek autor pšu rečence kao: Prncp relatvnost nas prsljava da razmotrmo skalarn produkt s negatvnm kvadratom vektora zaboravljajuć da njhova defncja norme elemenata prejudcra takav rezultat (Wtte: Classcal Physcs wth geometrc algebra) Ipak moguće je opsvat geometrju u nekom prostoru korsteć formalzam prostora vše dmenzje pa b se moglo reć da je Mnkowsk učno upravo to geometrju D prostora

54 je opsao u 4D Stoga u Cl trebamo samo tr ortonormalna vektora jednu nvolucju Vrjeme vše nje četvrta dmenzja samo je realn parametar (kao u kvantnoj mehanc) Možemo se ptat ako postoj četvrta dmenzja kako to da se ne možemo gbat slobodno kroz vrjeme kao to to čnmo kroz prostor? Postoje drug zanmljv argument u korst D prostora prmjerce gravtacjska elektrostatska nterakcja ovse o kvadratu udaljenost problematčna je defncja brzne (koju korstmo u STR): dx / dt? Ako je vrjeme vektor onda je brzna prrodno bvektor kao magnetsko polje a ne vektor Nje važno što se korst vlastto vrjeme za defncju 4-vektora brzne prostorna brzna je svejedno defnrana prethodnom formulom do na faktor Mnkowsk nam je dao ljepu matematčku teorju al njegov zaključc o četvrtoj dmenzj su puka matematčka apstrakcja šroko prhvaćena među fzčarma U njegovo su vrjeme geometrjske deje Grassmanna Hamltona Clfforda ble prlčno potsnute Ovo navod na ptanje što b Ensten zabrao da je sve to znao? Početkom 0 stoljeća se razvjala još jedna važna teorja kvantna mehanka pa Paul uvod svoje matrce kako b formulrao polovčn spn već smo to komentral Dracove matrce su također reprezentacja jedne od Clffordovh algebr al opet Dracova teorja ma ljepu formulacju u Cl (Bayls) kao što ma mnmaln standardn model u Cl7 (Bayls) Nje bez utemeljenost ptanje o smslu uvođenja vremena kao četvrte dmenzje Uobčajen argument koj je dao Mnkowsk zapravo nje argument samo je zapažanje da u STR nvarjantn nterval nje dt dx već je dt dx Al vdmo da je takav nvarjantn nterval lako dobt u Cl uz potpuno prrodne zahtjeve za množenje vektora Mnkowsk je uveo četvrtu dmenzju ad hoc Kada b njegov formalzam bo nedvojbeno jedn moguć za formulacju STR-a mal bsmo čvrsto uporšte u vjerovanju da zasta mora postojat četvrta vremenska dmenzja Bez tog uvjeta uz saznanje da postoj prrodan načn da se formulra teorja bez četvrte dmenzje teško se oduprjet utsku da šroko rasprostranjena mantra o četvrtoj dmenzj nema čvrsto uporšte Prema nekm autorma jedna od poteškoća u formulranju kvantne gravtacje je vjerojatno postojanje četvrte vremenske dmenzje u formalzmu Ovdje ćemo pokazat formalzam STR-a korsteć paravektore koj defnraju 4D lnearn prostor al je vrjeme dentfcrano kao realn skalar kažemo da je vrjeme realn parametar Blo b zanmljvo stražt postoj l blo kakav pokus koj b nedvojbeno pokazao postojanje vremenske dmenzje Vjerojatno ne postoj takav pokus Stoga je teško otet se dojmu kako fzčar vežu rtualnu mačku tjekom medtacje Al budućnost će pokazat možda vremenska dmenzja postoj možda nekolko njh (ako vrjeme uopće postoj) U svakom slučaju nje stna da je prostor Mnkowskog jedn spravan okvr za formulacju STR-a Posebno nje stna da u STR moramo uvodt vektore čj kvadrat je negatvan c U geometrjskoj algebr kombnramo razlčte Izabrat ćemo sustav jednca u kojemu je geometrjske objekte koj mogu mat razlčte fzčke jednce Stoga uvjek bramo sustav jednca koj sve svod na jednu jedncu (občno jedncu duljne) Tako se koncentrramo na geometrjske odnose što je ovdje clj U prmjenama na posebnu stuacju (pokus) jednostavno konvertramo fzčke jednce (analza fzčkh jednca) pa s tm nema poteškoća Polazeć od nvarjantnog ntervala u STR-u vrjeme u sustavu čestce sljed gdje je / / t x t v t v t x gdje je nvarjantno vlastto poznat relatvstčk faktor Sada umjesto 4-vektora brzne defnramo vlasttu brznu (paravektor) v u koja je u sustavu mrovanja jednostavno u 0 Prmjette da vlastta brzna nje lsta koordnata kao što je 4-vektor brzne al ma stu ulogu Očgledno je uu Zamslmo da mrno tjelo želmo promatrat u ISR-u u kojemu ma brznu v (boost) Recept je jednostavan: napravte geometrjsk produkt od dvje vlastte brzne u0 u0u u Za nz boost -ova mamo nz transformacja u0 u0u u0uu uu 54

55 Uočte kako je ovo zasta lako za računanje te da z oblka paravektora vlastte brzne odmah vdmo relatvstčk faktor D vektor brzne v Prmjerce neka su vektor brzne paraleln s mamo v v ve ve vv v v e vv vv e pa z oblka paravektora (djelov su obojen) odmah čtamo v v vv v e vv što su poznat rezultat u STR-u (relatvstčko zbrajanje brzna) Prmjette kako geometrjsk produkt omogućuje brzo zvođenje formula kako je već objašnjeno dobvene formule su tek specjaln slučajev općh formula u Cl Tako z polarne forme multvektora cosh f snh f M svodeć na realn do multvektora (paravektor) mamo cosh v snh cosh vˆ snh cosh vˆ tanh exp vˆ Korsteć spektralnu dekompozcju dobjemo u vvˆ k u k u k v cosh snh pa ako defnramo mplctno faktor k (Bond faktor) ln k z defncja hperbolnh snusa kosnusa mamo k cosh snh / Naš ranj prmjer s dva "boost"-a paralelna s k v v e sada maju oblk u ku k u / / / u u k u u k k u u k k k u u k k tj relatvstčko zbrajanje brzna je ekvvalentno množenju Bond faktora: k kk e Prmjer: U sustavu S u stom smjeru Nađte brznu se gba brod brznom v u sustavu broda se gba drug brod brznom v n n-tog broda u S Dskutrajte rješenje za n? v td sve Rješenje: n Neka je k v v tada je / / / nalazmo traženu brznu v n k v v k v v odakle n n n Ako vektor brzne ne leže u stom smjeru u zrazma se može pojavt verzor vv što može zgledat kao komplkacja al zapravo omogućuje nove mogućnost za stražvanje prmjerce lako se dobje Thomasova precesja (pogledajte [4]) skrvena neko vrjeme al okvr teksta traž da se zaustavmo ovdje n Lorentzove transformacje Sada smo spremn komentrat Lorentzove transformacje (LT restrcted) Općento LT se sastoje od boost -ova B rotora R Možemo psat (pogledajte []) sasvm općento L BR 55

56 LL (uvjet unmodularnost) Ovaj uvjet možemo tretrat kao defncju Lorentzovh transformacja što je dobro straženo opravdano Defnramo l (pogledajte znad) ˆ/ vˆ e cos / wˆ sn / B cosh / snh / v R j e jwˆ / (jednčn vektor ŵ defnra rotacjsku os) možemo psat LT nekog elementa recmo vektora kao p LpL BRpR B Postoj mogućnost da L napšemo kao L e e e vˆ / jwˆ / vˆ / jwˆ / al moramo bt oprezn zbog opće ne-komutatvnost vektora u eksponentu (pogledajte [9]) Međutm uvjek je moguće nać (korsteć logartme) vektore vˆ w ˆ koj zadovoljavaju relacju L e e e vˆ / jwˆ / vˆ / jwˆ / Zgodno je u prmjen rastavt element koj želmo transformrat na komponente paralelne okomte na l ŵ te skorstt komutacjska svojstva Za detaljnj pregled pogledajte Baylsove članke o APS (algebra of physcal space Cl) U [] možete nać ljepo poglavlje o STR-u ˆv Vdmo da su rotacje prrodan do LT-a pa formalzam geometrjske algebre može ponudt puno mogućnost zbog moćnh tehnka s rotacjama Kasnje u tekstu ćemo prodskutrat neke moćne tehnke sa spnorma (egenspnors) Prošrene Lorentzove transformacje Granca brzne? Ovo poglavlje je spekulatvno sa zanmljvm posljedcama (nove očuvanje velčne promjena grančne brzne u prrod) On slabjeg srca neka ovo shvate kao matematčku vježbu Ranje smo defnral (kvadratčnu) ampltudu MA kao MM M t x n b j tb xn pokazal njezna svojstva Pogledajmo sada opću blnearnu transformacju čuva MA (pogledajte []): M XMY MM XMYYMX M X Y pa mamo dvje mogućnost što daje X Y Z F Z F Z F Z X e X e e e 56 M XMY koja pa ćemo zabrat (za sada) mogućnost Z = 0 ako smo mogl promotrt Z j / Sada opće transformacje maju oblk p jq r js M XMY e Me što daje parametara z četr vektora u eksponentma Ptanje je kakav motv mamo za promatranje ovakvh transformacja Element geometrjske algebre su lnearne kombnacje jednčnh lstova Clffordove baze a svak od th lstova zapravo defnra nek potprostor Ako se ogrančmo samo na realn do multvektora (paravektor) stavljamo u prvlegranu pozcju potprostore realnh brojeva (stupanj 0) vektora (stupanj ) Ideja je da sv potprostor budu tretran jednako Zapravo cjela ova struktura je bazrana na novom množenju

57 vektora pa manpulrajuć s multvektorma m zapravo manpulramo potprostorma Zbrajanje vektora bvektora je zapravo operacja koja uspostavlja relacju među potprostorma to je važno za razumjet Ako potprostore tretramo jednako moramo razmotrt sve moguće transformacje potprostora sve moguće smetrje a one su vše nego što klasčne (restrcted) Lorentzove transformacje mplcraju Čtatelj b sada mogao zastat razmslt malo o rečenom Podsjetmo da smetrja u vremenu daje zakon očuvanja energje translacjska nvarjantnost daje zakon očuvanja kolčne gbanja td Gdje se trebamo zaustavt zašto? Ako zasta prhvaćamo prrodnost novog množenja vektora moramo prhvatt posljedce takvog množenja a one govore o neobčno bogatoj struktur našeg starog dobrog D eukldskog prostora Istna konačan sud će dat pokus (nadat se) Pogledamo l nvarjantnu MA zraženu u dva referentna sustava možemo usporedbom realnog magnarnog djela dobt t x n b t x n b Dferencjal multvektora daje MA tb xn tb xn dx dt dx jdn jdb dx dt dx dn db j dbdt dxd n pa možemo pokušat nać uvjete za postojanje realnog vlasttog vremena Postoje mnog razloz za defnranje realno vlasttog vremena prmjerce omogućuje jednostavnu defncju poopćene brzne Tpčno u STR-u bramo sustav mrovanja Ovdje zbog dodatnh elemenata (osm brzne) to neće bt dovoljno jer želmo ( je vlastto vrjeme) dx dt dx dn db j dbdt dx dn d Prv uvjet za realno vlastto vrjeme je svakako nestajanje magnarnog djela MA u u svakom sustavu (podsjetmo da je MA nvarjanta ne može mat magnarn do u jednom sustavu a u drugom ne) Ovo znač da mora bt u svakom referentnom sustavu dbdt dx dn dt db dx dn dt h dx dn 0 h dx d n db h uz uobčajenu oznaku dx / dt x što vod na h dxd n Defnramo l d x v n w sljed h wv Vektor w dolaz z bvektorskog djela multvektora pa očekujemo da je povezan s velčnom kao angularn moment tada b h mogao bt tok takve velčne slčno kao što je tok defnran za protjecanje tekućne u cjevma Razlka je u tome da se bvektor ne transformraju kao površne (pogledajte []) Razmatrajuć nvarjantnost MA realno vlastto vrjeme mamo dx dx d dt dx dn db dt dx dn db v w h d dt dt dt w v 57 / v w / v w w v cos Prmjette da naš relatvstčk faktor ma doprnose od svh potprostora Blo b prrodno zahtjevat da sustav mrovanja (s uvjetom v 0 ) bude zamjenjen s to b značlo da ne gledamo mrne čestce već mamo v w w v cos 0 v w / w cos

58 Ovo nje teško prhvatt jer što ako brzna čestce ne može bt nula? Prmjerce kako pomrt prncpe kvantne mehanke deju potpuno mrnog elektrona? Uključenjem svh potprostora svh velčna koje su s njma povezane sljed da sustav mrovanja postaje nešto kao sustav centra energje-mpulsaangularnog momenta td Relatvstčk faktor je defnran kao omjer dva realna vremena pa mora bt realan broj što nam daje uvjet cos 0 v w w v v w w cos max w 0 Ovo je potpuno nov rezultat: grančna brzna je za l za cos nače je veća od Ovaj rezultat je u geometrjskoj algebr dobven drugdje (Pavšć korsteć C-algebre al je autor do rezultata došao neovsno u komentaru članak []) Što b moglo bt fzkalno značenje ovoga? Promotrmo elektron koj svakako nje mala kuglca (sjetmo se velkog Ruđera Boškovća njegovh točkasth zvora sle) name ma spn a spn je upravo kao angularna kolčna gbanja velčna Možemo l tretrat relatvstčk elektron kao nek Enstenov relatvstčk vlak? Vjerojatno ne! u očma geometrje je teško prhvatt da je elektron samo mala kuglca sa spnom upakranm u nju kao vlak s putncma u njemu Relatvstčke formule za vlak ne ovse o tpu tereta u njemu Al spn vjerojatno nje samo teret vše je geometrjsko svojstvo pa b trebao bt do transformacja Ako su upravo zvedene formule prmjenjve na elektron njegova grančna brzna će ovst o orjentacj spna u odnosu na vektor brzne Štovše brzna za danu energju će ovst o orjentacj spna pa će elektron s stom energjom al razlčtm orjentacjama stzat na clj u razlčta vremena Možda netko u budućnost obav takav pokus poztvan rezultat b svakako značajno promjeno naše današnje pomanje relatvnost Posebno b blo zanmljvo vdjet kako se elektron ponašaju u kvantnom tunelranju jer postoje sugestje nekh autora da se elektron možda gba brznama većm od Ovo se občno pokušava formulrat uvođenjem kompleksnh brojeva stvaranjem cjele flozofje oko toga ako se vjerojatno samo rad o neadekvatnoj matematc Međutm teško je bt sguran Sada kad mamo (nvarjantno realno) vlastto vrjeme možemo defnrat multvektor poopćene brzne dx dt dx dt dndt db dt V j j v jw jh d d dt d dt d dt d s nvarjantnom ampltudom d VV dv dv VV V V 0 d d d što je oblk uvjeta ortogonalnost poopćene brzne poopćene akceleracje Množenjem poopćene brzne s masom dobjemo poopćenu kolčnu gbanja P mv E p jl jh PP E p l H m Ovo se btno razlkuje od uobčajene formule za energju-kolčnu gbanja E p m Pojavljuju se dvje dodatne očuvane velčne od kojh je posljednja ( H ) sasvm nova ([]) Prema uvjetma našeg zvoda mora bt H mh lv pa je nova očuvana velčna prmjer toka pa mamo konačno l v PP E p l m Ako je ovo fzkalno gbanje čestca sa spnom b trebalo zadovoljt zakon očuvanja toka deja koja su nek autor već znjel (nažalost zaboravo sam zvor!) Brzna čestce će općento bt veća s w nego bez njega za danu energju što možemo zaključt z prethodne formule: dodavanje poztvnog člana negatvnom kvadratu kolčne gbanja daje mogućnost povećanja brzne Uvjermo se u to drektno 58

59 w v E / m / v w w m / E l / E m / E v m / E w cos l/ E cos Prmjetmo na kraju da se sve zneseno lako svod na klasčnu teorju relatvnost treba samo odbact magnarn do multvektora pa preostaju paravektor Sve čudne posljedce jednostavno nestanu Naravno postoje brojne mogućnost da se vrjeme tretra drugačje al nećemo o tome ovdje (pogledajte ([] ([] za nteresantnu dskusju) Elektromagnetsko polje u geometrjskoj algebr Ovdje nećemo znost cjelu EM teorju u Cl (pogledajte Hestenes Bayls Chappell Jancewcz) samo ćemo komentrat nekolko deja U formalzmu geometrjske algebre za elektromagnetsk (EM) val u vakuumu defnramo E B E B F E jb F 0 c pa je kompleksn vektor F nlpotent Prmjette da je član s magnetskm poljem bvektor Korsno je raspsat bvektor magnetskog polja u ortonormranoj baz pa ako krenemo od vektora magnetskog polja B B e B e B e dobjemo bvektor jb j B e B e B e B e e B e e B e e Čtatelj b trebao provjert ovaj jednostavan zraz pokušat stvort mentalnu slku Također možemo predstavt bvektore korsteć paralelograme pa provjert kako se zbrajaju grafčk (slka pored glavnog naslova) GAVewer može puno pomoć Iako ovo može zgledat kao "zgodan trk" ovdje ćemo pokušat pokazat da je bvektor kao geometrjsk objekt potpuno prmjeren za ops magnetskog polja zapravo fzkalna svojstva magnetskog polja zahtjevaju da bude tretrano kao bvektor U blo kojem formalzmu koj ne podrazumjeva postojanje bvektora (kao Gbbsov vektorsk formalzam na jezku skalarnog vektorskog produkta) moraju se javljat problematčne stuacje Ovdje ćemo dskutrat problem Maxwellove teorje zrcalne smetrje kao prmjer Ako korstmo koordnatn prstup tada u D možemo uvest bogatju strukturu uvodeć tenzore Pogledajmo ctat z članka (Jancewcz): Sustav jednca kompatblan s geometrjom 004: Za trodmenzonaln ops potrebn su antsmetrčn kontravarjantn tenzor ranga od nula do tr (poznat su kao multvektor) kao antsmetrčn kovarjantn tenzor ranga od nula do tr (poznat kao vanjske forme) To daje ukupno osam tpova usmjerenh velčna Tako prmjerce aksjaln vektor (kao vektorsk produkt) postaju antsmetrčn tenzor drugog ranga Cjela ova geometrjska struktura postaje jednostavna ntutvna u geometrjskoj algebr bez potrebe za uvođenjem koordnata (ovdje često uvodmo bazu al samo zbog jednostavnjeg razumjevanja teksta nje nužno) Zbog neovsnost o baz prestaje bt važno prmjerce radmo l u desnom l ljevom koordnatnom sustavu geometrjsk produkt se brne o svemu Za dva vektora bsmo mogl mat zraze kao ab ba ne moramo korstt blo koju bazu da vdmo rad l se o skalaru l bvektoru u blo kojoj dmenzj Maxwellova elektromagnetska teorja je prva fzkalna teorja koja je od početka zadovoljla postulat(e) specjalne teorje relatvnost Nje stoga čudno da se obje teorje ljepo daju opsat u Cl 59

60 Pogledajmo nekolko čnjenca vezanh uz teorju zraženu na jezku geometrjske algebre Prmjerce možemo vzualzrat rješenja za elektromagnetsk val u vakuumu ([]) pomoću jednostavne zanmljve slke name valn vektor k je paralelan vektoru smjera nlpotenta F pa rješenje za k x možemo napsat kao F E j B Možemo zamslt prostorn do vala F jkx j t 0e e F e 0 jkx kao prostorno perodčnu mrnu spralu koja se prostre duž smjera propagacje vala Ova "sprala" je nlpotent jer je proporconalna s F 0 Pokazuje se da (vdjet dalje u tekstu) rotacja nlpotenta oko njegovog smjera može bt ostvareno množenjem s j t kompleksnom fazom kao e pa mamo spralu u prostoru koja rotra oko smjera prostranja vala Bvektorsk do defnra ravnnu okomtu na B tako da vektor E prpada toj ravnn Bvektor daje mogućnost za proučavanje elektromagnetskh fenomena potpunje elegantnje nego s (aksjalnm) vektorom B jb jb Pogledajmo još neka svojstva EM polja u vakuumu Maxwellove jednadžbe su potpuno zrcalnosmetrčne na jezku geometrjske algebre kao njhova rješenja Kada korstmo vektorsk produkt odmah moramo uvest pravlo desne ruke pa vdmo da mamo pravlo ljeve ruke u zrcalu Ako postavmo slke (orgnal onu u zrcalu p ) jednu preko druge one se ne poklapaju vektor stoje pogrešno međutm ako vektore (aksjalne) magnetskog polja zamjenmo bvektorma slke se točno podudaraju I naravno ne trebamo pravlo desne ruke kako je već objašnjeno geometrjsk produkt se brne o svemu Jasno je će da on koj su dugo razmšljal na jezku "vektor-pravlo desne ruke" teže prhvatt novu paradgmu naučen smo razmšljat o strelcama pa treba razvt ntucju za objekte koj nsu vektor l skalar Geometrja je jezk fzke vše nego što smo sanjal Vektor prpada ravnn defnranoj bvektorom j B Površna kruga koj reprezentra B E bvektor je pa ma polumjer B / 056 B Smjer moguće orjentacje šrenja vala su prkazan na p Ova slka je rotrana oko smjera šrenja vala za kut ovsan o položaju ( k x ) to daje statčnu slku u prostoru Veće je rečeno cjela ova prostorna slka rotra ovsno o vremenu frekvencj vala ( ) Posljednju tvrdnju čtatelj može provjert ako uzme nlpotent e je pomnož ga s 60

61 j e kompleksnom fazom Odmah se dobje matrca rotacje oko z-os Možemo elegantno rotrat cjelu slku pa ovaj prmjer nje na blo koj načn poseban Za blo koj kompleksn vektor F v j w u Cl vrjed FF v w v w v w v w j j v w j v w pa ako uzmemo kompleksn vektor elektromagnetskog polja u vakuumu (nlpotent) F E jc B gdje prvremeno korstmo SI sustav jednca dobjemo Sada sljed gdje je FF E B E c B c cff c S 0 S E B / 0 E c B Ovdje je gustoća energje a S je gustoća toka energje poznata kao Poyntng vektor Znač Poyntng vektor je proporconalan vektoru smjera nlpotenta Prmjette također da je općento F E c B jc E B kompleksn skalar koj možemo skorstt za klasfkacju pola (u vakuumu je nula) 0 Egenspnor lab sustav sugbajuć sustav sugbajuć sustav trajektorja čestce 6 Razmotrmo još jednu elegantnu moćnu tehnku opsvanja gbanja relatvstčkh čestca ([5] [6] [7]) Zamslmo laboratorjsk sustav sustav koj je vezan za čestcu u gbanju pod utjecajem prmjerce elektromagnetskog polja Razmotrt ćemo ovdje samo paravektore Lorentzove transformacje (restrcted) U svakom trenutku možemo nać transformacju koja elemente prevod z laboratorjskog sustava u sugbajuć nercjaln sustav koj se podudara sa sustavom čestce u nekom trenutku (commovng frame) Vlastta brzna u laboratorjskom sustavu je u e 0 0 pa u svakom trenutku možemo dobt vlasttu brznu čestce kao u e gdje je Lorentzova transformacja nazvana egenspnor zbog specjalnog zbora nercjskog sustava Spomenmo usput da prmjenom ovakve transformacje na ortonormalne bazne vektore 0

62 u e 0 dobjemo tzv Frenet tetrad Podsjetmo za Lorentzove transformacje (unmodularnost) Ako je egenspnor vrjed poznat u svakom trenutku mamo sve nformacje potrebne za ops gbanja čestce Egenspnor se mjenjaju u vremenu prvu dervacju po vremenu Ω / Ω Ovo zgleda kao trvjalna relacja al nje Vrjed d dt 0 pa korsteć vdmo da je Ω kompleksn vektor (zbog toga je u bold formatu) Za prvu dervacju vlastte brzne po vremenu dobjemo Ωu Ωu u e0 e0 e0 e0 Ωu R što je paravektor Lorentzova sla (pogledajte [8]) je sada p mu e Fu F E j B pa vdmo kako je upravo defnran Ω dobo fzkalno značenje: proporconalan je kompleksnom vektoru elektromagnetskog polja F Iznenađujuće je kako se elektromagnetska teorja jednostavno prrodno formulra u Cl A to nje samo zolran prmjer Geometrjsk produkt čn geometrju našeg D svjeta prrodnm okvrom za fzku Netko tko dobro poznaje geometrjsku algebru al ne zna nšta o elektromagnetzmu vjerojatno b mogao otkrt elektromagnetsko polje kao čsto geometrjsk objekt Gbbsov skalarn vektorsk produkt a onda cjel aparat teorjske fzke s koordnatama matrcama tenzorma zamagll su cjelu slku puno Ovaj kratak osvrt na egenspnore b trebao ukazat na moćnu elegantnu tehnku koja šroko prmjenjva osm elektromagnetzma prmjerce u kvantnoj mehanc R Spnorne jednadžbe trajektorja planeta lab sustav Znajuć radjus-vektor čestce u D možemo psat x y r e x e y er ee r r re exp e e Vdjel smo da ovakav zraz ne može bt poopćen na vše dmenzje al poopćavanje postaje lako ako sve napšemo u "sendvč" form r UeU Što smo napsal? U D U je kompleksan broj s magnarnom jedncom ee al općento može bt tretran kao spnor (za defncju spnora pogledajte lteraturu 6

63 ovdje pojam spnor gledamo kao element parnog djela Cl l jednostavno kao rotor s dlatacjom) Prmjette da polazeć od jednčnog vektora možemo dobt blo koj vektor u ravnn defnranoj ee e bvektorom gdje specjaln zbor vektora bvektora nje važan Ove relacje se lako poopćavaju na vše dmenzje Ako spnor U ovs o vremenu sva dnamka je sadržana u spnoru Ovo je snažna tehnka za ops razlčth vrsta gbanja što ćemo još vdjet dalje u tekstu Pokazuje se da jednadžbe gbanja kao po pravlu lakše rješavamo u oblku s U umjesto s r Prmjette da za kompleksn broj U dobjemo kompleksnu konjugacju kao U Modul od r je jednostavno tj Vremenska promjena vektora r je dana prvom dervacjom od što je općento spravan prstup U D zbog jednostavnost dervramo tj r UeU r Uvodeć novu varjablu korsteć du U ds r r UU r UUe re UU reu ru d d dt r r ds dt ds dobjemo novu jednadžbu za U U rue pa dervrajuć još jedanput mamo U rrue rue U rr r / Ue Kao konkretan problem zabremo gbanje tjela pod djelovanjem centrpetalne sle (Keplerov problem) gdje je reducrana masa a k r kr r je konstanta Jednadžba za U r k E U U U r U U const sada postaje gdje smo uvel ukupnu energju E Ovo je dobro poznata relatvno jednostavna jednadžba koja za vezana stanja ( E 0 ) uzma formu jednadžbe harmončkog osclatora Mnoge su prednost ovakvog prstupa kao jednostavnje rješavanje konkretnh jednadžb bolja stablnost rješenja (nema sngularnost za r 0 ) a prmjette da je jednadžba lnearna što ma nz prednost u perturbacjskom prstupu (bolja stablnost) Cl kvantna mehanka Ortonormrana baza u Cl je reprezentrana Pauljevm matrcama što je već objašnjeno Sada ćemo tu čnjencu razvt malo dalje da vdmo kako se kvantna mehanka ljepo uklapa u formalzam geometrjske algebre U standardnoj kvantnoj mehanc valna funkcja elektrona ma oblk 6

64 pa se takvo stanje čestce občno zapsuje u oblku spnora (pogledajte [8]) Ako postavmo smjer z-os u smjeru stanja 64 dobjemo operator spna u oblku sˆ ˆ k k gdje su ˆ k ranje defnrane Pauljeve matrce Sada možemo tražt opservable u oblku gdje su komponente dane sa Vrjed s ˆ ˆ k nk sk nk k n * * n * * * * n n pa ovo možemo skorstt da normalzramo vektor možemo psat l što daje za spnor n da bude n n sn cos n cos sn n cos e cos / sn / e cos / e sn / e Možemo zanemart ukupnu fazu / / e / Uvodeć sferne koordnate exp / Vdmo ovsnost o polovčnm kutovma što sugerra vezu s rotorma u Cl Uvedmo sada oznaku uobčajenu u Cl: rotorma k e pa sljed veza s j j n n sn cos sn cos R R R e e / / k k Uvedemo l sada spnor u Cl koj ćemo po analogj označt sa potražt ćemo opć oblk novouvedenog objekta 0 a a 0 k a a j k a a gdje se podrazumjeva sumranje po k Odmah vdmo da vrjed j te da odgovarajuć vektor opservable maju komponente (0 0 ±) Za operatore možemo nać vezu ˆk gdje je uključen da osgura prpadnost parnom djelu algebre Ovaj zbor je naravno posljedca početnog zbora z-os ne utječe na općentost zraza Izbor z-os občno ma fzkalnu pozadnu k

65 prmjerce smjer vanjskog magnetskog polja Što dobjemo ako pomnožmo sve tr Pauljeve matrce? Možemo ustanovt analogju s množenjem magnarnom jedncom kao j Sugestvno je da smo dobl množenje bvektorom opservabl dobjemo upravo rotacjom vektora j jer se to moglo očekvat Name vektore koj je nvarjantan na rotacje u j ravnn što daje geometrjsku slku fazne nvarjantnost Prmjette ulogu pseudoskalara bvektora koj za razlku od občne magnarne jednce odmah daju jasno geometrjsko značenje velčnama u teorj Ovo je svakako dobra motvacja za proučavanje kvantne mehanke u ovom novom jezku Umjesto nentutvnh matrca nad kompleksnm poljem mamo sada elemente geometrjske algebre koj uvjek unose jasnoću A tek smo povrl u ovo područje Sada pogledajmo opservable u Pauljevoj teorj Pretpostavt ćemo da možemo razdvojt prostorne spn komponente Unutarnj produkt u kvantnoj mehanc defnramo kao Realn do možemo nać kao * * * * Re prmjerce Vrjed 0 j 0 j k k a a j ja a j j a a Re Re Re k0 pa možemo nać analogju (nemojte zamjent ab s ab - stupanj 0 ) Imamo j stupanj 0 od produkta j j Potražmo očekvanu vrjednost spna Iskorstmo l reverz nvolucju sljed kao sˆk j j Zahtjevamo projekcju produkta ˆk k k j j j j j k k k što znač da u zrazu nema stupnjeva 0 pa mora bt k j 0 na ravnnu što očekujemo jer su ˆ k hermtsk operator Element ma samo neparne stupnjeve jednak je svom reverzu što znač k da je vektor Iskorstmo to da defnramo vektor spna kao s Očekvana vrjednost je sada sˆ k k k s 65

66 Ovaj zraz je drugačj od onog na što smo navkl u kvantnoj mehanc Umjesto računanja očekvane vrjednost operatora ovdje jednostavno mamo projekcju vektora spna na željen smjer u prostoru To odmah nameće ptanje stovremene egzstencje sve tr komponente vektora spna Problem zapravo ne postoj čtatelja upućujemo na članak Doran et al 996b Možemo skorstt našu formu spnora defnrat skalar RR / R pa ako defnramo vdmo da je pa mamo rotor Vdmo da ovdje spnor nsu nšta drugo nego rotor s dlatacjom pa možemo psat za vektor spna s R R Vdmo da je zraz za očekvanu vrjednost zapravo nstrukcja za rotacju fksnog vektora u smjeru vektora spna uz njegovu dlatacju Uočte opet potpuno jasan geometrjsk smsao koj nje tako lako polučt u kvantnoj teorj kako se občno formulra Zamslmo sada da želmo rotrat vektor spna pa uvedmo transformacju teško vdjet da se pr tome spnor mora transformrat kao R 0 s R sr 0 0 pa nje (pokažte to) što se često uzma kao načn da se nek objekt dentfcra kao spnor Slčno svojstvo mamo za već spomnjane vlastte spnore u specjalnoj teorj relatvnost koj se u odnosu na općentu Lorentzovu transformacju mjenjaju kao tj nemamo sendvč formu već spnor formu transformacje Čtatelju prepuštamo da uzmajuć u obzr upravo pokazano svojstvo transformacje pokaže kako spnor nakon rotacje za mjenjaju predznak To je rezultat koj je jasan u občnoj kvantnoj teorj al ovdje vdmo da u toj pojav nema nčega kvantnog već da je to zapravo svojstvo našeg D prostora To svakako nje beznačajan zaključak reklo b se da mamo razloga dobro presptat fundamente ( flozofju ako želte) kvantne teorje I opet sjetmo se kako je sve počelo: množenjem vektora Pa ako želte može bt podrška osnovanost novog množenja vektora L Dervranje ntegrranje Ovdje ćemo samo ukratko prokomentrat ovo područje čtatelja upućujemo na lteraturu Geometrjska algebra sadrž moćan aparat dferencjalnog ntegralnog računa Ne b trebalo bt znenađenje da ovdje mamo značajan napredak u odnosu na tradconaln prstup Posebno postoj fundamentaln teorem koj objednjuje prošruje mnoge poznate teoreme z klasčnog ntegralnog računa Osm toga sv element algebre ( cjel multvektor) mogu bt ravnopravno uključen u račun pa tako možemo dervrat u smjeru multvektora Ono što btno razlkuje klasčnu teorju od geometrjske algebre ogleda se u nekolko elemenata Prvo u dferencjalnom računu korstmo razlčte operatore koj sadrže elemente algebre pa zbog svojstava nekomutatvnost daju nove mogućnost Pogledajmo prmjer takvog operatora k A e ka ka A k x Enstenova konvencja zbrajanja se podrazumjeva Ovdje smo uvel opet vektore recpročne baze al u ortonormranm sustavma su on jednak vektorma baze ovdje je ovakva forma zgodna zbog pravla sumranja mogućnost poopćavanja Uočte da e k ma stupanj tj ponaša se kao vektor U Cl se često defnra operator t 66 k

67 koj ma formu paravektora Takv element mogu djelovat na multvektor s ljeva s desna a pr tom nema razlke u samom dervranju tj djelovanjem s desna dervranje se odnos na objekt ljevo Međutm pr tom mamo geometrjsko množenje baznh vektora ono nje komutatvno Operator dervranja kao element algebre mogu mat nverz pa prmjerce Maxwellove jednadžbe mogu bez osobtog napora bt napsane u oblku F J što omogućuje da se nađe nverz operatora korsteć Greenove funkcje Na taj načn ova jednostavna matematčka forma jednadžb nje samo zgodan trk već zasta pruža mogućnost koje bez geometrjskog produkta ne b postojale Uočte ponovo da su operator ujedno element algebre zbog toga h ovdje ne promatramo kao operatore Kao zanmljve prmjere snage geometrjske algebre u elektromagnetzmu pogledajte [0] l [] Drugo u ntegralnom računu se susrećemo s mjerom što su objekt kao U geometrjskoj algebr takv objekt maju orjentacju (kao što je maju lstov) što daje sasvm nove mogućnost Prmjerce objednjavanje svh važnh teorema klasčnog ntegralnog računa u jedan (Stokes Gauss Green Cauchy ) je sjajno pažnje vrjedno postgnuće geometrjske algebre Čtatelja spremnog naučt ovu ljepu al netrvjalnu temu upućujemo na lteraturu [8] [0] (na nternetu možete tražt frazu geometrc calculus ) dxdy Geometrjsk model Poznato je da geometrja D prostora može bt ljepo opsana tako da se D vektorsk prostor umetne u prostor vše dmenzje pa spomenmo homogen model (4D) konformn model (5D) Geometrjska algebra je dealan okvr za stražvanje ovakvh modela Ovdje ćemo samo kratko opsat jedan od njh konformn (razvo ga je patentrao Hestenes) Ideja je da n -dmenzonaln eukldsk vektorsk prostor promatra u n osm uobčajenh jednčnh vektora uvedmo još dva : e e e e pa mamo bazu e e e e e n + - dmenzonalnom prostoru Mnkowskog Za Ovo je ortonormrana baza 5D vektorskog prostora Dva dodana jednčna vektora defnraju D potprostor u kojem ćemo uvest novu bazu o (smbol ovdje korstmo kao oznaku vektora koj predstavlja točku u beskonačnost dok smbol o predstavlja shodšte) / 67 4 o e e e e Faktor ½ ne gra btnu ulogu može bt zostavljen al onda preostale formule maju nešto drugačj oblk Pokažte da su o nlpotent da vrjed e e o o o oo 0 Sada mamo novu bazu o e e e u kojoj geometrjsk element kao što je lnja l kružnca maju jednostavan oblk Ako mamo dvje točke u dva vektora p q koj zlaze z zajednčkog shodšta završavaju u našm točkama kvadrat udaljenost dan je sa p q p q Ideja je nać vektore q u ovoj algebr čj unutarnj produkt će nam dat udaljenost D točaka (do na faktor) tj p q p q pq U tom slučaju b moralo bt p p 0 jer je udaljenost nula pa takve vektore nazvamo nul-vektorma Prema tome u ovom modelu su točke predstavljene nul-vektorma pa se može pokazat da je za D vektor p odgovarajuć nul-vektor dan sa p

68 pp0 pq p o p p / gdje je (provjerte) Nađte U konformnom modelu točke mogu mat težnu al ovdje se nećemo tme bavt osm napomene da težna ma geometrjsk smsao prmjerce može pokazat načn na koj se presjecaju pravac ploha Vektor modela koj nsu točke (odnosno nsu nul-vektor) mogu predstavljat razlčte geometrjske elemente Kao prmjer uzmmo vektor n pa ako želmo nać sve točke koje b prpadale takvom objektu moramo napsat uvjet što znač da je udaljenost točke predstavljene s točke predstavljene s jednaka nul Imamo x x o x x x / n x n 0 x 0 pa vdmo da mamo jednadžbu plohe okomte na vektor n s udaljenošću do shodšta Ako se sjetmo da je kružnca u D defnrana s tr točke možemo cjent čnjencu da kružncu u ovom modelu dobjemo jednostavno: napravmo vanjsk produkt točaka Ako je jedna od točaka dobjemo pravac Lakše od toga ne može Naročto je važno da transformacje elemenata možemo ostvart jednm formalzmom pa tako prmjerce možemo postć da stm formalzmom opsujemo rotacje translacje Zanteresran čtatelj može nać ljepo zloženu teorju u [9] gdje možete skorstt prednost software-a koj prat knjgu: GAVewer Sve je besplatno dostupno na Internetu / n 68

69 Dodatak A Neka svojstva Pauljevh matrca Pogledajmo Pauljeve matrce neka njhova svojstva Za lnearne kombnacje Pauljevh matrca pa vrjed a a ˆ b b ˆ 0 a aa a 0 a b naš a se ponaša kao vektor Također vrjed ab ba 0 ab 0 što znač da Pauljeve matrce mogu bt nterpretrane kao jednčn vektor (dobl smo skalarn produkt vektora a ae b be ) Naravno to znač da b produkt jednčnh vektora ant-komutatvn (kao za matrce) Nađemo l antsmetrčn do e trebal bt pomnožmo ga matrcom ab ba 0 0 dobt ćemo koefcjente vektorskog produkta (pokažte to) Iz ˆ ˆ ˆ ˆ sljed j j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 j j j j j 0 Imamo objekte s negatvnm kvadratom on svakako nsu vektor što znač da matrca ˆ ˆ ne predstavlja vektor Ovdje mamo problem geometrjske nterpretacje Međutm s jednčnm vektorma mamo ee j objekt koj odmah daje jasno geometrjsko značenje (orjentran paralelogram) koj usput defnra svoju ravnnu Slčno ˆ ˆ ˆ je samo produkt jednčne matrce magnarne jednce dok je e e e orjentran volumen s kvadratom - koj komutra sa svm vektorma što znač da opet mamo magnarnu jedncu al s jasnom geometrjskom nterpretacjom Konačno tražmo l D matrčnu reprezentacju od Cl dobjemo Pauljeve matrce kao rješenje Postojanje matrčne reprezentacje dokazuje da je Cl dobro defnrana algebra j 69

70 A Sve je boost Za kompleksn vektor F v j w mamo F N N defnramo F / W f 0 f W l Pretpostavmo da mamo eksponencjalnu formu / W W / W W dempotente F exp f F F / F I j f (poopćen Bond faktor f f / f f 0 dobjemo W f e cosh f snh f f f F pa za I defnrajuć tanh W ln ) Sada možemo pročtat brznu kao W lako sljed da za uzastopne boost -ove vrjed W W WW f f f W W e e e f f f WW l e e W W WW W WW f f f f f f f f Općento mamo kompleksn skalar ln R j I (eksplctne formule za su prlčno nepregledne možemo skorstt program Mathematca zamjenu j gdje je občna magnarna jednca) što vod na exp f exp f exp jf R I R I Za F v w W v jw v w j v w za w 0 mamo dobro poznate j formule za boost-ove u specjalnoj relatvnost Za F j mamo w jw / jw log jarctan w transformacje vrjed W jw w jw f jw / jw wˆ exp wˆ jwwˆ / w w w w w w w w / pa za uzastopne Postoj zanmljva mogućnost nterpretacje ovakvh transformacja kao boost -ova defnrajuć nov rotrajuć sustav referencje s vremenom t ( je vlastto vrjeme ) uvodeć tako ove rotrajuće sustave kao analog nercjalnm Zahtjev za nvarjantnošću MA navod na presptvanje paradgme nercjaln sustav referencje 70

71 exp jnˆ Za dobro poznate čste rotacje W tanh j j tan možemo psat j ˆ j j ˆ / j mamo n n ˆ / tan jtan / jtan jnˆ e jnˆ tan tan tan tan tan tan / tan tan tan j f n / pa Zahvala Želm zrazt zahvalnost Eckhardu Htzeru za ljubazne rječ podršku 7

72 Lteratura [] Baez: Dvson Algebras and Quantum Theory arxv:05690v [] Bayls et al: Moton of charges n crossed and equal E and B felds AJP [] Bayls Geometry of Paravektor Space wth Applcatons to Relatvstc Physcs Kluwer Academc Publshers 004 [4] Bayls Had: Rotatons n n dmensons as sphercal vectors Applcatons of Geometrc Algebra n Computer Scence and Engneerng [5] Bayls: Classcal Egenspnors and the Drac Equaton Ph Rev A [6] Bayls: Egenspnors n Electrodynamcs n Clfford (geometrc) algebras wth applcatons to physcs mathematcs and engneerng ch 8 [7] Bayls: Egenspnors n Quantum Theory n Clfford (geometrc) algebras wth applcatons to physcs mathematcs and engneerng ch 9 [8] Bayls: Electrodynamcs: A Modern Geometrc Approach Progress n Mathematcal Physcs [9] Bayls Sobczyk: Relatvty n Clfford's Geometrc Algebras of Space and Spacetme arxv:math-ph/040506v [0] Bayls: Surprsng Symmetres n Relatvstc Charge Dynamcs arxv:physcs/04097v [] Chappell Hartnett Iannella Abbott: Dervng tme from the geometry of space arxv: v [] Chappell Hartnett Iannella Abbott Iqbal: Explorng the orgn of Mnkowsk spacetme arxv: v [] Chappell Iqbal Gunn Abbott: Functons of multvektor varables arxv:40965v [4] Chappell Iqbal Iannella Abbott: Generalzng the Lorentz transformatons [5] Chappell Iqbal Iannella Abbott: Revstng specal relatvty: A natural algebrac alternatve to Mnkowsk spacetme PLoS ONE 7() [6] Doran: Geometrc Algebra and ts Applcaton to Mathematcal Physcs thess [7] Doran Lasenby Gull: Gravty as a gauge theory n the spacetme algebra Fundamental Theores of Physcs [8] Doran Lasenby: Geometrc Algebra for Physcsts Cambrdge Unversty Press [9] Dorst Fontjne Mann: Geometrc Algebra for Computer Scence [0] Hestenes Sobczyk: Clfford Algebra to Geometrc Calculus Sprnger [] Hestenes: Mathematcal Vruses n Mcal et al Clfford Algebras and ther Applcatons n Mathematcal Physcs Kluwer Academc Publshers 99 [] Hestenes: New Foundatons for Classcal Mechancs Kluwer Academc Publshers [] Htzer Helmstetter Ablamowcz: Square Roots of - n Real Clfford Algebras arxv:044576v 7

73 [4] Jancewcz: Multvectors And Clfford Algebra In Electrodynamcs World Scentfc Sngapore (988) [5] Lasenby Doran Gull: Gravty Gauge Theores and Geometrc Algebra gr-qc/04050v [6] Mermn: Relatvty wthout lght Am J Phys 5 9 (984) [7] Mornev: Idempotents and nlpotents of Clfford algebra (russan) Гиперкомплексные числа в геометрии и физике () том [8] Sabbata Datta: Geometrc algebra and applcatons n physcs Taylor&Francs [9] Sobczyk: Geometrc matrx algebra Lnear Algebra and ts Applcatons 49 (008) 6 7 [0] Sobczyk: New Foundatons n Mathematcs: The Geometrc Concept of Number Brkhäuser [] Sobczyk: Specal relatvty n complex vector algebra arxv: v [] Sobczyk: Vector Analyss of Spnors [] Sobczyk: The Mssng Spectral Bass n Algebra and Number Theory the Amercan Mathematcal Monthly Vol 08 No 4 (Apr 00) pp 6-46 [4] Traylng Bayls: The Cl7 approach to the standard model Progress n Mathematcal Physcs 4 pp [5] Vnce: Geometrc algebra for computer graphcs Sprnger 008 Nekolko dodatnh zanmljvh tekstova Bouma Tmaeus: Invertble Homogeneous Versors are Blades 00 Bromborsky Alan: An Introducton to Geometrc Algebra and Calculus Chsholm JSR Common AK: Clfford Algebras and ther Applcatons n Mathematcal Physcs Redel Publshng Company 985 Hldenbrand Detmar: Foundatons of Geometrc Algebra Computng Sprnger Htzer Eckhard: Introducton to Clfford s Geometrc Algebra arxv:06660v Jones George Llewellyn: The Paul algebra approach to relatvty thess Unversty of Wndsor Kanatan Kench: Understandng Geometrc Algebra CRC Press Kosokowsky Davd E: Drac theory n the Paul algebra thess Unversty of Wndsor Macdonald Alan: A Survey of Geometrc Algebra and Geometrc Calculus Macdonald Alan: Lnear and Geometrc Algebra 7

74 Macdonald Alan: Vector and Geometrc Calculus Menrenken Eckhard: Clfford algebras and Le groups Perwass Chrstan: Geometrc Algebra wth Applcatons n Engneerng Sprnger 009 We Jansu: Quantum mechancs n the real Paul algebra thess Unversty of Wndsor Yao Yuan: New relatvstc solutons for classcal charges n an electromagnetc feld thess Unversty of Wndsor Namjerno je ponuđena manja kolčna lterature zbog današnje mogućnost lakog dolaska do nformacja al na kraju dajemo pops mena ljud koj se bave ovm područjem tako da čtatelj lakše pronađe članke knjge td D geometrja Izvor na Internetu Software Cnderella clffordm Mathematca package CLIFFORD Clfford algebra for CAS Maxma 74

75 Clfford Multvektor Toolbox for MATLAB CLUCalc/CLUVz GA0 and GA0 (Formerly called paulga) Gaalet Gaalop GABLE Gagen GAlgebra GA Sandbox GAVewer ljep alat preporučen uz teks Možete donekle manpulrat slkama GluCat GMac SpaceGroupVsualzer 75

76 The GrassmannAlgebra package Versor Nekolko važnh detalja možete nać na 76

77 Pops mena autora u geometrjskoj algebr (po abecednom redu) On kojh se nsam sjeto l on za koje ne znam neka oproste lstu ćemo prošrvat Abbott Derek Ablamowcz Rafal Aharonov Yakr Almeda José Aragón-Camarasa Gerardo Aragón José Lus Arstdou Andreas Artn Eml Arthur John Artūras Acus Augello Agnese Babalc Elena-Mrela Barbosa Afonso Manuel Bajguz Weslaw Bartsch Thomas Baugh James Bayls Wllam Bayro-Corrochano Eduardo Benger Werner Bengtsson Ingemar Blanchfeld Kate Bouma Tmaeus Brackx Freddy Brn Andrea Bromborsky Alan Browne John Buchholz Sven Cameron Jonathan Campbell Earl Castro Carlos Challnor Anthony Chapell James Chsholm John Stephen Roy Chsolm Erc Cbura Carsten Clfford Wllam Kngdon Colapnto Pablo Conte Elo Cory Davd G Dargys Adolfas Denker John Dxon Geoffrey Doran Chrs Dorst Leo Dresden Max Dress Andreas Ed Ahmad Hosny Falcón Lus Eduardo Farach Horaco A Farouk Rda T Fernandes Leandro Fernandez Vrgna Fgueroa-O'Farrll José Fnkelsten Davd Rtz Fontjne Danel Franchn Slva Francs Matthew Galautdnov Andre Gentle Antono Goldman Ronald Grassmann Hermann (frst deas) Gull Stephen Gunn Charles Gunn Lachlan Halma Arvd Havel Tmothy F Henselder Peter Hestenes Davd (bg dog) Hlley Basl 77

78 Hldenbrand Detmar Htzer Eckhard Horn Martn Erk Howard Mark Ichkawa Dasuke Iqbal Azhar Ivezć Tomslav Jancewcz Bernard Jones George Lewellyn Joot Peeter Kanatan Kench Klawtter Danel Kock Jerzy Kosokowsky Davd E Kumar Datta Bdyut Kuroe Yasuak Kwasnewsk Andrzej Krzysztof Lachèze-Rey Marc Lasenby Anthony Lasenby Joan Laurnoll Teuvo Lazarou Caln Lulu Leopard Paul Lews Antony L Hongbo Lounesto Pertt Luca Redaell Lundholm Douglas Lynn Ben Mann Stephen Matos Sérgo Matzke Douglas Maward Bahr Macdonald Alan Menrenken Eckhar Mller Rchard Alan Mornev Oleg Moya Antono Manuel Naeve Ambjorn Najfeld Igor Nesterov Mchael M Ntta Tohru Olvera Manuel Pava Carlos Parkn Spencer T Parra Josep Pavšč Matej Perwass Chrstan Pesonen Janne Pezzagla Wllam Poole Charles P Jr Porteous Ian R Pozo Jose Mara Regonat Francesco Renaud Peter Resz Marcel Rocha Marlene Lucete Matas Rockwood Alyn Rodrgues Waldyr Salngaros Nkos Setawan Sand Seybold Floran Schönberg Máro Shrokov Dmtry Snygg John Sobczyk Garrett Eugene Sogune Alexander Somaroo Shyamal Sommen Frank Sommer Gerald Sorbello Flppo Sugon Qurno Suter Jaap Svenson Lars Tachbana Kanta Tarkhanov Vctor 78

79 Teols Antono Tsza Laszlo Traylng Greg Vargas José Varlamov Vadm Vassallo Gorgo Velebl Jrka Vugt Flors T van Zamora Julo Zhang Hua Zhaoyuan Yu Yao Yuan Wang Dongmng Wareham Rch We Jansu We Lu Wtte Frank Wu Dmn 79

80 80