PRILOG O PROŠIRIVANJU I UOPŠTAVANJU ZADATAKA IZ GEOMETRIJE TROUGLA

Transcription

1 MAT-KOL (Banja Luka) XX(3)(2014) ISSN (o) ISSN (o) PRILOG O PROŠIRIVANJU I UOPŠTAVANJU ZADATAKA IZ GEOMETRIJE TROUGLA (Some attachment on the expanson and generalzaton problems to the trangle geometry) Mlorad Beljć 1 Sažetak U ovom članku date su neke geometrjske nejednakost koje se nadovezuju na zadatke z redovne nastave matematke u srednjoj škol Ključne rječ zraz: trougao artmetčka geometrjska kvadratna sredna geometrjske nejednakost Abstract In ths artcle are presented some geometrc nequaltes that relate to the problems of regular teachng mathematcs n hgh school Key words and phrases: trangle arthmetc mean geometrc mean squared mean geometrc nequaltes AMS Subject Classfcaton (2010): 51M04 97G40 ZDM Subject Classfcaton (2010): G40 Oduvjek je geometrja zaokupljala pažnju mnogh matematčara nadahnjvala brojne generacje od drevnh vremena do današnjh dana da b tako nastala današnja moderna geometrja Programsk zahtjev u redovnoj srednjoškolskoj nastav geometrje ne poklanjaju dovoljno pažnje geometrjskm nejednakostma Ta ptanja su pokrvena sa sljedeće tr teoreme: 1 Spoljašnj ugao trougla već je od blo kog nesusjednog unutrašnjeg ugla; 2 Stranca a trougla ABC veća je od strance b ako samo ako je naspramn ugao α već od ugla β; 3 U svakom trouglu zbr dvje strance je već od treće a razlka dvje strance manja je od treće strance (nejednakost trougla) 1 Vlade Jovanovća Šabac Srbja

2 MAT-KOL XX(3)(2014) MBeljć Zbog svog značaja ozbljnost ova tema vše se razrađuje na časovma dodatne nastave prpremama za takmčenja dr U ovom članku 2 bt će rječ o nekm geometrjskm nejednakostma koje se prrodno nadovezuju na zadatke z redovnog školskog programa skupa čne jednu nteresantnu cjelnu te daje prmjer kako se može radt sa drugm temama Ovakav načn rada usmjeravanja naprednjh učenka preko redovne nastave u produbljvanje prošrvanje povezvanje generalzacju postojećh problema gdje god je to prrodno moguće gdje ma smsla od posebnog je značaja za rad sa nadarenm učencma kroz vannastavne aktvnost kao prrodnog pratoca redovne nastave Na taj načn mladm matematčarma preko tako osmšljenh mn stražvanja se otvara nov put u nepoznato nagoveštava da stražvanje u nauc nje završeno Takav oblk rada može povećat nteresovanje za bavljenje matematkom uputt h u ozbljj naučn rad uz jednu opreznost Name na početku rada sa njma ne smju se zadavat pretešk zadac nego nvo opterećenost povećavanje zahtjeva treba da de postepeno jer b u suprotnom došlo do gubljenja samopouzdanja demoralsanja Pravlno vođenje dodatne nastave prprema za takmčenja drug vdov rada kod mladh matematčara pokreće logčno mšljenje maštu ntucju što sve skupa zazva rođenje deja povećava nteresovanje za matematku a u šrem smslu za nauku uopšte Kod pošrvanja povezvanja produbljvanja uopštavanja geometrjskh zadataka korste se: a metode logčkog zaključvanja (dedukcja ndukcja ndrektno zaključvanje); b msaon postupc metode naučnog stražvanja (analza snteza analogja konkretzacja specjalzacja apstrakcja generalzacja) U postupku rješavanja zadataka 3 često se dodaju dopunsk uvjet datog zadatka sptuju se grančn uvjet mjenja se dmenzja sstema u kome se rad sl Ovaj članak ma za clj da pokaže neke performanse zadataka na prmjeru trougla Name na školskom času kao vremenskom resursu treba postć maksmum skorštenost a mnmum gubtka vremena Obrada nastavnog materjala je predvđena nastavnm planom programom Međutm na nastavnom času pr rješavanju nekog problema mogu se učenc usmjert uz dodatno varranje uvjeta u daljnje stražvanje šreg problema nego što je rješavan na času redovne nastave Tako od zadatka do zadatka učenc se neosjetno uvode u mn stražvanje stalno postavljajuć ptanje: - Šta b blo kad b blo? S druge strane takav prstup nastav da se uobčajenm zadacma dodaju nov uvjet je od zuzetne važnost jer se tako dobjaju zadac značajnj od prvobtnh Neretko taj prvobtn zadatak se shvat kao specjaln slučaj nekog opštjeg 2 Ist je namjenjen za rad sa srednjoškolcma koj pokazuju povećano nteresovanje za matematku 3 Od zuzetne važnost je traženje vše rješenja nekog zadatka Tako se odbacvanjem tradconalnh shvatanja dolazlo do novh senzaconalnh naučnh otkrća U storj matematke poznata su takva otkrća poput geometrje Lobačevskog Boljaja Kopernkovog helocentrčnog sstema Lukašjevčeve všeznačne logke Ajnštajnove teorje relatvteta sve u duhu poznate msl Sve stvar maju grance sem stvaralaštva 146

3 MAT-KOL XX(3)(2014) MBeljć problema Svakako da se t novran zadac rješavaju u dodatnoj nastav matematčkm klubovma prpremama za takmčenja sl U tom smslu su uprlčena sljedeća rasuđvanja Prmjer Neka su A 1 B 1 C 1 tačke dodra stranca a b c respektvno sa kružncom upsanom u trougao ABC R r poluprečnc opsane upsane kružnce a s poluobm tog trougla a) Izrazt strance trougla A 1 B 1 C 1 u funkcj stranca a b c trougla ABC b) Dokazat jednakost gdje su r a r b r c poluprečnc prpsanh kružnca trouglu ABC c) Dokazat nejednakost (1) (2) A B B C C A r s (3) (4) Rješenje: a) Neka je tačka O centar upsane kružnce u trougao ABC (slka 1) Površna trougla AB 1 O ( ) je jednaka a odavde je Analogno dobjamo (6) Slka 1 S druge strane mamo 147

4 MBeljć MAT-KOL XX(3)(2014) ( )( )( ) (7) kao Prmjenom Ptagorne teoreme na pravougl trougao AOB1 dobjamo Na slčan načn mamo Iz jednakost - sljed (11) b) Korštenjem obrazaca (formula) za površnu trougla (Heronov obrazac) jednakost mogu se zrazt na sljedeć načn: 148

5 MBeljć MAT-KOL XX(3)(2014) Tada z jednakost prozlaz tražena jednakost d) Na osnovu odnosa zmeđu artmetčke geometrjske sredne za dužne jednakost dobjamo tj ljev do nejednakost Na osnovu odnosa zmeđu artmetčke kvadratne sredne mamo a odavde zbog sljed4 4 ( ) <> ( ) ( ) ( ) 0 ( č 149 )

6 MBeljć MAT-KOL XX(3)(2014) što predstavlja desn do nejednakost Dalje na baz jednakost dobjamo S obzrom da je (Ojlerova nejednakost)5 z sljed nejednakost Konačno na osnovu jednakost sredne dobjamo nejednakost zmeđu artmetčke geometrjske jer je Na kraju dajemo nekolko zadataka za vježbu 1 Dokažte nejednakost Kada važ jednakost? (Uputa: Korstt jednakost O centar upsane kružnce H ortocentar trougla gdje je ) 2 Ako je O centar upsane kružnce r njen poluprečnk dokazat da u trouglu važe nejednakost: a) ; b) n (Uputa: a) Upotrebt jednakost nejednakost zmeđu artmetčke geometrjske sredne Ojlerovu nejednakost b) Slčno kao pod a)) 3 Dokazat nejednakost n (Uputa: Korstt jednakost Jensenovu nejednakost za konveksne funkcje) 5 mamo: ( ) ( ) ( ) tj ( ) ( ) ( ) <> <> 8( )( )( ) <> 2 (zbog Heronovog obrasca abc 4Rrs) 150

7 MAT-KOL XX(3)(2014) MBeljć Lteratura [1] D S Mtrnovć dr Prručnk za takmčenje srednjoškolaca II (Geometrjske nejednakost) Zavod za udžbenke Beograd 1966 [2] D S Mtrnovć Analtčke nejednakost Građevnska knjga Beograd 1970 [3] P Stojakovć Razvjanje sposobnost učenja Svjetlost OOUR Zavod za udžbenke nastavna sredstva Sarajevo 1981 Prmljeno u redakcju