Uvod u planiranje i analizu pokusa

Transcription

1 Uvod u planranje analzu pokusa Uvod u planranje analzu pokusa

2 1. Uvod u statstčku analzu Statstka - znanost koja daje potporu pr donošenju odluka zaključaka u slučaju kada je prsutna varjablnost. Inženjersk znanstven prstup jest skup metoda kojma se formulra rješava zadan problem Područje statstke se bav prkupljanjem, prezentacjom, analzom upotrebom dobvenh rezultata u procesu donošenja odluka, rješavanja problema te oblkovanja prozvoda procesa Statstčke metode - opsvanje razumjevanje varjablnost Uvod u planranje analzu pokusa

3 Potrebno je uključt čnjencu varjablnost u proces donošenja odluka statstčk prncp Statstka daje okvr za stražvanje varjablnost te dentfkacju potencjalnh zvora (faktora) Uobčajen načn razmšljanja - prmjena općenth (fzkalnh) zakona u oblkovanju prozvoda l procesa Istražvačk prstup upotrebom statstčkog zaključvanja (eng. Statstcal nference) jest da na temelju specfčnh podataka dobvenh z uzorka se zaključuje o populacj Uvod u planranje analzu pokusa

4 . Osnove teorje uzoraka UZORAK: slučajn, reprezentatvn do osnovnog skupa populacje Uzorc: 1.uzorak: nx,, 1 1.uzorak: nx,,.uzorak: n, x, Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

5 Razdoba artmetčke sredne uzorka f ( x ) f ( x) razdoba artmetčke sredne uzorka osnovn skup osnovn skup: N Ex ( ) ; 0 x x 1 x, x artm. sredna uzorka: N Ex ( ) ; x x 3 x 4 x 6 x 5 Raspon osnovnog skupa Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

6 Centraln grančn teorem - Razdobe artmetčkh sredna uzoraka vrlo brzo se prblžavaju normalnoj raspodjel neovsno o vrst raspodjele u osnovnom skupu ako velčna uzorka tež u beskonačnost Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

7 Neprstrane procjene parametara osnovnog skupa Pojam neprstrane procjene: neka varjabla neprstrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θ ako vrjed: E( ) Ex ( ) Ex ( ) E( ) Es ( ) 0 0 Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa x dakle: uzorka neprstrano procjenjuje očekvanja osn. skupa dakle: varjanca uzorka nje neprstrana procjena varjance osnovnog skupa n n 1 dakle: varjabla s neprstrano procjenjuje varjancu osnovnog skupa

8 Standardna pogreška artmetčke sredne uzorka Pomoću varjable s određuje se s x 0 0 x x x n s n s x n s n standardna pogreška ar. sredne VAŽNO: s n 1 ( x x) n 1 k = (n 1)... broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

9 Intervalna procjena očekvanja osnovnog skupa f ( x) nterval povjerenja (vjerodostojnost) f(z) 1 x x z x x z x z z x (1 ) x 1 f( z) e x z x 1 z varjabla standardzrane normalne razdobe x Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

10 Važno: Velk uzorc: n > 30 elemenata, podataka vrjednost varjable z z standardzrane normalne razdobe Mal uzorc: n 30 elemenata, podataka korstt Studentovu t-razdobu f(t) N0,1 Studentova t-razdoba sa k = n 1 stupanj slobode Studentova t-razdoba smetrčna za velke uzorke se ne razlkuje od normalne razdobe t Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

11 Konačno: Za velke uzorke Korstt standardzranu (jednčnu) normalnu razdobu Za male uzorke Korstt Studentovu t-razdobu s parametrom k = n 1 s x z x z n s ( ) (1 ) x t ( k ; x t ) ( k ;1 ) n s n s n z... varjabla N 0,1 t... varjabla Studentove t-razdobe Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

12 Prmjer: Podac utvrđen u nekom procesu: 5.1, 49.0, 51.4, 50.0, 50.3, 49.6, 50.6, 50.8, 51.0, 51.7 Intervalno procjent očekvanje osnovnog skupa z kojeg potječe uzorak, uz nterval vjerodostojnost 1 = 0,95 (95%) Rezultat dobven računanjem, z uzorka: n = 10; x = 50,65; s = 0.96 s s x t( ) x t(1 ) n n uz P 0,95 (95%) Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

13 Opaska U slučaju kada je poznata standardna devjacja osnovnog skupa, nje nužno korštenje Studentove t-razdobe kao n neprstrane procjene standardne pogreške U tom je slučaju: x z( ) x z(1 ) n Za prethodn prmjer: ako prhvatmo da je standardna devjacja osnovnog skupa, sljed: uz P 0,95 (95%) n 1 Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

14 Intervalna procjena proporcja Uzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacje) u kojem nek događaj ma proporcju P rezultralo b slučajnom varjablom p, tj. proporcjom stog događaja al u uzorku: f ( p) N E( p) P; p Vrjed: pz s P pz s ( ) p (1 ) uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ) p 1 P p p1 p Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

15 Važne pretpostavke: proporcja uzorka p N E( p) P; p s p... neprstrana procjena standardne pogreške proporcje uzorka: pq s p, q 1 p n n... velčna uzorka VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n 100) ( ) Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

16 Intervalna procjena varjance Varjance (osobto malh) uzoraka ne raspaju se normalno oko varjance osnovnog skupa Vrjed (K. Pearson, ) f ( ) n n ( x x) n varjabla raspa se prema razdob s k = n 1 stupanj slobode n k = 1 k = 5 k = 10 k = 15 E ( ) k k = n 1 ( ) (1 ) 0 uz vjerojatnost (1 ) 1 0 ( ) (1 ) Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

17 Konačno: n n, uz raznu povjerenja (1 ) 0 (1 ) ( ) Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

18 3. Testranje statstčkh hpoteza T.S.H. predstavlja postupak donošenja odluke na baz uzorka uzorak, n podataka: x 1, x,..., x n rezultat se uzorka mogu shvatt kao točka u n - dmenzonalnom prostoru prostor se može podjelt na dva međusobno dsjunktna djela (koj se sključuju), do A do B do B (odbacvanje H 0 ) U praks: umjesto n - dmenzonalnog modela služmo se jednodmenzonalnm varjablama (uglavnom). do A (prhvaćanje H 0 ) Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

19 Postavmo dvje hpoteze: H 0 : nulta hpoteza H 1 : alternatvna hpoteza Ako se točka T kao realzacja uzorka nađe u djelu A, smatramo hpotezu H 0 spravnom prhvaćamo je Ako se točka T kao realzacja uzorka nađe u djelu B, smatramo hpotezu H 0 nespravnom odbacujemo je do B (odbacvanje H 0 ) do A (prhvaćanje H 0 ) Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

20 Pogreške pr testranju hpoteza Očto: pr uporab opsanog modela moguće su pogreške Uzrok pogrešaka: slučajnost odabra elemenata uzorka! Vrste pogrešaka: Pogreška 1. vrste nastaje odbacvanjem nulte hpoteze H 0 ( prhvaćanjem alternatvne hpoteze H 1 ) ako je hpoteza H 0 spravna: Vjerojatnost pogreške 1. vrste: PTBH 0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE Ho Pogreška. vrste nastaje prhvaćanjem hpoteze H 0 u uvjetma spravnost alternatvne hpoteze H 1 Vjerojatnost pogreške. vrste: PTAH 1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE Ho Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacvanja nulte hpoteze kada je ustnu nespravna: +p = 1 p = 1 ISPRAVNO ODBACIVANJE H o p PTBH 1 Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

21 Stanje Hpoteza Ho ISTINITA NEISTINITA O D L U Odbact Pogreška 1. vrste ISPRAVNO K A Prhvatt ISPRAVNO Pogreška. vrste Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

22 Testranje hpoteza za očekvanje Uzorak osnovn skup, hpoteze Razdoba artmetčke sredne uzorka Studentova razdoba s k = n 1 st. slob. f ( x) Hpoteze: H H H H : x : x dvostran test : x jednostran : x testov f () t 1 x x 1 x Pogodna jednodmenzonalna varjabla: t x s x... varjabla Studentove t-razdobe, k = n 1 stup. slobode k = n 1 ss 1 t t Ako je rač. 0 odbact Ho, uz vjerojatnost pogreške 1. vrste t 0 0 t 0 t Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

23 Prmjer: Podac z prmjera za ntervalnu procjenu očekvanja n = 10; = 50.65; s = 0.96; Provjert hpotezu da je rječ o podacma skupa čje je očekvanje 51.5 jednca, naprama alternatvnoj hpotez 51.5 Vjerojatnost pogreške 1. vrste neka znos 0.05 ( = 0.05) f () t H : x 51.5 H : x 51.5 ( 51.5) 0 1 x 0.05 t rač Zaključak: t rač t t t t ODBACITI H rač. 0 0 Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

24 Provjera hpoteza uzorak uzorak (test očekvanja) 1. skup: očekvanje 1, varjanca uzorak: n 1 podataka,. skup: očekvanje, varjanca 0. uzorak: n podataka, x, s, sx x, s, sx Hpoteze: H H H H : 0 1 : 1 1 : 1 1 : 1 1 f ( x1 ) f( x ) 1 x1, x Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

25 artmetčka sredna svakog od uzoraka raspat će se oko očekvanja skupa z kojeg uzorak potječe njhova razlka d x1 xraspat će se oko velčne D 1 pretpostavmo l da je hpoteza Ho stnta, 1 varjabla d će se raspat oko 0. f ( d) 0 d Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

26 pr tome je standardna pogreška varjable d: s d s n s n za uzorke s n 1 + n > 30 ( n11) s1 ( n 1) s n1n... za uzorke s n sd 1 + n < 30, n1n n1n ako se n 1 n znatno razlkuju varjabla pogodna za testranje nulte hpoteze: f () t k = n 1 + n t rač. x x 1 s d... varjabla Studentove t-razdobe s k = n 1 + n s. s. Ako trač. t0 odbact Ho, uz vjerojatnost pogreške 1. vrste. t 0 0 t 0 t Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

27 Testranje hpoteza za proporcje (atrbutvne podatke) slučaj: uzorak osn. skup osnovn dvoslojn skup s proporcjom P elementa sa svojstvom A. uzorak n elemenata s proporcjom p važno: E(p) = P raspanje proporcje p oko proporcje P ma standardnu pogrešku: s p pq n slučaj: uzorak uzorak osnovn skupov 1. skup, proporcje P 1. skup, proporcje P uzorc n 1 pod., proporcja p 1 n pod., proporcja p nulta hpoteza: H0 : P1 P alternatvna hp.: H1: P1 P H1: P1 P H : P P 1 Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

28 varjabla za testranje hpoteze Ho : P z p P s p var. razdobe N Vrjed samo za VELIKE uzorke tj. n 100 0,1 razlka d = p 1 p raspa se oko E(d)=0, ako pretpostavmo stntost nulte hpoteze varjabla pogodna za testranje nulte hpoteze: z p 1 s d p n n sd p(1 p) n n p np n np n Zaključak: Ako zrač. z( ) ODBACITI Ho Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

29 Usporedba (testranje) varjanc 1. Osnovn skup: očekvanje 1, varjanca 01 neprstrana procjena varjance. Osnovn skup: očekvanje, varjanca 0 s neprstrana procjena varjance Nulta hpoteza: naprama alternatvnoj Varjabla H H F : : 01 0 s s 1 varjabla F-razdobe s k b = n 1 1s.s. k n = n 1s.s. s 1 Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

30 f( F) k b ; k n Ako: F rač. > F 0 odbact Ho Konvencja: s s 1 1 Tpčno: = 0.05; 0.01 F 0 F F-razdoba: utemeljo G. Snedecor ( ) Nazv F-razdoba u čast R. Fshera ( ) VAŽNO: Svakom testu artmetčkh sredna mora prethodt provjera značajnost razlka među varjancama Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

31 Usporedba frekvencja (c test) neparametarsk test test usporedbe frekvencja značajnost razlka među frekvencjama f(x) f t (x) Odnos stvarnh teorjskh frekvencja preko varjable n 1 f ( x) ft ( x) ft ( x) varjabla sa k=n-1 stupnjeva slobode, kod prlagodbe razdoba k=n-1-r, gdje je r broj parametara prlagođene razdobe r(bnomna)=r(possonova)=1; r(normalna)= postavljanje hpoteza: H 0 razlke f(x)-f t (x) slučajne H 1 razlke f(x)-f t (x) značajne ako je r 0 tada treba odbact hpotezu H 0 NAPOMENA: upotreba samo za frekvencje f t >5! u slučaju prlagodbe kombnrat sa susjednom frekvencjom (razredom) razdoba Osnove Uvod u teorje planranje uzoraka analzu pokusa

32 4. Analza varjance Postupak usporedbe vše uzoraka pr čemu svak uzorak predstavlja osnovn skup (populacju) U tehnčkm prozvodnm uvjetma analza varjance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrjednost rezultat Postupak analz značajnost utjecaja faktora u nekom procesu nepoznat proces (znanstven prstup) Analzom varjance provjeravaju se promjene artmetčkh sredna uzoraka Uvod u planranje analzu pokusa

33 Model analze varjance u slučaju jednog utjecajnog faktora Redn broj mjerenja 1 x uzorc 1 3 j k x x 3 n j n j n j n j x j x1 x x j x 1 x x j x k1 n j n j x j xk 1 1 x j x k Model: x x x j j j j x j vrjednost -tog mjerenja u j-tom stupcu artmetčka sredna svh podataka doprnos ar. sredne j-tog uzorka slučajno odstupanje unutar uzorka j Pretpostavka: N j E ( ) 0; j ( ) j Uvod u planranje analzu pokusa

34 Model se može shvatt kao: Hpoteza: 1,,, nj xj xj j j 1,,, k H0 : x. 1 x. x. k 0 H : bar jedan x 0 1. j Za provjeru gornje hpoteze H 0 nužno je odredt dvje nezavsne varjance kako b se formrao F test: f ( F) F s s 1 varjabla F-razdobe s k b = n 1 1s.s. k n = n 1s.s. k b ; k n ( s s ) 1 1 F 0 F Odluka: ako F rač. > F 0, odbact H 0, uz pogrešku prve vrste čja je vjerojatnost Uvod u planranje analzu pokusa

35 Postupak: N n1n nj nk ukupn broj podataka s 0 k n j j1 1 ( x ) j N 1 ( N 1) s ( x ) ( x x x ) k n j j1 1, j j j j j, j, j ( xj xj ) ( xj ) ( xj xj ) ( xj ), j, j, j = 0 Uvod u planranje analzu pokusa

36 Konačno: F s s ( x ) ( x x ) ( x ) j j j j, j, j, j SKO SKO SKO UKUPNO unutar zmeđu uzoraka uzoraka s s s UKUPNO unutar zmeđu uzoraka uzoraka zmeđu uzoraka unutar uzoraka varjabla F-razdobe s k b = k 1 s.s. k n = N k s.s. Uvod u planranje analzu pokusa

37 Prmjer: Čvrstoća papra (ps) u ovsnost o udjelu tvrdog drva u smjes, u % mjerenja udo tvrdog drva, % Suma po uzorcma Ar. sredna uzorka ukupna suma: 383 ukupna ar. sredna: f ( F) k b = 3; k n = 0 Tablca analze varjance zvor varjacje faktor: udo tvrdog drva slučajno odst. u uzorcma (ostatak) suma kvadrata odstupanja stupnjev slobode srednj kvadrat odstupanja F rač. F 0(=0.01) UKUPNO: F 0 = F rač. > F 0 odbact H 0 uz vj. pogreške 1. vrste = 0.01 F Uvod u planranje analzu pokusa

38 PRIMJER (1 prom. faktor): Četr poduzeća prozvode stovrsn prozvod. Prlkom kontrole mjerena je karakterstčna dmenzja za serje prozvoda koje se zrađuju na jednom tpu automata. Potrebno je provjert da l se kvalteta prozvoda (u pogledu karakterstčne dmenzje) značajno razlkuje od serje do serje (među poduzećma). Red.br. UZORCI (poduzeće) Effect Total Poduzece Poduzece Poduzece Poduzece Effect Poduzece Error Total Descrptve Statstcs (Spreadsheet1) Level of N Var Var Var Var Var Factor Mean Std.Dev. Std.Err -95,00% +95,00% 6 164,1154 8, , , , ,0000 6,90411, , , ,000 6,49615, , , ,65011,0316 3, ,40317, ,5000 7, , , ,5403 Unvarate Results for Each DV (Spreadsheet1) Sgma-restrcted parameterzaton Effectve hypothess decomposton Degr. of Var Var Var Var Freedom SS MS F p 3 318,5 106, 1,460 0, , 7, ,7 Uvod u planranje analzu pokusa Dr. Zagreb, sc. Hrvoje rujan Cajner 009.

39 Model analze varjance s dva promjenjva faktora x x x Model: j j j xj Vrjednost u -tom retku j-tom stupcu artmetčka sredna svh podataka x doprnos ar. sredne j-tog j stupca doprnos ar. sredne -tog x retka slučajno odstupanje (ostatak) j Pretpostavka: N j E ( ) 0; j ( ) j Formraju se dva F-testa: F-test (po redovma) H0 : x. 1 x. x. l 0 H : bar jedan x 0 F-test (po stupcma) H : x x x 0 H j 1. : bar jedan x 0. j. k Uvod u planranje analzu pokusa Dr. Zagreb, sc. Hrvoje rujan Cajner 009.

40 dekompozcja sume kvadrata odstupanja: ( x ) ( x ) ( x ) SKO j j ostatka, j, j, j SKO SKO SKO SKO s UKUPNO s stupc redov ostatka UKUPNO stupc redov ostatka s s buduć da su poznata dva zvora varjacje (gruprano u redove stupce) potrebno je provest dva odvojena F-testa preko formrane ANOVA tablce svak zvor varjacje zražen preko procjenjene varjance (srednj kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procjenjenom varjancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno dstrburan slučajna varjacja) Uvod u planranje analzu pokusa Dr. Zagreb, sc. Hrvoje rujan Cajner 009.

41 ANOVA tablca zvor varjacje suma kvadrata odstupanja stupnjev slobode srednj kvadrat odstupanja F rač. Faktor1 (redov) SKO redov l 1 s redov s redov/ s ostatak Faktor (stupc) SKO stupc k 1 s stupc s stupc/ s ostatak Ostatak SKO ostatak (k 1)(l 1) s ostatak UKUPNO: SKO ukupno N 1 Uvod u planranje analzu pokusa Dr. Zagreb, sc. Hrvoje rujan Cajner 009.

42 PRIMJER ( prom. faktora): Četr radnka zavarla su svak po jedan uzorak lma na svakom od tr postojeća uređaja za točkasto zavarvanje. Rezultat sptvanja prjelomne sle th zavarenh spojeva zapsan su u tablc. Da l je svejedno u pogledu zavarenog spoja koj radnk zavaruje na kojem uređaju? [N] Radnk Uređaj R1 R R3 R4 S Effect Radnk Uređaj Error Total Unvarate Results for Each DV (Spreadsheet1) Sgma-restrcted param eterzaton Effectve hypothess decomposton Degr. of Freedom Prjelomna sla SS Prjelomna sla MS Prjelomna sla F Prjelomna sla p 3 8 7,1 0, ,4 0, S S Descrptve Statstcs (Spreadsheet1) Level of N Prjelomna sla Prjelomna sla Prjelomna sla Prjelomna sla Prjelomna sla Effect Factor Mean Std.Dev. Std.Err -95,00% +95,00% Total 1 968,6667 4, , , ,514 Radnk R ,6667 4,16333, , ,0090 Radnk R 3 971,3333 5,0333, , ,8366 Radnk R ,3333, , , ,5849 Radnk R ,3333 4,50950, , ,5349 Uređaj S ,500 4,03119, , ,6644 Uređaj S 4 965,7500 4,9449, , ,5859 Uređaj S ,0000 3, , , ,663 Uvod u planranje analzu pokusa Dr. Zagreb, sc. Hrvoje rujan Cajner 009.

43 Pojednostavljen zraz za računanje analze varjance 1 promjenjv faktor promjenjva faktora SKO SKO SKO ukupno, x zmeđu _ uzoraka j SKO j j ostatak ukupno zmeđu _ uzoraka x N j x j j j n j SKO ndeks u tablc podataka x N SKO SKO SKO SKO ukupno, x j j j 1 j zmeđu _ stupaca x j n j j N j 1 j zmeđu _ redova x j n j N SKO ostatak ukupno zmeđu_ uzoraka x N j SKO x x j Uvod u planranje analzu pokusa Dr. Zagreb, sc. Hrvoje rujan Cajner 009.

44 5. Korelacja regresja - korelacja mjera povezanost dvje l vše varjabl Karl Pearson - regresja defnra oblk povezanost dvaju l vše varjabl Francs Galton Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

45 Osnovn prstup stražvanju pojava u procesu Dva osnovna prstupa: 1. Regresjsk prstup upotreba emprjskh (hstorjskh) podataka gdje ne postoj mogućnost kontrole faktora u procesu. jedna l vše regresorskh varjabl (faktora) koja utječe na odzvnu varjablu y f( x, x, x...) 1 3,. Planranje pokusa mogućnost kontrole faktora u procesu te oblkovanje modela po stohastčkom prncpu rad elmnacje utjecaja nekontrolranh faktora. Uvod u planranje analzu pokusa Opć model procesa Zagreb, rujan 009.

46 Korelacja Mjera povezanost dvje l vše varjabl metoda kojom se utvrđuje da l među varjablama postoj funkconalna ovsnost Pearson-ov koefcjent korelacje r može poprmt vrjednost od do r<0 defnra negatvnu korelacju r>0 defnra poztvnu korelacju SMJER POVEZANOSTI Metoda korelacje prat odstupanja uspoređuje varjacje dvaju l vše varjabl te mjer odnose među varjacjama. jakost veze Metoda najmanjh kvadrata odstupanja korst se za određvanje koefcjenta korelacje odnosno koefcjenta determnacje Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

47 Metoda najmanjh kvadrata odstupanja u određvanju koefcjenta korelacje: r SS xx xy SS SS yy n n 1 1 x x; y y n 1 n 1 n SS ( x x)( y y) xy 1 n SS ( y y) yy n SS ( x x) xx - r Pearsonov koef. korelacje -x, y orgnalne vrjednost - n broj parova podataka r x x nx y nxy y ny Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

48 Prmjer kretanja koefcjenta korelacje za razlčte grupe podataka: Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

49 Izvod koefcjenta determnacje: y y y y y ( yˆ yˆ y yˆ y) ( y yˆ ) / n 1 ( y SKO y) ukupno n 1 SKO ( yˆ y) protumačroo n 1 SKO ( yˆ ostatka y)( y yˆ) n 1 ( y yˆ) r SKO SKO protumačroo ukupno - koefcjent korelacje se računa kao drug korjen koefcjenta determnacje - r koefcjent determnacje utvrđuje kolko je promjene zavsne varjable objašnjeno promjenom nezavsne varjable Prmjer. Ako je koefcjent korelacje 0.9, tada je koefcjent determnacje Što znač da je 81% promjene zavsne varjable objašnjeno promjenom nezavsne varjable - kada se govor o jačn veze ne smje se govort na nvou r,već treba uzet u obzr koefcjent determnacje!!! Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

50 Testranje koefcjenta korelacje (T-test): Upotreba metode uzoraka u teorj korelacje Koefcjent korelacje podlježe testranju t-testom samo ako su promatrane varjable normalno dstrburane Testra se hpoteza o koefcjentu korelacje osnovnog skupa z kojeg je uzet uzorak sa n parova podataka t H H 0 1 r n 1 r ; t tab k n koefcjent korelacje osnovnog skupa koefcjent korelacje osnovnog skupa 0 0 Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

51 Regresjska analza Određuje oblk krvulje koja najbolje opsuje zadane podatke Oblk povezanost varjabl: Lnearna povezanost: y=ax+b Krvolnjska:»y=ae bx» y=a+blnx»y=ab x Kod regresjske analze se zna što je uzrok a što posljedca (zavsna, nezavsna varjabla) Osnovn problem ove metode je odredt koefcjente regresje Regresjska analza: jednostavna lnearna regresja; nelnearna regresja (lnearzacja); všestruka regresja Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

52 Jednostavna lnearna regresja Bt metode je odredt koefcjente regresjskog pravca β 0 β 1 Oblk regresjskog pravca: ŷ= β 0 + β 1 x Pravac koj najbolje aproksmra orgnalne vrjednost mora bt tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procjenjenh orgnalnh vrjednost bude mnmalna! Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

53 Zagreb, rujan 009. Uvod u planranje analzu pokusa b x y b nx x nxy y x b n n ; Izvod koefcjenata regresjskog pravca n n n n n n n n n y x x b x b y x b nb y b x b x b S y b x b b S y b x b b b S y y b b S ) ( 0 ) ( mn ) ( ), ( mn ) ˆ ( ), ( Konačn zraz za koefcjente regresjskog pravca oblka ŷ=β 0 +β 1 x

54 Zagreb, rujan 009. Uvod u planranje analzu pokusa Isptvanje adekvatnost modela (F-test) R P s s F ˆ ( ) ; 1 ˆ ( ) P R y y s y y s n je neadekvatan (nje dobro odabran) F 0 model F

55 Testranje ostataka preko papra vjerojatnost još jedna od grafčkh metoda analze podataka (z uzorka) kontnuranog oblježja utvrđuje se da l se podac ponašaju po jednoj od promatranh raspodjela kolko koj element odstupaju za svaku raspodjelu posebno konstrura se papr vjerojatnost: papr vjerojatnost normalne raspodjele (najčešće) papr vjerojatnost Webull-ove raspodjele papr vjerojatnost lognormalne raspodjele... uzma se funkcja dstrbucje određene raspodjele promjenom mjerla dobva se funkcja dstrbucje u oblku pravca (Henry-jev pravac) Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

56 konstruranje papra vjerojatnost normalne raspodjele 100 Funkcja dstrbucje Normal 99 Papr vjerojatnost Normal ~84% % % x x Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvje čvrste točke: 1. točka : (x=, y=50%). točka : (x=y=84%) 15 0 Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

57 prmjena papra vjerojatnost Prmjer: Provjert da l se podac z uzorka raspaju po normalnoj raspodjel. - promatranjem podataka može se utvrdt da l se podac raspaju po normalnoj raspodjel. x ( x) 0 - uzeta je raspodjela sa parametrma Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

58 Metoda lnearzacje: - transformacja u lnearn sustav -tpčne transformacje: 1. y a x b ln y Y * ln a b ln x a * b X * 5. y 1 e -bx ln( y 1) - ln( y 1) bx bx. 3. y y a e b 0 bx b 1 x ln Y y y * y ln a bx b a 0 b * 0 bx 1 b1 x b X 1 * ln( y 1) 1 ln( ) y 1 * Y bx 1 bx bx 4. y b 0 b x y b b X * Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

59 PRIMJER: U nekom stražvanju mehančkh svojstava nekog alatnog čelka utvrđen su podac o mkrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) tvrdoć, prema tablc. Utvrdt ma l ovsnost zmeđu ove dvje varjable kakvog je ona oblka. Volumn udo faze x [%] tvrdoća, y [HRC] Regresson Analyss: Tvrdoca versus Udo faze_ The regresson equaton s Tvrdoca = 68, -,09 Udo faze_ Predctor Coef SE Coef T P Constant 68,1995 0, ,5 0,000 Udo faze_ -,0895 0, ,81 0,000 S = 0,43753 R-Sq = 98,1% R-Sq(adj) = 97,8% Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

60 Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 1 60,76 60,76 317,3 0,000 Resdual Error 6 1,149 0,191 Total 7 61,875 Udo Obs faze_ Tvrdoca Ft SE Ft Resdual St Resd 1 1,0 66,000 65,69 0,4 0,308 0,84 1,40 65,000 65,74 0,5-0,74-0,73 3 1,80 64,000 64,438 0,193-0,438-1,1 4,10 64,000 63,81 0,174 0,188 0,47 5,90 6,000 6,140 0,155-0,140-0,34 6 3,60 61,000 60,677 0,18 0,33 0,81 7 4,0 60,000 59,44 0,7 0,576 1,54 8 5,10 57,000 57,543 0,31-0,543-1,77 Uvod u planranje analzu pokusa Zagreb, rujan 009.

61 6. Planranje analza pokusa vsok zahtjev koje suvremeno tržšte postavlja na sve aspekte kvaltete prozvodnh tehnološkh procesa zahtjevaju uporabu razlčth metoda kontrole upravljanja kvaltetom kako u procesma prozvodnje tako u njhovu projektranju (pr. 6sgma) uz već uobčajene metode tehnke upravljanja kvaltetom, sve se vše korst metodologja planranja analze pokusa (Desgn of Experments), koja se pokazala vrlo učnkovtom, posebce žele l se postć optmalna rješenja kako u funkconalnm značajkama prozvoda tako u pogledu parametara odvjanja tehnološkog prozvodnog procesa također, u znanstveno stražvačke svrhe spomenuta metodologja vrlo često nema alternatvu Uvod u planranje analzu pokusa

62 Povjest osnovn pojmov Francs Bacon ( ), flozof, znanstvenk, povjesnčar, korsto jednofaktorske pokuse ZNANJE JE MOĆ Sr Ronald Aylmer Fsher ( ), utemeljtelj pojma DOE Desgn of Experments stražvač na Rothamsted Laboratory (London) stražvao utjecaj razlčth faktora na rast prnose u poljoprvrednoj prozvodnj uveo u stražvačk rad faktorske pokuse, tj. stražvanje stovremenom promjenom vše utjecajnh faktora nterakcje defnrao osnovne pojmove vezane uz pokuse: ponavljanje (repetton; replcates), slučajnost pr zvođenju pokusa (randomzaton), blokov, alas objavo knjge: Statstcal methods for research workers (195) Desgn of experments (1935) - od tada je zraz Desgn of Experments u službenoj upotreb početkom 0-og stoljeća pokus sa smjesama se pojavljuju u poljoprvrednoj ndustrj, ndustrj guma te ndustrj sapuna Uvod u planranje analzu pokusa

63 Vrste pokusa Faktorsk planov pokusa Korst se za sptvanje veza zmeđu vše faktora na vše razna odjednom Metode odzvnh površna Korst se za stražvanje veza zmeđu vše zavsnh nezavsnh varjabl Glavna deja metode je korštenje sekvenc u planranju pokusa kako b se postgao optmaln odzv Ovaj model je samo aproksmacja, al se često korst jer je takav model lako procjent upotrjebt, čak kada je malo toga poznato o procesu Pokus sa smjesama (mješavnama) Uvod u planranje analzu pokusa

64 Prncp uporabe planova pokusa: Uvod u planranje analzu pokusa

65 Model pokusa kontrolran faktor w 1 w... w p Faze pr zvođenju pokusa 1. Defnrat problem clj stražvanja.... Odabrat utjecajne faktore njhove razne x 1 x : x m ulaz (faktor, varjable)... Proces, problem... z 1 z... z p nekontrolran faktor (poremećaj)... y 1 y : y m zlaz (mjerne vrjednost, rezultat) 3. Odabrat mjerene vrjednost (zlazne varjable) 4. Odabrat model pokusa 5. Izvest pokus (predpokus, glavn pokus) 6. Analzrat rezultate 7. Formulrat zaključke prjedloge Uvod u planranje analzu pokusa

66 Metode znanstveno-stražvačkog rada 7. Faktorsk planov pokusa pogodn za stražvanje utjecaja, 3, 4,... faktora odabrane faktore moguće je sptvat na l vše razna stovremeno ovsno o broju razna faktora regresjsk model će bt sastavljen od članova prvoga odnosno všeg reda te nterakcja (prvog, drugog všeg reda) pokusa po faktor po faktor: Prosječn efekt: Faktora A razlka u rezultatu A 1 B 1 A B 1 Faktora B razlka A 1 B 1 A 1 B U slučaju dodavanja točke A B prosječan efekt : Faktora A prosjek razlka u rezultatu A 1 B 1 -A B 1 A 1 B -A B Faktora B prosjek razlka A 1 B 1 -A 1 B A B 1 -A B Problem neuključvanja nterakcja!!! Planranje analza pokusa

67 Metode znanstveno-stražvačkog rada označavanje: k r broj razna broj faktora broj zvođenja pokusa za svaku kombnacju razna faktora najjednostavnj slučaj; k = faktora svak na razne lnearn model: y jk = + + j + j + e jk -očekvanje (opća artm. sredna) - efekt faktora 1 j - efekt faktora j - efekt nterakcje e jk ostala varjacja Planranje analza pokusa

68 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer: faktor B B b ab A1, A, B1, B razne faktora (1), a, b, ab stanja pokusa Prkaz promjene rezultata: B 1 (1) a A 1 A faktor A rezultat y j B 1 B (1) b A a ab A Planranje analza pokusa

69 Metode znanstveno-stražvačkog rada Rezultat djelovanja promjene faktora glavn efekt: nterakcja ab a b (1) A 0 abab(1) B 10 ab a b (1) AB 0 VAŽNO: ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE Planranje analza pokusa

70 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer: faktor B B B 1 b ab (1) a A 1 A glavn efekt: ab a b (1) A 0 ab a b (1) B 10 nterakcja ab a b (1) AB 0 faktor A Rezultat INTERAKCIJA AB = 0 rezultat y j B 1 B A A 30 0 Planranje analza pokusa (1) b a ab 30 0 B B A 1 A faktor A

71 Metode znanstveno-stražvačkog rada Analza značajnost utjecaja faktora nterakcja Izvor varjacja Suma kvadrata odstupanja Stupnjev slobode Srednj kvadrat odstupanja F rač. F 0 * Faktor A SS A a 1 Faktor B SS B b 1 MS MS A B SS MS A Frač.( A) a 1 MS SS MS B Frač.( B) b 1 MS A OST. B OST. SS a b AB nterakcja AB SS AB (a 1) (b 1) MSAB ( 1)( 1) F rač.( AB) MS MS AB OST. OST ostatak SS OST. ab(r 1) MSOST abr ( 1) Ukupno SS UKUPNO abr 1 SS a broj razna faktora A b broj razna faktora B r broj ponavljanja pokusa * opaska: p greška odbacvanja spravne hpoteze Ho Planranje analza pokusa

72 Metode znanstveno-stražvačkog rada Kontrast Lnearna kombnacja (funkcja) nad podacma pokusa, al uz uvjet sume koefcjenata jednake 0 y 1, y,,y n - podac nekog pokusa (rezultat) l 1, l,..., l n - koefcjent M y y... y y M 1 1 n n 1 n je kontrast ako vrjed: 0 1 n Planranje analza pokusa

73 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer kontrasta: a) Kontrast koj može odgovort na ptanje postoj l lnearn trend (porast) rezultata zmeđu točke (stanja) pokusa 1 3. M y y y 1 y y b) Kontrast koj odgovara postoj l nelnearnost pojave u srednjoj razn. L y y y 1 y y 3-1/ 1-1/ Planranje analza pokusa

74 Metode znanstveno-stražvačkog rada Ortogonaln kontrast: Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka odgovarajućh parova koefcjenata jednaka 0 Prmjer ortogonalnost kontrasta: Kontrast y y 1 y y 3 n 1 M L -1/ +1-1/ K P M L ortogonaln kontrast M K nsu ortogonaln kontrast K P ortogonaln kontrast Ortogonaln kontrast odgovaraju na nezavsna ptanja Ako ortogonalnost nje prsutna tada su nek efekt faktora združen ( confoundng ) 0 Planranje analza pokusa

75 Metode znanstveno-stražvačkog rada 8. Djelomčn (frakconran) faktorsk planov pokusa upotreba djelomčnh pokusa kod problema sa velkm brojem faktora fokus stražvanja je na faktorma s velkm efektma značajnm faktorma pretpostavlja se da glavn efekt domnraju nad nterakcjama označavanje: k-p r prmjer: 3 faktora s jednm ponavljanjem na razne 1/ frakcje = 3-1 Prmjer 3-1 Planranje analza pokusa

76 Metode znanstveno-stražvačkog rada za glavnu frakcju I=+ABC kontrast za procjenu efekta je st kao za procjenu nterakcje BC tu pojavu nerazlučenh efekata zovemo alas alas za konkretn problem: A = BC, B = AC, C = AB mogu se defnrat kao: notacja alasa: AI = A(ABC) = A BC = BC BI =B(ABC) = AC CI = C(ABC) = AB A BC, B AC, C AB A B C Planranje analza pokusa

77 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer (djelomčn 4-1 ) Planranje analza pokusa

78 Metode znanstveno-stražvačkog rada rezultat: značajn efekt= A, C, D, AC AD Planranje analza pokusa

79 Metode znanstveno-stražvačkog rada 8. Metodologja odzvne površne Centralno kompoztn plan pokusa prpada u skupnu planova pokusa všeg reda, tzv. metoda odzvne površne (e. response surface methodology) Metoda odzvne površne obuhvaća skup statstčkh matematčkh metoda koje se prmjenjuju za razvoj, poboljšanje optmranje procesa Mjerljva velčna kvaltete prozvoda l procesa nazva se odzv Svrha plana pokusa je generranje matematčkog modela, odnosno jednadžbe (polnoma II. stupnja) koja opsuje proces Ako su proučavan faktor u pokusu dosta on koj utječu na proces, a podac dobven pokusom prhvatljve točnost precznost, tada je moguće razvt model koj vjerodostojno opsuje proces Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

80 Metode znanstveno-stražvačkog rada Centralno kompoztn plan pokusa je model I. reda (k) prošren dodatnm točkama (stanjma pokusa) u centru točkama u osma da b se omogućla procjena parametara modela II. Reda Centralno kompoztn plan pokusa sastoj se od k stanja u vrhovma (faktorska stanja), k stanja u osma stanja u sredštu (k broj faktora) Centralno kompoztn plan pokusa je alternatva 3k modelu pr sastavljanju modela pokusa II. reda jer je broj zvođenja smanjen u usporedb s potpunm faktorskm modelom pokusa Za k = 3 (faktor su x1, x x3) na slc 1 prkazan je model centralno kompoztnog pokusa za koj je potrebno 15 stanja pokusa( ) U slučaju potpunoga faktorskog pokusa blo b potrebno 7 stanja pokusa Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

81 Metode znanstveno-stražvačkog rada kreranje prelmnarnh pokusa u svrhu pronalaženja optmalnog područja stražvanja s obzrom na oblk stražvanja (pronalaženje optmuma, pronalaženje odzvne karakterstke u ogrančenom području...) standardna metoda pronalaženja ekstrema Metoda strmog uspona Pronalaženje optmalnog prostora ekspermenta Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

82 Metode znanstveno-stražvačkog rada Poželjna karakterstka svakoga pokusa je međusobna nezavsnost procjena glavnh efekata njhovh nterakcja, što se postže ortogonalnošću rotatablnošću pokusa Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodranh stanja blo kojh dvju kolona u matrc pokusa jednak nul Rotatablnost centralno kompoztnog plana pokusa postže se dodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljena od sredšta pokusa, odnosno rotatablnost ovs o tzv. osnoj udaljenost α (udaljenost stanja u osma od centra) Pokus je rotatablan ako je: 4 F gdje je F broj faktorskh stanja (F = k u slučaju potpunoga faktorskog pokusa) Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

83 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prema (1), u slučaju dva faktora α = /4 = 1,414, a u slučaju tr faktora α = 3/4 = 1,68 Dodatna stanja u sredštu pokusa služe da b se mogle usporedt vrjednost mjerenja zavsne varjable u sredštu pokusa s artmetčkom srednom za ostatak pokusa Ako je artmetčka sredna sredšta pokusa sgnfkantno razlčta od ukupne artmetčke sredne svh ostalh stanja pokusa, tada se može zaključt da veza zmeđu faktora pokusa zavsne varjable nje lnearna Ako se pokus barem djelomčno ponavlja, tada se može procjent pogreška pokusa z varjablnost ponovljenh stanja Buduć da se ta stanja zvode pod dentčnm uvjetma, odnosno dentčnm raznama faktora, procjena pogreške pokusa z th podataka neovsna je o tome je l model pokusa lnearan l nelnearan te sadržava l nterakcje všeg reda Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

84 Metode znanstveno-stražvačkog rada Tako je procjenjena pogreška pokusa čsta pogreška (e. pure error), odnosno ona je posljedca samo prrodne varjacje zavsne varjable Jednadžba (polnom II. stupnja) kojom se opsuje proces (odzvna funkcja) za općent slučaj glas (k faktora pokusa): pr čemu se koefcjent b 0... b k određuju prmjenom metode mnmalne sume kvadratnh odstupanja računskh od stvarnh vrjednost Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

85 Metode znanstveno-stražvačkog rada Metoda strmog uspona (prmjer) Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

86 Metode znanstveno-stražvačkog rada Oblkovanje plana pokusa za prlagodbu modela drugog reda Kodranje faktora rad računanja efekata (ortogonalnost) Stvarn faktor se prebacuju u kodrane vrjednost: x 1 1 [max( 1) mn( 1)]/ [max( ) mn( )]/ 1 1 x kodrana vrjednost varjable1 - stvarna vrjednost varjable1 max( ) - maksmalna vrjednost varjable 1 mn( ) - mnmalna vrjednost varjable 1 U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolrane) točke pokusa se računaju uzmajuć u obzr koefcjent Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

87 Metode znanstveno-stražvačkog rada Centralno kompoztn planov pokusa za prlagođavanje odzvne površne (funkcje drugog reda) za 3 faktora Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

88 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer forme unosa podataka centralno kompoztn model s faktora 5 ponavljanja u centru Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

89 Metode znanstveno-stražvačkog rada Rezultat je moguće skazat kroz konturn djagram graf odzvne površne Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

90 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer : Prozvodnja kemkalja. (kemkalje.dx7) Dva najvažnja odzva koja se prate su: Y1 Pretvaranje (% reaktanata koj su se pretvorl u produkt) Y Aktvnost Isptvač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje. Njhov nazv nvo su prkazan u tablc Pretpostavmo da će se sptvanja provodt u toku dana zvođenja: 8 točaka u vrhovma 4 točke u sredštu. 8 zvođenja: 6 točaka u osma točke u sredštu Faktor Mjerna jednca Low level (-1) Hgh level (+1) A Vrjeme Mnute B Temperatura C C - Katalzator % 4 Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

91 Metode znanstveno-stražvačkog rada Odabran model :Centralno kompoztn plan pokusa za 3 faktora Planranje analza pokusa pokusa 91 Zagreb, svbnja 010.

92 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer: Na slc je prkazan faktorsk plan pokusa. Rezultat pokusa su dan u tablc. Potrebno je analzrat značajnost faktora te glavne efekte nterakcje. faktor B B b ab rezultat y j B 1 B A B 1 (1) a A 1 A faktor A A 30 0 Analyss of Varance for Y (coded unts) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Man Effects 100,0 100,0 50,00 * * -Way Interactons 1 400,0 400,0 400,00 * * Resdual Error 0 * * * Total 3 500,0 Estmated Coeffcents for Y usng data n uncoded unts Term Coef Constant 15,0000 faktor A 0 faktor B -5,00000 faktor A*faktor B -10,0000 Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

93 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer: Potrebno je analzrat pokus 3 x 3. Rezultat su dan u tablc. Estmated Effects and Coeffcents for Tvrdoca (coded unts) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 586,417 0, ,7 0,000 A 5,500 1,750 0, ,84 0,000 B -14,000-7,000 0,8047-8,70 0,000 C -4,333 -,167 0,8047 -,69 0,016 A*B 8,667 4,333 0,8047 5,38 0,000 A*C 0,333 0,167 0,8047 0,1 0,839 B*C 6,500 3,50 0,8047 4,04 0,001 A*B*C 3,167 1,583 0,8047 1,97 0,067 S = 3,949 PRESS = 559,5 R-Sq = 95,99% R-Sq(pred) = 90,98% R-Sq(adj) = 94,4% Analyss of Varance for Tvrdoca (coded unts) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Man Effects , , ,06 111,3 0,000 -Way Interactons 3 704,83 704,83 34,94 15,1 0,000 3-Way Interactons 1 60,17 60,17 60,17 3,87 0,067 Resdual Error 16 48,67 48,67 15,54 Pure Error 16 48,67 48,67 15,54 Total 3 603,83 Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

94 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prmjer: Ops problema Clj je zrezat trake tako da lagano padaju na pod Ako su optmalno dmenzonran konfet se rotraju kreću pod nasumčnm kutovma što odaje vrlo efektan dojam U tablc su prkazano faktor nvo koje je potrebno testrat Napomena Dodane su sredšnje točke (kodrane s 0) kako b se smanjo razmak zmeđu nžeg všeg nvoa Faktor Nazv Mjerne jednc e Nž nvo (-) Centar (0) Vš nvo (+) A Šrna cm 1 3 B Vsna cm Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

95 Planranje pokusa Model pokusa zmjeren podac No. Šrna (cm) Vsna (cm) Vrjeme (sec) 1 1 3, , , ,8 6 4,7 7 4,6 8 4,7 Sredšnja točka je replcrana 4 puta kako b se determnrala čsta pogreška pokusa Metoda odzvne površne

96 Planranje pokusa Efekt: Metoda odzvne površne

97 Planranje pokusa ANOVA tablca: Source Sum of Squares df Mean Square F Value p-value Prob > F Model 0,49 1 0, A-Šrna 0,49 1 0, Curvature 0,3 1 0,3, Resdual 0,07 5 0,014 Lack of Ft 0,05 0,05 3, Pure Error 0,0 3 0,00667 Cor Total 0,88 7 Std. Dev. 0,1 R-Squared 0,8750 Mean,50 Adj R-Squared 0,8500 C.V. % 4,73 Pred R-Squared 0,5794 PRESS 0,4 Adeq Precson 10,3510 Metoda odzvne površne

98 Planranje pokusa Rezultat Metoda odzvne površne

99 Metode znanstveno-stražvačkog rada Prošrenje na centralno kompoztn model (CCD) Centralno kompoztn model za tr faktora Centralno kompoztn model za dva faktora Napomena Kako b se postgla maksmalna učnkovtost ovog modela točke stanja na osma moraju bt udaljene od dometa faktora za specfčnu udaljenost koja znos: Drug korjen z broja faktora Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

100 Metode znanstveno-stražvačkog rada U tablc je prkazan nov prošren model Nove točke su označene kao Block Prmjette dodatne sredšnje točke one omogućuju vezu daju veću snagu za procjenu efekata drugog reda CCD model sadrž 5 nvoa za svak faktor: Nž osn Nž faktorsk Sredšnj Vš faktorsk Vš osn Tolko nvoa omogućuje generranje dovoljno nformacja da se odred jednadžba polnoma drugog reda Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

101 Metode znanstveno-stražvačkog rada Centralno kompoztn model Konfet No. Blok Tp Šrna (cm) Duljna (cm) Vrjeme (sec) 1 Block 1 Fact 1 3,50 Block 1 Fact 3 3 1,90 3 Block 1 Fact 1 5,80 4 Block 1 Fact 3 5,00 5 Block 1 Center 4,80 6 Block 1 Center 4,70 7 Block 1 Center 4,60 8 Block 1 Center 4,70 9 Block Axal 0,59 4,50 10 Block Axal 3,41 4 1,80 11 Block Axal,59,60 1 Block Axal 5,41 3,00 13 Block Center 4,50 14 Block Center 4,60 15 Block Center 4,60 16 Block Center 4,90 Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

102 Metode znanstveno-stražvačkog rada ANOVA tablca Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.

103 Metode znanstveno-stražvačkog rada Rezultat odzvna površna 3D prkaz odzvne površne Konturn prkaz odzva Planranje analza pokusa pokusa Zagreb, svbnja 010.