Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python
|
|
- Samson Mathews
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Vladimir Milić Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb, 19. siječnja Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
2 Sadržaj Sadržaj 1 Uvod 2 Potrebni Python paketi i moduli 3 Primjer: mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom 4 Ukratko o problemu rubnih uvjeta i dinamičkim sustavima opisanim diferencijalno-algebarskim jednadžbama 5 Literatura i korisni linkovi Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
3 Uvod 1 Uvod 2 Potrebni Python paketi i moduli 3 Primjer: mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom 4 Ukratko o problemu rubnih uvjeta i dinamičkim sustavima opisanim diferencijalno-algebarskim jednadžbama 5 Literatura i korisni linkovi Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
4 Uvod Uvod Razmatramo Pythonove ugradene funkcije (engl. built-in) s numeričkim metodama za aproksimaciju rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda oblika na vremenskom intervalu t [t 0, t f ]. ẋ(t) = f(x, t), x(t 0) = x 0, (1) Općenitiji problem je sustav od n običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda ẋ 1 = f 1(x 1, x 2,... x n, t), x 1(t 0) = x 10, ẋ 2 = f 2(x 1, x 2,... x n, t), x 2(t 0) = x 20,. ẋ n = f n(x 1, x 2,... x n, t), x n(t 0) = x n0, za n nepoznatih realnih funkcija x i(t), i = 1, 2,..., n. Sustav jednadžbi (2) možemo napisati u obliku analognom izrazu (1) koristeći vektorsku notaciju gdje su (2) ẋ = f(x, t), x(t 0) = x 0, (3) ẋ 1 f 1(x 1, x 2,..., x n, t) x 10 ẋ 2 f 2(x 1, x 2,..., x n, t) ẋ =, f(x, t) =.., x0 = x 20.. ẋ n f n(x 1, x 2,..., x n, t) x n0 Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
5 Uvod U matematičkom opisu dinamičkih sustava pojavljuju se diferencijalne jednadžbe višeg reda oblika ( ) x (n) = f x, ẋ, ẍ,..., x (n 1), t, x (i) (t 0) = x i0, i = 0, 1, 2,..., n 1, (4) koje se svode na sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Da bi se to postiglo potrebno je uvesti dodatne funkcije x 1(t) := x(t), x 2(t) := ẋ(t), x 3(t) := ẍ(t),. x n(t) := x (n 1) (t), čime se diferencijalna jednadžba (4) transformira u ekvivalentni sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda u vektorskom obliku ẋ 1 ẋ 2. ẋ n 1 ẋ n = x 2 x 3. x n f(x 1, x 2,..., x n, t), (5) pa možemo koristiti numeričke metode za rješavanje diferencijalne jednadžbe (1). Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
6 Potrebni Python paketi i moduli 1 Uvod 2 Potrebni Python paketi i moduli 3 Primjer: mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom 4 Ukratko o problemu rubnih uvjeta i dinamičkim sustavima opisanim diferencijalno-algebarskim jednadžbama 5 Literatura i korisni linkovi Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
7 Potrebni Python paketi i moduli Potrebni Python paketi i moduli NumPy predstavlja proširenje Pythona na rješavanje numeričkih problema (prethodnik mu je Numeric) jer sadrži veliki broj funkcija koje omogućavaju matematičke operacije na višedimenzionalnim poljima i matricama. Temeljni paket za znanstveno računanje u programskom jeziku Python. >>> from numpy import* SciPy je skup paketa i modula, tj. Pythonova biblioteka (engl. library) raznih matematičkih algoritama izgradenih na NumPy objektima polja. Sadrži podpakete i module za linearnu algebru, numeričku integraciju, numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi, interpolaciju, optimizaciju itd. >>> from scipy import* >>> from scipy import linalg, integrate Funkcija odeint iz modula scipy.integrate služi za numeričko rješavanje inicijalnog (početnog ili Cauchyjevog) problema sustava običnih diferencijalnih jednadžbi oblika (3). Automatski bira izmedu Adamsove metode i metode podijeljenih razlika unazad (engl. backward differentiation formula BDF) linearne višekoračne metode. >>> from scipy.integrate import odeint Matplotlib je Pythonova biblioteka za crtanje raznih vrsta grafova. >>> from matplotlib import pyplot as plt Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
8 Primjer 1 Uvod 2 Potrebni Python paketi i moduli 3 Primjer: mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom 4 Ukratko o problemu rubnih uvjeta i dinamičkim sustavima opisanim diferencijalno-algebarskim jednadžbama 5 Literatura i korisni linkovi Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
9 Primjer Mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom Gibanje mehaničkog sustava prikazanog na slici 1 opisano je sljedećom diferencijalnom jednadžbom J q(t) + B q(t) + m g l sin (q(t)) = T, (6) gdje su q kut zakreta članka [rad], T ulazni moment [Nm], J ukupni moment tromosti oko osi koja prolazi zglobom [kgm 2 ], B koeficijent viskoznog prigušenja [Nms/rad], masa članka [kg], l udaljenost težišta od osi zgloba [m], g akceleracija sile teže [m/s 2 ]. Slika: Preuzeto iz: R. Kelly, V. Santibanez and A. Loria: Control of Robot Manipulators in Joint Space, Springer-Verlag, London, Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
10 Primjer Dinamika el. motora prikazanog na slici 2 opisana je sljedećom diferencijalnom jednadžbom: di a(t) R a i a(t) + L a + e = u a, (7) dt gdje su u a napon armature [V], i a struja armature [A], R a ukupni radni otpor armaturnog kruga [Ω], L a ukupni induktivitet armaturnog kruga [H] i e protuelektromotorna sila [V]. Nadalje imamo, e = K e Φ n ω m = K v ω m protuelektromotorna sila, (8) τ m = K t i a moment motora uz Φ n = const., (9) pri čemu su K e konstrukcijska konstanta motora, Φ n nazivna vrijednost glavnog magnetskog toka po polu [Vs], K v naponska konstanta motora [Vs], ω m mehanička brzina vrtnje [s 1 ] i K t momentna konstanta motora [Nm/A]. R a i a L a ω m, τ m N u a e M q, T Slika: Istosmjerni motor s nezavisnom i konstantnom uzbudom. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
11 Primjer Uzimajući u obzir prijenosni omjer N, imamo relacije pa je ukupni sustav opisan sljedećim diferencijalnim jednadžbama T = N τ m = N K t i a, (10) ω m = N q, (11) J q + B q + m g l sin(q) = N K t i a, (12) L a di a dt Uvodimo nove zavisne varijable definirane na sljedeći način + Ra ia + Kv N q = ua. (13) x 1(t) = q(t), x 2(t) = q(t), x 3(t) = i a(t). (14) Deriviranjem varijabli x 1, x 2, x 3 po vremenu t i na osnovu sustava (12)-(13) dobivamo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = m g l J ẋ 3 = Kv N L a sin(x 1) B J x2 + N Kt J (15) x 3, (16) x 2 Ra L a x L a u a. (17) Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
12 Primjer Simulacija u Pythonu Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
13 Ukratko 1 Uvod 2 Potrebni Python paketi i moduli 3 Primjer: mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom 4 Ukratko o problemu rubnih uvjeta i dinamičkim sustavima opisanim diferencijalno-algebarskim jednadžbama 5 Literatura i korisni linkovi Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
14 Ukratko Problem rubnih uvjeta dinamičkih sustava Problem rubnih uvjeta dinamičkih sustava Opći oblik problema rubnih uvjeta (engl. Boundary Value Problem BVP) u vektorskoj notaciji je ẏ(x) = f(x, y(x), p), a x b, r(y(a), y(b)) = 0, gdje je p vektor nepoznatih parametara sustava. (18) Tipični oblik problema je ÿ + ψ(x) ẏ + ϕ(x) y = g(x), a x b, y(a) = y 0, y(b) = y 1. (19) Problem oblika (18) u Pythonu se može riješiti primjenom funkcije solve_bvp iz modula scipy.integrate (SciPy v0.18.1). >>> from scipy.integrate import solve_bvp Takoder, u kolekciji dodatnih paketa i modula iz SciKits nalaze se moduli bvp_solver i bvp1lg. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
15 Ukratko Dinamički sustavi opisani diferencijalno-algebarskim jednadžbama Dinamički sustavi opisani diferencijalno-algebarskim jednadžbama Promotrimo dinamički sustav čiji je matematički model opisan implicitnom diferencijalnom jednadžbom F(ẋ(t), x(t), t) = 0. (20) ( ) F Ako je det 0 tada iz izraza (20) možemo odrediti eksplicitni oblik ẋ = f(x, t). ẋ ( ) F Ako je det = 0 tada iz izraza (20) ne možemo odrediti oblik ẋ = f(x, t) i rješenje x ẋ mora zadovoljiti odredena algebarska ograničenja. Jednostavniji je tzv. polu-eksplicitni oblik ẋ = f(x, y, t), g(x, y, t) = 0, (21) gdje je g vektor algebarskih ograničenja. Primjer: njihalo u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
16 Ukratko Dinamički sustavi opisani diferencijalno-algebarskim jednadžbama Simulacije dinamičkih sustava opisanih u obliku (21) primjenom programskog jezika Python: Kombinacijom funkcija iz modula scipy.inegrate i funkcija za rješavanje nelinearnih jednadžbi iz modula scipy.optimize, npr. funkcija fsolve. U kolekciji SciKits postoji modul scikits.odes u kojem se nalazi funkcija ode s ugradenim solverom ida. Assimulo paket za simulaciju dinamičkih sustava razvijen na Sveučilištu u Lundu (Švedska). PyDSTool paket za simulaciju dinamičkih sustava razvijen na Sveučilištima u SAD-u. CasADi paket za numeričku optimizaciju s ugradenim solverima za implicitne diferencijalne jednadžbe razvijen na K. U. Leuven (Belgija). Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
17 Literatura i korisni linkovi 1 Uvod 2 Potrebni Python paketi i moduli 3 Primjer: mehanički sustav s jednim stupnjem slobode gibanja pogonjen istosmjernim električnim motorom 4 Ukratko o problemu rubnih uvjeta i dinamičkim sustavima opisanim diferencijalno-algebarskim jednadžbama 5 Literatura i korisni linkovi Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
18 Literatura i korisni linkovi H. P. Langtangen. Python Scripting for Computational Science; Chapter 4: Numerical Computing in Python. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, H. Sayama. Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems. Open SUNY Textbooks, New York, Numpy and Scipy Documentation: Linear Algebra (scipy.linalg): Integration (scipy.integrate): Popis dodatnih SciPy paketa za znanstveno računanje: SciKits: Assimulo: PyDSTool: rclewley/pydstool CasADi: Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
19 Hvala na pažnji! Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb, 19. siječnja / 14
ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationThe Shooting Method for Boundary Value Problems
1 The Shooting Method for Boundary Value Problems Consider a boundary value problem of the form y = f(x, y, y ), a x b, y(a) = α, y(b) = β. (1.1) One natural way to approach this problem is to study the
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationMETODE ZA IDENTIFIKACIJU PARAMETARA ASINKRONOG MOTORA
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Tin Bariša METODE ZA IDENTIFIKACIJU PARAMETARA ASINKRONOG MOTORA Zagreb, travanj 2014. Ovaj rad izraďen je u Laboratoriju za upravljanje elektromotornim
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationON THE TWO BODY PROBLEM UDC (045)=20. Veljko A. Vujičić
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 7, 005, pp. 03-07 ON THE TWO BODY PROBLEM UDC 53.5(045)0 Veljko A. Vujičić Mathematical Institute, JANN, 00 Belgrade, p.p.
More informationPrimjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih i rubnih uvjeta
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: PROFESOR FIZIKE I INFORMATIKE Ivan Banić Diplomski rad Primjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih
More informationA Glimpse at Scipy FOSSEE. June Abstract This document shows a glimpse of the features of Scipy that will be explored during this course.
A Glimpse at Scipy FOSSEE June 010 Abstract This document shows a glimpse of the features of Scipy that will be explored during this course. 1 Introduction SciPy is open-source software for mathematics,
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Drumska vozila Uputstvo za izradu vučnog proračuna motornog vozila. 1. Ulazni podaci IZVOR:
1. Ulazni podaci IZVOR: WWW.CARTODAY.COM 1. Ulazni podaci Masa / težina vozila Osovinske reakcije Raspodela težine napred / nazad Dimenzije pneumatika Čeona površina Koeficijent otpora vazduha Brzinska
More informationMINIMAKS OPTIMALNO UPRAVLJANJE NELINEARNIM DINAMIČKIM SUSTAVIMA
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Vladimir Milić MINIMAKS OPTIMALNO UPRAVLJANJE NELINEARNIM DINAMIČKIM SUSTAVIMA DOKTORSKI RAD Zagreb, 2015. FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Vladimir Milić MINIMAKS
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationSveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD. Vladimir Milić. Zagreb, 2008.
Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Vladimir Milić Zagreb, 28. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Voditelj rada: Doc. dr. sc. Željko
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationHamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Osijek, 2010. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationZlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0)
Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Asistenti doc. dr. sc. Ivan Kodrin dr. sc. Igor Rončević Literatura A. R. Leach, Molecular Modelling, Principles and Applications, 2. izdanje, Longman,
More informationMAS212 Scientific Computing and Simulation
MAS212 Scientific Computing and Simulation Dr. Sam Dolan School of Mathematics and Statistics, University of Sheffield Autumn 2017 http://sam-dolan.staff.shef.ac.uk/mas212/ G18 Hicks Building s.dolan@sheffield.ac.uk
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationRELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING POUZDANOST LIJEPLJENIH LAMELIRANIH NOSAČA NA SAVIJANJE
RELIABILITY OF GLULAM BEAMS SUBJECTED TO BENDING Mario Jeleč Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, mag.ing.aedif. Corresponding author: mjelec@gfos.hr Damir
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationSTATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (1,1) MODEL
Hrvatski meteoroloπki Ëasopis Croatian Meteorological Journal, 4, 2006., 43 5. UDK: 55.577.22 Stručni rad STATISTICAL ANALYSIS OF WET AND DRY SPELLS IN CROATIA BY THE BINARY DARMA (,) MODEL Statistička
More informationModified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationMODELING AND SIMULATION OF THE SELF - EXCITED STICK-SLIP SYSTEM USING BONDSIM TOOLS UDC :
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanical Engineering Vol. 2, N o, 2004, pp. 49-58 MODELING AND SIMULATION OF THE SELF - EXCITED STICK-SLIP SYSTEM USING BONDSIM TOOLS UDC 68.5.07:59.876.2 Vlastimir Nikolić,
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationMODELIRANJE SUSTAVA OBNOVE KINETIČKE ENERGIJE BOLIDA FORMULE 1
DOI: 10.19279/TVZ.PD.2014-2-2-04 MODELIRANJE SUSTAVA OBNOVE KINETIČKE ENERGIJE BOLIDA FORMULE 1 Marko Majcenić, Toni Bjažić Tehničko veleučilište u Zagrebu Sažetak U radu su objašnjeni principi rada i
More informationMUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT
Interdisciplinary Description of Complex Systems (-2), 22-28, 2003 MUSICAL COMPOSITION AND ELEMENTARY EXCITATIONS OF THE ENVIRONMENT Mirna Grgec-Pajić, Josip Stepanić 2 and Damir Pajić 3, * c/o Institute
More informationMicropolar fluid flow with rapidly variable initial conditions
Mathematical Communications 3998), 97 24 97 Micropolar fluid flow with rapidly variable initial conditions Nermina Mujaković Abstract. In this paper we consider nonstationary D-flow of a micropolar viscous
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika MODUL ELASTIČNOSTI
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika MODUL ELASTIČNOSTI studij Geofizika NFP II 1 ZADACI 1. Izmjerite ovisnost savijenosti šipki o: primijenjenoj sili debljini šipke širini šipke udaljenosti
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationAlgorithms for Uncertainty Quantification
Technische Universität München SS 2017 Lehrstuhl für Informatik V Dr. Tobias Neckel M. Sc. Ionuț Farcaș April 26, 2017 Algorithms for Uncertainty Quantification Tutorial 1: Python overview In this worksheet,
More informationON POTENTIAL INEQUALITY FOR THE ABSOLUTE VALUE OF FUNCTIONS. Neven Elezović, Josip Pečarić and Marjan Praljak
RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 18 = 519 014: 107-13 ON POTENTIAL INEQUALITY FOR THE ASOLUTE VALUE OF FUNCTIONS Neven Eleović, Josip Pečarić and Marjan Praljak Abstract. Potential inequality was introduced
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationA multidimensional generalization of the Steinhaus theorem
Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationELEKTROMOTORNI POGONI
ELEKTROMOTORNI POGONI Elektromehaničke karakteristike osnovni parametri - snaga - moment okretanja - brzina vrtnje ili broj okretaja u jedinici vremena uvjeti rada - startni uvjeti ili pokretanje - nazivni
More informationUPRAVLJANJE BRZINOM VRTNJE SINKRONOG MOTORA S PERMANENTNIM MAGNETIMA CONTROLLING THE SPEED OF THE SYNCHRONOUS MOTOR ROTATION WITH PERMANENT MAGNET
DOI: 10.19279/TVZ.PD.2015-3-1-07 UPRAVLJANJE BRZINOM VRTNJE SINKRONOG MOTORA S PERMANENTNIM MAGNETIMA CONTROLLING THE SPEED OF THE SYNCHRONOUS MOTOR ROTATION WITH PERMANENT MAGNET Marko Boršić, Toni Bjažić
More informationRješavanje sustava nelinearnih jednadžbi
Sustavi nelinearnih jednadžbi 1 1 Newtonova metoda Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi Promatramo sustava nelinearnih jednadžbi f i x 1,x 2,...,x n )=0, i =1,...,n, 1) odnosno fx) =0, gdjejef : R
More informationUniform and constant electromagnetic fields
Fundamentals of Plasma Physics, Nuclear Fusion and Lasers Single Particle Motion Uniform and constant electromagnetic fields Nuno R. Pinhão 2015, March In this notebook we analyse the movement of individual
More informationCase Study: The Pelican Prototype Robot
5 Case Study: The Pelican Prototype Robot The purpose of this chapter is twofold: first, to present in detail the model of the experimental robot arm of the Robotics lab. from the CICESE Research Center,
More informationOn behaviour of solutions of system of linear differential equations
Mathematical Communications (997), 47 57 47 On behaviour of solutions of system of linear differential equations Božo Vrdoljak Abstract. The present paper deals with the existence, behaviour and approximation
More informationWrite a simple 1D DFT code in Python
Write a simple 1D DFT code in Python Ask Hjorth Larsen, asklarsen@gmail.com Keenan Lyon, lyon.keenan@gmail.com September 15, 2018 Overview Our goal is to write our own KohnSham (KS) density functional
More informationCOMPARISON OF LINEAR SEAKEEPING TOOLS FOR CONTAINERSHIPS USPOREDBA PROGRAMSKIH ALATA ZA LINEARNU ANALIZU POMORSTVENOSTI KONTEJNERSKIH BRODOVA
Ana Đigaš, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Maro Ćorak, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Joško Parunov, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i
More informationRESISTANCE PREDICTION OF SEMIPLANING TRANSOM STERN HULLS
Nenad, VARDA, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, I. Lučića 5, 10000 Zagreb Nastia, DEGIULI, University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval
More informationMODELIRANJE FIZIKALNIH SUSTAVA: PROBLEM TRIJU TIJELA
PRIRODOSLOVNO-MATEMATIƒKI FAKULTET SVEUƒILI TA U SPLITU Anton Kaba²i MODELIRANJE FIZIKALNIH SUSTAVA: PROBLEM TRIJU TIJELA ZAVR NI RAD Split, rujan 2015. PRIRODOSLOVNO-MATEMATIƒKI FAKULTET SVEUƒILI TA U
More informationSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Dominik Iličić. Zagreb, 2018.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Dominik Iličić Zagreb, 2018. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Mentori: Doc. Dr. sc. Nenad Ferdelji,
More informationChapter 4: Higher-Order Differential Equations Part 1
Chapter 4: Higher-Order Differential Equations Part 1 王奕翔 Department of Electrical Engineering National Taiwan University ihwang@ntu.edu.tw October 8, 2013 Higher-Order Differential Equations Most of this
More informationANIMACIJA TOKA FLUIDA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 565 ANIMACIJA TOKA FLUIDA Jakov Fuštin Zagreb, studeni 2005. ii Sadržaj. Uvod... 2. Dinamika fluida...2 2.. Jednadžba kontinuiteta...2
More informationExponential Controller for Robot Manipulators
Exponential Controller for Robot Manipulators Fernando Reyes Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Grupo de Robótica de la Facultad de Ciencias de la Electrónica Apartado Postal 542, Puebla 7200, México
More informationOn the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes
J.Serb.Chem.Soc. 69(4)265 271(2004) UDC 547.21:54 12+539.6 JSCS 3152 Original scientific paper On the relation between Zenkevich and Wiener indices of alkanes IVAN GUTMAN a*, BORIS FURTULA a, BILJANA ARSI]
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationThe Inverted Pendulum
Lab 1 The Inverted Pendulum Lab Objective: We will set up the LQR optimal control problem for the inverted pendulum and compute the solution numerically. Think back to your childhood days when, for entertainment
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More information6 Non-homogeneous Heat Problems
6 Non-homogeneous Heat Problems Up to this point all the problems we have considered for the heat or wave equation we what we call homogeneous problems. This means that for an interval < x < l the problems
More informationA = (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1
A = (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1 1 A = ( (a + b) + 1 ) 2 = (a + b) 2 + 2(a + b) + 1 = a 2 + 2ab + b 2 + 2a + 2b + 1 A = ( (a + b) + 1 ) 2 = (a + b) 2 + 2(a + b) + 1 = a 2 + 2ab + b 2 + 2a + 2b + 1 3 A = (
More informationModeliranje sustava obnove kinetičke energije bolida formule 1
TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU PREDDIPLOMSKI STRUČNI STUDIJ MEHATRONIKE Marko Majcenić Modeliranje sustava obnove kinetičke energije bolida formule 1 ZAVRŠNI RAD br. 6 Zagreb, srpanj 2014. TEHNIČKO VELEUČILIŠTE
More informationSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Tomislav Sertić. Zagreb, 2014
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Zagreb, 2014 Tomislav Sertić SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Odredivanje granice dinamičke
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationShear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO Square-Plate Twist Method
Hiroshi Yoshihara 1 Shear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO 1531 Square-late Twist Method rocjena smicajnog modula i smicajne čvrstoće cjelovitog drva modificiranom
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationAnaliza stabilnosti nelinearnih sustava vo denih analitičkim neizrazitim regulatorom
Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Analiza stabilnosti nelinearnih sustava vo denih analitičkim neizrazitim regulatorom doktorski rad Mentor: Prof. dr. sc. Branko Novaković Mr. sc.
More informationOrdinary Differential Equation Theory
Part I Ordinary Differential Equation Theory 1 Introductory Theory An n th order ODE for y = y(t) has the form Usually it can be written F (t, y, y,.., y (n) ) = y (n) = f(t, y, y,.., y (n 1) ) (Implicit
More information1. OPĆE INFORMACIJE. Strojarstvo Diplomski Diplomski - 1. semestar Obvezni Strojarstvo Preddiplomski Preddiplomski - 4.
OBRAZAC 1. Vrednovanje sveucilišnih studijskih programa preddiplomskih, diplomskih i integriranih preddiplomskih i diplomskih studija te strucnih studija Tablica 2: Opis predmeta 1.1. Nositelj predmeta:
More informationDYNAMIC HEAT TRANSFER IN WALLS: LIMITATIONS OF HEAT FLUX METERS
DYNAMI EAT TRANFER IN WALL: LIMITATION OF EAT FLUX METER DINAMIČKI PRENO TOPLOTE U ZIDOVIMA: OGRANIČENJA MERAČA TOPLOTNOG PROTOKA (TOPLOTNOG FLUKA) 1 I. Naveros a, b,. Ghiaus a a ETIL UMR58, INA-Lyon,
More informationSveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD. Mentor: Zagreb, 2014.
Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI RAD Mentor: Prof. Dr. Sc. Hinko Wolf Domagoj Topličanec Zagreb, 2014. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje ZAVRŠNI
More informationFind the Fourier series of the odd-periodic extension of the function f (x) = 1 for x ( 1, 0). Solution: The Fourier series is.
Review for Final Exam. Monday /09, :45-:45pm in CC-403. Exam is cumulative, -4 problems. 5 grading attempts per problem. Problems similar to homeworks. Integration and LT tables provided. No notes, no
More informationNeural Networks Teaser
1/11 Neural Networks Teaser February 27, 2017 Deep Learning in the News 2/11 Go falls to computers. Learning 3/11 How to teach a robot to be able to recognize images as either a cat or a non-cat? This
More informationNumerical integration of DAE s
Numerical integration of DAE s seminar Sandra Allaart-Bruin sbruin@win.tue.nl seminar p.1 Seminar overview February 18 Arie Verhoeven Introduction to DAE s seminar p.2 Seminar overview February 18 Arie
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationProblem Set 1 solutions
University of Alabama Department of Physics and Astronomy PH 301 / LeClair Fall 2018 Problem Set 1 solutions 1. If a(t), b(t), and c(t) are functions of t, verify the following results: ( d [a (b c)] =
More informationOn second order sufficient optimality conditions for quasilinear elliptic boundary control problems
On second order sufficient optimality conditions for quasilinear elliptic boundary control problems Vili Dhamo Technische Universität Berlin Joint work with Eduardo Casas Workshop on PDE Constrained Optimization
More informationESTIMACIJA BRZINE VRTNJE SINKRONOG GENERATORA VJETROAGREGATA KORIŠTENJEM KALMANOVA FILTRA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 938 ESTIMACIJA BRZINE VRTNJE SINKRONOG GENERATORA VJETROAGREGATA KORIŠTENJEM KALMANOVA FILTRA Tomislav Lončarek Zagreb, lipanj
More informationA FIELD METHOD FOR SOLVING THE EQUATIONS OF MOTION OF EXCITED SYSTEMS UDC : (045) Ivana Kovačić
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol.3, N o,, pp. 53-58 A FIELD METHOD FOR SOLVING THE EQUATIONS OF MOTION OF EXCITED SYSTEMS UDC 534.:57.98(45) Ivana Kovačić Faculty
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More information:,,.. ;,..,.,. 90 :.. :, , «-»,, -. : -,,, -, -., ,, -, -. - «-»:,,, ,.,.
.,.,. 2015 1 614.8 68.9 90 :,,.. ;,. 90.,.,. :.. :, 2015. 164. - - 280700, «-»,, -. : -,,, -, -.,. -. -. -,, -, -. - «-»:,,, -. 614.8 68.9.,.,., 2015, 2015 2 ... 5... 7 1.... 7 1.1.... 7 1.2.... 9 1.3....
More informationDegree Master of Science in Mathematical Modelling and Scientific Computing Mathematical Methods I Thursday, 12th January 2012, 9:30 a.m.- 11:30 a.m.
Degree Master of Science in Mathematical Modelling and Scientific Computing Mathematical Methods I Thursday, 12th January 2012, 9:30 a.m.- 11:30 a.m. Candidates should submit answers to a maximum of four
More informationAIR CURTAINS VAZDU[NE ZAVESE V H
AIR CURTAINS V 15.000 H 21.000 KLIMA Co. 2 KLIMA Co. Flow and system stress should be known factors in air flow. The flow is gas quantity flowing through the system during given time unit and is measured
More informationCONTROL OF THE NONHOLONOMIC INTEGRATOR
June 6, 25 CONTROL OF THE NONHOLONOMIC INTEGRATOR R. N. Banavar (Work done with V. Sankaranarayanan) Systems & Control Engg. Indian Institute of Technology, Bombay Mumbai -INDIA. banavar@iitb.ac.in Outline
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationAnalytical Solutions of Excited Vibrations of a Beam with Application of Distribution
Vol. 3 (3) ACTA PHYSICA POLONICA A No. 6 Acoustic and Biomedical Engineering Analytical Solutions of Excited Vibrations of a Beam with Application of Distribution M.S. Kozie«Institute of Applied Mechanics,
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationMCE 366 System Dynamics, Spring Problem Set 2. Solutions to Set 2
MCE 366 System Dynamics, Spring 2012 Problem Set 2 Reading: Chapter 2, Sections 2.3 and 2.4, Chapter 3, Sections 3.1 and 3.2 Problems: 2.22, 2.24, 2.26, 2.31, 3.4(a, b, d), 3.5 Solutions to Set 2 2.22
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationSAVIJANJE TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA OTVORENOG POPREČNOG PRESJEKA
SAVIJANJE TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA OTVORENOG POPREČNOG PRESJEKA SEMINAR DOKTORANADA I POSLIJEDOKTORANADA Maro Vuaović Spli, 015. Sadržaj 1. Uvod. Savijanje anojenih ompoinih šapova ovorenog poprečnog
More informationMATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING BOTTLE CAPS
http://doi.org/10.24867/jpe-2018-02-055 JPE (2018) Vol.21 (2) Choudhary, M., Narang, R., Khanna, P. Original Scientific Paper MATHEMATICAL ANALYSIS OF PERFORMANCE OF A VIBRATORY BOWL FEEDER FOR FEEDING
More informationFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Krešimir Duvnjak. Zagreb, 2016.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Krešimir Duvnjak Zagreb, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentor: Doc. dr. sc. Ivica
More informationStrojno učenje. Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc
Strojno učenje Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc Generativni i diskriminativni modeli Diskriminativni Generativni (Učenje linije koja razdvaja klase) Učenje modela za
More informationFOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU Preddiplomski sveučilišni studij fizike FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI Završni rad Anton Aladenić Osijek, 2014. SVEUČILIŠTE JOSIPA
More information