SLIČNOST I HOMOTETIJA. Ivana Major Šomodi PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U ZGREU PRIRODOSLOVNO MTEMTIČKI FKULTET MTEMTIČKI ODSJEK Ivana Major Šomodi SLIČNOST I HOMOTETIJ Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc Sanja Varošanec Zagreb, srpanj, 2015.

2 Ovaj diplomski rad obranjen je dana pred ispitnim povjerenstvom u sastavu: 1., predsjednik 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:

3 Sadržaj Sadržaj iii Uvod 1 1 Izometrije Preslikavanje Sukladnost Sličnosti trokuta 10 3 Preslikavanja sličnosti Homotetija Sličnost Primjena homotetije i sličnosti u konstruktivnim zadatcima 26 5 Primjena homotetije i sličnosti u školskoj matematici 36 ibliografija 51 iii

4 Uvod Iako se učenici prvi put susreću s definicijom sličnosti u sedmom razredu osnovne škole, oni već od ranog djetinstva intuitivno znaju prepoznati slične likove. U ovom radu ćemo iskazati s kojim se sve definicijama i svojstvima sličnosti i homotetije učenici susreću tijekom cijelog svog školovanja. Sličnost ima široku primjenu ne samo u matematici, nego i u ostalim aspektima života. 1

5 Poglavlje 1 Izometrije U ovom poglavlju ćemo definirati izometrije koje se nalaze u udžbenicima za osmi razred osnovne škole i dokazati teoreme o sukladnosti trokuta koji su iskazani u udžbenicima za šesti razred osnovne škole i ponovo u prvom razredu srednje škole, a dokazani su samo u udžbenicima prirodoslovno-matematičkih gimnazija. 1.1 Preslikavanje Definicija 1.1. Preslikavanje ravnine f : M M nazivamo izometrija ako za sve točke i ravnine M vrijedi =, gdje su = f() i = f(). Definicija 1.2. Neka je p M pravac. Osna simetrija ravnine M obzirom na pravac p je preslikavanje s p : M M definirano na sljedeći način: (i) ko točka T leži na pravcu p, definira se s p (T ) = T. (ii) ko točka T ne leži na pravcu p, tada je pravac p simetrala dužine T T, gdje je T = s p (T ). 2

6 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 3 T p T Slika 1.1 Definicija 1.3. Neka je O čvrsta točka ravnine M. entralna simetrija ravnine M obzirom na točku O je preslikavanje s o : M M definirano na sljedeći način: (i) s o (O) = O. (ii) Za svaku točku T O je s o (T ) = T, gdje je točka O polovište dužine T T. T O T Slika 1.2 Definicija 1.4. Rotacija ravnine M oko čvrste točke O (središta rotacije) za kut α (kut rotacije) je preslikavanje r : M M definirano na sljedeći način: (i) r(o) = O. (ii) Za svaku točku T O je r(t ) = T i vrijedi OT = OT i T OT = α. T T Slika 1.3 α O

7 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 4 Definicija 1.5. Neka je a vektor ravnine M. Translacija t a : M M je izometrija takva da vrijedi t a (T ) = T, T T = a. a T Slika 1.4 T 1.2 Sukladnost Sukladnost se u udžbenicima za šesti razred uvodi kroz primjere u kojima se usporeduju likovi jednakih oblika i jednakih veličina (medvjedići, slike blizanaca, itd.). Definicija 1.6. Dužine su sukladne ako imaju jednake duljine. Definicija 1.7. Kutovi su sukladni ako imaju jednake veličine. Definicija 1.8. Trokuti su sukladni ako su im sukladne odgovarajuće stranice i sukladni odgovarajući kutovi. U udžbenicima za prvi razred prirodoslovno-matematičke gimnazije nakon što se definira izometrija, definira se još i sukladnost likova. Definicija 1.9. Lik L sukladan je liku L ako postoji izometrija koja lik L preslikava na lik L. Poučci o sukladnosti trokuta iskazani su u šestom razredu i ponovo u prvom razredu srednje škole. Dokazi su provedeni samo u udžbenicima prirodoslovno-matematičkih gimnazija. Teorem Poučak o sukladnosti trokuta S-S-S Dva su trokuta sukladna ako su im sve tri odgovarajuće stranice sukladne.

8 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 5 D F E Slika 1.5 Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da je = DE, = EF i = F D. Prema definiciji 1.6. dužine i DE su sukladne, pa postoji izometrija f za koju je f( DEF ) = F, tako da je DEF = F. F Slika 1.6 Obzirom da je = DF = F, točke i F leže na istom kružnom luku sa središtem u točki. Takoder, zbog = EF = F, točke i F leže na istom kružnom luku sa središtem u točki. Ta dva kružna luka se u istoj poluravnini mogu sjeći samo u jednoj točki i to upravo u točki, pa vrijedi F =, tj. = DEF. Teorem Poučak o sukladnosti trokuta S-K-S Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu medu njima. Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da je = DE, = EF i = DEF.

9 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 6 D E Slika 1.7 F Prema definiciji 1.6. dužine i DE su sukladne, pa postoji izometrija f za koju je f( DEF ) = F, te je DEF = F. F Slika 1.8 Obzirom da je = DEF i DEF = F, tada je i = F, što povlači da je F. Takoder, zbog = EF = F, točke F i leže na istom kružnom luku sa središtem u točki. Taj kružni luk i pravac se u istoj poluravnini mogu sjeći samo u jednoj točki i to upravo u točki, zbog čega je F =, pa je i DEF =. Teorem Poučak o sukladnosti trokuta K-S-K Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u stranici i kutovima uz tu stranicu. Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da je = DE, = DEF i = F DE.

10 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 7 D E F Slika 1.9 Prema definiciji 1.6. dužine i DE su sukladne, pa postoji izometrija f za koju je f( DEF ) = F, zbog čega je DEF = F. Zbog toga jer je = F, točka F leži na pravcu. Isto tako je = F, pa točka F leži i na pravcu. Pravci i sijeku se samo u jednoj točki i to točki, pa je F =. Teorem Poučak o sukladnosti trokuta S-S-K > Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutom nasuprot duljoj od njih. D F E Slika 1.10 Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da vrijedi = DE, = EF, = F DE i >.

11 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 8 Prema definiciji 1.6. dužine i DE su sukladne, pa postoji izometrija f za koju je f( DEF ) = F, te je DEF = F. F Slika 1.11 Zbog toga jer je = F, točka F leži na pravcu. Isto tako se zbog = EF = F točka F nalazi na kružnom luku sa središtem u točki. Taj kružni luk i pravac se zbog toga što je > u istoj poluravnini mogu sjeći samo u jednoj točki i to upravo u točki, zbog čega je F =, pa je DEF =. U slučaju da je < trokut ne mora biti jednoznačno 2 > v = v < v v 1 Slika 1.12 odreden, a čak ne mora uopće imati rješenje. Neka je v visina iz vrha na pravac kao na slici 1.12, tada vrijedi:

12 POGLVLJE 1. IZOMETRIJE 9 ako je < v kružni luk ne siječe pravac, pa trokut s takvim podatcima ne postoji, ako je = v kružni luk siječe pravac u jednoj točki i to upravo u točki i trokut s takvim podatcima je pravokutan, ako je > v kružni luk siječe pravac u dvije točke 1 i 2, pa postoje dva rješenja koja nisu sukladna.

13 Poglavlje 2 Sličnost trokuta U sedmom razredu osnovne škole sličnost se uvodi usporedbom raznih likova istih oblika i različitih veličina. Zatim se definira sličnost, ali samo kao sličnost trokuta, te se samo iskazuju svojsta sličnih trokuta. U prvom razredu srednje škole ponovno se definira sličnost i iskazuju svojstva sličnih trokuta, a u prirodoslovno-matematičkim gimnazijama se i dokazuju. Definicija 2.1. Kažemo da su trokuti i DEF slični ako se podudaraju u sva tri kuta, tj. ako vrijedi α = α, β = β i γ = γ. Pišemo DEF. γ F α c b γ a β D e α β f E d Slika

14 POGLVLJE 2. SLIČNOSTI TROKUT 11 U sljedećim teoremima veliku važnost ima Talesov teorem pa ga ovdje i dokažimo. Teorem 2.2. Talesov teorem o proporcionalnosti Paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine. p q Oa O Ob Slika 2.2 Dokaz. Uz oznake kao na slici 2.2, neka je p q, tada su i vektori istog smjera, pa postoji k > 0 takav da je = k. Vektori O i O leže na istom pravcu, tj. istog su smjera, pa postoji s > 0 takav da je O = s O. Isto tako vektori O i O leže na istom pravcu, tj. istog su smjera, pa postoji l > 0 takav da je O = l O. = O + O = s O + l O (2.1) Neka je SO s > l, tada postoji r 0 takav da je s = l + r. Tada je, = (l + r) O + l O = ro + l. (2.2) Obzirom da je = k, vrijedi jednakost r O = (k l). Pošto vektori O i nisu kolinearni, gornja jednakost vrijedi samo ako su r = 0 i k = l. Dakle, k = = O O = O O. (2.3)

15 POGLVLJE 2. SLIČNOSTI TROKUT 12 Teorem 2.3. Obrat Talesova teorema o proporcionalnosti ko dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne dužine, onda su ti pravci paralelni. Dokaz. Uz oznake kao na slici 2.2, neka su O = k O i O = k O. Vektori O i O leže na istom pravcu, pa vrijedi O = k O. Isto tako vektori O i O leže na istom pravcu, pa vrijedi O = k O. = O + O = k O + k O = k( O + O) = k (2.4) Vektori i su kolinearni, pa leže na paralelnim pravcima. Teorem 2.4. Temeljno svojstvo sličnih trokuta ko su dva trokuta slična, onda su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne. F γ γ α D β E α β Slika 2.3 Dokaz. Neka je DEF, tada po definiciji 2.1. vrijedi α = α, β = β i γ = γ. Uzmimo još da je > DE. Obzirom da je α = α, tada je prema definiciji 1.7. = F DE, pa prema definiciji 1.9. postoji izometrija f za koju je f( DEF ) = E F, pa se točke F i E nalaze na dužinama i. Pravac siječe pravce i E F pod istim kutom, pa su oni prema poučku o kutovima uz transverzalu usporedni. Prema Talesovu teoremu o proporcionalnosti vrijedi E F = F = E, (2.5)

16 POGLVLJE 2. SLIČNOSTI TROKUT 13 F Slika 2.4 E a zbog DEF = E F je, k nazivamo koeficijent sličnosti. EF = DF = DE Teorem 2.5. Poučak o sličnosti trokuta S-S-S = k. (2.6) ko su duljine odgovarajućih stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični. Dokaz. Ovaj poučak je obrat prethodnog poučka. Neka su trokuti i DEF takvi da je = k DE, = k EF i = k DF i neka su točke E i F takve da je = k E i = k F. Prema obratu Talesovog teorema o proporcionalnosti je E F, a pa prema poučku o kutovima uz transverzalu, pravac siječe pravce i E F pod istim kutom i pravac siječe pravce i E F pod istim kutom. Dakle, trokuti i E F imaju sukladne kutove, pa su prema definiciji oni slični. Prema Talesovom poučku o proporcionalnosti vrijedi = k E F, pa su prema poučku o sukladnosti trokuta S-S-S trokuti DEF i E F sukladni. Dakle, onda je DEF.

17 POGLVLJE 2. SLIČNOSTI TROKUT 14 Teorem 2.6. Poučak o sličnosti trokuta S-K-S ko se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a duljine odgovarajućih stranica uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuti slični. F E Slika 2.5 Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da vrijedi = k DE, = k DF i = F DE. Neka su točke E i F takve da vrijedi = k E i = k F, tada su prema poučku o sukladnosti S-K-S, trokuti E F i DEF sukladni. Prema obratu Talesovog teorema o proporcionalnosti pravci E F i su paralelni. Tada je prema Talesovom poučku o proporcionalnosti = k E F = k EF, pa su trokuti i DEF slični. Teorem 2.7. Zbroj unutarnjih kutova svakog trokuta iznosi 180. γ β γ α p α β Slika 2.6

18 POGLVLJE 2. SLIČNOSTI TROKUT 15 Dokaz. Uz oznake kao na slici 2.6., neka je pravac p usporedan s dužinom i neka su dužine i produžetci dužina i. Prema poučku o kutovima uz transverzalu, pravac siječe pravce i p pod istim kutom i pravac siječe pravce i p pod istim kutom. Kutovi i su vršni kutovi, pa su sukladni. Kutovi (p, ), i (, p) zajedno čine ispruženi kut, pa je α + β + γ = 180. Teorem 2.8. Poučak o sličnosti trokuta K-K ko se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični. Dokaz. ko se trokuti podudaraju u dva kuta, onda se prema prethodnom teoremu podudaraju i u trećem, pa su prema definiciji ti trokuti slični. Teorem 2.9. Poučak o sličnosti trokuta S-S-K > Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot duljoj od njih. Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da vrijedi = k EF, = k DF i = F DE i >. Neka je trokut E F takav da je = F E, gdje su točke E i F takve da je = k F i E F. Tada prema Talesovom poučku o proporcionalnosti pravci i E F na krakovima kuta odsjecaju proporcionalne dužine, pa je = k F i = k E F. Tada su prema poučku o sličnosti S-S-S trokuti i E F slični, a zbog = k DF = k F, = k EF = k E F i = k DE = k E su prema poučku o sukladnosti S-S-S trokuti E F i DEF sukladni, pa su trokuti i DEF slični.

19 Poglavlje 3 Preslikavanja sličnosti 3.1 Homotetija U prethodnom poglavlju razmatrali smo samo sličnost trokuta. sličnost drugih likova? U tu svrhu uvedimo pojam homotetije. Kako definirati Definicija 3.1. Neka je O točka ravnine i k 0 realan broj. Homotetija je preslikavanje h ravnine, koje svakoj točki T pridružuje točku T = h(t ) tako da vrijedi: (i) točke O, T i T leže na istom pravcu; (ii) a) ako je k > 0, onda T leži na polupravcu OT ; b) ako je k < 0, onda T ne leži na polupravcu OT ; (iii) OT = k OT. Točku O nazivamo središte (centar) homotetije, a broj k koeficijent homotetije. Definicija 3.1. pojavljuje se u udžbenicima za prvi razred, za opće i prirodoslovnomatematičke gimnazije. Ukoliko je osoba koja proučava homotetiju već upoznata s jezikom vektora (usmjerenih dužina), tada pribjegavamo mnogo elegantnijoj definiciji. 16

20 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 17 O T T k = 3 O T T k = 3 4 T O T k = 3 2 Slika 3.1 Definicija 3.2. Preslikavanje h : M M je homotetija ravnine M s koeficijentom homotetije k 0 i središtem O M, ako za svaku točku T M postoji točka h(t ) = T takva da je OT = k OT. Iz definicije slijedi da su točke O, T i T kolinearne, tj. leže na istom pravcu koji nazivamo zraka homotetije. Uobičajena oznaka za homotetiju je h, ali ako želimo naglasiti središte i koeficijent homotetije tada ćemo koristiti oznaku h(o, k). Teorem 3.3. Homotetija s koeficijentom k = 1 preslikava svaku točku ravnine u tu istu točku, pa takvo preslikavanje nazivamo identiteta. Dokaz. Neka je h homotetija sa središtem u točki O s koeficijentom homotetije k = 1, tada je za proizvoljnu točku T, Oh(T ) = OT. Zbog toga što su vektori Oh(T ) i OT jednaki i imaju istu početnu točku, tada su im i krajnje točke jednake. Dakle, h(t ) = T za svaku točku T, pa je homotetija s koeficijentom homotetije 1 identiteta. entralna simetrija je homotetija s koeficijentom s koeficijentom k = 1. Teorem 3.4. Homotetija h ravnine M je bijekcija. Dokaz. Prvo ćemo dokazati injektivnost. Neka su, M, i = h(), = h(). Tada je = O + O = O O = k O ko = k( (3.1) O O) = k( O + O) = k.

21 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 18 udući da je k 0 i da su točke i različite, tada vektor nije nulvektor. Iz jednakosti = k slijedi da ni nije nulvektor, tj. i su različite točke. Kako bi dokazali da je h bijekcija moramo još dokazati da je i surjekcija. Označimo li D = h(d), imamo OD = k OD = O. Dakle, OD i O su dva jednaka vektora s istom početnom točkom, pa slijedi da im je i završna točka ista, tj. D =. Teorem 3.5. Neka je h : M M homotetija ravnine M, tada vrijedi: (i) h bijektivno preslikava svaku dužinu na njoj paralelnu dužinu, (ii) h bijektivno preslikava svaki pravac p M na pravac p M paralelan sa p, (iii) ako p sadrži središte homotetije, onda je h(p) = p. Dokaz. Neka je h homotetija sa središtem O i koeficijentom k. (iii) Neka je p pravac kroz O. Homotetija svaku točku T pravca p preslikava u točku T tako da su T, O i T kolinearne. Drugim riječima i točka T leži na pravcu p, tj. h(p) p. Dokažimo i drugu inkluziju, tj. da je svaka točka p slika svake točke s tog istog pravca. Za po volji odabranu točku p definiramo točku, kao završnu točku vektora 1 O, tj. k O = 1 O. k Točke O, i su kolinearne, tj. O = p. Oh() = k O = k 1 O = O, tj. h() =. Dakle, orginal točke je točka, tj. p h(p). Zajedno s prvo dokazanim svojstvom imamo da je p = h(p). (ii) Neka p ne prolazi kroz O i neka su, p proizvoljne točke takve da je = h() i = h(). Za svaku točku p postoji s R takav da je = s. Prema teoremu 3.5. vrijede jednakosti = k i = k, pa je = ks = ks 1 = s. (3.2) k k

22 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 19 Vektori i su kolinearni i imaju istu početnu točku, pa oni leže na istom pravcu h(p) = p, tj. točke, i su kolinearne. Dakle, pravci p i p su paralelni. (i) Prema (ii), dužine i leže na paralelnim pravcima, pa je. Teorem 3.6. Neka su dužine i paralelne, tada postoje točno dvije homotetije koje dužinu preslikavaju na dužinu. O 2 O 1 Slika 3.2 Dokaz. Neka su točke, p i, p takve da. Vektori i leže na paralelnim pravcima pa postoji homotetija h 1 sa središtem u točki O 1 i koeficijentom k > 0 takva da je h 1 () = i h 1 () =. Isto tako postoji homotetija h 2 sa središtem u točki O 2 i koeficijentom s = k takva da je h 2 () = i h 2 () =. Teorem 3.7. ko trokuti i DEF nisu sukladni i ako im odgovarajuće stranice leže na paralelnim pravcima, tada postoji točno jedna homotetija koja preslikava jedan u drugi. Dokaz. Neka su trokuti i DEF takvi da je = k DE, = k EF i = k DF, za k 0, 1. Neka se pravci D i E sijeku u točki O, a pravci D i F sijeku u točki S.

23 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 20 F O E D D (a) k > 0 E F O (b) k < 0 Slika 3.3 Prema teoremu 3.6. postoje homotetije h, g sa središtima u točkama O, S i koeficijentom k za koje su h() = DE, g() = DF. Odakle slijedi da je h() = g() = D, pa je h() = DF, zbog čega je DF = k. li kako je = k DF, tada je DF = DF, pa je F = F. Iz toga slijedi da je h() = g() = DF, pa je h = g. Dakle, postoji točno jedna homotetija s danim svojstvima. Teorem 3.8. ko trokuti, i nisu u parovima sukladni i ako im odgovarajuće stranice leže na paralelnim pravcima, tada za svaki par trokuta postoji točno jedna homotetija koja preslikava jedan u drugi i središta tih homotetija su kolinearne točke. Dokaz. Neka su h 1 (O 1, k 1 ), h 2 (O 2, k 2 ) i h(o, k) homotetije za koje je h 1 () = 1 1 1, h 2 ( ) = i h() = Prema definiciji homotetije vrijedi iz čega slijedi da je k = k 1 k = k = k i k 1 1 = k 1 =, k 2 Isto tako prema definiciji homotetije vrijedi O 1 1 = k 1O1, O 2 2 = k 2 O 2 1 i O 2 = k O = k 1 k 2 O.

24 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI O 2 O 1 O Slika 3.4 Zapišimo sada vektore O 1 O, OO 2 i O 1 O 2 na sljedeći način O 1 O = O 1 O = 1 O 1 1 O k 1 OO 2 = O 2 O 2 2 = k 1 k 2O k2 O 2 1 O 1 O 2 = O 1 O + OO 2 = O 1 1 O 2 1. Uvrštavanjem prve i druge jednakosti u treću dobivamo O = k 1 1 O k 2 1 O 2 1, k 1 k 2 1. k 1 (k 1 k 2 1) k 1 k 2 1 Sada možemo zapisati vektor O 1 O na sljedeći način O 1 O = k 2 1 k 1 k 2 1 ( O 1 1 O 2 1 ) = k 2 1 O 1 O 2, k 1 k 2 1, k 1 k 2 1 odakle vidimo da su za k 1 k 2 1 točke O 1, O 2 i O kolinearne. Uočimo još da je h( ) = h 2 (h 1 ()) = 2 2 2, tj. h je kompozicija dviju homotetija h 2 i h 1 s koeficijentom homotetije k 1 k 2 1 i središtem u točki O O 1 O 2.

25 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 22 Sad možemo promotriti što se dešava pri uzastupnom izvodenju homotetija kada je k 1 k 2 = 1. Teorem 3.9. ko je k 1 k 2 h 2 (O 2, k 2 ) translacija. = 1, tada je kompozicija dvije homotetije h 1 (O 1, k 1 ) i Dokaz. Neka je k 1 k 2 h 1 (T ) = T i h 2 (T ) = T, tada je = 1 i neka je točka T po volji odabrana točka za koju je T T = T O 2 + O 2 T = T O 1 + O 1 O 2 + k 2 O 2 T = 1 O 1 T + O 1 O 2 + k 2 O 2 T = k 2 T O 1 + O 1 O 2 + k 2 O 2 T k 1 = k 2 ( O 2 T + T O 1 ) + O 1 O 2 = k 2 O 2 O 1 + O 1 O 2 = (1 k 2 ) O 1 O 2. (3.3) Vektori T T i O 1 O 2 su kolinearni pa f preslikava točku T u T u smjeru vektora O 1 O 2, tj. translatira je za vektor (1 k 2 ) O 1 O 2. ko je O 1 = O 2, tada su h 1 i h 2 homotetije s istim središtem i recipročnim koeficijentima, pa je f = 1 M identiteta na M. Promotrimo što se dešava pri uzastopnom izvodenju dviju homotetija s istim središtem. Teorem Kompozicija dviju homotetija s istim središtem je komutativna i to je homotetija s istim središtem i koeficijentom koji je jednak umnošku koeficijenata danih homotetija. Dokaz. Neka su h 1 = h(o, k 1 ) i h 2 = h(o, k 2 ) dvije homotetije i neka su f = h 1 h 2 i g = h 2 h 1. Neka je T M proizvoljna točka i neka je h 2 (T ) = T, tada je prema definiciji homotetije OT = k 1OT. Isto tako neka je h1 (T ) = T, tada je OT = k 2OT. Iz toga slijedi da je OT = k 2OT = k 2 k 1OT, pa je f homotetija sa središtem u točki O i koeficijentom k 1 k 2. Neka je M proizvoljna točka i neka je h 1 () =, tada je O = k 1O. Isto tako neka je h 2 ( ) =, tada je O = k 1O = k 1 k 2O, pa je i g homotetija sa središtem u točki O i koeficijentom k 1 k 2.

26 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 23 Dakle, f = g je homotetija. Teorem Homotetija h(o, a) : M M preslikava kružnicu k(s, r) u kružnicu k (S, a r). ko je O = S, tada su kružnice k i k koncentrične kružnice sa središtem u točki S. S = O O S S (a) O = S (b) O S Slika 3.5 Dokaz. Neka je O = S. Za proizvoljnu točku k(s, r), za koju je h() =, prema definiciji homotetije vrijedi O = a O. Znamo da je O = r, pa je O = a r. Za O S i k(s, r), h preslikava točke S i u S i. Prema definiciji homotetije vrijedi OS = a OS i O = a O. Prema teoremu 3.8. vrijedi S = a S. Znamo da je S = r, pa je S = a r. Teorem ko su k 1 (S 1, r 1 ) i k 2 (S 2, r 2 ) dvije kružnice takve da je S 1 S 2 i r 1 r 2, tada postoje točno dvije homotetije sa središtima O 1, O 2 S 1 S 2 koje preslikavaju kružnicu k 1 u kružnicu k 2. Dokaz. Neka su k 1 (S 1, r 1 ) i k 2 (S 2, r 2 ) dvije kružnice i neka su pravci t 1, t 2 njihove zajedničke tangente iz točke O 1, a pravci t 3 i t 4 tangente iz točke O 2. Točke S 1 i S 2 su jednako udaljene od tangenti t 1 i t 2, pa one leže na njihovoj simetrali, tj. točke S 1, S 2 i O 1. Isto tako točke S 1 i S 2 su jednako udaljene od tangenti t 3 i t 4, pa su i točke S 1, S 2 i O 2 kolinearne.

27 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 24 1 t 1 1 S 1 O 1 O 2 t 3 t 4 S 2 t 2 Slika 3.6 Neka tangeta t 1 dira kružnice k 1 i k 2 u točkama i 1 i to tako da je O 1 1 = l 1 O1, gdje je l 1 > 0. Prema poučku o sličnosti K-K trokuti O 1 S 1 1 i O 1 S 2 2 su slični i dva para odgovarajućih stranica leži na istim, a treći par na paralelnim pravcima, pa prema teoremu 3.8. postoji homotetija h 1 sa središtem u točki O 1 i koeficijentom homotetije l 1 za koju je h 1 (k 1 (S 1, r 1 )) = k 2 (S 2, r 2 ). Neka tangenta t 3 dira kružnice k 1 i k 2 u točkama i 1 i to tako da je O 2 1 = l 2 O2, gdje je l 2 < 0. Prema poučku o sličnosti K-K trokuti O 2 S 2 1 i S 2 O 2 su slični i dva para odgovarajućih stranica leži na istim, a treći par na paralelnim pravcima, pa prema teoremu 3.8. postoji homotetija h 2 sa središtem u točki O 2 i koeficijentom homotetije l 2 < 0 za koju je h 2 (k 1 (S 1, r 1 )) = k 2 (S 2, r 2 ). 3.2 Sličnost Definicija Kompozicija homotetije h k i izometrije je preslikavanje sličnosti s koeficijentom s = k. Znamo da homotetija preslikava pravac u njemu paralelan pravac, kut u njemu sukladan kut i dužinu u njoj paralelnu dužinu. Pitanje je preslikava li i trokut u njemu sličan trokut. Teorem Homotetija preslikava trokut u njemu sličan trokut.

28 POGLVLJE 3. PRESLIKVNJ SLIČNOSTI 25 Dokaz. Neka je h homotetija sa središtem u točki O i koeficijentom homotetije k 0 i neka je trokut. Prema teoremu 3.6. h preslikava dužine, i u njima paralelne dužine, i, pa vrijedi = k, = k i = k. Prema poučku o sličnosti trokuta S-S-S trokuti i su slični. Trokuti moraju zadovoljavati tri uvjeta da bi bili slični i oni su opisani u teoremima o sličnosti trokuta. Kod mnogokuta tako nešto nije moguće. Dva su mnogokuta slična ako su im odgovarajuće stranice proporcionalne i odgovarajući kutovi sukladni. Niti jedan od ovih uvjeta ne može se isključiti a da mnogokuti ostanu i dalje slični. Na primjer, kad bismo razmatrali analogon teorema K-K za poligone, tada bi taj analogon glasio: Dva su n-terokuta slična ako se podudaraju u (n 1) kutu. No uzmimo pravokutnik koji nije kvadrat i kvadrat. Njihovi kutovi zadovoljavaju teorem K-K za poligone, ali oni nisu slični. ko bi razmatrali analogon teorema S-S-S za poligone, on bi glasio: Dva su poligona slična ako su im odgovarajuće stranice medusobno proporcionalne. Promotrimo li kvadrat i romb, njima su uvijek odgovarajuće stranice medusobno proporcionalne, ali oni nisu slični.

29 Poglavlje 4 Konstruktivni zadatci Metoda sličnosti pripada skupini metoda geometrijskih transformacija pomoću kojih konstruiramo neki geometrijski lik. it te metode je da se traženi lik ili dio lika podvrgne preslikavanju sličnosti i na taj način dobije figura koju znamo konstruirati, a koja pomaže pri konstrukciji traženog lika. U nastavi se ova metoda pojavljuje u prvom razredu srednje škole kad se uvodi homotetija i korektno definira sličnost. Ilustrirajmo ovu metodu s nekoliko konstruktivnih zadataka. Ponekad se u literaturi spominje i metoda homotetije, ali budući da je homotetija ujedno i sličnost, tada je dovoljno govoriti samo o metodi sličnosti. Zadatak 4.1. Dan je kut s krakovima a i b i unutar njega dvije točke M i N. Kroz te dvije točke povucite dva paralelna pravca m i n tako da njihovi odresci izmedu pravaca a i b budu u omjeru 1 : 3. 26

30 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 27 m a n N N O M b Slika 4.1 Rješenje: (i) naliza Neka su Oa i Ob dva polupravca i neka su točke M i N unutar manjeg kuta kojeg oni zatvaraju. Neka je točka N homotetična slika točke N obzirom na točku O i s koeficijentom homotetije k = 3, tada je pravac MN jedan od traženih pravaca, a pravac paralelan s njim kroz točku N je drugi traženi pravac. (ii) Konstrukcija 1. h(o, k = 3) je homotetija i ON = 3 ON 2. pravac kroz točke M i N je pravac m 3. pravac paralelan s pravcem m kroz točku N je pravac n (iii) Dokaz Točka N leži na pravcu n, pa njezina homotetična slika N mora ležati na pravcu m na kojem ujedno leži i točka M. Dakle, pravac MN je jedan od traženih pravaca. Zadatak 4.2. Konstruirajte kvadrat kojemu je jedna stranica na jednom polumjeru danog kružnog isječka, a druga dva vrha na drugom polumjeru odnosno na kružnom luku.

31 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 28 p D D l O q Slika 4.2 Rješenje: Ideja je konstruirati kvadrat koji će zadovoljavati dva od tri zadana uvjeta, a onda pogodnom homotetijom taj kvadrat preslikati u traženi kvadrat. Prvo konstruiramo kvadrat takav da mu jedna stranica leži na jednom kraku kružnog isječka i jedan vrh D na drugom kraku. Sjecište paralele s pravcem kroz točku D i okomice s istim pravcem kroz točku je točka. Sjecište pravca O s lukom l je točka koja je ujedno homotetična slika točke obzirom na točku O. Sjecište paralele s pravcem kroz točku i pravca OD je točka D. Sjecište okomica na pravac kroz točke i D su točke i. Zadatak 4.3. Dan je trokut i tri neparalelna pravca p, q i r. Konstruirajte trokut P QR koji je upisan trokutu i kojemu su stranice paralelne s danim pravcima. Rješenje: Ideja je konstruirati trokut P Q R kojemu točke Q i R leže na stranicama i i to tako da su P Q r, Q R p i R P q. Izaberemo proizvoljnu točku R. Presjek paralele s pravcem p kroz točku R i dužine je točka Q. Presjek paralele s pravcem r kroz točku Q i paralele s pravcem q kroz točku R je točka P.

32 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 29 p R Q R Q q P P r Slika 4.3 Presjek pravaca P i je točka P, koja je ujedno homotetična slika točke P obzirom na točku. Presjek paralele s pravcem q kroz točku P i dužine je točka R, a presjek paralele s pravcem r kroz točku P i dužine je točka Q. Uočimo karakteristiku rješenja ovih zadataka. U zadatku 4.2. traženi kvadrat je morao zadovoljavati 3 svojstva: a) jedna stranica mu je na polumjeru kružnog isječka, b) jedan od preostalih vrhova je na drugom polumjeru, c) posljednji vrh je na kružnom luku. Ideja je bila konstruirati kvadrat koji će zadovoljavati dva od ta tri uvjeta, a onda pogodnom homotetijom taj kvadrat preslikati u traženi kvadrat. Riješimo još dva zadatka koji se temelje na ovoj ideji. Zadatak 4.4. U zadani trokut upiši pravokutnik DEF G kojemu je DE : EF = 3 : 2, tako da vrijedi D, E.

33 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 30 Rješenje: Konstrukcija se provodi u četiri etape: (i) naliza: Prvo treba konstruirati pravokutnik D E F G za koji je D E = 3, E F = 2, D, E i G D. Točka u kojoj pravac F siječe dužinu je upravo vrh F. Pravokutnik DEF G je homotetična slika pravokutnika D E F G, gdje je središte homotetije, a k = F F koeficijent homotetije. G F G F D D E E Slika 4.4 (ii) Konstrukcija: 1. G 2. p 1 je okomica kroz G na 3. p 1 = {D } 4. h(d, 3 ) je homotetija 2 5. h(g ) = G 6. k(d, D G ) = {E } 7. t 1 (E ) = F, t 1 je translacija za vektor D G 8. F = {F } 9. p 2 je okomica kroz F na

34 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM p 2 = {E} 11. p 3 je paralela kroz F s 12. p 3 = {G} 13. t 2 (G) = D, t 2 je translacija za vektor F E p 2 p 1 G F p3 G F D M E E G k(d, D G ) Slika 4.5 (iii) Dokaz: Znamo da je h(f ) = F, gdje je h homotetija sa središtem i koeficijentom homotetije k. F E F E E F EF k = F F = E E F G F G G F GF k = F F = G G G D GD G D GD k = G G = D D Četverokut DEF G je homotetična slika četverokuta D E F G. (iv) Diskusija: Zadatak ima jedinstveno rješenje. Zadatak 4.5. U danu kružnicu upišite pravokutnik kojemu se duljine stranica odnose kao 1 : 4.

35 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 32 R D P D R 1 P 1 S Q 1 Q T 1 T Slika 4.6 Rješenje: Ideja je konstruirati pravokutnik D kojemu su stranice u zadanom omjeru i sjecište dijagonala se poklapa sa središtem kružnice. Sjecišta dijagonala tako dobivenog pravokutnika i dane kružnice su vrhovi traženog pravokutnika, i one su ujedno homotetične slike točaka D obzirom na točku središte kružnice. Neka je dana kružnica k(s, r). Dužine P Q i RT su medusobno okomiti promjeri dane kružnice. Točke R 1 i T 1 leže na dužini RT sa suprotnih strana točke S tako da je R 1 S = ST 1 = 1. Isto tako točke P 1 i Q 1 leže na dužini P Q sa suprotnih strana točke S tako da je P 1 S = SQ 1 = 4. Sjecište paralele s pravcem P Q kroz točku R 1 i njihovih okomica kroz točke P 1 i Q 1 su točke D i. Isto tako sjecište paralele s pravcem P Q kroz točku T 1 i njihovih okomica kroz točke P 1 i Q 1 su točke i. Tako dobiveni četverokut D je pravokutnik kojemu su stranice u omjeru 1 : 4,

36 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 33 a dijagonale mu se sijeku u središtu dane kružnice. Presjek pravca i kružnice k su točke i, a presjek pravca D i kružnice k su točke i D. Četverokut D je pravokutnik koji zadvoljava sve zadane uvjete. Zadatak 4.6. Konstruirajte trokut ako je zadano a : b : c = 2 : 3 : 5 i t a = 3 cm. 1 k 1 Slika 4.7 Rješenje: Prvo ćemo konstruirati trokut kojemu su stranice a = 2 cm, b = 3 cm i c = 5 cm. Prema poučku o sličnosti trokuta S-S-S, trokuti i su slični. Neka je točka 1 polovište dužine, tada je dužina 1 težišnica trokuta iz vrha. Presjek kružnice sa središtem u točki i radijusom t a i dužine 1 je upravo točka 1. Presjek paralele s pravcem kroz točku 1 s dužinama i su točke i. Zadatak 4.7. Konstruirajte trokut ako je zadano a : b = 3 : 4, kut γ i s γ = 5 cm. Rješenje: Prvo ćemo konstruirati trokut kojemu su stranice a = 3 cm, b = 4 cm i = γ cm. Prema poučku o sličnosti trokuta S-K-S trokuti i su slični. Neka polupravci p i q zatvaraju kut γ.

37 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 34 p L L Slika 4.8 q Na polupravce p i q nanesemo točke i tako da je = a i = b. Simetrala kuta γ siječe dužinu u točki L. Sjecište pravca L i kružnog luka sa središtem u točki polumjera s γ je točka L. Paralela s u točki L s polupravcima p i q su točke i. Zadatak 4.8. Konstruirajte trokut ako je zadano b : c = 3 : 5, kut β i visina v a = 4cm. p 1 2 q 1 N 2 l Slika 4.9 Rješenje:

38 POGLVLJE 4. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U KONSTRUKTIVNIM ZDTIM 35 Prvo ćemo konstruirati trokut kojemu su stranice b = 3 cm i c = 5 cm i = β. Neka polupravci p i q zatvaraju kut β. Na polupravac p nanesemo točku tako da je = c. Iz vrha povučemo polupravac l koji je okomit na polupravac p i presječemo ga kružnim lukom sa središtem u vrhu i polumjerom v a u točki N. Kružni luk sa središtem u točki polumjera b presjeca polupravac p u dvije točke 1 i 2 iz čega slijedi da postoje dva rješenja. Paralela s polupravcem p siječe pravce, 1 i 2 u točkama, 1 i 2. Općenito kada je zadan omjer stranica i kut nasuprot manje stranice mogu se pojaviti dva rješenja.

39 Poglavlje 5 Primjene Primjena sličnosti u školskoj matematici je vrlo široka, sličnost se koristi ne samo u rješavanju konstruktnih zadataka, već i u dokazima nekih teorema. U ovom ćemo poglavlju istaknuti neka mjesta u nastavi matematike gdje se koristi sličnost. Teorem 5.1. Euklidov poučak (i) Visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta je geometrijska sredina njenih odsječaka na hipotenuzi. (ii) Kateta pravokutnog trokuta je geometrijska sredina hipotenuze i svoje ortogonalne projekcije na hipotenuzu. b β α v c a α p N q β Slika

40 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 37 Dokaz. Neka su a, b i c duljine stranica pravokutnog trokuta kutom u vrhu i neka je točka N ortogonalna projekcija točke na stranicu, gdje je v c = N. Dužina N dijeli trokut na dva pravokutna trokuta N i N. Uočimo da je N = N = α i N = N = β, pa su prema poučku K-K o sličnosti trokuti, N i N slični. Iz toga slijedi da je (i) p v c = vc q, pa je v c = pq, čime je dokazana prva tvrdnja, (ii) p b = b c i a c = q a, pa je b = pc i a = qc, čime je dokazana i druga tvrdnja. Lako se može uočiti da iz druge tvrdnje slijedi Pitagorin poučak, tj. trokut je pravokutan s pravim kutom u vrhu, pa je b 2 + a 2 = pc + qc = c(p + q) = c 2. Teorem 5.2. Heronova formula Neka su a, b i c duljine stranica trokuta i neka je s njegov poluopseg, tada je površina tog trokuta dana sa P = s(s a)(s b)(s c). Dokaz. Upišimo u trokut kružnicu i označimo njezin polumjer s r i dirališta kružnice s dužinama, i točkama D, E i F. Neka je S sjecište simetrala kuta, vanjskog kuta pri vrhu i vanjskog kuta pri vrhu i neka kružnica sa središtem u točki S i polumjerom r dira pravce, i u točkama D, E i F. Prema poučku o sukladnosti trokuta S-S-K trokuti D S i E S su sukladni, pa je E = D. Isto tako trokuti E S i F S su sukladni, pa je E = F.

41 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 38 F s a F s c S r E E S r s a D s b D Slika 5.2 Sada imamo D + F = s a + s b + D + s a + s c + F = 4s 2a b c + D + F = 4s a b c = 4s (a + b + c) = 4s 2s = 2s. Obzirom da je S D = S F, S F = S D i S se nalazi na simetrali kuta, trokuti F S i D S su sukladni, pa je E = F = s. D možemo zapisati i na ovaj način D = + D, pa je D = D = s c. Prema poučku o sličnosti trokuta K-K trokuti DS i D S su slični, iz čega slijedi s a r Isto tako trokuti SD i S D su slični, iz čega slijedi r = s r, pa je r = sr s a. (5.1) s c = s b, pa je r = r Izjednačavanjem jednakosti (5.1) i (5.2) dobivamo (s b)(s c). (5.2) r r 2 = (s a)(s b)(s c) (s a)(s b)(s c), pa je r =. s s

42 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 39 Uvrštavanjem zadnje jednakosti u formulu za površinu trokuta P = rs dobivamo (s a)(s b)(s c) P = s s (s a)(s b)(s c) = s s 2 = (s a)(s b)(s c). Teorem 5.3. Teorem o težištu Težišnice trokuta se sijeku u jednoj točki T koju nazivamo težište trokuta i koja dijeli svaku težišnicu u omjeru 2 : 1 računajući od vrha. D E 1 1 T Slika Dokaz. Neka su točke 1, 1 i 1 polovišta dužina, i redom. Vrhom povucimo paralelu s. Neka su točke D i E sjecišta te paralele i pravaca 1 i 1 redom. Prema poučku o sličnosti S-K-S trokuti D 1 i 1 su slični, pa je D = 1 1 = 1. Prema poučku o sličnosti S-K-S trokuti 1 E i 1 su slični, pa je E = 1 1 = 1. Iz sličnosti trokuta DET i T i dviju gornjih jednakosti slijedi T T 1 = DE = D + E Dokaz je analogan za preostale dvije težišnice. = D + E = = 2.

43 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 40 Promotrimo vezu trigonometrije i sličnosti kod pravokutnog trokuta. y sin α F ctg α tg α c b O α L cos α (1, 0) x α a Slika 5.4 Neka je k jedinična kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, tada proizvoljna točka F koja se nalazi na toj kružnici ima koordinate F (cos α, sin α), gdje je α kut koji pravac OF zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa. Točka L je ortogonalna projekcija točke F na os apscisa, pa su njezine koordinate L(cos α, 0). Trokut OLF je pravokutan s katetama duljine cosα i sinα i hipotenuzom duljine 1, pa je prema Pitagorinom poučku cos 2 α + sin 2 α = 1. Neka je trokut pravokutan s pravim kutom kod vrha, i neka je kut = α, tada su prema poučku o sličnosti K-K, trokuti OLF i slični. Neka su a i b duljine kateta trokuta, a c duljina hipotenuze, tada vrijede slijedeće jednakosti cos α = a c i sin α = b c.

44 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 41 Teorem 5.4. evin poučak Neka se točke D, E i F nalaze na stranicama, i trokuta. Pravci D, E i F prolaze jednom točkom ako i samo ako vrijedi F D E F D E = 1. N E D P F M Slika 5.5 Dokaz. Neka se točke D, E i F nalaze na stranicama, i trokuta i neka se pravci D, E i F sijeku u točki P. Točkama i povucimo paralele s D. Neka su točke M i N sjecišta tih dviju paralela s pravcima P i P. Prema teoremu s sličnosti S-K-S trokuti F P i F M su slični, pa je F F = P M. (5.3) Isto tako prema teoremu s sličnosti S-K-S trokuti NE i P E su slični, pa je E E = N P. (5.4)

45 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 42 Prema teoremu o sličnosti S-S-S trokuti P D i M su slični i trokuti P D i N su slični, pa je D = M P D Iz posljednje dvije jednakosti dobivamo iz čega slijedi = M D P D i D D = M N. D = DP N. = D N, P D Množenjem zadnje jednakosti s (5.1) i (5.2) dobivamo Dokažimo i obrat. Neka su točke D, E i F takve da vrijedi F D E F D E = 1. F D E F D E = 1. Sa S označimo sjecište pravaca D i E. Povucimo pravac S i neka on u točki F siječe stranicu. Kako pravci D, E i F prolaze točkom S, tada vrijedi Izjednačavanjem dobijemo iz čega slijedi F F F D E F D E = 1. D E D E = F F F F = F F. D E D E, Točke F i F se nalaze na dužini i dijele je u istom omjeru, pa je stoga F = F. Teorem 5.5. Teorem o ortocentru Pravci na kojima leže visine sijeku se u jednoj točki.

46 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 43 P Slika 5.6 Dokaz. Neka su točke, i nožišta visina šiljastokutnog trokuta povučenih iz vrhova, i. Dokažemo li da vrijedi jednakost = 1, tada se prema evinom teoremu pravci na kojima leže visine trokuta sijeku u jednoj točki. Možemo uočiti sličnost prema K-K poučku o sličnosti izmedu sljedećih parova trokuta: Trokuti i su slični, pa je Trokuti i su slični, pa je Trokuti i su slični, pa je =. (5.5) =. (5.6) =. (5.7) Kada pomnožimo lijeve i desne strane jednakosti (5.3), (5.4) i (5.5) dobivamo jednakost = 1,

47 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 44 pa prema evinom teoremu možemo zaključiti da se pravci na kojima leže visine šiljastokutnog trokuta sijeku u jednoj točki. U pravokutnom trokutu katete su medusobno okomite, pa su ujedno jedna drugoj visine i nožišta se nalaze na stranicama trokuta, pa se prema evinom teoremu pravci na kojima leže visine trokuta sijeku u jednoj točki, i to upravo u vrhu nasuprot hipotenuze. Dokažimo sad da tvrdnja teorema vrijedi i za tupokutan trokut. P Slika 5.7 Neka je trokut tupokutan s tupim kutom kod vrha i neka su točke i nožišta visina iz vrhova i. Neka se pravci i sijeku u točki P. Trokut P je šiljastokutan i dužine i su njegove visine i one se sijeku u vrhu, pa prema dokazu za šiljastokutan trokut i visina koja leži na pravcu P prolazi točkom i siječe dužinu u točki. Dužina je ujedno i visina trokuta iz vrha, pa je time tvrdnja dokazana. Za dokaze idućih teorema potrebno je definirati pojam zlatnog reza.

48 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 45 Definicija 5.6. Neka točka dijeli dužinu tako da vrijedi : = :. Dužinu zovemo zlatnim rezom dužine. Teorem 5.7. U nekom pravokutnom trokutu u kojemu je duljina jedne katete polovica duljine druge katete, zlatni rez veće katete jednak je razlici hipotenuze i manje katete. β α α α K β β S Slika 5.8 Dokaz. Neka je S karakteristični trokut pravilnog deseterokuta, tada su S = α = 36 i S = S = β = 72 i α = 2β. Neka je točka K sjecište simetrale S i polumjera S, tada su K = K, pa su prema poučku o sličnosti trokuta K-K trokuti K i S slični. Iz toga slijedi da je S : = : K, a zbog = K = SK je S : SK = SK : K, pa je SK zlatni rez dužine S.

49 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 46 Na temelju idućeg teorema može se s lakoćom konstruirati pravilni deseterokut kojemu je zadan polumjer opisane kružnice. Teorem 5.8. Stranica pravilnog deseterokuta jednaka je zlatnom rezu polumjera tom deseterokutu opisane kružnice. K S P P Slika 5.9 Dokaz. Neka je S polumjer pravilnom deseterokutu opisane kružnice. ko zarotiramo polovište dužine S za 90 oko točke dobijemo točku P. Presjek kružnog luka sa središtem u točki P i polumjera P i dužine SP je točka P, a presjek kružnog luka sa središtem u točki S i polumjera SP s dužinom S je točka K. Prema prethodnom teoremu dužina SK je zlatni dužine S. Točku dobijemo kao sjecište kružnog luka sa središtem u točki K i polumjerom SK i kružnog luka sa središtem u točki i polumjerom SK. Na taj način smo dobili karakteristični trokut pravilnog deseterokuta. Ptolomejev teorem je koristan ako želimo odrediti stranice pravilnog peterokuta kojemu je zadan polumjer opisane kružnice.

50 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 47 Teorem 5.9. Ptolomejev teorem Četverokut D je tetivan ako i samo ako vrijedi D = D + D. F D Slika 5.10 Dokaz. Neka je četverokut D tetivan i neka je točka F na dijagonali takva da je F = D. Kutovi i D su obodni kutovi nad istim lukom, pa su sukladni. Prema poučku o sličnosti K-K trokuti D i F su slični, pa je D = D F i F = D. (5.8) D Uočimo da je D + DF = F + DF = D. Kutovi D i D su obodni kutovi nad istim lukom, pa su sukladni. Iz toga slijedi da su trokuti F i D slični, pa je D = F D i F = D. (5.9) D Zbrajanjem jednakosti (5.8) i (5.9) dobivamo F + F = = D + D, D

51 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 48 iz čega slijedi D = D + D. Sličnost ima primjenu i u konstrukciji s nedostupnim točkama. Riješimo jedan takav zadatak. Zadatak Neka je zadana točka P. Provucimo pravac p kroz točku P i nedostupnim sjecištem S pravaca a i b. a S p b P P Slika 5.11 Rješenje: Neka su pravci a i b takvi da im je točka sjecišta S izvan crtaćeg papira i neka je točka P bilo gdje na papiru. Nacrtajmo proizvoljan trokut P kojemu su točke i na pravcima a i b. Istaknimo točku na pravcu a i povucimo kroz nju paralele s pravcima P i. Sjecište pravaca i b je točka. Povucimo točkom pravac paralelan s pravcem P. Sjecište pravaca P i P je točka P. Tako dobiveni trokut P je sličan trokutu P. Pravci, i su zrake sličnosti (zrake homotetije s pozitivnim koeficijentom) i oni se sijeku u točki S. Promotrimo primjenu sličnosti kod trostrane piramide. Neka je V trostrana piramida kojoj je osnovka trokut i neka je presjek piramide ravninom paralelnom s osnovkom trokut.

52 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 49 V x N v N Slika 5.12 Neka su točke N i N ortogonalne projekcije vrha V na ravnine i. Označimo NN = v i N V = x. Pravokutni trokuti NV i N V su slični prema poučku o sličnosti K-K, pa je V V = x x + v. Promotrimo li druga dva para pravokutnih trokuta NV i N V, te NV i N V, dobijemo sljedeće jednakosti V V = x x + v i V V = x x + v. Dužine i leže na paralelnim ravninama i i leže na istoj trećoj ravnini, pa su one paralelne i presjecaju krak V iz čega slijedi da su trokuti V i V slični prema poučku K-K. Iz toga slijedi = V V = x x + v.

53 POGLVLJE 5. PRIMJEN HOMOTETIJE I SLIČNOSTI U ŠKOLSKOJ MTEMTII 50 nalogno se dobiva = x x + v i = x x + v, tj. trokuti i su slični prema poučku S-S-S s koeficijentom sličnosti Dakle, baze krnje trostrane piramide su slični trokuti. x. x+v

54 ibliografija [1]. Marić: Četverokut. Element, Zagreb, [2]. Marić: Planimetrija, zbirka riješenih zadataka. Element, Zagreb, [3] D. Palman: Geometrijske konstrukcije. Element, Zagreb, [4]. Dakić, N. Elezović: Matematika 1, udžbenik sa zbirkom zadataka iz matematike za 4. razred prirodoslovno-matematičke gimnazije 2. dio. Element, Zagreb, [5] M. Kurnik,. Pavković, Ž. Zorić: Matematika 1, udžbenik sa zbirkom zadataka iz matematike za 4. razred prirodoslovno-matematičke gimnazije 2. dio. Školska knjiga, Zagreb, [6] J. Durović, I. Durović, S. Rukavina: Matematika 1, zbirka zadataka za 1. razred gimnazije. Element, Zagreb, [7].W. Dodge: Euclidean Geometry and Transformations. ourier orporation, [8] S. Varošanec: onstructive problems and method of similarity, Math. omm. Vol3(1998) No2, [9] [10] 51

55 Sažetak U ovom diplomskom radu obradene su teme sličnost i homotetija kroz pet poglavlja. U prvom poglavlju definirana je izometrija i dokazani su poučci o sukladnosti trokuta. U drugom poglavlju definirana je sličnost i dokazani su poučci o sličnosti trokuta. U trećem poglavlju definirana je homotetija i dokazana su razna svojstva homotetije. U četvrtom poglavlju riješeni su konstruktivni zadaci iz školskih udžbenika. U petom poglavlju su iskazani i dokazani razni teoremi koji se pojavljuju u školskoj matematici, a koji su na neki način povezani sa sličnosti.

56 Summary In this thesis we describe similarity and homothety. The first chapter is devoted to isometries and to theorems of congruent triangles. In the second chapter we define the similarity and demonstrate and prove theorems of similarity of triangles. homothety and demonstrates various properties of it are given in the third chapter, while a sequence of constructive problems related to similarity are solved in the four chapter.finally, the fifth chapter is devoted to theorems and other parts of mathematics curriculum which involve similarity.

57 Životopis Rodena sam 19. prosinca godine u Zagrebu. Završila sam Prehrambenotehnološku srednju školu godine godine sam se udala i postala majka djevojčice godine sam završila preddiplomski sveučilišni studij Matematika.