180 godina otkrića neeuklidske geometrije 1

Transcription

1 N.I. Lobačevski ( ) 180 godina otkrića neeuklidske geometrije 1 Antun Ivanković, Ilok 2 Prije 180 godina, 23.(11.) veljače godine, izložio je Nikolaj Ivanovič Lobačevski, na sjednici Fizičko matematičkog Sveučilišta u Kazanu, svoju raspravu: Kratko izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teoreme o paralelnim pravcima. Taj dan se smatra danom rad - anja neeuklidske geometrije. Pojava neeuklidske geometrije inicirat će buran razvoj ne samo geometrije, nego i drugih matematičkih i znanstvenih disciplina. Pojava neeuklidske geometrije omogučit će potpuno novo shvaćanje prostora ( npr. Opća teorija relativnosti ). Geometrija je kao empirijska znanost ponikla u starim kulturama Babilona i Egipta, da bi se poslije prenijela u Grčku. Od VII. st. prije Krista u djelima grčkih filozofa počinje znatan razvoj geometrije. U VI. i VII. st. bilo je otkriveno mnogo osnovnih geometrijskih činjenica, da bi se u III. st. došlo s mnoštvom geometrijskih rezultata. U filozofskim školama se javlja potreba sred - ivanjatih geometrijskih znanja ( Platonova i Aristotelova škola ). Radove grčkih geometara sistematizirao je jedan od najvećih matematičara toga doba, Euklid ( g. pr. Krista ) u svojim ELEMENTIMA. 3 To je prva strogo logička konstrukcija geometrije. Na početku toga djela nalaze se definicije, kojima se objašnjavaju razni geometrijski pojmovi. Na primjer: točka je ono što nema dijelova; pravac je dužina bez širine; površina je ono što ima samo dužinu i širinu, itd. Dalje, Euklid daje popis pet postulata, devet aksioma i teoreme. Taj njegov popis postulata, aksioma i teorema bio je dostatan za strogo logičko zasnivanje geometrije. Gledano iz današnje perspektive, Euklidovi ELEMENTI su remek djelo logično-deduktivne izgradnje geometrije. Postulati i aksiomi su elementarne tvrdnje koje se uzimaju apriori, tj. bez dokaza. Postulati su po formi često jednostavniji. 4 Jedan aksiomatizirani sustav po Hilbertu 5 treba zadovoljavati tri načela aksiomatike. To su: 1) neproturječivost, 2) nezavisnost i 3) potpunost 6 1. Ni jedan od aksioma u okviru sustava (teorije) ne smije biti proturječan drugom 2. Ni jedan od aksioma ne smije zavisiti od drugog 3. Popis aksioma mora biti minimalan i iz njega se mogu izvesti sve tvrdnje Već su komentatori Euklidovih ELEMENTA pokušali Euklidov sustav aksioma (postulata) svesti na najmanje. Logički put je bio taj da se neki postulati pokušaju izvesti iz drugih. Ako bi to bilo moguće, onda više nije zadovoljen uvjet 2), pa to nije postulat. To im je uspjelo s četvrtim postulatom, ali s petim koji je izgledao dosta komplicirano, nije išlo. Otada su se tim problemom bavili matematičari punih dvadeset stoljeća, ali bez uspijeha. Pojavljivali su se mnogi dokazi, ali oni su u sebi uvijek sadržavali neki od ekvivalenata 7 petog Euklidovog postulata i nisu dovodili 1 Članak sam napisao i objavio prije 10 godina u Časopisu društva hrvatskih srednjoškolskih profesora - Nastavni vijesnik, pod UDK: (091). U ovom članku sam napravio manje izmjene i korekcije u odnosu na staru verziju. 2 Srednja škola Ilok, antun.ivankovic@vk.htnet.hr 3 ELEMENTI se sastoje od 13 knjiga od kojih su peta, osma, deveta i deseta posvećene proporcijama i aritmetici ( u geometrijskoj formi ), a ostale su čisto geometrijske. Prva knjiga sadrži sukladnost trokuta, teoriju paralelnih pravaca, uvjete jednakosti površine trokuta i mnogokuta. U četvrtoj knjizi razmatraju se opisani i upisani mnogokuti. Šesta knjiga obrad- uje sličnost mnogokuta. U posljednjim trima knjigama izloženi su osnovi geometrije. 4 Slijed postulata, aksioma i teorema u ELEMENTIMA nije Euklidov, nego su ih mnogi njegovi kritičari kroz stoljeća dopisali: 1. Izmed - udvijetočke može povući pravac. 2. Svaki pravac se može neograničeno produžiti. 3. Iz bilo koje točke semože opisati kružnica s bilo kojim polumjerom. 4. Svi pravi kutovi su jednaki. 5. Najintrigantniji je 11. aksiom o paralelama ili u nekim verzijama ELEMENATA se naziva peti postulat. On bi glasio ovako: Zahtijeva se, ako pravac, sijekući se s drugim pravcima čini s ovima na istoj strani unutrašnje kutove sa zbrojem manjim od dva prava kuta, da se ovi pravci sijeku s one strane gdje je ta suma manja od dva prava kuta. To lako predočite crtežom. 5 Veliki njemački matematičar i logičar ( ), koji godine objavljuje svoje djelo Grundlagen der Geometrie [2] u kojem aksiomatizira cjelokupnu euklidsku geometriju. Aksiomatski sustav se sastoji od pet grupa aksioma.prve 4 grupe čine apsolutnu geometriju, a peta je aksiom o paralelama. Ovo djelo je imalo veliki pedagoški utjecaj decenijama na nastavnike i studente, tako da se Hilbertov sustav aksioma proučava i danas na kolegijima Osnova geometrije na prvim godinama studija prirodoslovno matematičkih fakulteta, a i na mnogim drugim. 6 Danas je aksiomatizirana gotovo cijela matematika 7 Postoji mnogo ekvivalenata petog Euklidovog postulata, npr.točkom koja ne leži na pravcu prolazi jedan pravac koji je paralelan datom, zbroj kutova u trokutu je ispružen kut, oko svakog trokuta može se opisati kružnica, itd.

2 do dokaza. Nabrojat ćemo nekoliko najznačajnijih pokušaja dokaza V. postulata, koji su u konačnici pokazali da je to postulat neovisan o drugim postulatima Euklidove geometrije. Najznačajniji pokušaji dokaza petog postulata su Saccherijevi ( ) i Lambertovi ( ) pokušaji. Obojica su pokušali dokazati indirektnom metodom ( pretpostaviti suprotno tvrd - enju 5. postulata ili nekom njegovom ekvivalentu) i dobijali su neshvatljive posljedice, koje su se poslije pokazale suglasne rezultatima Lobačevskog. Saccheri (1773.) promatra četverokut s dva prava kuta na osnovici i jednakim bočnim stranama (Slika 1.).Za ostala dva kuta pretpostavlja da su prava, oštra ili tupa. Za hipotezu oštrog kuta dobija interesantne posljedice, tj. zbroj kutova u trokutu je manji od dva prava, zadanom točkom prolazi više pravaca koji se ne sijeku s datim, itd. Lambert (1766.) promatra četverokut s tri prava kuta (Slika 2) i postavlja tri hipoteze za kut kod četvrtog vrha. Dokazuje kao i Saccheri da je hipoteza pravog kuta ekvivalentna petom postulatu i dobija da bi hipotezu šiljastog kuta zadovoljavali trokuti na nekoj imaginarnoj sferi. I poslije Saccherija i Lamberta interes za riješavanje ovog problema je velik. Sam Lobačevski najprije pokušava dokazati peti postulat, ali sve do 1823., ne uspijeva, problem mu još nije jasan. Te godine pristupa ispravnom riješavanju problema. Objavljuje udžbenik GEOMETRIJA u kojem iznosi gotovo sva znanja iz Euklidovih Elemenata. U tom djelu on odvaja peti postulat od apsolutne geometrije. 8 Pošto je peti postulat nezavisan od aksioma apsolutne geometrije, Lobačevski pristupa problemu indirektno. Pretpostavlja da kroz točku P (Slika 3.) prolaze dva pravca HH i KK paralelna sa AB. U daljnjem razmišljanju ne nailazi na proturječje, nego dobiva niz interesantnih posljedica. Svipravcikojisadrže P, a prolaze unutrašnjošću pravog kuta N PP,čine eliptički pramen pravaca sa središtem utočki P. Elementi ovoga pramena se mogu podijeliti u dvije klase tako da su u prvoj klasi svi pravci koji sijeku AB, a u drugoj oni koji AB ne sijeku. Svaki element pramena je u jednoj klasi i ni jedna klasa nije prazna. Svaki pravac pramena siječe PN utočkama koje zadovoljavaju Dedekindov princip 9 pa znači da postoji točkakojavrši 8 U Hilbertovom aksiomatskom sustavu geometrije, apsolutna geometrija se sastoji od četiri grupe aksioma: Aksiomi incidencije (veze), aksiomi poretka, aksiomi sukladnosti (kongruencije) i aksiomi neprekidnosti. Te grupe aksioma se respektivno označavaju sa: I, II, III, IV. Usvajanjem uz aksiomatiku apsolutne geometrije i peti postulat (V) dobijamo euklidsku geometriju, a usvajanjem aksiome Lobačevskog neeuklidsku (hiperboličnu) geometriju. Ove dvije geometrije su neproturječne. 9 Dedekindov princip glasi (za skup točaka pravca ): Ako su sve točke podijeljene na dvije klase, da je: 1. svaka točka je sadržana u jednoj i samo jednoj klasi i svaka klasa sadrži točke; 2. svaka točka prve klase je ispred svake točke druge klase, onda ili u prvoj klasi postoji točkaispredkojesuostaletočke prve klase, ili u drugoj klasi postoji točkakojajeispredsvaketočke druge klase.

3 presjek. Ona i točka P odred - ujuupramenup element koji je ili posljednji element prve klase ili prvi element druge klase. Lako se pokazuje da u pramenu prva klasa nema posljednji element nego prvi element druge klase, tj. postoji prvi pravac koji sadrži P, a ne siječe AB. Taj pravac je paralelan sa AB. Ostali pravci koji sadrže P, a ne sijeku AB, mimoilazni su (hiperparalelni), a ima ih beskonačno mnogo. Svi ostali pravci iz prve klase sijeku AB. Kut α = H PP Lobačevski naziva kut paralelnosti, a dužinu PP dužina (distancija) paralelnosti.vrlo je bitan i ovaj stavak neeuklidske geometrije: Sukladnim dužinama odgovaraju sukladni kutovi (Slika 4.). Ukoliko je dužina veća, kut paralelnosti je manji. Vrijedi i obrnuto. Ovo je vrlo značajno, jer iz ovoga slijedi da postoji apsolutna jedinica za mjerenje dužine, što u euklidskoj geometriji nije slučaj. U euklidskoj geometriji ne postoji dužina koja bi se mogla definirati čisto geometrijskim sredstvima. Jedna od posljedica je i ta da je zbroj kutova u trokutu manji od 180. Treba istaknuti da su do otkrića neeuklidske geometrije došla još dva matematičara i to nezavisno od Lobačevskog. To su bili madžarski matematičar Janos Bolyai ( ) i njemački Karl Friedrich Gauss ( ). Na osnovu Gaussove koorespodencije zna se da je on došao dootkrića neeuklidske geometrije prije Bolyaia i Lobačevskog. On svoje rezultate nije objavio jer se bojao da neće biti shvaćen od tadašnje matematičke javnosti. J. Bolyai je publicirao svoj rad godine u knjizi svoga oca (takod - er matematičara) Farkaša Bolyaia kao dodatak (Appendix), u kojem, razmišlajući slično kao Lobačevski, dolazi do mnogih rezultata koji su dovoljni za izgradnju neeuklidske geometrije. Razočaran što mu nije priznat primat u otkriću nove geometrije, prestao se baviti neeuklidskom geometrijom. Lobačevski je u okviru svoje imaginarne geometrije kasnije razvio trigonometriju, diferencijalnu geometriju,rješavao fazne integrale itd. Zbog svega toga danas se uz neeuklidsku geometriju prvo veže ime N. I. Lobačevskog. I tako usvajanjem aksioma: Kroz datu točku prolaze najmanje dva pravca koja su paralelna datom, Lobačevski je došao do novih spoznaja koje nisu bile u proturječju danim postavkama. Tako je stvorena nova - neeuklidska (hiperbolična) geometrija. Ta geometrija je logički neproturječna euklidskoj. Problem neproturječnosti svoje i euklidske geometrije mučio je Lobačevskog cijelog života. Najprije je taj problem htio riješiti eksperimentalno. Mjerio je kutove nekog trokuta velikih stranica i pokušao dokazati da je zbroj kutova manji od 180. To bi značilo da se fizički prostor pokorava zakonima hiperbolične geometrije, što bi dokazalo neproturječnost. Sve to nije moglo uroditi plodom jer su stranice ( dužine ) bile toliko male da ni jedan instrument, ma koliko on bio precizan, ne može registrirati defekt kuta. Čak i ako bi tjemena ovakvih trokuta bili planeti Sunčevog sustava (Zemlja, Sunce, Sirijus), odstupanje od 180 bi bilo 0, , što je daleko ispod granice osjetljivosti instrumenta. Ni Lobačevski, ni Bolyai za života nisu mogli dokazati neproturječnost geometrija. Riješavajući taj problem, oni su izvodili veliki broj neeuklidskih teorema i nisu nikada nailazili na proturječja, ali nisu znali hoće li se nekada proturječje pojaviti. Osječali su da su u pravu, ali tako neproturječnost geometrija nisu mogli dokazati. Trebalo je ići drugim putem. Put je bio da se pojednostavni problem, tj. da se stvori odgovarajući model hiperboličke geometrije. Očemu se radi? Ispostavilo se da se objekti geometrije Lobačevskog mogu tako interpretirati unutar euklidske geometrije da su tada svi stavovi geometrije Lobačevskog točni u okviru euklidske geometrije. Drugim riječima nad - en je model geometrije Lobačevskog unutar euklidske geometrije.tako je dokazano da je geometrija Lobačevskog neproturječna pod uvjetom da je sama euklidska geometrija neproturječna. Time je ujedno dokazana i nezavisnost aksioma paralelnosti od ostalih aksioma, jer je konstruiran model u kojem važe svi aksiomi euklidske geometrije, osim aksioma paralelnosti, tj. važi njegova negacija. Najpoznatiji modeli hiperbolične geometrije su Bertrami - Klajneov (1872.) i Poencareov. Kod Bertrami - Klajnovog modela (Slika 5.) ravninu čine samo točke iz unutrašnjosti kruga, točke izvan kruga se ne promatraju. Točke u unutrašnjosti kruga se zovu neeuklidske točke. Svaka tetiva kruga se zove neeuklidski pravac, a posebno se definita translacija i sukladnost. Sve ostalo u tom modelu ostaje kao i u euklidskoj geometriji. Taj sustav zadovoljava sve postulate euklidske geometrije, osim petog postulata. Da peti Euklidov postulat ne vrijedi u novom sustavu, vidi se iz modela. Naime, neka je prvi pravac tetiva AB itočka P ne leži na pravcu. Kroz tu točku prolazi beskonačno puno ravnopravnih pravaca, tj. tetiva koje ne sijeku pravac AB. Prvi pravac je euklidska tetiva kruga dok drugi pravac može biti bilo koja tetiva koja prolazi kroz datu točku i ne siječe prvi pravac unutar

4 kruga. Na taj način je stvoren jednostavan model pomoću kojeg se dokazuje da se postulat o paralelnim pravcima ne može izvesti iz daljnjih aksioma euklidske geometrije. Ako bi se mogao izvesti, bio bi teorem. U Bertrami - Klajnovom modelu,atoočito nije slučaj. Henri Poincaré (Anri Poenkare, ) stvara svoj model, koji je po ideji sličan prvome. Pošto se neeuklidska geometrija realizira u prostorima velikih udaljenosti (svemir, metagalaksije), on za razliku od prvog modela, umjesto pravaca uzima zakrivljene linije (oblik slova C, Slika 6.), slično kao i u prethodnom modelu dobija se da sve tvrdnje apsolutne geometrije vrijede, osim petog postulata. Dokazuje se: ako je euklidska geometrija neproturječna, onda je neproturječna i neeuklidska i obrnuto. 10 Tako su radom te trojice velikih matematičara stvoreni uvjeti za sasvim novo shvaćanje prostora i svijeta koji nas okružuje. Danas ima puno neeuklidskih geometrija koje su neproturječne jedna drugoj. Sve su dobre, samo što se svaka realizira u drugom prostoru. Dok je euklidska geometrija dobra unašem prostoru malih udaljenosti, hiperbolična najbolje opisuje (svemir), gdje dolazi do iskrivljavanja svjetlosnih zraka (prolaskom pored masivnih objekata) i relativisričkih efekata pri velikim brzinama. Neeuklidsku geomemetriju prostora, koja se realizira na sferi (kugli), razvio je njemački matematicar Bernhard Riemann ( ), a zove se eliptička ili Riemannova geometrija. Ta geometrija je poslužila kasnije Albertu Einsteinu pri konstrukciji Opće teorije relativnosti. Danas je neeuklidska geometrija nezamisliv matematički aparat u mnogim znanostima. U Hrvata, vjesnici neeuklidskih geometrija su filozof i matematičar Franjo Petrišević ( ) irud - er Bošković ( ). Najpoznatiji su hrvatski matematičari koji su se bavili ili se bave neeuklidskom geometrijom: Vladimir Varićak, Danilo Blanuša, Mira Hercigonja, Dominik Palman i drugi. Dodatak Nikolaj Ivanovič Lobačevski ( ) je veliki ruski matematičar, osnivač neeuklidske geometrije. Rodio se u Kazanu, tu išao u gimnaziju, te studirao na kazanskom Sveučilištu i kasnije mu donio svjetsku slavu. U Kazanu je proveo gotovo cijeli život. Po završetku studija ostaje na Sveučilištu. Prošao je sva znanstveno - nastavna zvanja, te kasnije postao i rektor Sveučilista. Bio je veliki radoholičar, i kao takav napravio je velike promjene na Sveučilištu. Reorganizirao je i modernizirao nastavu, opremio modernu i bogatu knjižnicu, te cjelokupno Sveučilište doveo na visoku europsku razinu. Unatoč svemu tome maknut je 10 godina sa Sveučilišta, zbog političkih razloga, što ga je jako teško pogodilo. Lobačevski je svjetsku slavu stekao otkrićem neeuklidske geometrije. Kao veliki matematičar bavio se uspješno i drugim granama matematike, kao što su algebra i matematička analiza. Posebno su značajni njegovi radovi u teoriji beskonačnih redova, kao i u približnom rješavanju algebarskih jednadžbi. Pošto otkriće neeuklidske geometrije spada u red najvećih otkrića u matematici, utemeljena je Nagrada Lobačevskog za radove iz neeuklidske geometrije. Tim otkrićem kao i svojim cjelokupnim stvaralaštvom, Lobačevski je stvorio nove puteve u razvitku matematike. 10 Hilbertov sustav aksioma se sastoji od pet grupa aksioma (nabrojani u fusnoti 2)), sve skupa 20 aksioma. Popis svih aksioma ne navodimo zbog dužine teksta, ali se može naći u citiranoj literaturi ili na internet stranici koja je isto dana u popisu literature. Može se slično napraviti model Hilbertovih aksioma za geometriju u ravnini (I 1 I 3,II,III,IV iv ), ili za geometriju prostora dodajemo aksiome I 4 - I 8. Neka je skup R skup svih realnih brojeva. Ured - eni par (x, y), gdje su x, y R uzimamo za interpretaciju točke, a razmjer tri broja (u : v : w), gdje je u 2 + v 2 > 0, uzimamo kao interpretaciju pravca, Jednakost ux + vy + w =0znači da točka (x, y) pripada pravcu (u : v : w). Jednostavno se može utvrditi da su aksiomi I 1 I 3 i V (aksiom paralelnosti) zadovoljeni. Ako točke (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ) leže na pravcu, kažemo da je (x 2,y 2 ) izmed - utočaka (x 1,y 1 )i(x 3,y 3 )akox 1,x 2,x 3 i y 1,y 2,y 3 obrazuju rastuće ili opadajuće nizove. Koristeći takvu interpretaciju pojma izmed - u, zaključujemo da su aksiomi II grupe zadovoljeni. Označimo točku (0, 0) sa O, točku (1, 0) sa E i proizvoljnu točku (a, b) sac. Tada se točka (x,y ) dobija iz proizvoljne točke (x, y) rotacijom za kut COE,akojeO stalna točka rotacije, gdje je: x = y = ax a 2 + b by 2 a 2 + b 2 ax a 2 + b + by 2 a 2 + b 2.Sličnom transformacijom oblika: x = x + a y = y + b, definira se translacija dužina i kutova. Sa ovako definiranom translacijom i rotacijom dokazuje se da su grupe aksioma III i IV ispunjene. Iz svega ovoga dolazimo do važnog zaključka: Ako je sustav realnih brojeva ili bolje aritmetika nad sustevom R neproturječna, onda je i Hilbertov sustav aksioma u ravnini neproturječan. Zaista, svaka proturječnost koja bi izlazila iz aksioma (I 1 I 3,II,III,IV iv ) morala bi se pojaviti u aritmetici realnih brojeva. Analogno se dokazuje neproturječnost Hilbertovog sustava aksioma prostorne geometrije, tj svih 20 navedenih aksioma. Za Hilbertov sustav se takod - er dokazuje i nezavisnost i potpunost aksioma. Još samo da napomenem, da izostavljanje aksioma IV 1 i V iz Hilbertovog sustava aksioma dovodi do tzv. nearhimedske geometrije. Kakojerečeno, usvajanje V postulata (11. aksioma o paralelama) dovodi do izgradnje euklidske geometrije, a njegove negacije, tj aksioma Lobačevskog do neeuklidske geometrije.

5 Dodatak autora o članku - umjesto uvoda Cilj i svrha ovoga članka je da se posjetimo na obljetnicu jednog od najvećih otkrića u matematici sa početka 19. stoljeća, tj neeuklidske geometrije. Napokon je riješeno pitanje staro gotovo dva milenijuma, tj problem je li 11. aksiom (V postulat), aksiom ili teorem, odnosno tvrdnja koja se može izvesti iz preostalih postulata. Uvod - enjem modela hiperbolične geometrije, riješava se i problem neproturječnosti dviju geometrije. Pokušao sam osnovnu problematiku izložiti sto kraće, ali je to jako teško. Možda će čitatelji koji nisu upoznati sa Hilbertovim zasnivanjem geometrije, nego nekim drugim gdje se uvode normirani vektorski prostori i drugi aksiomi, imati teskoće pri praćenju teksta, a pretpostavlja se makar osnovno poznavanje Hilbertove aksiomatike. Upućujem ih na citiranu literaturu, gdje se može u potpunosti pratiti rigorozno izlaganje ove teške problematike. Čitateljima želim da ih ovaj moj skromni članak posjeti na ovo važno otkriće, informira, te zainrtigira za detaljnije proučavanje ove problematike. Oprostite mi na eventualnim propustima u izlaganju materije. Naravno, bio bi veoma zahvalan da mi sve sugestije dojavite na moj . Tako bi upoznao još ljudi (kolega) koje interesira matematika, a to bi mi bila najveća nagrada za trud uložen pišući ovaj članak. Summary Lobachevsky in genius way he did it by lavouring the reverse to its equivalent throught point which does no lie on the given (straight) line, there pass at least two or an infinite lot of parallel (straight) lines. He hoped he would achieve a contradiction to the facts postulated beforehand but he did not manage to age any. Reflecting within the given axiomatic, he has developed a new geometry which is not in contradiction with Euclid one. It is realised applied in the spaces (expanses) of large distances where stops our experiment. It is one of the greatest achievements of human thought. Literatura 1. N. V. Jefimov, Viša geometrija, Prosveta, Beograd, D. Hilbert, Osnovi geometrije, SANU, Beograd, M. Prvanović, Osnovi geometrije, GK, Beograd, Courant, Robins, What is mathematics?, Oxford University 5. Matematika 2, Stručno metodički časopis, Beograd, Herbert Meschkowski, Temelji euklidske geometrije, ŠK, Zagreb, A. V. Pogorelov, Predavanja iz osnova geometrije, Zavod za izdavanje udžbenika NRS, Beograd, S. Mintaković, Aksiomatska izgradnja geometrije, ŠK, Zagreb, E. Stipanić, Puteviam razvitka matematike, Vuk Karadžić, Beograd 10. Dva izvrsna izvora (Modeli geometrije Lobačevskog i Aksiome euklidske geometrije), možete preuzeti sa stranice docenta dr Srd - ana Vukmirovića : vsrdjan/files/osnove.htm