Svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja

Transcription

1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Tomislav Živković Svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja Diplomski rad Osijek, 2012.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Tomislav Živković Svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja Diplomski rad Mentorica: doc. dr. sc. Darija Marković Osijek, 2012.

3 Sadržaj Uvod 1 Povijest krivulja Podjele ravninskih krivulja Krivulje u ravnini Koordinate i koordinatni sustavi u ravnini Pojam i definicija krivulje Načini zadavanja krivulja Lokalni elementi ravninskih krivulja Element luka Tangenta i normala Konveksnost i konkavnost krivulje Zakrivljenost, evoluta i involuta Zakrivljenost i polumjer zakrivljenosti Kružnica zakrivljenosti i središte zakrivljenosti Evoluta i involuta Svojstvene točke krivulje i asimptote Točke infleksije i njihovo odredivanje Tjeme Singularne točke Asimptote Svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja Elipsa Neke konstrukcije elipse i

4 Zakrivljenost elipse Parabola Konstrukcije parabole Jednadžba evolute za parabolu Dioklova cisoida Primjena cisoide na rješavanje duplikacije kocke Cikloida Tangenta i normala za cikloidu Kardioida Nastanak kardioide Konstrukcija kardioide Astroida Konstrukcija astroide Sažetak 32 Summary 33 Literatura 34 Životopis 35 ii

5 Uvod U prvom poglavlju rada kratko ćemo navesti i opisati osnovne pojmove potrebne za definiranje krivulja, te ćemo dati definicije nekih svojstava krivulja. U drugom poglavlju ćemo definirati neke od ravninskih krivulja koje su medusobno vrlo povezane i pokazati neka njihova svojstva, te način njihove konstrukcije. U nastavku uvoda ćemo dati kratak osvrt na otkriće krivulja kroz povijest, te jednu od glavnih podjela krivulja. Povijest krivulja Proučavanje krivulja vezano je uz najraniju ljudsku povijest. Putanja bačenog kamenčića, obrisi lišća i cvijeća, strujanje vode, krivudava linija obale rijeke i mora ili zraka svjetla, neki su od primjera iz svakodnevnog života koji su privlačili čovjekovu pozornost. Tako nastaje početna svijest o linijama, tj. krivuljama. Povijesni spomenici iz daleke prošlosti pokazuju da su svi narodi na odredenom stupnju razvoja raspolagali pojmom kružnice i pravca; upotrebljavali su primitivne naprave za njihovu konstrukciju i nastojali izmjeriti površine omedene tim dvjema krivuljama. Općenito, najveći doprinos došao je iz Grčke; za njih je geometrija bila puno više od svega što je tada bilo poznato i prezentirano. Najveća dostignuća bila su u razdoblju od 6. do 4. st. pr. Kr. Grčki učenjaci bavili su se krivuljama, točnije, čunjosječnicama krivuljama koje imaju veliki značaj u matematici. Otkrića na području čunjosječnica pripisuju se Menehmu, članu Platonove Akademije u Ateni i učitelju Aleksandra Makedonskog, te Aristeju Starijem i naravno, Euklidu. Menehmo je definirao čunjosječnice kao presjeke stošca ravninom koja je okomita na njegovu izvodnicu. Ovisno o tome je li kut otvora pri vrhu stošca šiljast, prav ili tup, presječna linija je elipsa, parabola ili hiperbola. Arhimed je zaslužan za neke od važnih rezultata vezanih uz presjeke čunjosječnica, poglavito parabolu. Riješio je problem kvadrature segmenta parabole. Usporedujući figure, upisane elipsi i kružnici kojoj je promjer velika os elipse, odredio je i površinu elipse. Ali sve su to još bila nepotpuna istraživanja čunjosječnica. Prvu metodičku obradu teorije čunjosječnica dao je antički matematičar Apolonije. Uveo je nazive za elipsu, parabolu i hiperbolu, te je pokazao da se različiti presjeci čunja 1

6 (stošca) mogu postići pomoću različitog nagiba s ravninom kojom se čunj presjeca. Medu ostalim antičkim matematičarima, treba spomenuti Papusa, posljednjeg velikog matematičara aleksandrijske škole. Njegovo najvažnije djelo poznato je pod imenom Kolekcija ili Zbirka, a važno je po tome što prikazuje važnost i sadrži komentare vezane uz rezultate svih njegovih prethodnika. Papus uvodi pojam fokusa (žarišta) i pojam direktrise hiperbole. Prvo originalno djelo vezano uz čunjosječnice u Europi naziva se Libellus super viginti duobus elementis conicis (Knjiga o dvadeset dva elementa čunjosječnica), autor je Werner oko godine. Bavio se problemima koje su već obradivali stari Grci; bavio se samo parabolom i hiperbolom. Razlog nezainteresiranosti za elipsu je vjerojatno taj što se je u početku svoga rada zainteresirao za problem duplikacije kocke, a elipsa se ne koristi u pristupu. Isto tako, javljaju se i neke druge krivulje, takoder poznate u Grčkoj, kao što su Hipijina kvadratisa, Arhimedova spirala, Nikomedova konhoida, Dioklova cisoida; sve one su vezane uz spomenute antičke probleme. Ostale krivulje se ne spominju u vrijeme renesanse, s jednom iznimkom, cikloidom. Osim traganja za antičkom mudrosti, zanimanje za geometriju, pa tako i krivulje, potaknula je primjena geometrijskih principa u umjetnosti. U 16. stoljeću se astronomija još temelji na Ptolomejevom Almagestu s geocentričnim sustavom. Prvi koji predlaže sustav planetarnih orbita i heliocentrični sustav je Poljak Kopernik. On je u početku vjerojatno samo želio poboljšati Ptolomejev sustav, ali njegova će ideja postati revolucionarnom. Prve ideje heliocentričnog sustava imao je oko godine, te je onda Vatikan podržao objavljivanje tih ideja; njegova knjiga De revolutionibus orbitum coelestium (O revoluciji nebeskih sfera), objavljena tek godine, dospijeva na crnu listu Crkve tek oko godine, u doba protureformacije. U svojoj knjizi Kopernik tvrdi da se Zemlja i drugi planeti kreću oko Sunca. Ta njegova ideja nailazi na jak otpor. Naime, u Ptolomejevom sustavu, razlika izmedu promatranog gibanja planeta i idealnog gibanja po krugu bilo je interpretirano pomoću kompozicije više kružnih kretanja konstantne brzine. Planeti su se trebali kretati u manjim kružnim orbitama, krečući se duž većeg kruga, te je kružnica zadržala privilegirano mjesto jedine moguće putanje nebeskih tijela i u Kopernikovom sustavu. Pristalica Kopernikove teorije bio je i Galilei. On je godine načinio teleskop koji je bio bolji od prvog teleskopa kojeg su godinu ranije izumili nizozemski majstori optičari. Tim je teleskopom otkrio Jupiterove mjesece i dokazao da je moguća spomenuta teorija. Kako je bio vrlo poznata i slavna osoba, bio je vrlo osjetljiv na mišljenje, točnije rečeno odobravanje, okoline, a kako je odobravanje izostalo, godine se izrazio protiv Kopernikove teorije godine Galileo opet mijenja mišljenje, ali se ipak odriče te teorije pred Inkvizicijom samo godinu kasnije. 2

7 Kepler je bio taj koji je u svome djelu Astronomia Nova (1609.) po prvi puta primijetio eliptičku putanju kretanja Marsa oko Sunca. Njegovo otkriće je tako motiviralo geometre da nastave s proučavanjem čunjosječnica, te da uoče njihovu višestruku primjenu u astronomiji i mehanici. Pri samim počecima svoga rada napisao je Ad vitellionem paralipomena, quibus Astronomiae pars Optica Traditur ili skraćeno Astronomiae pars Optica (Optički dio astronomije), te je djelo objavio u Frankfurtu godine. U tom djelu je četvrto poglavlje posvećeno upravo čunjosječnicama. On raspravlja o pet tipova čunjosječnica, i to hiperboli, paraboli, elipsi, kružnici i pravcu, te tvrdi da se svaka od tih krivulja može dobiti pomoću neke od ostalih. Tako su pravac i parabola dva posebna slučaja hiperbole; parabola i kružnica su posebni slučajevi elipse. Parabola stoji izmedu beskonačnih presjeka (hiperbole i pravca) i konačnih presjeka (kružnice i elipse) godina je jedna od značajnijih u povijesti matematike. Te godine objavljena je Descartesova Geometrija u kojoj je bila zasnovana metoda koordinata. Tom metodom nije izgraden samo opći, jedinstven, način simboličkog zadavanja svake krivulje u obliku odgovarajuće jednadžbe, nego je njome dana i neograničena mogućnost beskonačnog povećanja množine istraživanih krivulja (jer svaka, po volji zapisana, jednadžba, koja povezuje dvije promjenjive veličine, predstavlja novu krivulju). Zatim se pojavio infinitezimalni račun, koji je bio od velike važnosti za daljnje proučavanje krivulja. Veliki matematičari toga doba (Descartes, Leibniz, Huygens, Johann i Jacob Bernoulli) bavili su se intenzivno proučavanjem krivulja, otkrivajući sve novije oblike, te njihova svojstva. Usporedno s postupcima povlačenja tangente na krivulju, za odredivanje površine omedene krivuljama, za volumen rotacionih tijela, te za duljinu luka, javljaju se veze medu krivuljama. Roberval i Pascal pokazuju da je luk Arhimedove spirale jednak luku parabole, odredene na odredeni način. Fermat proširuje njihove rezultate na algebarske jednadžbe viših redova. Fagnano je godine postavio osnove teorije eliptičkih funkcija. L Hôpital piše prvi udžbenik za analizu pod nazivom Analiza infinitezimalnih veličina za razumijevanje krivulja. Desargues je, istražujući projektivna svojstva figura i upotrijebivši pojam involucije, obogatio teoriju krivulja drugog reda novim otkrićima godine je dao svoj poznati teorem koji je tek u 19. stoljeću bio uvršten u temelj projektivne geometrije. Sljedeći matematičar s velikim zanimanjem za krivulje drugog reda je Pascal. On otkriva svoj znameniti teorem o odnosu šestorke točaka čunjosječnice, po kojem za svaki šesterokut, upisan u krivulju drugog reda, sjecišta suprotnih stranica leže na jednom pravcu. Zanimljivo je da se Pascal u svom prvom djelu iz matematike (koje je napisao sa 17 godina) bavio konikama, a kasnije je proučavao i cikloidu. 3

8 Podjele ravninskih krivulja Ravninskom krivuljom nazivamo svaku krivulju koju možemo prikazati u ravnini. Svakoj jednadžbi oblika F (x, y) = 0, koja povezuje koordinate x i y odgovara neka krivulja sa svojstvom da koordinate svake točke P na toj krivulji zadovoljavaju danu jednadžbu. Krivulja može biti zadana pomoću jednadžbe ili pozitivnog dijela krivulje. Ovisno o tome je li promjenjiva točka P zadana u eksplicitnom, parametarskom obliku ili u polarnim koordinatama, njezin položaj biti će odreden vrijednošću varijabli x, t ili ϕ. Elemente koji odreduju položaj krivulje nazivamo lokalnim elementima. Ovisno o obliku jednadžbe promatrane krivulje, one se dalje dijele na algebarske krivulje, te transcendentne krivulje. Primjer algebarske krivulje je Descartesov list. Od transcendentnih krivulja, posebnu pozornost privlače spirale ili zavojnice, od kojih su istaknute Arhimedova i logaritamska spirala. Dioklova cisoida dobije se kao trag tjemena parabole koju kotrljamo po sukladnoj paraboli. Dioklova cisoida se, kao i mnoge druge krivulje, može primijeniti kod klasičnog problema duplikacije kocke. Konhoidom nazivamo krivulju dobivenu na način da se poveća ili smanji radijvektor svake točke zadane krivulje za konstantni l. Dürerove školjkaste krivulje su takoder konhoide. Cikloida je krivulja koju opisuje točka kružnice polumjera r kada se kotrlja bez klizanja po pravcu; pri tome je t kut za koji se kružnica zarotirala. Kardioida je krivulja koju opisuje točka kružnice koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj kružnici istog polumjera pri čemu se kružnice dodiruju izvana. Astroida je poseban slučaj hipocikloide 1 koji je definiran kao zamišljena linija koju ostavlja kružnica radijusa r koja se kotrlja unutar druge fiksne kružnice čiji radijus iznosi 4r ili 4 3 r. Descartesov list je krivulja čija je jednadžba u Kartezijevim koordinatama dana s x 3 + y 3 = 3axy. Versiera Marije Agnesi je krivulja čija Kartezijeva jednadžba glasi y = a3 a 2 + x. 2 Bernoullijeva lemniskata je krivulja koja u Kartezijevim koordinatama ima sljedeću jednadžbu (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 y 2 ). Lissajousove krivulje predstavljaju familiju krivulja definiranih parametarskim jednadžbama oblika: x = A sin(at + δ), y = B sin bt. Arhimedova spirala predstavlja putanju točke koja se kreće jednoliko po pravcu koji jednoliko rotira oko polazišta te točke. nje 1 krivulja koju opisuje točka kružnice kada se kružnica kotrlja bez klizanja po drugoj kružnici unutar 4

9 Poglavlje 1 Krivulje u ravnini Općenito, ravninska krivulja je skup točaka u ravnini koje zadovoljavaju odredene uvjete. Uvjeti se ponekad izriču geometrijskim terminima (npr. kružnica je skup svih točaka ravnine koje su r jedinica, r > 0, udaljene od zadane točke S). Medutim, krivulju češće zadajemo tako da odaberemo koordinatni sustav u ravnini i jednadžbu koju zadovoljavaju koordinate svake točke krivulje, a ne zadovoljavaju koordinate ostalih točaka ravnine [11, str. 157]. Neke krivulje su prilično jednostavne (poput kružnice), a neke vrlo složene, te ih je poprilično teško opisati pomoću jednadžbe Koordinate i koordinatni sustavi u ravnini Položaj svake točke P u ravnini može se odrediti pomoću nekog koordinatnog sustava. Brojeve koji odreduju položaj točke zovemo koordinatama. Najčešće se koristimo Kartezijevim i polarnim koordinatama. Razlikujemo: a) Kartezijeve ili Descartesove koordinate točke P su udaljenosti (izražene u odredenom mjerilu i uzete s odredenim predznakom) te točke od dvaju medusobno okomitih pravaca, koje zovemo koordinatnim osima. Sjecište O koordinatnih osi zovemo ishodištem koordinatnog sustava. Horizontalnu os zovemo x-os, os x ili os apscisa. Vertikalnu os zovemo y-os, os y ili os ordinata. b) Polarne koordinate točke P su polumjer ρ i polarni kut ϕ. Polumjer ρ je udaljenost točke P od zadanog ishodišta O koje zovemo pol ili koordinatno ishodište. Polarni kut ϕ je kut izmedu pravca OP i zadanog pravca koji prolazi kroz pol (polarnu os). Polarni kut smatramo pozitivnim kada ga mjerimo od polarne osi suprotno gibanju kazaljke na satu, a negativnim kada ga mjerimo u suprotnome smislu, tj. u smjeru kretanja kazaljke na satu. 5

10 c) Kosokutne koordinate točke P su udaljenosti (izražene u odredenom mjerilu i uzete s odredenim predznakom) te točke od dvaju pravaca koji nisu medusobno okomiti. d) Krivocrtne koordinate su općenitiji sustav koordinata. U ravnini su zadane dvije jednoparametarske familije krivulja (koordinatne crte), pri čemu svakom točkom ravnine prolazi po jedna krivulja svake familije. Vrijednosti parametara koje pripadaju tim krivuljama su krivocrtne koordinate te točke. Kartezijev i polarni koordinatni sustav možemo shvatiti kao specijalne slučajeve krivocrtnog: u Kartezijevom koordinatnom sustavu su parametarske crte pravci paralelni s koordinatnim osima, a u polarnom su kružnice sa središtem u polu i zrake koje izlaze iz pola Pojam i definicija krivulje Definicija 1.1 Svakoj jednadžbi F (x, y) = 0, gdje je F : Ω R, (Ω R 2 ) koja povezuje koordinate x i y odgovara neka krivulja sa svojstvom da koordinate svake točke P na toj krivulji zadovoljavaju danu jednadžbu, i obratno, svaka točka kojoj koordinate zadovoljavaju jednadžbu leži na krivulji. Skup svih takvih točaka zove se geometrijsko mjesto točaka. Ako za zadanu jednadžbu F (x, y) = 0 ne postoje koordinate niti jedne realne točke u ravnini koje ju zadovoljavaju, kažemo da zadana jednadžba odreduje imaginarnu krivulju. Ravninske krivulje definiramo na sljedeće načine: 1. Pomoću jednadžbe Ravninska krivulja može se analitički odrediti u: Kartezijevim koordinatama: a) implicitnom jednadžbom: F (x, y) = 0 b) eksplicitnom jednadžbom: f(x) = y c) parametarskim jednadžbama: x = x(t), y = y(t) Polarnim koordinatama: ρ = f(ϕ) 2. Pomoću pozitivnog smjera krivulje a) Ako je krivulja zadana u obliku x = x(t), y = y(t), onda je njezin pozitivni smjer zadan smjerom u kojem se giba točka krivulje F (x(t), y(t)), kada parametar t raste. 6

11 b) Ako je krivulja zadana u obliku y = f(x), onda parametrom možemo smatrati apscisu x točke (x = x, y = f(x)), tako da pozitivni smjer odgovara smjeru apscise (tj. s lijeva na desno). c) Ako je krivulja zadana u obliku ρ = f(ϕ), onda je parametar polarni kut ϕ točke (x = f(ϕ) cos ϕ, y = f(ϕ) sin ϕ), tako da pozitivni smjer odgovara prirastu od ϕ, tj. suprotan je gibanju kazaljke na satu. Jednadžbe krivulja u drugim koordinatnim sustavima definiraju se analogno Načini zadavanja krivulja Proučavanje osobitosti oblika krivulje i njezinih svojstava sredstvima diferencijalne geometrije moguće je samo onda kada je krivulja predočena u analitičkom obliku, tj. jednadžbom. Neovisno o tome, u mnogim zadacima teorijskog i praktičnog karaktera potrebno je, prije istraživanja jednadžbe krivulje, sastaviti tu jednadžbu na temelju nekih zadanih podataka, koji u svakom slučaju odreduju tu krivulju i traženi su u početnim uvjetima. Načini kojima odredujemo krivulju prema početnim uvjetima mogu biti različiti, izdvojit ćemo samo neke od njih: 1. Krivulja je definirana kao presječna linija dane plohe ravninom odredenog položaja. 2. Krivulja definirana kao geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavaju zadano svojstvo. 3. Krivulja je odredena kao putanja točke koja se giba po nekom odredenom zakonu. 4. Izvodenje linija povezivanjem projektivno pridruženih elemenata. Projektivno pridruženim nazivaju se nizovi točaka dvaju pravaca ako su bilo kojim četirima harmonijskim točkama jednog niza pridružene četiri (takoder harmonijske) točke drugog niza. Analogno za pramenove pravaca. 5. Krivulja se definira zadavanjem njenih diferencijalnih svojstava; neposredno zadan prema početnim uvjetima, odnos medu neizmjerno malim elementima krivulje izražava se na početku u obliku neke diferencijalne jednadžbe; uzastopno integriranje te jednadžbe dovodi do obične jednadžbe tražene krivulje. 6. Krivulja je definirana kao rezultat nekog geometrijskog preslikavanja već poznate krivulje. 7. Krivulja se zadaje odmah u analitičkom obliku i predstavlja graf neke funkcije. 7

12 1.4. Lokalni elementi ravninskih krivulja Ovisno o tome je li promjenjiva točka T na krivulji zadana eksplicitnom parametarskom jednadžbom ili u polarnim koordinatama, njen položaj odreden je vrijednošću varijabli x, t ili ϕ. Označimo s N točku koja je neizmjerno blizu točki T i odredena vrijednostima parametara x + dx, t + dt ili ϕ + dϕ Element luka Ako sa s označimo duljinu luka od jedne čvrste točke N do točke T, onda je infinitezimalni prirast s = T N približno jednak ds, koji zovemo elementom duljine luka: 1 + y 2 dx za krivulju zadanu s y = f(x) s ds = x 2 + y 2 dt za krivulju zadanu s x = x(t), y = y(t) ρ2 + ρ 2 dϕ za krivulju zadanu s ρ = f(ϕ) Primjer 1.1 y = sin x s ds = 1 + cos 2 x dx Tangenta i normala Tangenta s diralištem u točki T je granični položaj sekante T N, kada N teži prema T. Normala je pravac koji prolazi točkom T okomito na tangentu. Jednadžbe tangente i normale za tri slučaja dane su u sljedećoj tablici: Jednadžba krivulje Jednadžba tangente Jednadžba normale F (x, y) = 0 df df X (X x) + (Y y) = 0 dx dy x df dx = Y y df dy y = f(x) Y y = y (X x) Y y = 1 (X x) y x = x(t), y = y(t) Y y y = X x x x (X x) + y (Y y) = 0 Tablica 1.1: Jednadžbe tangente i normale na krivulju u točki T = (X, Y ) 8

13 Pozitivni smjer tangente i normale Ako je krivulja zadana u obliku y = f(x) ili x = x(t), y = y(t) ili ρ = f(ϕ), onda je i za normalu odreden pozitivni smjer: na tangenti se pozitivni smjer poklapa s pozitivnim smjerom krivulje u diralištu, a na normali se pozitivan smjer dobiva rotacijom pozitivnog smjera tangente oko točke T za 90 suprotno gibanju kazaljke na satu. Točka T dijeli tangentu i normalu na pozitivni i negativni polupravac. Nagib tangente odreden je kutom α (prikloni kut) izmedu pozitivnog smjera osi apscisa i pozitivnog smjera tangente; ako je krivulja zadana u polarnim koordinatama, kutom µ izmedu radijvektora OT i pozitivnog smjera tangente. Za kutove α i µ vrijede sljedeće formule: tg α = dy dx, dx cos α = ds, dy sin α = ds tg µ = ρ, cos µ = dρ dρ ds, dϕ dϕ sin µ = ds Kut dviju krivulja Pod kutom β dviju krivulja Γ 1 i Γ 2, koje se sijeku u točki T = (x 0, y 0 ), razumijevamo kut izmedu njihovih tangenata u toj točki. Odredivanje kuta β svodi se na odredivanje kuta izmedu dva pravca kojima znamo koeficijente smjera k 1 = tgα 1 = f 1(x 0 ) k 2 = tgα 2 = f 2(x 0 ) gdje je y = f 1 (x) jednadžba krivulje Γ 1, a y = f 2 (x) jednadžba krivulje Γ 2. Derivacije računamo u točki T Konveksnost i konkavnost krivulje Ako je krivulja zadana u eksplicitnom obliku y = f(x), onda za mali dio krivulje, koji sadrži točku T, možemo odrediti je li krivulja svojom konkavnom stranom okrenuta prema gore ili prema dolje. Iznimka su samo slučajevi kada je točka T točka infleksije ili singularna točka. Definicija 1.2 Kažemo da je funkcija f : D R konveksna na intervalu a, b D ako je ( ) x1 + x 2 f [f(x 1) + f(x 2 )] za sve x 1, x 2 a, b (1.1) Ako u (1.1) stoji znak, kažemo da je funkcija f konkavna na intervalu a, b. [9, str. 34]. 9

14 Teorem 1.1 Neka je f dva puta derivabilna funkcija na intervalu a, b. a) Funkcija f je konveksna na a, b onda i samo onda ako je f (x) 0, x a, b. b) Funkcija f je konkavna na a, b onda i samo onda ako je f (x) 0, x a, b [8, str. 215]. Ako je u točki T druga derivacija f (x) 0, onda je konkavna strana krivulje okrenuta prema dolje, tj. u stranu negativnog smjera osi y. Ako je f (x) 0, tada je krivulja konkavna prema gore. U slučaju kada je f (x) = 0 moraju se obaviti dopunska ispitivanja Zakrivljenost, evoluta i involuta Zakrivljenost i polumjer zakrivljenosti Slika 1.1: Zakrivljenost krivulje Zakrivljenost K krivulje u točki T je granična vrijednost smjera kuta δ izmedu pozitivnih smjerova tangenata u točkama T i N i duljine luka TN kada TN teži u 0: K = lim TN 0 δ TN Predznak zakrivljenosti K ovisi o tome je li krivulja konveksna (predznak od K je pozitivan) ili konkavna (predznak od K je negativan); predznak je pozitivan ako je središte zakrivljenosti krivulje na pozitivnom dijelu normale krivulje, a negativan ako je središte zakrivljenosti krivulje na negativnom dijelu normale. Ponekad se dogovorom uzima da je zakrivljenost K pozitivna veličina. Tada se zapravo radi o apsolutnoj vrijednosti zakrivljenosti. 10

15 Za ravninsku krivulju zapisanu u obliku y = f(x), jednadžba zakrivljenosti glasi (vidi [2, str. 36.]) K = y. (1 + y 2 ) 3 2 Polumjer zakrivljenosti R krivulje u točki T je recipročna vrijednost njezine zakrivljenosti: R = 1 K Dakle, što je veća zakrivljenost u točki T krivulje, to je njezin polumjer zakrivljenosti R manji Kružnica zakrivljenosti i središte zakrivljenosti Kružnica zakrivljenosti u točki T krivulje je granični položaj kružnice koja prolazi točkom T i dvije druge bliske točke krivulje N i M, kada N T i M T. Kružnica zakrivljenosti zove se još i oskulacijska kružnica krivulje u točki T. Oskulacijska kružnica prolazi točkom T i u toj točki obje krivulje imaju jednake prve dvije derivacije. Stoga se još kaže da krivulja i oskulacijska kružnica imaju u točki T dodir drugog reda. Polumjer zakrivljenosti oskulacijske kružnice je ujedno i polumjer zakrivljenosti krivulje u točki T. Središte zakrivljenosti S krivulje u točki T ujedno je i središte oskulacijske kružnice, koja krivulju dira u točki T. Središte leži na onoj istoj strani krivulje prema kojoj je ona konkavna. Drugim riječima, ona leži na onom dijelu normale koji pokazuje smjer konkavnosti krivulje. Odredivanje središta zakrivljenosti Slika 1.2: Središte kružnice zakrivljenosti 11

16 Odredimo središte S = (X, Y ) kružnice zakrivljenosti u točki T = (x, y) grafa funkcije y = f(x). Prema Slici 1.2 vrijedi x X = R sin α = 1 tg α K 1 + tg 2 α = 1 K = (1 + y 2 ) 3 2 y y (1 + y 2 ) 1 2 = y y (1 + y 2 ), tg (π α) 1 + tg 2 (π α) = 1 K y 1 + y 2 y Y = R cos α = 1 1 K 1 + tg 2 α = 1 K = (1 + y 2 ) 3 2 y 1 (1 + y 2 ) 1 2 = 1 y (1 + y 2 ), tg 2 (π α) = 1 K y 2 odnosno X = x y y (1 + y 2 ), Y = y + 1 y (1 + y 2 ). Takoder možemo izvesti i eksplicitnu formulu za radijus zakrivljenosti R grafa funkcije y = f(x) u točki T : Evoluta i involuta R = (X x) 2 + (Y y) 2 = (1 + y 2 ) 3 2 y Evoluta zadane krivulje je krivulja koja se sastoji od središta zakrivljenosti svih točaka zadane krivulje. Parametarska jednadžba evolute dobije se iz jednadžbi za središte zakrivljenosti, kada X i Y postaju tekuće koordinate. (X, Y ) = (x R sin ϕ, y R cos ϕ) = (x y y (1 + y 2 ), y + 1 y (1 + y 2 )) Ako iz tih jednadžbi eliminiramo parametre x i y, dobijemo jednadžbu evolute u Kartezijevim koordinatama. Involutom ili evolventom krivulje Γ 1 zove se krivulja Γ, za koju je krivulja Γ 1 njezina evoluta. Stoga je svaka normala TS involute ujedno i tangenta evolute, a duljina luka evolute jednaka je razlici polumjera zakrivljenosti involute, koji diraju evolutu u krajnjim točkama toga luka. Ova svojstva opravdavaju naziv evolvente (krivulja odmatanja) Γ 1 krivulje Γ, koja se dobije odmatanjem napete niti. Zadanoj evoluti odgovara familija evolvenata, od kojih je svaka odredena prvobitnom duljinom napete 12.

17 niti. Jednadžbu involute dobijemo integriranjem sustava diferencijalnih jednadžbi koje su, zapravo, jednadžbe evolute. Evolventu dobijemo tako da se na već zadanu krivulju postavi zamišljena nategnuta nit, čiji slobodni kraj pratimo dok se ona namotava po zadanoj krivulji, ili obrnuto, dok se odmotava po toj istoj krivulji Svojstvene točke krivulje i asimptote Svojstvene točke krivulje su točke infleksije (prijevojne točke), tjeme i singularne točke Točke infleksije i njihovo odredivanje Točke infleksije krivulje su one točke u kojima zakrivljenost mijenja predznak. U okolini te točke krivulja prelazi s jedne strane tangente na drugu (krivulja presijeca tangentu). U točki infleksije zakrivljenost K = 0, a polumjer zakrivljenosti R =. Ako je krivulja zadana u eksplicitnom obliku: a) Nužan uvjet za postojanje točke infleksije je da u njoj druga derivacija, ako postoji, mora biti jednaka nuli: f (x) = 0. Ovisno o tome koja je od uzastopnih derivacija (parnog ili neparnog reda) prva različita od nule u promatranoj točki, ta će točka biti točka infleksije, ili ne. Definicija 1.3 Za svaku nultočku x od f, ukoliko f ima u njoj derivacije dovoljno visokog reda, vrijedi: x je točka infleksije ako i samo ako je prva po redu derivacija f (n) za koju je f (n) (x) 0 neparnog reda n. b) Dovoljan uvjet za postojanje točke infleksije je promjena predznaka druge derivacije f (x) pri prijelazu s lijeve na desnu stranu od osi u nekoj okolini te točke x. Ako se predznak f (x) mijenja u obrnuti, onda se i smjer konkavnosti takoder mijenja u suprotni, pa imamo točku infleksije Tjeme Tjemena su one točke krivulje u kojima zakrivljenost krivulje ima ili minimum ili maksimum. Npr. elipsa ima četiri tjemena, točke A, B, C i D, a logaritamska krivulja ( 1 ima samo jedno tjeme u točki E = 2, ln 2 ). 2 Tjemena krivulje se odreduju tako da se nadu ekstremne vrijednosti od K ili, ako je to jednostavnije, onda od R. 13

18 Singularne točke Singularne točke jest zajednički naziv za različite osobite točke krivulje, a one su: a) dvostruka točka: točka u kojoj krivulja siječe samu sebe; b) izolirana točka: točka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu krivulje, ali postoji okolina te točke u kojoj nema drugih točaka krivulje; točka je odvojena od krivulje; c) šiljak (povratna točka): točka u kojoj krivulja mijenja svoj smjer; razlikujemo šiljke prve vrste i šiljke druge vrste, ovisno o položaju tangente u odnosu na obje grane; d) točke samododira (tangiranja): točke u kojima krivulja samu sebe dira (siječe pod kutem 0 ) e) točka loma: točka u kojoj krivulja skokovito mijenja svoj smjer, pri čemu se razlikuje od šiljka po tome što su tangente u oba dijela krivulje u toj točki različite; f) kraj krivulje: točka u kojoj se krivulja prekida, tj. od te točke dalje krivulje više nema; g) asimptotska točka: točka oko koje se krivulja ovija bezbroj puta, približavajući joj se na po volji malu udaljenost; h) čvorna (višestruko singularna) točka: točka u kojoj je moguća istovremena kombinacija dvije ili više navedenih vrsta singularnosti Asimptote Asimptota je pravac kojemu se krivulja neograničeno približava kada se točka krivulje udaljuje od ishodišta koordinatnog sustava. Pri tome se krivulja može približavati asimptotski s jedne strane ili krivulja može beskonačno mnogo puta sjeći asimptotu. Nije nužno da svaka krivulja, koja se neomedeno udaljava od koordinatnog ishodišta, ima asimptotu (beskonačna grana krivulje). Kada je krivulja zadana algebarskom implicitnom jednadžbom F (x, y) = 0, tada: a) za odredivanje horizontalnih i vertikalnih asimptota iz polinoma F (x, y) izaberemo članove najvišeg stupnja m. Oni tvore polinomijalnu jednadžbu Φ(x, y) = 0 koju riješimo po x i y: Φ(x, y) = 0 vrijedi x = ϕ(y), y = ψ(x). Vrijednost lim y = a daje horizontalnu asimptotu y = a, a vrijednost lim x = b x y kada daje vertikalnu asimptotu x = b (ako spomenuti limesi postoje). 14

19 b) za odredivanje kose asimptote, u polinom F (x, y) uvrstimo y = kx + b. Tako dobiveni polinom sredimo po potencijama od x: F (x, kx + b) f 1 (k, b)x m + f 2 (k, b)x m Parametre k i b, ako postoje, dobivamo iz sljedećih jednadžbi: f 1 (k, b) = 0, f 2 (k, b) = 0. Kada je krivulja zadana parametarskim jednadžbama x = x(t), y = y(t), za odredivanje jednadžbe asimptote moramo naći vrijednosti za koje x(t) ± ili y(t) ± kada t t 0, za neki t 0. Razlikujemo ove slučajeve: a) lim t t0 x(t) =, ali y(t) = a R: y = a je asimptota i to horizontalna b) lim t t0 y(t) =, ali x(t) = a R: x = a je asimptota i to vertikalna c) ako y(t) isto kao i x(t) teže prema beskonačnosti (kad t t 0 ), onda su granične vrijednosti (ako postoje): k = lim x(t) i b = lim [y(t) k x(t)] koeficijent smjera i odsječak na osi y asimptote, tj. asimptota ima jednadžbu y = kx + b, uz uvjet da postoje obje granične t t 0 vrijednosti. To je kosa asimptota. t t0 y(t) Neka je krivulja zadana eksplicitnom jednadžbom y = f(x). Vertikalne asimptote mogu se pojaviti u točkama c R u kojima f nije definirana, ali je definirana na I \ {c}, gdje je I neki otvoreni interval oko c. Vertikalna asimptota x = c postoji ako je lim f(x) = ± (bar s jedne strane od c). Horizontalne i kose asimptote predočene x c su kao pravac s odgovarajućim graničnim vrijednostima (ako postoje): y = kx + b, f(x) k = lim x x, b = lim [f(x) k x]. x 15

20 Poglavlje 2 Svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja 2.1. Elipsa Elipsu je prvi proučavao Menehmo. On je otkrio i ostale čunjosječnice (parabolu i hiperbolu), tj. krivulje dobivene presjekom stošca ravninom. Nakon njega, Euklid takoder piše o elipsi. Za njezino ime zaslužan je Apolonije. Fokusom i direktrisom elipse bavio se i Papus. Kepler je godine smatrao da je Marsova orbita ovalnog oblika, a kasnije otkrio da se radi o eliptičkom obliku godine Halley je pokazao da se Halleyev komet kreće oko Sunca na eliptičkoj orbiti. Površina elipse iznosi πab, no ne postoji točna formula za duljinu elipse pomoću elementarnih funkcija, što je dovelo do proučavanja eliptičkih funkcija godine je Ramanujan dao približnu vrijednost za duljinu elipse: π ( 3(a + b) (a + 3b)(3a + b) ). A r1 F C T b 1 2 a O b r 2 e a a F B D Slika 2.1: Elipsa Elipsa je zatvorena krivulja iz familije čunjosječnica. Definirana je kao skup svih točaka ravnine kojima je zbroj udaljenosti od dviju zadanih točaka uvijek jednak. Odredena 16

21 je dvjema poluosima, velikom a i malom b. Oblik elipse definira se njezinim ekscentricitetom (eliptičnošću) e = a 2 b 2. Kartezijeva jednadžba elipse: x 2 a + y2 2 b = 1 (2.1) 2 Parametarska jednadžba elipse: x = a cos t y = b sin t Polarna jednadžba elipse: r(ϕ) = ( a cos ϕ b 2 1 b2 a ) za elipsu sa središtem u ishodištu. Ako u jednadžbu elipse (2.1) uvrstimo a = b, dobivamo kružnicu polumjera a sa središtem u ishodištu. Točke F 1 i F 2 su žarišta ili fokusi elipse, ako (a > b) njihove koordinate su: F 1 = ( e, 0), F 2 = (e, 0) F 1 T i F 2 T su radijvektori elipse sa duljinama r 1 i r 2. Točka O, koja je i polovište dužine F 1 F 2, zove se središte ili centar elipse. Točke A = ( a, 0), B = (a, 0), C = (0, b) i D = (0, b) su tjemena ili vrhovi elipse. Dužina AB naziva se velika os (duljina joj je 2a), a dužine OA i OB velike poluosi elipse. Dužina CD naziva se mala os (duljina joj je 2b), a dužine OC i OD male poluosi elipse. Polovica udaljenosti izmedu žarišta je broj e, linearni ekscentricitet. Pravce paralelne s malom osi, udaljene od nje za d = a, e zovemo ravnalicama ili direktrisama. Za neku točku M = (x, y) elipse vrijedi svojstvo ravnalica elipse 1 r 1 = r 2 = e d 1 d Neke konstrukcije elipse Konstrukcija s poznatim osima i žarištem Poznate su duljine velike i male osi elipse, i možemo naći fokus. S kraja male osi povučemo liniju duljine a. Presjek te linije i velike osi je jedan fokus, F 1. Ostale točke elipse sada lako odredimo. 1 geometrijsko mjesto točaka za koje je omjer njihovih udaljenosti od zadane točke F i od zadanog pravca konstantna, jednaka e; za e < 1 dobivamo elipsu, za e = 1 parabolu, a za e > 1 hiperbolu 17

22 Slika 2.2: Konstrukcija elipse s poznatim osima i žarištem Konstrukcija sa čavlićima i konopcem Ovu konstrukciju danas zovemo i vrtlarska konstrukcija jer je najjednostavniji praktični način crtanja elipse. Opisana je i u Descartesovoj Dioptriji, jednom od triju dodataka Rasprave o metodi iz godine. Krajeve konopca duljine 2a privežemo za dva čvrsto zabijena čavla (koji su zapravo fokusi elipse) i onda crtamo s nategnutim konopcem, te dobivamo elipsu. Slika 2.3: Konstrukcija elipse sa čavlićima i konopcem 18

23 Metoda paralelograma U ovoj konstrukciji koristimo činjenicu da se elipsa može upisati paralelogramu. Prvo konstruiramo paralelogram i podijelimo ga na četvrtine. Zatim sve spojnice polovišta suprotnih stranica paralelograma podijelimo kao na Slici 2.4, i označimo brojevima. Crtamo spojnice polovišta donje stranice s točkama 1, 2, 3, 4, te ih produžimo do stranica paralelograma i označimo presjecišta kao na Slici 2.4. Postupak ponovimo za sljedeći kvadrant. Sada spojimo sva sjecišta 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 i dobivamo točke elipse. Slika 2.4: Konstrukcija elipse metodom paralelograma Metoda omotnice Kod ove metode dani su fokus i kružnica kojoj je polumjer jednak duljini velike osi. Nacrtamo spojnicu iz fokusa do neke točke kružnice i zatim okomicu na tu spojnicu. Ponovimo to nekoliko puta i uočavamo da okomice svih nacrtanih spojnica fokusa s točkama kružnice daju elipsu Zakrivljenost elipse Izvedimo eksplicitne formule za radijus zakrivljenosti i središte kružnice zakrivljenosti elipse x2 a + y2 = 1 u točki T = (c, d). 2 b2 Nadimo najprije prvu i drugu derivaciju: 2x a + 2yy 2 b 2 Dakle u točki T = (c, d) imamo = 0 = y = b2 x a 2 y = y = b2 a 2 y + b2 xy a 2 y 2 = b2 a 2 y b4 x 2 a 4 y 3. X = x y y (1 + y 2 ) = c b2 c a 2 d b2 a 2 d b4 c 2 (1 + ( b2 c a 2 d )2 ) = (a2 b 2 )b 2 c 3 a 2 b 2 c 2 + a 4 d, 2 a 4 d 3 19

24 Y = y + 1 y (1 + y 2 ) = d + 1 b2 (1 + ( b2 c b4 c 2 a 2 d )2 ) = a2 ( a 2 + b 2 )d 3 b 4 c 2 + a 2 b 2 d, 2 a 2 d a 4 d 3 R = (1 + y 2 ) 3 2 y = (1 + ( b2 c a 2 d )2 ) 3 2 b2 b4 c 2 a 2 d a 4 d 3 = (1 + b4c2 a 4 d 2 ) 3 2 b4 c 2 +a 2 b 2 d 2 a 4 d 3. Primjer 2.1 Odredimo radijus zakrivljenosti i kružnicu zakrivljenosti elipse x2 9 + y2 4 = 1 u točki T = (2, 2 5 ). 3 X = , Y = 25 54, R = U točki T elipsu iznutra dodiruje kružnica (vidi Sliku 2.5): ( x 40 ) ( ) 2 + y ( 5 61 ) 2 61 = Slika 2.5: Kružnica zakrivljenosti elipse u točki T 20

25 2.2. Parabola Parabolu je proučavao Menehmo, Platonov i Eudoksov učenik. On je pokušao udvostručiti kocku, tj. ravnalom i šestarom konstruirati brid kocke dvostruko većeg volumena od zadane. Suvremenim matematičkim jezikom rečeno, pokušao je riješiti jednadžbu x 3 = 2 pomoću geometrijskih metoda. Pronašao je rješenje našavši sjecište dviju parabola čije su jednadžbe bile y = x 2 i y 2 = 2x (no to rješenje se ne može konstruirati ravnalom i šestarom). O paraboli je pisao i Euklid, a ime duguje Apoloniju. Papus je proučavao fokus i direktrisu parabole. Pascal je smatrao parabolu projekcijom kružnice, a Galileo je pokazao da projektili imaju paraboličku putanju. Parabola je definirana kao skup točaka jednako udaljenih od zadane točke (žarišta) i od zadanog pravca (ravnalice, d). Kartezijeva jednadžba parabole: y = x2 4a Parametarska jednadžba parabole: (2.2) Polarna jednadžba parabole: x = 2at y = at 2 r(ϕ) = 4a tg ϕ cos ϕ za parabolu s vertikalnom osi i tjemenom u ishodištu. Opći oblik jednadžbe parabole je y = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a 0 (2.3) Za a < 0 parabola je otvorena prema dolje, a za a > 0 otvorena prema gore. Tjeme parabole T je točka parabole s koordinatama x 0 = b 2a, y 4ac b2 0 = 4a koje dobivamo iz općeg oblika (2.3) svodenjem na potpuni kvadrat: y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b ) a x + c ( = a x + b ) 2 b 2 2a 4a + c ( = a x + b ) 2 4ac b 2 + 2a 4a 21

26 Parabola siječe os x jedino ako je b 2 4ac 0. Parabola ima os simetrije (zrcalne). Jednadžba parabole s tjemenom u ishodištu i osi x kao osi simetrije glasi: y 2 = 2px, p > 0 (2.4) Žarište parabole je točka F = ( p, 0), a ravnalica (direktrisa) je pravac x = p 2 2. Spojnica točaka F i P je žarišni radijvektor te točke parabole P F, za koji vrijedi P F = P B = x + p Konstrukcije parabole Parabolu dobivamo kao presjek stošca i ravnine koja ne sadrži vrh tog stošca, a paralelna je s jednom izvodnicom te presijeca sve ostale izvodnice stošca. Parabolu jednostavno konstruiramo pomoću trokuta (pravokutnog raznostraničnog), ravnala, čavlića, komada užeta (ili konca) i olovke. Ravnalo postavimo u vodoravan položaj. Uže neka je duljine veće katete trokuta. Čavlić neka je fokus parabole, a ravnalo direktrisa. Uže zavežemo za čavlić, te najkraću stranicu trokuta prislonimo na ravnalo. Vrhom olovke povučemo uže prema ravnalu. Klizeći trokutom uz ravnalo, olovka će nacrtati parabolu (treba paziti da olovka, tj. uže bude uz stranicu trokuta). Slika 2.6: Konstrukcija parabole pomoću trokuta, ravnala, čavlića i užeta 22

27 Jednadžba evolute za parabolu Odredimo evolutu parabole y 2 = 2px. Kako je y = p y i y = p y 2 y, onda je X = x y y (1 + y 2 ) = x y p2 p (1 + ) = 3x + p, y y2 y 2 Y = y + 1 y (1 + y 2 ) = y + 1 p2 p (1 + y y ) = y 2 y3 p. 2 2 Da bi dobili jednadžbu evolute, iz gornje dvije jednadžbe trebamo isključiti x i y. Kako je y 2 = 2px, dobivamo: i zapisati u obliku Drugu jednadžbu možemo zapisati slično X = 3x + 2 = 3 y2 2p + p y 2 = 2p (X p). 3 y 3 = p 2 Y. Ako prvu potenciramo s 3, a drugu s 2 i oduzmemo jedno od drugog, dobivamo 8 27 p3 (X p) 3 Y 2 p 4 = 0. To je jednadžba evolute parabole y 2 = 2px. Slika 2.7: Parabola y 2 = 2x i njena evoluta 8 27 (x 1)3 y 2 = 0 23

28 2.3. Dioklova cisoida Ovu krivulju je otkrio Dioklo prilikom pokušaja rješavanja problema duplikacije kocke. Ime se javlja u radovima Geminusa, a sto godina kasnije Fermat i Roberval su konstruirali njezinu tangentu (1634.). Huygens i Wallis pronašli su godine površinu izmedu krivulje i njezine asimptote (3πa 2 ). Dioklova cisoida je trag tjemena parabole koja se kotrlja po sukladnoj paraboli. Iz dane točke mogu se povući ili jedna ili tri tangente na cisoidu. Kartezijeva jednadžba Dioklove cisoide: y 2 = x3 2a x Parametarska jednadžba Dioklove cisoide: (2.5) x = 2a cos 2 t y = 2a sin 2 t tg t Polarna jednadžba Dioklove cisoide: ρ = 2a sin ϕ tg ϕ Postoji više načina tvorbe cisoide, ali mi ćemo se zadržati na najjednostavnijem: y C B M O A x Slika 2.8: Dioklova cisoida Uzmemo kružnicu promjera OA = 2a i njenu tangentu AB. Točkom O položimo zraku OB i na njoj odlomimo odrezak OM = BC. Točka M pripada cisoidi. Zavrtimo 24

29 li zraku OB za neki kut i ponovimo li opisanu konstrukciju, naći ćemo drugu točku cisoide, itd. Ako točku O uzmemo za pol, onda je ρ = OM = OB OC ; OB = 2a cos ϕ, OC = 2a cos ϕ Primjena cisoide na rješavanje duplikacije kocke Neka je b brid dane kocke, a B traženi brid. Tada je B 3 = 2b 3, tj. B = b 3 2. Grafičko rješavanje problema mora se svesti na konstrukciju 3 2. Prepišimo jednadžbu cisoide (2.5) u obliku ( y x ) 3 = y 2a x. Pravac y = k siječe na tangenti odrezak AD = 2ak i presjeca cisoidu u x točki M, čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu y 2a x = k3. Tu jednadžbu možemo shvatiti kao jednadžbu pravca koji prolazi točkom A = (2a, 0) i odsjeca na ordinatnoj osi odrezak OC = 2ak 3. Ako sada uzmemo a = 1, i na ordinatnoj osi odvojimo odrezak OC = 2, 2 te spojimo li zatim točku C s točkom A = (1, 0), a sjecište pravca CA s cisoidom spojimo s točkom O, te ovu spojnicu produžimo do sjecišta sa tangentom, tada će, kako to proizlazi iz AD = 2ak i OC = 2ak 3, odrezak AD biti jednak upravo Cikloida Mnoga svojstva cikloide otkrivena su još u 16. stoljeću, prije izgradnje metode infinitezimalnog računa. Ta su svojstva bila utvrdivana ili čisto empirijski ili na temelju onih geometrijskih konstrukcija čijom se razradom došlo do novih konstruktivnih ideja. Cikloida je krivulja koju opisuje točka kružnice polumjera a kada se kotrlja bez klizanja po pravcu, pri tome je t kut za koji se kružnica zarotirala. Za cikloidu, kao za objekt matematičkog istraživanja, se prvi zainteresirao Galilei, te je pronašao neka njena svojstva i dao joj ime. Njegov učenik Toricelli je odredio površinu cikloide, a nakon njega su ju dalje proučavali mnogi poznati matematičari: Roberval, Descartes, Fermat, Pascal, Leibniz, braća Bernoulli, Huygens. Cikloida je bila vrlo zanimljiva i zbog toga što su mnoga njezina svojstva bila poznata, te zato što se primjena 25

30 Slika 2.9: Cikloida novih metoda u istraživanju cikloide pokazala iznimno pogodnom zbog jednostavnosti njezinih infinitezimalnih svojstava. Parametarska jednadžba cikloide: x = at a sin t y = a a cos t, t [0, 2π] Kartezijeva jednadžba cikloide: ( 1 2π 2 x ) 1 + x 2aπ a (1 = arccos y ) a Tangenta i normala za cikloidu 2y a y2 a2 Izračunajmo jednadžbe tangente i normale za cikloidu iz njene parametarske jednadžbe za vrijednost t = t 0 koristeći Tablicu 1.1. Tangenta x = at a sin t, dx dt = cos t, 2 y = a a cos t, dy dt = 1 sin t. 2 Y y = X x dy dx dt dt iz čega dobivamo da je = Y (a a cos t) 1 sin t = 2 X (at a sin t) cos t Y = 1 sin t(x at + a sin t) 2 ( 1 1 cos t) + a a cos t 2 2 što nakon sredivanja daje jednadžbu tangente za t = t 0 y = 2a + (x at)ctg t 2 26

31 Normala dx dt dy (X x) + (Y y) = 0 dt iz čega dobivamo ( cos t)(x (at a sin t)) + 1 sin t(y (a a cos t)) = 0 2 Y = ( 1 cos t 1 )(X at + a sin t) sin t + a a cos t 2 što nakon sredivanja daje jednadžbu normale za t = t 0 y = (at x)tg t 2 Primjer 2.2 Za cikloidu, kojoj je polumjer izvodnog kruga a = 2, za t 0 = π 2, dobivamo da je: y = x π jednadžba tangente y = π x... jednadžba normale 2.5. Kardioida Kardioida je krivulja koju opisuje točka kružnice koja se kotrlja bez klizanja po nepokretnoj kružnici istog polumjera, pri čemu se kružnice dodiruju izvana. Dakle, ova krivulja pripada familiji cikloida. Naziv kardioida joj je godine dao Castillon u djelu Philosophical Transections of Royal Society, zbog srcolikog oblika (grč. kardia srce + eidos lik). Duljinu kardioide je izračunao La Hire godine, zbog čega mu se pripisuje i samo otkriće krivulje. Kartezijeva jednadžba kardioide: (x 2 + y 2 + ax) 2 = a 2 (x 2 + y 2 ) (2.6) Parametarska jednadžba kardioide: x = a cos ϕ(1 cos ϕ) y = a sin ϕ(1 cos ϕ) Polarna jednadžba kardioide: r(ϕ) = a(1 cos ϕ) 27

32 Nastanak kardioide Slika 2.10: Graf kardioide za parametar a = 1 Smjestimo fiksnu kružnicu polumjera r u središte koordinatnog sustava O. Po njoj se kotrlja kružnica jednakog polumjera. Na fiksnoj kružnici označimo neku točku A, a na kotrljajućoj neku točku T. Kako se kružnica pomiče, točka T opisuje kardioidu. U početnom položaju točka T se nalazi u točki A fiksne kružnice. Točku A zovemo pol kardioide i u njoj kardioida ima šiljak. Slika 2.11: Nastanak kardioide 28

33 Konstrukcija kardioide Zadani su pol kardioide A i kružnica k sa središtem u O i polumjerom OA. Kroz O konstruirajmo pravac p paralelan s apcisom i pravac s paralelan s ordinatom. Sada nacrtajmo simetrale kutova koje tvore pravci p i s. Nastavimo raditi simetrale kutova dok krug nije podijeljen na 16, 32 ili 64 jednakih dijelova. Više podjela na krugu, kardioida će biti točnija. U dobivenim točkama na kružnici k konstruirajmo kružnice koje prolaze kroz A. Slika 2.12: Konstrukcija kardioide 29

34 2.6. Astroida Cikloidalne krivulje, uključujući i astroidu, otkrio je Roemer godine. Ime krivulje astroida pojavljuje se prvi put godine u knjizi koja je izdana u Beču. Medutim, ova cikloidalna krivulja se spominje i ranije, ali pod drugim imenima: kubocikloida, paracikloida, krivulja s četiri vrha. Jednadžba x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 spominje se već godine. Astroida je poseban slučaj hipocikloide, koji je definiran kao zamišljena linija koju ostavlja kružnica radijusa r koja se kotrlja unutar druge fiksne kružnice čiji radijus iznosi 4r ili 4 3 r Slika 2.13: Izgled astroide ovisno o parametru a Promjenom konstante a mijenja se veličina astroide, odnosno mijenjaju se udaljenosti na koordinatnim osima od ishodišta; a = 1 (crveno), a = 2 (crno), a = 3 (plavo), a = 4 (narančasto), kao što je prikazano na Slici

35 Kartezijeva jednadžba astroide: Parametarska jednadžba astroide: x y 2 3 = a 2 3 (2.7) x = a cos 3 t, y = a sin 3 t Polarna jednadžba astroide: r(ϕ) = 1 a cos ϕ ( tg 2 3 ϕ + 1 ) Konstrukcija astroide Konstruiramo astroidu sa središtem u B i jednim vrhom u točki K. Neka je B ishodište, a K cilj (1, 0). Konstruiramo kružnicu k (B, BK) sa središtem u točki B, koji prolazi točkom K. Neka je L točka kružnice k (B, BK). Spustimo okomicu iz L prema osi x i neka je točka M njihovo sjecište. Takoder, spustimo okomicu prema L na osi y, sjecište nazovimo N. Neka je P točka na MN takva da su LP i MN okomite. Sada je P točka na traženoj astroidi. L N B P M K Slika 2.14: Konstrukcija astroide 31

36 Sažetak Tema ovog rada su svojstva i konstrukcije nekih ravninskih krivulja. U uvodu je dan kratak osvrt na otkriće krivulja kroz povijest, te jedna od glavnih podjela krivulja. U prvom poglavlju rada kratko su navedeni i opisani pojmovi potrebni za definiranje krivulja, takoder su dane definicije nekih svojstava krivulja. U drugom poglavlju su definirane neke od ravninskih krivulja koje su medusobno vrlo povezane i pokazana su neka njihova svojstva, te način njihove konstrukcije. 32

37 Summary Properties and construction of some plane curves This paper outlines the properties and construction of some plane curves. The introduction gives short review of the discovery of curves throughout history, and one of the main division of the curves. In the first section of the paper are given the terms required to define the curve and the definitions of some properties of the curves. The second section defines some of planar curves that are highly related and demonstrate some of their properties, and the manner of their construction. 33

38 Literatura [1] B. Apsen, Repetitorij više matematike, I. dio, Tehnička knjiga, Zagreb, [2] B. Apsen, Repetitorij više matematike, II. dio, Tehnička knjiga, Zagreb, [3] B. Apsen, Repetitorij više matematike, III. dio, Tehnička knjiga, Zagreb, [4] I. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev, Matematički priručnik, Tehnička knjiga, Zagreb, [5] F. M. Brückler, Povijest matematike I, Odjel za matematiku, Osijek, [6] F. M. Brückler, Povijest matematike II, Odjel za matematiku, Osijek, [7] R. Cesarec, Analitička geometrija linearnog i kvadratnog područja, Školska knjiga, Zagreb, [8] M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski, Matematika, Ekonomski fakultet, Osijek, [9] D. Jukić, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Osijek, [10] V. Niče, Deskriptivna geometrija, Školska knjiga, Zagreb, [11] Ž. Pauše, Matematički priručnik, Školska knjiga, Zagreb, [12] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, [13] Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg,

39 Životopis Roden sam 1.veljače godine u Požegi. Godine završio sam Osnovnu školu Kaje Adžića u Pleternici, a godine Tehničku školu u Požegi. Iste godine upisao sam dodiplomski studij na Odjel za matematiku u Osijeku, smjer matematika - informatika. Kao student četvrte godine dobio sam Rektorovu nagradu za seminarski rad LU-dekompozicija trodijagonalne matrice, koji sam pisao u sklopu kolegija Računarski praktikum II. 35