SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Ivana Horvat. Zagreb, 2013.

Transcription

1 SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Ivana Horvat Zagreb, 2013.

2 SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentor: Prof. dr. sc. Bojan Jerbić, dipl. ing. Student: Ivana Horvat Zagreb, 2013.

3 IZJAVA Izjavljujem da sam ovaj rad izradila samostalno sluţeći se steĉenim znanjem, navedenom literaturom, uz nadzor i struĉne savjete mentora prof. dr. sc. Bojana Jerbića. Ivana Horvat

4 ZAHVALA Prije svega, ţeljela bih se zahvaliti mentoru, prof. dr. sc. Bojanu Jerbiću, što mi je, svojim znanjem i struĉnim savjetima, pomogao u izradi ovog diplomskog rada. Nadalje, veliko hvala Barbi, na podršci, savjetima i pruţenom znanju tijekom svih godina mog studiranja. Ţeljela bih se zahvaliti svojim prijateljima, koji su mi velika podrška u svemu što radim. Na kraju, najveće hvala mami, na podršci tijekom cijelog mog ţivota te pruţenoj mogućnosti da svoje snove pretvorim u stvarnost.

5

6 SADRŽAJ IZJAVA... 3 ZAHVALA... 4 POPIS SLIKA... II POPIS TABLICA... III POPIS OZNAKA... IV SAŢETAK... V SUMMARY... VI 1. UVOD OPIS PROBLEMA METODA PREDMARKIRANJA POMOĆU JEDNOG KRUŢNOG MARKERA Perspektivna distorzija jednog kruţnog markera OdreĊivanje kuta α METODA PREDMARKIRANJA POMOĆU TRI KRUŢNA MARKERA OdreĊivanje rješenja pomoću dimenzije markera OdreĊivanje koordinata toĉaka A', B' i C' IMPLEMENTACIJA ALGORITMA Provjera rješenja u MATLAB-u Dodatak algoritmu u svrhu dobivanja jedinstvenog rješenja Prikaz konaĉnih rezultata za provedene primjere ZAKLJUĈAK LITERATURA PRILOG Fakultet strojarstva i brodogradnje I

7 POPIS SLIKA Slika 1. Inspekcija i identifikacija predmeta... 1 Slika 2. Magnetna rezonanca glave ĉovjeka i satelitska snimka topljenja leda na Antarktiku.. 2 Slika 3. Usporedba kamere i ljudskog oka... 3 Slika 4. Primjer kontrasta izmeċu podloge i predmeta... 4 Slika 5. Primjer predmeta, koji se nalaze u nesreċenoj okolini [5]... 5 Slika 6. Prirodni 3D markeri... 6 Slika 7. Jedan kruţni marker i karakteristiĉne ravnine... 9 Slika 8. Pojednostavljeni prikaz perspektivne distorzije... 9 Slika 9. OdreĊivanje duljine B"O Slika 10. Trokut OB'B'' Slika 11. Trokut A''OA' Slika 12. Tri kruţna markera Slika 13: Deformirani krug i deformirana kugla Slika 14. OdreĊivanje 3D koordinata toĉaka A', B' i C' Slika 15. Karakteristiĉni trokuti u programskom paketu CATIA Slika 16. Duljine stranica prikazane u CATIA-i Slika 17. Koordinate toĉaka A', B' i C' prikazane u CATIA-i Slika 18. Rješenja trokuta Slika 19. Razlika u koordinatama toĉaka plavog i ţutog trokuta Slika 20. Odmaknuta ravnina sa istim jednakostraniĉnim trokutom Slika 21. Jednake koordinate Z u kopiranoj i originalnoj ravnini Fakultet strojarstva i brodogradnje II

8 POPIS TABLICA Tablica 1. Veza izmeċu stranica a, b i c te S i T Tablica 2. Oĉitani podaci koordinata toĉaka te duljine stranice jednakostraniĉnog trokuta iz programskog paketa CATIA Tablica 3. Vrijedosti za T i S Tablica 4. Moguća rješenja za T i S Tablica 5. Uvjeti za odnos stranica c<b<a Tablica 6. Konaĉno rješenje za T i S Tablica 7. Duljine stranica a, b i c izraĉunate algoritmom u Matlabu Tablica 8. Koordinate toĉaka A', B' i C' izraĉunate algoritmom u Matlabu Tablica 9. Ulazni podaci konstruiranih primjera u CATIA-i Tablica 10. Usporedba rezultata duljina stranica Tablica 11. Usporedba rezultata koordinata toĉaka A', B' i C' Fakultet strojarstva i brodogradnje III

9 POPIS OZNAKA Oznaka Opis Jedinica d Pomak optiĉke osi kamere od središta kruţnog markera mm f Efektivna fokusna duljina kamere mm h' Udaljenost izmeċu leće kamere i središta kruţnog markera mm h Projekcija od h' na optiĉku os kamere mm d 1 Pomak središta slike od središta kruţnice u ravnini slike mm Perspektivna distorzija mm Relativna vaţnost distorzije mm R min Minimalni polumjer elipse mm R max Maksimalni polumjer elipse mm α Kut izmeċu stranica OB i OC trokuta OBC rad β Kut izmeċu stranica OA i OC trokuta OAC rad γ Kut izmeċu stranica OA i OB trokuta OAB rad Fakultet strojarstva i brodogradnje IV

10 SAŽETAK U ovom diplomskom radu bilo je potrebno, istraţujući dostupnu literaturu, pronaći metodu, kojom će se odrediti prostorni poloţaj predmeta. Za odabranu metodu trebalo je razviti algoritam u programskom paketu MATLAB te potvrditi njegovu valjanost za realne sluĉajeve. Metoda, koja je odabrana za odreċivanje prostornog poloţaja predmeta, je metoda triangulacije. Metodom triangulacije se na predmet postavljaju tri markera kruţnog oblika, ĉija središta ĉine jednakostraniĉni trokut. Prostorne koordinate tih markera odreċuju se pomoću informacija dobivenih od 2D vizijskog sustava. Ako su poznati parametri kamere te meċusobne prostorne udaljenosti markera na predmetu, moguće je metodom triangulacije pronaći povezanost izmeċu 2D koordinata dobivenih sa slike i prostornih koordinata središta markera. Kad se one dobiju, moguće je odrediti poloţaj predmeta u odnosu na koordinatni sustav kamere. KLJUĈNE RIJEĈI: vizijski sustav, prostorni poloţaj predmeta, triangulacija, markeri, robotika Fakultet strojarstva i brodogradnje V

11 SUMMARY Relying on available literature and data the objective of this thesis was to determine the method which would define the position of object in 3D space. For the chosen method it was necessary to develop an algorithm in MATLAB and prove its validity and credibility in practice. The method which was chosen to define object in 3D space was the triangulation method. Triangulation method involved placing three circular markers, whose centres make an equilateral triangle, on the object. Space coordinates of these markers were determined on the basis of the information obtained from the 2D visual system. Where camera parameters and space distances between the markers on the object are known, it was possible, applying the triangulation method, to make out the relationship between the 2D coordinates obtained from the picture and the space coordinates defining the centres of the markers. Once this was established, the position of object may be defined relative to the camera coordinate system. KEY WORDS: visual system, orientation and position of objects, triangulation, markers, robotics Fakultet strojarstva i brodogradnje VI

12 1. UVOD Industrijski roboti spadaju u posebno podruĉje robotike, koje se bavi prouĉavanjem, konstrukcijom te primjenom razliĉitih robotskih sustava u proizvodnji. Industrijski robot definiran je kao automatski upravljani, programabilni, višenamjenski manipulacijski stroj, otvorenog kinematiĉkog lanca s više stupnjeva slobode gibanja, koji moţe obavljati razliĉite zadatke. Ti zadaci su rutinski, monotoni ili ĉak opasni za ljude. [1] Iz razloga što se ţele postići humaniziraniji uvjeti rada, strojevi, koji na opasnim mjestima zamjenjuju ljude, trebaju dobiti što više podataka iz okoline. Jedan od naĉina prikupljanja podataka iz okoline je strojni vid. Strojni vid se moţe definirati kao uporaba tehniĉke naprave (kamere) u svrhu optiĉkog, beskontaktnog i automatskog prikupljanja informacija o prizoru te njihove daljnje obrade. Strojni vid predstavlja sposobnost raĉunala, odnosno stroja, da vidi. Pomoću vizijskog sustava strojevi vrše inspekciju, identifikaciju i mjerenje razliĉitih predmeta. [2] Slika 1. Inspekcija i identifikacija predmeta Fakultet strojarstva i brodogradnje 1

13 Cilj strojnog vida je da stvori model realnog svijeta iz prikupljenih slika. On obnavlja korisne informacije o prizoru iz njegovih dvodimenzionalnih projekcija. Kako bi se povratila informacija o nekom prizoru, potrebno je znanje o samom predmetu, koji se prouĉava, ali i o projekcijskoj geometriji. Strojni vid moţe se koristiti u raznim granama industrije, ali i drugim znanostima, kao što su medicina, svemirska istraţivanja, meteorologija... Slika 2. Magnetna rezonanca glave ĉovjeka i satelitska snimka topljenja leda na Antarktiku Raĉunalni, odnosno strojni vid, ĉesto se smatra dijelom umjetne inteligencije. Umjetna inteligencija je podruĉje znanosti, koje se bavi prouĉavanjem te razvojem inteligentnih agenata. Inteligentni agent je sustav, koji percipira svoju okolinu te na temelju dobivenih podataka poduzima odreċene akcije, koje mu povećavaju vjerojatnost za uspjehom. Umjetna inteligencija moţe biti podijeljena u tri faze: percepcija, spoznaja i djelovanje. Percepcija prenosi signale, dobivene iz okoline, u simbole, spoznaja manipulira dobivenim simbolima, a djelovanje pretvara simbole u signale, ĉiji uĉinak mijenja svijet. [3] Mnogi dijelovi raĉunalnog vida su usko povezani s onime što je poznato o ljudskom vidu. Ljudski vid zapoĉinje u mreţnici oka, toĉnije, fotoreceptori u mreţnici skupljaju svjetlost i šalju signale u mreţu neurona. Ti se fotoreceptori nazivaju štapići i ĉunjići. Štapići su osjetljivi na svjetlo, a ĉunjići na boju i detalje. Oni proizvode elektriĉne impulse koji putuju u mozak. Mozak obraċuje te impulse i daje informacije o tome što mi vidimo. U tom procesu, mnoge komponente ljudskog mozga i oka moraju raditi zajedno. Fakultet strojarstva i brodogradnje 2

14 Oko, kao ljudski aparat za vizualni proces, je vrlo sliĉno kameri. Oboje sakupljaju svjetlo i pretvaraju ga u sliku, koja se kasnije moţe interpretirati. Snopom svjetlosti upravlja se pomoću leća. Oĉna leća projicira okrenutu sliku na mreţnicu na isti naĉin kako to radi kamera na film. Uloga leće je da sakuplja snopove svjetlosti, koji se reflektiraju od objekta, i usmjerava ih prema mreţnici ili filmu, kako bi se stvorila stvarna slika. Slika 3. Usporedba kamere i ljudskog oka Strojevi, kao i ljudi, na isti naĉin pronalaze objekte u okolini. Recimo, traţeći odreċenu knjigu, nikad ne ĉitamo puni naslov svake knjige, već brzo pregledavamo knjige u potrazi za prvim slovom ili nekim od prvih slova naslova koji traţimo. Ili, ako je prijatelj kojeg ĉekamo visok i plavokos, traţit će se samo ta dva obiljeţja. Tako funkcionira i strojni vid. Strojni vid traţi unaprijed nauĉene znaĉajke na predmetu te ga prema njima prepoznaje. Nebitne informacije nastoje se ne obraċivati, već se zahvaćaju samo neki aspekti objekta, koji su nuţni za obavljanje uspješne pretrage. To podruĉje psihologije naziva se prepoznavanje oblika i na njemu se temelji svaki vizijski proces. [4] Fakultet strojarstva i brodogradnje 3

15 2. OPIS PROBLEMA Vizijski sustavi pokazali su se vrlo korisnim, kao pomoć, prilikom izvršavanja razliĉitih zadataka, posebno kod industrijskog sklapanja te kontrole proizvodnog procesa. Jedan od osnovnih zadataka robotskog vizijskog sustava je prepoznati i odrediti poloţaj te orijentaciju dijelova, koje treba sklopiti. No, postoji i nekoliko problema, koji se javljaju prilikom izvršavanja navedenog zadatka, koje je vrijedno spomenuti. Prije svega, robotski vizijski sustav mora razlikovati dio od podloge na kojoj se on nalazi. Najĉešći problem, koji se javlja u ovoj, prvoj fazi, je nemogućnost prepoznavanja predmeta u realnom vremenu zbog nejednakog osvjetljenja. Uz kontinuirano osvjetljenje, koje je naprosto nuţno za pravilno funkcioniranje svakog vizijskog procesa, ovaj problem se moţe riješiti tako da podloga, na kojoj se predmet nalazi, bude kontrastne boje u odnosu na predmet. Na primjer, ako je predmet bijele, podloga bi trebala biti crne boje. Slika 4. Primjer kontrasta izmeċu podloge i predmeta Drugi problem je odreċivanje orijentacije i pozicije predmeta. Današnji softveri mogu jednostavno odrediti poziciju i orijentaciju predmeta, ako se on nalazi u ravnini, koja je paralelna s podlogom i u kojoj je napravljena kalibracija. No, problem se javlja kad se predmet nalazi u nesreċenoj okolini, recimo razbacan u kutiji, ili kad je nagnut pod nekim kutem. Tada odreċivanje orijentacije i pozicije predmeta moţe biti oteţano iz razloga što se geometrijske znaĉajke, prema kojima se predmet prepoznaje, pod nagibom deformiraju do neprepoznatljivosti. Fakultet strojarstva i brodogradnje 4

16 Na primjer, kruţnica, pod nagibom, poprima oblik elipse. Slika 5. Primjer predmeta, koji se nalaze u nesreċenoj okolini [5] Ideja za temu ovog diplomskog rada, proizašla je upravo iz gore navedenih problema, s kojima sam se susrela prilikom izrade završnog rada. Kako je najveći problem bila geometrija predmeta, koju je softver teško prepoznavao, kad se predmet nalazio nagnut pod nekim kutem, ţelja je bila pronaći naĉin, odnosno metodu, koja će te problem deformacije geometrije umanjiti ili ĉak eliminirati. Istraţujući dostupnu literaturu, došla sam do zakljuĉka da bi se problem odreċivanja pozicije i orijentacije predmeta, kad se on nalazi u nesreċenoj okolini ili nagnut pod nekim kutem, mogao riješiti uporabom markera. Markeri su oznake, jednostavne geometrije, koji se postavljaju na predmet. Tu jednostavnu geometriju, softver lakše i brţe prepoznaje, od sloţene geometrije cijelog predmeta. [6] Iz razloga što postoje mnoge metode odreċivanja pozicije i orijentacije predmeta, koje koriste markere, bilo je potrebno odrediti onu, koja će se analizirati i testirati u diplomskom radu. Prva metoda, koja je bila interesantna te se uzela u razmatranje, je ona, koja koristi prirodne 3D markere za prepoznavanje predmeta u realnom vremenu. [7] Fakultet strojarstva i brodogradnje 5

17 Prirodni 3D markeri predstavljaju skup od ĉetiri do pet toĉaka, koje imaju karakteristiĉne geometrijske znaĉajke. One se grupiraju na naĉin, koji garantira njihovo prepoznavanje i vidljivost iz barem jedne toĉke gledišta. Slika 6. Prirodni 3D markeri Druga metoda, koja je bila razmatrana kao ideja, se bazira na procesu predmarkiranja s jednim ili više markera, kruţnog oblika. [8] Kruţna geometrija markera odabrana je iz nekoliko razloga. Prije svega, mnogi industrijski dijelovi imaju provrte, koji se mogu iskoristiti kao prirodni kruţni markeri. Nadalje, iz geometrije je poznato da krug ima jednaku simetriju s obzirom na sve osi. Na kraju, dokazano je da krugovi imaju svojstvo visoke lokacijske toĉnosti na slici. Metoda predmarkiranja opisana je analitiĉki te je zakljuĉeno da se bolja preciznost u odreċivanju orijentacije i pozicije predmeta dobije, ako se koriste tri kruţna markera, ĉija središta ĉine jednakostraniĉni trokut. Od dvije predstavljene metode u ovom poglavlju, biti će odabrana druga, zato što je prva metoda još uvijek u procesu istraţivanja te nije pronaċeno dovoljno podataka o samom algoritmu. U sljedećim poglavljima biti će analitiĉki opisana metoda predmarkiranja, prvo s jednim, a kasnije s tri markera. Zatim će biti predstavljen algoritam, koji koristi metodu predmarkiranja s tri kruţna markera, iz razloga što jedan kruţni marker ne daje dovoljnu toĉnost o poziciji i orijentaciji predmeta. Fakultet strojarstva i brodogradnje 6

18 Taj algoritam napravljen je u programskom paketu MATLAB. Na kraju će se analizirati dobiveni rezultati te zakljuĉiti da li se metoda predmarkiranja s tri kruţna markera moţe upotrijebiti za realan sluĉaj. Fakultet strojarstva i brodogradnje 7

19 3. METODA PREDMARKIRANJA POMOĆU JEDNOG KRUŽNOG MARKERA U sluĉaju jednog kruţnog markera, koji se nalazi na predmetu, standardni pogled se ostvaruje na naĉin da se optiĉka os kamere poravna sa normalom površine, koja prolazi kroz središte kruţnog markera, uz pretpostavku da su poznati unutarnji i vanjski parametri kamere, kao što su efektivna fokusna duljina kamere, udaljenost kamere od predmeta itd. Na temelju ovih parametara koristi se idealni projekcijski model, kako bi se izvele jednadţbe za izraĉunavanje perspektivne distorzije, odnosno izobliĉenja. Relativna pozicija i orijentacija kamere, u odnosu na kruţni marker, moţe se svrstati u jedan od ova ĉetiri sluĉaja: (1) Optiĉka os kamere prolazi kroz središte kruţnog markera te je okomita na ravninu u kojoj se on nalazi (na slici 6. oznaĉena kao ravnina C) (2) Optiĉka os kamere je okomita na ravninu C, ali ne prolazi kroz središte kruţnog markera (3) Optiĉka os kamere prolazi kroz središte kruţnog markera, ali nije okomita sa ravninom C (4) Optiĉka os kamere nije okomita na ravninu C i pomaknuta je od središta kruţnog markera Matematiĉki će se obraditi zadnji, odnosno ĉetvrti, sluĉaj iz razloga što je on najopćenitiji te su u njemu sadrţani ostali navedeni sluĉajevi. Na slici 6. vidljive su tri karakteristiĉne ravnine; ravnina I predstavlja ravninu u kojoj se nalazi slika, ravnina C je ravnina u kojoj se nalazi kruţni marker, a ravnina D je ravnina koja je paralelna sa ravninom I te prolazi središtem kruţnog markera. Fakultet strojarstva i brodogradnje 8

20 Slika 7. Jedan kružni marker i karakteristiĉne ravnine 3.1. Perspektivna distorzija jednog kružnog markera Perspektivna distorzija se za sluĉaj ĉetiri, opisan u prethodnom poglavlju, moţe odrediti pomoću sljedeće slike, gdje je: Slika 8. Pojednostavljeni prikaz perspektivne distorzije Fakultet strojarstva i brodogradnje 9

21 d- pomak optiĉke osi kamere CC' od središta kruţnog markera O f- efektivna fokusna duljina kamere (CL) h'- je udaljenost izmeċu leće kamere i središta kruţnog markera h- projekcija od h' na optiĉku os kamere r- radijus markera α- kut izmeċu ravnine C i D d 1 - pomak središta slike od središta kruţnice (CO 1 ) u ravnini slike Perspektivna distorzija definira se na sljedeći naĉin: = O 1 A 1 O 1 B 1 (1) Iz slike 7. vidljivo je da su trokuti OB''L i B 1 O 1 L i trokuti A"OL i O 1 A 1 L sliĉni, pa se taj zakljuĉak moţe i matematiĉki zapisati: OB"L B 1 O 1 L A"OL O 1 A 1 L (2) Iz sliĉnosti trokuta zakljuĉuje se da je, OB" B 1 O 1 = h f (3) te se iz ovog omjera moţe dobiti ĉemu je je jednaka duljina B 1 O 1, koja je potrebna za izraĉunavanje distorzije u jednadţbi (1). B 1 O 1 = OB"f h (4) Istu stvar potrebno je napraviti za duljinu A 1 O 1. Fakultet strojarstva i brodogradnje 10

22 Dakle, iz sliĉnosti trokuta moţe se napisati da je, A"O O 1 A 1 = h f (5) te se moţe izvesti ĉemu je jednaka duljina O 1 A 1, kako je prikazano u jednadţbi (6). O 1 A 1 = A"Of h Ako se podrobnije pogledaju prikazane jednadţbe, vidljivo je da je za izraĉunavanje perspektivne distorzije potrebno odrediti nepoznate duljine A"O i B"O. Prvo će biti prikazano kako se odreċuje nepoznata duljina B"O, koja je prikazana na slici 8. (6) Slika 9. OdreĊivanje duljine B"O Iz trokuta B"C'L moguće je odrediti da je: tan β = h d x (7) Fakultet strojarstva i brodogradnje 11

23 Ako se detaljnije pogleda trokut OB'B'', koji je prikazan na slici 9., moţe se izraĉunati sljedeće: Slika 10. Trokut OB'B'' sin α = z r z = r sin α cos α = a r a = r cos α (8) Isto tako, poznato je da je: tan β = z x a (9) Ako se jednadţba (7) uvrsti u jednadţbu (9) dobije se: h (d x) = z x a = r sin α x r cos α (10) Slijedi da je: h d x = r sin α x r cos α (11) Rješavanjem omjera u jednadţbi (11), dobije se izraz opisan u jednadţbi (12). h(x r cos α) = d x r sin α (12) Fakultet strojarstva i brodogradnje 12

24 Na kraju, moguće je dobiti izraz za veliĉinu x, koja je jednaka duljini OB''. x = r(d sin α + h cos α) (h + r sin α) x = OB" (14) (15) Sliĉnu stvar potrebno je napraviti kako bi se dobila duljina A''O. Iz trokuta A''C'L, koji se moţe vidjeti na slici 7., dobije se da je, tan γ = h d + y gdje se duljina y najbolje moţe vidjeti na slici 10. (16) Zatim je potrebno detaljnije pogledati trokut A''OA', koji je prikazan na slici 10., kako bi se odredili sljedeći omjeri: Slika 11. Trokut A''OA' sin α = w r w = r sin α (17) cos α = b r b = r cos α Fakultet strojarstva i brodogradnje 13

25 Isto tako, iz slike 10., moţe se zakljuĉiti da je: tan γ = w y b (18) Ako se jednadţba (16) uvrstiti u jednadţbu (18) dobije se: h d + y = w y b Jednadţba (19) moţe se zapisati na sljedeći naĉin: (19) h y b = w(d + y) (20) Iz jednadţbe (20) izrazi se y, koji predstavlja nepoznatu duljinu stranice A''O. y = rd sin α + rh cos α h r sin α y = A"O (21) (22) Konaĉni izraz za perspektivnu distorziju je: = (d sin α + h cos α)r f h r sin α h r(d sin α + h cos α) f (h + r sin α) h (23) Relativna vaţnost distorzije moţe se definirati kao, Izraz (24) moţe se pojednostaviti na sljedeći naĉin: = O 1A 1 O 1 B 1 (24) = O 1 A 1 + O 1 B 1 O 1 A 1 + O 1 B 1 = r sin α h (25) Kako je vidljivo iz pojednostavljene jednadţbe (25), je funkcija r, h i kuta α te je neovisno o udaljenosti pomaka optiĉke osi kamere d. Fakultet strojarstva i brodogradnje 14

26 Na primjer, ako je r = 5 mm i h = 500 mm, najveća vrijednost će se pojaviti kad je α = 90 i biti će manja ili jednaka 1%. Zakljuĉuje se da je distorzija, u realnim situacijama, kao što je gore naveden primjer, zapravo beznaĉajna. Ipak, jednadţba (23) prikazuje da je u nekom općenitom sluĉaju, distorzija funkcija f, h, r, α i d. Dakle, za vrijednosti gdje vrijedi da je h r 10, što je istinito u najvećem broju stvarnih sluĉajeva, jednadţba (23) prelazi u oblik: = r2 h 2 f sin 2α + 2d h sin2 α (25) Ako ne postoji pomak osi kamere, dakle d = 0, jednadţba (25) izgleda ovako: = r2 h 2 f sin 2α (26) Preostaje odrediti kut α. Naĉin, na koji se odreċuje kut α, biti će prikazan u sljedećem poglavlju OdreĊivanje kuta α Bitno je napomenuti da se prilikom nagiba, slika kruţnog markera deformira, te kruţnica prelazi u elipsu, koja ima dva polumjera R min i R max. R min = f r h R max = 1 2 O 1A 1 + O 1 B 1 (27) Za sluĉajeve gdje vrijedi da je h r 10, moţe se pisati da je: R min R max cos α + d h sin α (28) Fakultet strojarstva i brodogradnje 15

27 Ako nema pomaka kamere, dakle d = 0, jednadţba (28) prelazi u jednostavniji oblik, R min R max cos α (29) iz kojeg je vidljivo da omjer minimalnog i maksimalnog polumjera ovisi samo o kosinusu kuta α. Za sluĉajeve (1) i (2), opisanim u poglavlju 3., vrijedi da je α=0, a omjer minimalnog i maksimalnog polumjera jednak 1. Kako bi se odredio kut α iz jednadţbe (28), potrebno je izraĉunati pomak kamere. Pomak kamere lako se moţe, iz sliĉnosti trokuta, odrediti iz skice na slici 7., kako slijedi, d = hd 1 f (30) uz napomenu da se d 1 odreċuje iz slike, dobivene kamerom. Jednadţba (30) uvrštava se u jednadţbu (28) te se dobiva konaĉan izraz za izraĉunavanje kuta α. sin α = R min R max d 1 f ± 1 + d 1 f 2 R min R max 1 + d 1 f 2 Prije korištenja jednog kruţnog markera, kao metode predmarkiranja, potrebno je razmisliti o jednoj vrlo bitnoj ĉinjenici, a ona je stupanj toĉnosti prilikom odreċivanja R min i R max, ali i kuta α. Problem se pojavljuje kad je kruţni marker jako mali u odnosu na udaljenost izmeċu kamere i podloge na kojoj se marker nalazi. Male promjene u nagibu podloge moţda neće biti uoĉene na kameri te će iz tog razloga doći do smanjenja toĉnosti rezultata. Kao alternativa ovoj metodi, javlja se metoda predmarkiranja sa tri kruţna markera, koja će detaljnije biti objašnjena u sljedećem poglavlju. 2 (31) Fakultet strojarstva i brodogradnje 16

28 4. METODA PREDMARKIRANJA POMOĆU TRI KRUŽNA MARKERA Kod ove metode potrebno je prouĉiti relativne pozicije središta tri kruţna markera te njihove meċusobne odnose. Ako se na neki predmet postave tri kruţna markera, ĉija središta ĉine jednakostraniĉni trokut, te se snime kamerom, tada dobivena slika neće prikazati jednakostraniĉni trokut, osim kad je optiĉka os kamere poravnata sa normalom površine jednakostraniĉnog trokuta. Drugim rijeĉima, kad je predmet, na kojem se nalaze markeri, nagnut pod nekim kutem, kamera, koja je postavljena iznad njega, snimit će sliku, na kojoj će meċusobna udaljenost središta markera biti razliĉita. Dakle, kamera će prikazivati raznostraniĉan trokut. Slika 12. Tri kružna markera Vrhovi raznostraniĉnog trokuta oznaĉeni su slovima A, B i C, dok su kod istostraniĉnog trokuta, koji se u realnom sluĉaju nalazi na predmetu, oni oznaĉeni slovima A', B' i C'. Toĉka O predstavlja središte optiĉke leće kamere. Ravnina, u kojoj se nalazi središte optiĉke leće kamere, je paralelna sa ravninom slike. Fakultet strojarstva i brodogradnje 17

29 Koordinate toĉaka O, A, B i C, prikazane na slici 11., su poznate. Pomoću kosinusovog pouĉka, mogu se izraĉunati kutevi α, β i γ, zato što su poznate duţine OA, OB i OC. cos α = BO2 + CO 2 BC 2 2BO CO cos β = AO2 + CO 2 AC 2 2AO CO (32) cos γ = BO2 + AO 2 AC 2 2BO AO Duljina stranica se, općenito, izraĉunava prema jednadţbi, d T 1 T 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (33) koja se primjenjuje i u ovom sluĉaju, za izraĉunavanje duljina stranica OA, OB i OC. Kako su poznate koordinate toĉaka A, B i C te kutevi α, β i γ, potrebno je odrediti koordinate toĉaka A', B' i C' te time orijentaciju ravnine, koja presijeca duţine OA, OB i OC i u kojoj se nalazi jednakostraniĉni trokut. Prije svega, iz kosinusovog pouĉka moguće je napisati, c 2 2bc cos α = a 2 2ab cos γ (34) c 2 2ac cos β = b 2 2ab cos γ (35) gdje je OA = a, OB = b, OC = c i A B = A C = B C. Ako se gore navedene jednadţbe pomnoţe sa 1 b 2, dobije se: c 2 b 2 2 c a2 cos α = b b 2 2 a b cos γ (36) Fakultet strojarstva i brodogradnje 18

30 c 2 Sad je potrebno uvesti jednakosti da je, b 2 1 = 2 ac ab cos β 2 b2 b 2 cos γ (37) T = c b (38) S = a b (39) pa se jednadţba (37) moţe zapisati na sljedeći naĉin: T 2 1 = S(2T cos β 2 cos γ) (40) Konaĉne jednadţbe za omjere duljina stranica a, b i c su: S = T 2 1 2T cos β 2 cos γ (41) T 2 2T cos α = S 2 2S cos γ (42) Kad se jednadţba (41) uvrsti u jednadţbu (42) te sredi, dobije se jednadţba ĉetvrtog reda, gdje su: T 4 + NT 3 + PT 2 + QT + R = 0 (43) N = 4 cos β cos γ 8 cos α cos2 β 4 cos 2 β 1 P = 16 cos α cos β cos γ cos 2 β 1 Q = 8 cos α cos2 γ 4 cos β cos γ 4 cos 2 β 1 (44) R = 4 cos2 γ 1 4 cos 2 β 1 Fakultet strojarstva i brodogradnje 19

31 Kako je već prije spomenuto, cos α, cos β i cos γ imaju jedinstvene i realne vrijednosti pa se zakljuĉuje da N, P, Q i R moraju isto biti realni brojevi te imati jedinstvene vrijednosti. Dakle, jednadţba (43) moţe imati najviše ĉetiri rješenja. Isto tako, omjeri a b i c b su pozitivni, pa iz tog razloga, samo pozitivna rješenja za T, iz jednadţbe (43), te pozitivna rješenja za S, iz jednadţbe (42), su prihvatljiva. Nadalje, rješavanjem jednadţbe (43), teoretski je moguće dobiti ĉetiri pozitivna rješenja za T i za S. Iz razloga što postoji jedna normala površine, u kojoj se nalazi jednakostraniĉni trokut, samo je jedno, od ĉetiri moguća rješenja, prihvatljivo. [6] Naĉin, na koji će se odrediti prihvatljivo rješenje, biti će prikazan u sljedećem poglavlju OdreĊivanje rješenja pomoću dimenzije markera Prva pretpostavka, koja mora biti zadovoljena, je da svi markeri imaju jednake dimenzije, odnosno polumjere. Markeri mogu imati oblik kruga, dakle 2D lika, ili kugle, 3D tijela. Razlika je u tome što se krug, prilikom naginjanja predmeta, deformira i na slici poprima oblik elipse, a iz geometrije je poznato da elipsa ima dva polumjera, manji i veći. Slika 13: Deformirani krug i deformirana kugla S druge strane, kad se kamerom snimi marker oblika kugle, koji je nagnut pod nekim kutem, na slici će biti prikazan krug, koji će imati jedan polumjer. Postojati će razlika u dimenziji polumjera prije i nakon naginjanja predmeta. Fakultet strojarstva i brodogradnje 20

32 Iz razloga što je potrebno mjeriti dimenziju samo jednog polumjera, bolje je upotrebljavati markere oblika kugle, ako je to moguće. Sljedeća pretpostavka je da će polumjeri markera biti razliĉiti, ovisno o nagibu predmeta na kojem se nalaze. Drugim rijeĉima, ako je polumjer markera najmanji, moţe se zakljuĉiti da je u tom smjeru predmet najviše nagnut. Odnosno, da je duţina, koja spaja središte optiĉke leće kamere sa tim vrhom trokuta, najdulja. Vrijedi i obrnuto; ako je izmjereni polumjer najveći, stranica, koja spaja središte optiĉke leće kamere, sa tim vrhom trokuta, biti će najkraća. Za polumjer, koji će biti srednjih dimenzija, biti će vezana srednja duljina stranice izmeċu središta optiĉke leće kamere i tog vrha trokuta. Tri stranice a, b i c, koje spajaju središte optiĉke leće kamere, sa vrhovima A', B' i C' (slika 11.), jednakostraniĉnog trokuta, mogu biti u sljedećim odnosima: a b c b c a a c b c a b b a c c b a Iz jednadţbi (38) i (39) moguće je dobiti ĉemu su jednake stranice a i c. c = bt (45) a = bs (46) Kako je vidljivo iz jednadţbi (45) i (46), potrebno je izraĉunati stranicu b, da bi se mogle dobiti realne vrijednosti za stranice a i c. Ako se bolje pogleda slika 11., iz nje se jasno vidi da je poznat kut α, stranica c te duţina B C. Prema kosinusovom pouĉku slijedi: b = B C 2 (1 + T 2 2T cos α) (47) Ista jednadţba dobila bi se da se koristio kut γ, stranica a te duţina A B. Sad, kad su poznate jednadţbe za sve stranice, moguće je pronaći vezu izmeċu tih stranica i veliĉina polumjera. Ta veza biti će prikazana u dijagramu toka. Fakultet strojarstva i brodogradnje 21

33 START R 1=a; R 2=b R 3=c R 1>R 2 NE R 2>R 3 NE R 3=c= najkraća stranica R 1>R 3 R 2>R 1 DA DA R 1=a= najkraća stranica R 2=b= najkraća stranica R 1>R 2 NE R 2>R 3 NE R 3>R 1 NE D D A D A R 1=a= srednja duljina stranice R 2=b= srednja duljina stranice R 3=c= srednja duljina stranice R 3=c= najduţa stranica R 1=a= najduţa stranica R 2=b= najduţa stranica R 2=b= srednja duljina stranice R 3=c= srednja duljina stranice R 1=a= srednja duljina stranice R 1=a= najduţa stranica R 2=b= najduţa stranica R 3=c= najduţa stranica KRAJ Fakultet strojarstva i brodogradnje 22

34 Isto tako, postoji veza izmeċu omjera S i T, i stranica a, b i c. Ako je: S < T a < c S > 1 a > b T > 1 c > b S > T a > c S < 1 a < b T < 1 c < b U tablici 1. prikazani su uvjeti, koji moraju biti zadovoljeni, ako postoji odreċen odnos veliĉine izmeċu stranica a, b i c. Tablica 1. Veza izmeċu stranica a, b i c te S i T a < b < c a < c < b b < c < a b < a < c c < a < b c < b < a S < T S < 1 T > 1 S < T S < 1 T < 1 S > T S > 1 T > 1 S < T S > 1 T > 1 S > T S < 1 T < 1 S > T S > 1 T < 1 Iz navedenih zakonitosti i veza prikazanih izmeċu S i T te stranica a, b i c, trebalo bi se, od ĉetiri moguća, dobiti jedinstveno rješenje. Fakultet strojarstva i brodogradnje 23

35 4.2. OdreĊivanje koordinata toĉaka A', B' i C' Zadnji korak je odrediti 3D koordinate toĉaka A', B' i C'. Dakle, poznate su koordinate središta optiĉke leće kamere te koordinate toĉka A, B i C, koje se mogu oĉitati analiziranjem slike dobivene kamerom. Isto tako, u prethodnom poglavlju detaljno je objašnjeno na koji naĉin se dobiju duljine stranica a, b i c, odnosno duljine OA, OB i OC. Nepoznate 3D koordinate mogu se odrediti iz jednadţbe pravca. U ovom poglavlju prikazat će se postupak za odreċivanje koordinata toĉke A'. Postupak za odreċivanje koordinata toĉaka B' i C' biti će identiĉan. Slika 14. OdreĊivanje 3D koordinata toĉaka A', B' i C' Poĉetna jednadţba, koja će se koristiti, za odreċivanje koordinata toĉke A' je jednadţba pravca, koji prolazi kroz dvije toĉke. x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1 (48) Fakultet strojarstva i brodogradnje 24

36 Nakon uvrštavanja koordinata toĉke O te sreċivanja jednadţbe (48), dobije se da je: x = y z + f = x 1 y 1 f (49) Sad je moguće odrediti jednadţbe za nepoznate koordinate X 1 i Y 1. X 1 = Z 1 + f x f 1 (50) Y 1 = Z 1 + f y f 1 (51) Kako je vidljivo iz jednadţbi (50) i (51), nepoznata je koordinata Z 1. Ona će se odrediti iz jednadţbe (52). a 2 = X Y Z 1 + f 2 (52) Nakon sreċivanja jednadţbe (52), dobije se konaĉni izraz za koordinatu toĉke Z 1. Z 1 = f ± af x y f 2 (53) Za koordinatu Z 1 dobit će se dva rješenja; jedno pozitivno, a drugo negativno. Odabire se negativno rješenja kao konaĉno, zato što se prema skici, toĉka A', uvijek nalazi ispod središta optiĉke leće kamere, odnosno toĉke O. Fakultet strojarstva i brodogradnje 25

37 5. IMPLEMENTACIJA ALGORITMA Algoritam za odreċivanje prostornog poloţaja objekta metodom triangulacije napravljen je u MATLAB programskom alatu. MATLAB je kratica od MATrix LABoratory te predstavlja programsko okruţenje. Nastao je 1970-ih godina na Sveuĉilištu Novog Meksika. Omogućava rad s matricama, nudi iscrtavanje funkcija i podataka, jednostavnu implementaciju algoritama i mnoge druge stvari. Popularan je i kao alat za obradu slike. TakoĊer, nudi i suĉelje s programima napisanim u drugim programskim jezicima, kao što su C, C++ te Fortran. MATLAB nije namijenjen specifiĉnoj primjeni te se koristi kao alat u mnogim podruĉjima znanosti, kao što su raĉunarstvo, mehanika, ekonomija i mnoge druge. MATLAB programski jezika je skriptnog tipa. Naredbe mogu biti direktno napisane u komandni prozor ili mogu biti spremljene u tekstualnoj datoteci, kao što je MATLAB skripta. [7] 5.1. Provjera rješenja u MATLAB-u Rješenje algoritma dobiveno u MATLAB-u, kontrolirat će se konstrukcijskim primjerima oblikovanim u programskom paketu CATIA V5 R18. Cijeli algoritam te njegova struktura, mogu se vidjeti u prilogu diplomskog rada. CATIA (Computer Aided Three-dimensional Interactive Application) je više-platformni CAD/CAM/CAE komercijalni softverski paket razvijen u Francuskoj, od strane Dassault Systemes-a. [10] Kako je vidljivo iz slike 14., u programskom paketu CATIA konstruirani su svi bitni elementi, koji će posluţiti kao kontrola rješenja dobivenih algoritmom. Fakultet strojarstva i brodogradnje 26

38 Slika 15. Karakteristiĉni trokuti u programskom paketu CATIA Postoje tri ravnine, koje je bitno uoĉiti. Prva ravnina je ravnina u kojoj se nalazi središte optiĉke leće kamere, na slici oznaĉeno s O. Druga ravnina je ravnina u kojoj se nalazi raznostraniĉan trokut ABC i paralelna je s ravninom u kojoj se nalazi središte optiĉke leće kamere. Treća ravnina je ravnina u kojoj se nalaze kruţni markeri jednakih dimenzija, ĉija središta ĉine jednakostraniĉan trokut. Ona nije paralelna s druge dvije, već je zakrenuta oko x, y ili z osi za neki proizvoljan kut α. Zakretanje ravnine je simulacija stvarne situacije, gdje se predmet nalazi nagnut pod nekim kutem ili u nesreċenoj okolini. Za odreċivanje pozicije i orijentacije predmeta potrebno je poznavati koordinate toĉaka A', B' i C', koje leţe u istoj ravnini te je odreċuju. Ulazni podaci u algoritam su koordinate toĉaka A, B, C i O, te duljina stranice jednakostraniĉnog trokuta oznaĉena sa X. Fakultet strojarstva i brodogradnje 27

39 Za primjer napravljen u programskom paketu CATIA, koordinate toĉaka A, B, C i O, te duljina stranice jednakostraniĉnog trokuta oznaĉena sa X, prikazane su u sljedećoj tablici. Tablica 2. Oĉitani podaci koordinata toĉaka te duljine stranice jednakostraniĉnog trokuta iz programskog paketa CATIA x y z Koordinate toĉaka Duljina stranice A -23,84 4,995 0 B 3,13-39,355 0 C 23,95 19,94 0 O X 100 Kako su poznate koordinate toĉaka A, B, C i O, algoritam odreċuje duljine svih duţina piramide OABC, prema jednadţbi (33). Vrijednosti duljina duţina su potrebne za odreċivanje kuteva α, β i γ, koje zatvaraju te stranice. Sljedeći korak u algoritmu je odrediti rješenja jednadţbe (43), koja predstavlja omjer duljina stranica OC' i OB'. Taj omjer oznaĉen je slovom T. Kako je jednadţba (43) ĉetvrtog reda, moguće je dobiti ĉetiri rješenja, koja se uvrštavaju u jednadţbu (41). Ona će dati ĉetiri rješenja za omjer duljina stranica OA' i OB', koji se oznaĉava slovom S. Samo pozitivna i realna rješenja su prihvatljiva. Za ovaj primjer, sva rješenja za S i T su prikazana u sljedećoj tablici. Tablica 3. Vrijednosti za T i S T 1,0010 0,7924 1, ,1583i 1,1049 0,1583i S 0,2835 1,1688 1, ,1205i 1,3343 0,1205i Ako se pogledaju rezultati za T i S, prikazani u tablici 3., vidi se da su prva dva rješenja realna, dok su druga dva imaginarno-kompleksna. Imaginarno- kompleksna rješenja mogu se eliminirati iz razloga što su konstrukcijski nemoguća te se broj mogućih rješenja sa ĉetiri smanjuje na dva. Fakultet strojarstva i brodogradnje 28

40 Tablica 4. Moguća rješenja za T i S T 1,0010 0,7924 S 0,2835 1,1688 Da bi se odredilo jedinstveno rješenje za T i S, potrebno je upotrijebiti steĉeno znanje o markerima, odnosno povezanosti veliĉine polumjera markera sa duljinom stranice. Dakle, što je dimenzija polumjera, koja je oĉitana kamerom, veća, to je duljina stranice, vezana uz taj polumjer, manja. Vrijedi i obrnuto. Za koordinate toĉaka i duljinu stranica prikazanih u tablici 2., odnos izmeċu stranica je c<b<a, s time da c oznaĉava duljinu stranice OC', b duljinu stranice OB' i a duljinu stranice OA'. Taj odnos izraĉunat je pomoću algoritma u MATLAB-u i vidljiv je u tablici 7. Za njega vrijede sljedeći uvjeti prikazani u tablici 5. Tablica 5. Uvjeti za odnos stranica c<b<a c < b < a S > T S > 1 T < 1 Prvi uvjet je da omjer stranica a i b mora biti veći od omjera stranica c i b. Rješenje iz tablice 4., koje zadovoljava taj uvjet, je broj 1,1688. Sljedeću uvjet iz tablice 3. je da omjer stranica a i b mora biti veći od 1. Rješenje iz tablice 4., koje zadovoljava taj uvjet, je broj 1,1688. Zadnji uvjet, koji mora biti zadovoljen, je da omjer stranica c i b mora biti manji od 1. Rješenje iz tablice 4., koje zadovoljava taj uvjet, je broj 0,7924. Dobiveno je jedinstveno rješenje za omjere stranica a i b te c i b, koje je prikazano u sljedećoj tablici. Fakultet strojarstva i brodogradnje 29

41 Tablica 6. Konaĉno rješenje za T i S T 0,7924 S 1,1688 Iz razloga što su poznate jedinstvene vrijednosti za T i S, prema jednadţbi (47), algoritam raĉuna duljinu stranice b. Duljina stranica B'C', koja je nuţna za izraĉunavanje stranice b, je u tablici 2. oznaĉena s X, te za ovaj primjer iznosi 100mm. Kad se izraĉuna duljina stranice b, primjenom jednadţbi (44) i (45), algoritam raĉuna dimenzije preostalih stranica. Slika 16. Duljine stranica prikazane u CATIA-i Tablica 7. Duljine stranica a, b i c izraĉunate algoritmom u Matlabu Duljina stranica a b c 157,66 134,89 106,9 Fakultet strojarstva i brodogradnje 30

42 Rješenja dobivena u MATLAB-u mogu se usporediti s onima dobivenim iz CATIA-e (slika 15.), te vidjeti da su duljine stranice gotovo identiĉne. Zadnji i najbitniji korak je odrediti koordinate toĉaka A', B' i C'. Za odreċivanje koordinata svake toĉke, koriste se jednadţbe (50), (51) i (53) uz napomenu da je za toĉku A' vezana duljina stranice a, za toĉku B', duljina stranice b i za toĉku C', duljina stranice c. Za svaku toĉku prvo se izraĉunava koordinata Z, prema jednadţbi (53), iz razloga što su za nju vezane jednadţbe za koordinate X i Y. Iz jednadţbe (53) dobiju se dva rješenja; jedno pozitivno i drugo negativno. Algoritam je napravljen na naĉin da se odabire negativno rješenje zato što se polazi od pretpostavke da će se toĉke A', B' i C' sigurno nalaziti ispod toĉaka O, A, B i C. Slika 17. Koordinate točaka A', B' i C' prikazane u CATIA-i Fakultet strojarstva i brodogradnje 31

43 Tablica 8. Koordinate toĉaka A', B' i C' izraĉunate algoritmom u Matlabu A' B' C' Koordinate toĉaka X -50,7151 5, ,4136 Y 10, , ,8191 Z -78, , ,6598 Kako je vidljivo iz tablice 8. i slike 16., koordinate toĉaka A', B' i C' su gotovo identiĉne. Za provjeru, algoritam usporeċuje duljine stranica jednakostraniĉnog trokuta sa unesenom duljinom na poĉetku programa. U ovom sluĉaju one se poklapaju te iznose 100mm Dodatak algoritmu u svrhu dobivanja jedinstvenog rješenja U nekim primjerima, provedenim kroz ovaj algoritam, nije se odmah moglo izdvojiti jedinstveno rješenje za omjere T i S iz razloga što je postojalo više jednakih odnosa izmeċu stranica a, b i c, koji su zadovoljavali uvjete iz tablice 1. U tim sluĉajevima, rezultat algoritma bili su dva ili više jednakostraniĉna trokuta. U realnoj situaciji to bi znaĉilo, da se za odreċene koordinate toĉaka, oĉitane kamerom, predmet moţe nalaziti u dvije ili više ravnina, a to je nemoguće. Tim zakljuĉkom se ne dolazi do jedinstvenog rješenja, odnosno, ne moţe se odrediti poloţaj i orijentaciju traţenog predmeta. Da bi se vidjelo u ĉemu je problem, u programskom paketu CATIA, konstruirana su rješenja trokuta, koji su dobivena algoritmom. Ţuti trokut predstavlja ispravno, odnosno ono rješenje, koja bi se trebalo dobiti za odreċene koordinate toĉaka A, B i C, oĉitane kamerom. Plavi trokut predstavlja rješenje, koje ne odgovara ovom sluĉaju, ali se pojavilo kao moguće u algoritmu. Fakultet strojarstva i brodogradnje 32

44 Slika 18. Rješenja trokuta Razlika u koordinatama najbolje se moţe vidjeti na sljedećoj slici. Slika 19. Razlika u koordinatama toĉaka plavog i žutog trokuta Fakultet strojarstva i brodogradnje 33

45 Iz slika 17. i 18., vidljivo je da se najveća razlika ţutog i plavog trokuta pojavljuje u svim toĉkama A', B' i C', kod Z koordinate. Ta spoznaja navela nas je na novo, drugaĉije rješenje odreċivanja lokalizacije objekta metodom triangulacije. Ideja je u programskom paketu CATIA napraviti novu, zakrenutu ravninu, koja će biti kopija ravnine, u kojoj se nalazi više jednakostraniĉnih trokuta. Ta ravnina će biti odmaknuta od nje za neku udaljenost u smjeru osi y. Kopiranje i odmicanje zakrenute ravnine u smjeru osi y je simulacija postavljanja još jedne kamere u realnom sluĉaju. U toj ravnini, nalazit će se jednakostraniĉni trokut istih dimenzija kao i onaj u originalnoj ravnini. Slika 19. prikazuje te dvije ravnine i dva trokuta. Da bi se razlikovali, novi trokut je crvene boje. Slika 20. Odmaknuta ravnina sa istim jednakostraničnim trokutom Dakle, cilj je usporediti rezultate Z koordinata, trokuta, koji se nalazi u pomaknutoj ravnini, sa onim Z koordinatama, trokuta (ţutog i plavog) dobivenih u originalnoj ravnini. Onaj trokut iz originalne ravnine, ĉije se Z koordinate poklapaju sa Z koordinatama trokuta iz pomaknute ravnine, je ispravan trokut za odreċeni skup koordinata toĉaka A, B i C, oĉitanih kamerom. Fakultet strojarstva i brodogradnje 34

46 Slika 21. Jednake koordinate Z u kopiranoj i originalnoj ravnini Opisanim postupkom eliminiraju se ostala, te dobije jedinstveno, rješenje za koordinate toĉaka A', B' i C', koji se nalaze u jednoj ravnini. Time se dobiva konaĉan poloţaj i orijentaciju predmeta. Fakultet strojarstva i brodogradnje 35

47 5.3. Prikaz konaĉnih rezultata za provedene primjere U ovom poglavlju biti će prikazani dobiveni rezultati nekoliko primjera, konstruiranih u programskom paketu CATIA. Ulazni podaci u algoritam prikazani su u sljedećoj tablici. Tablica 9. Ulazni podaci konstruiranih primjera u CATIA-i Primjer 1. Primjer 2. Primjer 3. Primjer 4. Oĉitani podaci iz CATIA-e x y z Toĉke A -23,84 4,995 0 B 3,13-39,355 0 C 23,95 19,94 0 O Duljina stranice X 100 Toĉke A -35,905 7,522 0 B 2,536-31,89 0 C 14,317 11,921 0 O Duljina stranice X 100 Toĉke A -25,712-2,979 0 B 2,536-31,885 0 C 12,24 4,192 0 O Duljina stranice X 80 Toĉke A -23,49-11,487 0 B 18,883-27,577 0 C 6,939 21,299 0 O Duljina stranice X 100 A -15,771 14,323 0 Primjer 5. Toĉke B 8,491-23,034 0 C 26,109 15,594 0 O Duljina stranice X 100 Fakultet strojarstva i brodogradnje 36

48 U sljedećoj tablici usporeċeni su rezultati duljina stranica dobivenih u Matlabu sa onima dobivenim u CATIA-i. Tablica 10. Usporedba rezultata duljina stranica Primjer 1. Primjer 2. Primjer 3. Primjer 4. Primjer 5. Duljina stranica Duljina stranica Duljina stranica Duljina stranica Duljina stranica MATLAB CATIA a b c a b c 157,66 134,89 106,9 158, , ,689 88,77 121,99 127,93 87,68 122,22 127,898 86, , , , ,22 120, , , , ,56 246,64 249,88 138,69 110, , , ,25 146,052 U tablici 11. prikazani su rezultati koordinata toĉaka A', B' i C'. Tablica 11. Usporedba rezultata koordinata toĉaka A', B' i C' Primjer 1. Primjer 2. Primjer 3. Primjer 4. Primjer 5. Koordinate toĉaka Koordinate toĉaka Koordinate toĉaka Koordinate toĉaka Koordinate toĉaka MATLAB CATIA A' B' C' A' B' C' X -50,7151 5, , ,845 5,215 34,351 Y 10, , , ,652-65,569 28,602 Z -78, , , ,356-46,989-30,168 X -51,3988 5, , ,845 5,215 34,351 Y 10, , , ,652-65,569 28,602 Z -21, , , ,644-53,011-69,832 X -39,2822 5, , ,633 5,215 28,524 Y -4, ,5603 9,7594-4,592-65,659 9,768 Z -26, , , ,118-53,011-66,468 X -64, , , ,215 44,173 16,919 Y -31, , , ,403-64,508 51,935 Z -173, , , ,92-143,84 X -29, ,93 12,615 50,015 Y 27, ,18-34,22 29,873 Z -62, ,67-34,043-63,93 Fakultet strojarstva i brodogradnje 37

49 Ako se usporede rezultati dobiveni algoritmom, napravljenim u MATLAB-u, sa onim oĉitanim iz programskog paketa CATIA, moguće je vidjeti da su razlike u rezultatima vrlo male, gotovo zanemarive. Moţe se zakljuĉiti da algoritam dobro funkcionira te da su rezultati, dobiveni njime, vjerodostojni. Fakultet strojarstva i brodogradnje 38

50 6. ZAKLJUĈAK Ideja za odabir ove teme za diplomski rad, razvila se prilikom izrade završnog rada. U njemu je prouĉen rad FANUC irvision 3D laserskog senzora te razvijen algoritam za hvatanje predmeta u nestrukturiranoj okolini. Prilikom izrade završnog rada, uoĉeno je da se geometrija predmeta, ako je on nagnut pod većim kutem, toliko deformira, da vizijski sustav taj predmet ne moţe prepoznati. Istraţujući dostupnu literaturu, došlo se do zakljuĉka da bi se problem deformacije geometrije predmeta, mogao riješiti uporabom markera, iz razloga što oni imaju jednostavnu geometriju, koja se lakše prepoznaje. Postoje mnoge metode markiranja predmeta te su neke od njih predstavljene u uvodnom dijelu diplomskog rada. Metoda, koja je odabrana za analizu te prema kojoj je napravljen algoritam, je metoda predmarkiranja s tri kruţna markera, ĉija središta ĉine jednakostraniĉan trokut. Ona se još naziva i metoda triangulacije. Tri kruţna markera postavljaju se na predmet, kojem se ţeli odrediti prostorni poloţaj. Ako se taj predmet nagne pod nekim kutem, kamera, koja ga snima, neće vidjeti jednakostraniĉan trokut, već će taj trokut imati razliĉite duljine stranica. Cilj ove metode je otkriti koordinate središta markera, koji se nalaze na predmetu, zato što se na taj naĉin moţe odrediti i njegov prostorni poloţaj. Na temelju ovih saznanja, metoda predmarkiranja s tri kruţna markera, je u ovom diplomskom radu, prvo opisana aritmetiĉki. Dakle, napravljeni su svi matematiĉki izvodi vezani uz nju. Nakon toga, slijedila je izrada algoritma u programskom paketu MATLAB. Na kraju, rezultati dobiveni MATLAB-om su usporeċeni s rezultatima konstrukcijskih primjerima oblikovanim u programskom paketu CATIA. Fakultet strojarstva i brodogradnje 39

51 Iako se rezultati podudaraju, došlo se do zakljuĉka da bi se za bolju stabilnost cijelog sustava, u realnim situacijama trebale koristiti dvije kamere, koje bi snimale predmet. Tad bi se ovaj algoritam mogao primijeniti na robotu za rješavanje stvarnog sluĉaja odreċivanja prostornog poloţaja predmeta. Fakultet strojarstva i brodogradnje 40

52 LITERATURA [1] Jerbić B., Nikolić G., Vranješ B., Kunica Z., Projektiranje automatskih montaţnih sustava, Kigen d.o.o. Zagreb, [2] Jerbić B., predavanja iz kolegija Vizijski sustavi, Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveuĉilišta u Zagrebu, Zagreb, [3] Jain R., Kasturi R., Schunck B.G., Machine vision, McGraw-Hill Book Co., Singapore, [4] Zarevski P., Psihologija pamĉenja i uĉenja, Naklada Slap, Jastrebarsko, [5] Horvat I., Završni rad, Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveuĉilišta u Zagrebu, Zagreb, [6] Bales W. J., Barker K. L., Marking Parts To Aid Robot Vision, National Aeronautics and Space Administration, [7] Hinterstoisser S., Benhimane S., Navab N., N3D: Natural 3D Markers for Real Time Object Detection and Pose Estinmation, Department of Computer Science, Technical University of Munich, [8] Safaee-Rad R., Benhabib B., Smith K.C., Zhou Z. Pre-marking methods for 3D object recognition, Uneversity of Toronto, Toronto, Ontario, Kanada, IEEE, [9] Molder C., The Origines of Matlab, Mathworks.com, [10] pristup Fakultet strojarstva i brodogradnje 41

53 PRILOG clear all clc close all %unos koordinata točaka A, B, C i O %koordinate točke A x1= ; y1=14.341; z1=0; %koordinate točke B x2=8.487; y2= ; z2=0; %koordinate točke C x3=26.141; y3=15.613; z3=0; %koordinate točke O x4=0; y4=0; f=-70; %duljina stranice jednakostraničnog trokuta X=80; %radijusi r1=5; r2=6; r3=4; %duljina stranica BC, CO i OB BC= sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2+(z3-z2)^2); CO=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2+(f-z3)^2); BO= sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2+(f-z2)^2); %duljina stranica AC, CO i AO AC= sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2+(z3-z1)^2); OC=CO; AO= sqrt((x4-x1)^2+(y4-y1)^2+(f-z1)^2); Fakultet strojarstva i brodogradnje 42

54 %duljina stranice AB AB=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2); %kosinus alfa i kut alfa c_alfa=(bo^2+co^2-bc^2)/(2*bo*co); alfa=acosd(c_alfa); %kosinus beta i kut beta c_beta=(ao^2+co^2-ac^2)/(2*ao*co); beta=acosd(c_beta); %kosinus gama i kut gama c_gama=(bo^2+ao^2-ab^2)/(2*bo*ao); gama=acosd(c_gama); %određivanje duljina OA', OB' i OC'; OA'=a, OB'=b, OC'=c %T=c/b; %S=a/b; c_beta_k=c_beta*c_beta; c_gama_k=c_gama*c_gama; N=(-4*c_beta*c_gama-8*c_alfa*c_beta_k)/(4*c_beta_k-1); P=(16*c_alfa*c_beta*c_gama+2)/(4*c_beta_k-1); Q=(-8*c_alfa*c_gama_k-4*c_beta*c_gama)/(4*c_beta_k-1); R=(4*c_gama_k-1)/(4*c_beta_k-1); syms x T=solve(x^4+N*x^3+P*x^2+Q*x+R); TT=double(T); Fakultet strojarstva i brodogradnje 43

55 %traži samo pozitivna rješenja od T k=0; for i=1:4 if (TT(i)>0) k=k+1; TP(k)=TT(i); end end TP % računa S for i=1:numel(tp) S(i)=(TP(i)^2-1)/(2*TP(i)*c_beta-2*c_gama); end S % radijusi k=0; if r1>r3 & r1>r2 R1=r1; if r2>r3 R2=r2; R3=r3; for i=1:numel(tp) if S(i)<TP(i)& S(i)<1 & TP(i)>1 k=k+1; SK(k)=S(i); TK(k)=TP(i); end end SK TK else R3=r3; R2=r2; for i=1:numel(tp) if S(i)<TP(i)& S(i)<1 & TP(i)<1 k=k+1; SK(k)=S(i); Fakultet strojarstva i brodogradnje 44

56 TK(k)=TP(i); end end end SK TK elseif r2>r3 R2=r2; if r1>r3 R1=r1; R3=r3; for i=1:numel(tp) if S(i)<TP(i) & S(i)>1 & TP(i)>1 k=k+1; SK(k)=S(i); TK(k)=TP(i); end end SK TK else R3=r3; R1=r1; for i=1:numel(tp) if S(i)>TP(i)& S(i)>1 & TP(i)>1 k=k+1; SK(k)=S(i); TK(k)=TP(i); end end end SK TK else R3=r3 if r1>r2 R1=r1; R2=r2; for i=1:numel(tp) if S(i)>TP(i)& S(i)<1 & TP(i)<1 k=k+1; SK(k)=S(i); TK(k)=TP(i); Fakultet strojarstva i brodogradnje 45

57 end else end SK TK R2=r2 R1=r1 end SK TK end for i=1:numel(tp) if S(i)>TP(i)& S(i)>1 & TP(i)<1 k=k+1; SK(k)=S(i); TK(k)=TP(i); end end %duljina stranice b, c i a, koordinate točaka A', B' i C' for i=1:numel(tk) b(i)=sqrt(x^2/(1+tk(i)^2-2*tk(i)*c_alfa)); c(i)=tk(i)*b(i); a(i)=sk(i)*b(i); end b c a %koordinate točaka u A' for i=1:numel(tk) Z1a(i)=-f+(a(i)*f)/(sqrt(x1^2+y1^2+f^2)); Z1b(i)=-f-(a(i)*f)/(sqrt(x1^2+y1^2+f^2)); if Z1a(i)<1 Z1(i)=Z1a(i); else end Z1b(i)<1 Z1(i)=Z1b(i); Fakultet strojarstva i brodogradnje 46