Dokazi Pitagorina teorema

Transcription

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ružica Čeme Dokazi Pitagorina teorema Diplomski rad Osijek, 014.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Ružica Čeme Dokazi Pitagorina teorema Diplomski rad Mentor: Komentor: doc. dr. sc. Ivan Matić dr. sc. Ljerka Jukić Matić Osijek, 014.

3 Sadržaj Uvod 1 Pitagora i Pitagorejci 1.1 Grčka matematika Pitagora Pitagorejska škola Pitagorejska filozofija Pitagorejci i matematika Figurativni brojevi Savršeni brojevi Pitagorine trojke i Pitagorin teorem Zlatni rez Platonova tijela Dokazi Pitagorina teorema 15 3 Pitagorin poučak u školi 51 Zaključak 55 Sažetak 56 Summary 57 Literatura 58 Životopis 59

4 1 Uvod Pitagora je bio prvi čovjek koji je potpuno osjetio radost matematičkog otkrića. U prvom poglavlju reći ću nešto o Pitagorinu životu te njegovu djelovanju i radu. Pitagorejci su sva svoja matematička otkrića pripisivali Pitagori pa se niti za jedan pitagorejski teorem ne može sa sigurnošću tvrditi da je Pitagorin. Bitni dogadaji iz Pitagorina života većinom se mogu rekonstruirati, ali oko datuma postoje velika razilaženja (i do dvadeset godina). Ne postoje sačuvana pisana djela Pitagore ili Pitagorejaca. Sve što znamo o njima doznajemo od drugih, uključujući Aristotela, Theona iz Smirne, Platona, Herodota, Filolaja iz Krotona i drugih. Većina Pitagorejskih postignuća skupljena je u Euklidovim Elementima (objavljeni oko 300. godine prije Krista). Matematika predgrčkog razdoblja bila je većinom aritmetička, a grčka matematika većinom geometrijska. Do geometrizacije matematike došlo je upravo u pitagorejsko vrijeme. To je posljedica otkrića novog pisanja brojeva. Počeli su slagati kamenčiće u obliku odredenog lika: trokuta, kvadrata, pravokutnika i drugih likova. Takva geometrijska interpretacija broja, koju danas zovemo figurativni brojevi, pridružila je skupu prirodnih brojeva novu strukturu. Raščlanila je neke od brojeva kao osobito značajne, npr. trokutni ili kvadratni brojevi. Pitagorin teorem vrlo je važan u geometriji, ali i cjelokupnoj matematici jer ima velike mogućnosti primjene. Nakon što smo upoznali Pitagoru i njegov rad, u drugom poglavlju navodim dokaze Pitagorina teorema počevši s dokazima iz Euklidovih Elemenata. Točan broj dokaza Pitagorina teorema nije odreden jer postoje skice na temelju kojih se različitim metodama može dobiti više različitih dokaza, ali sigurno je da ih ima nekoliko stotina. U trećem poglavlju reći ću nešto o Pitagorinu poučku u školi. Budući da Pitagorin poučak ima velike mogućnosti primjene, često se upotrebljava u osnovnoj i u srednjim školama. U hrvatskom obrazovnom sustavu, dokaz se obraduje u 8. razredu osnovne škole. Osim standardnih dokaza Pitagorina teorema, u današnje vrijeme interaktivne geometrije i programa, učenicima se na vrlo jednostavan način može zorno prikazati dokaz kako bi što jednostavnije shvatili smisao poučka. Potrebno je primjereno odabrati takav dokaz i vizualizirati ga učenicima.

5 1 Pitagora i Pitagorejci 1.1 Grčka matematika Geografski, antička Grčka uz današnju Grčku obuhvaća i zapadnu Tursku (Jonija), južnu Italiju sa Sicilijom, a kasnije i Aleksandriju. Početci grčke matematike pojavljuju se u Joniji, pokrajini s najvećim utjecajem starih civilizacija. Razvoj se nastavlja u južnoj Italiji kamo su stigli brojni politički emigranti iz Jonije, a poslije rata sa Perzijancima i poraza Perzije, 490. godine prije Krista, kulturni i znanstveni centar postaje Atena. Kasniji znanstveni centar je Aleksandrija, osnovana 331. godine prije Krista. Zadržala je poziciju znanstvenog centra sve do oko 500. godine nove ere. Jedan od glavnih izvora o starogrčkoj matematici su komentari Euklidovih Elemenata koje je napisao Proklos, zadnji veliki grčki filozof, koji je živio u 5. stoljeću nove ere. 1. Pitagora Pitagora iz Samosa (oko prije Krista), na zapadnoj obali današnje Turske, često se navodi kao prvi pravi matematičar koji je uvelike doprinio razvoju matematike, ali se zapravo malo zna o njegovim matematičkim postignućima jer niti jedno njegovo djelo nije sačuvano. Slika 1: Pitagora Roditelji su mu bili s otoka Samosa, otac bogati trgovac Mnesarchosa iz Tira s kojim je Pitagora kao dijete često putovao u Tir i Italiju. Na tim se putovanjima mladi Pitagora susreo s mnogim učiteljima i misliocima iz onog vremena koji su ga poučavali filozofiji i znanosti. Bio je dobro obrazovan, a na njega su u njegovoj mladosti poseban utjecaj imala tri filozofa: njegov učitelj Ferekid te Tales i njegov učenik Anaksimandar (oba su živjela u Miletu), koji su ga upoznali s matematičkim idejama. Tales ga je vjerojatno zainteresirao za matematiku i astronomiju te mu je savjetovao da putuje u Egipat kako bi naučio još više. Anaksimandra su zanimale geometrija i astronomija pa su vjerojatno i njegove ideje

6 3 utjecale na Pitagoru kojega su često opisivali kao osobu koja ima širok spektar znanja o brojnim temama, a Heraklit i Empedoklo su tvrdili da posjeduje mudrost. Oko 535. godine prije Krista, Pitagora odlazi u Egipat koji je u to vrijeme bio u sukobima sa Samosom. U Egiptu je posjetio brojne hramove i sudjelovao u brojnim filozofskim raspravama sa svećenicima i misliocima. Nakon ritualne svečanosti i Pitagora je postao hramski svećenik u Diospolisu (današnji grad Teba). Brojni običaji iz Egipta vide se u njegovoj kasnijoj zajednici, Pitagorejskoj školi, kao npr. tajnost svećeništva, težnja čistoći, odbijanje graha kao hrane i vina kao pića, odbijanje nošenja kožne odjeće, vegetarijanstvo. Sve je to kasnije utjecalo na rituale, strogost i tajnost Pitagorejske škole. Perzijanci osvajaju Egipat 55. godine prije Krista i Pitagora se vraća u Samos (ne zna se točno kako je osloboden) gdje osniva školu Polukrug koja je i stoljećima kasnije stanovnicima otoka služila kao okupljalište mislioca. Medutim, zbog metoda, strogosti i načina mišljenja koji su bili vrlo slični onima koje je naučio u Egiptu, stanovnici iz Samosa, naučeni na drugačiji način mišljenja, nisu bili zadovoljni Pitagorinim poučavanjem. Oko 518. godine prije Krista (po nekima i puno ranije) odlazi u južnu Italiju. Ondje je u gradu Krotonu (današnji grad Crotona, na peti talijanske čizme ) osnovao filozofsko religioznu školu koja je danas poznata kao Pitagorejska škola. Ona je oko 508. godine prije Krista napadnuta, a Pitagora je vjerojatno pobjegao u Metapont (takoder u južnoj Italiji). Ondje je umro u dobi od oko 80 godina, a po mišljenju nekih povjesničara se ubio. Neki izvori tvrde da je doživio oko 100 godina te da se kasnije vratio u Kroton. Sigurno je da je škola još dugo opstala, a nakon 500. godine prije Krista se proširila i u druge talijanske gradove te je postala više politička. Ponovno je napadnuta 460. godine prije Krista i brojni Pitagorejci su ubijeni. 1.3 Pitagorejska škola Pitagorejska škola imala je puno sljedbenika koje nazivamo Pitagorejcima. Pitagora je svoje učenike podijelio u dva razreda, tzv. kruga. Članovi njegovog užeg kruga zvali su se mathematikoi, što je prva upotreba riječi matematika, ali njeno moderno značenje dao joj je tek Aristotel. Grčka riječ mathematikoi je bila korištena vrlo općenito u ranijim spisima, a označavala je predmet bilo kakvih proučavanja. Kako je učenje napredovalo bilo je prikladno ograničiti opseg toga pojma na uže područje znanja. Tada su Pitagorejci počeli koristiti riječ mathemata za opisivanje aritmetike i geometrije koje su prethodno bile nazvane različitim imenima, bez povezivanja. Pitagorejska upotreba tog imena bit će

7 4 temelj za naziv matematike u klasičnoj Grčkoj tijekom godine prije Krista. Iako je čak oko 3000 godina ranije, u drevnom Egiptu i Babilonu, postojao dio njihova proučavanja koji se mogao nazvati matematika, oni to nisu nazivali tim imenom. Mathematikoi su bili stalni članovi, učitelji i matematičari, koji su živjeli u toj zajednici bez osobnog vlasništva i bili su vegetarijanci. Bitna vjerovanja bila su da je stvarnost u biti matematička, filozofijom se može pročistiti duh, duša se može uzdići do jedinstva s božanskim, neki simboli imaju mistično značenje i svi članovi reda su morali poštivati strogu odanost i tajnost, a usmena komunikacija bila je pravilo. Iako je u tom razdoblju ženama bilo zakonski zabranjeno nazočiti javnim okupljanjima, bilo im je dopušteno dolaziti na Pitagorina predavanja. Jedan izvor tvrdi da je bilo bar 8 žena koje su bile članovi užeg kruga. Mnoge kasnije pripadnice Pitagorejske škole postale su poznati filozofi. Postoji izvor koji tvrdi da je Pitagora u dobi od oko 60 godina oženio jednu svoju učenicu unutarnjeg kruga, Theano. Ona je bila posebno nadarena matematičarka koju je Pitagora toliko inspirirao da je i nakon njegove smrti nastavila širiti njegov način razmišljanja. Neki drugi izvori tvrde da je Theano bila Pitagorina kći iako ne navode ništa o Pitagorinoj ženi ili bar ženi koja mu je rodila kćer, dok neki treći izvori tvrde da je Theano bila samo posebno nadarena učenica, nikad Pitagorina žena ili kći. Širi krug zajednice, akousmatikoi, činili su ljudi koji su živjeli u svojim kućama, imali svoje stvari, nisu morali biti vegetarijanci, a u školu su dolazili preko dana. Članovi vanjskog kruga bili su učenici. Nakon tri godine poslušnog slušanja Pitagorinih predavanja iza zastora, tj. nisu imali mogućnost vidjeti Pitagoru već ga samo slušati, učenici su mogli prijeći u unutarnji krug za čije je članove bio organiziran drugačiji način učenja. Škola je djelovala i politički, na strani aristokracije. Što se tiče moralnog života, Pitagorejci su imali odredena pravila. Pitagora se zalagao za prijateljstvo, nesebičnost i iskrenost. Sebe je smatrao tajanstvenim, čak i polubožanskim. Rekao je: Postoje ljudi, bogovi i ljudi poput Pitagore.. Neovisno o matematičkim rezultatima samog Pitagore, škola je svakako doprinijela daljnjem matematičkom razvoju. Slika : Poštanska marka

8 5 Poštanska marka prikazuje kovanicu izdanu u Grčkoj, 0. kolovoza 1955., u spomen na 500. obljetnicu osnutka prve Pitagorine filozofske škole. 1.4 Pitagorejska filozofija Pitagora je bio velik filozof. Bio je duboko uvjeren u ispravnost svojih predodžbi i dosljedno ih je podržavao. U skladu sa svojim vjerovanjima o brojevima, geometriji i astronomiji, imao je filozofske nazore da je cijeli svijet sastavljen od suprotnosti, tj. suprotnih parova, da su sve postojeće stvari sastavljene od oblika, a ne od materijalne tvari, da je duša broj koji se samostalno pokreće i ponovno utjelovljuje dok ne dode do potpunog očišćenja (do kojeg se dolazi kroz intelektualne i obredne vježbe strogih Pitagorejaca). Bertrand Russell za Pitagoru je rekao: Ovaj čovjek je zaslužan za razvoj matematike. Zamislimo ideal on je posljedica čiste matematike koja je izvor mnogih korisnih stvari. Njezin je utjecaj porastao i pokazao uspjeh u tehnologiji, etici i filozofiji. Tako je matematika postala temelj drugih znanosti. Misao je postala jača od osjetila, intuicija jača od promatranja. Matematiku i teologiju povezao je upravo Pitagora i to je karakteriziralo filozofiju religije u Grčkoj u Srednjem vijeku. Platonizam je u osnovi bio pitagorejski. 1.5 Pitagorejci i matematika Pitagorejce su zanimali osnovni principi matematike kao npr. pojam broja, trokuta ili drugih geometrijskih likova te apstraktna ideja dokaza. Vjerovali su da je sve broj, tj. da se sve može shvatiti preko (prirodnih) brojeva i njihovih omjera, tj. razlomaka. Posljedica toga učenja je očekivanje da je (ako je zadana jedinična dužina) svaka dužina cjelobrojna ili racionalna, odnosno: sve dužine su sumjerljive jediničnoj (dvije dužine su sumjerljive ako im je omjer racionalan broj). Razlikovali su parne i neparne brojeve svi parni brojevi (nakon prvog parnog broja) mogli su se rastaviti na druge brojeve te su bili smatrani plodnim brojevima koji su ženstveni i zemaljski te općenito nešto manje cijenjeni. Kako su Pitagorejci bili dominantno muško društvo, sebe su opisali neparnim brojevima koji su zbog toga bili simbol muževnosti i božanstva. Prva matematička teorija koju su Pitagorejci razradili bila je teorija parnog i neparnog. Njene rezultate nalazimo u IX knjizi Euklidovih Elemenata u tvrdnjama 1 30: 1. Zbroj nekoliko parnih (brojeva) je paran (broj).

9 6. Parni zbroj neparnih je paran. 3. Neparni zbroj neparnih je neparan. 4. Razlika dvaju parnih brojeva je parna. 5. Razlika parnog i neparnog broja je neparna. 6. Razlika dvaju neparnih brojeva je parna. 7. Razlika parnog i neparnog broja je neparna. 8. Umnožak parnog i parnog je paran. 9. Umnožak parnog i neparnog je paran. 30. Ako neparni dijeli parnog, onda dijeli i njegovu polovinu. (Možemo primjetiti da su 5. i 7. tvrdnja jednake, ali Pitagorejci su ih ispisivali posebno za parne, a posebno za neparne brojeve što je dovelo do ponavljanja tvrdnje.) Broj nije smatran parnim brojem sve dok Aristotel nije pokazao da je to jedini parni prost broj. Pitagorejci su ovaj smjer matematike, koji je jedan od ranijih pokušaja faktorizacije, ubrzo prestali proučavati i proglasili ga beskorisnim iako parni i neparni brojevi, a posebno prosti brojevi, igraju veliku ulogu u modernoj teoriji brojeva. Proste ili jednostavne i složene brojeve definirao je Filolaj, Pitagorejac iz Krotona. Proučavali su razne vrste prirodnih brojeva: svojstva parnih i neparnih, savršene i prijateljske brojeve te razne figurativne brojeve. Jedinicu nisu odmah smatrali brojem jer mjera nije ono što su izmjerili već je mjera jedinice ono odakle počinjemo brojati. Pitagora je smatrao da je jedan ili jedinica načelo svakog broja i množine, a nešto kasnije predstavljala je svemir i savršenstvo. Broj 10 je bio najveći od svih brojeva, bio je baza egipatskog i grčkog brojenja, a sadrži i omjere glazbene harmonije. Osim toga, svaki je pitagorejski broj imao osobnost (vjerovali su u numerologiju). Pitagorino učenje bilo je zanimljiva mješavina astronomije i mističnosti broja. Svemu materijalnom i duhovnom bio je dodijeljen broj koji ga je opisivao. Npr. Broj 1 je označavao razlog. Broj je prvi parni ili ženski broj, broj koji je označavao mišljenje. Broj 3 je prvi pravi neparni odnosno muški broj, broj koji je označavao sklad.

10 7 Broj 4 je označavao pravdu jer je to prvi broj koji je umnožak dva jednaka broja. Broj 5 je označavao svadbu, tj. brak jer je bio zbroj brojeva i 3 koji su predstavljali žene i muškarce. U vezi s brojem 5 je tzv. zlatni rez. Broj 6 je označavao stvaranje.... Broj 10 je bio broj svemira. Rastav broja 10 = je označavao dimenzije objekata u geometriji: broj jedan odreduje točku, dvije točke odreduju pravac u ravnini, tri točke odreduju trokut u ravnini, četiri točke odreduju kocku u prostoru. Pitagorejska postignuća osobito su značajna u četiri područja: aritmetici (s osnovama teorije brojeva), geometriji, astronomiji i glazbi. Ovakva podjela znanja na četiri područja proučavanja poznata je još iz Srednjeg vijeka kao quadrivium, na što je kasnije dodano proučavanje logike, gramatike i retorike. Tih sedam područja proučavanja smatralo se potrebnim i odgovarajućim načinom stjecanja znanja, tj. potrebnih da bi se postalo obrazovana osoba. U astronomiji su učili da je Zemlja sfera (vjerojatno jer je sfera savršena ) u središtu svemira. Uočili su nagib Mjesečeve orbite prema Zemljinom ekvatoru i da je vjetrenjača isto što i jutarnja zvijezda (Venera). Promatrali su zvijezde i zaključili da svako zviježde ima odreden broj zvijezda koje tvore geometrijski lik. U glazbi je poznato da su Pitagorejci (vjerojatno Pitagora) uočili da vibrirajuće žice daju harmonične tonove ako su im omjeri duljina cjelobrojni. Zaključili su da najljepše glazbene harmonije odgovaraju omjerima cijelih brojeva : 1, 3 : i 4 : 3. Primjenjivost matematike za Pitagorejce bila je neupitna sve do otkrića nesumjerljivosti, tj. iracionalnih brojeva koji su pitagorejsku matematiku doveli do nerješive krize. Pitagorejci su otkrili postojanje iracionalnih brojeva, iako se to protivi njihovoj filozofiji. Konkretno, pokazali su da nije racionalan, tj. da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva stranici kvadrata. Dokaz da postoje nesumjerljive dužine može se naći kod Aristotela, ali

11 8 to je pitagorejsko otkriće koje su zbog kontradikcije s vjerovanjem članovi škole pokušali zadržati u tajnosti. Tako je navodno Hippasus iz Metaponta oko 470. godine prije Krista istjeran iz škole jer svoje otkriće dodekaedra nije pripisao Pitagori, a po predaji utopio se za kaznu jer je izdao tajnu o nesumjerljivosti duljine stranice i dijagonale kvadrata. Dokaz te nesumjeljivosti uobičajeni je dokaz iracionalnosti broja koji koristi svojstva parnih, neparnih i kvadratnih brojeva Figurativni brojevi Figurativni brojevi prirodni su brojevi koje možemo prikazati slaganjem kamenčića u geometrijske likove. Trokutni brojevi su npr. 1, 3, 6, 10,..., tj. općenito su oblika npr = 15. T n = n = n(n + 1), Slika 3: Trokutni brojevi Dakle, to su brojevi koji se pomoću točkica mogu prikazati kao jednakostraničan trokut. Pitagorejci su pokazali da je zbroj dva uzastopna trokutna broja jednak zbroju uzastopnih neparnih brojeva: T n + T n+1 = (n + 1). Medu trokutnim brojevima i brojevima uopće, Pitagorejci su posebnu pažnju pridavali broju 10 = koji je predstavljao četiri elementa vatra, voda, zrak i zemlja. Kvadratni brojevi su kvadrati prirodnih brojeva, tj. općenito su oblika n i Pitagorejci su pokazali da se mogu prikazati kao n = (n 1).

12 9 Slika 4: Kvadratni brojevi Tako su nazvani jer točkice kojima se prikazuju čine kvadrat. Pitagorejci su pokazali: da su kvadratni brojevi jednaki zbroju dva uzastopna trokutna broja, Slika 5: Kvadratni brojevi da je parni kvadratni broj četverostruki kvadratni (tj. ako je kvadratni broj djeljiv s onda je djeljiv i s 4), da je neparni kvadratni broj osmerostruki trokutni uvećan za 1 (tj. ako je broj n neparan, onda 8 dijeli n 1). Pravokutni brojevi su oblika n(n + 1) = n. Pitagorejci su pokazali da je pravokutni broj dvostruki trokutni: n(n + 1) = ( n). Od figurativnih brojeva spominju se i pentagonalni i heksagonalni (3n ) = 3n n (4n 3) = n n te prostorni brojevi kockasti, tj. oblika n 3, piramidalni, tj. zbroj uzastopnih kvadratnih brojeva, tetraedalni, tj. zbroj uzastopnih trokutnih brojeva. Razlikuju se i ravninski brojevi (složeni) i pravčasti brojevi (prosti).

13 10 Slika 6: Pentagonalni brojevi Slika 7: Heksagonalni brojevi 1.5. Savršeni brojevi Savršeni brojevi prirodni su brojevi koji su jednaki zbroju svih svojih pravih djelitelja, a pripisivana su im magična svojstva. Savršeni brojevi 6 = = = = vjerojatno su bili poznati već puno ranije. Mogu se opisati i kao brojevi koji su prijateljski sa sobom (prijateljski brojevi parovi su prirodnih brojeva takvi da je svaki jednak zbroju pravih djelitelja drugog, npr. 0 i 84 to je vjerojatno jedini takav par kojeg su Pitagorejci poznavali). U Euklidovim Elementima (EE IX 36) nalazi se rezultat koji je vjerojatno pitagorejski: ako je p = m 1 prost broj, onda je n = m 1 p savršen. Ovaj rezultat Pitagorejci su i dokazali. Prosti brojevi oblika m 1 danas su poznati kao Mersenneovi brojevi, nazvani po Marinu Mersenneu koji je u 17. stoljeću koristeći prethodno navedeni rezultat pronašao prvih osam savršenih brojeva (za n =, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31). Do danas nije poznato postoji li beskonačno mnogo Mersenneovih brojeva Pitagorine trojke i Pitagorin teorem Vezano uz Pitagorin teorem, kojega ću spomenuti nešto kasnije, Pitagorejci su proučavali pitagorine trojke trojke prirodnih brojeva k, m, n takve da je k + m = n, tj. takve da su to stranice pravokutnog trokuta.

14 11 Jedna babilonska matematička tablica iz razdoblja godine prije Krista sadrži neke odgovore o pitagorinim trojkama i smatra se najstarijim poznatim dokumentom o teoriji brojeva. Jedan od tekstova iz tablice je sljedeći: 4 je duljina i 5 dijagonala. Kolika je širina? Nije poznata. 4 puta 4 je puta 5 je 5. Oduzmeš 16 od 5 i ostaje 9. Što da uzmem da dobijem 9? 3 puta 3 je 9. 3 je širina.. Očigledno se radi o odredivanju duljine jedne stranice pravokutnika ako su poznate duljine druge stranice i dijagonale, a pomoću Pitagorina teorema. Bez obzira što je Pitagora u Egiptu naučio o pravokutnom trokutu s duljinama stranica 3, 4 i 5, bio je oprezan s tim. Skup pozitivnih cijelih brojeva (3, 4, 5) pitagorina je trojka ako ispunjava pravilo a +b = c. Još neki primjeri su: (5, 1, 13), (7, 4, 5), (8, 15, 17). Pitagorine trojke počeli su proučavati pomoću kvadratnih brojeva uz pretpostavku da takva tri uzastopna broja čine pitagorinu trojku. Može se lako pretpostaviti da ih ima beskonačno mnogo (za svaki broj n N brojevi n, n 1, n + 1 čine pitagorinu trojku). U Euklidovim Elementima nalazi se teorem o pitagorinim trojkama: Ako su a, b, c relativno prosti brojevi takvi da je a + b = c a = mn b = m n c = m + n za neke m, n N, onda je točno jedan od m i n paran, a drugi neparan. Jedine pitagorine trojke (a, b, c) s a, b, c relativno prostima su gornjeg oblika. Ovaj teorem Pitagorejci su i dokazali. Bitna je činjenica da su Pitagorejci bili svjesni Pitagorina teorema. Poznavali su i teoriju omjera te odnos aritmetičke, geometrijske i harmonijske sredine dva broja. Pokazali su i rješavanje specijalnih linearnih sustava. Arhita iz Tarenta povezao je omjere i relativno proste brojeve teoremom: Za bilo koji cijeli broj n, ne postoje cjelobrojna rješenja a od A a = a B gdje su A i B u omjeru n : n + 1. Osim iskaza ovoga teorema, Pitagorejci su ga i dokazali. Kada su se Pitagorejci počeli baviti teorijom brojeva i geometrijom, te dvije discipline počele su se naglo razvijati. Teorem, danas poznat kao Pitagorin, bio je poznat Babiloncima oko 1500 godina ranije, no Pitagora (ili koji drugi Pitagorejac) je prvi koji ga

15 1 je dokazao te iz tog razloga nosi naziv Pitagorin teorem. Raniji dokazi bili su samo niz argumenata koji nisu bili potpuni. Po nekima, kada je Pitagora dokazao taj teorem, bogovima u čast žrtvovao je vola što su ga prosvijetlili. Takoder je bitno istaknuti da je Pitagorejcima bio poznat potpun teorem, uključujući i obrat. Teorem: (Pitagorin teorem) Zbroj kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je kvadratu nad hipotenuzom. Obrat: Ako neki trokut ima svojstvo da je zbroj kvadrata nad dvije njegove stranice jednak kvadratu nad trećom, onda se radi o pravokutnom trokutu. Pod kvadratima Pitagorejci, kao i ostali starogrčki matematičari, ne podrazumijevaju potencije brojeva (duljina stranica) nego geometrijske likove. Stoga je izvorno shvaćanje teorema bilo: u pravokutnom trokutu zbroj površina kvadrata nad katetama jednak je površini kvadrata nad hipotenuzom (a površine su jednake ako je jednu moguće rastaviti na dijelove od kojih se može sastaviti druga). Ovakvo geometrijsko shvaćanje operacija s brojevima poznato je kao geometrijska algebra koja je karakteristična za čitavo razdoblje klasične grčke matematike. Tako se npr. linearne i kvadratne jednadžbe rješavaju geometrijski. Geometrijskom algebrom dokazani su razni algebarski identiteti. Kepler je izjavio: Geometrija ima dva blaga: jedno je Pitagorin teorem, a drugo zlatni rez. Prvo se može usporediti sa čistim zlatom, a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti Zlatni rez Jedan od povijesno najpoznatijih problema geometrijske algebre je konstrukcija dijeljenja dužine u omjeru zlatnog reza. Ako je zadana dužina duljine a, potrebno je na njoj odrediti točku tako da se cijela dužina odnosi prema većem od dobivena dva dijela dužine, x, kao taj dio prema manjem dijelu (a x): a : x = x : (a x), tj. Slika 8: Omjer zlatnog reza

16 13 Ako označimo AP = x i AC = a, onda je zlatni omjer jednak a x = x a x. Suvremenim zapisom vidimo da se radi o rješavanju kvadratne jednadžbe x + ax a = 0 čija su rješenja x 1, = a ± 5a = a 1 ± 5. Od ta dva rješenja samo pozitivno rješenje x = a 5 1 ima geometrijski smisao. Dakle, zlatni omjer je broj 5 1 x = Platonova tijela Osim rezultata iz geometrijske algebre postoji i niz drugih geometrijskih rezultata Pitagorejaca. Vjerojatno je da su prvi dokazali da je zbroj kutova u trokutu jednak zbroju dva prava kuta, a pokazali su i generalizaciju tog teorema: zbroj kutova u trokutu iznosi dva prava kuta. Zbroj kutova u n-terokutu iznosi n 4 prava kuta. Zaslužni su i za neke teoreme o trokutima, paralelnim pravcima, krugovima, sferama i pravilnim poligonima. Poznavali su i pet Platonovih tijela, tj. pravilnih poliedara. Sam Pitagora vjerojatno je znao konstruirati samo prva tri: tetraedar, kocku i oktaedar. Konveksan poliedar pravilan je ako su mu sve strane medusobno sukladni pravilni poligoni takvi da se u svakom vrhu sastaje jednak broj tih poligona. Pet Platonovih tijela, nazvanih po filozofu Platonu koji u dijalogu Timej govori kako je svemir stvoren iz tih tijela, su: tetraedar (4 jednakostranična trokuta i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisan vatri, heksaedar ili kocka (6 kvadrata i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisana zemlji, oktaedar (8 jednakostraničnih trokuta i po 4 brida kroz svaki vrh) pripisan zraku (ova tri tijela se pojavljuju u prirodi kao ćelije kristalnih rešetaka), dodekaedar (1 pravilnih peterokuta i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisan cjelokupnom svemiru, ikozaedar (0 jednakostraničnih trokuta i po 5 bridova kroz svaki vrh) pripisan vodi.

17 14 Slika 9: Platonova tijela Povijesničari teoriju Timeja pripisuju Pitagori odnosno Pitagorejcima. Dokaz da pravilnih poliedara ima točno pet može se pronaći u Euklidovim Elementima. Važno je uočiti da su antički Grci sva osnovna svojstva tih tijela znali dokazati bez primjene trigonometrije i matematičke analize. Proučavanje Platonovih tijela u uskoj je vezi s danas razvijenom granom popločavanja ravnine i popunjavanja prostora pravilnim ili polupravilnim likovima odnosno tijelima, a koja ima primjene u kristalografiji i umjetnosti. Pitagorejci su znali da postoje točno tri načina za prekrivanje površine (bez preklapanja) pravilnim poligonima: budući da je zbroj kutova u n-terokutu n 4 prava kuta, znači da je u pravilnom n-terokutu svaki pravih kutova. Ako se u nekoj točki ravnine sastaje m pravilnih kut jednak α = n 4 n n-terokuta (tj. njihovih vrhova), mora biti mα = m n 4 n π = π. Ispitivanjem raznih kombinacija za m i n (koji moraju biti prirodni brojevi) dobije se da su jedine mogućnosti za n = 3 i m = 6, za n = 4 i m = 4 te za n = 6 i m = 3, tj. moguće je prekrivanje samo pravilnim trokutima, četverokutima i šesterokutima. Prema legendi, Pitagora je prvi matematičar kojemu je pao na pamet način zapisivanja sličan današnjem ASCII-kodu.

18 15 Dokazi Pitagorina teorema Pitagorin teorem jedan je od najpoznatijih matematičkih teorema. Teorem tvrdi da je zbroj površina dvaju malih kvadrata jednak površini velikog kvadrata. Algebarski, a + b = c gdje je c duljina hipotenuze, a a i b su duljine kateta trokuta. To je fundamentalni teorem Euklidske geometrije gdje je baza definicije udaljenosti dvaju točaka. Svatko tko se ikada, bar i na kratko, susreo s matematikom ne može zaboraviti ovaj teorem. Poznati su mnogobrojni dokazi njegove istinitosti. Profesor R. Smullyan, američki matematičar, pijanist, filozof i madioničar roden godine, u svojoj knjizi 5000 B.C. and Other Philosophical Fantasies govori o eksperimentu koji je proveo na svojim satima geometrije. Na ploču je nacrtao pravokutan trokut i kvadrate nad hipotenuzom i katetama te razmatrao činjenicu da kvadrat nad hipotenuzom ima veću površinu od bilo kojeg kvadrata nad katetama. Zatim je postavio pitanje: Pretpostavimo da su sva tri kvadrata napravljena od zlata, a Vi imate pravo izabrati veliki kvadrat ili dva mala kvadrata. Što biste izabrali? Zanimljivo je da je jedna polovina učenika izabrala jedan veliki kvadrat, a druga polovina izabrala je dva mala kvadrata. Obje grupe bile su jednako iznenadene kada su čule da nema razlike. Euklid je bio prvi koji je objavio dokaze Pitagorina teorema u svojim Elementima. Osim toga, generalizirao je grafički prikaz dokaza iz svojih Elemenata, zamjenom kvadrata nekim drugim likovima. Pappus (Pap Aleksandrijski) je u djelu Mathematicae Collectiones, IV zamijenio kvadrate proizvoljnim paralelogramima na stranicama proizvoljno nacrtanog trokuta. Drugi način generalizacije zadržao je kvadrate na stranicama, ali je trokut mogao biti proizvoljan, ne nužno pravokutan. Dokaz 1. Ovo je prvi Euklidov dokaz i vjerojatno jedan od poznatijih dokaza Pitagorina teorema. Prije svega, trokuti ABF i AEC sukladni su prema SKS teoremu o sukladnosti ( AB = AE, AF = AC, BAF = BAC + CAF = BAC + EAB = EAC), tj. ABF = AEC. Promotrimo ABF : osnovica ABF je stranica AF, a duljina visine iz vrha B na osnovicu AF jednaka je duljini stranice AC. Površina ABF jednaka je P ( ABF ) = AF AC = AC AC = AC.

19 16 Slika 10: Skica uz dokaz 1. Nadalje, promatramo AEC: osnovica tog trokuta je stranica AE, a duljina visine iz vrha C na osnovicu AE jednaka je duljini dužine AM gdje je točka M sjecište pravca AB i pravca CL koji je paralelan s pravcem AE. Stoga je površina AEC jednaka polovini površine pravokutnika AELM. Iz toga slijedi da je površina kvadrata duljine stranice AC jednaka površini pravokutnika AELM. To slijedi iz: P ( AEC) = 1 P (AELM) P ( AEC) = P ( ABF ) pa je AC = 1 AE AM AC = AE AM, tj. P (ACGF ) = P (AELM). Slično dobijemo za BC, tj. površina kvadrata duljine stranice BC jednaka je površini pravokutnika M LDB. Konačno, dva pravokutnika AELM i M LDB čine kvadrat nad hipotenuzom AB. P (AELM) + P (MLDB) = P (AEDB) AC + BC = AE AM + DB MB

20 17 AC + BC = AB AM + AB MB AC + BC = AB ( AM + MB ) AC + BC = AB AB AC + BC = AB. Na skici na kojoj se temelji Euklidov dokaz, temelje se još neki slični dokazi Pitagorina teorema. Pitagorin teorem, ili kako u Hrvatskoj često govorimo poučak, vrlo je poznat širom svijeta te u nekim dijelovima ima poseban naziv. Najpoznatiji naziv grafičkog prikaza Pitagorina teorema iz Euklidova dokaza je Bride s Chair (u slobodnom prijevodu rekli bismo Mladenkin stolac), a naziva se i Franjevački plašt, paunov rep i vjetrenjača. U Rusiji je usvojen naziv Pitagorine hlače. Prema D. E. Smithu Arapi ga nazivaju Figure od the Bride (Slika zaručnice), a iz E. Lucasova djela, Récréations Mathématiques, saznajemo da su ga Grci nazivali teoremom udanih žena, dok Bhaskara komentira da su ga nazvali potjerom mladih udanih žena. Florian Cajori (Am Math Monthly, f 6, no 3, 1899, p. 7 ) kao izvor naziva Bride s chair smatra pogrješan prijevod grčke riječi numfh koja se pojavila u teoremu bizantinskih pisaca u 13. stoljeću. Grčka riječ numfh ima dva značenja mladenka i krilati kukac. Grafički prikaz pravokutnog trokuta s kvadratima nad svakom stranicom predočava kukca, ali je pisac Behâ Eddînto ipak preveo kao mladenka iz poštovanja prema poznatom matematičaru i njegovu teoremu. Osim tvrdnje Pitagorina teorema, Bride s chair ima mnoga zanimljiva svojstva, većinom elemetarna. W. Dunham, autor knjige Mathematical Universe, u svom djelu citira The Pythagorean Proposition, djelo profesora E. S. Loomisa s početka 0. stoljeća u kojemu se može pronaći 367 dokaza Pitagorina teorema, a objavilo ju je Nacionalno vijeće profesora matematike (NCTM - National Council of Teachers of Mathematics), godine. U predgovoru autor tvrdi da je broj algebarskih dokaza beskonačan isto kao i broj geometrijskih dokaza, ali da ne postoji trigonometrijski dokaz. Računajući moguće pogrješke u izračunima i u geometrijskim dokazima, broj dokaza sve je više rastao.

21 18 Dokaz. Slijedi još jedan dokaz iz Euklidovih Elemenata. U pravokutnom trokutu ABC spustimo visinu na hipotenuzu AB. Nožište visine na hipotenuzu je točka D. Slika 11: Skica uz dokaz. Trokuti ABC, BCD i DCA slični su iz čega dobijemo sljedeće omjere BC AB = BD BC & CA AB = DA CA. Unakrsnim množenjem iz prethodnih relacija dobijemo BC BC = AB BD & CA CA = AB DA. Zbrajanjem slijedi BC + CA = AB ( BD + DA ) BC + CA = AB BA BC + CA = AB. Dokaz 3. Osim prethodna dva dokaza, u Euklidovim Elementima može se pronaći još jedan dokaz Pitagorina teorema. U hrvatskom obrazovnom sustavu ovaj dokaz obraduje se u 8. razredu osnovne škole, stoga se može pronaći u školskim udžbenicima. Neka je dan pravokutan trokut čije su duljine kateta a i b, a duljina hipotenuze c. Nacrtajmo kvadrat CDF H duljine stranice a + b i podijelimo ga kao na skici. AD = BF = GH = EC = a CA = DB = F G = HE = b

22 19 Slika 1: Skica uz dokaz 3. Pravokutni trokuti AEC, BAD, GBF i EGH sukladni su jer se podudaraju u dvjema odgovarajućim stranicama i kutu izmedu tih stranica (pravi kut). Četverokut ABGE jest kvadrat duljine stranice c. Izračunajmo površinu kvadrata CDF H (veliki kvadrat) na dva načina. Površina velikog kvadrata iznosi (a + b), malog kvadrata c, a svakog od četiri pravokutna trokuta a b. Budući da je površina velikog kvadrata jednaka zbroju površina malog kvadrata i četiri sukladna pravokutna trokuta, vrijedi: (a + b) = c + 4 a b a + ab + b = c + ab. Tako smo dobili a + b = c, čime je teorem dokazan. Dokaz 4. Ovaj dokaz temelji se na prethodnim dokazima iz Euklidovih Elemenata. Osim toga, i ovaj dokaz često se može pronaći u školskim udžbenicima. Nacrtamo dva sukladna kvadrata duljine stranice a + b. Jedan podijelimo kao u prethodnom dokazu, a drugi na kvadrate duljina stranica a i b i četiri pravokutna trokuta sa duljinama kateta a i b (vidi skicu).

23 0 Slika 13: Skica uz dokaz 4. Lako je uočiti da su pravokutni trokuti s obje skice sukladni (imaju katete jednakih duljina i pravi kut). Iz svega navedenog slijedi da su obojeni dijelovi velikih kvadrata jednaki, odnosno vrijedi c = a + b, što je i trebalo dokazati. Dokaz 5. Ako malo prilagodimo Euklidove dokaze dobijemo još jedan dokaz. Slika 14: Skica uz dokaz 5. Dokaz započinjemo s trokutom 1, a zatim dodamo još tri trokuta, 3 i 4, kao na skici. Svi su trokuti medusobno slični. Izvodeći nekoliko omjera dobivamo duljine stranica kao na skici. 3 : c a = b x & c a = a y cx = ab & cy = aa x = ab c 4 : & y = a c c b = b z cz = bb z = b c

24 1 Konačan oblik lika na skici možemo promatrati na dva načina: 1. pravokutnik (unija trokuta 1, 3 i 4) i trokut,. pravokutnik (unija trokuta 1 i ) i dva trokuta 3 i 4. Površine moraju biti jednake pa imamo: ( b c + a c ) ab c + ab ab = ab + c b c + a c ab c ab(a + b + c ) = ab(c + b + a ) a + b + c = c + b + a a + b = c. Postoji jednostavniji način ovog dokaza. Skicu je predložio Vladimir Nikolin iz Srbije. Slika 15: Skica uz jednostavniji dokaz 5. Trokuti ACD b i ABC slični su prema KK teoremu o sličnosti trokuta pa vrijedi c b = a D b A & c b = b D b C c D b A = ab & c D b C = b D b A = ab c & D b C = b c.

25 Trokuti CBD a i ABC slični su prema KK teoremu o sličnosti trokuta pa vrijedi c a = a CD a c CD a = a CD a = a c. Površinu lika sa slike možemo izračunati na dva načina pa izjednačavanjem dobijemo P (ABD a D b ) + P (ABC ) = P (AC BC) + P (ACD b ) + P (CBD a ) ab c c + ab ab = ab + c b c abc = ab(a + b ) + ab c a c c = a + b. Dokaz 6. Započinjemo s dva kvadrata s duljinama stranica a i b, kao na skici lijevo. Površina tog lika jednaka je a + b. Slika 16: Skica uz dokaz 6. Slika 17: Skica uz dokaz 6. Konstrukciju nismo započeli s trokutima, ali sada na skici povučemo dvije dužine tako da dobijemo dva pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b te duljinom hipotenuze c, kao na skici gore desno. Nekoliko puta rotiramo trokute dok ne dobijemo zadnji položaj sa skice. U zadnjem koraku rotiramo trokute za 90, svaki trokut oko njegovog najvišeg vrha. Desni trokut je rotiran u smjeru kazaljke na satu, a lijevi trokut suprotno od kazaljke na satu. Očigledno, rezultat je kvadrat duljine stranice c i površine c.

26 3 Slika 18: Skice uz dokaz 6. Pokazali smo da vrijedi a + b = c. Sličan dokaz pronaden je u sačuvanom rukopisu Thâbit ibn Qurra u knjižnici muzeja Aja Sofija u Turskoj, registriran pod brojem 483. Dokaz započinje sa četiri jednaka pravokutna trokuta koja opisuju lik nepravilna (neobična) oblika. Ta četiri trokuta odgovaraju u parovima početnim i završnim pozicijama rotiranih trokuta u prethodnom dokazu. Dokaz 7. Dokaz se pripisuje Leonardu da Vinciju ( ). Neka je ABC pravokutan trokut sa pravim kutom u vrhu C. Nad svakom od stranica CA, BC i AB konstruirani su kvadrati ACED, BCF G i ABHJ, redom. Slika 19: Skica uz dokaz 7. Nad stranicom HJ konstruiran je trokut HJI koji je sukladan trokutu ABC, ali u

27 4 odnosu na njega rotiran je za 180. Šesterokut AJIHBC podijeljen je dijagonalom CI na dva sukladna dijela. Spajanjem točaka E i F dobije se šesterokut ABGF ED, koji je podijeljen dijagonalom DG na dva sukladna dijela. Trokuti ABC i ECF simetrični su u odnosu na dijagonalu DG, što znači da su točke D, C i G kolinearne. Ako se četverokut DABG zarotira oko točke A za 90 (u smjeru kretanja kazaljke na satu na priloženoj skici), preklopit će se sa četverokutom CAJI, što znači da imaju jednake površine. To je posljedica činjenice da su kutovi DAC i BAJ pravi, što znači da vrijedi DAB = CAJ (jer su oba jednaka zbroju pravog kuta i CAB). Slično, AJI = ABG. To znači da vrijedi i DA = AC = IH, AB = AJ = AJ = JH te BG = BC = JI. Kako četverokuti DABG i CAJI imaju jednake površine, i šesterokuti ABGF ED i AJIHBC imaju medusobno jednake površine. Ako se iz šesterokuta ABGF ED izostave trokuti ABC i ECF, njegova površina smanjuje se na zbroj površina kvadrata ACED i BCF G. S druge strane, ako se iz površine šesterokuta AJIHBC izostave površine trokuta ABC i HJI, dobijemo površinu kvadrata ABHJ, a iz toga direktno slijedi jednakost AC + BC = AB. Dokaz 8. Dana su četiri sukladna pravokutna trokuta. Slika 0: Skica uz dokaz 8. Slika 1: Skica uz dokaz 8. Drugi trokut dobiven je rotacijom prvog za 90, treći rotacijom prvog za 180 i četvrti rotacijom prvog za 70. Površina svakog trokuta je jednaka a b. Posložimo dane trokute u kvadrat duljine stranice c. Unutar većeg kvadrata (duljine stranice c) je praznina u obliku (manjeg) kvadrata duljine stranice a b. Zbrajanjem površina manjeg kvadrata i četiri pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b dobijemo površinu većeg kvadrata duljine stranice c, tj. (a b) + 4 a b = c

28 5 a ab + b + ab = c a + b = c. Dokaz 9. Dana su četiri sukladna pravokutna trokuta kao u prethodnom dokazu. Slika : Skica uz dokaz 9. Slika 3: Skica uz dokaz 9. Posložimo dane trokute tako da dobijemo veći kvadrat duljine stranice a+b sa prazninom u obliku (manjeg) kvadrata duljine stranice c. Površinu većeg kvadrata dobijemo zbrajanjem površina četiri pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b i manjeg kvadrata duljine stranice c. (a + b) = 4 ab + c a + ab + b = ab + c a + b = c. Dokaz 10. Ovaj dokaz, koji je kombinacija prethodnih dvaju, pripisuje se indijskom matematičaru i astronomu Bhaskari ( ) (poznat kao Bhaskara II.). Uzmemo polazne jednakosti iz prethodna dva dokaza: (a b) + 4 ab = c (a + b) = 4 ab + c a ab + b + ab = c a + ab + b = ab + c.

29 6 Slika 4: Skica uz dokaz 10. Zbrajanjem dviju prethodno dobivenih jednakosti dobijemo a + b = c a + b = c. Prethodni dokaz lako su provjerili na poznatom pravokutnom trokutu s duljinama stranica 3, 4 i 5. Prethodno spomenut, najpoznatiji pravokutan trokut uočen je u gotičkoj umjetnosti i može se dobiti savijanjem papira. Pojavljuje se i u nekoliko Sangaku problema. Možemo vidjeti skicu dokaza iz Bhaskarina doba. Slika 5: Pravokutni trokut s duljinama stranica 3, 4 i 5 Dokaz 11. Za ovaj dokaz zaslužan je 0. američki predsjednik J. A. Garfield ( ). Garfield je dokazao Pitagorin teorem pet godina prije no što je postao predsjednikom, godine. Ideju za dokaz dobio je tijekom matematičkog razgovora s nekim od članova Kongresa. Svoj je dokaz objavio u časopisu New England Journal of Education, a temelji se na računanju površine pravokutnog trapeza na dva različita načina, primjenjujući formulu za površinu trapeza i zbrajanjem površina triju pravokutnih trokuta koji se mogu konstruirati unutar samoga trapeza. Ovaj dokaz varijacija je prethodnih, ali ovdje nemamo kvadrate.

30 7 Slika 6: Skica uz dokaz 11. Površinu trapeza računamo kao umnožak polovine zbroja duljina baza i visine iz čega dobijemo a + b (a + b). Ako promotrimo skicu vidimo da je površina trapeza jednaka zbroju površina triju pravokutnih trokuta a b + c c + a b. Izjednačavanjem dvaju dobivenih identiteta dobijemo (a + b) = ab + c a + ab + b = ab + c a + b = c. Dva trapeza iz prethodnog dokaza možemo spojiti duž kose stranice trapeza što implicira dokaz 9., a drugi način spajanja dvaju takvih trapeza implicira dokaz koji slijedi. Dokaz 1. Ovaj dokaz usko je povezan sa prethodnim dokazom predsjednika Garfielda, a za njega je zaslužan srednjoškolac Jamie delemos. Po formuli za površinu trapeza dobijemo a + b (a + b) = (a + b). Ako promotrimo skicu i zbrojimo površine pravokutnih trokuta dobijemo ab + c + ba = ab + c.

31 8 Slika 7: Skica uz dokaz 1. Izjednačavanjem slijedi (a + b) = ab + c a + ab + b = ab + c a + b = c. Dokaz 13. Konstruiramo trokute ABC, BCA i CAB slične trokutu ABC, kao na skici. Slika 8: Skica uz dokaz 13. Kako vrijedi AC = BA, to znači da su trokuti ABC i BCA sukladni prema SKS teoremu o sukladnosti ( AC = BA, BC je zajednička stranica i ACB = A BC = 90 ). Nadalje, kako vrijedi AB = BC, AB BC i AB zajednička stranica, to znači da su i trokuti AB B i ABC takoder sukladni. Iz sličnosti trokuta dobijemo B C AC = AC BC & BC AB = AC BC

32 9 B C BC = AC AC & BC BC = AC AB Možemo zaključiti da vrijedi B C = AC BC & BC = AC AB. BC P ( BCA ) + P ( CAB ) = P ( ABC ) BC BA + AC B C = AB BC AC BC + AC BC AC = AB AC AB BC BC + AC = AB. Dokaz 14. Površina trokuta jednaka je r s gdje je r duljina polumjera trokutu upisane kružnice, a s = a+b+c poluopseg trokuta. Slika 9: Skica uz dokaz 14. Iz skice vidimo da je c = (a r) + (b r) iz čega slijedi c = a + b r r = a + b c r = a + b + c c c r = s c

33 30 r = s c. Kako površinu trokuta možemo izračunati na dva načina, izjednačimo ih: r s = a b (s c)s = a b (a + b + c c)(a + b + c) = ab (a + b) c = ab a + ab + b c = ab a + b = c. Postoji nekoliko vrlo sličnih dokaza koji se temelje na ovoj skici. Ovaj dokaz pripisuje se Jack Oliveru i originalno je objavljen u časopisu Mathematical Gazette 81 (March 1997) p Dokaz 15. Na skicama možemo vidjeti nekoliko sličnih trokuta s duljinama stranica abc, a b c, a x i b y. Slika 30: Skica uz dokaz 15. Zbog sličnosti trokuta vrijedi y b = b c & x a = a c cy = bb & cx = aa. Zbrajanjem dviju dobivenih jednakosti dobijemo cx + cy = aa + bb

34 31 c(x + y) = aa + bb Nadalje, zbog sličnosti još dvaju trokuta vrijedi: cc = aa + bb. (1) Uvrštavanjem a i b u (1) slijedi: b b = c c & a a = c c b c = bc & a c = ac b = bc c & a = ac c. cc = a ac c + bbc c c c = c (a + b ) c = a + b. Dokaz 16. Ovaj dokaz objavljen je u djelu F. J. Swetza From Five Fingers to Infinity (Open Court, 1996, third printing). Autor ga pripisuje matematičaru abu l Hasan Thâbit ibn Qurra Marwân al Harrani ( ). Zadan je pravokutni trokut ABC te nad svakom stranicom nacrtamo kvadrate. Produljivanjem stranica HM i DL preko vrhova M i L, redom, dobijemo točku F. Slika 31: Skica uz dokaz 16. Na skici možemo uočiti nekoliko sukladnih trokuta: ABC, GEF, F CL, CF M, AGH i EBD. Računamo površinu peterokuta ABDF H na dva načina: P (ABDF H) = P (ACMH) + P (CBDL) + P ( ABC) + P ( F CL) + P ( CF M)

35 3 P (ABDF H) = AC + BC + 3P ( ABC) P (ABDF H) = AC + BC + 3 AC BC () P (ABDF H) = P (ABEG) + P ( AGH) + P ( EBD) + P ( GEF ) P (ABDF H) = AB + 3P ( ABC) P (ABDF H) = AB + 3 AC BC (3) Iz () = (3) dobijemo AC + BC + 3 AC BC = AB + 3 AC BC AC + BC = AB. Dokaz 17. Ovaj dokaz objavljen je u časopisu American Mathematical Monthly (v. 116, n. 8, 009, October 009, p. 687) uz napomenu da nije jako poznat i da predstavlja ponovno otkriće već ranije poznatog dokaza. Objavljivanje je predložio Sang Woo Ryoo, učenik srednje škole u Carlisleu. Prije te objave, zasluge za dokaz uzimao je E. S. Loomis, koji je dokaz objavio u svom djelu The Pythagorean Proposition, NCTM, 1968 iako je dokaz prvi put objavljen još davne godine u časopisu Monthly, v. 3, p , a autori su bili B. F. Yanney i J. A. Calderhead. Slika 3: Skica uz dokaz 17. Na skici možemo vidjeti pravokutan trokut ABC s pravim kutom u vrhu C i duljinama stranica BC = a, AC = b, AB = c. Kut u vrhu A podijelimo simetralom kuta na dva jednaka dijela. Neka je sjecište simetrale kuta i katete BC točka D. Zatim spustimo okomicu iz točke D na hipotenuzu i sjecište

36 33 označimo točkom E. Sada je CD = DE = x. Tada je BD = a x i BE = c b. Kako su trokuti ABC i BDE slični, vrijedi AC DE = AB DB b x = c a x b(a x) = cx ab bx = cx x(b + c) = ab Iz sličnosti trokuta dobijemo i x = ab b + c. (4) BC BE = AC DE a c b = b x ax = b(c b) Iz (4) = (5) slijedi x = b(c b). (5) a ab b(c b) = b + c a a = (b + c)(c b) a = (c + b)(c b) a = c b a + b = c.

37 34 Dokaz 18. Za ovaj dokaz zaslužan je Tao Tong. Neka su trokuti ABC i DEB sukladni pravokutni trokuti te neka vrh E leži na kateti AB. Slika 33: Skica uz dokaz 18. Površinu trokuta ABD računamo na dva načina: P ( ABD) = BD AF = AB DE. Uvrštavanjem duljina stranica dobijemo c(c x) = b b c cx = b. Kako je BD AC iz sličnosti trokuta CF B i ABC dobijemo x a = a c xc = a x = a c što uvrstimo u prethodno dobivenu jednakost pa imamo c c a c = b c = a + b.

38 35 Dokaz 19. Za ovaj dokaz zaslužan je srednjoškolski učenik John Kawamura, a u objavljivanju mu je pomogao njegov profesor geometrije iz škole u Oaklandu. Dokaz je objavljen u časopisu Mathematics Teacher, Apr., 005, p Slika 34: Skica uz dokaz 19. Skica je vrlo slična skici iz prethodnog dokaza, ali ovdje ćemo promatrati površinu četverokuta ABCD. Obje dijagonale četverokuta imaju duljinu c i okomite su pa je površina jednaka c c = c. c = P (ABCD) = P ( BCD) + P ( BDA) c = a + b c = a + b. Dokaz 0. Na skici možemo primijetiti dva sukladna pravokutna trokuta: ABC i DAE, gdje je E točka na kateti AB. Kao i u dokazu predsjednika Garfielda (dokaz 11.), računamo površinu trapeza ABCD na dva načina. P (ABCD) = P (AECD) + P ( BCE) P (ABCD) = c c + a(b a) ( BC + AD ) P (ABCD) = AB (a + b) b P (ABCD) = (6) (7)

39 36 Slika 35: Skica uz dokaz 0. Iz (6) = (7) dobijemo c + ab a = ab + b c + ab a = ab + b c = a + b. Dokaz 1. Pitagorin poučak dokazat ćemo Heronovom formulom. Ideja je jednostavna: primijenimo Heronovu formulu na jednakokračan trokut kao na skici. Slika 36: Skica uz dokaz 1. Spojimo dva pravokutna trokuta s duljinama kateta a i b te duljinom hipotenuze c kao na skici i dobijemo jednakokračan trokut s duljinama stranica b, c i c te površinom P = b a = ab. (8) Sada primijenimo Heronovu formulu na trokut sa skice. Kako je poluopseg s = (b+c) = b + c, imamo P = (b + c)(b + c b)(b + c c)(b + c c)

40 37 P = (b + c)(c b) b P = (c b ) b. (9) Uvrštavanjem (8) u (9) dobijemo (ab) = (c b ) b a b = (c b ) b a = c b a + b = c. Dokaz. Ponovno ćemo dokazati Pitagorin teorem Heronovom formulom, ali ovdje ćemo to napraviti za pravokutan trokut s duljinama kateta a i b te duljinom hipotenuze c. Neka je s = a+b+c poluopseg, a površinu ćemo označiti sa P. Znamo da je površina pravokutnog trokuta s duljinama kateta a i b jednaka P = ab. (10) Heronova formula za izračunavanje površine je P = s(s a)(s b)(s c). Raspisat ćemo desnu stranu Heronove formule: s a = a + b + c pa uvrštavanjem dobijemo s b = a b + c s c = a + b c Sredivanjem dobijemo P = a + b + c Uvrštavanjem (10) u (11) slijedi a + b + c a b + c a + b c 16P = (a + b + c)( a + b + c)(a b + c)(a + b c) P = a b + a c + b c (a 4 + b 4 + c 4 ). (11) ( ab ) = a b + a c + b c (a 4 + b 4 + c 4 )

41 38 4a b = a b + a c + b c (a 4 + b 4 + c 4 ). Prebacivanjem na lijevu stranu i izjednačavanjem s 0 dobijemo (a 4 + a b + b 4 ) a c b c + c 4 = 0 (a + b ) c (a + b ) + c 4 = 0 ((a + b ) c ) = 0 a + b c = 0 a + b = c. Dokaz 3. Skiciramo kružnicu duljine polumjera c i pravokutan trokut s duljinama kateta a i b, kao na skici na kojoj možemo primijetiti još neke poznate činjenice. Tri točke, F, G i H, koje leže na kružnici čine pravokutan trokut F GH (obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut pa je promjer kružnice hipotenuza trokuta) s visinom F K duljine a. Slika 37: Skica uz dokaz 3. Hipotenuza tog tokuta, GH, je točkom K podijeljena na dva dijela duljina: (c+b) i (c b). Slijedi a = (c + b)(c b) a = c b a + b = c. Često se skica ovoga dokaza pripisuje slavnom matematičaru Leibnizu, ali pri proučavanju njegova dokaza uočene su greške u izvodima.

42 39 Dokaz 4. Skiciramo pravokutan trokut ABC te iz vrha C opišemo kružnicu s polumjerom duljine jednake duljini katete AC. Slika 38: Skica uz dokaz 4. Produljimo hipotenuzu AB preko vrha B i u sjecištu s kružnicom označimo točku K, produljimo katetu AC preko vrha C i u sjecištu s kružnicom označimo točku H. Spojimo točke K i H. Zatim produljimo i kraću katetu BC preko oba vrha i u sjecištu s kružnicom dobijemo točke J i F, redom kao na skici. Dobijemo AB BK = BJ BF, tj. Trebamo odrediti BK pa tu duljinu izrazimo kao c BK = (b a) (b + a). (1) BK = AK AB = AK c. (13) Trokuti ABC i AKH slični su prema KK teoremu o sličnosti (kut u vrhu A je zajednički i oba trokuta su pravokutna) pa slijedi AC AK = AB AH, tj. Uvrštavanjem (14) u (13) dobijemo b AK = c b c AK = b AK = b c BK = b c c, (14)

43 40 a zatim uvrštavanjem prethodno dobivenoga u (1) dobijemo c ( b c c) = (b a) (b + a) b c = b a a + b = c. Kada bismo zadali jednakokračan pravokutan trokut, ovaj dokaz ne bismo mogli provesti. Dokaz 5. Ovaj dokaz izradila je Weininjieda iz Kine koja planira postati profesorica matematike, kineskog jezika i povijesti. Uvršten je u algebarske dokaze u Loomisovoj zbirci u kojoj autor navodi i raniju objavu ovoga dokaza još iz godine, a autor je bio J. Versluys koji je zasluge za dokaz pripisao Cecil Hawkins (1909.) iz Engleske. Neka je EC = BC = a, CD = AC = b te neka je točka F presjek pravaca DE i AB. Trokuti DEC i ABC sukladni su prema SKS teoremu o sukladnosti ( EC = BC, CD = AC i DCE = ACB ) pa iz toga slijedi da je DE = AB = c. Kako je AC BD, i visina iz vrha B okomita je na nasuprotnu stranicu AD, slijedi da je i ED AB kao treća visina u ADB. Slika 39: Skica uz dokaz 5. Sada vrijedi pa dobijemo P ( ADB) = P ( ABE) + P ( ACD) + P ( BCE) c(c + EF ) = c EF AC CD BC EC + + c + c EF = c EF + b b + a a c = a + b.

44 41 Dokaz 6. John Molokach, predani Pitagorejac, izveo je jedan dokaz Pitagorina teorema koji je nazvao dokazom paralelograma. Dokaz se temelji na priloženoj skici, a započinje rastavljanjem paralelograma na trokute kao što je prikazano. Crveni trokut ima duljine kateta a i b te duljinu hipotenuze c, a plavi trokut ima duljine kateta x i y te duljinu hipotenuze b. Slika 40: Skica uz dokaz 6. Trokuti su slični pa vrijedi a x = c b & b y = c b cx = ab & cy = b x = ab c Površinu paralelograma možemo izračunati direktno & y = b c. (15) P = (a + c) b (16) ili kao zbroj sastavnih dijelova: četiri crvena, dva plava trokuta i malog pravokutnika (unutar paralelograma). Mali pravokutnik ima duljine stranica (b x) i (y a) pa slijedi Sredivanjem dobijemo P = 4 ab + xy + (b x)(y a). Uvrštavanjem (15) u (17) i sredivanjem izraza dobijemo P = ab + by + ax. (17) P = b (a + a + b ). c Izjednačavanjem (16) sa prethodno dobivenim slijedi (a + c) b = b (a + a + b ) c

45 4 a + c = a + a + b c c = a + b. Ovaj dokaz može se skratiti ako izdvojimo veći pravokutnik iz paralelograma. Slika 41: Skica uz dokaz 6. Površinu tog pravokutnika možemo izračunati na dva načina te izjednačavanjem dobijemo bc = ab + xy + (b x)(y a) bc = by + ax bc = b b c + a ab c bc = b(b + a ) c = a + b. Dokaz 7. Zadan je pravokutan trokut ABC te neka je, kao i obično, pravi kut u vrhu C, a duljine stranica su jednake BC = a, CA = b i AB = c. Nacrtamo kvadrate nad katetama te spojimo vrhove kao na skici. Slika 4: Skica uz dokaz 7.