Povijest rješavanja algebarskih

Transcription

1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Antonija Juranović Povijest rješavanja algebarskih jednadžbi Diplomski rad Osijek, 2010.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Antonija Juranović Povijest rješavanja algebarskih jednadžbi Diplomski rad Voditeljica: doc. dr. sc. Franka Miriam Brückler Osijek, 2010.

3 Sadržaj Uvod 4 1 Pojava algebarskih jednadžbi u Egiptu i Babilonu Linearne jednadžbe na egipatskim papirusima Prva rješenja kvadratnih jednadžbi u Babilonu Razvoj algebre u Grčkoj Grčka geometrijska algebra Diofant Aleksandrijski Rješavanje algebarskih jednadžbi u Kini i Indiji Indijska algebra Kineska algebra Algebarske jednadžbe u djelima islamskih matematičara 33 5 Prvo algebarsko rješenje kubne jednadžbe 42 6 Razvoj teorije algebarskih jednadžbi u doba renesanse Rješavanje algebarske jednadžbe trećeg i četvrtog stupnja Nerješivost opće algebarske jednadžbe u radikalima 65 Literatura 77 3

4 Sažetak 79 History of solving algebraic equations Summary 80 Prilozi 81 Životopis 102 4

5 Uvod Jednadžba oblika a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, gdje su a n,... a 0 Z naziva se općom algebarskom jednadžbom stupnja n. Neke algebarske jednadžbe kao što je algebarska jednadžba prvog stupnja, odnosno linearna jednadžba, rješavali smo još u osnovnoj školi. Nadalje, u srednjoj školi upoznajemo i algebarsku jednadžbu drugoga i trećega stupnja. No jesmo li se ikada pitali: Tko je prvi rješavao takve jednadžbe i iz kojih pobuda? Tko je zaslužan za formule koje nam uvelike olakšavaju njihovo rješavanje? Postoji li formula pomoću koje možemo riješiti svaku algebarsku jednadžbu, bez obzira na njen stupanj? Ovaj rad odgovara na ova, te na brojna druga pitanja vezana uz povijest rješavanja algebarskih jednadžbi. Ovaj diplomski rad podijeljen je u osam poglavlja. U prvom poglavlju rada govori se o prvoj pojavi algebarskih jednadžbi u povijesti. Opisano je kako su Egipćani svakodnevne probleme svodili na jednostavne linearne jednadžbe i zatim ih rješavali metodom regula falsi. Opisuju se takoder i prve kvadratne jednadžbe u tekstovima starih Babilonaca. U drugom poglavlju dan je osvrt na grčki pristup rješavanju algebarskih jednadžbi. Naglasak je stavljen na razvoj geometrijske algebre, a u nastavku se razmatra Diofantova uloga u povijesti rješavanja algebarskih jednadžbi. 5

6 Treće poglavlje posvećeno je rješavanju algebarskih jednadžbi u Indiji i Kini. Četvrto poglavlje daje pregled arapskih doprinosa rješavanju algebarskih jednadžbi. Ističe se rad al-khwarizmija, zaslužnog za klasifikaciju kvadratnih jednadžbi, te Omara Khayyama, zaslužnog za geometrijsko rješenje kubne jednadžbe. U petom poglavlju opisuje se postupak kojim maestro Dardi iz Pise dolazi do prvih algebarskih rješenja kubne jednadžbe. Šesto poglavlje bavi se algebarskim jednadžbama u djelima matematičara (talijanske) renesanse. Osobit značaj stavljen je na pronalazak rješenja jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja u radikalima. Sedmo poglavlje posvećeno je matematičarima zaslužnim za dokaz nerješivosti opće algebarske jednadžbe u radikalima: Ruffiniju, Abelu i Galoisu. U prilozima na kraju rada dani su životopisi matematičara koji su doprinijeli rješavanju algebarskih jednadžbi. 6

7 Poglavlje 1 Pojava algebarskih jednadžbi u Egiptu i Babilonu Promatramo li početke razvoja matematike, točnije tražimo li prve pisane tragove koji svjedoče o njenoj pojavi, moramo se vratiti i preko 4000 godina u prošlost, u vrijeme drevnih civilizacija Egipatske i Babilonske. U tom za ljudski rod relativno dugom razdoblju, matematika će uvelike evoluirati, a kada govorimo o rješavanju algebarskih jednadžbi, linearnih i kvadratnih, naši drevni predci nisu puno zaostajali za nama. 1.1 Linearne jednadžbe na egipatskim papirusima Poznato je kako upravo iz staroegipatske države potječu najstariji matematički izvori, te da se medu njima posebno ističu Rhindov 1 i Moskovski papirus 2. Oni su ujedno i najstariji dokumenti u kojima se javljaju algebarske, odnosno specijalno linearne jednadžbe. Rhindov papirus sadrži oko 84 zadatka namijenjena školi pisara, od kojih je veliki dio posvećen rješavanju praktičnih problema, kao što je pravedna podjela kruha medu odredenim brojem ljudi i odredivanje potrebne količine žita za pravljenje odredene količine piva. Svi problemi su vrlo jednostavni i svode se na rješavanje linearnih jednadžbi s jednom 1 Napisan je oko pr. Kr., naziv je dobio prema škotskom egiptologu Alexanderu Henryu Rhindu. 2 Potječe iz oko pr. Kr. Nabavio ga je V. S. Goleniščev i donio u Moskvu. 7

8 nepoznanicom, a neki od njih biti će navedeni u daljnjem izlaganju. Slika 1. Rhindov papirus Primjer 1.1 (Zadatak 24.) Broj i njegova sedmina daju zajedno 19. Koji je to broj? Metoda koju su Egipćani koristili za rješavanje ovog problema ujedno je i najstarija metoda za rješavanje linearnih jednadžbi, a ta je metoda danas poznata pod nazivom metoda regula falsi, odnosno metoda krive pretpostavke. Bit ove metode leži u pretpostavci da je neki po volji odabrani broj rješenje postavljenog problema. Provodeći operacije dane u zadatku, dolazimo do spoznaje koliko je puta odabrani broj veći ili manji od rješenja zadatka. Na temelju dobivenog odnosa ispravljamo početnu pretpostavku. Opisanom metodom riješit ćemo prethodno navedeni primjer. Zapisano modernom notacijom radi se o jednadžbi: x x = 19. Egipćani kreću od pretpostavke da je x = 7, što daje = 8, pa je pretpostavka očito kriva. U sljedećem koraku utvrduju koliko je puta rezultat dobiven netočnom pretpostavkom da je x = 7, a to je 8, manji od 19: 19 : 8 = = Utvrdivši da se točan rezultat dobije kada je x 2 3 puta veći od pretpostavljenoga, dolaze 8 do traženoga broja: 7 (2 3 8 ) = =

9 Premda se iz današnje perspektive čini vrlo jednostavnim, rješavanje problema ovom metodom svojedobno je predstavljalo puno veći izazov jer nisu postojale suvremene o- znake, nego su se postupci rješavanja opisivali riječima. Modificiranu verziju ove metode koristio je i Diofant, zatim metoda kasnije preko Arapa dolazi u Europu te je tako možemo pronaći u Fibonaccijevom 3 djelu Liber Abaci. Razvojem algebarskih oznaka ova metoda rješavanja linearnih jednadžbi polako pada u drugi plan, no nikada ne iščezava u potpunosti. Zadaci poput onoga navedenog u primjeru 1.1 česti su na Rhindovom papirusu, te će u nastavku biti navedeni još neki od njih. Primjer 1.2 (Zadatak 25.) Broj i njegova šestina daju zajedno 16. Koji je to broj? Primjer 1.3 (Zadatak 28.) Zbroju broja i njegove 2 3 oduzmemo 1 3 dobijemo je 10. O kojem se broju radi? tog zbroja, ono što Primjer 1.4 (Zadatak 32.) Broj, njegova trećina i četvrtina daju zajedno 2. Koji je to broj? Primjer 1.5 (Zadatak 21.) Dopunite 2 3 i 1 15 do 1. Zapisano suvremenom notacijom, traži se x takav da vrijedi: x = 1. Egipćani su ovaj zadatak riješili tako da su sve pomnožili s 15, te time dobili y = 15. U literaturi se ova jednadžba često naziva crvena pomoćna jednadžba, jer je zapisana crvenom tintom. Kako je rješenje pomoćne jednadžbe 4, Egipćani zaključuju da je rješenje polazne jednadžbe 4, odnosno, obzirom da su oni koristili isključivo jedinične razlomke 15 zapisuju ga kao Leonardo iz Pise poznat kao Fibonacci, živio je otprilike

10 Premda je već rečeno da je staroegipatska algebra bila retorička, tj. problemi i njihova rješenja dani su riječima, dio Rhindova papirusa posvećen aritmetici ukazuje da je Ahmes 4 imao neke ideje za uvodenje simbola u algebru. Nepoznatu veličinu je označavao hijeroglifom koji označava hrpu, a osim toga imao je posebne oznake i za zbrajanje, oduzimanje te jednakost. Osim što im se tradicionalno pripisuju zasluge za rješavanje prvih linearnih jednadžbi, na temelju pisane grade može se reći da su medu prvima kada se govori o rješavanju kvadratnih jednadžbi. Dokument koji o tome svjedoči je Berlinski papirus 5. Na Berlinskom papirusu se izmedu ostalog nalazi i sljedeći problem: Primjer 1.6 Površina kvadrata od 100 kvadratnih kraljevskih lakata 6 je jednaka zbroju površina dvaju manjih kvadrata. Duljina stranice jednog od ta dva kvadrata jednaka je drugoga. Kolike su duljine stranica tih kvadrata? Zapisano modernom notacijom traže se x i y za koje vrijedi: x 2 + y 2 = 100 i x = 3 4 y. Problem se zatim lako svede na kvadratnu jednadžbu Iz čega slijedi x = 6 i y = 8. y 2 = 64. Gotovo svi prevoditelji ovog teksta slažu se u mišljenju kako su Egipćani ovaj problem promatrali kao sustav jednadžbi x 2 + y 2 = 100, 4x 3y = 0. 4 Pisac Rhindova papirusa. 5 Datira iz oko pr. Kr. Osim što je jedan od najstarijih matematičkih tekstova, ujedno je i jedan od najstarijih tekstova posvećen medicini. 6 Jedan kraljevski lakat iznosi 52, 4 cm. 10

11 To je vjerojatno jedan od glavnih razloga zašto se Babilonce smatra prvima koji su riješili kvadratnu jednadžbu. Upravo o tome govori sljedeća točka rada. 1.2 Prva rješenja kvadratnih jednadžbi u Babilonu Babilonska matematika je u mnogim aspektima bila naprednija od egipatske, što se očituje i kada je riječ o rješavanju algebarskih jednadžbi. Neke od osnovnih karakteristika babilonske matematike su korištenje seksagezimalnog brojevnog sustava 7, te brojne matematičke tablice zapisane na glinenim pločicama. Na tim se glinenim pločicama mogu naći tablice recipročnih brojeva, kvadrata, kubova, kvadratnih i kubnih korijena, te za ovaj rad osobito zanimljiva tablica rješenja jednadžbi x 2 (x ± 1) = a za različite a. Babilonci su znali rješavati linearne i kvadratne jednadžbe (pri tome prihvaćajući samo pozitivna rješenja) ax = b, x 2 ± ax = b, takoder i kubne jednadžbe oblika x 3 = a, i već spomenute jednadžbe oblika x 2 (x ± 1) = a. Osim toga rješavali su i sustave x + y = b, x y = c, što je ekvivalentno rješavanju kvadratne jednadžbe x 2 + c = bx. 7 Brojevni sustav s bazom

12 Metoda kojom su rješavali probleme prethodno navedenog oblika ilustrirat će se sljedećim primjerom. Primjer 1.7 Zbroj dva broja je 20, a njihov umnožak 96. Koji su to brojevi? Babilonci su ovaj problem riješili jednostavno pretpostavivši da su i jedan i drugi broj jednaki 10, što je logična pretpostavka obzirom da njihov zbroj mora biti jednak 20. Medutim, jasno je kako to ipak nije točno rješenje jer bi u tom slučaju njihov umnožak bio 100, a on treba biti 96. Nadalje, oduzeli su od 100 točan umnožak 96 te dobili 4. Zatim su odredili kvadratni korijen iz 4 i dodali ga prvom broju (10), te time dobili da je vrijednost prvog broja 12. Isti taj broj 2 oduzeli su zatim od drugog broja, i time dobili da je vrijednost drugog broja 8. To su očito točna rješenja jer je 12+8 = 20 i 12 8 = 96. Babilonci su time dali metodu, odnosno retorički algoritam za rješavanje problema navedenog oblika, a on glasi: 1. Podijeli zbroj dva broja s 2; 2. Kvadriraj rezultat iz 1; 3. Oduzmi umnožak brojeva od rezultata dobivenog u 2; 4. Izvadi kvadratni korijen iz rezultata dobivenog u 3; 5. Dodaj rješenje iz 4 rješenju iz 1, a time se dobije vrijednost prve nepoznanice; 6. Oduzmi rješenje iz 4 rješenju iz 1, a time se dobije vrijednost druge nepoznanice. Ovaj se algoritam naziva babilonski algoritam. Često se koristio za odredivanje duljina stranica pravokutnika (x i y) ako je zadana njegova površina (c) i poluopseg (b). Geometrijsko opravdanje algoritma ilustrirano je sljedećom slikom: 12

13 Slika 2. Geometrijsko opravdanje babilonskog algoritma. Kvadrat stranice duljine b ima željeni poluopseg b. Površina kvadrata stranice b je 2 2 veća od željene površine za Š b 2 2 c, što je površina bijelog kvadrata stranice z u lijevom gornjem uglu. Preostali obojeni dio može se ponovno sastaviti u pravokutnik kako je ilustrirano na gornjoj slici. Duljine stranica tog pravokutnika su i x = b 2 + s b 2 y = b 2 s b 2 4 c, 4 c. Opisani postupak je zapravo izvodenje kvadratne formule, jer je jednadžba čije rješenje tražimo oblika x 2 bx + c = 0. Kako je babilonska matematika, poput egipatske bila retorička, koraci prilikom rješavanja problema nisu zapisivani simbolima nego opisno, tako da se otkriće eksplicitne formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi pripisuje indijskom matematičaru Brahmagupti, o komu će više spomena biti u trećem poglavlju rada. Opisanim postupkom, odnosno postupkom vrlo sličnim njemu, rješavali su vrlo sličan problem odredivanja duljina stranica pravokutnika, ako je poznata razlika tih duljina i površina pravokutnika, odnosno rješavali su kvadratnu jednadžbu oblika x 2 = bx + c. 13

14 Primjer 1.8 Duljina jedne stranice pravokutnika veća je od druge za 10. Površina je 600. Kolike su stranice pravokutnika? Problem su riješili tako da su razliku duljina stranica pravokutnika podijelili s 2, što kao rezultat daje 5, zatim su kvadrirali 5 i dodali ga površini danog pravokutnika, te dobili 625. Iz tako dobivenoga broja izvadili su kvadratni korijen, te su zatim tom korijenu prvo dodali 5 kako bi dobili duljinu jedne stranice ( = 30), a potom oduzeli 5 kako bi dobili duljinu druge stranice pravokutnika (25 5 = 20). U babilonskim tekstovima može se naći na stotine primjera problema vezanih uz pravokutnik, koji se svode na rješavanje kvadratnih jednadžbi. Neki od tih problema su samo postavljeni, a neki su i riješeni. U slučaju složenijih zadataka; kao što je odredivanje duljina stranica pravokutnika kada je zadana njihova razlika, te razlika površine danog pravokutnika i kvadrata razlike duljina stranica; prvi korak je svodenje problema na jedan od dva prethodno navedena primjera, te zatim rješavanje već opisanim postupkom. Prvu opsežniju analizu na temu rješavanja kvadratnih jednadžbi u Babilonu napisao je Solomon Gandz u svom djelu Osiris. U tom djelu daje klasifikaciju kvadratnih jednadžbi koje se javljaju u babilonskim tekstovima, te tako razlikuje devet tipova istih, od kojih su dva najjednostavnija tipa navedena u primjeru 1.7 i primjeru 1.8. Gandz takoder razmatra i način na koji su Babilonci došli do navedenog algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Za kraj ovog poglavlja bit će navedena još dva zadatka iz babilonskih tekstova: Primjer 1.9 Dodamo li površini kvadrata dvije trećine duljine njegove stranice dobit ćemo 0; 35 ( kvadrata? u seksagezimalnom brojevnom sustavu). Kolika je duljina stranice danog Zapisano modernom notacijom, potrebno je riješiti jednadžbu oblika x x =

15 Primjer 1.10 Broj je za sedam veći od svoje recipročne vrijednosti. O kojem se broju radi? Bitno je napomenuti kako nisu imali oznaku za nulu, pa zapis nije jedinstven, te stoga, broj recipročan broju x može biti 1 x, 60 x, 3600 x ili bilo koja potencija broja 60 podijeljena s x. Babilonci su u ovom slučaju za recipročan broj uzeli 60. Tako da problem zapisan u x modernoj notaciji izgleda iz čega slijedi x 60 x = 7, x 2 7x = 60. Navedenim algoritmom Babilonci su odredili jedno rješenje ove jednadžbe x = 12, te njegovu recipročnu vrijednost 5. Drugo rješenje jednadžbe je 5, no kao što je već rečeno Babilonci su prihvaćali samo pozitivne brojeve za rješenja. 15

16 Poglavlje 2 Razvoj algebre u Grčkoj 2.1 Grčka geometrijska algebra Razvoj matematike u antičkoj Grčkoj započinje pod utjecajem Babilona i Egipta, te isprva biva usmjeren na geometriju i teoriju brojeva, dok će se algebra sve do postklasičnog razdoblja razvijati u okviru geometrije. Do uspostave veze izmedu geometrije i algebre dolazi u Pitagorejskoj školi 1 u šestom stoljeću prije Krista. Jedna od temeljnih postavki škole je vjerovanje da je sve broj, tj. da se sve može shvatiti preko prirodnih brojeva i njihovih omjera, što za posljedicu ima očekivanje da je (ako je zadana jedinična dužina) svaka dužina cjelobrojna ili racionalna, odnosno: sve dužine su sumjerljive 2 jediničnoj. U skladu s tim, umnožak dva broja interpretiraju kao površinu pravokutnika, a umnožak tri broja kao volumen uspravne četverostrane prizme. Zbog takvog geometrijskog shvaćanja operacija s brojevima pripisuju im se zasluge za utemeljenje geometrijske algebre, premda je i ranije bila prisutna u Mezopotamiji i Egiptu. Geometrijska algebra karakteristična je za čitavo razdoblje klasične grčke matematike. Osnovna ideja je da dva poligona imaju jednaku površinu jednaki su ako se 1 Filozofsko-religiozna škola čiji je osnivač Pitagora sa Samosa. Osnovana je oko 518 pr. Kr. u južnoj Italiji. 2 Dvije dužine su sumjerljive ako im je omjer racionalan broj. 16

17 jedan može rastaviti na trokute od kojih se može sastaviti drugi. Linearne i kvadratne jednadžbe rješavali su geometrijski, odnosno konstruktivnim metodama, pri čemu je rješenje postavljenog problema dužina čija duljina odgovara nepoznatoj (traženoj) vrijednosti. Prilikom konstruktivnog rješavanja jednadžbi vodili su se pravilom da se sve geometrijske konstrukcije moraju izvesti isključivo ravnalom i šestarom. Slijedi primjer geometrijskog rješavanja algebarske jednadžbe. Primjer 2.1 Geometrijskom algebrom riješimo jednadžbu ax = b 2. Slika 3. Geometrijsko rješenje jednadžbe ax = b 2. Rješenje ove jednadžbe dano je gornjom slikom. Budući da dijagonala raspolavlja pravokutnik, a očiti su parovi sukladnih trokuta, slijedi jednakost kvadrata b 2 i pravokutnika ax, tj. x je tražena duljina. Veliki dio pitagorejskih rezultata, pa tako i oni vezani uz geometrijsku algebru, nalazi se u Euklidovim Elementima. Od 13 knjiga koje čine Elemente čak je njih 7 temeljeno na pitagorejskim rezultatima. Za ovaj rad je osobito značajna druga knjiga Elemenata koja sadrži 14 propozicija geometrijske algebre. Neke od tih propozicija, korištene prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi oblika bit će spomenute u nastavku. x(x + a) = b 2, x(x a) = b 2, x(a x) = b 2, Propozicija 5. Geometrijski dokaz formule (x + y)(x y) = x 2 y 2, točnije njoj ekvivalentne ( a+b 2 )2 ( a b 2 )2 = ab. Drugim riječima propozicija kaže da je pravokutnik ab jednak razlici kvadrata (gnomonu) sa stranicama a+b 2 i a b 2 (Slika 4.). 17

18 Slika 4. Propozicija 5. druge knjige Euklidovih Elemenata. Ovu propoziciju Grci koriste prilikom rješavanja problema sljedećeg oblika: Pronadite dva broja, x i y, ako je poznata vrijednost njihovog zbroja b i njihovog umnoška c 2. Problem se zapravo svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe x(b x) = c 2, odnosno x 2 + c 2 = bx. Slika 5. Ako b predstavlja duljinu dužine AC (Slika 5.), a x = AB i y = BC, prvi uvjet x + y = b je ispunjen. Propozicija kaže da je umnožak xy jednak razlici površina kvadrata nad stranicama SC (duljine b ) i EF, odnosno 2 b EF = c 2. 18

19 Prema Pitagorinom teoremu, odnosno Propoziciji 47 prve knjige Euklidovih Elemenata, EF je duljina katete pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine b 2 i drugom katetom duljine c. Iz toga slijedi 2 2 s s x = b b 2 + c 2 2, y = b b 2 2 c 2. slici. Geometrijskom algebrom to se rješenje dobije konstrukcijom prikazanom na sljedećoj Slika 6. Konstrukcija rješenja jednadžbe x 2 + c 2 = bx. Osim prethodne, prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi koristila se i sljedeća propozicija. Propozicija 6. Označi li se sa b duljina dužine AB, sa x AD, te sa y BD (Slika 7). Tada je x y = b. Propozicija kaže da je površina pravokutnika sa stranicama duljine x i y jednaka razlici površina dvaju kvadrata, većeg sa stranicom duljine x b 2 stranica b 2. i manjeg čija je Slika 7. Propozicija 6. druge knjige Euklidovih Elemenata. 19

20 Ovu propoziciju Grci koriste za rješavanje sljedećeg tipa problema: Pronadite dva broja, x i y, ako je poznata vrijednost njihove razlike b i njihovog umnoška c 2. Problem se zapravo svodi na rješavanje kvadratne jednadžbe x(x b) = c 2, odnosno x 2 = bx + c 2. Prema propoziciji vrijedi c 2 = x b 2 b, pa je prema Pitagorinom teoremu x b duljina hipotenuze pravokutnog trokuta čije su 2 katete duljine b i c. Na temelju toga slijedi da je: s s x = b b c 2 2, y = b b c 2. Grci su do tog rješenja dolazili konstrukcijom koja je prikazana na sljedećoj slici. Slika 8. Konstrukcija rješenja jednadžbe x 2 = bx + c 2. Možemo uočiti kako Euklid ovim propozicijama daje rješenja problema koje su uspješno rješavali još i Babilonci, a jedina je razlika u pristupu. Jedan od povijesno najpoznatijih problema geometrijske algebre je konstrukcija dijeljenja dužine u omjeru zlatnog reza, o kojoj govori Propozicija 11 druge knjige EE. 20

21 Propozicija 11. Na zadanoj dužini duljine a potrebno je odrediti točku tako da se cijela dužina odnosi prema većem od dobivena dva dijela dužine (x) kao taj dio prema manjem dijelu (a x), tj. a : x = x : (a x) Suvremenim zapisom vidimo da se radi o rješavanju kvadratne jednadžbe x 2 + ax a 2 = 0 čija su rješenja x 1,2 = a ± 5a 2 2 Od ta dva rješenja samo pozitivno rješenje = a 1 ± x = a. 2 ima geometrijski smisao. Geometrijskom algebrom, to se rješenje dobiva sljedećom konstrukcijom: Slika 8. Dijeljenje dužine u omjeru zlatnog reza. Algebra, koja je u to doba, pa sve do kraja 18. stoljeća bila sinonim za algebarske jednadžbe, nije pobudivala osobiti interes kod Grka. Vidljivo je to i iz činjenice da u svom radu nisu znatnije odmakli od već poznatih babilonskih rezultata. Jedan od rijetkih grčkih matematičara koji se njome intenzivnije bavio bio je Diofant Aleksandrijski kojemu je posvećena sljedeća točka ovog poglavlja. 21

22 2.2 Diofant Aleksandrijski Diofant Aleksandrijski (3. st. n. e.) najveći je matematičar postklasičnog razdoblja i posljednji veliki europski matematičar prije Fibonaccija. Kroz njegov rad dolazi do emancipacije algebre od geometrije, stoga ga neki povjesničari matematike nazivaju i otac algebre. O Diofantovom privatnom životu ne zna se gotovo ništa, postoje tek pretpostavke izvedene iz njegovih djela i djela matematičara koji se pozivaju na njegov rad (vidi Prilog 1.). Prije Diofanta algebra je bila retorička, odnosno problemi i njihova rješenja opisivani su riječima. Diofant će na tom planu donijeti napredak, premda će do pojave moderne matematičke notacije 3 proći još dosta vremena. Diofant je kao i mnogi njegovi suvremenici koristio alfabetsku notaciju, no veliki je njegov doprinos u njenom proširenju koji omogućuje simbolički zapis algebarskih izraza. Sljedeća tablica daje pregled Diofantovih oznaka različitih potencija varijable: suvremena oznaka x 0 = 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 Diofantova oznaka M o ζ Υ K Υ Υ K Υ K Υ K ζ x Υx Diofant nema oznake za zbrajanje, nego ga bilježi nadopisivanjem. Za oduzimanje koristi vertikalno prekriženi Λ. Još jedna bitna karakteristika njegovog sustava notacije je zapisivanje koeficijenta uz odredenu potenciju iza nepoznanice. 3 Za modernizaciju matematičke notacije najzaslužniji je René Descartes ( ). 22

23 Najznačajnije Diofantovo djelo je Arithmetica koja se može opisati kao prva rasprava posvećena algebri. Arithmetica se u originalu sastoji od 13 knjiga. Dugo se vjerovalo kako je samo 6 od 13 knjiga opstalo, te da su ostale izgubljene nedugo nakon što su napisane. Postoje mnogi arapski prevodi Arithmeticae, no u njim se spominje samo prvih šest njezinih knjiga. Godine u knjižnici Astan Quds u Meshedu (Iran) pronadeni su rukopisi Qusta ibn Luqa, koji su prijevodi knjiga IV do VII. Neki povjesničari tvrde kako se radi o prijevodu nečijih komentara (možda Hipatijinih) tih knjiga. Poput Rhindova papirusa i Arithmetica predstavlja zbirku raznih problema, ukupno njih 130 zajedno sa rješenjima. Cilj ovog djela bio je prikazati metode kojima je moguće pronaći racionalan broj koji zadovoljava odredene uvjete. Neke od jednadžbi i sustava jednadžbi iz Arithmeticae su neodredeni i imaju nejedinstvena rješenja. Ono što mi danas nazivamo diofantskim jednadžbama podrazumijeva algebarske jednadžbe s više nepoznanica s cjelobrojnim koeficijentima kojima se traže cjelobrojna rješenja. Diofant je, kao i njegovi prethodnici, kao rješenja problema prihvaćao samo pozitivne racionalne brojeve. Kao dokaz toga možemo navesti problem pete knjige gdje Diofant promatra jednadžbu 4x + 20 = 4, te zaključuje kako ona nije rješiva. Diofant promatra tri tipa kvadratnih jednadžbi: ax 2 + bx = c, ax 2 = bx + c, ax 2 + c = bx. Razlog zašto su za Diofanta to tri različita tipa je već spomenuto prihvaćanje samo pozitivnih brojeva. Naravno, Diofant se bavio i mnogim drugim problemima, kao što je npr. rješavanje sustava: y + z = 10, yz = 9. Problem svodi na kvadratnu jednadžbu po x na slijedeći način: uzme da je 2x = y z, tako da zbrajanjem y + z = 10 i y z = 2x dobije y = 5 + x, a njihovo oduzimanje daje 23

24 z = 5 x. Nadalje, 9 = yz = (5 + x)(5 x), x 2 = 16, x = 4. Iz čega slijedi y = 9, z = 1. U nastavku će biti navedeni neki problemi iz Arithmeticae zapisani modernom notacijom: Primjer 2.2 (Knjiga 1, Zadatak 17.) Pronadite četiri broja takva da je zbroj bilo koja tri od njih jednak jednom od brojeva: 20, 22, 24, 27. Označimo sa x zbroj sva četiri broja. Tada su brojevi koje tražimo oblika x 20, x 22, x 24, x 27, iz čega slijedi x = (x 20) + (x 22) + (x 24) + (x 27) 3x = 93 x = 31 Znači da su traženi brojevi: 11, 9, 7, 4. Primjer 2.3 (Knjiga 2, Zadatak 8.) Za zadani broj a treba odrediti racionalne brojeve x i y takve da je x 2 + y 2 = a 2. Ako je (x 0, y 0 ) neko konkretno rješenje, onda (x 0 +t, y 0 +kt) za racionalan k uvrštavanjem u jednadžbu daje kvadratnu jednadžbu za t i time mogućnost konstrukcije novog rješenja. Recimo da je a = 4, tj. jednadžba x 2 + y 2 = 16. Uzmimo x 0 = 0 i y 0 = 4. Tada za x = t i y = kt 4 imamo x 2 + y 2 = (k 2 + 1)t 2 8kt + 16 = 16, tj. t = 8k k 2 +1 pa dobivamo beskonačno mnogo novih racionalnih rješenja. Bitno je naglasiti kako je Diofant dao samo jedno rješenje te jednadžbe. Primjer 2.4 (Knjiga 2, Zadatak 9.) Za zadane brojeve a i b treba odrediti racionalne brojeve x i y takve da je x 2 + y 2 = a 2 + b 2. 24

25 Uzmimo npr. a = 2 i b = 3. Uvedemo li supstituciju x = x + a i y = mx b, dobivamo (x + 2) 2 + (mx 3) 2 = 13, odnosno (m 2 + 1)x 2 + (4 6m)x = 0. Odabirom različitih m dobivamo različite x, tj. različita rješenja (x, y). Uzmemo li da je m = 2 dobijemo x = 18 5, y = 1. Kao i u prethodnom primjeru, Diofant je i ovome dao samo jedno rješenje, premda 5 ih očito ima beskonačno mnogo. Zanimljivo je da iza mnogih Diofantovih rješenja stoje razna algebarska pravila koja on najvjerojatnije nije poznavao. Tako u zadatku 19 treće knjige uočava da je 65 zbroj dva kvadrata na dva načina, jer je on umnožak brojeva 13 i 5 koji su i sami zbrojevi dva kvadrata. Iz toga se može zaključiti da je znao kako je umnožak dva cijela broja, od kojih je svaki zbroj dva kvadrata, i sam zbroj dva kvadrata i to na dva načina. No izraz kojeg u modernoj notaciji zapisujemo kao (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac bd) 2 + (ad ± bc) 2 prvi put se spominje u radu Abu Jafar al-khazina (950.) i kasnije u Fibonaccijevom djelu Liber quadratorum (1225.). Diofantov rad nije pretjerano utjecao na daljnji razvoj grčke algebre, no u 9. stoljeću kada je Arithmetica prevedena na arapski, njen utjecaj na razvoj algebre postaje puno snažniji. 25

26 Poglavlje 3 Rješavanje algebarskih jednadžbi u Kini i Indiji 3.1 Indijska algebra U indijskoj matematici će, za razliku od prethodno spominjane grčke, puno izrazitija biti aritmetičko-algebarska nego li geometrijska dostignuća. U skladu s tim, mnogi indijski matematički tekstovi opisuju algoritme za računanje i pravila za rješavanje odredenih zadataka s primjerima, no nema skica, formula niti dokaza. Više pažnje pridaje se razvoju raznih tehnika računanja, dok je znanstveni doprinos manji. Neki od najvećih doprinosa indijske matematike su: razvoj aritmetike, odnosno pravila za provodenje aritmetičkih operacija na temelju dekadskog sustava, uvodenje prvog pozicijskog brojevnog sustava, te uvodenje i pravilno interpretiranje negativnih brojeva. Uočili su postojanje pozitivnog i negativnog kvadratnog korijena, te nemogućnost vadenja kvadratnog korijena iz negativnog broja. Razvili su i neke od prvih algebarskih oznaka. Za većinu simbola koriste se prvi slogovi odgovarajućih riječi iz sanskrta. Zbrajanje je, slično kao i kod Diofanta, zapisivano nadopisivanjem; oduzimanje stavljanjem točke ispred umanjitelja; množenje s bha što dolazi od bhavita što znači umnožak. Kvadratni korijen su označavali s ka od riječi 26

27 karana, što znači iracionalno. Za razliku od Diofanta, imali su oznake za više nepoznanica. Prvu nepoznanicu su označavali ya što dolazi od riječi yavat-tavat (koliko-toliko), a ostale nazivaju po bojama, pa tako postoje crna, plava, žuta, crvena i zelena nepoznanica. Indijci su nadišli Diofantova dostignuća time što su uočili da kvadratna jednadžba ima dva rješenja. Neki izvori tvrde da se u indijskom rješavanju algebarskih jednadžbi osjeti utjecaj Diofantove Arithmeticae. No bez obzira jesu li ili nisu imali doticaja s grčkim izvorima, Indijci zaslužuju priznanje za poboljšanje i generalizaciju postupaka rješavanja linearnih i kvadratnih jednadžbi. Kada govorimo o jednadžbama višeg stupnja, Indijci su imali uspjeha samo u rješavanju nekih specijalnih slučajeva. Veliki napredak na području rješavanja odredenih jednadžbi postigli su proučavanjem neodredenih jednadžbi. Indijsko proučavanje neodredenih jednadžbi ne razlikuje se od grčkog samo u metodi nego i u cilju, a njihov cilj je bio pronaći sva moguća cjelobrojna rješenja. S druge strane, Grci su bili zadovoljni sa samo jednim rješenjem koje nije nužno bilo cjelobrojno, nego se moglo raditi i o racionalnom broju. Prvi veliki indijski matematičar, a ujedno i jedan od prvih koji se bavi pitanjem algebarskih jednadžbi je Aryabhata stariji ( ). Njegovo najznačajnije djelo Aryabhatiya predstavlja skup poznatih rezultata indijske matematike do tog vremena i pisana je u stihovima. Aryabhatiya je podijeljena u četiri poglavlja, a u četvrtom se izmedu ostalog bavi i algebarskim jednadžbama, i to kvadratnim i nekim neodredenim jednadžbama. Aryabhata daje cjelobrojna rješenja linearne jednadžbe oblika ax ± by = c gdje su a, b, c cijeli brojevi. Jednadžbe tog oblika najvjerojatnije izvodi iz astronomskih problema. Sljedeći indijski matematičar značajan za razvoj algebre je Brahmagupta ( ). Pisao je važna djela o matematici i astronomiji i njegovim zaslugama dolazi do razvoja navedenih algebarskih oznaka (vidi Prilog 2.). Bavio se kvadratnim i diofantskim jednadžbama (medu ostalima i Pellovom jednadžbom 1 x 2 = py 2 ± q). Brahmagupta daje prvu općenitu metodu za rješavanje kvadratnih jednadžbi u obliku 1 Jednadžba je zabunom nazvana Pellovom jednadžbom, premda on zapravo nema ništa s njom. Potpuno rješenje ove jednadžbe dao je Lagrange

28 formule izražene riječima: Slobodni član pomnoži s četverostrukim kvadratnim koeficijentom, zatim dodaj kvadrat linearnog koeficijenta, te iz dobivenoga izvadi kvadratni korijen. Dobiveno umanji za linearni koeficijent, zatim podijeli s dvostrukim kvadratnim koeficijentom i dobit ćeš traženu vrijednost nepoznanice. Vidljivo je da se radi o rješenju x = 4ac + b2 b 2a jednadžbe ax 2 + bx = c. Pitanjem algebarskih jednadžbi bavio se i Mahavira, najznačajniji indijski matematičar u devetom stoljeću. Poznat je po uočavanju da negativni brojevi ne mogu biti kvadrati, te po poznavanju svojstava nule. U njegovim se tekstovima mogu pronaći zadaci sljedećeg oblika. Primjer 3.1 Četvrtina stada deva videna je u šumi. Dvaput kvadratni korijen tog stada otišao je do uzbrdice. Petnaest deva ostalo je na obali rijeke. Koliko broji to stado deva? Primjer 3.2 Devet puta korijen iz dvije trećine krda slonova i još šest puta korijen iz tri petine ostatka su u šumi. Ima ih još 24. Koliko ih je ukupno? Problemi odgovaraju jednadžbama x x + 15 = x, Ê Ê x + 6 x + 24 = x. 5 Jedan od najznačajnijih indijskih matematičara kada govorimo o algebarskim jednadžbama, te općenito jedan od vodećih indijskih matematičara dvanaestog stoljeća bio je Bhaskara II. ( ). Uvelike je doprinio razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju jednadžbi, do razine koja je u Europi postignuta tek nekoliko stoljeća kasnije. Glavna matematička djela su mu Lilavati i Bijaganita. U Lilavati se izmedu ostalog 28

29 bavi rješavanjem nekih jednostavnih linearnih jednadžbi metodom regula falsi, sustavima linearnih jednadžbi i njihovim primjenama, te kvadratnim jednadžbama. Vidi se da je znao kako x 2 = 9 ima dva rješenja. Elementarnim metodama znao je riješiti jednadžbu x 4 2x 2 400x = Bavio se i već spomenutom Pellovom jednadžbom te mnogim drugim diofantskim jednadžbama. U skladu s indijskom tradicijom koristi pisanje u stihovima, a u nastavku su navedena dva njegova zadatka. Primjer 3.3 Korijen od polovine pčela u roju doletio je na jasminov grm. Osam devetina roja zaostalo je za njima, a jedna ženska pčela leti oko muške koja zuji unutar lotosova cvijeta. Ušao je u noći, privučen slatkim mirisom i sad je zarobljen. Reci mu, o čarobna gospo, koliki je pčela broj? Primjer 3.4 Mnoštvo majmunčića živahnih, Najevši se slasno, igralo se. Od njih, kvadrat dijela osmog Na livadi se zabavljalo A 12 njih je po krajevima livade, Počelo skakutati povisoko. Koliko je bilo majmunčića malih U tom mnoštvu, reci meni ti? Zadaci se svode na rješavanje jednadžbi: r x x + 2 = x, x = x. 29

30 3.2 Kineska algebra Kineska matematika je slično kao i indijska, a djelomice i pod njenim utjecajem, bila orijentirana na nalaženje algoritama za računanje i rješavanje konkretnih zadataka. Jedan od najpoznatijih i najstarijih kineskih matematičkih tekstova je Devet poglavlja matematičkog umijeća (Jiuzhang Suanshu), autor je nepoznat, a nastala je vjerojatno u razdoblju od 100. pr. Kr. do 100. n. e. Na ovom se djelu temelji gotovo sva kineska matematika. Knjiga se sastoji od 246 zadataka s rješenjima, namijenjenih mjeračima, inženjerima, činovnicima i trgovcima. Neki od tih zadataka bave se sustavima linearnih jednadžbi (2 2 i n n) koje su rješavali metodom fang-chang (usmjeravanje brojeva u kutijicama) koja je u biti Gaussova metoda eliminacije. Sedmo poglavlje knjige posvećeno je rješavanju linearnih jednadžbi i to već više puta spominjanom metodom regula falsi. Jedan od prvih kineskih matematičara čije se ime veže uz rješavanje algebarskih jednadžbi je Zhang Qiu-Jian (oko ). Napisao je samo jedno matematičko djelo i u njemu se izmedu ostalog bavi rješavanjem kvadratnih jednadžbi i sustavima linearnih jednadžbi. Wang Xiaotong (oko ) je našao algoritam za približno rješavanje jednadžbe oblika x 3 + ax 2 = b, a u sedmom stoljeću su nadeni i algoritmi za približno rješavanje opće kubne jednadžbe. U 13. stoljeću poopćene su aproksimativne metode rješavanja kubnih jednadžbi na jednadžbe višeg stupnja. Quin Jiushao ( ) se u svom djelu Rasprava o matematici u devet poglavlja (1247.) bavi pitanjem algebarskih jednadžbi. Uspješno je rješavao neke jednadžbe trećeg i četvrtog stupnja, kao što je npr. x x = 0 metodom koja je u biti Hornerova 2. Bavio se i sljedećim problemom: 2 Wiliam Horner,

31 Grad okružen kružnim zidinama nepoznatog promjera ima četvora vrata. Drvo je postavljeno 3 li 3 sjeverno od sjevernog ulaza. Drvo postaje vidljivo ako se od južnih vrata pomaknemo za devet koraka istočno. Nadite promjer zidina. Mnogi autori knjiga koje govore o povijesti kineske matematike spominju ovaj problem, doduše uz neka odstupanja. Ono što je većini zajedničko je misterij oko svodenja ovog problema na jednadžbu x x x 3 864x x = 0. Sličan problem spominje i Li Ye premda je gotovo sigurno da nisu imali medusobnih kontakata. Geometrijski bismo problem mogli ilustrirati sljedećom slikom. Slika 9. Neka je C točka u kojoj se nalazi drvo, B mjesto promatrača koji se od južnog ulaza kreće 9 koraka istočno, a zahtjev da drvo postaje vidljivo točno u točki B znači da je BC tangenta na kružnicu u točki D. Suvremenom algebrom, na temelju skice, problem možemo svesti na jednadžbu x 4 + 6x 3 + 9x 2 972x 2916 = 0. Ta se jednadžba očito razlikuje od one koju je postavio Quin Jiushao, no objema jednadžbama je jedno rješenje x = 9. 3 Jedan li iznosi 500 metara. 31

32 Li Ye ( ) se u svom radu takoder pozabavio problemima koji se svode na algebarske jednadžbe. Napisao je dva značajna matematička djela Morski odraz mjerenja kruga (1248.) i Drevna matematika u proširenim djelima (1259.) Drugo djelo predstavlja svojevrstan pregled rada matematičara iz 11. stoljeća. Sastoji se od 64 zadatka koji se svode na rješavanje kvadratnih jednadžbi izvedenih iz problema vezanih uz krug, kvadrat, pravokutnik i trapez. Jedan od tih zadataka je sljedeći: Primjer 3.5 U središtu polja kvadratnog oblika nalazi se okrugla bara, i površina izvan bare je 3300 kvadratnih pua 4. Poznato je da zbroj opsega kvadrata i kruga iznosi 300 pu. Odredite opseg kruga i kvadrata. Li Ye uzima za nepoznanicu polumjer kruga (označimo ga u ovu svrhu s x), te uz aproksimaciju π = 3 problem svodi na jednadžbu 3x x 3100 = 0. Rješenje te jednadžbe je x = 10, iz čega slijedi da je opseg kruga 60 pu, a kvadrata 240 pu. Kod zapisivanja algebarskih jednadžbi Li Ye je koeficijente jednadžbe zapisivao jedan ispod drugoga i to tako da je linearni koeficijent zapisao prvi, a zatim ostale ispod njega. (Slika 10.) Slika 10. Zapis jednadžbe 24x 2 70x Kada govorimo o algebarskim jednadžbama u djelima kineskih matematičara ne smijemo izostaviti Dragocjeno ogledalo četiri elementa (1303.), djelo čiji je autor Zhu Shijie. Ono sadrži metodu transformacije za rješavanje jednadžbi, koju koristi do 14. stupnja, a koju su u 18. i 19. stoljeću ponovno otkrili Horner i Ruffini. 4 Jedan pu iznosi 1, 7907 metara. 32

33 Poglavlje 4 Algebarske jednadžbe u djelima islamskih matematičara Na razvoj arapske matematike utjecali su podjednako grčki i indijski matematičari. Indijski se utjecaj osobito osjeti u razvoju dekadskog brojevnog sustava i računskih tehnika. Algebra, a pri tome se naravno misli na teoriju algebarskih jednadžbi, jedno je od područja matematike kojemu su Arapi posebno doprinijeli. Početkom 9. stoljeća kalif al-ma mun u Bagdadu osniva svojevrsnu akademiju pod nazivom Kuća mudrosti, koja će dugo vremena biti glavni znanstveni centar arapskog kalifata. Tri najznačajnija matematičara koja su djelovala u Kući mudrosti su: al-khwarizmi, Thabit ibn Qurra i Omar Khayyam. Razvoju algebre su najviše doprinijeli Al-Khwarizmi i Omar Khayyam. Al-Khwarizmi, punim imenom Abu Abdallah Mushammad ibn Musa al-khwarizmi (oko ) je prvi veliki arapski matematičar. Bio je učenik u Kući mudrosti, a kasnije ju je i vodio. Osim algebrom bavio se i geometrijom i astronomijom (vidi Prilog 3.). Njegovom zaslugom dolazi do odvajanja algebre od geometrije, čime pravi odmak od dotadašnjeg grčkog pristupa geometrije, prema algebri i omogućuje njen samostalan razvoj. Algebra je omogućila tretiranje racionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih 33

34 veličina i dr. kao algebarskih objekata, što će uvelike utjecati na daljnji razvoj matematike. Ono što i dalje koči razvoj algebre je nepostojanje adekvatne notacije, tako da al-khwarizmi svu svoju matematiku opisuje riječima, bez simbola. U njegovu radu vide se grčki i indijski utjecaji, s tim da je grčki utjecaj nešto jači. Ipak, primjeri su mu numerički, a ne geometrijski. Al-Khwarizmijevo najznačajnije djelo je udžbenik iz algebre Hisab al-jabr wa l-muqabalah, iz čijeg je naziva izvedena riječ algebra (al-jabr). U njemu se al-khwarizmi djelomično oslanja i na rad Brahmagupte. Al-Khwarizmi je svojom Algebrom htio olakšati rješavanje svakodnevnih problema, kao što su pitanja nasljedivanja u muslimanskim zakonima. U prvom dijelu Algebre bavi se linearnim i kvadratnim jednadžbama. Klasificira te jednadžbe u šest tipova, a njegova klasifikacija proizlazi iz činjenice da su mu bili nepoznati nula i negativni brojevi. Svaki od tipova jednadžbi opisuje preko primjera, a tipovi su sljedeći: 1. x 2 = ax, 2. x 2 = a, 3. ax = b, 4. x 2 + ax = b, 5. x 2 + a = bx, 6. ax + b = x 2, gdje su a i b pozitivni brojevi. Proizvoljne linearne i kvadratne jednadžbe rješava tako da ih prvo reducira na jedan od šest navedenih tipova, i to operacijama al-jabr što bi u prijevodu značilo upotpunjavanje, a odnosi se na micanje negativnih članova na drugu stranu jednakosti i operacijom almuqabalah, što bi značilo uravnotežavanje odnosno skraćivanje jednakih članova s dvije strane jednakosti. 34

35 Za svaki od navedenih primjera daje pravila za rješavanje, odnosno uobičajene algebarske formule za konkretne primjere. Daje i dokaz za svaki primjer geometrijskim svodenjem na potpun kvadrat. Kako je dozvoljavao samo pozitivna rješenja, jedino je jednadžba tipa 5 imala dva rješenja. Al-Khwarizmijeva metoda biti će demonstrirana na sljedećem primjeru. Primjer 4.1 Riješi jednadžbu x x = 39. Lijeva strana odgovara jednom kvadratu sa stranicama x te uz njega priloženim dvama pravokutnicima stranica x i 5. Da bismo sliku upotpunili do kvadrata, treba dodati jedan kvadrat stranice 5. (Slika 11.) Slika 11. Svodenje jednadžbe x x = 39 na potpun kvadrat. Stoga je x x + 25 = (x + 5) 2 = 64 x + 5 = 8 x = 3 Ostatak Algebre bavi se primjenama i primjerima, a jedan od njih glasi: Primjer 4.2 Čovjek na samrti daruje robinju, koja je bila jedino njegovo vlasništvo. Zatim umire. Robinja vrijedi 300 dirhama i njen miraz je 100 dirhama. Čovjek kojem je darovana živi s njom. Koliko je nasljedstvo? 35

36 Problem treba biti riješen na sljedeći način: 300 x x = 2x. Iz jednadžbe slijedi da je nasljedstvo 90 dirhama. Sljedeći značajan islamski matematičar koji se bavio algebarskim jednadžbama, doduše u puno manjoj mjeri nego al-khwarizmi, je Thabit ibn-qurra ( ). Djelovao je u Kuću mudrosti i pisao o mnogim temama i izvan matematike. Napisao je tekst od šest strana o kvadratnim jednadžbama. Thabit ibn Qurra se u svom razmatranju kvadratnih jednadžbi dosta oslanja na Euklidov rad, odnosno na drugu knjigu Euklidovih Elemenata. U skladu s tim, a suprotno od al-khwarizmija, njegovi primjeri nisu bili numerički već geometrijski. Abu Kâmil (Abu Kamil Shuja ibn Aslam ibn Muhammad ibn Shuja, oko ) matematičar je iz Egipta kojega se smatra jednim od neposrednih nasljednika al-khwarizmijeva djela. Prema njegovim je riječima al-khwarizmi osmislio algebru. Napisao je knjigu o algebri pod nazivom Kitab fil-jabr w al muqabalah koja je komentar i elaborat al-khwarizijeva djela. Abu-Kamilova Algebra sadrži 69 zadataka, od kojih su neki bez izmjena preuzeti iz al-khwarizmijeve Algebre. Istovremeno nije oklijevao u drugačijem pristupu problemu, što se očituje u mnogim zadacima, a za primjer ćemo uzeti osmi zadatak njegove Algebre. Primjer 4.3 Rastavite broj 10 na dva pribrojnika takva da kada se svaki od njih podijeli drugim, te kada se zbroje, zbroj iznosi U modernoj notaciji problem se sastoji u traženju brojeva x i y koji zadovoljavaju jednadžbe x + y = 10, Druga se jednadžba može zapisati u obliku x 2 + y 2 = xy. 36 x y + y x = 41 4.

37 Abu Kamil prvo rješava ovaj problem u skladu s načinom na koji ga je al-khwarizmi riješio. A taj je uvrštavanje y = 10 x u prethodnu jednadžbu, što ovaj problem svodi na kvadratnu jednadžbu oblika x = x, čije je rješenje x = 2, a iz tog slijedi da je y = 8. Abu Kamil zatim prezentira vlastitu metodu, koja uključuje stari babilonski postupak uvodenja nove nepoznanice, npr. z: x = 5 z, y = 5 + z. Uvrštava to u jednadžbu x 2 + y 2 = 4 1 xy i dobiva z 2 = (25 z2 ), iz čega slijedi z 2 = 9 što povlači da je z = 3, pa je prema tome x = 2 i y = 8. Njegova Algebra imala je tri dijela od kojih se prvi bavio upravo ovakvim problemima, odnosno rješavanjem kvadratnih jednadžbi, drugi je bio posvećen primjeni algebre na pravilni peterokut i deseterokut, dok se treći bavi diofantskim jednadžbama i zabavnom matematikom. Abu Kamil je prvi matematičar arapskog svijeta koji je znao rješavati diofantske jednadžbe, i to u doba prije nego je Diofantova Arithmetica proučena u arapskom svijetu. Opisao je i neke metode koje se ne mogu naći kod Diofanta. Kao i niz drugih arapskih matematičara poznat je po primjeni algebre na geometriju, te kombiniranju grčkog, babilonskog i al-khwarizmijevog pristupa, što se očituje i u prethodnom primjeru. Kao i al-khwarizmi drži se numeričkih primjera, no njegov pristup je nešto sistematičniji i strože se drži grčke formalnosti. Značajan je i po tome što je bez simbola za njihovo zapisivanje, uspijevao računati zbroj i razliku kvadratnih korijena, odnosno a ± b = È a + b ± 2 ab. Kao i al-khwarizmi i on svoju algebru opisuje riječima. Glavni napredak u odnosu na prethodnike je korištenje iracionalnih koeficijenata u jednadžbama. Primjer tomu je 53. zadatak njegove Algebre. 37

38 Primjer 4.4 Pronadite broj takav da je umnožak zbroja tog broja i 2 i zbroja tog broja i 3 jednak 20. Danas bismo to zapisali u obliku (x + 2)(x + 3) = 20, što vodi kvadratnoj jednadžbi x x 2 + 2x 2 20 = 0. Abu Kamil daje točno rješenje s x = Ê Uvodenje iracionalnih brojeva kao rješenja kvadratnih jednadžbi još je jedan korak dalje od temelja koje je preuzeo od al-khwarizmija. Abu Kamilova Algebra zauzima posebno važno mjesto u razvoju algebre u Europi, jer je utjecala na rad Talijana Leonarda iz Pise, poznatijeg kao Fibonacci. Fibonacci se tako u svome djelu Liber Abaci (1202.) oslanja dosta na arapske autore, preuzevši oko 29 zadataka iz Abu Kamilove Algebre uz vrlo male ili bez ikakvih izmjena. Navesti ćemo za primjer još jedan zadatak iz Abu Kamilove Algebre Zadatak 39. Primjer 4.5 Doda li se nekom broju 10, i dobiveni iznos pomnoži s 5 dobije se umnožak početnog broja sa samim sobom. O kojem se broju radi? U modernoj notaciji, označimo li sa x traženi broj, dobivamo jednadžbu (x + 10) 5 = x 2, čije je rješenje x = Ê Ê Jedan od značajnijih bagdadskih matematičara i inženjera na prijelazu s 10. u 11. stoljeće je al-karaji (Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-husayn Al-Karaji, oko

39 1029.). Al-Karaji se smatra prvom osobom koja je u potpunosti oslobodila algebru od geometrijski operacija, što je osnova moderne algebre. Tako npr. svodenje na potpuni kvadrat provodi čisto algebarski. Al-Karaji je u nasljede ostavio utjecajnu algebarsku školu koja će uspješno raditi više stoljeća. Uz al-khwarizmija jedno od najznačajnijih imena arapske algebre je Omar Khayyam (vidi Prilog 4.). Razvoju algebre doprinio je djelom Algebra. U njemu daje klasifikaciju kubnih jednadžbi na 14 tipova, a ona proizlazi iz zahtjeva da svi koeficijenti budu pozitivni brojevi. Za svaki od tipova daje i njegovo geometrijsko rješenje pomoću presjeka konika. U razmatranju svakog od 14 slučajeva Khayyam je bio svjestan postojanja više pozitivnih rješenja, ovisno o tome kako se razmatrane konike sijeku. U svom se radu poziva na prve dvije Apolonijeve 1 knjige o konikama, i daje algebarsku metodu kako druge kubne jednadžbe pretvoriti u kvadratnu ili neki od tipova iz svoje sistematizacije. Slika 12. Naslovna strana Algebre Omara Khayyama. 1 Apolonije iz Perge ( pr. Kr.) poznat je po razvoju teorije konika. 39

40 Uzmimo za primjer kubnu jednadžbu oblika x 3 + qx = r 2, koju on opisuje kao x 3 + b 2 x = b 2 c. Khayyam dolazi do rješenja ove kubne jednadžbe nalaženjem sjecišta parabole i kružnice. Jezikom analitičke geometrije rekli bismo: odredivao je sjecište različito od (0, 0) parabole x 2 = by, i kružnice y 2 = x(c x). Slika 13. Geometrijsko rješenje kubne jednadžbe x 3 + b 2 x = b 2 c. Sjecište tih dvaju konika je točka D(x 0, y 0 ). Provjerit ćemo je li ona zaista rješenje polazne kubne jednadžbe. Kako D leži na paraboli imamo x 2 0 = by 0. No D leži i na kružnici, stoga je y 2 0 = x 0 (c x 0 ). Iz te dvije jednakosti dobije se x 4 0 = b 2 x 0 (c x 0 ), ili x 0 3 = b 2 (c x 0 ). 2 Svaka kubna jednadžba se supstitucijom može svesti na oblik bez kvadratnog člana, stoga je dovoljno naći metodu za rješavanje takve kubne jednadžbe, vidi Poglavlje 6. 40

41 Odatle slijedi da x 0 zadovoljava jednadžbu x 3 + b 2 x = b 2 c. Aproksimativnu numeričku vrijednost rješenja dobio je interpolacijom pomoću trigonometrijskih tablica. Tvrdi da se rješenje takve kubne jednadžbe ne može dobiti konstrukcijom ravnalom i šestarom, što će biti dokazano 750 godina kasnije. Khayyam je bio svjestan nepotpunosti vlastitog rada, te je napisao da se nada dati potpun opis algebarskog rješenja kubnih jednadžbi. Razlikovao je dva tipa rješenja jednadžbi: aritmetičko i geometrijsko. Pod aritmetičkim rješenjem podrazumijeva traženje racionalnih rješenja, a geometrijska dozvoljavaju i iracionalne i podrazumijevaju geometrijski prikaz i dokaz. 41

42 Poglavlje 5 Prvo algebarsko rješenje kubne jednadžbe Trebalo je proći oko 200 godina da bi se obistinile želje Omara Khayyama, odnosno da bi bilo pronadeno prvo algebarsko rješenje kubne jednadžbe. Tradicionalno, većina autora knjiga o povijesti algebre zasluge za to pripisuju matematičarima talijanske renesanse, no jedan je matematičar do njega došao gotovo 100 godina ranije. Njegovo ime je maestro Dardi iz Pise (14. st.). Maestro Dardi iz Pise mogao bi biti prvi matematičar zapadnog svijeta koji je dao točno algebarsko rješenje neke kubne jednadžbe. Te se kubne jednadžbe pojavljuju u velikom neobjavljenom rukopisu Aliabraa argibra. Prije objašnjenja njegove metode, kako bi se stekao uvid u njegov uspjeh, bit će izraženo nekoliko činjenica vezanih za njegov život i okruženje. U najstarijem prijepisu njegova djela gdje se spominje njegovo ime, odnosno dio gdje je napisano mjesto njegova porijekla je oštećen. Taj je rukopis po svemu sudeći bio primjerak koji je poslužio Mordecai Finziju za prijevod ovog teksta na hebrejski Malo je poznato o prevoditelju, osim da je dio života proveo u Bologni, a dio u Mantui, te da je preveo nekoliko matematičkih 42

43 djela na hebrejski. U svom prijevodu Finzi navodi da je autor teksta maestro Dardi iz Pise te da je tekst završio 6. studenog Jedini poznati Dardi u to vrijeme bio je Zio Dardi koji je prema svemu sudeći poučavao matematičare abaciste 1 u Veneciji. Pri tome nije sigurno radi li se zapravo o maestru Dardiju. Djelomice i zato što ovaj tekst radikalno odstupa od uobičajenih matematičkih tekstova tog vremena. Tipičan tekst abacista sadržavao je poglavlja o prikazivanju brojeva pomoću simbola i prstiju; množenju i dijeljenju cijelih brojeva, zbrajanju, oduzimanju, množenju i dijeljenju razlomaka i mješovitih brojeva; računanju kvadratnih i kubnih korijena, osnovnim geometrijskim konceptima, firentinskom monetarnom sustavu i algebri. Nasuprot tome Dardijev je tekst većim dijelom posvećen algebri, oko 136 listova (obostrano) od 162. U tom se djelu može pronaći 198 različitih tipova jednadžbi, općenita pravila za njihovo rješavanje, specifični primjeri za svaki tip; pravila za računanje s korijenima i pronalaženje kubnih i kvadratnih korijena; pregled al-khwarizmijeve Algebre i konačno, različiti problemi abacističkog tipa. Jednadžbe su klasificirane u veliki broj različitih tipova, jer na početku 14. stoljeća u algebri još ne postoji simboličko označavanje. Do tada je svaka moguća kombinacija poznate i nepoznate veličine do četvrtog stupnja zapisivana riječima, a zatim bi se izjednačilo s nekim brojem različitim od 0. Uzmimo za primjer: li censi e numero e radici cuba de numero sono eguale ale cose, što je ax 2 + n + 3 m = bx. Snažna veza izmedu geometrije i algebre postoji i u Dardijevo doba, pa čak i dugo nakon njega. U skladu s tim, prva potencija se dalje interpretira kao dužina odredene duljine, druga potencija kao kvadrat s odredenom duljinom stranice, a treća potencija kao kocka odredene duljine brida, a dalje od toga nije se išlo jer priroda to ne dopušta. Dakle, brojevi su se izjednačavali isključivo s brojevima, nikada ne s nulom, premda neki izvori tvrde, a kasnije će biti nešto riječi i o tome, kako je Dardi bio na tragu prave ideje. Dardijev tekst je sadržajno potpuno drugačiji od pravila i vježbi koje su zapisi- 1 Škola nazvana po abakusu. 43

44 vali abacisti. Isti predstavlja naprednu algebru koja započinje objašnjavanjem navedenih alata potrebnih za razumijevanje i primjenu pravila koja on daje. Primarni alat je al- Khwarizmijeva Algebra, čiji pregled Dardi daje u sklopu svog teksta. Proučavanjem tog pregleda čitatelj stječe uvid u postupke rješavanja jednadžbi iz al-khwarizmijeve sistematizacije, što je nužan preduvjet za razumijevanje ostatka teksta. Tehnike rješavanja jednadžbi oblika ax 3 = n + m, ax 3 + bx 2 = cx, i ostalih jednadžbi koje se lako svode na kvadratne bile su i prije poznate matematičarima. Maestro Dardi daje postupke za rješavanje još nekih kubnih jednadžbi, kao što je jednadžba i još šest sličnih jednadžbi, zajedno sa specifičnim slučajem ax 3 + bx 3 = c, (5.1) ax 3 + bx 2 + cx = d. (5.2) Za početak, oba tipa 5.1 i 5.2 morala su biti podijeljena s koeficijentom uz najveću potenciju. No opća formula može se prilagoditi tako da se a pojavi u njoj. Jednadžbe prvog tipa svode se na kvadratnu jednadžbu uvodenjem supstitucije y 2 3 za x. Jednadžbe drugog tipa rješavale su se pod drugim (novim) uvjetima i jedinstvenim postupkom. Takve su jednadžbe morale ispuniti zahtjev da koeficijent uz linearni član bude jednak jednoj trećini kvadrata koeficijenta uz kvadratni član. Zatim se uvodi supstitucija y b 3a x. Uvjet i supstitucija uklanjaju linearni i kvadratni član. Smatra se da je Dardi prvi matematičar koji je na ovaj način izmijenio polaznu jednadžbu. Poglavlje 41. Dardijeva teksta posvećeno je jednadžbama oblika 5.1, čiji postupak rješavanja Dardi opisuje na sljedeći način: Kada je broj jednak zbroju kuba i korijena kuba tada trebaš: 1. podijeliti broj s vrijednošću nepoznatog kuba ( c ), te rezultat staviti na stranu, a 2. zatim pomnožiti vrijednost nepoznatog kuba sa samim sobom, te dobivenim iznosom podijeliti vrijednost nepoznatog korijena ( b a 2 ), a četvrtinu tog rezultata staviti na stranu ( b 4a 2 ), 44 za

45 3. zbroji zatim rezultate stavljene na stranu, te izvadi korijen iz dobivene vrijednosti (q c a + b 4a 2 ), 4. od posljednjeg rezultata oduzmi korijen rezultata koji si dobio u drugom koraku q (q c + b b ) i dobit ćeš korijen kuba, zatim pomnoži taj korijen sa samim a 4a 2 4a 2 sobom kako bi dobio kub (x 3 ), 5. izvadi kubni korijen i dobiti ćeš traženu vrijednost (x). Primjer 5.1 Prethodno opisanim postupkom riješiti ćemo kubnu jednadžbu 12x x 3 = 342. Dardi u opisu svog postupka kaže: podijeli 342 s vrijednošću nepoznatog kuba (12) kako bi dobio i zapamti taj rezultat. Zatim pomnoži 12 sa samim sobom kako bi dobio 144 i podijeli s tim broj 12, čime se dobije 1 1. Četvrtinu od ( 1 ) dodaj 28 1 i dobiti ćeš Korijenu iz oduzmi korijen iz 1 48 i dobiti ćeš korijen kuba ( 27). Pomnoži taj korijen sa samim sobom kako bi dobio kub, tj. 27. Izvadi kubni korijen iz dobivenoga i dobit ćeš traženu vrijednost x = 3. Iz prethodnog je vidljivo da Dardi nema riječi za koeficijent te umjesto nje koristi izraz vrijednost nepoznatog kuba ili korijena. Tako da ono što on opisuje riječima modernom matematičkom notacijom možemo zapisati kao: ax 3 + bx 3 = c, što kada podijelimo s koeficijentom uz x 3 daje Ê b x 3 + a 2 x3 = c a. Ono što zapravo čini u sljedećem koraku je supstitucija y 2 3 jednadžbu svesti na kvadratnu jednadžbu oblika: za x, čime će polaznu kubnu Ê b y 2 + y a = c 2 a. 45

46 Tu kvadratnu jednadžbu dopuni do potpunog kvadrata Ê b y 2 + y a + b 2 4a = c 2 a + b 4a, 2 što je jednako Iz prethodnog slijedi Ê Œ 2 b y + = c 4a 2 a + b 4a. 2 y = što ako se vrati u supstituciju daje Ê c a + b Ê b 4a 2 4a, 2 Í Ê c x = 3 a + b Ê Ž 2 b 4a. 2 4a 2 Ostalih šest tipova jednadžbi, koje su prema postupku rješavanja slične jednadžbi 5.1, a koje su u rukopisu označene brojevima na marginama su sljedeće: 115. ax 3 + bx 3 = c 127. ax 3 + bx 3 = 3 c 116. ax 3 + c = bx ax c = bx bx 3 + c = ax bx c = ax 3 Vidljiva je veza jednadžbi u istom retku. Svaka od ovih jednadžbi rješiva je istom metodom supstitucije, kao što je pokazano u slučaju jednadžbe 5.1. Modernom notacijom rješenja tih jednadžbi zapisujemo u obliku formula: Í Ê r Ê Ž 2 b c b 115. x = 3 4a + 2 a 2 4a 2 Í Ê r Ê Ž 2 b c b 127. x = 3 4a a 3 4a 2 Í Ê Ê Ž r 2 b b c 116. x = 3 4a ± 2 4a 2 a 2 46

47 Í Ê b 128. x = 3 4a ± 2 Í Ê r b c 117. x = 3 4a + 2 a + 2 Í Ê r Ê b c b 129. x = 3 4a a + 3 4a 2 Ê Ž r 2 b c 4a 3 2 4a 3 Ê Ž 2 b 4a 2 Vidljivo je kako jedino par rješenja 116. i 128. ima dva pozitivna korijena. Ž 2 Drugi tip kubnih jednadžbi koje Dardi rješava jesu već spomenute jednadžbe oblika x 3 + ax 2 + bx = c. Taj se tip kubne jednadžbe pojavljuje kao drugi od četiri specifična problema u dodatku Dardijeva teksta. Zovu se specifični, kako Dardi sam u uvodu kaže, jer nije znao opće pravilo za njihovo rješavanje. Do pravila je došao slučajno i vrijedi samo za posebne slučajeve. Dardijeva metoda za rješavanje ovih kubnih jednadžbi glasi: Kada su nepoznanica, kvadrat nepoznanice i kub nepoznanice jednaki nekom broju, tada se cijela jednadžba mora podijeliti s koeficijentom uz kub. Zatim podijeli linearni koeficijent s kvadratnim koeficijentom. Kubiraj taj kvocijent i dodaj mu slobodni član. Izvadi kubni korijen iz te sume i umanji ga za kvocijent koji se dobije dijeljenjem linearnog s kvadratnim koeficijentom. Rezultat je vrijednost nepoznanice. Odnosno, opisani postupak preveden na jezik modernih algebarskih simbola odgovara formuli Ì Œ 2 b x = 3 c b a a. Njegova metoda za reduciranje problema, tako da je njegovo rješenje jednostavno pitanje traženja kubnog korijena, ukazuje na njegovu domišljatost bez obzira na to što je, kako sam tvrdi, do nje došao slučajno. 47

48 Već je spomenuto kako se metoda sastoji od dva dijela, supstituciji y a 3 omogućuje eliminaciju kvadratnog člana i daje y 3 + b Œy a2 + 2a ab 3 = c, i eliminaciji linearnog člana time što je ispunjen nužan uvjet da je b = a2 3. za x što Maestro Dardi iz Pise je usprkos nepostojanja adekvatnih simbola, uspio uvelike unaprijediti teoriju kubnih jednadžbi. U dodatku svoga rada čak razmatra mogućnost izjednačavanja s nulom, npr. ax + b = 0, što se ne može naći u radu niti jednog njegovog prethodnika. Premda postoji šest prijepisa njegova teksta, nema dokaza da je njegov rad utjecao na druge matematičare. Osim njega i neki drugi abacisti se u svom radu bave pitanjem kubnih jednadžbi te pronalaze njihova rješenje. Krajem 14. stoljeća nepoznati je abacist u svojoj knjizi opisao važne tehnike u pronalaženju rješenja jednadžbi oblika kub i kvadrat jednako broju. 48

49 Poglavlje 6 Razvoj teorije algebarskih jednadžbi u doba renesanse U prvom poglavlju rada je navedeno kako je još od babilonskog doba bilo poznato kako naći (pozitivna) rješenja linearne i kvadratne jednadžbe aritmetičkim i geometrijskim putem. U četvrtom poglavlju rada spomenuli smo da je Omar Khayyam razvio metodu za geometrijsko rješavanje kubnih jednadžbi. Godine Fibonacci, na natjecanju organiziranom od strane cara Friedricha II, daje aproksimativno rješenje kubne jednadžbe s točnošću na devet decimala. Radi se o rješenju jednadžbe x 3 + 2x x = 20, koja je jedan od zadataka iz knjige Omara Khayyama. Fibonacci je prethodno pokazao kako jednadžba nema rješenja u cijelim niti racionalnim brojevima niti koja su kvadratni korijeni racionalnog broja. Ne postoji niti jedan izvor koji govori o tome kako je Fibonacci došao do svog aproksimativnog rješenja. Osim Fibonaccija prethodno u radu je spomenuto kako su i srednjevjekovni Kinezi znali aproksimativno rješavati kubne jednadžbe. Za razliku od kubnih jednadžbi kojima su bila poznata jedino aproksimativna rješenja, rješenja linearnih i kvadratnih jednadžbi poznata od starina, bila su potpuna i jednaka današnjim formulama. Poznato je kako se ta rješenja mogu dobiti iz koeficijenata jednadžbe pomoću četiri osnovne računske operacije i korjenovanja, te se nazivaju rješenja 49

50 u radikalima. Rješenja algebarskih jednadžbi prvog i drugog stupnja u radikalima bila su poznata od prije, a renesansa će donijeti takva rješenja i za jednadžbe trećeg i četvrtog stupnja. Fra Luca Pacioli 1 je jedan od prvih koji u svojoj Summi opisuje postupak rješavanja jednadžbi oblika x 4 = a + bx 2 pomoću supstitucije, dok za x 4 + ax 2 = b i x 4 + a = bx 2 ne daje rješenja. Iz današnje perspektive radi se o jednom tipu jednadžbe, no iz renesansne perspektive radi se o tri tipa jednadžbi, zbog još uvijek neuobičajene upotrebe negativnih brojeva (bitno je koji se članovi nalaze s koje strane jednakosti). Jedno od prvih značajnih imena na polju rješavanja jednadžbi trećeg stupnja je Scipione del Ferro ( ) iz Bologne. Na bolonjskom sveučilištu predavao je aritmetiku i geometriju, te je ostvarivao kontakte s Paciolijem koji je i sam (1501./02.) podučavao u Bologni. Del Ferro je prvi matematičar koji, oko 1515., daje (gotovo) potpunu metodu za rješenje jednadžbe oblika x 3 + ax = b. Kako su renesansni matematičari znali da je supstitucijom kvadratni član uvijek moguće ukloniti iz kubne jednadžbe (kasnije će biti pokazano i kako), radi se zapravo o jednom tipu jednadžbe koji je potrebno znati riješiti. Zbog već navedenog razloga (zahtjeva a, b > 0) razlikuju dva tipa kubnih jednadžbi: x 3 + ax = b, x 3 = ax + b. Del Ferro je svoju metodu držao u tajnosti kako bi ostvario prednost pred drugim matematičarima na matematičkim natjecanjima. Neposredno prije smrti otkrio ju je Antoniu del Fioru, no imao ju je zapisanu i u bilježnici koju će kasnije vidjeti Ferrari. Vijest o tome da je pronadeno rješenje kubne jednadžbe brzo se proširila. 1 Talijanski matematičar koji objavljuje djelo Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, poznato jednostavno kao Summa. Živio je od do

51 Godine Zuanne da Coi šalje sljedeće zadatke matematičaru Niccolu Tartagliai (vidi Prilog 5.): x 3 + 3x 2 = 5, x 3 + 6x 2 + 8x = 10. Tartaglia izjavljuje da zna riješiti ove jednadžbe te ubrzo nakon toga biva izazvan na dvoboj od strane Fiora. Oba sudionika bila su dužna uložiti odredeni iznos novca, te zadati protivniku 30 zadataka. Sav novac pripast će onome koji u 30 dana riješi više zadataka. Pretpostavivši kako će osrednji matematičar, što je bio Fiori, zadati samo zadatke tipa x 3 + ax = b, Tartaglia brzo razvija vlastitu metodu za rješavanje tog tipa jednadžbi. Prema nekim izvorima Tartaglia, je tu metodu razvio u noći s 12. na 13. veljače godine. Tartagliaina pretpostavka bila je točna te je on u nekoliko sati riješio sve Fiorove zadatke, dok Fior nije uspio riješiti Tartagliaine zadatke drugog tipa. Neki od zadataka koje je Fior postavio Tartagliai su: 1. Nadi takav broj da kada mu se doda njegov kubni korijen rezultat bude 6. (Drugim riječima riješi jednadžbu: x 3 + x = 6.) 2. Nadi dva broja od kojih je jedan duplo veći od drugoga, i kada se kvadrat većeg pomnoži s manjim i tom umnošku dodaju se traženi brojevi rezultat je 40. (4x 3 + 3x = 40) 3. Nadi broj koji zbrojen sa svojim kubom daje 5. (x 3 + x = 5) 15. Čovjek proda safir za 500 dukata, čime ostvaruje dobit koja je kubni korijen njegova kapitala. Kolika je dobit? (x 3 + x = 500) 17. Drvo visoko 12 braccia 2 prerezano je na dva dijela na takvom mjestu da je duljina 2 Jedan braccio iznosi 66 ili 68 cm. 51

52 dijela koji je ostao stajati jednaka kubnom korijenu duljine odrezanog dijela. Kolika je visina dijela koji je ostao stajati? (x 3 + x = 12) 30 Zbroj oplošja dva ikozaedra iznosi 700 kvadratnih braccia, oplošje manjeg jednako je kubnom korijenu oplošja većeg ikozaedra. Koliko je oplošje manjeg ikozaedra? (x 3 + x = 700) Vidljivo je kako se zaista svi zadaci svode na kubne jednadžbe oblika x 3 + ax = b. Pobijedivši Fiora, Tartaglia stječe slavu. Vijest o njegovoj pobijedi brzo se širila te je, izmedu ostalih, i milanski matematičar Girolamo Cardano (vidi Prilog 6.) čuo za nju. Cardano poziva Tartagliau k sebi u Milano u nadi da će ga uspjeti nagovoriti da mu oda svoju metodu. Tartaglia će odbijati Cardanove pozive sve dok mu ovaj ne spomene kako je o njemu (Tartagliai) govorio Alfonsu d Avalosu, zapovjedniku vojske u Milanu. Tartaglia tada (1539.) dolazi u Milano u nadi da će dobiti bolje plaćeni posao, no spomenuti zapovjednik je odsutan iz Milana. Isprva Tartaglia oklijeva treba li odati svoju metodu, a kao razlog navodi to da bi ju on sam objavio, no trenutno je zaokupljen prevodenjem Euklidovih Elemenata. Tartaglia tvrdi da po završetku tog posla ima u planu objaviti djelo u kojemu će se medu inim naći i ta metoda, a nada se i njenom poopćavanju na druge oblike kubnih jednadžbi. Tartaglia je bio svjestan kako njegova metoda otvara vrata nalaženju rješenja bilo koje kubne jednadžbe, te se bojao da bi otkrivši ju nekome, taj netko mogao preuzeti zasluge za to otkriće. Naposljetku, Tartaglia ipak pristaje odati metodu, uz uvjet da se Cardano zakune da je neće objaviti prije nego li ju on sam objavi. Cardano daje zakletvu, te dodatno obećava kako će metodu i sve vezano uz nju zapisati u šiframa kako nakon njegove smrti nitko ne bi znao o čemu se radi. Tartaglia je svoju metodu zapisao u obliku pjesme od 25 redaka kako bi ju lakše zapamtio. Pjesma započinje sa: Quando che l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto... (Kada su kub nepoznanice i nepoznanica zajedno jednaki nekom cijelom broju...) 52

53 Cardano će se četiri godine držati svoje zakletve, no prekršit će je objavom svoga djela Ars Magna godine. Cardano se na taj potez odlučuje nakon što je dobio uvid u del Ferrove ranije rezultate, a njegovoj odluci zasigurno je pridonijelo Tartagliaino odugovlačenje s objavom metode. U Ars Magnai Cardano navodi Tartagliau kao autora metode, a uz nju navodi i svoje proširenje metode i rezultate svog studenta Ferrarija o rješenju jednadžbe četvrtog stupnja. Bilo bi pogrešno reći da je Cardano preuzeo zasluge za Tartagliaina postignuća jer je modifikacija Tartagliaine metode do konačnog rješenja kubne jednadžbe Cardanov rezultat. Objava ovih rezultata Tartagliai nikako nije išla na ruku, jer njome gubi prednost na natjecanjima kojima je ostvarivao odredenu financijsku dobit. Tartaglia optužuje Cardana za kradu i izaziva ga na natjecanje. Natjecanje je održano u crkvi Santa Maria del Giardino u Milanu 10. kolovoza 1548., a umjesto Cardana Tartagliai se suprotstavio Ferrari. Ferrari pobjeduje Tartagliau i on biva prisiljen otići s natjecanja, čime gubi prestiž i dohodak. Jedan drugom zadaju 62 zadatka, a neki od zadataka koje Ferrari postavlja Tartagliai su: 15. Nadi dva broja čiji je zbroj jednak zbroju kuba manjeg od ta dva broja i trostrukog umnoška manjeg s kvadratom većeg broja. I zbroj kuba većeg broja s trostrukim umnoškom većeg i kvadrata manjeg je za 64 veći od zbroja ta dva broja. (Drugim riječima treba pronaći a i b takve da vrijedi a+b = b 3 +3ba 2 i a 3 +3ab 2 = 64+a+b.) 17. Broj 8 napiši kao zbroj dva broja takva da njihov umnožak pomnožen s njihovom razlikom bude najveći mogući. 21. Nadi šest brojeva u produljenom razmjeru, počevši od 1, takva da je zbroj udvostručenog drugog i utrostručenog trećeg jednak korijenu šestog. Odnosno nadi niz 1, r, r 2,..., r 5 takav da je 2r + 3r 2 = r Dan je pravokutni trokut takav da kada spustimo okomicu na hipotenuzu, zbroj duljine jedne od kateta i duljine njoj nasuprotnog odsječka hipotenuze iznosi 30, a 53

54 zbroj duljine druge katete i duljine njoj nasuprotnog odsječka hipotenuze iznosi 28. Kolike su duljine kateta? Sam Ferrari, prema riječima Tartagliae, nije znao riješiti zadatak 27. Taj je zadatak gotovo identičan zadatku 14 sa 71. strane Ars Magne, s tom razlikom da je u njemu zbroj jedne katete i nasuprotnog odsječka 31, a drugi zbroj je 29. Ferrari je pronašao jedno rješenje gdje su katete duljine 20 i 15, a hipotenuza 25, visina na hipotenuzu je duljine 12, duljina većeg odsječka je 16, a manjeg 9. No nije dao opće pravilo za rješavanje takvog problema. Tartaglia smatra sramotnom činjenicu da je postavio takav problem kojemu niti sam ne zna naći općenito pravilo za rješavanje. Cardanova Ars Magna najbolja je do tada objavljena knjiga iz algebre. I u njoj se još uvijek neki algebarski identiteti dokazuju geometrijski, primjerice (a b) 3 = a 3 b 3 3ab(a b), te upotreba negativnih brojeva još uvijek nije uobičajena. Već je spomenuto kako je u Ars Magnai opisana modificirana Tartagliaina metoda za rješavanje kubnih jednadžbi te Ferrarijeva metoda za rješenje jednadžbe četvrtog stupnja. U toj se knjizi prvi puta javljaju kompleksni brojevi. Naime, prilikom rješavanja jednadžbe x 3 = 15x + 4 za koju je Cardano znao da ima rješenje x = 4, u postupku se pojavio broj 121 kojeg on tumači kao besmislen broju koji se javlja u postupku rješavanja. Već je spomenuto kako je bolonjski matematičar Ludovico Ferrari (vidi Prilog 7.) prvi dao rješenja za jednadžbu četvrtog stupnja, no prvi kojemu je taj problem povjeren na razmatranje je Cardano. Naime, nakon neuspješnog pokušaja da riješi problem koji mu je postavljen a koji se u konačnici svodi na jednadžbu x 4 + 6x = 60x, Cardano se obraća svom studentu Ferrariju za pomoć. Na temelju poznatih rezultata vezanih za rješavanje kubnih jednadžbi Ferrari uspješno rješava ovaj problem. O samim metodama rješavanja kubnih i jednadžbi četvrtog stupnja bit će riječi u sljedećoj točki 54

55 poglavlja. Premda su matematičari renesanse znali rješavati algebarske jednadžbe do četvrtog stupnja, nisu bili svjesni veze izmedu broja rješenja i stupnja jednadžbe. Tek će na prijelazu s 18. u 19. stoljeće Gauss 3 dokazati kako algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n različitih rješenja (u C), što je danas poznato kao osnovni teorem algebre. Prvi matematičar koji daje primjer jednadžbe stupnja n s n rješenja je François Viète ( ). Viète je bio francuski pravnik i zastupnik u parlamentu, koji se matematikom bavio u slobodno vrijeme. Godine objavljuje djelo In artem analyticem isagoge u kojem opisuje primjenu algebre na geometriju, obrnuto od do tada uobičajenog antičkog pristupa. S Vièteom algebra postaje opća znanost o algebarskim jednadžbama oslonjena na simboličke oznake. Unatoč svemu u njegovu se radu osjeti antičko-grčki utjecaj, što se očituje u rješavanju problema omjera umjesto direktnog rješavanja jednadžbi, te u zahtijevanju homogenosti dimenzija. Danas prilikom rješavanja jednadžbe oblika x 3 + bx = c ne razmišljamo o njenoj geometrijskoj interpretaciji, no Viète smatra njeno rješenje besmislenim jer je x 3 nešto što ima tri dimenzije (volumen kocke stranice x) dok x i c imaju dimenziju jedan, a nije moguće zbrajati ili usporedivati stvari različitih dimenzija. Viète stoga traži rješenja jednadžbi oblika A 3 + B 2 A = B 2 Z, gdje je A nepoznanica, a B i Z poznate veličine (Viète za označavanje nepoznanica koristi samoglasnike, a za konstante suglasnike). U spomenutom djelu Viète opisuje od prije poznate ali i vlastite metode rješavanja jednadžbi do stupnja 4 i daje vezu izmedu rješenja i koeficijenata jednadžbe, danas poznatu kao Vièteove formule. Pojam koeficijent uveo je upravo Viète. Bitno je naglasiti da se ni u Vièteovo doba nije ustalila upotreba negativnih brojeva. Za danu kvadratnu jednadžbu x 2 + ax + b = 0, 3 Johann Karl Friedrich Gauss,

56 kojoj su rješenja x 1 i x 2 Viète uočava kako vrijedi: x 1 x 2 = b, x 1 + x 2 = a. Slično za danu kubnu jednadžbu x 3 + ax 2 + bx + c = 0, čija su rješenja x 1, x 2 i x 3 uočava da je x 1 x 2 x 3 = c, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = b, x 1 + x 2 + x 3 = a. Godine nizozemski matematičar van Roomen postavlja problem koji je zahtijevao rješavanje jednadžbe 45. stupnja, a nizozemski veleposlanik u Francuskoj komentira da su francuski matematičari preslabi da ijedan od njih riješi Roomenov problem. Francuski kralj Henrik IV. daje problem Vièteu, koji uočava kako je u pozadini problema trigonometrijska relacija te ga uspješno rješava u svega nekoliko minuta. Još jedan matematičar ovog razdoblja koji je osobito značajan za razvoj teorije algebarskih jednadžbi je Rafael Bombelli ( ). Bombelli je prva osoba koja daje detaljnu diskusiju kompleksnih brojeva, koji se, kako je već spomenuto, prvi puta javljaju u Cardanovoj Ars Magnai. Nije poznato kako se Bombelli susreo s najznačajnijim matematičkim djelima svoga doba, no sigurno je da je 1540-ih godina pratio sukob Tartaglia-Cardano, te da je imao priliku proučiti Cardanova djela. Kako je po zanimanju bio arhitekt, za vrijeme prekida jednog projekta na kojem je radio, odlučuje napisati knjigu iz algebre. Ipak, spomenuti projekt se ubrzo nastavlja, a Bombelli nastavlja svoju uspješnu arhitektonsku karijeru prije završetka knjige. U toj je knjizi Bombelli htio dati opći i lakše razumljiv prikaz algebre. 56

57 Na jednom putovanju u Rim susreće profesora matematike Pezzija koji mu daje Diofantovu Arithmeticau. Bombelli će nakon toga revidirati započetu knjigu prema Diofantu. Godine objavljene su prve tri knjige njegove Algebre, a druge dvije su ostale nedovršene. Ukupno 143 od 272 zadatka, koje Bombelli daje u trećoj knjizi, preuzeta su od Diofanta. Bombelli ne navodi koji su od zadataka njegovi, a koji su preuzeti, ali pripisuje zasluge Diofantu iz čije je Arithmeticae preuzeo dio teksta. Bombellijeva Algebra daje potpun prikaz tada poznate algebre, uključujući pravila aritmetike s pozitivnim i negativnim brojevima, dokaz da je problem trisekcije kuta 4 ekvivalentan rješavanju kubne jednadžbe, te detaljnu diskusiju kompleksnih brojeva. Imaginarne brojeve zapisuje kao kvadratne korijene negativnih brojeva te daje pravila za njihovo zbrajanje, oduzimanje i množenje. Dokazao je i da korištenjem kompleksnih brojeva Tartaglia-Cardanova metoda daje točna rješenja kubne jednadžbe, te da ireducibilni slučaj kubne jednadžbe daje tri realna rješenja. 6.1 Rješavanje algebarske jednadžbe trećeg i četvrtog stupnja Prethodno je opisano tko je i kada došao do rješenja kubne jednadžbe, ono što slijedi je opis tog rješenja, Cardanovim postupkom u modernoj notaciji. Opći oblik jednadžbe trećeg stupnja glasi: x 3 + ax 2 + bx + c = 0. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je ona normirana. Supstitucijom x = y a 3 ona poprima oblik y 3 + py + q = 0, 4 Jedan od tri klasična problema. Druga dva su problem udvostručenja kocke i kvadrature kruga. 57

58 gdje je p = b 1 3 a2, q = 2 27 a3 1 ab + c. 3 Jednadžba u kojoj nema kvadratnog člana zove se kanonski oblik jednadžbe trećeg stupnja, te se lako uočava kako se svaka jednadžba trećeg stupnja da svesti na kanonski oblik. U skladu s tim dovoljno je znati postupak rješavanje kubne jednadžbe u kanonskom obliku, koji će biti opisan u nastavku. Neka je zadana jednadžba: x 3 + px + q = 0, q 0. (6.1) Rješenje jednadžbe 6.1 tražimo u obliku x = u + v (6.2) gdje su u i v, za sada još neodredeni brojevi. Kako se svaki broj može na beskonačno načina predočiti u obliku zbroja dvaju brojeva, na rastav 6.2 moći ćemo postaviti još jedan uvjet. Ako je 6.2 korijen jednadžbe 6.1, onda je on mora zadovoljavati, tj. mora biti: (u + v) 3 + p(u + v) + q = 0, odnosno: (3uv + p)(u + v) + (u 3 + v 3 + q) = 0. Odaberimo sada onaj od rastava 6.2 za koji vrijedi: 3uv + p = 0. Ako to uvrstimo u prethodnu jednadžbu, dobivamo: u 3 + v 3 = q. Problem rješavanja jednadžbe 6.1 svodi se, dakle, na rješavanje sustava u 3 + v 3 = q uv = p 3, (6.3) 58

59 jer ako su u i v rješenja od 6.3, onda je, očito, u + v rješenje od 6.1. Umjesto sustava 6.3 promotrimo sustav u 3 + v 3 = q u 3 v 3 = p 3. 3 (6.4) Sustavi 6.3 i 6.4 nisu ekvivalentni. Svako rješenje sustava 6.3 jest rješenje sustava 6.4, ali svako rješenje sustava 6.4 ne mora biti rješenje sustava 6.3. Dakle, sustav 6.3 možemo riješiti tako da riješimo 6.4 i uzmemo rješenja od 6.4 koja su ujedno rješenja od 6.3, drugim riječima, riješimo 6.4 i uzmemo ona rješenja od 6.4 koja zadovoljavaju drugu jednadžbu u 6.3. Iz 6.4 prema Vièteovim formulama, zaključujemo da su u 3 i v 3 korijeni jednadžbe p 3 t 2 + qt = 0. 3 (6.5) Odatle je Dakle, t 1,2 = q Ê q 2 p 3. 2 ± s u = 3 q Ê q 2 p 3, s v = 3 q Ê q 2 p Rješenje jednadžbe 6.1 može se, dakle, predočiti u obliku: s x = 3 q Ê s q 2 p q Ê q 2 p (6.6) 2 3 Bitno je naglasiti kako je u samo jedan od tri kompleksna korijena od u 3 te da je Cardano znao odrediti samo realni. Cardanova formula je nespretna za računanje, pa ćemo postupak rješavanja jednadžbe trećeg reda malo modificirati. 59

60 Neka je s u 1 = 3 q Ê q 2 p bilo koja vrijednost korijena i v 1 = p 3u 1. Ako je ω = 1 2 i 3 2 jedan od trećih korijena jedinice 5, onda je ω 2 = i 3 2, ω3 = 1, ω 4 = ω, ω 5 = ω 2,... (6.7) Tvrdimo da se rješenja jednadžbe 6.1 mogu napisat na sljedeći način: x 1 = u 1 + v 1, x 2 = u 1 ω + v 1 ω 2, x 3 = u 1 ω 2 + v 1 ω. (6.8) Da je u 1 +v 1 korijen te jednadžbe očito je iz postupka pomoću kojega smo izveli Cardanovu formulu. Treba provjeriti da su tako definirani x 2 i x 3 takoder korijeni te jednadžbe. Provjerit ćemo tako što x 2 = u 1 ω + v 1 ω 2 uvrštavamo u jednadžbu 6.1, čime dobivamo (u 1 ω + v 1 ω 2 ) 3 + p(u 1 ω + v 1 ω 2 ) + q = u v ω(u 1 + v 1 ω)(3u 1 v 1 + p) + q = 0, (6.9) jer u 1 i v 1 zadovoljavaju sustav 3. Dakle i x 2 je rješenje jednadžbe 6.1. Na analogan način se pokaže da je i x 3 njeno rješenje. Uvrstimo li u 6.8 ω = 1 i 3, korijene možemo 2 2 napisati u obliku: x 1 = u 1 + v 1 x 2 = 1 2 (u 1 + v 1 ) + i 3 2 (u 1 v 1 ) (6.10) x 3 = 1 2 (u 1 + v 1 ) i 3 2 (u 1 v 1 ) U Cardanovoj formuli pojavljuje se izraz = q 2 2Š + p Š 3, 3 koji ima istu ulogu kao i diskriminanta kod kvadratne jednadžbe, pa se zato i zove diskriminanta jednadžbe 6.1, a ovisno o njegovu predznaku moguće su tri situacije za broj različitih realnih rješenja kubne jednadžbe. O tome govori sljedeći teorem. 5 Prema Moivreovoj formuli za korjenovanje : w k = È z n 60 cos ϕ+2kπ n +i sin ϕ+2kπ n, k = 0, 1,..., n 1.

61 Teorem 6.1 Neka je diskriminanta jednadžbe trećeg stupnja s realnim koeficijentima. Tada vrijedi: 1) Ako je > 0, onda jednadžba 6.1 ima jedan realni i dva konjugirano kompleksna korijena. 2) Ako je = 0, onda su svi korijeni jednadžbe 6.1 realni i bar jedan od njih je višestruk. 3) Ako je < 0, onda su svi korijeni jednadžbe 6.1 realni i različiti. Slika 14. Ovisnost broja realnih rješenja kubne jednadžbe o predznaku. Dokaz: 1) Ako je > 0. U tom su slučaju korijeni t 1 i t 2 jednadžbe 6.5 realni i različiti, pa je bar jedan od njih različit od nule. Neka je to t 1. Neka je u 1 = 3 t 1 ona vrijednost trećeg korijena koja je realna. Tada je v 1 realni broj jer je 3u 1 v 1 + p = 0. Kako je t 1 t 2, to je i u 13 v 1 3, pa je i u 1 v 1. Iz formule 6.10 slijedi da je korijen x 1 realan, a x 2 i x 3 su konjugirano kompleksni. 2) Ako je = 0 i q 0, onda je t 1 = t 2 = q 2 0. Neka je u 1 = 3 È q 2 realna vrijednost trećeg korijena. Kako je u 1 v 1 = p 3 realni broj, to je i v 1 = 3 È q 2, tj. u 1 = v 1 0. Prema 6.10 zaključujemo da su korijeni: x 1 = 2u 1 0, x 2 = x 3 = u 1, tj. jednadžba 6.1 ima tri realna korijena i jedan od njih je dvostruk. Ako je pak = 0 i q = 0, Tada je i p = 0. U tom slučaju jednadžba 6.1 ima oblik x 3 = 0, pa je x 1 = x 2 = x 3 = 0. 61

62 3) Ako je < 0, onda su brojevi t 1 = q +, t 2 2 = q konjugirano kompleksni, 2 pa je stoga t 1 = t 2 = 0, (6.11) t 1 t 2. (6.12) Neka su u 1 i v 1 brojevi takvi da je u 3 1 = t 1, u 1 v 1 = p 3, v 1 3 = t 2. (6.13) Iz 6.11 i 6.13 slijedi da je u 1 3 = v i u 1 = v 1 0. (6.14) Prema 6.12 slijedi: u 1 v 1. (6.15) Iz 6.13 i 6.14 slijedi: p = 1, (6.16) 3 u 1 2 a na osnovi 6.13 i 6.14 zaključujemo: v 1 = p = p u 1 = p 3u 1 3u 1 u 1 3 u 1 = u 1. (6.17) 2 Iz 6.15 i 6.17 slijedi da su u 1 i v 1 kompleksno konjugirani brojevi, pa iz 6.10 zaključujemo da su sva tri korijena realna. Preostaje još pokazati da su oni i različiti. Iz 6.10 slijedi da je x 2 x 3. Pretpostavimo da je x 1 = x 2, tada iz 6.8 slijedi: u 1 + v 1 = u 1 ω + v 1 ω 2, odnosno u 1 (1 ω) = v 1 (ω 2 1), stoga je u 1 0 = v 1 ω 2. Odatle slijedi da je t 1 = t 2 i = 0, a to je proturječno s uvjetom da je < 0. Na isti način se dokazuje da je x 1 x 3. U slučaju 3) vidimo da su korijeni, iako je izraz pod trećim korijenom kompleksan, ipak realni i različiti. Taj se slučaj zove casus ireducibilis, tj. ireducibilni slučaj. 62

63 U prethodnoj točki poglavlja je spomenuto kako je za rješenje jednadžbe četvrtog stupnja zaslužan Ludovico Ferrari. U nastavku će biti opisana njegova metoda u modernoj notaciji. Postupak je jednostavan ako polazna jednadžba nema kubnog člana: iz x 4 + bx 2 + cx + d = 0 (6.18) redom slijedi x 4 + 2bx 2 + b 2 = bx 2 cx + b 2 d (x 2 + b) 2 = bx 2 cx + b 2 d pa za svaki t vrijedi (x 2 + b + t) 2 = bx 2 cx + b 2 d + 2t(x 2 + b) + t 2, tj. (x 2 + b + t) 2 = (b + 2t)x 2 cx + (b 2 d + 2bt + t 2 ). (6.19) Odaberemo t tako da je desna strana potpun kvadrat, tj. tako da joj diskriminanta bude nula: ( c) 2 4(b + 2t)(b 2 d + 2bt + t 2 ) = 0, 8t 3 20bt 2 + (8d 16b 2 )t + (c 2 4b 3 + 4bd) = 0. Jedno takvo rješenje t uvrstimo u 6.19 i dobijemo kvadratnu jednadžbu za x. U općem slučaju jednadžbu x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (6.20) zapišemo u obliku x 4 + ax 3 = bx 2 cx d i dodamo a2 x 2 4 na obje strane, iz čega dobivamo x 2 + ax 2 2 a 2 Œ = 4 b x 2 cx d. 63

64 Dodavanje izraza 2t(x 2 + ax 2 ) + t2 4 daje x 2 + ax 2 2Œ + t 2 a 2 Œ = 4 b + 2t x 2 + (at c)x d + t2 4. (6.21) Zatim biramo t tako da desna strana bude potpun kvadrat, tj. da joj je diskriminanta nula: to daje kubnu jednadžbu a (at c) 2 2 Œ Œ 4 4 b + 2t d + t2 = 0, 4 t 3 bt 2 + (ac 4d)t + (4bd a 2 d c 2 ) = 0. Jedan korijen t uvrstimo u jednadžbu 6.21, korjenujemo i dobivamo kvadratnu jednadžbu za x. 64

65 Poglavlje 7 Nerješivost opće algebarske jednadžbe u radikalima U prethodnom poglavlju je opisano kako su talijanski matematičari u 16. stoljeću došli do formula za rješavanje algebarskih jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja. Stoga se samo po sebi nametalo pitanje: Postoje li formule pomoću kojih bi mogli naći rješenja algebarskih jednadžbi stupnja većeg od 4 preko koeficijenata tih jednadžbi i konačno mnogo primjena četiri osnovne računske operacije i korjenovanja? Odnosno, pitamo se imaju li jednadžbe stupnja 5 pa na dalje rješenje u radikalima. Upravo će potraga za odgovorom na ovo pitanje otvoriti put razvoju algebre kao apstraktne matematičke discipline, koji će započeti u drugoj polovini 18. stoljeća. Pitanje rješivosti algebarske jednadžbe stupnja većeg od 4 osobito će utjecati na razvoj teorije grupa. Stoga, u svrhu lakšeg razumijevanja ostatka ovog poglavlja, ponovimo najprije osnovne pojmove vezano uz grupe. Definicija 7.1 Grupa se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije 1 definirane na njemu, s tim da moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti: 1) Asocijativnost, što znači da kod uzastopnog ponavljanja iste operacije nisu potrebne 1 Funkcija koja dvama elementima iz G pridružuje neki objekt istog skupa. 65

66 zagrade, tj. (a b) c = a (b c), za sve a, b, c G 2) Postojanje neutralnog elementa, znači da u G postoji neki element e sa svojstvom da binarna operacija primijenjena na njega i bilo koji drugi element a G ne mijenja taj element, tj. a e = e a = a. 3) Invertibilnost, znači da za svaki a G možemo naći a 1 G tako da binarna operacija njima dvama pridružuje neutralni element, tj. a a 1 = a 1 a = e. Prve poznate grupe bile su grupe permutacija 2, a razvile su se upravo kroz traženje rješenja algebarskih jednadžbi. Njihovi su elementi permutacije nekog skupa (ne nužno sve), a kao operacija se uzima kompozicija permutacija, s tim da vrijede svojstva: 1) Kompozicija dvije permutacije iz grupe mora takoder biti u grupi. 2) (f g) h = f (g h). (Asocijativnost) 3) Grupe permutacija moraju sadržavati identitetu, funkciju i koja predstavlja neutralni element za kompoziciju: i f = f i = f. (Postojanje neutralnog elementa) 4) Za svaku permutaciju u grupi postoji njen inverz: f f 1 = f 1 f = i. (Invertibilnost) Vratimo se sada na pitanje rješivosti algebarskih jednadžbi stupnja većeg od 4 u radikalima. Prvi izazov, logično, bio je pronaći rješenje algebarske jednadžbe petog stupnja x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 2 Permutacija nekog skupa je bijekcija s tog skupa na sebe. Možemo ju shvatiti kao promjenu redoslijeda navodenja elemenata tog skupa. 66

67 u radikalima. Naime, na prijelazu s 18. u 19. stoljeće nije se razmatrala mogućnost da takvo rješenje eventualno ne postoji, nego se smatralo da ono nije nadeno. Jedan od prvih matematičara kod kojega je problem rješivosti algebarske jednadžbe petog stupnja u radikalima pobudio interes je švicarski matematičar Leonhard Euler ( ). S problemom se suočava prvi puta za vrijeme svog boravka u St. Petersburgu, no tadašnja razmatranja nisu urodila plodom. Trideset godina poslije u Berlinu ponovno se bavi ovom tematikom, te u svom djelu O rješenju jednadžbe proizvoljnog stupnja iznosi pretpostavku da rješenje jednadžbe n-tog stupnja ima oblik A + B n α + C( n α) 2 + D( n α) 3 + gdje je α rješenje neke pomoćne jednadžbe stupnja n 1, i A, B, C,... su algebarski izrazi koji povezuju koeficijente polazne jednadžbe. Euler staje na pitanju: Je li takvu pomoćnu jednadžbu stupnja n 1 uvijek moguće pronaći? Premda je Eulerov rad na ovom području prilično nedorečen, postoje neke naznake da je utjecao na Abela. Prvi matematičar koji je ostvario značajniji napredak po pitanju rješivosti jednadžbe petog stupnja u radikalima je Joseph-Louis Lagrange ( ). On je sukladno tada ustaljenom mišljenju vjerovao kako to rješenje postoji, te se nadao da će ga naći. Njegov interes za algebru bio je osobito intenzivan za vrijeme njegova boravka u Berlinu. Godine (prema nekim izvorima 1771.) objavljuje članak pod naslovom Razmišljanja na temu algebarskih rješenja jednadžbi. U članku isprva analizira razne metode, kao što su Vièteova, Descartesova, Eulerova i druge, za rješavanje kubnih i jednadžbi četvrtog stupnja, te pokušava uvidjeti zašto je tim jednadžbama moguće pronaći rješenje, nadajući se da će tako otkriti kako riješiti jednadžbe višeg stupnja. Članak je osobito bitan jer se u njemu prvi puta rješenja jednadžbe razmatra kao apstraktne vrijednosti, a ne kao konkretne brojeve. Lagrange se u tom članku bavio i permutacijama korijena algebarskih jednadžbi, te uočava da ako su x 1, x 2, x 3 korijeni neke kubne jednadžbe te 1, ω, ω 2 kompleksni kubni korijeni broja 1, onda za šest mogućih permutacija od x 1, x 2, x 3 izraz x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3 67

68 poprima samo dvije različite vrijednosti: t 1 = x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3, t 2 = x 1 + ω 2 x 2 + ωx 3, t 3 = ω 2 x 1 + ωx 2 + x 3, t 4 = ωx 1 + x 2 + ω 2 x 3, t 5 = ω 2 x 1 + x 2 + ωx 3, t 6 = ωx 1 + ω 2 x 2 + x 3. Uzimajući u obzir da je ω kompleksni kubni korijen od jedan, lako ga eliminiramo ispred x 1. Uzmimo za primjer t 3 (ω 2 x 1 + ωx 2 + x 3 ) = ω 2 (x 1 + ω 2 x 2 + ωx 3 ) = ω 2 t 2. Istim postupkom dobili bi smo da je t 4 = ωt 2, t 5 = ω 2 t 1 i t 6 = ωt 1. Formiramo sada jednadžbu šestog stupnja kojoj su ovi t-ovi rješenja: (x t 1 )(x t 2 )(x ω 2 t 2 )(x ωt 2 )(x ω 2 t 1 )(x ωt 1 ) = 0. (7.1) Pojednostavljeno: (x 3 t 1 3 )(x 3 t 2 3 ) = 0. Dobili smo tako kvadratnu jednadžbu, te time pokazali da za šest mogućih permutacija korijena kubne jednadžbe, izraz x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3 poprima samo vrijednosti t 1 ili t 2. Jednadžbu 7.1 Lagrange naziva rezolventna jednadžba. Isti postupak Lagrange je primijenio i na jednadžbu četvrtog stupnja te je dobio rezolventnu jednadžbu 24. stupnja. Isto kao što se u prethodnom slučaju jednadžba šestog stupnja svela na kvadratnu jednadžbu, u ovom se slučaju jednadžba 24. stupnja svede na jednadžbu šestog stupnja. To se možda čini nezgodnim, no radi se zapravo o kubnoj jednadžbi po x 2, što se lako riješi. Nadalje, uočio je da će rezolventna jednadžba za jednadžbu petog stupnja biti stupnja 120, te da se ona može svesti na jednadžbu 24. stupnja. No, tu je stao. Lagrange je u svome radu otkrio i neka svojstva grupa i podgrupa, a osobito je značajan Lagrangeov teorem koji u terminima moderne algebre glasi: Teorem 7.1 U konačnoj grupi G broj elemenata svake njene podgrupe dijeli broj elemenata od G. 68

69 Lagrangeova formulacija bila je nešto drugačija. Pretpostavimo da imamo polinom sa n nepoznanica, znamo da postoji n! permutacija tih nepoznanica. Postavlja se pitanje: Koliko različitih vrijednosti može poprimiti taj polinom? Lagrange u svome teoremu tvrdi da će to biti broj koji dijeli n!. Promotrimo prethodni primjer gdje su x 1, x 2, x 3 bile nepoznanice u izrazu x 1 + ωx 2 + ω 2 x 3. Znamo da postoji šest njihovih permutacija, te smo pokazali da izraz poprima samo dvije različite vrijednosti. Broj različitih vrijednosti prema ovom teoremu može biti i 3 i 6, no nikada neće biti 4 ili 5. Bitno je naglasiti da nije svaki djelitelj od n! mogući broj različitih vrijednosti tog polinoma. Uzmimo za primjer da je n = 5, tada je n! = 120. Kako 4 dijeli 120 mogli bismo pretpostaviti da postoji polinom sa 5 nepoznanica koji poprima četiri različite vrijednosti, no to nije točno. Ovu će činjenicu otkriti Cauchy 3. Lagrangeov teorem temelj je teorije grupa, teorije koja u njegovo vrijeme nije ni postojala. Neovisno o Lagrangeu, no gotovo istovremeno, sličnim se razmatranjima bavio i francuski matematičar Alexandre-Théophile Vandermonde ( ). Članak na istu temu objavio je čak nekoliko mjeseci prije Lagrangea, no tiskan je tek kada je Lagrangeov rad bio široko poznat, te tako nije imao osobitog odjeka medu matematičarima. Ne postoje nikakve naznake da je Lagrange bio upoznat s Vandermondeovim radom, štoviše, gotovo je sigurno da nije. Talijanski matematičar i medicinar Paolo Ruffini (vidi Prilog 8.) prvi je tvrdio da se opća jednadžba petog stupnja ne može riješiti u radikalima. Tu će tvrdnju iznijeti u knjizi Teorie generale delle equazioni, koju objavljuje Svoju je tvrdnju pokušao dokazati koristeći teoriju permutacija, pri čemu je morao dokazati niz teorema koji su zapravo teoremi o grupama permutacija. Ruffini je u svojoj teoriji permutacija uveo mnoge moderne pojmove teorije grupa, kao što je red elemenata 4 tj. permutacije i brojne druge. 3 Augustin Louis Cauchy, To je broj koliko puta permutaciju treba komponirati sa samom sobom da bi se dobila identiteta. 69

70 Ono što mi danas zovemo permutacija, Ruffini zove permutazione. Pri tome eksplicitno koristi svojstvo zatvorenosti grupe. Permutazione Ruffini dijeli u dvije vrste: permutazione semplice (u modernoj terminologiji: cikličke permutacije) i permutazione composta. Grupa permutacija je ciklička ako se može naći permutacija f u njoj, tako da su sve ostale permutacije nastale kompozicijom permutacije f sa samom sobom odredeni broj puta. Prvi Ruffinijev dokaz nerješivosti algebarske jednadžbe petog stupnja u radikalima imao je samo jednu rupu. No, suprotno onome što bi se očekivalo od tako značajnog rezultata, njegov dokaz nije privukao nikakvo zanimanje matematičke javnosti. Kako je sam vjerovao da je dokazao nešto značajno bio je prilično razočaran nedostatkom reakcije. Godine šalje kopiju svoje knjige Lagrangeu. Kako odgovor nije dobio, šalje još jednu kopiju te moli Lagrangea da ga upozori u koliko se ne radi o novim rezultatima. Nakon što niti tada nije dobio odgovor, šalje kopiju svoje knjige i treći put. Prema svemu sudeći niti tada nije dobio odgovor. Jedna od rijetkih osoba koja je prihvatila Ruffinijev dokaz je profesor iz Pise, Pietro Paoli, no u obzir se moraju uzeti patriotski motivi. Godine Ruffini će objaviti novi, i kako sam smatra, razumljiviji dokaz. Na njegovu žalost i ovaj je dokaz doživio sličnu sudbinu kao i prvi. No, ustrajan u svome radu Ruffini objavljuje još dva dokaza i Čini se da je najveći Ruffinijev problem bio upravo nedostatak reakcije, dakle dokaz nije niti prihvaćen niti osporen. Za provjeru točnosti rezultata Ruffini je zamolio pariški znanstveni institut te je za to imenovana komisija koju su činili Lagrange, Legendre i Lacroix. Komisija je zaključila da se ne radi o ničem bitnom. Za mišljenje je zamoljeno i Royal Society, koje je dalo nešto ljepši izvještaj, u kojem se ne slažu sa svim detaljima, no teorem se smatra dokazanim. Ruffini je gotovo do svoje smrti bezuspješno tražio priznanje za svoj rad. Jedina osoba koja je priznala važnost i točnost njegovih rezultata je Cauchy. On šalje Ruffiniju pismo u kojemu iznosi kako je prema njegovom mišljenju tvrdnja da opća algebarska jednadžba petog stupnja nema rješenje u radikalima dokazana. Sam Cauchy je u razdoblju od do napisao djelo o grupama permutacija u kojemu je proširio 70

71 neke Ruffinijeve rezultate. Norveški matematičar Niels Henrik Abel (vidi Prilog 9.) daje prvi priznati dokaz o nerješivosti algebarskih jednadžbi stupnja pet u radikalima. U svome dokazu koristi postojeće ideje o permutacijama rješenja jednadžbi. Pitanjem rješivosti opće jednadžbe petog stupnja u radikalima počinje se baviti oko godine. U svojoj 19. godini (1821.) objavljuje prve rezultate o jednadžbama petog stupnja, u kojima je naizgled dokazao rješivost. Taj je rad predao danskom matematičaru Ferdinandu Degenu, s ciljem da ga objavi Kraljevsko društvo u Copenhagenu. Degen je zamolio Abela za konkretan primjer, te pokušavši mu ga dati, Abel uvida grešku u radu. Godine Abel se vraća radu na jednadžbama petog stupnja i dokazuje da se ne mogu riješiti u radikalima. Potaknut željom da putuje u Njemačku i Francusku kako bi upoznao tamošnje velike matematičare, rad će objaviti o vlastitom trošku i na francuskom, kako bi imao impresivan rezultat za prezentiranje. Naslov rada bio je Memoire sur les equations algébriques où on démontre l impossibilité de la résolution de l equation generale du cinquième degré, a kako bi smanjio troškove tiskanja Abel ga je sažeo na šest strana. Čini se kako je u vrijeme pisanja ovog rada Abel bio upoznat sa Ruffinijevim radom, te da je proučavao Cauchyevo djelo iz 1815., jer se u njemu poziva na te radove. Kada je napokon otputovao u Berlin, upoznaje Augusta Crellea, matematičkog amatera i osnivača jednog od najznamenitijih matematičkih časopisa: Journal für die reine und angewandte Mathematik, poznat kao Crelle s Journal. U tom će časopisu Abel objaviti jasniju verziju svog dokaza o nerješivosti jednadžbe petog stupnja. Primjerak svoga rada poslao je i tada vrlo uvaženom matematičaru, Gaussu. Kasnije saznaje da Gauss nije bio zadovoljan dobivanjem njegova rada o jednadžbama petog stupnja, te odustaje od prvotne namjere da ga posjeti u Göttingenu. Nije poznato zašto je Gauss imao takav stav prema Abelovu radu jer je sigurno da ga nije ni pročitao članak je naden neotvoren nakon njegove smrti. Mogući razlozi su da je sam to dokazao ili pak da je takav dokaz smatrao nebitnim, što je vjerojatnije. Godine Abel se vraća u Norvešku te se oko počinje baviti pitanjem koje će nekoliko godina kasnije riješiti Galois: Koje algebarske jednadžbe su rješive u radikalima? 71

72 Abel uskoro nakon toga obolijeva i umire. Nakon njegove smrti nadeni su još neki rezultati o algebarskim jednadžbama, medu inima i teorem u pismu Crelleu iz jeseni 1828.: Ako ireducibilna 5 jednadžba trećeg stupnja ima takvu vezu medu tri svoja korijena da se jedan od njih može izraziti kao racionalna funkcija druga dva, onda je jednadžba rješiva u radikalima. Tip dokaza koji Abel koristi da bi pokazao kako opća algebarska jednadžba petog stupnja nema rješenja je tzv. reductio ad absurdum. Dakle, prvo pretpostavlja da opća algebarska jednadžba petog stupnja, koju zapisuje x 5 ax 4 + bx 3 cx 2 + dx e = 0, ima algebarska rješenja, te da su sva rješenja x izražena preko koeficijenata a, b, c, d, e i pomoću konačno mnogo primjena četiri osnovne računske operacije i vadenja korijena. Abel zatim daje izraz za opće rješenje jednadžbe, nalik na Eulerovo. Koristi zatim i tvrdnju da se općenito rješenje mora moći zapisati kao polinom po svim rješenjima, zajedno s petim korijenom iz jedinice. Koristi takoder i činjenicu da polinom s pet različitih nepoznanica može poprimiti ili dvije ili pet različitih vrijednosti, ali ne tri i četiri. Primijenivši te činjenice na svoje opće rješenje jednadžbe dolazi do kontradikcije. Zanimljivo je da Abelovim dokazom ova tema ne prestaje biti aktualna. Devet godina nakon objave Abelova dokaza, matematičar G. B. Jerrard u Dublinu prezentira rad u kojem tvrdi da je pronašao rješenje opće jednadžbe petog stupnja. Pri toj će tvrdnji ostati punih dvadeset godina. Premda opća algebarska jednadžba petog stupnja nema rješenja u radikalima, znamo da postoje jednadžbe petog stupnja koje imaju takvo rješenje. Jedna od takvih jednadžbi je x 5 1 = 0. Stoga se nameće pitanje: Koje algebarske jednadžbe imaju rješenje u radikalima? 5 Ireducibilna jednadžba je jednadžba dobivena izjednačavanjem ireducibilnog polinoma s nulom. Ireducibilni polinom je onaj koji se (nad danim poljem) ne može faktorizirati na netrivijalne faktore, primjerice x je ireducibilan nad R, dok je x 2 1 = (x 1)(x + 1) reducibilan. 72

73 Već je spomenuto kako se Abel pred kraj života počeo baviti ovim pitanjem, a potpuni odgovor na njega dati će veliki francuski matematičar Évariste Galois (vidi Prilog 10.). Okosnica Galoisova rada na području teorije algebarskih jednadžbi bila je upravo potraga za odgovorom na pitanje: Kako za zadanu algebarsku jednadžbu, bilo kojeg stupnja, utvrditi ima li rješenje u radikalima? Postupkom kojim je došao do odgovora na ovo pitanje pozabaviti ćemo se nešto kasnije. Zanimanje za pitanje rješivosti algebarskih jednadžbi u radikalima kod Galoisa se počinje javljati nakon neuspješnog pokušaja upisa, na tada za matematiku, najugledniju francusku školu École Polytechnique, godine Prvi rad na tu temu predao je na recenziju Akademiji znanosti u svibnju godine. Kao recenzent imenovan je Cauchy koji je u to vrijeme bio član Akademije znanosti i profesor na École Polytechnique. Cauchy je taj rad zagubio. U veljači predaje još jedan članak u nadi da će za njega dobiti nagradu Akademije znanosti. Recenzent ovog članka bio je Fourier 6, koji je umro u svibnju iste godine. I ovom članku je nakon toga izgubljen svaki trag. Potaknut od Poissona siječnja Akademiji predaje treću verziju rada pod naslovom Mémoire sur les conditions de resolubilité des equationspar radicaus. Nakon šest mjeseci, za vrijeme boravka u zatvoru, saznaje da je i njegov posljednji članak odbijen, s argumentom da je stil izlaganja nejasan i nedovoljno razraden. Ipak, Poissonovo izvješće potaknuti će Galoisa da se za vrijeme boravka u zatvoru nastavi baviti matematikom, te da objavi potpuni prikaz svojih rezultata. Tako nastaje djelo Des équations primitives qui sont solubles par radicaux, kojim Galois nastoji dati kriterij koji bi omogućio da se iz koeficijenata jednadžbe utvrdi je li ona rješiva u radikalima. Poznato je kako će Galois biti izazvan na dvoboj (vidi Prilog 10.), te da je noć prije tog dvoboja napisao dva pisma, od kojih je jedno njegov znameniti matematički testament. U tom je pismu Galois stvorio temelje za razvoj teorije grupa, premda nju nigdje ne definira. Te je noći Galois napisao pregled svih svojih rezultata. Od posljed- 6 Joseph Fourier, Simeon-Denis Poisson,

74 ica dvoboja Galois umire, a svi njegovi papiri su, prema njegovoj želji, poslani Gaussu i drugim značajnim matematičarima tog vremena. Godine spisi dolaze do Liouvillea 8 koji će nakon nekoliko mjeseci proučavanja uvidjeti njihovu važnost. Liouville objavljuje Galoisove rezultate u Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Prvi potpuni i jasan prikaz Galoisovih rezultata dao je Camille Jordan ( ) u svojoj knjizi Traité des substitutions et des equations algébraiques (1870.). Galois je vjerojatno bio prvi matematičar koji je stvarno shvatio da je pitanje rješivosti algebarske jednadžbe u radikalima neposredno vezano za strukturu grupe koja se danas zove Galoisovom grupom jednadžbe. njezinih rješenja. Galoisova grupa jednadžbe je grupa permutacija Ponekad su rješenja algebarske jednadžbe povezana dodatnim algebarskim jednadžbama. Galois preuzima Lagrangeovu ideju promatranja takvih dodatnih jednadžbi, koje su ispunjene neovisno o tome kako permutiramo rješenja polazne jednadžbe. Definicija 7.2 Za dani polinom stupnja n s koeficijentima iz polja 9 F postoji jedinstvena grupa G permutacija n-članog skupa takva da je svaka racionalna funkcija koja postiže vrijednosti u F invarijantna s obzirom na sve elemente od G i obrnuto, svaka racionalna funkcija korijena jednadžbe koja je invarijantna obzirom na sve permutacije iz G postiže vrijednosti u F. Ta grupa G zove se Galoisovom grupom promatranog polinoma (obzirom na polje koeficijenata F). Obično se kao polje F uzima polje racionalnih brojeva i pod algebarskim jednadžbama se obično podrazumijevaju polinomijalne jednadžbe s koeficijentima iz polja Q. Ilustrirajmo navedeno na primjeru kvadratne jednadžbe: x 2 4x + 1 = 0, 8 Joseph Liouville, Polje je skup s dvije na njemu definirane binarne operacije + i takve da je obzirom na + komutativna grupa i da je F bez elementa 0 (gdje je 0 neutralni element obzirom na +) komutativna grupa obzirom na. Pritom operacije + i moraju biti povezane svojstvom distributivnosti: x (y + z) = x y + x z za sve x, y, z F. U polju se može definirati i oduzimanje i dijeljenje te su rezultati sve osnovne četiri operacije primijenjene na elemente polja takoder elementi tog polja. 74

75 čija su rješenja x 1,2 = 2 ± 3. Algebarski identiteti koji su zadovoljeni neovisno o tome koje od ova dva rješenja zovemo x 1, a koje x 2 su Vièteove formule x 1 + x 2 = 4, x 1 x 2 = 1. Vièteove formule simetrične su s obzirom na x 1 i x 2 tj. funkcije f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 4 i g(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 1 koje odreduju te jednadžbe simetrični su polinomi dviju varijabli. Može se pokazati da se svaka simetrična racionalna funkcija promatrana kao funkcija od x 1 i x 2 može izraziti kao racionalna funkcija tih dviju elementarnih simetričnih funkcija. Ako su to i jedine racionalne funkcije od x 1 i x 2 koje poprimaju vrijednosti u polju iz kojeg su a i b, onda je Galoisova grupa grupa S 2 svih permutacija (njih dvije: identitete i transpozicije) dvočlanog skupa {x 1, x 2 }. Za kvadratne jednadžbe čija su rješenja racionalna jedina permutacija koja ostavlja invarijantnim sve algebarske identitete s rješenjima jednadžbe je identiteta tj. Galoisova grupa jednadžbe je trivijalna grupa koja se sastoji samo od identitete. Rješenja algebarskih jednadžbi stupnja n takoder su povezani Vièteovim formulama koje su pak odredene elementarnim simetričnim funkcijama i može se dokazati da se svaka simetrična racionalna funkcija n varijabli (rješenja jednadžbe) može izraziti kao racionalna funkcija koeficijenata jednadžbe. Stoga, ako su ti koeficijenti iz polja Q, slijedi da se uvrštavanjem rješenja u bilo koju simetričnu racionalnu funkciju dobiva racionalan broj. No, mogu postojati i nesimetrične racionalne funkcije koje pri uvrštavanju rješenja jednadžbe poprimaju vrijednosti u Q i invarijantne su s obzirom na primjenu bilo koje permutacije rješenja jednadžbe. Promotrimo sada Galoisovu grupu jednadžbe četvrtog stupnja x 4 10x = 0, čija su rješenja x 1,2,3,4 = ± 2 ± 3. Postoji 4! = 24 moguće permutacije tih rješenja, no nisu sve u Galoisovoj grupi polinoma x 4 10x Primjerice transpozicija (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (x 1, x 3, x 2, x 4 ) nije u 75

76 Galoisovoj grupi jer jednadžba x 1 + x 2 = 0 jeste zadovoljena ako odaberemo x 1 = 2 + 3, x 2 = 2 3, x 3 = 2 + 3, x 4 = 2 3, ali nije zadovoljena ako odaberemo x 1 = 2 + 3, x 2 = 2 + 3, x 3 = 2 3, x 4 = 2 3. Daljnjom analizom svih mogućih permutacija rješenja lako se uočava da su u Galoisovoj grupi ove jednadžbe samo njih četiri: identiteta (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ), te permutacije (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (x 3, x 4, x 1, x 2 ), (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (x 2, x 1, x 4, x 3 ), (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (x 4, x 3, x 2, x 1 ). Ta grupa je (do na izomorfizam) poznata kao Kleineova četvorna grupa. Galois je otkrio da ključ rješivosti algebarskih jednadžbi predstavljaju posebne podgrupe grupe permutacija svih rješenja jednadžbe, danas zvane normalnim podgrupama. Definicija 7.3 Podgrupa H grupe G zove se normalna podgrupa ako je Hc = ch, c G. On uvida da algebarska jednadžba ima rješenje u radikalima jedino ako se Galoisova grupa jednadžbe može svesti na identitetu konačnim nizom normalnih podgrupa. Iz prethodnog izlaganja može se uočiti kako je prije samo 200 godina algebra većim djelom, ako ne i u potpunosti, bila usmjerena na pitanje rješivosti algebarskih jednadžbi. 76

77 Njen razvoj od tzv. školske algebre do današnjeg proučavanja apstraktnih struktura uvelike je posljedica Galoisova rada i razvoja njegove teorije u 19. i 20. stoljeću. Danas pod Galoisovom teorijom podrazumijevamo područje matematike koje se bavi strukturama polja i njihovim automorfizmima. Originalna Galoisova teorija temeljila se na istim idejama uz razliku u terminologiji. Traženje nužnih i dovoljnih uvjeta rješivosti dane algebarske jednadžbe u radikalima Galois navodi kao jednu od mogućih primjena svoje teorije. On sam naglašava kako u svojoj teoriji iznosi opći princip i samo jednu njegovu primjenu, no obzirom na tadašnji veliki interes za pitanje rješivosti algebarskih jednadžbi primjena je stavljena u prvi plan, dok je opći princip dugo vremena bio potpuno zanemaren. Veliki dio svojih ideja Galois nije u potpunosti dokazao, te su ih naknadno proširili i opravdali drugi matematičari, što će u konačnici dovesti do razvoja suvremene Galoisove teorije. Medu prvim matematičarima koji su dali svoj osvrt na Galoisov rad, valja istaknuti Cauchya, Bettia 10 i Serreta 11, no njihovi rezultati, zbog nedostatka originalnih ideja, nisu pretjerano doprinijeli daljnjem razvoju ovog područja. Prvi matematičar koji je usmjerio razvoj Galoisove teorije u modernom i apstraktnom smjeru je Jordan, u već spomenutom djelu Traité des substitutions et des equations algébraiques. Daljnji razvoj Galoisove teorije podudara se s razvojem teorije polja, te su za povezivanje ova dva područja osobito zaslužni Dedekind ( ) i Kronecker ( ). Kronecker tako daje prvu definiciju Galoisove grupe jednadžbe koja nije više u terminima permutacija korijena te jednadžbe. Nadalje, Heinrich Weber ( ) koristi Galoisovu teoriju u proučavanju strukture polja i grupa. Posljednji veliki napredak u u razvoju Galoisove teorije ostvaren je kroz rad Emil Artin ( ). Artin se ovim područjem bavi u djelima: Osnove Galoisove teorije, koje je objavljeno i Galoisova teorija, objavljeno On sažima sve važne činjenice u jedan fundamentalni teorem Galoisove teorije. Galoisova teorija je danas sastavni dio apstraktne algebre. 10 Enrico Betti, Joseph Serret,

78 Bibliografija [1] P. R. Allaire, R. E. Bradley: Geometric Approaches to Quadratic Equations from Other Times and Places, Mathematics Teacher, Vol. 94 (Travanj 2001.): [2] W. S. Anglin, J. Lambek: The Heritage of Thales, Springer Verlag, [3] F. M. Brückler: Povijest matematike I, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, [4] F. M. Brückler: Povijest matematike II, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, [5] Burton: The History of Mathematics: An Introduction, McGraw-Hill, [6] R. Calinger: Vita Mathematica, MAA, Washington DC, [7] J. Derbyshire Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, [8] J. Fauvel, J. Gray: The History of Mathematics, The Open University, London, [9] L. Hodgkin: A History of Mathematics - From Mesopotamia to Modernity, Oxford, [10] D. E. Joyce Euclid s Elements, djoyce/java/elements/elements.html 78

79 [11] I. Kleiner: A History of Abstract Algebra, Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, [12] J. C. Martzloff: A History of Chinese Mathematics, Springer Verlag, Berlin, [13] J. J. O Connor, E. F. Robertson: The MacTutor History of Mathematics, [14] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika I, Tehnička knjiga, Zagreb, [15] J. Stillwell: Mathematics and Its History, Springer Verlag, New York, [16] V. S. Varadarajan: Algebra in Ancient and Modern Times, AMS, Providence,

80 Sažetak U ovom diplomskom radu proučava se povijest rješavanja algebarskih jednadžbi. Prvi su se njima bavili još stari Egipćani i Babilonci. Egipćani su tako svakodnevne probleme svodili na jednostavne linearne jednadžbe, dok su Babilonci otišli i korak dalje te uspješno rješavali i kvadratne jednadžbe. Algebarske jednadžbe su svoje mjesto pronašle i u djelima starogrčkih matematičara, koji su im, očekivano, pristupili s geometrijskog aspekta. Teorijom algebarskih jednadžbi baviti će se i indijski i kineski matematičari. Osobito veliki doprinos rješavanju algebarskih jednadžbi dali su arapski matematičari, medu kojima se osobito ističu Al-Khwarizmi i Omar Khayam. Maestro Dardi iz Pise daje prvo algebarsko rješenje kubne jednadžbe, premda se zasluge za to tradicionalno pripisuju talijanskim matematičarima iz 16. stoljeća del Ferru, Tartagliai i Cardanu. Talijanski matematičar Ferrari dati će rješenje za algebarsku jednadžbu četvrtog stupnja u radikalima. Nakon zatišja od gotovo 300 godina, na prijelazu sa 18. u 19. stoljeće počinje se aktualizirati pitanje algebarskih jednadžbi stupnja većeg od četiri. Ruffini će prvi ustvrditi da opća algebarska jednadžba petog stupnja nema rješenje u radikalima, no matematička javnost nije imala sluha za njegove ideje. Nešto više sreće imao je Abel, čiji je dokaz iste tvrdnje prvi njen priznati dokaz. Ključnu ulogu u konačnom razrješenju ovog pitanja odigrao je Galois, koji daje odgovor na pitanje: Kada algebarska jednadžba proizvoljnog stupnja ima rješenje u radikalima? Ključne riječi: algebarske jednadžbe, linearna, kvadratna, kubna, bikvadratna jednadžba, rješenja u radikalima, al-khwarizmi, Omar Khayyam, maestro Dardi iz Pise, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Galois. 80

81 History of solving algebraic equations Summary This paper studies the history of solving algebraic equations. The first to deal with this type of equations were the ancient Egyptians and Babylonians. Egyptians used to sumup their everyday problems to simple linear equations while Babylonians went a step further by successfully solving quadratic equations. Algebraic equations were often found in works of ancient Greek mathematicians who, expectedly, approached them from a gemetrical point of view. The theory of algebraic equations became the focus of study of many Indian and Chinese mathematicians. A particularly large contribution to resolving algebraic equations was given by Arabic mathematicians, especially Al-Khwarizmi and Omar Khayam. Master Dardi of Pisa gave us the first solution to the cubic equation, although the merit was traditionaly attributed to other Italian mathematicians from the 16th century del Ferro, Tartaglia and Cardano. Another Italian mathematician called Ferrari provided the solution of fourth degree equations by radicals. After almost 300 years of stagnation, the beginning of the 19th century witnessed a renewed interest in algebraic equations of fourh degree and higher. Ruffini was the first who stated that general algebric equation of the fifth degree could not be solved by radicals but the general opinion among mathematicians wasn t favourable to his ideas. Abel was the first who offered an acknowledged evidence of that statment. However it was Galois who played a key role by providing an answer to the question: when can an algebraic equation of any degree however elevated be solved by radicals? Keywords: algebraic equations, linear, quadratic, cubic, solution by radicals, al-khwarizmi, Omar Khayyam, Master Dardi iz Pise, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Galois. 81

82 Prilozi Prilog 1. Životopis Diofanta Aleksandrijskog Diofant, često nazivan otac algebre, najpoznatiji je po svojoj Arithmeticai, djelu posvećenom rješavanju algebarskih jednadžbi i teoriji brojeva. Gotovo niti jedan detalj iz njegovog privatnog života nije poznat, upitno je čak i razdoblje u kojemu je živio. Ipak postoji nekoliko ograničenja koja okvirno odreduju taj period. Prvo ograničenje je to što Diofant citira Hipsiklovu 12 definiciju figurativnih brojeva, što znači da je živio iza 150. n. e. S druge strane, Teon Aleksandrijski 13, u svom radu citira jednu od Diofantovih definicija, što znači da Diofant nije mogao pisati nakon 350. n. e. No to ostavlja otvorenim razdoblje od 200 godina. Za preciznije odredivanje perioda njegova življenja potrebno je razmotriti još neke podatke. Jedan od izvora su citati Michaela Psellusa, koji je živio u drugoj polovini 11. stoljeća. Prema jednom od prevoditelja Psellus je napisao: Diofant se pomno bavio egipatskom aritmetikom, no vrlo učeni Anatolius prikupio je temeljne postavke tog učenja i zapisao ih u sažetijem obliku, te je svoje djelo posvetio Diofantu. Na temelju toga dalo bi se zaključiti kako je Diofant pisao oko 250. n. e. Drugi pak prevoditelj Psellusova citata kaže: Odmah se treba posumnjati da nešto nije u redu: čini se čudnim da bi netko sabrao i dao skraćen pregled nečija rada, a zatim ga posvetio njemu. 12 Grčki matematičar koji je djelovao u 2. st. n. e. 13 Grčki matematičar iz 4. st. n. e. 82

83 Njegov prijevod istog citata ima potpuno drugo značenje, te je prema njemu Diofant živio prije trećeg stoljeća, možda čak i prije Herona u prvom stoljeću. Najviše detalja u vezi njegova života, a koji su potencijalno potpuna izmišljotina, dolazi iz grčke antologije koju je dovršio Metrodorus oko 500. n. e. To je zbirka zagonetki od kojih je jedna vezana uz Diofanta i kaže: Njegovo djetinjstvo trajalo je 1 6 života; nakon 1 7 njegova života; brada mu je narasla nakon sljedeće 1 12 života se oženio, a sin mu se rodio 5 godina kasnije, sin je živio pola očeva životnog vijeka i otac je umro 4 godine nakon sina. Ako je vjerovati zagonetki oženio se u 26. godini, imao je sina koji je umro sa 42 godine, četiri godine prije Diofanta, koji je umro u 84. godini. Diofant je sasvim sigurno bio svijestan i nekih rezultata iz teorije brojeva, ono što nije sigurno je li imao dokaz njihove točnosti. Ti su dokazi možda dio izgubljenih rezultata, a možda ih je Diofant smatrao očitim na temelju velikog broja primjera iz prakse koji su pokazivali njihovu točnost. Medu tim rezultatima su:... niti jedan broj oblika 4n + 3 ili 4n 1 ne može biti zbroj dvaju kvadrata.... broj oblika 24n + 7 ne može biti zbroj tri kvadrata. Čini se kako je bio svijestan da se svaki broj može zapisati kao zbroj četiri kvadrata. Napisao je i djelo O figurativnim brojevima 14, te izgubljeno djelo Porizmi. Od sadržaja tog djela poznate su samo tri leme na koje se poziva u Arithmeticai. 14 Prirodni brojevi koje možemo prikazati slaganjem kamenčića u geometrijske likove. 83

84 Prilog 2. Životopis Brahmagupte Brahmagupta je indijski matematičar roden 598. u Ujjainu (Indija), a umro je 670. Pisao je važna djela iz matematike i astronomije. Medu njima treba istaknuti Brahmasphutasiddhanta (628.), djelo podijeljeno u 25 poglavlja. Bio je šef astronomskog opservatorija u Ujjainu, koji je u to doba bio glavni matematički centar Indije. U svojoj šezdesetsedmoj godini napisao je još jedno važno djelo na području matematike i astronomije, pod nazivom Khandakhadyaka. Iz njegovih je djela vidljivo kako je njegovo razumijevanje brojevnih sustava bilo daleko ispred tadašnjeg. Od njegovih doprinosa valja istaknuti i razvoj matematičkih oznaka. Bavio se i aritmetičkim nizovima, kvadratnim i diofantskim jednadžbama. Za π koristi aproksimaciju 10. Brahmagupta je prvi matematičar koji je dao sistematski prikaz pravila rada negativnim (racionalnim) brojevima, a možda čak i prvi koji je uveo negativne brojeve. Negativne brojeve interpretira kao dug, a pozitivne kao blago. U skladu s tim, pravilo (+) ( ) = ( ) izraženo u njegovom stilu glasi: produkt vrijednosti blaga i duga je dug. Dao je i algoritam za računanje kvadratnog korijena nekog broja, koji je ekvivalentan Newton-Raphson iterativnoj metodi. Kod njega se može naći, bez dokaza, i generalizirana Heronova formula za tetivni četverokut (zapravo, Brahmagupta promatra samo jednakokračne trapeze te četverokute kod kojih se dijagonale sijeku pod pravim kutem) P = È (s a)(s b)(s c)(s d), gdje je s poluopseg. Još jedan njegov važan rezultat je interpolacijska formula koja se koristi za računanje sinusa. 84

85 Prilog 3. Životopis Al-Khwarizmija Abu Ja far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi arapski je matematičar roden 870. godine najvjerojatnije u Bagdadu. Poznato je vrlo malo detalja iz njegova života, čak niti mjesto rodenja nije sa sigurnošću poznato. Naime, prema nekim povjesničarima al-khwarizmi znači da je porijeklom iz Khwarizma, mjesta u srednjoj Aziji, južno od Aralskog jezera. S druge strane, povjesničar al-tabari dodaje mu epitet al-qutrubbulli, što bi značilo da je iz Qutrubbulla, područja izmedu Eufrata i Tigrisa, nedaleko od Bagdada. Isti povjesničar smatra da je al-khwarizmi nasljede od predaka koji su došli iz Khwarizma. Još jedna dvojba je njegovo religijsko opredjeljenje. Al-Tabari tvrdi kako je bio sljedbenik stare zoroastrijske religije, dok je iz predgovora njegove Algebre vidljivo kako je bio ortodoksni musliman. Al-Khwarizmi je roden otprilike u vrijeme kada kalif Harun al-rashid dolazi na vlast (786.). Njegova uloga u poticanju širenja kulture i razvoja znanosti je velika. Nakon njegove smrti na vlast dolazi njegov sin, kalif al-ma mun, koji će nastaviti očevim stopama te osniva akademiju u Bagdadu pod nazivom Kuća mudrosti. Poticao je prevodenje grčkih tekstova, a osniva i knjižnicu, najveću od spaljivanja aleksandrijske. Al-Khwarizmi je bio učenik u Kući mudrosti. Njegov zadatak bio je prevodenje grčkih matematičkih tekstova, kao i proučavanje algebre, geometrije i astronomije. Djelovao je pod zaštitom kalifa Al-Ma muna te je dva svoja teksta posveto njemu. Radi se o raspravi o algebri i raspravi o astronomiji. Rasprava o algebri pod nazivom Hisab al-jabr w al-muqabala njegovo je najpoznatije i najznačajnije djelo (Poglavlje 4.). Osim toga al-khwarizmi je napisao i tekst o indoarapskim znamenkama, koji je izgubljen, ali čiji je latinski prijevod Algoritmi (= al-khwarizmi) de numero Indorum dao riječ algoritam u značenju: postupak računanja. Djelo opisuje indijski dekadski pozicijski sustav i algoritme za šest osnovnih računskih operacija. Još jedno njegovo značajno djelo je Sindhind zij, a bavi se astronomijom. Napisao je i djelo iz geografije, te brojna druga djela iz raznih područja. Prema mnogim povjesničarima al-khwarizmi zaslužuje titulu otac algebre više nego Diofant. 85

86 Slika 15. Al-Khwarizmi, 9./10. st. 86

87 Prilog 4. Životopis Omara Khayyama Omar Khayyam, punim imenom Ghiyath al-din Abu l-fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-khayyami, roden je 18. svibnja u Nishapuru u Perziji (današnji Iran). Doslovan prijevod imena al-khayyami znači onaj koji pravi šatore, što bi moglo biti zanimanje njegova oca. Političke okolnosti u 11. stoljeću uvelike su odredile tijek Khayyamova života. Naime, živio je u dosta teškim političkim uvjetima u doba Turaka Seldžuka. Sam Khayyam, u predgovoru svoje Algebre, opisuje kroz kakve su sve teškoće u to doba prolazili učenjaci. Bez obzira na okolnosti Khayyam je bio istaknuti matematičar i astronom, te je još u mladosti napisao nekoliko važnih radova. U njima se bavio aritmetikom, glazbom i algebrom. Godine seli u grad Samarkand u kojemu će djelovati pod zaštitom tamošnjeg uvaženog pravnika Abu Tahira. U tom će razdoblju svoga života napisati svoju poznatu Algebru. Osnivač dinastije Seldžuka, Toghril Beg, postavio je grad Esfahan za središte oblasti, te je za njegovog vladara postavio svog unuka, Malik-Shaha. Malik-Shah šalje poziv Khayyamu da dode u Esfahan, te da osnuje opservatorij. Khayyam će voditi taj opservatorij u kojem djeluju i brojni drugi istaknuti astronomi. U to vrijeme, zbog relativno mirne političke situacije, Khayyam je bio u mogućnosti posvetiti se znanstvenom radu. Godine će zajedno s još osmoricom znanstvenika započeti reformu kalendara. Nakon smrti Malik-Shaha, u studenom 1092., završava mirno političko razdoblje, te se Kayyam opet našao u središtu političkih previranja. Bio je čak i na meti ortodoksnih muslimana koji su smatrali da se njegov propitivački duh kosi s vjerom. O tom pitanju progovara u svojoj poznatoj pjesmi Rubaiyat. Malik-Shahov treći sin, Sanjar, postaje vladar carstva Seldžuka, te za glavi grad postavlja Merv. U tom će gradu osnovati i veliki islamski znanstveni centar na kojemu će djelovati i Khayyam. Njegovo najznačajnije djelo je Algebra u kojoj daje potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi skupa s njihovim geometrijskim rješenjima. U jednom od svojih djela, koje je izgubljeno, bavi se Pascalovim trokutom. Khayyam je proučavajući Euklidov rad, odnosno 87

88 postulat o paralelama, doprinio i razvoju neeuklidskih geometrija premda mu to nije bila namjera. U želji da dokaže taj postulat slučajno je dokazao niz svojstava figura u neeuklidskoj geometriji. Izvan matematičkog svijeta Khayyam se proslavio kroz Edward Fitzgerladov prijevod (1859.) njegove pjesme Rubaiyat. Slika 16. Omar Khayyam, 11./12. st. 88

89 Prilog 5. Životopis Niccola Tartagliae Nicoolo Fontana, poznat kao Tartaglia, roden je u Bresci ili Njegov otac, Michele Fontana, raznosio je poštu izmedu Brescie i okolnih gradova. Kada je Niccolo imao šest godina otac mu je ubijen, te obitelj zapada u teško siromaštvo. Godine Francuzi su okupirali Bresciu, pri čemu je jedan od vojnika mačem razbio Niccolinu čeljust, a kao posljedica toga imao je govornu manu, te je dobio nadimak Tartaglia što znači mucavac. Tartaglia je bio samouki matematičar, no zbog njegovih nevjerojatnih sposobnosti majka mu uspijeva naći mecenu. Ludovico Balbisonio ga odvodi u Padovu kako bi tamo nastavio školovanje. Nakon boravka u Padovi Tartaglia se vraća u Bresciu, no na kratko, nakon čega odlazi u Veronu. U Veroni boravi od do i za život zaraduje držeći poduke iz matematike. U kasnijoj fazi svog boravka u Veroni poučavao je u školi Palazzo Mizzanti. U to je vrijeme najvjerojatnije već bio oženjen, no i dalje vrlo siromašan. Godine seli u Veneciju gdje će polako stjecati ugled obećavajućeg matematičara. Jedno od najvećih matematičkih dostignuća Tartagliae je pronalazak rješenja kubne jednadžbe oblika x 3 + ax 2 = b. Zbog tog će otkrića biti izazvan na matematički dvoboj od strane Antonia del Fiora (Poglavlje 6.). Pobjeda u tvom dvoboju Tartagliai donosi slavu. Milanski matematičar Cardano, čuvši za Tartagliain uspjeh, poziva ga k sebi ne bi li mu ovaj odao svoju metodu. Nakon dugog nagovaranja Tartaglia odlazi u Milano u nadi da će, kako mu je obećano, za otkrivanje svoje metode biti nagraden bolje plaćenim poslom. Na njegovu žalost, milanski zapovjednik vojske, s kojim ga je Cardano obećao upoznati, a koji mu je trebao osigurati taj posao, bio je odsutan iz Milana. Tartaglia ipak pristaje odati svoju metodu, no to će zažaliti odmah po povratku u Veneciju. Naime, premda mu je Cardano obećao kako će metodu držati u tajnosti Tartaglia mu nije vjerovao. Njegova će se sumnjičavost pokazati opravdanom jer će Cardano objaviti djelo Ars Magna u kojoj će se medu inim naći i modificirana verzija Tartaglinaine metode. Premda Cardano u svom djelu navodi Tartagliau kao autora metode, ovaj je bio jako ljut zbog tog čina. Uz optužbu za kradu Tartaglia izaziva Cardana na matematički dvoboj i to putem pisma upućenog Cardanovom učeniku Ferrariju. Kako je Cardano bio jedan od najuglednijih 89

90 matematičara tog doba, nije imao namjeru raspravljati s Tartagliaom, nego je to prepustio svom učeniku. Tartaglia i Ferrari dopisivali su se oko godinu dana, izmjenjujući u pismima uvrede na medusoban račun. Godine Tartagliai je ponudeno mjesto predavača u rodnom gradu Bresci, no da bi dokazao kako je dorastao tom zadatku zamoljen je da pristupi dvoboju s Ferrarijem. Ferrari na tom dvoboju pobjeduje Tartagliau i Tartaglia je bio prisiljen otići s natjecanja, te gubi i ugled i izvor zarade. Rješenje kubne jednadžbe nije jedini Tartagliain matematički rezultat. Godine napisao je djelo Nova Scientia o primjeni matematike u balistici, pisao je i o aritmetici, te je dao prvi prijevod Euklidovih Elemenata na talijanski (1543.). Slika 17. Niccolo Tartaglia, 15./16. st. 90

91 Prilog 6. Životopis Girolama Cardana Talijanski matematičar Girolamo Cardano roden je 24. rujna u Paviji. Bio je nezakoniti sin Fazia Cardana i Chiare Micheria. Otac mu je bio pravnik s velikim znanjem matematike, čak je i Leonardu da Vinciu davao savijete iz geometrije. Uz bavljenje pravom Fazio je podučava geometriju na sveučilištu u Paviji i Milanu. U svojim pedesetim Fazio upoznaje mladu udovicu Chiaru Micheria, koja je tada imala oko 30 godina i troje djece. Chiara ostaje trudna, a prije nego li je rodila u Milanu izbija epidemija kuge, te ona biva prisiljena otići u obližnju Paviju. Za vrijeme boravka u Paviji saznaje kako su joj sva djeca umrla od kuge u Milanu. Dugo vremena Chiara i Fazio žive odvojeno, no naposljetku su se ipak vjenčali. Cardano je isprva bio očev pomoćnik, no njegove ambicije su bile puno veće. Otac mu je davao poduke iz matematike, te će Cardano početi razmišljati o odlasku na studij. Nakon dugog odbijanja otac mu dopušta da se upiše na sveučilište u Padovi, gdje je i sam studirao. Girolamo upisuje studij medicine, premda je očeva želja bila da upiše pravo. Završava studij medicine, te ubrzo postaje rektor sveučilišta u Padovi. Usprkos neospornom talentu Cardano nije bio osobito voljen od stane svojih kolega. Opisan je kao ambiciozan, nepošten, svadljiv, umišljen, ali i sposoban za velikodušnost. U meduvremenu mu umire otac, a skromno nasljedstvo koje mu je ostavio Cardano pokušava uvećati kockanjem. Živio je od kartanja, kockanja, i šaha, a zbog razumijevanja teorije vjerojatnosti uglavnom je bio na dobitku. Kockanje s vremenom prerasta u ovisnost koja mu je oduzela puno novca, vremena i ugled. Godine dodijeljen mu je doktorat iz medicine, no njegov zahtjev da se pridruži milanskom udruženju fizičara je odbije. Nakon toga odlazi u malo selo Sacco gdje se bavi medicinom. Godine Cardano ženi Luciu s kojom će imati dva sina. Zbog nemogućnosti da uzdržava obitelj, Cardano se vraća kockanju. U potrazi za boljim izvorom prihoda, s obitelji se vraća u Milano, no u Milanu zapada u još veće financijske poteškoće. Nakon nekoliko, gotovo čudotvornih izlječenja, porastao je njegov liječnički ugled, no i dalje ga ne primaju u udruženje fizičara. Godine pokušat će ponovno, no niti tada neće uspjeti. Napokon, uspijeva, te postaje njihovim članom. Bilo je to 91

92 nakon objavljivanja prva dva rada na području matematike. Drugi od ta dva rada nosio je naziv Practica arithmeticae. Od do Cardano napušta znanost i po cijele dane igra šah. U razdoblju od do držao je predavanja iz medicine na sveučilištima u Milanu i Padovi. Godine objavljuje svoje najznačajnije matematičko djelo Ars Magna. Godinu dana nakon toga umire mu žena te ostaje sam s dva sina. U to doba njegova liječnička karijera je na vrhuncu, te je čak bio pozvan liječiti škotskog nadbiskupa u Edinburgu. Nedugo nakon povratka s putovanja saznaje kako mu se stariji sin tajno oženio. Isti taj sin biti će smaknut jer je arsenom u kolaču otrovao svoju ženu. Nakon toga Cardano seli u Bolognu. U isto to doba je mladem sinu u napadu bijesa zbog nekog prijestupa odrezao uši. Mladi sin je bio varalica i kradljivac koji je okrao čak i vlastitog oca. Cardano ga je čak otjerao iz Bologne, no ipak mu je nastavio slati novac. Zbog velikog broja skandala koji su se vezali uz njega, sveučilište ga pokušava izbaciti, no neuspješno, jer je Cardano imao jaku zaštitu pape Grgura XIII. Kada je objavio horoskop Isusa Krista uhapšen je pod optužbom za herezu, no sreća u nesreći je ta što ga je inkvizicija poštedjela mučenja. Po izlasku iz zatvora gubi posao i dobiva zabranu objavljivanja radova. Kraj života je proveo u Rimu, uz mirovinu koju mu je osigurao papa. U to vrijeme piše autobiografiju koja je objavljena tek u Parizu. Prema legendi, izradio je horoskop po kojemu je trebao umrijeti odredenog dana, te se ubio kako bi održao reputaciju točne izrade horoskopa. Osim velikog doprinosa algebri utjecao je i na razvoj teorije vjerojatnosti. Njegova knjižica Liber de Ludo Aleae o kockanju (objavljena tek 1663.) daje praktične upute za kockanje i osnove teorije vjerojatnosti. Osim o matematici, objavljivao je djela i o astrologiji, fizici, šahu, kockanju, utjesi, čudesnim lijekovima, otrovima, zraku, vodi, snovima, urinu, zubima, kugi, mudrosti, moralu i glazbi. 92

93 Slika 18. Girolamo Cardano, 16. st. 93

94 Prilog 7. Životopis Lodovica Ferrarija Lodovico Ferrari talijanski je matematičar roden 2. veljače u Bologni. Obitelj Ferrari porijeklom je iz Milana, no zbog teških političkih prilika na sjeveru Italije Lodovicov djed, Bartholomew Ferrari, seli u Bologniu. Bartholomew Ferrari je imao dva sina, Vincent Ferrari i Alexander Ferrari, drugi je bio Lodovicov otac. Nakon očeve smrti Lodovico napušta svoj dom i odlazi živjeti kod strica Vincenta. Vincent je imao problematičnog sina Lucu, koji je otišao od kuće u potrazi za poslom. Luca odlazi u Milan gdje postaje Cardanov sluga. Nezadovoljan poslom Luca, bez da ga obavijesti, odlazi od Cardana, te se vraća kući. Cardano je kontaktirao Vincenta Ferrarija i zahtijevao da pošalje sina nazad, no Vincent koristi to kao priliku da se riješi odgovornosti prema nećaku, te umjesto Luce, Cardanu šalje Lodovica. Lodovico dolazi kod Cardana 30. studenog u dobi od 14 godina. Lodovico je isprva bio Cardanov sluga, no kada je Cardano primijetio kako dječak zna čitati i pisati odlučuje ga poštedjeti tog posla. Postao je Cardanov tajnik, te ga on s vremenom počinje podučavati matematici. Ferrari je pomagao Cardanu oko rukopisa, a u dobi od 19 godina počinje i sam podučavati matematiku. S dvadeset godina postaje javni predavač geometrije. Njegov najveći matematički rezultat je pronalazak metode za rješavanje algebarskih jednadžbi četvrtog stupnja (1540.). Ta će metoda biti objavljena u Cardanovoj Ars Magnai Poznato je kako zbog objave te knjige Cardano dolazi u sukob s Tartagliom (Poglavlje 6.), koji će ga izazvati na dvoboj. Cardano na taj dvoboj šalje Ferrarija koji pobjeduje. Zbog pobijede u tom dvoboju, Ferrariju su ponudeni mnogi poslovi, pa čak je i sam car htio da Ferrari podučava njegova sina. Ferrari prihvaća posao u službi milanskog upravitelja Ferranda di Gonzage, koji će mu osigurati veliko bogatstvo. Sklonost užitcima i zabavi koštala ga je zdravlja, te seli u Bolognu podučavati matematiku. Iste te godine umire, a za smrt je najvjerojatnije kriva njegova sestre, Magdalena, koja ga je otrovala arsenom ne bi li se domogla njegova bogatstva. 94

95 Prilog 8. Životopis Paola Ruffinija Talijanski matematičar Paolo Ruffini roden je 22. rujna u Valentanu. U vrijeme kada je Paolo bi tinejdžer, obitelj seli u regiju Emilia-Romagna na sjeveru Italije. Godine Paolo započinje studij na sveučilištu u Modeni. Studirao je matematiku, medicinu, filozofiju i književnost. Njegovi tamošnji profesori matematike bili su Luigi Fantini, koji ga je podučavao geometriji i Paolo Cassiani profesor matematičke analize. Još za vrijeme studija ( ) preuzima Cassianijev kolegij iz osnova matematičke analize. Studij filozofije, medicine i kirurgije završava 9. lipnja 1788., a nedugo zatim i studij matematike. Za profesora osnova matematičke analize imenovan je 15. listopada Nakon što je njegov profesori iz geometrije Fantini, zbog zdravstvenih razloga, bio prisiljen napustiti svoje radno mjesto Ruffiniju je ponudeno da ga zamijeni. Kada je Napoleon utemeljio Cisalpinsku Republiku, koja se sastojala od Lombardije, Emilia-Romagna, Modene i Bologne, Ruffini je (protiv svoje volje) proglašen savjetnikom. Tu će poziciju uskoro napustiti te se vraća znanosti i radu na sveučilištu u Modeni. Kada je odbio dati zakletvu vjernosti republici zbog, kako sam tvrdi, religijskih razloga, zabranjeno mu je poučavanje. Kako je po prirodi bio smiren ta ga vijest nije pretjerano uzrujala, štoviše, doživio je tu situaciju kao dobru priliku da se posveti liječničkoj praksi i radu na pitanju rješivosti jednadžbe petog stupnja u radikalima (Poglavlje 7.). Godine Ruffini objavljuje knjigu o teoriji jednadžbi u kojoj tvrdi da opću jednadžbu petog stupnja nije moguće riješiti u radikalima. Nakon što je napustio sveučilište, sedam godina predavao je primijenjenu matematiku na vojnoj školi u Modeni, te se i dalje nastavio baviti medicinom. Nakon pada Napoleona (1814.) postaje rektor sveučilišta u Modeni. Godine izbija epidemija tifusa, a kako je Ruffini liječio zaražene i sam obolijeva. Od bolesti se djelomice oporavio, no nikada u potpunosti, stoga je bio primoran odustati od nekih projekata, no i dalje se nastavlja baviti znanošću. Osim iz matematike, napisao je i nekoliko djela iz filozofije. U jednom od njih se suprotstavlja Laplaceovim filozofskim idejama. Ruffini je umro 10. svibnja u Modeni. 95

96 Slika 19. Paolo Ruffini, 18./19. st. 96

97 Prilog 9. Životopis Nielsa Henrika Abela Niels Henrik Abel roden je 5. kolovoza u gradu Frindoe, kraj Stavangera u Norveškoj. Otac mu je bo teolog i filolog, norveški nacionalist i aktivan borac za norvešku neovisnost od Danske. Majka mu je bila kćer trgovca i vlasnika brodova. Niels je bio drugo od sedmero djece u obitelji. Do trinaeste godine podučavao ga je otac, a kako je to bilo doba ekonomske krize, obitelj je živjela vrlo siromašno. Abelova obitelj se, kako tvrde mnogi izvori, suočavala i sa problemima koji nisu bili niti ekonomske niti političke prirode. Naime, Nielsov otac je bio alkoholičar, a majka optužena za slab moral. Godine Niels zajedno sa starijim bratom odlazi u katedralsku školu u Christianiji (danas Oslo). Kako se radilo o osrednjoj školi, koja nije djelovala inspirativno, Niels je bio prosječan učenik koji je pokazivao nešto talenta za matematiku i fiziku. No stvari će se uvelike promijeniti dolaskom novog učitelja matematike Bernta Holmboea. Potican od Holmboea, u roku od godinu dana je bio sposoban čitati djela univerzalne razine. Jedan od prvih njegovih značajnijih rezultata bio je dokaz binomnog teorema za sve realne eksponente, kojeg daje u dobi od 16 godina. Time je proširio Eulerov rezultat koji je vrijedio samo za racionalne eksponente. Nakon što mu je umro otac, Abelova se obitelj našla u još težoj financijskoj situaciji. Na sreću, Holmboe uspijeva izboriti stipendiju koja je omogućila Abelu nastavak školovanja. U to vrijeme Abel se počinje baviti pitanjem rješivosti opće jednadžbe petog stupnja u radikalima (Poglavlje 7.). Godine diplomirao je na sveučilištu u Christianiji. Na tom je sveučilištu imao jaku podršku profesora astronomije Christophera Hansteena. Prva rješenja nekih integralnih jednadžbi Abel objavljuje u časopisu kojega je pokrenuo upravo Hansteen. Za vrijeme jednog boravka u Copenhagenu upoznaje Christine Kemp s kojom se ubrzo zaručuje. Njegova želja bila je putovati u Francusku i Njemačku, te upoznati tamošnje velike matematičare. Zbog nepoznavanja jezika, uskraćena mu je financijska pomoć, dok ih ne nauči. Svoj dokaz o nerješivosti algebarskih jednadžbi u radikalima iz dao je o vlastitom trošku tiskati i na francuskom jeziku, kako bi imao impresivni rezultat za 97

98 prezentiranje na svojim putovanjima. Godine napokon odlazi u Berlin gdje upoznaje Augusta Crelle, u čijem će časopisu Crelle s Journal, objaviti nekoliko svojih radova. Za vrijeme boravka u Berlinu saznaje kako je mjesto profesora matematike na jedinom norveškom sveučilištu, onom u Christianii, dobio Holmboe, koji je bio spreman to mjesto prepustiti Abelu, no zaprijetili su mu da će u tom slučaju mjesto dobiti stranac. Kako u tom trenutku, ali niti u naredne četiri godine, nije bilo izgleda da bi se mogao zaposliti u Berlinu njegova egzistencija dolazi u pitanje. Ipak ostaje u Berlinu gdje se bavio tada još nedovoljno rigorozno postavljenim osnovama matematičke analize. Nakon Berlina, Abel odlazi u Pariz, gdje je nezainteresirano primljen. U Parizu piše važno djelo o eliptičkim integralima čiji su recenzenti bili Cauchy i Legendre. Izmučen teškim uvjetima života u Parizu vrača se u Berlin gdje posuduje novac i nastavlja raditi na eliptičkim funkcijama. Do Abela, matematičari su stotinjak godina, dosta neuspješno, pokušavali proučiti eliptičke integrale. Abel ih invertira u eliptičke funkcije, kojima se puno lakše manipulira i time otvara prostor novim istraživanjima. Crelleovi pokušaji da zadrži Abela u Berlinu dok mu ne nade posao bili su uzaludni, jer se on odlučio vratiti kući. U Christianiju stiže u svibnju i dobiva mali kredit od sveučilišta. Kako bi zaradio nešto novca, Abel podučava djecu, a zaručnica se zapošljava kao guvernanta u Frolandu. Financijska situacija mu se popravlja preuzimanjem Hansteenovog mjesta na sveučilištu i vojnoj akademiji. Godine Abel pokazuje kako se Jacobijevi rezultati o transformacijama eliptičkih integrala mogu dobiti kao posljedica njegovih. I sam objavljuje nekoliko novih radova na tu temu. U to se doba počinje baviti i pitanje: koje algebarske jednadžbe su rješive u radikalima? Kada je saznao da je njegovo pariško djelo o eliptičkim funkcijama zagubljeno, ponovno piše glavne rezultate, a rad naziva Jedan teorem. Za Božić putuje zaručnici u Froland te će se nakon jedne vožnje sanjkama njegovo siromaštvom narušeno zdravlje dodatno pogoršati. Saznavši za to Crelle se dodatno angažira oko traženja radnog mjesta za Abela. Crelle uspijeva, nalazi mu mjesto profesora u Berlinu, no prekasno jer Abel u meduvremenu umire od tuberkuloze kojom je zaražen za vrijeme boravka u Parizu. Godine pariška Akademija dodjeljuje mu Grand Prix nagradu za izvanredna dostignuća. 98

99 Slika 20. Niels Henrik Abel, 19. st. 99

100 Prilog 10. Životopis Évariste Galoisa Évariste Galois je roden 25. listopada u Bourg La Reineu u blizini Pariza. Bilo je to doba vrhunca Napoleonove vladavine, a njegovi roditelji bili su republikanski nastrojeni. Otac Nicholas Gabriel Galois i majka Adelaide Marie Demante bili su oboje visoko obrazovani iz filozofije, klasične književnosti i religije, no niti jedno od njih nije pokazivalo nikakav interes za matematiku. Do dvanaeste godine poučavala ga je majka, a zatim je pohadao internat. Prve dvije godine bio je dobar dak, a onda pada razred zbog nezadovoljavajućeg rada iz retorike. Godine dozvoljeno mu je da upiše tečaj iz matematike, koji će ga toliko očarati da će potpuno zanemariti ostale nastavne predmete. Učitelji su ga smatrali čudnim, bizarnim, originalnim i zatvorenim. Kritiziran je zbog svoje originalnosti, a postao je jedan od najoriginalnijih matematičara u povijesti. Godine Galois pokušava upisati École Polytéechnique, najugledniju francusku školu za matematiku u to doba. Zbog nedovoljne pripremljenosti ne uspijeva. Po povratku u internat počinje se baviti pitanjem rješivosti algebarskih jednadžbi u radikalima, te objavljuje prvi znanstveni rad na tu temu. Kasnije objavljuje još dva znanstvena rada na istu temu, čiji je recenzent bio Cauchy, koji je radove izgubio. Politička situacija nakon ponovne uspostave kraljevine, sukobi republikanaca i rojalista, odrazit će se i na Galoisov život. Otac mu se ubio 2. srpnja 1829., zbog klevete na račun obitelji upućene od strane političkih protivnika. Nekoliko tjedana kasnije ponovno pokušava upisati École Polytéechnique, no potresen strašnim dogadajem ponovno ne uspijeva. Galois tada upisuje nešto lošiju školu École Normale. Tokom predaje članak za nagradu Akademije znanosti, no članak je izgubljen nakon smrti recenzenta Fouriera. Naknadno doznaje da niti tri članka iz teorije eliptičkih krivulja, koje je objavio početkom nisu razmatrana za tu nagradu. U to vrijeme raste njegova ogorčenost prema sustavu koji sputava nadarene pojedince. Kada je u srpnju izbila revolucija, direktor École Normale zabranjuje studentima izlazak na ulice. Galois na to reagira pismom u studentskom listu, kojega urednik, u želji da ga zaštiti, objavljuje kao anonimno. Direktor ipak saznaje tko je autor, te izbacuje Galoisa iz škole pod optužbom za anonimni 100

101 napad. Galois se tada pridružuje Nacionalnoj gardi, no ona će po smirivanju pobune, krajem 1830., biti ukinuta. Galois je tada za život zaradivao privatnim podukama. Na proslavi puštanja iz zatvora nekolicine bivših pripadnika Nacionalne garde, Galois podiže čašu držeći u ruci bodež i izriče zdravicu kralju, koja je protumačena kao prijetnja. Na sudenju se ipak uspio osloboditi optužbi, no boravak na slobodni neće dugo trajati. Uskoro završava u zatvoru Saint-Pelagie, zbog nošenja uniforme Nacionalne garde, puške, nekoliko pištolja i bodeža na dan pada Bastille (14. srpnja). Za vrijeme boravka u zatvoru nastavio se baviti matematikom i pokušava samoubojstvo koje su spriječili drugi zatvorenici. Zbog epidemije kolere, koja je izbila u ožujku 1832., Galois je s drugim zatvorenicima prebačenu u pansion Sieur Faultrier, koji je bio zatvor otvorenog tipa. U zatvoru se zaljubio u liječnikovu kći, Stephanie. No, kada je 29. travnja pušten iz zatvora Stephanie se distancirala. Ubrzo zatim izazvan je na dvoboj čiji je povod bila veza sa Stephanie. Na dvoboj ga izazivaju njen stric i navodni zaručnik, no nije sigurno je li se radilo o ljubavnim razlozima ili političkim motivima. Većina povjesničara sklonije je drugom razlogu, a neki su čak mišljenja da je dvoboj insceniran, te da je zapravo riječ o samoubojstvu. Galois je noć prije dvoboja napisao dva pisma. Prvo je upućeno kolegama republikancima i u njemu govori kako je u sukob uvučen protiv svoje volje. Drugo pismo je poznato kao njegov matematički testament, a uputio ga je prijateljima. Galois je tu noć zapisao pregled svih svojih radova. Dvoboj se dogodio 30. svibnja u jutro. Galois je u dvoboju ranjen u trbuh, te ga tako teško ranjenog pronalazi jedan seljak i odvodi u bolnicu. Sutra dan Galois umire u bolnici. Pogreb je trebao biti održan 2. lipnja, no zbog straha od demonstracija policija ga odgada za dan kasnije i održan je na javnom groblju. Njegove su papire skupili brat i prijatelj Chevalier i poslali ih, prema njegovoj želji, Gaussu i drugim matematičarima. 101

102 Slika 21. Évariste Galois, 19. st. 102