U OSIJEKU. Osijek, PDF Editor

Transcription

1 SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, Marošević Magdalena

2 SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA: MATRICE KRTUTOSTI Osijek, Marošević Magdalena

3 SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZNANSTVENO PODRUČJE: TEHNIČKE ZNANOSTI ZNANSTVENO POJE: DRUGE TEMEJNE TEHNIČKE ZNANOSTI ZNANSTVENA GRANA: TEHNIČKA MEHANIKA(MEHANIKA KRU TIH I DEFORMABINIH TJEA) TEMA: MATRICE KRUTOST PRISTUPNIK: MAROŠEVIĆ MAGDAENA MATRICE KRUTOSTI Osijek, Mentor: Izvprofdrsc Silva ozančić Predsjednik Odbora za završne i diplomske ispite:

4 SADRŽAJ UVOD KRUTOST METODA POMAKA MATRIČNA FORMUACIJA OKANA MATRICA KRUTOSTI PRIJEAZ U GOBANI KORDINATNI SUSTAV8 MATRICA KRUTOSTI SISTEMA SIMETRIČNE KONSTRUKCIJE STATIČKA KONDENZACIJA KOD SIMETRIČNIH KONSTRUKCIJA PRIMJER ANTISIMETRIČNE KONSTRUKCIJE PRIMJER 7ZAKJUČAK 8SAŽETAK SUMMARY ITERATURA

5 UVOD Tema ovog završnog rada su matrice krtutosti po metodi pomaka Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (direktna metoda krutosti) Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomjeranja krajeva štapova Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH EEMENATA- mnogo općenitija metoda koja se primjenjuje u linearnoj i nelinearnoj, statičkoj i dinamičkoj analizi složenih nosača Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata štapova koji su povezani u čvorovima nosača Matrica krtutosti sastojat će se od nekoliko matrica pojedinih štapova, od lokalne matrice i matrica transformacija Matrica krutosti može biti različitih veličina ovisno o unutarnjim silama koje prenose tako može biti x, x te x Navest će se nekoliko riješenih primjera za antisimetriju i simetriju te će se usporediti koje elemente sadrži pojedina matrica i o čemu oni ovise Definirat ću i krutost statičkih sustava, te njenu podjelu na askijalnu krutost, krutost na savijanje te torzijsku krutost O čemu one ovise?

6 Krutost Krutost možemo definirati kao otpornost na deformaciju i matematički ju definiramo kao odnos sile F koja uzrokuje deformaciju i same deformacije x kf/x Iz definicijske jednadžbe jasno je da je mjerna jedinica za krutost njutn po metru (N/m), što značo veličina koja govori kolika je sila potrebna da bi se postigla jedinična deformacija Ova je veličina od velike važnosti u primjenjenim znanostima strojarstvu, brodogradnji i građevinarstvu te je jedan od temeljnih pojmova u fizici čvrstog tijela O krutosti ima smisla govoriti samo kod čvrstih tvari s obzirom da tekućine i plinovi nemaju stalan oblik zbog slabijih međumolekularnih sila Imamo vrste krutosti: Aksijalna krutost - uzmimo za jednostavan primjer jedan štap učvršćen na svom kraju i opterećen tlačnom silom na svom drugom kraju, koja se poklapa s uzdužnom osi štapa Uslijed takvog opterećenja štap sabiti, tj javit će se deformacija Kolika će ta deformacija biti ovisi o tome koliko je štap aksijalno krut O čemu ovisi ta krutost? Nije isto da li je u pitanju betonski, čelični ili drveni štap, znači zavisi od vrste materijala Tako će se za istu silu i iste dimenzije čelični štap manje sabiti nego drveni štap, s obzirom da je čelik čvršći od drveta Zatim, nije isto da li je štap deblji ili tanji Znači zavisi i od poprečnog presjeka štapa Manji poprečni presjek, veća deformacija Također nije isto da li je štap kraći ili duži Više će se izviti tj deformirati ako je duži Znači, krutost zavisi od vrste materijala, oblika i dimenzija nosača i vrste Aksijalna krutost predstavlja proizvod AxE gdje je A površina poprečnog presjeka nosača a E modul elastičnosti ( Youngov modul) Krutost na savijanje - ako smo se npr, popeli na nekakvu gredu, koja nam prestavlja štap oslonjen sa obe strane, sila od naše težine djeluje upravno na dužnu osu nosača tj grede Greda će se pod vašom težinom možda SAVITI a možda i neće, zavisi od njene krutosti na savijanje Izraz EI, u nazivniku kod izraza za određivanje zakrivljenosti elastične linije štapa: k/pm/ei naziva se krutost na savijanje štapa Torzijska krutost ( krutost na uvijanje) - u slučaju torzije (uvijanja), štap je opterećen momentom koji djeluje u ravni upravnoj na dužnu osu štapa i on će se UVITI a njegova PDF deformacija će biti drugačija Editor od prethodne dvije GIp torzijska krutost ili krutost na uvijanje

7 METODA POMAKA Metoda pomaka je metoda proračuna statički neodređenih sustava u kojoj su nepoznanice translacijski i rotacijski pomaci odabranih točaka nosača koje nazivamo čvorovima Razlikujemo:, Točna metoda pomaka - uzima sva tri pomaka jednog čvora za nepoznanice, i rijetko se primjenjuje zbog velikog broja nepoznanica Inženjerska metoda pomaka (IMP) -zanemaruje uzdužne deformacije elemenata, pa su nepoznanice kutevi zaokreta čvorova i neovisni translatorni pomaci (smanjen broj nepoznanica u odnosu na točnu metodu pomaka) Inženjerska metoda pomaka-postupak riješavanja nepoznanice proračun krutosti( i kuteva zaokreta štapova-plan pomaka) momenti upetosti jednadžbe momenata na krajevima štapova jednadžbe ravnoteže i/ili rada konačan M dijagram Postupak proračuna statički neodređenih sustava metodom pomaka: ) razmatranjem geometrije konstrukcije i opterećenja koje na nju djeluje, identificiraju se nepoznati pomaci čvorova koji će biti osnovne varijable u analizi; ) korištenjem svojstava krutosti pojedinih elemenata konstrukcije, formuliraju se jednadžbe koje povezuju djelujuće opterećenje i pomake čvorova s momentima na krajevima štapova; ) iz uvjeta ravnoteže momenata u čvorovima dobiva se sustav jednadžbi čije rješenje predstavlja tražene pomake čvorova; ) uvrštavanjem vrijednosti pomaka čvorova u jednadžbe krutosti formirane u ), određuju se momenti na krajevima štapova; PDF ) reakcije, poprečne sile i Editor uzdužne sile nalaze se korištenjem uvjeta ravnoteže pojedinih elemenata ili dijelova konstrukcije

8 Metoda pomaka je metoda riješavanja statičkih određenih i neodređenih konstrukcija Osnovne nepoznanice su pomaci čvorova konstrukcije Ravninska linijska konstrukcija Promatrani čvor v φ u x Prostorna linijska konstrukcija z Promatrani čvor w φz v u φx φ x Ukupno stanje sustava U (pomaci i sile) može se prikazati u obliku U U + U + U + + Un n,n - pomaci čvorova konstrukcije U stanje sustava u kojem su svi nezavisni pomaci spriječeni,takvo stanje nazivamo stanje pune upetosti Ui stanje sustava bez vanjskih sila Dopušten je pomak i, a svi ostali nezavisni pomaci su spriječeni Ovo stanje nazivamo stanje jediničnih pomaka

9 MATRIČNA FORMUACIJA OKANA MATRICA KRUTOSTI Štapni element, označimo ga sa sa e, jednoznačno je određen indeksima i i j koji označavaju čvorove (sl) Istim indeksima označavat ćemo i sile na kraju štapnog elementa Ukupne sile na krajevima štapa zbrojevi su sila stanja spriječenih pomaka i sila stanja njihovih slobodnih pomaka, te možemo zapisati za sile na kraju i: N i,j n i,j + Ni,j () Ti,j t i,j + Ti,j () Mi,j m i,j + Mi,j () gdje su n i,j, t i,j, m i,j sile stanja slobodnih, a N i,j, Ti,j, Mi,j sile stanja spriječenih pomaka Mi,j i j Mj,i Ni,j Nj,i Ti,j l i,j Tj,i Prikaz sila na krajevima štapova sl Sile oba stanja možemo izračunati metodom sila, analizom obostrano upete grede Sile stanja slobodnih pomaka pojavljuju se kao posljedica poopćenih pomaka krajeva elemenata (oni su jednaki pomacima čvorova sistema) Ti pomaci postaju prisilni pomaci ležajeva naše upete grede Za svaki element možemo za sile u stanju slobodnih pomaka napisati jednadžbu: f ckc*uc () gdje je f c vektor sila na krajevima zbog pomaka elementa, k c matrica krutosti elementa, a u c je vektor pomaka krajeva elementa, pri čemu su svi članovi izraženi u lokalnom koordinatnom sustavu Uz pretpostavke da su elementi zadanoga sistema konstantnog poprečnog presjeka, te da je modul elastičnosti također konstantan gornju jednadžbu možeo zapisati u matričnom obliku:

10 nij tij mij nji tji mji EF -EF EI -EI -EI -EI -EI EF EI EF -EF EF -EI EI EI EI -EI EF EI EF uij vij φij uji vji φji Primjer 7 modul elastičnosti (E kn (m ),te površina i moment tromosti poprečnoga presjeka (b/h /) Prikaz matrice krutosti za štap,:, sl 7 -, - 7 k(,) -, ,

11 Prikaz matrice krutosti za štap,:, -, 7-7 k(,) 7-7 -, - -7, Prikaz matrice krutosti za štap,:,87 -,87, 8,8 -, 8,8 k(,) 8,8-8,8 78 -,87 -, -8,8,87, -8,8 8,8 78-8,8 Kako su moduli elastičnosti, karakteristike poprečnih presjeka i duljine elemenata (,) i (,) međusobno jednake, jednake su i njihove lokalne matrice krutosti, iako su ti elementi u ravnini različito orijentirani Ako postoje opterećenja na štapovima zadanog sistema, tada ona ulaze u jednadžbe ravnoteže u obliku sila i momenata upetosti: f c (Nij Tij Mij Nji Tji Mji) T 7

12 PRIJEAZ U GOBANI KOORDINATNI SUSTAV Budući da jednadžbe ravnoteže čvorova postavljamo u smjerovima osi globalnog koordinatnog sustava, vektore sila, vektor pomaka i matricu krutosti moramo transformirati iz lokalnog u globalni koordinatni sustav Naime, lokalni koordinatni sustav definirali smo za svaki štapni element tako da se ishodište sustava nalazi u početnom čvoru, a lokalna os x prolazi kroz krajnji čvor elementa Globalni i lokalni koordinatni sustav moraju biti ekvivalentni, što znači da poklapanje osi istih oznaka možemo postići translacijom uz rotaciju oko osi z Globalni koordinatni sustav služi nam za definiranje geometrije konstrukcije i u odnosu na njega se mjere apsolutni pomaci točaka Transformaciju vektora sila na krajevima elementa i vektora pomaka krajeva izvodimo pomoću sljedeće matrice: Cc Sc -Sc Cc Rc Cc Sc -Sc Cc gdje su Cc cos i Sc sin, pri čemu je kut koji element zatvara sa osi x Podmatrica: Cc Sc rc -Sc Cc prikazuje rotaciju oko osi z za kut 8

13 , -,8 R,,8,, -,8,8, R, R, - - Za elemente sistema sa slike matrice transformacije su :

14 Budući da je element (,) horizontalan i da mu je lijevi čvor prvi, orijentacije osi, njegovoga lokalnog koordinatnog sustava poklapaju se s orijentacijama osi, globalnog sustava, tako da je matrica R(,) jedinična Prelaskom u globalni koordinatni sustav jednadžba () postaje: (g) (g) f c kc uij gdje su uij vektor koji sadrži pomake čvorova i i j, f c vektor komponenta sila na krajevima (g) usporednih s globalnim osima k c matrica krutosti elementa izražena u globalnom koordinatnom sustavu: - T (g) - T k c Rc kc Rc Rc kc Rc Rc Rc jer je Rc ortogonalna matrica Njezini su parametri, naravno, lista lokalnih matrica krutosti i lista matrica transformacija Matrice krutosti elemenata sistema sa slike izražene u globalnom koordinatnom sustavu su: (g) (g) k(,) , -, R, 7-7 (g) k(,) 7-7 -, , -7-7

15 ,,87 8,8 -, -,87 8,8 (g) k(,) 8,8 -, -,87-8,8-8,8,, ,8 8,8 78-8,8 (g) Matrica R(,) je, vidjeli smo jedinična pa je k(,) k(,) MATRICA KRUTOSTI SISTEMA Sada možemo komponente matrica krutosti pojedinih elemenata uklopiti u matricu krutosti cijelog sistema Vrijednost je funkcije par koji sadrži ukupni broj stupnjeva slobode konstrukcije i spomenutu tablicu Svakom čvoru konstrukcije odgovara redak tablice Tri broja u retku indeksi su poopćenih pomaka čvorova u vektoru nepoznanica i, ujedno, redni brojevi jednadžbi ravnoteže projekcija sila u čvoru na pravce tih pomaka; ako je neki pomak spriječen, pripadni je broj jednak nuli (odgovarajuća jednadžba ravnoteže neulazi u sustav jednadžbi, jer je u njoj nepoznata reakcija) Za konstrukciju sa slike tablica je: U čvorovima i su upeti ležajevi, pa su sva tri poopćena pomaka tih čvorova spriječena Pomaci čvora, redom u, v i ϕ, prva su, druga i treća nepoznanica, dok su pomaci čvora, u, v, ϕ, četvrta, peta i šesta nepoznanica; vektor je nepoznanica, prema tome: u T u v ϕ u v ϕ Uz to, prema brojevima u tablici, prva jednadžba sustava jednadžba je ravnoteže projekcija sila, koje djeluju na čvor, na os x, druga je jednadžba jednadžba ravnoteže projekcija sila, koje djeluju PDF na isti čvor, na os,, a šesta Editor jejednadžba jednadžba ravnoteže momenata u čvoru Posljednji od nule različiti broj jednak je ukupnom broju stupnjeva slobode Brojem stupnjeva slobode odredeni su broj nepoznanica i broj jednadžbi ravnoteže

16 Za primjer sa slike dobivamo matricu krutosti:, , - 7 K -, - -7, -7,87 8, ,8-7 8

17 SIMETRIČNE KONSTRUKCIJE STATIČKA KONDENZACIJA KOD SIMETRIČNIH KONSTRUKCIJA Ako je konstrukcija geometrijski simetrična oko jedne ili više osi, može se izvršiti dekompozicija matrice krutosti sistema Proizvoljno opterećenje simetrične konstrukcije (sl), može se rastaviti na dvije komponente, jednu simetričnu (sl), i jednu antisimetričnu (sl), oko osi simetrije konstrukcije F F F q F os simetrije 7 8 slproizvoljno opterećenje simetrične konstrukcije F/ F/ q/ F/ q/ os simetrije F/ F/ F/ 7 8 sl Simetrična koponenta opterećenja F/ F/ q/ F F/ F/ q/ F/ 7 8 sl Antisimetrične komponente opterećenja os simetrije F/

18 os simetrije sl Pomaci za simetričnu komponentu opterećenja os simetrije sl7 Pomaci za antisimetričnu komponentu opterećenja Za simetričnu komponentu opterećenja pomaci simetričnih točaka na pravcima paralelnim osi simetrije su jednaki po iznosu i smjeru dok su pomaci na pravcima okomitim na pravac osi simetrije i kutovi zaokreta jednaki po iznosu i suprotnog smjera ( sl) U osi simetrije kut zaokreta i pomak na pravcu okomitom na os simetrije jednaki su nuli dok je pomak na pravcu osi simetrije moguć Obzirom na simetriju unutarnjih sila proračun se provodi samo na polovini nosača s rubnim uvjetom u osi simetrije prikazanim u proračunskome modelu (sl8) F/ F/ F F/ u v φ x sl8 Proračunski model

19 Za simetrično opterećenje postoje za cijeli sistem nepoznanica koje se korištenjem proračunskog modela sa slike 8 svode na Kondenzirana matrica krutosti štapa kroz koji prolazi os simetrije i okomit je na nju može se odrediti iz veze pomaka simetričnih čvorova Za simetrične čvorove (m) i (n) su pomaci unm -umn; vnmvmn i φnm -φmn Iz odnosa sila i pomaka u matričnom zapisu kako slijedi: nmn k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) umn tmn k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) vmn mmn nnm k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) φmn unm tnm k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) vnm mnm k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) k(,) φnm mogu se jednostavno odrediti elemetni kondenzirane matrice krutosti štapa: c n k (m,n) k (m,n)+ k(m,n+) (-) Elementi kondenzirane matrice mogu se odrediti ipreko kondenzacije matrice krutosti polovine štapa sa zadanim rubnim uvjetima u osi simetrije Za antisimetričnu komponentu opterećenja pomaci simetričnih točaka na pravcima paralelnim s osi simetrije i kutovi zaokreta jednaki su po smjeru i veličini dok su pomaci na pravcima okomitim na os simetrije jednaki po iznosu i suprotnog smjera (sl7) odnosno: c k (m,n) k (m,n)+ k(m,n+) (-) n m,, ; n,, unm umn; vnm-vmn i Fnm Fmn Elementikondenzirane matrice krutosti štapa koji presijeca os simetrije jesu: k (m,n) k (m,n)+ k(m,n+) (-) c n+ (m do ; n,,) Pomaci točaka u osi simetrije na pravcu osi simetrije su jednaki nuli a štap mijenja zakrivljenost pa je: v i d v dx M EI

20 F/ F/ F/ q/ u v φ sl Rubni uvjeti u pomičnom ležaju Mogući su pomaci okomito na os simetrije u na pravcu osi simetrije U proračunskom modelu u osi simetrije su rubni uvjeti definirani karakterom pomaka i deformacija što odgovara zglobnome horizontalno pomičnom ležaju (sl) Unutarnje sile za antisimetričnu komponentu opterećenja su antisimetrične I za antisimetričnu komponentu opterećenja postoji nepoznanica koje se korištenjem proračunskog modela za antisimetriju svode na Općenito se može reći da se za simetrične konstrukcije sa simetričnim ili antisimetričnim opterećenjem broj nepoznanica umanjuje, dok se za opći slučaj opterećenja sistem jednadžbi raspada na dva neovisna podsistema Unutarnje sile se dobivaju superpozicijom stanja za simetričnu i antisimetričnu komponentu opterećenja Reakcija u fiktivnom ležaju () će se kod superpozicije lijevog i desnog dijela proračunskog modela za antisimetrično opterećenje poništiti radi suprotnih predznaka Ako os simetrije prolazi kroz štap (sl), na slikama do prikazani su simetrična komponenta opterećenja, odgovarajuće slike pomaka i proračunski modeli Na slikama do prikazani su antisimetrična komponenta opterećenja, odgovarajući pomaci i proračunski model F q F F os simetrije 7 8 sl Simetričan model opterećenja

21 F/ q/ F F/ os simetrije F/ 7 8 sl Simetrična komponenta opterećenja sl Pomaci od simetričnog opterećenja F/ q/ I 8 F/ 7 u v φ A(-7)/ sl Proračunski model F/ q/ q/ os simetrije F/ F F/ F/ 7 8 sl Antisimetrična komponenta opterećenja sl Pomaci od antisimetričnog opterećenja 7

22 F/ q/ F/ F sl Proračunski model za antisimetričnu komponentu opterećenja 7 u v φ I(-7)/ Proračunski model za simetričnu komponentu opterećenja (sl) ima u osi simetrije spriječen zaokret i horizontalni pomak čvora, dok je vertikalni pomak čvora moguć Površina poprečnog presjeka štapa ()-(7) uzeta je sa, A,7 jer se za simetrično stanje opterećenja proračunava samo polovina sile u štapu Ukupna uzdužna deformacija odgovara deformaciji dobivenoj u proračunskom modelu, dok je uzdužna sila jednaka olovini konačne sile u štapu Elementi kondenzirane matrice krutosti štapa koji leži na osi simetrije imaju polovinu vrijednosti pune matrice Za antisimetrično opterećenje prikazana je deformacija nosača i odgovarajući proračunski model na slici Radi antisimetrije dijagrama moment na stupu jednak je sumi momenata na priljučnim prečkama (m7 m + m) Kako je m m, to znači da stup ravnopravno sudjeluje u preuzimanju momenata lijevo i desno od osi simetrije konstrukcije U proračunskom modelu (sl) uzeta je samo jedna prečka, te će i stup ()-(7) imati moment jednak momentu jedne prečke Uz isti kut zaokreta, to je moguće samo ako stup ima polovinu krutosti od stvarne U cijelome modelu za antistimetrično opterećenje uzdužna je sila u stupu ()-(7) jednaka nuli ( nema uzdužne deformacije) Da bi se takav uvjet ostvario, uveden je u proračunskome modelu štap koji sprečava vertikalni pomak Sila u uvedenom fiktivnom štapu se kod superpozicije lijevog i desnog dijela, za antisimetrično opterećenje, poništava Elementi kondenzirane matrice krutosti štapa koji leži u osi simetrije, za antisimetričnu komponentu c opterećenja, jesu k (m,n), k(m,n), m do ; n do Slična razmatranja vrijede za konstrukcije koje imaju dvije ili više osi geometrijske simetrije 8

23 Primjer (matrica krutosti x) Za nosač prikazan na slici potrebno je matricom krutosti odrediti a) rotaciju točke B b) reakcije u osloncima kn/m knm EI EI A B C m m EI EI Matrica krtutosti oblika x: k Vi Mi Vj Mj Vi Vj Mi Mj EI/ EI/ -EI/ EI/ EI/ EI/ EI/ EI/ -EI/ -EI/ EI/ -EI/ EI/ EI/ -EI/ EI/ K EI, -,7 -,7,7EI,7EI -,7EI,7EI,87EI,7EI -,87EI,7EI k,7ei EI -,7EI EI k,7ei EI -,7EI,EI -7EI,7EI -,7EI 7EI EI -,7EI -,7EI EI -,87EI -,7EI,87EI,7EI,EI -,7EI -,7EI EI kn kn/m knm A EI m B knm 8kN EI m C PDF EI Editor EI

24 Q K D + Q F GOBANI SUSTAV Q- Q EI,,7,7 D D D-,/EI D,7/EI ŠTAP kn/m EI 8 kn EI 8 kn knm knm q k d + q F,7EI,7EI -,7EI,7EI d 8 8,8 k,7ei -7EI,7EI EI -,7EI -,7EI 7EI EI -,7EI EI -,7EI EI d d-/ei d,7/ei + 8-7, -,8, kn/m,knm 8,8 kn EI,8 kn 7, knm

25 ŠTAP EI q k d + q F k,87ei,7ei -,87EI,7EI,7EI EI -,7EI,EI -,87EI -,7EI,87EI -,7EI,7EI,EI -,7EI EI d-/ei d,7/ei d d + -7,88 -, 7,88-8,,kNm 8,kNm 7,8kN EI 7,8kN Reakcije na ležajeve iznose: kn/m knm 8,kNm A 8,8 kn 7, knm EI m B EI m C 7,8kN

26 Antisimetrične konstrukcije PRIMJER Koristeći metodu krutosti na prikazanom nosaču potrebno je odrediti: a)odrediti otklon i rotaciju točke B b)odrediti sve reakcije E GPa, I ( ) mm, A mm kn/m B C, m A m m kn/m Globalni sustav 8 7, m, m m m m m Komponente matrice štapa i štapa 8 7 kn/m knm kn knm kn

27 Izračun elemenata krutosti štapa : 7, m kn/m, m - EA (x )(x ) 7, kn/m - EI (x )(x ) 7,, kn/m - EI (x )(x ) 7, 8 kn m m EI (x )(x ) 7, knm - Štap φ φx xcosφx/7,,8 cosφ,/7,, EA - (x )(x ) 7, knm Općenito Vj Mj φ Uj φx xcosφx cosφ Vi Mi Ui x Ui Vi Mi Uj Vj Mj Ui Vi EA EI ( ix + i) ( EA - EI ) ix i ( EA EA - EI ) EI ix ( i + ix) i -EI EI ix i -( EA -( EA ix i EI jx + EI jx - i ix j) j) -( EA -( EA ix i EI j - EI jx + i ix jx) j) -EI EI ix i Mi Uj -EI -( EA ix i EI jx + i j) -( EA -EI i i EI jx - ix j) EF EI j EA EI ( jx + j) j EI ( EA -EI jx - EI ) jx j EF EI j Vj -( EA ix EI j - i jx) -( EA i EI j + ix jx) -EI jx ( EA - EI ) jx j EA EI ( j + jx) -EI jx Mj -EI i -EI ix EF EI j -EI jx EF

28 Matrica krutosti štapa,88 7, 7, 78, -78 -,88-7, -7, -78, -78 k -78 -,88-7, -7, -78, 78-78,88 7, - 7, 78, Izračun elemenata matrice krutosti štapa: 7, m kn/m, m - EA (x )(x ) kn/m - EI (x )(x ),7 kn/m - EI (x )(x ) kn m m EI (x )(x ) 8 knm - EA - (x )(x ) knm Štap 8 7 xcos cos k EF -EF EI -EI -EI -EI -EI EF EI EF -EF EF -EI EI EI EI -EI EF EI EF

29 -,7 -,7 k ,7 -, kn/m, m Globalni sustav knm kn 8 7 knm kn, m m m m m Q, 7, 78 D Q Q 7, 78, 7 7 D D + D -,7( )m D - -,7( )m D - -,7( )rad

30 Štap φ φx xcosφx/7,,8 cosφ,/7,,,7kn,knm,kn,7kn,knm,kn,7kn,knm,7kn,kn,knm,kn q, q,7 q q k - D,7( )m +, -, q q - D -,7( )m - D -,7( )rad -,7 -, Štap 8 7 knm kn kn/m knm kn,7kn,knm, kn,kn,7knm,kn 7 8 q - D,7( )m, q - D -,7( )m,7 q q7 7 k - D -,7( )rad +, -, q8 q 8 -, -,7

31 Riješenja momenata savijanja, uzdužnih i poprečnih sila dobivenih matricom krutost, štapa i štapa :,7kN,kNm,kN,7kN,kNm,kN,7kN,kNm, kn,kn,7knm,kn Prikaz riješenja reakcija u osloncima dobivenih iz matrice krutosti štapa i štapa :,7kN,kNm,kN kn/m,kn,7knm,kn Primjer Koristeći metodu krutosti na prikazanom nosaču potrebno je odrediti: a)odrediti otklon i rotaciju točke B b)odrediti sve reakcije E GPa, I ( ) mm, A mm kn B knm kn C kn/m, m A m m m Globalni sustav φ, φx,87 8 7, m xcosφx/7,,8 cosφ,/7,, PDF m Editor m m 7

32 8 7 GOBANI SUSTAV kn,knm,7kn,kn kn,knm,7kn,kn kn kn 7,kNm 7, knm kn Q, 7, 78 D -,7 Q 7,, 7 D + + Q 78 7 D -,+7, D D D -,7( )m - -,88( )m -,( )rad Matrični prikaz štapa q -,7, q,7 q q k q - PDF q Editor D,( )rad -,,8 - D,7( )m - D -,88( )m +,, -,7 -, -,7 8

33 Izračun reakcija i unutrašnjih sila štapa :,8kNm,kN,7kN,7kN,8kNm,7kN,8kNm,kN,7kN,kNm,kN 77kN Štap : 8 7 kn,kn,knm,7kn, knm 8,8 knm,8 kn kn kn 7,kNm 7, knm kn Matrica krutosti štapa : q D,7( )m, q - D -,88( )m,7 q q7 7 k - D,( )rad + 7,, -, q8 q 8-7,,8-8,8 Konačno riješenje:,8knm,kn,7kn kn,kn,knm,7kn, knm 8,8 knm,8 kn,7kn,8knm,kn kn/m kn,8 kn,knm,kn,7kn knm kn, knm 8,8 knm

34 Primjer (matrica krutosti x) Koristeći metodu krutosti na prikazanom nosaču potrebno je odrediti: a)odrediti otklon i rotaciju točke B b)odrediti sve reakcije kn/m kn A m B m,m C w/,7 w/,7 P/8,7 kn P/8,7 Matrica krutosti: φi φj kx EI EI EI EI Mi Mj k EI k EI + PDF K EI Editor

35 A kn/m kn,7 B,7,7,7 C Jednadžba ravnoteže: M CB M BA + MBC F Globalna jednadžba: Q K D + Q MBA + MBC MCB EI + QB QC -,7+,7- + -,7 QB,7/EI QC,/EI q k d + q F w/,7 w/,7 MAB MBA EI QA QB,77/EI +,7 -,7, -,

36 kn/m,knm,kn,knm,kn kn P/8,7 P/8,7 q k d + q F MBC MCB EI QB,77/EI QC,/EI +,7 -,7,,kNm kn 7,kN,87kN kn/m A,kNm kn B,kN,7kN,87kN C

37 8 ZAKJUČAK Prikazani postupak postaje prilično složen kada se radi o sustavu s većim brojem elemenata ili kada su elementi složenijeg oblika kao što su volumenski elementi Tako npr, veličina matrice krutosti ovisi o složenosti problema, ako je sa velikim brojem nepoznanica matrica će biti veća Matrica krutosti može biti različitih veličina tako npr može biti matrica krutosti x, ili xili x razlika je članovima koje pojedine matrice sadrže Tako matrica krutosti koja ima oblik x ima za unutarnje sile momente savijanja M i i Mj, uzdužnu silu Ni i Nj te poprečnu silu T i i Tj, dok matrica x će imati moment savijanja M i i Mj i poprečnu silu Ti i Tj, a matrica x će imati samo moment savijanja M i i Mj Krutost zavisi od vrste materijala, oblika i dimenzija nosača i vrste

38 8 Sažetak Krutost možemo definirati kao otpornost na deformaciju i matematički ju definiramo kao odnos sile F koja uzrokuje deformaciju i same deformacije x Podjela krutosti na aksialnu, krutost na savijanje i torzijsku krutost Krutost zavisi od vrste materijala, oblika i dimenzija nosača i vrste Metoda pomaka je metoda proračuna statički neodređenih sustava u kojoj su nepoznanice translacijski i rotacijski pomaci odabranih točaka nosača koje nazivamo čvorovima Razlikujemo točnu i inženjersku metodu pomaka Simetrično opterećenje možemo rastaviti na simetričnu i antisimetričnu komponentu Za simetričnu i antisimetričnu matricu imamo različite matrice jer se razlikuju u elementima Matrica krtutosti može biti različitih oblika u ovisnosti koje unutarnje sile ima

39 Summar Stiffness can be defined as resistance to deformation and mathematicall it is defined as relationship between force F which causes deformation and the deformation x Distribution of stiffness in axial, flexural stiffness and torsional stiffness The stiffness depends on the tpe of materials, shapes and sizes and tpes of carriers Displacement method is a method of calculation of staticall indeterminate sstem in which the unknowns are the translational and rotational displacements of the points selected carriers which are called nodes We distinguish the exact and of displacement method Smmetric load can be decomposed into smmetric and antismmetric component For smmetric and antismmetric matrix we have different matrices because the differ in elements Matrix krtutosti can be different shapes depending on which internal forces there

40 ITERATURA Anđelić Milutin :Građevna statika II Zagreb : Građevinski fakultet Sveučilišta, f