PRORAČUN STRUJA KRATKOG SPOJA ELEKTRANE NA BIOMASU 5 MW

Size: px
Start display at page:

Download "PRORAČUN STRUJA KRATKOG SPOJA ELEKTRANE NA BIOMASU 5 MW"

Transcription

1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Sveučilišni studij PRORAČUN STRUJA KRATKOG SPOJA ELEKTRANE NA BIOMASU 5 MW Diplomski rad Hrvoje Snopek Osijek, 16.

2

3

4 1. UVOD UVOD U METODU SIMETRIČNIH KOMPONENTI....1 Simetričan sustav.... Operator a Funkcije operatora a Nesimetrični sustav Metoda simetričnih komponenti za n-fazne sustave METODA SIMETRIČNIH KOMPONENTI U TROFAZOM SUSTAVU Pretvorba matrice impedancija u simetrične komponente Simetričan sustav nadzemnih vodova Nesimetričan sustav nadzemnih vodova Nadomjesne sheme tereta Spoj zvijezda (Y) Spoj trokut (D) Nadomjesne sheme transformatora Spoj zvijezda-zvijezda (Yy) Spoj trokut-trokut (Dd) Spoj zvijezda-trokut (Yd) Nadomjesne sheme generatora Direktna mreža Inverzna mreža Nulta mreža Ekvivalentne mreže simetričnih komponenti Primjer konstruiranja ekvivalentnih mreža ANALIZA KRATKIH SPOJEVA METODOM SIMETRIČNIH KOMPONENTI Jednofazni kratki spoj Dvofazni kratki spoj Dvofazni kratki spoj sa zemljom Trofazni kratki spoj... 49

5 5. PRORAČUN STRUJNO-NAPONSKIH PRILIKA U MREŽI KOD PRIKLJUČKA KOGENERACIJSKOG POSTROJENJA SLAVONIJA DI Tehnički podaci i opis kogeneracijskog postrojenja Slavonija DI Generator Transformatorske stanice i opterećenja Vodiči Tehnički podaci i opis okolne mreže Transformatorske stanice i opterećenja Kabelski i nadzemni vodovi Opis modela elektroenergetskog sustava i korištenog programskog paketa Analiza strujno-naponskih prilika u mreži pri maksimalnom opterećenju Naponi Kratki spojevi Opterećenje vodova i gubici u sustavu Harmonici Analiza strujno-naponskih prilika u mreži pri minimalnom opterećenju Naponi Struje kratkog spoja Opterećenje vodova i gubici u sustavu ZAKLJUČAK LITERATURA POPIS OZNAKA I KRATICA SAŽETAK ŽIVOTOPIS PRILOZI... 7

6 1. UVOD Tema ovog rada je proračun strujno-naponskih prilika u mreži prije i nakon uklopa kogeneracijskog postrojenja Slavonija DI. Opisana je metoda simetričnih komponenti kao pogodan matematički alat za rješavanje složenih elektroenergetskih mreža. U trećem poglavlju ta metoda primjenjena je na trofazne sustave, pri čemu su razrađene nadomjesne sheme za svaki element mreže posebno. Na kraju poglavlja je na konkretnom primjeru prikazan postupak konstruiranja ekvivalentne direktne, inverzne i nulte mreže. Četvrto poglavlje bavi se analizom kratkih spojeva metodom simetričnih komponenti. Obrađene su najučestalije vrste kratkih spojeva. Koristeći uvjete na mjestu kvara i izraze za simetrične komponente struje i napona, izvedeni su izrazi za određivanje struje kratkog spoja za pojedinu vrstu kratkog spoja. Prema svakom izrazu konstruirana je odgovarajuća shema načina spajanja ekvivalentih mreža. Na kraju poglavlja objašnjeno je zašto je dobro poznavati impedanciju kvara, kako ona utječe na iznos struje kratkog spoja i od čega se sve sastoji. Peto poglavlje opisuje tehničke karakteristike kogeneracijskog postrojenja Slavonija DI, kao i okolne mrežu. Na temelju shematskog dijagrama mreže HEP-a i dostupnih podataka o opterećenjima napravljen je model mreže u EasyPoweru. Analiziran je utjecaj elektrane Slavonija DI na naponske prilike u mreži, gubitke i struje trofaznog i jednofaznog kratkog spoja pri maksimalnom i minimalnom opterećenju. 1

7 . UVOD U METODU SIMETRIČNIH KOMPONENTI.1 Simetričan sustav Elektroenergetski sustav projektiran je da većinu vremena radi u simetričnom trofaznom sinusoidalnom ustaljenom stanju, a sastoji se od 4 osnovne cjeline: izvora električne energije (generatora i blok transformatora), prijenosne mreže, distribucijske mreže i potrošača. Generatori su građeni tako da proizvode simetrične elektromotorne sile. Vektori struje i napona sve tri faze imaju jednake amplitude i međusobno su pomaknuti za 1 stupnjeva. Mreže se grade od jednakih impedancija po fazi, a trošila se grade tako da se nastoji postići simetričnost po fazama. Simetričan sustav pogodan je za lakše računanje prilika u ostalim fazama ukoliko su poznate prilike u jednoj fazi i fazni pomak. Stoga, prilikom proračuna napona i struja u trofaznoj mreži u normalnom pogonu, proračune možemo napraviti samo za jednu fazu, a onda po završenom proračunu možemo, uz odgovarajući fazni pomak (1, 4 ), prilike prenijeti u ostale faze. [1] Sl..1 Simetrični trofazni sustav Simetrični sustav vektora struja prikazan je u kompleksnoj ravnini. Vektori su fazno pomaknuti za kut od 1.

8 Sl.. Pretvaranje kompleksnog broja u polarni oblik Trenutne vrijednosti struja u pojedinim fazama simetričnog trofaznog sustava iznose: i I sin t, R R is IS sin t, 3 it IT sin t 3 (-1) (-) (-3) Pri tome vrijedi da je I I I I, gdje je I modul rotirajućeg vektora struje koji ima stalnu kutnu brzinu rad/s. R S T Modul vektora I rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko ishodišta, a počinje rotirati iz apscise koordinatnog sustava u trenutku t. Kut koji je modul vektora I prešao od početnog položaja, u nekom trenutku t označen je sa.sinusnu funkciju sin( t ) u kompleksnoj ravnini može se prikazati modulom vektora I i argumentom. Uz primjenu supstitucije t, može se pisati: I I cos j sin, R (-4) 3

9 IS I cos j sin, 3 3 IT I cos j sin 3 3 (-5) (-6) Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi slijedeća Eulerova formula Pa slijedi Tako se izraz cos j sin e j, (-7) j I cos j sin I e (-8) j I e može koristiti za prikaz vektora uz pomoć modula I i argumenta. Izrazi (-4), (-5) i (-6) mogu se pisati na sljedeći način: j IR I e I, (-9) j 3 3 IS I e I, (-1) 4 j 3 3 IT I e I (-11). Operator a Zbog simetričnosti faza uvodi se operator a koji zakreće referentni vektor za kut od 1 stupnjeva u smjeru obrnutom od kazaljke na satu. To znači da vektore I S i I T možemo izraziti preko umnoška referentnog vektora I R i operatora a, što prikazuje Sl..3. 4

10 Sl..3 Operator a Vektori I R, I S i I T postaju IR j Ie j IS a Ie a IR j IT a Ie a IR (-1) (-13) (-14) Ili, napisano u matričnom obliku: IR 1 IR I S a IR IT a IR (-15).3 Funkcije operatora a Neki od sljedećih izraza koristiti će se u narednim poglavljima, pa ih je korisno zapisati kako bi se kasnije mogli pozvati na njih. j a 1 e j (-16) 3 4 j j a e e j (-17) 3 3 j 3 j 1 a e e (-18) 5

11 4 j j a e e a (-19) Općenito zapisano vrijedi: 3 6 3n a a a a 1 (-) 4 7 3n 1 a a a a (-1) 5 8 3n a a a a n Funkcije operatora a dane su izrazima:.4 Nesimetričan sustav,,1,,3... (-) a (-3) a (-4) a (-5) a (-6) a a j (-7) a a j (-8) a a 1 (-9) Za razliku od simetričnog sustava kod kojeg su efektivne vrijednosti struja i napona jednake, kao i fazni pomaci između pojedinih faza, kod nesimetričnog sustava ovi uvjeti ne moraju biti ispunjeni. Određene situacije mogu uzrokovati nesimetriju u sustavu. Najnepovoljnija takva situacija je kratki spoj, odnosno kvar u mreži. Kvarovi u mreži mogu se podijeliti na serijske i paralelne. Serijski kvarovi su takve grupe kvarova kod kojih ne postoji veza između vodiča ili između jednog vodiča i zemlje na mjestu kvara. Zbog toga ne postoji tipično mjesto kvara kao što je to u slučaju bilo kojeg tipa kratkog spoja. U osnovi, serijski kvarovi dijele se na tri vrste: 6

12 jedna faza u prekidu, dvije faze u prekidu i nejednaka (nesimetrična) serijska impedancija u sve tri faze. [] Paralelni kvarovi su međufazni kvarovi ili kvarovi sa zemljom (jednofazni, dvofazni, trofazni kratki spoj ili zemljospoj), koji se uobičajeno nazivaju kratki spojevi ili zemljospojevi u slučaju izolirane mreže. Od svih navedenih, jedino trofazni kratki spoj ne uzrokuje nesimetriju u sustavu. Struja jednopolnog kratkog spoja je najbrojnija manifestacija greške na primarno pogođenoj jedinici. Postotni udio jednofaznog kratkog spoja za prijenosnu mrežu Republike Hrvatske u godini. iznosio je 5%. Slijede svi ostali kratki spojevi, s približno istim zajedničkim udjelom kao i jednofazni kratki spoj. [3] Nesimetrija struja može biti uzrokovana i samim nesimetričnim opterećenjenjem trofaznog potrošača. Za potrošača se kaže da je nesimetričan ako se bar jedna impedancija u bilo kojoj fazi potrošača razlikuje od preostalih impedancija potrošača bilo po modulu ili po argumentu. [4] Kako bi se olakšalo računanje takvih kompleksnih nesimetričnih prilika u elektroenergetskom sustavu koristi se metoda simetričnih komponenata, koja nije ništa drugo nego matematički alat uz pomoć kojega je moguće bilo koji višefazni nesimetrični sustav od m vektora transformirati u m simetričnih sustava od m vektora..5 Metoda simetričnih komponenti za n-fazne sustave Godine Charles Legeyt Fortescue predstavio je znanstveni rad [5] u kojem je demonstrirao kako se svaki od m po volji zadanih kompleksnih brojeva (fazora) AK, k 1,,... m, može prikazati kao zbroj od m kompleksnih brojeva (fazora) B kv, tj. kao A k m B v1 kv (-3) gdje je j ( k 1) v m Bkv Bve ; k 1,,..., m (-31) Skup Bkv, k 1,,..., m naziva se simetričnim skupom v-tog reda ili potpunim fazorskim skupom v-tog reda. Element skupa B kv naziva se k-tom simetričnom komponentom v-tog reda. [6] 7

13 3. METODA SIMETRIČNIH KOMPONENTI U TROFAZOM SUSTAVU Primjeni li se Fortescue-ov teorem na nesimetričan trofazni sustav (Sl. 3.1), taj sustav može se zamijeniti sa tri simetrična sustava (direktni, inverzni i nulti) za koje se proračun lakše izvodi. Nakon završenog proračuna rezultati se vraćaju u originalni sustav. Sl. 3.1 Nesimetrični trofazni sustav Tri jednofazna simetrična sustava su: 1. Direktni (sastoji se od tri vektora jednake amplitude, fazno pomaknutih za 1 stupnjeva, istog redoslijeda faza kao i u izvornom sustavu). Inverzni (sastoji se od tri vektora jednake amplitude, fazno pomaknutih za 1 stupnjeva, obrnutog redoslijeda faza od izvornog sustava) 3. Nulti sustav (sastoji se od tri vektora jednake amplitude, bez faznog pomaka između njih) 8

14 Sl. 3. Direktni, inverzni i nulti sustav simetričnih komponenti Ova tri sustava simetričnih komponenti (Sl. 3.) vektorski se zbrajaju se kako bi se dobio izvorni nesimetrični sustav (Sl. 3.3). Sl. 3.3 Nesimetrični sustav rastavljen na simetrične komponente Iz vektorskog dijagrama (Sl. 3.3) mogu se izvući sljedeće jednažbe: I R = I R, d + I R, i+ IR, o I S = I S, d + I S, i+ IS, o I T = I T, d + I T, i+ IT, o (3-1) (3-) (3-3) 9

15 Simetrične komponente struja faza S i T izražene su preko komponenti faze R i operatora a: I I a I S, d R, d R, d 1 1, I I a I T, d R, d R, d 1 1, I I a I S, i R, i R, i 1 1, I I a I T, i R, i R, i 1 1, I I I R, S, T, (3-4) (3-5) (3-6) (3-7) (3-8) Uvedemo li jednadžbe iznad u jednadžbe za fazne struje i uredimo ih, dobijemo: I = I I + I R R, o R, d R, i I = I a I + a I S S, o R, d R, i I = I a I + a I T T, o R, d R, i (3-9) (3-1) (3-11) U matričnom obliku jednadžbe iznad postaju: IR IR, I S 1 a a IR, d IT 1 a a IR, i (3-1) gdje je transformacijska matrica T T 1 a a 1 a a (3-13) Kako bi dobili izraz za simetrične komponente struja zapišimo jednadžbu (3-1) kao I RST T I, d, i (3-14) Obje strane jednadžbe potrebno je pomnožiti sa inverznom transformacijske matrice kako bi na desnoj strani jednadžbe ostale samo simetrične komponente struja, zato što vrijedi 1 1 T I RST T T I, d, i 1 T I RST I I, d, i T T 1 I. (3-15) (3-16) 1

16 Gdje je I jedinična matrica. Jedinična matrica je kvadratna matrica kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Jednadžba (3-16) tada postaje 1 I, d, i T I RST (3-17) Inverz matrice T može se naći primjeni li se jedna od metoda traženja inverza matrice (Gauss- Jordanova metoda eliminacije, Gaussova metoda eliminacije, ili LU dekompozicija). Pa inverz matrice T nakon izvođenja iznosi T 1 a a 3 1 a a (3-18) Uvrsti li se gornji izraz u jednadžbu (3-17), jednadžba dobija oblik: I IR 1 1 I d a a IS 3 1 Ii a a IT (3-19) Isti postupak može se provesti i za napone VR V V S 1 a a Vd VT 1 a a Vi V VR 1 1 V d a a VS 3 1 Vi a a VT (3-) (3-1) 3.1 Pretvorba matrice impedancija u simetrične komponente Matričnu jednadžbu koja definira odnose napona i struja u originalnom sustavu izrazimo simetričnim komponentama: V Z I RST RST RST (3-) 11

17 Zbog toga što je V R, S, T T V, d, i I T I, može se pisati pisati: i R, S, T, d, i T V, d, i Z T I RST, d, i (3-3) Potrebno je cijelu jednadžbu pomnožiti sa inverzom transformacijske matrice T T T T -1 1 V, d, i Z RST I, d, i (3-4) Na lijevoj strani jednadžbe ostaje samo matrica simetričnih komponenti napona 1 V, d, i T Z RST T I, d, i (3-5) Usporedi li se izraz (3-5) sa izrazom (3-), može se zaključiti da je matrica impedancija u sustavu simetričnih komponenti 1 V, d, i T Z T I RST, d, i Z, d, i (3-6) Gdje je Z, d, i 1 Z, d, i T Z RST T (3-7) je matrica vlastitih i međusobnih impedancija u sustavu simetričnih komponenti. Direktna impedancija u trofaznom sustavu je impedancija po fazi, mjerena u simetričnim uvjetima napajanja i opterećenja, te je stoga jednaka faznoj impedanciji vodova, impedanciji kratkospojenog transformatora i prigušnice, te impedanciji generatora koja djeluje za vrijeme kratkog spoja. Inverzna impedancija je impedancija mjerena u simetričnim uvjetima napajanja i opterećenja uz obrnuti redoslijed faza. Nulta impedancija je ona koja se u jednoj fazi dobije ako su sve tri faze trofaznog sustava spojene sa zemljom, pri čemu se napajaju jednofaznim izmjeničnim naponom. Nulta se impedancija uzima u obzir samo kad nulta komponenta struje može teći (preko zemljospoja, u zemlji, uzemljenim zvjezdištem transformatora). [7] 1

18 3.1.1 Simetričan sustav nadzemnih vodova Razmotrimo simetričan sustav vodova koji je prikazam Sl Z R I R R Z S Z M Z M I S S Z T Z M I T T Sl. 3.4 Simetričan sustav vodova Izvorna matrica vlastitih i međusobnih impedancija dana je kao Z Z Z R RS RT Z ZSR ZS ZST RST Z Z Z TR TS T (3-8) Gdje su ZR, ZS i Z T vlastite impedancije faza R, S i T, a međusobne impedancije između odgovarajućih faza iznose ZRS ZSR, ZRT ZTR i Z ST Z TS. Uz pretpostavku da su sve tri faze proizvedene potpuno jednake, vlastite impedancije su im jednake, tj. ZR ZS ZT Z. Međusobne impedancije između svih faza isto tako su jednake i iznose Z M. [8] Pod ovim uvjetima matrica impedancija postaje: Z ZM ZM Z ZM Z ZM RST ZM ZM Z (3-9) Matrica faznih impedancija (3-9) sada je potpuno simetrična. Uvrštavanjem navedene matrice u izraz za matricu vlastitih i međusobnih impedancija u sustavu simetričnih komponenti (3-7), dobije se 1 Z, d, i T Z RST T (3-3) 13

19 1 1 1 Z ZM ZM Z, d, i 1 a a ZM Z Z M 1 a a a a ZM ZM Z a a Z ZM Z ZM a a Z ZM a a a a Z Z az Z 1 a a Z Z 1 a Z, d, i a a Z ZM a Z ZM a az ZM a M M M (3-31) (3-3) Nakon množenja simetrične komponente impedancija su Z ZM Z, d, i Z ZM Z Z M (3-33) Odnosno u algebarskom obliku Z Z Z M Z Z Z Z d i M (3-34) (3-35) Ovaj slučaj javlja se kod potpuno prepletenog voda, što znači da se transformacijom u simetrične komponente dobije dijagonalna matrica i da su nulti, direktni i inverzni sustavi međusobno nezavisni. Također, direktna i inverzna impedancija su jednake, što općenito vrijedi za sve pasivne elemente mreže. U slučaju da vod nije prepleten transformacijom u simetrične komponente neće se dobiti dijagonalna matrica, ali će vandijagonalni elementi kod realnog voda biti vrlo mali (u odnosu na dijagonalne), što znači da se u određenim proračunima mogu zanemariti. [9] Na temelju izraza za nulu, direktnu i inverznu impedanciju mogu se nacrtati nadomjesne sheme nadzemnih vodova, koje su prikazane Sl I d Z d Z I Z I i i n n' n n ' n n' a ) b ) c) Sl. 3.5 Nadomjesne sheme nadzemnih vodova 14

20 3.1. Nesimetričan sustav nadzemnih vodova Nesimetričan sustav nadzemnih vodova prikazan je Sl Z R Z S I R I S R S Z T I T T Sl. 3.6 Nesimetričan sustav vodova Ukoliko pretpostavimo da izvorni trofazni sustav nije simetričan, tj. da vlastite impedancije faza ZR, ZS i Z T nisu jednake, i zanemarujući međusobne impedancije između faza, matrica impedancija postaje ZR Z ZS RST ZT (3-36) Pod ovim uvjetima, transformacija u simetrične komponente daje: 1 Z, d, i T Z RST T ZR Z, d, i 1 a a ZS 1 a a a a ZT a a ZR ZR ZR 1 Z, d, i 1 a a ZS a ZS a ZS 3 1 a a ZT a ZT a ZT ZR ZS ZT ZR a ZS a ZT ZR a ZS a ZT 1 Z, d, i ZR a ZS a ZT ZR ZS ZT ZR a ZS a ZT 3 ZR a ZS a ZT ZR a ZS a ZT ZR ZS ZT (3-37) (3-38) (3-39) (3-4) 15

21 Konačna matrica pokazuje da se pod uvjetima nesimetrije trofaznog sustava, matrica simetričnih komponenata ne može razdvojiti, tj. direktni, inverzni i nulti sustav nisu međusobno neovisni. Razina asimetrije je u praksi mala, pa se stoga u praktičnim izračunima izvorni trofazni sustav smatra simetričnim. [8] 3. Nadomjesne sheme tereta U ovom potpoglavlju biti će razrađene nadomjesne sheme za simetrične komponente tereta. Nadomjesne sheme transformatora razlikuju se za spoj zvijezda i za spoj trokut. Kao i kod svih nerotirajućih elemenata, direktna i inverzna komponenta su jednake dok nulta komponenta ovisi o uzemljenju Spoj zvijezda (Y) Teret priključen preko spoja zvijezda, prikazan je na Sl Teret je uzemljen preko impedancije Z. Zbog toga, zvjezdište ne mora biti istog potencijala kao i zemlja. n I R V Rg I S V Sg Z Y Z Y I n Z Y Z N I T V Tg Sl. 3.7 Teret priključen preko spoja zvijezda 16

22 Potrebno je raspisati naponske jednadžbe preko Kirchhoffovih zakona za tri fazna napona V Rg, V Sg, i V Tg kao funkcije struje i impedancija tereta uz pretpostavku da ne postoje međusobne impedancije između faza. V Z I Z I Rg Y R n n V Z I Z I Sg Y S n n VTg ZY IT Z ni n (3-41) (3-4) (3-43) Struja I n može se zapisati na sljedeći način primjeni li Kirchhoffov zakon za struje u zvjezdištu. I I I I n R S T (3-44) Uvrštavanjem (3-44) u (3-41), (3-4), (3-43) dobije se: VRg ZY IR Zn IR IS IT V Z I Z I I I Sg Y S n R S T V Z I Z I I I Tg Y T n R S T (3-45) (3-46) (3-47) Jednadžbu je potrebno proširiti množeći Z n sa svakim članom iz zagrade: Potrebno je izlučiti I R V Z I Z I Z I Z I Rg Y R n R n S n T V Z I Z I Z I Z I Sg Y S n R n S n T V Z I Z I Z I Z I Tg Y T n R n S n T u prvoj, I S u drugoj i I T u trećoj jednadžbi V Z Z I Z I Z I S T Rg Y n R n n V Z Z I Z I Z I S T Sg Y n n R n V Z Z I Z I Z I Tg Y n T n R n S (3-48) (3-49) (3-5) (3-51) (3-5) (3-53) Gornje jednadžbe zapisane u matričnom obliku: 17

23 V Rg ZY Zn Z n Zn I R VSg Zn ZY Zn Zn IS V Tg Zn Z n ZY Z n IT (3-54) Ili kraće zapisano V RST Z RST I RST (3-55) Gdje je Z Z Z Z Zn Zn ZY Z n Y n n n ZRST Zn ZY Zn Zn (3-56) Kako bi se dobile naponske jednadžbe preko simetričnih komponenti treba uvrstiti izraz (3-56) u jednadžbu (3-5). Jednadžbu ćemo ponovno zapisati radi preglednosti 1 V, d, i T Z T I RST, d, i ZY Z n Zn Zn V, d, i 1 a a Zn ZY Zn Z n 1 a a I, d, i a a Zn Zn ZY Z n a a (3-57) (3-58) Množenjem matrice faznih impedancija sa transformacijskom matricom dobije se Z ZY 3Zn ZY ZY Z d a a ZY Zn a ZY azy Zi a a ZY Zn azy a Z Y (3-59) Pomnoži li ostatak jednadžbe Z 3ZY 9Zn ZY 3Zn 1 Zd 3ZY ZY 3 Zi 3Z Y Z Y (3-6) Uvrštavanjem izraza za novodobivene simetrične komponente impedancija u izraz (3-57) VRg, ZY 3Zn I R, V Z I Sg, d Y S, d VTg, i ZY IT, i (3-61) 18

24 Tj. za teret u spoju zvijezda vrijedi V ZY 3Zn I Vd ZY Id V i Z Y I i (3-6) Iz jednadžbi koje se nalaze unutar gornje matrice moguće je nacrtati nadomjesne sheme tereta u spoju zvijezda, koje su prikazane Sl I d Z Y Z Y I i I Z Y V d V i V 3Zn a ) b ) c) Sl. 3.8 Nadomjesne sheme tereta u spoju zvijezda Ako je nultočka kruto uzemljena onda je Z Z Y. Ako je nultočka ne-uzemljena, tj. Z n, onda nulta komponenta struje uopće neće teći električnim krugom. 3.. Spoj trokut (D) Simetrični teret u spoju trokut prikazan je prema Sl I R R I TR I RS Z Z I T I S T Z I ST S Sl Shematski dijagram simetričnog tereta u spoju trokut Teret u svakoj fazi je jednak i označen sa Z. Linijski naponi dani su kao: 19

25 V V V RS ST TR ZI ZI Z I RS ST TR (3-63) Zbrajanjem ova tri napona dobije se V V V Z I I I RS ST TR RS ST TR Označi li se nultu komponenta napona VRS, VST i VTR, kao V i struje I, I i I RS, jednadžba (3-64) može se ponovno zapisati kao V Z I RS, RS, RS ST TR (3-64) kao I RS,, (3-65) A zbog toga što je V V V V V V V V V RS ST TR R S S T T R (3-66) Iz jednadžbi (3-65) i (3-66) može se zaključiti kako je VRS, IRS,. Zbog toga teret u spoju trokut bez međusobnih impedancija nema nultu komponentu struje koja kruži kroz trokut. Direktna i inverzna impedancija ovog tereta jednaka je Z. 3.3 Nadomjesne sheme transformatora Tri identična jednofazna transformatora mogu se spojiti u jednu cjelinu kako bi zajedno činili jedan trofazni transformator. Može se pretpostaviti da su direktna i inverzna impedancija jednake rasipnoj impedanciji transformatora. Zbog toga što je transformator pasivni element, direktna i inverzna impedancija ne mijenjaju se sa promjenom redoslijeda faza, tj direktna i inverzna mreža kod transformatora su iste. Nulta impedancija može varirati, od beskonačne vrijednosti do vrlo niske vrijednosti, ovisno o vrsti spoja, načinu uzemljenja zvjezdišta i konstrukciji, tj. vrsti jezgre i kučišta. [1] Nulta impedancija beskonačna je kada nulta komponenta struje ne može teći namotima i faznim vodičima zbog spoja namota transformatora koji to onemogućava. Važno je napomenuti da u određenim slučajevima, kao kod slučaja kada je namot u spoju trokut, nulta komponenta struje teče unutar namota ali ne može poteći faznim vodičima, pa nadomjesna shema pokazuje to kao prekid, tj. beskonačnu impedanciju.

26 3.3.1 Spoj zvijezda-zvijezda (Yy) Yy spoja transformatora, kad su obje nul-točke uzemljene preko impedancije Z N, tj. Z n, prikazuje Sl. 3.1 Primarna strana označava se velikim slovima u donjem indeksu, dok se sekundarna strana označava malim slovima. Omjer namota transformatora dan je izrazom = N 1 :N. R S I R I S I t t I r r N I N n I n T I T Z N I s s Z N Napon faze R primarne strane iznosi Sl. 3.1 Shematski prikaz YNyn spoja transformatora V V V V 3Z I R RN N RN N R, (3-67) Izraze li se V R i V RN preko simetričnih komponenti napona, gornja jednadžba postaje V V V V V V 3Z I R, R, d R, i RN, RN, d RN, i N R, (3-68) Smjer nulte struje sekundara I n obrnut je od smjera nulte struje primara I N, pa možemo napisati jednadžbu sličnu gornjoj za sekundarnu stranu kao V V V V V V 3Z I r, r, d r, i rn, rn, d rn, i N r, (3-69) Zbog toga što prijenosni omjer namota iznosi = N 1 :N možemo pisati N V V 1 RN RN Vrn (3-7) N Vrn N I N I I I 1 R r r Uvrste li se izrazi iznad u izraz (3-69), dobije se R (3-71) 1

27 1 V V V V V V 3Z I r, r, d r, i RN, RN, d RN, i n R, (3-7) Pomnožimo obje strane jednadžbe sa V V V V V V Z I 3 r, r, d r, i RN, RN, d RN, i n R, (3-73) Zapišimo ponovno jednadžbu jednadžbu (3-68) tako što ćemo 3Z N I R, V V V V V V 3Z I RN, RN, d RN, i R, R, d R, i N R, prebaciti na lijevu stranu (3-74) Uvrštavanjem gornje jednadžbe u (3-73), dobije se V V V V V V Z Z I 3 r, r, d r, i R, R, d R, i N n R, (3-75) Nakon izdvajanja direktne, inverzne i nulte komponente možemo pisati N V V V 1 r, d r, d R, d N N V V V 1 r, i r, i R, i N N V V V 3 Z N N Z I 1 r, r, R, N 1 n R, N I Z R, 3 N Z Z 3 n (3-76) (3-77) (3-78) VR, Sl Nadomjesna shema nulte mreže YNyn spoja transformatora Iz izraza (3-76) i (3-77) možemo zaključiti da su direktna i inverzna impedancija jednakog iznosa. Nadomjesnu shemu nulte mreže prikazuje Sl Nulta impedancija transformatora u spoju YNyn iznosi Z Z 3Z 3 N N Z N 1 n (3-79)

28 Kod transformatora u spoju zvijezda-zvijezda, kada su oba zvjezdišta izolirana, nulta komponenta struje ne može teći namotima. Nadomjesna shema otvorena je sa obje strane i predstavlja beskonačnu impedanciju toku nulte komponente struje. Kada je samo jedno zvjezdište uzemljeno, kao što to prikazuje Sl (b), nulta komponenta struje ne može prijeći sa namota uzemljene strane transformatora na neuzemljenu stranu. Kod ovog spoja ne postoji balans amper-zavoja namota neuzemljene strane koji bi omogućio da poteče nulta komponenta struje kroz zvjezdište namota uzemljene strane. Zbog toga nijedan od namota ne može voditi nultu komponentu struje. Da bi to bilo moguće, oba zvjezdišta moraju biti uzemljena. Spoj namota transformatora sa oba izolirana zvjezdišta, prikazan na Sl (c), ne koristi se zbog fenomena osicilirajućeg (plutajućeg) zvjezdišta. Tercijarni namot u spoju trokut dodaje se kako bi struje trećeg harmonika kružile unutar namota i stabilizirale zvjezdište. [1] Z Z Z a ) b) c) Sl. 3.1 Nadomjesne sheme nulte mreže transformatora u spoju Yy za (a) obje uzemljene nultočke, (b) jednu uzemljenu nultočku, (c) obje izolirane nultočke 3.3. Spoj trokut-trokut (Dd) Sl prikazuje shematski dijagram Dd spoja transformatora. R I R I r r S T I S I T I s I t s t Sl Shematski dijagram Dd spoja transformatora 3

29 Napon između faza R i S iznosi: V V V RS R S V V V V V V V V V RS R, R, d R, i S, S, d S, i RS, d RS, i (3-8) (3-81) I dalje vrijedi N V V V N 1 RS rs rs (3-8) Prema (3-81) i (3-8) Simetrične komponente linijskog napona faznog napona V V V V V RS RS, d RS, i rs, d rs, i V RS (3-83) mogu se zapisati kao simetrične komponente V V 3 V 3 RS, d RN, d 3 V 3 RS, i RN, i (3-84) (3-85) Kombinacijom (3-83), (3-84) i (3-85) dobije se Može se izdvojiti RN, d RN, i rn, d rn, i 3 V 3 3 V 3 3 V 3 3 V 3 (3-86) V V i V V RN, d rn, d RN, i rn, i (3-87) Što znači da su direktna i inverzna nadomjesna shema predstavljene kao serijska impedancija koja je jednaka rasipnoj reaktanciji transformatora. Zbog toga što u spoju trokut nulta komponenta struje nema gdje teći, imamo I R, I r, (3-88) Iako, nulta komponenta struje nekad može kružiti namotima spojenim u trokut. Nadomjesnu shemu nulte mreže transformatora možemo prikazati Sl

30 Z Sl Nadomjesna shema nulte mreže transformatora u spoju Dd Spoj zvijezda-trokut (Yd) Sl prikazuje shematski dijagram Ynd spoja transformatora. Primar transformatora spojen je u zvijezdu i uzemljen preko impedancije Z N. R S I R I S I r r N I N I s T I T Z N I t s t Sl Shematski dijagram Ynd spoja transformatora Odnos napona u fazi R obje strane transformatora iznosi V N V V 1 RN rs rs N (3-89) Vrijedi VR VRN VN (3-9) Iz gornje dvije jednadžbe i (3-) slijedi V V V V V V 3Z I R, R, d R, i RN, RN, d RN, i N R, V V V V V V 3Z I R, R, d R, i rs, rs, d rs, i N R, (3-91) (3-9) Odvoje li se nulta, direktna i inverzna komponentu napona, može se pisati 5

31 V 3Z I V R, N R, rs, V V 3 V 3 R, d rs, d r, d V V 3 V 3 R, i rs, i r, i (3-93) (3-94) (3-95) Nadomjesnu shemu direktne mreže prikazuje Sl Nadomjesna shema inverzne mreže ista je kao i shema direktne mreže osim što postoji fazni pomak sekundara Sl I R, d Z I r, d V R, d V r, d Sl Nadomjesna shema direktne mreže Ynd spoja transformatora I R, i Z I r, i V V r, i R, i Sl Nadomjesna shema inverzne mreže Ynd spoja transformatora Prilikom pojave nesimetrije uzemljenje primara omogućava nultoj komponenti struje povratni put kroz zvjezdište i put kroz namote i vodiče do izvora nesimetrije. Na sekundarnoj strani transformatora (spoj trokut) nadomjesna shema nulte impedancije je otvorena zbog toga što se nulte struje ne pojavljuju u fazama, iako mogu kružiti zatvorene u trokut kao rezultat izjednačavanja amper-zavoja zbog nultih struja koje teku u namotima zvijezde, što prikazuje Sl

32 I I izvor nesimetrije I N 3I Z N Sl Nulta komponenta struje kod YnD spoja transformatora Kod transformatora u spoju Ynd, nulta impedancija biti će približno jednaka direktnoj i inverznoj impedanciji. U transformatorima sa željeznom jezgrom nulta impedancija manja je u usporedbi sa direktnom. To je zato što ne postoji povratni put uzbudnog toka nulte komponente osim kroz izolirajući medij i spremnik, tj. put velike reluktancije. [1] Ako je zvjezdište primara uzemljeno preko impedancije Z N, nadomjesna shema nulte mreže biti će serijski spoj impedancije kratkog spoja transformatora i trostruke vrijednosti impedancije preko koje je zvjezdište uzemljeno, dok će sa strane sekundara shema biti otvorena, što prikazuje Sl (a). Ukoliko je zvjezdište primara kruto uzemljeno, vrijedi da je ZN, pa ostaje samo impedancija kratkog spoja transformatora. U slučaju da je zvjezdište primara izolirano, nadomjesna shema nulte mreže biti će otvorena sa obje strane i predstavljati će neograničenu impedanciju, što prikazuje Sl (b). Z Z 3Z N a ) b) Sl Nadomjesna shema nulte mreže transformatora u spoju Yd kada je (a) zvjezdište primara uzemljeno preko impedancije Z N (b) zvijezdište primara izolirano 7

33 3.4 Nadomjesne sheme generatora Kako bi bilo moguće odrediti nadomjesne sheme simetričnih komponenti transformatora prvo je potrebno dokazati da su nulta, direktna i inverzna impedancija neovisne jedna o drugoj, a onda, na temelju pretpostavke da generator proizvodi simetrične elektromotorne sile izvesti izraze za napone pojedinih faza. Generator koji napaja trofazni teret sa zvjezdištem uzemljenim preko impedancije Z n prikazan je Sl. 3.. I R Z S E R Z S E T E S Z S I S Z n I T I n Sl. 3. Jednopolna shema transformatora sa uzemljenim zvjezdištem Generator proizvodi simetrične trofazne elektromotorne sile ER 1 ET a Es a ER (3-96) Naponske jednadžbe pojedinih faza mogu se dobiti preko Kirchoffovog zakona za napon VR ER Zs IR Zn In VS ES Zs IS Zn In (3-97) VT ET Zs IT Zn In Uvrsti li se u gornje izraze supstitucija I n I R I S I T, nakon izlučivanja faznih struja imamo 8

34 Ili drugačije zapisano VR ER ZS Zn Zn Zn IR VS ES Zn ZS Zn Zn IS V E Z Z Z Z I T T n n S n T V RST E RST Z RST I RST (3-98) (3-99) Jednadžbu iznad moguće je izraziti preko simetričnih komponenti T V, d, i T E, d, i Z RST T I, d, i (3-1) Obje strane jednadžbe pomnožene su sa inverzom transformacijske matrice kako bi se dobile samo simetrične komponente T T V, d, i T T E, d, i T Z RST T I, d, i (3-11) Nakon množenja dobije se 1 V, d, i E, d, i T Z RST T I, d, i Usporedi li se gornji izraz sa izrazom (3-7), može se pisati V, d, i E, d, i Z, d, i I, d, i Potrebno je izračunati simetrične komponente impedancije 1 Z, d, i T Z RST T ZS Zn Zn Zn Z, d, i 1 a a Zn ZS Zn Z n 1 a a a a Zn Zn ZS Zn a a (3-1) (3-13) (3-14) (3-15) Množenjem matrice faznih impedancija sa transformacijskom matricom dobije se ZS 3Zn ZS ZS 1 Z, d, i 1 a a ZS 3 Zn a ZS azs a a ZS Zn azs a ZS (3-16) Pomnoži li se ostatak jednadžbe, dobije se: 9

35 Z 3ZS 9Zn ZS 3Zn 1 Zd 3ZS ZS 3 Zi 3ZS ZS Z ZS 3Zn Z Zd ZS Zd Zi ZS Zi (3-17) (3-18) Što znači da su svojstveni vektori nulte, direktne i inverzne impedancije linearno neovisni, tj. mogu se razdvojiti u tri različita, neovisna sustava. Nulta struja stvara pad napona samo na nultoj impedanciji, inverzna struja samo na inverznoj impedanciji i direktna struja samo na direktnoj impedanciji. Zbog toga što generator proizvodi simetrične elektromotorne sile, moduli elektromotornih sila su jednaki ali fazno pomaknuti za 1 stupnjeva i postoji samo direktna komponenta elektromotorne sile, pa elektromotorne sile pojedinih faza generatora možemo zapisati pomoću elektromotorne sile referentne faze i operatora a. U sljedećim odjeljcima analizirane su sheme direktne, inverzne i nulte nadomjesna mreže generatora tako što su navedeni uvjeti primjenjeni na jednadžbu za simetrične komponente Direktna mreža Elektromotorna sila u referentnoj fazi R jednaka je direktnoj komponenti: E R E d (3-19) Iz Kirchhoffov-og zakona za električni napon slijedi da je direktna komponenta napona jednaka V E I Z R, d R, d R, d d (3-11) I R, d Z d E R, d V R, d Sl. 3.1 Nadomjesna shema direktne mreže generatora 3

36 3.4. Inverzna mreža Generatori proizvode simetrične elektromotorne sile: E a E E a E S d, T d (3-111) Kao što je nesimetrične struje i napone moguće iskazati preko simetričnih komponenti, isto se može primjeniti i za elektromotorne sile 1 E E a E a E 3 i R S T (3-11) Izrazimo E S i E T preko (3-111) 1 Ei Ed 1 a a 3 (3-113) Prema (-9), izraz u zagradi jednak je nuli, pa se može izvesti zaključak da u nadomjesnoj shemi inverzne mreže ne postoji izvor elektromotorne sile Ei (3-114) Iz Kirchhoffov-og zakona za električni napon, slijedi E V I Z i R, i R, i i (3-115) Uvrštavanjem izraza (3-114) u gornju jednadžbu, dobije se Inverzna komponenta napona je jednaka VR, i IR, izi V I Z I R, i R, i R, i i Z i (3-116) (3-117) V R, i Sl. 3. Nadomjesna shema inverzne mreže generatora 31

37 3.4.3 Nulta mreža Generatori proizvode simetrične elektromotorne sile: E a E E a E S d, T d (3-118) Za nultu komponentu elektromotorne sile možemo pisati 1 3 E ER ES ET (3-119) Primjene li se uvjeti kad je generator u praznom hodu (3-118), dobije se 1 3 E Ed 1 a a (3-1) Prema (-9), izraz u zagradi jednak je nuli, pa u nadomjesnoj shemi nulte mreže ne postoji izvor elektromotorne sile E (3-11) Iz Kirchhoffov-og zakona za električni napon, slijedi E V I Z R, i R, i i (3-1) Uvrsti li se izraz (3-11) u gornju jednadžbu, dobije se Pa je nulta komponenta napona jednaka VR, IR, Z V I Z R, R, I R, Z (3-13) (3-14) V R, Sl. 3.3 Nadomjesna shema nulte mreže generatora 3

38 3.5 Ekvivalentne mreže simetričnih komponenti Ekvivalentne mreže su jednofazni strujni krugovi koje se sastoje od simetričnih komponenti impedancija (direktne, inverzne i nulte) reduciranih na jednu impedanciju i izvor elektromotorne sile. [8] Pri kreiranju ekvivalentnih mreža vrijede određene pretpostavke: 1. Osim sinkronih strojeva, mrežu čine pasivni elementi.. Pad napona uzrokovan strujom u određenoj grani nadomjesne direktne, inverzne i nulte mreže ovisi samo o impedanciji te mreže, što znači da su mreže neovisne jedna o drugoj. 3. Svi pasivni elementi električnog kruga imaju jednaku direktnu i inverznu impedanciju, dok se nulta impedancija može razlikovati. Nadalje, subtranzijentna direktna i inverzna impedancija sinkronog stroja je jednaka. 4. Izvori napona spojeni su na direktnu nadomjesnu mrežu rotirajućih strojeva. 5. Direktna i inverzna komponenta struje ne teku između neutralnog vodiča i zemlje. Sljedeći postupak treba se provesti pri analizi kratkih spojeva metodom simetričnih komponenti 1. Prikazati mrežu kao jednopolnu shemu. Konstruirati direktnu mrežu uključujući sve direktne impedancije elemenata mreže i direktne elektromotorne sile koje proizvode generator/i u toj mreži 3. Reducirati impedancije direktne mreže na jednu nadomjesnu impedanciju direktne mreže 4. Konstruirati inverznu mrežu uključujući sve inverzne impedancije elemenata koje se nalaze u mreži 5. Reducirati inverznu mrežu na jednu nadomjesnu inverznu impedanciju 6. U slučaju kvara sa zemljom konstruirati nultu mrežu uključujući sve nulte impedancije koje se nalaze u mreži 7. Reducirati nultu mrežu na jednu nadomjesnu nultu impedanciju 8. Spojiti direktnu, inverznu i nultu mrežu u oblik koji odgovara vrsti kvara koji se promatra 9. Izračunati fazne komponente struje na mjestu kvara prema odgovarajućim izrazima Sljedeći primjer opisuje proces konstruiranja direktne, inverzne i nulte ekvivalentne mreže za proračun kratkog spoja. 33

39 3.5.1 Primjer konstruiranja ekvivalentnih mreža Zadane su impedancije generatora, transformatora i impedancija nadzemnog voda. Konstruirajmo prvo direktnu mrežu tako što ćemo zbrojiti direktne impedancije svih elemenata u mreži, kako ih sustav vidi sa mjesta kvara. G T V Sl. 3.4 Jednopolna shema dijela mreže pod kvarom Nadomjesnu shemu direktne mreže generatora prikazuje Sl Na nju se serijski nadovezuju nadomjesne sheme direktne mreže transformatora i nadzemnog voda. Kod konstruiranja direktne ekvivalentne sheme način uzemljenja pojedinog elementa nije bitan, pa postoje samo serijski spojene direktne impedancije pojedinih elemenata. Konačni rezultat, nakon spajanja u seriju sve tri impedancije, prikazuje Sl. 3.5 (a), odnosno nakon redukcije, Sl. 3.5 (b), Z G, d T, d Z Z V, d K Z K, d K E d E d a ) b) Sl. 3.5 Ekvivalentne mreže (a) direktnog sustava (b) direktnog sustava sa reduciranom impedancijom gdje je direktna komponenta impedancije kvara jednaka Z Z Z Z K, d G, d T, d V, d (3-15) 34

40 Isti postupak može se provesti i za konstruiranje ekvivalentne sheme inverzne mreže. Ekvivalentna shema inverzne mreže nema izvor elektromotorne sile zbog toga što nadomjesna shema generatora u inverznom sustavu (Sl. 3.) nema izvor elektromotorne sile. Nakon spajanja inverznih impedancija svih elemenata u seriju, ekvivalentnu shemu možemo prikazati Sl. 3.6 (a), odnosno 3.6 (b) nakon redukcije. Z G, i T, i Z Z, V i K Z K, i K a ) b) Sl. 3.6 Ekvivalentne mreže (a) inverznog sustava (b) inverznog sustava sa reduciranom Reducirana inverzna impedancija iznosi impedancijom Z Z Z Z K, i G, i T, i V, i (3-16) Na sličan način moguće je konstruirati i ekvivalentnu shemu nulte mreže. Ekvivalentna shema nulte mreže, osim što nema izvor elektromotorne sile, ovisi i o načinu uzemljenja transformatora. U ovom slučaju transformator je u spoju Dy (zvjezdište izolirano), što znači da je nadomjesnu shemu transformatora potrebno spojiti kao što je prikazano Sl (b). Z G, Z T, Z V, Z K, K K a ) b) Sl. 3.7 Ekvivalentne mreže (a) nultog sustava (b) nultog sustava sa reduciranom impedancijom 35

41 Nakon povezivanja svih nadomjesnih nultih shema pojedinih elemenata imamo situaciju kao na Sl. 3.7 (a), odnosno nakon reduciranja mreže, slučaj (b). U ovom slučaju ukupna impedancija jednaka je nultoj impedanciji voda. Reducirana impedancija kratkog spoja nulte ekvivalentne sheme iznosi Z Z K, V, (3-17) Proračun struje kratkog spoja nakon što su konstruirane ekvivalentne sheme direktne, inverzne i nulte mreže vrši se tako da se mreže povežu na način opisan u sljedećem poglavlju, ovisno o vrsti kvara. 36

42 4. ANALIZA KRATKIH SPOJEVA METODOM SIMETRIČNIH KOMPONENTI Iz početnih uvjeta na mjestu kvara i izraza za simetrične komponente struja i napona moguće je izvesti izraze za struje kratkog spoja. Na temelju odnosa simetričnih komponenti struja i ovisno o načinu uzemljenju generatora može se zaključiti na koji način je potrebno spojiti ekvivalentne sheme. Na struju kratkog spoja utječe i impedancija kvara Z K, tj. prijelazni otpor, tako što ograničava iznos struje kvara. Impedanciju kvara čine otpor električnog luka i otpor tla (u slučaju zemljospoja). 4.1 Jednofazni kratki spoj Jednofazni kratki spoj nastaje spajanjem jedne faze sa zemljom, a da je pri tome je zvjezdište generatora tj. transformatora uzemljeno. I R Z Z K E R Z E T E S Z I S I T Sl. 4.1 Jednofazni kratki spoj Uvjeti na mjestu kvara: IS IT VR, (4-1) (4-) Iz izraza (3-19) za simetrične komponente dobije se 37

43 1 1 I I a I a I I 3 3 d R S T R 1 1 I I a I a I I 3 3 i R S T R I IR IS IT IR (4-3) (4-4) (4-5) Što znači da su sve tri simetrične komponente jednakog iznosa 1 I I I I 3 d i R (4-6) Pad napona na impedanciji kvara Z K iznosi V I Z R R K (4-7) Prema (3-1) tj. (3-1), struja I R sastoji se od direktne, inverzne i nulte komponente I I I I R d i (4-8) Uvrštavanjem (4-8) u (4-7), dobije se V I I I Z R d i K (4-9) Zbog toga što su sve tri simetrične komponente struje jednake (4-6), može se pisati VR 3 I ZK (4-1) Prema (3-) fazni napon V R je jednak VR Vd Vi V (4-11) Uvrštavanjem (4-11) u (4-1), dobije se izraz 3 I ZK Vd Vi V (4-1) Jednadžbe direktne, inverzne i nulte komponente napona mogu se dobiti iz nadomjesnih shema generatora. Zapišimo ih ponovno sve na jednom mjestu zbog preglednosti V E I Z Vi Ii Zi V I Z d d d d (4-13) 38

44 Uvrštavanjem izraza iznad u (4-1), dobije se 3 I ZK Ed Id Zd Id Zi I Z (4-14) Direktna, inverzna i nulta komponenta struje su jednake (4-6) pa ih se sve može zapisati kao I d I Z E I Z I Z I Z 3 d K d d d d i d (4-15) Izlučivanjem I d i sređivanjem izraza iznad I Z E I Z Z Z 3 d K d d d i E I Z Z Z I Z d d d i 3 d K E I Z Z Z Z d d d i 3 K (4-16) (4-17) (4-18) Izraz za direktnu, inverznu i nultu komponentu struje E d Id Ii I (4-19) Zd Zi Z 3ZK Fazna struja I R može se izraziti preko direktne komponente struje prema (4-3) I R 3 Id (4-) Uvrštavanjem (4-19) u (4-), dobije se formula za struju jednopolnog kratkog spoja I 1K I R 3 Ed (4-1) Zd Zi Z 3ZK Sada je moguće nacrtati nadomjesnu mrežu direktne, inverzne i nulte komponente. Iz izraza (4-19) vidljivo je kako su simetrične komponente struja Id, Ii i I jednake. Iz izraza iznad može se zaključiti kako su ekvivalentne mreža povezane u seriju sa otporom 3 Z K. 39

45 Z d I d K E d V R, d Z i I i V R, i 3 Z K Z I V 4. Dvofazni kratki spoj Sl. 4. Nadomjesna mreža za jednofazni kratki spoj Dvofazni kratki spoj nastaje kratkim spajanjem dvije faze. To je nesimetrični kratki spoj čiju vrijednost određuje direktna i inverzna impedancija mreže. I R Z E R Z E T E S Z I S Z K I T Sl. 4.3 Dvofazni kratki spoj 4

46 Uvjeti na mjestu kvara: IR V S V I S I T I S I T T (4-) (4-3) (4-4) Iz matrice (3-19), simetrične komponente struja iznose 1 I I a I a I 3 1 Ii IR a IS a IT 3 1 I IR IS IT 3 d R S T (4-5) Uvrste li se uvjeti na mjestu kvara u (4-5), dobije se Id 1 Ii IR 1 a IS a IS IS a a IR a I 1 S a I S I S a a I d I IR IS IS 3 (4-6) (4-7) (4-8) Zbog toga što nulta komponenta struje ne postoji, nema ni pada napona na impedanciji Z, pa napon V iznosi: V I Z (4-9) Izračunajmo sada preostale komponente iz matrice za simetrične komponente napona (3-1): 1 V V a V a V 3 1 V V a V a V 3 d R S T i R S T (4-3) Uvrstimo uvjet na mjestu kvara (4-3) u jednadžbe iznad, pa jednadžbe dobijaju ovaj oblik 1 V V a V a V 3 d R S S (4-31) 41

47 1 V V a V a V 3 i R S S (4-3) Izluči li se V S, i uz primjenu izraza (-9), dobije se 1 1 V V V a a V V 3 3 d R S R S 1 1 V V V a a V V 3 3 i R S R S (4-33) (4-34) Dakle V d Vi Napišimo izraz za pad napona na impedanciji kvara Z K VS VT ZK IS (4-35) (4-36) Padovi napona V S i V T mogu se izraziti preko simetričnih komponenti iz matrice (3-). Uvažavajući (4-9), jednadžbe postaju V a V a V S d i V a V a V T d i (4-37) (4-38) Uvrštavanjem izraza (4-37) i (4-38) u jednadžbu (4-36) a V av av a V Z I d i d i K S (4-39) Potrebno se riješiti zagrade a V a V a V a V Z I d i d i K S (4-4) Nakon izlučivanja V d i i V Vd a a Vi a a ZK IS (4-41) Sređivanjem jednadžbe, dobije se a a Vd Vi ZK IS (4-4) U jednadžbu iznad mogu se uvrstiti izrazi za V d i V i iz (4-13) 4

48 a a Ed Id Zd Ii Zi ZK IS (4-43) Direktna komponenta struje može se izraziti preko inverzne (4-7), ona tada postaje Id Ii (4-44) Uvrštavanjem gornjeg izraza u jednadžbu (4-43), ona dobija oblik a a Ed Id Zd Id Zi ZK IS (4-45) Nakon izlučivanja direktne komponente struje a a Ed Id Zd Zi ZK IS (4-46) I S iz gornjeg izraza može se zapisati preko izraza (4-6), no prvo ga je potrebno urediti IS 3Id a a (4-47) Uvrštavanjem I S u jednadžbu (4-46) dobije se a a E I Z Z Z d d d i K Cijelu jednadžbu potrebno je podijeliti sa a a Zbog toga što je a a a a Ed Id Zd Zi ZK 3Id 3Id a a a a a a 3, gornji izraz može se zapisati kao 3Id Ed Id Zd Zi ZK 3 (4-48) (4-49) (4-5) Uređivanjem gornje jednadžbe dobije se E d I d Z K I d Z d Z i (4-51) Nakon izlučivanja d I E I Z Z Z d d d i K (4-5) 43

49 Struja dvopolnog kratkog spoja iznosi Id I KS Ed (4-53) Zd Zi Zk Z d I d K E d V d Z K Z i I i P K V i P Sl. 4.4 Nadomjesna mreža za dvofazni kratki spoj Zbog toga što su I d I i i I može se zaključiti da su direktna i inverzna shema povezane paralelno a da nulta komponenta nije prisutna (jer nema dodira sa zemljom). 4.3 Dvofazni kratki spoj sa zemljom Dvofazni kratki spoj nastaje kratkim spajanjem dvije faze. U slučaju dodatnog spoja jedne faze sa zemljom, naziva se dvofazni kratki spoj sa zemljom. [9]. 44

50 I R Z E R Z E T E S Z I S Z K I Z I T Sl. 4.5 Dvofazni kratki spoj sa zemljom Uvjeti na mjestu kvara IR I S I T I z V V I Z S T z K (4-54) (4-55) (4-56) Uvrsti li se uvjet (4-54) u jednadžbe za simetrične komponente struje (3-19), dobije se Id Ii 3 IR a I 1 S a I T a I S a I T IR a I 1 S a I T a I S a I T 1 1 IZ IS IT IS IT I IR 3 3 (4-57) (4-58) (4-59) Prema (3-1), izraz za direktnu komponentu napona je 1 V V a V a V 3 d R S T Zbog toga što iz uvjeta na mjestu kvara vrijedi da je VS VT, može se pisati 1 V V a V a V 3 d R S S (4-6) (4-61) 45

51 Nakon izlučivanja V S, dobije se VR VS Vd a a 3 3 (4-6) Primjenom izraza (-9), gornja jednadžba može se zapisati kao VR VS Vd 3 3 (4-63) Zbog toga što je pad napona u fazi S jednak zbroj struja koje prolaze kroz impedanciju kvara, možemo iskoristiti izraz (4-56), pa umjesto V S pišemo V d V I Z 3 3 R z K (4-64) Potrebno je izračunati inverznu komponentu napona iz izraza (3-1) Kako vrijedi da je VS V 1 V V a V a V 3 i R S T T, i uvažavajući svojstvo komutativnosti a a a a (4-65), dobiti će se isti rezultat kao u izrazu (4-6) tj. (4-63), te se bez daljnjeg računanja može zaključiti kako su direktna i inverzna komponenta jednake VR Iz ZK Vi V 3 3 Još je preostalo izračunati nultu komponentu napona. Prema (3-1), V 1 3 V VR VS VT Uvrsti li se VS VT u jednadžbu (4-67), dobije se V V R V 3 3 S d iznosi (4-66) (4-67) (4-68) Raspisivanjem izraza (4-56) preko simetričnih komponenti napona i struja, dobije se V I I Z S S T K V av a V I a I ai I a I a I Z o d i d i d i K (4-69) (4-7) 46

52 Prema (4-66), direktna i inverzna komponenta napona su jednake. Zamjenom Vi Vd i grupiranjem desne strane gornjeg izraza, dobije se V V a a I I a a I a a Z o d d i K (4-71) Ukoliko se primjeni izraz (-9), gornja jednadžba možemo se pisati kao V V I I I Z o d d i K (4-7) Raspišimo faznu struju I R preko simetričnih komponenti. Zbog uvjeta na mjestu kvara (4-54), I R je potrebno izjednačiti sa nulom. I Id Ii (4-73) Nulta komponenta struje je jednaka I I d I i (4-74) Uvrstimo gornji izraz u jednadžbu (4-7), ona postaje Odnosno V V I I Z o d K V V I Z 3 o d K (4-75) (4-76) V o i V d potrebno je raspisati preko izraza za nadomjesne sheme generatora (4-13) I Z E I Z 3 I Z d d d K (4-77) Prebacivanjem I Z 3 K na lijevu stranu jednadžbe i E d I d Z d na desnu stranu, dobije se I Z I Z E I Z 3 K d d d (4-78) Nakon izlučivanja I I Z Z E I Z 3 K d d d (4-79) I Ed Id Zd (4-8) Z 3 ZK Pomnoži li se cijelu jednadžbu sa -1 dobije se izraz za nultu komponentu struje 47

53 Izraz za inverznu komponentu struje može se izvesti iz (4-66) I Ed Id Zd (4-81) Z 3 ZK V d Vi (4-8) Direktnu i inverznu komponentu napona zamijenimo jednadžbama iz nadomjesnih shemi generatora (4-13) Ed Id Zd Ii Zi Lijevu stranu jednadžbe potrebno je podijeliti sa Z i (4-83) Ed Id Zd Ii (4-84) Zi Pomnoži li se cijela jednadžba sa -1 dobit će se izraz za inverznu komponentu struje Ed Id Zd Ii (4-85) Zi Direktna komponenta struje može se izraziti iz izraza (4-73) Id Ii I (4-86) Uvrštavanjem (4-8) i (4-84) u gornju jednadžbu, ona postaje Id Ed Id Zd Ed Id Zd (4-87) Zi Z 3 ZK Nakon sređivanja dobije se izraz za direktnu komponentu struje Id Zd Zi Z Ed 3 ZK Zi Z 3 ZK (4-88) Promotri li se bolje gornji izraz, može se primjetiti kako je direktna impedancija spojena u seriju sa paralelnom vezom inverzne i nulte impedancije. Id Ed Z Z Z Z d i 3 K (4-89) 48

54 Prema tome, sada je moguće nacrtati jednopolnu shemu dvofaznog kratkog spoja sa zemljom. Z d I d K E d V d Z i I i P K V i P Z 3 ZK I K V P Sl. 4.6 Nadomjesna mreža za dvofazni kratki spoj sa zemljom Na kraju, iz izraza (4-59) može se zaključiti da je struja dvofaznog kratkog spoja sa zemljom jednaka Iz 3 I (4-9) Odnosno nakon uvrštavanja (4-81) i (4-88) dobije se konačni izraz za struju dvofaznog kratkog spoja sa zemljom 3 Zi Ed Iz (4-91) Zd Zi Zd Z Zi Z 4.4 Trofazni kratki spoj Trofazni kratki spoj nastaje kratkim spajanjem svih triju faza. To je jedini simetrični kratki spoj, tj.struje u svim fazama su iste. Zbog toga je dovoljno promatrati samo jednu fazu odnosno direktnu impedanciju mreže koja definira vrijednost struje kratkog spoja. [9] 49

55 Z E R Z E T E S Z I R Z K I S Z K I T Z K Sl. 4.7 Trofazni kratki spoj Uvjeti na mjestu kvara: I R I S I T V V V R S T (4-9) (4-93) Prvo je potrebno izračunati simetrične komponente napona iz (3-1) 1 V V a V a V 3 d R S T (4-94) Iz početnog uvjeta (4-93) vidi se da su naponi sve tri faze na mjestu kvara jednaki. Izraze li se naponi faza S i T preko V R, dobije se Nakon izlučivanja V R 1 V V a V a V 3 d R R R 1 Vd VR 1 a a 3 (4-95) (4-96) Primjenom izraza (-9) u gornjoj jednadžbi, dobije se V d 1 VR (4-97) Sada je potrebno izračunati inverznu komponentu napona, koja prema (3-1) iznosi 5

56 1 V V a V a V 3 i R S T (4-98) Napone faza S i T u gornjoj jednadžbi ponovno možemo izraziti preko V R. U slučaju izlučivanja V R i uvažavajući svojstvo komutativnosti a a a a, dobit će se isti rezultat kao u jednadžbi (4-97). Dakle, vrijednost inverzne komponente napona biti će jednaka vrijednosti direktne komponente Vi V d (4-99) Preostalo je izračunati nultu komponentu struje, koja prema (3-19) iznosi 1 I 3 IR IS IT (4-1) Iz (4-9) vidljivo je da je zbroj struja sve tri faze jednak nuli. Uvrštavanjem početnog uvjeta (4-9) u gornju jednadžbu, iznos nulte komponenta struje jednak je nuli I (4-11) Uvrštavanjem nulte komponente struje iz gornjeg izraza u izraz za nultu komponentu napona iz (4-13), dobije se da nulta komponenta napona ne postoji. V I Z (4-1) Potrebno je izračunati inverznu komponentu napona, koja prema (4-13) iznosi Vi Ii Zi (4-13) Uzme li se u obzir da su direktna i inverzna komponenta faznog napona jednake nuli, kao što je prikazano izrazom (4-99), može se pisati Ii Zi Uz pretpostavku da Zi, inverzna komponenta struje iznosi nula Ii (4-14) (4-15) Na kraju, potrebno je izračunati struju trofaznog kratkog spoja iz direktne nadomjesne sheme generatora. Prema izrazu (3-11), direktna komponenta napona iznosi V E I Z d d d d (4-16) Iz izraza (4-97) vidljivo je da je direktna komponenta napona jednaka nuli, pa se može pisati 51

57 Ed Id Zd Direktna komponenta struje trofaznog kratkog spoja iznosi Id I 3K E Z d d Pri trofaznom kratkom spoju, uvažavajući (4-11) i (4-15), fazama teku struje IR Id Ii I I d (4-17) IS a Id a I i I a Id (4-18) I a I a I T d i I a I d (4-19) I d Z d E d V d Z K Sl. 4.8 Nadomjesna mreža za trofazni kratki spoj Zbog toga što kod trofaznog kratkog spoja postoji samo direktna komponenta struje, direktna mreža je mjerodavna za proračun struje kratkog spoja, dok se inverzna i nulta mreža ne mogu zatvoriti. Ako je impedancija kvara jednaka u sve tri faze i uz (4-97), može sepisati E d V Struja trofaznog kratkog spoja tada iznosi d I Z Z d d K (4-11) Id I 3K Ed (4-111) Zd ZK 5

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Projektovanje paralelnih algoritama II

Projektovanje paralelnih algoritama II Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam

More information

Mjerenje snage. Na kraju sata student treba biti u stanju: Spojevi za jednofazno izmjenično mjerenje snage. Ak. god. 2008/2009

Mjerenje snage. Na kraju sata student treba biti u stanju: Spojevi za jednofazno izmjenično mjerenje snage. Ak. god. 2008/2009 Mjerenje snae Ak. od. 008/009 1 Na kraju sata student treba biti u stanju: Opisati i analizirati metode mjerenja snae na niskim i visokim frekvencijama Odabrati optimalnu metodu mjerenja snae Analizirati

More information

NADOMJESNI MODELI ENERGETSKIH TRANSFORMATORA

NADOMJESNI MODELI ENERGETSKIH TRANSFORMATORA SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET Preddiplomski stručni studij elektrotehnike Završni rad NADOMJESNI MODELI ENERGETSKIH TRANSFORMATORA Rijeka, rujan, 2016. Andrija Pečarić 0069050815 SVEUČILIŠTE U

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

METODE ZA IDENTIFIKACIJU PARAMETARA ASINKRONOG MOTORA

METODE ZA IDENTIFIKACIJU PARAMETARA ASINKRONOG MOTORA Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Tin Bariša METODE ZA IDENTIFIKACIJU PARAMETARA ASINKRONOG MOTORA Zagreb, travanj 2014. Ovaj rad izraďen je u Laboratoriju za upravljanje elektromotornim

More information

Red veze za benzen. Slika 1.

Red veze za benzen. Slika 1. Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

LOCIRANJE KVARA U RAZDJELNIM MREŽAMA

LOCIRANJE KVARA U RAZDJELNIM MREŽAMA SVEUČILIŠTE U AGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA Mihovil Ivas LOCIRANJE KVARA U RADJELNIM MREŽAMA MAGISTARSKI RAD agreb, 2007. Magistarski rad je izrađen u avodu za visoki napon i energetiku

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Fajl koji je korišćen može se naći na

Fajl koji je korišćen može se naći na Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana

More information

ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA

ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike

Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Osijek, 2010. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.

Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

Periodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina

Periodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina DOI: https://doi.org/10.1456/jce.1774.016 Građevinar /018 Primljen / Received: 30.7.016. Ispravljen / Corrected: 19..017. Prihvaćen / Accepted: 8..017. Dostupno online / Available online: 10.3.018. Periodi

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

U OSIJEKU. Osijek, PDF Editor

U OSIJEKU. Osijek, PDF Editor SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, Marošević Magdalena SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA:

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Power Factor Correction Capacitors Low Voltage

Power Factor Correction Capacitors Low Voltage Capacitors Zadružna c. 33, 8340 Črnomelj, Slovenija Tel.: (+386) (0)7 356 92 60 Fax: (+386) (0)7 356 92 61 GSM (+386) (0)41 691 469 e-mail: slovadria@siol.net Power Factor Correction Capacitors Low Voltage

More information

ELEKTROMOTORNI POGONI

ELEKTROMOTORNI POGONI ELEKTROMOTORNI POGONI Elektromehaničke karakteristike osnovni parametri - snaga - moment okretanja - brzina vrtnje ili broj okretaja u jedinici vremena uvjeti rada - startni uvjeti ili pokretanje - nazivni

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL

EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL A. Jurić et al. EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL Aleksandar Jurić, Tihomir Štefić, Zlatko Arbanas ISSN 10-651 UDC/UDK 60.17.1/.:678.74..017 Preliminary

More information

METODE ZA IZBOR OPTIMALNE VELIČINE I LOKACIJE UGRADNJE KOMPENZACIJSKIH UREĐAJA

METODE ZA IZBOR OPTIMALNE VELIČINE I LOKACIJE UGRADNJE KOMPENZACIJSKIH UREĐAJA ETODE ZA IZBOR OPTIAL ELIČI I LOKACIJE UGRADJE KOPEZACIJSKIH UREĐAJA Prof. dr. sc. atislav ajstrović, r. sc. Goran ajstrović, r. sc. Davor Bajs, Zagreb U članku se prezentira matematički model za određivanje

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

A NEW THREE-DIMENSIONAL CHAOTIC SYSTEM WITHOUT EQUILIBRIUM POINTS, ITS DYNAMICAL ANALYSES AND ELECTRONIC CIRCUIT APPLICATION

A NEW THREE-DIMENSIONAL CHAOTIC SYSTEM WITHOUT EQUILIBRIUM POINTS, ITS DYNAMICAL ANALYSES AND ELECTRONIC CIRCUIT APPLICATION A. Akgul, I. Pehlivan Novi trodimenzijski kaotični sustav bez točaka ekvilibrija, njegove dinamičke analize i primjena elektroničkih krugova ISSN 1-61 (Print), ISSN 1848-69 (Online) DOI: 1.179/TV-1411194

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

APPLICATION OF FUZZY LOGIC FOR REACTIVE POWER COMPENSATION BY SYNCHRONOUS MOTORS WITH VARIABLE LOAD

APPLICATION OF FUZZY LOGIC FOR REACTIVE POWER COMPENSATION BY SYNCHRONOUS MOTORS WITH VARIABLE LOAD M. Stojkov et al. Primjena neizrazite logike za kompenzaciju reaktivne energije sinkronim motorima s promjenjivim opterećenjem APPLICATION OF FUZZY LOGIC FOR REACTIVE POWER COMPENSATION BY SYNCHRONOUS

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

Product Function Matrix and its Request Model

Product Function Matrix and its Request Model Strojarstvo 51 (4) 293-301 (2009) M KARAKAŠIĆ et al, Product Function Matrix and its Request Model 293 CODEN STJSAO ISSN 0562-1887 ZX470/1388 UDK 6585122:00442 Product Function Matrix and its Request Model

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

REGULACIJA NAPONA I JALOVE SNAGE U ELEKTROENERGETSKOM SUSTAVU SA PRIKLJUČENIM VJETROELEKTRANAMA

REGULACIJA NAPONA I JALOVE SNAGE U ELEKTROENERGETSKOM SUSTAVU SA PRIKLJUČENIM VJETROELEKTRANAMA SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Sveučilišni studij REGULACIJA NAPONA I JALOVE SNAGE U ELEKTROENERGETSKOM SUSTAVU SA PRIKLJUČENIM

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Pellova jednadžba. Pell s equation

Pellova jednadžba. Pell s equation Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove

More information

Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Beogradu

Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Beogradu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Beogradu Bul. kralja Aleksandra 73, PF 35-54, 0 Beograd, Republika Srbija Energetski odsek Predmet: Praktikum iz elemenata EES-a Vežba : Prenošenje viših harmonika

More information

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije

Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja

More information

Kontrolni uređaji s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu

Kontrolni uređaji s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu KOTROI SKOPOVI ZA RASVJETU I KIMA UREĐAJE Kontrolni i s vremenskom odgodom za rasvjetu i klimu Modularni dizajn, slobodna izmjena konfiguracije Sigurno. iski napon V Efikasno čuvanje energije Sigurnost.

More information

Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections

Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Original Scientific Paper Received: 24-1 1-201 7 Accepted: 06-01 -201 8 Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Miljenko LAPAI NE University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Kačićeva

More information

Shear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO Square-Plate Twist Method

Shear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO Square-Plate Twist Method Hiroshi Yoshihara 1 Shear Modulus and Shear Strength Evaluation of Solid Wood by a Modified ISO 1531 Square-late Twist Method rocjena smicajnog modula i smicajne čvrstoće cjelovitog drva modificiranom

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica

Matrice u Maple-u. Upisivanje matrica Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to

More information

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM

ANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT SYSTEM I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,

More information

električna polja gaussov zakon električni potencijal

električna polja gaussov zakon električni potencijal električna polja gaussov zakon električni potencijal Svojstva električnih naboja - Benjamin Franklin (1706-1790) nizom eksperimenata pokazao je postojanje dvije vrste naboja: pozitivan i negativan - pozitivan

More information

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA

FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu. Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)

More information

Impuls sile i količina gibanja

Impuls sile i količina gibanja Impuls sile i količina gibanja FIZIKA PSS-GRAD 25. listopada 2017. 7.1 Teorem impulsa sile i količine gibanja sila vrijeme U mnogim slučajevima sila na tijelo NIJE konstantna. 7.1 Teorem impulsa sile i

More information

THE ROLE OF SINGULAR VALUES OF MEASURED FREQUENCY RESPONSE FUNCTION MATRIX IN MODAL DAMPING ESTIMATION (PART II: INVESTIGATIONS)

THE ROLE OF SINGULAR VALUES OF MEASURED FREQUENCY RESPONSE FUNCTION MATRIX IN MODAL DAMPING ESTIMATION (PART II: INVESTIGATIONS) Uloga singularnih vrijednosti izmjerene matrice funkcije frekventnog odziva u procjeni modalnog prigušenja (Dio II: Istraživanja) ISSN 33-365 (Print), ISSN 848-6339 (Online) DOI:.7559/TV-2492894527 THE

More information

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix

Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created

More information

Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal

Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density Signal ISSN 0005 1144 ATKAAF 48(3 4), 129 135 (2007) Martin Jadrić, Marin Despalatović, Božo Terzić, Josip Macan Determination of Synchronous Generator Armature Leakage Reactance Based on Air Gap Flux Density

More information

ANALIZA POUZDANOSTI MREŽE PRIJENOSNOG PODRUČJA OSIJEK SA UTJECAJEM MOGUĆIH NOVIH IZVORA

ANALIZA POUZDANOSTI MREŽE PRIJENOSNOG PODRUČJA OSIJEK SA UTJECAJEM MOGUĆIH NOVIH IZVORA SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Sveučilišni studij ANALIZA POUZDANOSTI MREŽE PRIJENOSNOG PODRUČJA OSIJEK SA UTJECAJEM MOGUĆIH

More information

Ocjena pouzdanosti vodoopskrbne mreže pomoću informacijske entropije primjenom projektnih/hidrauličkih parametara

Ocjena pouzdanosti vodoopskrbne mreže pomoću informacijske entropije primjenom projektnih/hidrauličkih parametara DOI: https://doi.org/10.14256/jce.1487.2015 Primljen / Received: 14.10.2015. Ispravljen / Corrected: 24.5.2016. Prihvaćen / Accepted: 12.9.2016. Dostupno online / Available online: 10.8.2017. Ocjena pouzdanosti

More information

COMPARISON OF LINEAR SEAKEEPING TOOLS FOR CONTAINERSHIPS USPOREDBA PROGRAMSKIH ALATA ZA LINEARNU ANALIZU POMORSTVENOSTI KONTEJNERSKIH BRODOVA

COMPARISON OF LINEAR SEAKEEPING TOOLS FOR CONTAINERSHIPS USPOREDBA PROGRAMSKIH ALATA ZA LINEARNU ANALIZU POMORSTVENOSTI KONTEJNERSKIH BRODOVA Ana Đigaš, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Maro Ćorak, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Joško Parunov, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i

More information

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING

ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of

More information

ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA TROSKOP

ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA TROSKOP ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA SPEKTROS TROSKOP OPIJA Written by Bette Kreuz Produced by Ruth Dusenbery University of Michigan-Dearborn 2000 Apsorpcija i emisija svjetlosti Fizika svjetlosti Spectroskopija

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

FIZIKALNA SIMULACIJA SUDARA KONKAVNIH KRUTIH TIJELA

FIZIKALNA SIMULACIJA SUDARA KONKAVNIH KRUTIH TIJELA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 73 FIZIKALNA SIMULACIJA SUDARA KONKAVNIH KRUTIH TIJELA Igor Popovski Zagreb, svibanj 8. Sadržaj:. Uvod.... Prikaz tijela.....

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Transformatori. 10/2 Uvod. Jednofazni transformatori. Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i

Transformatori. 10/2 Uvod. Jednofazni transformatori. Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i Transformatori /2 Uvod Jednofazni transformatori Sigurnosni, rastavni, upravlja ki i mrežni transformatori 4AM, 4AT /4 Sigurnosni (mrežni transformatori) i upravlja ki transformatori 4AM /5 Rastavni, upravlja

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

MATRIČNI PRISTUP METODI SILA

MATRIČNI PRISTUP METODI SILA SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.09.2014 Anita Mutabdžić ZNANSTVENO PODRUČJE : ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: TEHNIČKE ZNANOSTI DRUGE TEMELJNE

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

ANIMACIJA TOKA FLUIDA

ANIMACIJA TOKA FLUIDA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 565 ANIMACIJA TOKA FLUIDA Jakov Fuštin Zagreb, studeni 2005. ii Sadržaj. Uvod... 2. Dinamika fluida...2 2.. Jednadžba kontinuiteta...2

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

REVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES

REVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES Joško PAUNOV, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, Ivana Lučića 5, H-10000 Zagreb, Croatia, jparunov@fsb.hr Maro ĆOAK, Faculty of Mechanical Engineering and Naval

More information

APPLICATION OF THE WINdis SOFTWARE FOR PLANNING AND ANALYSIS OF THE LOW-VOLTAGE DISTRIBUTION NETWORKS

APPLICATION OF THE WINdis SOFTWARE FOR PLANNING AND ANALYSIS OF THE LOW-VOLTAGE DISTRIBUTION NETWORKS HRVATSKI KOMITET MEĐUNARODNE KONFERENCIJE ZA VELIKE ELEKTRIČNE SISTEME, ZAGREB, Berislavićeva 6 ČETVRTO SAVJETOVANJE CAVTAT, 17-21. listopada 1999. Eugen Mudnić, dipl. ing. FRACTAL d.o.o. Split Mr. sc.

More information