Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike
|
|
- Tobias Bradford
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Osijek, 2010.
2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Voditelj: doc. dr. sc. Zvonko Glumac Osijek, 2010.
3 Sadržaj Uvod 1 1 Poopćene koordinate Slobodan sustav Neslobodan sustav Holonomni sustav Neholonomni sustav Lagrangeova formulacija klasične mehanike Lagrangeove jednadžbe gibanja za holonomne sustave Lagrangeove jednadžbe gibanja za konzervativne sile Lagrangeove jednadžbe gibanja za neholonomne sustave Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Varijacijski princip mehanike Funkcija djelovanja i Hamiltonov princip Hamiltonove kanonske jednažbe gibanja Fizikalno značenje Hamiltonijana Zakoni očuvanja Poissonove zagrade Zapis Hamiltonovih jednadžbi pomoću Poissonovih zagrada Kanonske transformacije Hamilton-Jacobijeva jednadžba Fizikalni smisao Hamilton-Jacobijeve funkcije Prijelaz na kvantnu mehaniku 30 A Slobodna čestica 32 i
4 B Linearni harmonički oscilator 33 Zaključak 35 Literatura 36 Sažetak 37 Summary 38 Životopis 39 ii
5 U nemogućnosti da ti ovaj rad predam osobno, ja ti ga posvećujem.
6 Uvod Newtonova 1 mehanika je kompletna, logički konzistentna teorija, koja vrlo dobro opisuje širok spektar pojava. Na osnovu nje može se upravljati svemirskim brodom koji putuje na Neptun ili izračunati kretanje bilo kojeg objekta na Zemlji koji je dovoljno velik da se može vidjeti običnim mikroskopom i koji je dovoljno spor (do nekoliko tisuća puta brži od brzine metka). Bez obzira na ovako veliku primjenu Newtonove mehanike, ispostavilo se da njena osnovna forma nije dovoljno univerzalna, a u slučaju kada želimo prijeći na teorije koje opisuju mikrosvijet, ispostavilo se da nije sasvim pogodna. Pogodnija je druga varijanta klasične mehanike koja se naziva Lagrangeova 2 ili analitička mehanika. 3 U razvoju klasične mehanike se, u tom smislu, mogu izdvojiti dva pravca. Jedan od njih je dobro poznata Newtonova ili vektorska mehanika, a drugi je poznat pod nazivom analitička mehanika. U Newtonovoj mehanici se za dobivanje diferencijalnih jednadžbi koje opisuju kretanja tijela koriste dva vektora: vektor impulsa i vektor sile, dok se u analitičkoj mehanici koriste skalarne veličine: energija i rad. U prvom su dijelu ovog diplomskog rada uvedeni pojmovi veza, broja stupnjeva slobode, te je opisana razlika izmedu holonomnih i neholonomnih veza, odnosno sustava. Drugi dio rada sadrži kompletnu Lagrangeovu formulaciju klasične mehanike koju je Hamilton kasnije iskoristio i izveo svoju formulaciju. Dakle, drugi dio rada sadrži cjelokupan izvod Lagrangeovih jednadžbi gibanja kako za holonomne, tako i za neholonomne sustave čestica. U trećem dijelu, koji je ujedno i tema ovog rada, detaljno je opisan izvod Hamiltonovih (kanonskih) jednadžbi gibanja, te izvod Hamilton-Jacobijeve formulacije klasične mehanike. 1 Sir Isaac Newton, engleski matematičar i fizičar 2 Joseph Louis comte de Lagrange, , francuski fizičar i matematičar 3 Pojam analitička označava da se radi o primjeni diferencijalnog računa. 1
7 1 Poopćene koordinate Newtonova formulacija mehanike zahtijeva poznavanje svih sila koje djeluju na fizikalni sustav. Za sustave čija je dinamika ograničena vezama to često nije lako. Tipičan primjer je gibanje po nekoj podlozi. Znamo da na česticu (ili tijelo) mora djelovati sila reakcije, odnosno otpor podloge koji osigurava da čestica ostaje u kontanktu s podlogom, ali ne znamo napisati izraz za tu silu kao funkciju položaja i brzina čestica. U drugoj polovici XVII. stoljeća u radovima d Alemberta i Lagrangea nastala je nova, općenitija formulacija mehanike specijalno prilagodena rješavanju problema gibanja sustava s vezama. Temelj nove formulacije su Lagrangeove jednadžbe gibanja koje se formuliraju u prikladno odabranom prostoru čiju bazu čine poopćene koordinate fizikalnog sustava. Lagrangeov je formalizam omogućio daljnji razvoj drugih formulacija mehanike (Hamiltonov formalizam), te je znatno olakšao apstraktnu analizu problema gibanja fizikalnih sustava i uveo u teorijsku fiziku novi standard analitičkog formuliranja teorija koji važi i u modernoj fizici. 1.1 Slobodan sustav Promotrimo sustav sastavljen od N čestica. Ako se svaka čestica tog sustava, za vrijeme svojega gibanja, može nalaziti u proizvoljnoj točki prostora i pri tome imati proizvoljnu brzinu, takav se sustav zove slobodan sustav. Za odredivanje položaja tog sustava, potrebno je znati N radij-vektora položaja svih njegovih čestica r 1, r 2,..., r N. Uvedemo li i pravokutni koordinatni sustav, tada je r j = r j (x j, y j, z j ; t), pa je položaj cijelog sustava odreden s 3N koordinata x j, y j, z j, j = 1, 2,..., N. Umjesto pravokutnih koordinata, mogu se uvesti i neke druge, pogodnije odabrane koordinate koje čak i ne moraju imati dimenziju duljine, nego mogu biti npr. kutovi kao u sfernom 2
8 koordinatnom sustavu, koje ćemo označiti s η 1, η 2,..., η 3N. Svaka od 3N pravokutnih koordinata se u svakom trenutku t može izraziti pomoću svih ili samo nekih od varijabli η j, pa imamo: x j = x j (η 1, η 2,..., η 3N ; t) y j = y j (η 1, η 2,..., η 3N ; t) z j = z j (η 1, η 2,..., η 3N ; t). 1.2 Neslobodan sustav Kako bismo uopće mogli odrediti položaj nekog sustava čestica definirat ćemo pojam broja stupnjeva slobode. Broj stupnjeva slobode je najmanji broj medusobno nezavisnih skalarnih veličina nužnih za odredivanje položaja svih čestica sustava. Taj ćemo pojam pobliže objasniti na sljedećim primjerima. Primjer 1. Za odredivanje položaja jedne čestice koja se slobodno giba u trodimenzijskom prostoru, su potrebne tri koordinate: (x, y, z), (η 1, η 2, η 3 ), (r, ϑ, φ) ili nešto slično. Zato je broj stupnjeva slobode jedne slobodne čestice u trodimenzijskom prostoru, jednak tri. Primjer 2. Za odredivanje položaja sustava koji se sastoji od N čestica koje se slobodno gibaju u trodimenzijskom prostoru, potrebno je odrediti položaj svake od čestica sustava, a položaj svake čestice je odreden s tri koordinate (Primjer 1.). Prema tome, ukupan broj koordinata potrebnih za odredivanje položaja sustava je 3N, tj. toliki je broj stupnjeva slobode. Ako položaji ili brzine čestica sustava ne mogu poprimati proizvoljne vrijednosti, nego samo one vrijednosti koje zadovoljavaju odredene uvjete, onda takav sustav zovemo neslobodan sustav čestica. U takvom je fizikalnom sustavu gibanje ograničeno vezama (veza je bilo kakvo ograničenje položaja i/ili brzine čestica sustava). Npr. dvije čestice povezane tankom nerastezivom niti su primjer neslobodnog sustava: njihova medusobna udaljenost je uvijek manja ili jednaka duljini niti. Uvjeti na gibanje se općenito mogu analitički izraziti tako što će izmedu položaja i brzina čestica sustava i vremena, postojati M veza, odnosno M diferencijalnih jednadžbi oblika f m (η j, η j ; t) = 0, m = 1, 2,..., M, za j = 1, 2,..., N. Vrijeme t se pojavljuje u onim slučajevima kada se veze mijenjaju u vremenu. 3
9 1.2.1 Holonomni sustav Može se dogoditi da neki od uvjeta na gibanje ne ovise o brzinama čestica sustava η j. Takvi se uvjeti zovu se holonomni (konačni ili integrabilni), a mogu se analitički izraziti algebarskim jednadžbama oblika f m (η j ; t) = 0, m = 1, 2,..., M h, za j = 1, 2,..., N. S M h < M smo označili broj holonomnih veza. Neslobodni sustav čije je gibanje odredeno samo holonomnim vezama (M h = M), zove se holonomni sustav. Budući da sada imamo 3N koordinata i M h veza medu njima, zaključujemo da je samo S = 3N M h od njih medusobno nezavisno. U skladu s definicijom pojma stupnja slobode, kažemo da ovakav sustav ima 3N M h stupnjeva slobode. Primjer 3. Uzmimo jednostavni primjer sustava dvije čestice (N = 2) koje se mogu gibati samo u ravnini (x, y), a medusobno su povezane krutim štapom. Dvije slobodne čestice imaju šest stupnjeva slobode 3N = 3 2 = 6. Ograničenje na gibanje u ravnini možemo izraziti uvjetima: z 1 = 0, z 2 = 0. Kako su čestice povezane štapom kojemu je duljina npr. d, njihove su koordinate povezane još i relacijom (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = d 2, (1.1) tako da ukupno imamo tri holonomna uvjeta na gibanje M h = 3, pa je broj stupnjeva slobode S = 3N M h = 6 3 = 3. Primjetimo da sve tri gornje veze ne ovise ni o vremenu ni o brzinama čestica. Pretpostavimo da smo riješili M h jednadžbi (1.1) i da smo dobili M h koordinata η 1, η 2,..., η Mh izraženih preko preostalih S = 3N M h koordinata η 1 = η 1 (η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N ; t) η 2 = η 2 (η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N ; t). η Mh = η Mh (η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N ; t) 4
10 Uvedimo sada umjesto S nezavisnih koordinata η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N, nove nezavisne koordinate q 1, q 2,..., q S pomoću relacija η Mh+1 = η Mh+1 (q 1, q 2,..., q S ; t), η Mh+1 = η Mh+2 (q 1, q 2,..., q S ; t),. η 3N = η 3N (q 1, q 2,..., q S ; t). Ove nove koordinate q s za s = 1, 2,..., S ćemo zvati poopćene koordinate. Njih ima onoliko koliko ima i stupnjeva slobode. Pomoću poopćenih koordinata je moguće napisati za sve j = 1, 2,..., 3N. η j = η j (q 1, q 2,..., q S ; t), Ukoliko jednadžbe uvjeta (1.1) ne sadrže eksplicitno vrijeme, one se zovu skleronomne, a ako te jednadžbe sadrže vrijeme, zovu se reonomne Neholonomni sustav Pogledajmo sada uvjete na gibanje, koji osim o položajima ovise i o brzinama čestica i koji se analitički mogu prikazati diferencijalnim jednadžbama oblika f m (η j ; η j ; t) = 0, (1.2) za j = 1, 2,..., N i m = 1, 2,..., M h. Može se dogoditi da je neku od M h gornjih jednadžbi moguće napisati kao vremensku derivaciju neke funkcije Φ koja ovisi samo o položajima čestica sustava i vremenu, tj. Tada veza dφ(η j ; t) dt = 0. Φ(η j ; t) = C = const. zamjenjuje odgovarajuću vezu s brzinama iz jednadžbe (1.2). Ovakve se veze nazivaju poluholonomne veze. Odabirom odgovarajućih vrijednosti za konstante C, ove veze postaju holonomne. Ako se veze (1.2) ne mogu napisati u obliku vremenskih derivacija nekih drugih funkcija koordinata i vremena, onda se one zovu neholonomne (diferencijalne ili neintegrabilne), a sustav se zove neholonomni sustav. U općem slučaju, brzine se u (1.2) mogu pojavljivati na proizvoljan način. No, u većini slučajeva od interesa one se pojavljuju linearno, tako da se veze (1.2) mogu napisati u obliku: N A jm η j + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh, (1.3) j=1 5
11 A jm = A jm (η j ; t), B m = B m (η j ; t). Dakle, poluholonomne veze možemo pribrojiti holonomnim vezama, i njih sve skupa ima M h. S M nh smo označili broj neholonomnih veza, tako da je ukupan broj stupnjeva slobode za ovakav sustav jednak S = 3N M h M nh. 6
12 2 Lagrangeova formulacija klasične mehanike Osnovna ideja cijelog računa koji se izlaže u ovom poglavlju leži u tome da se, polazeći od Newtonovih jednadžbi gibanja svih N čestica sustava, dode do jednadžbi gibanja za S stupnjeva slobode tog istog sustava. Neka je zadan sustav od N čestica. Čestice nisu slobodne nego su podvrgnute odredenim uvjetima. Postoji M h jednadžbi pomoću kojih su izraženi holonomni i M nh jednadžbi pomoću kojih su izraženi neholonomni uvjeti. Zato je broj stupnjeva slobode sustava jednak S = 3N M h M nh (ako umjesto sustava od N čestica imamo kruto tijelo, onda umjesto 3N dolazi broj stupnjeva slobode slobodnog krutog tijela, a to je 6). Pretpostavimo da su holonomni uvjeti riješeni i da smo M h zavisnih poopćenih koordinata izrazili preko preostalih 3N M h. Ove preostale poopćene koordinate još nisu sve medusobno neovisne, nego su povezane s M nh neholonomnih jednadžbi. Ove jednadžbe ne znamo riješiti i zato nastavljamo raditi s 3N M h poopćenih koordinata imajući na umu da one nisu sve medusobno nezavisne r j = r j (q s ; t), j = 1, 2,..., 3N, s = 1, 2,..., 3N M h. Iznimka je situacija kada nema neholonomnih uvjeta, tj. M nh = 0. Tada je broj stupnjeva slobode S = 3N M h, i svih S poopćenih koordinata medusobno neovisno. Nazovimo poopćenim brzinama q s, vremenske derivacije poopćenih koordinata. Kako bismo mogli nastaviti naše razmatranje trebamo uvesti varijaciju vektora položaja (virtualni ili zamišljeni pomak) δ r j, kao trenutni pomak (uz t = const., tj. δt = 0) u skladu s uvjetima na gibanje δ r j = Tada je virtualni (zamišljeni) rad jednak: 3N M h r j δq s. δw = N F j δ r j = j=1 N j=1 3N M h F j r j δq s. 7
13 Uvedemo li tzv. poopćenu silu Φ s koja djeluje na poopćenoj koordinati q s kao Φ s = N F j j=1 r j, tada virtualni rad možemo napisati kao umnožak poopćenih sila i diferencijala poopćenih koordinata. Time se ukupan rad vanjskih sila nad sustavom može napisati u obliku koji je analogan onom iz Newtonove mahanike, tj. δw = 3N m h Φ s δq s. (2.1) U gornjoj se jednadžbi umjesto sila i koordinata svih čestica sustava, pojavljuju poopćene sile i poopćene koordinate. Valja primjetiti da je poopćena sila skalar, tj. po svom algebarskom karakteru odgovara jednoj od komponenata sile kao vektora. Sada želimo uspostaviti vezu izmedu poopćene sile i kinetičke energije. Do ove ćemo veze doći u nekoliko koraka. U tim ćemo koracima poopćene koordinate q s (t) i poopćene brzine q s (t), tretirati kao dva skupa medusobno neovisnih varijabli. (1) Izvedimo takozvano poništenje točkica: r j = r j (q 1 (t), q 2 (t),..., q 3N Mh (t); t) / d dt r j = r j q 1 + r j q r j q 3N Mh / q 1 q 2 q 3N Mh q s r j q s = r j (2.2) (2) Pokažimo da potpuna vremenska derivacija i parcijalna derivacija po poopćenoj koordinati komutiraju, kada djeluju na r j, odnosno pokažimo da vrijedi: Iz točke (1) imamo: d r j dt = r j q 1 ( ) d rj = 2 r j dt q 1 ( ) ( d d r j = dt dt q 1 + r j q 2 q r j q 3N Mh q r j 2 r j q q 2 q 3N Mh ) r j (2.3) q 3N Mh + r j t / q 3N Mh + 2 r j t (2.4) Primjetimo sada da iz relacije r j = r j (q 1, q 2,..., q 3N Mh ; t) vrijedi da je i derivacija r j, 8
14 takoder nekakva funkcija od tih istih q 1, q 2,..., q 3N Mh i vremena. Zbog toga imamo: d dt ( ) rj = q 1 ( ) rj q 1 + q 2 ( ) rj q q 3N Mh ( ) rj q 3N Mh + t ( ) rj q s = 2 r j q 1 q s r j q 3N Mh q 3N Mh + 2 r j t. (2.5) Usporedbom (2.4) i (2.5) vidi se da relacija (2.3) vrijedi. (3) Sada ćemo ponovno zapisati izraz za virtualni rad δw, ali pomoću drugog Newtonovog zakona, tj. F j = m j rj. Tada imamo: δw = N F j δ r j = j=1 N m j rj δ r j = j=1 N j=1 3N M h m j rj r j δq s. Označeni dio gornje jednadžbe ćemo transformirati kao: ( ) ( ) d r j r j = dt q r r j j + s q r d rj j, s dt iz čega slijedi: r j r j = d ( ) ( ) r j r j dt q r d rj j. s dt Ukoliko na drugi član s desne strane gornje jednakosti primjenimo komutativnost pokazanu u točki (2) za virtualni rad tada dobivamo: [ N 3N M h ( ) d r j δw = m j rj m j dt j=1 rj r j (4) Promotrimo sada kinetičku energiju: E k = 1 N m j rj 2, / 2 E k = E k = 1 2 E k q s = N j=1 N j=1 j=1 m j N j=1 m j rj r j m j rj 2, / q s rj r j q s = (2.2) = N j=1 m j ] δq s (2.6) rj r j (2.7) Uvrstimo li dobivene izraze iz (2.7) u (2.6), dobivamo virtualni rad izražen preko kinetičke energije sustava: δw = 3N M h [ d dt 9 ( ) Ek q s E ] k δq s.
15 Izjednačimo li ovaj zamišljeni rad s radom koji je napisan preko poopćenih sila u relaciji (2.1) dolazimo do: 3N M h [ d dt ( ) Ek q s E k Φ s ] δq s = 0. (2.8) Gornja jednadžba vrijedi kako za holonimne tako i za neholonomne sustave, s tom razlikom da su za holonomne sustave, sve varijacije δq s medusobno nezavisne, dok za neholonomne sustave nisu sve medusobno nezavisne. 2.1 Lagrangeove jednadžbe gibanja za holonomne sustave Ograničimo se na holonomne sustave, tj. neka nema neholonomnih uvjeta na gibanje, M nh = 0. U tom je slučaju broj nezavisnih stupnjeva slobode jednak S = 3N M h i sve su varijacije δq s iz jednadžbe (2.8) medusobno nezavisne. Kako su nezavisne znači da se mogu mijenjati neovisno jedna o drugoj. Npr. možemo uzeti da je samo δq 1 0, a sve ostale varijacije da su jednake nuli. U tom je slučaju uglata zagrada s indeksom s = 1 jednaka nuli. Zatim možemo uzeti da je samo q 2 0, i doći do zaključka da uglata zagrada s indeksom s = 2 iščezava i tako redom za sve ostale koordinate. Konačno, zaključujemo da sve S = 3N M h uglate zagrade moraju iščezavati, tj. da vrijedi: Φ s = d dt ( ) Ek q s E k (2.9) gdje je s = 1, 2,..., S. To su Lagrangeove jednadžbe gibanja za holonomni sustav čestica. Ima ih onoliko koliko i stupnjeva slobode S. One vrijede i za skleronomne i reonomne sustave, kao i za konzervativne i nekonzervativne sile. Veličina p s = E k q s se zove poopćena količina gibanja konjugirana poopćenoj koordinati q s Lagrangeove jednadžbe gibanja za konzervativne sile Ukoliko su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, one se mogu izraziti preko potencijalne energije E p, odnosno vrijedi F j = j E p Tada je poopćena sila jednaka 10
16 Φ s = N j=1 = F j r j = N ( Ep j=1 x j N j=1 x j + E p y j ( Ep ı + E p ȷ + E ) p (xj ı + y j ȷ + z j k) k x j y j z j y j + E p z j ) z j = E p Uvrstimo li ovaj izraz za poopćenu silu u Lagrangeove jednadžbe (2.9) imamo: ( ) d Ek E k = E p, dt q s odnosno ( ) d Ek (E k E p ) = 0. dt q s Najčešće, potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama q s, pa je praktično za uvesti tzv. Lagrangeovu funkciju ili lagranžijan, L, pomoću izraza: L = E k E p. Tada su nam Lagrangeove jednažbe zapisane pomoću lagranžijana: ( ) d L L = 0 (2.10) dt q s gdje je s = 1, 2,..., S. Jednažbe (2.10) vrijede za holonomne konzervativne sustave. Za konzervativni se sustav poopćena količina gibanja definira kao: p s = L q s. (2.11) 2.2 Lagrangeove jednadžbe gibanja za neholonomne sustave Sada ćemo pretpostaviti da osim M h holonomnih uvjeta na gibanje postoji i M nh neholonomnih uvjeta. Prisjetimo se da u jednadžbi (2.8) zbog postojanja M nh neholonomnih uvjeta na gibanje, sada nisu sve varijacije δq s medusobno neovisne. Ukoliko u neholonomnim uvjetima (1.3), zamjenimo koordinate η j poopćenim koordinatama q s, dobivamo: 3N M h A s,m q s + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh (2.12) gdje je A s,m = A s,m (q s ; t) i B m = B m (q s ; t). Ako pomnožimo gornje jednadžbe s dt imamo: 3N M h A s,m dq s + B m dt = 0, m = 1, 2,..., M nh. 11
17 Nadalje, prijedemo li sa pravih pomaka dq s i dt na virtualne pomake δq s i δt (za koje vrijedi δt = 0), gornje jednadžbe postaju: 3N M h Sada svaku od M nh A s,m δq s = 0, m = 1, 2,..., M nh. jednadžbi pomnožimo proizvoljnom konstantom λ m, koja se naziva Lagrangeov množitelj (multiplikator), i zbrojimo sve jednadžbe uvjeta, tj.: 3N M h (λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + + λ Mnh A s,mnh ) δq s = 0. Oduzmemo li ovu jednadžbu od jednadžbe (2.8), dobivamo: 3N M h [ d dt ( ) Ek q s E k Φ s λ 1 A s,1 λ 2 A s,2 λ Mnh A s,mnh ] δq s = 0. (2.13) U gornjoj jednadžbi nije svih 3N M h varijacija δq s medusobno nezavisno. Kako postoji i M nh neholonomnih uvjeta, nezavisno je S = 3N M h M nh varijacija poopćenih koordinata q s. Pretpostavimo da su prvih M nh poopćenih koordinata zavisne, a preostalih S = 3N M h M nh nezavisne. Dakle, q 1, q 2,..., q }{{ Mnh, q } Mnh +1, q Mnh +2,..., q }{{ 3N Mh } zavisne nezavisne Do sada, na Lagrangeove množitelje nismo postavili nikakve uvjete. Odaberu li se Lagrangeovi množitelji λ m tako da iščezava prvih M nh uglatih zagrada iz (2.13) koje množe zavisne δq s, preostaje nam još S uglatih zagrada povezanih jednadžbom: 3N M h s=m nh +1 [ d dt ( ) Ek q s E k Φ s λ 1 A s,1 λ 2 A s,2 λ Mnh A s,mnh ] δq s = 0. Obzirom da su u gornjoj jednadžbi sve poopćene koordinate q s medusobno nezavisne, zaključujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada mora iščezavati. Time dolazimo do zaključka da svih 3N M h okruglih zagrada iz (2.13) mora iščezavati: njih M nh zbog izbora Lagrangeovih množitelja, a preostalih S = 3N M h M nh zbog nezavisnosti poopćenih koordinata. Tada Lagrangeove jednadžbe za neholonomni sustav možemo zapisati u obliku sustava diferencijalnih jednadžbi: ( ) d Ek E k = Φ s + λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + + λ Mnh A s,mnh s = 1, 2,..., 3N M h dt q s 3N M h A s,m q s + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh. 12
18 Gornji se sustav sastoji od (3N M h ) + M nh jednadžbi i jednako toliko nepoznanica: q 1, q 2,..., q 3N Mh, λ 1, λ 1,..., λ Mnh. Ako su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, uvodimo potencijalnu energiju izrazom Φ s = E p. Ukoliko potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama q s, Lagrangeove jednadžbe možemo zapisati preko lagranžijana L = E k E p : d dt ( ) L q s L = λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + + λ Mnh A s,mnh s = 1, 2,..., 3N M h 3N M h A s,m q s + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh. (2.14) Pomoću gornjeg sustava možemo rješavati i probleme vezane za holonomne sustave i to tako što ćemo holonomne uvjete f m (q s ; t) = 0, (za m = 1, 2,..., M h ), derivirati po vremenu i napisati ih u obliku sustava (2.14): 3N f m q s + f m t = 0, m = 1, 2,..., M h. Znači, zapravo nije potrebno rješavati jednadžbe kojima su zadani uvjeti, već ih se jednostavno može tretirati pomoću Lagrangeovih množitelja. Fizikalno značenje Lagrangeovih multiplikatora možemo uočiti iz sustava (2.14) na čijoj desnoj strani mora biti sila, tj. izrazi oblika λ m A s,m predstavljaju poopćene sile koje dolaze od uvjeta na gibanje. 13
19 3 Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Da bi se odredio položaj čestice u trenutku t + dt, treba poznavati i položaj i brzinu čestice u trenutku t, što znači da je mehaničko stanje sustava odredeno položajem i brzinom čestica u jednom trenutku. U Lagrangeovoj formulaciji svakom stupnju slobode gibanja odgovara jedna poopćena koordinata q j, a mehaničko stanje sustava je odredeno sa 2n vrijednosti poopćenih koordinata i poopćenih brzina (q(t), q(t)). Dakle, postoji n jednadžbi gibanja (koje su diferencijalne jednadžbe drugog reda), ali 2n početnih uvjeta neophodnih da se odredi početno stanje sustava. U Hamiltonovoj 4 formulaciji uklanja se gornja asimetrija. Gibanje sustava N čestica sa n stupnjeva slodode odredeno je sa 2n jednadžbi gibanja, koje su obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Partikularno rješenje Hamiltonovih jednadžbi zahtjeva poznavanje početnih vrijednosti svih 2n kanonskih varijabli poopćenih koordinata q j i njima pridruženih poopćenih količina gibanja p j. 3.1 Varijacijski princip mehanike Dosad smo prirodne zakone izražavali diferencijalnim jednadžbama. U tim su jednadžbama uzajamno povezane male promjene različitih fizikalnih veličina. Takav način opisivanja prirodnih pojava najviše će se zadržati u egzaktnim znanostima. No, s diferencijalnim jednadžbama gibanja se pokazuju ekvivalentni varijacijski principi. Ta ekvivalentnost nam omogućuje da prirodne zakone izrazimo i ekstremalnim principima. Jedan takav princip je Fermatov princip u optici: Svjetlost putuje od jedne točke do druge onim putem za koji joj treba najmanje vremena. Naravno, svjetlost ne bira svoj put zato da bi stigla što prije u odredenu točku, već se ona jednostavno tako kreće. Fizikalno razumijevanje takvih fenomena pronalazimo u elektrodinamici, a varijacijski principi nam služe da bismo prirodnim zakonima dali takav oblik u kojem se najbolje vide osnovne fizikalne 4 William Rowan Hamilton, , irski matematičar i astronom 14
20 invarijante. Sada ćemo pokazati vezu koja postoji izmedu Lagrangeovih jednadžbi i varijacijskog računa. Ova veza će nam ukazati na jedan drukčiji način na koji se može gledati smisao Lagrangeovih jednadžbi gibanja. Slika 3.1: Varijacija staze Kako smo već spomenuli osnovni i najjednostavniji problem varijacijskog računa, je odgovoriti pitanje: Kako naći funkciju y = Y (x) koja bi spojila točku x = a s točkom x = b (Slika 3.1), tako da je integral I = b a F (y, y ; x)dx ekstreman, odnosno maksimalan ili minimalan? S y smo označili derivaciju dy dx, a F označava funkciju od y, y i x. Tada se sama funkcija y naziva ekstrem. Ako je y = Y (x) funkcija koja gornji integral I čini ekstremnim, neka je tada y = Y (x) + δy (x) Y (x) + εη(x) njoj bliska, tj. varirana krivulja (Slika 3.1), za koju vrijedi η(x = a) = η(x = b) = 0, a ε = const. u x. Tada je vrijednost integrala I za ovu blisku krivulju jednaka: I(ε) = b a F [Y (x) + ε η(x), Y (x) + ε η (x); x] dx (3.1) gdje su s crticom označene derivacije po varijabli x. Kako bi ovaj integral bio ekstreman uz ε = 0 imamo: di = 0. dε ε=0 15
21 Koristeći (3.1) možemo odrediti gornju derivaciju: Iskoristimo li di dε = = b a b a ( F y y ε + F y y ε F y η dx + b a ) dx = b a ( F y η + F ) y η F dη dx. (3.2) y dx ( ) d F dx y η = η d ( ) F + F dx y y dη dx, parcijalnom integracijom možemo izračunati drugi član jednadžbe (3.2), pa dobivamo: di dε = = b a b a b η F y dx + a [ F η y d dx [ η d dx )] ( F y ( ) F + d y dx ( dx + η F y ( η F y ) b. a )] dx Trebamo se prisjetiti da vrijedi η(x = a) = η(x = b) = 0. To znači da je posljednji član u gornjem izrazu jednak nuli. Tada imamo: di = 0 = dε ε=0 b a [ F η y d ( )] F dx. dx y ε=0 Funkciju η(x) u gornjem integralu odabiremo potpuno proizvoljno, pa ćemo ju odabrati tako da ona na čitavom intervalu a x b ima isti predznak kao i uglata zagrada. Tada gornja jednadžba može biti jednaka nuli samo ako je uglata zagrada jednaka nula, odnosno ( ) d F F dx y y = 0. (3.3) Jednadžba (3.3) se naziva Euler-Lagrangeova jednadžba. Ukoliko imamo funkcije više varijabli dobivamo S Euler-Lagrangeovih jednadžbi ( ) d F F = 0, s = 1, 2,..., S. dx y s y s Sada još samo valja primjetiti da ukoliko nezavisnu varijablu x zamijenimo s vremenom t, funkciju F zamijenimo s lagranžijanom L, a y s i y s shvatimo kao poopćene koordinate q s i poopćene brzine q s, tada gornje jednadžbe postaju baš Lagrangeove jednadžbe (2.10) Funkcija djelovanja i Hamiltonov princip Svaki fizikalni sustav u Hamiltonovom formalizmu opisan je Hamiltonovom funkcijom sustava H čije je poznavanje ekvivalentno poznavanju Lagrangeove funkcije sustava, L. Sličnost 16
22 Euler Lagrangeove jednadžbe (3.3) i Lagrangeovih jednadžbi gibanja za holonomne konzervativne sustave (2.10) navela je Hamiltona na razmatranje integrala S = t2 t 1 L(q 1, q 2,..., q S, q 1, q 2,..., q S ; t) dt, koji je nazvao djelovanjem (action) ili principalnom funkcijom. Pomoću tog je integrala Hamilton postavio osnovni postulat svoje teorije, a zove se Hamiltonov princip ili princip najmanjeg djelovanja. Funkcija djelovanja prema svojoj dimenziji odgovara umnošku energije i vremena. Ukoliko zamjenimo oznake u Euler Lagrangeovim jednadžbama (3.3) tako da je F L, x t, y s q s, y s q s i ukoliko postavimo zahtjev da je djelovanje S ekstremalno ds = 0, dε s εs =0 iz Euler Lagrangeovih jednadžbi dolozimo do Lagrangeovih jednadžbi (2.10), odnosno ( ) d L L = 0 s = 1, 2,..., S. dt q s Sada možemo izvesti Taylorov razvoj funkcije djelovanja S oko točke ε s = 0: S(ε s ) = S(0) + ε s ds dε s εs= s =1 d 2 S ε s ε s + O(ε 3 ). dε s dε s 0 Ukoliko varijacijom djelovanja δs nazovemo razliku djelovanja na pravoj putanji, koja čini S ekstremalnom, i variranoj putanji, δs = S(ε s ) S(0) tada, s točnošću od O(ε s ) možemo zaključiti da se mehanički sustav giba tako da je varijacija njegove funkcije djelovanja jednaka nuli δs = 0. (3.4) Kako je na pravoj putanji mehaničkog sustava, ekstrem funkcije djelovanja S najčešće minimalan, gornji se izraz zove Hamiltonovo načelo najmanjeg djelovanja. Svakako valja primjetiti da smo počevši od zahtjeva da je integral jedne funkcije ekstreman, došli do izraza koji je ekvivalentan Newtonovim jednadžbama gibanja. Drukčije rečeno: gibanja u prirodi se odvijaju tako da čine ekstremnim integral Lagrangeove funkcije L. Hamiltonov je princip zapravo samo specijalan slučaj matematičkog problema računa varijacija koji smo opisali u Odjeljku
23 3.2 Hamiltonove kanonske jednažbe gibanja Neka je zadan sustav sa S stupnjeva slobode, opisan Lagrangeovom funkcijom L(q s, q s ; t). Hamiltonova je ideja bila, pronaći takvu funkciju u kojoj će se kao varijable, umjesto poopćenih brzina (što je slučaj kod Lagrangeovih jednadžbi) pojavljivati poopćene količine gibanja. Račun ćemo započeti tako što ćemo izračunati diferencijal lagranžijana L(q s, q s ; t). Taj diferencijal iznosi: dl(q s, q s ; t) = ( L dq s + L ) d q s + L q s t dt. Pomoću definicije poopćene količine gibanja (2.11) i Lagrangeove jednadžbe (2.10) imamo: p s = L ( ) d L, L = 0 q s dt q s L = dp s dt = ṗ s, Time diferencijal Lagrangeove funkcije postaje: dl(q s, q s ; t) = (ṗ s dq s + p s d q s ) + L t dt. U gornjoj se jednadžbi diferencijal poopćene brzine, može zapisati kao: p s d q s = d(p s q s ) dp s q s, čime dobivamo: dl = Transformacijom imamo: ( ) d p s q s L = [ṗ s dq s + d(p s q s ) dp s q s ] + L t dt ( ṗs dq s + q s dp s ) L t dt (3.5) Funkcija na lijevoj strani jednadžbe (3.5) zove se Hamiltonova funkcija ili Hamiltonijan: H = p s q s L(q s, q s ; t), (3.6) dok se iz desne strane jednadžbe (3.5) može uočiti da je hamiltonijan funkcija koja ovisi o poopćenim koordinatama, poopćenim količinama gibanja i vremenu, H = H(q s, p s ; t). 18
24 Općenito, diferencijal hamiltonijana zadan je jednadžbom: dh = ( H dq s + H ) dp s + H p s t dt, pa ako usporedimo gornju jednadžbu s jednadžbom (3.5) dobivamo Hamiltonove kanonske jednadžbe gibanja: ṗ s = H, q s = H p s, H t = L t (3.7) gdje je s = 1, 2,..., S. Svakako, valja primjetiti da su Hamiltonove jednadžbe zapravo diferencijalne jednadžbe prvog reda (za razliku od Lagrangeovih diferencijalnih jednadžbi drugog reda), ali ih ima dvostruko više Fizikalno značenje Hamiltonijana U svrhu objašnjenja fizikalnog značenja hamiltonijana pretpostavit ćemo da je sustav konzervativan (L = E k E p ) te neka lagranžijan, a time i hamiltonijan eksplicitno ne ovise o vremenu. Pokazat ćemo da je u tom slučaju kinetička energija kvadratna funkcija poopćenih brzina. Počnimo od kinetičke energije sustava koji se sastoji od N čestica, zapisane pomoću pravokutnih koordinata i prevedimo tu energiju u poopćene koordinate. Dakle, E k = 1 2 N m j rj 2 = 1 2 j=1 N m j (ẋ 2 j + ẏj 2 + żj 2 ) j=1 Znamo da za koordinate reonomnog sustava čestica vrijedi: x j = x j (q 1, q 2,..., q S ; t) x j ẋ j = q s + x j q s t ( ẋ 2 x j j = q s + x j t = p=1 x j x j q p Slično se dobije i za y j i z j koordinate: p=1 x j q p q s q p + 2 x j t q p + x j t ) x j q s + ( ) 2 xj t ẏ 2 j = ż 2 j = p=1 p=1 y j y j q p z j z j q p q s q p + 2 y j t q s q p + 2 z j t y j q s + z j q s + ( ) 2 yj t ( ) 2 zj t 19
25 Zbog kraćeg zapisa uvodimo: a s,p = 1 2 a s = b = 1 2 N j=1 N j=1 ( xj x j m j + y j y j + z ) j z j = a p,s q p q p q p m j ( xj t x j + y j t [ N ( xj ) 2 m j + t j=1 Time dobivamo da je kinetička energija jednaka: y j + z j t ( ) 2 yj + t ) z j ( ) ] 2 zj. t E k = a s,p q s q p + a s q s + b. p=1 Uočimo da ako je sustav skleronoman, odnosno vrijeme se ne pojavljuje eksplicitno, vrijedi: b 0, a s 0, pa kinetička energija postaje kvadratna funkcija poopćenih brzina. Nadalje, imamo: l=1 E k = E k q l = E k q l q l = p=1 a l,p q p + p=1 l=1 a s,p q s q p / q l a s,l q s / a l,p q l q p + p=1 a s,l q s q l = 2E k. l=1 q l l=1 Ukoliko se ograničimo samo na konzervativne sustave kod kojih potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama, za poopćenu količinu gibanja imamo: p s = L q s = E k q s čime hamiltonijan postaje: E k q s q s = p s q s = 2E k, H = p s q s L = 2E k (E k E p ) = E k + E p, odnosno, H = E k + E p. (3.8) Dakle, fizikalno, hamiltonijan je jednak zbroju kinetičke i potencijalne energije cijelog sustava. To je ujedno i jednostavan način da se zapiše hamiltonijan. 20
26 3.3 Zakoni očuvanja Hamiltonove kanonske jednadžbe (3.7) odmah daju Zakon očuvanja količine gibanja: Zakon očuvanja količine gibanja: Ako hamiltonijan H ne ovisi o poopćenoj koordinati q s, pridružena poopćena količina gibanja je očuvana: H = 0 p s = const. (3.9) Potpuna vremenska derivacija Hamiltonove funkcije jednaka je: što daje: dh dt = H ( H t + Zakon očuvanja hamiltonijana H: q s + H p s ṗ s ) = H t, Ako hamiltonijan H (a time i Lagranžijan) sustava ne ovisi eksplicitno o vremenu, onda je hamiltonijan očuvana veličina: H t = 0 H = const. (3.10) Za holonomni konzervativni sustav hamiltonijan ne ovisi o vremenu t pa jednadžba (3.10) predstavlja zakon očuvanja energije za takav sustav. 3.4 Poissonove zagrade Najopćenitija formulacija jednadžbi gibanja u analitičkoj mehanici može se pronaći u obliku Poissonovih zagrada. Poissonova zagrada dvije funkcije poopćenih koordinata i poopćenih količina gibanja, odnosno F (q s, p s ) i G(q s, p s ) definira se kao: Svojstva Poissonovih zagrada: (0) {F, c} = 0, za c = const., (1) {F, F } = 0, {F, G} = ( F 21 G G p s ) F, (3.11) p s
27 (2) {F, G} = {G, F }, (3) {F 1 + F 2, G} = {F 1, G} + {F 2, G}, (4) {F, q k } = F p k, (5) {F, p k } = F q k, (6) {F 1 F 2, G} = {F 1, G} F 2 + F 1 {F 2, G}, (7) {F, {G, P }} + {G, {P, F }} + {P, {F, G}} = 0, pri čemu je S broj stupnjeva slobode sustava od N čestica. Ova se svojstva mogu pokazati izravnim uvrštavanjem u definicijsku jednadžbu Poissonovih zagrada (3.11). Relacija (7) se naziva Jacobijev identitet Zapis Hamiltonovih jednadžbi pomoću Poissonovih zagrada Sada ćemo pokazati čemu su jednake Poissonove zagrade poopćene koordinate i poopćene količine gibanja s hamiltonijanom, tj.: pri čemu vrijede jednadžbe: {q s, H} = = ( qs s =1 s =1 ( δ s,s H p s H p s H H ) p s ) 0 = H = (3.7) = q s, (3.12) p s ( ps H {p s, H} = H ) p s q s s p s p s =1 ( = 0 H H ) δ s,s p s s =1 = H = (3.7) = ṗ s, (3.13) = δ s,s, p s p s = δ s,s, p s = 0, p s = 0, (3.14) gdje smo s δ s,s označili Kroneckerov simbol: δ s,s = { 1, s = s ; 0, s s. 22
28 Koristeći Poissonove zagrade (3.12) i (3.13) lako se uočava da se Hamiltonove jednadžbe gibanja mogu zapisati u potpuno simetričnom obliku: q s = {q s, H}, ṗ s = {p s, H}. (3.15) Pomoću relacija (3.15) lako se mogu izračunati Poissonove zagrade izmedu poopćenih koordinata i poopćenih količina gibanja. Dobivamo: {q k, q l } = 0, {p k, p l } = 0, {q k, p l } = δ k,l. Znači, Poissonove su zagrade različite od 0 samo kada se odreduju izmedu poopćene koordinate i njoj pridružene poopćene količine gibanja. Sada ćemo još samo pokazati kako se može vremenska promjena proizvoljne funkcije f (q s (t), p s (t); t) zapisati pomoću Poissonove zagrade: d f dt = = ( f q s + f ) ṗ s + f p s t ( f H H ) f + f p s p s t = {f, H} + f t. Možemo uočiti da ukoliko funkcija f ne ovisi o vremenu t imamo da je: {f, H} = f t 3.5 Kanonske transformacije (3.16) Kao ni lagranžijan, ni hamiltonijan sustava nije jednoznačno odreden. Transformacije kanonskih varijabli koje ostavljaju invarijantnim Hamiltonove jednadžbe nazivaju se kanonskim transformacijama. U našem ćemo razmatranju prijeći sa naših poopćenih koordinata q s i p s (stare koordinate) na nove poopćene koordinate Q s i P s, pri čemu je s = 1, 2,..., S. Stare i nove koordinate su vezane jednadžbama: q s = q s (Q s, P s ), p s = p s (Q s, P s ). (3.17) Hamiltonijan zapisan pomoću novih koordinata izrazit ćemo pomoću H: H(Q s, P s ) = H(q s, p s ). 23
29 Ovakvu transformaciju ćemo zvati kanonskom ako i za nove varijable vrijede Hamiltonove jednadžbe gibanja (3.7), točnije ako vrijedi: P s = H, Q s Q s = H P s. Naš je zadatak odrediti pri kojim će uvjetima Hamiltonove jednadžbe biti invarijantne na transformacije (3.17), odnosno koje uvjete mora zadovoljavati ova transformacija da bi bila kanonska. Zbog jednostavnijeg zapisa pri odredivanju uvjeta koristit ćemo se Poissonovim zagradama. Račun ćemo početi s Poissonovim zagradama funkcija F (q s, p s ) i G(q s, p s ) napisanim pomoću novih varijabli: {F, G} Q,P = ( F Q s G G P s Q s ) F. ( ) P s Obzirom da su F i G funkcije starih koordinata q s i p s imamo: F Q s = F P s = ( F s =1 ( F s =1 p s + F Q s p s p s + F P s p s ) p s, Q s ) p s, P s G Q s = G P s = ( G s =1 ( G s =1 Uvrštavanjem gornjih izraza u ( ) i sredivanjem imamo: p s + G Q s p s p s + G P s p s ) p s, Q s ) p s. P s {F, G} Q,P [ s =1 s =1 F + F p s G G {q s, q s } Q,P + F {p s, q s } Q,P + F p s G {q s, p s } Q,P p s ] G {p s, p s } Q,P. p s Znači, ako su zadovoljene relacije: {q s, q s } Q,P = 0, {p s, p s } Q,P = 0, {q s, p s } Q,P = δ s,s, (3.18) tada su Poisssonove zagrade i u starim i u novim varijablama jednake, tj. vrijedi: {F, G} q,p = {F, G} Q,P. Nadalje, izračunajmo vremensku promjenu od q s. Kako q s ne ovisi eksplicitno o vremenu (q s = q s (Q s, P s )) tada je vremenska promjena varijable q s dana s: dq s dt = ( qs s =1 Q s 24 Q s + Q s ) P s. (3.19)
30 Takoder, tu istu vremensku derivaciju, koristeći jednadžbu (3.16), možemo zapisati pomoću Poissonovih zagrada: Zbog uvjeta (3.18) vrijedi: dq s dt = {q s, H(q s, p s )} q,p. {q s, H(q s, p s )} q,p = {q s, H(Q s, P s )} Q,P, čime dobivamo: dq s dt = {q s, H(Q s, P s )} Q,P = ( Q s s =1 H P s H Q s ). P s Ukoliko usporedimo gornju relaciju s (3.18) zaključujemo da vrijedi: Q s = H P s = {Q s, H}, P s = H = {P s, Q H}. (3.20) s Dakle, ukoliko su jednadžbe (3.18) zadovoljene, transformacija (3.17) će biti kanonska. Do istog zaključka možemo doći i ukoliko izračunamo vremensku promjenu od p s. Zaključujemo da su jednadžbe (3.18) uvjet na transformaciju (3.17) da bi ona bila kanonska (zato što i nove varijable Q i P zadovoljavaju Hamiltonove kanonske jednadžbe gibanja). Takoder, postoji još jedan način pronalaženja kanonske transformacije, a to je pomoću hamiltonijana. Da bi transformacija (3.17) bila kanonska potreban uvjet je važenje Hamiltonovog principa najmanjeg djelovanja (3.4) kako u starim, tako i u novim varijablama, tj. mora vrijediti: odnosno, [ t2 δ t 1 p s q s H ] [ t2 dt = δ t 1 P s Q s H [ t2 ] δ (p s q s P s Q s ) + ( H H) = 0, t 1 što će biti ispunjeno samo ako se podintegralne funkcije (L i L) u starom i novom djelovanju (akciji) razlikuju najviše do na potpunu vremensku derivaciju df funkcije F koja se naziva dt generator kanonske transformacije, tako da je: ] dt, df = (p s dq s P s dq s ) + ( H H) dt (3.21) Generatorska funkcija F je proizvoljna funkcija 4n + 1 nezavisnih varijabli - starih i novih kanonskih varijabli: q s, p s, Q s, P s i eventualno vremena t, od kojih su zbog transformacija (3.17) samo 2n + 1 nezavisne varijable. 25
31 Izbor nezavisnih varijabli dijeli generatore kanonskih transformacija F u 4 tipa: F 1 = F 1 (q 1, q 2,..., q S, Q 1, Q 2,..., Q S ; t), F 2 = F 2 (q 1, q 2,..., q S, P 1, P 2,..., P S ; t), (3.22) F 3 = F 3 (Q 1, Q 2,..., Q S, p 1, p 2,..., p S ; t), F 4 = F 4 (p 1, p 2,..., p S, P 1, P 2,..., P S ; t), Uzmimo sada da relacija (3.21) predstavlja potpunu vremensku derivaciju generatora F 1. To zapravo znači: H = H + F 1 t, p F 1 s, P s = F 1. Q s Prva od gornjih relacija omogućava da se nade novi hamiltonijan sustava kao funkcija od Q s, P s i t, dok druge dvije relacije omogućuju da se q s i p s izraze kao funkcije od Q s, P s i t. Drugi tipovi generatorskih funkcija su Legendreove transformacije od F 1. Na primjer, ( ) d F 1 + Q s P s = (p s dq s + Q s dp s ) + ( H H)dt F 2 = F 1 + P s Q s, pa time imamo: H = H + F 2 t, p s = F 2, Q s = F 1 P s. (3.23) Analogno imamo za F 3 : ( ) d F 1 q s p s = (q s dp s + P s dq s ) + ( H H)dt F 3 = F 1 p s q s, dok za F 4 vrijedi: ( d F 1 H = H + F 3 t, q s = F 3 p s, P s = F 3 Q s, q s p s + ) Q s P s = F 4 = F 1 (q s dp s Q s dp s ) + ( H H)dt p s q s + P s Q s, H = H + F 4 t, q s = F 4 p s, Q s = F 4 P s. Napomena: U matematici se transformacija H = H(q s, p s ; t) = p s q s L(q s, q s ; t), (s = 1, 2,..., S) naziva Legendreovom transformacijom. 26
32 3.6 Hamilton-Jacobijeva jednadžba Još jedna formulacija klasične mehanike, tzv. Hamilton-Jacobijeva 5 formulacija, zasniva se na postojanju kanonske transformacije koja maksimalno pojednostavljuje jednadžbe gibanja. U ovoj formulaciji mehanike, osnovna jednadžba Hamilton-Jacobijeva jednadžba, je parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda čije rješenje odreduje generator kanonske transformacije S 6, koji sve kanonske varijable transformira u konstante gibanja odredene početnim uvjetima. Razmotrimo kanonsku transformaciju odredenu generatorom tipa: F 2 = F 2 (q 1, q 2,..., q S, P 1, P 2,..., P S ; t) S, takvu da je novi hamiltonijan H jednak nula. Tada prema prvoj relaciji u (3.23) imamo: H = H + S t = 0, Q s = H P = 0, s P s = H Q = 0. (3.24) s Takva transformacija ima za rješenje: Q s = α s = const., P s = β s = const., (s = 1, 2,..., S). (3.25) Kako su prema (3.25) nove količine gibanja konstante, tražena genaratorska funkcija zadovoljava prema (3.23) relacije: S = S(q 1, q 2,..., β 1, β 2..., β S ; t) H = H + S t = 0, α s = S β s, p s = S. (3.26) Hamiltonijan je funkcija starih kanonskih varijabli, H = H(q 1,..., q S, p 1,..., p S ; t). Izrazimo li stare poopćene količine gibanja kao p s = S, prva od jednadbi (3.26) postaje Hamilton- Jacobijeva jednadžba: ( S t + H q s, S ), t = 0. (3.27) Hamilton-Jacobijeva jednadžba je očito parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda s nepoznatim generatorom S = S(q s, β s, t) kanonske transformacije, koji je funkcija od n Carl Gustav Jakob Jacobi, Zapravo, S je Hamiltonova principalna funkcija, a kako nam ona ujedno daje i željenu kanonsku transformaciju zove se još i generator kanonske transformacije. 27
33 nezavisnih varijabli q s i t, pri čemu tražena kanonska transformacija ima svojstvo da je transformirani Hamiltonijan jednak nuli. Jednadžba (3.27) je, prema (3.24), potpuno ekvivalentna Hamiltonovim jednadžbama gibanja. Kad se nade rješenje Hamilton-Jacobijeve jednadžbe, poopćene koordinate i količine gibanja odreduju se iz algebarskih relacija: Q s = S β s = α s, p s = S q s = q s (α 1, α 2,..., α S, β 1, β 2,..., β S ; t), p s = p s (α 1, α 2,..., α S, β 1, β 2,..., β S ; t), gdje 2n integracijskih konstanti (3.25) treba odrediti iz početnih uvjeta q 0 s i p 0 s. Generator S se naziva Hamilton-Jacobijeva funkcija ili Hamiltonova glavna funkcija. Hamiltonijan H je očuvana veličina ako, prema (3.10), ne ovisi eksplicitno o vremenu, tj. H = const. (H = E ako su veze stacionarne). Tada se Hamilton-Jacobijeva jednadžba (3.27) zamjenom: S = S Et može zapisati u obliku vremenski neovisne jednadžbe: ( H q s, S ) = E, (3.28) gdje se funkcija S naziva karakterističnom Hamiltonovom funkcijom, a E se podudara s energijom mehaničkog sustava. Za jednu česticu u Cartesiusovim koordinatama gornja jednadžba ima oblik: ( 1 S ) 2 ( + S ) 2 ( + S ) 2 + E p (x, y, z) = E, (3.29) 2m x y z gdje je s E p (x, y, z) označena potencijalna energija čestice. Hamilton-Jacobijeva jednadžba (3.27) ili (3.28), najčešće se rješava separacijom varijabli, tj. traženjem rješenja u obliku zbroja ili produkta funkcija samo jedne varijable: S = S 1 (q 1 ) + S 2 (q 2 ) + + S n (q n ) + S n+1 (t) ili S = S 1 (q 1 ) S 2 (q 2 )... S n (q n ) S n+1 (t), pri čemu je ideja zamjeniti parcijalnu diferencijalnu jednadžbu sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi. 28
34 3.6.1 Fizikalni smisao Hamilton-Jacobijeve funkcije Fizikalni smisao Hamilton-Jacobijeve funkcije S postaje jasan nademo li njenu potpunu derivaciju po vremenu: ds dt = S q s + S t = p s q s H = L, pa integracija od trenutka t 0 do t daje: S = t t 0 L(q 1, q 2,..., q S, q 1, q 2,..., q S, t) dt = I(t). Hamilton-Jacobijeva funkcija S zapravo predstavlja djelovanje (akciju) fizikalnog sustava s neodredenom gornjom granicom t. 29
35 4 Prijelaz na kvantnu mehaniku Jedan od glavnih razloga zašto se klasična mehanika objašnjava na način kakav je opisan u ovom radu je stvaranje kontakta s kvantnom mehanikom. U tu svrhu, u zadnjem poglavlju ovog rada prikazat ćemo vezu izmedu klasičnog i kvantnog svijeta i to ponajprije formalizmom Poissonovih zagrada koji omogućava relativno jednostavan prijelaz s klasične na kvantnu mehaniku. Umjesto klasičnih veličina (koje su općenito kompleksne funkcije) F, G,... za koje vrijedi komutativnost F G = GF, uvode se općenito nekomutativne kvantne veličine (operatori) ˆF, Ĝ,..., tako da je njihov komutator povezan s Poissonovim zagradama analognih klasičnih veličina F, G,... na sljede ći način: [ ˆF, Ĝ] ˆF Ĝ Ĝ ˆF = i {F, G}, gdje je i imaginarna jedinica, a 1, Js reducirana Planckova konstanta. Svakako valja primjetiti da ima dimenziju funkcije djelovanja S (umnožak energije i vremena). Za razliku od klasične mehanike, gdje je stanje sustava opisano točkom u faznom prostoru (q i, p i ), u kvantnoj je mehanici stanje sustava opisano valnom funkcijom ψ(q) unutar konfiguracijskog prostora. Opservable su, kako smo već naveli, operatori u prostoru valnih funkcija. Obično su operator položaja ˆq i i operator količine gibanja ˆp i zadani u obliku: ˆq i ψ(q) = q i ψ(q), ˆp i = i ψ q i, što nas vodi do poznatih komutacijskih relacija: [ˆq i, ˆq j ] = 0 [ˆp i, ˆp j ] = 0 [ˆq i, ˆp j ] = i δ i,j. 30
36 pri čemu je δ i,j Kroneckerov simbol. Dok se zapisom pomoću Poissonovih zagrada vrlo lako može doći do Heisenbergovog pristupa kvantnoj mehanici, Hamilton-Jacobijeva jednadžba je u uskoj vezi Schrödingerovoj valnoj jednadžbi. Operator Hamiltonove funkcije Ĥ je za jednodimenzionalan sustav jednak: Ĥ = ˆp2 2m + E p(ˆq), pa je tada Schrödingerova valna jednadžba za valnu funkciju ψ(q) dana s: i ψ t = Ĥ ψ, ili ukoliko uvrstimo izraz za operator hamiltonijana imamo: i ψ t = 2 2 ψ 2m q + E p(q)ψ 2 Ovisno o vrijednosti potencijalne energije E p, može se na primjer, ukoliko se za E p uzme elektrostatska potencijalna energija, koja u SI sustavu mjernih jedinica iznosi: E p (r) = 1 4πε 0 e r, dobiti Schrödingerova valna jednadžba vodikovog atoma: i ψ t = 2 2 ψ 2m q 1 2 4πε 0 e r ψ. 31
37 Dodatak A Slobodna čestica Za prvi primjer Hamilton-Jacobijeve teorije razmotrit ćemo gibanje jedne čestice izvan djelovanja sila. Prema (3.29) Hamilton-Jacobijeva jednadžba tada glasi: [ ( S ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 1 S S S 2m x y z t = 0. Potpuno rješenje ove jednadžbe lako možemo odrediti polazeći od integrala: [ t (x S = E k dt = mv2 2 t = 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 2 m x0 y y0 z z0 + + t. t t t 0 Znači potpuni integral je jednak: S = m 2t Putanju čestice daju nam jednadžbe: [ (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2]. S x 0 = p 0 x, S y 0 = p 0 y, S z 0 = p 0 z. Uvrstimo li tada vrijednost za S dobivamo: m t (x x 0) = p 0 x, m t (y y 0) = p 0 y, m t (z z 0) = p 0 z, odnosno, konačne jednadžbe gibanja su: x = x 0 + p0 x m t, pa ukoliko odredimo brzinu imamo: y = y 0 + p0 y m t, z = z 0 + p0 z m t, ẋ = p0 x m, ẏ = p0 y m, ż = p0 z m. Dakle, čestica se kreće s konstantnom brzinom, što je u skladu s elementarnim dinamičkim predodžbama. 32
38 Dodatak B Linearni harmonički oscilator Kao drugi primjer Hamilton-Jacobijeve teorije uzmimo jednodimenzionalni linearni harmonički oscilator. Kako je hamiltonijan zbroj kinetičke i potencijalne energije to je hamiltonijan za harmonički oscilator dan s: H = 1 2m p kq2, gdje je s q označen pomak čestice u trenutku t. Time dobivamo Hamilton-Jacobijevu jednadžbu: 1 2m Prvo možemo uvesti nezavisnu funkciju S: ( ) 2 S + 1 q 2 kq2 + S t = 0. S = S Et, koja zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu: ( 1 2m S q ) kq2 = E. Ta se jednadžba, prema gornjoj Hamilton-Jacobijevoj jednadžbi, može integrirati, jer je: S q = 2m (E 12 ) kq2 pa nam je S jednak: a principalna funkcija je: S = 2m (E 12 ) kq2 dq, S = 2m (E 12 ) kq2 dq Et. 33
39 Nije potrebno rješavati neodredeni integral, jer nam putanju čestice kod harmoničkog oscilatora odreduju parcijalne derivacije principalne funkcije po parametrima: β = S m E = dq t. k 2E k q2 To je nakon integracije jednako: m k t + β = k arccos 2E q ili q = a to se zapravo slaže s poznatim oblikom: 2E k k cos (t + β), m q = A cos ω(t + β), 2E k pri čemu je amplituda A dana s A =, a frekvencija titranja je jednaka ω = k m. 34
40 Zaključak Kako je rečeno u samom uvodu ovog rada, Newtonova je mehanika kompletna i logički konzistentna teorija, koja ima izuzetno široku primjenu. Medutim, postoje slučajevi gdje se ispostavilo da ona i nije izvediva. To su slučajevi pri vrlo velikim brzinama, tj. kod brzina koje prelaze granice klasičnih veličina i približavaju se brzini svjetlosti (c ms 1 ). Na temelju takvog razmatranja je Lagrange izveo svoju formulaciju mehanike. Možemo zaključiti da njegova formulacija klasične mehanike u jednadžbama koje opisuju kretanje, sadrži skalarne veličine energiju i rad, pri čemu se takva formulacija razlikuje od Newtonove koja u jednadžbama gibanja sadrži vektorske veličine impulsa i sile. Lagrangeove jednadžbe gibanja su zapravo diferencijalne jednadžbe drugog reda i ima ih n, odnosno ima ih onoliko koliko ima čestica u sustavu. Svakako treba zaključiti da se Lagrangeove jednadžbe ne razlikuju od Newtonovih ukoliko se promatra ista pojava, odnosno Lagrangeov i Newtonov formalizam su ekvivalentni za istu pojavu. U trećem dijelu rada je izveden Hamilton-Jacobijev formalizam. Kako je gore navedeno, ukoliko promatramo sustav koji se sastoji od n čestica onda će isto toliko biti i Lagrangeovih jednadžbi gibanja. Medutim, one su diferencijalne jednadžbe drugog reda. Upravo to je navelo Hamiltona da izvede svoje kanonske jednadžbe gibanja. Tih jednadžbi ima dvostruko više nego Lagrangeovih (dakle, 2n), ali su one diferencijalne jednadžbe prvog reda. Time su zapravo jednadžbe rješive s nevjerojatnom lakoćom. Treba još samo spomenuti da su i te jednadžbe ekvivalentne Newtonovim jednadžbama ukoliko se promatra isti sustav. 35
41 Literatura [1] Antunović, Ž., Klasična mehanika Skripta, Izvor: [2] Goldstein H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, [3] Glumac, Z., Klasična mehanika Uvod, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, [4] Spiegel M., Theory and Problems of Theoretical Mechanics with an Introduction to Lagranges Equations and Hamiltonian Theory, McGraw-Hill, New York, [5] Supek I., Teorijska fizika i struktura materije 1, VI. izdanje, Školska knjiga, Zagreb, [6] Taylor, John R., Classical Mechanics, University Science Books, [7] [8] 36
ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationImpuls sile i količina gibanja
Impuls sile i količina gibanja FIZIKA PSS-GRAD 25. listopada 2017. 7.1 Teorem impulsa sile i količine gibanja sila vrijeme U mnogim slučajevima sila na tijelo NIJE konstantna. 7.1 Teorem impulsa sile i
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationTemeljni koncepti u mehanici
Temeljni koncepti u mehanici Prof. dr. sc. Mile Dželalija Sveučilište u Splitu, Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i kineziologije Teslina 1, HR-1000 Split, e-mail: mile@pmfst.hr Uvodno Riječ
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationPrimjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih i rubnih uvjeta
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: PROFESOR FIZIKE I INFORMATIKE Ivan Banić Diplomski rad Primjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationFOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU Preddiplomski sveučilišni studij fizike FOURIEROVE PREOBRAZBE- PRIMJENA U FIZICI Završni rad Anton Aladenić Osijek, 2014. SVEUČILIŠTE JOSIPA
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationImpuls sile i količina gibanja
Impuls sile i količina gibanja FIZIKA PSS-GRAD 25. listopada 2017. 7.1 Teorem impulsa sile i količine gibanja sila vrijeme U mnogim slučajevima sila na tijelo NIJE konstantna. 7.1 Teorem impulsa sile i
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationSimetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014 Sveučilište
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationZlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0)
Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Asistenti doc. dr. sc. Ivan Kodrin dr. sc. Igor Rončević Literatura A. R. Leach, Molecular Modelling, Principles and Applications, 2. izdanje, Longman,
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationSimulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python
Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Vladimir Milić Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb, 19. siječnja 2017. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb,
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationSeminarski zadatak iz Kvantne fizike
Seminarski zadatak iz Kvantne fizike Vinko Šuria. velače 00. Fizički odsek Prirodoslovno - matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Bienička, 0 000 Zagreb, Hrvatska Zadatak 7. Neka e potencialna energia
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationelektrična polja gaussov zakon električni potencijal
električna polja gaussov zakon električni potencijal Svojstva električnih naboja - Benjamin Franklin (1706-1790) nizom eksperimenata pokazao je postojanje dvije vrste naboja: pozitivan i negativan - pozitivan
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationATOMSKA APSORP SORPCIJSKA TROSKOP
ATOMSKA APSORP SORPCIJSKA SPEKTROS TROSKOP OPIJA Written by Bette Kreuz Produced by Ruth Dusenbery University of Michigan-Dearborn 2000 Apsorpcija i emisija svjetlosti Fizika svjetlosti Spectroskopija
More informationCauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationStandard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections
Original Scientific Paper Received: 24-1 1-201 7 Accepted: 06-01 -201 8 Standard Parallel and Secant Parallel in Azimuthal Projections Miljenko LAPAI NE University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Kačićeva
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationRenormalizacijske grupne jednadžbe za kvantnu elektrodinamiku i kvantnu kromodinamiku
Renormalizacijske grupne jednadžbe za kvantnu elektrodinamiku i kvantnu kromodinamiku Marija Mador-Božinović, F-3851 Fizički odsjek, PMF, Bijenička c. 3, 1 Zagreb Sažetak U seminaru su proučavane renormalizacijske
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Krešimir Duvnjak. Zagreb, 2016.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Krešimir Duvnjak Zagreb, 2016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentor: Doc. dr. sc. Ivica
More informationSveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Mario Berljafa, Sara Muhvić, Melkior Ornik Računanje Gaussovih integracijskih formula za sažimajuću bazu Zagreb, 2011. Ovaj rad izraden je na Zavodu
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationDr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.
Dr. Željko Jurić: Matematička logika i teorija izračunljivosti Radna skripta za istoimeni kurs na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2015/16) Funkcijske relacije i funkcije (preslikavanja)
More informationELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationFabijan Prević DOPPLEROV EFEKT U UBRZANOM SUSTAVU I ODREDIVANJE UBRZANJA IZVORA ZVUKA. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK Fabijan Prević DOPPLEROV EFEKT U UBRZANOM SUSTAVU I ODREDIVANJE UBRZANJA IZVORA ZVUKA Diplomski rad Zagreb, 016. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationSvjetlost, svuda, svjetlost oko nas (pardon, elektromagnetsko zračenje) Uvod u spektroskopiju Predavanje 2
Svjetlost, svuda, svjetlost oko nas (pardon, elektromagnetsko zračenje) Uvod u spektroskopiju Predavanje 2 Osnove optike Što je to svjetost? I. I. Newton (1704 g.) "Opticks Čestice (korpuskule) Svjetlost
More informationRacionalne Diofantove šestorke
Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan
More informationZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an
More information