MATRIČNI PRISTUP METODI SILA
|
|
- Aldous Porter
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, Anita Mutabdžić
2 ZNANSTVENO PODRUČJE : ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: TEHNIČKE ZNANOSTI DRUGE TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA (MEHANIKA KRUTIH I DEFORMABILNIH TIJELA) ZAVRŠNI RAD Sveučilišni preddiplomski studij Pristupnica treba prikazati metodu sila matrični pristup rješavanja jednadžbi u istoj. Treba pokazati i sve načine skraćivanja jednadžbi metode sila, a posebno obratiti pažnju na simetriju i antisimetriju. Treba dati po dva rješena primjera za svaki slučaj koji opisuje. Rad treba sadržavati tekstualni dio, grafičke priloge, te popis literature i internet stranica sa koji su prikupljeni podatci za rad. Rad treba izraditi u 3 primjerka (original + 2 kopije), ukoričene u A4 format. Osijek, 2014 Mentorica: Prof. dr. Silva Lozančić Predsjednica Odbora za Završne i diplomske ispite: prof.dr.sc.mirjana Bošnjak-Klečina 1
3 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD METODA SILA Pravilo predznaka Primjer Primjer : Primjer Primjer SIMETRIJA I ANTISIMETRIJA U METODI SILA Jednadžbe kompatibilnosti kod simetričnih sistema Simetrične i antimetrične parne nepoznanice Primjer ZAKLJUČAK : IZVORI
4 1. UVOD Tema ovog završnog rada je metoda sila.metoda sila je postupak riješavanja statičkih neodređenih sustava koje ne možemo proračunati samo pomoću statičkih uvijeta ravnoteže. Statički neodređeni sustavi se razlikuju od statički određenih sustava po tome, što se kod njih javljaju i prekobrojne veze, povrh onih veza, koje su potrebne da bi se dobio nepromenljivi statički određeni sustav. Kroz sadržaj rada upoznat ćemo se bolje o postupcima metode sila, odnosno načinima riješavanja problema neodređenih sustava. Upoznat ćemo se sa izrazima za momente i sile proći ćemo kroz proračun sa jednom i sa dvije statički neodređene veličine. Zatim kako temperatura utiječe na statički neodređeni sustav, te slučaj simetrije i asimetrije. Te pojednostavljenje jednadžbe u slučaju velikog broja nepoznanica, numeričke primjere pojedinih slučajeva te gdje se najčešće primjenjuje. 3
5 2. METODA SILA Metoda sila je metoda proračuna statički neodređenih sistema u kojoj su nepoznanice sile i momenti. Zadani se statički neodređeni sistem u proračunu zamjenjuje osnovnim sistemom koji nastaje tako da se na zadanom sistemu raskine stanoviti broj vanjskih ili unutarnjih veza.raskinute se veze nadomještaju odgovarajućim silama ili momentima kako bi se povratio narušeni kontinuitet. Osnovni sistem mora biti geometrijski nepromjenjiv, a najčešće je i statički određen. Odstranjivanje prekobrojnih veza iz nekog statički neodređenog sistema može se izvršiti na više raznih načina, tako da i osnovni sistemi mogu biti različiti. Ovo se jasno vidi na sl.1 gdje je prikazan jedan rešetkasti dvaput statički neodređeni nosač. On se može svesti na osnovni, statički određeni sistem na više načina: Slika.1- Prikaz rešetkastog nosača 4
6 1) Odstranjivanjem dvaju srednjih oslonaca (sl1.a) pretvaramo sistem u rešetkastu prostu gredu na dva oslonca, sa dvjema nepoznatim silama X1 i X2 2) Odstranjivanjem dva štapa ab i cd (sl.1b) dobijamo osnonvni sistem od tri rešetkaste proste grede sa nepozanim silama Y1 i Y2 3) Odstranjivanjem štapa ef i oslonca 2 (sl.1c) dobijamo osnovni sistem koji se sastoji iz proste grede s prepustom I sa još jednom prostom gredom, na koje djeluje dopunske, nepoznate sile Z1 i Z2 Osnovne jednadžbe metode sila dobivaju se iz uvjeta neprekinutosti na mjestima raskinutih veza, pa se te jednadžbe nazivaju i jednadžbama neprekinutosti, kontinuiteta ili kompatibilnosti. Prvi korak u rješavanju sustava metodom sila nam je da od početnog statički neodređenog sustava napravimo statički određeni sustav, osnovni sistem. To ćemo učiniti tako da maknemo prekobrojnu vezu, pri tome pazeći da sustav ne pretvorimo u mehanizam. Sljedeći korak je riješitit statitčki određeni sistem, čime dobivamo unutarnje sile Mo i No Posljedica uklanjanja prekobrojnih veza je ta da progibna linija osnovnog sustava ne odgovara progibnoj liniji stvarnog sustava. 2.1 Pravilo predznaka Izbor smjera sila i momenata, koji se uvode u osnovni sistem kao zamjena za odstranjene prekobrojne veze možemo izvesti proizvoljno. Pravi smjer nepoznatih sila određuje znak koji dobijamo u krajnjem rezultatu. Ako dobijemo rezultat s pozitivnim znakom, to nam pokazuje da je unaprijed uzeti smjer bio dobro pogođen, negativni znak u rezultatu znači da je stvarni smjer tražene sile ili momenta suprotan od smjera koji smo na početku pretpostavili, pa ga treba preokrenuti. Ako u sistemu ima više zatvorenih kontura (sl.2) onda se i znaci momenta u pojedinim štapovima određuju tako što promatrač postupno prelazi iz jedne zatvorene konture u drugu. Na taj način moment u srednjem štapu ima prema konturi I pozitivan znak, a u odnosu na konturu II negativan. Transverzalne sile u tom istom štapu imaju za obje konture jedan te isti znak. 5
7 Pozitivnim pravcem aksijalnih sila smatra se za bilo koje pravac i nagib osi štapova onaj slučaj, kad sila prelazi iz presjeka štapa. Slika 2. Prikaz zatvorene konture Uklonjene prekobrojne veze moramo nadomjestiti generaliziranim silama i X čiji će iznosi biti točno takvi da osiguraju podudaranje progibnih linija ili neprekinutost polja pomaka. Ako smo oslobodili translacijski pomak vezu ćemo nadomjestiti silom na mjestu i na pravcu oslobođenog pomaka, a ako smo oslobodili zaokret vezu ćemo nadomjestiti momentom. Uklanjanjem prekobrojnih veza oslobađa se par sila, ali ako oslobodimo vezu koja spaja element s podlogom, druga sila djeluje na nepomičnu podlogu te je izostavljamo iz proračuna. Vrijednosti prekobrojnih sila i X izračunat ćemo iz uvjeta iščezavanja pomaka njihovih hvatišta. Uvjeti kompatibilnosti pomaka ne mogu se zadovoljavati pojedinačno, jer svaka prekobrojna sila utječe na pomake hvatišta svih prekobrojnih sila, pa se rješenje dobiva rješavanjem sustava jednadžbi: n (δ i,j X j + δ i,0 = 0) j=1 i = 1. n 6
8 Te jednadžbe nazivamo jednadžbama kompatibilnosti. Uδ i, j prvi indeks, i [1,n], označava da je riječ o pomaku hvatišta sile Xi po pravcu njezina djelovanja. Drugi indeks,j [1,n], je oznaka sile Xj koja je uzrokovala taj pomak. δ i,0 je pomak hvatišta sile Xi uzrokovan vanjskim djelovanjem. Pomake δ i,j i δ i,0 računamo primjenom jedinične sile. Na mjestu i u smjeru svake prekobrojne veze stavimo jediničnu silu i odredimo dijagrame unutarnjih sila mi. Pomak na mjestu i u smjeru jedinične sile tada će biti δ i,j = (e) le 0 m i (ξe)m j (ξe) EI(ξe) + n i ( ξe)n j (ξe) dx EA(ξe) δ i,0 = (e) le 0 m i (ξe)m 0 (ξe) EI(ξe) + n i ( ξe)n 0 (ξe) dx EA(ξe) pri čemu se zbroj proteže po svim elementima sistema, a ξe označava lokalne koordinatne osi pojedinih elemenata. Uvrštavanjem pomaka i rješavanjem sustava jednadžbi kompatibilnosti dobijemo vrijednosti prekobrojnih sila X i Pretpostavljamo statičku linearnost, tj. Da se uvjeti ravnoteže vanjskih i unutarnjih sila postavljaju na nedeformiranoj konstrukciji, a njena je posljedica linearnost uvjeta ravnoteže. Uz to pretpostavljamo i materijalnu linearnost, tj. Da je odnos unutarnjih sila i odgovarajućih deformacijskih sila linearan. Tada konačne vrijednosti unutarnjih sila u statički neodređenom sistemu možemo izračunati kao algebarski zbroj vrijednosti tih veličina u osnovnom sistemu uzrokovanih vanjskim silama i onih uzrokovanih prekobrojnim silama: M(x) = M 0 (x) + n i=1 X i m i (x) 7
9 T(x) = T 0 (x) + N(x) = N 0 (x) + n i=1 X i n i=1 X i t i (x) n i (x) 2.2 Primjer Računamo reakcije za dva raspona kontinuiranog opterećenja. EI=const. 8
10 Ds = 2, Rb, Rc 1L = 1 EI [ 120 x 5 6 = / EI 2L = 1 EI [ 120 x 5 6 = / EI δ11 = 1 EI [1 3 δ12 = δ21 = 1 EI [1 6 δ22 = 1 EI [1 3 (2 x ) + (2 x ) + x 10 x 10 x 10] = EI 10 x 10 6 HL x 15 6 (2h1 + h2) {2 x ( 180) + ( 60)} ] (2 x ) ] hhl x 10 x 10 (2 x )] = 2500 EI x 20 x 20 x 20] = EI 3 [δ] = 1 3EI [ ] koristimo, [P] = [δ]-1 {[ ] [ L]} [ ] = 0 neto pomaci nula [ p ] = - 3EI [1000 p ]-1 [ 9500/EI 25750/EI ] = [ ] tj. P1= Rb= kn & P2=Rc= 3.43 kn 9
11 2.3Primjer : Metodom sila riješiti zadani sustav i nacrtati dijagram momenta savijanja, ako je h=3/2l I1=2I2, q = 1,0 l = 6,0 Možemo za ovaj nosač konstatirati da je jedanput statički neodređen. Osnovni sistem ćemo ovdje najpogodnije dobiti ako ležaj B oslobodimo horizontalne veze i nadomjestimo je silom X1 u pravcu te veze. Za jediničnu silu X1 = 1 imamo dijagram momenta savijanja slici 2,1 pa ćemo kombinacijom momentnih ploha dobiti jedinični dijagram. Slika 2.1 Prikaz dijagrama momenta savijanja opterećenog vanjskim silama δ11 = 2 1 * EI1 *h² 2 *2h + 1 *h * l* h 3 EI2 δ11 = 1 E (2h³ 3I1 + h²l I2 ) Kada uvrstim vrijednosti dobijemo da je δ11 = 2 9³ + 9² 6 = 972,
12 Prikaz dijagrama momenta savijanja od jediničnog opterećenja Pošto kombinacija dijagrama momenta od stvarnog i jediničnog opterećenja nije najjednostavniji, pomak ćemo odrediti integracijom: Sada će se odrediti pojedini pomaci, u obzir će se uzeti samo prvi dio izraza koji predstavlja utjecaj momenata na pomak, tako da koeficijenti imaju sljedeći oblik : 6 0 δ 11 = M x1 M x1 E I 6 0 dx odnosno E * I * δ 11 = M x1 M x1 * dx 6 0 Δ 1P = M x1 M p E I 6 dx odnosno E * I * Δ 1P = M x1 M 0 p * dx Kako bi se pojednostavilo riješavanje ovih integrala koristi se pravilo Vereščagina, koje za riješavanje integrala oblika : x 0 M x1 M x2 * dx Izračuna se površina prvog dijagrama M x1 koja se onda množi s ordinatom na drugom M x2,koja se nalazi ispod težišta prvog dijagrama. Važno je istaknuti kako vrijedi I obrnuto 11
13 množenje,ali samo za slučaj kada su dijagrami pravolinijski. Množe se samo oni dijelovi dijagrama koji se preklapaju Δ 1P = 1 E ( 5 q h4 24 I + q h3 6 ) = ³ 6 = 1366, ,5 = 2460,37 4 I 24 4.Koeficijenti potrebni za formiranje sustava jednadžbi elastičnosti za ovaj primjer su: Uvrštavanjem u prednji izraz za x1 dobijamo: x1 = - 1p δ11 x1 = - qh 8 I1 5h+6l I2 2h+3l I1 I2 Za slučaj gdje je I1 = I2 x1 = 13 ql = 0,406 ql 32 Za q=1,0 i l= 6 numerička vrijednost sile iznosi : x1 =2,44 Dobivena vrijednost x1 označava vrijednost reakcije Bh, ostale vrijednosti reakcija dobivamo iz osnovnog sustava koji je statički određen iz jednadžbi ravnoteže. 12
14 Vrijednosti reakcija su : Bh = 2,44 kn Ah = q h Bh =9-2,44 = 6,56 kn 13
15 Av = Bv = q h ² 2l = 1 9² 2 6 = 6,75 kn Mc = Ah h q h² 2 = 6, ² 2 = 18,54 knm Md = Bh h = 2,44 9 = 21,96 knm 2.4 Primjer Zadana je obostrano upeta greda sa kontinuiranim opterećenjem q = 5 kn/m EI = 10² knm² l= 6m δ 11 = δ22 = 1 I 2 δ 21 = 1 I δ 13 = δ23 = δ12 = 0 1,0/EI δ 11 = δ22 = ,0 10 ² = 0,02 1,0/EI δ 21 = , = 0,01 gl² 2 p1 = p2 = l 1 5 6² /EI p1 = p2 = δ 33 = 1 l/ea δ 33 = = 0,06 δ 31 = δ 32 = 0 p3 = = 0,45 14
16 Jednadžba neprekidnosti glasi : δ11 δ12 δ13 X1 p1 [ δ21 δ22 δ23] [ X2] = [ p2] δ31 δ32 δ33 X3 p3 0,02 0,01 0 X1 0,45 [ 0 0,02 0 ] [ X2] = [ 0,45] 0 0 0,06 X3 0 X1 = Riješenje : X3= 0 X2= 0,45 0,02 = 22,5kN 0,02X1 + 0,01X2= 0,45 0,01 22,5+0,45 0,02 = 11,25 kn 2.5 Primjer Stupanj statičke neodređenosti je tri. Opterećenje je koncentrirana sila od 4,0kN modul elastičnosti E i moment tromosti I su konstantni. 15
17 δ11 X1 + δ12 X2 + δ13 X3 + 1p = 0 δ21 X1 + δ22 X2 + δ23 X3 + 2p = 0 δ31 X1 + δ32 X2 + δ33 X3 + 3p = 0 Dijagrami momenata na osnovnom sustavu od jediničnih sila, jediničnog momenta i vanjskog opterećenja E I δ11 = = 36,0 E I δ12 = E I δ21 = = 13,5 E I δ13 = E I δ31 = = 13,5 16
18 E I δ22 = = 9,0 E I δ23 = E I δ32 = = 4,5 2 E I δ33 = = 6,0 E I 1p = 1 1,5 6,0 ( ) + 3 ( 6,0) 3,0 = 65, E I 2p = 1 2 3,0 3 ( 6,0) = 27,0 E I 3p = 1 2 1,5 6 1,0 3 6,0 1,0 = 22,5 Sustav jednadžbi izgleda: δ11 δ21 δ31 X1 1p D =[ δ12 δ22 δ32] [ X2] = [ 2p] δ13 δ23 δ33 X3 3p 36 13,5 13,5 X1 62,25 [ 13,5 9 4,5 ] [ X2] = [ 27 ] 13,5 4,5 6 X3 22,5 Množimo drugi redak sa -3 i zbrajamo sa prvim. 4,5 13,5 0 18,5 [ 13,5 9 4,5]=[ 27 ] 13,5 4,5 6 22,5 Množimo treći redak sa -0,75 i zbrajamo sa drugim. 4,5 13,5 0 18,75 [ 3,375 5,625 0]=[ 10,125] 13,5 4,5 6 22,5 Množimo drugi redak sa 2,4 i zbrajamo sa prvim. 3, ,55 [ 3,375 5,625 0]=[ 10,125] X1 = 5,55 = 1,54 kn 3,6 13,5 4,5 6 22,5 3,375 1,54 + 5,625X2 = 10,125 X2 = 5, ,125 5,625 = 2,75 kn 13,5 1,54 + 4,5 2,75 + 6X3 = 22,5 X3 = 20,79+12,375+22,5 6 Ma = X3 = 9,28 knm Ra = X2 = 2,75 kn Ra =X1 = 1,54 kn = 9,28 knm 17
19 Moment u pojedinim točkama se traži iz izraza : Mx = Mᵖx + Mx1 X1 + Mx2 X2 + Mx3 X3 Vrijednosti momenata u označenim presjecima su : MA = ,0 ( -1,875 ) = -1,875 knm MB = 0 + 1,5 2, ,0 ( -1,875 ) = 1,6875 knm MC = -6, , ,0 ( -1,875 ) = -0,75 knm MD = -6, , ,375+ 1,0 ( -1,875 ) = 0,375 knm 18
20 3. SIMETRIJA I ANTISIMETRIJA U METODI SILA Pojednostavljenje proračuna metodom sila korištenjem osi simetrije nosača, smanjujemo opseg proračuna. Uvjet korištenja simetrije je geometrijska i fizikalna simetrija (materijalna). Svako opterećenje možemo prikazati kao zbroj simetričnog i antisimetričnog.prvi način korištenja simetrije je uvođenje simetričnih i antisimetričnih nepoznanica.(sl.3.1) Slika Prikaz nepoznanica Rješavanje sistema jednadžbi je velik i dugotrajan posao čim je sistem više od dva puta statički neodređen. Taj posao postaje sve veći i teži, kako se broj nepoznanica povećava. X1*δk1 + X2*δk2 + +Xkk*δn + Xn*δkn + Δkp=0 (1) Broj članova u tim jednadžbama se može smanjiti samo ako su neke od nepoznanica Xk jednake nuli ili ako su neki od koeficijenata δkm jednaki nuli. 19
21 Usporedivši dijagrame momenata izazvane jediničnim opterećenjem na osnovnom sistemu, možemo doći do zaključka da će sporedni pomaci δ23= δ32 i δ13= δ31 biti jednaki nuli. Sporedni pomaci nastaju kombinacijom dijagrama od simetričnih i antisimetričnih nepoznanica. 20
22 3.1. Jednadžbe kompatibilnosti kod simetričnih sistema Kod sistema simetričnih u geometrijskom i elastičnom smislu, simetrično i nesimetrično opterećenje uzrokuje simetrične i nesimetrične deformacije, a takve iste i linije unutarnjih sila i momenata. Ovo isto važi i za slučaj kad na simetrični sistem djeluju sile i momenti kojima zamjenjujemo odstranjujemo prekobrojne veze, jer su te sile i ti momenti po svojem djelovanju na osnovni sistem isti kao i vanjske sile. Simetrične nepoznate sile i momenti koji djeluju u presjecima odvojenih štapova, uvijek imaju smjerove simetrične ili nesimetrične u odnosu na presjek, budući da je to uvjet za njihovu ravnotežu u presjeku (sl.4). Moment i normalna sila su simetrični, dok je transverzalna sila obratno simetrična ( nesimetrična ). Iz ovog proističe sljedeće : ako presjek leži u osi simetrije sistema, onda će momentna linija, odnosno linije normalnih i transverzalnih sila, koje djeluju na presjek biti simetrične, odnosno nesimetrične. Zahvaljujući ovom promjene izazvane simetričnim utjecajima na pravcima nesimetričnih utjecaja postaju jednaka nuli. Slika 4 Prikaz simetričnih nepoznatih sila 21
23 Da bismo ovo bolje razumjeli, razmotriti ćemo pitanje: Gdje treba napraviti presjek okvira prikazanog na slici, kako bi se bar jedan dio pomicanja (koeficijenta u jednadžbama kompatibilnosti) pretvorilo u nulu? Okvir ima dvije geometrijske osi simetrije i jednu os elastične simetrije. Načelno govoreći mi možemo izabrati bilo koji položaj presjeka, ali ako želimo da nam se bar jedan dio izjednači sa nulom, onda presjek treba da leži na osi geometrijske i elastične simetrije. Iz skupnog promatranja dijagrama jasno se vidi da su pomaci δ12 = δ21 = δ13 = δ31 =0 Prema tome, razdvajanjem zatvorenog okvira (sl.4) po osi geometrijske i elastične simetrije postižemo to da nam se jedan dio pomaka pretvara u nulu, a time dobivamo da nam se prvobitni sistem od tri nepoznanice raspada na dvije grupe, simetričnim i nesimetričnim nepoznanicama: X1 δ11 = - Δ1p X2 δ22 + X3 δ32 = - Δ2p X2 δ23 + X3 δ33 = - Δ3p 3.2. Simetrične i antimetrične parne nepoznanice Kod nekih simetričnih sistema izbor osnovnog sistema prati uvođenje u sistem nepoznatih simetričnih po svom položaju, ali ne i jednakih po svojim veličinama (sl.5). Stoga bočna pomicanja koja povezuju te nepoznanice, nisu jednaka nuli. U ovakvim slučajevima postižemo pretvaranje u nulu bočnim pomicanjima razlaganjem svake dvije simetrične nepoznanice na nove parne nepoznanice od kojih je jedan par simetričan, a drugi antimetričan. Obje nove nepoznanice moraju zadovoljiti uvijete : Y1 + Y 3 = X1 Y1 - Y 3 = X3 Ovakvo razlaganje je uvijek ostvarljivo jer je ono zadovoljeno jednom od mogućih veličina neponanica : 22
24 1 Y1 = 2 (X1 + X3 ) i 1 Y3 = (X1 - X3 ) 2 Slika 5.- Prikaz simetričnih sistema Slika 6.- Prikaz dijagrama Naprimjer, u isti taj sistem ( sl.4 ) ulazi osim nepoznatih Y1 i Y3 još i nepoznanica X2 koja leži simetrično, pa stoga se u jednadžbama koje sastavljamo za taj sistem, izjednačuju sa nulom i bočna pomicanja δ23 = δ32 ( sl.6). Zahvaljujući tome, jednadžbe se raspadaju na dvije grupe : Y1 δ11 + X2 δ12 = - Δ1p Y1 δ21 + X2 δ22 = - Δ2p Y3 δ33 = - Δ3p Pomicanja δ koja ulaze kao koeficijenti pored nepoznanica u ove jednadžbe izračunavamo iz jediničnih dijagrama ( linija ) od parnih nepoznanica, prema istim dijagramima pronalazimo i konačne momentne linije : M =Mº + M1* Y1 +M2* X2 + M3* Y3 23
25 3.3. Primjer Za dati nosač odrediti : Dijagrame horizontalnih pomjerana točaka poteza a b c d Rješenje : Horizontalna pomjerana čvorova a b c d postoje samo u slučaju antisitmetrične deformacije nosača Nosač u slučaju antisimetrične Osnovni sistem : deformacije : 24
26 Utijecaj vanjskog opterećenja : Stanje X1 = 1 Stanje X2 = 1 Stanje X3 = 1 Koeficijenti su : EI δ11 = ( ) , ³ = EI δ22 = ( 1 1, ) EI δ33 = ³ = ³ = 166,667 25
27 EI δ12 = ( ,5 ) = EI δ13 = EI δ23 = = 62.5 Slobodni članovi : EI δ10 = 5 5 ( 250) ( 750) 1, ( 1250) 2 = EI δ20 = 5 5 ( 750) 1, ( 1250) 2 = EI δ ( 1250) 2 = Matrica metode sila i njihova rješenja : [ 312,5 145,833 62,5 145, ,666 62,5 62,5 62,5 76,389]*[ X1 X2 X3 [ ] ]= Množimo drugi redak sa -1 i zbrajamo sa prvim. 166,66 20, [ 145, ,666 62,5 ] = [ 28125] 62,5 62,5 76, Djelimo treći redak sa -1,2224 i zbrajamo sa drugim. 166,66 20, [ 94,7 115,54 0 ] = [ 15342,77] 62,5 62,5 76, Djelimo drugi redak sa 5,5468 i zbrajamo sa prvim. 183, ,05 [ 94,7 115,54 0 ] = [ 15342,77] X1 = 9016,05 = 49,071kN 183,74 62,5 62,5 76, ,7 49, ,54 X2 = 15342,77 X2 = 4647, ,77 115,54 X3 = 62,5 49,071 62,5 92, ,389 Konačni dijagram momenta savijanja : = 88,662 kn M = Mo + 49,071 * M1 +92,565*M2 + 8,662*M3 = 92,57 kn 26
28 27
29 4. ZAKLJUČAK : Kao što smo primjerima u prethodnom sadržaju pokazali, u proračunu metodom sila zadani se statički neodređeni sistem zamjenjuje osnovnim sistemom. Osnovni sistem nastaje tako da se u zadanom sistemu raskine određeni broj vanjskih ili unutarnjih veza. Umjesto njih na sistem se nanose pomoćne sile koje su te veze prenosile. Broj raskinutih veza ne smije biti veći od stupanja statičke neodređenosti, ali može biti manji, što znači da osnovni sistem ne mora biti statički određeni, iako se takav najčešće odabire. Bitno je, međutim da osnovni sistem bude geometrijski nepromjenjiv. Sile i momente te parove sila i momenata, uvedene umjesto raskinutih veza nazivamo statički neodređenim veličinama, prekobrojnim veličinama ili jednostavno prekobrojnim silama. Njihove su vrijednosti na početku proračuna nepoznate. Te smo nepoznanice označili sa X i, i =...n gdje je n broj raskinutih veza. Kako su vrijednosti pomoćnih sila osnovne nepoznanice proračunski je postupak nazvan metodom sila. Izbor osnovnog sistema bitno utječe na složenost i trajanje proračuna metodom sila. Usporedimo li izraze za geometrijsku integraciju ( primjena Vereščaginova teorema ) u izračunavanju vrijednosti pomaka i kutova zaokreta izazvanih silom P na tri osnovna sistema za jednostrano upetu gredu, možemo zaključiti da je taj izraz najdulji i najsloženiji za prostu gredu. Budući da je izračunavanje vrijednosti pomaka gotovo uvijek najdugotrajniji i greškama svakako najpodložniji korak. Osnovni sistem treba izabrati tako da integracijski postupak bude što kraći i jednostavniji. Nažalost, teško je, pa i nemoguće sastaviti kuharicu i dati opći, uvijek primjenjiv recept. No, svakako će pomoći ako momenti savijanja na većem dijelu sistema iščezavaju, pogodno je također i da se položaji lomova i skokovi na dijagramu Mo i mi podudaraju, treba pokušati iskoristiti i simetriju ili djelomičnu simetriju sistema. 28
30 Osnovne jednadžbe u metodi sila nazivamo: jednadžbama kompatibilnosti, jednadžbama kontinuiteta, ili jednadžbama neprekidnosti. Sustav jednadžbi kompatibilnosti možemo zapisati i u matričnom obliku : δ1,1 δ1,2 δ1, n X1 δ1,0 0 [ δ2,1 δ2,2 δ2, n] [ X2] + [ δ2,0] = [ 0] δn, 1 δn, 2 δn, n X3 δn, 0 0 Nazivamo je matricom popustljivosti ili matricom fleksibilnosti. Njezine komponente δi,j nazvane koeficijentima popustljivosti ili koeficijentima fleksibilnosti, su gledano kinematičkih, vrijednosti pomaka hvatišta sila Xi po pravcima njihova djelovanja zbog pojedinačnih djelovanja jediničnih sila u hvatištima, na pravcima i u smislu sila Xj. Za kraj možemo zaključiti da se matrični pristup primjenjuje kod sustava koji su simetrični ili djelomično simetrični, te sa većim brojem nepoznanica. 29
31 5. IZVORI I.P. Prokofjev (1960 ). Teorija konstrukcija ( drugi dio ) Beograd, Izdavačko poduzeće Minerva Svetozar Bogunović (1964 ) Thenička Mehanik (treći dio ) Statika arhitektonskih konstrukcija Sarajevo, Univerzitet u Sarajevu V. Akmadžić, B. Crnjac ( 2003 ) Zbirka zadataka iz statike 2 (1 izdanje) Mostar ge/l11%20-%20force%20method.pdf 30
U OSIJEKU. Osijek, PDF Editor
SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, Marošević Magdalena SVEUČIIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKUTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD TEMA:
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2017. Stjepan Šimunović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationPROGRAMSKA REALIZACIJA METODE SILA ZA REŠETKASTE SISTEME
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET PROGRAMSKA REALIZACIJA METODE SILA ZA REŠETKASTE SISTEME ZAVRŠNI RAD Student: Adriana Panižić, 0246038966 Mentor: izv. prof. dr. sc. Krešimir Fresl Rujan, 2016
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationIz povijesti razvoja iteracijskih postupaka
UDK 624.07.3.00.3 Primljeno 9. 7. 200. Iz povijesti razvoja iteracijskih postupaka Krešimir Fresl, Petra Gidak, Sanja Hak Ključne riječi iteracijski postupak, štapna statika, inženjerska metoda pomaka,
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationODREĐIVANJE OSNOVNE FORME I PERIODA OSCILOVANJA GRAĐEVINA PRIBLIŽNIM METODAMA
ODREĐIVANJE OSNOVNE FORME I PERIODA OSCILOVANJA GRAĐEVINA PRIBLIŽNIM METODAMA Zlatko MAGLAJLIĆ Goran SIMONOVIĆ Rašid HADŽOVIĆ Naida ADEMOVIĆ PREDHODNO SAOPŠTENJE UDK: 624.042.3 = 861 1. UVOD Građevinski
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationPROŠIRENA METODA GUSTOĆA SILA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Građevinski fakultet Završni rad PROŠIRENA METODA GUSTOĆA SILA Romana Vrančić Mentor: prof. dr. sc. Krešimir Fresl, dipl. ing. građ. Zagreb, 2013. Sadržaj SADRŽAJ 1. UVOD... 1 2.
More informationMjerenje snage. Na kraju sata student treba biti u stanju: Spojevi za jednofazno izmjenično mjerenje snage. Ak. god. 2008/2009
Mjerenje snae Ak. od. 008/009 1 Na kraju sata student treba biti u stanju: Opisati i analizirati metode mjerenja snae na niskim i visokim frekvencijama Odabrati optimalnu metodu mjerenja snae Analizirati
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationDIJAGRAMI ZA ODABIR POPREČNOG PRESJEKA NOSAČA OD DRVA ZA RAZLIČITE PROTUPOŽARNE OTPORNOSTI
Ivana Barić 1, Tihomir Štefić 2, Aleksandar Jurić 3. DIJAGRAMI ZA ODABIR POPREČNOG PRESJEKA NOSAČA OD DRVA ZA RAZLIČITE PROTUPOŽARNE OTPORNOSTI Rezime U radu je predstavljen proračun protupožarne otpornosti
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationSTRESS OF ANGLE SECTION SUBJECTED TO TRANSVERSAL LOADING ACTING OUT OF THE SHEAR CENTER
STRESS OF ANGLE SECTION SUBJECTED TO TRANSVERSAL LOADING ACTING OUT OF THE SHEAR CENTER Filip Anić Josip Juraj Strossmayer University of Osijek, Faculty of Civil Engineering Osijek, Student Davorin Penava
More informationEXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL
A. Jurić et al. EXPERIMENTAL ANALYSIS OF THE STRENGTH OF A POLYMER PRODUCED FROM RECYCLED MATERIAL Aleksandar Jurić, Tihomir Štefić, Zlatko Arbanas ISSN 10-651 UDC/UDK 60.17.1/.:678.74..017 Preliminary
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationDijagram moment savijanja zakrivljenost za armiranobetonske grede
UDK 624.072.2:624.043 Primljeno 13. 1. 23. Dijagram moment savijanja zakrivljenost za armiranobetonske grede Tomislav Kišiček, Zorislav Sorić Ključne riječi armiranobetonska greda, dijagram moment savijanja
More informationKrivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini
Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationTermodinamika. FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog Copyright 2015 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Termodinamika FIZIKA PSS-GRAD 29. studenog 2017. 15.1 Thermodynamic Systems and Their Surroundings Thermodynamics is the branch of physics that is built upon the fundamental laws that heat and work obey.
More informationANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING
ANALYTICAL AND NUMERICAL PREDICTION OF SPRINGBACK IN SHEET METAL BENDING Slota Ján, Jurčišin Miroslav Department of Technologies and Materials, Faculty of Mechanical Engineering, Technical University of
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationMEHANIKA MATERIJALA II
MEHANIKA MATERIJALA II Aleksandar Karač Rektorat, kancelarija 31 tel: 44 44 0 akarac@ptf.unze.ba Josip Kačmarčik Kancelarija 115 tel: 44 91 0, lok 114 kjosip@mf.unze.ba ptf.unze.ba/nastava/mm/mm.php O
More informationHamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Osijek, 2010. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika POLARIZACIJA SVJETLOSTI studij Geofizika NFP II 1 ZADACI 1. Izmjerite ovisnost intenziteta linearno polarizirane svjetlosti o kutu jednog analizatora. Na
More informationEXPERIMENTAL ANALYSIS OF COMBINED ACTION OF BENDING, SHEAR AND TORSION ON TIMBER BEAMS
Eksperimentalna analiza zajedničkog djelovanja savijanja, posmika i torzije drvenih nosača EXPERIMENTAL ANALYSIS OF COMBINED ACTION OF BENDING, SHEAR AND TORSION ON TIMBER BEAMS Tihomir Štefić, Aleksandar
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationZlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0)
Zlatko Mihalić MOLEKULARNO MODELIRANJE (2+1, 0+0) Asistenti doc. dr. sc. Ivan Kodrin dr. sc. Igor Rončević Literatura A. R. Leach, Molecular Modelling, Principles and Applications, 2. izdanje, Longman,
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationKeywords: anticline, numerical integration, trapezoidal rule, Simpson s rule
Application of Simpson s and trapezoidal formulas for volume calculation of subsurface structures - recommendations 2 nd Croatian congress on geomathematics and geological terminology, 28 Original scientific
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationMatrice u Maple-u. Upisivanje matrica
Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to
More informationČelični plošni elementi opterećeni u svojoj ravnini: faktori izbočivanja i kritična naprezanja
UDK 64.073.001.5:64.014. Građevinar /01 Primljen / Received: 1.10.011. Ispravljen / Corrected: 8..01. Prihvaćen / Accepted: 1..01. Dostupno online / Available online: 15.3.01. Čelični plošni elementi opterećeni
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika MODUL ELASTIČNOSTI
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM II studij Geofizika MODUL ELASTIČNOSTI studij Geofizika NFP II 1 ZADACI 1. Izmjerite ovisnost savijenosti šipki o: primijenjenoj sili debljini šipke širini šipke udaljenosti
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationSimulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python
Simulacije dinamičkih sustava u programskom jeziku Python Vladimir Milić Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje Zagreb, 19. siječnja 2017. Vladimir Milić Nastupno predavanje Zagreb,
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationNAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA
NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički MJERENJE MALIH OTPORA studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Mjerenjem geometrijskih dimenzija i otpora
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationA COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY SUPPORTED BEAMS 5
Goranka Štimac Rončević 1 Original scientific paper Branimir Rončević 2 UDC 534-16 Ante Skoblar 3 Sanjin Braut 4 A COMPARATIVE EVALUATION OF SOME SOLUTION METHODS IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF ELASTICALLY
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationREVIEW OF GAMMA FUNCTIONS IN ACCUMULATED FATIGUE DAMAGE ASSESSMENT OF SHIP STRUCTURES
Joško PAUNOV, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, Ivana Lučića 5, H-10000 Zagreb, Croatia, jparunov@fsb.hr Maro ĆOAK, Faculty of Mechanical Engineering and Naval
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Egipatska matematika
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Ana Čalošević Egipatska matematika Završni rad Osijek, 03. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD. (datum predaje rada)
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. 9. 2015. (datum predaje rada) Pavo Ćutunić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationANALYSIS OF THE RELIABILITY OF THE "ALTERNATOR- ALTERNATOR BELT" SYSTEM
I. Mavrin, D. Kovacevic, B. Makovic: Analysis of the Reliability of the "Alternator- Alternator Belt" System IVAN MAVRIN, D.Sc. DRAZEN KOVACEVIC, B.Eng. BRANKO MAKOVIC, B.Eng. Fakultet prometnih znanosti,
More informationModified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}
More informationDISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog
More informationPeriodi i oblici titranja uobičajenih okvirnih AB građevina
DOI: https://doi.org/10.1456/jce.1774.016 Građevinar /018 Primljen / Received: 30.7.016. Ispravljen / Corrected: 19..017. Prihvaćen / Accepted: 8..017. Dostupno online / Available online: 10.3.018. Periodi
More informationO konstrukcijama V. S. & K. F.
O konstrukcijama V. S. & K. F. 1. Uvod: gradevna statika i mehanika Zove se gibuće ča se giblje ili ča se more lasno gibati, a zove se stabulo ali negibuće ono ča se s mista ne giblje, a toj rekuć zemlja
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationPrimjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih i rubnih uvjeta
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: PROFESOR FIZIKE I INFORMATIKE Ivan Banić Diplomski rad Primjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih
More informationAlternativna metoda za analizu izvijanja lameliranih kompozitnih greda
DOI: https://doi.org/10.14256/jce.1665.2016 Građevinar 9/2017 rimljen / Received: 12.5.2016. Ispravljen / Corrected: 19.8.2016. rihvaćen / Accepted: 15.12.2016. Dostupno online / Available online: 10.10.2017.
More informationTemeljni koncepti u mehanici
Temeljni koncepti u mehanici Prof. dr. sc. Mile Dželalija Sveučilište u Splitu, Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i kineziologije Teslina 1, HR-1000 Split, e-mail: mile@pmfst.hr Uvodno Riječ
More information