AKSIOME I OSOBINE VEROVATNOĆE

Transcription

1 . LEKCIJA AKSIOME I OSOBINE VEROVATNOĆE

2 TEORIJA VEROVATNOĆE Teoria verovatoće proučava i obašava zakoitosti koe astau pri istovremeom uticau velikog broa slučaih faktora. Ova matematička disciplia e osova matematičke statistike, teorie slučaih procesa, teorie masovog opsluživaa, teorie pouzdaosti, itd. Primeue se u razim oblastima, kao što su: statistička fizika, geodezia (raču izravaa), stohastička hidrologia, biologia (zakoi asleđivaa), medicia, meteorologia (progozirae vremea), astroomia, demografia, ekoomia, itd. Prvi radovi evropskih matematičara koi su sadržali osove idee teorie verovatoće poavili su se u XVI i XVII veku i bili u vezi sa određivaem šasi dobitka u igrama a sreću. Takve radove možemo aći kod Kardaa, Paskala i Fermaa. Sledeća etapa se vezue za Jakoba Berulia. Teorema kou e o dokazao, a koa se daas aziva Beruliev zako velikih broeva, predstavlala e teoretsku osovu tada razmatraih čieica. Začaa doprios razvou teorie verovatoće dali su takođe Muavr, Laplas, Gaus, Puaso, kao i Čebišev, Markov i mogi drugi aučici. Aksiomatsko zasivae teorie verovatoće e rezultat radova Kolomogorova iz tridesetih godia XX veka. (astavak a str. 4) 2

3 MALO ISTORIJE Evo ekoliko podataka iz života i rada aučika koi su svoim radovima dopriosili razvou Teorie verovatoće. Đirolamo (latiski: Hieroimus) Kardao (50-576), italiaski matematičar, filozof i lekar. U mladosti se bavio isklučivo mediciom, da bi kasie postao profesor matematike u Boloi i Milau. Za Kardaa se običo vezuu formule za određivae korea edačie trećeg stepea, koe e obavio 545, mada e ta rezultat prvi dobio Nikolo Tartala, takođe italiaski matematičar tog doba. Kardao e apisao kigu o igrama sa kockicama i sistematski obradio račuae verovatoća događaa u tim igrama. Blez Paskal ( ), fracuski matematičar, fizičar i filozof. U porodici egovih roditela su se redovo sastaali matematičari i fizičari, što e kasie preraslo u Parisku akademiu auka. Pre Paskala iko od matematičara ie račuao verovatoće događaa a ači a koi se to i sada radi. Među mogim rezultatima koi se vezuu za Paskalovo ime e i pozati Paskalov trougao, šema u koo su zapisai biomi koeficieti. U okviru evropske matematike to e bila začaa ovost i važa rezultat. Iteresato e međutim da su Kiezi početkom XIV veka već imali takvu šemu. Per Ferma (60-665), fracuski pravik i matematičar. Bavio se teoriom broeva, geometriom, algebrom i teoriom verovatoće. Negova prepiska sa Blezom Paskalom e osov teorie verovatoće. Jakob Beruli I ( ), švacarski matematičar. Negov doprios matematici obuhvata razvo aalize beskoačo malih veličia, teorie redova, variacioog račua i teorie verovatoće. U teorii verovatoće Jakob Beruli e dokazao eda speciala sluča zakoa velikih broeva i kostruisao model za opisivae iza ezavisih eksperimeata, tzv. Berulieva, ili bioma, šema. Otac Leoarda Olera, čuveog matematičara, bio e učeik Jakoba Berulia. Mogi člaovi porodice Beruli bavili su se matematikom: Joha Beruli I, Nikola Beruli I, Nikola Beruli II, Daiel Beruli, Joha Beruli II, Joha Beruli III, Jakob Beruli II. Abraham de Muavr ( ), egleski matematičar, rođe u Fracusko. Dokazao e važu teoremu iz teorie verovatoće, i ta teorema postoi u svim udžbeicima iz ove oblasti. U teoriu verovatoće e uveo poam slučaog događaa. Osim teorie verovatoće bavio se teoriom redova i teoriom kompleksih broeva. Per Simo Laplas ( ), fracuski matematičar, fizičar i astroom. Učio e u školi beediktiskog moaškog reda, ali e kasie postao ateista. Negovi rezultati su fudamatali u matematici, eksperimetalo i matematičko fizici i astroomii. Razvio e i sistematizovao rezultate Paskala, Fermaa, Berulia, dokazao teoremu koa se aziva Muavr-Laplasova teorema. Uveo e i poam matematičkog očekivaa. Negova kiga Aalitička teoria verovatoće e oš za egovog života imala tri izdaa. O Gausu, Puasou, Čebiševu, Markovu i Kolmogorovu biće reči kasie. 3

4 SLUČAJNI DOGAĐAJI Prilikom proučavaa razih problema uočavau se poave koe se ostvaruu pri realizacii ekog kompleksa uslova. Jeda realizacia posmatraog kompleksa uslova aziva se eksperimetom. Posmatrau se eksperimeti koe e moguće pooviti eograiče bro puta pri istim uslovima. Pre izvođea eksperimeta se tačo za šta se smatra ishodom eksperimeta i pozat e skup mogućih ishoda, ali ishod svakog poediačog eksperimeta ie uapred pozat. Takvi eksperimeti se često azivau stohastički eksperimeti, za razliku od determiističkih eksperimeata, u koima su ishodi pozati i pre izvođea eksperimeta. U teorii verovatoće e elemetara događa ili elemetara ishod osovi poam i e defiiše se. Skup svih elemetarih ishoda edog eksperimeta e prostor elemetarih ishoda. U opštem slučau će prostor elemetarih ishoda biti ozače sa Ω, a egovi elemeti sa ω. U zavisosti od rezultata koi se posmatrau, formira se odgovaraući prostor elemetarih ishoda. Prostor elemetarih ishoda može imati koačo mogo, prebroivo mogo ili eprebroivo mogo elemetarih ishoda. Defiicia. Slučai događa Ako e A podskup skupa Ω, tada e A slučai događa. Pošto su prostor elemetarih ishoda i slučai događai skupovi, to će biti korišćei termii kao u teorii skupova, uz eke specifiče termie, kao što e realizovae događaa: ako e A slučai događa i ako e rezultat eksperimeta eda od elemetarih događaa koi pripada A, t. elemetari događa koi ima osobiu koom se događa A defiiše, tada se kaže: događa A se ostvario (realizovao). Skup A može biti i edočla. Zači, svaki elemetari događa e slučai događa. Ceo skup Ω i praza skup Φ su takođe slučai događai i imau posebe azive: skup datih elemetarih događaa Ω e sigura (izvesta, pouzda) događa, a praza skup Φ u Ω e emoguć događa. Slučai događai se ozačavau velikim slovima abecede A, B, C,... ili, po potrebi, sa ideksima A, A 2, A 3, Pošto se razmatrau samo slučai događai, često će, umesto slučai događa, pisati samo - događa. (astavak a str. 6) 4

5 Primer. Prostori elemetarih ishoda i slučai događai Neka eksperimet predstavla bacae dve umerisae kocke, od koih e eda bele, a druga plave boe. Neka su strae tih kocki umerisae broevima a uobičae ači:, 2, 3, 4, 5, 6. U vezi sa tim eksperimetom mogu se formirati prostori elemetarih ishoda sa koačo, prebroivo i eprebroivo mogo ishoda: I sluča: Ako se beleže broevi koi se dobiau a gorim straama kocki, tada ima 36 mogućih ishoda. Ti ishodi su uređei parovi broeva (i, ), gde i, {, 2,, 6}, i e bro dobie a goro strai bele, a bro dobie a goro strai plave kocke. Tada e prostor elemetarih ishoda Ω = {(,), (,2),, (6,6)}. Slučai događai vezai za prostor elemetarih ishoda Ω : Neka događa A zači da e a prvo kocki dobie epara bro, a da e a drugo kocki dobiea šestica. Elemetari ishodi koi defiišu događa A su (,6), (3,6), (5,6), pa može da se apiše A={(i, ) i {, 3, 5}, = 6}. Ako e rezultat edog eksperimeta (3,6) kaže se da se u tom eksperimetu realizovao događa A, er se desio eda od elemetarih ishoda koi pripadau događau A. Isto se kaže i ako e rezultat eksperimeta (,6), ili ako e rezultat (5,6). Neka događa B ozačava da e bro dobie a prvo kocki veći od broa dobieog a drugo kocki. Elemetari ishodi koi defiišu događa B su (2,), (3,), (4,), (5,), (6,), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5). Može se pisati i B = {(i, ) i > }. Ako e rezultat edog ekserimeta (4,), tada se realizovao događa B. Događa C = {(, ) 7} e emoguć događa er ozačava da se a prvo kocki dobie, a a drugo kocki bro veći ili edak 7. Događa D = {(5,6)} ozačava da se a prvo kocki dobie 5, a a drugo 6 i predstavla edočla podskup posmatraog prostora Ω. II sluča: Neka kockice baca robot čie e vreme rada eograičeo i eka edo izvođee eksperimeta podrazumeva da se kocke bacau dok se prvi put e poave dve petice. Kao rezultat eksperimeta beleži se redi bro bacaa u kome su se prvi put poavile dve petice. Prostor elemetarih ishoda e Ω 2 = N (skup prirodih broeva). Slučai događai vezai za prostor Ω 2 su, a primer: izvedeo e tačo 5 bacaa, izvedeo e e više od 4 bacaa, izvedeo e bar tri bacaa kockica. III sluča: Ukoliko se posmatrau a svako kocki strae sa broem, može se kao rezultat beležiti ugao koi grade te strae posle edog bacaa. Tada e skup mogućih ishoda skup realih broeva [0,π) koi odgovarau radiasko meri posmatraog ugla. Prostor elemetarih ishoda e Ω 3 = [0, π). Slučai događai vezai za prostor Ω 3 su, a primer: ugao e oštar, sius ugla e mai od 0.5, ugao e mai od π/3, a veći od π/4. Naravo, ovo isu edii prostori elemetarih ishoda u vezi sa posmatraim eksperimetom. Na primer, ako se beleži zbir dobieih broeva, ima mogućih ishoda i to su broevi 2, 3,...2. Prostor elemetarih ishoda e sada Ω 4 = {2, 3, 2}. Isti eksperimet se može posmatrati i kao determiistički, ako se posmatra ishod kockice su pale a podlogu. Dakle, sve zavisi od toga šta se posmatra kao rezultat eksperimeta. 5

6 Relacie u skupu događaa U skupu slučaih događaa defiišu se eke relacie koima se opisuu međusobi odosi događaa. Defiicia 2. Relacia ikluzie Ako svako ostvarivae događaa A povlači (implicira) ostvarivae događaa B, tada događa A povlači (implicira) događa B. To zači da svaki elemetari događa koi pripada A e istovremeo elemetari događa koi pripada B. Zbog toga se za ovu relaciu koristi ista ozaka koa se koristi u teorii skupova i piše: A B. Takođe se kaže da su događai A i B u relacii ikluzie. Defiicia 3. Jedakost događaa Ako e A B i B A, tada su događai A i B edaki (ekvivaleti). Takođe se kaže da su A i B u relacii edakosti. U slučau edakosti događaa A i B svaki elemetari ishod koi pripada događau A, pripada i događau B, i obruto. Zači, ako se događai posmatrau kao skupovi elemetarih ishoda, ti skupovi će biti edaki i zato se za edakost događaa A i B koristi ozaka: A = B. Ako se za eka dva događaa A i B, koi su iz istog postora elemetarih ishoda, apiše A B, to zači da se aglašava da može biti A B ali i A = B. Za proizvoli događa X iz prostora Ω važi: Φ X Ω. Pored ove dve relacie postoe i druge relacie, a primer relacia disukcie, koa će biti defiisaa kasie. (astavak a str. 8) 6

7 U Primeru. za događae A i D važi: D A. A ako se posmatra događa A i događa E = {(i, ) i = 6 k, k =,3,5, = 6}, tada e A = E. ZADACI (). Od slova reči POPOKATEPETL a slučaa ači se bira edo slovo. Šta e prostor elemetarih ishoda? Opisati događae: A izbor slova koe e među prvih 5 slova azbuke, B izbor edog od slova koa se poavlau, i C izbor edog od samoglasika. 2. U kutii su kuglice umerisae broevima od do 24. Na slučaa ači se bira eda kuglica i posmatra koi bro e dobie. Odrediti prostor elemetarih ishoda. Događa A ozačava da e dobie bro deliv sa 2, a događa B da e dobie bro deliv sa 3. Koi elemetari ishodi čie ove događae? 3. Odrediti prostor elemetarih ishoda u igri LOTO. 4. Novčić se baca 4 puta. Odrediti prostor elemetarih ishoda. Neka e A događa da su rezultati prvog i četvrtog bacaa različiti, a B događa da su dobiea tačo dva pisma. Opisati te događae. 5. Na dato mapi e dozvoleo kretae samo u deso i a gore. Opisati prostor elemetarih ishoda, ako se put bira a slučaa ači. Opisati događa da slučao izabrai put od A do C prođe kroz tačku B. C B A Relacia edakosti ima osobie: refleksivost za svaki događa A važi A=A, simetričost - za svaka dva događaa A i B iz A=B sledi B=A, trazitivost za proizvola tri događaa A, B i C iz A=B i B=C sledi A=C. Stoga se kaže da e to eda relacia ekvivalecie. Relacia ikluzie e trazitiva, ali ie simetriča i refleksiva. Sample space is a complete set of all possible results or outcomes for a experimet. A evet is a particular collectio of outcomes ad is a subset of the sample space. The word evet was used by de Moivre i 78. 7

8 Operacie u skupu događaa U skupu slučaih događaa defiišu se eke operacie koima se, po određeim pravilima, od zadatih (pozatih) događaa fomirau ovi. Defiicia 4. Komplemet događaa Događa A koi se realizue ako i samo ako se događa A e realizue e komplemet događaa A. Kaže se i: događa A e suprota događau A ili događa A C e komplemetara događau A. Koristi se oš i ozaka A. Defiicia 5. Presek događaa Ako se događa C realizue ukoliko se realizuu i događa A i događa B, tada e događa C presek događaa A i B. Događau C pripadau svi elemetari ishodi koi pripadau i događau A i događau B, pa se stoga za presek događaa koristi ozaka za presek skupova i pišemo C = A B, ili, kraće, C=AB. Ako e AB = Φ (što zači da se A i B e mogu ostvariti istvremeo), tada se kaže da su A i B međusobo disukti događai (isklučuu se). Na ta ači se pomoću operacie presek i relacie edakosti defiiše ova relacia među događaima relacia disukcie. Neka e A, A2,..., A koača iz događaa. Nihov presek C = A... A2 A e događa koi se ostvarue ako i samo ako se ostvare svi događai iz posmatraog iza. Sličo važi i za presek beskoačo mogo događaa. Defiicia 6. Uia događaa Ako se događa F realizue ukoliko se realizue bar eda od događaa A i B, tada e događa F uia događaa A i B. Događau F pripadau elemetari ishodi koi pripadau događau A ili koi pripadau događau B, pa se zato za uiu događaa koristi ista ozaka kao i za uiu skupova i piše: F = A B Ukoliko su događai A i B disukti, tada se za uiu tih događaa može da koristi i ozaka: A+B. (astavak a str. 0) 8

9 Operacia komplemet e uara, er se od edog događaa formira ov, a operacie uia i presek su biare, er se od dva događaa dobia ov događa. U slučau više događaa za presek A A... A koristi se i ozaka 2 A kao i = A, ako se za skup vredosti za ideks. Aalogo, za uiu A A 2... A se koriste ozake A, ili = A. Sliče su ozake i za presek beskoačo mogo događaa A, A 2,, odoso za uiu beskoačo mogo događaa. Primer 2. Relacie i operacie sa događaima Dati su događai A,...,, A2 A. Korišćeem operacia uia, presek i komplemet zapisati događae: D realizovao se bar eda od događaa A, A2,..., A, E bar eda od događaa A, A2,..., A se ie realizovao i F realizovao se tačo eda od događaa A,...,, A2 A. Rešee: Na osovu defiicia operacia uia, presek i komplemet zaklučue se da će biti D A E A =, =. U događau F ie precizirao koi od datih događaa e realizova, pa se zato polazi od događaa F : od posmatraih događaa realizovao se edio događa A i oda e F = A A2... A, zatim sledi događa F 2 : realizovao se edio A2 i F 2 e edak A A2... A. Tako se dolazi do događaa F : realizovao se edio A, što e edako A A2... A A, pa se događa F zapisue kao uia svih avedeih događaa F = ( A A A A A A A A A A Ai A 2... ) ( 2... )... ( 2... ) =. i i Napomea: Događa E se može apisati i a drugi ači, er e komplemetara događau: realizovali su se svi događai A, A2,..., A. Tada e E = A. Zači, važi edakost A = A videti i iskaz Teoreme, a str. 2). (to e tzv. De Morgaov obrazac za više događaa, The itersectio of two evets A ad B is the evet both A ad B occur. The uio of two evets A ad B is the evet either A or B occur. It should be oted that the or is iclusive ad therefore the uio icludes the case whe both evets occur. 9

10 Neka e A A,..., A, 2 koača iz događaa. Nihova uia D e = D = A A2... A = A i predstavla događa koi se ostvarue ako se ostvari bar eda od događaa iz posmatraog iza. Sličo važi i za uiu beskoačo mogo događaa. U Primeru. e A D = A kao i A A = Ω. Ova druga relacia važi za svaki događa. Naime, za svaki događa X Ω e X X = Ω. Takođe, za svaki događa X Ω e X X = Φ. Može se pokazati da su operacie presek i komplemet (ili uia i komplemet) dovole da se zapiše svaki događa iz prostora elemetarih ishoda. Dale će se ipak koristiti (ravopravo) sve tri već defiisae operacie. Postoe i operacie izvedee od tri osove, kao što su operacie date u defiiciama 7 i 7a. Defiicia 7. Razlika događaa Ako se događa C realizue ukoliko se realizue događa A i e realizue događa B, tada e događa C razlika događaa A i B. Na osovu defiicie zaklučue se da e razlika događaa A i B edaka događau A B. Za razliku događaa koristi se ozaka: A\B. Defiicia 7a. Simetriča razlika događaa Ako se događa D realizue ukoliko se realizue A\B ili ukoliko se realizue B\A, oda e događa D simetriča razlika događaa A i B. Na osovu defiicie zaklučue se da e simetriča razlika događaa A i B edaka uii događaa A\B i B\A. Za simetriču razliku se koristi ozaka A B. Kada se posmatra više događaa a istom prostoru elemetarih ishoda, bito e pozavati međusobe odose tih događaa. Posebo e u teorii verovatoće važa sluča opisa u sledećo defiicii, a egova primea će biti razmotrea kasie. (astavak a str. 2) 0

11 Relacie i operacie sa događaima se mogu slikovito prikazati pomoću Veovih diagrama. B A A A B A B A A B A B A BB A B A\B A B = Φ Slika. Relacie i operacie sa događaima (veliki krug predstavla Ω) Džo Ve ( ), egleski matematičar i logičar. Predavao e logiku i moral a Kembridžu. Zalagao se za simboličku logiku. U teorii skupova egovo ime ose diagrami koima se predstavlau relacie i operacie sa skupovima. ZADACI (2). Novčić se baca 4 puta. Neka e A događa da su rezultati prvog i četvrtog bacaa različiti, a B događa da su dobiea tačo dva pisma. Opisati događae:. 2. Neka su A, B i C događai iz istog prostora elemetarih ishoda. Istiitost sledećih tvrđea proveriti skiciraući a diagramu događae a levo i a deso strai zaka edakosti: A B C A B C A B C = A B C, a) ( ) = ( ), ( ) ( ) b) ( A B) C = ( A C) ( A C), ( A B) C ( A C) ( A C) A B = A B c) ( ) ( ) A B = A B =, Ve diagram is a simple diagram used to represet uios ad itersectios of sets. The diagram described by Ve i 880 ad popularized by his book Symbolic Logic, was itroduced by Leibitz i the XVIII cetury.

12 Defiicia 8. Potpu sistem događaa Ako su događai A, A2,..., A međusobo disukti u parovima i ako e ihova uia sigura događa, tada događai A, A2,..., A čie potpu sistem događaa. važi: Na osovu defiicie za događae iz potpuog sistema događaa = { } A A = Φ,i,i,, 2,...,, 2 i A = Ω Ako događai A, A2,..., A či potpu sistem događaa, tada se kaže da oi čie razlagae (razbiae) Ω. Neke od osobia defiisaih relacia i operacia dae sledeća teorema: Teorema. Osobie relacia i operacia sa događaima Za slučae događae A, B, C,... iz istog prostora elemetarih ishoda važi: AB A A B 2 A = A 3 A B B A 4 A B = B A 5 A B = B A 6 A B C = A B C ( ) ( ) ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = ( A C) ( A C) ( A B) C = ( A C) ( A C) ( A B) = A B ( A B) = A B (De Morgaovi obrasci) De Morgaovi obrasci se mogu uopštiti i posmatrati za koače ili beskoače prebroive uie i preseke slučaih događaa: (astavak a str. 4) k A k = k A k, A k = A k k k 2

13 Primer 3. Potpu sistem događaa. U edakih kutia, koe su poređae eda do druge, alazi se M edakih kuglica. Kuglice su raspoređee a slučaa ači, ali uz eda od sledećih dopuskih uslova: a) Bro belih kuglica u svako kutii može biti 0,, 2. b) U ekih p kutia ema belih kuglica, u ekih q kutia ima po eda bela kuglica i u ekih r kutia su po dve bele kuglice. c) U prvih p kutia ema belih kuglica, u sledećih q kutia se alazi po eda bela kuglica i u posledih r kutia u izu se alaze po dve bele kuglice, pri čemu, u slučaevima b) i c) važi p+q+r=, q+2r=m, p>0, q>0, r>0, M 2. Na slučaa ači se iz ede od kutia bira eda kuglica. U svakom od avedeih slučaeva, postoe dva potpua sistema događaa: (I) A - izbor iz prve kutie, A2 - izbor iz druge kutie,..., A - izbor iz -te kutie, (II) B - izbor iz ede od kutia u koo ema belih kuglica, B2 - izbor iz ede od kutia u koo ima po eda bela kuglica i B3 - izbor iz ede od kutia u koo su po dve bele kuglice. 2. Šalu se tri poruke preko ekog kaala veze (telefo, telegraf, sigale zastave, e- mail...). Posmatrau se sledeći događai: A sve tri poruke su predate bez grešaka B sve tri poruke su predate sa greškama C bar dve poruke su predate sa greškama D - tačo i poruka e predato bez greške, i=, 2. i Tada događai A, D, D2 i B čie potpu sistem događaa, dok događai A, B, C, D i e čie potpu sistem događaa (isu međusobo disukti u parovima). 3. Ako su događai A i B proizvoli različiti događai iz istog prostora elemetarih ishoda, tada događai A, A B, AB čie potpu sistem događaa. U iskazu Teoreme, osim De Morgaovih obrazaca, oš eke osobie imau posebe azive: komutativost uie - osobia 4, komutativost preseka osobia 5 asociativost uie osobia 6 asociativost preseka osobia 7 distributivost uie u odosu a presek osobia 8 distributivost preseka u odosu a uiu osobia 9 Avgustus de Morga (806-87), škotski matematičar i logičar. Bio e prvi predsedik Lodoskog matematičkog društva, a po emu se daas zove eda od agrada ovog društva. Bio e profesor matematike a uiverzitetskom koledžu u Lodou. Smatra se edim od osivača formale algebre. 3

14 AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE Pri aksiomatskom zasivau verovatoće polazi se od izvesog broa osovih tvrđea, tzv. aksioma, a osovu koih se sve ostale osobie mogu dokazati. Za posmatrai (proizvoli) prostor elemetarih ishoda aksiomatizacia dae amai mogući bro uslova koi obezbeđuu kakvi treba da budu podskupovi prostora elemetarih ishoda da bi bilo moguće da se račuau verovatoće poavlivaa tih događaa, i koi e amai mogući bro uslova koe verovatoća događaa treba da zadovolava. Sistem aksioma Teorie verovatoće dao e A. N. Kolmogorov 933. godie. Napre se mora ustaoviti eda struktura u okviru prostora elemetarih ishoda, tzv. σ-pole događaa. Defiicia 9. σ-pole događaa Neka e F familia događaa iz Ω sa osobiama: A Pouzda događa Ω pripada familii F A2 Ako eki događa A pripada familii F, oda i A pripada familii F. A3 Ako e A, A2,..., A,... bilo koi koača ili prebroiv iz događaa koi pripadau F, tada i ihova uia pripada F. Takva familia događaa F e σ-pole ili σ-algebra događaa. Ako e skup svih elemetarih ishod koača skup, tada e i svaka familia događaa iz Ω koača familia. Ako za edu takvu familiu F važe uslovi A o i A2 o, a umesto A3 o važi da za svaki koača iz događaa iz familie F i ihova uia pripada to familii, oda e posmatraa familia F - pole događaa. Nad istim prostorom elemetarih ishoda možemo posmatrati više različitih pola ili σ-pola događaa. Presek dva pola (σ-pola) e pole (σ-pole) događaa. Uia dva pola (σ-pola) e mora biti pole (σ-pole) događaa. (astavak a str. 6) 4

15 Adre Nikolaevič Kolmogorov ( ) sovetski matematičar, čla Akademie auka Sovetskog saveza od 939. Sa velikim uspehom bavio se mogim matematičkim discipliama: aalizom fukcia reale promelive, teoriom verovatoće, matematičkom statistikom i topologiom (to su samo eke od oblasti u koima su egovi radovi imali začaog uticaa). Negovi učeici i sledbeici su među apozatiim ruskim (sovetskim) matematičarima. U vezi sa polem događaa treba obratiti pažu a sledeće: Ako eki događa A pripada polu (ili σ-polu) događaa F tada, u opštem slučau ie pozato da li događa B za koi važi B A, pripada F. Takav zaklučak se e može dobiti a osovu aksioma. U sledećem primeru se može videti da avedea osobia e može da važi u opštem slučau. Primer 4. Pola događaa Neka e Ω proizvola prostor elemetarih ishoda i A Ω. Familia F ={ Ω, Φ, A, A } e pole događaa. Takođe e F 2 = {Ω, Φ} pole (tzv. trivialo pole) događaa. U oba slučaa e aso da proizvoli eprazi podskup ekog elemeta iz F e može da pripada F. U specialom slučau, kada e pole događaa F partitivi skup skupa Ω, tada za svaki događa A koi pripada F svaki događa B za koi važi B A, sledi da B pripada F. Partitivi skup skupa Ω e skup svih podskupova tog skupa, pa e zato aso da važi avedei zaklučak. Ako e prostor elemetarih ishoda Ω koača i ima elemeata, a pole F partitivi skup skupa Ω, tada pole F ima 2 elemeata. ZADATAK Odrediti partitivi skup skupa {,2,3}. Na osovu same defiicie pola događaa, ali i a osovu primera 4 i poma partitivog skupa aso e da ad istim prostorom elemetarih ishoda postoe različita pola događaa. Tako e pole F 4 ={ Ω, Φ, B, B } različito od pola F, ako e događa A različit od događaa B. Presek pola F i pola F 4 e pole F 2. Uia pola F i pola F 4 ie pole, er e sadrži uiu događaa A i B. Pole događaa koe bi sadržalo i A i B e moguće formirati kao partitivi skup skupa koi čie događai: A, BA, A B. 5

16 Ako eka familia događaa predstavla pole (ili σ-pole), oda to familii događaa obavezo pripadau i preseci i razlike događaa koe sadrži. Ova osobia e avedea u sledećo teoremi. Teorema 2. Osobia pola događaa Ako su A i B događai koi pripadau polu (ili σ-polu) događaa F, tada i događai A B, A\B pripadau polu (ili σ- polu) F. Dokaz: Na osovu A2 e A F i B F. Tada e, a osovu A3 i A B F, pa e a osovu A2 događa C = A B F.Po De Morgaovim obrascima e C = A B, čime e završe dokaz prvog dela tvrđea. Dokaz da razlika događaa pripada polu događaa se zasiva a defiicii razlike događaa i sliča e prethodom dokazu. Tvrđee Teoreme 2 se može formulisati i a sledeći ači: σ- pole događaa e zatvoreo u odosu a presek događaa i u odosu a razliku događaa. Borelova σ-pola Često se σ-pole određue polazeći od eke kolekcie C podskupova Ω (v. Primer 4 b)). Za svaku kolekciu C postoe σ-pola koa e sadrže (pr. partitivi skup e edo takvo σ-pole). Presek svih σ-pola koa sadrže C e σ-pole i aziva se miimalo σ-pole geerisao kolekciom C, i ozačava se sa σ(c). Ako umesto prostora Ω uzmemo skup realih broeva R i kolekciu C kou čie itervali oblika (-, a), a R, tada se odgovarauće miimalo σ-pole geerisao kolekciom C aziva Borelovo σ-pole a R, i ozačava se sa B. Negovi elemeti su Borelovi skupovi, a uređei par (R, B ) e Borelova prava. (astavak a str. 8) 6

17 Primer 4a. Pole događaa Neka e prostor elemetarih ishoda prostor Ω 4 iz Primera i u tom prostoru elemetarih ishoda eka su događai: A zbir e para bro, B zbir e deliv sa šest. Odrediti amae pole događaa koe sadrži događae A i B. Rešee. Uoči se edo od mogućih razlagaa prostora elemetarih ishoda a potpu sistem događaa koristeći događae A i B. Potpu sistem događaa čie događai B, A\B, A i pomoću ih se formira amae pole događaa. Polazeći od tih događaa a osovu Defiicie 9 formira se pole F. Po aksiomi A, sigura događa Ω 4 pripada polu. Zatim, po aksiomi A 2, pošto B pripada polu, tada će i B pripadati polu. Takođe, pošto A\B pripada polu, oda će i A \ B pripadati polu, a kako A pripada polu, tada će i komplemet A, odoso događa A, pipadati polu. Nazad, i emoguć događa pripada polu, kao komplemet sigurog događaa, pa dobiamo pole: F = { Ω 4, Φ, A, A, B, B, A\B, A \ B }. Formirao pole se poklapa sa partitivim skupom skupa { A, B, A\B}. Partitivi skup F * skupa Ω 4 e takođe pole događaa i pri tome važi: F F *. ZADATAK U kutii su kuglice umerisae broevima od do 24. Na slučaa ači se bira eda kuglica. Događa A ozačava da e dobie bro deliv sa 2, a događa B da e dobie bro deliv sa 3. Odrediti miimalo pole događaa određeo događaima A i B. Teorema 2 e speciala sluča opštieg tvrđea: σ-pole e zatvoreo u odosu a prebroivu primeu operacia uia, presek i komplemet izvedeih u proizvolom poretku ad elemetima posmatraog σ-pola. To zači, a primer, ako događai koi pripadau ekom σ-polu događaa F, tada i su A, A2,..., A,... događai = A, = A pripadau σ-polu F. Feliks Eduar Žiste Emil Borel (87-956), fracuski matematičar. Bio e čla Pariske akademie auka od 92. Bavio se sa velikim uspehom mogim matematičkim discipliama: teoriom broeva, algebrom, geometriom, matematičkom fizikom i teoriom verovatoće. 7

18 Defiicia i osobie verovatoće Pri aksiomatskom zasivau teorie verovatoće, verovatoće događaa defiišu se samo za događae koi pripadau ekom polu (ili σ-polu) događaa. Defiicia 0. Verovatoća Neka reala fukcia P defiisaa a σ-polu F događaa iz Ω ima osobie: B Za svaki događa A koi pripada F važi P ( A) 0. B2 Za sigura događa Ω važi ( Ω) = P. B3 Za svaki iz (koača ili prebroiv) događaa koi pripadau F i koi su međusobo disukti u parovima važi: P A = P( A ) Tada e fukcia P verovatoća a σ-polu F. Osobie B, B 2, B3 su aksiome i azivau se, redom: eegativost, ormiraost i aditivost. Aksiome teorie verovatoće su A, A 2, A 3, B, B 2, B 3, a uređea troka (Ω, F, P) se aziva prostor verovatoća. Aksiome verovatoće B, B 2, B3 e dau ači za određivae verovatoće u kokretim zadacima, ali se, polazeći od defiicie verovatoće mogu izvesti moge opšte osobie verovatoće. Neke od tih osobia su date u sledećo teoremi. Smatra se da svi događai koi se avlau u iskazu teoreme pripadau istom prostoru elemetarih ishoda i istom polu događaa. (astavak a str. 20) 8

19 Kolekcie C = {(, a], a R}, C2 = {( a, b], a < b, a, b R} takođe geerišu Borelovo σ-pole B, a mogući su i drugi ačii. Dakle, miimala σ- pola geerisaa ovim kolekciama se poklapau: σ C ) = σ ( ) =... = B. ( C2 U teorii verovatoće se Borelova pola primeuu pri defiisau slučaih promelivih, o čemu će kasie biti govora. Iako se u defiicii Borelovog pola polazi od itervala određeog oblika, elemeti Borelovog pola su i poediači reali broevi i izovi (koači ili beskoači) realih broeva i otvorei i zatvorei koači itervali i ihove koače ili prebroive uie. Primer 5. Elemeti Borelovog pola a realo pravo Pokazati da e bro 55 elemet Borelovog pola. Rešee. Iterval A=(-, 55) este Borelov skup, pa i egov komplemet este Borelov skup, a komplemet e B = [55,+ ). Takođe, svi skupovi B =(-, 55+/), gde e priroda bro, su Borelovi skupovi, pa e i svaki presek BB, koi e oblika C =[55, 55+/) Borelov skup. Stoga e i presek svih tih skupova Borelov skup. S druge strae, presek skupova C e samo eda tačka, t. bro 55. Iako se za kokreti eksperimet običo vezue samo eda reala fukcia verovatoće P, aksiomama B, B 2, B3 verovatoća ie edozačo određea, što ilustrue sledeći primer. Primer 6. Defiisae verovatoće a polu događaa Neka e a elemetima pola F ={ Ω, Φ, A, A } defiisaa fukcia P: P(A)=p, P( A )=-p, P(Ω)=, P(Φ)=0. Tada e P verovatoća u smislu aksiomatike. Zbog mogućosti da p može biti bilo koi bro iz itervala (0, ), sledi da verovatoća a polu F ie edozačo određea. Ako e A poava grba, a A poava pisma pri bacau ovčića, može se uzeti P(A)=0.5 (homoge, fer ovčić), ali i P(A)=0.3 (ehomoge ovčić). The probability of a evet is a umber lyig i the iterval 0,. For a experimet with N equally likely outcomes the probability of a evet A is /N, where is the umber of outcomes i which the evet A occurs. 9

20 Teorema 3. Osobie verovatoće Ako e A B, tada e P( A) P( B). 2 Ako e P(A) verovatoća događaa A, tada e P( A) P( A) specialo P(Φ)=0. 3 Ako su A i B dva događaa, tada e P A B = P A + P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Ako e A, A2,... 5 Ako događai A, A2,..., A,... događaa, tada e koača ili prebroiv iz događaa, tada e P A P A P A = lim P A = ( ) =, i čie mootoo eopadaući iz ( ) a ako događai A, A2,..., A,... čie mootoo erastući iz događaa, tada e P A = lim P A = ( ) Napomeimo da se koristi sledeća ozaka: A = lim A za = mootoo eopadaući iz događaa, odoso A = lim A za = mootoo erastući iz događaa. Stoga se avedee osobie za mootoe izove događaa mogu apisati u obliku: P lim A = lim P( A ). Zbog ovoga se avedea osobia aziva eprekidost verovatoće. (astavak a str. 22) 20

21 Dokaz Teoreme 3. A sledi B A + AB Iz B P ( AB) 0, pa tvrđee sledi. 2 S obzirom da e + A = Ω B3 sledi P ( A) + P( A) = 3 Kako e A B = A + ( B A) =, pa e P ( B) P( A) + P( AB) A, biće P ( A + A) = P( Ω), što e i trebalo dokazati. =. Zbog. Na osovu, a B ( B A) + ( B A) B2 B e =, to a osovu B3 slede zaklučci: P( A B) = P( A) + P( B A), P( B) = P( B A) + P( B A), odakle sledi tvrđee. 4 Ovo tvrđee se dokazue idukciom a osovu dokazaog tvrđea pod 3. 5 Neka e, N mootoo eopadaući iz događaa, t. eka važi A Defiiše se iz događaa Događai Stoga e B A A2... A..., N, a sledeći ači: B = A B = A = B su međusobo disukti i važi: A = A A, > A i = Bi, kao i A i = i= i= i= i= P Ai = P Bi = P ( Bi ) = lim P( Bi ) = i= i= i= i= B = lim P B = lim P A = lim P A i ( ) i i i= i= Za mootoo erastući iz događaa odgovarauće svostvo se dokazue primeom De Morgaovih formula. i 2

22 Prva osobia avedea u iskazu Teoreme 3 se aziva mootoost verovatoće. Druga osobia se često koristi pri rešavau zadataka. Naime, u ekim zadacima e edostavie odrediti verovatoću komplemeta ekog događaa ego verovatoću samog posmatraog događaa. U takvim slučaevima primeue se avedea formula. Treća od avedeih formula se takođe koristi pri rešavau zadataka. Needakost 4 se aziva Bulova eedakost. Peta osobia se, iz razloga koi su prethodo avedei, aziva eprekidost verovatoće. Klasiča defiicia verovatoće Sada će biti razmotrei eki modeli teorie verovatoće. To zači da će se aalizirati prostori elemetarih ishoda, evezao za kokreti eksperimet, i a ima defiisati verovatoća. Napre će biti govora o klasičo defiicii verovatoće. Istoriski gledao, klasiča defiicia verovatoće e prethodila aksiomatskom zasivau teorie verovatoće. Klasiča defiicia verovatoće se odosi a prostor elemetarih ishoda Ω koi e koača skup, pri čemu su verovatoće poavlivaa svih elemetarih ishoda iste. Tada se zapravo posmatra speciali sluča prostora elemetarih ishoda sa koačo mogo elemeata: Ω = { ω, ω2,..., ω }. Elemetarom događau ω pridružue se bro > 0, =,2,..., tako da e: p p p + p2 = i bro p se aziva verovatoća elemetarog događaa ω, =,2,.... Događa A koi sadrži k elemetarih događaa može se predstaviti u obliku: A = ω ω,..., ω { }, 2 Verovatoća događaa A se defiiše kao zbir verovatoća elemetarih događaa koi pripadau događau A: P A = p + p p ( ) 2 k k. To e tzv. verovatoća u koačo šemi. (astavak a str. 24) 22

23 Džordž Bul (85-864), egleski matematičar. Osivač matematičke logike. Takođe se bavio i teoriom verovatoće. Jeda od egovih ćerki e prva žea koa e bila profesor hemie u Lodou. Naizgled različiti eksperimeti mogu po strukturi biti isti. Neka e eksperimet bacae ovčića, a kao rezultat se beleži straa a kou e ovčić pao. Prostor elemetarih ishoda e dvočla, a verovatoća svakog elemetarog ishoda (po pretpostavkom da e ovčić fer masa ravomero raspoređea i ovčić ima dve različito ozačee strae) e ½. S druge strae, ako e eksperimet birae ede karte iz špila od 52 karte, a rezultat eksperimeta boa, crvea (herc ili karo) ili cra (tref ili pik), tada e poovo prostor elemetarih ishoda dvočla, a verovatoća svakog elemetarog ishoda (pod pretpostavkom da su karte dobro promešae i da iko ie eke karte izbacio iz špila ili ih zameio drugim) e ½. Evo oš ekih osobia verovatoće (svi događai pripadau istom prostoru elemetarih ishoda i istom polu ili σ polu F ). P A \ B = P A P AB () ( ) ( ) ( ) (2) P ( AB) P ( A) P ( B) / 4 A A,..., A, 2 (3) Ako događai čie potpu sistem događaa, tada e = ( ) P A =. (4) P ( A B C) P( A) P( B) P( C) Uopštee osobie (4), dokazue se idukciom: (4 ) P A P ( A ) = P ( A ) ( ), 4. = = (5) P A B C = P A + P B + P C P AB P AC P BC + P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Uopštee osobie (5), dokazue se idukciom: (5 ) Za 4 važi 2 P A = P( A ) P( Ai A ) + P( Ai A Ak )... ( ) P A = = i= = i+ i= = i+ k = + = 23

24 Ako se svakom elemetarom događau ω dodeli ista verovatoća ω /, =,2,... p = dobia se da e verovatoća događaa A, koi sadrži k elemetarih događaa, edaka k P ( A) = To e tzv. klasiča defiicia verovatoće. Dakle, ako prostor elemetarih ishoda ima edakoverovatih elemetarih ishoda i ako događa A ima k elemetarih događaa iz Ω, tada e verovatoća poavlivaa događaa A edaka k/. Za elemetare ishode iz A kaže se da su povoli ishodi za događa A. Zači, u klasičo defiicii e verovatoća događaa A edaka količiku broa povolih ishoda za događa A i broa svih mogućih ishoda. Za verovatoću u koačo šemi, pa prema tome i za verovatoću u klasičo defiicii važe svi zahtevi iz defiicie verovatoće. Dakle, verovatoće u koačo šemi i verovatoće u klasičo defiicii su eda kokreta model aksiomatike. Klasiču defiiciu verovatoće e dao fracuski matematičar Laplas (Pierre Simoe Laplace, ). e: Na osovu klasiče defiicie verovatoće se može pokazati da () P( A) = P( A) (2) P(Φ)=0 (3) P(Ω)= (4) 0 P ( A) (5) A B P( A) P( B) (6) Za disukte događae A i B važi: P ( A + B) = P( A) + P( B) a za uiu dva događaa u opštem slučau važi: P A B = P A + P B P AB. ( ) ( ) ( ) ( ) Ove osobie se dokazuu eposredo iz defiicie. Tako, a primer, iz P(A)=k/ i s obzirom da za bro povolih ishoda k važi 0 k, sledi 0 P ( A). (astavak a str. 26) 24

25 ZADACI. Neka e verovatoća događaa A edaka 0.3, verovatoća događaa B edaka 0.4, a verovatoće ihove uie 0.6. Odrediti verovatoću da se a) realizuu i A i B, b) realizue A i komplemet od B, c) realizue ili komplemet od A ili komplemet od B, d) realizue komplemet od A ili komplemet od B, e) realizue razlika događaa A i B. 2. Dokazati da e za proizvola dva događaa iz istog prostora verovatoća tačo Kad važi edakost? Navesti koi e međusobi odos događaa da bi važila edakost, odoso stroga eedakost. 3. Tri igrača bacau ovčić. Gubi oa ko dobie rezultat različit od druge dvoice. Odrediti verovatoću da će posle prvog bacaa eko izgubiti i odrediti verovatoću da će eko izgubiti tek u trećem bacau. 4. Odrediti verovatoću da se u igri LOTO pogodi svih sedam broeva, ako se uplati samo eda kombiacia. Da li e veća verovatoća da se pogodi 3 ili 4 od 7 broeva? 5. Neka događai A i B čie potpu sistem događaa i eka za ihove verovatoće p i q važi 4p q = 2/3. Odrediti p i q. 6. Verovatoće događaa A, B i C su redom 0., 0.2, 0.3. Odrediti amau moguću vredost za verovatoću događaa. 7. Novčić se baca 4 puta. Neka e A događa da su rezultati prvog i četvrtog bacaa različiti, a B događa da su dobiea tačo dva pisma. Odrediti verovatoće događaa:. 8. Pri bacau dve umerisae kocke događa A ozačava da e dobie zbir 6, a događa B da e bro a edo kocki dvaput veći od broa a drugo kocki. Odrediti verovatoće uie, preseka i razlike događaa A i B. 9. Neka su A, B i C tri proizvola događaa iz istog prostora elemetarih ishoda. Poređati u eopadaućem poretku verovatoće događaa. 0.Iz kutie u koo su razoboe kuglice istih dimezia, i to 5 belih, 4 cre i 3 crvee, a slučaa ači i bez vraćaa se izvlače 4 kuglice. Odrediti verovatoću da e redosled bio crvea, bela, crvea, bela. Odrediti verovatoću da e redosled bio dve boe aizmeičo.. Neka su za automobilske tablice predviđee ozake od dva slova i četiri cifre, pri čemu se a) slova mogu poavlati, a prva cifra e sme biti ula b) slova mogu poavlati a cifre e. Odrediti verovatoću da se slučao izabere tablica oblika A*34**, gde * ozačava proizvolo slovo ili cifru prema određeom pravilu. 2. Na slučaa ači e izabraa eda permutacia cifara,2,..., 9. Odrediti verovatoću da: a) sve pare cifre budu ispred svih eparih, b) sve pare cifre budu eda do druge, c) permutacia počie i završava se parom cifrom, d) pare cifre gledao s leva a deso čie rastući iz. 2 a) Od devedeset kuglica umerisaih broevima od do 90, izvlači se 20. Odrediti verovatoću da se među izabraim alazi određeih 5 broeva. (Nešto kao BINGO ) 25

26 Geometriske verovatoće Kad prostor elemetarih ishoda ima beskoačo, prebroivo ili eprebroivo mogo, elemetarih ishoda, mogu postoati elemetari ishodi čia e verovatoće edaka uli. Naime, važi sledeća teorema Teorema 4. Ako prostor elemetarih ishoda ima beskoačo mogo elemetarih ishoda, oda aviše prebroivo mogo elemetarih ishoda ima verovatoću različitu od ule. Ako prostor elemetarih ishoda ima beskoačo eprebroivo mogo elemetarih ishoda moguće e i da svi elemetari ishodi imau verovatoću edaku uli. Upravo takvu situaciu opisue sledeći model. Tačka M e slučao izabraa u oblasti S u prostoru R k, k =,2,3,... ako e verovatoća izbora podoblasti S (t. verovatoća izbora tačke iz podoblasti S ) oblasti S proporcioala meri te podoblasti i e zavisi od položaa i forme te podoblasti: ( S ) = P M mera S mera S U edodimezioalom slučau mera e dužia, u dvodimezioalom slučau to e površia, a u trodimezioalom zapremia. Ako su, a primer, C i D tačke a duži AB, tada e u smislu gore defiicie, verovatoća pogađaa duži CD ako se bira tačka sa duži AB edaka količiku dužia CD i AB. U dvodimezioalom slučau e verovatoća izbora tačke iz podoblasti Soblasti S edaka količiku površia podoblasti Si oblasti S, dok e u trodimezioalom slučau edaka količiku zapremia. U opisao situacii govori se o geometrisko verovatoći. Izbor eke tačke posmatrae oblasti S e elemetara ishod i prema avedeom svi elemetari ishodi su edakoverovati. Verovatoća izbora ede tačke edaka e 0 (u bilo kom od tri avedea slučaa mera tačke e edaka 0). Elemetara ishod stoga predstavla skoro emoguć događa: verovatoća da se desi e edaka 0, iako se u svakom birau izabere eka tačka. Suprota skoro emogućem e skoro sigura događa: egova verovatoća e edaka, ali se o e mora ostvariti. (astavak a str. 28) 26

27 Dokaz Teoreme 4 Verovatoća svakog elemetarog ishoda e eki bro iz itervala [0,]. S obzirom da e zamo kakve su, u opštem slučau, verovatoće elemetarih ishoda ekog prostora, to ćemo iterval [0,], podeliti a disukte poditervale čia e uia ceo iterval [0,], a zatim razmotriti koliko elemetarih ishoda može da ima verovatoću iz određeog poditervala. Jeda moguća podela e [/2,], [/2 2,/2), [/2 3,/2 2 ),, [/2,/2 - ),.... Elemetarih ishoda čie su verovatoće iz [/2,] može biti aviše 2, elemetarih ishoda čie su verovatoće iz [/2 2,/2), može biti aviše 2 2,, elemetarih ishoda čie su verovatoće iz [/2,/2 - ), može biti aviše 2, Kako imamo prebroiv iz poditervala, a svaki e u vezi sa aviše koačo mogo elemetarih ishoda, oda će bro ishoda čie verovatoće pripadau posmatraim poditervalima biti aviše prebroiv. Ovo takođe zači da mogu da postoe elemetari ishodi čia su verovatoće edake 0, pa e dokaz završe. Napomea. Druga moguća podela bila bi sa deobim tačkama oblika /3 poovite dokaz i u tom slučau. Zašto ie moguće da podela bude a koača bro itervala? Da li možemo da zamo koliko elemetarih ishoda može da ima verovatoću iz itervala oblika (0,a), gde e a bro mai od? Primer 7. Na slučaa ači se bira eda tačka u trouglu ABC. Neka e AD težiša liia tog trougla. Odrediti verovatoću da e slučao izabraa tačka iz trougla ABC u trouglu ABD i odrediti verovatoću da e slučao izabraa tačka iz trougla ABC a težišo liii AD. Rešee. Verovatoća da tačka bude u trouglu ABD edaka e odosu površie trougla ABD i površie trougla ABC, dakle /2. Verovatoća da e tačka koa se bira u trouglu ABC a težišo liii AD edaka e odosu površie težiše liie AD i površie trougla ABC, dakle 0. Posmatrai događa e stoga skoro emoguć. ZADACI. Na slučaa ači se bira eda tačka u kvadratu ABCD. Odrediti verovatoće događaa: A slučao izabraa tačka se alazi bliže temeu A, ego ostalim temeima kvadrata, B slučao izabraa tačka se alazi u krugu upisaom u kvadrat, i odrediti verovatoću uie i verovatoću preseka događaa A i B. 2. Na slučaa ači se bira tetiva AB u krugu. Odrediti verovatoću da dužia tetive bude veća od dužie straice edakostraičog trougla upisaog u ta krug, ako se: a) tetiva bira tako da e paralela edom fiksiraom prečiku kruga, b) tetiva bira tako da e tačka A fiksiraa a kružici i c) tetiva bira izborom svog središta. Napomea: ako se e precizira ači izbora, moglo bi izgledati da zadatak ima tri različita rešea, er će se u avedeim slučaevima dobiti različite verovatoće. Zadatak e pozat kao Bertraov paradoks. 3. Na slučaa ači se bira eda tačka u kocki ivice. Odrediti verovatoću da e ta tačka u oktaedru čia su temea sredie straa kocke. 4. Dve osobe su se dogovorile da se sretu a određeom mestu između 2h i 3h. Ako oe dolaze ezaviso eda od druge i a slučaa ači, odrediti verovatoću da će vreme između ihovih dolazaka biti kraće od 5 mi. 5. U edakostraiči trougao e upisa krug i u svaki od delova izmedu temea i kruga e upisa po eda (mali) krug. Odrediti verovatoću da slučao izabraa tačka iz trougla bude va kostruisaih krugova. 27

28 Relativa frekvecia i statistička homogeost Neka se izvodi eki eksperimet sa slučaim ishodima (bacae kockice, birae karte iz špila,...) i eka se beleži poavlivae određeog događaa. Kada se izvede eksperimeata, posmatrai događa će se ostvariti k puta, gde e k bro između 0 i. Količik k/ se aziva relativa frekvecia posmatraog događaa. Kad se povećava bro izvedeih eksperimeata, vredosti relative frekvecie će se meati, ali ta promea ie po određeom pravilu (er oda i ishodi e bi bili slučai). Pa ipak, zapaža se izvesa pravilost, u kou se svako može uveriti sprovođeem edostavog eksperimeta bacaem umerisae kockice za igru i beležeem poavlivaa određeog broa. Ta pravilost se ogleda u sve mao razlici između frekvecie i stvare (teoriske) verovatoće, račuate pod pretpostavkom da e kockica fer. Ta specifiča kovergecia relativih frekvecia ka verovatoći događaa aziva se statistička homogeost. Ako se pak stvara verovatoća e za, ili e složea za izračuavae, oda se, za dovolo veliko epozata verovatoća aproksimira relativom frekveciom k/. Detalia obašea po ovom pitau će biti data kasie. Modelirae događaa Rezultate slučaih eksperimeata možemo modelirati (simulirati) a račuaru i /ili korišćeem tablica slučaih cifara, čii e eda deo dat a sledećo strai. Osobie i ači kostrukcie ovakvih tablica će biti razmatrai kasie. Sada će samo biti pokazao kako se može modelirati izvođee eksperimeta u koima su ishodi eki prirodi broevi koi se mogu poaviti sa istom verovatoćom. Ako treba modelirati slučai izbor edog od broeva od do 0, oda redom čitamo cifre iz tablice, a cifri 0 dodelimo vredost 0. Ako treba modelirati rezultate dobiee pri bacau kockice, oda redom čitamo cifre iz tablice, odbacuući 7, 8, 9 i 0. To svakako ie aefikasii ači korišćea tablica, pa ćemo kasie dati i druge metode. Tablice se mogu čitati s leva a deso, ali i odozgo a dole. Kra teoriskog dela 28

29 Žozef Lu Frasoa Bertra, ( ), fracuski matematičar. Već sa 7 godia e bio doktor matematike, čla Pariske akademie. Pozati su egovi radovi u vezi sa kovergeciom redova, diferecialim edačiama, teoriom verovatoće. ZADACI. U kutii e 0 belih kuglica umerisaih od do 0, i deset crveih kuglica, umerisaih od do 0. Na slučaa ači se birau dve kuglice istovremeo. Odrediti verovatoću da su iste boe ili da su sa istim broem. 2. Kockica se baca 2 puta. Odrediti verovatoću da e a) zbir dobieih broeva 6, b) prvih 6 puta e dobie isti bro, a sledećih 6 puta eki drugi isti bro, c) svaki bro e dobie po dva puta, d) dobiei su samo epari broevi, e) dobiei su samo epari broevi, ali svaki po četiri puta. 3. Kockica se baca 5 puta. Odrediti verovatoću da se dobiu a) tri ista i dva ista broa, b) različiti broevi, c) četiri ista broa, d) bar dva puta bro 6. Koristeći tablice slučaih cifara modelirati po 20 ishoda prema uslovima u zadacima, 2 i 3 i za posmatrae događae uporediti dobiee relative frekvecie sa izračuatim verovatoćama Napisati program koim će se a račuaru modelirati ishodi eksperimeata opisaih u prethodim zadacima i izračuavati relative frekvecie posmatraih događaa za raze vredosti broa modeliraih ishoda: 50, 00, 200, 500,

30 Pitaa uz prvu lekciu. Navesti ekoliko oblasti u koima se primeue teoria verovatoće. 2. Obasiti a primeru razliku između determiističkog i stohastičkog eksperimeta 3. Šta e elemetari ishod, a šta prostor elemetarih ishoda? 4. Navesti ekoliko primera prostora elemetarih ishoda sa koačo mogo ishoda. 5. Navesti ekoliko primera prostora elemetarih ishoda sa prebroivo mogo ishoda. 6. Navesti ekoliko primera prostora elemetarih ishoda sa beskoačo eprebroivo mogo ishoda. 7. Šta e slučai događa? Šta ozačava iskaz slučai događa se realizovao? 8. Navesti primere slučaih događaa sa koačo i sa beskoačo mogo elemetarih ishoda. 9. Šta e to sigura, a šta emoguć događa, a šta skoro sigura, odoso skoro emoguć događa? 0. Navesti eke operacie sa događaima.. Navesti eke osobie operacia sa događaima. 2. Navesti eke relacie sa događaima. 3. Šta zači ako se kaže da su događai disukti? 4. Kada eki događai čie potpu sistem događaa? 5. Kako glase De Morgaovi obrasci? 6. Šta e pole događaa i koe su egove osobie? 7. Koa e razlika između pola događaa i σ-pola događaa? 8. Defiisati verovatoću. 9. Šta ozačavau termii: eegativost, ormiraost i aditivost verovatoće? 20. Navesti eke osobie verovatoće (pr. verovatoća uie događaa). 2. Obasiti poam eprekidosti verovatoće. 22. Kako glasi klasiča defiicia verovatoće? 23. Šta e relativa frekvecia događaa? 24. Šta ozačava poam statistička homogeost? 25. Kako se defiiše geometriska verovatoća? 30