Trougaone norme i primena u fazi skupovima

Transcription

1 Sadržaj Predgovor Trougaoe orme i koorme Trougaoe orme Trougaoe koorme Neprekidost Algebarski aspekt Polugrupe i t-orme Fazi aritmetika Osove fazi skupa Fazi brojevi Delimiĉo-kvadrati fazi brojevi Trougaoi fazi brojevi LR-fazi iterval Trapezoidi fazi brojevi mada Ligvistiĉke promeljive Aritmetiĉke operacije a fazi brojevima Aritmetiĉke operacije a fazi brojevima α presek Aritmetiĉke operacije a fazi brojevima pricip prošireja Suma LR-fazi itervala za T M Suma LR-fazi iterval za T D Suma LR-fazi iterval za T P Suma LR-fazi iterval za Arhimedovu t-ormu Suma LR-fazi iterval za T L Mreža fazi brojeva Fazi jedaĉie Jedaĉia A + X = B Jedaĉia A X = B Fazi PERT za upravljaje projektima Klasiĉa PERT i CPM

2 3.1.1 Mreži model plairaja Kritiĉa putaja PERT verovatoće Fazi PERT za predviċaje vremea PredviĊaje vremea za voċeje projekta upravljaja idustrijskom opremom Raspored raspodele sredstava Fazi PERT za skraćivaje trajaja projekta Zaključak Literatura Biografija Ključa dokumetacija

3 Predgovor Tema ovog master rada su trougaoe orme i fazi skupovi. Reč je o savremeoj matematičkoj oblasti baziraoj a trougaoim ormama i fazi aritmetici, čiji je cilj rešavaje različitih problema koji se javljaju kod upravljaja projektima. U ovom radu su prikazae i dve tehike, fazi PERT i CPM, čija je amea uapredeje plairaja i kotrole projekata. Termi fazi (eg. fuzzy), koji predstavlja eodređe, epreciza pojam, u matematičku literaturu uvodi Lotfi A. Zadeh godie da bi koristio podatke koji poseduju određeu eizvesost. Daas se smatra da svaki čovek razmišlja isključivo a fazi ači, a teorija fazi skupova udi mogućost da se tokom razih vrsta komuikacija izbegu problemi izazvai ovim faktorom. Fleksibilost koju poseduju fazi skupovi da se svakom iskazu moţe dodeliti vredost koja oscilira između atributa "potpuo tačo" ili "potpuo etačo", pruţa priroda ači suočavaja sa realim izazovima. Ovo predstavlja ključu razliku između fazi skupova i klasičih skupova, gde je graica pripadosti precizo defiisaa (elemet ili pripada ili e pripada ekom skupu). Ovaj rad se sastoji iz tri poglavlja. Uloga prvog i drugog poglavlja je da se objase osovi pojmovi vezai za trougaoe orme i fazi aritmetiku. U posledjem, trećem delu, ilustrovae su CPM i PERT tehike za upravljaje projektima. Slike su rađee po ugledu a [1, 9, 10, 12]. U prvom poglavlju je dat detalja pregled oovih defiicija i osobia trougaoih ormi i koormi, ilustrovaih pomoću primera i grafika. Predstavljee su osobie za četiri osove t-orme i t-koorme kao i za Arhimedove t-orme i ilpoteti miimum T M. Jeda deo ovog poglavlja je posveće i algebarskom aspektu t-ormi, pre svega idempotetim i ilpotetim elemetima i deliteljima ule, kao i polugrupama. Literatura korišćea u prvom poglavlju je iz [5, 8, 9, 12, 13]. U drugom poglavlju se uvodi pojam fazi skupa i objašjea je razlika u odosu a klasiče skupove. Da bi se lakše shvatio pojam fazi, uvedei su primeri i grafici. Posebo se skreće paţja a fazi brojeve kao što su: delimičo kvadrati fazi broj, trougaoi fazi broj koji se koristiti za proceu vremea trajaja projekta za CPM i PERT metode, trapezoidi fazi broj i LR-fazi iterval. Veoma bita deo ovog rada predstavljaju aritmetičke operacije a fazi brojevima, i to dve metode fazi aritmetike. Prvi metod se zasiva a aritmetici itervala tj. posmatraju se α-preseci, a drugi metod koristi pricip prošireja putem kojeg se operacije ad realim brojevima proširuju i a fazi brojeve. Dalje, kao primea trougaoih ormi uvodi se uopšte i origiali Zadehov pricip prošireja. Da bi se ukazalo a široku primeljivost fazi skupova, ilustrova je i postupak rešavaja fazi jedačia. Drugo poglavlje je veoma bito za razumevaje ovog rada i ovde je korišćea literatura iz [1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 15, 16]. 3

4 Posledje poglavlje je bazirao a primei fazi aritmetike za upravljaje projektima i to pomoću CPM i PERT metoda. Radi lakšeg pregleda, projekat je podelje a aktivosti koje imaju specifiča početak i kraj. Pošto se aktivosti moraju izvoditi po određeom redosledu, eke pre drugih, eke istovremeo, potrebo je odrediti kritiča put, tj. put gde e sme doći do kašjeja. Vreme koje je potrebo da bi se izvršila svaka od jih mora se proceiti, a procea se daje u formi trougaoog fazi broja. U ekim slučajevim se moţe zahtevati skraćeje roka za izradu projekta. Zato je ovde predstavlje i fazi PERT za skraćivaje trajaja projekta. Dodate iformacije i prošireje ovih metoda mogu se aći u literaturi [1, 14]. Ovom prilikom se zahvaljujem svom metoru, prof. dr Ivai Štajer-Papuga, za stručo i profesioalo usmeravaje pri izradi ovog rada i za svo zaje koje sam stekao radeći sa jom. Takođe se zahvaljujem docetu dr Mirjai Štrboji i prof. dr Arpadu Takačiju a korisim sugestijama i primedbama. Ţelim da se zahvalim dipl.ig. math Davoru Paskaljeviću a korisim sugestijama i savetima. Veliku zahvalost dugujem i svom profesoru iz sredje škole Dejau Sremčeviću a ogromom strpljeju, razumevaju i podršci. Zahvaljujući jegovom veselom duhu i pristupu matematici i učeicima, odlučio sam da matematika bude moj budući poziv. Posebo se ţelim zahvaliti mojim roditeljima, bratu i prijateljima za svu podršku koju su mi pruţili tokom mog školovaja. Novi Sad, septembar godie Trusia Frajo 4

5 1. Trougaoe orme i koorme Pojam trougaoe orme se prvi put pojavljuje u matematiĉkoj literaturi godie, kada Karl Meger u svom radu Statistical metrics, uvodi ovaj pojam s ciljem kostruisaja metriĉkih prostora koristeći raspodele verovatoće. O je koristio vredosti u itervalu [0, 1], umesto celog skupa realih brojeva, da bi opisao rastojaje izmeċu dva elemeta. Karl Meger je predstavio trougaoe orme pomoću fukcije T(α, β), koja je defiisaa za 0 α 1 i 0 β 1 i za ju važi sledeće: a) 0 T(α, β) 1 b) T je eopadjuće c) T(α, β) = T(β, α) d) T(1, 1) = 1 e) ako je α > 0 oda je T(α, 1) > 0 MeĊutim, zaimaje za metriĉke prostore verovatoće i jegove operacije, posebo poĉije da se ispoljava tek kada su Berthold Schweizer i Abe Sklar publikovali koaĉa skup aksioma za t-orme godie u Espaces métriques aléatoires. Trougaoe orme su se prvo koristile u kotekstu probabilistiĉkih metriĉkih prostora, u smislu prošireja trougaoih ejedaĉia iz klasiĉih metriĉkih prostora u uopštee sluĉajeve. Daas se koriste, izmeċu ostalog, u teoriji fazi skupova i fazi logike, te ovom prilikom je dat kratak pregled osovih pojmova. Rezultati prezetovai u ovom poglavlju su iz [5, 8, 9, 12, 13]. 1.1 Trougaoe orme Defiicija 1.1 [12] Trougaoa orma T (t-orma) je fukcija T : [0, 1] 2 [0, 1] takva da za svako x, y, z ϵ [0, 1] važe sledeći uslovi: (T1) T(x, y) = T(y, x) (komutativost) (T2) T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z) (asocijativost) (T3) T(x, y) T(x, z) kada je y z (mootoost) (T4) T(x, 1) = x (graiĉi uslov) 5

6 Pošto su t-orme algebarske operacije a itervalu [0, 1], takoċe je moguće koristiti ozaku x * y umesto T(x, y). Zapravo, uslovi (T1) - (T4) se mogu drugaĉije zapisati a sledeći aĉi: za svako x, y, z ϵ [0, 1] (T1) (T2) x * y = y * x x * (y * z) = (x * y) * z (T3) x * y x * z kada je y z (T4) x * 1 = x Postoji eprebrojivo mogo t-ormi, ali ovde su avedee ĉetiri osove t-orme TM, TP, TL i TD. Njihove defiicije su: TM(x, y) = mi(x, y), TP(x, y) = xy, TL(x, y) = max(x + y 1, 0 ), (miimum) (proizvod) (Lukasiewiez-ova t-orma) Napomea 1.1 TD(x, y) = mi(x, y), ako max(x, y) = 1 0, iače (drastiĉa proizvod) (i) Iz defiicije 1.1 se može zakljuĉiti da za svako x ϵ [0, 1], svaka t-orma T zadovoljava sledeće dodate graiĉe uslove: T(0, x) = T(x, 0) = 0, T(1, x) = x. (ii) Koristeći osobie (T3) i (T1) dobija se mootoost i po prvoj i po drugoj kompoeti, tj. T(x1, y1) T(x2, y2), za x1 x2 i y1 y2. Zaista, ako x1 x2 i y1 y2, oda se dobija T(x1, y1) T(x1, y2) = T(y2, x1) T(y2, x2) = T(x2, y2) Sledi defiicija, koja pokazuje kako se mogu uporediti dve t-orme. 6

7 Defiicija 1.2 [9] Slika 1. [8] 3D grafik za četiri osove t-orme (i) (ii) Ako za dve t-orme T1 i T2, važi ejedakost T1(x, y) T2(x, y) za svako (x, y)ϵ [0, 1] 2, oda se kaže da je T1 slabija od T2 ili, ekvivaleto, da je T2 jaĉa od T1. U tom sluĉaju se piše T1 T2. Ako je T1 T2 i ako za eko (x0, y0) ϵ [0, 1] 2 važi T1(x0, y0) < T2(x0, y0) sledi T1 < T2, tj. T1 < T2 ako je T1 T2 i T1 T2. Geeralo, ije uvek jedostavo odrediti da li je eka t-orma slabija ili jaĉa od druge t- orme. Trougaoe orme TM i TD su ajjaĉa i ajslabija t-orma, respektivo, što je dato aredom teoremom. Teorema 1.1 [12] Za svaku t-ormu T važi: za svako x, y ϵ [0, 1], TD(x, y) T(x, y) TM(x, y) Dokaz: Neka su dati x, y ϵ [0, 1] i eka je T(x, y) proizvolja t-orma. Koristeći ĉijeicu da je y 1 i osobie (T3) i (T4) dobija se T(x, y) T(x, 1) = x. Ako se iskoristi da je i x 1, kao i osobie (T1), (T3) i (T4), redom, dobija se T(x, y) = T(y, x) T(y, 1) = y. Dakle, T(x, y) x i T(x, y) y, te odatle sledi T(x, y) mi(x, y) = TM. 7

8 Dalje, za x = 1 se dobija T(x, y) = T(1, y) = y = TD(x, y), a za y = 1 se dobija T(x, y) = T(x, 1) = x = TD(x, y). Za x = 0 ili y = 0 važi T(x, y) = TD(x, y) = 0 tj. obe t-orme su jedake. Sledi da je T(x, y) jedako sa TD(x, y) a rubu. Ako je x, y 0 tada je T(x, y) 0 i TD(x, y) = 0 pa se poovo zakljuĉuje da je T(x, y) TD(x, y). Slika 2. [8] Koturi grafik za četiri osove t-orme Napomea 1.2 Kako je TL < TP (vidi se i sa Slike 2.), a osovu prethode teoreme dobija se poreċeje za ĉetiri osove trougaoe orme: TD < TL < TP < TM Osobie, kao što su komutativost (T1), asocijativost (T2) i mootoost (T3) su zadovoljee a otvoreom jediiĉom kvadratu (0, 1) 2 (aravo, zajedo sa graiĉim uslovom (T4) i graiĉim uslovima iz apomee 1.1 (i)). Da bi ove osobie bile zadovoljee a celom jediiĉom kvadratu [0, 1] 2, uvodi se sledeća teorema. Teorema 1.2 [12] Neka je A skup gde je (0, 1) A [0, 1], i eka je * : A 2 A biara operacija a A. Ako za svako x, y, z ϵ A važe osobie (T1) - (T3) i x * y mi(x, y), (1.1) tada fukcija T : [0, 1] 2 [0, 1] data sa 8

9 T(x, y) = x y, ako (x, y) ϵ (A\{1}) 2 mi(x, y), iače je t-orma. T je jedia t-orma ĉija restrikcija a (A\{1}) 2 se poklapa sa restrikcijom operacije * a (A\{1}) 2. U astavku poglavlja se avodi defiicija t-podorme (eg. t-suborm). Defiicija 1.3 [9] Fukcija F : [0, 1] 2 [0, 1] koja zadovoljava, za svako x, y, z ϵ [0, 1], osobie (T1) - (T3) i (1.1) se zove t-podorma. Oĉigledo, svaka t-orma je i t-podorma. Obruto, u opštem sluĉaju, e važi. Ovo ilustruje primer ula fukcije, tj. fukcije F : [0, 1] 2 [0,1] date sa F(x, y) = 0, za svako x, y ϵ [0, 1]. Iz teoreme 1.2 sledi da se svaka t-podorma može trasformisati u t-ormu tako što se redefiiše, ako je to potrebo, u taĉkama oblika (x, 1) i (1, x) pri ĉemu x prolazi kroz ceo jediiĉi iterval. Posledica 1.1 [9] Ako je F t-podorma, oda je fukcija T: [0, 1] 2 [0, 1] defiisaa sa T(x, y) = F(x, y), ako (x, y) ϵ (0, 1)2 mi(x, y), iače trougaoa orma. Slede eke osobie t-ormi TM i TD, koje su date kao teorema. Teorema 1.3 [9] (i) Jedia t-orma T koja zadovoljava T(x, x) = x za svako x ϵ [0, 1] je miimum TM. (ii) Jedia t-orma T koja zadovoljava T(x, x) = 0 za svako x ϵ (0, 1) je drastiĉa proizvod TD. Napomea 1.3 (i) Asocijativost (T2) dozvoljava da se svaka t-orma a jedistve aĉi proširi u - aru operaciju obiĉom idukcijom, defiišući za svako (x1, x2,..., x) ϵ [0, 1] T xi = T(T 1 xi, x) = T(x1, x2,..., x) i=1 i=1 Ako važi x1 = x2 =... = x = x, tada se koristi zapis x () T TakoĊe, prihvaćea je sledeća kovecija: = T(x, x,..., x) 9

10 x (0) T = 1 i x(1) T = x. (ii) Ĉijeica da je svaka t-orma slabija od T M, dozvoljava da se proširi u beskoaĉu operaciju, stavljajući za svaki iz (xi)i ϵ N elemeata iz [0, 1] T i=1 xi = lim T xi. (1.2) i=1 Pošto a osovu dokaza teoreme 1.1 uvek važi T(T 1 i=1 da T xi 0, sledi da je (T i=1 i=1 kovergira, odoso postoji graiĉa vredost iz (1.2). xi, x) T 1xi i oĉigledo je i=1 xi) ϵ N mootoo erastući i ograiĉe iz, što zaĉi da (iii) Za (x i ) i ϵ I, x i ϵ [0, 1], gde je I proizvolja skup ideksa, dobija se uopšteje za (1.2) oblika T k xi = if{ T xij (xi1,..., xik) je koaĉa podfamilija od (xi)i ϵ I }. iεi j =1 1.2 Trougaoe koorme Trougaoe koorme ili t-koorme predstavljaju uopšteje operacije uije. Za jih su karakteristiĉe osobie kao što su: komutativost, asocijativost i mootoost. U odosu a t-orme jedio su graiĉi uslovi ešto drugaĉiji. Sledi defiicija trougaoih koormi i avode se eke jihove osobie. Defiicija 1.4 [12] Trougaoa koorma S (t-koorma) je fukcija S:[0, 1] 2 [0, 1], takva da za svako x, y, z ϵ [0, 1] važe: (S1) S(x, y) = S(y, x) (komutativost) (S2) S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) (asocijativost) (S3) S(x, y) S(x, z) kada je y z (mootoost) (S4) S(x, 0) = x. (graiĉi uslov) Sa aksiomatske taĉke gledišta, t-orme i t-koorme se razlikuju samo u jihovim graiĉim uslovima. 10

11 Slika 3. [8] 3D grafik za četiri osove t-koorme Sledi primer, pomoću kojeg su predstavljee osove t-koorme. Primer 1.3 [9] Ĉetiri osove t-koorme su: SM(x, y) = max(x, y) SP(x, y) = x + y x * y SL(x, y) = mi(x + y, 1) (maximum) (suma verovatoće) (Lukasiewiez t-koorma) SD(x, y) = 1, ako (x, y)ϵ[0, 1] 2 max(x, y), iače (drastiĉa suma) 11

12 - Slika 4. [8] Koturi grafik za četiri osove t-koorme IzmeĊu trougaoih ormi i koormi postoji veza koja je opisaa aredom teoremom. Teorema 1.4 [9] Fukcija S : [0, 1] 2 [0, 1] je t-koorma ako i samo ako postoji t-orma T takva da za svako (x, y) ϵ [0, 1] 2. Napomea 1.4 S(x, y) = 1 - T(1 x, 1 - y) (i) Trougaoa koorma S defiisaa u teoremi 1.4 se aziva duala t-koorma za t- ormu T i obruto. Oĉigledo, elemetare t-koorme su duale odgovarajućim elemetarim t-kormama. (ii) Direkto iz defiicije 1.4 se može zakljuĉiti da za svako x ϵ [0, 1], svaka t-koorma S zadovoljava sledeće dodate graiĉe uslove: S(1, x) = S(x, 1) = 1 S(0, x) = x (iii) S obzirom da dualost meja poredak, za trougaoe koorme važi: ako za proizvlje t-orme T1 i T2 važi T1 T2, i ako su S1 i S2 jihovi duali, respektivo, tada je S1 S2. Zbog toga, za svaku t-koormu S važi: 12

13 SM S SD, tj. maximum SM je ajslabija, a drastiĉa suma SD je ajjaĉa t-koorma. (iv) Aalogo apomei 1.3, svaka t-koorma S se može proširiti a sledeći aĉi: S xi = S(S 1 xi, x) = T(x1, x2,..., x), i=1 i=1 S i=1 xi = lim S i=1 xi, S k xi = sup{ S xi (xi1,..., xik) je koaĉa podfamilija od (xi)i ϵ I }, iεi j =1 gde xi ϵ [0, 1], N je skup prirodih brojeva, a I proizvolja skup ideksa. Ako je x1 = x2 = = x = x, x ϵ [0, 1], koristiti se ozaka x (). Specijalo, x(0) S S = 0 i x(1) S = x. 1.3 Neprekidost Ova sekcija je posvećea aalitiĉkim osobiama t-ormi i t-koormi. Kao što se može videti kod drastiĉog proizvoda TD i jegovog duala SD, t-orme i t-koorme e moraju biti eprekide. Iz više razloga eprekide t-orme i t-koorme igraju važu ulogu, što se može videti i kod ilpotetog miimuma T M. Proizvolja fukcija dve promeljive F:[0, 1] 2 [0, 1] je eprekida ako za sve kovergete izove (x) ϵ N, (y) ϵ N važi: F(lim x, lim y) = lim F(x, y) Na itervalu [0, 1] 2 koji je kompakta podskup od R 2, eprekidost fukcije F: [0, 1] 2 [0, 1] je ekvivaleta jeoj uiformoj eprekidosti. Oĉigledo, osove t-orme TM, TP i TL kao i jihove duale t-koorme SM, SP, i SL su eprekide, a drastiĉa presek TD i drastiĉa suma SD isu eprekide. Jaso je da je t-orma eprekida ako i samo je duala t-koorma eprekida. Geeralo, reala fukcija sa dve promeljive a domeu [0, 1] 2 može biti eprekida po svakoj promeljivoj, ili po prvoj ili po drugoj (kao fukcije jede promeljive), a da ije eprekida a [0, 1] 2, kao fukcija dve promeljive. Teorema 1.5 [9] Neka je fukcija F : [0, 1] 2 [0, 1] eopadajuća, tada oa je eprekida ako i samo ako je eprekida po svakoj kompoeti, tj. ako su za svako x0, y0 ϵ [0, 1] fukcije F(x0,.): [0, 1] [0, 1] i F(., y0) : [0, 1] [0, 1] eprekide fukcije jede promeljive. 13

14 Sledi defiicija za polu-eprekidost fukcije od dole (od gore). Defiicija 1.5 [9] Fukcija F : [0, 1] 2 [0, 1] je polu-eprekida od dole (od gore) ako za svaku taĉku (x0, y0) iz [0, 1] 2 i za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da važi: Napomea 1.5 F(x, y) > F(x0, y0) ε, za (x, y) ϵ (x0 - δ, x0] x (y0 - δ, y0] F(x, y) < F(x0, y0) + ε, za (x, y) ϵ [x0, x0 + δ) x [y0, y0 + δ) (i) ilpoteti miimum T M (Slika 5.), defiisa sa: T M (x, y) = 0, ako x + y 1 mi(x, y), iače je t-orma. Pored toga ova fukcija je doje polu-eprekida, ali ije gorje polu-eprekida. Drastiĉa presek TD je gorje polu-eprekida ali ije doje polu-eprekida. (ii) T-orma T je doje (gorje) polu-eprekida ako i samo ako je jea duala t-koorma (data sa S(x, y)=1-t(1-x, 1 - y) ) gorje (doje) eprekida, respektivo. Kao i kod eprekidosti i doja polu-eprekidost mootoe reale fukcije može biti opisaa jeom levom-eprekidošću u svakoj kompoeti. Slika 5. [8] 3D grafik (levo) i koturi grafik ilpotetog miimuma T M 14

15 IzmeĊu doje polu-eprekidosti i leve-eprekidosti postoji veza, koja je predmet arede teoreme. Teorema 1.6 [5] Neopadajuća fukcija F:[0, 1] 2 [0, 1] je doje polu-eprekida ako i samo ako je levoeprekida po svakoj promeljivoj, tj. ako i samo ako za svako x0, y0ϵ [0, 1] i za svaki iz (x) ϵ N, (y) ϵ N ϵ [0, 1] N važi: Defiicija 1.6 [5] sup{ F(x, y0) ϵ N } = F(sup{ x ϵ N }, y0) sup{ F(x0, y) ϵ N} = F(x0, sup{ y ϵ N }) T-orma T (t-koorma S) je graiĉo eprekida ako je eprekida a graici jediiĉog kvadrata [0, 1] 2, tj a skupu [0, 1] 2 / (0, 1) Algebarski aspekt Sada se skreće pažja a eke algebarske aspekte t-ormi, ajviše a oe koje su dobro pozate iz opštih teorija o polugrupama i mrežama, pre svega a idempotete i ilpotete elemete, te a delitelje ule. Razmatraće se samo elemeti iz (0, 1) kao kadidati za ilpotete elemete i delitelje ule u aredojoj defiiciji. Defiicija 1.7 [9] Neka je T t-orma. (i) Elemet a [0, 1] se aziva idempoteta elemet za T ako T(a, a) = a. Brojevi 0 i 1, koji su idempoteti elemeti za svaku t-ormu T, se zovu trivijali idempoteti elemeti za T, a svaki idempoteti elemet iz (0, 1) predstavlja etrivijala idempoteta elemet za T. (ii) Elemet a (0, 1) se zove ilpoteti elemet za T ako postoji eko N takvo da a T () = 0. (iii) Elemet a ϵ (0, 1) se zove delitelj ule za T ako postoji eko b ϵ (0, 1) takvo da T(a, b) = 0. Primer 1.4 [9] (i) a) Za miimum TM važi: - svako a ϵ [0, 1] je idempoteta elemet 15

16 - ema i ilpotete elemete i delitelje ule b) Za Lukasiewiez-ovu t-ormu TL i drastiĉi presek TD važi: - svako a (0, 1) je ilpoteta elemet i delitelj ule - imaju samo trivijale idempotete elemete c) Proizvod TP ema i trivijale idempotete elemete i ilpotete elemete i delitelje ule. (ii) Za ilpoteti miimum T M broj a je idempoteta elemet ako i samo ako a ϵ {0} (0.5, 1], a je ilpoteta elemet ako i samo ako a ϵ (0, 0.5] i a je Tvrđeje 1.1 [9] (i) delitelj ule ako i samo ako a ϵ (0, 1). Elemet a ϵ [0, 1] je idempoteta elemet t-orme T ako i samo ako za svako x ϵ [a, 1] važi T(a, x) = mi(a, x). (ii) Neka je T eprekida t-orma. Tada a ϵ [0, 1] je idempoteta elemet za T ako i samo ako za svako x ϵ [0,1] važi T(a, x) = mi(a, x). Napomea 1.6 (i) Ako a ϵ [0, 1] je idempoteta elemet t-orme T oda, po idukciji, važi a T () =a, za svako ϵ N. To zaĉi da elemet za t-ormu može biti i idempoteta i ilpoteta. (ii) obruto. Svaki ilpoteta elemet a t-orme T je takoċe i delitelj ule za T ali e i (iii) Ako t-orma ima ilpoteta elemet a oda uvek postoji elemet b (0, 1) takav da b T (2) = 0. Zaista, ako je > 1 ajmaji ceo broj, takav da važi a T () = 0, oda b = a T ( 1) zadovoljava b T (2) = 0. (iv) Ako je a ϵ (0, 1) ilpoteta elemet (delitelj ule) t-orme T oda svaki broj b (0, a) je isto ilpoteta elemet (delitelj ule) za T. (v) Skup svih ipotetih elemeata, kao i skup delitelja ule t-orme mogu biti prazi skupovi ili itervali oblika (0, c) ili (0, c]. Na primer, za ilpoteti miimum T M skup ilpotetih elemeata je iterval (0, 0.5], a skup delitelja ule je iterval (0, 1). Skup ilpotetih elemeata je podskup skupa delitelja ule. Za svaku t-ormu egzistecija delitelja ule je posledica egzistecije ilpotetih elemeata. 16

17 Sledi tvrċeje koje daje vezu izmeċu delitelja ule i ilpotetog elemeta. Tvrđeje 1.2 [9] Za svaku t-ormu T su ekvivaleta tvrċeja: (i) (ii) T ima delitelj ule. T ima ilpotete elemete. Neke t-orme imaju dodate algebarske osobie. Prva grupa takvih osobia je strikta mootost i Arhimedova osobia, koje igraju važu ulogu u mogim algebarskim koceptima, kao što su polugrupe. Defiicija 1.8 [9] Za proizvolju t-ormu T važe sledeće osobie: (i) t-orma T je strikto mootoa ako: (SM) T(x, y) < T(x, z) kada je x > 0 i y < z (ii) t-orma T zadovoljava zako kacelacije (eg. cacellatio law) ako: (CL) T(x, y) = T(x, z) kada je x = 0 ili y = z (iii) t-orma T zadovoljava uslovi zako kacelacije ako: (CCL) T(x, y) = T(x, z) > 0 kada je y = z (iv) t-orma T je Arhimedova ako: (AP) za svako (x, y) ϵ (0, 1) 2 postoji ϵ N takvo da x () T < y (v) t-orma T ima graiĉu osobiu ako: (LP) za svako x ϵ (0, 1): lim x () T = 0 Napomea 1.7 (i) Miimum TM ema i jedu od ovih osobia, a proizvod zadovoljava sve osobie. Lukasiwiez-ova t-orma i drastiĉa presek su Arhimedea i zadovoljavaju uslovi zako kacelacije i graiĉu osobiu (LP), ali e i ostale osobie. (ii) Ako t-orma T zadovoljava zako kacelacije (CL) oda sasvim zadovoljava uslovi zako kacelacije (CCL), ali e i obruto. (iii) Algebarske osobie predstavljee u defiiciji 1.8 e zavise od eprekidosti: eprekida t-orma TM pokazuje da eprekidost e implicira i jedu od ovih osobia. 17

18 Tvrđeje 1.3 [9] Neka je T t-orma. Tada imamo: (i) (ii) (iii) T je strikto mootoa ako i samo ako zadovoljava zako kacelacije (CL). Ako je T strikto mootoa oda ima samo trivijale idempotete elemete. Ako je T strikto mootoa oda ima delitelj ule. Nareda teorema pokazuje zavisost izmeċu Arhimedove t-orme, LP i idempotetih elemeata. Teorema 1.7 [9] Za t-ormu T sledeća tvrċeja su ekvivaleta: (i) (ii) (iii) T je Arhimedova. T zadovoljava graiĉi uslov (LP). T ima samo trivijale idempotete elemete i kada važi lim T(x, x) = x0 x x 0 za eko x0 ϵ (0, 1), tada postoji y0 ϵ (x0, 1), takvo da T(y0, y0) = x0. Defiicija 1.9 [9] (i) (ii) elemet za T. t-orma T je strikta ako je eprekida i strikto mootoa. t-orma se zove ilpoteta ako je eprekida i svako a ϵ (0, 1) je ilpoteti Primer 1.5 [9] (i) Zbog tvrċeja 1.3(i), t-orma T je strikta ako i samo ako je eprekida i zadovoljava (CL). (ii) Posledica za (i) je da svaka strikta t-orma ispujava (CCL). (iii) TakoĊe, svaka ilpoteta t-orma zadovoljava (CCL). Da bi se potvrdila ova pretpostavka, eka je T(x, y) = T(x, z) i y < z. Zbog eprekidosti T, mora postojati u ϵ [0, 1) takvo da y = T(z, u). Zbog asocijativosti (T2) imamo: T(x, z) = T(x, y) = T(x, T(z, u)) = T(T(x, z), u) i idukcijom se dobija T(x, z) = T(T(x, z), u () T ) za svako ϵ N. Pošto je T ilpoteta, jedia mogućost je da T(x, z) tj. T zadovoljva (CCL). 18

19 U astavku sledi pregled ekoliko tvrċeja za eprekide i Arhimedove t-orme. Tvrđeje 1.4 [9] Za proizvolju t-ormu T imamo: (i) Ako je T deso-eprekida i ima samo trivijale idempotete elemete oda je Arhimedova. (ii) (iii) (iv) (v) Ako je T deso-eprekida i zadovoljava (CCL) oda je Arhimedova. Ako je lim x x 0 T(x, x) < x0 za svako x0 ϵ (0, 1) oda je T Arhimedova. Ako je T strikta oda je Arhimedova. Ako je svako x ϵ (0, 1) ilpoteti elemet za T oda je T Arhimedova. Tvrđeje 1.5 [5] Za svaku Arhimedovu t-ormu T sledeće je ekvivaleto: (i) (ii) T je levo-eprekida. T je eprekida. Teorema 1.8 [9] Neka je T eprekida Arhimedova t-orma. Tada su areda tvrċeja ekvivaleta: (i) T je ilpoteta. (ii) Postoji eki ilpoteti elemet za T. (iii) Postoji eki delitelj ule za T. (iv) T ije strikta. 19

20 Slika 6. Logičke veze između algebarskih osobia t-ormi: običa strelica ozačava implikaciju, a isprekidaa strelica zači da korespodirajuća implikacija važi za eprekide t-orme. Napomea 1.8 Strikto mootoe t-koorme isto tako i strikte, Arhimedove i ilpotete t-koorme mogu biti predstavljee korišćejem dualosti. Na primer t-koorma S je strikto mootoa ako: (SM*) S(x, y) < S(x, z) za x < 1 i y < z Za Arhimedovu osobiu, je potrebo obruti ejedakosti, pa je t-koorma S Arhimedova ako: (AP*) za svako (x, y) ϵ (0, 1) 2 postoji ϵ N tako da x () S > y Naravo, t-koorma zadovoljava bilo koju osobiu ako i samo ako ih duala t-orma zadovoljava. Sada je a redu defiicija distributivosti za t-ormu i t-koormu. Defiicija 1.10 [9] Neka je T t-orma i S t-koorma. Tada, T je distributivo ad S ako za svako x, y, z ϵ [0, 1] T(x, S(y, z)) = S(T(x, y), T(x, z)) i da je S distributivo ad T ako za x, y, z ϵ [0, 1]: 20

21 S(x, T(y, z)) = T(S(x, y), S(x, z)) Ako je T distributivo ad S i S distributivo ad T, oda se (T, S) zove distributivi par. TvrĊeje u astavku povezuje distributivost t-ormi i t-koormi. Tvrđeje 1.6 [9] Neka je T t-orma i S t-koorma, tada važi: (i) (ii) (iii) S je distrubtiva ad T ako i samo ako je T = TM. T je distributivo ad S ako i samo ako je S = SM. (T, S) je distributivi par ako i samo ako je T = TM i S = SM. Napomea 1.9 Ako je T t-orma, S duala t-koorma i T je distributivo ad S (ili S je distribtivo ad T), tada važi T = TM i S = SM. Slika 7. Različite klase t-ormi (svaka sa tipičim predstavikom): uutar cetralog kruga su eprekide t-orme, a klase striktih i ilpotetih t-ormi su podvučee. 1.5 Polugrupe i t-orme Iz osobia (T1) (T4) i (S1) (S4) trougaoe orme i trougaoe koorme sledi da jediiĉi iterval [0, 1] predstavlja specijalu polugrupu, pa ĉak i specijali mooid. Da bi se 21

22 predstavile ove veze, prvo treba uvesti odreċee defiicije i osobie iz teorije apstraktih polugrupa. Defiicija 1.11 [9] (i) Neka je X epraza skup i * biara operacija a X, odoso *: X 2 X. (X, *) se aziva polugrupa ako je operacija * asocijativa, odoso ako za svako x, y, z ϵ X važi (ii) (x * y) * z = x * (y * z) Polugrupa (X, *) se aziva komutativa ako je * komutativa operacija, odoso ako važi: za svako x, y ϵ X, x * y = y * x. (iii) Elemet e ϵ X se aziva eutrali elemet ili jediiĉi elemet polugrupe (X, *) ako za svako x ϵ X važi x * e = e * x = x. Polugrupa koja ima eutrali elemet se aziva mooid. (iv) Elemet a ϵ X se aziva ula elemet polugrupe (X, *) ako za svaki elemet x ϵ X važi: x * a = a * x = a. (v) Elemet x ϵ X se aziva idempoteti elemet polugrupe (X, *) ako x * x = x (vi) Ako polugrupa (X, *) ima ula elemet a, oda x ϵ X \ { a } se zove ilpoteti elemet za (X, *), ako za eko ϵ N imamo x = a, gde, po koveciji, x 1 = x i x +1 = x * x. Iz ove defiicije ije teško zakljuĉiti da polugrupa može da ima ajviše jeda eutrali elemet i ajviše jeda ula elemet. Neutrali i ula elemet, ako postoje, su uvek idempoteti elemeti polugrupe (X, *), takozvai trivijali idempoteti elemeti. Defiicija 1.12 [9] (i) Neka je relacija parcijalog (odoso liearog) poretka ad X. Tada se (X, *, ) zove delimiĉo ureċea polugrupa (odoso liearo uredjea polugrupa), ako je (X, *) polugrupa, i ako važi da iz y z sledi da je x * y x * z i y * x z * x. (ii) Neka je τ topologija ad X. Trojka (X, *, τ) se zove topološka polugrupa ako je (X, *) polugrupa takva da fukcija *: X 2 X je eprekida u odosu a τ. (iii) Parcijalo ili potpuo ureċea polugrupa (X, *, ) koja zadovoljava da je (X, *, τ ) topološka polugrupa se zove parcijalo ureċea topološka polugrupa ili potpuo ureċea topološka polugrupa, respektivo. 22

23 Primer 1.6 [9] Ako je defiisaa operacija * a [0.5, 1] sa x * y = max(xy, 0.5), oda je ([0.5, 1], *, ) komutativa, potpuo ureċea topološka polugrupa sa ula elemetom 0.5 i eutralim elemetom 1. Dalje, sledi defiicija i tvrċeje vezao za izomorfizam kod polugrupa. Defiicija 1.13 [9] (i) da za svako x, y ϵ X: Dve polugrupe (X, *) i (Y, ) su izomorfe ako postoji bijekcija ρ: X Y tako ρ(x * y) = ρ(x) ρ(y) (1.3) (ii) Dve parcijalo ili potpuo ureċee polugrupe (X, *, ) i (Y,, ) sa relacijama poretka i, respektivo, su izomorfe ako postoji bijekcija ρ : X Y koja zadovoljava (1.3) i za svako x, y ϵ X iz x y ρ(x) ρ(y) (iii) Dve topološke polugrupe (X, *, τ1) i (Y,, τ2) su izomorfe ako postoji homomorfizam ρ: X Y (tj. bijekcija tako da su ρ i ρ -1 eprekidi) koji zadovoljava (1.3). Tvrđeje 1.7 [9] (i) Fukcija T: [0, 1] 2 [0, 1] je t-orma ako i samo ako ([0, 1], T, ) je potpuo ureċea komutativa polugrupa sa eutralim elemetom 1 i aihlatorom 0. (ii) Fukcija S: [0, 1] 2 [0, 1] je t-koorma ako i samo ako je ([0, 1], S, ) potpuo ureċea komutativa polugrupa sa eutralim elemetom 0 i aihilatorom 1. (iii) Ako je T t-orma i S t-koorma i ρ: [0, 1] [0, 1] strikto rastuća bijekcija, oda su operacije Tρ, Sρ: [0, 1] 2 [0, 1] date sa formulama: Tρ(x, y) = ρ -1 (T(ρ(x), ρ(y))) Sρ(x, y) = ρ -1 (S(ρ(x), ρ(y))) t-orma i t-koorma izomorfe, i izomorfe su sa T i S, respektivo. 2. Fazi aritmetika Reĉ fazi (eg. fuzzy) ozaĉava eodreċe, epreciza pojam. Naĉi a koji ljudi razmišljaju je iskljuĉivo fazi, jer se doživljaj sveta oko as eprekido meja, i e može uvek biti defiisa pomoću taĉih ili etaĉih izjava. Karakteristike kao blizu, mlad, lep, 23

24 toplo su jedostavi primeri eprecizih termia. Neka se uzme u obzir primer Ĉovek je mlad. Za eke ljude, ĉovek sa 25 godia je mlad, dok za druge i eko sa 35 godia je mlad. Dakle, kocept mlad ije precizo defiisa. Na primer, ako eko ima 1 godiu o je defiitivo mlad, a ako ima 100 godia, oda defiitivo ije mlad. MeĊutim, ĉovek sa 35 godia ima mogućost da se posmatra kao mlad i to obiĉo zavisi od osobe do osobe, koja procejuje eĉiju mladost. Kod kompleksih sistema suviše preciza podatak ije od eke koristi, pr. podatak Sutra as oĉekuje temperatura 26,6489 C e daje mogo važije iformacije (ĉak zatrpava epotrebim iformacijama) od Sutra as oĉekuje toplije vreme. Fazi skupove je uveo u auĉu metodologiju prof. Lotfi A. Zadeh godie, da bi mogao koristiti podatake i iformacije koje poseduju odreċee eizvesosti. L. Zadeh je rekao: Pojam fazi skupa daje polazu taĉku za kostruisaje koceptualog okvira koji u mogim aspektima odgovara obiĉim skupovima, ali je opštiji i, potecijalo, ima mogo širu primeu, posebo u oblasti klasifikacije i procesiraja iformacija. U suštii, takav okvir pruža priroda aĉi suoĉavaja sa problemima, ĉiji su izvor eprecizosti i odsustvo strogo defiisaih kriterijuma ego uticaj sluĉajih promeljivih [15]. Rezultati prezetovai u ovom poglavlju su iz [1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 15, 16]. 2.1 Osove fazi skupa U ovom poglavlju dat je pregled osovih pojmova iz teorije fazi skupova. Pojam fazi skupa je uvede kao geeralizacija klasiĉih, obiĉih skupova, formirajem tzv. fukcije pripadosti (karakteristiĉe fukcije). Posle toga se uvode pojmovi kao što su iterval podrške, α-preseci, koveksost i fazi broj. Zatim sledi predstavljaje fazi skupova a osovu jihovih α-preseka, kao i operacije koje se mogu izvoditi ad fazi skupovima [1, 2, 12, 15]. Kod klasiĉih skupova pripadaje ekog elemeta skupu je precizo defiisao: elemet ili jeste ĉla ekog skupa ili ije. Zato karakteristiĉa fukcija μ A (x) može uzimati samo dve vredosti, 1 ili 0. Karakteristiĉa fukcija (fukcija pripadosti) μ A (x) predstavlja pravilo pripadosti, koje karakteriše elemete (ĉlaove) skupa A U, gde je U uiverzali skup. Drugim reĉima: 1 za x A μ A (x) = 0 za x A Ovde se vidi da su graice obiĉog skupa A oštro defiisae. MeĊutim, to ije sluĉaj i kod fazi skupova, zato što eki elemet može i delimiĉo da pripada skupu, tj. pripadost se može predstaviti postepeo. Razlika izmedju fazi i obiĉih (eg. crisp) skupova se može ilustrovati pomoću primera Visoki ljudi [1]. Razmatra se sledeći sluĉaj. Ĉovek je visok ako je jegova visia 180 cm ili više, iaĉe ĉovek ije visok. Karakteristiĉa fukcija skupa A = {Visoki ljudi} je 24

25 μ A (x) = 1 za 180 x 0 za 160 x < 180 gde je uiverzali skup U = {x 160 x 200 }. Slika 8. Karakterističa fukcija skupa Visoki ljudi. Oĉigledo, opis skupa Visoki ljudi ije zadovoljavajući, pošto e dozvoljava gradaciju. Reĉ visok ije ajjasija. Na primer, osoba visie 179 cm ije visoka, isto kao i osoba visia 160 cm. MeĊutim, osoba visie 180 cm je visoka isto kao i osoba visie 200 cm. TakoĊe, po defiicije datoj gore, dobija se drastiĉa razlika izmeċu visie 179 cm i 180 cm, što ije realo. Prethodi problem je moguće rešiti ako se dozvoli da karakteristiĉa fukcija uzima vredosti iz itervala [0, 1]. U ovom sluĉaju kocept pripadosti više ije obiĉa ego postaje fazi, u smislu reprezetovaja delimiĉog pripadaja. Neka je A klasiĉa podskup uiverzalog skupa U. Fazi skup A je defiisa pomoću skupa ili ureċeih parova, biarom relacijom, A = {(x, μ A (x)) x A, μ A (x) [0, 1]}, (2.1) gde je μ A (x) fukcija pripadosti. μ A (x) predstavlja stepe pripadosti ekog elemeta iz A fazi skupu A. (2.1) pokazuje da se svakom elemetu x iz A dodeljuje reala broj μ A (x) iz itervala [0, 1]. Veća vredost μ A (x) predstavlja veći stepe pripadosti. Ovde se pretpostavlja da je fukcija pripadosti μ A (x) ili delimiĉo eprekida ili diskreta. Fazi skup A a osovu (2.1) je formalo jedak fukciji pripadosti μ A (x). Fazi skupovi su ozaĉei masim slovima A, B, C,... a odgovarajuće fukcije pripadosti sa μ A (x), μ B (x), μ C (x),... Elemeti sa ula stepeom pripadosti fazi skupu se obiĉo e prikazuju. 25

26 Klasiĉi skupovi se mogu posmatrati kao specijali sluĉaj fazi skupova, ĉija je karakteristiĉa fukcija jedaka 1. Fazi skup se zove ormalizova ako ajmaje jeda elemet x A dostiže maksimalu pripadost 1, iaĉe se skup zove eormalizova. Neka je skup A eormalizova, tada μ A (x)<1. Normalizovati skup skup A zaĉi ormalizovati jegovu μ fukciju pripadosti μ A (x), tj. μ A (x) = A (x). max μ A (x) A se zove praza skup, u ozaci, ako je μ A (x) = 0 za svako x A. Primer 2.1 [1] Neka je dat fazi skup A = {(x 1, 0.1), (x 2, 0.5), (x 3, 0.3), (x 4, 0.8), (x 5, 1), (x 6, 0.2)}. Ovo je diskreta fazi skup koji se sastoji od 6 ureċeih parova. Elemeti x i, i = 1,...,6, e moraju uvek biti brojevi. Fukcija pripadosti μ A (x) za A uzima sledeće vredosti: μ A (x 1 ) = 0.1, μ A (x 2 ) = 0.5, μ A (x 3 ) = 0.3, μ A (x 4 ) = 0.8, μ A (x 5 ) = 1, μ A (x 6 ) = 0.2. Elemet x 5 je potpui ĉla fazi skupa A, x 1 veoma malo, x 6 i x 3 su malo više ĉlaovi skupa A, x 4 je skoro potpui ĉla skupa A, dok x 2 je maje ili više ĉla A. Elemeti x i iz A se mogu predstaviti a razliĉite aĉie, ovde su prikazai samo eki od jih: (a) Neka su x i, i = 1,..., 6 prirodi brojevi, takvi da x 1 = 1, x 2 = 2,..., x 6 = 6 pripadaju skupu A {1, 2, 3, 4, 5, 6}, gde U = N. Tada fazi skup A postaje A = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.3), (4, 0.8), (5, 1), (6, 0.2)} Njegova fukcija pripadosti, predstavljea a Slici 9., je diskreta. (b) Neka su x i, i = 1,..., 6 Miloševi prijatelji, gde je x 1 = Iva, x 2 = Mila, x 3 = Deja, x 4 = Duša, x 5 = Nebojša i x 6 = Miro. Skup Miloševih prijatelja A ={Iva, Mila, Deja, Duša, Nebojša, Miro} je podskup uiverzalog skupa (svi Miloševi prijatelji). A predstavlja ajbliže Miloševe prijatelje A = {(Iva, 0.1), (Mila, 0.5), (Deja, 0.3), (Duša, 0.8), (Nebojša, 1), (Miro, 0.2)} 26

27 Slika 9. Fazi skup A = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 0.3), (4, 0.8), (5, 1), (6, 0.2)}. Primer 2.2 [1] U ovom primeru su predstavljei brojevi koji su blizu 10. (a) Prvo se posmatra fazi skup A 1 = {(x, μ A1 (x)) x [5, 15], μ A1 (x) = (x 10) 2} gde je, μ A1 (x) (Slika 10.) eprekida fukcija. Fazi skup A 1 predstavlja reale brojeve blizu 10. Slika 10. Reali brojevi blizu 10. (b) Prirodi brojevi blizu 10 mogu biti izražei pomoću koaĉog fazi skupa, koji se sastoji od sedam ureċeih parova A 2 = {(7, 0.1), (8, 0.3), (9, 0.8), (10, 1), (11, 0.8), (12, 0.3), (13, 0.1)}. 27

28 Fukcija pripadosti, μ A2 (x) (Slika 11.) je diskreta fukcija. Slika 11. Prirodi brojevi blizu 10. Iz primera Visoki ljudi može se videti da jihov opis pomoću klasiĉih skupova ije adekvata. Mogo bolji opis je dat pomoću fazi skupa A = {(x, μ A (x))}, gde je x izražeo u cm i pripada itervalu [160, 200] i μ A (x) je defiisao kao (Slika 12.) μ A (x) = 1 2(30) 2 (x 140)2 za 160 x < (30) 2 (x 200)2 + 1 za 170 x < 200 Fukcija pripadosti μ A (x) je eprekida, delimiĉo-kvadrata fukcija. Brojevi a horizotaloj x-osi predstavljaju visiu u cm, a vertikala μ-osa predstavlja a kom ivou povereja se može reći da je eki ĉovek visok. Ako je osoba visie 160 cm, oda je malo visoka, sa 180 cm osoba je skoro visoka a sa visiom od 200 cm osoba je visoka. Slika 12. Primer Visoki ljudi predstavlje pomoću fazi skupa 28

29 Dalje se defiiše α-presek (eg. α-cut), ozaĉe sa α A, kao klasiĉa skup elemeata x koji pripadaju A, ajmaje do stepea α: α A = {x x R, μ A (x) α }, α [0, 1] (2.2) Ova defiicija daje prag, koji pruža ivo povereja u odluku modelirau pomoću fazi skupa. Prag se može iskoristiti da bi se izbacili iz razmatraja elemeti x iz A ĉiji je stepe pripadosti μ A (x) < α. Na primer, može se uzeti prag, tj. α-presek, 0.5 A da bi se izbacili iz razmatraja osobe ĉija je visia ispod 170 cm. Svaki fazi podskup se može rekostruisati pomoću svojih α-preseka, preko specijalih fazi podskupova αa α. αa α je fazi skup, koji svakom elemetu ĉija je fukcija pripadosti skupu A veća ili jedaka α pridružuje fukciju pripadosti jedaku α, dok svim ostalim elemetima pridružuje fukciju pripadosti jedaku 0. Naime, važi sledeća teorema o dekompoziciji fazi skupa. Teorema 2.1 [12] Za svaki fazi podskup A važi A = α [0,1] αa α, gde je uija fazi skupova. Dokaz: Neka je x proizvolja fiksa elemeat iz X i eka je μ A (x) = r. Tada je μ α [0,1] αa α (x) = sup μ αaα (x) = max(sup μ αaα (x), sup μ αaα (x)) α [0, 1] α [0, r] α [r, 1] Kako je za α [0, r] uvek μ A (x) = r α, to je μ αaα = α, a za α (r, 1] uvek je μ A (x) = r < α, pa je μ αaα = 0, te važi μ α [0,1] αa α (x) = sup α = r = μ A (x) α [0, 1] Fazi skup A, a uiverzalom skupu U = R, je koveksa ako i samo ako je α-presek itervala α A (Slika 13.) koveksa za svako α iz itervala (0, 1]. U tom sluĉaju, svi α-preseci itervala α A se sastoje od jedog segmeta (Slika 13.(a)). Iaĉe, skup je ekoveksa (Slika 13.(b)). 29

30 Slika 13. (a) Koveksi fazi skupovi; (b) Nekoveksi fazi skupovi 2.2 Fazi brojevi Fazi broj predstavlja prošireje klasiĉog broja u smislu da se e odosi a jedu vredost, već a skup vredosti. Svaka moguća vredost se alazi izmeċu 0 i 1. U ovom radu će se posmatrati fazi brojevi u skladu sa defiicijom iz [12]. Rezultati prezetovai u ovom poglavlju su iz [1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 15]. Defiicija 2.1 [12] Fazi skup A iz uiverzalog skupa R je fazi broj ako je koveksa i ormalizova tj. μ A (x) = 1 za eko x R i za sve x, y, z R, takve da je x < y < z, važi μ A (y) mi(μ A (x), μ A (z)). Na Slici 14.(a), (b) su prikazaa dva fazi broja. Prvi je sa maksimumom, gde dostiže maksimalu pripadost μ A (x) = 1 samo u jedoj taĉki (a M, 1). Drugi je sa ravim delom (eg. with flat), gde maksimala pripadost μ A (x) = 1 ije karakteristiĉa samo za jedu taĉku, ego za ceo iterval [b 1, b 2 ]. U suštii, to je α-presek sa ajvećim stepeom pripadosi 1. Fazi broj sa ravim delom se ajĉešće koristi za aplikacije u realom vremeu. Na primer, ormalizova fazi skup a Slici 13.(a) je fazi broj, dok skupovi a Slici 13.(b) isu. Fazi skup a Slici 12. je takoċe fazi broj. Fazi skup a Slici 11. je fazi skup u skupu prirodih brojeva, dok fazi skup a Slici 9. ije. TakoĊe, mogu se razmatrati i fazi brojevi sa ravim delom u skupu prirodih brojeva. Fazi brojevi se ozaĉavaju kosim slovima A, B, C,..., a jihove fukcije pripadosti sa μ A (x), μ B (x), μ C (x),... ili sa A(x), B(x), C(x),... 30

31 Slika 14. Fazi brojevi (a) sa maksimumom (b) sa ravim delom Delimičo-kvadrati fazi brojevi Iterval [a 1, a 2 ] (Slika 14.) se zove osaĉ (eg. supportig iterval) za fazi broj. O predstavlja iterval, gde je fukcija pripadosti μ A (x) > 0. Fukcija pripadosti μ A (x) delimiĉo-kvadratog fazi broja (Slika 15.) ima oblik zvoa, simetriĉa je u odosu a x = p, ima osaĉ [a 1, a 2 ] i za ju su karakteristiĉa dva parametra p = 1 2 (a 1+a 2 ) i β (0, a 2 - p). Vrh (taĉka maksimuma) je (p, 1). 2β se zove širia opsega defiisaa kao segmet (α-presek) a ivou α = 1 2 izmeċu taĉaka (p - β 1, 1 2 ) i (p + β 1, 1 2 ). Slika 15. Delimičo-kvadrati fazi broj 31

32 Kriva a Slici 15. je opisaa pomoću jedaĉia: 1 2(p β a1) 2 (x - a 1 ) 2-1 2β 2 (x - p) za a 1 x p - β za p - β x p + β 1 2(p + β a2) 2 (x - a 2 ) 2 za p + β x a 2 0 iaĉe Trougaoi fazi brojevi Trougaoi fazi broj A ili jedostavije trougaoi broj sa fukcijom pripadosti μ A (x) je defiisa a R pomoću x a 1 a M a 1 za a 1 x a M μ A (x) = x a 2 a M a 2 za a M x a 2 (2.3) 0 iaĉe gde je [a 1, a 2 ] osaĉ a taĉka (a M, 1) je vrh (Sliku 16.). Slika 16. Trougaoi fazi brojevi Ĉesto, u aplikacijama, taĉka a M (a 1, a 2 ) se alazi a sredii osaĉa, tj. a M = a 1 + a 2. 2 Tada, ubacujući ovu vredost u (2.3) dobija se: 2 x a 1 a 2 a 1 za a 1 x a M μ A (x) = 2 x a 2 a 1 a 2 za a M x a 2 (2.4) 0 iaĉe 32

33 Slika 17. (a) Cetrali trougaoi broj; (b) Cetrali trougaoi broj simetriča u odosu a μ (2.4) predstavlja cetrali trougaoi broj (Slika 17.(a)). Sliĉo kao kod delimiĉokvadratog fazi broja veoma je diskutabilo opisati reĉ blizu (blizu a M ). Trougaoi brojevi imaju fukciju pripadosti koja se sastoji od dva lieara segmeta, A l (levo) i A r (deso), koja se spajaju pri vrhu (a M, 1), što ĉii grafiĉku prezetaciju i operacije sa trougaoim brojevima veoma jedostavim. TakoĊe, veoma je važo da se mogu kostruisati a osovu veoma malo iformacija. Trougaoi broj može biti kostruisa a osovu tri vredosti a 1, a M i a 2, a pomoću tih vredosti se može apisati i jegova fukcija pripadosti. Zbog toga se trougaoi broj još ozaĉava kao: A = (a 1, a M, a 2 ). Desi segmet (Slika 17.(b)) za A = (-a, 0, a), opisuje pozitivo malo, pr. mlade godie, mali profit, mali rizik... Ozaĉava se sa A r = (0, 0, a). Levi segmet A l opisuje pozitivo veliko, pr. stare godie, veliki profit, visok rizik... Uopšteo važe sledeće ozake: A l = (a 1, a M, a M ) i A r = (a M, a M, a 2 ) LR-fazi iterval Specijalu podklasu fazi itervala predstavljaju LR-fazi itervali. U suštii, LR-fazi itervali su fazi itervali sa ograiĉeim osaĉem. Defiicija 2.2 [4] Neka su L i R opadjuća i eprekida preslikavaja iz [0, 1], takva da L(0) = R(0) = 1 i L(1) = R(1) = 0, i eka je (l, r, β, γ) R 4, tako da l r, γ > 0 i β > 0. Fazi broj A defiisa sa 33

34 0, x l - β L( l x β ), l - β x l A(x) = 1, l x r x r R( ), r x r + β γ 0, r + γ x se zove LR-fazi iterval i ozaĉava sa A = (l, r, β, γ) LR Trapezoidi fazi brojevi mada kao: Trapezoidi fazi broj A ili jedostavije trapezoidi broj (Slika 18.) je defiisa ad R x a 1 b 1 a 1 za a 1 x b 1 1 za b 1 x b 2 μ A (x) = (2.5) x a 2 b 2 a 2 za b 2 x a 2 0 iaĉe Nosaĉ je [a 1, a 2 ] a ravi deo a ivou α = 1 ima projekciju [b 1, b 2 ] a x-osi. Sa ĉetiri vredosti a 1, a 2, b 1 i b 2 može se kostruisati trapezoidi broj (2.5). Može se ozaĉiti još kao: A = [a 1, b 1, b 2, a 2 ] Iako je ovo fazi broj, treba primetiti da predstavlja i fazi iterval sa lieraim segmetima. Ako je b 1 = b 2 = a M, trapezoidi broj postaje trougaoi broj, a ako je [a 1, b 1 ] = [b 2, a 2 ] oda se dobija simetriĉi trapezoidi broj u odosu a x = b 1+b 2 2 (Slika 18.(b)). 34

35 Slika 18. (a) Trapezoidi fazi broj; (b) Simetriči trapezoidi fazi broj Sliĉo, kao i kod trougaoih brojeva mogu se predstaviti levi i desi trapezoidi brojevi kao delovi trapezoidog broja. Desi segmet ozaĉe sa A r = (b 1, b 1, b 2, a 2 ) ima osaĉ [b 1, a 2 ] a levi segmet A l = (a 1, b 1, b 2, b 2 ) ima osaĉ [a 1, b 2 ]. Slika 19. (a) Desi trapezoidi broj A r predstavlja malo (b) Levi trapezoidi broj A l predstavlja veliko Posebi sluĉajevi fazi brojeva obuhvataju obiĉe reale brojeve i iterval realih brojeva, kao što je ilustrovao a Slici 20. : (a) obiĉa reala broj 1.3; (b) obiĉa zatvorei iterval 35

36 [1.25, 1.35]; (c) fazi broj koji izražava propoziciju blisku 1.3 ; i (d) fazi broj sa ravom oblasti (fazi iterval). Slika 20. Poređeje realog broja i običog itervala sa fazi brojem, odoso fazi itervalom Sledeća teorema pokazuje da fukcije pripadosti mogu, uopšteo gledajući, biti fukcije defiisae po delovima. Teorema 2.2 [10] Neka je A F(R), gde je F (R) skup svih fazi podskupova skupa realih brojeva. Tada A je fazi broj ako i samo ako postoji zatvorei iterval [a, b] takav da: x a, b x, a rx ( ) x b, 1 A( x) l( x) (2.6) gde je l fukcija iz (, a) u [0, 1], mootoo rastuća, eprekida sa dese strae, takva da l(x) = 0 za x (, ω₁); r je fukcija iz (b, ) u [0, 1] mootoo opadujuća, eprekida sa leve strae, takva da r(x) = 0 za x (ω₂, ). Dokaz: Potreba uslov. Pošto je A fazi broj, ᵅA je zatvorei iterval za svako α (0, 1]. Za α = 1, 1 A je e-praza zatvorei iterval, jer je A ormalizovao. Stoga, postoji par a, b R 36

37 takav da 1 A = [a, b], gde je a b. To jest, A(x) = 1 za x [a, b] i A(x) < 1 za x [a, b]. Tada je 0 l(x) < 1, jer je 0 A( x) 1, x (, a). Neka je x y a, A( y) mi A( x), A( a) A( x) pošto je A kovekso i A(α) = 1. Stoga, l(y) l(x); to jest, l je mootoo rastuće. Sada se pretpostavlja da l(x) ije eprekido sa dese strae. Ovo zaĉi da za eko x0 (, a) postoji iz brojeva { x } takav da je x x 0, x i da je lim x = x 0 ali lim l(x ) = lim A(x ) = α > l(x 0 ) = A(x 0 ) Sada, x ᵅA za eko jer je ᵅA zatvorei iterval i stoga takoċe x 0 ᵅA. Dakle, l(x 0 ) = Ax ( 0), što je kotradikcija. To jest, l(x) je eprekido sa dese strae. Dokaz da je fukcija r a Slici 21. mootoo opadajuća i da je eprekida sa leve strae je sliĉa. Pošto je A fazi broj, ⁰+A je ograiĉeo. Dakle, postoji par ω₁, ω₂ R koaĉih brojeva gde važi A(x) = 0 za x (, ω 1 ) (ω 2, ). Dovolja uslov. Svaki fazi skup A defiisa putem (2.6) je oĉigledo ormalizova, a jegova podrška ⁰+A je ograiĉea, jer je ⁰+A [ω₁, ω₂]. Ostaje da se dokaže da je ᵅA zatvorei iterval za svako α (0, 1]. Neka je x α = if{x l(x) α, x < a}, y α = sup{x r(x) α, x > b} za svako α (0, 1]. Treba dokazati da je ᵅA = [x α, y α ] za svako α (0, 1]. Za svako x 0 ᵅA, ako x 0 < a, tada l(x 0 ) = A(x 0 ) α. To jest, x0 { x l( x), x a}, i zbog toga, x0 if{ x l( x), x a} x. Ako je x 0 >b, oda r(x 0 ) = A(x 0 ) α; to jest x0 { x r( x), x b}, i zbog toga, x 0 sup{x r(x) α, x > b }= y α. Oĉigledo, x α a, i y α b; to jest, [a, b] [x α, y α ]. Stoga, x 0 [x α, y α ], i sledi da je ᵅA [x α, y α ]. Ostaje da se dokaže da je x α, y α ᵅA. Po defiiciji x α, mora postojati iz { x } u { x l( x), x a} takav da lim x = x α, gde je x x α za bilo koje. Pošto je l eprekido sa dese strae, dobija se Dakle, x l(x α ) = x( lim x ) = lim l(x ) α. A. Na sliĉa aĉi se može dokazati da y A. 37

38 Posledica teoreme 2.2 je da svaki fazi broj može biti predstavlje u obliku (2.6). U opštem smislu, ova forma dozvoljava da se fazi brojevi defiišu po delovima, kao što je ilustrovao a Slici 21. Slika 21. Uopštei fazi broj A predstavlje pomoću (2.6) Primer 2.3 [10] Defiisaa su ĉetiri fazi broja sa Slike 20. u odosu a (2.6): (a) w1 a b w2 1.3 x (,1.3), l( x) 0 x (1.3, ), r( x) 0 (b) w a 1.25, w b x (,1.25), l( x) 0 x (1.35, ), r( x) 0 (c) a b 1.3, w 1.2, w

39 lx ( ) 0 x (,1.2) 10( x 1.3) 1 x [1.2,1.3) rx ( ) 10(1.3 x) 1 x (1.3,1.4] (d) a 1.28, b 1.32 w 1.2, w x (1.4, ) lx ( ) 0 x (,1.2) 12.5( x 1.28) 1 x [1.2,1.28) rx ( ) 12.5(1.28 x) 1 x (1.32,1.4] 0 x (1.4, ) Na primer, fazi broj kojim se izražava ligvistiĉki kocept veoma veliko, kao što je ilustrovao a Slici 22., je izraže pomoću (2.6) kao što sledi: a = 90, b = 100, ω₁ = 77,5 i ω₂ = 100, 0 lx ( ) 0.08( x 90) 1 x,77.5 x 77.5, r( x) 0, x (100, ). 39

40 Slika 22. Primer ligvističke promeljive 2.3 Ligvističke promeljive Kocept fazi broja igra fudametalu ulogu u formulisaju kvatitativih fazi promeljivih. Ovo su promeljive ĉija su staja fazi brojevi. Kada, uz to, fazi brojevi predstavljaju ligvistiĉke vredosti, kao što su veoma malo, malo, sredje, itd, kako se već tumaĉi u odreċeom kotekstu, kostrukcije koje astaju se obiĉo azivaju ligvističke promeljive [1, 2, 10]. Svaka ligvistiĉka promeljiva, ĉije je staje izražeo ligvistiĉkim termiima se iterpretira kao specifiĉa fazi broj, defiisaa je putem osove promeljive, ĉije vredosti su reali brojevi sa specifiĉim raspoom. Osova promeljiva je promeljiva u klasiĉom smislu, predstavljea je kao fiziĉka promeljiva (temperatura, pritisak, brzia, voltaža, vlažost, itd), a može i kao bilo koja umeriĉka promeljiva (dob, kamata stopa, performasa, plata, krva slika, verovatoća, pouzdaost, itd). Kod ligvistiĉkih 40

41 promeljivih, ligvistiĉki termii koji predstavljaju približe vredosti osove promeljive, u okviru specifiĉe primee, prikazai su odgovarajućim fazi brojevima. Svaka ligvistiĉka promeljiva je potpuo okarakterisaa petorkom (v, T, X, g, m), gde je v ime promeljive, T je skup ligvističkih termia v koji se odose a osovu promeljivu, ĉiji dome je u okviru uiverzalog skupa X, g je sitaktičko (gramatičko) pravilo za geerisaje ligvistiĉkih termia, a m je sematičko pravilo koje dodeljuje zaĉeje svakom t T ligvistiĉkom termiu jegovo začeje, m(t), koje je fazi skup iz X (pr, m : T F (X) ). Primer ligvistiĉke promeljive je prikaza a Slici 22. Njeo ime je performasa. Ova promeljiva izražava performasu (koja je u ovom primeru osova promeljiva) ciljo orijetisaog etiteta (osobe, mašie, orgaizacije, metoda, itd) u datom kotekstu u pet osovih ligvistiĉkih termia veoma malo, malo, sredje, veliko, veoma veliko kao i putem drugih ligvistiĉkih termia geerisaih sitaktiĉkim pravilima (ije eksplicito prikazao Slikom 22.), kao e vrlo malo, veliko ili veoma veliko, vrlo vrlo malo, itd. Svakom od osovih ligvistiĉkih termia je dodelje jeda od fazi brojeva putem sematiĉkih pravila. Fazi brojevi ĉije fukcije pripadosti imaju uobiĉaje trapezoidi oblik, defiisai su itervalom [0, 100], što je dome osove promeljive. Svaki od jih predstavlja fazi ograiĉeje ovog domea. Da bi se bavili ligvistiĉkim promeljivama, potrebe su e samo raze teoretske operacije sa skupovima, već takoċe i aritmetiĉke operacije a fazi brojevima. 2.4 Aritmetičke operacije a fazi brojevima U ovom poglavlju su predstavljee dve metode fazi aritmetike. Jeda metod se zasiva a aritmetici itervala tj. posmatraju se α-preseci a drugi metod koristi pricip prošireja, putem kojeg se operacije ad realim brojevima proširuju i a fazi brojeve. U ovom poglavlju se pretpostavlja da su fazi brojevi predstavljei eprekidim fukcijama pripadosti. Rezultati prezetovai u ovom poglavlju su iz [3, 4, 10, 11, 15, 16] Aritmetičke operacije a fazi brojevima α presek Fazi aritmetika je zasovaa a dve osobie fazi brojeva: (1) svaki fazi skup, a time i svaki fazi broj, mogu u potpuosti i jedistveo biti predstavljei svojim α presecima; i (2) α -preseci svakog fazi broja su zatvorei itervali realih brojeva za svako α (0, 1]. Ove osobie omogućavaju da se defiišu aritmetiĉke operacije a fazi brojevima kao aritmetiĉke operacije a jihovim α presecima (pr. kao aritmetiĉke operacije a zatvoreim iteralima). 41

42 Neka predstavlja bilo koju od ĉetiri aritmetiĉke operacije a zatvoreim itervalima: sabiraje +, oduzimaje -, možeje, i deljeje /. Tada je sa a, b d, e f g a f b, d g e dato prošireje elemetarih aritmetiĉkih operacija a zatvoree itervale, osim što [a, b] / [d, e] ije defiisao kada 0 [d, e]. Ĉetiri aritmetiĉke operacije a zatvoreim itervalima su defiisae a sledeći aĉi: [ a, b] [ d, e] [ a d, b e] [ a, b] [ d, e] [ a e, b d) [ a, b] [ d, e] [mi( ad, ae, bd, be),max( ad, ae, bd, be)] (2.7) (2.8) (2.9) i, ako važi 0 [ d, e], sledi a a [ a, b]/[ d, e] [ a, b] [1/ e,1/ d] [mi(,, d e b d b, ),max( e a d a,, e b d b, )] e (2.10) Treba primetiti da reala broj r može takoċe da se posmatra kao kao specijali degeerisai (eg. degeerated) iterval [r, r]. Kada je jeda od itervala iz (2.7) (2.10) degeerisa, dobijaju se specijale operacije, a kada su oba degeerisaa, dobija se stadarda aritmetika realih brojeva. Aritmetiĉke operacije a zatvoreim itervalima imaju izvesa korisa svojstva, a to su: komutativost, asocijativost, idetitet, poddistributivost, distributivost i obuhvataje mootoosti (eg. iclusio mootoicity). Neka A i B ozaĉavaju fazi brojeve i eka * ozaĉava bilo koju od ĉetiri osove aritmetiĉke operacije. Tada, se defiiše fazi skup ad R, A * B, defiišući jegov α presek ᵅ(A * B) kao: ᵅ(A * B) = ᵅA * ᵅB (2.11) za svako α (0, 1] (kad * = /, oĉigledo je da mora da važi 0 ᵅB za svako α (0, 1]. Zbog teoreme 2.1, A * B se može izraziti kao A * B = α (0,1] α(a B) α (2.12) Pošto je ᵅ(A * B) zatvorei iterval za svako α (0, 1] i A, B su fazi brojevi, A * B je takoċe fazi broj. U aredom primeru se može videti primea (2.11) i (2.12). 42

43 Primer 2.4 [10] Neka su A i B trougaoi fazi brojevi, koji su defiisai a sledeći aĉi: Njihovi α preseci su : 0 x 1, x 3 A(x) = (x+1)/2 1 x 1 (3-x)/2 1 x 3 0 x 1, x 5 B(x) = (x-1)/2 1 x 3 (5-x)/2 3 x 5 Koristeći (2.7) (2.10), dolazi se do: ᵅA = [2α - 1, 3-2α], ᵅB = [2α + 1, 5-2α]. ᵅ(A + B) = [4α, 8-4α] za α (0, 1] ᵅ(A - B) = [4α - 6, 2-4α] za α (0, 1] ᵅ(A B)= ᵅ(A / B)= [ 4α2 + 12α 5, 4α2 16α + 15] za α (0, 0.5] [4α2 1, 4α2 16α + 15] za α (0.5, 1] [(2α 1) / (2α + 1), (3 2α) / (2α + 1)] za α (0, 0.5] [(2α 1) / (5 2α), (3 2α) / (2α + 1)] za α (0.5, 1] Prethodo dobijei α-preseci odgovaraju sledećim fazi brojevima: 0 x 0, x 8 ( A B)( x) x 4 8 x 4 0 x 4 4 x 8 43

44 0 x 6, x 2 ( A B)( x) x x 4 6 x 2 2 x 2 0 x 5, x (4 x) x 0 (A B)(x) = 1 (1 x) x (1 x) x 15 0 x < -1, x 3 (A / B)(x) = (x + 1) / (2-2x) -1 x < 0 (5x + 1) / ( 2x + 2) 0 x < 1/3 (3 - x) / (2x + 2) 1/3 x 3 Metod rekostrukcije fazi skupa a osaovu α-preseka je dat teoremom Aritmetičke operacije a fazi brojevima pricip prošireja Druga metoda za razvijaje fazi aritmetike je baziraa a pricipu prošireja. Na osovu ovog pricipa, stadarde aritmetiĉke operacije a realim brojevima su proširee a fazi brojeve. Formulacija Zadehovog sup T pricipa prošireja [16] je data a sledeći aĉi: 44

45 Neka su A 1,..., A fazi podskupovi klasiĉih skupova X 1,..., X redom, i eka je preslikavaje f : X 1... X Y takvo da za svaku -torku (x 1,,x) X 1... X važi f (x 1,,x) = y Y. Za proizvolju t-ormu T, kao rezultat uopšteog pricipa prošireja se dobija B = f (A 1,..., A ), fazi podskup od Y, ĉija je fukcija pripadosti: μ B (y) = sup y T{ μ A1 (x 1 ),, μ A (x )}, ako postoji y = f (x 1,, x ) 0, iače U sluĉaju da se za t-ormu uzme T M, dobija se orgiali Zadehov pricip prošireja. Koristeći uopšte pricipa prošireja dolazi se do formule za izraĉuavaje sume fazi brojeva pomoću t-ormi. Neka * ozaĉava bilo koju od ĉetiri osove aritmetiĉke operacije i eka su A i B fazi brojevi. Tada se fazi skup a R, A * B, defiiše pomoću jedaĉie (A * B)(z) = sup T [ A(x), B(y)] z = x * y za svako z R, gde je T proizvolja trougaoa orma. Kokretije, za svako z R, defiiše se: (A + B)(z) = sup T [ A(x), B(y)], z = x + y (A - B)(z) = sup T [ A(x), B(y)], z = x - y (A B)(z) = sup T [ A(x), B(y)], z = x y (A / B)(z) = sup T [ A(x), B(y)]. z = x / y Ovako defiisao (A * B) jeste fazi skup ad R. Nareda teorema daje odgovor kda je to baš fazi broj ako u sluĉaju origiale deficije: za svako z R. (A * B)(z) = sup mi[ A(x), B(y)], z = x * y Teorema 2.3 [10] Neka * {+, -,, /} i eka su A i B eprekidi fazi brojevi. Tada je fazi skup A * B, defiisa sa: eprekida fazi broj. (A * B)(z) = sup mi [ A(x), B(y)] z = x * y 45

46 Dokaz: Prvo se dokazuje (2.11) tako što se pokaže da je α (A * B) zatvorei iterval za svako α ϵ (0, 1]. Za bilo koje z ᵅA * ᵅB, postoji eko x 0 ᵅA, i eko y 0 ᵅB tako da je z = x 0 y 0. Sledi da je: Dakle, z ᵅ(A * B), i stoga, (A B) (z) = sup mi [A(x), B(y)] mi [A (x0 ), B (y 0 )] α. z = x * y ᵅA * ᵅB ᵅ(A * B) Za svako z ᵅ(A * B), dobija se (A B) (z) = sup mi [A(x), B(y)] α. z = x * y Štaviše, za svako > [1/α] + 1, gde [1/α] ozaĉava ajveći ceo broj koji je maji ili jedak 1 / α, postoji x i y tako da z = x * y, pa je mi [A(x ), B(y )] > α - 1/. Stoga, x α - 1/ A, y α - 1/ B i mogu se posmatrati dva iza { x } i { y }. Pošto je dobija se α - 1/ α - 1/( + 1), α - 1/(+1) A α - 1/ A, α - 1/(+1) B α - 1/ B. Dakle, {x } i {y } spadaju u α - 1/ A, odoso u α - 1/ B, respektivo. Pošto su zatvorei itervali, {x } i {y } su ograiĉei itervali. Prema tome, postoji kovergeta podiz {x, i }, takav da x, i x 0. Kod korespodirajućeg podiza {y, i }, takoċe postoji kovergeta podiz {y, i, j } takav da y, i, j y 0. Ako se uzme korespodirajući podiz {x, i, j } iz {x, i }, tada x, i, j x 0. Dakle, dobijaju se dva iza {x, i, j } i {y, i, j }, takva da Sada, pošto je * eprekido, x, i, j x 0, y, i, j y 0, i x, i, j * y, i, j = z. z = lim j x, i, j * y, i, j = (lim j x, i, j ) * (lim j y, i, j ) = x 0 * y 0. TakoĊe, pošto je A(x, i, j ) > α - 1/ i, j i B(y, i, j ) > α - 1/ i, j A(x 0 ) = A( lim j x, i, j ) = lim j A(x, i, j ) lim j (α - 1/ i, j ) = α B(y 0 ) = B( lim j y, i, j ) = lim j B(y, i, j ) lim j (α - 1/ i, j ) = α Dakle, postoji takav x 0 α A i y 0 α B takvi da z = x 0 + y 0, z α A * α B. Sledi da je α (A * B) α A * α B 46

47 i shodo tome, α (A * B) = α A * α B. Sada se dokazuje da A * B mora biti eprekido. Po teoremi 2.2, fukcija pripadaja A * B mora biti uopštee forme opisae pomoću (2.6). Neka A * B ije eprekido za z 0, tj. eka je lim (A * B)(z) < (A * B)(z 0 ) = sup mi[a(x), B(y)] - z z 0 z o = x * y Tada, moraju postojati x 0 i y 0 takvi da je z 0 = x 0 * y 0 i lim (A * B)(z) < mi[a(x 0 ), B(y 0 ) (2.13) z z 0 - Pošto je operacija * {+, -,*, / } mootoa u odosu a prvi i drugi argumet, uvek se mogu proaći dva iza {x } i {y } takva da x x 0, y y 0 dok, i x * y < z 0 za bilo koje. Neka je z = x * y, tada z z 0, kada. Stoga, lim (A * B)(z) = lim (A B)(z ) = lim sup mi[a(x), B(y)] z z 0 - z = x * y lim mi[a(x ), B(y )] = mi[a(lim x ), B(lim y )] = mi[a(x 0 ), B(y 0 )]. što je u kotradikciji sa (2.13), i zato A * B mora biti eprekida fazi broj. U ovom delu sekcije sledi pregled rezultata iz [11] za sumu LR-fazi itervala bazirao a razliĉitim trougaoim ormama Suma LR-fazi itervala za T M Na osovu formule iz teoreme 2.3 koristeći t-ormu T umesto miimuma dobija se sledeće tvrċeje. Tvrđeje 2.1 [4] Neka je dato fazi itervala A i, gde i = 1,...,. Tada, suma A = i = 1 A i zadovoljava α A = i = 1 α A i za α [0, 1]. Posledica 2.1 [4] Neka je dato LR-fazi itervala A i = (l i, r i, β i, γ i ) LR, i = 1,...,, oda je suma i = 1 A i data sa 47

48 i = 1 A i = ( i = 1 l i, i = 1 r i, i = 1 β i, i = 1 γ i ) LR. Treba primetiti da se poklapa sa itervalim pristupom Suma LR-fazi iterval za T D Na osovu Zadehovog pricipa prošireja koristeći T = T D važe sledeća dva tvrċeja. Tvrđeje 2.2 [4] Neka je dato fazi itervala A i, i = 1,...,. Neka je 1 A i = [l i, r i ], i = 1,...,. Za T D -sumu A = T A i = 1 i važi 1 A = [l, r], gde l = i = 1 l i, r = i = 1 r i i A(x) = max max i = 1 i = 1 Ai (x r + ri), x r Ai (x l + li), x 1 Tvrđeje 2.3 [4] Neka je dato LR-fazi itervala A i = (l i, r i, β i, γ i ) LR, i = 1,...,, oda je T D -suma T i = 1 data sa A i T A i = 1 i = ( i = 1 l i, i = 1 r i, max i = 1 β i, max i = 1 γ i) LR Suma LR-fazi iterval za T P Ovde se posmatraju LR-fazi itervali sa idetiĉim osaĉem (iterval a kome je μ A (x) > 0). Na osovu Zadehovog pricipa prošireja koristeći T = T P dobija se sledeće tvrċeje. Tvrđeje 2.4 [4] Neka je data t-orma T P i LR-fazi itervala A i = (l i, r i, β i, γ i ) LR, i = 1,...,. Ako su logl i logr kokavi, oda je T P -suma T A i = 1 i data sa L l x ( ), β l - β x l T i = 1 A i (x) = 1, l x r R x r ( ), γ 0, iače r x r + γ 48

49 gde l = i = 1 l i i r = i = 1 r i, tj. A i = ( i = 1 l i, r i, β, γ) L R T i = 1 i = Suma LR-fazi iterval za Arhimedovu t-ormu Tvrđeje 2.5 [4] Neka je data eprekida Arhimedova t-orma T sa aditivim geeratorom f i LR-fazi itervala A i = (l i, r i, β, γ) LR, i = 1,...,. Ako je f dva puta diferecijabila i strikto koveksa, i ako su L i R dva puta deferecijabili i kokavi, oda je T-suma A i data sa T i = 1 f (-1) l x (f (L ( β ))), l - β x l T i = 1 A i (x) = 1, l x r f (-1) x r (f (R ( ))), γ r x r + γ 0, iače gde l = i = 1 l i i r = i = 1 r i Suma LR-fazi iterval za T L U sluĉaju kada pretpostavka o jedakim osaĉima više e važi, tada su rezultati pozati samo za ilpotete t-orme. Na osovu Zadehovog pricipa prošireja koristeći T = T L dobija se sledeće tvrċeje. Tvrđeje 2.6 [4] Neka je data Lukasiewiez t-orma T L i L i R i -fazi itervala A i = (l i, r i, β i, γ i ) LiRi, i = 1,...,. Ako su L i i R i koveksi, i = 1,...,, oda je T L -suma T A i = 1 i data sa max i = 1 Ai (x l + li), x < 1 T i = 1 A i (x) = 1, l x r max i = 1 Ai (x r + ri), r < x 49

50 gde l = i = 1 l i i r = i = 1 r i. Ovde se obraċuje suma LR-fazi itervala zasovaih a t-ormi, koje ĉuva LR oblik. Ustaovljea je veza izmeċu sabiraja zasovaog a t-ormi koje ĉuva liearost fazi itervala, i sabiraja ivertibilih L i R oblika, koje e meja LR oblik. U radu je prikazaa mogućost kotrole šireja osaĉa za vreme izraĉuavaja u kojima uĉestvuju LR-fazi itervali [11]. 2.5 Mreža fazi brojeva Kao što je dobro pozato, skup realih brojeva R je liearo ureċe. Za svaki par realih brojeva x i y, ili je x y, ili y x. Par (R, ) je mreža, koja takoċe može biti izražea putem dve operacije za mreže, x x y mi( xy, ) y y x (2.14) y x y max( xy, ) x y x (2.15) za svaki par x, y R. Lieari poredak realih brojeva se e proširuje a fazi brojeve, ali u ovom poglavlju se pokazuje da fazi brojevi mogu biti parcijalo ureċei i da ovo parcijalo ureċeje formira distributivu mrežu. Da bi se uvelo ureċeje fazi broja koje ima smisla, prvo se proširuju operacije za mreže mi i max ad realim brojevima, kao što je odreċeo putem (2.14) i (2.15), u korespodirajuće operacije MIN i MAX. Za bilo koja dva fazi broja A i B i za svako z R, defiisao je sledeće MIN(A, B)(z) = sup mi[a(x), B(y)] (2.16) z = mi(x, y) MAX(A, B)(z) = sup mi[a(x), B(y)] (2.17) z = max(x, y) Treba primetiti da se simboli MIN i MAX, koji ozaĉavaju uvedee operacije a fazi brojevima, moraju razlikovati od simbola mi i max, koji ozaĉavaju operacije miimum i maximum ad realim brojevima. Pošto su mi i max eprekide operacije, iz (2.16) i (2.17), i dokaza teoreme 2.3, sledi da su MIN (A, B) i MAX (A, B) fazi brojevi. Za svaki reala broj a 1, a 2, b 1 i b 2 i za fazi brojeve A = [a 1, a 2 ] i B = [b 1, b 2 ], operacije mi i max su defiisae a sledeći aĉi: 50

51 za miimum: [a 1, a 2 ] ( ) [b 1, b 2 ] = [a 1 b 1, a 2 b 2 ] za maksimum: [a 1, a 2 ] ( ) [b 1, b 2 ] = [a 1 b 1, a 2 b 2 ] Ako se uzmu kokrete vredosti, A = [3, 5] i B = [-2, 7], dobija se Primer 2.5 [10] za miimum: A ( ) B = [3 (-2), 5 7] = [-2, 5] za maksimum: A ( ) B = [3 (-2), 5 7] = [3, 7] Važo je uoĉiti da su operacije MIN i MAX potpuo razliĉite od stadardog fazi preseka i uije, mi i max. Razlika je prikazaa a Slici 23., gde 0 A( x) ( x 2) / 3 (4 x) / 3 x 2, x 4 2 x 1 1 x 4 0 B( x) x 1 3 x x 1, x 3 1 x 2 2 x 3 0 ( x 2) / 3 MIN( A, B)( x) (4 x) / 3 3 x x 2, x 3 2 x 1 1 x x 3 0 x 1, x 3 x 1 1 x 2 MAX ( A, B)( x) 3 x 2 x 2.5 (4 x) / x 4 Slika23. [10] a) Poređeje operacija MIN, mi 51

52 Slika 23. [10] b) Poređeje operacija MAX, max Neka R ozaĉava skup svih fazi brojeva. Tada su operacije MIN i MAX fukcije iz R x R u R. Sledeća teorema, koja prikazuje osova svojstva ovih operacija, omogućava da (R, MIN, MAX) bude distributiva mreža u kojoj MIN i MAX predstavljaju sresti (eg. meet) i pridružiti (eg. joi). Teorema 2.4 [10] Neka su MIN i MAX biare operacije ad R, defiisae putem (2.16) i (2.17). Tada, za svako A, B, C R, važi sledeće: (a) Komutativost : MIN(A, B) = MIN(B, A) MAX(A, B) = MAX(B, A) (b) Asocijativost : MIN(MIN(A, B), C)=MIN(A, MIN(B, C)) (c) Idempotetost : MIN(A, A) = A MAX(MAX(A, B), C)=MAX(A, MAX(B, C)) MAX(A, A) = A (d) Apsorpcija : MIN(A, MAX(A, B)) = A MAX(A, MIN(A, B)) = A (e) Distributivost: MIN(A, MAX(B, C)) = MAX(MIN(A, B), MIN(A, C) MAX(A, MIN(B, C)) = MIN(MAX(A, B), MAX(A, C)) 52

53 Dokaz: Dokazuju se samo svojstva (b), (d), i (e) (dokazi za (a) i (c) su oĉigledi). (b) Za svako z R, MIN[A, MIN(B, C)](z) = sup mi[a(x), MIN(B, C)(y)] z = mi(x, y) = sup mi[a(x), sup mi[b(u),c(v)]] z = mi(x, y) y = mi(u, v) = sup sup mi[a(x), B(u), C(v)] z = mi(x, y) y = mi(u, v) = sup mi[a(x), B(u), C(v)] z = mi(x, u, v) = sup sup mi[a(x), B(u), C(v)] z = mi(s, v) s = mi(x, u) = sup mi[ sup mi(a(x), B(u)), C(v)] z = mi(s, v) s = mi(x, u) = sup mi[ MIN(A, B)(s), C(v)] z = mi(s, v) = MIN [ MIN(A, B), C](z). Dokaz za MAX za asocijativost je aaloga. (d) Za svako z R MIN[A, MAX(B, C)](z) = sup mi[a(x), MAX(A, B)(y)] z = mi(x, y) = sup mi[a(x), sup mi[a(u), B(v)]] z = mi(x, y) y = max(u, v) = sup mi[a(x), A(u), B(v)] z = mi(x, max(u, v)) Neka M ozaĉava desu strau posledje jedaĉie. Pošto je B fazi broj, postoji v 0 R, takvo da je B(v 0 ) = 1. Zbog z = mi[z, max(z, v 0 )], dobija se M mi[a(z), A(z), B(v 0 )] = A(z). Sa druge strae, pošto je z = mi[x, max(u, v)], važi 53

54 mi( x, u) z x max( x, u). Zbog koveksosti fazi brojeva A( z) mi[ A(mi( x, u)], A[max( x, u)]] = mi[a(x), A(u)] mi[a(x), A(u), B(v)]. Time, M = A(z) i kao posledica tome, MIN[A, MAX(B, C)] = A. Dokaz drugog svojstva apsorpcije je sliĉa. (e) Za svako z R, lako je videti da MIN[A, MAX(B, C)](z) = sup mi(a(x), B(u), C(v)) (2.18) z = mi[x, max(u, v)] MAX [ MIN(A, B),MIN(A, C)](z) = sup mi(a(m),b(),a(s),c(t)) (2.19) z = max[mi(m, ), mi(s, t)] Da bi se dokazalo da su (2.18) i (2.19) jedaki, prvo se pokazuje da je E F, gde E = {mi[a(x), B(u), C(v)] mi[x, max(u, v)] = z} F = {mi[a(m), B(), A(s), C(t)] max[mi(m, ),mi(s, t)] = z}. Za svako a = mi[a(x), B(u), C(v)], takvo da mi[x, max(u, v)] = z, (a E), postoji m = s = x, = u, i t = v, takvo da max [mi(m, ), mi(s, t)] = max [mi(x, u),mi(x, v)) = mi[x, max(u, v)] = z. Dakle, a = mi[a(x), B(u), C(v)] = mi[a(m), B(), A(s), C(t)]. To jest, a F, i zbog toga, E F. To zaĉi da je (2.19) veće ili jedako od (2.18). Dalje se pokazje da su ove dve fukcije jedake pošto za svaki broj b iz F postoji broj a iz E takav da je b a. Za svako b F, postoji m,, s i t, takvo da Dakle, dobija se max [mi(m, ), mi(s, t)] = z, b = mi[a(m), B(), A(s), C(t)). z = mi[max(s, m), max(s, ), max(t, m), max(t, )]. 54

55 Neka je x = mi[max(s, m), max(s, ), max(t, m)], u =, v = t. Tada, važi Sa druge strae, lako se vidi da je Zbog koveksosti A, z = mi[x, max(u, v)] mi(s, m) x max(s, m). A(x) mi[a(mi(s, m), A(max(s, m))] = mi[a(s), A(m)]. Stoga, postoji a = mi[a(x), B(u), C(v)], sa mi(x, max(u, v)) = z (a F), i a = mi[a(x), B(u), C(v)] mi[a(s), A(m), B(), C(t)) = b. To jest, za svako b F, postoji a F, takvo da je b a. Ovim se implicira da sup F sup E. Ova ejedaĉia, zajedo sa prethodim rezultatom, pokazuje da se (2.18) poklapa sa (2.19). Sa ovim se okoĉava dokazivaje prvog zakoa distribucije. Dokaz drugog zakoa distribucije je aaloga. Mreža (R, MIN, MAX) se može izraziti i kao par (R, ) gde je parcijalo ureċeje defiisao sa: A B ako i samo ako MIN(A, B) = A ili, alterativo, A B ako i samo ako MAX(A, B) = B, za svako A, B R. Može se, takoċe, defiisati parcijalo ureċeje s obzirom a relevate α-preseke: A B ako i samo ako mi( α A, α B) = α A, A B ako i samo ako max( α A, α B) = α B za svako A, B R i α (0, 1], gde su α A i α B zatvorei itervali (pr. α A = [a 1, a 2 ], α B = [b 1, b 2 ]). Na osovu ove predpostavke i uvedeih ozaka α A i α B lako se može proveriti: mi( α A, α B) = [mi(a 1, b 1 ), mi(a 2, b 2 )], max( α A, α B) = [max(a 1, b 1 ), max(a 2, b 2 )]. Ako se defiiše parcijalo ureċeje zatvoreih itervala a uobiĉaje aĉi, tj. [a 1, a 2 ] [b 1, b 2 ] ako i samo ako a 1 b 1 i a 2 b 2, 55

56 tada, za svako A, B R, važi A B ako i samo ako α A α B za svako α (0, 1 ]. To zaĉi da, a primer, dva fazi broja A i B a Slici 23., isu uporediva. MeĊutim, vredosti ligvistiĉkih promeljivih u većii primea su defiisae fazi brojevima koji su uporedivi. Na primer, vredosti ligvistiĉke promeljive performasa prikazae a Slici 22., formiraju laac: vrlo malo malo sredje veliko vrlo veliko Iako skup R ije liearo ureċe, asuprot skupu R, postoje eki podskupovi od R koji su liearo ureċei. Takvi podskupovi su ajbrojiji u uobiĉajeim primeama teorije fazi skupova. 2.6 Fazi jedačie Jedo podruĉje teorije fazi skupova u kojoj fazi skupovi i aritmetiĉke operacije a fazi skupovima igraju fudametalu ulogu su fazi jedaĉie. To su jedaĉie kod kojih su koeficijeti i epozate fazi brojevi, a formule se kostruišu operacijama fazi aritmetike. Takve jedaĉie imaju veliku potecijalu primeljivost. Na žalost, jihova teorija još ije dovoljo razvijea, štaviše, eki radovi objavljei u ovoj oblasti su veoma kotroverzi. Zbog majka utvrċee teorije o oblasti fazi jedaĉia, ovde su samo okarakterisaa eka svojstva fazi jedaĉia. Radi se o dva veoma jedostava tipa: A X B, i A X B, gde su A i B fazi brojevi, a X je epozati fazi broj. Rezultati prezetovai u ovom poglavlju su iz [6] Jedačia A + X = B Teškoće pri rešavaju ove fazi jedaĉie uzrokuje ĉijeica da X = B - A ije rešeje. Da bi se ovo uoĉilo, posmatraju se dva zatvorea itervala, A a, a ], B [ b, ], koji se [ b2 mogu posmatrati kao specijali fazi brojevi. Tada je B - A = [ b1 a2, b2 a1 ], i A + (B A) = [a 1, a 2 ] + [b 1 - a 2, b 2 - a 1 ] = [a 1 + b 1 - a 2, a 2 + b 2 - a 1 ] [b 1, b 2 ] = B ako je a 1 a 2. Zato X = B - A ije rešeje jedaĉie. 56

57 Neka je X = [x 1, x 2 ]. Tada, [a1 + x1, a2 + x2] = [b 1, b 2 ] direkto sledi iz jedaĉie. Ovo daje dve obiĉe jedaĉie sa realim brojevima, a 1 + x 1 = b 1, a 2 + x 2 = b 2, ĉija rešeja su x 1 = b 1 - a 1 i x 2 = b 2 - a 2. Pošto X mora biti iterval, obavezo mora biti x1 x 2. Zaĉi, jedaĉia ima rešeje ako i samo ako b1 a1 b2 a2. Ako ova ejedaĉia važi, rešeje je X = [b 1 - a 1, b 2 - a 2 ]. Ovaj primer ilustruje kako rešiti jedaĉiu kada su dati fazi brojevi A i B zatvorei itervali. Neka za svako α (0, 1 ], α A = [ α a 1, α a 2 ], B = [ α b 1, α b 2 ] i X = [ α x 1, α x 2 ] ozaĉavaju u ovoj jedaĉii α- preseke A, B i X. Tada, jedaĉia ima rešeje ako i samo ako: (i) α b 1 - α a 1 α b 2 - α a 2 za svako α (0, 1 ] i (ii) α β implicira α b 1 - α a 1 β b 1 - β a 1 β b 2 - β a 2 α b 2 - α a 2. Svojstvo (i) pokazuje da itervalska jedaĉia α A + α X = α B ima rešeje, koje je dato sa α X = [ α b 1 - α a 1, α b 2 - α a 2 ]. Svojstvo (ii) pokazuje da su rešeja itervalskih jedaĉia za α i β ugježdea, tj, ako je α β tada β X α X. Ako postoji rešeje α X za svako α (0, 1 ], i zadovolje je uslov (ii), tada je rešeje X fazi jedaĉie dato putem X = αx α α (0,1] Da bi se ilustrovali procedure rešavaja, dat je sledeći primer. Primer 2.6 [10] Neka A i B u ovoj jedaĉii budu sledeći fazi brojevi: A = {([0, 1), 0.2), ([1, 2), 0.6), ([2, 3), 0.8), ([3, 4), 0.9), (4, 1), ((4, 5], 0.5), ((5,6], 0.1)} B = {([0, 1), 0.1), ([1, 2), 0.2), ([2, 3), 0.6), ([3, 4), 0.7), ([4,5), 0.8), ([5,6), 0.9), (6, 1), ((6, 7], 0.5), ((7,8], 0.4), ((8, 9], 0.2), ((9, 10], 0.1)} Svi relevati α preseci A, B i X su dati u tabeli 1. Rešeje jedaĉie je fazi broj X = α (0,1] αx α = {([0, 1), 0.1), ([1, 2), 0.7), (2, 1), ((2, 3], 0.4), ((3, 4], 0.2)} 57

58 Master rad α α α A [4,4] [3,4] [2,4] [2,4] [1,4] [1,5] [1,5] [1,5] [0,5] [0,6] [6,6] [5,6] [4,6] [3,6] [2,6] [2,7] [2,8] [2,8] [1,9] [0,10] α X [2,2] [2,2] [2,2] [1,2] [1,2] [1,2] [1,3] [1,3] [1,4] [0,4] α- preseci za primer 2.6 Tabela Jedačia A B X=B Neka su, zarad jedostavosti, A i B fazi brojevi u R+. Lako se pokazuje da X = B / A ije rešeje jedaĉie. Za svako α (0, 1] dobija se itervalska jedaĉia α A αx = αb. Rezultat ove fazi jedaĉie može da se dobije rešavajem ovih itervalskih jedašia za svako α (0, 1]. Neka je αa = [αa1, αa2], B = [αb1, αb2] i X = [αx1, αx2]. Tada, rešeje fazi jedaĉie postoji ako i samo ako: (i) (ii) α b1 / αa1 αb2 / αa2 za svako α (0, 1 ] i α β implicira αb1 / αa1 βb1 / βa1 βb2 / βa2 αb2 / αa2. Ako rešeje postoji, ima oblik X= α (0,1] α𝑋α Primer 2.7 [10] Neka A i B u ovoj jedaĉii budu trougaoi fazi brojevi: 0 A( x) ( x 3) 5 x x 3, x 5 3 x 4 4 x 5 58

59 0 B ( x) ( x 12) / 8 (32 x) /12 x 12, x x x 32 Tada, α A = [α + 3, 5 - α], α B = [8α + 12, 32-12α] i dobija se 8α + 12 α α 12α 5 α a zatim α X = 8α + 12 α + 3, 32α 12α 5 α za svako α (0, 1].TakoĊe se vidi da α β implicira β X α X za svaki par α, β (0, 1]. Time je rešeje ove fazi jedaĉie 0 za x 4, x 32/5 X = α (0,1] αx α = 12 3x x 8 za 4 < x x 12 x za 5 x 32/5 3. Fazi PERT za upravljaje projektima Upravljaje projektima je komplikovaa delatost koja obuhvata plairaje razih aktivosti koje moraju da se izvode u procesu razvoja ovih proizvoda tehologije.projekti imaju specifiĉa poĉetak i kraj. Radi lakšeg pregleda, podeljei su a aktivosti koje takoċe imaju specifiĉa poĉetak i kraj. Aktivosti se moraju izvoditi po odreċeom redosledu, eke pre drugih, eke istovremeo. Vreme koje je potrebo da bi se izvršila svaka od jih mora se proceiti. Rezultati prezetovai u ovom poglavlju su iz [1, 14]. 3.1 Klasiča PERT i CPM Dve važe klasiĉe tehike su se razvile da bi se pospešilo plairaje i kotrola projekata: Tehika evaluacije i revizije projekata (PERT), i Metod kritiĉe putaje (CPM). PERT je razvila SAD morarica za vreme plairaja proizvodje ukleare podmorice Polaris. CPM su razvili, otprilike u isto vreme, istraživaĉi Iz Remigto Rad-a i 59

60 DuPot-a za svrhe održavaja hemijskih postrojeja. Ima brojih sliĉosti izmeċu jih, i ĉesto se zajedo koriste kao jedisteva tehika. Da bi se ilustrovao PERT i CPM predstavljea je pojedostavljea i modifikovaa verzija stvarog projekta koji su razmatrali Fogerti i Hofma (1983). Šematski je prikaza u Tabeli 2. projekat, azva Dizaj sistema za upravljaje materijalima, obuhvata dizaj, izradu, motažu i testiraje. Projekat je podelje u osam aktivosti ozaĉeih sa A, B, C, D, E, F, G, H. Vreme za koje se izvršava svaka od ovih aktivosti u zadjem stupcu Tabele 2. je procea rukovodioca zadužeih za jih. OPIS AKTIVNOSTI PRETHODNE AKTIVNOSTI ISTOVREMENE AKTIVNOSTI SLEDEĆE AKTIVNOSTI VREME POTREBNO ZA IZVRŠENJE (u daima) A Mehaiĉki dizaj B, C 35 B Elektriĉi dizaj A C D 35 C Mehaiĉka izrada A B E 55 D Elektroska izrada B C, E F 35 E Mehaiĉki podsklop C D F 50 F Elektriĉa istalacija D, E G 30 G Istaliraje cevi F G 30 H Pokretaje, testiraje, isporuka F 10 Tabela2. Podaci o projektovaju sistema upravljaja idustrijskom opremom, proizvodji i plaskoj izradi Mreži model plairaja PERT i CPM kostruišu mreži model plairaja putem podataka u tabeli. Model koji odgovara Tabeli 2. je prikaza Slici 24.. Svaka aktivost je predstavljea kvadratom, pravougaoikom, ili krugom uutar kojih je jea ozaka i vreme izvršeja u daima. Mreži model plairaja eksplicito predstavlja sekvecijali odos izmeċu aktivosti. 60

61 A C E F G H B D Slika 24: Mreži model plairaja za sistem upravljaja idustrijskom opremom Kritiĉa putaja Kritiĉa putaja je putaja aktivosti povezaih u sekveci od poĉetka do kraja projekta koja zahteva ajduže vreme za izvršeje. Tako je ukupo vreme izvršeja projekta vreme potrebo da bi se završile sve aktivosti a kritiĉoj putaji. Mreži model plairaja pomaže da bi se odredila kritiĉa putaja. Kritiĉa putaja a Slici 24. je prikazaa strelicama koje povezuju aktivosti A, C, E, F, G i H. Ukupo vreme za okoĉaje projekta je = 210 daa. Na Slici 24. se takoċe vidi da aktivosti B i D isu a kritiĉkoj putaji. Ne moraju biti okoĉae po plau, ali zastoj e sme biti veći od 35 daa. U suprotom će aktivost F a kritiĉkoj putaji biti odgoċea PERT verovatoće Vremeska procea ili predviċaje završetka projekta je ihereto epouzdao. Da bi se ova epouzdaost kompezovala, istraživaĉi proširuju kapacitet PERT-a time što koriste statistike i verovatoću. PERT od struĉjaka zahteva tri procee za vreme završetka svake aktivosti: optimističko vreme ₁, vreme koje će biti potrebo da se akltivost okoĉa ako sve proċe u ajboljem mogućem redu; ajverovatije vreme M, vreme koje će biti potrebo da se aktivost okoĉa ako sve poċe po plau; i pesimističko vreme ₂, tj. vreme koje će biti potrebo da se aktivost okoĉa ako se pojave teškoće i problemi. Jedistveo vreme za okoĉaje aktivosti se raĉua po formuli poderisaog proseka e = 1 + M + 6 (3.1) 61

62 koja se primejuje za svaku aktivost. Ukupo vreme Te za okoĉaje projekta je vreme okoĉaja projekta po kritiĉoj putaji. Vreme izraĉuato putem (3.1) za mreži model plairaja a Slici 24. će biti približo oom predstavljeom u kvadratima i uglavom će predstavljati bolju proceu. Ukupo vreme Te (približo 210 daa) će biti realije ego 210 daa. PERT dalje astavlja sa kalkulisajem stadarde devijacije za te i drugim aalizama verovatoće. Ovde se predlaže alterativa za PERT verovatoće koja je maje komplikovaa. Tri vremeske procee ₁, M, i ₂ za svaku aktivost prave se od strae struĉjaka koji koriste svoje zaje, iskustvo i relevate iformacije koje su dostupe; procee su subjektive, ali e i arbitrare. Time je priroda epouzdaosti vezae za takvu vrstu problema više fazi ego probabilistiĉka. PERT se e bavi tehikom za izraĉuavaje ₁, M, i ₂, o samo avodi da oa moraju da se izraĉuaju i kombiuju putem formule za izraĉuavaje poderisaog proseka (3.1). 3.2 Fazi PERT za predviđaje vremea Da bi se predstavio fazi PERT za predviċaje vremea, prvo treba objasiti pojmove kao što su fazi delfi, trougaoa proseĉa vredost i defazifikacija. Trougaoa proseča vredost: Neka je dato trougaoih brojeva A i = (a (i) 1, a (i) M, a (i) 2 ), i = 1,...,. Koristeći sabiraje trougaoih brojeva i deljeje sa realim brojem, dobija se trougaoa proseĉa vredost A ave A ave = A A A ave = (a 1 (1),a M (1),a 2 (1) )+ +(a 1 ( ),a M ( ),a 2 ( ) ) A ave = (i) (i) (i) i=1 a 1, i=1 a M i=1 a 2 koja je trougaoi broj A ave = (m 1, m M, m 2 ) = ( 1 (i) i=1 a 1, 1 (i) i=1 a M, 1 a 2 (i) i=1 ) (3.2) Operacija defazifikacije se e može jedistveo defiisati. Ovde su predstavljee tri mogućosti za defazifikaciju A ave = (m 1, m M, m 2 ) i mogu se primeiti a bilo koji trougaoi fazi broj. (1) (1) x max (2) (2) x max = m 1 + m M + m 2 3 = m 1 + 2m M + m

63 (1) (3) x max = m 1 + 4m M + m 2 6 Fazi delfi metod su predstavili Kaufma i Gupta godie. Ovaj metod se sastoji iz sledećih koraka: 1) Struĉjaci E i, i = 1,...,, predviċaju moguće datume realizacije sigurog dogaċaja u auci, tehologiji ili u bizisu. Naime, odreċuju ajraiji datum a 1 (i), ajverovatiji datum a M (i) i ajkasiji datum a 2 (i). Ovi podaci su predstavljeikao trougaoi brojevi A i = (a 1 (i), a M (i), a 2 (i) ), i = 1,..., 2) Traži se devijacija (eg. deviatio) izmeċu A ave = (m 1, m M, m 2 ) i Ai. To je trougaoi broj defiisa sa A ave - A i = (m 1 - a 1 (i), m M - a M (i), m 2 - a 2 (i) ) = ( 1 a 1 (i) i=1 - a 1 (i), 1 a M (i) i=1 - a M (i), 1 a 2 (i) i=1 - a 2 (i) ) Ova devijacija se šalje azad struĉjacima a poovo ispitivaje. 3) Svaki struĉjak predstavlja ovi trougaoi broj B i = (b 1 (i), b M (i), b 2 (i) ), i = 1,..., i alazi se A ave. Ovaj proces poĉevši od 2) se poavlja sve dok se e dobiju dve vredosti A ave, B ave, C ave..., koje su sliĉe. 4) Ako se pojave eke bite iformacije a osovu ovih otkrića, može se uraditi poovljeo ispitivaje. Poboljšaje PERT-a se predlaže korišćejem fazi delfija za proceu ₁, M, i ₂ za svaku aktivost. Struĉjaci sada svako vreme za okoĉaje aktivosti ocejuju trougaoim brojevima tipa (₁, M, ₂). Za svaku aktivost raĉua se. Da bi se izraĉuala preciza vremeska vredost aktivosti, mora se koristiti defazifikaciju. Fazi PERT je prikaza kroz aalizu sledećeg sluĉaja Predviđaje vremea za vođeje projekta upravljaja idustrijskom opremom Aalizira se dizaj sistema za upravljaje idustrijskom opremom iz Tabele 2. i sa Slike 24. Neka su zaemaree vremeske procee do kojih se došlo koristeći klasiĉi PERT. Sada svaku vremesku aktivost procejuju tri struĉjaka; eki mogu uĉestvovati u procei i za više aktivosti. Glavi rukovodioc projekta može da uĉestvuje u svim proceama grupe. 63

64 Struĉjaci su zamoljei da procee optimistiĉki, ajverovatiji i pesimistiĉki vremeski period za okoĉaje aktivosti A, B,...H, izražee kao trougaoi brojevi NᵢA, NᵢB,... NᵢH, i = 1, 2, 3. Neka važi pretpostavka da eksperti koji rade a procei vremea okoĉaja aktivosti A dolaze do rezultata prikazaih u Tabeli 3. Ekspert E 1 E 2 E 3 NᵢA N 1 A N 2 A N 3 A Optimistiĉko vreme Najverovatije vreme Pesimistiĉko vreme Ukupo 3 i=1 Ni A Tabela 3. Procea vremea okočaja aktivosti A Sumirae procee struĉjaka daju proseĉo vreme završetka aktivosti A u daima, u formi trougaoe proseĉe vredosti: N A ave = ( 98 3, 105 3, 114 ) = (32.67, 35, 38) (33, 35, 38). 3 Da bi se proašlo taĉo vreme okoĉaja mora se defazifikovati N ave A. Pošto je N ave A gotovo siguro trougaoi broj (sredia itervala [32.67, 38] je , što je približo 35, koristi se formula po kojoj je tmax = 35. Radi poreċeja, primejuju se a N ave A tri formule defazifikacije. Dobijaju se (1) ¹max = = 35,22, 3 (2) ²max = (2) = 35,17, (3) ³max = (4) = 35,11, brojevi koji su priližo 35. Sem toga, kada se broje dai u sliĉim projektima, epotrebo je zadržati decimale; zaokružuje se a pue dae. Decimale se obiĉo pojavljuju kada se radi sa formulama za izraĉuavaje proseka. Na sliĉa aĉi, drugih sedam grupa struĉjaka može dati procee i kostruisati tabele sliĉe Tabeli 3. Ovde se pretpostavlja da su zaokružea proseĉa vremea N ave B,..., N ave H oa koja su predstavljea u Tabeli 4. (u koju je ukljuĉeo i N ave A ). 64

65 Aktivost A B C D E F G H Proseĉo vreme trajaja aktivosti Nₐᵥₑ A Nₐᵥₑ B Nₐᵥₑ C Nₐᵥₑ D Nₐᵥₑ E Nₐᵥₑ F Nₐᵥₑ G Nₐᵥₑ H Optimistiĉko vreme Najverovatije vreme M Pesimistiĉko vreme Tabela 4. Prosečo vreme okočaja aktivosti Svaki trougaoi broj, koji predstavlja proseĉo trajaje aktivosti (druga koloa Tabele 4.) mora biti defazifikova da bi prikazao taĉa broj, koji prikazuje vreme okoĉaja aktivosti. Ovi trougaoi brojevi su skoro u cetralom obliku, pa se može primeiti formulu za defazifikaciju, koja daje brojeve u ĉetvrtoj koloi ozaĉee sa M. Defazifikovaa vremea mogu se predstaviti a poboljšaom mrežom modelu plairaja (Slika 25.). A C E F G H B D Slika 25. Mreži model plairaja poboljša upotrebom fazi PERT-a Ukupo vreme za okoĉaje projekta izražeo trougaoim brojem N, je vreme za okoĉaje aktivosti po kritiĉoj putaji. Dodavajem brojeva u tri koloe Tabele 4. odreċeih sa ₁, M, ₂, iskljuĉujući vremea za aktivosti B i D, se dobija N = Nₐᵥₑ A + Nₐᵥₑ C + Nₐᵥₑ E + Nₐᵥₑ F + Nₐᵥₑ G + Nₐᵥₑ H = (191, 208,226). 65

66 Sledi da će trajaje projekta biti izmeċu 191 i 226 daa, ali ajverovatije 208 daa. Posledji broj 208 je rezultat defazifikacije N. Primeom formula za defazifikaciju dobijaju se brojevi N¹max = , N²max = , i N³max = ; svi su približo 208. Zakljuĉak je: vreme trajaja projekta je procejeo a 208 daa Raspored raspodele sredstava Trajaje aktivosti i raspodela sredstava, materijala, i ljudskih resursa su u bliskom meċusobom odosu. Deo je uobiĉajee prakse da se pre raspodele sredstava za projekat utvrdi mreža kritiĉe putaje. PredviĊaje vremea okoĉaja aktivosti implicito podrazumeva da su potreba sredstva dostupa i da se mogu efikaso raspodeliti a aktivosti tako da se projekat odvija bez ometaja. U realosti, meċutim, mogu da iskrsu raze poteškoće i da zakomplikuju rad. Uprava ĉesto ima mogućost da obezbedi dodata sredstva da bi skratila trajaje rada a projektu. Ovo može povećati troškove. Skraćivaje trajaja projekta može biti poželjo zbog agrada, kašjeje može biti pealizovao. PERT pomaže da se aaliziraju takva i druga pitaja povezaa sa raspodelom sredstava. Za pitaja, koja zatevaju procee, PERT se može kombiovati sa fazi delfijem a sliĉa aĉi. Može da se koristi za odreċivaje potrebog vremea za pojediaĉe aktivosti i proalažeje kritiĉe putaje Fazi PERT za skraćivaje trajaja projekta Na osovu PERT-a uvedee su ozake: ormalo vreme za okoĉaje aktivosti po plau, c skraćeo (ubrzao) vreme za okoĉaje aktivosti, C ormali troškovi za okoĉaje oktivosti, C c priudi troškovi (povećai troškovi) za okoĉaje aktivosti u skraćeom vremeu. Ovo se mora proceiti za svaku pojediaĉu aktivost. Ovde će se prikazati fazi PERT za skraćivaje trajaja projekta a sistemu za upravljaje idustrijskim resursima, koji se razmatrao u podsekciji Da bi se skratilo trajaje projekta mora se skratiti vreme kritiĉe putaje, tj, skratiti ukupo vreme Nmax = 208 daa. Skraćivaje vremea trajaja aktivosti, koje isu a kritiĉoj putaji (B i D, Slika 24.) eće smajiti Nmax. MeĊutim, eka sredstva koja su dodeljea aktivostima B i D, mogu se preraspodeliti a C i D da bi se smajilo jihovo vreme trajaja (uutrašja preraspodela). Ovde će se razmatrati skraćeje trajaja aktivosti a kritiĉoj putaji bez uutrašje preraspodele sredstava. Normalo vreme za svaku aktivost je već procejeo; to je vreme max =N M prikazao u Tabeli 4., u ĉetvrtoj koloi. Skraćeo vreme c, ormali troškovi C, i priudi 66

67 troškovi C c mogu se proceiti za svaku aktivost, sliĉo kao ormalo vreme, primeom fazi delfija. Defazifikovae vredosti su obleležee sa c max, C max, i C c max. Ovde je procea data za ormale troškove C aktivosti A. Na sliĉa aĉi se mogu porceiti c i C c. Tri eksperta su zamoljea da procee ormale troškove za okoĉaje aktivosti A u formi trugaoog broja C = (C 1, C M, C 2 ), gde je C 1 ajmaji trošak, C M je ajverovatiji trošak, a C 2 predstavlja ajveći trošak. Ekspert Najiži troškovi C Najverovatiji troškovi C M Najviši troškovi E₁ E₂ E₃ C Ukupo Tabela 5. Procea stručjaka za okočaje aktivosti A pri ormalim troškovima C A Koristeći formulu (3.2), dobijaju se proseĉi ormali troškovi C ave aktivosti A, u formi trougaoe proseĉe vredosti: za okoĉaje C A ave = ( , , ) Izostavljaje decimala u C A ave i zaokruživaje zadje tri cifre a 000, 500 ili 1000, daje Rezultat defazifikacije C A ave je C A ave = (18 000, , ). Dalje, grupe eksperata predviċaju c, C, i C c za sve druge aktivosti a kritiĉoj putaji, defazifikuju ih, i zaokružuju dobijee vredosti. Neka važi pretpostavka da su defazifikovae vredosti aktivosti a kritiĉoj putaji oe predstavljee u Tabeli 6. Da bi odredio koje aktivosti mogu da se skrate, PERT koristi pojam priraštaja troškova. Korsteći date simbole, može se predstaviti a sledeći aĉi: k = priraštaj troškova = C max Cc max max c max. (3.3) Slika 26. prikazuje da, kako se ormalo vreme max smajuje i približava skraćeom vremeu c max, ormali troškovi C max se povećavaju i približavaju priudim troškovima C c max. 67

68 Slika 26. Pravac troškova za skaćeo vreme aktivosti Aktivost Normalo vreme A C E F G H max Skraćeo vreme c max Normali troškovi C max Priudi troškovi C c max Priraštaj troškova ($devo) Tabela 6. Defazifikovaa ormala i priuda vremea i troškovi aktivosti uutar sistema upravljaja idustrijskim resursima Koeficijet priraštaja troškova (3.3) za aktivost A daje C t max c max k A = max C t c max = = = Koeficijet priraštaja troškova za ostale aktivosti se sliĉo izraĉuava. Rezultati su prikazai u posledjoj koloi Tabele 6. Dodata sredstva bi uglavom trebala da se prvo pridodaju aktivostima sa ajmajim priraštajem troškova. Aktivosti iz Tabele 6. su ragirae u Tabeli 7. po priraštaju troškova od ajmajeg do ajvećeg. 68

69 Neka važi pretpostavka da uprava želi da smaji trajaje projekta sa 208 a 180 daa, što je smajeje od 28 daa. Od svih aktivosti a kritiĉoj putaji, aktivost E je ragiraa kao prva (Tabela 7.) jer ima ajmaje k od $389 a da. Sa ivesticijom od $7000 trajaje aktivosti E može se smajiti za 18 daa, što zaĉi da se trajaje projekta smajuje za 18 daa. Mora se još proaći prostor za smajeje od 10 daa. Dobar kadidat bi bila aktivost C koja je ragiraa kao druga a Tabeli 7. Smajeje trajaja od 10 daa bi koštalo = $ MeĊutim, ako postoji razloga protiv skraćivaja trajaja aktivosti E ili C, ili obe, moraju se razmotriti druge opcije. Rag Aktivost Smajeo vreme max - c max E C G H A F Dodati troškovi C c max - C max Priraštaj troškova ($ devo) Tabela 7. Aktivosti ragirae prema priraštaju troškova 69

70 Zaključak Tema ovog rada predstavlja aktuelu oblast matematike bazirau a teoriji fazi skupova, koja je primeljiva u realim problemima. Kroz rad, pored osovih pojmova za torugaoe orme i fazi skupove, predstavljei su razliĉiti postupci pomoću kojih se vrše operacije a fazi skupovima i fazi brojevima. Prikazae su dve metode fazi aritmetike. Jeda metod se zasiva a aritmetici itervala tj. posmatraju se α-preseci, a drugi metod koristi pricip prošireja. Zadehov pricip omogućava da se operacije ad realim brojevima proširuju i a fazi brojeve. U sluĉaju da se za t-ormu uzme T M dobija se origiali Zadehov pricip prošireja. U ovom radu je ilustrovaa primea fazi aritmetike kroz PERT metod. PERT i CPM kostruišu mreži model plairaja putem podataka u tabeli. Mreži model plairaja u suštii eksplicito predstavlja sekvecijali odos izmeċu aktivosti. Prikazao je kako se klasiĉi PERT može poboljšati korišćejem metode fazi delfi za svaku aktivost. Da bi se dobile precizije iformacije o vremeu završetka aktivosti koristi se još i defazifikacija. Svaka ligvistiĉka promeljiva ĉije je staje izražeo ligvistiĉkim termiima se iterpretira kao specifiĉa fazi broj. Defiisaa je putem osove promeljive ĉije vredosti su reali brojevi sa specifiĉim raspoom. Kocept fazi broja igra fudametalu ulogu u formulisaju kvatitativih fazi promeljivih. Ovo su promeljive ĉija su staja fazi brojevi. Fazi brojevi, ajĉešće trougaoi fazi broj i trapezoidi fazi broj, koriste se da bi se predstavile ligvistiĉke vredosti kao što su veoma kvalifikova, kvalifikova, sredje kvalifikova, itd. Predstavljea materija je dovolja da bi se savladali osovi pojmovi za trougaoe orme i fazi aritmetiku, te se može iskoristiti za dalja istraživaja. 70

71 Literatura [1] Bojadziev G., Bojadziev M.; Fuzzy logic for busiess, fiace ad maagemet, World Scietific [2] Bojadziev G., Bojadziev M.; Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Applicatios, World Scietific [3] De Baets B., Marková - Stupňaová A.; Aalytical expressios forthe additio of fuzzy itervals, Fuzzy sets ad systems, [4] De Baets B., A. Marková-Stupňaová; Fuzzy Sets ad Systems, 1997 [5] Fodor J.; Left-cotiuous t-orms i fuzzy logic: A overview. Hass M., Applied Fuzzy Arithmetic, [6] Haas M.; Applied fuzzy Arithmetic- a itroductio with egieerig applicatios, Spriger, [7] Hájek P.; Mathematics of Fuzzy Logic, [8] [9] Klemet E.P., Mesiar R., Pap E.; Triagular orms, Kluwer Academic Publishers, [10] Lidblad J.; Fuzzy Sets ad Fuzzy Techiques, [11] Mesiar R.; Fuzzy Sets ad Systems, 1997 [12] Pap E.; Fazi mere i jihova primea, Uiverzitet u Novom Sadu, Prirodo matematiĉki fakultet Novi Sad, [13] Schweizer B., Skalar A.; Associative fuctios ad abstract semigroups, Publ. Math. Debrece, [14] Uthra G., Sattaatha R.; Risk aalysis of decisio maker s attitude i fuzzy PERT, Iteratioal joural of algorithms, computig ad mathematics, [15] Zadeh L. A.; Fuzzy sets. Iform Cotrol, [16] Zadeh L. A.; The Cocept of Liguistic Variable ad its Applicatio to Approximate Reasoig, Iform. Sci.,

72 Biografija Trusia Frajo je roċe 6. marta godie u Novom Sadu. Osovu školu,,ja Kolar u Seleĉi završio je godie kao dobitik Vukove diplome. U Novom Sadu je završio Elektrotehiĉku školu Mihajlo Pupi, smer elektrotehiĉar raĉuara, godie sa odliĉim uspehom. Iste godie upisuje Prirodo-matematiĉki fakulteta u Novom Sadu, odsek za matematiku i iformatiku, smer matematika fiasija. Zakljuĉo sa juskim ispitim rokom godie položio je sve predviċee ispite. Nako toga, a istom fakultetu upisuje master studije, smer primejea matematika. Položio je sve ispite predviċee plaom i programom godie i time stekao uslov za odbrau master rada. 72