NAJČEŠĆE KORIŠĆENE BAZISNE FUNKCIJE U IMPULSNOM PROSTORU

Transcription

1 UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA FIZIKU NAJČEŠĆE KORIŠĆENE BAZISNE FUNKCIJE U IMPULSNOM PROSTORU M A S T E R R A D Metor: Dr Iva D. Mačev Studet: Marko J. Račić Niš, 0. godia

2 SADRŽAJ. Uvod. Furijeova trasformacija u kvatoj mehaici 3 3. Sejterove orbitae u impusoj reprezetaciji 5 4. Gausove orbitae u impusoj reprezetaciji 0 5. Atom vodoika u impusoj reprezetaciji 5 6. Kuoovi Sturmiai u impusoj reprezetaciji Dodatak Zakjučak 4 Literatura 4

3 . UVOD Kvata mehaika ostaje eksperimetao ajprovereija modera teorija fizike, sa mogobrojim upotrebama u fizičkim aukama i tehici. Širok dijapazo jeih primea a razičite kokrete probeme, jea uspešost u objašjavaju prirodih feomea i matematička eegatost dobijeih rešeja esumjivo su je postavie a pijedesta krajice judskog sazaja. Ipak, iterpretacija dobijeih rešeja, a još više jihovo razumevaje, kao i razumevaje osovih postavki ove grae fizike, zaokupjai su maštu istraživača posedjih gotovo devedeset godia. Ovaj esumjivi jaz između rešavaja kokretih probema i iterpretacije samih impikacija dobijeog rešeja možda se ajboje može predstaviti stihom čuveog aučika Erika Hikea: Ervi može svojim psi Svaki probem rešiti Ai iko e za kasti Šta fukcija sama zači. U uskoj kasi probema za koje kvata mehaika može pružiti aaitička rešeja, siguro je da je ajdaekosežije posedice za fiziku imao rešavaje probema atoma vodoika. Rešavajem zameite Šredigerove jedačie za atom vodoika pa dajom trasformacijom dobijeih rešeja (račuajem očekivaih vredosti), pokazao se da Borov radijus e predstavja defiitivo rastojaje protoa i eektroa u osovom staju atoma vodoika, već ajverovatije rastojaje a kome će se sistem proto-eektro aći. Daji pokušaji primee kvate mehaike a sožeije atomske i moekuare sisteme apsouto su eostvarivi bez uvođeja dajih aproksimacija. Jeda od siguro ajrasprostrajeijih aproksimacija jeste ieara kombiacija atomskih orbitaa (LKAO), čiji je jeda od idejih tvoraca upravo gorepomeuti Erik Hike. Aaitička mehaika u osovi pozaje tri formaizma. To su: Njutov, Lagražev i Hamitoov formaizam. U zavisosti od matematičke forme datog probema za dobijaje jegovih jedačia kretaja, koristi se jeda od ova tri formaizma. Aktive promejive u Lagraževom formaizmu su geeraisae koordiate, geeraisae brzie i vreme dok su u Hamitoovom formaizmu geeraisae koordiate i impusi. U kvatoj mehaici takođe se u zavisosti od matematičkih potreba mogu koristiti razičite promejive (to se pre svega odosi a impus i koordiate). Efikasi mehaizmi koji am omogućavaju da ačiimo promeu koordiate impus i obrato azivaju se Furijeova i iverza Furijeova trasformacija respektivo. U ovom radu biće izvršea upravo jeda takva trasformacija ad Sejterovim orbitaama, Gausovim orbitaama, vodoičim taasim fukcijama i Kuoovim Sturmiaima. Navedee fukcije su jede od ajčešće korišćeih bazisih fukcija u atomskoj fizici i mogim drugim obastima fizike.

4 U ovom radu rezutati se ostvaruju sa dvojakim cijem. Primari cij je pregedo predstaviti avedee fukcije u impusoj reprezetaciji. Sekudari cij je omogućiti studetima koji imaju eemetaro pozavaje kvate mehaike i matematičke fizike da uz pomoć ovog rada auče kako da vrše ešto kompikovaija račuaja, koristeći specijae fukcije, a da pritom e izaze previše iz okvira svojih kurseva a master studijama teorijske fizike ii ekvivaetim studijama. U ovom radu korišće je, iz razoga matematičke pogodosti, atomski sistem jediica. U ovom sistemu jediica Kuoova kostata, eemetaro aeektrisaje eektroa, redukovaa Pakova kostata i masa eektroa jedake su jediici: e m e 4. 0

5 . FURIJEOVA TRANSFORMACIJA U KVANTNOJ MEHANICI Taasa fukcija u impusom prostoru ( p) može se defiisati kao Furijeova (Fourier) trasformacija taase fukcije ( r) u koordiatom prostoru reacijom: ipr ( p) e ( r) dr. 3/ ( ) (.) Taasa fukcija u koordiatom prostoru ( r) može se dobiti iz taase fukcije ( p) iverzom Furijeovom trasformacijom: ipr ( r) e ( p) dp. 3/ ( ) (.) Ukoiko je taasa fukcija ( r) ormiraa a jediicu, oda koristeći (.) imamo: * i( pp) r * dr ( r) ( r) dr dp dp ' e ( p') ( p) 3. (.3) ( ) Korišćejem defiicije Dirakove deta fukcije: ( ) 3 i( pp) r dre ( p p), (.3a) vidi se da je: * dp dp ' ( p p') ( p') ( p), odoso: ( p) dp. (.4) Ovo am govori da je taasa fukcija u impusom prostoru ( p) takođe ormiraa a jediicu. Na osovu defiicije Dirakove deta fukcije možemo da uvedemo raze varijate Furijeove trasformacije. Navedimo sada eke od često korišćeih varijati: ipr F( p) dre ( r) 3/ ( ), (.5a) 3

6 ipr ( r) dpe F( p) 3/ ( ), (.5b) ipr f ( p) dre ( r) 3/ ( ), (.6a) ipr ( r) dpe f ( p) 3/ ( ), (.6b) ( ) ipr t ( p) ( r) e dr 3, (.7a) -ipr ( r) t ( p) e dp, (.7b) ipr ( p) ( r) e dr, (.8a) -ipr ( r) ( p) e dp 3 ( ), (.8b) -ip r ( p ) ( ) 3 ( ) r e dr, (.9a) ipr ( r) ( p) e dp. (.9b) Naravo svi ovi obici u suštii su ekvivaeti. Ispravost bio koje varijate ako se opravdava korišćejem reacije (.3a). 4

7 3. SLEJTEROVE ORBITALE U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI Uopšteo o Sejterovim orbitaama Sejterove orbitae ose ime po Džou C. Sejteru (Joh C. Sater) koji ih je prvi defiisao 930. u skadu sa eksperimetaim rezutatima. Radijai deo Sejterovih orbitaa defiiše se a sedeći ači [3]: r R () r Nr e. (3.) Ozake u ovoj formui predstavjaju: - N kostata ormaizacije; - gavi kvati broj; - r rastojaje između aktivog eektroa i atomskog jezgra; - je kostata povezaa sa efektivim aeektrisajem jezgra; Kostata ormaizacije račua se iz usova: r R ( r) dr N r e dr 0 0, odoso: N r r e dr 0. Uopšteo važi sedeća jedakost: a! b a bx x e dx, 0 a odoso kada se primei a aš sučaj : a, b, 5

8 dobija se: ( ) ( ) N = ( ). (3.) ( )! ( )! Ugaoi deo Sejterovih orbitaa predstavje je sferim harmoicima: ( ) ( m)! m Ym (, ) P (cos ) e 4 ( m)! im, (3.a) m gde P (cos ) predstavja asocirae Ležadrove poiome defiisae sa [4]: m m m / d P ( x) ( x ) ( x ). m! dx Nacrtajmo sada ekoiko Sejterovih orbitaa sa parametrom koji odgovara sučaju atoma vodoika. Može se uočiti da svaka fukcija ima maksimum u r ( ) a0 : Grafik. Radijai deo Sejterovih orbitaa u koordiatoj reprezetaciji, =,= 6

9 Grafik. Radijai deo Sejterovih orbitaa u koordiatoj reprezetaciji, =,= Grafik 3. Radijai deo Sejterovih orbitaa u koordiatoj reprezetaciji, =,=5 Sejterove orbitae u kokretim probemima Staje eektroa u višeeektroskom atomu može se opisati preko Sejterovih orbitaa. Tako, a primer, taasa fukcija određeih staja eoa može se predstaviti u bazisu Sejterovih atomskih orbitaa [7]: N u( r) c ( r) ii kokreto: i i i u s , u , s u , p

10 gde su u s, us, u p taase fukcije s, s,p staja respektivo. Veičie i predstavjaju radijai deo Sejterovih orbitaa pomože odgovarajućim sferim harmoikom sa razičitim vredostima parametra i kostatom N izračuatom prema (3.):, r (, ) Ne Y00, r (, ) Ne Y00,.9684 r (, ) 3 N3re Y00,.843 r (, ) 4 N4re Y00, r (, ) 5 N5re Y00, r (, ) 6 N6re Y00,.4508 r (, ) 7 N7re Y0,.3865 r (, ) 8 N8re Y0, r (, ) 9 N9re Y r (, ) 0 N0re Y0. U posedje vreme učestaa je primea Sejterovih orbitaa za opisivaje sudarih procesa kao što su joizacija i eektroski zahvat iz moekua [9-]. Učestaa je i primea u medicii gde se vezao staje aktivog (posmatraog) eektroa određeog moekua (recimo DNK ii RNK, videti primere u referecama [9,0]) opisuje STO korišćejem bazisa Sejterovih orbitaa h, j cetriraih a svaki ukeus. Iz toga sedi da u moekuarom sistemu referece čiji početak je ocira u cetru mase moekua i sa osom duž moekuare ose možemo da pišemo: ' z, STO ' MO( r') h, j h, j ( xh ) h, j gde je h ideks koji ozačava ukeus moekua a koji je STO cetriraa, dok j predstavja koektivu ozaku za kvate brojeve m. 8

11 ' Vektori x h i r ' ozačavaju vektore poožaja eektroa u odosu a cetar h i cetar mase moekua respektivo. Smea koordiata sa aboratorijskog a moekuari ' ' sistem data je reacijom: xh x h, gde je matrica rotacije. Vektori x h i x h povezai su međusobo Ojerovim ugovima. Sejterove orbitae u impusoj reprezetaciji Razmatraćemo sučaj Sejterovih orbitaa kada je jihov ugaoi deo dat sferim harmoicima. Ukupa taasa fukcija biće prosto proizvod radijaog dea Sejterovih orbitaa i sferih harmoika: ( r) ( r,, ) R ( r) Y (, ). (3.3) m m m Furijeovu trasformaciju ovakvih orbitaa defiisaćemo a sedeći ači (.8a): ipr m ( ) m (, p, p ) m ( ) si( ) p p e r r drd d. (3.4) Iz razoga matematičke pogodosti ije odgovarajuće koristiti Sejterove orbitae. Umesto jih potražićemo Furijeovu trasformaciju pomoćih fukcija: r ' e m ( r,, ) m ( r,, ). (3.5) r d Pomoća fukcija se diferecirajem pa tražejem d d ' Sajterove orbitae im m ( r,, ) m ( r,, ) 0 d im 0 svodi a izraze za. (3.5a) Potražimo sada Furijeovu trasformaciju izraza (3.4) koristeći fukciju r ' e ipr ˆ m m r ( p) e R ( r) Y ( r) r si( ) drd d ( r,, ) :. (3.5b). U ciju osobađaja od skaarog proizvoda u ekspoetu učiićemo sedeću trasformaciju [8]: ' m e ipr * 4 i j ˆ ˆ ( pr) Y ( ) ( ) m p Y m r 0 m. (3.6) 9

12 Izraz (3.5b) sada postaje: r ' e ˆ * ˆ ˆ m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m m m r m p 4 i j pr Y p Y r R r Y r ) r si( ) drd d. gde su j sferiče Beseove fukcije defiisae sa [3]: m ( ) j( x) J ( x) x x x m! ( m / ) / m0 m / m ( ) m ( ) x m! ( m 3/ ) x m!( m / )! m/ m/ x x. (3.7) m0 m0 Itegracijom po ugovima i imajući u vidu da su sferi harmoici ortoormirai : * Y (ˆ ˆ)si( ) ( ) m r Y m r dd mm, 0 0 dobijamo sedeći izraz: r ' e ˆ m p i j pr R r r dry m p mm 0 m r 0 ( ) 4 ( ) ( ) ( ). (3.8) Predstavjajem radijaog dea Sejterovih orbitaa po defiicji (3.) dobijamo: r ' e r ˆ m p i N j pr r e r dry m p m m 0 m r 0 ( ) 4 ( ) ( ). Ovde su, mm Kroekerove dete defiisae sa:, ako je i j ij 0, ako je i j. Kroekerove dete, a samim tim i aša taasa fukcija, biće jedake ui u svakom sučaju izuzev u sučaju kada je i m m. Kako am je sučaj kada je taasa fukcija jedaka ui trivijaa, razmatraćemo samo sučaj i m m. Ovo am je iače jako pogodo jer am omogućava da iače beskoaču sumu ograičimo samo a jeda ča: 0

13 r ' e r m m r 0 ( p) i 4 N j ( pr) e r dry ( pˆ ). (3.9) Itegra u formui (3.9) ije jedostavo rešiti. Da bismo mogi da dodjemo do upotrebjivog rešeja, moramo primeiti još jedu trasformaciju []: pr ipr j ( pr) e F(,, ipr) (3 / ). (3.0) Ovde je (3/ ) Počamerov (Pochhammer) simbo defiisa sa []: ( x ) ( x) x( x )( x )...( x ). (3.) ( x) Sa F (,, ipr) obeežea je kofueta hipergeometrijska fukcija (Kumerova fukcija) defiisaa sa [7]: ( a) z F ( a, b, z). (3.a) ( b)! 0 Uvrštavajem izraza za sferiče Beseove fukcije (3.0) u jedakost (3.9) dobijamo sedeći itegra: ' 4 ip ˆ r( ip) m ( ) m ( ) (3 / ) 0 p N Y p e r F (,, ipr) dr. Rešeje ovakvog itegraa ima uopšteo sedeći obik [3]: e t F a c kt) dt, c, ) s, 0 st b (,, ( b) s b F( a, b k gde je F Gausova hipergeometrijska fukcija defiisaa sa [7]: ( a) ( b) z F ( a, b, c, z), (3.b) ( c)! 0

14 odoso kada to primeimo a aš kokreta sučaj: ' m ( )! i p ip ( p) 4 N ˆ F(,,, ) Ym ( p). (3.3) (3 / ) ( ip) ip Kako je promejiva u Gausovoj hipergeometrijskoj fukcji kompeksa broj moramo trasformisati fukciju daje. Posmatrajmo sedeću formuu [3]: z a a z (,,, ) ( ) (,,, ), (3.4) ( z) a F a b b z F b odoso, kada (3.4) primeimo a (3.3) dobijamo: ' m ( )! i p 3 p ˆ m ( p) 4 N (3 / ) ( ) F (,,, ( ) ) Y ( p). (3.5) Ovo već može predstavjati Sejterove orbitae u impusoj reprezetaciji. Ipak trasformisaćemo ovu formuu daje kako bismo oceii vaidost ašeg rezutata. Posmatrajmo sedeću formuu []: z F ( a, a, c, z) ( z) F ( a,c a, c, ). (3.6) z a Kako je ba / u (3.5) možemo tu formuu trasformisati prema formui (3.6). Dobija se sedeći rezutat: ( )! i p ' m ( p) 4 N ( ) (3 / ) ( ) ( p ( ) ) 3 ( ) p ˆ F,,, Ym ( p),

15 odoso ako preuređivaja dobija se: ( )! ( p) 4N i p ' m (3 / ) ( p ( ) ) 3 ( ) p ˆ F,,, Ym ( p). (3.7) Veza između Gegebauerovih poioma i Gausove hipergeometrijske fukcije data je sedećom formuom []: ( ) ( ) z C ( z) F(, v,, ). (3.8) ( ) Gegebauerov poiom C () z defiisa je a sedeći ači [7]: C ( x) t. ( xt t ) 0 Veza Gegebauerovih poioma i Gausovih hipergeometrijskih fukcija (3.8) može se primeiti i u ašem sučaju (3.7). Nako izmee prva dva ideksa u Gausovoj hipergeometrijskoj fukciji i primee formue (3.8) a (3.7) dobija se sedeća jedakost: ( )! i p ' m ( p) 4N (3 / ) ( p ( ) ) ( ) ( ) C ˆ ( ) Ym ( p). ( ) ( ) p ( )! ( ) Imajući u vidu da je (3 / ) i da je N ( ) i ako ezatog! ( )! sređivaja (kraćeja faktorjea i stepea broja ) dobija se sedeći izraz: ' i p m m ( )! ( ) p!( )! ( p) 4 ( ) C ( ) Y ( pˆ ). ( p ( ) ) (3.0) 3

16 Setimo se sada da smo tokom ceokupog izvođeja koristii pomoću fukciju (3.5) koja se trasformacijom (3.5a) svodi a izraz za Sejterove orbitae. Učiimo upravo avedee matematičke trasformacije sa (3.0) : Na kraju dobijamo rezutat koji je skoro u potpuosti idetiča sa rezutatom []: i p m m p!( )! ( p) 4 ( ) C ( ) Y ( pˆ ). ( )! ( p ) (3.) Faktor 4 posedica je ačia a koji smo defiisai Furijeovu trasformaciju (.8b) i iverzu Furijeovu trasformaciju (.8a). Dejejem ašeg izraza sa (što je razika između ačia a koji smo mi račuai i 3 ( ) defiicija (.7)) dobijamo sedeći izraz: i p m p p m p!( )! ( p,, ) ( ) C ( ) Y ( pˆ ), (3.) ( )! ( p ) što je tačo izraz za Sejterove orbitae u impusoj reprezetaciji dobije kod autora u refereci []. Grafičko predstavjaje dobijeih rezutata Predstavićemo sada grafički dobijee rezutate. Oo što se prvo može uočiti jeste da radijai deo Sejterovih orbitaa u koordiatoj reprezetaciji e zavisi od kvatog broja, dok u impusoj reprezetaciji to ije sučaj. Grafik 4.Modu Radijaog dea Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji =, =, =0 4

17 Grafik 5. Modu radijaog dea Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji =, =, =0 Grafik 6. Modu radijaog dea Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji =, =, = Grafik 7. Modu radijaog dea Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji =, =4, = 5

18 Grafik 8. Modu radijaog dea Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji =, =5, =0 Sejterova orbitaa u impusoj reprezetaciji sa fiksiraom vredošću uga ϕ p Grafik 9.Zavisost modua Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji od p i sa fiksiraom vredošću azimutaog uga =0, =,=0, m=0, Primećujemo da taasa fukcija ima ajveću vredost u 0 p za sve vredosti poarog uga. 6

19 Grafik 0. Zavisost modua Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji od p i sa fiksiraom vredošću azimutaog uga 0, =, =, m= Grafik. Zavisost modua Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji od p i sa fiksiraom vredošću azimutaog uga 0, =4, =3, m=- 7

20 Grafik. Zavisost modua Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji od p i sa fiksiraom vredošću azimutaog uga, =4,=3, m=0 3 Sejterova orbitaa u impusoj reprezetaciji sa fiksiraom vredošću poarog uga θ p Grafik 3. Zavisost modua Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji od p i sa fiksiraom vredošću poarog uga, =, =0, m=0 3 8

21 Grafik 4. Zavisost modua Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji od p i sa fiksiraom vredošću poarog uga 0, =,=, m=0 9

22 4. GAUSOVE ORBITALE U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI Uopšteo o Gausovim orbitaama Gausove orbitae takođe se koriste kao bazise fukcije u razim obastima fizike i date su sa: r ˆ m ( r,, ) Ar e Y ( r). (4.) m Norma Gausovih Orbitaa Da bismo odredii ormu Gausovih orbita, potrebo je rešiti sedeći itegra: r * si( ) ( ˆ) ( ˆ A r e r Ym r Ym r) drd d Uvođejem smee: r t, itegracijom po ugaoim promejivima i imajući u vidu da je Gama fukcija defiisaa sa t z z e t dt 0 (), (4.) dobijamo koača izraz za ormu Gausovih orbitaa: A ( ). ( ) (4.3) Gausove orbitae u impusoj reprezetaciji Furijeovu trasformaciju Gausovih orbitaa defiisaćemo a sedeći ači (.6a): ipr ˆ m 3/ m ( ) ( p) e R ( r) r si( ) Y ( r) drd d. (4.4) U ekspoetu (4.4) učiićemo trasformaciju (3.6): * ˆ ˆ ˆ m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si( m m m m. (4.5) p 4 i j pr Y r Y p R r Y r r ) drd d 0

23 Itegracijom (4.5) po ugovima, imajući u vidu da su sferi harmoici ortoormirai dobijamo sedeći izraz i da je radijai deo Gausovih orbitaa dat sa (4.) : r ( ) 4 ( ) ( ˆ m p i j pr e r r dry ) m p m m 0 m 0, (4.6) gde su, Kroekerove dete. mm Dobijei izraz svodi se a sedeći: ˆ r m ( ) 4 m ( ) ( ) 0 p i AY p j pr e r r dr. (4.7) Uopšteo itegra koji sadrži sferiču Beseovu fukciju, kvadrat promejive u ekspoetu i promejivu a stepe dat je sa []: x! 4 j ( ) dx x e x L e x ( ) 4 0. (4.8) Kada (4.8) primeimo a (4.7) dobijamo: / p p / p 4 m 3/ m ( p) Ai 4 ( )! L ( ) e Y ( pˆ ). (4.9) ( ) 4 Ovde su: - :, Gavi i orbitai kvati broj respektivo, - : Kostata koja zavisi od samih priroda pojediačih atoma u moekuu, - L ( x) : Asocirai Lagerov poiom defiisa sa: x x e d x L ( x) e x.! dx

24 Grafičko predstavjaje dobijeih rezutata Grafik 5. Radijai deo Gausovih orbitaa u koordiatoj reprezetaciji =, = Grafik 6. Radijai deo Gausovih orbitaa u koordiatoj reprezetaciji =3, = Grafik 7. Radijai deo Gausovih orbita u koordiatoj reprezetaciji =, =

25 Grafik 8. Modu radijaog dea Gausovih orbitaa u impusoj reprezetaciji =, =0, = Gausove orbitae u impusoj reprezetaciji sa fiksiraom vredošću uga ϕ p Grafik 9.Modu Gausovih orbitaa u impusoj reprezetaciji u zavisosti od vredosti p i sa fiksiraom vredošću = 3, =, =0, m=0, Primećujemo jaku okaizaciju gustie verovatoće u tački p za sve vredosti poarog uga. 3

26 Grafik 0. Modu Gausovih orbitaa u impusoj reprezetaciji u zavisosti od vredosti p i sa fiksiraom vredošću = 3, =5, =4, m=3 Kako je kvadrat modua taase fukcije u stvari gustia verovatoće, u ovom sučaju postojaće dve ekvivaete okaizacije gustie verovatoće. Grafik. Modu Gausovih orbitaa u impusoj reprezetaciji u zavisosti od vredosti p i sa fiksiraom vredošću = 3, =5, =4, m=0 4

27 5. ATOM VODONIKA U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI Uopšteo o atomu vodoika u kvatoj mehaici Rešeje Šredigerove jedačie za atom vodoika predstavja jeda od ajvažijih rezutata kvate mehaike. Šredigerova jedačia za atom vodoika gasi (u atomskom sistemu jediica): p (,, ) V ( ) (,, ) E(,, ). (5.) Cou. Rešeje ove jedačie je taasa fukcija sedećeg obika [8]: 3 ( )! / m (,, ) e L ( ) Ym (, ). a0 ( )! Ekvivaeto rešeje je [8]: 3 / ( )! / (,, ) e F(,, ) ( )! ( )! Ovde su : r, a eergije atomskih ivoa date su sa: Y ( m, ). E 3.6 ev, odoso u atomskom sistemu jediica koji koristimo sa: E. Za sam metod rešavaja Šredigerove jedačie i određivaja eergijskih ivoa atoma vodoika mogu se kosutovati kjige [5,7,8,,8]. 5

28 Radijai deovi vodoičih taasih fukcija predstavjei grafički Grafik. Radijai deo vodoiče taase fukcije u koordiatoj reprezetaciji =, =0 Grafik 3. Radijai deo vodoiče taase fukcije u koordiatoj reprezetaciji =, =0 Grafik 4. Radijai deo vodoiče taase fukcije u koordiatoj reprezetaciji =3, =0 6

29 Grafik 5. Radijai deo vodoiče taase fukcije u koordiatoj reprezetaciji =, = Grafik 6. Radijai deo vodoiče taase fukcije u koordiatoj reprezetaciji =3, = Grafik 7. Radijai deo vodoiče taase fukcije u koordiatoj reprezetaciji =3, = 7

30 Atom Vodoika u impusoj reprezetaciji Šredigerova jedačia za atom vodoika gasi: p m (,, ) VCou.( ) m (,, ) E m (,, ). ipr Možejem Šredigerove jedačie sa e pa kasijom itegracijom po ceom 3/ ( ) prostoru dobija se sedeća jedakost [7]: 3/ p ipr ( ) ( ) m ( ) VCou. ( ) m (,, ) si( ) (5.) E p e r drd d Postoje razi ačii da se ovaj itegra reši. Istorijski, prvi su ovo učiii Pauig i 3 4 Podoski 99. godie, a iza jih Fok (Fock) koristeći R R presikavaje. Prvi ači rešavaja detajije je obrazože u [9], a drugi ači rešavaja u iteraturi [4]. Ipak svi autori dobijaju ekvivaeto rešeje: ( )! / p p ˆ m p C Y m p ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( p ) p. (5.3) Pokušaćemo sada da reprodukujemo ovo rešeje koristeći zato drugačiji metod za rešavaje ovog trostrukog itegraa. Atom vodoika u impusoj reprezetaciji korišćejem Apeovog reda za rešavaje radijaog itegraa Rešeje Šredigerove jedačie za atom vodoika koje ćemo koristiti gasi [8]: 3 / ( )! / m (,, ) e F(,, ) ( )! ( )! Y ( m, ). Uzevši u obzir da je : r i pisajem jedačie koristeći r kao varijabu: 3 / ( )! r/ r m ( r,, ) e ( r / ) F(,, ) ( )! ( )! Y ( ˆ ) m r. 8

31 Zameom posedje jedačie u (5.) dobija se: p 3/ ( ) ( E) m ( p) 3 / ( )! r/ r e ( r / ) F(,, ) r ( )! ( )! (5.4) si( ) ( ˆ). ipr e r Ym r drd d Osovi probem pri izračuavaju ovog itegraa predstavja vektorska priroda p i r koje se aaze u ekspoetu, kao i jihov skaari proizvod. Da bismo uspešo izračuai ovaj itegra, moramo a eki ači trasformisati ovaj ča. Kada a (5.4) primeimo formuu (3.6) dobija se: p 3/ ( ) ( E) m ( p) 3 ( )! r/ r e ( r / ) F(,, ) r ( )! ( )! * [ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( )]si ( ) m m m 0 m 4 i j pr Y r Y p ( ) r Y r drdd. / (5.5) U izrazu (5.5) prvo ćemo izvršiti itegraciju po ugovima. Kako je ortoormiraost sferih harmoika data sa: * Y (ˆ ˆ)si( ) ( ) m r Y m r dd mm, 0 0 jedačia (5.5) postaje: p 3/ ( ) ( E) m ( p) [ 4 ˆ i j ( pr) Y ( )]. m p r dr mm 0 m / 3 ( )! r/ r e ( r / ) F(,, ) r ( )! ( )! 0 9

32 Ovde su, Kroekerove dete. Kroekerova deta biće razičita od ue samo za mm oe čaove za koje je i m m, tako da ćemo mi zadržati samo taj ča u ašem razvoju. Zbog daje pogodosti u pisaju obeežimo sa: 3 ( )! N ( )! ( )! / Šredigerova jedačia sada postaje:. p 3/ ( ) ( E) m ( p) r/ 0 r 4 i N e r F (,, ) j ( ) ( ˆ pr drym p). (5.6) Nako primee formue koja povezuje sferiče Beseove fukcije i kofuete hipergeometrijske fukcije (3.0) a izraz (5.6) dobijamo: p 3/ ( ) ( E) m ( p) p r/ ipr r 4 i N e r ˆ F (,, ) F (,, ipr) drym ( p). (3 / ) 0 U opštem sučaju itegra obika: (5.7) d ht t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt 0, jedak je d k k' h ( d) F ( d; a, a'; b, b' ;, ) h h. (5.8) Dokaz ove jedakosti prikaza je u dodatku. Kada (5.8) primeimo a (5.7) dobijamo: p 3/ ( ) ( E) m ( p) p r/ ipr r 4 i N e r F (,, ) F (,, ipr) dry ( ˆ m p) (3 / ) 0 30

33 p ip 4 i N ( ) F ( ;, ;, ;, ) ( 3/ ) ip ip ip Y ( ˆ) m p. (5.9) Ovde je F Apeov hipergeometrijski red defiisa a sedeći ači: ( d) m( a) m( a') m F ( d; a, a'; b, b'; x, y) x y. (5.0) ( b) ( b') m!! m, 0 m Apeov red može se u specijaim sučajevima svesti a hipergeometrijske fukcije. Upravo takav sučaj imamo u (5.9). Naime ukoiko je d b b', ovaj red će se svesti a sedeću fukciju: F ( d; a, a'; d, d; x, y) ( x) ( y) F ( a, a', d, ) ( x)( y) a a' xy. (5.) Primeom jedakosti (5.) a (5.9) dati izraz će izgedati ovako: 3/ p ( ) ( E) m ( p) p ip ip ip 4 i (3 / ) N ip ip ip 4ip ˆ F(,,, ) Y ( ). m p ( ip ) ( ) ( ) ( ) (5.) Nako sređivaja jedačie (5.) dobija se: p ( ) 4 4 N p ip ( ) ( ) ˆ (,,, ip i F ) Y ( ) m p. (3 / ) ( ip ) ( ip ) (5.3) 3/ ( ) ( E) m ( p) Sada je potrebo eimiisati kompeksu jediicu iz promejive u Gausovoj hipergeometrijskoj fukciji. Ovo se ajakše postiže određeom kasom trasformacija hipergeometrijskih fukcija koje se azivaju kvadratiče. Napomeimo da i iz same defiicije hipergeometrijske fukcije sedi da je hipergeometrijska fukcija ivarijata u odosu a izmeu prva dva ideksa. Imajući ovo u vidu, i imajući u vidu da je Počamerov simbo u imeiocu dva puta veći od jedog od Počamerovih simboa u brojiocu možemo pisati sedeću formuu []: 3

34 z a a z (,,, ) ( ) (,,, ), (5.4) ( z) a F a b b z F b odoso kada u obzir uzmemo pozatu jedakost iz agebre kompeksih brojeva: ( )( ) ix ix x. (5.5) Primeimo avedeu trasformaciju za Gausovu hipergeometrijsku (5.4) fukciju a aš kokreta sučaj (5.3) i ezato sredimo izraze: 3/ p ( ) ( E) m ( p) N ( p ) 3 4 p 4 i p ( ) ( ) ˆ F (,,, ) Y ( ). m p (3 / ) ( p ) ( p ) (5.6) Na prvi poged uočjiv probem sa ovakvom taasom fukcijom jeste jea koačost. Naime, jeda od postuata kvate mehaike govori da taasa fucija mora biti koača u ceom prostoru. To za ovu kokretu taasu fukciju ije ispujeo i to u tački p /. Dake, jaso zakjučujemo da datu fukciju moramo trasformisati daje kako bismo dobii rešeje koje bi imao fizičkog začeja. Takođe, poređejem sa rezutatima za atom vodoika u impusoj reprezetaciji (5.3), možemo zakjučiti da data trasformacija mora biti iz reda iverzih kvadratičih, kakva je upravo trasformacija []: z F ( a, a, c, z) ( z) F ( a,c a, c, ). (5.7) z a Kada (5.7) primeimo a (5.6): p N ( p ) ( p ) 4 i p ( ) ( ) (3 / ) ( p ) ( p ) 3/ ( ) ( E) m ( p) 3 p F ˆ Y m p (,,, ) ( ). ( p) Kraćejem čaova u razomcima dobija se sedeći izraz: 3

35 p N 4 i p ( ) ( ) (3 / ) ( p) 3/ ( ) ( E) m ( p) 3 p F ˆ Y m p (,,, ) ( ). p (5.8) Ne postoji fizička prepreka da ovo bude koača izraz za atom vodoika u impusoj reprezetaciji. Pre ego što pređemo a sređivaje čaova koji zavise iskjučivo od kvatih brojeva, a sa cijem daje provere ašeg rezutata, ačiimo posedju trasformaciju. U posebom sučaju Gegebauerovi poiomi i Gausova hipergeometrijska fukcija povezai su sedećom reacijom []: z ( ) ( ) F (,,, ) C ( z). (5.9) ( ) Kako je to i sučaj u ašem izrazu (5.8), odoso b a c, možemo trasformisati Gausovu hipergeometrijsku fukciju u skadu sa reacijom (5.9) : p N 4 i p ( ) ( ) ( 3 / ) ( p) 3/ ( ) ( E) m ( p) ( ) ( ) ( ) p C ˆ ( ) Y ( ). m p ( ) p (5.0) Imajući u vidu da je parost Gegebauerovih poioma data sa : C ( z) ( ) C ( z), (5.) ( )! da je Počamerov simbo od (3 / ) i predstavjajem N koristeći kvate! brojeve i dobijamo sedeću jedakost: ( )! / p p ˆ m 3/ p ( ) ( E) m ( p) 4 i ( ) C ( ) Y ( )! ( p ) p ( p). (5.) Napomeimo ovde da je u atomskom sistemu jediica E (5.3) 33

36 i p p p ( E) ( ). (5.4) Zameom (5.3) i (5.4) u (5.) dobijamo koača izraz za atom vodoika u impusoj reprezetaciji: ( )! / p p ˆ ˆ m p i C Y m p R p Ym p ( ) ( ( )! ) ( p ) ( p ) ( ) ( ) ( ). (5.5) Ovaj rezutat je skoro potpuo idetiča rezutatu (5.3), sa izuzetkom čaa i koji je posedica i ačia a koji smo defiisai Furije trasform (.6a) i iverzi Furije trasform (.6b), i e utiče bito a fiziku probema. Do rezutata koji su drugačiji od ovih ii su idetiči ovim rezutatima sa izuzetkom kompekse jediice a stepe, doazi više autora [6,9], a autor [5] objašjava čisto kompeksu ii čisto reau prirodu taase fukcije u impusoj reprezetaciji drugačijom prirodom p i d staja u impusoj reprezetaciji. 34

37 Grafičko predstavjaje dobijeih rezutata Grafik 8.Modu vodoiče taase fukcije u impusoj reprezetaciji predstavje u zavisosti od parametara p i sa kostatom vredošću parametra = 3, =, =, m =0 Grafik 9. Modu vodoiče taase fukcije u impusoj reprezetaciji predstavje u zavisosti od parametara p i sa kostatom vredošću parametra = 3, =, =0, m =0 35

38 Poređeje dobijeih rezutata Grafik 30. Poređeje modua radijaog dea vodoiče taase fukcije u impusoj reprezetaciji i radijaog dea koordiate vodoiče taase fukcije =, =, m=0 Grafik 3. Poređeje modua radijaog dea vodoiče taase fukcije u impusoj reprezetaciji i radijaog dea koordiate vodoiče taase fukcije =, =0, m=0 Grafik 3. Poređeje radijaog dea modua vodoiče taase fukcije u impusoj reprezetaciji i radijaog dea koordiate vodoiče taase fukcije =3, =, m=0 36

39 6. KULONOVI STURMIANI U IMPULSNOJ REPREZENTACIJI Uopšteo o Kuoovim Sturmiaima Jeda od ajraijih trijumfa kvate teorije jeste rešavaje Šredigerove jedačie za vodoiku siče atome. Logičo je bio adaje koristiti taase fukcije vodoiku sičih atoma kao gradive deove taasih fukcija sožeijih atoma. Ovom tematikom za atom heijuma bavii su se Ša (Shu) i Luvdi (Löwdi). Naziv Sturmiai potiče od Roteberg-a koji je žeeo da agasi jihovu vezu sa Šturm-Liuviovom (Sturm- Liouvie) teorijom. Šturm-Liuviova teorija je graa matematike osovaa od strae Šturma i Liuvia u kojoj cetrao mesto zauzima Šturm-Liuviova jedačia koja gasi: d dy p( x) q( x) y w( x) y dx dx. U sučaju kada: px ( ) i ova jedačia postaje: k ( ) qx ( ), r dr ( ) 0 r r. d ( ) k k u r Ukoiko zameimo: / Z u ( r) rr ( r) i k, dobijamo upravo Šredigerovu jedačiu za vodoiku E siče atome, čije su rešeje Kuoovi Sturmiai [6]: p ' ' ' m (,, ) VH ike ( ) m (,, ) Em (,, ). (6.) U jedačii (6.) ča VH ike ( ) odosi se a potecija vodoiku sičog atoma koji poseduje vise od jedog protoa u jezgru odoso može se reći da je Šredigerova jedačia za atom vodoika specijaa sučaj ovakve jedačie u kojoj je Z. Naša promejiva sada postaje: 37

40 Zr. Radijai deo taase fukcije dobija obik: (6.) 3 ' Z ( )! Zr / a Zr Zr R () r e L 3 a [( )!] a a. (6.3) Kuoovi Sturmiai u impusoj reprezetaciji Primejivajem istih jedostavih trasformacija iz pogavja 5. dobijamo sedeću jedačiu: 3/ p ' ' ipr ( ) ( E) m ( p) H ike. ( ) m (,, ) si( ) (6.4) V e r drd d Jedačia je ekvivaeta jedačii za atom vodoika (5.), sa izuzetkom toga što je Z i ceo broj pa se mogu primeiti i potpuo iste trasformacije kao za atom vodoika. Razika će biti samo u sedećim postavkama probema : a) Kuoovski potecija biće zameje potecijaom obika: r Zr. b) Eergija u atomskom sistemu jediica postaje: Z E. Rešeja koja se dobijaju primeom ekvivaetih trasformacija su: p p ' / Z Z m m ( )! Z p ( )! ( p) i ( ) C Y ( pˆ ). (6.5) p Z Z Što za Z korespodira rešeju za atom vodoika (5.5). 38

41 7. DODATAK Lema: Itegra d ht t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt 0 d k k' h ( d) F ( d; a, a'; b, b' ;, ) h h. jedak je Dokaz: Iz same defiicije Kumerovih hipergeometrijskih fukcija sedi sedeća jedakost: ( a) ( a') k k' t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt t e [ t ] dt m d ht d ht m m 0 0 m0 0 ( b) m( b') m m!!. Kako suma i itegra mogu da zamee mesta možemo pisati (itegra ije išta o gama fukcija) : ( a) ( a') k k' t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt t e [ t ] dt m d ht d ht m m 0 m0 0 ( b) ( ')!! 0 m b m m, odoso: ( a) ( a') k k' t e F a b kt F a b k t dt t e dt m d ht m d m ht (,, ) ( ', ', ' ) 0 m0 0 ( b) m( b') m m!! 0. Itegra u (7.) jedak je: (7.) d m ht ( d m) t e dt h ( d m), (7.) 0 što se korišćejem tzv. Počamerovog idetiteta može svesti a: ( d m) ( d m) ( d m) ( d m) ( d) ( d). (7.3) m Kada (7.3) zameimo u (7.), pa potom (7.) u (7.) dobijamo: m ( a) ( a') k k' t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt h ( d m) ( d) m( d), ( b) ( b') m!! d ht ( md ) m 0 m0 0 m m 39

42 odoso: ( a) ( a ') ( d) k' k h h d ht d m mm t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt h ( d) 0 m0 0 ( b) m( b') m m!! m. Ovo ije išta drugo do Apeov hipergeometrijski red F iz reacije (5.) pomože sa d h ( d). Sada možemo u koačom obiku apisati: d ht t e F ( a, b, kt) F ( a ', b', k ' t) dt 0 d k k' = h ( d) F ( d; a, a'; b, b' ;, ) h h. (7.4) Ovim je dokaz završe. 40

43 8. ZAKLJUČAK Pozavaje vodoičih taasih fukcija i Sejterovih orbitaa u impusoj reprezetaciji može predstavjati zato oakšaje pri kokretim račuicama u razim obastima fizike. Potpuo je evideto da formua za atom vodoika u impusoj reprezetaciji ima zato jedostaviju matematičku formu od oe u koordiatoj reprezetaciji. Naravo, pod koordiatom reprezetacijom podrazumevamo sfere koordiate. Formue za Sejterove orbitae, kao i Gausove orbitae deuju ešto sožeije, ai ipak mogu biti od koristi u kokretim izračuavajima. Daji tok istraživaja u ovoj obasti može se kretati ka aažeju jedostavijih obika ii jedostavijih ačia za račuaje razih drugih fukcija koje se koriste u moekuaroj kvatoj mehaici, teoriji rasejaja itd. 4

44 Literatura: [] M. Abramowitz, I.A. Stegu, Hadbook of mathematica fuctios with formuas, graphs ad mathamatica tabes, Natioa bureau of stadards, Appied mathematics,first editio (964), Teth pritig, (97) [] A.P. Prudikov, Yu.A. Bruckov,O.I. Maricev, Itegras ad series, Voume II- Specia fuctios, Overseas pubisher associatio, Third pritig (99) [3] I.S. Gradshtei, I.M. Rzyhik, Tabe of itegras series ad products, Six editio (984) [4] V. A. Fock, Hydroge atom ad o Eucidia geometry,z. Phys. 98, 45 (935) [5] H.A. Bethe ad E.E. Sapeter, Quatum Mechaics of Oe-Ad Two-Eectro Atoms, Spriger, Beri, (977) [6] J.R. Lombardi Hydroge atom i mometum represetatio, Phy. Rev.A,797(980) [7] B.H. Brasde, C,J, Joachai, Physics of atoms ad moecues, Logma, First editio (989) [8] B.H. Brasde, C,J, Joachai, Itroductio to quatum mechaics, Logma, Secod editio (000) [9] B. Podosky, L. Pauig, The mometum distributio i hydroge-ike atoms, Phys. Rev (99) [0] M. Hage-Hassa, O the hydroge wave fuctio i Mometum-space, Cifford agebra ad the Geeratig fuctio of Gegebauer poyomias Preprit mathph/ [] M.Weissbuth, Atoms ad moecues, Academic press, Lodo, First editio, 978 [] Dz. Bekic, H,S, Tayor, A uified formua for the Fourier trasform of Sater-type orbitas, Physica Scripta, Voume 39, Number, Str. 6 [3] Sater, J.C. "Atomic Shiedig Costats". Phys. Rev. 36 (930) [4] F.Herbut, Kvata mehaika za istraživače, Uiverzitet u Beogradu (999) [5] B.Maksic, Pauig Legacy: Modeig of the chemica bod, Esevier (999) [6] James Avery, Joh Avery Geeraised Sturmias ad Atomic spectra Word scietific (006) 4

45 [7] F.W.J. Oiver, D.W.Lozier, R.F.Boisvert, C.W.Cark, NIST Hadbook of Mathematica fuctios,cambridge press, First editio, (00) [8] J.J. Sakurai, J. Napoitao, Moder quatum mechaics, Adiso-Wesey, Secod editio (0) [9] C.Champio, H.Lekadir, M.E.Gaassi, O.Fojo, R.D.Rivaroa, J. Hasse, Theoretica predictios for ioizatio cross sectios of DNA uceobases impacted by ight ios, Phys. Med. Bio. 55 (00) [0] M.E.Gaassi, C.Champio, P.F.Weck, R.D. Rivaoa, O.Fojo, J. Hasse, Quatum-mechaica predictios od DNA ad RNA ioizatio by eergetic proto beams, Phys. Med. Bio. 57 (0) [] C.A.Tachio, F. Marti, R.D. Rivadoa, Theoretica study od iterferece effects i sige eectro ioizatio of N moecues by proto impact J.Phys.B:At. Mo. Opt. Phys. 45 (0) 050 (9pp) [] S.Nadi, A,N, Agihotri, S.Kasthuriraga, A.Kumar, C.A.Tachio, R.D.Rivaroa, F.Marti, L.C.Tribedi, Impact ioizatio of moecuar oxyge by 3.5-MeV/u bare carbo ios, Physica Review A 85, (0) 43