MOGUĆNOSTI PRIMENE FRAKCIONOG RAČUNA U MODELOVANJU TELEKOMUNIKACIONOG SAOBRAĆAJA

Transcription

1 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 ПРЕГЛЕДНИ ЧЛАНЦИ REVIEW PAPERS ОБОЗОРНЫЕ СТАТ ЬИ MOGUĆNOSTI PRIMENE FRAKCIONOG RAČUNA U MODELOVANJU TELEKOMUNIKACIONOG SAOBRAĆAJA Braka D. Mikavica, Aleksadra M. Kostić-Ljubisavljević, Vesa M. Radojić-Đogatović Uiverzitet u Beogradu, Saobraćaji fakultet b.mikavica@sf.bg.ac.rs, a.kostic@sf.bg.ac.rs, v.radojic@sf.bg.ac.rs OBLAST: telekomuikacije VRSTA ČLANKA: pregledi člaak JEZIK ČLANKA: srpski DOI: /vojtehg Sažetak: Frakcioi raču je oblast matematičke aalize koja se bavi izučavajem i primeom izvoda i itegrala proizvoljog reda. Ovom teorijom bavili su se mogi pozati matematičari među kojima su Ojler, Rima, Liuvil, Abel i Furije. Predložeo je više defiicija za izračuavaje izvoda i itegrala ecelog reda. U ovom radu daje se pregled ekih predložeih defiicija, kao i osove postavke frakcioog račua sa posebim aglaskom a mogućostima jegove primee u domeu modelovaja telekomuikacioog saobraćaja. Čijeica je da frakcioi raču posledjih deceija alazi sve veću primeu u razim aučim oblastima. Modeli zasovai a frakcioom račuu pokazali su se korisim u fizici, mehaici, elektrotehici, biohemiji, medicii, ekoomiji, teoriji verovatoće. U ovom radu aalizira se mogućost primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja. Istraživaja pokazuju da se karakteristike telekomuikacioog saobraćaja a lokalom i globalom ivou u mreži, kao što su samosličost i zavisost u dugom opsegu, efikasije mogu opisati pomoću frakcioog račua umesto kovecioalih stohastičkih procesa. U radu su prikazai predložei modeli zasovai a frakcioom račuu koji modeluju feomee prisute u savremeim telekomuikacioim mrežama. Ključe reči: modeli, saobraćaj, telekomuikacije, frakcioi raču. ZAHVALNICA: Ovaj rad je deo rezultata istraživaja a projektu TR32025 koji fiasira Miistarstvo prosvete, auke I tehološkog razvoja Republike Srbije 64

2 Uvod Telekomuikacioe mreže beleže eorma razvoj. Potrebe korisika u pogledu ovih servisa i aplikacija koje zahtevaju veće propuse opsege i veći kvalitet servisa svakim daom rastu. Rast tražje utiče a eophodost izgradje adekvate arhitekture mreže, plairaje, održavaje, kotiuirai razvoj i uapređivaje. U tom smislu, od velikog začaja je evaluacija efikasosti telekomuikacioih mreža korišćejem metoda mereja, aalize i simulacije ovih mreža. Merejem i statističkom aalizom telekomuikacioog saobraćaja otkriveo je da saobraćaj u mreži pokazuje velike eregularosti (burstiess), kako u pogledu varijabilosti iteziteta saobraćaja, tako i u pogledu oblika fukcije autokorelacije. Uočeo je da saobraćaj ima fraktale karakteristike samosličost i zavisost u dugom opsegu (Devetskiotis, da Foseca, 2005). Usled toga, potreba je velika širia propusog opsega, a vrlo često je to jeda od uzroka eefikasosti mreže. Za razliku od ustaljeih modela, zasovaih a Poasoovoj raspodeli, koji se sreću u mrežama sa komutacijom kola, kod modela zasovaih a samosličosti telekomuikacioog saobraćaja javljaju se problemi koje je teško progozirati, izmeriti i kotrolisati saobraćaj u mreži. Stoga, mereje, aaliza i modelovaje samosličog telekomuikacioog saobraćaja još uvek predstavlja izazov. Različita istraživaja su pokazala da se saobraćaj u savremeim telekomuikacioim mrežama može adekvato opisati statističkim modelima zasovaim a frakcioom račuu. Frakcioi raču predstavlja oblast matematike koja se bavi izučavajem i primeom izvoda i itegrala ecelog reda. Posledjih deceija alazi sve veću primeu u razim sferama auke, od medicie, fizike, biohemije, ekoomije, teorije verovatoće, mehaike, elektrotehike. Težište ovog rada je a mogućosti primee frakcioog račua u savremeim telekomuikacioim mrežama u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja. Rad je kocipira a sledeći ači. Nako uvodog razmatraja, daju se osove postavke frakcioog račua. Broji pozati matematičari koji su se bavili izučavajem frakcioog račua dali su svoje defiicije i u ovom radu se daje pregled ekih od predložeih defiicija. U aredom poglavlju se opisuju feomei koji se sreću u savremeim telekomuikacioim mrežama samosličost (eg. self-similarity) i zavisost u dugom opsegu (eg. Log ru depedece - LRD). Zatim se daje pregled ekih predložeih modela saobraćaja zasovaih a frakcioom račuu. Na kraju se daju zaključa razmatraja. Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

3 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 Osove postavke frakcioog račua Izučavaje frakcioog račua počije u 7. veku sa Lopitalom i Lajbicom. Lakroa je prvi objavio eceli red izvoda. Tako, za y =, a R +, a pokazao je da /2 d y Γ ( a + ) a /2 =. /2 d Γ ( a + /2) Zapravo, dobio je da /2 d / d = 2 / π (isti rezultat je dobio i Rima-Liuvil, koji važi i daas). Iako je aziv frakcioi raču zapravo pogreša, a ozaka itegracija i diferecijacija proizvoljog reda adekvatija, uobičaje je aziv frakcioi raču, koji se koristi još od doba Lopitala. Furije, koji je 822. izveo vredost itegrala fukcije f = d cos π dp, formalo je izrazio verziju sa izvodima 2 R R ν d ν νπ f = f d p cos p( ) dp ν d 2π + 2 R R, gde se vredost ν odosi a bilo koju vredost, pozitivu ili egativu. Abel je primeio frakcioi raču za rešavaje itegrale jedačie koja se javlja u formulaciji tautohroog problema (odrediti oblik krive tako da je vreme spuštaja tela zaemarljive mase iz datu krivu, bez treja, pod uticajem gravitacije, ezaviso od početog položaja tela). Abelova itegrala jedačia ima oblik: /2 k = ( t) f ( t) dt 0. () Abel je izučavao opštije forme itegralih jedačia sa jezgrom oblika ( t). Itegral (), sa izuzetkom faktora / Γ ( /2), poseba je slučaj koačog itegrala koji defiiše frakcioo itegraljeje reda ½. U itegralim jedačiama oblika () fukcija f je epozata. Abel je desu strau jedačie () apisao kao π /2 d / d /2 f. Zatim je primeio operaciju d / d a obe strae jedačie i dobio /2 /2 je: /2 d k π f /2 d =, (2) 66

4 jer ovi frakcioi operatori imaju osobiu da D 2D 2 f = D f = f. Stoga, kada se izračua frakcioi izvod reda ½ kostate k u (2), f ( ) je određea. To je izuzeto dostiguće u oblasti frakcioog račua. Važo je uočiti da frakcioi izvod kostate ije uvek jedak uli (Miller, Ross, 993). Prvi ozbilja pokušaj da se dâ logiča defiicija frakcioih izvoda a a pripada Liuvilu. Liuvil je pošao od pozatog rezultata D e = a e gde je d D =, N, i proširio ga, ajpre a poseba slučaj kada je, 2 d ν = 2 a = ν a ν a a zatim ga proširio a proizvolja red, ν R+ sa D e = a e. Prikazao je a f c k ke k = 0 ν ν a D f = c k kake. k = 0 fukciju f ( ) kao = i defiisao izvod proizvoljog reda ν sa Njegov drugi metod odosio se a eksplicitu fukciju I a u e u du 0 a a t a 0 ν a ν Γ a + D = Γ a a. Posmatrao je itegral I = t e dt = Γ a 0 =, a zatim zameom u = t dobio rezultat a (za Rea > 0). Možeći obe strae = I / Γ ( a) sa D ν dobio je ( ν ) a ν S obzirom a to da proizvolja diferecijala jedačia oblika d y = 0 -tog reda ima opšte rešeje y = c 0 + c c, Liuvil je d d y zaključio da frakcioa jedačia oblika = 0, R + takođe treba da d ima odgovarajuće opšte rešeje. Neka je f lokalo itegrabila u itervalu ( a, ), tada je -ta iteracija itegraljeja data kao: u u a : 2... (! ) a a a a. Ι f = du du f u du = u f u du Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

5 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 za skoro svako uz a < < i N. Ako se uzme da je (! ) =Γ, dobija se eposreda geeralizacija itegrala fukcije f ecelog reda > 0, Ι f = ( u) f ( u) du Γ, (desi itegral) (3) a ( ) i sličo za < < b, ( ) b a Ι f = ( u ) f ( u) du Γ (levi itegral), b oboje defiisao za odgovarajuće f. Ideksi uz I ozačavaju graice itegracije u datom redosledu. Može se uočiti da je za = jedačia (3) jedistveo rešeje početog problema ( ) ( ) y = f, y a = y' a =... = y a = 0 Kada je a = jedačia (3) je ekvivaleta Liuvilovoj defiiciji, a za a = 0 dobija se Rimaova defiicija (bez komplemetare fukcije). Najčešće se kaže da je a Ι f Rima-Liuvilov frakcioi itegral reda fuk- cije f. Sa druge stae, jedačie W f = aι f = ( u ) f ( u) du Γ ( ) W f = Ι f = ( u) f ( u) du Γ ( ) azivaju se Vejlovi frakcioi itegrali reda, defiisai za odgovarajuću fukciju f. Levi i desi itegral frakcioih itegrala ( Ι ) i Ι ( ) a f b f povezai su preko Parsevalove jedakosti (frakcioa itegracija po delovima) koja se dobija za a = 0 i b = : f ( 0Ι g) d = ( W f ) g d 0 0. Sledeća svojstva važe za desi itegral frakcioih itegrala (uvođejem adekvatih zamea važi slučaj levog itegrala). Neka je f L a, Ι je koača svuda u itervalu loc ( ). Tada, ako je a >, a f ( a, ) i pripada L (, ) loc a. Ako je a = pretpostavlja se da se f poaša 68

6 tako da za takav itegral kovergira. Pod ovim pretpostavkama frakcioi itegral zadovoljava svojstvo aditivosti: ( β, 0) β + β aι aι = aι f >. Uzimajući u obzir redosled itegraljeja, dobija se: u β β aι aι f = ( u) du ( u t) f ( t) dt Γ Γ( β) a a. β = f () t dt ( u) ( u t) du Γ Γ( β) a t u t Drugi itegral je, uvodeći zameu y =, jedak t + β + β β ( t) ( y) y dy =Β( β, )( t) 0 Γ = Γ + gde je (, β ) Γ( β) ( t ) β + β Β Beta fukcija. Kada se to uvrsti u gorje rezultate, dobija se: (, 0) + aι f = aι aι f N >, što implicira -tu diferecijaciju: d a d + Ι f = Ι f, ( N, 0) a > za svako. (4) Prethodi rezultati važe i za kompleksi parametar, ako se uslov > 0 zamei sa Re > 0. Tada se operacija aι može smatrati holomorfom fukcijom od za Re > 0, što se može proširiti a celu kompleksu rava. Kako bi se ovo pojasilo, polazi se od pretpostavke da je f beskoačo diferecijabila u skupu realih brojeva. Ako je a > tada je ( f ) ( a ) = 0 za = 0,,2... Tada za svako fikso > a itegral u (9) je holomorfa fukcija od za Re > 0. Neka je R i r > 0. Skup Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp (, ) { : (, ) } : 2 Κ r = y R d y < r = y R i yi < r i= 69

7 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 aziva se otvorea kugla oko radijusa r. Skup A R je otvore ako važi A, r > 0, Κ(, r) A. Fukcija f je diferecijabila ili holomorfa a otvoreom skupu Ω ako poseduje izvod u svakoj tački skupa Ω. Važi sledeće: ako je fukcija diferecijabila, oda postoji izvod svakog reda a celom skupu Ω. Takva diferecijabila fukcija aziva se holomorfa. Parcijala itegracija -puta daje: + ( Ι f = Ι f ), ( Re 0, N) a a > (5) Primejujući aditivo svojstvo (4) a izraz sa dese strae (5) i diferecirajući rezultat -puta po, dobija se: d d ( Ι f = Ι f ), ( Re 0, N) a a > (6) čime se pokazuje da su operacije itegracije frakcioog reda i difereciraja reda ad fukcijom f komutative. Ako se poovo pogleda formula (5) može se uočiti da je desa straa C;Re > i izraza holomorfa fukcija od sa većim domeom { } d + jedak je Ι f po formuli (6). Ovako se može proširiti Ι ( ) a d C;Re 0, aalitički defiišući za C i Re 0 a dome { } + d + a a a ( ) a f Ι f = Ι f = Ι f (7) d Za svaki ceo broj > Re, dobija se 0 ( Ι f = f, Ι f = f ), ( N) a a 70 (8) Neka je kompleksi broj takav da je Re > 0 i = [ Re ], gde [ Re ] ozačava ceo deo od Re. Desi itegral frakcioog izvoda reda defiisa je kao d a a = Ι, [ ] D f f d za svako f L ( a, ) loc ( Re ) = + (9) za koje izraz a desoj strai važi.

8 Defiicije itegrala i izvoda proizvoljog reda, Re 0, N : (ekvivaleto) mogu se objediiti a sledeći ači, za ad f ( u) f ( u) du, ( Re < 0) Γ ( ) =, d aι f,( Re > 0; Re < ) d što se često aziva diferitegral fukcije f reda. Ovaj proces često se aziva i frakcioo itegro-difereciraje. Može se uočiti da je levi izraz frakcioog izvoda reda defiisa d b d b ( Re ) kao: D f = ( ) Ι f, [ ] = +. Frakcioi izvod potpuo imagiarog reda = iθ, θ 0 defiisa je kao f ( u) iθ d ad f = = du Γ( iθ ) d, iθ a u a odgovarajući itegral reda = iθ defiiše se kao: iθ d + iθ d iθ aι f = aι f = ( u) f ( u) du d Γ ( + iθ ) d a. Defiicija frakcioog itegro-difereciraja za svako a C je kompleta 0 0 uvođejem idetičkog operatora ad f : = aι f = f za svako = 0. Takođe, može se uočiti da su frakcioi operatori lieari: + = + ad cf c2f2 cad f c2 ad f2, gde su c i c 2 kostate. Pri defiisaju dovoljih uslova za postojaje frakcioih izvoda u relaciji (9) razmatra se slučaj 0< Re <, ako je > (Hifler, 2000). Pretpostavlja, f AC a, b, što se da je f eprekida u koačom itervalu [ ab ], formalo [ ] zači da je f diferecijabila svuda u itervalu ( ab, ) i f ' L ( a, b) a. a [ ab, ] jedaka je f = f '( u) du+ f ( a) = Ι f ' + f ( a) i u itervalu Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

9 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 Zameom ovoga u formuli Ι Ι i Ι komutativi, dobija se: ' a f f ( a) ( 2 ) aι f = aι aι f + Γ Diferecirajem po, dobija se:, uz čijeicu da su operatori. f ( a) d ad f = aι f = aι f ' + a d Γ (0) što pokazuje da, u opštem slučaju, operatori aι i d isu komutativi. d Formula (0) može se proširiti uvođejem kompleksog broja, takvog da je Re. Rezultati su obuhvaćei pretpostavkom koja sledi. Najpre se uvode sledeće ozake: za N, AC [ a, b] ozačava skup od ( ) diferecijabilih fukcija f a [ ab, ], takvih da su f, f ',..., f 0 eprekide a [ ab, ]. Može se uočiti da je AC [ a, b ] jedako AC [ a, b ]. Pretpostavka: ako je f AC [ a, b] f je defiisaa samo u koačom itervalu [ ab, ], tada postoji ad f, Db f za 0< Re <. Štaviše, r f ( a) f '( u) ad f L ( a, b) za r < i ad f = + du Re ( ) Γ ( a) a ( u). Aalogo važi za D b f. Ako je f AC [ a, b], = [ Re ] + tada postoji D a f za Re 0 i važi ( k ) ( ) ( ) f a f u ad f = + du Γ + k Γ + k = 0 a u () Drugi ači da se defiiše frakcioi izvod reda, takođe prema Liuvilu, jeste: ( : = Ι ), [ ] ad f a f ( Re ) = +. (2) Očigledo, f mora biti diferecijabila kako bi izraz sa dese strae (2) postojao. Relacija između dva frakcioa izvoda (9) i (2) data je formulom (), aime ( ) f ( a) k ad f = ad f + a. Γ + k k = 0 72

10 Defiicija (9) ajčešće je korišćea u matematičkim krugovima, dok je defiicija (2) češće korišćea u slučajevima kada su početi uslovi defiisai preko celih izvoda (Hifler, 2000). Neki predložei modeli primee frakcioog račua za modelovaje telekomuikacioog saobraćaja Izvodi i itegrali celog reda imaju jasu fizičku i geometrijsku iterpretaciju. Međutim, prihvatljiva geometrijska i fizička iterpretacija itegraljeja i difereciraja frakcioog reda dugo ije bila pozata. To je oblast koja se daas sve više razvija, kako u teoriji, tako i u praksi. Posledjih godia frakcioi raču alazi primeu u studijama o viskoelastičim materijalima, tokovima fluida, elektromagetoj teoriji i verovatoći, saobraćaju i medicii (Dalir, Bashour, 200). U ovom delu rada težište je a mogućosti primee u telekomuikacioim mrežama Modeli Markova i jegova teorija redova često su izučavai i itezivo primejivai kao alat za evaluaciju performasi. Međutim, aalize zasovae a modelima Markova imaju određee edostatke. To su: u mrežama sa velikim protocima verovatoća odbacivaja paketa u baferima sa ograičeim kapacitetom teško se može odrediti i često se aproksimira verovatoćom odbacivaja u sistemu sa beskoačim baferima (Kim, Shroff, 200), kada se multipleksira veliki broj izvora Markova, veliki kapacitet agregatih dolazih procesa rezultira emogućošću izračuavaja, ed-to-ed aaliza performasi zahteva precizo modelovaje odlazih procesa iz redova za aalizu sledećeg hopa (modelovaje odlazih procesa za Markove izvore takođe je veliki problem), sveobuhvata mereja i aalize saobraćaja u mreži ukazuju a to da paketski saobraćaj ima svojstva samosličosti ili zavisosti u dugom opsegu (LRD), koja se e mogu opisati modelima Markova koje karakteriše zavisost u kratkom opsegu (Cheg et al, 2007). Samosličost podrazumeva da je određeo svojstvo objekta, poddome ekog diamičkog sistema ili vremeska serija, očuvao u odosu a vremesko i/ili prostoro skaliraje. Ako je objekat samosliča ili fraktala, jegovi delovi, kada se uvećaju, u određeom smislu imaju oblik celie. Determiistička samosličost podrazumeva samo jaku formu rekurzive regularosti. Međutim, za potrebe modelovaja saobraćaja, gde je stohastička varijabilost osova karakteristika, determiistička samosličost mora se dalje uopštiti. Za razliku od determiističkih frak- Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

11 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 tala, stohastički fraktali e poseduju egzaktu sličost jihovih delova u poređeju sa celiom. Mera sličosti je oblik grafa sa adekvato izabraim stepeom sličosti. Ako se usvoji da su vremeske serije u saobraćaju uzorci stohastičkog procesa, pri čemu se zaemaruje mera sličosti fokusirajem a određee statistike ili, recimo, reskalirajem vremeskih serija, tada je moguće postići egzaktu sličost objekata. Statistike drugog reda su statistička svojstva koja prikazuju burstiess ili varijabilost. Oblik autokorelacioe fukcije ima začaju ulogu. Autokorelacioa fukcija je kriterijum u odosu a koji se defiiše ivarijatost. Korelacija, kao fukcija kašjeja, opada zato sporije u odosu a ekspoecijalu. Postojaje ovakve zavisosti aziva se zavisost u dugom opsegu (Park, Williger, 200). Zavisost u dugom opsegu je svojstvo vremeskih serija da pokazuju jaku zavisost tokom velikih vremeskih itervala. Formalo se može izraziti a više ekvivaletih ačia. Neka je Xt, t Z diskreta promeljiva stacioare serije. Serija Xt, t Z se aziva log rage depedece (LRD), ako za jeu fukciju kovarijase važi γ () 2 2H t = E X0 EX0 Xt EXt cγ t, t (3) i važi H, 2 gde je c γ kostata veća od 0. Uslov (3) može se ekvivaleto apisati pomoću Furijeove trasformacije kao: 2H f λ c f λ, λ 0, fukcija spektrale gustie X t iλ p gde je f ( λ) ( 2 π) = e γ ( p), λ [ π, π] i f p c je kostata veća od 0. Parametar H aziva se Hurstov parametar. Što je H veće, vremeska zavisost je veća, jer fukcija kovarijase sporije opada ka beskoačosti (Park et al, 20). Postoje različite teorije o uzroku pojave samosličosti. Po prvoj, uzrok samosličosti leži u aplikativom sloju. Druga teorija tvrdi da je poreklo samosličosti a trasportom sloju. U ovoj teoriji posmatraju se efekti primee TCP algoritama kotrole zagušeja a saobraćaj u mreži, kao i situacija koja astaje kada više izvora saobraćaja rutira saobraćaj preko istih putaja. Treća teorija razmatra uzroke a mrežom sloju. Ova teorija, pre svega, povezuje samosličost sa kritičim feomeima koji astaju u tačkama u kojima sloboda tok saobraćaja prerasta u zagušeje (Smith, 20). 74

12 Vremesko-prostoro modelovaje preosa paketa u TCP/IP mrežama U astavku će biti prikaza predložei model koji predstavlja telekomuikacioi saobraćaj kao stohastički proces sa mogućošću beskoačog sredjeg kašjeja. Ovim modelom može se objasiti pojava zavisosti u dugom opsegu i fraktalih osobia tokova podataka. Takođe, prikazaa je formala veza između heavy-tailed raspodela kašjeja, hiperboličkog opadaja kašjeja paketa, fukcije autokovarijase i frakcioih izvoda. Nedava mereja telekomuikacioog saobraćaja pokazala su da se jegove karakteristike efikasije mogu opisati pomoću ecelih izvoda umesto kovecioalih stohastičkih procesa (Zaborovsky et al, Nova iterpretacija frakcioog račua otvara ova područja upotrebe ovih razvijeih matematičkih alata radi razumevaja lokalih i globalih karakteristika saobraćaja u mrežama sa komutacijom paketa. Fraktala dimezija i zavisost u dugom opsegu mogu se uočiti u privatim, lokalim i WAN mrežama. Defiisaje kvaliteta servisa (QoS) za Iteret servise zahteva adekvate modele virtuelih koekcija, u zavisosti od tokova podataka. U opštem slučaju, takva koekcija se sastoji od ekoliko trazitih čvorova i likova. Bez smajeja opštosti pretpostavlja se da se a koekciji koja se razmatra primejuje TCP protokol i da postoji ed-to-ed kotrola. Pored toga, pri defiisaju modela tokova podataka razmatraju se procesi u trazitim čvorovima i komuikacioim likovima, kao što je prikazao a slici. TCP baferovaje kašjeje pri preosu odbacivaje paketa TCP čvor 0 čvor čvor + čvor M Slika Kašjeje/odbacivaje paketa u TCP koekciji Figure Packet delay/dropp processes i a TCP coectio Схема Задержка/потеря пакетов в ТСР соединении Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp Ovi procesi javljaju se u različitim oblicima kašjeja paketa i akcijama jihovog odbacivaja. Posmatra se vreme propagacije paketa. Detaljom elaboracijom sve do ivoa trazitih čvorova (slika 2b) vreme propagacije T može se predstaviti kao suma kašjeja paketa u svakom 75

13 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 M hopu, T = ( t L B i + ti ), gde je t L vreme propagacije paketa između čvo- t kašjeje procesiraja/ baferovaja paketa u čvoru, M je ukupa broj čvorova u koekciji. i rova i + i (kašjeja duž lika), i B a) b) c) predajik prijemik predajik prijemik predajik + prijemik t B t L RTT odbacivaje paketa beskoačo kašjeje t Slika 2 Preos paketa: a) ed-to-ed model; b) čvor-čvor model; c) skok model Figure 2 Packet trasmissio: a) ed-to-ed model; b) ode-ode model; c) jump model Схема 2 Передача пакета: а) модель ed-to-ed б) модель узел-узел с) модель прыжка U savremeim TCP/IP mrežama kašjeje duž lika t L u datoj virtueloj koekciji može se smatrati kostatim (Hifler, 2000). Stoga, varijacija vremea propagacije, što ima izuzeta uticaj a parametre kvaliteta servisa, uzrokovaa je varijacijama kašjeja baferovaja t B. Paket se može odbaciti usled popujeosti bafera ili greške pri rutiraju u trazitim čvorovima. Sa aspekta prijemika traziti čvor se poaša kao zamka za pakete i zadržava ih zauvek. U ovom slučaju, t B uzima vredost beskoačo. Može se uočiti da će uprkos gubitka paketa ili beskoačog kašjeja protokol a trasportom sloju osigurati preos određeih paketa koristeći retrasmisiju. Rezultat toga je porast ukupog broja prosleđeih paketa i, stoga, utiče a efektivu produktivost virtuele koekcije. Virtueli kaal određe je koačim brojem trazitih čvorova i i likova. Svaki traziti čvor karakteriše se prosečim vremeom preosa paketa do sledećeg čvora. Promeljiva t uključuje kašjeje paketa u baferu i vreme propagacije paketa do sledećeg čvora. U ovom slučaju se preos 76

14 paketa između trazitih čvorova može predstaviti kao sekveca diskretih prostorih skokova duž likova (slika 2c). Vremeski iterval između skokova je slučaja promeljiva koja je jedaka vremeu preosa paketa do sledećeg čvora. Takvi skokovi formiraju statistički diamički proces komutacije paketa i direkto utiču a karakteristike saobraćaja u mreži. Za defiisaje matematičkog modela takvog procesa uvodi se fukcija gustie raspodele verovatoće f(t) preosa paketa od čvora do čvora +. Pretpostavlja se da svi traziti čvorovi u virtuelom kaalu imaju ista prava u jihovom dopriosu vredosti ed-to-ed vremea preosa. Mogućost odbacivaja paketa odgovara staju u kojem paket e apušta traziti čvor i ostaje u ovom čvoru zauvek. Tada sredje kašjeje paketa u čvoru zadovoljava uslov < t >= tf () t dt =, 0 f () t > 0, f () t dt =. 0 Odgovarajući izraz za f(t) može se apisati kao: γ f () t =,0 t γ < γ <. + + Zaključuje se da upravo ovakva stuktura fukcije gustie verovatoće karakteriše dugoroču statističku zavisost, koja je detaljo aaliziraa u račuarskim mrežama (Babic et al, 998). Za dalju kostrukciju modela uvodi se fukcija F ( τ ), F τ = f t dt =, γ 0 ( + τ ) ( τ ) gde je τ vreme postojaja paketa u trazitom čvoru virtuelog kaala. Odredimo sada ajverovatiji broj paketa u čvoru u treutku t, koristeći formulu: t ( ; t) = ( ; t τ) f ( τ) dτ + 0 F( t), gde je 0 0 broj paketa u čvoru pre pristizaja paketa iz čvora -. Vredost () ije ograičea veličiom bafera i može uključiti sve pakete u virtuelom kaalu koji se prosleđuju i odbacuju u čvoru. Koristeći ove ozake, jedačia prosleđivaja paketa može se prikazati kao: ( ; ) γ t 0 Γ( γ ) Dt ( ; t) = +, γ t Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

15 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 gde levi deo jedačie predstavlja frakcioi izvod fukcije (;t) sa ekspoetom γ, t γ ( ; τ ) Dt ( ; t) = dτ Γ( γ ) γ. t τ 0 Uzimajući u obzir da promeljiva uzima diskrete vredosti, prethoda jedačia rešava se uz počete uslove: 0( 0) = 0 i 0 ( k) = 0, k =,2,... Tako se dobija 2 Γ ( γ ) ( k; t) = 0 k kγ( γ ) γ 2γ γ+, t Γ( 2γ) t Γ( γ) t ili 2 ( γ) ( γ) Γ Γ ( k; t) = 0 k + γ ( 2 ) 2γ γ t γ t γ +. Γ Γ t Uzimajući u obzir asimptotska svojstva ovog rešeja, moguće je apisati ( 0; t) = 0 t γ. Za k = važi sledeći izraz 2 ( γ) ( γ) Γ Γ ( ; t) = 0 ( 2 ) 2 t γ γ t γ + γ t γ +. Γ Γ Stoga se izračuavaje može astaviti za svako k. Ovaj pristup omogućava izračuavaje korelacioe fukcije. Za počete uslove ( 0; t) = 0δ ( t) moguće je apisati: Γ( γ ) c( m; t) =Γ( γ ) m ( 2γ ) 2γ ( 3 ) 3 t γ γ Γ + Γ + t 2 2γ Γ( γ ) = 0 Γ( γ ) t m ( 2 2γ) ( 2 3γ) γ Γ Γ t Ovaj izraz pokazuje da korelacioa fukcija hiperboličo opada sa promeom t. Zato, pod uslovom da je γ <, takvi procesi pokazuju svojstva koja se opisuju frakcioim račuom. Sa m = 0 izraz za varijasu glasi: 0Γ( γ ) 2γ D() t = c( 0; t) = t, Γ ( 2 2γ ) što je karakterističo za procese sa zavisošću u dugom opsegu i asimptotskom osobiom samosličosti drugog reda. 78

16 Stoga, karakeristike telekomuikacioog saobraćaja, koje su dosta izučavae u moderoj literaturi, mogu se direkto dovesti u vezu sa metodama komutacije paketa, koje se koriste u račuarskim mrežama. Proces preosa paketa može se opisati jedačiama čija se rešeja dobijaju alatima frakcioog račua. Koristeći vremeska asimptotska rešeja, diferecijale jedačie sa frakcioim izvodima mogu se formulisati tako da se mogu dobiti rešeja drugog reda za statističke momete procesa. Specifičost ove karakteristike saobraćaja jeste da jea korelacioa fukcija hiperboličo opada, što se mora uzeti u obzir pri defiisaju metoda za kotrolu saobraćaja (Zaborovsky et al, Modelovaje telekomuikacioog saobraćaja frakcioom aalizom mogućosti i edostaci Empirijska istraživaja telekomuikacioog saobraćaja pokazala su ivarijata fraktala svojstva saobraćaja koja imaju začaju ulogu u kotekstu aalize kvaliteta servisa. U IP telefoiji i video streamig-u preos paketa mogo zavisi od algoritama zasovaih a modelima saobraćaja. Osovi problem u dizaju takvih modela jeste da se stvore uslovi pod kojima je moguća kotrola garatovaih parametara kvaliteta servisa. U ovom delu rada razmatraju se predosti i ograičeja metoda frakcioe aalize za opisivaje fraktalih svojstava izmereog saobraćaja. Fraktala svojstva ukazuju a postojaje perioda kocetrovaja visokih ili iskih aktivosti izvora saobraćaja u velikim vremeskim itervalima. Rezultat toga jeste da je korelacioa struktura stream-ova saobraćaja u savremeim mrežama u kotradiktorosti sa tradicioalim modelima, pa se Poasoovim modelima e mogu opisati empirijski utvrđea fraktala svojstva agregatog saobraćaja. Svi stream-ovi se statistički multipleksiraju sa lokalim eregularostima u čvorovima. Stoga, svaki paket ima stohastičko kašjeje i dolazi do etrivijalih stohastičkih pojava. Statistike prvog reda kašjeja paketa pružaju iformacije u pogledu dužie burst-a, a statistike drugog reda pružaju iformacije o eregularostima u okružeju i jihovoj spektraloj gustii. U takvim tokovima paketa egativa razlika između vremea međudolazaka i međuodlazaka paketa odgovara formiraju klastera, što povećava verovatoću odbacivaja paketa i utiče a parametre kvaliteta servisa. Kako bi se obezbedio potpu opis takvih procesa, eophodo je u aalizu uključiti svojstva koja se ispoljavaju u kraćim i dužim vremeskim itervalima. Frakcioa aaliza tokova paketa u različitim itervalima omogućava opis frakcioe prirode saobraćaja u mreži i kvalitativo i kvatitativo (Zaborovsky, Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

17 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 Izmerei saobraćaj u mreži je kozisteta u velikim vremeskim itervalima ili asimptotski samosliča i može se opisati jedostavim modelom sa jedim parametrom. Ovo svojstvo važi globalo i u vremeskom domeu i u obimu i ezato izmejeo u kraćim vremeskim itervalima. Dakle, za potrebe modelovaja saobraćaja eophodo je u model ugraditi mogućost lokalizacije u velikim vremeskim itervalima. Mera u kojoj se proces u mreži može smatrati fraktalim može se zapisati a sledeći ači (Zaborovsky, D L( δ) = aδ (4) gde je D fraktala dimezija, δ parametar skaliraja izabraog elemeta, a faktor koji opisuje meru. Neka je g () t fukcija kojom se opisuju svojstva procesa. Ako važi sledeća jedakost ( ϕ ) ϕ g t = g t (5) proces ima svojstvo ivarijatosti obima. Jedakost (5) omogućava defiisaje klase modela koji opisuju svojstva samosličosti. Na primer, za model gubitala diamičkog sistema važi: t ( m) ( m) m u() t = g( τ ) ( t ) q τ < tq + ξ t dτ p, ( 2ε ) t 0 gde je =,4,...2 m, a jezgro itegraljee trasformacije može se račuati kao: ( m) m, ( m) ( m) m τ ( t + ξ t) t τ < t + ξ t =. 0, ( m), ( m) m τ < t τ t + ξ t Kada p ovaj izraz postaje kovolucioi itegral iz Katovog skupa: t β u() t = Bξ ( τ) g( τ) dτ Γ( β ) β, t 0 gde je l 2 / l 3 Γ β Gama fukcija, B ξ kostata koja zavisi od karakteristika Katovog skupa. Uzimajući u obzir opšta svojstva procesa u mreži, β = fraktala dimezija, { } 2 {( ) } mb = M B t B t0 = 0, 2 DB = δb = M B t B t0 = N0 t t0 t t0, moguće je apisati: { ( 2 ) + ( 2 ) ( 2 ) + } 2 M B () t M BH t BH t BH t BH t BH t BH t 2H rh = = 2 { H } 80

18 { } = i () 2 2H 2H 2H Ako je M BH () t t k2h t = 2 t, izraz za takav proces može se zapisati kao sledeća kovolucioa jedačia: gde je: BH () t = h( t t' ) db( t' ), Γ H + 2 H /2 ',0 ' H /2 t t t t ht ( t' ) =. t t', t' < 0 t Može se uočiti da je jezgro ovog itegrala fukcija koja zadovoljava uslov (4). Tako, defiicija fraktalog svojstva ili ivarijatog od obima za kotiuali proces Z = Z() t, t T zadovoljava jedakost: d { } H (),, 0,0 Z t = a Z at t T a > < H <. Ako za svako celo p važi X Z( k ) Z( k) k = +, tada je d H ( m X = m X ) (6) Ako X ima pozitivu vredost i sredja vredost ije jedaka uli, i X i X M{ X} e može biti precizo samosliča proces u skladu sa defiicijom (6). Međutim, X M{ X} može biti asimptotski samosliča proces. Za ispitivaje fraktalih svojstava i karakteristika saobraćaja u mreži, moguće je koristiti apsolute statističke momete fukcija defiisae kao: q q m m ( m) μ ( q) = M X = M Xk. m k= Ako proces X ima svojstvo samosličosti (6), tada je vredost ( m ) μ ( q ) proporcioala ( q m β ). Stoga, za fiksu vredost q važi sledeća jedakost: log μ ( m) ( q ) β ( q ) log m C ( q ) = +. Prema (6) moguće je zapisati ( q) q( H ) β =. U ovom slučaju, svojstvo samosličosti može se formulisati kao lieara zavisost od promee ( m log ) μ ( q ). Kada proces X () t eliearo zavisi od q, koristi se Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

19 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 multifraktali kocept. Proces X () t aziva se multifraktali ako se logaritam jegovog apsolutog mometa ( m ) μ ( q ) liearo meja sa promeom logaritma agregatog ivoa m, ali e zavisi liearo od q. Za aalizu ovih svojstava ije dovoljo koristiti samo prvi ili drugi momet. U tom slučaju koriste se eparametarske statistike za agregate serije: ˆ μ ( m ) ( q) m ( m) = Xk. N / m k = ˆ ( m ) q Ako se log μ q meja liearo, proces X može se smatrati multifraktalim (Zaborovsky, Zaključak Frakcioi raču ima broje primee u mogim aučim discipliama, a u radu je posebo istakuta primea frakcioog račua za modelovaje telekomuikacioog saobraćaja. Feomei koji se sreću u savremeim telekomuikacioim mrežama, kao što su samosličost i zavisost u dugom opsegu, mogu se opisati primeom frakcioog račua. Pokazalo se da pretpostavka o mogućosti beskoačog kašjeja paketa u trazitom čvoru u mrežama sa komutacijom paketa adekvato modeluje odbacivaje paketa u čvoru. Heavy-tailed fukcija gustie verovatoće baferovaja paketa zadovoljava ovu pretpostavku. Pokazalo se da se diamika prosleđivaja paketa u virtuelim koekcijama u TCP/IP mrežama opisuje pomoću frakcioih izvoda i odgovara procesima sa zavisošću u dugom roku. Takođe, frakcioa aaliza može biti vrlo korista alat pri izučavaju lokalih i globalih feomea koji se sreću u telekomuikacioim mrežama. Literatura Babic, G., Vadalore, B., Jai, R., 998, Aalysis ad Modelig of Traffic i Moder Data Commuicatio Networks, Ohio State Uiversity Techical Report, OSU-CISRC-/98-TR02 Cheg, Y., Zhuag, W., Lig, X., 2007, Towards a FBM Model Based Network Calculus Framework with Service Differetiatio, Mobile Networks ad Applicatio, 2(5-6), pp Dalir, M., Bashour, M., 200, Applicatios of Fractioal Calculus, Applied Mathematical Scieces, 4(2), pp Devetskiotis, M., L.S. da Foseca, N., 2005, Modelig etwork traffic with log rage depedece: characterizatio, visualizatio ad tools, Computer Networks, 48(3), pp Hifler, R., 2000, Applicatio of fractioal calculus i physics, Sigapore, New Jersey, Lodo, Hog Kog, World Scietific. 82

20 Kim, H., Shroff, N., 200, Loss Probability Calculatios ad Asymptotic Aalysis for Fiite Buffer Multipleers, IEEE/ACM Trasactios o Networkig, 9(6), pp Miller, K., Ross, B., 993, A itroductio to the fractioal calculus ad fractioal differetial equatios, New York, Joh Willey ad sos. Park, C., Heradez-Campos, F., Le, L., Marrod, L.S., Park, J., Papiras, V., Smith, F.D., Smith, R.L., Trovero, M., Zhu, Z., 20, Log Rage Depedece Aalysis of IteretTraffic, Joural of Applied Statistics, 38(7), pp Park, K., Williger, W., 200, Self-Similar Network Traffic ad Performace Evaluatio, New York, Joh Willey ad sos. Smith, R.D., 20, The Dyamics of Iteret Traffic: Self-Similarity, Self-Orgaizatio, ad Comple Pheomea, Advaces i Comple Systems, 4(6), pp Zaborovsky, V., Podgurski, Y., Yegorov, S., New traffic model o the base of fractioal calculus, [Iteret], Dostupo a: < Preuzeto: Zaborovsky, V., Fractal Aalysis ad Wavelet trasform: Potetial ad Limitatio for Traffic Models Desig, [Iteret], Dostupo a: < Preuzeto: ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ТРАФИКА ОБЛАСТЬ: телекоммуникация ВИД СТАТЬИ: обзорная статья ЯЗЫК СТАТЬИ: сербский Резюме: Дробная производная (или производная дробного порядка) является обобщением математического понятия производной. Существует несколько разных способов обобщить это понятие, но все они совпадают с понятием обычной производной в случае натурального порядка. Данной проблемой занимались многие известные математики, среди которых Эйлер, Риман, Лиувилль, Абель и Фурье. В данной статье приведен обзор некоторых определений, наряду с основными положениями дробного исчисления, которые представлены с акцентом на возможность применения данного метода при моделировании телекоммуникационного трафика. Дело в том, что метод производной дробного порядка, нашел широкое применение в различных областях науки. Модели, основанные на данном методе, оказались востребованными в физике, механике, электротехнике, биохимии, медицине, экономике, а также в теории вероятности. В данной статье мы анализируем возможность применения метода производной дробного порядка для моделирования телекоммуникационного трафика. Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

21 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 Исследования показывают, что характеристики телекоммуникационного трафика в сети на локальном и глобальном уровнях, а также самоподобие и зависимость в широком диапазоне, могут быть эффективно описаны с помощью метода дробной производной, вместо обычной модели мультипликативного стохастического каскада. В данной статье представлены предлагаемые модели, основанные на методе дробной производной, воспроизводящие явления, присутствующие в современных телекоммуникационных сетях. Ключевые слова: моделирование, трафик, телекоммуникации, дробная производная. POSSIBILITY OF FRACTIONAL CALCULUS APPLICATION FOR TELECOMMUNICATION TRAFFIC MODELLING FIELD: Telecommuicatios ARTICLE TYPE: Review Paper ARTICLE LANGUAGE: Serbia Summary: Fractioal calculus is a field of mathematical aalysis cocered with research ad applicatio of derivatives ad itegrals of a arbitrary order. May famous mathematicias studied the theory of fractioal calculus such as Euler, Riema, Liouville, Abel, Fourier ad others. There are may proposed defiitios for calculatig derivatives ad itegrals of o-iteger order. I this paper, several proposed defiitios alog with basic statemets of fractioal calculus are preseted with a emphasis o a possibility of fractioal calculus applicatio i telecommuicatio traffic modellig. The fact is that fractioal calculus is widely used i various scietific disciplies i recet decades. Models based o fractioal calculus have proved to be very useful i physics, mechaics, electrical egieerig, biochemistry, medicie, ecoomy, ad probability theory. This paper aalyses a possibility of applicatio of fractioal calculus for modellig telecommuicatio traffic. May research studies have show that traffic characteristics at a local ad global level, such as self-similarity ad log rage depedece, ca efficietly be described by fractioal calculus istead of usig covetioal stochastic processes. Some proposed models based o fractioal calculus that describe pheomea preset i moder telecommuicatio etworks are preseted i this paper. Itroductio Measuremets ad statistic aalyses of telecommuicatio traffic have discovered that traffic i packet switched etworks shows sigificat irregularities burstiess, both i terms of traffic itesity variability ad shape of autocorrelatio fuctio. It is oticed that traffic has frac- 84

22 tioal characteristics self-similarity ad log rage depedece. As a result, a large badwidth is required, ad very ofte, this is oe of the causes of etwork iefficiecy. I compariso with covetioal models based o Poisso distributio widely used i circuit switched etworks, i models based o selfsimilarity property there are problems that are difficult to predict, measure ad cotrol i telecommuicatio traffic. Thus, measuremet, aalysis ad modellig of self-similar etwork traffic are a sort of challege. Differet research studies have show that traffic i moder telecommuicatio etworks ca efficietly be described with statistical models based o fractioal calculus. Basic statemets of fractioal calculus Although the term fractioal calculus, is actually a misomer, ad a term itegratio ad differetiatio of a arbitrary order is more suitable, fractioal calculus has bee a commo term sice l'hopital s era. Fourier also studied derivatives ad itegrals of a arbitrary order. Abel applied fractioal calculus for a itegral equatio which appears i a tautochroe problem formulatio (fid a shape of a curve for which the time take by a object slidig without frictio i uiform gravity to its lowest poit is idepedet of its startig poit). The first serious attempt to obtai a logical defiitio of a fractioal derivative belogs to Liouville. Let f be a locally itegrable o (a, ). Usually, a -fold iterated itegratio is marked as a Ι f, ad refers to as Riema-Liouville fractioal i- tegral of order of f. Defiitios of itegrals ad derivatives of a arbitrary order ca be cosolidated ito a differitegral. The process of obtaiig a differitegral is referred to as fractioal itegro-differetiatio. Some proposed models of fractioal calculus applicatio for telecommuicatio traffic modellig Recet research of telecommuicatio traffic has show that it ca efficietly be described by derivatives of a arbitrary order istead of covetioal stochastic processes. A ew iterpretatio of fractioal calculus creates ew fields of applicatio of these mathematical tools i order to achieve uderstadig of local ad global characteristics of etwork traffic. A fractioal dimesio ad log rage depedece ca be see i private, LAN ad WAN etworks. Temporal-spatial model for packet trasmissio i TCP/IP etworks Defiig Quality of Service parameters for Iteret services requires appropriate virtual coectios, depedig o traffic flows. Geerally, such a coectio cosists of several trasit odes ad liks. I moder TCP/IP etworks, delay i a give virtual coectio ca be cosidered as a costat value. A bufferig delay variatio causes a propagatio delay. The trasmissio process ca be described by equatios that ca be solved by fractioal calculus. Mikavica, B. i dr., Mogućosti primee frakcioog račua u modelovaju telekomuikacioog saobraćaja, pp

23 VOJNOTEHNIČKI GLASNIK / MILITARY TECHNICAL COURIER, 205., Vol. LXIII, No. 2 Fractal aalysis modellig of telecommuicatio traffic-potetials ad limitatios The fractal properties of telecommuicatio traffic i packet switched etworks idicate the eistece of periods of low or high activity cocetratios i log time itervals. As a result, the correlatio structure of traffic streams is i cotradictio with commo models. Therefore, the empirically cofirmed fractal properties of aggregate traffic caot be described by Poisso models. All streams are statistically multipleed with local irregularities i odes. Thus, each packet is stochastically delayed ad o-trivial processes occur. I order to achieve a complete descriptio of these processes, it is ecessary to ivolve the properties eistig i short ad log itervals i such a aalysis. The fractioal aalysis of packet flows i differet time itervals esures a qualitative ad quatitative descriptio of the telecommuicatio traffic fractioal ature. Coclusio Fractioal calculus has may applicatios. This paper is primarily cocered with fractioal calculus applicatio for telecommuicatio traffic modellig. It was show that a idefiite packet delay i the trasit ode i packet switchig etworks adequately models the droppig of the packet i the ode. The dyamics of packet trasmissio i virtual coectios i TCP/IP etworks ca be described by the equatios i fractioal derivatives ad it correspods to processes with log-ragedepedece. Also, fractioal calculus ca be a very useful tool i the research of local ad global pheomea i telecommuicatio etworks. Key words: models, traffic, telecommuicatios, fractioal calculus. Datum prijema člaka / Paper received o / Дата получения работы: Datum dostavljaja ispravki rukopisa / Mauscript correctios submitted o / Дата получения исправленной версии работы: Datum koačog prihvataja člaka za objavljivaje / Paper accepted for publishig o / Дата окончательного согласования работы: