ANALIZA GRANIČNE NOSIVOSTI LINIJSKIH NOSAČA PRIMENOM PRINCIPA

Transcription

1 IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC ANALIZA GRANIČNE NOSIVOSTI LINIJSKIH NOSAČA PRIMENOM PRINCIPA VIRTUELNOG RADA Bojan Miošević 1), Marina Mijaković ), Žarko Petrović ), Mirza Hadžimujović 3) Kategorizacija rada: ORIGINALNI NAUČNI RAD Adresa: 1) Visoka građevinsko geodetska škoa u Beogradu ) Građevinsko-arhitektonski fakutet u Nišu 3) Državni Univerzitet u Novom Pazaru Rezime: Predmet ovog rada je anaiza granične nosivosti inijskih nosača rimenom rincia virtuenog rada (osnovna energetska jednačina), jednog od osnovnih rincia mehanike, koji je našao široku rimenu i u teoriji astičnosti. Metoda je redstavjena kao ostuni i direktni ostuak, na rimeru kontinuanog i ramovskog nosača izoženog dejstvu koncentrisanih sia. Prednost ostune metode u odnosu na direktnu metodu je u tome što ona omogućava raćenje formiranja astičnih zgobova od dejstvom roorcionaog ovećanja oterećenja kao i određivanje ugova obrtanja - rotacija orečnih reseka u kojima je došo do formiranja astičnih zgobova. Kjučne reči: virtueni rad, direktna metoda, ostuna metoda, granično oterećenje. 1. UVOD Teorija konstrukcija bavi se izučavanjem neznatno deformabinih tea. Deformacije nastae used oterećenja koje deuje na konstrukciju su takve da se odrazumeva da je konstrukcija nedeformabina, bez većih romena, a jednačine ravnoteže naisane na nedeformisanom teu važe i kada je konstrukcija deformisana. Kako je ošta jednačina ravnoteže naisana za neznatno deformabinu konstrukciju može se reći da je identična jednačini koja je dobijena u statici krutog tea. Primenom rincia virtuenog rada dobija se veza sojašnjih sia koje deuju na kruto teo i deformacija ri čemu se ovaj rinci može riisati još Aristoteu (384-3 BC) i Archimedesu (87-1 BC) i njegovoj formuaciji zakona ouge. Međutim, može se reći da je osnovni koncet rincia virtuenog rada ostavio Leonardo da Vinci ( ). Dorinos razvoja rincia virtuenog rada kroz brojne radove dai su G.W. von Leibnitz ( ), J.Bernoui ( ) i L.Euer ( ). J.L.Lagrange ( ) roširio je koncet rimene rincia virtuenog rada na dinamičke robeme rimenom D Aemertovog rincia ( ), a detajno je generaizovan od strane W.R.Hamitona ( ). U sučaju kada je teo deformabino u mnogome doazi do romene jednačine virtuenog rada. I.S.Sokonikoff ( ) je došao do zakjučka da su teorema virtuenog rada i teorema o minimumu otencijane energije razičiti načini iskazivanja istog rincia.[1] U graničnoj anaizi inijskih nosača teoremu virtuenog rada rimenii su B.G.Nea i P.S.Symond 195. kao direktnu metodu na kombinovanim mehanizmima oma, a J.Heyman je dao nezavisnu (virtuenu) rasodeu momenta savijanja i rikazao ostunu rimenu rincia virtuenog rada.. ODREĐIVANJA GRANIČNOG OPTEREĆENJA PRIMENOM PRINCIPA VIRTUELNOG RADA Princi virtuenog rada redstavja aternativnu formu iskazivanja usova ravnoteže, kao i usova komatibinosti, a kako ne zavisi od odnosa između naona i diatacija može se rimeniti kako na eastična, tako i na easto-astična tea. Princi virtuenog rada je važan iz najmanje dva razoga: - osnova je za izvođenje ostaih bazičnih teorema u teoriji astičnosti; -veoma je ogodan ri rešavanju numeričkih robema kod easto-astičnih tea. Princi virtuenog rada može se matematički iskazati sedećim izrazom: σ d ε dv = b du dv + T du ds, (1) V ij ij V i i S oi i T gde eva strana jednačine redstavja unutrašnji rad oja naona na virtuenom oju diatacija, a desna strana jednačine redstavja sojašnji rad zareminskih i ovršinskih sia na virtuenom oju omeranja. [] Мora se nagasiti da rinci virtuenog rada važi za bio koje virtueno oje omeranja (ne mora biti i stvarno) dok god je ono kinematički moguće i komatibino sa ojem diatacija. To oje diatacija može biti nezavisno od oja naona. Ako se riikom određivanja graničnog oterećenja uvede retostavka da je uticaj transverzanih i normanih sia na astifikaciju orečnog reseka mai, kao i da omeranje osonaca ne utiče na veičinu graničnog oterećenja, jednačina virtuenog rada, rimenjena na osmatrani statički sistem, dobija sedeći obik: Piδi = Miκds + Mθ, () gde je: М bio koja rasodea momenata savijanja koja zadovojava usove ravnoteže sa zadatim sojašnjim oterećenjem P, a κ bio koja krivina komatibina sa rotacijom astičnih zgobova θ i omeranjima δ. Jednačina () se može koristiti na dva načina. U rvom, sistem veičina ( κ, θ, δ) je virtuean, što znači da se krivine, rotacije i omeranja mogu roizvojno izabrati i moraju zadovojiti samo jednačine komatibinosti, a ne moraju biti u vezi sa datim oterećenjem. Ovaj obik rincia virtuenog rada naziva se Princi virtuenih omeranja i njegovom rimenom dobijaju se jednačine ravnoteže. Druga mogućnost je rimena Princia virtuenih sia kada se koriste virtuene sie (P, М) koje se biraju roizvojno, a rimenom ovog rincia dobijaju se jednačine komatibinosti. 3. OSNOVNE POSTAVKE GRANIČNE ANALIZE KONSTRUKCIJA Proračun konstrukcija rimenom teorije astičnosti doušta astifikaciju materijaa, tj. izazak iz odručja eastičnog onašanja. U odručju eastičnog onašanja konstrukcije naoni i deformacije su roorcionano zavisni. Povećanjem oterećenja koje deuje na konstrukciju doazi do ostunog ovećanja naona, sve dok vrednost naona u naj- IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011. 3

2 oterećenijem vaknu (ii vaknima, u sučaju simetričnog reseka) ne dostigne vrednost naona tečenja. Dajim ovećanjem oterećenja doazi do astifikacije orečnog reseka, odnosno ovećanja zone astičnosti koja se ostuno širi kako o visini tako i o dužini nosača, sve dok ne dođe do astifikacije ceog orečnog reseka, a samim tim i formiranja astičnog zgoba. [3] Poznato je da, kod statički određenih nosača, formiranjem astičnog zgoba na mestu maksimanog momenta savijanja doazi do gubitka sosobnosti nošenja oterećenja i reaska nosača u mehanizam. Za raziku od statički određenih nosača, kod statički neodređenih nosača formiranje jednog astičnog zgoba ne dovodi do formiranja mehanizma oma, što ukazuje da njihova nosivost nije u otunosti iscrjena. Nosivost jedne n uta statički neodređene konstrukcije biće u otunosti iscrjena kada se u konstrukciji formira n+1 astičnih zgobova. Priikom određivanja graničnog oterećenja uvode se sedeće retostavke: - deformacije su roorcionane sa udajavanjem od neutrane ose (važi Bernuijeva hioteza o ravnim resecima), - važi ideaizovana easto-astična zavisnost σ-ε za materija, kako za zatezanje tako i za ritisak, - deformacije su mae, - resek rasoaže otrebnom duktinošću, - zadovojeni su usovi ravnoteže orečnog reseka, kako normanih sia ΣX=0, tako i momenata savijanja ΣM=0. Da bi se granična nosivost jedne konstrukcije utvrdia otrebno je dokazati da će za nju merodavno granično stanje nastati formiranjem mehanizma oma, tj. treba eiminisati ojavu bio kog drugog graničnog stanja. Potrebno je iskjučiti ojavu zamora used dejstva romenjivog oterećenja, zatim mogućnost ojave okane nestabinosti re dostizanja une astifikacije i iskjučiti ojavu bio kojih efekata koji bi dovei do oma konstrukcije re formiranja dovojnog broja astičnih zgobova za njen reazak u mehanizam. [4] Anaiza onašanja konstrukcije od formiranja rvog astičnog zgoba a sve do formiranja mehanizma oma ima ugavnom teorijski značaj. Granično oterećenje moguće je odredi neosredno iz mehanizma oma, kod koga je otrebno da su istovremeno isunjeni i usovi ravnoteže i usov astičnosti, što znači da su momenti savijanja u svim resecima, osim u astičnim zgobovima, manji od astičnog momenta. Granično oterećenje moguće je odrediti na dva načina: - ostunom metodom - uočava se formiranje svakog astičnog zgoba used ovećanja oterećenja sve do formiranja mehanizma oma; - direktnom metodom - granično oterećenje određuje se na osnovu retostavjenog mehanizma oma. Metode roračuna koje se koriste za određivanje graničnog oterećenja imaju za osnovu statičku i kinematičku teoremu i u okviru rocesa utvrđivanja stvarnog mehanizma oma suže se oznatim reacijama korišćenim i u teoriji eastičnosti (usovima ravnoteže, usovima komatibinosti, rinciom virtuenog rada, itd.). Navedene metode koje se koriste ri roračunu konstrukcija omogućavaju utvrđivanje granične nosivosti sistema u smisu definisanja graničnog oterećenja koje dovodi do formiranja mehanizma oma, kao i definisanje stanja unutrašnjih sia u eementima sistema, dok samo ostuna metoda daje odatke o stanju deformacije sistema Anaiza granične nosivosti kontinuanog nosača na dva oja Određivanje graničnog oterećenja rimenom IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC rincia virtuenog rada ostunom i direktnom metodom biće rikazano na rimeru nosača (Sika 1.). Nosač je jedanut statički neodređen, ri čemu se mogu uočiti tri karakteristična reseka (, 3, 4) u kojima je otrebno odrediti momente savijanja. Sika 1. Kontinuani nosač na dva oja Za određivanje momenta savijanja u obeeženim resecima otrebno je naisati tri jednačine, jednu jednačinu komatibinosti koja se dobija rimenom rincia virtuenih sia (ovih jednačina ima koiko i retostavjenih (virtuenih) rasodea momenta savijanja), dok se rimenom rincia virtuenih omeranja dobijaju dve jednačine ravnoteže. Jednačine ravnoteže dobijaju se razmatranjem nezavisnih mehanizama oma, ri čemu se, u ovom sučaju, uočavaju dva nezavisna mehanizma oma (Sika.). Mehanizmi se formiraju umetanjem zgobova koji u ovom sučaju nisu astični. Ovi zgobovi omogućavaju virtuene rotacije i virtuena omeranja karakterističnih reseka nosača. Jednačine ravnoteže mogu se naisati u sedećem obiku: M( θ) + M3( θ) = P 1 θ, (3) M3 ( θ) + M4( θ) = P θ. (4) Sika.(a) Mehanizam oma rvog oja, (b) Mehanizam oma drugog oja Kako jednačine ravnoteže jednog statičkog sistema ne zavise od karakteristika materijaa od koga je on sačinjen, one moraju biti zadovojene bez obzira da i se statički sistem naazi u eastičnoj ii astičnoj obasti. Jednačine komatibinosti dobijaju se rimenom rincia virtuenih sia, u trenutku kada je razmatrani sistem neoterećen. Ako je sistem neoterećen, rasodea momenta savijanja ne ostoji, a se iz tog razoga retostavja da duž eemenata statičkog sistema ostoji neka roizvojna (virtuena) rasodea momenata savijanja (m). Jednačina () sada gasi: M 0 = m ds + m θ. (5) Broj virtuenih rasodea momenata savijanja jednak je broju statičke neodređenosti jednog statičkog sistema. [5] Pretostavjena (virtuena) rasodea momenata savijanja mora da zadovoji jednačine (6) i (7) koje su naisane rimenom rincia virtuenih omeranja u trenutku kada je sistem rasterećen: m m3 = 0, (6) m + m = 0. (7) 3 4 Pod dejstvom oterećenja koje deuje na statički sistem doazi do ojave momenta savijanja i rotacija o- IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011.

3 IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC rečnih reseka čija je rasodea data u osednja dva reda Tabee (1). Primenom jednačine (5) moguće je naisati jednačinu komatibinosti (8). Tabea 1. Momenti savijanja u karakterističnim resecima virtuena rasodea resek m i 0 0,5 1,0 0,5 0 stvarna rasodea κ=m 0 M M 3 M 4 0 θ 0 θ θ 3 θ 4 0 Sika 3. Pretostavjena (virtuena) rasodea momenata savijanja 1 3M + 5M3 + 3M4 + ( θ + θ3 + θ4) = 0. (8) Jednačine ravnoteže (6) i (7), kao i jednačina komatibinosti (8), čine sistem jednačina na osnovu kojih se određuju momenti savijanja u karakterističnim resecima: P1 1 0 M θ 1 P 0 1 M θ + 3. = (9) M θ 4 0 Koristeći sistema jednačina (9) moguće je ostuno odrediti veičinu oterećenja nakon formiranja svakog astičnog zgoba, sve do formiranja mehanizma oma, ri čemu se određuju i rotacije reseka u kojima je došo do formiranja astičnih zgobova. Da bi se granično oterećenje dobio u jednoarametarskom obiku, u sistemu jednačina (9) izvršiće se zamena sia P1 i P siom P. Rešavanjem sistema jednačina (9), od usovom da su rotacije obeeženih orečnih reseka (θ, θ 3, θ 4 ) jednake nui, dobijaju se momenti savijanja tih reseka kada se kontinuani nosač na dva oja naazi u eastičnoj obasti. Izjednačavanjem najveće vrednosti momenta savijanja (resek 3) i momenta astičnosti orečnog reseka dobija se veičina oterećenja koja dovodi do formiranja rvog astičnog zgoba: 1 M3 = P = P1 = 5,333. (10) 64 M3 = M, M3 = 0, θ3 > 0 θ = θ = 0 4 (11) Sika 6. Rasodea momenata savijanja u funkciji riraštaja oterećenja ose formiranja rvog astičnog zgoba Priraštaj oterećenja određuje se suerozicijom vrednosti momenata savijanja (Sika 5. i Sika 6.): 0,833 0, 5 P 1 = P1 = 0, 667, (1) dok je rotacija reseka u kome se formirao rvi astični zgob: P θ3 = 0,50. (13) Oterećenje koje dovodi do formiranja astičnih zgobova reseka i 4 je: P = P + 1 P = 1 5,33 0,667 6,00M. + = (14) Ovo oterećenje redstavja i granično oterećenje. Princi virtuenog rada moguće je rimeniti na određivanje graničnog oterećenja inijskih sistema i direktnom metodom. Jednačina virtuenog rada ostavja se na rethodno retostavjenom mehanizmu oma. U ovom sučaju vrši se izjednačavanje virtuenog rada svih sojašnjih sia, sa radovima asorbovanim u resecima u kojima je retostavjeno da doazi do formiranja astičnih zgobova. Granično oterećenje je najmanje od svih graničnih oterećenja dobijenih na retostavjenim mehanizmima oma. [6] Za osmatrani nosač (Sika 1.) mogu se formirati tri mehanizma oma, dva nezavisna (Sika 7.(a) i Sika 7.(b)) i jedan kombinovani (Sika 7.(c)). Za svaki od retostavjenih mehanizama oma rimenom jednačine virtuenog rada dobijaju se granične sie oma, date izrazima (16), (18) i (0): Sika 4. Eastična rasodea momenata savijanja u funkciji oterećenja Sika 5. Rasodea momenata savijanja u trenutku formiranja rvog astičnog zgoba Zamenom usova (11) u sistem jednačina (9) dobija se rasodea momenata savijanja u funkciji riraštaja oterećenja (Sika 6.). Sika 7. (a) Mehanizam oma rvog oja, (b) Mehanizam oma drugog oja,(c) Kombinovani mehanizam oma ( θ) + θ = P1 θ, (15) 6M P 1 =, (16) θ θ θ, (17) ( ) + = P IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011. 5

4 6 P =, (18) M () θ + M( θ) + M() θ + M() θ = P1 θ + P θ, (19) 6M P =. (0) Za svaki od retostavjenih mehanizama oma dobijena je o jedna granična sia oma, od kojih je ona koja je najmanja u isto vreme i sia koja će dovesti do formiranja mehanizma oma. Veičina graničnog oterećenja dobijena direktnom metodom jednaka je graničnoj sii oma koja se dobija rimenom ostune metode. Kada na konstrukciju istovremeno deuju dva nezavisna sistema oterećenja roizvojnog odnosa, anaiza graničnog oterećenja može se izvršiti na osnovu interakcijskog dijagrama. Za konstukciju interakcijskog dijagrama koriste se izrazi (16, 18 i 0) koji su dobijeni rimenom direktnog ostuka rincia virtuenog rada. Na interakcijskom dijagramu najboje se uočava međusobna ovezanost mehanizma oma i međusobnog odnosa oterećenja. Za bio koji odnos oterećenja koji se naazi unutar obasti 0abc0 konstrukcija je bezbedna na ojavu mehanizma oma. Ako je odnos oterećenja takav da je definisan nekom od duži, doazi do formiranja mehanizma oma koji ta duž definiše. IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC Za određivanje momenta savijanja u naznačenim resecima otrebno je naisati et jednačina, tri jednačine komatibinosti rimenom rincia virtuenih sia i dve jednačine ravnoteže rimenom rincia virtuenih omeranja. Jednačine ravnoteže dobijaju se razmatranjem nezavisnih mehanizama oma, ri čemu u ovom sučaju, ostoje dva nezavisna mehanizma oma, gredni i bočni mehanizam (Sika 10.) i one gase: V θ = M θ + M θ + M θ, (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 H θ = M θ + M θ + M θ + M θ. () P 1 Sika 8. Interakcijski dijagram Sa interakcijskog dijagrama (Sika 8.) može se zakjučiti da za odnos oterećenja koji je definisan na osnovu duži ab doazi do formiranja mehanizma oma u drugom oju kada je odnos oterećenja P1 1 P P, dok je za duž bc odnos oterećenja i doazi do formiranja mehanizma oma u rvom oju. 3.. Anaiza granične nosivosti ramovskog nosača Anaizu granične nosivosti rimenom rincia virtuenog rada ostunom i direktnom metodom moguće je rimeniti i na ramovske nosače (Sika 9.). Posmatrana ramovska konstrukcija je tri uta statički neodređena, ri čemu se na njoj može uočiti et karakterističnih reseka (1,, 3, 4, 5) u kojima je otrebno odrediti veičine momenata savijanja. Sika 9. Ramovski nosač Sika 10.(a) Gredni mehanizam oma, (b) Bočni mehanizam oma Proizvojna (virtuena) rasodea momenata savijanja (m), data je u Tabei i mora da zadovoji jednačine naisane rimenom rincia virtuenih omeranja u sučaju kada je ram rasterećen: m + m3 m4 = 0, (3) m + m m + m = 0. (4) Za obostrano ukještenu ramovsku konstrukciju, virtuenu rasodeu momenta savijanja rvi je ostavio Heyman 1961, (Sika 9.) [7]. Pod dejstvom oterećenja koje deuje na ram doazi do ojave momenata savijanja i rotacije orečnih reseka, čija je rasodea data u osednja dva reda Tabee (). Primenom jednačine (5) moguće je naisati tri jednačine komatibinosti: 6 3M1 + 5, 5M + 3M3 + 0, 5M4 + ( θ1 + θ + 0, 5θ3) = 0, (5) 6 0, 5M + 3M3 + 5, 5M4 + 3M5 + ( 0, 5θ3 + θ4 + θ5) = 0, 6 M1 + 5M3 + 6M3 + 5M4 + M5 + ( θ + θ3 + θ4) = 0. (6) (7) Tabea. Vrednosti momenata savijanja u karakterističnim resecima virtuena rasodea resek i 1 1 0,5 0 0 m ii 0 0 0,5 1 1 iii stvarna rasodea κ=m M 1 M M 3 M 4 M 5 θ θ 1 θ θ 3 θ 4 θ 5 6 IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011.

5 IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC Sika 11. Proizvojna (virtuena) rasodea momenata savijanja Jednačine ravnoteže (1) i (), kao i jednačine komatibinosti (5), (6) i (7) čine sistem jednačina na osnovu koga je moguće odrediti veičine momenata savijanja u obeeženim resecima: M M 3 5,5 3 0,5 0 M ,5 3 5,5 3 M M θ1 V θ H ,5 0 0 θ 3 = 0. (8) 0 0 0,5 1 1θ θ 0 5 Pomoću sistema jednačina (8) moguće je izvršiti anaizu granične nosivosti ramovskog nosača ostunom metodom. Da bi se granično oterećenje dobio u jedno-arametarskom obiku, u sistemu jednačina (8) V i H se zamenjuju sa P, dok se odnos visine i širine rama definiše kao h=. Tabea3. Vrednosti momenata savijanja (u zavisnosti od intenziteta oterećenja) ri ostunom ovećanju oterećenja Sia M momenti savijanja u karakteristinim resecima Priraštaj M -0,1P -0,015P 0,34P -0,387P 0,41P,44-0,515M -0,03M 0,77M -0,939M M -0,468 P 0,108 P 0,34 P -0,44 P 0 0,143,567-0,58M -0,015M 0,776M -M M -0,85 P 0,15 P 0,575 P 0 0 0,390,957-0,913M 0,043M M -M M - P - P ,043 3,00 -M 0 M -M M Tabea 4. Rotacije reseka u kojima je došo do formiranja astičnih zgobova sia M resek , ,090, ,558 0,58, ,833 -,667 0,833 3,00 / Izjednačavanjem najveće vrednosti momenta savijanja (resek 5) i momenta astičnosti orečnog reseka dobija se veičina oterećenja koja dovodi do formiranja rvog astičnog zgoba: M5 = 0,415P = P1 =,44. (9) Usovi koji važe nakon formiranja rvog astičnog zgoba su: M5 = M, M5 = 0, θ5 > 0, (30) θ1 = θ = θ3 = θ4 = 0. Zamenom usova (30) u sistem jednačina (8) dobijaja se rasodea momenata savijanja u funkciji riraštaja oterećenja (Tabea 3) kao i obrtanje reseke u kome se formirao astični zgob u rethodnoj fazi. Priraštaj oterećenja koji dovodi do formiranja drugog astičnog zgoba je: 0,939 0,44P1 = P1 = 0,143, (31) dok je rotacija reseka u kome se formirao rvi astični zgob: P θ 5 = 0, 090. (3) Oterećenje koje dovodi do formiranja astičnog zgoba reseka 4 je: P = P1 + P1 =,44 + 0,1438 =,567. (33) M4 = M, M4 = 0, θ4 < 0, M5 = M, M5 = 0, θ5 > 0, θ = θ = θ = 0. (34) 1 3 Zamenom usova (34) koji definišu fazu nosača nakon formiranja astičnih zgobova u resecima 4 i 5, u sistem jednačina (8) dobijaju se vrednosti momenata savijanja (Tabea 3) kao i rotacije reseka 4 i 5 u funkciji riraštaja oterećenja: P P θ4 = 0,558, θ5 = 0, 58. (35) Priraštaj oterećenja koji dovodi do formiranja sedećeg astičnog zgoba je: 0, ,575P = P = 0,390.(36) Oterećenje koje dovodi do formiranja astičnog zgoba u reseku 3 je: P3 = P + P =, ,390 =,957. (37) Na osnovu riraštaja oterećenja u narednoj fazi moguće je odrediti oterećenje koje dovodi do formiranja mehanizma oma granično oterećenje. Momenti savijanja obeeženih reseka i rotacije reseka u kojima je došo do formiranja astičnih zgobova dobijaju se kada se u sistemu jednačina (8) zamene usovi: M3 = M, M3 = 0, θ3 < 0, M4 = M, M4 = 0, θ4 < 0, (38) M5 = M, M5 = 0, θ5 > 0, θ = θ = 0. 1 Rotacije orečnih reseka u kojima je došo do formiranja astičnih zgobova su: P P θ3 = 3,833, θ4 =,667, (39) P θ5 = 0,833. Priraštaj oterećenja koji dovodi do formiranja narednog astičnog zgoba je: 0,913M P3 = P3 = 0,043. (40) IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011. 7

6 Konačno, granično oterećenje koje dovodi o formiranja astičnog zgoba reseka 1 i formiranja mehanizma oma je: P4 = P3 + P3 =, ,043 = 3,0. (41) IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC Za svaki od retostavjenih mehanizama oma dobijena je o jedna granična sia oma, od kojih je ona koja je najmanja u isto vreme i sia koja će dovesti do formiranja mehanizma oma. Kao što se može rimetiti, veičina graničnog oterećenja ramovskog nosača dobijena direktnom metodom jednaka je graničnoj sii oma koja se dobija rimenom ostune metode. Na osnovu izraza (4), (44) i (46) moguće je konstruisati interakcijski dijagram oterećenja za ramovski nosač. Obast koja je definisana osama x i y i dužima ab, bc i cd definiše obast u kojoj je za bio koji odnos oterećenja ram bezbedan od rušenja. Sa interakcijskog dijagrama (Sika 14.) uočava se da za odnos oterećenja V 1 H doazi do formiranja bočnog mehanizma oma, a za V 1 doazi do ojave grednog mehanizma oma, dok za H V odnos 1 1 doazi do formiranja kombinovanog mehanizma H oma. Sika 1. (a) Bočni mehanizam oma, (b) Gredni mehanizam oma Za osmatrani nosač (Sika 9.) moguće je retostaviti četiri mehanizma oma, dva nezavisna (Sika 1.) i dva kombinovana (Sika 13.). Primenom jednačine virtuenog rada na bočnom (Sika 1.(a)) i grednom (Sika 1.(b)) mehanizmu oma dobijaju se oterećenja koja dovode do formiranja retostavjenih mehanizama oma: M θ + M θ + M θ + M θ = hhθ, (4) 4 P boc =, (43) M θ + M θ + M θ = Vθ, (44) 4 P gre =. (45) Jednačina virtuenog rada za kombinovani mehanizam oma I (Sika 13.(a)) gasi: θ + θ + θ + θ = hhθ + V θ, (46) a vrednost graničnog oterećenja je: 3 P =. (47) kom Jednačina virtuenog rada za kombinovani mehanizam oma II (Sika 13.(b)) gasi: M θ + M θ + M θ + M θ = hhθ V θ, (48) 6 = 0. Sika 14. Interakcijski dijagram 3.3. Anaiza granične nosivosti kontinuanog nosača na tri oja Posmatrani nosač (Sika 15.) je dva uta statički neodređen, ri čemu se mogu uočiti tri karakteristična reseka (, 3, 4) u kojima je otrebno odrediti momente savijanja. Nosač je na oovini srednjeg oja oterećen koncentrisanom siom P, dok dužina rvog i osednjeg oja zavisi od veičine koeficijenta α. Potrebno je naisati tri jednačine za određivanje momenta savijanja u resecima i to dve jednačine komatibinosti i jednu jednačinu ravnoteže. Jednačina ravnoteže dobija se na osnovu nezavisnog mehanizama oma (Sika 16): M( θ) + M3( θ) + M4( θ) = P ( θ). (49) Sika 15. Kontinuani nosač Kako je nosač dva uta statički neodređen ostoje i dve virtuene rasodee momenta savijanja koje moraju da zadovoje jednačinu (50), naisanu rimenom rincia virtuenih omeranja kada je sistem neoterećen: m m + m = 0. (50) Sika 13.(a) Kombinovani mehanizam I, (b) Kombinovani mehanizam II Sika 16. Mehanizam oma kontinuanog nosača IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011.

7 IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC Tabea 5. Momenti savijanja kontinuanog nosača na tri oja virtuena rasodea resek m α α + 0,5 i 0 1,0 0 α +1 α + 1 α + 0,5 α ii 0 1,0 0 α + 1 α +1 stvarna rasodea κ=m 0 M M 3 M 4 0 θ 0 θ θ 3 θ 4 0 Sika 19. Rasodea momenata savijanja u trenutku formiranja rvog astičnog zgoba M3 = M, M3 = 0, θ 3< 0, (55) θ = θ4 = 0. Zamenom usova (55) u sistem jednačina (53) dobijaju se vrednosti momenata savijanja, Sika 0. Sika 17. Pretostavjena (virtuena) rasodea momenata savijanja Primenom jednačine (5) mogu se naisati sedeće jednačine komatibinosti: (4α + 3α + 0,5) (3 + 6 α) (4α + 7α +,5) M + M3 + M4 + (1 + α) (1 + α) (1 + α) (51) 6 α ( α + 0,5) + θ + θ3 + θ4 = 0, 1+ α 1+ α (4α + 7α + 0,5) (3+ 6 α) (4α + 3α + 0,5) M + M3 + M4 + (1 + α) (1 + α) (1 + α) (5) 6 ( α + 0,5) α + θ + θ3 + θ4= α 1+ α Jednačina ravnoteže (49), kao i dve jednačine komatibinosti (51) i (5), čine sedeći sistem jednačina: 1 1 M (4α + 3α + 0,5) (3 + 6 α) (4α + 7α +,5) M3 (1 α) (1 α) (1 α) M 4 (4α 7α,5) (3 6 α) (4α 3α 0,5) (1 + α) (1 + α) (1 + α) (53) P θ 6 α ( α + 0,5) 1 1+ α 1+ α θ3 = 0. θ 0 ( α + 0,5) α α 1 α + + Rešenjem sistema jednačina (53) od usovom da su rotacije svih karakterističnih reseka (θ, θ 3, θ 4 ) jednake nui, u sučaju kada je α=1,0, dobijaju se veičine momenata savijanja u karakterističnim resecima (Sika 18) kada je nosač u eastičnoj obasti. Sika 18. Eastična rasodea momenata savijanja u funkciji oterećenja Izjednačavanjem momenta savijanja u reseku 3, sa momentom astičnosti orečnog reseka dobija se sia koja dovodi do formiranja astičnog zgoba ovog reseka: 0,175P = P1 = 5, 714. (54) Sika 0. Rasodea momenata savijanja u funkciji riraštaja oterećenja nakon formiranja rvog astičnog zgoba Priraštaj oterećenja koji dovodi do ojave drugog astičnog zgoba je: 0, 485M + 0, 5 P1 = P1 =, 86. (56) Rotacija reseka 3 u kome je došo do formiranja rvog astičnog zgoba je: 0,14583 P θ3 =. (57) Oterećenje koje dovodi do formiranja astičnih zgobova reseka i 4, a time i formiranja mehanizma oma je: P = P1 + P1 = 5,714 +,86 = 8,0. (58) Ovde je rikazan ostuak određivanja graničnog oterećenja kontinuanog nosača na tri oja kada su oja nosača iste dužine. Sistem jednačina (53) moguće je rešiti za razičite vrednosti koeficijenta α. Tako će ovde biti rikazana romena sie koja dovodi do formiranja rvog astičnog zgoba i riraštaja oterećenja (Sika 1.), kao i rotacije rvo formiranog astičnog zgoba (Sika.), za sučaj kada je: 0 α 10 Na Sici 1, uočava se da u sučaju kada je α=0 granično oterećenje odgovara graničnom oterećenju obostrano ukještene grede oterećene na oovini rasona koncentrisanom siom P, ri čemu se sa dijagrama rikazanog na Sici može očitati rotacija reseka 3 u kome je došo do formiranja astičnog zgoba. Sa orastom koeficijenta α, sia koja dovodi do formiranja rvog astičnog zgoba teži da dostigne vrednost koja bi odgovaraa graničnom oterećenju roste grede, dok u tom sučaju doazi do rasta riraštaja oterećenja. Sabiranjem sie koja dovodi do formiranja rvog astičnog zgoba i riraštaja oterećenja, za bio koje α, dobija se granična sia kontinuanog nosača na tri oja. Međutim, na osnovu dijagrama rotacije rvo formiranog astičnog zgoba (Sika.) uočava se da rotacija raste sa ovećanjem koeficijenta α i da će u jednom trenutnu izazvati veike deformacije nosača, tako da daje određivanje riraštaja oterećenja ne bi imao smisa, a se nakon formiranja rvog astičnog zgoba može odrediti granično oterećenje. U ovom sučaju bi trebao ograničiti defomacije sistema, što bi omogućio određivanje konačne vrednosti granične sie oma. IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011. 9

8 Sika 1. Promena granične sie oma u zavisnosti od koeficijenta α Sika. Promena rotacije reseka u kome je došo do formiranja rvog astičnog zgoba u zavisnosti od koeficijenta α Sika 3. Mehanizam oma Na osnovu retostavjenog mehanizma oma (Sika 3) moguće je odrediti veičinu graničnog oterećenja: M θ + θ + θ = P θ, (59) P = 8,0. Nedostatak direktne metode ogeda se u nemogućnosti raćenja romene granične sie oma u zavisnosti od romene dužine krajnjih oja kao i u neoznavanju deformacijskih veičina. Kako se može uočiti, granično oterećenje koje je dobijeno direktnom metodom, a dato je jednačinom (53), ne zavisi od koeficijenta α tj. dužina krajnjih oja kontinuanog nosača. Za sučaj kada je α=1,0 granično oterećenje dobijeno ostunom i direktnom metodom ima istu veičinu, dok se može zakjučiti da se rimenom ostune metode za α ono ne može odrediti jer do oma doazi na osnovu ojave graničnog stanja uotrebjivosti used ojave veikih deformacija, a ne graničnog stanja nosivosti. Ovom robematikom među rvima su se bavii F.Stussi i C.F.Kobrunner (1935) kao i P.S.Symonds i B.G.Nea (195). [8] IMK-14 OKTOBAR A.D. KRU[EVAC 4. ZAKLJUČAK Primena rincia virtuenog rada u graničnoj anaizi inijskih nosača je veoma jednostavna kako direktnom, tako i ostunom metodom. Primenom direktne metode se na brz i jednostavan način doazi do veičine granične sie, ri čemu su deformacijske veičine sistema neoznate. Postuna metoda omogućava raćenje rocesa formiranja astičnih zgobova sa roorcionanim ovećanjem oterećenja sve do formiranja mehanizma oma, kada se određuje veičina graničnog oterećenja. Prednost ove metode je što je ose formiranja svakog astičnog zgoba moguće odrediti i veičine rotacija astičnih zgobova. Bez obzira da i se granična sia oma određuje ostunom ii direktnom metodom, rimenom rincia virtuenog rada, njena veičina je ista. Мože se zakjučiti da se rimenom direktne metode brže doazi do rešenja, dok je ostuna metoda detajnija. Metode roračuna graničnog oterećenja rimenom rincia virtuenog rada rikazane na kontinuanom nosaču na dva i tri oja, kao i na ramovskom nosaču mogu se rimeniti skoro na sve kase inijskih sistema. LITERATURA [1] Wemner, G.; Taasidis, D.: Mechanics of Soid and Shes Theoris and Aroximations, CRS Pres, Bosa Raton London New York Washington, 003 [] Sadd H. M.: Easticit Theory Aications and Numerics, Esevier, Amsterdam London New New York, 005 [3] Poović, B.; Petrović, Ž.; Miošević, B.: Veičina i obik zone astičnosti i astičnog zgoba kod roste grede oterećene jednom koncentrisanom siom ii jednakoodejenim oterećenjem o ceom rasonu sa ii bez aksijanih sia na krajevima grede, Zbornik radova Građevinskog fakuteta u Nišu No., (007), [4] Baker, J.; Heyman, J.: Pastic Design of Frames, 1.Fundamentas, Cambridge University Press, London, 1969 [5] Nea, G. B.: The Pastic Methods of Structura Anaysis, Chaman and Ha, London, 1977 [6] Mijaković, M.; Nikodijević, Lj.:Granična anaiza kontinuanih nosača, Zbornik radova Građevinskog fakuteta u Nišu No. 15/16, (1994/95), [7] Heyman, J.: Beams and Framed Structures, Pergamon ress, Oxford London Paris Frankfurt, [8] Chakrabarty, J.: Theory of asticity, Third edition, Esevier Butterworth-Heinemann, 006 [9] Mijaković, M.; Miošević, B.; Petrović Ž.: Određivanje graničnog oterećenja statički neodređenih ramovskih nosača rimenom rincia virtuenog rada, Zbornik radova Građevinskog fakuteta u Nišu No. 4, (009), 9-1. ANALYSIS OF LIMITED LOAD OF LINE HOLDERS USING THE PRINCIPLE OF VIRTUAL WORK Abstract: This aer anayzes the caacity imit of ine carrier by the rincie of virtua work (the basic energy equation), one of the basic rincies of mechanics, which has found wide aication inthe theory of asticity. The method is resented as a gradua and direct action, an exame of continuous and frame hoder which is exosed to the effect of concentrated forces. The advantage of the gradua methods in reation to the direct method is that it enabes the formation of astic hinge under the infuence of roortiona increasing the oad and determining the ange of rotation - the rotation of cross-section in which there was a astic hinge formation. Keywords: virtua work, the direct method, the gradua method, the oad boundary. 30 IMK-14 Istra`ivanje i razvoj, Godina XVII, Broj (40) 3/011.