YU ISSN UNIVERZITET u B E 0 G R A D U PUBLIKACIJE SERIJA: .N2 600 (1977) BEOGRAD

Transcription

1 YU ISSN UNIVERZITET u B E 0 G R A D U PUBLIKACIJE ELEKTROTEHNICKOG FAKULTETA SERIJA: MATEMATIKA I FIZIKA.N2 600 (1977) BEOGRAD

2 PUBLIKACIJE ELEKTROTEHNltKOG FAKULTETA UNIVERZITETA U BEOGRADU PUBLICATIONSDE LA FACULT~ D'~LECTROTECHNIQUEDE L'UNIVERSIT~ A BELGRADE SERLTA: MATEMA TIKA I F I Z I K A - S:ERIE: MA TH:EMATIQUES ET PH Y S I QUE Redakcioi odbr - Co mite ie redactio D. S. MITRINOVle,D. M. IVANovle, P. M. VAsle, R. Z. DORDEVIe,B. V. STANIe,R. R. JANIe Sekretar - Secretaire I. B. LAcKoVIe Adresser les echages cotre ces Publicatios et toute correspodace it: Katedra matematike, Elektrotehicki fakultet Beograd, pojtaski fah 816, Yougoslavie. Ces Publicatios sot editees par la Faculte d'electrotechique de Belgrade avec Ie cocoursde la Faculte d'electroique de Nis The Joural publishes papers up to four prited pages, as a rule, relevat to pure ad applied mathematics i geeral, but, i particular, papers cocerig differetial ad fuctioal equatios, special fuctios, iequalities, combiatorial ad umerical aalysis. The papers i Serbo-Croatia, Russia, Frech, Eglish ad Germa are accepted. The Joural also publishes origial cotributios from geeral physics ad especially i egieerig physics.. Reprits are ot supplied either free of charge or agaist paymet. Stampaje ovih Publikacija fiasijski je pomogla Republicka zajedica auke Srbije

3 D. S. MITRINOVIC, P. S. BULLEN, P. M. VASIC SREDINE I SA NJIMA POVEZANE NEJEDNAKOSTI I

4 Recezeti: Dr Borivoje Mihailovic, redovi profesor Dr Radosav Z. Dordevic, redovi profesor Dr Dusa D. Adamovic, varedi profesor Dr Jova D. Deckic, docet Izdavaje ove moografije fiasijski je pomogla Republicka Zajedica Nauke Srbije II

5 PREDGOVOR avo je prvi deo moografije koja se odosi a sredie i a ejedakosti koje stoje u vezi sa srediama. Pisci su sebi postavili zadatak da moografija (I i II deo) sto potpuije obuhvati avedea pitaja i da pri tome poveze izolovae rezultate i stvori od jih koheretu celiu. Pisci su uverei da su u tome u zatoj meri uspeli. Za ovo je bilo potrebo dugotrajo istrazivaje po razim bibliotekama u svetu, jer se sredie proucavaju jos od VI veka pre ase ere. Sakuplje je ogroma dokumetari materijal koji je trebalo obraditi i zatim odabrati oo sto je vredo za publikovaje. Rezultati su brizljivo i sistematski pracei od jihovog otkrivaja do daas i pri tome utvrdeo je da ima dosta svesog ili esvesog poovog proalazeja odavo pozatih Cijeica, i tako su utvrdei prioriteti mogih rezultata. Najteze je bilo sa clacima iz XIX veka od kojih ogroma vecia ije referisaa u casopisu lahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik, jer ovaj casopis izlazi od 1871, a referise 0 radovima objavljeim pocev od Druga teskoca sa radovima iz XIX veka je u tome sto su oi objavljei u ekim od casopisa koji vise e izlaze a mogu se aci saro u malom broju biblioteka u svetu. Osim toga mogi ciaci su objavljei pod aslovima koji e agovestavaju da je u jima' rec 0 srediama. Ova moografija je po sadrtaju i komplctosti prva u svetu. Moografija Medie od GINIa i vise jegovih saradika, publikovaa u Italiji i u prevodu a ruski u SSSR, kocetrisaa je a primee sredia u statistici, dok je 0 teoriji sredia u opstem smislu vrlo malo receo. Uprkos tome, moografija Medie bila je korisa pri izradi ase moografije. Izgleda da ima dye vrste matematickih kjiga. S jede strae, postoje dela koja teze da obuhvate predmet u svim jegovim vidovima ili bar u vecii. U takvim delima pisci se trude da avedu sve rezultate u jihovom ajbo- Ije mogucom obliku, i da uz to izloze ili potpue dokaze ili acrte dokaza, zajedo sa uputima gde se potpui dokazi mogu aci. Takve kjige, amejee oima koji se profesioalo bave Cistom ili primejeom matematikom, retke suo Prvo takvo delo iz teorije ejedakosti, koje je uelo esto reda u ovo euredeo polje, je klasico delo HARDY, LITTLEWOOD,POLYA: Iequalities, objavljeo Koliko god da je ovo zacajo delo bilo i jos je uvek vazo, oo ije sastavljeo sa ciljem da sve obuhvati: sastojalo se iz oog ukupog zaja koje su tri matematicara prvog reda imali u oblasti u kojoj je svaki od jih dao bite dopriose. Ma koliko da je to zdruzeo zaje bilo siroko, emiovo su postojale izvese prazie: eki vazi rezultati, kao a primer Steffeseova ejedakost, isu i pomeuti; izostavljei su radovi izvesih skola matematicara, a moge zacaje ideje isu bile razvijee vec su se pojavile u vidu vezbi ili primedbi a kraju pojediih poglavlja. Docije delo BECKENBACH,BELLMAN: III

6 IV Iequalities, objavljeo 1961, popravlja moge od tih propusta. Pa ipak ta je kjiga daleko od toga da bi potpuo obuhvatila ovo polje bilo u dubii bilo u obimu. Mogo potpuije je skorasje delo MITRINOVIC:Aalytic Iequalites, objavljeo Za ovo deja u vise prikaza reeeo je da je skoro potpuo obuhvatilo jeda prostrai deo teorije ejedakosti. S druge strae, ima vise del a iz ejedakosti amejeih studetima ili ematematiearima. Ova uvode Citaoca u eki poseba deo teorije ejedakosti dajuci mu da shvati sta su to ejedakosti i osposobljavajuci ga da ide dalje ka kjigama viseg stupja i detaljijeg izlagaja koje su raijc spomeute. Dok takve kjige viseg stupja postoje saro a egleskom, dotle ima odlieih elemetarih kjiga a razim jezicima. Usled sirie teorije ejedakosti i razovrsosti primee ijeda od gore tri pomeute kjige e zaci posledju ree u svim temama koje su obradee. Vecia ejedakosti je u zavisosti od mogih parametara a oo sto je ajprirodiji dome za te parametre ije uvek oeigledo i obieo e predstavlja ajsiri moguci oblik u kojem ejedakost vazi. I stoga je i ajbrizljiviji autor priude da bira; a ao sto je izostavljeo od uslova ili obima primee jede ejedakosti upravo moze biti bas oo sto je potrebo za eku posebu primeu. U stvari potreba su dela koja ce iz prostrae teorije ejedakosti odabrati jedo prilieo ograieeo polje i ovo obraditi u dubiu. Dakle, potrebo je za to polje uraditi oo sto je, a primer, kjigom ZYGMUND: Trigoometric Series uradeo a polju harmoijske aalize. Takvi kohereti delovi ove disciplie postoje, jer teoriju ejedakosti e saeijava saro izvesa kolekcija epovezaih rezultata. Kao sto je vec reeeo, predmet ove moografije je teorija sredia. To bi bila jeda zaokruzea oblast iz ejedakosti. Sredie su osova za teoriju ejedakosti i za moge primee ove teorije a drugim poljima. Da uzmemo saro jeda primer: osova ejedakost za aritmetieku i geometrijsku srediu moze se aci gde viri, eesto tako prerusea da se jedva moze prepozati, iza ejedakosti u svakoj oblasti teorije ejedakosti. Ideja sredia siroko je koriscea u teoriji verovatoce, u statistici, u sumiraju redova i drugde. U ovoj moografiji pisci su hteli da izloze osobie sredie koje se pojavljuju u teoriji ejedakosti ooliko potpuo koliko su to bili u staju. Kore ovog izlagaja moze se aci u zato skromijem spisu MITRINOVICi VASIC: Sredie, objavljeom 1969, u kojem je dat elemetara i kratak prikaz ovog predmeta. U ovoj moografiji bice pruze iscrpa prikaz razih sredia koje se javljaju u literaturi zajedo sa istorijom porekla razih ejedakosti koje povezuju te sredie. Takode ce biti dat, sto je moguco kompletiji, katalog svih zaeajih dokaza za osove rezultate, posta ovi ukazuju a mogobroja moguca tumaeeja i primee. Takode, adamo se, bice izlozee sve pozate ejedakosti koje su u vezi sa srediama. Ova moografija apisaa je vrlo kocizim stilom, sa mogo skraceica sto ce mozda otezati jeo Citaje. Data dokumetacija je kritieki izlozea, mada je oa, u izvesoj meri, eciklopedijskog karaktera. Pisci se adaju da ce aktiva matematieka disciplia, teorija sredia, dobiti ovom moografijom ov impuls za dalja istraiivaja kao i za dublje povezivaje u koheretu celiu mogobrojih rezultata do sada pozatih. Moografija ce bez sumje biti od koristi studetima zaiteresovaim i za disciplie koje se e predaju u redovoj astavi. Medutim, moografija ce biti izvor za teme i dokumetaciju u poslediplomskoj astavi koja se sve vise razvija u as i u svetu.

7 Kako je u prirodi stvari da se Cie propusti i gres'ke, adamo se da ce Citalac koji ih zapazi obavestiti ('.utore kako bi u evetualim sledecim izdajima materija bila prikazaa potpuije i tacije. Zelimo takode da izmedu tih revizija odrzavamo ovo izlagaje u toku posledjih sazaja iz ove oblasti tako sto bi povremei pregled ovih rezultata bio objavljiva u Publikacijama EIektrotehickog fakulteta Beogradskog Uiverziteta, serija: Matematika i fizika, ili u drugim casopisima. U proalazeju i prikupljaju origiale literature potrebe za izradu ove moografije piseima su pruzili veliku i dragoceu pomoc mogobroji matem2- ticari sirom sveta slajem separata svojih cla aka 0 srediama, kao i moge biblioteke u svetu od kojih izdvajamo sledece: Biblioteka za matematiku Elektrotehickog fakulteta u Beogradu, Uiverzitetska biblioteka "Svetozar Markovic" u Beogradu, Gosudarstveaja biblioteka imei Leia u Moskvi, Biblioteka Matematickog istituta Uiverziteta u Kopchageu, Biblioteka Matematickog istituta Uiverziteta u Stuttgartu, Biblioteka Matematickog istituta Uiverziteta u Bou, Biblioteka Matematickog istituta Heri Poicare u Parizu, Biblioteka U.E.R. Math:m:ttique Uiverziteta u Parizu (Paris-Orsay), BibIioteka Ecole Normale Superieure u Parizu, Biblioteka Matematickog Dcpartmaa Uiverziteta u Vaeouveru, Biblioteka Matematickog Istituta u Beogradu, Biblioteka Matematickog fakulteta u Skoplju, Biblioteka Matematickog zavoda Uiverziteta u Zagrebu. Takode dugujemo prizaje i zahvalost za pomoc u izalazeju izvore literature mogobrojim bibliotekarima i matematicarima u svetu od kojih posebo avodimo: Madame MARINA LISSANT (Kopehage), prof. C. BENEDETTI (Roma), I. BRATIC (Beograd), dr L. COMTET (Paris), W. DENNINGER (Stuttgart), prof. D. DIMITROVSKI (Skoplje), prof. A. GmzZETTI (Roma), dr W. HEINERMAN (Haover), prof. S. LAZOVIC (Nis), V. POPOVIC (Beograd), docet N. Rozov (Moskva), prof. D. SILJAK (Sata Clara, USA), prof. M. SKALSKY (Carbodale, USA), prof. R. TATON (Paris). U vezi sa izradom ove moografije vodea je ziva korespodceija sa mogobrojim matematicarima i bibliotekarima u svetu. Na tom vazom i velikom poslu uspeso je saradivala NADA OBRADOVIC, korespc det Elektrotehickog fakulteta u Beogradu. v Beograd i Vacouver I. maja godie D. S. MITRINOVIC,P. S. BULLEN, P. M. VASIC

8 ORGANIZACIJA MONOGRAFIJE Moografija je podeljea u dva dela i pojavice se u dye posebe kjige. Prva kjiga obuhvata veci deo materije koja je obradea u moografiji. Druga kjiga sadrzace aksiomatsko zasivaje sredia, istorijski razvoj pojma sredie, Gaussove aritmetieko-geometrijske i sa jima povezae sredie. Bice reci takode 0 srediama u kompleksom podrueju, 0 itegralim srediama i 0 razim srediama koje isu usle u prvi deo moografije. Bibliografija u prvoj kjizi odosi se takode i a tekst u drugoj kjizi moografije. Bibliografija u drugoj kjizi bice dopujea ovim referecima. Na kraju druge kjige bice dati ideksi pojmova i imea kao i dopua bibliografije. Moografija je podeljea a poglavlja, a poglavlja a odeljke. Pododeljci emaju svuda aslove, ali su i tada cifarskim ozakama avedei u sadriaju moografije. Prilikom pozivaja a formulu iz istog poglavlja avedea je saro ozaka formule, pr. (22). je i redi broj poglavlja. Ukoliko je ree 0 formuli iz drugog poglavlja, avede Tako, a primer, formula (I.6) ozaeava formulu (6) iz poglavlja I. Ista je stvar i prilikom pozivaja a eku od teorema ili defiicija (a primer, teorema 1.8 ozaeava teoremu 8 iz poglavlja I). Kod primedbi ave de je, pored broja poglavlja, i broj odeljka i pododeljka, a primer, ozaeava primedbu 10 iz II poglavlja pododeljak 3.3. VI

9 SADRZAJ Ozake I X Skraceice za kjige koje se u tekstu cesce pomiju I x Poglavlje I: Uvod I 1 1. Predmet uvoda I 1 2. Neke osobie polioma I 1 3. Neke elemetare ejedakosti I I I I I I 4 4. Neke osobie izova I Koveksi izovi i izovi ograieee varijacije I Logaritamski koveksi izovi I Jeda relacija poretka kod izova I Kovekse fukcije I Kovekse fukcije jede promeljive I Kovekse fukcije vise promeljivih I Koveksost viseg reda I 22 Poglavlje II: Aritmeticka, geometrijska i harmoijska sredia I Defiicije i jedostavije osobie I Aritmeticka sredia I Geometrijska sredia i harmoijska sredia I Iterpretacije i primee I Nejedakost izmedu geometrijske i aritmeticke sredie I Tvrdeje teoreme I Prelimiari rezultati I Dokaz ejedakosti GA I Neke primee ejedakosti GA I Nejedakost GA sa razim teziama I Rafiiraje geometrijsko-aritmeticke ejedakosti I Radoova ejedakost I Popoviciuova ejedakost I Geeralizacija Radoove i Popoviciuove ejedakosti I Everittovi rezultati I Neki Koberovi, Diaadaovi i Beckovi rezultati I 58 VII

10 VIII 3.6. Redhefferove rekurete ejedakosti I Druga rafiiraja I Koverze ejedakosti I Razliciti rezultati I Aumaov rezultat I Ozekiev rezuitat i jegove geeralizacije I 65 Poglavlje III: Potecijale sredie I Defiicije i osove osobie I Zbirovi potecija I Holderova ejedakost I Cauchyeva ejedakost I Nejedakost Mikowskog I Rafiiraje Holderove ejedakosti i ejedakosti Mikowskog I Relacije izmedu potecijalih sredia I N"jedakost (r; s) I Neke posledice ejedakosti Mikowskog I Rafiiraje ejedakosti (r; s) I Geeralizacije potecijalih sredia I Kotraharmoijska sredia I I I I Mesae sredie I Koverze ejedakosti I Graice za kolicik potecijalih sredia I Graice za razliku potecijalih sredia I Komerze ejedakosti za eke kla,ice ejedakosti I 109 Poglavlje IV: Kvaziaritmeticke sredie I Defiicije i jedostavije osobie I Komparabile sredie I I I I Rezultati Radoovog i Everittovog tipa I Nejedakost Cakalova I Geera1izacije 5.1. I I I I I Koverze ejedakosti I I I 136 ejedakosti Holdera i Mikowskog I Geeralizacije kvaziaritmetickih sredia I 139

11 IX 8. Neke druge ejedakosti I Teorema Goduove I Oppeheimov problem I Faova ejedakost Klasice sredie proizvo1jih izova Poglavlje V: Simetricr.e sredie I Defiicije i jedostavije osobie I Odosi izmedu I I Nejedakosti tipa 3.1. I I 163 elemetarih simetricih fukcija i sredia I 154 Rado-Popoviciu I Marcus-Lopesove ejedakosti I Geeralizacije simetricih sredia I I I Potpue simetrice sredie I I Whiteleyova teorema I I Muirheadove ejedakosti I 183 Bibliografija I 189

12 OZNAKE a ozacava iz (aj,..., a) --+ IX ozaeava iz (lxj'..., IX) f(a) ozacava iz (f(aj)'..., f(a)) o ozacava iz (0,..., 0) a+b ozacava iz (aj+bp...,a+b) ab ozacava iz (aj bj,..., a" b,,) at' = (ai,..., Qi - I, OJ+ l'..., a) Ako je a ~ (aj,..., a,,), iz A = (Aj,..., A) je defiisa pomocu Ak ~ C ozacava Cauchyevu ejedakost H ozacava H61derovu ejedakost M ozacava ejedakost Mikowskog GA ozacava ejedakost izmedu geometrijske N ozacava skup prirodih brojeva I ozacava iterval R ozacava skup realih brojeva i aritmeticke sredie L k at i~l x

13 SKRACENICE ZA KNJIGE KOlE SE U TEKSTU CESCE SPOMINJU BB ~ BECKENBACH, E. F., R. BELLMAN: Iequalities. Berli - Heidelberg - New York 1961, 1965, 1971 tu tekstu je pozivaje a drugo izdaje). HLP ~ HARDY, G. H., J. E. LITTLEWOD, G. POLYA: Iequalities. Cambridge 1934, 1952, 1959, 1964, 1967; Moskva 1948; Pekig 1965 (u tekstu je pozivaje a drugo eglesko izdaje). M = P RV ~ = = S, = MITRfNOVIC, D. S. (i cooperatio with P. M. VASIC): Aalytic iequalities. Berli- - Heidelberg - New York 1970; Aaliticke ejedakosti. Beograd (u tekstu je pozivaje a eglesko izdaje). POPOVICIU, T.: Les foetios covexes. Actualites Sci. Id. No Paris ROBERTS, A. W., D. E. VARBERO: Covex fuctios. New York-Lodo Iequalities, Proceedigs of a symposium held at Wright-Patterso Air Force Base, Ohio, August 19-27, Edited by O. SHISHA. New York-Lodo Iequalities II, Proceedigs of the secod symposium o iequalities held at the Uited States Air Force Academy, Colorado, August 14-22, Edited by O. SHISHA. New York-Lodo Iequalities III, Proceedigs of the third symposium o iequalities held at the Uiversity of Califoria, Los Ageles, September 1-9, Edited by O. SHISHA. New York-Lodo XI

14 Poglavlje I: Uvod 1. PREDMET UVODA U ovor poglavliu izlozicero eke pojrove i rezultate koji ce biti potrebi u ovoj moografiji, ali ecemo biti iscrpi. Stavise ako je rezultat koji se avodi lako pristupaca, uputicero Citaoca a literaturu, jugoslovesku i iostrau, u kojoj se mogu aci dokazi i potrebi detalji. 2. NEKE OSOBINE POLINOMA Izvese jedostave osobie polioma mogu se iskoristiti da bi se izvele eke od osovih ejedakosti koje ce biti razmatrae u ovoj moografiji. Takode, izvese jedostave ejedakosti, koje se pojavljuju a vise mesta, mogu se jedostavo dobiti iz osobia ekih specijalih polioma. Ovi rezultati su skupljei a jedor mestu, radi lakseg pozivaja a jih. Svi poliomi koje cemo razmatrati su sa realim koeficijetima. Najpre cera avesti eke jihove osove osobie i to bez dokaza. Dokazi se mogu aci u literaturi (videti a primer: Mitriovic i Dokovic [1] ili Uspesky [2]). Teorema 1. Poli om stepea ima ajvise realih ula. Teorema 2. (Dekartovo pravilo). Broj pozitivih ula polioma jedak je broju varijacija jegovih koeficijeata ili je za para broj maji od broja ovih varijacija. Teorema 3. (Rolleova teorema). Izmedu dve uzastope reale ule polioma p alazi se bar jeda ula polioma p'. Teorema 4. Ako je p(a)p(b)<o, gde su a i b (a <b) reali brojevi, poliom p ima bar jedu ulu izmedu a i b. Teorema 5. Ako je p poliom i ako pip' imaju zajedicku ulu, ta ula je bar dvostruka ula polioma p. Sledeci rezultat je osova za razlicite primee (videti: Dukel [1], Kellog [1], Newto [1], Maclauri [1J, Sylvester [1]). Ovaj rezultat cemo dati u obliku u kome je izloze u HLP, p Teorema 6. Ako su sve ule ~ polioma L CiXiy-i reale, isti slucaj je i sa Y i=o svim poliomima (ciji svi koeficijeti isu ule) koji su dobijei parcijalim diferecirajem datog polioma po xiii y. Dalje, ako je ula tako dobijeog polioma visestrukosti k (> 1), oa je ula visestrukosti k + 1 oog polioma od koga je diferecirajem dobije. 1 Sredie i sa jima povezae ejedakosti

15 2 I Dvod Dokaz. Dobija se uzastopom primeom teoremali 3. Posledica 7. Ako je CoFOi ako su sve ule polioma i~ CiXi =i~j;) dixi reale, isti je slucaj i sa ulama polioma i~(~)dk+ixi (O<m;;;;;;k+m;;;;;;). Dokaz. Neka je f(x, y) = i ( ) ~ dixi y- i. Kako je dof0, ~ ije kore jedai~o I x cie f(x, y) = 0 pa, prema teoremi 6, ije visestruki kore ijede od izvodih jedacia. Stoga ema dva uzastopa ko~ficijeta di takva da se dk i dk+l auliraju. ij-mf se razlikuje od dk+ixiym-i samo za multiplikativu ijxkijy-k-m ~ (~) I i~o kostatu. Ovaj posledji izraz, a osovu prethode primedbe, ema sve svoje koeficijete jedake uli. Stoga je ovaj rezultat posledica teoreme 6. Posledica 8. Ako je cof0 i ako su reale, tada je, za 1 ;;;;;;k;;;;;;-l, (1) (2) dk2;;; dk-l C/>Ck-l Nejedakost dk + 1 ' Ck+l' sve ule polioma (I) je stroga osim ako su sve ule jedake. i~ CiXi == ( ) i~ i di Xi Dokaz. Na osovu posledic~ 7 sve ule jedacie dk-l + 2dkx + dk+l x2 = 0 (I ;;;;;; k;;;;;; - I) su reale, odakle se dobija skup ejedakosti (I). Iz defiicije dk (0;;;;;;k;;;;;; ) eposredo imaro Ck ;;; 2 (k+l)(-k+l) k(-k) Ck-lCk+l>Ck-1Ck+l' Ako je dk2= dk-l dk+l za svako k, kvadrata jedacia ima dvostruku ulu pa, prema teoremi 6, polaza jedaeia ima ulu reda. Kao primere posmatrajmo eke poliome koji ce kasije biti koriscei. (a) Neka je p(x)=x+l_(+ l)x+. Tada je x= 1 jedia pozitiva ula polioma p. avo sleduje iz Dekartovog pravila 0 zacima i eijeice da je X = 1 dvostruka ula. Na osovu toga iraro ejedakost (3) (x;;; 0), sa jedakoscu ako i saro ako je X = 1. (b) Na sliea aei, polazeci od polioma do ejedakosti (4) (x;;; 0), sa jedakoscu ako i saro ako je x = 1. (c) Nejedakost (4) roze se iterpretirati 1 a = 0. --, za x ~ Imamo (5) )("-1 ;;;;;;a(x-l), sa jedakoscu ako i samo ako je x = 1. i a sledeci aei: StavljajuCi

16 3. Neke elemetare ejedakosti 3 Nejedakost (5), medutim, vazi za svako a (0 <a< I). 0 ovome videti: M, p. 34. Ako je a> 1 ili a<o, vazi suprota ejedakost. (d) Moguco je dobiti precizije ejedakosti. Tako, a primer, za O<a< 1 i x> 1 imamo (6) (7) 1 (x-i)2 -(1-a)~<x-l. 2 x2 Iz (6) ije tesko izvesti da je (1 + y)a = 1 + ay + 0 (y2) kada y-+o, (8) (I + 0 (a2»l/a = (a) kada a-+o (primetimo da za x> 0 imamo xa = (a) kada a-+ 0). 3. NEKE ELEMENTARNE NEJEDNAKOSTI U ovom odeljku avescemo jos eke ejedakosti koje ce kasije biti koriscee a koje se e mogu dobiti iz osobia polioma BeroulIieva ejedakost. Nejedakost iz sledece teoreme aziva se Beroullieva ejedakost. Teorema 9. Ako je x> - 1 i O<ex< I, tada je (9) (1 + x)'" ~ 1 + exx. Ako je ex<o ili ex> 1 vazi suprota ejedakost. akost vaii ako i samo ako je x = O. Dokaz. Videti, a primer, M, p. 34. U svim slucajevima jed- PRIMEDBA: 10 Drugi dokaz bice dat u II Primetimo da je (9) ekvivaleto sa (5) Ako je x=l-e, vazi (10) Dokaz. Kriva y = log x je kokava i za tagetu u tacki (e, I) ima pravu y = x/e. Prema tome, vazi ejedakost (11) x ->Iogx e (x=l-e), koja je ekvivaleta sa (10) Ako je x>o, imamo (12) logx~x-l sa jedakoscu ako i saro ako je x = I. x Dokaz. Ovo sleduje iz logx = J d: ~ x-i. I

17 4 I Uvod 3.4. Ako je xi' 0, vazi (13) ex>l+x. Dokaz. Fukcija I defiisaa sa I(x) = ex x ima u tacki x = 0 jedistvei miimum Sledecu ejedakost dokazali su Ako je x> - 1, tada je (14) ~<Ilog(l +x)l< Ixl 2+x. (l+x)lj2 Tettamati, Sark6y, Kralik, Stomfai [I]. Dokaz. Stavimo I(x) = log (I + x) - ~. Tada je 1(0) = 0 i f' (x) ~ O. Ako je 2+x x (15) g (x) = log (I + x) - (1 + X)lj2 ' tada je g (0) = 0 i g' (x) ~ O. Ove osobie Ii g impliciraju ejedakosti (14). 4. NEKE OSOBINE NIZOV A 4.1. Koveksi izovi i izovi ograicee varijacije. Neka je a iz. Defiisimo iz!1ka (k = 1, 2,...) pomocu rekuretih relacija (16)!11a=!1a=a-a+l (= I, 2,...);!1ka=!1(!1k-la) (=l, 2,...; k=2, 3,...). Lako se proverava da je!1k a - i da je, za 1 ~j ~ k, (17) k i ( k ) i~ ( - I) i a +i pri cemu se uzima da je ( + P-2 ) jedako 1 ako je p = 0, = 1 i da je 0 za p-l p = 0, = 2, 3,.... Ova kovecija bice koriscea u celom odeljku. Defiicija 10. (a) Niz a je k-kaveksa ili iz!1ka eegativa. (b) Niz a je agraicee k-varijacije aka je kaveksa reda k (k ~ 1) aka je +.; ( i+k-2 ) 'Ak I I L.. 'LJ. a. < i~l k-l ' PRIMEDBA: 10 Koveksost reda 1 zaci da je a rastuci iz. Ograicea I-varijacija zaci da +00 je 2: i~l I~ail< + 00.

18 I I 4. Neke osobie izova 5 2 Jedostava osobia apsoluto kovergetih redova roze se prikazati ovako: a je ograicee I-varijacije ako i saro ako je razlika dva I-koveksa iza. Glavi rezultat ovog odeljka, teorera 12, je geeralizacija ovog jedostavog rezultata. Ova geeralizacija potice od Dawsoa [I]. Najpre cemo dokazati sledecu lemu: Lema tada: (a) (b) (c) 11. Ako je a ograice i k-koveksa iz (ograicee k-varijacije, k ~ 2), a je p-koveksa (ograicee p-varijacije) p lim ( +~-I ) f),jap = 0 (1 ' j' k 1); - p->+oo ] (1 ' j'2k). (l' p' k-l); Dokaz. (i) Pretpostavimo da je k = 2 i da je a 2-koveksa iz. Tada je l:1a (= 1,2,...) opadajuci iz, pa stoga lim l:1apostoji. "..+00 Kako je a ograiceo, ova graica mora da je ula, te je 1:1a~ 0 ( = 1, 2,...); a ovaj aci dokazali smo (a) u ovom slucaju. Primetimo da je (18) a1 -a+l = L l:1ap= L pi:12ap+l:1a' p~l p~l -l pa sum a a levoj strai kovergira i lim a postoji i eegativa je. Ako bi ova graica vredost bila pozitiva, iz a e bi mogao da bude ograice. Stoga je lim 1:1a= 0 i ~+oo (19) L l:1a= L pl:12ap=al - lim a, p~l p~l ->+oo Na ovaj aci zavrse je dokaz u ovom slucaju. Pretpostavimo sada da je a iz ograicee 2-varijacije. 1:1a ( = 1, 2,...) je ograice. Dalje, kako je Prema (18) iz : 11:1 ap I~ L p i p~l p~l 1:12 ap I+ I1:1 a I, red L 11:1ap! kovergira, sto dokazuje (a), pa stoga lim a postoji. Neka je p=l -++oo vredost ove graice a: i pretpostavimo da je a: O. Tada postoji o takvo da je * I; I Y I1l1a:+ 1 1 Y pi1:1 ap I I - 11 :p~-'- ' p=o P p=o P p=o Kako je tada L 1 - ~ -~+2 apsoluto kover l1u l1u < + 00, proizvod I1 p~o 11 Up I I p~o 11 Up = Y p2 1:12ap < gira ka ekom broju razlicitom od ule. Ovo je u kotradikciji sa koverge- +00 cijom reda L 11:1api, pa je stoga a:=o. Rezultat u ovom slucaju sleduje iz (18). p~l (ii) Pretpostavimo sada da je k>2 i da je a k-koveksa iz.

19 6 I Uvod Kako je ~k a = ~2 (~k-2 a) ~ 0 ( = I, 2,...), iz ~k-2 a ( = I, 2,...) je 2-koveksa i ograice. Stoga a osovu (i) imamo da je ~k-2 a (= I, 2,...) I-koveksa, iji ekvivajeto, a je (k-i)-koveksa. Stoga (a) sleduje idukcijom. Posebo, tada je iz a 2-koveksa i stoga a osovu (i) dobijamo (b) i (c) za j= 1 i j= I, 2 respektivo. Pretpostavimo da je 1 <jo<k i da (c) vazi za takvu vredost j = jo' Kako je (20) ~ P+jo-2 Ajo =;;;;/ p+jo-l Ah+l ( ) ( ) ( p~1 10- p= jo-l Ajo L... L1 ap 1 L... L1 ap+. ) L1 a, pretpostavka da (c) vazi za j = jo povlaci da je red Y ( p +j~-l ) ~jo ap p~1 10 geta i da Jim ( +j~-l) ~jo a postoji. Pretpostavimo da je ova vredost jedaka IX(IX~O). Neka je IX#O. Kako je kovergraica ( +j~-i ) ~joa= ( i ( P~~ 1 2)) ~joa:;;; ( +j~-2 ) ~joa' 10 p= zakljucujemo da postoji priroda broj o takav da >o implicira + 00 ( +' p=1 10 2) ali ovo je u kotradikciji sa kovergecijom reda L p.:~ ~h ap' implicirao iskazom (c) u slucaju j = jo' Stoga je IX= 0, sto zaci da (b) vazi za j = jo i prema tome iz (20) i (c) za j = jo dobijamo sto je (21) Odavde sleduje da (c) vazi kada je j = jo + 1. Ovim je zavrse dokaz. Neka je sada a iz ograicee k-varijacije. Pretpostavimo da ijeda podiz iza (:~~2)~k-la (= 1,2,...)e kovergira ka uli. Tada postoji priroda broj o i IX>0, tako da je +00 =p~o ( P+k-2 ) k-l l~kapl<+oo. Teorema 12. Neka je a ograice iz. Tada je o ograicee k-varijacije ako i saro ako je razlika dva k-koveksa iza. Dokaz. Slucaj k = 1 je dobro pozat (videti primedbu 2 ), pa cemo stoga pretpostaviti da je k;;:;;2.

20 4. Neke osobie izova 7 (i) Neka je a = h - c, gde su hie k-koveksi. Tada je a osovu Iere 11 (c): +00 ( P+k-2 ) +00 P~I k-i I /).k ap l-;;;;p~1 k-l pa je a ograicee k-varijacije. ( P+k-2 ) +00 /).k bp + P~I ( P+k-2 ) k-i /).k cp< + 00, (ii) Pretpostaviro sada da je a ograicee k-varijacije. Tada a osovu Iere 1I (c) zakijucujero da lir a postoji. Neka je jegova vredost jedaka a oo +00 Jedostavo uopsteje Iere 11 (c) pokazuje da jep~1 k-i /).kap+=a+l-a. +00 Ako defiisemo b+1 = 2: p~1 +00 ( P+k-2 ) ( P+k-2 ) k-i +00 ( P+k-2 ) /).kap+ (=O, 1,2,...), iraro ( P+k-2 ) b = L k-i /).k ap+-i - L k-i /).k ap+ p=1 p=1 i ocigjeda idukcija daje ( P+k-j-2 } ) +00 /).1. b = L k -.- /).k 1 ap+-i ~ 0 p~1 (l-;;;;j-;;;; k), takodajehk-koveksaiz. Staviro sada c+l=b+l-a+i' Tada za I-;;;;j-;;;;k prireom (17) dobijaro cire je dokazaa teorera Logaritamski koveksi izovi. Dajro prvo defiiciju kovojucije dva iza. Defiicija 13. Ako su data dva iza a i h, tada se iz c = a * h defiisa sa (22) C= L ar b-r r~o ili proizvodom formalih (23) ( = 0, 1, 2,...), redova aziva kovolucija izova a i h. Defiicija 14. (a) Pozitiva iz c aziva se r1..-1ogaritamskikoveksa (r1.. ~ 0) aka je (24) (= 1, 2,...).

21 8 I Uvod (b) Ako u (24) vati suprota ejedakost, reci cemo da je iz C IX-logaritamski kokava, ili u slucaju IX= 1 da je samo logaritamski kokava. Medutim, ako je IX= + 00, reci cemo da se radi 0 jakoj logaritamskoj kokavosti. PRIMEDBA: IOU slucaju a-iogaritamske koveksosti smajivaje a poostrava uslove koje mora da zadovolja'ia c. U slucaju a-iogaritamske kokavosti povecavaje a poostrava us love za c. Niz d defiisa sa (25) ( -a d~(-l) ) a(a+l)... (a+-l) Ako je IX= 1, reei cemo samo logaritamsk i koveksa. Ako IX , uslov (24) svodi se a c2<+lc+lc-l' U tom slucaju reci cemo da se radi 0 sia boj logaritamskoj koveksosti. ~._u! je a' -Iogaritamski ko'leksa za s'lako a' ~ a. O'laj iz je a' -Iogaritamski kokava za svako ~ a'~a. Niz je geerira pomocu (l-x)-ix 2, dr x' Niz c = - ( ~ 1, 2,...) je O-Iogaritamr~O 1 ski koka'la i a-iogaritamski koveksa (a~o). Niz C= -, je slabo logaritamski koveksa. i a-logaritamski kokava za svako a < Koriso je primetiti da je iz c a-iogaritamski koveksa (kokava) ako i samo ako je iz d logaritamski koveksa (kokava), gde je, za = 0, 1, 2,..., (O<a< + 00), (a = 0), (a=+oo) i (do, d" d2,...) je iz d defiisa u (25). 4 U slucaju logaritamske koveksosti (24) postaje (26) (=1,2,...), sto je, u slucaju pozitivih izova, ekvivaleto sa (27) (r, s ~ 1, 2,...); u slucaju logaritamske koveksosti u (26) i (27) vaze suprote ejedakosti. RezuItati koje cera izloziti pokazuju da su osobie logaritarske koveksosti izova takode osobie jihove kovolucije. Svi ovi rezultati isu potrebi u daljer tekstu, ali su zbog korpletosti avedei. Teorema 15. (a) Ako su a i b pozitivi slabo logaritamski koveksi izovi, taha je i jihova kovolucija a b. * (b) Ako su a i b pozitivi strogo logaritamski kokavi izovi, takva je i jihova kovolucija a b. * PrirejujuCi priredbu 3, teoreru 15 rozero preforrulisati a sledecu ekvivaletu forru: Teorema 16. Ako su a i b pozitivi logaritamski koveksi (kokavi) takav je i iz c, gde je izovi: (28) ( = 0, 1, 2,...).

22 4. Neke osobie izova 9 Dokaz. (a) Logaritamski koveksa slucaj (Daveport i P61ya [I]). Dokaz ejedakosti (26) sprovodi se idukcijom po. Za = I jedostava izracuavaja daju, a osovu logaritamske koveksosti izova a i b, CoCz - CIZ = aoz (bo bz - biz) + boz(ao az - alz) ~ O. Pretpostavimo da (26) vazi za I ~ <;;.k - I. Kako je (~) = (k~ 1) + (~=~), imamo Ck= C~-J + C:-l' gde je C~-I defiisao pomocu (28), primeom izova (ai, az,...) i (bo' bl,...), dok je C~'-I defiisao pomocu (28) primeom izova (ao' a"...) i (bl, bz,...). Tad<J. je, a osovu iduktive hipoteze i ejedakosti izmedu geometrijske i aritmeticke sredie, 2 ( ' " )2'2"2' Ck = Ck-I + Ck-l = Ck-J + Ck-l + 2Ck-1 Ck-I I, <;;. Ck-2 Ck + Ck-2 Ck + 2 Ck-2 Ck Ck-2 Ck, I, " " " '" " " ( I '" " ) 1/2 <;; Ċk-2 Ck + Ck-2 Ck + Ck-2 Ck + Ck Ck-2 " (b) Logaritamski kokava slucaj (Whiteley [3]). Defiicija (28) predstaviti i a sledeci aci Cll=r~ Stoga je -I ( 1 ) ~ (ar+lb-r+l+arb-r). moze se C/ - C-I C+1 = Cto (: )arb-r) C~~ C~ 1) (ar+ I b-r-i + arb-r») gde je A jedako -C~ (:) (ar+lb-r+arb-r+i») C~~ (~l) arb-r-i)=a+b, izrazu '" (b0 br +s + I -b r +S. b s-i - )((.. )( -1 ) +lcr+s r+s- 1 s- 1 r;:;; C-s~l - C~l) (r:~~l) a-s+1 all-r-s). a-r-s + I a-s Sabirak B jedak je sabirku A, gde su a i b izmejali mesta. Kako je b logaritamski kokavo, a osovu suprote ejedakosti od (27) zakljucujemo da je izraz u prvoj zagradi u A eegativa. Dalje, kako je Izraz u drugoj zagradi u A premasuje sledecu vredost ( s-l )( -1 r+s-1 ) (a-r-s+la-s-a-s+la-r-s), koja je, a osovu logaritamske kokavosti iza a i ejedakosti (27), eegativa. Slico se dokazuje da je B eegativo, Cime je dokaz zavrse.

23 10 I Uvod PRIMEDBA:5 Nije tesko zakljuciti da se jedakost u (2) za c pojavljuje ako i saro ako se jedakost pojavljuje u (26) za a i b. Kako su iz c i iz d, koji je defiisa sa (~O, I,...; x>o), logaritarski koveksi (kokavi) istovrereo, rozero eposredo izvesti sledeeu geeralizaciju: Posledica 17. Ako su a i b logaritamski koveksi (kokavi) izovi, tada je, za svako x, y> 0, iz c (x, y) iste prirode, gde je (29) (=O, I,...). Teorema 18. (a) Ako su a i b pozitivi lugaritamski kokavi izovi, takva je i jihova kovolucija a * b. (b) Ako je 0(> 0, ~> 0, 0( + ~= 1 i ako je a O(-logaritamski koveksa pozitiva iz i b pozitiva ~-logaritamski koveksa iz, tada je kovolucija a * b logaritamski koveksa iz. Dokaz. gde je -l + abo L akb-k - a+l bo L akb-k-l k~o k=o =A+B+C, A= L L arak(b-rb-k-b-r-ib-k+l)' r~ok~1 -l B= L arao(b-rb-b-r-l b+l)' r~o -l Kako su a i b logaritamski kokavi izovi, a osovu suprote ejedakosti od (27), zakljucujemo da sa B i C eegativi. Ako claove koji se pojavljuju u zbiru koji defiise A ozacimo sa dr,k> tada je dr,r+l =0, pa kombiujuci claove dr-l,k i dk-l," dobijamo A = L (dr-i, k + dk-l, r) r,k~l r<k+l = L (arak-i-ar-iak)(b-rb-k+l-b-r+lb-k)' r,k=l r<k+l

24 4. Neke osobie izova 11 8to je, a osovu suprote ejedakosti od (27), eegativo. Ovim je zavrse dokaz. (b) (Daveport i Polya [1]). Ako je c = a h, koristeci ozake * (25), dobijamo (30) c = 2: ar b-r = 2: IX/~-r a; b:-r, r=o r~o gde su, prema primedbi 3 izovi a' i h' logaritamski koveksi. Jedostavim izracuavajima iz (25) dobijamo gde je r gama-fukcija. ZamejujuCi ovo u (30) i koristeci ozake (29), imamo I 1 X t <x-i (1 -t ):>-1' C+1 ( t, ( 1 -[ )d [ J )1/2 ( )1/2 = C-lc+1, r (0() r (~) o gde su primejee posledica 17 i itegrala forma ejedakosti H koja ce kasije biti dokazaa. PRIMEDBE: 6 U delu (a) ove teorere ejedakosti (26) za c uvek su strikte jer je cla C uvek pozitiva. 7 U drugor delu ejedakosti (26) za c postaju jedakosti ako i saro ako u ejedakostira (24) za a i h vazi. jedakost. Neka su -; i [3 dva iza defiisaa sa (25). Tada je :. [3= -; + [3, sto * sleduje iz primedbe 2. Ako je IX+ ~> 1, kovolucija ije logaritamski koveksa vec je saro :.' logaritamski kovekso (:.';::;; -; + [3). Neka je a= ~, b= 1 ( = 1, 2,...). Tada je a O-logaritamski kovekso, ~ 1.. h je logaritamski kovekso (primedba 6 ) ali a * h = c, gde je C= L., -, IJe logaritamski kovekso. r~1 r 4.3. Jeda relacija poretka kod izo. Sada Cemo razmatrati jeda vrlo korista pojam poretka.

25 @{1>, 12 1 Uvod Defiicija 19. Kvadrata matrica S= I'sullxaziva se dvostruko stohastica ako je (31 ) L su= 1 (l ~j~), i~1 Lsu=1 j~1 (l~i~). -->- ->- Defiicija 20. Jeda -torka ~ azil'a se sredia -torke rx ako postoji eega- -->- -->tiva dvostruko stohastica mat rica S takva da je ~= S rx. PRIMEDBE: 1 Tvrdeje da je i3sredia iza -;je ezaviso od poretka elemeata u izovima --; i ;. 2 Defiicija 20 je ekvivaleta tvrdeju da je svaki elemet iza i3teziska aritmeticka --; sredia (sa mogucoscu razih tezia) elemeata (videti defiiciju 11.3). 3 Relacija defiisaa iskazom,] je sredia od --;" je trazitiva. Dalje, rt je sredia od -; i -; je sredia od i3 ako i saro ako je -; permutacija od ;. 40 Pretpostavimo da je ~ ~(2»), -; = (;(1), ;<2»), gde.ie [3<1) = (~"..., ~m)' [3(2) ~ (~m +"..., ~) i siico za JI) i ;<2). Tada, ako je 1(1) sredia od J1) i [3<2)sredia od ;<2>, tada je f sredia od:" Do ovog eposredo dolazimo jer ako je [3(1) S, ;<1) i ~(2) ~ = S2;(2\ tada je i3 ~ s;, gde je S = II :1 ;,[ I. -->- -->- -->- Defiicija 21. (a) Neka su rx i ~ dve opadajuce -turke. Za -torku ~ kazemo -->- -->- -->da je majorizovaa -torkom rx, u ozaci ~-<rx ako je (32) (33) k L ~i ~ L rxi i~1 i~1 k (l~k~) ') (b) U opstem stucaju ~ je majorizovaa sa rx, tj. ~-<rx, ako poste preuredeja u opadajucem poretku -torke zadovoljavaju (32) i (33). PRIMEDBE: 5 Relacija -< je jeda relacija poretka u skupu opadajucih -torki. 6 Ako je f-< -; ili ako je ~ sredia od -;, isto vazi i za -torke dobijee dodavajem iste kostate svim claovima. Teorema 22. Neka su -; i r; dve -torke. Tada je r; sredia od -; ako i samo -->- -->ako je ~-< rx. Dokaz. Bez smajeja opstosti mozemo pretpostaviti da -->- -->su rx i ~ opadajuce -torke. (i) Pretpostavimo ajpre da za eku dvostruko stohasticku matricu S vazi -->- -->- ~= Srx, tj. da je (34) ~i = L surx} j=1 (l~i~).

26 4. Neke osobie izova 13 (35) Ako je k L ~i= i~1 j~1 k t/k) = L Sij (l ~ k ~ ), iz (34) dobijamo i~1 L t}k)rxj' Ako je k=, tada iz (31) alazimo tp)= 1 (l-;;;j~) svodi a (32). Preostaje jos da se izvede (33). Ako je 1 ~k<, tada (31) daje O~t}k)~ 1 (l ~j~) i i stoga se (35) (36) Stoga je, a osovu (36), k k k L rxi- L ~i = L (rxi- rxk)+ L t/k) (rxk - rx;):;:;:; O. i~1 i~1 i~1 i~1 ->' -> Ovo je upravo (33) i time je dokazao da je ~ -< rx. ->' ->' (ii) Pretpostavimo sada da je ~ -< rx, tj. da vaze (32) i (33). Na osovu primedbe 6 mozemo, bez smajeja opstosti, zameiti (32) sa (37) (38) L ~i = L rxi= O. i~1 i~1 -> Kako je rezultat trivijala za rx= 0, mozemo pretpostaviti da je rxl>o>rx' Dokaz se moze izvesti idukcijom. Ako je = 2, uvedee pretpostavke daju 0 ~ ~l ~ rxl' ~2= - ~l' rx2= - rxl pa se odredivaje jedog S takvog da je ->' -> l-s s ~= S rx, S = s l-s, svodi a alazeje jedog S (0 ~ S ~ 1) takvog da je Il II ~l = (l - 2 s) rxl, sto je zadovoljeo za eko S takvo da je 0 ~ S~ ~. 2 Pretpostavimo sada da je teorema taca za prirode brojeve maje od. Tada su ili sve ejedakosti (32) strikte, ili za eko m (l ~ m ~ ) vazi jedakost. Ako pretpostavimo da su posledje pretpostavke tace, tada (32) i (33) impliciraju da je -; = (;<1), ;<2»), rt = (~1), ~2») (videti ozake u primedbi 4 ) i ~1) ;<1), ~2) ;02). -< -< Prema tome, a osovu iduktive pretpostavke ~I) je sredia od :<1) i ~2) je sredia od -;(2). Stoga, a osovu primedbe 2, rt je sredia od ->' rx. Sad a dolazimo do tezeg slucaja kada su sve ejedakosti (32) strikte. ->' PolazeCi od rx, kostruisacemo (a) (d) ->' -> y-< IX, ->' --+ (b) ~-<y, ->' y sa sledecim osobi ama: ->' --+ (c) y je sredia od rx. --+ Dalje, mozemo izabrati y tako da -> --+ sve ejedakosti (32) primejee a ~ i y isu strikte ili

27 14 I Uvod (e) ~ -~ y sadrzi vise ula-elemeata ego 0:. ~ Ako slucaj (d) vazi, iz (b) i gorjih obrazlozeja sleduje da je ~ sredia od yi stoga a osovu primedbe 3 i (c), (3 je sredia od ;, Ako slucaj (e) vazi, po stupak se poavlja, sto je moguco a osovu iste primedbe 3 i primedbe 5, sve dok e dobijemo da vazi (d) ili dok e dobijemo -torku O. U oba slucaja dokaz je zavrse. ---;. Preostaje da se kostruise iz y. Neka je O:p ajmaje pozitivo ---;. ajvece egativo O:ji defiisimo y sa (ii=p, q), ---;. gde je 0 ~ E ~ mi (O:p, - O:q).Ocigledo y zadovoljava (a) i za pogodo izabrao E, (b), (d) ili (e) vak Da bismo kostatovali da vazi (c), izaberimo S= IIsui I, gde je su= I (i#-p, q), Su= 0 (u ostalim slucajevima), ---;. ---;. tada je ocigledo S eegativa dvostruko-stohasticka matrica i y = So:. Ovim je zavrse dokaz teoreme 22. PRIMEDBA: 7 Razmatrajem gorjeg dokaza mozemo zakljuciti da je u defiiciji 20 uvek moguco izabrati dvostruku stohasticku matricu S = IIsij II takvu da je (39) sjr1 (i=lp,q), spp=sqq=a (0~A~1), Spq = Sqp~ I-A, Sjj= 0 (u ostalim slucajevima). Jeda iteresata primea pojma poretka je: Teorema 23. Neka su a i b dve -torke sa elemetima iz ekog itervala I. Tada je 2: f(a) ~ 2: f(bj i=1 i=1 za svaku eprekidu koveksu fukciju f: I -+ R ako i samo ako je a -< b. PRIMEDBA: 8 Za dokaz ove teoreme citaoci se upucuju a HLP, pp , M, pp i BB, pp , gde se takode mogu aci druge referece. 0 pojmu koveksosti videti odeljak 5. Jedu drugu primeu dao je Kog-Mig Chog [1]: aj' Lema 24. Ako je a pozitiva -torka, a' jedo preuredeje od a, tada je 2: ~. i=1 Ui Dokaz. Mozemo pretpostaviti, bez smajeja opstosti, da je at ~... ~ a, Ako je tada i< j i a;< a; I,, a. a. a. J a. -'-+2>--2-+-'-. aj aj ai aj ' aj Stoga je ~ ~ 2: 2: = j=1 aj - j=1 aj.

28 S. Kovekse fukcije 15 Teorema 25. Neka su a i h eegative -torke. Tada, ako je a-<..b, vazi " " 2: ai ~ 2: hi i~1 i=1 sa jedakoscu ako i saro ako je a preuredeje od h. Dokaz. Pretpostavimo da je h>o, jer u drugom slucaju ema sta da se dokazuje. Dalje, primeom teoreme 22 i primedbe 7 mozemo pretpostaviti da je a = Ah + (I - A)h', gde je h' eko preuredeje od h. Tada je gde je primejea lema 24. Slucaj jedakosti se eposredo dobija. PRIMEDBE: 9 Kako je ( I+~, I+~,..., l+~ )-«I+~,..., I+~, 1 ), -I -I iz teoreme ( 25 sleduje X ),,-1 ( X ) " 1 + ;--1 ~ 1 +-; i odatle idukcijom zakljucujero da za m~ vazi sa jedakoscu ako i saro ako je m = ili x = O. 10 Takode je ocigledo da, ako je ai>o Hi O>ai>-l (I~i~), tada vazi (I+al,...,I+a,,)-«I+.i ai' 1,...,1 ),.=1 pa a osovu teorere 25 iramo sledeci, dobro pozati, rezultat (HLP, p. 60; M, p. 210) " 2: a;~it"(1 + a;). i~1 ;~1 5. KONVEKSNE FUNKCIJE Pojam koveksosti je od velike vazosti za teoriju sredia. Ovaj pojam je medutim, detaljo obradiva u vise kjiga koje su lako dostupe, pa stoga u ovom odeljku ecemo davati dokaze, vec cero saro avesti rezultate koji ce am kasije trebati. Dokazi i druge pojediosti mogu se ati u kjigama P i RV kao i u HLP (pp i 76-83), M (pp ), Bourbaki (1, chapter I)) Kovekse fukcije jede promeljive. Navescero ajpre defiiciju koveksosti.

29 16 I Uvod Defiicija 26. Ako je 1 iterval iz R, tada se za lukeiju I: 1 -+ R kaze da je koveksa ako za svako x, y,ei i svako 1.(0; 1.; 1) vazi (40) I(Ax+(l-A)y); A/(x)+(l-A)/(y). Ako u (40) za svako x#y i 1.#0, 1 vazi strikta ejedakost, kaze se da je I strikto koveksa. Ako u (40) vazi suprota ejedakost, I je kokava, a ako je za x#y i 1.#0, 1 ta suprota ejedakost strikta, kazemo da je I strikto kokava lukeija. PRIMEDBE: 1 Pozato je da je I istovrereo koveksa i kokava ako i saro ako je afia, tj. ako je I(x)~mx+c (xei, m, cer). 0 ovore videti: Aczel [21] ili RV, p Jedostava georetrijska iterpretacija (40) je da grafik fukcije lezi ispod odgovarajuce tetive. 3 Ako su Xpx2,x3triproizvolje tacke iz I takvedaje xl<x2<x3,(40)jeekvivaletosa iii, siretricije, sa (41) I(Xl) + I (X2) + I(X3) (XI-X2) (XI-X3) (X2-X3) (X2-Xl) (X3-XI) (Xj-X2)- >0. Jeda drugi aci pisaja (41) je takode istruktiva: Stoga, ako je I koveksa fukcija a I i ako je Xl ; X2' YI ; Y2, Xl ; Yl, X2; Y2' iraro I(X2)-/(x) X2-XI </(Y2)-/(YI) Y2-Yl Teorema 27. Neka je 1:1-+ R koveksa lukeija. Tada: (a) I zadavoljava Lipschitzov uslov a svakom segmetu iz i:. (b) I~ i I~ postoje i rastuci su u i ako je I strikto koveksa, tada su ovi izvodi strikto rastuci; (c) f' postoji osim a prebrojivom skupu; (d) I" postoji i eegatil'o je skoro svuda. Dokaz. Videti RV, pp Teorema 28. (a) I: (a, b) -+ R je (strikto) koveksa ako i samo ako postoji (strikto) rastuta lukeija g: (a, b) -+ R i e (a<e<b) tako da je, za svako x (a<x<b), I(x) = I(e) + J g (t) dt. c x (b) Ako I" postoji a (a, b), tada je I koveksa lukeija ako i sumo aka je I" ~ 0; ako je I" > 0, tada je I strikto koveksa lukeija. Dokaz. Videti RV, pp ili M, pp

30 5. Kovekse fukcije 17 Teorema 29. Ako je f: I-+R koveksa fukcija, ael ( ~ 2), p pozitiva -torka, tada je (42) Ako je f strikto koveksa fukcija, tada je (42) strikto osim ako je aj =... = a, Dokaz. Dacemo dokaz idukcijom po. Za = 2, (42) se svodi a (40). Pretpostavimo da (42) vazi za svako k (2 ~ k ~ - I). Tada je, a osovu slucaja = 2 i iduktive pretpostavke, Bez teskoce se razmatraju slucajevi jedakosti i strikte koveksosti. PRIMEDBE:5 Nejedakost (42) je pozata kao Jeseova ejedakost. U ovoj kjizi obelezavacemo je sa J. Kao sto smo primetili, (42) je ekvivaleto sa (40), pa se J moze uzeti kao alterativa defiicija koveksosti. 6 Drugi dokaz teoreme 29 dat je u R V, p istorijatu ove ejedakosti videti claak Mitriovic i Vasic [13]. Sledece jedostavo rafiiraje J-ejedakosti dali su Vasic i Mijalkovic [1]. Teorema 30. Neka je p pozitiva iz i x reala iz i f: [a, b] -+ R. Defiisimo sledecu fukciju koacog podskupa 1 od N: L Pi Xi F(I)=.L pj E~ - -.L pj(xj 1 ElL... Pi I E I [ ] iei Ako je f koveksa fukcija a [a, b], i ako su 1 i J dva koaca podskupa od N takva da je 1 J = 0, tada je, za xie [a, b], (43) F(I UJ) ~F (I) + F(J). Ako je f strikto koveksa fukcija, tada je (43) strikto osim za LPiXi iei LPi iei - L Pi Xi iej -- L Pi iej. Dokaz. Na osovu J-ejedakosti je F (I U J) ~ O. Ako izvrsimo supstitucije x.-+ J LPiXi iei LPi iei L iej (j E I), x.-+ J 2 Sredie i sa Hma Dovezae ejedakosti Pi Xi L Pi iej (j E J),

31 18 I Uvod dobijamo " ieiuj [ 2 PiXi 2 PiXi ieiuj "iei pj iej ~-- - L.pJ - L.pJ " -- ietj Pi ] iei [ Pi i~i ] iej ( 2 itj Pi Xi Pi ] 2 pj(xi) + 2 pj(xi) + 2 pj(xj:;:; 0, ieiuj iei iej tj. (43). Slucaj jedriakosti sleduje iz slucaja jedakosti u J. Posledica 31. Uz iste pretpostavke 0 p, x i I kao u teoremi 30 imamo (44) F(I):;:;F(I-I):;:;F(I-2):;:;'" :;:;F(I2):;:;0, gde je Ik = {1, 2,..., k}. PRIMEDBA:7 U izu ejedakosti (44) ekstreri slucaj F(I)<:::,O daje J. Iteresato je primetiti da je pri iterpoliraju iza ejedakosti izredu F(I) i 0 koriscea saro ejedakost J. Jedo prosireje ejedakosti J dao je Steffese [2J: Teorema 32. Ako je I: 1--+R koveksa lukcija, (:::;;2) brojeva al ~... ~ a" iz lip reala -torka takva da je (45) (l~k~), vazi ejedakost (42); ako je I strikto koveksa lukcija, tada je (42) strikta osim ako je al =... =a. Dokaz. Za = 2 ejedakosti (45) impliciraju da je ili PI> 0 i P2> 0 ili da je PI = 0 ili P2= O. Stoga mozemo pretpostaviti da je :::;;3. (i) Pretpostavimo ajpre da je = 3 i PI:::;;0, P3:::;; 0, P2= - PI + P, P:::;;O. Tada je P3=P+P3 i -~~l. Stavimo a=pa,+p,a,; tadajea2~a~a3i(42)sesvodia P+A P+A PrimejujuCi J za = 2 a desu strau ove ejedakosti, vidimo da je dovoljo dokazati ejedakost (46) l ( a--~(a2 -al) ) P+P, ~/(a) -~(J(a2) - I(al))' P+P, Ako je a2 = ai, ovo je trivijalo. Ako je a2> ai, ova ejedakost je ekvivaleta sa f(a)-f ( a-~ (a,-a,) p+p, ) a,-a, a - ( a-~ (a,-aj P+P, ) f(a,)-f(a,) ~.~ ~. Medutim. kao sto smo vide1i, a:::;;a2. Lako se zakljucuje a - ~ (a2 - aj:::;;ai, pa Je ova ejedakost posledica primedbe 4. P+P, da je

32 5. Kovekse fukcije 19 (ii) Pre ego sto predemo a opsti slucaj, primetimo da s obzirom a 1 -I Pk. " LPiai=a- L - (ak+1 -ak)' pretpostavke IZ teoreme ]mpltclraju da je al P i~1 i~1 P ~ ~ i Piai ~ a, Pretpostavimo sada da je > 3 i da je rezuitat dokaza za svako P i~1 k(2~k<). Nekaje Pk~O (1 ~k<m), Pm<O; tada je Pm= -Pm--l +p (p;:o;o). Ako je tada a =.~ ( i pam+ ) Pi ai a osovu prethode primedbe imamo P i~m+1 ' m-i am ~ a ~ a' Takode, ako je a = - L Piai' imamo al ~ a ~ am-i' S ovim oz- Pm-t i~1 akama (42) se svodi a f ( Pm-, a _!'m-l am+a P P ) Na osovu J za = m - 1 i iduktivih pretpostavki ovo povlaci da je dovoljo dokazati da je Ova ejedakost je eposreda posledica slucaja = 3. Ovim je dokaz zavrse. Slucajevi jedakosti i strikte koveksosti se bez teskoce posmatraju. PR]MEDBA:80 Ova je Bulleov dokaz [81. Steffeseov dokaz je potpuo drukciji. Teorema 33. Aka je f: I--+R, f(x»o, f" (x»o za xei, xel ;:O; 2, p pozitiva -torka, tada je (47) gde su: m = mi (x), M = max (x) i A rdeje jedacie (48) ').f ( I'-1 (!(M)-f(m) )) =f(m)-f(m) 1'-] ( f(m)-f(m) ) + Mf(m)-mf(M). 'A(M-m) M-m 'A(M-m) M--m Dokaz. Dokazacemo ejedakost (47) metodom cetroida. Skup ograice lukom krive y=f(x) i tetivom AB, gde je A=(m, f(m), B=(M, f(m), je koveksa. Ako izdvojimo iz familije krivih y = Af(x) ou koja dodiruje segmet AB, cetroid skupa tacaka PI"", P, gde je Pi tack a sa koordiatama (Xi' f(x) i masom Pi (i = I,..., ), leii ispod krive y = Af(x), pa vaii ejedakost (47), gde je A parametar koji treba odrediti. Jedacia tetive AB je (49) 28 f(m)-f(m) Mf(m)-mf(M) y=--x+. M-m M-m

33 20 I Uvod Uslovi da prava (49) bude tageta krive y = Af(x) su (50) Af(x) =f(m)-f(m) M-m x + Mf(m)-mf(M), M-m (5 I) AI' (x) =f(m)-f(m). M-m Ako elimiisemo A iz (50) i (51), dobijamo g(x) = (f(m) - f(m»)f(x) - I' (x) ((f(m) - f(m») x+mf(m) -mf(m») = 0. Reseje ove jedacie je apscisa dodire tacke. Dokazacemo ajpre da ova jedacia ima taco jedo reseje XoE (m, M). Najpre imamo g' (x) = - ((J(M) - f(m») x+ Mf(m) -mf(m) )f" (x) = h (x)f" (x). Kako je f" (x»o, f(x»0, m<m, h lieara fukcija i hem) = (m -M)f(m) -;;.0, h (M) = (m - M)f(M) -;;.0, grafik fukcije g moze seci x-osu u ajvise jedoj tacki itervala (m, M). Dalje je g (m) g (M) = ( I' f(m)-f(m» (m) - ) (I' (M) f(m)-f(m» - M-m \ M-m ) f(m) f(m) (M - m)2, pa a osovu teoreme 0 sredjoj vredosti i Cijeice da je I' rastuca fukcija (jer je f" (x»o), imamo g (m) g (M) -;;.0, Cime je tvrdeje dokazao. Elimiacijom x iz (50) i (5 I) za odredivaje A dobijamo jedaciu (48). PRIMEDBE: 9 Prethodi rezultat dobili su Mitriovic i Vasic [13]. 0 jegovoj primei videti III Iz avedeog dokaza sleduje da jedakost u (47) vazi ako i saro ako se cetroid sistema tacaka PI"'" P poklapa sa tackom dodira krive y~f(x) i segmet a AB. Ovo ce biti ako postoje dva podiza (x i,'..., Xik) i (x ik+l'....xi) iza (x,..... x) takva da je svaki elemet prvog podiza jedak m. a svaki elemet drugog podiza jedak M i k m " P. + M )' p' L... 'r ~ ir r~1 r~k+1 xo= ~, f(xo) ~ k f(m) L Pir + f(m) L Pir r~1 r~k+l LPi i~1 gde je Xo jedio reseje jedacie g (x) ~ 0 a (m. M). Sledeci rezultat (Mitriovic i Vasic [I]) dokazuje se a slica aci:

34 5. Kovekse fukcije 21 Teorema 34. Ako je f:i-+r, f(x) > pozitiva -torka i xel, vazi 0, f"(x»o za xei, tada, ako je p gde je i~ p;/(x;) LPi ( i~ PiXi ~!1-+f, i~1 i~1 L Pi!1-= I(M)-/(m) 1'-1 ( I(M)-/(m) MI (m)-ml(m) + ) M-m M-m M-m ] Defiicija 35. Fukcija f: 1-+ R; aziva se logaritamski koveksa, ili multiplikativo koveksa, ako je logof koveksa, iii, ekvivaleto, ako za svako x, yei i svako A (0 ~ A~ 1) vati f (A x + (1- A)y ) ~f(x)" f(y)i-"a, PRIMEDBA: lid Ako SU Ii g kovekse i g rastuca, tada je got' koveksa (RV, p. 16). Kako je I~expologof, sleduje da je logaritamski koveksa fukcija istovremeo i ko';eksa. Defiicija 36. Ako je g strikto mootoa, tada se f aziva (strikto) koveksa u odosu a g ako Ie fog-i (strikto) koveksa. PRIMEDBA: 120 lako uslovi da I bude koveksa u odosu a g sleduju iz uslova za koveksost izvesi kasiji rezultati daju ove uslove direkto. Posebo, lema IV. 10 i posledica IV. 11 koja potice od Mikusiskog [1]. Isti autor je takode dokazao da ako I" i g" postoje.. k ' d ' k I,... g" " k d I d k I" I.epre I ill SU 1 a 0 1 g ilisu ill a u e, ta a, a 0 Je -:::0:---, I je koveksa u odg' - I' osu a g. Ovaj rezultat je dobio drugim putem Cargo [1]. Defiicija 37. Ako je I jeda iterval fukcija ako za svako x, y iz I vati (52) f(;y) ~/(-2;/(Y). iz R, f: 1-+ R se aziva Jese-koveksa PRIMEDBA: 130 Za racioalo P ejedakost (52) implicira (42), pa su eprekide Jese-kovekse fukcije i kovekse. Obruto e vazi (M, p. 14; RV, p. 216), ali 'leoma slaba ograiceja 0 Jese-koveksim fukcijama impliciraju koveksost. Drugim recima, Jesekovekse fukcije koje se srecu u praksi skoro uvek su i kovekse. Teorema 38. Ako je f: R -+ I Jese-koveksa fukcija koja je ograicea odozgo, tada je oa eprekida. Dokaz. Videti RV, p Kovekse fukcije vise promeljivih. Zarejuju6i I koveksir sku por U iz R i x, y tackara iz D, defiicije 26, 36 i 37 se eposredo prosiruju a fukcije f: U -+ R (ili R; u slucaju defiicije 35). Tada teorere 29 i 38 ostaju u vazosti sa istir dokazira kao u jedodirezioalor slucaju. Teorema 39. Ako je f: U -+ R koveksa fukcija a otvoreomkoveksom podskupu U od R, tada je f Lipschitzova fukcija u svakom kompaktom podskupu

35 I 1 22 I Uvod od U i ira parcijale izvode prvog reda skoro svuda u U, i ovi izvodi su eprekidi a skupu, gde svi oi postoje. Dokaz. Videti RV, pp. 93 i i 7. Teorema 40. Ako f ira eprekide parcijale izvode drugog reda fij" (1 -;;;, i, j -;;;,) a otvoreor koveksor skupu UCR, tada je fukcija f koveksa a U ako i saro ako je Hessia H = il!;/' II eegativo defiita; ako je H pozitivo defiita a U, tada je f strikto koveksa. Dokaz. Videti RV, p /<, ' PRIMEDBA: 1 Ako je ~ 2, Hessia H ~,/'2 22 ako je (53) /, f'< II ' je eegativo defiita ako i saro H je pozitivo defiita ako i saro ako su ejedakosti u (53) strikte. Za dokaz videti HLP, pp Koveksost viseg reda. Neka ao' aj,..., a ozacavaju + 1 razlicitih tacaka iz [a, b]. Tada, ako je f: [a, b]--+r, -ta devidiraa razlika f u tih + 1 tacaka defiisaa je sa Defiicija 41. Ako je f: [a, b]--+r, fukcija f se aziva -koveksa a [a, b] ako je za svaki izbor + 1 razlicitih tacaka iz [a, b] ispujeo V (f; a) s 0; ako vazi suprota ejedakost, f Sf:' aziva -kokavor. PRIMEDBE: 1 Za ~2 defiicija 41 je ekvivaleta sa defiicijor 26 u obliku (41), pa je stoga 2-koveksa fukcija u stvari koveksa fukcija. 1-koveksa fukcija je rootoo rastuca fukcija dok je O-koveksa fukcija u stvari eegativa fukcija. 2 Ove fukcije detaljo je ispitivao Popoviciu. Vise detalja roze se aci u kjizi P od istog autora. Videti takode: Bulle [11]. 3 Pozato je da je I istovrereo -koveksa i kokava ako i saro ako je polior stepea rajeg od. Teorema 42. Ako je f: [a, b] --+ R -koveksa fukcija ( s 2), tada fukcija J<k) postoji i oa je ( - k )-koveksa (I -;;;,k -;;;, - 2). Dokaz. Videti Bulle [II]. PRIMEDBA: 4 Posebo, ako je /,;-1) I -koveksa, l(-2) je koveksa i i f~-i) postoje osir a prebrojivor skupu i I() postoji skoro svuda. Teorema 43. (a) f: [a, b] --+ R je -koveksa ako i saro ako je ( - 1) puta poovlje itegral od te fukcije rootoa fukcija. (b) Ako J<)postoji, tada je f -koveksa fukcija ako i saro ako je J<)S O. Dokaz. Videti: Bulle [11].