Komandni prozor, MATLAB kalkulator

Transcription

1 MATLAB - PRIMERI -

2 SADRŽAJ Poglavlje 1 Početak rada u MATLAB-u Poglavlje 2 Generisanje nizova Poglavlje 3 Matematičke operacije sa nizovima Poglavlje 4 Skript datoteke Poglavlje 5 Dvodimenzionalni grafikoni Poglavlje 6 Funkcije i funkcijske datoteke Poglavlje 7 Programiranje u MATLAB-u

3 MATLAB prozori

4 Komandni prozor, MATLAB kalkulator Tri tačke (...) nastavak komandne linije u sledećem redu Zarez (,) više komandi u redu razdvaja se zarezom Tačka i zarez (;) ne prikazuje se rezultat izvršavanja komande Procenat (%) linija je komentar programera Komanda clc briše komandni prozor

5 Editor MATLAB prozor za pisanje programa

6 Grafikoni MATLAB grafički prozor

7 Dokumentacija i pomoc za MATLAB

8 Video resursi za učenje iz help prozora Osnovi Matlab html Programiranje

9 Alternativa MATLAB Octave GNU, besplatan

10 Primer zadatka 1-1: Trigonometrijska formula Trigonometrijska formula data je jednačinom: cos 2 x 2 = tanx + sinx 2tanx Proverite da li je formula ispravnatakošto ćete izračunati vrednost obe strane jednačine, uz zamenu x = π 5.

11 REŠENjE >> x=pi/5; >> LHS=cos(x/2)^2 Definišemo x Izračunavamo levu stranu LHS = >> RHS=(tan(x)+sin(x))/(2*tan(x)) Izračunavamo desnu stranu RHS = >>

12 Primer zadatka 1-2: Geometrija i trigonometrija Četiri kružnice su smeštene kao na slici. U svakoj tački dodira kružnice su tangentne jedna na drugu. Odredite rastojanje između centra C2 i C4. Poluprečnici kružnica su: R1 = 16mm, R2 = 6.5mm, R3 = 12mm i R4 = 9.5mm.

13 Linije koje povezuju centre kružnica čine četiri trougla. Poznate su dužine svih stranica dva takva trougla, C 1 C 2 C 3 i C 1 C 3 C 4. Taj podatak se koristi za izračunavanje uglova γ 1 i γ 2 tih trouglova pomoću kosinusne teoreme. Na primer, γ 1 se izračunava iz jednačine: (C 2 C 3 ) 2 = (C 1 C 2 ) 2 + (C 1 C 3 ) 2-2(C 1 C 2 ) (C 1 C 3 )cos γ 1 Zatim se izračuna dužina stranice C 2 C 4 pomoću trougla C 1 C 2 C 4. I tu pomaže kosinusna teorema - poznate su dužine C 1 C 2 i C 1 C 3, a ugao γ 3 je zbir uglova γ 1 i γ 2.

14 REŠENjE >> R1=16;R2=6.5;R3=12;R4=9.5; >> C1C2=R1+R2;C1C3=R1+R3;C1C4=R1+R4; >> C2C3=R2+R3;C3C4=R3+R4; >> Gama1=acos((C1C2^2+C1C3^2-C2C3^2)/(2*C1C2*C1C3)); >> Gama2=acos((C1C3^2+C1C4^2-C3C4^2)/(2*C1C3*C1C4)); >> Gama3=Gama1+Gama2; >> C2C4=sqrt(C1C2^2+C1C4^2-2*C1C2*C1C4*cos(Gama3)) Definišemo poluprečnike Izračunavamo dužine stranica Izračunavamo ϓ1, ϓ2 i ϓ3 Izračunavamo dužinu stranice C2C4 C2C4 = >>

15 Primer zadatka 1-3: Provođenje toplote Telo početne temperature T0 smešteno je u trenutku t = 0 u prostor konstantne temperature Ts. Temperatura tela će se menjati prema jednačini: T = T s + (T 0 T s )e kt Gde je T temperatura tela u trenutku t, a k konstanta. Konzerva piva temperature 120 F stavljena je u frižider unutračnje temperature 38 F. Izračunajte temperaturu konzerve posle 3 sata (zaokruženo na najbliži stepen). Pretpostavite da je k = Najpre definišite sve promenljive, a potom izračunajte temperaturu jednom MATLAB-ovom komandom.

16 REŠENjE >> Ts=38;T0=120;k=0.45;t=3; >> T=round(Ts+(T0-Ts)*exp(-k*t)) T = 59 Zaokružujemo na najbliži ceo broj >>

17 Primer zadatka 2-1: Generisanje matrice Pomoću komandi ones i zeros napravite matricu 4 x 5 u kojoj su prve dve vrste ispunjene nulama a sledeće dve jedinicama. REŠENjE >> A(1:2,:)=zeros(2,5) A = Prvo pravimo matricu 2 x 5 sa nulama >> A(3:4,:)=ones(2,5) A = Dodajemo vrste 3 i 4 sa jedinicama

18 Primer zadatka 2-2: Generisanje matrice Napravite matricu 6 x 6 u kojoj su dve srednje vrste i dve srednje kolone ispunjene jedinicama, a ostatak nulama. REŠENjE >> AR=zeros(6,6) AR = Prvo pravimo matricu 6 x 6 sa nulama

19 >> AR(3:4,:)=ones(2,6) AR = Trećoj i četvrtoj vrsti dodeljujemo broj 1 >> AR(:,3:4)=ones(6,2) AR = Trećoj i četvrtoj koloni dodeljujemo broj 1

20 Primer zadatka 2-3: Rad sa matricom Date su matrica A dimenzija 5 x 6, matrica B dimenzija 3 x 6, i vektor v sa 9 elemenata. a) U komandnom prozoru napravite matrice A, B i niz v. b) Pomoću jedne komande, zamenite četiri poslednje kolone prve i treće vrste matrice A s prve četiri kolone prve dve vrste matrice B, poslednje četiri kolone četvrte vrste matrice A elementima od 5 do 8 vektora v, i poslednje četiri kolone pete vrste matrice A kolonama od 3 do 5 treće vrste matrice B.

21 a) REŠENjE >> A=[2:3:17; 3:3:18; 4:3:19; 5:3:20; 6:3:21] A = >> B=[5:5:30; 30:5:55; 55:5:80] B = >> v=[99:-1:91] v =

22 b) REŠENjE >> A([ ],3:6)=[B([1 2],1:4); v(5:8); B(3,2:5)] A = >>

23 Primer zadatka 3-1: Rešenje tri linerane jednačine (deljenje nizova) Rešite sledeći sistem lineranih jednačina pomoću matričnih operacija: 4x 2y + 6z = 8 2x + 8y + 2z = 4 6x + 10y + 3z = 0

24 Koristeći prethodno navedena pravila linearne algebre, navedeni sistem jednačina možemo napisati u matričnom obliku AX = B ili XC = D: x y z = ili x y z = 8 4 0

25 REŠENjE >> A = [4-2 6; 2 8 2; ]; >> B = [8; 4; 0]; >> X = A\B X = Rešavanje sistema u obliku AX = B Rešavanje deljenjem sleva X = A \ B >> Xb = inv(a)*b Xb = Rešavanje pomoću matrice inverzne matrici A: X =A 1 B

26 >> C = [4 2 6; ; 6 2 3]; >> D = [8 4 0]; >> Xc = D/C Xc = Rešavanje sistema u obliku AC = D Rešavanje deljenjem zdesna X = D \ C >> Xd = D*inv(C) Xd = Rešavanje pomoću matrice inverzne matrici C: X =D C >>

27 Primer zadatka 3-2: Ekvivalentna sila (sabiranje vektora) Na nosač deluju tri sile. Izračunajte ukupnu (ekvivalentnu) silu koja deluje na nosač.

28 Sila je vektor ( fizička veličina koja ima jačinu i smer). U Dekartovom koordinatnom sistemu, dvodimenzionalan vektor F možemo zapisati kao: F = F x i + F y j = Fcosθi + Fsinθj = F(cosθi + sinθj) Gde je F jačina sile, θ njen ugao prema osi x, F x i Fy su komponente od F u smeru ose x odnosno y, a i i j jedinični vektori u tim smerovima. Ako su poznati F x i Fy, onda se F i θ mogu izračunati kao: F = F x 2 + Fy 2 i tanθ = Fy F x

29 Ukupna (ekvivalentna) sila koja delujena nosač dobija se sabiranjem sila koje na njega deluju. MATLAB -ovo rešenje ima 3 koraka: Napišite svaku silu kao vektor sa dva elemnta: prvi je x komponentna vektora, a drugi je njegova komponenta u smeru ose y. Odredite vektorski oblik ekvivalentne sile tako što ćete sabrati sve komponente u smeru ose y i zasebno one u smeru y. Izračunjate jačinu i smeru ekvivalentne sile.

30 REŠENjE >> F1M = 400; F2M = 500; F3M=700; >> Th1 = -20*pi/180; Th2 = 30*pi/180; Th3 = 143*pi/180; >> F1 = F1M*[cos(Th1) sin(th1)] F1 = >> F2 = F2M*[cos(Th2) sin(th2)] F2 = >> F3 = F3M*[cos(Th3) sin(th3)] F3 = Definišemo vektore tri sile Definišemo promenljive jednake jačini svake sile Definišemo promenljive jednake uglu (u radijanima) svakog vektora sile

31 >> Ftot = F1+F2+F3 Ftot = Izračunavamo komponente vektora rezultujuće (ekvivalentne) sile >> FtotM = sqrt(ftot(1)^2+ftot(2)^2) FtotM = Izračunavamo jačinu vektora rezultujuće (ekvivalentne) sile >> Th = (180/pi)*atan(Ftot(2)/Ftot(1)) Th = Izračunavamo ugao (u stepenima) vektora rezultujuće sile >>

32 Primer zadatka 3-3: Eksperiment sa trenjem (operacije sa pojedinačnim elementima nizova) Koeficient trenja µ može se odrediti pomoću eksperimenta u kojem se meri sila potrebna za pomeranje mase m. Kada se izmeri F )m je poznato), koeficijent trenja se dobija iz formule: µ = F mg (g = 9,81m/s 2 ) U sledećoj tabeli datii su rezultati merenja F u šest eksperimenata. Odredite koeficijent trenja u svakom eksperimentu i njegovu prosečnu vrednost u svim eksperimentima. Eksperiment br Masa m (kg) Sila F (N) 12,5 23, m trenje F

33 REŠENjE >> m = [ ]; >> F = [ ]; >> g = 9.81; >> mi = F./(m*g) mi = Upisujemo vrednost mase m u vektor Upisujemo vrednost sile F u vektor Izračunavamo vrednosti mi u svakom eksperimentu pomoću operacija nad pojedinačnim elementima >> mi_sr = mean(mi) mi_sr = >> Srednju vrednost elementa vektora mi izračunavamo pomoću funkcije mean

34 Primer zadatka 3-4: Kretanje dve čestice Voz i automobil približavaju se pružnom prelazu. U trenutku t=0 voz je 400 stopa južno od prelaza i kreće se brzinom od 54 milje na sat (1 milja 5280 stopa). U istomtrenutku automobile je 200 stopa zapadno od prelazaikreće se ka njemu brzinom 28 milja na sat, uz ubrzanje od 4 stope/ s 2.Izračunati položaj voza i automobila, rastojanje između njih i brzinu voza u odnosu na automobil u svakoj sekundi tokom sledećih 10 sekundi. V = 28m/h a = 4ft/s y x Za prikazivanje napraviti matricu 11 x 5, u kojoj svaka vrsta sadrži u prvoj koloni vreme, a u sledeće četiri kolone položaj voza, položaj auta, rastojanje između voza i auta i brzinu voza u odnosu na auto. V = 54mi/h

35 Pređeni put objekta koji se pravolinijski kreće konstantnim ubraznjem, dat je sa s = s 0 + v 0 t at2, gde su s 0 i v 0 početni položaj i brzina ( u t = 0), a a je ubrznje. Primenom ove jednačine na voz i auto dobijamo: y = v 0voz t (voz) x = v 0auto t a(auto)t2 (auto) Rastojanje između voza i auto iznosi d = x 2 + y 2. Brzina voza je konstantna i vektorski zapisana iznosi: v voz = v 0voz j. Automobil ubrzava i njegova brzina u trenutku t iznosi: v auto = ( v 0auto + a(auto)t)i. Brzina voza u odnosu na automobil data je sa: v v/a = v voz - v auto = - ( v 0auto + a(auto)t)i + v 0voz j. Iznos te brizine srazmeran je dužini tog vektora. Prvo ćemo napisati vektor t sa 11 elemenata za vreme od 0 do 10s, i zatim izračunati položaj voza i automobila, rastojanje između njih i brzinu voza u odnosu na automobil u svakoj sekundi unutar tog vremenskog intervala.

36 REŠENjE >> v0voz = 54*5280/3600;v0auto = 28*5280/3600;aauto = 4; >> t = 0:10; >> y = v0voz*t; >> x = v0auto*t + 0.5*aauto*t.^2; >> d = sqrt(x.^2 + y.^2); >> vauto = v0auto + aauto*t; >> brzina_vozrauto = sqrt(vauto.^2+v0voz^2) >> tabela = [t' y' x' d ' brzina_vozrauto'] Definišemo promenljive za početne brzine (u stopama po sekundi) i ubrzanje Generišemo vektor t Izračunavamo položaje voza i automobila Izračunavamo rastojanje između voza i automobila Izračunavamo brzinu kretanja automobila Izračunavamo brzinu kretanja voza u odnosu na automobil

37 Vreme (t) Položaj voza (u stopama, ft) Položaj auta (u stopama, ft) Rastojanje između voza i auta (ft) Brzina voza u odnosu na auto (ft/s)

38 Primer zadatka 4-1: Visina i površina silosa Valjkasti silos poluprečnika r ima sferni krov (kupolu) poluprečnika R. Visina valjkastog dela je H. Napišite program (skript datoteku) koji određuje visinu H i površinu silosa za date vrednosti r, R i zapremine V. Pomiću programa izračunajte visinu i površinu silosa poluprečnika r = 30 stopa, R = 45 stopa i zapremine kubnih stopa. Promenljivama r, R I V dodelite vrednosti u komandnom prozoru.

39 Zapreminu silosa ćemo izračunati sabiranjem zapremina valjkastog dela i zapremine kupole. Zapremina valjka je data sa: V cyl = πr 2 H A zapremina kupole sa: V cap = 1 3 πh2 (3R - h) Gde je h = R - Rcosθ = R ( 1- cosθ), a θ se dobija iz sinθ = r R Iz gornjih jednačina za visinu valjkastog dela dobijamo: H = V V cap πr 2 Površinu silosa dobijamo sabiranjem površine valjkastog dela i površine kupole. S = S cyl + S cap = 2 πr 2 H + 2 πrh

40 Skript datoteka silos teta = asin(r/r); h = R*(1-cos(teta)); V_kupola = pi*h^2*(3*r-h)/3; H = (V-V_kupola)/(pi*r^2); S = 2*pi*(r*H+R*h); izračunavanje ugla teta izračunavanje visine krova h izračunavanje zapremine kupole izračunavanje visine valjkastog dela H izračunavanje površine S fprintf('visina H je: %f m', H) fprintf('\n Povrsina silosa je: %f kv m', S)

41 Komandni prozor u kome se pokreće predhodno kreirana datoteka silos >> r = 30; >> R = 45; >> V = ; >> silos Dodeljivanje vrednosti promenljivama Pokretanje skript datoteke silos Visina H je: m Povrsina silosa je: kv m>>

42 Primer zadatka 4-2: Težište složene površine Napišite skript datoteku koja izračunava koordinate težišta složene površine (složenu površinu je lako izdeliti na delove čija su težišta poznata). Korisnik treba da izdeli površinu na delove i za svaki deo izračuna koordinate težišta (dva broja) i površinu (jedan broj). Kada se skript pokrene, zahtevaće od korisnika da upiše tri broja u jednu vrstu matrice. Korisnik upisuje onoliko vrsta koliko ima delova. Deo koji pretstavlja otvor ima negativnu povešinu. Rezultat programa su koordinate težišta površine prikazane na slici. Dimenzije u mm

43 Površinu smo izdelili na 6 delova, kao što je prikazano na slici. Ukupnu površinu dobijamo sabiranjem površine tri dela na levoj strani i oduzimanjem površine tri dela na desnoj strani slike. Na slici su označeni položaji i kordinate težišta i površina svakog dela. Kordinate തX i തY težišta celokupne površine date su sa: തX = σ Axҧ σ A i തY = σ A തy σ A površine svakog dela., gde su ഥx, തy i A kordinate težišta odnosno

44 Jedinice mm za koordinate, mm 2 za površinu

45 Skript datoteka teziste % Program izracunava koordinate tezista slozene povrsine clear C xs ys As C = input('unesi matricu cija svaka vrsta ima tri elementa\nu svaku vrstu upisi x i y koordinate tezista i povrsinu dela\n'); xs = C(:,1)'; ys = C(:,2)'; As = C(:,3)'; A = sum(as); x = sum(as.*xs)/a; y = sum(as.*ys)/a; fprintf("koordinate tezista su: (%f, %f)",x,y) generišemo vektor vrstu za x koordinatu težista svakog dela (prva kolona matrice C) generišemo vektor vrstu za y koordinatu težista svakog dela (druga kolona matrice C) generišemo vektor vrstu površinu svakog dela (treća kolona matrice C) Izračunavamo ukupnu površinu Izračunavamo koordinate težišta složene površine

46 Komandni prozor u kome se pokreće predhodno kreirana datoteka teziste >> teziste Unesi matricu cija svaka vrsta ima tri elementa U svaku vrstu upisi x i y koordinate tezista i povrsinu dela [ * /pi /pi pi*60^2/ / *60/ /pi -pi*50^2/ * *50] Koordinate tezista su: ( , ) Upisivanje podataka za matricu C Svaka vrsta ima tri elementa: x, y i A pojedinačnih delova složene površine

47 Primer zadatka 5-1: Iscrtavanje funkcije i njenih izvoda Na istom grafikonu nacrtajte funkciju y = 3x 3 26x + 10injenprvi I drugiizvod, u granicama -2 x 4. Rešenje: Prvi izvod funkcije je y = 9x Drugi izvod funkcije: y = 18x. Napisaćemo skript datotetku koja generiše vektor x i izračunava y, y i y.

48 REŠENjE x=[-2:0.01:4]; y=3*x.^3-26*x+6; yd=9*x.^2-26; ydd=18*x; plot(x,y,'-b',x,yd,'--r',x,ydd,':k') Grafik funkcije y = 3x 3 26x + 10injenogprvog I drugogizvoda

49 Primer zadatka 5-2: Mehanizam klip - klipnjača - radilica Mehanizam klip klipnjača radilica ima mnogo primena u tehnici. U mehanizmu prikazanom na slici, radilica rotira konstantnom brzinom 500 o/min. Izračunajte i nacrtajte položaj, brzinu i ubrzanje klipa za jedan obrt radilice. Postavite cva tri grafikona na istu stranicu. Zadajte θ = 0 za t = 0.

50 ሷ Radilica rotira konstantnom ugaonom brzinom θ. ሶ To znači da ako zadamo θ = θ za t = 0, onda je ugao θ u trenutku t dat sa θ = θt, ሶ a θ = 0 u svakom trenutku. Rastojanja d 1 i h data su sa: d 1 = rcosθ i h =rsinθ Ukoliko znamo h, rastojanje d 2 možemo izračunati pomoću Pitagorine teoreme: d 2 = (c 2 - h 2 ) 1/2 = (c 2 - r 2 sin 2 θ) 1/2

51 Položaj klipa x dat je sa: x = d 1 + d 2 = rcosθ + ( c 2 - r 2 sin 2 θ) 1/2 Izvod od x po vremenu daje brzinu klipa: x = -r ሶ θsinθ - r 2 θsin2θ 2(c 2 r 2 sin 2 θ) 1/2 Drugi izvod x po vremenu daje ubrzanje klipa: x = -rθcosθ ሶ - 4r2 θ 2 cos2θ c 2 r 2 sin 2 θ + (r 2 ሶ 4(c 2 r 2 sin 2 θ) 3/2 θsin2θ) 2 U prethodnoj jednačini uzeto je da ሷ θ ima vrednost nula. Navešćemo MATLAB-ov program (skript datoteku) koji izračunava i crta položaj, brzinu i ubrzanje za jedan obrt radilice.

52 REŠENjE teta_prim_opm = 500; r = 0.12; c = 0.25; teta_prim_radps = teta_prim_opm*2*pi/60; % definisemo teta_prim(o/min) % definisemo r % definisemo c % teta_prim(o/min) u teta_prim(rad/s) tf = 2*pi/teta_prim_radps; % izracunavamo vreme potrebno za jedan obrt radilice t = linspace(0,tf,200); % generisemo vektor za vreme sa 200 elemenata teta = teta_prim_radps*t; % izracunavamo teta za svako t d2s = c^2-r^2*sin(teta).^2; % izracunavamo kvadrat d_2 za svako teta x = r*cos(teta)+sqrt(d2s); % izracunavamo x za svako teta xd = -r*teta_prim_radps*sin(teta)-... (r^2*teta_prim_radps*sin(2*teta))./(2*sqrt(d2s)); % izracunavamo x' za svako teta xdd = -r*teta_prim_radps^2*cos(teta)-... (4*r^2*teta_prim_radps^2*cos(2*teta).*... d2s+(r^2*sin(2*teta)*teta_prim_radps).^2)./(4*d2s.^(3/2)); % izracunavamo x'' za svako teta

53 % crtanje prvog grafika - x(t) subplot(3,1,1) plot(t,x) grid xlabel('vreme(s)') ylabel('polozaj(m)') % crtanje drugog grafika - x (t) subplot(3,1,2) plot(t,xd) grid xlabel('vreme(s)') ylabel('brzina(m/s)')

54 % crtanje treceg grafika - x (t) subplot(3,1,3) plot(t,xdd) grid xlabel('vreme(s)') ylabel('ubrzanje(m/s^2)') Položaj, brzina i ubrzanje klipa kao funkcije vremena

55 Primer zadatka 6-1: Upotreba matematičke funkcije u drugoj funkciji Napišite funkcijsku datoteku (po imenu pog6jedan) za funkciju: f x = x4 3x + 5 (x 2 + 1) 2 Ulaz u funkciju je x, a izlaz f(x). Pomoću funkcije izračunajte f x za x = 6.

56 Funkcijska datoteka za funkciju f(x) function y = pog6jedan(x) Red sa definicijom funkcije y = (x.^4*sqrt(3*x+5))./(x.^2+1).^2; Dodeljivanje vrednosti izlaznom argumentu

57 Obratite pažnju na to da je matematički izraz u funkcijskoj datoteci napisan za izvršavanje nad pojedinačnim elementima ulaznog argumenta. Zato će i y biti vektor ako je x vektor. Snimite funkciju a zatim, ako treba, ptanju pretraživanja izmenite tako da obuhvati i direktorijum u koji je funkcija snimljena. U sledećem primeru funkciju ćemo pozvati iz komandnog prozora.

58 Vrednost funkcije za x = 6 možemo izračunati tako što ćemo u komandni prozor upisati pog6jedan(6) ili vrednost funkcije dodeliti novoj promenljivoj >> pog6jedan(6) ans = >> F=pog6jedan(6) F = >>

59 Primer zadatka 6-2: Konverzija jedinica za temperaturu Napišite funkciju koju definiše korisnik (po imenu FuC) koja pretvara temperaturu izraženu u stepenima F u temperaturu u stepenima C. Upotrebite tu funkciju za rešavanje sledećeg zadatka. Zbog promene temperature za T, dužina tela se promeni za L=αL T, gdeje α koeficijenttoplotnogširenja. Izračunajte promenu povrčine pravougaone (4.5 x 2.25m) aluminijumske (α=23*10 6 1/ C)ploče ako se njena temperatura promeni sa 40 F na 92 F.

60 Funkcija za konverziju stepeni F u stepene C function C = FuC(F) C = 5*(F-32)./9; Red sa definicijom funkcije FuC pretvara stepene F u stepene C Dodeljivanje vrednosti izlaznom argumentu

61 Skript datoteka (PromenaPovrsine) koja izračunava promenu površine ploče zbog promene temperature a1=4.5;b1=2.25;t1=40;t2=92;alfa=23e-6; deltat=fuc(t2)-fuc(t1); a2=a1+alfa*a1*deltat; b2=b1+alfa*b1*deltat; PromenaPovrsine=a2*b2-a1*b1; fprintf("promena povrsine je %6.5f kvadratnih metara",promenapovrsine) Izračunavamo razliku temperature pomoču funkcije FUC Izračunavamo novu dužinu i širinu Izračunavamo promenu površine

62 Izvršavanjem skript datoteke u komandnom prozoru dobijamo rešenje >> PromenaPovrsine PromenaPovrsine = >>

63 Primer zadatka 6-3: Rastojanje između dve tačke u polarnim koordinatama Napišite lokalnu funkciju koja izračunava rastojanje između dve tačke u ravni, kada je položaj tačaka dat u polarnim koordinatama. Pomoću nje izračunajte rastojanje između tačaka A(2, π/6) i B(5, 3π/4).

64 Rastojanje izmedju dve tačke u polarnim koordinatama može se izračunati pomoću konusne teoreme: d = r A 2 + r B 2 2r A r B cos (θ A θ B ) Formulu za rastojanje najpre ćemo upisati kao lokalnu funkciju s četiri argumenta i zatim pomoću nje izračunati rastojanje izmedju tačaka A i B.

65 REŠENjE d=inline('sqrt(ra^2+rb^2-2*ra*rb*cos(thetab-thetaa))',... 'ra','thetaa','rb','thetab ) Redosled argumenata je definisan kao (ra,thetaa,rb,thetab) d(ra,thetaa,rb,thetab)=sqrt(ra^2+rb^2-2*ra*rb*cos(thetab-thetaa)) >> RastAdoB=d(2,pi/6,5,3*pi/4) RastAdoB = Argumenti su upisani po redu datom u definiciji funkcije

66 Primer zadatka 6-4: Eksponencijalni rast i opadanje Model eksponenecijalnograstailiopadanjaoređenekoličinedatjesaa (t) = A 0 E kt gdesua (t)ia 0 količina u trenutku todnosnotrenutku 0, a k jekonstantaspecifičnazakonktetnuprimenu. Napišitefunkicijukojauzpomoć tog modelapredviđakoličinua (t) u trenutkut akojepoznato A 0 i A(t 1 ) u nekomdrugomtrenutku t 1. Imeiargumentefunkcijedefinišitekao At = expro (A0, At1, t1, t), gdeizlazni argument At odgovaraa(t), a ulazniargumenti A0, At1, t1, t odgovarajua 0, A(t 1 ), t 1, t. Upotrebitefunkcijskudadoteku u komandnomprozoruzasledećadvaslučaja: a) Godine 1980, u Meksikuježivelo 67 milionastanvnika, miliona. Procenitebrojstanovnika b) Vremepoluraspadaradiaktivnogmaterijalaiznosi 5.8 godina.kolikoćepreostati 7-gramskog uzorkanakon 30 godina

67 Da biste upotrebili model eksponencijalnog rasta, morate prvo izraziti vrednost konstante k preko A 0, A(t l ) i t l : k = 1 t 1 ln A(t 1) A 0 Kada je poznato k, model se može upotrebiti za proceduru broja stanovnika u proizvoljnom trenutku vremena.

68 Funkcija expro function At=expRO(A0,At1,t1,t) Red sa definicijom funkcije % expro izracunava eksponencijalni rast i opadanje % ulazni argumenti su: % A0 - vrednost u trenutku 0 % At1 - vrednost u trenutku t1 % t1 - vreme t1 % t - vreme t % izlazni argument je At - vrednost u trenutku t k=log(at1/a0)/t1; At=A0*exp(k*t); Izračunavamo vrednost k Izračunavamo A(t) (dodeljujemo vrednost izlaznoj promenljivoj)

69 Izvršavanje funkcije expro u komandnom prozoru >> expro(67,79,6,20) ans = procena broja stanovnika godine >> expro(7,3.5,5.8,30) ans = Količina materijala preostala nakon 30 godina >>

70 Primer zadatka 6-5: Kretanje projektila Napišite funkcijsku datoteku koka izračuvana putanju proejktila. Ulazni argumenti fuknkcije su početna brzina i ugao pod kojim je projektil ispaljen. Izlazni argumenti su maksimanla visina i rastojanje. Sem toga, funkcija treba da nacrta grafit putanje. Izračunajte pomoću te funkcije putanju projektila ispaljenog brzinom od 230 m/s pod uglom od 39.

71 Analiziraćemo zasebno horizontalne i vertikalne komponente kretanja projektila. Početa brzina, υ 0, može se rastaviti na horizontalnu i vertikalnu komponentu: v θx = v 0 cos θ i v 0y = v 0 sin(θ) U vertikalnom pravcu, brzina i položaj projektila dati su: v x = v 0 gt i y = v 0y t 1 2 gt2 Vreme potrebno projektilu da dostigne najvišu ačku (v y =0) i odgovarajuća visina dati su sa: t hmax = v 0 y g i h max = v 0 y 2g Ukupno vreme leta dvaput je duže od vremena potrebnog za dostizanje najviše tačke, t tot = 2t lunax. U horzontalnom pravcu brzina je konstantna, a položaj projektila dat je sa: x = v 0x t U MATLAB-ovoj notaciji, ime i argumenti funkcije dati su sa: (hmax, dmax) = putanja (v0,theta). 2

72 Funkcija putanja izracunava maksimalnu visinu i rastojanje projektila i crta putanju function [hmax,dmax]=putanja(v0,theta) % v0: pocetna brzina u (m/s) % theta: ugao u stepenima ulazni argumenti % hmax: maksimalna visina u (m) % dmax: maksimalno rastojanje u (m) % funkcija takodje crta grafik putanje izlazni argumenti g=9.81 v0x=v0*cos(theta*pi/180); v0y=v0*sin(theta*pi/180); thmax=v0y/g; hmax=v0y^2/(2*g); ttot=2*thmax; dmax=v0x*ttot;

73 Crtanje grafika putanje tplot=linspace(0,ttot,200); x=v0x*tplot; y=v0y*tplot-0.5*g*tplot.^2; plot(x,y) xlabel('rastojanje (m)') ylabel('visina (m)') title('putanja PROJEKTILA')

74 Izvršavanjem skript datoteke u komandnom prozoru dobijamo rešenje i grafik >> [h d]=putanja(230,39) h = e+03 d = e+03 >>

75 d=inline('sqrt(ra^2+rb^2-2*ra*rb*cos(thetab-thetaa))',... 'ra','thetaa','rb','thetab') Redosled argumenata je definisan kao (ra,thetaa,rb,thetab) d(ra,thetaa,rb,thetab)=sqrt(ra^2+rb^2-2*ra*rb*cos(thetab-thetaa)) >> RastAdoB=d(2,pi/6,5,3*pi/4) RastAdoB = Argumenti su upisani po redu datom u definiciji funkcije

76 Primer zadatka 7-1: Rastojanje između dve tačke u polarnim koordinatama Sledeći podaci su maksimalne dnevne temperature (u farenhajtima), zabeležene u Vašingtonu tokom aprila godine: Pomoću racionalnih logičkih operatora utvrdite sledeće: a) Ukupan broj dana u kojima je temperatura bila iznad 75 stepeni b) Ukupan broj dana u kojima je temperatura bila između 65 i 80stepeni c) Dane u mesecu u kojima je temperatura bila između 50 i 60 stepeni

77 Skript datoteka primer 7_1 T=[ ]; Vektor koji sadrži jedinice na mestima gde je T>=75 Tiznad75=T>=75; NdanaTiznad75=sum(Tiznad75) Zbir svih jedinica u vektoru Tiznad75 Vektor koji sadrži jedinice na mestima gde je T>=65 I T<=80 Tod65do80=(T>=65)&(T<=80); NdanaTod65do80=sum(Tod65do80) datumutod50do60=find((t>=50)&(t<=60)) Zbir svih jedinica u vektoru Tod65do80 Funkcija find daje adreseelemenata vektora T koji imaju vrednost između 50 i 60

78 Skript datoteka pod nazivom primer 7_1 izvršena u komandnom prozoru >> primer7_1 NdanaTiznad75 = 7 NdanaTod65do80 = 12 datumutod50do60 = >>

79 Struktura if - end Na slici prikazana je šema strukture if end. Slika prikazuje kako se komande upisuju u program, i dijagram toka koji simbolično prikazuje redosled izvršavanja komandi. Pri izvršavanju, programnajpre nailazi na iskaz if. Ako uslovni iskaz u iskazu if ima vrednost true, program izvršava komande koje neposredno slede iskazu if, sve do iskaza end. Ako je uslovni iskaz false, program preskače grupu komandi između iskaza if i end, i nastavlja da izvršava komande iza iskaza end. False Iskaz if Komande True end Struktura uslovnog iskaza if - end

80 Primer zadatka 7-2: Obračun zarade radnika Radnik je plaćen određeni iznos po satu za rad do 40 sati, a prekovremeni rad se plaća 50% više. Napišite program u skript datoteci koji će obračunavati zaradu radnika. Program zahteva od korisnika da unese ukupan broj sati i iznos satnice, a zatim prikazuje ukupnu zaradu. Rešenje Sadržaj skript datoteke prikazan je na narednom slajdu. Program prvo izračunava zaradu tako što množi broj radnih sati sa cenom satnice. Zatim pomoću iskaza if ispituje da li je broj sati veći od 40. ako jeste, izvršava se sledeći red i izračunava dodatna zarada za radne sate preko 40. Ukoliko nije, program preskače sve komande do iskaza end.

81 Skript datoteka primer 7_2 s=input('unesite broj radnih sati '); c=input('unesite cenu satnice u $ '); Zarada=s*c; if s>40 Zarada=Zarada+(s-40)*0.5*c; end fprintf('zarada radnika je %5.2f$', Zarada)

82 Skript datoteka pod nazivom primer 7_2 izvršena u komandnom prozoru u dva slučaja >> primer7_2 Unesite broj radnih sati 35 Unesite cenu satnice u $ 8 Zarada radnika je $>> >> primer7_2 Unesite broj radnih sati 50 Unesite cenu satnice u $ 10 Zarada radnika je $>>

83 Struktura if - else - end Ova struktura omogućava da se izabere izvršavanje jedne od dve moguće grupe komandi. Na slici se vidi tok tj. redosled kojim se komande izvršavaju. U prvom redu nalaze se iskaz if i uslovni israz. Ako je vrednost uslovnog izraza true, program izvršava prvu grupu komandi između iskaza if i else, a zatim preskače ostale komande do iskaza end. Ako je vrednost uslovnog izraza false, program preskače komande do iskaza else, a zatim izvršava komande koje se nalaze između else i end. Komande: Grupa 1 False Iskaz if Komande: Grupa 2 end True Struktura uslovnog iskaza if - else - end

84 Primer zadatka 7-3: Nivo vode u vodotornju Rezervoar vodotornja ima oblik prikazan na crtežu (donji deo je valjak, a gornji zarubljena obrnuta kupa). Unutar rezervoara nalazi se plovak koji pokazuje nivo vode. Napišite funkciju koja izračunava količinu vode u zavisnosti od položaja (visina h) plovka. Ulazni argument funkcije je vrednost h, a rezultat je količina vode izražena u m 3.

85 Za 0 h 19 m, količina vode je određena valjkom visine h: V=π/2.5 2 h Za 19 < h < 33 m, količina vode se izračunava kao zbir zapremine valjka visine 19 m i količine vode u kupi: V = π π(h 19)( r h + r 2 h ) gde je r h = ,5 (h 19) 14 Ime funkcije,čiji je sadrđaj prikazan na narednom slajdu, jeste v = kolvode(h).

86 REŠENjE function v = kolvode(h) % kolvode izracunava kolicinu vode u tornju % ulazni argument je nivo vode u metrima % rezultat je kolicina vode u kubnim metrima if h<=19 v=pi*12.5^2*h; else rh= *(h-19)/14; v=pi*12.5^2*19+pi*(h-19)*(12.5^2+12.5*rh+rh^2)/3; end

87 Dva primera upotrebe funkcije u komandnom prozoru >> kolvode(8) ans = e+003 >> VOL=kolvode(25.7) VOL = e+004

88 Struktura if - elseif - else - end Na slici je prikazana struktura if elseif else end. Vidi se kako se komande upisuju u program, a dijagram toka simbolično prikazuje redosled kojim se komande izvršavaju. Struktura sadrži dva uslovna iskaza (if i elseif) koji omogućavaju da sejedna od tri grupe komandi odabere za izvršavanje. U prvom redu nalazi se iskaz if kojem sledi uslovni iskaz. Ukoliko uslovni iskaz ima vrednost true, program izvršava prvu grupu komandi, izmeđi iskaza if i elseif, a zatim prelazi na end. Ako uslovni izraz u iskazu if ima vrednost false, program prelazi na izraz elseif ima vrednost true, program izvršava drugu grupu komandi između iskaza elseif i else, a zatim prelazi na end. U slučaju da uslovni izraz u iskazu else ima vrednost false, program prelazi na else i izvršava treću grupu komandi, između iskaza else i end. False Komande: Grupa 3 Iskaz elseif Komande: Grupa 2 False True Iskaz if Komande: Grupa 1 True end Struktura uslovnog iskaza if - elseif - else - end

89 Iskaz switch case Iskaz switch je još jedan način upravljanja tokom rada programa. On omogućava da se za izvršavanje izabere jedna od više mogućih grupa komandi. Struktura tog iskaza prikazana je na slici. - Prvi red se sastoji od komande koja ima oblik: switch izraz switch Izraz u komandi switch može biti skalarna vrednost ili znakovni niz. Najčešće je to promenljiva kojoj je dodeljena skalarna vrednost ili znakovni niz. - Nakon komande switch sledi jedna ili više komandi case. Iza svake komande case sledi vrednost (skalar ili znakovni niz: vrednost1, vrednost2 itd.), i pridružena grupa komandi ispod iskaza. - Iza poslednje komande case može biti komanda otherwise, nakon koje sledi grupa komandi. - Poslednji red mora sadržati iskaz end.... MATLAB-ov program... switch izraz switch case vrednost case vrednost case vrednost case vrednost end MATLAB-ov program grupa komandi 1 grupa komandi 2 grupa komandi 3 grupa komandi 4

90 Primer zadatka 7-5: Zbir vrednosti reda a) Pomoću petlje for-end u skript datoteci, izračunajte zbir prvih n članova reda σa ( 1) k k k=n. Izvršite skript datoteku za n=4 I n=20. 2 k ( 1)k x 2k+1 b) Funkcija sin(x) može se napisati kao Tejlerov red u obliku: σ k=0 (2 k +1)! Napišite korisničku funkciju koja izračunava sin(x) pomoću tejlorovog reda. Ime i argumenti funkcije neka budu y = Tsin(x,n). Ulazni argumenti su ugao x, izražen u stepenima i n, broj članova reda. Upotrebite tu funkciju da biste izračunali sin(150 ) pomoću reda od 3 i 7 članova.

91 Skript datoteka primer 7_5a n=input('upisite broj clanova'); S=0; for k=1:n S=S+(-1)^k*k/2^k; end fprintf('zbir clanova reda je %f',s) Početna vrednost zbira je nula U svakom prolazu se izračunava vrednost jednog člna reda, koja se dodaje zbiru članova izračunatom u predhodnom prolazu

92 Članovi reda se sabiraju u petlji. U svakom prolazu se izračunava po jedan član reda (u prvom prolazu prvi član, u drugom prolazu drugi član itd.), a zatim dodaje zviru prethodnih članova. Datoteka je snimljena pod primer7_5a a zatim izvršena dvaput u komandom prozoru: >> primer7_5 Upisite broj clanova4 Zbir clanova reda je >> >> primer7_5 Upisite broj clanova20 Zbir clanova reda je >>

93 FUNKCIJA function y=tsin(x,n) % Tsin izracunava sinus ugla pomocu Tejlerove formule % Ulazni argumenti % x - ugao izrazen y stepenima, n - broj clanova reda xr=x*pi/180; y=0; for k=0:n-1 Preračunavanje ugla iz radijana u stepene y=y+(-1)^k*xr^(2*k+1)/factorial(2*k+1); end

94 Prvi član odgovara vrednosti k=0, što znači da ako treba sabirati n članove reda, u poslednjem prolazu moramo imati k=n-1. Primenom ove funkcije, u komandnom prozoru je izračunat sin(150 ) pomoću redova od 3 i 7 članova. >> Tsin(150,3) ans = >> Tsin(150,7) ans = >>

95 Petlje for end U petljama for end, izvršavanje komande, ili grupe komandi, ponavlja se zadati broj puta. Oblik ove vrste petlji prikazazan je na slici Indeksna promenljiva petlje Vrednost k u prvom prolazu Korak povećanja k posle svakog prolaza for k = f : s : t grupa MATLAB-ovih... komandi end Vrednost k u poslednjem prolazu Struktura petlje for - end

96 Primer zadatka 7-6: Menjanje vrednosti elemenata vektora Vektorjedefinisannasledećinačin: V = 5, 17, 3, 8, 0, 1, 12, 15, 20, 6, 6, 4, 7, 16. Napišiteskriptkojiudvostručujevrednostpozitvinihelemenatadeljivihs a 3 ili 5, a podiženatrećistepenvrednostnegativnihelemenatavećih od -5.

97 REŠENjE V=[5, 17, -3, 8, 0, -1, 12, 15, 20, -6, 6, 4, -7, 16]; n=length(v); for k=1:n end if V(k)>0&(rem(V(k),3)==0 rem(v(k),5)==0) V(k)=2*V(k); elseif V(k)<0&V(k)>-5 end V(k)=V(k)^3; Promenljivoj n dodeljujemo vrednost jednaku broju elemenata vektora V

98 Izvršavanje u komandnom prozoru >> V V = >>

99 Petlje while end Petlje while end se koriste kada je potrebno izvršavanje petlji, ali ukupan broj prolaza nije unapred poznat. U petljama while end, broj prolaza nije zadat pre početka petlje. Umesto toga, petlja se izvršava dok je ispunjen zadati uslov. Struktura petlje while end prikazana je na slici. U prvom redu se nalazi iskaz while koji sadrži uslovni izraz. Ako je on false, MATLAB prelazi na iskaz end i nastavlja izvršavanje programa. Ukoliko je izraz true, MATLAB izvršava grupu komandi između komandi while end. Zatim se vraća na komandu while i ispituje vrednost uslovnog izraza. Petlja se izvršava sve dok uslovni izraz ne dobije vrednost false while uslovni izraz grupa MATLAB-ovih... komandi end Struktura petlje while - end

100 Primer zadatka 7-7: Predstavljane funkcije pomoću Tejlorovog reda Funkcijaf(x) = e x može se predstaviti u oblikutejlorovogredanasledećinačin: e x = σ n=0 xn n!. Napišiteskriptkojiizračunava e x pomoćutejlorovogreda. Ovaj program izračunava e x takoštosabiračlanovetejlorovogreda, a zaustavlja se kadaapsolutnavrednostdodatogčlanabudemanja od Upotrebitepetlju while-and, aliograničitebrojprolazana 30. Ako u tridesetomprolazudodatičlanreda ne budemanji od 0.001, program prekidapetljuiprikazujeporuku da jesabranotridesetčlanova. Pomoćunapisanogprogramaizračunajte e 2, e -4, e 21.

101 Prvih nekoliko članova Tejlorovog reda su: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + Program koji pomoću tog reda izračunava vrednost funkcije prikazan je u narednom pasusu. Prvo se od korisnika zahteva da se unese vrednost za x. Zatim se prvom članu reda, an, dodeljuje vrednost 1, a vrednost člana an dodeljuje se zbiru članova, s. Od drugog člana pa nadalje, pomoću petlje while program izračunava vrednost n-tog člana reda i sabira ga sa ukupnim brojem prethodnih članova. Program broji i ukupan broj članova, n. Uslovni izraz u komandi while ima vrednost true sve dok je apsolutna vrednost n-to člana reda manja od i dok je ukupan broj prolaza manji od 30. To znači da se izvršavanje petlje zaustavlja ako vrednost tridesetog člana nije manja od

102 Skripta primer7_7 x=input('upisite x '); n=1; an=1; S=an; while abs(an)>=0.0001&n<=30 an=x^n/factorial(n); S=S+an; n=n+1; End if n>=30 disp('potrebno je vise od 30 clanova') else fprintf('exp(%f)=%f',x,s) fprintf('\nbroj clanova je: %i',n) end % pocetak petlje while-end % izracinavanje n-tog clana % sabiranje n-tog clana sa zbirom prethodnih clanova % prebrojavanje ukupnog broja prolaza % komanda end petlje while % petlja if-else-end

103 Program prikazuje rezultate iskaza if-else-end. Ako je izvršavanje petlje prestalo zato što n-ti član nije manji od 0,0001, program prikazuje poruku o tome. Ukoliko je vrednost funkcije uspešno izračunata, program prikazuje vrednost funkcije i ukupan broj članova. Kada se program izvršava, borj prolaza zavisi od promenljive x. Pomoću ovog programa (koji je snimljen u datoteci expox) izračunate su vrednosti za e 2, e -4 i e 2l.

104 Izvršavanje u komandnom prozoru >> primer7_7 Upisite x 2 exp( )= Broj clanova je: 12>> >> primer7_7 Upisite x -4 exp( )= Broj clanova je: 18>> primer7_7 Upisite x 21 Potrebno je vise od 30 clanova >>

105 Ugnježđene petlje i ugnježđeni uslovi iskaza Petlje I uslovni iskazi mogu se ugnježdavati jedni u druge. To znači da petlja i/ili uslovni iskaz može započeti (i zavrčiti se) unutar drugr petlje i/ili uslovnog iskaza. Dubina ugnježšđavanja petlji i uslovnih iskaza nije ograničena. For k = 1 : n for h = 1 : m end end Grupa komandi Ugnježđena petlja Petlja Kad god se vrednost k poveća za, ugnježđena petlja se izvršava m puta. Grupa komandi se izvršava ukupno n x m puta.

106 Primer zadatka 7-8: Formiranje matrice u petlji Napišite skript koji formira matricu N x M elemenata sledećih vrednosti: u prvoj vrsti, vrednosti elemenata su redni brojevi kolona; vrednost svakog elementa u prvoj koloni jednaka je rednom broju vrste. Vrednosti svih ostalih elemenata izračunavaju se tako što se tekućem elementu dodeli zbir vrednosti elementa iznad i ispod njega. Kada se pokrene, program najpre zahteva od korisnika da zada vrednosti za n i m.

107 REŠENjE n=input('upisite broj vrsta '); m=input('upisite broj kolona '); A=[]; for k=1:n for h=1:m if k==1 A(k,h)=h; elseif h==1 A(k,h)=k; else A(k,h)=A(k,h-1)+A(k-1,h); end end end A % definicija prayne matrice A % pocetak prve petlje for-end % pocetak druge petlje for-end % pocetak novog iskaza % dodela vrednosti elementima u prvoj vrsti % dodela vrednosti elementima u prvoj koloni % dodela vrednosti ostalim elementima % komanda end ugnjezdjene petlje for-end

108 Izvršavanje u komandnom prozoru >> primer7_8 Upisite broj vrsta 4 Upisite broj kolona 5 A = >>

109 Primer zadatka 7-9: Podizanje novca sa računa penzionog osiguranja Korisnik je zaključio polisu za penziono osiguranje, na koju je deponovao dolara i koja donosi 5% godišnje kamate. Korisnik osiguranja planira da podiže novac sa tog računa jednom godišnje. Posle prve godine, podiže dolara, a nakon toga povećava iznose koje podiže u zavisnosti od stope inflacije. Na primer, ako je stopa inflacije 3%, posle druge godine korisnik podiže dolara. Izračunajte broj godina do pražnjenja računa uz pretpostavku da je godišnja stopa infacije konstantna i iznosi 2%. Nacrtajte grafikom koji pokazuje promenu stanja na računu u zavusnosti od podignutog iznosa po godinama.

110 REŠENjE kamata=0.05;inf=0.02; clear P SR godina godina(1)=0; % prvi element je godina 0 P(1)=0; % pocetni podignuti iznos SR(1)=300000; % pocetno stanje racuna Psledece=25000; % iznos koji se podize na kraju prve godine SRsledece=300000*(1+kamata); % stanje racuna posle prve godine n=2;

111 while SRsledece>=Psledece % petlja while ispituje da li ce sledece stanje % racuna biti vece od sledeceg podignutog iznosa godina(n)=n-1; P(n)=Psledece; % iznos koji se podize godine n-1 SR(n)=SRsledece-P(n); % stanje racuna godine n-1, nakon podizanja novca SRsledece=SR(n)*(1+kamata); % stanje racuna na kraju naredne godine Psledece=P(n)*(1+inf); % iznos koji se podize na kraju naredne godine n=n+1; end fprintf('racun ce se isprazniti za %f godina',godina(n-1)) bar(godina,[sr',p'],2.0)

112 Izvršavanje u komandnom prozoru i crtanje >> primer7_9 Racun ce se isprazniti za godina