Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD. Vladimir Milić. Zagreb, 2008.

Transcription

1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Vladimir Milić Zagreb, 28.

2 Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Voditelj rada: Doc. dr. sc. Željko Šitum Vladimir Milić Zagreb, 28.

3 Već tone sunce, zamire već dan, Al ono drugdje novi život stvara. O, imat krila moj je davni san, O, letjet za ljepotom toga žara! Da, divna sna! al sunce zapada. No čovjek ima krila duhovna Al tjelesna ne. Bozi nisu dali! J. W. Goethe, iz Fausta (Prijevod: Tito Strozzi)

4 IZJAVA Izjavljujem da sam ovaj diplomski rad radio samostalno na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu znanjem stečenim tijekom studija. V. M. ZAHVALA Zahvaljujem se mentoru doc.dr.sc. Željku Šitumu na iskazanom povjerenju, vodstvu i korisnim diskusijama tijekom izrade ovog rada. Zahvaljujem prof.dr.sc. Mariu Essertu na korisnim sugestijama i ustupanju prijenosnog računala, te potrebne programske podrške za izvo denje eksperimenta. Tako der se zahvaljujem Vladimiru Ivanoviću, dipl. inž. strojarstva na pomoći oko rada na snimanju eksperimentalnih rezulatata. Zahvaljujem svim profesorima i asistentima sa Katedre za strojarsku automatiku na suradnji, ugodnom boravku i stečenim znanjima. Na kraju bih se zahvalio svojoj obitelji na strpljenju i moralnoj podršci, te povjerenju koje su mi ukazali tokom studija. V. M.

5 Sadržaj Sadržaj Sažetak Popis slika Popis tablica Popis oznaka iv vii viii x xi 1. Uvod Pregled literature Formulacija problema Opis procesa Regulacijski zadatak I Teorijska razmatranja 8 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu Definicije stabilnosti Analiza stabilnosti prema direktnoj Ljapunovljevoj metodi Odre divanje Ljapunovljeve funkcije LTI sustava Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije Semidefinitno programiranje iv

6 SADRŽAJ v 3.2. Analiza stabilnosti dinamičkih sustava primjenom LMI Sinteza regulacijskih sustava primjenom LMI H sinteza regulacijskih sustava Norme sustava Definicija problema H upravljanja H sinteza primjenom LMI Sinteza regulatora stanja Sinteza dinamičkog regulatora punog reda II Sinteza regulatora elektro-hidrauličkog servo sustava 5 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava Izvod nelinearnog dinamičkog modela sustava Linearizirani dinamički model procesa H sinteza upravljanja položajem klipa hidrauličkog cilindra Sinteza regulatora stanja proširenog integrirajućim djelovanjem Sinteza estimatora varijabli stanja Sinteza dinamičkog regulatora Eksperimentalni rezultati Opis laboratorijske opreme Rezultati eksperimenta regulacije položaja Zaključak 79 A Vektorske i matrične norme 82 A1. Vektorske norme A2. Matrične norme

7 SADRŽAJ vi B Disipativnost i pasivnost 85 B1. Funkcijski prostori B2. Definicije pasivnosti i disipativnosti C Upravljivost i mjerljivost 9 D MATLAB skripte i SIMULINK modeli 92 D1. Analiza stabilnosti primjenom LMI D2. Sinteza upravljanja primjenom LMI D3. Sinteza PI regulatora stanja D4. Sinteza estimatora stanja D5. Sinteza dinamičkog regulatora D6. Simulacijski modeli elektro-hidrauličkog servo sustava Literatura 12

8 Sažetak Tema ovog diplomskog rada je primjena linearnih matričnih nejednadžbi u H optimizaciji regulacijskih sustava. Formulacija H problema upravljanja zahtijeva relativno visoku razinu matematičkog razumijevanja prostora analitičkih matričnih funkcija, koji se naziva Hardyjev prostor. H optimizacija podrazumijeva minimizaciju vršne vrijednosti u amplitudno frekvencijskoj karakteristici sustava. Razmatrane su sinteze regulatora, gdje glavnu ulogu ima čuvena lema pozitivne realnosti. Razvoj vrlo efikasnih numeričkih algoritama za rješavanje linearnih matričnih nejednadžbi glavni je razlog sve većeg interesa za navedenu metodu. Rješavanje tih nejednadžbi ostvaruje se pomoću semidefinitnog programiranja kao generalizacije linearnog programiranja. Analiza stabilnosti navedenih problema temelji se na Ljapunovljevoj direktnoj metodi, kao fundamentalnom pristupu. U radu je provedena H sinteza upravljanja pozicijom klipa cilindra elektro-hidrauličkog servo sustava. U tu svrhu osim izvoda nelinearanog modela postavljen je i model sustava dobiven linearizacijom oko ravnotežnog stanja. Najprije je projektiran regulator stanja. Kako je uz mjerenje pozicije klipa na laboratorijskom modelu elektro-hidrauličkog servo sustava dostupno mjerenje samo još tlaka u desnoj komori glavnog cilindra, projektiran je estimator varijabli stanja punog reda bez estimacije poremećajne veličine sile tereta. Nadalje, projektiran je dinamički regulator. Izvedene linearne matrične nejednadžbe ovdje se rješavaju upotrebom programskog paketa MATLAB te Yalmip sučelja koje koristi SeDuMi solver. Razvijeni upravljački algoritmi provjereni su eksperimentalno na laboratorijskom modelu elektro-hidrauličkog servo sustava. Ključne riječi: Elektro-hidraulički servo sustav, matematički model, Ljapunovljeva teorija stabilnosti, H sinteza, linearne matrične nejednadžbe, semidefinitno programiranje, Yalmip. vii

9 Popis slika 2.1 Pozitivno definitna (lijevo) i pozitivno semidefinitna (desno) funkcija Odziv sustava bez regulatora na početne uvjete x = [1 1] T Odziv sustava sa regulatorom na početne uvjete x = [1 1] T Standardni regulacijski problem Shematski prikaz elektro-hidrauličkog sustava za izvod dinamičkog modela Elektro-hidraulički servo sustav sa senzorom položaja Blokovski dijagram regulacijskog sustava s PI regulatorom varijabli stanja Varijable stanja i upravljački napon u ovisnosti o vremenu za slučaj PI regulatora stanja Varijable stanja i upravljački napon u ovisnosti o vremenu za slučaj estimacije stanja Varijable stanja i upravljački napon u ovisnosti o vremenu za slučaj dinamičkog regulatora 3. reda Shematski prikaz elektro-hidrauličkog servo sustava Fotografija eksperimentalnog postava elektro-hidrauličkog servo sustava Eksperimentalni rezultati za slučaj estimacije varijabli stanja bez prisustva opteretne sile viii

10 POPIS SLIKA ix 6.4 Eksperimentalni rezultati za slučaj dinamičkog regulatora 3. reda bez prisustva opteretne sile Eksperimentalni rezultati za slučaj dinamičkog regulatora 3. reda uz prisustvo opteretne sile D1 SIMULINK model elektro-hidrauličkog servo sustava D2 SIMULINK model dinamike ventila D3 SIMULINK model jednadžbi tlakova D4 SIMULINK model jednadžbi protoka D5 SIMULINK model jednadžbi dinamike cilindra D6 SIMULINK model regulacijskog sustava sa PI regulatorom stanja.. 99 D7 SIMULINK model regulacijskog sustava sa PI regulatorom stanja i estimatorom D8 SIMULINK model estimatora stanja D9 SIMULINK model regulacijskog sustava s dinamičkim regulatorom. 11

11 Popis tablica 5.1 Numeričke vrijednosti parametara elektro-hidrauličkog servo sustava. 61 x

12 Popis oznaka Oznaka Opis A Matrica koeficijenata objekta upravljanja A K B 1 B, B 2 Matrice ulaza B K Matrica koeficijenata dinamičkog regulatora Matrica ulaza koja se odnosi na vektor egzogenih veličina C, C 1, C 2 Matrice izlaza C K Matrica ulaza dinamičkog regulatora Matrica izlaza dinamičkog regulatora D, D 12, D 22 Matrice prijenosa D 11, D 21 Matrice prijenosa koje se odnose na vektor egzogenih veličina D K G(s) g(t) I K K(s) K e s t u V (x) w x Matrica prijenosa dinamičkog regulatora Matrica prijenosnih funkcija objekta upravljanja Matrica težinskih funkcija Jedinična matrica Matrica pojačanja regulatora stanja Matrica prijenosa dinamičkog regulatora Matrica pojačanja estimatora Laplaceov operator Vrijeme, s Vektor upravljačkih ulaza, vektor pobude Lyapunovljeva funkcija, J Vektor egzogenih ulaza koji djeluju na objekt upravljanja Vektor stanja objekta upravljanja xi

13 POPIS OZNAKA xii x x e x K ˆx x y ŷ z δ(t) λ Vektor početnih stanja sustava Vektor ravnotežnog stanja sustava Vektor stanja dinamičkog regulatora Vektor estimiranih varijabli stanja Pogreška estimacije varijabli stanja Vektor mjerenih izlaza objekta upravljanja Vektor estimiranih mjernih izlaza Vektor izlaznih signala iz objekta upravljanja, regulacijska pogreška Jedinična impulsna funkcija Svojstvena ili vlastita vrijednost A 1 Površina klipa na strani cilindra bez klipnjače, m 2 A 2 Površina klipa na strani cilindra s klipnjačom, m 2 b Koeficijent viskoznog prigušenja na strani tereta, Ns/m C d c d v F L K m K p Koeficijent istjecanja proporcionalnog ventila Koeficijent krutosti na strani tereta, N/m Promjer klipa proporcionalnog ventila, m Vanjska opteretna sila koja djeluje kao poremećaj, N Koeficijent pojačanja senzora položaja, V/m Koeficijent pojačanja tlaka, m 3 /Pa.s K s Koeficijent pojačanja protoka, m 2 /s k v u l M t p 1, p 2 p a p n Pojačanje proporcionalnog ventila, m/v Ulazni napon proporcionalnog ventila, V Hod klipa cilindra, m Ukupna masa klipa i tereta, kg Tlakovi u komorama cilindra, Pa Tlak rezervoara, Pa Tlak napajanja, Pa Q 1, Q 2 Protočni volumeni kroz komore cilindra, m 3 /s V 1, V 2 Volumeni komora cilindra, m 3 V 1, V 2 Poluvolumeni komora cilindra, m 3

14 POPIS OZNAKA xiii w Gradijent površine otvora proporcionalnog ventila, m 2 /m x p x R y v β Pomak klipa cilindra, m Referenca pomaka klipa cilindra, m Pomak klipa proporcionalnog ventila, m Modul stišljivosti hidrauličkog ulja, Pa ρ Gustoća hidrauličkog ulja, kg/m 3 ζ v ω v Koeficijent prigušenja proporcionalnog ventila Granična frekvencija proporcionalnog ventila, rad/s C Skup kompleksnih brojeva R Skup realnih brojeva R n R + L n p L n pe H 2, H RH 2 RH n-dimenzionalni vektorski prostor Skup nenegativnih realnih brojeva Prostor n-dimenzionalnih integrabilnih funkcija Prošireni prostor n-dimenzionalnih integrabilnih funkcija Hardyjevi prostori Skup stabilnih pravilnih realnih racionalnih funkcija Skup stabilnih striktno pravilnih realnih racionalnih funkcija ( ) T Transponirana matrica ( ) T Inverzna transponirana matrica ( ) Transponirana kompleksno konjugirana matrica ( ) 1 Inverzna matrica det( ) Determinanta matrice trace( ) Trag matrice σ max ( ) Maksimalna singularna vrijednost F Frobeniusova norma, 2 L 2, odnosno H 2 norma 2T Skraćena L 2 norma L, odnosno H norma Skalarni produkt T Skraćeni skalarni produkt

15 Poglavlje 1. Uvod U ovom diplomskom radu razmatra se problem sinteze regulatora elektro-hidrauličkog servo sustava primjenom H optimizacije koja predstavlja jednu od najintenzivnije istraživanih metoda teorije upravljanja u posljednja dva desetljeća. Jedan od razloga sve većeg interesa za navedenu metodu je razvoj efikasnih numeričkih algoritama za rješavanje linearnih matričnih nejednadžbi i, s druge strane, jačanje svijesti o robustnosti upravljačkih sustava kao nužnom preduvjetu za praktičnu implementaciju upravljačkih algoritama. U prvom dijelu iznesena su opća razmatranja iz teorije stabilnosti regulacijskih sustava. Navode se definicije i koncepti stabilnosti koje je postavio ruski matematičar Aleksandar Mihailovič Ljapunov. Ljapunov je postavio skalarnu funkciju V (x) koja se može smatrati poopćenom funkcijom energije. Funkcija energije često se koristi kao moguća Ljapunovljeva funkcija. Uvjeti koje mora zadovoljiti funkcija da bi bila Ljapunovljeva zasnivaju se na matematičkim umjesto fizikalnim svojstvima. Za dokazivanje stabilnosti lineranih sustava Ljapunovljevim pristupom potrebno je ispuniti dva uvjeta: funkcija V (x) mora biti pozitivno definitna, vremenska derivacija V (x) mora biti negativno (semi)definitna. Kod razmatranja stabilnosti nelinearnih sustava potrebno je ispuniti i treći uvjet: funkcija V (x) mora biti radijalno neograničena, tj. mora V (x) kada t. Nadalje, razmatra se analiza i sinteza regulacijskih sustava primjenom 1

16 Poglavlje 1. Uvod 2 linearnih matričnih nejednadžbi. Linearne matrične nejednadžbe rješavaju se relativno nedavno razvijenim metodama unutarnje točke. Ovdje se prikazuje metoda rješavanja primjenom semidefinitnog programiranja koje predstavlja vrlo efikasan numerički alat. Razvijeni su razni računalni programi koji rješavaju problem optimizacije predstavljen u obliku linearnih matričnih nejednadžbi. Jedan od njih je besplatni Yalmip 1 koji se implementira u MATLAB-u. Yalmip je programsko sučelje, vrlo jednostavno za upotrebu, kod kojeg se koristi uobičajena MATLAB sintaksa. Glavne naredbe su: sdpvar, set, sdpsettings, solvesdp. Kao solver koji rješava navedeni problem ovdje će se koristii SeDuMi 2. Tako der postoji, kao dio programskog paketa MATLAB, LMI toolbox [24] sa algoritmima za rješavanje problema konveksne optimizacije. Zatim se tako der u okviru teorijskih razmatranja obra duje H sinteza regulacijskih sustava primjenom linearnih matričnih nejednadžbi. Motivacija za razvoj H metoda u odnosu na druge metode sinteze, leži u važnosti robustne stabilnosti sustava. Teorija robustnosti tretira problematiku očuvanja odre denih osobina dinamičkih sustava u prisustvu velikih perturbacija (varijacija) u modelu sustava [41]. H norma daje maksimalno pojačanje energije (inducirano L 2 pojačanje sustava), ili sinusoidalno pojačanje sustava. U drugom dijelu ovog rada provode se eksperimentalna razmatranja iznesene teorije na elektro-hidrauličkom servo sustavu, razvijenom na Katedri za strojarsku automatiku na Fakultetu strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu. Hidrauli-čki sustavi općenito se primjenju tamo gdje se traže velike sile, mali i jednolični pomaci, te složenije regulacije. Elektro-hidraulički servo sustav ima dva osnovna dijela: električni i hidraulički. Sustav za svoj rad iskorištava električnu energiju u području upravljanja i hidrauličku za obavljanje rada. Za takav servo sustav izveden je matematički model koji se sastoji od skupa linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi, a kojima se opisuje njegovo dinamičko ponašanje. Nadalje, provedena je H sinteza regulatora položaja servo sustava. Za simulaciju dinamičkog ponašanja regulacijskog sustava korišteni 1 joloef/yalmip.php 2

17 Poglavlje 1. Uvod 3 su programski paketi MATLAB i SIMULINK. Na kraju su tako der prikazani i eksperimentalni rezultati Pregled literature Ovdje će se ukratko dati pregled najznačajnije literature korištene u izradi ovog diplomskog rada. Prema znanstvenim područjima koja obra duju, literatura navedena na kraju rada, može se podijeliti na one koje se bave hidrauličkim sustavima i to njihovim matematičkim modeliranjem, upravljanjem, simulacijom i praktičnom (industrijskom) primjenom [35, 1, 2, 14, 17, 34, 67]; literaturu koja općenito razmatra teoriju upravljanja i regulacije dinamičkih sustava [13, 16, 19, 41, 64, 72]; zatim na onu koja se bavi linearnim matričnim nejednadžbama u teoriji automatske regulacije, a to su [11, 47]; te na literaturu koja obra duje teoriju H upravljanja kao na primjer [2, 21, 26, 52, 53, 6, 75]. Literatura koja obra duje hidrauličke sustave iznosi i naglašava ključne principe, koncepte i metode analize performansi komponenata koje čine te sustave, a opisana su i njihova moguća konstrukcijska rješenja. Tako der su izneseni načini ostvarivanja funkcionalnih hidrauličkih krugova upotrebom dostupnih komponenti. Opisane su analitičke metode koje se upotrebljavaju za projektiranje sustava i predvi danje njihovih performansi. Zatim, formiraju se matematički modeli hidrauličkih sustava različitih struktura i namjena. Pri tome su korištene linearne metode, a nelinearni problemi rješavaju se linearizacijom. U radu [62] razmatrano je upravljanje elektro-hidrauličkih servo sustava za precizno pozicioniranje na primjeru dvomasenog sustava s oprugom koji se pokreće pomoću servohidrauličkog aktuatora, te je dana usporedba klasičnih i novijih upravljačkih algoritama. Hidraulički sustav sa jednim stupnjem slobode gibanja upravljan elektroničkim servo razvodnikom na kojem su uspore divane klasične strategije regulacije pozicije klipa cilindra sa H i LPV ragulatorom razmatran je radu [68]. Sličan problem, samo za slučaj sustava sa više ulaza i više izlaza, razmatran je u [43]. Modeliranje i upravljanje elektro-hidrauličkim sustavima na kompleksnijoj matematičkoj razini tema su znanstvenih članaka

18 Poglavlje 1. Uvod 4 [15, 25, 49, 58, 71]. Literatura koja općenito razmatra teoriju upravljanja i regulacije dinamičkih sustava bavi se analizom i sintezom kako linearnih tako i nelinearnih kontinuiranih i diskretnih sustava. Obra duju se pokazatelji kvalitete sustava automatske regulacije, te se navode analitički i eksperimentalni postupci postavljanja parametara konvencionalnih PID regulatora. Uvodi se metoda prostora stanja. Nadalje, razmatraju se osobine regulacijskih sustava bitne sa stajališta analize i sinteze kao što su: upravljivost, mjerljivost, stabilnost i robustnost. Tako der se u nekima obra duju i napredne metode, npr. adaptivno upravljanje i metode umjetne inteligencije. Kao često citirana literatura iz područja nelinearnog upravljanja svakako je [51]. Nastala je na temelju predavanja održavanih na čuvenom MIT-u. Knjiga predstavlja fundamentalne rezultate iz nelinearnog upravljanja, s minimalnom matematičkom kompleksnošću, te prikazuje njegovu praktičnu primjenu. Podijeljena je u dva glavna dijela. U prvom dijelu iznose se analitički alati za proučavanje nelinearnih sustava, dok se u drugom dijelu iznose tehnike sinteze nelinearnih regulatora. U literaturi [11, 47] analizira se stabilnost regulacijskih sustava u obliku linearnih matričnih nejednadžbi koje posljednjih godina postaju moćan alat. Najprije se kao uvod daje kratki povijesni pregled razvoja te nove metode, te zatim i sama definicija odnosno oblik zapisa linearnih matrični nejednadžbi. Mnogi problemi iz teorije upravljanja i regulacije koji nemaju analitičko rješenje ili je do njega teško doći mogu biti vrlo efikasno riješeni njihovim svo denjem na probleme konveksne optimizacije koji podrazumijevaju linearne matrične nejednadžbe. Prikazana je i sinteza regulatora stanja. Uz analizu i sintezu linearnih sustava obra deni su i nelinearni sustavi, odnosno tzv. Lur e-ovi sustavi. Glavnu ulogu u opisanim metodama imaju Ljapunovljevi teoremi stabilnosti dinamičkih sustava. Teorijska razmatranja H upravljanja obra dena su u [21, 53, 75]. U uvodu se objašnjava važnost robustnosti i definira se osnovni H problem upravljanja dinamičkim sustavima. Cilj navedenih knjiga je dati elementarni pristup sintezi

19 Poglavlje 1. Uvod 5 regulacijskih sustava sa H kriterijem optimalnosti. Naglasak je na matematičkom pristupu. Teorija je razvijena na ulazno-izlaznom okviru, dok su računski postupci predstavljeni u okviru prostora stanja. Iznesena teorija popraćena je sa nekoliko numeričkih primjera koji su riješeni upotrebom MATLAB-ovg Control System Toolbox-a. U referenci [3] dan je pregled metoda i problema H upravljanja nelinearnim sustavima, dok je povijesni pregled razvoja navedene metode iznesen u [18]. Primjenom linearnih matričnih nejednadžbi u H optimizaciji bavi se [2]. H upravljanje tema je i doktorskih disertacija [7, 29, 45, 55] Formulacija problema Opis procesa Sustavi fluidne tehnike za prijenos energije koriste se protokom radne tekućine ili protokom plina. Ovdje će se razmatrati sustav u kojem je medij tekućina, tj. elektro-hidraulički sustav. Elektro-hidraulički sustavi razvijeni su za upravljanje objektima velikih snaga, kod kojih se zahtijeva velika točnost pozicioniranja i velika brzina odziva. Električni dio sustava priprema i obra duje upravljačke signale, kojima se izvodi upravljanje hidrauličke energije. U hidrauličkom dijelu obavlja se pretvorba i prijenos energije. Hidrauličkom energijom naziva se ukupna energija sadržana u struji radne tekućine koja se sastoji od potencijalne, kinetičke, energije položaja i unutrašnje energije. U hidrauličkom sustavu energija se prenosi pomoću radne tekućine pod tlakom. Prednosti hidrauličkih sustava su u korištenju radne tekućine kao medija za prijenos energije te mogućnosti upravljanja procesom pretvorbe i prijenosa energije. Radna tekućina ima neznatnu stlačivost, relativno dobro odvodi toplinsku energiju i podmazuje pokretne dijelove. Glavne prednosti hidrauličkih sustava su: kompaktnost sustava, što omogućuje prijenos velikih snaga s relativno malim dimenzijama i masama, mogućnost ostvarenja velikog prijenosnog omjera,

20 Poglavlje 1. Uvod 6 mogućnost kontinuirane promjene brzine gibanja, pogodnost za automatizaciju, jednostavna zaštita od preopterećenja, visoka pouzdanost u cijelom vijeku eksploatacije. Osnovni nedostaci hidrauličkih sustava su: preciznost izrade ključnih elemenata sustava, promjena fizičko-kemijskih karakteristika radne tekućine s promjenom tlaka, nužnost čišćenja radne tekućine. Elektro-hidraulički servo sustavi 3 su sustavi automatske regulacije s negativnom povratnom vezom. Mogu raditi u kontinuiranom (analognom) i diskretnom (digitalnom) području signala. Mehaničke regulirane veličine su pozicija (kutni zakret), brzina (kutna brzina), sila (okretni moment), a hidrauličke veličine protok i tlak Regulacijski zadatak Za elektro-hidraulički servo sustav potrebno je u svrhu sinteze strategije upravljanja pozicijom klipa hidrauličkog cilindra linearizirati matematički model. Sinteza se sastoji od optimizacije H norme odgovarajuće matrice prijenosnih funkcija sustava. Navedeni problem, koji se naziva H sinteza, rješava se postavljanjem sustava linearnih matričnih nejednadžbi korištenjem Ljapunovljevog pristupa. Sustav linearnih matričnih nejednadžbi rješava se numerički. Promotrimo sustav zadan u obliku prostora stanja ẋ = Ax + Bw, z = Cx + Dw, (1.1) 3 Servo sustav je vrsta sustava za automatsko upravljanje kod kojeg izlazna (regulirana) veličina slijedi zakonitost (tok) promjene ulazne veličine [1].

21 Poglavlje 1. Uvod 7 gdje su x(t) R n vektor stanja, w(t) R m vektor ulaza i z(t) R p vektor izlaza sustava. Matrica sustava definirana je sljedećim izrazom G(s) = C(sI A) 1 B + D. (1.2) Pretpostavimo da je sustav (1.1) asimptotski stabilan, što znači da su svojstvene vrijednosti matrice koeficijenata A smještene u lijevoj kompleksnoj poluravnini, te postoji skalarna vrijednost γ > takva da je G(s) < γ z 2 sup < γ, (1.3) < w 2 < w 2 a tako der postoji i rješenje linearne matrične nejednadžbe P = P T >, [ ] A T P + PA + C T C PB + C T D <. (1.4) B T P + D T C D T D γ 2 I

22 Dio I Teorijska razmatranja 8

23 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu Sa stajališta analize regulacijskih sustava 1 od izuzetne je važnosti svojstvo stabilnosti. Ukoliko regulacijski sustav nije stabilan nema smisla postavljati dodatne zahtjeve koji se odnose na kvalitetu i kvantitetu prijelaznog i stacionarnog režima rada. Ako sustav ima smo jedno ravnotežno stanje, kao linearni sustavi, ima smisla koristiti pojam stabilnost sustava. Inače, pravilno je koristiti pojam stabilnost ravnotežnih stanja, jer u slučaju nelinearnog sustava postoji više ravnotežnih stanja. Stabilnost ravnotežnih stanja nelinearnih sustava općenito ovisi o početnim uvjetima, dok kod linearnih sustava ne ovisi. Za sustav se može reći da je stabilan jedino u slučaju kada su sva moguća ravnotežna stanja stabilna. U ovom poglavlju razmatraju se koncepti stabilnosti koje je postavio ruski matematičar Aleksandar Mihailovič Ljapunov, koji je svoje teoreme dokazao u doktorskoj disertaciji koju je obranio godine na Sveučilištu u Moskvi. Kod analize stabilnosti primjenom Ljapunovljeve metode razmatra se ponašanje sustava u okolini ravnotežnog stanja. Ljapunov je prikazao pristup analizi stabilnosti dinamičkih sustava preko prve (indirektne) i druge (direktne) metode. Prilikom analize stabilnosti prema prvoj Ljapunovljevoj metodi primjenjuje se 1 Pod regulacijskim sustavom podrazumijeva se objekt regulacije plus regulacijski ure daj. 9

24 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 1 razvoj nelinearnog sustava u Taylorov red u okolini ravnotežnog stanja uz zanemarivanje članova višeg reda. Analizom stabilnosti tako lineariziranog sustava zaključuje se o stabilnosti polaznog nelinearnog sustava. Ovakav način analize sustava češće se primjenjuje kod autonomnih sustava, ali se može primjeniti i za analizu slobodnih (nepobu denih) sustava. Druga metoda je općenitija i zbog toga će se ovdje ona razmatrati. Polazeći od koncepta totalne energije u klasičnoj mehanici 2, Ljapunov izvodi poopćenje tog pristupa, koje rezultira drugom ili direktnom metodom [41]. Teoremi Ljapunova daju dovoljne ali ne i potrebne uvjete stabilnosti promatranog sustava, o čemu treba voditi računa kod primjene navedenih teorema. Osim toga ne daju podatke o kvaliteti i kvantiteti prijelaznog procesa, što je od interesa kod sinteze regulacijskih sustava [41]. Daljnja izlaganja u ovom poglavlju temelje se na referencama [3, 32, 41, 51, 64] u kojima je ova tema detaljno razmatrana Definicije stabilnosti Promatra se nelinearni sustav opisan diferencijalnim jenadžbama prvog reda na sljedeći način: ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t, u(t), (2.1) gdje su: x(t) R n n-dimenzijski vektor stanja, u(t) R m m-dimenzijski vektor pobude, t R + vrijeme, f : R + R n R m R n n-dimenzijski vektor nelinearnih funkcija. Definicija 1 (Pobu deni i nepobu deni sustav). Za kontinuirani sustav kažemo da je pobu den ako ima pobudu u(t) te ako se može opisati sa: ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t, u(t). (2.2) 2 Prema Lagrangeu, ako je funkcija potencijalne energije konzervativnog mehaničkog sustava na lokalnom minimumu, ravnotežno stanje je stabilno, a ako je na lokalnom maksimumu ravnotežno stanje je nestabilno.

25 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 11 Kontinuirani sustav je nepobu den ako na njega ne djeluje nikakva pobuda, odnosno ako je prepušten sam sebi, te se može opisati sa: ẋ(t) = f (t, x(t)), t, u(t) =. (2.3) Definicija 2 (Ravnotežno stanje). Ravnotežno stanje je stanje koje sustav zadržava, ako na njega ne djeluje vanjska pobuda u(t). Matematički se ravnotežno stanje dinamičkog sustava izražava vektorom x e R n, u kojem sustav ostaje, ako je u početnom trenutku zatečeno stanje bilo ravnotežno; x(t ) = x e. Definicija 3 (Trajektorija stanja ili rješenje sustava). Nepobu deni sustav opisan s vektorskom diferencijalnom jednadžbom: ẋ(t) = f (t, x(t)), t, (2.4) gdje su: x(t) R n, t R +, kontinuirana funkcija f : R + R n R n ima jednoznačnu trajektoriju stanja (rješenje), za svaki pojedini početni uvjet x(t ) = x, gdje je x e x. Rješenje, odnosno stanje sustava od trenutka t moguće je opisati sa: x(t) = s(t, t, x ), t t, (2.5) gdje je funkcija s : R + R n R n. Trajektorija stanja (rješenje), ako je rješenje, morat će zadovoljiti svoju diferencijalnu jednadžbu: ṡ(t, t, x ) = f (t, s(t, t, x )), t, s(t, t, x ) = x. (2.6) Trajektorija stanja (rješenje) ima sljedeća svojstva: 1. s(t, t, x ) = x, x R n, 2. s (t, t 1, s(t 1, t, x )) = s(t, t, x ), t t 1 t, x R n. Nakon prethodno uvedenih pojmova, sada je moguće postaviti uvjete stabilnosti ravnotežnih stanja sustava prema Ljapunovu. Razmatra se ponašanje rješenja sustava kada njegovo početno stanje nije ravnotežno, odnosno kada je u okolini ravntežnog stanja.

26 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 12 Definicija 4 (Stabilnost u smislu Ljapunova). Ravnotežno stanje stabilno je u smislu Ljapunova ako za svaki ε > i svaki t R + postoji pozitivni broj δ = δ(ε, t ) > takav da vrijedi: x e < δ(ε, t ) s(t, t, x ) < ε. (2.7) Definicija 5 (Asimptotska stabilnost u smislu Ljapunova). Ravnotežno stanje asimptotski je stabilno u smislu Ljapunova ako je: 1. stabilno u smislu Ljapunova te ako, 2. postoji pozitivni broj δ = δ(t ) >, t R +, takav da kad god: x(t ) < δ(t ) s(t, t, x ), t t. (2.8) Odnosno, stanje sustava teži ravnotežnom stanju iz kojeg je bilo poremećeno kada t. Za asimptotsku stabilnost vrijedi, prema tome: lim x(t) = x e =. (2.9) t Definicija 6 (Uniformna stabilnost). Ravnotežno stanje je uniformno stabilno ako za svaki ε > postoji pozitivni broj δ = δ(ε) > takav da vrijedi: x e < δ(ε), t s(t, t, x ) < ε, t t. (2.1) Definicija 7 (Eksponencijalna stabilnost). Ravnotežno stanje je eksponencijalno stabilno, ako postoje δ = δ(t ) >, α = α(t ) >, β = β(t ) > takve da vrijedi: x e δ s(t, t, x ) β x e α(t t ), t t. (2.11) Vektorska norma 3 u definicijama stabilnosti predstavlja bilo koju normu u R n, a budući da su sve norme u R n topološki ekvivalentne, to znači da stabilnost ravnotežnog stanja ne ovisi o tipu norme koja se koristi da se ispita uvjet stabilnosti [64]. 3 Vidi dodatak A

27 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu Analiza stabilnosti prema direktnoj Ljapunovljevoj metodi Dobro je poznato da direktna Ljapunovljeva metoda ima glavnu ulogu u analizi stabilnosti dinamičkih sustava. Prema ovoj metodi promatra se asimptotsko ponašanje stanja autonomnog 4 dinamičkog sustava. Glavni doprinos metode leži u definiranju koncepata stabilnosti, asimptotske stabilnosti i nestabilnosti pomoću poopćenog energetskog funkcionara za koji se koristi naziv Ljapunovljeva funkcija. Nažalost, u općem slučaju nelinearnog sustava, ne postoji sistematičan pristup konstrukciji Ljapunovljeve funkcije. Za daljnja izlaganja nužno je uvesti pojmove pozitivno definitne i pozitivno semidefinitne funkcije. Za jednoznačnu skalarnu funkciju više varijabli V (x) = V (x 1, x 2,..., x n ), (2.12) koja ima kontinuirane parcijalne derivacije kaže se da je pozitivno definitna u nekom području Ω oko koordinatnog početka, ako u svim točkama tog područja zadržava pozitivni predznak i ako ima vrijednost nula samo u koordinatnom početku, odnosno > ako x Ω, x, V (x) (2.13) = ako x =. Funkcija V (x) je pozitivno semidefinitna, ako u odre denom području Ω oko koordinatnog početka u svim točkama zadržava pozitivan predznak i ako ima vrijednost nula, osim u koordinatnom početku, i u nekim drugim točkama tog područja, odnosno ako x Ω, x, V (x) (2.14) = ako x =. Nadalje, funkcija V (x) je negativno definitna, ako je V (x) pozitivno definitna, a negativno semidefinitna ako je V (x) pozitivno semidefinitna. Na 4 Dinamički sustav je autonoman kada je nepobu den i eksplicitno ne ovisi o vremenu.

28 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 14 V(x 1,x 2 )=x 1 2 +x2 2 V(x 1,x 2 )=(x 1 +x 2 ) x x 1 x x 1 Slika 2.1: Pozitivno definitna (lijevo) i pozitivno semidefinitna (desno) funkcija. slici 2.1 prikazani su primjeri pozitivno definitne i pozitivno semidefinitne funkcije. Skalarna funkcija V (x) predstavlja implicitnu funkciju vremena, jer x označava stanje autonomnog sustava opisanog vektorskom diferencijalnom jednadžbom ẋ = f(x), (2.15) gdje je f R n nelinearna kontinuirana vektorska funkcija. Ako pretpostavimo da je V (x) diferencijabilna, tada možemo odrediti njenu vremensku derivaciju V (x) = V x x t = V x f(x) = = V f 1 (x) + V f 2 (x) V f n (x). x 1 x 2 x n (2.16) Često se kaže da je V (x) derivacija od V (x) uzduž trajektorija stanja, jer V (x) ovisi jedino od x. Ako je unutar nekog područja funkcija V (x) pozitivno definitna i ima kontinuirane parcijalne derivacije, te ako je njena vremenska derivacija V (x) negativno semidefinitna, tada je V (x) Ljapunovljeva funkcija sustava (2.15).

29 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 15 Forma moguće Ljapunovljeve funkcije obično se pretpostavlja, bilo čistom pretpostavkom, bilo poznavajući fizikalnu sliku, ili analizom energije sustava [64]. Ako je moguće naći takvu kontinuiranu skalarnu funkciju V (x) koja ima kontinuirane prve derivacije i koja zadovoljava sljedeće uvjete: 1. V (x) >, x (pozitivno definitna), 2. V (x) (negativno semidefinitna), 3. V (x) kako x, tada je ravnotežno stanje globalno stabilno. Ravnotežno stanje je globalno asimptotski stabilno ako su ispunjeni sljedeći uvjeti: 1. V (x) >, x (pozitivno definitna), 2. V (x) < (negativno definitna), 3. V (x) kako x Odre divanje Ljapunovljeve funkcije LTI sustava Linearni vremenski - invarijantan (engl. Linear Time Invariant - LTI) sustav moguće je opisati u sljedećoj matričnoj formi ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x() = x, (2.17) y(t) = Cx(t) + Du(t), (2.18) gdje su : ẋ(t) R n vektor derivacija stanja dimenzije n 1, x(t) R n vektor stanja dimenzije n 1, u(t) R m vektor ulaza dimenzije m 1, y(t) R p vektor izlaza dimenzije p 1, A R n n matrica koeficijenata dimenzije n n, B R n m matrica ulaza dimenzije n m, C R p n matrica izlaza dimenzije p n, D R p m matrica

30 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 16 prijenosa dimenzije p m, n broj varijabli stanja, m broj pobuda koje djeluju na sustav, p broj izlaznih signala sustava. Jednadžba (2.17) zove se jednadžba stanja ili dinamike sustava, a (2.18) se zove jednadžba izlaza. Oba izraza zajedno tvore matematički model sustava po varijablama stanja. Budući da varijable stanja jednoznačno opisuju stanje dinamičkog sustava, to znači da jedino matematički model s varijablama stanja daje potpunu informaciju o dinamici promatranog sustava. Obično se stanje nekog dinamičkog sustava veže uz njegove spremnike energije. Sustav koji se može opisati konačnim brojem varijabli stanja naziva se konačno dimenzionalan sustav ili sustav s koncentriranim parametrima. Formiranje moguće Ljapunovljeve funkcije kod LTI sustava jednostavnije je nego kod nelineranih sustava, jer je poznato da je u klasi kvadratičnih funkcija. Pri tome su važni pojmovi kvadratna forma i pozitivno definitna matrica. Za vektor x R n i simetričnu pozitivno definitnu matricu M R n n skalarna funkcija definirana sa f(x) = x T Mx = n n m ij x i x j, (2.19) i=1 j=1 naziva se kvadratna forma. Realna kvadratna forma x T Mx je: pozitivno definitna ako i samo ako je x T Mx >, x R n, x, pozitivno semidefinitna ako i samo ako je x T Mx, x R n, negativno definitna ako i samo ako je x T Mx <, x R n, x, negativno semidefinitna ako i samo ako je x T Mx, x R n. Realna simetrična matrica M je: pozitivno definitna (negativno definitna) ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti matrice M pozitivne (negativne),

31 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 17 pozitivno semidefinitna (negativno semidefinitna) ako i samo ako su sve vlastite vrijednosti matrice M nenegativne (nepozitivne) i barem jedna vlastita vrijednost je jednaka nuli. Neka su λ 1, λ 2,..., λ n vlastite vrijednosti realne simetrične matrice M i tada za svaki realni vektor x vrijedi λ min {M} = min i λ i, λ max {M} = max i λ i, (2.2) λ min {M} x 2 x T Mx λ max {M} x 2. (2.21) Razmatra se autonomni LTI sutav opisan sa ẋ(t) = Ax(t), x R n, (2.22) za kojeg se moguću funkciju Ljapunova pretpostavlja u kvadratnoj formi gdje mora biti P = P T V (x) = x T Px, (2.23) > želi li se osigurati pozitivna definitnost skalarne funkcije V (x). Drugi uvjet je da prva derivacija te funkcije mora biti negativno definitna, pa pišemo: V (x) = ẋ T Px + x T Pẋ = = (Ax) T Px + x T P(Ax) = = x T (A T P + PA)x = = x T Qx. (2.24) Iz izraza (2.24) možemo zaključiti da je V (x) negativno definitna ako i samo ako je Q pozitivno definitna simetrična matrica. Prema tome ravnotežno stanje LTI sustava će biti globalno asimptotski stabilno u smislu Ljapunova ako vrijedi sljedeća jednakost: A T P + PA = Q, Q = Q T >, P = P T >. (2.25) Jednadžba (2.25) se naziva Ljapunovljeva matrična jednadžba.

32 Poglavlje 2. Stabilnost regulacijskih sustava prema Ljapunovu 18 Da bi dokazali egzistenciju Ljapunovljeve matrične jednadžbe (2.25) pretpostavimo da je matrica Q poznata, a matrica P je definirana sljedećim izrazom P = Zatim izraz (2.26) uvrstimo u izraz (2.25) pa dobivamo: A T P + PA = A T = ( e At ) T Qe At dt + ( e At A ) T Qe At dt + ( e At ) T Qe At dt. (2.26) ( e At ) T Qe At dta = ( e At ) T Q ( e At A ) dt = = [ (e At A ) T Qe At + ( e At) T Q ( e At A )] dt = (2.27) = [ d ( ) ] e At T Qe At dt = dt = ( e A ) T Qe A ( e A) T Qe A = = ( e A) T Qe A = IQI = Q, gdje smo primjenili pretpostavku da je sustav stabilan, odnosno lim t e At =. Stabilnost linearnih sustava odre dujemo primjenom Ljapunovljeve matrične jednadžbe na sljedeći način: 1. izabere se neka pozitivno definitna simetrična matrica Q, 2. rješi se Ljapunovljeva jednadžba (2.25) po matrici P, 3. provjeri se da li je matrica P pozitivno definitna.

33 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije Linearne matrične nejednadžbe (engl. Linear Matrix Inequalities LMI) pokaza-le su se kao izniman alat za rješavanje mnogih problema u područjima upravlja-nja dinamičkim sustavima. U ovom poglavlju će se prikazati primjena LMI-a u sustavima automatske regulacije prema [11, 47]. Problemi koji će se razmatrati sastojat će se u formiranju Ljapunovljeve funkcije za analizu i sintezu regulacijskih sustava. Najpoznatija i najjednostavnija linearna matrična nejednadžba je Ljapunovljeva nejednadžba. Tijekom 194-ih godina Lur e, Postnikov i drugi primijenili su Ljapunovljevu metodu na problemu stabilnosti automatskog sustava regulacije sa nelinearnim aktuatorom. Iako nisu eksplicitno postavili matričnu nejednadžbu, njihov kriterij stabilnosti imao je oblik linearne matrične nejednadžbe. Dobivene nejednadžbe su rješavali ručno što je ograničavalo njihovu primjenu na sustave višeg reda. Sljedeći važan doga daj dogodio se ranih 196-ih, kada su Yakubovich, Popov, Kalman i drugi znanstvenici uspješno reducirali rješenja nejednadžbi iz Lur eovog problema upotrijebivši lemu pozitivne realnosti (engl. Positive - real lemma). Ovaj kriterij mogao se primijeniti na sustave višeg reda, ali nije davao dobre rezultate za sustave koji su imali više od jedne nelinearnosti. Daljnjim istraživanjima u kasnim 196-im došlo se do zaključka da se ista 19

34 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 2 familija nejednadžbi može riješiti pomoću algebarske Riccatieve jednadžbe (engl. Algebraic Riccati Equation - ARE). Pojam linearne matrične nejednadžbe prvi je upotrijebio J. C. Willems godine. U ranim 198-im došlo se do spoznaje da se linearne matrične nejednadžbe mogu rješavati upotrebom računala konveksnim programiranjem. Ta spoznaja je godine omogućila znanstvenicima Nestrovom i Nemirovskom razvoj metode unutarnje točke (engl. Interior - Point Method). Definicija 8 (Linearna matrična nejednadžba). Linearna matrična nejednadžba ima sljedeći oblik m F (x) = F + x i F i >, (3.1) gdje je x = [x 1 x 2... x m ] R m vektor rješenja, a simetrične matrice F i = F T R n n, i =,..., m su poznate. Znak nejednakosti u (3.1) znači da je funkcija F(x) pozitivno definitna. Skup rješenja {x : F (x) > } je konveksan. Definicija 9 (Konveksni skup [12]). Pretpostavimo da su x 1 x 2 dvije točke u R n. Točke u obliku y = θx 1 + (1 θ) x 2, θ R, (3.2) tvore spojnicu izme du x 1 i x 2. Skup C R n je konveksan ako spojnica izme du bilo koje dvije točke iz skupa C leži u skupu C, tj. ako za bilo koje x 1, x 2 C i bilo koji θ 1 imamo θx 1 + (1 θ) x 2 C. (3.3) Definicija 1 (Konveksna ljuska [12]). Točke oblika θ 1 x θ k x k, gdje su θ θ k = 1, θ i, i = 1,..., k nazivamo konveksna kombinacija točaka x 1,..., x k. Konveksna ljuska skupa C je skup svih konveksnih kombinacija točaka u skupu C, odnosno i=1 conv C = {θ 1 x θ k x k x i C, θ, i = 1,..., k, θ θ k = 1}. (3.4) Kao što se vidi iz samog naziva, konveksna ljuska conv C je uvijek konveksna. To je najmanji konveksni skup koji sadrži C. Ako je B neki konveksni skup koji sadrži C, tada je C B.

35 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 21 Definicija 11 (Konveksna funkcija [12]). Funkcija f : R n R je konveksna ako je domena od f konveksni skup, te ako je f (θx + (1 θ)y) θf(x) + (1 θ)f(y), (3.5) za bilo koji x, y iz domene od f, a θ je iz intervala θ 1. Funkcija je konkavna ako je f konveksna. Promotrimo na primjer, analizu stabilnosti autonomnog LTI sustava drugog reda u obliku linearnih matričnih nejednadžbi. Dobro je poznato da je takav sustav asimptotski stabilan ako i samo ako postoji matrica P = P T R n n takva da je zadovoljena Ljapunovljeva nejednadžba A T P + PA <, P >, (3.6) gdje je A R 2 2. Matričnu varijablu P možemo parametrizirati sa [ ] x1 x 2 P =, (3.7) x 2 x 3 zatim možemo pisati 3 P = x + x i P i, (3.8) gdje su [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 P =, P 1 =, P 2 =, P 3 =. (3.9) 1 1 i=1 Budući da je ( 3 ) ( 3 ) A T P + PA = A T x i P i + x i P i A = i=1 = i=1 3 [ x i A T P i + P i A ] <, i=1 Ljapunovljeva LMI (3.6) može se transformirati u standardnu formu (3.1) A T P + PA < 3 x i F i >, F i = A T P i P i A. (3.11) i=1

36 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 22 Skup linearnih matričnih nejednadžbi F (1) (x) >,... F (p) (x) > može se zapisati kao jedna nejednadžba F (1) (x) F (2) (x) F (x) = >. (3.12)..... F (p) (x) Nelinearne nejednadžbe pretvaraju se u LMI oblik pomoću Schur komplementa, čija glavna ideja je da LMI u obliku [ ] Q S >, (3.13) S T R gdje su Q = Q T, R = R T jednak zapisu R >, Q SR 1 S T >. (3.14) Drugim riječima skup nelinearnih nejednadžbi (3.14) može se predstaviti kao LMI (3.13). Kao dokaz tome napišimo nejednadžbe (3.14) u matričnom obliku [ ] Q SR 1 S T >. (3.15) R Zatim gornji izraz pomnožimo sa lijeve i desne strane sa nesingularnom matricom (posjeduje inverznu matricu) [ ] I SR 1, (3.16) I tada vrijedi jednakost [ ] [ ][ ][ ] Q S I SR 1 Q SR 1 S T I = >. (3.17) S T R I R R 1 S T I Prethodno svojstvo Schurovog komplementa vrijedi i u slučaju negativno definitne matrice, tj. jednaki rezultat se dobije zamjenom znaka > sa znakom <.

37 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije Semidefinitno programiranje Ovdje će se razmatrati problem semidefinitnog programiranja, tj. problem minimiziranja linearne funkcije uz uvjete u obliku linearnih matričnih nejednadžbi. Semidefinitno programiranje je važan numerički alat za analizu i sintezu sustava automatske regulacije. Definicija 12 (Semidefinitno programiranje). Promotrimo minimiziranje linearne funkcije varijable x R m uz ograničenja u obliku linearnih matričnih nejednadžbi min x R ct x m s.t. F (x), (3.18) gdje su c R m, a F (x) je LMI definirana izrazom (3.1). Problem opisan sa (3.18) predstavlja semidefinitni program. Budući da je F (x) simetrična matrica, dovoljan i nužan uvjet pozitivne semidefinitnosti je da najmanja svojstvena vrijednost od F (x) bude veća ili jednaka nuli. Problem semidefinitnog programiranja može se shvatiti kao proširenje linearnog programiranja. Općenito, linearno programiranje formulira se na sljedeći način gdje su A R n m i b R n. min x R ct x m s.t. Ax + b, (3.19) Razvijeni su mnogi algoritmi za rješavanje problema semidefinitnog programiranja kao što su simplex metoda, elipsoid metoda, te metoda unutarnje točke. Na temelju navedenih algoritama razvijeni su programski paketi za njihovo rješavanje Analiza stabilnosti dinamičkih sustava primjenom LMI Promotrimo diferencijalnu inkluziju: ẋ (t) Q (x (t)), (3.2)

38 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 24 gdje je Q (x) = conv {Q 1 x,..., Q M x}. U općem slučaju kada je M > 1 imamo model vremenski promjenjivog sustava, tj. vremenski zavisne jednadžbe trajektorija inkluzije je rješenje ẋ (t) = A (t) x (t), A (t) conv {Q 1,..., Q M }. (3.21) Jedno od glavnih pitanja vezanih uz dinamičke sustave je problem ispitivanja njihove stabilnosti, odnosno što se dešava sa trajektorijama sustava kada t ; da li one teže prema nuli (sustav je stabilan) ili neke od njih idu u beskonačnost. Uobičajeni način dokazivanja stabilnosti je odre divanje Ljapunovljeve funkcije u kvadratnom obliku f (x) = x T Px, gdje je matrica P pozitivno definitna i simetrična, što dokazuje stupanj opadanja sustava α, tj. za neki α je zadovoljena diferencijalna nejednadžba Iz diferencijalne nejednadžbe (3.22) slijedi d f (x (t)) αf (x (t)). (3.22) dt f (x (t)) f (x ()) exp ( αt), (3.23) ako je α >, sustav je stabilan; ako je α =, sustav je granično stabilan; ako je α <, ne možemo sa sigurnošću reći da li je sustav stabilan ili nestabilan. Derivacija funkcije x T (t) Px (t) po vremenu je 2x T (t) Pẋ (t); matrica P dokazuje stupanj opadanja α ako i samo ako je simetrična i pozitivno definitna 2x T Py αx T Px. (3.24) Kako je tražena nejednadžba linearna u y, ona je dokaziva za svaki y Q (x) ako i samo ako vrijedi y = Q i x, i = 1,..., M (Q (x) je konveksna ljuska točaka Q i x). Dakle pozitivno definitna matrica P dokazuje stupanj opadanja α ako i samo ako vrijedi sljedeće x T [ PQ i + Q T i P ] x 2x T PQ i x αx T Px, (3.25) za svaki x, tj. ako i samo ako matrica P zadovoljava sustav linearnih matričnih nejednadžbi: αp + PQ i + Q T i P, i = 1,..., M, P >. (3.26)

39 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 25 Možemo zadati da je P I, čime dobivamo sustav linearnih matričnih nejednadžbi P I, αp + PQ i + Q T i P i = 1,..., M, (3.27) što je pozitivno semidefinitni program. Primjer 1 (Analiza stabilnosti primjenom LMI ). Zadan je autonomni kontinuirani LTI sustav ẋ(t) = Ax(t), ẋ 1 1 ẋ 2 = ẋ 3 Potrebno je ispitati stabilnost sustava rješavanjem Ljapunovljeve linearne matrične jednadžbe P >, A T P + PA <. Primjenom Yalmip sučelja koje se implementira u MATLAB te uz primjenu x 1 x 2 x 3. SeDuMi solvera dobivamo sljedeću matricu P = , čije su svojstvene vrijednosti λ 1 =.267, λ 2 =.6435, λ 3 = , iz kojih zaključujemo da je matrica P pozitivno definitna, što znači da je razmatrani sustav stabilan. Skripta koja rješava opisani problem dana je u dodatku D1.

40 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije Sinteza regulacijskih sustava primjenom LMI Sada ćemo promatrati regulacijski sustav koji se sastoji od objekta regulacije na koji djeluje vektor upravljanja u (t) ẋ (t) Q (x (t), u (t)), (3.28) gdje su Q (x, u) = conv {Q 1 x + B 1 u,..., Q M x + B M u}, x R n vektor stanja, u R m vektor upravljanja, Q i R n n, B i R n m. Cilj je osigurati stabilnost zatvorenog sustava sa linearnom vremenski - invarijantnom povratnom vezom u obliku u (t) = Kx (t), (3.29) gdje je K R m n matrica povratna veze, odnosno regulator stanja sustava. Taj cilj ćemo postići preko Ljapunovljeve funkcije u kvadratnom obliku f (x) = x T Px. Ako za neki α > možemo pronaći istovremeno matricu K i pozitivno definitnu simetričnu matricu P takve da je tada će naš sustav biti stabilan. d ( x T (t) Px (t) ) αx T (t) Px (t), (3.3) dt Na isti način kao u prethodnom razmatranju izraz (3.3) i uvjeti za matricu P (pozitivna definitnost) rezultiraju sustavom matričnih nejednadžbi [Q i + B i K] T P + P [Q i + B i K] αp, i = 1,..., M, P >, (3.31) gdje su nepoznate matrice P i K. Sustav nije linearan u matricama P i K pa uvodimo supstituciju Y = P 1 P = Y 1, F = KP 1 K = FY 1. (3.32) Sa tim novim varijablama sustav postaje: Q T i Y 1 + Y 1 Q i + Y 1 F T B T i Y 1 + Y 1 B i FY 1 αy 1, i = 1,..., M, Y >. (3.33)

41 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 27 Ako gornji izraz pomnožimo sa lijeve i desne strane matricom Y dobivamo: YQ T i + Q i Y + F T B T i + B i F αy, i = 1,..., M, Y >, (3.34) što je sustav LMI sa varijablama Y i F koji predstavlja semidefinitan program. Primjer 2 (Sinteza upravljanja primjenom LMI ). Zadan je LTI sustav u prostoru stanja ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), ] [ ] [ ] [ ] [ẋ1 1 2 x1 1 [ ] = + u ẋ 2 Potrebno je odrediti zakon upravljanja koji stabilizira sustav. sustav x 2 u(t) = Kx(t) Ako zakon upravljana uvrstimo u jednadžbu sustava tada dobivamo regulacijski ẋ(t) = (A + BK) x(t). Za sintezu upravljanja prema izrazu (3.31) potrebno je rješiti sljedeću matričnu nejednadžbu (A + BK) T P + P (A + BK) <, P >. Budući da prethodna matrična nejednadžba nije linearna u matricama P i K uvodimo supstituciju prema izrazu (3.32) čime dobivamo AY + YA T + BF + F T B T <, Y >. Primjenom Yalmip sučelja koje se implementira u MATLAB te uz primjenu SeDuMi solvera dobivamo sljedeće matrice [ ] Y =, F = [ ] ,

42 Poglavlje 3. Linearne matrične nejednadžbe u teoriji automatske regulacije 28 iz kojih dobivamo matricu K K = FY 1 = [ ] Svojstvene vrijednosti matrice A + BK koje iznose λ 1 = i, λ 2 = i, nalaze se u lijevoj kompleksnoj poluravnini iz čega zaključujemo da je regulacijski sustav stabilan. Skripta koja rješava opisani problem dana je u dodatku D x 1 5 x t [s] Slika 3.1: Odziv sustava bez regulatora na početne uvjete x = [1 1] T. 1.5 x x t [s] Slika 3.2: Odziv sustava sa regulatorom na početne uvjete x = [1 1] T.

43 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava Metoda H optimizacije koristi se u teoriji upravljanja tehničkim sustavima za sintezu regulatora kojima se postiže robustnost ili stabilizacija sustava. Pri tome se upravljački zadatak predstavlja kao problem matematičke optimizacije čijim se rješavanjem dobiva željeni zakon upravljanja. Takav pristup zahtjeva relativno visoku razinu matematičkog razumijevanja, a tako der i dovoljno dobar model objekta upravljanja. Termin H dolazi od imena matematičkog prostora nad kojim se vrši optimizacija. H je prostor analitičkih matričnih funkcija koje su ograničene u lijevoj strani kompleksne ravnine definirane sa Re(s) <, a H norma je maksimalna singularna vrijednost funkcije u tom prostoru. Ovo se može interpretirati kao maksimalno pojačanje u svim smjerovima i na svim frekvencijama. Za sustave sa jednim ulazom i jednim izlazom to pojačanje predstavlja maksimalnu vrijednost u frekvencijskoj karakteristici sustava 1. Kada govorimo o H optimizaciji, tada govorimo o metodi sinteze upravljanja čiji je cilj minimizacija vrh(ov)a jedne ili više prijenosnih funkcija. Kako smo već rekli, H norma stabilne prijenosne funkcije G(s) je vršna vrijednost od G(jω) 1 Frekvencijska karakteristika sustava koja prikazuje zavisnost amplitude frekvencijske prijenosne funkcije i faznog kuta o frekvenciji naziva se Bodeovim dijagramom. Kod njega se odvojeno crtaju amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika, a mjerilo na ordinatnim osima je linearno, dok je na osi apscisa frekvencija dana u logaritamskom mjerilu. 29

44 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 3 kao frekvencijske funkcije, odnosno G(s) max G(jω). (4.1) ω Točnije govoreći, max (maksimalna vrijednost) bi se trebala zamijeniti sa sup (supremum, najmanja gornja granica) zato jer se maksimum u stvarnosti neće postići budući da tada ω. Simbol dolazi od činjenice da se maksimalna veličina preko frekvencije može napisati kao 4.1. Norme sustava ( ) 1 max G(jω) = lim G(jω) p p dω. (4.2) p Prostori H 2 i H, koji se još nazivaju i Hardyevi prostori, su skupovi analitičkih funkcija. Neka je S C otvoreni skup, gdje je C skup kompleksnih brojeva i neka je f(s) kompleksna funkcija definirana u S: f(s) : S C. (4.3) Za funkciju f(s) kaže se da je analitička u nekoj točki unutar skupa S ako je diferencijabilna u toj točki i tako der u okolini te točke. Za funkciju f(s) kaže se da je analitička u skupu S ako sve njene derivacije postoje u tom području ili je analitička u svim točkama tog područja. Prema tome matrična funkcija je analitička u S ako je svaki element analitička funkcija u S. Nadalje, razmotrimo prostore kompleksnih analitičkih matričnih funkcija koji su u najčešćoj upotrebi prema [75]. L 2 prostor je Hilbertov prostor 2 matričnih (ili skalarnih) funkcija na jr i sadrži sve kompleksne matrične funkcije F takve da je donji integral ograničen, odnosno trace [F(jω) F(jω)] dω <, (4.4) 2 Hilbertov prostor je prostor potpunog skalarnog produkta s normom induciranom svojim skalarnim produktom. Na primjer C n sa uobičajenim skalarnim produktom je konačno dimenzionalan Hilbertov prostor.

45 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 31 gdje F(jω) predstavlja transponiranu konjugirano kompleksnu matricu od F(jω). Skalarni produkt ovog Hilbertovog prostora je definiran na sljedeći način F, G 1 2π trace [F(jω) G(jω)] dω, (4.5) gdje su F, G L 2, a norma inducirana skalarnim produktom je F 2 F, F. (4.6) Sve realne striktno pravilne racionalne 3 matrice prijenosnih funkcija koje nemaju polove na imaginarnoj osi tvore podprostor od L 2 koji se označava sa RL 2. H 2 je zatvoreni podprostor od L 2 sa matričnom funkcijom F(s) analitičkom u Re(s) >, odnosno u otvorenoj desnoj poluravnini. Slično kao i prije, realni racionalni podprostor u H 2, koji sadrži sve striktno pravilne i stabilne realne racionalne matrice prijenosnih funkcija označana se sa RH 2 L je prostor matričnih (ili skalarnih) funkcija koje su ograničene na jr. Racionalni podprostor od L, označen sa RL, sadrži sve racionalne pravilne matrice prijenosnih funkcija koje nemaju polove na imaginarnoj osi. H je zatvoreni podprostor u L sa funkcijama koje su analitičke u otvorenoj desnoj poluravnini i ograničene na imaginarnoj osi. RH je realni racionalni podprostor od H koji sadrži sve pravilne i realno racionalne stabilne matrice prijenosnih funkcija. Od posebnog su interesa L 2 i L stabilnost. Značenje L 2 stabilnosti je da ulazni signal konačne energije uzrokuje izlazni signal konačne energije. imamo sustav u ravnotežnom stanju i sustav je globalno asimptotski stabilan, tada vanjski signal ili poremećaj konačne energije (što praktično znači signal konačnog vremenskog trajanja) uzrokuje regulacijsku pogrešku konačne energije. To znači da će sustav nakon izbacivanja iz ravnotežnog stanja s vremenom ponovo konvergirati ravnotežnom stanju. Značenje L Ako stabilnosti je da ulazni signal konačne amplitude uzrokuje izlazni signal konačne amplitude. Drugim riječima imamo tzv. ograničen-ulaz-ograničen-izlaz (engl. 3 Red polinoma u brojniku je manji od reda polinoma u nazivniku. Bounded-Input-Bounded-Output BIBO)

46 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 32 stabilnost. Ako imamo sustav u ravnotežnom stanju i sustav je globalno asimptotski stabilan, tada vanjski signal ili poremećaj konačne (ograničene) amplitude (što praktično znači permanentni signal neograničenog trajanja) uzrokuje regulacijsku pogrešku ograničene amplitude. To znači da sustav nakon izbacivanja iz ravnotežnog stanja s vremenom neće asimptotski konvergirati ravnotežnom stanju ali će odstupanje biti ograničeno. Razmotrimo sada načine računanja dviju najčešćih normi za vrednovanje performansi sustava, a to su H 2 i H norma. Pretpostavimo da imamo sustav definiran matricom prijenosnih funkcija G(s) i matricom težinskih funkcija g(t). Neka je ulazni signal w, a izlazni signal z. Za definiranje H 2 norme koristi se Frobeniusova matrična norma, definirana izrazom (A5), integrirana po frekvenciji, odnosno prema [5] 1 G(s) 2 trace [G(jω) 2π G(jω)] dω, (4.7) gdje G(jω) predstavlja transponiranu konjugirano kompleksnu matricu od G(jω). Iz izraza (4.7) vidimo da G(s) mora biti striktno pravilno racionalna funkcija, odnosno mora biti G( ) =, inače je H 2 norma beskonačna. H 2 norma se može interpretirati i na drukčiji način primjenom Parsevalovog teorema koji kaže da za kauzalni signal f L 2 vrijedi izraz [52] f(t) T f(t)dt = 1 2π F(jω) F(jω)dω, (4.8) slijedi da je izraz (4.7) jednak H 2 normi impulsnog odziva G(s) 2 = g(t) 2 trace [g(τ) T g(τ)] dτ, (4.9) odnosno G(s) 2 = g(t) 2 = ij Matrica težinskih funkcija jednaka je, t < g(t) = Ce At B + Dδ(t), t, g ij (τ) 2 dτ. (4.1) (4.11)

47 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 33 t gdje je δ(t) jedinična impulsna funkcija koja zadovoljava lim t δ(t)dt = 1, matrice A, B, C, D su matrice sustava zapisanog u obliku prostora stanja prema izrazima (2.17) i (2.18). Uvrštavanjem izraza (4.11) u izraz (4.9) dobivamo izraz za numeričko izračunavanje H 2 norme sustava [5, 75] G(s) 2 = trace (B QB) ili G(s) 2 = trace (CPC ), (4.12) gdje su Q i P Gramiani mjerljivosti i upravljivosti 4, respektivno, definirani izrazima Q = P = e A τ C Ce Aτ dτ, (4.13) e Aτ BB e A τ dτ, (4.14) a koji se tako der mogu dobiti i rješavanjem sljedećih Ljapunovljevih matričnih jednadžbi A Q + QA = C C, (4.15) AP + PA = BB. (4.16) Pretpostavimo da je G(s) L pravilna matrica prijenosnih funkcija stabilnog linearnog sustava, tada je H norma matrice G(s) prema [75, 9] jednaka G(s) sup Re(s)> σ max (G(s)) = sup σ max (G(jω)), (4.17) ω R gdje σ max ( ) označava maksimalnu singularnu vrijednost matrice, tj. σ max (F) = λ 1/2 max(f F). (4.18) Izračunavanje H norme je složeno i zahtijeva primjenu rekurzivnog algoritma. Sa stajališta inženjerskog upravljanja sustavima H norma se može interpretirati unutar kompleksne ravnine kao udaljenost od ishodišta do najudaljenije točke Nyquistovog dijagrama, ili kao vršna vrijednost u Bodeovom amplitudno frekvencijskom dijagramu. 4 Vidi Dodatak C.

48 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 34 H norma se može procijeniti (estimirati) računanjem σ max (G(jω)) na N frekvencija, {ω 1,..., ω N }, i tada je G(s) max 1 k N σ max(g(jω k )). (4.19) Nadalje prema [75], H norma tako der se može izračunati i u prostoru stanja ako je matrica G(s) racionalna. Neka postoji pozitivna skalarna vrijednost γ > i neka je G(s) = C [ A B ] D RL. (4.2) Pretpostavimo da matrica A nema svojstvene vrijednosti na jω osi. Tada vrijedi G(s) < γ ako i samo ako je σ max (D) < γ i matrica [ ] A + BR 1 D C BR 1 B H = C (I + DR 1 D ) C (A + BR 1 D C), (4.21) gdje je R = γ 2 I D D, nema svojstvene vrijednosti na jω osi. Matrica H iz izraza (4.21) naziva se matrica Hamiltonian budući da vrijedi [2] [ ] I Primjetimo da vrijedi sljedeće J 1 HJ = H, J = I. (4.22) D = σ max (G(jω)) sup(σ max (G(jω))) < γ, ω (4.23) što implicira da ako je D = σ max (D) > γ tada je nemoguće da G(s) bude manje od γ. Nejednadžba sup ω σ max (G(jω)) < γ je zadovoljena ako i samo ako je sup σ max (G(jω) G(jω)) < γ 2 I, (4.24) ω što znači da je matrica γ 2 I G(jω) G(jω) nesingularna za svaki ω. Promotrimo sada dinamički sustav sa sljedećom matricom prijenosnih funkcija Φ(s) = ( γ 2 I G(jω) G(jω) ) 1. (4.25)

49 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 35 Možemo zaključiti da je G(s) < γ ako i samo ako Φ(s) nema polove na imaginarnoj osi. Ako takvi polovi postoje, recimo na jω, tada je Φ(jω ) 1 = = γ 2 I G(jω ) G(jω ), (4.26) što je u kontradikciji sa pretpostavkom da je Φ(jω) 1 nesingularna za svaki ω. Nadalje, Φ(s) ima sljedeći oblik u prostoru stanja [ ] BR 1 H Φ(s) = C DR [R 1 ]. (4.27) 1 D C R 1 B R 1 Ako matrica H ima svojstvenu vrijednost na imaginarnoj osi, recimo na jω, tada postoji vektor x = [x 1 x 2 ] T takav da je (jω I H) x =. Ako ova svojstvena vrijednost odgovara upravljivom/mjerljivom modu od Φ(s), tada Φ(s) ima pol na imaginarnoj osi i norma G(s) ne može biti manja od γ. Stoga, ako je G(s) Φ(s). < γ tada jω mora biti ili neupravljivi ili nemjerljivi mod od Neka je jω nemjerljivi mod sustava Φ(s). Test mjerljivosti Popov-Belevitch- Hautus prema [2] zahtjeva da matrica [λi H [R 1 D C za sve λ. Ako je jω nemjerljivi mod, tada postoji x = [x 1 R 1 B ]] ima puni rang x 2 ] T takav da je [ λi H [ R 1 D C R 1 B ]] x =, (4.28) što se može desiti samo ako je Hx = jω x, = [ R 1 D C R 1 B ] x, (4.29) odnosno (jω I A)x 1 =, (jω I + A )x 2 = C Cx 1, (4.3) D Cx 1 + B x 2 =. Budući da je pretpostavka da matrica A nema svojstvenih vrijednosti na imaginarnoj osi, slijedi da (jω I A)x 1 = implicira x 1 =. Uvrštavanjem

50 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 36 x 1 = u drugu jednadžbu izraza (4.3) dobivamo (jω I + A )x 2 =. Ponovo A nema svojstvene vrijednosti na imaginarnoj osi pa tako der mora biti x 2 =. Ovo je u kontradikciji sa prethodnom pretpostavkom x. Na sličan način možemo promatrati slučaj gdje je jω neupravljivi mod od Φ(s). Primjena Popov-Belevitch-Hautus testa upravljivosti prema [2] ponovo dovodi do kontradikcije, pa možemo zaključiti da Φ(s) ne može imati polove na imaginarnoj osi ako i samo ako matrica Hamiltonian H nema svojstvene vrijednosti na imaginarnoj osi. Za računanje H norme na temelju prethodnog razmatranja u refrencama [9] i [8] je razvijen sljedeći vrlo efikasan algoritam raspolavljanja (engl. Bisection Algorithm): 1. odabrati gornju γ u i donju γ l granicu takve da je γ l < G(s) < γ u ; 2. ako je (γ u γ l )/γ l ε, gdje je ε tolerancija pogreške, STOP; G(s) (γ u + γ l )/2. Inače ići na sljedeći korak; 3. postaviti γ = (γ u + γ l )/2; 4. ispitati da li je G(s) < γ računanjem svojstvenih vrijednosti matrice H iz izraza (4.21) za odgovarajući γ; 5. ako H nema svojstvene vrijednosti na imaginarnoj osi postaviti γ l = γ; inače γ u = γ; vratiti se na korak 2. Ovaj algoritam radi na vrlo jednostavan način. Pratpostavlja da znamo granice γ u i γ l. Početna vrijednost od G(s) je srednja izme du γ u i γ l, čime područje traženja dijelimo na pola. Označimo sa γ tu početnu vrijednost. Ispitivanjem svojstvenih vrijednosti matrice H iz izraza (4.21) možemo utvrditi da li je naša početna vrijednost prevelika ili premala. Ako je prevelika tada znamo da je γ l < G(s) < γ, a ako je premala tada je γ < G(s) < γ u. Prema ovim informacijama izabiremo novu vrijednost γ 1 kojom se područje traženja ponovo raspolavlja. U opisanom algoritmu implementirana je ova igra poga danja koja garantira odre divanje G(s) s točnošću od (γ u γ l )/2 n nakon n ponavljanja.

51 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 37 Da bi shvatili razliku izme du H 2 i H definirajmo H 2 normu koristeći vezu izme du Frobeniusove matrične norme i singularne vrijednosti koja glasi F = σi 2 ( ). (4.31) Tada je H 2 norma sustava jednaka 1 G(s) 2 = σi 2 (G(jω))dω. (4.32) 2π Iz ovoga vidimo da minimizacija H 2 norme odgovara minimizaciji sumi kvadrata svih singularnih vrijednosti na svim frekvencijama, dok minimizacija H norme odgovara minimizaciji vrha najveće singularne vrijednosti. Razlog popularnosti H i i norme u robustnom upravljanju sustavima leži u činjenici da je ona pogodnija za opisivanje nestrukturirane neizvjesnosti koja pretpostavlja manje znanja o procesu (npr. može se poznavati samo to da frekvencijska karakteristika procesa leži unutar odre denih granica), a tako der vrijedi svojstvo koje kod H 2 norme ne vrijedi. G 1 (s)g 2 (s) G 1 (s) G 2 (s), (4.33) Za numeričko računanje H 2 i H norme linearnih sustava mogu se koristiti funkcije normh2.m i normhinf.m iz programskog paketa MATLAB u kojima su implementirani algoritmi razmatrani u ovom podpoglavlju. Primjer 3 (Računanje H 2 i H norme linearnih sustava). Za sustav zadan u prostoru stanja sljedećim matricama 1 A = , B = 1, [ ] [ ] 1 C =, D =, 1

52 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 38 potrebno je odrediti H 2 i H normu sustava. Matricu sustava, tj. matricu prijenosnih funkcija [ ] A B G(s) =, (4.34) C D u MATLAB-u možemo definirati naredbom G=pck(A,B,C,D). Da bi izračunali norme sustava direktno ćemo koristit funkcije iz MATLABovog Robust Control Toolbox-a. Naredbom normh2(a,b,c,d) dobivamo H 2 normu koja iznosi G(s) 2 = 2.561, dok naredbom normhinf(a,b,c,d) dobivamo H iznosa G(s) = Alternativno, H 2 i H normu smo mogli dobiti naredbama h2norm(g) i hinfnorm(g), respektivno, s tom razlikom što posljedna naredba daje kao rješenje gornju i donju granicu H norme te frekvenciju na kojoj je donja granica postignuta Definicija problema H upravljanja Promotrimo sustav u zatvorenoj petlji prema [52, 53, 75] prikazan na slici 4.1 gdje je objekt upravljanja G : L 2e L 2e kauzalni 5 i linearni operator takav da je [ ] [ ] [ ] [ ] z w G11 G 12 w = G =, (4.35) y u G 21 G 22 u a K : L 2e L 2e, u = Ky je kauzalni linearni regulator. Vektor w, dimenzije l 1, označava ulazni signal koji djeluje na objekt upravljanja, a u literaturi se često naziva poopćeni poremećaj. Vektor z, 5 Za operator kažemo da je kauzalni ako vrijenost izlaza u nekom trenuku t ovisi jedino o vrijednostima ulaza do trenutka t. Kauzalnost je fundamentalno svojstvo dinamičkih sustava reprenzentiranih modelom u obliku prostora stanja.

53 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 39 Slika 4.1: Standardni regulacijski problem. dimenzije q 1, je izlazni signal koji pokazuje da li je regulatorom postignuto željeno ponašanje objekta upravljanja. Signal z predstavlja regulacijsku pogrešku koja će u idealnom slučaju biti jednaka nuli. Vektor u, dimenzije m 1, je izlazni signal iz regulatora, a koji predstavlja upravljački ulaz u objekt upravljanja. Vektor y, dimenzije p 1, označava signal koji ulazi u regulator, odnosno mjereni izlaz objekta upravljanja. Objekt upravljanja G u prostoru stanja reprezentiran je na sljedeći način ẋ(t) = Ax(t) + B 1 w(t) + B 2 u(t), z(t) = C 1 x(t) + D 11 w(t) + D 12 u(t), (4.36) y(t) = C 2 x(t) + D 21 w(t) + D 22 u(t), gdje su dimenzije matrica sljedeće: A je n n, B 1 je n l, B 2 je n m, C 1 je q n, C 2 je p n, D 11 je q l, D 12 je q m, D 21 je p l, D 22 je p m. Dinamika regulatora K u prostoru stanja ima sljedeći oblik ẋ K (t) = A K x K (t) + B K y(t), u(t) = C K x K (t) + D K y(t), (4.37) gdje su dimenzije matrica sljedeće: A K je k k, B K je k p, C K je m k, D K je m p. Za objekt upravljanja opisan jednadžbama iz izraza (4.36) prema [26] pretpostavljamo sljedeće: A1: (A, B 2, C 2 ) je ustaljiv 6 (engl. stabilizable) i detektiv 7 (engl. detectable), 6 Sustav je ustaljiv ako je neupravljivi podsustav asimptotski stabilan [64]. 7 Sustav je detektiv ako su nemjerljiva stanja asimptotski stabilna [64].

54 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 4 A2: rank(d 12 ) = m; rank(d 21 ) = p, [ ] jωi A B2 A3: rank = m + n za svaki ω, C 1 D 12 [ ] jωi A B1 A4: rank = p + n za svaki ω. C 2 D 21 Pretpostavka A1 je nužna i dovoljna za egzistenciju regulatora koji osigurava stabilnost sustava. Pretpostavka A2 eliminira mogućnost pojave problema singularnosti. Ova pretpostavka zahtjeva da dimenzija od z bude barem kao dimenzija od u, dok dimenzija od w mora biti barem kao dimenzija od y. Pretpostavke A3 i A4 su nužne za egzistenciju stabilnih rješenja Riccatijeve jednadžbe za sintezu regulatora. Nadalje, ako u izraz (4.35) uvedemo povratnu vezu oblika u = Ky, (4.38) dobivamo vektor mjerenih izlaza y y = G 21 w + G 22 u = G 21 w + G 22 Ky = (I G 22 K) 1 G 21 w, (4.39) i vektor izlaza z z = G 11 w + G 12 u = G 11 w + G 12 Ky. (4.4) Uvrštavanjem izraza (4.39) u izraz (4.4) dobivamo z = [ G 11 + G 12 K (I G 22 K) 1 ] G 21 w, (4.41) iz čega slijedi izraz za matricu prijenosnih funkcija zatvorenog regulacijskog kruga T(s) = G 11 + G 12 K (I G 22 K) 1 G 21. (4.42) Standardni problem H optimalne regulacije sastoji se u odre divanju regulatora sa matricom K takvom da interno stabilizira zatvoreni regulacijski krug i miminizira normu T zatvorenog kruga od egzogenog ulaza w prema izlazu z. Češće se sinteza svodi na projektiranje regulatora kojim se postiže da

55 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 41 H norma zatvorenog kruga bude manja od neke konstantne vrijednosti γ >. Takav regulator, koji se naziva γ-suboptimalni regulator, tako der interno stabilizira regulacijski sustav [75]. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, prema [23, 22] da je D 22 = tako da imamo sustave G(s) i K(s) opisane u prostoru stanja na sljedeći način A B 1 B 2 [ ] G(s) = C 1 D 11 D 12, K(s) = AK B K. (4.43) C K D K C 2 D 21 Kombinacijom sustava iz prethodnosg izraza dobivamo matricu prijenosa koja preslikava w z u sljedećem obliku [ Acl B cl T(s) = C cl D cl ], (4.44) gdje su A cl = C cl = [ ] [ ] A + B2 D K C 2 B 2 C K B1 + B 2 D K D 21, B cl =, B K C 2 A K B K D 21 ] ] [C 1 + D 12 D K C 2 D 12 C K, D cl = [D 11 + D 12 D K D 21. (4.45) Definirajmo sada matricu Θ = te uvedimo skraćene oznake [ ] [ ] A B1 Ā =, B = k [ ] B2 B =, D 12 = I k [ AK B K C K D K ] ], C = [C 1, C = [ D 12 ], D 21 =, (4.46) [ D 21 tako da su matrice zatvorenog kruga iz izraza (4.45) jednake ], [ ] Ik C 2 (4.47) A cl = Ā + BΘC, B cl = B + BΘD 21, C cl = C + D 12 ΘC, D cl = D 11 + D 12 ΘD 21. (4.48)

56 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava H sinteza primjenom LMI U ovom podpoglavlju ćemo pokazati na koji način je moguće problem H optimizacije formulirati u obliku linearnih matričnih nejednadžbi. Izvest će se postupak sinteze regulatora stanja te dinamičkog regulatora punog reda. Glavnu ulogu u ovakvom postupku sinteze H regulatora ima lema ograničene realnosti (engl. bounded real lemma). Primjenom linearnih matričnih nejednadžbi ne postavljaju se dodatne pretpostavke na objekt upravljanja osim uobičajenih svojstava ustaljivosti (engl. stabilizability) i detektivosti (engl. detectability) već se problem svodi na konveksnu optimizaciju koja se efikasno rješava primjenom postojećih algoritama uz pomoć računala. Za numeričko rješavanje nejednadžbi algoritmima semidefinitnog programiranja mogu se koristiti Yalmip i SeDuMi koji se na jednostavan način implementiraju u MATLAB-u. Izlaganja u ovom podpoglavlju slijede reference [11, 47, 2, 52, 69, 23, 22]. Ako imamo linearni vremenski-invarijantan sustav ẋ(t) = Ax(t) + Bw(t), z(t) = Cx(t) + Dw(t), (4.49) i funkciju akumulirane energije (engl. storage function) koja je ujedno i Ljapunovljeva funkcija sustava u kvadratnoj formi V (x) = x T Px, (4.5) uz P = P T i P >, te ako je funkcija toka energije (engl. supply rate function) s(w, z) = γ 2 w 2 z 2, (4.51) tada je sustav prema definiciji 17 L 2 stabilan ako je zadovoljena sljedeća nejednadžba V (x) γ 2 w T w z T z, γ. (4.52) Ako izraz (4.52) integriramo od do T sa početnim uvjetima x() = dobit ćemo V (x(t )) + T z T z γ 2 w T w, (4.53)

57 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 43 a budući da je V (x(t )) slijedi T T (z T z γ 2 w T w)dt, T z T zdt γ 2 w T wdt, z 2 γ 2 w 2, z w γ, (4.54) odnosno L 2 pojačanje sustava je manje od neke pozitivne vrijednosti γ. L 2 pojačanje je jednako H normi matrice prijenosnih funkcija sustava. Nadalje, deriviranjem funkcije V (x) iz izraza (4.5) dobivamo V (x) = ẋ T Px + x T Pẋ = (Ax + Bw) T Px + x T P (Ax + Bw) = = x T A T Px + w T B T Px + x T PAx + x T PBw. (4.55) Uvrštavanjem prethodnog izraza u izraza (4.52) te nakon množenja i prebacivanja svih članova na lijevu stranu dobivamo odnosno x T A T Px + x T PAx + w T B T Px + x T PBw γ 2 w T w+ + x T C T Cx + x T C T Dw + w T D T Cx + w T D T Dw, x T [ A T P + PA + C T C ] x + w T [ B T P + D T C ] x+ + x T [ PB + C T D ] w + w T [ D T D γ 2 I ] w, (4.56) (4.57) ili u matričnom obliku ] [x [ ] [ ] A T P + PA + C T C PB + C T D x T w T, (4.58) B T P + D T C D T D γ 2 I w iz čega slijedi linearna matrična nejednadžba [ ] A T P + PA + C T C PB + C T D. (4.59) B T P + D T C D T D γ 2 I U literaturi se nejednadžba (4.59) često prikazuje u obliku A T P + PA PB C T B T P γi D T (4.6) C D γi

58 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 44 koji se dobiva direktnom primjenom Schur komplementa iz izraza (3.13) i (3.14) na nejednadžbu (4.59). Izvedimo sada matricu prijenosnih funkcija za LTI sustav. U tu svrhu potrebno je prethodno izvršiti Laplaceovu transformaciju izraza (4.49) [41] sx(s) X() = AX(s) + BW(s), Z(s) = CX(s) + DW(s). (4.61) Usvajajući, nadalje, da je X() =, iz prve jednadžbe izraza (4.61) dobija se X(s) = [si A] 1 BW(s). (4.62) Nakon supstitucije X(s) iz (4.62) u jednadžbu izlaza iz (4.61) dobija se forma Z(s) = { C [si A] 1 B + D } W(s). (4.63) Matrica prijenosnih funkcija G(s) definira se kao model linearnog vremenski-invarijantnog kontinuiranog sustava, koja vektor ulaza W(s) preslikava na vektor izlaza Z(s), u području kompleksne varijable s, pa iz (4.63) slijedi izraz za G(s) G(s) = C [si A] 1 B + D. (4.64) Na temelju prethodno izvedenih izraza od (4.49) do (4.64), a prema [52, 75, 45, 23], možemo postaviti lemu koja ima važnu ulogu u H sintezi primjenom linearnih matričnih nejednadžbi. Lema 1 (Lema ograničene realnosti). Pretpostavimo da je sustav opisan jednadžbama (4.49) upravljiv i ima matricu prijenosnih funkcija odre denu izrazom (4.64). Neka je funkcija toka energije definirana izrazom (4.51). Vrijede sljedeće tvrdnje: G(s) < γ i A je stabilna matrica, tj. Re(λ i (A)) <, postoji pozitivno definitna simetrična matrica P koja je rješenje linearne matrične nejednadžbe iz izraza (4.6).

59 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 45 Lema ograničene realnosti u obliku semidefinitnog programiranja (definicija 12) možemo formulirati na sljedeći način min γ γ R, P R n n s.t. (4.6), P >. (4.65) Sinteza regulatora stanja Za sintezu regulatora stanja objekta upravljanja opisanog jednadžbama (4.36) pretpostavljamo da su sva stanja dostupna, tj. C 2 = I, te da su D 21 = i D 22 =. Cilj je odrediti matricu K R m n takvu da zakon upravljanja minimizira H normu matrice prijenosnih funkcija regulacijskog sustava. Uvrštavanjem zakona upravljanja u(t) = Kx(t) u izraz (4.36) uz prethodne pretpostavke dobivamo sljedeći sustav ẋ(t) = (A + B 2 K) x(t) + B 1 w(t), z(t) = (C 1 + D 12 K) x(t) + D 11 w(t). (4.66) Analogno načinu izvedenom u izrazima od (4.61) do (4.63) matrica prijenosnih funkcija regulacijskog sustava iz izraza (4.66) je T(s) = (C 1 + D 12 K) (si A B 2 K) 1 B 1 + D 11. (4.67) Prema [29] ako postoji simetrična matrica P > koja zadovoljava LMI iz izraza (4.6) to je ekvivalentno kao da postoji P > koji zadovoljava sljedeću LMI AP + PA T B PC T B T γi D T. (4.68) CP D γi Prema tome, H norma matrice prijenosnih funkcija iz izraza (4.67) bit će manja od γ > ako i samo ako postoji pozitivno definitna matrica P R n n takva da je (A + B 2 K)P + P(A + B 2 K) T B 1 P(C 1 + D 12 K) T B T 1 γi D T 11. (4.69) (C 1 + D 12 K)P D 11 γi

60 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 46 Matričnu nejednadžbu iz izraza (4.69) smo dobili sljedećom zamjenom u izrazu (4.68) A (A + B 2 K), B B 1, C (C 1 + D 12 K), D D 11. (4.7) Budući da je nejednadžba (4.69) bilinearna u varijablama P i K, da bi dobili LMI uvodimo supstituciju F = KP iz čega slijedi nejednadžba AP + PA T + B 2 F + F T B T 2 B 1 PC T 1 + F T D T 12 B T 1 γi D T 11, (4.71) C 1 P + D 12 F D 11 γi iz koje algoritmima semidefinitnog programiranja možemo numerički izračunati matrice F i P na osnovu kojih dobivamo regulator stanja K = FP 1 minimizira H normu sustava. koji Sinteza dinamičkog regulatora punog reda Promatra se regulacijski sustav definiran izrazom (4.44) koji se sastoji od procesa G(s) i regulatora punog reda K(s) definiranih izrazom (4.43). Na proces se kao i kod sinteze regulatora stanja radi jednostavnosti uvode sljdeće pretpostavke: C 2 = I, D 21 = i D 22 =. Teorem 1 (Sinteza H dinamičkog regulatora punog reda [23]). Dinamički regulator K(s) reda k takav da je H norma zatvorenog regulacijskog sustava T(s) < γ postoji ako i samo ako postoje dvije simetrične matrice R R n n i S R n n takve da je zadovoljena LMI [ ] T AR + RA T RC T 1 B 1 [ ] NR I C 1 R γi D 11 NR <, (4.72) I B T 1 D T 11 γi [ ] T A T S + SA SB 1 C T [ ] 1 NS I B T 1 S γi D T NS 11 <, (4.73) I C 1 D 11 γi [ ] R I, (4.74) I S

61 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 47 gdje su N R i N S ortonormalne baze nul-prostora od [ B T 2 D T 12] i [C2 D 21 ], respektivno. Nadalje, postoji γ-suboptimalni regulator reduciranog reda k < n ako i samo ako su zadovoljene prethodne nejednadžbe, a tako der i uvjet rank (I RS) k. (4.75) Dokaz. Uvedimo najprije lemu koja uz lemu ograničene realnosti (lema 1) ima centralnu ulogu u ovom pristupu: Lema 2 (Lema eliminacije [23]). Ako je zadana matrica Ψ R m m i dvije matrice X i Q sa m brojem stupaca potrebno je odrediti matricu Θ odgovarajuće dimenzije takvu da je Ψ + X T Θ T Q + Q T ΘX <. (4.76) Označimo sa W X i W Q matrice čiji stupci tvore bazu nul-prostora 8 matrica X i Q, respektivno. Tada je nejdnadžba (4.76) riješiva za Θ ako i samo ako WX T ΨW X <, WQ T ΨW Q <. (4.77) Primjenom leme pozitivne realnosti (lema 1) dinamički regulator punog reda iz izraza (4.37) bit će γ-suboptimalan ako i samo ako postoji simetrična pozitivno definitna matrica P cl R (n+k) (n+k) koja zadovoljava nejednadžbu A T cl P cl + P cl A cl P cl B cl C T cl B T cl P cl γi D T cl <, (4.78) C cl D cl γi gdje su matrice A cl, B cl, C cl i D cl definirane sa (4.45). Upotrebom izraza (4.48) relacija (4.78) može se napisati kao Ψ Pcl + Q T Θ T X Pcl + X T P cl ΘQ <, (4.79) 8 Za matricu A dimenzije m n skup N (A) = {x n 1 Ax = } R n zove se nul-prostor od A. Drugim rječima, N (A) je skup svih rješenja homogenog sustava Ax = [36].

62 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 48 gdje je matrica Θ definirana izrazom (4.46), dok su Ā T P cl + P cl Ā P cl B CT Ψ Pcl = B T P cl γi D T 11, C D 11 γi [ ] [ ] Q = C D 21, X Pcl = B T P cl D T 12. (4.8) Dakle, skup γ-suboptimalnih regulatora reda k je neprazan ako i samo ako je zadovoljena nejednadžba (4.79) za matrice Θ R (k+m) (k+p) i P cl >. Nejednadžba (4.79) je bilinearna u matricama Θ i P cl. Da bi dobili linearnu formu nejednadžbe koja ovisi samo o P cl i parametrima procesa primjenit ćemo lemu eliminacije (lema 2). Neka W XPcl bazu nul-prostora od X Pcl matricu Θ je zadovoljen ako i samo ako WX T Pcl Ψ Pcl W XPcl <, i W Q označavaju matrice čiji stupci tvore i Q, respektivno. Tada, prema lemi 2 uvjet (4.79) za WQ T Ψ P cl W Q <. (4.81) Nadalje, postojanje matrice P cl koja zadovoljava (4.81) je ekvivalentno kao da P cl zadovoljava gdje je WX T Φ P cl W X <, WQ T Ψ P cl W Q <, (4.82) Ā T P 1 cl + P 1 cl Ā B P 1 cl C T Φ Pcl = B T γi D T 11, (4.83) CP 1 cl D 11 γi a W X je matrica čiji stupci tvore bazu nul-prostora od X. Ograničenja iz izraza (4.82) i dalje nisu konveksna zato jer sadrže matricu P cl i njen inverz. Oni se mogu dalje reducirati u par Riccatijevih nejednadžbi manjih dimenzija koje su konveksna ograničenja. Definirajmo prema [29] P cl i P 1 cl na sljedeći način [ ] [ ] Y N X M P cl =, P 1 N T cl =, (4.84) M T

63 Poglavlje 4. H sinteza regulacijskih sustava 49 gdje su X, Y R n n i M, N R n k. Na ovaj način prvi uvjet iz izraza (4.82) se reducira u ograničenje iz izraza (4.72), dok se drugi uvjet iz izraza (4.82) reducira u ograničenje iz izraza (4.73). Teorem 1 ukazuje samo na egzistenciju rješenja i ne uključuje računanje optimalnog regulatora. Matrica sustava H γ-suboptimalnog regulatora, Θ, može se dobiti na sljedeći način: 1. rješavanjem LMI od (4.72) do(4.74) izračunaju se matrice R i S, 2. matrica P cl se izračuna rješavanjem linearne jednadžbe [23] [ ] S I N T [ ] I R = P cl, (4.85) M T primjenom dekompozicije singularne vrijednosti, gdje je MN T = I RS, (4.86) 3. matrica Θ se dobije iz izraza (4.79). Dakle, kada imamo matricu P cl nejednadžba (4.79) postaje LMI s varijablom Θ što predstavlja problem konveksne optimizacije.

64 Dio II Sinteza regulatora elektro-hidrauličkog servo sustava 5

65 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava Matematički model nekog sustava prikazuje funkcijske ovisnosti izme du izlaznih i ulaznih veličina sustava odnosno dijelova sustava i iskazuje se odgovarajućim diferencijalnim ili integralno-diferencijalnim jednadžbama. Za postavljanje odgovarajućeg matematičkog modela za neku dinamičku komponentu sustava primjenjuju se osnovni fizikalni zakoni. U slučaju hidrauličkih sustava to su zakoni održanja energije i materije. Svrha postavljanja matematičkog modela je da se što bolje opiše dinamičko ponašanje neke komponente sustava. Kako bi se matematički model mogao upotrijebiti u sintezi algoritama upravljanja sustavom nije potrebno opisivati sve fizikalne pojave koje se u komponenti mogu odigrati, jer bi takav sustav postao presložen. Analizom ponašanja sustava u cjelini došlo se do spoznaje da se veliki broj, po fizikalnoj prirodi različitih procesa, opisuje matematičkim modelom istog tipa. Prilikom analize i sinteze sustava moramo biti svjesni da niti jedan matematički model ne može u potpunosti opisati ponašanje sustava u svim njegovim mogućim radnim točkama. 51

66 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 52 Postupak računalne simulacije predstavlja nezaobilazan korak u postupku mate-matičkog modeliranja kojim se stječe dublji uvid u ponašanje realnog sustava u radu. Dobivena na temelju apstraktnog modela sustava, računalna simulacija služi kao alat za predvi danje i objašnjenje različitih fenomena koji se mogu pojaviti pri odre denim stanjima razmatranog sustava Izvod nelinearnog dinamičkog modela sustava Nelinearni dinamički sustav s upravljačkim varijablama možemo prikazati sljedećim sustavaom nelinearnih diferencijalnih jednadžbi [31, 61] ẋ 1 (t) = f 1 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t)), x 1 (t ) = x 1, ẋ 2 (t) = f 2 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t)), x 2 (t ) = x 2,. ẋ n (t) = f n (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t)), x n (t ) = x n, koje možemo prikazati u vektorskom obliku ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), x(t ) = x, (5.1) gdje su ẋ(t) = [x 1 (t) x 2 (t) x n (t)] T vektor varijabli stanja, u(t) = [u 1 (t) u 2 (t) u m (t)] T vektor upravljačkih signala, f( ) = [f 1 ( ) f 2 ( ) f n ( )] T vektor nelinearnih funkcija. Pretpostavka je da su funkcije f 1 ( ),..., f n ( ) kontinuirane tako da sustav jednadžbi (5.1) ima jedinstveno rješenje i nazivaju se jednadžbe stanja. Ako nema upravljačkih varijabli, odnosno u(t) =, tada sustav (5.1) postaje nepobu deni nelinearni vremenski-varijabilni sustav. Ako dinamika sustava ne ovisi eksplicitno o vremenu, tada imamo nelinearni autonomni sustav.

67 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 53 Sustav nelinearnih diferencijalnih jednadžbi (5.1) u općem slučaju ne možemo riješiti analitički. Me dutim rješenja diferencijalnih jednadžbi (5.1) zadovoljavaju neka opća svojstva. Pretpostavimo da za neko početno vrijeme t i početno stanje x = x(t ) imamo rješenje jednadžbi (5.1) za t t u obliku x(t; x, t ). Tada vrijede sljedeća svojstva: x(t ; x, t ) = x, ẋ(t; x, t ) = f(x(t; x, t ), t), x(t 2 ; x(t 1 ; x, t ), t 1 ) = x(t 2 ; x, t ) za svaki t 1, t 2 (princip kauzalnosti), x(t; x, t ) = x(t + τ; x, t + τ) za svaki t, τ (samo za autonomne sustave). Razmotrimo sada izvod nelinearnog dinamičkog modela elektro-hidrauličkog servo sustava shematski prikazanog na slici 5.1, koji se sastoji od hidrauličkog cilindra upravljanog proporcionalnim ventilom, pri čemu se upravlja gibanjem tereta. Fizikalni zakoni potrebni za postavljanje jednadžbi dinamike pojedenih komponenata sustava detaljno su obra deni u referencama [35, 2, 67]. Dinamika proporcionalnog ventila može se opisati sljedećom linearnom diferencijalnom jednadžbom drugog reda [63] ÿ v = 2ζ v ω v ẏ v ω 2 vy v + k v ω 2 vu, (5.2) gdje su: k v koeficijent pojačanja proporcionalnog ventila, ω v granična frekvencija proporcionalnog ventila, ζ v koeficijent prigušenja ventila, y v pomak klipa ventila, u ulazni napon. Primjenom Laplaceove transformacije na izraz (5.2) dobivamo odnos izme du pozicije klipa proporcionalnog ventila y v i ulaznog napona u u obliku prijenosne funkcije proporcionalnog člana drugog reda Y v (s) U(s) = k v ω 2 v s 2 + 2ζ v ω v s + 1. (5.3) Općenito, protočni volumen ili jednostavno protok je definiran obujmom fluida koji proteče kroz zadanu površinu u jediničnom vremenu. Jednadžbe protoka kroz

68 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 54 Slika 5.1: modela. Shematski prikaz elektro-hidrauličkog sustava za izvod dinamičkog proporcionalni ventil su izvedene primjenom kontinuiteta protoka kroz neki otvor i definirane su sljedećim izrazima [35]: Q 1 = C d w y v 2 ρ (p n p 1 ), (5.4) za slučaj kada je y v, dok je u slučaju y v < Q 2 = C d w y v 2 ρ (p 2 p a ), (5.5) Q 1 = C d w y v 2 ρ (p 1 p a ), (5.6) 2 Q 2 = C d w y v ρ (p n p 2 ), (5.7) gdje su p 1 tlak u lijevoj, p 2 tlak u desnoj komori cilindra, p n je tlak napajanja, p a tlak rezervoara, C d koeficijent istjecanja proporcionalnog ventila, w gradijent površine otvora proporcionalnog ventila. Pretpostavlja se da su tlakovi izvora i

69 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 55 rezervoara konstantne veličine, a protoci Q 1 i Q 2 jednakog iznosa: Q 1 (y v, p 1 ) = Q 2 (y v, p 2 ) (5.8) Ukoliko se zanemare interna i eksterna curenja sustava, za cilindar vrijedi sljedeća hidrodinamička jednadžba [35, 67] dx p Q 1 = A 1 dt + V 1(x p ) β dx p Q 2 = A 2 dt V 2(x p ) β gdje su β modul stišljivosti fluida definiran izrazom dp 1 dt, (5.9) dp 2 dt, (5.1) β = V dp dt, (5.11) p 1 i p 2 tlakovi u komorama cilindra, Q 1 i Q 2 protoci u cilindru. Volumeni dviju komora cilindra mijenjaju se s pomakom klipa cilindra x p na sljedeći način V 1 (x p ) = V 1 + A 1 x p, (5.12) V 2 (x p ) = V 2 A 2 x p, (5.13) gdje su A 1 i A 2 površine poprečnih presjeka cilindra, a V i = A i l/2, i = 1, 2 je takozvani poluvolumen cilindra. Ponašanje tlaka unutar dviju komora cilindra je: ṗ 1 = ṗ 2 = β V 1 + A 1 x p (Q 1 A 1 ẋ p ), (5.14) β V 2 A 2 x p ( Q 2 + A 2 ẋ p ). (5.15) Mehanički dio sustava može se opisati dinamičkom jednadžbom ẍ p = 1 M t (p 1 A 1 p 2 A 2 b ẋ p c x p F L ), (5.16) gdje je M t ukupna masa klipa i tereta, b i c su viskoznost i krutost mehaničkog dijela, respektivno i F L predstavlja vanjsko opterećenje cilindra. oblika Varijable stanja sustava su y v, ẏ v, p 1, p 2, x p i ẋ p pa je vektor varijabli stanja x = [x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ] T = [ y v ẏ v p 1 p 2 x p ẋ p ] T. (5.17)

70 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 56 Nadalje, na osnovu prethodno izabranog vektora varijabli stanja, nelinearni dinamički model elektro-hidrauličkog servo sustava u obliku izraza definiranog sa (5.1) možemo zapisati na sljedeći način ẋ 1 = x 2, (5.18) ẋ 2 = ωvx 2 1 2ζ v ω v x 2 + k v ωvu, 2 (5.19) ) β 2ρ ẋ 3 = (C d w x 1 V 1 + A 1 x P A 1 x 6 5 (5.2) ) β 2ρ ẋ 4 = ( C d w x 1 V 2 A 2 x R + A 2 x 6 5 (5.21) ẋ 5 = x 6 (5.22) ẋ 6 = 1 (A 1 x 3 A 2 x 4 cx 5 bx 6 F L ) M t (5.23) gdje su p P i p R definirani sljedećim izrazima p n x 3 za y v, p P = x 3 p a za y v <, x 4 p a za y v, p R = p n x 4 za y v <. (5.24) (5.25) 5.2. Linearizirani dinamički model procesa Ovdje će se pokazati postupak linearizacije nelinearnog matematičkog modela elektro-hidrauličkog servo sustava izvedenog u prethodnom podpoglavlju. Linearizacijom oko jednog ravnotežnog stanja dobit će se linearni model kojim će se dinamika nelinearnog sustava moći objasniti u okolini odabranog ravnotežnog stanja. Prilikom linearizacije treba imati na umu da linearni model neće moći objasniti sva ponašanja nelinearnog sustava. Prema [39] linearizirane jednadžbe protoka iz izraza (5.4) do (5.7) su sljedećeg

71 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 57 oblika Q 1 = Ks i y v Kp i p 1, (5.26) Q 2 = Ks o y v + Kp o p 2,, (5.27) ( ) gdje Ks i (Ks o ) i Kp i K o p pretstavljaju koeficijente pojačanja protoka i tlaka, respektivno. Oznaka i govori da se radi o ulaznom (engl. input), dok oznaka o znači da se radi o izlaznom (engl. output) protoku. Ova pojačanja su definirana na sljedeći način: y v y v < 2 Ks i = C d w ρ (p n p 1 ), 2 Ks o = C d w ρ (p 2 p a ), K i p = C d w y v 2ρ(pn p 1 ) 2 Ks i = C d w ρ (p 1 p a ), 2 Ks o = C d w ρ (p n p 2 ), K i p = C d w y v 2ρ(p1 p a ) K o p = C d w y v 2ρ(p2 p a ) K o p = C d w y v 2ρ(pn p 2 ) Kao što se može vidjeti iz gornjih izraza pojačanja K i s (K o s ) i K i p ( K o p ) su funkcije tlakova i u budućim razmatranjima će se smatrati neizvjesnim ali ograničenim parametrima. Ukoliko pretpostavimo male pomake klipa oko srednjeg položaja možemo uvesti sljedeću aproksimaciju V 1 (x p ) β V 2(x p ) β tako da izrazi (5.14) i (5.15) postaju = 1 ( ) V1 + V 2 = C, (5.28) β 2 ṗ 1 = 1 C Q 1 A 1 C ẋp, (5.29) ṗ 2 = 1 C Q 2 + A 2 C ẋp. (5.3)

72 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 58 Nadalje, uvrštavanjem jednadžbi (5.26) i (5.27) u prethodne jednadžbe dobivamo ṗ 1 = 1 ( ) K i C s y v Kp i A 1 p 1 C ẋp, (5.31) ṗ 2 = 1 ( ) K o C s y v + Kp o A 2 p 2 + C ẋp. (5.32) Da bi pojednostavnili gornje jednadžbe uvodimo oznake K s i K p u koje su uključene sve neizvjesnosti iz pojačanja K i s (K o s ) i K i p ( K o p ), respektivno. Usvajajući vektor varijabli stanja iz izraza (5.17), za razmatrani elektro-hidrauli-čki servo sustav linearizirani model definiran je sljedećim matricama 1 ωv 2 2ζ v ω v K s A = C Kp C A 1 C Ks C Kp A C 2, C 1 A 1 M t A 2 M t c M t b M t B 1 = [ 1 M t ] T, B2 = [ ] [ ] 1 C =, D = 1 [ k v ω 2 v ] T, (5.33) Sa stanovišta sinteze regulacijskih sustava najprije se postavlja pitanje da li je odre denim sustavom uopće moguće upravljati. Stoga se javlja potreba za odgovarajućim kriterijima kojima je moguće utvrditi upravljivost 1 stanja sustava. Problem upravljivosti svodi se na to da li je moguće zadanim upravljačkim varijablama sustav prebaciti iz proizvoljnog početnog stanja u proizvoljno konačno stanje. Uvjet upravljivosti za multivarijabilne sustave jest: [ ] rank B AB A 2 B... A n 1 B = n. (5.34) Dimenzija ove matrice je n n m, gdje je n red sustava, a m broj ulaznih signala. 1 Vidi dodatak C. Ispitivanje upravljivosti elektro-hidrauličkog servo sustava opisanog

73 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 59 izrazom (5.33) možemo provjeriti uz pomoć simboličkog sučelja programskog paketa MATLAB tako da najprije simbolički definiramo matrice A i B 2, te izvršimo naredbu length(a)-rank([b2 A*B2 A^2*B2 A^3*B2 A^4*B2 A^5*B2]), koja daje rezultat što znači da je sustav potpuno upravljiv. Varijable stanja sustava općenito se ne moraju poklapati sa mjerljivim, odnosno fizičkim varijablama stanja. Sa stanovišta teorije upravljanja i regulacije sustavima od posebnog je značaja mogućnost rekonstrukcije varijabli stanja na temelju izlaznih varijabli sustava. To će biti moguće ako sustav posjeduje svojstvo mjerljivosti 2. Multivarijabilni sustav će biti potpuno mjerljiv ako je ] rank [C T A T C T (A T ) 2 C T... (A T ) n 1 C T = n (5.35) Dimenzija ove matrice je n n p, gdje je n red sustava, a p broj izlaznih signala. Ispitivanje mjerljivosti elektro-hidrauličkog servo sustava opisanog izrazom (5.33) možemo provjeriti uz pomoć simboličkog sučelja programskog paketa MATLAB tako da najprije simbolički definiramo matrice A i C, te izvršimo naredbu length(a)-rank([c. A. *C. A. ^2*C. A. ^3*C. A. ^4*C. A. ^5*C. ]), koja daje rezultat što znači da je sustav potpuno mjerljiv H sinteza upravljanja položajem klipa hidrauličkog cilindra Razmotrimo sada algoritme upravljanja izvedene u poglavlju 4. na primjeru translacijskog pozicioniranja klipa cilindra elektro-hidrauličkog servo sustava. Sinteza će se izvesti na lineariziranom modelu, a provjera će se izvršiti simulacijama na nelinearnom modelu sustava. Numeričke vrijednosti parametara prikazani su u tablice 5.1, a simulacijski modeli dani su dodatku D6.. Prilikom sinteze upravljanja u obzir se treba uzeti i pojačanje senzora položaja klipa cilindra u povratnoj vezi koji pretvara pomak u naponski signal, a tako der i pojačanje koje refrentni signal (refrentni položaj klipa cilindra) pretvara u naponski 2 Vidi dodatak C.

74 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 6 signal. Ukupni sustav sa senzorom položaja prikazan je na slici 5.2. Tako da su matrice sustava iz izraza (5.33) sljedećih oblika 1 ωv 2 2ζ v ω v K m k v ωv 2 K m k v ω 2 v K s A = C Kp C A 1 C Ks C Kp A C 2, B 2 =, (5.36) C 1 A 1 M t A 2 M t c M t b M t dok su matrice B 1, C i D nepromijenjene. Slika 5.2: Elektro-hidraulički servo sustav sa senzorom položaja Sinteza regulatora stanja proširenog integrirajućim djelovanjem Regulator stanja definiran matricom K razmatran u podpoglavlju predstavlja regulator proporcionalnog tipa. Njegov osnovni nedostatak je u tome što ne može osigurati statičku točnost ukoliko sam proces nije astatičan, te ako u sustavu postoji djelovanje nemodeliranih poremećaja. Kako bi se odstranilo trajno regulacijsko odstupanje u stacionarnom režimu rada, potrebno je razmotriti strukturu regulatora koja bi u sebi sadržavala i integrirajuće djelovanje. Regulacijski sustav s PI regulatorom stanja elektro-hidrauličkog servo

75 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 61 Simbol Vrijednost k v ω v m/v 1.5 rad/s ζ v.4 p n p a β Pa 1 5 Pa Pa A m 2 A m 2 l.3 m V 1 A 1 l/2 = m 3 Simbol Vrijednost V 2 A 2 l/2 = m 3 M t b c 1 kg 7 Ns/m 75 N/m ρ 845 kg/m 3 K m V/m K s 3.5 m 2 /s K p C m 3 /Pa.s m 3 /Pa Tablica 5.1: Numeričke vrijednosti parametara elektro-hidrauličkog servo sustava. sustava može se prikazati blok-dijagramom kao na slici 5.3, gdje je C = [ 1 ]. Ovakvom regulacijskom strukturom uvodi se nova varijabla stanja koja predstavlja numeričko integriranja signala regulacijske pogreške ε(t) = x R (t) x p (t): u I (t) = Cx(t) + u I (t) + x R (t), (5.37) tako da je prošireni model procesa u prostoru stanja sljedećeg oblika [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ(t) A x(t) B1 FL B2 [ ] = + + u(t). (5.38) u I (t) C 1 u I (t) 1 x R (t) Zakon upravljanja tada glasi ] u(t) = Kx(t) + K I u I (t) = [K [ ] x(t) K I. (5.39) u I (t) Kada su poznati početni uvjeti, može se naći gornja granica norme zakona upravljanja oblika u(t) = Kx(t). Ako izaberemo matrice P > i F koje zadovoljavaju LMI iz izraza (4.71), uz dodatak x() T P 1 x() 1, implicira da

76 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 62 Slika 5.3: stanja. Blokovski dijagram regulacijskog sustava s PI regulatorom varijabli x(t) pripada E = { x R n x T P 1 x 1 } za svaki t, pa možemo pisati [11] max u(t) max = max t FP 1 x(t) max max x E FP 1 x max = max i ( FP 1 F ) ii. (5.4) Prema tome, ograničenje u(t) max µ za t jednako je LMI [ ] 1 x() T, x() P [ ] X F, X ii µ 2. (5.41) F T P Sintezu regulacijskog sustava prema H optimizacijskim kriterijima možemo provesti rješavanjem sljedećeg semidefinitnog programa min γ (5.42) γ R s.t. P >, (5.43) A cl P + PA T + B 2cl F + F T B T 2cl B 1cl PC T 1cl + FT D T 12cl B T 1cl γi D T 11cl, (5.44) C 1cl P + D 12cl F D 11cl γi [ ] X F, X ii µ 2, (5.45) F T P

77 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 63 gdje su: [ ] [ ] A B1 A cl =, B 1cl =, B 2cl = C 1 1 [ ] C 1cl = 1, D 11cl = [ B2 ] [ ], D 12cl = [ ], (5.46) dok je koeficijent odabran µ = 1. Za njegovo rješavanje ovdje ćemo koristiti YALMIP sučelje uz primjenu SeDuMi solvera, čiji se MATLAB kod nalazi u prilogu D3.. Dobiveni su sljedeći rezultati: [ ] K = , (5.47) K I = , γ = Na slici 5.4 prikazani su vremenski dijagrami varijabli stanja elektro-hidrauličkog servo sustava sa PI regulatorom stanja podešenog prema H optimizacijskim kriterijima. Prikazan je slučaj pozicioniranja iz početnog stanja u položaj 1 mm, te povratak klipa cilindra u početni položaj kada je sila terećenja F L =. Iz odziva vidimo da imamo unutar.7 s ostvarivanje željene pozicije bez prebačaja kao što smo i zahtijevali. Na slici 5.4 prikazani su tako der i odzivi varijabli stanja za slučaj kada je F L = 16 kn. Odzivi su slični kao i u prethodnom slučaju, a upravljački napon i tlakovi su očekivano većih iznosa. Iz ovoga možemo zaključiti da u zatvorenom regulacijskom krugu regulator dobro kompenzira utjecaj poremećajne sile Sinteza estimatora varijabli stanja Projektiranje estimatora stanja nužno je radi rekonstrukcije (procjene) komponenata vektora stanja regulacijskog objekta. Potreba za rekonstrukcijom vektora stanja javlja se u slučajevima kada neke ili sve varijable stanja nisu praktično mjerljive. Estimator stanja punog reda predstavlja egzaktnu kopiju regulacijskog objekta proširenu povratnom vezom po izlazima. Da bi se koristio estimator stanja punog reda potrebno je poznavati sve parametre procesa.

78 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 64 x p, x R [mm] u [V] t [s] F L = F L =16 kn y v [mm] p 1 [MPa] p 2 [MPa] t [s] Slika 5.4: Varijable stanja i upravljački napon u ovisnosti o vremenu za slučaj PI regulatora stanja. Dinamika estimatora stanja opisuje se sljedećim izrazaima [4, 48] ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K e ε(t), (5.48) ŷ(t) = Cˆx(t), (5.49) ε(t) = y(t) ŷ(t), (5.5) gdje su ˆx(t) i ŷ(t) vektori estimiranih varijabli stanja i mjerenih izlaza, respektivno.

79 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 65 Dinamika pogreške estimacije je x(t) = x(t) ˆx(t) = = Ax(t) + Bu(t) [A K e C] ˆx(t) Bu(t) K e Cx(t) = = [A K e C] x(t) [A K e C] ˆx(t) = = [A K e C] x(t). (5.51) da bi pogreška estimacije stanja težila prema nuli matrica A K e C mora biti asimptotski stabilna. Sinteza estimatora stanja punog reda može se provesti neovisno od sinteze regulacijskog kruga zahvaljujući principu odvojivosti (engl. separation principle). Ovaj princip detaljno je obra den u u literaturi [48], te se ovdje neće dodatno dokazivati. Usporedimo li matricu [A K e C] T sa matricom iz izraza (3.31) vidimo da su one istog oblika. Prema tome, uz odgovarajuću supstituciju matricu K e možemo dobiti rješavanjem sljedeće LMI P >, A T P + PA + C T F + F T C <, (5.52) gdje su optimizacijske varijable P i F odgovarajućih dimenzija, a matrica K e je jednaka K e = P T F. (5.53) Matrica A jednaka je onoj iz izraza (5.36), a matrica C onoj iz izraza (5.33). Na slici 5.5 prikazani su rezultati simulacije regulacijskog sustava pozicioniranja klipa cilindra uz primjenu estimatora stanja punog reda. Pretpostavlja se da je moguće mjerenje samo pozicije klipa i tlaka u desnoj komori glavnog cilindra. Prema odzivu varijabli stanja vidimo da imamo ostvareno željeno pozicioniranje i u slučaju bez opterećenja i sa opterećenjem. Za rješavanje LMI iz izraza (5.52) korišten je program YALMIP i SeDuMi

80 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 66 x p, x R [mm] u [V] t [s] F L = F L = 16 kn y v [mm] p 1 [MPa] p 2 [MPa] t [s] Slika 5.5: Varijable stanja i upravljački napon u ovisnosti o vremenu za slučaj estimacije stanja. solver, a kod se nalazi u dodatku D4.. Dobivena je sljedeća matrica K e K e = (5.54) SIMULINK model regulacijskog sustava sa estimatorom stanja prikazan je na slikama D7 i D8 u dodatku D6..

81 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava Sinteza dinamičkog regulatora Za elektro-hidraulički servo sustav kao objekt upravljanja čija je linearna forma sljedećeg oblika ẋ z y = A B 1 B 2 x C 1 w C 2 u, (5.55) potrebno je odrediti drugi linearni sustav oblika ] [ ] [ ] [ẋk AK B K xk =, (5.56) u y C K koji će u zatvorenoj petlji stabilizirati objekt upravljanja i ostvariti željeno ponašanje ukupnog sustava. Kombinacijom sustava (5.55) i (5.56) dobivamo ukupni sustav u zatvorenoj petlji oblika ẋ ẋ K z = D K [ Acl B cl C cl D cl ] x x K w. (5.57) Teorijske postavke za rješavanje ovog problema primjenom H optimizacije razmatrane su u podpoglavlju U navedonom podpoglavlju razmatrana je sinteza regulatora iz izraza (5.56) koji je jednakog reda kao i sam objekt upravljnja. objekta upravljanja. Me dutim, u praksi se često zahtjeva da je regulator nižeg reda od Ukoliko želimo provesti H sintezu regulatora reduciranog reda problem postaje nekonveksan i zahtjeva primjenu algoritma nelinearnog semidefinitnog programiranja koji kao funkciju cilja ima bilinearnu matričnu nejednadžbu. Za zatvoreni regulacijski krug sada možemo definirati sljedeće vektore [ ] ] [ ] x(t) [ẋk (t) xk (t) x cl (t) =, u cl (t) =, y cl (t) =, (5.58) x K (t) u(t) y(t)

82 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 68 te prema izrazu (4.47) matrice sustava [ ] [ ] A B1 A =, B 1 =, B 2 = [ ] [ ] I C 1 = C 1, C 2 =, C 2 [ ] B2 I (5.59) iz čega slijedi gdje je A cl (Θ) = A + B 2 ΘC 2, B cl = B 1, C cl = C 1, D cl =, Θ = [ AK B K C K D K ] (5.6). (5.61) Sada se H sinteza svodi na rješavanje sljedeće bilinearne matrične nejdnadžbe A cl (Θ) T P + PA cl (Θ) PB cl C T cl B T cl P γi DT cl. (5.62) C cl D cl γi Razvijeno je nekoliko računalnih programa za rješavanje navedenog problema. Ovdje će se koristiti besplatno dostupna MATLAB-ova funkcija hifoo.m 3. Kod za njenu primjenu na sintezu upravljanja elektro-hidrauličkim servo sustavom dan je u dodatku D5.. Nakon nekoliko iteracija dobiveni su reulatori sljedećih oblika 1. reda 2. reda 3. reda K(s) = 2.42s 38.48, (5.63) s K(s) = 2.412s s 69.3, (5.64) s s K(s) = 2.87s s s 8395, (5.65) s s s

83 Poglavlje 5. Matematičko modeliranje i simulacija elektro-hidrauličkog servo sustava 69 x p, x R [mm] u [V] t [s] F L = F L = 16 kn y v [mm] p 1 [MPa] p 2 [MPa] t [s] Slika 5.6: Varijable stanja i upravljački napon u ovisnosti o vremenu za slučaj dinamičkog regulatora 3. reda. 4. reda K(s) = 2.54s s s s s s s s (5.66) Na slici 5.6 su prikazani rezulatati simulacije dobiveni primjenom regulatora 3. reda. Slični odzivi se dobiju i u ostalim slučajevima, pa za njihovim prikazivanjem nema potrebe. SIMULINK model regulacijskog sustava sa ovakvim regulatorom prikazana je na slici D9.

84 Poglavlje 6. Eksperimentalni rezultati U ovom poglavlju će se prethodno izvedeni algoritmi upravljanja pozicijom elektro-hidrauličkog servo sustava provjeriti na laboratorijskom modelu, koji je u svrhu istraživanja različitih koncepata upravljanja i regulacije razvijen na Katedri za strojarsku automatiku, Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu. Model se uglavnom sastoji od standardnih industrijskih elemenata, te elemenata ručne izrade. Implementacija upravljačkih algoritama na eksperimentalni postav izvršen je uz pomoć MATLAB-ovog sučelja Real-Time Workshop koji omogučuje generiranje izvršnog oblika C programa. Na ovaj način omogućena je brza implementacija algoritama upravljanja koji se izvršavaju u realnom vremenu. Koristi se prijenosno računalo te PCMCIA DAQ kartica za A/D pretvorbu analognih signala sa senzora, kao i D/A pretvorbu upravljačkih veličina prema aktuatoru Opis laboratorijske opreme Elektro-hidraulički sustavi prikazuju se simbolima koji su standardizirani. Simboli grafički prikazuju osnovnu funkciju elemenata sustava i sve njihove priključke. Shematski prikaz elektro-hidrauličkog servo sustava koji je predmet razmatranja u ovom radu prikazan je na slici 6.1. Struktura sustava može se podijeliti na glavni dio koji predstavlja objekt 7

85 Poglavlje 6. Eksperimentalni rezultati 71 Slika 6.1: Shematski prikaz elektro-hidrauličkog servo sustava. upravljanja prikazan na lijevoj strani slike 6.1 te na dio koji omogućava postavljanje različitih iznosa opterećenja na objekt upravljanja. Objekt upravljanja je hidraulički cilindar upravljan proporcionalnim ventilom. Iznos opterećenja se posta-vlja preko elektromagnetskog servorazvodnika i cilindra za terećenje koji stvara silu reakcije. Ta sila je jednaka produktu površine klipa i upravljačkog tlaka kojeg stvara tlačni regulacijski ventil. Položaj cilindra mjeri se linearnim potenciometrom, a mjerni signal se koristi za realizaciju algoritma upravljanja pozicije glavnog cilindra. Upravljački algoritam se izvršava preko upravljačkog računala koje je opremljeno akvizicijskom karticom. Fotografija eksperimentalnog postava elektro-hidrauličkog servo sustava za

86 72 Poglavlje 6. Eksperimentalni rezultati regulaciju translacijskog gibanja prikazan je na slici 6.2, a najvaz niji elementi su opisani u daljnem tekstu. 1 Pogonski cilindar 8 Tlac ni regulacijski ventil 2 Cilindar za terec enje 9 Manometar 3 Linearni potenciometar 1 Hidraulic ki akumulator 4 Senzor tlaka 11 Sigurnosni ventil 5 Proporcionalni ventil 12 Elektromotor 6 Elektromagnetski 4/3 razvodnik 13 Elektronic ko suc elje 7 Prigus ni ventil 14 Upravljac ko rac unalo s akvizicijskom karticom Slika 6.2: Fotografija eksperimentalnog postava elektro-hidraulic kog servo sustava. Hidraulic ki cilindri Hidraulic ki cilindar pretvara hidraulic ku energiju u mehanic ku energiju. On proizvodi linearna gibanja, zbog c ega se u literaturi naziva i hidraulic ki linearni