Grant postdoc CEEX, contract nr. 1531/7 aprilie 2006

Transcription

1 INSTITUTUL DE MECANICA SOLIDELOR ACADEMIA ROMANA Str. Ctin Mille nr. 5, C.P. -863, 004 Bucuresti Programul: Cercetare de Excelenta Modul: II Proiecte de Dezvoltare a Resurselor Umane pentru Cercetare Tip proiect: Proiecte de cercetare in sprijinul programelor post-doctorale Cod proiect: /005 Grant postdoc CEEX, contract nr. 53/7 aprilie 006 tema : PROGRAM POST DOCTORAL PRIVIND DEZVOLTAREA DE NOI TEORII CUPLATE ATOMISTIC-CONTINUE CU APLICATII LA MODELAREA NANOCONTACTELOR SI A INDENTARII SINTEZA 007 Colectiv Dr. mat. Veturia Chiroiu - director de program Dr. ing. Dan Dumitriu - cercetator postdoctoral Dr. mat. Miruna Beldiman - cercetator postdoctoral Cuprinsul lucrarii. Dezvoltarea de modele cuplate atomistic-continue in nanomecanica.. Potentiali interatomici.. Frontiere de tranzitie. Relatii constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe 3. Modelarea indentarii pentru folii subtiri cu constrangeri geometrice 4. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de contact, comportament histeretic si difuzia atomica locala 5. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de fluaj, miscarea dislocatiilor si forfecarea omogena a doua plane atomice 5.. Descrierea miscarii dislocatiilor 5.. Indentarea la fluaj 6. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte termice caracterizate prin gradienti de temperatura 6.. Relaxarea termoelastica 7. Simularea unor experiente virtuale de indentare 8. Metode si algoritmi computationali 9. Programarea stocastica multiobiectiv 9.. Clase speciale de probleme vectoriale de echilibru 0. Probleme de echilibru cu valori multimi 0.. Probleme ponderate de echilibru

2 . Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru.. Metode de scalarizare pentru clase de inegalitati variationale. Initierea unor noi tipuri de experiente pe baza teoriilor de nanomecanica computationala Rezumatul proiectului Modelarea la scara nanometrica este un domeniu nou de cercetare cu un potential semnificativ de simulare computationala. Nanostiinta ajuta la intelegerea unor subiecte stiintifice importante cum ar fi nanocontactele si indentarea. Scopul proiectului este modelarea nanocontactelor si a indentarii cu ajutorul unor noi teorii cuplate atomistic-continue. Indentarea este insotita de o serie de fenomene: (a) avalansa discontinuitatilor energiei de contact, (b) histerezis pronuntat la ciclii incarcare-descarcare, (c) difuzie atomica locala, (d) fluaj, (e) generarea si multiplicarea dislocatiilor, (f) forfecarea omogena a planelor atomice, (g) curgere plastica, (h) relaxare, (i) formarea gradientilor de temperatura. Aceste fenomene au fost puse in evidenta experimental, dar nu au fost explicate pana in prezent nici cu teoriile existente si nici experimental. Scopul proiectului este de a intelege si explica aceste fenomene. Obiectivele constau in dezvoltarea de modele noi ale suprafetelor in contact la scara macroscopica, mezoscopica si nanoscopica, modelarea nanoscopica a contactului si a indentarii incluzand fenomenele mentionate mai sus, simularea unor experiente virtuale de indentare si comparatii cu rezultatele experientelor reale. Ne asteptam ca rezultatele sa fie calitativ si cantitativ in acord cu rezultatele experientelor gasite in literatura, acolo unde exista. Odata ce simularile numerice demonstreaza fiabilitatea acestor metode noi, simularile pot fi privite ca experiente simulate realistic pe computer. Ideea consta in utilizarea ulterioara a simularilor la scara atomica pentru a descoperi noi tipuri de experiente. Ne intereseaza in special studiul nanocontactelor de tip ceramica-nanotuburi de carbon. Vom intelege in ce mod teoriile cuplate atomistice-mezoscopice-macroscopice pot explica plauzibil mecanismele complexe care insotesc indentarea, si pot fi un instrument pretios la interpretarea datelor si la proiectarea unor noi experiente. Obiective 007 a) Dezvoltarea de modele cuplate atomistic-continue in nanomecanica b) Relatii constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe c) Modelarea indentarii pentru folii subtiri cu constrangeri geometrice d) Modelarea indentarii incluzand fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de contact, comportament histeretic si difuzia atomica locala e) Modelarea indentarii incluzand fenomenele de fluaj, miscarea dislocatiilor si forfecarea omogena a doua plane atomice f) Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte termice caracterizate prin gradienti de temperatura g) Simularea unor experiente virtuale de indentare h) Metode si algoritmi computationali i) Initierea unor noi tipuri de experiente pe baza teoriilor de nanomecanica computationala

3 Prezentarea lucrarii (cu referire la rezultatele originale). Dezvoltarea de modele cuplate atomistic-continue in nanomecanica În aceasta parte a lucrarii se prezintă o serie de potenţiali interatomici care sunt utilizaţi atât în dinamica moleculară cât şi în modelele cuplate atomistic-continue care combină modele ale mediului continuu cu teorii la scară atomică şi cuantică. O categorie specială o constituie modelele multi-scară care cuplează o regiune descrisă atomistic cu regiuni învecinate descrise continuu, prin metoda elementului finit. Fiecare model se bazează pe o anumită reprezentare a energiei potenţiale de deformaţie. In lucrare (care se bazeaza pe lucrarile publicate in reviste de specialitate) s-au aplicat metodele cuplate atomistic-continue pentru descrirea comportarii dinamice a nanotuburilor de carbon supuse la intindere, compresiune, incovoiere si torsiune (Chiroiu, Dumitriu si Fibi 007, Mitu, Dumitriu et al. 007, Teodorescu si Chiroiu 007). În problemele de termodinamică, se introduce temperatura ca un parametru de control, şi se efectuează simularea moleculară a sistemului pentru o temperatură constantă. Pentru a menţine o temperatură de referinţă, se folosesc metode constrânse care restricţionează energia cinetică totală a sistemului, sau metode stocastice de tip Langevin. În mecanica statistică, ansamblul canonic reprezentativ se poate construi considerând un număr mare de sisteme, care sunt replica mentală a unor sisteme fizice (fiecare având un volum V cu N atomi), şi aranjându-le împreună pentru a forma un bloc tridimensional. Acest bloc se scufundă apoi într-o baie caldă aflată la temperatura T. Presupunând că suprafeţele care separă elementele din bloc sunt permeabile la schimbări de energie, atunci toate elementele din bloc vor atinge după un timp aceeaşi temperatură T. Un astfel de bloc izolat termic formează un ansamblu canonic. Potrivit cu această metodă, sistemul şi baia caldă sunt cuplate şi formează un sistem compozit, cu o dinamică continuă deterministă. Teoria se bazează pe extensia spaţiului variabilelor dinamice a sistemului, dincolo de coordonatele şi impulsurile particulelor reale, pentru a include o coordonată fantomă adiţională s şi impulsul său conjugat p s, care acţionează ca o baie caldă pentru particulele reale. Prin această metodă se poate selecta un Hamiltonian pentru sistemul extins şi, simultan, variabilele sistemului fizic real se pot lega de cele ale unui sistem virtual, astfel încât funcţia de partiţie microcanonică a sistemului virtual extins să fie proporţională cu funcţia de partiţie canonică a sistemului fizic real. Avem prin urmare sistemul real ( ri, p i), sistemul virtual ( r i, p i), sistemul real extins ( ri, pi, s, p s) şi sistemul virtual extins ( r i, p i, s, p s). Hamiltonianul sistemului virtual extins este definit astfel N * pi ps H = + H( r ) ln ij + + gkbt s, ms Q i= i unde g este numărul gradelor de libertate, k B constanta lui Boltzmann, Q este un parametru care se comportă ca o masă asociată mişcării coordonatei s, iar r i, p i, r i şi p i sunt coordonatele şi impulsurile canonice ale tuturor particulelor reale şi virtuale. Deoarece Hamiltonianul H este energia potenţială pentru ambele sisteme, real şi virtual, primii doi termeni din relatia de mai sus reprezintă energia cinetică şi energia potenţială a sistemului fizic, iar următorii doi termeni reprezintă energia cinetică şi energia potenţială asociate gradelor de libertate adiţionale. Coordonatele virtuale şi timpul sunt legate de coordonatele fizice reale prin relaţiile r = r, i i pi = p i, s dt = dt. s 3

4 * Din Hamiltonianul H rezultă ecuaţiile de mişcare pentru sistemul fizic, ecuaţii care se mai numesc ecuaţiile termostat ale lui Nosé-Hoover dri dt p i =, mi dpi dt = F η p, i i dη p = i gkbt, dt Q i mi unde η este numit coeficientul de frecare al băii deoarece caracterizează frecarea din interiorul băii. Acest coeficient nu este o constantă şi poate avea atât valori pozitive cât şi negative, fiind legat de un mecanism negativ de feedback. Ultima ecuaţie controlează funcţionarea băii calde. Din această ecuaţie observăm că dacă energia cinetică totală este mai mare decât gkbt, atunci dη şi deci η sunt pozitive. Acest fapt produce frecare în interiorul băii şi ca urmare mişcarea dt atomilor este decelerată şi energia cinetică a băii scade. Dacă energia cinetică totală este mai mică decât gkbt, atunci d η şi deci η sunt negative, şi ca rezultat baia se încălzeşte şi mişcarea dt atomilor este accelerată. În modelele cuplate atomistic-continue, interfeţele care despart regiunile modelate atomistic de cele modelate continuu se analizează în mod special. În metodele cuplate, se face o descriere atomistică pentru anumite regiuni din material şi o descriere continuă pentru alte regiuni din material. Regiunea de tranziţie sau frontiera dintre regiunea atomică şi regiunea continuă (interfaţa tampon, sau pad) necesită o atenţie deosebită. Această interfaţă este modelată în aşa fel încât interacţiunile nelocale dintre atomi să fie luate în consideraţie. O altă metodă de a descrie interfaţa dintre domeniul continuu şi domeniul atomistic este tranziţia prin scara mezoscopică de la microni la milimetri. Această metodă este utilă în modelarea propagării fisurilor macroscopice. Se presupune că fisura are o mişcare în derivă cu vârful fisurii executând o mişcare de difuzie, pentru a reflecta efectul vitezei de oscilaţie a fisurii observată la nivel atomic, în traiectoria fisurii observată macroscopic. Componenta de difuzie este caracterizată de un proces stocastic Wiener. Se utilizează modelul Einstein al dinamicii Browniene (Rafii-Tabar 000) D= r t r ( ) (0), st t unde t este timpul de întârziere, s dimensiunea spaţiului difuziv ( s = în cazul prezent), iar r este coordonata atomului din vârful fisurii. În acest model, propagarea fisurii se modelează în trei scări metrice diferite.. Relatii constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe Construirea relatiilor constitutive pentru stari de tensiune miltiaxiale si complexe se bazeaza pe studiul geometriei diferenţiale afine, care a fost iniţiat de Ţiţeica în 90, cu o lucrare remarcabilă asupra unei clase particulare de suprafeţe hiperbolice invariante la o transformare Bächlund. Suprafeţele sale sunt cunoscute sub numele de sfere afine (Affinsphäaren) deoarece ele sunt analogul sferelor din geometria diferenţială afină. Din aceasta teorie cuplata cu o metoda de optimizare si rezultate experimentale, se construiesc teorii constitutive care se verifica experimental pentru materialele nanostructurate (Munteanu si Donescu 00, 004, Teodorescu, Chiroiu, Dumitriu şi Munteanu 007) si pentru materialele auxetice (Munteanu si Dumitriu 007). Problema determinarii relatiilor constitutive din rezultate experimentale a condus la generalizarea si extinderea rezultatelor din analiza convexa. Asa au luat nastere domenii noi ale matematicii cum ar fi convexitatea generalizata si analiza convexa abstracta. 4

5 Considerăm o suprafată Σ scrisă parametric sub forma Monge r = xe + ye + z( x, y) e3. Se ştie că prima şi a doua formă fudamentală sunt date de I = ( + zx) dx + zxzydxdy + ( + zy) dy si II = ( zxxdx + zxydxdy + z yydy ). Aici, indicii x, y reprezintă derivate parţiale + z + z z = z x x x y etc. Curbura medie şi curbura gaussiană a suprafeţei Σ se scriu sub forma Η= ( + zx ) zyy zxzy zxy + ( + zy ) zxx 3/ ( + zx + zy), z z z Κ= ( ) = zx, zy xx yy xy + zx + zy Introducem variabilele independente p şi ψ, p ψ =, şi variabila dependentă ξ, zyy z z xx xy ξ p = x, ξ ψp = y. Avem ξ σσ =, ξ ψψ =, ξ pψ = si zxxzyy zxy zxxzyy zxy zxxzyy zxy A ξppξψψ ξ pψ =. În contextul elasticităţii nelineare avem Κ=, Κ ( + p +ψ ) ( +σ + X ) σ unde A =, A fiind viteza lagrangiană de undă. În continuare presupunem că K =, ε X a a= const. În acest caz, relatiile de baza pe care se bazeaza metoda de determinare a legilor constitutive utilizand datele experimentale sunt cu α( X ) arbitrar. σ σ = ( +σ + X ) σ X > 0 X a ε ε, σ > 0 ; a σ σ + X ε= [arctan( ) + ] +α( X ), 3/ ( + X ) + X +σ + X. 3. Modelarea indentarii pentru folii subtiri cu constrangeri geometrice Dinamica foliilor subtiri cu geometrie constransa a fost studiata cu diferite metode de simulare. S-au considerat folii alcatuite din materiale anizotrope granulare, cu structura interna. Structurile stratificate periodic, în care două plane atomice formează un strat care se repetă, au un aranjament de tipul AABBAABB... Atomii A şi B diferă ca dimensiune. Presupunem că atomul A are dimensiuni mai mari decât atomul B. Interfaţa A/B este deformată deoarece atomii A sunt supuşi la compresiune iar atomii B la întindere (fig.). Efectul deformației asupra constantelor elastice într-o astfel de structură a fost studiat de către Jankowski şi Tsakalakos (985) şi de Jankowski (988). Pentru a explica creşterea valorilor constantelor elastice observată experimental, autorii au studiat dependența constantelor elastice de deformația elastică inițială. Rezultatele au indicat creşteri mari ale valorilor constantelor elastice C, C şi C 66 precum şi a valorii modulului biaxial Y[00] = C + C C3 / C33 pentru un singur strat de Cu, Ag şi Au supus la tensiune biaxială. Rezultate similare au fost raportate şi pentru Au-Ni, Cu-Pd şi Ag-Pd. De exemplu, pentru o superlatice Cu-Ni cu 66% Cu se obține Y [00]=0,3 TPa. Această valoare depăşeşte cu 50% valoarea modulului elastic al unui aliaj Cu-Ni cu aceeaşi concentrație de Cu 5

6 pentru care Y [00] = 0,4 TPa (Chiroiu si Chiroiu 003). Delsanto, Provenzano şi Uberall (99) au studiat cazul structurilor deformate biaxial în planul (), utilizând aceeaşi metodă de calcul. Ei au pus în evidență sensibilitatea modulului biaxial Y[] în raport cu semnul deformației inițiale. Astfel, pentru o structură ideală având proprietăți mediate care să caracterizeze metalele Cu, Au şi Ag, modulul biaxial Y[] creşte cu 65% pentru ε = 0.03, iar pentru ε = 0,03 modulul biaxial descreşte cu 40%. De asemenea, s-a observat că valoarea maximă a modulului biaxial se obține pentru o grosime a stratului de 0,8, nm, şi pentru o lungime de undă a compoziției modulate de,66,5 mm. Efectul acusto-elastic defineşte dependența de tensiune a vitezelor de propagare ale sunetului într-un mediu elastic deformat. Prin măsurarea variațiilor produse în vitezele de propagare ale undelor se pot evalua tensiunile inițiale din material. Benson şi Raelson au descris acest fenomen în anul 959 (Toupin şi Bernstein 96) şi au prezentat o metodă de determinare a tensiunilor într-un material elastic izotrop utilizând polarizarea transversală a undelor sonore. Fig.. Distribuția deformațiilor într-o structură A/B. 4. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de contact, comportament histeretic si difuzia atomica locala Fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de contact, comportamentul histeretic si difuzia atomica locala sunt consecinte ale faptului ca frecarea dintre suprafete depinde de viteza relativa, timp, incarcare, admite memorie si comportament de tip stick-slip. Componenta adezivă a frecării se datorează forţelor de legătură între suprafeţele aflate în contact. Rezistenţa la alunecare (forfecare) a unei legături adezive care depinde de fapt de aria reală de contact, determină forţa de frecare. Forţa de frecare este astfel proporţională cu aria reală de contact. Mişcarea relativă apare atunci când forţele externe sunt suficient de mari ca să depăşească rezistenţa de adeziune a suprafeţelor. O teorie mai grosieră a frecării presupune că 6

7 forţa de frecare apare datorită solidarizării asperităţilor care oferă rezistenţă la mişcarea relativă. Mişcarea relativă apare atunci când asperităţile cedează. Potrivit cu teoria deformării, forţa de frecare rezultă din săparea asperităţii mai moale a unei suprafeţe de către asperitatea mai dură a celeilalte suprafeţe. Componenta dominantă a frecării depinde de proprietăţile materiale ale suprafeţelor în contact. Ca urmare a componentelor frecării, coeficientul de frecare se poate scrie ca o sumă dintre S yy tan α trei termeni µ= + tan θ+, unde S yy şi H sunt rezistenţa la rupere şi ecruisarea H π materialului mai slab, θ unghiul asperităţii şi α unghiul asperităţii conice. In lucrare, fenomenul indentarii a fost generalizat prin includerea modelelor de tip Preisach (dezvoltate in Badea şi Nicolescu 003, Chiroiu 003) care face posibila includerea in algoritm a ecuatiilor care descriu discontinuitatile energiei de contact, asociate cu legile histeretice si difuziei atomice locale. 5. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de fluaj, miscarea dislocatiilor si forfecarea omogena a doua plane atomice Prezentam pe scurt ideile de baza pe care se bazeaza abordarea noastra privind modelarea indentarii pentru includerea fluajului, a miscarii dislocatiilor si a forfecarii omogene a planelor atomice. Raspunsul unui material cu structura interna, granulat, care contine defecte, microfisuri, goluri si care este solicitat atat termic cat si mecanic, se masoara in raport cu tensorul macroscopic al ratei deformatiei D si cu tensorul tensiunii σ. Legile care stau la baza descrierii p acestor materiale sunt ecuatia de miscare divσ =ρ v si ecuatia caldurii ρ ct = k T+σD, unde v= u este viteza, iar u, ρ, cv si k noteaza vectorul deplasarii, densitatea de masa, caldura specifica p si respectiv conductivitatea termica. D reprezinta partea plastica a tensorului de deformatie D, D fiind definit ca partea simetrica a gradientului vitezei de deformatie Dij = ( vi, j + vj, i ). In comportarea elasto-viscoplastica, D se descompune intr-o parte elastica D e si o parte plastica p e p D, deci D= D + D. Spinul asociat W este definit ca partea antisimetrica a gradientului vitezelor, intr-un mod analog cu vartejul in mecanica fluidelor Wij = ( vi, j vj, i ). In mod analog, e p e p W se descompune intr-o parte elastica W si alta plastica W : W = W + W. Este util sa scriem si tensorul deformatie ε ij = ( ui, j + uj, i ) ca o suma dintre o parte elastica ε e si una plastica ε p. Pentru cele mai multe materiale raspunsul elastic este liniar, putand fi exprimat prin legea lui e Hooke pentru deformatii mari, scrisa sub forma incrementala: σ = C D γ T, unde γ este coeficientul termic al tensiunii la deformatie constanta, σ este tensorul rate al tensiunilor Cauchy σ, iar C tensorul constantelor elastice. Exista cateva alegeri pentru σ, cea mai des utilizata fiind aceea a tensorului Jaumann de tip rate al tensiunilor Cauchy, scris sub forma σ=σ+ω σ σ ω, unde ω este spinul definit ca diferenta dintre spinul de material W si spinul plastic W p : ω= W W p. Deformatia macroplastica si spinul plastic sunt produse de miscarea dislocatiilor. p p Avem nevoie de legi constitutive pentru D si W, bazate pe cunoasterea microstructurii si a proprietatilor mecanice ale materialului. Ne intereseaza modul in care putem determina aceste proprietati prin teste de indentare/nanoindentare. Tensiunea indusa de o dislocatie arbitrara de tip loop intr-un punct arbitrar Px ( ) se poate calcula cu ecuatia Peach-Koehler v 7

8 µ µ σ ( P) = b ε Rdx b ε Rdx αβ m imα β m imβ α 8π x i 8π x C C i 3 µ R bmεimk( δαβ R) dx k 4 π( ν) x C i x α x β x i unde b i este vectorul lui Burgers, ε ijk este tensorul de permutare, µ este modulul de forfecare, ν este coeficientul lui Poisson si R = x x este raza definita ca o norma dintre punctul P si curba dislocatiei. Aceasta integrala se poate calcula numeric. Cand un indenter (stanta) este presat pe suprafata unei probe aflata la o anumita temperatura, atunci el patrunde in material si deformatia depinde de temperatura si de fluaj. Presupunem in continuare ca legea constitutiva este data de n q n q c b Qc ε = σ ( ) ( ) exp, F b Qc u = Au ( ) ( ) exp A E d RT Eu d RT, c unde ε este rata deformatiei efective la fluaj, u este viteza indenterului, A, A sunt constante, σ este tensiunea de curgere von Mises, u este deplasarea indenterului, F forta de apasare a indenterului, E modulul lui Young la temperatura probei, b magnitudinea vectorului lui Burgers, d dimensiunea granulelor materialului, R constanta gazelor si T temperatura (Mukherjee et al. 969, Cadek 988). Atunci cand T si d sunt constante in timpul indentarii pentru o forta F data, exponentul n si K sunt dati de (Fujiwara si Otsuka 999) sau (ln u ) n = (ln u) Td,, K = Eu ( ) q b Qc ( ) K = A exp d RT. Pentru d constant, energia de activare la fluaj este (ln K) Qc = R (/ T ). d Daca notam cu A aria de contact, ea este proportionala cu u. La echilibru presiunea de indentare p este p = F (duritate Meyer). Atunci cand frecarea dintre indenter si material este A foarte mica si poate fi neglijata, tensiunea de curgere reprezentativa σ poate fi aproximata in zona plastica prin (Tabor 95, Johnson 970, Bolshakov si Pharr 998) In final avem p σ α F. 3 u F n u u n q σ b Qc ( ) ( ) exp u d(ln u) ε ind = = = A3 u dt E d RT, (ln ε ind ) n = [ln( σ/ E, )] Td, unde σ este masura tensiunilor von Mises in zona plastica, ε ind este rata deformatiei la indentare, A 3 este o constanta si n masoara senzivitatea la tensiune a ratei deformatiei de indentare ε ind. 8

9 6. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte termice caracterizate prin gradienti de temperatura Mecanismul de relaxare în solide cu comportament vâscoelastic poate fi explicat prin variaţia câmpului de tensiune în material. Considerăm două stări ale unui sistem mecanic, caracterizate prin două valori diferite ale energiei, separate printr-un potenţial barieră sau energie de activare, de amplitudine H. Înainte de aplicarea forţei exterioare, sistemul se află în starea sa de energie minimă. Prin aplicarea unei forţe exterioare, energia sistemului creşte. Dacă sistemul poate depăşi potenţialul barieră, atunci este posibilă tranziţia de la prima stare la starea a doua, şi sistemul se relaxează deoarece diferenţa dintre energiile celor două stări se pierde. Pentru a descrie matematic fenomenul de relaxare a tensiunilor utilizăm modelele reologice. În fig. sunt reprezentate câteva modele reologice, şi anume un element elastic Hooke care descrie comportarea elastică (fig.a), un element Newton pentru a descrie comportarea vâscoasă (fig.b), un element St. Venant pentru descrierea amortizării coulombiene (fig.c), şi un element Zener pentru descrierea relaxării tensiunilor (fig.d). Elementul Zener constă dintr-un element Hooke legat în paralel cu un element Newton, şi un element adiţional Hooke legat în serie. Fig.. Modele reologice: a) element Hooke; b) element Newton ; c) element St. Venant; d) element Zener. Relaxarea termoelastică a fost confirmată experimental de câtre Zener în 937. Pornind de la această lucrare, Lifshitz şi Roukes (000) au dezvoltat un model de relaxare termoelastică pentru bara Euler-Bernoulli. Prezentăm în continuare acest model. Legea constitutivă a barei se consideră de forma ν ε z = σ z +α T, ε x =ε y = σ x +α T, E E unde α este coeficientul de expansiune termică, E modulul de elasticitate Young, ν coeficientul lui Poisson şi T temperatura absolută. Ecuaţia de mişcare devine ux u x ρ A + EI 0 y + Eα I T =, t z z unde inerţia termică I T este definit astfel IT = x Tdd x y. Ecuaţia de transfer termic în prezenţa cuplării termoelastice în direcţia y se scrie A + ν E T T + u E = Dth + y, ν t x α x 9

10 unde Eα T E = 0 este rezistenţa la relaxare, P CP C fiind capacitatea calorică pe unitatea de volum la presiune constantă, exp H Dth = D0 kt constanta de difuzie dependentă de temperatură şi T 0 temperatura iniţială. Presupunând că transferul termic se realizează fără timp de întârziere, frecvenţa devine ω=ω 0 + E ( + f ( ω )), unde ω 0 este frecvenţa de rezonanţă a barei fără 4 hk hk pierderi termoelastice, f ( ω ) = tan 3 3 hk, h fiind grosimea barei şi ω k = ( + i). Dth Relaţia de dispersie cu neglijarea termenilor superiori devine Factorul de calitate ia forma 0 E ω =ω + ( + f ( ω)). ω Eα T ξ+ ξ Re( ω ) C ξ ξ cosh ξ+ cos ξ, Im( ) sinh sin = = 3 Q ω0 cu ξ= h. Se observă că factorul de calitate depinde puternic de grosimea barei. Zener a D th calculat factorul de calitate pentru bara cu secţiune dreptunghiulară Ead E ωτ Eα T0 ωτ = Q E + ωτ c σ +ωτ, cu a τ=. π D Cavităţile, impurităţile, granulele cu orientări diferite, dislocaţiile, introduc o stare neuniformă de tensiune în material, chiar în absenţa forţelor exterioare. Această stare neuniformă de tensiune creşte pierderile termoelastice. Însă, dacă lungimea barei este mai mică decât pasul liber al fotonului termal, conceptul de relaxare termică nu mai este valabil. În cazul cristalului cu defecte, putem asocia o simetrie fiecărui defect. Dacă simetria defectului este mai slabă decât a cristalului, apare un dipol elastic care va interacţiona cu câmpul de tensiune. Dacă se atinge valoarea energiei de activare, se obţine o rearanjare a dipolilor, şi ca urmare apare o relaxare a tensiunilor în cristal. th 7. Simularea unor experiente virtuale de indentare Cu scopul de a studia comportarea elasto-plastică a unor materiale noi în care materialele substrat sunt acoperite cu unul sau mai multe straturi subţiri, un prim pas îl constituie studiul comportării elasto-plastice a unor materiale izotrope. Indentarea este un procedeu experimental care poate determina simultan mai mulţi parametri elasto-plastici de material, spre deosebire de alte procedee experimentale care determină fiecare doar - parametri deodată (spre exemplu, încercările de tracţiune). În consecinţă, indentarea poate înlocui cu succes un ansamblu de mai multe alte procedee experimentale. În acest paragraf, pe baza testelor de nanoindentare se vor identifica şapte parametri de material: modulul lui Young E şi coeficientul Poisson ν pentru comportarea elastică, respectiv tensiunea de curgere iniţială uniaxială σ y,0, parametrii izotropici de ecruisare R, β şi parametrii de ecruisare cinematică H kin, H nl pentru comportarea plastică neliniară. Identificarea acestor parametri de material este o problemă inversă ce ţine de ingineria suprafeţelor. 0

11 Testul de indentare uniaxială constă în apăsarea verticală a unui indentor rigid pe semispaţiul materialului ce se doreşte a fi caracterizat (fig.3a). Nanoindeterul înregistrează atât forţa de apăsare P cât şi adâncimea de pătrundere h varf a capului sferic al indenterului în semispaţiul materialului. Capul sferic al indenterului nu este complet rigid, fiind alcătuit dintr-un material hipoelastic având modulul Young E varf = 06 GPa şi coeficientul Poisson ν varf = a) Fig. 3: a) Schema testului de indentare uniaxială; b) Modelare axisimetrică cu elemente finite a testului de indentare. Cu ajutorul unui program de element finit pentru deformaţii elasto-plastice finite, s-a reuşit simularea indentării unui semispaţiu izotrop alcătuit dintr-un material inelastic cu un indenter având cap sferic. Acest program de element finit este intitulat SPPRc (SPrangPRozessioun fir contact-modeller), programul fiind realizat de colaboratorul nostru Dr.-ing. Gaston Rauchs, de la Laboratoire de Technologies Industrielles, Centre de Recherche Public Henri Tudor, Luxemburg. Scris în limbaj Fortran, programul SPPRc modelează prin metoda elementelor finite contactul dintre capul sferic al indenterului şi materialul inelastic. Modelarea axisimetrică cu elemente finite a capului sferic al indenterului şi a semispaţiului ce constituie materialul este prezentată în fig.3b, fiind folosite elemente finite patrulatere pentru a modela jumătate din semispaţiul materialului indentat şi 47 elemente finite patrulatere pentru a modela un sfert din capul sferic al indenterului. În privinţa contactului dintre capul sferic al indenterului şi materialul indentat, modelarea acestuia se face împiedicând întrepătrunderea geometrică dintre cele două corpuri în contact, fapt ce se realizează prin aplicarea unor tracţiuni pe suprafaţa de contact. Aceste tracţiuni introduse de modelarea contactului se calculează pe baza distanţei locale dintre nodurile semispaţiului materialului şi proiecţia acestor noduri pe suprafaţa indenterului (Rauchs 006). În programul de element finit SPPRc, ecuaţiile constitutive ale materialului inelastic sunt formulate incremental, sub forma unor legături diferenţiale între deformaţii şi tensiuni (Rauchs 006). Comportarea plastică a materialului indentat este modelată folosind teoria fluxului J izotropic, curgerea plastică fiind determinată de funcţia de curgere f : f < 0 pentru comportare elastica, y f = P :( σ α) K f = 0 pentru comportare plastica, f > 0 exclus, y unde K este limita de curgere, α este aşa-numitul back-stress, o variabilă internă de răspuns a S materialului, σ este tensorul Cauchy al tensiunilor şi P= I I I este operatorul deviatoric de 3 proiecţie, I S fiind tensorul unitate simetric de ordinul 4. Variaţia limitei de curgere K y este descrisă considerând ecruisarea izotropică:

12 t p ij ()d 0 K,0 { s β } = σ + [ exp( β )], 3 y y R unde s = ε τ τ 3 y,0, σ este tensiunea de curgere iniţială uniaxială, iar R şi β sunt parametrii izotropici de ecruisare. Pentru ecruisarea cinematică, s-a folosit formula neliniară Armstrong-Frederick: p α = H kinε Hnls α. 3 unde H kin şi H nl sunt parametrii de ecruisare cinematică. Comportarea hipoelastică a materialului indentat este descrisă folosind legea lui Hooke: S el σ = ( G I +λi I): ε, unde G şi λ sunt constantele Lamé. Pentru a putea caracteriza evoluţia dinamică a procesului de indentare, ecuaţiile constitutive de mai sus sunt formulate incremental. În cadrul problemei inverse de identificare de parametri, cei şapte parametri elasto-plastici de identificat pe baza testelor de nanoindentare sunt: modulul lui Young E şi coeficientul Poisson ν pentru comportarea elastică, respectiv tensiunea de curgere iniţială uniaxială σ y,0, parametrii * * izotropici de ecruisare R, β şi parametrii de ecruisare cinematică H kin, H nl pentru comportarea plastică neliniară. Se notează cu x vectorul ce regrupează cei şapte parametri de identificat: x y,0 * * = E ν σ R β H kin H nl. Pentru a identifica aceşti şapte parametri de material necunoscuţi, rezultatele obţinute prin simulare trebuie să corespundă cât mai exact curbei forţă-adâncime de pătrundere obţinute în urma experimentului de nanoindentare a materialului inelastic ce se doreşte a fi caracterizat. Figura 4 prezintă un ciclu încărcare-descărcare-reîncărcare-încărcare-descărcare, curba experimentală forţă-adâncime de pătrundere fiind reprezentată punctat. Necunoscând apriori cei şapte parametric de identificat, se dau valori arbitrare acestor parametri (în absenţa unei tehnici de estimare mai elaborate), după care se simulează cu ajutorul programului de element finit SPPRc, obţinându-se curba simulată forţă-adâncime de pătrundere, reprezentată cu linie continuă în figura 4. După cum se observă, cele două curbe (cea experimentală şi cea simulată) diferă între ele. Se aplică o procedură de corectare iterativă a acestor parametri, cu scopul minimizării unei funcţii obiectiv ce exprimă diferenţa dintre curba experimentală şi cea simulată. T Fig. 4. Curbele forţă-adâncime de pătrundere (curbe experimentale şi simulate) pentru un ciclu încărcare-descărcarereîncărcare-încărcare-descărcare.

13 Procedura de minimizare modifică iterativ cei şapte parametri până se obţine minimizarea următoarei funcţii obiectiv: N exp sim k k htip ( P ) htip ( P ), k = Ξ= sim k unde N este numărul de puncte de comparaţie, h varf ( P ) este valoarea simulată a adâncimii de k pătrundere a capului indenterului în material pentru o apăsare cu forţa P, la timpul t k, iar exp varf ( k h P ) k este valoarea experimentală a adâncimii de pătrundere pentru forţa de apăsare P. Procedura de minimizare folosită constă în aplicarea succesivă a două metode de tip gradient, şi anume mai întăi metoda Gauss-Newton şi apoi metoda Levenberg-Marquardt (Nocedal şi Wright 999, Ponthot şi Kleinermann 006). Au fost folosite subrutinele Gauss- Newton şi Levenberg-Marquardt ale librăriei Fortran IMSL (Visual Numerics Inc. 997). Metoda Gauss-Newton constă în următoarea corectare iterativă: p + p p p p x = x µ [ H ] ( Ξ), Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ unde p este numărul iteraţiei, Ξ = y,0 * * este E ν σ R β H kin H nl p gradientul funcţiei obiectiv, H este matricea Hessiană iar µ p este un parametru de căutare a p p celei mai mici valori a funcţiei obiectiv Ξ de-a lungul direcţiei de căutare [ H ] ( Ξ). Metoda Levenberg-Marquardt constă în următoarea corectare iterativă a vectorului x: unde Jacobianul J = ( Ξ) T p p p T p p p T p x + = x [( J ) J +ξ I] ( J ) Ξ,, iar ξ p este un parametru de căutare al celei mai mici valori a funcţiei obiectiv de-a lungul direcţiei de căutare. De remarcat faptul că matricile H p şi p T p p p T [( J ) J +ξ I] ( J ) trebuie să fie pozitiv definite pentru ca direcţia de căutare să fie o direcţie descendentă, de diminuare a funcţiei obiectiv. Aplicând procedura de minimizare de mai sus problemei inverse de identificare a celor şapte parametri elasto-plastici de material, rezultatele obţinute au fost satisfăcătoare. Identificarea parametrilor s-a efectuat cu succes, astfel, în unul din cazurile studiate, după cum ilustrează fig. 5 s-a reuşit minimizarea funcţiei obiectiv de la Ξ initial = 0.03 [µm - ] până la Ξ min =.8 0 [µm ]. T Fig. 5. Descreşterea log0 Ξ cu numărul de iteraţii efectuate. 3

14 Metodele de tip gradient precum Gauss-Newton şi Levenberg-Marquardt sunt metode de minimizare locală, fiind necesară o bună iniţializare a parametrilor problemei inverse pentru a converge către minimul global dorit şi nu către un minim local. Astfel, pentru a evita iniţializările arbitrare ale celor şapte parametri de identificat, vom încerca găsirea unei metode de iniţializare mai elaborate. De asemenea, în combinaţie cu metodele de tip gradient s-ar putea folosi şi metode evoluate de căutare, cum ar fi algoritmii genetici. 8. Metode si algoritmi computationali In aceasta parte a lucrarii se dezvolta urmatoarele metode (Munteanu si Donescu 00, 004) utilizate de noi in solutionarea problemelor de indentare.. Metoda directa a imprastierii. Metoda inversa a imprastierii 3. Metoda cnoidala 4. Metoda Hirota 5. Metoda echivalentei lineare (LEM) 6. Transformata Bäcklund 7. Analiza Painlevé 9. Programarea stocastica multiobiectiv In aceasta parte a lucrarii se dezvolta teoria inegalitatilor variationale care isi are originea in lucrarile lui Stampacchia si Fichera, aparute la inceputul anilor 960, lucrarile primului fiind motivate de teoria potentialului, ale celui de-al doilea de mecanica. In acest caz cea mai importanta teorema de existenta a fost stabilita in 966 de Hartman si Stampacchia. Lucrarea de fata sugereaza mai multe moduri de utilizare a teoremelor de existenta pentru inegalitati variationale scalare in studiul problemelor de optimizare vectoriala. Diferite metode de scalarizare au fost folosite in studiul inegalitatilor variationale. In demonstrarea rezultatelor de existenta, pentru inegalitati variationale scalare generalizate, se foloseste teorema Knaster- Kuratowski-Mazurkiewicz sau diferite extinderi ale acesteia, iar pentru cele vectoriale se folosesc teoreme de tip Ky Fan-Browder. Pentru rezolvarea problemelor de optimizare si a inegalitatilor variationale au fost folosite diferite metode numerice incluzand metoda proiectiei si variante ale acesteia, ecuatiile Wiener-Hopf, tehnica principiului auxiliar, tehnica descompunerii. Ideea de baza in metoda proiectiei este de a stabili, folosind notiunea de proiectie, o problema de punct fix echivalenta cu inegalitatea variationala ce trebuie rezolvata. Pentru convergenta acestui tip de algoritm sunt necesare ipoteze de monotonie si continuitate Lipschitz, ceea ce determina imposibilitatea aplicarii lui in numeroase cazuri. Lucrarea dezvolta aspecte ale reconstructiei entropice si ale controlulului statistic al proceselor tehnologice. S-a considerat urmatorul model de optimizare multi-criteriala: ( q ) min F ( x),..., F ( x ), x D m unde D este un set de solutii posibile, D ; F,..., : Fq D. Pe scurt, problema multicriteriala consita in cautarea unor solutii particulare x * D pentru care toate functiile F ( x), k =, q, prezinta simultan valori mai mari sau cel putin nu descresc. Se studiaza de k 4

15 asemenea si diferite clase speciale de probleme vectoriale de echilibru. Astfel s-au extins si imbunatatit rezultate cunoscute, fiind introduse (Beldiman 007, Preda si Beldiman 007): - clase de probleme mai generale decat cele considerate pana la acum; - clase mai generale de aplicatii monotone si semimonotone; - ipoteze de convexitate si inferior semicontinuitate asupra aplicatiilor y Tz, η (y,x), y A(z,w), η(y,x) si f, si chiar asupra aplicatiilor y Tz, η(y,x) + f( y) f( x) si ( ) ( ) y A(z,w), η (y,x) + f y f x. 0. Probleme de echilibru cu valori multimi Cu ajutorul teoremei lui Ky Fan, obtinem existenta solutiei unei clase de probleme de echilibru cu functii relaxat α-pseudomonotone atat pe submultimi marginite, cat si nemarginite ale unui spatiu Banach reflexiv. Apoi, folosind inca o data teorema Kakutani-Fan-Glicksberg obtinem o solutie pentru o clasa de inegalitati de tip variational cu functii relaxat α- semipseudomonotone in spatii Banach arbitrare (Beldiman 008). Pentru o forma particulara a lui Ψ, rezultate de existenta au fost obtinute de Kang, Huang si Lee. In cazul set-valued, am obtinut rezultate analoage celor din 9 pentru problemele: - Sa se gaseasca x K a.i. si - Sa se gaseasca x K a.i. Ψ( u, y,x) 0, y K si u T( x ) Ψ( v,y,x) α ( y,x), y K si v T( y). Relativ la aceste două probleme, avem echivalenta in urmatoarele conditii: (i ) T general relaxat α-pseudomonotona în raport cu Ψ; (i ) T hemicontinua în raport cu Ψ, x,y K fixati; (i 3 ) Ψ( u,,x ) convexa x K fixat, u T( x ); (i 4 ) Ψ ( u,x,x) = 0, x K si u T( x ); (i 5 ) α ( ) (( t ) ) ( ) t ( ) ( ) lim y,x / t = 0, x solutie a lui 3. si y = t x + ty, t 0,, y K. In cazul marginit, pastrand conditiile (i )-(i 3 ) si (i 5 ) si presupunand (i 6 ) Ψ ( u, y,x) +Ψ ( u,x, y) = 0, x, y K si u T( x) ; α y, inferior semicontinua, (i 7 ) ( ) obtinem existenta unei solutii a primei probleme. La fel ca si in cazul single-valued, peste multimi nu neaparat marginite este necesara conditia suplimentara de coercivitate. Acum fie X un spatiu Banach nereflexiv, K nevida, convexa si marginita in X **, A: K K X * * ** ** * * aplicatie cu valori multimi, a : X X si Ψ :X K K functii. Pentru inegalitatea - Sa se gaseasca x Ka.i. Ψ * (u,y,x) = 0, y K si u A( y,x), poate exista solutie in ipoteze de semipseudomonotonie, hemicontinuitate si continuitate finit dimensionala a lui A. 5

16 . Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru Ideea de baza in metoda proiectiei este de a stabili, folosind notiunea de proiectie, o problema de punct fix echivalenta cu problema de echilibru ce trebuie rezolvata. Dar pentru convergenta acestui algoritm sunt necesare ipoteze de monotonie si continuitate Lipschitz, ceea ce determina imposibilitatea aplicarii lui in numeroase cazuri.o alta tehnica de rezolvare a unei inegalitati variationale este cautarea unei ecuatii Wiener-Hopf echivalente. Echivalenta a fost studiata pentru prima data de P.Shi (99) si S.M. Robinson (99), dar ca pas al unui algoritm au fost utilizate prima oara de D.Sun. Dar tehnica proiectiei si a ecuatiilor Wiener-Hopf nu pot fi utilizate pentru anumite clase de probleme de echilibru, care implica functii neliniare nediferentiabile, motiv pentru care a fost introdusa tehnica principiului auxiliar. Aceasta tehnica consta in gasirea principiului variational auxiliar si in demonstrarea faptului ca solutia problemei auxiliare (in general de echilibru sau inegalitate variationala) este solutia problemei initiale. S-a observat ca poate fi folosita pentru gasirea unor probleme de optimizare diferentiabila echivalente, ceea ce ne permite sa construim functii gap. Glowinski, Lions si Tremolieres (98) au introdus aceasta tehnica in studiul existentei solutiilor pentru inegalitati variationale mixte. Se stie ca un numar important de metode numerice pot fi obtinute ca si cazuri particulare ale tehnicii principiului variational auxiliar. Pentru anumite clase de probleme de echilibru am propus metode de acest tip (Beldiman, Preda, Batatorescu 007). Fie H un spatiu Hilbert real finit dimensional si K H o multime nevida, inchisa si convexa. Fie φ (, ) :H H { + } o bifunctie continua si F (, ) :K K o functie neliniara. Consideram urmatoarea problema de quasi-echilibru generalizata: - Sa se gaseasca u K astfel incit Fu,v+ φ v,u φ u,u 0, v K. ( ) ( ) ( ) Am construit un algoritm pentru rezolvarea acestei probleme si am stabilit, in conditii de σ- pseudomonotonicitate in raport cu F functie ξ-strimb simetrica, convergenta acestei metode predictor-corector. Fie u K, ρ> 0, α > 0 si β constante reale. Acum cautam un w K care satisface urmatoarea problema auxiliara mixta de quasi-echilibru: ( ) ( ) ρ F(w,v) + w u, v w +ρφ v,w ρφ w,w 0, v K. Bazandu-ne pe aceasta problema auxiliara propunem un algoritm iterativ de rezolvare: - pentru un u0 H, calculam solutia aproximativa u n+ prin schema iterativa ρ Fu,v+ u u α u u,v u +ρφ v,u ρφ u,u β u v, ( ) ( ) ( ) ( ) n+ n+ n n n n n+ n+ n+ n+ n+ v K. S-au analizat in detaliu metodele de scalarizare pentru clase de inegalitati variationale (Beldiman 007). 6

17 . Initierea unor noi tipuri de experiente pe baza teoriilor de nanomecanica computationala Istoria instrumentatiei la nanoscara este relativ scurta, in jur de douazeci de ani. Primele studii s-au facut 98 cand Heinrich Rohrer si Gerd Binnig (IBM Research in Zurich), au inventat microscopul STM (scanning tunnelling microscope). De atunci o serie de masini si instrumente au fost inventate si construite, incluzand in mod special microscopul AFM (atomic force microscope). Nanoindentarea este un instrument eficient de investigare a proprietatilor mecanice ale materialelor la mici dimensiuni. Ne referim la testarea sensibila a adancimii de indentare in domeniul nanometric prin utilizarea echipamentelor care realizeaza indentari fine si inregistreaza in acelasi timp forta si deplasarea cu mare acuratete si precizie, si modele de analiza avansate care interpreteaza datele experimentale pentru a obtine rigiditatea, duritatea si alte proprietati mecanice. Testele de indentare clasica au fost utilizate initial si sunt utilizate si in prezent pentru a masura modulul de elasticitate al lui Young si duritatea materialului, pe baza teoriilor clasice liniare ale elasticitatii, fara sa se obtina informatii privind proprietatile viscoelastice si capabilitatile de amortizare ale materialelor. Limitarile metodelor curente de nanoindentare sunt: calculul modulului de elasticitate al lui Young (bazat pe curba de descarcare) si al duritatii este limitat la materiale izotrope, liniare; problemele asociate cu fenomenle de pile-up sau sink-in la frontiera indenterului in timpul procesului de indentare, continua sa genereze multe discutii; nu se ofera informati suficiente asupra proprietatilor elastice si vascoelastice pentru materiale nanostructurate anizotrope, neomogene si neliniare; nu se obtin informati sufiecinet relativ la evaluarea si masurarea capacitatii de amortizare a materialelor nanostructurate; teoriile existente esueaza in afara domeniului mecanicii clasice liniare. Proprietatile materialelor la dimensiune mica sunt foarte diferite de cele la macroscara. Principala limita este data de faptul ca efecte intim legate de interactiuni la diferite scari metrice nu sunt luate in consideratie in teoriile actuale pe care se bazeaza masuratorile prin nanoindentare. In prezent, din analiza dinamica se obtin informatii limitate privind amortizarea pentru materialele cu amortizare redusa, insa pentru materialele cu amortizare mare cum este cauciucul, rezultatele sunt departe de realitate. Un rezultat incorect privind capacitatea de amortizare a materialelor poate cauza schimbari de design care pot cauza reduceri nedorite ale rezistentei si rigiditatii. Noul concept propus consta in construirea unei linii de indentere care se misca cu viteza v, unele din ele actionand pe fiecare parte a suprafatei probei in directii opuse, sau actionand pe o parte, cealalata parte a probei fiind incastrata (fig.6). In acest fel este posibila evaluarea nu numai a proprietatilor elastice dar si a capacitatii de amortizare, libere de efectul de substrat. 7

18 Fig.6. Reprezentarea schematica a conceptului a doua indentere care se misca cu aceeasi viteza in aceeasi directie pe suprafata probei. Bibliografie Ansari, Q.H., Schaible, S., Yao, J.C. (00). System of generalized vector equilibrium problems with applications, J. Global Optim.,, 3-6. Ansari, Q.H., Schaible, S., Yao, J.C. (005). Generalized vector quasi-variational inequality problems over product sets, J. Global Optim.,, Ansari, Q.H., Khan, Z., Siddiqi, A.H. (005). Weighted variational inequalities, J. Optim. Theory Appl., 7, Ansari Q.H., Konnov I.V., Yao, J.C. (00). Characterization of solutions for a vector equilibrium problems, J. Optim. Theory Appl., 3, Ansari, Q.H., Yao, J.C., Schaible, S. (00). System of generalized vector equilibrium problems with applications, J. Global Optim.,, 3-6. Ansari, Q.H., Yao, J.C. (999). A fixed point theorem and its applications to the system of variational inequalities, Bull. Austral. Math. Soc., 59, Ansari, Q.H., Oettli, W. Schlager, D. (997). A generalization of vectorial equilibria, Math. Meth. Oper. Res., 46, Ansari, Q.H., Schaible, S., Yao, J.C. (00). System of generalized vector equilibrium problems with applications, J. Global Optim.,, 3-6. Ansari, Q.H., Schable, S., Yao, J.C. (005). Generalized vector quasi-variational inequality problems over product sets, J. Global Optim.,, Ansari, Q.H., Khan, Z., Siddiqi, A.H. (005). Weighted variational inequalities, J. Optim. Theory Appl., 7, Armstrong-Helvouvry, B., Dupont, P., Canudas De Wit, C. (994). A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction, Automatica, 30, 7, Badea, T., Nicolescu, C.M. (003). A Preisach model of hysteretic behavior of nonlinear mesoscopic elastic materials in Topics in Applied Mechanics (ed. V. Chiroiu, T. Sireteanu), vol., cap., Ed. Academiei. 8

19 Beldiman, M., Stanciu, D. (007). Inegalitati variationale vectoriale si inegalitati variationale scalare asociate, Conf. Societatii de Probabilitati si Statistica din Romania, ASE, Facultatea de Cibernetica, Statistica si Informatica Economica. Beldiman, M., Ilie, A. (007). On optimality and duality in multiobjective programming problems, Conf. Societatii de Probabilitati si Statistica din Romania, ASE, Facultatea de Cibernetica, Statistica si Informatica Economica. Beldiman, M. (008). Equilibrium problems with set-valued mappings in Banach spaces, va apare in Nonlin. Anal. Beldiman, M., Preda, V., Batatorescu, A. (007). Some results for equilibrium problems systems, EUROPT OMS Meeting ( nd Conference on Optimization Methods & Software and 6 th EUROPT Workshop on Advances in Continuum Optimization), 4-7 iulie 007, Praga. Beldiman, M. (007). A modified predictor-corrector method for a generalized equilibrium problem, Anal. Univ. Buc., seria Informatica. Beldiman, M., Preda, V. (007). Some existence results for a class of relatively B-pseudomonotone variational inequalities over product set, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information Science, 8,. Beldiman, M., Paraschiv, A., Cojocaru, O. (007). On multiobjective programming problems containing n-set functions, Anal. Univ. Buc., seria Matematica. Beldiman, M., Preda, V., Batatorescu, A. (007), A modified predictor-corrector method for a class of equilibrium problems.iciam 007 (6 th International Congress on Industrial and Applied Mathematics ), 6- iulie 007, Zurich. Beldiman, M., Batatorescu, A. (007). An application of some algorithms for special classes of stochastic models, EUROXXII 007 ( nd European Conference on Operational Research), 8-4 iulie 007, Praga. Beldiman, M. (007). Weighted variational inequalities with set-valued mappings, Revue Roum. Math. Purres Appl., 5(3), Beldiman, M., Stanciu, D. (007). On topological properties of solution set for a class of variational inequalities, 6-th Congress of Romanian Mathematicians, 8 iunie-4 iulie 007, Bucuresti. Berger E.J. (00). Friction modeling for dynamic system simulation, Applied mechanics review. Blok H. (940). Fundamental mechanical aspects of boundary lubrication, Society of automotive engineers Journal, 46(), Bowden, F.P., Tabor D. (950). The friction and lubrication of solids, part, Clarendon Press, Oxford. Blum, E., Oettli, W. (994). From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Mathematics Student, 63, Brezis, H., Nirenberg, L., Stampacchia, G. (97). A remark on Ky Fan's minimax principle, Boll. Un. Math. Ital., 6, Cadek, J. (988). Creep in Metallic Materials, Ed. Elsevier, Amsterdam. Chen, Y. (999). On the Connectedness of the Solution Set for the Weak Vector Variational Inequality, J. Math. Anal. Appl., 60, -5. Chen, X.Q., Chang, S.S. (988). Vector Variational Inequalities and Vector Optimization, Lect. Notes in Economics and Math. Systems, Springer-Verlag. Chen, G.Y., Goh, C.I., Yang, X.Q. (000). On the Gap Functions for Vector Variational Inequalities in Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria (ed. F.Giannessi), 5-57, Ed. Kluwer. Chen, Y.Q., Li, S.J. (996). Existence of solutions for a generalized vector variational inequality, J. Optim. Theory Appl., 90, Chiroiu, V., Chiroiu, C. (003). Probleme inverse in mecanica, Editura Academiei, Bucuresti. Chiroiu, V., Donescu, Şt., Munteanu, L. (005). The different effects of damping on dynamic instability, ASME Fifth International Conference on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics and Controls, IDETC/CIE 005, 0 th Biennal Conference on Mechanical Vibration and Noise, VIB4 Nonlinear Dynamics, Optimization and Reliability of Mechanics, Paper DETC , 4-9 septemebrie 005, Long Beach, California. Chiroiu, V., Fibi, H., Dumitriu, D. (007). On the equipments and methods for damping characterization of nanostructured materials and systems, SGE Safety Goes Europe, Rethimno-Crete, Greece 5- iunie