Pula, studenoga 2013.

Transcription

1 Korelacija matematike s drugim nastavnim predmetima Zbornik radova Osmi stručno metodički skup Metodika nastave matematike u osnovnoj i srednjoj školi Pula, studenoga

2 Matematičko društvo Istra Agencija za odgoj i obrazovanje Osmi stručno metodički skup METODIKA NASTAVE MATEMATIKE U OSNOVNOJ I SREDNJOJ ŠKOLI Pula, studenoga Korelacija matematike s drugim nastavnim predmetima Zbornik radova Organizacijski odbor Branka Antunović-Piton, dipl. ing. mat. Irena Bratulić, dipl.ing.mat. Robert Gortan, prof. Iva Ivanković, prof. Zvonko Jovičić, prof. Nenad Kuzmanović, dipl. mat. Neda Lesar, prof. Vesna Vujasin-Ilić, prof. Recenzenti Dr. sc. Sanja Varošanec Dr. sc. Dubravka Glasnović Robert Gortan, prof. Izdavač Matematičko društvo Istra Pula, Jakova Puljanina 17 Za izdavača Nenad Kuzmanović, dipl. mat. Prijelom i priprema za tisak Dr. sc. Vladimir Kadum Naslovnica Dora Brkarić 1, učenica trećeg razreda Gimnazije Pula Naklada 500 Tisak Gradska tiskara Osijek d.d. ISBN Sva prava pridržana. Ni jedan dio ove knjige ne smije biti objavljen ili preslikan bez prethodne suglasnosti nakladnika i vlasnika autorskih prava. 1 Rad je s međunarodnog natječaja Etno odjeća i plesovi mog naroda Natječaj Galerije likovnih djela mladih Celje i časopisa Likovni svijet. Učenica je osvojila kategoriju drugog mjesta. Sudjelovali su učenici iz 42-ije države, sa radova. Mentor prof. likovnih umjetnosti: Julijana Kocanović-Grubić 2

3 MATEMATIČKO DRUŠTVO ISTRA AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE REPUBLIKE HRVATSKE KORELACIJA MATEMATIKE S DRUGIM NASTAVNIM PREDMETIMA Zbornik radova Pula, studenoga

4 4

5 S a d r ž a j Pozdravne riječi... 7 P o z i v n a p r e d a v a n j a Franka Miriam Brueckler: Je li 5 = 5,0? Franka Miriam Brueckler: Logaritmi -matematika u kemiji ili kemija u matematici? Dario Vretenar: Povezanost matematike i fizike Marko Vrdoljak: Dualnost u optimizaciji i primjeni Miljenko Huzak: Matematička biologija u nastavi 25 P r e d a v a n j a Ella Rakovac i Brankica Truhar: Geometrijski zor - kada nas oči varaju Ivan Gambiroža i Eva Ravnić: Mogućnost korelacije nastavnih sadržaja geografije i fizike Robert Gortan: Neusklađenost nastavnih programa matematike i fizike u 1. razredu gimnazije Sanja Janeš: Svaki učenik može više i bolje - terenska nastava "Loknari" Blaženka Slovenec i Nikol Radović: Let's Dance - With math and physics Snježana Starčević: Matematičar lista Bibliju Sandra Kadum-Bošnjak: Povezanost metodike nastave matematike s drugim znanostima Vesna Josipović: Matematički panoi Željka Zorić: Projekt: Prizemljen sunčev sustav Željko Kraljić: Leptir plavac u svijetu matematike Zrinka Korbar: Korelacija matematike, geografije i meteorologije Božena Palanović: Zadaci naglavačke Buga Mikšić, Marina Ninković i Vesna Ovčina: XV. gimnazija u Comenius projektu "Geometry in Everyday Life" Gigliola Činko Glavić: Vrči pinčuk ili staviti točku na "i": Roč kroz povijest - glagoljaška tradicija Ivan Dražić i Katica Jurasić: Književnost u funkciji suvremene nastave matematike Senka Sedmak: Malali Yousasfzai ili nedovršena priča Ljerka Herceg i Snježana Komadina: Sunčane ure Jasenka Mutak: Hrvatski jezik i matematika Milena Jeretin i Milena Marić: Geometrija u svetu oko nas Milorad Šuković i Zoran Lovren: Matematika i neke životne situacije Maja Kalebić i Predrag Dukić: Korelacija nadohvat ruke Karolina Brleković: Istraživanje u matematici kroz projekte Karolina Brleković: Kako skratiti nastavni sat? Lidija Kralj: Interaktivan udžbenik kao učenički projekt

6 Snježana Lukač i Rebeka Kalazić: Ima li kemije između kemije i matematike? Melita Štefan Trubić: Fourierova slika zvuka Milena Marić: Web Geometry Laboratory:Mogućnosti i primjene Nina Burić: Matematičari na novčanicama i kovanicama Katica Jurasić i Ivan Dražić: Matematika u izgradnji prometnica Vinko Bajrović: Korelacija matematike stvarnim životom Maja Marić: Matematika i enigmetika Nevia Grbac: Korelacija vrstom zadataka Vojislav Andrić: Matematika pomaže ekonomiji Gordana Vasiljević, Jadranka Vreš Rebernjak, Giulia Codacci-Terlević i Jadranka Ostić: Stopama rimskih Agrimensora Zvjezdana Martinec: Životni standard obitelji učenika 5.do 8. razreda Osnovne škole u Popuvači u odnosu na standard Republike Hrvatske i zemlje Europske unije Nenad Kuzmanović: Ekipna natjecanja iz matematike M e t o d i č k e r a d i o n i c e Željko Kraljić: Matematika i "deveta umjetnost" Zlatka Pavličić: Matematika i umetnost - točno je lepo Vojislav Andrić i Veljko Ćirović: Individualizacija kontrolnih zadataka u nastavi matematike Gordana Božić, Jadranka Vreš Rebernjak i Giulia Codacci-Terlević: Stopama rimskih Agrimensora Niko Grgić: Geometrija prostora Niko Grgić: Konstrukcija geometrijskih tijela u 3D prikazu programa - GeoGebra Ljerka Herceg i Snježana Komadina: Izrada horizontalnog sunčanog sata Maja Marić: Matematika i enigmatika Nenad Kuzmanović: Matematika ljubavi Vinko Bajrović: Gdje su maturanti zakazali na ispitu iz matematike na Državnoj maturi Bosiljko Đerek, Milana Arbutina i Mirela Puškarić: Zondle - zabavom do znanja ISBN

7 Pozdravne riječi Drage kolegice i kolege, dobro došli na 8. stručno metodički skup učitelja i nastavnika matematike. Organizatori ovog skupa su Matematičko društvo Istra i Agencija za odgoj i obrazovanje u Republici Hrvatskoj. Kod nas je veliki broj matematičara entuzijasta i oni rado daju doprinos da naši skupovi budu što bolji. Velika im hvala za to. Veliki broj zanimljivih predavanja i radionica, razgovori u kuloarima, lijepo okruženje privlače sve nastavnike Lijepe naše svake druge jeseni u Istru na naš i Vaš Skup. I ove godine ćemo ugostiti i kolege iz drugih država što nas posebno raduje. Matematika zahtijeva najbolje uvjete i to je razlog što je naš izbor ostao prvoklasan hotel u kome će se Skup održati. Hoće li recesija utjecati na broj prisutnih nastavnika znat ćemo mjesec dana nakon pisanja ovih riječi. Iskreno se nadamo da neće. Bila bi to nenadoknadiva šteta za razvoj matematičke misli kod nas. Matematičko društvo Istra već godinama organizira kvalitetne projekte. Ove smo godine odlučili pokloniti sudionicima skupa DVD na kome su zabilježene zanimljivosti s tih događanja. Početkom ove godine nas je napustio naš istaknuti član profesor Enes Kosić, veliki zaljubljenik u brojke, od koga se i ovim putem opraštamo. Njegov doprinos našim projektima je bio velik. Srećom, mlađi nastavnici nam se pridružuju u našim lijepim i velikim poslovima tako da je kontinuitet naših projekata osiguran. Tema ovogodišnjeg skupa Korelacija matematike i ostalih nastavnih predmeta je dobro odabrana, jer je matematika neophodan alat u mnogim predmetima. Čut ćemo nove i zanimljive radove te se uvjeriti kolika je važnost matematike u cijelom društvu. Svim sudionicima želimo lijep i koristan boravak na Skupu. Matematičko društvo Istra Organizacijski odbor 8. skupa 7

8 8

9 POZIVNA PREDAVANJA 9

10 10

11 JE LI 5 = 5,0? Franka Miriam Brueckler Prirodoslovno matematički fakultet, Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu bruckler@math.hr Danas kad izgovorimo, primjerice, pet gotovo automatski vizualiziramo simbol 5. Drugim riječima, brojeve (nesvjesno) poistovjećujemo s brojkama koje ih reprezentiraju u decimalnom zapisu. No, mali pogled u povijest i druge kulture lako će nas upozoriti na dvije stvari: - Zapis brojeva u bazi 10 nije jedini moguć, pa čak ni jedini logičan; mnoge kulture koristile su druge baze, primjerice Maje su koristile bazu Brojevi postoje neovisno o svom zapisu: pet je hrvatska riječ za pojam koji označava koliko, primjerice, ima decilitara u standardnoj manjoj plastičnoj boci mineralne vode. Drugačije rečeno, ovim kratkim tekstom želimo podsjetiti na nešto što je svakom nastavniku matematike, zasigurno poznato i jasno: razliku broja i brojke. No, uz taj imamo i jedan drugi cilj: objasniti zašto prirodoslovci kad pišu, primjerice, 5,0 mmol/l nisu u krivu i zašto taj navod ne treba ispraviti na 5 mmol/l. Postavite li pitanje osobi na ulici, učeniku, prirodoslovcu, pa čak i sebi nastavniku matematike jednostavno pitanje što je to broj?, teško da ćete uspjeti dobiti dobar odgovor. Naravno, kako ste studirali matematiku, Vi znate razlog zašto je teško odgovoriti na to pitanje. S druge strane, kad govorimo o, recimo, pet kobasica, gotovo svatko od nas automatski će vizualizirati ne samo kobasice, njih pet, nego i simbol 5. No, koliko god mi bili navikli na taj simbol, trebamo biti svjesni da on nije jedini moguć niti jedini smislen. Druge kulture koriste ili koristile su drugačije simbole, primjerice stari Rimljani slovo V. Kako simbol nije isto što i ono što predstavlja, kao što ni naše ime nije jednako nama samima, tako brojka nije isto što i broj: brojka je simbol kojim se broj predstavlja. Brojke dijelom ovise o odabranom brojevnom sustavu. Brojevni su sustavi jedna od važnih i dobro proučenih matematičkih tema, te se ovdje nećemo njima pobliže baviti. U našem svakodnevnom životu redovno koristimo decimalni sustav, temeljen na bazi 10, ali i seksagezimalni sustav temeljen na bazi 60 (računanje vremena, mjere kutova u stupnjevima). Usprkos tome, gotovo svatko brojeve automatski poistovjećuje s njihovim prikazom u decimalnom sustavu. Stoga ne čudi da mnogi imaju problem shvatiti da je 0,25 isto što i 0 15'. Možda u poboljšanju razumijevanja te činjenice može pomoći sljedeća analogija: promjena brojevnog sustava u matematici analogna je promjeni jedinice mjerenja u prirodnim znanostima. Shvaćanje da je 0,25 = 0 15' u osnovi je ekvivalentno shvaćanju da je 25,4 cm = 10 inča. 11

12 Ipak, svi ćemo se složiti da nije bez razloga da u većini situacija koristimo decimalni sustav. Tijekom povijesti on je pokazao mnoge prednosti vezane za računanje. Stoga nakon što smo upozorili da prikaz broja brojkom u decimalnom sustavu nije nešto što ja a priori dano možemo u daljnjem uzeti da smo odabrali raditi s upravo takvim prikazom. Prihvatimo li da je za većinu ljudi našega podneblja to jedini s kojim dovoljno dobro vladaju, možemo pokušati prosječnoj, pa čak i visoko obrazovanoj osobi, postaviti jednostavno pitanje: Je li 0,33 jedna trećina? Spremna sam se kladiti u pet već spomenutih kobasica da će od deset osoba kojima to pitanje postavite (a da nisu matematičari i eventualno fizičari) njih devet ili deset odgovoriti potvrdno. Što ćete učiniti želite li uvjeriti osobu da je u krivu? Ne sumnjam da ste u stanju dati i bolji argument od mene, ali moj omiljeni je sljedeći je li 99 = 100? Tu sigurno neću dobiti potvrdan odgovor. Ako to nisu dva ista broja, onda ni njihove stotine nisu iste, nije li tako? Dakle, 0,99 nije isto što i 1. Ali ako to nisu dva ista broja, onda ni njihove trećine nisu iste pa 0,33 nije isto što i 1/3. Naravno, istina je da je 1/3 = 0, Tek s beskonačno mnogo trojki iza decimalnog zareza dobivamo egzaktan prikaz. Stoga zaokruživanje 1/3 na 0,33 sa sobom nosi grešku reda veličine tisućice. Ona može biti zanemariva, primjerice kad govorimo o trećini kolača, ali može biti i bitna, primjerice kad govorimo o trećini državnog proračuna Republike Hrvatske. Značaj greške zaokruživanja stoga ne možemo procijeniti po važnosti temeljem samog iznosa ona ovisi o tome na što se broj odnosi. S matematičke strane, zaokruživanje je (do na pravila za odabir zadnje znamenke) isto što i odabir određene parcijalne sume reda koji odgovara decimalnom zapisu broja (decimalni zapis broja zapravo je sažeti zapis tog broja kao reda, gdje je a 0 cijeli dio broja kojeg prikazujemo, a ostali a n -ovi su znamenke (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ili 9) iza decimalnog zareza. Time smo stigli do, za prirodoslovlje i tehniku, izuzetno bitne teme. Naime, prirodoslovlje i tehnika u velikoj mjeri koriste brojeve ne kao apstraktne matematičke entitete, već za opis rezultata različitih mjerenja. Kako svako mjerenje sa sobom nosi grešku (ne samo) jer nije nikad sasvim egzaktno provedivo, oni koriste gotovo isključivo konačne decimalne zapise brojeva. Najčešće se koriste zapisi sa samo nekoliko značajnih znamenki. 2 Tu susrećemo naslovom najavljeno naoko čudno razlikovanje 5 i 5,0 i 5,00. No, kad pišemo 5, u pravilu podrazumijevamo egzaktan broj 5, tj. = 5, Eventualno, ali vrlo rijetko, bi se pod 5 podrazumijevao broj 5, nešto zaokružen na jednu značajnu znamenku. No, ono problem s tim slučajem lakše je objasniti na razlikovanju 5,0 i 5,00 međusobno, a zatim i prema upravo navedenom značenju samostojećeg simbola 5. Kad prirodoslovac ili tehničar navede da je neka, 2 Za one koji su zaboravili, kratki podsjetnik. Svaki broj ima jednoznačan znanstveni zapis u obliku mantisa puta cjelobrojna potencija od 10, uz uvjet da je mantisa između 1 (uključivo) i 10 (isključivo). Broj znamenaka koji koristimo u zapisu mantise zove se broj značajnih znamenaka. Postoje različita, eksperimentalnim razlozima opravdana, pravila o pravilnom izboru broja značajnih znamenki. 12

13 primjerice, duljina a jednaka 5,0 cm on iskazuje da je siguran da su prve dvije značajne znamenke 5 i 0, tj. da njegovo mjerenje nije dovoljno precizno da bi dalo informaciju radi li se egzaktno o 5 cm, o 5,02 cm ili pak o 5, cm. Jednostavno, zbog nedovoljne preciznosti svakog mjerenja od je temeljem poznavanja preciznosti svog mjernog uređaja odabrao samo dvočlanu parcijalnu sumu za a, jer osim a 0 = 5 i a 1 = 0 nema informacija o ostalim znamenkama a n. Neki drugi prirodoslovac koji je istu (ili neku drugu) duljinu izmjerio kao 5,00 cm imao je precizniji uređaj koji mu je omogućio da bude siguran i u treću po redu znamenku a 2 = 0, ali ni on ne može odrediti ostale znamenke te je stoga odabrao tročlanu parcijalnu sumu. Stoga 5 predstavlja isto što i 5, potpuno matematički egzaktan broj 5 kojemu znamo svih beskonačno mnogo decimalnih znamenki, a 5,0 cm predstavlja duljinu koja možda jest, a možda i nije jednaka 5 cm. Kako teško da će netko tko želi pričati o broju pet (ni manje ni više) zabunom umjesto 5 napisati 5,0, ako susretnemo 5,0 trebamo pretpostaviti da je taj zapis korišten s razlogom ukratko gore opisanim. Kako parcijalna suma nije isto što i čitav red, zaključujemo: 5 5,0. 13

14 LOGARITMI MATEMATIKA U KEMIJI ILI KEMIJA U MATEMATICI? Franka Miriam Brueckler Prirodoslovno matemaički fakultet, Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu bruckler@math.hr Ključne riječi: logaritmi, ph otopina, interpretacija formula Uvod Matematika se često smatra, pa čak i podučava, kao s kemijom nepovezan školski predmet. Rijetke iznimke u kojima se na školskoj razini mogu uočiti veze između matematike i kemije uključuju aritmetiku potrebnu u stehiometriji te korištenje funkcija i grafova za opise kemijskih procesa i pojava. Posebni problemi javljaju se upravo vezano za primjenu funkcija i grafova u kemiji. Od klasa matematičkih funkcija, u kemiji se ponajviše koriste afine (linearne) i kvadratne, te eksponencijalne i logaritamske funkcije. Najpoznatija primjena logaritama u kemiji vezana je za definiciju i korištenje ph otopina. U toj definiciji se pojavljuje logaritam s bazom 10 (dekadski logaritam). Od ostalih logaritamskih funkcija, u kemiji (posebno, kemijskoj kinetici) ponajviše se rabe prirodni logaritmi. Učenici se s logaritmima kao i s ph susreću u drugom razredu srednje škole (a na razini skale s ph se susreću već u osnovnoj školi), no nažalost nastava matematike i kemije (ne samo u Hrvatskoj) nisu najbolje povezane po ovom, kao ni po drugim, pitanjima. Kako nastavnici kemije u pravilu nedovoljno razumiju eksponencijalne i logaritamske funkcije, u pravilu nisu sposobni pomoći učenicima u njihovim problemima s računima vezanim za ph, a često se pojavljuju i matematičke greške. S druge strane, u nastavi matematike nerijetko se nedovoljno prostora daje pravilnoj interpretaciji formula i grafova te razvijanju sposobnosti prikladne primjene, primjerice, logaritama. Ovdje ćemo predstaviti vezu između matematičkog i kemijskog pristupa logaritmima, s naglaskom na probleme s primjenom uobičajenog matematičkog formalizma i na mogućnost da se logaritmi uvedu preko pojma ph, a ne samo obrnuto. Napominjemo da je ovaj tekst nastavnicima matematike prilagođena prerada rada [Brueckler, 2010], namijenjenog nastavnicima kemije. U tom se izvornom radu može naći više detalja o istraživanju koje spominjemo u ovome radu, kao i više primjera. 14

15 ph i dekadski logaritmi Ovim poglavljem želimo dati kemijsku inspiraciju za uvođenje logaritama. Oni koji žele izbjeći kemiju, mogu alternativno odabrati i prilagoditi neku drugu ovisnost tipa geometrijskog niza, primjerice ukamaćivanje. Klasična Sørensenova 3 definicija ph (1909.) glasi ph = log, gdje je s c označena standardna koncentracija, iznosa 1 mol/l. Oznaka c(h + ) predstavlja množinsku koncentraciju vodikovih iona, tj. omjer njihove množine 4 i volumena otopine. Uočimo važnost dijeljenja sa standardnom koncentracijom: logaritmi su transcendentne funkcije i ne znaju što s jedinicama, dok je koncentracija fizikalna veličina s jedinicom. Dijeljenjem sa standardnom koncentracijom postižemo ne samo da se logaritam računa od čistog broja, već i preciziranje jedinice u kojoj koncentracija treba biti izražena. Naime, koncentracije se često navode u različitim jedinicama. Tako primjerice možemo imati koncentraciju od 0,1 mmol/l. Kad bismo samo makli jedinicu, logaritam bismo računali od 0,1 i dobili ph iznosa 10, a zapravo je ph takve otopine 4. Sørensenova definicija s modernog stajališta nije sasvim točna (umjesto koncentracije koristi se tzv. aktivnost), a kako učenici susreću ph na razini skale već u osnovnoj školi, ovdje ćemo za dobro i matematike i kemije malo okrenuti priču. Kao definiciju ph koristit ćemo bitno jednostavniju i učeniku shvatljivu, a zapravo točnu: ph je mjera kiselosti otopine i to je broj kojeg za danu otopinu očita ph-metar. Provedimo sad jedan (misaoni ili stvarni eksperiment). Ako bismo danu otopinu početne koncentracije vodikovih iona jednake c 0 uzastopno deseterostruko razrjeđivali (tj. u svakom koraku dodali toliko vode da koncentracija vodikovih iona padne na desetinu prethodne), očito je u k-tom koraku ta koncentracija vodikovih iona jednaka c k = c 0 /10 k. Grafički prikaz te standardne kemijske procedure u uobičajenom koordinatnom sustavu predstavlja probleme koncentracije toliko brzo padaju da je praktički neizvedivo označiti osi tako da se mogu pratiti više od tri, eventualno četiri koraka (slika 1, lijevo). Stoga je potrebno osmisliti prikladniji prikaz. Istu ovisnost možemo prikazati tako da uzmemo da su razmaci na osi ordinata između svakih dviju uzastopnih koncentracija jednaki; zatim obrnemo redoslijed navođenja ordinata i uzmemo da sjecište koordinatnih osi predstavlja točko (0,1), tj. početnu situaciju za slučaj da je c 0 = 1 mol/l. 5 Takav prikaz dan je na slici 1, desno. 3 Søren Peter Lauritz Sørensen ( ), danski biokemičar. 4 Množina tvari jednaka je omjeru njene brojnosti i Avogadrove konstante. Standardna jedinica je mol. 5 Uočimo da u ovom slučaju na osi ordinata imamo logaritamsku skalu (iako u ovom trenu još nismo uveli pojam logaritma). 15

16 Slika 1. Ovisnost koncentracije o broju uzastopnih deseterostrukih razrjeđenja. Nakon opisane modifikacije možemo uočiti sljedeće bitne činjenice: Kad zbrojimo udaljenosti dviju ordinata do sjecišta osi dobivamo udaljenost koja odgovara produktu tih ordinata, a kad ih oduzmemo dobijemo poziciju kvocijenta tih ordinata. Ako je 1 oznaka za visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/l, onda svako deseterostruko razrjeđivanje povećava visinu ordinate za 1. Uočimo dvostruku ulogu simbola 1: broj 1 i jedinica udaljenosti na novoj osi ordinata. Ordinata koja odgovara standardnoj koncentraciji iznosi 0. Stoga bi bilo moguće dati sljedeću kemijsku definiciju dekadskog logaritma: Definicija 1. Dekadski logaritam nekog broja x je suprotna vrijednost ph otopine koja ima koncentraciju H + iona iznosa x mol/l: log x = ph(x mol/l). Osnovna svojstva dekadskih logaritama mogu se izvesti iz gore uočenih činjenica: Po dogovoru je pri standardnoj koncentraciji H + iona od 1 mol/l vrijednost ph jednaka nuli (odgovarajuća ordinata je na visini 0). Drugim riječima, po definiciji 1 je log 1 = 0. Besmisleno je računati ph otopine s negativnom koncentracijom H + iona, ili ako je ta koncentracija jednaka nuli: logaritmi nisu definirani za negativne brojeve i nulu. 16

17 Deseterostrukim razrjeđivanjem otopine dobivamo otopinu koja ima ph manji za 1, dakle je log (x/10) = log x 1. Primijetimo da posljednja formula znači i da je log(10x) = log x + 1. Ordinata 1/10 k je na visini k 1 od ishodišta: log 10 k = k. Zbroj visina ordinata odgovara njihovom produktu, a razlika kvocijentu: log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x log y. Posljedično imamo 0 = log 1 = log (x 1/x) = log x + log (1/x), te je log (1/x) = log x, što nam omogućuje proširenje logaritama i na brojeve veće od 1 (uočimo da su preko ph logaritmi definirani samo za brojeve manje od 1, jer su tipične koncentracije H + iona u otopinama između 0 i 1 mol/l). Vidimo dakle da se sva osnovna svojstva (dekadskog) logaritma mogu izvesti iz eksperimentalno vidljivih svojstava otopina. Štoviše, uočimo i da smo isti postupak primijenili primjerice obzirom na uzastopna dvostruka razrjeđenja, dobili bismo logaritam po bazi 2, ali svojstva bi bila ista. Tako se mogu opisati svi logaritmi s bazama koje su prirodni brojevi različiti od 1, a i argumentirati zašto nema smisla logaritam s bazom 1 (jednostruka razrjeđenja nisu razrjeđenja). Temeljem uočenih svojstava učenici se mogu navesti i da se vježbaju u važnoj sposobnosti procjenjivanja iznosa dekadskih logaritama za različite brojeve, kao i procjenjivanja brojeva čiji su logaritmi zadani (procjenjivanja koncentracija za dani ph). Skiciranjem parova (broj, logaritam) u pravokutni koordinatni sustav naslutit će i kako izgleda graf logaritamske funkcije s bazom 10. Moći će uočiti i da je dekadski logaritam rastući. Ukupno gledajući stoga nismo ništa izgubili u sadržaju, ali je pojam logaritma uveden temeljem nečeg opipljivijeg od eksponenta na koji dani broj treba potencirati da bi se dobio zadani broj. Arithmetica integra & Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Predloženi pristup u nastavi matematike optimalno je povezati s povijesnim. Naime, logaritmi se izvorno nisu pojavili zato jer se netko sjetio tražiti prikladne eksponente, već da bi se riješili određeni praktični problemi. Ovdje ćemo samo kratko opisati osnovne momente u povijesti logaritama, a za više detalja upućujemo čitatelja na standardnu literaturu iz povijesti matematike ili pak na [Šolčić, 2013]. Kombiniranjem povijesnog pristupa i pristupa preko kemije, učenici mogu prije svega bolje uočiti korist logaritama (što, među inim, doprinosi boljoj motivaciji za učenje ove ne tako lako teme). Za bolje utvrđivanje svojstava logaritama može se korisnim pokazati i korištenje logaritmara ili klasičnih logaritamskih tablica. Povijesni pristup nastavnim temama zagovaraju mnogi autori, primjerice [Guzmán, 1993]. 17

18 Napomena. Korisno je i usporediti tri načina da se u formuli tipa a b = c uzmu da su dva broja poznata, a treći se određuje. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije. Među neposredne prethodnike otkrića logaritama spada njemački renesansni matematičar Michael Stifel ( ). On je uočio da zbrajanju dvaju članova aritmetičkog niza odgovara množenju dvaju članova geometrijskog niza, odnosno oduzimanju u prvom dijeljenje u drugom (Arithmetica Integra, 1544.). Pritom je on, kao i prethodnik mu Nicholas Chuquet (francuski matematičar, 15. stoljeće) paralelno promatrao aritmetički niz s diferencijom 1 i geometrijski s kvocijentom 2. Problem s njihovim razmatranjima iako su njima uočili dva temeljna svojstva logaritama je da uzimanje kvocijenta geometrijskog niza bitno većeg od 1 (tj. baze logaritma bitno veće od 1) dobivamo velike razmake između uzastopnih potencija te se ne može sa zadovoljavajućom preciznošću osmisliti kako popuniti rupe. Primjerice, brojevima 4 i 5 iz aritmetičkog niza ( prvi red ) u njihovim razmatranjima odgovaraju brojevi 16 i 32 u geometrijskom nizu ( drugom redu ), no nejasno je kako temeljem toga procijeniti koji broj u drugom redu bi odgovarao, primjerice, broju 4,5 u prvome. S druge strane, jedan od glavnih poticaja konačnom otkriću logaritama došao je iz pomorstva. Kako je dobro poznato, u doba renesanse su dugačka putovanja morem postala uobičajena, a pri takvim putovanjima se vezano za određivanje pozicije pojavljuju računi s trigonometrijskim funkcijama, čije vrijednosti redovito treba množiti ili dijeliti. U doba bez kalkulatora, bitno je lakše bilo zbrajati i oduzimati nego množiti i dijeliti brojeve. Tako se pojavila potreba načinom kojim bi se množenje ili dijeljenje dva ružna" decimalna broja moglo svesti na zbrajanje odnosno oduzimanje. Obzirom na opisanu korespondenciju izmedu aritmetičkog niza eksponenata i geometrijskog niza potencija, tražili su se načini da se razmaci medu uzastopnim potencijama profine. Konačnu pomoć moreplovcima i drugima koji su trebali provoditi množenje i dijeljenje ružnih brojeva dali su trojica matematičara početkom 17. stoljeća. John Napier ( ) je kombinacijom računskog i fizikalnog pristupa (paralelnog razmatranja čestice koja se giba stalnom brzinom i druge koja se giba brzinom razmjernom ostatku puta kojeg treba prijeći) dobio prvu tablicu logaritama (i dao im ime logaritmi). Njegovi logaritmi zapravo nisu bili logaritmi u današnjem smislu: Napierov logaritam broja x danas bismo zapisali kao 10 7 log 1/e (x/10 7 ). Svoje je tablice objavio pod nazivom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Praktički istovremeno, ali drugačije i od Napiera nezavisno, logaritamske tablice štoviše, tablice prirodnih logaritama osmislio je i švicarski mehaničar i urar Joost Bürgi ( ). Napierov suvremenik Henry Briggs ( ) komunicirao je s Napierom te se Napier složio s Briggsovim prijedlogom kako bi od njegovih prikladniji bili logaritmi s bazom 10. Tako je Briggs nakon Napierove smrti nastavio njegov rad i objavio svoju tablicu dekadskih logaritama, koji su zbog toga ponekad poznati i kao Briggsovi logaritmi. Time naravno povijest logaritama nije gotova, ali su upravo ovi rani momenti idealni za povezivanje s današnjom praktičnom upotrebom (ph ili neka druga odab- 18

19 rana tema), a posebice za olakšavanje shvaćanja i pamćenja dvaju temeljnih svojstava logaritama, a to je da množenje svode na zbrajanje i dijeljenje na oduzimanje. Matematika garantira istinu. Ako su pretpostavke točne... Vratimo se malo na probleme koje korisnici matematike, primjerice kemičari, imaju s matematičkim formulama i objektima, primjerice logaritmima. Ma koliko se pozivanje na matematičke formule koristilo kao priziv na viši autoritet, te ih mnogi prihvaćaju kao sveto pismo, s matematičkim formulama, posebice u primjenama, treba biti oprezan. To ćemo pokazati na primjeru. Napomenimo da na takve primjere matematičar često ne obraća pozornost jer njegovi su objekti brojevi, skupovi, funkcije u pravilu idealni. No, kao što će se matematičar s pravom pobuniti kad netko iz druge struke krivo interpretira neku matematičku formulu, kemičar ili fizičar će se (isto tako s pravom) pobuniti ako matematičar s fizikalnim veličinama bez razmišljanja barata kao da su brojevi. Da ovdje ne ulazimo u detaljnije argumente, dat ćemo samo jedan jednostavan: fizikalna veličina, koja je po svojoj naravi neegzaktno mjerljiva i bez jedinice mjerenja nema smisla, u pravilu nije idealan, precizan i čist broj. Slijedi najavljeni primjer. Primjer: Koliki je ph otopine klorovodične kiseline HCl koncentracije 1, mol/l? Gotovo svaki matematičar, a i poneki kemičar, na ovo će pitanje krenuti odgovoriti formalnim računom. Koristeći da je ph jednak suprotnom 6 dekadskom logaritmu koncentracije vodikovih iona i uzimajući da je u otopini HCl koncentracija HCl jednaka koncentraciji H +, računati će: ph = log 1, = 8 log 1,33 = 7,87. No, iako formalno točno izračunat, rezultat je pogrešan. Zašto? Kratak odgovor je sljedeći: očito je. Naime, ph iznad 7 označava lužnatu otopinu, dok je naša otopina kisela (točniji ph bio bi 6,97). Razlog zašto je gornje rješenje netočno je, naravno, kemijski. Što onda ovaj primjer radi u ovome radu? Tu je da upozori na nešto što bi svakom matematičaru trebalo biti jasno i poznato kad matematička formula opisuje nešto iz stvarnog svijeta, ona je točna samo uz uvjete uz koje je izvedena (konkretno, formula za ph je u redu ako je otopina dovoljno daleko od neutralne). Ili, kako je to lijepo izrekao Albert Einstein: Ako se zakoni matematike odnose na stvarnost, nisu pouzdani, a ako su pouzdani, ne odnose se na stvarnost. Nisam Vas uvjerila da gornji tip zadatka nikad ne koristite u nastavi matematike kao primijenjeni primjer, osim ako ga poštelate i kemijski? Evo još jedan, moj zadnji, argument ako kao matematičar koji, primjerice, ne zna kemiju vidim formulu poput c( H ) ph log o c ne vidim zašto bih imala ideju u toj formuli c(h + ) proizvoljno zamijeniti s c(hcl). Dakle, čak i čisto formalni pristup može upozoriti na potencijalne greške. 6 Kemičari često nepravilno kažu: negativnom. Naravno da je to krivo, ta minus u definiciji ph služi upravo tome da za većinu otopina vrijednost ph postane pozitivna. 19

20 Preciznije objašnjenje problema s gornjim primjerom, kao i drugi srodni primjeri, mogu se naći primjerice u [Brueckler, 2010]. Da me ne bi tko krivo shvatio jednostavni primijenjeni primjeri itekako su poželjni u nastavi matematike. Samo, kao što od drugih kad koriste matematiku očekujemo da ono što koriste pravilno koriste, i ljutimo se kad to ne čine, tako i mi matematičari kad ulazimo u materiju druge struke trebamo upoznati bar osnove onoga o čemu pričamo. Još malo, pa kraj Mnoga su istraživanja pokazala da se logaritmi, kako općenito, tako i unutar kemije ne razumiju dovoljno dobro te se često svode na tipke na kalkulatoru [Watters & Watters, 2006]. No, kako pokazuje i prethodni primjer, najozbiljniji problem u primjenama nije u samim logaritmima, već pogreškama i krivim shvaćanjima koja nastaju iz nepravilnog korištenja matematičkih formula kao samostojećih entiteta bez uzimanja u obzir uz koje uvjete su te formule izvedene [Matsumoto et al, 2009]. Inspirirano tim i drugim srodnim istraživanjima, provedeno je istraživanje među 32 studenta preddiplomskog studija kemije na jednom hrvatskom sveučilištu. Studenti su dobili dva zadatka, jedan poput prethodnog primjera, a drugi vezan za račun pri uzastopnom deseterostrukom razrjeđivanju otopine. Samo nešto više od 6%, odnosno 3%, studenata dalo je potpuno (i matematički i kemijski) rješenja, a još po nešto više od 30% odnosno 15% dalo je približno točna rješenja temeljena na jednostavnijim, u osnovi kemijskim argumentima. Temeljem analize dobivenih rješenja izvedeni su zaključci slični onima iz [Watters & Watters, 2006], a to je da sveučilišni studenti u velikoj mjeri pokazuju značajne miskoncepcije, neke vezane za matematiku, a druge za kemiju. Detalji ovog istraživanja, uočene tipične greške i zaključci, mogu se naći u [Brueckler, 2010]. Zašto smo ovdje spomenuli to istraživanje? Razlog je jednostavan ovaj tekst namijenjen je nastavnicima u osnovnim i srednjim školama, a upravo oni pripremaju učenike za različite studije. Kako se spomenute miskoncepcije nisu mogle stvoriti upisom na fakultet, očito je da potječu iz prethodnog školovanja. Stoga se nadamo da će ovaj kratki tekst poslužiti kao pomoć, a posebno kao inspiracija, za kvalitetniju nastavu matematike. Za kraj spomenimo da u ovom kratkom tekstu nismo dotakli mnoge naprednije probleme vezane za titracijske krivulje, koje povezuju standardnu kemijsku tehniku (titraciju), grafove funkcija i interpolaciju. No, tu ćemo temu ostaviti za neku drugu priliku Bibliografija F. M. Brueckler, Logarithms in Aequos Solutions, 1st Croatian Workshop on Chemical Education, Book of Abstracts, 54-55, Split, M. Šolčić, Kako su nastali logaritmi, diplomski rad, Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odsjek, Zagreb,

21 M. de Guzmán, Origin and Evolution of Mathematical Theories: Implications for Mathematical Education, Newsletter of the International Study Group on the History and Pedagogy of Mathematics, 8, March 1993, 2-3. Retrieved Nov 29 th 2010 from nmsu.edu/~history/guzman.html D. J. Watters and J. J. Watters, Student understanding of ph: i don't know what the log actually is, i only know where the button is on my calculator, Biochem. Mol. Biol. Educ. 34 (2006) P. S. Matsumoto, G. Tong, S. Lee and B. Kam, The Use of Approximations in a High School Chemistry Course, J. Chem. Edu. 86 (2009)

22 POVEZANOST MATEMATIKE I FIZIKE Dario Vretenar Zavod za teorijsku fiziku, Fizički odsjek Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilište u Zagrebu U razvoju matematičkih ideja značajan poticaj uvijek je bio pronalaženje matematičkih struktura koje precizno zrcale ponašanje fizikalnih pojava. Smatra se da je prvi fizikalni zakon, izražen matematički prije dvije i pol tisuće godina, bilo Pitagorino otkriće da se titranjem napetih žica dobiju uhu ugodni tonovi ako je omjer duljina žica jednak omjeru malih cijelih brojeva (skraćenjem žice na polovicu ton se povisuje za oktavu, skraćivanjem na 2/3 povisuje za kvintu, ). Tek mnogo kasnije otkriveno je da ti omjeri dvaju malih cijelih brojeva zapravo pokazuju omjere frekvencija, pa omogućuju skladnu interferenciju pripadnih zvučnih valova. U istraživanju prirodnih pojava fizičari koriste prirodoznanstvenu metodu, koju su u današnjem obliku formulirali Roger Bacon u 13. stoljeću i Galileo Galilei početkom 17. stoljeća, no koja vuče porijeklo još od Sokrata koji je istraživao magnetske pojave. Suština prirodoznanstvene metode jesu sljedeći koraci: pokus i promatranje prirodnih pojava na temelju kojih znanstvenik stvara pojednostavljenu sliku izraženu matematičkim jezikom, zatim se izračunati rezultati uspoređuju s rezultatima mjerenja i ovisno o slaganju s mjerenjima, teorijski model se prihvaća ili odbacuje i traži bolje tumačenje. Uspješan model predviđa i svojstva koja dotad nisu mjerena i na osnovu predviđanja vrše se novi eksperimenti. I tako se krug zatvara. Do 20. stoljeća ovaj se pristup primjenjivao uglavnom u fizici, a zatim sve se više i u drugim prirodnim znanostima. Na početku je isti fizičar radio i pokus i teorijski model i provodio račune (na primjer Galilei i Newton). Zbog sve obimnijeg opsega i složenosti, došlo je do podjele posla: već u 20. stoljeću pokuse pretežno izvode eksperimentalni fizičari (na primjer Rutherford i Onnes), a teoriju i proračune teorijski fizičari (na primjer Einstein i Bohr). Teorijska istraživanja koja koriste jezik matematike, omogućuju predviđanja rezultata eksperimenata prije nego oni doista budu provedeni i često upućuje na smjer u kojemu treba vršiti daljnje pokuse. Mnogi fizičari smatraju da zapravo nema razloga očekivati da je ovaj pristup uopće moguć, ali u stvarnosti često daje rezultate koji s velikom preciznošću predviđaju i reproduciraju rezultate mjerenja. Već je u začetcima moderne fizike Galileo ustvrdio da matematika predstavlja prirodan jezik fizike. Sve do početka dvadesetog stoljeća zapravo nije bilo velike razlike između teorijske fizike i matematike. Neki od najvećih znanstvenika tog doba: Newton, Laplace, Legendre, Hamilton, Gauss, Fourier... bili su i fizičari i matematičari. Matematika je pružila okosnicu i za dvije velike znanstvene revolucije koje su obilježile fiziku dvadesetog stoljeća: opću teoriju relativnosti i kvantu mehaniku. 22

23 Jedan od najpoznatijih primjera izuzetne uspješnosti primjene matematičkih metoda u fizici je izračun magnetskog momenta elektrona. Relativistička kvantna teorija elektromagnetskog polja predviđa vrijednost giromagnetskog faktora elektrona koja se s rezultatom mjerenja slaže do na nevjerojatnu točnost od jednog dijela u stotinu milijardi. Prije više od pedeset godina Nobelovac Eugene P. Wigner je, u svom radu o neshvatljivoj djelotvornosti matematike u prirodnim znanostima, ukazao na zagonetku ogromne upotrebljivosti i korisnosti matematike u opisu prirodnih pojava, za koju zapravo ne postoji razumno objašnjenje. Također je intrigantno da su u prirodnim zakonima često realizirana ona rješenja koja su ujedno i matematički najelegantnija. S druge strane, tajnovitost uspjeha primjene matematičkih koncepata postavlja pitanje jedinstvenosti naših fizikalnih teorija. 23

24 DUALNOST U OPTIMIZACIJI I PRIMJENE Marko Vrdoljak, izvanredni profesor Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odsjek Bijenička cesta 30 Zagreb marko@math.hr Sažetak Teorija dualnosti je inicijalno razvijena za linearno programiranje te ima mnogo primjena i zanimljivih interpretacija, posebno u ekonomiji. Primjerice, u području operacijskih istraživanja dualnost ima važnu ulogu u transportnom problemu, problemu dodjeljivanja, kod optimizacije mrežnog toka i sl. Svakoj zadaći linearnog programiranja možemo pridružiti dualnu zadaću. Izučavanjem dualne zadaće, dolazimo do zanimljivih spoznaja vezanih uz primarnu zadaću, koje vode i do boljih algoritama za numeričko rješenje. Ključne riječi: teorija dualnost, optimizacija, linearno programiranje 24

25 MATEMATIČKA BIOLOGIJA U NASTAVI Miljenko Huzak PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu e-pošta: huzak@math.hr Tijekom dvadesetog, a posebno u prvih desetak godina dvadeset i prvog stoljeća, svjedoci smo razvoja novih znanstvenih disciplina nastalih prožimanjem biologije s matematikom. Počelo je s populacijskom biologijom i genetikom, biostatistikom, nastavilo se s matematičkim modeliranjem u biologiji stanice i biomedicini općenito, a danas se najbrže rastućom disciplinom smatra bioinformatika ili računarska biologija. Dakako, niti razvoj matematike nije bio imun na tu interakciju. Tu se posebno misli na razvoj teorije slučajnih procesa, inferencijalne statistike, te posebno računarstva (vidjeti [3, 4, 6]). Iz velike društvene važnosti tih znanstvenih disciplina proizlazi potreba za njihovim uključivanjem u nastavni proces što ranije na primjeren način. Očekuje se da će korist od toga biti višestruka. Osim za biomatematičke discipline, profitirat će i matematika i biologija na spoznajnoj (s metodičkog aspekta) i sadržajnoj razini. Dakako, inicijativa i stručnost nastavnika na svim razinama obrazovanja je od ključne važnosti za uvođenje takvog koncepta interdisciplinarnosti i njegovo provođenje (vidjeti [8]). Za sada se biomatematički sadržaji podučavaju ili pokušavaju uvesti kao pretežito posebni nastavni predmeti na sveučilišnim studijima ([1] je primjer udžbenika za predmet Osnove matematičke biologije na preddiplomskoj razini studija). Pri tome se nastoji prilagoditi i osmisliti podučavanje uobičajenih sadržaja matematičkih predmeta biolozima i bioloških predmeta matematičarima (vidjeti, na primjer, [2]). Na osnovnoškolskoj i srednjoškolskoj razini obrazovanja takvi posebni biomatematički predmeti nisu potrebni jer prostora ima dovoljno unutar postojećih predmeta Matematika i Biologija. Jedino bi tre-balo nastojati da takvi sadr_zaji nadu mjesto u njihovim programima, u skladu s usvojenim kurikulima. U matematičkim predmetima, biomatematički sadržaji se uobičajeno svode na primjere koji su, ili motivacijski, ili ilustrativni za neku matematičku nastavnu jedinicu. Na primjer, problem tzv. Fibonaccijevih zečeva (vidjeti [1]) koristi se kao motivacijski primjer za linearne diferencijske jednadžbe i analizu njihove dinamike. S druge strane, u biološkim predmetima matematika ima ulogu matematičkog jezika kojim se opisuju biološki zakoni i modeliraju odnosi medu mjerljivim veličinama. Na primjer, matematički model populacije insekata sadrži parametre koji imaju biološku interpretaciju. Nadalje, iz pojednostavljenih empirijski dobivenih pretpostavki postavljaju se jednadžbe koje se, u tom primjeru, slično Fibonaccijevom problemu zečeva, reduciraju na linearne diferencijsku jednadžbu drugoga reda s koeficijentima koji su funkcije bioloških parametara (vidjeti [5]). 25

26 Krajnji cilj tako postavljenog modela je opis i predviđanje dinamike populacije insekata u funkciji bioloških parametara. Najzanimljiviji, ali i, metodički gledano, najvrjedniji pristup obradi biomatematičkih tema je kroz timski rad na konkretnom studijskom zadatku. Iako je rad na timskom zadatku najsloženiji vid nastavnog rada koji pretpostavlja suradnju više nastavnika (matematičara, biologa, informatičara, fizičara,...) u pripremi, vođenju i vrednovanju postignuća, korisnost s aspekta zadanih ciljeva i ishoda uspješnog rada na tom zadatku, za učenike je najveća. Dobro zadani timski zadatak pretpostavlja da učenici prikupljaju podatke i potrebne informacije, dobivene podatke obraduju, zatim postavljaju, prilagođavaju i vrednuju matematički model i na kraju izvode zaključke u skladu sa zadanim zadatkom. Pri tome koriste statističke, deskriptivne i inferencijalne metode, računalo i odgovarajuće programe. Na kraju, dobivene rezultate učenici (timovi) prezentiraju u pismenom i usmenom obliku. Dakako, u svakom trenutku treba paziti na prikladnost korištenih metoda obzirom na predznanje, dob i mogućnosti učenika. Dobro koncipiranim timskim radom na postavljenom zadatku na najbolji način se ilustrira: interdisciplinarnost matematičke biologije, uloga statistike u procesu znanstvenog istraživanja, proces matematičkog modeliranja, uloga računala i programske podrške, induktivna i deduktivna metoda, potreba i vrijednost timske suradnje, ali i individualnog doprinosa timu, te kako se prezentiraju rezultati istraživanja. Nadalje, razvijaju se razne vještine: opće (generičke) kao, na primjer, kako pristupiti zadanom problemu, komunikacijske vještine unutar tima i u prezentaciji rezultata (izvan tima), te posebne vještine, na primjer, modeliranja pomoću diferencijskih jednadžbi, vrednovanje modela pomoću hi-kvadrat testa i sl. Primjeri metodički obrađenih timskih zadataka vezanih za vjerojatnosno-statističko modeliranje u biologiji, mogu se naći u priručniku [7]. Reference [1] N.F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer, London, [2] H.J. Chiel, J.M. McManus, and K.M. Show, From biology to mathematical models and back: teaching modeling to biology students, and biology to math and engineering students, CBE Life Sciences Education, 9(3), 2010., , (dostupno na: [3] J. E. Cohen, Mathematics is biology's next microscope, only better; biology is next mathematic's physics, only better, PLoS Biology, 2 (13), (dostupno na: [4] A. Friedman, What is mathematical biology and how useful is it?, No-tices of the Amercan Mathematical Society, 57 (7), (dostupno na: [5] N. Edelstein-Keshet, Mathematical models in biology, SIAM, (Firstly published by Random House, 1988.) [6] S.A. Levin, ed., Mathematics and Biology: The Interface, Chalanges, and Opportunities, Lawrence Berkeley Laboratory, University of California, (dostupno na: 26

27 [7] D. Nolan, T. Speed, Stat Labs, Mathematical statistics through applications, Springer, New York, [8] A. _Sorgo, Conecting biology and mathematics: first prepare the teachers, CBE Life Sciences Education, 9(3), 2010., , (dostupno na: 27

28 28

29 PREDAVANJA 29

30 30

31 GEOMETRIJSKI ZOR KADA NAS OČI VARAJU mr. sc. Ella Rakovac, Brankica Truhar, prof. I. gimnazija Osijek Sažetak Tijekom godina naši roditelji, prijatelji, nastavnici, profesori nastojali su nam neke stvari objasniti prikazujući nam ih skicama, crtežima, slikama, grafovima, dijagramima... Nerijetko se upotrebljava fraza da ti nacrtam?, kada nekome pokušavamo nešto objasniti. Rješavajući geometrijske probleme prisiljeni smo poslužiti se crtanjem. Prikazivanjem zadanog, skiciranjem i promatranjem pokušat ćemo doći do rješenja. Ključ uspješnog rješavanja zadatka bit će upravo dobra skica. No, ni odlična skica i logičko zaključivanje, uz primjenu znanja nije garancija da je rješenje problema točno. Jedan od najvažnijih osjećaja koje čovjek može iskusiti jest osjećaj čuđenja. Stoga je znatiželja prema svemu onom što nam pruža taj osjećaj potpuno prirodna i razumljiva. Interesantno je da baš matematika može izazvati takav osjećaj, čak i kod onih osoba koje zaziru od nje i imaju averziju. Kako? Kako potaknuti nekoga na razmišljanje i promišljanje? Na nekoliko ilustrativnih primjera pokazat ćemo navedeno. UVOD Ljudi uče kroz tri osnovna kanala: vizualni (vidni), auditivni (slušni) i kinestetički (motorički). Najčeći tip osoba jest onaj vizualni, koji najlakše i najbrže uči gledanjem. Tijekom cijelog našeg obrazovanja i života, lakše pamtimo stvari koje smo vidjeli, od onih apstraktnih. Naravno, kada je geometrija u pitanju, nema drugog puta, do crtanja, prikazivanja i promatranja. Na osnovu skica i crteža dolazimo do zaključaka i rješavamo geometrijske probleme, jer ustvari vidimo rješenje. Pojedine probleme i zadatke nećemo uspješno riješiti ako uz svo znanje matematike i poznavanje određene problematike nemamo dobru skicu. No, ponekada nije sve onako kakvim se čini. Geometrijski zor i rješavanje problema pomoću njega ponekad može biti princip koji vara ljudsku percepciju. Kako potaknuti nekoga na razmišljanje i promišljanje ilustrirat ćemo na sljedećem jednostavnom primjeru. 31

32 PARADOKSI Paradoksalne linije U ovom primjeru, i svima koji se na njemu baziraju, koristi se princip skrivene distribucije. Konstruiran je pravokutnik. Unutar njega povučeno je 10 paralelnih linija istih duljina. Nakon toga povučena je dijagonala. Sa slike je vidljivo da se duljine odsječaka linija s gornje strane smanjuju, i obrnuto, s donje strane se povećavaju. Slika 1. Pravokutnik Slika 2. Transformirani pravokutnik Pravokutnik presiječemo po ucrtanoj dijagonali i doljnji dobiveni trokut pomaknemo u lijevo za jednu liniju... Ako sada prebrojimo koliko imamo paralelnih linija, uočit ćemo da ih je samo 9. Odnosno, da jedna nedostaje. Kamo je nestala jedna linija? Rješenje ove zagonetke vrlo je jednostavno. Paradoks se pojavljuje kada skup očigledno nepobitnih pretpostavki daje neprihvatljive ili kontradiktorne zaključke, koji se protive intuiciji. Obično, izjava u samom pitanju ne implicira kontradikciju, zbunjujući rezultat nije ustvari kontradikcija, ili pretpostavke same nisu zaista istinite ili jedna isključuje drugu. Što je od navedenog ovdje slučaj? Ono što se uistinu dogodi jest da smo 8, od početnih 10 linija, podijelili na dva segmenta različitih duljina. Zatim smo tih 16 segmenata preraspodjelili tako da čine novih 9 linija, nešto malo duljih od onih početnih. Kako je promjena u duljini tih novih linija vrlo mala, prostom oku promakne taj detalj, pa nam se čini kao da je jedna linija nestala. Slika 3. Izrazi lica 32

33 Ovaj paradoks primjenjiv je i na bilo koji drugi dvodimenzionalni lik. Naravno da je zanimljiviji ako umjesto linija upotrijebimo nešto oku interesantnije i privlačnije, kao što su fotografije olovaka, cigareta, čaša... Na slici 3. prikazan je linijski paradoks primijenjen na 6 različitih izraza lica, gdje pomakom u desno jedno lice nestaje. Naravno da je rješenje, kao i kod linija, na prvi pogled nedokučivo. Ali isto kao i kod linijskog paradoksa, lice nije uistinu nestalo, već su ostala lica dobila dodatne dijelove. Paradoks šahovske ploče Linijski paradoks odnosi se na promjenu duljine. No, kako se može mjenjati duljina linije, može se mjenjati i površina nekog lika. Kada mjerimo površinu, najlakše ćemo si ju predočiti kvadratnom mrežom. Uspoređujući broj prekrivenih kvadratića moći ćemo reći koja je od dvije površine veća ili manja. Ova ideja usitnjavanja potiče još od Arhimeda, koji je istu koristio pri izračunavanju površine kruga i ispod parabole. U sljedećim primjerima primjenjuju se neki opće poznati aksiomi geometrije. Jedan od njih navodi kako sukladni mnogokuti imaju jednake površine, a drugi govori o aditivnosti, tj. ako mnogokuti M 1 i M 2 nemaju zajedničkih unutrašnjih točaka, tada je P(M 1 UM 2 ) = P(M 1 ) + P(M 2 ). Na slici 4. je prikazana šahovska ploča, sa svojih 8x8 polja, što daje površinu od 64 kvadratića. Polja oko dijagonale prikazana su osjenčano. Slika 4. Šahovska ploča Slika 5. Šahovska ploča, pomaknuta Zatim je ploča presječena po označenoj liniji, te je doljnji dio pomaknut u lijevo. U gornjem desnom uglu ostane nam polovica malog kvadratića, kao i u donjem lijevom. Spajanjem ta dva trokuta, dobivamo jedan kvadratić i novu ploču 7 9, što nam daje površinu od 63 kvadratića. 64 = 63?! Kako je moguće da od jednog kvadrata, njegovim presjecanjem i preraspodjelom dobijemo pravokutnik drugačije površine? Slično, ako uzmemo kvadrat 13 13, presiječemo ga na četiri dijela i presložimo dijelove, dobit ćemo pravokutnik 8 21, što će nam dati površinu od 168 kvadratića, tj. za jedan manje. 169 = 168?! 33

34 Da to nisu usamljeni slučajevi, ilustrirat ću na još jednom primjeru koji datira iz 1700-tih 7, poznatiji kao Hooperov paradoks. Na slici 6 prikazan je pravokutnik Premještanjem dijelova pravokutnika A i C, početni pravokutnik se transformira u dva manja pravokutnika, koji zajedno imaju površinu 30 kvadratića, što je za 2 više od površine početnog pravokutnika. Slika 6. Preraspodjela pravokutnika 10x3 Slika 7. Paradoksalna preraspodjela Opet nam se dogodilo da je od jedne površine presijecanjem i preraspodjelom dobivena nova površina, s razlikom da ovdje nismo izgubili već dobili. Kako je to moguće, uzimajući u obzir prije navedene aksiome? No kako navodi Courant 8 : Iako je aksiomatski oblik jedan ideal, opasno je vjerovati da je u aksiomatici sadržana bit matematike. Konstruktivna intuicija matematičara unosi u matematiku nededuktivni i iracionalni element zbog čega je možemo usporediti s glazbom i umjetnošću. Na slici 7 prikazane su još neke inačice navedenih paradoksa. 7 Primjer se navodi u prvi puta u kolekciji Nouvelles récréations physiques et mathématiques francuskog autora Edmé Gilles Guyot, iz , a nešto kasnije u knjizi Williama Hoopera, Racionalna matematika, iz R. COURANT, H. ROBBINS, I. STEWART,What is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, str

35 GDJE LEŽI RJEŠENJE? Iako možda pomalo neobično, ovdje bi bilo zgodno citirati Sherlock Holmesa, koji će ostati jedan od najpoznatijih rješavača problema i zagonetki svih vremena, i njegova metodologija zasnovana na zanimljivim pravilima: Kapitalna je pogreška toretizirati prije nego imate sve dokaze... Pa pogledajmo dokaze. Brojevi koji se pojavljuju kao dimenzije, u gornjim likovima, su 5, 8, 13, 21, što su ustvari Fibonaccijevi brojevi F 5 = 5, F 6 = 8, F 7 = 13, F 8 = 21. (npr. Na gornjoj slici = 1, što nam daje jedan kvadratić više). Fibonaccijev niz je tijekom godina poslužio mnogim matematičarima za izvođenje široke palete zanimljivih problema. Jedan od njih bio je i Jean-Dominique Cassini, francuski astronom i matematičar, koji je izrekao poznati identitet primjenjiv na navedene geometrijske paradokse: Teorem. 2 F( n 1)F( n 1) F ( n ) ( 1) n za svaki n Z D o k a z. Upotrebljavajući pravilo nastanka Fibonaccijevih brojeva dobivamo: Od ovog mjesta matematičkom indukcijom lako se dokaže jednakost. QED Općenito, ako uzmemo Fibonaccijeve brojeve F n-1, F n, F n+1, tada svaki kvadrat F n F n možemo presjeći u četiri dijela, koristeći sličnu konstrukciju tako da, nakon sastavljanja dijelova, imamo pravokutnik F n+1 F n-1. Prema navedenom Cassinijevom teoremu, jedan kvadratić će se pojaviti kada je n paran, ili nestati, ako je n neparan. Paradoks leži u činjenici da rubovi ta 4 dijela koja leže duž dijagonale pravokutnika 5 13, ne koincidiraju potpuno. Dijagonala nije ravni segment u ovom slučaju, već mali paralelogram, čiji je kut arctg arctg arctg Samo potpuno precizno crtanje omogućuje nam da uočimo tako malen prorez. Grešku možemo dokazati i jednostavnim korištenjem Pitagorinog poučka. Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo da je duljina hipotenuze gornjeg, crvenog trokuta, , krak gornjeg, plavog, trapeza i dijagonala cijelog pravokutnika Očito je > 194, tj. hipotenuza gornjeg trokuta, krak trapeza i dijagonala pravokutnika čine trokut. Odnosno, na slici se krije paralelogram sa stranicama duljina 73 i 29, površine 1. 35

36 Slika 8. Preciznije crtanje Nešto jednostavniji primjer Hooperovog paradoksa je njegova izvedenica, poznatija kao Curry-jev paradoks 9 ili problem kvadrata koji nedostaje. Slika 9. Pravokutnik Zamjenom dva trokuta sa slike 9, žutog i crvenoga, povećala se površina rupe, osjenčanog dijela, a smanjila se naša površina u boji, slika 10. Slika 10. Kvadratić viška Poznate su nebrojene varijante ovog paradoksa, elegantnije od izvornika, gdje se dijeljenjem pravokutnika na manje površine i njihovom preraspodjelom javlja rupa u površini. Jedna od poznatijih varijanti je i ona M. Gardnera koji je uočio da se kod Curryjevog paradoksa gornji trokut ne mjenja i da nema osobit značaj, pa je stoga od početnog pravokutnika promatrao samo donji trokut, slika Radi se o Paul Curryju iluzionistu koji je prvi prikazao paradoks g., a ne o Haskell B. Curryju i o njegovom paradoksu vezanom uz teoriju skupova 36

37 Slika 11. Rupa u trokutu Naravno da i ove inačice paradoksa podliježu istim matematičkim zakonitostima kao i njihovi izvornici, i da ni jedan pravokutan trokut 13 5 nema površinu jednaku kao njegovi, na slici prikazani, sastavni dijelovi. Četiri lika (žuti, crveni, plavi, i zeleni) ukupno imaju površinu 32 kvadratića, dok trokuti imaju katete 13 i 5, što čini površinu od 32.5 kvadratića. Manji trokut ima omjer stranica 5:2, dok veći ima 8:3, što ne daje isti koeficijent. Stoga, ova novonastala hipotenuza nije uistinu ravna, već je malo svijena. Svijanje iznosi oko 1/28 dijela po jedinici kvadratića, što je vrlo teško vidjeti prostim okom na ovim slikama. MOGUĆNOSTI Slika 12. Novi kvadrati u trokutu Zgodno je ne vidjeti sitne neistine i čuditi se kako je nešto moguće. Kada su u pitanju dvodimenzionalni likovi, pravokutnici i trokuti, oku lako promaknu sitni detalji. No, što bi se dogodilo kad bi za ove disekcije promatrali krivulje, kružnice, elipse ili 3D analogone? Vrijedi li i za njih navedeni Cassinijev teorem? 37

38 Mogućnosti dakako postoje. Jedna takva je i disekcija kocke na šest dijelova, tako da se njenim preslagivanjem dobije praznina unutar kocke. Postoje li takve mogućnosti za kvadre, piramide, prizme...? O tome nekom drugom prilikom. Literatura Bryan Bunch, Mathematical Fallacies and Paradoxes, Dover publications, NY, Martin Gardner, Entertaining mathematical puzzles, New York : Dover, 1961 Martin Gardner, Mathematics, magic and mystery, New York : Dover, 1956 H.E. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover Publications Inc.,

39 MOGUĆNOST KORELACIJE NASTAVNIH SADRŽAJA GEOGRAFIJE I FIZIKE Ivan Gambiroža, prof. geografije Eva Ravnić, prof. fizike Gimnazija Pula Sažetak Suvremeno školstvo podrazumijeva primjenu različitih nastavnih oblika i metoda rada u realizaciji nastavnog procesa. Međutim vrlo često nastavnici se usmjeravaju na korištenje minimalnog broja istih nastavnih oblika i metoda. Jedna od metoda koja je posebno zapostavljena je korelacija nastavnih sadržaja dvaju ili više nastavnih predmeta. Cilj ovog rada je ukazati na mogućnost korelacije nastavnih sadržaja geografije i fizike, s posebnim naglaskom na gimnazijski plan i program. Dan je prikaz mogućih načina korelacije između navedenih predmeta te će biti navedeni mogući načini suradnje tih nastavnih predmeta. UVOD Kako je geografija interdisciplinarna znanost, odnosno spona između prirodnih i društvenih znanosti u velikoj mjeri koristi spoznaje iz drugih znanosti, a osobito iz prirodne skupine predmeta. Kad bi više poradili na usklađenosti nastavnih planova i programa te kad bi bolje poznavali gradivo ostalih nastavnih predmeta kako nama, a tako i samim učenicima sam nastavni proces bi se jednostavnije odvijao. Neusklađenost nastavnih sadržaja s ostalim nastavnim predmetima u nastavi geografije uočava se već pri početnoj obradi nastavnog gradiva u 5. razredu osnovne škole, kad se učenici prvi put susreću s tim nastavnim predmetom. Iako su učenici prethodno stekli određene spoznaje o planetu Zemlji, domovini i zavičaju u predmetu priroda i društvo nastavnici se pri obradi novih nastavnih sadržaja susreću s problemom neusklađenosti s ostalim predmetima koje su već ranije pohađali ili će tek pohađati. Svakako, sam pristup radu i neusklađenosti sadržaja sigurno je uočljiviji u nižim razredima osnovne škole. Nastavnik geografije već u petom razredu osnovne škole treba upoznati učenike s nekim od fizikalnih zakona s kojima će se učenici susresti tek u sedmom ili osmom razredu. Jedini način da se u tom uzrastu s učenicima razgovara o tim sadržajima je na način da se pozovemo na njihovo dosadašnje iskustvo. Ne znajući učenici su već doživjeli razne fizikalne fenomene kao što su duga, zrcalo, slobodni pad, toplina i dr. Od velike bi koristi bilo da već tada učenici počnu razvijati svoje sposobnosti opažanja prirode i uvide mogućnosti jednoznačnog opisivanja svijeta oko sebe. Time bi ujedno stekli i pozitivan stav prema nečemu što će tek u sedmom razredu saznati da se zove fizika i vrlo vjerojatno čuti od starije braće i sestara da je to nešto jako teško i fuuj. 39

40 Kako se u ovom radu prije svega usmjerava na mogućnost korelacije na primjeru gimnazijskog programa prvog razreda geografije i fizike u sljedećem poglavlju je dano nekoliko konkretnih primjera gdje bi se mogla napraviti kvalitetnija korelacija među nastavnim sadržajima. Iako su se učenici s osnovama fizike susreli već u sedmom i osmom razredu osnovne škole smatramo kako bi učenici nastavno gradivo kvalitetnije savladali ukoliko bi se već od prvog razreda gimnazije paralelno obrađivali slični nastavni sadržaji, a oni koji su već usklađeni trebali bi se više ispreplitati u samom nastavnom procesu. U tom slučaju kako učenicima tako bi i nama nastavnicima bilo jednostavnije učenicima prezentirati gradivo koje trebaju savladati. O važnosti povezanosti geografije i fizike govori i činjenica da postoji cijela zasebna znanstvena disciplina koja se naziva geofizika koja pomoću različitih uređaja kvantitativnim metodama fizike istražuje i proučava prirodna obilježja i zakonitosti Zemlje kao cjeline te prirodne procese u litosferi, hidrosferi i atmosferi, te istražuje Zemlju i u okviru Sunčeva sustava (Cvitanović, 2002.). Osim geofizike unutar geografije postoji prirodnoznanstvena-kauzalna koncepcija koja ispituje fizikalne zakonitosti prostornih pojava (Matas, 1996.). Svakako treba spomenuti i ostale grane geografije koje su usko vezane s prirodnom skupinom predmeta kako u osnovnoj tako i srednjoj školi npr. matematička geografija, biogeografija s ekologijom, zoogeografija, kartografija i dr. PRIMJERI IZ NASTAVNOG PROCESA Mogućnost korelacije geografije s drugim nastavnim predmetima, osobito prirodnom skupinom predmeta, moguća je na svim obrazovnim razinama osnovnoškolskog i srednjoškolskog obrazovanja. Geografija i prirodoslovno-matematička grupa nastavnih predmeta uvelike su povezane, a ponajviše u gradivu petog razreda osnovne škole te prvog razreda srednje škole. Kada se govori o korelaciji nastave geografije i fizike na razini gimnazijskog programa ona je u geografiji osobito moguća u prvom razredu gimnazije. Razlog više što su učenici osnove tih dvaju predmeta savladali u prethodnom osnovnoškolskom obrazovanju. Nasuprot tomu učenicima petog razreda isto gradivo je bilo teže savladati, a samom nastavniku teže predočiti isto s obzirom da učenici nisu imali predznanje iz fizike. U nastavku su dani primjeri iz geografije prvog razreda gimnazije u kojima se može izvršiti korelacija s nastavnim sadržajima fizike te mogućnost korelacije s drugim nastavnim predmetima, s naglaskom na program nastave matematike. Zemlja u Sunčevu sustavu i svemiru U prvoj nastavnoj cjelini predmeta geografija učenici prvog razreda gimnazije uče o položaju Zemlje u Sunčevu sustavu i svemiru. Ovdje učenici stječu osnovna znanja o postanku i širenju svemira, njegovim dimenzijama, galaksijama te njihovom nastanku. Trebaju znati razlikovati svemirska tijela (planeti, zvijezde, Mjesec, planetoidi, kometi, meteori, sateliti) i usvojiti načine njihova nastanka. Također, učenike se upoznaje s razlikama Ptolomejevog geocentričnog i Kopernikova heliocentričnog sustava. Nadalje, u istoj nastavnoj cjelini učenici produbljuju spoznaje o 40

41 već stečenom znanju u petom razredu osnovne škole o gibanjima Zemlje (rotacija, revolucija, precesija, nutacija). Navedeni sadržaji nastave geografije u velikoj su mjeri povezani s gimnazijskim sadržajem nastave fizike, osobito s onim u prirodno-matematičkom usmjerenju gdje učenici također usvajaju nove spoznaje i fizikalne zakone koje je učenicima moguće približiti uz pomoć već stečenih znanja u nastavi geografije. U prvom razredu učenici u fizici proširuju svoja znanja iz mehanike, proučavaju gibanja (jednostavna i složena), djelovanje sila (gravitacijska, centrifugalna i centripetalna sila), upoznaju se s općim zakonom gravitacije, Keplerovim zakonima, energijom, zakonima očuvanja, tlakom te mehanikom fluida. Svemir kao nastavna cjelina se u nastavi fizike javlja tek krajem četvrtog razreda i to se često obrađuje kao učenički rad ili u obliku seminara kako bi se učenici rasteretili pred kraj nastavne godine. Nažalost ta vrlo zahvalna i interesantna cjelina biva zapostavljena. Iz navedenog se može uočiti cijeli niz mogućih primjena stečenih znanja iz jednog nastavnog predmeta u drugome. Dobar primjer su dokazi rotacije Zemlje pri kojoj dolazi do spljoštenosti na polovima uzrokovane jačom centrifugalnom silom na ekvatoru, istočnom skretanju tijela pri padu ili Coriolisove sile (Gall, Kralj, Slunjski, 2011.). Spomenuta Coriolisova sila djeluje na tijela u pokretu zbog Zemljine rotacije, a u obradi nastavnih sadržaja iz fizike može se navesti cijeli niz primjera koje su učenici već susreli u gradivu geografije primjerice kod kretanja vjetrova (pasati na različitim Zemljinim polutkama drukčije skreću prema ekvatoru), velikih rijeka koje potkopavaju desnu obalu na sjevernoj, a lijevu obalu na južnoj Zemljinoj polutci ako teče u smjeru sjever-jug i dr. (Cvitanović, 2002.). Nerijetko nastavnici fizike u srednjim školama provode izborni ili fakultativni predmet astronomije u kojemu im polazište za uvod u predmet mogu biti znanja koja su učenici prethodno stekla u gradivu geografije. Kvalitetnu korelaciju između predmeta moguće je odraditi posjetom obližnjoj zvjezdarnici. Kao primjer navodimo dvodnevnu terensku nastavu (listopad 2012.) učenika Gimnazije Pula s predmetnim profesorima koji su vodili fakultativnu nastavu iz astronomije, geografije i biologije. Terenska nastava je održana na području Labinskog poluotoka gdje su se učenici mogli upoznati s osnovnim geografskim i biološkim obilježjima toga kraja, a u večernjim satima učenici su promatrali zviježđa pri čemu su mogla korelirati sva tri predmeta. Navedeni primjeri mogu korelirati i s matematičkim nastavnim sadržajima kroz nastavne jedinice geometrijska tijela (opseg, kružnica, krug), mjerenje veličina ili proporcionalnost. Dok se u predmetu kemija može govoriti o rasprostranjenosti elemenata u svemiru. Globalna tektonika ploča Nastavna cjelina o endogenim i egzogenim silama na Zemlji u prvom razredu geografije jedna je od najzahtjevnijih, štoviše time što je temelj za ostale procese koji će se kasnije ispreplitati s nastavnim sadržaja o društveno-geografskim obilježjima na Zemlji. Posebno ispreplitanje sadržaja geografije i fizike vidljivo je u nastavnoj jedinici Globalna tektonika ploča gdje učenici stječu znanja u uzrocima i posljedicama kretanja litosfernih ploča. U istoj nastavnoj godini nešto kasnije učenici u nastavi 41

42 fizike obrađuju nastavnu jedinicu Sila na uronjeno tijelo uzgon gdje se kao primjer može navesti prethodno naučeno gradivo o kretanju litosfernih ploča. Klima na Zemlji Kad se govori o klimatskim pojavama i procesima na planetu Zemlji unutar nastave geografije svakako važnu ulogu imaju fizikalni zakoni. Kroz cijelo poglavlje o klimi na Zemlji gdje su okosnica klimatski elementi (Sunčevo zračenje, temperatura zraka, tlak zraka, vlaga u zraku i padaline, cirkulacija zraka) nadovezuju se fizikalni zakoni. Gradivo je u vrlo uskoj vezi s predmetom fizika gdje se obrađuje atmosferski tlak, već ranije spomenuta Coriolisova sila, barometar, uzgon, gravitacijska sila, no nažalost plinske zakone, molekularno kinetičku teoriju plinova i toplinu u fizici se obrađuje tek u drugom razredu gimnazije. Također u ovom poglavlju u nastavi geografije se govori o klimatologiji, biometeorologiji i sinoptičkoj meteorologiji, a sama meteorologija je grana fizike. Dobra mogućnost korelacije je i fakultativna ili izborna nastava meteorologije (Krželj, 1987.). Korelaciju je primjerice moguće odraditi zajedničkim poludnevnim posjetom lokalnoj meteorološkoj postaji gdje bi se učenici mogli upoznati s osnovnim klimatskim obilježjima te instrumentima za mjerenje klimatskih elemenata. S nastavom geografije ovdje bi bila dobra povezanost s predmetima biologija (rasprostranjenost biljnog i životinjskog svijeta na Zemlji koja je uvelike uvjetovana klimom određenog područja, kao i utjecaj vremena na čovjekov organizam) i kemija (elementi i plinovi, talište, vrelište, temperatura, agregatna stanja i dr.). Dobar primjer korelacije i geografije s matematikom naveden je u članku Korelacija nastavnih sadržaja geografije i matematike (Marin, Maruna; Marin, 2011.) gdje navode primjer zadatka izračunavanja brzine vjetra prema Beaufortovoj ljestvici. U ovom poglavlju s matematikom je moguće korelirati i pri izračunima srednje dnevne, mjesečne i godišnje temperature i temperaturne amplitude. Primjer iz priručnika za pripremu državne mature iz geografije (Vuk, Nebeski Hostić, 2010.): Izračunaj srednju dnevnu temperaturu zraka za meteorološku postaju u kojoj su izmjerene sljedeće temperature zraka: u 7 sati izmjerena su -2 C, u 14 sati izmjereno je 6 C, a u 21. sat izmjereno je -5 C. (Rješenje: -1,5 C, ne priznaje se upisan odgovor bez mjerne jedinice). Voda na Zemlji Još jedna cjelina u prvom razredu gimnazijskog programa geografije u kojem se dosta može korelirati s fizikom, kao i ostalim prirodnim predmetima, je ono u kojemu se govori o vodi na Zemlji. Osobito bitna povezanost s fizikom je u nastavnom sadržaju o gibanjima morske vode (morske mijene - plima i oseka, morske struje, valovi). Svakako u nastavi fizike gibanja imaju izrazito važnu ulogu pa se s geografijom mogu povezati sadržaji kao što su gravitacijska sila i hidrodinamika (kvalitativno tumačenje plime i oseke) ili primjerice mehaničko pročišćavanje vode koje se u geografiji voda spominje kao proces autopurifikacije. Od ostalih prirodnih predmeta svakako treba spomenuti biologiju/ekologiju mora, kemijski sastav vode, nutri- 42

43 jente, živi svijet u moru, desalinizacija i dr. Korelacija s matematikom može se napraviti primjerice izračunavanjem obalne razvedenosti Republike Hrvatske. ZAKLJUČAK Suvremeni pristup realizaciji nastavnog programa svakako teži k što kvalitetnijoj nastavi uz maksimalno rasterećenje učenika, odnosno ima za cilj kroz što veći broj sadržaja na što jednostavniji način kod učenika pobuditi interes za određeni nastavni predmet. Često ni mi nastavnici sami ne uviđamo problem nedovoljnog korištenja i nepoznavanja sadržaja nastavnih predmeta naših kolega. Svakako kad bismo na istom minimalno poradili učenicima bi bilo jednostavnije savladati gradivo, a nas same bismo dodatno rasteretili posla koje je netko od kolega učini za nas ili zajedno s nama. U tekstu se navedeni primjeri prije svega odnose na korelaciju nastavnih sadržaja geografije i fizike, no dan je na kraju svakog dijela i kratki osvrt na mogućnost korelacije s drugim nastavnim predmetima. Konkretno mišljenja smo kako bi najkvalitetnija korelacija u sadržajima geografije i fizike bila kroz terenske nastave i manje projekte ili izvannastavne aktivnosti. U svakom slučaju fizičarima bi se uvelike olakšalo uvođenje učenika u novi nastavni predmet kad bi učenici bar malo bili upoznati s fizikalnim načinom razmišljanja i opisivanja pojava u prirodi prije sedmog razreda i to kroz nastavu geografije i matematike, a korist za učenike bi bila velika jer bi tako i oni zaokružili ukupno znanje i uvidjeli da predmeti koje uče nisu nepotrebni i nepovezani nego se međusobno nadopunjuju i čine obrazovanje kvalitetnijim i logički smislenim. Literatura Cvitanović A., (2002): Geografski rječnik, Hrvatsko geografsko društvo Zadar, Filozofski fakultet Zadar, Matica hrvatska Zadar, Zadar. Gall, H., Kralj, P., Slunjski, R. (2011): Geografija 1, udžbenik za prvi razred gimnazije, III. izdanje, Školska knjiga, Zagreb. Jelić, T., Periša, M. (2011): Geografija 1, udžbenik za 5. razred osnovne škole, Alfa, Zagreb. Krželj, B. (1987): Korelacija geografije s ostalim nastavnim predmetima, Školska knjiga, Zagreb. Marin, D., Maruna, I., Marin, A. (2011): Korelacija nastavnih sadržaja geografije i matematike u osnovnoj školi, i zadaci, Hrvatsko geografsko društvo Split. (URL 1: srpanj 2013.) Matas, M. (1996): Metodika nastave geografije, Hrvatsko geografsko društvo, Zagreb. Vuk, R., Nebeski Hostić, S. (2010): Geografija na državnoj maturi, priručnik za pripremu ispita državne mature iz geografije, Školska knjiga, Zagreb. 43

44 NEUSKLAĐENOST NASTAVNIH PROGRAMA MATEMATIKE I FIZIKE U 1.RAZREDU GIMNAZIJE Robert Gortan, prof. matematike i fizike, professor mentor Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin robert.gortan@skole.hr Sažetak U nastavnim planovima iprogramima matematike i fizike pojavljuju se veslike neusklađenosti u obradinastavnih sadržaja. Prilikom obrade nastavnici često koriste i matematički aparat koji je nepoznat učenicima, ali uvelike pojednostavljuje način obrade i dolazak do cilja, odnosno rješenja zadataka. Budući su porgarmi zastarjeli, potrebno ih je promijeniti i uskladiti, što je više moguće. A moguće je. Ključne riječi: nastava matematike i fizike, promjene u programima, neusklađenost UVOD Razvoj i promjena društveno ekonomskog života i svijeta oko nas izazivaju potrebu za reformom našeg školstva, kako osnovnog tako i srednjoškolskog. Kao rezultat toga, donose se nove smjernice u razvoju školstva i planira izrada novih nastavnih programa. Nastavom prirodnih nauka, škola je dužna olakšati mladim naraštajima snalaženje u mnoštvu tehničkih, društvenih i prirodnih zbivanja te shvaćanje zakonitosti i reda u tim zbivanjima. Istaknuta je potreba da se nastavni programi pojedinih nauka reduciraju i pojednostave, a prirodne nauke međusobno bolje povežu. Prirodne nauke imaju veliko odgojno značenje jer suvremeno obrazovan čovjek, posebno u svijetu čiji je razvoj toliko uvjetovan razvojem znanosti, mora posjedovati i elementarna znanja iz prirodnih znanosti te poznavati njihovu metodologiju. Kod izučavanja prirodnih znanosti, teorijske sadržaje treba usko povezivati s praktičnom primjenom radi uspostavljanja kvalitetnog znanja i razumijevanja. Fizika je tijesno povezana s napretkom civilizacije te tehnike suvremenog društva. Nastava fizike treba doprinijeti spoznaji da fizika i ostale prirodne znanosti čine temelj razumijevanja znanstvenih dostignuća čovječanstva. Učenike treba upućivati u svijet fizikalnih pojava koje oni trebaju shvatiti i uočavati zakonitosti istih. Izravan i stalan kontakt učenika sa prirodom i pojavama u njoj pomoći će učenicima da otkriju vezu i jedinstvo teorijskog i praktičnog znanja. Najznačajniji zadatak nastave fizike je da učenika potakne na usvojanje znanja o prirodnim pojavama, da kod njih razvije sposobnost opažanja i otkrivanja odnosa, uzroka i posljedica te izvođenja zaključaka na temelju izvedene analize, što možemo nazvati fizikalno misliti. 44

45 Fizika se prema postojećem nastavnom planu kao zaseban predmet pojavljuje u 7. razredu osnovne škole, no i od tada se ona ne izučava izolirano od ostalih predmeta i sadržaja. U nastavi se fizike tada polazi od pojava iz svakodnevice koje učenici susreću oko sebe na svakom koraku i u svako vrijeme. Složene prirodne pojave se promatraju u početku cjelovite, kao jedinstvo, a kasnije se prelazi na istraživanje pojava s fizikalnog stanovišta primjenom fizikalnih metoda istraživanja i ostalih metoda suvremene nastave. Fizika je stoga usko povezana s ostalim naukama te odgojno obrazovnim područjima nastavnog programa (biologija, kemija, tehnički odgoj, povijest, hrvatski jezik...). Najtješnje je povezana s matematikom. Tema ovog diplomskog rada je neusklađenost nastavnih programa matematike i fizike za prvi razred gimnazije. Radno iskustvo tijekom apsolventskog staža bilo je temelj i motivacije za pisanje ovoga rada o navedenoj temi. U nastavi sam se često susretao s problemima uzokovanim neusklađenostima nastavnih programa matematike i fizike, koje sam rješavao na po meni najbolji način. Surađivao sam s nastavnicima matematike i zajedno smo pokušali dogovoriti način obrađivanja matematičkih sadržaja koji su meni bili potrebni u nastavi fizike za obradu nekih sadržaja. Međutim, sve elemete nismo mogli uskladiti pa je dio matematičkog sadržaja bio objašnjen učenicima na satu fizike. Cilj moga istraživanja bio je pronaći i analizirati što više problema u nastavi fizike uzrokovanih neusklađenošću programa. U radu ću navesti 13 primjera neusklađenosti u kojima ću pokazati kako su probleme u njima riješili autori udžbenika i zbirki navedenih u literaturi. U navedenim primjerima predložiti ću način rješavanje navedenih problema. Tijekom pripreme i pisanja diplomskog rada konzultirao sam se s nastavnicima riječkih gimnazija te svoje pazinske gimnazije. Na ovaj sam način obogatio svoj rad nastavnim iskustvom i načinima kako nastavnici rješavaju problema u nastavi. FIZIKA I MATEMATIKA Na Meranskim konferencijama godine je, kao jedan od zaključaka, istaknuto da se fizika u nastavi mora obrađivati kao prirodna, a ne matematička znanost. U tome i danas postoji suglasnost, ali se problem pojavljuje u praksi. Znamenski naglašava da je fizika grana prirodne znanosti koja ima zadaću istraživati i izučavati prirodne pojave. Ona je dakle, znanost koja uz pomoću matematike analizira, objašnjava i izlaže svoja otkrića. Matematika je, prema tome, metoda u nastavi fizike i znanstvenim istraživanjima iz fizike. Stupanj i način upotrebe matematike u nastavi fizike ovisi prvenstveno o dobi učenika, nastavnom programu matematike te o nastavniku fizike. U tom smislu značajna je usklađenost nastavnih programa matematike i fizike. Povezanost matematike i fizike trebala bi se odraziti i u nastavi matematike jer fizika nudi matematici bogat izvor primjera primjene i razumjevanja sadržaja. U udžbenike matematike trebalo bi unijeti što više zadataka iz područja fizike i tehnike. Kod sastavljanja zbirki, fizičari bi mogli matematičarima preporučiti takve zadatke. 45

46 U nastavi fizike gotovo nema teme pri obrađivanju kojih se ne može primjeniti i matematika (mjerenje prostora i vremena, težine i gustoće tvari, kod mjerenja sila i tlakova u tekućinama i plinovima...). Uz pomoć matematičkih operacija i grafičkog predočavanja uspoređuju se rezultati, iz poznatih izračunavaju nepoznate veličine, kod nekih se zakona koriste funkcije i njihovo grafičko predočavanje. Uvijek treba pred učenike postavljati probleme na takav način koji će u njima pobuditi radoznalost i izazvati potrebu za rješavanjem problema i zadataka. Matematičke metode se također nalaze i u pokusima i problemima iz tehničkog odgoja, gdje pored fizikalnog treba upotrijebiti i matematičko znanje. Matematičke metode u nastavi fizike primjenjujemo kod: a) određivanja fizikalnih veličina koje ne možemo neposredno mjeriti; b) izražavanja fizikalnih zakona matematičkim relacijama; c) preračunavanja mjernih jedinica i preoblikovanja fizičkih relacija; d) primjene fizičkih zakona u primjerima iz svakodnevice; e) rješavanja zadataka. Rješavanje svakog novog zadatka iz fizike, dovodi do novog rješenja i nove kvalitete znanja. Često na taj način dolazi do A-HA efekta jer učenici tako pomoću rješenja dolaze do zaključaka o fizičkom problemu. Nema jedinstvene sheme koja omogućuje rješavanje svih fizičkih zadataka. Do fizičkih rezultata može se doći na različite načine u kojima ćemo uočiti uporabu matematike u nastavi fizike: promatranje pojave, kvalitativno doživljavanje, intuitivno zaključivanje i ocjenjivanje, kvantitativno istraživanje, zapisivanje podataka u tabele, grafičko predočavanje, izvođenje i formuliranje zakona, izražavanje pomoću matematičke relacije (Obradović, 1998). NEUSKLAĐENOST NASTAVNIH PROGRAMA MATEMATIKE I FIZIKE ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE U nastavi fizike često dolazi do problema uzrokovanih neusklađenostima nastavnih programa matematike i fizike. Naime, u boljem opisivanju i definiranju elemenata programa fizike pretpostavlja se i određeno matematičko znanje. U prvom razredu gimnazije događa se da bi učenici morali znati matematički aparat koji se uči u višim rezredima srednje škole. Nakon konzultiranja profesora riječkih i pazinskih gimnazija uočena su kritična mjesta u nastavnom programu fizike prvog razreda uzrokovanih navedenim, kao što su nepoznavanje rješavanja kvadratne jednadžbe, nepoznavanje trigonome- 46

47 trije, nedovoljno poznavanje vektorskog računa, nepoznavanja integralnog i diferencijalnog računa, slabog interpretiranja grafičkog prikaza gibanja... Navedeni problemi otežavaju rad profesorima koji moraju pronaći najbolji način da učenicima izlože fizikalnu građu. Često se dio sata mora odvojiti na pojašnjavanje i uvođenje učenika u matematički formalizam koji je neophodan za obrađivanje fizičkih sadržaja. Na taj se način dragocjeni dio sata gubi, pa je često slučaj da nastavnik ubrzava nastavu i tako dovodi do nerazumjevanja teme kod učenika. Jedan od zaključaka 1. Kongresa nastavnika matematike održanog 5. srpnja u Zagrebu govori upravo o ovoj problematici. Navodi se da valja pregledati programe i planove fizike i kemije te utvrditi koje matematičke sadržaje rabe u nastavi i u koje vrijeme pa uskladiti poučavanje tako da se potrebni matematički sadržaji usvajaju u sklopu nastavnog programa matematike. (Matematika i škola, ) Neki od problema koji se pojavljuju u nastavi fizike i koji će kasnije biti navedeni na elegantniji način su otklonjeni u konstruktivistički pisanom udžbeniku autora Rudolfa Krsnika nego u udžbeniku autora Vladimira Paara koji je pisan za tradicionalni pristup učenju fizike. U pokušaju njihovog rješavanja koristiću se i ostalim udžbenicima i zbirkama zadataka za prvi razred srednje škole navedenim u litreraturi. Uspoređivanjem većeg broja udžbenika, pokušati ću predložiti najbolje načine savladavanja postojećih poteškoća u nastavi fizike. DEFINIRANJE TRENUTNE BRZINE (AKCELERACIJE) Prva nastavna cjelina iz fizike u 1. razredu gimnazije je pravocrtno gibanje. Uvode se pojmovi vezani uz gibanje i fizičke veličine put, vrijeme, brzinoa. Jedan od problema javlja se kod definiranja trenutne brzine. Autori udžbenika pokušali su na različite načine doći do najboljeg načina njenog uvođenja. Primjer 1. Tijelo se u početki promatranja (t = 0) nalazi u početnom položaju (s = 0). Nakon trenutka t 1 nalazi se na položaju s 1, a nakon trenutka t 2 na položaju s 2. (Paar, 1998). 47

48 Srednja brzina brzina definira se kao s v t 2 2 gdje se s s 2 s 1 označava s i naziva intervalom puta, a t 2 t 1 intervalom vremena t. Dakle, s t 1 1 s v. t Nakon definiranja srednje brzine, uvodi se pojam trenutne brzine. Točna definicija trenutne brzine zahtijeva korištenje matematičkih sadržaja koje učenici uče tek u 4. razredu SŠ. Riječ je o pojmovima granične vrijednosti (limes) i derivacije (diferencijalni račun). Uz te uvjete moglo bi se definirati da je trenutna brzina granična vrijednost kojoj teži srednja brzina, kada vremenski interval teži nuli. v lim v t 0 0 s ds lim t t dt Nastavnik će u 1. razredu gimnazije pokušati definirati trenutnu brzinu bez uvođenja navedenih matematičkih sadržaja. Jedan od načina naveden je u udžbeniku autora Krsnika. Primjer 2. Zadan je s t dijagram nejednolikog gibanja. U zadatku je potrebno odrediti srednje brzine u intervalima AB, BC, CD, DE, EF i FG. (Krsnik, 1998) s Korištenjem formule v s te očitavanjem podataka s grafa formiramo t tablicu. Dobivene rezultate predočimo na slici 3. Izračunamo vrijednosti srednjih brzina po poznatoj formuli i vidimo da je v AG 0, 88 m/s, v BF 1, 05 m/s, v CE 1,25 m/s TOČKA t (s) s (cm) v (m/s) A 0,30 0,6 0,30 B 0,32 1,0 0,50 C 0,34 2,0 1,00 D 0,36 2,9 1,45 E 0,38 2,5 1,25 F 0,40 1,5 0,75 G 0,42 Temeljno pitanje ovoga zadatka je što točnije procjeniti trenutačnu brzinu u točki D. Najbolja procjena je u intervalu CE ( t CE = 0,04s) jer je vremenski interval kraći od intervala AG ( t AG = 0,12s) i BF ( t BF = 0,08s). Međutim, to i dalje nije iz- 48

49 nos trenutne brzine u točki D. U načelu, sve točnije i točnije se vrijednost može odrediti uzimajući sve kraće intervale vremena t oko točke D. Što je t kraći ( t 0), srednja brzina će biti bliža vrijednosti trenutne brzine. Za dovoljno malen interval t dio krivulje na s t dijagramu bit će segment pravca tangente u točki D. Dakle, za određivanje trenutne brzine grafičkom metodom moramo imati krivulju u s t dijagramu. Ovisno o tome je li vremenski interval dovoljno malen, navedena jednadžba dati će vrijednost srednje ili trenutne brzine. Zaključak je da trenutnu brzinu v u bilo kojoj točki T s t dijagrama dobijemo crtanjem tangente u nekoj točki i određivanjem brzine iz tog pravca prema relaciji s v t Analogno se uvodi pojam, srednje akceleracije brzine, a t promjenu vremena ili vremenski interval. 49 v a uz v kao promjenu t

50 Trenutna akceleracija se definira tako da se u danoj točki v t dijagrama povuče tangenta i po relaciji a računa se iznos srednje (trenutne) akceleracije v t ovisno o veličini intervala vremena. Pojmovi trenutne brzine i akceleracije mogu se vrlo uspješno uvesti bez kompliciranog diferencijalnog računa kojeg učenici upoznaju u 4. razredu SŠ upotrebom opisane grafičke metode. a lim a t 0 0 v lim t t dv dt 2 d s ili a 2 dt Konzultirani profesori riječkih gimnazija ne koriste diferencijalni račun niti račun graničnih vrijednosti kod obrađivanja ovog dijela gradiva. Ne uvode pojam t 0 već govore o što kraćem vremenskom intervalu. KAKO ODREĐUJEMO PUT IZ v t DIJAGRAMA? Jedna od izravnih korištenja matematičkog formalizma u nastavi fizike je određivanja puta kod nejednolikog gibanja izračunavanjem površine ispod krivulje. Navesti ću način izračunavanja puta bez korištenja navedenog matematičkog formalizma. Primjer 3. U početnom trenutku tijelo ima brzinu 3m/s. Tijelo promatramo 8 sekundi i tijekom toga gibanja akceleracija tijela je 2m/s 2. Potrebno je nacrtati v t dijagram te odrediti put koji je tijelo prešlo u prvih 6 sekundi gibanja. (Krsnik, 1998) U početnom trenutku brzina promatranog tijela je 3m/s. Brzinu za t = 6s računamo iz poznate relacije v v 0 at te uvrštavanjem veličina v = 3m/s + 2m/s 2 6s = 15m/s. Put u prvih 6 sekundi gibanja računamo iz relacije 1 s v0t at 2 s 3 ms s ms s 54 m

51 Međutim, postavlja se pitanje možemo li put izračunati izravno iz v t dijagrama bez upotrebe poznatih relacija. Prisjetimo se kako izgleda v t dijagram kod jednolikog gibanja. s Budući da je poznata relacija za brzinu v slijedi s = v t te vidimo da t je put upravo jednak površini ispod dane krivulje v t dijagrama. U našem primjeru se put može izračunati na opisani način. Put se može izračunati pomoću pravokutnika sa stranicama t i v 0 korištenjem matematičke relacije za površinu pravokutnika i taj dio puta je 18m. Drugi dio je pravokutni trokut sa stranicama v i t te uz relaciju za površinu trokuta dobije se 36m. Dakle, ukupni put je 18m + 36m = 54m. Rezultat je jednak rezultatu dobivenom preko formule. U navedenom je primjeru vidljivo da se put definira kao površina ispod grafa v(t) u v t dijagramu i to bez uvođenja složenog matematičkog formalizma (integralnog računa) koji se po programu matematike obrađuje tek krajem 4. razreda SŠ. Tada se općenito preko integrala definira pojam površine ispod dane krivulje. s v t lim v t vdt i i i t 0 i i i t t

52 Točno računanje puta pri mjenjanju brzine pripada području diferencijalnog i integralnog računa ZADACI S KVADRATNOM JEDNADŽBOM Problem rješavanja zadataka u kojima se pojavljuje kvadratna jednadžba nije čest u prvom razredu gimnazije. Najčešće se pojavljuje oblik jednadžbe ax 2 = b koji je lako riješiti jednostavnim korjenovanjem. Nastavnik tada ističe da se dobiju dva rješenja od kojih negativno odbacujemo jer nema fizikalnog značenja. Ukoliko se učenicima ta činjenica prešuti i jednostavno zapiše samo jedno rješenje, može doći do zbunjivanja učenika jer će oni u 2. razredu iz matematike naučiti da kvadratna jednadžba ima dva rješenja. Nešto jr veći problem kada jednadžba nema jednostavni oblik već opći oblik ax 2 + bx + c = 0 pa se učenik navodi kako rješiti danu jednadžbu rastavljanjem srednjeg faktora ili uvođenjem matematičke relacije za rješavanje kvadratne jednadžbe. Slijedećim primjerima pokazati ću kako je važno dobro analizirati rješenja jednadžbe unutar fizikalnog zadatka i tome dati dosta pozornosti. Primjer 4. Automobil kreće uz stalno ubrzanje od 1,9m/s 2. Za koje će vrijeme preći udaljenost od 240 metara? Za koje će vrijeme preći udaljenost od 240 metara? Iz zadatka uočavamo da je riječ o ubrzanom gibanju kod kojeg je poznata relacija za računanje puta s at. Budući da se u zadatku traži vrijeme, izrazimo ga s kao t 2 2. Vidimo da je riječ o prije navedenom obliku kvadratne jednadžbe ko- a 2s jeg rješavamo korjenovanjem i dobijemo t 1, 2. Kod rješavanja zadataka u fizici nećemo pisati već će usredotočimo samo na pozitivno rješenje. a Nastavnik u raspravi s učenicima treba doći do zaključka da se negativno rješenje odbacuje jer negativo vrijeme nema fizikalnog smisla. Dakle, t = 15,89s, odnosno automobil će preći 240m uz stalno ubrzanje od 1,9m/s 2 za 15,89s. 52

53 U slijedećem primjeru u zadatku će se pojaviti drugi navedeni oblik kvadratne jednadžbe kojeg autor zbirke M. Halapa riješio korištenjem formule za rješavanje kvadratne jednadžbe. Primjer 5. Izračunaj vrijeme padanja tijela kojeg smo bacili vertikalno dole s visine 20m početnom brzinom od 20m/s. (Halapa, 1997) Uz zadane veličine iz zadatka s = 20m i v 0 = 10m/s te uz činjenicu da je slobodan pad slučaj ubrzanog gibanja uz a = g računamo vrijeme padanja. Relacije koje vrijede za ovo gibanje su već od ranije poznate g 2 v = v 0 + gt i s v0t 2 t Uvrštavanjem poznatih veličina dobijemo kvadratnu jednadžbu oblika 4,905t t 20 = 0 Jednadžbu bi mogli riješiti rastavljanjem srednjeg člana, međutim zbog složenosti u konkretnom slučaju, autor zbirke predlaže riješavanje zadatka korištenjem relacije za rješavanje kvadratne jednadžbe. 2 b b 4ac ax bx c 0 x1, 2. 2a U našem slučaju dobijemo rješenja oblika t 1, , , , 9, 81 Dakle, rješenja su t 1 =1,24s i t 2 = 3,28s. Naravno, negativno rješenje odbacujemo te zaključujemo da će tijelo uz početnu brzinu od 10 m/s bačeno prema dolje s visine od 20m pasti za 1,24s. U sljedećem primjeru vidjeti ćemo da će oba rješenja kvadratne jednadžbe vremena biti pozitivna, ali ćemo analizom jedno odbaciti.

54 Primjer 6. Pustimo da tijelo padne s nepoznate visine. U posljednjoj sekundi prešlo je polovinu svoga puta. S koje je visine tijelo padalo? (Šimunić, 2001) U posljednjoj je sekundi tijelo prešlo polovinu puta, a u preostalih t 1s također polovinu puta, odnosno s/2. Put kod slobodnog pada računamo po formuli odnosno g 2 s 2 t s g 2 2 t 1 2 g Uvrstimo li uvjete zadatka dobijemo 2 g t t 1 2. Nakon sređivanja dobije se kvadratna jednadžba za vrijeme oblika t 2 4t + 2 = 0. Korištenjem ranije nave- 4 2 dene jednadžbe dobiju se t 1 = 3,41s i t 2 = 0,59s. Oba su rješenja pozitivna te se postavlja pitanje ima li zadatak dva rješenja. Potrebno je analizirati rješenja i vidjeti imaju li oba smisla. Iz samog uvjeta zadatka da je tijelo u zadnjoj sekundi prešlo polovicu puta slijedi zaključak da vrijeme mora biti sigurno veće od 1s. Dakle, iako je drugo rješenje pozitivno, odbacujemo ga jer ne zadovoljava uvjet zadatka. Jedino rješenje zadatka je t 1 = 3,41s. Računamo visinu s kojeg je tijelo palo po relaciji za put i zaključujemo da tijelo za t = 3,41s padne s visine od h = 57,04m uz uvjet da je u zadnjoj sekundi prešlo polovicu puta. U ovom je primjeru korišten postupak rješavanja zadataka kojeg bi se što češće trebalo koristiti: a) u prvom koraku smo ispitali uvjete zadatka, a mogli smo i nacrtati sliku koja bi nam grafički predočila zadatak; b) u drugom koraku smo postavili zadatak u algebarskom obliku ne uvrštavajući vrijednosti fizičkih veličina. U slučaju složenijih sustava jednadžbi, moguće je olakšati problem rješavanjem pomoćnih vrijednosti koje uvrštene pojednostavljuju jednadžbe; c) u trećem koraku izračunavamo traženu veličinu pazeći da su sve zadane vrijednosti u istom sustavu mjernih jedinica. Na kraju analiziramo ispravnost odnosno fizikalnost rješenja. TRIGONOMETRIJA U NASTAVI FIZIKE Nepoznavanje pojmova iz trigonometrije često otežava savladavanje programa fizike. Trigonometrija se u nastavi matematike kratko pojavljuje sredinom drugog razreda, ali se više obrađuje u trećem razredu srednje škole. Vrlo bi se teško zbog svoje opširnosti i složenosti mogla uvesti u prvi razred SŠ. Nastavnik je često primoran uvesti neke sadržaje trigonometrije u nastavu fizike jer na taj način može. 54

55 pojasniti fizikalne zakone. Na taj se način mnogi zadaci mogu elegantnije i brže rješavati pa stoga učenici prihvaćaju taj način rješavanja. U ovom dijelu pokazati ću kako se znanja iz fizike učenicima prikazuju sa i bez korištenja triginometrije i kako su nam to prikazali autori udžbenika i zbirki za prvi razred SŠ. Upotreba trigonometrije pojavljuje se kod vektorskog računa, gibanja niz kosinu sa i bez trenja, definiranja i zadataka vezanih uz rad te u obradi kosoga hitca. VEKTORSKI RAČUN Već su se u osnovnoj školi učenici upoznali s pojmom vektora te operacijama zbrajanja i oduzimanja vektora na pravcu. Na navedenim slikama prikazani su slučajevi vektora na istom pravcu. U SŠ učenici se upoznaju i sa ostalim slučajevima. Problem se pojavljuje kada određujemo iznos zbroja dvaju vektora. Slučaj je ednostavan jer se vektori sila nalaze pod pravim kutem te se iznos rezultante dobije korištenjem Pitagorina poučka, odnosno: F 2 F 1 F Vektori sila ne moraju biti pod pravim kutem i tada je nalaženje tražene veličine složenije. Takav je slučaj razmotren u primjeru 7. Primjer 7. Na tijelo djeluje sila F od 30N pod kutem od 30 u odnosu na horizontalu.kolika je komponenta u horizontalnom smjeru. (Krsnik, 1998) Tijelo postavimo u ishodište koordinatnog sustava te nacrtamo komponentu zadane sile F i to F x u smjeru osi x i F y u smjeru osi y. Trokut iz kojeg pomoću kuta i sile F određujemo komponentu F x je jednakostranični trokut (slika 12b). Komponenta F x jednaka je visini toga trokuta i po relaciji za visinu dobijemo 3 F x F od- 2 nosno F x = 25,98N

56 Vidimo da je zadatak bilo jednostavno riješiti jer je kut bio 30. Sličan bi postupak koristili i kada bi kut bio 45 ili 60 jer se i oni mogu također pronaći u jednakostraničnom trokutu i analognim matematičkim računom dovesti do rješenja. Ponekad se nastavnici kod ovakvog tipa zadatka odlučuju za uvođenje trigonometrijskih funkcija. Tada se dio nastavnog sata mora odvojiti za njihovo definiranje, a tada krenuti na sadržaje iz fizike. U ovakvom tipu zadataka sama trigonometrija nije potrebna, ali će ako je već uvedemo skratiti postupak i pojednostaviti način rješavanja zadatka. Uz pomoć trigonomerije zadatak bi rješili tako da uočimo pravokutni trokut u kojemu je kut 30, hipotenuza ili najduža stranica sila F te komponenta F x kateta uz kut. Po definiciji funkcije kosinus, slijedi da je F x = F cos 30 = 25,98N. U sljedećem primjeru vidjeti ćemo kako se u rješavanju sličnih zadataka koristi znanje iz sličnosti pravokutnih trokuta koje su učenici upoznali već u OŠ, a u SŠ će je tek kasnije koristiti. Primjer 8. Čamac se kreće preko rijeke pod pravim kutem u odnosu na smjer njenoga toka. Brzina čamca prema vodi je 5 m/s, a brzina rijeke je 2 m/s. Najkraća udaljenost među obalama je 200 m. Koliko vremena čamac plovi od jedne do druge obale? (Halapa, 1997) 56

57 Primjer ćemo riješiti korištenjem sličnosti pravokutnih trokuta te primjenom trigonometrije. Iz sličnosti pravokutnih trokuta stranica v 1 i v te s i d slijedi da je v 1 v v d s vs d 1 v 1 d Vrijeme plovidbe t, odnosno uvrštavanjem dobivenog odnosa dobijemo v d s t. Na ovakav smo način računski dobili da je t = 40s. v Korištenjem trigonometrije preko definicije funkcije tg v 2 te upotrebom v1 s računala dobijemo kut = Put čamca računamo iz cos, a vrijeme prelaženja je tada t gdje d izrazimo preko s i kuta, a v računamo koristeći Pita- d d v gorin poučak preko v 1 i v 2. Ovakav način bi zbog kompliciranosti trebalo izbjegavati. U zadacima se ponekad koristi i poučak o kosinusu kojega učenici usvajaju iz metamatike tek u trećem razredu. Takve zadatke bi trebalo izbjegavati i ne koristiti tako složeni aparat već u prvom razredu F F1 F2 ; F F1 F2 2F1 F2 cos F1 F cos, F2 F sin 57

58 GIBANJE NA KOSINI Kod zadataka vezanih uz kosinu često se primjenjuje i znanje trigonometrije. Pored rješavanja zadataka upotrebom trigonometrije, koristi se i rješavanje upotrebom znanja iz sličnosti pravokutnih trokuta. U slijedećim primjerima vidjeti ćemo oba načina rješavanja zadataka. Primjer 9. Tijelo mase 0,7kg klizi bez trenja niz kosinu visine 2,9m i baze 4m. Izračunaj: a) silu koja pokreće tijelo niz kosinu; b) silu okomitu na podlogu; c) akceleraciju gibanja tijela; d) vrijeme za koje će se tijelo spustiti niz kosinu (Valašek, 1997) d duljina kosine; h visina kosine; b baza kosine; F N sila kojom tijelo pritišće na podlogu; G težina tijela; F sila koja tijelo pokreće niz kosinu. Iz sličnosti pravokutnih trokuta dolazi se do omjera korisnog i u rješavanju konkretnog primjera i sličnih zadataka. FN G b FN d G b d mg b d F G h d F G h d mg Po Pitagorinom poučku slijedi d 2 = h 2 + b 2, a glavni omjer je U primjeru 9: h d F N b F h h h a) F G mg 4, 03 N uz d 2 = h 2 + b 2 d = 4,9m G d d d F b) N b b b FN G mg 5, N G d d d 61 c) F a 5, 8 m/s m a 2 2d d) d t t 1, 3 s 2 a 2 Korištenjem trigonometrije moguće je također doći do relacija za F N i F. FN G b cos F d N G cos mg cos G d F h 58

59 Gdje su: F G h d sin F G sin mg sin sin = visina kosine / duljina kosine cos = baza kosine / duljina kosine Primjer 10 opisuje slučaj gibanja niz kosinu uz trenje i riješiti ćemo ga preko sličnosti i korištenjem trigonometrije. Primjer 10. Koeficijent trenja između podloge i predmeta, koji klizi kosinom nagiba 45 iznosi 0,4. Koliki put predmet prevali u prve dvije sekunde nakon početka klizanja? (Halapa, 1997) Potrebno je izračunati put iz zadanih veličina t = 2 s, = 45, = 0,4 i g = 9,81 m/s 2. Iz već izvedenih omjera imamo F1 G F2 G h sin F mg sin d 1 b cos F mg cos d 2 dakle Sila trenja F tr F2 mg cos Sila koja djeluje na tijelo i ubrzava ga jednaka je razlici sila F 1 i F tr. Pišemo F F Ftr mg sin mg cos mg sin cos 1 59

60 Budući je F = ma nakon skraćivanja jednadžbe s m dobijemo izraz za računa- a g sin cos. nje akceleracije Uvrštavanjem u formulu za put jednoliko ubrzanog gibanja 1 s at 2 1 g 2 2 sin cos t 2 dobijemo da je s = 8,32m. Zadatak bez upotrebe trigonometrijskih funkcija možemo riješiti na slijedeći način: F = F 1 F tr ma = mg h/d mg b/d / pomnožimo jednadžbu s d ad = gh gb / budući je = 45 b = h, d 2 = h 2 + b 2 slijedi d h 2 ah 2 gh gh / skratimo jednadžbu s h g a 1. 2 Ovako dobiveni izraz za akceleraciju uvrstimo u formulu za put 1 s at g t 2 te uvrštavanjem dobijemo s = 8,32m Na kraju primjer kojeg je autori udžbenika Mladen Halapa riješio na tri načina. Primjer 11. Kad nema vjetra, malo krilato sjeme padalo bi s vrha drveta stalnom brzinom od 35cm/s. Koliko će daleko od podnožja drveta pasti sjemenka ako pada s visine od 30m, a vjetar puše brzinom od 36km/h u horizontalnom smjeru. (Halapa, 1997) Zadane su veličine v 1 = 35cm/s = 0,35m/s, h = 30m i v 2 = 36km/h = 10m/s. 1.način: iz osjenčanog trokuta kojeg promatramo je v v s hv v tg v 2 1, a iz većeg 2 2 s, odnosno s = 857m. 1 h v1 tg s h. Dakle omjer 60

61 2.način: Iz sličnosti pravokutnih trokuta dobijemo omjer prethodnom načinu slijedi da je hv 2 s odnosno s = 857m. v1 v 2 s i analogno v h 3.način: Budući da je riječ o složenom gibanju, koristimo se načelom neovisnosti gibanja. Iz jednolikog gibanja nam sljedi da je t1. Za vrijeme t 2 tijelo bi h v brzinom v 2 prešlo put s. Dakle, omjer h s te uvrštavanjem s = 857m. v 1 v 2 SLOŽENO GIBANJE KOSI HITAC s t2. Budući da su vremena jednaka, dobijemo v 2 U nastavi fizike se u obrađivanju vertikalnog i horizontalnog hica ne koristi složen matematički aparat, ali kod složenijeg gibanja znanog kao kosi hitac stvari se mijenjaju. Kosi hitac se ne obrađuje u svim gimnazijama, ali ću obraditi i ovaj slučaj u kojem se ponovno za jedan dio koristi i trigonometrija. Većina zadataka je takva da su kutevi koje koristimo 30, 45 ili 60 zbog već istaknutih razloga. Kosi hitac je složeno gibanje koje opisujemo rastavljanjem na gibanje u horizontalnom i vertikalnom smjeru(slika 19). 1 1 Gibanje u horizontalnom smjeru je jednoliko pravocrtno gibanje brzinom jednakom horizontalnoj komponenti početne brzine vx v x 0 gdje se od početnog položaja udalji x vx0t.vertikalno gibanje se sastoji od vertikalnog gibanja prema gore i slobodnog pada. Brzina takvog gibanja dana je sa v v 0 gt, a udaljenost od početnog položaja s 1 y v y0 t gt 2 2, a vri- Domet kosoga hitca određen je horizontalnim gibanjem jeme leta određeno udarom tijela u tlo, odnosno jednadžbom y = 0. y y Dkh vx0tmax 61

62 Domet je D kh 2vx0v g y v y0 0 v y0tmax gtmax tmax. 2 g Domet ovisi o kutu izbačaja i najveći je kada je izbačen pod 45, kao što je vidljivo na slici 19. Tada je v xo v y0 v 0 v x v y 2v x 0 i formula je v0 45 g D kh 2 Ako nije riječ o navedenim kutevima tada je domet teže računati bez korištenja trigonometrije. v v x0 y0 v cos 0 v sin 0 D kh a budući je 2sin cos sin2 slijedi formula RAD I SNAGA D kh v0 sin ccos, g v0 sin2 c. g Promatramo česticu koja se giba duž pravca dok na nju djeluje sila. Ako je čestica prešla put s uz djelovanje stalne sile F, a smjer sile se podudara sa smjerom gibanja, obavljen je rad W Fs. Grafički prikaz rada vidljiv je na slici. kx graf F(x) i rad W su prika- Kod promjenjive sile (npr. elastične sile zani na slici. Općenito vrijedi da je W Fi x1 i Kada sila i smjer gibanja nisu na istom pravcu, tada je W komponenta sile u smjeru puta. F el Fs s gdje je F s 62

63 Snaga je izražena tako da obavljeni rad W podijelimo s vremenom obavljanja W Fs rada, odnosno relacijom P t t U sljedećem primjeru vidjeti ćemo kako rješavamo zadatke u kojima sila i put nisu na istom pravcu sa i bez korištenja trigonometrije, a kako su to pokazali autori udžbenika. Primjer 12. Dječak vuče saonice po snjegom prekrivenom putu jednolikom brzinom, pomoću užeta dužine l = 1m.Ruka kojom povlači sanjke je h = 60cm iznad površine snjega kao što je vidljivo na sici. Sila trenja između sanjki i snjega je F tr 36, 22 N. Odredi silu kojom dječak povlači uže i rad koji dječak obavi na putu s = 80m. (Jakopović, 1999) Budući je riječ o jednolikom gibanju, sila trenja F tr se poništava sa silom F s (komponenta sile F u smjeru u kojem dječak vuče saonice) koja je prikazana 63

64 na slici 26. Dakle, Fs Ftr 36, 22 N. Korištenjem sličnosti pravokutnih trokuta dobijemo s d d F F Fs 45, N F l l uz d l h 0, 8 m udaljenost dječaka od saonica. Obavljeni rad je W Fs s 2897, 6 J. Rješavamo li koristeći trigonometrijske funkcije, sila kojm dječak povlači F uže je S FS cos F 45, N F cos 28 d uz kut dobiven iz cos 36, 86 l RAČUNANJE S POTENCIJAMA NEGATIVNOG EKSPONENTA Kao jedan od problema s kojim se susreću nastavnici fizike u prvom razredu SŠ spominje se i nesnalaženje učenika u računanju s potencijama negativnog eksponenta. Ovaj se slučaj pojavljuje kod rješavanja zadataka vezanih uz gravitacijsku silu, odnosono opći zakon gravitacije. Newton je postavio izraz za gravitacijsku silu između dva točkasta naboja. Ako se bilo koja dva točkasta naboja masa m 1 i m 2 nalaze na udaljenosti r, tada među njima djeluje privlačna gravitacijska sila F G G m1m2 2 r gdje je G opća gravitacijska konstanta koja iznosi G 6, Nm 2 kg. PRETVARANJE MJERNIH JEDINICA Jedna od poteškoća u nastavi fizike pojavljuje se pri pretvaranju fizičkih jedinica. Vjerojatno se u OŠ ovoj tematici ne stigne posvetiti dovoljna pažnja. Pretvaranje većih jedinica u manje učenicima je lakše, a kod preračunavanja iz manjih u veće jedinice javljaju se problemi. Na sljedećem primjeru vidjeti ćemo kako preračunavamo iznose brzine iz jednoga u drugi zapis. Primjer 13. Brzina tijela je 25km/h. Prevedi u m/s. km 1000 m m m v , 27 6, 94 h 3600 s s s Primjer 14. Brzina tijela je 25 m/s. Prevedi u km/h. 1 m km km km v , 6 90 s 1 h h h 3600 Učenici zapamte da se kod pretvaranja uvijek pojavljuju 0,27 i 3,6 i da se s njima množi ili dijeli. Često se zbog nedovoljnog vježbanja ne primjenjuje postupak nego bez razmišljanja množe ili dijele. Događa se i da nastavnici inzistiraju da učenici zapamte ova dva broja i da se njima služe bez razmišljanja

65 RJEŠAVANJE JEDNADŽBI U NASTAVI FIZIKE Jedan od problema kojemu je uzrok slaba pripremljenost učenika za SŠ vidljiv je i kod primjene matematičkog formalizma pretvaranja jedne relacije u druge oblike. Učenici su u OŠ često naviknuti da su dane eksplicitno izražene sve fizikalne veličine koje se pojavljuju u iskazu nekog fizikalnog zakona. U sljedećem primjeru vidjeti ćemo element fizike koji se obrađuje u 8. razredu. 2 Primjer 15. Izračunajmo koliko mora biti duga bakrena žica presjeka 1 mm da bi imala otpor 1. (Šindler, 1987) Poznato je da otpor vodiča ovisi o vrsti tvari od koje je izrađen, duljini vodiča te o njegovu poprečnom presjeku. Ovu ovisnost prikazujemo jednadžbom l R S gdje je električna otpornost, l duljina, a S poprečni presjek vodiča. Učenike tijekom OŠ treba navoditi i učiti i uvježbavati eksplicitno izražavanje svih fizikalnih veličina. U udžbeniku za 8. razred autora Šindlera i Valić u zadatku koji slijedi nakon obrađene relacije traži se duljina vodiča l, a ostale su veličine zadane (primjer 15). Umjesto da je prikazan postupak kojim se dolazi do veličine, dana je gotova formula RS RS 1 1 mm l i l 59 m. 2 mm 0, 017 m Time se učenike navodi na zapamćivanje formule, a ne operiranjem matematičkim znanjem koje su do tada usvojili. Navedeno otežava učenicima razumjevanje gradiva i gomila podatke koje moraju usvojiti i zapamtiti. NASTAVNI PROGRAMI PREOPŠIRNI I PRETEŠKI VODE OPTEREĆENOSTI UČENIKA Preopterećeni nastavni programi matematike i fizike uzrok su mnogih ozbiljnih problema. Zanimljivo istraživanje o nastavnim programima provela je Miharija (1994) i navesti ću neke interesantne zaključke. Veliki broj pitanja postavljen je učenicima i njihovim roditeljima te nastavnicima. Više od 50 % učenika jednog razreda doživljava preteškim gradivo iz predmeta matematika, fizika i kemija. Iako su roditelji bili nešto blaži u ocjenama od učenika, ponovo se na samom vrhu po težini nalaze matematike, fizika i povijest. Interesantni su podaci kako su učitelji analizirali programe. Oni procjenjuju da je za oko 30% učenika svih razreda program pretežak. Autorica smatra da bi navedeno trebalo potvrditi koncepciju da se jednaki programi za sve učenike nužno moraju zamjeniti diferenciranim programima i individualnom pristupu. 2 65

66 Svega 43% učitelja smatra zadovoljavajućim vrijeme predviđeno nastavnim planom za ostvarivanje nastavnog programa. No, iako smatraju da su učenici preopterećeni postojećom tjednom satnicom, smatraju da bi im dobro došlo još satova iz svojega predmeta. Nedovoljan broj sati koje učitelji imaju na raspolaganju, jedan je od razloga odabira metoda rada te je predavačka nastava najčešća, iako je se nastoji što manje koristiti (Miharija, 1994). Kao rezultat prevelikih i preteških programa pojavljuju se sve više opterećeni učenici. Preopterećenost programa je problem koji se već godinama spominje i kao jednu od ekstremnih ideja rješavanja dao je švicarski pedagog Robert Dottrens (Mužić, 1994) koji smatra da bi se kod određivanja sadržaja programa trebalo konzultirati i mišljenje stručnjaka iz drugih predmeta. Smatra da npr. fizičar realističnije gleda na sliku o potrebnim znanjima od povjesničara i obrnuto. Prema ovom konceptu formirale bi se komisije stručnjaka iz tih predmeta, nastavnika po školama, pedagoga i psihologa i odredile bi: - što eliminirati kao zastarjelo, odnosno što se može nalaziti u odgovarajućim izvorima, pa se ne treba učiti; - kako prebaciti težište od činjeničnih znanja na usvajanje sposobnosti, vještina u svezi sa shvaćanjem, primjenom i sl.; - koja nova dostignuća uvrstiti u sadržaj i gdje; - koji se sadržaji ponavljaju u raznim predmetima i kako to rješiti (Mužić, 1994). Profesorica Rac Marinić Kragić (1999) iz V. gimnazije komentira program matematike u prvom razredu gimnazije (140 sati godišnje). Autorica smatra da je program preopširan i prenatrpan i da se ne može realizirati u potpunosti unutar predviđenih nastavnih sati. Navodi činjenice poznate u nastavnoj praksi: 1. profesori koji savjesno žele potpuno obraditi svaku nastavnu cjelinu ne stižu do kraja nastavne godine preći cijeli program te dio ostave za drugi razred i time su u stalnom zaostatku s gradivom 2. profesori koji se striktno drže programa površno prelete ili preskoče manje bitne nastavne cjeline. Autorica zaključuje da bi se trebalo razmisliti o djelomičnoj izmjeni programa i neke cjeline prebaciti u drugi razred (Rac Marinić Kragić, 1999). Smatram da je to rješenje samo dijela problema, ali svakako ne i cijelog, jer je očito riječ o prevelikom obimu podataka koje učenici moraju usvojiti u svojem školovanju (Mužić, 1994). Kao što je već ranije navedeno, kao rezultat igre oko programa, javlja se preopterećenost učenika. Znanost se razvija, unapređuje i otkriva nove spoznaje. Nastavnici imaju određeni fond sati u kojima su dužni odraditi nastavne programe u koje ulazi sve više znanja i činjenica, tako da u galopu prolaze programe pa učenici ne nauče niti osnove koje bi bez naprezanja mogli naučiti (Mužić, 1994). Nastavnik nema previše vremena da im pomogne, jer mora proći program u strahu od inspekcije. Sve više i više podataka u istom vremenu vodi na površno usvajanje i time umjesto da olakšaju učenicima daljnje učenje, samo im se otežava. 66

67 Kao moguće djelomično ili čak cjelovito riješenje vidim u konstruktivističkom pristupu. Ako nastava nije predavačka nego se znanje konstruira u dijalogu i raspravi, nastava je neopterećena zapamćivanjem relacija (učenici proizvoljno zapisuju svojim riječima rezultate rasprave). Budući je u neprestanom izravnom kontaktu s učenicima, nastavnik ne troši vrijeme na ispitivanje tj. ocjenjivanje, već prati rad svakog učenika kroz polugodište. Iako ovom suvremenom metodom znanstvena istraživanja pokazuju da su rezultati učenja fizike daleko bolji nego kod tradicionalne nastave, nastavnici se češće opredjeljuju na tradicionalni pristup. Razlog tome je konzervativizam odnosno nemogućnost nastavnika da se oslobode usredotočenosti na usvajanje zakona i relacija umjesto fizičkog razvijanja razmišljanja, a vjerojatno i činjenica da je za nastavnike konstruktivistički pristup daleko naporniji od tradicionalnog (Krsnik, 2002). Rješenje je možda u postupnom prelasku na konstruktivistički način rada, koji dokazano rasterećuje, iako je jasno da je to dugotrajan proces. ZAKLJUČAK Brzi razvoj i promjena svijeta oko nas vodi u nužnost reformiranja postojećeg sustava obrazovanja. Budući je fizika kao znanost usko povezana s ostalim znanostima, kod sastavljanja novih suvremenih nastavnih programa treba voditi računa o povezivanju i usklađivanju svih prirodnih znanosti. Često se događa, kao što je vidljivo iz glavnog dijela radnje, da se u nastavi fizike koriste sadržaji matematike koji se tamo tek kasnije obrađuju. Time se nastavnika fizike dovodi u situaciju u kojoj će: a) preći sadržaj bez korištenja dodatnog matematičkog aparata ili će b) uvesti aparat i time sebi olakšati obrađivanje programa, ali i time povećati količinu činjenica koje učenici moraju usvojiti. Time ponekad olakšava i učenicima, ali češće je slučaj suprotan. Za ovu temu rada bio sam motiviran problemima s kojima sam se suočavao u nastavi fizike u tijeku mojeg apsolventskog rada u srednjoj školi. U radu sam naveo 13 problemskih momenata u nastavi fizike uzrokovanih neusklađenošću nastavnih programa matematike i fizike prvog razreda gimnazije. Navedeni su i analizirani slijedeći problemi: definiranja trenutne brzine i akceleracije, određivanja puta iz v t dijagrama, primjene kvadratne jednadžbe u zadacima, uvođenja sadržaja trigonometrije kod vektorkog računa, gibanja niz kosinu sa i bez trenja, obrade složenog gibannja kosog hica, uvođenja i definiranja rada i snage. U konzultacijama s nastavnicima fizike riječkih gimnazija i Gimnazije i strukovne škole Jurja Dobrile iz Pazina, došao sam do saznanja da se problemi javljaju i kod: računanja s potencijama negativnih eksponenata, pretvaranja mjernih jedinica, rješavanja jednadžbi te u interpretaciji grafičkih prikaza. Navedeni problemi su analizirani na način ponuđen od strane autora udžbenika i zbirki zadataka te način na koji probleme rješavaju konzultirani nastavnici kojima se ovom prilikom još jednom zahvaljujem. Posebno sam istakao načine koji bi bili najbolji za rješavanje ovih problema. 67

68 Pokazuje se da je problem neusklađenosti velik i da bi ga trebalo što prije riješiti. Sastavljači novih suvremenih nastavnih programa bi trebali uvažiti činjenicu da programi moraju omogućiti nastavnicima kvalitetan rad i korištenja različitih suvremenih metoda poučavanja koje zahtjevaju više vremena. Trebalo bi odvojiti dovoljno vremena i naći metode koje omogućavaju razvijanje različitih metoda i rješavanje problema. Često se kritiziraju sastavljači programa da nemaju previše dodira sa stvarnošću te da svoj posao nerade na najbolji način. Pojedine sadržaje bi trebalo ostaviti na izbor učenicima i nastavnicima i time povećati motivaciju za kreativan i kvalitetan rad. Za sadašnji opseg gradiva koji se obrađuje u gimnazijama postojeća satnica nije dovoljna. Želimo da učenici na satovima nauče razmišljati pa je bolje obraditi kvalitetnije manje cjelina nego površno obraditi većinu njih. Bez suradnje s ljudima koji rade direktno u nastavi, teško se mogu sastaviti dobri i usklađeni programi. A oni su preduvjet kvalitetnog rada i stoga mislim da bi bilo dobro da se nastavnik sa svojim idejama i predlozima aktivnije uključi u izradu programa matematike i fizike. Profesori nisu strojevi koji ulijevaju znanje učenicima, nego kreativni ljudi svjesni kakvi bi im uvjeti bili potrebni za obavljanje posla na obostrano zadovoljstvo. Nadam se da će moja radnja biti mali doprinost ukazivanju na problem neusklađenosti i složenosti programa matematike i fizike. Žrtve loših programa su prvenstveno učenici koji su u svemu ovome nemoćni, a mi smo odgovorni za njihovo stanje. Stoga bi se trebalo što prije uloviti u koštac s problemom nastavnih programa i što kvalitetnije i brže ga riješiti. Osnovno pitanje koje bi si trebali postaviti Kome je zapravo škola namjenjena i što ti učenici dobiju od škole?. Odgovor bi trebao biti Škola je namjenjena učenicima, a nastavnici su u školama zbog učenika, a ne obrnuto. Zar ne? Popis literature 124 Banić, S., 2000, Programi: neke ideje i primjeri za trgovačke škole, Matematika i škola 8, Filipović, F., 1965, Metodika nastave fizike u osnovnoj školi, Pedagoško-književni zbor, Zagreb Gotovac, V., 1991, Poteškoće u interpretaciji grafičkih prikaza (primjeri iz kinematike), Matematičko-fizički list 167, 133 Halapa, M., 1997, Fizika za prijamne ispite, zbirka potpuno riješenih zadataka, Oaza, Zagreb Jakopović, Ž., Kulišić, J., 1965, Fizika 1, udžbenik za prvi razred strukovnih škola za dvogodišnji i trogodišnji program fizike, Školska knjiga, Zagreb Jakopović, Ž., Lopac, V., 1999, Fizika 1, udžbenik za 1. razred strukovnih škola s četverogodišnjim programom fizike, Školska knjiga, Zagreb 68

69 Krsnik, R., 1996, Fizika 1, Zbirka riješenih zadataka, priručnik za 1. razred gimnazije, Školska knjiga, Zagreb Krsnik, R., 1998, Fizika 1, udžbenik za 1. razred gimnazije, Školska knjiga, Zagreb Krsnik, R., 2002, osobna komunikacija Kulišić, P., Šuštar, E., Brković, N., 1995, Mehanika i termodinamika, priručnik iz fizike za više razrede srednje škole, Školska knjiga, Zagreb Maksić, B., Goldberg, J., Kurelec, A., 1974, Fizika za 1. razred gimnazije, Školska knjiga, Zagreb Miharija, Ž., 1994, Nastavni programi preopširni i preteški, Zrno 4-5, 9 Mikuličić, B., Varićak, M., Vernić, E., 1988, Zbirka zadataka iz fizike za učenike škola II.stupnja, Školska knjiga, Zagreb Mužić, V., 1994, Što uzrokuje preopterećenost učenika i kako je ukloniti?, Zrno 4-5, 6 Obradović, M., 1998, Opća metodika nastave matematike, priručnik za nastavnike, Prosvjeta, Zagreb Odluke 1. Kongresa nastavnika matematike, Matematika i škola 6, 8 Paar, V., Šips, V., 1996, Fizika, Zbirka riješenih zadataka iz mehanike, priručnik za 1.razred gimnazije, Školska knjiga, Zagreb Paar, V., 1998, Fizika 1, gibanje i energija, udžbenik za 1. razred gimnazije, Školska knjiga, Zagreb Pavleković, M., 1999, Metodika nastave matematike s informatikom II., Element, Zagreb Rac Marinić Kragić, E., 1999, Pisma, Matematika i škola 2, 52 Šimunić, D., 2001, Neki pojmovi u rješavanju Matematičko-fizički list 206, 140 standardnih zadataka iz fizike, Šindler, G.,Valić, B., 1987, Materija; gibanje, električna energija i svjetlost, svezak A, udžbenik fizike za 8.razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb Švabić, M., 2001, Korištenje udžbenika fizike u riječkim gimnazijama, diplomski rad, Filozofski fakultet u Rijeci Valašek, I., 1997, Fizika, Zbirka zadataka iz mehanike za 1. razred srednjih škola, Element, Zagreb Vernić, E., Šindler, G., Liščić, B., 1981, Fizika 1, udžbenik za 1. razred srednjih škola, Školska knjiga, Zagreb Vernić, E., 1975, Nastava fizike u srednjoj školi, priručnik za nastavnike 1, Školska knjiga, Zagreb 69

70 SVAKI UČENIK MOŽE VIŠE I BOLJE: TERENSKA NASTAVA "LOKNARI" Sanja Janeš, profesor matematike, učitelj matematike OŠ Petar Zrinski, Čabar sanja.janes@skole.hr SAŽETAK: Ako se složimo s tezom da je matematika dio naše svakodnevnice i okruženja, vrlo lako ćemo moći pronaći moguće problemske situacije i formulirati ih kroz problemske zadatke ili problemske situacije, dati učeniku da ih, koristeći svoja znanja i vještine, matematički modelira i riješi. Terenska nastava Loknari osmišljena je na osnovu poludnevnog izleta u okolicu Čabra. Na tom izletu prolazilo se kroz zaseoke Čabra. Projektni zadaci su bili namijenjeni učenicima 5. i 7. razreda. Problemske situacije postavljene pred učenike prilagođene su njihovu uzrastu i očekivanom predznanju. Problem je direktno bio vezan uz nastavno područje geografije. Također korelira s mnogim matematičkim sadržajima vertikalno, kroz godine učenja i horizontalno, kroz matematičko gradivo dotičnog razreda. KLJUČNE RIJEČI: Terenska nastava, primjena, matematičko modeliranje, geografija, obrada prikazi interpretacija podataka, pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Cilj poučavanja matematike trebao bi biti osposobiti učenika da primjenjuje i modelira matematičke sadržaje, odnosno da problem rješava nekim matematičkim modelom. Na taj način učenik, ne samo da koristiti netom stečena znanja, već i ona prijašnja te na taj način sintetizira sadržaje i korelira ih. Sadržaje koji se uče i koriste samo unutar jednog gradiva vrlo brzo se zaboravljaju. Osim toga, ispreplitanjem sadržaja učeniku se pokazuje smislenost, sistematičnost i korisnost matematike. Raznolikost sadržaja može se postići postavljanjem problema vezanih uz stvarnu ili izmišljenu situaciju. Naravno da je rješavanje problema i njegovo modeliranje puno zanimljivije ako je situacija stvarna, ako učenik sam u njoj sudjeluje. Učenika je motiviran postizati uvijek više ukoliko je u središtu zbivanja kao aktivni rješavač problema. Preduvjet tome je da učenik osjeti problemsku situaciju, da mu se ukaže na raznolikost pitanja koja si može postaviti te ih matematičkim modeliranjem riješiti. Svaki učenik, ovisno o svojim sposobnostima, može napredovati, ako je dovoljno motiviran. Učenici u osnovnoj školi uglavnom nisu dovoljno psihički zreli da bi sami pronašli motivaciju za učenje i napredak. Taj zadatak mora preuzeti učitelj čiji je jedan od osnovnih ciljeva poučavanja, napredak učenika. Terenska nastava je odlično okruženje za motiviranje učenika. To ne moraju biti financijski i vremenski iscrpljujući izleti. Dovoljno je da učenike izvedemo u njihovu najbližu okolinu. 70

71 Ako se složimo s tezom da je matematika dio naše svakodnevnice i okruženja, vrlo lako ćemo moći pronaći moguće problemske situacije i formulirati ih kroz problemske zadatke ili problemske situacije, dati učeniku da ih, koristeći svoja znanja i vještine, matematički modelira i riješi. Terenska nastava Loknari osmišljena je na osnovu poludnevnog izleta u okolicu Čabra. Na tom izletu prolazilo se kroz zaseoke Čabra. Projektni zadaci su bili namijenjeni učenicima 5. i 7. razredu. Problemske situacije postavljene pred učenike prilagođene su njihovu uzrastu i očekivanom predznanju. 5. razred Ciljevi: 1. Učenike 5. razreda, koji još ne uče Obradu i analizu podataka, provesti kroz proces istog korelirajući s aktualnim gradivom Svojstva računskih operacija. 2. Korištenjem dužinskog mjerila približno odrediti, izračunavati, duljinu krivulje po dijelovima. Razvijanje ideje odnosa-proporcionalnosti. Ciljevi se možda čine preambiciozni, no zadaci su prilagođeni uzrastu učenika. Neće ih se niti u jednom momentu procesa opterećivati pojmovima Obrada i analiza podataka i Proporcionalnost. Bitno je da prođu proces i u njemu aktivno sudjeluju, ponegdje i na intuitivnoj razini. Intuitivnost treba poticati jer ona je preduvjet kreativnosti. Vremenski okvir: 3 nastavna sata Oblik rada: Samostalno Metode: razgovor, problemska (istraživanje) heuristička, empirijska (mjerenje,promatranje), uspoređivanje, konkretizacija i apstrakcija, analiza i sinteza Planirani i postignuti obrazovni ishodi: Učenik: - prikuplja podatke, - tablično zapisuje i sistematizira podatke, - obrađuje podatke, - prikazuje podatke, - samostalno sastavlja zadatak s više računskih operacija, - zbraja dužine i njihove duljine, - aproksimativno mjeri i računa duljinu zakrivljene linije-krivulje, - primjenjuje svojstva računske operacije zbrajanja - asocijativnost i komutativnost, - primjenjuje distributivnost množenja prema zbrajanju, - približno izračunava duljinu krivulje. 71

72 Planirani i ostvareni matematički procesi: prikazivanje i komunikacija povezivanje logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje rješavanje problema i matematičko modeliranje Planirani i ostvareni matematički koncepti: brojevi oblik i prostor mjerenje podatci Svi zadatci osmišljeni su prije ostvarenja terenske nastave. Učenicima je dana uputa da, prolaskom kroz pojedini zaseok, zapišu njegov naziv, informiraju se o broju stanovnika zaseoka te da to zabilježe. Po dolasku na nastavu dobili su tablice u koje su, po njihovim bilješkama, upisani prikupljeni podaci. Na taj način uključeni su u cjelokupni proces obrade podataka: - prikupljanje podataka, - sistematiziranje podataka-tablično, - obrada podataka-računski, - prikazivanje podataka, - analiza tumačenje dobivenih rezultata. Zadatci: 1. Napiši imena svih zaseoka na relaciji Čabar - Kukci - Loknari - Čabar. 2. Ispitaj koliko stanovnika ima svaki zaselak. Upiši u tablicu i zbroji koristeći svojstva računskih operacija. Slika 1. Slika 2. 72

73 Na skeniranim listićima, Slika 1. i Slika 2. vidljivi su različiti načini izračunavanja. Također korištenje asocijativnosti i komutativnosti te ponegdje i distributivnosti. Ovi zadatci proizašli su iz stvarnih podataka i njihovo rješavanje odgovara na konkretno pitanje te rješava stvarnu problemsku situaciju. Slične, gotove zadatke učenici imaju u svojim vježbenicama. No, ove su sami sastavili, riješili i to je njihova najveća vrijednost. 3. Prikaži broj stanovnika slikovno-grafički. Nakon izračuna učenici su dobili zadatak da na bilo koji način slikovno prikažu broj stanovnika. Nije bio spomenut grafički prikaz jer im to uopće ne bi bilo jasno, a samim objašnjavanjem izgubio bi se cilj, a to je samostalno razmišljanje i osmišljavanje rješenja problema koji je postavljen pred njih. Ni na koji način nije im sugerirano kako da to učine. Nisu baš bili previše zadovoljni neodređenošću zahtjeva. Bilo je očito da se s tim nisu ranije susretali. Pokušali su raznim potpitanjima dobiti precizniju uputu koja im namjerno nije dana iz razloga da se vidi koliko su sposobni sami se snaći u rješavanju problema. Slika 3. Iz skeniranih prikaza na Slikama 3. i 4. vidi se da je učeničko poimanje slikovnog prikaza podataka potpuno drugačije od onoga što mi smatramo slikovnim, grafičkim prikazom podataka. No ne može im se poreći maštovitost i uloženi trud. Možda od prve prikaz nije onakav kakvog smo priželjkivali, ali je postignuta izuzetna aktivnost učenika te domišljanje rješavanju situacije u kojoj su se našli. Iz priloženog se vidi da se s prikazom podataka uopće ne susreću u nižim razredima. Učenici su sami morali objasniti svoj prikaz. Na Slici 3. učenik je čak prikazao broj kuća u pojedinom zaseoku, a prozori na pojedinoj kući predstavljaju broj ljudi u domaćinstvu. Učenik je ovim prikazom pružio čak i više podataka nego što je od njega 73

74 traženo. Također je i mjesta prikazao vrlo vjerno. Prikaz na Slici 4. već je bliži dobrom grafičkom prikazu. Slika 4. Nakon ovog prikaza ponuđene su im pravokutne sheme i nakon rasprave, koja je za cilj imala pojednostavljivanje prikaza, dobiveni su donji prikazi. Oni su nešto bliži standardnom prikazu podataka(slika5. i Slika 6.). No cilj je postignut upućivanje učenika kako jednostavnije i preglednije prikazati podatke. Slika Pomoću šestara na karti odredi udaljenosti između zaseoka. Zbroji sve udaljenosti i izračunaj koliki put smo prešli. Poredaj po veličini razdaljine. Prije nego što je pred njih stavljen problem izračunavanja udaljenosti između mjesta obavljena je rasprava na kojoj je pred njih postavljena zemljopisna karta mjesta na kojem je terenska nastava obavljena. Proučavanjem karte našli su dužinsko mjerilo i zaključili da bi im to moglo pomoći. Sljedeći problem s kojim su se susreli je određivanje duljine krivulje. Do sada su mjerili samo duljine dužina. U redovnoj nastavi se duljina krivulje ne mjeri već se podrazumijeva da učenici shvaćaju da i ona ima duljinu. Inače duljina krivulje se uvodi tek u 7. razredu kad se uči duljina kružnice. Diskusijom su vrlo spontano došli do zaključka da mogu mjeriti ma- 74

75 le, ravne dijelove krivulje te ih zbrojiti. Vrlo je zanimljiva lakoća s kojom učenici zapravo dolaze na ideju aproksimacije. To pokazuje prirodnost metode aproksimacije. No htjeli su udaljenosti mjeriti mjernom trakom na ravnalu. Po preporuci učitelja složili su se da je prenošenje dužine šestarom na mjernu traku puno jednostavnije. Važno je da se utvrdi da to nisu točne udaljenosti već približne. Slika 6. Na niže poredanim slikama (Slika 7. Slika 12.) vide se podebljane dionice te mjerna traka u mjerilu. Nakon prikupljenih podataka ponovo su ih morali zbrojiti i koristiti svojstva zbrajanja. Prema priloženom vidi se češća uporaba distributivnosti. Zadaci koje su sami učenici postavili za potrebe izračunavanja približne udaljenosti dosta su složeni i zahtijevaju urednost, sistematičnost i primjenu stečenog znanja. 75

76 Slika 7. Slika 8. Slika 9. Slika 10. Slika 11. Slika

77 77

78 Rezultat svega učinjenog učenici su objedinili na priloženom nastavnom listiću. Pri tom je napravljena analiza podataka te evaluacija čitavog procesa. Vrijednost ovog projektnog zadatka je u samom procesu, aktivnosti i samostalnosti učenika, raznolikosti pristupa, argumentiranju postupaka i velikom bogatstvu metoda, znanja i postupaka koje su učenici prošli Slika razred: Biciklistička staza Cilj:Prikazati put prijeđen na terenskoj nastavi u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Učenici za prvu nastavnu cjelinu imaju Koordinatni sustav međutim pri njenoj uobičajenoj realizaciji nedostaje dio koji zapravo tumači čemu može služiti koordinatni sustav. Nedostaje primjena. Planirani i ostvareni obrazovni ishodi - Učenik prilagođava koordinatne osi zahtjevima podataka koje želi prikazati - Učenik primjenjuje prikaz podataka u koordinatnom sustavu u ravnini 78

79 - Učenik pronalazi matematički model kojim bi prikazao profil prijeđenog puta za brošuru Biciklistička staza Čabar-Loknari Vremenski okvir: 2 nastavna sata Oblik rada: Samostalno Metode: razgovor, problemska (istraživanje), heuristička, empirijska (mjerenje,promatranje, odnosi), uspoređivanje, konkretizacija i apstrakcija, analiza i sinteza. Planirani i ostvareni matematički procesi: prikazivanje i komunikacija povezivanje logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje rješavanje problema i matematičko modeliranje Planirani i ostvareni matematički koncepti: brojevi oblik i prostor mjerenje podatci Zadatak: 1. U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini prikaži konfiguraciju prijeđenog puta. Napravi prikaz koji bi izletniku, planinaru, biciklistu, koji nije nikada prolazio tim putem pružio informaciju o tome kakav ga put očekuje. Nakon što su pročitali zadatak napravljena je diskusija kako bi to trebalo učiniti. Oni su taj put fizički prošli i doživjeli pa imaju vizualizaciju problema. Učenici su shvatili da moraju prikazati uzbrdice, ravne dijelove ili nizbrdice. Također i duljinu pojedine rute. Sad je pred njih postavljen problem pronalaženja matematičkog modela. Rastavili su problem u dva dijela: problem nadmorske visine i problem udaljenosti. Kad sinkroniziraju ta dva problema, riješili su početni. Kako su ovi učenici već svladali pravokutni koordinatni sustav u ravnini, lako ih je bilo navesti na model. Nadmorske visine i visinske razlike su određivali direktno na karti (Slika 14.) pomoću ekvidistance. Podatke o udaljenosti izračunavali su pomoću karte i mjerila. Bez imalo problema odlučili su udaljenosti između bitnih točaka puta nanositi na x- os, a nadmorsku visinu istih na y-os. Na skeniranim prilozima (Slika Slika 17.) vidimo neke uratke. Nisu se svi učenici jednako snašli. Ovaj prvi (Slika 15.) je možda najbolji jer je učenik najbolje manipulirao osima. Osim toga on je jedini zapravo put prikazao krivuljom. Druga dva prikaza (Slika 16. i Slika 17.) su u linearnim dijelovima i imaju gotovo identičnu x-os, ali je y-os različita. 79

80 Slika 14. Slika

81 Slika 16. Slika 15. Raznolikost ovih prikaza zapravo je bogatstvo. Na temelju toga pokrenula se rasprava koja nije bila predviđena. Postavljaju se pitanja: Predstavljaju li ti prikazi isti put? Jesu li svi ispravno napravljeni? Ako jesu, a jesu, što ih čini različitima? Koji bi prikaz ponudili ako bi promatrača htjeli ohrabriti, a koji ako bi ga htjeli obeshrabriti u namjeri da svlada put?... Dakle može se postaviti rasprava o manipulaciji prikazom podataka. Ovim prikazom i podacima koji su nam na raspolaganju još se mogu ostvariti barem sljedeći ishodi koje susrećemo u 7. razredu: 1. Graf nelinearne funkcije (kao usporedba s linearnom). 2. Aproksimacija krivulje linearnim dijelovima te određivanje linearnih funkcija koje ih predstavljaju. Osvrt: Mislim da se ne može poreći raznolikost i bogatstvo matematičke primjene jednog izleta. Također je zanimljivo za uočiti razliku u problematici s kojom se susreću učenici 5. i 7. razreda. Postavljeni problemi i pristupi rješavanju postavljenih problema su vrlo velikog raspona kao i potrebno predznanje, puno veći nego što je razlika u mentalnoj dobi jedanaestgodišnjaka i trinaestgodišnjaka. 81

82 LET'S DANCE With math and physics mr. sc. Blaženka Slovenec, prof. fizike profesor savjetnik Gimnazija Sisak mr. sc. Nikol Radović, prof. mat. viši predavač Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu nradovic@geof.hr Sažetak Nastava matematike i fizike ima važnu ulogu u srednjoškolskom obrazovanju učenika. Stečena znanja, vještine i načini mišljanja su temelj za nastavak visokoškolskog obrazovanja. Osposobljavajući se za različita životna zanimanja dobre temelje je lako nadograditi jer matematika je jezik znanosti a fizika znanost koja matematikom tumači zakonitosti svijeta u kojem živimo. Kako bi učenici što uspješnije ostvarili zadane obrazovne ishode, i stekli određene vještine i kompetencije matematike, koje će moći prepoznati/ primjeniti u fizici, potrebno je u nastavne sadržaje obaju predmeta integrirati situacije iz realnog života. U radu će biti prikazani primjeri koji povezuju ples, matematiku i fiziku. Naime, primjeri (figure) iz suvremenog plesa i baleta biti će tumačene rječnikom matematike i zakonima fizike. Na taj način, klasične teme mehanike biti će prikazane na neklasičan način. Iste situacije (primjere iz plesa) sagledat ćemo u matematičkom svijetu te ih objasniti zakonima fizike. Ključne riječi: ples/balet, fizika, matematika, mehanika, vektori, geometrijske transformacije ravnine/ prostora Slika 1. 82

83 Na predstavi Labuđeg jezera, Trnoružice ili nekog drugog klasičnog baleta kao i gledanju nekog spota na kojem plesači izvode primjerice "Gangnam Style" tj. različite figure ugodne oku i našem divljenju, ne razmišljamo (rijetko ili gotovo nikada) što se krije iza te koreografije. Uživamo u trenutku, u umjetničkoj interpretaciji, ponekad i lupkajući nogom u taktu glazbe. Osim umjetničke ekspresije i impresije ovdje su dobro skriveni matematika i fizika. Kada bi na kraju predstave ushićenom gledateljstvu rekli: Dragi naši gledatelji, osim izvanrednih tehničara, velike fizičke spremnosti, plesača pred vama su nastupali matematika i fizika ili da budemo točniji: vektori, centar mase, sila trenja, Newtonovi zakoni, impuls sile, složena gibanja, zakon očuvanja količine gibanja, torzija. Velika većina ljudi bi odmahnuti rukom ili rekla ples i matematika i fizika? I dobro se nasmijati. Svi bi bili u krivu. Nepobitna je istina da svi plesači svakodnevno u svom radu primjenjuje fiziku i matematiku. Ples je čista primijenjena fizikomatematike ili matematikofizike, iako se o tome ne govori na taj način a još rjeđe razmišlja na taj način. Kako bi prikazali da su tvrdnje istinite, krenimo redom. U matematici definiramo vektore, uvodimo razliku između smjera i orijentacije, te pravila zbrajanja i množenja vektora rješavajući veliki broj lakših i težih zadataka kako bi primjena u fizici bila što bezbolnija. Naime, matematika je jezik znanosti a fizika znanost koja matematikom tumači zakonitosti svijeta u kojem živimo. Pa tako u fizici uočavamo vektorske veličine: pomak, brzinu, silu; zbrajamo sile na pravcu, kosini, pod veličinama različitih kutova. Uočavamo razliku između skalarnog i vektorskog produkta, pa kao primjere uvodimo rad i kutnu količinu gibanja. Za kraj ostaju pojmovi težišta i centra mase. Često se preko ovih pojmova prelazi kao da su to laki pojmovi jasni samo po sebi, međutim iskustvo nas uči da se stvari mogu jako zakomplicirati. U ovom radu će kroz primjere iz plesa/ baleta biti objašnjeni pojmovi težišta, centra mase, gibanja i održavanja ravnoteže uz jezik matematike kao direktna primjerna matematike, fizike u umjetnosti pokreta a to ples i jest. Težište je hvatište sile teže homogenog krutog tijela, pri čemu ne smijemo zaboraviti da kruto tijelo ne mijenja oblik pri djelovanju vanjske sile, što s plesačima neće uvijek biti slučaj. Od velike važnosti je pojam centar masa. Općenito se definira preko relacije sile uporišta. Najčešće nije u samom centru tijela, posebice ako plesač izvodi neku složenu statičku, slika 2. ili dinamičku figuru. Vrijedi: Suma svih sila sustava jednaka je nuli, kao i suma momenata sile. Slika

84 Slika 3. Slika 4. Bilo koji sustav masa je u ravnoteži kada je sila reakcije uporišta jednaka ukupnoj težini sustava. Sustav koji sadrži više od dva tijela kažemo da složen i promatramo ga kao trodimenzionalan pa se primjenjuju relacije za koordinate centra masa. Jedan primjer složenog sustava su plesači na slici 5. Sila trenja je sila koja nam omogućava kretanje. Ako je podloga jedno tijelo, a plesač koji se njome kreće drugo, tada plesač djeluje na podlogu. Jedna komponenta njegovog djelovanja na podlogu je horizontalna - prema nazad, pa prema 3. Newtonovom zakonu podloga djeluje na plesača silom istog iznosa, ali suprotnog smjera. To će reći, da bi se plesač pokrenuo prvo mora svladati silu trenja. Budući da su nabrojane osnovne zakonitosti fizike pogledajmo kako ih možemo promijeniti na konkretnom primjeru održavanja ravnoteže plesača. Razlikujemo dvije vrste plesačke ravnoteže: statičku ravnotežu i ravnotežu pri vrtnji/ rotaciji. Slika

85 Statička ravnoteža Plesač održava statičku ravnotežu kada se njegov centar mase i točka u kojoj prsti dodiruju podlogu/pod nalaze na istom pravcu, slika 6. Slika 6. Plesač statičku ravnotežu postiže kad su uravnotežene gravitacijska sila (prema dolje) i sila reakcije podloge (prema gore). Prva sila odnosi se na težište plesača, a druga na njegov kontakt s podlogom, koji može biti ostvaren dodirom prstiju s podlogom. Opet mora vrijediti: Suma sila jednaka je nuli. Slika 7. Sandra Brown and Johann Renvall (ABT) in Airs, photo by Nancy Ellison Ako plesači izvode neku figuru, slika 7. kod koje neko vrijeme miruju suma svih sila jednaka je nuli. Prikazana situacija mnogo složenija jer djeluje više sila. U ovom slučaju suma sila mora biti jednaka nuli i za svakog plesača. Kada to ne bi bilo ispunjeno nema ravnoteže, dogodio bi se pad. Kada plesni partneri pridržavaju jedan drugog u nekoj poziciji koreografije moraju se u obzir uzeti i sile trenja. Minimalna promjena bilo koje sile uzrokuje disbalans i plesači gube ravnotežu. Posebno je važno uzeti u obzir da mala dodirna površina prstiju i poda čini održavanje ravnoteže još složenijim. Plesači primjenjuju 85

86 znanja o vektorima tj. vektorsko zbrajanje sila pri održavanju statičke ravnoteže, kao i činjenicu da pomicanje njihovih ruku, nogu ili torza mijenja položaj centra mase. Ravnoteža pri vrtnji Razlikujemo dva slučaja. Plesač se sporo okreće tada zapravo održava statičku ravnotežu, odnosno njegov centar mase i točka dodira s podlogom nalaze se na istom pravcu, pa fizikalno i matematički vrijedi sve što smo rekli za statičku ravnotežu. Kod izvođenja pirouete vidljiva je i izravna primjenu zakona očuvanja kutne količine gibanja, tj. ovisnost kutne količine gibanja i momenta inercije, slika 9. koju je moguće zapisati jednadžbom I const. Slika 8. / Slika 9. 86

87 Putanje ruku nogu i zdjelice pri izvođenju pirouette složene su i zahtijevale bi posebno razmatranje, slika 10. Slika 10. Readaroundtherik.wordpres.com/ / Pogledajmo što se događa kod brze vrtnje. Kod brze vrtnje točka dodira s podlogom ostala je ista, a centar masa plesača dakle točka nije incidentan s osi rotacije. Tada govorimo o dinamičkoj ravnoteži. Slika 11. Christine- Prethodni primjeri pokazuju da održavanje ravnoteže nije nimalo jednostavno. Potrebno je izvrsno poznavanje sila, vektora i još malo sastojaka za objašnjenje. Pri promatranju plesača stečemo lažni dojam jednostavnosti, tj. čini nam se kako je to vrlo lako izvesti i da bismo to mogli i sami. Kada bi to bar bilo tako jednostavno? Grand jetè Za izvođenje ove figure, slika12. od velike važnosti je centar masa. Plesač koji izvodi figuru grand jetè (franc. grand pas jate en tournant po dijagonali ili krugu) ima raširene ruke i odskočivši (odraz) širi noge horizontalno kako njegova stopala napuštaju pod, što uzrokuje pomak centra mase /težišta njegovog tijela prema gore. 87

88 Dok pleše centar mase se pomiče. Kada bi svaki položaj centra masa nacrtali u koordinatnoj ravnini, sve točke bi definirale ravninsku krivulju, parabolu. Za razliku centra masa koje se kreće po krivulji drugog reda, plesačeva glava ostaje na pravcu. Kako se centar mase spušta, parabola opada i plesač doskoči na tlo. Gledajući ovu figuru imamo osjećaj da plesač lebdi iznad tla i da je pobijedio silu gravitacije, slika13. Slika Slika 13. Izvođenje grand jetè kako je vidi promatrač /iz knjige D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Fundaments of Physics Enhanced problems version/ Ovisnost vertikalne i horizontalne brzine plesača koji izvodi grand jetè moguće je prikazati grafički, kao i putanju centra mase u ovisnosti o vremenu, slike 14. i 15. Iz grafičkih prikaza može se iščitati da vertikalna komponenta brzine ovisi o vremenu, dok je horizontalna konstantna, dok eksplicitno vidimo putanju centra mase kao parabolu. Primjenom matematike i fizikalnih zakona plesači ostavljaju bez daha gledateljstvo, koje ni ne sluti koje sve matematičke, fizikalne i biološke zakonitosti plesači primjenjuju pri izvođenju svojih složenih koreografija. 88

89 Slika 14. Slika 15. Grafički prikaz ovisnosti putanje centra mase o vremenu Kroz ove primjere, iako jednostavnije samo su malo odškrinuta vrata svijeta matematičko fizikalne primjene u plesu, umjetnosti. Nekom drugom prilikom pozabavit ćemo se cijelom koreografijom i njezinim objašnjenjem, jer smo mišljena da kao učitelji matematike, fizike,... moramo povezivati međusobno predmete ili kako se to ljepše kaže korelirati predmete sa primjerima iz stvarnog, svakodnevnog života s nadom da ćemo izbjeći standardni komentar A što će to meni u životu? Literatura: 1. T. Andreis, M. Plavčić, N. Simić. Fizika 3 - udžbenik za 3. razred gimnazije, Profil, Zagreb, N. Antončić, E. Špalj, V. Volenec. Matematika 3, 2. dio udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred prirodoslovno - matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, B. Dakić, N. Elezović. Matematika 3, 2. dio udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred gimnazije, Element, Zagreb,

90 4. S. Dodge. Physics of Ballet Dancing/ Hangar/4421/ / 5. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Fundaments of Physics Enhanced problems version Wiley; C: D. Miller, V. E. Heeren, J. Hornsby, M. L. Morrow, J. Van Newenhizen. Mathematical Ideas, Pearson Addison Wesley, Boston, Physical Setting/ Physics Core Curriculum, The University of the State of New York / 8. G. T. Springer, T. Dick. Making the Right (Discourse) Moves: Facilitating Discussions in the Mathematics Classroom, Mathematics Teacher, Vol. 100, No. 2 September 2006,

91 MATEMATIČAR LISTA BIBLIJU Snježana Starčević, prof. savjetnik nastavnik matematike Ekonomska škola Velika Gorica Sažetak: U Bibliji nalazimo mnogo brojčanih vrijednosti, raznih dimenzija i veličina koji su nama danas prilično daleki i nerazumljivi. Jednostavnim preračunavanjem možemo približiti te podatke današnjim učenicima, a i potaknuti ih da sami potraže takva mjesta u biblijskom tekstu i istraže pogotovo kada učimo o mjerama. Isto tako postoje i mjesta gdje možemo otkrivati osnovne računske operacije, pa sve do toga s kojom točnošću i gdje se pojavljuje broj, odnosno zlatni rez. Poneki reci iz Novog Zavjeta mogu nas asocirati i na uvođenje četvrte dimenzije. Ključne riječi: Biblija, matematika, vjeronauk, mjere, zlatni rez, četvrta dimenzija Biblija, po postanku i jeziku, po sadržaju i stilu nije jedna knjiga već zbirka knjiga koje su nastajale u razdobljima od 13. stoljeća prije Krista do 2. stoljeća naše ere. Djelo je niza pisaca koji ne pišu na jednom kontinentu, ne žive u istom tisućljeću i koji ne govore istim jezikom. Biblija sadrži 73 knjige podijeljene u Stari zavjet (46 knjiga) i Novi zavjet (27 knjiga) i među njima se nalazi u Starom zavjetu, četvrta po redu, i Knjiga Brojeva. U Knjizi Brojeva opisuje se prolazak Izraela kroz pustinju, a ime je dobila po prvim i 26. poglavlju koja opisuju popis i prebrojavanje plemena. U Bibliji se često pojavljuju razne numeričke vrijednosti, najčešće mjere koje danas nisu uobičajene, i tada jednostavni matematički postupci mogu pomoći u boljem razumijevanju, aktualizaciji i zanimljivosti sadržaja koji se poučavaju na nastavi vjeronauka, odnosno povijesti. Ali to nisu jedini matematički sadržaji u biblijskim tekstovima, jer možemo otkriti gdje se sve u Bibliji navodi princip zlatnog reza i s kolikom točnošću, broj i kojem kontekstu, osnovne računske operacije i matematička pravila, pa sve do naznaka četverodimenzionalnog prostora. U većini primjera koji slijede imamo korelaciju matematike, vjeronauka i povijesti, ali i likovne umjetnosti. Jedan od svima poznatih tekstova govori o svadbi u Kani Galilejskoj i nestašici vina. U biblijskom tekstu se govori o šest kamenih posuda od po dvije do tri mjere. Kolika je to količina vina u nama uobičajenim mjerama? Povijest daje činjenicu o litara u jednoj takvoj posudi, pa se lako izračuna da je ukupna količina bila od 450 do 678 litara vina. Sljedeći primjer teksta govori o Noinoj arki: neka korablja bude trista lakata u duljinu, pedeset u širinu, a trideset lakata u visinu. Starozavjetna mjera lakat iznosi oko 45,72 cm (mjereno od lakta do vrha prstiju) što omogućava jednostavan račun: lakata cm

92 m. Također ako širinu i visinu postavimo u omjer dobivamo: 50 : 30 = što je prilično dobra aproksimacija zlatnog reza i pojavljuje se na još nekoliko mjesta u Bibliji. Prispodoba o talentima: Jednomu dade pet talenata, drugomu dva, a trećemu jedan svakomu po njegovoj sposobnosti. je razumljivija ako talente preračunamo u dnevnice. Jedan denar je u to vrijeme bila dnevnica, a 1 talent = 6000 denara (ili oko 24 do 30 kg srebra). Uz pretpostavku da je godišnja zarada oko 300 denara dobivamo da za 1 talent treba raditi 20 godina, za 2 talenta 40, a za 5 talenata nevjerojatnih 100 godina! Znači niti onaj s jednim talentom nije loše prošao, jer se često misli da je on dobio izuzetno malo na raspolaganje. Pri izradi oltara traži se pravilnost, savršenstvo kvadrat, kao što je naglašeno u tekstu: Načini žrtvenik od bagremova drva, pet lakata dug, pet lakata širok prava četvorina. Kod prikaza duljina života trojice patrijarha mogu se uočiti aritmetički nizovi i pravilnosti: Abraham je živio njegov sin Izak a Jakov do 175 = (5+5+7=17), 180 = 6 2 5, (6+6+5=17), 147 = (7+7+3=17). Imamo i padajući niz: 7, 5, 3 i rastući 5, 6, 7. Zanimljivo je da je Jakovljev sin Josip, kojeg se često naziva četvrtim patrijarhom, prema Bibliji živio 110 godina što možemo prikazati 110 = Još malo potencija: prvi čovjek u Knjizi Postanka je Adam i on je živio 930 godina, što možemo prikazati 930= , a posljednji čovjek u Knjizi Postanka Josip je živio 110= godina. Slika 1 Poneki tvrde da je u Bibliji vrlo netočna aproksimacija broja. Ako se direktno uzima tekst iz Knjige o Kraljevima koji glasi: Tada od rastaljene kovine izli more koje je od ruba do ruba mjerilo deset lakata; bilo je okruglo naokolo, pet lakata visoko, a u opsegu, mjereno vrpcom, imalo je trideset lakata. dobivamo za 92

93 vrijednost 3. Ukrasi koji su se nalazili na moru sigurno su ometali potpuno točno mjerenje, pa je uz taj dodatni podatak vrijednost 3 prilično korektna. Međutim, par redaka kasnije, u detaljnijem opisu mora, postoji tekst bilo je debelo pedalj, rub mu kao rub u čaše, kao cvijet (Slika 1). Ako je navedeni opseg unutarnji, tada je unutarnji promjer oko 9.5 lakata, kada se oduzme debljina, i dobivamo da je = 30/9.5 = što daje točniju procjenu, ali treba uvijek imati na umu da Biblija nije matematički priručnik. U Novom Zavjetu, u Poslanici Efežanima čitamo: da po vjeri Krist prebiva u srcima vašim te u ljubavi ukorijenjeni i utemeljeni mognete shvatiti sa svima svetima što je Dužina i Širina i Visina i Dubina te spoznati nadspoznatljivu ljubav Kristovu da se ispunite do sve Punine Božje. U tekstu se pojavljuju i dužina i širina i visina i dubina možemo pretpostaviti četiri dimenzije koje su čovjeku kao trodimenzionalnom biću teško shvatljive. Vrlo uspješan prikaz Krista Boga koji dolazi iz više dimenzije i povezuje je s nama razumljivom trodimenzionalnom, je na slici Salvadora Dalia Raspeće (Slika 2). Križ je prikazan kao mreža hiperkocke u tri dimenzije, a na zemlji se vidi projekcija križa u dvije dimenzije. Slika 2 I nekoliko zanimljivosti na kraju: najveći broj u Bibliji: mirijada (grč.) , najveći broj za koji su stari Grci imali naziv, značio je i mnoštvo, bezbroj, najveći prosti broj u Bibliji je , najčešće se pojavljuje brojevi: jedan 2000 puta, dva 800 puta, sto 600 puta, tisuću 500 puta. Izvori: 1. Biblija / Ur.: Jure Kaštelan, Bonaventura Duda. Zagreb: Kršćanska sadašnjost, Enciklopedijski biblijski priručnik / Urednici: Pat i David Alexsander. Zagreb: Kršćanska sadašnjost,

94 3. Popović, Anto. Novozavjetno vrijeme. Zagreb: Kršćanska sadašnjost, Tomašević, Darko. Poznato i nepoznato o Bibliji. Zagreb: Glas Koncila

95 POVEZANOST METODIKE NASTAVE MATEMATIKE S DRUGIM ZNANOSTIMA Dr. sc. Sandra Kadum-Bošnjak Odjel za odgojne i obrazovne znanosti Sveučilišta Jurja Dobrile u Puli skadumbo@globalnet.hr Kao i svaka druga znanost, tako je i metodika nastave matematike tijesno povezana s drugim znanostima i u proučavanju svog predmeta koristi se spoznajama tih znanosti. Od niza znanstvenih disciplina, čija spoznaje koristi, za metodiku nastave matematike od posebne su važnosti i značaja i veze što ih uspostavlja s matematikom, pedagogijom, didaktikom i psihologijom. Kako matematičko odgajanje i obrazovanje uključuje sadržaje matematike s pomoću kojih se ostvaruju zakonitosti pedagogije i didaktike prema kojima se upravlja i vlada, te s obzirom na učenikovu dob, posebnost stupnja i kvalitete intelektualnih vrijednosti na kojima se zasniva, u proučavanju vlastitog predmeta, metodici nastave matematike potrebna je pomoć i drugih znanosti, kao na primjer, logike, filozofije, etike i dr. I upravo to karakterizira interdisciplinarnost metodike nastave matematike. Svakako da je od najveća značenja pitanje u kakvim vezama i odnosima stoji metodika nastave matematike prema matematici i pedagogiji. Ona se pak toliko oslanja na spoznaje i rezultate matematike i pedagogije da je neki smatraju matematičkom a drugi pedagoškom disciplinom. Stoga je od velikog značenja utvrditi u kakvim je dodirnim vezama i odnosima prema matematici i pedagogiji. S matematikom je metodika nastave matematike uspostavila veze i odnose ponajviše putem matematičkih sadržaja kojima se ostvaruje nastava, tj. proces odgajanja i obrazovanja. Ti se dodiri uspostavljaju onog trenutka kada se matematički sadržaji stave u funkciju odgajanja i obrazovanja. Time matematički sadržaji postaju podlogom odgajanja i obrazovanja i zbog toga predmetom metodičkog proučavanja. Pritom matematika određuje i definira matematičke sadržaje, a metodika uvjete, oblike i metode, tj. načine kojima će se ostvariti njihova odgojno-obrazovna funkcija. Metodika nastave matematike uspostavlja veze i odnose s matematikom i putem metodičke interpretacije sadržaja utvrđenih programom nastave matematike, pri čemu se metodička interpretacija prirodno utemeljuje na sadržajima koji se usvajaju. Ako se matematika shvati kao znanost kojoj je jedini zadatak utvrđivanje "matematičke istine", tada se metodika nastave matematike ne bi mogla smatrati matematičkom disciplinom. Međutim, ako je zadatak matematike da utvrdi uvjete i načine kako će se određeni matematički sadržaji primjenjivati u praktičnoj djelatnosti, tj. u procesu odgajanja i obrazovanja, tada je metodika nastave matematike jedna od matematičkih disciplina. Hoće li se metodika nastave matematike smatrati matematičkom disciplinom ili ne, ovisi od činjenice koliko je široko određeno područje pro- 95

96 učavanja matematike. Smatra li se da svaka znanstvena disciplina, pa i fundamentalna, treba da je u čvrstoj sprezi sa praktičnom primjenom, tada bi metodika matematičkog odgajanja i obrazovanja ulazila u sklop matematičkih disciplina. U proučavanju vlastitog predmeta metodika nastave matematike u velikoj mjeri koristi se spoznajama i rezultatima pedagogijskih disciplina, pa je stoga ona tijesno povezana s općom i specijalnom pedagogijom, s poviješću pedagogije i, osobito, s didaktikom. Dok opća pedagogija otkriva, proučava i utvrđuje najopćenitije zakonitosti odgoja i obrazovanja, metodika matematičkog odgajanja i obrazovanja otkriva ih, proučava i utvrđuje u užem području te djelatnosti, u nastavi matematike. Dakle, opće pedagoške zakonitosti metodika nastave matematike na poseban način preslikava, tj. primjenjuje u matematičkom odgajanju i obrazovanju, a te posebnosti proizlaze iz matematičkih sadržaja kao i stupnja i kvalitete intelektualne razvijenosti učenika. Bez pomoći pedagogije, metodika nastave matematike ne bi mogla utvrditi i definirati posebnosti matematičkog odgajanja i obrazovanja niti bi mogla istraživati vlastitu znanstvenu predmetnost. Povezanost metodike nastave matematike s didaktikom još je uža, tješnja i očituje se u preuzimanju i korištenju didaktičkih generalizacija, tj. općih didaktičkih zakonitosti o nastavi. Didaktičke su generalizacije općenitije od metodičkih generalizacija pa je stoga njihovo područje primjene šire. Prema tome, područje primjene generalizacija metodike nastave matematike je uže, jer te zakonitosti vrijede samo za nastavu matematike. No, one su sadržajem bogatije, pa zato cjelovitije i točnije opisuju realnost na koju se odnose. Odnos didaktike i metodike nastave matematike može se promatrati i kao odnos općeg i posebnog. To iz razloga što se didaktičke generalizacije izvode iz realnosti mnogih nastavnih predmeta i što vrijede za nastavu u cjelini, dok se metodičke izvode iz realnosti jednog nastavnog predmeta u našem slučaju nastave matematike i vrijede samo za taj nastavni predmet za nastavu matematike. Dio sadržaja didaktičkih i metodičkih zakonitosti je zajednički, a dio je različit i uvjetovan je posebnošću nastave matematike. Tako je, na primjer, didaktičko načelo očiglednosti aplikativno za nastavu svih predmeta pa i za nastavu matematike. Međutim, postoji dio sadržaja što ga uvjetuju posebnosti nastave matematike koji se iskazuje u promjenljivoj očiglednosti. Imajući u vidu iznijete činjenice kao i činjenicu da je matematičko odgajanje i obrazovanje sastavni dio pedagoškog odgajanja i obrazovanja, može se reći da je metodika nastave matematike i pedagoška disciplina. Postoji, čak štoviše, mišljenje da je metodika nastave matematike i matematička i pedagogijska disciplina. Time se ističe jedna značajna karakteristika metodike matematičkog odgajanja i obrazovanja u određenom smislu metodika nastave matematike predstavlja sintezu matematičkog i pedagoškog odgajanja i obrazovanja. Za metodiku nastave matematike od velike je važnosti njena povezanost sa psihologijom, posebno dječjom, razvojnom i pedagoškom psihologijom te psihologijom učenja. Priroda matematičkih sadržaja, njen visok stupanj apstrakcije, i dob učenika, tj. njegov stupanj i kvaliteta intelektualne razvijenosti, upućuju metodiku nastave matematike na tijesnu suradnju s psihologijskim znanostima. Stoga su između metodike matematičkog odgajanja i obrazovanja i psihologijskih znanosti uspostav- 96

97 ljene vrlo intenzivne veze i odnosi. Iz mnoštva psihologijskih znanja metodika nastave matematike uzima i koristi ona saznanja i onoliko njih koliko je potrebno da se proces odgajanja i obrazovanja u nastavi matematike dovede u sklad sa spoznajnim, tj. kognitivnim karakteristikama učenika te da se nastavni proces utemelji na psihologijskim zakonitostima. Psihologijske spoznaje od velikog su značaja pri oblikovanju postupaka prenošenja, tj. metodičke interpretacije matematičkih sadržaja. Ovo je od osobitog značaj na početku školovanja u osnovnoj školi, ali i kasnije. Povezanost metodike nastave matematike s drugim znanostima prikazana je slikom 1. Na osnovi rečenoga može se izvesti sljedeća konstatacija: S obzirom na predmet proučavanja, metodika nastave matematike je pedagogijska disciplina, s obzirom na način na koji proučava svoj predmet interdisciplinarna je znanost, a s obzirom na spoznaje koje otkriva i sistematizira autonomna je znanost jer svoje spoznaje ostvaruje u okviru vlastite znanstvene predmetnosti. Matematika Opća pedagogija Pedagogija Specijalna pedagogija Metodika nastave matematike Povijest pedagogije Didaktika Dječja psihologija Psihologija Razvojna psihologija Pedagoška psihologija Psihologija učenja Slika 1. Povezanost metodike nastave matematike s drugim znanostima 97

98 MATEMATIČKI PANOI Vesna Josipović, prof. savjetnik, nastavnica matematike SSŠ Blaž Jurjev Trogiranin u Trogiru josipovi.vesna50@gmail.com S a ž e t a k Usvajanje znanja može biti učinkovitije uz pomoć računala, na većem broju zadataka, na zoran način. Učenici trebaju biti aktivni u procesu učenja kao i u ocjenjivanju kvalitete vlastitog rada. Na primjerima izrade matematičkih panoa iz nastavnih cjelina: linearna funkcija, kvadratna funkcija, eksponencijalna i logaritamska funkcija, potrošački kredit i kalkulacije, prikazan je jedan drugačiji način učenja. Primjenom matematičkog programa GeoGebra kao alata za e-učenje, na praktičnim zadacima, kroz istraživanje i kreativno prikazivanje rezultata, olakšano je usvajanje gradiva, čime se povećava motivacija za učenje. Ključne riječi: računala, e-učenje, GeoGebra, istraživanje, kreativnost, motivacija, matematički panoi. Uvod Svi ljudi uče svjesno i nesvjesno cijelog svog života... I imaju opravdanu potrebu da njihovo učenje u svim oblicima i na svim mjestima bude priznato i podržano (Dohmen 2001) 10 Kada se govori o učenju onda se pritom uglavnom misli na učenje u školi. Školsko doba je mali vremenski period u usporedbi s cjeloživotnim procesom učenja. Učenici uče u školi, putem medija, na tečajevima, u slobodno vrijeme, rješavanjem tekućih problema, ali i na pogreškama. Živimo u vremenu u kojem tehnologija svakodnevno donosi promjene, a te se promjene odražavaju i u obrazovanju. Najaktualnija znanja dostupna su putem Interneta, treba ih znati koristiti, stalno se stručno usavršavati i praktično ih primjenjivati. Učenici su tijekom nastave često pasivni i nezainteresirani za sadržaje koji se obrađuju, ne zanima ih puko zapamćivanje činjenica i rješavanje šablonskih zadataka. Povezivanje sadržaja učenja sa stvarnim životom daje smisao, potiče znatiželju, aktivira učenika. Od nas nastavnika se očekuje da kod učenika razvijamo znanje, sposobnosti, vještine, kritičko razmišljanje, koje se danas traži u informatičkom društvu, temeljeno na primjeni informacijsko komunikacijske tehnologije. 10 Dohmen, G.: Informelles Lernen Die internationale Erschließung einer bisher vernachlässigten Grundform menschlichen Lernens für das lebenslange Lernen aller, BMBF, Bonn,

99 U radu se odabrao, u tu svrhu, s ciljem poboljšanja kvalitete učenja, program dinamičke geometrije GeoGebra, kao alat za e-učenje, a umjesto klasičnog testiranja matematički pano kao način prikazivanja i vrednovanja naučenog. Učenici rijetko uživaju u pasivnosti. Najintenzivnija iskustva uživanja dolaze u najmanje očekivanim situacijama kao što je primjerice dobro obavljen zadatak ili poticajan razgovor. Motivacija je značajan čimbenik u učenju. Ona utječe na odluke učenika hoće li se uključiti u neku aktivnost, koliko je vlastitog truda pripravan u nju uložiti te u kolikoj će mjeri u njoj uživati. Nagrada za trud, dobra ocjena, nije uvijek dovoljna. Kvalitetan krajnji rezultat postići ćemo poticanjem znatiželje i pozitivnih emocija, pohvalom za uloženi trud i onim što je dobro napravljeno, uz napomene što još treba napraviti. No kvaliteta ne znači isključivo dobar uspjeh na testovima ( ). Moramo se boriti da učenici postave osobne standarde kvalitete, a ne da standarde uspjeha propisuje jedino nastavnik. To se dobro vidi kad sportaši na Olimpijskim igrama ruše rekorde u atletici. Često ti sportaši nadmaše i očekivanja svojih trenera. Čak i kad ne pobijede, ponose se činjenicom što su napredovali bez obzira koliko su bili dobri. Drugim riječima, obuzela ih je ideja kvalitete. To valja pokušati postići s našim učenicima: počnite rano i razgovarajte s njima o kvaliteti. Dajte im alat i ohrabrujte ih. 11 Proces učenja je učinkovitiji kada su učenici uključeni na rješavanju zadataka povezanih sa životom, kada je postojeće znanje temelj za novostečeno, kada se spoznaje demonstriraju i učine dostupnim učenicima, kada učenici samostalno primjenjuju novostečeno znanje i kada ga integriraju u vlastiti svijet. Takvo učenje sam željela postići izradom matematičkih panoa. Zadatke iz različitih nastavnih cjelina učenici su samostalno, radeći svojim tempom (promatrali, čitali, isprobavali, koristili medije), kreativno prezentirali na panou formata A4, koji su potom istaknuti na velikom panou u matematičkoj učionici. Učenici su tijekom aktivnosti bili ohrabrivani, a ciljem razvijanja samopouzdanja, kroz individualizirani pristup. Iako su svi učenici imali različite zadatke, u osnovi su imali isti postupak rada, mogli su međusobno surađivati i na taj način razvijati suradničke odnose. Ovakva izrada matematičkih panoa pridonosi zornosti matematičkih sadržaja, razvija znanja, sposobnosti i kritičnosti učenika. CILJEVI Zadatak škole nije samo stjecanje znanja već poticanje znatiželje i razvijanje želje za stalnim učenjem i napredovanjem. Nastava mora biti takva da ono što ona daje, osjeća učenik kao vrijedan dar, a ne kao mučnu dužnost, da budi radost stvaranja i spoznavanja. (Einstein) 11 Glasser, W.: Kvalitetna škola, Educa, Zagreb, 1994., str

100 Izradom matematičkog panoa ostvaruju se odgojno-obrazovni ciljevi nastave matematike: stjecanje znanja (iz područja izrade panoa), približavanje matematike, razvijanje pozitivnih stavova učenika prema predmetu i rušenje predrasude matematika je teška i nerazumljiva, rješavanje zanimljivih zadataka iz života (korelacija s drugim nastavnim predmetima), korištenje računala, Interneta i mobilnih telefona (pretraživanje, filtriranje informacija, međusobna komunikacija i suradnja), korištenje matematičkog programa GeoGebra, razvijanje pozitivnih svojstava učenikove osobnosti, kritičnosti naspram korištenju suvremenih tehnologija. Učenici razvijaju kompetencije (sposobnosti, vještine, odgovornosti) koje imaju primjenu u svakodnevnom životu: spremnost za rad, otvorenost za promjene, kreativnu sposobnost, spremnost za učenje, disciplinu, osjećaj odgovornosti, razvoj odgovornosti i empatičnosti, savjesnost, suradnju i sposobnost komuniciranja, poticaj drugima i spremnost za pomoć, humor, optimizam, odlučnost, upornost, dosljednost, marljivost, organizacijske sposobnosti. Primjer 1. Linearna funkcija Linearna funkcija ima primjenu u različitim situacijama iz svakodnevnog života, a zornim prikazom (u GeoGebri i prikazom ranijih radova učenika) motiviram učenike, demonstriram rad u GeoGebri i dajem upute za izradu panoa. Upute: 1. Odaberite temu (različitu od drugih učenika, ili s različitim zadatkom). 2. Potražite sadržaj povezan uz vašu temu u udžbeniku, novinama, časopisima, knjigama ili pretražite na Internetu (zabilježite izvor podataka) 3. Postavite zadatak. Podatke prikažite tabelarno, formulom i grafički (primjenom matematičkog programa GeoGebra). 4. Prikažite rad na panou formata A4. Sadržaj panoa: naslov, slika povezana uz sadržaj, zadatak i rješenje zadatka. 100

101 Prijedlog tema: Cijene proizvoda, vožnja taksijem, cijene usluga kućnog majstora, cijena struje, potrošnja lož ulja, poštarina, cijene brzoglasa, nagib ceste, iznajmljivanje automobila, telefonska pretplata, mjenjačnica, cijene foto studija, visina (muškarca, žene) na temelju humerusa (kosti nadlaktice), troškovi i usporedbe troškova, red vožnje (vlakova, autobusa), povoljnija ponuda. 12 Prikaz 1. Pano Banane (kupovina banana na akciji primjer linearne funkcije po dijelovima) Primjer 2. Kvadratna funkcija Osvrnemo li se oko sebe možemo uočiti mnoštvo predmeta u obliku parabole. Da li se uistinu radi o grafu kvadratne funkcije možemo utvrditi određivanjem jednadžbe, a u tu svrhu će nam pomoći GeoGebra. Na satu demonstriram kako određujem koeficijente i jednadžbu kvadratne funkcije. 12 Dakić, B., Elezović, N.: Matematika 1, 2. dio, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred tehničkih škola, Element, Zagreb, 2008., Linearna funkcija, str

102 Zadatak: 1.Uoči neku sliku predmeta u obliku parabole, spremi je na svom računalu, uz pomoć matematičkog programa GeoGebra pokaži da se radi o grafu kvadratne funkcije, odredi koeficijente i jednadžbu parabole. 2. Rad prikaži na panou formata A4. Sadržaj panoa: naslov, slika, koeficijenti, jednadžba, (izvor podataka). Upute za rad u GeoGebri: Zadaci: Upute: 1. Prikaži koordinatni sustav Desni klik bilo gdje na grafičkom prikazu, uključi opciju Koordinatna mreža Enter 2. Umetni sliku Umetni sliku pomoću alata za umetanje slike: Pozicioniraj sliku klikom na neku točku crtaće plohe, pronađi mapu u kojoj se nalazi slika, odaberi sliku (npr. Komet.jpg) Open 3. Definiraj koeficijente: U polje za unos upiši vrijednosti koeficijenata, npr. a x 0 Enter y 0 Enter 4. Definiraj funkciju 2 f ( x ) a( x x0 ) y0 U polje za unos upiši: Enter Enter 102

103 5. Definiraj klizače za koeficijente Desni klik miša na a Pokaži objekt Enter a x 0 y 0 6. Uredi koeficijente: boju, interval (min, max), korak povećanja) po vlastitoj želji 7. Odredi koeficijente (što preciznije) Ponovi postupak na x 0 i y 0 Desni klik miša na a Svojstva (napravi izmjene i potvrdi) U redu Ponovi postupak za preostale koeficijente Odaberi način pomicanje Pomiči klizače i promatraj kako se mijenja graf 8. Prikaži formulu funkcije Desni klik miša na graf Svojstva uključi opciju Pokaži oznaku te odaberi Naziv i vrijednost 9. Spremi kao sliku Isključi prikaz algebarskog prozora i polja za unos: Pogled Algebra Pogled Traka za unos Pomicanjem rubova odluči područje koje želiš spremiti kao sliku i spremi: Datoteka Izvoz Grafički prikaz kao slika Odaberi naziv i mapu na svom računalu te spremi 10. Tvoj rezultat bi trebao biti poput ovog 103

104 Prikaz 2. Pano Kvadratna funkcija Primjer 3. Eksponencijalna i logaritamska funkcija Eksponencijalna i logaritamska funkcija imaju brojne primjene. Na primjer: Koliko će godina doživjeti neki čovjek? Neobično, ali istinito: očekivanje raste s godinama. Za žene je ono dano x x formulom f ( x) a za muškarce f ( x) , gdje je x sadašnji broj godina neke osobe. Koliki životni vijek može očekivati žena kojoj je sada 25 godina? Koliki životni vijek može očekivati muškarac kojem je 60 godina? Koliko će divljih svinja biti u nekoj šumi ako ih je na početku promatranja bilo 3200? Populacija divljih svinja u toj šumi može se opisati formulom f ( x ) ln x 1, gdje je x vrijeme u godinama od početka promatranja. Primjer zadatka: (Kvarenje hrane) Ako bočicu slatkog vrhnja ostavimo u prostoru temperature x o C, tada će se 0.038x vrhnje početi kvariti nakon f ( x) sati. Izračunaj: a) Nakon koliko vremena će se vrhnje početi kvariti ako se nalazi u hladnjaku na temperaturi 0 o C? b) Ostavimo li bočicu s vrhnjem u prostoriji temperature 30 o C, 35 o C, 40 o C, koliko će dugo izdržati? 104

105 Prikaži grafički (u GeoGebri) odnos temperature i vremena kvarenja. Očitaj istaknute točke -vrijednosti i prikaži tablično. Rad prikaži na panou formata A4. Sadržaj panoa: naslov, slika, zadatak, graf i tablica. 13 Prikaz 3. Pano Kvarenje vrhnja Primjer 4. Potrošački kredit Kod nas se, kao i u mnogim zemljama svijeta, razvio osobit način prodaje određenih vrsta proizvoda prodaja na otplatu, odnosno prodaja uz potrošački kredit. Potrošački kredit predstavlja primjenu aritmetičkog niza u svakodnevnom životu. Zadatak: 1.Što biste željeli kupiti kao potrošački kredit? Promotrite ponude, aktualne kamatne stope, rokove otplate, cijene 2. Rad prikažite na panou formata A4. Sadržaj panoa: naslov, slika, zadatak, rješenje (prikažite: odobreni iznos potrošačkog kredita, učešće, iznos stvarnog 13 Dakić, B., Elezović, N.: Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred tehničkih škola, Element, Zagreb, 2008., Primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije, str

106 kredita, anticipativni kamatni koeficijent, ukupne kamate, ukupno dugovanje, mjesečne rate). 14 Prikaz 4. Pano Potrošački kredit (kupnja automobila) Primjer 5. Kalkulacije Kalkulacija je postupak izračunavanja cijene proizvoda ili usluge. Kalkulacija u sustavu PDV-a: Nabavna cijena + marža ( p % ) Prodajna cijena + PDV ( 25 % ) Prodajna cijena s PDV-om U ugostiteljstvu, za standardnu pripremu jela i pića, postoje normativi materijala. Normativ je unaprijed utvrđena vrsta i količina namirnica (ili pića) potrebna za pripremanje određenog jela (ili pića) prema propisanom receptu. 14 Erceg, V., Varošanec, S.: Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred ugostiteljsko-turističkih škola, Element, Zagreb, 2009., Potrošački kredit, str

107 Zadatak: 1.Napravite po volji jednu kalkulaciju (jela ili pića). Normative možete pronaći u udžbeniku, knjigama ili na Internetu. Uz aktualne cijene, maržu određujete sami, a dobivena prodajna cijena s porezom treba realna (poput postojećih cijena u ugostiteljskim objektima). Sve kalkulacije trebaju biti različite i zato se pravi popis prijavljenih radova. 2. Rad prikažite na panou formata A4. Sadržaj panoa: naslov, slika, izračun nabavne cijene prema normativu s jediničnim cijenama (za određeni broj obroka), kalkulacija. 15 Prikaz 5. Pano Kalkulacija (kup Banana Split) ZAKLJUČAK Bez obzira na pedagoška načela, različite nastavne metode i oblike rada, kvaliteta nastave ovisi najviše o nastavniku i učenikovoj motivaciji. Trebalo bi koristiti raznolike metode učenja da bi sposobnosti učenika došle do punog izražaja, kako bi svaki učenik imao mogućnosti i šanse za napredovanje. Učenici uglavnom imaju pozitivno mišljenje o izradi panoa i korištenju GeoGebre (iz ankete): najpozitivnija stvar je što možemo dobiti dobru ocjenu, GeoGebra potiče na razmišljanje, razvija kreativnost i snalažljivost, upisivanje formule je jednostavno i može se brzo doći do rezultata, 15 Erceg, V., Varošanec, S.: Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred ugostiteljsko-turističkih škola, Element, Zagreb, 2009., Kalkulacije, str

108 dobro dođe malo zabave i opuštanja nakon teških zadataka, da bi se napravilo nešto dobro potrebno je puno vremena, a mi ga najčešće imamo malo, zanimljivo, ali mislim da bi to trebali raditi samo napredni. Za kvalitetu rada bitna je angažiranost učenika, njegova motiviranost, a nastavnik je tu da mu pomogne, surađuje s učenikom, ohrabruje ga, ukazuje što je dobro napravio i što još treba napraviti. Kako ima učenika kojima se ne sviđa ovakav način rada, mislim da ću ubuduće uključiti samo zainteresirane učenike, bez obzira na njihovu ocjenu iz matematike. Loše povratne informacije ne trebaju nas obeshrabriti. Naprotiv, potiču na razmišljanje kako možemo biti još bolji. Nastojimo biti dobri nastavnici vedri, susretljivi, strpljivi, dobronamjerni i zabavni, budimo entuzijasti uvijek spremni pronalaziti nove, originalne i kvalitetne ideje u nastavi matematike! 16 Literatura [1] Dakić, B., Elezović, N.: Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred tehničkih škola, Element, Zagreb, [2] Dakić, B., Elezović, N.: Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred tehničkih škola, Element, Zagreb, [3]Dohmen, G.: Informelles Lernen Die internationale Erschließung einer bisher vernachlässigten Grundform menschlichen Lernens für das lebenslange Lernen aller, BMBF, Bonn, [4] Erceg, V., Varošanec, S.: Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred ugostiteljsko-turističkih škola, Element, Zagreb, [5] Erceg, V.: Gospodarska matematika 3, metodički priručnik za nastavnike, HoReBa, Pula, [6] Glasser, W.: Kvalitetna škola, Educa, Zagreb, Erceg, V.: Gospodarska matematika 3, metodički priručnik za nastavnike, HoReBa, Pula, str

109 PROJEKT: PRIZEMLJEN SUNČEV SUSTAV Željka Zorić, prof. Predavač metodičke grupe predmeta Prirodoslovno-matematički fakultet, Split Sažetak Cilj ovog rada je teoretski obraditi pitanje projekta u nastavi matematike, te prikazati razvoj projekta od ideje do prezentacije radova. Moderna metodika nastave matematike želi učenike staviti u prvi plan. Najbolje način za tako nešto je suradničko učenje, samostalni rad i doza slobode u kojoj učenici mogu pokazati i razvijati svoju kreativnost. Projekt ima sve te značajke u sebi. Tema projekta treba biti interesantna, motivirajuća, učenicima prilagođena i bliska. Ideju za projekt koji ću detaljno prikazati u ovom radu dala mi je studentica Jelena Vuković. Kolegica je osmislila projekt u kojem bi učenici proučavali pojam sličnosti na poznatim objektima, jedna od ideja bila je umjetnička instalacija Prizemljeno Sunce koja se nalazi u Zagrebu. Čim mi je ispričala svoju ideju shvatila sam da je to tema mojeg rada za Metodički skup u Puli. Zgodna ideja, korelacija s drugim nastavnim predmetima bilo je točno to što sam trebala i tražila. Jedina stvar koju nisam imala bio je razred u kojem bi provela ovu ideju. Na svu sreću moja sestra Mirela Kurnik bila je oduševljena idejom, te ju je provela u svom trećem razredu. Dok smo razrađivale i osmišljavale projekt imale smo razne ideje o tome što bismo željele dobiti kao rezultat. Istina je da smo očekivale mnogo, a dobile smo puno više. Želja nam je podijeliti to iskustvo s drugima i prikazati nekoliko učeničkih radova. Ključne riječi: projekt, suradničko učenje, samostalni rad, kreativnost, korelacije, sličnost Uvod Kada bi pitali učenike kakva im je nastava matematike, najčešći odgovor bio bi teška, dosadna jer rješavamo gomilu zadataka na ploči. Dok sam radila u školi često sam osjećala da mora biti još nešto u nastavi matematike osim ploče i krede (iako silno volim i ploču i kredu). Smetao me stav da matematika nije za svakoga, a posebno stav da matematika nije bitna i da se bez nje može dobro živjeti. Željela sam kod svojih učenika razvijati i njegovati pozitivan stav prema matematici, te im pokazati da je matematika svuda oko njih i da će im poznavanje i razumijevanje matematičkih principa dobro doći u životu. Da bi to uspjela morala sam pronaći način da im pokažem da je matematika primjenjiva u svakodnevnom životu. Tako sam uvela projekte i projektne zadatke. Učenici nisu baš oduševljeno prihvatili nove zadatke, tj. uzurpaciju slobodnog vremena matematikom. No vrlo brzo rad na projektu ih zainteresira, okupira i jedva čekaju kada će dobiti novi projekt. Već tri godine zaposlena sam na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu u Splitu kao predavač za metodičku grupu predmeta. U sklopu metodike prolazimo kroz različite aspekte nastavnog procesa, proučavamo nastavne metode, oblike rada i sve ono s čime se današnji nastavnik u svom radu susreće. Dok smo se bavili projektima studenti su dobili zadatak osmisliti projekt iz matematike za osnovnu ili 109

110 srednju školu. Studentica Jelena Vuković osmislila je projekt u kojem bi se proučavao pojam sličnosti. Jedna ideja je proučiti realnost modela ljepote (snage) prikazanih dječjim igračkama (Barbie, akcijske lutke i dr.), a druga kako prizemljiti sunčev sustav. No, prije razrade projekta Prizemljen sunčev sustav recimo par riječi o projektu u nastavi matematike. PROJEKT Riječ projekt latinskog je porijekla i znači plan, namjera, nacrt, skica 17. Projekt se u rječnicima definira kao svaki zaokružen, cjelovit i složen pothvat čija se obilježja i cilj mogu definirati, a mora se ostvariti u određenom vremenu te zahtijeva koordinirane napore nekoliko ili većeg broja ljudi, službi, poduzeća i sl. Iz te definicije možemo iščitati da je za (dobar) projekt važno da: ima cilj i da rezultira proizvodom podrazumijeva složeniji zadatak (koji se razloži na jednostavnije, rutinske zadatke) ima vremensko ograničenje u kojem mora biti realiziran u pravilu uključuje rad više (grupa) ljudi podrazumijeva suradnju i koordinaciju svih (grupa) sudionika Možemo li i kako projekt kao oblik rada koristiti u nastavi matematike? Projekt u nastavi matematike Tradicionalna nastava matematike u Hrvatskoj najčešće je ograničena nastavnim planom i programom, jer je fokusirana na njegovu realizaciju. Rijetko kada se izlazi iz njegovih okvira, a gotovo nikad iz okvira školske matematike. Ono što nedostaje u tradicionalnoj nastavi matematike je povezanost s realnim svijetom i životom. Suvremeni pristup nastavi matematike zahtjeva od nas da stavimo učenike u prvi plan, da ih postavimo za subjekte nastavnog procesa. Uvođenje novih nastavnih metoda i oblika rada kod učenika potiče motivaciju, interes i aktivno učenje. Učenici koji uče matematiku kroz primjene u realnim, životnim situacijama, postižu razumijevanje i prepoznavanje važnosti učenja matematike. Zbog svega navedenog uvođenje projekata u nastavu matematike je toplo preporučeno. U Nacionalnom okvirnom kurikulumu (NOK, 2010) zapisani su odgojno-obrazovni ciljevi matematičkog područja i u njima piše da će učenici: - usvojiti temeljna matematička znanja, vještine i procese te uspostaviti i razumjeti matematičke odnose i veze - biti osposobljeni za rješavanje matematičkih problema i primjenu matematike u različitim kontekstima, uključujući i svijet rada - razviti pozitivan odnos prema matematici, odgovornost za svoj uspjeh i napredak te svijest o svojim matematičkim postignućima 17 B. Klaić, Školska knjiga: Novi rječnik stranih riječi, Školska knjiga, Zagreb,

111 - prepoznati i razumjeti povijesnu i društvenu ulogu matematike u znanosti, kulturi, umjetnosti i tehnologiji te njezin potencijal za budućnost društva - biti osposobljeni za apstraktno i prostorno mišljenje te logičko zaključivanje - učinkovito komunicirati matematička znanja, ideje i rezultate služeći se različitim prikazima - učinkovito primjenjivati tehnologiju - steći čvrste temelje za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja Primjena projekata u nastavi razvija nekoliko spomenutih kompetencija. Rješavanje problema je osnova učenja matematike koja od učenika zahtjeva pronalaženje rješenja problema ne znajući koje će metode i algoritme pri tome koristiti. Dok traže rješenje učenici se moraju osloniti na svoje znanje, iskustvo i vještine. U procesu otkrivanja odgovora oni će pojačati svoje vještine, steći nove vještine i razviti interes za matematiku. Rad na projektima potiče i komunikaciju. Učinkovita komunikacija potiče učenike na kritičko razmišljanje, na iznošenje i razmjenu ideja čime se razvija razumijevanje za matematiku, te na razvoj vještine donošenja odluka. Osim rješavanja problema i komunikacije rad na projektima učenicima omogućava uočavanje povezanosti matematičkih sadržaja, ali i matematike s drugim disciplinama i granama života. Jednako važno je to da matematičke ideje trebaju prezentirati zapisom, simbolima i drugim prikazima (grafovi, dijagrami, ). Uloga nastavnika Uloga nastavnika se mijenja kada učenici rade na nekom projektu. Osim tradicionalnih odgovornosti upoznavanja koncepata, demonstriranja vještina na primjerima i praćenja i ocjenjivanja učenika, nastavnik sada postaje menadžer i moderator. Nastavnik prvo priprema projekt pronalazi temu, formulira cilj te okvirno i detaljno planira kako će se projekt odvijati. Dok učenici rade na projektu nastavnik savjetuje, predlaže, postavlja pitanja koja pomažu u razumijevanju problema, potiče i nagrađuje. Ponekad je potrebno samo nadgledati trud i zalaganje grupe, te paziti da grupa ne odluta u krivom smjeru. Kako osmisliti svoj projekt? Iako postoje knjige koje sadrže različite vrste projekata, često želimo i sami osmisliti projekt za svoje učenike. Ideje i materijali za projekte nalaze se svuda oko nas. Dok smišljamo projekt želimo zadovoljiti neke uvjete koji bi osigurali da će projekt biti stimulativan i interesantan našim učenicima. Bazirajte svoj projekt na životnoj situaciji koja je učenicima smislena. Osmislite projekt koji će zainteresirati učenike. Pazite da učenici posjeduju matematičko znanje potrebno za rješavanje problema s kojima će se susresti u realizaciji projekta. 111

112 Osmislite projekt koji zahtjeva analizu, kritičko mišljenje i donošenje odluka. Kreirajte projekt koji od učenika zahtjeva formiranje plana za traženje rješenja. Radom na matematičkim projektima učenici dolaze do uvida kako primijeniti matematiku u stvarnom životu. Projekti nam otvaraju vrata nastave matematike za druge predmete i discipline, pa učenici dobiju odgovor na vječito pitanje: Što će nama ovo što učimo? Upravljanje projektima u nastavi matematike Kako uklopiti rad na projektu u nastavni proces? Jedno je od najčešćih pitanja koja postavljaju nastavnici kod nas. Zbog tradicionalne nastave matematike koja prevladava u Hrvatskoj rad na projektima od nastavnika zahtjeva određenu hrabrost. Hrabrost za odstupanje od uskih okvira nastavnog plana, za pronalaženje vremena, za primjenu drugačijih nastavnih metoda, za primjenom drukčijeg zahtjevnijeg oblika nastave, za prihvaćanje mogućnosti da projekt ne uspije, te za sposobnost rješavanja neočekivanih situacija i problema. Postoji nekoliko načina kako ukomponirati projekte u svoj plan i program. Najjednostavniji način je odabrati projekt koji se odnosi na trenutačno gradivo koje se radi na redovnoj nastavi. Projekti koji pojačavaju nastavno gradivo mogu se često koristiti. U tom slučaju možemo odvojiti 20-tak minuta od sata kako bi predstavili projekt, podijelili materijale, organizirali timove i dali im malo vremena da se dogovore oko strategije. Drugi način je da se za izradu projekta odvoji neko određeno vrijeme, npr. 4 do 5 dana kada se radi samo na realizaciji projekta. U nekim drugim uvjetima, u zemlji znanja, rad na projektima bi se mogao organizirati na te načine. No, u našoj situaciji najčešći način za uvođenje projekata u nastavu je projekt koji se odvija u slobodno vrijeme učenika i nastavnika. Takvi projekti mogu biti individualni ili timski, što naravno ovisi o cilju i ideji projekta. Kod takvih projekata moramo predvidjeti vrijeme na redovnoj nastavi kada će se prezentirati dobiveni rezultati i kada će učenici dobiti povratnu informaciju o svom radu. Nastava koja učenicima omogućava slobodu u istraživanju ideja i samostalnost u radu najbolji je okoliš za rješavanje problemskih situacija. Puno je toga čime nastavnik može utjecati na interes učenika i uspjeh u radu. Da bi se postigao uspjeh nije dovoljan samo trud, rad i entuzijazam nastavnika. U izradi projekta učenici moraju biti voljni preuzeti više odgovornosti nego na redovnoj nastavi. Velika korist takvog rada je u tome da učenici uče bolje i više, a nastavnik im u tome pomaže svojim entuzijazmom, stvarajući poticajnu atmosferu, budeći znatiželju i želju za učenjem. 112

113 PROVEDBA PROJEKTA Postavljanje problema Svaki matematički projekt mora proći uvodnu fazu u kojoj se prezentira situacija i postavlja problem koji treba riješiti. Jako je bitno da nastavnik dobro obrazloži svoje zahtjeve i očekivanja tako da učenici znaju što se od njih očekuje. To je dobro vrijeme da učenici svojim pitanjima razjasne nejasnoće kod postavljanja problema. Kada su učenici shvatili projekt treba podijeliti materijale koji će im trebati u provedbi projekta, te dati dodatne upute o literaturi i izvorima koje mogu koristiti. Bitno je naglasiti da se svaka faza rada na projektu mora dokumentirati, kroz izvještaje, bilješke, crteže, fotografije, filmove i dr. U ovoj se fazi organiziraju timovi. Na što trebamo paziti kada biramo timove. Za složenije projekte timovi se sastoje od 4 do 6 učenika. Timove odabrati na slučajan način, ali pripaziti na individualne karakteristike i sposobnosti. Mijenjajte povremeno članove timova. Objasniti smisao i cilj timskog rada, te iznijeti očekivanja na ponašanje u timovima (na pano staviti Pravila ponašanja u timskom radu). Predvidjeti različite uloge koje će preuzeti članovi tima: o voditelj, onaj koji vodi tim prema cilju i pazi da svi rade na zadatku o zapisničar, onaj koji vodi zabilješke o radu, idejama, rješenjima o kontrolor vremena, onaj koji prati vrijeme i potiče tim na rad o kontrolor materijala, onaj koji preuzima odgovornost za materijale koje tim koristi o korektor, onaj koji kontrolira rad tima o predstavljač, onaj koji prezentira rezultate tima drugima. Rad na projektu Učenici u ovoj fazi prikupljaju podatke, komuniciraju s drugim grupama, dokumentiraju sve što rade, smišljaju strategiju djelovanja. Dok učenici rade u timovima nastavnik promatra rad i ponašanje učenika, potiče i usmjerava timove koji su zapeli ali ne nudi rješenja. Na taj način učenici se moraju aktivirati i samostalno smišljati ideje i strategije koje će ih dovesti do rješenja. Nastavnik ponekad mora intervenirati ako je tim izgubio iz vida zadatak. Ako tim radi kako treba najbolje je ne kvariti radnu atmosferu komentarima i upadicama. Ako tim ne radi kako treba nastavnik ih treba upozoriti na primjereno ponašanje, potaknuti suradnju i međusobno pomaganje. Svaki matematički projekt kojim će se vaši učenici baviti zahtjeva računanje, analizu, rješavanje problema, kritičko mišljenje i donošenje odluka. Pošto priroda projekata varira ne postoji univerzalna shema po kojoj bi korak po korak odradili zadatak. Nastavnik je taj koji učenike treba upoznati s različitim strategijama 113

114 rješavanja problema. Kad učenik pita koja bi bila najbolja strategija za određeni problem, najbolji odgovor bi bio: Ona koja ti najbolje odgovara. Pokazat će se da različiti učenici koriste različite strategije da bi riješili isti problem. Objedinjavanje rezultata U ovoj fazi učenici pišu završni izvještaj, smišljaju prezentaciju rezultata, vrednuju i kritiziraju ostvareno, prezentiraju drugima svoje rezultate. Prezentacija rezultata može biti matematički pano, plakat, članak, časopis, predavanje za druge učenike (PowerPoint prezentacija) i dr. Razmjena iskustava, kritika i pohvala važan su aspekt rada na projektu, pa je bitno osigurati vrijeme za to. Bilo bi jako dobro nakon završetka prezentacije potaknuti postavljanje pitanja i diskusiju o projektu, o uspješnosti pojedine strategije ili metode koju su koristili, te o idejama koje su odbacili. Diskusija mora biti u pozitivnom smislu bez negativnih i sarkastičnih komentara, jer bi u protivnom učenici izgubili povjerenje i otvorenost u komunikaciji. Jako je važno naglasiti da je pohvala na kraju projekta ulog u budućnost i motivacija za daljnje projekte. Zato ne štedite na pohvalama! Bitna faza svakog projekta je dijeljenje rješenja i rezultata, na taj način učenici imaju mogućnost čuti drugačija gledišta, naučiti metode koje su drugi koristili u rješavanju problema i uvidjeti da nisu jedini koji su imali dvojbe i probleme pri realizaciji projekta. Nedostatak samopouzdanja je najvjerojatnije najveći faktor koji učenike sprječava da bi postali dobri rješavači problema. Mnogi učenici sumnjaju da su sposobni riješiti neki kompleksniji problem, te nakon vrlo malo uloženog truda odustaju. Kao i u svemu u životu, sposobnost rješavanja problema treba se vježbati. Upornom i čestom vježbom naši će učenici postati dobi rješavači problema. Kada svi timovi i sve diskusije završe, nastavnik treba komentirati dobivene rezultate, podsjetiti na neuobičajene strategije i ideje i prodiskutirati o tome kako je matematika primijenjena u stvarnom životu. Praćenje i vrednovanje projekata u nastavi matematike Kako se mijenjaju ciljevi i metode rada u nastavi matematike, tako bi se trebale mijenjati i metode praćenja i vrednovanja. Vrednovanjem nastavnici provjeravaju efikasnost nastave i ocjenjuju učeničko razumijevanje i usvojenost gradiva. Učenički rad na projektima može se pratiti na puno načina. Nastavnik može promatrati rad učenika kao pojedinca ili rad cijele grupe. Puno je karakteristika koje možemo pratiti, pa je bitno odlučiti što ćemo promatrati i tada je važno redovito zapisivati komentare da ne bismo nešto previdili i zaboravili. Postoji još jedan način vrednovanja projekta, a to je kroz samovrednovanje učenika. Od učenika možemo zahtijevati da ocijene svoj rad i komentiraju ono što su naučili tijekom izrade projekta; da napišu što im se svidjelo, a što ne; koje su strategije koristili i jesu li njima došli do rješenja problema; koje su strategije mogli koristiti pri rješavanju problema i zašto nisu. Ovaj način vrednovanja, kao i svi ostali, ima svoje karakteristične probleme. A to su: 114

115 prirodna solidarnost učenika koja za posljedicu često ima da kolege u razredu ne žele reći kritike u strahu da će time smanjiti ocjenu onoga koji prezentira nedovoljno znanje učenika o onome što se prezentira što ih čini nedovoljno kompetentnima za donošenje realne ocjene. S obzirom na te nedostatke postavlja se pitanje čemu onda služi to samovrednovanje kada konačnu i realnu ocjenu može dati jedino nastavnik. Samovrednovanje učenika radi se zbog stvaranja obaveze pažljivog slušanja prezentacije, pa je bitno dati na važnosti i tom aspektu vrednovanja. Na kraju projekta i nastavnik treba samovrednovati svoj udio u projektu. Jesam li jasno prezentirala projekt? Ako ne, kako bi to bolje napravila? Jesu li moji učenici razumjeli što trebaju učiniti? Kako im mogu pomoći da bolje razumiju? Jesu li učenici bili dobro organizirani u timove? Bi li što mijenjala? Jesam li postavljala dobra pitanja kako bi vodila učenike bez odavanja rješenja? Koje je bilo moje najbolje pitanje? A koje najlošije? Jesu li učenici imali dovoljno vremena za izradu projekta? Što bih napravila drugačije da poboljšam projekt? PRIZEMLJENO SUNCE I DEVET POGLEDA Vjerojatno nema stanovnika ili posjetitelja Zagreba koji u šetnji središtem grada nije uočio poveću zlatnu kuglu. Ambijentalna skulptura Prizemljeno Sunce akademika Ivana Kožarića nalazi se od u Bogovićevoj ulici, na raskrižju s Ulicom Frane Petrića. No, dosta stanovnika grada ne zna da su osim Sunca prizemljeni i svi ostali planeti Sunčeva sustava. Ambijentalna umjetnička instalacija Devet pogleda autora Davora Petrića prikazuje devet prizemljenih planeta Sunčevog sustava u umanjenom mjerilu razmjerno Kožaričevom Suncu. Skulpture pojedinačnih planeta smještene su na širem zagrebačkom području od Trga bana Josipa Jelačića sve do Podsuseda i Kozari Boka. Ispod svake skulpture (kugle od nehrđajućeg čelika) nalazi se metalna pločica s podacima o nazivu, promjeru i prosječnoj udaljenosti od Sunca. Projekt Prizemljen sunčev sustav Prizemljen sunčev sustav kao ideja okupirao mi je misli i vrijeme. Zgodna ideja, korelacija s drugim nastavnim predmetima bilo je točno to što sam trebala i tražila. Jedino što nisam imala, je razred u kojem bi ovu ideju provela. Na sreću matematika i škola su, mogli bismo reći, obiteljski biznis pa sam (brzo i lako) za projekt zainteresirala sestru Mirelu Kurnik profesoricu u zagrebačkoj V. gimnaziji. Nekoliko smo mjeseci razgovarale i razmišljale kako definirati problem, što je cilj projekta, što želimo dobiti kao završni proizvod i najvažnije što reći učenicima. Kao što sam već prije rekla jako je bitno dobro postaviti ciljeve i zahtjeve tako da učenici znaju što se od njih očekuje. Evo što smo mi smislile. 115

116 Cilj projekta je prizemljiti sunčev sustav u grad (po odabiru), u županiju ili u državu 18. Projekt smo podijelile na nekoliko projektnih zadataka. 1. Odrediti jednadžbe putanja planeta u ovisnosti o polumjeru Sunca. Zanimalo nas je što bi u ovom dijelu posla mogao biti problem, te kako su te probleme riješili učenici. 2. Odrediti duljinu polumjera prizemljenog Sunca tako da prikaz prizemljenog sunčevog sustava ima smisla. 3. Svaka grupa treba odlučiti s kojom dimenzijom prizemljenog sustava će raditi. 4. Nacrtati elipse koristeći se programima dinamičke geometrije (GeoGebra ili The Geometer's Sketchpad). 5. Svaka grupa predlaže turističku turu po svom prizemljenom sunčevom sustavu. Cilj ovog zadatka je vidjeti koje se turističke atrakcije odabranog grada mogu obuhvatiti ovim projektom. 6. Obići već postojeći prizemljeni sunčev sustav, informirati se o autorima, povijesti instalacije, te usporediti podatke s dobivenim rezultatima projekta. Dodatni (neobavezni) zadaci: Slika 1: Prizemljen sunčev sustav u Zagrebu 7. Odrediti turističku turu po nekom drugom gradu ili državi. 8. Nove ideje. Učenicima je naglašeno izrada svake faze treba biti dokumentirana. Sestra je izradu projekta redovito nadgledala tako da je pojedine zadatke vremenski ograničila i tražila redovite izvještaje o napretku. Svaka je grupa na kraju predala i javno prezentirala svoje rezultate. 18 U našem slučaju svi su se učenici odlučili za grad Zagreb. 116

117 Učenici su s veliki interesom i voljom pristupili izradi ovog projekta. Bio im je zanimljiv, zabavan, matematički ne zahtjevan, edukativan, te dobro vođen od strane nastavnika tako da nije došlo do rasipanja energije i odustajanja. Kroz prezentacije radova vidi se koliko je truda, volje, kreativnosti i ambicije uloženo u izradu ovog projekta. Sestra i ja nismo ni sanjale da bi mogle dobiti takve radove. Za kraj mogu samo reći da su djeca izrazito kreativna i maštovita, te da je šteta što se te kvalitete ličnosti teško mogu uočiti kroz redovnu nastavu. ZAKLJUČAK U današnje vrijeme jedna od kvaliteta ličnosti koja se traži na području rada je mogućnost rada u timu, pa je svako iskustvo koje učenici dobiju o timskom radu kroz školovanje dobrodošlo. Timski rad potiče propitivanje i diskusiju, čime učenici puno više dobivaju nego kada samostalno rješavaju neki problem. Suradničko učenje omogućuje učenicima stjecanje vrijednih socijalnih vještina, pomaže u jačanju učeničkog samopouzdanja, promiče kritičko mišljenje i razvija preuzimanje odgovornosti. Nastava matematike u kojoj su učenici uključeni u projekte može se činiti potpuno drugačijom od tradicionalne nastave matematike. Pa ipak, ako bolje pogledamo ti naoko različiti modeli imaju puno zajedničkih karakteristika. U oba modela, učenici uče matematiku, disciplina je nužna, a motivacija ključna. Na tradicionalnoj nastavi matematike učenici često ne prepoznaju koliko je matematika važna u stvarnom životu, ne primjećuju da je matematika svuda oko nas. Projekti u nastavi matematike pokazuju učenicima povezanost matematike s ostalim predmetima i omogućuju im upotrebu različitih vještina, metoda i strategija za pronalaženje rješenja životnih problema. Izrada projekata obiluje aktivnostima, te upućuje učenika na istraživanje, suradnju i izmjenu iskustava i ideja, te im omogućuje upotrebu različitih vještina u rješavanju autentičnih problema. Učenici rade sami, rade u timu i surađuju s nastavnikom. Na taj način osim što uče osnovna matematička znanja i vještine, uče se logičkom razmišljanju, analizi podataka, donošenju odluka, rješavanju višeslojnih problema koji se skrivaju u životnim situacijama. Suradnja učenika na projektu omogućava im da pridonesu rješenju i da zajednički proslave uspjeh. Literatura 1. Čižmešija, A.: Projektna nastava matematike. web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mnm1/projekt.ppt Dohvaćeno Judith A. Muschla, Gary Robert Muschla: Hands-on math projects with real-life applications, Jossey-Bass, Benšić, M.: Projekt u nastavi matematike osnovne škole. os-vnazor-dj.skole.hr/upload/os-vnazor-dj/images/.../matematika.pdf Dohvaćeno

118 4. Element: O projektu u nastavi matematike. element.hr/static/files/o%20projektu%20u%20nastavi%20matematike.pdf Dohvaćeno Loparić, S. : Projekt matematički kviz. pogledkrozprozor.wordpress.com/2010/04/30/projekt-matematicki-kviz/ Dohvaćeno Bognar, L., Matijević, M. : Didaktika, Školska knjiga, Zagreb Prizemljeni sunčev sustav Dohvaćeno Wikipedija: Zagrebački sunčev sustav Dohvaćeno Projekt: Javni spomenik u Zagrebu Dohvaćeno Universe today, Dohvaćeno

119 LEPTIR PLAVAC U SVIJETU MATEMATIKE Željko Kraljić, dipl. učitelj učitelj matematike OŠ Ivana Gorana Kovačića Sveti Juraj na Bregu Učiteljski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Odsjek u Čakovcu SAŽETAK: Osnovna škola Ivana Gorana Kovačića Sveti Juraj na Bregu 11. travnja godine organizirala je projektni dan posvećen leptiru plavcu. Nedaleko od škole su vlažne livade na području Bedekovićevih graba gdje obitavaju iznimno rijetke i kritično ugrožene vrste leptira plavca koji predstavljaju prirodno bogatstvo neprocjenjive vrijednosti za Hrvatsku i Europu. Ovaj lokalitet je temeljem Zakona o zaštiti prirode godine kategoriziran kao spomenik prirode s ciljem očuvanja i zaštite livadnog plavca kao vrste kod koje postoji izuzetno visoki rizik od izumiranja. Svjesna nedovoljne prepoznatljivosti ovog našeg biološkog i zavičajnog blaga te slabe upućenosti šire javnosti u njegovu vrijednost i ugroženost Osnovna škola Ivana Gorana Kovačića Sveti Juraj na Bregu odlučila je dati svoj doprinos njegovu očuvanju provedbom projekta Leptir plavac biološko i zavičajno blago Općine Sveti Juraj na Bregu. U projekt u sklopu nastave matematike bili su uključeni učenici 5. razreda u cjelini Razlomci, učenici 8. razreda u cjelini Preslikavanje ravnine te studenti pete godine Učiteljskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Odsjeka u Čakovcu. Korelacija je postignuta s nastavnim predmetima priroda, biologija, likovna kultura, geografija i hrvatski jezik. Ključne riječi: veliki leptir plavac, zagasiti leptir plavac, Bedekovićeve grabe, razlomci, preslikavanje ravnine 1. Leptir plavac, mrav i ljekovita krvava Četiri vrste leptira plavca nalaze se na listi devet najugroženijih dnevnih leptira u Europi, imaju neobično složen i osjetljiv životni ciklus, vrlo zanimljiv predatorsko simbiotski odnos s crvenim livadnim mravima, a biljke hraniteljice specifične za svaku pojedinu vrstu leptira. U našem kraju razlikujemo velikog livadnog plavca i zagasitog livadnog plavca. Veliki livadni plavac ima izraženi spolni dimorfizam, period leta je lipanj kolovoz. Razdoblje parenja i polaganja jajašaca primijećeno je tjedan dana nakon početka leta i traje do kraja leta. Jaja polaže u cvat ljekovite krvave. Gusjenica se nakon izlaska iz jajeta hrani cvatom ljekovite krvare 2 3 tjedna, a nakon tog vremena gusjenica se odbacuje na tlo i čeka da je pokupi mrav domaćin. Gusjenica u gnijezdu jede mravlje ličinke i jajašca, a za uzvrat daje mravima slatki sok. Krajem ljeta gusjenice se začahure nekoliko centimetara ispod površine mravinjaka, gdje zimuju. Krajem lipnja leptiri napuštaju mravinjak. Druga vrsta je zagasiti livadni plavac koji ima životni ciklus vrlo sličan velikom livadnom plavcu. U veljači godine zaštićen je lokalitet Bedekovićeve grabe, u kategoriji spomenika prirode. Kako je taj spomenik prirode svega nekoliko stotina metara od 119

120 naše škole ovo se pokazalo idealnom zavičajnom i ekološkom temom za našu školu. Za učinkovitu zaštitu leptira potrebna je edukacija i senzibiliziranje lokalnog stanovništva pa smo zato u nastavi matematike odlučili raditi na projektu sa što većim brojem učenika. 2. Razlomci i leptir plavac (5. razred) U petom razredu u ožujku i travnju aktualna cjelina bili su Razlomci. U školskim godinama 2011./2012. i 2012./2013. napravljen je sličan način rada kako bi se što više učenika upoznalo s leptirom plavcem kao lokalnim biološkim blagom. Radilo se o nekoliko sati ponavljanja uoči pisane provjere. Na prvom satu bilo je upoznavanje s temom pa dva sata ponavljanja pomoću nastavnih listića, proučavanje grafičkog prikaza životnog ciklusa i perioda leta te na kraju kviz znanja Upoznavanje s temom Učenici su već čuli o leptiru plavcu, ali kako bi se napravio uvod pripremljene su dvije fotografije. Jedna leptira plavca, druga Bedekovićevih graba. Fotografije su bile prekrivene rješenjima zadataka koje su učenici rješavali. Kako bi koji zadatak o razlomcima bio riješen s fotografije se skidalo rješenje i učenici su došli do potpune fotografije. Bez problema su otkrili da se radi o Bedekovićevim grabama i leptiru plavcu. Slika 1. Upoznavanje s temom leptir plavac 2.2. Željka Kadi, Jelena Pavlic: Livadni plavci stanovnici Bedekovićevih graba Slijedio je samostalni rad s nastavnim listićem. Učenici su dobili zadatke koje su trebali riješiti o grupi. Svako rješenje zadatka bilo je neki podatak koji je vezan uz leptira plavca i trebalo ga je upisati na odgovarajuće mjesto. Kada su učenici riješili sve zadatke i upisali rješenja na odgovarajuća mjesta dobili smo potpuni tekst o 120

121 leptiru plavcu iz brošure Željka Kadi, Jelena Pavlic: Livadni plavci stanovnici Bedekovićevih graba Zadaci za učenike u grupnome radu: 1) Dvije trećine broja ) Petnaestina broja ) 2 dm cm 5 4) Stoti dio kilometra je metara. 5) ) 3 m cm 100 7) Od 36 čokolada 18 je pojedeno. Koliko je ostalo? Izrazi razlomkom i skrati ga do kraja. 8) 2 Koliko je od 10? 5 9) U košari je pomiješano povrće. Od ukupno 50 komada, 5 3 su mrkve, a ostalo krastavci. Koliko je komada krastavaca u košari? 10) Matija je u školu donio 100 kn. Od toga 2 1 treba dati za štetu što je počinio u školi, a 1 za fotokopiranje. Koliko će novaca ostati Matiji nakon što plati svoje obaveze? ) ) 2 od ) Matilda je dobila vrećice bombona. Koliko komada je ostalo, ako je u vrećici bilo bombona? 14) Sedmina broja ) U razredu su 24 učenika. Pet šestina učenika je u školi. Koliko učenika je kod kuće? 16) 17) 3 24 x =? 5 x 2 a a =? ) 90 min = h (rješenje skrati do kraja i napiši kao mješoviti broj) 18) U torbi je 20 knjiga. Dvije petine uzeo je Marko, četvrtinu Ivan, petinu Matija, dvije Josipa. Koliko je knjiga ostalo u torbi? 121

122 Rješenja je trebalo upisati ovdje: Vlažne livade na lokalitetu Bedekovićeve grabe zaštićene su kao spomenik prirode od prosinca (1) godine. Željka Kadi i Jelena Pavlic uočile su nazočnost livadnih plavaca, što je godine rezultiralo zaštitom (2) hektara livada na kojima njihovi korisnici još uvijek redovno vrše otkos sijena i otave te tako čuvaju kvalitetu staništa potrebnu za život leptira livadnih plavaca. MACULINEA TELEIUS VELIKI LIVADNI PLAVAC Mlade gusjenice: izlegnu se nakon (3) do (4) dana, ovisno o temperaturi. Po jednom cvatu preživi samo jedna gusjenica. Hrane se (5) do (6) tjedna. Prisvajanje od mrava: gusjenice se odbace od biljke na tlo. Kada gusjenicu pronađe mrav iz roda Myrmica, opipa je ticalima nakon čega gusjenica iz posebne žlijezde na zadnjem dijelu tijela izluči kap slatkog sekreta koju mrav popije. Taj proces se ponavlja i traje od (7) do (8) sata. Nakon toga se gusjenica podigne na svoje zadnje noge i napuhne. Oblikom tijela imitira ličinku mrava i mrav je podiže i odnosi u gnijezdo. MACULINEA NAUSITHOUS ZAGASITI LIVADNI PLAVAC Jaja: jaja su kuglasta, bjelkasta, fino prošarana. Ženka odabire velike cvatove krvare, kakvih ima na sjenokošama u nekošenim kutovima, bez previše svjetla. Na jednom cvatu može biti položeno čak (9) do (10) jaja. Mlade gusjenice: Nakon što se izlegnu duge su oko (11) mm. Prisvajanje od mrava: proces prisvajanja gusjenica promatran je samo u eksperimentalnim uvjetima. Nakon što je pronađe mrav vrste Myrmica rubra, gusjenica skupi u sredini svoje tijelo na (12) do (13) sekundi što potakne mrava da je pokupi i odnese u gnijezdo. U jednom mravinjaku preživljavaju (14) do (15) gusjenice, jer je mravinjak M. rubra u prosjeku veći nego u drugih vrsta Myrmica, a gusjenica M. nausithous Brgstr. je nešto manja od ostalih vrsta iz istog roda. Gusjenica ugiba u mravinjacima ostalih vrsta roda Myrmica. Veliki postotak gusjenica ugiba, kao rezultat neprisvajanja od prave vrste mrava domaćina. Prema literaturnim podacima postotak preživljavanja iznosi (16)%. Primijećeno je da leptiri nakon uznemiravanja zaklon traže u obližnjem grmlju ili šumarku pri čemu lete do visine od oko (17) m. Pri letu po livadi lete do visine od (18) do (19) m Još o leptiru plavcu Još jedan sat napravljen je kao grupni rad u kojemu učenici dobivaju nastavne listiće. Ovoga su puta rješenja šifre za pojedine riječi koje treba upisati u tekst u 122

123 kojemu nedostaju ključni pojmovi. Učenici su trebali riješiti zadatak, upisati odgovarajuće rješenje u tekst kako bi se na kraju dobio smisleni sadržaj Zadaci za učenike u grupnome radu: Upoznali smo leptire livadne plavce prije nekoliko sati. Danas ćemo naučiti mnogo više o njima. Tvoj je zadatak da najprije točno riješiš zadatke koji su postavljeni. Nakon toga prema donjoj tablici u tekst ćeš upisati ono što nedostaje i dobiti nova saznanja o leptirima plavcima. (1) U voćnjaku je 180 stabala. Ako je jabuka 4 1 stabala, krušaka 3 2, a ostatak stabala su breskve, koliko je stabala breskvi? (2) Valentina je potrošila 4 3 svoje ušteđevine. Koliko je imala novaca, ako joj je ostalo 50 kuna? 9 2 (3) Prvog dana pokošeno je livade, a drugog dana manje nego prvog dana. Koliko dio livade je ostao nepokošen? (4) Valentina je potrošila 3 2 svoje ušteđevine. Koliko je imala novaca, ako joj je ostalo 30 kn? 9 7 (5) Za koliko je zbroj razlomaka i manji od 3? (6) Prvoga dana putnik je prešao planiranog puta, drugoga dana više nego prvoga dana, a trećega dana duljine puta manje nego u prva dva dana zajedno. Koliko mu je još 17 ostalo do cilja? (7) U posudi je 9 2 l mlijeka. Dolili smo još toliko o posudu. Koliko bismo još mogli dodati mlijeka da posuda bude puna? 5 (8) U pakiranju se nalazi kg brašna, a može stati kg. Koliko brašna je dosad 12 potrošeno? (9) Dva kraljevića su dobili u nasljedstvo 100 kg zlata. Jedan kraljević je dobio nasljedstva, a drugi ostatak. Koliko kilograma zlata je dobio drugi kraljević? (10) Od 20 učenika nekog razreda, 11 je djevojčica. Koji dio tog razreda čine dječaci? (11) Koliko je 3 od 480?

124 90 velike krvave košnjom nepokošenu devet kraja kolovoza deset 1 17 spomenika prirode kolovoza isušivanje preoravati crvenih livadnih mrava Rješenja ja trebalo upisati ovdje Na području Općine Sveti Juraj na Bregu nalazi se (1) poznatih nalazišta rijetkih leptira livadnih plavaca; velikog livadnog plavca (Maculinea teleius Brgstr.) i zagasitog livadnog plavca (Maculinea nausithous Brgstr). Obje su vrste na listi od (2) najugroženijih vrsta leptira u Europi i pod stalnim su nadzorom znanstvenika. U europskim su razmjerima izuzetno rijetke livade na kojima žive i veliki i zagasiti livadni plavac. Iz navedenih razloga potrebno je sačuvati ovo biološko bogatstvo našega kraja. Najveće nalazište - livade Bedekovićeve Grabe imaju status (3). Uvjeti koji su potrebni za preživljavanje livadnih plavaca na određenom livadnom staništu su slijedeći: - dovoljna prisutnost biljke (4) ili črnoglavca (Sanguisorba officinalis L.), čijim se cvatovima hrane odrasli leptiri i gusjenice, te na njih polažu jajašca, - dovoljna prisutnost (5) iz roda Myrmica u čijim mravinjacima prezimljuju gusjenice livadnih plavaca, - za opstanak hranidbene biljke velike krvare i livadnih mrava potrebno je održavati livade (6). Preporuke vlasnicima livadnih parcela koje su stanište livadnih plavaca su slijedeće: - prestati (7) postojeće livadne parcele, - livadu kositi u tradicionalno vrijeme kojem su leptiri prilagodili životni ciklus sijeno u svibnju, otava poslije (8), - godišnje ostaviti poneku livadnu parcelu (9), - spriječiti onečišćenje vode, zraka i tla umjetnim gnojivima, pesticidima i kanalizacijom, - spriječti (10) vlažnih livada. Livadni plavci su se u našem kraju održali do danas samo zahvaljujući vrijednim poljoprivrednicima koji na tradicionalan način gospodare vlažnim livadama košanicama. Period leta odraslih leptira je od početka srpnja do (11) kada možemo uživati u njihovoj jedinstvenoj ljepoti. 124

125 2.4. Životni ciklus livadnih plavaca period leta Učenici petih razreda dobili su jednostavan grafički prikaz perioda leta livadnih plavaca i nekoliko pitanja vezanih uz taj grafički prikaz. Na početku je bilo manjih problema kod očitavanja potrebnih vrijednosti, ali nakon prvog ili drugog zadatka učenici su samostalno bez problema rješavali zadatke. godina M. teleius Brgstr. M. nausithous Brgstr datum SRPANJ KOLOVOZ Slika 2. Period leta leptira plavca Pomoću grafičkog prikaza popuni tablicu! početak i kraj leta leptira Maculinea teleius veliki livadni plavac Maculinea nausithous zagasiti livadni plavac Odgovori na pitanja: a) Koje godine se najranije pojavio veliki plavac, a koje godine zagasiti? Kada su se pojavili? b) Koliko dana je trajao period leta velikog livadnog plavca godine? c) Koliko dana je trajao period leta zagasitog livadnog plavca godine? d) U kojim mjesecima se pojavljuju veliki i zagasiti livadni plavac? e) Koje godine je trajao najdulje let velikog plavca? Koliko je trajao? f) Koje godine je trajao najkraće let zagasitog plavca? Koliko je trajao? g) O čemu sve ovisi početak perioda i duljina perioda ljeta livadnih plavaca? 2.5. Kviz i čokolada Učenici su na početku tematskog rada o leptiru plavcu bili obaviješteni da ćemo ovaj ciklus rada završiti kratkim kvizom na kojemu ćemo provjeriti tko je 125

126 najviše naučio o leptiru plavcu. Uz pripremu za pisanu provjeru iz cjeline Razlomci ovo je bio dodatni motiv da se osim u školi nastavnim materijalima koje su dobili na školskome satu pozabave i kod kuće. Učenicima je pročitano deset pitanja čiji su odgovori bili na nastavnim listićima s prethodnih nekoliko sati te na tematski uređenom panou u razredu. Najbolji učenik prema ranijem dogovoru nagrađen je čokoladom. Ono što veseli da su učenici šestih razreda, koji su ovaj sadržaj radili u petome razredu, znali kad sam ih pitao za velikog i zagasitog plavca, ljekovitu krvavu (ili u našem kraju črnoglavec), crvenog mrava, period leta i Bedekovićeve grabe. Prvotni cilj koji je postavljen edukacija i senzibiliziranje učenika za ovu temu je ostvaren. A k tome dobili smo nekoliko tematskih satova matematike koji nisu bili toliko opterećujući pred pisanu provjeru koliko znaju biti. 3. Preslikavanja ravnine i leptir plavac (8. razred) Cjelinu Preslikavanja ravnine umjesto uobičajenog ponavljanja, pisane provjere i analize zaključili smo prošle nastavne godine s četiri sata na kojima se testira upornost, strpljivost, urednost i savjesnost učenika. Učenici dobivaju zadatak da najprije na praznom bijelu A4 papir naprave okvir od 2 cm. Unutar njega radimo crtež koji uključuje sva preslikavanja. Na prvom satu radi se trokut pa kasnije četverokut, slova, brojke, geometrijska tijela i slobodna tema učenika. Preslikavanja ravnine se rade na satovima uz glazbu, a učenici slične zadatke dobivaju za zadaću. Učenicima često treba cijeli školski sat da dobro naprave barem jedan crtež do kraja i maksimalno su radno angažirani tijekom cijelog sata. Ono što je njima otegotna okolnost jest sloboda biranja smjera, orijentacije i duljine vektora kod translacije, postavljanje osi simetrije ili centra simetrije, a najkompliciranija je rotacija kod koje se muče kamo smjestiti centar simetrije, pod kojim kutom rotirati dani lik i u kojem smjeru. U ovakvim situacijama vrlo je bitna procjena učenika da im se ne dogodi da im neke od točaka ili dijelova crteža bježe van papira. U ovaj sadržaj ove godine stavio sam novi zadatak. Učenici su dobili pet fotografija leptira plavca kojeg su trebali preslikati na sva četiri načina koje smo učili. Jedna fotografija je bila osnosimetrična na što su učenici odmah upozoreni da jako paze koju fotografiju će koristiti za koje preslikavanje. Preporuka im je bila da izmjere dimenzije fotografije te da zapravo preslikavaju pravokutnik, a kasnije zalijepe fotografije uz veliku pažnju kako će to napraviti. Neke od radova možete pogledati u nastavku. 126

127 Slika 3. Na satovima je vladala radna i opuštena atmosfera Kad smo završili s ovom cjelinom pred nama su bili Uskršnji (ove godine vrlo snježni) blagdani. Dobili su tri zadatka za domaću zadaću, a jedan od njih je bio da sami osmisle i naprave preslikavanja, a da im glavne tema bude leptir, odnosno leptir plavac. Učenici su imali slobodu izbora teme, motiva i načina rada. Originalnosti, kreativnosti i mašte nije nedostajalo što je rezultiralo brojnim zanimljivim radovima u koje je uloženo puno vremena i rada. Slika 4. Preslikavanje fotografije leptira plavca 4. Tematski nastavni listić i matematička igra studenata Studenti pete godine Učiteljskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, Odsjeka u Čakovcu u akademskoj godini 2011./2012. dobili su dva zadatka pred kraj ljetnog 127

128 semestra. Prvi zadatak je bio izrada tematskog nastavnog listića za djecu razredne nastave u kojemu je glavna tema ili lik leptir plavac. Drugi zadatak je bio da osmisle igru u kojoj će opet glavni lik biti leptir plavac. Na ovaj način od 18 studenata dobiveni su različiti radovi koji su sakupljeni i bit će korišteni u radu s budućim generacijama djece razredne nastave u našoj školi pa će ova tema imati i dalje svoj kontinuitet u našoj školi. U nastavku je primjer kako je studentica Ines Kucljak povezala matematički sadržaj s podacima o leptiru plavcu. 1. Ako točno izračunaš zadatak dobit ćeš koliko se vrsta leptira plavaca nalazi u mjestu Bedekovićeve grabe! ( ) ( ) = 2. Kada ove zadatke pismeno oduzmeš, njihove rezultate podijeli. Konačno rješenje otkrit će ti koliko ima nalazišta leptira plavaca u Bedekovićevim grabama! Izračunaj iduća 4 zadatka! Svako rješenje predstavlja jedno slovo abecede! Ako povežeš rješenja i abecedu dobit ćeš ime životinje koja pomaže opstanku leptira plavaca, tako što nosi ličinke leptira u svoj dom. ( ) ( ) = ( ) 877 = (1+ 7 7) : 50 = = 4. Leptiri plavci mogu se vidjeti u letu samo tijekom 2 mjeseca u godini. Rješenja idućih zadataka reći će ti o kojim se mjesecima radi! ( ) : = (12:6 + 42:7-45:9) + 5 = 5. Spoji račune s rješenjima! Brojevi koji nemaju para odgonetnut će ti koliko je potrebno dana da se izlegnu gusjenice velikog livadnog plavca! 14 : = 49 : 7 + (39-20) = 70 : 10 + (15 + 8) = 81 : = Zagasiti livadni plavac i veliki livadni plavac hrane se velikom krvavom ili crnoglavcem. Idući zadatak otkrit će ti koliki je postotak preživljavanja gusjenica! (50 : 5-7) 50 = 128

129 5. Zaključak Organizacija projektnog dana s temom leptira plavca u sprezi s matematikom nije izazvala baš mnogo ideja i asocijacija na početku. Bilo je pitanje kako povezati dva prilično različita područja i napraviti nešto što će učenike privući ovome sadržaju. No, kad se krenulo na posao, dobiveni su mnogi materijali koji su osvježili nastavu matematike i ujedno je učenicima približena jedna lokalna i ekološka tema. Njihov rad i angažman bio je povećan i u petom razredu i u osmom razredu jer se radilo o zavičajnoj i njima bliskoj temi. Uloženi trud i rad na nastavnim materijalima vratili su se većim interesom i zanimanjem učenika pa je projektni dan ubrzo iz potencijalnog problema prešao u pravi izazov za sve nas kojeg smo na kraju vrlo uspješno riješili. 129

130 KORELACIJA MATEMATIKE, GEOGRAFIJE I METEOROLOGIJE Zrinka Korbar III. gimnazija, Zagreb Matematika i geografija su dva prirodna predmeta koja možemo povezati na više načina. Primjerice, u prvom razredu srednje škole potenciju možemo iskoristiti za zapise udaljenosti Zemlje do Sunca i drugih planeta Sunčevog sustava, zapis mase Zemlje, Marsa, Venere itd. Kod uvođenja koordinatnog sustava i ucrtavanja točaka u koordinatnoj ravnini možemo povezati sa meridijanima i paralelama za određivanje neke točke na karti i naravno kod računanja vremena u gradovima koji pripadaju drugim vremenskim zonama. Uvođenje državne mature promijenilo je neke zahtjeve u nastavi matematike i traži više rada na rješavanju matematičkih problema vezanih sa svakidašnjim životom. Listajući udžbenik iz geografije osmog razreda naišla sam na grafove prosječnih padalina, srednjih temperatura zraka, broja sunčanih dana u Republici Hrvatskoj za različite regije i dobila ideju kako bi se ti podatci mogli iskoristiti kao predložak za projektni zadatak nakon obrade trigonometrijskih funkcija. U III. gimnaziji imamo šest razreda u generaciji, pet općih i jedan prirodoslovno matematički koji ima pet sati matematike tjedno. Crtanje grafova trigonometrijskih funkcija uvodim kroz priču o bečkom Riesenradu. Daleke godine u bečkom zabavnom parku Prateru pojavila se nova atrakcija. Građani Beča i njihovi gosti imali su priliku gledati panoramu grada iz kabina koje su postavljene na kotač koji se rotira stalnom brzinom. Riesenrad, kako su v ga tada nazvali, i danas privlači pažnju posjetitelja Pratera. Promjer kotača je

131 metara, a njegova najniža točka je 3 metra iznad tla. Brzina vrtnje na obodu je 0.75 m/s. Zamislimo da smo u jednoj kabini i želimo matematički opisati promjenu visine. Kojom matematičkom funkcijom to možemo opisati? skice. Pomoću Sketchpada izradila sam prezentaciju. Fotografija nam pomaže kod Kad učenici vide skicu prisjete se definicija trigonometrijskih funkcija na brojevnoj kružnici i zaključe kako se radi o sinusu. Sve postavimo u koordinatni sustav. Slijedi animacija i točka ostavlja trag. 131

132 Nakon toga konstruiramo graf funkcije sinus na intervalu njena svojstva koja su do tada naučili, a to su neparnost i periodičnost. koristeći Osim Sketchpada ovdje obavezno konstruiram geometrijskim priborom graf funkcije. Uvijek se nađe učenik koji postavi pitanje kako glasi funkcija iz uvodnog primjera, što je dobro pitanje za uvođenje funkcije. Tu se prisjetimo kako smo u drugom razredu translacijama grafa funkcije došli do grafa. Parametre uvodimo klasično - prvo amplitudu, zatim promjenu perioda u ovisnosti o, pomak po -osi i na kraju po -osi. Ovdje programi kao što su Sketchpad i Geogebra uvelike olakšavaju stvar. Crtanje grafa funkcije sinus kombiniranjem računala i metode kreda ploča iziskuje malo više vremena, ali je učinkovitiji jer današnje generacije pamte vizualno. Nakon obrade i skiciranja grafa krenula sam sa prirodoslovnim razredom u informatičku učionicu. Zadatak je bio pronaći funkciju koja će najbolje modelirati temperature u Zagrebu. Budući da sam se u tom trenu bolje koristila Sketchpadom nego Geogebrom, a online Sketchpad bio dostupan preko CARNeta svim učenicima odlučila sam to iskoristiti. Neki učenici su poznavali taj program i nešto radili s njime već u osnovnoj školi, a nekima je to bio prvi susret sa Sketchpadom. Pristupili smo timskom radu, tj. imala sam pomagače. Prvo smo morali konstruirati četiri klizača. Kako su na jednom računalu radila dva 132

133 učenika, svaki učenik je konstruirao dva klizača. Nakon toga trebalo je odabrati dobar koordinatni sustav. Većina je odmah uvidjela kako će morati koristiti pravokutni umjesto kvadratnog. Zatim smo ucrtali koordinate točaka u sustav, upisali funkciju i počeli modelirati pomoću klizača kako bi funkcija prošla kroz što više točaka. Taj dio je bio najteži. Nakon blok sata matematike provedenog u informatičkoj učionici učenici su dobili domaću zadaću. Svaki učenik dobio je srednje mjesečne temperature grada ili mora u Republici Hrvatskoj i trebao je pomoću Sketchpada pronaći funkciju kojom će modelirati temperaturu. Rok izrade domaće zadaće bio je dva tjedna, a domaće zadaće poslali su mi om. Osim toga u bilježnicu su priložili skicu, a pomoću funkcije koju su odredili izračunati kolika će biti prosječna temperatura u zadanom mjesecu i u kojem mjesecu će biti postignuta određena temperatura. Kad se na ljetnom roku državne mature 2011 pojavio zadatak: 25. Jednoga ljetnoga dana temperatura u pustinji mijenjala se prema formuli, gdje je t vrijeme od 0 do 24 sata, a T temperatura u C Kolika je temperatura bila u 7 sati ujutro? Odgovor: C U koje je vrijeme poslijepodne temperatura bila 41 C? Odgovor: Kolika je bila najviša temperatura toga dana? Odgovor: C učenici nisu imali problema sa rješavanjem istog. Na žalost opći razredi su ostali zakinuti za edukaciju na računalu i rješavanje ovakvog zadatka zbog satnice nastave matematike u trećem razredu(tri sata tjednopremalo). Moj pokušaj motivacije nije bio uspješan, nekim učenicima problem je bio korištenje programa, a neki jednostavno nisu bili spremni uhvatiti se u koštac i samostalno rješavati nešto njima nepoznato. Na kraju evo nekoliko najuspješnijih domaćih uradaka: C TEMPERATURE ZRAKA U VARAŽDINU- EUGEN OREČ B A D A=10.77, B=-0.48, C=-1.29, D=9.38 h(x)=asin(bx+c)+d A = 10,77 B = -0,48 C = -1,29 h x = A sin B x+c +D D = 9,26 133

134 TEMPERATURE ZRAKA SPLIT- MARKO ERCEG 10 8 A = 10,50396 cm 6 A B = 0,10583 cm C = 4,02167 cm 4 B D = 16,56292 cm C 2 D x E = 0,0 30 x F = 20, h x = 6 sin 12 x+2, TEMPERATURE MORA U SPLITU - KATARINA PRNJAK E F TEMPERATURE ZRAKA U RIJECI - VJEKOSLAV BABURAK Nadam se da je sada bolje :D f x = A sin B x+c +D B = 0,52 A = 9,23 C = 4,06 M' S 16 D = 14,

135 30 TEMPERATURE ZRAKA U ZADRU - TEA OSTOJIĆ f x = A sin B x+c +D A = 9,65 B = 0,56 B A C = 16,47-10 D = 15,41 D C 35 A = 10,32 B = 0,53 TEMPERATURE ZRAKA U PULI - ANA BUŠIĆ C = 3,92 30 D = 15,11 25 f x = A sin B x+c +D

136 ZADACI NAGLAVAČKE Božena Palanović, prof. nastavnica matematike Srednja škola Zlatar Sažetak Kako učenike motivirati i zainteresirati za matematiku stalno je pitanje svih profesora matematike. U ovom izlaganju prikazano je kako su se učenici raznih uzrasta i usmjerenja u srednjoj školi zainteresirali za pojedina matematička gradiva, i to bez korištenja računala, bez plakata, modela i sl. Zadatke naglavačke počela sam primjenjivati u nastavi godine u drugom razredu tehničara za računalstvo kad sam primijetila da, unatoč svim mogućim naporima, slabo napreduju u cjelini Kvadratna funkcija. Zadala sam učenicima zadatak da sami izmisle neku kvadratnu funkciju čiji graf dodiruje os x. Prvo su bili zbunjeni, ali začas su se primili posla; većina ih je dobila različita rješenja, ali su rješenja bila točna. Tražili su još. Takvim zadacima učenici su sami dali ime - ZADACI NAGLAVAČKE. Koristim te zadatke u svim razredima i usmjerenjima i zapažam pozitivne reakcije kod učenika. Ovi su mi zadaci dobrodošli na nastavi za korelaciju s drugim predmetima, grupni rad, sistematizaciju gradiva, ponavljanje za maturu. Ključne riječi: nastavni sat, motivacija, naglavačke, sistematizacija, korelacija ZADACI NAGLAVAČKE Stoput smo nacrtali parabolu, stoput smo spomenuli diskriminantu, razliku kvadrata, jednadžbu pravca, kružnice, elipse... detaljno obrađivali kvadratnu jednadžbu, rješavali s učenicima razne zadatke iz primjene... i opet, puno puta se dogodi - učenici ne znaju, ne povezuju, nabadaju, pogađaju kao da nikad nisu čuli Koliko puta učenik nije siguran u odgovor na banalno pitanje: koji dio razlomka ne smije biti nula? Kako motivirati učenika vječno je pitanje te na koji način postići da ono gradivo, koje je učenik shvatio na satu, ostane u njegovoj glavi kao trajno (ili trajnije), a što je najvažnije, primjenjivo u drugim predmetima i u životu. Kako aktivirati i one učenike kojima je matematika slaba točka? Da bismo gradivo matematike učinili zanimljivijim, često koristimo računalo i razne programe dinamične geometrije. Učenici vrlo pozitvno reagiraju na primjenu računala u nastavi. Pitanje je da li je, svaki put kad mi treba, informatička učionica dostupna. Svaka prostorija u školi nema projektor. Kako gradivo učiniti zanimljivim bez upo- 136

137 rabe raznih nastavnih sredstava i pomagala s kojima naše škole ne raspolažu ili ih nemaju u dovoljnoj mjeri? Zadaci naglavačke jedan su od pokušaja. To su zadaci koji učenika stavljaju u ulogu 'sastavljača zadataka'; daju svakom učeniku mogućnost da pronađe svoje rješenje različito od drugih rješenja kolega u razredu, a opet točno. U ovom članku bit će prikazano kako su učenici pojedinih razreda i usmjerenja rješavali zadatke naglavačke koje su sami tako nazvali. Evo nekih primjera. PRVI RAZRED: Uobičajeni zadatak u zbirci Zadani su trokuti; jedan s duljinama stranica 2, 3 i 4 te drugi trokut s duljinama stranica 1, 1.5 i 2. Ispitaj jesu li zadani trokuti slični i, ako jesu, odredi koeficijent sličnosti. Zadatak naglavačke: Odredi neki par sličnih trokuta s koeficijentom sličnosti k = 2. Ruku u zrak podigla je većina učenika. Neke odgovore zapisali smo na ploču: : 10, 20, 15 i : 5,10,7.5 : 1,2,3 i : 2,4,6 Neki su se sjetili da ne postoje tako zadani trokuti zbog pravila trokuta pa smo zapisani odgovor prekrižili. : 1,2,3 i : 2,4,6 Prof. (u daljnjem tekstu P): Možemo li koristiti neki drugi teorem o sličnosti prilikom zadavanja ovog zadatka? Odgovori učenika (u daljnjem tekstu OU): a= Evo odgovora prikazanog pomoću sličice: Evo još jednog odgovora: Točke E, D i F polovišta su stranica trokuta. 137

138 Sjetili su se homotetije: hom. Za zadaću su dobili osmisliti još odgovora. Evo jednog od boljih. Još jedna homotetija: DRUGI RAZRED: Kvadratna jednadžba i kvadratna funkcija Tipični zadaci koje pitamo: 1. Riješi kvadratnu jednadžbu Izračunaj diskriminantu kvadratne jednadžbe i prema tome odredi prirodu rješenja. 3. Skiciraj graf kvadratne funkcije te mu opiši tijek. 4. Ne rješavajući kvadratnu jednadžbu, izračunaj zbroj kvadrata rješenja; zbroj recipročnih vrijednosti rješenja i sl. 5. Izračunaj vrijednost realnog parametra p tako da parabola zadana jednadžbom dira os x i sl. 138

139 6. Riješi nejednadžbu. Zadaci naglavačke: 1. Napiši jednadžbu neke parabole koja prolazi kroz (0, 0). Većina učenika ima ruku u zraku. Učenici daju svoja rješenja i zapisuju na ploču:,, y=-4x 2... Rješenja su sva različita, ali sve su jednadžbe istog oblika y = ax 2. P: Kako nazivamo točku (0, 0) kod parabola tog oblika? P: Odredite jednadžbu neke parabole kojoj tjeme nije točka (0, 0), ali prolazi kroz nju. Učenici nisu odmah reagirali. Dala sam im uputu da nacrtaju nekoliko parabola koje prolaze točkom (0, 0) i njihova rješenja nisu izostala:,, y= x 2-3x... P: Što primjećujete? OU: c = 0 P: Kako ste došli do toga? OU 1 : Odaberem dvije različite nultočke od kojih je jedna nula: x 1 = 0, x 2 = 3 y = (x - 0)(x - 3), y = x 2-3x. Ili OU 2 : Znam da je f(0) = 0, a i b uzmem proizvoljno, npr. a = 7, b = 5 i dobijem,. 2. Odredi jednadžbu neke parabole koja dira os x. Opet sam dala uputu da nacrtaju nekoliko takvih. Nakon minute učenici raspravljaju: OU 1 : Ali jedna je nultočka!? OU 2 : Dvostruka ti je pa imaš npr. y = (x - 2)(x - 2). OU 3 : Tjeme je na osi x pa je oblika (x, 0), npr. (2, 0), tj. y = 3(x - 2) 2, y = a(x - t) 2 Nakon razgovora trojice učenika većina učenika imala je jednadžbu neke parabole s traženim svojstvom. Svi su odgovori bili različiti, a točni. 3. Odredi jednadžbu neke parabole koja poprima sve pozitivne vrijednosti. Uputa: Nacrtajte neku takvu pa pokušajte zaključiti. OU 1 : Uh, ali takve ne sijeku os x pa ne mogu primijeniti onu formulu. (Misli na y = (x - x 1 )(x - x 2 ). Učenici se nikad ne sjete kompleksno konjugiranih brojeva.) P: Pokušajte drugačije. OU 2 : Diskriminanta je negativna. OU 3 : Opet bi trebalo namještati koeficijente a, b i c. 139

140 OU 4 : Bar znam da je a pozitivan. Onda je krenulo... Učenici zapisuju svoja rješenja na ploču: y = 2x 2 - x + 1, y = x 2 - x + 5, y = x , y = 3x 2 + x Evo još nekih zadataka: 1. Napiši jednadžbu neke parabole koja poprima najveću vrijednost (0, 0). 2. Napiši jednadžbu neke parabole koja pada na intervalu <-2, 3. Napiši jednadžbu neke parabole kojoj su obje nultočke negativne. 4. Napiši jednadžbu neke parabole kojoj su nultočke suprotni brojevi. 5. Napiši jednadžbu neke parabole koja je simetrična s obzirom na os y. 6. Napiši jednadžbu neke parabole kojoj je tjeme u četvrtom kvadrantu i koja prolazi točkom (-2, 1). 7. Napiši jednadžbu neke parabole koja poprima pozitivne vrijednosti na intervalu <-3, 5>. TREĆI RAZRED VEKTORI Primjeri zadataka naglavačke iz pismenih ispita 1. Odredi neki vektor duljine 5. Većina učenika imala je odgovor. Učenici su dali najjednostavniji mogući odgovor. Dvoje od šest učenika koji nisu ništa napisali rekli su mi da su i oni to mislili, ali da im se učinilo prejednostavno. Primjećujemo da se učenici često libe odgovoriti na neko pitanje jer misle da je njihov odgovor prebanalan. No, to je tema za neki drugi članak. Pri analizi ovog zadatka sjetili su se i drugih rješenja:,,,,... Potom su zamijenili mjesta koeficijentima 3 i 4. Napredniji učenik brže shvati da mu je dosta namještati koeficijente u a 2 + b 2 = 25 da bi dobio. Također se može zaključiti da su ti vektori radijus vektori svih točaka koji se nalaze na kružnici radijusa 5 i središta u ishodištu. Naizgled banalan zadatak, a njegova analiza može nas dovesti do raznih novih tema. 2. Zadan je vektor. a) Odredi neki vektor kolinearan s ; b) Odredi neki vektor okomit na. a) Većina učenika odgovara točno. Imaju razne odgovore oblika k. Interesantno je bilo primijetiti da je svima k > 0. b) Jedanaest učenika (od 30) točno je riješilo taj zadatak. Deset ih je koristilo da skalarni umnožak mora biti nula: -2a + 5b = 0 i onda su namještali koeficijente. Evo nekih odgovora:,,

141 Jedna se učenica služila crtežom: Nacrtala je vektor i pravac okomit na. Potom je tražila točke s cjelobrojnim koordinatama i dobila:,. Učenica je poslije komentirala da se uopće nije sjetila skalarnog umnoška okomitih vektora. Pri analizi ovog zadatka sva smo učenička rješenja ispisali na ploču. Učenici su trebali zaključiti u kojoj su vezi njihova rješenja. Kad sam ih uputila da nacrtaju te vektore, ruke su odmah bile u zraku: sva naša rješenja su kolinearni vektori. MATURANTI... Evo nekih primjera zadataka naglavačke iz četvrtog razreda koje sam koristila u grupnom radu kod sistematizacije funkcija: 1. Odredi neku linearnu funkciju čija je nultočka x = Odredi neku kompoziciju u kojoj je član eksponencijalna funkcija i čija je nultočka x = Odredi neku kompoziciju u kojoj je član logaritamska funkcija i čija je nultočka x = 3. Potom odredi neku čije su nultočke x = 3 i x = Odredi pet parnih funkcija od kojih bar jedna u zapisu mora imati logaritam; varijabla joj treba biti u eksponentu; treba biti razlomak; u zapisu je trigonometrijska funkcija. 5. Odredi pet neparnih funkcija od kojih bar jedna u zapisu mora imati logaritam; varijabla joj treba biti u eksponentu; treba biti razlomak; u zapisu ima trigonometrijsku funkciju. 6. Odredi neku periodičnu funkciju temeljnog perioda a), b), c) Odredi barem dvije funkcije čija je prirodna domena 8. Odredi neku funkciju čija je slika f(x) 9. Odredi neku funkciju koja ima prekid u x = Odredi neku funkciju koja nije definirana za a) x = 2 b) x 141

142 c) x >1 d) x = +kπ. Zadnji zadatak naglavačke u srednjoj školi: Odredi neku funkciju čija je derivacija f(x) = 20x + 13 f(x) = f(x) = sin x. Primjeri zadataka naglavačke u korelaciji s drugim predmetima Često u zbornici čujemo od profesora kemije i fizike kako učenici ne znaju matematiku. Što je tome razlog? Prvo što mi pada napamet je neusklađenost programa. Vrlo često je matematika u kemiji i fizici 'upakirana' tako da učenici ne raspoznaju poznatu matematiku. Možda bi profesori tih predmeta trebali češće razgovarati o toj problematici, a ne samo zaključiti kako učenici ništa ne znaju. Neusklađenost programa vjerojatno će se riješiti u dalekoj budućnosti, a dotle se snalazimo kako znamo. Pogledajmo kako zadaci naglavačke funkcioniraju u korelaciji s kemijom. Poslije cjeline Linearna funkcija kod sistematizacije zadala sam učenicima prvog razreda sljedeći zadatak: 1. Što predstavlja sljedeći graf? U 1 : Ja vidim tri pravca. P: Odredite njihove jednadžbe! Neki su lako odredili jednadžbe pravaca: P: Jeste li već vidjeli ovakav graf u nekom drugom predmetu? OU 2 : Sličan smo vidjeli u fizici npr. s - t graf. P: Opišite ga riječima. OU 3 : Ispada da se neka točka počne gibati nakon dvije sekunde od početka mjerenja i do dvanaeste sekunde prevali put od 100m. Nakon toga stane

143 OU 4 : Može biti i v-t graf pa bismo mogli reći da je 2s točka imala brzinu 0, a da je u 12s postigla brzinu 100m/s. P: Može li se još koji problem opisati ovim grafom, a niste ga učili iz fizike nego iz jednog drugog predmeta? (Sad su se sjetili taljenja leda.učenici će uvijek prije s matematikom povezati fiziku nego kemiju.) OU1: Pa da, taljenje leda. Gle, pa to je linearna funkcija. P: Opišite mi to taljenje. Ispričali su mi što znaju o taljenju leda te su mi opisali eksperiment koji su izvodili sa svojom profesoricom. Na kraju su učenici zaključili da na os x najlogičnije ide vrijeme u minutama, a na os y teperatura u C. UPRAVNI REFERENTI - 1. RAZRED (S kojim predmetom korelirati u usmjerenju upravnih referenata? Teško je naći realan primjer. Ovdje će biti prikazana korelacija s nekim životnim situacijama.) 2. Smisli priču iz života koju opisuje sljedeća jednadžba: 2x - 10 = 16. OU 1 : Nakon što udvostručimo neki broj pa od umnoška oduzmemo 10, dobit ćemo 16. Koji je to broj? P: To je ta jednadžba, ali nije priča iz života. Idemo dalje. Išlo je teško. Svi učenici uključili su se u izmišljanje priče, i profesorica. Na kraju smo dobili priču: Majka je dala Ivici i Marici jednaku svotu novca za školu. Kad plate Crveni križ svako po pet kuna, ostat će im po osam kuna za sendvič i sok u školskoj kantini. Koliko je majka dala novca Ivici i Marici? Puno su lakše riješili sljedeći zadatak. 3. Smisli priču iz života koju opisuje sljedeći sustav: x + y = 63 i y = 2x. OU: Domaćica je u trgovini kupila dvije vrste namirnica. Platila je ukupno 63 kn. Prvu vrstu namirnica platila je dvaput manje od druge vrste. Koliko je domaćica platila prvu, a koliko drugu vrstu namirnica? Takvu vrstu zadataka prakticiram već nekoliko godina i primjećujem da učenici dobro reagiraju. Jedan od razloga je i to što svaki od njih može ponuditi svoje rješenje, svi su aktivni, jedan drugome može dati ideju, a ne prepisati rješenje bez razmišljanja. Ovi su zadaci pogodni za grupni rad, za kvizove u razredu, za sistematizaciju nekog gradiva, kao zadaci za ispit. 143

144 XV. GIMNAZIJA U COMENIUS PROJEKTU 'GEOMETRY IN EVERYDAY LIFE' Buga Mikšić, prof., voditeljica Projekta za XV. gimnaziju bmiksic@mioc.hr Marina Ninković, prof. mninkovic@mioc.hr Vesna Ovčina, prof. vovcina@mioc.hr XV. gimnazija, Zagreb, jedna je od škola partnera u Comenius projektu 'Geometry in Everyday Life'. Radi se o dvogodišnjem multilateralnom projektu osmišljenom u Latviji koji uključuje čak devet škola iz različitih zemalja Europske unije. Uz XV. gimnaziju to su: Āgenskalna Valsts ģimnāzija, Latvia; Liceul Mihai Viteazul, Rumunjska; Lycée Polyvalent de Cluses, Francuska; Vasilijaus Kačialovo gimnazija, Litva; Staatliche Realschule Aichach Wittelsbacher-Realschule, Njemačka; Vtoro sredno obshtoobrazovatelno uchilishte "Profesor Nikola Marinov", Bugarska; Zespół Szkół Elektronicznych i Licealnych, Poljska te Maristes Champagnat, Španjolska. Comenius je jedan od četiri potprograma tzv. Programa za cjeloživotno učenje (Lifelong Learning Programme) kojeg u Hrvatskoj provodi i promovira Agencija za mobilnost i projekte Europske unije. Obuhvaća predškolski odgoj, osnovno i srednje obrazovanje, sa ciljevima promicanja svijesti o raznolikosti europskih kultura, poticanje osobnog razvoja, usavršavanje i razvoj raznih vještina i kompetencija te njegovanje ideje o europskom građanstvu. Kao takav, projekt 'Geometry in Everyday Life' financira se iz fonova Europske unije. Aktivnosti u provedbi ovog projekta osmišljene su kako bi učenicima omogućile ugodno i zabavno savladavanje geometrijskih koncepata, čak i onih težih. 144

145 Njihov krajnji cilj svakako jeste njegovanje pozitivnog stava prema matematici, produbljivanje učeničkog interesa i znanja na području geometrije, razvijanje svjesnosti o prisutnosti matematike u svakodnevnom životu, komunikacija i razmjena iskustava na stranim jezicima. Njihovom provedbom učenici unapređuju komunikacijske vještine, razvijaju informacijske i digitalne kompetencije, prezentacijske vještine, stječu spoznaju o univerzalnim vrijednostima. Tijekom našeg rada s njima trudile smo se njegovati njihovu kreativnost te istraživački, znanstveni pristup u rješavanju problema. Dakle, radili smo matematiku na pomalo 'neškolski' način, putovali, odlazili u prirodu, istraživali, snimali filmove, fotografije i video uratke, igrali se, izrađivali plakate, prezentacije i web publikacije, komunicirali i razmjenjivali iskustva s kolegama profesorima i učenicima iz spomenutih zemalja. Sve se to odvijalo kroz niz tematskih faza, kroz koje su učenici prolazili istražujući zadanu tematiku, rješavajući postavljene zadatke te birajući formu u kojoj će prikazati svoja razmatranja i rezultate. Da bi udovoljili ovakvim zahtjevima bili su primorani izaći izvan matematičkih okvira te pomoć potražiti u sferama nekih drugih nastavnih predmeta ili pak razviti neke dodatne vještine odnosno kompetencije koje bi im to omogućile. 1. faza: Pripremamo materijale za odlazak u Latviju Na samom početku projekta bilo je potrebno predstaviti svoju zemlju, grad i školu ostalim sudionicima. Znači, trebalo je poznavati neke geografske i povijesne činjenice, tradiciju. Trebalo je odlučiti što i na koji način prikazati, a čega se odreći. S obzirom da su postojala određena vremenska ograničenja, bilo je potrebno razviti vještinu izražavanja u zadanom vremenu i to na engleskom jeziku. Između ostalog, naši su se učenici odlučili pohvaliti hrvatskim tradicionalnim kolačima napravivši kuharicu, te su odlučili upotrijebiti geometrijsku formu fleksagona kako bi kroz mali igrokaz predstavili neke od hrvatskih znanstvenika. 145

146 Kroz prezentacije ostalih učesnika imali smo se priliku upoznati s obilježjima drugih zemalja, njihovim specifičnostima, prirodnim ljepotama, tradicijom, a mogli smo vidjeti i veliku raznolikost pristupa danom zadatku. Prisustvovali smo i radionici u kojoj smo naučili koristiti e-twinning. 2. faza: Povijest geometrije, putujemo u Rumunjsku Zadaća ove etape bila je dvojaka. Valjalo je predstaviti hrvatskog matematičara koji je dao doprinos na području geometrije te osmisliti i izvesti igrokaz koji oslikava život proizvoljnog matematičara 16. stoljeća. Budući da se u srednjoškolskoj nastavi matematika sustavno ne obrađuje s povijesnog aspekta, temu je trebalo dobro istražiti, prikupiti podatke, proučiti ih te konačno izvršiti postavljeni zadatak. Inspiraciju za igrokaz pronašli su u Držićevom Dundu Maroju. Kao glavnog protagonista odabrali su Marina Getaldića, te ga smjestili u donekle autentičnu no ipak fantastičnu izmišljenu priču. Posudili su kazilišne kostime toga vremena. krivulja drugog reda koristeći kombinaciju Power pointa i The Geometer's Sketchpada, zatim profesora Stanka Bilinskog i njegovo istraživanje na području Arhimedovih tijela. Štoviše, zanimalo ih je do koje mjere građani Zagreba poznaju 146

147 spomenute znanstvenike pa su proveli anketu na tu temu, a njezine su rezultate prikazali na vrlo zgodno osmišljenom plakatu. Naši su učenici predstavili Josipa Rudjera Boškovića kroz njegovu teoriju. Ni u ovoj fazi samo matematika nije bila dovoljna, trebalo je posjedovati daleko šira znanja, imati maštu, biti snalažljiv, čitati literaturu, poznavati dramu,da bi se udovoljilo zahtjevu zadatka. 3. faza: smijemo se uz geometriju, odredište Španjolska Pred sudionike je bio postavljen zabavan zadatak: izrada geometrijskih anegdota, šala, karikatura. Zadatak koji svakako traži dobro poznavanje geometrijskih pojmova, a zatim i dozu duhovitosti, te vještinu crtanja. 4. faza: Geometrija u arhitekturi XV. gimnazija bila je domaćin ovoga skupa. Radilo se o temi koja je pobudila najveći interes među našim učenicima. Za njih je ova tema bila izuzetno privlačna i intriganta, a spektar interesa i viđenja ove teme širok i sveobuhvatan, kao i načini predstavljanja teme. Sagledavali su je povijesno, od vremena starih Egipćana pa sve do moderne arhitekture, geografski gledano neki su promatrali geometriju arhitekture svijeta, dok su drugi promatrali geometriju centra Zagreba, pojedinih 147

148 objekata ili čak soba i njihove konstrukcije. Neki od učenika su geometrijske elemente arhitekturi pokušali razumjeti kroz prizmu umjetnosti, koja je neizostavna u ovom području čovjekova stvaranja. Nabrojat ćemo neke od naših radova: film koji prikazuje intervju s arhitektom Andrijom Rusanom, radovi o paviljonu jeke, paviljonu na Zrinjevcu, tzv. gluhoj sobi na FER-u, mostu u Sisku, geometrija moderne arhitekture Zagreba, zlatni rez u arhitekturi, geometrija arhitekture dvoraca. 5. faza: Fraktali, Litva Mnogi od učenika nisu se ranije susreli s ovim pojmom, a mnogi su samo bili čuli za njega. Međutim, ishodi promišljanja i istraživanja te rada na ovoj temi pokrili su brojna područja od umjetnosti, informatičke tehnologije, provođenja eksperimenta do uočavanja fraktalnih struktura u prirodi. Naši su učenici kreirali nakit izrađen od fimo mase s motivima fraktala, neki su ušli u matematički opis fraktalnih struktura, neki su pak pokazali primjenu fraktalne teorije u izradi računalnih igara. Kreirali su fraktale pomoću računalnog programa napisanog u programskom jeziku Phyton. Proveli su eksperiment koji kao rezultat generira fraktale. Radi se o dvije paralelne staklene ili pleksiglas ploče (s rupicom u sredini jedne) koje se polože jedna na drugu. Između njih se ulije obojana 148

149 tekućina koja se u obliku fraktala razlije po međuprostoru između ploča. Ishod pokusa ovisi o viskozitetu tekućine, pritisku ploča, razmaku između ploča i površinskoj napetosti. Napravili su i vizualno atraktivan plakat o mandalama i njihovoj povezanosti s fraktalima. 6. faza: Geometrija u prirodi, Francuska Učenička promišljanja na ovu temu zadiru u sfere biologije, zoologije, kemije, fizike i geografije. Ispostavilo se da učenici doista uočavaju geometriju u prirodi i svijetu oko nas. Napravljen je kratki film o geometriji pčelinjih saća, koji uključuje računalnu 3D konstrukciju saća i njihovu animaciju te obradu rada Ruđera Boškovića o toj temi. Napravljen je i video rad koji prikazuje pojave i predmete u prirodi, biljnom i životinjskom svijetu koji su geometrijskog oblika, a neki od njih su karakteristični za Hrvatsku. Pred nama je još samo par mjeseci rada jer projekt 'Geometry in Everyday Life' završava krajem ove školske godine. Bavit ćemo se geometrijom u umjetnosti, nacionalnim ornamentima, nemogućim konstrukcijama. Vjerujemo da smo već do 149

150 sada ostvarili mnoge od ciljeva. Zadovoljni smo jer uviđamo da je kroz ovaj projekt korelacija matematike sa drugim nastavnim predmetima za naše učenike postala prirodna i kako su oni toga svjesni. Razvila su se mnoga prijateljstva i vjerujemo da će svi učesnici zadržati ovaj dio svojeg školovanja u lijepom sjećanju. Detaljnije informacije o ovom projektu nalaze se na web stranicama XV. gimnazije: 150

151 VRČI PINČUK ILI STAVITI TOČKU NA I Roč kroz povijest glagoljaška tradicija Gigliola Činko Glavić, prof. matematike OŠ Drago Gervais Brešca gigli11@net.hr Sažetak U ovom članku iznesen je hodogram integriranoga nastavnog dana u kojem su sudjelovali učenici viših razreda osnovne škole. Realiziran je u istarskom gradiću Roču. Uz korištenje prethodno stečenog znanja, učenici su rješavali unaprijed postavljene zadatke vezane uz prošlost i sadašnjost gradića kroz integraciju knjižničarstva, matematike i povijesti. Cilj članka je prikazati lakoću integracije triju naizgled nespojivih područja/predmeta na terenu s naglaskom na grupni rad. Ključne riječi: integracija, korelacija, glagoljica Uvod U Osnovnoj školi Drago Gervais Brešca u listopadu školske 2012./2013. godine organizirana je nastava kroz integrirani dan. Kako je tema bila glagoljica, knjižničarka Škole Mirela Tuhtan, učiteljica povijesti Nera Malbaša Kovačić i učiteljica matematike Gigliola Činko Glavić krenule su nekoliko dana prije u Roč kako bi proučile teren. Tako su dobile ideju kako učenicima prikazati ovaj glagoljaški centar s povijesnog i kulturnog aspekta, a sve to još začiniti i zanimljivim matematičkim zadacima. Izvedba korelacije Nakon izlaska iz autobusa učenici su nasumično podijeljeni u grupe od po četiri učenika. Svaka je izabrala vođu i ime u obliku glagoljičnog slova. Vođa je dobio veliku kuvertu s uputama u kojoj se nalazila: uvećana karta Istre, plastificirane tablice s glagoljičnim znakovima i njihovim latiničnim i brojevnim značenjem te prvi listić sa zadacima. Taj i svaki sljedeći listić (ukupno 8) sadržavao je pitanja iz sva tri gore navedena područja/predmeta, zadatke za rješavanje, poneku zanimljivost kao i kratke tekstove naslova Jeste li znali? Na kraju je pisalo i kojim putem grupa treba krenuti kako bi pronašla novi listić (dobro skriven u duplji drveta, ispod kamena, pod klupicom, u živici itd.). Grupe su se razlikovale po boji listića, kako kod traženja ne bi došlo do zabune. 151

152 Rješavajući zadatke sve su grupe došle do prvog odredišta - Turističko-informativnog centra 19 Roč. Tu se nalazi replika Gutenbergova tiskarskog stroja, a gospođa Mirjana Pavletić ispričala je učenicima priču o njemu i pokazala kako se na njemu tiskalo. Slika 1. i 2. Formiranje grupa Istraživanje starog grada Roča nastavilo se u dva smjera: iz TIC-a prema pozornici krenule su dvije grupe, a u suprotnom smjeru ostale tri. Vođeni uputama na listićima učenici su otkrivali stare glagoljske zapise uklesane u kamen, zamišljali povijesne bitke kraj Mletačke bombarde 20, čudili se vrstama srednjovjekovnih globa u Roču, saznali važnost Glagoljaškog abecedarija i Žakana Jurija, prvi put vidjeli lapidarij i još puno, puno toga. Za ovakav oblik terenske nastave bila su potrebna tri sata. Po povratku, učiteljice su ispravile ispunjene listiće i proglasile najuspješniju grupu. Na proglašenju, učenici su još jednom primijenili znanje stečeno na integriranom danu, tako što su sami dešifrirali ime svoje grupe napisano na glagoljici te broj osvojenih bodova. Svi učenici dobili su prigodne diplome u daljnjem tekstu TIC 20 preteča topa iz 15.st. 21 vidi prilog 152

153 Slika 3. Primjer jednog od listića vidi prilog 153

154 Slike 4. i 5. Skriveni listić i traženje listića Slika 6. Priča o tiskarskom stroju Slika 7. Tko će točnije izračunati površinu? Slika 8. Mjerenje opsega ladonje sredozemna biljka iz porodice brijestova 154

155 Slike 9. i 10. Rješavanje zadataka Zaključak Ovakav je način rada učenicima bio vrlo zanimljiv i izazovan. Svi su članovi grupe aktivno sudjelovali u radu, budući da je trebalo pozorno čitati, pisati odgovore na pitanja, tražiti, rješavati zadatke, mjeriti, zaključivati, fotografirati. Također, imali su priliku primijeniti dosad naučeno znanje iz povijesti, matematike i opće kulture, ali i pokazati svoju snalažljivost, spretnost i vještinu komunikacije u grupi. Popis literature 1. Josip Bratulić: Aleja glagoljaša: Roč-Hum, novo izd. 2. Branko Fučić: Glagoljski natpisi, JAZU, Branko Fučić: Terra incognita, Kršćanska sadašnjost, Zdenko Balog: Roč u srednjem vijeku: Roč i Rošćina od kasne antike do Uskočkih ratova, Reprezent, istrapedia.hr 155

156 KNJIŽEVNOST U FUNKCIJI SUVREMENE NASTAVE MATEMATIKE Ivan Dražić, prof., predavač idrazic@riteh.hr Mr. sc. Katica Jurasić, prof., viši predavač jurasic@riteh.hr Tehnički fakultet u Rijeci Sažetak U uvodnom dijelu predavanja predstavit će se recentni znanstveni rezultati koji se odnose na primjenu interdisciplinarnog pristupa te korelacija u nastavi matematike s posebnim osvrtom na povezivanje matematike i književnosti, a detaljno će se razraditi sustav implementacije književnog teksta u nastavi matematike prema prof. Astrid Beckmann. Osim teorijskih rezultata bit će navedeni i brojni književni tekstovi koji se mogu koristiti u nastavi matematike, kao i primjeri implementacije istih. Pažnja će biti posvećena i mogućnosti nastanka novih književnih tekstova baziranih na matematičkim sadržajima pri čemu se ova metoda opisati na konkretnim slučajevima. Na kraju predavanja bit će ukratko predstavljena kvalitativna analiza jedne primjene književnog teksta u radu s nadarenima. Ključne riječi: korelacija, interdisciplinarnost, književnost, nastava matematike Iako matematičari to nerado priznaju velikoj većini djece matematika će u životu biti samo neophodan alat i učenju matematike pristupaju na taj način. Motivirati učenika da matematiku uči zbog njene unutarnje ljepote prema tome nemoguća je misija i funkcionira kod malog dijela učeničke populacije 24. Preostali dio učenika možemo na učenje matematike motivirati na dva načina: 1) Pokazati im zašto uče matematiku, odnosno težište nastave staviti na primjenu matematičkih znanja i vještina u realnim i svakodnevnim situacijama; 2) Učenje matematike zamaskirati kroz učenje ostalih, učenicima bližih područja znanosti i umjetnosti. U oba navedena pristupa od velikog je značaja, tzv. interdisciplinarni pristup, odnosno maksimalno korištenje korelacija u nastavi. Korelaciju kao takvu možemo iskoristiti na više načina, od kojih se danas najviše koriste sljedeća dva: 24 Recentna istraživanja pokazuju i poraznu činjenicu da primarni interes za matematiku opada godinama školovanja, odnosno da učenici koji su na nižim razinama obrazovanja voljeli matematiku na višim stupnjevima školovanja gube primarni interes za matematiku. Također se pokazuje da je ta pojava svake godine sve jače izražena. 156

157 1) Korelaciju koristimo kao nastavnu metodu na način da se u sklopu primarne nastave matematike pozovemo na postojeća znanja i vještine iz drugih nastavnih predmeta; 2) Nastavu organizirati interdisciplinarno na način da se u isto vrijeme kroz istu temeljnu temu obrađuje gradivo iz nekoliko predmeta, pri čemu se nastavne teme matematike i ostalih predmeta mogu prožimati u većoj ili manjoj mjeri. Veliki broj svjetskih istraživanja bavi se interdisciplinarnim pristupom u poučavanju matematike. Rezultati takvih istraživanja kvalitativno se mogu iskazati kroz sljedeće zaključke: 1) Interdisciplinarni pristup značajno povećava razinu motivacije za obrađivanje matematičkog sadržaja; 2) Interdisciplinarni pristup značajno utječe na smanjivanje učenikove razine stresa; 3) Interdisciplinarni pristup pozitivno utječe na razinu usvojenosti matematičkih znanja i vještina. Prema svemu navedenom neosporna je činjenica da korelacija između nastavnih predmeta nužno mora igrati veliku ulogu u suvremenoj nastavi matematike. Međutim, otkrivanje korelacija nije laka zadaća i često kod učitelja zahtjeva dodatni angažman. Učitelji koji često primjenjuju interdisciplinarni pristup nastavi ističu da za pripremu interdisciplinarnog sata matematike trebaju dvostruko više vremena nego za pripremu klasičnog nastavnog sata. No kako je primarni cilj učitelja postići čim veću razinu usvojenosti znanja i vještina kao i zadovoljstvo učenika u nastavnom procesu svaki dobar učitelj neće žaliti dodatni angažman i prilagoditi će nastavu suvremenim trendovima koliko god mu to mogućnosti dopuštaju. Neke korelacije u nastavi matematike, kao što je primjerice korelacija sa fizikom, su prirodne i već implementirane u nastavni proces. U želji da učeniku ponudimo nešto novo tražit ćemo nove korelacije i sami otkrivati gdje se sve danas nalazi matematika. Na tragu toga je i ovaj članak koji će odškrinuti vrata nečem ne toliko uobičajenom u podučavanju matematike korištenju književnog teksta u nastavi. Književni tekst u nastavi matematike Kategorizaciju književnih tekstova koji se mogu koristiti u nastavi matematike dala je Astrid Beckmann, profesorica matematičke edukacije na Visokoj pedagoškoj školi u Schwabisch Gmuendu (Njemačka). Beckmann kategorizira književne tekstove koji se mogu koristiti u nastavi matematike u tri kategorije: 1) tekstovi u kojem se matematički sadržaji pojavljuju u malom dijelu ukupnog teksta, 2) kratki tekstovi koji se u cijelosti bave matematikom, 3) opsežni književni tekstovi koji su u cijelosti posvećeni matematičkim sadržajima. Na hrvatskom govornom području (računajući i dostupne prijevode književnih dijela) tekstovi treće kategorije praktički ne postoje. Tekstovi druge kategorije već su našli svoje mjesto u udžbenicima, posebice u udžbenicima nižih razreda. Tu spadaju različite pjesmice i brojalice koje učenicima služe za lakše učenje definicija i svojstava. 157

158 Najzanimljiviji su tekstovi prve kategorije sasvim obična i realna književna djela u kojima se nalazi nešto matematičkog sadržaja. Navedimo neke klasične primjere takvih djela: J. W. Goethea Faust. U prizoru Vještičja kuhinja kroz stihove se opisuje magični kvadrat. J. Verne Put na mjesec. U knjizi se nalaze precizne definicije parabole i hiperbole. Više detalja o navedenim književnim djelima i mogućnosti njihove implementacije u nastavni proces može se pronaći u autorovu radu Književni tekst kao didaktičko sredstvo objavljenom u časopisu Matematika i škola broj 38 iz godine. Osim tekstova o kojima govori Beckmann spomenuli bi i tekstove u kojima nema nikakvih matematičkih sadržaja. Oni također mogu naći veliku primjenu u nastavi matematike stvarajući idealno okruženje za postavljanje zadataka što će biti objašnjeno nešto kasnije. Mogućnosti korištenja književnog teksta u nastavi matematike Navedimo sada neke metodičke okvire za korištenje književnih tekstova u nastavi matematike koji se danas koriste. Matematička lektira Jedan mogući način iskorištavanja književnom teksta je da se učenicima (po mogućnosti u suradnji s profesorom književnosti) daje domaća zadaća u vidu čitanja knjige ili nekog kraćeg teksta koji u sebi sadržava matematičke sadržaje. Prilikom obrade gradiva, odnosno izvođenja sata, nastavnik se referira na ulomak iz teksta koji se bavi matematikom. Primjer ovakvog sata biti će opisan u nastavku. Kao domaća zadaća mogu biti zadaci za čije rješavanje je potrebno pročitati neki književni tekst. Primjerice Osoba A dobila je povišicu od 20%. Kolika je njena plaća nakon povišice? Informaciju o visine plaće osobe A pročitajte u. Korištenje fiktivne stvarnosti iz nekog književnog djela u tekstu zadataka. Ovo posebno ima učinka ako se radi o književnom djelu kojeg učenici čitaju zbog toga što to žele, a ne jer moraju. Kao primjer ćemo navesti fiktivnu stvarnost iz romana o Harry Potteru, o čemu će biti riječi nešto kasnije. Čitanje teksta na satu Pripremi se kratki književni tekst koji je na neki način povezan s matematikom. Primjerice kratka priča koja može poslužiti kao uvod u neku nastavnu temu. Učenici tekst čitaju samostalno ili ga se čita na glas te se učitelj u nastavku sata referira na sadržaj teksta. Kasnije u članku biti će prikazan sat koji u svrhu motivacije koristi kratku priču Zakon. 158

159 Na kraju cjelina, kako bi se što bolje usustavilo naučeno gradivo učenici na glas čitaju kratka djela, najčešće u stihu, koji na zabavan način naglašavaju bitna svojstva objekata koji se u prethodnom satu obrađivao. Jedan primjer takvog teksta naveden je u već spomenutom autorovom članku pod naslovom Književni tekst kao didaktičko sredstvo. Samostalno stvaranje književnih djela Iako u procesu stvaranja književnih djela, pa bila ona i amaterska, moramo poštovati vrijeme potrebno za njihovo stvaranje, sasvim sigurno možemo pokušati sa jednom drugačijom domaćom zadaćom. Primjerice: Napišite scenarij skeča u kojem dva prijatelja upoznaju svojstva parabole. Budite kreativni i zabavni, ali nemojte zaboraviti na matematičku preciznost. Učenici mogu biti izuzetno kreativni i ovakvi uraci mogli bi poslužiti kao osnova mnogih budućih nastavnih satova. Neke mogućnosti konkretne primjene književnog teksta u nastavi Nastavna tema: Dokaz Pitagorina poučka Čitajući svima poznati roman Vrli novi svijet zainteresirala me književna logika Aldousa Huxleya 25 i sasvim slučajno naišao sam na njegovu priču Mladi Arhimed. Ovo maestralno, iako kratko književno djelo, nažalost dostupno u arhaičnom prijevodu koji bi za potrebe nastave trebalo prilagoditi suvremenom jeziku i terminologiji, osim što daje uvid u svakodnevicu građanskog života Toskane autorova doba, opisuje pitoreskne toskanske krajolike, daje kratki pregled remekdjela klasične glazbe, a čak opisuje i princip rada gramofona. Priča počinje humoristično, opisujući odnos firentinske stanodavke i stanara polako uvodeći u radnju malog Guida kojeg pripovjedač naziva mladim Arhimedom opisujući njegovu nevjerojatnu genijalnost genijalnost koja završava tragičnim krajem jednog mladog života na surov i realističan način dočaravajući i danas aktualne probleme iznimno nadarene djece. Mladi Arhimed, iako gotovo stoljeće staro književno djelo, čita se u jednom dahu. Pruža čitaocu književni maksimum zanimljive likove, jasnu radnju, humor i tragediju, a za ljubitelje matematike posebnu poslasticu dva dokaza Pitagorina poučka koja su nevjerojatno logično ukomponirana u tekst tako da se stječe dojam da su oni tu zaista zbog književnosti, a ne zbog matematike. Odlomke iz teksta koji se odnose na spomenute dokaze navodimo u originalnom prijevodu: Pa nastavi da dokaže Pitagorin poučak - ali ne onako, kako je to Euklid učinio, nego načinom jednostavnijim i uvjerljivijim, koji je po svoj prilici upotrijebio Pitagora sam. Nacrtao je četvorinu i razdijelio je dvjema unakrsnim okomicama u dvije četvorine i dvije jednake pravokutne pačetvorine. Jednake pravokutne pačetvorine razdijelio je opet njihovim priječnicama u četiri jednaka pravokutna trokuta. 25 Aldous Huxley (Godalming, Los Angeles, ) 159

160 Dvije četvorine imadu da budu četvorine na dvjema stranicama svakoga od tih trokuta, koje nisu hipotenuze. Tako je nacrtao prvi geometrijski lik. U drugom je uzeo četiri pravokutna trokuta, u koja su pravokutne pačetvorine bile podijeljene, i tako ih poredao oko prvobitne četvorine, da su njihovi pravi kutovi ispunjavali uglove četvorine, hipotenuze bile okrenute unutra, a veće i manje stranice bez prekida sastavljale stranice četvorine (od kojih je svaka jednaka zbroju tih stranica). Tako je prvobitna četvorina nanovo razdijeljena u četiri pravokutna trokuta i četvorinu na hipotenuzama. Četiri trokuta jednaka su dvjema pravokutnim pačetvorinama prvobitne podjele. Zato je četvorina na hipotenuzi jednaka zbroju dviju četvorina četvorina na drugim dvijema stranicama u koje je zajedno s pravokutnim pačetvorinama prvobitna četvorina najprije bila razdijeljena 26. U tom dokazu čovjek spusti okomicu od pravoga kuta na hipotenuzu, a polazeći sa činjenice, da su dva tako stvorena trokuta skladna između sebe i s prvobitnim trokutom i da je razmjer, u kome njihove slične stranice stoje jedna prema drugoj, zato jednak, može se algebraičnom formulom dokazati da su (četvorine na objema drugim stranicama) jednaki (četvorinama na dvjema osječcima hipotenuze) plus ; a ovo potonje je, to se lako može dokazati geometrijski, jednako ili četvorini na hipotenuzi 27. Priča Mladi Arhimed dio je istoimene kolekcije kratkih priča Aldousa Huxleya tiskane godine. Neka izdanja ove kolekcije poznata su i pod nazivom jedne druge priče - Mali Meksikanac. U Hrvatskoj je priča objavljena kao dio kolekcije Giocondin posmijeh i druge pripovijesti iz u izdanju Matice Hrvatske i prijevodu Vinka Kriškovića. Knjiga je dostupna u Nacionalnoj i sveučilišnoj knjižnici u Zagrebu te nekim manjim knjižnicama diljem Hrvatske, a u ponudi je ima i veći broj antikvarijata. Ovo književno djelo je zaista vrijedno i bilo bi šteta ne obraditi ga potpuno, odnosno smatramo da bi mu trebalo pristupiti interdisciplinarno u vidu projekta gdje bi obradu započeo nastavnik književnosti, a na njega se referirali nastavnici glazbene kulture i matematike. Korištenje priče Mladi Arhimed na satu matematike očitovalo bi se u vidu rekonstrukcije dokaza Pitagorina poučka navedenih u djelu, bilo frontalno, bilo kroz samostalan rad učenika ovisno o njihovoj sposobnosti. Nastavna tema: Uvod u statističko zaključivanje Kako bi učenicima što bolje predočili statističke zakonitosti i principe, kao i česte pogrešne, pa ponekad i groteskne interpretacije istih na koje možemo naići u svakodnevnom životu može nam pomoći kratka priča Roberta Myrona Coatesa Huxley, Aldous, Giocondin posmijeh i druge pripovijesti, Matica Hrvatska, Zagreb, 1938., str Huxley, Aldous, Giocondin posmijeh i druge pripovijesti, Matica Hrvatska, Zagreb, 1938., str Robert Myron Coates ( ) američki pisac i dugogodišnji kritičar časopisa New Yorker 160

161 pod nazivom Zakon. Priča govori o općem čuđenju koje se dogodi kad se jedan dan dogodi odstupanje od prosječne količine prometa na mostu Triborough, kao i o ljudskoj gluposti proizašloj iz grotesknog tumačenja opisane anomalije. Automobilski promet, kao i većina drugih ljudskih djelatnosti na velikoj skali, ovisi o Zakonu prosjeka tom velikom starom pravilu koje tvrdi da će masovne ljudske djelatnosti uvijek slijediti stalne obrasce i na osnovu prijašnjeg iskustva uvijek je bilo moguće proreći gotovo do posljednje znamenke, broj automobila koji će prijeći most u bilo kojem zadanom satu dana ili noći. U ovom su slučaju, ipak, prekršena sva pravila. Tijekom odborskog istraživanja otkriveno je, na opće zaprepaštenje, da Zakon prosječnosti nikada nije uključen u sadržaj saveznog prava, i premda su se branitelji prava svake pojedine države žestoko suprotstavljali, previd je odmah ispravljen ustavnim amandmanom i zakonom Hills Slooperovim zakonom koji ga je implementirao. Prema zakonu, od ljudi se zahtijevalo da budu prosječni i, kao najjednostavniji način da se to osigura, oni su bili abecedno podijeljeni i njihove dopuštene djelatnosti dosljedno katalogizirane. Coatesov motiv za pisanje ove priče naravno nije bila niti matematika niti statistika već je to njegovo razmišljanje o ljudskim pravima i slobodama te ponašanje vlasti u odnosu na iste. Upravo ta činjenica, odnosno različiti pristupi ovoj kratkoj priči mogu poslužiti u stvaranju potpuno revolucionarne korelacije u nastavi Matematike i Politike i gospodarstva ili pak izbornog predmeta Ljudska prava. Priča Zakon dostupna je on-line u časopisu Vijenac broj 305 od 24. studenog u prijevodu Borisa Marune, a u sklopu njegove antologije svjetske kratke priče. Primjer iz vlastite prakse Metodu opisanu pod nazivom Matematička lektira implementirali smo u sklopu E-učionice u OŠ Gornja Vežica u Rijeci gdje je jedan nastavni sat za nadarene učenike šestih i sedmih razreda u potpunosti bio posvećen temi Harry Pottera. Primjerice, jedan od postavljenih zadataka glasio je ovako: Debela dama 29 (lik iz knjige) odlučila je napraviti lozinke od slova iz riječi Hermiona koje su jednako dugačke kao i ta riječ. a) Koliko lozinki ima na raspolaganju ako se znakovi u lozinci mogu ponavljati? b) Koliko se lozinki može napraviti ako se znakovi mogu ponavljati a na prvom mjestu mora biti samoglasnik? c) Riješite zadatke a) i b) ako bi osnova za formiranje lozinki bila Harry. Rješavanje svakog zadatka započelo je pozadinskom pričom o zadatku, gdje su do izražaja dolazili učenici. Također svaki zadatak prati i odgovarajuća fotografija na projekciji. U spomenutom zadatku učenici su se kroz razgovor prisjetili lika Debele dame i nekih njenih lozinki i tako se na zabavan način stvorilo motivirajuće okruženje za rješavanje ovog zadatka. 29 Lik iz knjige 161

162 Spomenuti nastavni sat bio je pod nadzorom voditeljice projekta, profesorice Alene Dike koja je napravila kvalitativnu analizu sata. Izdvojili bi nekoliko rečenica iz njenog izvješća: Učenici zavidno poznaju život, prijatelje i doživljaje mladog čarobnjaka koji su opisani u istoimenom romanu spisateljice J. K. Rowling. Razgovor prati učenički osmjeh prisjećanja na prizore iz romana kojeg su, kako sami kažu, pročitali "u dahu". Slike na prezentacijama su tu kao kvalitetan izvor asocijacija za detalje iz romana koji će biti potrebni za uvod u rješavanje zadataka u središnjem djelu predavanja. Miran ton učiteljeva glasa, pojačava maštu i prilagođen je motivu predavanja. Središnji dio predavanja obuhvatio je zadatke različitog sadržaja, primjerene dobi, a svaki slijedeći zahtjevnije je težine. Bilo je očito da su učenici istinski uživali, a svi planirani obrazovni ishodi su u potpunosti ispunjeni. Umjesto zaključka Američki esejist William Styron jednom je prilikom rekao da dok čitamo dobru knjigu živimo i stvaramo nekoliko života, pa neka jedan od tih života bude posvećen matematici i poučavanju, otvarajući nam put za nove ideje. Literatura: 1. Dražić, I. (2007.), Književni tekst kao didaktičko sredstvo, MIŠ VIII (38), Beckmann, A. (2009). A Conceptual Framework for Cross-Curricular Teaching. The Montana mathematics Enthusiast (TMME), Vol. 6, Supplement 1 3. Newell, W. H., 1994, "Designing interdisciplinary courses", in Interdisciplinary Studies Today, J. Klein, W. Doty (eds.), San Francisco: Jossey-Bass Publishers, Davis, J. R., 1995, Interdisciplinary Courses and Team Teaching, Phoenix, AZ: American Council on Education - The Oryx Press 162

163 MALALI YOUSASFZAI ILI NEDOVRŠENA PRIČA Mr. sc. Senka Sedmak Zagreb Sažetak: U članku se raspravlja o hipotezi da je muški mozak bolji u razumijevanju matematike od ženskog. Za analizu prikazana je rodna distribucija srednjoškolaca koji su se plasirali na državno natjecanje iz matematike u godinama od do. Rezultati pokazuju veću zastupljenost dječaka nego djevojčica. Ukazuje se na veći broj mogućih razloga tome. U pokušaju izbjegavanja simplifikacije, na skupu će se prezentirati i, za sada još nepoznata, rodna distribucija među nastavnicima matematike - učesnicima ovog kongresa. Članak nudi mogućnost interpretacije u slučaju da i tu prevladavaju muškarci. Također, govori se o mogućoj interpretaciji ako se pokaže suprotno. Ni jedno ni drugo ne poziva samo na akademsku reakciju, nego na korekciju ponašanja. Cjelokupno iskustvo autorice kao i nesporni mjerljivi podaci, ukazuju da nastavnici trebaju djevojkama pomoći točno istim promišljenim odnosom prema nastavi matematike, istim povjerenjem i očekivanjima kao i mladićima. Već su se time suprotstavili zasadama patrijarhata. Dodatno, trebaju ublažiti njegov pogubni utjecaj na žensku populaciju i ponuditi im stručno zasnovano ohrabrenje, poticaj i samopouzdanje. Ključne riječi: razumijevanje matematike, rodna distribucija, patrijarhat, ohrabrenje, poticanje, samopouzdanje Zabilježimo ovdje nekoliko nedavnih novinskih članaka koji se nehotično uključuju u raspravu našeg. Štampa izvještava o renomiranom znanstveniku koji je lažirao podatke u preko 65 znanstvenih radova ostavljajući time čak i u stručnoj javnosti dojam da je dokazao teze u koje je želio da se povjeruje. Zemlja je Nizozemska, domišljati sveučilišni profesor zove se Stapel. Podsjetilo je to neke na jedan raniji nezadovoljavajući novinski članak o razlikama između ženskog mozga i muškog mozga. Argumentirano osporavanje da, osim spolnih organa, i drugi funkcioniraju kao ženski ili kao muški, zahtijevalo bi krajnje odgovorno koncipiran eksperiment i teško ostvarive uvjete koji bi trebali omogućiti izoliranje samo jedne varijable u mogućem utjecaju na rad organa o kojem je riječ. To ovdje ne možemo učiniti. Veći je problem što, kad se radi o mozgu, to nije uspio učiniti ni Stapel, autor ranije spomenute teze. Ipak sa ona, iako dakle nedokazana, probila do tiska. Ovaj članak može tek ukazati na postojanje brojnih faktora koji mogu uzrokovati razlike između ženske i muške populacije u bilo čemu. Ovdje - u uspješnom savladavanju matematike. Ukazuje se tu na podatke koji dokazuju bar opravdanu sumnju u različite vrste mozgova. Glavni cilj članka je, međutim, potražiti poželjne promjene u odgoju i obrazovanju i šire - u društvenom tretmanu djevojčica i dječaka, koje bi vodile njihovoj stvarnoj ravnopravnosti u pravu na obrazovanje. I ne samo njemu. 163

164 Danas su rodne razlike u pravu na obrazovanje manje nego što su nekoć bile. U Hrvatskoj su manje nego u Pakistanu ili Afganistanu. Možda stvari teže ravnoteži same po sebi i nije se vrijedno njima baviti? Elie Wiesel (Nobelova nagrada za mir 1986.) kaže: Uvijek trebamo zauzeti stav. Neutralnost pomaže tlačitelju, nikada žrtvi. Tišina potiče mučitelja, nikada mučenika. Riječi Elie Wiesel nisu prikladne su za ilustraciju odnosa društva prema djevojčicama. Djevojčice nisu žrtve. Bar ne uvijek, ili svuda, ili sve one. Još se veća greška čini pretpostavljajući da spomenuta analogija govori protiv muškaraca. Nipošto! Cijenimo suradnju poštovanih kolega i dragih prijatelja koji u tako velikom broju uviđaju pravednost pružanja jednakih šansi svima. Govorimo protiv patrijarhalnog društva koje u krivnji s mnogim drugima ujedinjuje i majke i profesorice obeshrabrenih djevojčica. Takvo društvo ne preže ni pred znanstvenim obmanama ni pred najgrubljim nasiljem u pokušaju održavanja neravnopravnosti. MALALA YOUSAFZAI iz Pakistana, 14 godišnja djevojčica, čudom je preživjela ranjavanje s 2 metka u glavu. Zločinac je pucao u nju jer je htjela ići u školu i o tome javno govorila. Pisala je o potrebi, želji i pravu djevojčica na školovanje. 17- godišnjoj Pakistanki Hina-i Khani prijete ubojstvom iz istog razloga. Hinina majka Farhat Rayat izložena je prijetnjama, jer potiče žene na rad. Htjela je, naime, organizirati tečaj na kojem bi podučila žene kako da izrađuju i prodaju ručne radove. Prema izvještaju UNESCO-a, u Pakistanu se više od djevojaka i djevojčica ne školuje. U Afganistanu je već treći put otrovana voda u školi za djevojčice. Za vladavine talibana u toj je zemlji djevojčicama školovanje bilo zabranjeno. Šutnja je moralno nedopustiva! Drage Malala, Hina i Farhat, drage djevojčice iz Afganistana kojima ni imena ne znamo, vašoj hrabrosti i želji za znanjem divljenje i hvala. Vama smo dužni nijemo obećanje da će naša briga za razvoj sposobnosti kritičkog promišljanja, priliku njegovog iskazivanja i mogućnost prihvaćanja domišljenog u školstvu naše zemlje za djevojčice biti ništa veća, ali i ništa manja nego za dječake. I da se nećemo zaustaviti samo na školstvu. Ni u obitelji - prije škole, niti nakon školovanja - u profesionalnom životu, ne smije se prihvaćati manja prava za djevojčice (niti tražiti veća). Ne živimo ni u Afganistanu, ni u Pakistanu. Kod nas je rodna ravnopravnost već ostvarena. Je li zaista? Hrvatska je jedina europska zemlja u kojoj je mlada generacija sklonija konzervativizmu i tradicionalizmu od svojih roditelja. Uključujući tu odnos prema ulozi žene u društvu, kaže istraživanje objavljeno početkom svibnja Od Afganistana i Pakistana smo bolji, kad je riječ o pravima žena. Od nordijskih zemalja gori, tu su činjenice opće poznate. Što kažu nasumične informacije iz nedavnog tiska o Kanadi ili SAD? Parlament Kanade potvrdio je protuustavnost dosadašnje prakse po kojoj približno polovično žensko stanovništvo, za vrste sportova i rekreacije koje su njima zdravstveno i drugačije važne, dobiva iz budžeta karikaturalno minorna sredstva u usporedbi s nogometom i sličnim muškim zanimacijama. Ne treba trošiti riječi o istoj temi kod nas. Odstranjivanje dojki poznate američke glumice šokiralo je neke, a nas navelo na jednu primjedbu o tome. 164

165 Hrvatski zavod za zdravstvo odobrava proteze ženama kojima je odstranjena dojka samo ako su mlađe od 65 godina. Službeno se i zakonski, dakle, prihvaća da je psihičko stanje tih žena nevažno (u kupaćem kostimu će se bez dojke jednako loše osjećati 66-godišnjakinja kao i desetak godina mlađa žena). Hrvatski se zakon, međutim, pobrinuo da ne umanji zadovoljstvo ili spolno uzbuđenje muškaraca pri pogledu na žene. Ignorirao je pritom psihičko stanje žena o kojima je riječ ako su one starije i ne naročito zanimljive muškarcima. Časopis na dvije strane savjetuje kućni posao kao način gubljenja kalorija i, posredno, boljeg zdravlja i izgleda. Eksplicitno i isključivo - ženama. Osnivanje vrtića redovno se interpretira kao pomoć ženama. Radi li se o tome da djeca nemaju očeve, da se očevi za njih ne brinu ili da promoviramo ideju kako i ne bi trebali brinuti za svoju djecu? Kako uspijevate pomiriti karijeru i obiteljski život pita se intervjuirane žene, nikad muškarce. U vezi je s mlađim partnerom ne zaboravlja se svaki put spomenuti uz žensko ime, nikad uz muško, ako je partnerica isto toliko mlađa. Djevojčice su često od rođenja izložene pritiscima patrijarhalnog društva. Očekuje se da budu lijepe, mile, poslušne, tihe, radine i uredne. Ne pita ih se za mišljenje i ne odobravaju nekontrolirani boravci van kuće. Drugo su braća. Jasno je da im treba igra s vršnjacima, samopouzdanje proizašlo iz odmjeravanja snage i duhovitosti te intelektualna znatiželja u rastavljanju igračaka. Ne može se od njih tražiti da budu uredni, a i nema potrebe za to. Sve će srediti mama, kasnije žena. Iako je i ona u radnom odnosu. Ugroženi patrijarhat spašava se zakonima i propovijedima, lažnim otkrićima i tradicionalizmom. Podržava i hvali pasivnost oba spola kad se umjesto zamaranja kritičkom misli upecaju na lagodni interes za trivijalnosti. Patrijarhat ne bi preživio da ga ne usvajaju pa odgojem prenose i žene, uvjerene da čine dobro. Neke djevojčice ipak u svojem domu imaju iskustva poticaja i pravednosti. Ali onda nauče čitati i smjesta su izložene zahtjevima da izgledaju, ne da budu. Da imaju, ne da znaju i stvaraju. Da prihvaćaju, ne da iniciraju. Pritisku društva ne može se izbjeći. U svojoj nastavnoj praksi autorica je naglašavala jednaka očekivanja od učenica i učenika. U pogledu moralnih i intelektualnih osobina. Dakle, u pogledu odnosa prema radu, traženja i nuđenja argumentacije, kritičkog mišljenja i posljedično, školskog i natjecateljskog uspjela, kasnije i profesionalnog. Dogodilo se upravo to što je očekivala. U 15 godina rada u srednjoj školi, veselila se što je četvoro njenih učenika uspjelo plasirati na Svjetsku matematičku olimpijadu i Mediteransko natjecanje: dvije učenice i dva učenika. Jedna učenica i jedan učenik predaju sada na Matematičkom odjelu PMFa. Osim njih, još je nekolicina obranila doktorat iz matematike pa predaju na drugim fakultetima, ili je rad na doktoratu u tijeku. Nemamo točne podatke, ali se zna dovoljno za tvrdnju da ni tu nema velike razlike između djevojaka i mladića. Isto vrijedi i za rezultate njezinih učenica i učenika na državnim natjecanjima iz matematike. O tome je imala zapaženi izvještaj u Genevi, na skupu Vijeća Europe Gender equality. Već tada, u Genevi, susrela se s drugačijim zapažanjima i razvila interes i osjetljivost za temu rodne ravnopravnosti u kasnijem radu. Ovaj je rad izraz namjere da s nastavnicima podijeli zapažanja i razmišljanja. Navest će se statistički podaci o usporedbi uspjeha mladića i djevojaka na državnim natjecanjima iz matematike. Jed- 165

166 naki zadaci za sve i anonimnost uradaka na tim natjecanjima jamče najveću moguću objektivnost, svakako veću nego ocjene tijekom redovnog školovanja. Željelo se rezultate usporediti s rodnom zastupljenošću među nastavnicima matematike. Ti su podaci bili samo djelomično dostupni. Onda se jednako zanimljivim rješenjem čini ad hoc statistika rodne razdiobe među onim nastavnicima matematike koji budu prisustvovali Kongresu Matematičkog društva Istra u Puli Ne samo da je patrijarhat nedovršena priča, koju će trebati dovršiti, nego je i ovaj članak nedovršen. Činjenica da su joj podaci o rodnoj distribuciji nastavnika matematike bili dostupni u mjeri koja ne dozvoljava ozbiljnu statističku obradu, dodatno je zaintrigirala autoricu. Učinilo joj se da članak, poput dobrog književnog djela, ne mora čitaocu ponuditi već formulirani zaključak. Dovoljno je opskrbiti ga (ili, na isti način i u istoj mjeri - nju) relevantnim podacima, s punim povjerenjem u sposobnost zaključivanja. (grafički prikaz rezultata djevojaka i mladića na državnim natjecanjima) Dječaci na državnim natjecanjima zaista postižu bolje rezultate nego djevojčice. Namjera je usporediti ovo s brojčanim pokazateljima o nastavnicama i nastavnicima matematike prisutnima na stručnom kongresu godine u Puli. Pokaže li se da, dosljedno većinskom udjelu dječaka na državnom natjecanju, učenicima predaju većinom muškarci nastavnici, tada pretpostavka da je muški mozak za matematiku zaista bolji od ženskog još nipošto nije dokazana, ali može funkcionirati kao razumna hipoteza u pokušaju ozbiljnog sagledavanja svih faktora. Ako se, naprotiv, pokaže da su među nastavnicima matematike žene u većini, valja potražiti uzrok ovoj čudnoj nedosljednosti. Vjerujemo li u istinitost hipoteze da muškarci bolje razumiju matematiku, onda mi svjesno sabotiramo umni razvoj svoje djece birajući one koji će ih podučavati lošije. Naša je krivnja nesagledivih posljedica. Činimo li tako mirne savjesti, to znači da u spomenutu hipotezu ne vjerujemo. Mislimo da žene jednako dobro (ponekad jednako loše) kao muškarci razumiju matematiku. Samo smo navikli da veći postotak testosterona u krvi uzrokuje više prodornosti i samopouzdanja, koje pada na plodno tlo našeg patrijarhalnog odgoja. Ukratko, dokazana je činjenica da se na slabo plaćenim radnim mjestima povećava broj žena i smanjuje broj muškaraca, neovisno od toga koje specifične talente ili vještine to radno mjesto zahtijeva. Bit će zanimljivo na skupu matematičara iščitati podatke koji nas zanimaju, raspraviti ponuđene hipoteze ili proširiti skup pitanja na koja želimo naći odgovore. Nalaženje dokaza mogućim odgovorima nadilazi mogućnosti skupa. Ono što jest moguće početi odmah sagledavanje je razlika proizašlih iz mjerljive razlike razine testosterona. Djevojke su manje kompetitivne, agresivne, hrabre i samopouzdane od svojih vršnjaka. Potisnimo svoje predrasude, ne predajmo se stereotipima, potaknimo djevojke i ohrabrimo ih. Ne honorirajmo najboljim ocjenama njihovu urednost i poslušnost, nego tražimo njihovo mišljenje, zapažanje, predviđanje, stav i dokaz. A prema mladićima? To isto. Nešto manji broj mladića nego djevojaka doživjet će povjerenje kao novo iskustvo, manjem broju hrabrost treba poticati. Za one kojima treba, takvo iskustvo može na presudan način promijeniti život u pozitivnom smjeru. 166

167 Literatura 1) Rezultati natjecanja iz matematike za školske godine od 2003/4 do 2011/12, AZOO 2) Darko Tot, prof: Odgojno - obrazovni radnici u odgojno obrazovnom sustavu Republike Hrvatske 167

168 SUNČANE URE Ljerka Herceg, prof. savjetnik, učiteljica matematike i fizike; OŠ Turnić, Rijeka Snježana Komadina, prof. mentor, učiteljica matematike; OŠ Turnić, Rijeka S a ž e t a k Za mjerenje vremena služimo se mehaničkim ili digitalnim satovima. Prije godina vrijeme se mjerilo pomoću okomito postavljenog štapa (gnomona) koji je na podlogu bacao sjenu. Naprednije mjerenje vremena bilo je upotrebom sunčanih ura: vertikalne, horizontalne, ekvatorske, polarne, Za izradu vertikalne ure potrebno je odrediti azimut podloge, kut nagiba sjenopokazivača i kut satnih linija. Ova vrsta ura postavlja se na zidove zgrada. Kod izrade ekvatorske sunčane ure moramo izraditi brojčanik, koji pod kutom geografske širine mjesta postavljamo na horizontalnu podlogu i okomito na središte brojčanika postavljamo sjenopokazivač. ura Ključne riječi: mjerenje vremena, gnomon, vertikalna sunčana ura, ekvatorska sunčana Sunčana ura Sunčana ura je jednostavna sprava koja mjeri vrijeme pomoću sjene štapa (gnomona). Kako se Sunce kreće po nebeskom svodu tako sjena štapa putuje po skali i pokazuje vrijeme. Stari narodi služili su se sunčanom urom kako bi odredili vrijeme, a danas nam sunčane ure služe kao ukras na zgradama i trgovima. Sunčana ura pokazuje dijelove dana, a to su sati. Ona se razlikuje od mehaničke ili elektroničke ure po tome što mjeri pravo Sunčevo vrijeme dok mehanička ura mjeri srednje sunčevo vrijeme. Kod mehaničkih ura ljeti pomaknemo kazaljke na satu jedan sat naprijed te se to vrijeme naziva skraćeno ljetno vrijeme ili dekretno vrijeme. Sunčana ura pokazuje pravo Sunčevo vrijeme, odnosno prave položaje Sunca na nebu. Za najviši položaj Sunca kažemo da je Sunce u meridijanu ili da je pravo podne. Srednje podne pokazuju naše mehaničke ure koje mogu od pravog podneva odstupati i do 17 minuta. Srednje i pravo podne poklapaju se 15. IV., 14. VI., 1. IX. i 25. XII. Sunčane ure svakodnevno pokazuju pravo podne. Pravo Sunčevo vrijeme ne teče jednoliko, već se Sunce giba nekad brže, a nekad sporije zbog bržeg i sporijeg gibanja Zemlje oko Sunca. Zato je uvedeno srednje Sunčevo vrijeme, tj. vrijeme 168

169 koje jednoliko teče, jer se zamišlja da se Sunce jednoliko prividno giba po ekliptici. Odnos pravog i Sunčevog vremena definira jednadžbu vremena 30. Gnomonika je posebna grana astronomije koja se bavi izradom sunčanih ura. Postoji više vrsta sunčanih ura. Najčešće se izrađuju: vertikalna sunčana ura, horizontalna sunčana ura, ekvatorijalna sunčana ura, polarna sunčana ura. Priprema za izradu sunčane ure Da bi mogli postaviti vertikalnu sunčanu uru, moramo joj odrediti odgovarajuće mjesto. Mi smo odlučile vertikalnu sunčanu uru postaviti na pročelje naše škole (slika 1). Slika 3. Osnovna škola Turnić Na tlocrtu škole izabrali smo mjesto gdje želimo postaviti vertikalnu sunčanu uru (slike 2 i 3). Podnevnu liniju (meridijan) odredili smo pomoću sjene gnomona. Podnevna linija (najkraća sjena) određuje nam meridijan (smjer sjever jug). Iz položaja zida na koji postavljamo vertikalnu sunčanu uru i meridijana određujemo kut azimuta koji kod nas iznosi A = 45 (slika 4). Azimut nam pomaže pri određivanju položaja satnih linija vertikalne sunčane ure. 30 Ž. Andreić 169

170 Slika 4. Odabir mjesta Slika 3. Odabir mjesta Slika

171 ili Za određivanje položaja satnih linija koristimo se formulom 31 : ctg t v = sina sec φ + tgφ cos A tg t v = gdje je: t v kut satne linije; A azimut; t satni kut Sunca; φ geografska širina (geografska širina Rijeke je φ = 45 21') Podatke za satni kut Sunca upisujemo u tablicu Skica satnih linija h/sat t/ t v / Slika 5. Skica satnih linija 31 Z. Britvić 171

172 Izrada bridnjaka Slika 6. Izrada modela satnih linija u prirodnoj veličini S obzirom da je školski zid izvan meridijanske ravnine, moramo izraditi bridnjak tako da mu jedan brid leži uz podnevnu liniju 32. Najprije moramo nacrtati mrežu bridnjaka na čvrstom papiru (hamer papiru). Kako bi izradili mrežu bridnjaka moramo izračunati kutove α i β koristeći se formulom: tg α =, sin β = cos A' cos φ gdje je š strana uz koju leži šipka za vrijeme pričvršćivanja na podlogu; m podnevna linija; s ortogonalna projekcija šipke na zid; A' kut otklona (A' = 90 - A) Veličina kutova je α = 34.8 i β = Z. Britvić 172

173 Mreža bridnjaka Slika 7. Mreža bridnjaka Slika 8. Model bridnjaka i sjenopokazivača 173

174 Postavljanje sunčane ure Slika 9. Izrada vertikalne sunčane ure Ekvatorijalna sunčana ura Slika 10. Vertikalna sunčana ura Slijedeća sunčana ura spada u ekvatorijalne sunčane ure, a ima oblik kotača s 24 žbice, po jedna za svaki sat u danu. Na svaki puni sunčani sat sjena štapa pada točno duž jedne od žbica kotača. Kotač je promjera 48 cm. Za podlogu nam koristi ploča cm, a sjenopokazivač (gnomon) je metalna šipka duljine 46 cm. Kao 174

175 ukras iza kotača možemo postaviti ogledalo u kojem će se ocrtavati obrisi neba i oblaka. Pomoću ovakvog sunčanog sata možemo jednostavnije odrediti dijelove sata. Tetive između žbica kotača podijeljene su na 4 dijela koji nam predstavljaju: 15 minuta, 30 minuta i 45 minuta od punog sata 33. Izrada sunčane ure Za izradu sunčanog sata potrebno nam je: podloga od šperploče veličine cm, kotač od šperploče promjera 48 cm, sjenopokazivač duljine 46 cm i ogledalo. Na hamer papir crtamo model sunčanog sata. Za početak crtamo jednakokračan trokut čiji su krakovi po 24 cm, a kut među krakovima je 15 (puni kut od 360 dijelimo na 24 dijela jer jedan dan ima 24 sata). Vrh kuta među krakovima je u točki A (slika 11). Oko točke A konstruiramo još 23 sukladna trokuta. (slika 12 i 13) tako da dobijemo mnogokut sa 24 stranice. Slika 11. Slika 12. Slika

176 Dva kraka ( slika 14) produžili smo za 3,5 cm preko točaka B i C. Ovaj dio poslužiti će nam za oslonac sunčanog sata. Slika 14. Točke koje smo označili predstavljaju nam sate (slika 15). Oko točke A opisali smo kružnicu polumjera 20 cm. Ova kružnica siječe krakove karakterističnih trokuta u 24 točke. Točke spojimo dužinama koje su ujedno i tetive kružnice. Svaku tetivi podijelimo na četiri jednaka dijela - dijelove sata i izrežemo male jednakokračne trokute koji će nam predstavljati 15, 30 i 45 minuta (slika 16). Slika

177 Slika 16. Oko točke A opišemo još kružnicu polumjera 5 cm za središnji dio kotača. Od sredine kružnog luka crtamo paralelne dužine sa krakovima karakteriističnih trokuta kako bi dobili "žbice" kotača (slika 17). Slika 17. Pomoću skalpela napravimo papirnati model sata. (slika 18). Papirnati model postavimo na šperploču debljine 2 cm, precrtamo kotač na dasku te izradimo sunčani sat. Kotač obojamo bijelom bojom, šarkama ga pričvrstimo na podlogu i izbušimo rupicu u točki A. Kroz rupicu provlačimo metalnu šipku (sjenopokazivač). Na brojčanik sata upišemo brojeve koji nam označavaju sate (slika 19). 177

178 Slika 18. Slika 19. Postavljanje sunčanog i sata na podlogu Ekvatorijialni sunčani sat mora biti nagnut prema horizontalnoj podlozi za kut koji je jednak kutu geografske širine našeg grada. Geografska širina Rijeke je φ = 45º 21'. Sjenopokazivač treba okomito postaviti na brojčanik sata (slika 20). Za naš grad kutovi nagiba sata i sjenopokazivača su jednaki što znači da sa ravninom u kojoj leži kotač čine jednakokračan pravokutan trokut. Duljina sjenopokazivača iza sata mora biti jednaka kraku karakterističnog trokuta (24 cm). Mjerenje vremena sunčanim satom Da bi mogli mjeriti vrijeme pomoću našeg sunčanog sata (slika 21) moramo sat postaviti u meridijansku ravninu (smjer sjever jug) tako da je štap (gnomon) usmjeren prema sjevernom nebeskom polu ( gnomon je paralelan sa zemljinom osi). 178

179 Na brojčaniku moraju biti označeni sati sa obje strane jer će sjena gnomona od proljeća do jeseni padati na gornji dio brojčanika (deklinacija Sunca pozitivna), a od jeseni do proljeća na donji dio brojčanika (deklinacija Sunca negativna). Nedostatak ovog sata je taj što oko ekvinocija (21. ožujka i 23. rujna) nećemo moći njime mjeriti vrijeme. Za vrijeme ekvinocija (ravnodnevnice) deklinacija Sunca je 0 i Sunce se po nebu giba nebeskim ekvatorom. Pošto je brojčanik ekvatorijalnog sunčanog sata paralelan sa ravninom nebeskog ekvatora, sjena gnomona padati će izvan brojčanika. Slika 20. Slika

180 Zaključak Ljude je oduvijek zanimalo mjerenje vremena. Jako dugi vremenski period vrijeme je mjereno koristeći se različitim vrstama sunčanih ura. Sunčane ure su se tijekom vremena mijenjale i usavršavale. Sve do pojave mehaničkih satova bile su jedini način mjerenja vremena. U današnje vrijeme sunčane ure ne izrađuju se prvenstveno za mjerenje vremena jer su neprecizne mjereći pravo sunčano vrijeme. U današnje vrijeme one služe kao ukras na zidovima zgrada ili se nalaze u parkovima kako bi nas trajno podsjećale na mjerenje vremena u prošlosti. Literatura 1. Andreić, Željko: Mala opažačka astronomija, Lumin, Britvić, Zlatko: Sunčane ure, Zagreb, Vujnović, Vladis: Astronomija, Zagreb, ( dostupno ) 5. ( dostupno ) 6. ( dostupno ) 7. ( dostupno ) 8. ( dostupno ) 9. ( dostupno ) 180

181 HRVATSKI JEZIK I MATEMATIKA Jasenka Mutak, prof. savjetnik matematike Nastavnik matematike u srednjoj strukovnoj školi Srednja škola Bedekovčina jmutak123@net.hr Sažetak Kako bi učenici mogli rješavati matematičke probleme, prvenstveno moraju znati čitati s razumijevanjem. Često u nastavi učenici odustaju od rješavanja zadatka samo zato što ima puno teksta. U srednjoj školi učenici trebaju usvojiti matematički sadržaj koji koriste u drugim, strukovnim predmetima. Jedan od zadataka je da ih naučimo čitati matematičke zadatke, a preduvjet za to je da razumiju što čitaju. Razgovarajući s kolegicom koja je profesor hrvatskog jezika, primijetile smo da se susrećemo sa sličnim problemima u radu te da imamo slične ocjene. Analizirajući dalje naša dva predmeta, zaključile smo da u Hrvatskom kao i u Matematici postoje određena pravila. Ta pravila treba naučiti, razumjeti i primjenjivati u radu kako bi dobili točan rezultat, ako je riječ o matematičkom problemu, odnosno dobili gramatički ispravan tekst, ako je riječ o jeziku. Nadalje, u Matematici učenicima uvijek zadaci zadani tekstom predstavljaju problem. Znanstveno je dokazano da učenici koji imaju pred sobom zadatak iz Matematike zadan riječima uočavaju samo brojeve u tekstu, a riječi smatraju manje bitnima. Uvijek sam mislila da je zadatak nastavnika Hrvatskog jezika naučiti učenike čitati s razumijevanjem, a onda je na jednom seminaru prof. Šime Šuljić rekao da nastavnici Matematike trebaju naučiti učenike čitati matematički tekst. Kada kažem matematički tekst, mislim na zadatke kao što su: 1. Zbroj dvaju brojeva podijeli njihovom razlikom. 2. Koliko litara vode treba dodati u 5 l 15%-tnog alkohola da se dobije alkohol jačine 5%? 3. Jedna stranica pravokutnika za 4 cm je veća od druge. Ako je površina pravokutnika 25 cm 2, koliki je opseg? 4. Majka i sin zajedno imaju 56 godina. Prije 8 godina sin je bilo četiri puta mlađi od majke. Koliko godina ima majka, a koliko sin? Iskustva drugih zemalja kažu da se matematika uči u manjim skupinama. U Mađarskoj grupa ne smije imati više od 20 učenika jer se matematika smatra stranim jezikom, a u Norveškoj razred od 12 učenika dijeli se u tri grupe i s njima rade dvije učiteljice. Kako radim u strukovnoj školi (građevinsko, poljoprivredno i medicinsko učilište), uočila sam da je potreba za praktičnom primjenom matematike velika. Često na nastavi koristim primjere koji su povezani sa strukom koji smješta matematički sadržaj u realan i svakodnevan život te zahtijeva postavljanje matematičkih 181

182 modela tih situacija. Zašto Matematika uvijek mora biti u službi drugih predmeta? Zašto drugi predmeti ne bi pomogli u lakšem razumijevanju Matematike? Naslov mog predavanja je Hrvatski i matematika pa da se vratim na tu vezu. Istražujući na internetu, naišla sam na članak dr. sc. Dubravke Glasnović Gracin Razumijem matematičke pojmove te na njezinoj stranici pronašla članak Etimologija riječi u nastavi matematike ( Dakle, i metodičari su došli do sličnog zaključka da je veza Hrvatskog i Matematike bitna. Korelacija matematike i hrvatskog jezika postoji na više razina: 1. etimologija i matematika = nazivi pojmova, postupaka ili operacija (supstitucija, kolinearnost, diskriminanta, postotak, promil) - mnoge riječi u matematici u svojem korijenu imaju uputu kako nešto napraviti, 2. gramatika i matematika = postojanje pravila koja treba naučiti napamet (npr. sibilarizacija: k,g,h ispred i mijenjaju se u c,z,s; formula za kvadrat binoma) 3. čitanje s razumijevanjem. Rezultati ispitivanja PISA pokazuju slabu pismenost, što onda rezultira i slabim rezultatima u ostalim područjima ispitivanja (prirodoslovlju i matematici). To se može opet povezati s tipom zadatka. U ispitivanjima PISA zadaci dolaze s puno teksta koji treba pročitati, razumjeti, napraviti plan rješavanja, prevesti u matematički jezik te riješiti. Uočila sam da učenici bolje razumiju problem ako tekst čitam ja, a ne oni sami. Kada oni čitaju, samo žele što prije pročitati tekst, ali ako profesor čita, automatski naglašava bitno - u glavi slaže plan rješavanja problema. Znakove interpunkcije učenici ne smatraju važnim, također i red riječi u rečenici njima je nevažan, a znamo da drugačiji poredak riječi mijenja smisao cijelog zadatka. Smatram da bi rješavanju tog problema pridonijelo čitanje i analiziranje matematičkih tekstova na satu Hrvatskog jezika, te opisivanje postupaka koje učenici koriste tijekom rješavanja zadataka na satu Matematike. Ako jedna kolegica traži od učenika da napišu esej o nekom matematičkom pojmu (npr. o trokutu, kružnici, potencijama), onda možemo tražiti od učenika da neku formulu napišu riječima. Jedna je od zanimljivijih veza Matematike i Hrvatskog kada definiciju elipse čitamo iz udžbenika i tekst koji tamo zauzima četiri reda zapišemo matematičkim simbolima. Ja to zovem simultano prevođenje. Matematika štedi papir i vrijeme, ali zahtijeva poznavanje simbola. Znamo da matematičari brzo razmišljaju te su uveli simbole koji olakšavaju zapisivanje, ali nisu sva djeca matematičari. Oni će vjerojatno svi riješiti zadatak =, ali ako zadatak napišete ovako: Zbroji prva dva neparna broja, sigurno neki učenici neće razumjeti zadatak i neće ga riješiti. Nadalje, na državnoj maturu pojavljuju se zadaci s tekstom koji ne moraju biti matematički zahtjevni, ali su učenicima jezično zahtjevni. Približno jedna četvrtina zadataka na državnoj maturi vezana je uz probleme iz svakodnevnog života. Učenike treba stalno poticati na rješavanje zadataka s tekstom jer će jedino tako naučiti čitati matematičke tekstove. 182

183 Postoji veza između matematike i poezije. Znamo da su u povijesti pjesništva dodatno savršenstvo pjesnici postizali pravilnim brojem slogova u stihu (deseterac, dvanaesterac), istim brojem stihova u strofi, čak su i djela pisana u simbolici brojeva (Decameron - simbolika broja 10). Posebna je priča japanska poezija haiku. Japanci kao poznati minimalisti u haikuu imaju tri stiha od 5, 7 i 5 slogova. Naš poznati matematičar Vladimir Devide bio je i pjesnik haikua. Prilikom uvođenja pojmova više pažnje treba posvetiti korijenu riječi koji opisuje neki pojam ili postupak i povezati sa svakodnevnim životom kada se to može. Matematika je znanost, zbog toga ne treba očekivati da je učenicima laka i logična. Da se usvoje neki sadržaji, treba raditi, povezivati pojmove s primjerima djeci razumljivima, ali i ukazivati na vezu matematičkog jezika i hrvatskog jezika. U sklopu predavanja bit će prezentirani rezultati testa koji su pisali učenici drugih razreda. U prvom dijelu testa nalaze se zadaci zadani tekstom: 1. Cijena košulje je kn. Ako je snižena za 15%, za koliko je kuna snižena? 2. Šest kilograma jabuka stoji kn. Koliko se kg jabuka može kupiti za kn? 3. Izračunaj visinu šatora širine 3 m, ako je krak šatora 2 m. 4. Za koje realne brojeve vrijedi da je kvadrat binoma (x-3) jednak 9? 5. Podijeli broj 14 s drugim korijenom iz 7, rezultat napiši bez razlomka. 6. Ako je opseg okruglog stola 2 m, koliko m 2 treba platna za stolnjak? 7. Zbroj dva broja je 7, a razlika istih je 3. Koja su to dva broja? 8. Cijena neke usluge je 2.00 kn po satu uz početni ulog od 1.00 kn. Grafički prikaži ovu funkciju. Kada će račun biti kn? 9. Zbroj brojeva i podijeli brojem te od rezultata oduzmi Odgovarajuće stranice dva slična trokuta su a=4 cm i a =7 cm. Ako je stranica b veća od stranice b za 5 cm kolika je stranica b? U drugom dijelu testa nalaze se isti zadaci, ali malo drugačije zadani: 1. Izračunaj 15% od Nađi x iz razmjera 6 : x= 27 : Koliko je v sa slike? v 2 m 4. Riješi (x - 3) 2 = 9 5. Racionaliziraj. 3 m 6. Opseg kruga je 2m. Kolika mu je površina? 7. Nađi rješenje sistema x +y =7, x y =3. 183

184 8. Nacrtaj graf funkcije f(x) = 2x+1. Odredi računski i grafički realne brojeve x za koji je f(x) = Izračunaj 10. Odredi x sa slike 4 7 x 5 184

185 GEOMETRIJA U SVETU OKO NAS Milena Jeretin, prof. Milena Marić, prof. Arhitektonska tehnička škola, Beograd 1. MOTIVACIJA Naše iskustvo je pokazalo da je veliki broj učenika naše škole zainteresovan za studije arhitekture. Već duže vreme se nastavni planovi matematike srednje arhitektonske škole i Arhitektonskog fakulteta dosta razlikuju. Bili smo izuzetno motivisani da naše učenike informišemo o nekim matematičkim pojmovima koji se izučavaju u okviru matematike na fakultetu. Vodili smo se idejom da će upoznavanje učenika, na intuitivnom nivou, sa nekim matematičkim pojmovima biti od velike pomoći za kasnije lakše savladavanje zadataka. Opredelili smo se za pojam fraktala jer je izuzetno zanimljiv, lep za vizualizovanje, možemo ga pronaći u prirodi, identifikovati u likovnoj umetnosti, takođe i u delima nekih velikih arhitekata. Časove koje smo posvetili ovom pojmu osmislili smo tako da budu drugačiji u odnosu na klasičan pristup nastavi. Konsultovali smo kolege arhitekte, istoričare umetnosti i akademske slikare koji su nam svojim stručnim znanjem pomogli da se opredelimo za konkretne filmove i umetnička dela koja su predstavljena na ovim časovima. U periodu održavanja ovih časova, u našem gradu se održavala manifestacija Maj mesec matematike, tako da smo naše učenike uključili i u ovo dešavanje. Tokom ovakvog vida nastave nikako nismo želeli da zanemarimo aspekt domaćeg zadatka, tako da su naši učenici imali nekoliko takvih aktivnosti, počev od samostalnog pravljenja fraktala od papira do pronalaženja i slikanja nekog fragmenta fraktalne geometrije iz vlastitog okruženja. I na kraju, ali ne manje bitno, zanimale su nas neke korelacije koje smo merili (uticaj drugačijeg pristupa nastavi na nivo postignuća, zainteresovanost kod učenika, uticaj domaćeg zadatka na motivisanost, nivo postignuća). 2. PREGLED DOSADAŠNJIH RADOVA Pre nego što smo krenuli u osmišljavanje nastave, pokušali smo da sagledamo kako su neke kolege već pre nas pristupili predstavljanju ovog matematičkog pojma učenicima. Prolazeći kroz materijale kolega, mogli smo videti da je fraktalna geometrija izuzetno zanimljiva učenicima, što je nama još dodatno dalo motivaciju i snagu da ovaj pojam predstavimo i na našim časovima. Spomenimo neke radove. 185

186 Fraktalima koristeći GeoGebru (paket za dinamičku matematiku) pristupio je kolega Šime Šuljić, Hrvatska. U ovom se može naći veliki broj zanimljivih apleta i slika koji se mogu predstaviti deci. Takođe, od koristi nam je bio i članak Eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije iz elektronskog časopisa math.e, autora Hrvoja Eklića. U Bazi znanja Kreativne škole, koju organizuje Zavod za unapređenje obrazovanja i vaspitanja iz Beograda, izuzetno nam je pomogla prezentacija kolega Kata Jovanović, Gorica Acketa, Ratka Čorda, čija prezentacija ima naziv Geometrijski niz i red. Slika 1: Detalj sa časa Na Internet stranici može se naći zanimljiv materijal pod nazivom: Fraktali čudne slike kaosa. Navedimo još i zanimljiv pristup knjige Matiš, baš svuda!, autora Kristin Dal i Sven Nordkvist, koju je izdala izdavačka kuća ProPolis Plus d.o.o. Ovo je knjiga namenjena deci koja je pisana pitkim zanimljivim jezikom razumljivim za veliki broj malih čitalaca. Lepe ilustracije i jednostavan jezik približavaju neke bitne matematičke pojmove malim čitaocima. 3. DIZAJN NASTAVE I INTERDISCIPLINARNOST Internet stranica Tokom osmišljavanja ovih časova rukovodili smo se idejom da što više zainteresujemo učenike. U cilju valjanog informisanja učenika u vezi sa tokom ovih časova napravili smo internet stranicu na kojoj su učenici mogli da nađu sve potrebne materijale i informacije. Cilj pravljenja stranice jeste da učenici u svakom trenutku budu u mogućnosti da pristupe materjalima koji su im namenjeni, kao i da postoji mesto na kome bi mogli da pročitaju sve potrebne informacije u vezi sa opisom domaćeg zadatka ili rokovima za predaju istih. Takođe, nismo bili u mogućnosti da u okviru časova prikažemo sve materijale koji su nam se učinili zanimljivi te smo ih stavili na jedno 186

187 mesto tako što su ka njima napisani linkovi na pomenutoj Internet stranici. Adresa internet stranice je PPT prezentacije Slika 2: Internet stranica Slajd prezentacije su nam bile od velike koristi. Dosta naših izlaganja se zasnovalo na korišćenju ovih prezentacija. Koristili smo bogatu Bazu znanja Kreativne škole ( Bilo je jako pogodno koristiti već gotov materijal za demonstriranje nekih pojmova i figura, kao i osobina, upoznavanje sa definicijama, teoremama. Sve prikazane prezentacije učenici su mogli da pronađu na našoj Internet stranici i ponovo ih samostalno pregledaju. Slike, filmovi Fraktalna geometrija je nepresušno polje za vizualizovanje. Vizualne lepote ove oblasti matematike predstavili smo deci najviše kroz prikazivanje slika i filmova. Nažalost, nastava se odvijala u kabinetu koji nije pokriven dovoljno brzom Internet konekcijom, tako da smo sve filmove koje smo prikazivali deci morali prethodno da prenesemo na vlastiti računar. Za ovo smo koristili JDownloader. Sve filmove koji su predstavljeni i koji se nalaze na Internet stranici našli smo na sajtu Poseta izložbi Zanimljivo je da smo se sasvim slučajno opredelili za ovakav vid aktivnosti upravo u mesecu maju kada se u našoj zemlji održava manifestacija Maj mesec matematike. Iskoristili smo prednosti ovog dešavanja i poveli naše đake na jednu sadržajnu šetnju kroz različite aktivnosti koje su se održavale u gradu, a sve u čast matematike. Najviše vremena posvetili smo matematičkom ćošku posvećenom frak- 187

188 talima. Ovde su učenike sa pojmom fraktala upoznali studenti Matematičkog fakulteta koji su za sve zainteresovane govorili o ovom pojmu. Takođe, učenici su bili u prilici da vide izložene zanimljive fraktale, kako na slikama tako i prirodne fraktale kao što je cveće koje ima fraktalni oblik, a u narodu se zove čuvarkuća, karfiol, brokoli Na času matematike Momenat u kome smo napravili presek i uveli pojam fraktala bio je nakon nastavne jedinice Sličnost. Učinilo nam se da je ovo dobro vreme kada bi mogli da učenicima pričamo o samoponavljanju oblika, figura i tela. Nastavne jedinice koje smo pre toga detaljno obradili na identičan način su izometrijske transformacije i homotetija. Takođe, iz nabrojanih oblasti deca su imala proveru znanja na kraju. Jasno je da su ovi časovi bili drugačiji od dosadašnjih. Učenici su međusobno više sarađivali, ali i bili aktivniji u komunikaciji nastavnik učenik. Rado su učestvovali u analiziranju prikazanih slika, filmova, samoponavljajućih detalja. Između ostalog, u ovoj školskoj godini, učenici su na časovima matematike zajedno sa profesorkom, prvi put realizovali fraktalnicu (pojam će kasnije biti detaljno objašnjen). Slika 3: Detalj sa časa Slika 4: Slika sa izložbe Domaći zadatak Insistirali smo na vizualizaciji i identifikaciji fraktalnih oblika u svetu oko nas. Takođe, samoponavljanje oblika je bila jedna od tema na koju smo stavili akcenat. Učenici su imali za domaći zadatak da naprave fraktal od papira. Deo njih je ovo uradio na časovima matematike, a deo samostalno kod kuće. Pored papirne vizualizacije, deca su dobila zadatak da u svom okruženju identifikuju fragment fraktalne geometrije i da to fotografišu. Slike je trebalo da nastavnicama proslede elektronskom poštom. Pored ove vrste domaćeg zadatka, učenici su imali i standardan 188

189 domaći zadatak u okviru koga su rešavali zadatke iz zbirke. Mišljenja smo da jedino kombinacija tradicionalnog i savremenog pristupa nastavi može da da najbolje rezultate. Fraktalnica Tokom rada na pravljenju fraktala od papira nastala je nova ideja koju želimo da razrađujemo, a to je pravljenje papirne zbirke fraktala koju bismo lepo oslikali, ukrasili i koja bi nam poslužila kao sredstvo za upoznavanje novih učenika sa ovim pojmom. Ovako rođenu ideju slikovnice o fraktalima nazvali smo fraktalnica. Učenici su izuzetno motivisano učestvovali u izradi papirne kolekcije fraktala. Detalji sa časa izrade fraktalnice Slika 5: Slika nekoliko domaćih zadataka Slika 6: Izrada Slika 7: Izrada 189

190 Slika 8: Izrada Slika 9: Izrada Slika 10:Izrada Slika 11:Izrada Slika 12: Detalj sa časa izrade fraktalnice 190

191 Izgled fraktalnice Slika 13: Fraktalnica Slika 14: Fraktalnica Slika 15: Fraktalnica Slika 16: Fraktalnica Slika 17: Fraktalnica Slika 18: Fraktalnica 191

192 Slika 19: Fraktalnica Slika 20: Fraktalnica 5. PROVERA ZNANJA I REZULTATI Na kraju ovako osmišljenog nastavnog procesa, učenici su bili testirani. Test koji je dat učenicima je izuzetno lagan. Želeli smo da proverimo koliko će jednostavnost testa uticati na postignuća učenika. Pojedine zadatke koje su učenici rešavali možemo videti na slikama koje slede. Slika 21: Zadatak sa testa Slika 22: Zadatak sa testa 192

193 Slika 23: Zadatak sa testa Rezultati na testu Odeljenje Slika 24: Zadatak sa testa Na ovako zadatom testu učenici su postigli sledeće rezultate: Broj petica Broj četvorki Broj trojki Broj dvojki Broj jedinica Nisu radili Srednja ocena A A Kako su naša očekivanja bila veća, napravili smo malo poređenje rezultata postignuća učenika na kraju prvog polugodišta i trećeg tromesečja sa postignućima na testu. 193

194 A14 A15 broj petica broj četvorki broj trojki broj dvojki broj jedinica nisu radili srednja ocena Uporedna analiza rezultata Uspeh učenika na kraju prvog polugodišta Odeljenje Broj petica Broj četvorki Broj trojki Broj dvojki Broj jedinica Srednja ocena A A broj petica broj četvorki broj trojki broj dvojki broj jedinica srednja ocena 0 A14 A15 Broj slabih ocena na trećem tromesečju Odeljenje Broj jedinica Broj jedinica po učeniku A A

195 broj jedinica broj jedinica po učeniku A14 A15 Odeljenje Uspeh učenika u izradi domaćeg zadatka fraktali od papira Broj petica Broj četvorki Broj trojki Broj dvojki Broj jedinica Srednja ocena A A broj petica broj četvorki broj trojki broj dvojki broj jedinica srednja ocena 0 A14 A15 Uspeh učenika u izradi domaćeg zadatka elementi samoponavljanja u svetu oko nas Odeljenje Broj petica Broj četvorki Broj trojki Broj dvojki Broj jedinica Srednja ocena A A

196 broj petica broj četvorki broj trojki broj dvojki broj jedinica srednja ocjena 0 A14 A15 6. ZAKLJUČAK I DALJI RAD Kada sumiramo dosadašnji rad, možemo zaključiti da su učenici, ali i mi nastavnici uživali u kreativnim časovima matematike. Različita didaktička sredstva u mnogome su pomogla da promenimo pristup materiji koju izlažemo, a promena pristupa dovela je do veće motivisanosti kod đaka. Analiza rezultata je pokazala da smanjenje težine zadataka nije u korelaciji sa rezultatima postignutim na testu, ali jeste u korelaciji sa motivisanošću. Ovaj komentar zasniva se na našoj subjektivnoj analizi. Pozitivna energija i jaka motivisanost dece inspirišu nas da nastavimo naš rad na ovom projektu. Svakako nam je cilj da našu internet stranu, posvećenu fraktalima, obogatimo novim sadržajima kao i da nove generacije upoznamo sa ovim materijalom. Tokom rada na ovim časovima u ovoj školskoj godini, došli smo na ideju da ovakav vid nastave prenesemo i na neke nove predmete. Radimo sa izuzetno kreativnom decom. Naša deca se uspešno bave crtanjem, slikanjem i pravljenjem maketa. Imamo sjajnu saradnju sa kolegama, pa smo sve ovo iskoristili u cilju popularizacije i približavanja lepota matematike što većem broju naših đaka. U dogovoru sa kolegama, učenici će deo časova likovne kulture i maketarstva odvojiti za samostalno pravljenje fraktala od papira. Kako smo sa ovim započeli neposredno pred kraj prošle školske godine i sve napravljenje papirne fraktale smo sačuvali, imamo plan da ih oslikamo u ovoj školskoj godini. Ambiciozniji učenici su dobili zadatak da na časovima maketarstva ove školske godine naprave maketu zgrade fraktalnog oblika. Trudićemo se da uključimo što više zainteresovanih učenika koji bi sa nama podelili svoje kreativne ideje, a za koje verujemo da bi uspešno poboljšali broj materijala za demonstriranje učenicima koji će ovo gradivo tek izučavati. Planiramo da još više sarađujemo sa kolegama iz stručnih aktiva i da uspešno realizujemo projekte sa kolegama likovne kulture i maketarstva. 196

197 LITERATURA 1. Matematika za I razred srednje škole; P. Miličić, V. Stojanović, Z. Kadelburg, B. Boričić; Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 2004 godine 2. Matematika, Zbirka zadataka i testova za i razred gimnazija i tehničkih škola; Ž. Ivanović, S. Ognjanović; Krug, Beograd 2012 godine 3. Matiš, baš svuda!; K. Dal i S. Nordkvist; Propolis Plus d.o.o. za Srbiju 2011 godine 4. Geometrijski niz i red (ppt prezentacija); K. Jovanović, G. Acketa, R. Čorda, 5. Izometrijske transformacije (ppt prezentacija); V. Poljarac, 6. Eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije, H. Eklić, math.e Broj 4, veljača 2005 godine 7. Mandelbrotov skup, Š. Šuljić, math.e Broj 5, lipanj 2005 godine

198 MATEMATIKA I NEKE ŽIVOTNE SITUACIJE Milorad Šuković, Zoran Lovren OŠ Sveti Sava Aranđelovac Modernizacija nastave matematike traži od nas da što više primenjujemo matematiku na probleme iz svakodnevnog života, koristimo grupni rad, rad u timovima, da odgovaramo zahtevima individualizacije u planiranju, pripremi i realizaciji, projektnoj i problemskoj nastavi matematike. Navodimo načine i primere koji su pogodni za takav pristup i ralizaciju. Osavremenjivanje nastave korišćenjem računara uz odgovarajući softver, postiže se oblik nastave koji je prihvatljiviji učeniku. Najveći efekat postiže se ilustrovanjem procesa i promena položaja objekata (tačka, prava, duž i slično), prikazanih kroz animaciju, na potpuno multimedijalan način. Obrazovni kompjuterski programi postali su efikasno i moćno sredstvo u procesu učenja: omogućavaju kombinovanje audio-vizuelnih i drugih informacija; interaktivno učenje, ispravljanje grešaka i valorizaciju stečenog znanja. Podstiču kreativnost, odlučnost, primenu metode korak po korak i druge veštine. Omogućavaju individualizaciju, ali i timski rad u rešavanju problema, tzv modularnost. 1. zadatak Turista je zalutao u šumi za koju, zbog njene veličine, možemo smatrati da pokriva poluravan. Turista zna da je tačka A u kojoj se nalazi na rastojanju r od ivice šume ali ne zna u kom pravcu treba da ide da bi stigao do ivice šume. On može izaći iz šume na sledeći način: krećući se u jednom smeru preći će rastojanje r, stići u tačku B, a zatim nastaviti kretanje po kružnici K(A, r) i taj put dužine ne veće od r +2rπ sigurno će ga dovesti do ivice šume. Može li turista izabrati neki drugi način kojim će izaći iz šume pre nego što pređe put dužine 6,72r? A C B D Može. Pođe iz tačke A i pređe put dužine r do neke tačke B, zatim nastavi kretanje po kružnici k(a, r) dok ne opiše luk BC = 270º. Posle toga produži po tangenti kružnice k u tački C, pređe put dužine r do neke tačke D i sigurno će izaći iz šume. Opisani put ima zajedničku tangentu sa bilo kojom tangentom kružnice. Kako ivica šume predstavlja jednu tangentu, idući na opisan način, sigurno će izaći iz šume. Pri tome je dužina pređenog puta: 198

199 3 AB BC CD r r r 2 < 6,72r. 2. zadatak Na jednoj gusarskoj karti piše: Na ostrvu se nalaze bor, čempres i palma. Pođi od bora prema palmi, broj korake, pa se okreni ulevo za 90º i idi isto toliko koraka. Tu postavi znak. Zatim ponovo pođi od bora prema čempresu, broj korake, pa se okreni udesno za 90º i nastavi isto toliko koraka. Tu postavi znak. Na sredini duži čiji su krajevi ta dva znaka je zakopano blago. Jedan mornar je našao ostrvo, čempres i palmu na njemu, ali bora nije bilo. Vratio se praznih ruku. Eh, da je znao malo matematike! D K B Q A C S P R Sa B, C, K, P označimo redom: bor, čempres, palmu, kovčeg sa blagom. Prema uputstvu sa karte: kao i BC = CD i CD BC, PQ = BP i PQ BP. Neka su A, S, T, R redom podnožja normala iz D, K, R, Q na pravu CP. Lako se dokazuje da je DAC BCT i PQR BPT. Dakle, četvorougao ARQD je pravougli trapez kome je KS srednja linija, pa je AD = CT, RQ = TP. Kako je KS = 2 1 (AD + RQ) = 2 1 (AD + RQ) = 2 1 CP, S je središte duži CP. Da bi pronašao blago, mornar je trebalo da krene, pod pravim uglom, od sredine duži CP (tačka S) i pređe još polovinu dužine CP. 3. zadatak Devojka je letovala u kampu pored jezera kružnog oblika. Imala je više udvarača od kojih je jedan bio prilično uporan, ali vrlo odbojan, za izbegavanje. Jednog dana isplovila je čamcem na jezero i uputila se ka centru gde je usidren splav. Tada je opazila na obali dosadnog udvarača. Udvarač je razmišljao: Pre ili kasnije, ona će morati da izađe na obalu. Kako ja četiri puta brže trčim nego što ona može da se kreće u čamcu, sačekaću je u trenutku kad čamac pristane na obalu. Devojka je znala 199

200 da na obali može lako da utekne, ali je potrebno da stigne do obale pre nego što udvarač dotrči do mesta iskrcavanja. Ipak, smislila je strategiju za spas iz nastale situacije! Kakо? U C D Označimo sa v brzinu kretanja čamca, a 4v brzina udvarača. Devojka (D) vesla oko centra (C) tako da centar uvek bude između nje i udvarača (U). Držeći se kursa (prave) D-C-M, istovremeno vesla prema obali, sve dok ne otplovi od centra jezera do rastojanja koje je jednako četvrtini poluprečnika. U tom momentu ugaona brzina devojke D jednaka je ugaonoj brzini udvarača U, D Od tog trenutka devojka vesla pravolinijski U C D do najbliže tačke na obali. Vreme za koje stiže do obale Udvarač prelazi r. On će za vreme t D preći put. t D 3r 4 v vd r 4 v r 4 3r s vu td 4v 3r r 4v 200 y (25,75) 40 x

201 4. zadatak Ali-baba se nalazi u pećini u kojoj ima zlata i dijamanata. Kilogram zlata košta 20 n.j., a kilogram dijamanata 60 n.j. Ima samo jedan prazan kovčeg zanemarljive težine. Pun kovčeg zlata teži 200 kg, a pun kovčeg dijamanata 40 kg. Ali-baba može da ponese 100 kg. Koliko zlata i koliko dijamanata treba da ponese da bi najviše zaradio? Neka je poneo x kg dijamanata i y kg zlata, x 0, y 0. Po uslovu zadatka: х + у 100, 1 1 i kako 1 kg dijamanata zauzima, a 1 kg zlata kovčega, to je x y Skup svih tačaka (x, y) koje odgovaraju datim uslovima u koordinatnom sistemu xoy predstavlja petougao (slika), (Z = zarada) 60х + 20у = Z. Maksimalnu vrednost dostiže u tački (25, 75), teme petougla, i ona iznosi: = zadatak Dva broda A i B nalaze se usidreni na moru nedaleko od pravolinijske obale p. Sa jednog broda poslat je čamac na drugi brod. Čamac, usput, mora da iskrca na obalu jednog putnika. Odredi (konstruiši) najkraći put kojim čamac treba da ide da bi obavio zadatak. А B y d B M p А x А 1 А 1 M c Konstruišemo osnosimetričnu tačku tački A u odnosu na pravu p. Prava određena tačkama A 1 i B seče pravu p u tački M. Put A-M-B je najkraći. Kako da na osnovu zadatih rastojanja, odredimo (izračunamo) gde se nalazi tačka M? Na odgovarajući način postavimo pravougli koordinatni sistem xoy. Koordinate tačaka su A(0, a), A 1 (0, -a), B(c, d) Grafik linearne funkcije kroz tačke A 1 i B: y = d a x a. c 201

202 Presek grafika sa h-osom (tražena tačka M): ac y = 0 x a d D i s k u s i j a. Ako se tačka B udaljava duž prave x = c (vrednosti y-koordinate se povećavaju dok x koordinata ostaje nepromenjena), kako se menja položaj tačke M? Približava se koordinatnom početku. Da li će stići baš u koordinatni početak? Razmotriti i ostale promene položaja tačke B. ac ac lim 0, lim c. d a d d 0 a d 6. zadatak U jednom odeljenju od 30 učenika bira se predsednik odeljenske zajednice. Kandidati su Ana, Bojan i Maja. Prva grupa od 13 učenika glasa za Anu, potom su naklonjeni Bojanu dok za Maju ne bi nikada glasali. Druga grupa od 7 učenika glasa za Bojana, podnose i Maju, dok Ani ne bi dali glas. Preostalih 10 učenika glasa za Maju, naklonjeni su Bojanu,ali ne i Ani. Koji će kandidat biti izabran ako se izbori: a) završavaju jednim glasanjem (u jednom krugu); b) sprovode u dva kruga gde u drugi krug idu dva kandidata sa najvećim brojem glasova; c) sprovode u tri kruga (turnirski) gde se u svakom krugu nadmeću po dva kandidata. Pobednik je onaj koji u sva tri kruga dobije najviše glasova A B M B M B M A A a) Pobednik je Ana sa 13 glasova. b) U drugom krugu bira se između Ane i Maje. Pobednik je Maja sa 17 : 13. c) Ana : Bojan = 13 : 17, Ana : Maja = 13: 17, Bojan : Maja = 20 : 10. Pobednik je Bojan sa 37 glasova. ( Maja 27, Ana 26) Analiziraj još neke mogućnosti: (14, 5, 11), (15, 6, 9), (17, 4, 9). 7. zadatak Dva dečaka imaju balon od 8l pun soka i dva prazna balona od 6l i 3l. Treba da podele sok na dva jednaka dela, a pri podeli koriste samo ta tri balona. 202

203 R e š e n j e : 8l l l l l l Tablica ne daje odgovor na pitanje koje pravilo treba primeniti da bi se došlo do rešenja! Zato, označimo sa x i y: količine vina koje ostaju u prvom i drugom balonu posle svakog presipanja. Onda u trećem balonu ostaje Po uslovima zadatka: y (x + y) l 0 х 8, 0 х 8; 0 у 5 ili 0 у 5; 0 8 х у 3, 5 х + у 8. 6 D(0,5) 4 C(3,5) S(4,4) B(8,0) x Pravougli koordinatni sistem: Početnom stanju odgovara tačka B(8, 0), konačnom tačka M(4, 4). Presipanja se mogu predstaviti nizom tačaka paralelograma ABCD-izlomljenom linijom sa početkom u B, a krajem u M. Jer, situaciji kada je drugi balon prazan odgovaraju tačke stranice AB, a situaciji kada je on pun-tačke stranice DC. Takođe, situaciji kada je treći balon prazan odgovaraju tačke stranice BC, a kada je pun tačke stranice AD. Dakle, temena izlomljene linije nalaze se na stranicama paralelograma ABCD. Kako se pri svakom presipanju količina soka u jednom balonu ne menja, lako zaključujemo da je svaki deo izlomljene linije paralelan osi Ox ili osi Oy ili stranici BC. Pritom, ako je neki njen deo na stranici paralelograma, onda je kraj te duži teme paralelograma. Prema tome, zadatak se može preformulisati. Korišćenje pravouglog koordinatnog sistema omogućava da se zadatak 203

204 reši bez teškoća. Potrebno je samo nacrtati izlomljenu liniju koja ispunjava uslove zadataka. Uz rad ide vrlo atraktivna prezentacija. Takođe, napominjemo, da će se izbor zadataka prilagoditi predviđenom vremenu za prezentaciju. 204

205 KORELACIJA NADOHVAT RUKE Maja Kalebić, prof. savjetnica mr. sc. Predrag Dukić, prof. mentor OŠ Vidikovac, Pula Sažetak U nastavi matematike u nastavnom predmetu i nastavnim sadržajima matematike postoji izrazita unutarnja i međupredmatna korelacija, kako po vertikali tako i po horizontali. Znanja iz matematičkog područja koriste se i primjenjuju u svim ostalim nastavnim sadržajima, osobito u prirodoslovnim područjima. Zato matematiku možemo promatrati kao temeljni nastavni predmet u korelacijsko-integracijskom sustavu. Krajnji cilj korelacijsko integracijske nastave jeste koordinacija znanja iz više nastavih područja u jasnu, cjelovitu strukturu trajnog znanja. Cilj rada je predstaviti Flipped classroom model nastave koji omogućava svakome i u svakom trenutku ostvariti korelaciju s matematikom, matematičkim tehnikama i pravilima, vještinama i znanjima. Osim međupredmetne korelacije, ovaj model nastave omogućava unutarnju korelaciju, ponavljanje i osvježavanje znanja i vještina, matematički sadržaji su uvijek nadohvat ruke. Ključne riječi: matematika, korelacija, integracija, Flipped classroom model Uvod Svatko tko radi u nastavi zna da je izuzetno teško motivirati učenike na konstantan rad na satu, redovito pisanje domaćih zadaća i usvajanje trajnih znanja. Iako se možemo koristiti raznim metodama i oblicima rada, njihova primjena i rezultati rada u razredu uglavnom ovise o našoj inventivnosti i kreativnosti. Kada smo željeli osuvremeniti nastavu postavili smo si nekoliko pitanja o našem životnom okruženju. Krenimo od najjednostavnijih. - Koliko naših učenika ima smart phonove, tablete, besplatnu Internet vezu? - Kako tradicionalna nastava izgleda generaciji koja u svakodnevnom životu dolazi do informacija SADA, OVOG TRENA? - Koliko možemo biti zanimljivi i zadržati pozornost učenika pored toliko atraktivnijih sadržaja koji im se nude doslovno na dlanu? Na osnovi dobivenih odgovora područje korelacije koje nam se gotovo nametnulo, bilo je informatika. Znanje i vještine iz tog nastavnog predmeta i životnog okruženja s područja informatike, učenicima naše populacije su intuitivna, dostupna i atraktivna. Razmišljajući o novim metodama u nastavi, imali smo i još nekoliko konkretnih razloga. U našoj školi gdje smo učitelji matematike, školske godine 2012./13. brojnost 5. razreda je 86 učenika, podijeljeni su u tri razredna odjela ( ). Nama koji predajemo matematiku brojnost učenika u razredu predstavlja bitnu komponentu nastave. Već prvi dojmovi su bili da je rad u ta tri razredna odjela 205

206 otežan, osobito iz perspektive tradicionalne nastave u kojoj je uloga učitelja u nastavi: Mudrac na pozornici [1], a nastava okrenuta materiji, iznošenju činjenica i znanja koje učenik mora usvojiti na satu. U kojem smjeru krenuti u korelaciji s informatikom i što sve možemo primijeniti od svojih znanja i vještina obzirom da smo oboje profesori matematike i informatike, svatko s 20 godina radnog staža, pitanja su koja su nas dovela do zaključka da trebamo tradicionalnu nastavu okrenuti naglavačke. Stanje u našoj školi Na uzorku učenika 5.razreda naše škole, u svim razrednim odjelima, utvrdili smo problemske situacije s kojima se susrećemo. Učenici nemaju razvijenu koncentraciju, tekstualni sadržaji predstavljaju veliki problem, geometrijski sadržaji još veći. Osim toga, imamo velik broj ometača, barem 20 smarth phonova ispod klupe, uvijek on line. Pisanje domaćih zadaća u kojima bi trebala biti primjena naučenog na satu i pitanja o nejasnoćama iz zadaće možemo ukratko opisati ovako: pitanja nema jer ih pišu samo dobri učenici, a ostali učenici ne pišu zadaću. Individualni pristup učenicima u nastavi je gotovo nemoguć. Ispitali smo kakvo je životno okruženje učenika. Pomoć izvan nastave izostaje, uglavnom iz dva razloga. Roditelji koji žele pomoći ili ne znaju gradivo iz matematike ili su prezaposleni. Neki su rješavali problem slanjem učenika na instrukcije, a tu je pitanje stručnosti i kvalitete izvan našeg utjecaja. Glavni indikator da se ne radi o osobnim dojmovima i procjenama, bili su testovi sposobnosti koji su standardizirani na nivou cijele populacije. Testovi su pokazali vrlo alarmantne podatke. Sve grupacije učenika prema sposobnostima postižu slabije rezultate. U takvom radnom ozračju nitko ne napreduje. Rezultat razmišljanja o radu u takvim uvjetima bio je osmisliti načine i metode rada u kojoj ćemo dobiti što više vremena za učeničke aktivnosti na satu, u kojem ćemo se moći više posvetiti učenicima i individualno im pomagati u usvajanju gradiva. Težnja nam je bila doći do diferencirane nastave čime bismo ostvarili veću interakciju s učenicima, individualno pristupili učenicima koji teže usvajaju gradivo, a odličnim učenicima kroz individualni pristup pružiti priliku da budu još bolji, omogućiti im da prezentiraju svoje ideje, rješenja, stvoriti od odličnih učenika suradnike u nastavi. Pri tome želimo postići opušteniju radnu atmosferu, u kojoj će svi imati jednake šanse za rad vlastitim tempom i osjećati se ugodno. Problem je kako motivirati sve učenike. Najjača i najtrajnija motivacija je ona unutarnja, bazirana na pozitivnim emocijama. Nije dovoljno poticajno reći: Bravo!, Kako lijepo radiš danas., Odlično si to naučio. Učenici brzo to prihvate kao vašu poštapalicu ili pogrešno shvate kao da su postigli svoj maksimum, ne trebaju se više truditi. Potrebna im je aktivnost, poticaj za dalje, više bolje... da najbolji učenici barem povremeno budu uz rame s vama, da predaju, podučavaju druge, pokažu se i potvrde kao osobe i individue. Da bi to postigli počeli smo koristiti Blending learning. Blending learning je nastava u kojoj se barem dio gradiva podučava online, a učenici imaju vrstu kontrole odabira kao što je vrijeme, mjesto, tempo itd.[2] Za predavanje novog nastavnog sadržaja koristili smo model nastave koji se naziva Flipped classroom. To je 206

207 metoda u kojoj učitelj snimi lekciju (Slika 1 i 2), omogući učenicima da je pregledaju u svom domu putem interneta, a dolaskom učenika na sat, učitelj preuzima ulogu voditelja i moderatora aktivnosti. Da bi to mogli učiniti koristili smo popularni Internet servis za razmjenu video sadržaja YouTube. [3] Slika 5: YouTube film na stranici škole Slika 6: Film prikazan na YouTube-u Druga metoda koju smo koristili je e-learnig. E-learning se odnosi na korištenje elektroničkih medija te ICT-a u obrazovanju. [4],[5] E-learning metodu smo 207

208 koristili za provjeru koliko su učenici usvojili gradivo. Da bi to utvrdili koristili smo web 2.0 alat - Google Forms.[6] Slika 7: Obrazac za provjeru Flipped clasroom U flipped clasroom modelu nastave učitelj ima ulogu voditelja i moderatora aktivnosti učenika na nastavnom satu. Smisao je u novom pristupu pisanju domaćih zadaća i radu na satu. Učitelj snima edukacijski film o novoj nastavnoj jedinici (5-7 min) i objavljuje ga na najavljenoj web adresi.[7] Učenikova domaća zadaća je pogledati film za sutra, pripremiti pitanja i zapisati sve činjenice i definicije potrebne za sutrašnju aktivnost na satu. Takvim rješavanjem domaće zadaće svaki učenik ima jednake preduvjete za pripremu za sljedeći sat, a vrijeme i ambijent kada će i kako to odraditi odabire sam. Dolaskom na sat, učenicima slijede aktivnosti vezane za gradivo iz zadaće. Kako je učitelj kreator obrazovnih ishoda, on organizira nastavu, dijeleći učenike u heterogene, homogene grupe ili rad u paru, ovisno o tipu sata i težini gradiva. Krenuli smo u pripremne radnje uvođenja flip teachinga. Pripremu smo počeli anketiranjem učenika o navikama učenja, te imaju li svi tehničke preduvjete za realizaciju naše ideje. Svi učenici imaju računalo s pristupom Interneta. Edukacijski film odgovara svim stilovima učenja kako vizualnim, tako i auditivnim i kinestetičkim. Vizualni tipovi učenika vide edukatora, napisani sadržaj, sliku onoga što je bitno i istaknuto. Auditivni tipovi obratit će pozornost na zvuk, dominantno će slušati edukatora (pojedini učenici su odmah prebacili svaki film u MP3 format). Kinestetički tipovi zapamtit će ono što su zapisali gledajući film. Zato upute moraju biti jasne. Anketa koju smo proveli u 5. razredu naše škole na pitanje Kako učiš sadržaj koji moraš naučiti napamet (pjesmica, definicija, pravilo) dala nam je sljedeće odgovore: 208

209 1. Učim na glas. 45% - AUDITIVNI TIP 2. Učim čitajući u sebi. 38% - VIZUALNI TIP 3. Pišem na papir. 7% - KINESTETIČKI TIP Rezultati pripremne ankete: Slika 8: Navike učenja Slika 9: Suradnja pri učenju Slika 10: Tipovi (stilovi) učenja 209

210 U našoj populaciji gotovo je jednak broj auditivnih i vizualnih tipova učenika. Kinestetički tipovi su inače slabije zastupljeni u populaciji kao i među učenicima naše škole. Kako smo krenuli? Odlučili smo da je pravi trenutak u 5.razredu krenuti s nastavnom cjelinom Decimalni brojevi. Snimili smo prvi edukacijski film. Prvo snimljeno predavanje pogledali smo s učenicima u razredu i objasnili kako iz njega izvući najvažnije. Dali smo im upute kako će od sada izgledati pisanje domaćih zadaća. Učenici su brzo shvatili što se od njih traži, te smo im pokazali kako pronaći taj materijal na stranicama škole, ali i na youtub.com, gdje je svatko otvorio svoj kanal. Ubrzo smo imali nekoliko učenika pretplaćenih na naš kanal. Projekt je odlično prihvaćen, pristigle su prve povratne informacije. S učenicima gledaju i roditelji, ali i braća i sestre!!! Reakcija kojoj se nismo nadali je bila od učenika ostalih razreda u kojima predajemo koji su nas pitali kada ćemo snimiti film za njih. Cijeli način rada u novom modelu brzo se ustalio. Učenici moraju pogledati lekciju, te zapisati u bilježnicu definicije i primjere iz te lekcije. Ukoliko nešto nije jasno, moraju postaviti pitanja kada dođu na sljedeći sat. Rad na satu bio je usmjeren ka učeničkim aktivnostima. Diferenciranost nastave postigli smo dijeljenjem učenika u homogene ili heterogene grupe. Kada smo ih dijelili u homogene grupe, prilagođavali smo zadatke prema težini. Unutar razrednog odjela koji broji učenika imali smo četiri homogene grupe, a tako su bili grupirani i zadaci prema stupnju složenosti. Na taj način smo dobili više vremena da pomognemo učenicima koji su slabiji. Podjelom na heterogene grupe ili radom u parovima učenici su međusobno više surađivali, tako što su jedni drugima pomagali u učenju. Time se unutar razrednog odjela razvijaju kvalitetni odnosi, odnosi uvažavanja i podržavanja. Dok su bolji učenici koji su usvojili lekciju samostalno radili, mi smo pomagali slabijim učenicima ili angažirali najbolje učenike da pomažu drugima u razredu. Slika 11: Odnosi u razredu Nakon četiri lekcije uz edukacijski film dodali smo zadatke u kojem učenici moraju odgovoriti na pitanja vezana uz sadržaj filma. Prvi zadatak nije bio najavljen, čime smo ispitali snalažljivost i predanost učenika cijelom projektu. Učenici su se odlično snašli, zadatak je riješilo 90% učenika. 210

211 Zašto je bitno kronološki objavljivati filmove? Pri objavljivanju filmova bitno je najaviti svaki novi film prema dogovorenom protokolu. To je bitno da se ne prijeđe u banalnost, da učenici ne pregledavaju filmove bez smisla i logike, što bi se moglo dogoditi ako su svi odjednom dostupni. Najava novog filma za sutra, za sljedeći sat daje ozbiljnost i važnost cijelom načinu rada. Osim toga, statistika broja pregleda učitelju je povratna informacija koliko učenika je pogledalo film za domaću zadaću. Željeli smo individualizirati proces usvajanja novog nastavnog sadržaja. Svaki učenik je ovom modelom nastave u poziciji usvajanja novog nastavnog sadržaja u trenutku kada mu to najviše odgovara. Željeli smo omogućiti da ukoliko su nešto propustili, nadoknade propušteno, mogućnost da to pogledaju još jednom, odnosno onoliko puta koliko im to treba. Rezultati su pokazali pomake kojima se nismo nadali. Učenici koji su teže usvajali gradivo dolaze spremniji na sat, količina gradiva za domaću zadaću im je sada primjerenija. Kod boljih učenika primijetili smo samoinicijativu, oni samostalno kreću u primjenu sadržaja edukacijskog filma, rješavajući zadatke. Učenici ne samo da ponavljaju gradivo prethodnog sata, već pojedini jednom tjedno ponove cjelokupno gradivo. To nam potvrđuje broj pregleda edukacijskih filmova. Kratke provjere znanja u razrednim odjelima dale su potvrdu o boljem utvrđivanju gradiva. Učenici imaju kvalitetnija trajna znanja. Da se naš trud isplatio pokazale su reakcije učenika ali i roditelja. Napravili smo anketu među našim roditeljima da vidimo kakvi su njihovi dojmovi. Što misle o ovakvom načinu rada s njihovom djecom, te pomaže li njima i njihovoj djeci takav način rada. Na pitanje kako su zadovoljni s uvođenjem edukacijskih filmova, roditelji su bili zadovoljni ili izuzetno zadovoljni čak u 89% slučajeva. Slika 12: Stupanj zadovoljstva roditelja zbog uvođenja nove nastavne metode Na pitanje, jesu li njihova djeca motiviranija i samostalnija nego prije uvođenja potvrdno je odgovorilo 58% roditelja. 211

212 Slika 13: Motiviranost učenika Zaključak Već nakon mjesec dana korištenja Flipped classroom rezultati u nastavi i povratne informacije bile su više nego odlične. Dojam učenika kada gleda edukacijski film kod kuće jeste da se obraćamo direktno njemu. Osjeća da smo spremni uložiti trud, napraviti korak više, korak prema učeniku. On prepoznaje svoga učitelja, prepoznaje geste, strukturu rečenice, strukturu izlaganja, sve ono što čini učiteljski stil svakog edukatora. Dojmovi, zapažanja i sugestije roditelja su također više nego dobri. Oni prepoznaju naš dodatni trud, primjećuju pozitivne pomake u radu njihove djece, te čak predlažu kako bi se još mogla unaprijediti nastava. Naš daljnji rad bit će naučiti učenike da nakon grupnog rada prezentiraju drugim učenicima rezultate svog rada, da snime svoje postignuće, pronađu neku zanimljivost ili primjenu nastavnih sadržaja koje obrađujemo. Flipped classroom model u kojem smo korelirali matematiku i informatiku može se vrlo uspješno primijeniti i na višestruke korelacije. Ovaj model nastave omogućava učenicima veću međusobnu interakciju, razvijanje suradničkih odnosa i fleksibilnost. Informaciju i znanja potrebna za narednu aktivnost u svojem timu ili grupi, znaju gdje će pronaći, ponoviti ili osvježiti. U kojem smjeru će se ovakav model nastave razvijati ovisi o svakom učitelju osobno, o njegovoj kreativnosti i učiteljskom stilu. Ono što bi svi edukatori trebali osvijestiti jest da ako u oblacima mogu biti fotografije, glazbeni i filmski sadržaji nadohvat ruke, zašto to ne bi mogli biti i obrazovni sadržaji. Upravo dostupnost nadohvat ruke čini pretpostavku za vertikalne i horizontalne korelacije među nastavnim predmetima, integraciju nastavnih sadržaja te njihovu koordinaciju. Time je proces stvaranja trajnih znanja tehnološki suvremeniji, a učenici spremniji za cjeloživotno učenje. 212

213 Popis literature i izvora: 1. Hrvatski kvalifikacijski okvir (ishodi učenja) OŠ Petar Zrinski Šenkovec, [citirano ] Dostupno na < -okvir> 2. Staker H., Horn M. B.: Classifying K 12 blended learning2, Innosight Institute, Inc., 2012, Dostupno na < blended-learning2.pdf> 3. YouTube, [citirano ] Dostupno na < hr.wikipedia.org/wiki/youtube> 4. Karrer T.: elearning Technology, elearning Tech, [citirano ] Dostupno na < 5. Karrer T. Understanding E-Learning 2.0, elearning Tech, [citirano ] Dostupno na < Archives/2007/07/Understanding-E-Learning-20> 6. Golubić K.:Google Docs - izrada anketa, upitnika i obrazaca, sistemac.srce.hr, [citirano ] Dostupno na < &no_cache= 1&tx_ttnews[tt_news]=513> 7. Bergmann, J., Sams, A. Flip Your Classroom: Reach Every Student in Every Class Every Day, Washington, DC: International Society for Technology in Education,

214 ISTRAŽIVANJE U MATEMATICI KROZ PROJEKTE Karolina Brleković, prof. mentor Uvod Primjeniti matematiku i istraživati svijet oko nas pomoću matematike nije nimalo jednostavno, ali primjenom u istraživanju sve što radimo na satu dobiva smisao i ostaje zapamćeno. Poticaj za rad na projektima došao je nakon još jednog poticajnog i zanimljivog predavanja na Odjelu za matematiku. Ovaj puta bila je to prof. Gordana Beissmann s projektom Parabola i Dravski most Priča o istraživanju i radu učenika u terenskoj nastavi potaknula su me na razmišljanja o važnosti istraživačkog rada u matematici. U dogovoru s učenicima drugog razreda zanimanja: elektrotehničar i tehničar za računalstvo početkom školske godine 2009./2010. definirali smo timove učenika i dogovorili teme za projekte istraživanja: Parabola i Dravski most Mjerimo visinu odabrane građevine koristeći trigonometrijske funkcije pravokutnog trokuta Trigonometrija i astronomija Primjena eksponencijalne funkcije na prirast stanovništva Svinjska gripa i eksponencijalna funkcija Izračunaj potrebnu količinu boje i novca za bojanje svih zidova i stropova u vlastitoj kući ili stanu Kako obojati Sikstinsku kapelu? Istraživanja i konačne prezentacije učenici su provodili uz detaljne upute nakon svake cjeline vezane uz zadanu temu. Nakon izrade prezentacije svoje iskustvo rada na projektu i konačne zaključke su u razredu. Projekti Na početku drugog razreda susreli smo se s parabolom, pa je bilo logično da ponovimo projekt Parabola i Dravski most uz neznatne izmjene. Učenici su bili oduševljeni, uspoređivali su svoje vrijednosti sa stvarnim veličinama. Sljedeća dva projekta slijedila su nakon nastavne cjeline Trigonometrijske funkcije pravokutnog trokuta. Mjerimo visinu odabrane građevine koristeći trigonometrijske funkcije pravokutnog trokuta Učenici su istraživanje proveli kroz pet zadataka: 1. Primjena na kut elevacije kroz zadani primjer 214

215 2. Izmjeri visinu odabrane građevine koristeći priču o Talesu i Keopsovoj piramidi. (upute ne shvaćaj doslovno primjeni i moderne materijale) 3. Mjerenje kuta pod kojim se zgrada vidi uz pomoć klinometra ručne izrade. 4. Mjerenje kuta pod kojim se zgrada vidi uz pomoć šestara, libele, infracrvene zrake i kutomjera na šestaru. 5. Mjerenje kuta pod kojim se zgrada vidi uz pomoć kutomjera Temu su radila po dva tima u razredu, tako da je temu razradilo ukupno četiri tima ili osam učenika. Bilo je zanimljivo vidjeti razlike u radu, poteškoće na koje su naišli s obzirom da su sami odabirali građevinu koju su mjerili. Trigonometrija i astronomija Ovaj projekt učenici su proveli kroz četiri zadatka: 1. Za prezentaciju objasnite kako je Eratosten izmjerio Zemlju i predložite kako biste Vi to mogli? 2. Prva mjerenja udaljenosti Mjeseca od Zemlje vršio je grčki astronom Aristarh. Objasnite sliku koja prikazuje kako je to učinio, pronađite u literaturi prave veličine i izračunajte udaljenost Mjeseca od Zemlje. 3. Aristarh je mjerio i udaljenost Sunca od Zemlje. Koristeći trigonometrijske formule za pravokutni trokut, priloženu sliku i veličine pokušajte odrediti udaljenost Zemlje od Sunca 4. Za kut koji iznosi 0,5 sekundi nađi udaljenost pripadajuće zvijezde! Ovaj projekt za neke je bio i prvi susret s astronomijom i mjerenjem udaljenosti u svemiru. Nakon obrade nastavne cjeline Eksponencijalne i logaritamske funkcije došla su na red druga dva projekta: Primjena eksponencijalne funkcije na prirast stanovništva Istraživanje je trebalo provesti kroz tri zadataka, ali bilo je i dosta prostora za improvizaciju: 1. Napravimo procjenu broja stanovnika Zemlje u prvih 10 godina 21. stoljeća. 2. Na osnovi podataka iz predhodnog zadatka odgovori na sljedeća pitanja: a) Koliko je stanovnika 2010 godine uz isti prirast (ili prve sljedeće godine u tvojoj tablici)? Usporedi podatak s podacima sa stranice b) Koliko će stanovnika biti godine uz isti porast broja stanovnika? c) Kada će na Zemlji biti 150 milijardi stanovnika? d) Kada nas je bilo trostruko manje nego godine? (ili zadnje godine u tvojoj tablici) 3. Zadatak 1. i 2. ponovi za odabranu Zemlju. Obrazloži zašto si odabrao baš tu zemlju i taj period godina! 215

216 Osobito zanimljiva su bila obrazloženja odabira Zemlje iz Zadataka 3, ali i zaključci do kojih su učenici došli. Svinjska gripa i eksponencijalna funkcija Nakon objašnjenja pojma LOGISTIČKE FUNKCIJE u uvodu učenici su trebali: a) Napravimo procjenu broja zaraženih svinjskom gripom u Meksiku od prvog dana pojave zaraženih s razmakom od mjesec dana. Nakon što si popunio tablicu prikaži podatke grafički u koordinatnom sustavu gdje ćeš na x-os nanijeti mjesece, a na y-os broj stanovnika. Koju funkciju prikazuje graf? Po kojem pravilu raste broj zaraženih? b) Na osnovi podataka iz predhodnog zadatka odgovori na sljedeća pitanja: 1. Koliko je stanovnika zaraženih nakon godine dana? 2. Koliko bi stanovnika prema rastu funkcije trebalo biti zaraženo danas? Koliki su stvarni podaci o broju zaraženih? c) Pokušaj funkciju iz Zadatka 1. primjeniti na svinjsku gripu. Koja od funkcija bolje opisuje ponašanje zaraze prema broju zaraženih? Zanimljivo je kako su i učenici došli do Zaključka objavljenog u Dnevniku kako nas je Svjetska zdravstvena organizacija svjesno zavarala o postojanju pandemije. Prije rada na Geometriji prostora dva učenika pripremila su preznataciju rada s programom Google sketch Up. Na raspolaganju nam je učionica s 16 računala tako da su učenici mogli vježbati rad na programu. Program je omogućio učenicima lakši pristup prostornom zoru. Na kraju obrade iste nastavne cjeline isti učenici su uz korištenje Pametne ploče i istog programa priredili malo ponavljanje naučenih pojmova uz zadatke za razmišljenje. (ali o tome drugi puta) Cjelinu smo zaokružili zajedničkim istraživanje: Geometrija prostora u djelima umjetnika 20. stoljeća, i izradom mentalne mape na istu temu. Svoje istraživanje za prošlu školsku godinu završili smo nakon cjeline Geomerijska tijela i to projektima: Izračunaj potrebnu količinu boje i novca za bojanje svih zidova i stropova u vlastitoj kući ili stanu. Kako obojiti Sikstinsku kapelu? Oba projekta rađena su kroz slične zadatke s određenim izazovom kod drugog projekta i zamjenom s nekom drugom znamenitom građevinom. Zaključak Učenici su projekte prihvatili izuzetno dobro. Vrlo mali broj učenika nije se odazvao izradi projekta (po razredu 4 učenika). Većina njih želi nastaviti istraživati i primjenjivati matematiku na projektima i kroz sljedeću školsku godinu. 216

217 KAKO SKRATITI NASTAVNI SAT? Karolina Brleković, prof. mentor Uvod Naravno da nastavni sat nećemo vremenski skraćivati. Ali možemo učenicima stvoriti dojam da sat kraće traje. Kako? Učenici od nastavnika očekuju: humor, pravednost, prodornost, razumijevanje i zanimljivu koncepciju nastave. Ali vrlo često i uz najbolje namjere predavača to nije jednostavno. Ono što je nama zanimljivo, smiješno i prodorno učenicima nije. S druge strane ponekada je teško osmisliti zanimljiv i poučan koncept nastave. Dobru (čitaj i zanimljivu) nastavu čini: raznolikost metoda, aktivni učenici, dobra radna atmosfera, formiranje ličnosti i primjerena stručna razina. Dobra nastava je zanimljiva priredba s jasnim pravilima u kojoj učenici i nastavnici dobro surađuju na stručnoj i osobnoj razini kako bi prikupili što trajnija iskustva. S druge strane pet krivaca za pad kvalitete su: prečesta i dosadna frontalna nastava, siromaštvo metoda, gradivo radi gradiva, pretjeran pritisak na učenike, prebrz način postupanja. Mali trikovi za bolju nastavu Neke od metoda za skraćivanje nastavnih sati sigurno već koristite, a neke će vam dati ideju da razvijete nove. Krenimo od svima poznatog grupnog rada kojeg možemo koristiti na nekoliko načina: - kod uvježbavanja kroz cijeli sat - kod uvježbavanja samo kao dio sata - kod obrade novog gradiva - kao kombinacija grupnog i timskog rada Vrlo često (ako nam je dostupna oprema) u nastavi koristimo i računalo: - Za demonstraciju i pomoć kod obrade novog gradiva - Pomoć pri samostalnoj obradi zadataka - Samostalnu obradu nastavne jedince - Kod prezentiranja učeničkih uradaka Na satu su korisne i ako se izrađuju zajednički i zanimljive mentalne mape. Kod održavanja sata vrlo je bitan uvod u sat koji će ako je dobro i kvalitetno odrađen imati za rezultat motivaciju za daljnje praćenje sata. Kao uvod u možemo koristiti šale, neke popularne serije i kratke filmove, a tu su i brainstorming, rad s 217

218 partnerom, postupak miješanja skupina, eksperiment, učenje po postajama, projektna nastava, učenici poučavaju učenike,. Osim toga kada god je to moguće u sve ove metode uvrstimo i korelaciju s drugim predmetima. Primjere za pojedine metode koji su već korišteni u nastavi moći ćete vidjeti u sklopu predavanja. Zaključak I za kraj nešto ne manje važno, bilo bi dobro i učenike ponekad pitati kakva im je nastava: Upute Za svako pitanje imaš izbor da prekrižiš bodove između +2 i -2. Želiš li pitanje ocijeniti sasvim pozitivno, dati ćeš +2 boda, uglavnom pozitivno +1 bod, ni dobro ni loše 0 bodova, više negativno -1 bod, posve negativno -2 boda. Na početku učenik treba popuniti i: Razred... Dob...godine m ili ž 1. Jesi li nastavu smatrao zanimljivom ili dosadnom? 2. Vjeruješ li da si naučio mnogo ili malo? 3. Jesi li dobro razumio gradivo ili si imao probleme? 4. Je li tempo učenja bio za tebe ispravan ili pogrešan? 5. Jesi li nastavnu metodu smatrao dobrom? 6. Je li nastavnik dobro tumačio ili nije? 7. Jesi li se dobro osjećao ili nisi? 8. Jesi li bio zadovoljan svojim sudjelovanjem?

219 Zbroji na kraju pozitivne i negativne bodove. Ako prevladavaju pozitivni, odbij broj negativnih bodova. Ako prevladavaju negativni bodovi, odbij pozitivne bodove. Unesi ukupan broj bodova sa + ili znakovima u okvir. Literatura W. Glasser: Kvalitetna škola - škola bez prisile, Zagreb, Educa, W. Glasser: Teorija izbora, Zagreb, Alinea, H. Klippert: Kako uspješno učiti u timu, Zagreb, Educa, S. Banić i T. Vukas: Zašto i kako uvesti grupni rad na satove matematike, Zbornik 6. susreta nastavnika matematike, Zagreb, HMD, Sonja Banić: Kako pripremiti rad u timovima, četvrti stručno-metodički skup, ROVINJ, listopada godine Tony Buzan : Kako izrađivati mentalne mape, Veble commerce, Zagreb 2004 PC CHIP broj W. Mattes: Nastavne metode, zagreb, Ljevak,

220 INTERAKTIVAN UDŽBENIK KAO UČENIČKI PROJEKT Lidija Kralj, prof. matematike i informatike etwinning ambasadorica OŠ Veliki Bukovec Kako bi sebi, a i drugima olakšali snalaženje s postocima učenici sedmog b razreda Osnovne škole Veliki Bukovec napravili su digitalni udžbenik o postocima. I to ne bilo kakav, nego pravi, interaktivan, sa slikama, videima, kvizovima te naravno primjerima i zadacima. Možete ga pogledati na adresi bit.ly/postoci. Prošle školske godine imala sam jedan vrlo zanimljiv sedmi razred prepoznatljiv po dobroj volji za suradnju i različite neobične aktivnosti. Što se matematičkog znanja, vještina i sposobnosti tiče bio je to uobičajen razred, od učenika s poteškoćama do nadarenih. Tom razredu predavala sam matematiku i informatiku pa sam odlučila šest sati tjednog druženja upotrijebiti i za rad na projektu. Ideja o izradi interaktivnog udžbenika nastala je tijekom obrade postotaka kad su učenici rješavali zadatke na računalu i zaključili da bi i oni mogli napraviti slične zadatke. Kako se u informatici u sedmom razredu rade proračunske tablice, multimedija i mrežne stranice imali smo dobru podlogu za izradu interaktivnog udžbenika. Rad na projektu započeo je podjelom poslova, učenici su se podijelili u grupe za: pisanje zadataka, snimanje videa, crtanje ilustracija, izradu kvizova te objavljivanje sadržaja. Tijek projekta: 1. pisanje i rješavanje zadataka - učenici su najprije smišljali, zapisivali i rješavali zadatke u grupi, zatim ih pisali na računalu pa provjeravali. Bili su vrlo domišljati u pisanju zadataka pa ćete u njima pronaći puno poznatih imena ali i gotovo sve učenike iz razreda u raznim svakodnevnim situacijama. 2. snimanje i objavljivanje videa - za videozapise s objašnjenjima učenici su odabrali nekoliko primjera iz udžbenika i uvježbali njihovo rješavanje na ploči. Snimanje je naravno izazvalo različite smiješne situacije tako da udžbenik ima i svoj prateći filmić izrezanih scena. Videozapisi su objavljeni na YouTube kanalu škole kako bi mogli biti jednostavno umetnuti na školske mrežne stranice. 3. crtanje ilustracija - neke zadatke trebalo je ilustrirati slikama. Kako nismo htjeli kršiti autorska prava, odlučili smo sami nacrtati ilustracije. Obzirom da je u razredu nekoliko učenica nadareno za slikanje to im uopće nije bio problem. U dilemi između crtanja na računalu ili na papiru odlučili su se za crtanje na papiru, a zatim su crteže skenirali pa umetali u mrežne stranice. 4. smišljanje i rješavanje pitanja te sastavljanje kvizova u Zondleu 220

221 - kako bi udžbenik dobio na interaktivnosti napravljeno je niz kvizova korištenjem programa Zondle (zondle.com). Pri izradi pitanja za kvizove izazov je bio pripremiti netočne odgovore koji su bili slični točnima, pripaziti da rješenje kviza ipak bude dobro te grupirati pitanja po temama. 5. stvaranje mrežnih stranica i objavljivanje svih sadržaja na njima - da bi pripremljeni sadržaji bili svima lako dostupni odabrali smo objavu na školskim mrežnim stranicama, koje koriste WordPress sustav. Stranice su napravljene prema temama, a na svaku stranicu su nakon teksta zadataka umetane ilustracije, kodovi za ugrađivanje videa te kodovi za ugrađivanje kvizova. Na kraju je još trebalo sve pregledati i ujednačiti izgled jer je svaka stranica imala druge autore. Projekt je trajao približno četiri mjeseca, a za završno usklađivanje nam je trebalo još mjesec dana. Učenici su svaki tjedan, 2-3 sata radili na udžbeniku. Svi sadržaji napravljeni su tijekom nastave, u školi i sve su ih napravili učenici samostalno. Moj posao bio je pokazati im kako se pojedini programi koriste i davati savjete kad su zapeli ili naišli na probleme. Tijekom rada na projektu imali smo i nekoliko, ozbiljnih projektnih sastanaka na kojima je svaka grupa davala izvještaj o odrađenom poslu i planovima za nastavak. Tako su učenici imali priliku osjetiti poslovnu atmosferu i odgovornost za svoj rad. Rezultat je e-udžbenik s nizom interaktivnih elemenata, napravljen s puno dobre volje i smijeha. Udžbenik u kojem su sudjelovali baš svi učenici 7.b, bez obzira na znanje i sposobnosti i zato je to udžbenik na koji smo svi zajedno ponosni. Ovi sedmaši posebni su po svojoj kreativnosti i aktivnosti pa im nije bilo teško pred kamerom objašnjavati primjere, rukom crtati ilustracije, smišljati pitanja i stvarati kvizove. Sve ih možete ih upoznati i kroz njihove e-portfolije na mrežnim stranicama OŠ Veliki Bukovec, (Informatika > 7. razred > e- portfolio). 221

222 IMA LI KEMIJE IZMEĐU KEMIJE I MATEMATIKE? Snježana Lukač, prof. Gimnazija M. A. Reljkovića, Vinkovci snjezana.lukac@gmail.com Rebeka Kalazić, prof. I. gimnazija Osijek, Osijek rebeka.kalazic@gmail.com Sažetak Slučajan susret sa zbirkom zadataka iz kemije rezultirao je ovim nadamo se interesantnim člankom. Nakon više od 20 godina rada u nastavi otkrivamo da nismo bile svjesne koliko je jaka kemije između kemije i matematike. Mislimo da tu vezu trebamo iskoristiti pa smo poželjele naše otkriće podijeliti sa svima Vama. U članku pišemo o kemijskim vezama, spojevima i jednadžbama, kristalnim strukturama, značajnim znamenkama, postotcima, omjerima... Ključne riječi: matematika, kemija, jednadžbe, kemijske veze, kristalne strukture, znamenke Nedjeljno popodne, prijateljice matematičarke uživaju na terasi uz kavicu i pričaju naravno o matematici. Prekida ih jedno od njihove mile dječice sa bilježnicom u ruci i zamolbom: Pomognite mi riješiti ove zadatke. * Ako su u tvojoj široj obitelji, koja uključuje bake, djedove, bratiće i sestrične te njihove roditelje, ukupno 23 člana, izračunaj: a) koliko posto otpada na tebe? b) koliko zajedno na tvoje roditelje, djedove i bake? * Gospođa Božica odlučila je ukiseliti zelje za zimnicu. Na tržnici je kupila 35 kg zelja, a u trgovini 2 kg soli. Otprilike pola zelja izribat će na rezance, a ostalo ostaviti u glavama. Saznala je da se ribanom zelju dodaje 2.5% soli, a onom u glavama 5%-tna otopina soli. Zelje je očistila i izvagala. Imala je 13 kg izribanog i 222

223 15.7 kg glava. Vagnula je sol za ribano zelje i procijenila da će 20l vode za pripravu 5%-tne otopine soli biti dovoljno. a) Koliko je postotaka zelja otpalo pri čišćenju? b) Koliko je soli potrošeno na pripremu ribanog zelja? c) Koliko je soli potrošeno na pripremu 5%-tne otopine? d) Koliko je soli ostalo nakon kiseljenja zelja? * Učenici budući šumarski tehničari, sadnicama smreke popunjavaju opožarenu površinu. Za kopanje jame i sadnju jedne sadnice smreke treba 5 minuta. a) Koliko bi sadnica smreke posadio jedan šumar u prosječnom životnom vijeku od 70 godina ako bi 300 dana u godini radio 8 sati dnevno? b) Koliko bi sadnica posadili svi stanovnici Zemlje pod istim uvjetima? (6.3 milijarde ljudi) * Zamisli da Hrvatska u državnom trezoru ima pohranjeno kuna i to samo u novčanicama od kuna. Pretpostavi da u Hrvatskoj ima 4.5 milijuna stanovnika i da svi oni broje kune iz trezora tako da svake sekunde prebroje 1000 kuna (jednu novčanicu). Koliko bi dugo stanovnici Hrvatske brojili kune iz trezora? Vrijeme iskaži brojem godina i usporedi ga s brojem stanovnika Hrvatske. * Brusnica je danas top namirnica. Sadrži hipuričnu kiselinu koja je prirodni antibiotik, pa sprečava infekcije mokraćnih putova i upalu zubnog mesa, antocijani i srodni spojevi pomažu vidu, a njeni antioksidansi štite od slobodnih radikala. Sušena brusnica je stoga postala omiljena grickalica s drugim sušenim voćem. Svježa brusnica sadrži 88% vode, a sušena samo 5%. Kolika je masa svježe brusnice iz koje se može dobiti 5 kg sušene brusnice? Kako zanimljivi zadaci., složile smo se u trenutku. Iz koje je to zbirke? Ali, to nije matematika!, začuđeno konstatira naša juniorka, To je zadaća iz kemije. Molim?, donesi nam brzo tu knjigu. Ovi su zadaci probudili u nama želju zaviriti detaljnije u zbirku zadataka iz kemije. Naoružane znatiželjom i dobrom voljom krenule smo u avanturu kroz šumu atoma, molekula, kemijskih elemenata, kemijskih jednadžbi i struktura, tražeći vibru između kemije i matematike. Opća kemija 1 (za gimnazije) U 1. cjelini nazvanoj Uvod na samom početku nailazimo na simpa vagice kojima se izjednačava nabojni broj kationa i aniona pri određivanju formule spoja. 223

224 Formula spoja je Al 2 O 3. Kemija koju tražimo je proradila: zbroj nabojnih brojeva mora biti nula - tražili smo najmanji zajednički višekratnik (matematika) nabojnih brojeva iona (kemija). x 3 - y 2 = 0, NZV(3, 2) = 6, pa je x = 2, a y = 3. Kemičari zapisuju ovako: 2 (3+) + 3 (2-) = 0 Očekujemo da bi i učenik koji ima poteškoća s matematikom trebao znati popuniti slijedeću tablicu: K + Ba 2+ Al 3+ H + Cl - SO 4 2- PO 4 3- O 2- Zatim nailazimo na problem kiseljenja zelja. Ovaj zadatak je pobudio jaku vibru. Bojimo se da veze ne popucaju! Većina tinejđera ne voli kiselo zelje, kako u tanjuru, tako u kemiji ili matematici. Pred ovakvim matematičkim zadatkom većina učenika osjeća nemoć ne znam to riješiti. Mozak reagira tako da mijenja kemijsku ravnotežu i učenik najčešće odustaje od bilo kakvog pokušaja rješavanja zadatka. Možemo li postići (kemičari ili matematičari) drugačiju, pozitivniju kemiju u moždanim stanicama učenika? Kiselo zelje je jako zdravo, a zadatak je baš simpatičan, pokušajmo ga riješiti. 2. cjelina Tvari nije nas baš previše dirnula u dušu matematičku, osim malo očitavanja grafa koji prikazuje promjenu agregacijskih stanja neke tvari s promjenom temperature. 224

225 U 3. cjelini Građa atoma smo pretpostavile kako ćemo naići na potencije kao ono što im treba iz matematike. Na naše iznenađenje ugledasmo slijedeće zadatke: * Polumjer Zemlje na ekvatoru je km, a polumjer atoma zlata je pm. a) Koliko atoma zlata treba da se Zemlji načini ekvatorijalna ogrlica? b) Koliku masu (iskazanu u mg) bi pokazala vaga na koju bismo složili te atome? * Polumjer kovanice od 2 kune je 25 mm. Koliko se atoma klora može nanizati duž promjera s obiju strana te kovanice? Promjer atoma klora je 200 pm. * Po popisu iz godine Zagreb ima stanovnika. Koliko bi stanovnika Zagreba stanovalo na Trgu bana Jelačića, a koliko u svim ostalim dijelovima grada ako bi odnos trga i ostalih dijelova bio isti kao: a) odnos promjera atomske jezgre i elektronskog omotača b) odnos mase protona i neutrona c) odnos mase elektrona i protona? Zgodno zar ne? A kada smo zavirile u elektronski omotač, ljuske i orbitale... * U pojedinim elektronskim ljuskama elektroni se prema energiji raspodjeljuju u pojedine orbitale (s, p, d, f) kao što je prikazano slikom. Svaka orbitala može primiti dva elektrona. Izračunaj najveći mogući broj elektrona u ljuskama za koje je n = 3, 4 i 5. Objasni kako si došao do rezultata. (u prijevodu: matematiko, u pomoć!) (Rješenje je 2n 2 ) Slijedeća cjelina 4. Periodni sustav elemenata ispunjena je kombinatorikom, nizovima i periodičnosti. Učenike to čeka u matematici tek u trećem i četvrtom razredu. 5. cjelina Kemijske veze ima itekakve veze s matematikom bila ona kovalentna, ionska ili metalna. Računaju se duljine, udaljenosti i kutovi. Evo primjera kovalentne veze molekula: 225

226 Nakon polovine našeg kemijskog putovanja stižemo do dijela koji nas se najviše dojmio (koja bi žena ostala ravnodušna): 6. cjelina Kristali. Kemija u našim vijugama se javlja: ovo je matematika za muški rod, neka oni računaju koju cijenu su spremni platiti za ljubav našu.??? kn??? kn Nakon što smo se oporavile od vanjskog sjaja kristala, uputile smo se u najsitnije dijelove kristalnih struktura njihove jedinične ćelije. Kolege iz kemije su nam rekli da učenici tu imaju poteškoća i da zadatke koji slijede rade uglavnom s naprednim kemičarima. Kristali su tijela pravilne unutarnje građe omeđena plohama. Za svaki su kristal karakteristični određeni elementi simetrije. To mogu biti ravnine, osi i središte simetrije. Jedinična (elementarna) ćelija jeste najmanja jedinica volumena kristala koja ima sve značajke toga kristala, a određena je duljinom bridova i kutovima što ih oni zatvaraju. Kristalna rešetka jeste zamišljena trodimenzionalna mreža točaka međusobno udaljenih za duljine bridova elementarne ćelije u sva tri smjera. Nekoliko zadataka za zagrijavanje (jesu li matematički ili kemijski???): * Izdvoji netočne tvrdnje: a) Volumen kocke jednak je trostrukoj duljini brida b) Plošna dijagonala izračuna se iz Pitagorina poučka. c) Prostorna dijagonala kocke iznosi 3 a. d) Volumen kocke jednak je duljini brida podignutoj na treću potenciju. * Koja geometrijska tijela nemaju središte simetrije: A) kocka; B) tetraedar; C) oktaedar; D) valjak; E) piramida? * koliko ravnina simetrije ima: a) kocka; b) tetraedar? Nadamo se da je učenicima dovoljno predznanje iz osnovne škole, jer u gimnaziji uče geometriju prostora tek na kraju drugog razreda, a u kristalima im jako treba (vidite što slijedi ). 226

227 Većina metala kristalizira u kubičnom i heksagonskom sustavu. Kubičnom sustavu pripada volumno i plošno centrirana kubična slagalina. Izgleda i zvuči prilično matematički. Napredni kemičari moraju izračunati: a) udaljenost između središta najbližih atoma (uz poznatu duljinu brida a elementarne ćelije ili polumjer atoma r) b) popunjenost prostora elementarnih ćelija atomima ili udio šupljina. Volumno centrirana kubična slagalina Atomi smješteni na vrhovima kocke i jedan atom u sredini kocke (alkalijski metali, Ba, Cr, α-, Fe). Elementarna ćelije je kocka, a atomi su kugle. U svakom vrhu kocke postoji kugla, jasno je da tu kuglu dijeli 8 kocaka. U jednom vrhu kocke nalazi se osmina kugle. Jedna elementarna ćelija (kocka) ima 8 vrhova i u svakom vrhu osminu kugle. Svi ti dijelovi zauzimaju volumen jednak volumenu kugle. U sredini kocke nalazi se još jedna kugla, pa su ukupno dvije kugle (atoma) u jednoj kocki. a) Kugle se međusobno dodiruju, pa je dijagonala kocke jednaka 4r. D 4r a D a 3 3 4r Udaljenost središta najbližih atoma je D a r b) Popunjenost prostora: V V atoma kocke 3 V kocke a, 227

228 a a r r V V kugle atoma % a a V V kocke atoma Ili udio šupljina: % a a a a a V V V kocke atoma kocke Plošno centrirana kubična slagalina Atomi smješteni na vrhovima kocke i jedan atom u sredini svake plohe (Ca, Sr, Cu, Al, Ag, Au, Pb). Ukupan broj atoma je a) Udaljenost središta najbližih atoma je pola dijagonale plohe kocke 2 2 a a r r, a a d r d b) Popunjenost prostora: kocke atoma V V 3 a V kocke % a a V V kocke atoma Ili udio šupljina: a a r r V V kugle atoma % a a a a a V V V kocke atoma kocke

229 Heksagonska slagalina Atomi smješteni na vrhovima šesterokuta, po jedan atom u sredini šesterokuta i tri atoma u sredini slagaline (Be, Co, Mg, Zn, Cd, Os). Slagalina je pravilna šesterostrana prizma. 1 Šesterostrana prizma: vrhovi središta atoma, u svakom vrhu atoma ( 12 2 atoma), u sredini šesterokuta središte atoma ( 2 1 atom) u sredini 6 2 prizme 3 atoma. Ukupno je 6 atoma. a) Udaljenost središta najbližih atoma jednaka je 2r = a (stranica šesterokuta). V b) Popunjenost prostora: V V Visina prizme atoma v atoma prizme a 3 6 Vkugle 6 r 8r 8 a vt ( t v je visina tetraedra) 3 v 2 v t 2 a a ro 2 a 2 a 3 3 6a

230 V prizme B v 2 a 3 3a 3 B 6, 4 2 Ili udio šupljina V prizme V 2 V prizme V V 2a 6 v, 3 V prizme 2 3a 3 2a 6 a atoma a prizme 3a atoma 3 3 3a 2 a a % a % 2 6 Primijetimo da kod heksagonske slagaline šesterostrana prizma nije jedinična ćelija. Elementarna ćelija je trećina heksagonske prizme tzv. rompska prizma. 3 2 Nakon duljeg zadržavanja među kristalima, moramo dalje. Čeka nas 7. cjelina Uvod u kemijski račun. Očekujemo puno računanja i zaokruživanja, jedna od top tema iz matematike na maturi. 1. lekcija: značajne znamenke. Stupanj preciznosti nekoga mjerenja određen je brojem značajnih znamenki. Primjer 453 1, ,1 0,12 0,017 0,008 5, ,0 0, ,0420 Pravilo Značajne su sve znamenke Ako se nalazi između drugih brojeva, 0 je značajna znamenka. Ako se nalazi u brojevima manjim od 1, 0 nije značajna znamenka ni ispred niti Odmah iza decimalnog zareza 0 je značajna znamenka ako je zadnji broj Iza decimalnog zareza , Broj značajnih znamenki ovisi o pisanju 1, Navedenoga broja Broj značajnih znamenki

231 Postupak Pravilo Primjer Zbrajanje i oduzimanje Množenje i dijeljenje Broj decimalnih mjesta određuje broj s najmanje decimalnih mjesta Za iskazivanje rezultata ne uzimaju se u obzir decimalna mjesta nego najmanji broj značajnih znamenki 34,273 8,3 +2,2-5,78 36,473 2,52 1 decimala 1 decimala Uz korekciju broja većeg od 5 dobijemo 36,5 2,5 27,01 0,03 = 0,8103 Rezultat je 0, : 1,11 = 3626,13 Rezultat smije imati 3 značajne znamenke: 3, Evo i primjera: a) Zbroj brojeva 13,9026 i 9,03 je 22,9326. Prikaži rezultat ispravno! (rj. 22,93) b) Oduzmemo li broj 0,230 od broja 20,8983, rezultat je 20,6683. Prikaži rezultat ispravno! (20,668) Kako vam ovo zvuči? Treba li se u matematičkim udžbenicima naći ova lekcija, pa da se i mi lijepo dogovorimo kao što su kemičari? * Olimpijska medalja mora imati minimalni promjer 70 mm i debljinu 6 mm, a zlatna medalja mora sadržavati minimalno 92,5% srebra i minimalno 6 g zlata. Zlatna olimpijska medalja i nije baš zlatna. a) Koliko ukupno atoma ponese olimpijski pobjednik sa zlatnom medaljom oko vrata ako je njen dio minimalnih propisanih dimenzija načinjen od srebra, a potom obložen s još 6g zlata? Gustoća srebra je 10,47 gcm -3. b) Koliki je maseni udio zlata u takvoj zlatnoj medalji? 8. cjelina Kemijske promjene uzrokuje promjene u našoj vezi s kemijom. Postale su tanje i slabije. Osim u kemijskim jednadžbama ne vidjesmo puno matematike. 9. cjelina Određivanje formule spoja. Iz naziva ove cjeline nismo očekivale da ćemo naići na ovakve zadatke: * Cijena nekog odjevnog predmeta je 328 kuna. U vrijeme sniženja je smanjena 30%. Koliko će kupac platiti taj odjevni predmet? * Rajčica je nekada bila sezonsko ljetno povrće, a danas je možemo kupovati tijekom cijele godine. Osim svježe rajčice, u trgovini se nude različite prerađevine: sok, pasirana rajčica, pelati, koncentrat rajčice, različiti umaci s rajčicom... Zamisli da si ti diplomirani ekonomist voditelj službe nabave u velikoj prehrambenoj tvornici koja treba proizvesti 125 tona koncentrata rajčice. Tehnolog iz proizvodnje te informirao da rajčica sadrži 94% vode, a koncentrat samo 6%. Koliko rajčice će tvoja služba nabaviti za tu proizvodnju? Ljubiteljima slatkiša ovaj zadatak zapet će za oko: 231

232 * U receptu za kolač koji okusom i izgledom sliči popularnim bajaderama, navedeni su slijedeći sastojci: 20 dag šećera, 3dL vode, 1 margarin (250 g), 35 dag mljevenih oraha, 30 dag mljevenih keksa, 15 dag čokolade. a) Izračunaj maseni udio svakoga sastojka u gotovom kolaču. (A kako ćemo iskemijati gotovi kolač?) b) Koliko čokolade i mljevenih oraha treba odvagati slastičar koji želi prirediti 5 kg bajadere? Sada treba pitati u razredu koliki je udio onih koji još žele bajaderu. A mi smo se pitale što je tu kemija i proučavajući dalje skužile koliko je bitno kemičarima dobro baratati postocima i omjerima. Evo primjera: * Elementarnom analizom utvrđeno je da spoj sadrži 52,92% aluminija i 47,08% kisika. Izračunaj empirijsku formulu tog spoja. Empirijska formula oksida sadržavat će određeni broj atoma aluminija i atoma kisika koji su proporcionalni njihovim množinama (količina tvari). Množina aluminija: Množina kisika: 1mol n 96 26, 98g Al 52, 92g Al 1, mol 1mol n 94 16, 00g Broj jedinki razmjeran je množini: O 47, 08g O 2, mol N Al : N O 1, 96mol : 2, 94mol / : 1, 96 Al : N O 1: 15, / 2 N Al : N O 2 : 3 N, Formula aluminijevog oksida je Al 2 O 3. Sjećate se vagica??? Ima tu još puno interesantne kemije; koji spojevi daju miris ruža ili češnjaka, zbog kojeg spoja nam suze oči prilikom rezanja luka, što je u pokvarenom maslacu, aspirinu, 10. cjelina Stehiometrija. Na kraju smo se našle opet u jednadžbama, ali ne na našem terenu, nego u kemijskim reakcijama u koje se nismo upuštale (iako smo mnoge reakcije osjetile). Posebno nam se svidio ovaj primjer kemijske reakcije : 2 tosta + 1 sir 1 sendvič. I na kraju Nerijetko čujemo kolege iz kemije kako govore da učenici ne znaju matematiku (ne znaju potencije, ne znaju nacrtati tetraedar, ne znaju volumen kugle ). Je li to zaista tako? Možda učenici ne znaju kemiju ili je istina negdje između neprilagođenosti programa i nepovezivanja znanja iz matematike i kemije. Matematika pruža egzaktnim znanostima stanovitu mjeru sigurnosti koja se bez matematike ne bi mogla postići. (Albert Einstein). 232

233 Osjećaju li naši učenici sigurnost koju im pruža znanje iz matematike pri učenju kemije? U prvom trenu, želimo naše spoznaje što prije podijeliti sa učenicima, nije li to dio odgovora na pitanje: Gdje će mi ovo trebati?. Boljim učenicima sigurno će se ovi primjeri svidjeti. A oni malo slabiji možda reagiraju i negativno: Ne mogu vjerovati, opet tijela, postotci, omjeri... Kako slabiji učenik reagira kad vidi zadatak iz matematike (kemije, fizike) koji mu se čini težak? Strahom. Strah izaziva kemijsku reakcija mozga koja može biti toliko jaka da izazove fizičku bol. Bol i osjećaj opasnosti blokiraju razmišljanje o postupku rješavanja. Sigurno su neki učenici iz tog razloga slabiji. Pokušajmo, kao njihovi profesori, svojim pristupom izbjeći ovakvu kemiju. Naša je zadaća uvjeriti ih da će im znanje iz matematike ne samo pružiti sigurnost pri rješavanju problema iz kemije, nego i osnovu za pravilno kreiranje logičkog pristupa, povezivanje i zaključivanje. Lakše je naučiti matematiku nego raditi bez nje. (H.Bouasse) Uočili smo brojne korelacije s matematikom i shvatili da ih niti učenici niti mi ne iskorištavamo dovoljno i da moramo usmjeriti pažnju da dobar matematičar ne bi trebao imati problema s kemijom i da svoja znanja u skoroj budućnosti može iskoristiti u svakodnevnom životu. Kemičari vole reći: kemija je svuda oko nas i sve oko nas je kemija, a mi smo se pitale ima li kemije između kemije i matematike? Život nam je protkan emocijama. Osjećamo radost, žalost, strah, mržnju, ljubav. Ah ljubav, započinje s kemijom pa nastupa biologija 233

234 i fizika, no na kraju sve završi s matematikom Literatura 1. Zbirka riješenih primjera i zadataka iz OPĆE KEMIJE 1 za učenike prvih razreda srednjih škola, Zdravka Cindrić, Antica Petreski, Ljubica Petrić, Blanka Sever, PROFIL, Internet (slike): m.schuelerlexikon.de, blog.sina.com.tw, textbook.s-anand.net, practicalmaintenance.net 234

235 FOURIEROVA SLIKA ZVUKA mr.sc. Melita Štefan Trubić, predavač Sveučilište u Rijeci TEHNIČKI FAKULTET mstefan@riteh.hr Sažetak Poznati francuski matematičar Fourier pokazao je da se neprekidna funkcija može prikazati kao beskonačna suma sinusnih i kosinusnih funkcija određenih amplituda, perioda i faza. Upravo taj rezultat osim na funkcije u matematičkom smislu imao je velik utjecaj i na fizikalno razumijevanje zvuka, a time i na glazbu. Naime, zvuk se fizikalno interpretira kao longitudinalni mehanički val u elastičnom sredstvu koji oscilira s određenom frekvencijom, a matematički se može promatrati kao superpozicija sinusnih funkcija osnovne frekvencije i njezinih cjelobrojnih višekratnika, tzv. harmonika. Biološki gledano građa ljudskog uha je takva da naše osjetilo sluha radi kao Fourierova analizator. Ono razlaže kompleksan zvučni val na spektar jednostavnih valova ili harmonika određenih frekvencija što neposredno utječe na naš doživljaj različite boje zvuka. Zato zvukove iste visine i intenziteta možemo razlikovati bez obzira da li ih stvaraju ljudski glasovi ili različiti glazbeni instrumenti. Opisanu korelaciju matematičke, fizikalne, glazbene i biološke predodžbe fenomena zvuka virtualno ćemo potkrijepiti korištenjem informatičke tehnologije što je u skladu s vremenom i tehnološkim razvojem komunikacije čovjeka i računala. Tako ćemo učenika usmjeriti da usvojena znanja iz različitih područja srednjoškolskog gradiva oblikuje i poveže u jednu kompaktnu cjelinu. Ključne riječi: Fourier, zvuk, val, oscilacije, frekvencija, harmonik, spektar Uvod Čovjek je neprekidno okružen zvucima koji dopiru do njega iz njegove okoline. Zvuk budilice ili cvrkut ptica je vjerojatno prva stvar koju čujemo ujutro kad se probudimo. Cijeli naš dan je ispunjen zvukovima bez obzira da li je riječ o komunikaciji s drugim ljudima, slušanju glazbe, nekog televizijskog programa ili jednostavno uličnom žamoru. Zvuk je i posljednja stvar koju čujemo noću prije nego zaspimo kada nas naši otkucaju srca polako uvode u svijet snova. Zdravom čovjeku je gotovo nemoguće zamisliti svijet bez zvukova. I iako je zvuk sam po sebi nešto fascinantno, čovjek najčešće ne razmišlja o njegovoj prisutnosti, niti ga doživljava kao nešto posebno i zanimljivo. Bez obzira kakav je naš doživljaj, zvuk je ipak vrlo složen fenomen. Naime, svi predmeti koji stvaraju zvuk se pomiču i svi predmeti koji se kreću proizvode zvuk. Pri svom kretanju predmeti guraju i vuku okolni zrak, vodu ili neko drugo sredstvo kojim prolaze, uzrokujući time promjenu pritiska u samom sredstvu. Kretanje sitnih čestica zraka ili vode nazivamo vibriranje, a promjene tlaka ili zvučni valovi, u čijem obliku vibracije putuju, su ono što čujemo i doživljavamo kao zvuk. Tako se na primjer udarcem u bubanj stvaraju vibracije kože bubnja koje se dalje prenose molekulama zraka ili zvučnim valovima do slušatelja. Uši kao vrlo složen 235

236 biološki instrument imaju funkciju da takve zvučne valove pretvaraju u signale koje zatim naš mozak interpretira kao zvuk. Dakle, vidimo da je pojam zvuka vrlo čvrsto isprepleten s pojmom gibanja i pojmom valova, a to nas dalje upućuje na istraživanje fizikalne prirode zvuka. Razumijevanje fizikalne prirode zvuka možemo produbiti njegovom vizualizacijom. Zvuk često prikazujemo u valnom obliku kao na sljedećim slikama. Slika1. Valni oblik zvuka Takve slike se u matematici nazivaju funkcije, odnosno to je njihov grafički prikaz. Matematičke funkcije su poput strojeva koji imaju svoju ulaznu sirovinu i svoj izlazni proizvod. U našem prikazu ulaz je broj t koji označava vrijeme, a izlazni podatak je vrijednost funkcije f(t) koja predstavlja amplitudu. Zašto se baš pojam funkcije povezuje s pojmom zvuka? Zvukovi se prije svega odvijaju u vremena. Upravo zbog te svoje vremenske dimenzije povezani su s dijelom matematike koji se bavi funkcijama. Znanje o funkcijama, posebno o trigonometrijskoj funkciji sinus, će nam pomoći da proširimo sliku koju imamo o pojmu zvuka. Zvuk je usko povezan i s glazbom. Naime, nepravilni uzastopni zvučni valovi stvaraju buku, a pravilni uzastopni valovi, koje ćemo opisivati funkcijama, stvaraju glazbene tonove odnosno note. Zato niz tonova koji posjeduju određene pravilnosti i strukturu nazivamo glazbom. Iza mnogih glazbenih pojmova se kriju matematičke ideje. Upravo činjenica da obje imaju skrivenu strukturu i harmoniju među svojim apstraktnim objektima povezuje glazbu s matematikom. Potraga za simetrijom, harmonijom i redom u tom svijetu beskonačnih mogućnosti je smisao kako matematike tako i glazbe. Što je zvuk? U uvodnom dijelu smo zvuk opisali kao pojavu koja je usko povezana s kretanjem, odnosno vibriranjem pojedinog predmeta. Na primjer, kada čujemo zvono budilice, zapravo čujemo vibracije zvona nastalih unutar same budilice koje zatim putuju zrakom i nakon nekog vremena dolaze do naših ušiju. Vibracije pojedinog 236

237 predmeta predstavljaju izvor zvuka od kojeg se zvuk na sličan način kao i svjetlost širi i putuje sve dalje. Ali za razliku od svjetlosti koja može putovati i kroz vakuum, zvuk mora putovati kroz elastično sredstvo ili medij kao što je zrak, voda, staklo ili metal. Naime, zvuk je mehanički val koji se može širiti samo kroz neko sredstvo, a svjetlost je elektromagnetski val koji ne treba medij za svoje širenje i može se rasprostirati i kroz vakuum. Način na koji zvuk putuje si možemo na neki način predstaviti valovima na moru. Oni se stvaraju na mjestu gdje puše vjetar, putuju po površini mora i završavaju razbijajući se na obali. Ali iako postoji sličnost između morskih valova i zvukova, postoji i jedna velika razlika između njih. Naime, morski valovi putuju tako da se voda kreće gore i dolje, okomito na energiju samog vala koja putuje prema naprijed. Valovi u kojima čestice u sredstvu vibriraju okomito u odnosu na smjer kojim val putuje nazivamo transverzalni valovi. Pri tome se valno uzvišenje naziva brijeg, a valno udubljenje dol. Razmak između dva susjedna brijega ili dola, odnosno udaljenost nakon koje se oblik vala ponavlja je valna duljina. Amplituda se definira kao udaljenost najvišeg ili najnižeg položaja čestice vala u odnosu na ravnotežni položaj odnosno smjer širenja vala. Ti pojmovi istaknuti su na sljedećoj slici. Slika 2. Transverzalni val Zvučni valovi se šire na potpuno drugačiji način. Zvučni val tijekom svog kretanja određenu količinu zraka stišće i zgušćuje, pa razređuje i širi. To stvara naizmjenični uzorak gušćih i rijeđih dijelova u sredstvu kojim zvuk putuje, odnosno naizmjenično pojavljivanje područja većeg i manjeg tlaka u odnosu na normalni. Drugim riječima, zvuk gura i vuče zrak natrag i naprijed dok se voda kreće prema gore i dolje. Budući da čestice u sredstvu vibriraju u istom smjeru kojim val putuje, zvučne valove nazivamo longitudinalni valovi. Kod ovih valova se zgušnjeni dijelovi valova nazivaju brijegovi, a razrjeđeni dijelovi su dolovi, pa je valna duljina razmak između dva susjedna zgušnjenja ili pak razrjeđenja što je i prikazano na sljedećoj slici. Dakle, fizika definira zvuk kao mehanički longitudinalni val koji nastaje vibriranjem, titranjem ili osciliranjem nekog tijela odnosno izvora zvuka u elastičnoj sredini. Oscilacijsko gibanje je poseban tip periodičkog gibanja koje se vrši uvijek po istoj putanji, s prolaskom kroz ravnotežni položaj, u različitim smjerovima. Matematiča funkcija koja opisuje takva oscilacijska gibanja je trigonometrijska funkcija sinus koja se grafički prikazuje sinusoidom ili sinusnim valom. Zbog svoje valne 237

238 prirode zvukovi se vizualiziraju pomoću sinusoide što ćemo kasnije detaljnije obrazložiti. Zašto su zvukovi različiti? Slika 3. Usporedba longitudinalnog i transverzalnog vala Iako svi zvučni valovi na isti način putuju kroz medij prisiljavajući čestice na titranje prema naprijed i natrag u smjeru širenja vala, oni su istovremeno međusobno i vrlo različiti. Naime, postoje glasni i tihi zvukovi, rastući i stišavajući, mračni i svijetli, piskutavi i tutnjajući, visoki i niski zvukovi, itd. Vidimo da zvukove možemo opisati na mnogo načina i s mnogo različitih riječi, ali sa znanstvenog stajališta to je prilično neprecizno. Zato su nam potrebni određeni pojmovi kao što su glasnoća, amplituda, visina, frekvencija, trajanje, boja, koji će nam pomoći pri formalnom opisu fenomena zvuka. Opisivanje zvukova s precizno definiranim pojmovima pružit će nam mogućnost za njihovu daljnju obradu na računalu. Intenzitet zvuka Kako će čovjek subjektivno doživjeti i objektivno opisati zvuk ovisi o tome kako oscilira zvučni izvor. Naime, prenošenjem energije na zvučni izvor stvaraju se vibracije i zvučni valovi određenog uzorka. Veća polazna energija formira veće oscilacije ili veće zvučne valove. To znači i veće rastojanje između ravnotežnog položaja i najudaljenijeg položaja do kojeg je tijelo došlo pri oscilatornom pomicanju, odnosno veću amplitudu. Samim time doživljavamo i intenzivniji, jači, glasniji zvuk. Dakle, intenzitet zvuka kojeg percipiramo kao glasnoću neposredno ovisi o amplitudi zvučnog vala. Intenzitet zvučnog vala se može opisati i kao energija koju val prenese u nekom vremenu po jedinici površine. Zato je njezina jedinica mjere wat po metru kvadratnom (W/m 2 ). No, intenzitet zvuka se obično izražava u decibelima i označava s db, desetim dijelovima bela (1dB = 0.1B). Decibelima se zaparavo mjeri omjer danog intenziteta i najmanjeg intenziteta zvuka kojeg ljudsko uho može registrirati. Najmanji intezitet nazivamo prag čujnosti i iznosi I 0 = W/m 2 što predstavlja 0 db. Naime, čovjek jačinu zvuka doživljava po logaritamskom zakonu. Tako 10 puta glasniji zvuk od te početne vrijednosti I 0 ima intenzitet od 10 db, dok 100 puta glasniji zvuk ima intenzitet od 20 db, tj. vrijedi 238

239 Razina intenziteta zvuka koja izaziva bol je 130 db što znači da je stvarni intenzitet zvuka jednak 1 W/m 2. U sljedećoj su tablici prikazani zvukovi koje svakodnevno susrećemo zajedno s njihovim intenzitetima. Frekvencija zvuka Izvor Intenzitet (W/m 2 ) Razina intenziteta (db) prag čujnosti šuštanje lišća šapat normalni razgovor ulični promet usisavač orkestar rock koncert granica bola probijanje bubnjića Tablica 1. Neki izvori zvukova i pripadajući intenziteti. Još jedna važna karakteristika zvuka je njegova frekvencija. Ako smo se pretplatili na dnevnu štampu, učestalost ili frekvencija isporuke štampe može se opisati kao jednom dnevno, sedam puta tjedno. Dakle, frekvencija je općenito mjerenje učestalosti ponavljanja događaja u vremenu. Kada govorimo o frekvenciji zvuka, mislimo na to koliko puta se valna duljina ponavlja tijekom jedne sekunde. Prisjetimo se da je valna duljina jednaka udaljenosti između dva susjedna zgušnjenja ili razrjeđenja. Ukratko možemo reći da je frekvencija broj oscilacija u sekundi. Njezina je jedinica mjere herc (Hz) ili broj ciklusa u sekundi. Jedan herc je jednak jednoj valnoj duljini u sekundi ili jednom ciklusu koji sadrži zgušnjenje i razrjeđenje čestica u sekundi. Grmljavina ima frekvenciju od samo 50Hz, dok zvižduk može imati frekvenciju i od 1000Hz. Najdeblja žica na gitari ima frekvenciju otprilike 82 Hz, što znači da se njezinim trzanjem napravi 82 pomaka gore i dolje preko ravnotežnog položaja u sekundi. Veća frekvencija zvučnog vala nam subjektivno daje osjećaj višeg zvuka. Tako violina stvara zvučne valove s visokom frekvencijom, što znači da proizvodi više zvučnih valova u jednoj sekundi od kontrabasa čiji su zvučni valovi niskih frekvencija. Zanimljiv je i podatak da je prosječna frekvencija muškog glasa 120Hz, ženskog glasa 225Hz, te prvog plača bebe čak između 400 i 600Hz. 239

240 Izvor Najniža Najveća frekvencija (Hz) frekvencija (Hz) piano ženski govor muški govor kompaktni disk ljudski sluh Tablica 2. Neki rasponi frekvencija. U sljedećoj tablici dano je jedno jednostavno objašnjenje pojmova amplitude i frekvencije. Prvi val je tipičan zvučni val koji vibrira određenom amplitudom (visina) i frekvencijom (broj brijegova i dolova u određenom odsječku vremena). Drugi val ima istu frekvenciju kao i prvi val (isti broj brijegova i dolova), ali dvostruku amplitude (dvostruko višu). Ovakav zvučni val će biti oko dva puta glasniji od prvog vala, ali će imati istu frekvenciju. Treći val ima pola frekvencije drugog vala (pola broja brijegova i dolova), ali istu amplitudu (ste visine). Ovakav zvučni val bi zvučao dublje (manja frekvencija) u odnosu na drugi val, glasno kao drugi val i dva puta glasnije od prvog vala. Četvrti val ima dvostruko veću frekvenciju od prvog i drugog valova, i četiri puta veću frekvenciju od trećeg vala, tako da će zvučati puno više po frekvenciji od ostalih valova. Ima istu amplitudu kao valovi pod brojem 2 i 3, tako da će zvučati samo glasnije. Tablica 3. Usporedba valova različitih amplituda i frekvencija Iako je područje čujnosti zvučnih valova individualno za svaku osobu, ljudski sluh uglavnom može registrirati valove čija je frekvencija između 16Hz i Hz. Općenito infrazvukove ili podzvukove, zvukove čija je frekvencija ispod 16Hz i ultrazvukove, zvukove čija je frekvencija iznad Hz naše uši ne zapažaju. Neke životinje mogu čuti i mnogo više frekvencije. Tako zvuk zviždaljke namjenjene psima zbog svojih visokih frekvencija ljudsko uho ne može čuti. S druge strane šišmiši se emitirajući ultrazvukove i slušajući njihovo odbijanje mogu lakše orijentirati u prostoru ili uloviti plijen. Za usporedbu u sljedećoj tablici su prikazani rasponi frekvencija koje mogu registrirati različite vrste. Zanimljivo je istaknuti da postoji nekoliko frekvencija koje imaju prilično negativne učinke na ljudsko tijelo. Tako je frekevencija između 3 i 7 Hz rezonantna frekvencija tekućine u labirintu unutarnjeg uha, te frekvencija na kojoj radi većina kardiovaskularnog sustava. Izlaganje tim vrijednostima onemogućava zadržavanje ravnoteže i kretanje prostorom, te može prouzročiti nedostatak protoka krvi do ekstremiteta, probleme s disanjem, vrtoglavicu, hiperventilaciju i teoretski smrt. Frekvencija od 12Hz je rezonantna frekvencija prosječnog čovjeka u prsnoj šupljini. Predugo izlaganje na ovoj frekvenciji uzrokuje poremećaje u probavnom sustavu, vrtoglavicu, mučninu i osjećaj bolesti. Slične posljedice ima izlaganje tijela frekvenciji 240

241 od 14Hz. Pored toga se javlja i nesposobnost koncentracije, razdražljivost, te osjećaja iscrpljenosti. Vrsta Raspon Raspon Vrsta frekvencija (Hz) frekvencija (Hz) kornjača zec zlatna ribica pas žaba mačka golub miš čovjek šišmiš čimpaza delfin Tablica 4. Usporedba frekvencijskog raspona zvukova kod različitih vrsta Na sljedećoj slici prikazano je slušno područje zdravog sluha. Naime, osjet sluha nije jednak u cijelom čujnom području, slušanje nije jednako za sve frekvencije. Najveća osjetljivost nalazi se u području oko 3 khz. Na ovom frekvencijama prag čujnosti može biti čak ispod 0 db. Kako se mijenja prag čujnosti u tihoj prostoriji u odnosu na frekvenciju prikazano je zelenom krivuljom na slici 4. Isto tako na slici možemo uočiti da su govorne sposobnosti čovjeka mnogo manje od njegove sposobnosti slušanja. Amplituda i frekvencija nisu neovisne, oboje pridonose našoj percepciji glasnoće. Naime, poznato nam je da ljudsko uho ne percipira sve frekvencije s jednakom osjetljivošću. Na slici su prikazane izofonske krivulje poznate još kao Fletcher-Munsonove krivulje. To su krivulje koje nam govore koliki je intenzitet potreban na određenoj frekvenciji kako bi postigli isti doživljaj glasnoće kao neki ton na drugoj frekvenciji. Ukratko jedna krivulja označava točno određenu glasnoću koja se može dobiti uz različite kombinacije intenziteta i frekvencije. Tako za osjećaj jednake glasnoće od 50 fona, uhu je na 1kHz potreban podražaj od 50 db, na 20 Hz podražaj mora imati oko 95 db, a na 10kHz oko 55 db. Zbog toga je prihvaćena međunarodna konvencija po kojoj se subjektivni nivo jačine zvuka izražen u fonima, izjednačava na 1000 Hz s decibelima (objektivni nivo). Uočavamo da se najveća osjetljivost nalazi u srednje frekvencijskom području između 3 i 4kHz, a opada prema nižim i višim frekvencijama. 241

242 Slika 4. Slušno područje zdravog sluha Slika 5. Izofonske krivulje Spektar zvuka No, postavlja se sljedeće pitanje. Ako violina i glasovir proizvedu zvučni val iste amplitude i frekvencije, kako to da zvuče toliko različito? Ako su valovi identični, zašto dva instrumenta ne zvuče isto? Odgovor je da njihovi valovi zapravo i nisu jednaki! Instrument kao i ljudski glas stvara cijelu mješavinu različitih valova u isto vrijeme. Kolekciju takvih zvučnih valova fizikalno nazivamo spektrom, a subjektivno je doživljavamo kao boju ili timbar. Dakle, boja je karakteristika zvuka koja svaki instrument i glas čini neponovljivima i svojima zbog čega brzo i uspješno prepoznajemo različite instrumente i različite govornike. U spektru razlikujemo osnovni val s određenom amplitudom i frekvencijom, koja se zove temeljna, te mnogo drugih frekvencija koje se nazivaju harmonici ili prizvuci. Svaki harmonik ima frekvenciju koja je točno dva, tri, četiri, ili više puta veća od temeljne. Tako svaki instrument proizvodi jedinstveni uzorak temeljne frekvencije i harmonika. Svi ti valovi zbrojeni zajedno daju jedinstven oblik zvučnog vala pri produkciji različitih instrumenata i utječu na njegovu kvalitetu, i to je jedan od razloga zašto svaki od njih zvu- 242

243 či drugačije. Drugi razlog možemo pronaći u činjenici da se amplituda valova proizvedenih određenim instrumentom promijeni na jedinstven način u sekundi ili čak i manjem dijeliću vremena. Zato zvukovi frule u trenutku kad se izvedu odmah i zamru, dok se zvukovi klavira duže izvode i kao da umiru sporije. Gdje je tu matematika i što govori Fourier? Već smo napomenuli da zvuk odnosno zvučni val nastaje gibanjem tijela oko svog ravnotežnog položaja koje nazivamo titranje ili osciliranje. Titranje je periodičko gibanje po putanji koja se ponavlja i zbog toga se svojstva matematički prikazuje trigonometrijskom funkcijom sinus. Neprekidnu periodičnu funkciju sinus kao funkciju vremena, osnovnog perioda i jedinične amplitude matematički zapisujemo izrazom Grafički je prikazujemo sinusoidom kao na sljedećoj slici. Crvenom bojom je istaknut njezin osnovni period, a plavom fazni pomak za, koji pokazuje koliko plava krivulja zaostaje u odnosu na polaznu crvenu. Period je zapravo vrijeme potrebno da se izvrši jedna oscilacija ili titraj. Broj izvršenih oscilacija u jednoj sekundi zove se frekvencija titranja, označava se s i jednaka je recipročnoj vrijednosti perioda titraja, tj.. Ako frekvencija zvuka od 20Hz po definiciji označava izvršavanje 20 titraja u jednoj sekundi, tada je period toga zvuka jednak 1/20 ili 0.05 sekunde jer je to vrijeme potrebno da se izvrši jedna titraj. Funkcija sinus se se najčešće pojavljuje u fizici u izrazu oblika, pri čemu je: amplituda, najveća elongacija ili odmak od ravnotežnog položaja,koja fizikalno opisuje promjenu tlaka zraka, osnovna frekvencija ili broj oscilacija (ciklusa valnog oblika) u sekundi, je fazni pomak odnosno nul-točka od koje sinusoida počinje rasti, je kutna brzina, koliko se promijeni argument funkcije u radijanima po sekundi. Osnovni period sinusoide se dobiva iz izraza. Slika 6. Sinusoida 243

244 Sinusni val je od posebne važnosti u fizici jer uglavnom zadržava svoj valni oblik i kada mu se dodaju drugi sinusni valovi na istoj frekvenciji proizvoljnih faza i veličina. Ta se pojava međudjelovanja dva ili više valova naziva interferencija ili superpozicija ili jednostavno zbrajanje. Naime, zvučni izvori koji stvaraju valne oblike iste amplitude i frekvencije, fazne razlike 0, rezultirat će istim valnim oblikom s dvostruko većom amplitudom. Takvo pojačavanje valova naziva se konstruktivna interferencija. S druge strane, zvučni izvori koji proizvode valove iste amplitude i frekvencije, ali fazne razlike, rezultirat će amplitudom veličine nula ili tišinom. Zato se takvo poništavanje valova naziva destruktivna interferencija. Sve druge faze će rezultirati modificiranjem valnog oblika s fazom koja je između polaznih. Slika 7. Konstruktivna i destruktivna interferencija Zašto je interferencija važna? Upravo zbog te pojave koja neposredno utječe na boju zvuka možemo razlikovati različite ljudske glasove ili instrumente. Naime, određen izvor zvuka istovremeno titra na nekoliko različitih frekvencija jer se na njemu stvara val složenog oblika, koji je nastao kao rezultat interferencije više valova koji titraju osnovnom fundamentalnom frekvencijom i višim frekvencijama koje nazivamo harmonicima. Frekvencije viših harmonika uvijek su jednake cjelobrojnom umnošku osnovne frekvencije. Osnovna frekvencija ima najveću amplitudu, a amplitude harmonika obično pravilno opadaju s povećanjem frekvencije. Uloga osnovne frekvencije je da određuje visinu zvuka, a viši harmonici utječu na boju zvuka. Pored osnovne frekvencije i njezinih harmonika, u zvuku se ponekad čuju i različiti prizvuci. Oni imaju frekvencije iznad osnovne frekvencije, ali nisu višekratnici osnovne frekvencije, odnosno nisu harmonici. Zanimljivo je da je u ljudskom glasu vidljivo i do 15 harmonika. Njihova frekvencija je uvijek određena osnovnom frekvencijom koja daje visinu glasu. Tako ako je osnovni ton imao 100 Hz, tada će prvi harmonik imati 200 Hz, drugi 300 Hz, treći 400 Hz itd. Kod zvukova muzičkih instrumenta analize su pokazale da neparni viši harmonici stvaraju subjektivni osjećaj tankog, zatvorenog tona, a parni viši harmonici svijetao i otvoren zvuk. Postupak kojim se složeni zvučni val razlaže na njegove sastavne frekvencije naziva se spektralna analiza zvuka. Ulazni parametri spektralne analize su amplitude zvuka u vremenu, a izlazni raspodjela frekvencija u određenom frekvencijskom pojasu u vremenu. Pojasnit ćemo to na sljedećem primjeru. 244

245 Slika 8. Sinusni val frekvencije 3Hz i njezini viši harmonici Prvi val prikazan na slici 8. prikazuje ton osnovne frekvencije 3Hz, a valovi od 2 3, 6 i 9Hz su njegovi pripadajući harmonici čijim se zbrajanjem ili superpozicijom dobiva najdonji val frekvencije 3Hz. Rezultirajući val sadrži informaciju od kojih je harmonika sastavljen i koja je njihova amplituda. Da bismo izvršili spektralnu analizu dobivenog grafa potrebna je neka inverzna funkcija koja bi nam dala raspodjelu i amplitudu osnovnog tona i viših harmonika. Napomenimo da je domena rezultirajućeg vala kao funkcije vrijeme, a domena funkcije koja je inverzna funkciji superponiranja kojom nastaje složeni val frekvencija. Poznati francuski fizičar i matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) je još godine istražio o kakvoj je to inverznoj funkciji riječ i objasnio da se bilo koja periodična funkcija perioda, pa tako i zvuk, može aproksimirati trigonometrijskim polinomom tzv. Fourierovim redom. To je zapravo beskonačna suma sinusnih i kosinusnih valova koja se u najjednostavnijem obliku prikazuje izrazom pri čemu su i Fourierovi koeficijenti koji se računaju integralnim računom i koje u ovom radu nećemo navoditi jer nisu neophodni za razumijevanje teme. Postupak Fourierove ili spektralne analiza je nešto složeniji i koristi inačicu gore navedenog izraza koja je od velike koristi u akustičkoj analizi glasa i govora. Najčešće se koristi algoritam koji se naziva brza Fourierova transformacija (Fast Fourier Transform - FFT). Danas je spektralna analiza zvuka dostupna osobnim računalima kroz niz računalnih programa i unatoč svojoj složenosti rezultati se postižu u realnom vremenu. Zašto čujemo i kako funkcionira uho? Čovjek proizvodi zvuk titranjem ili osciliranjem glasnica koje pokreće zračna struja iz pluća. Glazbeni instrumenti proizvode zvuk udaranjem (bubanj, klavir), trzanjem žice (gitara, harfa), trenjem (gudački instrumenti) ili treperenjem zraka, 245

246 (puhački instrumenti). Iako na prvi pogled njihov zvuk nastaje na različite načine, svima je zajedničko da stvaraju vibracije odnosno valove. S druge strane kada nešto čujemo, to je zapravo krajnji rezultat vrlo kompliciranog niza događaja u mozgu koji su pokrenule vibracije našeg bubnjića. Vibracije su nastale udaranjem molekula zraka u bubnjić. Možemo zamisliti da molekule zajedno djeluju kao valovi koji udaraju o veliki gumeni zid. Valovi mogu nastati kao rezultat govora, povlačenja žica gitare, udaranja tipke na klaviru, šuštanja lišća na vjetru ili puhanja u saksofon. Svaka od tih akcija je uzrok da se molekule zraka u blizini izvora zvuka pobude. Kažemo da zvučni izvor titranjem stvara mehanički val određene frekvencije. Tako nastali valovi putuju nekom elastičnom sredinom, najčešće zrakom, prema slušatelju i od njegovog vanjskog uha preko zvukovoda dolaze do bubnjića. Bubnjić je jedna tanka membrana na dnu kanala ušne školjke koja odvaja vanjsko uho od srednjeg. U srednjem uhu se nalaze slušne košćice čekić, nakovanj i stremen čija je funkcija pojačavanje zvuka odnosno tlaka zvučnih valova. Dakle, zvučni valovi koji su došli do naših ušiju, vibriraju bubnjiće, prenoseći zvučnu energiju preko slušnih košćica kroz srednje uho do unutarnjeg uha, gdje se prava čarolija ljudskog sluha odvija u organu oblika puža koji se zato i naziva pužnica. Pužnica je ispunjena tekućinom i uzdužno je podijeljena elastičnom pregradom tzv. bazilarnom membranom u dva kanala. Zvučni valovi ulaznim kanalom putuju kroz pužnicu do određenog mjesta na bazilarnoj membrani gdje će se ovisno o frekvenciji dogoditi najveći titrajni pomak i zatim se izlaznim kanalom vraćaju do dijela gdje bivaju prigušeni. Naime, bazilarna membrana je na početnom dijelu pužnice kruta i zategnuta, a pri kraju debela i mlohava. Zbog toga će zvučni valovi kratke valne duljine i visokih frekvencija uzrokovati iskrivljenje bazilarne membrane na samom početku pužnice, a duge valne duljine i niskih frekvencija na kraju pužnice. Time je na neki način bazilarna membrana po cijeloj svojoj duljini prostorno razdijelila zvučne valove prema frekvenciji, odnosno rastavila zvučne valove na sinusne komponente i preuzela ulogu spektralnog analizatora. Slika 6. Ljudsko uho i pužnica Iskrivljenje bazilarne membrane bilježe stanice slušnih dlačica pužnice, koje zatim šalju živčane impulse putem slušnog živca ili čulnog senzora u mozak. Mozak interpretira i doživljava ove signale kao zvuk. Ukratko, pužnica zajedno s bazilarnom membranom pretvara zvukove iz svoje fizičke forme i vremenske domene (am- 246

247 plituda u odnosu na vrijeme) u formu frekvencijskog područja (amplitude u odnosu na učestalost) koju naš mozak može razumijeti. Štoviše, za cijeli slušni organ možemo reći da je svojevrstan pretvornik koji pretvara jedan oblik energije u drugi, akustičnu energiju (zvučni tlak) pretvara u kinetičku energiju (pokrete kostiju srednjeg uha), a zatim u električnu energiju (živčane impulse koje interpretira mozak). Ako pogledamo taj složeni proces kojim pojedini dijelovi uha utječu na naš slušni doživljaj vidimo da je to nešto zaista impresivno. Zaključak Zvukovi koji dopiru do nas iz okoline su mješavina velikog broja valova različitih frekvencija. Mi ih registriramo kao šumove ili buku. Ako zvučni izvor pravilno oscilira i stvara zvučne valove točno određene frekvencije, taj zvuk registriramo kao specifičan ton. Ton je zvuk koji ima svoje četiri karakteristike: visinu koja ovisi o frekvenciji zvučnog vala, intezitet ili glasnoću koji ovisi o amplitudi vala, trajanje ili dužinu, te boju ili timbar što ovisi o sastavu i obliku tj. spektru zvučnog vala. Matematički se zvučni val može promatrati kao neprekidna periodička funkcija. Poznati francuski matematičar Fourier je objasnio kako se takve funkcije koje predstavljaju složene zvučne valove mogu rastaviti na zbroj jednostavnijih periodičkih funkcija kao što su sinus i kosinus. Taj osnovni princip je postao temelj spektralne analize koja se primjenjuje pri analizi zvukova u mnogim različitim područjima. Razvojem informatičke tehnologije intenzivno se razvijaju novi algoritmi za računanje spektralne. Literatura [1] D.Benson, Music: A Mathematical Offering, [2] M.Heđever, Osnove fiziološke i govorne akustike, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, [3] P.Vranković, N.Elezović, Periodičke funkcije, Element, Zagreb, [4] C.Schiller, Motion Mountain: The adventure of physics Vol.I, Fall, flow and heat, [5] [6] 247

248 WEB GEOMETRY LABORATORY: MOGUĆNOSTI I PRIMENE Milena Marić, Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu Apstrakt U prvom delu ovog rada biće predstavljeno elektronsko okruženje za kolaborativno učenje geometrije - Web Geometry Laboratory. WGL sistem je nastao sa ciljem da se elektornsko okruženje koje je adaptibilno može koristiti kako u školi za podučavanje tako i van škole kroz upotrebu ovog sistema za izradu domaćih zadataka. Ovakav vid okruženja pordržaba blended learning vid nastave. U okviru sistema su integrisani i inteligentni geometrijski alati DGS i GATP. Sistem se razvija na Univerzitetu u Coimbri, Portugal. U drugom delu rada biće izložena iskustva autora sa upotrebom ovog sistema iz oblasti geometrije sa osvrtom na kolaborativni aspekt WGL sistema. Ključne reči: nastava geometrije, primena računara, veb geometrijska laboratojija, kolaborativno učenje, blended learning Uvod Cilj nam je da čitaocu predstavimo WGL (eng. Web Geometry Labaratory). Ovo je projekat koji se već duži niz godina razvija na portugalskom Univerzitetu u Coimbri CISUC/Department of Mathematics, pod rukovodstvom profesora Pedro Quaresma. U ovaj projekat uključena je grupa studenata i doktoranata. Ova grupa, pored razvoja softvera, radi i na prou;avanju metodičkih efekata korišćenja ovog okruženja u nastavi. Osnovna verzija WGL okruženja je na portugalskom i engleskom jeziku, a od skora je urađena lokalizacija na srpski jezik. Filozofija WGL okruženja je da se napravi okruženje u okviru koga se može kombinovati najbolji aspekti učenja na daljinu sa tradicionalnim učenjem lice u lice. Zato je ovo okruženje orjentisano ka metodu mešanog učenja (eng. Bleanded learning). Takođe, prilikom projektovanja okruženja vodilo se računa o tome da u različitim trenucima, učenici imaju različite zahteve i potrebe, pa je u tom cilju projektovano adapribilno okruženje. Na kraju, spomenimo i osnovno, a to je da se znanje najbolje stiče deljenjem. Vodeći se ovim aspektom učenja, tvorci WGL-a napravili su okruženje koje je namenjeno za kolaborativno učenje. Pod kolaborativnim učenjem se podrazumeva zajedničko učenje nastavnik učenik ili učenik učenik. Ova platforma je pisana korišćenjem Php i MySQL jezika. Interaktivnost prozora, u različitim režimima, postignuta je umetanjem GeoGebra prozora. Sve geometrijske konstrukcije se rade korišćenjem ovog softvera za dinamičku matematiku. 248

249 Mešano učenje (eng. Bleanded learning) Mešano učenje je jedan od metoda učenja na daljinu. Ovaj metod se često definiše kao kombinacija online učenja i učenja licem u lice. Vreme koje se provodi u učionici je primenom ovog metroda znatno smanjeno, ali nije potrpuno eliminisano. Ovako učenje je zamišljeno tako da udružuje najbolje osobine tradicionalnog učenja sa najboljim osobinama online učenja. Osnovni cilj je postići aktivno učestvovanje učenika u nastavi. Mešano učenje WGL okruženje je projektovano tako da može da ispuni sve norme ovakvog metoda učenja. Naime, ovo okruženje je moguće koristiti kako za učenje i podučavanje u učionici, tako i za izradu domaćih zadataka. Ukoliko se WGL koristi u učionici, prisustvo nastavnika je dvostruko, nastavnik prati učenički rad i online i licem u lice može da im daje savete, dok je korišćenje ovog okruženja za izradu domaćih zadataka orjentisano tako da je uloga nastavnika samo da nadgleda rad učenika u ovom elektronskom okruženju. Adaptibilno okruženje Pod adaptibilnim okruženjem se podrazumeva ono okruženje koje je prilagodljivo korisniku. Prednosti adaptiblinih okruženja su u tome da nastavnik u svakom trenutku može da prilagodi režim rada, ali i aktivnosti učeniku u zavisnosti od učeničkih mogućnosti i potreba. Adaptibilnost WGL okruženja može se podeliti na dve veće celine. Naime, prvi režim je režim koji je namenjen samostalnom radu učenika. U ovom režimu učenik ima pristup bazi zadataka koju je nastavnik napravio i dao odbrenje za pristupanje, kao i zadacima koje je učenik samostalno uradio. U ovom okruženju učenik ima svoj GeoGebra prozor za samostalan rad. Sve svoje konstrukcije učenik može da sačuva, a kasnije i da ih menja. Drugi režim je režim u kome učenik zajedno radi sa učenicima iz grupe kojoj pripada ili sa nastavnikom. Zajednički rad se postiže tako što učenik u ovom modu ima dva GeoGebra prozora ispred sebe. Jedan prozor (sa desne strane) je učenikov prozor koji samo on vidi i na kome može da radi, ukoliko želi može da ovaj prozor podeli sa drugima, odnosno učini ga vidljivim za druge. Prozor sa leve strane je zajednička konstrukcija. Takođe, učenik može i ovu konstrukciju da menja jer pos- 249

250 toje opcije koje konstrukciju zaključavaju na neko vreme za druge korisnike i dozvoljavaju učeniku da obavi određene aktivnosti. Kada završi sa svojim aktivnostima, učenik odključa zajedničku konstrukciju i ona je tada dostupna i drugim učesnicima kolaborativnog procesa. WGL okruženje za individualni rad Kolaborativno okruženje WGL okruženje za zajednički rad Elektronsko okruženje u okviru koga mogu da sarađuju nastavnik i učenik, ili nastavnik i učenici ili samo učenici međusobno, naziva se kolaborativno okruženje. Okruženje u okviru koga je omogućen zajednički rad od velikog je interesa za uče- 250

251 nike jer nastavnikove aktivnosti u mnogome mogu da pomognu đacima da uspešno savlađuju probleme koji se stavljaju pred njih. Takođe, od neprocenjive koristi za nastavnika je mogućnost da u realnom vremenu prati rad učenika što je moguće u odgovarajućem režimu. Ova mogućnost daje nastavniku priliku da blagovremeno interveniše tamo gde je potrebno. Ovde bi se trebalo osvrnuti i na zajedničko učenje vršnjaka koje, kako su istraživanja pokazala ima izuzetnih prednosti. Naime, u praksi se pokazalo da deca ako rade zajedno na nekom problemu međusobno pomažu jedni drugima u traganju za znanjem. Takođe, deca motivišuće utiču jedni na druge. Imajući sve ovo na umu, tvorci WGL okruženja su dizajnirali ovu veb geometrijsku labaratoriju upravo tako da postoje različite mogućnosti za međusobnu saradnju. Elektronsko okruženje za izučavanje geometrije Veb laboratorija za geometriju je elektronsko okruženje koje ima sva gore nabrojana svojstva. Ono što u gornjem izlaganju nije spomenuto, a bitna je karakteristika ovog okruženja, jeste ugradnja automatskih dokazivača teorema u okruženje što je jedna od instanci u daljem razvoju. Autorima WGL sistema je velika želja da imaju okruženje koje u sebi integriše razne aspekte rada na geoemtrijskum konstrukcijama. Prisustvo automatskih dokazivača u okviru ovog sistema u mnogome bi dalo jednu novu dimenziju ovom sistemu. Trebalo bi ipak, još malo sačekati sa primenom dokazivača u nastavi geometrije. Jedno od jako zanimljivih pitanja koje se nameće upravo na ovom mestu, a koja su zanimljiva sa aspekta metodike matematike jeste uticaj korišćenja dokazivača na proces učenja i podučavanja geometrije. Autor smatra da je ovo izuzetno zanimljivo pitanje kome bi se vredelo posvetiti u budućnosti. Kolaborativno učenje Osnova kolaborativnog učenja jeste mogućnost da grupa učenika uči zajedno. Kolaborativno učenje se sve više podstiče danas u nastavi matematike jer su istraživanja pokazala da je ova metoda i te kako efektna strategija u procesu učenja. Ovaj vid učenja u mnogome može da pomogne učeniku, npr. može da dovede do uspeha u učenju, da unapredi učeničke veštine, da pomogne učeniku da stekne viši nivo znanja, stavlja učenika u sam centar procesa učenja (aktivno učenje). Kada se uči u grupi prisutne su neke nove aktivnosti u procesu učenja: neophodna je interakcija sa drugim učenicima, sarađivanje, interna česta evaluacija postignuća. Zapravo, moglo bi se reći da je kolaborativno učenje deljenje znanja. Takođe, kolaborativno učenje između vršnjaka može da dovede do toga da se u samom procesu učenja otkrivaju nove strategije učenja i veštine za rešavanje problema. Doprinos ovog okruženja kolaborativnom učenju: - Zajedničkim radom učenici doilaze do znanja. Učenik će koristiti svoje, ali znanja svojih drugova kako bi otkrio nešto novo. - Stvaranje baze zadataka koju učenici mogu graditi zajedno, ali i svako od njih posebno. 251

252 - Moguća je komunikacija između učenika. Sinhrona i asinhrona. Postoje različite prednosti ovakvog elektronskog okruženja za učenje: - Uključena je veća grupa učenika koja zajedno radi na rešavanju nekog problema, zadatka. - Učenici rade u grupama sarađuju u potrazi za razumevanjem, rešenjem ili značenjem nečega. - Socijalni aspekt učenja međusobni razgovor. - Učenici podstiču i hrabre jedni druge da uče interakcija. Ovde ne treba zaboraviti izuzetnu ulogu nastavnika jer je nastavnik lider. Nastavnik mora da jasno definiše ciljeve grupe, da prati napredak i poteškoće kao i savladavanje istih, da nudi međurešenja i nove pravce kojima se može ići ka cilju. Uspeh ovakvog pristupa zavisi od svih učesnika u procesu nastave. Okruženje za kolaborativno učenje omogućava da se napravi konstrukcija udruženjim zananjem. Ovde se sada misli na geometrijsku konstrukciju. Naime, nastavnik definiše geometrijski problem koji je stavljen pred učenike, a onda se izazov koji je stavljen pred sve rešava uz međusobnu saradnju učenika, ali i saradnju nastavnika. Web Geometry Laboratory kolaborativno okruženje za geometriju WGL je elektronsko kolaborativno okruženje posebno namenjeno za geometriju. Od učenika se očekuje da međusobnom razmenom znanja mogu da konstruišu geometrijsku konstrukciju. Ovo okruženje omogućava nastavniku da đake iz odeljenja izdeli na manje grupe u okviru kojih će đaci međusobno sarađivati na zajedničkom problemu dok je nastavnik u mogućnosti da sa svog računara pristupa svakoj grupi pojedinačno i prati rad. Odnosno, nastavnik diriguje tokom procesa učenja. Povezanost nastavnika sa učenicima se može realizovati na dva načina, preko Internet konekcije ili preko lokalne mreže. Prilikom prijave na sistem, nastavnik i učenik imaju svoja okruženja koja se razlikuju. WGL okruženje za nastavnika Kada se nastavnik prijavi na elektronsko okruženje ispred njega će se naći nekolicina različitih dugmadi koje pružaju različite mogućnosti i gotovo uvek će ispred nastavnika biti jedan aktivan GeoGebra prozor. NA sledećoj slici možemo videti kako izgleda WGL okruženje namenjeno za nastavnike. Osnovne aktivnosti nastavnika u WGL okruženju su Lista konstrukcija (pristup i editovanje geometrijskih konstrukcija), prostor sa poljem za rad nastavnika (integrisana GeoGebra, tako da nastavnik samostalno može izvoditi neke konstrukcije), Adminidtrativni deo (nastavnik formira grupe, dodaje nove članove, briše postojeće, raspoređuje zadatke određenim grupama), Kolaborativni rad (prostor odakle nastavnik vodi kolaborativni rad i prati aktivnosti svakog pojedinca). 252

253 Kada se učenik prijavi na WGL sistem, na raspolaganju su mu sledeće aktivnosti: Lista konstrukcija (može da pristupa svidm dosadašnjim konstrukcijama koje su date od strane nastavnika njemu ili njegovoj grupi na aspolaganje.), prostor za rad (identičan prostor za rad kao i kod nastavnika sa integroisanim GeoGebra prozorom.) i deo za administraciju konstrukcija (ovo je prostor koji je namenjen učenicima odakle mogu svoje konstrukcije da dele sa ostalim učenicima, nastavnikom itd.). WGL okruženje za nastavnika Učeniku će u prozoru za rad videti jedan ili dva GeoGebra prozora, u zavisnosti koji režim mu je dodeljen od strane nastavnika. Ukoliko učenik ispred sebe ima samo jedan prozor tada je u režimu za samostalan rad. U ovom režimu učenik je u mogućnosti da samostalno radi geometrijske konstrukcije, takođe da pristupa konstrukcijama koje je nastavnik namenio njemu i grupi učenika kojoj ovaj učenik pripada. U režimu, kada su prikazana dva GeoGebra prozora, učenik je u takozvanom kolaborativnom režimu i tada može da desnom prozoru samostalno konstruiše, a u levom vidi zajedničku konstrukciju. Postoji mogućnost da učenik menja zajedničku konstrukciju, kao i da svoju samostalnu konstrukciju podeli sa celom grupom. WGL u učionici U drugom polugodištu školske 2012/2013. godine, WGL je korišćen za izradu domaćih zadataka u okviru časova matematike namenjenih izometrijskim transformacijama. Ove školske godine su ovi časovi iskorišćeni za upoznavanje sa novim elektronskim okruženjem, njegovim mogućnostima, prednostima i manama, kao i za privikavanje učenika i nastavnika na jedan sasvim novi vid nastavnog procesa. 253

254 U ovom malom eksperimentu učestvovala su dva odeljenja prvog razreda, što je ukupno 48 učenika. Učenici oba odeljenja su imali identične časove u školi, dok su jedni koristili WGL za izradu domaćih zadataka, a drugi (kontrolna grupara) radili domaće zadatke na klasičan način (olovka papir). Aktivnosti učenika koji koriste WGL u izradi domaćeg zadatka Upoznavanje sa elektronskim okruženjem Pre korišćenja WGL sistema, neophodno je bilo upoznati učenike sa mogućnostima ovog elektronskog okruženja. Predviđeno vreme za upoznavanje učenika sa ovim sistemom bila su dva školska časa. Iz tehničkih razloga, upoznavanje se svelo na demonstrativnu metodu. Naime, nastavnik je koristio prednosti projektora u medijateci kako bi demosntrirao učeniku mogućnosti prijavljivanja na sistem i korišćenja ovog okruženja. Svaki učenik je imao svoje pristupno ime i lozinku. Učenici su se prijavljivali na sistem od kuće. Bila im je skrenuta pažnja, od strane nastavnika, da je za valjano funkcionisanje sistema neophodno da imaju instaliran Java program (zbog potreba GeoGebre). Napomenimo ovde da su učenici pre upoznavanja sa elektronskim okruženjem WGL, bili upoznati sa softverom za dinamičku matematiku GeoGebra. Jasno formulisanje zadataka Nakon upoznavanja sa sistemom, učenicima je jasno predočeno da će deo procesa sistematizacije gradiva, koje su ranije radili na papiru, kao domaći zadatak, sada raditi korišćenjem WGL sistema. Predočeno im je da će nakon ovoga biti testirani i jasno su im izneti tekstovi zadataka. Grupe Radi lakše komunikacije sa nastavnikom, ali i između sebe učenici su podeljeni u tri grupe. Podela je urađena na slučajan način, tako sto je prvu grupu činila prva trećina prozivnika, drugu druga i treću treća trećina prozivnika. Nastavnik je na časovima stimulisao učenike da se komuniciraju što više između sebe tokom rada. Zadaci Učenici su zadatke dobili u elektronskom obliku, u okviru WGL sistema. Svaka grupa kada je završila prvu grupu zadataka dobila je nove. Učenici su zajedno radili prvu grupu zadataka (na nivou svoje grupe), koristeći pri tome ovakve mogućnosti WGL okruženja. Kasnije su dobijali individualne zadatke koje je nastavnik procenio da bi pojedincu bili korisni za sistematizaciju teme. 254

255 Test Učenici oba odeljenja su na kraju radili isti test (olovka papir). Postignuća učenika na testu možemo videti na grafiku ili u tabeli petice četvorke trojke dvojke jedinice prosečna ocena nije radilo kontrolno odeljenje ispitanici Kontrolno odeljenje Br. petica Br. četvorki Br. trojki Br. dvojki Br. jedinica Nije radilo Prosek Ispitanici Analiza rezultata Na osnovu prikazanih rezultata reklo bi se da upotreba WGL-a u nastavi ima neverovatan uticaj. Međutim, moramo se ograditi od ovako ishitrenih grandioznih zaključaka. Prvo, u pitanju je jako mali uzorak na kome je ovo istraživanje sprovedeno. Zatim, odeljenja nisu ujednačena. Naime, Ispitanici su učenici specijalizovanog odeljenja Arhitektonske škole, koji su i na polugodištu imali bolji uspeh iz matematike u odnosu na kontrolno odeljenje. Zbog svega ovoga, jedan od zadataka u novoj školskoj godini je analiza ovog elektronskog okruženja na većem broju ujednačenih odeljenja. Podsetimo još jednom, ovaj eksperiment je napravljen u cilju upoznavanja nastavnika i učenika sa ovim okruženjem. Zaključak i dalji rad WGL daje puno mogućnosti. Tokom ove školske godine korišćen je u nastavi isključivo za izradu domaćih zadataka. Ovakva upotreba WGL sistema bila je samo uvertira za veće korišćenje ovog sistema u novoj školskoj godini. Na ovo smo se opredelili kako bismo videli efekte korišćenja sistema na učenike, ali na proces nastave. Ohrabreni jednostavnošću sistema za korišćenje i velikom motivisanošću učenika, ideja nam je da ove godine koristimo WGL i u standardnoj nastavi. 255

256 Lako korišćenje ovog sistema omogućava brzo pravljenje interaktivnih apleta. U daljem radu cilj nam je pravljenje bogate kolekcije zadataka iz geometrije koje ćemo koristiti u nastavi. Takođe, cilj nam je da što veći broj kolega uključimo u proces učenja i podučavanja geometrije korišćenjem WGL sistema. Uključivanjem većeg broja kolega i učenika imaćemo veći uzorak na kome ćemo moći da analiziramo uticaj ovog okruženja na proces nastave i proces učenja geometrije. Jasno, pre nego se kolege uključe u proces korišćenja elektronskog okruženja WGL u nastavi geometrije, neophodno je adekvatno obučiti i pripremiti kolege kako za korišćenje WGL-a, tako i za korišćenje programskog paketa GeoGebra, koji predstavlja značajan deo ovog okruženja. Literatura 3. Collaborative Aspects of the WGL Project, Santos, Vanda and Quaresma, Pedro, Electronic Journal of Mathematics & Technology, The Web Geometry Laboratory Project, Quaresma, Pedro and Santos, Vanda and Bouallegue, Seifeddine, CICM 2013, 2013, Pages = { }, Springer, LNAI, 7961, 5. Integrating DGSs and GATPs in an Adaptative and Collaborative Blended-Learning Web-Environment, Vanda Santos and Pedro Quaresma, First Workshop on CTP Components for Educational Software THedu'11, 2012, EPTCS, 79, Pedro Quaresma and Ralph-Johan Back (editors), /EPTCS.79.7,

257 MATEMATIČARI NA NOVČANICAMA I KOVANICAMA Nina Burić, profesor matematike Nastavnik matematike Ekonomska škola Velika Gorica nina.buric@skole.hr Sažetak Valute i devize su poveznice nastavnih predmeta u ekonomskoj školi: matematika i bankarstvo i osiguranje. Razvoj novca je tekao od robnog ili naturalnog novca, preko kovanog pa sve do papirnatog novca. Kroz povijest, u kovanice su se utiskivali simboli gradova, likovi heroja i vladara, a kasnije likovi mnogih slavnih političara, književnika, filozofa i znanstvenika. Zbog svojih su se velikih otkrića na novčanicama i kovanicama našli i mnogi znameniti matematičari. Neki od njih su Gauss, Euler, Descartes, Newton, Pascal i Ruđer Bošković. Uz portret pojedinog matematičara na novčanici, odnosno kovanici je istaknut simbol koji opisuje postignuća tog matematičara. Matematičarima je time iskazana velika čast. Ključne riječi: matematičari, novčanice, kovanice, postignuća matematičara O povijesti i razvoju novca govori se na nastavnom predmetu bankarstvo i osiguranje (po starom programu novčarstvo) u ekonomskim školama. O životima matematičara može se čuti na mnogim satovima matematike. Valute i novčane jedinice obrađuju se na satovima matematike u trećem razredu ekonomskih škola pri obradi cjeline Devize. Upravo su devize poveznice gore spomenutih predmeta. Na pitanje što je novac postoje mnogi odgovori. Još 400 godina prije Krista Platon kaže da je novac simbol pronađen kako bi olakšao razmjenu. Platonov učenik Aristotel je utvrdio tri funkcije novca i to: sredstvo razmjene, mjera vrijednosti i sredstvo za gomilanje bogatstva. U novije vrijeme, američki ekonomist Paul Samuelson, dobitnik Nobelove nagrade za ekonomiju, kaže da bi bez upotrebe novca podjela rada i razmjena bili nemogući. Ulogu novca u početku su imale različite vrste robe pa takav novac nazivamo naturalni ili robni novac. Mnogo toga se upotrebljavalo kao robni novac: stoka, krzno, strelice, zubi ulovljenih životinja, žito, čaj, duhan, kava, sušena riba, sol, školjke,... Robni novac ima razne nedostatke: roba nije djeljiva, teško je prenosiva i upitna je stvarna vrijednost robe. S vremenom ljudi počinju upotrebljavati kovine kao novac. Prvi kovani novac izrađivao se od željeza, bakra i olova, a kasnije od zlata i srebra. U početku je takav novac bio u obliku kolutića, prstena, štapića, kocke, sablje,... Osobito je poznat Lidijski novac koji se kovao od elektruma, mješavine zlata i srebra još 700 godina prije Krista. Novac grčke maloazijske kolonije Lidije smatra se začetkom kovanog novca. Kovani novac je neprikladan za pohranu i prijenos, a u optjecaju je sve do kraja 18. stoljeća kada ga zamjenjuje papirnati novac. Papirnati novac razvio se iz raznih bankarskih potvrda koje su počele služiti kao sredstvo razmjene i obavljati ulogu novca. 257

258 U antičkoj Grčkoj i Rimu na novac su se utiskivali simboli gradova i likovi vladara. Novac je, između ostalog, služio kao propaganda pojedinih vladara. Zahvaljujući nalazima novca, danas znamo za postojanje mnogih država. Kroz povijest, na novčanicama i kovanicama su se našli likovi mnogih slavnih političara, književnika, filozofa i znanstvenika. Zbog svojih su se velikih otkrića na novčanicama i kovanicama raznih valuta našli i mnogi znameniti matematičari. Na novčanicama se uz portret pojedinog matematičara nalazi i simbol koji prikazuje područje kojim se bavio i po čemu je ostao zapamćen. Na licu novčanice od 10 njemačkih maraka iz posljednje serije izdane godine prikazan je Gaussov (Carl Friedrich Gauss, Braunschweig, Njemačka Göttingen, Njemačka) portret. Lijevo od portreta nalazi se graf funkcije koja je poznata kao Gaussova krivulja, a u pozadini su zgrade starog Göttingena i ulazna vrata gimnazije Martino-Katharineum u Braunschweigu. Na novčanici od 100 francuskih franaka koje su se koristile od godine do godine prikazan je Descartesov (René Descartes, Le Haye, Francuska Stockholm, Švedska) lik, u čijoj ruci se nalazi šestar. Na licu novčanice od 10 švicarskih franaka iz šeste serije iz godine prikazan je Eulerov (Leonhard Euler, Basel, Švicarska Petrograd, Rusija) portret. Naličje novčanice sadrži sliku vodene turbine, Sunčev sustav i zrake koje prolaze kroz leće. Na novčanicama se nalaze i mnogi znanstvenici koji su se bavili matematikom, ali su svoja najveća postignuća imali u nekim drugim područjima. Pa se tako na naličju novčanice od 1 funte iz serije D, koja je bila u optjecaju od godine do godine, nalazi Newtonov (Isaac Newton Lincolnshire, Engleska London, Engleska) lik, kraj kojega je teleskop. Na licu novčanice od 2000 lira iz serije talijanske narodne banke tiskane godine prikazan je portret Galilea Galileia (Galileo Galilei Pisa, Italija Arcetri kraj Firence, Italija). Na 500 francuskih franaka od godine do Godine bio je francuski znanstvenik Pascal (Blaise Pascal ( Clermond-Ferrard, Francuska Pariz, Francuska). I Republika Hrvatska je od godine do godine, kad je u optjecaju bio hrvatski dinar, imala svoga znanstvenika na novčanicama. Na licu svih novčanica nalazio se Ruđer Bošković ( Dubrovnik, Hrvatska Milano, Italija), najveći dubrovački matematičar i astronom, jedan od najznačajnijih znanstvenika svoga vremena. Osim novčanica za optjecaj, središnje banke izdaju i prigodne kovanice povodom godišnjica rođenja ili smrti slavnih matematičara. Njemačka je izdala prigodnu kovanicu povodom 200. godišnjice rođenja Carla Friedricha Gaussa, a na kovanici 258

259 se nalazi Gaussova krivulja. Rusija je izdala prigodnu kovanicu povodom 300. godišnjice rođenja Leonharda Eulera. Na licu kovanice prikazan je njegov portret kao i formula k k 2. 6 Slika 2 Upravo je Euler došao do mnogih novih rezultata vezanih za redove potencija i među prvima istaknuo važnost konvergencije reda. Isaac Newton je također dobio prigodnu kovanicu. Uz njegov portret nalazi se teleskop i formula F ma koja opisuje drugi Newtonov zakon gibanja. Svoju prigodnu kovanicu dobila je i jedna žena. To je prva velika ruska matematičarka Sofia Vasilyevna Kovalevskaya ( Rusija Švedska) koja je dala svoj doprinos analizi, diferencijalnim jednadžbama i mehanici. Kovanica je izdana u Rusiji povodom 150. godišnjice Sofijina rođenja. I mnoge druge države prigodnim su kovanicama obilježile godišnjice rođenja i smrti svojih matematičara. Neki od njih su: Descartes, Leibniz, Ruđer Bošković, Galileo Galilei, Kepler, Kopernik,... Proučavanje novčanica i kovanica će omogućiti budućim ekonomistima da na zanimljiv način upoznaju najznačajnije matematičare i područja njihova rada, te prate razvoj matematike. Učenici će utvrditi ranije stečena znanja, usvojiti neke nove činjenice te spoznati važnost matematike. Izvori 1. Novčarstvo, udžbenik za 2. razred ekonomske škole, Ljerka Domac, Ajka Kaleb- Kovačević, Vlatko Mileta, Školska knjiga, Zagreb, hr.wikipedia.org 5. simple.wikipedia.org 259

260 MATEMATIKA U IZGRADNJI PROMETNICA Mr. sc. Katica Jurasić, prof., viši predavač jurasic@riteh.hr Ivan Dražić, prof., predavač idrazic@riteh.hr Tehnički fakultet Rijeka Sažetak Dok se vozimo prometnicama nismo ni svjesni koliko smo povezani s matematikom. U ovom radu prikazana je uloga klotoide, kubne parabole i kosinusoide u trasiranju prometnica. Te se krivulje koriste kao prijelaznice iz gibanja po pravcu u gibanje po kružnom luku. Jedna od uloga im je da smanje bočni udar koji osjetimo pri ulazu u zavoj pa time vožnja po krivinama postaje ugodnija. Ključne riječi: prijelaznica, zakrivljenost, prirodna jednadžba krivulje, klotoida Uvod Prilikom trasiranja prometnica postavlja se niz zahtjeva na geometriju i dinamičke karakteristike prometnice. Što se tiče geometrije posebno su interesantni dijelovi na kojima gibanje po pravcu prelazi u gibanje po kružnom luku. Pritom dolazi do promjene zakrivljenosti što izaziva niz negativnih efekata. Na zakrivljenim dijelovima promjena centrifugalnog ubrzanja uzrokuje bočni udar koji se može ublažiti umetanjem prijelazne krivulje (prijelaznice) kojoj je zakrivljenost nula u točki spajanja sa pravcem, kontinuirano se mijenja do točke spajanja sa kružnicom i postiže zakrivljenost jednaku zakrivljenosti kružnog luka. Dakle interesantno je promatrati kako zakrivljenost ovisi o duljini prijelaznice s pa se za traženje pogodne prijelazne krivulje može poći od krivulje zakrivljenosti oblika Izraz (1) se naziva prirodna jednadžba krivulje. Razlikujemo prijelaznice sa linearnom i nelinearnom zakrivljenošću. Najpoznatija krivulja prijelaznica koja ima linearnu zakrivljenost je klotoida. U praksi se koriste razne prijelaznice sa nelinearnom zakrivljenošću koje mnogo bolje od klotoide udovoljavaju tehničkim zahtjevima prometnica. Koji će se oblik prijelazne krivulje primijeniti ovisi o odluci inženjera projektanta. U ovom radu prikazane su krivulje kojima je zakrivljenost linearna funkcija, kubna parabola i kosinusoida (1) 260

261 Prijelazna krivulja Prilikom gibanja po kružnom luku na tijelo djeluje centrifugalna sila (2) Pri čemu je: m masa tijela koje se giba v brzina tijela koje se giba r polumjer krivulje po kojoj se tijela giba. Iz formule se vidi da će centrifugalno ubrzanje biti to veće što je brzina tijela koje se giba po zakrivljenoj putanji veća, a opada sa porastom polumjera zakrivljenosti. Stoga u gibanju po pravcu ne osjećamo nikakvu silu koja nas odvlači desno ili lijevo. Naime, polumjer zakrivljenosti pravca je pa je a = 0, tj. centrifugalna je sila F = 0. Na Slici 1 dan je prikaz umetanja prijelaznice između pravca i kružnice i monotonost centrifugalne sile F na pojedinim dijelovima prometnice. (3) Slika 1. Prikaz umetanja prijelazne krivulje između pravca i kružnice Kako iz prirodne jednadžbe krivulje dobiti koordinate točaka na krivulji? Pri određivanju prijelazne krivulje najzgodnije je poći od funkcije koja opisuje zakrivljenost u ovisnosti o luku, tj. iz prirodne jednadžbe. Neka je kut što ga tangenta na krivulju u točki zatvara s osi. Zakrivljenost krivulje u točki definiramo kao brzinu promjene kuta tangentnog vektora pri gibanju duž luka krivulje i duljine tog luka. (Slika 2). Tada vrijedi. (4) Kut je kut kontingencije. 261

262 Definicija zakrivljenosti Neka je zadana prirodna jednadžba krivulje u obliku (1). Zanima nas graf te krivulje u Kartezijevom sustavu. Stoga nam je potrebna vektorska jednadžba krivulje iz koje se lako dobiva parametarska jednadžba. Polazimo od izraza (4) i integriranjem dobivamo kut kao funkciju od s:. (5) Jedinični vektor smjera tangente na traženu krivulju ima oblik. (6) Integriranjem lijeve i desne strane u (6) dobiva se vektorska jednadžba kri- (7) vulje iz koje proizlazi parametarska jednadžba te krivulje. (8) Vrijednosti su početni kut i početni položaj. (U našim primjerima uzet ćemo da je i. To su najčešće vrijednosti za početne uvjete). Bočni udar Slika 2. Promjena brzine i promjena zakrivljenosti uzrokuju promjenu centrifugalnog ubrzanja. Ta promjena centrifugalng ubrzanja u jedinici vremena naziva se bočni udar i označava se. Dakle vrijedi (9) gdje je: bočni udar. a entrifugalno ubrzanje 262

263 s duljina luka krivulje po kojoj se tijelo giba t vrijeme. Budući je zakrivljenost, uvrštavanjem ovog izraza u izraz za centrifugalno ubrzanje (3) dobivamo. (10) Deriviranjem izraza (10) i uvrštavanjem u (9) dobiva se konačni oblik za računanje bočnog udara (11) Primjeri prijelaznih krivulja Primjer 1. Prirodna jednadžba prijelaznice glasi: pri čemu je R konstatan polumjer kružnog luka na koji se prijelazna krivulja nadovezuje, a S je duljina prijelaznice. Kut kontingencije dobije se iz izraza (5) i glasi Na osnovi izraza (8) i početnih uvjeta dobiva se parametarska jednadžba prijelaznice. (12) Matematički oblik ove krivulje prvi je riješio austrijski inspektor željeznica Max Leber godine i nazvao ju je lučnom radioidom. Nezavisno od njega riješio ju je i talijanski matematičar Cesaro godine i nazvao klotoidom. Klotoida se često koristi u praksi tako da postoje i tablice iz kojih se očitavaju pravokutne koordinate točaka te krivulje budući nije jednostavno svaki put računati koordinate što se i vidi iz parametarske jednadžbe krivulje. Danas se sve više koriste razne modificirane jednadžbe klotoide. Bočni udar koji se javlja pri gibanju po ovoj krivulji dobivamo na osnovi izraza (11) i glasi. (13) Na Slici 3 prikazana je zakrivljenost i bočni udar u ovisnosti o duljini luka. Na slici 3 a) prikazana je funkcije zakrivljenosti, dok je na slici 3 b) dan prikaz funkcije bočnog udara pri gibanju po krivulji sa zakrivljenošću Na Slici 4 prikazan je luk tražene krivulje (klotoide) od točke O do točke T duljine S koji se nadovezuje na pravac i spaja na kružnicu polumjera R. 263

264 a) b) Slika 3 Slika 4. Luk klotoide P r i m j e r 2. Odrediti jednadžbu krivulje čija je prirodna jednadžba. Kut kontingencije glasi, a parametarska jednadžba ima oblik. (14) Bočni udar dobiva se iz izraza. (15) a) prikaz funkcije zakrivljenosti b) prikaz funkcije bočnog udara pri gibanju po krivulji sa zakrivljenošću 264

265 a) b) Slika 5. Iz grafičkog prikaza bočnog udara na Slici 5 b) vidljivo je da u točki spajanja pravca i prijelaznice bočni udar ima vrijednost nula, neprekidno raste i na polovici luka prijelaznice postiže maksimum, a zatim pada na nulu u trenutku spajanja sa kružnicom polumjera R. Time je udovoljen jedan od vrlo važnih uvjeta koji se postavljaju pri projektiranju prijelaznih krivulja. Obratite pažnju da intenzitet bočnog udara ovisi i o kubu brzine što je vrlo važan element pri određivanju brzine kojom se smije voziti u zavoju a da nas centrifugalna sila ne odvuče sa prometnice. P r i m j e r 3. Odrediti jednadžbu krivulje ako prirodna jednadžba glasi. oblik Kut kontingencije glasi, a parametarska jednadžba ima. (16) Bočni udar formuli koji se javlja pri gibanju po ovoj krivulji računa se prema. (17) Na Slici 6 prikazane su funkcija zakrivljenosti i funkcija bočnog udara. a) prikaz funkcije zakrivljenosti. b) prikaz funkcije bočnogi udara pri gibanju po krivulji sa zakrivljenošću 265

266 a) b) Slika 6. Iz grafa b) na Slici 5 uočavamo da i ova prijelaznica ima slične karakteristike kao i prijelaznica u Primjeru 2. Međutim, usporedimo li maksimalne vrijednosti bočnih udara postignutih u točki dobit ćemo da krivulja iz Primjera 2 ima manji maksimalni bočni udar od krivulje iz Primjera 3 pa je pogodnija za trasiranje prometnice. Do ovog smo zaključka došli promatrajući gibanje u horizontalnoj ravnini. No bočni se udar znatno smanjuje i nagibom prometnice koji u ovom radu nije razmatran. U radu su dana tri primjera pronalaženja krivulja prijelaznica koje su zadane funkcijskom vezom zakrivljenosti i duljine luka prometnice. Iz izraza (12), (14) i (16) zaključujemo da se Kartezijeve koordinate krivulje ne mogu dobiti jednostavnim integriranjem. Da bi se riješili ovi integrali potrebno je podintegralne funkcije razviti u Taylorov red, integrirati dobiveni red član po član i uzeti određeni broj članova reda. Na taj se način dobivaju približno koordinate tražene krivulje. Zaključak U radu su dana tri primjera pronalaženja oblika krivulja prijelaznica uz uvjet da bočni udar duž krivulje bude nula u točkama spajanja sa pravcem te kontinuirano raste do neke maksimalne vrijednosti, a zatim pada do nule u točki spajanja sa kružnicom polumjera R. Ovo je jedan od parametara koji se uzima pri projektiranju prometnica. Projektant mora uzeti u obzir teren na koji se gradi pometnica (ravninski, planinski, brežuljkasti predio), tip prometnice (autoput, brza cesta, seoska cesta, itd), širinu prometnice, dozvoljeni nagib u krivini, stabilnost vozila u krivini, duljina prijelaznice, preglednost ceste. Zbog svega toga projektanti istražuju sve profinjenija rješenja koja mogu udovoljiti sve veće zahtjeve koji se postavlju s obzirom na sigurnost, udobnost, brzinu, Hanker (austrijski inženjer) izrekao je klasičnu rečenicu: Ne isplati se zalagati za ili protiv neke naročite krivulje, za sve njih ima mjesta na velikoj širini puta. Slijedeći ovu poznatu rečenicu možda će ovaj rad zainteresirati nekog od naših učenika da istražuje i projektira nove krivulje prijelaznice i na taj način svima omogući sigurniju, udobniju i ekonomičniju vožnju. 266

267 Literatura 1. Domandžić, D. Jurasić, K.: Modificirana klotoida kao prijelaznica, Građevinar 49(1997)5, Domandžić, D. Jurasić, K.: Prijelaznice sa nelinearnom funkcijom zakrivljenosti, Građevinar 49(1997)1, Domandžić, D. Jurasić, K.: Modificiran prijelana krivuja neprekinutom funcijom bočnog udara, Proceedings of 1st Congress Transport traffic logistics, Maribor (Slovenja) Domandžić, D. Jurasić, K. Prager, A: Die cosinusoide als naturliche Gleichung des Ubergangbogens, Strasse und verkehr 4(1998), Domandžić, D. Jurasić, K. Prager, A: Lemniskata kao prijelazna krivulja, Građevinar 51(1999) 5, Žnideršić, B.: Priručnik za obilježavanje prelaznica oblika kotoide pravouglm koordinatama, Građevinska knjiga, Beograd,

268 KORELACIJA MATEMATIKE STVARNIM ŽIVOTOM Vinko Bajrović, prof. viši prosvjetni savjetnik za matematiku Split Davno je rečeno da je matematika carica i služavka. Postoji li bilo koji nastavni predmet koji ne posegne za matematikom? Postoji li bilo koja ljudska djelatnost koja ne ovisi o matematici? Mislim da je odgovor na oba pitanja NE. Za primjer će se navesti dio programa srednjoškolske fizike, njenu kinematiku, dinamiku, hidromehaniku, termodinamiku, elektricitet i magnetizam, titranje i valove, optiku i modernu fiziku s konstantama, gravitacijskom, ubrzanjem slobodnoga pada pri površini zemlje, masom zemlje, polumjerom zemlje, unificiranom atomskom masom, Avogadrovom konstantom, općom plinskom konstantom, brzinom svjetlosti u vakuumu, elementarnom naboju, masom elektrona, masom protona, permitivnosti vakuuma, permeabilnosti vakuuma, Boltzzmannnovoj konstanti, Planckovoj, Stefan-Boltzmannovoj i Wienovoj, samo su dijelić matematike u fizici. Slično bi nam dodala kemija, biologija, zemljopis, povijest, ali javili bi se i tehnička kultura, likovna kultura, glazbena kultura, tjelesna i zdravstvena kultura, Umjesno je upitati, zar i oni ne koreliraju s matematikom, zar i njima u pojedinim segmentima matematika nije služavka? O medicini, ekonomiji, bankarstvu, trgovini, građevinarstvu, geodeziji, arhitekturi, elektrotehnici, brodogradnji, informatici, geologiji, astronomiji, da se i ne govori. Za seminar u Puli odlučio sam matematiku korelirati sa svakodnevnim životom. Pokušat ću nizom primjera iz svakodnevnog života otkriti ili bolje reći skrenuti pozornost na moć nastave u kojoj učitelji i nastavnici imaju priliku prezentirati i svoju opću kulturu. Nameće se pitanje kako uopće netko može biti odgojno-obrazovni djelatnik, a da je potpuno prazan kad je riječ o matematici. Kroz sliku i riječ ovdje će se nizati primjeri nužno potrebni u obrazovanju učenika. Učitelj/nastavnik matematike je pozvan da ovim sadržajima govori kroz nastavni program matematike, on naprosto traži gdje će uključiti matematiku u životne situacije. Posebno treba naglasiti probleme pretilosti, vode, energije, školske torbe, o popisu stanovništva iz u Republici Hrvatskoj, o podacima EU, sportu, Slijede primjeri uz sliku i riječ. 268

269 MATEMATIKA I ENIGMATIKA Maja Marić Zagreb Od veljače radila sam na projektu Matematičko-enigmatski klubovi (MEK) u nastavnoj godini 2012./2013. kojeg je financijski poduprlo i odobrilo Ministarstvo znanosti, obrazovanja i sporta, a na temelju Natječaja za financijske potpore projektima udruga koje djeluju u području izvaninstitucionalnoga odgoja i obrazovanja djece i mladih u školskoj godini 2012./2013. Projekt je na natječaj prijavila udruga Matematičko enigmatsko društvo iz Zagreba. U dvadesetak zagrebačkih škola održavani su tijekom drugog polugodišta školske godine 2012./2013. sastanci matematičko-enigmatskih klubova koji su okupljali učenike drugih, trećih i četvrtih razreda osnovne škole. Na sastancima su obrađene različite teme: Zadaci s natjecanja Klokan bez granica, Tangram, Magični kvadrat, Nizovi, Labirinti i spajalice, Sastavljanje i rastavljanje likova, Zadaci sa žigicama i Sudoku. Predavanjem bi se predstavio rad matematičko-enigmatskih klubova, način njihova osnivanja i način rada. 269

270 KORELACIJA VRSTOM ZADATAKA Nevia Grbac, prof. učitelj mentor Osnovna škola Kostrena Kostrena Riječ korelacija znači povezanost odgojno-obrazovnog procesa u harmoničnu cjelinu. Vrlo često se pristupa korelaciji dvaju ili više predmeta, a se postiže na različite načine. Zajednička karakteristika je aktivno učenje koje podrazumijeva razvijanje mišljenja u višesmjernoj komunikaciji. Da bi učenje ostalo aktivan proces, ponajprije treba zadane sadržaje dobro osmisliti, a zatim otkriti i razraditi metode prezentacije tih sadržaja. Aktivnim učenjem učenici lakše usvajaju i povezuju znanja, ostvaruje se suodnos znanja u jednu zajedničku cjelinu. Preduvjet za kvalitetnu nastavu matematike i dobre rezultate učenika je primjeren izbor zadataka. Oni doprinose razvoju matematičkih sposobnosti i kreativnog mišljenja. U ovom radu bit će prikazan način koreliranja matematike s predmetima prirodoslovlja vrstom i sadržajem zadataka. Rad je rezultat dugogodišnje suradnje s kolegicama iz prirodoslovlja i većina zadataka koje ću prikazati u radu je korištena na nastavi u osnovnoj školi. Vrsta zadataka koje smo koristile u korelacijama bili su logički zadaci. Korelaciju smo postigle sadržajem logičkih zadataka što se pokazalo učenicima zanimljivo, inspirativno i davalo je dobre rezultate. Logički zadaci sastoje se od niza objekata koje treba povezati zadanim relacijama. Rješavati se mogu na različite načine. Često se to radi grafički ili tablično. Tablično rješavanje je vrlo popularno i u enigmatiskim časopisima, gdje su predstavljeni kao integrami. Evo jednog primjera korelacije matematike i kemije. Zadatak 1: Atom - ion - izotop Čestice kisika su atom, ion i izotop. Te čestice su neutralne ili negativno nabijene. Mase su im 16 ili 17, a broj elektrona 8 ili 10. Koristeći sljedećih 5 tvrdnji spoji čestice kisika, njihov električki naboj, broj elektrona i masu koju imaju. Tvrdnje: Ion kisika O 2- ima 10 elektrona. Izotop kisika nije negativan (anion). Čestice kisika koje imaju 8 elektrona nisu negativne (anioni). Ionu kisika, O 2- nije masa 17. Izotop kisika nema istu masu kao ion kisika. 270

271 Tko, i kada može koristiti integrame? Zadaci ovoga tipa mogu se koristiti na početku neke cjeline (teme), kao uvod, ili na kraju za ponavljanje sadržaja. Primjenjivi su i u osnovnoj i u srednjoj školi. Može ih koristiti učitelj/nastavnik matematike na svom satu. Može to biti redovni sat matematike ili pak sat dodatne nastave. Također, ovakav zadatak može koristiti učitelj/nastavnik drugoga predmeta. Osnovni preduvjet je dogovor - spremnost učitelja na suradnju i dobro planiranje rada. Takvi zadaci motiviraju učenike za rad, povećavaju njihov angažman i pridonose dinamičnosti sata. Da bi ih učenici s lakoćom rješavali, treba ih podučiti načinu rješavanja, i češće im nuditi slične primjere. Kako pristupiti rješavanju ovakvog zadatka? U logičkim zadacima dobro je, na početku, pustiti učenike da sami dođu do rješenja. Bolji učenici će često pristupiti grafičkom načinu rješavanja. Prikazat će objekte i strelicama ih povezivati zadanim relacijama. Učenicima treba ponuditi i način rješavanja pomoću tablica. Ponekad je takav način jednostavniji i primjereniji za širu populaciju učenika. Koliko će neki zadatak biti jednostavniji ili složeniji ovisi o broju tvrdnji. Zato prilikom zadavanja zadatka, učitelj/nastavnik mora imati u vidu za koju skupinu (uzrast) učenika priprema zadatak. U tabličnom rješavanju logičkih zadataka možemo promatrati dvije skupine zadataka. U jednima je tablica već zadana uz zadatak, a u drugima treba učenika naučiti kako nacrtati (zadati) tablicu, a potom i kako je popuniti, odnosno riješiti. Rješavanje logičkog zadatka s unaprijed pripremljenom tablicom Primjer: uz zadatak 1 odmah je ponuđena tablica: Kako popunjavati tablicu? Ako su objekti u realaciji, onda se u ćeliju tablice koja je u presjeku tih dvaju objekata upisuje znak +, a ako nisu stavlja se znak -. Ukoliko u jednoj ćeliji imamo 271

272 znak +, tj, ako smo uspjeli uočiti realaciju između dva objekta, onda preostala polja toga retka i stupca ne mogu biti u relaciji, pa možemo u njih upisati znak -. Primjer iz zadatka 1: Iz prve tvrdnje, "Ion kisika O 2- ima 10 elektrona.", upisat ćemo znak + u polju Ion kisika O To nam odmah znači da Atom kisika i Izotop kisika nemaju 10 elektrona, pa u ta polja stavljamo -. Također, zaključujemo da Ion kisika O 2- ne može imati 8 elektrona, pa stavljamo znak -. Tablica sad izgled ovako: Ovime su iscrpljene sve relacije prve tvrdnje, pa prelazimo na drugu. Ona je zadana u negaciji i iz nje je moguće samo upisati znak - za vezu Izotop kisikanegativan. 272

273 Prelazimo na sljedeću tvrdnju: Čestice kisika koje imaju 8 elektrona nisu negativne (anioni). Stavljamo znak - na spoj ćelija Negativan-8. To odmah znači da u polje Negativan-10 treba staviti znak +, odnosno da u polja 10-Neutralan stavljamo znak -. Iz tablice je dalje vidljivo da polje Ion-10 ima znak + i polje Negativan-10 ima znak +, pa se + može staviti u polje Negativan-Ion kisika O 2-, što dalje znači da ostala polja po retku i stupcu imaju znak

274 Sljedeća tvrdnja je: Ionu kisika O 2- nije masa 17. Stavljamo znak - na polje Ion-17, a to odmah znači da polje Ion-16 ima znak +. Kako su dva polja s vrijednostima 16, nije važno u koji se upiše znak +, ali se ne može upisati u oba. Ponovno, uz polje sa znakom + ostala polja po retku i stupcu imaju oznaku -. No, to nam odmah govori da i u donjem dijelu tablice možemo spojiti polje 10elektrona-masa16 znakom +, odnosno preostala polje po stupcu i retku znakom -. Također, polje negativan-16 spajamo znakom +, a ostala polja po stupcu i retku znakom

275 Prelazimo na posljednju tvrdnju: Izotop kisika nema istu masu kao ion kisika. Iz tablice se vidi da ion kisika ima masu 16, pa onda izotop može imati samo 17. A jedini koji je preostao, Atom kisika onda ima masu 16. Iako više nema tvrdnji, iz oznaka u tablici može se dovršiti rješavanje zadatka. Vidimo da je oznaka + na polju Atom-16, a jedino što preostaje u broju elektrona je 8, pa to označiomo znakom +, a ostala polja u stupcu i retku su

276 Tu nam se nameće još spojeva sa znakom +: Izotop kisika-8, 16-8, Ostali stupci i reci dobivaju znak -. Preostalo je uočiti da su Atom kisika i Izotop kisika neutralni, i prema već dobivenim spojevima povezati ih s brojem elektrona i masom. 276

277 Sada imamo gotovo rješenje zadatka. Da bi bilo jasnije može se i ono prikazati u obliku tablice: Rješenje zadatka 1: Čestice kisika Električki naboj Masa Broj elektrona Atom kisika Neutralan 16 8 Ion kisika O 2- Negativan (anion) Izotop kisika Neutralan 17 8 Na ovaj način, učenik je rješavanjem matematičkog logičkog zadatka otkrio ili ponovio gradivo kemije, koliku masu ima koja čestica kisika, broj elektrona i kakav joj je električni naboj. Rješavanje logičkog zadatka bez unaprijed pripremljene tablice Kada učenik dobije zadatak bez unaprijed pripremljene tablice, prvo mora razlučiti što su objekti u tom zadatku i koje će relacije morati uočiti. Veličina tablice i broj ćelija ovise o broju objekata koji su u zadatku zadani. Pri tome treba paziti da svaki objekt ima dodir sa svakim objektom, a da pri tome ne dođe do preklapanja po recima i stupcima. Zbog zoga će tablice uvijek izgledati kao da im nedostaje donji desni dio. Primjer takvog zadatka sa sadržajem iz fizike. Zadatak 2: Energija Više je vrsta energije, nuklearna, kinetička, kemijska, te toplinska. Sve te vrste energija imaju svoje izvore. To mogu biti Sunce, jezgra atoma, slap vode i hrana. Rezultat njihova djelovanja je kisik, eksplozija, gibanje, te toplina i rad. Te se energije upotrebljavaju u fotosintezi, medicini, rotaciji mlinskog kola, rastu i razvoju živih bića. 277

278 Pomoću sljedećih tvrdnji, odredi koja vrsta energije potječe iz kojeg izvora, koji je rezultat njezina djelovanja, te gdje se upotrebljava. Tvrdnje: Hrana pokreće rast i razvoj živih bića. Kinetička energija ne potječe iz jezgre atoma i ne sudjeluje u oslobadanju kisika. Eksplozija se koristi u medicini. Slap vode pokreće mlinsko kolo na gibanje. Kemijska energija nastaje iz hrane. Za fotosintezu je potrebna svjetlosna energija. Jezgra atoma nije izvor svjetlosne energije, niti joj je rezultat nastajanje topline i rada. Kemijska energija ne sudjeluje u proizvodnji kisika. Rješavanje: Najprije treba otkriti objekte u ovom zadatku. To su: - vrste energije: nuklearna, kinetička, kemijska, te toplinska - izvori energije: Sunce, jezgra atoma, slap vode i hrana - rezultat djelovanja: kisik, eksplozija, gibanje, te toplina i rad - upotreba: fotosinteza, medicina, rotacija mlinskog kola, rast i razvoj živih bića Da bi se zadovoljio uvjet da svaki objekt mora imati dodir s svakim objektom, vidimo da će tablica biti dimenzija polja za popunjavanje, iako ima ukupno 16 objekata, ali se ne smiju preklapati. 278

279 Postupak rješavanja dalje ide na isti način kao prethodno opisani. Kada se radi o koreliranju matematike s nekim drugim predmetom, onda je na satu drugog predmeta primjerenije dati zadatak s gotovom tablicom, dok će zadatak s crtanjem tablice biti lakše izvesti i riješiti na satu matematike. To također ovisi o uzrastu učenika. Iz prakse primjećujem da učenici osnovne škole teže rješavaju zadatke bez pripremljene tablice. Prilikom pripremanja zadataka treba voditi računa i o broju objekata. Na početku, dok se učenici ne priviknu na tu vrstu zadataka i takav način rada, bolje je ponuditi zadatke s manje objekata. U sljedećem primjeru prikazana je korelacija matematike i prirode u 6. razredu osnovne škole: Zadatak 3: Živa bića morskog dna Jadranski klobučić, rak samac i morski konjic su norski organizmi koji žive na morskom dnu. Iz ovog integrama, pomoću zadanih tvrdnji otkrij koji organizam živi na kojoj vrsti morskog dna i kakve je boje. Tvrdnje: Rak samac živi na pjeskovitom dnu i ne poprima boju okoline. Jadranski klobučić je zeleno-bijele boje. Organizam na muljevitom tlu nije zeleno-bijele boje. U zadacima se kao objekt može zadati i slika kao što je u primjeru korelacije matematike i fizike: Tvari i agregatna stanja. Zadatak 4: Tvari i agregatna stanja Led, voda i vodena para su različite gustoće, agregatnog stanja, a svakoj je karakteristična neka zanimljivost. Spojite zadanim tvrdnjama te elemente i upotpunit svoje znanje. Tvrdnje: Led nije plinovitog agregatnog stanja. Slika C prikazuje proces u kojem zagrijavanjem vlage u kukuruznim kokicama nastaje plin koji uzrokuje snažnu eksploziju jezgre. 279

280 Gustoća vode iznosi 1 g/m3 i to je tekućina. Tvar u krutom agregatnom stanju nije na slici B, a gustoća joj je 0,92 g/m3. Kako sastaviti integram? Zajedno s učiteljem/učiteljicom drugog predmeta treba najprije pronaći skupinu objekata koje je moguće povezati relacijama. Postupak se može olakšati ako objekte unesemo u tablicu koja je jednaka tablici rješenja. Dakle, u izradu zadatka (integrama) kreće se od njegova rješenja. Iz tablice rješenja lako se uočavaju objekti i relacije među njima. Nakon toga pristupa se zadavanju tvrdnji. U sljedećem primjeru korelacije matematike i kemije je tablica rješenja iz koje je nastao integram Nemetali. 280

281 Nemetal Zadatak 5: Nemetali. Tablica rješenja: Masa atoma u kg Kisik Podržava gorenje Zapaljivost Uporaba Zanimljivost Kao oksidacijsko sredstvo u svim industrijama Neophodan za život Vodik Gori Raketno gorivo Plin praskavac Dušik Za zaštitu hrane od Neki ga zovu Gasi vatru kvarenja bezživotni plin Ugljik Gori Reduktivno sredstvo Čisti ugljik Iz tablice rješenja crta se tablica integrama: Konačni izgled zadatka: Nemetali Četiri poznata nemetala, kisik, vodik, dušik i ugljik imaju određene su mase, imaju različitu zapaljivost, uporabu i za njih su vezane različite zanimljivosti. 281

282 Pomoću zadanih tvrdnji, popunjavanjem tablice, otkrijte svojstva svakom navedenom nemetalu. Tvrdnje: Kisik i dušik ne gore. Vodik ima najmanju masu i zovu ga još i plin praskavac. Nemetal koji služi u svim industrijama kao oksidacijsko sredstvo je neophodan za život Dijamant je čisti ugljik, ima masu kg i gori. Nemetal koji gasi vatru služi za zaštitu hrane od kvarenja, a ne zovu ga plin praskavac. Plin praskavac služi i za raketno gorivo. Nemetal koji služi kao reduktivno sredstvo gori. Nemetal najveće mase služi kao oksidacijsko sredstvo, a to nije dušik. Što sve može biti sadržaj integrama? Integram se može napraviti sa sadržajem iz bilo kojeg područja. Gdje god se relacije među objektima mogu s lakoćom tablično prikazati, nije problem napraviti integram. To znači da se i sadržaji jezičnih ili društvenih predmeta također mogu naći u ovakvoj vrsti zadatka. Pitanje je samo jesu li kolege učitelji/nastavnici 282

283 spremni na takvu suradnju. Češće se dogodi da se na satu matematike bez problema može ponoviti gradivo npr. povijesti ili hrvatskog jezika, dok je obrat teže realizirati. Slijedi primjer korelacije matematike i povijesti. Zadatak 6: Industrijske revolucije U 18. i 19.stoljeću u Europi su se dogodile dvije industrijske revolucije iz kojih su proizašli neki vrlo značajni povijesni izumi i ličnosti. Rješavanjem tablice integrama iz zadanih tvrdnji otkrij koja se revolucija odvijala u koje vrijeme, koji su izumi i koje ličnosti vezane uz nju. Tvrdnje: Prva industrijska revolucija odvijala se krajem 18. i u 19. stoljeću i u njoj nije sudjelovao Nikola Tesla. Parobrod je konstruiran karajem 18. stoljeća. Zanimljivost za kraj Ovo je zadatak kojeg je složio Albert Einstein. Tvrdio je da je to svojevrsni test inteligencije i bez ikakvih je istraživanja navodno rekao da ga 98% ljudi nije u stanju riješiti. Einsteinov zadatak Pet kuća je obojeno u pet različitih boja. U svakoj kući živi osoba druge nacionalnosti; tih pet vlasnika piju određeno piće, sviraju određeni instrument i drže određene kućne ljubimce; nijedan vlasnik nema istog ljubimca, instrument ili piće. Na osnovu navedenih podataka odgovorite: Tko drži ribice? Poznati podaci: Britanac živi u crvenoj kući. Šveđanin drži pse. 283

284 Danac pije čaj. Zelena kuća je lijevo od bijele kuće. Vlasnik zelene kuće pije kavu. Osoba koja svira violinu uzgaja ptice. Vlasnik žute kuće svira klavir. Vlasnik srednje kuće pije mlijeko. Norvežanin živi u prvoj kući. Čovjek koji svira trubu živi pored onog koji drži mačke. Čovjek koji drži konje živi pored onog koji svira klavir. Vlasnik koji svira harmoniku pije pivo. Nijemac svira gitaru. Norvežanin živi pored plave kuće. Čovjek koji svira trubu ima susjeda koji pije vodu. Nakon što savladaju tehniku rješavanja integrama, kojoj će skupini pripadati naši učenici? Literatura D. George: Obrazovanje darovitih: kako identificirati i obrazovati darovite i talentirane učenike, Educa, Zagreb, Z. Kurnik: Matematički zadatak, MIŠ 7, T. Debelec: Metode rješavanja logičkih zadataka, MIŠ 66, M. Kovačević: Aktivno učenje u interaktivnom odnosu sa sadržajima prirodoslovomatematičkog područja, Život i škola 13,

285 MATEMATIKA POMAŽE EKONOMIJI prof. dr Vojislav Andrić Visoka poslovna škola strukovnih studija Valjevo (Srbija) Apstrakt Nastava matematike u osnovnoj i srednjoj školi između ostalog ima zadatak i da kod učenika razvije kreativnost i ospobi ih za primenu stečenih znanja u raznim životnim područjima. Cilj ovoga rada je da prikaže jedno istraživanje usmereno na moguće primere primene elementarne matematike na rešavanje problema u oblasti ekonomije, koja je očigledno, kao i matematika, svuda oko nas. U radu će se prikazati rezultati istraživanja i, na konkretnim nastavnim situacijama u osnovnoj i srednjoj školi, pokazati kako je moguće nastavu matematike obogatiti realnim i konkretnim ekonomskim problemima kao što su transportni problemi, problemi raznih optimizacija, problemi kapitalizacije, modeliranje ekonomskih funkcija, kontrola kvaliteta... Ključne reči: matematika, ekonomija, korelacija, primena, motivacija, kreativnost. Matematika ne upravlja svetom. Ona pokazuje kako se upravlja svetom Gete 1. UVOD Metodika nastave matematike sadrži niz nedoumica, a jedna od njih je svakako i odnos teorijskog i praktičnog u nastavi matematike. Jedan broj metodičara zagovara stav da nastava matematike bude skoro čisto teorijska, što možda ima opravdanja na univerzitetskom nivou gde studenti na tehničkim fakultetima kroz niz primenjenih nauka dobijaju konkretne primere primene matematike u svojoj budućoj struci, a studenti matematičkih fakulteta matematičke nauke izučavaju uglavnom po metodologiji defininicija, aksioma, teorema, dokaz... ili kroz direktne kurseve primenjene matematike. Medjutim, nastava matematike u osnovnim i sred-njim školama skoro je nezamisliva bez korišćenja korelacije nastave matematike sa drugim nastavnim disciplinama i praktičnih, životnih primera primene matematike. Realizatori nastava matematike u osnovnim i srednjim školama u svojoj nastavnoj praksi najčešće traže i teže korelaciji matematike sa srodnim, uglavnom prirodnim naukama, kao što su fizika, hemija, informatika... Mišljenja smo da je ekonomija, takođe, pogodna oblast za praktične primene matematičkih znanja, jer je ekonomija, kao i matematika, svuda oko nas, a istovremeno neophodna savremenom čoveku za svakodnevni život, bez obzira šta će mu sutra biti profesionlna aktivnost. 285

286 Cilj ovog saopštenja je da prikaže neke mogućnosti i primere primene elementarne matematike na rešavanje problema u oblasti ekonomije, ali i da se osvrne na suštinske efekte nastave koja sadrži moguće primene matematike u ekonomiji i u opšte. 2. KOJE REALNE I KONKRETNE EKONOMSKE PROBLEME JE MOGUĆE REŠAVATI MATEMATIČKIM METODAMA? Ekonomija je naučna disciplina koja proučava osnovna pravila ponašanja i zakonitosti u privrednim aktivnostima 34 ili nauka koja proučava kako društva koriste oskudne resurse da bi proizvodili dobra i usluge kako bi što bolje zadovoljili svoje potrebe 35. Ekonomija se izmedju ostalog bavi problemima proizvodnje (ponuda, tražnja, troškovi, prihodi, dobit...), bankarskim poslovima (kamata, kapitalisanje, štednja, krediti...) ali i drugim ekonomskim problemima kao što su na primer cene, inflacija, ekonomski rast (ili pad), transfer valuta... Navedene ekonomske kategorije imaju svoje matematičke interpretacije i od matema-tike se najčešće traži, a i s pravom očekuje, da korišćenjem sopstvenih metoda odgovori na pitanja kao što su: Kako organizovati transport tako da transportni troškovi budu najmanji? Kako formirati cenu da prihod bude najveći? Kako organizovati proizvodnju da proizvodni troškovi budu najmanji? Kako najracionalnije konstruisati ambalažu nekog proizvoda? Kako dobiti najveći profit, tj. kako smanjiti troškove i kako povećati prihode? Da li određena ekonomska kategorija ima određenu funkcionalnu pravilnost? Da li je uzeti kredit povoljan ili ne? Da li se štednja kod banke isplati ili ne? Da li se više isplati štedeti i domaćoj valuti ili devizama? Koji je najracionalniji način vraćanje kredita? Može li se na osnovu tekućih podataka prognozirati nastupajući trend određene ekono-mske pojave? Koliki je rizik određenih ekonomskih poteza? Odgovori na mnoga od navedenih pitanja traže instrumente viših kurseva matematike, ali je i veliki broj pitanja koja se na relativno jednostavan način mogu rešiti metodama eleme-ntarne matematike, tj. postupcima koji su u potpunosti dostupni našim osnovcima i srednjo-školcima. 34 Vikipedija 35 Pol Samuelson (Paul Samuelson ) američki ekonomista i nobelovac koji je u svom kapitalnom delu ''Osnovi ekonomske analize'' (1947) u velikoj meri matematizirao ekonomiju. 286

287 3. KOJE NASTAVNE OBLASTI JE MOGUĆE PRIMENITI U EKONOMIJI? Svrha primene matematike u ekonomiji u nastavi matematike nije da saopštimo da ćemo se danas baviti rešavanjem ekonomskih problema, već da prilikom realizacije određenih nastavnih sadržaja pokažemo kako se oni mogu uspešno primeniti i na razne ekonomske situacije. Koji nastavni sadržaji omogućuju da se njihova primena ilustruje na ekonomskoj problematici? Osnovna škola: Procentni račun (široka lepeza svakodnevnih ekonomskih sitacija) Direktna i obrnuta proporcionalnost (široka lepeza svakodnevnih ekonomskih sitacija) Linearne jednačine i nejednačine (jednostavniji primeri transportnih problema) Linearne funkcije (jednostavniji primeri prostog kamatnog računa) Površina i zapremina geometrijskih tela (jednostavnije optimizacije). Srednja škola: Linearne jednačine (široka lepeza svakodnevnih ekonomskih sitacija) Linearne nejednačine (široka lepeza svakodnevnih ekonomskih sitacija) Linearne jednačine i nejednačine (transportni problem) Sistemi linearnih jednačina (modeliranje ekonomskih pojava) Nizovi (složen kamatni račun) Granična vrednost funkcije (neprekidno kapitalisanje) Uvod u diferencijalni račun (optimizacije) Verovatnoća (kontrola kvaliteta). 3. NEKI ELEMENTARNI PRIMERI PRIMENE MATEMATIKE U EKONOMIJI U ovom saopštenju, kao ilustraciju prikazujemo i konkretne nastavne situacije u osnovnoj i srednjoj školi, kao primere kako je moguće nastavu matematike obogatiti eleme-ntarnim, ali realnim i konkretnim ekonomskim problemima: 1. Šta je racionalnije? (proporcionalnost) Automehaničari Andrija, Branko, Cvetko i Damnjan završe kompletan servis jednog auta redom za 5, 6, 7 i 8 časova. Andija i Damnjan čine tim A, a Branko i Cvetko tim B. Koji tim će njihov poslodavac bolje platiti i u kom odnosu bi trebalo da budu plate ova dva tima, ako su plate proporcionalne učinku timova? 287

288 2. Izvoz pečurki (procentni račun) Preduzeće ''Pečurka komerc'' iz Poćute ugovorilo je sa stranim partnerima izvoz 100t suvih pečurki. Sveže pečurke sadrže 80% vode, a suve 18% vode. Koliki profit će ostvariti ''Pečurka komerc'', ako otkup, transport, sušenja i ostali troškovi prerade svežih pečurki iznose 4 EUR/kg, a prodajna cena suvih gljiva je 40 EUR/kg? 3. Kako štedeti? (linearne nejednačine) Kamata na štednju u domaćoj valuti je a%, a kamata na štednju u EUR-ima je b%. Kolika treba da bude inflacija i u procentima da bi se više isplatilo štedeti u domaćoj valuti nego u EUR-ima? 4. Anka i Branka letuju na kredit (linearne jednačina i linearna funkcija) Anka je 18. maja godine podigla krediti za letovanje kod Valjevske banke u iznosu od dinara i kamatnom stopom od 19% na godišnjem nivou. Branka je istoga dana podigla kredit za letovanje kod Valjevske banke u iznosu od dinara i kamatnom stopom od 15% na godišnjem nivou. Dogovor je da kredit vrate odjednom, onoga dana kada budu banci dugovali iste sume novca. Kada će to biti ako se kamata obračunava linearnom metodom (prostim kamatnim računom)? 5. Šta je racionalnije? (zapremina geometrijskih tela) ''Vujić voda'' i ''Voda voda'' koriste ista ambalažna pakovanja, ali imaju različite oblike flašica, jer je prva flašica u obliku valjka (prečnika 10cm), a druga u obliku pravilne četvorostrane prizme(osnovna ivica 10 cm). Koje flašice su racionalnije, tj. koje flašice u istoj transportnoj zapremini isporučuju veće količine mineralne vode? 6. Izračunavanje ukupnih troškova (sistemi jednačina) Ukupni troškovi fabrike cipela Alfa iz Koceljeve modelirani su kvadratnom funkcijom y = ax 2 + bx + c, gde x predstavlja broj proizvedenih parova cipela u desetinama hiljadama komada, a y ukupne troškove u milionima evra. Odrediti koliki su ukupni troškovi fabrike cipela Alfa, ako proizvedu parova cipela, iz sledećih podataka: Proizvodnja Ukupni troškovi

289 7. Zlatar Zlatko transportuje dragocenosti (linearno programiranje) Zlatar Zlatko ima mali transportni sef u koga može da stane 50kg zlata ili 10 kg dijamanata. Poznato je da 1 kg zlata košta EUR-a, a 1 kg dijamanata EUR-a i da Zlatko može da ponese sef i najviše 25kg nakita. Kako Zlatko da rasporedi zlato i dijamante da bi poneo što veću vrednost nakita? 8. Kako do najveće dobiti? (ekstremna vrednost funkcije elementarni pristup) Preduzeće ''Oaza pameti'' raspolaže u godini sa 9 miliona EUR-a investicionih sredstava. Istraživanjem je utvrđeno da je dobit preduzeća modelirana funkcijom D = 2xyz, gde su x - ulaganja u savremenu opremu, y - ulaganja u marketing i propagandu i z - ulaganja u obrazovanje i usavršavanje kadrova. Marko, generalni menadžer preduzeća i treba da donese odluku kako da rasporedi raspoloživa investiciona sredstva da bi dobit preduzeća bila najveća moguća. Kako će Marko doneti odluku? 9. Kutija najveće zapremine? (ekstremna vrednost funkcije difrencijalni račun) Malinar Branko se obratio direktoru štamparije Nenadu sa molbom da mu od kvadratnih kartona dimenzija 30cm 30cm, koje je dobio u kompenzaciji, napravi kutije za malinu (bez poklopca) tako da u kutiju stane što je moguće više maline. Kako je Nenad rešio dati problem, tj. kako je odredio dimenzije kutije? 10. Dugoročna štednja (geometrijski niz) Kad mu rodio unuk deda Pera odluči da u narednih 20 godina svakog meseca na štednu knjižicu svog unuka Vlade uplaćuje po 100 EUR-a. Koliko novca će Vlada imati posle 20 godina ako je deda Pera sa bankom ugovorio kamatu od 7% na godišnjem nivou i ako se kapitalisanje vrši prilikom svake mesečne uplate? 11. Neprekidno kapitalisanje (granična vrednost funkcije) Mira je u banku uložila dinara i dogovorila da se kamata obračunava metodom neprekidnog kapitalisanja uz godišnju kamatnu stopu od 15%. Dogovor sa bankom je i da se novac podigne kada se uložena suma udvostruči. Kada će Mira podići dinara? 12. Kontrola kvaliteta (verovatnoća) Verovatnoća da je kompjuter neispravan je 0,05. Mladen je kupio 10 kompjutera. Kolika je verovatnoća da je bar 8 kompjutera ispravno? 289

290 4. EFEKTI NASTAVE KOJA TRETIRA PRIMENU MATEMATIKE U EKONOMIJI Pitanje koje se nameće posle izlaganja nekih konkretnih problema koji ilustruju primenu matematike u ekonomiji (kroz sadržaje nastave matematike u osnovnoj i srednjoj školi) svakako je kakvi su efekti takvog pristupa, tj. zašto je preporučljivo nastavu matematike kada je to moguće obogatiti i primerima primene u nekim svakodnevnim životnim situ-acijama. Na osnovu višegodišnje komparativne analize postignuća učenika koji su se susretali sa primerima primene matematike u ekonomiji i onih koji za to nisu imali priliku, utvrdili smo da je rad na primeni matematike u ekonomije dao sledeće efekte: Učenici su se na datim primerima uverili da matematika nije suvoparna, teorijska nauka, već nepresušni izvor mnogobrojnih ideja čija primena doprinosi veoma uspešnom rešavanju pojedinačnih ekonomskih problema u našem okruženju; Motivacija i nastavno interesovanje učenika pri rešavanju konkretnih ekonomskih proble-ma matematičkim metodama imala je značajno viši nivo u odnosu na primere čisto teorijske prirode; Kroz modeliranje i rešavanje problema ekonomske prirode u mogućoj meri se razvija i kreativnost učenika, što je vidljivo iz činjenica da su neki problemi imali veoma originalna rešenja, neki problemi su rešavani na više načina, a neki su kod učenika ostvarivali znatiželju koja ih je vodila ka sledećim problemima i samostalnom formulisanju novih i novih problema; Rešavanje ekonomskih problema matematičkim metodama doprinosi da se finansijska pismenost mladih ljudi podiže na značajno viši nivo, što u vremenima surovih bankarskih kredita i kreditnih transakcija nije bez značaja. 5. ZAKLJUČAK Na osnovu prethodno izloženih činjenica mogu se izvesti sledeći zaključci: Matematika i ekonomija su svuda oko nas i imaju niz dodirnih tačaka koje dobro osmišljenom nastavom mogu biti predmet novih saznajnih vrednosti i u jednoj i drugoj oblasti. Mnoga pitanja savremene ekonomije (optimizacije, kapitalizacije, racionalizacije, analize, trendovi...) predstavljaju dobru priliku da se učenici osnovnih i srednjih škola na primerenom nivou upoznaju sa ekonomskom problematikom i shvate značaj uspešnog rešavanja ekonomskih problema za život savremenog čoveka. Istovremeno, za priličan broj nastavnih sadržaja matematike u osnovnim i srednjim školama, ekonomski problemi su skoro idealan poligon za pokazivanje snage mate-matičkog metoda, tj. ilustrovanja kako se ono što je teorijski savladano u nastavi matematike može iskoristiti za rešavanje prilično ozbiljnih ekonomskih problema instrumentima elementarne matematike. 290

291 I na kraju, insistiranje na korelaciji matematike i ekonomije može imati vidljive nastavne efekte ne samo u već pomenutom saznajnom smislu, već i kada je u pitanju pozitivna motivacija, razvijanje kreativnosti, postavljanje matematike na pravo mesto u okviru obrazovnih potreba savremenog čoveka i finansijsko opismenjavanje i osposobljavanje mladih za život u surovim ekonomskim okvirima današnjice. 6. LITERATURA 1. V. Andrić: Jedan pogled na aktuelne probleme nastave matematike u Srbiji, Zbornik radova ''Udžbenik i savremena nastva'' Zavod za udžbenike Beograd, strana , Beograd, R. Barnett, M. Ziegler, K. Byleen: Primenjena matematika, Mate, Zagreb B. Gruić, I. Jeremić, I. Šutalo, H. Volarević: Matematika za ekonomiste i menagere, Mate, Zagreb, P. Newbold, W.L.Carlson, B. Thorne: Statistika za poslovanje i ekonomiju, Mate, Zagreb, Wikipeda ( 6. Nastavni program matematike za osnovnu i srednju školu 291

292 STOPAMA RIMSKIH AGRIMENSORA Gordana Vasilijević, dipl. matematičar Tehnička škola Pula Jadranka Vreš Rebernjak, dipl. ing. geodezije Tehnička škola Pula Giulia Codacci-Terlević, dipl. arheologinja Arheološki muzej Istre Jadranka Ostić, dizajnerica keramičarka Dnevni centar za rehabilitaciju Veruda, Pula Sažetak Tijekom školske godine 2012/13. učenici 2. i 3. razreda Tehničke škole u Puli, tehničar smjera geodetski sudjelovali su u projektu nazvanom "Rimska centurijacija u Istri" realiziranog u suradnji s Arheološkim muzejom Istre u Puli. Tim povodom definirane su vježbe za učenike nazvane "Krizmanichevim vježbama ", po Venceslaou Krizmanichu, dipl. ing. geodezije, koji se u svojim radovima bavio problemima oblika amfiteatra u Puli i rimske centurijacije u Istri. Njegovi su radovi dali autorima ideju za realizaciju projekta. Ključne riječi: ceturijacija, rimska groma, elipsa, sukladnost, viziranje, elektrooptički daljinomjer O projektu: Rimska centurijacija u Istri i rimska groma Arheološki muzej Istre već skoro tri desetljeća stavlja poseban naglasak na aktivnosti koje provodi njegov Edukacijski odjel. Redovito se javnosti predstavljaju projekti i radovi nastali u suradnji s raznim predškolskim, školskim i visokoobrazovnim institucijama koje djeluju na području Istre. Tijekom 2012./13. školske godine realiziran je projekt u suradnji s profesorima i učenicima Tehničke škole Pula te korisnicima pulskog Dnevnog centra za rehabilitaciju Veruda, Pula. Odabrana tema pokazala je da je moguće surađivati te aktivno uključiti u projekt i učenike srednje škole drugačijeg profila, čija primarna djelatnost nije vezana uz njegovanje povijesno-humanističkih smjerova. Tako je ostvaren projekt čija je glavna tema bila Rimska centurijacija u Istri. Tijekom realizacije projekta učenici Tehničke škole su osim upoznavanja s tragovima rimske centurijacije na području Istre, stekli i saznanja o rimskim gromaticima ili agrimensoresima, tj. antičkim geodetima. 292

293 Učenici i profesori upoznali su se s gromom (lat. groma), rimskim instrumentom korištenim za viziranje, izmjeru i ograđivanje zemljišta i cesta. Kao arheologinja, g-đa Giulia Codacci-Terlević smatrala je da je važno upoznati buduće geodete s neizmjerno vrijednim tragovima rimske centurijacije u Istri, prvenstveno onima koji se odnose na područje Pule, jer su upravo u njenoj okolici tragovi sustavno provedene izmjere i podjele zemljišta iz rimskoga doba među najbolje očuvanima. Tako sam naglasak stavila na tehničke karakteristike centurijacije zbog geodetske struke. S obzirom na školsko usmjerenje učenika koji su sudjelovali u projektu, priredila je predavanje na tu temu. Sastavila je uvod koji je sadržavao bitna razmatranja stručnjaka vezana uz povijesne aspekte dedukcije Pulske kolonije, a zatim težište stavila na radove stručnjaka koji su proučili očuvane tragove rimske centurijacije u Istri. Paralelno ih je upoznala sa zanimanjem rimskih geodeta. Namjera je bila potaknuti naše buduće geodete, zajedno s njihovim profesoricama, da saznaju što više o bogatom kulturnom nasljeđu našega grada, Pule, i to kroz proces učenja o zanimanju njihovih prethodnika, rimskih geodeta (lat. gromatici, agrimensores), koji su u rimsko doba obavljali posao za koji se i oni danas školuju. Tako smo profesorice Jadranka Vreš Rebernjak, (prof. geodetske grupe predmeta - geodezija, geodetsko računanje, primijenjena geodezija) i Gordana Vasilijević (dipl.matematičar) te Giulia Codacci-Terlević, dipl. arheolog, viša muzejska pedagoginja, kustosica, voditeljica Edukacijskog odjela osmislile praktične vježbe za učenike 2. i 3. razreda, smjer geodetski tehničar, koje su primijenjene na pulske spomenike, među kojima je primus inter pares pulski amfiteatar. Što je Centurijacija? Poznato je da je centurijacija rezultat složenog i sistematski odrađenog zahvata, koji je osmislio i vodio vrh rimske države, a podrazumijeva preciznu izmjeru, pravilnu podjelu i reorganizaciju poljoprivrednog zemljišta novoosnovanih kolonija. 36 Osnivanje kolonija imalo je za posljedicu i iseljavanje stanovnika s jednog područja te njihovo trajno preseljenje u novoosnovane kolonije, gdje bi im bilo dodijeljeno novo poljoprivredno zemljište. 37 Riječ centurijacija potječe od latinskog centuria. Centurije su bile zemljane površine pravilnog tlocrta, omeđene putovima ili suhozidima, što znači da su se ovi međusobno presijecali pod pravim kutom. 38 U stvarnosti postoji više modula ili vrsta centurija, koje se međusobno razlikuju na temelju duljine njihovih stranica. Jedna od češćih je ona koju možemo uvjetno rečeno nazvati kvadratnim modulom,gdje je svaka stranica centurije imala duljinu od približno 20 actusa (1 actus je otprilike 35,52 m; 20 actusa otprilike 710 m), a koja se najranije pojavljuje 36 Rosada, 1991., 92-93; Regoli, 2003., 79; Marchiori, 2008., Suić, 1976., 94-97; Regoli, 2003., 81; Bulić, 2012., 52; Matijašić, 1988., 108; Matijašić, 2012., Regoli, 2003., 79; Rosada, 2010.,

294 na sjeveru Italije. 39 Iz djela pojedinih antičkih rimskih pisaca saznajemo da je u rimsko doba actus označavao duljinu izorane brazde koju bi par goveda s plugom izorao u jednom neprekinutom potezu. 40. Krizmanicheva interpretacija uočenih tragova rimske centurijacije u Istri. (Krizmanich, V.,1981., Fig. 2, 188). Rimljani su centurijaciju označavali terminom limitatio, koji potječe od riječi limites 41, tako da je ispravno reći i limitacija.i dan-danas na području Vodnjana, dijela Istre na kojemu su tragovi centurijacije posebno dobro očuvani, autohtoni stanovnici zvani Boumbari stare makadamske putove nazivaju limidi, što očito potječe od latinskog izvornika; većina tih limida je kasnije izgrađena na istoj poziciji rimskih pravaca. 42 Glavni pravci (limites) centurijacije bili su Decumanus (ili Decimanus) maximus i Cardus maximus. Kako su zaključili stručnjaci na temelju zapisa Higina Gromatika, rimski geodeti bi odredili pravac dekumana prateći izlazak Sunca te se ovaj nastojao usmjeriti u pravcu istok - zapad. Okomito na dekuman pružao se kardo. Pri određivanju pravca karda, isprve su geodeti morali odrediti sjever. Sjever bi se odredio pomoću gnomona. Za precizno određivanje sjevera bilo je potrebno pratiti sjenu gnomona u šesti sat (točno u podne), s obzirom da tada sjena gnomona najvjernije označava sjever. 43 Nakon uspostavljanja glavna dva pravca centurijacije, ostali su se nizali na jednakim udaljenostima. Broj limitesa bio je određen sistemom rednih brojeva počevši od glavnog karda i dekumana, a uz broj se 39 Camaiora, 2003., Suić, 1976., 99; Panerai, 2003., 122.; Rosada, 2010., Regoli, 2003., To su već ranije uočili Kandler (Marchiori, 2010., 13); Suić, 1955., 10; Chevallier (1961., 19); Matijašić, 1998., 43; Marchiori, 2009.b, 71.; 93-94, i dr. 43 Filippi, 2003., ; Fig., 97; Rosada, 2010.,

295 nalazila kratica koja je označavala njegovu poziciju u odnosu na glavne pravce. 44 Podaci su bili uklesani na kameni cipus, službeno naziva cippus terminalis. 45 Iz dijela Higina Gromatika saznajemo da su rimski geodeti za vrijeme izmjere zemljišta vrlo detaljno provjeravali odrađene zahvate. 46 O tome svjedoče precizno izvedeni sistemi centurijacije na širokom području Mediterana, a među njima je i posebno dobro očuvana centurijacija u Istri. Opća je karakteristika centurijacije da je riječ o velikom, složenom zahvatu koji je utjecao na novoosnovani teritorij dugoročnim promjenama koje su poboljšale uvjete i omogućile napredak stanovništvu. Osim njene značajne političke i socijalne komponente, provedbom centurijacije Rimljani su istovremeno i uredili, uljepšali teritorij te ju je sasvim opravdano nazvati i spomenikom okoliša, kako ju nazivaju pojedini stručnjaci. 47 Što je to Rimska Groma? Izvor: wikipedia.org Groma (lat. groma) je instrument koji su koristili Rimljani za viziranje, premjeravanje te definiranje pravaca koji su se presijecali pod pravim kutom. Bila je 44 Suić, 1976., 90; Filippi, 2003., Suić, 1976., Filippi, 2003., Marchiori, 2009.a, 487; Rosada, 2010.,

296 dakle nužna kod izmjere zemljišta odnosno postavljanja mreže centurijacije, kod gradnje cesta, gradova i dr. 48 Stručnjaci su u više navrata pokušali iz djela rimskih pisaca u kojima se spominje groma te reljefnih prikaza grome na nadgrobnim spomenicima shvatiti i rekonstruirati njezin izvorni izgled. Tek godine, nakon arheološkog otkrića metalnih dijelova antičke grome u trgovini Verusa u Pompejima, omogućena je ispravna rekonstrukcijatog instrumenta. 49 Groma se sastojala od tri temeljna dijela: nosivog štapa, križa te okretne ručke za nasadu križa. Križ (lat. groma) bio je sastavljen od četiri kraka jednake dužine(otprilike 1,5 rimskih stopa 50 ili jedan lakat) spojenih pod pravim kutom. Na krajnjem dijelu svakog kraka prikačila se nit (lat. perpendicula) za koju je bio obješen visak (lat. pl. pondera). Na primjerku iz Pompeja dva viska su bila stožastog oblika, a ostala dva oblika guščjeg vrata. 51 Nosivi stup-štap (lat. ferramentum) održavao je statiku instrumenta te spajao križ s okretnom ručkom. Mogao je biti izrađen od jednog ili više različitih materijala (drvo, željezo, bronca). Donji dio štapa bio je metalni i u obliku vrha koplja, da bi se mogao zabiti u zemlju. 52 Okretna ručka grome sastojala se od horizontalno postavljenog metalnog držača nepravilnog oblika, čiji su krajevi presavijeni u šuplji cilindar koji je služio za nasadu ručke na nosivi štap i na križ instrumenta. 53 Neki stručnjaci navode da je dužina ručke bila standardna- iznosila je točno jednu rimsku stopu (29,6 cm). 54 Nakon postavljanja grome u perfektnoj vertikali 55, prilikom premjeravanja rimski bi geodet stajao uz instrument, usmjerio pogled prema visećim nitima dva suprotna kraka grome te prateći pogledom njihovu poziciju rukovodio postavljanjem oznaka na terenu u nastavku tog pravca. Okretna ručka omogućavala je kretanje križa, tj. grome. Na njenom distalnom dijelu bila je također prikvačena nit za koju je bio obješen visak. Upravo je taj visak označavao poziciju umbilicusa kod premjeravanja zemljišta. 56 Umbilicus, tetrans ili umbilicus soli je tehnički termin koji se u rimsko doba koristio za označavanje nulte ili polazišne točke kod geodetske izmjere zemljišta. U umbilicusu su se presijecali glavni pravci centurijacije, decumanus maximus i cardus maximus. 48 Boccaleri, 1999., 26; Ilakovac, 2002.; Panerai, 2003., ; Rosada, 2010., 131; Rossi et al., 2011., Adam, 1982., ; Fig. 5; Schioler, 1994.; Ilakovac, 2002., ; slika 2.; Panerai, 2003., 115; Rosada, 2010., Rossi et al., 2011., Schioler, 1994.; 51; Fig. 13a; Panerai, 2003., Rosada, 2010., 132; Panerai, 2003., Dilke,1962., ; Boccaleri, 1999.; Panerai, 2003., ; Rosada, 2010., Boccaleri, 1999., 27; Rossi et al., 2011., Adam, 1982., 1019; Conges, 1996., Rosada, 2010.,

297 S bzirom da je kod određivanja pravaca i izmjere terena u rimsko doba korištena groma, odlučili smo izraditi njenu vjernu rekonstrukciju i odraditi provjere, tj. mjerenja pulskog amfiteatra i Kaštela.Na temelju nacrta i članaka koje je pripremila g-đa Giulia Codacci-Terlević, željeznu gromu je izradio profesor Luciano Šuran iz Tehničke škole Pula. 297

298 Tehničke vježbe Primjena grome Od svih nepokretnih spomenika iz rimskog doba u gradu Puli odabrali smo upravo Amfiteatar, zbog njegove neprocjenjive vrijednosti. Na njemu smo odradili mjerenja koristeći rimsku gromu. Cilj je bio upoznati učenike i njihove profesore s ovim antičkim geodetskim instrumentom, koji je zasigurno bio korišten u rimsko doba za izgradnju pulskog Amfiteatra. S obzirom da postoji više radova stručnjaka koji su posvećeni rekonstrukciji izgleda, ali i načina korištenja grome, namjera je bila da koristeći te podatke učenici uz pomoć grome odrade mjerenja na antičkim spomenicima našega grada te da usvoje znanje o bogatom kulturnom nasljeđu Pule. Matematičke vježbe koje su odradili učenici smjera geodeti odabrala je profesorica Gordana Vasilijević i bile su primjerene njihovom stupnju stečenog znanja iz matematike, sukladno školskom programu. Uz pomoć grome obavljena su sljedeća mjerenja ili vježbe: - Vježba 1 - Izmjera velike i male osi borilišta te velike osi amfiteatra - Vježba 2 - fluminis varatio - Izmjera širine kanala na pulskom Kaštelu 298

299 - Vježba 3 - cultellatio - Izmjera male osi amfiteatra Izmjera male i velike osi borilišta te velike osi Amfiteatra S obzirom da je svojim radovima o rimskoj centurijaciji u Istri te o obliku najznačajnijeg antičkog spomenika u Puli, rimskog amfiteatra, pulski inženjer geodezije Venceslao (Venči) Krizmanich dao značajan doprinos arheologiji 57, vježbe koje su odradili učenici drugog i trećeg razreda smjera geodetski tehničari iz Tehničke škole Pula nazvali smo Krizmanichevim vježbama upravo zbog svojevrsne posvete tom stručnjaku. Postavljanjem grome prvo duž velike, a zatim duž male osi borilišta i kolčenjem svakih 20 rimskih stopa učenici su odredili duljinu i širinu borilišta kao i 57 Krizmanich, 1978.; 1979.;

300 duljinu čitavog amfiteatra. Dobivene rezultate izražene u rimskim stopama (1 rimska stopa 29,63 cm) učenici su morali preračunati u metre. Pri izvođenju ove vježbe koristili smo mjernu traku, dok su rimski gromatici ovu duljinu mjerili letvama standardne duljine, zvanima decempedae, jer su mjerile 10 rimskih stopa. 58 Uz minimalna odstupanja dobili su sljedeće mjere: - Velika os amfiteatra 132,45 m (450 rimskih stopa), - Velika os borilišta 67,48 m (230 rimskih stopa), mala os borilišta 41,68 m (140 rimskih stopa), što je omjer zlatnog reza (savršeni omjer) Iz dostupnih izvora (Venceslao Krizmanich Doprinos poznavanju oblika rimskog amfiteatra u Puli ) dobili smo podatke da je oblik amfiteatra u Puli policentrična krivulja (krivulja drugog reda, opća jednadžba koje je Ay 2 + bxy + Cx 2 + Dy +Ex + 1 = 0), koja minimalno odstupa od elipse, te smo, zbog nivoa znanja o krivuljama drugog reda učenika III. razreda, u daljnjim izračunavanjima koristili formule za izračunavanje linearnog ekscentriciteta i određivanje žarišta te površine elipse. Korištenjem odgovarajućih formula učenici su izračunali površine borilišta i gledališta: P = a b π površina elipse P 1 = m² - površina Amfiteatra P = m² - površina borilišta P 1 - P = m² - površina gledališta. Ne bi li zadatak odradili što kvalitetnije, učenici su proučavali arhitekturu i povijest amfiteatra, što ih je dovelo do podatka da je borilište nakon svake borbe 58 Filippi, 2003.,

301 trebalo prekriti novim slojem pijeska ne bi li se uklonili tragovi ljudske i životinjske krvi. Uz pretpostavku da je sloj pijeska visine 15 cm, učenici su izračunali obujam i masu pijeska potrebnog u tu svrhu: V = P h V = m³ 1800 kg/m³, gustoća pijeska m = V i dobili da je masa pijeska za pokrivanje borilišta bila m = kg ili m = t. Vezano uz ovu vježbu, valja napomenuti također da je očigledno da je velika os amfiteatra paralelna s pravcem karda, a mala os s pravcem dekumana rimske centurijacije. 59 To indirektno govori o pomno planiranom smještaju te orijentaciji amfiteatra, koji se harmonično uklapa s nacrtom rimske centurijacije. Vježba cultellatio, izmjera male osi Amfiteatra Vježba cultellandi ratio ili cultellatio odrađena je na neravnom terenu. Prateći radove stručnjaka koji su se posvetili primjeni grome,saznali smo da su rimski gromatici prilikom izmjere duljine te određivanja pravaca na brdovitom, neravnom terenu primjenjivali tehniku zvanu cultellandi ratio; cultellatio ili cultellare. 60 S obzirom da je pulski amfiteatar izgrađen na padini brda, odnosno na neravnom terenu, prilikom pokušaja izmjere njegove male osi uz pomoć grome primijenili smo istu tehniku kao i rimski gromatici. Osim grome dali smo izraditi nekoliko drvenih trasirki (metae) uz pomoć kojih smo odredili pravac te jednu trasirku - visine otprilike dva metra (lat. linea), koja je spojena pod pravim kutom s letvom čija dužina iznosi točno 10 rimskih stopa (decempedae ili pertica). 61 a taj smo način istovremeno izmjerili visinu stepeništa,ali i duljinu male osi amfiteatra, jer smo je uz pomoć takve letve doveli u odnos s horizontalnim nivoom Mlakar, 1997., X. 60 Adam, 1982., ; Fig. 20; Conges, 1996., ; Fig ; Filippi 2003., 134; Fig. 109; Rosada, 2010., 132; 139; Chouquer, Lewis, 2001., Filippi, 2003.,

302 Mjerene visinske razlike gromom provjerili smo modernim instrumentom, kojeg učenici koriste za geodetsku izmjeru na satovima praktičnih vježbi na terenu, totalnom stanicom Sokkia Set 5F. Totalna stanica, mjerna stanica ili tahimetar je računalna inačica elektroničkog teodolita, istrumenta koji omogućuje mjerenje horizontalnog kuta, vertikalnog kuta i kose duljine. Visinske razlike dobivene po formuli h = D cos z + i r: Δh 1 =+2.86 Δh 2 =-0.02 Δh 3 =

303 Δh 4 =+2.88 Δh 5 =+2.52 Δh 6 =+3.02 Δh 7 =+3.50 Δh 8 =+3.97 Δh 9 =+4.44 Δh 10 =+4.78 Δh 11 =+5.42 Δh 12 =+5.91 Δh 13 =+6.34 Δh 14 =+6.01 Δh 15 =+6.08 Δh 16 =+7.43 Δh 17 =+7.88 Δh 18 =+8.60 Vježba fluminis varatio, izmjera širine kanala na pulskom kaštelu U cilju upoznavanja učenika s što više tehnika korištenja grome u radu na projektu preselili smo se na Kaštel, gdje prof. Vreš Rebernjak već tradicionalno odrađuje vježbe iz geodetskih predmeta, te smo mjerili širinu kanala na zapadnoj strani utvrde (tehnika fluminis varatio koju opisuju rimski gromatici. 63 Učenici su najprije odredili dvije točke - jednu s dostupne strane kanala i drugu s nedostupne strane, koje su bile međusobno vidljive. Zatim su premještanjem grome na određene, ključne točke odredili prave kutove potrebne za daljnja mjerenja. Nakon postavljanja grome u polovište, viziranjem uz pomoć tog instrumenta te korištenjem sukladnosti dobivenih pravokutnih trokuta 64 odredili su udaljenost nedostupne točke s druge strane kanala te na taj način izračunali njegovu širinu. Ova tehnika u geodeziji se koristi za određivanje udaljenosti nedostupne točke. 63 Conges, 1996., ; Fig. 37; Filippi, 2003., ; Fig. 107 a e b. 64 Conges, 1996., ; Fig. 37; Fig. 46a; Boccaleri, 1999., 28-29; Fig

304 Vježba - Uočavanje tragova na topografskim kartama Za ovu vježbu koristili smo talijanske topografske karte u mjerilu 1: (reprodukcija GIJNA iz godine), budući da nismo imali na raspolaganju prikladnije. Vježba se sastojala u tome da učenici prepoznaju pravce centurijacije koji su zabilježeni na kartama te da, slijedeći Krizmanichev primjer, naglase mrežu centurija uz izradu hipotetične rekonstrukcije cijele mreže, kao i da definiraju broj točaka (gdje se očuvani pravci presjecaju), koordinate, kut, azimut karda i udaljenost između točaka. 304

305 Rekonstrukcija centurijacije u okolici Pole na Hrvatskoj osnovnoj karti Državne geodetske uprave RH (izradio D. Bulić). Vidljivi ostaci rimske centurijacije Istre (izradio D. Bulić). 305

306 Vježbu smo suzili na južni dio pulskog agera.zbog mjerila karte, rezultirala su mnoga odstupanja. Brojevi i mjere S obzirom na temu centurijacije, korisnici Dnevnog centra za rehabilitaciju Veruda, Pula posvetili su se proučavanju najstarijih zapisa brojeva i količina koji se čuvaju u Arheološkom muzeju Istre.Ovi se nalaze na pokretnim spomenicima koji potječu iz konteksta datiranih u rimsko doba Istre. 306

307 Nipurski lakat u Arheološkom muzeju u Carigradu Najstarija poznata duljinska pramjera je nipurski lakat, koji je pronađen godine prilikom arheoloških istraživanja ruševina sumerskog hrama u Nipuru, nedaleko od Bagdada u današnjem Iraku. Danas se čuva u Arheološkom muzeju u Carigradu. To je štap od bakrene slitine na kojemu je više urezanih oznaka na različitim razmacima. Na njemu su mjere za lakat, stopu, dlan, palac. Duljina cijelog štapa je 4 stope. Rimske mjere su: prst (duljina 4 zrna ječma ili 1,85 cm); palac (1+1/3 prsta ili 2,47 cm); pedalj ili šaka (4 prsta ili 7.40cm); stopa (4 pedlja ili 29.60cm) te lakat (6 pedalja ili 44.40cm). Iz tih mjera nastajale su razne srednjevjekovne mjere. Korisnici Dnevnog centra, već iskusni majstori za izradu pintadera, počeli su proizvoditi pločice u obliku kruščića s oznakama količine. Čega? Ovaca, mačaka, pasa, konja. Neke su pločice bile jednostavne, samo s utisnutim rupicama ili crticama. Takve su nazvali pločice panin i mogle su se čitati na sebi imaju rupice u koje se utaknu mali keramički klinovi. 307

308 Svidjele su im se najstarije mjere pa su odlučili izraditi svoje štapove za mjerenjekao i repliku miljokaza kojeg su vidjeli u Arheološkom muzeju Istre. Miljokazi su kameni stupovi okruglog oblika, visine do 1.5 m i širine oko 40 cm postavljani uz stare rimske ceste. Kameni miljokazi imali su uklesane podatke o duljini cesta i njihovoj lokaciji u odnosu na druge ceste. Često je na njima zabilježeno i ime cestograditelja te rimskoga imperatora u čije doba su ceste građene. Natpisi na miljokazima daju uopćeno ili potpuno podatke o početku i svršetku puta, o stanju puta, o teškoćama na koje se nailazilo prilikom njegove izrade, isto tako daju se imena magistrata koji su određeni da nadgledaju izvršene radove..miljokaz ih je uveo u složeni svijet mjera i mjerenja. Zaključak Nakon obavljenih mjerenja, obrade i kontrole dobivenih rezultata utvrdili smo da su odstupanja rezultata dobivenih primjenom grome od onih do kojih smo došli primjenom suvremenog instrumenta gotovo zanemariva. Nameće se zaključak da bi učenici koji su sudjelovali u projektu bili uspješni agrimensori da su živjeli u rimsko doba, što nas, profesore koji smo im pomagali u ostvarivanju projekta, čini ponosnim na vještine i znanja koja su pokazali. Literatura: 1. Bulić, D., 2012., Rimska centurijacija Istre, Tabula 10, Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Pula 2. Cervani, G., 1974., Pietro Kandler storico di Trieste e dell Istria, Atti e Memorie della Societa Istriana di Archeologia e Storia Patria, Volume della Nuova Serie, Trieste 308

309 3. Chevallier, R., 1961., La centuriazione romana dell Istria e della Dalmazia, Atti e Memorie della Societa Istriana di Archeologia e Storia Patria, Vol. IX, Nuova serie, (LXI della Raccolta), Venezia 4. Filippi, M. R., 2003., Le procedure: i riti di fondazione, Misurare la terra: centuriazione e coloni nel mondo romano, Modena (nuova ediz.) 5. Girardi-Jurkić, V., 2003., Izvori i vodoopskrba antičke Pule, Histria Antiqua, 10/ Ilakovac, B., 2002., Antički geodetski instrument groma, Vjesnik Arheološkog muzeja u Zagrebu, XXXV, Zagreb 7. Krizmanich, V., 1978., Doprinos poznavanju oblika rimskog Amfiteatra u Puli, Jadranski zbornik, Prilozi za povijest Istre, Rijeke, Hrvatskog primorja i Gorskog kotara, Pula, Rijeka 8. Krizmanich, V., 1979., Centurijacija jugozapadne Istre, Savjetovanje o naučnoistraživačkom radu i obrazovanju kadrova u geodetskoj struci, Muminagić, Abdulah (ur.), Beograd, Savez geodetskih inženjera i geometara Jugoslavije, Jajce 9. Matijašić, R., 1988.a, Ageri antičkih kolonija Pola i Parentium i njihova naseljenost od I. do III. stoljeća, Latina et Graeca, Zagreb. 10. Matijašić, R., 1998., Gospodarstvo antičke Istre. Arheološki ostaci kao izvor za poznavanje društveno-gospodarskih odnosa u Istri u antici (I. st. pr. Kr. - III. st. posl. Kr.), Pula. 11. Schioler, Th., 1994., The Pompeii-groma in the New Light, Analecta Romana Instituti Danici, XXII (1994) 12. Suić, M., 1955., Limitacija agera rimskih kolonija na istočnoj Jadranskoj obali, Zbornik Instituta za historijske nauke u Zadru, Filozofski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zadar 13. Šonje, A., 1991., Putevi i komunikacije u prethistoriji i antici na području Poreštine, Poreč. 309

310 ŽIVOTNI STANDARD OBITELJI UČENIKA 5. DO 8. RAZREDA OSNOVNE ŠKOLE U POPOVAČI U ODNOSU NA STANDARD REPUBLIKE HRVATSKE I ZEMLJE EUROPSKE UNIJE Zvjezdana Martinec, prof. matematike i informatike Učiteljica savjetnica matematike Osnovna škola Popovača u Popovači zvjezdana.martinec@skole.hr Sažetak Učenici 7.a razreda Osnovne škole u Popovači u školskoj godini 2012./13. gradivo nastavnih jedinica statistike i grafičke obrade podataka usvojili su provođenjem anonimne ankete s jedanaest pitanja u svim razrednim odjelima od petog do osmog razreda. U anketiranju je sudjelovalo 396 učenika naše škole, koji zajedno s članovima svojih obitelji predstavljaju uzorak od 1982 ispitanika. Budući da smo proglašeni najmlađim gradom u Republici Hrvatskoj s oko stanovnika, našom anketom je obrađeno 16.5% stanovništva grada Popovače. Nakon obrade dobivenih podataka, učenici rade u četiri heterogene grupe. Svaka grupa ima različite zadatke. Unutar svake grupe postoje tri različita tipa zadataka: 1. tip zadatka: iz navedenih anketa koje smo prebrojili učenici rade stupčaste i kružne dijagrame za zadane podatke i računaju postotak zastupljenosti nekog vozila ili aparata na broj anketiranih članova obitelji 2. tip zadatka: dobivene podatke uspoređuju s podacima za Republiku Hrvatsku 3. tip zadatka: naše lokalne rezultate uspoređujemo s podacima za Europsku uniju. Predstavnici grupa prezentiraju rad svoje grupe, nakon čega slijedi rasprava. Ovakvim načinom rada napravili smo korelaciju s nastavom geografije jer su učenici trebali proširiti svoja znanja o Europskoj uniji, o gospodarskom razvoju i životnom standardu u zemljama Europske unije i Republike Hrvatske. Ključne riječi: Europska unija, gospodarske razlike, životni standard, stupčasti dijagram, kružni dijagram, postotni račun, korelacija s nastavom geografije Anketa za učenike 1. Koliko ima članova vaša obitelj? 2. Koliko je od toga: a) manje od 19. godina b) od 20 do 59. godina c) starije od 59.godina 3. Koliko članova vaše obitelji je zaposleno? 4. Koliko automobila posjeduje vaša obitelj? 310

311 5. Koliko motocikala? 6. Koliko telefona imate? 7. Koliko mobitela? 8. Koliko tv prijemnika? 9. Koliko kompjutora posjedujete? 10. Idete li za vrijeme ljetnih praznika na more? DA NE 11. Jeste li bili na skijanju za vrijeme zimskih praznika? DA NE Hvala na suradnji! Ista takva anketa provedena je i godine s učenicima 7. razreda u Osnovne škole Milke Trnine u Križu. Anketom smo obuhvatili 62 učenika koji sa članovima svojih obitelji predstavljaju uzorak od 287 anketiranih osoba. 311

312 Rezultati ankete učenika OŠ Popovača 312

313 313

314 314

315 Podaci vezani uz Republiku Hrvatsku - 99% kućanstava ima telefon - 85% koristi fiksnu liniju mobitela po kućanstvu TV prijemnika po kućanstvu - 16% kućanstava koristi pametni telefon - 98% kućanstava ima TV, od toga 44% plazma ili LCD - 70% kućanstava ima osobno računalo - 65% kućanstava koristi internet Podaci vezani uz Europsku uniju: - u Švedskoj 93% kućanstava ima internet 315

316 Paritet kupovne moći za zemlje koje su godine pristupile Europskoj uniji Izvor: Eurostat Europska unija 27 zemalja Europska unija 15 zemalja Cipar Češka Estonija Latvija Litva Malta Mađarska Poljska Slovačka Slovenija Bugarska Rumunjska Oko 99% svih privrednih subjekata u EU-u čine mali i srednji poduzetnici, a oko 90% njih su tvrtke koje imaju do 10 zaposlenika. U zemljama članicama EU-a, BDP po stanovniku (2008.) kretao se u rasponu od 28% prosjeka EU- 27 na sjeveru Bugarske do 343% u gradskom području Londona. Nakon ovako obrađenih i prikupljenih podataka slijedila je veoma žustra rasprava uz komentiranje i potkrepljivanje različitim činjenicama dobivenih iz dijagrama. Na kraju rada, učenicima sam podijelila listiće za vrednovanje kako bi ocijenili ovakav oblik rada! Rezultati vrednovanja su bili više nego dobri! Reference Web stranica Državnog zavoda za statistiku Web stranica predstavništva Europske komisije 316

317 EKIPNA NATJECANJA IZ MATEMATIKE Nenad Kuzmanović, prof. Matematičko društvo Istra, Osnovna škola Lipik, 1. Zašto ekipno natjecanje? Ekipno natjecanje je pozitivna motivacija kvalitetnih mladih matematičara. Nakon što završe pripreme za pojedinačno natjecanje, na dodatnoj nastavi se mogu raditi zadaci za ekipno natjecanje. Timski rad ima puno prednosti pa neki učenici koji ne žele sudjelovati na pojedinačnim natjecanjima rado sudjeluju na ekipnim natjecanjima. Uvijek postoje političke institucije i radne organizacije koje su voljne materijalno pomoći u organizaciji ekipnih natjecanja. Cilj ekipnog natjecanja je popularizacija matematike, te sve negativnosti koje natjecanje samo po sebi nosi treba smanjiti. 2. Ideja ekipnog natjecanja Ideju organizacije ekipnog natjecanja sam dobio sudjelujući kao voditelj učenika na ekipnim natjecanjima u Italiji. Učenici su, a i svi voditelji bili oduševljeni takvim načinom rješavanja zadataka. Talijanski model natjecanja je vrlo zanimljiv i dinamičan, jer učenici u realnom vremenu donose rješenja zadataka i kroz nekoliko sekundi mogu vidjeti jesu li točno ili netočno riješili zadatak. Na ekranu mogu vidjeti kako druge ekipe rješavaju zadatke, koja ekipa ima koliko bodova, a i sama pravila su takva da se broj bodova po zadatku dinamički mijenja. Nedostaci su što je ograničen broj ekipa koje mogu sudjelovati te velika ovisnost od informatičke potpore. - o 0 o - Razmotrit ćemo dva tipa ekipnog natjecanja koje sam proteklih godina inicirao. 317

318 Koncepcija timskog natjecanja kviza na kome može sudjelovati neograničen broj ekipa Nazovimo ga pulskim modelom ekipnog natjecanja. U pitanju je ekipno natjecanje kao mješavina - testa (kao u Klokanu bez granica) - talijanskog modela (tim se sastoji od učenika različitih razreda koji međusobno mogu komunicirati) - Različite grupe zadataka (kao u Klokanu bez granica) Ovakvo ekipno natjecanje se uspješno primjenjuje u Puli još od godine. 45 zadataka je podijeljeno u 3 grupe s 5 mogućih odgovora. Prva kategorija zadataka bi trebala biti lagana, tako da i najslabijoj ekipi bude zaniljivo i da ne odu frustrirani s natjecanja. Druga grupa su već teži zadaci (kao oni teži u kontrolnim zadaćama no ne teži), a treća grupa su najzahtijevniji zadaci (no ne svi preteški). Ispravljanje može biti ručno, računalom, šablonom ili optičkim čitačem. Ekipna natjecanja se održavaju u sklopu Festivala matematike u Puli, Splitu i Lipiku te samostalno kao što su se održavali u Zagrebu, Slatini, Pazinu, Virovitici... Sustav natjecanja je takav da se mogu kombinirati razne vrste ekipa. Na Festivalima se organiziralo, uglavnom, na sljedeći način u 3 kategorije: - Peti i šesti razredi, - Sedmi i osmi razredi, - Srednjoškolci. Posebna nagrada se poklanja srednjoškolskoj ekipe strukovnog smjera. Prilažem i aktualni pravilnik. PRAVILNIK ekipnog natjecanja iz matematike za učenike osnovnih škola Ekipu predstavljaju 4 učenika. Svi su redovni učenici osnovne škole. Za svaku državu iz koje dolaze ekipe, ovisno o školskom programu, će se odrediti mogući sastav ekipe ovisno u koji razred idu učenici. Za škole iz Hrvatske u kategoriji omega: u svakoj ekipe može biti najviše dva učenika iz osmog razreda. Preostali učenici moraju biti iz nižih razreda. Za škole iz Hrvatske u kategoriji omikron: u svakoj ekipe može biti najviše dva učenika iz šestog razreda. Preostali učenici moraju biti iz nižih razreda. Ukupno vrijeme natjecanja je 90 minuta. Zadaci su podijeljeni u grupe različite težine. Na svakoj grupi zadataka piše koliko bodova donosi. Džepno računalo nije dozvoljeno, niti je dozvoljena upotreba formula. Geometrijski pribor je dozvoljen, ali bez napisanih ili otisnutih formula. 318

319 Ako dvije ekipe imaju jednak broj bodova bolje mjesto zauzet će ona ekipa koja je dobila više bodova na težoj grupi zadataka, zatim točno rješenje od zadnjeg zadatka prema prvom. Ako više ekipa ostvari maksimalan broj bodova, sve one se proglašavaju pobjednicama. Za ekipe iz drugih država ili nacionalnih manjina u Hrvatskoj osiguran je prijevod zadataka. Organizator zadržava pravo mijenjanja ovih Općih pravila, a u tom slučaju ćete biti pravodobno obaviješteni. Svaka ekipa treba izabrati jednu osobu (predstavnika) koji jedino ima pravo komunicirati s komisijom za natjecanje. U toku natjecanja samo predstavnik ima pravo odlaska sa stola i može komunicirati samo s komisijom za natjecanje. Na kraju natjecanja predstavnik donosi listiće s odgovorima i papire na kojima se rješavalo. Na osnovu obje dokumentacije povjerenstvo daje bodove. U slučaju da jedna ekipa nije zadovoljna rješenjem, ima pravo žalbe u roku od 30 minuta nakon privremene objave rezultata. Žalbu rješava sudac natjecanja i njegova je odluka konačna. Na listiću za odgovore se zaokružuje samo jedan odgovor. Ako se zaokruži više odgovora ili nije jasno što je zaokruženo odgovor će biti nevažeći kao da zadatak nije ni rješavan. Žalba se razmatra koristeći svu dokumentaciju koju je ekipa predala. Povjerenstvo za organizaciju pridržava pravo mijenjanje pravila natjecanja. Prvi pravilnik sam napravio za natjecanje 2006.godine i od onda se neznatno promijenio. Pravilnik za srednjoškolce je sličan navedenom osim u dijelu koji se razlikuje što su u pitanju srednjoškolski učenici, a ne učenici osnovnih škola te njihovih razreda. Ekipno natjecanje iz matematike zahtijeva dugoročan timski rad, a u dosadašnjim natjecanjima je sudjelovalo četrdesetak mahom nastavnika matematike. Svi su oni dali nesebičan doprinos da bi se do sada održalo čak osam ekipnih natjecanja u Puli s velikim brojem natjecatelja iz svih krajeva Hrvatske, a jedne godine smo imali i goste iz Slovačke. Ekipno natjecanje Vijuga + I ovo natjecanje su učenici rado prihvatili. Kviz Vijuga + je realiziran u suradnji pulske TV Nove i Matematičkog društva Istra. Cilj emisije je popularizacija matematike i logičkog načina razmišljanja na zabavan način. 319

320 Za pobjednike su predviđene nagrade u obliku knjiga (sponzor je bila Izdavačke kuća Element iz Zagreba). U prvom ciklusu od 7 emisija sudjelovalo je 12 ekipa od po 3 člana iz iste škole (mogu biti iz bilo kog razreda). Navodim dinamiku izvođenja kviza. Pobjednik je ekipa koja osvoji najviše bodova. Na početku emisije ekipe biraju kuverte s pitanjima. Jedan član ekipe je kapetan ekipe koji jedini može davati primjedbe i komunicirati s voditeljem i sucem kviza. Jedan član ekipe se zove Pametna glavica i on nije kapetan ekipe, a sudjeluje u igri Pametne glavice. Treći član ekipe je koordinator ekipe. Navodim tipove zadataka i načine kako se rješavaju. Nazovimo ih igrama. PRVA IGRA: PAMETNE GLAVICE Pametne glavice iz svake ekipe dobivaju 4 ista zadatka koja ih rješavaju i u roku od 15 minuta sucu predaju papir s odgovorima. Ti su odgovori mjerodavni. Rješenja su u obliku testa (biraju jedan od ponuđenih 5 odgovora, kao u natjecanju Klokan bez granica ili na pulskim ekipnim natjecanjima), a svoja rješenja prikazuju na kraju svih ostalih igara kada ada se i boduju. Pametne glavice mogu sudjelovati i u ostalim igrama. Točno rješenje se boduje s jednim bodom, za netočno rješenje se jedan bod oduzima, a ako Pametne glavica ne ponudi niti jedno rješenje niti se oduzima niti dodaju bodovi njegovoj ekipi. Navodimo primjer zadataka PRVA IGRA: PAMETNA GLAVICA 1. Riješi sustav jednadžbi: 2. Stranica romba je 5 centimetra, a jedna dijagonala je duljine 6 centimetra. Izračunaj površinu romba. 3. Ako košulja stoji 120 kuna, pa pojeftini 25%, pa zatim poskupi 40% i konačno ponovo pojeftini 15 % koja je najnovijia cijena košulje? 4. Ako mačka i pol pojede miša i pol za dan i pol, za koje vrijeme će 5 mačaka pojesti 5 miševa? DRUGA IGRA: RAZOTKRIVANJE Svaka ekipa ima zadatak pogoditi jedan matematički pojam (koji se može sastojati i od više riječi), a njega voditelj opisuje rečenicama. Čim prije ekipa pogodi pojam više bodova dobiva. U ovoj igri nema negativnih bodova, a nakon svakog opisa ekipa ima pravo jednom pogađati koji je to pojam u pitanju. 320

321 Ako na osnovu prve rečenice opisa pogodi pojam ekipa dobiva 3 boda. Ako na osnovu druge rečenice opisa pogodi pojam ekipa dobiva 2 boda. Ako na osnovu tri rečenice pogodi pojam ekipa dobiva 1 boda. Primjer: 1. opis: Ja sam jedan broj manji od opis: veći sam od dva i pol, a manji od 3 i pol 3. opis: koristim se kod kruga i kružnice Rješenje je broj pi. Kada, u ovoj igri, jedna ekipa odgovara, ostale ekipe ne sudjeluju u igri niti imaju pravo komentirati ili dobacivati odgovor. Ako to ipak učine, sudac kviza ima pravo kazniti ekipu koja ometa oduzimanjem prvo jednog boda, zatim dva boda itd. TREĆA IGRA: TOČNO-NETOČNO U ovoj igri se svakoj ekipi postavljaju 4 kratka pitanja na koja se brzo mora odgovoriti. Primjer pitanja: 11 puta 11 je 121. TOČNO ILI NETOČNO? Za točan odgovor se dobiva bod, za netočan se oduzima jedan bod, bez odgovora 0 bodova. U slučaju da se ne odgovori dovoljno brzo smatrat će se da ekipa nije dala odgovor. Kada, u ovoj igri, jedna ekipa odgovara, ostale ekipe ne sudjeluju u igri niti imaju pravo komentirati ili dobacivati odgovor. Ako to ipak učine, sudac kviza ima pravo kazniti ekipu koja ometa oduzimanjem prvo jednog boda, zatim dva boda itd. ČETVRTA IGRA: ZAPIŠI I POKAŽI Ekipama se daje isti zadatak i nakon zadanog vremena svi moraju istovremeno pokazati svoj odgovor. Vrijeme je ograničeno, no ne smije biti prekratko (oko 15 sekundi, ovisno o zadatku). Primjer zadatka: Koliki je zbroj prvih 15 prirodnih brojeva, dakle zbroj brojeva od 1 do 15. Točan odgovor donosi jedan bod, za netočan se oduzima jedan bod. Ako ekipa ne prikaže rješenje, broj bodova joj se ne mijenja. NAPOMENA: Ako dvije ekipe na kraju imaju jednak broj bodova, ekipa koja ide dalje (ako je kup natjecanje) se dobiva pripetavanjem. Postavlja se jedno pitanje i tko se prvi javi odgovara na pitanje. Odgovori li točno pobjeđuje drugu ekipu, pogriješi li druga ekipa pobjeđuje. 321

322 na. DODATNE ODREDBE: Kapetan se može žaliti na odluku voditelja sucu emisije. Riječ suca je konač- Zadržavamo pravo izmjene pravila. Za ovo ekipno natjecanje nije potreban velik broj organizatora, pa ističem nastavnicu Branislavu Lavrnja koja je sudjelovala u realizaciji ovog kviza. 322

323 METODIČKE RADIONICE 323

324 324

325 METODIČKA RADIONICA MATEMATIKA I DEVETA UMJETNOST Željko Kraljić, diplomirani učitelj učitelj matematike OŠ Ivana Gorana Kovačića Sveti Juraj na Bregu Učiteljski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Odsjek u Čakovcu Cilj i zadaci radionice, korelacija. Upoznati učitelje matematike s mogućnošću korištenja obrazovnog stripa s matematičkim sadržajima. Motivirati učitelje na izradu i korištenje ovakvih stripova u nastavi matematike koji će pomoći učenicima u savladavanju matematičkih sadržaja. Korelacija je postignuta s hrvatskim jezikom i likovnom kulturom. Uvod. Strip je niz naracijom povezanih prizora. Strip dolazi od američkog naziva Comic Strip što doslovno znači komična traka. Njegovo postojanje povezano je s pojavom masovnih medija. Iako u početku egzistira kao dodatna zabava za čitatelje novina ubrzo postaje neovisni medij ili kako se voli kazati "deveta umjetnost". Priprema. Kao žanrovi stripa mogu se naći dječji, povijesni, kriminalistički, fantastika, western, pustolovni, horor, komični i drugi. Poznati su junaci Alan Ford, Kapetan Miki, Zagor, Tex Willer, Mister No itd. Ovom nizu mogli bismo u nastavi matematike dodati i obrazovni strip koji omogućuje učenicima da čitanjem usvoje neke obrazovne matematičke sadržaje, a izradom stripa uz obrazovne zadaće imamo i brojne funkcionalne (sažimanje, procjenjivanje i prostorno predstavljanje, preciznost i konciznost u izražavanju, sposobnost za samostalan rad, povezivanje informacija, pisanje, čitanje, računanje, crtanje, mjerenje) i odgojne (točnost, urednost, preciznost, preglednost, osjećaj za lijepo, upornost, ustrajnost, marljivost, snalažljivost). Naš strip neće biti u potpunosti kao klasični strip u kojemu moramo paziti na izbor trenutka, izbor kadra, izbor crteža, izbor riječi i izbor tijeka, ali i treba paziti na sve ovo da se ne izgubimo u njemu. Sudionicima radionice bit će prikazano nekoliko stripova koji su već korišteni u nastavi matematike u osmome razredu u cjelinama Pitagorin poučak i Geometrijska tijela. Također će biti prikazani stripovi učenika koji su radili na cjelinama Pitagorin poučak, Razlomci i trokut. 325

326 Realizacija. Svaki sudionik radionice dobit će svoj zadatak. Na svakom sudioniku je odluka hoće li stripom pojasniti neki matematički sadržaj ili rješavati zadatak iz te cjeline. Strip se crta na bijelom A4 papiru. Sudionici sami određuju broj prizora koje će koristiti u svome stripu. Diskusija. Nakon izrade stripa uslijedit će diskusija za što su se odlučili pojedini sudionici (objašnjavanje sadržaja ili rješavanje zadatka), što je bilo najteže u odabiru prizora, na koji način i kada bi se ovakav način rada mogao dati učenicima (primjerice za domaću zadaću tijekom blagdana, na blok satu i sl.) Organizacija. Radionica je namijenjena učiteljima osnovnih škola. Vrijeme trajanja radionice su 2 školska sata. Poželjan broj sudionika je osoba. Učiteljima je potreban pribor: ravnalo ili trokut, obična olovka, gumica. Potrebna oprema: stolovi i stolice, prijenosno računalo, projektor, platno, bijeli A4 papir. Radovi. 326

327 327

328 METODIČKA RADIONICA MATEMATIKA I UMETNOST - TOČNO JE LEPO mr Zlatka Pavličić, profesor matematike u gimnaziji Leposavić, Kosovo Ovaj rad bi se odvijao u radionici i ukazao na korelaciju predmeta matematike i likovnog vaspitanja. Radi se o crtanju geometrijskih figura raznih veličina i boja; međusobnih položaja i uzajamnih odnosa. Jedan deo se odnosi na figure u ravni. Posebnu mesto dala bih crtanju dijagonala pravilnih n-to ugaonika (n = 4, 5, 6,..., 20). Drugi deo odnosi se na tela u prostoru, tj. pravilne i polupravilne poliedre. Figure u ravni prikazane su crtežom. Mogu ih opremiti u vidu umetničkih slika i napraviti izložbu. Spajanjem i lepljenjem slamčica za sok prave se trouglovi, kvadrati, pravilni petouglovi i pravilni šestouglovi od kojih se zatim prave pravilni i polupravilni poliedri. Rad pokazuje kako se na lak i neobičan način razvija interesovanje i kreativnost kod učesnika (učenika). Glavna karakteristika ovog rada je očiglednost : kako TAČNO postaje LEPO. Gotove crteže, slike i modele ću poneti sa sobom, kao i materijal za rad. 328

329 METODIČKA RADIONICA INDVIDUALIZACIJA KONTROLNIH ZADATAKA U NASTAVI MATEMATIKE Vojislav Andrić, doktor metodike matematike Profesor visoke škole Visoka poslovna škola strukovnih studija Valjevo, Srbija voja.andric@gmail.com Veljko Ćirović, profesor matematike, master Profesor osnovne i srednje škole Osnovna škola Sestre Ilić Valjevo, Srbija cirovic@gmail.com 1. CILJEVI I ZADACI RADIONICE Cilj radionice je da se učesnici radionice upoznaju sa nekim mogućnostima individualizacije kontrolnih oblika proveravanja (kontrolne vežbe i pismeni zadaci) u nastavi matematike. Zadatak radionice je da se učesnici radionice osposobe da samostalno konstruišu individualizirane kontriolne vežbe i pismene zadatke. 2. VREME TRAJANJA RADIONICE dva školska časa 3. RADIONICA JE NAMENJENA učiteljima nastavnicima u osnovnim školama nastavnicim u srednjim školama važno je da je radioničarska grupa homogena ako ima veći broj prijavljenih radionica se može ponoviti 4. POŽELJAN BROJ UČESNIKA U RADIONICI najmanje 6 (tri grupe po 2 nastavnika) najviše 18 učesnika (šest grupa po 3 nastavnika) 329

330 ako je broj učesnika radionice veći od 6, a manji od 12 formiraju se 3 grupe sa po tri-četiri nastavnika ako je broj učesnika radionice veći ili jednak 12, a manji ili jednak 18 formira se 6 grupa sa po dva-tri nastavnika ako ima veći broj prijavljenih radionica se može ponoviti 5. POTREBAN PRIBOR UČESNIKA ako je grupa za razrednu nastavu udžbenik i zbirka zadataka za IV razred (najmanje tri kompleta) i lična beležnica svakog nastavnika ako je grupa za starije razrede osnovne škole udžbenik i zbirka zadataka za V razred (najmanje tri kompleta) i lična beležnica svakog nastavnika ako je grupa za srednje škole udžbenik i zbirka zadataka za I razred (najmanje tri kompleta) i lična beležnica svakog nastavnika 6. OPIS RADIONICE Radionica se realizuje u pet faza: uvodna, radna, prezentaciona, rezimirajuća i evaluciona. U uvodnoj fazi radionice realizatori radionice daju kratak teorijski uvod u problem individualizacije sa posebnim osvrtom na individualizaciju kontrolnih vežbi i pismenih zadataka. Učesnicima radionice se prezentuju primeri klasične i homogene forme kontrolnih proveravanja i zajedno sa učesnicima analiziraju dobre i loše strane izloženih modela. Potom se izlaže i detaljno obrazlaže model kontrolne vežbe koja je konstruisana na tri obrazovna nivoa sa slobodnim izborom nivoa za svaki zadatak i analiziraju dobre i loše strane izloženog modela. (do 20 minuta) U radnom delu učesnici radionice podeljeni u grupe dobijaju zadatak da po dogovo-renim propozicijama (obrazovni nivo, broj zadataka, oblasti), za odabranu nastavnu temu naprave predlog kontrolnog proveravanja za konkretan obrazovni nivo (ako ima više od 12 učesnika onda se rade dve različite nastavne teme), tj. odaberu 4 zadatka koja tretiraju 4 konkretna operativna nastavna zadatka (do 20 minuta). U prezentacionoj fazi radionice grupe izlažu i obrazlažu svoje radove koji se kritički razmatraju od svih učesnika radionice i u zavisnosti od kvaliteta uradjenog, po potrebi, i koriguju, do dobijanja konačne forme kontrolne vežbe. (do 30 minuta) U rezimirajućoj fazi učesnici radionice učesnici radionice iskazuju i razmenjuju svoje stavove, pitanja i predloge u opšte i konkretno u vezi sa modelima na kojima je rađeno. (do 15 minuta) Evalulaciona faza radionice podrazumeva da učesnici radionice popune kratak anonimni anketni upitnik kojim će oceniti kvalitet metodičke radionice koja je upravo realizovana. (do 5 minuta). 7. POTREBAN PRIBOR ORGANIZATORA Najmanje 3, a najviše 6 radnih mesta sa po tri stolice 330

331 računar i projektor flipchart tabla nekoliko papira za flipchart tablu (bar 10) flomasteri (bar 4 komada) selotejp prostor za prikazivanje radioničarskih radova (tri lista papira koji su rezultat rada tri grupe nastavnika se lepe jedan do drugog). 331

332 METODIČKA RADIONICA STOPAMA RIMSKIH AGRIMENSORA Gordana Božić, dipl. matematičar Tehnička škola Pula Jadranka Vreš Rebernjak, dipl. ing. geodezije Tehnička škola Pula Giulia Codacci-Terlević, dipl. arheologinja Arheološki muzej Istre 1. CILJEVI I ZADACI RADIONICE Povezati matematiku s drugim predmetima (u ovom slučaju s geodetskom grupom predmeta i poviješću), prikazati primjenu matematiku na konkretne zadatke u geodetskoj praksi. Prikazati kako je bilo moguće s jednostavnim spravama (rimskom gromom), primjenom matematike izmjeriti širinu rijeke. 2. VRIJEME TRAJANJA RADIONICE Maksimalno 2 školska sata 3. RADIONICA JE NAMIJENJENA Nastavnicima 4. POŽELJAN BROJ SUDIONIKA U RADIONICI sudionika 5. POTREBAN PRIBOR SUDIONIKA Geometrijski pribor 6. OPIS RADIONICE Zadatak je pomoću rimske grome 65 (sprava kojom su rimljani iskolčavali naselja) odrediti širinu rijeke; na svakoj obali rijeke označi se po jedna točka; 65 groma je sprava kojom se na terenu određuje pravi kut 332

333 okomito na dužinu određenu tim točkama iskolče se dvije točke, tako da na jednoj obali rijeke imamo dužinu određenu trima točkama i ta je dužina stranica za dva trokuta koji su sukladni; da bi formirali dva sukladna trokuta pomoću grome presjekom pravaca odredimo vrh drugog trokuta, kojemu je moguće izmjeriti dužine svih njegovih stranica; na kraju možemo radi usporedbe širinu rijeke izmjeriti suvremenim geodetskim instrumentom elektrooptičkim daljinomjerom 7. POTREBAN PRIBOR ORGANIZATORA računalo, projektor 333

334 METODIČKA RADIONICA GEOMETRIJA PROSTORA Niko Grgić, Oš Zrinskih, Nuštar RADIONICA Ciljevi i zadatci Upoznati sudionike s mogućnostima i načinima uporabe beta inačice Geo- Gebre 5.0 u obradi nastavne cjeline: Točke pravci i ravnine u prostoru uporabom 3D prikaza. Izraditi uratke za zorni prikaz odnosa u ravnini i prostoru. Organizacija i potrebna oprema Radionica je namijenjena učiteljima i nastavnicima matematike u osnovnim i srednjim školama koji imaju barem malo iskustva u radu s GeoGebrom u ranijim inačicama. Vrijeme trajanja dva (2) školska sata. Optimalan broj sudionika do 25. Za izvođenje radionice potreban je LCD projektor i projekcijsko platno. Sudionici trebaju imati svoja prijenosna računala i instalirano: GeoGebra , Java treba biti aktualizirana J(TM) 1.5 ili novija. i GeoGebra 5.0 Beta Release 66 Geogebru 5.0 možete kao offline instalaciju preuzeti na stranici (odabrati gornju datoteku): 334

335 Sudionici radionice će moći offline instalaciju programa GeoGebra 5.0 Beta Release napraviti i neposredno prije radionice ili u uvodnom dijelu. Uvod o Podjela radnih materijala i dogovor o načinu rada, ukratko o sadržaju radionice, kratka prezentacija gotovih uradaka koje će sudionici izraditi na radionici. o Upoznavanje sudionika s izbornicima, osnovnim naredbama, alatnom trakom u 3D prikazu i radom s prikazima. Središnji dio Aktivan rad sudionika na pripremljenim materijalima uz asistenciju voditelja. Sudionici će naučiti kako u 3D prikazu GeoGebre 5.0, napraviti uratke za demonstraciju: a) međusobnih položaja a 1) dvaju pravaca u ravnini i u prostoru, a 2 ) dviju ravnina te pravca i ravnine u prostoru. b) Ortogonalne projekcije točke, dužine i pravca na ravninu 335

336 c) kuta pravca i ravnine d) kut dviju ravnina Desna slika je stereoskopska i jasno se vidi kroz 3D naočale. U izradi uradaka sudionici će rabiti: alatnu traku traku za unos kombinaciju navedenih načina također će naučiti kako napravljene uratke dopuniti detaljima koji pomažu boljem uočavanju detalja (ugrađivanjem kontrolnih okvira za pokazivanje i sakrivanje objekata) 336

337 Završni dio Diskusija, razmjena iskustava i informiranje sudionika davanjem poveznica: Forum : forum za ggb ili Ubrzani vodič: Dinamična matematika (riznica matematičkih apleta): apleti.normala.hr 337

338 METODIČKA RADIONICA KONSTRUKCIJA GEOMETRIJSKIH TIJELA U 3D PRIKAZU PROGRAMA - GeoGebra 5.0 Niko Grgić, Oš Zrinskih, Nuštar niko.grgic@skole.hr RADIONICA Ciljevi i zadatci Upoznati sudionike s mogućnostima beta inačice GeoGebre 5.0, s naglaskom na korištenje 3D prikaza i njegovu primjenu kao moćnoga prezentacijskog alata u nastavi matematike. Izradom nekoliko uradaka u programu demonstrirati jednostavnost i lakoću konstrukcije geometrijskih tijela u 3D prikazu. Organizacija i potrebna oprema Radionica je predviđena za učitelje i nastavnike matematike u osnovnim i srednjim školama koji imaju barem malo iskustva u radu s GeoGebrom u ranijim inačicama. Vrijeme trajanja dva (2) školska sata. Optimalan broj sudionika do 25. Za izvođenje radionice potreban je LCD projektor i projekcijsko platno Sudionici trebaju imati svoja prijenosna računala i instalirano: GeoGebra 4.2, Java treba biti aktualizirana J(TM) 1.5 ili novija i GeoGebra Beta Release 67 Geogebru 5.0 možete kao offline instalaciju preuzeti na stranici (odabrati gornju datoteku): 338

339 Sudionici radionice će moći offline instalaciju programa GeoGebra 5.0 Beta Release napraviti i neposredno prije radionice ili u uvodnom dijelu. Uvod o Podjela radnih materijala i dogovor o načinu rada, ukratko o sadržaju radionice (kratka prezentacija gotovih uradaka koje će sudionici izraditi na radionici). o Upoznavanje sudionika s instaliranjem programa (webstart i offline), otvaranjem i spremanjem dokumenata, osnovnim naredbama, alatnom trakom u 3D prikazu, kao i s radom s prikazima promjene iz jednoga u drugi, pokazivanje svih istovremeno ili pojedinačno. Središnji dio Aktivan rad sudionika na pripremljenim materijalima uz asistenciju voditelja i izračunavanju nepoznatih elemenata pojedinog geometrijskog tijela i kako ih izdvojiti iz 3d prikaza: Na slici je primjer kako je u jednom ggb prozoru moguće istovremeno imati 3D prikaz piramide i tri dvodimenzionalna detalja izdvojena iz 3D prikaza. Evo još par sličica koje pokazuju ljepotu i čistoću grafike programa GeoGebra 5.0 3D, te ukazuju na mogućnosti uporabe programa za izradu didaktičkih materijala. 339

340 valjak i stožac u njemu jednake baze i visine presjek dvaju valjaka jednakih polumjera i međusobno okomitih osiju Dijagonalni presjek prizme i piramide Potpuni dojam prostornosti uradaka dobije se u gledanjem tih uradaka kroz 3D naočale uz uključen 3D modus i rotaciju za puni kut. 340

341 uključen 3D modus S uključenim 3D modusom, prostim okom slika izgleda ovako, a stožac se vidi jasno kroz 3D naočale. Završni dio Diskusija, razmjena iskustava i informiranje sudionika davanjem poveznica: Forum: forum za ggb ili Ubrzani vodič: Dinamična matematika (riznica matematičkih apleta): apleti.normala.hr 341