Uvod u modernu fiziku

Transcription

1 Uvod u modernu fiziku - kvantna fizika - atomska i molekularna fizika - nuklearna fizika - fizika elementarnih čestica i kozmologija fizika čvrstog stanja - astronomija i astrofizika - biofizika, ekonofizika - nanotehnologija -...

2 Dodatna literatura 1. I. Supek, M. Furić, Počela fizike, Školska knjiga Zagreb, I. Supek, Teorijska fizika,. dio, Školska knjiga Zagreb, 19??. 3. E. H. Wichmann, Kvantna fizika, udžbenik fizike sveučilišta u Berkeleyu 4. I. Supek, Povijest fizike, Školska knjiga Zagreb, I. Picek, Elementarne čestice, Školska knjiga Zagreb, R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles, second edition, John Wiley & Sons, Inc

3 Uvod Početkom 0. stoljeća nekoliko je pojava zadavalo fizičarima ogromne muke. Spomenut ćemo neke od njih: 1. zračenje crnog tijela (elektromagnetsko zračenje koje emitira zagrijano tijelo). fotoelektrični efekt (emisija elektrona iz osvijetljenog metala) 3. linijski spektar atoma plina (oštre spektralne linije u emisijskom spektru atoma plina pri električnom izboju) 4. toplinski kapacitet krutina na niskim temperaturama (klasično Cv=konst.; experimenti: pri T 0, Cv 0?) Pokušaj objašnjavanja ponašanja materije na atomskom nivou, koristeći zakone klasične fizike, bio je postojano neuspješan. Između nastala je moderna verzija mehanike nazvana kvantna mehanika ili valna mehanika koja je bila vrlo uspješna u objašnjenju ponašanja atoma, molekula i jezgri. Najranije ideje kvantne teorije uveo je Planck, a za većinu nadogradnje matematičkog aparata, interpretacija i poboljšanja zaslužni su brojni fizičari: Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg, Pauli, Born, Dirac, prosinca rođena je kvantna mehanika: Max Planck na susretu Njemačkog fizikalnog društva iznio je svoj rad O teoriji zakona distribucije energije normalnog spektra

4 5. Solvayeva međunarodna konferencija o elektronim i fotonima u Brusselu, 197. (Ernest Solvay, Belgijski industrijalac) 17 od 9 sudionika dobitnici su Nobelove nagrade

5 Kvantna fizika predstavlja poopćenje klasične fizike koje uključuje klasične zakone kao specijalne slučajeve: RELATIVNOST KVANTNA FIZIKA -proširuje područje primjene klasičnih zakona fizike na područje: -velikih brzina -malih dimenzija -univerzalna konstanta - c (brzina svjetlosti) - h (Planckova konstanta)

6 Savršeno crno tijelo Savršeno crno tijelo. a = 1, za sve valne duljine i sve temperature. Savršeno crno tijelo. Ne postoji u prirodi. Prikazuje se kao izotermna šupljina s malim otvorom: Šupljina potpuno apsorbira upadno zračenje koje uđe u šupljinu: Zraka upadnog zračenja se brojnim refleksijama potpuno apsorbira. Reflektirane zrake su sve tanje i tanje, do potpune apsorpcije. Prisjećanje: Toplinska ravnoteža. Svako tijelo i apsorbira i emitira toplinu. Definiramo intenzitet emitiranog zračenja: e I S Ako je riječ o kontinuiranom spektru: di I Id d d 0 0

7 Savršeno crno tijelo Ako je riječ o kontinuiranom spektru: di I Id d d 0 0 Emisiona moć crnog tijela ili spektralna gustoća zračenja: f, T di d ct R = f(, T) Vrlo česta oznaka (Obično se crta za tijelo poznate T). W f, T 3 m Faktor emisije = Def = Omjer emitiranog zračenja i ukupnog zračenja: e

8 Kirchhoffov zakon Kirchhoff Proučavao odnose faktora apsorpcije i emisije za crno tijelo. Zaključak: U ravnoteži je emitirani tok jednak apsorbiranom. ct a ct e Za sivo tijelo (< 1): e up a aup a Ako je spektar sastavljen od više valnih duljina:, T a, T 1, T a, T Kirchhoffov zakon Omjer faktora emisije i faktora apsorpcije jednak je jedinici za bilo koje tijelo.

9 Kirchhoffov zakon R = f(, T) Umjesto pomoću valne duljine. Pomoću frekvencije,, f T d f T d Teorija valova. Veza valne duljine i frekvencije: c c c d d d c f, T f, T "minus" Frekvencija pada kada raste valna duljina.

10 Spektar zračenja crnog tijela Izotermnu šupljinu ugrijemo na neku T. Kontinuiran spektar Ogibna rešetka. Mjerimo intenzitet dijelova spektra širine d za raličite : Zaključak: Spektar bitno ovisi o temperaturi. Viša T Ukupna izračena energija veća (površina ispod krivulje). Zaključak: Svaki spektar ima maksimum na određenoj m. Viša T Maksimum se pomiče prema manjim. Stefan, Boltzmann i Wien Uočili gornja svojstva. Zakoni.

11 Stefan - Boltzmannov zakon Jožef Stefan Iz eksperimentalnih spektara zračenja uočio zakonitost: Ukupni intenzitet zračenja (energija koju zrači 1m površine tijela u sekundi) razmjeran je s četvrtom potencijom apsolutne temperature crnog tijela. L. Boltzmann (neovisno o Stefanu) teorijskim razmatranjima (zakonima termodinamike) došao do istog rezultata: 0 4, I f T d T W mk Ukupna snaga P zračenja crnoga tijela površine S: 8 5, 6710 Stefan-Boltzmannova konstanta 4 I T 4 Stefan-Boltzmannov zakon P ST 4 Za realna tijela (siva), koristimo faktor emisije. I T 4

12 Stefan - Boltzmannov zakon Primjer: Koliku snagu emitira 1 cm površine crnoga tijela pri temperaturi 1000 K, odnosno 000 K? T1 1000K 4 P ST T 000K S 1cm 10 m 4 5, W mk 4 P ST W , , 67 P ST W , , 7 puta veća temperatura. 16 puta veća snaga!

13 Wienov zakon pomicanja W. Wien ( ) Iz spektara zračenja. Uočio zakonitost:,89810 T b 3 Km m Valna duljina koja odgovara maksimumu izračene energije m obrnuto je razmjerna apsolutnoj temperaturi. Temperatura određuje gdje će biti maksimum spektra: npr. T = 1000 K Maksimum u infracrvenom području. T = 6000 K Maksimum u području vidljive svjetlosti.

14 Wienov zakon pomicanja Primjer: Odredite temperaturu površine Sunca i snagu koju zrači 1 m njegove površine pod pretpostavkom da Sunce zrači kao crno tijelo. Maksimum Sunčeva zračenja je za m = 480 nm. b,89810 m 480nm 5,6710 I 3 8 Km W mk T 4 4 T b 3 m,89810 Km T T I,89810 m 6040K 3 K, K W 5, ,510 m W m SVAKE SEKUNDE, SVAKI KVADRATNI METAR SUNČEVE POVRŠINE IZRAČI 7, W ENERGIJE!!!

15 Ultraljubičasta katastrofa Kraj 19. st. Izmjeren spektar zračenja crnog tijela. Pokušava se (metode statističke fizike, valna teorija svjetlosti) objasniti oblik krivulje spektra za pojedine temperature. Atomi Shvaćeni kao harmonički oscilatori koji kada se pobude. Emitiraju kontinuirani spektar. Jeans i Rayleigh (engleski fizičari) "Zračenje unutar izotermne šupljine se sastoji od stojnih valova." Našli ukupan broj valova unutar frekventnog područja + Našli srednju energiju jednog vala (kt). Dobili zakonitost za spektralnu gustoću zračenja: Usporedba s eksperimentom? c f, T kt 4

16 Rayleigh & Jeans 1. klasična teorija EM-zračenja vodi na to da zračenje unutar šupljine (kocke) mora postojati u obliku stojnih valova s čvorovima na rubovima kocke. koristeći geometriju kocke izbrojani su stojni valovi unutar unutar nje u intervalu frekvencija:, +d 3. izračunata je srednja kinetička energija tih valova koristeći klasičnu kinetičku teoriju (E=kT) 4. izračunata je gustoća energije u intervalu frekvencija, +d za spektar crnog tijela temperature T = (srednja en. stojnog vala * broj stojnih valova) / (volumen šupljine) = = Rayleigh Jeansova formula zračenja crnog tijela

17 Poređenje s eksperimentom? Ultraljubičasta katastrofa c f, T kt 4 Formula je dobra za velike valne duljine (male frekvencije). Potpuno neslaganje za male valne duljine, tj. u ultraljubičastom području. Rayleigh Jeansova funkcija nema maksimum. (Eksperimentalna ima.) Rayleigh Jeansova funkcija U ultraljubičastom području bi zračenje crnog tijela imalo beskonačno veliki intenzitet. Tzv. ULTRALJUBIČASTA KATASTROFA.

18 Početak kvantne fizike Nisu je našli! Rayleigh Jeansova funkcija se ne slaže s eksperimentalnim spektrima! Mnogi fizičari su godinama pokušavali naći pogrešku u izvodu! Da li to znači da fizikalna teorija nije točna? Ali mnoge druge pojave se jako dobro opisuju s tom istom teorijom! Rješenje: Klasična fizika svojim zakonima ne može objasniti sve pojave u prirodi, pogotovo u mikrosvijetu atoma i molekula. Za objašnjenje zakona zračenja crnog tijela trebaju neke nove ideje. Max Planck, 14. prosinca Uveo pojam kvantiziranosti energije. = Rođendan kvantne fizike.

19 Planckov zakon zračenja Klasična fizika (prije Plancka). Atome i molekule u čvrstom tijelu aproksimira harmoničkim oscilatorima koji titraju. Atomi mogu kontinuirano mijenjati svoju energiju. Metode statističke fizike daju srednju energiju koju ima atom (molekula) na temperaturi T: E sr =kt. Energija zračenja će biti proporcionalna srednjoj energiji molekule. Krivi rezultat, tj. ne slaže s s eksperimentom. M. Planck 1900.Smiona hipoteza o kvantiziranosti energije atoma. Drugim riječima: Atom ne može primiti ili emitirati bilo kako malu količinu energije, nego samo određenu količinu (KVANT) energije ili višekratnike toga kvanta. M. Planck Atom zrači EM zračenje u obliku kvanata energije čija je energija proporcionalna frekvenciji zračenja: E = h. h 6, Js Planckova konstanta

20 Planckovo rješenje problema: Da bi pomirio eksperiment i teoriju, Planck je pretpostavio da zakon ekviparticije energije možda nije dobar. 1. za niske frekvencije klasični opis je dobar. za visoke frekvencije postoji odstupanje od zakona zračenja koje bi se moglo poništiti ako bi zbog nekog razloga vrijedilo Dakle, srednja energija mora ovisiti o frekvenciji (a ne biti konstantna E=kT). Kako izgleda ta ovisnost?

21 Boltzmannova distribucija OK???

22 Planckov doprinos: Ako bi energija bila diskretna, a ne kontinuirana, moglo bi se naštimati da za visoke frekvencije bude ispunjeno: Pretpostavio je da energija može poprimiti samo određene diskretne vrijednosti (nije više neprekidna funkcija): a) (za niske frekvencije) - klasični slučaj

23 b) c) (za visoke frekvencije) OK

24 (za niske frekvencije) (za visoke frekvencije) Planckova formula energija harmonijskog oscilatora (stojnih valova) je proporcionalna frekvenciji titranja h = Planckova konstanta; konstanta proporcionalnosti E i

25 Klasična fizika Energija je neprekinuta varijabla i klasični harmonički oscilator može imati bilo koju vrijednost energije, od nule do maksimalne. Planckov zakon zračenja Kvantni harmonički oscilator (atomi, molekule) Mogu imati samo određene diskretne vrijednosti energije; 0, h, h, 3h,... Max Planck ( ) - energija ovakvog sustava je kvantizirana - dozvoljena stanja energije nazivaju se kvantna stanja - cijeli broj n naziva se kvantni broj

26 Planckov zakon zračenja 3 Kolika je srednja vrijednost energije Planckova oscilatora? n = 1 n = Za razliku od klasičnih oscilatora, svako stanje kvantnog oscilatora ima svoju vjerojatnost. Neka stanja su vjerojatnija od drugih: 1 0 Pn hv kt 0 0 hv 0 n = 0 N Ae A N N N e kt N N e 0 hv kt hv n kt n = n Nn N0e N ukupno n i0 N Ae hv n kt Srednja energija = Ukupna energija/ukupan broj oscilatora E i E N ukupno ukupno E ukupno i i i0 n E N

27 E E N ukupno ukupno Nn N e 0 Planckov zakon zračenja 4 hv n kt N ukupno n N i0 i E ukupno i i i0 n E N Nukupno N0 1 e e... e Uvodimo skraćenicu: hv hv n hv kt kt kt hv x e kt Nukupno N x x x n n E E N E N E N E N... E N ukupno i i n n i0 Eukupno N0 0 h e h e... nh e ukupno hv hv n hv kt kt kt E N h x x nx E n N0h 0 x x... nx n N0 1 x x... x n E E E N ukupno h x ukupno 1 x 3 x... 1 x x...

28 E h x 1 x 3 x... 1 x x... Planckov zakon zračenja 5 Uočimo: U nazivniku je geometrijski red. Uočimo: DERIVACIJA NAZIVNIKA JE BROJNIK!!! d 1 x x... E h x dx 1 x x... Za logaritamsku funkciju vrijedi: d E h x x x dx ln 1... Prisjećanje: Suma geometrijskog reda: ln z ' 1 dz z dx Sn lim 1 x x.. n 1 x d 1 E h x ln dx 1 x 1

29 d 1 E h x ln dx 1 x Planckov zakon zračenja 6 hv x e kt Računamo derivaciju od ln: ln ' ' 1 x 1 1x 1 x 1 1 ln ' 1x 1x Vraćamo x: E E x 1 x x x (1 x) 1 ' h hv kt h x 1 x (1 ) 1 ' x 1 E h h 1 x 1 1 x Srednja energija kvantnog oscilatora e 1 Slučaj klasične fizike, h 0 : h hv E hv hv e kt kt kt kt Slaganje!!!

30 E h hv Planckov zakon zračenja 7 Spektralna gustoća zračenja crnog tijela? kt e 1 c Sjetimo se Rayleigh Jeansova funkcije: f, T kt 4 U klasičnoj fizici je kt bila srednja energija oscilatora. Umjesto nje, treba uvrstiti srednju energiju oscilatora za Planckov oscil. c h f, T Koristimo relaciju: = c/ 4 hv kt e 1 h c Planckova formula za spektralnu f, T 5 hv gustoću zračenja crnog tijela. kt e 1 Eksperiment? JAKO DOBRO SLAGANJE S PLANCKOVOM FORMULOM! Opravdanje za kvantiziranost energije? Nema je. To je svojstvo prirode, fundamentalna činjenica u prirodi!

31 Planckov zakon zračenja 8 Veza formula za spektralnu gustoća zračenja crnog tijela (klasična fizika i Planckova formula? c h c f, T kt f, T 5 hv 4 kt e 1 Bila dobra samo za visoke temperature! h <<kt hv hv e kt 1... kt, h c hc c f T kt kt hv hv kt Zaključak: Na visokim temperaturama, Planckova formula prelazi u Rayleigh Jeansova funkciju. Nije bilo pogreške u klasičnoj fizici, ako promatramo visoke temperature!

32 Planckov zakon i Stefan-Boltzmannov zakon Iz Planckove formule izračunajmo ukupan intenzitet zračenja za sve valne duljine: h c f, T 5 hv I f, T d kt e 1 0 I 0 hc 5 h c x kt d hv kt e 1 Koristimo zamjenu: I k T 3 h c x dx x e 1 h x kt Tablični integral: 3 4 x dx x e I k T k 3 3 h c 15h c T 4 I 5,67 10 Wm K T T 4 Stefan-Boltzmannov zakon

33 Planckov zakon i Wienov zakon pomicanja Wienov zakon povezuje valnu duljinu u spektru na kojoj imamo maksimum zračenja. T b 3 m,89810 Km df, T Krećemo od Planckova zakona, tražimo extrem: 0 d df, T d h c df, T d h c 5 hv d d 5 hc kt e 1 d d kt e 1 df, T d hc hc 4 5 hc kt kt 5 e 1 e kt hc 10 kt e 1 hc e kt e hc kt hc kt 1 5 Zamjena: x hc hc hc kt kt 5e 1 e 0 kt x hc xe 5 x kt e 1

34 ,89810 Planckov zakon i Wienov zakon pomicanja T b 3 Km m x hc kt m 4,965 x xe 5 x e 1 Transedentna jednadžba čiji je korijen x = 4,965: T m hc 6, ,965k 4,965 1, Km m T, Km Wienov zakon pomicanja

35 rješavanje jednadžbe: x xe 5 x e 1 x x 5 e 1 e x x 5(e x -1)/e x 1 3,1606 4, , , ,9663 4,9 4,968 4,96 4,9649 4,965 4,9651 4,9651 4,9651

36 Neke primjene zakona zračenja crnog tijela Efekt staklenika: Prozirna tijela (kvarc, kalcit, saharoza, prozirna stakla, prozirne plastične mase, ). Prozirni su za vidljivu Sunčevu svjetlost. Npr., prozorsko staklo debljine mm. Za valne duljine nm. Apsorpcija skoro jednaka nuli, tj. staklo potpuno propušta te valne duljine. Npr., prozorsko staklo debljine mm. Za valne duljine veće od 5000 nm. Apsorpcija skoro jednaka jedinici, tj. staklo je neprozirno za te valne duljine. Efekt staklenika: Sunce emitira vidljivu svjetlost. Ona prolazi kroz staklo, grije biljke i tlo. Biljke i tlo isijavaju termičko zračenje (uglavnom infracrveno). Za te valne duljine staklo je neprozirno. Infracrveno zračenje se zadržava u stakleniku i povisuje temperaturu u njemu.

37 Neke primjene zakona zračenja crnog tijela Tijela crne boje: Crna tijela za vidljivu Sunčevu svjetlost: čađa, ugljena prašina, Crna tijela Gotovo potpuno apsorbira vidljivu Sunčevu svjetlost. Crna tijela Infracrveno zračenje? Za infracrveno zračenje čađa ima koeficijent apsorpcije manji od 1 Čađa je u infracrvenom području propusna.

38 Neke primjene zakona zračenja crnog tijela 3 Tijela bijele boje: Bijela tijela za vidljivu Sunčevu svjetlost: bijeli papir, snijeg, Bijela tijela Difuzno reflektiraju vidljivu Sunčevu svjetlost. Bijela tijela Infracrveno zračenje? Za infracrveno zračenje snijeg ima koeficijent apsorpcije 1! "Snijeg je u infracrvenom području crn kao čađa." Zašto se snijeg brže topi u gradovima nego u prirodi? "Čisti" snijeg Slabo se zagrijava (skoro sve reflektira). "Prljav" snijeg (npr. čađa) Čađa apsorbira Sunčevo zračenje (zagrijava se). Čađa emitira toplinsko zračenje (infracrveno). Snijeg upija infracrvene zrake. Zagrijavanje. Topljenje.

39 Najtamniji materijal na Zemlji: prof. P. M. Ajayan et al., Nano Letters 008, Vol. 8, No., vertically aligned carbon nanotubes sci-hub.io = web adresa za članke (doi) gen.lib.rus.ec

40 Surrey NanoSystems' (UK) Vantablack materijal može apsorbirati % upadne svjetlosti. (014) low-temperature carbon nanotube growth process

41 Princip rada: većina svjetlosti pada u prostor između ugljičnih vlakana (vertikalno postavljenih) i reflektirajući se od njih prodire u materijal gdje se apsorbira u obliku topline. Površina vrha ugljičnih vlakana je mala pa je i refleksija od površine mala. Primjene: solarni kolektori, apsorpcija suvišnog svjetla (optički instrumenti), senzori, umjetnost, dizajn, spektroskopija, kinematografija (bolji kontrast), kalibracija optičkih instrumenata, svemirska tehnologija

42

43 Fotoni - čestična svojstva zračenja Promatrat ćemo procese međudjelovanja zračenja i tvari. raspršenje ili apsorpcija zračenja nastajanje zračenja - zračenje je čestične prirode pri međudjelovanju s materijom, a valne prirode pri širenju

44 Fotoelektrični efekt i čestična teorija svjetlosti Povijesni pregled: - krajem 19. st. (1886/87) Hertz je svojim eksperimentima potvrdio postojanje EM-valova i njihovo širenje u skladu s Maxwellovom teorijom - otkrio i pojavu da kada svjetlost upada na metalnu površinu uzrokuje emisiju elektrona s te površine; ova pojava nazvana je fotoelektrični efekt, a emitirani elektroni fotoelektroni - J. J. Thompson i P. Lenard 1899.: pri fotoefektu se izbacuju negativno nabijene čestice - elektroni - Albert Einstein objašnjava fotoefekt primjenom Planckove hipoteze o kvantima energije; kvantizira elektromagnetsko polje, uvodi čestice svjetlosti kasnije nazvane fotoni - preko pojave fotoefekta dokazao da svjetlost uz valna posjeduje i čestična svojstva (dualna priroda svjetlosti)

45 Aparatura za mjerenje fotoefekta. I-V karakteristika fotoefekta. Slika. v Slika 1. Svjetlost upada na metalnu ploču A iz koje izbacuje elektrone (fotoelektroni) koje prikuplja metalna ploča B s naponom V između A-B ploča. Osjetljivi ampermetar (galvanometar) G mjeri fotoelektričnu struju (I-V karakteristika). Za visoki napon V, struja I dostiže maksimum (saturaciju) jer su svi fotoelektroni s ploče A prikupljeni na B. Veći intenzitet svjetla (a) daje veću struju nego manji (b). Smanjivanje V na V=0, struja ne pada na nulu fotoelektroni imaju dovoljnu Ek da stignu na B. Negativan napon V smanjuje struju jer B odbija fotoelektrone. Napon -Vo (Vs, stopping) zaustavlja sve fotoelektrone i I=0, bez obzira na intenzitet svjetla. Ti fotoelektroni imaju najveću Ek-max=eVo. Ek-max ne ovisi o intenzitetu svjetla.

46 Ovisnost potencijala zaustavljanja Vo (ili Ek-max) o frekvenciji Milikanov pokus s fotoefektom (1914.; Nobel 193. za potvrdu Einsteinove teorije); - Vo ne ovisi o za < 0 0 je frekvencija praga nakon koje se počinje odvijati fotoefekt; za < 0 nema fotoefekta bez obzira na intenzitet svjetlosti - za > 0, fotoefekt se odvija i Vo je proporcionalan s Slika 3. Slika 4.

47 Primjer fotoefekta za Zn i K. -različiti materijali imaju različite granične frekvencije i izlazni rad

48 Problemi s klasičnim opisom fotoefekta: 1. Valna teorija zahtijeva da vektoru el. polja E svjetlosnog vala raste amplituda s povećanjem intenziteta svjetlosti. Budući je sila na elektron ee, to znači da Ek fotoelektrona mora također porasti. Međutim, slika. pokazuje da Ek=eVo ne ovisi o intenzitetu svjetlosti.. Prema valnoj teoriji, fotoefekt se mora dogoditi za svjetlost bilo koje frekvencije, uz uvjet da je intenzitet svjetla dovoljan za izbacivanje fotoelektrona. Slika 3 pokazuje da za svaki materijal postoji karakteristična frekvencija praga ispod koje se fotoefekt ne događa, bez obzira na intenzitet svjetla. 3. Maksimalna kinetička energija fotoelektrona raste s porastom frekvencije svjetlosti. Valna teorija ne predviđa nikakvu ovisnost između frekvencije svjetlosti i energije fotoelektrona. 4. Prema klasičnoj teoriji, svjetlosna energija je jednoliko raspodijeljena preko valne fronte. Ako je svjetlost dovoljno slabog intenziteta, mora postojati mjerljivo vrijeme koje je potrebno da elektron skupi dovoljno energije i tek potom napusti metal. No, nikada nije izmjereno kašnjenje u vremenu izbacivanja elektrona i početka osvjetljavanja metala. Elektroni se emitiraju s površine metala gotovo trenutno (manje od 10-9 s).

49 Objašnjenje fotoelektričnog efekta dao je Einstein (1905.) za što je 191. dobio Nobelovu nagradu. Einstein je proširio Planckov koncept kvantizacije energije elektromagnetskih valova. Pretpostavio je da se svjetlost sastoji od malih paketa energije (fotona) čiji je iznos jednak E=h, gdje je h Planckova konstanta, a frekvencija svjetla, koja je jednaka frekvenciji Planckovog oscilatora. U Einsteinovom modelu foton je lokaliziran tako da svu svoju energiju može dati jednom elektronu u metalu. Maksimalna energija oslobođenih fotoelektrona je E k,max =h-w 0, gdje je W 0 izlazni rad metala i karakteristika je materijala.

50 Ovisnost potencijala zaustavljanja Vo (ili Ek-max) o frekvenciji -može se izračunati h (e je bilo poznato) Millikan h određena iz dvije potpuno različita pojave i teorije (Planck i Einstein)

51 Sada se mogu objasniti rezultati eksperimenata koji su nerazumljivi sa stajališta klasične fizike: fotoelektroni nastaju apsorpcijom jednog fotona, tako da energija fotona mora biti veća od izlaznog rada, inače nema izbačenih fotoelektrona; to objašnjava kritičnu frekvenciju E k,max ovisi o frekvenciji svjetla i izlaznom radu; intenzitet svjetla nije bitan E k,max linearno raste s porastom frekvencije elektroni se emitiraju gotovo trenutno, bez obzira na intenzitet, jer je energija svjetlosti koncentrirana u pakete (a ne raspršena u valovima);

52

53 Rendgenske zrake (X-zrake) na Sveučulištu u Wurzburgu, Wilhelm Conrad Röntgen ( ) proučavao je električne izboje u plinovima pod niskim tlakom kada je primijetio svjetlucanje fluorescentnog ekrana, čak i na udaljenosti od nekoliko metara od izbojne cijevi i uz prekrivanje ekrana kartonom. Zaključio je da je uzrok ove pojave zračenje nepoznatog podrijetla koje je nazvao x-zrake. Kasnija istraživanja pokazala su da se x-zrake kreću brzinom bliskom c i da ne skreću ni u električnom ni u magnetskom polju (dakle, ne sastoje se od snopa nabijenih čestica) Max von Laue ( ) predložio je da ako su x-zrake elektromagnetski valovi kratkih valnih duljina, trebalo bi biti moguće napraviti njihovu difrakciju na rešetki kristala. To je uskoro i potvrđeno i time je difrakcija rendgenskih zraka postala nova nezamjenjiva tehnika za određivanje strukture materijala. Tipična valna duljina x-zraka je oko 0,1 nm, što odgovara redu veličine atomskih međurazmaka. X-zrake s lakoćom prolaze kroz većinu materijala.

54 X-zrake nastaju naglim usporavanjem brzih (visokoenergetskih) elektrona; na primjer kada snop elektrona ubrzan naponom nekoliko kv pogodi metalnu metu. Shema Rendgenskog uređaja. Slika desno predstavlja spektar zračenja Rendgentskih zraka. Spektar se sastoji od dvije komponente: jedna je kontinuirano zračenje koje ovisi o naponu ubrzanja elektrona (takozvano zakočno zračenje od njem. bremsstrahlung koje nastaje raspršenjem elektrona na atomima mete) i od niza intenzivnih linija koje ovise o svojstvima mete (napon ubrzavanja mora biti veći od određene vrijednosti (napona praga) da bi se pojavile ove linije. min Spektar zračenja Rendgenskog uređaja na meti od Mo.

55 Zakočno zračenje (bremsstrahlung). Nastanak zakočnog zračenja: prolaskom elektrona pokraj pozitivno nabijene jezgre atoma u materijalu mete, dolazi do otklona elektrona (raspršenja) od prvobitne putanje, tj. dolazi do ubrzanja elektrona. Prema klasičnoj fizici, svaki ubrzani naboj zrači elektromagnetske valove; prema kvantnoj teoriji to zračenje mora biti u obliku fotona koji nose energiju; dakle, elektron gubi dio svoje energije pri raspršenju i pri tome zrači foton; elektron može izgubiti svu svoju energiju (zaustaviti se) pri jednom raspršenju i tada je sva njegova energija (edv) pretvorena u energiju fotona (hf max ): Odavde možemo izračunati najkraću valnu duljinu emitiranog fotona: Budući da se ne zaustave svi elektroni nakon jednog raspršenja, već nakon niza uzastopnih raspršenja, zračenje ima karakteristike kontinuiranog spektra valnih duljina.

56 Difrakcija Rendgenskih zraka na kristalu -difrakcija je obrađena na kolegiju Osnove fizike 3 -vrlo važna tehnika za određivanje strukture materijala Braggov zakon Shema difrakcije rendgenskih zraka na kristalu. Kubična kristalna struktura NaCl: plave sfere su ioni Cl -, a crvene Na +. a=0,563 nm.

57 Comptonov efekt Arthur H. Compton ( ), američki fizičar -pokus iz 193.; usmjerio x-zrake valne duljine 0 prema grafitu; pronašao je da raspršene x-zrake imaju veću valnu duljinu (manju energiju) nego upadne; smanjenje energije ovisilo je o kutu raspršenja; ova pojava nazvana je Comptonovim efektom; još jedna potvrda fotonske (čestične) prirode svjetlosti -objašnjenje: Compton je pretpostavio da se foton ponaša kao čestica i da se sudara s ostalim česticama poput biljarskih kugli dakle, foton ima mjerljivu energiju i impuls koji moraju biti očuvani pri sudarima; ako se upadni foton sudari s elektronom koji miruje, fotom mu preda dio svoje energije i impulsa; posljedica toga je smanjenje energije i frekvencije raspršenog fotona, dok se valna duljina poveća; taj pomak u valnoj duljini iznosi:

58 -q je kut između upadnog i raspršenog fotona -veličina h/m e c naziva se Comptonova valna duljina i iznosi 0,0043 nm; zbog toga je Comptonov efekt teško uočiti kod vidljive svjetlosti; efekt ovisi samo o kutu otklona fotona, ali ne i o valnoj duljini; efekt je uočen za različite mete Pitanja: 1. foton x-zraka raspršen je na elektronu. Frekvencija raspršenog fotona u odnosu na upadni je a) veća b) manja c) ista. Foton energije E 0 rasprši se na elektronu. Raspršeni foton energije E giba se suprotno od smjera upadnog fotona (raspršenje unazad). Rezultantna kinetička energija elektrona jednaka je a) E 0 b) E c) E 0 -E d) E-E 0

59 3. Comptonov efekt opisuje promjenu valne duljine fotona dok se raspršuju pod različitim kutovima. Ako neki materijal obasjamo vidljivom svjetlošću i promatramo reflektiranu svjetlost pod različitim kutovima, hoćemo li uočiti promjenu u boji materijala zbog Comptonovog efekta? ~0,005 nm 0,0043 nm 180 premala promjena za detekciju okom

60 Stvaranje i poništavanje para elektron-pozitron

61 Poništavanje (anihilacija) para elektron-pozitron Poništavanje (anihilacija) para elektron-pozitron odvija se na način da spomenute čestice dođu blizu jedna drugoj (pretpostavimo da miruju) i pri tome se ponište: materija prelazi u energiju. Nastaju dva fotona istih energija, ali suprotnih količina gibanja (Z.O.P.). (moguće je i stvaranje 3 fotona, ali taj proces je malo vjerojatan)

62 De Broglievi valovi materije Prisjećanje: Newton (kasnije i Einstein) Korpuskularna teorija svjetlosti. Difrakcija i interferencija Svjetlost je valne prirode. Dualizam, val korpuskula? Samo za svjetlost? De Broglie Iskreno vjerovao u jedinstvo prirode (vjerovali skoro svi veliki znanstvenici prije njega). Zašto bi svjetlost bila nešto posebno, različito od svega drugoga u prirodi? Louis de Broglie (194.) Pošao od stajališta da se atomi i svjetlost daju opisati istim zakonima! Kako atomima pripisati valne osobine? De Broglie Kako Bohrova stacionarna stanja protumačiti zornim slikama? Ima li u prirodi nešto slično stacionarnim stanjima u svijetu atoma? Odgovor? Pronađen kod valnih gibanja.

63 De Broglievi valovi materije Odgovor? Pronađen kod valnih gibanja. Kad žica titra. Čujemo osnovni ton, onaj koji potječe od titranja žice kao cjeline. Postoje i druge vibracije koje se nazivaju višim harmonicima. Žica ima čvorove, tj. točke u kojima ostaje nepomična tijekom titranja. Koliko god složena bila vibracija, ona uvijek zadovoljava uvjet da se duljina žice može podijeliti samo na cijeli broj polovica valnih duljina, tj između oba kraja žice se mora nalaziti cijeli broj valnih brijegova i dolova. Valna duljina titranja žice je diskontinuirana!!! De Broglie. "Napravimo od naših žica prstenove i zamislimo da su to orbite elektrona u atomu!" De Broglie. U mislima zamijenimo gibanje elektrona po tim orbitama valom koji odgovara elektronu!

64 De Broglievi valovi materije 3 De Broglie. Zamislimo da će gibanje elektrona biti stabilno onda i samo onda ako u orbitu stane cijeli broj n elektronskih valova. De Broglie. Kada se na kružnici ne bi nalazio cijeli broj valnih duljina, tada bi u jednoj njezinoj točki morao titraj vala imati dva različita stanja faze, a to je nemoguće. Matematički (U opseg kruga treba staviti n valnih duljina): r n Uporedimo li ovu formulu s prvim Bohrovim postulatom: mvr nh h mv "valna duljina elektrona" Valna duljina elektrona obrnuto je proporcinalna količini gibanja elektrona, a konstanta proporcionalnosti je Planckova konstanta h. De Broglie Gibanje elektrona (i drugih čestica), je valna pojava koja se podvrgava istim zakonima kao i valovi svjetlosti. Principijelna je razlika prema svjetlosti u tome što se de Broglievi valovi mogu kretati različitim brzinama.

65 De Broglievi valovi materije 4 Clinton J. Davisson i Lester H. Germer (197.) Eksperimentalna potvrda de Broglieve hipoteze da materija ima i valna svojstva. Pokus: Ogib elektrona. Proizveli katodne zrake snopove elektrona- velike brzine čije su valne duljine bile u području rendgenskog zračenja. Njima bombardirali kristale nikla. Ako je de Broglieva hipoteza ispravna, moramo i kod refleksije elektrona na kristalu opaziti iste ogibne slike kao i kod refleksije rendgenskog zračenja. Davisson i Germer Mjerenjem ustanovili da između brzine elektrona katodnog zračenja i pridružene im valne duljine koja izaziva ogib postoji odnos: 1 0,075 v Interferentna slika elektrona. Egzaktno se slaže s de Broglievom relacijom!

66 Luis de Broglie ( ) - francuski fizičar - dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 199. za otkriće valne prirode materije, odnosno dualnosti val-čestica - budući da fotoni (svjetlost) pokazuju valna i čestična svojstva (disertacija iz 194.) za pretpostaviti je da svi oblici materije imaju oba svojstva (val i čestica) Za fotone: Za sve materijalne čestice:, f = valna svojstva E, mv = čestična svojstva

67 h m 10 v 6, kg 10 / m s 34 Js De Broglievi valovi materije 5 Primjer: Izračunajte de Broglievu valnu duljinu kuglice mase 1g koja se giba brzinom od 1 cm/s? h mv 6, Primjer: Izračunajte de Broglievu valnu duljinu čovjeka mase 70 kg koja trči brzinom od 7 m/s? ,6310 m h 6,66 10 m 70kg v 7 m / s 34 Js h mv 6, ,35 10 m Na 1 m puta stane valnih duljina!!!

68 Pitanja: 1. Nerelativistički elektron i proton gibaju se i imaju istu de Broglievu valnu duljinu. Što im je još isto a) brzina b) E k c) količina gibanja (impuls) d) frekvencija. Vidjeli smo da elektronu možemo pridružiti dvije valne duljine: Comptonovu i de Broglievu. Koja je prava fizikalna valna duljina elektrona? a) Comptonova b) de Broglieva c) obje d) nijedna 3. Kolika je valna duljina elektrona brzine 10 7 m/s i bejzbol loptice (0.145 kg, 45 m/s)?

69 4. Kolika je valna duljina relativističkog elektrona 0.999c? Čak i pri relativističkim brzinama, valna duljina elektrona je znatno manja od makroskopskih objekata.

70 Elektronski mikroskop -uređaj koji počiva na valnoj prirodi elektrona -sličan je optičkom mikroskopu, ali za rad koristi elektrone ubrzane do velikih energija što ima za posljedicu smanjenje njihove valne duljine, a time se povećava razlučivanje mikroskopa izvor e - katoda anoda elektromag. leće vakuum snop elektrona uzorak ekran komora za uzorak okular Katoda i anoda služe za ubrzavanje e -, a potom se oni fokusiraju pomoću elektromagnetskih leća. Snop e - potom dolazi na uzorak foto-komora

71 Optički (svjetlosni) mikroskop Optički mikroskop za povećanje koristi sustav leća i vidljivu svjetlost (valne duljine nm). Stoga je rezolucija takvog mikroskopa određena polovicom najkraće valne duljine vidljivog spektra, dakle oko 00 nm. Optičkim mikroskopom može se postići uvećanje predmeta do najviše oko 1000 puta. Elektronski mikroskop: Elektroni se ubrzavaju naponom od 100 kv. Valna duljina tako ubrzanog elektrona je reda veličine piknometra (pm). To je puta manje od valne duljine vidljive svjetlosti. Rezolucija elektronskog mikroskopa je oko 50 pm, a povećanje može biti čak do 10 milijuna puta. Valna priroda čestica uočena je za elektrone, ali i za neutrone, te atome vodika i helija, pa čak i za neke molekule. Difrakcija elektrona i neutrona koristi se pri utvrđivanju strukture materijala. Primjer: Odredi energiju i valnu duljinu elektrona ubrzanog naponom od 100 kv.

72 Alveole u plućima. Crvena krvna zrnca Slomljena vlas kose. Krvni ugrušak.

73 Premda se el. mikroskopom mogu razlučiti čak i pojedinačni atomi, koristan je i za gledanje većih objekata jer omogućava promatranje njihovih detalja. Mrav. Glava crva (Protophormia sp.). Grinja. Brašnena grinja. Mačja buha.

74 Ponavljanje 1. Što je toplije, crvena ili narančasta kuhinjska ploča?. Koja žarulja emitira fotone najveće/najmanje energije: crvena, žuta ili plava? 3. Za koji rad je Einstein dobio Nobelovu nagradu: - za objašnjenje zračenja crnog tijela - za specijalnu teoriju relativnosti E=mc - za opću teoriju relativnosti: gravitacija savija svjetlost - za fotoelektrični efekt - za Brownovo gibanje

75 4. Što se događa s brojem emitiranih elektrona ako se poveća intenzitet svjetla? light e metal 5. Što se događa s maksimalnom kinetičkom energijom emitiranih elektrona ako se poveća intenzitet svjetla? 6. Što se događa s brojem emitiranih elektrona ako se poveća frekvencija svjetla? 7. Što se događa s maksimalnom kinetičkom energijom emitiranih elektrona ako se poveća frekvencija svjetla?

76 8. Crveni i zeleni laser imaju snagu.5 mw. Koji od njih emitira više fotona u sekundi? a) crveni b) zeleni c) jednako Intenzitet = snaga/površina (W/m) Snaga = Energija/vrijeme (J/s) E = h f K.E. = hf W 0 hf KE e W 0

77 Eksperiment s dvije pukotine (engl. Two slit experiment) centralni misterij kvantne mehanike -promatramo prolaz monokromatske svjetlosti kroz pukotine: valno širenje, ogibna slika na zastoru (svijetle i tamne pruge, Huygens (17.st.) i Fresnel (19.st.)) Profesor Jim Al-Khalili:

78 Zamislimo da isti eksperiment izvodimo s česticama (ne s valovima). Kakav će biti rezultat? Svaka čestica prolazi kroz samo jednu pukotinu i rezultantna raspodjela čestica ne pokazuje interferenciju.

79 Izvodimo isti eksperiment s metcima. Pokrijemo jednu pukotinu. Kakav će biti rezultat?

80 Pucamo metke kroz dvije pukotine. Kakav će biti rezultat? Meci prolaze ili kroz jednu, ili kroz drugu pukotinu. Nema interferencije.

81 Sada iz cijevi ispaljujemo atome/elektrone. Obje pukotine su otvorene. Kakav će biti rezultat? Interferencijska slika! Kako je to moguće kad nemamo valove (svjetlost) nego čestice? Možda je to posljedica međudjelovanja atoma/elektrona na putu do zastora zbog njihovog velikog broja?

82 Zato ćemo smanjiti broj atoma/elektrona koje šaljemo istovremeno i slati ih jedan po jedan. Kakva će sada biti slika na zastoru? Nakon nekoliko čestica, dobivamo ovakvu sliku. Nema naznaka interferencije.

83 Nakon nekog vremena (većeg broja pristiglih čestica), dobivamo veliko raspršenje čestica na zastoru.

84 Nakon dovoljno dugo vremena, dobivamo ponovo interferencijsku sliku na zastoru, premda smo čestice ispucavali jednu po jednu. Dakle, međudjelovanje čestica na putanji možemo izbaciti kao mogući uzrok interferentne slike. No, zašto ona ipak nastaje? Čini se da svaki atom doprinosi malim dijelom ukupnom valnom ponašanju interferencijskoj slici. Ali atomi/elektroni su lokalizirane čestice vidljive pod mikroskopom (atomi) i svaka od njih ostavi po jedan svijetli trag na zastoru koji je također lokaliziran. Ipak, atomi/elektroni kao da su svjesni toga da postoje pukotine kroz koje mogu proći jer na zastoru tvore interferencijsku sliku.

85 Kako to atom čini: da li se cijepa na dva dijela ili postaje oblak? Tome možemo doskočiti i postaviti detektor na gornju pukotinu koji će dati signal kada atom/elektron to učini. Ako nema signala, a vidimo signal na zastoru, atom/elektron je prošao kroz donju pukotinu. Kakav će biti signal na zastoru? 50% vremena atomi/elektroni idu kroz gornju pukotinu i vidimo signal detektora. Rezultat opažanja atoma/elektrona utječe nekako na rezultat eksperimenta i daje sliku bez interferencije.

86 Sada ćemo ostaviti detektor da promatra atome/elektrone, ali ćemo ga isključiti (tako da atomi/elektroni to ne znaju). Kakav će sada biti rezultat? Ako ovo možete objasniti na logičan način, čeka vas Nobelova nagrada!

87 Kvantno ponašanje Kvantna mehanika opisuje ponašanje materije na atomskom nivou. Na toj skali materija se ponaša potpuno drugačije od onoga na što smo navikli u svakodnevnom životu (makroskopska skala). Svjetlost je prvo smatrana rojem čestica (Newton), ali je kasnije pokazano da je zapravo val (Huygens). No, poslije je pokazano da se ponekad ponaša kao čestica (Einstein). Elektron je otkriven kao čestica (Thompson), ali je poslije pokazano da se ponaša i kao val. Dakle, elektroni i svjetlost ponašaju se na isti način, a slično tome i ostale čestice u atomskom svijetu (protoni, neutroni, ). Ono što vrijedi za elektrone, vrijedi i za ostale spomenute čestice.

88 Eksperiment s mecima Vjerojatnost detektiranja metka na udaljenosti x od središta mete: nema interferencije otvoren prolaz 1 i otvoren prolaz 1 otvoren prolaz

89 Eksperiment s valovima na vodi Interferencija: intenzitet I 1 I 1 + I = +

90 Eksperiment s elektronima Pretpostavka: elektron prolazi samo kroz jednu pukotinu. Tada ne možemo objasniti interferenciju (c), već dobijemo (b). Interferencija! Zaključak: pretpostavka ne vrijedi. Matematika je ista kao i kod exp. s valovima. Dakle, elektroni se katkad ponašaju kao čestice, a katkad kao valovi!

91 Eksperiment s elektronima promatramo elektrone Izvor svjetla detektira kroz koju pukotinu prolaze elektroni. Nema interferencije! Dakle, promatramo li elektrone, dobijemo drugačiji rezultat nego ako ih ne promatramo. Tj. promatranje eksperimenta utječe na njegov ishod! Ako ih promatramo, elektroni biraju kroz koju pukotinu će proći. Ako ih ne promatramo, prolaze kroz obje pukotine (valovi)! I to je zaista istina!

92 Schrödingerova mačka Zamislimo mačku zatvorenu u kutiju (s otrovnom tvari). Ako ne pogledamo u kutiju, ne znamo je li živa ili mrtva. Mačka je, zapravo, istovremeno i živa i mrtva. Kvantni sustav nalazi se s određenom vjerojatnošću u svakom mogućem stanju. Tek kad ga promatramo/mjerimo, sustav odabire jedno stanje u kojem se može opaziti. Poison

93 Principi kvantne mehanike

94 Princip (načelo) neodređenosti Mjerenje u fizici. Više puta mjerimo. Javlja se pogreška. Rezultat mjerenja: f = f ±Df Precizan uređaj? Moguća vrlo mala pogreška! U svijetu atoma. Nešto potpuno novo! Postoji granica točnosti do koje se može poznavati stanje nekog fizikalnog sistema! Povećana točnost mjerenja jedne fizikalne veličine vodi nepoznavanju neke druge fizikalne veličine za taj sistem! To svojstvo izražavaju tzv. relacije neodređenosti. Za količinu gibanja p i za položaj x čestice vrijedi: Dx Dp h Što točnije poznajemo položaj čestice, sve manje znamo o njezinoj brzini, i obrnuto. U svijetu atoma mjerenje utječe na stanje sistema!

95 Primjer:Kroz pukotinu propuštamo snop elektrona i promatramo gdje elektroni udaraju na zastor. Točnost s kojom poznajemo položaj čestice koja je prošla kroz pukotinu jest: Dx = b Snop elektrona je val. Ogib na zastoru. Elektron je najvjerojatnije pao unutar glavnog maksimuma. Valna optika sin q = /b. Količina gibanja u smjeru okomito na upadni snop: p x = p sinq Ukupna neodređenost količine gibanja u smjeru okomito na upadni snop: Dp x = p x (otklon el. može biti gore ili dolje) h h De Broglie p = h/ Dpx pxsin b b DxDp h h x

96 Zaključak: Uža pukotina. Točniji položaj. Ali zbog uže pukotine imamo jači ogib. Šira centralna pruga, tj. veća neodređenost količine gibanja. Eksperimenti: Relacije neodređenosti: Dx Dpx h Dy Dp h y Dz Dp h z DE Dt h Relacije neodređenosti su posljedica de Broglieve valne teorije (čestica valni paket).

97 Werner Heisenberg ( ), njemački fizičar utemeljio princip neodređenosti: Ako je mjerenje položaja čestice napravljeno s preciznošću Dx, a istovremeno mjerenje količine gibanja (linearnog impulsa) napravljeno s preciznošću Dp x, tada umnožak dviju neodređenosti ne može nikada biti manji od h DxDp x h Drugim riječima, fizikalno je nemoguće istovremeno mjeriti i točan položaj i točnu količinu gibanja čestice. Ako je Dx jako malo, tada je Dp x jako veliko, i obratno. Slično vrijedi i za energiju određenog kvantnog stanja i vremena boravka čestice na tom energijskom nivou: Heisenbergovo načelo neodređenosti izazvalo je brojne kritike u svijetu fizike 0. stoljeća (Einstein: Bog se ne kocka. ) jer se protivilo determinističkim principima dotadašnje fizike. Time je započela je era probabilističkog pristupa (uvođenje vjerojatnosti) kvantnoj fizici i postavila se bitna granica preciznosti eksperimenta.

98 Relacije neodređenosti i apsolutna nula Apsolutna nula = temperatura na kojoj prestaje gibanje svih čestica Princip neodređenosti: ako gibanje prestaje, tada je poznata količina gibanja čestica (p=mv=0). Stoga je umnožak Dx Dp x =0, a to ne može biti prema relacijama neodređenosti. Stoga, čestice ne miruju niti na apsolutnoj nuli. Primjeri: 1. Neka je brzina elektrona m/s izmjerena s točnošću (neodređenošću) od 0,003%. Nađi minimalnu neodređenost u položaju elektrona. kol. gibanja: neodređenost p: neodređenost x:

99 . Elektron se u atomu može nalaziti u pobuđenom stanju u vremenu od 10-8 s. Koliki je minimum neodređenosti u energiji?

100 Schrödingerova kvantna mehanika Schrödinger Polazi od de Broglieve ideje. Valovi titranja žice su prikazani valnom jednadžbom. Schrödinger Slična jednadžba vrijedi i za "valove" u svijeta atoma. Pretpostavka da se oni šire brzinom svjetlosti (EM valovi): 1 u Du c t Rješenja gornje jednadžbe? i t Schrödinger Pretpostavlja rješenje u obliku: e ( x, y, z) Gdje su operatori: 0 i j k x x z D D x y z gradijent Laplasijan

101 1 u Du c t 0 Schrödingerova kvantna mehanika it 1 e D x y z e x y z c it (,, ) (,, ) 0 i t 1 e D x y z x y z c (,, ) (,, ) 0 i t ( x, y, z) Stacionarni slučaj Schrödingerove jednadžbe. Kada je: D( x, y, z) ( x, y, z) 0 c e i t e Svako rješenje gornje jednadžbe zovemo materijalni val, a funkciju zovemo valna funkcija. Zahtjevi za valnu funkciju: jednoznačna, neprkidna, derivabilna, 0

102 c e c i t? p Schrödingerova kvantna mehanika 3 ( x, y, z) D( x, y, z) ( x, y, z) 0 c p c c c h c h mv p p h c h = reducirana Planckova konstanta p =? Iz energije: Ukupna energija čestice = E k + E p mv E Ek Ep U ( x, y, z) p m E U ( x, y, z) m D( x, y, z) E U ( x, y, z) ( x, y, z) 0 E p m U ( x, y, z) Najjednostavniji oblik Schrödingerove jednadžbe

103 Schrödingerova kvantna mehanika 4 m D( x, y, z) E U ( x, y, z) ( x, y, z) 0 Složeno? Teško za pamtiti? Nema problema. Postoji i "ljepši" oblik. Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born, Razvili tzv. KVANTNU MEHANIKU. (kolegij na 3. godini) Ideja: Pronaći vezu između fiz. veličina u klasičnoj fizici i fizikalnih veličina u kvantnoj mehanici! (Nešto slično kod jednolikog gibanja po kružnici: put kut; brzina kutna brzina,..) Koristimo nekoliko osnovnih načela kvantne mehanike: 1. Svakoj mjerivoj fizikalnoj veličini, koja ovisi o položaju i količini gibanja čestice, pripada neki operator. Operator? "Izraz koji djeluje na neku funkciju."

104 Schrödingerova kvantna mehanika 5 m D( x, y, z) E U ( x, y, z) ( x, y, z) 0 Operator? "Izraz koji djeluje na neku funkciju." Može sadržavati prvu ili drugu derivaciju, može značiti samo obično množenje,. Primjeri operatora za jednodimenzionalno gibanje: Fiz. veličina Operator položaj x x kol. gibanja kinetička enegija ukupna energija p p m p (,, ) m U x y z i m x x U ( x, y, z) m x

105 Schrödingerova kvantna mehanika 6 m D( x, y, z) E U ( x, y, z) ( x, y, z) 0 Primjeri operatora za trodimenzionalno gibanje: položaj kol. gibanja moment kol. gibanja kinetička enegija ukupna energija Fiz. veličina r p L r p p m p (,, ) m U x y z Operator m r i L i r m U ( x, y, z)

106 Schrödingerova kvantna mehanika 7 m D( x, y, z) E U ( x, y, z) ( x, y, z) 0. načelo kvantne mehanike: Operatori fizikalnih veličina (A) su tzv. hermitski operatori: Za svako rješenje Sch. jednadžbe mora vrijediti: * A dv A dv * 1 1 Za hermitske operatore vrijedi: Vlastite vrijednosti hermitskih operatora realni su brojevi. 3. načelo kvantne mehanike: Stanje nekog fizikalnog sistema može biti opisano valnom funkcijom Cn n n svojstvene funkcije svojstvene vrijednosti

107 Schrödingerova kvantna mehanika 8 Za nas. Koristimo samo prvo načelo: Koristimo supstitucije: p p p x y z i i x y i z p p p x y z x y z Polazimo od izraza za ukupnu energiju: E = K + U p E m U ( x, y, z) p U ( x, y, z) E m U ( x, y, z) E x y z m H D U ( x, y, z) D U ( x, y, z) E m m HAMILTONIJAN

108 Schrödingerova kvantna mehanika 9 D U ( x, y, z) E H m m D U ( x, y, z) H E Drugi oblik Schrödingerove jednadžbe Traženje funkcija koje zadovoljavaju Schrödingerovu jednadžbu. Traženje vlastitih funkcija operatora H ( 1,,, n ) Svaka od vlastitih funkcija operatora H ima vlastite vrijednosti (diskretne) tako da vrijedi: A a n n n

109 Schrödingerova kvantna mehanika 10 Primjer: Naći svojstvene vrijednosti operatora A = -d/dx za funkcije 1 e ikx i 1 = e ax. d ikx ikx A1 a11 e ike ik 1 a1 dx A d e a dx ax x a e a a a1 ik a

110 Atom vodika u kvantnoj mehanici Za vodik je poznat izraz potencijalne energije: U ( x, y, z) 1 Ze D E m 4 0 r 1 4 Teško za riješiti u kartezijevom sustavu. Koristi se sferni sustav: x rsincos y rsinsin z rcos Laplasijan se tada može prikazati kao: 0 Ze r r sin r r r r sin r sin

111 1 Ze D E m 4 0 r Atom vodika u kvantnoj mehanici Sferni koordinatni sustav omogućava da se rješenje Sch. jednadžbe prikaže kao umnožak radijalne i kutne komponente: r,, R ( r) Y (, ) m n, l, m n, l l radijalna funkcija kuglina (sferna) funkcija Par kuglinih funkcija: Y Y Y 3... cos sin 8 i e Prva radijalna funkcija: 3/ Z R10( r) e a0 Zr na 0

112 1 Ze D E m 4 0 r Atom vodika u kvantnoj mehanici 3 Traženjem svojstvenih vrijednosti energije, dobije se spektar: Z Z me E E gdje je: E 13, 6eV n 4 e 1 1 n 8 0 h Isti rezultat kao u Bohrovom modelu atoma! U ovisnosti o glavnom kvantnom broju n. Imamo orbitalne kvantne brojeve l = 0, 1,,, n-1. To znači da su energijska stanja degenerirana, tj. ako je n jednak. Energije svih stanja su identične, iako imaju različite valne funkcije (različiti l).

113 Atom vodika u kvantnoj mehanici 4 Z Z me E E gdje je: E 13, 6eV n 4 e 1 1 n 8 0 h Glavni i orbitalni kvantni brojevi u vodikovu spektru: Uvođenje spina. Dodatak u valnoj funkciji: r,, R ( r) Y (, ) m n, l, m, s n, l l s n, l, m, s kvantni brojevi, isto značenje kao u Bohrovom modelu.

114 Fizikalno značenje valne funkcije Ima li valna funkcija fizikalno značenje? Ima kvadrat valne funkcije! To je vjerojatnost nalaženja čestice u nekom prostoru. P( x) ( x) Vjerojatnost da nađemo česticu unutar intervala a, b jednaka je: P a x b ( x) dx Budući da čestica mora biti negdje. P mora biti normirana, tj. b a ( x) dx 1

115 Fizikalno značenje valne funkcije Primjer valne funkcije i njene gustoće vjerojatnosti:

116 Kvantnomehaničko tuneliranje = pojava u kvantnoj mehanici: ako čestica naiđe na potencijalnu barijeru koju ne može prijeći, ukoliko je barijera dovoljno uska, čestica može napraviti tunel i proći kroz barijeru (iako ne može preko nje); tuneliranje je posljedica valnočestične prirode materije E č < E B klasična fizika: penjanje uz brdo E B kvantna fizika: tuneliranje E č - primjena: nuklearna fuzija, tunelirajuća dioda, tuneliranje supravodljivih elektrona kroz potencijalnu barijeru, STM (skenirajući tunelirajući mikroskop)

117 Pretražni (skenirajući) tunelirajući mikroskop - engl. STM, Scanning Tunneling Microscope - konstruiran G. Binning & H. Rohrer (ETH, Zurich); Nobelova nagrada rezolucija: lateralna 0,1 nm, dubinska 0,01 nm - služi za površinsko snimanje uzorka (određivanje položaja atoma) i manipulaciju atomima - za rad je potreban jako visoki vakuum, ali postoje inačice koje rade u tekućini, plinovima i u velikom rasponu temperatura (mk 500 K) Ugljikova nanocijevčica. Površina zlata (100).

118 Princip rada: - piezoelektrična cijev, koja završava vrlo oštrim vrhom (jednim atomom), prelazi preko površine uzorka na jako maloj udaljenosti; između uzorka i vrha (probe) postoji određeni napon koji omogućava tuneliranje elektrona s površine uzorka na vrh; na mjestu gdje se nalaze atomi, struje tuneliranja se poveća, a između atoma slabi; tako se pretraživanjem (skeniranjem) površine mogu odrediti mjesta s ovećanom strujom, odnosno položaji pojedinih atoma; rezultati se obrađuju pomoću računala i na zaslonu se dobije slika površine IBM logo načinjen od Xe atoma na površini Ni (1989.) Kvantni koral: 48 at. Fe na Cu.