Tema e Disertacionit: NDËRTIMI DHE ANALIZA E MODELEVE STATISTIKE PËR STUDIMIN E HOMOGJENITETIT TË BASHKËSISË ME NDIHMËN E SHPËRNDARJEVE ASIMPTOTIKE

Transcription

1 REPUBLIKA E SHQIPËRISË UNIVERSITETI POLITEKNIK I TIRANËS FAKULTETI I INXHINIERISË MATEMATIKE DHE FIZIKE DEPARTAMENTI I INXHINIERISË MATEMATIKE Disertacio për Gradë Shkecore Doktor ë Matematikë Tema e Disertacioit: NDËRTIMI DHE ANALIZA E MODELEVE STATISTIKE PËR STUDIMIN E HOMOGJENITETIT TË BASHKËSISË ME NDIHMËN E SHPËRNDARJEVE ASIMPTOTIKE Puoi: Teuta XHINDI Udhëheqësi shkecor: Prof.dr. Shpëtim LEKA Tiraë 014

2 Gjëja që të bë më shumë përshtypje është fakti: sa më shumë që matematika zhvillohet duke arritur majat e të meduarit abstrakt, kthehet më pas ë tokë me jë istrumet gjithmoë e më të rëdësishëm për aalizë e të dhëave kokrete. Alfred N.Whitehead ( ), La scieza e il modo modero, Borighieri, Torio 1979.

3 ABSTRAKT Zhvillimi i modeleve stokastike, bëhet i mudur me idetifikimi e disa shpërdarjeve probabilitare që u korespodojë jë sërë proceseve që gjeerojë të dhëa dhe më pas studimit të vetive të këtyre shpërdarjeve.ndodh që shpërdarja e jë statistike uk jihet ose kur jihet mud të këtë vështirësi ë përdorimi praktik.në këto raste përpiqemi të gjejmë jë përafrim të shpërdarjes së pajohur.një metodë që përdoret gjerësisht kosisto ë përafrimi e shpërdarjes së pajohur me shpërdarje limite që përftohet kur umri i elemeteve të zgjedhjes rritet pambarim. Shpërdarja asimptotike është shpërdarja probabilitare që përftohet si limit drejt të cilit teto shpërdarja e jë vargu dryshoresh rasti. Jepet vargu i pafudëm i dryshoreve të rastit X 1, X,, X,, secili me fuksio shpërdarje përkatësisht F 1, F,, F, Themi se vargu X ka shpërdarje asimptotike ëse vargu F 1, F,, F, ka për limit jë fuksio shpërdarje F ë të gjitha pikat ku F është i vazhdueshëm.shpërdarja limite ose Ligji F mud të jetë i degjeeruar ose jo.në rasti e parë, me jë masë probabilitare të caktuar, limiti është jë umër x 0.Në këtë rast, thuhet se X teto sipas probabilitetit te x 0.Në rasti e dytë, ligji F mud të jetë i vazhduar ose diskret.në këtë rast thuhet se vargu X kovergjo ë shpërdarje te dryshorja e rastit X me ligj F. Kuptimi i shpërdarjes asimptotike është veçaërisht i rëdësishëm ë statistikë sepse johja e shpërdarjes limite të jë vlerësuesi lejo johje e vetive statistikore për zgjedhje të mëdha dhe kështu lejo përafrimi e vetive për zgjedhjet e fudme.vlerësuesit më të përdorur ë statistikë jaë, ë shumicë e rasteve,me shpërdarje asimptotikisht ormale, pra shpërdarja probabilitare e tyre përafrohet shumë mirë me jë shpërdarje ormale kur umri i elemeteve të zgjedhjes është mjaft i madh.më saktësisht, themi se jë vlerësues θ i jë parametri θ ka shpërdarje asimptotike ormale ëse shpërdarja e vargut të dryshoreve të rastit θ θ përafrohet shumë mirë me σ(θ ) shpërdarje ormale kur umri i elemeteve të zgjedhjes rritet pa mbarim.meqë statistikat jaë dryshore rasti, flasim për limit sipas masës probabilitare. Në këtë puim është trajtuar shpërdarja asimptotike e disa statistikave të cilat deshe shpesh ë situata praktike si ajo e devijimit stadard të zgjedhjes s apo e koeficietit të variacioit të zgjedhjes c. Ky trajtim është bërë me dihmë e fuksioeve prodhuese të mometeve dhe fuksioeve karakteristike.gjithashtu jaë trajtuar edhe disa zbatime të shpërdarjes asimptotike të koeficietit të variacioit të zgjedhjes së marrë ga bashkësia ormale. 3

4 Falëderime Së pari, falëderoj udhëheqësi tim, prof.dr Shpëtim Leka për profesioalizmi, përkushtimi, serioziteti dhe dihmë e pakursyer për këtë puim.së dyti falëderoj edhe familje time për mbështetje dhe përkrahje që më dhaë gjatë puës sime. 4

5 PËRMBAJTJA KAPITULLI I... 7 Hyrja... 7 KAPITULLI II... 1 Rastet e mudshme lidhur me shpërdarje e jë dryshore rasti.1 Kuptime të përgjithshme Vlerësimi i parametrave të pajohur të modelit probabilitar Përafrimi i shpërdarjes së pajohur të jë dryshore rasti KAPITULLI III Përafrimi i shpërdarjes së jë statistike me shpërdarje ormale 3.1 Mosbarazime probabilitare të rëdësishme Lloje të dryshme të kovergjecës të jë vargu dryshoresh të rastit Ligjet e umrave të mëdhej Teoremat qedrore limite Shpërdarja asimptotike e fuksioeve të mesatareve të zgjedhjeve...47 KAPITULLI IV... 5 Studimi i koeficietit të variacioit të zgjedhjes 4.1 Kotrolli statistikor i cilësisë Të dhëa për betoi Rezisteca ë shtypje Përcaktimi i rezistecës mesatare Devijimi stadard dhe koeficieti i variacioit Kartat e kotrollit Disa zbatime të shpërdarjes χ Shpërdarja asimptotike e statistikave s dhe s s 4.9 Shpërdarja asimptotike e koeficietit të variacioit të zgjedhjes c = x

6 KAPITULLI V Zbatime të shpërdarjes asimptotike të statistikës c = s N(μ *, σ * ) x 5.1 Karta e kotrollit për koeficieti e variacioit të zgjedhjes së xjerrë ga popullimi ormal Përdorimi i statistikave c dhe s ë procesi e kotrollit të cilësisë së prodhimit Karta e kotrollit të mostrës me aë të statistikave c dhe s c Itervali me jë besueshmëri të caktuar për koeficieti e variacioit γ = σ të jë μ popullimi ormal Itervali me jë besueshmëri të caktuar për p-kuatili c p Kriteri për krahasimi e koeficietëve të variacioit të dy popullimeve ormale ANEKS KONKLUZIONE BIBLIOGRAFIA

7 KAPITULLI I Hyrja Studiuesit përdori statistikë për të përpuuar të dhëat që përftohe ga jë eksperimet ose studim i caktuar. Ky proces jihet si aalizë e të dhëave ose statistikë përshkruese. Por ka edhe raste kur studiuesit e përdori statistikë ë jë mëyrë tjetër.në statistikë rezultati i vrojtimit është fillimi i studimit.statistika dërto metoda që lejojë të xirre përfudime ga vrojtimet e realizuara gjatë zhvillimit të jë dokurie rasti.sipas përfudimeve të xjerra ga përpuimi statistikor i zgjedhjes, ka iteres të sigurohet me jë masë probabilitare të caktuar, se sa përfaqësuese e popullimit është kjo zgjedhje. Origjia e teorisë së probabilitetit dato ë mesi e shekullit të 17-të. Thelbi i teorisë së probabilitetit jaë teoremat limite sepse ato jaë shumë të dobishme ë të kuptuarit e feomeeve të rastit, prezete ë të gjithë shkecat toa. Historia e teoremave limite fillo me teoremat limite të Berulit (1713) dhe më pas vijo me teoremat limite të De Moivre-s dhe Laplace-s. Më pas, Poisso ia doli ë mëyrë të suksesshme të bëjë përgjithësimi e teoremave të Beroulli-t, De Moivre-s dhe Laplace-s. Sot, i johim këto teorema si ligjet e umrave të mëdhej dhe teoremat qedrore limite, pjesë themelore e teorisë së probabilitetit. Ky puim trajto dryshoret e rastit, të cilave ose uk i jihet shpërdarja probabilitare, ose ajo paraqet vështirësi ë zbatimet praktike.në këto raste lid evoja e shqyrtimit të disa kushteve që lidhe me shpërdarje teorike ose asimptotike të kësaj dryshore. Ky trajtim do të bëhet bazuar ë dy qasje: o Nisur ga të dhëat e jë zgjedhje me vëllim, dërtohet fuksioi empirik F (x).për vargu F (x), gjejmë lim F (x) = F(x).Nëse ky limit ekzisto dhe është i barabartë me F(x) ë të gjitha pikat ku F(x) është i vazhdueshëm, atëherë themi se vargu {X } kovergjo sipas shpërdarjes tek X me fuksio shpërdarje F(x) dhe shëohet kështu: {X } shpërdarje X. Shpërdarja F(x) quhet shpërdarje limite ose asimptotike e vargut {X }. 7

8 o Vektorit (X 1, X,, X ), ku X i jaë dryshore rasti, i gjejmë fuksioi karakteristik C (x), të cilit, i korespodo jë dhe vetëm jë ligj i shpërdarjes probabilitare F(x).Kjo do të thotë: C (x) bijeksio F(x). Në këto kushte, fuksioi i shpërdarjes për dryshore X, do të jetë F(x).Për gjetje e fuksioit karakteristik dihmohemi prej mometeve të redeve të dryshme, të cilat prodhohe prej fuksioit prodhues të mometeve.prej këtu del rëdësia e përdorimit të fuksioit prodhues të mometeve dhe fuksioit karakteristik ë gjetje e shpërdarjes së jë dryshore rasti. Teoria asimptotike është pjesë mjaft e rëdësishme e statistikës aalitike. Ajo trajto sjellje limite të dryshoreve të rastit (jë ose disa përmasore) si dhe shpërdarjet e tyre.kotribut ë këtë pjesë kaë dhëë Serflig (1980), Shorack dhe Weller (1986), Se dhe Siger (1993), Bardorff-Nielse dhe Cox (1994), Va Der Vaart (1998), etj. Kosiderojmë jë varg dryshoresh rasti X.Jemi të iteresuar për: Ka dy raste të mudshme: lim X. o X kovergjo sipas probabilitetit te dojë kostate c o X kovergjo sipas shpërdarjes te jë dryshore tjetër rasti X. Nëse X kovergjo te X, shpërdarje e X e quajmë shpërdarje limite të X. Sa më i madh të jetë vëllimi i zgjedhjes aq më mirë shpërdarja e dryshoresx përafrohet me shpërdarje e dryshores X. Përkufizimi i mëposhtëm shërbe si pikëisje për trajtimi e shpërdarjes asimptotike. Përkufizim 1: Le të jetë X 1, X,, X,, jë varg dryshoresh rasti,secila me fuksio shpërdarje përkatësisht F 1 (x), F (x),, F (x), atëherë ëse: lim F (x) = F(x), 8

9 ë të gjitha pikat ku F(x) është i vazhdueshëm, themi se vargu {X } kovergjo sipas shpërdarjes te X me fuksio shpërdarje F(x) dhe shëohet kështu: {X } shpërdarje X. Shpërdarja F quhet shpërdarje limite ose asimptotike e vargut {X }. Pra, shpërdarja asimptotike është shpërdarja probabilitare që i korrespodo limitit drejt të cilit teto shpërdarja e jë vargu dryshoresh rasti. Kocepti i shpërdarjes asimptotike është veçaërisht i rëdësishëm ë statistikë sepse johja e shpërdarjes limite të jë vlerësuesi lejo johje e vetive statistike për zgjedhje të mëdha dhe kështu përafrimi e vetive për zgjedhjet e fudme.lejotë jihet,për shembull: ëse jë vlerësues është i pazhvedosur për jë parametër të caktuar johje e përafërt të variacës ose kryerje e kotrollit të hipotezave statistikore me jë saktësi të tillë që rritet me rritje e umrit të elemeteve të zgjedhjes. Vlerësuesit më të përdorur ë statistikë, jaë ë shumicë e rasteve, me shpërdarje asimptotike ormale, pra shpërdarja probabilitare e tyre përafrohet shumë mirë me jë shpërdarje ormale kur umri i elemeteve të zgjedhjes është mjaft i madh.më saktësisht, themi se jë vlerësues θ, i jë parametri θ, ka shpërdarje asimptotike ormale ëse shpërdarja e vargut të dryshoreve të rastit θ θ përafrohet shumë mirë me shpërdarje ormale. σ(θ ) Përse dodh kjo? Kjo dodh sepse shpërdarja ormale është shpërdarja më e rëdësishme ë statistikë aalitike për disa arsye: Shumica e dryshoreve që deshe ë jetë reale kaë shpërdarje ormale. Kjo shpërdarje mudëso zgjidhje e shumë problemeve ga fusha të dryshme me dihmë e modeleve probabilitare statistikore. Përafro edhe shpërdarjet e disa dryshoreve diskrete ë disa kushte të caktuara. Është ë bazë e disa prej teoremave më të rëdësishme të statistikës aalitike si, për shembull, të Teoremës Qedrore Limite, e cila mud të përmblidhet kështu: 9

10 Çdo madhësi e rastit që është rezultat i veprimit të jë umri shumë të madh dryshoresh të rastit të pavarura, secila me peshë të papërfillshme kudrejt të tjerave, ka shpërdarje afërsisht ormale, pavarësisht ga atyra e ligjeve të dryshoreve të rastit të pavarura. Familja e shpërdarjeve ormale është e mbyllur përsa i përket trasformimeve lieare si dhe kombiacioeve lieare etj. Quhet dryshe edhe vija e gabimeve të rastit sepse shpërdarja e gabimeve të bëra, ë matje e disahershme të të jëjtës madhësi, mud të përafrohet mirë me jë vijë të tillë. Shpërdarja ormale u zbulua ë viti 1733 prej DeMoivre-s si jë përafrim i shpërdarjes biomiale.për jë kohë të gjatë shkrimet e tij humbë derisa Karl Pearso-i i gjeti ë viti 194. Laplace e përdori shpërdarje ormale ë viti 1783 për të përshkruar shpërdarje e gabimeve të rastit kurse Gauss-i e përdori këtë shpërdarje ë viti 1809 ë aalizë e të dhëave astroomike. Shpërdarja ormale shpesh quhet edhe shpërdarja gaussiae. Në kapitulli dytë, do të trajtohe rastet e mudshme që lidhe me shpërdarje e jë dryshore rasti duke aalizuar problemi ë këto situata: Ndryshores së rastit X (jë përmasore ose shumë përmasore), i jihet ligji probabilitar i shpërdarjes F (x, θ 1, θ,, θ ). Ndryshores së rastit X, i jihet ligji probabilitar i shpërdarjes, por fuksioit të shpërdarjes F(x, θ 1, θ,, θ ) uk i jihe parametrat e tij, të cilat duhe vlerësuar. Ndryshores së rastit X, uk i jihet ligji i shpërdarjes probabilitare F (x, θ 1, θ,, θ ). Për secili ga këto raste do të tregohe dhe zgjidhjet përkatëse. Në kapitulli e tretë, do të trajtohe disa mosbarazime probabilitare të rëdësishme (mosbarazimi i Markovit, i Chebyshevit), lloje të dryshme të kovergjecës (kovergjeca sipas probabilitetit, kovergjeca pothuajse kudo, kovergjeca sipas katrorit mesatar), ligjet e umrave të mëdhej si dhe elemete që lidhe me shpërdarje asimptotike (teoremat qedrore limite si: teorema Liderberg-Levi, teorema Liapuov, teorema De Moivre- Laplace)dhe shpërdarja asimptotike e fuksioeve të mesatares së zgjedhjes g(x ). Këto trajtime jaë marrë ga literatura e përzgjedhur dhe e studiuar për këtë puim. 10

11 Në kapitulli e katërt, ë fillim është trajtuar kotrolli statistikor i cilësisë duke u dalur tek materiali i betoit.këtu tregohet rëdësia e studimit të homogjeitetit të të dhëave mbështetur te statistikat: s = i=1 (x i x ) 1 dhe c = s x. Më pas është trajtuar shpërdarja asimptotike e këtyre statistikave si dy prej treguesve të dryshueshmërisë së të dhëave. Në kapitulli e pestë, bazuar ë rezultatet e arritura ë kapitulli 4 për shpërdarje e statistikës c = s, jaë dërtuar dhe aalizuar disa modele x matematike për kotrolli statistikor të cilësisë së prodhimit. Në fud jaë dhëë kokluzioet dhe referecat e këtij puimi. 11

12 KAPITULLI II Rastet e mudshme lidhur me shpërdarje e jë dryshore rasti.1 Kuptime të përgjithshme Në shumë dukuri të atyrës, edhe pse të krijohet përshtypja e jë parregullsie, ka ë fakt rregullsi të shpërdarjes së rastësive, gjë e cila a lejo t i paraqesim këto dukuri me procese ose dyshore rasti të tipeve të dryshme.pra dryshorja e rastit paraqet ligjësië që e ka dukuria ë kuptimi e ligjësisë së atyrës dhe për këtë arsye e themi ligji i shpërdarjessë probabiliteteve ë ved të dryshores së rastit. Në aspekti teorik, ëse shëoj me Ω hapësirë e rezultateve të mudshme të jë prove, dryshore rasti me përkufizim quhet: Përkufizim : Ndryshore e rastit (ose stokastike) quhet çdo fuksio real X, i përcaktuar ë hapësirë Ω, pra: X: Ω R. Pra, dryshorja e rastit është bashkësi umrash realë të rastit.këto vlera dryshorja e rastit i merr me probabilitet të caktuar, të johur ose jo.sipas këtij kuptimi e mud të dërtojmë pafudësi dryshoresh të rastit, të cilat shprehi jë tipar sasior ose cilësor të popullimit që e studiojmë dhe që ka vlera praktike. Ndryshorja e rastit X mud të jetë diskrete ose e vazhduar, jëpërmasore ose shumëpërmasore. Përkufizim 3:Ndryshorja e rastit X quhet diskrete ë qoftë se bashkësia e vlerave të mudshme të saj A është të shumtë e umërueshme. Në qoftë se A={x 1, x, x, } atëherë shpërdarja e saj që përcaktohet ga umrat: P(x i ) = P(X = x i ); për çdo i 1 quhet shpërdarje diskrete. Le të jetë X jë dryshore rasti e përcaktuar ë hapësirë Ω ku është dhëë probabiliteti P. 1

13 Përkufizim 4: Ndryshorja e rastit X quhet e vazhduar ë qoftë se gjedet jë fuksio φ(x) 0 për çdo x R, që për çdobashkësi A R të kemi: P(X A) = A φ(x)dx. φ(x) që plotëso këto kushte quhet desitet shpërdarje. Përkufizim 5: Fuksioi F(x) i tillë që F (x) = φ(x) quhet fuksio i shpërdarjes për dryshore e rastit të vazhduar X. Kur flasim për ligj probabilitar të johur, tai dhe më tej do të kuptojmë ose johje e fuksioit të desitetit të probabilitetit φ(x)ose të fuksioit të shpërdarjes F(x) të jë dryshore rasti.. Vlerësimi i parametrave të pajohur të modelit probabilitar Përkufizim 6: Parametër quhet jë kostate që është karakteristikë për gjithë popullatë. Nëse popullata jepet ga jë model matematik, parametri është kostatja që shfaqet te ky model.fuksioi i desitetit i probabilitetit shkruhet φ(x,θ i ) duke evidetuar kështu parametrat që e karakterizojë atë. Dimë se kur jihet ligji probabilitar i shpërdarjes F(x, θ 1, θ,, θ ) për dryshore e rastit X (jë përmasore ose shumë përmasore), llogaritja e probabilitetit bëhet sipas formulës: P(X A) = φ(x, θ 1, θ,, θ ) dx = A A d F (x, θ 1, θ,.., θ ) Shohim rasti kur dryshores së rastit X, i jihet ligji Probabilitar i shpërdarjes, por fuksioit të shpërdarjes F (x,θ 1,θ,..,θ ) uk i jihe parametrat e tij. Përkufizim 7: Statistikë quhet çdo fuksio i zgjedhjes ë trajtë T = T (X 1, X,.,X ). Meqë statistika varet ga zgjedhja, ajo ë vetvete është dryshore rasti. Shpërdarja probabilitare e statistikës T = T (X 1, X,.,X ) quhet shpërdarje e zgjedhjes për këtë statistikë. 13

14 Përkufizim 8: Vlerësues pikësor i parametrit θ quhet çdo statistikë θ = θ (X 1,X,.,X ) që përdoret për të vlerësuar θ. Vlerësuesi pikësor është fuksio i të dhëave të zgjedhjes dhe si i tillë është dryshore rasti. Mbi bazë e iformacioit të marrë ga zgjedhja, parametri θ mud të marrë jë vlerë ose jë bashkësi vlerash. (figura 1). Figura 1 Përkufizim 9: Vlerësim i parametrit θ quhet çdo vlerë θ (x 1, x,.,x ) e vlerësuesit θ = θ (X 1, X,.,X ), ku x 1, x,.,x jaë përkatësisht vlera kokrete të dryshoreve X 1, X,.,X, të përftuar ga jë zgjedhje. Për fuksioif (x, θ 1, θ,, θ ) me parametra të pajohur, bazuar ë të dhëat e zgjedhjes, dërtojmë statistika θ (X 1,X,.,X ), si vlerësues për secili prej parametrave të tij të pajohur. Çdo vlerësues θ, ka jë shpërdarje probabilitare që përcakto shkallë e dryshueshmërisë rreth vlerës së vërtetë të parametrit θ. Vlerësimet e θ, kaë devijime, gabime, referuar vlerës së pajohur të θ. Preferohet vlerësuesi θ i θ që të ketë ë mesatare gabimi më të vogël të mudshëm. Vlera mesatare e gabimit të jë vlerësuesi mud të llogaritet ëpërmjet vlerës së pritshme E( θ θ ), si mesatare e diferecave ë vlerë absolute dërmjet vlerësimeve të θ dhe vlerës së vërtetë të parametrit. Një kriter tjetër për matje e gabimit jepet sipas gabimit katror mesatar. Përkufizim 10: Le të jetë θ = θ (X 1,X,.,X ) jë vlerësues i parametrit θ. Gabim katror mesatar KMG i vlerësuesit θ quhet umri: KMG (θ ) = E(θ θ) (..1) 14

15 Duke qeë se vlerësuesi i jë parametri mud të mos jetë i vetëm, shtrohet çështja e zgjedhjes së vlerësuesit; si duhet të jetë ai? Vlerësuesi θ (X 1,X,.,X ) duhet të plotësojë disa kushte që të praohet si vlerësues më i mirë. Kërkohet që të jetë vlerësues i pazhvedosur, i qëdrueshëm, kovergjet, me variacë miimale, i mjaftueshëm etj. Ndërtimi i statistikës θ (X 1,X,.,X ), mud të realizohet me metoda të dryshme, por më të përdorurat jaë ato të katrorëve më të vegjël, të mometeve, të përgjasisë maksimale etj. Në rasti kur dërtohe statistika të dryshme, preferohet të merret statistika e mjaftueshme.duam të dimë se: Sa të saktë jemi e me vlerësimi e gjetur? Sa të sigurt jemi? Sa duhet të jetë vëllimi i zgjedhjes ë mëyrë që zgjedhja të përfaqësojë Ω? Vlerësimi pikësor jep pak iformacio për saktësië dhe sigurië. Kjo është arsyeja që për θ e pajohur bëhet vlerësimi itervalor dhe kotrolli i hipotezave statistikore. Në rasti e vlerësimit itervalor, dërtojmë itervale me qedër vlerësimi pikësor, të cilat japi siguri të caktuar për përmbajtje e vlerës së parametrit θ.në këtë mëyrë, çdo zgjedhjeje uk i përgjigjet jë umër si vlerësimi pikësor, por jë iterval që quhet iterval besimi. Le të jetë X 1,X,.,X jë zgjedhje ga popullimi me desitet probabilitar φ(x,θ) ku θ është parametri i pajohur. Shëojmë θ = θ (X 1,X,.,X ) jë vlerësues të parametrit θ dhe me φ θ (θ) desiteti probabilitar të statistikës θ. Le të jeë c 1, c dy vlera të tilla që: P(θ <c 1 ) = α 1 dhe P(θ >c ) =α (..) Shëoj α = α 1 +α. Numri α quhet iveli i rëdësisë ose iveli i sigurisë. Prej (..) gjejmë që: P(c 1 <θ <c )= 1 -α = γ Numri γ quhet koeficiet besimi dhe zgjidhet afërsisht i barabartë me 1. 15

16 Shprehje c 1 <θ <c, mbas veprimeve algjebrike mud ta shkruajmë ë trajtë L 1 <θ<l dhe ga jëvlershmëria e tyre del se edhe: P(c 1 <θ <c ) = P(L 1 <θ<l ) = 1 -α = γ Përkufizim 11: Itervali (L 1,L ) quhet iterval besimi për parametri θ, me besueshmëri (1 -α)%. Statistikat L 1 dhe L quhe përkatësisht kufi i poshtëm dhe kufi i sipërm i itervalit të besimit, dërsa madhësia L= L - L 1 quhet gjatësi e itervalit. Numrit α zakoisht i jepe vlerat α = 0,10; 0,05; 0,01 që do të thotë përkatësisht γ= 90%; 95%; 99%. Për jë α të dhëë, preferohet itervali me gjatësi më të vogël. Numrat α dhe L jaë të lidhur mes tyre: vlerave më të vogla të α ose vlerave më të mëdha të γ i përgjigje itervale besimi me gjatësi L më të mëdha. Le të jetë ( X 1,X,.,X ) jë zgjedhje ga popullimi Ω, me ligj φ(x,θ), ku vlera e parametrit të pajohur θ e përcakto plotësisht ligji.parametri θ mud të jetë me jë ose disa përmasa. Përkufizim1: Çdo supozim për vlerë e parametrit θ, quhet hipotezë statistikore. Hipoteza quhet e thjeshtë kur ka formë: H 0 : θ=θ 0 (θ 0 vlerë e caktuar) dhe quhet e përbërë kur ka formë: H 0 :θ Θ 0 ku Θ 0 është jë ëbashkësi e bashkësisë Θ të vlerave të mudshme të parametrit θ. Për të kotrolluar jë hipotezë dërtohet jë test ( ose kriter ) me dihmë e zgjedhjes X 1,X,.,X e cila a lejo të marrim jë vedim ëse hipoteza e gritur praohet apo jo (Leka, 004, fq ).kuptohet se testi është fuksio i zgjedhjes, pra : T= T(X 1, X,..X ). Nga bashkësia - e vlerave të mudshme të testit T, veçojmë jë ëbashkësi k - që e quajmë zoë kritike, të tillë që, kur t k, hipoteza H 0 uk praohet, ku t është vlera e testit T. Zoë 0 të tillë që 0 k =, e quajmë zoë të lejuar të testit. Zoa kritike k mud të jetë e jëashme p.sh k = {t:t c }, që quhet zoë kritike e djathtë ose zoë kritike e majtë k = {t:t c 1 }. Zoa kritike mud të 16

17 jetë edhe e dyashme: k = {t: t <c 1 ose t >c }.Vlerat c 1 dhe c quhe pika kritike (figura ) Figura Shëojmë f( t,θ) ligji e testit T, ku θ është parameter i pajohur, zoë kritike k e zgjedhim të tillë që: P (T k /H 0 ) = f(t, θ) dt =α, (..3) k ku α 0, ështëivel i rëdësisë. Sipas përkufizimit të gjarjes, praktikisht të pamudur, gjarja A = (T k /H 0 ) praktikisht uk dodh ë jë provë.pra probabiliteti, që hipoteza e gritur H 0 të mos praohet kur është e vërtetë, të jetë sa më e vogël. Kuptohet se është e domosdoshme të jihet ligji i testit T kur H 0 është e vërtetë, për të gjetur pikat kritike, ose për të gjetur iveli α kur jaë përcaktuar pikat kritike.në praktikë, shpesh jepet iveli α dhe gjede vlerat kritike.llogaritja e statistikës T mbi bazë e vlerave të vrojtuara ga zgjedhja a jep jë vlerë t ( quhet vlera e vrojtuar e testit ose vlera statistikore) që a lejo të marrim jë vedim. Në qoftë se t k, hipoteza H 0 uk praohet dhe kur t 0 hipoteza H 0 uk ka arsye të mos praohet si e vërtetë. Ndërtohe shumë ëbashkësi k që plotësojë kushti (..3) pradaj për të zgjedhur më të mirë, bashkë me H 0 shqyrtohet edhe jë hipotezë alterativeh a :θ Θ 1, ku Θ 1 ( që uk pritet me Θ 0 ) është ëbashkësi e bashkësisë Θ të vlerave të mudshme të θ. Hipoteza H a quhet hipotezë alterative. Për të kotrolluar jë hipotezë bazë për jë parametër θ, ka jë procedurë që kalo ëpër disa etapa duke kokluduar me vedimi për hipotezë bazë. 17

18 Hipotezat e thjeshta. Llojet e gabimeve. Fuqia e testit Në qoftë se jë hipotezë përcakto plotësisht ligji e testit T atëherë ajo quhet hipotezë e thjeshtë. Kështu, ë testi T( kur θ është jë parameter çfarëdo) hipoteza: H 0 : θ=θ 0 me alterativë H a : θ θ 0 (ose θ < θ 0 ; θ > θ 0 ) është hipotezë e thjeshtë. Kuptimet e tjera të teorisë së kotrollit të hipotezave po i trajtojmë vetëm për hipotezat e thjeshta. Me çdo test, jaë të lidhura dy llojet e gabimeve. Sipas (..3) përcaktuam: α = P(H 0 hidhet poshtë) është gabim i llojit të parë. Me këtë ivel uk praohet jë hipotezë e vërtetë. Shëojmë: β= P(H 0 praohet ) është gabim i llojit të dytë, pra praohet jë hipotezë jo e vërtetë. Testi më i mirë do të jetë ai që të dyja llojet e gabimeve α dhe β i ka afër zeros. Kjo gjë përgjithësisht është vështirë të realizohet sepse zvogëlimi i jërit sjell rritje e tjetrit. Në këto kushte jepet iveli α dhe zgjidhet testi që realizo miimizimi e β. Përkufizim 13: Testi T quhet optimal me ivel α ë qoftë se miimizo β për α të dhëë. Skema e vedimit të jë testi të hipotezës së thjeshtë është: Lloji i hipotezës H 0 Vedimi H 0 e vërtetë H 0 e gabuar Praohet H 0 Hidhet poshtë H 0 Vedim i drejtë (prob 1- α) Vedim i gabuar (prob α) Vedim i gabuar (prob β) Vedim i drejtë (prob 1- β) Për kotrolli e hipotezës H 0 : θ=θ 0, me hipotezë alterative H a : θ > θ 0, kemi: - Për të dhëë, kur α rritet (c-zvogëlohet) atëherë edhe β zvogëlohet. - Për α të dhëë, kur rritet (d.m.th σ T zvogëlohet) atëherë α dhe β zvogëlohe. Kështu duke rritur vëllimi të zgjedhjes, është e mudur të zvogëlohe jëkohësisht α dhe β. 18

19 Supozojmë se kotrollojmë hipotezë H 0 : θ=θ 0, me hipotezë alterative H a : θ > θ 0. Për çdo vlerë θ të hipotezës alterative, llogarisim β(θ). Përkufizim 14: Fuksioi: π(θ) = 1 - β(θ) = P ( e hedhjes poshtë të H 0 së gabuar) quhet fuqi e testit. Ideale do të ishte të dërtoim jë test që të mud të dallohej ekzaktësisht midis hipotezave, d.m.th i tillë që: π(θ 0 ) = α = 0 π(θ) =1 - β(θ) = 1.q.s θ θ 0 Nga të dyja testet A dhe B, me grafikë të fuksioeve të fuqisë π(θ) si më poshtë, më i miri është testi A, sepse për të fuksioi π(θ) kovergjo më shpejt te 1. Figura 3.3 Përafrimi i shpërdarjes së pajohur të jë dryshore rasti Shëojmë me X jë dryshore rasti me ligj të shpërdarjes probabilitare F(x,θ 1,θ,..,θ ), të pajohur. Në këtë rast për të arritur me objektivitet ë ligji e pajohur teorik tëkësaj dryshore, mbi bazë e vrojtimeve që realizojmë, llogarisim sa më shumë karakteristika umerike, të cilat kaë domethëie statistikore që a dihmojë për të arritur te ligji teorik. Për të përafruar shpërdarje, mud të veprohet sipas këtyre mëyrave: I. Bazuar ë të dhëat e jë zgjedhje me vëllim, dërtohet fuksioi empirik F (x). 19

20 Ndërtimi i këtij fuksioi kërkohet të bëhet i tillë që largesa : F (x) F(x) 0. Për vargu F (x), gjejmë lim F (x) = F(x). Nëse ky limit ekzisto dhe është i barabartë me F(x) ë të gjitha pikat ku F(x) është i vazhdueshëm, atëherë themi se vargu {X } kovergjo sipas shpërdarjes te X me fuksio shpërdarje F(x) dhe shëohet kështu: {X } shpërdarje X. Shpërdarja F quhet shpërdarje limite ose asimptotike e vargut {X }. Shpërdarja limite përdoret si përafrim i shpërdarjes për dryshore e rastit X. Sa më i madh të jetë vëllimi i zgjedhjes, aq më shumë shpërdarja limite përafrohet me shpërdarje e vërtetë të statistikës. Me dihmë e aparatit të teorisë asimptotike, mud të përafrojmë shpërdarjet e pajohura të statistikave të dryshme. Ose jë mëyrë tjetër II. Vektorit (X 1, X, X 3,..., X ) ku X i jaë dryshore rasti, i gjejmë fuksioi karakteristik C t (x), të cilit, i korrespodo jë dhe vetëm jë Ligj i Shpërdarjes Probabilitare F(x), ë bazë të teoremës së mëposhtme të uicitetit për fuksioi karakteristik. Teoremë: Në qoftë se dy dryshore rasti të vazhduara kaë të jëjti fuksio karakteristik atëherë ato kaë dhe të jëjti fuksio shpërdarje. Bazuar te kjo teoremë kemi: C t (x) bijeksio F(x)(A.W.Va Der Vaart, 000, fq 15). Në këto kushte, Fuksioi i Shpërdarjes për dryshore X, do të jetë F(x). Për gjetje e fuksioit karakteristik, dihmohemi prej mometeve të redeve të dryshme, të cilat prodhohe prej fuksioit prodhues të mometeve.prej këtu del rëdësia e përdorimit të fuksioit prodhues të mometeve dhe fuksioit karakteristik ë gjetje e shpërdarjes së jë dryshoreje rasti. Lid evoja të trajtojmë shkurt kuptimet e mëposhtme: Mometet e jë dryshore rasti Mometet jaë kostate që karakterizojë jë shpërdarje probabilitare, të përcaktuara si më poshtë: 0

21 Përkufizim 15: Nëse X është jë dryshore rasti dhe r jë umër i plotë pozitiv, atëherë momet jo qedror i redit r të X quhet umri: μ r = E ( X r ) = { i=1 xr P(X = x i ), kur X dryshore diskrete + x r d F (x), kur X dryshore e vazhduar kurse momet qëdror quhet umri: μ = r { i=1 (x i μ) r P(X = x i ), kur X dryshore diskrete + (x μ) r d F (x), kurx dryshore e vazhduar Të dyja llojet e mometeve jaë të lidhura sipas barazimit: μ r = E (X μ) r r = ( 1) h r h=0 C h μ h μ r h Nga përkufizimi del që: µ 1 = E(X) kurse μ = Var(X) Rëdësia: Nëse itegrali tek përkufizimi i mometeve është kovergjet, kur johim shpërdarje probabilitare e mud të llogarisim mometet e redeve të dryshme si dhe aasjelltas, johja e mometeve bë të mudur të gjejmë ë mëyrë uike shpërdarje probabilitare të dryshores së rastit (kjo do sqarohet pas fuksioit prodhues të mometeve) Fuksioi prodhues i mometeve i jë dryshore rasti Përkufizim 16: Nëse X është jë dryshore rasti dhe t jë umër real, t ϵ R, atëherë fuksio prodhues i mometeve për X quhet pritja matematikee fuksioit g(x) = e tx. Shëohet me M X (t), dhe me simbole mud të shkruhet kështu: M X (t) = E(e tx ) = e tx ip(x = x i ), M X (t) = E(e tx ) = { i + e tx ëse X është dryshore diskrete. df(x), ëse X është dryshore e vazhduar. 1

22 Rëdësia: 1. Nga përkufizimi si dhe duke johur fuksioi e shpërdarjes, e mud të gjejmë fuksioet prodhuese të mometeve për shpërdarje të dryshme.. Fuksioi prodhues i mometeve, ëse ai ekzisto ë jë iterval të hapur rreth pikës 0, a lejo të gjejmë (për r jo egative), mometet e redeve të dryshme sipas formulës: E ( X r ) = M X (r) (0) = dr M X dt r (0) (Casella e Berger, 1990, fq.68-76). 3. Teorema e uicitetit.3.1 (pa vertetim): Nëse dy dryshore rasti X dhe Y kaë të jëjti fuksio prodhues të mometeve atëherë ata kaë të jëjti fuksio shpërdarje dhe aasjelltas, ëse dy dryshore rasti X dhe Y kaë të jëjti fuksio shpërdarje atëherë ata kaë edhe të jëjti fuksio prodhues të mometeve (me supozimi se këto fuksioe ekzistojë) (Gut, 005, fq ). Komet: Kjo Teoremë është shumë e rëdësishme dhe me vlera praktike, ë disa raste kur duhet provuar që dy shpërdarje jaë të jëjta, është më e lehtë të provohet barazia e fuksioeve prodhuese të mometeve sesa e fuksioeve të shpërdarjes ( ose fuksioeve të desitetit të probabilitetit ). Le ta zbatojmë këtë Teoremë, për shembull, ë rasti e dy variablave X dhe Y që kaë shpërdarje biomiale. Meqë X ka shpërdarje biomiale, kjo do të thotë ga përkufizimi se: M X (t) = E ( e tx ) = e tx C x p x q x = C x (pe t ) x q x =(pe t + q). Gjithashtu, meqë edhe Y ka shpërdarje biomiale, mud të shkruajmë ë mëyrë aaloge: M Y (t) = E ( e ty ) = e ty C y p y q y = C y (pe t ) y q y =(pe t + q), pra si kokluzio, variablat X dhe Y, që kaë shpërdarje të jëjtë (biomiale), kaë të jëjti fuksio prodhues të mometeve. 4. Fuksioi prodhuesi i mometeve mud të zbërthehet ë seri ë jë zoë rrethuese të pikëst = 0. M X (t) = 1 + µ 1 t + µ! t + + µ r r! tr +0(t r ) (.3.1) Bazuar ë këtë zbërthim, tai bëhet e qartë se:kur jihe mometet e redeve të dryshme të jë dryshore rasti, mud të gjejmë fuksioi prodhues të

23 mometeve për të dhe bazuar tek teorema e uicitetit këtij fuksioi i korespodo vetëm jë fuksio i shpërdarjes. Fuksioi prodhues i mometeve mud të mos ekzistojë gjithmoë, dërsa jë fuksio tjetër që gjeero mometet ë mëyrë të gjashme me të, por që ekzisto gjithmoë është fuksioi karakteristik i jë dryshore rasti. Fuksioi karakteristik i jë dryshore rasti Përkufizim 17: Nëse X është jë dryshore rasti dhe t jë umër real, t ϵ R, atëherë fuksio karakteristik për X quhet pritja matematike e fuksioit g(x) = e itx, ku i është jësia imagjiare.shëohet me C X (t), t ϵ R, dhe me simbole jepet kështu: C X (t) = E(e itx ) = e itx ip(x = x i ), ëse X është dryshore diskrete. C X (t) = E(e itx ) = { i + e itx df(x), ëse X është dryshore e vazhduar. 1. Fuksioi karakteristik ekzisto gjithmoë sepse E e itx = 1, ku e itx = cos tx + i si tx. Nëse Y = a X + b, atëherë: C Y (t) = e ibt C X (at) 3. Fuksioi karakteristik përcakto ë mëyrë të vetme shpërdarje probabilitare. Teorema e uicitetit.3.: Nëse dy dryshore rasti të vazhduara kaë të jëjti fuksio karakteristik atëherë ato kaë dhe të jëjti fuksio shpërdarje. Kështu, ëse dy dryshore rasti kaë të jëjti fuksio karakteristik (me përjashtim të jë bashkësie të umërueshme pikash) atëherë ata kaë të jëjtë shpërdarje dhe aasjelltas.kjo veti e fuksioeve karakteristike a jep jë mëyrë alterative për të arritur te shpërdarja e jë dryshore rasti (Rao, 1973, fq ). 3

24 Nëse johim fuksioi e desitetit të jë dryshore rasti, ga përkufizimi, mud të gjejmë fuksioi karakteristik të saj. Aasjelltas, ëse johim fuksioi karakteristik të jë dryshore rasti, mud të gjejmë fuksioi e shpërdarjes ose të desitetit (kur ata ekzistojë), bazuar te formula e mëposhtme e iversioit. Formula e iversioit: Nëse X është jë dryshore rasti me vlera të plota, me fuksio karakteristikc X (t), atëherë mud të gjejmë desitetiφ X (k) të saj si më poshtë: π φ X (k) = 1 π e ikt C X (t) dt π dërsa ë rasti kur dryshorja X është e vazhduar dhe fuksioi i saj karakteristik është i itegrueshëm, kemi: φ(x) = 1 π + e ixt C X (t) dt (.3.) ( Në aplikime të dryshme, fuksioi karakteristik quhet dhe trasformimi Fourie i desitetit të dryshores së rastit X. Në jë sërë problemash praktike, shpesh është më e lehtë të gjedet fuksioi karakteristik i jë dryshore rasti dhe më pas prej formulës (.3.) të gjedet fuksioi i desitetit të X. Le të zbatojmë teoremë e uicitetit për dy dryshore X dhe Y që kaëshpërdarje biomiale.të tregojmë që ata kaë të jëjti fuksio karakteristik. Meqë X ka shpërdarje biomiale, atëherë kemi: C X (t) = E ( e itx ) = e itx C x p x q x = C x (pe it ) x q x =(pe it + q). Gjithashtu, meqë edhe Y ka shpërdarje biomiale, mud të shkruajmë ë mëyrë aaloge: C Y (t) = E ( e ity ) = e ity C y p y q y = C y (pe it ) y q y =(pe it + q), pra si kokluzio, dryshoret e rastit X dhe Y, që kaë shpërdarje të jëjtë (biomiale), kaë të jëjti fuksio karakteristik ashtu siç kishi edhe të jëjti fuksio prodhues të mometeve. 4

25 4. Fuksioi karakteristik C X (t), lidhet me mometet e dryshores së rastit X me aë të jë relacioi që është shumë i rëdësishëm dhe i dobishëm për t u përdorur ë situata praktike. µ r = i r dr dt r C X (t) t=0 (.3.3) 5. Nëse ekzistojë mometet E (X r ), atëherë C X (t) mud të zbërthehet ë seri të Mc Lauri rreth pikës t = 0 si më poshtë: C X (t) = 1 + (it)e(x) + (it)! 6. Jepet dryshorja e rastit X, atëherë: E(X ) + + (it)r r! E(X r ) + 0(t r ). Nëse fuksioi prodhues i mometeve përcakto ë mëyrë të vetme shpërdarje probabilitare atëherë edhe fuksioi karakteristik e përcakto atë ë mëyrë të vetme (ka ved edhe pohimi i aasjelltë).kjo do të thotë se bazuar te fuksioi prodhues i mometeve ose fuksioi karakteristik, mud të isemi prej jërit për të treguar se tjetri përcakto ë mëyrë të vetme shpërdarje. (Gut, 005,fq ). Vërtet, ëse për dryshore e rastit X johim fuksioi e saj karakteristik C X (t), prej formulës (.3.3) mud të gjejmë mometet e redeve të dryshme dhe kështu prej (.3.1) gjejmë fuksioi prodhues të mometeve.më pas, bazuar ë teoremë e uicitetit të fuksioit prodhues të mometeve kokludojmë se edhe fuksioi karakteristik përcakto ë mëyrë të vetme shpërdarje probabilitare. Teoremë.3.3: (shumëzimit) Le të jeë X 1, X,..., X, dryshore të rastit të pavarur, për të cilët ekzistojë fuksioet prodhuese të mometeve për t < h > 0. Nëse shëoj: S = X 1 + X +. +X, atëherë: C S (t) = C X1 (t) C X (t) C X (t). Për më shumë, ëse X 1, X,..., X kaë të jëjtë shpërdarje, atëherë:c S (t)=(c X1 (t)). Teoremë.3.4: Nëse X 1, X,..., X është zgjedhje ga popullimi me fuksio shpërdarje F(x), fuksio karakteristik C (t) dhe jaë të pavarur, atëherë: statistika x = 1 x i=1 i, ka fuksio karakteristik ψ(t)=[c ( t )] 5

26 Vërtet, + + ψ (t) = e i t x 1 df(x 1 ) e i t x df(x ) e i t x df(x ) = = C ( t ) C ( t ) C ( t ) = [C ( t )] Gjejmë tai fuksioi karakteristik për dryshore e rastit X që ka shpërdarje ormale me parametra μ dhe σ, pra X~N(μ, σ ). Pohim: Nëse X~N(μ, σ ), atëherë fuksioi i saj karakteristik është Vërtet, C X (t) = e itμ t σ + 1 C X (t) = σ π eitx e (x μ) + 1 σ dx = σ π (x μ) eitx σ dx = = e itμ t σ + 1 σ π e 1 (x μ σ itσ) dx = zv: x μ σ itσ = z =e itμ t σ + 1 σ π e z σ dz = e itμ t σ Kokluzioi: Nëse X~N(μ, σ ) atëherë C X (t) = e itμ t σ Rast i veçatë: Nëse X~N(0,1) atëherë C X (t) = e t Ne, mud të mbështetemi tek fuksioi karakteristik i dryshores së rastit me shpërdarje ormale si dhe tek teorema e uicitetit të fuksioit karakteristik për të gjetur shpërdarjet e disa statistikave të tjera si: z = i=1 x i dhe të x = 1 x i=1 i o Për dryshore z = i=1 x i kemi: C z (t) = [C x (t)] = e itμ t σ. Kjo do të thotë se dryshorja e rastit z ~N(μ, σ ). 6

27 o Për dryshore e rastit x = 1 x i=1 i kemi C x (t) = [C x ( t )] = e itμ t σ Kjo do të thotë se dryshorja e rastit x ~ N(μ, σ ). Teoremë.3.5:Le të jeë ( x 11, x 1,, x 11 ), ( x 1, x,., x ), dy zgjedhje të pavarura respektivisht me vëllim 1 dhe ga bashkësitë N(μ 1, σ 1 ) dhe N( μ, σ ) N.q.s c i 0, i = 1, atëherë f = c 1 X + 1 c X ka shpërdarje N( i=1 c i μ i ; c i σ i i=1 ) i Vertetim: (me dihmë e fuksioit karakteristik) Meqë X 1 ~ N(μ 1, σ 1 ), atëherë: del sex 1 ka fuksio karakteritik: C x1 (t) = E ( e itx 1 ) = exp (itμ 1 t σ 1 ) C x1 (t) = [ C( t )] 1 1 ga kjo c 1 X 1 ka fuksio karakteristik: C (t) = [C c1 x 1 x 1 ( c 1t )] 1 = exp (itc 1 μ 1 t σ 1 c 1 1 Njësoj, meqë X ~ N(μ, σ ), atëherë: ga kjo X ka fuksio karakteritik: C x (t) = E (e itx ) = exp (itμ t σ ) C x (t) = [ C x ( t )] prej këtu del se c X ka fuksio karakteristik: 1 ) C (t) = [C c x x ( c t )] = exp (itc μ t σ c ) 7

28 Atëherë ga pavarësia e zgjedhjeve, kemi që: ka për fuksio karakteristik: f = c 1 X + 1 c X C (t) C c1 x 1 c (t) = exp (itc x 1μ 1 t σ 1 c 1 ) exp (itc μ t σ c ) = 1 = exp [(it(c 1 μ 1 + c μ )] t (c 1 σ 1 + c σ ) 1 Prej këtu del se fuksioi f = c 1 X +c 1 X, ka shpërdarje ormale Rast i veçatë: N( i=1 c i μ i ; c i σ i i=1 ) i o N.q.s c 1 = 1 dhe c = 1, atëherë fuksioi liear f = X 1 X, ka shpërdarje N (μ 1 μ, σ 1 + σ ) 1 o N.q.s c 1 = 1 dhe c = 1, atëherë fuksioi liear f = X 1 + X, ka shpërdarje N (μ 1 + μ, σ 1 + σ ) 1 o N.q.s zgjedhjet e pavarura jaë ga bashkësia ormale e ormuar, atëherëfuksioi liear f ka shpërdarje N(0, ) Teorema.3.5 mud të përgjithësohet edhe ë rasti e zgjedhjeve të pavarura kështu: Le të jeë ( x 11, x 1,, x 11 ), ( x 1, x,., x ), (x k1, x k,, x kk ) k zgjedhje të pavarura respektivisht me vëllime 1,, k ga bashkësitë N( μ 1, σ 1 ),N( μ, σ ),,N(μ k, σ k ).N.q.s c i 0, i = 1,, k atëherë: fuksioi f = c 1 X + 1 c X + +c k X k ka shpërdarje ormale k N( i=1 c i μ i ; c i k σ i i=1 ) i 8

29 Bazuar ë kuptimet e fuksioit prodhues të mometeve si dhe të fuksioit karakteristik, mud të flasim për kovergjecë ë shpërdarje të jë vargu dryshoresh rasti. Teorema Levy-Cramer.3.6 (pa vertetim): shpërdarje KNM që X X, pra që lim F X (x) = F X (x), është që: lim C X (t) = C X (t), ku C X (t) është fuksioi karakteristik i dryshores së rastit X dhe C X (t) i vazhduar ë pikë t=0. (Resick,1999,fq ). Teoremë.3.7 (pa vertetim)(loeve,1977, fq 13) Le të jetë {X } jë varg dryshoresh rasti dhe F (x),m X (t) përkatësisht fuksioi i shpërdarjes dhe fuksioi prodhues i mometeve i vektorit X={X 1, X, X } si dhe F(x) dhe M X (t) fuksioi i shpërdarjes dhe ai prodhues i mometeve të dryshores së rastit X.Themi se vargu {X } kovergjo ë shpërdarje tek X atëherë dhe vetëm atëherë kur: lim M X (t) = M X (t), për çdo t ] h; h [. Rezultati i kësaj teoreme (si dhe ai i teoremës Levy-Cramer) është i rëdësishëm dhe me vlera praktike.në rasti kur duam të gjejmë limiti e vargut të dryshoreve të rastit: Në fillim gjejmë limiti e vargut korespodues të fuksioeve prodhues të mometeve. Shohim ëse ky limit është fuksio prodhues për dojë dryshore rasti X. Kokludojmë se X është limiti i vargut fillestar të dryshoreve të rastit. Në kapitulli e tretë, jaë treguar zbatime të këtyre teoremave që tregojë se si shpërdarja ormale apo ormale e ormuar, mud të shihe si shpërdarje limite (asimptotike) për vargje të veçata të dryshoreve të rastit.prej këtu del se shpërdarja ormale apo ormale e ormuar mud të shërbejë si përafrime të shpërdarjeve për të tilla vargje. 9

30 KAPITULLI III Përafrimi i shpërdarjes së jë statistike me shpërdarje ormale Në teorië e probabilitetit, baza empirike mbi të cilë mbështetet modelimi i feomeeve të rastit është llogaritja e dedurive relative.ndërsa ë statistikë, vedimet apo kokluzioetbazohe tek zgjedhjet e mëdha (ëse është e mudur).kjo dodh sepse zgjedhjet e mëdha kaë efekt zbutës, rastësia që është gjithmoë e praishme tek zgjedhjet e vogla, këtu zbutet. Për shembull, përdorimi i shpeshtë i shpërdarjes ormale mbështetet ë fakti që: ë jë zgjedhje, mesatarja aritmetike ka shpërdarje afërsisht ormale kur umri i elemeteve të zgjedhjes është i madh. Gjithçka mbështetet ë kocepti e kovergjecës: o Çfarë dodh me vargu {X } kur rritet? o Çfarë dodh me shumë X 1 + X + + X me rritje e? o Çfarë dodh me max {X 1, X,, X } me rritje e? etj Më poshtë do të tregojmëdisa mosbarazime probabilitare të rëdësishme, lloje të dryshme të kovergjecës si dhe ligjet e umrave të mëdhej dhe teoremat qedrore limite, pjesë mjaft e rëdësishme e teorisë së probabilitetit. 3.1 Mosbarazime probabilitare të rëdësishme Këto mosbarazime jaë të dobishme si istrumete mbi të gjitha ë ato raste kur duhet të vërtetohe vetitë asimptotike të dryshoreve të rastit me shpërdarje probabilitare të çfarëdoshme. Teoremë (Mosbarazimi i Markovit) Në qoftë se X është dryshore rasti, që merr vlera jo egative, atëherë a > 0 dhe β 0 kemi: P(X a) E(Xβ ) a β 30

31 Teoremë 3.1. (Mosbarazimi i Chebyshev-it) Nëse X është jë dryshore rasti me shpërdarje çfarëdo (uk ka rëdësi shpërdarja probabilitare), me mesatare μ dhe variacë σ, atëherë ε > 0 kemi: P( X μ ε) σ ε Mosbarazimi i Chebyshev-it mud të shkruhet ë këto dy forma alterative: o P( X μ < ε) 1 σ ε dhe kur ε = kσ, ku k është umër i plotë pozitiv, kemi: o P( X μ < kσ) 1 1 k ose P( X μ kσ) 1 k (3.1.1) Rrjedhim: Në qoftë se dryshorja e rastit X ka E(X) = E (X ) = σ = 0 atëherë: P(X=0) =1 3. Lloje të dryshme të kovergjecës të jë vargu dryshoresh të rastit Le të jetë (X 1, X,..X, ) jë proces stokastik, me kompoete reciprokisht të pavarura. Çdo bashkësi prej elemetesh të tilla është zgjedhje me vëllim ga bashkësia që ka fuksio shpërdarje F(x). Ky proces stokastik shpesh quhet zgjedhje thjesht e rastit ga bashkësia e pafudme ose zgjedhje rasti ga shpërdarja probabilitare. Ekzistojë mëyra të dryshme për të përcaktuar kovergjecë e jë vargu dryshoresh rasti {X } drejt jë dryshore rasti X. Përkufizim 18: Themi se vargu {X } kovergjo te X sipas masës propabilitare ëse: P( lim X = X) = 1 Në këtë rast flitet për kovergjecë të fortë ose pothuajse kudo. 31

32 Përkufizim 19: Themi se vargu {X } kovergjo tek X sipas masës probabilitare, ëse ε > 0 kemi: lim P( X X < ε) = 1 Në këtë rast flitet për kovergjecë të dobët. Përkufizim 0: Themi se vargu {X } kovergjo te X sipas katrorit mesatar ëse: Teoremë 3..1: lim E(X X) = 0 Jepet vargu {X } i cili kovergjo sipas probabilitetitte dryshorja e rastit X për që rritet pa mbarim, pra: X p X Në këto kushte provohet se vargu {X } kovergjo ë shpërdarje te X për që rritet pa mbarim: Vërtetim: X shpërdarje F X (x) = P X (X x) = P X,X ((X x) ( X X ε))+ + P X,X ((X x) ( X X > ε)) (3..1) ga aa tjetër: ((X x) ( X X ε)) ((X x) (X X ε)) = (X x + ε) si dhe atëherë prej (3..1) kemi: ((X x) ( X X > ε)) ( X X > ε) F X (x) P X (X x + ε) + P X,X( X X > ε) Këtu kalojmë ë limit për që shko ë ifiit. X 3

33 Meqë lim P X,X( X X > ε) = 0 kemi: gjithashtu kosiderojmë: lim F X (x) F X (x + ε) F X (x ε) = P X (X x ε) = = P X,X ((X x ε) ( X X ε))+ P X,X ((X x ε) ( X X > ε)) duke arsyetuar ë mëyrë aaloge si më sipër kemi: ((X x ε) ( X X ε)) ((X x ε) (X X ε)) = (X x) dhe Atëherë: ((X x ε) ( X X > ε)) ( X X > ε) lim F X (x) F X (x ε) Si përfudim F X (x ε) lim F X (x) F X (x + ε) Kjo do të thotë se ëse x është pikë vazhdueshmërie për fuksioi F X (x), kemi: lim F X (x) = F X (x) pra X shpërdarje Më poshtë do të tregojmë tai disa prej pohimeve që tregojë lidhje ë mes llojeve të dryshme të kovergjecës. (Për të treguar që formulimet e dryshme të kovergjecës ë shpërdarje jaë ekuivalete mud t i referohemi Parze,199,fq ). Teoremë 3..: Nëse P(lim X = X) = 1 atëherë X Protter, 000, fq 144) Kjo teoremë trego se ga kovergjeca pothuajse kudo del kovergjeca sipas masës probabilitare, pra: X pothuajse kudo X X p X X p X (Jacod dhe 33

34 Vërtetim: Prej X pothuajse kudo X, del se: ε > 0, N ε, > N ε, P( X X < ε) 1 Kjo do të thotë se: lim P X,X( X X < ε) = 1 >N ε (3..) Ngjarja: X X < ε) >N ε X X < ε Prej këtu: P X,X( >N ε X X < ε) P( X X < ε) Duke kaluar ë limit për që shko ë ifiit dhe prej (3..) del se: Nga kjo del se: lim P X,X( X X < ε) = 1. lim P X,X( X X ε) = 0,praX p Teoremë 3..3: Nëse vargu {X } kovergjo te X sipas katrorit mesatar atëherë ai kovergjo edhe sipas masës probabilitare te X. Kjo teoremë mud të paraqitet skematikisht kështu: X X katror mesatar X X p X Vërtetim: Meqë {X } kovergjo te X ë katror mesatar atëherë: lim E(X X) = 0 (3..3) Bazuar ë mosbarazimi e Chebyshev-it mud të shkruajmë: P( X X ε) 1 ε E(X X) Te ky mosbarazim duke kaluar ë limit për, që shko ë ifiit, dhe prej barazimit (3..3) kemi: lim P X,X( X X ε) = 0, pra X p X 34

35 Teoremë 3..4: Nëse g është fuksio i vazhdueshëm dhe atëherë kemi: g(x ) pothuajse kudo (marrë prej: X pothuajse kudo g(x) Vërtetim: Meqë fuksioi g është i vazhdueshëm kemi që kur X X atëherë g(x ) g(x). E shprehur me gjuhë e gjarjeve kjo do të thotë se: Prej këtu del: {ῶ Ω: X (ῶ) X(ῶ)} {ῶ Ω: g(x (ῶ)) g(x(ῶ)} P(g(X ) g(x)) P(X X). (3..4) X Nga kushti, meqë kemi: edhe: P(lim X = X) = 1 dhe prej (3..4) del se P[ lim g( X ) = g(x)] = 1 Teorema Slutsky (Lubia,1999, fq6) Le të jeë {X } dhe {Y }dy vargje dryshoresh rasti dhe α jë kostate. Në qoftë se {X } shpërdarje X dhe {Y } probabilitet α, atëherë: shpërdarje o X + Y X + α shpërdarje o Y X α X o X shpërdarje X Y α për α 0 35

36 Vërejtje: o Pohimi i dytë vle edhe ë rasti kur α = 0.Në këtë rast themi se shpërdarje Y X 0 o Kjo teoremë është e vërtetë edhe ë rasti kur {Y } është jë varg matricash me përmasa (k k) që kovergjo sipas probabilitet (elemet për elemet) tek matrica A me përmasa (k k). Në këtë rast pika e tretë e kësaj teoreme duhet kuptuar si: Y 1 shpërdarje X A 1 X, ëse matrica A ka të aasjelltë 3.3 Ligjet e umrave të mëdhej Ka situata praktike ë të cilat, duke pasur jë bashkësi të umërueshme vlerash të jë madhësie të pajohur (për shembull, të jë madhësie fizike), secila prej të cilave përmba gabime të rastit, duhet të vlerësohet vlera reale e madhësisë. Zgjidhja e këtij problemi kosisto ë gjetje e mesatares aritmetike të vleravetë vrojtuara idividuale. Eksperieca sugjero se me rritje e umrit të vrojtimeve mesatarja aritmetike e vlerave të vrojtuara teto drejt jë kostate që mud të merret si vlera e pajohur e madhësisë. Pozicioimi i mesatares, ë rasti e kryerjes së jë umri të kosiderueshëm vrojtimesh, jihet si ligji empirik i umrave të mëdhej. Në teorië e probabiliteteve, ekzistojë disa teorema që quhe ligjet e umrave të mëdhej që përmbajë kushte të mjaftueshme dhe mbështesi ligji empirik të umrave të mëdhej. Në kushtet kur ligji i umrave të mëdhej bazohet te kovergjeca sipas masës probabilitare të jë vargu dryshoresh rasti atëherë ai mud të quhet edhe Ligji i Dobët i Numrave të Mëdhej, dërsa ë rasti kur ai bazohet ë kovergjecë e fortë ose pothuajse kudo ai quhet Ligji i Fortë i Numrave të Mëdhej Teorema Khitchi Teoremë 3.3.1: N.q.s(X 1, X,, X ) është zgjedhje ga bashkësia me fuksio shpërdarje F(x), për të cilë ekzisto E(x) =μ e fudme, atëherë vlera mesatare x p μ 36

37 Vërtetim: Fuksioi karakteristik C(t) që i korrespodo F(x), mud të paraqitet ë formë (ë zoë rrethuese të pikës t=0): C(t) = 1 + i μ t + 0(t), m.q.s μ ekzisto (dimë se: N.q.s dryshorja e rastit X ka momet të redit r, atëherë ë jë zoë rrethuese të pikës t=0, fuksioi C(t) mud paraqitet: r (it) k C(t) = 1 + k=1 μ k + 0 (t r ) (3.3.1) k! Prej këtu, duke zbatuar (3.3.1), ku μ r për r = 1ështëμ 1 = μ, kemi: r (it) k C(t) = 1 + h=1 μ h! k + 0 (t r ) = 1 + i μ t + 0(t) (ë zoë rrethuese të pikës t=0) Meqë x ka fuksio karakteristik [C ( t )], ë rasti toë kemi: [C ( t )] = [1 + iμ t + 0( t )] lim [C ( t )] = lim [1 + iμ t + 0( t )] = = exp lim [1 + iμ t + 0(t) 1] = exp lim (iμt + 0 ( t )) = eiμt sepse: 0( t ) 0 t, pra φ x (t) e iμt ( i vazhduar) Gjejmë tai fuksioi karakteristik të madhësisë së rastit μ, që e kosiderojmë si dryshore rasti diskrete me jë vlerë, me tabelë shpërdarje: X P 1 0 Në rasti toë, dryshorja e rastit diskrete merr vetëm jë vlerë (X = μ), është e degjeeruar. Fuksioi e shpërdarjes e shëojmë: F(x) = { 1 për x μ 0 për x < μ 37

38 Duke ditur që fuksioi karakteristik për dryshore e rastit diskrete është: C(t) = e itx k kp k, për rasti toë (x = μ ) kemi C (t) = e itμ 1=e itμ. Arritëm që C X (t) dhe C μ (t) e itμ për, ga këto rezultate probabilitet duke u bazuar ë Teoremë Levy-Cramer (më poshtë) kokludojmë që: x μ probabilitet Teoremë: Koditë e evojshme dhe e mjaftueshme që vargu i dryshoreve të rastit ( X 1, X,..X,..) sipas shpërdarjes për (pra që F (x) F(x)) është që për çdo t, vargu i fuksioeve karakteristike: C 1 (t), C (t),.. C(t) dhe fuksioi C(t) të jetë i vazhduar për t = 0. Në këto kushte fuksioi limit C(t) përputhet me fuksioi karakteristik të dryshores së rastit X. Pra meqë e itμ është fuksioi karakteristik për x dhe i vazhduar ë t=0, direkt rrjedh që: x p Vërejtje: N.q.s ë Teoremë Khitchi, supozojmë se dryshorja e rastit X ka: E(x) = μdhe Var(x) = σ të fudëm, atëherë: x p Vërtetim: Sipas mosbarazimit të Chebyshevit kemi: P ( x μ ε) Var(X) = σ ε ε μ μ (P x μ tσ) 1 t ; σ 0 lim P( x μ ε) lim = 0, ε Pra x p μ X 38

39 Përgjithësim i Teoremës Khitchi, rasti k dimesioal (pa vërtetim) Teoremë 3.3.: Jepet(X 1, X, X k ) zgjedhje ga bashkësia me fuksio shpërdarje F(x 1, x,,x k ), ku X 1 = (x 11, x 1,., x 1 ) është zgjedhje ga popullimi me E(x) = μ 1, X = (x 1, x.x ) është zgjedhje ga popullimi me E(x) = μ,, X k = (x k1, x k...x k )është zgjedhje ga popullimi me E(x) = μ k. Nëse vektori E(x) = μ = (μ 1, μ,, μ k ) është i fudëm, atëherë: x = ( x 1... ) x k p μ = ( μ 1... μ k ) Teoremë (e Kolmogorov 1, pa vërtetim) Jepet {X } jë varg dryshoresh rasti të pavarura, të tillë që:e(x ) = μ dhe Var(X ) = σ. Atëherë, ëse seria σ i i=1 është kovergjete, kemi që vargu {X i μ } këaq ligji e fortë të umrave të mëdhej, pra P(lim X = μ ) = 1 (për vërtetimi mud t i referohemi Rao, 1973, fq ) Teoremë (e Kolmogorov, pa vërtetim) Nëse {X } është jë varg dryshoresh rasti të pavarura dhe me shpërdarje të jëjtë atëherë koditë e evojshme dhe e mjaftueshme që P(lim X = μ ) = 1 është që të ekzistojë E(X ) dhe të kemi: E(X ) = μ. (për vërtetimi mud t i referohemi Rao, 1973, f ) Më poshtë, është paraqitur formulimi i Beroullit për Ligji e Numrave të Mëdhej. Jepet {X } jë varg dryshoresh rasti të pavarur dhe me shpërdarje të beroullit, pra të gjeeruara ga prova beroulliae.shëoj me p probabiliteti e suksesit dhe me q = 1 p, probabiliteti e dështimit. 39