PAST YEARS OLYMPIAD PROBLEMS

Size: px

Start display at page:

Download "PAST YEARS OLYMPIAD PROBLEMS"

Emory Shepherd
5 years ago
Views:

1 PAST YEARS OLYMPIAD PROBLEMS 0-Fz-th grdes Solve the eqution = 5 Sides of tringle form n rithmetic sequence with common difference, nd its re is 6cm Find its sides In right tringle ABC ( C = 90 o ), CD is the height Let r nd r be the rdii of inscribed circles of tringles ACD nd DCB Find the rdius of inscribed circle of tringle ABC Solve the eqution sin (π log ) + cos (π log ) = 5 Prove tht if the ngles α nd β stisfy sin(α + β) = sin α then α < β Prove the inequlity < Fz-0th grdes Let M be point inside of tringle nd, nd distnces of point M to the sides And heights dropped to those sides re h, h nd h, respectively Prove tht + + = h h h { ( Find + y where nd y stisfy the system: y ) = y(y ) = 0 Find the mimum vlue of the epression, where > 0, b > 0 nd > 0 + b 5 Find ll vlues of if the eqution, 75 + = 0 hs two roots, one is squre of the other

2 REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE Viti mësimor 0-0 Fz e dytë Kls 9 Thjeshtoni + Vërtetoni se përgjysmoret e këndeve të nëshkrur brinjës nësore të një trpezi priten në një pikë të vijës së mesme të tij Shprehj + b+c merr vlerën më të mdhe 5 për = Gjeni b dhe c Shpjegoni si do të ndërtoni me sktësi segmentin me gjtësi 6 cm 5 Zgjidhni ekucionin ( + ) ( + 6)( - ) = 9 6 Në një trekëndësh këndrejtë lrtësi mbi hipotenuzë e ndn të në dy segmente të tillë që diferenc e tyre është s një ktet i trekëndëshit Gjeni këndet e trekëndëshit 7 Jepet trekëndëshi këndrejtë me rreze të rrthëve të brëndshkrur dhe jshtëshkrur përktësisht r dhe R Vërtetoni se shum e kteteve të tij është e brbrtë me r+r 8 Zgjidhni ekucionin ( +) = (- ) SHËNIM Çdo pyetje vlerësohet me 0 pikë

3 REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE Viti mësimor 0-0 Fz e dytë Kls 0 Zgjidhni ekucionin = 6 + y = Numrt dhe y jnë zgjidhje të sistemit y = 78 + Gjeni vlert që + y të mrrë vlerën më të mdhe Jepet trekëndëshi ABC,këndrejtë në C, ku CD lrtësi e tij Vërtetoni se CD+AB > AC+BC Rrënjët e ekucionit ++=b jnë numr ntyrorë Vërtetoni +b është numër i përbërë 5 Në një rreth është brendshkrur një trekëndësh ABC Lrgësitë e kulmeve AdheC ng tngentj e hequr në B jnë dhe b Gjeni lrtësinë e trekëndëshit të hequr mbi AC 6 Brend trekëndëshit brbrinjës meerret një pikë O e tillë që OA=cm;OB= cm dhe OC= 5cm Gjeni këndin AOB 7 Të zgjidhet ekucioni +8-7=0 8 Gjeni vlerën më të vogël të shprehjes y + yz + z = y z y y + z z + nëse >0; y>0; z>0 dhe SHËNIM Çdo pyetje vlerësohet me 0 pikë

4 REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE Viti mësimor 0-0 Fz e dytë Kls Zgjidhni ekucionin log sin(- )=0 Zgjidhni ekucionin +(sinφ -)- cos φ =0 Për ç vler të φ ekucioni k dy rrënjë të till që shum e ktrorëve të tyre rrin vlerën më të mdhe? Zgjidhni ekucioni = 8 - Jepet trekëndëshi ABC, ku CD është lrtësi e tij mbi AB Vërteoni se nëse CD =AD DB, tëhere këndi ACB është i drejtë 5 Vërtetoni mosbrzimin + + < log π log π log π 5 6 Zgjidhni ekucionin 9 6 = + A 7 Në një trekëndësh ABC me brinjë ;b;c provoni që h bc cos ( ku h lrtësi mbi brinjën ) 8 Në sektorin rrethor me kënd 60 o dhe rreze njësi brendshkruhen drejtëkëndësh ( dy kulme në hrk dhe dy të tjerët në rrezen e sektorit)gjeni vlerën më të vogel të syprinës së drejtëkëndëshit SHËNIM Çdo pyetje vlerësohet me 0 pikë

REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE Viti mësimor 0-0 Fz e dytë Kls π Vërtetoni se për 0, është i vërtetë mosbrzimi sin > Zgjidhni ekucioni + 5 + =

5 REPUBLIKA E SHQIPËRISË MINISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE Viti mësimor 0-0 Fz e dytë Kls π Vërtetoni se për 0, është i vërtetë mosbrzimi sin > Zgjidhni ekucioni = 5 Në trekëndëshin ABC, këndi A është më i vogli ng këndet e tijlrtësi e hequr ng A dhe mesorj e hequr ng kulmi B jnë kongruentetë vërtetohet se ms e këndit B është 60 0 Vërtetoni se ndër 0 numr ntyrorë mund të zgjidhen dis që shum e tyre të plotpjestohet me 0 5 Zgjidhni sistemin y + = y + + y + y = 6 Vërtetoni brzimin +sin70 o = sin 0 o 7 Gjeni të gjith funksionet f() që vërtetojnë brzimin ' f ()sin-f()cos = sin () 8 Zgjidhni ekucionin log 6 ( + ) = log SHËNIM Çdo pyetje vlerësohet me 0 pikë

6 R EPUBLIKA E SHQIPËRISË M INISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS A GJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE K ls 9 Fz e dytë Viti mësimor 0-0 Një klsë k 8 nënës N g kët 8 merren me n ot, 8 me futboll, kurse 7 nënës merren me të dy l lojet e sporteve S nënës nuk merren s me f utboll dhe s me not? Nënës që merren vetëm me not jnë 8-7 = Nënës që merren vetë m me futboll jnë 8-7 = Nënës që merren me not dhe futboll jnë ++ 7 =5 Nënës që nuk merren me këto dy lloj sportesh jnë 8-5= Nënës i duhet t i prqe së bshkësitë me digrm të V enit Ndër toni grfikun e funksionit y= për 0 Funksioni prqitet y= Pr grfiku prqitet si dy gjysmë drejtë z për 0 Nënësi duhet të ndërtojë g rfikun P ërcktoni koeficientët,b dhe c në mënyrë që grfiku i funksionit y = + b+c, R të klojë ng pikt A (-,00) B (, -) dhe C (,0) Me qënëse pikt A,B,C ndodhen në g rfik, koordintt e tyre vërtetojnë b rzimet: 00 bc bc D uke zgjidhur sistemin mrrim = -75; b = dhe c = 66 06bc N ë trpezin dybrinjënjëshëm digonlet jnë pingulevërtetoni që lrtësi dhe vij e mesme e tij jnë k ongruente Në t rpezin ABCD ( AB prlel me CD) heqim digonlet AC dhe BD, të c ilt priten në pikën O Trekëndësht AOB dhe COD jnë këndrejtë d ybrinjënjëshëm Lrtësitë m bi hipotenuzt e tyre jnë s g jysmt e bzve Kështu që lrtë si e trpezit është s gjysmës hum e bzve p r, s vij e mesme e t rpezit Nënësi duhet të skicojë figurë n y 5 Thjeshtoni thyesën: y y6

7 Numëruesi zbë rthehet ( y- )(y+), ndër s emruesi (y+)( y- ) Kështu që t hyes mbs thjeshtimit del y y 6 Për ç vler të m shprehj m k kuptim për çdo R Që shprehj të ketë kuptim për çdo R duhet që -m+ të jetë 0 për çdo R Kjo gjë rrihet kur D<0, pr kur m - < 0, pr - <m< 7 epet ekucioni m m0 Për ç vler të dhe m ky ekucion k dy rrënjë të J k undërt? Për të ptur dy rrënjë të kundërt duhet që m0 m Pr ose pë r m= dhe < m0 0 8 Përmst e një drejtkëndëshi jnë zmdhur përktës is ht me 5% dhe % secil Me s pë rqind është zmdhur syprin e drejtkëndë s hit? Shënojmë përmst e drejtkëndë shit dhe b Përmst e rej bëhen,5 dhe,0b Syprin në fillim është b, ndërs ps rritjes së përmsve bë het, b P r syprin është r ritur me 0, ose 0% 9, Jepet <<b Thjeshton i shprehjen b b b Për kushtin e dhënë b = b-; Pë r fundimisht shprehj del b b b= (b) = b- ; = - 0 D y çiklistë nisen njëkohësisht, n jëri ng qyteti A dhe tjetri ng qyteti B në drejtim të njëritjetrit Ps t kimit të tyre, ç iklisti që niset ng A mbërrin në B p ër 6 minut, kurse tjetri mbërrin në A për 9 m inut P ër s minut e bën rrugën secili çiklist? A C B Shënojmë shpejtësinë e çiklistit që niset ng A Y shpejtësi e çiklistit që n iset n g B Shënojmë me t koh e udhëtimit deri në pikën e tki mit y 6 y 6 ty Formojmë sistemin ose 9 ose, n g del t=min 9y t y 6 6 ty t Koh e të prit +9=min, kurse e të d ytit +6=8 min

8 REPUBLIKA E SHQIPË RISË M INISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS A GJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE K ls 0 Fz e dytë Viti mësimor 0-0 Ndër toni grfikun e funksionit y = - 0 për 0 F unksioni p rqitet për 0 Nënësi duhet të ndërtojë g rfikun Të gjëndet syprin e drejtëkëndëshit me digonle 0cm dhe kë nd ndërmjet digonleeve 0 o o Në drejtëkëndëshin ABCD digonlet priten në pikë n O Kën di DOC= 0 p rndj kë ndi AOD=60 o Trekëndë shi AOD është brbrinjës me brinjë 0cm, p rndj syprin e tij është 5 cm Syprin e drejtëkëndë shit është 00 cm Nënësi duhet të skicojë figurë n Për ç vlerë të m sistemi Sistemi ketë y k një zgjidhje të vetme m y 5 y m5 merr trjtë n Që sistemi të ketë një zgjidhje duhet (m) 0 vetëm një z gjidhje, p r D= 0 ose (+m) -6=0, pr për m = os e m = -5 ekucioni Të zgjidfhet ekucioni Shënojmë 69 = m Ekucioni m er trjtë n m m 6 o se m = ose 6-9= ose =0, pr = 5 Përç vlerë të k rrënjët dhe t ë ekucionit k - += 0(k 0 ) plotësojnë kushtin = Kushti dotë thotë që ekucioni k dy rrënjë të b rbrt P r duhet D= 0, ose 6-8 k= 0, o se k= y 6 T ë vërtetohet se nëqoftëse +y=, tëhere + 0 i dytë të Duhet të provojmë që + y 0, ose 0 +0y, ose +6y y,o s e (+y) -6y y, ose -6y +6 + y ose ( - y) 0, e cil është e vërtetë 7 Për cilt vler të 0 ekucioni +sin = sin k një zgjidhje të vetme për o,

9 Me qënëse +sin dhe sin, eku cioni k zgjidhje kur sin=, pr = dhe +sin =, ose sin = 0, n g del =0 y z Të vërtetohet se në se y yz z 0 tëhere y 0 yz 0 z 0 Supozojmë që 0 Ng relcioni i prë del y+z> 0, kurse ng i treti del yz 0 P r kemi ( y z) 0 ose y+z+yz 0 ( bsurditet) Pr duhet të jetë > 0 Njël loj provohet që y >0 dhe z>0 yz 0 9 Tregoni në plnin k oordintiv bshkësinë e pikve, k ord intt e të cilve plotësojnë kushtin < y< Bshkësi e pikve të plnit që plotësojnë kushtin është bshkë si e pikve mbi grfikun e prbolë s y= dhe poshtë drejtë z ve y= dhe y= - Nënësi duhet të ndërtojë g rfikun 0 Të zgjidhet ekucioni, ln sin(+ ) =0 Ng brzimi del sin(+ ) =, =k dhe k N ose sin 0= për < 0 ( i cili s k zgjidhje), ose sin= pë r >0 Pr

10 R EPUBLIKA E SHQIPËRISË M INISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS A GJENCIA KOMBËTARE E PROVIMEVE K ls Fz e dytë Viti mësimor 0-0 Të zgjidhet ekucioni + = Zëvendësojmë = t dhe e kucioni merr trjtë n t - t + =0 Zëvendësojmë t = y dhe kemi y - y+= 0, n g del y= ose y=, p r t= ose t=0 Pë r fundimisht = ose =0 jeni bshkësinë e zgjidhjeve të inekucionit log < 0 G o Zgjidhje të inekucionit jnë, ose bshkë si e zgjidhjeve është ;0 0; Në t rpezin ABCD ( me bz AB e CD) jepen A dhe këndi përbllë tij C= G jeni AB në se BC=cm dhe CD=6cm Në t rpezin ABCD ( AB prle l me CD), h eqim CE prllel me AD Ktërkëndë shi AECD është p rlekogrm Ng kjo del që kën di CEB = E CB = Pr trekëndë shi ECB është dybrinjinjishëm Kështu që E B= dhe AE=6, p r AB=0c m Nënësi duhet të skicojë figurë n T ë zgjidhet ekucioni 8 Duke zëvendë sur = t, - ) = 5 Në trpezin dybrinjënjës hëm ABCD ( AB/ / CD) jepen A=60, AB dhe AD b Shprehni në të vektorëve dhe b Në t rpezin ABCD ( AB prllel me CD) h eqim digonlen AC dhe pingulen D E mbi AB Në figurë shohim: b b AE AE ( sepse vektori njës i i A B është i ) A C me 5

11 DC AE= - b Përfundimisht Nënësi duhet të skicojë figurë n AC b b 6 Për cilt vler të shum e ktrorëve të rrënjëve të ekucionit + ( sin- ) - cos rrin vlerën më të m dhe? Prodhimi vlerë m i rrënjë v e P= - cos, kurse shum S = sin- = S -P= -sin, e cil rrin n ë të mdhe për sin=-, ose = k - dhe = k + 7 Të zgjidhet ekucioni log log = log E kucioni trnsformohet (log) = l og, ng del log= 0, o se log=, p r = ose =0 8 Të vërtetohet se në çdo trekëndësh k vend mosbrzimi: p mm m p, ku m, m, m jnë mesoret e trekëndëshit dhe p p erimetri i tij Ndërtohet trekëndëshi ABC dhe hiqen mesoret e tij që priten në pikë n G Z gjsim ng pik A m esoren m përtej brinjës përbllë, edhe njëherë s gjtësi e sj ( në pikë n M), dhe shqyrtojmë prlelogrmin B ACM Në trekëndëshin ABM kemi m < b +c Duke veprur kë s htu edhe me mesoret e tjer mrrim: m < c+; m < + b Duke i mbledhur në për në të tre mosbrzimet del m +m + m < p Duke shqyrtur trekëndë s ht A GB; AGC dhe BGC kemi < m + m ; b< m + m d he c< m + m Duke i mbledhur në për në kemi p < m +m + m Nënësi duhet të skicojë figurë n 9 Duke ditur se k vend brzimi tg( sin) =,gjeni cos( R ) sin= k +, ose sin=k+ Që ekucioni të ketë z gjidhje duhet, k=0 ose k= -, ng del sin= o se sin= - G jeni c os 0 P ër ç vler të m ekucioni - +m-=0 k vetëm rrënjë r ele? Q ë ekucioni të ketë rrënjë rele duhet që c = 0 d he b<0 Pr m = = 0 6

R EPUBLIKA E SHQIPËRISË M INISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIM EVE K ls Fz e dytë Viti mësimor 0-0 Të zgjidhet ekucioni s insin= Mqs sin ekucioni k zgjidhje k ur sin=sin=,

12 R EPUBLIKA E SHQIPËRISË M INISTRIA E ARSIMIT DHE E SHKENCËS AGJENCIA KOMBËTARE E PROVIM EVE K ls Fz e dytë Viti mësimor 0-0 Të zgjidhet ekucioni s insin= Mqs sin ekucioni k zgjidhje k ur sin=sin=, ose sin=sin= -, gjë që n uk ndodh, pr e kucioni nuk k zgjidhje Gjeni koeficientët, b, c të polinomit P()= + b+c, duke ditur që P(+)+P(-)=8-6 +0, p ër ç do ng R Brzimi ps zvëndësimeve merr formën + b++b= , n g del = ; b= - dhe c= G jeni të gjith çiftet (;y) që j në zgjidhje të ekucionit, siny y, për e y 0; Me qënëse n e djthtë është, që ekucioni të ketë zgjidhje duhet që y = 0, y= Me këtë kusht ekucioni merr formën sin =, ose = k + Jepen vijt + y = (y>0) dhe y= Gjeni syprinë n e figurës që k ufizohet n g dy vijt Vij e prë është rreth me qëndër në O dhe rreze Vij e dytë është e përbërë ng dy gjysëmdrejtë z y= dhe y= -, që jnë pë rgjysmoret e kudrteve të I dhe të I I Figur e formur është s e rrethit Pr syprin e figurë s është Nënësi duhet të ndërtojë grfikë t 5 Të vërtetohet se ekucioni -0 + = nuk mund të ketë si zgjidhje snjë numër ntyror te k Pë r çdo numër ntyror tek është numë r tek, 0 dhe jnë n umr çift Pr n e mjtë do të dlë numër tek pë r çdo numë r tek, kurse n e djthtë është numë r çift(bsurditet) 6 Të vërtetohet që për çdo >0 k vend mosbrzimi - ln Shqyrtoj funksionin y= -ln- D erivti i tij është Shën j e t ij është negtive për 0; d he pozitive për > Pr për = funksioni rrin minimum Me qënëse funksioni është i vzhdueshëm, vler më e vogël e tij rrihet për = ( që është y = 0 ) Pr y 0 Nqs nënësi e zgjidh grfikisht të vlerë sohet me pikë 7

13 7 Gjeni vlerën e C n,k, ku n=5 dhe k= 6 Që të ketë kuptim C n,k duhet që k n, pr 6 5 Kjo ndodh kur Me qënëse k dhe rrjedh që N Pr =, o se = Pr çiftet ( n;k) jnë: ( 0;0) dhe ( 5;5) ler e C = V n,k 8 Nëse + b =7b (>0; b>0) vërtetoni që log b Ng + = 7b del (+b) = 9b, ose b 9 Provoni që për kemi log +log 0 b = = b, ose log ( log b +logb) = log+logb n N log +log = log + log log = + log = Numë ruesi është 0 Për log log log >log, o se log > -, o se log +>0 Pr edhe emrë esi është > 0 0 Të vërtetohet se për çdo 0 kemi e ++ Shqyrtojmë f unksionin y= e -- - y = e -- y = e - Me qënëse e, del që y 0 Kjo do të thotë që y (si funksion) është rritë s Mqs y (0)=0 del që y 0, ng kjo del që y rritë s Me y(0)=0 del që y 0, pr mosbrzimi u vë r tetu Nqs nënë si e zgjidh grfikisht të vlerë sohet me pikë qënëse 8

PART - III : MATHEMATICS

PART - III : MATHEMATICS JEE(Advnced) 4 Finl Em/Pper-/Code-8 PART - III : SECTION : (One or More Thn One Options Correct Type) This section contins multiple choice questions. Ech question hs four choices (A), (B), (C) nd (D) out