UNIVERSITETI POLITEKNIK I TIRANES METODA STATISTIKORE DHE ZBATIMET E TYRE

Transcription

1 UNIVERSITETI POLITEKNIK I TIRANES METODA STATISTIKORE DHE ZBATIMET E TYRE "Ndërtm dhe analza e një model probabltaro - statstkor për studmn e efektt të ndotjes në gjendjen shëndetësore të banorëve në zona ndustrale" M.Sc. Etleva Belu (Llagam) Udhëheqës Shkencor: Prof. Dr. Shpëtm Leka Trane 2015

2 REPUBLIKA E SHQIPERISE UNIVERSITETI POLITEKNIK TIRANE FAKULTETI INXHINIERISE MATEMATIKE & INXHINIERISE FIZIKE Departament Inxhnerse matematke DISERTACION paraqtur nga M.Sc. Etleva Belu (Llagam) për marrjen e gradës shkencore "DOKTOR" në Inxhner Matematke Tema: Metoda statstkore dhe zbatmet e tyre "Ndërtm dhe analza e një model probabltaro - statstkor për studmn e efektt të ndotjes në gjendjen shëndetësore të banorëve në zona ndustrale" Udhëheqës Shkencor: Prof. Dr. Shpëtm Leka Mbrohet më datë para jursë 1. Kryetar 2. Anëtar 3. Anëtar 4. Anëtar 5. Anëtar

3 Abstrakt Në këtë punm synohet që, me paraqtjen e metodave të ndryshme statstkore, analzën e detajuar të menyres së realzmt të tyre, t tregohet kujdes kushteve që ato kërkojnë për zbatm, dhe për më tepër, analzës së vlefshmërsë së tyre, apo s të thuash vlerësmn që model ndërtuar në bazë të të dhënave të zgjedhjes, të mund të përdoret për tërë popullmn. Kështu, gjatë studmt, synohet që krahas të përbashkëtave të metodave statstkore, të vërehen të vecantat e tyre, duke berë të mundur zgjedhjen e metodës më të përshtatshme në nje stuata konkrete. Të gjtha këto metoda janë përdorur për ndërtmn dhe analzën e një model probabltaro- statstkor për studmn e efektt të ndotjes në gjendjen shëndetësore të banorëve në zona ndustrale. Është paraqtur e përdorur metoda e njohur ANOVA, por jo vetëm s një metodë e krahasmt të mesatareve, por janë nterpretuar vlerësmet ntervalore me të clat ajo është shoqëruar, dhe përdorm saj gjere në përfundmet e analzave të tërë metodave të tjera. Metoda e Regrest Lnear te Shumëfshtë është parë në tërë llojshmertë e tj, jo vetëm të regrest tëzakonshëm, por edhe të atj Hrarkk dhe Stepwse, s metoda që japn përgjgje pyetjeve të ndryshme që lndn gjate modelmeve statstkore. Regres Logjstk, s metoda më e mrë e analzes së nje model te nje ndryshoreje rast kategorke, është përdorur, e madje është ndertuar edhe model probabltaro-statstkor per gjendjen e banoreve të zonës në pneumologj. MANOVA,s metodë e krahasmt të mesatareve të komponentëve të një vektor është aplkuar, e përfundmet e saj janë krahasuar me rezultatet me të mra te metodës Analzës se Komponentëve Kryesorë, në nterpretmn të gjendjes së gjendjes së përgjthshme të banorëve të zonës. Gershetm terëssë së këtyre metodave ndhmo edhe ne analzen komplekse të e problemeve banoreve në hematologj. I

4 Përmbajtja HYRJE 1 1 ANALIZA E VARIANCËS NJË PËRMASORE TEORIA BAZË E ANOVA- S MODELI NË NËNPOPULLIME TË PËRCAKTUARA MODELI NË NËNPOPULLIME TË RASTËSISHME KRITERE DHE VËREJTJE NË APLIKIMIN E ANOVA- S TESTI LEVENE (METODA E HOMOGJENITETIT TË VARIANCAVE) VËSHTRIM I PËRGJITHSHËM I TESTIT PËRCAKTIMI I TESTIT KRAHASIMI I SHUMËFISHTË NJË TRAJTIM I PËRGJITHSHËM I PROBLEMIT METODA TUKEY METODA SCHEFFE KRAHASIMI I DY METODAVE Zbatm MODELI I REGRESIT LINEAR TË SHUMËFISHTË QËLLIMI I REGRESIT TË SHUMËFISHTË TIPET E NDRYSHME TË REGRESIT TE SHUMËFISHTË TRAJTIMI MATEMATIK I REGRESIT LINEAR TE ZAKONSHËM, STANDART(GLM) VLERËSIMI I PARAMETRAVE TË REGRESIT LINEAR TË SHUMËFISHTË (HAPI I) INTERPRETIMI GJEOMETRIK I ZGJIDHJES ME METODËN E KATRORËVE MË TË VEGJËL VLERËSIMI INTERVALOR I PARAMETRAVE TE REGRESIT (HAPI II) KONTROLLI I HIPOTEZAVE (HAPI III) VËREJTJE PËRFUNDIME ZBATIM VËREJTJE KOEFIÇIENTI I KORRELACIONIT TË SHUMËFISHTË PËRFUNDIME ZBATIM 1 (VAZHDIM) KOEFIÇIENTI I KORELACIONIT TË PJESSHËM SHTRIMI I PROBLEMIT Përfundme VLERËSIMI DHE TESTIMI I HIPOTEZAVE PËR KOEFIÇIENTËT E KORELACIONIT TË SHUMËFISHTË DHE TË PJESSHËM Vërejtje REGRESI I SHUMËFISHTË STEPWISE SHTRIMI MATEMATIK I REGRESI TË SHUMËFISHTË STEPWISE PROCEDURAT ITERATIVE Përfundme RREGULLAT E NDËRPRERJES ZBATIM REGRESI I SHUMËFISHTË HIRARKIK 38 II

5 Përmbajtja ZBATIM 1(VAZHDIM) ZBATIM 2:(VAZHDIM) ZBATIM 3 (VAZHDIM) 42 3 ANALIZA E VARIANCËS DYPËRMASORE (METODA ANOVA DYPËRMASORE) MODELI ME NENPOPULLIME TE FIKSUARA (MODELI I) PËRFUNDIME ZBATIM MODELI ME NËNPOPULLIME TË RASTESISHME (MODELI II) ZBATIM VËREJTJE SHTRIMI MATEMATIK I ANALIZËS SË KOVARIANCËS (ANCOVA) 52 4 ANALIZA E VARIANCËS SHUMËPËRMASORE MANOVA ANALIZA E VARIANCES SHUMËPËRMASORE (MANOVA) ZBATIMI VLERËSIMI I PARAMETRAVE TESTI I HIPOTEZËS SE LINEARITETIT ZBATIMI 1 (VAZHDIM) TESTI I DIFERENCES MES VLERËS SE MESATAREVE MIDIS DISA POPULLIMEVE:MANOVA Vërejtje Zbatm 4.1 (vazhdm) ANALIZA E KOMPONENTËVE KRYESORË VËREJTJE ZBATIMI 2(VAZHDIM) ANALIZA FAKTORIALE ZBATIMI 3(VAZHDIM) 66 5 MODELI I REGRESIT LOGJISTIK TË SHUMËFISHTË REGRESI LOGJISTIK DHE LLOJET E TIJ MODELI I REGRESIT LOGJISTIK TË SHUMËFISHTE MODELI I REGRESIT LOGJISTIK I THJESHTË ME NJË VARIABËL NË MODELIM Përfundme MODELI LOGJISTIK I THJESHTË ME PARAMETRA KATEGORIKË Përfundme Zbatm REGRESIONI LOGJISTIK MULTINOMINAL Përfundmsht: VLERËSIMI I PARAMETRAVE PROBLEMI I VLERËSIMIT INTERVALOR TË PARAMETRAVE: ZBATIM 1 (VAZHDIM) PËRPUTHSHMËRIA E MODELIT LOGJISTIK VËREJTJE ZBATIM 1 (VAZHDIM) MODELIMI I VLERAVE TË PARAMETRIT TË PARASHIKUAR 79 III

6 Përmbajtja ZBATIM 1 (VAZHDIM) FUNKSIONIT LIDHËS 'PROBABIT' VËREJTJE: 83 6 NDËRTIMI E ANALIZA E NJË MODELI PROBABILITARO- STATISTIKOR PËR STUDIMIN E EFEKTIT TË NDOTJES NDIKIMI I NIVELIT TE NDOTJES NE PROBLEMET SHENDETËSORE TË PËRGJITHSHME, DERMATOLOGJIKE DHE ATO PNEUMOLOGJIKE. (PROBLEMI 1) NDËRTIMI I MODELIT STATISTIKORE PËR PROBLEMEVET PNEUMOLOGJIKE TË BANORËVE TË ZONËS INDUSTRIALE (PROBLEMI 2) MODELI I ANALIZËS MBI KOMPONENTËT E ANALIZËS FAKTORIALE PËRFUNDIME ANALIZA STATISTIKORE E PROBLEMEVE HEMATOLOGJIKE TË BANORËVE TË ZONËS (PROBLEMI 3) ANALIZA STATISTIKORE E PROBLEMEVE HEMATOLOGJIKE TË BANORËVE TË ZONËS (PROBLEMI 4) BAZA E TË DHËNAVE ANALIZA STATISTIKORE E PROBLEMIT PËRFUNDIME SHTOJCË - ANALIZA STATISTIKORE E TË DHËNAVE PËR PËRCAKTIMIN E FAKTORËVE QË NDIKOJNË NË MEMORJE DISA FJALË PËR STUDIMIN CFARË E SHKAKTON KËTË RRITJE NË MEMORJE? METODA STATISTIKORE E NDJEKUR E INTERPRETIMI I REZULTATEVE PËRFUNDIME 132 REFERENCAT 133 IV

7 Tabela Tabela 1 1 Afshmet e Testt Levene 13 Tabela 1 2 Rezultatet e Metodës së Kontrastt 14 Tabela 2 1 Tabela e koefçentëve të modelt të regrest 22 Tabela 2 2 Afshmet e t- testeve dhe koefçenteve te regrest 23 Tabela 2 3 Tabela e vlefshmersë së modelt për 'frutat' 26 Tabela 2 4 Tabela e vlefshmersë së modelt për 'msr ' 26 Tabela 2 5 Tabela e koefçentëve të korelacont 38 Tabela 2 6 Afshmet e t- testeve dhe koefçenteve te regrest 39 Tabela 2 7 Tabela e regrest hrarkk 41 Tabela 2 8 Koefçentët e korelacont të regrest hrarkk 41 Tabela 2 9 Koefçentët e korelacont të pjesshëm 42 Tabela 2 10 Regres stepwse 42 Tabela 3 1 Përbërëst e varacont Model 1 46 Tabela 3 2 Testet spas hpotezave 46 Tabela 3 3 Tabela e të dhënave deskrptve dhe analzës ANOVA dypërmasore 48 Tabela 3 4 Përbërëst e varacont Model II 49 Tabela 3 5 Afshmet e përbërësve të varacont 51 Tabela 3 6 ANOVA e modelt të qendërzuar 54 Tabela 3 7 Përbërëst e analzës së kovarancës mes grupeve 54 Tabela 4 1 Model Matrces spas GLM dhe MANOVA- s 57 Tabela 4 2 ANOVA për 13 varablat e varur 60 Tabela 4 3 Vlerat e veta të komponentëve kryesorë 64 Tabela 4 4 Tabela e vlerave të veta 67 Tabela 5 1 Vlerësm para modelmt 73 Tabela 5 2 Koefcentët e varablave në ekuaconn e modelmt 77 Tabela 5 3 Kontroll vlefshmërsë së modelt 79 Tabela 5 4 Informacone për modelmn 79 Tabela 5 5 Të dhenat e modelmt te regrest logjstk 82 Tabela 6 1 Matrca e kovarancës 86 Tabela 6 2 Kovaranca mes varablave 87 Tabela 6 3 Test Multvarancës 89 Tabela 6 4 ANOVA për 13 varablat e varur 90 Tabela 6 5 t testet për secln prej 13 varablave të varur 91 Tabela 6 6 Analza e ndkmt te varablt te pavarur tek varablat e varur në shqyrtm 94 Tabela 6 7 Vlerat e veta 94 Tabela 6 8 Koefçentet e varablt kanonk 94 Tabela 6 9 Analza deskrptve e fshatrave në 'superndkm' 95 Tabela 6 10 Efekt në 'superndkm' varablt të pavarur 95 Tabela 6 11 Analza e Komponentëve Kryesorë 97 Tabela 6 12 Afshmet për të tr faktorët 98 Tabela 6 13 Anova për komponentn pneumologjk 99 Tabela 6 14 Anova për komponentn e përgjthshëm 99 Tabela 6 15 Anova për komponentn e dermatologjk 99 Tabela 6 16 Afshmet e regrest lnear 101 Tabela 6 17 Rregull vlerësmt të regrest të shumefshtë lnear 102 Tabela 6 18 Koefcentët e modelt të regrest të shumëfshtë 102 Tabela 6 19 Koefcentët e varablave në ekuaconn e modelmt 104 Tabela 6 20 Tabela e klasfkmt pas modelmt 105 Tabela 6 21 Rezultatet e analzës deskrptve 106 Tabela 6 22 Rezultatet e krahasmt të paramerave kryesor në gjak 106 Tabela 6 23 Kontroll hpotezës për kufrn mnmal 107 Tabela 6 24 Kontroll hpotezes per mnmumn e vleras normale 108 Tabela 6 25 Anova dypërmasore 108 V

8 Tabela Tabela 6 26 Analza deskrptve 109 Tabela 6 27 Anova njëpërmasore per komponentet e tjera të gjakut 109 Tabela 6 28 Regres logjstk për ndkatoret rasteve problematke 111 Tabela 6 29 Analza dy përmasore 113 Tabela 6 30 Kontroll efektt nderthurës tek eznofalet 114 Tabela 6 31 Analza deskrptve e bmëve 117 Tabela 6 32 Rezultatet e testt Levn dhe te t- testt për mesataret 117 Tabela 6 33 Rezultatet e analzës së kontrastt 118 Tabela 6 34 Rezultatet e regrest hrarkk dhe regrest të shumëfshtë të zakonshëm 120 Tabela 7 1 Analza Deskrptve e nrword 125 Tabela 7 2 Test Normaltett të nrword 125 Tabela 7 3 Analza Deskrptve dhe test normaltett të sqrt nrword 126 Tabela 7 4 Rezultatet e stepwse regresson 128 Tabela 7 5 Rezultatet e ANOVA dy përmasore 130 Tabela 7 6 Rezultatet e krahasmt të sqrtnrfjalëve spas grupeve të nvelt të sportt 132 VI

9 Fgura Fgura 1 1 Vlerat Krtke numr mesatareve qe krahasen 11 Fgura 2 1 Paraqtja gjeometrke 18 Fgura 4 1 Interpretm gjeometrk metodës së komponentëve kryesor në rastt n=2 63 Fgura 5 1 Tregues 'kollë' spas zonave 72 Fgura 5 2 Grafku predcted_logt_probablty 81 Fgura 6 1 Pozcon zonë së studmt 85 Fgura 6 2 Pozcon puseve tnaftës 85 Fgura 6 3 Plotm I vlerave të veta 97 Fgura 6 4 Harta e bmëssë në zonën në studm 116 Fgura 6 5 Harta e rrjett hdrologjk 116 Fgura 7 1 Hstograma e numrt të fjalëve të memorzuara 124 Fgura 7 2 Grafku ndryshmt të vlerave të nrfjalëve nga vlerat normale 126 Fgura 7 3 Grafku ndryshmt të vlerave të sqrtnrfjalë ve nga vlerat normale 128 Fgura 7 4 Grafku mesatareve të sqrtnrfjalëve spas gjnse dhe grupt te nvelt te shtrmeve fzke 130 VII

10 HYRJE Analza matematkore e modeleve statstkore, të kuptuart në thellës të të gjthë specfkave të tyre, njohja e hpotezave me të clat këto metoda shoqërohen, statstkave që ato përdorn për vlerësm, vecantve të tyre, është hap pare në procesn e ndertmt te modeleve probabltare-statstkore. Pa dyshm zhvllm teknologjsë kompjuterke dhe rrtja e fuqsë dhe shpejtëssë së tyre përpunuese, ka rrtur efektet e këtyre metodave në mënyrë dramatke Këto metoda jane përdorur për ndërtmn e një model matematko-statstk që analzon gjendjen shëndetesore të banorëve në një zonë ndustrale. Konkretsht të dhënat janë marrë nga Instrut Shendett Publk, dhe përfshjnë nformacone përdorur gjendjen e përgjthshme shëndetësore, për problemet ne pneumologj, të dhëna të fushes hematologjke, dermatologjke, etj. Për ndërtmn e nje model të saktë statstkor, u shfrytëzuan edhe të dhëna të të tjera specfke për problemet e trajtuara. 1

11 1 Analza e varancës një përmasore 1.1 Teora bazë e ANOVA- s ANOVA, (shkurtm fjalëve Analzë e Varancës), është ncuar rreth vteve 1920 nga statstkan anglez Sr Ronald Aylmer Fsher. Metoda synon të testoje hpotezën që dsa varabla kanë të njëjtën mesatare në një apo më shumë popullme, apo jo. Fsher bër një varg arsyetmesh mb varancen dhe arrt ne konkluzone te rëndësshme. Bazë e këtyre arsyetmeve shte ndarja e varancës së zgjedhjes të një popullm, në dy komponente dhe, krahasm këtyre komponenteve duke përdorur statstkën Fsher. Këto janë dhe arsyet pse ANOVA njhet ndryshe me emrn ANOVA e Fshert ose analza e Fshert. Pa dyshm zhvllm teknologjsë kompjuterke dhe rrtja e fuqsë dhe shpejtëssë së tyre përpunuese, bënë që efektet e kësaj metode statstkore të jenë dramatke. Le të shqyrtojme kete metodë statstkore. Janë dhënë nënpopullme të një popullm. Shënohet µ mesatarja e nënpopullmt të -të për =1,2,...,I. Duke marrë zgjedhje të rastt të nënpopullmeve, vleresohen pkërsht këto mesatare. Pastaj, kërkohet të kontrollohet hpoteza: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ = µ, spas së clës, të gjtha nënpopullmet e popullmt kanë prtje matematke të njëjtë. Kjo hpoteze ka hpotezë alternatve, ka te pakten dy nenpopullme me prtje matematke te ndryshme. Për të kontrolluar Ho, supozohet se jem duke shqyrtuar nënpopullme normale që kanë varancë të njëjtë, pra që nënpopullmet kanë lgj N(µ, σ 2 ) Hpotezës së mëspërme mund t jepet forma : H 0 : α 1 = α 2 = = α = 0, (efektet e nënpopullmeve janë 0) Dhet se per popullmn ne shqyrtm, MS T = I J = 1 j= 1 2 ( y y) /(n-1) (1) është vlerësm pazhvendosur për σ 2. Pkërsht vlerësmn e mëspërm të varancës, Fsher e ndan në dy komponente. 1.2 Model në nënpopullme të përcaktuara Në modeln e nënpopullmeve të përcaktuara, shqyrtohen nënpopullme të popullmt, të fksuara nga ekspermentues. Në secln prej nënpopullmeve të fksuara merret një zgjedhje e rastt me vëllm J. Vlera e j-te e zgjedhjes se nënpopullmt të -të shënohet y j. j 2

12 Analza e varancës një përmasore Model ndertohet s me poshte: Së par: Shënohet me µ mesatarja e nënpopullmt të -të per nënpopullmet e popullmt, (nënpopullme këto të fksuara nga ekspermentues). Ndaj, me supozmn se nënpopullm -të ka shpërndarje N(µ, σ 2 ),cdo y j vlere e zgjedhjes te marre, mund të paraqtet ne formën: y j = µ + e j, ku e j kanë shpërndarje N(0, σ 2 ). Së dyt: µ mund të shkruhen s shumë e µ (prtje matematke të popullmt) me α që tregon efektn e nënpopullmt të -të. Përfundmsht vlerat e marra të zgjedhjes shkruhen në formën: y j = µ+ α + e j Ky model lnear ftuar quhet model lnear ANOVA-s e, meqë nënpopullmet janë paracaktuar nga ekspermentues, justfkohet edhe emërtm këtj model, s model në nënpopullme të përcaktuara [1]. Pkërsht, ky model lnear ANOVA-s përdoret për vlerësmn pkesor te parametrave µ dhe α. Metoda e Katroreve më të Vegjël, sguron në bazë të teoremës së Gaus Markovt, një vlerësm pkesor të pazhvendosur dhe me dsperson mnmal të parametrave µ dhe α,, kur ato ftohen s kombnm lnear vlerave të vrojtuara y j. Pra, ndërtohet S(µ, α ) = I J = 1 j= 1 dhe α që mnmzojnë këtë shumë. S = µ 2 ( y µ α ), dhe kërkohet të gjenden vlerat µ I j J = 1 j= 1 ( y µ α ) = 0 I j yj = nµ + α = nµ + = 1 j = 1 j Atehere vlerësm për µ ( me supozmn se j J α =0) është J α j µˆ = n Ndërsa për të vlerësuar α, llogarsm dervatet e pjesshme spas parametrt α S = ( yj µ α ) = 0 α j y ˆ α = j = J µ + J α j J y j j y µ = y j y Pra vlerësmet që merren me MKV janë ˆµ = y (*) Kështu ˆµ + ˆα = y + (y y) = y αˆ = y Por dhet nga teorema Gaus Markovt se, jo vetëm vlerësmet që merren për parametrat janë të pazhvendosur, por dhe se këto vlerësme sgurojnë një mnmum të 3 y

13 Analza e varancës një përmasore varancës nga të gjthë vlerësuest e pazhvendosur të µ dhe α, që ftohen s kombnm lnear vlerave të vrojtuara. Kështu, shuma e katrorëve të gabmeve SSB = I J = 1 j= 1 ( y j ˆ µ ˆ α ) 2 = I J = 1 j= 1 duke u pjestuar me numrn e gradëve të lrsë të saj, sguron një vlerësm të pazhvendosur mnmal të σ 2. Një vlerësm pazhvendosur për σ 2, është dhe mesatarja e varancave të grupeve të zgjedhjes. Duke marrë 2 s I J I J 2 2 MSB = = ( yj y) = ( y y ) I I( J 1) j ( n I) 1 j 1 = = = 1 j = 1 (2) nëse hpoteza H 0 është e vërtetë dhe, duke dtur për më tepër s 2 -të, kanë shpërndarje χ 2 (j -1), MS B do të ketë shpërndarje χ 2 (I(j -1)), pra χ 2 (n-i). Tan, shuma e dyfshtë (1) transformohet në shumën (2) që, nëse hpoteza eshte e vërtetë, sguron një tjetër vlerësm të pazhvendosur për σ 2. Duke u nsur nga barazm y y = ( y y ) + ( y y) dhe pas ngrhen në katrorë dy anët e tj, shumohet spas -ve dhe j-ve dhe merret SST = I J = 1 j= 1 ( y j y) 2 = I J j = 1 j= 1 ( y j j y ) 2 + I J = 1 j= 1 ( y ( y y) 2 j y + 2 I ) 2 J = 1 j= 1 ( y j y )( y y) Meqënëse term fundt kësaj shume mund te transformohet në trajtën (2) I = 1 ( y formën y) J j= 1 ( y j y ), duket qartë që ky praktksht është 0. Ndaj, shuma merr I J = 1 j = 1 ( y j y ) 2 + I = 1 J ( y y) 2 = SS B + SS M Duke u nsur nga barazm SS T =SS B +SS M dhe nga përfundmet (1) dhe (2), në bazë të Teoremës Koçran, SS M dhe, SS B janë të pavarur dhe janë vlerësme për σ 2, madje SS M /(I-1) ka shpërndarje χ 2 (I-1). Vërehet se SS M eshte shuma e katroreve te gabmeve të mesatareve të grupeve me mesataren e tërë zgjedhjes. Kështu, MS B / MS M ka shpërndarje F(I-1,n-I ), s raport dy statstkave të pavarura me shpërndarje χ 2, raport ky, bazë ne analzën ANOVA. Në programet kompjuterke, kur japm komandën për vlerësm me metodën ANOVA, afshohen: vlera g 0 e testt të mëspërm, pra vlera e raportt Fsher per zgjedhjen p- vlera koresponduese e saj spas tabelës së Fshert ( pra llogartet probabltet që test statstk të marrë vlerën g 0 ose vlera me ekstreme se g 0,kur H 0 është e vërtetë). Gjeometrksht, p-vlera, paraqet dyfshn e sperfaqes në të djathte të vlerës së vrojtuar, nën grafkun F(I-1,n-I). Kështu mund të përcaktojmë jo vetëm se hpoteza 4

14 Analza e varancës një përmasore është apo jo e vërtetë, por dhe nveln e gabmt të llojt të parë me të cln ne mund ta pranojmë këtë hpotezë nëse është e mundur. 1.3 Model në nënpopullme të rastësshme Tabela e ANOVA-s shfrytëzohet edhe në një këndvështrm tjetër. Për këtë, më parë ndërtohet një tjetër model, që quhet model në nënpopullme të rastësshme [3]. Shhet popullm N(µ,σ 2 ), dhe, ldhur me të, edhe tërë nënpopullmet e ketj popullm të përcaktuar spas një faktor. Me anë të zgjedhjes së marrë, ndërtohet një zgjedhje për popullmn e nënpopullmeve. Për këtë, llogarten më parë mesataret m për cdo zgjedhje nga grupet e marrë spas një faktor, dhe mendohen nënpopullme me shpërndarje N( m, σ 2 ), për =1,2,..I, që tan shërbejnë s zgjedhje me vëllm për popullmn e nënpopullmeve të popullmt te madh. Me σ a shënohet varanca e vlerave të kësaj zgjedhje nga µ. Kështu, në bazë të modelt lnear, elementet e kësaj zgjedhje mund të shkruhen në formën: m = µ+a, ku a e pavarura kanë shpërndarje normale me mesatare 0 dhe varancë 2(10). σ a Përfundmsht, vlerave të zgjedhjes fllestare të popullmt jpet një paraqtje tjetër në formën : y j = m + e j = µ+a + e j, ku a e pavarura kanë shpërndarje normale me mesatare 0 dhe varancë σ a, ndërsa e j, gjthashtu të pavarura, kanë shpërndarje N(0, σ 2 ). 2 Në këtë model të ndërtuar, nteresohem për σ a që paraqet varaconn e prtjes matematke të nënpopullmeve të përcaktuara spas një faktor, nga prtja matematke e popullmt µ. Shtrohet hpoteza H 0 : σ a 2 = 0, ( domethënë që nuk ka varacon mes nënpopullmeve spas faktort në studm), me hpotezë alternatve H 1 : σ a2 0. Duke përdorur Metodën e Katrorëve më të Vegjël, merret përsër njëjt vlerësm për prtjen matematke të popullmt, s në rastn e modelt në nënpopullme të përcaktuara, µˆ = m = I Nga teorema Kocran merret dhe një vlerësm pazhvendosur për σ 2 a, që jpet nga 2 2 shuma e mëposhtme ( m ˆ) µ = ( m y), pjestuar me I-1. Por, dhet se m ftohen nga y j për të fksuar dhe j=1,..j spas barazmt y j = m + e j, ku e j, kanë shpërndarje N(0, σ 2 ). y 5

15 Analza e varancës një përmasore I 2 Ndaj SS M / (I-1)= J ( y y) /(I-1) është një mesatare e vlerësmeve të varacont = 1 të grupeve, pra përmban edhe varaconn brenda cdo grup σ 2, dhe J herë varaconn nga grup në grup, σ a 2, (me supozmn që vëllm zgjedhjeve në cdo grup është marrë njëjtë), ndërkohë që dhet se vlera e kësaj statstke afshohet në tabelën ANOVA, dhe për më tepër se statstka ka shpërndarje χ 2 (I-1) Duke bërë të njëjtën ndarje të katrort të gabme të popullmt, s në rastn e modelt të parë, kem : SST = I J = 1 j= 1 ( y j y ) 2 + I = 1 J ( y y) 2 = SS B + SS M SS B / (n-i) është një vlerësm pazhvendosur për varaconn brenda grupeve që është σ 2, me shpërndarje të njohur χ 2 (n-i) (mund të shhet s mesatare e varacont brenda cdo grup, që e shënuam σ 2 ). Për të vlerësuar σ 2 a, bazohem në vlerësmn: 2 ˆ σ a =(MS B -MS M )/J ( ku J është vëllm njëjtë zgjedhjes marrë në cdo grup) Kështu për testmn e hpotezës H 0 : σ 2 a = 0 do të shfrytëzojmë po tabelën ANOVA dhe rezultatn e afshuar të statstkës së Fshert. 1.4 Krtere dhe vërejtje në aplkmn e ANOVA- s 1. Metoda ANOVA kerkon, para aplkmt te saj, te kontrollohen nëse plotësohen apo jo dy kushtet e spërpërmendura, normalzm të dhënave s dhe kontroll barazmt të varances mes nënpopullmeve në studm. Metodat e perdorura për kontolln e normalzmt të të dhënave ështe metoda Kolmogorov-Smrnov-t dhe Shapro-Wlk-t. Ndërsa për të kontrolluar kushtn e dytë të barazmt të varancave përdoret test Levene-t, në format e tj të përpunuara ( shh Testn Levene, 1.5 ). 2. Metoda e ANOVA-s përdoret shume vecanërsht kur spas nveleve të faktort në shqyrtm, bëhet ndarja e popullmt të madh në dsa (më shumë se dy ) nënpopullme. Nëse ndarja do të shte në dy nënpopullme atehere trajtm problemt s me metoden e ANOVA-s do të jpte te njëjtn rezultat skur a të trajtohet me ane të t testt. 3. Lnd pyetja në këto raste cla nga metodat është me e pershtatshme. Në kushtet e mosplotesmt te Kushtt të Homogjentett të Varances mes grupeve, metoda me mre është ajo e t-testt, sepse me modfkmn e bere ajo lejon përdormn e saj në dy raste dhe kur plotësohet dhe kur nuk plotësohet kusht në fjalë. Kur Kusht Homogjentett të Varancës plotësohet përdoret t-test Student, ndërsa kur ky kusht nuk plotësohet përdoret t-test Welch, Ndërsa në kushtet e më shumë se dy nënpopullmeve, përdorm t-testt për cdo dyshe të studuar s'do të kshte kuptm sepse për cdo t-test vendm do të merret me një gabm të llojt të parë α, kështu do të rrtej shumë gabm në marrjen e vendmt që te gjtha nënpopullmet janë statstksht me mesatare të njejte. 4. F test për hpotezën σ a 2 = 0 në modeln e dytë te metodës në fjalë është një vlere e përafruar e testt në fjalë, kur J s'janë te barabarata. Megjthate kjo pranohet s procedurë praktke, dersa test sakte do të shte shumë komplkuar. 6

16 Analza e varancës një përmasore 1.5 Test Levene (Metoda e Homogjentett të Varancave) Vështrm përgjthshëm testt Test Levene përdoret në statstke për të kontrolluar barazmn apo jo te varancës mes dy ose më shumë grupeve. Shume teste statstkore e kanë s kusht supozmn se dspersonet e popullmeve nga te clat janë marrë zgjedhje të ndyshme, janë të barabarta. Procedurat tpke ku ky kusht kërkohet është Analza e Varancës (ANOVA) dhe t- test. Test Levene përdoret zakonsht para krahasmt te mesatareve. Duke u nsur nga rezultatet e ketj test vendoset menyra që do të përdoret për krahasmn e mesatareve, do të jetë ajo parametrke apo jo parametrke, metode kjo e fundt që është e lre nga kusht barazmt të varancave. A mund të perdoret edhe s test, thjesht për të përcaktuar se dy ose me shume zgjedhje të marra nga njëjt popullm kanë apo jo varancë të barabartë. Test njhet ndryshe me emrn Test Homogjentett të Varancës. Test kontrollon hpotezën H 0 që varancat janë të barabarta, me hpotezë alternatve jo të gjtha varancat (dspersonet e popullmeve) janë të barabarta. Nëqoftëse p-vlera e rezultatt të këtj test është e vogël, më e vogël se një nvel rëndëse, (zakonsht 0.05), atëhere dferencat në varancat e zgjedhjeve kanë dhënë rezultate të tlla që nuk ndodhn nëse zgjedhjet e rastt do të merreshn nga popullme me varancë të njëjtë. Përfundmsht, hpoteza, që varancat janë të barabarta, be poshtë dhe arrhet në përfundm që ka dferencë mes varancave (dspersoneve) të popullmeve Përcaktm testt Test statstk W përcaktohet s më poshtë: ku W është rezultat testt k numr grupeve që nënshtrohen testt, N numr total rasteve ne gjthë grupet, N numr rasteve në grupn e -te Zj= Yj Y. ku Y j eshtë vlera e varablt të matur për elementn e j-te në grupn e -të ndërsa Y. mesatarja e grupt të -të. ose Zj= Yj Y. ku Y është kuartl dyte grupt Të dy vlerësmet përdoren. Spas vlerësmt të pare, shmanga e vlerave të vrojtuara behet duke llogartur dstancën e tyre nga mesatarja e grupt. Mesataret e grupeve konsderohen s vlerësme pkësore për mesataren e popullmt, të clt zgjedhja përket.vlerësm në fjalë përdoret kur të dhënat e zgjedhjes plotësojnë kushtn e normalzmt. Ndërsa në formën e dytë, s bazë në llogartje merren dstancat nga kuartlet e dyta, medan-at e vlerave te vrojtuara të zgjedhjes të popullmt në studm. Metoda e dytë njhet s test Brown-Forsythe. Ajo përdoret, dhe jep rezultate te mra, në rastet kur të dhënat e zgjedhjes nuk plotësojnë kushtn e normalzmt. Z.. është mesatarja e gjthë Z j pra 7

17 Analza e varancës një përmasore Z. është mesatarja e grupt të -te Test përcaktuar W provohet se ka shperndarje Fsher me parametra( k-1, N-k). Ndaj për marrjen e vendmt krahasohet vlera e vrojtuar me vleren krtke te testt, që përcaktohet nga F( k-1, N-k) për një nvel besm të zgjedhur (0.05 ose 0.01). Në përpunmn kompjuterk të të dhënave proces marrjes së vendmt bëhet sc është sqaruar në paragrafn e mëspërm. Test e Levene konsderohet robust dhe fuqshem. Qëndrueshmëra e testt ldhet me aftësnë e testt për të arrtur në konkluzonn që varancat s'janë të barabarta kur në fakt ato s'janë të tlla. Robuste ldhet me faktn qe test arrn ne konkluzonn e gabuar që varancat s'jane të barabarta, kur zgjedhja s'ka shpërndarje normale dhe në të vërtetë ato janë të barabarta. Punm orgjnal Levene në fakt propozohet vetëm me mesataren. Ishte Brown dhe Fosythe që më 1974 e përmrësuan testn ne fjale dhe perdoren medanen në këtë vlerësm. Me ane te studmeve të kryera me metodën Monte Karlo, u tregua se perdorm mesatares vlen nese te dhenat tregojnë për shpërndarje smetrke dhe plotësojnë kushtn e normaltett. Ndërsa, kur të dhënat nuk plotësojnë kushtn e normaltett, psh kur kem shperndarje Kosh, rezultet më të mra sguron përdorm medanës. 1.6 Krahasm shumëfshtë Një trajtm përgjthshëm problemt Në problemn e trajtuar lnd pyetja: Cl nga cftet e mesatareve të nënpopullmeve është ndryshëm? Një varant është të analzojmë të gjthë cftet e mundshme të nënpopullmeve duke krahasuar prtjet matematke. Në rastn tonë kem për të kontrolluar dsa hpoteza H 0 :µ =µ j, për j Lnd problem studmt të nënpopullmeve që korespondojnë nvele të ndryshme të këtj faktor. Për të përcaktuar se cl nga nvelet do të konsderohet ndryshëm, duhen dalluar mesataret statstksht të ndryshme nga njëra-tjetra. Matematksht kem të bëjmë me problemn e krahasmt te shumëfshtë, të shumëfshtë në kuptmn se kem të bëjmë me dsa krahasme të njëpasnjëshme. Për cdo krahasm te tlle, pergjgjja e studmt të një hpoteze, jepet me nje koefcent besm te lartë. Pra, mundesa qe kjo hpotezë të anullohet, ndërsa ajo është e vërtetë, është shumë e vogel. Por, nese bëhen shumë krahasme të njëpasnjëshme, mundësa që të gjtha këto hpoteza të hdhen poshtë, ndërsa ato janë të vërteta, rrtet ndjeshëm. 8

18 Analza e varancës një përmasore Shume matematkanë kanë paraqtur teknka të ndryshme për kontrollmn e këtj gabm, në rastn e krahasmeve të shumëfshta. Teknkat që ato propozojnë, tentojnë një reduktm të gabmt të llojt të parë për secln krahasm, në mënyrë të tllë që megjthëse gabm shumë krahasmeve të rrsë α-ën, ajo te mos kalojë vlerën e dëshruar. Por ka dhe metoda që synojnë rrtjen e zonës të vlerave të lejuara për dferencën mds cdo dy mesatareve qe vlerësohen, në mënyrë që, ndërprerja e këtyre zonave pas të gjtha krahasmeve të nevojshme, të japë një gabm të llojt të parë, sa a dëshruar. Një metodë e tllë është metoda Tukey, e përdorur në rastn kur për vlerësmn e nënpopullmeve përdoren zgjedhje nga nënpopullme që plotësojnë kushtn e barazmt të varancës, dhe Scheffe, që përdoret në rastn kur kusht në fjalë nuk plotësohet Metoda Tukey Kjo metode ka marrë emrn e matematkant dhe kmstt amerkan të shekullt XX, John Tukey [3]. Ajo synon të dallojë mesataret e ndryshme nga njëra-tjetra duke krahasuar ato dy e nga dy. Le ta shohm metoden Tukey, duke trajtuar dsa cështje të saj, supozmet ku bazohet kjo metode, testn që ndërton për vlerësm, statstkën në të clën bazohet s dhe rradhën e krahasmt që propozon Metoda Tukey ka në bazë të saj dsa supozme. Së par, vëzhgmet janë të pavarura dhe, së dyt, mesataret, që studohen, janë nga popullme me shpërndarje normale. Por kusht qe e dallon perdormn e metodes Tukey nga metodat e tjera ështe që vëllm zgjedhjeve të nënpopullme është njejtë. Test Tukey bazohet në testn e zakonshëm Student, ose Gosset, qe përdoret për krahasmn e dy mesatareve. Shembull thjeshtë: Duam të kontrollojmë hpotezën H 0 : µ 1 =µ 2 me hpotezë alternatve që prtjet matematke të dy popullmeve, janë të ndryshme. Ky problem është njëjtë me H 0 : µ 1 -µ 2 =0, me H 1 : µ 1 -µ 2 0 x y Për vlerësmn e kësaj hpoteze spas metodës Student, përdoret statstka T= s n që ka shpërndarje Student me 2n-2 shkallë lre ( n është vëllm zgjedhjeve që do të shqyrtohen dhe, ku në këtë formulë është supozuar të jetë njëjtë. Në rast se ky vëllm nuk është njëjtë, atëhere në vend të n në formulë do të punohet me mesataren e dy vëllmeve të zgjedhjeve). Pas përcaktohet zona e vlerave të lejuara (-t, t), duke shfrytëzuar tabelën e shpërndarjes Student për α-ën, dhe 2n-2 shkallë lre, shhet nëse vlera e testt të marrë be në zonën krtke. Në këtë rast them se popullmet kanë mesatare të ndryshme. Por, përdorm këtj test në tërë krahasmet e cfteve të popullmeve, thamë, se do të sjellë rrtjen e gabmt të llojt të parë. Test Tukey mundohet të zgjdhë këtë problem, duke modfkuar zonën e vlerave të lejuara të statstkës Student, në varës të numrt të mesatareve që do të kontrollohen. Kuptohet se sa më madh të jetë ky numër, aq më e madhe duhet marrë vlera krtke e 9

19 Analza e varancës një përmasore modfkuar t T, duke berë që dhe zona e dferencës së lejuar të dy mesatareve të një krahasm të vetëm të jetë më e madhe. Për të kuptuar më mrë këtë ndryshm mds zonës së vlerave të lejuar të marra spas metodës Student, dhe asaj Tukey, le t kthehem problemt të thjeshtë të mëspërm, problemt të krahasmt vetëm të dy mesatareve. Per kontrolln e kesaj hpoteze, spas Studentt ndërtohet statstka: x y T = s Kurse, spas Tukey, ndërtohet statstka T T= n mesatareve që po krahasohen. Kuptohet që ky ndryshm në test do të rrsë zonën e vlerave të lejuar nga (-t,t) spas metodës Student, në (-t 2, t 2 ) spas metodës Tukey. P.sh, nëqoftëse. në cdo grup kem marrë një zgjedhje me vëllm 13, (n=13), atëhere për dy grupet që krahasohen, do të arrhej në përfundm që kanë prtje matematke të ndryshme, nëse vlera e testt T është në(, 2.06) ose në ( ,+ ). Por me modfkmn e bërë spas Tukey, ky test do t takonte zonës krtke, pra nënpopullmet do të konsderohen me prtje matematke të ndryshme, nëse vlera e testt në fjalë është në (, 2.06*1.414) = (, 2.91) ose në ( ,+ ). Dhe nga tabela Student, kësaj vlere krtke korespondon α = Nga dy krahasmet që janë të nevojshme të bëhen në këtë rast, probabltet që të dy nënpopullmet të konsderohen me prtje matematke të njëjtë, është (1- α) 2 =( ) 2 = 0.95, duke sguruar kështu përfundmsht një përgjgje me nvel besm 0.05, sa a kërkuar. Duhet theksuar se, spas kësaj metode, në rast se vëllm cdo zgjedhjeje të marrë që do të krahasohet është njëjtë, koefcentn e besmt, e ka pkërsht 1- α. Nga ky sqarm shhet se, kur numr mesatareve që do të kontrollojmë është 2, t T = t 2, pra test Tukey dhe Student janë dentk. Problem ndryshmt mds dy testeve do të shfaqet nëse krahasojmë më shumë mesatare. Në tabela të vecanta të paraqtura, mund të lexohen vlerat e t T për një nvel besm të dhënë α dhe, për një numër të përcaktuar të zgjedhjes së nënpopullmeve n, që marrn pjesë në këtë krahasm të shumëfshtë. Në grafkun e paraqtur mund të lexohen këto vlera t T per α =0.05 ne varës të numrt të mesatareve që do të krahasojmë. n x y, ku 2-sh përcaktohet nga numr s 2 10

20 Analza e varancës një përmasore Fgura 1 1 Vlerat Krtke numr mesatareve qe krahasen Vlerat krtke tt Numr mesatareve qe krahasohen Tukey kujdeset edhe për reduktmn e numrt të krahasmeve të mesatareve të popullmeve. Psh, në rastn e shqyrtmt të mesatareve (A,B,C,D), të clat supozojmë se kem rendtur spas rendt A>B>C>D, spas testt Tukey, nuk është patjetër e domosdoshme të bëhen të gjtha krahasmet e mundshme. Për këtë sugjerohet kjo radhë krahasm: Krahasohet më parë popullm me mesataren më të madhe (A), me atë më të vogël (D). Nëqoftëse t T (vlera e statstkës që Tukey propozon për vlerësm) është më e vogël se vlera t T e shpërndarjes së propozuar, hpoteza Ho pranohet s e vërtetë. Pra, mesataret e këtyre zgjedhjeve nuk janë statstksht të ndryshme. Kuptohet, dersa nuk kanë ndryshm këto dy mesatare që kshn dferencën më të madhe, krahasm mesatareve të popullmeve të tjera është panevojshem. Proces krahasmt të çfteve ndërprtet. Përfundmsht, për rradhën e krahasmt në testn Tukey, fllohet gjthnjë me krahasmn e mesatares më të madhe me atë më të vogël. Pastaj vazhdohet me krahasmn e kësaj mesatareje më të madhe, me mesataren e dytë më të ulët, dersa mesatarja më ë lartë të jetë krahasuar me të gjthë mesataret e tjera, ose sc thamë, dersa të mos ketë ndryshm mes mesatareve në studm. Pas ketj krahasm, njëjt proces përsërtet me mesataren e dytë për nga madhësa: krahasohet me mesataren më të vogël, pastaj me atë të dytë më të ulët, e kështu me rradhë. Proces krahasmt përfundon ose kur janë bërë të gjthë krahasmet e mundshme e ka ndryshm mes cdo cft që krahasohet, ose sa gjendet cft pare zgjedhjeve mesataret e të clëve s kanë ndryshm statstkor. S konkluzon, mund të them se metoda Tukey është një metodë e krahasmt të shumëfshtë që ka një kontoll të dobët të nvelt të besmt, në kuptmn që në cdo krahasm cftesh ajo nuk kontrollon drejtperdrejt nveln e besmt për këtë krahasm, por ndërhyn në mënyrë të tërthortë në të. Me këtë metodë, në rast se vellm cdo zgjedhje të marrë që do të krahasohet, është njëjtë, koefcent besmt është pkërsht 1- α Në programet kompjuterke statstkore mund të përdoret lehtëssht kjo metodë e krahasmt te shumëfshtë 11

21 Analza e varancës një përmasore (Tukey). Kjo do të na afshojë gjthë ntervalet e besmt të hpotezave µ = µ j, ose µ -µ j =0, me koefcent besm Kështu, thjeshtë mund të dentfkohet cl nga cftet e nënpopullmeve, ka mesatare të ndryshme. Dy nënpopullme konsderohen me mesatare të ndryshme nëse nterval tyre besmt nuk përmban Metoda Scheffe Metoda Scheffe [1] është metodë e krahasmt të shumëfshtë, por ky krahasm bëhet në një hap të vetëm. Kjo përben dhe thelbn e ndryshmt të saj me metodën e mëspërme Tukey, e cla duke krahasuar dyshe nënpopullmesh, zhvllohej në dsa etapa. Kjo është një ndër metodat bazë që përdoret në analzën e regrest lnear për të realzuar krahasmn e shumëfshtë, dhe natyrsht dhe në ANOVA-n ( s një rast vecantë regrest lnear) Metoda ka marre emrn e statstkant amerkan Henry Scheffe. Ndërtohet një kontras C përcaktuar nga barazm C = = 1 c μ dhe shtrohet hpoteza H 0 : C = O me hpotezë alternatve C 0 Vlerësm C behet spas barazmt te mëposhtëm dhe varanca e së clës është ku n është vëllm zgjedhjes së marrë nga nënpopullm -të, dhe varanca e vlerësuar (estmated) Forma e ntervaleve të besmt, me koeffcent besm 1 α, është: ku N është vellm zgjedhjes së gjthë popullmt, r numr nënpopullmeve në të clat është ndarë popullm madh. Pas afshmt të ketj nterval, kontrollohet nëse a e përmban apo jo zeron. Nëse nuk e përmban, atëhere hpoteza H 0 be. Metoda në fjalë konsderohet shume rgoroze, sepse kontrollet ben per një gabm të rendt shumë më të vogël se α Krahasm dy metodave Metoda Tukey përdoret në nenpopullme me vëllme të njëjta, ndërsa metoda Scheffe nuk vendos nje kufzm të tlle. Metoda Scheffe nuk e ka të domosdoshëm kushtn që c = 0 por, nëse ky kusht plotësohet ne vendosjen e konstanteve, atëherë them se po përdoren koefcentë qe 12

22 Analza e varancës një përmasore plotesojnë kushtn e kontrastt. Ndërsa metoda Tukey e ka domosdoshmer qe gjate krahasmt të cfteve të plotësohet kusht kontrastt. Së fundm, metodat në fjalë bazohen në statstka me shpërndarje të ndryshme. Metoda Tukey bazohet ne statstken me shperndarje Student, ndersa ajo Scheffe ne shperndarjen Fsher. Është e kuptueshme që rezultatet e dy metodave në fjalë të jenë të ndryshme. Përfundmsht, në rastn e krahasmt të mesatareve të tr nënpopullmeve me vëllm të njëjtë zgjedhje, nterval më të ngushtë jep metoda Tukey, ndërsa ne rastet e 4 e me shumë nënpopullmeve nterval më të ngushtë e sguron metoda Scheffe (bazuar kjo nga punm O'Nel dhe Wetherll më 1971) [3] Metoda Scheffe co në trajtmn e një problem tjetër, atj të Analzes së Kontrastt [2]. Është pkërsht kjo analzë ajo që përcakton tërssht modeln e ANOVA-s me anë e vlerave të këtyre koefcentëve. Kontrastn s të thuash mes nënpopullmeve ajo e përkthen në bashkës numrash, që janë pkërsht koefcentët e kontrastt (cj quhen edhe koefcentë të kontrastt). Në varës të rastt që shqyrtohet, koefcentët e kontrastt mund të jenë të planfkuar ose jo. Të përcaktuar janë në rastet kur eksperment kryhet për të percaktuar një hpoteze me koefcentë të paracaktuar. Pra, cdo gjë është mrë e planfkuar. Ndërsa rast tjetër është kur këto koefcentë varen nga rezultatet e vrojtmt qe është kryer. Metoda e Kontrastt, në këtë rast quhet Post Hoc. Nëse koefcentët nuk e plotësojnë kushtn e kontrastt, atëhere këto koefcentët tregojnë koefcentn e pjesshëm te korelacont mes varablt në shqyrtm e varablt të varur. Pra percaktojne kontrbutn e varablt ne shqyrtm në varabln e varur Zbatm 1 Një perdorm metodes Scheffe me koefcente qe nuk plotesojne kushtn e kontrastt, është bërë në trajtmn e problemt të ndkmt te SO 2 tek prodhueshmëra e bmëve (shh problemn e trajtuar tek Kaptull 6 ). Në rastn në fjalë, pas aplkmt të metodës Leven, në krahasmn e varancës se nënpopullmeve tek tr komponentët (patate, perme, fasule) u morën vlera sgnfgatve (shh Tabelen 1-1). Pra, në bazë të zgjedhjes së marre, u tregua per hedhje poshtë të hpotezës së barazmt të varances, duke na penguar në përdormn e ANOVA-s. Atëhere u përdor metoda e t-testt Welch,që trego ndkm negatv të zonës së ndotur, pra që tr komponentët e vektort bmë kanë prodhueshmer me të larte tek zona e kontrollt se tek zona ndustrale, e ndotur. U shtrua problem përcaktmt se në c'shkallë shte ky ndkm. Tabela 1 1 Afshmet e Testt Levene Levene's Test for Equalty of Varances F Sg. 13

23 Analza e varancës një përmasore grure Equal varances assumed mser Equal varances assumed patate Equal varances assumed perme Equal varances assumed fasule Equal varances assumed jonxhe Equal varances assumed fruta Equal varances assumed Konkluzon lartpërmendur (1.6.4 Krahasm dy metodave) trego se metoda e Kontrastt mund te perdoret edhe ne krahasmn e dy nenpopullmeve me ane te t- testt. Koefcentët e Kontrastt që nuk plotësojnë kushtn e kontrastt, përcaktojnë tëressht koefcentet [2] me te clën ldhen mesataret e dy nënpopullmeve. Pas shkrmt te kodt ne SPSS: ONEWAY patate perme fasule BY area /CONTRAST=1-1.3 /MISSING ANALYSIS. Përdorm Metodes së Kontrastt gjatë t-testt, dha afshmet e mëposhtme ( Tabela 1-2): Tabela 1 2 Rezultatet e Metodës së Kontrastt Contrast Tests Value of Sg. (2- Contrast Contrast Std. Error t df taled) patate Assume equal a varances Does not assume a equal varances perme Assume equal a varances Does not assume a equal varances fasule Assume equal a varances Does not assume a equal varances a. The sum of the contrast coeffcents s not zero. Rezultatet e afshuara treguan se prodhm ne zonen e kontrollt te tr bmëve në fjalë është 130% e prodhmt të tek zonës së ndotur. 14

24 2 Model regrest lnear të shumëfshtë 2.1 Qëllm regrest të shumëfshtë Qëllm metodës së regrest të shumëfshtë është analza e ldhjes mes varablave te pavarur dhe nje varabl te varur. Varablat e varur mund të jenë metrk, pra ordnal apo vazhdueshëm, apo dschotomous, pra varabla nomnal me dy vlera. Varabl varur duhet të jetë metrk. Metoda e regrest kontrollon nëse një ldhje e tllë ekzston, e nëqoftëse ajo ekzston, synon të përdoret nformacon ekzstues për varablat e pavarur, që të përmrësohet saktësa në parashkmn e vlerës së varablt të varur. 2.2 Tpet e ndryshme të regrest te shumëfshtë Njhen tr tpe të regrest te shumëfshtë, secla e deznjuar në SPSS për tu përgjgjur pyetjeve te ndryshme: Regres shumëfshtë standart që përdoret për të vlerësuar ldhjen mes nje bashkëse varablash te pavarura dhe një varabl të varur. Regres statstc (ose stepwse) ose që përdoret për të gjetur nënbashkësnë e varablave të pavarur (Stepwse) që kanë ldhje më të fortë me varabln e varur. Regres hrarkk që përdoret për të kontrolluar ldhjen mes një bashkëse varablash të pavarur dhe një varabl të varur, pas më parë ështrë kontrolluar për efektn e dsa varablave të pavarur në varabln e varur. 2.3 Trajtm matematk regrest lnear te zakonshëm, standart(glm) Le të paraqesm trajtmn matematk të këtj problem të regrest lnear të shumëfshtë. Supozojmë se varabl y varet nga p varabla jo statstksht të pavarur x 1,x 2, x p, që quhen varabla të pavarur. Problem regrest të shumëfshtë ka të bëjë me ndertmn e një model, ku y shprehet s funkson këtyre varablave në formën y= f(x 1,. x 2,,x p ) + ε, ku є ka shpërndarje N(0,σ 2 ), Ndërsa, kur modeln e kërkojmë në formën y= β 0+ β 1 x 1 +β 2 x β p x p +є, ku є ka shpërndarje N(0,σ 2 ), matematksht kem të bëjmë me modeln polnomal të regrest të shumëfshtë. Në ndërtmn e këtj model duhen parë këto probleme: Vlerësm parametrave të regrest lnear të shumëfshtë (Hap I) Përcaktm zgjedhjes në shqyrtm mund të bëhet në dy mënyra : Së par, për një vlerë të fksuar të varablave x 1, x 2,...x p bëjmë dsa matje dhe marrm vlera të ndryshme të y, e më pas, fksojmë një tjetër p-she vlerash të x 1, x 2,...x p e masm dsa vlera të Y, duke marrë një zgjedhje të nënpopullmt në fjalë. Këtë proces 15

25 Model regrest lnear të shumëfshtë e vazhdojmë dersa të kem marrë n vëzhgme. Spas kësaj mënyre, vetëm Y shhet s varabël rastt. Së dyt, marrm n ndvdë nga popullm në fjalë dhe shkojmë, përcaktojmë, p+1 varablat për të clën jem të nteresuar. Kështu për të ndërtuar modeln e formës y = β + β x + β x + β x + ε p p për = 1..n ne duhet të vlerësojmë β 0, β 1, β 2,...β p që janë parametrat e këtj model dhe є 1, є, 2... є n,, n varabla të pavarur N(0,σ 2 ). Modeln matematk që kërkojmë të ndërtojmë, mund ta paraqesm edhe në formë vektorale [4]. Le të shënojmë me β = (β 0, β p ) vektorn parametrk p + 1 dhe y = (Y 0,, Y n ) vektorn vëzhgmeve, ndërsa e = (e,, e ) vektor gabmeve dhe matrca e modelt n (p + 1) 1 x. x 1 x ". x x. x " Kështu model matematk ka formën e këtj ekuacon vektoral: Y = X β + e ku e është një matrcë N(0, σ 2 I) Për vlerësmn e parametrave β 0, β 1, β 2,...β p, përdorm metodën e katrorëve më të vegjël, pra ndërtojmë shumën e mëposhtme: S 2 ( β) = ( y βo β1 x1 β2x2 β p x p ) Duke përdorur shënmet e mëspërme, matrca ku bazohet vleresm mund të paraqtet në formë matrcore S = (y X β) (y X β). S = 0 = X ( Y X β T β) + ( Y X T β) 0= - XY + XX T β - Y T X T +(X T β) T X T XX T β=xy T ( x Kështu vektor koefçentave të regrest b = b, b,, b mund të llogartet duke zgjdhur ekuaconn normal: XX β = Xy dhe përcaktojmë vlerat e parametrave β duke kërkuar mnmzmn e kësaj shume. Zgjdhja e marë është b = XX (Xy) Ky vlerësm parametrave β është një vlerësm pazhvendosur, sepse: T ) 16

26 Model regrest lnear të shumëfshtë T 1 T 1 T 1 E( ˆ) β = E( b) = E(( XX ) ( XY )) = ( XX ) E( XY ) = ( XX ) XE( Y ) = T 1 T = ( XX ) XX β = β Nga teorema e Gaus-Markovt dmë, se vlera e parashkuar ~ y ka varancën mnmale, nga të gjthë vlerësuest e tjerë lnearë të vlerave të X 2 S = ( y ~ y ) na sherben s një vlerësm për σ 2. Madje, një vlerësm të pazhvendosur të σ 2, na e sguron dhe MS R = ~ ) 2 ( y y /(n-p-1) ose ne trajte vektorale vleresm pazhvendosur për varancën është s 2 =(y X b) (y X b)/(n p 1) dhe matrca e kovarancës është cov b = s XX Paraqtet edhe një formë tjetër e modelt të regrest lnear të shumëfshtë, forma e qendërzuar. Model qendërzuar jepet nga: y = β + β x " x + β x " x + e, 1,, n, ku x = 1 n x ", j = 1,, p, dhe β = β + β x + + β x Vlerësuest me Metoden e Katrorëve më të Vegjël të β,, β, janë të njëjta s më spër dhe emërohen b,, b, ndërkohë që vlerësues me këtë metodë β është b = y. Avantazh këtj model është se vlerësuest me Metoden e Katrorëve më të Vegjël b,, b janë të pakorreluar me b. Kjo do të thotë që është më e lehtë të gjesh ntervale besm, duke u bazuar ne vlerat e parashkuara y = y + b x x + + b x x, sç do të shohm më poshtë. Model qendërzuar mund të shkruhet në formë matrcore s më poshtë. Le të jetë A matrca e shumes të katrorëve p x p dhe prodhmt të devjmeve me elementët, j a " = x " x (x " x ),, j = 1,, p. (*) Le të jetë g vektor p x 1 me elementn e -të g = y y (x " x ), = 1,, p. Atëherë vektor katrorëve më të vegjël b = b,, b = A g dhe për më tepër Cov b = σ A, dhe cov y, b = 0, për = 1,, p Interpretm gjeometrk zgjdhjes me Metodën e Katrorëve më të Vegjël Në thelb të kësaj metode, qëndron përcaktm β, që të mn S( β) = mn( Y X ' β)'(( Y X ' β) = mn( Y Y1 )'( Y Y1 ) β R P β R ku Y janë shënuar vlerat e matura të Y dhe me Y 1 =X T β, P β R P 17

27 Model regrest lnear të shumëfshtë Ky mnmum kërkohet për çdo βєr P, ndërsa Y 1 =X T β në fakt, nuk mbushn të gjthë R n. Ato janë vetëm mbështjellset e shtyllave të X. Për këtë bashkës mbështjelljesh, përdorm shënmn L(x). Fgura 2 1 Paraqtja gjeometrke Y Y-Y1 Y1 Y1 L(X) ( Y Y1), gjeometrksht na paraqet vektorn dferencë të dy vektoreve Y dhe Y 1. Me këto smbolka të futura, përcaktm β kthehet në përcaktmn e vektort dferencë ( Y Y1 ) që ka gjatës më të vogël, dhe Y 1 për këtë vektor është projekson Y në hperplann L(x). Sç e dmë ky vektor ka gjatës më të vogël nëse a është pngul me hperplann e Y 1, pra me L(x),që, sç e sqaruam më lart, është pjesë e R n, ku ndodhen tërë X ' β. Kështu në bazë të njohurve gjeometke, për vektorn ku arrhet mnmum dëshruar ~ (po e shënojmë me Y Y1 ), nga kusht ortogonaltett, mund të shkuajmë: ~ X ( Y Y1 ) = 0 ~ XY XY 1 = 0 XY = XY ~ = X ( X ' ) 1 β Vlerësm b për parametrat β do të merret nga zgjdhja e ekuacont matrcor XY = X ( X ' β) Ndoshta ky vëzhgm gjeometrk problemt mund të duket, vështrë kur fltet për ndërtmn e një model të shumëfshtë. Por, në rastn kur XєR 2, pra në rastn e modelt lnear të thjeshtë, a ka paraqtjen gjeometrke s në fgurën e mëspërme. 18

28 Model regrest lnear të shumëfshtë Vlerësm ntervalor parametrave te regrest (Hap II) Programet e plota të posaçme kompjuterke, perveç vlerësmt pkësor te parametrave β,, β me metoden e të katrorëve më të vegjël, japn nformacon edhe për ntervalet e besmt dhe për të kontrolln e hpotezava rreth këtyre parametrave. Programet llogarsn gabmet standarde të koefçentëve. Për çdo β, gabm standard koefçentt, se b ështe vlerësm devjmt standard të vlerësmt b të parametrt β, = 1,, p. Meqënëse β është marrë s kombnm lnear y, që supozohet se kanë shpërndarje normale, atëherë mund të shfrytëzojmë faktn që (β b)/se b ka shpërndarje Student me n-p-1 shkallë lre. Kështu që nterval besmt me koefçent besm 1 α = γ të β është: ]L1, L2[ =]b se b t v ; b + se b t v [ për = 1,, p Kontroll hpotezave (Hap III) Kontroll hpotezave për koefçentët β,, β ndahet në tr kategor: mund të testohen të gjthe koefçentët β = β = = β = 0, ose mund të testohet që secl koefçent β = 0, k = 1,, p, ose mund të testojmë që çdo nënbashkës me m koefçentë është e barabartë me zero. Të gjtha këto hpoteza mund të nterpretohen nëpërmjet varablave të pavarur s më poshtë. Së par kontrollojmë hpotezën H 0: β 1 = β 2 = =β p =0 (pra praktksht që varablat x 1, x 2, x p s ndkojnë në vlerësmn e y) Kjo hpotezë s'është gjë tjetër veçse hpoteza varablat e pavarur X,, X nuk e përmrësojnë parashkmn e Y më shumë se y = y, me hpotezë alternatve " jo të gjthë koefçentët janë të barabartë me zero" Nëse nuk hdhet poshtë kjo hpoteze do të thotë që, pranohet y s parashkues më mrë Y, dhe nuk a vlen ndërtm modelt të regrest lnear. Për kontrolln e kësaj hpoteze përdorm statstkën 2 ( y ~ y ) MS p D = me shpërndarje F(p,n-p-1) MSR ( ~ ) 2 y y ( n p 1) Për të spjeguar këtë, mjafton të kujtojmë se SS R / σ 2 ka shperndarje χ 2 (n-p-1) dhe SS T / σ 2 2 = ( y y) / σ 2 ka shpërndarje χ 2 (n- 1). S përfundm SS D/ σ 2 2 = ~ ( y y ) 2 / δ do të ketë shpërndarje χ 2 ( p). Nëse hpoteza H 0 pranohet s e vërtetë, kjo do të thotë se për vlerësmn e Y mund të përdorm y. Nëse kjo hpotezë nuk pranohet s e vërtetë, s e tllë pranohet hpoteza alternatve, Nëse hpoteza H 0 hdhet poshtë atëhere do të pranohet hpoteza alternatve s e vërtetë, pra që jo të gjthë parametrat janë 0 ose njëlloj, dsa nga varablat e pavarur përmrësojnë parashkmn e Y më mrë se y = y. 19

29 Model regrest lnear të shumëfshtë Ndaj kalohet në etapën tjetër. Etapa e dytë: Shtrohen hpotezën H 0 : β k =0, për k=1..p, me hpotezë alternatve H 1 : β k 0, Hpotezat H : β = 0 për k = 1,, p mund të shhet s hpoteza ku varabl X nuk përmrëson parashkmn e Y krahasuar me atë që ftohet nga efekt në Y p 1 varablave të tjerë Gjeometrksht mendohet që hperplan që po ndërtohet është paralel me këtë bosht. Të dhënat për kontrolln e hpotezës së shtruar përcaktohen nga raport F që jepet në kolonën e fundt të tabelës së analzes së varancës, dhe është, F = " ". Kur është e vërtetë H, F ka njëshpërndarje F me v = p dhe v = n p 1 shkallë lre. p-vlera është spërfaqja në të djathtë të F të vrojtuar, nën grafkun e shpërndarjes së F(v, v ). S test statstkor për kontrolln e hpotezes merret: F = b se(b ) e cla kur H është e vërtetë, ka një shpërndarje F me 1 dhe v = n p 1 shkallë lre. p-vlera është hapësra në të djathtë të F në grafkun e shpërndarjes F(1, v ). Dsa programe kompjuterke e japn këtë vlerë të F për çdo b. Programe të tjerë(spss) japn vlerën e statstkës ekuvalente t = b se(b ) e cla, nëse H është e vërtetë ka shpërndarjen Student me v = n p 1 shkallë lre. p-vlera është dyfsh hapësrës në të djathtë të t në grafkun e S(v ). Etapa e tretë: Hpoteza e fundt, që një nënbashkës prej m koefçentësh është zero është më e vështrë të provohet. Pa bërë ndonjë kufzm të madh, le të mendojmë që kjo nënbashkës konston ne m koefçentët e parë β,, β. Atëherë të provosh H : β = = β = 0 është e njëjtë skur të provosh që m varablat X,, X nuk permrësojnë parashkmn e Y nga ajo që ftohet nga regres Y nga X,, X. Fllmsht, ekzekurohet program për të llogartur regresn e Y me X,, X. Nga analza e tabelës së varancës marrm shumën e katrorëve të mbetjes prej SS. Më pas përdoret program për të llogartur regresn e Y me X,, X,, X, dhe nxjerrm shumën e katrorëve te mbetjes dhe katrorn mesatar prej respektvsht SS dhe MS. Atëherë test statstkor për H është F = (SS SS ) m MS e cla kur H është e vërtetë ka shpërndarje F me m dhe v = n p 1 shkallë lre. p-vlera është hapësra në të djathtë të F së vrojtuar nën grafkun e shpërndarjes F m, v Vërejtje 1. Varanca e y prej x,, x është V y = σ 1 n + d A d 20

30 Model regrest lnear të shumëfshtë ku elementët e A janë përcaktuar në seksonn2.3.1 nga( *), dhe d = (x x,, x x ), me x = x ". Një nterval besm me koefçent besm 1 α, për mesataren e vlerës së vërtetë të Y në se x,, x njhet, është y ± s 1 n + d A d t (n p 1) Një nterval besm me koefçent besm 1 α për një vlerë të vetme të parashkuar të Y nëse x,, x njhet, është y ± s n + d A d t (n p 1) Dsa programe shfaqn elementët e A për të lehtësuar llogartjen e ekuaconeve të mëspërme. 2. Nëse testojmë Hpotezat H : β = 0 për dsa vlera të k me të njëjtn nvel rëndëse α, atëherë nvel rëndëssë së përbashkët nuk është patjetër α. Për të shmangur këtë problem mund të ndërtojmë ntervalet e besmt së shumëfshtë për të gjtha β, k = 1,, p, në mënyrë që koefçent besmt të përbashkët të jetë 1 α. Interval besmt të shumëfshtë me koefçent 1 α për β është b ± (se(b ) pf (p, n p 1) / Hpoteza H : β = β () be poshtë me nvel rëndëse α, nëse β () nuk është në këtë nterval Përfundme o Në regresn e shumëfshtë standart të gjthë varablat e pavarur futen njëkohëssht në model. o Vlerësm R and R² përcaktojnë fortësnë e ldhjes mes varablave të pavarur dhe varablt të varur. Test Fsher përdoret për të përcaktuar nëse kjo ldhje e përcaktuar nga zgjedhja mund të përgjthsohet, apo jo, për të gjthë popullmn. o Test t përdoret për të vlerësuar ldhjen ndvduale mes çdo varabl të pavarura dhe varablt të varur. 2.4 Zbatm 1 Nëse referohem zbatmt "Efekt SO 2 në prodhmet bujqësore", vhet re perdorm kësaj metode studm të të dhenave. Në ketë zbatm kërkohet te kontrollohet nëse ndotja ndustrale ndkon apo jo ne prodhueshmërne e produkteve bujqesore. Pra a ndkon rrtja e produkteve në zonen ndustrale apo jo ndustrale, në sasne e produktt të marrë? Për këtë qëllm janë kontrolluar në të dy zonat, sasa e prodhmt të të njëjtave produkte bujqesore. Pas përdormt të testeve të përshtatshme, është vënë re se për produktet 'grurë', 'msër' dhe 'fruta', nuk ka dallm mds zonave. Por, sasa e produkteve bujqësore dhet që varet nga përkujdesja ndaj spërfaqeve të 21

31 Model regrest lnear të shumëfshtë shfrytëzueshme per të mbjella dhe kushtet abotke e botke. Për të studuar efektn e këtyre faktorëve në këtë problem para aplkmt të metodës ne fjalë është kontolluar : A është bashkësa e të dhënave e përshtatshme për këtë aplkm statstkor? Kontrollohet më parë që te mos ketë probleme me mungesën e të dhënave, probleme me outlers, plotësohen kushtet e aplkmt të kesaj metode dhe më pas, që ndarja e të dhenave që shfrytëzohen, të konfrmojë per besueshmer te rezultateve. Varablat 'dstance', që përcakton dstancën në metër te ndvdt nga pus, 'mbetje urbane' që kodohet spas shkallës së trajtmt të mbetjëve urbane, në rastn tonë më lartë kod më ulët nvel trajtmt të kesaj lloj mbetje; dhe kujdes ndaj 'ujrave të zeza', që eshtë koduar në mënyrë të tllë që rrtja e kodt tregon përkujdesje të ulet të trajtmt të tyre, janë konsderuar pas studmt, s varablat që duhen marrë në shqyrtm. Metoda e regrest të shumëfshtë kerkon që varabl varur 'bmet' të jetë metrk, dhe varablat e pavarur, të jenë metrkë ose kategorkë, që përcaktojnë parametrat ne fjalë. 'ujrat e zeza' dhe 'sstem mbeturnave' jane varabla ordnal të përcaktuara spas nveleve, pra në një farë mënyre mund të mendohet qe keto varabla mund të masn parametrat në fjale. Mendohet që varablat e ketj lloj mund të trajtohen s varabla metrkë. Por, ka statstcenë që nuk janë dakord me këtë përdorm. Ndaj, në fund të nterpretmt duhet bërë një vërejtje, nëse këto lloj varablash përdoren. 'dstanca nga pus 'është varabël metrk ndaj a përdoret në metodën e regrest lnear. Mnmum raportt të vëllmt të zgjedhjes që shfrytëzohet me varablat e pavarur që marrn pjesë në studm, duhet të jetë mnmum 5 me 1. Por 155 rastet e vrojtuara dhe 3 varabla të pavarur bëjnë që raport kësaj analze të jetë 51.7 me 1, duke plotesuar kështu edhe kushtn e preferuar15 me 1. Tabela 2 1 Tabela e koefçentëve të modelt të regrest Coeffcents Unstandardzed Coeffcents Standardzed Coeffcents Model B Std. Error Beta t Sg. 1 (Constant) area sstem ujrave te zeza terheqja e mbeturnave dstanca shtep-pusne meter a. Dependent Varable: fruta 22

32 Model regrest lnear të shumëfshtë Tabela 2 2 Afshmet e t-testeve dhe koefçenteve te regrest Coeffcents a Unstandardzed Coeffcents Standardzed Coeffcents Model B Std. Error Beta t Sg. 1 (Constant) area sstem ujrave te zeza terheqja e mbeturnave dstanca shtep-pusne meter a. Dependent Varable: mser Ndkm faktort abotk ujrat e zeza duhet marrë parasysh, sepse tek grur (t-test dhe sg. 0.01), msr (t-test dhe sg. 0.08) dhe frutat (t-test dhe sg.< 0.01). Vlerat negatve të koefçentëve përkatëssht -436, dhe -215 në modeln e regrest lnear përcaktojnë drejtmn e ldhjes. Duke verejtur kodn e varablt ujra të zeza, ndërsa kod rrtet nuk ka asnje proces santar në trajtmn e ujrave të zeza, arrhet në përfundmn se një sstem më mrë ujrave të zeza ndmon në prodhueshmër me të lartë tek dsa bme. Hpotezat zero që nuk kanë ldhje gjthë varablat e pavarur me varabln e varur, prodhueshmëra e bmës, be poshtë. Ne tabele (model summary) janë paraqtur dhe vlerat e statstkes R 2 - change. Informacon marrë nga varablat e shtuar, redukton parashkmn në prodhueshmernë e bmëve (7.6% për grurn, 5.4% per msrn, and 6.7% për frutat) Vërejtje Në modeln e regrest, β përcakton shkallën e ndryshmt të Y në varës të X, kur vlerat e X, j = 1, p, j janë mbajtur të pandryshueshme. Megjthatë, këto koefçentë mund të mos ketë kuptm t' krahasojmë në madhës për shkak të dferencave në njëstë e matjes së X,, X. Kjo vështrës mund të kalohet duke përdorur varabla të pavarur të standartzuar [5]. Kështu, për j = 1,, p, le të jenë Z = X /s, ku s = x " x /(n 1). Model regrest të shumëfshtë në termat e Z jepet tashmë prej ekuacont y = γ + γ z + + γ z " + e, = 1,, n ku γ, k = 0, p, janë parametra të panjohur dhe e janë terma gabm të pavarura N 0, σ. Vlerësuest e katrorëve më të vegjël c tëγ dhe testet e hpotezave rreth γ ndjekn teornë e mëspërme me z dhe γ që zëvëndësojnë x dhe β respektvsht. Avantazh këtj standartzm është që γ,, γ janë tan madhëstë që përcaktojnë ndryshmn, të matura jo më në shkallë të ndryshme. Kjo na lejon të arrjmë në konkluzonn rreth shkallës së kontrbutt të varablave të pavarur Z,, Z (ose në 23

33 Model regrest lnear të shumëfshtë mënyrë të njëjtë, X,, X ). Pra, një vlerë e lartë e c sjell një shkallë të lartë të kontrbutt të Z (ose X ), j = 1,, p. 2.5 Koefçent korrelacont të shumëfshtë Do dskutojmë teorksht modeln e regrest lnear të shumëfshtë. Teora pranon që p + 1 varablat Y, X,, X janë të gjthë varabla të rastësshëm, dhe për më tepër ata kanë një shpërndarje normale të shumëpërmasore. Do të tregohet këtu që mesatarja e shpërndarjes së kushtëzuar te Y, në se X = x,, X = x njhet, është funkson regrest të shumëfshtë lnear të β + β x + + β x. Kjo motvon modeln e regrest të shumëfshtë lnear, në të cln varanca e gabmt σ është funkson varancës σ të Y dhe një madhëse që quhet koefçent korrelacont të shumëfshtë. Shqyrtojmë shpërndarjen normale të shumëfshtë të Y, X,, X me mesatare μ, μ,, μ dhe varanca σ, σ,, σ, respektvsht. Shënojmë kovarancën e Y me X me σ ", dhe kovarancën e X me X me σ " për, j = 1,, p. Gjthashtu përcaktojmë koefçentët e korelacont të popullmt: ρ = " dhe ρ = " Për vlera të dhëna të X = x,, X = x, ekzston një nënpopullm vlerave korresponduese të të Y. Shpërndarja e saj, shpërndarja e kushtëzuar e Y në se X = x,, X = x, është gjthashtu normale me mesatare μ, = μ + β x μ + + β x μ Kjo quhet dhe prtja matematke me kusht e Y, kur dhet se X = x,, X = x, ose e regrest të Y ndaj X,, X. Vlerat β,, β quhen koefçentë të regrest të pjesshëm, dhe janë funkson varancave dhe kovarancave të mëspërme. Varanca e kësaj shpërndarje të kushtëzuar është σ = σ (1 ρ, ) (*) ku ρ,, rrënja katrore postve e ρ,,, quhet koefçent korrelacontt të shumëfshtë te Y ndaj X,, X. Nëse përcaktojmë varabln e rastësshëm e = Y μ,, atëherë shpërndarja me kusht e e -së, nëse dhet se X = x,, X = x, është N(0, σ ). Bazuar në këtë, mund të shkruajmë Y = β + β x + + β x + e ku β = μ β μ β μ dhe e ka shpërndarje N(0, σ ). Vhet re se ekuacon mëparshëm ka të njëjtën formë me modeln e regrest të shumëfshtë lnear të trajtuar më parë. 24

34 Model regrest lnear të shumëfshtë Përfundme 1. Koefçent korelacont të shumëfshtë ρ,,, përcakton masën e ldhjes lneare ndërmjet Y dhe bashkëssë së varablave X,, X. Koefçent korelacont të shumëfshtë merr vlera 0 ρ,,, 1. Një vlerë zero tregon që Y është pavarur nga bashkësa X,, X, ndërsa një vlerë 1 tregon varës perfekte lneare, pra që, Y mund të shprehet saktëssht s një kombnm lnear X,, X. Për të analzuar fortësne e modelt të regrest lnear të shumëfshtë, përdoret zakonsht ky rregull. Nëse koefçent korelacont është më e vogël se 0.2, ldhja e varablave spas modelt te regrest konsderohet shumë e dobët; nëse koefçent korelacont është më madh se 0.2 dhe më vogël se 0.4, atëhere thuhet se ldhja spas modelt të regrest është e dobët, për vlerën e koefçentt nga 0.4 në 0.6 modelm quhet moderuar. Model regrest lnear quhet fortë dhe shumë fortë përkatëssht në rastet kur ky koefçent korelacont, llogartur s mëspërm, ka vlera përkatëssht nga dhe nga 0.8 në Duke zgjdhur ekuaconn për koefçentn e korelacont të shumëfshtë, marrm: ρ, = (*) Katror koefçentt të korelacont të shumëfshtë përcakton pjesën e varancës së Y që spjegohet nga relaconn e regrest me X,, X. 3. Koefçent korelacontt të shumëfshtë është jonegatv, me përkufzm. Kështu në rast të shpërndarjes normale dypërmasore, ku (p = 1), kem ρ, = ρ, = ρ ku ρ është koefçent korelacont të thjeshtë ndërmjet X dhe Y. 4. Kur p = 2, arsyetmet e mëspërme mund të shkruhen: μ, = μ + β x μ + β (x μ ) Grafku këtj ekuacon është një plan (që quhet plan regrest të Y spas X dhe X ) në hapësrën e përcaktuar nga boshtet koordnatve x, x, dhe nga μ,. Grafku ekuacont për p > 2 paraqet një hperplan në hapësrën p + 1 dmensonale të përcaktuar nga x,, x dhe nga vlera μ,. 5. Korelacon I shumëfshtë është maksmum një korelacon të thjeshtë mes Y dhe kombnmt lnear të X,, X. Për më tepër, μ, është kombnm lnear që sguron këtë korelacon maksmal. Ldhja ndërmjet koefçentt të korelacont të shumëfshtë dhe parametrave të regrest β,, β do të dskutohet më vonë. 6. Koefçent korelacont të shumëfshtë nuk varet nga shkalla e matjes se ndryshoreve të rastt të Y, X,, ose X. 7. Koefçent korelacont të shumëfshtë mund të shfrytëzohet edhe në një formë tjetër. Kështu, (1 ρ, ) / është pjesa e devjmt standard të Y që mbetet e pashpjeguar nga ndryshmet e X, X,, X. Për shembull, një koefçent korrelmt të shumëfshtë 0.9, në dukje shumë lartë, lë akoma 44% të devjmt standard të Y të pa shpjeguar. 25

35 Model regrest lnear të shumëfshtë Zbatm 1 (vazhdm) Nëse referohem përsër "Efekt I SO 2 në prodhmet bujqësore", pas u vu re se për produktet 'grurë', 'msër' dhe 'fruta', nuk kshte dallm mds zonave, u kontrollua nëse sasa e produkteve bujqësore varet nga kushtet abotke e botke. Varablat 'dstance', që përcakton dstancën në metër te ndvdt nga pus, 'mbetje urbane' që kodohet spas shkallës së trajtmt të mbetjëve urbane, në rastn tonë më lartë kod më ulët nvel trajtmt të kesaj lloj mbetje; dhe kujdes ndaj 'ujrave të zeza', që eshtë koduar në mënyrë të tllë që rrtja e kodt tregon përkujdesje të ulet të trajtmt të tyre, u trajtuan me metoden e regrest lnear të shumëfshte dhe u mor model I regres te përcaktuar spas tabelës 2-2. Tabela 2 3 Tabela e vlefshmersë së modelt për 'frutat' Model Summary R Std. Error Change Statstcs Adjusted of the R SquareF Sg. F Model R Square R Square Estmate Change Change df1 df2 Change a a. Predctors: (Constant), dstanca shtep-pusne meter, sstem ujrave te zeza, terheqja e mbeturnave, area Tabela 2 4 Tabela e vlefshmersë së modelt për 'msr ' Model Summary R Change Statstcs Adjusted R Std. Error ofr Square F Sg. F Model R Square Square the Estmate Change Change df1 df2 Change a a. Predctors: (Constant), dstanca shtep-pusne meter, sstem ujrave te zeza, terheqja e mbeturnave, area Afshmet, tabela 2.3 dhe 2.4, tregojnë se kem të bëjme me modele regres që duhen marrë parasysh, (p-vlerat për të dy modelet janë dhe 0.05). Por nëse përqëndrohem tek vlerat e afshuara, vleresmet për R janë 0.35 dhe 0.24, të clat në baze të vërejtjes 1, flasn per nje model të dobët regres. Pkersht modelet e shqyrtuara justfkojnë 11% dhe 5.5% të ndryshmeve në prodhushmërnë e bmeve në fjalë. 26

36 Model regrest lnear të shumëfshtë 2.6 Koefçent korelacont të pjesshëm Këtu dskutohet një tjetër koefçent korelacon, koefçent korelacont të pjesshëm. Ky përdoret për të matur ldhjen lneare ndërmjet çfarëdo dy prej p + 1 varablave Y, X,, X, pas heqjes së 'efektt' të një nënbashkëse, jo boshe, të p 1 varablave të mbetur. Në veçant, a përcakton varësnë ndërmjet Y dhe një varabl të pavarur X, pas heqjes nga Y, të varëssë lneare të një nënbashkës të k prej p 1 varablave të pavarur të mbetur X, = 1,, p, m. Kjo varës lneare e Y ndaj nënbashkësnë së k varablave quhet 'efekt' nënbashkëssë në fjalë, tek ndryshorja e rastt Y. Teora e koefçentt të korelaconmt të pjesshëm ldhet me shpërndarjen me kusht Shtrm problemt Le të jenë l dhe h, dy prej varablave çfarëdo nga Y, X,, X, dhe le të jetë c një nënbashkës jo boshe e p 1 varablave të mbetur. Përcaktohen ndryshoret e rastt Z = l μ, ku μ, prtja me kusht e l, për c e dhënë dhe, Z = l μ,, ku μ, prtja me kusht e h, për c e dhënë. Duhet patur parasysh se Z dhe Z janë ndryshore rast, sepse ato janë funksone të ndryshoreve të rastt në c. Atëherë koefçent korelacont të pjesshëm të l dhe h, për c e dhënë është: ρ, = ρ ku ρ është koefçent zakonshëm korelacont ndërmjet Z dhe Z. Shfaqen zakonsht dy raste të veçanta. Një rast është kur l = Y, h = X, m = 1,, p, dhe c është nënbashkësa e p 1 varablave të pavarur të mbetur. Ky korelacon pjesshëm do shënohet me ρ,,. Rast dytë është kur l = Y, h = X, dhe c është nënbashkës e k varablave të parë të pavarur X, X,, X, ku l k < m p. Koefçent korelacont të pjesshem në këtë rast, do të shënohet me p,. Në përgjthës në se janë k varabla në c, atëherë koefçent korelacont të pjesshëm thuhet se është rendt k Përfundme 1. Koefçent korelaconmt të pjesshëm ρ, është percaktues I ldhjes lneare ndërmjet l dhe h, kur vlerat e varablave të paraqtura c s' ndryshojnë. Ajo merr vlera nga -1 në 1; një vlerë zero tregon që lështë e pavarur nga h, kur c mbahet e pandryshuar. 2. Përdoret shumë një denttet ndërmjet koefçentëve të korelaconmt të pjeshëm dhe të shumëfshtë për bashkësnë e varablave Y, X,, X, X, k = 2,, p, që është 1 ρ, = (1 ρ, )(1 ρ, ) Që do të thotë se V Y X,, X ) = V(Y X,, X 1 ρ, 27

37 Model regrest lnear të shumëfshtë ku V(Y X,, X )është varance ( dsperson)me kusht e Y, për X,, X, = 1,, p të dhënë. Kështu ρ, = V(Y X,, X ) V(Y X,, X ) V Y X,, X Kështu që katror koefçentt të korelacont të pjeshëm është në propoconal me varancën e Y që shpjegohet nga shtesa e X tek bashkësa X,, X. 3. Kem gjthashtu / V X c ρ, = β, m = 1,, p V Y c ku c është tërë nënbashkësa e p 1 varablave të mbetur dhe V X c është varanca me kusht e X për varbla e dhëna c. Kështu të provosh që β = 0 është e njëjtë skur të provosh që ρ, = Korelacon pjesshëm mund të llogartet nga një proces rekrusv s më poshtë. Në se l, h dhe d paraqesn çdo tre varbla të marrë në bashkësnë Y, X,, X, atëherë të gjtha korelaconet e pjesshme të rendt të parë jepen prej ρ ρ " ρ ρ, = 1 ρ " 1 ρ ku afshm në të djathtë paraqet korelaconet e thjeshta. Hap pas hap, duke përdorur formulën rekursve ρ, ρ ", ρ, ρ," = 1 ρ ", 1 ρ, ku c është çdo nënbashkës e varblave të mbetur, mund të ftojmë koefçentët e korelacont të pjesshëm të çdo rend Vlerësm dhe testm hpotezave për koefçentët e korelacont të shumëfshtë dhe të pjesshëm Shqyrtohet tan problem I llogartjes dhe nterpretmt koefçentëve të korelacont nsur nga shfrytezm bazës së të dhënave. Me qenë se teorksht kërkohet që të gjtha p + 1 varblat të jenë varabla të rastt, supozohet se vlerat e vrojtuara y, x,, x,, y, x,,, x " janë ftuar nga zgjedhja e rastësshme e n ndvdëve nga popullm normal shumëpërmasor. Për çdo ndvd, të gjthë p + 1 varablat janë matur njëkohëssht. Vlerësuest e mesatareve, varancave dhe kovarancave të këtj popullm merren nga vlerësm mesatareve, varancave dhe kovarancave të zgjedhjes Lehtëssht softet statstkore bejne llogartjen e mesatares, varancës dhe kovarances së vektort të të dhënave, permes analzës deskrptve. Madje ato llogarsn edhe matrcën e kovarancës mds p + 1 varblave. U vu re se që shpërndarja me kusht e Y, për X = x,, X = x të dhënë, çon në modeln e regrest lnear të shumëfshtë. Kështu rastn tonë kem: y = β + β x + + β x " + e, = 1,, n me e të pavarur N(0, σ ). Me qenë se ky ekuacon është dentk me ekuaconn e regrest të dskutuar në seksonn e mëparshëm, atehere vlerësuest për β, β,, β, 28

38 Model regrest lnear të shumëfshtë dhe σ dhe hpotezat e testt të dskutuara në atë sekson janë të vlefshme këtu. Ato që mbeten për t u vlerësuar janë koefçentët e korrelacont të pjesshëm dhe të shumëfshtë. Dskutojmë tan vlerësmn e koefçentëve të korelacont të shumëfshtë dhe atj të pjesshëm. Vlerësues koefçentt të korrelmt të shumëfshtë, shënuar s r,,,, zakonsht afshohet nga programet statstkore me shënmn R shumefshte ose Koefçent korelacont të shumëfshtë. A mund të llogartet gjthashtu në analzën e tabelës së varancës, nga : r, = + SS SS A mund të përcaktohet edhe s rrënja katrore, poztve, e koefçentt të përcaktmt R. Ky vlerësm pkësor për koefçentn e korelacont të shumefshtë është gjthnjë jo negatv. Për cfarë vlen vlerësm për koefçentn e korelacont? Së par, a përcakton masën e varëssë lneare të Y nga të gjthë varablat e pavarur. Për të kontrolluar hpotezën bazë se, nuk ka varës lneare, pra që, H : ρ, = 0, mund të përdorm të rezultatet e F testt, me qenë se hpoteza e shtruar është ekuvalente me H : β = = β = 0. Mund të përdoret gjthashtu edhe F test ekuvalent: F = n p 1 p r, 1 r, p-vlera është spërfaqja në të djathtë të F nëndenstetn probabltar të shpërndarjes F p, n p 1. Së dyt, thamë se katror këtj koefçent të vlerësuar përcakton pjesën e varacont të Y që shpjegohet nga regrest lnear Y ndaj X,, X. Vëzhgmet që mungojnë, në rastn shumëpërmasor Në analzat që janë me një varabël (p.sh. testet t), trajtm më arsyeshëm rastt kur vlera mungon te X (varabl që do analzohet) është heqja e këtj vrojtm nga zgjedhja. Stuata është e ndryshme kur kem të bëjme me analza që janë të natyrës shumëpërmasore, p.sh. kur p varablat X,, X vëzhgohen në çdo vrojtm. Në këtë stuatë në se një prej varablave u mungon një vlerë përshembull X, nuk është e nevojshme të heqm këtë vrojtm nga analza dhe të humbnm nformaconn për X,, X. Me që ekuacon analzës së regrest të shumëfshtë skurse edhe procedurat multvarate janë funksone të vektort mesatar μ dhe të matrcës së kovarancës, mund ta lëmë këtë rast në zgjedhje dhe të përdorm nformacon që kem në llogartjen e vlerësmt të vektort mesatar x dhe matrcës së kovarancës S. Tan të dskutojmë metoda të ndryshme për vlerësmn e μ dhe (apo njëlloj të matrcës së korrelmt R), kur mungojnë dsa vlera. Le të jenë n numr rasteve kur X është pa mungesa, n " numr rasteve kur të dyja X dhe X janë pa mungesa, dhe n numr rasteve kur të gjtha X,, X janë pa mungesa (n, n ", n n - vëllm I zgjedhjes,, j = 1, p, j). Atëherë dsa metoda për të përcaktuar x dhe S (ose R) janë s më poshtë: 29

39 Model regrest lnear të shumëfshtë Metoda 1 Vlerësm x dhe S duke përdorur të gjtha rastet e n. Kjo quhet metoda e elemnmt të rastt. Metoda 2 Përdorm n vëzhgme e llogartet x. Zëvendësojmë x për çdo observm të munguar në X. Më pas përdoret vrojtm plotësuar n vëzhgmeve, për të marrë x dhe S. Kjo quhet metoda e zëvendësmt mesatar. Metoda 3 Përdoren n vëzhgmet e llogartet x dhe s, dhe përdoren n " observmeve për të ftuar s ". Këto statstka përcaktojnë x dhe S. Metoda 4 Përdoren n vëzhgmet e llogartet x dhe s, dhe përdoren n " vëzhgmet e llogartet r ". Më pas s " llogartet s s " = r " (s )(s ), që është vetm ndryshm nga metoda 3. Metodat 3 dhe 4 quhen dhe metodat e fshrjes në çfte. Metoda 5 Përdoren të gjtha n vëzhgmet e llogartet ekuaconn e regrest të një varabl me të gjthë varablat e tjerë. Për shembull, le të jetë ky ekuacon regres X = f(x,, X ). Më pas nje vlerë e munguar e X për rastn e j-të vlerësohet x = f(x,, x " ). Ekuacone të ngjashme mund të gjenden për X,, X. Tërësa e vrojtmeve që rezulton tashmë e plotësuar, përdoret për vlerësmn e x dhe S. Metoda 6 Përdoret metoda 5 me ca ndryshme. Për shembull X mund të parashkohet vetëm nga një varabël vetëm X,, X që është më koreluar me X, ose X mund të parashkohet nga nënbashkësa e X,, X. Metodat 5 dhe 6 quhen metodat e zëvendësmt të regrest. Dsavantazh parë përdormt të një prej këtyre metodave është që vettë statstkore të tyre nuk njhen përveçse në raste të veçanta. Për më tepër këto metoda shpesh prodhojnë rezultate të shmangura. Rekomandmet tregojnë se vrojtm dhe/ose varablat duhet të elemnohen, spas rastt. Kështu vrojtmet dhe varablat duhet të elemnohen për të maksmzuar numrn e vrojtmeve të plota. Kështu, në se një vrojtm ka shumë varabla që mungojnë, duhet të elemnohet gjthë vrojtm. Nga ana tjetër, në se një varabël mungon në shumë vrojtme, ky varabël elemnohet. Më pas përdoren procedurat e zakonshme të katrorëve më të vegjël ose procedurat shumëpërmasore Vërejtje 1. Shumca e paketave kompjuterke kanë s opson' default' metodën e elemnmt të vrojtmt. 2. Në dsa programe ekzston s opson edhe fshrja në çft. Ky opson mund të përdoret kur një vrojtues ka shumë varabla që mungojnë pak vlera,dhe kur metoda e elemnmt të vrojtmt do të reduktojë numrn e vrojtmeve shumë. Përdorues duhet të ketë parasysh që mund të lndn dhe stuata jo të vërteta në këtë rast nga llogartjet 30

40 Model regrest lnear të shumëfshtë (s p.sh. shumë katrorësh ose vlera testesh F negatve). Në rastet kur përdoret opson nuk aplkohet në mënyrë rgoroze teora e nderthurjes statstkore. 2.7 Regres Shumëfshtë Stepwse Regreson shumëfshtë shërben për të gjetur nënbashkësne më efektve të varablave përcaktues, në parashkmn e varablt të varur. Varablat shtohen në ekuaconn e regrest duke përdorur krtern e maksmzmt të R 2 Kur shtm varabave nuk sjell ndonjë ndryshm statstkor të rëndësshëm në R 2, atehere analza e regrest të shumëfshtë Stepwse ndalon Shtrm matematk Regres të Shumëfshtë Stepwse Në shumë raste, gjatë aplkmt te regrest, vrojtues nuk ka nformacon të mjaftueshëm rreth shkallës së rëndëssë së varablave të pavarur X, X,, X në parashkmn e varablt të varur Y. Kontroll H : β = 0 për çdo varabël X, = 1,, p, nuk na sguron këtë nformacon. Meqë statstka që përcakton 'efektvtetn' e një bashkëse varablash të pavarur në parashkm, është koefçent korelacont të shumëfshtë, një zgjdhje për problemn e mëspërm është llogartja e koefçentt të regrest të Y ndaj të gjtha nënbashkësve të mundshme të varablave të pavarur dhe, më pas, të zgjdhet nënbashkësa më e mrë, duke shfytëzuar këto koefçentë. Për çdo nënbashkës me k, elementë, për k = 1,, p, përcaktohet nënbashkësa S që përmban koefçentët më të mëdhenj të korrelacont të shumëfshtë. Për regresn e Y ndaj nënbashkëssë S, kontrollohet hpoteza që përfshrja e p 1 varablave të mbetur nuk përmrëson parashkmn e Y, me hpotezë alternatve: verehet përmrësm. Për kontrolln e kësaj hpoteze përdoret test statstkor kontrollt te koefçentëve 0, pra test: F = (SS SS ) m MS Nëse hpoteza hdhet poshtë, atëherë për regresn e Y në nënbashkësnë S, kontrollohet nëse përfshrja e p 2 varablave të mbetur nuk përmrëson parashkmn e Y. Përsërtet test në mënyrë të njëpasnjëshme, der sa për nënbashkëste S, 1 m p, hpotezat që p m varablat e mbetur,nuk përmrësojnë parashkmn e Y, pranohen. Atëherë S është nënbashkësa më e mrë e varablave në parashkmn e Y me qenë se: (a) ajo sguron koefçentn ekorelacont të shumëfshtë më të madh' ndërmjet të gjthë nënbashkësve me vellm m; dhe (b) përfshrja e p m varablave të mbetur nuk përmrëson ndjeshëm parashkmn e Y. Nëse kjo zgjdhje nuk është e vetme, natyra e problemt mund të sugjerojë nënbashkësnë më të përshtatshme. Kur numr varablave të pavarur është madh, aplkm I kësaj metode s'është dcka praktke, madje edhe në se kem kompjuter me shpejtës të madhe, përcaktm nënbashkëssë më të mrë duke përdorur këtë procedurë është I vështrë. Për shembull kur p = 5, atëherë janë =31 ekuacone regres, dhe kur p = 10, janë 2( )+252+1=1023 ekuacone regres. Në përgjthës, janë të nevojshëm 2 1 ekuacone regres. Koha dhe shpenzmet e nevojshme na shtyjnë të gjejmë një rrugë tjetër për këtë problem. 31

41 Model regrest lnear të shumëfshtë Një zgjdhje është teknka e regrest hap pas hap, në të clën varablat e pavarur X, X,, X futen njër pas tjetrt në ekuacon, spas dsa krtereve të parapërcaktuara. Sapo një varabël futet në ekuacon, a mund të ndërrohet me një varabël që është në modeln regrest, ose mund të hqet fare nga ekuacon. Bashkësa e krtereve që përcakton se s një varabël futet, ndërrohet ose hqet quhet procedura stepwse. Dskutohen katër procedura stepwse. Nga një procedurë stepwse, ftohet një lstë e rendtur parashkuessh. Për shembull në se p = 5 kjo lstë mund të jetëx, X, X, X dhe X. Për të përcaktuar ekuaconn më të mrë nga kjo lstë zgjdhen m p varablat e parë kështu që () ata parashkojnë Y sa më mrë që të jetë e mundur, dhe () m është sa më e vogël që të jetë e mundur. Me fjalë të tjera një nënbashkës varablash të varur zgjdhet nga lsta e rendtur, e tllë që të ketë aftës parashkuese të lartë. Në shembulln e mëspërm mundet që nënbashkëstë të konsstojnë vetëm në X dhe X dhe, se regres me X dhe X është pothuaj aq mrë sa regres nëx, X, X, X dhe X. Procedura për përcaktmn e m njhet më emrn procedura Iteratve. Mëposhtë paraqten tr rregulla të tlla ndërprerje Procedurat teratve Le të supozojmë se kem një bashkës varablash të pavarur X, X,, X të clët janë të gjthë për tu shqyrtuar për parashkmn e Y. Le të supozojmë gjthashtu dhe që kem një zgjedhje të rastt me vëllm n. Procedura ndëprerjes standarde, që do dskutohet fllmsht, konsston në një rregull për të futur varablat dhe një rregull për heqjen e varablave (ndërrm varablave nuk përfshhet në procedurën e teratve standard). Sç do të shohm procedurat e tjera rrjedhn nga kjo procedurë. 1. Procedura standarde teratve (Metoda F). Varablat futen ose hqen duke përdorur një test statstkor, t testn, cl është prezantuar për kontrolln e hpotezave, koefçent korrelacont të pjesshëm janë zero. Programet kompjuterke paraqesn katrorët e kesaj statstke, e cla ka shpërndarje F (me shkallë lre të përcaktuar më poshtë). Më pas supozojmë se një nënbashkës c që përmban k varabla është futur në ekuacon, k = 0,1,, p 1. Më pas test F teston nëse një varabël X (jo nga c) përmrëson në mënyrë të ndjeshme parashkmn e Y në krahasm me atë të varablave në c, p.sh. H : ρ. = 0, duke përdorur statstkën e testt F F ". = r ".(n k 2) 1 r ". e cla nën hpotezën zero ka shpërndarje F(1, n k 2). Në mënyrë të ngjashme merret edhe nje test statstkor po me shpërndarje Fsher, që teston procesn e heqjes, pra nëse një varabël X në një nëbashkës c që përmban k varabla nuk nevojtet më. Pra nënbashkësa e zvogëluar c që përmban k = k 1 varabla, parashkon Y po aq mrë sa nënbashkësa c. Kështu, ne testojmë H : ρ ". = 0 duke përdorur testn statstkor me shpërndarje Fsher F(1, n k 2): F ". = r ". (n k 2) 1 r ". 32

42 Model regrest lnear të shumëfshtë Sç do të shohm rregull Iteratv spas procedurës standard, përfshn zgjedhjen e një vlere mnmale F për pwrfshrjen e varablave. Dsa paketa programuese marrn një vlerë të paracaktuar 4.0. Për heqjen e varablave, zgjdhet gjthashtu një mnmum testt F për të hequr (më vogël se mnmum F për përfshrjen; dsa paketa programesh marrn mnmumn F =3.9). Hapat e procedurës standard më të detajuara janë: Hap 0: Testohet H : ρ = 0, = 1,, p. (Koefçent korelacont të thjeshtë është koefçent korelacont të pjesshëm me k = 0 dhe c =bashkës boshe.) Per këtë llogarten koefçentët korelacont të thjeshtë r dhe vlerat e F testt, F, për = 1,, p. Test statstkor jepet nga F = r (n 2) 1 r që përftohet nga (*) me k = 0. A ka shperndarje Fsher, F me 1 dhe n 2 shkallë lre. Hap 1 Varabl X qe ka vlerën e testt F më të madh, (ose ndryshe, katrorët e koefçentëve të korrelacont me Y më të mëdhenj) zgjdhet s parashkues më mrë Y. Nga ekuacon katrorëve më të vegjël,bëhet analza e tabelës së varancës, dhe llogartet koefçent korrelacont të shumëfshtë r = r.. Në këtë hap, test F, që shërben për të hequr X,është e njëjtë me vlerën e F-testt për të futur për X. Më pas llogarten koefçentët e korelacont të pjesshëm r. dhe F-testet për përfshrjen e çdo njert prej tyre F. = r. (n 3) 1 r. për = 1,, p,, për çdo varabël që nuk përfshhet në ekuaconn e regrest. Kjo statstkë F ka 1 dhe n 3 shkallë lre, dhe kontollon hpotezat H : ρ ". = 0 për = 1,, p,. Në se të gjtha F për të përfshrjen e varablave te tjerë janë më të vegjel se mnmum F për përfshrjen e varablt, atëherë ekzekutohet Hap S. Në rast kundërt vazhdojmë me Hapn 2. Hap 2 Varabl X që ka vlerën e testt F për përfshrjen e varablt më të madh (që do të thotë, katrorn eentt të korrelacont të pjesshëm më të madh me Y për X te dhënë) zgjdhet s parashkues më mrë Y nëse, më parë, ka qenë zgjedhur X. Llogarten nga ekuacon katrorëve më të vegjël, analza e tabelës së varancave, dhe koefçent korelacont të shumëfshtë r.. Gjthashtu, llogarten F. dhe F.. Këto statstka me 1 dhe n 3 shkallë lre përcaktohen s më poshtë: 33

43 Model regrest lnear të shumëfshtë F. =. () dhe F.. =. (). Ato testojnë respektvsht hpotezat zero H : ρ ". = 0 dhe H : ρ ". = 0. Së fundm, llogarten koefçent korelacont të pjesshëm r.,dhe vlera e testt F me 1 dhe n 4 shkallë lre për = 1,, p,, për përfshrjen e x F. = r. (n 4) 1 r. = 0. Në se të gjtha F për të clat bëjnë të mundur kontrolln e hpotezës H : ρ. përfshrjen e x janë më të vogla se se mnmum vlerës se statstkës F për përfshrjen x, atëherë ekzekutohet Hap S. Në të kundërt, kalohet në Hapn 3. Hap 3 (a) Le të shënojmë me L bashkësnë e l varablave të pavarur që janë përfshrë në ekuaconn e regrest. Nëse ndonjë nga vlerat e statstkës F për të hequr varabln e përfshrë në L, është më I vogel se mnmum paracaktuar F për të hequr, atëherë varabl me F -vlere për të hequr më të vogël nuk përfshhet më në L, dhe ekzekutohet hap (3b) ku l zëvendësohet me l 1. Në se të gjtha vlerat e F testt për të përfshrë varablat që tashmë s'janë në L, janë më të vogla se mnmum F të paracaktuar të përfshrjes, atëherë ekzekutohet Hap S. Në të kundërt varabl me vlerën e F përfshrjes më të madh merret dhe, shtohet L-së kështu që l zëvendësohet me l + 1. (b) llogarten për Y dhe varablat në L, ekuacon katrorëve më të vegjël, tabela e analzës së varancave dhe koefçent korrelmt të shumëfshtër.. Gjthashtu llogartet vlerat e testeve F për të hequr parametra, F.() ndërmjet Y dhe X në L në se l 1 varabla mbesn në L. Kjo ka 1 dhe n l 1 shkallë lre dhe testohet hpoteza H : ρ.() = 0. Së fundm llogarten koefçent korrelacont të pjesshëm r.dhe test F për perfshrjen F. për Y dhe X jo në L për varabla të dhënë në L. Kjo statstkë ka 1 dhe n l 2 shkallë lre dhe testohet H : ρ. = 0 për X jo L, = 1,, p. Hapat 4,5, Përsërtet Hap 3 në mënyrë në çdo teracon. Hap S ekzekutohet (a) kur vlerat e testt F për përpërfshrjen e varablave të, që s'janë në L, janë më të vogla se mnmum statstkes F për përfshrjen e varablt, (b) kur të gjthe varablat janë përfshrë dhe vlera e testt F për të hequr për varablat e përfshrë është më e madhe se F për heqjen e varablt, vlerë kjo e paracaktuar në fllm, ose (c) kur numr varablave të përfshre në regresn e shumëfshtë është n 2. Hap S Zakonsht, me kërkesë të përdoruest, jepet një tabelë përmbledhëse. Për çdo hap afshohen: numr hapt, varabl perfshrë apo hequr, vlera e F testeve për perfshrjen dhe heqjen e varablt në fjalë, dhe koefçent korrelacont të shumëfshtë të Y me varablat e përfshrë në këtë model. 2. Procedura Standarde me Zëvendësm (FSWAP) 34

44 Model regrest lnear të shumëfshtë Kjo procedurë përdor të njëjtat rregulla për heqjen dhe shtmn e varablave s procedura e mëspërme teratve, përveç që në çdo hap, mund të bëhen ndërrme ndërmjet varablave në ekuacon. Kjo procedurë është s të thuash më e mra, spas varantt që dëshrojmë, dhe ekuacont të regrest të marrë spas metodës më spërme. Duke përdorur këtë procedurë, një varabël në ekuacon ndërrohet me një varabël që nuk është në ekuacon, nëse ndërrm rrt koefçentn e korelacont të shumëfshtë (madje edhe nëse nuk sguron ndonjë rrtje të ndjeshme). Në një hap të caktuar, nëse janë k varabla në nënbashkësnë c të clët janë përfshrë në ekuacon, procedura teratve () heq varabla nga c duke përdorur testn F për heqje, () ndërrmn e një varabl në c me një varabël jo në c, dhe () shtmn e një varabl në c duke përdorur testn F përfshrës. 3. Metoda e Korelacont të Shumëfshtë (Metoda R) Kjo procedurë përdor të njëjtn rregull për përfshrjen e varablave në ekuaconn e shumëfshtë, por perdor një rregull tjetër për heqjen e varablave. Në një teracon të caktuar, ajo përdor rregulln R, spas të clt një varabël hqet nga model regrest lnear, në se sguron një katror të koefçentt të korelacont të shumëfshtë më madh. Është e mundur të arrhet rrtje e R, meqenëse R nuk është vetëm një funkson madhësve të përcaktuara (sç janë, n dhe s ), por edhe të dy madhesve që ndryshojnë (s mesatares së katrort të mbetjes dhe p numr varablave në ekuacon). Kështu është e mundur për këto sas të ndryshojnë,në atë mënyrë që një varabël më pak të japë një R më të madhe. Kjo procedurë përfundmsht konsston spas rradhës () heqjen e një varabl, duke përdorur rregulln R, dhe () shtmn e një varabl, duke përdorur testn F të përfshrjes. 4. Metoda e Korelacont të Shumëfshtë me Ndërrm (RSWAP) Kjo procedurë është e njëjtë me metodën R, por përdor edhe rregulln ndërrmt. Rend kësaj procedure është: () heqja e varablt duke përdorur rregulln R, () ndërrm dy varablave për të rrtur R, dhe () shtm një varabl duke përdorur testn F të përfshrjes Përfundme Shumca e paketave të programeve të regrest stepwse ka një opson për ndërhyrjen në procesn e gjetjes së varablave më me nteres në ekuaconn e regrest. Për çdo varabël përdorues specfkon, me anë të një parametr që fut, le ta quajmë nvel detyrmt, një nstrukson që përcakton nëse varabl do të futet pavarëssht nga vlera e testt F të përfshrjes. Kështu përdorues ka kontroll mb varablat (në kundërshtm me zgjedhjen statstkore përshkruar më spër), dhe në këtë mënyrë varablat që kanë vlerë më të madhe në parashkm mund të futen të parët. Procedura stepwse përfshn më pas varablat që kanë një nvel rëndëse të vogël Rregullat e Ndërprerjes Do paraqesm tr rregulla për përcaktmn e numrt të varablave (predctors) për gjetjen e ekuacont më të mrë të regrest. Rregull standard, cl është pranshëm në shumcën e paketave të programeve statstkore, kontrollon numrn e varablave që futen në ekuacon me anë të një parametr që përcaktohet nga përdorues dhe, që 35

45 Model regrest lnear të shumëfshtë quhet mnmum vlerë e testt F të përfshrjes. Sç thamë më spër ky parametër është njëvlerë mnmum e statstkes Fsher që korespondon nvelt të rëndëssë α, F (1, v). α rekomandohet të jetë 0.15, me gjthë se shumë përdorues vendosn α në Rregull Standard Ndërprerjes Rregull Standard I Ndërprerjes për të ftuar bashkësnë më të mrë të parashkuesve H mund përcaktohet lehtë nga tabela përmbledhëse e prntuar në Hapn S. Në një modeln teratv, vlera e testt F të përfshrjes për çdo varabël të futur krahasohet me vlerën e F për përfshrje të përcaktuar më parë. Më të detajuara hapat ne procedurat kompjuterke janë: (a) Në hapn 1, futet një varabël X. Nëse vlera e testt F përfshrës është jo e konsderueshme, d.m.th. F përfshrjes<mnmum F të perfshrjes se paracaktuar, atëherë përfshrja e varablt në fjale në regres është e pa kuptmtë, dhe përdorues duhet të kërkojë metoda të tjera për të analzuar të dhënat. Në të kundërt, H = X (b) Në Hapn 2, futet një varabël X. Nëse vlera e testt F të përfshrjes së tj<mnmum F të përfshrjes së paracaktuar, atëherë H mbetet vetëm me varabln X, dhe regres më mrë është a Hap 1. Në të kundërt, H = X, X. (c) Për çdo hap të mëtejshëm, në se futet një varabël, krahasohet vlera e testt F përfshrës me mnmumn e F përfshrës. Në se F përfshrëse e varablt është e konsderueshme, shtohet varabl në H dhe shkohet në hapn tjetër. Nëse jo, ndërprtet shtm H dhe merret, s ekuacon më mrë regrest, a marrë në hapn e mëparshëm. 2. Rregull Ndërprerjes Bazuar në Ndryshmet në R Kjo procedurë kërkon që përdorues të paracaktojë me kujdes vlerën 'mnmale të testt F të përfshrjes ' dhe vleren'mnmale të F për të hequr varabln e përfshrë'. Vlera 'mnmale e testt F të përfshrjes ' mund të zgjdhet në mënyrë të tllë që çdo varabl që parashkohet të jetë nevojshëm në parashkmn t I japm shanse Kështu, vlera 'mnmale e testt F përfshrjes ' duhet të jetë F." (1, n p 1). Në anën tjetër,vlera 'mnmale e testt F për të hequr varabln e përfshrë' mund të zgjdhet në mënyrë të tllë që, të kem shanse të vogla që një varabël përfshrë, të hqet. Kështu zgjdhet vlera 'mnmale të F për të hequr varabln e përfshrë' shumë vogël, p.sh Më pas vëmendja përqëndrohet tek varablat që janë në tabelën përmbledhëse në hapn e fundt. Le të jetë L bashkësa e l varablave, l p dhe, le të jetë r. koefçent korelacont të shumëfshtë ndërmjet Y dhe varablave në L. (Nëse një apo më shumë varabla hqen, është e nevojshme të llogartet sersht r. ). Le të jetë H bashkësa e h varablave në ekuaconn e regrest në një hap të ndërmjetëm. Procedura bën testmn e hpotezës H : ρ. = ρ. duke përdorur n l 1 r. r. F = l h 1 r. Nëse H është e vërtetë, test F ka shpërndarje Fsher me l h dhe n l 1 shkallë lre. Kryhet ky test në mënyrë të njëpasnjëshme, për çdo teracon dersa ftohet vlera e parë, e testt F josgnfkatve. Supozojmë se kjo ndodh p.sh. në 36

46 Model regrest lnear të shumëfshtë Iteracon 3, ku Y është shprehur me një ekuacon regres të një bashkës H të h varablave. Më pas në se në Iteracon 4 duke dashur të përfshjmë varabla te rnj në ekuacon regres, nesë vlreat e F testt jane josgnfkatve atehere ndalohet së shtuar H-në dhe marrm s ekuaconn më të mrë të regrest, atë të ftuar në Iteracon 3. Nëse test që kryhet synon të heq varablat ekzstues, atëhere varabl hqet, kryejmë kontrolln e mëspërm për Iteracon 4. Në se test përfshrës është sgnfkatv, atëherë H është bashkësa e varablave e ftuar në Iteracon 4, dhe marrm s regresn më të mrë atë të Iteracon 4. Në se vlera e F testt është josgnfkatve, përcaktojmë H me h 1 varabla s bashkësnë e varablave që marrn pjesë në këtë ekuacon regres. 3. Rregull Ndërprerjes Bazuar në Mesataren e Katrort të Gabmt të Pakushtëzuar Bendel dhe Aff [6] (1976) rekomandojnë një rregull ndalm alternatv. Ata propozojnë të kontrollohet hpotezat që gabm pakushtëzuar katrort mesatar (UMSE) [7] nuk ulet nga një hap në tjetrn. Kjo madhës përcaktohet s UMSE = E(Y Y), ku vlera e parashkuar e Y, Y, ftohet nga tërësa e vlerave Y, X,, X të clët mendohet se kanë shpërndarje normale shumëpërmasore. Vlerësm UMSE në një hap të dhënë behet nga statstka: UMSE q, n = MS = ()( )(. ), ()() ku qështë numr varablave në ekuacon dhe MS është mbetja e katrort mesatar në hapn e dhënë. 2.8 Zbatm 2 Në punmn me teme: Cfarë ndkon në memorje, ku synohet të vlerësohet ndkm ne memorjen e adoleshentëve të dsa varablave s, mënyra e të ngrënt, konsumm apo jo alkolt, sasa e orëve të fskulturës, (aktvteteve sportve) dhe gjna. Përcaktues për memorjen, në studmn ne fjalë, është marrë varabl 'nrwords', që përcakton numrn e fjalëve që mund të memorzojë një adolshent pas lexmt të 40 fjaleve për 5 mnuta. Studm ndkmt të 5 varablave ne fjale, në varabln tone, u mendua të behej me ane të modelt të regrest lnear të shumëfshtë. Por për ndertmn e këtj model, një ndër kushtet që duhet të plotësohet është dhe a që, varablat që marrn pjesë në model të jenë dy e nga dy të pavarur. Për të kontrolluar këtë u shkruajt dhe u ekzekutua kod mëposhtëm në SPSS : 37

47 Model regrest lnear të shumëfshtë PARTIAL CORR /VARIABLES=sportlevel duhanpojo alkolpojo gjna BY nrtotalifjaleve /SIGNIFICANCE=TWOTAIL /STATISTICS=DESCRIPTIVES /MISSING=LISTWISE. Afshmet paraqten në tabelen 2-5. Tabela 2 5 Tabela e koefçentëve të korelacont Correlatons gjna Control Varables sportlevel duhan po/jo alkol po/jo f/m nr total sportlevel Correlaton I fjaleve Sgnfcance (2-. taled) df duhan po/jo Correlaton Sgnfcance ( taled) df alkol po/jo Correlaton Sgnfcance ( taled) df gjna f/m Correlaton Sgnfcance ( taled) df Koefçentat e korelacnt të afshuara mes çdo dy varablave në shqyrtm tregojnë se çdo dy prej varablave"alkol','duhan',e 'sport level', mund të konsderohen të pavarur lnearsht. Meqënëse ky kusht plotësohet mund të flasm për mundësne e ndërtmt të nje model regres me këta varabla. Ndersa vërehet që ka njefare korelacon të dobët të gjnse me varablat e tjerë në shqyrtm. 2.9 Regres Shumëfshtë Hrarkk Metoda në fjalë shhet në programet kompjuterke s regres shumëfshtë hrarkk Ajo përdoret zakonsht në rastet, kur gjatë studmt dskrptv të të dhenave, vërehet vares e varablt në studm nga një varabel tjetër pavarur, por ne nuk jem të nteresuar aq shumë për këtë varës. Interes ynë është përqëndruar më shumë në kontrolln e varëssë së varablt në studm nga varabla të tjerë. 38

48 Model regrest lnear të shumëfshtë Në regresn e shumëfshtë hrarkk futja e varablave të pavarur bëhet në dy faza. Në fazën e parë futen varablat e pavarur që ne duhet t' kontrollojmë më parë në ldhjen e regrest. Ndersa ne fazën e dytë futen ato varabla të pavarur që ne duhet t' shqyrtojmë, pas varësa e parë lneare merret parasysh. Vleresm ndkmt të varablave, me të clen punohet në fazën e dytë, bëhet me anë të testt statstkor që ndertohet duke pasur parasysh R 2 e marrë nga faza e pare Zbatm 1(vazhdm) Nëse referohem sërsht zbatmt "Efekt I SO 2 në prodhmet bujqësore", vhet re perdorm kësaj metode studm të të dhenave. Në ketë zbatm u vu re se ndotja ndustrale ndkon ne prodhueshmërne e produkteve bujqesore jonxhes, patates, permes dhe fasules. Mesatarja e prodhmt te jonxhes është statstksht më e lartë ne zonën e ndotur, dersa dferenca e studuar e vleres se komponentt në fjalë në zonën e ndotur nga zona e kontrollt është negatve. Mesatarja e patates, permes dhe fasules është statstksht më e ulët në zonën e ndotur. Por, sasa e produkteve bujqësore dhet që mund të varet nga kushtet abotke të lartëpërmendura. Për të testuar nëse këto tr varablat e lartë përmendura ndkojnë në parashkmn e sassë së prodhmt te patates, fasules, permeve dhe jonxhes, është pëdorur metoda e regrest hrarkk të shumëfshtë (5). S varabl pavarur lstuar më parë, the ndependent varable lsted frst, u përdor varabl zone, dhe s varabla të shtuar, the added varables,dstance, ujrat e zeza dhe mbetjet urbane. Përgjthssht nteres nuk qëndron tek varësa e varablave të kontrollt'area' ndaj varablave të varura, ndaj jem në kushtet e përdormt të regrest hrarkk. Afshmet paraqesn rezultatet e t-testeve,nese gjate ndertmt të hperplaneve të regrest nuk I marrm parasysh faktoret abotk, dhe tregojnë effekt të faktort 'sstem ujrave të zeza' Tabela 2 6 Afshmet e t-testeve dhe koefçenteve te regrest Coeffcents a Unstandardzed Coeffcents Standardzed Coeffcents Model B Std. Error Beta t Sg. 1 (Constant) area (Constant) area sstem ujrave te zeza terheqja e mbeturnave dstanca shtep-pusne meter

49 Model regrest lnear të shumëfshtë a. Dependent Varable: jonxhe Coeffcents a Unstandardzed Coeffcents Standardzed Coeffcents Model B Std. Error Beta t Sg. 1 (Constant) area (Constant) area sstem ujrave te zeza terheqja e mbeturnave dstanca shtep-pusne.164 meter a. Dependent Varable: perme Faktoret abotk sstem ujrave të zeza dhe, ne menyre jo shumë te sgurt dhe a mbetjeve urbabe, kanë ndkm ne produktvtetn e bmeve. Sa më shumë kujdes të tregohet në to nga ana santare aq më poztvsht ato ndkojne tek bmët. Informacon marrë nga varablat e shtuar, redukton parashkmn në ndryshueshmërnë e prodhueshmersë se bmëve, vetëm s rezultat zonës, me 20% per permet, 4.3% for për jonxhën Zbatm 2:(vazhdm) Në punmn me teme: Cfarë ndkon në memorje, pas analzës deskrptve të të dhënave është vënë re ndkm në varabln 'nrwords,' dhe në përmresmn e tj për sgurmn e kushtt të normaltett 'sqrtnrwords', ndkm varablt 'gjna', ndkm cl për ne nuk paraqet nteres. Ndaj per të percaktuar efektn apo jo ne varabln në shqyrtm të kater varablave të tjerë te pavarur, që marrn pjesë në sdtudmn në fjale, efektn e duhant alkolt te të ngrënt shëndetshëm dhe të sportt është kryer regres lnear hrarkk. Kjo metodë synon, pas heqjes nga sqrtword e efektt të gjnse, të kontrollojë për efekt të alkolt, duhant të të ngrent shëndetshëm dhe të sportt. 40

50 Model regrest lnear të shumëfshtë Tabela 2 7 Tabela e regrest hrarkk Model Summary Std. Change Statstcs R Error Adjusted of ther Square Sg. F Model R Square R Square Estmate Change F Change df1 df2 Change a b a. Predctors: (Constant), gjna f/m b. Predctors: (Constant), gjna f/m, han shendetshem po/jo, alkol po/jo, sa here bejne sport ne jave, duhan po/jo Tek tabela 2-7 vlerësm R 2 -change tregon se, ky model justfkon 39% ndryshmet ne rrënjen katrore të numrt te fjalëve të memorzuara. Kontoll hpotezës R=0, pra nuk ka ldhje lneare mes modelt te propozuar dhe faktoreve te tjere te testuar be poshte. Kjo, sepse vlera e testt te kontrollt të hpotezës në fjalë është sgnfkatv, vlera e testt F jep p= Madje R=0.612 tregon se ldhja ne fjale, e shprehur nga model regrest, është e fortë. Tabela 2 8 Koefçentët e korelacont të regrest hrarkk Coeffcents a Unstandardzed Coeffcents Standardzed Coeffcents Model B Std. Error Beta t Sg. 1 (Constant) gjna f/m (Constant) gjna f/m sa here bejne sport ne.223 jave duhan po/jo alkol po/jo han shendetshem.042 po/jo a. Dependent Varable: sqrtnword Kryerja e metodes se regrest lnear hrarkk konkludon për efekt të sportt, duhan dhe alkolt (lexo p- vlerat në tabelen 2.8). Ndërsa varabl mënyrës së të ngrënt, nuk sjell ndonjë ndryshm nëse nuk merret parasysh në modeln e regrest lnear. Koefçentet negatv pranë varablt duhan e alkol tregojnë efektn negatv te dy këtyre faktorëve, dhe efekt poztv të sportt në memorje. 41

51 Model regrest lnear të shumëfshtë Për të përcaktuar se clët nga varablat e pavarur në fjalë luajnë rol me të madh në sqrtnrwords kontollohen vlerat e koefçentëve të korelacont të pjesshëm, tabela 2.9 Vlerat tregojnë për ndkm të sportt ne masen =0.36, pra 36% e ndryshmeve ne varabln e shqyrtuar shpjegohen nga varabl 'sa herë bëjnë sport në javë'. Ndërsa ndryshmet në duhan dhe alkol shpjegojnë vetëm 4% të ndryshmeve të 'sqrtnrword' Tabela 2 9 Koefçentët e korelacont të pjesshëm Excluded Varables a Collnearty Model Beta In t Sg. Partal Correlaton Statstcs Tolerance 1 sa here bejne sport ne.629 b jave duhan po/jo b alkol po/jo b han shendetshem.072 b po/jo a. Dependent Varable: sqrtnword b. Predctors n the Model: (Constant), gjna f/m Zbatm 3 (vazhdm) Në shembulln e mëspërm për të parë se cl nga 4 varablat e pavarura sport, alkol, te ushqyert dhe duhan, ndkojnë më shumë në parashkmn e 'sqrtnrword', është përdorur regres lnear stepwse. Afshmet e mëposhtme tregojnë se clët jane varablat kryesorë që ndkojnë në këtë model regres. Tabela 2 10 Regres stepwse Varables Entered/Removed a Model 1 Varables Entered saherebejnesp ortnejave Varables Removed. Method Stepwse (Crtera: Probablty-of- F-to-enter <=.050, Probablty-of- F-to-remove >=.100). 42

52 Model regrest lnear të shumëfshtë 2 duhan po/jo. a. Dependent Varable: sqrtnword Stepwse (Crtera: Probablty-of- F-to-enter <=.050, Probablty-of- F-to-remove >=.100). Model Summary Adjusted R Std. Error of Model R R Square Square the Estmate a b a. Predctors: (Constant), saherebejnesportnejave b. Predctors: (Constant), saherebejnesportnejave, duhan po/jo Metoda e regrest stepwse tregon se nga tere faktoret e konsderuar te pavarur ndkm tek srtnword ka numr oreve te fskultures dhe konsumojne apo jo duhan. Faktor kosumm alkol, mënyra e të ushqyert janë elemnuar nga teresa e faktoreve te pavarur te futur ne shqyrtm. Model justfkon rreth 40% te ndryshmeve te varablt sqrtnword. Madje vetëm varabl sport justfkon 38.96% të ndryshmeve në sqrtwords. Nese shkohet koefçent para tj ne modeln e regrest te shumefshte lnear stepwse, eshte 0.23 model ndertuar vetem ne baze te faktort sa here bejne sport ne jave kalm nga dy here fskulture ne jave ne tr here fskulture do te ne jave do te sjell mesatarsht nga 11.7 fjale të memorzuara. 43

53 3 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) 3.1 Model me nenpopullme te fksuara (Model I) Me këtë metode, vëzhgohet ndkm dy faktorëve të ndryshëm A e B, mb një varabë, Y. Kjo metodë shkon nënpopullmet të përcaktuara nga nvelet e seclt prej dy faktorëve, s dhe nga nderthurja e tyre. Faktorët A e B, në fakt janë varabla të tpt kategork.vlerat e ketyre dy varablave te pavarur percaktojne nvelet e faktoreve në shqyrtm dhe, kombnmet e nvele të ndryshme të tyre, përcaktojnë modeln që po shqyrtojmë. Kështu, nëse A ka I nvele(varabl A ka I vlera) dhe B ka J nvele, (varabl B ka J vlera), atëhere, IJ janë kombnmet e nveleve të dy faktorëve. Kombnm nvelt të të të faktort A, me atë të j-të të faktort B përcaktojnë atë që mund të quhet qelza j. Në Analzën Dypërmasore dallohen rastet kur numr vëzhgmeve të varablt të rastt Y, për çdo qelzë të jetë njëjtë dhe kur a s'është I tllë. Këto vëzhgmë përcaktojnë zgjedhjen e nënpopullmt të përcaktuar nga ndërthurja e nvelt të -të te A-së, me nveln e j-te të B-së. Ndaj ndërtohet model dy përmasor, ku çdo vlerë e n.r. në shqyrtm paraqtet s kombnm mesatares, nvelt të ndkmt të faktorëve në shqyrtm, te nderthurjes se tyre dhe të një term gabm. Shënojmë y jk vlerën e k-të të Y në qelzën e j-të, dhe ndërtohet model për shqyrtmn e efekteve të dy faktorëve të fksuar Y jk =µ+α +β j + (αβ) j +e jk ku =1..I; j=1..j; k=1..k µ është mesatarja, α eshtë efekt faktort A, dhe β j efekt faktort B, (αβ) j paraqet ndërthurjen e dy faktorëve j-të. Gabmet e rastt e jk janë varabla të rastt të pavarur, dhe kanë shperndarje N(0, σ 2 є). Në rastn kur (αβ) j =0 për çdo dhe j, modelet A dhe B quhen adtve. Le të kalojmë tan në vlerësmn e parametrave që përcaktojnë efektn e faktorëve në shqyrtm. Vleresmet e këtyre parametrave me Metodën e Katrorëve më të Vegjël nuk janë të vetëm, ndaj vhen edhe dsa kushte të tjera. Supozohet se : I α = 1 J β j j = 1 = 0 = 0 44

54 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) I = 1 ( αβ ) = 0 për j=1..j ( αβ ) = 0 për =1..I j S zakonsht, duke përdorur Metodën e Katrorëve më të Vegjël, përcaktohen vlerësme të pazhvendosura të parametrave të këtj model, µ, β j, α. Shuma e marrë është kjo: 2 S ( y µ α β ( αβ) ) = j jk dhe, gjejmë vlerësuest e parametrave: j j J j= 1 j ˆ β = j ( αβ) j y.. = ˆα µˆ = y = y.. y y j. y y.. y. j. për =1..I dhe j= 1..J + y duke vënë në dukje se y është mesatarja e vlerave të y jk; y është mesatarja e kollonës së j-të. j. y është mesatarja e rreshtt.. Nga teorema e Gaus Markovt këto vlerësme të pavarura të parametrave sgurojnë një mnmum të varancës nga të gjthë vlerësmet që ftohen s kombnm lnear vlerave të vrojtuara. Kështu shuma S është bazë për vlerësmn e pazhvendosur të σ 2 є. Kjo shumë, mund të ndahet në katër shuma, spas burmeve të varacont, A,B,AB dhe Mb(Regrest).... SKT = j k j k ( y jk y ( y jk ) 2 j. y) 2 = SK = JK A + SK B ( y.. + SK y) AB 2 + IK + SK R j ( y. j. y) 2 + K j ( y j. y.. y. j. 2 + y) + Anova Dy Përmasore shqyrton katër komponentët e varancës [9], duke ndertuar statstka te pazhvendosura per çdo burm te varacont, s tabela 3.1. Për të përcaktuar ndryshmn mds grupeve spas një faktor vlerësojmë shumën e katrorëve të gabmeve spas seclt faktor S KA dhe S KB dhe kështu mesatarja e S gabmt për çdo faktor do të jetë M A = KA S dhe M B = KB I 1 J 1 Për të kuptuar nëse ka ndryshme mds grupeve të ndryshme spas seclt prej dy faktorëve, duhet që ato të krahasohen me varancën e gabmt б 2 45

55 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Tabela 3 1 Përbërëst e varacont Model 1 Burmet e varacont Shuma e katrorëve të gabmeve Mesatarja e katroreve Faktor A 2 JK ( y.. y) S KA S KA = M KA = I 1 Faktor B 2 IK ( y. j. y) S KB S KB = j M KB = J 1 Ndërthurja e dy S KAB = S KAB faktorëve 2 K ( yj. y.. y. j. + y... ) M KAB = ( I 1)( J 1) Mbetjet Total j S KR = S KT = j k j k ( y y ) j. jk ( y y) jk. Ajo supozohet e njëjtë për të gjthë grupet. Ndaj, për vlerësmn e saj përdoret statstka 2 2 S KR M KR = IJ( K 1) I J 2 2 K s j. ( yjk y j j ) 2 = 1 j= 1 σ ˆ = = M KR që na sguron një vlerësm të IJ ( K j 1) IJ ( K j 1) panjohur të б 2 Meqë y jk janë një zgjedhje nga një popullm madh më shpërndarjë N(µ, б 2 ) atëherë (IJK -1)S KT ~X 2 (IJ(K-1)) 2 σ Ndërtohen testet statstkore më shpërndarje të përcaktuar,tabela3.2, dhe në bazë të tyre kontrollon testet statstke të paraqtura në Tabelën 3.2. Tabela 3 2 Testet spas hpotezave Ho: (αβ) j =0 Ho: α =0 Ho: β j =0 M KAB M KA M KB M M M F= KR F= KR F= KR ((I-1)(J-1);IJ(K-1)) ((I-1);IJ(K-1)) ((J-1);IJ(K-1)) Në bazë të p-vlerave, pra të spërfaqeve në të djathtë nën kurbat e këtyre shpërndarjeve, dskutohen : Në fllm hpoteza Ho: (αβ) j =0, o Nëse p-vlera është shumë, shumë e vogël, atehere nuk kem ndonjë ndërthurje mds dy faktorëve. 46

56 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) o Vazhdohet, duke shfrytezuar p-vlerat e testeve perkatës, për t dhënë përgjgje pyetjeve nëse ka efekt secl prej dy faktoreve A dhe B. Model I Anova-s jep pergjgje pyetjes, a jane të njejta mesataret e nenpopullmeve te caktuara spas seclt faktor, apo jo. o Nese p-vlera është e madhe, atëhere shumës së katrorëve të gabmeve të mbetjeve, duhet t shtojmë dhe këtë shumë tashmë të konsderueshme të ndërthurjes mds dy nveleve, duke marrë kështu një vlerësm tjetër të б 2 : M SP =S KP/ υ P ku S KP =S KR +S KAB me një numër shkallësh lre υ P = υ R+ υ AB[]. o Nderhyrja në sntaksën e programeve statstkore bën të mundur dhe kontrolln e hpotezës për ndërthurjen apo jo të dy faktorëve në studm Përfundme Duhet vënë në dukje se nuk ka ndonjë vlerë kuf të përcaktuar të p-vlerës, për të thënë se kur duhet bërë dhe kur jo ky modfkm, çdo gjë varet nga person që studon problemn. Megjthate ky modfkm keshllohet te bëhet në rastet kur p-vlera prane nderthurjes se dy faktoreve, P>0.5. Mosmarrja parasysh e këtj konkluzon, mund të cojë në përfundme të gabuara në analzën e dy testeve të tjera. Punohet më pas për shqyrtmn e ndkmt apo jo një ë nga një të faktorëve A dhe më pas B B, duke shfrytëzuar përkatëssht F=M SA /M SP për testmn e hpotezës Ho: α =0 dhe F=M SB /M SP të hpotezës Ho: β j = Zbatm 1 Në një studm, "Clët faktorë ndkojne në memorje", është kontrolluar me parë ndkm shumë faktorëve që mendohej të ndkonn në ndryshoren e rastt, që përcakton sasnë e fjalëve të memorzuara, (n.r. që për të plotësuar kushtn e normaltett është modfkuar në sqrtnrword). Faktor gjn s dhe numr orëve që merren me sport ne jave, janë përcaktuar të dy s faktorë ndkues në sqrtnrword. Për të vrojtuar s ndkojnë këto dy faktore, në përputhje dhe me problemn qe trajton studm, ndkmn tek memorja e adoleshentëve, është bërë krjm një varabl te r kategork, nvsportlevel (faktor me J=3 nvele). Me metodën e ANOVA-s Dypërmasore, model me nënpopullme të fksuara, është kontrolluar ndkm faktort gjn ( I=2 nvele) dhe sportlevel. Tabela 3.3 paraqt të dhënat e kësaj analze. Afshmet e para të tabelës 3.3 përmban përvec mesatareve në çdo 6 kombnme të dy faktorëve të përcaktuar dhe vellmn e zgjedhjes për çdo 2*3=6 qelzat e krjuara. Ndërsa, në pjesën tjetër të tabelës 3.3 lexojmë përfundmet e kësaj metode. Vlera e statstkës F=.103 dhe e p-vlerës koresponduese.902, tregojnë nuk mund të flasm për nderthurje mes faktoreve [10]. Madje dhe vlera e varancës qe përcakton kjo ndërthurje është tej mase e vogël, sç lexohet në tabelë vetëm Ndërsa afshmet prane faktoreve tregojnë, për ndkm sportlevel (F= dhe e p- vlerës 7.62 E-17), dhe për mos ndkm të faktort gjn, (F=.333 dhe p-vlera.565). 47

57 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Tabela 3 3 Tabela e të dhënave deskrptve dhe analzës ANOVA dypërmasore Descrptve Statstcs Dependent Varable: sqrtnword gjna f/m sportlevel Mean Std. Devaton N femer 0-2 here sport here sport me shume se 4 here sport Total mashkull 0-2 here sport here sport me shume se 4 here sport Total Total 0-2 here sport here sport me shume se 4 here sport Total Dependent Varable: sqrtnword Type Sum Squares III of df Mean Square F Sg. Partal Squared Source Corrected Model a Intercept gjna sportlevel gjna * sportlevel Error Total Corrected Total a. R Squared =.271 (Adjusted R Squared =.258) Eta 3.2 Model me nënpopullme të rastesshme (Model II) 48

58 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Tabela Anova-s nund te shfrytezohet edhe ne një kendveshtrm tjetër, spas metodes me nenpopullme te rastesshme []. Keshtu, popullm N(µ,б 2 ) ndahet ne nenpopullme te percaktuara spas dy faktoreve ne shqyrtm, s rezultatat kombnmt të tyre. Zgjedhja e marre sguron, zgjedhje per çdo nepopullm me shperndarje N(m j, б 2 j ) ku =1..I; j=1..j. Nga zgjedhjet e ketyre grupeve, llogarten me pare mesataret m j per çdo grup, te caktuar nga kombnm dy faktoreve te shqyrtuar A dhe B. Vlerat e zgjedhjes fllestare (s zgjedhje e nenpopullmt te grupt j) mund te shkruhen ne formen: y jk = m j +e jk ku e jk te pavarura me shperndarje N(0, б 2 ) (Ne fakt vellm zgjedhjes per çdo grup eshte ndryshem, pra k ndryshojne, keshtu smbolka me e pershtatshme per k do te shte k j. Por, nese paraqes rastn kur vellm ne çdo grup te percaktuar nga dy faktoret eshte njejte, nuk kam ndonje ndryshm, vetem na thjeshton smbolken) Nenpopullmet me shperndarje N(m j,σ " ), sherbejne tan s zgjedhje per popullmn e madh, te pare s popullm nenpopullmeve. Ndaj elementet e kesaj zgjedhje shkruhen ne formen: m j =µ+a. +b.j +(ab) j, 2 ku a ~N(0, σ ) te pavarura, b..j ~N(0, ~N(0, σ ) 2 j σ ) te pavarura dhe te pavarura edhe (ab) j 2. j Perfundmsht, ndertohet model Y jk =µ+a +b j + (ab) j +e jk ku =1..I; j=1..j; k=1..k, ku µ mesatarja e gjthe popullmt, a, b j dhe (ab) j jane te pavarura dhe kane shperndarje me mesatare 0 e varance perkatessht. σ a, σ b, σ ab dhe e jk ~N(0, σ 2 + σ 2 j). Shtrohet problem vleresmt te ketyre parametrave. Duke perdorur te njejten metode vleresohet σˆ a =(M KA -M KAB )/JK, σˆ b =(MKB -M KAB )/IK dhe =(M KAB -M KR )/K Per te sqaruar ku ndryshojne dy metodat ne ndarjen ne katër komponente te varancës, eshte paraqtur tabela 3.4. Tabela 3 4 Përbërëst e varacont Model II σˆ ab Burmet e varacont Perberest spas modelt I Perberest spas modelt II Faktor A JK 2 α σ 2 +Kσ 2 ab+ JKσ 2 a Faktor B Ndërthurja e dy faktorëve σ 2 + I 1 IK β σ 2 + j 1 JK σ 2 + ( I 1)( J 1) Mbetjet σ 2 σ 2 2 j ( αβ ) 49 2 j σ 2 +Kσ 2 ab+ IKσ 2 b σ 2 +Kσ 2 ab

59 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Ndaj testet statstkore spas modelt II do te jene: Ho: ( σ ab ) 2 =0 Ho: σ a 2 =0 Ho: σ b =0 M KAB M KA M KB M M M F= KR F= KAB F= KAB ((I-1)(J-1);IJ(K-1)) ((I-1);(I-1)(J-1)) ((J-1);(I-1)(J-1)) Në fllm kontrollohet hpoteza Ho: (αβ) j =0, o Nëse p-vlera është shumë, shumë e vogël, atehere nuk kem ndonjë ndërthurje mds dy faktorëve. Model II Anova-s vazhdon, duke shfrytezuar p-vlerat e testeve perkatës, dhe jep pergjgje pyetjes, a ka apo jo varacon mds nenpopullmeve te caktuara spas seclt faktor. o Nese p-vlera është e madhe, atëhere shumës së katrorëve të gabmeve të mbetjeve, duhet t shtojmë dhe këtë shumë tashmë të konsderueshme të ndërthurjes mds dy nveleve, duke marrë kështu një vlerësm tjetër të б 2 : M SP =S KP/ υ P ku S KP =S KR +S KAB me një numër shkallësh lre υ P = υ R+ υ AB. Vazhdohet me shqyrtmn e ndkmt apo jo të faktorëve A dhe B, duke shfrytëzuar përkatëssht F=M SA /M SP për testmn e Ho: α =0 dhe F=M SB /M SP të Ho: β j =0. Shhet se statstkat F ndryshojne nga ato te modelt te pare, e kjo ne rastet e nje nderthurje te dy faktoreve me njer tjetrn, na ben qe vleresm marre me modeln II te ANOVA-s te jete ndoshta ndryshe nga a spas modelt I Zbatm 2 Dskutm problemt të ndkmt të ndotjes në pneumologj me Anoven Dy Përmasore Për problemn pneumologjk kem zgjedhur s tregues përcaktues ndryshorjen e rastt nvkoll Në studmn e problemt të pneumologjsë, është vëne re se faktor zonë ka ndkuar në nveln e kollës dhe, është shtruar problem ndkmt apo jo mb këtë ndryshore rast të kohëqëndrmt në zonën ndustrale (kohëqëndrm, faktor A me 4 nvele)[8] dhe të shkallës së duhanprjes (nvduhan, faktor B me tr nvele). Ky problem u trajtua me metodën e Anova-s dy përmasore. Tabela e Anovës dy permasore shfaq F= 3.54 dhe P= pranë varablt kohëqëndrm, që dëshmon se rol kohqëndrmt në këto zona, per ndryshoren nvkoll është domethënës. Ndersa prane varablt shkalla e duhan prjes p-vlera =0.056, qe deshmon per mosndkm te duhant ne ndryshoren e rastt ne shqyrtm. Spas Modelt II, model ANOVA-s Dypermasore të rastwsshme, marrm këto vlerësme për përbërëst e varancës, Tabela 3-5: 50

60 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Tabela 3 5 Afshmet e përbërësve të varacont Përbërës varacont Vlera nvel kohëqëndrmt nvel duhan prjes nvel kohëqëndrmt* nvel duhan prjes mbetjet(gabmet) Meqë varanca e një komponent nuk mund të jetë më e vogel se 0, atëhere vleresm per varancën nën efektn e ndërthurjes së dy faktorëve merret 0. Pra, jem ne rastn kur dy faktoret konsderohen adtve, dhe kjo metode për shqyrtmn e varancës se dy faktorëve afshon prane faktort nvelkoheqendrm F= 8.93dhe P=0.043 dhe prane faktort nvel duhanprjes F= 7.44 dhe P=0.026, dhe tregojnë tan ndkmn e dy faktorëve në shqyrtm në ndryshoren nvkollë. Kështu meqe faktorët nuk ndërthuren, ne zgjdhjen e ketj problem mund te jpet edhe përgjgja se të dy faktorët ndkojnë në n.r në shqyrtm, pra në këtë tregues të problemeve pneumologjke. Pra, mund të them se fakt që modeln e ANOVA-s e shkojmë spas modelt I apo II, na con në rezultate tërëssht të ndryshme. Por, kontroll hpotezës së ndërthurjes apo jo të dy faktorëve në shqyrtm shfaq, pranë vlerës se statstkës F= , p vlerën 0.077, tregon se ndonese nuk ka nje nderthurje te qarte mes dy faktoreve, keto faktore nuk mund te konsderohen s adtv. Kjo na bën të mos ndkohem shume nga vlerat e afshuara, por të nsem nga vlerësm tjetër. Ne baze te sqarmeve te bera, modfkohen vlerat e emeruesve te statstkave. Fllmsht modfkohet shuma S KP =S KR +S KAB = dhe me pas statstka ne emeruesn e dy statstkave vleresuese: M SP =S KP/ υ P = që shfaq F= dhe P= Përfundmsht, një vëzhgm më kujdesshëm Anovas Dypërmasore, tregon se në bazë të kësaj metode nuk mund të them se ndkm kohëqëndrmt në këtë zonë ndustrale është domethënës mb këtë tregues të problemeve pneumologjke. Po kështu modfkohet dhe vlerësm për ndkmn apo jo të faktort tjetër, shkallës së konsummt të duhant. Duke u nsur nga vlerësm mëspërm M KP, merret F=1.729 dhe P=0.18, qe do te thote se nuk rezulton ndkm vetem ketj faktor ne ndryshoren e rastt qe shqyrtohet. Nëse do t rshkonm rrezultatet e t grumbullonm ato, duke përfllur ndërthurjen mes dy grupeve atëhere, do të ftonm të njëjtat F-vlera s në rastn e parë, pra të njëjtat përgjgje për ndkmn e faktorëve në shqyrtm. Pra, shtojmë se sa të ndryshme mund të jenë përfundmet varet, dhe nga qëndrm që mbahet ndaj ndërthurjes se dy faktorëve Vërejtje SPSS shoqërohet me tr edtor, edtor të dhënave, output-ve dhe edtor sntaksës. 51

61 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Edtor të dhënave përmban varablat, llojn e tyre e bën të mundur kryerjen e analzës së ndryshme statstkore. Edtor ver outputeve, krjon lehtës për afshmn e tabelave nga komanda të ndryshme të ekzekutuara nga edtor të dhënave dhe a sntaksës. Edtor sntaksës hapet Fle/Data/Edtor/New/ Syntax, dhe bën të mundur ruajtjen e sntaksës së gatshme për bashkës të dhënash të ndryshme. Kështu edtor vecante mund të ekzekutohet në bazën e të dhënave të reja, duke ndryshuar vetëm emertmet e varablave. Afshmet për përcaktmn e ndërthurjes mes dy faktorëve arrhen pas në këtë edtor të fundt shkruhet kod posaçëm. 3.3 Shtrm matematk Analzës së Kovarancës (ANCOVA) Bazë e analzës së kovarancës është gërshetm metodës ANOVA me një analzë të thjeshtë të regrest lnear. Kuptohet, se ajo përdoret në rastet kur ndryshorja e rastt. nuk varet vetëm nga nvelet e një faktor, por dhe nga një ndryshore rast tjetër, e vazhdueshme. Pra, supozohet se kem p.sh. I nvele të një popullm spas një faktor. Shënohen y j vëzhgmet e marra në ekspermentn e j-të të nvelt të -të. Supozohet gjthashtu se, y j kanë shpërndarje N(µ, σ 2 ). Në të tlla raste model ndërtuar matematk gjatë analzës ANOVA është y j = µ+ α + e j ku e j kanë shpërndarje N(0, σ 2 ) µ prtja matematke e popullmt, α ndkm nvelt të -të dhe, sç e dhet, për të sguruar një vlerësm të këtyre parametrave me metodën e katrorëve më të vegjël, vhet kusht J α = 0 Por, ndërkohë krahas vrojtmeve te vlerave y j në vëzhgm e -të të nvelt të j-të, bëhet një tjetër vëzhgm varablt x, që supozohet të jetë lnearsht varur me y, vëzhgme që shënohen me x j. Vlerësm spas ANOVA-s do të bëhej më saktë nëse y j do t zbrtej ajo pjesë që përcaktohet nga regres lnear me x j. Kështu nga vlerat e marra y j, ftohen vlera të reja y j * =y j -β(x j - x ) Këto, quhen vlera të reduktuar, sepse është hequr efekt ndkmt tek to x j, duke u supozuar ky një ndkm lnear. Model matematk ANOVA, tan ndërtohet për këto vlera të reduktuara y* j. y* j = µ+ α + e j ku : e j kanë shpërndarje N(0, σ 2 ) µ prtja matematke e popullmt të madh, α ndkm nvelt të -të. Ky model matematk vlerave të reduktuar nuk është gjë tjetër vetëm se model matematk : y j = µ+ β(x j - x )+ α + e j vlerave të y j, që mund ta quajmë dhe model të analzës së kovarancës. 52

62 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) Përfundmsht, në këtë model, β(x j - x ) është ndkm në y j varablt x, supozuar s një ndkm lnear dhe α, ndkm nvelt të -të në sajë të faktort në shqyrtm. Kështu, meqë model analzës së kovarancës kthehet në një model të përgjthshëm lnear, duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, përcaktohen vlerësme të pazhvendosura të parametrave te ketj model, µ, β, α. 2 Pas ndertmt të shumës S y β ( x x) µ α ) = ( j j j kërkohet mnmum saj, duke përcaktuar kështu këto vlerësme për parametrat: S = ( yj β ( xj x) µ α ) = 0 µ S = β j ( x j nga ku ˆ β = ( x j, j j x) y S = α ˆ α = j n y nµ = 0 ˆ µ = y ( x x)( y β ( x x) µ α ) = 0 j j j β ( x x )( yj y ) S = 2 ( x x ) S j n j y j ( y j j ˆ β j x) β ( x 2 xy xx j ( µ + α )( x x) µ α ) = 0 x) j x) = 0 ˆ α ˆ + µ = y ˆ( β x x) Dhet që këto vlerësme të parametrave të modelt lnear të ndërtuar, sgurojnë dhe një mnmum të varancës nga të gjthë vleresuest lnear të pazhvendosur të këtyre parametrave. Ndaj, S = = j j ( y ( y j j ˆ( β x j S y S x) ˆ µ ˆ α ) xy xx ( x j 2 = 2 x x + x)) = j j j ( y j j ( x S S j xy xx ( y j ( x j S y S xy xx S x) y S ( x j xy xx x )) 2 ( x x)) = është një vlerësm zhvendosur varancës së gabmt. 2 Ndërsa, MS = 1 S xy ( S yy ) n I 1 S është vlerësm pazhvendosur për σ 2 xx Në këtë mënyrë është ndërtuar një vjë e regresont lnear 2 = S yy S S 2 xy xx 53

63 Analza e Varancës Dypërmasore (Metoda ANOVA Dypërmasore) yˆ = S y + S xy xx ( x x) për =1..I. Për këtë arsye, këto quhen vja të regresont lnear brenda grupt. Pas dhënes së komandës së vlerësmt me ANOVA të modelt të modfkuar do të afshohen këto vlera: Tabela 3 6 ANOVA e modelt të qendërzuar Mds nveleve Brenda nveleve Total * * 2 J ( y y ) SS M = * * ( y j y ) SS B = j SS T = j * * ( y j y ) 2 2 SS M /(I-1) SS B /(n-i-1) SS T /(n-1) Kështu në rastn tonë, tabela 3-6 paraqet vlerat e analzës së varancës për vlerat e modfkuara. Ndërsa, për vlerat reale të vrojtuara, nuk është gjë tjetër vecse një analzë kovarance. Tabela 3 7 Përbërëst e analzës së kovarancës mes grupeve Mds nveleve SS M = Brenda nveleve SS B = Total SS T = j j J( x x)(( y y ( xj x)( yj y ) ( x x)( y y j j ) ) SS M /(I-1) SS B /(n-i-1) SS T /(n-1) 54

64 4 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Kjo metodë është s të thuash një metodë ANOVA, por në rastn kur kem shumë varabla të varur. Nga pkpamja e përgjthshme ANOVA teston për dferencën mds mesatareve të dy ose më shumë grupeve, në këtë këndveshtrm metoda MANOVA teston për dferencën në dy ose me shume mesatare vektorësh. Duke qenë një problem komplkuar, problem në fjalë, për zgjdhjen e tj jane dhenë mënyra të ndryshme. Në këtë kaptull do të paraqesm dsa varante për zgjdhjen e tj, dhe do të dskutohet për prortetet e seclës metodë, duke konkluduar kështu dhe për rastet kur secla nga metodat e trajtuara do të shte mrë të përdorej. 4.1 Analza e Varances Shumëpërmasore (MANOVA) Shtrm teork metodës MANOVA përcakton te veçantën e kësaj metode. Kjo metodë bazohet në një model regres lnear ndaj shpesh njhet me emrn MANOVA e varantt GLM. Nga n ndvdë, pra nga një zgjedhje me vellm n, janë vëzhguar vlerat e p varablave të rastt, dhe vëzhgmet janë shënuar s më poshtë: Varablat Indvdët n 1 Y 11 Y 12 Y 1n p Y p1 Y p2... Y pn... Pra, vektor Y=(y 1,y 2, y n ) paraqet vlerat koresponduese te n vëzhgmeve në tërë ndvdet të varablt të -të. Model lnear për çdo komponente Y, =1,2,,p, që mund të shhet s nje model me nje varabël, përcaktohet nga barazm vektoral: E(Y )=X'β, cov(y )= ϭ j I ku (X') n*m është matrca e desnjuar e rankut r m <n, ϭ është dsperson I varablt të -të dhe β = (β 1,, β m)' është vektor me m komponentë, komponentët e të clt janë parametra të panjohur të varablt të -të. Varesa e varablave shprehet nga cov(y,y j ) = ϭ j I,j = 1,2.,p ku ϭ j është kovaranca mes varablt të -të dhe të j-të. Është supozuar se p n-r dhe m<n Model mund të shkruhet ne formë matrcore 55

65 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Y=X'β_+e ku vlerat e vrojtuara përcaktojnë matrcën y y ". y y " y. y y y. y " ( X') n*m është matrca e desnjuar e rankut r, dhe β 11 β 21. β p1 β 12 β 22. β p β 1n β 2n. β pn është matrca e parametrave të panjohur. Së fundm, e n p është matrcë, rreshtat e së clës janë një zgjedhje e rastt n përmasorë që formohet nga shperndarja p- përmasore N(0,Σ) ku Σ p*p është matrca e kovarancës dhe 0 p*1 është vektor 0. Ekuacon I marë nuk është gjë tjetër veç se mënyra formale e shprehjes se modelt të regrest të shumëfshtë lnear Zbatm 1 Është përdorur metoda MANOVA, Model Regrest Lnear të saj (GLM), në trajtmn e Ndkmt të nvelt te ndotjes ne problemet shendetësore të përgjthshme, ne problemet dermatologjke dhe ato pneumatke. Kështu, në problemn në fjalë jane marë të dhëna nga 171 ndvdë, banues te tr zonave, dy të konsderuara ndustrale, Marnëz dhe Sheqshtë-Belnë, dhe, nje e konsderuar e paster Kurjan. Të ntervstuarve jane berë dhe 13 pyetje te ndryshme, për gjendjen shëndetesore të të ntervstuarve. Në këtë stuatë n=171, p=13 dhe Y është vektor 171 vëzhgmeve, përgjgjeve të pyetjes së -të, për =1,2,,13. Për këtë (pyetje), varabel të varur të -të, model do të shkruhej në formën: E(Y )=X'β pra Yj=µ *1+α 1 X j1 + α 2 X j2 +e j, për =1,2,,13 dhe j=1,2,,171. Kështu β=( µ, α 1, α 2 )' është vektor me 3 parametra faktort të -të. X j1 dhe X jn janë ndekset e varablt 'fshatrat' Ishte statstcen Davd P. Nchols (12), që më 1997, pas bër një analzë të dallmeve mes MANOVA-n dhe Metoden e Regrest Lnear te Shumefshtë të një varabl kategork, trego se Metoda e Regrest Lnear te Shumefshtë nuk sguron një zgjdhje të vetme të këtj ekuacon matrcor. Një ndër zgjdhjet më të thjeshta mund të kërkohet duke u bazuar në nje matrce njës. Ndërsa në MANOVA, model e Regrest Lnear te Shumefshtë kërkohet të jetë kanonk, ndaj model I matrces X merr formën s ne tabelën 4-1. Kjo, sepse kollona e fundt duhet shprehur s kombnm lnear kollonave para saj, pra A3 = C - A1 - A2 56

66 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Tabela 4 1 Model Matrces spas GLM dhe MANOVA-s Matrca GLM Matrca e MANOVA-s Nvelet C A1 A2 A3 C A1 A Në rastn tonë m= r =3 model mund të shkruhet në këtë formë matrcore: y y ". y ", y " y. y ", y," y,". y "," µμ µμ. µμ " y,".. y "," = α, α,. α ", + e α, α,. α ", y,".. y "," y,".. y "," y,"#.. y "," Vlerësm parametrave Vleresuses për matrcen e parametrave të panjohur përcaktohet me vlerësmet që merren me Metoden e Katroreve më të Vegjel, duke shfrytëzuar vlerat e vëzhguara Y pra të varablt të - të. Kështu zgjdhja e ekuacont (XX') β = XY na sguron vlerësuest që na duhen të β = (β 1,, β p), e që mund të shhen s nje model lnear një permasor për Y. Vlerësues pazhvendosur për ϭ j nga teora e modelt me një varabël përftohet s më poshtë: (,) = ( ) ku r = rank X'. Vlerësues I pazhvendosur për ϭ është R (, ) = Y Y (Y X )β n r n r për,j= 1,2,,p. R (, j) quhen shumat e katroreve të mbetjeve dhe R (, j) është shuma e prodhmt të mbetjeve,j = 1,2,,p. Matrca 57

67 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA R 0 (1,1) R 0 (1,2). R 0 (1, p) R 0 (2,1) R 0 (2,2). R 0 (2, p) R 0 (p, 1) R 0 (p, 2). R 0 (p, p) quhet matrca e shumës se katroreve të mbetjeve Test I Hpotezës se Lneartett Test hpotezës së Modelt të Regrest Lnear është trajtuar në 1965 nga Rao. A, për secln nga varablat e varur, kryente ANOVA-n një-përmasore. Kështu a analzonte hpotezën : Ho: H' β =ξ për =1,2,..p Këto hpoteza në trajtë matrcore mund të shkruhen në formën H' β={ξ 1 ξ 2,... ξ p ] ku matrca H' s* m, me rank s k dhe, vektor ξ s*1 janë të dhënë. Kështu kem një model të përcaktuar, nga cl mund të sgurojme nje vlerësm per β, β, dhe matrcë produkt dhe shumë katrorësh të mbetjeve R 1. Matrca R 1 -Ro quhet matrca produkt dhe shumë katrorësh që përcaktuan nga devjmn nga hpoteza. Analza e varances, duke patur parasysh zberthmn e R1 = Ro +R 1 -Ro kthehet, në problemn e krahasmt të Ro me R 1 -Ro. Më 1965 Rao trego se hpoteza e mëspërme e trajtës matrcore merr formën e gjetjes së p rrenjëve λ 1, λ 2, λ p të ekuacont R λr =0 Test I kontollt te hpotezës zero kthehet kështu në teste të funksoneve te λ. Një mënyrë është të gjesh mnmumn e rrënjëve, sepse kështu arrhet maksmum devjmeve nga hpoteza zero, dhe teston për të. Ndersa spas krtert Wllks krter Λ përcaktohet nga Λ= λ 1 λ 2 λ p = Zbatm 1 (vazhdm) Në rastn tone testohet përmes metodes ANOVA njëpërmasore hpotezat H0 marrn formën: Ho: α 1 = α 2 =0 për =1,2,, Test dferences mes vlerës se mesatareve mds dsa popullmeve:manova Le të shënojmë me n 1,n 2, n k vëzhgmet e kryera për k popullme, dhe të shenojme me Y " mesataret e zgjedhjeve të p varablave nga zgjedhja e r-të, për r = 1,2,,k. 58

68 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Ndërsa S () " element I matrcës së shumës së katrorëve me n r -1 shkallë lre që merret nga zgjedhja e r-të.. Dhe së fundm, le të jenë Y, Y, Y vlerat mesatare dhe, (S " ) matrca e shumës se katrorëve të ftuar nga kombnm I të gjthë zgjedhjeve në një të vetëm. Duke vepruar s tek ANOVA një përmasore përcaktojmë: B " = n Y " Y " -Y Y s shumë të produkteve mds popullmeve dhe () Ë j S " shumën e produkteve brenda popullmt të -të, për =1,2,,p. Këto madhës afshohen në tabelën e MANOVA-s. Krter Λ, në te clen kjo metodë bazohet për të vlerësuar barazmn e vlerave të mesatareve është: Λ= W WB ku W dhe W + B janë përcaktorët e matrcave (W j ) dhe (B j )+ (W j ). Statstka Λ ka shpërndarje të vështrës në përcaktm,ndaj në praktkë përdoret përafrm F: ms 2λ 1 Λ / F = 2r Λ / me m = n 1 p + k s = () () Kështu për përcaktmn e përqndjeve përdoret shpërndarja F(2r,(ms-2λ)) shkallë lre. Idea e përafrmt te shpërndarjes së vërtetë me shpërndarjen e Fshert është bërë nga Rao, dhe test në fjalë njhet me emrn e tj. Por ky test përdoret atëhere kur varabl I pavarur që studjohet, plotëson kushtn e normaltett dhe, natyrsht, ate te Homogjenntett te Varancës, që kontrollohet me anë të testt Leven. Ndërsa Bartlett e përafro këtë shpërndarje me shpërndarjen X 2. Spas Bartlett transformm mëposhtëm statstkës Λ realzon pkersht, dhenen e pergjgjes se testt, duke përdorur shpërndarjen X 2. Transformm qe a propozo është: (n 1 1 p + k )ln Λ 2 dhe statstka e formuar ka shpërndarje X 2 me p(k-1)shkallë lre. Idea e perafrmt te shperndarjes në shqyrtm me shpërndarjen X 2 me p(k-1)shkallë lre është bërë nga Barlett që më Ky modfkm I statstkës përdoret veçanersht nëse nuk jem të treguar të kujdesshem për testn e normalzmt të varablt të pavarur Y Vërejtje Programet kompjuterke të clat kryejnë metodën MANOVA, të programuar e modeluar nga Phlp Burns nga Unverstet I NorthWest-t, bëjnë Analzen e Kovarancës Shumëpërmasore dhe Analzë të Varancës Njëpërmasore për çdo 59

69 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA varabël, s dhe analzën e regrest. Për çdo efekt të testuar afshohet nje faqe output-. Pra afshohen tr output-e o Testet e Varancës së Shumëfshtë. Këto teste përfshjnë krtern llambda Λ Wlk- që përafrohet duke shfrytëzuar përafrmn e Rao-s me shpërndarjen F, s dhe teste të tjerë të përmendura në paragrafn e mëspërm. o Testet ANOVA një-përmasore për çdo varabël, të clat bëjnë të mundur përcaktmn e ndkmt apo jo të varablt të pavarur në secln prej varablave të varur në studm. o t-testet të clat kanë vlerë nëse shhet ndkm I varablt të pavarur tek varablat e varur, për të kuptuar ç'nvele të varablt të pavarur ndkojnë tek këto varabla Zbatm 4.1 (vazhdm) Duke vrojtuar me kujdes tr output-et e MANOVA-s (shh problemn Ndkm I nvelt te ndotjes ne problemet shendetësore të përgjthshme, ne problemet dermatologjke dhe ato pneumatke), arrhet në dhennen e dsa konkluzoneve. Nga Analza e Varancës së Shumëfshtë, meqënëse jem në rastn kur nuk është kushtuar kujdes normalzmt të të dhënave, por ato janë konsderuar normale nsur nga vlerat e analzes deskrptve të varablave, lexohet vlera e statstkës Fsher nga afshm I Plla's Trace, dhe kjo është dhe korespondon p- vlera 1.2 E-12. Kjo tregon se ka efekt varabl I pavarur, ne rastn tonë 'fshatrat', në vlerat e gjthe varablave të varura, kur ato të 13 shhen s një grup I vetëm. Por ky ndkm mund të jetë në një nëngrup të këtyrë 13 varablave te varur. Nga Testet ANOVA një-përmasore për çdo varabël, Tabela 4.1, vërehet ndkm I varablt 'fshatrat' në secln prej 13 varablat e varur, të clat mund të shkohen të përcaktuara ne tabelën në fjalë. Për të përcaktuar se mds clave vlerave te varablt te pavarur 'fshatrat' vërehet ndryshm, janë kryer t-testet për seclën nga dy çftet e zonave në shqyrtm, për çdo varabel të varur. Tabela 4 2 ANOVA për 13 varablat e varur Type III Sum of Mean Partal Source Dependent Varable Squares df Square F Sg. Squared fshatrat sy te perlotur kruarje hundesh tharje gryke gelbaze kolle lunga ne lekure kruarje ne lekure shperthm puçrrash apo flluskash skuqje nxehtes ne fytyre Eta 60

70 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA pezmatme te lekures marramendje nauze, te vjella dhmbje koke te forta Duke u perqendruar në vlerat e t-testeve te afshuara mund të arrhet në perfundmn që o Ka ndryshm sgnfkatv mds fshatrave Kurjan dhe Sheqshtë- Belne dhe Kurjan e Marnez, për çdo pyetje te bëre. Vlera e t-testt rezulton poztv, ndaj them se vlerat e këtyre varablave janë më të larta në Kurjan. Duke vërejtur mënyrën e kodmt të përgjgjeve në fjalë, konkludohet se ka ndkm negatv të zonës ndustrale në tërë parametrat e përcaktuara s percaktues të gjendjes së përgjthshme, të gjendjes pneumatke dhe asaj dermatologjke. o Nuk vhet re ndryshm mds dy fshatrave që ndodhen në zonat ndustrale. Mesataret e nënpopullmeve përkatëse konsderohen të njejta. 4.2 Analza e Komponentëve Kryesorë Le të jenë X 1,X 2, X p p varabla të rastt që kanë shpërndarje shumë përmasore, jo dosmosdoshmërsht normale me prtje matematke μ = μ, μ, μ dhe matrcë kovarance. Zakonsht tregohet shume kujdes në aplkme studmt të kesaj matrce kovarance, pra studmt të ldhjes mes varablave X 1,X 2, X p. Studm I kësaj ldhje ndryshe, njhet me emrn, studm I struktures së varancës. Struktura e varancës mund të përcaktohet ose nga llogartja e kovarancës mes varablave, ose e koorelacont mds tyre. Qëllm këtj aplkacon është të gjenden, nëse është e mundur, dsa funksone Y 1,Y 2, Y q, ku çdo Y është kombnm lnear X 1,X 2, X p ku (q<p), cl aferssht gjeneron strukturën mes X 1,X 2, X p. Për me tepër të gjendet strukturë e re varëse, që kjo të mund të sgurojë të njëjtën sas nformacon s varablat orgjnalë. Më poshtë paraqtet një metodë që njhet me emrn analza e komponentëve kryesore, që tregon pkërsht parmet e punës së kësaj analze. Metoda synon të gjejë p kombnme lneare Y = α X,.., Y = α " X të tllë që cov(y, Yj)=0 për,j= 1,, p nese j, D(Y 1 ) D(Y 2 ) D(Y p ) dhe D Y = 61 ϭ Nga barazmet e mësperme duket skur varablat e rnj jane të pakooreluar dhe të radhtur spas dspersoneve, kovarancës së tyre. Për më tepër total I varancës mbetet I njëjtë pas transformmt, në këtë mënyrë, nënbashkësa e q varablave të rnj të parë, Y per =1,2,...,q mund të shpjegojë shumcën e varancës totale dhe për më tepër të sgurojë një përshkrm të strukturës së varëssë mes varablave orgjnalë. Për përcaktmn e koefcentëve α ", për,j = 1,...p përdoret metoda e komponentëve kryesorë.

71 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Shpërndarja e varablave X 1,X 2, X p përcaktohet tërëssht nga µ dhe Σ. Me supozmn që µ=(0,0, 0)', struktura e varëssë mes varablave që jpet nga Σ, shpjegon tërëssht shpërndarjen e X 1,X 2, X p. Duke dtur që Σ është e njohur, le ta kerkojme Y 1 = α 11 X α 1p X p. Duhet të gjejmë α 11,... α 1p, të tllë që D(Y ) = α α σ " te ketë vlerë maksmale dhe të plotësohet kushtt që vendoset për të sguruar unctetn e zgjdhjes, α = 1 Zgjdhja α 1 =( α 11 α 12,... α 1p )' quhen vektorë të vetë dhe shoqërohet me me të madhn vlerë te vetë të Σ. Kjo vlerë e vektort të vetë është e barabartë me varancën D(Y1) kombnm lnear Y 1 = α 11 X α 1p X 1p quhet edhe komponent I parë kryesor I komponentëve të X 1,X 2, X p, dhe a shpjegon 100*D(Y 1 )/V përqnd të varancës totale. Pastaj, kërkojme të përcaktojme Y 2 = α 21 X α 2p X p, dhe të vlerësojme α 21, α 22,.. α 2p. Përcaktm I këtyre koefcentëve behet I tlle qe të maksmzojë D(Y ) = α α σ " dhe α = 1 (*) s dhe cov(y1,y2)= α α σ " =0 (**) Kusht (*)s guron unctetn e zgjdhjes ndërsa (**)sguron qe Y1 dhe Y2 të jenë të pakooreluar. Zgjdhja α 2 =( α 21 α 22,... α 2p )' është vektor I vetë dhe shoqërohet me vleren e vetë të dytën për nga madhesa e të Σ. Kjo vlerë e vetë është e barabartë me varancën D(Y2). Kombnm lnear Y 2 = α 21 X α 2p X 1p është dhe komponent I dytë kryesor komponentëve të X 1,X 2, X p, dhe, të dy komponentët e parë kryesorë shpjegojnë 100*(D(Y 1 ) + D(Y 2 ) )/V përqnd të varancës totale. Pas Y 1, Y 2,..., Y q - 1, për q=2,3,,p të jenë marre në këtë menyrë ftohet Y q = α q1 X α qp X p I tllë që dhe që plotëson kushtn α " = D(Y ) = α " α " σ " =0 1 dhe cov(y m,y q )= α " α " σ " për m= 1,... q-1. Kështu ftojmë vektorn e vetë α q =( α q1 α q2,... α qp )' që I korespondon vlera e vetë e q-të më e madhe D(Yq). Kështu Yq është komponent q- të kryesor, dhe varablat Y 1, Y 2,.... Y q shpjegojnë 100*(D(Y 1 ) + D(Y 2 ) D(Yq))/V përqnd të varancës totale. Një nterpretm gjeometrk I problemt ne fjale mund të shhet në fguren, për p=2. Çdo varabel X 1,X 2, X p, paraqtet gjeometrksht nga nje bosht kordnatv me orgjne në μ = μ, μ, μ. Këto p boshte në hapësrën p dmensonale, bejne të mundur konceptmn e X= (x 1, x 2,.. X p )' s një pkë kordnatat e të clës jane X 1 =x 1, X 2 =x 2, X p =x p. 62

72 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Fgura 4 1 Interpretm gjeometrk metodës së komponentëve kryesor në rastt n=2 µ Problem analzes së komponenteve, spas kësaj paraqtje gjeometrke, mund të shte njëjtë s të rrotulluart e këtyre boshteve që varabl Y 1 paraqtur nga par bosht r të këtë dsperson maksmal. Varabl dytë Y 2 paraqtur ne boshtn tjetër të r është pakoreluar me Y1 dhe ka nje dsperson maksmal. Ne mënyrë të ngjashme, varabl Y q paraqet boshtn e r të q-të që është pakooreluar me Y 1, Y 2,...,Y q-1 dhe ka maksmumn e dspersont, pa e thyer kushtn e lartpërmendur. Kështu nëse f(x) do të shte nje denstet normal vektoreve te rastt X= (x 1, x 2,.. X p )', atehere nekuacon f(x) c, ku c është një konstante, përcakton s të thuash në hapësrën p- dmensonale nje elpsod. Drejtm I boshteve kryesore të ketj elpsod përcakton dhe drejtmn e komponenteve të rnj Y. I parë ne hapësrën dy dmensonale të përcaktuar nga X 1 dhe X 2 me orgjnë në (μ, μ ) elpsod ështe elpsod I zakonshëm. Komponentja e parë është në drejtmn e boshtt të madh të elpst, ndersa komponentja e dytë kryesore është në drejtm të boshtt të vogël të elpst. Pra, problem përcaktmt të komponentëve kryesorë të rnj bazohet ne matrcën e kovarances Σ. Nëse kjo matrcë është e panjohur atëhere në vend të saj do të përdoret matrca e kovarancës së zgjedhjes Vërejtje 1. Kryerja e metodes MANOVA ne programet kompjuterke, s metode me shume varabla behet nëpermjet analzes 'multvarate'. Dhe kjo ka arsyen e saj, theksuam se ne kete metode kem shume varabla te varur dhe nje varabel ne dukje I pavarur me to. Por, spas Tabachnk dhe Fdell (2007) [14] është e pakuptmtë përdorm I MANOVA-s nëse të gjthë varablat e varur masn të njëjtën gje. Ato duhet të mendohet se I përkasn, të paktën dy grupmeve të ndryshme. 2. Ne dallm me procedurat e tjera te analzës shumë përmasore, të clat kanë s parm reduktmn e numrt të varablave të nevojshëm për tu matur, procedura në fjalë 63

73 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA kërkon që të gjthë p varablat të maten, sepse ato të gjthë do të ndkojnë në llogartjen e vlerës së komponenteve kryesorë. Pra, është e pakuptmtë të perdoret nëse qëllm I studmt është se clët nga varablat e duhet të hqen, që të marr më pak varabla në studm. 3. Homogjentet I varancës me grupeve është shumë I rëndësshëm. Sç dhet kontroll në fjalë bëhet përmes testt Levene. Metoda nteresohet që varanca mes grupeve të jetë e njejtë, por, duhet theksuar, se ky kusht do të konsderohet që nuk plotësohet kur p-vlera e afshuar të jetë <0.005, jo s zakonsht < [13] 4. Në qoftëse X 1,X 2, X p kanë shpërndarje normale shumëpermasore, atehere komponentët kryesorë Y 1,Y 2, Y q, duke qenë se jane çft e çft te pakooreluar, do të jene çft e çft normale. 5. Vërehet se varanca totale e komponentëve kryesorë të rnj është sa varanca mes varablave të varur. Por, duke patur parasysh se për çdo varabël të varur X mund të behet normalzm tj, varanca totale V do të jetë sa numr I varablave të varur X. 6. Njehsm I koorelacont mes X dhe Yj jpet nga "(( )) /, ndaj për të vlerësuar (") kontrbutn e X 1,X 2, X p në Y j, përdoren pkërsht ". Po nëse vlerësm behet duke (") u bazuar tek kovarancat atëhere përdoren vetëm α " për vlerësmn e komponentëve X që ndkojnë në përcaktmn e komponentt të r kryesor. Kur ky koefcentë është më lartë, atëhere më lartë është kontrbut I varablt te varur Zbatm 2(vazhdm) Po duhet theksuar se vlera me e madhe e metodës MANOVA verehet në mënyrën tjetër që mund të kryhet kjo metode, në analzën e komponenteve kryesore. Përcaktm I ketyre komponentëve kryesor është një përcaktm varablave të rnj që janë kombnm lnear 13 varablave te varur ne studm,e shpesh për këtë arsye njhen me emrn përcaktm supervarablave. Këto varabla të rnj, supervarabla [15], të pavarur synojnë të paraqesn të njëjtat matje apo nformacone të marra nga 13 varablat në studm. MANOVA për analzën e komponentëve kryesorë do te ekzekutohet pas shkrmt të kodt në edtorn e sntaksës. Edtor është emertuar ' pyetje' dhe permban kodn e meposhtëm: MANOVA p23 p24 p25 gelbaze kolle p28 p29 p30 p31 p32 p33 p34 p35 BY fshatrat(1,3) /DISCRIM=STAN RAW CORR /PRINT =SIGNIF( MULTIV,UNIV,EIGEN,DIMENR)/DESIGN. Ekzekutm kësaj analze sguron gjetjen e dy kombnmeve lneare të 13 varablave në studm. Shhet se keto dy supervarabla të krjuar, ruajnë totaln e varances. Tabela 4 3 Vlerat e veta të komponentëve kryesorë Root No Egenvalue. Pct. Cum. Pct. Canon Cor

74 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Por, afshmet e Tabeles 4.3, tregojnë se supervarabl pare shpjegon = 0.556% të varancës totale. Ndërsa supervarabl I dytë korespondon nje vlerë e vete shumë e vogël 2.3E-5 dhe, për rrjedhojë dhe sasa e varancës që shpjegon supervarabl I dytë, sç shhet edhe nga afshmet e tabelës 1, është e papërfllshme (<.005). Kështu studm përqëndrohet vetëm ne supervarabln e parë me vlerë të vetë superndkm= * p *p *p * gelbaze -3739* kolle *p *p * p * p * p * p * p * p35 Në rastn në fjalë problem studmt të ndkmt të 'fshatra'-ve tek 13 varablat e varur reduktohet ne studmn e 'fshatra'-ve tek varabl kanonk 'superndkm'. 4.3 Analza Faktorale Në sekson 4.2 u tregua se teknka e komponenteve kryesore shte një metode që bazohej në varësnë mes X 1,X 2, X p p varabla të rastt që kanë shpërndarje shumë përmasore, me prtje matematke μ = μ, μ, μ dhe matrcë kovarance Σ p*p. Komponentët kryesorë u kërkuan s p kombnme lneare (*) Y = α X,.., Y = α " X të varablave të pakooreluar X 1,X 2, X p, dhe rradhten spas dspersont të tyre D(Y 1 ) D(Y 2 ) D(Y p ) dhe D Y = 65 ϭ Por, për ekuaconet (*) s ekuacone lneare, mund të shtrohet dhe problem I anasjelltë, pra që varablat e varur të shprehen s kombnm lnear I Komponentëve kryesorë. Pra X = β Y,.., X = β " Y për dsa konstante β j,,j=1,2,..,p. Mund të tregohet (5) që β j = α j, ndaj X = α Y,.., X = α " Y Nga këto ekuacone Model I Komponentëve Kryesorë qe plotëson kushtn = V D(Y ) = α α σ " = α α σ " tan merr formën σ " = α " D(Y )α " σ = α " D Y pwr. j = 1,2, p Këto ekuacone paraqesn faktorzmn e varancës dhe kovarancës së varablave të varur s funkson te α " dhe të Varances së Varablave Kryesorë. Analza faktorale është një dsplnë e tërë, por qëllm I këtj sekson nuk është të trajtojë problemn në tërës. Qëllm është të shohm se s kjo metode na ndhmon në përcaktmn e Faktorëve Kryesorë. Programet statstkore kompjuterke kane paketa të gatshme për kryerjen e kësaj metode, ndonëse ne dukje ajo është shumë e vështrë.

75 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Vlerësm I parë I kësaj metode është bërë që më 1967 nga Morrsn [16], I cl sygjero që për përcaktmn e Faktorëve Kryesorë, të punohej me teknkën e rrotullmt. Paketat e programeve kompjuterke specfkojne: o numrn e Faktorëve Kryesorë që mjafton të studohen o formen e matrcës, që përcakton këto faktorë kryesorë o vlerëson numrn e hapave të nevojshëm që ky vlerësm të bëhet I vlefshëm. Nëse shtrohet problem numrt të faktorëve kryesorë që është nevojshëm të merren në shqyrtm sygjerohet [17] o të merren faktorë që vlerat e veta t' kenë >1 o këto komponentë në tërës justfkojne së bashku rreth 70-75% të varancës totale Zbatm 3(vazhdm) Nëse shembulln e ndkmt te 'fshatra'-ve tek 13 pyetjet qe percaktonn 13 varabla kategorkë, e shohm spas Analzës së Komponentëve Kryesore, duhet të përmëndm që 13 pyetjet ndahen në tr kategor, në pyetje për gjendjen e përgjthshme të ndvdt, për gjendjen pneumatke dhe dermatologjke. Kryerja e kësaj analze afshon tabelen e vlerave të veta, Tabela 4.4, që në bazë të verejtjes së mëspërme tregon se numr I faktorëve kryesorë duhet të jetë 3, e këto tr faktorë së bashku justfkojnë 58.9% të varancës totale. 66

76 Analza e Varancës Shumëpërmasore MANOVA Tabela 4 4 Tabela e vlerave të veta Total Varance Explaned Extracton Sums ofrotaton Sums of Intal Egenvalues Squared Loadngs Squared Loadngs % of % of % of Comp Varanc Cumulatv Varanc Cumulatve Varanc Cumulatv. Total e e % Total e % Totale e % Duke u mbeshtetur ne vlerat e afshuara nga kjo metodë për përcaktmn e faktorëve arrhen të ndertohen tr faktorët ne edtorn e sntakses, s mëposhtë. Komp_dermatologjk=.324* p *p *p * gelbaze-.062* kolle +.834*p *p * p * p * p * p * p *p35 Komp_pergjth=.542* p *p *p * gelbaze+.063* kolle +.026*p *p * p * p * p * p * p *p35 Komp_pneumologjk= 122* p *p *p * gelbaze+.783* kolle -.084*p *p * p * p * p * p * p *p35 Theksojme se faktoret e ndertuar janë kombnm lnear 13 varablave të varur, por nsur nga vlera me e lartë e koefçentëve prane pyetjeve të karaktert dermatologjk në faktorn e parë, të pyetjeve të karaktert të përgjthshëm në faktorn e dytë dhe atj pneumologjk në të tretn është bërë dhe emërtm I faktorëve. Të tr faktoret jane përberës të konsderueshëm te varacont të përgjthshëm, ndaj emertohen komponente. (shh problemn 1, Kaptull 6) Pastaj studohet problem I ndkmt të 'fshata'-ve në këto tr faktorë kryesore. 67

77 5 Model regrest logjstk të shumëfshtë 5.1 Regres logjstk dhe llojet e tj Në seksonn 2 është trajtuar metoda e regrest të shumefshtë lnear (GLM). Por, ldhjet mund të jenë më të komplkuara se y = β + β x + β x + β x + ε p p për = 1..n ku duhet të vlerësonm β 0, β 1, β 2,...β p që janë parametrat e këtj model dhe є 1, є, 2... є n,, n varabla të pavarur N(0,σ 2 ). Në këtë sekson do të përqëndrohem në modeln e regresont logjstk, duke trajtuar problemn e e llojshmërsë së tj në përputhje me problemn e shtruar, vlerësmet që ato sgurojnë dhe, më pas, mënyren se s ky model kontrollohet per vlefshmerne e tj Model regrest logjstk të shumëfshte Një model regres përmban tr komponentë: komponentn e rastt, komponentn sstematk dhe funksonn ldhës. Komponentët e rastt jane Y 1, Y 2, Y n që mendohet se janë ndryshore rast të pavarura, me shpërndarje nga famlja eksponencale. Pra, shpërndarja e Y nuk është dentke, por takon të njëjtës famlje eksponencale. Komponent sstematk është model. A është funkson parametrave. y = 0 + β1x + β 2 x 1 2 β + β x p p Në modeln e regrest lnear, është ldhur me mesataren e Y. Dhe së fundm, funkson ldhës dy komponentëve, që teorksht paraqtet: g( µ = β 0 + β1x + β 2 x2 + β p x 1 p ), ku μ = E(Y ). Dmë se një ndër kushtet që duhet të plotësoheshn në këtë model shte,y të kshn shpërndarje normale. Por, meqënëse famlja normale është pjesë e asaj eksponencale atëhere ky lloj modelm u përdor edhe kur Y kshn shpërndarje nga e njëjta famlje, jo vetëm normale, por dhe Puason e Bnomale. Në rastet kur komponent rastt merr një numër të kufzuar vlerash, propozohet të përdoret metoda e modelmt të regrest logjstk. Në këtë model, kur varablat e rastt Y 1, Y 2, Y n, janë të pavarur dhe kanë shpërndarje Bernul (p), ldhja mes x dhe p kërkohet në formen ln( ) = β + β 1x + β2x 2 + β pxp 1 = logt (p ) (1) 68

78 Model regrest logjstk të shumëfshtë Ana e majte paraqet ln e mundesve të suksest për Y (që njhet me emrn logt) [18]. Model, sç shhet, propozon qe ln e mundësve të suksest të jetë funkson lnear x- t. Denstet probabltar vektort të rastt, në këtë rast, mund të shkruhet në formën: p (1 p) = (1 p)exp {y ln( p /(1 p _ ) Term ln( )është parameter natyror famljes eksponencale, dhe sç shhet s funkson ldhës është përdorur g(p)= ln( ). Ekuacon (1)mund të shkruhet s: p(x ) = " " " " (2) ose. në mënyrë më të përgjthshme, s: p(x) = (3) Shhet se 0<p(x)<1 e në rastn në fjale, kjo përputhet me faktn që, a është probabltet Model regrest logjstk thjeshtë me një varabël në modelm S lloj vecante regrest logjstk mund te konsderohet edhe regres logjstk I thjeshtë, që eshtë rast I regrest logjstk të shumëfshtë, por me një varabël në modelm. Kjo është forma më e thjeshte e regrest logjstk [19]. A merr rendes edhe teorke, për të kuptuart më mre të komponenteve të këtj regres dhe nterpretmn korrekt të tyre. Pra edhe për lehtës në studm e p(x), komponentn sstematk mund ta paraqesm, duke e kufzuar në 1 numrn e varablave që marrn pjesë në modelm. Atehere (3) do merrte formën dhe dervat mund të shkruhej: p(x) = e 1 + e "() " = βp x 1 p x (4) Meqë term p x 1 p x > 0, atehere shenja e dervatt varet nga shenja e β. Nqs β>0 atëhere dervat p(x) është rgorozsht poztv; nqs β<0 atëhere dervat p(x) është rgorozsht negatv. Pra, nqs β>0 atëhere p(x) është funkson rgorozsht rrtës; nqs β<0 atëhere p(x) është funkson rgorozsht zbrtes; nqs β=0 atëhere p(x) = për çdo x. Në këtë rast s në modeln e regrest lnear, nuk ka ldhje mes p dhe x. Parametrat β dhe β kanë pothuajse kuptm të ngjashëm me ato te regrest lnear të zakonshëm. Nëse x=0, po të shhet ekuacon(1) kuptohet se, β paraqet ln e raportt të mundëssë së suksest ne x=0. Nëse duke zëvendesuar tek (1) me x dhe x+1 kem se për çdo x është e vërtetë: 69

79 Model regrest logjstk të shumëfshtë ln () () ln = β () () + β x + 1 β β x = β Kështu β ndryshm ln së mundësve të suksest që ndodh nëse x rrtet me 1 njës.(*) Duke marrë eksponencaln e të dy anëve të këtj ekuacon, ftohet e = ()/( ) ()/( ) Ana e djathte paraqet raportn e mundesve dhe krahason mundëstë e suksest ne x +1 me ato te suksest ne x [21]. Përfundmsht, () () 70 (5) = e () (). (6) Pra, e është faktor që ldh ndryshmet e mundessë së suksest, që korespondojnë rrtjes me një njës të x-t. Ekuacon (3) sygjeron një tjetër mundës te modelmt të probabltett të Bernult p(x) s funkson x-t. Dhet se denstet probabltar n.r. logstc(0,1) përcaktohet nga barazm F(w)= ( ) Kështu, barazm (3) mund të shkruhet në formën: p(x) = F( β 0 + β1x + β 2 x2 + β ) 1 p x p Interpretm dhënë tek (*) është një nterpretm mese saktë, por nëse e shohm në këndvështrmn që p(x) paraqet një kurbë, duke u bazuar në ekuaconn (4),them se nëse ndërtohet tangentja me kurbaturën [20], ne një pkë x, koefcent këndor tangentes do të jetë β p x 1 p x. Kështu për p(x)=1/2, ky koefcent e ka vlerën β = β/4. Shhet se p(x)=1/2, arrhet në x= - β /β. Kjo vlerë e x konsderohet edhe s nvel efektt të medanës. Në studmet mjekësore kjo quhet ndryshe doza e rrezkshme shkatërruese [23]. Duke u nsur nga perafrm lnear kurbes, Agrest [22] sygjeron të vrojtohet se ç'ndodh kur kem një ndryshm të x me. Këtj ndyshm korespondon një ndryshm afërssht sa =1/4 p(x). Pra pkat ku p(x)=0.25 dhe 0.75 ( në të vërtetë kjo ndodh ne 0.27 dhe 0.73) dhe në 0.50, jane me dstancë nga njëra tjetra. (**) Kur p(x)=0.9 ose 0.1, koefcent kendor do të jete 0.09 β Përfundme Interpretm koefcentëve në rastn logjstk të thjeshtë me një varabël në modelm, është: o kur x rrtet me nje njës, β paraqet ndryshmn e ln së mundësve të suksest, ndërsa

80 Model regrest logjstk të shumëfshtë o e është faktor që ldh ndryshmet e mundessë së suksest Model logjstk thjeshtë me parametra kategorkë Regres logjstk, e ndërton modeln edhe nëse varabl që duhet të modelojmë është kategork. Për të thjeshtuar paraqtjen e problemt, supozohet se duam të punojmë me një parametër të tllë të vetëm, me I kategor, pra në rreshtn e -të të tabelës përmbledhese të të dhënave do të shte y, numr ndodhjes së vlerës përkatëse të varablt që duam të modelojmë, gjatë n rasteve që shfaqet kjo vlerë e varablt kategork.y, mund të shhet s varabël bnomal me parametër p. Model logjstk tj me një faktor është: Sa më e lartë β aq më e lartë vlera e p, ln = β + β (7) Po ana e djathtë e modelt të mëspërm është model ANOVA njëpërmasor. S në metodën në fjalë model ka aq parametra sa nvele ka faktor shqyrtuar. Por, këtu një nga nvelet e faktort është reduktuar. Pra faktor shqyrtuar me I kategor ka tan -1 kategor jo të reduktuara dhe kategorne e I te reduktuar. Një ndër parametrat merret kështu 0. Nëse β = 0 atëhere β është logt në rreshtn I (zëvendesoj tek (7) ndeksn = I dhe ftoj: logt(p I )= β ) Ndaj β është dferenca mes logt të rreshtt të dhe I. Kështu β është ln e raportt të mundësve, për këtë çft radhësh. Nëse për faktorn në fjale ekzston nje I që p të jetë poztve, pra të ekzstojë β 0, atëhere model është kënaqshëm [25]. Ndërsa nëse të gjtha β = 0, atëhere them se X ldhet me Y vetëm një term konstant Përfundme o Regreson logjstk përdoret në stuata kur duam të parashkojmë prezencën ose mungesën e një karakterstke në subjektet, ndvdët, duke u bazuar në vlerat e një bashkëse varablash të studuara mb to. o Kjo metodë pranon, që varablat në bazë të së clës ndërtohet model, të jenë varabla kategorkë dhe të vazhdueshëm. o Nëse tërë varablat që marrn pjesë ne modelm janë kategorkë, metoda është shumë efektve. o Nëse ndonjë nga varablat e modelt është vazhdueshem, a mund të përcaktohet 'covarate', dhe modelm bëhet duke punuar me varabln s në rastn e Analzës së Kovarancës (sekson 3.3) o Koefcentët e kësaj metode përdoren për të vlerësuar raportet e mundësve për secln nga varablat e pavarur në model, nëse ndvd, subjekt takon një grup të përcaktuar nga vlera të caktuara të varablave të tjerë, që marrn pjesë në modelm. 71

81 Model regrest logjstk të shumëfshtë Zbatm 1 Në problemn 3 Kaptull 6, Trajtm problemeve pneumologjke, nga analza e treguesve të përzgjedhur ne këtë fushë u vu re se tregues kryesor është tregues 'kollë'. Kërkohet, në fakt, të kontrollohet nëse ndkon apo jo zona në mënyrë të dukshme në këtë parametër pneumatk. Për të analzuar problemn në fjalë janë shfrytëzuar të dhënat e 426 subjekteve të marra rastëssht nga tr fshatrat e spërpërmendura, 196 subjekte janë nga zona e pastër, zona e kontrollt, pjesa tjetër 230 janë marrë nga zona ndustrale, e konsderuar e ndotur. Në bazën tonë të të dhënave, varabl kollë nga transformm rekordeve, (shh Problemn 3), eshte koduar, 0 nëse person nuk ka kollë dhe 1 kur ka kollë. Pra është varabël bnar. Grafket e paraqtur, Fgura 5. 1, tregojnë për të dhenat e shfaqjes apo jo të ' kollës' ne dy zonat. Grafket kane vetem karakter nformues, ne kuptmn që, shhet se numr rasteve me kollë është me lartë në zonën e ndotur, por aty është më lartë dhe numr rasteve pakollë (vellm zgjedhjes ne zonen e ndotur eshte me larte). Nga llogartjet mundëstë e kollës në zonën e pastër janë 36.7%, ndërsa në zonën e ndotur jane 42%. Ndaj, shtrohet problem, a është kjo gjë statstksht e vërtetë. Për të kontrolluar këtë, për shkak të natyrës së varablt 'kollë', është përdorur metoda e regrest logjstk bnar me varabla kategorkë. Varabel varur është konsderuar varabl 'kollë', varabël bnar; ndërsa varablat me të clën është ndërtuar parashkm është varabl 'zone' (area), 'konsum_duhan_në_shtëp' dhe varabl 'konsum_duhan', trajtuar më parë s ndkues në 'kollë' [26]. Fgura 5 1 Tregues 'kollë' spas zonave Vellm te zgjedhjes për shkak të mungesës së vlerave është 219, nga të clët 112 nuk konsumojnë duhan pjesa tjetër konsumon. Kështu, nëse për nje person të zonës do të 72

82 Model regrest logjstk të shumëfshtë na duhej të konkludonm konsumon apo jo duhan, pa bërë asnjë modlm do të thonm jo. Spas tabelës së klasfkmt ky pohm do të shte vërtetë në 51.1% të rasteve. Tabela 5 1 Vlerësm para modelmt Classfcaton Table a,b Observed Predcted kolle Skolle t jo po e Overall Percentage p a. Constant s ncluded n the model. b. The cut value s.500 jo po Percentage Correct Vlera exp(b)=0.955 tregon raportn ndvdëve e me kolle ndaj pakolle, ndryshe =0.053 mund të nterpretohetse 5% jane me shume rastet pa kolle se me kolle. Të gjtha këto vlerësme bëhen para modelmt. (në bllokun 0 të output-eve) Regreson logjstk multnomnal Regres multnomnal logjstk përdoret në shumë stuata, kur duhet të klasfkohen subjektet bazuar në vlerat e një bashkëse varablash. Ky tp regres është ngjashem me regresn logjstk, por është më përgjthshëm, sepse nuk kërkon që patjetër varabl varur të ketë vetëm dy kategor Përfundmsht: o Regres multnomnal logjstk përdoret kur duhet të klasfkohen subjektet bazuar në vlerat e një bashkëse varablash. o Varablat e pavarur që marrn pjesë në model mund të jenë kategork ose të vazhdueshëm. o Nëse ato janë kategork, konsderohen s faktorë gjatë përpunmt të të dhënave, ndërsa nëse janë të vazhdueshëm, s 'covarates' o Ky model ndërtohet, nëse pranohet se mundestë e raportt të dy kategorve të varablt, që do të modelohet, nuk varen nga kategorte e tjera të varablt. 5.2 Vlerësm parametrave Në modeln e regrest lnear, ndërtohej model y = β + β x + β x + β x p p ε e për vlerësmn e parametrave përdoret metoda e katrorëve më të vegjël. Ndërsa në rastn në fjalë kur Y~Bernul(p ), ato nuk kanë më ldhje drekte me 73

83 Model regrest logjstk të shumëfshtë β + β x 0 + β1x + β2x 1 2 të vegjël. p p, kështu nuk mund të përdoret më metoda e katrorëve më Metoda që përdoret për vleresmn pkësor është Metoda e Përngjassë Maksmale. Ndërtohet funkson I Përngjassë Maksmale [25] L(β,, β ) = p(x ) (1 p x ) = F (1 F ) : Për te kontolluar ekstremumn e tj, maksmumn, përdorm funksonn ndhmës të Funksont të Përngjassë ln(l(β,, β ))= ln (1 F ) + y ln ( ) dhe gjej dervatet e pjesshme. Dervm spas β sguron: Pra, ln(1 F ) = f F f = β 1 F F (1 F ) F ln( ) 1 F f = β F (1 F ) " (, ) = (y F ) (5) ( ) Ndërsa dervm spas varablave të tjerë do të japë: " (, ) = (y F ) x ( ) (6) Por, për funksonn logjstk, meqë F(w)= ( ) atëhere = 1 ( ) Ndaj, (5) dhe (6) marrn formë më të thjeshtë. Vlerësm I parametrave të modelt mund të behet duke barazuar me 0 ekuaconet (5) dhe (6) dhe, duke vlerësuar me anë të këtyre ekuaconeve β 0 dhe β. Ekuaconet e formuara janë jo lnear dhe duhen zgjdhur numerksht. Për regresonn logjstk, funkson ndhmes Përngjassë Maksmale është rgorozsht myset, kështu nëse ekuaconet ne fjalë kanë zgjdhje. Kjo zgjdhje është e vetme, dhe është një vlerësm më Metodën e Perngjasse Maksmale. Megjthatë qëllon, që në raste të vecanta te dhënash, ekuaconet nuk kanë zgjdhje. Maksmum arrhet në këto raste kur parametr x shkon në. Kjo ldhet me faktn se, gjatë modelmt logjstk, u supozua se 0<p(x)<1, por në një bashkës të dhënash të caktuara, maksmum I Funksont të Përngjassë arrhet në lmt, me p(x)=0 ose 1. Në këto raste thuhet se probabltet të dhënave konvergjon në 0, nëse model logjstk është I vërtetë. Ashtu s për vlerësmn e parametrave përdoret Metoda e Përngjassë Maksmale, edhe për të vlerësuar varancën përdoret, s në rastn një përmasor përdoret 74

84 Model regrest logjstk të shumëfshtë Informacon I Fshert, por në formë më të përgjthsuar, në atë të nformacont. Kjo matrcë në rastn e dy parametrave ka formën: y β ln L( β, β )/y) y ln L( β β β, β )/y) y ln L( β β β, β )/y) y β ln L( β, β )/y) matrcës së (7) Duke punuar me ekuaconet (5) dhe (6) e regrest logjstk, matrca e nformacont (7) merr formen: n F 1 F x n F 1 F (8) x n F 1 F x n F 1 F dhe varanca e parametrave β, β vlerësohen duke përdorur këtë matrcë. [21] Për llogartjen e varancës ne baze të numrt të nformacont [22] I(β) perdoret formula, Var (β)) [ 1/I(β)].Këtu në rastn shumë përmasor mund të përdorm, ne vend të nverst të nformacont të Fshert, nversn e matrcës së nformacont. Duke patur parasysh formen e matrsës nverse dypërmasore, kjo matrcë e anasjelltë do të ketë në dagonalen kryesore elemente e dagonales kryesore të (7). Kështu, në këtë dagonale do të jenë vlerësuest e [ se(β )]2 dhe [ se(β )]2 ku se(β )është devjm standart β. Ashtu s në modeln e regrest lnear, kontrollohen hpotezat Ho: β=0, pra a ka ldhje varabl që kërkojmë të modelojmë me varablat që marrn pjesë në modelm. Për të kontrolluar këto hpoteza përdoret test Wald. Ky test ka marrë emrn e statstcent hungarez Abraham Wald. Spas këtj test parametrat vlerësohen nga vlerësmet e zgjedhjes. Test që përdoret për kontrolln e hpotezës në fjalë është : "() (9) Ky test nëse është e vërtetë Ho ka shpërndarje afërssht normale, vecanërsht kur vëllm zgjedhjes është madh. S zakonsht, nëse vlera e vrojtuar e testt be në zonën krtke, atëhere hpoteza bazë be poshtë. Ndryshe për vlerësmn e ndkmt apo jo të parametrt në modelm mund të përdoret test [11] 2 ln λ y = 2[lnL β ; β y lnl β, 0 y ] (10) ku β është vlerësm për β kur β = 0 Tregohet se test në fjalë ka shpërndarje X. 75

85 Model regrest logjstk të shumëfshtë Kështu nëse vlera e vrojtuar e testt në fjalë plotëson kushtn -2lnλ X,"#, atehere varabl në fjalë nuk ndkon në modelm Problem vlerësmt ntervalor të parametrave: Për modeln me vetëm një varabel spas modelmt, logt p(x) = α + βx, shqyrtuam kontrolln e hpotezës H β = 0. dhe testet me të clat ky kontroll bëhet. Kontroll saj behet, sc u përmend më spër, me anë të Testt Wald-t që përdor funksonn logartmk te përngjassë maksmale për β, me test: Z = β/se ose katrorn e tj; kur H është e vërtete z asmptotksht ka shpërndarje χ. Metoda e maksmzmt të raportt të funksont të përngjassë maksmale për dy vlera, e kthen problemn, duke punuar me funksonn logartmk, në maksmzmn e dferencës ndërmjet logartmt te funksont të përngjassë maksmale në β dhe në β = 0. E ky test (-2LL), gjthashtu ka asmptotksht një shpërndarje χ. Për zgjedhje me vëllm të madh, të tre testet zakonsht japn rezultate të ngjashme. Raport Përngjasa Maksmale (-2LL) preferohet më shumë në krahasm me testn Wald. Merren me shumë nformacone nëse përdoret kjo metode. Kur β është relatvsht e madhe, test Wald nuk është aq fuqshëm sa test (-2LL), dhe mund edhe të cojë në përfundme jo normale [Hauck dhe Donner (1977)]. Intervalet e besueshmërsë japn më shumë nformacon se sa kontroll hpotezave. Një nterval për β sgurohet duke u pershtatur statstken që do të duhej për vlerësmn e testt H : β = β. Interval besmt është bashkësa e β për të clën testt me shpërndarje h-katror merr vlerë jo më e madhe se χ α = z /. Spas metodës Wald, kjo do të nterpretohej (β β )/SE z /. Përfundmsht nterval besmt ështëβ ± z / SE. Por, karakterstka të tjera mund të kenë rëndës më të madhe se β, p.sh.përcaktm I vlerës së p(x) për x të ndryshme. Për x = x të fksuar, logt p x = α + βx ka një SE që jepet nga rrënja katrore e llogartur nga vlerat e vleresuara të parametrave: var α + βx = var α + x var β + 2x cov(α, β) Një nterval besueshmëre 95% për logt[p x është α + βx ± 1.96SE. Por, këto ntervale vlejne nëse vëllm I zgjedhjes është I madh. Duke zëvendësuar çdo skaj në transformmn e anasjelltë, p x = exp logt /[1 + exp (logt)] (11) merret një nteval korespondues p(x ). Çdo metodë e paraqtur mund të sgurojë nterval besueshmëre dhe në teste me vëllm të vogël Zbatm 1 (vazhdm) Tabela 5-2 tregon rezultatet e hpotezës se faktor, me anë të së clt modelm po ndërtohet, mund të mos marrë pjesë në modelm. Sc përmendëm, kjo bëhet me ane të 76

86 Model regrest logjstk të shumëfshtë testt Wald, vlerat e vrojtuara te të clt paraqten në tabelë. Ndërsa p_vlerat përkatëse, ndhmojne në marrjen e vendmt. Rezultetet e regrest logjstk, tabela 5.4, tregojne se faktorë të rëndesshëm në këtë modelm janë 'area' dhe 'duhan_shtëp'. Koefcent β = pranë 'areas', tregon se kur 'area' rrtet me një njës, pra kur kalohet në zonën e ndotur, dhe vlerat e varablave të tjerë që marrn pjesë në modelm nuk ndryshojnë, mundëstë e kollës rrten, ndaj mundesve për kollë në zonen e kontrollt. Mundestë për kollë në zonën e ndotur janë exp(1.028)= e mundesve për kolle në zonën e kontrollt. Në të njëjtn përfundm arrhet edhe duke parë vlerën pranë 'duhan_shtëp' 0.122, faktort tjetër domethënës në këtë modelm, rrtja e tj, pra konsum duhant, rrt mundesne e shfaqjes se kollës ndaj rasteve pakollë. Vlera e kësaj rrtje mund të vlerësohet me exp(0.122)=1.13, Kështu, në zonën e ndotur mundesa që të shfaqet ky tregues rëndësshëm problemeve pneumologjke, është 13% më e lartë se në zonën e kontrollt. Tabela 5 2 Koefcentët e varablave në ekuaconn e modelmt Varables n the Equaton 95% C.I.for EXP(B) B S.E. Wald df Sg. Exp(B) Lower Upper Step 1 a area pn_duhan duhan_shtep Constant a. Varable(s) entered on step 1: area, pn_duhan, duhan_shtep. 5.3 Përputhshmëra e modelt logjstk Në praktkë, nuk ka garanc që një model caktuar regresont logjk përputhet mrë me të dhënat. Në rastn e modelt te regrest lnear shumëpërmasor, zgjdhja e këtj problem është relatvsht e lehte. Ndërsa këtu nderlkohet. Në këto raste problem synohet të zgjdhet duke analzuar përputhshmërnë e modelt logjstk. Kur varablat pjesëmarrës në modelm janë vetëm kategorkë, përdoret kjo metodë për vlerësmn e mungesës së përputhshmërsë : krahasohen dendurtë e vlerave të modeluara, me dendurtë e matura, për y = 0 dhe y = 1. Në çdo konfgurm të x, mund të shumëzohet probabltet vlerësuar dy rezultateve Y, me numrn e subjekteve në atë bashkës, duke marrë një vlerësm për denstetn e parashkuar. Këto quhen vlera të përputhshmerse. Test përputhshmërsë krahason vlerat e vëzhguara, dhe vlerat e përputhshmersë se parashkuar, duke përdorur testn Prson X. Për një numër të caktuar konfgurmesh, test I PrsonX ka shpërndarje H-katror X (1). Arsyeja për përdormn e kësaj metode, testt të përshtatshmërsë, kur varablat në modelm jane kategork, kuptohet se ldhet me faktn, se, nëse do te kshm ndërtuar tabelen e kontgjences për varablat e vazhdueshëm, ajo mund të përmbante vlera 77

87 Model regrest logjstk të shumëfshtë shumë të vogla. Atehere mund të shte e pamundur krahasm me anë të testt Hkatror. Për më tepër, me rrtjen e numrt të varablave që sgurojne modelmn, grupm njëkohshëm vlerave, për çdo kombnm vlerash të varablave nv model, mund të prodhojë një tabelë pasgure, me një numër të madh qelzash, shumca e të clave kanë vlerë të vogël. Spas Hosmer dhe Lemeshow (1980), problem në këto raste zgjdhet kështu: Vlerat e vëzhguara dhe të përputhshmërsë, ndahen në grupe spas probabltett të suksest të vlerësuar, duke përdorur të dhënat orgjnale. Rruga që përdoret zakonsht, është ndarja në grupe (p.sh. 10) me vëllm të njëjtë. Çft parë vlerave të vëzhguara dhe vlerave koresponduese të përputhshmërsë, referohet n/10 vëzhgmeve, që kanë probabltetn e më të lartë të vlerësuar. Çft tjetër referohet n/10 vëzhgmeve qe sgurojnë, probabltetet e dyta të vlerësuara, e kështu me rradhë. Çdo grup ka një numër subjektesh të vëzhguar dhe, një vlerë të përputhshmërsë. Vlera e përputhshmërsë për një rezultat është shuma e probablteteve të vlerësuara, për këtë rezultat për të gjtha vëzhgmet në atë grup. Ata propozuan një test Prson, duke krahasuar vlerat e vëzhguara dhe të përputhshmërsë për ndarjet e lartëpërmendura. Testn e ndertuan kështu: Shënojmë me y " rezultatn bnary për vëzhgmn j në grupn të ndarjes, = 1,, n. Le të shënojmë p " probabltetn e përputhshmërsë korespondues për modeln në fjalëme të dhënat e pagrupuara. Test është y " p p " 1 p " /n Kur shumë vëzhgme kanë të njëjtn probabltet të vlerësuar, ka një arbtrartet në formmn e grupeve, dhe software të ndryshëm mund të raportojnë der dku vlera të ndryshme. Test Hosmer-Lemeshow nuk është shumë I fuqshëm (Hosmer, 1997) [27] për të dedektuar raste të veçanta mungese përputhshmëre. Mënyra e krahasmt të modelt të propozuar, me vlerat reale është më e përdorshme shkencërsht. (*) Nëse p-vlera e afshuar e testt është e madhe, kjo tregon se përshtatshmëra e të dhënave me modeln është e mrë Vërejtje o Në modeln e regrest lnear të shumëfshtë, shh 2.2.1" Për cfarë vlen vlerësm I koefcentt të korelacont", është treguar se për te kontrolluar nëse vlen apo jo modelm I propozuar, kontrollohet hpoteza Ho: ρ. = 0. Ndaj kryhet test ANOVA, e kuptohet se kur hpoteza be poshte, pra për p- vlera shumë të vogla, konkludohet se model është vlefshëm. o Në rastn e regrest logjstk ndodh ndryshe. Aty, me anë të testt me shpërndarje X 2, kontrollohet hpoteza 'model logjstk është vlefshem'. Ndaj 78

88 Model regrest logjstk të shumëfshtë p-vlera te vogla, tregojnë se test be poshte pra, nuk kem model logjstk të vlefshëm Zbatm 1 (vazhdm) Për modeln e mëspërm është bërë kontroll përshtatshmërsë së modelt. Kërkohet të kontrollohet hpoteza: 'ky model logjstk është vlefshëm', me hpoteze alternatve: 'model në fjalë nuk a vlen të shqyrtohet'. Afshmet e Tabelës 5-3 japn përgjgjen e hpotezës. Në tabelen e afshuar lexohen vlera e testt X 2, dhe p-vlera e tj. Tabela 5 3 Kontroll vlefshmërsë së modelt Hosmer and Lemeshow Test Step Ch- square df Sg P-vlera 0.184, jo sgnfkatve, tregon se model është vlefshëm. Pas modelmt afshohet dhe Tabela 5-4 që përmban vlerat e Cox & Snell R Square dhe Nagelkerke R Square. Këto vlera të R 2 s'janë të njëjta, se ato jane llogartur ne shkalle te ndryshme. Vlera e Cox & Snell R Square, spas statstcenëve luhatet der në 0.7, ndërsa Nagelkerke R Square I merr vlerat s zakonsht der në 1, ndaj zakonsht në nterpretm referohem këtj vlerësm. Ky numer jep njëfarë nformacon për perafrmn e modelt. Tabela 5 4 Informacone për modelmn Model Summary Step - 2 Log lkelhood Cox & Snell R Square a Nagelkerke Square a. Estmaton termnated at teraton number 5 because parameter estmates changed by less than Modelm vlerave të parametrt të parashkuar Qëllm modelt logjstk është të arrjme, që duke njohur vlerat e varablave që marrn pjesë në modelm të mund të parashkojmë vlerën e varablt të varur. Në programet statstkore, krahas përfundmeve të mëspërmë, në tabelat e data-ve afshohen edhe dy varabla të rnj, vlera e parashkuar e probabltett dhe 'grup ku bën pjesë', që në fakt është vlera e varablt që ne synojmë të parashkojme përmes modelmt.duke lexuar këtë vlerë mund të konkludojmë, ku bën pjesë ndvd. Le të shpjegojmë mënyrën se s arrhet të behet kjo. Proçes kalon në dsa etapa: R 79

89 Model regrest logjstk të shumëfshtë o Duke shfrytëzuar koefcentët e pastandartzuara të tabeles dhe konstanten e ftuar nga analza e regrest logjstk bnar, arrhet te modelohet varabl predcted_logt_probablty. o Së dyt, radhten vlerat e varablt ne fjalë. Krjohet nje varabël r ndex dhe me ndhmën e tj dhe të vlerave të radhtura të predcted_logt_probablty, nëse behet paraqtja grafke, qoftë dhe e tpt scatter, mund të shhet qarte se ky varabel r modeluar me ndhmën e e koefcentëve të tabelës ka formë S, pra është një vjë sgmodale [28]. o Janë pkërsht vlerat e këtj varabl predcted_logt_probablty që transformohen në vlerat e varablt predc_probablty. o Etapa e kater mbyll procesn e parashkmt, bën të mundur që me anë të një transformm, vlerat e predcted_logt_probablty, të kthehen në vlerat e duhura që përcaktojnë se ku bën pjesë ndvd. Zbatm mëposhtëm paraqet saktë këto procese Zbatm 1 (vazhdm) Në zbatmn e paraqtur mëspër,do të tregohet s mund të arrhet, punë që sot bëhet nga softet statstkore, të gjenerohen vlerat e parashkuara. Së par, me ndhmën e sntaxes, duke shfrytëzuar konstanten e koefcentët e pastandartzuara të ftuar nga analza e regrest logjstk ndertoj funksonn Compute predcted_logt_probablty= *area *pn_duhan *duhan_shtep Duhet patur parasysh se këto nuk jane vlerat e parashkuara të probablteteve, këto jane vlerat e logt të tyre, pra F(w)= ( ) Së dyt, radhs vlerat e varablt predcted_logt_probablty, dhe me ndhmën e varablt ndex, të krjuar nga ne bëj paraqtjen e tyre me nje grafk scatter që është paraqtur në Fgura

90 Model regrest logjstk të shumëfshtë Fgura 5 2 Grafku predcted_logt_probablty Sa më shumë grafku ka formën e S aq më mrë del parashkm. Në fakt në rastn tonë të modelmt, raport numrt të personave me kollë (të koduar 1), me ato pakollë, (të koduar 0) shte afërssht njëjtë. Nëse do të shtë shumë ndryshëm atëhere parashkm që në fllm pa bërë asnjë modelm do të shte shumë më lartë, dhe kur të përmrësohet nga modelm kuptohet do të sgurohej, së fundm, vlera shumë më të afërta me ato të matura. Së tret, duke shfrytëzuar formulën, me ndhmën e sntaksës arrhet të krjohet varabl predctt_probabltet. compute predctt_probabltet= ** predcted_logt_probablty /( )** predcted_logt_probablty Së fundm, behet transformm predctt_probabltet në varabël bnar. Transformm më llogjkshëm është, që në rastet që ky varabël merr vlera më të vogla 0.5, atëhere vlera parashkohet 0, ndërsa në rastet që ajo është më e madhe se 0.5, vlera e parashkuar e varablt të varur të jetë 1. Shpesh herë propozohet se s vlerë kufr përcaktuese, ndarëse, të merret Në tabelën 5-5 paraqtet një pjesë e vlerave orgjnale të varablt 'kolle'. Në kollonën e dytë, janë paraqtur një pjesë e vlerave të varablave të sqaruar mëspër, predcted_logt_probablty, predctt_probabltet dhe predcted value. 81

91 Model regrest logjstk të shumëfshtë Tabela 5 5 Të dhenat e modelmt te regrest logjstk Vl.ak.tkolle Index Pred_logt_pr Pred_prob Pred_value

92 Model regrest logjstk të shumëfshtë Po te shhet me kujdes ka nje numër të madh vlerash 1 që parashkohen në rregull, ndërsa pa modeln në fjalë ato nuk parashkohen dot. asnjëra prej tyre. Megjjthëse duhet thëne se më parë parashkoheshn të gjthë rastet pa kollë. 5.5 Funksont ldhës 'Probabt' Model ndërtuar ka formën p(x)=f(x ). Duke shfrytëzuar klasën e gjërë të shpërndarjes normale me shumëllojshmërtë e prtjes matematke dhe dspersoneve, mund të gjendet një tllë qe shkallën e rrtjes ta ketë të njejtë me ate të shperndarjes normale të normuar. Por, me ndhmen e funksont shpërndarës të shpërndarjes normale θ, ldhja e mëspërme mund të shkruhet në formën: p(x)= θ ( β + βx ) Meqë θështë funkson monoton rrtës, funkson I anasjelltë θ ekzston [29], ndaj barazm (6) merr formën: θ p x = β + βx (7) Në këtë rast funkson ldhës është θ cl pasqyron zonën ]0;1[ të probablteteve në (- ; + ), zona ku marrn vlera varablat pjesëmarrës të modelt të regrest. Model (7) quhet model probt Vërejtje: o Softet e posacme kompjuterke ofrojnë mundësnë e përdoruest në zgjedhjen e funksont ldhes. Pra, mund të zgjdhet funkson 'logt' I trajtuar më parë, ose funkson ne fjalë, 'probt'. o Softet ofrojnë dhe mundësnë e funksoneve të tjera ldhës. o Funksnet e tjera nga 'logt', zakonsht, përdoren nëse kusht koefcentëve të njëjtë, për të gjtha kategortë e varablt të varur, nuk plotesohet. 83

93 6 Ndërtm e analza e një model probabltaro- statstkor për studmn e efektt të ndotjes Oksdet e sulfurt(so x ) jane molekula të squfurt dhe oksgjent. Doksd sulfurt është forma me e zakonshme që gjendet në shtresat e ulta të atmosferës. A, në sastë 1,000 der në 3,000 mkron per metër kub(µg/m3), është pa arome dhe shje. Ndërsa në përqëndrmet 10,000 µg/m3, ka një aromë të fortë jo të këndshme (1). Ky gaz ndodhet në sasra më të medha afer zonave ndustrale, e vecanërsht atyre naftëmbajtëse. Në vendn tonë, fusha e Kucovës dhe Marnëz janë zonat më njohura naftëmbajtëse. Thuajse çdo famlje ka brenda truallt të vet, një pus nafte ende në shfrytëzm madje në të shumcën e rasteve edhe dy puse. Banorët ankohen, se këto puse rrjedhn pa pushm dhe ç ka është më kryesorja ata janë me avar. Amortzm grupeve të grumbullmt të naftës, s rrezultat korrozont ka sjellë rredhjen në bazën e rezervuarve, në kolektor, saraqneska, e këto rrjedhje pa dyshm shkaktojnë ndotje të mjedst në tërës Burm këtj gaz është ndotja jo vetëm nga zjerrja por dhe, nga përpunm që bëhet nënprodukteve të tj. Mbetjet e naftës derdhen në rezervuar dhe ndotn ujn e vadtjes duke e nxjerrë jashtë përdormt, ujë që banorët e këtj fshat dhe të fshatrave fqnjë e përdorn për vadtjen e bmëve bujqësore gjatë verës. Gjthashtu dhe shkalla e lartë e amortzmt të tubaconeve pus- grup dhe grup-mpant, dekantm s rezultat kohës së gjatë të shfrytëzmt, korrozon shkaktuar nga nafta me sas squfur, sjelln përsër rrjedhje të sasrave të konsderueshme, përzerje naftë-ujë në mjeds Nsur nga problemet në fjalë, jeta e banorëve rrezkohet serozsht. Për këtë nga Insttut Shëndett Publk dhe Mnstra e Mjedst merr të dhëna për treguest kryesor të gjendjes së njerëzve dhe këto të dhëna analzohen, me qellm marrjen e masave të nevojshme nga organet kompetente për zbatmn e kushteve teknke, në shfrytëzmn e puseve të naftës, që ndodhen pranë shtëpve, s psh, përdorm fltrave pastrues dhe montorzm ndotjes. Në këtë punm janë shfrytëzuar të dhënat e marra nga këto nsttucone, për pesë fshatra të zonës Belnë-Sheqshtë, Zharrë, Marnëz, Patos e Kurjan, ne jug të Shqpërse, në Fer, Fgura 1. Fshatrat ndodhen pranë njër tjetrt. Në baze të të dhënave të Insttutt të Gjeoshkencës u bë paraqtja e vendodhjes së puseve në zonë, Fgura 2. Nga vëzhgm hollësshëm pozconmt të tyre kuptohet, pse Kurjan konsderohet zonë e paster ndërsa fshatrat e tjerë jo. Ato jane te pasura me puse e janë zona të përpunmt të naftës. 84

94 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Fgura 6-1 Pozcon zonë së studmt Fgura 6 1 Pozcon puseve tnaftës 85

95 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes 6.1 Ndkm nvelt te ndotjes ne problemet shendetësore të përgjthshme, dermatologjke dhe ato pneumologjke. (Problem 1) Jane marre të dhëna nga 171 ndvdë, banues te tr zonave, dy të konsderuar ndustrale, Marnëz dhe Sheqshtë-Belnë, dhe nje e konsderuar e paster, Kurjan. Të ntervstuarve jane berë dhe 13 pyetje te ndryshme. Pyetjet ndahen ne tr kategor: pyetje te gjendjes së përgjthshme shëndetësore (3 pyetje), pyetje për problemet dermatologjke (5 pyetje) s dhe pyetje për problemet pneumologjke ( 5 pyetje). Pyetje të gjendjes së përgjthshme janë: marrje mendje (p33), nauze apo të vjella (p34), dhmbje koke (p35). Pyetje për problemet dermatologjke janë: lunga në lëkurë (p28), kruajtje në lëkurë (p29), shpërthm puçrash (p30), skuqje të lëkurë (p31), dhe pezmatm të lekurës (p32). Pyetjet për problemet pneumologjke janë: sy të përlotur(p23), kruarje hundësh(p24), tharje gryke(p25), gëlbaze dhe kollë. Nga kodm pergjgjeve të të ntervstuesve janë përcaktuar dsa varabla, që sç shhet, duhet të konsderohen s varabla të varur. Pra, varabla të varur janë 13. Shtohet problem ndkmt në këto varabla të fshatt, pra të faktt që kem të bëjme me të dhena të marra nga nje fshat ndustral apo një fshat jondustral. Në fllm do të trajtohen te tr llojet e pyetjeve s të dhëna të problemt 'shenja, efekte', më pas do të shhen s varabla të pavarur ne analzën MANOVA. Për përdormn e metodës MANOVA kërkohet Tabela 6 1 Matrca e kovarancës Box's Test of Equalty of Covarance Matrces a Box's M.000 F.000 df1 91 df Sg Tests the null hypothess that the observed covarance matrces of the dependent varables are equal across groups. a. Desgn: Intercept + fshatrat plotësmn e dsa kushte. Një kusht, tej mase rëndesshëm, që duhet te plotësohet, është kusht I varncës së barabarte mes tr grupeve të të dhënave të krjuara në rastn tonë nga ndarja e të 13 te dhënave të ndryshme, spas fshatrave ku ndvd është banor. Në rastn tonë ku kusht plotësohet. Kjo mund të shhet nga rezultat vlerës së statstkës Fsher dhr p- vlerës koresponduese. Me gjthatë duhet theksuar se hpoteza në fjalë është e vertetë dhe do te pranohet s e tllë edhe për p-vlera > Konkretsht, në rastn tonë, pas të dhenat ndahen në bazë të fshatt, banor të clt është ndvd, varesa e 13 varablave shprehet nga cov(y,y j ) = ϭ j I,j = 1,2.,p 86

96 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes ku ϭ j është kovaranca mes varablt të -të dhe të j-të, e llogartur janë paraqtur në Tabela 6-2. Tabela 6 2 Kovaranca mes varablave Inter-Item Covarance Matrx Shperth skuqje sy t Lung kruarj m xehtes nauze kruarje Tharj a e Pucrrash pezmatm, dhmbj perlotu hundes e gelbaz koll ne ne apo ne e te marramendj te e koke fshatrat r h gryke e e lekure lekure flluskash fytyre lekures e vjella te forta Vlosh sy te perlotur kruarje hundesh tharje gryke gelbaze kolle lunga lekure ne kruarje lekure ne shperthm pucrrash apo flluskash skuqje nxehtes ne fytyre pezmatme te lekures marramendj e nauze, vjella te dhmbje koke te forta Sheqshte -Belne sy perlotur te

97 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes kruarje hundesh tharje gryke gelbaze kolle lunga lekure ne kruarje lekure ne shperthm pucrrash apo flluskash skuqje nxehtes ne fytyre pezmatme te lekures marramendj e nauze, vjella te dhmbje koke te forta Marnez sy te perlotur kruarje hundesh tharje gryke gelbaze kolle lunga lekure ne kruarje lekure ne shperthm pucrrash apo flluskash

98 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes skuqje nxehtes ne fytyre pezmatme te lekures marramendj e nauze, vjella te dhmbje koke te forta Afshmet e marra nga metoda e Multvarancës janë paraqtur në Tabelën 6-3. Vlera e statstkës Fsher, në rastet ku nuk është kushtuar kujdes normalzmt të të dhënave, lexohet nga afshm Plla's Trace, është dhe korespondon p- vlera 1.2 E-12. Kjo tregon se ka efekt varabl pavarur, ne rastn tonë 'fshatrat', në vlerat e gjthe varablave të varura, kur ato të 13 shhen s një grup vetëm. Madje, p-vlera tej mase e vogël, percakton dhe shkallën e lartë të ndryshmt të 'efekteve' spas fshatrave. Duhet të theksohet se në rastn tone efekt është sgnfkatv spas të gjtha modeleve të ofruara, madje edhe spas testt Roy [30]. Ky test përdoret pas të jenë plotësuar shumë kushte. Psh, kërkon jo thjeshtë kontrolln e kufjve të dsa parametrave që na japn nformacon për normalzmn, por patjeter plotësm të plotë të kushteve të normalzmt. Tabela 6 3 Test Multvarancës Multvarate Tests a Effect Value F Hypothess df Error df Sg. Partal Squared Eta Intercept Plla's Trace b Wlks' Lambda b Hotellng's Trace b Roy's Largest Root b fshatrat Plla's Trace Wlks' Lambda b Hotellng's Trace Roy's Largest Root c a. Desgn: Intercept + fshatrat b. Exact statstc c. The statstc s an upper bound on F that yelds a lower bound on the sgnfcance level. 89

99 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Madje në kollonën e fundt lexohet, se spas testt me të dobët Plla, 30% e ndryshmeve në gjendjen shëndetësore të njerëzve shpjegohen s rrezultat I tr nvele të ndryshme të varablt 'fshatrat'. Ndërsa spas testt të fuqshëm Roy, kushtet e të clt në rastn tonë plotësohen, jem në kushtet e varancës së barabartë mes grupeve, më shumë se 50% e ndryshmeve në gjendjen e përgjthshme varen nga zona e banmt. Konkluzon në të cln është arrtur, duhet të nterpretohet drejt, pra ka nje ndkm te varablt 'fshatrat' tek ndonjë nënbashkës e varablave të trajtuar der tan s një grup. Proces MANOVA-s vazhdon me etapën e dytë, atë të kryerjes së dsa testeve 'unvarate' ndaj seclt prej13 pyetjeve, pra kryhem ANOVA per çdo pyetje. Afshmet tregojne per ndkm të varablt fshatrat tek secl nga 13 pyetjet e studuara. (Tabela 6-4) Shhet se ndkm më vogel I 'fshatrat' është tek kruarja e hundeve dhe kolle. Në këtë përfundm arrhet duke u mbështetur tek vlerat e F-testt dhe afshmet koresponduese të p-vlerave. Duhet theksuar se nuk vërehet ndkm shumë ndjeshëm fshatrat nga ku është marrë zgjedhja në 'lunga në lëkurë'. Tabela 6 4 ANOVA për 13 varablat e varur Type III Partal Eta Source Dependent Varable Sum of Squares df Mean Square F Sg. Squared fshatrat sy te perlotur kruarje hundesh tharje gryke gelbaze kolle lunga ne lekure kruarje ne lekure shperthm pucrrash apo flluskash skuqje nxehtes ne fytyre pezmatme te lekures marramendje nauze, te vjella dhmbje koke te forta

100 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tabela 6 5 t testet për secln prej 13 varablave të varur Mean Dfference Dependent Varable (I) fshatrat (J) fshatrat (I-J) Std. Error Sg. sy te perlotur Kurjan Sheqshte-Belne.3439 * Marnez.3439 * Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne kruarje hundesh Kurjan Sheqshte-Belne.2196 * Marnez.2196 * Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne tharje gryke Kurjan Sheqshte-Belne.5132 * Marnez.5132 * Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne gelbaze Kurjan Sheqshte-Belne.3492 * Marnez.3492 * Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne kolle Kurjan Sheqshte-Belne.2593 * Marnez.2593 * Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.1508 * lunga ne lekure Marnez.1508 * Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez

101 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.2434 * Marnez.2434 * kruarje ne lekure Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.1878 * Marnez.1878 * shperthm puçrrash apo flluskash Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.5952 * Marnez.5952 * skuqje nxehtes ne fytyre Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.2989 * Marnez.2989 * pezmatme te lekures Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.4180 * Marnez.4180 * marramendje Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.3677 * Marnez.3677 * nauze, te vjella Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.5847 *

102 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Marnez.5847 * dhmbje koke te forta Sheqshte-Belne Kurjan * Marnez Marnez Kurjan * Sheqshte-Belne Kurjan Sheqshte-Belne.5847 * Marnez.5847 * Duke u perqendruar në vlerat e t-testeve te afshuara mund të arrhet në perfundmn : o Ka ndryshm sgnfkatv mds fshatrave Kurjan dhe Sheqshtë- Belne dhe Kurjan e Marnez për çdo pyetje te bëre. Mesatarja e varablave, të përcaktuar nga përgjgjet e çdo pyetje të bërë, është statstksht më e larte në Kurjan. Duke vërejtur mënyrën e kodmt të përgjgjeve në fjalë, konkludohet se ka ndkm negatv të zonës ndustrale në tërë parametrat e përcaktuara s percaktues të gjendjes së përgjthshme, të gjendjes pneumologjke dhe asaj dermatologjke. o Nuk vhet re ndryshm mds dy fshatrave që ndodhen në zonat ndustrale. Por metoda e paraqtur der tan nuk është gjë tjetër veçse metoda me e zakonshme e Manova-s. Vlera me e madhe e metodës MANOVA verehet në mënyrën tjetër që mund të kryhet kjo metode, në analzën e komponenteve kryesore. Përcaktm ketyre komponentëve kryesorë është një përcaktm varablave të rnj që janë kombnm lnear 13 varablave te varur ne studm,e shpesh për këtë arsye njhen me emrn përcaktm supervarablave. Këto varabla të rnj, supervarabla [15], të pavarur synojnë të paraqesn të njëjtat matje apo nformacone të marra nga 13 varablat në studm. MANOVA për analzën e komponentëve kryesorë do te ekzekutohet pas shkrmt të kodt në edtorn e sntaksës. Edtor është emertuar ' pyetje' dhe permban kodn e meposhtëm: MANOVA p23 p24 p25 gelbaze kolle p28 p29 p30 p31 p32 p33 p34 p35 BY fshatrat(1,3) /DISCRIM=STAN RAW CORR /PRINT =SIGNIF( MULTIV,UNIV,EIGEN,DIMENR)/DESIGN. Pjesa e pare e afshmeve, Tabela 6-4, tregon per ndkm te varablt 'fshatrat' ne tërë keto varabla te varur. Këtë nformacon e morëm edhe nga ekzekutm metodes MANOVA spas varantt të parë. Afshmet e ndkmt verehet se janë të njëjta me ato të metodës së parë. Madje po te krahasohen me kujdes, vlerat e testt Pllas është e njëjtë,.55629, dhe po ashtu vlerat e testeve të tjera. 93

103 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tabela 6 6 Analza e ndkmt te varablt te pavarur tek varablat e varur në shqyrtm EFFECT.. fshatrat Multvarate Tests of Sgnfcance (S = 2, M = 5, N = 77 ) Test Name Value Approx. F Hypoth. DF Error DF Sg. of F Pllas Hotellngs Ëlks Roys Note.. F statstc for WILKS' Lambda s exact. Ekzekutm kësaj analze sguron gjetjen e dy kombnmeve lneare të 13 varablave në studm. Kombnm dy këtyre supervarablave është sgnfkatv. Dhet se keto dy supervarabla të krjuar ruajnë totaln e varances, dhe janë ortogonalë. Por, supervarabl parë shpjegon gjthë varancen e tr varablave te pavarur, që fshhen në 13 varablat e varur. Tabela 6 7 Vlerat e veta Root No. Egenvalue Pct. Cum. Pct. Canon Cor Por afshmet e Tabeles 6-7 tregojnë se = 55.6% të varancës supervarablt shpjegohet nga ndryshmet e vlerave të varablt 'fshat'. Në tabelen 6-8 afshohen vlerat përcaktuese të supervarablt në fjalë, koefçentët e ketj supervarabl. Tabela 6 8 Koefçentet e varablt kanonk Correlatons between DEPENDENT and canoncal varables Canoncal Varable Varable 1 p p p gelbaze kolle p p p p p p

104 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes p p Pra, këtë varabël kryesor e përcaktojmë s kombnm lnear të koefçentëve të afshuar dhe të 13 varablave në fjalë. E llogarsm këtë varabel dhe e emërtojmë 'superndkm', duke shkruar kodn përkates në edtorn e sntakses. compute super_ndkm= * p *p *p * gelbaze * kolle *p *p * p * p * p * p * p * p35 Tabela 6 9 Analza deskrptve e fshatrave në 'superndkm' Descrptve Statstcs Dependent Varable: super_ndkm fshatrat Mean Std. Devaton N Vlosh Sheqshte-Belne Marnez Total Kryhet metoda e ANOVA-s në varabln e r, për të përcaktuar ndkmn në të fshatrave. Afshmet e vlerave të statstkës descrptve të varablt të r 'superndkm', në të tr nënpopullmet e përcaktuara nga vlerat e varablt 'fshatrat' janë paraqtur në Tabelen 6-9. Mesataret e nenpopullmeve te superndkmt jane te njejta, më të vogla, për dy fshatrat që ndodhen në zonën ndustrale, dhe po kështu dhe devjmet standarte. Duke patur parasysh kodmn e 13 varablave (sa më I lartë kod aq më e mrë gjendja e përgjthshme), them se ka ndkm negatv ndotja, efekt negatv në gjendjen e përgjthshme të ndvdd. Afshmet e ANOVA-s për 'superndkm'n që shpjegon maksmumn e varancës mes ndvdeve,tabela 6-10, tregon ndkmn e fshatra-ve në varabln e r. Madje tabela ne fjalë tregon se 55 % e ndryshmeve të superndkm-t vjne s rezultat I ndkmt të fshatra-ve (vlera e statstkës F është ndërsa p-vlera <.001) Tabela 6 10 Efekt në 'superndkm' varablt të pavarur Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: super_ndkm Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Partal Squared Eta Corrected Model a Intercept fshatrat

105 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Error Total Corrected Total a. R Squared =.547 (Adjusted R Squared =.541) Vhet re se: o I njejt problem trajtuar me metoden e komponentëve kryesorë, tregon se ndotja ndkon në 55% të gjendjes së përgjthshme (të shprehur nga varabl 'super_ndkm'), ndërsa spas metodes MANOVA(GLM), ndotja spjegonte % te varances së 13 komponentëve të gjendjes së përgjthshme. o Zgjdhja e problemt me MANOVA (GLM) është me e ndërlkuar e ka një vëllm të madh analzash, ndërsa 'analza e komponenteve kryesore' e redukton problemn në ndkmn në një varabel të vetëm, për të cln mund të vlerësohen qartë dhe vlerat mesatare të tj në tr nvelet e varablt 'fshatrat'. Problem në fjalë mund të trajtohet edhe me anë të Metodës se Analzës Faktorale. Sç është përmendur në vërejten 1, metoda MANOVA, do të shte e pakuptmtë të përdorej nësë tërë faktoret, varablat e varur do te shn te ndryshëm. Këto varabla u tha se duhet t' perksnn të paktën dy grupeve të ndryshme. Në rastn tonë ato I perkasn tr grupeve të ndyshme. Tr pyetje kanë të bëjnë me gjendjen e përgjthshme të ndvdt, 5 me problemet e tj dermatologjke dhe 5 me problemet pneumologjke. Shkrm kodt të meposhtëm përdoret për të kryer këtë metodë: FACTOR /VARIABLES p23 p24 p25 gelbaze kolle p28 p29 p30 p31 p32 p33 p34 p35 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS p23 p24 p25 gelbaze kolle p28 p29 p30 p31 p32 p33 p34 p35 /PRINT INITIAL SIG EXTRACTION ROTATION /PLOT EIGEN /CRITERIA FACTORS(3) ITERATE(25) /EXTRACTION PC /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX /METHOD=CORRELATION. Afshmet e mëposhtme Fgura 2, tregojnë semerren tr komponente kryesore. Kjo sepse, sc shhet edhe nga grafku, vlerat e veta jane më të larta për 3-4 komponentët e parë. Madje kjo verehet edhe ne afshmet e tabeles së Analzës së Komponenetëve Kryesorë. 96

106 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Fgura 6 3 Plotm I vlerave të veta a. Rotaton converged n 4 teratons. Pesë komponente kryesore shpjegojnë më shumë se 73% të varancës së përgjthshme. Në rastn tonë ne po përqëndrohem në tr komponentët e parë kryesorë qe shpjegojnë rreth 60% të kësaj varance të përgjthshme, sepse sç shhet vetëm tr vlerat e veta te para janë >1. Në këtë rast do të krjoheshn tr varabla te rnj, varabla që janë 'faktore të 13 varablave'. Tabela 6 11 Analza e Komponentëve Kryesorë Total Varance Explaned Intal Egenvalues Extracton Sums of Squared Loadngs Rotaton Sums of Squared Loadngs % of Cumulatve Cumulatve % of Cumulatve Comp. Total % of Varance % Total Varance % Total Varance %

107 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Analza faktorale realzon krjmn e 3 varablave të rnj, e në përputhje me tr grupmet e 13 varablave të varur këto varabla po emërtojme efektfaktoral1, efektfaktoral2, efektfaktoral3. Përqëndrm në vlerat e afshuara te koefcenteve prane 13 varablave për tre komponentët e rnj efektfaktoral, Tabelen 6-12, tregon se komponent pare ka koefcentë më të lartë pranë ndkmt ne lekure, ndaj ndryshe efektfaktoral1 mund të emertohet komponent_dermatologjk. Ky varabël justfkon 33% të ndryshmeve të varancës totale. Komponent I dyte I ka koefçentët më të lartë pranë treguesve të gjendjes së përgjthshme (komponent_pergjthshem), dhe te dy komponentet e rnj të parë sëbashku justfkojnë rreth 50% të varancës së përgjthshme. Ndersa tret është më I koreluar me pyetje qe kanë të bëjnë me fushën pneumologjke, ndaj efektfaktoral3 mund të emërtohet komponent_pneumologjk. Ndkm 'fshat'-t vërehet në te tr komponentet, dhe a është sgnfkatv në te tr komponentet, por a percakton 44% të ndryshmt të varablt perfaqësues te gjendjes së përgjthshme dhe 35% të varablt të gjendjes se përgjthshme pneumologjke, ku varabl 'kolle' ze vendn kryesor, me koefçentn me te lartë. Ndkm I këtj varabl justfkon vetëm 22% të ndryshmeve ne komponentn dermatologjk, që përcaktohet nga lunga, puçra dhe kruarje në lëkurë. Nëse krahasojme përfundmet me metoden MANOVA (Analza e Komponenteve Kryesor) dhe Analzën Faktorale vërehet se ndkmet e fshatt, ndotjes, në varablat e varur janë shume larg 55% të ftuar me metoden MANOVA. Por në këtë përfundm mund të na çojë vetëm kjo metodë, se kur krjon komponentët përbërës kjo metodë bazohet në dene e maksmzmt të varances. Tabela 6 12 Afshmet për të tr faktorët Rotated Component Matrx a Component sy te perlotur kruarje hundesh tharje gryke gelbaze kolle lunga ne lekure kruarje ne lekure shperthm puçrrash apo flluskash skuqje nxehtes ne fytyre pezmatme te lekures

108 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Marramendje nauze, te vjella dhmbje koke te forta Extracton Method: Prncpal Component Analyss. Rotaton Method: Varmax Wth Kaser Normalzaton. Tabela 6 13 Anova për komponentn pneumologjk Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: Komp_pneumologjk Source Corrected Model Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Partal Eta Squared Noncent. Parameter a Intercept fshatrat Error Total Corrected Total a. R Squared =.353 (Adjusted R Squared =.345) b. Computed usng alpha =.05 Observed Power b Tabela 6 14 Anova për komponentn e përgjthshëm Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: Komp_pergjth Source Corrected Model Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Partal Eta Squared Noncent. Parameter a Intercept fshatrat Error Total Corrected Total a. R Squared =.446 (Adjusted R Squared =.440) b. Computed usng alpha =.05 Observed Power b Tabela 6 15 Anova për komponentn e dermatologjk Tests of Between-Subjects Effects 99

109 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Dependent Varable: Komp_dermatologjk Type III Partal Noncent. Sum of Mean Eta Observe Source Squares df Square F Sg. Squared Parameter Power b Corrected Model a Intercept fshatrat Error Total Corrected Total a. R Squared =.225 (Adjusted R Squared =.216) b. Computed usng alpha = Ndërtm I modelt statstkore për problemevet pneumologjke të banorëve të zonës ndustrale (Problem 2) Në pjesën e parë të studmt u përqëndruam te shqetësmet e banorëve të zonës së ndotur. Në etapën e fundt të këtj studm, pas përdorëm metodën e Analzës së Komponenteve, u arrt të ndërtohej një 'supervarabël' problemeve pneumologjke, cl u emërtua 'komponent pneumatk'. Në këtë pjesë të tretë duam të studojmë problemn pneumatk, dhe të mund t pergjgjem pyetjeve: A ndkon ndotja në këtë probleme? A ndkojne në këto probleme faktorë apo varabla të tjerë? Model analzës mb komponentët e Analzës Faktorale Në trajtmn e problemt të ndkmt apo jo të zonës së pneumologj, varabël bazë u përdor varabl 'komponent pneumatk'. Kujtojme se varabl ne fjalë është llogartur me anë të metodës Analza Faktorale spas formulës compute Komp_pneumologjk=.122* p *p *p * gelbaze+.783* kolle -.084*p *p * p * p * p * p * p *p35 Kujtojmë, se ndonëse a është kombnm përgjgjeve të 13 pyetjeve, koefcentet me te lartë, kur a modelohet ka pranë 'kollës' e 'gëlbazës' e 'kruarjes në grykë', ndërsa koefcentët e tjerë jane më të vegjel se 0.4. Për zgjdhjen më të mrë të problemt, u llogart 'komponent pneumatk specfk', komponent ky vetëm I faktorëve pneumatk. compute Komp_pneumologjk_specfk=.122* p *p *p * gelbaze+.783* kolle Duke parë mënyrën se s a është krjuar, them se, ky varabël është vazhdueshëm. 100

110 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Por, kontroll problemt të ndkmt të zonës ne këtë varabël, është pakuptmtë, pa studmn e faktorëve të tjerë që mund të ndkojnë në të. Ndaj, nëse kërkojme të analzojmë ndkmn apo jo në të dsa varablave të tjerë, duhet përdorur metoda e regrest lnear të shumëfshtë. Nga analza deskrptve e të dhënave u vu re 14.3% e të ntervstuarve konsumojnë duhan, pjesa tjetër nuk konsumon. Ndertm modelt lnear me varablat 'konsum duhan' dhe 'area' japn afshmet e mëposhtme, Tabela 16. Rezultatet e afshuara tregojne se model regrest të ndërtuar, është vlefshëm. Hpoteza se dy varablat e modelmt nuk kanë ldhje me 'komponent_pneumatk_specfk', be poshtë. Vlera e statstkës Fsher dhe p- vlera shumë e vogël, Tabela 6-16, tregojnë pkërsht këtë. E model propozuar, duke u bazuar në verejtjes që njhet me emrn ' rule of thumb', Tabela 16 sguron një korelacon të lartë poztv me R= A justfkon rreth 36% të ndryshmeve të varablt në shqyrtm, 'komponent pneumatk specfk ', Tabela Tabela 6 16 Afshmet e regrest lnear Model Summary Change Statstcs R Adjusted Std. ErrorR Squar R of thesquare F Model R e Square Estmate Change Change df1 df2 Sg. F Change a a. Predctors: (Constant), a pn duhan, area Coeffcents a Unstandardzed Coeffcents Standardzed Coeffcents Collnearty Statstcs Model B Std. Error Beta t Sg. Tolerance VIF 1 (Constant) area a pn duhan a. Dependent Varable: Komp_pneumologjk Ndërsa, kontroll hpotezave për domosdoshmërne e varablave në modelm, me anë të t-testt, tregojnë se varabl 'area' ka ndkm të rëndësshëm në modeln e propozuar. Modelm me regres të shumëfshte 'komponentn_pneomologjk_specfk', duke përfshrë dhe varabla të tjerë s, 'konsumon_duhan_në_shtëp, ' vtesh_banorë_në_zonë', varabël fundt mund të konsderohet vazhdueshëm, e rrt efkastetn e modelt. Model justfkon tan 43% të ndryshmeve të 'komponentn_pneomologjk_ specfk ' 101

111 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Dhet se mnmum raportt të vëllmt të zgjedhjes që shfrytëzohet me varablat e pavarur duhet të jetë 5 me 1, ndërsa vlera e raportt të preferuar është 15 me 1. Në rastn në fjalë, ky raport më larte se 20. Tabela 6 17 Rregull vlerësmt të regrest të shumefshtë lnear Rregull njohur vlerësmt të modelt te regrest [11] Koefcent I korelacont Interpretm.80 në 1.00 (-.80 në 1.00) Të koreluara shumë fort poztvsht (negatvsht).60 në.80 (-.60 në -.80) Të koreluara fort poztvsht (negatvsht).40 në.60 (-.40 në -.60) Mjaftueshëm të koreluara postvsht (negatvsht).20 në.40 (-.30 në -.50) Të koreluara dobët postvsht (negatvsht).00 në.20 (.00 në -.20) Aspak të koreluara Tabela 6 18 Koefcentët e modelt të regrest të shumëfshtë Model Summary Change Statstcs R Squar R Adjuste Std. Errore F Squar d R of thechang Chang df e Square Estmate e e 1 df Mode l R a Sg. F Chang e a. Predctors: (Constant), a p duhan njer ne shtepne tuaj, a pn duhan, area, prej sa vtesh banon ne kete zone Coeffcentsa Unstandardzed Coeffcents Standardze d Coeffcent s t Sg. Model B Std. Error Beta 1 (Constant) area a pn duhan Collnearty Statstcs Toleranc e VIF

112 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes prej sa vtesh banon ne kete zone a p duhan njer ne.524 shtepne tuaj a. Dependent Varable: Komp_pneumologjk_specfk Tabela e afshmeve të testeve, për vlerën apo jo të varablave ne modelm, tregon, se nga kater varablat e shqyrtuar, ndkm ne modelm ka zona në të clen ndvd është banor, pra fakt që a jeton në zonën e ndotur apo jo, dhe a konsumon njer duhan në shtëp. Vlera e koefcentt është negatve prane 'area', duke treguar se kur ndeks zonë bëhet 2, pra kur zona ndotet, vlera e varablt 'komponent_ pneumologjk_specfk' zvogelohet. Duke u perqëndruar tek mënyra e kodmt të të dhënave në bazën orgjnale, pergjgjet 2 tregojne se nuk ka shenja te ndkatort pneumologjk në fjalë, ndersa 1 ka shenja të ndkatort. Kështu, varabl 'komponent pneumologjk specfk' zvogelohet, do të thote se ka me shume vlera 1 në përgjgjet për ndkuest pneumatk. Pra, se ka me shume raste te shfaqjes se ndkuesve të problemeve pneumologjke, kur kalohet në zonen e ndotur. Ndërsa, vlera e koefcentt pranë komponentes tjeter sgnfkatve 'konsum duhan në shtëp', është poztve. Kodm varablt 'konsum duhan në shtëp', me 2 ne rast mos konsum dhe 1 në rast konsum, tregon se konsum duhant në shtëp (zvoglm me nje njës e varablt 'konsum duhan në shtëp') shoqerohet me zvogëlm të 'komponent pneumologjk specfk'. Bazuar në arsyetmet e mëspërme në me shume raste te shfaqjes se ndkuesve të problemeve pneumologjke, ndërsa kem konsum duhan në shtëp dhe vlerat e faktoreve të tjerë nuk ndryshojnë. Duke patur parasysh perfundmet tek 2.4, vlera e koefcentëve të modelt të regrest lnear të ndërtuar, tregon shkallën e ndryshmt të 'komponent pneumologjk specfk' në varës të varablt, pranë të clt a ndodhet, kur komponentet e tjerë ne modelm mbahen konstantë. S' mund të konkludohet bazuar në madhesnë e këtyre koefcentëve në vlerë absolute, për kontrbut më të madh në modelm të një varabl se varabl tjetër Përfundme o Ka më shume raste te shfaqjes se ndkuesve të problemeve pneumologjke, kur kalohet në zonen e ndotur. o Ka me shume raste te shfaqjes se ndkuesve të problemeve pneumologjke, ndërsa kem konsum duhan në shtëp dhe vlerat e faktoreve të tjerë nuk ndryshojnë. 103

113 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Analza e problemeve pneumatke të banorëve, në bazë të një ndkator të vetëm Me nteres është kontroll ndkmt në, ndkatorn më të rëndesshëm ne pneumologj, 'kolle'. Për të analzuar problemn në fjalë janë shfrytëzuar të dhënat e 426 subjekteve të marra rastëssht nga pesë fshatrat e spërpërmendura, 196 subjekte janë nga zona e pastër, zona e kontrollt, pjesa tjetër 230 janë marrë nga zona e ndotur. Për kontrolln e faktorëve, varablave,që ndkojne në 'kollë', nsur nga përfundm I mëspër është vënë re se ka një ndkm të zonës dhe konsumt të duhant në shtëp, kur kalohet në zonën e ndotur. Nga studmet e më parshme [15], është vënë re dhe ndkm I 'konsumt vetak të duhant'. Kështu, që tek Kaptull 5, Zbatm,është paraqtur hollëssht, zbatm regrest logjstk, kur në modelm përdoret faktor 'zone, 'konsum_duhan' dhe 'konsum _duhan_ne_shtep'. Në bazën tonë të të dhënave, varabl kolle është varabel kategork. A pas është bërë një transformm rekordesh, ështe koduar, 0 nëse person nuk ka kolle dhe 1 kur ka kolle. Kështu a është bërë nje varabël bnar, që është modeluar me ane të modelt logjstk, për të kontrolluar ndkm apo jo të varablave të lartpërmendur. Varabel varur është konsderuar varabl 'kollë', varabël bnar; ndërsa varablat me të clën është ndërtuar parashkm është varabl 'zone',area, 'konsum_duhan_në_shtëp' dhe varabl 'konsum_duhan', trajtuar më parë s ndkues në 'kollë' [14]. Model I komentuar gjërëssht tek Kaptull 5, nga kontroll statstk ka dalë I vlefshëm. Janë komentuar koefcentët e modelmt, të paraqtura edhe tek Tabela Por, duhet patur parasysh që me këto koefcentë, mund të modelohet lehtëssht varabl, parashkm_kolle'. Tabela 6 19 Koefcentët e varablave në ekuaconn e modelmt Varables n the Equaton 95% C.I.for EXP(B) B S.E. Wald df Sg. Exp(B) Lower Upper Step 1 a area pn_duhan duhan_shtep Constant a. Varable(s) entered on step 1: area, pn_duhan, duhan_shtep. Në output-et e afshuara merren edhe nformacone se c'do të arrjë modelm I ftuar. Ne tabelën e kontgjencës spas testt Hosmer and Lemeshow, tregohet se behet automatksht nje ndarje e te dhenave ne gjashte grupe, e për secln grup tregohet numr konkret vlerave te vrojtuara të grupt dhe, numr vlerave të grupt që sguron model. Krahasm këtyre vlerave tregon se per vlera të prtshme të ulta model nuk është aq mrë. 104

114 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tabela 6 20 Tabela e klasfkmt pas modelmt Classfcaton Table a Predcted Kolle Percentage Observed jo Po Correct Skolle jo t po eoverall Percentage p a. The cut value s.500 Tabela e klasfkmt tregon se modelm percakton saktessht 51.8% te atyre që s'kane kolle, por 65.40% te atyre që kane kolle, ndërsa më parë, para modelmt, nuk arrhej të parashkohej asnje nga keto persona. Keshtu pergjndja totale e parashkmt me atë përfundm që jpej pa modelm është rrtur me 18% 6.3 Analza statstkore e problemeve hematologjke të banorëve të zonës (Problem 3) Ajr rrotull kësaj fushe, ku nafta është nxjerrë e përpunuar që me 1928 është ndotur. Nvel SO 2 është statstksht lartë (33 part per bllon). Të dhënat e analzave të gjakut, përmbajnë rezultatet e analzave në gjak të banorëve të zonave në fjalë. Në këto rezultate vecohen ertroctet, leukoctet dhe hemoglobna. Por, aty permbahen edhe të dhëna për parametrat e tjerë lmfocte, monocte, granulocte, që përfshjnë neutroflet dhe eosnoflet, që përbëjne formulen e leukocdeve. Për secln person jane marrë të dhëna të përgjthshme s mosha, gjna, sa kohë kanë që banojnë në zonë, hstorku ndonjë sëmundje në gjak. Database është ndërtuar nga Insttut Shëndetëssë dhe Shëndett Publk, duke patur parasysh lstën e tërë faktorëve që mund të shkaktojnë probleme hematologjke. Rrezultatet e të dhënave në gjak për banorët e zonës së ndotur, u krahasuan me rezultatet e të dhënave koresponduese të zonës së kontrollt. Analza statstkore, e sqaruar hollëssht në seksonn 1.4, synonte të kontrollojë nëse këto mesatare janë statstksht të njëjta, apo jo. Gjatë kryerjes së procedurave te testt Leven, e më pas t_ testt, Student apo Welch, në varës të rezultateve të testt të parë, afshohen dhe vlerat mesatare te parametrave në fjalë Tabela

115 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tabela 6 21 Rezultatet e analzës deskrptve Group Statstcs area N Mean Std. Devaton Std. Error Mean ertrocde leukocde hemoglobne S rrezultat fuqsë së madhe kompjuterke të përpunmt të të dhënave, rezultatet e testeve shoqërohen edhe me afshmn e ntervaleve të besmt të tyre, Tabela Kështu, duke njohur edhe kufjtë normal ku duhet të lëvzn këto vlera, mund të lndn dyshme nëse këto kufj lëvzn jashtë normaltett. Tabela 6 22 Rezultatet e krahasmt të paramerave kryesor në gjak Independent Samples Test Levene's Test for Equalty of Varances t-test for Equalty of Means 95% Confdence Interval of the Sg. (2- Std. Error Dfference F Sg. t df taled) Mean Dfference Dfference Lower Upper ertrocde Equal var assumed Equal var not assum. leukocde Equal var assumed Equal var not assum. hemoglobne Equal var assumed 106

116 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Equal var. not assum Nga analza e tr parametrave ertrocte, leukocte dhe hemoglobnës u morrën këto afshme: o Tabela e mëspërme tregon se, për ertroctet plotesohet kusht homogjentett te varances së popullmt, dhe me pas, vërehet se s'ka dallm statstkor mds mesatares ertocdeve të grupt te ndotur dhe atj të kontrollt. o p- vlera.412 tregon se nvel leukocdeve është njëjtë në dy grupet në studm, nga ana statstkore, por nuk plotesohet kusht homogjentett të varances. o p-vlera prane hemoglobnës.004, dhe vlerat e afshuara te mesatares së dferencës, tregojnë se kjo vlerë është më e ulët në zonën e kontrollt. Nvel mesatar ertrocdeve në të dy grupet e analzuara duket se është nën kufjtë normal. Duke patur parasysh dhe problemet për të clat zona përmendej, u shtrua problem ka apo jo shenja të anemsë në gjak. Spas specalstëve kufr përcaktues për të shte Pra u shtrua hpoteza: hpoteza zero (ka shenja të anemsë) H 0 : µ= hpoteza alternatve (nuk ka shenja të anemsë) Ha: µ > Test, outpu-et mund të lexohen në Tabelën 6-23, vlera e statstkës t që jep një p- vlerë 8.427E-30, tregojnë se nuk ka shenja të anemsë. Tabela 6 23 Kontroll hpotezës për kufrn mnmal One-Sample Test Test Value = % Confdence Interval of the Dfference t df Sg. (2-taled) Mean Dfference Lower Upper ertrocde Por, test hpotezës tjetër me vlerën që spas specalstëve është kufr më ulët lejuar këtj parametr hpoteza zero H 0 : µ= hpoteza alternatve Ha: µ >

117 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes tregon se nvel I ertrocdeve është në kufjtë mnmum, të vlerave normale me nvel besm 0.1 (P=0.07), Tabela Tabela 6 24 Kontroll hpotezes per mnmumn e vleras normale One-Sample Test Test Value = % Confdence Interval of the Dfference t df Sg. (2-taled) Mean Dfference Loëer Upper ertrocde Sc u përmend edhe më sper, në vlerat e komponentt të tretë në gjak është vënë re një dferencë e vogël, po sgnfkatve mds dy zonave në shqyrtm. Vlera e t-testt dhe p-vlera tregojnë nfluencën e zonës, në këte komponente të gjakut. Nsur nga përvoja e specalstëve, duke shfrytëzuar të dhënat e përgjthshme, u kontrollua efekt dy faktoreve 'gjn' dhe 'area'. Rezultatet e paraqtura në Tabelën 6-25 tregojne ndkmn e dy faktoreve ne shqyrtm. p-vlerat pranë 'zone'-s, dhe tej mase më e ulët, pranë 'gjnse ' tregojne per efektn e dy faktoreve në fjale përqndja e femrave në të dhenat Data Analzagjak. U vure re se përqndja e femrave në zonën ndustrale shte (61.2%), ndërsa vlera e kësaj përqndje në zonën e kontrollt shte (48%). Tabela 6 25 Anova dypërmasore Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: hemoglobne Source Type III Sum of Squares Df Mean Square F Sg. Intercept area gjna area * gjna Error Total Corrected Total a. R Squared =.153 (Adjusted R Squared =.147) Një analzë statstkore e detajuar u bë për komponentët e tjerë të gjakut, lmfocte, monocte dhe granulocte (neutrofle dhe esonofle). 108

118 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Studm tabelës së rezultateve, Tabela 6-26, tregon se, mesataret e gjthë parametrave të formulës së leukocdeve janë me të ulta në zonën ndustrale se ato të nvelt mesatar. Tabela 6 26 Analza deskrptve Statstka deskrptve Groups Zona kontrollt Formula e leukocdeve Mesatarja matematke Devjm standart Lmfocde Monocde Granulocse neutrofle eosnofle Q Q Zona ndustrale Lmfocde Monocde Granulocse neutrofle eosnofle Rezultatet e metodës Anova një-përmasore, Tabela 6-27, për lmfoctet, neutroflet dhe eosnoflet (P= 0.002, F=9.98), ndotjes, në këto komponente të gjakut. Tabela 6 27 Anova njëpërmasore per komponentet e tjera të gjakut Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: monocde Type III Sum of Source Squares df Mean Square F Sg. Intercept area Error Total Corrected Total a. R Squared =.379 (Adjusted R Squared =.364) Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: lmfocde Type III Sum of Source Squares df Mean Square F Sg. 109

119 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Intercept area Error Total Corrected Total a. R Squared =.363 (Adjusted R Squared =.349) Faktoret që mund të ndkojnë në shfaqjen e problemeve hematologjke për banorët, janë lstuar nga Insttut Shendett Publk dhe në bazë tyre është hartuar dhe nje pyetsor, me nformacone të detajuara për 'moshë'n,'hstor te tlla sëmundjesh në famlje', ' koheqëndrm në zonë'. Qëllm është analza dhe modelm nje model statstko-probabltar që të shqyrtojë efektn e tyre në cdo komponente gjaku, duke synuar që këto parametra të modelojnë komponentn e shqyrtuar. Për këtë u kthyen varablat në shqyrtm 'mosha' dhe koheqëndrm në zonë ' në varabla kategork, me vlera të përcaktuara s më poshtë: kohëqëndrm_kategork= 0, 1, 2, nqs person ka më pak se 20 vjet banorë nqs person është vjet banorë nqs person ka me shume se 40 vjet banore dhe 0, mosha_bnar= 1, nqs person nën 25vjeç nqs person mb 25 vjeç Meqë komponentet e formules e leukocdeve janë të gjthe n. r. të vazhdueshme, dhe kërkohet të shqyrtohet efekt n.r të tpt kategork, një metodë e ndjekur vazhdmsht në studmn e problemeve të tlla përfshn kthmn e vlerave të parametrave të formulës lekoucdare në n.r kategorke. Pra nga parametrat e formulës së leukocdeve, janë krjuar kater varabla bnar y, për 1 4. Ato përcaktohen 1 nqs vlera e parametrt perkatës është me e vogël se kuartl pare, dhe 0 në rastet e tjera. Është përdorur kuartl pare s vlere përcaktuese e funksoneve në fjalë. Kështu testohet nëse kapja e këtyre vlerave nën kuartl, ndkohet nga faktorët në shqyrtm, e për me tepër clët faktorë janë ato që rrsn rezkun, rskun, e vlerave te tlla, jo të mra. Me anë të regrest logjstk është shqyrtuar ndkm 'mosha_ bnar' dhe 'koheqëndrm _kategork' në,' zonë' në komponentët e formulës së leukocdeve dhe rezultatet janë paraqtur në Tabelën

120 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tabela 6 28 Regres logjstk për ndkatoret rasteve problematke Varables n the Equaton B S.E. Wald df Sg. Exp(B) Step 1 a mosha_bnar kateg_qendrm Constant a. Varable(s) entered on step 1: kategqendrm, mosha_bnar Tabela 6-28 tregon për ndkm te dy varablave (p-vlerat janë.025. dhe.018) mosha_bnar dhe kateg_qendrm. Koefcentat negatv do të thotë se ulja e parametrt mosha_bnar, pra kur fltet për banorë nën 25 vjec, do të rrse logt e probabltet, pra mundëstë e shfaqjeve të parametrave të ulta janë më të mëdhja se mundëstë e shfaqjes së vlerave normale. Po kështu, mund të përqëndrohem edhe në faktorn tjetër të rëndësshëm të këtj modelm, ulja e kategorsë së qëndrmt, pra banoret që s'janë rezdentë për një kohë të gjate, kem një rrtje të mundësve per kapjen e vlerave të komponentëve të gjakut nën normalen. Pra, në moshat nen 25 vjec ose tek banorët me nje kohë jo shumë të madhe qëndrm mundëstë, që shënjat e parametrave të ulta të formulës leukucdare të shfaqen, janë më të mëdha. Gjthë parametrat e formulës së lekucdeve janë varabla të pavarur të vazhdueshëm. Mosha_bnar (dy nvele) and kohëqëndrm (tre nvele), mund të shhen s faktore. Kështu mund të zbatohet edhe procedura e Anova-Dypërmasore për të kontrolluar se kohe qendrm dhe mosha_bnar kanë ndkm në parametrat e shqyrtuara, ose jo dhe të kontrollohet ndërthurja e faktoreve. Kontroll vlerave të afshuara ( Tabela 6-29 ) tregon : Tek monocdet: Kem ndkm të kohëqendrmt p_value 0.010, por jo ndkm të 'mosha-bnar' Vlera e statstkes F=.257 dhe p_value.774 Vërehet se efekt nderthurës dy faktorëve në shqyrtm është josgnfkatv (ky efekt paraqtet më qarte ne Tabelen 29, p_value 0.324, në afshmeve per monocdet) Tek eznofalet ndkm I kohe_qëndrmt është pranueshëm me nvel besm 0.1. P_value e testt ANOVA për ketë varabël është.073. Dhe, gjthashtu I qarte eshte dhe ndkm rolt nderthurës dy faktorëve në shqyrtm (p_vlera.018). 111

121 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tek lmfocdet ndkm kohë_qëndrmt, shhet se pas kontrollt të metodës ANOVA. Ne tabelen 6-29 p_vlera e afshuar është Por, ndryshe nga parametrat e tjerë të formulës së leukocdeve këtu, pra për këtë bazë të dhënash, nuk vërehet ndërthurja mes dy faktorëve në shqyrtm. Kështu, përfundmsht, ekzstojnë te paktën dy grupe kohë_qëndrm ku verehet ndryshm I komponentëve të formules së leukocdeve. Për përcaktmn e grupt të 'kohëqëndrmt' me ndryshm të dallueshem të komponentt në gjak është përdorur metoda Tukey (varabl kategork kohëqëndrm' është me tr kategor ndaj kjo metodë jep vlera më të mra). Përdorm I post hoc Tukey, për komponentn monocde, tregon se der në 20 vjetët e para të koheqëndrmt nvel I uljes se monocteve eshte sgnfkatv( p=0.04), por me pas a përmrësohet dhe është jo sgnfkatv pas 40 vjet kohëqëndrm (p= 0.21). Sasa e lmfocteve të banorëve për tr nvelet e kohëqëndrmt është respektvsht: 24.3 (për banorët që janë 1-20 vjet në këtë zonë); 23.1 (për banorët që janë vjet në këtë zonë); 22.3 (për banorët që janë mb 40 vjet në këtë zonë). Për përcaktmn e grupeve me vlerë mesatare të ndryshme, te parametrave të gjakut, të përdoresh Post Hoc e ANOVA së komponentes së gjakut ndaj kateg_kohëqëndrm, do të thotë ta ndertosh modeln pa marrë parasysh roln ndërthurës së moshës_bnar me kateg_kohëqëndrm. Modelm do të shte më korrekt, për eznofalet nëse kjo ndërthurje do të merret parasysh. Ndaj zgjdhjen e marrm duke ndërhyrë në sntaksën e SPSS, e cla mundëson ekzekutmn e komandave që analzojne modeln, duke patur parasysh këtë faktor të ndërthurjes. Sntaksa e shkruar në SPSS është bërë s më poshtë: DATASET ACTIVATE DataStudm I analzes se gjakut zona ndustrale. UNIANOVA eznofle BY mosha_bnar kategqendrm /METHOD=SSTYPE(3) /INTERCEPT=INCLUDE /POSTHOC=mosha_bnar kategqendrm(scheffe) /PLOT=PROFILE(kategqendrm*mosha_bnar) /EMMEANS=TABLES(mosha_bnar) COMPARE ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(kategqendrm) COMPARE ADJ(LSD) /EMMEANS=TABLES(mosha_bnar*kategqendrm)COMPARE ADJ(mosha_bnar) /PRINT=ETASQ HOMOGENEITY DESCRIPTIVE /CRITERIA=ALPHA(.05) /DESIGN=mosha_bnar kategqendrm mosha_bnar*kategqendrm. Rezultatet e eznofaleve, Tabela 6-30, tregojnë : o Ne vtet e para të kohëqëndrmt vlera e lmfocdeve mesatare është përkatëssht.003 dhe.0035 për dy nvelet e moshave, pra është nen kufjtë mnmal që është më pak se 0.35 %. o Por tabela 6-30, e afshuar nga ndërhyrja në sntakse, duke shfaqur një dferencë negatve, tregon se efekt ndryshmt në lmfocde vërehet shumë 112

122 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes mes grup moshës së re e tjetrës, në nveln e parë të kohëqëndrmt. Vlera negatve mesatare tregon madje, se vlera mesatare është me e ulet tek te rnjtë. o Kjo dferencë mes grupmoshave nuk është më sgnfkatve në nvelet e tjera të kohëqëndrmt. Fllmsht mund të konkludohet, rendesa e përdormt të efektt ndërthurës mes dy vektoreve në shqyrtm. Përfundmsht,nga krahasm I përfundmeve të regrest logjstk me varabln parametrat e gjakut të kategorzuar, dhe modelt te fundt të analzës, mund të them se kthm një varabl të vazhdueshem në një varabël kategork shoqërohet me tre probleme; o Së par, problem kontrollt të testeve të shumëfshta, e kthen në krahasm të cfteve të kuartleve. o Së dyt, përdorm metodes kërkon plotësmn e kushtt të homogjentett brenda grupt të krjuar, duke zëvendësuar kushtn e homogjentett mes grupeve të varablt orgjnal të vazhdueshëm. Statstksht ky kusht, për ndryshoren e rastt të vazhdueshme, është njëjtë me kushtn e homogjentett të të gjthë popullmt. o Së fundm, vështrës paraqet punm me këtë metode, sepse pengon shumë krahasmn e rezultateve te punmeve me njër tjetrn, sepse këto pka përcaktuese, prerëse që përdoren për të karakterzuar ndryshoret e rastt të reja mund të jenë të ndryshme në studme të ndryshme. Tabela 6 29 Analza dy përmasore Tests of Between-Subjects Effects Dependent Varable: monocde Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Corrected Model.004 a Intercept mosha-bnar E kategqendrm mosha-bnar * kategqendrm Error Total Corrected Total a. R Squared =.252 (Adjusted R Squared =.148) Dependent Varable: lmfocde 113

123 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Corrected Model.133 a Intercept mosha_bnar kategqendrm mosha_bnar * kategqendrm Error Total Corrected Total a. R Squared =.288 (Adjusted R Squared =.207) Dependent Varable: eznofle Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Corrected Model.002 a Intercept mosha-bnar E kategqendrm mosha-bnar * kategqendrm Error Total Corrected Total Tabela 6 30 Kontroll efektt nderthurës tek eznofalet Parwse Comparsons Dependent Varable: eznofle 95% Confdence Mean Interval for Dfference c Dfference Lower Upper kategqendrm (I) mosha_bnar (J) mosha_bnar (I-J) Std. Error Sg. c Bound Bound 0-20 nen25 mb a mb 25 nen b nen25 mb mb 25 nen mb 40 nen25 mb mb 25 nen Based on estmated margnal means 114

124 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes 6.4 Analza statstkore e ndkmt te zones ne bujqes Baza e të dhënave Fushat e Patos Marnëz dhe Kucovës janë zonat më te rëndësshmë ndustrale në vend, pra zona ku perqëndrm gazeve ndotës,s SO 2, është I lartë. Por, këto zona shfrytëzohen edhe s zona bujqësore.nga projekt ANFI I Mnstrsë së Mjedst, fnancuar nga Banka Botërore, u morën nformacone për mbulesën bmore ne pergjthes dhe shtrrjen e klasfkn e pyjeve te vendt. Mb bazë të këtyre nformaconeve në ne programn ArcGIS 10 u realzuan hartat e mbulmt bujqësor të zonave. Të dhënat janë marrë nga tre fshatra. Dy prej tyre Ballsh-Marnëz dhe Sheqshtë- Belnë janë në zonën ndustrale, ndërsa tjetr në zonën jondustrale të Kurjant.Sc thamë tek shtrm problemt, Fgura 6-2 të dy fshatrat e parë mund të konsderohen njelloj të ekspozuar nga SO 2, ndërsa tret s zonë e paster, sepse nuk ka perqendrm të puseve ne të. Kështu në studm Kurjan ështe konsderuar s zona e kontrollt, ndërsa Sheqshtë- Belnë dhe Marnëz është konsderuar s zonë e ndotur. Në zonat e mbjella me bmëve bujqësore të këtyre fshatrave (Fgura 6-4), janë marrë nformacone për prodhueshmërnë e shtatë kulturave bujqësore, nga Kurjan (në zonën e kontrollt) dhe pjesa tjetër nga Sheqshtë- Belnë dhe Marnëz ( në zonën e ndotur). Informaconet e marra ldhen me sasnë e prodhmt të grurt, msrt patates, permeve, fasules, frutave dhe jonxhës. Është vëzhguar dhe dstanca e shtëpve nga puset e naftes në zonë, tp sstemt të ujrave të zeza të përdorura, menyra e grumbullmt të mbeturnave dhe nvel përkujdesjes së tyre për produktet bujqësore Analza statstkore e problemt Të dhënat per prodhueshmërnë e shtatë produkteve bujqësore janë analzuar dhe, nga analza deskrptve e të dhënave të zgjedhjes janë marrë rezultatet e paraqtura ne tabelen

125 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Fgura 6 4 Harta e bmëssë në zonën në studm Fgura 6 5 Harta e rrjett hdrologjk 116

126 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Tabela 6 31 Analza deskrptve e bmëve Descrptve Statstcs Zona N Mean Std. Devaton Zona e kontrollt grure mser patate perme jonxhe fasule fruta Zona e ndotur grure mser patate perme jonxhe fasule fruta Duke pare tabelen 6-31, shhet se: o Mesatarja e prodhmt te msrt, patates, permes dhe fasules është më e ulët në zonën ndustrale. o Mesatarja e prodhmt të frutave dhe jonxhës duket të jetë më e lartë në zonën e ndotur. Kontroll kushtt të homogjentett të varances, test Levn, nuk jep te njejtn pergjgje per të gjthe komponentet e vektort shtatë përmasor Bmës, ndaj krahasm I mesatareve te komponenteve te vektort Bmë nuk është bërë me metoden ANOVA, por me anë të t- testt, sepse, sc dhet, kjo metodë bën të mundur vlerësmn e dy mesatarëve pavarëssht plotësmt apo jo te kushtt në fjalë. Në tabelen 6-32 janë paraqtur vlerat e t-testt Student apo t-testt Welch, në varës të faktt qe komponent I shqyrtuar e ploteson apo jo kushtn e homogjentett të varancës. Vlerat e statstkës F te testt Levn dhe p-vlerat koresponduese, tregojnë se varanca në zonat e ndotura është më e madhe për msrn( p-vlerë< 0.001), pataten ( p- vlerë < 0.001), permet ( p- vlerë < 0.001), fasulen ( p- vlerë < 0.001) dhe jonxhen ( p- vlerë 0.028). Ky rezultat e ka dhe një farë justfkm statstkor, sepse vellm I zgjedhjes ne zonën e ndotur eshte me madh. Tabela 6 32 Rezultatet e testt Levn dhe te t-testt për mesataret Levene's Test for Equalty of Varances t-test for Equalty of Means Bmë F Sg. t df 117 Sg. (2- taled) Mean Dfference Std. Error Dfference grure

127 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes mser patate perme jonxhe fasule fruta Përdorm Independent-Smple T Test në SPSS bën të mundur që, duke shfrytëzuar rezultatet e kesaj metode në varës te përgjgjeve të testt Levn, të paraqtura në anën e djathtë te tabelës 32, të arrhet në këto përfundme: o Ka ndryshm statstkor mes mesatareve te prodhmeve tek patatja, fasulja dhe permet. o Nuk ka ndryshm statstkor tek frutat (p-value 0.701), grur (p-value 0.188) dhe msr (p-value 0.536). o Mesatarja e prodhmt te jonxhes është statstksht më e lartë ne zonën e ndotur, dersa dferenca e studuar e vleres se komponentt në fjalë në zonën e ndotur nga zona e kontrollt është negatve. o Mesatarja e patates, permes dhe fasules është statstksht më e ulët në zonën e ndotur. Tabela 6 33 Rezultatet e analzës së kontrastt Contrast Coeffcents area controlled Contrast area polluted area Contrast Tests Bmë Patate Perme Fasule Does not assume equal varances Does not assume equal varances Does not assume equal varances Contrast Std. Sg. (2- Value of Contrast Error t df taled) a a a a. The sum of the contrast coeffcents s not zero. Më pas me anë të analzës së kontrastt mes dy grupeve për secln nga tre komponentet që kanë prodhueshmër më të ulët, pas u perdorën koefcentët 1 dhe - 1.3, u provua se per të tre bmët prodhueshmëra në zonën e kontrollt është statstksht sa 1.3 e prodhueshmerse në zonën e ndotur.. 118

128 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Program SPSS mundëson llogartjen e fuqsë së testt duke përdorur opsonn the observed power of t-test, me anë të efektt specfk te vëllmt te zgjedhjes, vëllmt të zgjedhjes, dhe p-vleres (sgnfcance).duke analzuar këtë fuq për tërë bmët arrhet në konkluzonn: o Fuqa e testt për permet është 0.96, për fasulen, pataten 0.99 dhe për jonxhën o Fuqa e vrojtuar e testt për frutat t-test është 0.11; e grurt t-test 0.053, dhe e msrt t-test është Kështu mund të konkludohet se po të kshm një vëllm zgjedhje më të madh, rezultat mund të shte më sgnfkatv, duke patur parasysh ndkmn poztv te rrtjes së vellmt të zgjedhjes ne fuqnë e testt. Për grurn, që sc lexohet nga tabela 6-32 e të dhenave deskrptve, ka devjm standart të madh, kjo mund të ndkonte në ngushtmn e ntervaleve të besmt (33), duke cuar ndoshta përfundmsht në një vlerësm më të mrë të vlerave të popullmt. Por duhet theksuar se fuqtë e ulta të testt ne rastet e grurt, msrt dhe frutave, nuk do të thone se konkluzon ynë,që nuk kshte ndryshm prodhushmera e ketyre produkteve ne zonat e studuara, nuk është vertetë. Problem fuqse së testt a vlen me shumë të studohet nese pergjgja e t-testt ka qenë sgnfkatve, pra në rastn tonë ka treguar për ndkm të zonës në komponentn e studuar bmë.kështu, rezultatet e afshuara tregojnë një test më të dobët për jonxhën, sesa per pataten, permen dhe fasulen. Sasa e SO2 që ndryshon ne këto dy tpe zonash dhe nfluencon ne produktvtetn e bmëve është faktor abotk. Faktorët abotk janë ato faktorë, fzk dhe kmk jojetësor, të clët ndkojnë tek bmët. Por ka dhe një sërë faktorë të tjerë të tllë s zona ku luhatet temperatura, lagështa e tokës, nvel I ndotjes, të clët ndkojnë në këtë prodhueshmër. Temperatura është konsderuar e njëjtë në të dy spërfaqet sepse zonat në fjalë janë të lokalzuara jo larg njëra tjëtrës. Duke shfrytëzuar Bazën e të Dhënave të Rrjett Hdrologjk Kombetar, të sguruar nga një projekt tjeter, Watershed, qe ka studuar basenet lumore dhe ka sguruar dxhtalzmn e të gjtha hartave topologjke të Shqpërsë, në GIS, u bë harta e rrjett hdrologjk të zonave, Fgura 6-5. Shqyrtm saj trego, se sstem kanalzmeve është pasur në zonat në shqyrtm dhe nuk ka ndonje dallm mes dy zonave përsa perket problemt të lagështsë së tokës. Nvel ndotjes, në pamundestë e matjes me aparutura specale të kontrollt të zonave, mendohet të varet nga dstanca e shtëpve të ntervstuarve nga puset e naftës. Vlera e kësj dstance në metra përcaktojnë varabln numerk, dstanca. Për të studuar edhe varabla të tjere të clet ndkojnë ne problemn e prodhueshmërsë se bmëve, janë përcaktuar edhe dy varabla të tjerë: ujrat e zeza dhe mbetjet urbane u studuan s varabla kategork të koduara: 1 𝑛ë 𝑟𝑎𝑠𝑡 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑖𝑚𝑒𝑠ℎ 2 𝑛ë 𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒𝑡 𝑒 𝑔𝑟𝑜𝑝𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑝𝑡𝑖𝑘𝑒 ujrat e zeza= 3 𝑛ë 𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒𝑡 𝑒 𝑝ë𝑟𝑧𝑖𝑒𝑟𝑗𝑒𝑠 𝑚𝑒 𝑢𝑗𝑖𝑛 𝑒 𝑟𝑟𝑗𝑒𝑑ℎ𝑠ℎë𝑚 1 𝑛ë 𝑟𝑎𝑠𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖 𝑡ë 𝑚𝑏𝑒𝑡𝑗𝑒𝑣𝑒 mbetjet urbane = 2 𝑛ë 𝑟𝑎𝑠𝑡 𝑔𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑗𝑒𝑠ℎ 𝑠𝑒 𝑡𝑦𝑟𝑒 𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑘ë 3 𝑛ë 𝑟𝑎𝑠𝑡𝑖𝑛 𝑒 𝑑𝑗𝑒𝑔𝑗𝑒𝑠 𝑠ë 𝑚𝑏𝑒𝑡𝑗𝑒𝑣𝑒 119

129 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes Varablat ujrat e zeza dhe mbetjet urbane jane parë të ldhur me faktorët abotk të tpt të dheut. Të tr keto varabla janë trajtuar s varabla të pavarur. Të dhënat për to, s dhe të dhënat për prodhueshmernë e bmëve janë analzuar me metoden e regrest per të dentfkuar faktorë të tjerë abotk që veprojnë tek bmët dhe mund të ndryshojnë ndkmn e SO 2 tek to. Për të testuar nëse këto tr varabla ndkojnë në parashkmn e sassë së prodhmt te patates, fasules, permeve dhe jonxhes është pëdorur metoda e regrest hrarkk të shumëfshtë (34). S varabl pavarur lstuar më parë, the ndependent varable lsted frst, u përdor varabl zone, dhe s varabla të shtuar, the added varables,dstance, ujrat e zeza dhe mbetjet urbane. Ndërsa për të studuar efektn tek grur, msr dhe frutat u perdor metoda e zakonshme e regrest lnear, sepse nga kontroll bere ketu nuk u vu re ndkm varablt zone. Probabltetet e statstkes F per te gjtha regresonet e studuara janë paraqtur në Tabelen 6-34, dhe tregojnë se ky model regrest të shumëfshtë duhet marre parasysh tek permet, jonxha, grur, msr dhe frutat, dersa vlerat e statstkes së sperpermendur kane qene josgnfkatve. Kështu hpotezat zero që nuk kanë ldhje gjthë varablat e pavarur me varabln e varur, prodhushmera e bmes, be poshtë. Ne tabele janë paraqtur dhe vlerat e statstkes R2- change. Informacon marrë nga varablat e shtuar, redukton parashkmn në prodhueshmernë e bmëve (20% per permet, 4.3% for për jonxhën, 7.6% për grurn, 5.4% per msrn, and 6.7% për frutat). Tabela 6 34 Rezultatet e regrest hrarkk dhe regrest të shumëfshtë të zakonshëm Bmë F- value Sg. R-Square Perme Jonxhe Fasule Patate Grurë Msër Fruta Duke analzuar tabelen e koefcentëve të regrest të shumëfshtë, shhet efekt varablt mbetje urbabe. Hpoteza zero b=0 (35), nga afshmet e marra hdhet poshtë, duke treguar se nuk ka ndkm ne komponentet e vektort bmë. Por t-vlera (sg 0.009) për jonxhën, tregon për një farë ldhje të mundshme. Koefcentët poztv dhe 1375 të modelt të regrest të lnear s dhe drejtm kodmt të varablt mbetje urbane, tregon për një farë ndkm poztv të trajtmt sa më të mrë të mbetjeve në rrtjen e prodhmtarsë. Ndkm faktort tjetër abotk ujrat e zeza duhet marrë parasysh, sepse tek grur (ttest dhe sg. 0.01), msr (t-test dhe sg. 0.08) dhe frutat (t-test dhe sg.< 0.01). Vlerat negatve të koefcentëve përkatëssht -436, dhe -215 ne modeln e regrest lnear përcaktojnë drejtmn e ldhjes. Duke verejtur kodn e 120

130 Ndërtm&analza e një model probabltar-statstkor për studmn e efektt të ndotjes varablt ujra të zeza (36), ndërsa kod rrtet nuk ka asnje proces santar në trajtmn e ujrave të zeza, arrhet në përfundmn se një sstem më mrë ujrave të zëza ndmon në prodhueshmër me të lartë tek dsa bme. Analza e rolt të faktorëve abotk tek bmët, trego se efekt doksdt të squfurt reduktohet s rezultat ndkmt të faktorëvë të tjerë mbetje urbane dhe sstem ujrave të zeza. 6.5 Përfundme Duke përmbledhur rezultatet në analzën e përfundmeve mund të them: o Test Leven kontrollon barazmn e varancave në të gjtha nvelet e varablt të pavarur, të clat përcaktohen nga varablat e pavarur. Afshmet e ketj test (the spread-versus-level) përdoren për të kontrolluar testn dhe me pas duke patur parasysh kushtet perkatëse të seclës metode, aplkohet metoda e duhur në krahasmn e mesatareve. o Llogartja e fuqsë se testt na ndmon t' tregojmë një kujdes më të madh të dhënave, por nuk tregon në rastet vecanersht të një rezultat jo sgnfkatv, se vendm marre nuk është drejtë. A a vlen te studohet në rastet kur përgjgja e testt është sgnfkatve. o Tp metodes së regrest të shumefshtë që duhet aplkuar, përcaktohet nga tp pyetjes te cles ajo duhet t përgjgjet. Studm problemt të ndkmt te doksdt te sulfurt tek bmët trego se: o Kur substanca ne fjalë clrohet nga sperfaqe te mëdha s zona ndustrale, nga kontnere, puse ose fuç, sasa e prodhmt tek dsa bmë reduktohet mesatarsht 13%. o Bmët sllen në mënyrë të ndryshme me doksdn e squfurt, meqë kanë një ndyshme përsa I përket mënyrës që ato e ththn gazn dhe aftës të ndryshme në detoksfkmn e ndotësve dhe largmn e sasve të tepërta të squfurt. Konkretsht vetem tek patatja, fasulja dhe tek permet sasa e gazt të clruar në këto zona ndkonte negatvsht. o Faktoret abotk sstem ujrave të zeza dhe, ne menyre jo shumë te sgurt dhe a mbetjeve urbabe, kanë ndkm ne produktvtetn e bmeve. Sa më shumë kujdes të tregohet në to nga ana santare, aq më poztvsht ato ndkojne tek bmët. 121

131 7 Shtojcë - Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje 7.1 Dsa fjalë për studmn Këto dtë, gjthmonë e më shumë njerëz po zgjedhn palestrën s një mënyrë për të qenë të shëndetshëm në mungesë të aktvtett fzk të përdtshëm. Këtë e bëjnë për të shpëtuar nga obeztet dhe mbpesha, të dyja probleme të shpeshta. Gjthashtu, të gjthë e dnë, se nëse nuk ushtrohesh, muskujt dobësohen. Por, ajo që shumca e njerëzve nuk u kupton është që, dhe trur qendron në një gjendje më të mrë kur bën ushtrme fzke. Pra, ushtrmet fzke ndkojnë poztvsht në të mësuart dhe memorje. Kjo është vënë re përmes një dekade studme në kafshë dhe njerëz. Një nga provat e para për ndryshmet që sjelln ushtrmet në tru, është bërë që në vtet Dhej se trur kshte efekt në sjellje, por më parë askush nuk kshte pyetur për të kundërtën, e cla dol të shte e vërtetë. Kur një grup shkencëtarësh të drejtuar nga Fred Gage, një neurolog nga Insttut Salk Studme Bologjke, vendos të krahasonte trurn e mnjve të clët kshn mundës te pakufzuar për të lozur në një rrotë, ' mnj vrapues' me ate të mnjve' jovrapues'. Mnjtë aktv fzksht kshn dyfshn e qelzave të reja nervore në hpokampus. Hpokampus njhet s pjesa e trurt e përfshrë në aftësnë e të mësuart dhe memorje. Ekspermentet treguan se mnjtë e aftë fzksht shn më mrë në testet e memorjes. [37] Spas rezultateve, neurologa Judy Cameron [37] e Unverstett të Pttsburgh, shtro pyetjen nëse ushtrmet fzke do të ndkonn edhe tek majmunët. Në laboratorn e saj u trajnuan një grup majmunësh të një moshe jo të re, në psta vrapm specale një orë cdo dte, pse dtë në javë për 5 muaj. Ndërkohë, një grup tjetër majmunësh nuk u përfsh në ushtrme. Ky eksperment u përpoq të hdhte një vështrm te ndkm ushtrmeve mb njerëzt, të clët nuk janë s mnjtë që vrapojnë vazhdmsht. Rezultatet treguan se majmunët në regjmn e caktuar, arrten të mësonn dyfsh më shpejt se të tjerët. Studmet mb njerëzt, s ato të kryera nga Art Kramer, cl vëzhgo së s palestra mund të ndryshonte trurn gjatë plakjes, në Unverstetn e Illnos, kanë treguar një ldhje të qartë mes të ushtruart dhe përmrësmt të aftësve memorzuese gjatë jetës. 122

132 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje Spas kërkmeve më të fundt, edhe njerëzt të clët nuk kanë qenë shumë aktv mund të përftojnë nga aktvtetet, ndonëse në një moshe të thyer. 7.2 Cfarë e shkakton këtë rrtje në memorje? Ushtrmet fzke zmadhojnë volumn e gjakut në tru, duke rrtur sasnë e oksgjent të pompuar në cdo qelzë neuronane. Studmet kanë treguar që më shumë aktvtet fzk con në një nvel me të larte të molekules BDNF [38] (molekule kjo e njohur për vetnë neurotropke të trurt). Një numër më madh qelzash në rrtje në hpokampus dhe një rrtje në vëllm janë [37, 40] vënë re në subjekte që ushtrohen. Një studm bërë në Irland [38] zbulo nëpërmjet analzave të gjakut se, pas ushtrmeve të rregullta, një nvel më lartë BDNF, proten, gjendej në trup. BDNF është një molekulë e famljes neurotropke. Kjo famlje protenash është e rëndësshme për mbjetesën, zhvllmn e funksonmn e neuroneve. Molekula e parë e ë famlje NGF (Nerve Growth Factor) u zbulua nga ftues Cmmt Nobel, Lev Montalcn, dhe Hamburger më BDNF, pjestar dytë ë famlje u zbulua në Më vonë janë zbuluar dhe të tjera protena të ngjashme. [39] BDNF, më e studuara e llojt të saj, është e rëndësshme për zhvllmn e trurt gjatë embrogjenezës, fëmjërsë dhe rrtjes. Kjo protenë ndhmon mbjetesën e neuroneve duke ndkuar në rrtjen, maturmn, dhe mrëmbajtjen e këtyre qelzave. Në tru, protena e BDNF është aktve tek snapses. Ajo rregullon plastctetn snaptk që është rëndësshëm për procesn e të mësuart dhe të memorzmt. Duke patur parasysh nveln e larte te BDNF në gjakun e njerëzve me nje jetesë të shendetshme, shkencëtaret besojnë se aktvtet fzk permrëson memorjen dhe [3, 4] vëmendjen. Një studm publkuar onlne 31 January 2014, nga Akadema Kombëtare Shkencore [40] në zbulo se ushtrmet rrsn volumn e hpokampust te të rrturt nga 55 në 80 vjec, respektvsht me 2.12 në anën e majtë dhe 1.97 në të djathetën.testet e memorjes mb ta kanë treguar dhe një përmrësm të kësaj aftëse. [41,42] S konkluzon ushtrmet rrsn rrjedhjen e gjakut në tru dhe pompmn e oksgjent. Në prezencën e nje sase të mjaftueshme oksgjen më shumë neurone rrten në hapësrën e hpokampust. Bazuar në kërkmet e mëspërme, me këtë studm është synuar të provohet se rrezultatet e vëna re te të rrturt janë të njëjtë edhe te të rnjtë dhe adolshentët. 123

133 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje 7.3 Metoda statstkore e ndjekur e nterpretm rezultateve Janë ntervstuar rreth 300 persona të moshës vjecare nga shkolla të ndryshme të Shqpërsë; kryessht nga Trana e rrethnat e saj, nga Durrës, Shkodra, Gjrokastra e Vlora. Para ekspermentt subjekteve u shpjegua studm e procedura. Personat që kshn probleme dhe çrregullme në memorje, humbje të mëdha në peshë, gjendje shëndetësore shumë të keqe nuk u përfshnë në studm. Pyetsor përfshnte nformacone demografke për moshën, gjnnë dhe qytetn e lndjes, s dhe pyetje për mënyrën e jetesës. Pyetjet për mënyrën e jetesës shn pyetje për konsummn e alkolt, tradtën e të ngrënt të ushqmeve shumë të rënda ose frutave. Për të përcaktuar memorjen e ndërmjetme (the ntermedate term memory) është bërë një test për memorjen. Subjekteve është dhënë një lstë që përmban 40 fjalë të fushave të ndryshme, dhe ato janë lexuar për 5 mnuta. Pastaj është kërkuar të shkruann fjalët që kanë mbajtur mend. Qëllm studmt shte numr total fjalëve të memorzuara. Sasa e ushtrmeve fzke shte e vështrë për tu matur, sepse ushtrme të ndryshme fzke ndryshojnë për nga koha që konsumohet për to, dhe për nga energja. Kështu të luash tens dhe të luash futboll nuk kërkon të njëjtn ntestet, por ato u maten njëlloj. Kjo do të thotë që shpeshtësa në ushtrme përmban sa 30 mnuta ushtrme kryen gjatë një jave. 'Të ngënt shëndetshëm' shte e vështrë gjthashtu të përcaktohej, kjo sepse personat konsumonn fruta psh, pas darke, së bashku me anëtarët e tjerë të famljes, duke ndarë ato me njër -tjetrn. Kështu, shte e vështrë të rkujtohej dhe të përcaktohej sasa e konsummt të frutave. Kjo është arsyeja pse ky varabël u konsderua s varabël bnar. Duke shfrytëzuar këtë bazë të dhënash, u përcaktuan dsa varabla. Varabl nrfjalëve, cl përcaktohet nga numr fjalëve të memorzuara për cdo person. Fgura 7 1 Hstograma e numrt të fjalëve të memorzuara Hstogram of nrwords Frequency nrwords

134 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje U vu re se vlera më e vogël e tj shte 1 dhe ajo më e larta 30. Më poshtë, Fgura 7-1, paraqtet hstogramën e këtj varabl me shkallë të zgjedhur 2 njës. Dersa vëllm zgjedhjes ka qenë 300, pra madh [43], për kontrolln e normaltett të të dhënave të këtj varabl është përdorur test normaltett Shapro-Wlky, cl tregon për jo normaltet të të dhënave, tabela 7-1 dhe 7-2. Tabela 7 1 Analza Deskrptve e nrword Descrptves Statstc Std. Error nr total Mean I fjaleve 95% Confdence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound % Trmmed Mean Medan Varance Std. Devaton Mnmum 2.0 Maxmum 33.0 Range 31.0 Interquartle Range 7.0 Skewness Kurtoss Tabela 7 2 Test Normaltett të nrword Tests of Normalty Kolmogorov-Smrnov a Shapro-Wlk Statstc df Sg. Statstc df Sg. nr total I fjaleve a. Lllefors Sgnfcance Correcton 125

135 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje Fgura 7 2 Grafku ndryshmt të vlerave të nrfjalëve nga vlerat normale Hstograma tregon se kem një poztv, ndaj punohet për normalzmn e të dhënave. Transformm me anë të funksont sqrt të varablt në fjalë, krjon varabln e r sqrtnrfalëve, cl përmbush kushtet e normaltett. Vlera e Skewness.018 dhe e Kurtoss janë tashme shumë pranë 0. Rezultat Shapro-Wlky, Table 7-3, tregon se varabl transformuar ka shpërndarje normale. Ndaj, në analzen e mëvonshme mund të përdorm këtë varabël të r. Tabela 7 3 Analza Deskrptve dhe test normaltett të sqrt nrword Descrptves Statstc Std. Error sqrtnword Mean % Confdence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound % Trmmed Mean

136 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje Medan Varance.470 Std. Devaton Mnmum 1.41 Maxmum 5.74 Range 4.33 Interquartle Range.93 Skewness Kurtoss Tests of Normalty Kolmogorov-Smrnov a Shapro-Wlk Statstc df Sg. Statstc df Sg. sqrtnword a. Lllefors Sgnfcance Correcton Varablat s gjna dhe ato që kanë të bëjnë me mënyrën e jetesës, s konsum duhant, konsum alkolt dhe numr ushtrmeve fzke gjatë javës, pas analzës së korelacont mund të konsderohen të pavarura. Të studosh roln e duhant, të të ngënt, dhe shpeshtëssë së ushtrmeve në nrfjalëve, është përdorur metoda e regrest stepwse [44]. Rezultate e Tabelës 7-4 tregojnë se faktorë kryesorë në këtë modelm është numr ushtrmeve fzke gjatë javës dhe konsum duhant. Model në fjalë përcakton 40% të ndryshmeve të varablt në shqyrtm. Test qe R=0, pra nuk ka ldhje lneare mes modelt te propozuar dhe faktoreve te tjerë te testuar, be poshte eshte sgnfkatve me p<0.001 Madje R=0.612 tregon se ldhja ne fjale eshte e fortë. 127

137 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje Fgura 7 3 Grafku ndryshmt të vlerave të sqrtnrfjalë ve nga vlerat normale Tabela 7 4 Rezultatet e stepwse regresson Varables Entered/Removed a Model Varables Entered Varables Removed Method 1 saherebejnes portnejave. Stepwse (Crtera: Probabltyof-F-to-enter <=.050, Probabltyof-F-toremove >=.100). 2 duhan po/jo. Stepwse (Crtera: Probabltyof-F-to-enter <=.050, Probabltyof-F-toremove >=.100). 128

138 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje a. Dependent Varable: sqrtnword Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estmate a b a. Predctors: (Constant), saherebejnesportnejave b. Predctors: (Constant), saherebejnesportnejave, duhan po/jo Mesatarja e nrfalëve kur subjektet nuk konsumojnë duhan është , kurse vlera mesatare e nrfjalëve kur të personat konsumojnë duhan është më e ulët, Vlerat mesatare janë përkatëssht dhe për personat që hanë shëndetshëm dhe jo. Por nga regres stepwse këto varabla, alkol dhe të ngrënt shëndetshëm nuk janë marrë parasysh, pra nga baza e të dhënave nuk kem ndkm të tyre në varabln sqrtnrfjalëve. Bazuar në të dhënat në fjalë ftet për ndkm të alkolt dhe numr ushtrmeve fzke gjatë javës. However the two last results of ths nvestgatons are n contrast wth the research Relatonshp of serum bran-derved neurotrophc factor (BDNF) and health-related lfestyle n healthy human subjects by Ka Lok Chan, whch reports hgher BDNF level when the subjects eat healthy and when they smoke. Por duhet thënë se këto dy rezultate ben në kundërshtm me rezultatet e punmt të Ka Lok Chan, "Ldhja e BDNF me mënyrën e jetesës së subjektt", në të clen konkludohet se nvel BDNF është më latë nëse subjektet ushqehen më shëndetshëm dhe kur konsumojnë duhan. Studm rolt të duhant në nrfjalëve, trego se 212 subjekte që nuk konsumojnë duhan kanë një mesatare të nrfjalëve prej Ndërsa 85 njerëz të clët konsumojnë duhan kanë një mesatare më të ulët të nrfjalëve, prej fjalësh. Koefcent tregon për një rol negatv të konsumt të duhant. Ndërsa kefcent tjetër.230 pranë numr ushtrmeve fzke tregon që mesatarsht numr flalëve të memorzuara rrtet nëse numr orëve të ushtrmeve fzke rrtet. Nëqoftëse numr ushtrme fzke rrtet, nga dy herë në javë (sc është bërë zakonsht në shkollat tona) bëhet tre, atëherë numr fjalëve të memorzuara ndryshon, nga 11.7 në Studm u përqëndrua në 3 varabla: gjn, numr ushtrmeve fzke dhe sqrtnrfjalë. 129

139 Analza statstkore e të dhënave për përcaktmn e faktorëve që ndkojnë në memorje Në këtë databazë për përcaktmn e gjnsë është përdorur kjo mënyrë: kod 1=femra dhe kod 2= meshkuj. Kështu nga 300 të ntervstuar të të dy gjnve; 178 shn femra (kod 1) dhe 119 meshkuj (kod 2). Duke patur parasysh se shumca e adoleshentëve në Shqpër bëjnë dy herë në javë ushtrme fzke, subjektet janë grupuar në tre grupe kryesore: Grup nvelt 1 (LG1) 0-2 herë ushtrme fzke gjatë javës Grup nvelt 2 (LG2) 3-4 herë ushtrme fzke në javë Grup nvelt 3 (LG3) më shumë se 4 hërë ushtrme fzke në jave. ANOVA Dypërmasore [9] është përdorur për të shqyrtuar ndkmn apo jo të varablave gjn me dy vlera, femra e meshkuj, dhe grup nvelt të ushtrmeve fzke, s varabel me tr vlera, në sqrtnrfjalëve. Grafku rezultateve, Fgura 7-4, tregon se mesatarja e sqrtnrfjalëve është më e lartë në të tre grupet e nveleve për femrat se sa për meshkujt. Fgura 7 4 Grafku mesatareve të sqrtnrfjalëve spas gjnse dhe grupt te nvelt te shtrmeve fzke Por rezultatet e Tabelës 7-5 (F.333 dhe Sg.565) tregojnë qartë se gjna nuk sjell asnje dferencë në sqrtnrfjalëve për cdo grup të nvelt të sportt. Tabela 7 5 Rezultatet e ANOVA dy përmasore Dependent Varable: sqrtnword Tests of Between-Subjects Effects Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sg. Partal Eta Squared 130