UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

Transcription

1 UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS DISERTACION PËR MARRJEN E GRADËS SHKENCORE DOKTOR ANALIZË KRAHASUESE E TEKNIKAVE BAZË PËR ZGJIDHJEN E PROBLEMIT KUFITAR DHE KONTRIBUT NË ZGJIDHJEN NUMERIKE TË DISA PROBLEMEVE SPECIALE TË RENDEVE TË LARTA Paraqitur nga: M.Sc. Bendise (HUTI) HOXHA Udhëheqës shkencor: Prof. As. Dr. Flora OSMANI Tiranë, 2016

2 UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS Disertacion I Paraqitur nga M.Sc. Bendise Hoxha Për marrjen e gradës shkencore DOKTOR Programi i studimit : Analizë dhe Algjebër Tema : ANALIZË KRAHASUESE E TEKNIKAVE BAZË PËR ZGJIDHJEN E PROBLEMIT KUFITAR DHE KONTRIBUT NË ZGJIDHJEN NUMERIKE TË DISA PROBLEMEVE SPECIALE TË RENDEVE TË LARTA Udhëheqës Shkencor: Prof. Asoc. Dr. Flora Osmani Mbrohet më dt... para jurisë: 1. Kryetar 2. Anëtar (oponent) 3. Anëtar (oponent) 4. Anëtar 5. Anëtar ii

3 PARATHËNIE Së pari, dua të shpreh mirënjohjen time të sinqertë për Prof. Asoc. Flora Osmani për mbështetjen e vazhdueshme të saj në procesin e gjatë të studimit dhe kërkimit. Falënderimet e mia të sinqerta shkojnë për të gjithë stafin akademik të Departamentit të Matematikës në Fakultetin e Shkencave të Natyrës të UT. Dua të falenderoj bashkëpuntorët dhe bashkëautorët e mi në studime e botime, Prof. Lulezim Hanelli dhe Dr. Adrian Naço për ndihmën e tyre të shumëanshme dhe bashkëpunimin e frytshëm në shumë aspekte. Falënderoj përzemërsisht stafin e SHPU "Matematikë e Zbatuar", ku mora formimin e specializuar dhe krijova bazat për kërkim e punë të pavarur. Dua të falënderoj përzemërsisht shokët dhe miqtë e mi të Departamentit të Matematikës në Fakultetin e Shkencave të Natyrës të Universitetit "Luigj Gurakuqi" për mbështetjen dhe motivimin e pakursyer gjatë kohës së studimit. Në fund dua të falenderoj familjen time dhe prindërit e mi për durimin dhe mbështetjen e pakursyer...edhe një herë FALEMINDERIT të gjithëve... iii

4 PËRMBLEDHJE Në fillim trajtohen disa raste tipike problematike të integrimit numerik në ekuacionet diferenciale të zakonshme. Më tej analizohen në hollësi teknikat themelore të zgjidhjes së problemit kufitar, konkretisht: a) Teknikat numerike të tipit goditje dhe MDF b) Teknikat Numerike-Analitike të tipit FEM, Rayleigh-Ritz dhe Galerkin. Zgjidhen në mënyrë paralele disa shembuj që modelojnë zbatime inxhinierike dhe vlerësohen metodat e përdorura në bazë të rezultateve të tyre. Zgjidhje numerike është zhvilluar për një problem valor me shuarje kufitare që modelon fenomenin fizik të lëkundjeve të linjave të tensionit të lartë. Modeli fizik është ai i një korde, njëri skaj i së cilës është i fiksuar, kurse skaji tjetër i lidhur me një sistem dashpot. Modeli matematik është problem valor i vlerave fillestare-kufitare në ekuacionet hiperbolike jolineare me kushte kufitare joklasike. Për të zgjidhur problemin është përdorur metoda e karakteristikave e kombinuar me teknikën e përafrimit Richardson. Metoda e propozuar përmirëson në mënyrë esenciale saktësinë e metodës klasike të karakteristikave. Rezultate numerike janë paraqitur. Skema Runge-Kutta të tipit të diferencave eksponenciale dhe teknika të përafrimeve spektrale janë përshtatur për të zgjidhur ekuacionin e përgjithshëm Burgres-Korteweg-de Vries. Metoda spektrale e transformon problemin diferencial fillestar në një sistem stiff ekuacionesh diferenciale të zakonshme. Ky i fundit zgjidhet me anën e skemave Runge-Kutta të tipit të diferencave eksponenciale. Studjohet si një çështje e rëndësishme dhe e pashmangshme qëndrueshmëria e këtyre skemave deri tek rendi 4 i tyre dhe pastaj tregohet se ekuacioni i përgjithshëm Burgers-Korteweg-de Vries mund të zgjidhet me metodat Runge-Kutta të diferencave eksponenciale të rendeve 3 ose 4. Metoda e propozuar është implementuar në Matlab dhe disa rezultate numerike janë paraqitur. Fjalë kyçe: Ekuacion Stiff; Problem i Vlerës fillestare dhe Problem i Vlerave të Veta; Ekuacion Valor; Shuarje Kufitare; Ekstrapolimi i Richardson-it; Skema Runge-Kutta Diferenciale Eksponenciale; Ekuacioni Burgers-Korteweg-de Vries; Përafrime Spektrale. ABSTRACT Some typical problematic cases in ODEs are analyzed first. Then the basic techniques for the solution of the boundary value problem are analyzed in details, namely: a) Numerical techniques: Shooting Type and FDM. b) Analytical-Numerical techniques of FEM type, Rayleigh-Ritz and Galerkin method. Several typical examples derived from engineering applications are solved in a parallel manner and the results are compared to estimate each of the methods used. Numerical solution is developed for a wave equation with boundary damping arising in the study of the physical phenomena of the oscillations that occur in overhead power transmission lines. The physical model is that of a string which is fixed at one end and the other end is attached to a dashpot system. The mathematical model is an initial-boundary value problem for a weekly nonlinear hyperbolic differential equation with non-classical boundary conditions. The method of the characteristics in combination with Richardson extrapolation is used to solve the problem. The acurracy of the classic characteristic method is essentialy improved. Numerical results are reported. Exponential time differencing-runge-kutta schemes with spectral approximations are extended to deal with the generalized Burgers-Korteweg-de Vries equation. The problem is reduced to a stiff system of ordinary differential equations that is solved by combinations of exponential time differencing and Runge-Kutta schemes. The stability properties of these last are discussed. Then it is shown that it is convenient to solve the difficult Burgers-Korteweg-de Vries problem by third- or fourth-order exponential time differencing Runge-Kutta schemes. Numerical results are presented. Keywords: Stiff Equation, Boundary Value and Eigenvalue Problem, Wave Equation, Boundary Damping, Characteristics Curves, Richardson Extrapolation, Exponential Time Differencing and Runge-Kutta Schemes; Burgers-Korteweg-de Vries Equation; Spectral Approximations. iv

5 PËRMBAJTJA E LËNDËS PARATHËNIE... PËRMBLEDHJE. LISTA E FIGURAVE... LISTA E TABELAVE... HYRJE: Shtrimi i problemeve në ekuacionet diferenciale dhe objekti i këtij studimi... iii iv vii ix x KAPITULLI 1 Disa raste tipike problematike të integrimit numerik në ekuacionet diferenciale të zakonshme Keqkushtëzimi i një sistemi diferencial Ekuacionet diferenciale stiff Ekuacionet diferenciale me vlerë të vet pranë boshtit imagjinar Ekuacionet diferenciale me vlerë të vet dominante të madhe në kuadratin e parë Rezultate numerike Disa rekomandime për trajtimin e rasteve problematike të integrimit... 8 KAPITULLI 2 Analizë krahasuese e metodave numerike për zgjidhjen e problemeve kufitare Një formulim i përgjithshëm i problemeve diferenciale Metodat numerike për zgjidhjen e problemeve diferenciale Formulimi matematik i problemeve kufitare në ekuacionet diferenciale të zakonshme Disa probleme tipike inxhinierike që modelohen me anën e problemeve kufitare Përkulja e një trau me skaje të fiksuara Studimi i presioneve mbi një tra Ekuacionet e Euler-Bernoull-it Metodat numerike bazë për zgjidhjen e problemeve kufitare Metodat numerike të tipit goditje Metoda e goditjes - rasti linear Metoda e goditjes - rasti jolinear Metoda e goditjes për problemin e vlerës kufitare (2.7) Metoda e goditjes shumëfishe Metoda të diferencave të fundme për zgjidhjen e problemeve të vlerës kufitare Rasti linear Rasti jolinear Metodat e diferencave të fundme të rendeve të larta Metoda e diferencave të fundme për ekuacionet diferenciale të rendeve të larta Metoda të posaçme për zgjidhjen e problemeve kufitare Euler- Bernoull Formulimi i problemit kufitar të vlerave të veta në v

6 ekuacionin e përgjithshëm Euler-Bernoull Një metodë numerike e rendit të dytë për zgjidhjen e problemit Euler-Bernoull Një metodë numerike e rendit të katërt për zgjidhjen e problemit Euler-Bernoull Një metodë numerike e tipit goditje për zgjidhjen e problemit Euler-Bernoull Eksperimente numerike Metoda e elementëve të fundëm për zgjidhjen e problemeve kufitare Parime të përgjithshme të zgjidhjes së përafërt Parime të përgjithshme të metodës së elementëve të fundëm - kontekst një përmasor Zgjidhja e problemit kufitar me metodën Galerkin Analizë krahasuese e metodave bazë nëpërmjet eksperimentit numerik Zgjidhja e problemit kufitar (2.8) - (2.9) me Metodën Rayleigh Ritz KAPITULLI 3 Zgjidhje numerike për dy probleme kufitare-fillestare speciale Zgjidhje numerike e një ekuacioni valor që modelon lëkundjet e linjave të tensionit të lartë Shtrimi dhe formulimi matematik i problemit Zgjidhje numerike për problemin valor ( ) Rezultate numerike Shtrirja e rezultateve dhe disa përfundime Zgjidhje numerike për ekuacionin e përgjithshëm Burgers-Korteweg-de Vries Hyrje Skema eksponenciale diferenciale Runge-Kutta e rendit të katërt Studimi i zonave të qëndrueshmërisë Eksperimente numerike PËRFUNDIME-REKOMANDIME BIBLIOGRAFIA SHTOJCË vi

7 LISTA E FIGURAVE Figura 1.1: Integrimi numerik i sistemit (1.1) në dy rastet a dhe b dhe zgjidhja teorike y 1 = 3e -2x... 3 Figura 1.2: Integrimi numerik i ekuacionit (1.2) - majtas dhe (1.3) 7 djathtas... Figura 2.1: Përkulja e traut me skaje të fiksuara Figura 2.2: Funksionet e formës për segmentin [a,b] me 5 elementë Figura 2.3: Funksioni u(x) dhe interpolanti splain i tij U M (x) Figura 2.4: Krahasimi i zgjidhjes teorike me atë të MDF për problemin (2.91) Figura 2.5: K-kubiku tipik S i Figura 2.6: Funksionet bazë skajorë 0, 1, n, n Figura 3.1: Proceset (P,Q,R), (Q,T,S) dhe (R,T,V) Figura 3.2: Kurbat karakteristike të ekuacionit (3.1) dhe rrjetat nyjore G 0 dhe G Figura 3.3: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=0.1sin(0.5x), ψ(x)=0.05sin(0.5x) dhe ϵ= Figura 3.4: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=2.5sin(3.5x), ψ(x)=0.05sin(3.5x) dhe ϵ= Figura 3.5: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=0.01x 3 e -3x/π, ψ(x)=0.2x(π-x) dhe ϵ= Figura 3.6: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=x+sin(x), ψ(x)= x(πx) dhe ϵ= Figura 3.7: Zonat e qëndrueshmërisë për skemat RK4 dhe ETDRK4 në planin kompleks të për disa vlera negative të ndryshme Figura 3.8: Kufijtë e zonave të qëndrueshmërisë për: ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4 (a) y = -18i, (b) y = 18i Figura 3.9: Zonat e qëndrueshmërisë : ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4: (a)y = -4 (b) y = Figura 3.10: Zonat e qëndrueshmërisë: ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4, ETD1, ETD2 (a) y = -9 (b) y = Figura 3.11: Vala solitare për x nga -π deri në π dhe t nga 0 deri në t = vii

8 Figura 3.12: Evolucioni kohor i profileve të zgjidhjes së (3.31) - (3.32) 71 Figura 3.13: Saktësia përkundrejt hapit të kohës h për zgjidhjen e B-KdV (3.31) - (3.32) me skemat ETDRK2, ETDRK3 dhe ETDRK4. Zgjidhja referente e realizuar nga ode 15s. 72 Figura 3.14: Saktësia përkundrejt kohës së harxhuar për zgjidhjen e (3.31) - (3.32) me anën e ETDRK3 dhe ETDRK4. Zgjidhja referente e realizuar me ode 15s Figura 3.15: Krahasimi midis zgjidhjes ekzakte të B-KdV (3.31) - (3.32) dhe një zgjidhje me ETDRK4, h=10-4, llogaritur në t= viii

9 LISTA E TABELAVE Tabela 1.1: Rezultatet për ekuacionin (1.2)... 7 Tabela 1.2: Rezultatet për ekuacionin (1.3)... 7 Tabela 2.1: Paraqitja e gabimeve relative për h=2 -m të shembullit 2.1 sipas metodës së [10] Tabela 2.2: Metoda e rendit të dytë për llogaritjen e vlerës vetjake më të vogël në shembullin Tabela 2.3: Metoda e rendit të katërt për llogaritjen e vlerës vetjake më të vogël në shembullin Tabela 2.4: Metoda e rendit të dytë dhe e rendit të katërt për llogaritjen e vlerës vetjake më të vogël në shembullin Tabela 2.5: Gabimet sipas normës L të tri metodave bazë të integrimit numerik ix

10 HYRJE SHTRIMI I PROBLEMEVE NË EKUACIONET DIFERENCIALE DHE OBJEKTI I KËTIJ STUDIMI Mjaft modele në shkencat natyrore dhe ato teknike - inxhinierike paraqiten me ekuacione diferenciale të zakonshme (EDZ) të formës у'= f(x,y), f:r RⁿRⁿ (1) Rast i veçantë i sistemit (1) është ekuacioni diferencial i rendit n i formës: y(ⁿ) = g(x,y,y',,y (n-1) ), g:rxrⁿ R (1') Ndër problemet që shtrohen për sistemin (1) apo ekuacionin (1') më të zakonshëm janë: a) Problemi i vlerës fillestare që për sistemin (1) shkruhet në formën y' =f(x,y), y(x₀) =y₀ (2) b) Problemet e vlerës kufitare, zakonisht me dy pika që karakterizohen nga një mori formulimesh. Këtu shquhen një klasë problemesh me rëndësi të posaçme në zbatime praktike që kanë të bëjnë me ekuacionin diferencial të rendit të dytë: y''= g(x,y,y') (3) c) Problemet e zgjidhjeve periodike që gjithashtu kanë nje mori formulimesh e që shpesh reduktohen në probleme kufitare d) Problemet e vlerave të veta që janë një zgjerim apo përgjithësim i problemeve kufitare e periodike Çështja e ekzistencës dhe unicitetit të zgjidhjes për problemin a) (1)-(2) zgjidhet në mënyrë globale nëpërmjet teoremës Pikar ndërsa për problemet e tjera b), c), d) kjo çështje në përgjithësi është e ndërlikuar dhe literatura matematike siç do të shikohet më poshtë ofron vetëm zgjidhje të veçanta e të pjesshme të problemit. Ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshme (EDP) padyshim që përbëjnë një nga mjetet më të fuqishme të matematikës për studimin e proceseve fizike. Ata karakterizohen nga një mori shume e madhe formulimesh. Metodat numerike për zgjidhjen e përafërt të tyre morën zhvillim të vrullshëm në fillim të viteve 60 dhe x

11 ecën paralel me zhvillimin e teknikës llogaritëse. Nga pikëpamja matematike këto metoda u bënë një fushë e përzier e një aparati matematik ndërdisiplinor ku ndërthuren dhe në një farë mase shkrihen me njëra-tjetrën, teoria e ekuacioneve diferenciale, teoria e funksioneve të variablit real, analiza funksionale, analiza numerike, informatika, teoria e fushave, teoria e elasticitetit, etj. Nga pikëpamja praktike metodat numerike u bënë një mjet i pazëvendësueshëm për zgjidhjen e shumë problemeve industriale dhe një zonë e hapur takimi e bashkëpunimi midis matematicienëve, informaticienëve, fizikantëve dhe specialistëve të fushave të ndryshme inxhinierike. Disa qindra monografi, disa dhjetëra mijë artikuj dhe një numër i konsiderueshëm programesh informatike u janë kushtuar metodave numerike në ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshme. Aparati analitik për trajtimin e problemeve diferenciale ndërsa paraqitet i fuqishem dhe i pazëvendësueshëm në studimin e aspekteve cilësore dhe zbulimin e vetive themelore të zgjidhjeve të tyre, në aspektin praktik të kërkimit të këtyre zgjidhjeve ai ka më pak fuqi veprimi. Përgjithësisht trajtimet numerike paraqiten mjaft operative e të suksesshme në zgjidhjen e problemeve diferenciale. Ky studim ka në fokus problemin kufitar në ekuacionet diferenciale dhe zgjidhjen numerike të disa problemeve diferenciale speciale që modelojnë zbatime të spikatura inxhinierike. Një pjesë e mirë e teknikave numerike për zgjidhjen e problemeve diferenciale komplekse bazohen dhe përdorin aparatin e fuqishëm të metodave numerike për zgjidhjen e problemit të vlerës fillestare në ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ). Përmendim p.sh. kalimthi se zgjidhja e një problemi kufitar me anën e metodës së goditjes reduktohet në zgjidhjen e njëpasnjëshme të një serie problemesh të vlerës fillestare në EDZ. Po kështu zgjidhja e një ekuacioni me derivate të pjesshme (EDP) me anën e metodave spektrale reduktohet në zgjidhjen e sistemeve diferenciale të vlerës fillestare në EDZ. Në këtë kuptim është parë e arsyeshme që në kapitullin e parë të këtij studimi të trajtohen disa raste tipike problematike të integrimit numerik në EDZ, raste këto që ne i kemi hasur gjatë studimit në problemet që kemi trajtuar. Konkretisht analizohen problemi i keqkushtëzimit në ekuacionet diferenciale të zakonshme dhe i ashtëquajturi problem stiff. Më tej analizohet rasti specifik kur jakobiani i ekuacionit diferencial ka të paktën një vlerë të vet pranë boshtit imagjinar. Tregohet se ky rast, në mënyrë të ngjashme me problemin stiff, krijon situata problematike gjatë integrimit të tij numerik: Numri i xi

12 hapave të integrimit bëhet shumë i madh dhe kritik për llogaritjen. Jepen disa shembuj tipikë dhe rezultate numerike për problemet e trajtuara. Në kapitullin e dytë të studimit janë konsideruar tri metodat bazë të zgjidhjes së problemit kufitar: 1) Metodat e tipit goditje 2) Metodat e diferencave të fundme 3) metodat e elementëve të fundëm në dy vesionet bazë të tyre: Galerkin dhe Reylegh- Ritz. Metodat e sipërpërmendura janë studiuar dhe analizuar në një raport krahasues midis tyre, duke vënë në evidencë avantazhet dhe disavantazhet e secilës metodë. Eksperimenti numerik është përdorur gjithashtu si mekanizëm testimi. Disa probleme diferenciale kufitare që modelojnë zbatime të spikatura inxhinierike janë përdorur si test. Implementimet dhe zgjidhjet numerike janë përkthyer në kode Matlab, një pjesë e mirë e të cilëve janë paraqitur në shtojcën e këtij punimi. Në kapitullin e tretë të studimit trajtohen dy probleme diferenciale speciale në ekuacionet me derivate të pjesshme, që njëkohësisht përbëjne dhe modelime inxhinierike të mirënjohura dhe të studiuara intensivisht në literaturën e specialitetit. Metoda dhe teknika të posaçme numerike janë zhvilluar dhe implementuar për zgjidhjen e dy problemeve të shtruara. Problemi i parë është një problem diferencial valor me shuarje kufitare, që ndeshet në studimin e fenomenit fizik të lëkundjeve në linjat e tensionit të lartë dhe në struktura të tjera fleksible. Modeli fizik është ai i një korde, njëri skaj i së cilës qëndron i fiksuar, kurse skaji tjetër lidhet me një sistem dashpot që gjeneron lëkundje, me koeficient shuarje të vogël. Modeli matematik është një problem i vlerës fillestare-kufitare për një ekuacion diferencial jolinear të dobët me kushte kufitare jo klasike. Metoda numerike e propozuar është një kombinim i metodës së karakteristikave me teknikën e ekstrapolimit Richardson. Efektiviteti dhe saktësia e metodës klasike të karakteristikave përmirësohet esencialisht në metodën e propozuar. Problemi i dytë i trajtuar ka të bëjë me ekuacionin e pёrgjithёsuar të Burgers-Kortewegde Vries, i mirënjohur për zbatimet e shumta në problemet valore dhe rrjedhjen e fluideve. Zgjidhja e këtij ekuacioni me metoda të përafrimit spektral e redukton problemin në një sistem diferencial tepër stiff në EDZ. Skemat diferenciale eksponenciale të tipit Runge-Kutta janë implementuar për zgjidhjen e sistemeve stiff të gjeneruar. Janë analizuar vetitë e qëndrueshmërisë së këtyre skemave dhe është motivuar përdorimi i tyre në zgjidhjen e problemit. Më tej janë implementuar konkretisht këto skema dhe është demonstruar efektiviteti i tyre në zgjidhjen e ekuacionit të pёrgjithёsuar Burgers-Korteweg-de Vries duke ballafaquar rezultatet numerike me zgjidhjet ekzakte. xii

13 KAPITULLI 1 Disa raste tipike problematike të integrimit numerik në ekuacionet diferenciale të zakonshme Sikurse u përmend në hyrje të këtij punimi një pjesë e mirë e teknikave numerike për zgjidhjen e problemeve diferenciale komplekse bazohen dhe përdorin aparatin e fuqishëm të metodave numerike për zgjidhjen e problemit të vlerës fillestare në ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ). Por në shumë zbatime praktike problemi i vlerës fillestare në EDZ has në vështirësi serioze. Veçanërisht problemet që gjenerohen nga metodat numerike të tipit goditje për zgjidhjen e problemit kufitar: f(x, y, y, y ) = 0, y(a) = A, y(b) = B, shpesh janë numerikisht të paqëndrueshëm. Në disa raste problemi i vlerës fillestare mund të jetë i keqkushtëzuar. Rafinimi dhe sofistikimi i teknikave numerike që përdoren nga njëra anë dhe rritja e precizionit komjuterik nga ana tjetër, janë dy alternativat në këto raste, sigurisht për të zgjidhur problemet me keqkushtëzim të moderuar. Një rast tjetër problematik ndodh kur zgjidhja e ekuacionit diferencial ka dy komponente me ritme ndryshimi tepër të çproporcionuara. Ky rast njihet në literaturë me emrin stiff dhe është analizuar gjërësisht ([1], [2], [3]). Një rast tjetër specifik është kur jakobiani i sistemit ekuivalent me ekuacionin diferencial ka të paktën një vlerë të vet pranë boshtit imagjinar. Zgjidhja e ekuacionit diferencial lëkundet me frekuencë të lartë. Në punim tregohet se situata numerike që krijohet në pikëpamje të shpejtësisë së integrimit është mjaft e ngjashme me rastin stiff, por paraqitet shumë më problematike përsa i përket arritjes së saktësisë së kërkuar të zgjidhjes. Rasti që haset më dendur është kur jakobiani i sistemit diferencial e ka vlerën e vet dominante me pjesë reale pozitive dhe pjesë imagjinare të madhe. Në këto raste zgjidhja e problemit të vlerës fillestare rritet vrullshëm dhe njëkohësisht lëkundet me frekuencë të lartë. Teknika të posaçme mund të përdoren për të zbutur efektet numerike negative, por përgjithësisht duhet shmangur përdorimi i problemeve të tilla të vlerës fillestare. Shembuj tipikë janë qëmtuar për të analizuar disa nga fenomenet dhe problemet e përmendura më sipër. Kodi Matlab ODE45 është përdorur për thjeshtësi për zgjidhjen e të gjitha problemeve të vlerës fillestare të gjeneruara. 1

14 1. 1 Keqkushtëzimi i një sistemi diferencial Klasa e ekuacioneve diferenciale që trajtohet në këtë pikë përbën një rast të veçantë përsa i përket zgjidhjes numerike. Metodat e zakonshme numerike janë të pavlefshme për ekuacionet e kësaj klase. Konsiderojmë p.sh. sistemin e thjeshtë diferencial y 1 = 2y 2, y 2 = 2y 1, (1.1) zgjidhja e përgjithshme e të cilit është y 1 = c 1 e 2x + c 2 e -2x, y 2 = c 1 e 2x - c 2 e -2x. Për kushtet fillestare y 1 (0) = 3 dhe y 2 (0) = -3 me lehtësi gjendet që c 1 = 0 dhe c 2 = 3, kështu që zgjidhja e veçantë që plotëson këto kushte është y 1 = 3e -2x, y 2 = -3e -2x. Zgjidhja e mësipërme zvogëlohet me shpejtësi me rritjen e x, por është e qartë se sapo të bëhet gabimi i parë numerik, futja në zgjidhje e komponentes c 1 e 2x me eksponent pozitiv do të jetë e pashmangshme. Komponentja e mësipërme do të fillojë të dominojë me shpejtësi mbi zgjidhjen teorike. Keqkushtëzimi i një ekuacioni diferencial është shkak i pashmangshëm i paqëndrueshmërisë thelbësore të zgjidhjes numerike të tij. Në eksperimentin e mëposhtëm numerik kushti fillestar y 1 (0) = 3 është ndryshuar respektivisht me eps = 3*10-16 njësi (rasti a) dhe eps = 2*10-16 njësi (rasti b) dhe është integruar numerikisht sistemi (1.1) në segmentin [0 4] në të dy rastet. Rezultatet e integrimit për komponenten y 1 të zgjidhjes janë paraqitur grafikisht ne figurën 1. Zgjidhja teorike y 1 = 3e -2x është mbivendosur në stilin pika-pika për krahasim mbi zgjidhjen numerike (të paraqitur me vijë të vazhduar), në secilin grafik. Nga grafiku i figurës 1 - rasti a, vihet re qartë destabilizimi i zgjidhjes numerike që fillon dhe shfaqet vrullshëm rreth pikës x = 3.5. Shkaku nuk është numerik, as kompjuterik. Ai është problem i brendshëm i vetë sistemit (1.1). Mënyra e vetme për të shmangur destabilizimin numerik të zgjidhjes në rastin a, është rritja e precizionit matlabik. Ndërkaq, precizioni i dyfishtë matlabik që është përdorur për kryerjen e llogaritjeve në të dy rastet, është i mjaftueshëm për të shmangur destabilizimin numerik të zgjidhjes në rastin b: Zgjidhja numerike përputhet me zgjidhjen teorike të ekuacionit dhe në grafik ato duken si një vijë e vetme. 2

15 Figura 1.1: Integrimi numerik i sistemit (1.1) në dy rastet a dhe b dhe zgjidhja teorike y 1 = 3e -2x 1.2. Ekuacionet diferenciale stiff Konsiderojmë ekuacionin diferencial y'' + ( m )y' + 10 m y = f(x), y(0) = y 0, y'(0) = y' 0, m = 1, 2, 3,..., (1.2) zgjidhja e përgjithshme e të cilit është: Y = c 1 e -x + c 2 e -vx + G(x) = T(x) + G(x), ku c 1 dhe c 2 janë konstante që varen nga kushtet fillestare y 0 and y' 0, kurse v = 10 m. është e qartë se pas një intervali kohe x 1 e ashtëquajtura zgjidhje kalimtare T(x) shuhet dhe zgjidhja Y(x) konvergjon tek e ashtëquajtura zgjidhje e qëndrueshme G(x). Kjo e fundit varet nga ana e djathtë f(x) e ekuacionit (1.2). Në shumë zbatime inxhinierike ekuacioni (1.2) integrohet në një segment [0 x 2 ], ku x 2 > x 1. Për të integruar një zgjidhje të formës ce me një saktësi të dhënë shumica e procedurave standarde të integrimit numerik vendosin mbi hapin e integrimit h një kufizim të formës h < k/, ku k është konstante karakteristike e metodës së përdorur. Në përgjithësi është vlera e vet dominante e Jakobianit që i korrespondon ekuacionit diferencial që zgjidhet, kështu që në rastin e ekuacionit (1.2) kufizimi i mësipërm merr formën h < k/v. Komponentja c 2 e -vx e zgjidhjes shkon me shpejtësi në zero dhe pas një intervali të shkurtër kohe ajo nuk ka influencë mbi zgjidhjen, por kufizimi i fortë h < k/v është i domosdoshëm të zbatohet në gjithë segmentin e integrimit. Ndërkaq komponentja tjetër e zgjidhjes, c 1 e -x, shkon në zero relativisht ngadalë, kështu që segmenti [0 x 1 ], (për rrjedhojë edhe segmenti [0 x 2 ] është 3

16 relativisht i madh. Numri i hapave të integrimit është proporcional me madhësinë mx 2, kështu që ky numër rezulton shumë i madh dhe kritik për llogaritjet. Ekuacioni diferencial (1.2) është stiff dhe parametrin v = 10 m mund ta konsiderojmë si koefiçient që shpreh shkallën e qënies stiff të tij. Vemë në dukje se për sistemin e çfarëdoshëm diferencial y' = f(x, y) shkalla e qënies stiff në pikën e çfarëdoshme (x, y) matet me raportin: min Re( i (x, y)) xi, max Re( (x, y)) xi ku λ 1, λ 2,..., λ n janë vlerat e veta të matricës jakobiane f' y. Kuptohet se nga qënia stiff e një sistemi në pikën (x, y) rrjedh se ai është i tillë në një zonë rrethuese të pikës (x, y). Vërejmë që matrica f' y mund të ndryshojë shumë gjatë segmentit të integrimit, kështu që shkalla e qënies stiff në përgjithësi është shumë dinamike. i 1.3. Ekuacione diferenciale me vlerë të vet pranë boshtit imagjinar Konsiderojmë problemin e vlerës fillestare y'' + 2y' + (1 + v 2 )y = f(x), y(0) = y 0, y'(0) = y' 0, v >> 0. (1.3) Ekuacioni karakteristik që i korrespondon ekuacionit diferencial (1.3) i ka rrënjët = -1 ± v (të cilat sipas supozimeve të bëra ndodhen pranë boshtit imagjinar). Kështu zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1.3) është: Y = e -x (c 1 cosvx + c 2 sinvx) + G(x) = T(x) + G(x), ku c 1 dhe c 2 janë konstante që varen nga kushtet fillestare y 0 and y' 0, kurse T(x) dhe G(x) si më parë, shënojnë respektivisht zgjidhjen kalimtare dhe zgjidhjen e qëndrueshme. Zgjidhja kalimtare T(x) mund të shkruhet në formën e thjeshtuar x T(x)=ce sin(vx+α), (1.4) ku c dhe α janë konstante që varen nga kushtet fillestare y 0 and y' 0. Zgjidhja T(x) lëkundet me periodë 2π v x p=, amplitudë ce dhe fazë α. Për të paraqitur një sinjal sinusoidal si ai i formës (1.4), duhet të jepen të paktën pikat ekstremale të tij. Për saktësi numerike është e arsyeshme të supozohet se rreth 4

17 10 fishi i kësaj sasie pikash është e nevojshme të dihen. Nga pohimi i fundit rrjedh mosbarazimi 2π 20h < p =, v i cili thjeshtohet në formën 0.3 h. (1.5) v Zgjidhja kalimtare T(x) zvogëlohet relativisht ngadalë, me të njëjtin ritëm si edhe komponentja c 1 e -x e zgjidhjes, e trajtuar në pikën 2. Kështu që për të përftuar zgjidhjen e qëndrueshme G(x), segmenti i integrimit duhet të jetë relativisht i madh. Në analogji me pikën 1.2, edhe këtu, kemi segmentet [0, x 1 ] dhe [x 1, x 2 ]. Ndërkaq, për shkak të kushtit v >> 0, mosbarazimi (1.5) vendos një kufizim të fortë mbi hapin e integrimit h. Numri i hapave të integrimit është proporcional me madhësinë vx 2, kështu që koha e llogaritjeve dhe rreziku i gabimeve të rrumbullakimit bëhen kritike. Kjo është një situatë shumë e ngjashme me atë të ekuacionit stiff të përshkruar në pikën 2, në pikëpamje të kohës së llogaritjeve. Eksperimentet dhe rezultatet numerike të këtij studimi e konfirmojnë këtë konkluzion. Ndërsa, përsa i përket arritjes së saktësisë së kërkuar, duket se ekuacionet me rrënjë karakteristike pranë boshtit imagjinar janë problematike. Zgjidhja mjaft komplekse influencon ndjeshëm në saktësinë e rezultateve. Mund të vihet re se zvogëlimi eksponencial i zgjidhjes (1.4) gjatë një hapi h mund të vlerësohet në mënyrë të përafërt me madhësinë -x -ahe, ndërkaq lëkundja sinusoidale me frekuencë v gjatë hapit h jep një ndryshim që për analogji mund të përafrohet në vlerë absolute nga madhësia 2 ahve x. π Në fillim të procesit të integrimit madhësitë e mësipërme mund të diktojnë kufizime më të forta mbi hapin e integrimit h në raport me kufizimin (1.5). Veçanërisht ndryshimi lëkundës mund të ketë vlerë të madhe për një interval të gjatë kohe (kjo varet nga kushtet fillestare të ekuacionit diferencial). Një mënyrë për të zbutur efektet numerike negative të mësipëme është shkallëzimi i përshtatshëm i ekuacionit (1.3). Në analogji me përcaktimin e bërë në pikën 1.2, parametrin v të ekuacionit (1.3) mund t'a konsiderojmë si koefiçient që shpreh shkallën e lëkundjes së këtij ekuacioni Ekuacionet diferenciale me vlerë të vet dominante të madhe në kuadratin e parë. 5

18 Konsiderojmë tani problemin e përgjithshëm të vlerës fillestare të rendit të dytë f(x, y, y, y ) = 0, y(0) = y 0, y'(0) = y' 0. (1.6) Shënojmë me = u + iv vlerën dominante të Jakobianit korrespondues të ekuacionit (1.6), u >> 0 dhe v >> 0. Termi ux T(x)=ce sin(vx+α) me eksponencial të madh rritës dhe lëkundje me frekuencë të lartë do të dominojë zgjidhjen e ekuacionit (1.6). Ndryshimi dt(x) i termit T(x), që rrjedh prej ndryshimit të x-it në x + h, mund të përafrohet në formën dt 2 chve ux. π Kështu që për të matur këtë ndryshim me një saktësi të pranueshme duhet të përdoret një hap integrimi ekstremisht i vogël. Rrjedhimisht çdo metodë numerike integrimi e përdorur do të kishte paqëndrueshmëri dhe pasaktësi. Probleme të tilla të vlerës fillestare dalin p.sh. gjatë përdorimit të metodës së goditjes për zgjidhjen e problemit kufitar: f(x, y, y, y ) = 0, y(a) = A, y(b) = B. Gjatë implementimit të kësaj metode gjenerohen kushte fillestare arbitrare, pra pa logjikë fizike, për ekuacionin (1.6). Rrjedhimisht një problem i tillë me shumë gjasa demonstron paqëndrueshmëri në zona të caktuara të integrimit Rezultate numerike Në një seri eksperimentesh numerike dhe bazuar në analizat e mësipërme, variantet homogjene të ekuacioneve (1.2) dhe (1.3), me kushte fillestare respektive y(0) = 1, y'(0) = 0 dhe y(0) = 0, y'(0) = v, u integruan në segmentin [0 10], për 5 vlera të ndryshme të v = 10 m : m = 1, 2, 3, 4, 5. Kushtet fillestare të mësipërme janë qëmtuar posaçërisht. Me këto kushte zgjidhja analitike e problemit (1.2) rezulton të jetë v 1 v-1 v-1 x -vx Y(x) = e - e që formon një kombinim të arsyeshëm të 2 kompeneteve të zgjidhjes. Ndërkaq zgjidhja analitike e problemit (1.3) për kushtet fillestare të zgjedhura si më lart është y(x) = exp(-x)sin(vx). Utiliteti matlab Ode45 u përdor për thjeshtësi për të gjitha problemet. Rezultatet numerike të përftuara u krahasuan me zgjidhjet analitike respektive dhe gabimet relative të zgjidhjeve, si dhe kohët kompjuterike respektive të ekzekutimit u vlerësuan për secilin rast. Këto rezulate janë paraqitur në tabelat 1.1 dhe 1.2 më poshtë., 6

19 Tabela 1.1: Rezultatet për ekuacionin (1.2) Tabela 1.2: Rezultatet për ekuacionin (1.3) m Gabimi relativ Koha kompj. (sec) m Gabimi relativ Koha kompj. (sec) e e e e e e Nga Tabela 1.1 vihet re se koha kompjuterike e ekzekutimit të problemit (1.2) rritet proporcionalisht me koefiçientin e stiffshmërisë v, ndërkaq zgjidhja fitohet në kohë reale për të gjitha vlerat e m deri në 5. Ndërkaq nga Tabela 1.2 vihet re se koha kompjuterike e ekzekutimit të problemit (1.3) rritet proporcionalisht me koefiçientin e lëkundjes v, kurse zgjidhja fitohet në kohë reale për të gjitha vlerat e m deri në 5. Mund të nxjerrim përfundimin se të dy problemet ngjajnë mjaft nga pikëpamja e shprehur më sipër. Por nga kolona e gabimeve relative në Tabelën 1.2 është e qartë se rezultatet numerike të fituara për problemin (1.3) janë të vlefshme deri në m = 3. Për rrjedhojë, përsa i përket saktësisë lëkundja me frekuencë të lartë e zgjidhjes është më problematike se qënia stiff e ekuacionit. Në figurën 1.2 më poshtë paraqiten grafikisht rezultatet e integrimit të ekuacioneve (1.2) dhe (1.3) respektivisht, për m = 1. Figura 1.2: Integrimi numerik i ekuacionit (1.2) - majtas, (1.3) - djathtas, për m = 1 7

20 1.6. Disa rekomandime për trajtimin e rasteve problematike të integrimit 1) Përdorimi i metodës së goditjes së shumëfishtë për zgjidhjen e problemeve kufitare, që do të analizohet në paragrafin të këtij punimi, është një alternativë e mirë për të zbutur efektet negative që prodhon metoda e zakonshme e goditjes. 2) Përdorimi i metodës së diferencave të fundme për zgjidhjen e problemeve kufitare, që do të analizohet në paragrafin të këtij punimi, përbën një alternativë më të mirë, sidomos në rastin e problemeve lineare, pasi përgjithësisht kjo metodë demonstron veti të mira qëndrueshmërie. 3) Nëse vlerat e veta të Jakobianit qëndrojnë relativisht konstante në segmentin e integrimit, një klasë metodash numerike që bazohen në polinomet trigonometrike mund të jenë të dobishme ([4]). 4) Metodat Gear, të pajisura me kontroll automatik të madhësisë së hapit të integrimit dhe rendit, bëjnë pjesë në libraritë e shquara të programeve për integrimin e ekuacioneve diferenciale stiff. Në përgjithësi, metodat Gear nuk japin rezultate të kënaqshme për problemet stiff, për të cilët Jakobiani f y ka vlera të veta pranë boshtit imagjinar të planit hc. Metodat e tipit Rosenbrock rezultojnë të jenë efektive në këto raste. Kostoja llogaritëse e tyre është mjaft më e lartë se ajo e metodave Gear. 5) Disa kode Matlab ofrojnë mundësi për integrimin e problemeve të moderuara stiff. Metodat përkatëse që qëndrojnë pas këtyre kodeve bazohen në koncepte të ndryshme të qëndrueshmërisë, kështu që i takon përdoruesit të zgjedhë kodin e duhur që i përshtatet problemit diferencial që zgjidhet. 6) Gjithsesi përzgjedhja e një metode konkrete për një problem diferencial stiff është vendimarrje dhe sfidë e përdoruesit. Në paragrafin 3.2 të punimit ne do të ndeshemi me një sistem diferencial tepër stiff që gjenerohet nga zbatimi i metodës spektrale për zgjidhjen numerike të problemit të vështirë diferencial të njohur si Ekuacion i Përgjithshëm i Burgers-Korteweg-de Vries [5], ky i fundit me zbatime të shumta inxhinierike. Do të shikohet se metodat Runge Kutta (RK) të tipit eksponencial do të rezultojnë mjeti efektiv për kapërcimin e vështirësisë stiff të problemit diferencial. 8

21 KAPITULLI 2 Analizë krahasuese e metodave numerike për zgjidhjen e problemeve kufitare 2.1 Një formulim i përgjithshëm i problemeve diferenciale Ekuacionet diferenciale karakterizohen nga një shumëllojshmëri e madhe klasash e formulimesh të ndryshme. Paraprakisht po fusim shënimet: - Zonë e hapur në R 3 (x,y,z) ose R 3 (x,y,t) sipas rastit. D - Zonë e hapur në R 2 (x,y) ose R 2 (x,t) sipas rastit; gjithashtu prerje ose konfiguracion i zonës për t = t 0. S - Kufiri i zonës ose i zonës D sipas rastit. f, g, h - Funksione të dhënë në, S ose D A, B, C, M, C, I - Operatorë diferencialë të rendit r ose r 1 < r, zakonisht linearë ose kuazilinearë. Dallohen tre tipe problemesh me formulime matematike përkatëse: (1) Problemet e ekuilibrit Të gjendet funksioni u = u(x,y,z) i tillë që Au = f në (2.1) Bu = g në S. Problemet e ekuilibrit janë stacionare dhe ndeshen shpesh në studimin e statikës së strukturave, rrjedhjet e qëndrueshme, fushat elektrostatike stacionare, etj. Shumica e problemeve diferenciale që ne do të trajtojmë në këtë kapitull konsiderohen probleme ekuilibri 1-përmasore. (2) Problemet e vlerave të veta Të gjendet parametri (me vlera reale ose komplekse) i tillë që problemi diferencial Au = Mu në (2.2) Bu = Cu në S të ketë zgjidhje të ndryshme nga zgjidhja e dukshme u(x,y,z) 0. 9

22 Problemet e vlerave të veta mund të shikohen si një përgjithësim apo zgjerim i problemeve të ekuilibrit. Një konfiguracion, ose një gjendje ekuilibri e caktuar e një sistemi është e lidhur me specifikimin e vlerës kritike (vlerës së vetë) të parametrit. Sistemi mund të ketë disa parametra të tillë, pra disa vlera të veta. Tipike janë problemet e frekuencave në sistemet mekanike, problemet e rezonancës në qarqet elektrike etj. Problemi i vlerave të veta që do të trajtohen në paragrafin të këtij punimi përbën një model tipik 1-përmasor. (3) Problemet e përhapjes Të gjendet funksioni u = u(x,y,t) i tillë që Au = f në, për t > t 0 Iu = h në D, ( për t = t 0 ) (2.3) Bu = g në S, për t t 0. Në problemet e përhapjes shtohet variabli kohor t, pra janë probleme jostacionare. Ecuria e sistemit të modeluar prej tyre varet ndërmjet të tjerash nga gjendja e tij në një stad fillestar të kohës t = t 0. Shembuj problemesh të tilla janë ato të përhapjes së nxehtësisë, të përhapjes së valëve në ambiente elastike, të lëkundjeve të detyruara etj. Dy problemet speciale qe do të trajtohen kapitullin e tretë të punimit janë probleme përhapje. Problemet matematike (2.1), (2.2) dhe (2.3) u formuluan për rastin e hapësirës. Ato mund të formulohen analogjikisht për rastet drejtëz dhe plan. Në zhvillimet e mëposhtme do t i nënkuptojmë të tre rastet më sipër, por rasti një-përmasor do të jetë në fokusin tonë kryesor. 2.2 Metodat numerike për zgjidhjen e problemeve diferenciale Metodat numerike për zgjidhjen e problemeve 2.1, 2.2, dhe 2.3, në përgjithësi bazohen në paraqitjen e përafërt lokale të zgjidhjes me funksione elementare, zakonisht polinome. Historikisht dhe në varësi të aparatit matematik që përdoret dallohen dy metoda kryesore: Metoda e diferencave të fundme dhe metoda e elementëve të fundëm. Metodat e mësipërme e reduktojnë një problem diferencial në problem algjebrik, respektivisht linear n.q.s. problemi diferencial është i tillë, dhe zakonisht me matricë të rrallë. Për problemet e përhapjes të tipit hiperbolik krahas tyre zë vend të veçantë metoda e karakteristikave. Në [6] dhe në paragrafin 3.1 të këtij studimi ne analizojmë dhe zbatojmë një version hibrid të kësaj metode për të zgjidhur 10

23 një problem diferencial special që ndeshet në studimin e lëkundjeve të të ashtëquajturave struktura fleksible, në veçanti lëkundjeve të linjave të tensionit të lartë. Metoda e diferencave të fundme (MDF) bazohet në zëvendësimin lokal të derivateve me diferenca. Në parim MDF për ekuacionet diferenciale është një metodë e thjeshtë dhe universale, por paraqitet relativisht e ngurtë dhe ka vështirësi në trajtimin e kufijve kur këta janë kompleks. Në paragrafin dhe të këtij kapitulli do të trajtohet me imtësi MDF për problemet kufitare në ekuacionet diferenciale të zakonshme së bashku me një klasë metodash të ashtëquajtura të tipit goditje, që paraqesin interes sidomos në problemet inxhinierike me singularitete të ndryshme. Metoda e elementëve të fundëm përdor një aparat matematik të ndërlikuar, por është më elastike, më e manovrueshme në përdorimin e kufijve dhe fizikisht më afër problemit diferencial që zgjidhet. Sidomos është efektive në disa probleme standarde inxhinierike, ku parimet e saj ekstremale marrin kuptime fizike të caktuara. Në paragrafin do të trajtohen variantet 1-përmasore të dy familjve më të dëgjuara të kësaj metode: Galerkin dhe Rayleigh-Ritz. 2.3 Formulimi matematik i problemeve kufitare në ekuacionet diferenciale të zakonshme Në këtë kapitull, ndërmjet të tjerash, do të konsiderohet ekuacioni diferencial i formës y (x) = g(x,y,y ), x[a, b] (2.4) me kushte kufitare y(a) = A, y(b) = B. (2.5) Kushtet kufitare, në një rast më të përgjithshëm, mund të jenë në formën lineare: 1 y(a) + 2 y (a) = A, 1 y(b) + 2 y (b) = B, (2.6) ku 1, 2, 1, 2, A, B janë konstante dhe >0, > 0. Për 1 = 1 =1 dhe 2 = 2 = 0, merren kushtet (2.5). Rast më i përgjithshëm i kushteve (2.6) janë kushtet jolineare të formës: r 1 (y(a), y (a)) = 0, 11

24 r 2 (y(b), y (b)) = 0. Për sistemin e n ekuacioneve diferenciale të rendit të parë, problemi i vlerës kufitare, me kushte lineare të formës (2.6) ka trajtën y(x)= f(x, y), x [a,b] Ay(a)+ By(b)- c= 0 ku y =(y, y,, y ), c=(c,c,,c ) T T 1 2 n 1 2 n (2.7) A = (a ij ) dhe B = (b ij ) më sipër janë matrica katrore të rendit n konstante dhe c është vektor konstant. Theksojmë se problemi i vlerës kufitare për ekuacionin diferencial të rendit n: y (n) (x) = f(x,y,y,, y (n-1) ), x[a, b] me kushte kufitare lineare, reduktohet në një problem të formës (2.7) pas zëvendësimeve y k+1 = y (k), k = 0,,n-1. Më poshtë do t i referohemi problemit (2.4)-(2.5), por shumica e rezultateve mund të shtrihen menjëherë për problemin (2.4)-(2.6). Ndërkaq disa rezultate më të avancuara do të zhvillohen për problemin e përgjithshëm (2.7). Problemi i ekzistencës dhe unicitetit të zgjidhjes për problemet kufitare, në përgjithësi, është mjaft i ndërlikuar. P.sh. problemi i thjeshtë: y + y = 0, y(0) = 0, y() = B, ka një pafundësi zgjidhjesh n.q.s. B = 0 dhe s ka zgjidhje n.q.s. B 0. Për problemin (2.4)-(2.6) ka vend teorema 2.1 [7]. Teorema 2.1 (Kushtet e ekzistencës së zgjidhjes) N.q.s. në bashkësinë D = { x[a,b], - y, y + } plotësohen kushtet: a) derivatet e pjesshme të g janë funksione të vazhdueshëm b) y 2 +y 2 është madhësi e kufizuar c) Ekzistojnë konstantet 0 <L, M < të tilla që: g g 0 L, y y M d) dhe atëherë problemi (2.4)-(2.6) ka zgjidhje të vetme. Për problemin (2.4)-(2.5) formulimi thjeshtohet mjaft: 12

25 Teorema 2.2 (Kushtet e ekzistencës së zgjidhjes) N.q.s në bashkësinë D = { x[a,b], - y, y + } plotësohen kushtet: a) g, g y dhe g y b) g y 0 janë funksione të vazhdueshëm c) g y është madhësi e kufizuar atëherë problemi (2.4)-(2.5) ka zgjidhje të vetme. 2.4 Disa probleme tipike inxhinierike qe modelohen me anën e problemeve kufitare Përkulja e një trau me skaje të fiksuara Një problem që ndeshet shpesh në inxhinierinë e ndërtimit ([8]) është përkulja e një trau me skaje të fiksuara, si rezultat i ngarkesës me densitet konstant (Fig. 2.1). Figura 2.1: Përkulja e traut me skaje të fiksuara Ekuacioni diferencial që përshkruan këtë fenomen është: y + S EI y = qx 2EI (x-l), ku y = y(x) është përkulja në distancën x nga skaji i majtë i traut, kurse l, q, E, S dhe I janë respektivisht gjatësia e traut, intensiteti i ngarkesës uniforme, moduli i elasticitetit, shtypja në skaje dhe momenti i inercisë. Ekuacioni i mësipërm duhet të plotësojë dy kushtet që rrjedhin prej supozimit se në skajet e traut x = 0 dhe x = l, nuk kemi përkulje: y(0) = y(l) = 0. N.q.s. trau është me trashësi të njëjtë, prodhimi EI është konstant dhe në këtë rast ekuacioni diferencial mund të zgjidhet analitikisht. Por në zbatime, në përgjithësi, trashësia nuk është uniforme, kështu që momenti i inercisë I është funksion i x. Zgjidhja analitike bëhet e pamundur. 13

26 2.4.2 Studimi i presioneve mbi nje tra Një problem tjeter i rëndësishëm i vlerës kufitare, që ndeshet në studimin e presioneve në një tra ([7]), formulohet në formën: d dy ( p(x) ) + q(x)y = f(x), x[0,1] (2.8) dx dx me kushte kufitare y(0) = y(1) = 0. (2.9) Problemi modelon përkuljen y(x) të një trau me gjatësi 1 njësi dhe seksion të prerjes tërthore q(x). Trau është objekt edhe i presioneve të jashtme p(x) dhe f(x), që ndikojnë mbi përkuljen y(x). Mund të vihet re që problemi i vlerës kufitare d dy ( p(x) ) + q(x)y = f(x), x[a,b], dx dx me kushte kufitare y(a) = A, y(b) = B mund të transformohet në formën (2.8)-(2.9). Ky problem do të analizohet dhe zgjidhet numerikisht në paragrafin të këtij kapitulli Ekuacionet e Euler-Bernoull-it Problemet e mëposhtme të vlerës kufitare ndeshen në disa fusha të matematikës së aplikuar, fizikë, inxhinieri elektrike dhe veçanërisht në studimin e vibracioneve mekanike si dhe të ashtuquajturin fenomen të rezonancës parametrike ([9], [10], [11], [12], [13], [14]). (I) Ekuacioni Euler-Bernoulli i llojit të parë [ p( x) y''( x)]'' s( x) y( x)] 0. (2.10) (II) Ekuacioni Euler-Bernoulli i llojit të dytë [ p( x) y''( x)]'' [ r( x) s( x)] y( x) 0. (2.11) (III) Ekuacioni i përgjithshëm Euler-Bernoulli [ p( x) y''( x)]'' [ q( x) y'( x)]' [ r( x) s( x)] y( x) 0. (2.12) 14

27 Mund të vihet re se (2.10) është rast i veçantë i (2.11) dhe ky i fundit rast i veçantë i (2.13). Metoda të posaçme numerike do të analizohen dhe implementohen për problemin e përgjithshëm Euler-Bernoulli në paragrafin të këtij kapitulli. 2.5 Metodat numerike bazë për zgjidhjen e problemeve kufitare Për qëllimet e studimit tonë këtu do të përshkruajmë dhe analizojmë 3 metodat numerike bazë për zgjidhjen e problemeve kufitare: 1) Metodat e tipit goditje 2) Metodat e diferencave të fundme 3) Metodat e elementeve të fundme Metodat numerike të tipit goditje Avantazhi kryesor i metodave të këtij grupi është aplikimi i tyre në problemet inxhinierike që shoqërohen me singularitete të ndryshme të problemit që zgjidhet (të cilat vështirësojnë përdorimin e metodave të tjera). Ideja kryesore e metodave të këtij tipi është reduktimi i problemeve kufitare dhe zgjidhja e tyre me ndihmën e problemeve të vlerës fillestare. Do të dallojmë 4 raste Metoda e goditjes - rasti linear Supozojmë se problemi diferencial (2.4)-(2.5) ka formën y = p(x)y + q(x)y + r(x), y(a) = A, y(b) = B. (2.13) Problemi (2.13) quhet problem kufitar linear dhe ndeshet shpesh në zbatime. Problemi i përkuljes së traut është një rast i veçantë i tij. Kushtet e teoremës 2.2 thjeshtohen në mënyrë të ndjeshme në këtë rast. Konkretisht, n.q.s.: 1) p(x), q(x) dhe r(x) janë funksione të vazhdueshëm në [a,b] 2) q(x) 0 atëherë problemi (2.14) ka zgjidhje të vetme. Për të zgjidhur numerikisht problemin (2.13) konsiderojmë 2 probleme ndihmës të vlerës fillestare: y = p(x)y + q(x)y + r(x), y(a) = A, y (a) = 0, (2.14) y = p(x)y + q(x)y y(a) = 0, y (a) = 1, (2.15) secili prej të cilëve ka zgjidhje të vetme. Shënojmë me y 1 (x) zgjidhjen e problemit (2.14) dhe y 2 (x) atë të (2.15). Mund të verifikohet lehtë që funksioni y(x) = y 1 (x) + B - y b) 1( y ( b) 2 y 2 (x) (2.16) 15

28 është zgjidhja e vetme e problemit të vlerës kufitare (2.13), natyrisht me kushtin që y 2 (b) 0. Mund të verifikohet që y 2 (b) = 0 bie në kundërshtim me kushtet e supozuara për problemin (2.13). Në këtë mënyrë zgjidhja e problemit kufitar (2.13) është reduktuar në zgjidhjen e dy problemeve të vlerës fillestare (2.14) dhe (2.15). Secili prej tyre mund të zgjidhet numerikisht me një nga metodat e shumta të integrimit numerik. Po i shënojmë zgjidhjet numerike respektive të tyre me {y 1,i } dhe {y 2,i }. Atëherë kombinimi linear {y i }= {y 1,i }+ B - y y 2,N 1,N {y 2,i }, i = 0:N (2.17) është zgjidhja numerike {y i } e problemit (2.13). Një skedar i pergjithshëm Matlab për zgjidhjen e problemit linear (2.13) mund të ketë pamjen [x Y1] = ode45('p1', [a b], [A 0]) % zgjidhet problemi i parë Koshi (2.14) % p1.m është skedari matlab ndihmës për funksionin mbrapa të cilit qëndron % sistemi diferencial përkatës i ekuacionit (2.14). % Komanda prodhon kolonën e nyjeve të integrimit x, dhe matricën Y1 me 2 kolona, % për zgjidhjen y 1 (x) dhe derivatin e parë të saj në nyjet respektive x. [x Y2] = ode45('p2', x, [0 1]) % zgjidhet për analogji problemi i dytë Koshi (2.15). % Duhet vënë re veçoria e kësaj komande që lejon që zgjidhja y 2 (x) të llogaritet në % të njëjtin rrjet nyjesh x si dhe zgjidhja y 1 (x) k = (1 - Y1(end,1)) / Y2(end,1); % llogaritet koefiçienti k në formulën (2.17) y = Y1(:,1) + k*y2(:,1) % llogaritet zgjidhja numerike y sipas formulës (2.17) plot(x, y, 'r*'); % grafikohet zgjidhja numerike Metoda e mësipërme mund të përshtatet pa vështirësi për problemin e vlerës kufitare: y = p(x)y +q(x)y + r(x), a < x < b, (2.18) 1 y(a) + 2 y (a) = A, >0, (2.19) 1 y(b) + 2 y (b) = B, > 0. (2.20) 16

29 Metoda e goditjes - rasti jolinear Konsiderojmë tani problemin jolinear të vlerës kufitare (2.4)-(2.5), duke e shkruar në formën: y (x) = g(x,y,y ), y(a) = A, y(b) = B. (2.21) Ideja e zgjidhjes numerike të rastit linear mund të shtrihet për problemin jo linear (2.21), veçse këtu zgjidhja e problemit jolinear nuk mund të shprehet si kombinim linear i zgjidhjeve të dy problemeve të vlerës fillestare. Në vend të dy problemeve ndihmëse (2.14) dhe (2.15), këtu ndërtohet problemi "parametrik" i vlerës fillestare y (x) = g(x,y,y ), y(a) = A, y (a) = t. (2.22) Në themel të metodës qëndron zgjidhja e ekuacionit algjebrik (strategji të ndryshme mund të përdoren për këtë): Të gjendet t tek (2.22), e tillë që: y(b, t) - B = 0. (2.23) Vlen të përmendet se si varianti-njuton i zgjidhjes ashtu dhe ai sekant, janë vetëm lokalisht konvergjentë, d.m.th. kërkojnë përafrime të mira fillestare. Zgjidhja më e thjeshtë do të ishte përdorimi i utiliteve që Matlab ofron. Skedarët e duhur Matlab për këtë qëllim mund të kenë pamjen: % Skedar Matlab për zgjidhjen e problemit kufitar jolinear t0=(b-a)/(b-a) % zgjidhet "shënjestra" e goditjes së parë t=fzero('dif',t); [tt yy]=ode45('g',[a b],[0 t]); plot(tt,yy(:,1),'r*'); hold on plot('zgjidhjateorike', [a b]) function D=dif(t) % ky është skedar-funksioni që matlabizon ekuacionin (2.23) [tt yy]=ode45('g',[a b],[a t]); D=yy(end,1)-B; Natyrisht që duhet krijuar dhe skedar-funksioni g.m që matlabizon funksionin mbrapa të cilit qëndron ekuacioni diferencial (2.21). 17

30 Metoda e goditjes për problemin e vlerës kufitare (2.7) Konsiderojmë problemin e vlerës kufitare (2.7), të cilin po e rishkruajmë y(x)= f(x, y), x [a,b] Ay(a)+ By(b)- c= 0 ku y =(y, y,, y ), c=(c,c,,c ) T T 1 2 n 1 2 n (2.24) A = (a ij ) dhe B = (b ij ) më sipër janë matrica katrore të rendit n konstante dhe c është vektor konstant. Zgjidhja e problemit (2.24) fillon me zgjidhjen e problemit të vlerës fillestare y(x) = f (x, y), y(a) = s = s1. (2.25) s n N.q.s. shënojmë me y = y(x, s) zgjidhjen e problemit (2.25) atëherë vektori s duhet të përcaktohet në mënyrë të tillë që f(s) = As + By(b, s) - c = 0. (2.26) Sistemi (2.26) është një sistem prej n ekuacionesh jolineare, përkundrejt të panjohurave s 1, s 2,, s n. Zgjidhja e problemit (2.25) me ndonjë prej metodave të integrimit numerik lejon që të fitohen përafrimet y i,s të zgjidhjes y(x i, s) në rrjetin e nyjeve x i = a + i(b - a)/n, i = 1,,N, që sigurisht janë të varura nga s. Në këtë mënyrë sigurohet përafrimi y b,s për y(b, s) që zëvendësohet tek ekuacioni (2.26). Metodat e tipit goditje përdoren për një klasë problemesh mjaft më të gjerë ([15]) se problemet (2.5), (2.9) apo (2.24). Por gjatë zbatimit praktik të tyre ndeshen dy vështirësi: 1. Në përgjithësi është e vështirë të gjenden përafrime fillestare të sakta, të paktën aq sa të sigurohet konvergjenca e iteracionit Njutonian apo sekant. 2. Shpesh problemet e vlerës fillestare ndihmës të gjeneruara prej metodave të tipit goditje si (2.14), (2.15), (2.22), apo (2.25) janë të paqëndrueshme, në kuptimin e qëndrueshmërisë së përshkruar në [16] apo në kapitullin e parë të këtij studimi. Të dyja vështirësitë e mësipërme kapërcehen në një masë të mirë ([15]) në metodën që pason. 18

31 Metoda e goditjes shumëfishe. Në këtë metodë krahas coptimit të zakonshëm të segmentit të integrimit [a, b] në N nënsegmente [x i, x i+1 ] me anën e rrjetit të pikave nyje a = x 0 x 1 x N = b (2.27) bëhet një ricoptim tjetër i segmentit [a, b] në m+1 nënsegmente [t k, t k+1 ] me anën e pikave: a = t 0 t 1 t m t m+1 = b. (2.28) Bashkësia e pikave {t k }, k = 1,,m+1, do të jetë një nënbashkësi e bashkësisë {x i }, i = 0,,N, pra m+1 N. Sa më i vogël të jetë secili prej segmenteve [t k, t k+1 ] (pra sa më i imët të jetë coptimi i dytë), aq më i dobët do të jetë efekti i paqëndrueshmërisë së problemeve të vlerës fillestare ndihmëse. Vazhdimin e mëtejshëm të metodës së goditjes shumëfishe po e bëjmë duke i'u referuar problemit (2.24) të vlerës kufitare. Po japim më poshtë trajtën algoritmike të metodës së goditjes shumëfishe për zgjidhjen e këtij problemi. Algoritmi 2.1 (Metoda e goditjes shumëfishe - rasti i përgjithshëm) Të dhëna: Problemi i vlerës kufitare (2.24) N - numri i nënsegmenteve të segmentit [a, b] x i = a + ih, i = 0,,N - pikat nyje të integrimit Rezultate: Përafrimet y i të zgjidhjes y(x i ) Llogaritje: I. Përcaktimi i rrjetit të pikave t k, k = 0,,m+1 1. Në nyjet x i, duke filluar me i = 1, llogarisim përafrimet Y 1 (x i ), duke zgjidhur problemin e vlerës fillestare y(x) = f (x, y), y(a) = s. s më sipër është një përafrim fillestar i çfarëdoshëm. Për çdo i verifikojmë nëse është i vërtetë mosbarazimi i mëposhtëm Y i 1 > R Y 1 (a) ( = R s ). (2.29) Më sipër R është parametër i përdoruesit. Zakonisht 2 R është një prej normave vektoriale. Shënojmë me j 1 të parin indeks i për të cilin plotësohet (2.29) dhe procesi i llogaritjes së Y 1 (x i ) për i > j 1 ndërpritet. 19

32 Vërejtje: Është më e rekomandueshme që përafrimet Y 1 (x i ) të llogariten me metodën e zakonshme të goditjes dhe në vend të s arbitrare më sipër do të gjenim s = Y 1 (a) 2. Shënojmë me t 1 = x j1 dhe llogarisim përafrimet Y 2 (x i ), për i > j 1 duke zgjidhur problemin e vlerës fillestare 1 y(x) = f(x, y), y(t ) = Y ( t ). Për çdo i verifikojmë nëse është i vërtetë mosbarazimi i mëposhtëm Y 2 (x i ) > R Y 2 (t 1 ). 1 1 N.q.s. mosbarazimi më sipër plotësohet për herë të parë për i = j 2, llogaritja për i > j 2 ndërpritet. 2. Shënojmë me t 2 = x j2 dhe llogarisim përafrimet Y 3 (x i ), për i > j 2 duke zgjidhur problemin e vlerës fillestare 2 y(x) = f(x, y), y(t ) = Y ( t ). Vazhdojmë kështu me rradhë deri sa të gjendet një indeks j k i tillë që 2 t k := x jk = x N-1. Shënojmë m = j k dhe shikojmë se procesi për përcaktimin e rrjetit të pikave t k, k = 0, 1,,m+1, është përfunduar. II. Llogaritja e përafrimeve y i = y(x i ) 4. Në secilin prej nënsegmenteve [t k, t k+1 ] fusim një variabël të ri t me anën e barazimeve: t = x - t h Për x[t k, t k+1 ] fusim shënimet kështu që k k ku h k = t k+1 - t k, k = 0,,m 2 y(x) = y(t k + th k ):= yk (t) fk (t, yk (t)):=h kf (t k th k, yk (t)) (2.30) d yk (t) fk(t, yk(t)) per 0 t 1, k=0,,m (2.31) dt me kushte ndërmjetëse y k+1 (0) - y k (1) = 0 për k= 0,,m-1 (2.32) dhe kushte kufitare Ay 0 (0) + By m (1) - c = 0 (2.33) 20

33 5. (m+1) sistemet e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë (2.31) mund të rishkruhen si një sistem i vetëm prej (m+1)n ekuacioneve diferenciale të rendit të parë: d y ˆ(t)= F (t, y ˆ(t)) per 0 t 1 dt y0(t) f0(t, y0) 1(t) 1(t, 1) ˆ(t)= y, (t, ˆ)= f y y F y ym(t) fm(t, ym) (2.34) Kushtet (2.32) dhe (2.33) mund të kombinohen së bashku në formën Ay ˆ ˆ(0)+ By ˆ ˆ(1)= cˆ (2.35) ku A B c 0 I 0 0 I Aˆ 0 0 I 0, Bˆ 0 I 0 0 0, c I I 0 0 Këtu 0 është matrica katrore zero me përmasa (n,n), I matrica njësi (n,n), vektori c ka (m+1)n komponente, A, B janë matrica katrore bllok (m+1,m+1) dhe çdo bllok është matricë (n,n). 6. Problemi i vlerës kufitare (2.34)-(2.35) mund zgjidhet me metodën e zakonshme të goditjes. Një metodë numerike e tipit të goditjes së shumëfishtë për zgjidhjen e problemit (2.21) është propozuar në [17], ku ndërmjet të tjerash është analizuar problemi i gjetjes së një parametri të përshtatshëm për shumëfishitetin e goditjes. Janë dhënë disa konsiderata, por implementimi i metodës nuk është bërë dhe rezultate numerike për të nuk janë paraqitur. E kemi konsideruar këtë si jashtë caqeve dhe mundësive të këtij studimi. 21

34 2.5.2 Metoda të Diferencave të Fundme për zgjidhjen e problemeve të vlerës kufitare Metodat e këtij paragrafi kanë karakteristika qëndrueshmërie më të mira se metodat e tipit goditje, por kanë kosto llogaritëse më të lartë dhe përdorimi i tyre në zgjidhjen e një problemi konkret kërkon më tepër lodhje e konsum mendor. Ideja qëndrore e metodave me diferenca të fundme është zëvendësimi i derivateve tek ekuacioni diferencial që zgjidhet, me anën e përafrimeve të përshtatshme. Më tej problemi diferencial transformohet në një problem algjebrik, më konkretisht në një sistem ekuacionesh algjebrikë, zgjidhja numerike e të cilit është njëkohësisht zgjidhja e përafërt e problemit diferencial të dhënë. Lineariteti apo jolineariteti i problemit diferencial reflektohet me të njëjtin kah tek problemi algjebrik përkatës. Shtjellimin e mëtejshëm të metodës po e bëjmë duke i'u referuar problemit diferencial kufitar përkatës Rasti linear Konsiderojmë problemin linear të vlerës kufitare y = p(x)y + q(x)y + r(x), y(a) = A, y(b) = B. (2.36) Segmenti i integrimit [a, b] ndahet në N+1 pjesë të barabarta me anën e rrjetit të nyjeve x i = a + ih, për i = 0, 1,, N+1, ku h = (b-a)/(n+1). Pas zëvendësimit të derivateve me diferencat qëndrore dhe pas disa manipulimeve algjebrike, zgjidhja numerike e ekuacionit diferencial (2.36), me metodën e diferencave të fundme të rendit të parë merret duke zgjidhur sistemin algjebrik tridiagonal (2.37) matrica dhe termat e lirë të të cilit, llogariten me anën e formulave (2.38). a i = 2 + h 2 q(x i ), b i = -1 + (h/2)p(x i ), c i = -1 - (h/2)p(x i ), i = 1,,N, d i = -h 2 r(x i ), i = 2,,N-1; d 1 = -h 2 r(x 1 ) - c 1 A, d N = -h 2 r(x N ) - b N B. (2.38) 22

35 Rasti jolinear Për problemin e përgjithshëm të vlerës kufitare: y (x) = g(x,y,y ), y(a) = A, y(b) = B, (2.39) metoda e diferencave të fundme e përshkruar më sipër mund zhvillohet në mënyrë të ngjashme. Veçse këtu sistemi algjebrik rezultant do të jetë jolinear, ashtu si edhe problemi diferencial (2.39). Konkretisht, pas zëvendësimit të derivateve me diferenca qëndrore dhe pas manipulimeve algjebrike analoge me rastin linear fitohet sistemi prej N x N ekuacionesh algjebrike jolineare të formës: 2y 1 - y 2 + h 2 g x y y 2 A 1, 1, A 0 2h -y 1 + 2y 1 - y 3 + h 2 g x y y y 3 1 2, 2, 0 2h -y N-2 + 2y N-1 - y N + h 2 y g x N-1, y N-1, -y N-1 + 2y N + h 2 B y g x N, y N, 2h N-1 i cili mund të zgjidhet vetëm numerikisht. y 2h N N-2 B 0 0 (2.40) Metodat e diferencave të fundme të rendeve të larta Rritja e saktësisë së metodës së diferencave është e lidhur me saktësinë e llogaritjes së derivateve y (x) dhe y (x) sipas formulave të diferencave qëndrore. Zvogëlimi i gabimit lokal të derivateve, që është i formës O(h 2 ), kërkon zvogëlimin e hapit të integrimit h, ndërkaq kjo e fundit sjell drejtpërdrejt rritjen e numrit N (= (b-a)/h) të ekuacioneve të sistemeve algjebrike (2.37) dhe (2.40). Një alternativë tjetër për rritjen e saktësisë, pa e rritur numrin e ekuacioneve algjebrike që duhet të zgjidhen, është rritja e rendit të gabimit lokal të formulave për përafrimin e derivateve y (x) dhe y (x) me diferenca qëndrore. Konkretisht në vend të formulave zakonshme të diferencave qëndrore me rend të gabimit lokal të formës O(h 2 ), mund të përdoren formula të tjera me rend të gabimit lokal më të lartë. Më poshtë jepen dy çifte formulash të tilla me gabime lokale respektivisht të formës O(h 4 ) dhe O(h 6 ). y i = 1 12h (y i-2-8y i-1 + 8y i+1 - y i+2 ), l i = O(h 4 ), 23

36 y i = y i = y i = 1 12h 2 (-y i y i-1-30y i + 16y i+1 - y i+2 ), l i = O(h 4 ), 1 60h (-y i-3 + 9y i-2-45y i y i+1-9y i+2 + y i+3 ), l i = O(h 6 ), 1 180h 2 (2y i-3-27y i y i-1-490y i +270y i+1-27y i+2 + 2y i+3 ), l i = O(h 6 ). Mund të verifikohet se sistemet algjebrike analoge të (2.37) apo (2.40), që do të rezultonin nga përdorimi i formulave me gabim lokal O(h 4 ), do të ishin sisteme me matrica bandë 5-diagonale dhe ekuacionet përkatëse të tyre do të formoheshin për çdo x i, i = 3,, N-2. Për 6 nyjet skajore është e nevojshme të shkruhen formula të tjera, tashmë jo të qendërzuara për shprehjen e përafërt të derivateve. Nxjerrja e formulave të tilla në zbatime të posaçme bëhet sipas parimit të metodës së koefiçientëve të papërcaktuar, ndërkaq përzgjedhja e koefiçientëve motivohet së pari nga ruajtja e saktësisë së procesit të diferencave, në rastin konkret O(h 4 ), dhe më tej nga uniformiteti dhe komoditeti paraqitës i 6 ekuacioneve shtesë në ansamblin e N-6 ekuacioneve bazë. Më të përdorura janë të ashtëquajturat formula të diferencave nga para (forward) për përafrimin e derivateve në nyjen e majtë skajore dhe formulat e diferencave nga pas (backword) për përafrimin e derivateve në nyjen e djathtë skajore. Në kapitullin 3 të këtij punimi, paragrafi 3.1, do të përzgjidhen sipas përshkrimit më sipër formulat përkatëse të diferencave Metoda e diferencave të fundme për ekuacionet diferenciale të rendeve të larta Problemet e vlerës kufitare për ekuacionet diferenciale të rendeve më të larta se dy trajtohen në mënyrë të ngjashme me ato të rendit të dytë, veçse këtu kompleksiteti algjebrik i problemeve vështirëson në mënyrë të ndjeshme nxjerrjen e metodave të diferencave dhe implementimin e tyre në zbatime konkrete. Së pari duhen nxjerrë formula të posaçme dhe të të njëjtit rend, për shprehjen e të gjithë derivateve që figurojnë në ekuacion, me anën e diferencave. Më tej shkruhen formulat me po atë rend për nyjet skajore, numri i të cilave varet nga rendi i ekuacionit diferencial si dhe nga rendi i metodës së diferencave që do të zhvillohet. Po japim më poshtë dy formula të rendit të dytë për shprehjen e derivateve të rendit të tretë e të katërt me anën e diferencave. 24

37 y i = 1 2h 3 (-y i-2 + 2y i-1-2y i+1 + y i+2 ), l i = O(h 2 ), y i (4) = 1 h 4 (y i-2-4y i-1 + 6y i - 4y i+1 + y i+2 ), l i = O(h 2 ) Metoda të posaçme për zgjidhjen e problemeve kufitare Euler-Bernoull Ekuacionet diferenciale të rendeve të larta pas zëvendësimeve të përshtatshme kthehen në sisteme diferenciale të shkallës së parë. Kompleksiteti algjebrik i formulave të diferencave për derivatet e rendeve të larta "transferohet" në kompleksitetin e procedimit algjebrik të sistemeve diferenciale përkatës. Por për sistemet diferenciale të shkallës së parë ka alternativa të tjera për rritjen e saktësisë së përafrimeve të derivateve që janë më racionale dhe më të manipulueshme algjebrikisht se sa alternativa analoge e rritjes së saktësisë e përshkruar në paragrafin Shquhet në veçanti teknika e përafrimit Pade. Sidoqoftë metodat e këtij lloji nuk e kanë universalitetin e MDF apo MEF dhe kërkojnë trajtim specifik sipas problemit diferencial që zgjidhet. Në këtë paragraf do të tregohet se si mund të zgjidhet në mënyrë efiçiente problemi i përgjithshëm Euler - Bernoull me dy metoda të posaçme numerike të rendeve respektivisht 2 dhe 4. Më tej do të zgjidhet i njëjti problem me një metodë numerike të tipit goditje. Do të implementohet konkretisht kjo e fundit dhe do të komentohen e krahasohen rezultatet saj me ato të literaturës [10] dhe [11] Formulimi i problemit kufitar të vlerave të veta në ekuacionin e përgjithshëm Euler-Bernoull Të gjendet vlera e vet më e vogël e parametrit për të cilën ka zgjidhje të ndryshme nga zgjidhja e dukshme y(x) = 0, ekuacioni diferencial me kushte kufitare: ose [ p( x) y ''( x)]'' [ q( x) y'( x)]' [ r( x) s( x)] y( x) 0, a<x<b (2.41) y( a) y''( a) y( b) y''( b) 0 (2.42) y( a) y'( a) y( b) y'( b) 0. (2.43) Me supozimin që funksionet p(x), q(x), r(x) dhe s(x) janë të vazhdueshëm në intervalin [a,b] dhe plotësojnë kushtet p x 2 ( ) C [ a, b], q x 1 ( ) C [ a, b], p(x), q(x), 25

38 s(x) > 0 dhe r(x) 0 për x [a,b], tregohet ([18]) se vlerat e veta të problemit (2.41) janë reale dhe pozitive. Duke futur shënimet u u( x) y'( x), v v( x) y ''( x) dhe w w( x) y'''( x), ekuacioni (2.41) transformohet në sistemin e ekuacioneve diferenciale të rendit të parë. ku DY ( x) Q( x) Y( x) P( x) Y( x), (2.44) Y( x) [w,v,u, y] T. (2.45) D= diag{d/dx}, kurse Q=Q(x) dhe P=P(x) janë matricat 4x4 si më poshtë : Q(x)= ( x) (x) (x) (x) , (2.46) (x) Px ( ) dhe p'( x) q( x) p ''( x) q'( x) ( x) 2, ( x), ( x), px ( ) px ( ) px ( ) Konsiderojmë rrjetin e nyjeve rx ( ) ( x), px ( ) (2.47) sx ( ) ( x). px ( ) ( 2.48) a x x x... x x b, G: o 1 2 N N1 që fitohet nga ndarja e segmentit [a,b] në N+1 nënsegmente të barabartë, secili me gjatësi h=(b-a/(n+1), ku N 5 është një numër i plotë pozitiv. Shkruajmë ekuacionin diferencial (2.41) në nyjen e brendshme x i, i = 1, 2,..., N të rrjetës G: T T Y( x ) [w( x ),v( x ),u( x ), y( x )] [ y'''( x ), y''( x ), y'( x ), y( x )]. i i i i i i i i i T Shënojmë me Y [w,v,u, y], x x, i 1,2,... N. i i i i i i Madhësitë u,, w, y, më sipër janë përafrimet respektive të madhësive teorike i i i i y'''( x), y ''( x), y '( x), y( x ) në piken x x, i 1, 2,... N. i 26

39 Në shënimet e mësipërme për vlerat e indeksit i = 0 dhe i = N+1 fitohen madhësitë respektive në pikat skajore a dhe b. Në procedimet e mëposhtme do të jetë i përshtatshëm përdorimi i vektorit me 4(N+1) përmasa T T T T Y = [Y 1,Y 2,...,Y N,Y N+1]. (2.49) Një metodë numerike e rendit të dytë për zgjidhjen e problemit Euler- Bernoull Konsiderojmë identitetin Y(x+h)=exp(hD)Y(x). (2.50) Duke përdorur përafrimin Pade (1,1) për termin eksopnencial në ekuacionin (2.50) fitohet ekuacioni i rendit të dytë 1 1 (2.51) [ I hd] Y( x h) [ I hd] Y( x) O( h ), ku I më sipër është matrica identike e rendit të katërt. Duke zbatuar relacionin e mësipërm për ekuacionin diferencial (2.44) marrim [ I hq( x h) Y( x h) [ I hq( x)] Y( x) [ hp( x h) Y( x h) hp( x) Y( x)] O( h ), (2.52) ku më sipër P,Q dhe Y janë respektivisht madhësitë e përcaktuara nga (2.47), (2.46) dhe (2.45). Duke zbatuar (2.52) për secilën nga pikat nyje x, k 0,1,2,..., N, të rrjetës G fitohet ku më sipër k1 k1 k k k1 k1 k k k A Y B Y [ E Y F Y ], k 0,1,2,..., N, (2.53) 1 A I hq 2 k1 k1, 1 Bk I hqk, Ek 1 hpk 1, F k 1 hpk, (2.54) 2 për k=0,1,...,n, janë matricat katrore të rendit të katërt, kurse P P( x ) dhe k k Q k Q( x ) llogariten respektivisht nga (2.47), (2.46). Është e qartë se po të k aplikojmë (2.53) për k=0,1,...n dhe (N+1) ekuacionet matricore përkatëse t'i përmbledhim në një ekuacion matricor të vetëm do të marrim: AY ku më sipër matricat bllok A dhe B kanë pamjen BY, (2.55) 27

40 A B A B E F A F E B 2 A 3, B F 2 E 3 B A F E N N1 N N1. (2.56) Relacioni (2.55) nuk është gjë tjetër veçse një problem i përgjithshëm algjebrik i vlerave të veta. Kushtet kufitare (2.42) apo (2.43) të problemit diferencial pasqyrohen në nënmatricat AN 1, B0, EN 1, dhe F 0 tek paraqitja (2.56) Një metodë numerike e rendit të katërt për zgjidhjen e problemit Euler- Bernoull Nqs në ekuacionin (2.50) përdorim përafrimin Pade (2,2) në vend të atij (1,1) atëherë fitohet ekuacioni i rendit të katërt (2.57) [ I hd h D ] Y( x h) [ I hd h D ] Y( x) O( h ). Nga derivimi i relacionit diferencial (2.44) marrim 2 D Y x Q x Y x P x Y x ku Q*(x) dhe P*(x) më sipër rezultojnë të jenë : dhe ( ) *( ) ( ) *( ) ( ), (2.58) 2 Q*( x) DQ( x) Q ( x) (2.59) P*( x) Q( x) P( x) DP( x) P( x) Q( x). (2.60) Zbatimi i relacioneve (2.44) dhe (2.58) tek (2.57) jep (2.61) 2 2 [ I hq( x h) h Q*( x h)] Y( x h) [ I hq( x) h Q*( x)] Y( x) [{ hp( x h) h P*( x h)} Y ( x h) { hp( x) h P*( x)} Y( x)] O( h ). Duke zbatuar (2.61) për secilën nga pikat nyje x, k 0,1, 2,..., N, të rrjetës G në analogji me paragrafin fitohet një relacion i formës (2.53) por me matrica përbërëse si më poshtë 28 k * Ak 1 I hqk 1 h Qk 1, (2.62) * Bk I hqk h Qk, (2.63) 2 12

41 1 1 2 * Ek 1 hpk 1 h Pk 1 (2.64) * Fk hpk h Pk (2.65) Qartazi P P*( x ) dhe * k k Q Q*( x ). * k k Nëse sistemi i ekuacioneve (2.54), tashmë i kompozuar nga matricat bllok (2.62) - (2.65), përmblidhet (shkruhet) si një ekuacion matricor i vetëm, ai do të kishte pamjen e problemit të përgjithshëm algjebrik të vlerave të veta (2.55) Një metodë numerike e tipit goditje për zgjidhjen e problemit Euler- Bernoull Kompleksiteti algjebrik i zgjidhjes së problemeve diferenciale të rendeve të larta me anën e MDF është i dukshëm dhe mund të merret me mend edhe nga trajtimi më sipër me këtë metodë i problemit të moderuar Euler-Bernoull. Metoda numerike e tipit goditje që do të paraqesim më poshtë ul ndjeshëm vështirësitë e procedimit algjebrik, është më e lehtë në implementim dhe më afër realitetit fizik të problemit që zgjidhet. Le të supozojmë se është vlerë e vet reale e problemit (2.41)-(2.42). Konsiderojmë matricën P 4x b2, (2.66) 4 b4 0 a 0 P= a 0 në të cilën minori i rendit të dytë i formuar nga elementët a 2, b 2, a 4 dhe b 4 kërkohet të jetë i ndryshëm nga 0. Le të jetë Y i zgjidhja e problemit Koshi (2.41) me kushte fillestare shtyllën P i të matricës P,. Shënojmë me Y(x) zgjidhjen e përgjithshme të problemit (2.41). Do të kemi: Y=. (2.67) Duke vendosur mbi (2.67) kushtet e majta (2.42) mund të bindemi që Me kushtet (2.68) barazimi (2.67) shkruhet në formën = = 0. (2.68) Y=K 2 Y 2 +K 4 Y 4. (2.69) 29

42 Duke vendosur mbi (2.69) kushtet e djathta (2.42) fitohet sistemi i 2 ekuacioneve lineare homogjene përkundrejt të panjohurave K 2 e K4 që mund të shkruhet në formën e përmbledhur: =0,. (2.70) Mund të formulojmë pohimin: KMN që problemi (2.41)-(2.42) të ketë zgjidhje të ndryshme nga zgjidhja e dukshme Y(x) 0 është që përcaktori i matricës që figuron në anën e majtë të (2.70) të jetë i barabartë me zero (=0). Shënojmë me X matricën e përmendur më sipër dhe me përcaktorin e saj. Nga shtjellimi i mësipërm kemi. Në këtë mënyrë problemi i ekzistencës dhe i gjetjes së zgjidhjes së problemit (2.41)-(2.42) reduktohet në ekzistencën dhe gjetjen e zgjidhjes së ekuacionit algjebrik:. (2.71) Por kuptohet se ne nuk e njohim trajtën analitike të funksionit tek ekuacioni (2.71) përderisa nuk i njohim analitikisht zgjidhjet Y 2i, i =. Supozojmë se zgjidhjet e mësipërme fitohen numerikisht me një proçedurë standarde numerike, psh, me anën e kodit matlabik ode45. Për të zgjidhur numerikisht ekuacionin (2.71) veprohet si më poshtë: Për vlerën e dhënë të λ llogariten koefiçientët e ekuacionit (2.41) që varen nga λ. Me anën e kodit ode45.m zgjidhet problemi (2.41) me kushte fillestare respektivisht shtyllat çift të matricës P 4x4 dhe me rreshtat çift të matricës së rezultateve Y 4x2 të fituara formohet matrica X 2x2. Struktura specifike e matricës P tek (2.66) kushtëzohet nga fakti i thjeshtimit të ndjeshëm të zgjidhjes (2.69). Në implementimin që kemi bërë më poshtë në vend të kushteve të përgjithshme (2.66) kemi marrë për lehtësi P = I 4x4. Në përgjithësi përzgjedhja e konstanteve që figurojnë tek matrica P mund të orientohet nga ideja e një shkallëzimi të përshtatshëm që mund t i bëhet problemeve të vlerës fillestare të gjeneruara prej P. Ekuacioni (2.71):, është në fakt një testim i singularitetit të matricës X. Po sikurse dihet testet = = 0 apo TOL nuk janë të përshtatshme nga pikëpamja numerike për të testuar singularitetin e një matrice sepse në përgjithësi është e vështirë të përcaktohet toleranca TOL në mënyrë korrekte. Ndërkaq të ashtëquajturit numra kushtëzimi të matricës (numri Hadamard, rrezja spektrale e matricës, etj.) janë tregues më të qënësishëm për këtë qëllim. Në veçanti numri i kushtëzimit dhe kodi MATLAB cond(x) që shërben për llogaritjen e tij, rezulton 30

43 mjaft efektiv në testimin e singularitetit të matricës X. Sa më i madh të jetë ky numër aq më singulare është matrica X. Në implementimin tonë më poshtë ne kemi ndërtuar funksionin MATLAB num_kusht.m për të llogaritur madhësinë w = -cond(x) në funksion të λ, pra w = w(λ). Arsyeja e llogaritjes së w është e qartë: Problemi i zgjidhjes së ekuacionit zëvendësohet me problemin ekuivalent të gjetjes së minimumit të funksionit w(λ). Kodi Matlab i skedar-funksionit num_kusht.m ka pamjen: function w=num_kusht(llanda) % për llandën e dhënë ky funksion llogarit numrin e kushtëzimit të matricës X Ya=ode45(problemi_e_b', [0 1], [0 a 2, 0 a 4 ]); Yb=ode45('Problemi_E_B', [0 1], [0 b 2, 0 b 4 ]); X=(1,1)=Ya(end,1); X=(2,1)=Ya(end,3); X=(1,2)=Yb(end,1); X=(2,2)=Yb(end,3); w= - cond(x); Skedari i mësipërm plotësohet me skedarin ndihmës problemi_e_b.m që matlabizon ekuacionin diferencial (2.41). Më pas ekzekutimi i komandës llanda_min= fmeansearch('num_kusht', llanda0) jep zgjidhjen e problemit (2.41) - (2.42). Proçedura e mësipërme përshtatet me lehtësi për zgjidhjen e problemit (2.41) - (2.43). Vihet re se metoda e përshkruar më sipër zgjidh drejtpërdrejt problemin Euler- Bernoull të formuluar në (2.41) - (2.42) - (2.43) në kuptimin që gjen vlerën më të vogël të vet të kërkuar, në kontrast me metodën e diferencave që e redukton problemin origjinal në problemin e përgjithshëm algjebrik të vlerave të veta. Proçedurat standarde për zgjidhjen e këtij të fundit gjejnë të gjitha vlerat e veta të problemit, që janë aq sa është rendi i matricave A dhe B tek (2.55) dhe që praktikisht nuk kërkohen e nuk nevojiten Eksperimente numerike Shembull 2.1. Tek [10] është zgjidhur me një metodë diferencash me rend konvergjence 2 problemi i mëposhtëm diferencial: [(1 x ) y'']'' [(1 x ) y']' [(1 x ) (1 x) ] y 0, 0<x<1, (2.72) 31

44 me kushte kufitare y(0) y ''(0) y(1) y ''(1) 0. (2.73) Rezultatet numerike përkatëse janë riprodhuar në tabelën e mëposhtme ku janë pasqyruar vlerat e veta λ në funksion të numrit N (segmenti [0 1] është ndarë në (N+1) pjesë të barabarta). Tabela 2.1 Paraqitja e gabimeve relative për h 2 m të shembullit 2.1 sipas metodës së [10] m N= 2 m -1 λ gabimi relativ Në tabelën e mësipërme, si dhe në tabelat analoge në vazhdim, në mungesë të vlerës teorike (ekzakte) minimale të parametrit λ, për efekt të llogaritjes së gabimit relativ është konsideruar si vlerë ekzakte e λ vlera e saj e llogaritur për vlerën më të madhe të N. Pra gabimet relative për vlera të ndryshme të N janë llogaritur me formulën N N gabimi relativ max. Tek [11] është zgjidhur problemi diferencial (2.72) - (2.73) me metodat e rendeve 2 dhe 4 të përshkruara në paragrafet respektive dhe Rezultatet numerike përkatëse janë riprodhuar në tabelat respektive 2.2 dhe 2.3. N 32

45 Tabela 2.2 Metoda e rendit të dytë për llogaritjen e vlerës vetjake më të vogël në shëmbullin 2.1 m N λ gabimi relativ Tabela 2.3 Metoda e rendit të katërt për llogaritjen e vlerës vetjake më të vogël në shëmbullin 2.1 m N λ gabimi relativ Në të njëjtat kushte si më lart kemi implementuar metodën numerike të përshkruar në paragrafin Për të bërë të mundur korrelimin dhe krahasimin e rezultateve në vend të kodit standard Matlab ode45 është implementuar metoda e pikës së mesme (e rendit të dytë) dhe metoda Runge_Kutta klasike (e rendit të katërt). Janë përdorur këto kode për po ato vlera të N si në rastet e mësipërme. Metoda e rendit të dytë prodhoi rezultate të të njëjtit rend me ato të tabelës 2.2, por me konstante gabimesh më të 33

46 larta. Ndërkaq metoda e rendit të katërt, prodhoi rezultate thuajse identike me metodën analoge të [11]. Rezultatet përkatëse janë paraqitur në të njëjtën tabelë 2.4. Tabela 2.4: Metoda e rendit të dytë dhe e rendit të katërt për llogaritjen e vlerës vetjake më të vogël në shembullin 2.1 Metoda e rendit të dytë Metoda e rendit të katërt m N λ Gabimi relativ λ Gabimi relativ E E E E E E E E E E E E E E Nga 4 tabelat e rezultateve numerike më sipër vihet re se për vlera të mëdha të N rezultatet e metodës së rendit të katërt janë mjaft më të sakta se rezultatet përkatëse të fituara nga tri metodat e rendit të dytë. Rezultatet më të dobëta të metodës së rendit të dytë në tabelën 2.4 janë të shpjegueshme po të kemi parasysh paqëndrueshmërinë eventuale të problemeve Koshi të gjeneruara prej metodës së tipit goditje. Por duke pasur parasysh aparatin e fuqishëm të metodave për zgjidhjen e problemit Koshi, praktikisht rendi i metodës së përshkruar në mund të rritet pa kufizim. Për të rritur saktësinë në mënyrë optimale mund të përdoret kodi Matlab me hap të ndryshueshëm ode45. Përsa i përket kohës kompjuterike të zgjidhjes së problemit, për shumë arsye, metoda e propozuar është mjaft më e shpejtë se metodat e diferencave. 34

47 2.5.4 Metoda e elementëve të fundëm për zgjidhjen e problemeve kufitare Parime të përgjithshme të zgjidhjes së përafërt Nga problemet matematike (2.1), (2.2), (2.3) të formuluara në fillim të këtij kapitulli, këtu po zgjedhim si përfaqësues problemin e parë, meqënëse metoda e elementëve të fundëm është më e preferuara për zgjidhjen e tij. Ideja qëndrore e ndërtimit të një zgjidhjeje të përafërt për problemet (2.1) është kërkimi dhe gjetja e një funksioni U të formës m U = c i i, (2.74) i=1 ku { i }, i = 1, 2,, m, është një sistem i dhënë funksionesh linearisht të pavarur, të përcaktuar në S, që quhen funksione bazë dhe {c i }, i = 1,, m, janë konstante të panjohura që kërkohen. Sistemi i funksioneve bazë { i } zakonisht zgjidhet i tillë që çdo i të plotësojë po ato kushte kufitare që plotëson edhe zgjidhja u e problemit diferencial. Në këtë rast funksioni U do të plotësonte automatikisht kushtet kufitare të problemit. Sistemi { i } mund të jetë i fundëm ose i pafundëm. Në rastin e pafundëm, sistemi { i } preferohet të jetë i plotë. Barazimi (2.4) përbën një klasë tepër të gjerë e të përgjithshme metodash të përafërta. Specialitetet e veçanta të tyre përcaktohen nga mënyrat e veçanta të zgjedhjes së funksioneve bazë i, ose nga mënyrat e ndryshme të përcaktimit të konstanteve të panjohura c i, i = 1, m. Lidhur me mënyrën e përcaktimit të konstanteve c i dallohen 2 tipe metodash: A. Metoda variacionale Sipas kësaj metode problemi diferencial (2.1) transformohet fillimisht në një problem ekuivalent variacional, kur kjo gjë është e mundur. Në përgjithësi një problem variacional konsiston në gjetjen e një funksioni u që minimizon ose maksimizon një funksional I(u). Tipi më i përdorur i funksionalit është ai integral. Këtu do të na interesoje funksionali integral 1-përmasor i trajtës: x2 I(u) = F(x, u, u, u) dx, (2.75) ku u(x) është funksion me derivat të dytë u (x) të integrueshëm në [x 1 x 2 ]. Varianti analog 2-përmasor ka trajtën x1 35

48 I(u) = F(x, y, u, ux, uy, u xx, u xy, u yy ) dxdy. (2.76) D Për të thjeshtuar simbolikën, një funksional çfarëdo 3-përmasor po e shkruajmë thjesht në formën I(u) = F(u)dxdydz, (2.77) duke nënkuptuar F si funksion të u dhe të derivateve të pjesshme të tij. Problemi variacional lidhur me funksionalin (2.77) mund të formulohet: Të gjendet funksioni u nga bashkësia e funksioneve për të cilën funksioni F(u) është i integrueshëm në, i tillë që funksionali (2.77) të marrë vlerën minimum. Transformimi variacional i një problemi diferencial konsiston në ndërtimin e një problemi variacional, zgjidhja e vetme e të cilit është po ajo e problemit diferencial. Transformimi i problemit diferencial (2.1) në një problem ekuivalent variacional dhe gjetja e ndërtimi konkret i funksionit F(u) dhe integralit I(u) më sipër, në përgjithësi është problem i vështirë dhe i pazgjidhur përfundimisht. Pohimi i mëposhtëm jep një pamje të pjesshme të problemit: Kusht i nevojshëm për minimizimin e funksionalit (2.75), respektivisht (2.76), është plotësimi i ekuacionit Euler- Lagranzh: F d F u dx u + d 2 dx 2 F u = 0, (2.78) respektivisht F F F u x u y u F + F + F = 0 2 x y x uxx xy uxy y 2 u yy (2.79) Dy ekuacionet Euler-Lagranzh (2.78) dhe (2.79) më sipër janë ekuacione diferenciale që funksioni u(x) duhet të plotësojë. Por vemë në dukje se jo në çdo rast zgjidhja u e ekuacionit Euler-Lagranzh mund të jetë zgjidhja minimale e problemit variacional origjinë, pasi ky ekuacion përbën vetëm një kusht të nevojshëm por jo të mjaftueshëm për minimizimin e funksionalit variacional. Në përgjithësi, është e nevojshme të verifikohet nëse zgjidhja u e gjetur prej ekuacionit Euler-Lagranzh, është vërtet një minimum i funksionalit variacional, por në praktikë kjo është disi e vështirë. Shpesh konsideratat fizike përdoren për këtë qëllim. Ndërkaq, problemi i anasjelltë, i transformimit të një problemi diferencial të dhënë, në një problem variacional 36

49 ekuivalent, është më i vështirë dhe teorikisht është një problem i pazgjidhur. Vetëm për klasa të caktuara e standarde ekuacionesh diferenciale (2.1), teoria ka përpunuar e gjetur variantin variacional. Në shumë zbatime praktike parimet variacionale marrin kuptime fizike të caktuara, si p.sh. parimi i minimumit të energjisë në problemet e teorisë së elasticitetit apo mekanikën e trupit të ngurtë. Në këto raste forma variacionale e problemit mund të jetë po aq evidente në formulim, sa ajo diferenciale. Në përgjithësi alternativa variacionale e një problemi diferencial është më e thjeshtë dhe më e manipulueshme matematikisht se problemi diferencial ekuivalent, sepse rendi i derivateve që figurojnë nën integralin variacional është më i ulët se ai i ekuacionit diferencial. Duke zëvendësuar (2.74) tek (2.77) do të kemi I(U) = I(c 1,, c m ). Kushtet e nevojshme të ekstremum-minimumit të I(c 1,, c m ) janë: I c = 0, i = 1,,m. (2.80) i Sistemi algjebrik (2.80) është linear n.q.s. problemi diferencial (2.1) është i tillë. B. Metoda e mbetjeve të peshuara. N.q.s. zëvendësojmë funksionin U të përcaktuar sipas (2.74) tek problemi diferencial (2.1) në përgjithësi do të kemi: AU f në dhe BU = g në S. (Këtu është supozuar që funksionet i, i = 1,,m, plotësojnë kushtet kufitare të problemit (2.1), për rrjedhojë edhe funksioni U, i plotëson këto kushte). Shënojmë me R diferencën R(U) = AU - f në. Funksioni R(U) quhet mbetje ose gabim i zgjidhjes së përafërt U. Në çdo pikë të zonës, mbetja R(U) jep madhësinë me të cilën zgjidhja e përafërt U dështon të plotësojë problemin diferencial (2.1) në atë pikë. Kuptohet nga më lart se R = R(U) = R(c 1,.c m ). Është e kuptueshme që përcaktimi i koefiçientëve c 1,,c m më sipër do të udhëhiqet nga logjika e minimizimit të mbetjes R. 37

50 Metoda e mbetjeve përcakton konstantet c 1,, c m sipas kriterit të minimizimit të mbetjes R, ose zvogëlimit të saj deri në një tolerancë të përcaktuar dhe paracaktuar nga përdoruesi. Konsiderojmë gabimin integral (shumor) të peshuar, me peshë funksionin peshues W, të gabimit R në zonën :. (2.81) I(U) = WRd = W[AU-f]d Shprehja e mësipërme konsiderohet si relacioni themelor i metodës së mbetjeve të peshuara. Krahas sistemit të funksioneve bazë { i }, zgjidhet sistemi i funksioneve peshues {W i }, i = 1,, m, të përcaktuar dhe linearisht të pavarur në dhe vendosen kushtet që mbetja e peshuar (2.81) të bëhet zero për secilin funksion W i, pra Wi Rd = W i[au - f]d =0, i = 1, 2,,m. (2. 82) Që këtej del se në një farë kuptimi R 0. Ekuacionet algjebrikë (2.82) zgjidhen përkundrejt C i dhe pastaj me anën e (2.74) fitohet zgjidhja e përafërt U. N.q.s. heqim dorë nga kërkesa që sistemi i funksioneve bazë { i } të plotësojë kushtet kufitare të problemit (2.1) atëherë mbetja R(U) do të kishte formën: AU-f në R(U)= BU-g në S Në këtë rast krahas sistemit të funksioneve peshues {W i } në, zgjidhet sistemi i funksioneve peshues {V i } në S, dhe relacioni bazë (2.82) merr formën: W i[au - f]d + Vi [ BU - g]ds = 0, i = 1,,m. (2.83) S Kuptohet se në varësi të mënyrave të shumta të zgjedhjes së funksioneve bazë { i }, funksioneve peshues {W i } e {V i } dhe në varësi të teknikave të trajtimit të mbetjeve të peshuara {W i R} e {V i R}, kemi një varietet të gjerë metodash të tipit mbetje. Për shumë probleme lineare të formës (2.1), bile edhe për disa raste jolineare, teoria ka vërtetuar ([19]) se R(U) 0 kur m. Megjithatë, studimet teorike mbi konvergjencën dhe kufijtë e gabimeve në metodat e tipit mbetje janë mjaft të pakta. 38

51 Parime të përgjithshme të metodës së elementëve të fundëm - kontekst një - përmasor Metoda e elementëve të fundëm (MEF) mund të shikohet si një nënklasë e veçantë e metodave të tipit (2.74). Zona S ndahet në elemente. Për çdo element zgjidhet një numër i njëjtë pikash nyje (pikat më të shquara të elementit). Për çdo nyje i, i=1,...,m, zgjidhet një funksion forme N i që do të jetë një splain linear, ose dy funksione forme N i0 (x) dhe N i1 (x) që do të jenë dy splaine kubike, ose më tej akoma. Konstantet c i në metodën e elementëve të fundëm përkojnë të jenë vlera të zgjidhjes së kërkuar u dhe/ose të derivateve të saj, në një bashkësi pikash të zonës S. Për synimet e këtij studimi po paraqesim shkurtimisht ilustrime për rastin 1-përmasor të MEF. Figura 2.2: Funksionet e formës për segmentin [a,b] me 5 elementë. Funksioni i formës N i që i korrespondon nyjes x i, i = 1,,4, në fig. 2.2, analitikisht shkruhet: N i (x) = x-xi-1 x [x i-1, x i ] xi x i-1 x-xi+1 x [x i, x i+1] xi xi+1 0 x [a,x i-1] [x i+1, b] Formula e mësipërme mund të përshtatet për funksionet e formës N 0 (x) dhe N 5 (x), që i përgjigjen nyjeve skajore x 0 dhe x 5. Funksionet e formës N i (x) më sipër janë splaine lineare (të rendit të parë). Në vend të tyre mund të përdoren splainet kubike (dy splaine për çdo nyje), N i0 (x) dhe N i1 (x). Forma analitike e këtyre të fundit jepet më poshtë. 39

52 2 x - x 2 x - x i i x i x i-1 x x 2 x - x N i0 (x) = 2 x - x i i x i+1 x i x x 0 x - x i 1 x i x i-1 x - x i N i1 (x) = 1 x i+1 x i i i-1 i+1 i x - x x x i i i-1 x - x i x x i+1 i x [x i-1, x i ] x [x i, x i+1] x [a, x ] [ x, b] x [x, x ] i-1 i+1 i-1 i x [x, x ] i i+1 x [a, x ] [ x, b] i-1 i+1 Relacioni (2.74) që jep zgjidhjen e përafërt të problemit në MEF merr formën U = m u N i i S. (2.84) i=1 Mund të verifikohet lehtë se ky relacion i fundit përbën një interpolim splain linear të funksionit u në zonën S. Në rastin 1-përmasor ky interpolim paraqitet në Fig Në rast se për çdo nyje x i do të zgjidheshin si funksione forme splainet kubike N i0 dhe N i1 atëherë në vend të interpolimit splain (2.84) do të kishim interpolimin Hermitian të formës: U = m u N i i0 + u i N i=1 m i=1 1i S. (2.85) Koefiçientët e panjohur u i tek paraqitja e përgjithshme (2.84) (apo u i dhe u i tek paraqitja e veçantë 1-përmasore (2.85)), përbëjnë të ashtëquajturën fushë të variableve nyjore. Konçidenca e tyre me vlerat e funksionit të kërkuar u (apo të derivateve të tij) në pikat nyje përbën një veçanti tjetër themelore të metodës së elementëve të fundëm. 40

53 Figura 2.3: Funksioni u(x) dhe interpolanti splain i tij U M (x) Për të finalizuar një metodë të elementeve të fundme relacioni (2.84) apo (2.85) zëvendësohet në ekuacionin (2.77) apo (2.83), sipas tipit të metodës së zgjedhur: Metoda Ritz që është metodë variacionale ose metoda Galerkin që është e tipit mbetje. Përfundimisht zgjidhja e problemit diferencial (2.1) me cilëndo nga metodat e elementëve të fundëm më sipër sillet në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike, lineare ose jolineare, me të panjohur koefiçientët u i (apo edhe u i ) në paraqitjet (2.84) apo (2.85). Secili ekuacion përmban vetëm një pjesë të vogël të të panjohurave të sistemit. Si rrjedhim në rastin linear matrica e sistemit algjebrik është e rrallë dhe në përgjithësi matricë bandë. Vemë në dukje se në zbatimin konkret të metodës së elementëve të fundëm janë në dorën e përdoruesit dhe varen nga problemi konkret këto elementë: a) Tipi ose forma e zgjedhur e elementit, b) Numri i elementëve M, c) Numri i nyjeve për çdo element s, d) Forma e zgjedhjes së nyjeve për çdo element, e) Funksionet e formës për çdo nyje dhe tipin e zgjedhur të elementëve, f) Metoda e elementëve të fundëm e zgjedhur, që mund të jetë variacionale apo e tipit mbetje. 41

54 Zgjidhja e problemit kufitar me metodën Galerkin Për shkak të kompleksitetit llogaritës algjebrik një zbatim konkret të metodës Galerkin, po e realizojmë nëpërmjet problemit kufitar të thjeshtuar: 2 du 2 -u=-x, dx 0 x 1, u(0) = 0 dhe u(1) = 0. (2.86) Relacioni themelor (2.81) i metodës së mbetjeve të peshuara merr formën du I(U)= W 1 2 -U+x dx 2 0 dx. (2.87) Nëse integrojmë me pjesë komponenten e parë më sipër (atë me derivatin e rendit më të lartë), relacioni i "fortë" i mbetjeve të peshuara merr formën e "zbutur" 1 dw du du I(U)= - -WU+xW dx+ W =0 0 dx dx dx, (2.88) 0 formë në të cilën funksioni U kërkohet të jetë një herë i derivueshëm, jo dy herë si në ekuacionin (2.87). Zëvendësojmë në relacionin e mësipërm funksionin U sipas barazimit (2.84): 1 1 n xi+1 1 dw du du I(U)= - -WU+xW dx W =0 1 xi 0 dx dx dx 0, (2.89 ) ku n është numri i elementeve. Shqyrtojmë elementin e ). Funksioni U në segmentin [x i x i+1 ] ka trajtën te i : [x i x i+1 x -x x-x U = u + u = N (x)u +N (x)u x -x x -x i+1 i i i+1 i i i+1 i+1 i+1 i i+1 i Në metodën Galerkin merret W i (x) = N i (x), i = 1, 2,..., n. Duke bërë zëvendësimet dhe kryer veprimet në shprehjen. ], (i=1,2,3,...,n marrim paraqitjen x i+1 x i dw du - -WU+xW dx dx dx ku x i+1 i+1 i ' ' i i i ' Ni N i+1+ Ni Ni+1dx + x dx, xi ' x N N u N N u i+1 N i+1 i+1 x N i i+1 dn ' i N= i dhe dx dn N =. dx ' i+1 i+1 Pas llogaritjes së integraleve dhe disa veprimeve në paraqitjen e fundit marrim 42

55 1 hi 1 hi ( 1 2 ) 3 6 u hi 6 i xi x h i i hi 1 h 1 i hi hi ( ) 6 3 ui xi xi h 6 i hi Supozojmë p.sh. se n = 3. Shprehja (2.90) e shkruar për çdo element rezulton: Elementi u u Elementi u u Elementi u u (2.90) Duke përmbledhur të treja shprehjet në një relacion të vetëm matricor marrim sistemin: u u u u Nga zgjidhja e sistemit gjejmë u 1 0.0, u , u dhe u Eshtë e lehtë tani të vemë re se për problemin e përgjithshëm u (x)+p(x)u (x)+q(x)u(x)=f(x), a x b u(a)=0, u(b)=0 formulimi i "zbutur" (2.88) merr formën b a dw du du - +Wp(x) +Wq(x)U dx= fwdx dx dx dx dhe procedimet e mëtejshme vazhdojnë për analogji. Ne kemi imlementuar në Matlab metodën Galerkin për problemin e mësipërm. Rezultate numerike jepen në paragrafin që pason. Kodet përkatës Matlab janë paraqitur në shtojcën e këtij punimi. b a Analizë krahasuese e metodave bazë nëpërmjet eksperimentit numerik Në këtë paragraf nëpërmjet problemit të thjeshtë kufitar: 43

56 me zgjidhje analitike të njohur: y = 3y - 2y + 1, y(0) = 0, y(1) = 0 (2.91) 2x x 1 1/ y( x) c1e c2e, ku c1, c2 1 2 exp(1) 2 exp(1) do të testojmë 3 nga metodat bazë numerike që kemi përshkruar: Metodën Galerkin të paragrafit më siper, MDF të paragrafit dhe metodën e goditjes të paragrafit Për koherencë do të përdorim të njëjtin coptim të segmentit të integrimit për të tre metodat. Po kështu për koherencë është përzgjedhur metoda e pikës së mesme për zgjidhjen e problemeve Koshi që gjeneron metoda e goditjes, që është me rend 2, sikurse MDF e përzgjedhur. Metodat janë testuar për tre coptime të ndryshme të segmentit të integrimit. Saktësia e secilës metodë është vlerësuar me anën e normës L. L y Y max y (Y ). N j N j j Rezultatet numerike të saktësisë për secilën metodë në funksion të numrit të elementëve apo intervaleve të coptimit N janë paraqitur në tabelën 2.5 më poshtë. Tabela 2.5: Gabimet sipas normës L të tri metodave bazë të integrimit numerik N Metoda Galerkin MDF Metoda e goditjes E E E E E E E E E-005 Rezultatet e mësipërme janë paraqitur dhe analizuar në [18]. Nga rezultatet e mësipërme vihet menjëherë re rendi i njëjtë i saktësisë së tre metodave. Por ndërsa metoda MDF dhe ajo e goditjes kanë thuajse të njëjtën konstante gabimi (pra janë gati ekuivalente), metoda Galerkin e ka konstanten e gabimit rreth 2.5 herë më të vogël. Mund të shprehemi se metoda Galerkin është konvencionalisht 2.5 herë më e saktë se dy metodat e tjera. Figura e mëposhtme paraqet grafikisht zgjidhjen teorike dhe rezultatet numerike të MDF për N =

57 Fig. 2.4: Krahasimi i zgjidhjes teorike me atë të MDF për problemin (2.91) Zgjidhja e problemit kufitar (2.8) - (2.9) me Metodën Rayleigh - Ritz Po riformulojmë problemin kufitar të paragrafit Të gjendet funksioni u(x) që kënaq ekuacionin diferencial d dy ( p(x) ) + q(x)y = f(x), x[0,1], (2.8) dx dx me kushte kufitare y(0) = y(1) = 0. (2.9) Me kushtet: p C 1 [0,1], q, f C[0,1], p(x) 0 dhe q(x) 0 problemi (2.8)-(2.9) ka zgjidhje të vetme. Sikurse përmendëm më lart, n.q.s. një problem i vlerës kufitare përshkruan një fenomen fizik, atëherë zgjidhja e tij kënaq një veti të caktuar variacionale. Kjo gjë ndodh edhe me problemin e përkuljes së traut që përshkruhet prej ekuacionit diferencial (2.8)-(2.9). 45

58 Teorema 2.3 (Forma variacionale e problemit (2.8)-(2.9)) Funksioni y(x) C 0 2, është zgjidhje e vetme e problemit (2.46)-(2.47), atëherë dhe vetëm atëherë kur y(x) është i vetmi funksion nga bashkësia e funksioneve që minimizon integralin {u(x) u(x) C 0 2 [0,1]}, 1 I(u) = {p(x)[u (x)] 2 + q(x)[u(x)] 2-2f(x)u(x)}dx. (2.92) 0 Metoda Rayleigh - Ritz për zgjidhjen e problemit (2.8)-(2.9), mbështetet mbi parimin variacional të tij. Por në procedurën Rayleigh - Ritz, integrali I(u) nuk minimizohet në bashkësinë e gjerë {u(x)} që jep Teorema 3.2, por në bashkësinë {c c n n }, që është bashkësia e kombinimeve lineare të një sistemi funksionesh bazë { i }, i = 1,, n. Sistemi { i } i metodës Rayleigh - Ritz plotëson po ato kushte kufitare që plotëson zgjidhja y(x), pra Shënojmë me i (0) = i (1) = 0, për i = 1, 2,, n. Duke zëvendësuar (x) tek (2.92) do të kemi (x) = c c c n n =c i i. i=1 n I() = I(c i i ) = I(c 1, c 2,, c n ). (2.93) i=1 Kushtet e nevojshme të ekstremum-minimumit të I() tek (2.93) janë: I / c j = 0, j = 1, 2,, n. (2.94) Barazimet (2.94) pas kryerjes së disa veprimeve algjebrike marrin trajtën: n 1 1 [ {p(x) i (x) j (x) + q(x) i (x) j (x)}dx]c i = f(x) j (x)dx. (2.95) i=1 0 0 j = 1, 2,, n. Veçoria e parë dalluese e Metodës Rayleigh - Ritz është mënyra e veçantë e zgjedhjes së bazës { i }. Dallohen dy raste. Rasti a: Funksionet bazë pjesë-pjesë lineare Segmenti i integrimit [0,1] ndahet në n+1 pjesë çfarëdo me anën e nyjeve 0 = x 0 x 1 x n x n+1 = 1, h i = x i+1 - x i. n 46

59 Funksionet 1 (x),, n (x) zgjidhen si më poshtë: i (x) = 0 x xi 1 hi 1 xi+1 x hi 0 0 x x i-1 x x x i-1 i x x x i i+1 x x 1 i+1 (2.96) i = 1, 2,,n Nga (2.96) nxjerrim 0 0 x xi-1 1 x i-1 x xi h i1 i (x) = 1 x x x h i 0 x i+1 x 1 i i+1 (2.97) i = 1, 2,,n. Pas zëvendësimeve të (2.96) dhe 2.97) tek (2.95) dhe pas kryerjes së veprimeve në analogji me metodën Galerkin sistemi linear (2.51) reduktohet në një sistem linear tridiagonal të formës: Ac = b, (2.98) meqënëse i (x) dhe i (x) janë jo zero vetëm për x [x i-1, x i+1 ]. Tregohet se matrica tridiagonale A është simetrike dhe pozitivisht e përcaktuar. Elementët jo zero të A, (a ii, a i,i+1 dhe a i,i-1 ) dhe elementët e b llogariten me formula kuadraturash si funksione të p(x), q(x), i (x), i (x) dhe f(x). Zgjidhja e përafërt plotëson kushtin (x) = c c c n n = c i i i=1 (x) - y(x) = O(h 2 ), x[0,1]. n Rasti b: Funksionet bazë K-kubik Segmenti i integrimit [0, 1] ndahet në n+1 pjesë të barabarta me anën e rrjetit të nyjeve x i = ih, për i = 0, 1,, n+1, ku h = 1/(n+1). Për çdo nyje x i, i = 0, 1,, n+1, ndërtohet K-kubiku e vet shoqërues S i trajta e të cilit është: 47

60 S i (x) = 0 x - x 2 h 24 x - x 2 h 24 x - x i 2 h 24 x - x i 2 h i i i i i i i 3 3 x - x x - x 1 h h 6 4 x - x x - x 1 h h x - x h 6 i 3 x - x 1 h 6 x x i-2 x x x i-2 i-1 x x x i-1 i x x x i i+1 x x x i+1 i+2 x x Që të kenë kuptim formulat e mësipërme për K-kubikët S 0, S 1, S n, S n+1, përcaktohen nyjet fiktive x -2 = -2h, x -1 = -h, x n+2 = (n+2)h, x n+3 = (n+3)h. Një K-kubik tipik S i (x) është paraqitur në figurën 2.5. i+2 Figura 2.5: K-kubiku tipik S i Mund të tregohet që sistemi {S i } është linearisht i pavarur. Vihet re se K-kubikët S i (x) mund të shprehen me anën e një kubiku të përgjithshëm S(x) në formën S i (x) = S x - x h ku K-kubiku S(x) ka formën i, i = 0, 1,, n+1, 48

61 S(x) = 0 x x 1- x 3 x 1+ x - 2 x x 1- x 3 x - 1 x x 1- x 0 x x 1 x x 2 Me qëllim që K-kubikët S i të plotësojnë kushtet kufitare i (0) = i (1) = 0, i = 0, 1,, n+1, është e nevojshme të modifikohen si më poshtë K-kubikët skajorë S 0, S 1, S n, S n+1. Me këtë modifikim, përfundimisht sistemi i funksioneve bazë është: (Shiko fig. 2.6) i (x) = S x) - 4S x + h 0 ( i = 0 h S x) - S x + h 1( i = 1 h S i (x) 2 i n - 1 x - (n + 2)h S n ( x) - S i = n h x - (n + 2)h Sn+1( x) - 4S i = n + 1 h Figura 2.6: Funksionet bazë skajorë 0, 1, n, n+1 Meqënëse i (x) dhe i (x) janë jo zero vetëm për x [x i-2, x i+2 ], atëherë matrica e sistemit linear (2.51), është një matricë shtatëdiagonale e formës: 49

62 (2.99) ku a i,j = 1 {p(x) i (x) j (x) + q(x) i (x) j (x)}dx, 0 për çdo i,j = 0, 1,,n+1. Matrica A është pozitivisht e përcaktuar, kështu që sistemi linear (2.92) mund të zgjidhet me anën e metodës Choleski. Me supozimet e bëra në hyrje të këtij paragrafi, për funksionet p(x), q(x), f(x), garantohet që (x) - y(x) = O(h 4 ), x[0,1]. Metoda Rayleigh - Ritz e përshkruar më lart mund të përdoret me tipe të tjera funksionesh bazë, përveç atyre që u trajtuan në rastet a dhe b më sipër. Polinomet pjesë-pjesë kubik të Hermitit përbëjnë një nga tipet e përdorur shpesh në praktikë. Një trajtim i hollësishëm i këtij rasti gjendet tek [19]. Padyshim që problemi i vlerës kufitare (2.46)-(2.47) mund të zgjidhet drejtpërdrejt me metodën e Galerkinit të paragrafit Këtu është interesante të shënohet se metoda e Galerkinit, në thelb e ndryshme nga metoda Rayleigh - Ritz, në zgjidhjen e problemit (2.8)-(2.9), çon në të njëjtin sistem ekuacionesh (2.95). Për probleme të tjera të vlerës kufitare një gjë e tillë nuk ndodh, pra problemi (2.8)-(2.9) përbën një pikë takimi të dy metodave. 50

63 Algoritmi 2.2 (Metoda Rayleigh-Ritz, me funksione bazë K-kubik) Të dhëna: Problemi i vlerës kufitare d dy ( p(x) ) + q(x)y = f(x), x[0,1], y(0) = y(1) = 0 dx dx n - numri i nyjeve të brendshme Rezultate: Përcaktohen koefiçientët c i në përafrimin e zgjidhjes Llogaritje: n (x) = c i i i =1 1. h = 1/(n+1), për i = 0,,n+1 përcaktohen x i = ih 2. Përcaktohen funksinet S(x) dhe i (x) si më sipër 3. Për i = 0, 1,, n+1 kryhen veprimet Për j = i, i+1,,min(i+3, n+1) L = max(x j-2, 0) U = min(x i+2, 1) Llogariten numerikisht integralet: U a i,j = {p(x) i (x) j (x) + q(x) i (x) j (x)}dx L a ji = a ij (meqënëse A është simetrike) 5. N.q.s. i 4 atëherë për j = 0,,i-4 bëj a ij = 0 6. N.q.s. i n-3 atëherë për j = i+4,,n+1 bëj a ij = 0 7. L = max(x i-2, 0) U = min(x i+2, 1) b i = U L f(x) i (x)dx 8. Zgjidhet sistemi Ac = b, ku A = (a ij ), b = (b 0,, b n+1 ) T dhe c = (c 0,, c n+1 ) T 9. Për i = 0,, n+1 nxirr (c i ); 10. FUND. 51

64 KAPITULLI 3 Zgjidhje numerike për dy probleme kufitare-fillestare speciale Ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshme përbëjnë një nga mjetet më të fuqishme të matematikës për studimin e proceseve fizike. Nga pikëpamja praktike metodat numerike për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve janë bërë një mjet i pazëvendësueshëm për zgjidhjen e shumë problemeve industriale dhe një zonë e hapur takimi e bashkëpunimi midis matematicienëve, informaticienëve, fizikantëve dhe specialistëve të fushave të ndryshme inxhinierike. Në këtë kapitull do të trajtohen dy probleme diferenciale speciale në ekuacionet me derivate të pjesshme, që njëkohesisht përbëjnë dhe modelime inxhinierike të mirënjohura dhe të studjuara intensivisht në literaturën e specialitetit. Metoda dhe teknika të posaçme numerike do të përdoren për zgjidhjen e dy problemeve të shtruara. 3.1 Zgjidhje numerike e një ekuacioni valor që modelon lëkundjet e linjave të tensionit të lartë Në këtë paragraf do të zgjidhet numerikisht një problem diferencial valor me shuarje kufitare, që ndeshet në studimin e fenomenit fizik të lëkundjeve në linjat e tensionit të lartë dhe në struktura të tjera fleksible. Modeli fizik është ai i një korde njëri skaj i së cilës qëndron i fiksuar, kurse skaji tjetër lidhet me një sistem që gjeneron lëkundje, me koefiçient shuarje të vogël. Modeli matematik është një problem i vlerës fillestarekufitare për një ekuacion diferencial jolinear të dobët me kushte kufitare jo klasike. Metoda numerike e propozuar është një kombinim i metodës së karakteristikave me teknikën e ekstrapolimit Richardson. Metoda shfrytëzon rrjetin specifik të nyjeve që gjenerojnë kurbat karakteristike të ekuacionit si dhe veçoritë e kushteve fillestarekufitare të problemit Shtrimi dhe formulimi matematik i problemit Mjaft struktura fleksible (linjat e tensionit të lartë, urat e varura, ngarkesat dinamike në sustat helikoidale, po përmendim vetëm disa prej tyre), janë subjekt i lëkundjeve për shkaqe nga më të ndryshmet. Modelet matematike që përshkruajnë dinamikën e këtyre lëkundjeve janë probleme diferenciale të vlerave fillestare-kufitare të tipit valor 52

65 [22], [23], [24], [25], [26], ose të tipit kordë [27], [28]. Ekuacionet diferenciale përkatëse në këto modele janë të rendeve 2 dhe 4, lineare ose jo lineare, me kushte kufitare në përgjithësi jo klasike. Në disa struktura fleksible (si tek linjat e tensionit të lartë ose kabllot e varura) erëra të tipeve të ndryshme mund të shkaktojnë vibracione mekanike. Shtjellat e ajrit, për shembull, zakonisht shkaktojnë lëkundje me frekuencë të lartë dhe amplitudë të vogël, ndërsa ngarkesa masive e borës dhe e akullit në kabllot e tensionit shkakton lëkundje me frekuencë të ulët dhe amplitudë të madhe. Lëkundja (e padëshirueshme gjithsesi) ka si rrjedhojë në çdo rast lodhjen e materialeve të strukturës fleksible dhe eventualisht dëmtimin e saj, kështu që për zbutjen apo shuarjen e lëkundjes në praktikë përdoren tipe të ndryshme shuarësish, [24], [31] dhe [33]. Veçanërisht dinamika jolineare e linjave të tensionit të lartë dhe kabllove të varura është mjaft e komplikuar dhe vazhdon të tërheqë vëmendjen e studjuesve deri në vitet e fundit [31], [32]. Modeli që do të analizojmë dhe zgjidhim këtu është ai i lëkundjeve të një korde me gjatësi të standartizuar π, të fiksuar në pikën x = 0 dhe të lidhur me një sistem dashpot në pikën x = π. Ky model i nxjerrë dhe i analizuar hollësisht në [22] formulohet: Të gjendet funksioni u(x, t) që kënaq ekuacionin me kushte kufitare 1 u u u u x t 3 u 3 tt - xx t - t, 0, 0, 0, t 0, t 0, (3.1) (3.2) u x, t u, t, t 0, (3.3) t dhe kushte fillestare x, 0 x, 0 x, u (3.4) u x,0 x, 0 x. (3.5) t 53

66 Funksionet (x) dhe (x) më sipër janë respektivisht zhvendosja dhe shpejtësia fillestare e kordës, është parametri shuarës (amortizues) positiv, kurse 0 < << 1 është madhësi e vogël pa dimensione. Më sipër është supozuar së shuarja (amortizimi) e lëkundjes nga sistemi dashpot është proporcionale me shpejtësinë vertikale të skajit të djathtë të kordes, po t i referohemi kuptimeve fizike të profilit të kordes u(x, t 0 ) në momentin e çfarëdoshëm të kohës t 0, si dhe kuptimeve të derivateve u x (π, t 0 ) dhe u t (π, t 0 ). Një model i ngjashëm është analizuar në [23], ku është supozuar se shuarja e sistemit dashpot është proporcionale si me shpejtësinë vertikale të skajit të djathtë të kordës ashtu dhe me shpejtësinë këndore të kordës në skajin e djathtë të saj. Tipe dhe modele të ndryshme fizike shuarësish diktojnë modifikimin e kushtit (3.3) më sipër. Në këtë kontekst një nga objektivat e studimit të modelit ( ) është gjetja e atyre vlerave të parametrit shuarës për të cilat zgjidhja shkon në zero ose drejt një funksioni të kufizuar kur t shkon në infinit. Nëqoftëse sistemi dashpot instalohet në të dy skajet e kordës atëherë edhe kushti i majtë kufitar (3.2) duhet modifikuar në mënyrë të përshtatshme. Në [22], duke përdorur një aparat të ndërlikuar matematik, është treguar ekzistenca, uniciteti dhe qëndrueshmëria e zgjidhjes së problemit të mëposhtëm: u tt u xx cu t u, 0 x, t 0, (3.6) t 0, t 0, t 0, u (3.7) u x, t u, t, t 0, (3.8) t x, 0 u0x, 0 x, u (3.9) u x,0 u x, 0 x. (3.10) t 1 Duke qënë se problemi (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) është rast i veçantë i problemit (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10), rrjedh menjëherë se ai ka zgjidhje të vetme dhe të qëndrueshme, pra ky problem është shtruar në mënyrë korrekte. Metoda e Galerkinit dhe ajo turbulente janë dy nga metodat më të përdorura në literaturë [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28] për ndërtimin e përafrimeve të zgjidhjeve të problemeve valore. Metoda e transformimit të Laplasit është përdorur me sukses tek [22] për ndërtimin analitik të përafrimeve të zgjidhjes së variantit linear 54

67 që fitohet duke neglizhuar termin jolinear u tek problemi (3.6) (3.7) (3.8) t (3.9) - (3.10). Një metodë e turbulencës dyfishe është përdorur në vazhdim për rastin jolinear, por vetëm për tipe të veçanta kushtesh fillestare të problemit, konkretisht për të ashtuquajtura kushtet monokromatike të formës: and Në përgjithësi metodat analitike të studimit në ekuacionet diferenciale paraqesin vështirësi të shumta. Përveç se janë tepër të komplikuara, zgjidhjet analitike në përgjithësi përdoren me vështirësi në praktikë. Zgjidhje numerike indirekte është realizuar në [21] dhe [22] për problemin (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5), duke e transformuar fillimisht këtë problem diferencial të rendit të dytë, në një problem diferencial ekuivalent të rendit të parë dhe duke aplikuar pastaj tek ky i fundit një skemë diferencash të rendit të parë, që garanton natyrisht saktësi minimale. Modeli (1-5) sigurisht është një model i thjeshtuar. Modelet reale në praktikë, përveçse janë më të komplikuar, përmbajnë në përgjithësi një numër parametrash dhe konstantesh fizike. Modele të tilla zakonisht simulohen dhe zgjidhen numerikisht një numër të madh herësh. Për këtë arsye metodat numerike që përdoren lypset të jenë efiçiente dhe ekonomike nga pikëpamja e kohës së llogaritjeve. Në këtë paragraf të studimit ne do të paraqesim dhe implementojmë një metodë efikase për zgjidhjen e problemit ( ) dhe do të analizojmë çështje të tjera të lidhura me këtë problem. Metoda numerike e propozuar është e tipit të karakteristikave. Kjo e fundit është kombinuar me një teknikë të njohur si ekstrapolim i Richardson-it. Do të shikojmë se efektiviteti dhe saktësia e metodës klasike të karakteristikave përmirësohet esencialisht në metodën e propozuar. Konkretisht tregohet se rendi konvencional (empirik) i gabimit lokal të metodës së propozuar është të paktën një njësi më i lartë se ai i metodës klasike të karakteristikave. Për të ruajtur nivelin global të saktësisë së metodës është bërë trajtim specifik i kushteve (3.2) - (3.3). Rezultatet e para të këtij studimi janë prezantuar në [34], që përbën përpjekjen tonë të parë për të implementuar metodën e zakonshme të karakteristikave për zgjidhjen e problemit. Por u provua më vonë se metoda e thjeshtë e karakteristikave nuk jepte rezultate të pranueshme për shkak të rendit të saj të ulët të saktësisë dhe për shkak të paqëndrueshmërisë së metodës në tentativën për të rritur saktësinë e saj duke 55

68 rafinuar hapin e integrimit në dimensionin hapësinor Ox. Zgjidhja e plotë e problemit u realizua pas implementimit të metodës së re të propozuar dhe rezultatet numerike të saj janë raportuar tek [6] Zgjidhje numerike për problemin valor ( ) Sikurse dihet metoda e karakteristikave është e zbatueshme për ekuacionin e përgjithshëm kuazilinear hiperbolik të formës:,, (3.11) me kushte kufitare-fillestare respektivisht (3.12)-(3.13) (3.14) (3.15) Koefiçientët më sipër janë funksione të çfarëdoshëm të ndryshoreve, : =,, i = 1, 2, 3, 4. Mund të vihet re se ekuacioni diferencial (3.1) është një rast i veçantë i ekuacionit (3.11), por kushti kufitar (3.3) është i ndryshëm nga kushti analog (3.13). Kemi gjithashtu një ndryshim midis kushteve fillestare (3.5) dhe (3.15). Supozojmë se P(x 1, t 1 ) dhe Q(x 2, t 2 ) janë dy pika çfarëdo në boshtin Ox, (pra t 1 =t 2 =0), të tilla që 0 < x 1, x 2 < (pra P dhe Q nuk janë skaje të segmentit [0, ]). Mund të verifikohet se drejtëzat dhe janë 4 kurbat karakteristike të ekuacionit (3.1) (Fig. 3.1). Procesi iterativ standard i metodës klasike të karakteristikave, për gjetjen e pikëprerjes R të vijave karakteristike që kalojnë nga pikat P dhe Q, i njohur simbolikisht si procesi (P, Q, R), këtu thjeshtohet mjaft për faktin se pikëprerja R e vijave (drejtëzave) karakteristike që kalojnë nga P dhe Q është evidente, ajo është qendra e katrorit me brinjë PQ. Ndërkaq përafrimet për në pikën R pas disa operacioneve algjebrike gjenden me anën e ekuacioneve të mëposhtme: (3.16) (3.17), (3.18) ku më sipër, dhe. 56

69 Mund të vihet re se ekuacionet (3.16) dhe (3.18) janë eksplicitë, kurse ekuacioni (3.17) është implicit për shkak të termit. Mund të vihet re akoma se ekuacionet (3.16) dhe (3.17) për gjetjen e përafrimeve për dhe janë të pavarur dhe autonomë nga procesi (3.18) i gjetjes së përafrimit për, sepse funksioni nuk figuron në mënyrë eksplicite në ekuacionet (3.16) (3.17). Supozojmë tani që P(x 1, t 1 ), Q(x 2, t 2 ) dhe T(x 3, t 3 ) me, janë tri pika të barazlarguara në boshtin Ox të tilla që. Nqs proceset (P,Q,R), (Q,T,S), dhe (R,T,V) zbatohen në mënyrë të përsëritur sikurse tregohet në Fig. 3.1, atëherë fitohen përafrimet dhe. Fig. 3.1: Proceset (P,Q,R), (Q,T,S) dhe (R,T,V) Po i shënojmë këto përafrime me dhe për të vënë në dukje faktin që ato varen nga madhësia e hapit të përdorur. Shënojmë për analogji përafrimet që fitohen nga procesi i vetëm (P,S,V) me hap si dhe. Zbatojmë këtu teknikën e mëposhtme, të njohur si ekstrapolim i Richardson-it: Nëqoftëse A( ) dhe A(2 ) janë dy përafrime të madhësisë A me rend përafrimi O( 2 ) atëherë formula (3.19) jep një përafrim të A me gabim O( 4 ). Por në konteksin e problemit që po zgjidhim, problemi i rendit të gabimit të dy proceseve përafruese është i komplikuar për shkak se përafrimi A( ) në këtë kontekst është një proces i trefishtë, kurse procesi i fundit (R,S,V), është i varur nga dy të parët (P,Q,R) dhe (Q,T,S). Është gjithashtu e vështirë të gjykohet për rendin e gabimit të procesit të vetëm (P,Q,R). Sikurse dihet, në këto raste mund të bëhen vlerësime empirike, ose siç quhen ndryshe konvencionale, të rendeve të gabimeve që përmendëm më sipër me anën e eksperimenteve numerike me probleme me zgjidhje 57

70 analitike të njohur. Ne kemi eksperimentuar për këtë qëllim disa shembuj, ndërmjet tyre shembullin e mëposhtëm: Zgjidhja ekzakte: Në bazë të eksperimenteve të kryera kemi konkluduar që procesi i trefishtë P,Q,R), (Q,S,T), (R,T,V) ka po thuaj të njëjtin rend konvencional si dhe procesi i vetëm (P,S,V) - një rezultat ky i pritshëm. Ndërkaq në të gjitha eksperimentet e kryera formula (3.19) prodhoi përafrime me rend të gabimit të paktën një njësi më të lartë se secili nga dy proceset e përmendura më sipër. Formula (3.19) është përdorur siç u përshkrua më sipër, për të gjetur përafrime të reja për dhe. Është e pritshme që në raport me metodën klasike të karakteristikave saktësia globale e metodës së propozuar të përmirësohet cilësisht. Shënojmë me (P,Q,S,V) procesin e përshkruar më sipër për gjetjen e nyjes dhe të përafrimeve për dhe. Shënojmë me G rrjetin e nyjeve që fitohet nga coptimi i intervalit 0 x π në m nënintervale me gjatësi = π/m. Supozojmë që ) ekziston dhe që për. Rrjedhimisht dhe janë funksione të njohura për dhe t = 0. Ndërkaq nga kushtet (1-5) mund të shkruajmë: (3.20) π π π π (3.21) Shënimi G 0 do të përdoret në vazhdim për të shënuar (m+1) nyjet e rrjetës G. Aplikojmë procesin (P,Q,S,V) për çdo 3 nyje të njëpasnjëshme të rrjetës G 0 dhe në këtë mënyrë fitohen (m-1) nyje në të cilat funksioni dhe derivatet e pjesshme të tij janë llogaritur. Shënojmë me G 1 rrjetin që fitohet nga këto (m-1) nyje dhe dy nyjet skajore A dhe Z (Fig. 3.2). 58

71 Fig. 3.2: Kurbat karakteristike të ekuacionit (3.1) dhe rrjetat nyjore G 0 dhe G 1 Do të tregojmë tani se si vlerat e dhe do të përafrohen në nyjet A dhe Z. Nga kushti kufitar (3.2) vihet re se dhe Një proces interpolimi mund të përdoret për të vlerësuar me saktësi të mjaftueshme duke përdorur vlerat e në anën e majtë të Z. Në implementimin e metodës që kemi bërë më poshtë kemi kryer interpolim polinomial të rendit të dytë dhe kemi shfrytëzuar për këtë qëllim utilitetet matlab polyfit dhe polyval. Zgjedhja e gradës 2 është motivuar nga kërkesa për të ruajtur rendin e saktësisë së siguruar për nyjet e brendshme të rrjetës G 1. Strategji të tjera interpolimi, si p.sh. interpolimi Hermitian, mund të jenë më efektive. Derivati është vlerësuar me anën e formulës 3- hapëshe të diferencave nga para, ndërkaq formula analoge e diferencave nga pas është përdorur për të vlerësuar derivatin. Zgjedhja e këtyre formulave, ashtu si edhe zgjedhja e gradës dy të polinomit interpolues më sipër, është motivuar nga kërkesa për të patur po atë saktësi për derivatin në pikën Z që u arrit për në këtë pikë. Së fundi mund të llogaritet me anën e kushtit të djathtë kufitar (3.3). Mund të vihet re se bazuar në rrjetën G 1, një rrjetë G 2 mund të ndërtohet në të njëjtën mënyrë dhe pastaj një rrjetë G 3 e kështu me rradhë duke përparuar në drejtim të boshtit Ot. Në këtë mënyrë është ndërtuar një rrjetë uniforme dhe katrore nyjesh në të cilin funksioni dhe derivatet e tij të pjesshme janë përafruar. Metoda e përshkruar më sipër është implementuar në Matlab. Kodi kryesor i ndërtuar si skedar funksion me emrin fmain.m është paraqitur në shtojcën Sh4 të këtij punimi. Për zgjidhjen e ekuacionit implicit (3.17) është përdorur utiliteti Matlab fzero Rezultate numerike Në një seri eksperimentesh numerike problemi ( ) është zgjidhur për vlera të ndryshme të parametrit shuarës α dhe për kushte të ndryshme fillestare për të cilat trajtimet analitike kanë qënë të pamundura tek [22]. Rezultatet më tipike janë paraqitur grafikisht në figurat dhe mund të krahasohen me ato të [22]. Nga rezultatet vihet re se për vlera të parametrit shuarës α më të mëdha ose baraz me π/2 59

72 në të gjitha rastet e shqyrtuara zgjidhjet e ekuacionit (lëkundjet) shkojnë në zero kur t shkon në infinit. Për zgjidhjet janë të kufizuara dhe sistemi valor është lëkundës. Pra parametri shuarës α mund të përdoret efektivisht për të amortizuar amplitudat e lëkundjeve. Metoda numerike e propozuar është e qëndrueshme dhe efiçienca e saktësia e saj demonstrohet në të gjitha eksperimentet numerike të kryera. Është verifikuar se problemi ( ) është i zgjidhshëm numerikisht me kosto llogaritëse të arsyeshme për intervale të kohës t mjaft më të mëdhenj se ato që pasqyrohen në figurat ( ). Koha kompjuterike për çdo ekzekutim të kodit fmain.m ka qënë rreth 10 sekonda, kështu që metoda mund të përdoret efektivisht në rastet kur problemi ( ) duhet të simulohet dhe zgjidhet një numër të madh herësh Shtrirja e rezultateve dhe disa përfundime Metoda numerike e paraqitur në këtë paragraf dhe implementuar në Matlab përbën një mekanizëm efiçient për të analizuar fenomenin e lëkundjeve (galopin) me amplitudë të lartë që ndodh në linjat e tensionit të lartë. Lëkundja e padëshiruar mund të shuhet duke instaluar një sistem dashpot të përshtatshëm në njërin skaj të linjës. Metoda e paraqitur mund të përdoret për të analizuar modelet e ngjashme që janë përshkruar në literaturë. Zgjidhjet numerike janë të mundura për çfarëdo lloj kushtesh fillestare të problemit. Puna e kryer mund të zgjerohet dhe të zbatohet në praktikë sa herë që një sistem dashpot duhet të instalohet në njërin apo në të dy skajet e linjës. Mund të vihet re se metoda e propozuar mund të shtrihet për të zgjidhur problemin e mëposhtëm që perbën një përgjithësim të problemit (1-5): Të gjendet funksioni u(x, t) që kënaq ekuacionin, me kushte kufitare,, dhe kushte fillestare, ku, dhe janë funksione të çfarëdoshëm dhe është konstante e çfarëdoshme. Kodi Matlab fmain.m mund të përshtatet pa vështirësi për problemin e mësipërm. 60

73 (a) α=π/4 (a) α=π/4 (b) α=π/2 (b) α=π/2 (c) α=3π/2 Fig. 3.3: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=0.1sin(0.5x), ψ(x)=0.05sin(0.5x) dhe ϵ=0.1. (c) α=3π/2 Fig. 3.4: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=2.5sin(3.5x), ψ(x)=0.05sin(3.5x) dhe ϵ=

74 (a) α=π/4 (a) α=π/4 (b) α=π/2 (b) α=π/2 (c) α=3π/2 Fig. 3.5: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=0.01x 3 e -3x/π, ψ(x)=0.2x(π-x) dhe ϵ=0.1. (c) α=3π/2 Fig. 3.6: Zhvendosja u përkundrejt x dhe t për φ(x)=x+sin(x), ψ(x)= x(π-x) dhe ϵ=

75 3.2 Zgjidhje numerike për ekuacionin e përgjithshëm Burgers-Korteweg-de Vries Hyrje Një sërë problemesh fizike mund të përshkruhen me anën e ekuacionit Korteweg-de Vries (KdV). P.sh. trajektorja (dinamika) që përshkruan pika më kulmore (në lartësi) e një vale ujërash në ambiente të cekëta (e quajtur soliton) është zgjidhje e ekuacionit Kdv. Është i njohur fakti se për të studjuar dinamikën valore të këtyre ujërave është i mjaftueshëm studimi i solitoneve. Valët solitare janë zgjidhje (një familje 1 parametrike vijash) të ekuacionit KdV - [37]. Për analogji dinamika e gazeve jonike (të quajtur plasmas) përshkruhet me anën e ekuacionit KdV. Fenomene edhe më të komplikuara si përhapja e valëve në tubot elastike ku rrjedh fluid viskoz [43], studimi i sistemit kardiovaskular në mjekësi, etj., janë vetëm disa nga shembujt dhe modelet e shumta në të cilat ekuacionet që përshkruajnë dinamikat përkatëse janë ose reduktohen pas thjeshtimesh të ndryshme në të ashtëquajturin ekuacion Burgers- Korteweg-de Vries (B-KdV): (3.22) Ekuacioni B-KdV është një kombinim i ekuacionit Burgers me ekuacionin KdV. Ai shfaqet në shumë kontekste fizike si një problem i përhapjes dhe karakterizohet nga 3 terma (faktorë): jo-lineariteti, shpërhapja, dhe shpërbërja. Konsideratat fizike kërkojnë që parametri shpërhapës b duhet të jetë gjithmonë pozitiv, ndërsa parametri shpërbërës c mund të jetë pozitiv ose negativ. Literatura matematike për studimin e ekuacionit B-KdV është mjaft e gjerë. (shiko p.sh. [39], [40], [41]). Vitet e fundit ka pasur një interes më të madh në zgjidhjet numerike të ekuacionit B-KdV. Disa metoda të mirënjohura, si diferencat e fundme, skemat e elementëve të fundëm, metodat spektrale Furie dhe metodat e diferencave të fundme eksponenciale janë përdorur për të zgjidhur problemet me bazë ekuacionin Burgers apo ekuacionin KdV. Megjithatë literatura matematike për trajtimin numerik të ekuacionit B-KdV është e pakët. Një nga studimet e para numerike të ekuacionit B- KdV është kryer nga Conosa dhe Gazdag [38]. Darvishi dhe të tjerët në [42] kanë përdorur metodën e bashkëvendosjes spektrale për zgjidhjen numerike të ekuacionit B-KdV. Tek [5], si dhe në këtë studim trajtohet zgjidhja numerike e ekuacionit B- KdV duke përdorur skemat Runge-Kutta diferenciale eksponenciale dhe metodën e përafrimeve spektrale. Në paragrafin që pason paraqitet në mënyrë skematike metoda 63

76 Runge-Kutta e diferencave eksponenciale e rendit të katërt (ETDRK4). Argumentohet përzgjedhja e kësaj metode në veçanti dhe përfshirja në përgjithësi në këtë studim e skemave Runge-Kutta të diferencave eksponenciale (ETDRK). Problemi i qëndrueshmërisë përbën një çështje të rëndësishme dhe të pashmangshme për çdo skemë numerike, në veçanti ai paraqitet i mprehtë për problemin diferencial stiff që zgjidhet. Në paragrafin studjohet qëndrueshmëria e metodave të ndryshme diferenciale eksponenciale (ETD) dhe (ETDRK) e në veçanti qëndrueshmëria e ETDRK4 dhe ETDRK3. Implementimi i dy metodave të fundit dhe rezultatet numerike të tyre në zgjidhjen e B-KdV paraqiten në paragrafin Efikasiteti dhe saktësia e skemave numerike të propozuara demonstrohet nëpërmjet shembullit numerik Skema eksponenciale diferenciale Runge-Kutta e rendit të katërt Shumë probleme fizike përshkruhen nga ekuacioni i përgjithshëm me derivate të pjesshme, (3.23) ku L është një operator linear eliptik dhe N është një operator jo linear. Në shumicën e rasteve në praktikë tek (3.23) injorohet influenca e kushteve kufitare dhe në vend të tyre supozohen kushte kufitare periodike. Zbatimi i metodës spektrale Furie e transformon problemin diferencial (3.23) me kushte kufitare periodike, në një sistem stiff ekuacionesh diferenciale të zakonshme të ndryshores kohore t. (3.24) Qënia stiff e një sistemi diferencial është një cilësi specifike e tij që paracakton dështimin në përgjithësi të procedurave numerike eksplicite për integrimin e sistemit në mënyrë efikase. Metoda integruese ETD rezulton një nga metodat e suksesshme për zgjidhjen e problemeve stiff gjysëm lineare ([35]). Termi linear tek (3.24) përfaqëson pjesën stiff më dinamike të problemit, ndërkaq termi jo linear ndryshon më ngadalë se ai linear. Një metodë ETD integron saktësisht termin linear ndërkaq përafron termin tjetër duke përdorur mekanizmin e përafrimeve polinomiale. Duke shumëzuar (3.24) me faktorin dhe duke integruar me një hap me gjatësi l, përftohet:. (3.25) 64

77 Shënojmë me përafrimin numerik të Skema diferenciale eksponenciale e rendit të parë (ETD1) jepet nga ekuacioni:. (3.26) Një nga mënyrat për të nxjerrë skema ETD të rendeve më të larta se 1 është përafrimi polinomial i që figuron nën integralin (3.25). Cox dhe Mathews tek [35] japin skemat ETD duke përdorur skemat Runge-Kutta, të shënuara si ETDRK. Në veçanti skema ETDRK4 është e një rendësie të veçantë. Kjo skemë e zbatuar për problemin prototip (3.23) mund të shkruhet në formën: Eksperienca në zgjidhjen e problemeve nëpërmjet ETDRK tregon që zbatimi i kësaj metode drejpërdrejt sipas formatit (3.27) manifeston paqëndrueshmëri dhe efektin numerik negativ të njohur si fenomen i diferencës zero. Për arsyen e mësipërme, Kassam dhe Trefethen tek [36] eksplorojnë paqëndrueshmërinë numerike të skemave ETD në përgjithësi dhe propozojnë një modifikim të tyre në zbatimet konkrete numerike me qëllim zbutjen e efekteve negative. Më poshtë do të tregohet konkretisht efiçienca numerike e ETDRK4 dhe ETDRK Studimi i zonave të qëndrueshmërisë Në këtë paragraf do të analizohen cilësitë e qëndrueshmërisë së metodave ETD dhe ETDRK deri tek rendi i katërt duke u bazuar në metodikën e përshkruar tek [35]. Në terma të përgjithshme qëndrueshmëria nënkupton përhapjen (transmetimin) pa zmadhim të gabimeve lokale të kryera në çdo hap të procesit llogaritës në hapat pasardhës. Zona e qëndrueshmërisë së një metode numerike është pjesa e planit kompleks që formohet nga produktet për të cilat integrimi numerik i ekuacionit skalar referent, me hap, prodhon zgjidhje të kufizuar. Le të analizojmë zonat e qëndrueshmërisë së ETDRK4. 65

78 Konsiderojmë EDZ jo linear: (3.28) me pjesën jo lineare f(u). Shënojmë me pikën fikse për të cilën. Duke linearizuar pjesën jo lineare f(u) rreth kësaj pike dhe duke shënuar q =, marrim rezultatin si më poshtë:. (3.29) Pika fikse është pikë qëndrueshmërie nqs Re(p+q) < 0. Më poshtë diskutohen zonat e qëndrueshmërisë për skemat ETDR4 dhe RK4 përkundrejt ETD1, ETD2, ETDRK2 dhe ETDRK3, në planin kompleks të x = qt për vlera të ndryshme të y = pt. Në përgjithësi parametrat p dhe q mund të jenë të dyja me vlera komplekse, kështu që zona e qëndrueshmërisë rezulton të jetë katër dimensionale. Duke supozuar që q është komplekse dhe p është fikse, reale dhe negative, ne mund të paraqesim grafikisht zonat e qëndrueshmërisë në planin kompleks. Në Fig.3.7 janë paraqitur, zona e qëndrueshmërisë e metodës klasike Runge-Kutta (RK4) dhe ato të ETDRK4 për disa vlera negative të ndryshme të y. Këto të fundit janë përzgjedhur në mënyrë të përshtatshme për një paraqitje grafike sa më të mirë. Siç mund të vihet re nga Fig.3.7.(a), zona e qëndrueshmërisë për skemën ETDRK4 zmadhohet kur y zvogëlohet. Ndërkohë, kurba e kuqe e brendshme në Fig. 3.7.(b) - që është zona e qëndrueshmërisë së RK4 - i korrespondon rastit kur y = 0 për ETDRK4. Rezultati mund të përgjithësohet: Zonat e qëndrueshmërisë së skemave ETDRK për y = 0 përkojnë me ato të skemave RK të rendit përkatës. Rezultati i mësipërm ishte i pritshëm meqënëse skemat ETDRK reduktohen në skema eksplicite RK të rendit përkatës kur. Sigurisht zonat e paraqitura në Fig.3.7 janë vetëm një tregues i qëndrueshmërisë së metodave. Nëse vlera e vet e operatorit linear është imagjinare, atëherë zonat e qëndrueshmërisë rezultojnë me krejt tjetër pamje. Në Fig. 3.8 janë paraqitur zonat e qëndrueshmërisë të ETDRK2, ETDRK3 dhe ETDRK4, për y = -18i dhe y = 18i. Mund të vihet re nga kjo figurë që zonat e qëndrueshmërisë përfshijnë një interval të boshteve imagjinare deri pikërisht në vlerën (- Imag(y)). Nga eksperimentet që kemi kryer na rezulton që përfundimi i mësipërm qëndron për çdo vlerë imagjinare y. Zonat e qëndrueshmërisë të ETDRK2, ETDRK3 dhe ETDRK4, për y = -4 dhe y = -9 jepen në Fig.3.8. Nga kjo figurë mund të vërehet që për të dy vlerat e zgjedhura 66

79 për y, zona e qëndrueshmërisë rritet me rritjen e rendit të skemës ETDRK, që do të thotë, që skema ETDRK2 ka zonën e qëndrueshmërisë më të vogël, ndërsa skema ETDRK4 ka zonën e qëndrueshmërisë më të madhe. Nga eksperimentet e tjera ka rezultuar që përfundimi qëndron për çdo vlerë negative të y. Zonat e qëndrueshmërisë të ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4, ETD1 dhe ETD2 janë krahasuar në Fig.3.10 për vlerat e y = -9 dhe y = -15. Mund të vërehet nga kjo figurë që, për të dy vlerat e y zona e qëndrueshmërisë e skemës ETDRK4 përmban ato të skemave ETDRK3 dhe ETDRK2, ndërkohë që ajo vetë përmbahet nga zona përkatëse e skemës ETD2. Një pjesë e vogël e zonës së qëndrueshmërisë së skemës ETDRK4 nuk përmbahet nga ajo e skemës ETD1, por sidoqoftë zona e parë e përmendur më sipër është në mënyrë të konsiderueshme më e vogël se kjo e fundit. Ndërkohë, të gjitha zonat e qëndrueshmërisë për y = -9 janë në mënyrë të konsiderueshme më të vogla, dhe të përfshira në ato korrespondueset për y = -15. Nga eksperimentet dhe vëzhgime të tjera të bëra është arritur në përfundimin se rezultatet e mësipërme qëndrojnë ndërkohë që. Është fakt i njohur se zona e qëndrueshmërisë së metodave numerike klasike eksplicite (me një hap apo me shumë hapa) zvogëlohet me rritjen e rendit të tyre. Kështu, kërkesa e rritjes së cilësisë së qëndrueshmërisë së këtyre metodave bie ndesh me kërkesën e rritjes së saktësisë së tyre. Megjithëse për metodën me m+1 hapa rendi 2m+3 është i arritshëm, kërkesa e qëndrueshmërisë vendos një kufizim të ashpër mbi rendin sipas teoremës Dahlquist [47]: Kufiri maksimal i rendit të një metode të qëndrueshme është m+1 n.q.s. m është tek dhe m+2 n.q.s. m është çift. Nga eksperimentet dhe vëzhgimet e bëra në këtë paragraf arrihet në përfundimin që ndryshe nga rasti klasik i metodave eksplicite me një ose me shumë hapa, qëndrueshmëria e skemave ETDRK përmirsohet kur rendi i tyre rritet. Në vend të kërkimit të një ekuilibri midis qëndrueshmërisë së një metode dhe rendit të saktësisë së kërkuar prej saj, sipas teoremës Dahlquist, i vetmi problem që haset në zbatimin e skemave ETDRK është se kostoja llogaritëse e tyre rritet në mënyrë progresive me rendin e tyre. Por, sa me i lartë rendi i ETDRK që përdoret, aq më i madh mund të zgjidhet hapi i integrimit (pa rrezikuar qëndrueshmërinë e skemës). Kështu, kompromisi ndërmjet madhësisë së hapit të integrimit dhe rendit të skemës ETDRK të përdorur përbën faktorin kyç për të optimizuar ngarkesën llogaritëse dhe shpejtësinë e metodës. 67

80 Eksperimente numerike për zgjidhjen e ekuacionit B-KdV me metodën ETDRK2, ETDRK3 dhe ETDRK4, të bëra në paragrafin që pason, janë bazuar në analizën dhe përfundimet e mësipërme. Kemi ndërtuar dhe disponojmë kodet matlabike për ndërtimin e zonave të qëndrueshmërisë që paraqiten në figurat 3.7, 3.8, 3.9 dhe 3.10 më poshtë. (a) (b) Fig 3.7: Zonat e qëndrueshmërisë për skemat RK4 dhe ETDRK4 në planin kompleks të për disa vlera negative të ndryshme. (a) (b) Fig 3.8: Kufijtë e zonave të qëndrueshmërisë për: ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4 (a) y = -18i, (b) y = 18i. 68

81 (a) Fig 3.9: Zonat e qëndrueshmërisë : ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4: (a)y = -4 (b) y = -9 (b) (a) (b) Fig 3.10: Zonat e qëndrueshmërisë: ETDRK2, ETDRK3, ETDRK4, ETD1, ETD2 (a) y = -9 (b) y = Eksperimente numerike Konsiderojmë tani ekuacionin B-KdV në, për t > 0 dhe e rishkruajmë atë si. (3.30) Problemi Cauchy për ekuacionin (3.30) është studjuar nga Bona dhe Schonbek [45]. Ata provuan ekzistencën dhe unicitetin e zgjidhjes së problemit. Ekuacioni (3.30) mund të shkruhet në formë më kompakte si më poshtë:. (3.31) shpërbërja Prania e derivatit të dytë dhe të tretë në ekuacion (shpërhapja ) bën që zgjidhja e tij të sillet në mënyrë komplekse. dhe 69

82 Ekuacionin B-KdV (3.31) me kushtet kufitare periodike 2L mund të shkruhet në hapësirën Furie si vijon:, ku F simbolizon transformimin spektral Furie. Për eksperimentet numerike në shembullin më poshtë zgjidhja është llogaritur në një rrjet me nyjesh në segmentin me kushte kufitare periodike. Kodi Matlab ode 15s, i konsideruar si më i miri i familjes Matlabike përsa i përket saktësisë së siguruar në zgjidhjen e problemeve stiff, është përdorur për të prodhuar zgjidhjet referente. Fiksojmë vlerat e konstanteve: a=1, b=1.5, c=3 dhe konsiderojmë kushtin fillestar si më poshtë për B- KdV (3.31):. (3.32) Duke ju referuar [46], zgjidhja eksplicite për B-KdV (3.31)-(3.32) është. Për të krijuar një përfytyrim të zgjidhjes së problemit (3.31) - (3.32) në figurën 3.11 paraqitet vala solitare që përparon nga e djathta në të majtë, kurse në figurën 3.12 paraqitet profili fillestar valor (t = 0) dhe profili fqinjë (t = 1.2). Fig 3.11: Vala solitare për x nga -π deri në π dhe t nga 0 deri në t =