SJELLJA JOLINEARE E ELEMENTEVE TË GJATA BETONARME NËN VEPRIMIN E NGARKESAVE STATIKE DHE DINAMIKE

Transcription

1 Universiteti i Prishtinës Fakulteti i Ndërtimtarisë dhe Arkitekturës Departamenti i Ndërtimtarisë Drejtimi Konstruktiv SJELLJA JOLINEARE E ELEMENTEVE TË GJATA BETONARME NËN VEPRIMIN E NGARKESAVE STATIKE DHE DINAMIKE Punim diplome - master Mentori: Dr. sc. Naser Kabashi Kandidati: Fidan Salihu Prishtinë, 2013

2 ABSTRAKT Njohja e madhësive të deformimeve është e rëndësisë së veçantë në projektimin dhe realizimin e konstruksioneve betonarme, veçanërisht te elementet e gjata betonarme (elemente të cilat në një drejtim janë shumë më të gjatë se në dy drejtimet tjera). Studiues të ndryshëm, në shumë punime të mëhershme, eksperimentalisht kanë vërtetuar se ekzistojnë devijime të madhësive reale të deformimeve prej atyre të llogaritura sipas teorisë lineare. Hipotezat për materialin ideal elastik nuk kanë mundur të përfshijnë faktorë të shumtë të cilët ndikojnë në madhësinë e përgjithshme të deformimit. Procedurat analitike të cilat me saktësi do të mund të caktonin gjendjet e nderjeve dhe deformimeve në elementet betonarme janë të komplikuara për shkak të disa faktorëve. Në mesin e tyre janë (1) sjellja jolineare ngarkesë-zhvendosje e betonit dhe vështirësia në formimin e marrëdhënieve të përshtatshme konstitutive nën gjendjen e nderjeve të përbëra, (2) plasaritja progresive e betonit nga rritja e ngarkesës dhe kompleksiteti në formulimin e sjelljes në thyerje për gjendje të ndryshme të nderjeve, (3) konsiderimi i armaturës së çelikut dhe bashkëpunimi ndërmjet betonit dhe përbërësve të çelikut të cilët formojnë sistem kompozit dhe (4) efektet që varen prej kohës siç janë rrjedhja dhe tkurrja e betonit. Në këtë punim diplome është paraqitur analiza jolineare për llogaritjen e deformimeve të elementeve të gjata betonarme. Për llogaritjen e deformimeve të këtyre elementeve janë paraqitur propozime dhe hipoteza të autorëve të ndryshëm, ku dhe janë shfrytëzuar disa prej propozimeve aktuale, siç janë normat ACI dhe EUROCODE2. Gjithashtu, në këtë punim, është bërë edhe shqyrtimi eksperimental i disa elementeve të cilët grupohen në elementet e gjata betonarme, siç janë shtyllat e largpërçuesve prej betoni të armuar. Në fund është bërë krahasimi i rezultateve te fituara nga llogaria analitike dhe rezultateve të fituara eksperimentalisht si dhe vlerësimi i këtyre rezultateve.

3 ABSTRACT Understanding the deformation states has a special importance in designing and realising of reinforced concrete sturctures, especially in slender reinforced concrete members (members that are much longer in one direction than in two others). Different scholars in many previous papers have proved there are deviations of the real deformations from these one determined by linear theory. Assumptions for ideal elastic material couldn t include many factors that influence in the deformation general value. Analytical procedures which may accurately determine stress and deformation states in reinforced concrete members are complicated due to many factors. Among them are (1) the nonlinear load-deformation response of concrete and difficulty in forming suitable constitutive relationships under combined stresses, (2) progressive cracking of concrete under increasing load and complexity in formulating the failure behavior for various stress states, (3) consideration of steel reinforcement and the interaction between concrete and steel conctituents that form the composite system and (4) time dependent effects such as creep and shrinkage of concrete. In this diploma thesis is presented nonlinear analysis about the deflections of the slender reinforced concrete members calculation. To calculate the deflections of these members are presented many propositions and assumptions by different authors, where some of actual propositions are used, such as ACI and EUROCODE2 standards. Furthermore, in this diploma thesis, are tested some members that are part of slender reinforced concrete members, such as reinforced concrete poles. In the end is shown a comparison between the load-deflection data obtained from the experimental program and those theoretically developed using the literature.

4 FALËNDERIMET Do të doja të falënderoj mentorin tim, Profesor Naser Kabashin, i cili më dha një mundësi të mrekullueshme për të punuar në këtë punim, për mbështetjen e tij të vazhdueshme, inkurajimin dhe udhëzimet e pazëvendësueshme. Do të doja gjithashtu të falënderoj Institutin e Materialeve Ndërtimore dhe Konstruksioneve IBMS, që më mundësuan realizimin e pjesës eksperimentale të punimit. Një falënderim i veçantë shkon për të dashurën time Gëzime Fejzullahu për durimin që pati gjatë kësaj kohe. Dhe në fund, këtë punim ia dedikoj prindërve të mi, Xhemile dhe Hafëz Salihu për dashurinë, kujdesin dhe durimin e pafund. I kam borxh atyre për gjithçka që kam..

5 PËRMBAJTJA ABSTRAKT... ABSTRACT... FALËNDERIMET... PËRMBAJTJA... LISTA E FIGURAVE... LISTA E TABELAVE... LISTA E SIMBOLEVE LATINE... LISTA E SIMBOLEVE GREKE... HYRJE JOLINEARITETET STRUKTURORE TË PËRGJITHSHME LLOJET E JOLINEARITETEVE STRUKTURORE KONCEPTET E LAKOREVE KOHORE SJELLJA JOLINEARE GJEOMETRIKE Sjellja zhvendosje e madhe - deformim i vogël Sjellja zhvendosje e madhe-deformim i madh JOLINEARITETET E MATERIALIT Të përgjithshme Modelet elastike jolineare Modelet e materialit elastoplastik ANALIZA E PROBLEMEVE JOLINEARE GJEOMETRIKE ME METODËN E ELEMENTEVE TË FUNDËM EKUACIONET BAZË TË TEORISË JOLINEARE Tenzori i deformacioneve Thjeshtimi i shprehjeve jolineare... 22

6 Tenzori i nderjeve Shufrat FORMULIMI I PËRGJITHSHËM SIPAS MEF Shufra e nderur aksialisht Formulimi alternativ i barazimeve bazë Shufra e nderur aksialisht në rrafsh METODAT PËR ZGJIDHJEN E PROBLEMEVE JOLINEARE Metodat inkrementale Metodat iterative Metodat e përziera MBAJTËSIT VIJORË Analiza e shufrës në rrafsh sipas teorisë së zhvendosjeve të mëdha Matrica e shtangësisë e elementit jolinear gjeometrik tra DEFORMIMET E ELEMENTEVE BETONARME NËN VEPRIMIN E NGARKESËS AFATSHKURTË SJELLJA NGARKESË-ZHVENDOSJE E VËRTETUAR EKPERIMENTALISHT MARRËDHËNIA MOMENT-KURBATURË PËR PRERJEN E ELEMENTIT BETONARME Marrëdhënia moment-kurbaturë për prerjen tërthore të paplasaritur e elementit betonarme Marrëdhënia moment-kurbaturë për prerjen tërthore të plasaritur e elementit betonarme MARRËDHËNIA MOMENT-KURBATURË PËR PJESËN E SHUFRËS BETONARME PROPOZIME PËR LLOGARITJEN E MADHËSIVE TË DEFORMIMEVE Llogaritjet e autorëve të ndryshëm të përiudhave të ndryshme... 68

7 Hipotezat e bazuara në lidhjen bilineare moment-zhvendosje në fazën e eksploatimit Bazat e llogaritjes aktuale për llogarinë e deformimeve LLOGARITJA E DEFORMIMEVE TE ELEMENTEVE BETONARME SIPAS ACI 435R-95 (Riaprovuar në v.2000) LLOGARITJA E DEFORMIMEVE TË ELEMENTEVE BETONARME SIPAS EUROCODE 2 (2004) LLOGARITJA E DEFORMIMEVE TË ELEMENTEVE BETONARME SIPAS AS3600 (2006) VEPRIMET PRAKTIKE PËR CAKTIMIN E MADHËSIVE DEFORMABILE NËN VEPRIMIN E NGARKESËS EKSPLOATUESE AFATSHKURTË PARIMI I SUPERPONIMIT DHE EFEKTI I NGARKESËS PËRSËRITËSE REZULTATET ANALITIKE SHEMBULLI I PARË NUMERIK SHEMBULLI I DYTË NUMERIK SHQYRTIMI I SHTYLLAVE TË TENSIONIT PREJ BETONI TË ARMUAR TË PËRGJITHSHME SHQYRTIMI I SHTYLLAVE TË TIPIT SHB Përshkrimi i shqyrtimit të shtyllave Rezultatet e shqyrtimit Interpretimi i rezultateve SHYRTIMI I SHTYLLAVE TË TIPIT SHB S Përshkrimi i shqyrtimit të shtyllave Rezultatet e shqyrtimit Interpretimi i rezultateve SHQYRTIMI I SHTYLLAVE TË TIPIT SHB S Përshkrimi i shqyrtimit të shtyllave

8 5.4.2 Rezultatet e shqyrtimit Interpretimi i rezultateve KRAHASIMI NDËRMJET REZULTATEVE ANALITIKE DHE EKSPERIMENTALE PËRFUNDIMI LITERATURA

9 LISTA E FIGURAVE Figura 1.1: Shembull i lakoreve kohore... 4 Figura 1.2: Shembull i strukturës jolineare: shufër e thjeshtë... 5 Figura 1.3: Sjellja jolineare gjeometrike e shufrës së thjeshtë... 7 Figura 1.4: Modeli elastik jolinear Figura 1.5: Funksionet e energjisë së deformimit U dhe U* Figura 1.6: Lakorja tipike nderje-deformim për çelikun e butë Figura 1.7: Modeli elastoplastik me përforcim linear Figura 1.8: Sipërfaqja e rrjedhshmërisë Figura 1.9: Ndarja e inkrementit të deformimit total Figura 1.10: Përforcimi izotropik Figura 1.11: Përforcimi kinematik Figura 2.1: Gjendjet para dhe pas deformimit të një trupi Figura 2.2: Marrëveshja mbi kahjet pozitive të zhvendosjeve dhe rrotullimeve Figura 2.3: Kuptimi gjeometrik i matricës tangjente të shtangësisë Figura 2.4: Shufra e nderur aksialisht me nyje në skaje Figura 2.5: Shufra në rrafsh, e ngarkuar aksialisht Figura 2.6: Interpretimi gjeometrik i metodës inkrementale Figura 2.7: Interpretimi gjeometrik i metodës inkrementale të korrigjuar Figura 2.8: Interpretimi gjeometrik i metodës iterative Figura 2.9: Interpretimi gjeometrik i metodës së Neëton-Raphson-it Figura 2.10: Interpretimi gjeometrik i metodës së modifikuar të Neëton-Raphson-it Figura 2.11: Paraqitja skematike e metodës së përzier Figura 2.12: Elementi vijor në rrafsh me 6 shkallë lirie Figura 2.13: Elementi tra në rrafsh në gjendjen fillestare dhe të deformuar Figura 2.14: Forcat e jashtme në elementin tra në rrafsh... 54

10 Figura 3.1: Sjellja ngarkesë-zhvendosje e elementeve betonarme në përkulje Figura 3.2: Shpërndarja e dilatacioneve dhe kurbatura Figura 3.3: Prerja tërthore e pa plasaritur dhe shpërndarja e dilatacioneve Figura 3.4: Pjesa aktive e prerjes tërthore të plasaritur Figura 3.5: Sjellja moment-kurbaturë për prerjen e elementit betonarme Figura 3.6: Shufra betonarme e ngarkuar në përkulje me moment konstant Figura 3.7: Shufra betonarme e ngarkuar në përkulje me moment të ndryshueshëm Figura 3.8: Varësia moment-kurbaturë për pjesën e shufrës betonarme me karakteristika gjeometrike konstante Figura 3.9: Lidhja Moment-Zhvendosje a) e propozuar nga rregullorja CEB; b) e propozuar nga rregullorja ACI Figura 3.10: Lidhja Moment-Kurbaturë sipas metodës bilineare direkte Figura 3.11: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga D. Branson Figura 3.12: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga Beeby Figura 3.13: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga Ivković Figura 3.14: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga Дьховинньи Figura 3.15: Sjellja bilineare ngarkesë-zhvendosje sipas ACI 435R Figura 3.16: Trau betonarme i ngarkuar në përkulje; a)ndryshimi real i shtangësisë; b)zëvendësimi i shtangësisë me shtangësitë konstante; c) Zëvendsësimi i shtangësisë me shtangësinë efektive Figura 3.17: Shpërndarja e shtangësisë së traut kontinual Figura 4.1: Shpërndarja e forcave të brendshme në prerje tërthore Figura 4.2: Diskretizimi i shtyllës në elemente të fundëm Figura.4.3: Shëndërrimi i elementit me shtangësi të ndryshueshme në element me shtangësi konstante Figura 4.4: Shkallët e lirisë në nyjet e elementëve të fundëm... 86

11 Figura 4.6:.Paraqitja grafike e diagramit forcë-zhvendosje maksimale për shtyllën e tipit 315/ Figura 4.7: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës 1000/ Figura 4.8:.Paraqitja grafike e diagramit forcë-zhvendosje maksimale për shtyllën e tipit 1000/ Figura 5.1: Skema e ekzaminimit të shtyllës SHB Figura 5.2: Deformimi i shtyllës SHB nga forca F=7.6 kn Figura 5.3: Skema e ekzaminimit të shtyllës SHB Figura 5.4: Deformimi i shtyllës SHB S nga forca F=7.6 kn Figura 5.5: Skema e ekzaminimit të shtyllës SHB S Figura 5.6: Deformimi i shtyllës SHB S nga forca F=7.6kN Figura 6.1: Lakorja forcë-zhvendosje për shtyllën e tipit 315/ Figura 6.2: Lakorja forcë-zhvendosje për shtyllën e tipit 1000/

12 LISTA E TABELAVE Tabela 4.1: Paraqitja tabelare e rezultateve të fituara analitikisht për shtyllën 315/ Tabela 4.2: Paraqitja tabelare e rezultateve të fituara analitikisht për shtyllën 1000/ Tabela 5.1: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës SHB Tabela 5.2: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB , Mostra Tabela 5.3: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB , Mostra Tabela 5.4: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB , Mostra Tabela 5.5: Zhvendosjet e matura gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB Tabela 5.6:Vlerësimi i shtyllës së ekzaminuar SHB Tabela 5.7: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës SHB S Tabela 5.8: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra Tabela 5.9: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra Tabela 5.10: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra Tabela 5.11: Zhvendosjet e matura gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S Tabela 5.12: Vlerësimi i shtyllës së ekzaminuar SHB S Tabela 5.13: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës SHB S Tabela 5.14: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra Tabela 5.15: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra Tabela 5.16: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra

13 Tabela 5.17: Zhvendosjet e matura gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S Tabela 5.18: Vlerësimi i shtyllës së ekzaminuar SHB S

14 LISTA E SIMBOLEVE LATINE Sipërfaqja fillestare e prerjes tërthore Sipërfaqja e armaturës së tërhequr A B b d D Matrica për lidhjen e zhvendosjeve të elementit me zhvendosjet në nyje Matrica e cila lidhë deformacionet me deformimet Gjerësia e prerjes tërthore Lartësia statike e prerjes Matrica e materialit Matrica tangjenciale e materialit Koeficientët e elasticitetit Tenzori i deformacioneve lineare E Moduli i elasticitetit Moduli i elasticitetit të betonit Moduli i elasticitetit të çelikut Moduli efektiv i elasticitetit të çelikut Deformimet gjatësore Moduli sekant i elasticitetit Moduli tangjencial i elasticitetit Energjia potenciale e deformimit Potenciali i forcave të jashtme konservative F Vektori i forcave të jashtme në nyje Forca e stabilizimit të plasaritjeve Forca e cila shkakton plasaritjen e parë në element Funksioni i rrjedhshmërisë Përcaktori i tenzorit para deformimit

15 Përcaktori i tenzorit pas deformimit Matrica e derivateve të funksioneve interpoluese Momenti i inercisë i prerjes së përgjithshme Momenti i inercisë i prerjes së idealizuar pa plasaritje Momenti i inercisë i prerjes së përgjithshme të betonit Momenti i inercisë i prerjes aktive ndaj qendrës së rëndesës së prerjes aktive Momenti efektiv i inercisë Koeficienti i aksit neutral K Matrica e shtangësisë së strukturës Matrica e shtangësisë lineare Matrica e shtangësisë tangjenciale Matrica e shtangësisë së sistemit të elementeve të fundëm Matrica konvecionale e shtangësisë së elementit Shtangësia e zhvendosjes fillestare Shtangësia e nderjes fillestare Gjatësia fillestare e shufrës L L Gjatësia e shufrës pas deformimit Operator linear Momenti i përkuljes Momenti i përkuljes i cili shkakton paraqitjen e plasaritjeve në element Momenti i përkuljtes i cili shkakton plastifikimin e prerjes Momenti i përkuljes ndaj qendrës së rëndesës së armaturës N Forca aksiale në shufër Matrica e funksioneve interpoluese Matrica gjeometrike apo inkrementale e shtangësisë e rendit të parë

16 Matrica gjeometrike apo inkrementale e shtangësisë e rendit të dytë Vektori i zhvendosjeve në nyje të elementit të fundëm Vektori i parametrave të zhvendosjeve dhe në nyje të sistemit në koordinata globale Vektori i forcave të gjeneralizuara në nyje të elementit të fundëm Vektori i forcave të gjeneralizuara në nyjet e sistemit në koordinata globale Vektori i zhvendsojeve inkrementale r R Rrezja e kurbaturës së prerjese tërthore Forca e brendshme Matricë Tenzori i Piola - Kirchhoff-it i llojit të dytë Tenzori i Lagrange-it Komponentet e zhvendosjeve Vektori i zhvendosjeve në një pikë të çfarëdoshme të shufrës Zhvendosjet e aksit të shufrës në drejtim të triedrit Derivatet e zhvendosjeve ndaj aksit x Derivatet e zhvendosjeve ndaj aksit y Derivatet e zhvendosjeve ndaj aksit z U Energjia e deformimit U* Energjia komplementare e deformimit v Zhvendosja në nyje në drejtim të aksit y Zhvendosja e llogaritur për shtangësi të prerjes së plasaritur përgjatë mbajtësit Vëllimi fillestar i shufrës V x Vëllimi i shufrës pas deformimit Distanca e aksit neutral nga skaji i shtypur i prerjes tërhtore

17 LISTA E SIMBOLEVE GREKE Raporti i moduleve të elasticitetit të materialit të çelikut dhe betonit Simbolet e Cristoffel-it të llojit të dytë Zhvendosja e gjeneralizuar Deformimi virtual Zhvendosja virtuale Dilatacioni Dilatacioni elastik Dilatacioni plastik Dilatacioni i Green-it Tenzori i deformacioneve Tenzori i deformimit të Almansi-t Vektori i deformacioneve lineare Vektori i deformacioneve jolineare Dilatacioni në skajin e shtypur të prerjes tërthore të elementit Dilatacioni në armaturën e tërhequr të prerjes tërthore të elementit,,, Deformacionet e pikave në aksin e shufrës,, Deformacionet në çfarëdo pike të shufrës Tenzori i deformacioneve jolineare Parametrat e materialit Tenzori i Piola - Kirchhoff-it i llojit të parë Funksionali i energjisë totale potenciale Përqindja e armaturës në zonën e tërhequr Përqindja e armaturës në zonën e shtypur Nderja normale në prerjen tërthore të shufrës

18 Tenzori i nderjeve Tenzori i Cauchy-it Tenzori i nderjes sekondare i Piola-Kirchhoff Nderja në kufirin e rrjedhshmërisë, Nderjet kryesore Nderja efektive Vektori i nderjeve lineare Vektori i nderjeve jolineare Nderja normale tërheqëse në beton Nderja normale shtypëse në beton Nderja normale në armaturë Nderja tangjenciale në beton Kurbatura e prerjes tërthore Rrëshqitjet Rrotullimet rreth akseve të triedrit Tenzori i linearizuar i rrotullimeve

19 HYRJE Kuptimi i sjelljes së elementeve të gjata betonarme, të nënshtruar ndaj deformimeve të mëdha, kërkon studime të mëtejme analitike dhe eksperimentale. Qëllimet e këtij punimi janë: Të zhvillojë modelin e elementit të fundëm të elementit vijor betonarme i nënshtruar ndaj deformimeve të mëdha Të vlerësojë modelin duke krahasuar rezultatet analitike me rezultatet e fituara nga shqyritimi eksperimental. Në kapitullin e parë, është paraqitur në përgjithësi jolineariteti i strukturave. Zhvendosjet e elementeve të gjata mund të jenë aq të mëdha sa që ndryshimet e formës nuk mund të neglizhohen andaj duhet të kalohet në analizën jolineare të tyre. Aty janë paraqitur jolinearitetet gjeometrike, jolinearitetet e materialit dhe jolinearitetet konturore. Në kapitullin e dytë, janë paraqitur disa probleme themelore të gjeometrisë jolineare të elementeve vijore. Aty është dhënë formulimi i përgjithshëm sipas MEF, duke treguar mënyrat kryesore se si të arrihet deri te zgjidhjet e kërkuara dhe disa aplikime në mbajtësit vijorë. Në kapitullin e tretë, janë paraqitur veprimet praktike për llogaritjen e madhësive të deformimeve nën veprimin e ngarkesës afatshkurtër, për elementet e nënshtruara ndaj përkuljes. Në kapitullin e katërt, janë paraqitur rezultatet analitike. Aty është paraqitur sjellja forcë - zhvendosje maksimale për intensitete të ndryshme të forcës deri në thyerje të elementit betonarme. Në kapitullin e pestë, është paraqitur shqyrtimi ekperimental i shtyllave të tensionit prej betoni të armuar. Në kaptillun e gjashtë, është bërë krahasimi i rezultateve të fituara analitikisht dhe atyre të fituara ekperimentalisht. 1

20 1. JOLINEARITETET STRUKTURORE 1.1. TË PËRGJITHSHME Zgjidhja e shumicës së problemeve inxhinierike është bazuar në aproksimimet lineare. Në analizën e strukturave, këto aproksimime janë paraqitur duke konsideruar se: Zhvendosjet janë të vogla dhe mund të neglizhohen në ekuacionet e ekuilibrit, Deformimi është proporcional me nderjen (ligji i Hooke-ut), Ngarkesat janë konservative, të pavarura në deformime, Mbështetjet e strukturave mbeten të pandryshuara përgjatë ngrakimit. Rrjedhimisht, ekuacionet në analizën e elementeve të fundëm, që përshkruajnë sjelljen e strukturës janë lineare. (1.1) Ku: - matrica e shtangësisë së strukturës, - vektori i zhvendsojeve të nyjeve dhe - vektori i forcave të jashtme në nyje. Karakteristikat e zgjidhjes së këtij problemi linear janë: Zhvendosjet janë proporcionale me forcat Shtangësia e strukturës është e pavarur nga vlera e nivelit të ngarkesës. Në realitet sjellja e strukturave është jolineare, por divergjencat prej përgjigjes lineare janë zakonisht të vogla dhe mund të neglizhohen në shumicën e problemeve praktike. Në anën tjetër, zgjidhja e disa problemeve inxhinierike kërkon të braktisen aproksimimet lineare. Për shembull, zhvendosjet e elementeve të gjata mund të jenë aq të mëdha sa që ndryshimet e formës së elementeve nuk mund të neglizhohen. Disa materiale bëhen jolineare apo modeli i materialit linear nuk mund të shfrytëzohet nëse nderja arrinë një vlerë të caktuar. Për më tepër, ngarkesat mund të ndryshojnë drejtimet e tyre ndaj zhvendosjeve dhe mbështetjet mund të ndryshojnë gjatë ngarkimit. Si pasojë, struktura bëhet jolineare. Nëse këto fenomene janë të përfshira, ekuacionet e ekuilibrit bëhen 2

21 jolineare dhe në vend të ekuacioneve lineare shprehja (1.1), ne fitojmë ekuacionet algjebrike jolineare (1.2) 1.2. LLOJET E JOLINEARITETEVE STRUKTURORE Jolinearitetet strukturore mund të veçohen si: Jolinearitetet gjeometrike: Efekti i zhvendosjeve të mëdha në konfiguracionin e përgjithshëm gjeometrik të strukturës. Jolinearitetet e materialit: Sjellja e materialit është jolineare. Modelet e mundshme të materialit janë: jolineare elastike elastoplastike viskoelastike viskoplastike Jolinearitetet konturore (kufitare) p.sh. zhvendosja e varur prej kushteve kufitare. Jolinearitet kufitare më të shpeshta janë hasur në problemet e kontaktit. Efektet e sjelljes jolineare të strukturave që duhet te pranohen janë: Nuk mund të aplikohet parimi i superponimit. Për shembull, rezulatet e disa rasteve të ngarkesave nuk mund të kombinohen, Vetëm një rast i ngarkesës mund të trajtohet për një herë, Rendi i aplikimit të ngarkesave (historia e ngarkimit) mund të jetë i rëndësishëm. Veçanërisht, deformimet plastike varen nga mënyra e ngarkimit. Kjo është arsyeja e ndarjes së ngarkesave në inkremente të vogla në analizën jolineare te EF, Sjellja e strukturave mund të jetë dukshëm joproporcionale ndaj ngarkesës së aplikuar, Gjendja e nderjes fillestare mund të jetë e rëndësishme. 3

22 1.3. KONCEPTET E LAKOREVE KOHORE Për analizë jolineare statike, ngarkesat aplikohen në hapa inkremental duke shfrytëzuar lakoret kohore.variabla kohë paraqet një pseudokohë, e cila paraqet intensitetin e ngarkesave të aplikuara në hapin e caktuar. Për analizë jolineare dinamike dhe analizë jolineare statike me veti të materialit që varen nga koha, koha paraqet kohën reale të shoqëruar me aplikimin e ngarkesës. Si një shembull, lakoret kohore për forcat F1 dhe F2 që ngarkojnë një tra të thjeshtë janë paraqitur në Figurën 1.1. Vlerat e forcave në ndonjë kohe definohen si: dhe Ku dhe janë vlerat hyrëse të forcave dhe dhe janë parametrat e ngarkesës të cilët janë në funksion të kohës t. F 1 F t Figura 1.1: Shembull i lakoreve kohore 1.4. SJELLJA JOLINEARE GJEOMETRIKE Sjellja zhvendosje e madhe - deformim i vogël Që të paraqesim sjelljen jolineare gjeometrike do të fillojmë me një shembull. Përvetësojmë zhvendosje të madhe, por rrotullim të vogël, dhe çka është më e rëndësishme deformim të vogël. Struktura është shumë e thjeshtë - vetëm një shufër siç shihet në Figurën 1.2. Në fillim, kur forca F është zero, forca aksiale N në shufër është zero gjithashtu dhe shufra ka gjatësinë e saj fillestare L0. 4

23 h v Fidan Salihu H F N l H N l 0 a Figura 1.2: Shembull i strukturës jolineare: shufër e thjeshtë Nga Figura 1.2 kushti i ekuilibrit është: Dhe pas zëvendësimit (1.3) Përvetësojmë se materiali është linear elastik me modulin e Young-ut E. Përvetësimi se deformimi është i vogël këtu nënkupton se ndryshimi i sipërfaqes së prerjes tërthore të shufrës mund të neglizhohet. Prandaj forca asksiale në shufër është: (1.4) Ku është sipërfaqja fillestare e prerjes tërthore dhe ε dilatacioni i definuar si: ε=(l- L0)/L (1.5) Pasiqë gjatësitë janë të dhëna si: dhe (1.6) shprehja për dilatacion bëhet paksa e ndërlikuar. Ne mund ta zgjidhim këtë problem duke përvetësuar dilatacionin e Green-it të definuar si: (1.7) 5

24 i cili për problemin tonë bëhet: ( ) (1.8) Përdorimi i kësaj madhësie të re të dilatacionit është i mundur sepse ne mund t a definojmë dilatacionin arbitrarisht. Kushti i vetëm është ai që dilatacioni duhet të jetë objektiv, çka d.m.th se ai duhet të jetë i pavarur nga zgjedhja e sistemit koordinativ dhe nga lëvizja e trupit rigjid. Nga shprehjet (1.5) dhe (1.7) rrjedh se: ( ) Ose (1.9) Duke veçuar se ekuacioni konstituiv ishte dhënë si: (1.10) I njëjti ekuacion konstituiv kur përdoret dilatacioni i Green-it do të jetë: (1.11) Kjo nënkupton se duhet të përdorim madhësinë: në vend të E në ekuacionin konstituiv. Fatmirësisht, ne mund t a neglizhojmë këtë ndërlikim tani për shkak se për deformimet e vogla diferenca ndërmjet dilatacionit inxhinierik dhe të Green-it është e neglizhueshme. Për shembull, konsiderojmë se =0.002 atëherë. Kjo tregon se diferenca është vetëm 0.1% çka d.m.th se është vlerë e cila zakonisht mund të neglizhohet. Duke përvetësuar se deformimi është i vogël, ne mund të shkruajmë dhe në pajtueshmëri me shprehjen (1.8) ( ) (1.12) Duke zëvendësuar (1.12) në barazimin e ekuilibrit (1.3) dhe duke përvetësuar se për deformim të vogël është fitojmë barazimin e ekuilibrit: 6

25 (1.13) Shihet qartë se barazimi është jolinear në funksion të zhvendosjes v. Kjo nënkupton se marrëdhënia ndërmjet ngarkesës F dhe zhvendosjes v paraqitet jo prej vijës së drejtë siç është kur ndryshimet e konfiguracionit janë të neglizhuara, por prej lakores. Këto karakteristika jolineare për., dhe janë paraqitur në Figurën F (N) v (mm) Figura 1.3: Sjellja jolineare gjeometrike e shufrës së thjeshtë Ekziston mundësi tjetër që të fitohen ekuacionet e ekuilibrit (1.3) apo (1.13). Në bazë të principit të zhvendosjeve virtuale, kur struktura është në ekuilibër, punët virtuale të forcave të brendshme dhe të jashtme janë të barabarta për çdo sistem të zhvendosjeve virtuale. Për strukturën tonë me një shkallë të lirisë është e mundur vetëm një zhvendosje virtuale dhe principi i zhvendosjeve virtuale ka formën: (1.14) ku është deformimi virtual që i korrespondon zhvendosjes virtuale. Deformimi virtual mund të shprehet prej shprehjes (1.8) si: * + (1.15) Në principin e zhvendosjeve virtuale është marrë se zhvendsojet virtuale janë infinitizimale kështu që nderja mbetet e pandryshueshme. Duke veçuar në këtë rast se dhe janë konstante përgjatë tërë vëllimit V dhe duke përvetësuar se ndryshimi 7

26 i vëllimit mund të neglizhohet për deformime të vogla, d.m.th (1.14) merr formën: shprehja dhe prej këtij ekuacioni rrjedh se: Ky ekuacion është i njejtë me ekuacionin e ekuilibrit (1.3). Pas zëvendësimit të N prej (1.12) do të fitohet ekuacioni (1.13) Sjellja zhvendosje e madhe-deformim i madh Kur deformimi është i madh, është e papranueshme të neglizhohet ndyshimi i formës dhe vëllimit të strukturës. Për shembull, në rastin e shufrës së thjeshtë ne në ekuacionet (1.12) dhe (1.13) duhet të marrim sipërfaqen e prerjes tërthore të çastit A në vend të asaj fillestare dhe gjatësinë e çastit në vend të asaj fillestare. Pradaj, integrimi në ekuacionin i cili shpreh principin e zhvendosjeve virtuale duhet të kryhet për vëllimin e çastit. Kjo sjell probleme, pasiqë vëllimi i çastit është i panjohur, sepse ai varet prej zhvendosjeve të cilat gjithashtu janë të panjohura dhe fillimisht duhet të llogariten. Për të zgjidhur këtë problem, është e nevojshme të bëhen transformime kështu që integrimet të bëhen për vëllimin e njohur. Më poshtë shkurtimisht janë paraqitur dy mënyra të mundshme Formulimi total i Lagrang-it Në formulimin total të Lagrang-it (TL) të gjitha integralet janë të llogaritur duke marrë parasysh konfiguracionin fillestar të padeformuar të strukturës (1.16) ku është vëllimi fillestar. Gjatë transformimit, është futur madhësi e re e nderjes e ashtuquajtur tenzori i nderjes sekondare i Piola-Kirchhoff-it së bashku me tenzorin e deformimit të Green-it. 8

27 Formulimi i përmirësuar i Lagrang-it Në formulimin e përmirësuar të Lagrang-it, konfigurimi i njohur i deformimit i është marrë si gjendje fillestare për konfigurimin vijues (i+1) dhe ky në mënyrë të vazhdueshme përsëritet përgjatë llogaritjes Në anën e majtë të barazimit (2.40), (1.17) është tenzori i nderjes së Cauchy-ut dhe është tenzori i deformimit të Almansi-t. Simboli dhe nënkupton se deformimi dhe nderja janë në konfiguracionin (i+1). Integrimi bëhet për vëllimin është në konfiguracionin e çastit i. që 1.5. JOLINEARITETET E MATERIALIT Të përgjithshme Analiza elastike lineare është bazuar në ekuacionin linear nderje-deformim (1.18) në të cilin termet e matricës së materialit D janë shprehur si funksione të vlerave konstante të modulit të elasticitetit dhe koeficientit te Poisson-it. Matrica konstante D shpie tek matrica konstante e shtangësisë K, e cila për marrëdhënien deformim-zhvendosje (1.19) është e dhënë si: (1.20) Shmangia nga elasticiteti linear nënkupton se ekuacionet konstituive elastike lineare nuk janë më valide, kështu që matrica e materialit nuk është më konstante. Matrica e materialit D jokonstante paraqet ekuacionet konstituive jolineare që i korrespondojnë modelit të përvetësuar të materialit. Si pasojë, kushtet e ekuilibrit janë jolineare. Jolinearitetet e materialit janë zakonisht të kombinuara me jolinearitetet gjeometrike dhe/ose kufitare. 9

28 Modelet elastike jolineare Sjellja elastike jolineare e materialeve mund të formulohet në disa mënyra. Më i thjeshti është formulimi total,ku nderja dhe deformimi janë të definuara në termet e modulit sekant të elasticitetit, Figura 1.4. (1.21) Në formulimin hipo-elastik, marrëdhënia ndërmjet inkrementeve të nderjeve dhe deformimeve janë të definuara prej modulit tangjencial të elasticitetit (1.22) Ligji i materialit elastik jolinear gjithashtu mund të jetë i formuluar në termet e fomulimit hiperelastik, i cili supozon ekzistimin e funksionit të energjisë së deformimit U dhe funksionin korrespondues të energjisë komplementare U* të tillë që (1.23) Et Es Figura 1.4: Modeli elastik jolinear 10

29 U* U Figura 1.5: Funksionet e energjisë së deformimit U dhe U* Modelet e materialit elastoplastik Kushti i rrjedhshmërisë Eksperimentet tregojnë se materiali elastik linear është i pranueshëm vetëm brenda një rangu të kufizuar të nderjes. Si një shembull, lakorja nderje-deformim prej shqyrtimit në tërheqje të çelikut është paraqitur në Figurën 1.6. Deri në nderjen e rrjedhshmërisë të paraqitur me pikën A (në rastin e dhënë ) deformimet janë elastike dhe marrëdhënia mund të përshkruhet si. Kur vlera e nderjes arrinë nderjen e rrjedhshmërisë, një ligj konstituiv elastoplastik drejton marrëdhënien ndërmjet inkrementeve të nderjes dhe deformimit. Për shkak të pamjaftueshmërisë së të dhënave, zakonisht përvetësohen lakore të përafërta nderje-deformim. Aproksimimi bilinear i definuar prej nderjes së rrjedhshmërisë, modulit të elasticitetit E dhe modulit tangjencial është i paraqitur në Figurën 1.7. Nëse, modeli i materialit është elastik-perfekt plastik. Nëse, modeli i materialit është me përforcim. 11

30 (MPa) Fidan Salihu A Figura 1.6: Lakorja tipike nderje-deformim për çelikun e butë A B Et y E C e p Figura 1.7: Modeli elastoplastik me përforcim linear Në përshkrimin matematikor, fillimi i rrjedhshmërisë mund të paraqitet përmes funksionit skalar të quajtur funskioni i rrjedhshmërisë. Funskioni i rrjedhshmërisë është shënuar në formën e cila shpie tek kushtet: për deformim elastik dhe për deformim plastik (1.24) Në praktikën inxhinierike, më së shpeshti janë shfrytëzuar dy kushtet e ardhshme për rrjedhshmëri: Kushti i rrjedhshmërisë sipas Von Mises: (1.25) 12

31 ku, dhe janë nderjet kryesore. Në këtë mënyrë, rrjedhshmëria paraqitet kur nderja efektive arrinë vlerën e nderjes së rrjedhshmërisë (1.26) Kushti i rrjedhshmërisë sipas Tresca-s [ ][ ][ ] (1.27) Diferenca më e lartë ndërmjet këtyre dy kushteve klasike të rrejdhshmërisë është rreth 15% për gjendjen nderjes prerëse. Për gjendje tjera të nderjeve diferenca është më e vogël. Prandaj, që të dy kushtet shpesh konsiderohen si të barabartë në praktikën inxhinierike. Kushti i rrjedhshmërisë i cili është në funksion të komponenteve të tenzorit të nderjeve dhe parametrave të materialit (1.28) përcakton sipërfaqen e rrjedhshmërisë në hapësirën e nderjeve kryesore, Figura 1.8. Pikat e nderjeve të cilat shtrihen brenda sipërfaqes së rrjedhshmërisë janë të lidhura me gjendjen e nderjeve elastike, ndërsa pikat të cilat shtrihen në sipërfaqe paraqesin gjendjen e nderjeve plastike. Asnjë pikë e nderjeve nuk mund të jetë jashtë sipërfaqes së rrjedhshmërisë. 2 F (,k)=0 O 1 3 Figura 1.8: Sipërfaqja e rrjedhshmërisë 13

32 Sjellja pas rrjedhshmërisë Supozimi bazë në përshkrimin e sjelljes pas rrjedhshmërisë është ndarja e inkrementit të deformimit total në pjesën elastike (të kthyeshme) dhe në pjesën plastike (të pakthyeshme). Për gjendjen e nderjes një aksiale, në pajtueshmëri me Figurën 1.9 (1.29) dhe inkrementi i deformimit plastik atëherë është (1.30) Et d d d E d p d d e O Figura 1.9: Ndarja e inkrementit të deformimit total Në bazë të analogjisë, në gjendjen e nderjes shumëaksiale deformimin total e zbërthejmë në pjesët elastike dhe plastike gjithashtu. (1.31) Në rastet e nderjes shumëaksiale, ngarkimi vijues pas rrjedhshmërisë së parë shkakton deforimim plastik të mëtejshëm i cili mund të ndikojë në modifikimin e formës dhe/ose pozitës së sipërfaqes së rrjedhshmërisë. Për materialin perfekt plastik, sipërfaqja e rrjedhshmërisë mbetet e pandryshuar gjatë deformimit plastik. Për materialin me përforcim, deformimet plastike shkaktojnë ndryshim 14

33 në formën dhe pozitën e sipërfaqes së rrjedhshmërisë. Kjo nënkupton se sipërfaqja e rrjedhshmërisë fillestare gradualisht zëvendësohet prej sipërfaqes së rrjeshdhmërisë vijuese. Është pranuar funksioni i rrjedhshmërisë i cili ka formën si në vijim: (1.32) Ky funksion i rrjedhshmërisë varet nga nderjet por gjithashtu edhe prej deformimeve plastike dhe parametrit të përforcimit K. Mënyra në të cilën deformimet plastike modifikojnë funksionin e rrjedhshmërisë është e definuar prej rregullave të përforcimit: B A O a O A B A' C a C Figura 1.10: Përforcimi izotropik Ligji i përforcimit izotropik nënkupton se sipërfaqja e rrjedhshmërisë rritet në madhësi por mbetet në formën fillestare përgjatë ngarkimit. Paraqitja skematike e përforcimit izotropik për gjendjen e nderjes aksiale dhe biaksiale është paraqitur në Figurën Në përforcimin kinematik, sipërfaqja e rrjedhshmërisë fillestare zhvendoset në pozitë të re në hapësirën e nderjeve pa ndryshuar formën dhe madhësinë e saj siç është paraqitur në Figurën Përforcimi kinematik ka rëndësi të lartë në modelimin e sjelljes ciklike. Kombinimi i ligjeve bazë të pëforcimit shpie te ligji i përforcimit të përzier ku sipërfaqja e rrjedhshmërisë fillestare edhe rritet edhe zhvendoset si pasojë e rrjedhjes plastike. 15

34 0 0 Fidan Salihu B A F O O 2 0 F 0 O A B C C Figura 1.11: Përforcimi kinematik Ekuacionet konstituive për materialin elastoplastik Kushti i rrjedhshmërisë thotë nëse deformimi plastik do të ndodhë por nuk thotë asgjë rreth sjelljes plastike të materialit pas fillimit të deformimeve plastike. Kjo është e definuar prej të ashtuquajturës rregullës së rrjedhshmërisë në të cilën vlera dhe drejtimi i deformimeve plastike është i lidhur me gjendjen e nderjeve dhe vlerën e nderjeve. Kjo marrëdhënie mund të shprehet si: (1.33) ose në formën matricore (1.34) ku është madhësi skalare (që duhet të caktohet) dhe Q është skalar i llogaritur në funksion të komponenteve të nderjeve i quajtur potenciali plastik. Për metale, e ashtuquajtura rregulla e rrjedhshmërisë së lidhur, në të cilën sipërfaqja e potencialit plastik përputhet me sipërfaqen e rrjedhshmërisë, mund të pranohet tek modelet me rrjedhshmëri plastike. Për disa materiale tjera, rregulla e rrjedhshmërisë së palidhur në të cilën mund të pranohet tek modelet me rrjedhshmëri plastike adekuate. Në vijim do të punohet me rregullën e rrjedhshmërisë së lidhur 16

35 . (1.35) Konsiderojmë së pari nderjen njëaksiale. Sjellja plastike e materialit është e përshkruar si:, (1.36) ku është konstant për material bilinear si siç shihet qartë prej ekuacioneve (1.29) dhe (1.30). Në gjendjen e nderjes shumëaksiale, mund të formulojmë ekuacionin konstituiv të ngjajshëm, (1.37) ku matrica tangjenciale e materialit mund të fitohet prej tenzorit të njohur të nderjeve, tenzorit te deformimeve dhe matricës konstituive D prej ekuacionit (1.18) në mënyrën si në vijim: Hapi i parë është dekompozimi i deformimit në pjesën elastike dhe plastike (1.38) Prej parimit konstituiv rrjedh se: Prandaj (1.39) Prej rregullës së rrjedhshmërisë plastike të lidhur, rrjedh se: (1.40) Ku: (1.41) Duke shfrytëzuar ekuacionet (1.39) dhe (1.40) ne caktojmë: (1.42) Pika e nderjes duhet t i takojë sipërfaqes së rrjedhshmërisë dhe kështu që kushtet vijuese të përputhshmërisë duhet të përmbushen 17

36 (1.43) ose në përputhsmëri me ekuacionet (1.40) dhe (1.41) (1.44) Pas zëvendësimit prej ekuacionit (1.42) fitojmë: ose (1.45) ku madhësia skalare A është definuar si: (1.46) Tash, ne mund të fitojmë parametrin prej ekuacionit (1.45) (1.47) dhe pas zëvendësimit të kësaj shprehje për në ekuacionin (1.44) përfundimisht fitojmë ( ) (1.48) Kur krahasojmë ekuacionin e fundit me ekuacionin (1.37) mund të shohim se: (1.49) Veçojmë se matrica D është simetrike, pasiqë, prandaj edhe matrica është simetrike gjithashtu Integrimi i ekuacioneve konstituive Për inkremente infinitizimale të nderjeve dhe deformimeve është: Në EF ne duhet të punojmë me inkremente të fundëm dhe për të cilët ekuacioni i mësipërm është aproksimativ, kështu që ne shfrytëzojmë marrëdhënien 18

37 për inkrementet e mëdha të nderjeve dhe deformimeve, do të paraqitet një gabim pasiqë nderja në hapin e ardhshëm nuk do ta kënaq parimin konstituiv dhe kushtin e përputhshmërisë. Prandaj, se duhet të integrojmë inkremenetin e pseudokohës, ku në pajtueshmëri më ekuacionin (1.39) Është me rëndësi të veçohet se nëse rrjedhja plastike është prezente, ndryshon përgjatë inkrementit dhe si rezultat, raporti ndërmjet deformimit total dhe plastik ndryshon gjithashtu. Për të fituar rezultate korrekte, janë zhvilluar skema të ndryshme të integrimeve të inkrementeve të nderjeve të cilat dallojnë në shkallën e aproksimit. Më së shpeshti përdoren skemat e paraqitura në vijim: Rregulla trapezoidale e gjeneralizuar Konsiderojmë se e kemi të njohur nderjen, deformimin total dhe deformimin plastik në hapin kohor n. Atëherë në hapin n+1 ( ) (1.50) [ ] (1.51) =0 (1.52) Rregulla e pikës së mesit e gjeneralizuar ( ) (1.53) (1.54) =0 (1.55) Në të dy rregullat, është parametër që ka vlerën prej 0 deri 1. Për ne fitojmë skemën e integrimit eksplicit përpara të Euler-it. Përparësi e këtij algoritmi është në thjeshtësinë e tij; mangësi është se ai është kushtimisht stabil. Kjo nënkupton se hapi inkremental duhet të jetë më i vogël se ndonjë vlerë kritike në mënyrë që të shmanget jostabiliteti në zgjidhje. 19

38 Për ne fitojmë skemën e integrimit implicit prapa të Euler-it. ( ) Është e qartë se për dallim prej skemës para, ne fillojmë me vlerat e definuara në fund të inkrementit, të cilat janë të panjohura në fillim të tij. Prandaj, procedura është e një karakteri iterativ. Kjo nënkupton se në fillim të inkrementit, nderja është e caktuar duke supozuar deformim elastik dhe vlerat e llogaritura pastaj kontrollohen nëse kushti i përputhshmërisë dhe ekuacioni konstitucional janë të kënaqur. Nëse jo, procesi përsëritet me vlera të përmirësuara deri sa kushtet të jenë kënaqur Procedurat numerike Matrica tangjenciale e materialit është shfrytëzuar që të formohet matrica e shtangësisë tangjenciale. Kur matrica e shtangësisë tangjenciale është e definuar, inkrementi i zhvendosjes caktohet për inkrementin e njohur të ngarkesës (1.56) Pasi që inkrementet e ngarkesës dhe zhvendosjes janë të fundëm, jo infinitizimal, zhvendosjet e caktuara me zgjidhjen e sistemit të këtillë të ekuacioneve lineare algjebrike do të jenë vetëm të përafërta. Kjo nënkupton, kushtet e ekuilibrit të forcave nyjore të brendshme dhe të jashtme nuk do të jenë të kënaqur dhe procesi iterativ është i nevojshëm. Ndonjëra nga metodat e përmendura më lart mund të shfrytëzohet. Problemi i cili paraqitet tash është porblemi bazë në llogarinë elastoplastike, jo vetëm kushtet e ekuilbrit por gjithashtu edhe ekuacionet konstituive të materialit duhet të jenë të kënaqura. Kjo nënkupton se brenda çdo hapi iterativ ekuilibrues në çdo pikë integruese duhet të përfshihen kontrollimi i gjendjes së nderjeve dhe iterimet që të gjendet pjesa e deformimeve elastike dhe plastike. Procesi iterativ vazhdon derisa të kënaqen edhe kushtet e ekuilibrit edhe ekuacionet konstituive. Zgjidhja e konvergjuar në fund të inkrementit të ngarkesës pastaj merret në fillim të inkrementit të ri të ngarkesës. 20

39 2. ANALIZA E PROBLEMEVE JOLINEARE GJEOMETRIKE ME METODËN E ELEMENTEVE TË FUNDËM 2.1. EKUACIONET BAZË TË TEORISË JOLINEARE Tenzori i deformacioneve Në sistemin e koordinatave materiale të Lagrange-it, që janë të lidhura me fushën që shqyrtohet para deformimit dhe deformohen së bashku me të, tenzori i deformacioneve definohet si gjysëm-ndryshim i tenzorëve pas dhe para deformimit, d.m.th.: (2.1) x 3 D x 2 D * i 3 i 2 i 1 u * x 1 R R * Figura 2.1: Gjendjet para dhe pas deformimit të një trupi Nëse shprehja e sipërme shprehet, si zakonisht, me anë të komponeneteve të zhvendosjeve,fitohet: ( ) (2.2) ku vija vertikale paraqet shenjën për diferencimin kovariant të komponenteve kovariante apo kontravariante të vektorit: (2.3) 21

40 Në shprehjen (2.3) me janë shënuar simbolet e Cristoffel-it të llojit të dytë. Tenzori që njihet si tenzori i Green-Lagrange-i, është jolinear dhe komponentet e tij nuk e kanë kuptimit gjeometrik si në teorinë lineare. Me ndihmën e tenzorit përcaktohen deformimet gjatësore në drejtimin e vijave koordiantive dhe rrëshqitjet ndërmjet tangjentave në vijat koordinative: (2.4) Në sistemin koordinativ kartezian shprehjet (2.2) dhe (2.4) shkruhen: ( ) (2.5) Në praktikë, shpesh është më e përshtatshme që tenzori i deformacioneve të shprehet në trajtën: ( ) (2.6) Ku: ( ) ( ) (2.7) janë tenzori i linearizuar i deformacioneve dhe përkatësisht ai i rrotullimeve Thjeshtimi i shprehjeve jolineare Shprehjet (2.5) dhe (2.6) paraqesin formën e përgjithsme të lidhjeve jolineare ndërmjet deformacioneve dhe zhvendosjeve në sistemin koordinativ kartezian. Meqë në këto shprehje të gjithë termat jolinearë nuk kanë rëndësi të njejtë praktike, atëherë përdoren shprehjet e thjeshtuara jolineare. Në varësi nga raporti relativ i komponenteve të tenzorëve dhe ekzistojnë dy mundësi për thjeshtimin e shprehjes së përgjithshme jolineare (2.6), që u referohen rasteve vijuese: dhe janë madhësi të vogla të rendit të njejtë dhe prandaj: (2.8) 22

41 dhe janë madhësi të vogla të rendit të njëjtë dhe prandaj: (2.9) Në rastin e parë deformacionet dhe këndet e rrotullimeve janë madhësi të vogla të rendit të njejtë, çka u përgjigjet trupave te të cilët të tri dimensionet bazë janë madhësi të të njejtit rend. Në rastin e dytë,rrotullimet janë dukshëm më të mëdha se deformacionet, çka u përgjigjet trupave të hollë, siç janë pllakat dhe shufrat. Në të dy rastet lidhjet ndërmjet deformimeve gjatësore (apo edhe rrëshqitjes) dhe zhvendosjeve mbesin jolineare. Për analizën dhe llogaritjen e konstruksioneve inxhinierike me rëndësi të veçantë janë marrëdhëniet e dhëna me shprehjet (2.9) Tenzori i nderjeve Gjendja e nderjeve në një pikë çfardo të trupit të deformuar përcaktohet me tenzorin e deformimeve (tenzori i Cauchy-it). Ky tenzor përkufizohet duke iu referuar vektorëve bazë të triedrit pas deformimit. Në kuadër të teorisë lineare në përkufizimin e tenzorit të nderjeve nuk përfillet ndryshimi ndërmjet gjeometrisë natyrore të trupit dhe asaj të deformimit. Përveç tenzorit të Cauchy-it, për përshkrimin e gjendjes së nderjeve shfrytëzohen edhe tri forma të tenzorëve të tyre, që përkufizohen në bazë të shprehjeve të mëposhtme: ( ) (2.10) ( ) (2.10) Tenzori është i njohur si tenzori i Piola-Kirchhoff-it i llojit të dytë. Ai përkufizohet duke iu referuar vektorëve bazë të triedrit pas deformimit, sipas njësisë së sipërfaqes para deformimit. Në shprehjet (2.10) me është shënuar përcaktori i tenzorit para deformimit, ndërsa me pas deformimit. Tenzori (Piola-Kirchhoff-it i llojit të parë) përkufizohet duke iu referuar vektorëve bazë të triedrit para deformimit, sipas njësisë së sipërfaqes pas deformimit, ndërsa tenzori (i Lagrange-it) përkufizohet ndaj vektorëve bazë të triedrit para deformimit, sipas 23

42 njësisë së sipërfaqes para deformimit.në dallim nga tenzorët dhe që janë simetrikë, tenzorët dhe janë josimetrikë dhe përdoren rrallë Shufrat Në Figurën 2.2 është treguar shufra, ku koordinatat parputhen me drejtimet kryesore të akseve të inercisë të prerjes tërthore dhe me aksin e shufrës. Duke supozuar se prerjet tërthore të shufrës janë të padeformueshme në planin e vet, lidhjet ndërmjet deformacioneve dhe zhvendosjeve, sipas (2.5) mund të jepen nga: ( ) ( ) (2.11) ( ) Me supozimin që prerjet tërthore gjatë deformimit mbesin plane, vektori i zhvendosjeve në një pikë çfarëdo të shufrës në triedrin, mund të shprehen në trajtën: ( ) (2.12) ku janë zhvendosjet e aksit të shufrës në drejtim të triedrit, ndërsa rrotullimet rreth akseve të triedrit. Të gjitha këto madhësi janë funksione të aksit të shufrës, ndërsa marrëveshja mbi kahjet e tyre pozitive është treguar në Figurën i 1 i2 x i 3 z,w 0 y y,v 0 Figura 2.2: Marrëveshja mbi kahjet pozitive të zhvendosjeve dhe rrotullimeve 24

43 Në bazë të shprehjeve (2.11), duke mos përfillur termat që përmbajnë madhësinë,për komponentet e deformacioneve të pikave në aksin e shufrës merret: [ ] (2.13) kurse për komponente të deformacioneve në çfarëdo pike të shufrës: (2.14) ku: (2.15) janë ndryshimi i lakores dhe torzioni i aksit të shufrës. Për rastin kur neglizhohet ndikimi i forcave transversale në deformimet rrëshqitëse, gjegjësisht nëse supozohet që prerjet edhe pas deformimit mbesim normale në aksin e deformuar të shufrës, shprehjet (2.14) bëhen: (2.16) 2.2. FORMULIMI I PËRGJITHSHËM SIPAS MEF Në mënyrë të ngjashme si në analizën lineare, në analizë jolineare, ekuacionet themelore të elementit të fundëm dhe përkatësisht sistemit të elementeve të fundëm mund të nxirren në disa mënyra. Këtu do të tregohet formulimi variacional, duke filluar nga funksionali i energjisë totale potenciale: 25

44 (2.17) ku me (2.18) janë shënuar energjia potenciale e deformacioneve dhe potenciali i forcave të jashtme konservative. Në shprehjen (2.18) është tenzori i Cauchy-it (tenzori i nderjeve), është tenzori i Lagrange-Green-it (tenzori i deformacioneve), ndërsa dhe puna e forcave të jashtme vëllimore dhe sipërfaqësore, respektivisht. Nëse tenzori i deformacioneve shprehet si shumë e pjesës lineare dhe jolineare: (2.19) ku janë: (2.20) ndërsa tenzori i nderjeve shprehet sipas tenzorit të deformacioneve: (2.21) ku janë koeficientë të elasticitetit, atëherë pas zëvendësimit të (2.19) dhe (2.21) në (2.18), energjia potenciale e deformacioneve mund të shkruhet: (2.22) Shprehja e mësipërme përfaqëson shprehjen e përgjithshme për energjinë potenciale të deformimeve në analizën e gjeometrisë jolineare. Në këtë shprehje, në bazë të (2.20), brenda integralit paraqiten derivatet e komponenteve të zhvendosjeve të kufizuara me shkallën e katërt. Në shprehjen gjegjëse në teorinë lineare ekziston vetëm anëtari i parë i shprehjes (2.22) në të cilin paraqiten vetëm katrorët e derivateve të zhvendosjeve, derisa të gjithë anëtarët e tjerë janë neglizhuar. Shprehjet (2.19) dhe (2.20) mund të jepen në trajtën e mëposhtme matricore: (2.23) 26

45 ; ; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Secila prej gjashtë komponenteve të vektorit të deformacioneve pjesë lineare dhe asaj jolineare, d.m.th: është dhënë si shumë e (2.24) Me formimin e vektorit të nderjeve dhe matricës së koeficientëve të elasticitetit lidhja ndërmjet nderjeve dhe deformacioneve (2.21) kalon në trajtën matricore: (2.25) gjegjësisht (2.26) Me zëvendësimin (2.23) dhe (2.25), gjegjësisht (2.24) dhe (2.26) në (2.17) dhe (2.18),shprehja për energjinë totale potenciale të elementit bëhet: (2.27) gjegjësisht (2.28) Nisur nga funksionali i energjisë së përgjithsme potenciale, mënyra e mëtejshme për formimin e ekuacioneve të ekuilibrit formalisht është e njejtë si në analizën lineare. Në 27

46 fillim, me ndihmën e funksioneve interpoluese dhe parametrave të zhvendsojeve në nyje, tregohet fusha e zhvendosjeve në element. Më tej, fusha e deformacioneve shprehet në varësi nga parametrat e zhvendosjeve në nyje. Mandej formulohet shprehja për energjinë potenciale të elementit, përkatësisht sistemit të elementëve të fundëm. Megjithatë, pavarësisht se rruga është e njejtë, arritja deri te ekuacionet e ekuilibrit në Teorinë jolineare është shumë më komplekse, sepse vetë lidhjet në mes deformacioneve dhe zhvendosjeve janë më komplekse dhe funksionali është më i ndërlikuar. Me sjelljen e vektorit d komponentet e të cilit janë derivate të zhvendosjeve [ ] (2.29) lidhja ndërmjet deformacioneve dhe zhvendosjeve (2.24) duke pasur parasysh (2.20) gjegjësisht (2.23), mund të paraqiten në formën matricore si në vijim: (2.30) ku dhe (i=1,2,...,6) janë vektorët i të matricës simetrike elementet e së cilës janë njësha dhe zero. Kështu p.sh. për i=1 dhe i=4 vektorët dhe tek problemet tredimensionale, janë: (2.31) [ ] [ ] [ ] [ ] Me zëvendësimin e (2.30) në (2.28), shprehja për energji potenciale bëhet 28

47 (2.32) Kur zhvendosjet në element shprehen në mënyrën e njohur në funksion të parametrave të zhvendosjeve në nyje [ ] [ ] (2.33) në formën e njejtë mund të paraqiten edhe gradientët e zhvendosjeve (2.34) ku është matrica e cila fitohet me diferencimin e matricës së funksioneve interpoluese [ ] (2.35) Me zëvendësimin e (2.34) në (2.32), dhe duke pasur parasysh se është (2.36) fitohet shprehja * ( ) + (2.37) me të cilën energjia potenciale është paraqitur në varësi të parametrave të zhvendosjeve në nyjet e elementeve dhe gradientit të zhvendosjeve. Kjo shprehje mundet simbolikisht të paraqitet në trajtën e ardhshme [ ] (2.38) ku janë: (2.39) 29

48 Anëtari i parë nënintegral në shprehjen (2.38) është simetrik dhe i definuar në një mënyrë. Mirëpo, dy anëtarët tjerë të mbetur dhe mund të paraqiten në disa mënyra, ashtu që në varësi nga ajo mund të fitohen forma të ndryshme të matricës së shtangësisë. Pasi që prodhimet dhe, si komponente të deformacioneve, janë skalar, ata kanë vetinë komutative dhe transponimit (H është simetrike) dhe në prodhimet matricore mund të marrin vend të çfarëdoshëm në raport me anëtarët e tjerë të prodhimit. Duke shfrytëzuar këto veti, integrandet dhe përveç formës (2.39) mund të paraqiten edhe në format vijuese: (2.40) Prej tri formave të integrandit, i pari i cili është paraqitur me shprehjen (2.39) është josimetrik, prandaj nuk është i përshtatshëm, derisa dy të tjerat që janë paraqitur me shprehjen (2.40) janë simetrike. Shprehjet për në të dy rastet janë simetrike. Për shqyrtime të mëtutjeshme në vend të cilësdo qoftë formë të paraqitur të cilat janë simetrike më e përshtatshme është që për dhe të merren shprehjet të cilat fitohen me kombinimin e tyre, ashtu që shprehjet e para për këto madhësi të shumëzohen me 2/3 kurse të dytat me 1/3. Në atë mënyrë, fitohet: (2.41) Me zëvendësimin e vlerave për, dhe të cilat janë të caktuara me (2.39) dhe (2.41) në (2.38), shprehja për energji potenciale të elementit mund të paraqitet në formën vijuese ( ) (2.42) ku janë: 30

49 (2.43) Në këtë shprehje paraqet matricën konvecionale të shtangësisë së elementit, kurse dhe matricën gjeometrike apo inkrementale të shtangësisë, të rendit të parë dhe të dytë. Matrica këtu është paraqitur në një formë diçka më ndryshe nga forma e njohur e saj në analizën lineare. Megjithatë, nga kjo formë mundet shumë thejsht të kalohet në formën standarde të matricës së shtangësisë. Matrica e shtangësisë së elementit është e definuar në një mënyrë dhe nuk varet nga zhvendosjet, gjegjësisht nga parametrat e zhvendosjeve. Matricat gjeometrike të shtangësisë dhe varen nga derivatet e zhvendosjeve, kurse duke pasur parasysh (2.34), në mënyrë indirekte edhe nga parametrat e zhvendosjeve në nyje të elementit. Matrica është lineare, kurse është funksion katror i derivateve të zhvendosjeve gjegjësisht parametrave të zhvendosjeve. Përveç kësaj, këto matrica mund të paraqiten edhe në forma të ndryshme sipas të cilave, gjithashtu, dallohen nga matrica e shtangësisë. Format e ndryshme të matricave dhe shpiejnë deri te ndryshimet në kushtet e ekuilibrit. Energjia potenciale e sistemit të elementeve të fundëm, e cila fitohet si shumë e energjive potenciale të elementeve të fundëm të veçuar, mund të paraqitet me shprehjen vijuese ( ) (2.44) ku janë dhe vektori i parametrave të zhvendosjeve dhe vektori i forcave të gjeneralizuara në nyjet e sistemit në koordinata globale kurse, dhe matrica e shtangësisë së sistemit dhe matricat gjeometrike (inkrementale) të shtangësisë së sistemit të elementeve të fundëm. Vektorët dhe matricat në shprehjen (2.44) që i referohen sistemit të elementeve të fundëm formohen nga vektorët dhe matricat për elementet e veçuar ngjashëm si në analizën lineare. Me zbatimin e ligjit për stacionaritetin e energjisë potenciale, - (2.45) 31

50 duke pasur parasysh se gjatë diferencimit dhe, si funksione të derivateve të zhvendosjeve janë funksione indirekte të parametrave të zhvendosjeve ( është funksion linear, kurse katror i ), fitohen barazimet e kushteve të ekuilibrit të sistemit të elementeve të fundëm ( ) (2.46) Pasi që matricat dhe varen prej zhvendosjeve, gjegjësisht parametrave të zhvendosjeve, sistemi i barazimeve algjebrike (2.46) është jolinear, për dallim prej barazimeve përkatëse të teorisë klasike, të cilët janë linear. Zgjidhja e sistemit të barazimeve jolineare algjebrike caktohet me zbatimin e veprimeve numerike. Në vend të zgjidhjes së drejtëpërdrejtë të barazimeve jolineare (2.46), shpesh është më e përshtatshme që të bëhet linearizimi i tyre, duke i sjellur në formën inkrementale *( ) + (2.47) Operatori inkremental në anën e majtë të barazimit (2.47) fitohet sipas analogjisë së paraqitjes së funksionit f(x) në rrethinën e ndonjë pike me ndihmën e rendit të Taylor-it, duke marrë parasysh vetëm anëtarin e parë të rendit (2.48) Duke kuptuar shprehjen në kllapa të mesme të (2.47) si, sipas (2.48) rrjedh se: *( ) + (2.49) gjegjësisht pas kryerjes së diferencimit (2.50) ky sistem i barazimeve është linear pasi që dhe llogariten në raport me të caktuar më parë. Shprehja në kllapa në anën e majtë të barazimit (2.50) quhet matrica tangjente ose tangjenciale e shtangësisë dhe shënohet me (2.51) Ky emërtim është në përputhje me kuptimin gjeometrik që është paraqitur në Figurën 2.3. Matrica tangjenciale e shtangësisë paraqet pjerrtësinë e tangjentës (tangjenti i këndit) 32

51 në lakoren në sistemin koordinativ. Prej (2.50) drejtpërdrejt del gjegjësisht për Q * * * Q (q ) K t * Q=K t O q* * q =1 q* Figura 2.3: Kuptimi gjeometrik i matricës tangjente të shtangësisë Shufra e nderur aksialisht Në Figurën 2.4 është paraqitur shufra e nderur aksialisht me nyje në skajet e shufrës në të cilat janë parametrat e zhvendosjeve. Gjatësia e shufrës është l, sipërfaqja e prerjes tërthore A dhe moduli i elasticitetit E. Lidhja ndërmjet komponenteve të zhvendosjeve dhe parametrave të zhvendosjeve është dhënë më shprehjen (2.33), ku janë: [ ] [ ] [ ] w1 x,u u1 u2 1 2 l v1 v2 w2 z,w y,v Figura 2.4: Shufra e nderur aksialisht me nyje në skaje 33

52 kurse lidhja ndërmjet gradientit të zhvendosjeve dhe parametrave të zhvendosjeve me shprehjen (2.34), ku janë: [ ] [ ] Vektori i deformacioneve, në këtë rast, shndërrohet vetëm në një komponentë, dilatacioni e cila sipas (2.23) dhe (2.30) paraqitet me shprehjen: ( ) ku janë: [ ] [ ] Matrica e shtangësisë dhe matricat gjeometrike të shtangësisë dhe sipas (2.43) bëhen: [ ] [ ] [ ] [ ] 34

53 ( ) [ ] [ ] ( ) Formulimi alternativ i barazimeve bazë Barazimet (2.44), (2.46) dhe (2.50) paraqesin barazimet bazë në MEF për problemet jolineare gjeometrike. Në këtë mënyrë, këto barazime së pari janë nxjerrë nga Mallett-i dhe Marcal-i. Përveç kësaj forme të barazimeve bazë, shpesh aplikohet edhe një formë tjetër e cila është formuluar nga ana e Zienkieëicz-it me bashkëpunëtorë. Gjatë nxjerrjes së barazimeve bazë, në këtë rast niset nga principi i punës virtuale i cili mund të shprehet në mënyrën vijuese (2.52) ku janë zhvendosjet virtuale (parametrat e zhvendosjeve), deformacionet përkatëse (Green-Lagrange-it) kurse nderjet e rendit të II-të të Piola-Kirchhoff-it, derisa vektori i forcave të gjeneralizuara në nyje. Nëse komponentet e deformacioneve paraqiten si shumë e pjesës lineare dhe jolineare, (2.53) duke marrë parasysh (2.34) fitohet (2.54) gjegjësisht ( ) (2.55) ku janë: 35

54 (2.56) (L është operator linear, kurse N matrica e funksioneve interpoluese). Pasi që nuk varet prej q kurse është funksion linear prej q, me variacionimin e shprehjes (2.55) fitohet (2.57) ku është (2.58) Me zëvendësimin (2.57) në (2.52), duke pasur parasysh se ekuilibrit në formën, fitohen kushtet e (2.59) Nëse në të njejtën mënyrë si deformacionet paraqiten edhe nderjet si shumë e pjesës lineare dhe jolineare (2.60) ( ) dhe vendoset lidhja ndërmjet nderjeve dhe derformacioneve në formën ( ) ( ) (2.61) me zëvendësimin e (2.58) dhe (2.61) në (2.59) fitohet forma vijuese e kushteve të ekuilibrit (2.62) Anëtari i parë në anën e majtë të kësaj shprehje nuk varet nga zhvendosjet dhe paraqet matricën klasike të shtangësisë, derisa anëtarët e tjerë varen prej zhvendosjeve (i dyti dhe i treti janë funksione lineare, kurse i katërti funksion katror i zhvendosjeve) dhe paraqesin matricat gjeometrike të shtangësisë. Mangësi e kësaj forme të barazimeve të ekuilibrit është josimetria e tyre. Për atë ëshë më e përshtatshme të kalohet në formën inkrementale të barazimeve të ekuilibrit. Për formulimin e barazimeve inkrementale të ekuilibrit nisemi nga shprehja (2.59) me variacionimin e së cilës fitohet (2.63) 36

55 Pasiqë është (2.64) Shprehja paraprake bëhet (2.65) ku janë: (2.66) Nëse anëtari i parë në (2.65) shprehet si (2.67) ku është matricë e cila varet nga gjendja e nderjeve dhe e cila quhet matrica e nderjeve fillestare, në bazë të (2.65) për matricë tangjente, përmes së cilës formulohen barazimet inkrementale të ekuilibrit, fitohet (2.68) ku është (2.69) Me formimin e matricave (2.70) 37

56 nga forma e barazimeve të ekuilibrit të cilët janë paraqitur me shprehjen (2.62) mund të kalohet në kushtet e formës (2.37). Me zëvendësimin e (2.69) në (2.43) për matricë të shtangësisë dhe matrica gjeometrike të shtangësisë fitohen shprehjet vijuese: (2.71) Shufra e nderur aksialisht në rrafsh Për ilustrimin e shqyrtimeve në hapësirën e formulimit alternativ është marrë shembulli i shufrës në rrafsh e cila mund të pranojë vetëm forcën normale Figura 2.5. Nyjet janë në skajet e shufrës, kurse parametrat e komponenteve të zhvendosjeve u dhe v. Gjatësia e shufrës është l, sipërfaqja e prerjes tërthore A, kurse moduli i elasticitetit E. u1 y,v v1 v2 1 2 l u2 x,u Figura 2.5: Shufra në rrafsh, e ngarkuar aksialisht Lidhja ndërmjet zhvendosjeve dhe parametrave të zhvendosjeve është dhënë në formën * + [ ] [ ] ku Në bazë të (1.51) dhe (1.53) vijon: [ ] * + * + 38

57 Duke pasur parasysh që është * + * + dhe që matrica konstituive D reduktohet vëtëm në një element D=E, në bazë të (2.68) vijon: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Me zëvendësimin e këtyre vlerave në (2.69), fitohet: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 39

58 [ ] [ ] [ ] ( ) Në fund, sipas (2.67), për matricë fitohet: ( ) [ ] ku është ( ) 2.3. METODAT PËR ZGJIDHJEN E PROBLEMEVE JOLINEARE Metodat për zgjidhjen e problemeve jolineare, gjegjësisht barazimeve jolineare të MEF mund të ndahen në tre grupe bazë: metodat inkrementale, metodat iterative dhe të përziera si dhe metodat inkrementale-iterative. Në kuadër të secilës prej këtyre metodave janë zhvilluar metoda apo veprime të veçanta, të cilat i janë përshtatur problemeve jolineare. Karakteristikë e përbashkët e të gjitha këtyre metodave është se gjetja e zgjidhjes së ndonjë problemi jolinear, gjithmonë shndërrohet në caktimin e disa zgjidhjeve të problemeve përkatëse jolineare. Sipas MEF problemet jolineare formulohen me sistemin e barazimeve algjebrike jolineare të formës 40

59 (2.72) gjegjësisht (2.73) Dukja konkrete e këtyre barazimeve varet nga natyra e problemit, vetive të tyre gjeometriko-fizike dhe ndikimeve të jashtme, gjegjësisht llojit të jolinearitetit dhe mënyrës së aplikuar të diskretizimit. Në barazimet (2.72) dhe (2.73) me simbolikisht janë shënuar parametrat e panjohur (zhvendosjet) kurse me ndikimet e jashtme të gjeneralizuara (ngarkesat) në nyjet e sistemit. Detyra përbëhet në caktimin e parametrave të panjohur në varësi të ndikimeve të jashtme. Në këtë punim do të paraqiten karakteristikat bazë të metodave të cilat aplikohen në zgjidhjen e kësaj detyre Metodat inkrementale Ideja bazë në të cilën ndërtohen këto metoda përbëhet në ndarjen e ngarkesës së përgjithshme në disa pjesë të vogla-inkremente. Zakonisht merret që inkrementët janë të barabartë mes vete, madje në princip ata mund të jenë edhe të ndryshueshëm. Barazimet e problemit (2.72), në vend të ngarkesës së përgjithshme, zgjidhen për disa ngarkesa inkrementale. Në kuadër të secilit inkrement supozohet se sistemi është linear. Në këtë mënyrë, zgjidhja e problemit jolinear fitohet si shumë e disa zgjidhjeve (inkrementale) lineare. Nëse përvetësohet madhësi inkrementale mjaftueshëm e vogël, zgjidhja e cila fitohet në këtë mënyrë, konvergjon ka zgjidhja e saktë. Për tu spjeguar thelbi i metodave inkrementale,ëhstë e përshtatshme që barazimet (2.73) të transformohen në formën (2.74) ku është vektor i fiksuar i ngarkesës, kurse parametër përmes të cilit definohet niveli i ngarkesës. Me diferencimin e (2.74) sipas, fitohet: (2.75) gjegjësisht (2.76) 41

60 Ku është matrica tangjente e shtangësisë. Barazimi (2.76) paraqet barazimin klasik të analizës numerike për të cilën ekzistojnë metoda të përpunuara të integrimit. Më e thjeshtë është nëse zbatohet integrimi vijues: (2.77) ku janë: (2.78) Në bazë të (2.77) caktohen zhvendosjet inkrementale të cilat i përgjigjen ngarkesave inrementale, me ndihëm e matricës për të cilën duhet theksuar se llogaritet në raport me inkrementin fillestar. Për inkrementin fillestar, pasiqë zhvendosjet matrica tangjente është e barabartë me matricën e shtangësisë e cila nuk varet nga zhvendosjet, prandaj mund të merret si e njohur, kështu që prej (2.77) caktohet,dhe pas kësaj. Kur janë të njohura zhvendosjet mund të caktohet matrica, dhe pastaj të gjendet zgjidhja për dhe kështu me radhë për inkrementët tjerë. Zhvendosjet pas inkrementit m caktohen me shprehjen: (2.79) Interpretimi gjeometrik i metodës inkrementale është i paraqitur në Figurën 2.6. Metoda e paraqitur inkrementale është analoge me metodën e Eulerit gjegjësisht metodën e Runge-Kutt-it të cilat aplikohen në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale lineare gjegjësisht jolineare. 42

61 Q 1 K m Q m+1 Q m 1 K 0 Zgjidhja e saktë q m q q m m+1 q Figura 2.6: Interpretimi gjeometrik i metodës inkrementale Siç shihet nga Figura 2.6 zgjidhja inkrementale devijon nga zgjidhja e saktë, për shkak të supozimit të ndryshimit linear të funksionit në inkrement. Ky gabim zvogëlohet me zvogëlimin e madhësisë së inkrementit. Për madhësinë e gabimit gjegjësisht devijimin e zgjidhjes inkrementale nga zgjidhja e saktë mund të përfundohet në bazë të kontrollimit të kushteve të ekuilibrit (2.72) në fund të secilit inkrement. Kjo mundëson që të futen korrigjime të caktuara në metodën inkrementale të cilat sjellin zgjidhje konvergjuese më të mira. Nëse si devijime nga kushtet e ekuilbrit në fund të ndonjë inkrementi m paraqitet ngarkesa e joekuilibruar (2.80) Q m 2 Q 1 1 q 1 q... 2 q m q Figura 2.7: Interpretimi gjeometrik i metodës inkrementale të korrigjuar 43

62 Atëherë në fund të secilit inkrement kjo ngarkesë i shtohet ngarkesës inkrementale reale,kështu që fitohet: (2.81) ku janë dhe. Ku veprimi inkremental është paraqitur skematiksisht në Figurën 2.7. Për zgjidhjen numerike të barazimeve (2.76) shfrytëzohen edhe shumë metoda tjera të ashtuquajtura metodat prediktor-korektor të cilat përfaqësojnë modifikimin e metodave bazë të Euler-it dhe Runge-Kutt-it Metodat iterative Për dallim nga metodat inkrementale në të cilat ngarkesa ndahet në pjesë më të vogla, tek metodat iterative veprimi i aproksimimit bëhet për ngarkesën e përgjithshme. Në secilin hap të iterimit për matricë të shtangësisë supozohet së është konstante që ka për pasojë paraqitjen e ngarkesave të paekuilibruara (reziduale), gjegjësisht devijime nga kushtet e ekuilibrit. Pas secilit iterim është e domodoshme të caktohen joekuilibrimet e ngarkesës, dhe të merren parasysh në iterimin vijues. Veprimi përsëritet deri sa nuk arrihet plotësimi i kushteve të ekuilibrit me saktësi të mjaftueshme. Në fakt procedura iterative përbëhet në korigjimin suksesiv të zgjidhjes derisa nuk plotësohen kushtet e ekuilibirit. Metoda më e thjeshtë iterative është e ashtuquajtura metoda e iterimit direkt (metoda e aprokismimeve suksesive). Nëse supozohet ndonjë zgjidhje fillestare për sistemin (2.72),atëherë mund të caktohet dhe pastaj zgjidhja vijuese: (2.82) ku është (2.83) Me përsëritjen e këtij veprimi fitohet [ ] (2.84) kurse iterimi përfundon kur gabimi (2.85) 44

63 Q Q=Kq Q Q=Kq q 0 q 1 q 2... q q n+1 q n q n+2 q Figura 2.8: Interpretimi gjeometrik i metodës iterative bëhet më e vogël se vlera e përcaktuar paraprakisht. Megjithatë veprimi iterativ nuk është gjithmonë konvergjues. Interpretimi gjeometrik i kësaj metoda është paraqitur në Figurën 2.8. Mangësi e metodave të aproksimimeve suksesive është pasiguria në aspektin e zgjidhjeve konvergjuese, si dhe domosdoshmëria e caktimit të matricës K për secilin iterim Metoda e Neëton-Raphson-it Nëse është zgjidhje aproksimative e sistemit të barazimeve (2.72), atëherë ajo zgjidhje mund të përmirësohet, nëse funksioni (vektori) i forcave reziduale zhvillohet në rendin e Taylor-it në rrethinën, ( ) (2.86) dhe vendoset kushti që zgjidhja e përmirësuar të plotësojë kushtet e ekuilibrit (2.87) Atëherë prej (2.86) drejtpërdrejt vijon (2.88) ku është ( ) (2.89) matrica tangjente e shtangësisë e cila i korrespon vektorit, fitohet sipas shprehjes. Kur sipas (2.88) caktohet 45

64 Kjo metodë grafikisht është ilustruar në Figurën 2.9. (2.90) Q Q=Kq K q 0 q 1 q 2... q Figura 2.9: Interpretimi gjeometrik i metodës së Neëton-Raphson-it Metoda iterative e Neëton-Raphsonit zakonisht shpie te zgjidhjet e shpejta konvergjuese.megjithate,gjatë secilit hap të iterimit ëshë e domosdoshme llogaritja e matricës së shtangësisë së sistemit,dhe zgjidhja e sistemit të ri të barazimeve,kështu që veprimi numerik është mjaft i kushtueshëm.për tu eliminuar kjo mangësi mund të supozohet se matrica edhe përgjatë iterimeve nuk ndërron,d.m.th (2.91) Ku është matrica tangjente e shtangësisë e cila i përgjigjet iterimit zero,gjegjësisht vektorit.veprimi iterativ mbetet fomalisht i njejtë,me dallimin që në shprehjen (2.88) në vend të paraqitet.megjithatë,dallimi esencial është në atë se në këtë rast është e domosdoshme që vetëm një herë të zgjidhet sistemi i barazimeve (në hapin e parë),kurse në secilin iterim vijues të bëhet vetëm përmirësimi i anës së djathë të barazimi me d.m.th (2.92) Kjo metodë,e cila është e njohur nën emërtimin metoda e modifikuar e Neëton-Raphsonit,është dukshëm më ekonomike edhe pse konvergjimi i zgjidhjeve është më i ngadalshëm se sa të metoda e Neëton-Raphson-it.Interpretimi grafik i kësaj metode është paraqitur në Figurën

65 Q Q=Kq K 0 1 q 0 q 1 q Figura 2.10: Interpretimi gjeometrik i metodës së modifikuar të Neëton-Raphson-it Metodat e përziera Metodat e përziera paraqesin kombinimin e metodave inkrementale dhe metodave iterative. Me këto metoda, sipas rregullit, në mënyrë më efikase zgjidhen problemet jolineare. Ngarkesa ndahet në disa inkremente kurse në kuadër të secilit inkrement kryhet iterimi, ashtu që të balansohet ngarkesa reziduale. Varësisht nga mënyra e iterimit, ekzistojnë disa modele të ndryshme të përzier. Në Figurën 2.11 skematikisht është paraqitur mënyra e zgjidhjes së problemeve jolineare sipas metodës së përzier Q Q=Kq q Figura 2.11: Paraqitja skematike e metodës së përzier Për zgjidhjen e barazimeve jolineare të MEF mund të zbatohen metoda të ndryshme inkrementale dhe iterative gjegjësisht kombinimi i tyre. Përparësitë gjegjësisht mangësitë e njërës metodë ndaj të tjerave kryesisht varen nga natyra e problem jolinear për të cilin kërkohet zgjidhje. Metodat inkrementale janë në përgjithësi të aplikuara të të gjithë 47

66 problemet. Ato sipas konceptit bazë >>hap pas hapi<< përputhen me njërin prej principeve bazë në formulimin e MEF. Përveç kësaj, me ndihmën e metodave inkrementale fitohet pasqyrë e plotë në rrjedhën e ndryshimit të varësisë ngarkesë-zhvendosje gjegjësisht pasqyrë në zhvillimin e gjendjes nderje-deformim në varësi të rritjes së ngarkesës. Megjithatë, metodat inkrementale rregullisht kërkojnë shpenzim më të madh të kohës së aparaturës llogaritëse se metodat iterative. Përskaj kësaj gjithmonë nuk është e lehtë të qëllohet madhësia e inkrementit të ngarkesës me të cilën fitohet aproksimin i mirë. Në fund, nuk dihet as saktësia e zgjidhjes inkrementale, përveç nëse ekzisoton zgjidhje eksperimentale apo analitike. Metodat iterative janë më të lehta për aplikim se ato inkrementale, ato më shpejt shpiejnë te zgjidhja nëse nuk bëhet fjalë për numër të madh të rasteve të ngarkesave. Megjithatë, këto metoda nuk janë gjithmonë të besueshme, veçanërisht nëse bëhet fjalë për problemet e jolinearitetit material me veti të ndryshme të materialit (p.sh gjatë tërheqjes dhe shtypjes) të ashtuquajtur materialet bimodulare. Mangësia bazë e metodave iterative është se nuk ekziston tregues i përgjithshëm i konvergjimit të zgjidhjes. Përveç kësaj, metodat iterative nuk janë të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve dinamike si dhe problemeve të jolinearitetit material me veti histerezis si dhe sistemeve të ndryshëm jokonservativ. Pasiqë në metodat e përziera zakonisht kombinohen anët pozitive të metodave inkrementale dhe metodave itertive kurse minimizojnë mangësitë e tyre, metodat e përziera sipas rregullit bëhen edhe më të volitshme, pa marrë parasysh që formulimi i tyre dhe adoptimi për aplikim në llogaritës është më i komplikuar se sa metodat inkrementale apo iterative MBAJTËSIT VIJORË Analiza e shufrës në rrafsh sipas teorisë së zhvendosjeve të mëdha Shqyrtimet e përgjithshme në fushën e jolinearitetit gjeometrik më së lehti është të ilustrohen përmes analizës së shufrës e cila i është nënshtruar nderjes aksiale dhe përkuljes në rrafsh Figura

67 u u2 2 x,u v1 y,v l Figura 2.12: Elementi vijor në rrafsh me 6 shkallë lirie v2 Zhvendosjet në drejtim të aksit të shufrës, për pikën e cila është në largësi y nga aksi i shufrës, janë dhënë me shprehjen (2.93) ku dhe janë zhvendosjet e shënuara të pikave në aksin e shufrës. Duke pasur parasysh supozimet e teorisë klasike të shufrës, që prerjet tërthore në rrafshin e tyre janë jodeformabile, të rrafshta dhe normale në aksin e deformuar të shufrës, komponentet e pjesës lineare dhe jolineare të tenzorit të deformimeve janë: dhe (2.94) Të gjitha komponentet tjera janë të barabarta me zero. Përveç kësaj është futur edhe një thjeshtim, në shprehjen për është neglizhuar anëtari në krahasim me, që tek shufrat klasike, për arsye të raportit relativ të këtyre madhësive, është e drejtë pasiqë është pa ndikim praktik në ndikimin e saktësisë së analizës. Me zëvendësimin e (2.93) në (2.22) shprehja për energji të deformimit të shufrës bëhet: [ ( ) ( ) ] (2.95) 49

68 ku E është moduli i elasticitetit të shufrës. Nëse në vend të inegrimit sipas vëllimit kalohet në integrimin sipas sipërfaqes së prerjes tërthore dhe gjatësisë së shufrës ( ), duke pasur parasysh që për prerje tërthore simetrike është (2.96) Shprehja (2.95) bëhet: ( ) (2.97) Kjo shprehje mund të transformohet në formën matricore vijuese: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Me sjelljen e simboleve (2.98) [ ] [ ] [ ] [ ] (2.99) Shprehja (2.98) për energji të deformimit të shufrës bëhet: ( ) (2.100) Pasiqë elementi në Figurën 2.12 ka 6 shkallë lirie, nga dy zhvendosje dhe një rrotullim në secilën nyje, ndryshimi i zhvendosjeve u dhe v përgjatë aksit të shufrës mund të paraqitet me ndihmën e polinomeve me gjithsej gjashtë koordinata të gjeneralizuara. Për zhvendosjen u supozohet ndryshim linear, kurse për zhvendosje v ndryshim kubik përgjatë aksit të shufrës, d.m.th. * + [ ] (2.101) [ ] Kur shprehja (2.101) paraqitet për nyjet e elementit barazimeve:, fitohet sistemi i 50

69 [ ] (2.102) Prej nga është (2.103) dhe pastaj (2.104) ku matrica e funksioneve interpoluese. Matricat dhe janë të dhëna me shprehjet vijuese: [ ] [ ] (2.105) Duke pasur parasysh (2.101) dhe (2.103), vektori i derivateve të zhvendosjeve, mund të paraqitet në varësi prej parametrave të zhvendosjeve të nyjeve në formën vijuese (2.106) ku është [ ] [ ] [ ] (2.107) Me zëvendsësimin e (2.106) në (2.100), për energji të brendshme të shufrës fitohet: ( ) (2.108) ku janë: (2.109) 51

70 Nëse shprehjet (2.107) dhe (2.99) zëvendësohen në (2.109),për matrica fitohet:, dhe [ ] [ ] (2.110) [ ] Kur në shprehjen për kryhet integrimi në kufinjtë prej 0 deri në l, dhe pastaj shumëzimi me dhe, fitohet matrica e njohur e shtangësisë së shufrës. Megjithatë, formë e njejtë eksplicite për matricat gjeometrike të shtangësisë (2.111) nuk mund të fitohet pasiqë në shprehjet nën shenjën e integralit te këto matrica paraqiten derivate të zhvendosjeve të cilat janë të panjohura. Siç shihet nga shprehja (2.110) matrica është funksion linear, kurse matrica funksion katror i derivatit të zhvendosjeve përgjatë aksit të shufrës. Me shprehjen për energji të brendshmë të shufrës (2.108), gjegjësisht me shprehjen përkatëse të energjisë potenciale të shufrës është formuluar problemi i jolinearitetit gjeometrik me supozimet bazë të teorisë klasike të shufrës. Ky formulim mund të shërbejë 52

71 për analizë jolineare deri në sjelljen kritike dhe postkritike të shufrës. Për fitimin e zgjidhjeve të sistemit përkatës të ekuacioneve jolineare mund të zbatohen veprime të ndryshme numerike të analizës direkte iterative apo inkrementale Matrica e shtangësisë e elementit jolinear gjeometrik tra Shqyrtojmë elementin tra me dy nyje të paraqitur në Figurën Vektori i zhvendosjeve në nyje është i definuar si [ ]. y j E0,A0,Lt vj t y j vi E0,A0,L0 uj i j y i i ui 0 xi xj x Figura 2.13: Elementi tra në rrafsh në gjendjen fillestare dhe të deformuar Nëse në shprehjen (2.22) për energji të deformimit neglizhohet anëtari fitohet [ ] (2.112) Duke pasur parasysh se është (2.113) shprehja e mëparshme bëhet: ( ) (2.114) gjegjësisht,në formën matricore ( ) (2.115) ku është 53

72 (2.116) Me shprehjen (2.116) është definuar forma e re e matricës gjeometrike të shtangësisë, e cila ndonjëherë quhet edhe matrica e nderjeve fillestare. Nëse në (2.116) në vend të dhe futen shprehjet vijuese, të cilat i përgjigjen supozimeve të teorisë klasike të shufrës ( ) [ ] (2.117) ku është forca normale për të cilën supozohet se është konstante përgjatë shufrës kurse dhe momentet e përkuljes në skaje Figura N 1 M 1 1 M 2 2 l 2 N x,u N M 1 M 2 y,v Figura 2.14: Forcat e jashtme në elementin tra në rrafsh fitohet:, [ ] [( ) ]- (2.118) Pas integrimit sipas sipërfaqes së prerjes tërhtore dhe supozimit e simetrisë së saj shprehja (2.118), *( ) + [ ] - (2.119) 54

73 Zhvendosjet u dhe v përgjatë aksit të shufrës paraqiten në varësi të parametrave të zhvendosjeve në nyje me ndihmën e funksioneve interpoluese. (2.120) Me zëvendësimin e (2.120) në (2.119) nga krahasimi vijon: (2.121) ku janë: * + (2.122) Nëse parametrat e zhvendosjeve në nyje paraqiten si komponente të vektorit q në këtë rradhitje [ ] (2.123) dhe supozohet ndryshim linear i zhvendosjeve u dhe kubik për zhvendosjet v, matricat e funskioneve interpoluese dhe janë: [ ] [ ] (2.124) Me zëvendësimin e (2.124) në (2.122) pas kryerjes së operacioneve të nevojshme matematikore fitohen matricat,, dhe në formën eksplicite (2.125) [ ] 55

74 [ ] [ ] [ ] Formulimi më i thjeshtë (në aspektin e shqyrtimeve të mëparshme) mund të bëhet drejtpërdrejt duke u nisur nga shprehja (2.95). Nëse në këtë shprehje neglizhohet anëtari dhe kryhet zëvendësimi, atëherë energjia e shufrës mund të paraqitet si shumë e energjisë nga nderja aksiale dhe energjia nga përkulja, d.m.th (2.126) ku janë: ( ) ( ) (2.127) dhe në këtë mënyrë të ndahet analiza nga ngarkesa aksiale. Në atë rast, energjia e deformimit të shufrës gjatë epjes nga përkulja, bëhet funksion vetëm i zhvendosjeve tansversale v(x). ( ) (2.128) Nëse në mënyrën e zakonshme paraqitet ndryshimi i zhvendosjeve v(x) në varësi nga parametrat e zhvendosjeve në nyje (2.129) dhe zëvendësohet në (2.128) fitohet: (2.130) ku janë: 56

75 (2.131) matrica konvecionale e shtangësisë dhe matrica gjeometrike e shtangësisë. Nëse për parametra të zhvendosjeve në nyjet 1 dhe 2 përvetësohen zhvendosjet v dhe rrotullimet, kurse për funksione interpoluese polinomet e Hermit-it të llojit të parë për fitohet forma e njohur e matricës së shtangësisë : [ ] kurse për : [ ] (2.132) 57

76 Ngarkesa,F Fidan Salihu 3. DEFORMIMET E ELEMENTEVE BETONARME NËN VEPRIMIN E NGARKESËS AFATSHKURTË 3.1. SJELLJA NGARKESË-ZHVENDOSJE E VËRTETUAR EKPERIMENTALISHT Kërkimet eksperimentale të bëra me qëllim të vërtetimit të sjelljes ngarkesë-zhvendosje për përkulje të elementeve kanë sjellur formën e lidhjes, siç është paraqitur në Figurën 3.1. F u F y maxf eks F * F cr Faza III Faza II Faza I Thyerja Fillimi i plastifikimit të arm. Gjendja kufitare e ekspl. Stabilizimi i plasartijeve Shfaqja e plasaritjeve zhvendosja,v Figura 3.1: Sjellja ngarkesë-zhvendosje e elementeve betonarme në përkulje Me rritjen e ngarkesës prej zeros deri në thyerje të elementit raporti ngrakesëzhvendosje kalon nëpër disa faza karakteristike: Faza I: Elementi punon pa plasartije, ashtu që shtangësinë e tij në përkulje e definon prerja e idealizuar homogjene. Marrëdhënia ngarkesë-zhvendosje është lineare. Kjo fazë është kufizuar me intensitetin e ngarkesës, të cilës i përgjigjet plasaritja e parë në element. Faza II: Me rritjen e ngarkesës mbi intenzitetin në element zhvillohen plasaritje, me çka praktikisht bie shtangësia e elementit në përkulje. Për një intensitet të ngrakesës krijohet rrjeta bazë e plasaritjeve në element, e cila i përgjigjet gjendjes së stabilizuar të plasaritjeve. Me rritjen e mëtejshme të ngarkesës rrjeta e plasaritjeve nuk prishet, por ato ekzistuese zgjerohen dhe thellohen. Sjellja 58

77 x Fidan Salihu ngarkesë-zhvendosje në këtë fazë mbetet e afërt me linearen, por me rritje më të madhe të zhvendosjes për rritje të njejtë të ngarkesës në raport me fazën I. Faza III: Me rritjen e mëtejshme të ngarkesës vie deri te plastifikimi i armaturës në prerjet karakteristike të elementit, ashtu që zhvendosjet papritmas rriten për rritje minimale të ngarkesës, çka praktikisht d.m.th se shtangësia e elementit paprtimas zvogëlohet MARRËDHËNIA MOMENT-KURBATURË PËR PRERJEN E ELEMENTIT BETONARME Duke mbajtur hipotezën e Bernulit, që prerjet mbeten të drejta edhe pas deformimit, si dhe marrëdhënien lineare ndërmjet nderjeve dhe dilatacioneve për beton dhe çelik në domenin e ngarkesës eksploatuese, marrëdhënia ndërmjet momentit të përkuljes dhe kurbaturës për ndonjë prerje të caktuar mund të definohet përmes dilatacioneve Figura 3.2. si: 0 s2 c2 A s2 d A s1 1 s1 Figura 3.2: Shpërndarja e dilatacioneve dhe kurbatura (3.1) Teoritikisht, prerja mund të jetë në fazën I (pa plasaritje) ose në fazën II (me plasaritje). (3.2) 59

78 d d 1 h d Marrëdhënia moment-kurbaturë për prerjen tërthore të paplasaritur e elementit betonarme Nëse forcat e jashtme shkaktojnë nderje të vogla, ashtu që nuk është kaluar aftësia mbajtëse e betonit në tërheqje (gjegjësisht, deri sa momenti i përkuljes më i vogël se momenti mund të shprehet në formën: ku i cili shkakton paraqitjen e plasaritjeve) kurbatura e prerjes homogjene (3.3) është momenti i inercisë i prerjes së idealizuar pa plasaritje. Prerjen aktive në këtë rast e përbënë prerja e tërësishme e betonit dhe fishi i vlerës së armaturës së shtypyr dhe tërhequr Figura 3.3. Shtangësia e prerjes në përkulje mund të shprehet si: ku është { [ ]} (3.4) c2 s2 A s2 y c M M C A s1 s1 1 c1 < f ct /E Figura 3.3: Prerja tërthore e pa plasaritur dhe shpërndarja e dilatacioneve Në llogaritë praktike shpesh neglizhohet pjesa e armaturës, prandaj shtangësia e prerjes së idealizuar zëvendësohet me shtangësinë e prerjes së pastër prej betoni. (3.5) 60

79 d d 1 y h dy x d 2 Fidan Salihu Marrëdhënia moment-kurbaturë për prerjen tërthore të plasaritur e elementit betonarme Kur nderjet tërheqëse në beton tejkalojnë aftësinë mbajtëse të betonit në tërheqje në prerje paraqitet plasaritja (gjegjësisht, kur momenti i përkuljes tejkalon vlerën e momentit i cili shkakton paraqitjen e plasaritjes). Teoritikisht, pozita e aksit neutral për rastin e përkuljes pa forcë normale, varet vetëm nga karakteristikat gjeometrike të prerjes dhe përputhet me qendrën e rëndesës së prerjes aktive. Prerjen aktive e përbëjnë pjesa e shtypur e prerjes së betonit dhe fishi i vlerës së armaturës së shtypyr dhe tërhequr. Pasi pozita e aksit neutral nuk varet nga madhësia e momentit të përkuljes, gjegjësisht ngarkesa, andaj për prerjen e shikuar shtangësia e saj e caktuar në vendin e plasaritjes ka vlerën: ku Figura 3.4. (3.6) është momenti i inercisë i prerjes aktive ndaj qendrës së rëndesës së prerjes aktive, b(y) A s2 A s1 Figura 3.4: Pjesa aktive e prerjes tërthore të plasaritur Vlera e momentit të inercisë të prerjes aktive mundet në rastin e përkuljes pa forcë normale të shprehet si: [ ] (3.7) Pozita e aksit neutral (x) gjatë kësaj caktohet nga kushti i ekuilibrit. Për shembull për prerje tërthore drejtkëndëshe: 61

80 Momenti,M Fidan Salihu [ ( ) ] (3.8) [ ] (3.9) Pasi që madhësitë dhe janë konstante për një prerje të caktuar, andaj varësia moment-kurbaturë është dhënë me lidhjen: ku është { (3.10) Atëherë, lidhja moment-kurbaturë mban formën e lidhjes lineare por me pjerrtësi të ndryshme, në varësi se a është momenti i përkuljes më i madh apo më i vogël se momenti i cili shkakton plasaritjen. Në Figurën 3.5 është paraqitur varësia e kurbaturës dhe momentit të përkuljes për prerjen e elementit betonarme. Pjerrtësia e drejtëzës definon shtangësinë e prerjes pa plasaritje, kurse pjerrtësia e drejtëzës shtangësinë e prerjes së plasaritur. maxm eks 1 2 E c I c 1 1 E I c cr 1 Prerja homogjene Prerja e plasaritur 2 M cr Kurbatura, Figura 3.5: Sjellja moment-kurbaturë për prerjen e elementit betonarme Për rastin e përkuljes me forcë normale,nëse përveç momentit në prerje vepron edhe forca normale, pozita e aksit neutral bëhet funksion edhe i ekscentricitetit të forcës normale (e=m/n). Atëherë aksi neutral nuk përputhet me qendrën e rëndesës së prerjes aktive, kështu që së pari duhet të caktohet pozita e aksit neutral, pastaj qendra e prerjes aktive, dhe pastaj ndaj asaj qendre të llogaritet momenti i inercisë i prerjes aktive (. Në atë rast më 62

81 e përshtatshme është që kurbatura të shprehet përmes momentit në raport me armaturën e tëhequr, prandaj është: ku është i definuar me shprehjen (3.7) (3.11) Gjithashtu është e mundur që për prerjen e definuar të konstruktohet spektri i funksioneve lineare varësi nga ekscentriciteti i forcës normale. pjerrtësitë e të cilëve paraqesin shtangësinë e prerjes në 3.3. MARRËDHËNIA MOMENT-KURBATURË PËR PJESËN E SHUFRËS BETONARME M 1 2 M c 1 c 2 A s X 1 X 2 a) M 1 2 c) s s 2 s 1 ct 1 Shpërndarja e dilatacioneve në prerjen me plasaritje b) c 2 Shpërndarja e dilatacioneve në prerjen ndërmjet plasaritje d) M/E I c cr e) E I c E I c cr E I c ef Figura 3.6: Shufra betonarme e ngarkuar në përkulje me moment konstant 63

82 Vështrojmë pjesën e shufrës betonarme, me gjatësi të fundme, me karakteristika gjeometrike konstante (forma dhe dimensionet, sasia dhe pozita e armaturës në prerje), i ngarkuar me moment konstant të përkuljes Figura 3.6a. Kur është tejkaluar rezistenca e betonit në tërheqje vie deri te formimi i plasaritjeve në pjesën e tërhequr te prerjes së betonit në ekuidistancë përafërsisht të barabartë. Në prerjen e plasaritur të gjitha nderjet tërheqëse i pranon armatura, kurse në pjesët ndërmjet plasaritjeve në bartjen e nderjeve bashkëpunon në një madhësi të caktuar edhe pjesa e tërhequr e betonit, në të cilën përmes nderjeve të adhezionit përcjellet pjesë e forcës tërheqëse nga armatura. Nderjet në pjesën e shtypur të prerjes së betonit gjithashtu ndryshojnë përgjatë mbajtësit dhe më të mëdha janë në prerjen e plasaritur, në të cilën aksi neutral është më së afërmi skajit të shtypur të betonit. Ndërmjet plasaritjeve aksi neutral është diçka më poshtë, kurse pasiqë në kushtet e ekuilibrit merr pjesë është pjesa e betonit e cila mban në tërheqje, andaj edhe nderjet shtypëse ndërmjet plasaritjeve janë diçka më të vogla. Shpërndarja e nderjeve në armaturën e tërhequr,skajin e shtypur të betonit dhe skajin e tërhequr është dhënë në Figurën 3.6b. Ngjashëm me nderjet, duke pasur parasysh ligjin e Hooke-ut për lidhje lineare ndërmjet nderjeve dhe dilatacioneve, shpërndarja e dilatacioneve është paraqitur në Figurën 3.6c. Vija paraqet shpërndarjen e dilatacioneve në gjatësi të prerjes tërthore të prerjes në vendin e plasaritur, ku dilatacionet janë më të mëdha, kurse vija në ndonjë prerje ndërmjet plasaritjeve, ku dilatacionet janë më të vogla. Kurbatura, e definuar me shprehjen (3.2), logjikisht, gjithashtu ndryshon prej prerjes në prerje dhe më e madhe është në prerjen e plasaritur ku ka vlerën: (3.12) Në prerjet ndërmjet plasaritjeve kurbatura është diçka më e vogël, sepse edhe dilatacionet në armaturë dhe beton janë diçka më të vogla. Ndryshimi i kurbaturës për pjesën e shufrës së vështruar është paraqitur në Figurën 3.6d. Nëse shtangësia e elementit shprehet si herës i momentit dhe kurbaturës 64

83 (3.13) është e qartë se ajo ndryshon në proporcion të zhdrejtë me kurbaturën, d.m.th është më e vogël në prerjen e plasaritur, ku ka vlerën, kurse diçka më e madhe është ndërmjet plasaritjeve Figura 3.6e. Aproksimimi logjik është që në vend të shtangësisë së ndryshueshme përgjatë pjesës së shufrës të ngarkuar me moment konstant të përkuljes, përvetësohet ndonjë shtangësi efektive konstante mesatare ( e shprehur si herës i momentit dhe kurbaturës mesatare për atë pjesë të shufrës. (3.14) Shtangësia efektive shihet qartë që është diçka më e madhe prej shtangësisë së prerjes së plasaritur ( pasiqë përfshinë edhe pjesën e betonit të tërhequr ndërmjet plasaritjeve. Shtangësia efektive paraqet shtangësinë reale mesatare të pjesës së shufrës. Për rastin kur momenti i përkuljes në pjesën e shufrës është më i vogël se momenti i cili shkakton paraqitjen e plasaritjeve për shtangësi të asaj pjese të shufrës mund të merret shtangësia e prerjes së gjithëmbarshme të betonit: (3.15) Në Figurën 3.7 është paraqitur pjesa e shufrës me karakteristika gjeometrike konstante, por nën ndikimin e momentit përkulës të ndryshueshëm përgjatë shufrës. Formimi i plasaritjeve në pjesën ku është është i tillë ashtu që plasaritjet shpeshtohen në zonën e momenteve më të mëdha, kurse rrallohen në zonën e momenteve më të vogla. Bashkëpunimi i zonës së tëhequr të prerjes së betonit në zonën e plasaritjeve të shpeshta praktikisht i neglizhueshëm, kështu që për vlera të mëdha të momenteve shtangësia efektive e elementit anon nga shtangësia e prerjes së plasaritur. Me zvogëlimin e momentit pjesa e tërhequr e betonit është gjithnjë e më e madhe andaj edhe shtangësia efektive është më e madhe. Në Figurën 3.7b është paraqitur shpërndarja e nderjeve në armaturën e tërhequr dhe nderjet skajore në beton kurse në Figurën 3.7c, në mënyrë analoge me shqyrtimet e mëparshme, shpërndarja e kurbaturës reale dhe shtangësisë përgjatë mbajtësit si dhe shtangësia efektive zëvendësuese. 65

84 Mund të konkludohet se madhësia e shtangësisë efektive të shufrës, me të cilën duhet të kryhet llogaria e deformimeve, nuk është më vetëm funksion i karakteristikave gjeometrike të shufrës dhe karakteristikave mekanike të betonit dhe armaturës, por është funksion edhe i madhësisë së ngarkesës (gjegjësisht momenteve të përkuljes) si pasojë e paraqitjes së plasaritjeve përgjatë mbajtësit. Në Figurën 3.8 në mënyrë kualitative është paraqitur varësia moment-kurbaturë për pjesën e shufrës betonarme me karakteristika gjeometrike konstante. Përderisa momenti i përkuljes në pjesën e shufrës është më i vogël se momenti që shkakton paraqitjen e plasaritjeve shtangësia e shufrës përputhet me shtangësinë e prerjes pa plasaritje. Për vlera më të mëdha të momentit të përkuljes shtangësia e shufrës anon në mënyrë asimptotike nga shtangësia e prerjes së plasaritur. 66

85 Për definim të këtillë të lakores së varësisë moment-kurbaturë shtangësia efektive, sipas shprehjes (3.14), paraqet tangjentin gjeometrik të këndit të drejtëzës së tërhequr prej qendrës koordinative në lakore.madhësitë e shtangësisë efektive munden leht të llogariten për lakoren e definuar të varësisë moment-kurbaturë. M 1 M 2 M >>M 1 cr M cr M <M 2 1 a) s c ct b) E I c E I c ef c) E I c cr E I c c Figura 3.7: Shufra betonarme e ngarkuar në përkulje me moment të ndryshueshëm 67

86 Momenti,M Fidan Salihu 1 M y M M cr E c I c 1 1 E I c ef E I c cr e Kurbatura, y Figura 3.8: Varësia moment-kurbaturë për pjesën e shufrës betonarme me karakteristika gjeometrike konstante PROPOZIME PËR LLOGARITJEN E MADHËSIVE TË DEFORMIMEVE Shqyrtimet e shumta kanë treguar se deformimet e mbajtësve betonarme janë më të mëdha se ato të llogaritura sipas teorisë së elasticitetit duke marrë për shtangësi prerjen homogjene. Njëkohësisht paraqiten edhe hipotezat e para për llogarinë e deformimeve të bazuara, kryesisht në përvetësimin e shtangësisë së prerjes së plasaritur përgjatë tërë gjatësisë së mbajtësit Llogaritjet e autorëve të ndryshëm të periudhave të ndryshme Maney, për llogari të zhvendosjes propozon shprehjen: ku: (3.16) - momenti i inercisë së prerjes aktive të plasaritur i marrë përgjatë tërë gjatësisë së hapësirës (l) k- koeficient që varet prej skemës statike M- momenti maksimal në mbajtës i llogaritur ndaj armaturës tërheqëse gjegjësisht 68

87 ku janë dhe nderjet në armaturën e tërhequr dhe skajin e shtypur të betonit, kurse (3.17) dhe lartësia statike e mbajtësit. Sëain, për madhësi të shtangësisë propozon (3.18) Barazimi (3.18) është i bazuar në shtangësinë e prerjes së plasaritur, kurse është nxjerrë nga lidhja: (3.19) Murašev, v.1940, me qëllimin që me llogari të përfshijë edhe ndikimin e pjesës së tërhequr të betonit ndërmjet plasaritjeve, në formën e Sëain-it sjell modulin efektiv të rritur të deformimit të çelikut ( ) (3.20) Dunham, propozon vlerat llogaritëse vijuese për zhvendosje: për traun e mbështetur lirisht për traun e inkastruar në njërin skaj për traun e inkastruar në dy skaje ku ëshë zhvendosja e llogaritur për shtangësi të prerjes së plasaritur përgjatë mbajtësit. Yu dhe Ëinter, 1960-në bazë të shqyrtimeve eksperimentale propozojnë dy metoda: Për traje të thjeshta për tërë gjatësinë e hapësirës të merret e prerjes në mes të hapësirës, gjegjësisht për traje kontinuale përgjatë pjesës ku momentet janë pozitive e prerjes me, kurse ku momentet janë negative të merret për gajtë tërë asaj pjese e prerjes me. Për marrjen parasysh ndikimin e pjesës së tërhequr të betonit,vlerat e fituara sipas metodës a) të zvogëlohen me shumëzimin me faktorin,ku është: (3.21) 69

88 Momenti,M Momenti,M Fidan Salihu (3.22) Hipotezat e bazuara në lidhjen bilineare moment-zhvendosje në fazën e eksploatimit Rezultatet eksperimentale kanë treguar, siç u prezentua më herët, varësi përafërsisht bilineare moment-kurbaturë (gjegjësisht ngarkesë-zhvendosje) te elementet e ngarkuara në përkulje. Metoda bilineare direkte rrjedh nga supozimi se vlera e bashkëpunimit e pjesës së tërhequr e betonit është përafërsisht konstante Figura 3.9b. M y maxm E c I 1 kl² c 1 E I kl² c cr M y maxm 1 E I c c kl² 1 E I c cr kl² M cr CEB M cr ACI v 1 v 2 v 3 Zhvendosja,v v 1 v 2 v a) b) Zhvendosja,v Figura 3.9: Lidhja Moment-Zhvendosje a) e propozuar nga rregullorja CEB; b) e propozuar nga rregullorja ACI Madhësia e zhvendosjes mund të gjendet si: (3.23) Pra, supozimi është se deri në arritjen e ngarkesës e cila shkakton paraqitjen e plasaritjeve e tërë shufra ka shtangësi konstante tërë shufra ka shtangësi konstante ACI e vitit Për t iu përafruar lidhjes më reale moment-kurbaturë, kurse pas paraqitjes së plasaritjeve e. Këtë metodë, si të përafërt, e propozon rregullorja CEB (European concrete comittee) 1961 dhe 1968 rekomandojnë të njetën metodë por me zvogëlim të shtangësisë së prerjes së plasaritur me faktorin 0,75 Figura 3.9a, me kufizimin që zhvendosja e 70

89 përgjithshme nuk mund të jetë më e madhe se zhvendosja e llogaritur për shtangësi të prerjes së plasaritur të marrë përgjatë tërë mbajtësit nga fillimi i veprimit të ngarkesës. Kjo praktikisht nënkupton se për vlerë të zhvendosjes duhet të merret vlera më e vogël prej këtyre dy vlerave:, (3.24) ( ) (3.25) (3.26) Këto dy propozime (ACI,CEB) të lidhur me marrëdhënie bilineare moment-kurbaturë kanë atë mangësi që nuk e përcjellin ndryshimin real të shtangësisë përgjatë mbajtësit Bazat e llogaritjes aktuale për llogarinë e deformimeve Duke u nisur nga fakti se shtangësia e elementeve betonarme është funksion i karakteristikave gjeometrike të shufrës, vetive mekanike të betonit dhe çelikut si dhe madhësisë së ngarkesës (momentit të përkuljes) llogaritja e deformimeve shndërrohet në veprimin e llogarisë së shufrës me prerje tërthore të ndryshueshme. Tek sistemet statikisht të caktuara, ku për secilën vlerë të ngarkesës dihet shpërndarja e forcave prerëse, për çdo prerje mund të llogaritet shtangësia efektive, nga lakorja më parë e definuar moment-kurbaturë mesatare. Me integrimin e lakores përgjatë mbajtësit me shtangësi kështu të definuar, me kushte kufitare të njohura, madhësia e deformimit caktohet me metodat e njohura të statikës së konstruksioneve. Më së shpeshti shfrytëzohet principi i forcave virtuale i cili jep, me neglizhimin e forcave tranzversale dhe forcave normale, relacionin: (3.27) Tek sistemet statikisht të pacaktuar problemi është dukshëm më i komplikuar. Madhësia e shtangësisë së prerjeve të veçanta drejtpërdrejt ndikon në shpërndarjen e forcave prerëse. Zgjidhja e tyre mund të bëhet, duke aplikuar veprimin iterativ, caktohet edhe madhësia e forcave prerëse edhe madhësia e deformimeve. 71

90 Momenti,M Fidan Salihu Metoda bilineare direkte Metoda direkte është e ndërtuar në supozimin e vlerës konstante të pjesëmarrjes së betonit të tërhequr ndërmjet plasaritjeve përgjatë elementit Figura M M cr E c I c 1 1 E I c ef e 1 E I c cr Kurbatura, Figura 3.10: Lidhja Moment-Kurbaturë sipas metodës bilineare direkte Shtangësia efektive mund të shprehet si: për (3.28) ( ) për (3.29) Propozimi i D.Branson-it (1963) Ky autor bazohet në shprehjen për moment efektiv të inercisë, i cili kënaq kushtet që me rritjen e momentit të përkuljes mbi shtangësia bie dhe në mënyrë asimptotike anon nga shtangësia e prerjes me plasaritje ( ). Shtangësia efetkive është e dhënë si: për (3.30) {( ) [ ( ) ] } për (3.31) Interpretimi gjeometrik i propozimit të Bransonit është dhënë në Figurën

91 Momenti,M Momenti,M Fidan Salihu M y M M cr 1 E I c c 1 E c I ef 1 E I c cr e Kurbatura, Figura 3.11: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga D. Branson Propozimi i Beeby-it (1968) Ky propozim paraqet lidhjen moment-kurbaturë mesatare në aspektin e funksionit bilinear, e cila caktohet nga tri pika karakteristike: dhe ( ), ku është momenti i plastifikimit të prerjes. Interpretimi gjeometrik është paraqitur në Figurën y M y M M cr 1 E I c c 1 E I c ef 1 E I c cr e Kurbatura, Figura 3.12: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga Beeby Madhësitë e shtangësisë efektive në këtë rast mund të caktohen si: për (3.32) y ( ) ( ) ( ) për (3.33) 73

92 Momenti,M Fidan Salihu Propozimi i Ivkovićit (1971) Ky propozim erdhi nga mesatarizimi i dilatacioneve në beton dhe armaturë ndërmjet dy plasaritjeve të njëpasnjëshme dhe mund të paraqitet si lidhje trilineare ndërmjet momentit dhe kurbaturës mesatare Figura 3.13 M y 1 E I c c M cr * M M cr 1 E I c ef 1 E I c cr e Kurbatura, y Figura 3.13: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga Ivković Shtangësia efektive mund të paraqitet si: për (3.34) ( ) ( ) për (3.35) për (3.36) Ku për rastin e përkuljes së pastër për armaturë të lëmuar, gjegjësisht për armaturë të brinjëzuar. Madhësia e shtangësisë përfshinë edhe lidhjen jolineare nderje-dilatacion të betonit Дьховинньи (1978) Ky autor ka dhënë propozim të përshtatshëm për lidhjen moment-kurbaturë mesatare si lakore kontinuale (parabolë kuadaratike), çka ka përparësitë e saj për mundësitë e integrimeve analitike relativisht të lehta përgjatë elementit Figura

93 Momenti,M Fidan Salihu M y 1 E I c c M 1 1 E c I ef E I c cr Kurbatura, y Figura 3.14: Lidhja Moment-Kurbaturë e propozuar nga Дьховинньи Kurbatura është definuar si: (3.37) Lakorja kalon nëpër qendrën koordinative dhe në të tangjenton drejtëzën e cila paraqet lidhjen moment-kurbaturë për prerjen homogjene të betonit. Vlera e koeficientit caktohet nga kushti që parabola kalon nëpër pikën ( ) (3.38) Pjesa e parë e shprehjes (3.37) paraqet kurbaturën e shufrës elastike homogjene të betonit, derisa pjesa e dytë paraqet rritjen e kurbaturës për shkak të paraqitjes së plasaritjeve përgjatë mbajtësit. Shtangësia efektive mund të shprehet si: ( ) (3.39) 3.5. LLOGARITJA E DEFORMIMEVE TË ELEMENTEVE BETONARME SIPAS ACI 435R-95 (Riaprovuar në v.2000) Elementet me skemë statike traje të mbështetur lirisht-aci kërkon të merret në llogari momenti efektiv i inercisë të propozuar nga Bransoni shprehja (3.31). ( ) [ ( ) ] (3.40) 75

94 Momenti,M Fidan Salihu ku janë: - Momenti që shkakton plasaritjet - Momenti maksimal nga ngarkesat e jashtme (pa koeficientë) në fazën për të cilën llogariten zhvendosjet - Momenti i inercisë i prerjes së përgjithshme - Momenti i inercisë i prerjes së plasaritur Të dy momentet e inercisë dhe bazohen në hipotezën e sjelljes bilineare ngarkesëzhvendosje Figura 3.15 të prerjes së plasaritur. shtrihet brenda kufirit të epërm dhe të poshtëm të dhe respektivisht, si funksion i nivelit të plasaritjeve, i shprehur si. M y M cr 1 E I c g 1 E I c cr 1 E I c ef v e v tot v cr Zhvendosja,v Figura 3.15: Sjellja bilineare ngarkesë-zhvendosje sipas ACI 435R-95 Shprehja (3.40) mund të thjeshtohet si në formën vijuese: ( ) ( ) (3.41) Trajet kontinuale-për trajet kontinuale, ACI përcakton se mund të merret si mesatare e vlerave të caktuara me shprehjen (3.40) për prerjet kritike me moment pozitiv dhe negativ. Për elementet prizmatike, mund të merret si vlerë e fituar për mesin e hapësirës kontinuale. Marrja e karakteristikave të prerjes në mesin e hapësirës për elementet kontinuale prizmatike konsiderohet e pranueshme në llogaritë e përafërta për 76

95 faktin se shtangësia e mesit të hapësirës e cila përfshin efektin e plasaritjeve ka efekt dominues në zhvendosje (ACI 435,1978) Nëse projektuesi zgjedh të mesatarizoj momentin efektiv të inercisë përputhje me ACI , duhet të përdoret shprehja vijuese:, atëherë në ( ) (3.42) ku indeksat m,1 dhe 2 i referohen mesit të hapësirës, dhe dy skajeve të traut, respektivisht. Rezultate të përmirësuara për elementet kontinuale prizmatike mund të fitohen duke përdorur mesataren e peshuar siç paraqitet në shprehjet vijuese: Për trajet kontinuale në dy skajet, ( ) (3.43a) Për trajet kontinuale në njërin skaj, (3.43b) 3.6. LLOGARITJA E DEFORMIMEVE TË ELEMENTEVE BETONARME SIPAS EUROCODE 2 (2004) Përafrimi në Eurocode 2 përfshinë llogaritjen e kurbaturës në ndonjë prerje të veçantë dhe pastaj bëhet integrimi për të caktuar zhvendosjen. Kurbatura e çastit për një prerje pas plasartijes ku llogaritet duke përdorur shprehjen: (3.44) është koeficienti i shpërndarjes që merr në llogari nivelin e momentit të përkuljes dhe shkallën e plasaritjeve i dhënë me shprehjen: ( ) (3.45) për armaturën e brinjëzuar dhe 0.5 për armaturën e lëmuar; ngarkesë afatshkurte të njëhershme dhe 0.5 për ngarkesë përsëritëse apo të përhershme; është nderja në armaturën e tërhequr nga ngarkesa e cila shkakton plasaritjen e parë e llogaritur duke neglizhuar betonin në tërheqje dhe duke mos marrë parasysh ndonjë nderje të shkaktuar nga tkurrja; neglizhuar betonin në tërheqje; tërheqje, dhe është nderja në armaturë nga ngarkesa aktuale e llogaritur duke për është kurbatura e prerjes duke neglizhuar betonin në është kurbatura në prerjen e paplasaritur. 77

96 Nëse betoni i shtypur dhe armatura janë që të dy linear dhe elastik, raporti në shprehjen (3.45) është i barabartë me raportin. Duke shfrytëzuar notacionin e shprehjes (3.3), shprehja (3.44) mund të parqitet si: ( ) ( ) ( ) (3.46) Për elementin i cili përmban armaturë të brinjëzuar nën ndikimin e ngarkesës afatshkurte, dhe shprehja (3.46) mund të rregullohet në formën vijuese për për llogaritjen e deformimeve afatshkurta: ( )( ) (3.47) 3.7. LLOGARITJA E DEFORMIMEVE TË ELEMENTEVE BETONARME SIPAS AS3600 (2006) Në përputhje me revizionin e fundit të AS3600, deformimet afatshkurtëra të traut mund të llogariten duke shfrytëzuar vlerën mesatare të modulit të elasticitetit të betonit në kohën e ngarkimit të parë,,së bashku me momentin efektiv të inercisë së elementit,. Për prerjen e dhënë tërthore, (3.31): ku llogaritet duke shfrytëzuar shprehjen e Bransonit shprehja ( ) (3.48) momenti i inercisë i prerjes së plasaritur (i llogaritur duke shfrytëzuar metodën e raportit të moduleve); momenti i inercisë i prerjes së pa plasaritur ndaj aksit vetiak të rëndesës; është momenti maksimal i përkuljes në prerje dhe është momenti i plasaritjes. Vlera maksimale e në ndonjë prerje në shprehjen (3.48), është kur dhe kur. Vlera e për elementin ka vlerën e të mesit të fushës për trarin apo pllakën e mbështetur lirisht. Për hapësirat e brendshme të traut apo pllakës kontinuale, është gjysma e vlerës së mesit të hapësirës plus një e katërta e vlerës së secilit mbështetës, dhe për hapësirat e skajshme e traut apo pllakës kontinuale, është gjysma e vlerës së mesit 78

97 të hapësirës plus gjysma e mbështetësit kontinual. Për konzolë, inkastrim. është vlera në 3.8. VEPRIMET PRAKTIKE PËR CAKTIMIN E MADHËSIVE DEFORMABILE NËN VEPRIMIN E NGARKESËS EKSPLOATUESE AFATSHKURTE Duke pasur parasysh ndryshimin e shtangësisë efektive të elementit në funksion të karakteristikave gjeometrike të shufrës dhe nivelit të ngarkesës, veprimi për caktimin e madhësive deformabile për elementin më parë të dimensionuar shndrrohet në fazat vijuese: Ndarja e elementeve të konstruksionit në shufra me gjatësi të vogla. Për secilën shufër (apo grup të shufrave me karakteristika gjeometrike të njëjta) është e nevojshme të definohet sjellja moment-kurbaturë mesatare (apo të llogaritet shtangësia e prerjes homogjene dhe prerjes së plasaritur ), gjatë së cilës pjesa e betonit të tërhequr përfshihet me ndonjërin prej propozimeve aktuale. Llogaritja e shtangësisë efektive për secilën shufër në funksion të madhësisë së momenteve të përkuljes. Llogaritja e zhvendosjes (gjegjësisht madhësive tjera deformabile) duke shfrytëzuar gjatë kësaj metodat e integrimit numerik. Veprimi i tërësishëm është i gjërë, prandaj për probleme praktike rekomandohet zbatimi i llogarive të përafërta, me të cilat qëndrohet në anën e sigurisë dhe të cilat janë me saktësi të kënaqshme. 79

98 M Mcr Mmax M cr a) E I c ef min c ef E I E I c c b) E I c ef min E c I ef c) E I c ef Figura 3.16: Trau betonarme i ngarkuar në përkulje; a)ndryshimi real i shtangësisë; b)zëvendësimi i shtangësisë me shtangësitë konstante; c) Zëvendsësimi i shtangësisë me shtangësinë efektive Ndryshimi real i shtangësisë efektive Figura 3.16a mund të zëvendësohet me vlerat konstante, ashtu që në zonën ku në mbajtës nuk ka plasaritje për shtangësi të elementit përvetësohet shtangësia e prerjes homogjene, kurse në zonën e mbajtësit në të cilën janë formuar plasaritjet merret vlera konstante e shtangësisë e barabartë me shtangësinë efektive të prerjes në të cilën është momenti maksimal i përkuljes (shtangësia minimale e shtangësisë -Figura 3.16b. Aproksimimi më i thjeshtë dhe më i përshtatshëm për praktikë është që për tërë mbajtësin të përvetësohet shtangësia konstante e cila i përgjigjet shtangësisë efektive të prerjes në të cilën është momenti maksimal Figura 3.16c. Në rastet e aproksimimeve të këtilla llogaritja e madhësive deformabile mundet leht të kryhet analitikisht, ose në rastet e përvetësimit të shtangësisë efektive konstante përgjatë elementit mund të shfrytëzohen formulat e gatshme të njohura nga teoria e elasticitetit. Në rastet e mbajtësve statikisht të pacaktuar ose mbajtësit në të cilët momenti i përkuljes ndërron shenjë, deformimet llogariten ashtu që integrimi bëhet në zonat e momenteve pozitive dhe momenteve negative në mbajtës, gjatë të cilit për secilën zonë llogaritet shtangësia efektive sipas prerjes në të cilën është momenti maksimal pozitiv gjegjësisht momenti maksimal negativ Figura min E c I ef Veçohet se, te mbajtësit statikisht të pacaktuar, shtangësitë e pjesëve të veçanta të mbajtësit me të cilat llogariten forcat prerëse duhej t i përgjigjen shtangësive prej të cilave 80

99 caktohen madhësitë e deformimeve, ashtu që të jenë të kënaqura hipotezat bazë të llogaritjes së deformimeve. E I M Mmax E I c ef E I max min M c ef (M ) min c ef (M ) Figura 3.17: Shpërndarja e shtangësisë së traut kontinual 3.9. PARIMI I SUPERPONIMIT DHE EFEKTI I NGARKESËS PËRSËRITËSE Shtangësia efektive e shufrës betonarme është, siç u përfundua, funksion edhe i intensitetit të ngarkesës (momentit të përkuljes). Nën veprimin e ngarkesës me intensitet të ndryshëm shtangësia e shufrës ndryshon. Me rritjen e ngarkesës shtangësia zvogëlohet. Kjo njëkohësisht nënkupton se nuk mund të zbatohet parimi i superponimit direkt. Nëse dëshirojmë të llogarisim ndonjë madhësi të defromimeve nën ndikimin e kombinimit të ngarkesave, për shembull dhe,dhe nëse janë: - deformimi i llogaritur vetëm nga ngarkesa - deformimi i llogaritur vetëm nga ngarkesa atëherë është: - deformimi i llogaritur nga shuma e ngarkesave (3.39) 81

100 për atë se shtangësia efektive për shumën e ngarkesave dallon nga shtangësia efektive për ngarkesat një nga një. Megjithatë, mund të llogaritet rritja e deformimeve nga ngarkesa shtesë. Nëse elementi është i ngarkuar me ngarkesën dhe nëse pastaj ngarkohet edhe me ngarkesën shtesë,dhe nëse janë: - deformimi i llogaritur vetëm nga ngarkesa - deformimi i llogaritur nga ngarkesa Atëherë, nëse me shënojmë deformimin nga ngarkesa kur në mbajtës tashmë ekziston, vlen relacioni: (3.40) 82

101 4. REZULTATET ANALITIKE Aplikimi i shprehjeve të shtjelluara në pjesën teorike është bërë në analizën e një elementi vijor, në këtë rast për llogaritjen e deformimeve të shtyllës së tensionit, si konzolë e ngarkuar në përkulje. Shtylla e tensionit, e cila në rastin të cilin e kemi analizuar në këtë punim, është e ngarkuar vetëm në përkulje, atëherë sipas shprehjes (2.132), ku matrica e shtangësisë së elementit është: ku janë: [ ] dhe [ ] përfundojmë se matricën. dhe llogarija e deformimeve bëhet duke marrë parasysh vetëm Mirëpo në rastin e këtyre elementeve, paraqitet jolineariteti për arsye të ndryshimit të shtangësisë së elementit në funksion të ngarkesës, atëherë kushti i ekuilibrit për llogaritjen e deformimeve është: - matrica e shtangësisë së elementit si funksion i forcave në nyje të elementit - vektori i zhvendosjeve në nyjet e elementit - vektori i forcave në nyjet e elementit Siç është paraqitur në pjesën teorike, elementi mund të jetë në gjendjen e pa plasaritur për rastin kur andaj edhe shtangësia e elementit është konstante dhe nuk varet nga vlera e ngarkesës së aplikuar. Në çastin kur, vie deri te plasaritja e elementit, prandaj duhet të merret paraysh zvogëlimi i shtangësisë me rritjen e ngarkesës. Në shembujt e llogaritur në këtë punim, janë aplikuar shprehjet 3.41 (ACI 435R-95) dhe 3.47 (EUROCODE 2). { 83

102 x 0.8x Fidan Salihu [ ] [ ] Deformimet janë llogaritur për intensitete të ndryshme të ngarkesës, Vlerat e këtyre forcave janë të ngjashme me forcat me të cilat kjo është shqyrtuar eksperimentalisht, shqyrtim cili do të paraqitet në kapitullin vijues. Shpërndarja e forcave të brendshme në prerjen tërthore të shtyllës, e ngarkuar në përkulje, është përvetësuar si në Figurën 4.1, ku për punën e betonit në shtypje është marrë diagrami punues drejtëkëndësh. A a aksi neutral f s1 f s2 f s3 ei 0.85f cd A si f si f sn Figura 4.1: Shpërndarja e forcave të brendshme në prerje tërthore Fillimisht janë llogaritur karakteristikat gjeometrike të prerjes tërthore, pozita e aksit neutral, momenti i inercisë i prerjes pa plasaritje, momenti i inercisë i prerjes së plasaritur dhe momenti efektiv i inericsë. Momenti i inercisë i prerjes së plasatitur të prerjes tërthore gypore me shufra çeliku të shpërndara përreth tërë prerjes tërthore është llogaritur si në vijim: ku janë - momenti i inercisë i sektorit unazorë i llogaritur ndaj aksit neutral - raporti i modulit të elasticitetit të çelikut dhe betonit Momenti i plasaritjes është llogaritur me shprehjen: 84

103 ku janë - rezistenca mesatare e betonit në tërheqje - momenti i inercisë i prerjes së përgjithshme - largësia prej aksit të qendrës së rëndesës deri tek skaji më i larguar i tërhequr i prerjes. Shtylla ka shtangësi të ndryshueshme përgjatë aksit gjatësor të saj, jo vetëm për shkak të prerjes tërthore të saj, por edhe për shkak të ndryshimit të shtangësisë efektive të saj, e cila varet nga moment i përkuljes në prerje. Prandaj, për llogaritjen e zhvendosjeve është shfrytëzuar metoda e elementeve të fundëm, ku shtylla është ndarë në 10 elemente të fundëm me gjatësi 80 cm Figura x80=800 Figura 4.2: Diskretizimi i shtyllës në elemente të fundëm Pas ndarjes së shtyllës në elemente të fundëm, këto elemente janë shndërruar në elemente me shtangësi konstante. Si shtangësi referente për secilin element është marrë shtangësia në mesin e gjatësisë së elementit përkatës Figura 4.3. Elem. i i-1 i li Figura.4.3: Shndërrimi i elementit me shtangësi të ndryshueshme në element me shtangësi konstante 85

104 Në nyjet e secilit element, janë përvetësuar nga dy shkallë lirie, zhvendosja v në drejtim të aksit y dhe rrotullimi i prerjes rreth aksit z Figura EI1 1 EI2 2 EI3 3 EI4 4 EI5 5 EI6 6 EI7 7 EI8 8 EI9 9 EI10 10 x 1 v1 2 v2 4 v3 4 v4 5 v5 6 v6 7 v7 8 v8 9 v9 10 v10 y Figura 4.4: Shkallët e lirisë në nyjet e elementëve të fundëm 4.1. SHEMBULLI I PARË NUMERIK Në këtë shembull është llogaritur shtylla e tipit 315/10. Kjo shtyllë është me gjatësi 10m e inkastruar në gjatësinë 2m, kështu që hapësira statike e shtyllës ëshë 8m. Prerja tërthore e shtyllës ndryshon përgjatë aksit gjatësor në mënyrë konstante, e armuar me 9Φ12 nga prerja A-A deri në prerjen B-B dhe prej prerjes B-B deri në prerjen C-C me 6Φ12 Figura

105 Forca,kN Fidan Salihu F A B C A-A B-B C-C Figura 4.5: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës 315/10. Në bazë të aplikimit të shprehjeve të lartshënuara, rezultatet e fituara në mënyrë grafike janë paraqitur në Figurën 4.6, dhe në formën tabelare në Tabelën / ANALIZA LINEARE ACI 453R-95 EUROCODE Zhvendosja,cm Figura 4.6:.Paraqitja grafike e diagramit forcë-zhvendosje maksimale për shtyllën e tipit 315/10 87

106 Tabela 4.1: Paraqitja tabelare e rezultateve të fituara analitikisht për shtyllën 315/10 Zhvendosja,cm Forca,kN Analiza ACI 453R- EUROCODE lineare

107 Fidan Salihu 4.2. SHEMBULLI I DYTË NUMERIK Në këtë shembull është llogaritur shtylla e tipit 1000/10. Kjo shtyllë është me gjatësi 10m e inkastruar në gjatësinë 2m, kështu që hapësira statike e shtyllës ëshë 8m. Prerja tërthore e shtyllës ndryshon përgjatë aksit gjatësor në mënyrë konstante, e armuar me 15Φ14 nga prerja A-A deri në prerjen B-B,prej prerjes B-B deri në prerjen C-C me 12Φ14 dhe prej prerjes C-C deri në prerjen D-D me 6Φ14 Figura 4.7. F A B C D A-A B-B C-C D-D Figura 4.7: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës 1000/10. Në bazë të aplikimit të shprehjeve të lartshënuara, rezultatet e fituara, në mënyrë grafike janë paraqitur në Figura 4.8, dhe në formën tabelare në Tabelën

108 Forca,kN Fidan Salihu / ANALIZA LINEARE ACI 453R-95 EUROCODE Zhvendosja,cm Figura 4.8:.Paraqitja grafike e diagramit forcë-zhvendosje maksimale për shtyllën e tipit 1000/10 Tabela 4.2: Paraqitja tabelare e rezultateve të fituara analitikisht për shtyllën 1000/10 Forca,kN Analiza lineare Zhvendosja,cm ACI 453R- 95 EUROCODE

109 5. SHQYRTIMI I SHTYLLAVE TË TENSIONIT PREJ BETONI TË ARMUAR 5.1 TË PËRGJITHSHME Shtyllat nga betoni i armuar për rrjetë të distribuimit të energjisë elektrike janë me prerje tërthore rrethore dhe zbrazëtirë në gjatësi të aksit të shtyllës, si rezultat i procesit teknologjik të centrifugimit. Karakteristikat gjeometrike, gjegjësisht trashësia e mureve të prerjes tërthore të shtyllës është në funksion të sasisë së shpenzuar të betonit dhe kohëzgjatjes së centrifugimit. Prodhimi i shtyllave ndërlidhet me tipe karakteristike që janë në varësi të gjatësisë dhe ngarkesës për secilin tip, dhe atë për 5 tipe karakteristike me gjatësi 9,10, 12, 13 dhe 14 m. Meqenëse prodhimi i këtyre shtyllave është bartë si teknologji nga Kroacia, atëherë kushtet që duhet përmbushur këto shtylla janë të kërkesave të parashtruara nga Standardet Evropiane, konkretisht në ketë rast HEP N , Shtyllat tipike të betonit për rrjetën e tensionit të ulët dhe N Shtyllat tipike për tensionin 20 (10)kV. Procesi teknologjik i prodhimit është i lidhur me betonin që i nënshtrohet procesit të centrifugimit me faktor të ulët Ë/C duke shfrytëzuar kallëpet metalike adekuate për secilin tip. Kërkesat e përgjithshme Kërkesat e materialeve përbërëse: Materialet përbërëse të shtyllave duhet të përmbushin karakteristikat e parapara me standarde dhe me projekt: Kualiteti i betonit i klasës C 30/37 Armatura gjatësore-e brinjëzuar B 500 N; Armatura tërthore-spirale me çelik të kualitetit 500/560 MPa Shtresa mbrojtëse. Dokumentacioni Gjatë fazës së përgatitjes për ekzaminime kemi pasur në dispozicion: Projektin kryesor llogarinë statike që është aplikuar në përgatitjen e shtyllave 91

110 Deklararata mbi kualitetin e armaturës Rezultatet e ekzaminimit të mostrave te betonit Të dhënat nga evidenca e prodhimit të shtyllave, protokolli me të dhëna ditore: shtylla 1 e datës (nr ); shtylla 2 e datës (nr ) dhe shtylla 3 e datës (nr ). 5.2 SHQYRTIMI I SHTYLLAVE TË TIPIT SHB Përshkrimi i shqyrtimit të shtyllave Shqyrtimi i shtyllave është bërë më datë në repartin e prodhimit të shtyllave të ndërmarrjes TehnoBurimi në Mitrovicë, në vendin e përgatitur më parë. Për ekzaminim është zgjedhur shtylla e tipit SHB 315/10, dhe atë 3 mostra nga numri i përgjithshëm i shtyllave në repartin e prodhimit. Aplikimi i forcës është bërë në mënyrë graduale deri në forcën nominale të deklaruar, dhe pastaj është bërë shkarkimi, që të vazhdohet me ringarkim deri në forcën e thyerjes. Në të gjitha fazat janë bërë përcjelljet e sjelljes së shtyllave përfshirë: deformimet në disa pika; paraqitjen e plasaritjeve; kthimin e deformimeve dhe sjelljen deri në thyerje të plotë. Shtyllat janë shqyrtuar në pozitë horizontale me ç rast është eliminuar pesha vetjake e shtyllakes. Aplikimi i forcës është bërë në majën e shtyllakes (në distancë prej 10cm nga maja e shtyllës), si forcë e koncentruar, me ç rast kjo forcë është matur me dinamometër. Matja e deformimeve është bërë në gjashtë pika përgjatë aksit të shtyllës me qëllim të përcjelljes së përkulshmërisë së shtyllës. Një skemë e shqyrtimit është dhënë në Figurën

111 Figura 5.1: Skema e ekzaminimit të shtyllës SHB Para shqyrtimit për secilën shtyllë është bërë vlerësimi i kualitetit të betonit me metodë jodestruktive-me sklerometër, dhe atë në katër pika të ndryshme. Hapat e shqyrtimit do të jepen në pjesën e fundit me fotodokumentacion. 93

112 5.2.2 Rezultatet e shqyrtimit Karakteristikat gjeometrike Të dhënat gjenerale Tabela 5.1: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës SHB Tipi i shtyllës (SHB) Forca Masa e Nominale parashikuar (kn) shtyllës (kg) Gjatësia e shtyllës (mm) Diametri në bazën e shtyllës (mm) Diametri në majën e shtyllës (mm) Diametri i brendshëm në b. e sh. (mm) Diametri i brendshëm në m. e sh. (mm) Armatura gjatësore (S) Diam. i armaturës gjatësore (mm) Nr. i Tipi i shufrave stafës gjatësore (MA)&AL (copë) Hapi i stafës (mm) Klasa e deklaruar e betonit (C) 315/ B500 N Ø12 6/12 500/560 50/2 30/37 315/ B500 N Ø12 6/12 500/560 50/2 30/37 315/ B500 N Ø12 6/12 500/560 50/2 30/37 94

113 Shtylla SHB 315/ Shtylla SHB 315/ Fidan Salihu Ekzaminimi i kualitetit të betonit Shtylla e betonit : Mostra 1-SHB 315/10 Tabela 5.2: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB , Mostra 1 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betonimit matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) > Shtylla e betonit : Mostra 2-SHB 315/10 Tabela 5.3: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB , Mostra 2 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betonimit matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) >

114 Shtylla SHB 315/ Fidan Salihu Shtylla e betonit : Mostra 3-SHB 315/10 Tabela 5.4: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB , Mostra 3 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betonimit matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) > Vlerat mesatare të ekzaminimit në katër pika për secilën shtyllë nga katërmbëdhjetë goditje Shqyrtimi i shtyllave nën veprimin e ngarkesës Aplikimi i forcës është bërë në mënyre graduale dhe atë sipas tabelës së dhënë më poshtë. Kur është arritur forca Nominale, është mbajtur një minut e më pastaj është liruar nga ngarkesa me qëllim të verifikimit të deformimeve të mbetura. Pas kësaj, ngarkesa është aplikuar me inkremente deri në thyerje. Sjellja e shtyllave është përcjellur me vendosjen në majë të shtyllës për të dy rastet: Rasti i ngarkesës Nominale dhe ngarkesës deri në thyerje. Në të gjitha fazat e ngarkimit dhe shkarkimit janë matur zhvendosjet në pikat e caktuara më parë dhe atë me ulëmatësit: u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 që të përcillen zhvendosjet eventuale të mbështetjes gjegjësisht të përcillet shkalla e inkastrimit. Sipas dokumentacionit ekzistues gjatësia e nevojshme që të arrihet inkastrimi në këto shtylla (thellësia e vendosjes) është 200 cm dhe është realizuar si inkastrim total. Me matje të zhvendosjeve në bazament të inkastruar, një gjë e tillë është vërtetuar, ato janë te vlerës 0.1 mm d.m.th të neglizhueshme. 96

115 Zhvendosja, mm Faza II Faza I Fidan Salihu Shtylla 1 nr Tabela 5.5: Zhvendosjet e matura gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB Ngarkesa,kN Shtylla 315/10,nr "U2" "U3" "U4" "U5" "U6" ' Deformimi i shtyllës 315/10 nga forca F=7.6 kn Aksi gjatësor i shtyllës, cm Figura 5.2: Deformimi i shtyllës SHB nga forca F=7.6 kn Thyerja është bërë nga forca 760kg si thyerje në beton në afërsi te inkastrimit. Plasaritjet, gjegjësisht madhësia e tyre është e theksuar përgjatë gjatësisë prej m. Plasaritjet janë uniforme çdo 15-20cm dhe të vogla të cilat pas shkarkimit janë mbyllur. 97

116 Thyerja është bërë në afërsi të inkastrimit. Tabela 5.6:Vlerësimi i shtyllës së ekzaminuar SHB Shtylla Forca nominale Forca e thyerjes Koeficienti i Vlerësimi (kn) (kn) sigurisë 315/ >1.80 plotëson Interpretimi i rezultateve Pamja e jashtme Sipërfaqet e jashtme janë të lëmuara, pa segregim dhe pa shenja që eventualisht do të jenë tregues të kualitetit të dobët të betonit Lakueshmëria e shtyllës: Toleranca maksimale ±5mm/m Plotësohet kushti i lakueshmërisë Masa e shtyllave: Tolerancat maksimale ±5% m 1 = 990kg m 2 = 995kg m 3 = 995kg Përfundim: Parametri i masës është në kufinjtë e lejuar Dimensionet e shtyllave: Toleranca për gjatësi: ± 5 cm Toleranca për diametër: Toleranca për trashësi të murit: cm cm Klasa e betonit Ekzaminimi është bërë në shtylla me sklerometër. Shtyllat e ekzaminuara kanë soliditet C 30/37 N/mm² dhe plotësojnë kushtin e paraparë. 98

117 Karakteristikat mekanike të shtyllave Faza e ngarkimit: Faza e parë: ngarkimi me ngarkesë nominale dhe shkarkimi në zero. Faza e dytë: ngarkimi deri në thyerje. Shtyllat kanë sjellje të favorshme deri në thyerje Shënimi Shtyllat përmbajnë të gjitha shënimet e parashikuara: - gjatësinë e shtyllës/ forcën nominale - prodhuesin e shtyllave/ vitin e prodhimit - numrin e prodhimit 99

118 Fotodokumentacion Shqyrtimi i shtyllës 315/10 Lakueshmëria maksimale e shtyllës 315/10 100

119 Plasaritjet në çastin e thyerjes së shtyllës 315/10 Shënimi i shtyllave 315/10 101

120 5.3 SHYRTIMI I SHTYLLAVE TË TIPIT SHB S Përshkrimi i shqyrtimit të shtyllave Shqyrtimi i shtyllave është bërë më datë në repartin e prodhimit të shtyllave të ndërmarrjes TehnoBurimi në Mitrovicë, në vendin e përgatitur më parë. Për ekzaminim është zgjedhur shtylla e tipit SHB 1000/10S, dhe atë tri mostra nga numri i përgjithshëm i shtyllave në repartin e prodhimit. Aplikimi i forcës është bërë në mënyre graduale deri në forcën nominale të deklaruar, pastaj është bërë shkarkimi, që të vazhdohet me ringarkim deri në forcën e thyerjes. Në të gjitha fazat janë bërë përcjelljet e sjelljes së shtyllave përfshirë: deformimet në disa pika; paraqitjen e plasaritjeve; kthimin e deformimeve dhe sjelljen deri në thyerje të plotë. Shtyllat janë shqyrtuar në pozitë horizontale me ç rast është eliminuar pesha vetjake e shtyllakes. Aplikimi i forcës është bërë në majën e shtyllakes (në distancë prej 10cm nga maja e shtyllës), si forcë e koncentruar, me ç rast kjo forcë është matur me dinamometër. Matja e deformimeve është bërë në gjashtë pika përgjatë aksit të shtyllës me qëllim të përcjelljes së përkulshmërisë së shtyllës. Një skemë e shqyrtimit është dhëne në Figurën

121 Figura 5.3: Skema e ekzaminimit të shtyllës SHB Para shqyrtimit për secilën shtyllë është bërë vlerësimi i kualitetit të betonit me metodë jodestruktive-me sklerometer, dhe atë në katër pika të ndryshme. 103

122 Hapat e shqyrtimit do të jepen ne pjesën e fundit me fotodokumentacion Rezultatet e shqyrtimit 104

123 Karakteristikat gjeometrike Të dhënat gjenerale Tabela 5.7: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës SHB S Tipi i shtyllës (SHB) Forca Masa e Nominale parashikuar (kn) shtyllës (kg) Gjatësia e shtyllës (mm) Diametri në bazën e shtyllës (mm) Diametri në majën e shtyllës (mm) Diametri i brendshëm në b. e sh. (mm) Diametri i brendshëm në m. e sh. (mm) Armatura gjatësore (S) Diam. i armaturës gjatësore (mm) Nr. i Tipi i shufrave stafës gjatësore (MA)&AL (copë) Hapi i stafës (mm) Klasa e deklaruar e betonit (C) 1000/10 S B500 N Ø14 15/14 500/560 50/1.5 30/ /10 S B500 N Ø14 15/14 500/560 50/1.5 30/ /10 S B500 N Ø14 15/14 500/560 50/1.5 30/37 105

124 Shtylla SHB 1000/10 S Shtylla SHB 1000/10 S Fidan Salihu Ekzaminimi i kualitetit te betonit Shtylla e betonit: Mostra 1-SHB 1000/10 S Tabela 5.8: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra 1 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betoni matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) > Shtylla e betonit: Mostra 2-SHB 1000/10 S Tabela 5.9: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra 2 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betoni matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) >

125 Shtylla SHB 1000/10 S Fidan Salihu Shtylla e betonit: Mostra 3-SHB 1000/10 S Tabela 5.10: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra 3 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betoni matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) > Vlerat mesatare të ekzaminimit në katër pika për secilën shtyllë nga katërmbëdhjetë goditje Shqyrtimi i shtyllave nën ngarkesë Aplikimi i forcës është bërë në mënyre graduale dhe atë sipas tabelës së dhëne më poshtë. Kur është arritur forca Nominale, është mbajtur një minut e më pastaj është liruar nga ngarkesa me qëllim të verifikimit të deformimeve të mbetura. Pas kësaj, ngarkesa është aplikuar me inkremente deri në thyerje. Sjellja e shtyllave është përcjellur me vendosjen në majë të shtyllës për të dy rastet: Rasti i ngarkesës Nominale dhe ngarkesës deri në thyerje. Në të gjitha fazat e ngarkimit dhe shkarkimit janë matur zhvendosjet në pikat e caktuara më parë dhe atë me ulëmatësit: u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 që të përcillen zhvendosjet eventuale të mbështetjes gjegjësisht të përcillet shkalla e inkastrimit. Sipas dokumentacionit ekzistues gjatësia e nevojshme që të arrihet inkastrimi në këto shtylla (thellësia e vendosjes) është 200cm dhe është realizuar si inkastrim total. Me matje të zhvendosjeve në bazamente të inkastruar një gjë e tillë është vërtetuar, ato janë te vlerës 0.1 mm dmth të neglizhueshme. 107

126 Zhvendosja,mm Faza II Faza I Fidan Salihu Shtylla me nr Tabela 5.11: Zhvendosjet e matura gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S Ngarkesa,kN Shtylla 1000/10S,nr "U2" "U3" "U4" "U5" "U6" ' Deformimi i shtyllës 1000/10S nga forca F=7.6 kn Aksi gjatësorë i shtyllës,cm Figura 5.4: Deformimi i shtyllës SHB S nga forca F=7.6 kn Thyerja është bërë nga forca 2580kg si thyerje në beton në afërsi të inkastrimit. Plasaritjet, gjegjësisht madhësia e tyre është e theksuar përgjatë gjatësisë prej m. Plasaritjet janë uniforme çdo 15-20cm dhe të vogla të cilat pas shkarkimit janë mbyllur. 108

127 Thyerja është bërë në afërsi të inkastrimit. Tabela 5.12: Vlerësimi i shtyllës së ekzaminuar SHB S Shtylla Forca nominale Forca e thyerjes Koeficienti i Vlerësimi (kn) (kn) sigurisë 1000/10 S >1.80 plotëson Interpretimi i rezultateve Pamja e jashtme Sipërfaqet e jashtme janë të lëmuara, pa segregim dhe pa shenja që eventualisht do të jenë tregues të kualitetit të dobët të betonit Lakueshmëria e shtyllës: Toleranca maksimale ±5mm/m Plotësohet kushti i lakueshmërisë Masa e shtyllave: Tolerancat maksimale ±5% m 1 = 1450 kg m 2 = 1455 kg m 3 = 1455 kg Përfundim: Parametri i masës është në kufinjtë e lejuar Dimensionet e shtyllave: Toleranca për gjatësi: ± 5 cm Toleranca për diametër: Toleranca për trashësi të murit: cm cm Klasa e betonit Ekzaminimi është bërë në shtylla me sklerometër. Shtyllat e ekzaminuara kanë soliditet C 30/37 N/mm² dhe plotësojnë kushtin e paraparë. 109

128 Karakteristikat mekanike të shtyllave Faza e ngarkimit: Faza e parë: ngarkimi me ngarkesë nominale dhe shkarkimi në zero. Faza e dytë: ngarkimi deri në thyerje. Shtyllat kanë sjellje të favorshme deri në thyerje Shënimi Shtyllat përmbajnë të gjitha shënimet e parashikuara: - gjatësinë e shtyllës/ forcën nominale - prodhuesin e shtyllave/ vitin e prodhimit - numrin e prodhimit 110

129 Fotodokumentacion Shqyrtimi i shtyllës 1000/10S Lakueshmëria maksimale e shtyllës 1000/10S 111

130 Plasaritjet në momentin e thyerjes të shtyllës 1000/10 S 112

131 Shënimi i shtyllave 1000/10 S 5.4 SHQYRTIMI I SHTYLLAVE TË TIPIT SHB S Përshkrimi i shqyrtimit të shtyllave Shqyrtimi i shtyllave është bërë më datë në repartin e prodhimit të shtyllave të ndërmarrjes TehnoBurimi në Mitrovicë, në vendin e përgatitur më parë. Për ekzaminim është zgjedhur shtylla e tipit SHB S dhe atë tri mostra nga numri i përgjithshëm i shtyllave në repartin e prodhimit. Aplikimi i forcës është bërë në mënyre graduale deri në forcën nominale të deklaruar dhe pastaj është bërë shkarkimi, që të vazhdohet me ringarkim forcën deri ne forcën e thyerjes. Në të gjitha fazat janë bërë përcjelljet e sjelljes së shtyllave përfshirë: deformimet në disa pika; paraqitjen e plasaritjeve; kthimin e deformimeve dhe sjelljen deri në thyerje të plotë. Shtyllat janë shqyrtuar në pozitë horizontale me ç rast është eliminuar pesha vetjake e shtyllakes. Aplikimi i forcës është bërë në majën e shtyllakes (në distancë prej 10cm nga maja e shtyllës), si forcë e koncentruar, me ç rast kjo forcë është matur me dinamometër. Matja e deformimeve është bërë në gjashtë pika përgjatë aksit të shtyllës me qëllim të përcjelljes së përkulshmërisë së shtyllës. Një skemë e shqyrtimit është dhëne në Figurën

132 Figura 5.5: Skema e ekzaminimit të shtyllës SHB S Para shqyrtimit për secilën shtyllë është bërë vlerësimi i kualitetit të betonit më metodë jodestruktive-me sklerometer, dhe atë në katër pika të ndryshme. Hapat e shqyrtimit do të jepen në pjesën e fundit me fotodokumentacion. 114

133 5.4.2 Rezultatet e shqyrtimit Karakteristikat gjeometrike I. Të dhënat gjenerale Tabela 5.13: Karakteristikat gjeometrike të shtyllës SHB S Tipi i shtyllës (SHB) Forca Masa e Nominale parashikuar (kn) shtyllës (kg) Gjatësia e shtyllës (mm) Diametri në bazën e shtyllës (mm) Diametri në majën e shtyllës (mm) Diametri i brendshëm në b. e sh. (mm) Diametri i brendshëm në m. e sh. (mm) Armatura gjatësore (S) Diam. i armaturës gjatësore (mm) Nr. i Tipi i shufrave stafës gjatësore (MA)&AL (copë) Hapi i stafës (mm) Klasa e deklaruar e betonit (C) 1600/12 S B500 N Ø16 6/16 500/560 50/1.2 30/ /12 S B500 N Ø16 6/16 500/560 50/1.2 30/ /12 S B500 N Ø16 6/16 500/560 50/1.2 30/37 115

134 Shtylla SHB 1600/12 S Shtylla SHB 1600/12 S Fidan Salihu Ekzaminimi i kualitetit të betonit Shtylla e betonit : Mostra 1-SHB 1600/12 S Tabela 5.14: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra 1 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betoni matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) > Shtylla e betonit : Mostra 2-SHB 1600/12 S Tabela 5.15: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra 2 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betoni matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) >

135 Shtylla SHB 1600/12 S Fidan Salihu Shtylla e betonit : Mostra 3-SHB 1600/12 S Tabela 5.16: Rezistenca në shtypje e matur gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S, Mostra 3 Pos Data e Vendi f cki f ckm n K k =log28/ f ck betoni matës Xmin Xmax s Xmes (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (ditë) log n (N/mm 2 ) > Vlerat mesatare të ekzaminimit në katër pika për secilën shtyllë nga katërmbëdhjetë goditje Shqyrtimi i shtyllave nën veprimin e ngarkesës Aplikimi i forcës është bërë në mënyrë graduale dhe atë sipas tabelës së dhënë më poshtë. Kur është arritur forca Nominale, është mbajtur një minut e më pastaj është liruar nga ngarkesa me qëllim të verifikimit të deformimeve të mbetura. Pas kësaj, ngarkesa është aplikuar me inkremente deri në thyerje. Sjellja e shtyllave është përcjellë me vendosjen në maje të shtyllës për të dy rastet: Rasti i ngarkesës Nominale dhe ngarkesës deri në thyerje. Në të gjitha fazat e ngarkimit dhe shkarkimit janë matur zhvendosjet në pikat e caktuara më parë dhe atë me ulëmatësit: u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 që të përcillen zhvendosjet eventuale të mbështetjes gjegjësisht të përcillet shkalla e inkastrimit. Sipas dokumentacionit ekzistues gjatësia e nevojshme që të arrihet inkastrimi në këto shtylla (thellësia e vendosjes) është 200cm dhe është realizuar si inkastrim total. Me matje të zhvendosjeve në bazament të inkastruar një gjë e tillë është vërtetuar, ato janë të vlerës 0.1mm d.m.th të neglizhueshme. 117

136 Zhvendosja, mm Faza II Faza I Fidan Salihu Shtylla me nr Tabela 5.17: Zhvendosjet e matura gjatë ekzaminimit të shtyllës SHB S Ngarkesa,kN Shtylla 1600/12S,nr "U2" "U3" "U4" "U5" "U6" ' Deformimi i shtyllës 1600/12S nga forca F=7.6 kn Aksi gjatësor i shtyllës, cm Figura 5.6: Deformimi i shtyllës SHB S nga forca F=7.6kN Thyerja është bërë nga forca 2680kg si thyerje në beton në afërsi të inkastrimit. 118

137 Plasaritjet, gjegjësisht madhësia e tyre është e theksuar përgjatë gjatësisë prej m. Plasaritjet janë uniforme çdo 15-20cm dhe të vogla të cilat pas shkarkimit janë mbyllur. Thyerja është bërë në afërsi të inkastrimit. Tabela 5.18: Vlerësimi i shtyllës së ekzaminuar SHB S Shtylla Forca nominale Forca e thyerjes Koeficienti i Vlerësimi (kn) (kn) sigurisë 1600/12 S <1.8 Nuk plotëson Interpretimi i rezultateve Pamja e jashtme Sipërfaqet e jashtme janë të lëmuara, pa segregim dhe pa shenja që eventualisht do të jenë tregues të kualitetit të dobët të betonit Lakueshmëria e shtyllës: Toleranca maksimale ±5mm/m Plotësohet kushti i lakueshmërisë Masa e shtyllave: Tolerancat maksimale ±5% m 1 = 2400 kg m 2 = 2415 kg m 3 = 2410 kg Përfundim: Parametri i masës është në kufinjtë e lejuar Dimensionet e shtyllave: Toleranca për gjatësi: ± 5 cm Toleranca për diametër: Toleranca për trashësi të murit: cm cm Klasa e betonit Ekzaminimi është bërë në shtylla me sklerometër. Shtyllat e ekzaminuara kanë soliditet C 30/37 N/mm² dhe plotësojnë kushtin e paraparë. 119

138 Karakteristikat mekanike të shtyllave Faza e ngarkimit: Faza e parë: ngarkimi me ngarkesë nominale dhe shkarkimi në zero. Faza e dytë: ngarkimi deri në thyerje. Shtyllat kanë sjellje të favorshme deri në thyerje Shënimi Shtyllat përmbajnë të gjitha shënimet e parashikuara: - gjatësinë e shtyllës/ forcën nominale - prodhuesin e shtyllave/ vitin e prodhimit - numrin e prodhimit. 120

139 Fotodokumentacion Shqyrtimi i shtyllës 1600/12 S Lakueshmëria maksimale e shtyllës 1600/12 S 121

140 Plasaritjet në momentin e thyerjes të shtyllës 1600/12S Shënimi i shtyllave 1600/12S 122