SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU

Transcription

1 SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU MARINA ILIĆ KOMPLEKSNI BROJEVI U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU ZAVRŠNI RAD SPLIT, 017.

2 SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU POMORSKI MENADŽMENT KOMPLEKSNI BROJEVI U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU ZAVRŠNI RAD MENTOR: prof. Goran Kovačević STUDENT Marina Ilić (MB: ) SPLIT, 017.

3 SAŽETAK Te u 16. stoljeću, za potrebe rješenja ubne jednadžbe, uvedeni su omplesni brojevi i operacije s njima. Po mnogim mišljenjima, uvođenje omplesnih brojeva uvelie je olašalo rješavanje i razumijevanje određenih problema. Danas se, moglo bi se reći, omplesni brojevi oriste svugdje. Između ostalog, u različitim znanstvenim područjima i drugim srodnim područjima unutar tih znanosti ao što su: obrada signala, geometrija, eletrotehnia itd. Ipa, važno je uočiti da je njihova primjena orisna, ali nije neophodna. Ključne riječi: omplesni brojevi, primjena omplesnih brojeva, geometrija, obrada signala ABSTRACT Yet in the 16th century, in order to solve the cubic equation, complex numbers and operations were introduced with them. By many opinions, the introduction of complex numbers has greatly facilitated solving and understanding of certain problems. Nowadays, you can say that complex numbers are used everywhere. Among other things, in various scientific fields and other related fields within these sciences such as: signal analysis, geometry, electrical engineering etc. However, it is important to note that their use is useful but not necessary. Key words: complex numbers, complex number application, geometry, signal analysis

4 SADRŽAJ 1. UVOD KOMPLEKSNI BROJEVI POVIJEST KOMPLEKSNOG BROJA..... ELEMENTI KOMPLEKSNOG BROJA PRIMJENA KOMPLEKSNIH BROJEVA PRIMJENA U ELEKTROTEHNICI I ELEKTROMAGNETIZMU ANALIZA SIGNALA FRAKTALI TEORIJA KONTROLE ZAKLJUČAK... 6 POPIS SLIKA... 7 LITERATURA... 8

5 1. UVOD Priupljanjem i ombiniranjem različitih, već objavljenih stručnih i znanstvenih radova, te priručnia, obrađena je tema omplesni brojevi i primjena omplesnih brojeva u različitim znanstvenim i srodnim područjima. U prvom dijelu obrađen je realni i imaginarni dio omplesnog broja, matematiče operacije s omplesnim brojevima te omplesna ravnina, ao bi se u drugom dijelu, laše razumjela problematia i ciljevi njihove primjene. Komplesni i imaginarni brojevi već dugo fasciniraju ne samo matematičare, nego i širu javnost. Teorija funcija definiranih na dijelu omplesne ravnine i s omplesnim vrijednostima, isprepleće se sa soro svim granama moderne matematie, a primjenjuje se u fizici, eletrotehnici, geometriji i drugim srodnim područjima unutar navedenih znanosti. U drugom dijelu oji se odnosi na primjenu omplesnih brojeva, urato je opisan strujni rug uz omplesne brojeve, malo detaljnije je obrađena Fourierova i Laplaceova transformacija, a pred raj, urato su priazani i nei zaista fascinantni fratali. Kroz različite primjere i roz metode rješavanja neih zadataa poušat će se pojednostavniti razumijevanje primjene omplesnih brojeva i dati do znanja da omplesno ne znači omplicirano, te da se njihovom primjenom često laše mogu riješiti određeni problemi ili laše razumjeti već riješeni problemi. 1

6 . KOMPLEKSNI BROJEVI.1. POVIJEST KOMPLEKSNOG BROJA Mnogi smatraju da su omplesni brojevi uvedeni ao bi svaa vadratna jednadžba imala rješenje. Npr. jednadžba x 1 0 nema realnih rješenja, ali uvođenjem omplesnih brojeva dobiva rješenja x i i x i. Kasnije se počinje govoriti ao svaa algebarsa jednadžba stupnja n ima točno n rješenja. Kao primjer navodimo jednadžbu: 4 3 x x x x 1 0 oja ima točno četiri rješenja, dvostruo rješenje x 1 i jednostrua rješenja x i i x i. Bezoutova teorija 1 aže da se dvije algebarse rivulje reda m/n sijeu u točno m/n točaa (računajući ratnosti i toče besonačnosti), a ta teorija ne bi vrijedila bez omplesnih brojeva. Npr. pravac y x ne siječe ružnicu rješenja, međutim siječe u točama x y 1, ao se uljučuju samo realna 1 i /,1 i / i i i 1 /,1 /. I to je jedan od razloga zbog ojih su matematičari uveli orijene negativnih brojeva i same omplesne brojeve. Problem rješavanja ubne jednadžbe riješen je te u 16. stoljeću. Za potrebe rješavanja uvedeni su omplesni brojevi i operacije s njima. Sustavna teorija omplesnih brojeva prvi put se pojavila 157. godine u Algebri talijansog matematičara Rafaela Bombellia. Navedimo još nee zanimljive informacije vezane za povijest omplesnih brojeva. Prvi obli zadata s obilježjem imaginarnog broja pojavljuje se 50 godina pr. Krista u djelu Stereometrica 3 Herona iz Alesandrije. imaginarni. Rene Descartes pridonosi razvoju omplesnih brojeva uvodeći izraz realni i godine Girolamo Cardano 4 omplesne brojeve naziva fitivnima. Njegova želja je bila da podijeli 10 na dva dijela tao da njihov umnoža bude 40. Ta je rješenja pronašao uz izjavu da bi računanje tih brojeva bilo zahtjevno i besmisleno.

7 Caspar Wessel 5 uvodi način grafičog priazivanja omplesnih brojeva, što je i objavljeno, ali nije dobilo na veliom značaju. Te 100 godina poslije, za tu njegovu ideju o grafičom priazu omplesnih brojeva, priznate su mu zasluge. Neovisno o Wesselu, Gauss je svojim utjecajem postigao univerzalno prihvaćanje omplesnih brojeva smjestivši ih u ravninu godine Gottfried Wilhelm von Leibniz 6 je opisao omplesne brojeve ao: prerasni proizvod misaonog rada, gotovo amfibijsi između stvari oje jesu i stvari oje nisu... ELEMENTI KOMPLEKSNOG BROJA U supu realnih brojeva vadratni orijen može se računati samo iz nenegativnih brojeva jer ne postoji realan broj oji vadriran daje negativan broj. Broj 1 zvat ćemo imaginarnom jedinicom i označavati ga s i. Dale, za i vrijedi i 1. Tao je onda i. Svai broj oblia yi, gdje je y, nazivamo imaginarnim brojem. Komplesni broj je svai broj z oji dopušta zapis z x yi, gdje su x i y realni brojevi. Taav zapis se naziva algebarsi ili standardni priaz omplesnog broja z. Broj x se naziva realni dio, a y imaginarni dio omplesnog broja z. Piše se: x Re z, y Im z. Svai realni broj x je omplesan jer se može zapisati u obliu x 0 i. Svai imaginarni broj yi je omplesan jer se može zapisati u obliu 0 yi. Sup svih omplesnih brojeva označavamo s. Dale, x yi x y :,. Ao je z omplesni broj s algebarsim priazom z x yi, onda se broj x yi označava sa z i naziva onjugirano omplesni broj broja z. 3

8 Brojevi z i z čine jedan par omplesno onjugiranih brojeva. Njihovi realni dijelovi su jednai, a imaginarni dijelovi su suprotni realni brojevi. Vrijedi: z x yi x yi z. Umnoža dvaju onjugirano omplesnih brojeva uvije je nenegativan realan broj. Svai omplesni broj z x yi može se poistovjetiti s točom, x y u oordinatnoj ravnini i obratno, uz uobičajeni Kartezijev oordinatni sustav. Apscise predstavljaju realne, a ordinate imaginarne dijelove pa se oordinatne osi u ovom slučaju zovu realna i imaginarna os. Na realnoj osi tada se nalaze svi čisto realni brojevi, a na imaginarnoj osi svi čisto imaginarni brojevi. Koordinatna ravnina na ojoj su smješteni svi omplesni brojevi poznata je ao omplesna ili Gaussova ravnina. Slia 1. Komplesna ravnina Apsolutnu vrijednost ili modul omplesnog broja z označavamo s z. Ao je z x yi algebarsi priaz broja z, onda je z z z. Geometrijsi, gledano u omplesnoj ravnini, apsolutna vrijednost broja z x yi predstavlja udaljenost toče x, y od ishodišta. 4

9 Bitno je spomenuti i trigonometrijsi priaz omplesnog broja. Već smo napomenuli da je toča x, y Gaussove ravnine jednoznačno pridružena algebarsom priazu z x yi omplesnog broja z. Tu toču možemo opisati i zadavanjem oordinata r i, gdje je r i ut što ga radij-vetor r x i y j zatvara s vetorom i, tj. s pozitivnim smjerom osi x. Koordinate r i nazivamo polarnim oordinatama omplesnog broja z. Za ut još oristimo oznau arg z i nazivamo ga argumentom od z. Dale, pišemo arg z. z Slia. Položaj toče Mx,y opisan polarnim oordinatama x Nije tešo vidjeti da je cos r i sin y r. Stoga vrijedi zapis: z x iy r cos isin, oji se naziva trigonometrijsi priaz omplesnog broja z. Napišimo još i Eulerovu formulu, oja povezuje trigonometrijse funcije sinus i osinus s esponencijalnom funcijom. Za bilo oji broj x vrijedi: ix e cos x isin x. Bitno je napomenuti da se u toj formuli vrijednost uta x mjeri u radijanima, a ne u stupnjevima. Eulerova formula može se predstaviti na način da funcija ix e rotira oo oordinatnog početa omplesne ravnine pri čemu x prima vrijednost iz domene realnih brojeva. U tom slučaju x je ut između osi, oja prolazi ishodištem omplesne ravnine i odgovarajućom 5

10 točom na jediničnoj ružnici, i pozitivne realne osi. Pri tome os (vetor u omplesnoj ravnini) rotira u smjeru suprotnom od smjera azalje na satu. Eulerova formula omogućava prijelaz iz priaza omplesnog broja u Kartezijevim oordinatama u priaz u polarnim oordinatama. Priaz omplesnih brojeva u polarnim oordinatama pojednostavnjuje složenije operacije s omplesnim brojevima, ao što su množenje i potenciranje, a iz razloga što se bilo oji broj z x iy može zapisati ao: Onda je: z z x Re, y Im, y arctg. x i z x iy z cos isin z e. i z x iy z cos isin z e, gdje je Eulerova formula omogućava da funcije osinus i sinus zapišemo pomoću esponencijalne funcije. Te formule izvodimo rješavanjem sustava s nepoznanicama cos x i sin x. ix ix ix e e cos x Re e, ix ix ix e e sin x Im e. i ix e cos x i sin x, ix e cos x isin x cos x isin x Osnovne operacije s omplesnim brojevima su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Operacije zbrajanja i množenja su omutativne i asocijativne te su povezane svojstvom distributivnosti. Sup je zatvoren s obzirom na zbrajanje, oduzimanje i množenje. To znači da je rezultat tih operacija s bilo oja omplesna broja opet omplesan broj. Inače, omplesni brojevi se zbrajaju (oduzimaju) tao što im se posebno zbrajaju (oduzimaju) realni, a posebno imaginarni dijelovi. 6

11 Kod množenja omplesnih brojeva pojavljuju se potencije imaginarne jedinice. Potencije imaginarne jedinice su: i 1, i 1, i i i i, i i i i i i 1. Nije tešo vidjeti da nije potrebno računanje većih potencija od ovih oje smo napisali jer se one periodiči ponavljaju. Komplesni brojevi se dijele racionalizacijom nazivnia. Racionalizacija nazivnia je postupa u ojem se eliminira orijen u nazivniu. U tu svrhu se oristi jednaost x yi x yi x y. Da bismo se,,oslobodili'' broja i u nazivniu potrebno je brojni i nazivni pomnožiti s brojem oji je onjugirano omplesan nazivniu (dale, proširujemo zadani razloma). Na taj način dijeljenje omplesnih brojeva svodimo na množenje omplesnih brojeva. 7

12 3. PRIMJENA KOMPLEKSNIH BROJEVA Komplesni brojevi imaju onretne i bitne uloge u različitim znanstvenim područjima i drugim srodnim područjima unutar tih znanosti. Tu spadaju obrada signala, eletrotehnia i eletromagnetizam, geometrija fratala i trouta, dinamia fluida, analiza vibracija, teorija ontrole i druge znanosti. Najjednostavniji i zanimljiv primjer primjene omplesnih brojeva je primjer jednog eletričnog piano-a čija svaa tipa proizvodi dručiji ton. Kontrola glasnoće mijenja amplitudu (glasnoću) svih tipi za istu veličinu (iznos). Na taj način priazano je ao realni brojevi afetiraju signale. Zamisle li se filteri sada, oji omogućuju da nee tipe proizvode dublje tonove, a nee nježnije, ovisno o frevenciji, to predstavlja omplesne brojeve. Dale, oni omogućuju izračune neih dodatnih dimenzija PRIMJENA U ELEKTROTEHNICI I ELEKTROMAGNETIZMU Jedna od najvažnijih primjena omplesnih brojeva vezana je uz teoriju eletriciteta, odnosno izmjenične struje. Za opis izmjeničnog napona potrebna su dva parametra: faza i amplituda. Stoga se izmjenični napon opisuje uređenim parom amplitude i faze, što se može shvatiti ao vetor (radij-vetor toče) u ravnini s Kartezijevim oordinatnim sustavom ili ao omplesan broj u omplesnoj ravnini. To se vrlo često primjenjuje jer su računi jednostavniji. Naime, računi sa sinusima i osinusima realnih brojeva se tao, pomoću Eulerove formule 7, svode na račune s esponencijalnim funcijama. 8

13 Kao primjer primjene naveden je zadata dizajniranja jednostavnog strujnog ruga s izmjeničnom strujom i određivanje njegove omplesne impedancije, oju ćemo označavati sa Z. Inače, impedancija Z Z je uupan eletrični otpor u strujnom rugu izmjenične struje. Slia 3. Strujni rug U omplesnoj ravnini mogu se lao priazati vrijednosti otpora ondenzatora X C, otpornia R i indutora X L. Tu se otpor otpornia priazuje na realnoj osi, do se otpor indutora nalazi na pozitivnom dijelu, a otpor ondenzatora na negativnom dijelu imaginarne osi. Imaginarnu jedinicu ovdje označavamo s j jer se u fizici struja označava s i. Slia 4. Priaz otpora u omplesnoj ravnini 9

14 S obzirom da je X X , dobivamo da je omplesna impedancija L C Z 4 3 j. Dobiveno rješenje možemo zapisati i u polarnim oordinatama. Uz malo računanja, dobije se: r 5, Obli strujnog ruga jednostavno je opisan roz dva broja - napon V i struju i. Taođer može postojati eletrični apacitet C i indutivitet L oji opisuju tendenciju odupiranja promjenama napona i struje. Struja i i napon V su dva realna broja oji se taođer mogu isazati u omplesnom zapisu z V ij. Isto tao, apacitet C i indutivitet L se mogu promatrati u omplesnom zapisu w C Lj. Primjer: Izračun serijsog spoja izmjenične impedancije. Svita radnog otpora R 0 i indutiviteta L 40 mh, priljučen je ne mrežu frevencije 50 Hz. Odredimo omplesnu impedanciju svita u ortogonalnom (algebarsom), polarnom i esponencijalnom obliu. R 0 L 40mH 0.4H f 50Hz Z? Slia 5. Sica zadata 10

15 Z R jx R jl R j f L 0 j75.36 ; L L r Z Z R X ; X L arctg arctg arctg ; R 0 Z r cos j sin cos j sin ; j Z re j e. U ovom slučaju Z predstavlja impedanciju (tj. prividni ili uupni otpor), R rezistanciju (radni ili omsi otpor), X L i otpor); Z je omplesna impedancija. X C reatanciju (reativni otpor, odnosno indutivni i apacitivni Izračunajmo još i omplesnu impedanciju svita (ortogonalni i polarni obli) omplesne admitancije Y 0.03 j0.01 S. 1 1 Z Y 0.03 j0.01 r Y S 0.001S S 0.01 arctg arctg Z Y r cos j sin 1 cos0 j sin 0 1 cos j sin r cos j r sin j j cos18.44 sin Slia 6. Sica zadata 11

16 Nadalje, omplesni brojevi se često oriste u eletronici. Eletronia proučava i oristi sustave čiji se rad temelji na ontroli protoa eletrona i drugih nositelja eletričnog naboja od dijelova od ojih su izgrađeni. U ovom slučaju primjena omplesnih brojeva pojednostavnjuje razumijevanje i analiziranje izmjeničnih signala. Kao bi se shvatilo olio primjena omplesnih brojeva pojednostavnjuje rješavanje pojedinih problema treba znati prepoznati gdje ih se i ao može primijeniti. Za dobivanje jasne slie primjene i značenja naveden je mehaniči primjer, odnosno zamišljeni olut oji rotira i na ojem se nalazi još jedan manji olut oji ruži supa s njim, i oji rotira jednaom brzinom. Slia 7. Rotiranje oluta i sinusoida Promatrajući sliu i rotiranje, poprečno, dobiva se dručija slia, odnosno mali plavi olut oscilira gore dolje. Ao se osciliranje plavog oluta (poprečno promatrano) ucrta na graf, uzimajući u obzir da se reće stalno istom brzinom, ao rezultat nastaju sinusoidni valovi oji osciliraju roz jedan cilus svai put ada plavi olut napravi puni rug. Navedeni primjer se može primijeniti pri analiziranju i razmatranju bilo ojeg osciliranja u eletroničim slopovima. Dale, i struja i naponi su nešto što oscilira jednaom brzinom. Ono što je vidljivo predstavlja realni dio, a nee druge promjene oje se mogu događati i oje je moguće zamisliti predstavljaju imaginarni dio. Ono što je vidno priliom tih oscilacija određeno je faznim utom oji se mijenja ovisno o vremenu i retanju. Zamišljene oscilacije sinusoidnih valova i promjene faznih utova oje uzrouju te oscilacije svojom onstantnom brzinom, poznate su ao frevencija signala. 1

17 3.. ANALIZA SIGNALA Signal je medij, odnosno nosilac određene informacije. Tao npr. eletrični signali nose informacije o temperaturi, o adresi Web poslužitelja, o visini glasa i tao dalje. Komplesni brojevi se upotrebljavaju u analizi signala i drugim srodnim poljima ao priladan opis za periodiču izmjenu signala. Za sinusoidni val određene frevencije, apsolutna vrijednost z predstavlja amplitudu, a argument arg z predstavlja fazu. Fourier 8 je u svojim analizama tvrdio da se svai signal s realnom vrijednošću može napisati ao zbroj periodičih funcija oblia xt Ae it, frevenciju, a A fazu i amplitudu. gdje predstavlja utnu Fourierove analize proizlaze iz ideje da se svaa periodiča funcija-signal može zapisati ao suma (ne nužno onačna) sinusa različitih faza, amplituda i frevencija. Tava suma se naziva Fourierov red. Motivacija pri stvaranju analiza bila je ideja da se riješi problem parcijalne diferencijalne jednadžbe za širenje topline u čvrstim tijelima. Fourierova tvrdnja da se sve funcije mogu razviti u trigonometrijsi red stvorila je od drugih matematičara otpor prema prihvaćanju njegovog rada o širenju topline. Ipa, u današnjem svijetu uznapredovale tehnie i tehnologije, mogli bismo reći da su Fourierove ideje svaim danom sve razvijenije. Tu spadaju: disretna Fourierova transformacija i algoritam za brzo i efiasno izračunavanje DFT u vremenu i brza Fourierova transformacija oja je temelj veliog dijela modernih multimedijsih primjena, ao što su MP3, JPEG itd. Iao je priliom razvoja funcije u Fourierov red postavljen uvjet da ta funcija bude periodična, njegov rad se može primijeniti i na neperiodične funcije u neim intervalima, uz uvjet da ih se učini periodičnima. Tao možemo uzeti da je interval na ojem promatramo neu funciju zapravo period te funcije. Pretpostavimo da za neu periodičnu funciju (ili signal) f :, s periodom, treba odrediti a,, 0 a za 1,,, n vrijedi: tao da u soro svaoj toči intervala, n a0 f x a sin x, n 0, 1 13

18 a0 gdje je a amplituda, a ima ulogu faze za sinusnu funciju frevencije. Zaseban član služi za translaciju funcije duž osi y. Navedena funcijsa jednaost može se primjenom adicijse formule za sinusnu funciju napisati u obliu: sin sin cos cos sin n a0 f x a sin xcos cosxsin a 1 n 0 a sin x a cos x n 1 cos sin, 0 1 U novoj formuli sin i cos ne ovise ni o varijabli x ni o. To su brojevi oji su dio oeficijenta uz cosx i sin x. Stoga se mogu definirati novi oeficijenti a, b u ojima će implicitno biti uljučen i. Tao se dobiva: n a f x x x n 0 a cos b sin, 0. Sada se traženje Fourierova reda svodi na traženje oeficijenata 1 a i b. Stoga više nije potrebno esplicitno promatranje faze pojedine sinus funcije, već je dovoljno tražiti oeficijente, odnosno amplitude uz sinus i osinus. Postavlja se pitanje vrijedi li navedena formula za svau periodičnu funciju može li se svaa periodiča funcija zapisati ao suma sinusa i osinusa različitih amplituda i frevencija? Da bismo bolje razumjeli odgovor na postavljeno pitanje, prisjetimo se elementarne tvrdnje diferencijalnog računa oja aže da je zbroj dviju m puta derivabilnih funcija, gdje je m, taođer m puta derivabilna funcija. Sinus i osinus su m puta derivabilne funcije, pa je i svaa njihova onačna suma tava. Uz sve navedene činjenice, čini se da je nemoguće razviti nederivabilnu funciju u ovao definiran Fourierov red. Uzmimo da u jednaosti n (time povećavamo točnost te jednaosti ao red na njenoj desnoj strani onvergira) pa poušajmo odrediti oeficijente c za tao da vrijedi: f x i 14

19 a0 ix f x a cosx b sin x ce. 1 Pri izvođenju formula za oeficijente c oristit ćemo Eulerovu formulu i sljedeće jednaosti: Re Im Re z i Im z z z z z i z Re, Re i Im z Re z i z i z z z z Im Im. 3 Pretpostavimo najprije da za svai postoji c taav da vrijedi funcijsa jednaost Izraz je evivalentan izrazu: tj. izrazu ix ix c e c e a cos x b sin x. sin ix ix c e c e a cos x b x c cos x i sin x c cos x i sin x a cos x b sin x, c c cos x i c c sin x a cos x b sin x iz ojeg, po 3, slijede jednaosti: a c c Re c, Stoga je a ib Rec i Imc b i c c i i Im c Im c. i 1 1 c a ib c a ib. 4 Nadalje, primijetimo da za svai vrijedi: sin ix ix ce c e c cos x i sin x c cos x i sin x c cos x i x c e c e c e i x i x ix 5 U jednaosti oristili smo neparnost funcije sinus i parnost funcije osinus. 15

20 Za svai uvedimo oznau: c c. Onda iz jednaosti 5 slijedi: a0 a0 ix ix cos sin f x a x b x c e c e 1 1 ix ix ix a a a c e c e c e c e c e c e 0 i x 0 i x 0 i x a a 0 ix ix 0 ix ce ce ce Jednaost vrijedi samo ao redovi Uzmemo li još da je 0 0 imamo: pa zaista možemo pisati. ix ce i 1 i x ce onvergiraju. 1 b (a to možemo napraviti jer je ionao sin 0x sin 0 0 ), po Računanje oeficijenta c j za funciju dijeljenjem jednaosti s ijx e (što je različito od nule). Slijedi da je: i 0 x 1 a c c e a ib ix. f x ce f x zadanu na segmentu, 1 ijx 1 f x c e c e c e j i j x i j x j1 j j1, ijx c f x e c e j i j x, izvodi se za svai c j. Uzmemo li da je c j onstanta, integriranjem obje strane zadnje jednaosti po varijabli x na intervalu,, dobivamo 4, ijx i j x c dx f x e dx c e dx, j j ijx i j x c c f x e dx c e dx, j j j ijx 1 i j i j c j f xe dx c e e, i j j 16

21 za j. Uočimo da je i j. Stoga je i j i j e e i sin j 0 i time se cijela suma poništila. Ao se jednadžba podijeli s, dobije se formula za j ti oeficijent Fourierovog reda: 1 ijx 1 c j f xe dx f x cos jx i sin jx dx 1 1 f xcos jxdx i f xsin jx dx. c j c Re Im j Dale, za svai vrijedi: pa je i 1 ix 1 c f xe dx f x cos x i sin x dx 1 1 f xcosx dx i f xsin x dx Re c Imc 1 a Rec f xcosxdx za svai 0 1 b Im c f x x dx za svai. sin Primjer: Nađimo Fourierov red S x funcije f x x, x. Kao je zadana funcija f neparna, onda je a 0 za svai 0. Za svai 1 vrijedi: u x du dx 1 1 b f xsin x dx x sin xdx 1 v sin xdx cosx 1 x cos x 1 1 x cos x sin x cosxdx cos

22 Dale, 1 1 sin x sin 3x S x b sin x sin x sin x Primijetimo da je zadana funcija f nepreidna. Stoga, po Dirichletovom teoremu, u svaoj toči x, vrijedi: f x S x. Osim toga je gdje je S S f f 0, f lim f x lim x, x x f lim f x lim x. x x Postoji puno pratičnih razloga zbog ojih se frevencija priazuje u obliu trigonometrijse sume. Ao je f x signal (eletrični napon ili zvu ojeg proizvodi nei instrument), onda priaz tog signala u obliu trigonometrijse sume opisuje frevencije pribrojnia u toj sumi. Sinusoida sin x ima temeljni period i frevenciju, odnosno titra puta u intervalu 0 x. Npr. signal sin x 50sin 3x 10sin 00x sadrži pribrojnie s frevencijama 1, 3, 00. S obzirom na veličine oeficijenata oji se nalaze ispred funcije sinus, pribrojni s frevencijom 3 ima puno veći utjecaj od preostalih dvaju pribrojnia. Ti pribrojnici se zovu harmonici. Jedna od glavnih zadaća signalne analize jest eliminacija visoofreventnih zvuova, a jedan od načina je i primjena prije spomenutih Fourierovih analiza, odnosno redova, tao da visoofreventni oeficijenti a i b, za velie, budu jednai 0. Drugi zadata signalne analize je sažimanje podataa. Tu je cilj poslati signal s najmanjim mogućim brojem podataa. Jedan pristup rješavanja tavog problema je opet priaz signala u obliu trigonometrijse sume, te slanje samo onih oeficijenata a i b oji su veći od zadane tolerancije. Manji oeficijenti imaju zanemariv utjecaj na funciju, pa se mogu odbaciti. 18

23 3.3. FRAKTALI Fratali su geometrijsi objeti čija je fratalna dimenzija (vrijednost oja daje uvid u to u ojoj mjeri nei fratal ispunjava prostor u ojem se nalazi) strogo veća od topološe dimenzije (broj smjerova u ojima se može ići u određenom objetu). To znači da je određeni fratal moguće uvećati besonačno puta, a da se svaim povećanjem vide nei novi detalji oji prije povećanja nisu bili vidljivi i da oličina novih detalja uvije bude otprilie jednaa. Fratali se sastoje od umanjenih inačica samih sebe, ali su tolio nepravilni da se ne mogu opisati jednostavnom geometrijom. Postoji mnogo načina na oji se fratali lasificiraju. Jedan od njih je svrstavanje po stupnju sličnosti. Prvu supinu čine potpuno samoslični fratali, tj. oni čiji je svai dio identičan cijelom fratalu. Tu spadaju svi geometrijsi fratali (trouti, Hilbertova rivulja, Cantorov sup, Kochova rivulja). Gotovo samoslični fratali formiraju drugu supinu. To su fratali čiji je svai dio isrivljena opija cjeline (Mandelbrotov i Julijin sup). Treća supina su fratali statiče samosličnosti, odnosno oni oji ne sadrže opije samog sebe, ali nee osobine, ao na primjer fratalna dimenzija, ostaju iste pri različitim mjerilima (Perlinov šum). Prema načinu nastana razliuju se tri podvrste. To su: iterativni oji nastaju rotiranjem ili translatiranjem opije, te mogućim zamjenjivanjem neog elementa opijom, reurzivni oji su određeni reurzivnom matematičom formulom oja određuje pripada li određena toča prostora (npr. omplesne ravnine) supu ili ne pripada i treća supina - slučajni ili random fratali oji posjeduju najmanji stupanj samosličnosti (to su najčešće prirodni fratali, ao npr. obale, drveće, oblaci, ). Što se tiče primjene fratala, najjednostavnija se odnosi na primjenu u računalnoj grafici za crtanje terena, posebno planina. Pomoću sustava iteriranih funcija u tri dimenzije moguće je reirati raznolio raslinje (drveće, grmove i slično). Od manje važnih primjena tu je predviđanje neih stohastičih procesa ao što su potresi, slaganje snopova optičih vlaana, oponašanje rada neuronsih mreža za razvoj umjetne inteligencije i tao dalje. Kao najomplesnija supina fratala navedeni su Julijin sup i očaravajući Mandelbrotov sup. Julijin sup je dobio ime po francusom matematičaru Gastonu Juliji. Taj sup je granica dvaju supova točaa z0 x yi : onog gdje niz z f z za proizvoljno odabranu n1 n, funciju f, onvergira neoj vrijednosti te onog gdje taj niz divergira (teži u besonačnost). 19

24 Julijin sup se obično, ao i svi algebarsi fratali, priazuje tao da su toče oje onvergiraju crne, a one oje divergiraju su u raznim nijansama iste ili različitih boja. Nijansa boja ovisi o brzini ojom niz raste. Što se više odmičemo od Julijinog supa, niz brže raste. Još jedna osobina, važna za fratale, jeste povezanost odnosno nepovezanost. Julijin je sup povezan, ao je sup ojeg oružuje ompatan (cjelovit/jedinstven). Mandelbrotov sup je sup točaa c omplesne ravnine za oje je Julijin sup povezan. Ime je dobio po francuso-američom matematičaru Benoitu Mandelbrotu. Mandelbrotov sup je zatvoren sup ojemu su sve toče unutar ruga polumjera sa središtem u ishodištu. Toča c pripada Mandelbrotovom supu samo ao vrijedi za sve 0. n n Dale, ao je apsolutna vrijednost od divergirati, odnosno težiti u besonačnost. f 0 f 0, za nei n 0, veća od, niz će c n c Slia 8. Mandelbrotov sup u omplesnoj ravnini Mandelbrotov sup je vazi samosličan, a to znači da se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog supova točaa oji vire iz njih povezujući ih s glavnim dijelom. Moguće je napraviti Mandelbrotov sup pomoću funcije: b f zn 1 zn c, b. Tave supove nazivamo multibrot supovima. 0

25 Kao Mandelbrotov sup obuhvaća i Julijine supove, može se reći da je Mandelbrotov sup u stvari grafiči priaz supa omplesnih brojeva u omplesnoj ravnini. Slia 9. Mandelbrotov i Julijin fratalni sup 3.4. TEORIJA KONTROLE Kontrolna teorija je interdisciplinarna grana inženjerse i računalne matematie oja se bavi proučavanjem ponašanja dinamičih sustava s ulaznim jedinicama i ao se njihovo ponašanje mijenja ovisno o povratnim informacijama. U teoriji ontrole, sustavi se transformiraju s vremense domene u frevencijsu domenu uz pomoć Laplaceove transformacije. Laplaceova transformacija rješava odziv sustava za bilo oji valni obli. Tumači se ao transformacija iz područja vremena, gdje su ulazne i izlazne veličine funcije vremena t, u područje omplesne ružne frevencije p. Laplaceova transformacija je linearni operator na funciji f s realnim argumentom t t 0, oji je transformira u funciju F s omplesnim argumentom p. Preciznije, Laplaceova transformacija (slia) funcije a umjesto, f t je funcija F p definirana sa: pt F p f t e dt, F p često se oristi i oznaa f t 0. 1

26 Primjer: Nađimo Laplaceovu sliu funcije f t t. Najprije ćemo poazati da za svai p \ 0 vrijedi da je pt 1 pt e dt e C. p Već znamo da je za svai p \ 0 pt 1 pt e dt e C. p Poažimo da isto vrijedi i za p iw, w \ 0. pt iwt e dt e dt cos wt isin wt dt cos wtdt i sin wtdt 1 i i 1 iwt 1 pt sin wt cos wt C cos wt isin wt C e C e C. w w w iw p Preostaje još provjeriti slučaj ad je p s iw, s, w \ 0. siwt e pt dt e dt e st cos wt i sin wt dt e st cos wtdt i e st sin wtdt t I1 I st e w issin wt s iwcos wt C s w st st e e i s iwsin wt s iwcos wt C cos wt isin wt C s iw s iw s iw st e iwt 1 e C e s iw s iw siw 1 pt C e C. p

27 Rješenje integrala I 1 i I : st st u e du se dt st st e s st I1 e cos wtdt 1 sin wt e sin wtdt v cos wtdt sin wt w w w st st u e du se dt st e s st s 1 sin wt e cos wt I v sin wtdt cos wt w w w w st e I wsin wt s cos wt C s w st st st st e sin wt wi1 e e w I e sin wtdt sin wt sin wt wcos wt C s s s w s st e s s w s sin wt w sin wt st e ssin wt wcos wt C. s w w sin wt ws cos wt C Naon što smo poazali da je za svai p \ 0 pt 1 pt e dt e C, p prelazimo na određivanje Laplaceove transformacije zadane funcije f. Označimo s domenu tražene funcije F. b 0t 0 lim pa 0 F ; b F te dt tdt tdt D b u t du dt pt pt p s iw 0 F p te dt lim te dt pt 1 pt b v e dt e 0 0 p b b b t 1 pt pt t 1 pt 1 pb lim e e lim e lim 1 pb 1 e b p p b p p b p D F s iwb pb pb pb siw b lim pb 1 e p limbe lim e p lim be lim e b b b b b sb sb p limbe cos wb i sin wb lim e cos wb i sin wb b b sb sb sb sb p limbe cos wb ip lim be sin wb lim e cos wb i lim e sin wb. b b b b 3

28 Za s 0 nijedan od limesa u zadnjoj jednaosti ne postoji. Uz dovoljno velii b, za sve s, w tave da je s w 0, vrijedi: sb sb sb sb sb sb be e cos wb, e sin wb, be cos wb, be sin wb be. Za s 0 je sb b 1 limbe lim lim 0 b b sb b sb e se pa je pb pb lim 1 e 0. b 1 Re 0. p Dale, p s F p Primijetimo da je D p p F : Re 0. U primjeni je ova transformacija u osnovi bijetivna. Laplaceova transformacija je povezana s Fourierovom transformacijom, no ipa Laplaceova transformacija rješava odziv sustava za bilo oji valni obli. Polovi i nule tog sustava se analiziraju roz omplesnu ravninu. Navedeno se primjenjuje u geometrijsom mjestu orijena i u tehniama Nyquistovog i Nicholsovog dijagrama. Nyquistova tehnia i Nicholsova tehnia su tehnie oje se oriste za analiziranje određenog sustava, odnosno hoće li sustav biti stabilan ili ne. Za metodu geometrijsog mjesta orijena posebno je važno jesu li polovi i nule smješteni na lijevoj ili desnoj polovici omplesne ravnine, odnosno je li im realni dio veći ili manji od nule. Ao linearni, vremenso nepromjenjiv (LTI) sustav, ima polove na desnoj polovici oordinatnog sustava - bit će nestabilan, ao su na lijevoj polovici, bit će stabilan, a ao su na imaginarnoj osi, onda će imati graničnu stabilnost. Nyquistov dijagram je parametarsi dijagram prijenosne funcije. Najčešća primjena odnosi se na procjenu stabilnosti sustava s povratnom spregom. U oordinatnom sustavu, realni dio prijenosne funcije nalazi se na osi x, a imaginarni na osi y. Frevencija se dobiva ao parametar. U polarnim oordinatama, prijenosna funcija predstavljena je ao radijalna oordinata, a faza ao utna oordinata. 4

29 Procjena stabilnosti zatvorenog sustava s negativnom povratnom spregom vrši se primjenom Nyquistovog riterija na Nyguistov dijagram otvorenog sustava. Sustav je la za upotrebu ča i za sustave sa ašnjenjem i drugim neracionalnim prijenosnim funcijama, oji se mogu činiti tešim za analizu pomoću drugih metoda. Stabilnost se određuje traženjem broja iz oruženja toče u 1,0. Raspon pojačanja stabilnosti sustava može se odrediti traženjem presjea realne osi. Slia 10. Nyquistov dijagram 5

30 4. ZAKLJUČAK Svaodnevni, odnosno stvarni svijet sastoji se od sitnih čestica: protona, eletrona itd. Kvantna mehania aže da svaa od tih čestica izgleda ao val. Uobičajeni val ima određene vrijednosti, veličine, pomae i sl. u svaoj toči prostora. Amplitude (magnitude) valova u vantnoj mehanici su omplesne veličine. Cijeli stvarni svijet, sve što je vidljivo i opipljivo, sačinjeno je od neih valova s omplesnim amplitudama, što zapravo znači da se omplesni brojevi u stvarnom životu pojavljuju svugdje. Da bi se uočilo gdje se mogu primijeniti i ao bi se razumjela primjena i olašanje oje pružaju omplesni brojevi, neophodno je opširnije poznavati matematiu. To je vidljivo roz primjere zadataa i metode oje su orištene za njihovo rješavanje. S druge strane, primjena omplesnih brojeva pojednostavnjuje i na nei način čini elegantnijima rješenja neih problema, ali njihova upotreba nije neophodna jer se svi problemi mogu riješiti i bez njih. 6

31 POPIS SLIKA Slia 1. Komplesna ravnina... 4 Slia. Položaj toče Mx,y opisan polarnim oordinatama... 5 Slia 3. Strujni rug... 9 Slia 4. Priaz otpora u omplesnoj ravnini.. 9 Slia 5. Sica zadata 10 Slia 6. Sica zadata 11 Slia 7. Rotiranje oluta i sinusoida... 1 Slia 8. Mandelbrotov sup u omplesnoj ravnini.. 0 Slia 9. Mandelbrotov i Julijin fratalni sup... 1 Slia 10. Nyquistov dijagram

32 LITERATURA [1] ( ) [] ( ) [3] ( ) [4] ( ) [5] ( ) [6] ( ) [7] ( ) [8] ( ) [9] ( ) [10] ( ) [11] file:///c:/users/user/downloads/cas1_pages_4_6%0(3).pdf, ( ) [1] ( ) [13] ppt, ( ) 8

33 1 Bezoutov teorem, ( Rafael Bombelli, ( 3 Heron, ( 4 Girolamo Cardano, ( 5 Caspar Wessel, ( 6 Gottfried Wilhelm von Leibniz ( 7 Eulerova formula ( 8 Fourier J. ( ) francusi matematičar i fizičar ( 9