Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi
|
|
- Margery Oliver
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Sustavi nelinearnih jednadžbi 1 1 Newtonova metoda Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi Promatramo sustava nelinearnih jednadžbi f i x 1,x 2,...,x n )=0, i =1,...,n, 1) odnosno fx) =0, gdjejef : R n R n, fx) =f 1 x),...,f n x)) T, x =x 1,...,x n ) T. Najpoznatija metoda za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi je tzv. Newtonova metoda. 1 Najprije izaberimo početnu aprosimaciju x 0) =x 0) 1,x0) 2,...,x0) n ) T i svau od funcija f i razvijemo u Taylorov red u oolini x 0), te linearnu aprosimaciju označimo s f i : f i x) =f i x 0) )+ Sada umjesto sustava 1) rješavamo sustav n j=1 f i x 0) ) x j x j x 0) j ), i =1,...,n. 2) f i x) =0, i =1,...,n, što možemo pisati u matričnom obliu na sljedeći način J 0) s 0) = fx 0) ), 3) J 0) = f 1x 0) ) f 1x 0) ) x n x f nx 0) ) x 1 f nx 0) ) x n, s0) = x 1 x 0) 1. x n x 0) n, fx0) )= f 1 x 0) ). f n x 0) ). Matricu J nazivamo Jacobijeva matrica ili Jacobijan sustava. Nova aprosimacija rješenja tada je Općenito, dobivamo iterativni postupa gdje je vetor smjera retanja s ) rješenje sustava x 1) = x 0) + s 0). x +1) = x ) + s ), =0, 1,... 4) J ) s = fx ) ). 5) Primijetite da se iterativni postupa 4) 5) uz pretpostavu regularnosti Jacobijana J ) može zapisati u obliu x +1) = x ) J )) 1 fx ) ), =0, 1,..., 6) što podsjeća na Newtonovu metodu tangenti za rjeˇsavanje jednadžbe fx) =0,f : R R. iterativni proces 6) rijeto se oristi jer je postupa 4) 5) numeriči stabilniji. 1 U literaturi ova metoda često se može naći pod nazivom: Newton-Raphson method Inače,
2 2 Sustavi nelinearnih jednadžbi Ao početnu aprosimaciju x 0) izaberemo dovoljno blizu rješenja x i ao je u svaoj iteraciji Jacobijan J nesingularan, onda Newtonova metoda 4) vrlo brzo vadratičnom brzinom) onvergira prema rješenju sustava jednadžbi 1) više detalja vidi u [4] ili [8]). To zapravo znači da u prasi nemamo garancije da će Newtonova metoda uvije onvergirati, ali ao smo u stanju početnu aprosimaciju željenog rješenja dobro procijenit, ova metoda će nas vrlo brzo dovesti do pravog rješenja. Primjer 1 Treba riješiti sustav jednadžbi: x 2 x 1 1) 1 = 0 x 2 1 x2 2 1 = 0 Geometrijsi, to znači da treba pronači sjecišta odgovarajućih rivulja čiji su grafovi priazani na Slici Slia 1. x 2 x 1 1) 1=0, x 2 1 x 2 2 1=0 Ovu sliu lao se može nacrtati u Mathematici. Najprije treba pozvati Mathematic-pacage: In[1]:= << Graphics ImplicitPlot a zatim sljedećom naredbom dobivamo Sliu 1: In[2]:=ImplicitPlot[{x2x1-1) - 1 == 0, x1^2 - x2^2-1 == 0}, {x1, -3, 3}, PlotStyle -> {GrayLevel[0], Dashing[{.02}]}, PlotRange -> {-2, 2}, AspectRatio ->.7] Uovomslučaju imamo: fx 1,x 2 )= [ ] [ ] x2 x 1 1) 1 x2 x x 2 1 x2 2 1, Jx 1,x 2 )= x 1 2x 2 Funciju f i njen Jacobijan J definirat ćemo na sljedeći način: In[3]:= Clear[f, J, x1, x2]; n = 2; f[x_] := {x[2]x[1] - 1) - 1, x[1]^2 - x[2]^2-1}; f[x] /. {x[1] -> x1, x[2] -> x2} J[x_] := Table[D[f[x][[i]], x[j]], {i, n}, {j, n}] J[x] /. {x[1] -> x1, x[2] -> x2} Počevši primjerice s početnom aprosimacijom x 0) =2, 1) T orištenjem jednostavnog programa In[9]:= w = Table[x[i] -> x0[[i]], {i, n}]; a = H[x] /. w ; b = -f[x] /. w; Print["x0=", N[x0], " f0= ", -N[b]] s0 = LinearSolve[a, b]; x1 = x0 + s0; x0 = x1;
3 Sustavi nelinearnih jednadžbi 3 dobivamo f 0) =0, 2) T.Ponavljajući ovaj ratni program dobivamo vrijednosti priazane u Tablici 1. x ) 1 x ) 2 fx ) 1,x) 2 )T x ) 1 x ) 2 fx ) 1,x) 2 )T , 2) ,.25) , 0.) , ) , 0.001) , ) , ) Tablica 1 Taoder za x 0) = 1,.5) T dobivamo f 0) =0,.25) T, te u u samo dva oraa rješenje priazano u Tablici 1. U ovom slučaju zadovoljit ćemo se riterijem da iterativni proces zaustavimo ad vrijenost svih funcija f i postanu manje od neog unaprijed zadanog broja ε>0, tj. ada za nei bude ispunjeno fx ) ) =max f i x ) ) <ε. i Sada ćemo sagraditi Mathematica-modul SNJ oji će rješavati sustav od n nelinearnih jednadžbi s n nepoznanica: In[14]:= SNJ[n_, x0_, eps_, it_, f_] := Module[{a, b, s0, = 0}, w = Table[x[i] -> x0[[i]], {i, n}]; J[x_] := Table[D[f[x][[i]], x[j]], {i, n}, {j, n}]; a = J[x] /. w ; b = -f[x] /. w; xs = x0; Print["x0=", N[x0], " f0=", -N[b]]; While[ = + 1; Max[Abs[b]] > eps && < it, s0 = LinearSolve[a, b]; xn = xs + s0; xs = xn; w = Table[x[i] -> xs[[i]], {i, n}]; a = J[x] /. w ; b = -f[x] /. w; Print["x",, "=", N[xn], " f=", -N[b]]; ] ] Modulu SNJ predajemo sljedeće podate: n broj jedndžbi odnosno nepoznanica) x0 vetor početne aprosimacije eps zahtijevana točnost it masimalno dozvoljen broj iteracija f funcija f : R n R n Iterativni proces teče i printaju se medurezultati izračunavanja tao dugo do je fx ) ) >epsi masimalno dozvoljen broj iteracija <it. Zadata 1 Naći rješenja sustava nelinearnih jednadžbi 3x x2 2 + x = 0 6x 1 x 2 x 3 x 1 +5x 2 +3x 3 = 0 5x 1 x 3 x 2 x 3 1 = 0 Rješenje: x 1 = , x 2 = , x 3 =
4 4 Sustavi nelinearnih jednadžbi Zadata 2 Naći rješenja sustava nelinearnih jednadžbi Rješenje: x 1 = , x 2 = x x2 2 1 = 0 x x 2 1x 2 1 = 0 Zadata 3 Naći rješenja sustava nelinearnih jednadžbi Rješenje: x 1 = , x 2 = x 1 x 2 6ln x 3 = 0 15x 1 10x 2 60ln x 2 6 = 0 Zadata 4 Naći rješenja sustava nelinearnih jednadžbi Rješenje: x 1 = , x 2 = x 1 +3log 10 x 1 x 2 2 = 0 2x 2 1 x 1x 2 5x 1 +1 = 0 Zadata 5 Za različite vrijednosti od n naći rješenja sustava nelinearnih jednadžbi vidi??) Rješenje: x 1 =0,, 0) T, x 2 =10,, 10) T. f i x i x2 i+1 10 = 0, i =1,...,n 1 f n x n x = 0 Zadata 6 Sljedeći sustav jednadžbi javlja se od problema modeliranja tranzistora vidi taoder [9]). 1 x 1 x 2 )x 3 expx5 g 1 g 3 x 3 7 g 5 x 3 8 )) 1) g 5 + g 4 x 2 = 0, =1, 2, 3, 4 1 x 1 x 2 )x 4 expx6 g 1 g 2 g 3 x 3 7 )) 1) g 5 x 1 + g 4 = 0, =1, 2, 3, 4 x 1 x 3 x 2 x 4 = 0, gdje su g i,j elementi matrice Rješenje: G = x 1 =.9, , , , , , , , ) T x 2 = , , , , , , 8.764, , ) T. Zadata 7 U [14] naveden je sljedeći primjer sustava nelinearnih jednadžbi f 1 = arctanx 1 )+2x 1 x 2 =0 f 2 = 2x 1 + x 2 =0, oji ima jedinstveno rješenje 0, 0) T.Poažiteda Newtonova metoda za proizvoljni x 0) 2 onvergira prema rješenju ao je x 0) 1 < i divergira ao je x0) 1 > Uputa: Razmotrite omjer xn+1) 1.Poslužite se grafičim priazom. x n) 1.
5 Sustavi nelinearnih jednadžbi 5 Zadata 8 U [5] navedeni su sljedeći test problemi s poˇxetnom aprosimacijom x 0) irješenjem x a) K.M. Brown 1969) n =5, x 0) =.5,...,.5) T, x =1,...,1) T. f i = n +1)+2x i + n x j, 1 i n 1 f n = 1+ n x j =0 j=1 j i b) K.M. Brown 1969) n =2, x 0) =.1, 2) T, x = , ) T. f 1 = x 2 1 x 2 1=0 f 2 = x 1 2) 2 +x 2.5) 2 1=0 c) R. Fletcher 1965) n =2...,9, x 0) j = j/n +1), 1 j n; su permutacije apscisa Čebiševljeve vadraturne formule reda n. x j f i = 1 0 T i ζ)dζ 1 n n T i x j ), gdje je T i i-ti Čebiševljev polinom transformiran na interval [0, 1], tj. T 0 ζ) 1, T 1 ζ) =2ζ 1, T i+1 ζ) =22ζ 1)T i ζ) T i 1 ζ), zai 1. j=1 Primijetite da vrijedi: 1 0 { 0, i neparan T i ζ)dζ = i paran 1 i 2 1, d) K. M. Brown, S. D. Conte 1967) n =2, x 0) =.6, 3) T, x =.5,π) T. f 1 = 1 2 sinx 1x 2 ) x2 4π x1 2 =0 f 2 = 1 1 4π ) e 2x1 e ) + ex2 π 2ex 1 =0 e) K. M. Brown, W. B. Gearhart 1971) n =3, x 0) =1,.7, 5) T, x =0, 2, 6) T. f 1 = x x 2 2 4=0 f 2 = x x2 2 + x 3 8=0 f 3 = x 1 1) 2 +2x 2 2) 2 +x 3 5) 2 4=0 f) C. G. Broyden 1965) n =5, 10, x 0) = 1,..., 1) T. f 1 =.5x 1 3)x 1 +2x 2 1 f i = x i 1 +.5x i 3)x i +2x i i n 1 f n = x n 1 +.5x n 3)x n 1 Za n =5, x =.968, , , , ) T Za n =10, x = , , , , , , , , , ) T
6 6 Sustavi nelinearnih jednadžbi 2 Quasi Newtonova metoda Vrlo važno mjesto medu metodama za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi zauzimaju tzv. Quasi- Newtonove metode, ojejeuveobroyden 1965), a oje su nastale ao generalizacija metode seanti. Kao što je poazano u t. 1 aprosimaciju funcije f u oolini toče x 0 možemo zapisati ao fx) = fx 0 )+Jx 0 )x x 0 ). Ao s B označimo aprosimaciju Jacobijana J utoči x 0, onda ima smisla postaviti zahtjev da B zadovoljava jednadžbu fx) =fx 0 )+ Bx x 0 ), što uz oznae: s := x x 0, y := fx) fx 0 )možemo pisati Bs = y 7) Ao je B poznata aprosimacija od J, Broydenova pretpostava je da se B razliuje od B samo u smjeru s, tj.dase B ne razliuje od B na ortogonalnom omplementu od s, tj. Bz = Bz, ao je z,s) =0. 8) Lao se može poazati da B definiran s B = B + y Bs)sT s, s) 9) zadovoljava 7) i 8), te da se B dobiva od B dodavanjem matrice orecije) ranga 1. Na taj način dobivamo diretnu Broydenovu metodu gdje se matrice B R n n generiraju reurzivnom formulom gdje je x +1 = x B 1 fx ), =0, 1,..., 10) B +1 = B + y B s )s T s,s ), =0, 1,..., 11) y = fx +1 fx ), s = x +1 x. 12) Izradit ćemo Mathematica program za diretnu Broydenovu metodu i testirati ga na Primjeru 1, str.2. Najprije definirajmo funciju f, broj jednadžbi n, početnu aprosimaciju x 0,točnost eps, masimalno dozvoljen broj iteracija it itejediničnu matricu B 0 reda n ao početnui aprosimaciju jacobijana, a brojač iteracija postsvimo na 0. In[1]:= f[x_]:= {x[2]x[1] - 1) - 1, x[1]^2 - x[2]^2-1}; n = 2; = 0; x0 = {2., 2.}; eps =.00005; it = 100; B0 = IdentityMatrix[n]; Print["x0=", x0, " f0=", f[x]/.table[x[i]->x0[[i]], {i,n}]] Naon toga oristeći algoritam opisan s 10) 12) napišimo program za diretnu Broydenovu metodu
7 Sustavi nelinearnih jednadžbi 7 In[2]:= While[ = + 1; w0 = Table[x[i] -> x0[[i]], {i, n}]; s0 = -Inverse[B0].f[x] /. w0; x1 = x0 + s0; w1 = Table[x[i] -> x1[[i]], {i, n}]; f1 = f[x] /. w1; f0 = f[x] /. w0; y = f1 - f0; Max[Abs[f1]] > eps && < it, Print["x",, "=", x1, " f",, "=", f1] If[Apply[Plus, s0 Inverse[B0].y] == 0, B1 = B0, v = s0/apply[plus, s0 s0]]; vv = y - B0.s0; B1 = B0 + Table[vv[[i]] v[[j]], {i, n}, {j, n}]; x0 = x1; B0 = B1 ] Računanje inverzne matrice B 1 jednadžbi može se izbjeći tao da umjesto 10) rješavamo sustav linearnih B s = fx ). Drugi način da bi izbjegli računanje inverzne matrice B 1 je primjena Sherman Morrisonove leme 2 Korištenjem Sherman Morrisonove leme iz 11) izračunat ćemo B 1 +1.Uzoznae u = y B s s,s ), v = s, dobivamo σ =1+ s,b 1 ) y B s = s,b 1 s,s ) y ), s,s ) B 1 +1 = B 1 s,s ) s,b 1 y ) B 1 y B s s,s ) s T B 1 = B 1 Prema tome ao označimo: H := B 1, onda je H +1 := B 1 +1 definiran s + s B 1 y )s T B 1 s,b 1 y ) H +1 = H + s H y )s T H, uz uvjet s,h y ) 0, 13) s,h y ) čime je definiran inverzni Broydenova metoda x +1 = x H fx ), =0, 1,..., 14) Ao najprije definiramo potrebne parametre slično ao i od diretne Broydenove metode In[1]:= f[x_]:= {x[2]x[1] - 1) - 1, x[1]^2 - x[2]^2-1}; n = 2; = 0; x0 = {2., 2.}; eps =.00005; it = 100; H0 = IdentityMatrix[n]; Print["x0=", x0, " f0=", f[x]/.table[x[i]->x0[[i]], {i,n}]] onda oristeći algoritam opisan s 13) 14) možemo napisati program za invrznu Broydenovu metodu 2 Lema Sherman-Morrison 1949)). Nea su u, v R n ineajea R n n regularna matrica. Tada je matrica A + uv T regularna onda i samo onda ao je σ =1+v, A 1 u) 0. Aojeσ 0, onda vrijedi A + uv T ) 1 = A 1 1/σ)A 1 uv T A 1.
8 8 Sustavi nelinearnih jednadžbi In[2]:= While[ = + 1; w0 = Table[x[i] -> x0[[i]], {i, n}]; s0 = -H0.f[x] /. w0; x1 = x0 + s0; w1 = Table[x[i] -> x1[[i]], {i, n}]; f1 = f[x] /. w1; f0 = f[x] /. w0; y = f1 - f0; Max[Abs[f1]] > eps && < it, Print["x",, "=", x1, " f",, "=", f1] If[y == Table[0, {i, n}], H1 = H0, v = Transpose[H0].s0)/Apply[Plus, H0.y) s0]]; vv = s0 - H0.y; H1 = H0 + Table[vv[[i]] v[[j]], {i,n}, {j,n}]; x0 = x1; H0 = H1 ] Naravno, rezultati izvodenja Broydenove diretne i inverzne metode moraju biti isti. U Tablici 2 priazano je prvih 8 iteracija na Primjer 1.. x 1 x 2 f Tablica 2 Broydenova metoda Broydenova metoda je sporija od Newtonove, ali su njene prednosti u tome što nije potrebno izračunavati Jacobijan funcije f. Zadata 9 Doažite Sherman Morrisonovu lemu. Zadata 10 Usporedite Newtonovu metodu s Broydenovom diretnom i inverznom metodom tao da pratite potrebno vrijeme računanja za ranije navedene primjere. Za n =2nacrtajte grafove funcija f 1,f 2,teucrtajtetoče oje pretstavljaju pojedine iteracije. Navest ćemo još dvije najpoznatije quasi-newtonove metode ranga 2 vid primjerice [3], [4], [6]): a) Davidon-Fletcher-Powell DFP) metoda x +1 = x H fx ), =0, 1,..., H +1 = H + s s T y, s ) H y y T H, =0, 1,..., y, H y ) b) Broyden-Fletcher-Goldfarb-Schano BFGS) metoda H +1 = I x +1 = x H fx ), =0, 1,..., s y T ) H I y, s ) y s T ) + s s T, =0, 1,..., y, s ) y, s )
9 Sustavi nelinearnih jednadžbi 9 Više tetalja o ovim metodama, o uvjetima i brzini onvergencije, te njihovim svojstvima može se vidjeti u niže navedenoj literaturi, a posebno u [3], [6] Zadata 11 Izradite programe za DFP i BFGS metode. Testirajte ove metode s drugim na ranije danim primjerima. Literatura [1] G. Dahlquist, A. Björc Numerische Methoden, R. Oldenbourg Verlag, München, Wien, postoji i englesi prijevod) [2] E. W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, AMS Chelsea Publishing, [3] J.E.Dennis Jr., J.J.Moré Quasi Newton methods, motivation and theory, SIAMReview191977), [4] J. E. Dennis, R. B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, SIAM, Philadelphia, [5] D. M. Gay, R. B. Schnabel, Solving system of nonlinear equations by Broyden s method with projected updates, in: Nonlinear Programming 3, edited by O. L. Mangasarian, R. R. Meyer, S. M. Robinson, Academic Press, New Yor, 1978, [6] C. T. Kelley, Iterative Methods for Optimization, SIAM, Philadelphia, [7] D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Broos/Cole Publishing Company, New Yor, [8] J. M. Ortega,W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, New Yor, postoji i rusi prijevod) [9] W. L. Price, A weighted simplex procedure for the solution of simultaneous non-linear equations, J.Inst.Maths.Applics ), 1 8. [10] W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teuolsy, W. T. Vetterling, Numerical Recipes, Cambridge University Press, Cambridge, [11] H. R. Schwarz, Numerische Mathemati, Teubner, Stuttgart, [12] R. Scitovsi, Numeriča matematia, Odjel za matematiu, Sveučilište u Osijeu, Osije, 2000 [13] H. Späth, Numeri, Vieweg, [14] L. Wegge, On a discrete version of the Newton Raphson method, SIAM J.Numer.Anal ),
Quasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationMATH 4211/6211 Optimization Quasi-Newton Method
MATH 4211/6211 Optimization Quasi-Newton Method Xiaojing Ye Department of Mathematics & Statistics Georgia State University Xiaojing Ye, Math & Stat, Georgia State University 0 Quasi-Newton Method Motivation:
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationQuasi-Newton Methods. Javier Peña Convex Optimization /36-725
Quasi-Newton Methods Javier Peña Convex Optimization 10-725/36-725 Last time: primal-dual interior-point methods Consider the problem min x subject to f(x) Ax = b h(x) 0 Assume f, h 1,..., h m are convex
More informationConvex Optimization CMU-10725
Convex Optimization CMU-10725 Quasi Newton Methods Barnabás Póczos & Ryan Tibshirani Quasi Newton Methods 2 Outline Modified Newton Method Rank one correction of the inverse Rank two correction of the
More information5 Quasi-Newton Methods
Unconstrained Convex Optimization 26 5 Quasi-Newton Methods If the Hessian is unavailable... Notation: H = Hessian matrix. B is the approximation of H. C is the approximation of H 1. Problem: Solve min
More informationShiqian Ma, MAT-258A: Numerical Optimization 1. Chapter 3. Gradient Method
Shiqian Ma, MAT-258A: Numerical Optimization 1 Chapter 3 Gradient Method Shiqian Ma, MAT-258A: Numerical Optimization 2 3.1. Gradient method Classical gradient method: to minimize a differentiable convex
More informationStatistics 580 Optimization Methods
Statistics 580 Optimization Methods Introduction Let fx be a given real-valued function on R p. The general optimization problem is to find an x ɛ R p at which fx attain a maximum or a minimum. It is of
More informationOptimization II: Unconstrained Multivariable
Optimization II: Unconstrained Multivariable CS 205A: Mathematical Methods for Robotics, Vision, and Graphics Justin Solomon CS 205A: Mathematical Methods Optimization II: Unconstrained Multivariable 1
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationQuasi-Newton Methods
Quasi-Newton Methods Werner C. Rheinboldt These are excerpts of material relating to the boos [OR00 and [Rhe98 and of write-ups prepared for courses held at the University of Pittsburgh. Some further references
More information2. Quasi-Newton methods
L. Vandenberghe EE236C (Spring 2016) 2. Quasi-Newton methods variable metric methods quasi-newton methods BFGS update limited-memory quasi-newton methods 2-1 Newton method for unconstrained minimization
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationQuasi-Newton methods for minimization
Quasi-Newton methods for minimization Lectures for PHD course on Numerical optimization Enrico Bertolazzi DIMS Universitá di Trento November 21 December 14, 2011 Quasi-Newton methods for minimization 1
More informationOptimization: Nonlinear Optimization without Constraints. Nonlinear Optimization without Constraints 1 / 23
Optimization: Nonlinear Optimization without Constraints Nonlinear Optimization without Constraints 1 / 23 Nonlinear optimization without constraints Unconstrained minimization min x f(x) where f(x) is
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationLecture 18: November Review on Primal-dual interior-poit methods
10-725/36-725: Convex Optimization Fall 2016 Lecturer: Lecturer: Javier Pena Lecture 18: November 2 Scribes: Scribes: Yizhu Lin, Pan Liu Note: LaTeX template courtesy of UC Berkeley EECS dept. Disclaimer:
More informationQuasi-Newton Methods. Zico Kolter (notes by Ryan Tibshirani, Javier Peña, Zico Kolter) Convex Optimization
Quasi-Newton Methods Zico Kolter (notes by Ryan Tibshirani, Javier Peña, Zico Kolter) Convex Optimization 10-725 Last time: primal-dual interior-point methods Given the problem min x f(x) subject to h(x)
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationMatrix Secant Methods
Equation Solving g(x) = 0 Newton-Lie Iterations: x +1 := x J g(x ), where J g (x ). Newton-Lie Iterations: x +1 := x J g(x ), where J g (x ). 3700 years ago the Babylonians used the secant method in 1D:
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationQuasi-Newton methods: Symmetric rank 1 (SR1) Broyden Fletcher Goldfarb Shanno February 6, / 25 (BFG. Limited memory BFGS (L-BFGS)
Quasi-Newton methods: Symmetric rank 1 (SR1) Broyden Fletcher Goldfarb Shanno (BFGS) Limited memory BFGS (L-BFGS) February 6, 2014 Quasi-Newton methods: Symmetric rank 1 (SR1) Broyden Fletcher Goldfarb
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationIterativne metode za rješavanje linearnih sustava
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationTwo improved classes of Broyden s methods for solving nonlinear systems of equations
Available online at www.isr-publications.com/jmcs J. Math. Computer Sci., 17 (2017), 22 31 Research Article Journal Homepage: www.tjmcs.com - www.isr-publications.com/jmcs Two improved classes of Broyden
More informationComparative study of Optimization methods for Unconstrained Multivariable Nonlinear Programming Problems
International Journal of Scientific and Research Publications, Volume 3, Issue 10, October 013 1 ISSN 50-3153 Comparative study of Optimization methods for Unconstrained Multivariable Nonlinear Programming
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationMultivariate Newton Minimanization
Multivariate Newton Minimanization Optymalizacja syntezy biosurfaktantu Rhamnolipid Rhamnolipids are naturally occuring glycolipid produced commercially by the Pseudomonas aeruginosa species of bacteria.
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationOptimization II: Unconstrained Multivariable
Optimization II: Unconstrained Multivariable CS 205A: Mathematical Methods for Robotics, Vision, and Graphics Doug James (and Justin Solomon) CS 205A: Mathematical Methods Optimization II: Unconstrained
More informationA new Newton like method for solving nonlinear equations
DOI 10.1186/s40064-016-2909-7 RESEARCH Open Access A new Newton like method for solving nonlinear equations B. Saheya 1,2, Guo qing Chen 1, Yun kang Sui 3* and Cai ying Wu 1 *Correspondence: yksui@sina.com
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationChapter 4. Unconstrained optimization
Chapter 4. Unconstrained optimization Version: 28-10-2012 Material: (for details see) Chapter 11 in [FKS] (pp.251-276) A reference e.g. L.11.2 refers to the corresponding Lemma in the book [FKS] PDF-file
More informationQuasi-Newton Methods
Newton s Method Pros and Cons Quasi-Newton Methods MA 348 Kurt Bryan Newton s method has some very nice properties: It s extremely fast, at least once it gets near the minimum, and with the simple modifications
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationStep lengths in BFGS method for monotone gradients
Noname manuscript No. (will be inserted by the editor) Step lengths in BFGS method for monotone gradients Yunda Dong Received: date / Accepted: date Abstract In this paper, we consider how to directly
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationTina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad
Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationOptimization and Root Finding. Kurt Hornik
Optimization and Root Finding Kurt Hornik Basics Root finding and unconstrained smooth optimization are closely related: Solving ƒ () = 0 can be accomplished via minimizing ƒ () 2 Slide 2 Basics Root finding
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationNonlinear Programming
Nonlinear Programming Kees Roos e-mail: C.Roos@ewi.tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos LNMB Course De Uithof, Utrecht February 6 - May 8, A.D. 2006 Optimization Group 1 Outline for week
More informationEAD 115. Numerical Solution of Engineering and Scientific Problems. David M. Rocke Department of Applied Science
EAD 115 Numerical Solution of Engineering and Scientific Problems David M. Rocke Department of Applied Science Multidimensional Unconstrained Optimization Suppose we have a function f() of more than one
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationMethods that avoid calculating the Hessian. Nonlinear Optimization; Steepest Descent, Quasi-Newton. Steepest Descent
Nonlinear Optimization Steepest Descent and Niclas Börlin Department of Computing Science Umeå University niclas.borlin@cs.umu.se A disadvantage with the Newton method is that the Hessian has to be derived
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationImproved Damped Quasi-Newton Methods for Unconstrained Optimization
Improved Damped Quasi-Newton Methods for Unconstrained Optimization Mehiddin Al-Baali and Lucio Grandinetti August 2015 Abstract Recently, Al-Baali (2014) has extended the damped-technique in the modified
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationA DIMENSION REDUCING CONIC METHOD FOR UNCONSTRAINED OPTIMIZATION
1 A DIMENSION REDUCING CONIC METHOD FOR UNCONSTRAINED OPTIMIZATION G E MANOUSSAKIS, T N GRAPSA and C A BOTSARIS Department of Mathematics, University of Patras, GR 26110 Patras, Greece e-mail :gemini@mathupatrasgr,
More informationSearch Directions for Unconstrained Optimization
8 CHAPTER 8 Search Directions for Unconstrained Optimization In this chapter we study the choice of search directions used in our basic updating scheme x +1 = x + t d. for solving P min f(x). x R n All
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationAlgorithms for Constrained Optimization
1 / 42 Algorithms for Constrained Optimization ME598/494 Lecture Max Yi Ren Department of Mechanical Engineering, Arizona State University April 19, 2015 2 / 42 Outline 1. Convergence 2. Sequential quadratic
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationENSIEEHT-IRIT, 2, rue Camichel, Toulouse (France) LMS SAMTECH, A Siemens Business,15-16, Lower Park Row, BS1 5BN Bristol (UK)
Quasi-Newton updates with weighted secant equations by. Gratton, V. Malmedy and Ph. L. oint Report NAXY-09-203 6 October 203 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 ENIEEH-IRI, 2, rue Camichel, 3000 oulouse France LM AMECH,
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationOptimization 2. CS5240 Theoretical Foundations in Multimedia. Leow Wee Kheng
Optimization 2 CS5240 Theoretical Foundations in Multimedia Leow Wee Kheng Department of Computer Science School of Computing National University of Singapore Leow Wee Kheng (NUS) Optimization 2 1 / 38
More informationLecture 7 Unconstrained nonlinear programming
Lecture 7 Unconstrained nonlinear programming Weinan E 1,2 and Tiejun Li 2 1 Department of Mathematics, Princeton University, weinan@princeton.edu 2 School of Mathematical Sciences, Peking University,
More informationITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC (045)=20
FACTA UNIVERSITATIS Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol. 4, N o 7, 005, pp. 79-85 ITERATIVE PROCESSES AND PADÉ APPROXIMANTS UDC 57.58.8+57.58(045)=0 I. V. Andrianov, J. Awrejcewicz, G.
More informationNumerical solutions of nonlinear systems of equations
Numerical solutions of nonlinear systems of equations Tsung-Ming Huang Department of Mathematics National Taiwan Normal University, Taiwan E-mail: min@math.ntnu.edu.tw August 28, 2011 Outline 1 Fixed points
More informationOptimization Methods
Optimization Methods Decision making Examples: determining which ingredients and in what quantities to add to a mixture being made so that it will meet specifications on its composition allocating available
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationAM 205: lecture 19. Last time: Conditions for optimality, Newton s method for optimization Today: survey of optimization methods
AM 205: lecture 19 Last time: Conditions for optimality, Newton s method for optimization Today: survey of optimization methods Quasi-Newton Methods General form of quasi-newton methods: x k+1 = x k α
More informationA choice of norm in discrete approximation
147 A choice of norm in discrete approximation Tomislav Marošević Abstract. We consider the problem of choice of norms in discrete approximation. First, we describe properties of the standard l 1, l 2
More informationSECTION: CONTINUOUS OPTIMISATION LECTURE 4: QUASI-NEWTON METHODS
SECTION: CONTINUOUS OPTIMISATION LECTURE 4: QUASI-NEWTON METHODS HONOUR SCHOOL OF MATHEMATICS, OXFORD UNIVERSITY HILARY TERM 2005, DR RAPHAEL HAUSER 1. The Quasi-Newton Idea. In this lecture we will discuss
More informationMinimum Norm Symmetric Quasi-Newton Updates Restricted to Subspaces
MATHEMATICS OF COMPUTATION, VOLUME 32, NUMBER 143 JULY 1978, PAGES 829-837 Minimum Norm Symmetric Quasi-Newton Updates Restricted to Subspaces By Robert B. Schnabel* Abstract. The Davidon-Fletcher-Powell
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationLecture V. Numerical Optimization
Lecture V Numerical Optimization Gianluca Violante New York University Quantitative Macroeconomics G. Violante, Numerical Optimization p. 1 /19 Isomorphism I We describe minimization problems: to maximize
More informationPARAMETER ESTIMATION AND ACCURACY ANALYSIS OF THE FREE GEODETIC NETWORK ADJUSTMENT USING SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
B. Božić, K. Ristić, M. Pejić Ocjena parametara i analiza točnosti izravnanja geodetske mreže pomoću dekompozicije vlastitih (karakterističnih) vrijednosti ISSN 330-35 (Print), ISSN 88-339 (Online) UDC/UDK
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationA New Approach for Solving Dual Fuzzy Nonlinear Equations Using Broyden's and Newton's Methods
From the SelectedWorks of Dr. Mohamed Waziri Yusuf August 24, 22 A New Approach for Solving Dual Fuzzy Nonlinear Equations Using Broyden's and Newton's Methods Mohammed Waziri Yusuf, Dr. Available at:
More informationALGORITHM XXX: SC-SR1: MATLAB SOFTWARE FOR SOLVING SHAPE-CHANGING L-SR1 TRUST-REGION SUBPROBLEMS
ALGORITHM XXX: SC-SR1: MATLAB SOFTWARE FOR SOLVING SHAPE-CHANGING L-SR1 TRUST-REGION SUBPROBLEMS JOHANNES BRUST, OLEG BURDAKOV, JENNIFER B. ERWAY, ROUMMEL F. MARCIA, AND YA-XIANG YUAN Abstract. We present
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationSVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU
SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU MARINA ILIĆ KOMPLEKSNI BROJEVI U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU ZAVRŠNI RAD SPLIT, 017. SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU POMORSKI MENADŽMENT KOMPLEKSNI
More informationPHYS 410/555 Computational Physics Solution of Non Linear Equations (a.k.a. Root Finding) (Reference Numerical Recipes, 9.0, 9.1, 9.
PHYS 410/555 Computational Physics Solution of Non Linear Equations (a.k.a. Root Finding) (Reference Numerical Recipes, 9.0, 9.1, 9.4) We will consider two cases 1. f(x) = 0 1-dimensional 2. f(x) = 0 d-dimensional
More informationNonlinearOptimization
1/35 NonlinearOptimization Pavel Kordík Department of Computer Systems Faculty of Information Technology Czech Technical University in Prague Jiří Kašpar, Pavel Tvrdík, 2011 Unconstrained nonlinear optimization,
More informationNormirani prostori Zavr²ni rad
Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Domini Crnojevac Normirani prostori Zavr²ni rad Osije, 2012. Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu
More informationPrimjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih i rubnih uvjeta
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: PROFESOR FIZIKE I INFORMATIKE Ivan Banić Diplomski rad Primjena numeričke metode Runge-Kutta na rješavanje problema početnih
More informationThe existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem
61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationSolutions Preliminary Examination in Numerical Analysis January, 2017
Solutions Preliminary Examination in Numerical Analysis January, 07 Root Finding The roots are -,0, a) First consider x 0 > Let x n+ = + ε and x n = + δ with δ > 0 The iteration gives 0 < ε δ < 3, which
More informationSveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno matematički fakultet Mario Berljafa, Sara Muhvić, Melkior Ornik Računanje Gaussovih integracijskih formula za sažimajuću bazu Zagreb, 2011. Ovaj rad izraden je na Zavodu
More informationNONLINEAR. (Hillier & Lieberman Introduction to Operations Research, 8 th edition)
NONLINEAR PROGRAMMING (Hillier & Lieberman Introduction to Operations Research, 8 th edition) Nonlinear Programming g Linear programming has a fundamental role in OR. In linear programming all its functions
More informationSpectral gradient projection method for solving nonlinear monotone equations
Journal of Computational and Applied Mathematics 196 (2006) 478 484 www.elsevier.com/locate/cam Spectral gradient projection method for solving nonlinear monotone equations Li Zhang, Weijun Zhou Department
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationNewton-Raphson. Relies on the Taylor expansion f(x + δ) = f(x) + δ f (x) + ½ δ 2 f (x) +..
2008 Lecture 7 starts here Newton-Raphson When the derivative of f(x) is known, and when f(x) is well behaved, the celebrated (and ancient) Newton- Raphson method gives the fastest convergence of all (
More informationECS550NFB Introduction to Numerical Methods using Matlab Day 2
ECS550NFB Introduction to Numerical Methods using Matlab Day 2 Lukas Laffers lukas.laffers@umb.sk Department of Mathematics, University of Matej Bel June 9, 2015 Today Root-finding: find x that solves
More informationPart 4: IIR Filters Optimization Approach. Tutorial ISCAS 2007
Part 4: IIR Filters Optimization Approach Tutorial ISCAS 2007 Copyright 2007 Andreas Antoniou Victoria, BC, Canada Email: aantoniou@ieee.org July 24, 2007 Frame # 1 Slide # 1 A. Antoniou Part4: IIR Filters
More informationNumerical Methods in Physics and Astrophysics
Kostas Kokkotas 2 October 17, 2017 2 http://www.tat.physik.uni-tuebingen.de/ kokkotas Kostas Kokkotas 3 TOPICS 1. Solving nonlinear equations 2. Solving linear systems of equations 3. Interpolation, approximation
More information