EKSTREMALNA KOMBINATORIKA
|
|
- Beverley McCoy
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 EKSTREMALNA KOMBINATORIKA A. Aglić Aljiović FER, diplomsi studij, 2012./2013.
2 Sadrµzaj Uvod Osovi pojmovi ii vi 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi Prebrojavaje Biomi teorem, dvostruo prebrojavaje Multiomi teorem Rasporedi idetiµcih objeata u utije oje razliujemo Particije supa, Stirligovi brojevi druge vrste Surjecije Particije broja i
3 Uvod Kombiatoria je graa matematie oja se općeito bavi prouµcavajem oaµcih ili prebrojivo besoaµcih disretih strutura. Oviso o aspetu prouµcavaja postoje broje podgrae ombiatorie: -eumerativa ombiatoria je ajlasiµcija graa ombiatorie oja se bavi prebrojavajem odoso alaµzejem ardialog broja oaµcih supova; -teorija grafova prouµcava grafove, jede od osovih objeata u ombiatorici; -algebarsa ombiatoria oristi metode apstrate algebre (teoriju grupa i teoriju reprezetacija) u ombiatorici, ali i obrato, primjejuje ombiatore tehie za algebarse probleme; -ombiatoria a rijeµcima bavi se formalim jezicima; -teorija dizaja se bavi ostrucijom i aalizom tzv. blo dizaja oji su familije podsupova µciji presjeci zadovoljavaju odre ea svojstva; vaµza podgraa teorije dizaja je teorija odova; -aalitiµca ombiatoria se bavi prebrojavajem ombiatorih strutura, ali orištejem alata omplese aalize i teorije vjerojatosti; -geometrijsa ombiatoria prouµcava ovesu i disretu geometiju, aroµcito poliedarsu geometiju; -teorija matroida se bavi ostrucijom i aalizom supova vetora u vetorsim prostorima s apstratim svojstvima lieare zavisosti; -vjerojatosa ombiatoria se bavi vjerojatošću sluµcajih disretih objeata, primjerice sluµcajih grafova; -topološa ombiatoria ombiatorim aalogoima topološih metoda prouµcava ee probleme u ombiatorici (bojaje grafova, particije, parcijalo ure- ee supove, biara stabla, disretu Morseovu teoriju i dr.); -aritmetiµca ombiatoria povezuje ombiatoriu s teorijom brojeva, ergodsom teorijom i harmoijsom aalizom; -teorija ure aja prouµcava oaµce i besoaµce parcijalo ure ee supove; -teorija particija prouµcava razliµcite probleme prebrojavaja i asimptotie cjelobrojih particija; -ombiatora optimizacija se bavi proalaµzejem optimalog broja oaµcog supa objeata s daim svojstvom; -estremala ombiatoria se bavi proalaµzejem estremalog (ajvećeg ili ajmajeg) broja oaµcog supa objeata s daim svojstvom; -ombiatora teorija supova se bavi poopćavajem pojmova ombiatorie a besoaµce supove i dio je teorije supova (podruµcja matematiµce logie) oji oristi alate i ideje e samo teorije supova već i estremale ombiatorie. ii
4 UVOD iii Estremala ombiatoria ao graa ombiatorie u posljedjih eolio desetljeća doµzivljava vrlo iteziva razvoj, moµzda upravo zbog primjea u teorijsom raµcuarstvu, u aalizi sloµzeosti algoritama. Naziv "estremala" govori o prirodi problema ojim se bavi: olio velia ili olio mala oaµca supia objeata moµze biti ao mora ispujavati ea svojstva, odoso restricije. Ti objeti primjerice mogu biti brojevi, supovi, grafovi, vetori i sl. Ovdje avodimo eolio lasiµcih tavih problema: problemi 1 i 2 i 3 su iz estremale teorije grafova, problemi 4 i 5 iz estremale teorije supova, problemi 6, 7 i 8 su primjea vjerojatose metode, metode lieare algebre i Dirichletovog aµcela u teoriji brojeva, problem 9 iz teorije sloµzeosti. Problem 1. Kolio ljudi moµzemo pozvati a zabavu ao µzelimo da me u bilo oje troje od jih postoje dvoje oji se pozaju i dvoje oji se e pozaju? Odgovor: Argumetom Ramseyevog tipa lao se poaµze da ajviše 5 ljudi moµze biti a ovavoj zabavi. Odoso, me u 6 ljudi uvije postoji troje oji se svi me usobo pozaju ili se me usobo e pozaju. Problem 2. Kolio ajviše moµze biti pozastava u gradu s staova, ao zamo da me u svaih staovia su barem dva oji se e pozaju. Odgovor: Za = 3 odgovor je "ajviše b 2 =4c pozastava" i doazao ga je Matel godie. Primjetimo da je taj broj blizu pola uupog broja pozastava ( 1) =2. Za proizvolja odgovor je dao Turá godie "ajviše j pozastava" i taj rezultat je bio zaµceta estremale teorije grafova. Problem 3. Kolio staovia mora imati grad da bi bili siguri da u jemu uvije postoji staovia oji se svi me usobo pozaju ili svi me usobo e pozaju? Odgovor: Ramseyev teorem tvrdi da u gradu s 4 staovia uvije postoji staovia oji se svi me usobo pozaju ili svi me usobo e pozaju. S druge strae, oristeći vjerojatosu metodu ma arsi matematiµcar Paul Erd½os je doazao da u gradu s ajviše 2 =2 staovia postoji raspored me usobih pozastava taav da emamo staovia oji se svi me usobo pozaju ili svi me usobo e pozaju. Koristeći metodu lieare algebre, Fral i Wilso su ostruirali ovaav raspored za grad s ajviše log staovia. Problem 4. U gradu s staovia imamo izvjesa broj lubova. Svai staovi moµze biti µcla eolio lubova ili ijedog od jih. Ao ijeda lub e sadrµzi sve µclaove eog drugog luba, oji je masimala broj lubova u tom gradu? Odgovor: Odgovor a ovo pitaje daje Spererov teorem, u gradu s staovia ajviše moµze biti b=2c lubova tavih da ijeda lub e sadrµzi sve µclaove eog drugog luba. Problem 5. Familiju lubova zovemo sucoret ao je svai staovi (oji je u barem jedom lubu) ili µcla svih lubova ili samo jedog luba. Ao svai lub ima s µclaova, olio lubova moramo imati da bi eih lubova tvorili sucoret? Odgovor: Erd½os-Radova sucoretova lema tvrdi ao imamo barem s! ( 1) s lubova, eih lubova će tvoriti sucoret.
5 UVOD iv Problem 6. Kolio µclaova moµze imati podsup uaprijed zadaog supa cijelih brojeva razliµcitih od ule, uz uvjet da suma bilo oja dva elemeta iz tog podsupa ije u tom podsupu (egl. sum-free subset)? Odgovor: Ispostavlja se da eoviso o poµcetom supu, uvije moµzemo proaći ovaav podsup s barem trećiom elemeata poµcetog supa! Ovaj rezultat doazao je Erd½os godie oristeći vjerojatosu metodu. Problem 7. Za zadai 2 N, olio dug mora biti iz a 1 ; a 2 ; : : : ; a da bi bili siguri da sadrµzi podiz µcija je suma djeljiva s? Odgovor: Uzmemo li iz od 1 uzastopih ula i 1 uzastopih jediica 0 {z 0} 1 {z 1} ao otraprimjer, jaso je da taav iz mora imati barem elemeata. Da zaista svai iz s 2 1 elemeata ima podiz µcija je suma djeljiva s ; oristeći metodu lieare algebre doazali su Erd½os, Gizburg i Ziv godie. Problem 8. Kolio dug mora biti iz realih brojeva da bi bili siguri da sadrµzi rastući podiz duljie s + 1 ili padajući podiz duljie r + 1? Odgovor: Svai iz realih brojeva s barem sr + 1 µclaova ima ovo svojstvo. To su prvi doazali Erd½os i Szeeres godie oristeći Dirichletovo aµcelo. Problem 9. Zada je sup od m biarih vetora. Za olio jihovih oordiata (bitova) moramo zati vrijedosti da bi mogli ih mogli sve me usobo razliovati? Odgovor: U prosjeu je dovoljo zati vrijedosti p m oordiata i postoje supovi za oje se ova graica e moµze poboljšati. Sljedeći iz primjera lijepo ilustrira ao se s malim varijacijama od vrlo jedostavih problema dolazi do vrlo teših: Primjer A. Nea je X = f1; 2; : : : ; g. Kolio ajviše µclaova moµze imati familija F podsupova za oju vrijedi da bilo oja dva podsupa iz te familije imaju eprazi presje? (Ovava familija se zove presijecajuća familija.) Odgovor: Najveći mogući broj µclaova presjecajuće familije je 2 1. Moµzemo je dobiti uzimajem svih podsupova od X oji sadrµze elemet 1. Više od 2 1 ih e moµzemo aći jer za bilo oji podsup i jegovog omplemet vrijedi da e mogu oba istovremeo biti u presjecajućoj familiji. Primjer B. Kolio ajviše µclaova moµze imati familija podsupova F za oju vrijedi da za bilo oja dva podsupa iz te familije jihova uija ije jedaa X = f1; 2; : : : ; g? Odgovor: Najveći mogući broj µclaova ovave familije F je opet 2 1. Moµzemo je dobiti uzimajem svih omplemeata podsupova od X iz prethodog primjera (oji sadrµze elemet 1), dale podsupova oji e sadrµze elemet 1. Primjer C. Kolio ajviše µclaova moµze imati familija F podsupova za oju vrijedi da bilo oja dva podsupa iz te familije imaju eprazi presje i uiju razliµcitu od X? Odgovor: Jeda primjer familije oja zadovoljava avedei uvjet je familija svih podsupova oji sadrµze elemet 1 i e sadrµze elemet 2. Oa ima 2 2 elemeata (podsupova). Me utim doaz da je ovo zaista i masimala familija s traµzeim svojstvom je daleo teµzi ego u prethoda dva primjera. Nao što je Paul Erd½os
6 UVOD v postavio ovaj problem prošlo je eolio godia do Kleitma ije doazao da e postoji familija s ovim svojstvom, a s većim brojem elemeata od 2 2. Primjer D. (Erd½os-Sos hipoteza) Nea je F familija grafova sa supom vrhova V = f1; 2; : : : ; g za oju vrijedi da bilo oja dva grafa iz familije imaju zajediµci trout (cilus duljie 3). Kolio ajviše elemeata (grafova) ova familija moµze imati? Odgovor: Uupa broj grafova s vrhova je 2 ( 2). Jedostava primjer familije s traµzeim svojstvom µcie svi grafovi oji sadrµze primjerice trout s vrhovima 1, 2, 3, tj. bridove f1; 2g, f2; 3g, f1; 3g. Ova familija ima toµco 2 ( 2) 3 elemeta, odoso 1=8 svih grafova. No, postoji li veća familija s ovim svojstvom? Paul Erd½os i Vera Sos su postavili hipotezu: e postoji veća familija s ovim svojstvom. Ova hipoteza je i daas otvorea. I za raj, jeda problem estremale prirode, postavlje godie ada je Er½o Rubi izumio Rubiovu ocu, a riješe te edavo: Problem 10. U olio ajviše poteza se moµze riješiti bilo oja od (8! 12! ) : 12 4: ombiacija Rubiove oce? Odgovor: Svaa ombiacija Rubiove oce rješiva je u ajviše 20 poteza! Ovaj problem su u srpju godie riješili aliforijsi programer Tomas Roici, jemaµci matematiµcar Herbert Kociemba, ameriµci matematiµcar Morley Davidso i Googleov iµzejer Joh Dethridge (više a
7 Osovi pojmovi Za praćeje ovog predmeta pretpostavlja se zaje samo osovih, ovdje avedeih, pojmova iz 2. cilusa (Uvod u disretu matematiu) i 3. cilusa (Uvod u teoriju grafova) predmeta MAT3R, ao i predmeta VJEROJATNOST I STATISTIKA. Nei drugi pojmovi ili rezultati iz MAT3R i VIS biti će aado izloµzei u gradivu ovog predmeta. Urato, osovi ombiatoriµci pojmovi (s jihovim tipom i brojem) avedei su u sljedećoj tablici: PERMUTACIJE razliµcitih objeata! (poreda bita) a i objeata tipa i, = P i=1 a i VARIJACIJE razliµcitih objeata, duljie, bez poavljaja (poreda bita) razliµcitih objeata, duljie, s poavljajem KOMBINACIJE (poreda ije bita) -podsupovi -µclaog supa, bez poavljaja -podsupovi -µclaog supa, s poavljajem a 1 ;a 2 ;:::;a + 1 gdje je = ( 1) ( 2) ( + 1) ; =! ;! = a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1!a 2! a! : Osovi pojmovi teorije grafova: Graf (jedostavi graf) sastoji se od eprazog oaµcog supa V (G), µcije elemete zovemo vrhovi, i supa E (G) razliµcitih dvoµclaih podsupova supa vrhova oje zovemo bridovi. Za brid e = fu; vg aµzemo da spaja vrhove u i v, odoso da su vrhovi u i v susjedi, a vrh v (ili u) icideta s bridom e. Stupaj vrha v je broj bridova oji su icideti s vrhom v, ozaµcavamo ga s d (v). vi
8 OSNOVNI POJMOVI vii Šetja u grafu G je oaµca slijed bridova u ojem svaa dva uzastopa brida imaju zajediµci vrh ili su jedai. Staza u grafu G je šetja u ojoj su svi bridovi razliµciti. Put u grafu je šetja u ojoj su svi vrhovi (pa oda i bridovi) razliµciti. Cilus je zatvorei put (poµceti i raji vrh su jedai) oji sadrµzi barem jeda brid. Cilus od oji se sastoji od samo jedog brida zovemo petlja, od dva je dvostrui brid izme u dva vrha, o i jedi i i drugi isu mogući od jedostavih grafova. Kompoeta povezaosti grafa je sup jegovih vrhova sa svojstvom da postoji put izme u bilo oja dva vrha iz tog supa. Graf je poveza uolio se sastoji od samo jede ompoeete povezaosti. Šuma je graf bez cilusa. Stablo je povezai graf bez cilusa. Kompoete povezaosti šume su stabla.
9 Poglavlje 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 1.1. Prebrojavaje Prebrojavaje je ajstariji alat u ombiatorici. Biomi, multiomi teorem i ei drugi idetiteti vezai za biome oe cijete, ovdje eće biti doazai matematiµcom iducijom ili algebarsi, već mogo ljepše (iao e uvije i jedostavije): ombiatoro. U ombiatorim doazima "dvostruim prebrojavajem" poazujemo da se obje strae jedaosti mogu dobiti prebrojavajem iste vrste objeata, ali a dva razliµcita aµcia Biomi teorem, dvostruo prebrojavaje Broj -µclaih podsupova -µclaog supa ozaµcavamo s i azivamo biomi oe cijet. Sljedeći teorem doazao je Sir Isac Newto oo godie: Teorem 1.1. (Biomi teorem) Za sve 2 N [ f0g vrijedi X (x + y) = x y : =0 Doaz. Moµzeći izraz (x + y) (x + y) (x + y) µcla x y moµzemo dobiti a jedao aµcia a olio moµzemo odabrati toµco od zagrada iz ojih ćemo "uzeti" x-eve, a iz preostalih "uzimamo" y-e. Dale a aµcia. De icija 1.1. Za 2 N, -ta padajuća potecija od de ira se s := ( 1) ( 2) ( + 1) : Ovaj broj jeda je broju varijacija bez poavljaja supa od elemeata -tog razreda, odoso broju poredaih -teraca (x 1 ; x 2 ; : : : ; x ) gdje su x 1 ; x 2 ; : : : ; x razliµciti elemeti eog -µclaog supa. Sliµco, -ta rastuća potecija od de ira se s := ( + 1) ( + 2) ( + 1) : 1
10 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 2 Propozicija 1.1. Vrijedi =! ( 1) ( 2) ( + 1) = : (1.1)! Doaz. Kao je jeda je broju poredaih -teraca (x 1 ; x 2 ; : : : ; x ) gdje su x 1 ; x 2 ; : : : ; x razliµciti elemeti eog -µclaog supa, a jih moµzemo dobiti i tao da izaberemo -µclai podsup fx 1 ; x 2 ; : : : ; x g iz -µclaog supa, a zatim te elemete poredamo (permutiramo) a sve moguće aµcie. Ovo posljedje moµze se apraviti a! aµcia, pa slijedi =!. Svojstvo simetrije biomih oe cijeata jedostavije i ljepše se doazuje ombiatoro ego algebarsi: svai podsup jedistveo je odre e svojim omplemetom i stoga odmah slijedi = : Sliµco, svojstvo Pasclovog trouta = dobijemo ao prebrojimo -µclae podsupove -µclaog supa a aµci da prvo prebrojimo sve podsupove oji sadrµze ei si elemet (primjerice, ao imamo sup f1; 2; : : : ; g), a zatim i oe oji ga e sadrµze. Podsupova oji ga sadrµze ima 1 1, a oih oji ga e sadrµze ima 1. Evo prvih osam redova Pascalovog trouta (od ultog do sedmog reda): Teorem 1.2. Za 2 N vrijedi X =0 = 2 ; tj. zbroj µclaova -tog reta Pascalovog trouta jeda je 2.
11 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 3 Doaz. Na lijevoj strai jedaosti prebrojavamo posebo sve 0-µclae, jedoµclae, dvoµclae,..., -µclae podsupove -µclaog supa, do je a desoj strai uupa broj svih podsupova -µclaog supa (sup svih biarih izova duljie i sup svih podsupova -µclaog supa bijetivo orespodiraju). Na drugi aµci, jedaost moµzemo dobiti iz biomog teorema ao uvrstimo x = 1 i y = 1. Teorem 1.3. Za 2 N vrijedi X ( 1) = 0; =0 tj. alterirajuća suma svih biomih oe cijeata s asim 2 N je jedaa uli. Doaz. Primijeimo biomi teorem za x = 1 i y = 1. Sljedeći teorem govori o jošjedom zaimljivom svojstvu Pascalovog trouta, o zbroju eolio uzastopih "dijagoalih" elemeata poµcevši od prvog (ili posljedjeg) elemeta u -tom retu. Teorem 1.4. Za ; 2 N vrijedi = + 1 : + 1 Doaz. Na desoj strai jedaosti oµcito imamo broj ( + 1)-µclaih podsupova ( + 1)-µclaog supa. Lijeva straa jedaosti prebrojava isto, ali u odosu a ajveći elemet u podsupu. Precizije, ( + 1)-µclaih podsupova s ajvećim elemetom + 1 imamo toµco, ( + 1)-µclaih podsupova s ajvećim elemetom + 2 imamo toµco +1,...,( + 1)-µclaih podsupova s ajvećim elemetom + 1 imamo toµco. Isljuµcivo zbog ljepote ombiatorih doaza avodimo i sljedeća dva teorema o svojstvima biomih oe cijeata. Teorem 1.5. Za 2 N vrijedi X = 2 1 : =0 Doaz. Obje strae jedaosti jedae su broju aµcia da izme u ljudi izaberemo delegaciju, a zatim iz delegacije izaberemo predsjedia. Na lijevoj strai posebo prebrojavamo sve delegacije s toµco µclaova, ima ih, a zatim u svaoj još moµzemo izabrati i predsjedia a aµcia. Na desoj strai, predsjedia moµzemo izabrati a aµcia, a zatim i ostata delegacije a 2 1 aµcia, jer za svaog od preostalih 1 ljudi postoje dvije mogućosti: ili je ili ije u delegaciji. Rijeµciom
12 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 4 supova, ombiatori doaz smo dobili prebrojavajem svih parova (x; M) gdje je M f1; 2; 3; : : : ; g i x 2 M. Drugi (alebarsi) doaz ovog teorema dobijemo primjeom biomog teorema za y = 1: X (x + 1) = x =0 zatim derivirajem obje strae jedaosti po x i oaµco uvrštavajem x = 1. (x + 1) 1 = X x 1 Teorem 1.6. (Vadermodova ovolucija) Za ; m; 2 N vrijedi + m = X i=0 =0 m : i i Doaz. Na lijevoj strai jedaosti je broj -µclaih podsupova ( + m)-µclaog supa f1; 2; 3; : : : ; + mg. Na desoj prebrojavamo to isto, ali u odosu a to olio je elemeata iz supa f1; 2; 3; : : : ; g, a olio iz ostata f + 1; + 2; : : : ; + mg. Broj elemeata iz f1; 2; 3; : : : ; g ozaµce je s i i varira od 0 do. Sljedeći teorem govori o svojstvu uimodalosti iza biomih oe cijeata, = 0; : : : ;, oje se lao "vidi" iz -tog reta Pascalovog trouta. Za oaµca iz aµzemo da je uimodala ao je do eog µclaa rasući, a ao tog µclaa padajući. Teorem 1.7. Za 2 N i 2 N [ f0g taav da je 1 2 ( : + 1 1) vrijedi Jedaost vrijedi jedio ao je = Doaz. Teorem doazujemo algebarsi. Ova ejedaost se svodi a!! ( )!! ( + 1)! ( 1)! ; pa dijeleći je s! i moµzeći s! ( 1)! dobijemo što je evivaleto s 2 + 1, odoso 1 2 ( 1) i teorem je doaza.
13 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 5 Korolar 1.1. Za 2 N i 2 N [ f0g taav da je 1 ( 2 : + 1 1) vrijedi Jedaost vrijedi jedio ao je = Doaz. Doaz slijedi iz tvrdje prethodog teorema i svojstva simetrije biomih oe cijeata. Primjedba 1.1. * Kombiatori doaz uimodalosti iza biomih oe cijeata: Nea je < =2 i pogledajmo sve disrete šetje po cjelobrojoj oordiatoj mreµzi iz toµce (0; 0) u toµcu (; ) tave da je dozvoljeo samo pomicaje za jeda u deso ili gore. Tavih šetji ima, olio i aµcia da od uupo pomicaja izaberemo jih za pomicaje u deso, jer ostalih pomicaja prema gore su s time tao er odre ea. Kostruirajmo ijeciju sa supa svih šetji iz O = (0; 0) do A = (; ) u sup šetji iz O = (0; 0) do B = ( + 1; 1) a sljedeći aµci (vidi sliu 1.1): Kostrucija ijecije f ozaµcimo sa L toµcu presjea šetje iz O do A sa simetralom duµzie AB. Ao tavih presjea ima više, sa L ozaµcimo presje ajbliµzi toµci A. Kao je < =2, presje siguro postoji. Simetriµco presliajmo p dio šetje od L do A s obzirom a simetralu duµzie AB. Dobijemo šetju p 0 od L do B oja zajedo sa t starim dijelom šetje od O do L daje ovu šetju t [ p 0 od O do B. Ovavo presliavaje f (t [ p) = t [ p 0 je oµcito ijecija, pa ao šetji iz O do A ima, a šetji iz O do B ima +1 doazali smo da je +1. Nadalje, zbog simetrije biomih oe cijeata direto slijedi > =2. +1 za Zadata 1.1. Algebarsi ili ombiatoro doaµzite da za 2 N vrijedi X 2 = 3 : =0
14 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 6 Ideja: algebarsi doaz iz biomog teorema za x = 1, y = 2. Za ombiatori doaz promatrajte sve terare izove (od 0; 1; 2) duljie. Zadata 1.2. Doaµzite da za 2 N vrijedi X ( 1) = ( 1) 2 2 =0 a) algebarsi, b) ombiatoro. Koristeći ovaj rezultat poušajte izraµcuati µcemu je jedao X m : =m Rješeje: P =m m = 2 m m. Algebarsi doaz dobijemo iz biomog teorema za y = 1, derivirajući m puta po varijabli x. Kombiatori doaz dobijemo ada poaµzemo da su lijeva i desa straa jedaosti jedae broju aµcia da izme u ljudi izaberemo delegaciju, a zatim iz delegacije izaberemo m µclaova delegacije od ojih svai ima svoju istautu fuciju. Primjerice, u sluµcaju m = 2 a poµcetu zadata, izme u ljudi izaberemo delegaciju, a zatim iz delegacije predsjedia i podpresjedia. Zadata 1.3. Kombiatoro doaµzite idetitet = 1 : 1 Ideja: prebrojite parove (x; M) gdje je jmj =, M f1; 2; 3; : : : ; g i x 2 M. Zadata 1.4. Doaµzite ombiatoro ejedaost 2 < 4 : 2 Rješeje: je broj -µclaih podsupova 2-µclaog supa, a 4 = 2 2 je broj svih podsupova 2-µclaog supa. Zadata 1.5. Poaµzite da je broj parova (A; B) gdje su A i B razliµciti podsupovi od f1; 2; 3; : : : ; g i A B jeda 3 2. Rješeje: Ao je jaj =, 2 f1; 2; : : : ; 1g elemete od A moµzemo izabrati a aµcia, svai od preostalih elemeata ili je, ili ije u B (moramo samo isljuµciti mogućost da su svi va B zbog A B). Zato imamo X 1 =0 2 1 = X =0 2 X =0 = 3 2 : Ili direto, svai elemet moµze biti ili u A ili u B A ili u f1; 2; 3; : : : ; g B, za elemeata to je 3 mogućosti. Od jih moramo jedio izuzeti sluµcajeve ada je A = B, a tavih ima 2.
15 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 7 Zadata 1.6. Nea su ; ; l 2 N tavi da je l. Doaµzite ombiatoro idetitet l X a) = b) = 2 l : l l l l l Ideja: a) prebrojite a dva aµcia sve parove (L; K) podsupova od f1; 2; 3; : : : ; g, tave da vrijedi L K, jlj = l, jkj =. b) prebrojite a dva aµcia sve parove (L; K) podsupova od f1; 2; 3; : : : ; g, tave da vrijedi L K, jlj = l (bez uvjeta a ardialost podsupa K). Zadata 1.7. Nea su ; m; 2 N tavi da je + m. Doaµzite ombiatoro idetitet m = : m m Ideja: prebrojite a dva aµcia sve parove (M; K) podsupova od f1; 2; 3; : : : ; g, tave da vrijedi M \ K = ;, M [ K f1; 2; 3; : : : ; g, jmj = m, jkj =. Zadata 1.8. Poaµzite da je X =0 2 = =l 2 a) oristeći biomi teorem za (1 + x) 2, b) ombiatoro. Ideja: a) usporedite oe cijete uz x u biomom razvoju od (1 + x) 2 i (1 + x) (1 + x), b) od -µclaih podsupova supa f1; 2; 3; : : : ; 2g prebrojite olio je elemeata majih ili jedaih od, a olio većih od. Zadata 1.9. Kombiatoro doaµzite idetitet = + ( ) + : Ideja: 2 je broj bridova u potpuom grafu s vrhova. Razdvojite sup vrhova a dva podsupa od i vrhova. Zadata Doaµzite aalogo biomog teorema za padajuće potecije X (x + y) = x y =0 Rješeje: Matematiµcom iducijom po. Baza: za = 1 imamo x + y = x + y. Pretpostavimo da tvrdja vrijedi za 2 N i provjerimo ora iducije: X (x + y) +1 = (x + y) (x + y ) = x y ((x ) + (y ( ))) =0 X X X+1 X = x +1 y + x y +1 = x y +1 + x y +1 1 =0 =0 =1 =0 X X = x x y +1 + y +1 = x y +1 : 1 =1 =0
16 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 8 Biomi oe cijeti za "velie" i * Za "velie" i biome oe cijete je tešo raµcuati. Umjesto toµce vrijedosti u primjeama je dovoljo zati jihovu brziu rasta. Tave procjee mogu se dobiti pomoću Taylorovog razvoja espoecijale fucije e t = 1 + t + t2 2! + t3 3! + t4 4! + Zato vrijedi ejedaost, oju ćemo µcesto oristiti: 1 + t < e t za sve t 2 R f0g. Propozicija 1.2. Nea su, 2 N [ f0g taavi da je <. Tada vrijedi ocjea e : Doaz. Za doju ogradu imamo: = Za gorju ogradu je: (e) t > (1 + t) = Supstitucijom t = = dobivamo e > X i=0 t i > i : t : Precizija asimptotsa ocjea moµze se dobiti Stirligovom formulom: p! = 2e ; e gdje je < < 1 12 Iz ove ocjee se dobiva i asimptotsa ocjea za -ti fatorjel od () = e o(1) za = o 3 4 ; odoso za biome oe cijete = e 2 2! (1 + o (1)) : = : Prisjetimo se, za dvije reale fucije f i g ozaa f = o (g) zaµci da vrijedi f (t) lim t!1 g (t) = 0:
17 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 9 Biomi oe cijeti za reali U sljedećoj de iciji je poopćeje biomog oe cijeta za reali. De icija 1.2. Nea je x 2 R i 2 N [ f0g. Tada de iramo x 0 = 1 i x = x! = x (x 1) (x 2) (x + 1)! za > 0. -ta derivacija fucije f (x) = (1 + x) m je f () (x) = m (1 + x) m Taylorov razvoj fucije f (x) oo x = 0 dobijemo sljedeći teorem., pa oristeći Teorem 1.8. Nea je m 2 R, tada vrijedi gdje se sumira po svim 2 N [ f0g. (1 + x) m = X 0 m x Primijetimo da je suma iz prethodog teorema oaµca jedio ao je m 2 N[f0g, jer je u tom sluµcaju m = 0 za m <. Primjer 1.1. Razvijte u red fuciju p 1 4x. Rješeje p 1 4x = (1 4x) 1=2 = X 1=2 ( 4x) : 0 Nadalje je 1=2 = gdje je!! = b 1 2 c Q i= ! ( 2i) dvostrui fatorjel pa imamo p 1 4x = X 0 2 (2 3)!! x :! = ( 1) 1 (2 3)!! 2! Moµzeći broji i azivi s ( 1)!, ije tešo vidjeti da vrijedi 2 (2 3)!!! (2 2)! = 2! ( 1)! ; pa je p 1 4x = 2 X x :
18 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 10 Zadata Doaµzite da je 1 p 1 4x = X 0 2 x : q 1+x Zadata Razvijte u red fuciju f (x) =. 1 x q 1+x Ideja: = 1+x i oristite rezultat prethodog zadata. 1 x p1 4(x 2 =4) Primjedba 1.2. Zadata moµze se jedostavije riješititi dijeljejem obje strae jedaosti s! i zatim svo ejem a Vadermodovu ovoluciju za "reale" biome oe cijete a sljedeći aµci X (x + y) = x y (x + y) X x y, =!! ( )! =0 =0 x + y X x y, = : = Multiomi teorem Slijedi poopćeje pojma biomog oe cijeta. De icija 1.3. Nea je = P i=1 a i, gdje su, a 1,...,a eegativi cijeli brojevi. De iramo! = a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1!a 2! a! : Broj a 1 ;a 2 ;:::;a se zove multiomi oe cijet. Primjetimo, u sluµcaju = 2 multiomi oe cijet se svodi a biomi oe cijet. Teorem 1.9. (Multiomi teorem) Za sve 2 N [ f0g vrijedi (x 1 + x x ) = X x a 1 1 x a 2 2 x a a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1 ;a 2 ;:::;a pri µcemu se sumira po svim -tercima eegativih cijelih brojeva a 1 ; a 2 ; : : : ; a za oje je = P i=1 a i. Doaz. Moµzeći (x 1 + x x ) (x 1 + x x ), t.j. uzimajući po jeda x i iz svae zagrade, µcla x a 1 1 x a 2 2 x a moµzemo dobiti a tolio aµcia olio ima permutacija s poavljajem supa s a 1 elemeata x 1, a 2 elemeata x 2,...,a elemeata x. Taj broj je upravo a 1 ;a 2 ;:::;a. Sljedeći teorem opisuje vezu multiomih i biomih oe cijeata.
19 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 11 Teorem Za sve eegative cijele brojeve, a 1,...,a tave da je = P i=1 a i, vrijedi. = a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1 a 2 a1 a1 a i a i+1 a1 a 1 Doaz. Svau permutaciju s poavljajem supa s a 1 elemeata x 1, a 2 elemeata x 2,...,a elemeata x moµzemo dobiti tao da od mjesta izaberemo a 1 mjesta a ojima će biti x 1, zatim od preostalih a 1 mjesta izaberemo a 2 mjesta a ojima će biti x 2, itd. a : Zadata Doaµzite da je a) b) c) X a 1 +a 2 +a 3 = X a 1 +a 2 +a 3 = X a 1 +a 2 +a 3 = = 3 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ( 1) a 2 = 1; a 1 ; a 2 ; a 3 a 1 ; a 2 ; a 3 2 a 1 ( 1) a 2+a 3 = 0: Rješeje: multiomi teorem a) x 1 = x 2 = x 3 = 1, b) x 1 = x 3 = 1, x 2 = 1, c) x 1 = 2, x 2 = x 3 = Rasporedi idetiµcih objeata u utije oje razliujemo U ovom i sljedeća tri podpoglavlja razmatrati ćemo problem prebrojavaja svih rasporeda objeata, primjerice istih ili razliµcitih lopti, u utija oje tao er moµzemo razliovati ili e. U ovom podpoglavlju razmatramo prvi sluµcaj: 1. "Objete e razliujemo, utije razliujemo". Pretpostavimo da 20 lopti, iste boje i veliµcie, moramo podijeliti a µcetvero djece: Ai, Bori, Cviti i Duji. Kao su lopte iste, bito je jedio olio će lopti svao dijete dobiti. Problem se svodi a rastavljaje broja 20 u sumu µcetiri eegativa cijela broja. Svaao, ovdje je poreda pribrojia bita, jer djecu razliujemo. Raspored ije isti ao i De icija 1.4. Rastavi broja u zbroj eegativih cijelih brojeva, gdje je poreda pribrojia bita azivaju se slabi rasporedi (egl. "wea compositio of "). Rastavi broja u zbroj prirodih brojeva, gdje je poreda pribrojia bita azivaju se rasporedi (egl. "compositio of ").
20 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 12 Napomeimo da je pojam particija broja rezervira za rastav u zbroj prirodih brojeva, gdje poreda pribrojia ije bita, što ćemo usoro vidjeti. Teorem Nea su, 2 N. Broj svih izova (a 1 ; : : : ; a ) tavih da je a i 0 za svai i 2 f1; : : : ; g i = P i=1 a i jeda je = : 1 Doaz. Ovaj je broj oµcito jeda broju aµcia da idetiµcih lopti rasporedimo u razliµcitih utija. A ovaj je adalje jeda broju razliµcitih izova (permutacija) od oji se svai sastoji od istih lopti i 1 pregrada. Svai taav iz jedozaµco odre uje broj lopti po utijama (u prvu utiju idu lopte do prve pregrade, u drugu utiju lopte izme u prve i druge pregrade, itd.). Dale, taj broj je jeda ( + 1)!! ( 1)! : Primjedba 1.3. Ao zamijeimo i u posljedjem teoremu dobijemo ombiacije s poavljajem -tog razreda s -elemeata (a i ovdje biljeµzi olio se puta u ombiaciji pojavljuje i-ti elemet -µclaog supa). U ašem primjeru s 20 lopti i µcetvero djece ovaj broj je jeda = 23 3 = Što ao dodamo uvjet da svao dijete mora dobiti ajmaje jedu loptu? Tavih rasporeda će oµcito biti maje. Pribrojici u sumi sada moraju biti pozitivi cijeli brojevi. Ovavi rastavi broja a pozitive cijele pribrojie gdje je poreda bita azivaju se rasporedi (egl. "compositio of "). Problem se lao riješi ao ajprije svaom djetetu podijelimo po jedu loptu, a zatim preostalih 16 lopti podijelimo ao u prethodo teoremu a = 19 3 = 969 aµcia. Korolar 1.2. Nea su, 2 N. Broj svih izova (a 1 ; : : : ; a ) tavih da je a i > 0 za svai i 2 f1; : : : ; g i = P i=1 a i jeda je 1 1. ( )+ 1 Doaz. Korištejem rezultata prethodog teorema ovaj broj je jeda 1 = 1 1. Na drugi aµci, poredajmo lopte u iz, i izme u jih stavimo ajviše jedu pregradu. Raspored ovih pregrada jedozaµco odre uje raspored po utijama i to tao da e bude prazih utija. Dale, imamo 1 mjesto izme u lopti, a od jih biramo 1 gdje ćemo staviti pregrade. Tvrdja slijedi. Korolar 1.3. Za sve 2 N broj svih rastava broja u obliu = P i=1 a i, gdje su a i 2 N i gdje je poreda bita, jeda je 2 1. Doaz. Prvi aµci: ao moµze biti ajmaje 1, a ajviše, imamo X =1 1 = 2 1 : 1
21 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 13 Drugi aµci: matematiµcom iducijom po. Za = 1 tvrdja je oµcito istiita, postoji samo jeda ovaav rastav. Pretpostavimo da je tvrdja istiita za, tj. imamo 2 1 ovavih rastava. Ao u svaom tavom rastavu prvom elemetu a 1 dodamo jediicu, dobijemo rastav broja + 1 oji za prvi pribroji ima ajmaje 2. Ao adalje svaom tavom rastavu dopišemo ispred jediicu ao prvi pribroji, dobijemo rastav broja +1 oji za prvi pribroji ima 1. Svai rastav od +1 moµze biti dobive a samo jeda od ova dva aµcia, što zaµci da ih ima toµco 22 1 = 2 što je i trebalo poazati. Dale, doazali smo sljedeće: -ao su praze utije dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u razliµcitih utija a aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u razliµcitih utija a 1 1 aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata u razliµcite utije moµzemo razmjestiti a 2 1 aµcia Particije supa, Stirligovi brojevi druge vrste U drugom sluµcaju imamo obratu situaciju: 2. "Objete razliujemo, utije e razliujemo". Stoga moµzemo zamisliti da su lopte ozaµcee brojevima 1; 2; 3; : : : ;. Problem se svodi a podjelu (particiju) supa f1; : : : ; g a eprazih, disjutih podsupova. De icija 1.5. Rastav supa f1; : : : ; g a eprazih disjutih podsupova zovemo particija supa. Broj particija supa f1; : : : ; g a dijelova ozaµcava se sa S (; ) i zove Stirligov broj druge vrste. Dijelove (podsupove) partcije zovemo bloovima. Iz de icije slijedi S (; ) = 0 za <. Dogovoro je S (0; 0) = 1. Primjer 1.2. Za 1 je S (; 1) = S (; ) = 1. Tao er, za 2 je S (; 1) = 2 jer od 1 bloova svi su jedoµclai, osim jedog dvoµclaog. Primjer 1.3. Vrijedi S (4; 2) = 7 jer imamo 7 particija supa f1; 2; 3; 4g: f1; 2; 3g f4g; f1; 2; 4g f3g; f1; 3; 4g f2g; f2; 3; 4g f1g; f1; 2g f3; 4g; f1; 3g f2; 4g; f1; 4g f2; 3g. Zadata Doaµzite da vrijedi S (; 2) = Rješeje: svai podsup A od f1; : : : ; g osim prazog supa i cijelog f1; : : : ; g odre uje jedu particiju tog supa u dva bloa A i A. Tavih podsupova A ima 2 2. Ali ao A i A a ovaj aµci odre uju istu particiju 2 2 treba jošpodijeliti s 2. Ne postoji zatvorea formula za S (; ), ali postoji otvorea formula oja sadrµzi ozau za sumu X S (; ) = ( 1) i ( i) i! ( i)! : i=0
22 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 14 i izvesti ćemo ju u Poglavlju oristeći formulu uljuµcivaja-isljuµcivaja. U sljedećem teormu doazati ćemo reurzivu relaciju za S (; ). Teorem Za sve ; 2 N tave da je vrijedi S (; ) = S ( 1; 1) + S ( 1; ) : Doaz. Reurziju doazujemo ombiatoro. Pogledajmo masimali elemet. Ao o µcii jedoµclai blo, oda preostalih 1 elemeata a S ( 1; 1) aµcia moµze dovršiti particiju. Ao ije u jedoµclaom blou, preostalih 1 elemeata moµzemo rasporediti u bloova a S ( 1; ) aµcia, a zatim moµzemo smjestiti u bilo oji od ovih bloova i time smo dovršiti particiju. De icija 1.6. Broj svih particija supa f1; : : : ; g a epraze bloove ozaµcava se s B () i zove Bellov broj. Dogovoro pretpostavljamo da je B (0) = 1. Oµcito vrijedi B () = P i=0 S (; i). Bellovi brojevi zadovoljavaju lijepu reurzivu relaciju. Teorem Za sve 2 N [ f0g vrijedi B ( + 1) = X i=0 B (i) : i Doaz. Doazati ćemo da i desa straa jedaosti prebrojava sve particije supa f1; : : : ; + 1g. Pretpostavimo da je elemet + 1 u blou veliµcie i + 1, i = 0; 1; : : : ;. Preostale elemete iz tog bloa moµzemo odabrati a i = i aµcia, i ao toga preostalih i elemeata razmjestiti u bloove a B (i) aµcia. Zadata Matematiµcom iducijom po doaµzite da za 3 vrijedi ejedaost B () <! Rješeje: Baza: za = 3 imamo B (3) = 5 < 6. Pretpostavimo ea tvrdja vrijedi za sve brojeve. Kora: B ( + 1) = X i=0 B (i) < i X i=0 i! = i X i < ( + 1)! = ( + 1)!: U ovom podpoglavlju do sad smo poazali: -ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµcih utija a S (; ) aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµce utije a P i=0 S (; i) = B () aµcia. I oµcito je, ao su praze utije dozvoljee razliµcitih objeata u idetiµcih utija moµzemo razmjestiti a P i=1 S (; i) aµcia. i=0
23 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi Surjecije Sada je lao riješiti problem razmještaja lopti u utija u trećem sluµcaju: 3. "I objete i utije razliujemo". Brojevima ozaµcee lopte ajprije razdijelimo u bloova a S (; ) razliµcitih aµcia, a zatim bloove moµzemo razmjestiti u razliµcitih utija! aµcia. Dale, razliµcitih lopti u razliµcitih utija moµzemo razmjestiti a! S (; ) aµcia. Korolar 1.4. Broj svih surjecija f iz -µclaog supa u -µclai sup jeda je! S (; ) : Doaz. Surjecije prirodo de iraju particiju domee. Bloove µcie praslie elemeata iz odomee. Razliµcitih particija domee ima S (; ), a a! ih jošmoµzemo presliati u odomeu. Zaimljiva posljedica ovog rezultata je sljedeći orolar o priazu obiµcih potecija x pomoću padajućih x. Veza (oe cijeti prelaza iz baze x u x ) su upravo Stirligovi brojevi druge vrste! Korolar 1.5. Za sve x 2 R i 2 N vrijedi x = X S (; ) x : (1.2) =0 Doaz. S obje strae jedaosti je poliom -tog stupja u x, pa je dovoljo poazati da se ovi poliomi podudaraju u barem + 1 vrijedosti za x. Doazati ćemo bito jaµcu tvrdju, tj. da se podudaraju za sve x 2 N. Nea je x 2 N. Na lijevoj strai jedaosti je broj svih fucija iz -µclaog u x-µclai sup. I a desoj strai je taj isti broj samo u odosu a ardiali broj slie, oji moµze biti ajmaje 1, ajviše. Ao slia fucije ima toµco x elemeata, postoji aµcia za izbor te slie, a adalje prema prethodom orolaru i! S (; ) aµcia za odabir same fucije. Kao je x! S (; ) = x S (; ) tvrdja je doazaa. Dale, doazali smo: -ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata u razliµcitih utija moµzemo razmjestiti a S (; )! aµcia. Zbog toga ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata moµzemo razmjestiti u razliµcite utije a P i=1 S (; i) i! aµcia. U sluµcaju ada su praze utije dozvoljee, umjesto surjecija imamo fucije (u slici e moraju biti svi elemeti iz odomee), pa razliµcitih objeata u razliµcitih utija moµzemo razmjestiti a aµcia. Zadata Doaµzite da vrijedi S (; 3) = 1 2 ( ) 2 1, za 3. Ideja: 3! S (; 3) je broj surjecija iz -µclaog u 3-µclai sup. Svih fucija iz -µclaog u 3-µclai sup ima 3, od toga ih 3 imaju jedoµclau sliu, a dvoµclau sliu ih ima 3 (2 2). Slijedi da je 3! S (; 3) = 3 3 (2 2) 3, odoso S (; 3) = 1 2 ( ) 2 1.
24 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi Particije broja Preostaje µcetvrti sluµcaj: 4. "I objete i utije e razliujemo". Dale, ovdje je bita samo broj lopti po utijama, jer lopte e razliujemo. A ao i utije e razliujemo ili ili će predstavljati isti raspored, poreda ovih pribrojia ije bita. De icija 1.7. Nea je a 1 a 2 a 1 tao da vrijedi a 1 +a 2 + +a =. Niz (a 1 ; : : : ; a ) zovemo patricija broja. Broj svih particija ozaµcavamo s p (), do broj particija s toµco pribrojia ozaµcavamo s p (). Pojam patricija broja zaµci rastav broja 2 N u zbroj prirodih brojeva gdje poreda pribrojia ije bita i e smije se brati s pojmom particija supa. Primjer 1.4. Broj = 5 ima 7 paticija, tj. p (5) = 7, a to su (5) ; (4; 1) ; (3; 2) ; (3; 1; 1) ; (2; 2; 1) ; (2; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1) : Tao er je p 1 (5) = 1, p 2 (5) = 2, p 3 (5) = 2, p 4 (5) = 1, p 5 (5) = 1. Teorem Za broj particija s toµco pribrojia vrijedi reurziva relacija p () = p 1 ( 1) + p ( ) : Doaz. Pogledajmo sve (a 1 ; : : : ; a ) particije broja. Oih u ojima je a = 1 ima p 1 ( 1). Ao je a > 1 uzmimo ea je b i = a i 1, i = 1; : : : ;. Tada vrijedi b 1 b 2 b 1 i b 1 + b b =. Dale (b 1 ; : : : ; b ) je particija broja, pa (a 1 ; : : : ; a ) particija broja u ojima je a > 1 ima p ( ). Korolar 1.6. Vrijedi p () = X p i ( ) : i=1 Doaz. Koristimo uzastopce reurziju iz prethodog teorema za, 1, 2,...,2. Zbrajajući sve ove jedaosti, zbog p 1 ( + 1) = 1 = p 1 ( ) tvrdja slijedi. Nije tešo vidjeti da vrijedi p 1 () = p () = 1, p 2 () = 2. Tao er vrijedi (što ećemo doazivati) da je p 3 () prirodi broj ajbliµzi broju 2 =12. Općeito, pribliµze vrijedosti za p () i p () za velie, dae su asimptotsim formulama p () 1! ( 1)! ; p () 1 4 p 3 e p 2 3 odale se vidi da p () raste brµze od bilo ojeg polioma, ali sporije od bilo oje espoecijale fucije f () = c, za c > 1. Problem proalaµzeja egzate formule za p () još je teµzi ego za Stirligove brojeve druge vrste S (; ). µca ao i zamo sve p (i) za sve i <, još uvije ;
25 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 17 e moµzemo jedostavo direto izraµcuati p (). Postoji MacMahoova reurzija oja uljuµcuje tzv. petagoale brojeve, tj. brojeve oblia (3 1) =2. Ovdje je avodimo bez doaza: p () = p ( 1) + p ( 2) p ( 5) p ( 7) + + ( 1) (3 1) p + ( 1) (3 + 1) p Istaimo i posljedju mogućost: -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµcih utija a p () aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµce utije a p () aµcia. Stoga je oµcito da ao su praze utije dozvoljee idetiµcih objeata u idetiµcih utija moµzemo razmjestiti a P i=1 p i () aµcia. Slijedi eolio orisih rezultata o particijama broja p () pomoću fucija izvodica. De icija 1.8. Nea je ff g 0 iz realih brojeva. Tada red F (x) = P 0 f x zovemo fucija izvodica iza ff g 0. Propozicija 1.3. Nea je p () broj particija broja s pribrojicima, p () broj particija broja. Tada vrijedi X p () x = 0 Y 1 1 x ; X p () x = i i=1 0 1Y i=1 1 1 x i : Doaz. Odredimo oe cijet uz x a desoj strai jedaosti: 1 + x + x 2 + x x 2 + x 4 + x x + x 2 + x 3 + Pogledajmo dopriose iz zagrada. Ao iz i te zagrade odaberemo x j ii, j i 0, oda vrijedi 1j i + 2j 2 + 3j j = ; a to je upravo particija broja s pribrojicima oji isu veći od. Time je prva jedaost doazaa. Kao je p () = p (), a sliµca aµci doazuje se i druga jedaost. Na imo vezu izme u particija broja i particija supa f1; : : : ; g. Primjerice za = 10 particija supa f1; 5; 6g ; f2; 7g ; f3; 9g ; f4; 8g ; f10g je tipa (3; 2; 2; 2; 1). Općeito, pretpostavimo da je = ( 1 ; 2 ; : : : ; ) particija supa f1; : : : ; g gdje i ozaµcavaju bloove od. Poredajmo iz brojeva j 1 j ; j 2 j ; : : : ; j j od ajvećeg do ajmajeg da bi dobili iz a 1 a 2 a oji je oµcito particija broja. Za iz (a 1 ; : : : ; a ) aµzemo da je tip particije.
26 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 18 Teorem Nea je a = (a 1 ; : : : ; a ) particija broja, a m i ratost od i u a. Tada je broj paticija supa f1; : : : ; g oje su tipa a jeda P a = a 1 ;a 2 ;:::;a Q m i! i1 Doaz. Pretpostavimo da imamo a i idetiµcih loptica boje i, za i = 1; : : : ;. Poredati u iz ih moµzemo a a 1 ;a 2 ;:::;a aµcia. Potom podijelimo sup f1; : : : ; g a bloove tao da su brojevi i i j u istom blou ao i samo ao su loptice a mjestima i i j u ovom poretu iste boje. Dobili smo jedu particiju supa f1; : : : ; g. Ali ao se i u particiji a broja pojavljuje m i puta, oda odgovarajuće bloove moµzemo obojati a m i! aµcia sa m i boja oje odgovaraju ovim bloovima, a svi ovi aµcii odre uju istu particiju supa f1; : : : ; g. Zato je broj a 1 ;a 2 ;:::;a potrebo podijeliti s Q m i!. i1 : U sljedeće dvije tablice još jedom dajemo pregled svih mogućih rasporeda objeata u utije. 1. praze utije isu dozvoljee: SURJEKCIJE razliµcitih objeata u razliµcitih utija S (; )! RASPOREDI razliµcitih objeata u razliµcite utije idetiµcih objeata u razliµcitih utija P i=1 S (; i) i! 1 1 idetiµcih objeata u razliµcite utije 2 1 PARTICIJE SKUPA razliµcitih objeata u idetiµcih utija S (; ) razliµcitih objeata u idetiµce utije B () PARTICIJE BROJA idetiµcih objeata u idetiµcih utija p () idetiµcih objeata u idetiµce utije p () 2. praze utije su dozvoljee: FUNKCIJE razliµcitih objeata u razliµcitih utija SLABI RASPOREDI idetiµcih objeata u razliµcitih utija PARTICIJE SKUPA razliµcitih objeata u idetiµcih utija P i=1 S (; i) PARTICIJE BROJA idetiµcih objeata u idetiµcih utija P i=1 p i ()
27 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 19 Zadata Na olio aµcia moµzemo 7 razobojih lopti a) podijeliti izme u troje djece, ao svao dijete mora dobiti bar jedu loptu, b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo, ao i jeda utija e smije ostati praza. Rješeje: a) S (7; 3) 3! = = 1806, b) S (7; 3) = 301 (orište zad.1.16). Zadata Na olio aµcia moµzemo 7 razobojih lopti a) podijeliti izme u troje djece, (ao svao dijete e mora dobiti loptu) b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo (praze utije su dozvoljee). Rješeje: a) 3 7 = 2187, b) P 3 i=1 S (7; i) = = 365 (orištei zad.1.14 i zad.1.16). Zadata Na olio aµcia moµzemo 7 lopti oje e razliujemo a) podijeliti izme u troje djece, ao svao dijete mora dobiti bar jedu loptu, b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo, ao i jeda utija e smije ostati praza. Rješeje: a) 6 2 = 15, b) p3 (7) = 4, jer su sve particije broja 7 s tri pribrojia (5; 1; 1) ; (4; 2; 1) ; (3; 3; 1) ; (3; 2; 2). Zadata Na olio aµcia moµzemo 7 lopti oje e razliujemo a) podijeliti izme u troje djece, (ao svao dijete e mora dobiti loptu) b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo (praze utije su dozvoljee). Rješeje: a) = 9 P 2 = 36, b) 3 i=1 p i (7) = = 8. Zadata Nea je 2. Na olio aµcia moµzemo bomboa (oje e razliujemo) podijeliti izme u djece, ao svao dijete mora dobiti barem dva bomboa. Rješeje: Najprije svaom djetetu podjelimo po dva bomboa, a zatim preostalih 2 bomboa podijelimo izme u djece bez iavih uvjeta a = 1 1 aµcia. Zadata Na olio aµcia moµzemo izabrati podsup S f1; : : : ; g tao da je jsj = i iti jeda elemet iz S ije sljedbei eog drugog elemeta iz S, tj. x 6= y + 1, za sve x; y 2 S. Rješeje: Za taav podsup S = fa 1 ; a 2 ; : : : ; a g ao je a 1 < a 2 < < a mora vrijediti i a 1 < a 2 1 < a 3 2 < < a ( 1). Stavimo li b i = a i i + 1, broj aµcia da odaberemo ovaav podsup S jeda broju aµcia da odaberemo podsup fb 1 ; b 2 ; : : : ; b g f1; : : : ; + 1g, a taj je +1.
28 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 20 Zadata (Quie 1988.) Pozati Velii Fermatov teorem (egl. Fermat s Last Theorem) tvrdi da za > 2, jedadµzba x + y = z ema rješeja u supu prirodih brojeva. Ova tvrdja se moµze reformulirati u termiima ombiatorie, precizije prebrojavajem rasporeda objeata oje razliujemo u utije oje su obojae u crveu ili bijelu boju ili isu obojae. Pri tome i sve utije me usobo razliujemo. Velii Fermatov teorem tada glasi: broj rasporeda ada su crvee utije praze i broj rasporeda ada su bijele utije praze zajedo e moµze biti jeda broju svih rasporeda u crvee, bijele i eobojae utije ao je broj objeta veći od 2. Poaµzi da su ove dvije tvrdje evivalete. Ideja: ea je broj objeata, z broj svih utija, x broj utija oje isu crvee, y broj utija oje isu bijele..
29 Bibliogra ja [1] S. Jua, "Extremal Combiatorics With Applicatios i Computer Sciece", Spriger, [2] M. Bóa, "A Wal Through Combiatorics", Secod editio, World Scieti c, [3] J. H. va Lit, R. M. Wilso, "A course i combiatorics", Cambridge Uiversity Press, [4] L. Lovász, "Combiatorial Problems ad exercises", AMS Chelsea Publishig, [5] B. Bollobás, "Combiatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, ad Combiatorial Probability", Cambridge Uiversity Press, [6] B. Stechi, V. Baraov, "Extremal Combiatorial Problems ad Their Applicatios", Kluwer Academic Publishers,1995. [7] R. Graham, B. Rothschild, J. Specer, "Ramsey Theory", Wiley, [8] N. Alo, J. Specer, " The Probabilistic Method" Third Editio, Wiley, [9] P. Erdos, J. Specer, "Probabilistic Method i Combiatorics", Aademiai Kiado, [10] L. Babai, P. Fral, "Liear Algebra Methods i Combiatorics", Dept. of Comp. Sci., Uiversity of Chicago,
TEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationNormirani prostori Zavr²ni rad
Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Domini Crnojevac Normirani prostori Zavr²ni rad Osije, 2012. Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku. Odjel za matematiku. David Komesarović. Mooreovi grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2017.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku David Komesarović Mooreovi grafovi Diplomski rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationHamiltonov ciklus i Eulerova tura
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationRešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu
Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationRješavanje sustava nelinearnih jednadžbi
Sustavi nelinearnih jednadžbi 1 1 Newtonova metoda Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi Promatramo sustava nelinearnih jednadžbi f i x 1,x 2,...,x n )=0, i =1,...,n, 1) odnosno fx) =0, gdjejef : R
More informationAnaliza svojstava konveksnosti obveznica bez primjene diferencijalnog računa
Trg J. F. Keedya 6 10000 Zagreb, Croaia Tel +385(0)1 38 3333 www.efzg.hr/wps wps@efzg.hr EFZG WORKING PAPER SERIES E FZ G SERIJA Č LANAKA U NAS TA JANJU U D K 3 3 : 6 5 Br. 15-01 Vedra Kojić Aaliza svojsava
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationZadatci sa ciklusima. Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva.
Zadatci sa ciklusima Zadatak1: Sastaviti progra koji određuje z ir prvih prirod ih rojeva. StrToIntDef(tekst,broj) - funkcija kojom se tekst pretvara u ceo broj s tim da je uvedena automatska kontrola
More informationMostovi Kaliningrada nekad i sada
Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.
More informationScripture quotations marked cev are from the Contemporary English Version, Copyright 1991, 1992, 1995 by American Bible Society. Used by permission.
N Ra: E K B Da a a B a a, a-a- a aa, a a. T, a a. 2009 Ba P, I. ISBN 978-1-60260-296-0. N a a a a a, a,. C a a a Ba P, a 500 a a aa a. W, : F K B Da, Ba P, I. U. S a a a a K Ja V B. S a a a a N K Ja V.
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationPROGRAMSKO PRONALAŽENJE RJEŠENJA MBCP PROBLEMA PROGRAMMATICALLY SOLUTION FOR MBCP PROBLEMS
PROGRAMSKO PRONALAŽENJE RJEŠENJA MBCP PROBLEMA mr. sc. Ato Vrdoljak, prof. matematike Građeviski fakultet Sveučilišta u Mostaru Sažetak: U radu je da osvrt a programsko rješavaje problema vezaog za particioiraje
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationP a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9
P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationKsenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008
1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationFIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA
FIZIKALNA KOZMOLOGIJA VII. VRLO RANI SVEMIR & INFLACIJA KOZMIČKI SAT ranog svemira Ekstra zračenje u mjerenju CMB Usporedba s rezultatima LEP-a Usporedba CMB i neutrina Vj.: Pozadinsko zračenje neutrina
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike. Planarni grafovi. Diplomski rad. Osijek, 2013.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Marina Križić Planarni grafovi Diplomski rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationP a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9
P a g e 3 6 of R e p o r t P B 4 / 0 9 p r o t e c t h um a n h e a l t h a n d p r o p e r t y fr om t h e d a n g e rs i n h e r e n t i n m i n i n g o p e r a t i o n s s u c h a s a q u a r r y. J
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationProblem četiri boje. Four colors problem
Osječki matematički list 10(2010), 21 29 21 Problem četiri boje Iva Gregurić, Antoaneta Klobučar Sažetak. U ovom članku pokušat ćemo približiti učenicima srednjih škola jedan od zanimljivijih problema
More informationFun and Fascinating Bible Reference for Kids Ages 8 to 12. starts on page 3! starts on page 163!
F a Faa R K 8 12 a a 3! a a 163! 2013 a P, I. ISN 978-1-62416-216-9. N a a a a a, a,. C a a a a P, a 500 a a aa a. W, : F G: K Fa a Q &, a P, I. U. L aa a a a Fa a Q & a. C a 2 (M) Ta H P M (K) Wa P a
More informationThe problem of Diophantus and Davenport
Mathematical Communications 2(1997), 153 160 153 The problem of Diophantus and Davenport Andrej Dujella Abstract. In this paper we describe the author s results concerning the problem of the existence
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationSveu ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati ki fakultet
Sveu ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati ki fakultet Melkior Ornik, Ana u²njara Neki prilozi teoriji egzaktne rekonstrukcije poligona Zagreb, 2012 Ovaj rad izražen je na Zavodu za numeri ku matematiku
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationRazni načini zadavanja vjerojatnosti
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sanja Pešorda Razni načini zadavanja vjerojatnosti Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Školska kriptografija
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Antonija Živković Školska kriptografija Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationModified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 7 (2) 83 87 (2003) ISSN-00-3 CCA-2870 Note Modified Zagreb M 2 Index Comparison with the Randi} Connectivity Index for Benzenoid Systems Damir Vuki~evi} a, * and Nenad Trinajsti}
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationŠime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1
Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationT h e C S E T I P r o j e c t
T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.
More informationMatrice u Maple-u. Upisivanje matrica
Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku
More informationAlgoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018.
UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica Marko Pejovi Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih brojeva SPECIJALISTIƒKI RAD Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati
More informationBROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.
More informationTrougaone norme i primena u fazi skupovima
Sadržaj Predgovor... 3 1. Trougaoe orme i koorme... 5 1.1 Trougaoe orme... 5 1.2 Trougaoe koorme... 10 1.3 Neprekidost... 13 1.4 Algebarski aspekt... 15 1.5 Polugrupe i t-orme... 21 2. Fazi aritmetika...
More informationFEUERBACHOVA TOČKA. Maja Mihalic PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Maja Mihalic FEUERBACHOVA TOČKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Mea Bombardelli Zagreb, srpanj, 2015. Ovaj diplomski
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationSoftware Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode
Unit 2 : Software Process O b j ec t i ve This unit introduces software systems engineering through a discussion of software processes and their principal characteristics. In order to achieve the desireable
More informationDISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog
More informationJasna Kellner. snake. bee. mole. owl. branch. birds. bear. leaves. forest den. tree. sun. badger. butterfly
From the list of words below, fill in the blank boxes below each picture. 1 jazavac 5 lišće 9 proljeće 13 stablo 17 šuma 2 krtica 6 medvjed 10 ptice 14 sunce 18 med 3 lastavica 7 pećina 11 snijeg 15 životinje
More informationQUADRATIC AND SESQUILINEAR. Svetozar Kurepa, Zagreb
GLASNIK MAT. - FIZ. I ASTR. rom 20. - No. 1-2 - 1965. QUADRATIC AND SESQUILINEAR FUNCTIONALS Svetozar Kurepa, Zagreb 1. Let X = {x, Y,... } be a complex (quaternionic) veetor space and B a funetion af
More informationBAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni
More informationPOLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationIterativne metode za rješavanje linearnih sustava
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationTHIS PAGE DECLASSIFIED IAW E
THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 BL K THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 B L K THS PAGE DECLASSFED AW E0 2958 THS PAGE DECLASSFED AW EO 2958 THS PAGE DECLASSFED AW EO 2958 THS
More informationPrimjena graf algoritama za pronalaºenje optimalne rute na mapama
Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveu ili²ni preddiplomski studij matematike Danilo ormaz Primjena graf algoritama za pronalaºenje optimalne rute na mapama Zavr²ni rad Osijek,
More informationCATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i
CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris
More informationA B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B
1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica
More informationMatematika i statistika
Klasteri 1 Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku 1 Uvod Matematika i statistika II. Grupiranje podataka: klasteri R. Scitovski, M. Benšić, K. Sabo Definicija 1.
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationUSLOVNE VEROVATNOĆE NEZAVISNOST DOGAĐAJA
2 LEKCIJA USLOVNE VEROVATNOĆE NEZAVISNOST DOGAĐAJA USLOVNE VEROVATNOĆE NEZAVISNOST DOGAĐAJA Defiicia uslove verovatoće Nea u esperimetu posmatramo dva slučaa događaa A i B Ao e pozato da se eda od ih,
More informationRacionalne Diofantove šestorke
Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan
More informationSHEME DIGITALNOG POTPISA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jelena Hunjadi SHEME DIGITALNOG POTPISA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, 2016. Ovaj diplomski
More informationThe Bond Number Relationship for the O-H... O Systems
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA 61 (4) 815-819 (1988) CCA-1828 YU ISSN 0011-1643 UDC 541.571.9 Original Scientific Paper The Bond Number Relationship for the O-H... O Systems Slawomir J. Grabowski Institute
More informationAn Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research
More information