Analiza svojstava konveksnosti obveznica bez primjene diferencijalnog računa

Transcription

1 Trg J. F. Keedya Zagreb, Croaia Tel +385(0) wps@efzg.hr EFZG WORKING PAPER SERIES E FZ G SERIJA Č LANAKA U NAS TA JANJU U D K 3 3 : 6 5 Br Vedra Kojić Aaliza svojsava ovesosi obvezica bez primjee diferecijalog račua

2 Aaliza svojsava ovesosi obvezica bez primjee diferecijalog račua Vedra Kojić Eoomsi faule Zagreb Sveučiliše u Zagrebu Trg J. F. Keedy Zagreb, Croaia Sajališa izesea u ovom člau u asajaju savovi su auora e e predsavljaju savove Eoomsog faulea Zagreb. Člaa ije prošao formalu receziju i odobreje. Člaa je objavlje ao bi dobio omeare o israživajima u ijeu, prije ego šo se pojavi u oačom obliu u aademsom časopisu ili a eom drugom mjesu. Copyrigh February 015 by Vedra Kojić Sva prava pridržaa. Dijelovi esa mogu bii avedee pod uvjeom da se u popuosi avede izvor. Sraica od 13

3 ANALIZA SVOJSTAVA KONVEKSNOSTI OBVEZNICA BEZ PRIMJENE DIFERENCIJALNOG RAČUNA Sažea U radu Gardija, M., Kojić, V., Šego, B. (01) Trajaje obvezica: pravila i primjee. Zbira zasvea jiga (uredici: Aljiović, Z., Marasović, B.), Sveučiliše u Spliu, Eoomsi faule, Spli, ISBN , sr. 5-6 (1. poglavlje) aaliziraa su svojsva rajaja uposih obvezica ao jede od emeljih mjera rizičosi. Druga vrlo bia mjera rizičosi je svaao ovesos obvezice, pa je u sladu s im bio pozavai svojsva ovesosi. Iao se u lierauri a svojsva desripivo objašjavaju, aaliiči izvodi i doazi relevaih zaljučaa goovo da i ema. Soga je cilj ovog rada dai pregleda opis svojsava ovesosi obvezica, e ih maemaiči doazai. Jeda od ačia doazivaja je svaao primjeom diferecijalog račua. Međuim, primjea diferecijalog račua eizbježo vodi a omplicirae međurezulae oji su uži ao bi se došlo do rajjeg zaljuča, pa se soga doazi provode a elemeara, algebarsi ači, razumljiv i široj publici oja ema užo predzaje iz područja maemaiče aalize. Ključe riječi rajaje obvezice, ovesos obvezice, svojsva ovesosi, algebarsi ači, bez primjee derivacija JEL classificaio C65, G00 ANALYSIS OF BOND CONVEXITY PROPERTIES WITHOUT THE USE OF CALCULUS Absrac I he paper Gardija, M., Kojić, V., Šego, B. (01) Bod Duraio: Proposiios ad Applicaios. I: Aljiović, Z., Marasović, B., ed., i Mahemaical models i aalysis of he Croaia fiacial mare, a aalysis of cupo bod duraio has bee give, which is oe of he primary ris measures. Aoher very impora ris measure is bod covexiy. To he bes of our owledge, he lieraure gives oly descripive explaaios of bod covexiy, wihou mahemaical proofs. Thus, he aim of his paper is o give bod covexiy aalysis, ad also give correspodig mahemaical proofs. Sice he use of calculus is very complicaed, he bod covexiy properies are proved by usig elemeary algebra, which is easier o udersad o hose who are o familiar wih mahemaical aalysis. Key words: bod duraio, covexiy duraio, bod covexiy properies, elemeary algebra, wihou calculus JEL Classificaio C65, G00 Sraica 3 od 13

4 1. Uvod U radu Trajaje obvezica: pravila i primjee (Gardija e al., 01) aaliziraa su svojsva rajaja uposih obvezica ao jede od emeljih mjera rizičosi. Aaliza je provedea bez primjee derivacija, o jes rabeći elemearu algebru, čime su se izbjegli vrlo omplicirai međurezulai a oje bi vodila ehia deriviraja, a oje bi rebalo užo riješii da bi se došlo do rajjih zaljučaa. Time je aj rad posao dosupa i razumljiv i široj publici, oja možda ema užo predzaje iz maemaiče aalize. Osim rajaja, u aalizi rizičosi obvezica još jeda od začajih mjera je i ovesos obvezice. Podsjeimo da se promjea cijee obvezice može aprosimirai izrazom oji ovisi o rajaju i ovesosi obvezice (Šego, Šrijarić, 014), pa je zao od začaja zai svojsva ovesosi. Soga je cilj ovog rada dai aalizu svojsava ovesosi ao fucije uposih amaa, priosa do dospijeća, e dospijeća dae upose obvezice. Isičemo da je aaliza ovesosi u ovom radu provedea bez primjee diferecijalog račua, oriseći jedosave algebarse maipulacije, šo pridoosi višem supju prihvaljivosi i razumljivosi rada od srae čiaelja. Ovaav prisup u aalizi ovesosi ije do sada poza u sraoj lierauri, o u domaćoj lierauri su Šego i Šrijarić (Šego, Šrijarić, 014) u svom radu Svojsva ovesosi obvezica aalizirali svojsva ovesosi e oriseći pri om diferecijali raču. Međuim, priom su zaemarili da se sa svaom promjeom bilo oje varijable fucije ovesosi mijeja i cijea obvezice, oju je po defiiciji užo izračuai ao bismo izračuali samu ovesos. S druge srae, valja spomeui ao su (Lawrece e al. 007) isu ideju o eorišeju diferecijalog račua imali u svom radu A simple ad sude-friedly approach o he mahemaics of bod prices u ojem su a laši ači objasili rezulae iz rada Expecaios, Bod Prices ad he Term Srucure of Ieres Raes (Maliel, 196). Naime, Maliel je još 196. godie vrlo rigorozo aalizirao svojsva cijee upose obvezice, e priosa do dospijeća primjeom diferecijalog račua, pa su Lawrece i Shaar isa svojsva poazali služeći se jedosavom algebrom, isičući da a aj ači, primjerice, pomažu sudeima fiacija laše shvaii ovu emaiu. Ovaj je rad ocipira a sljedeći ači. Nao uvoda, u drugom poglavlju opisaa su osova svojsva cijee upose obvezice, a u rećem svojsva rajaja. Aaliza svojsava ovesosi upose obvezice daa je u čevrom poglavlju. Peo poglavlje je zaljuča.. Svojsva cijee upose obvezice Ozae i formule oje orisimo u ovom radu preuzee su iz (Gardija e al., 01). Dale, glava preposava u radu je da promaramo uposu obvezicu omialo jedae vrijedosi N oja ima jediiče omiale amae i (i je omiala amaa sopa podijeljea sa 100 (Orsag, 011), o jes uposa amaa sopa izražea u posocima (Aljiović e al., 011)), pa je vrijedos uposih amaa, I, daa izrazom I in. (1) Radi jedosavosi, preposavljamo da je isplaa uposih amaa godišja, e da je dospijeće (broj razdoblja isplae) jeda ( je priroda broj). Soga je cijea upose obvezice P daa formulom in N in N P 1 (1 ), () 1 1 Sraica 4 od 13

5 pri čemu ozačava godišji zahijevai prios do dospijeća obvezice, o jes amau sopu izražeu u posocima (Aljiović e al. 011). Radi jedosavosi, orisi se i ozaa r=1+ za pripadi deurzivi amai faor. Formula () se još aziva ovorea forma cijee P. Propozicija 1. Ao je i=, oda je P=N (ao su jediiče omiale amae jedae zahijevaom priosu do dospijeća, oda je cijea upose obvezice jedaa jezioj omialoj vrijedosi). Ao je i>, oda je P>N (obvezica se prodaje u premiju). Ao je i<, oda je P<N (obvezica se prodaje uz diso). Doaz. Zavorea forma relacije () daa je sljedećom formulom (doaz vidjei u Dodau 1.): N i P (3) Koriseći relaciju (3), lao je vidjei da iz i= slijedi P=N. Ao je i>>0, ada je i/>1, iz čega slijedi P>N. Sličo, iz 0<i<, slijedi i/<1 šo povlači P<N. Q.E.D. Kao je vidljivo iz relacije (), cijea upose obvezice daa je ao fucija jediičih omialih amaa i (P=P(i)), priosa do dospijeća (P=P()), e dospijeća (o jes razdoblja isplaa) (P=P()). Soga valja ispiai poašaje fucije P s obzirom a promjee pojedie jezie varijable, uz preposavu ceeris paribus. Teorem. Svojsva cijee P ao fucije s obzirom a jezie pojedie varijable: (a) Fucija P=P() je moooo padajuća ceeris paribus, odoso za dvije amae sope izražee u posocima 1 vrijedi P( 1 ) P( ). (b) Fucija P=P(i) je moooo rasuća ceeris paribus, odoso za dvije upose amae sope izražee u posocima i 1 i vrijedi P(i 1 ) P(i ). in (c) Graiča vrijedos fucije P=P() ada eži u besoačo je LP lim P( ). Nadalje, u slučaju i=, fucija P() je osaa ceeris paribus, o jes ada je P()=N. Ao je i> oda je P() rasuća ceeris paribus, a ao je i< oda je P() padajuća fucija ceeris paribus. Doaz. Vidjei Dodaa. 3. Svojsva rajaja upose obvezice Trajaje upose obvezice (aže se još Macaulayevo rajaje), u ozaci D, defiira se formulom 1 in N 1 in N D P 1 (1 ) (1 ) P 1, (4) pri čemu cijeu upose obvezice račuamo formulom (). Sve preposave i ozae iz poglavlja. vrijede i u ovom poglavlju. Zavorea forma formule (4) daa je sljedećim izrazom (vidjei Aljiović e. al., 011): in 1 r 1 D P Pr r r1 N. (5) Sraica 5 od 13

6 Iso ao i fucija P u prehodom poglavlju, i rajaje možemo promarai ao fuciju ri varijable, s obzirom a amau sopu, D=D(), s obzirom a uposu amau sopu i, D=D(i), e s obzirom a dospijeće, D=D(). Teorem 3. Svojsva rajaja D ao fucije s obzirom a jezie pojedie varijable: (a) Trajaje uvije ima poziivu vrijedos. (b) Trajaje je uvije maje ili jedao dospijeću obvezice, o jes D(). (c) Fucija D=D(i) je moooo padajuća ceeris paribus, odoso za dvije upose amae sope izražee u posocima i 1 i vrijedi D(i 1 ) D(i ). (d) Fucija D=D() je moooo padajuća ceeris paribus, odoso za dvije amae sope izražee u posocima 1 vrijedi P( 1 ) P( ). 1 (e) Graiča vrijedos fucije D=D() ada eži u besoačo je LD lim D( ) 1. U slučaju i, fucija D() je rasuća s masimalom asimposom vrijedosi L D. Međuim, u slučaju 0<i<, ije fucije rajaja D() je sljedeći: rajaje prvo rase, doseže svoj masimum, a poom počije padai i asimposi se približavai graičoj vrijedosi L D. Doaz. Doaz avedeih svojsava može se vidjei, primjerice, u (Hawawii, 198), (La Gradville, 000), (Fabozzi, 006), e (Gardija e al., 01). Treba svaao spomeui da Hawawii, La Gradville e Fabozzi svojsva rajaja izvode primjeom diferecijalog račua, do Gardija e al. a isa svojsva izvode bez primjee derivacija. Doaz svojsva (e) može se vidjei u Dodau Svojsva ovesosi upose obvezice Kovesos upose obvezice, u ozaci C, defiira se formulom 1 in N 1 in N C P 1 1 (1 ) (1 ) Pr 1 pri čemu cijeu upose obvezice račuamo formulom (). Sve preposave i ozae iz poglavlja. vrijede i u ovom poglavlju , (6) Propozicija 4. Zavorea forma formule (6) daa je sljedećim izrazom: Doaz. Vidjei u (Smih, 1998). 1 i 1 1 i 1 i i C. (7) Aalogo ao i od rajaja, i ovesos je fucija ri varijable, s obzirom a amau sopu izražeu u posocima, C=C(), s obzirom a uposu amau sopu izražeu u posocima i, C=C(i), e s obzirom a dospijeće, C=C(). U aalizi svojsava ovesosi reba će am sljedeća pomoća vrdja: Lema 5. Za svaa dva reala broja a i b ava da je a>0 i b>0, posoji priroda broj sa svojsvom da je a>b. Doaz. Vidjei u (Zorich, 004). Sraica 6 od 13

7 Teorem 6. Svojsva ovesosi C ao fucije s obzirom a jezie pojedie varijable: (a) Kovesos uvije ima poziivu vrijedos. (b) Za ovesos vrijedi ejedaos 1 (1+) C() (+1), pri čemu je C() ovesos ao fucija od. (c) Fucija C=C(i) je moooo padajuća ceeris paribus, odoso za dvije upose amae sope i 1 i vrijedi C(i 1 ) C(i ). (d) Fucija C=C() je moooo padajuća ceeris paribus, odoso za dvije amae sope 1 vrijedi C( 1 ) C( ). (e) Graiča vrijedos fucije C=C() ada eži u besoačo je LC lim C( ). Nadalje, u slučaju i, fucija C() je rasuća s masimalom asimposom vrijedosi L C. Međuim, u slučaju 0<i<, ije fucije ovesosi C() je sliča ao u slučaju rajaja D(): ovesos prvo rase, doseže svoj masimum, a poom počije padai i asimposi se približavai graičoj vrijedosi L C. Doaz. (a) Iz defiicije ovesosi (6), očio slijedi poziivos ovesosi za bilo oju (poziivu) vrijedos, i i. (b) Koriseći relaciju (6) i (), dobivamo sljedeću ejedaos: 1 in N 1 in N C Pr 1 Pr 1 1 (8) 1 in N 1, Pr 1 r P odoso r C() (+1). S druge je srae pa slijedi r C() 1. 1 in N 1 C P Pr P r (8a) 1 (c) Nea je i zadaa uposa amaa sopa izražea u posocima i δ > 0 poziiva reala broj. Nea su s C(i) ozačee ovesos, e s P(i) cijea obvezice ao fucije od i. Tada je odoso ( i ) N N Pi ( ), (9) 1 i N 1 N. (10) 1 ( ) C( i ) 1 r P( i ) 1 Nadalje, Sraica 7 od 13

8 1 ( i ) N 1 N 1 in 1 N C( i ) C( i) 1 1 r P( i ) 1 r P( i) 1 1 ( i ) N 1 N in 1 N 1 P( i) 1 P( i ). r P( i ) P( i) 1 1 Uvršavajem izraza za cijeu obvezice P(i) i P(i+δ) u viičase zagrade gorjeg izraza i sređivajem, slijedi 1 N N C( i ) C( i) 1 1. r P( i ) P( i) r 1 r Budući da su δ, N, r i P(i+δ)P(i) poziive veličie, a ( C(i+δ) C(i), čime je doazaa vrdja (c). (+1) 0 za sve =1,,,, slijedi (d) Nea je δ > 0. Poažemo li da u slučaju ada prios do dospijeća s razie porase a raziu +δ i ada vrijedi C(+δ)<C(), o će upravo začii da smo doazali vrdju. Poažimo sada da vrijedi ejedaos C(+δ)<C(). (11) Koriseći formulu (6), iz (11) dobivamo evivaleu ejedaos r in N in N P P 1 r r r 1 r Budući da je 1, o je r. r in N P 1 1 r 1 r r in N P 1 1, 1 r r pa je za doazai ejedaos (11) dovoljo poazai ejedaos in N in N 1 1. (13) P P r r Uvedimo ozae α r, K in, M N, i uočimo da je 0<α<1. Nejedaos (13) je r evivalea s izom sljedećih ejedaosi (1) Sraica 8 od 13

9 K M 1K 1M K M 1K 1 M, K 1K M 1K 1M K K 1K M 1K 1 M K, j 1 K j j 1 1 K jk 1 j1 j M K M K 1 j 1 K 1 j j 1 K jk 1 j1 j1 1 1 M 1 K 1 M K. Prebacimo li u posljedjoj ejedaosi u prehodom izu sve izraze a lijevu srau, dobivamo evivaleu ejedaos 1 j j j K jk M 1 1 K 0. (14) j1 j1 1 Budući da je 0<α<1, o zbog j< vrijedi α j α >0, a zbog vrijedi α α 0, pa je u oačici j j j 0 i Dale, ao je ejedaos (14) oča, o je oča i ejedaos (11). Ovim je doazaa vrdja (d) ovog eorema. p (e) Za izraču graiče vrijedosi L C orisimo pozai limes lim 0 (vidjei Dodaa 4.), a pri čemu su i p prirodi brojevi, e a reala broj aav da je a>1. Dale, iz relacije (7) slijedi 1 1 i i lim C lim. 1 1 i Nadalje, želimo odredii predza izraza C(+1) C(). S jede je srae 1 1 P C P C 1 1 in 1 N 1 N (15) Sraica 9 od 13

10 S druge je srae 1 1 P C P C N in N C 1 C P C (16) Izjedačavajem (15) i (16), e ao sređivaja, dobivamo relaciju 1 N 1 1 C 1 1 N 1 P C C 3 C i (17) Budući da je P()>0, o iz (17) slijedi da je predza izraza C(+1) C() poziiva, o jes egaiva, ao i samo ao je desa sraa jedaosi u (17) poziiva, o jes egaiva. Razliujemo dva slučaja. U slučaju ao je i, budući da je (1+) C(+1) (+1)(+) (vidjei vrdju (b) ovog eorema), o je N 1 1 C 1 PC 1 C 0. (18) 1 Dale, fucija C() je rasuća s masimalom asimposom vrijedosi L C. Međuim, uolio je i<, o jes i>0, poažimo da ada posoji priroda broj 0 aav da je za sve prirode brojeve > 0 desa sraa u jedaosi (17) maja od 0. Naime, ejedaos C i N 1 1 C 1 N (18a) je evivalea ejedaosi i1 C 1 1 i i. (18b) Budući da C(+1) eži limesu L C ada eži u besoačos, o zači da za zadai ε>0 posoji priroda broj 0 aav da za sve prirode brojeve > 0 vrijedi ε L C <C(+1)<L C +ε. Kao bismo poazali isiios ejedaosi (18b), poažimo evivaleu, ali jaču ejedaos: i 1 LC 1 i i. (18c) 0 0 Naime, prema Lemi 5., oja se u lierauri aziva još i Arhimedovim asiomom, posoji priroda broj 1 aav da za sve prirode brojeve > 1 vrijedi ( i) (i+1). Taođer, prema Arhimedovom asiomu, posoji priroda broj > 1 aav da je ejedaos (18c) isiia za sve prirode brojeve. Dale, (18c) je isiia za sve, pa je za sve isiia i ejedaos (18a). Drugim riječima, za sve je izraz a desoj srai relacije (17) egaiva, šo zapravo zači da ao - gog člaa C() posaje padajuća fucija, a ao eži u besoačos, C() se približava limesu L C. Primijeimo da u ovom slučaju, o jes ad je i<, C() dosiže svoj masimum oji je veći od L C, a poom se padajući asimposi približava svom limesu. Kao je prema formuli (7) Sraica 10 od 13

11 3i C1 1 C, (18d) i i e C1 L C, o C() doisa prvo rase, prolazi roz svoj masimum oji je užo veći od L C, a poom počije padai i asimposi se približavai graičoj vrijedosi L C. Slia 1 predočava puaju fucije C=C(), pri čemu je uzeo da je oiuiraa varijabla. Q.E.D. Izvor: Izrada auora. Slia 1: Tije fucije ovesosi C=C() ao fucije dospijeća 5. Zaljuča U radu je da pregled svojsava cijee, rajaja i ovesosi upose obvezice uz određee, avedee preposave. Bez primjee difererecijalog račua, oriseći elemeare algebarse maipulacije svojsva ovesosi obvezice su maemaiči doazaa, olio je pozao auoru, po prvi pu u sraoj i domaćoj lierauri. Na aj ači su izbjegui omplicirai međurezulai a oje vodi ehia deriviraja, šo je dopriijelo višem supju razumljivosi rada, e dosupos široj publici, ao zasveicima, ao i sručjacima u prasi, e sudeaima oji možda emaju užo predzaje iz maemaiče aalize. Za doaze svojsava cijee i rajaja čiaelji su upućei a adevau lierauru. Lieraura Aljiović, Z., Marasović, B., Šego, B. (011) Fiacijso modeliraje.. izmijejeo i dopujeo izdaje, Eoomsi faule, Spli. Fabozzi, F. J. (006) Bod Mares, Aalysis ad Sraegies. Pereice Hall Ic., New Jersey. Gardija, M., Kojić, V., Šego, B. (01) Trajaje obvezica: pravila i primjee. Zbira zasvea jiga (uredici: Aljiović, Z., Marasović, B.), Sveučiliše u Spliu, Eoomsi faule, Spli, ISBN , sr. 5-6 (1. poglavlje) La Gradville, O. (000) Bod pricig ad porfolio aalysis. MIT Press, Lodo. Hawawii, G. A. (198) O he mahemaics of Macaulay s duraio: a oe. Dosupo a: hps://flora.isead.edu/fichiersi_wp/iseadwp198/8-03.pdf [ ] Sraica 11 od 13

12 Lawrece, E. R., Shaar, S. (007) A simple ad sude-friedly approach o he mahemaics of bod prices. Quarerly Joural of Busiess & Ecoomics, (46) 4, Dosupo a: hps://daapro.fiu.edu/campusedge/files/aricles/lawrecee pdf [ ] Maliel, B. (196) Expecaios, Bod Prices ad he Term Srucure of Ieres Raes. Quarerly Joural of Ecoomics, 76, Orsag, S. (011) Vrijedosi papiri: ivesicije i isrumei fiaciraja. Revico, Sarajevo. Smih, D. J. (1998) A Noe o he Derivaio of Closed-Form Formulas for Duraio ad Covexiy Saisics O ad Bewee Coupo Daes. Joural of Fiacial Egieerig, Vol.7, No. Šego, B., Šrijarić, T. (014) Svojsva ovesosi obvezica. Zbori Eoomsog faulea u Zagrebu, 1 (), Zorich, V. A. (004) Mahemaical Aalysis I. Spriger Verlag, Berli. Dodaa 1. U doazu orisimo izraz za sumu oačog geomerijsog iza: in N in 1 N N r 1 i N i P r 1 r 1 1. Q.E.D. Dodaa. Doaz Teorema : (a) Tvrdja je očia budući da se iz () vidi da je P=P() zbroj moooo padajućih fucija u varijabli. (b) Nea je i 1 i, odoso i i 1 0. Odredimo predza izrazu P(i ) P(i 1 ): in N i1n N i i1 N Pi Pi r Ovim je vrdja (b) doazaa. (c) Iz (3) slijedi L. N i Ni Ni N Ni lim lim P Sraica 1 od 13

13 Nadalje, in N in N N N 1 P 1 P 1 1 i 1 r 1 i 1 1. Iz posljedjeg izraza slijedi: u slučaju i=, fucija P() je osaa ceeris paribus. Ao je i> oda je P() rasuća ceeris paribus, a ao je i< oda je P() padajuća fucija ceeris paribus. Q.E.D. Dodaa 3. Doaz vrdje (e) iz Teorema 3: Izračuajmo limes fucije D() oriseći relaciju (5) i veličiu L P iz vrdje (c) Teorema : 1 r 1 N LD lim D lim i P 1 r N ir 1 i r 1 lim 1 1. i N r 1 r 1 r r1 Daljja aaliza je aaloga aalizi u vrdji (e) Teorema 6. Izraču određeih izraza za rajaje može se vidjei u (Gardija e. al., 01). Q.E.D. Dodaa 4. p Doažimo da je lim 0, pri čemu su i p prirodi brojevi, a a je reala broj aav da je a>1. Da a p x bismo poazali dai limes, dovoljo je izračuai limes fucije f x, f : IR IR, ada x x a eži u plus besoačos (vidjei u (Zorich, 004)): x x x x p pua p x p l p x L' H L' H p p 1 1 lim f x lim lim 0. a a a Napomeimo da smo u račuaju prehodog limesa p pua primijeili L Hospialovo pravilo. Kao je p x limes fucije f jeda lim f x lim 0, o i resricija fucije f a sup prirodih brojeva x x x a IN={1,, 3,...}, u ozaci IN : IN IR f, ima isi limes f p lim lim 0. a Sraica 13 od 13